Wikibooks plwikibooks https://pl.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Strona_g%C5%82%C3%B3wna MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Media Specjalna Dyskusja Wikipedysta Dyskusja wikipedysty Wikibooks Dyskusja Wikibooks Plik Dyskusja pliku MediaWiki Dyskusja MediaWiki Szablon Dyskusja szablonu Pomoc Dyskusja pomocy Kategoria Dyskusja kategorii Wikijunior Dyskusja Wikijuniora TimedText TimedText talk Moduł Dyskusja modułu Wydarzenie Dyskusja wydarzenia 0 14030 558662 467585 2026-10-05T02:20:13Z Persino 2851 558662 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się posługiwać momentami statystycznymi i wykonywać na nich działania. == Działania na wartościach oczekiwanych == Poniżej pokażemy, jakie są właściwości sumy czy różnicy, a nawet iloczynu wartości oczekiwanych oraz jakie są warunki by takowe działania zachodziły w przypadku ostatniego działania. === Suma wartości oczekiwanych === Określmy czemu jest równa wartość oczekiwana sumy argumentów x i y. Zmienna x należy do przedziału (a,b), a zmienna y należy do przedziału (c,d). Wartość oczekiwana sumy argumentów x i y, jak w przypadku wartości oczekiwanych dla dwóch argumentów definiujemy tutaj względem funkcji złożonej H(x,y)=x+y, zatem według wzoru na wartość oczekiwaną dwóch zmiennych {{LinkWzór|4.13|Momenty statystyczne dla funkcji złożonej}}. {{CentrujWzór|<MATH>E(x+y)=\int\limits^{b}_{a} \int\limits^{d}_{c} (x+y)f(x,y)=\int\limits^{b}_{x} x \bigg(\int\limits^{d}_{c} f(x,y)dy\bigg)\; dx+\int\limits^{d}_{c} y \bigg(\int\limits^{b}_{a} f(x,y)dx\bigg)\; dy</MATH>|5.1}} Mając gęstość uzyskania jednocześnie zmiennej x i y, czyli f(x,y) możemy policzyć gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej x, czyli g(x) określamy według wzoru {{LinkWzór|2.41|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, a gęstość uzyskania zmiennej y, czyli h(y) określamy według wzoru {{LinkWzór|2.42|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, zatem mając definicję tychże gęstości i podstawiamy je do wzoru {{LinkWzór|5.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>E(x+y)=\int\limits^{b}_{a} x \rho(x)dx+\int\limits^{d}_{c} y \rho(y)dy</MATH>|5.2}} Po skorzystaniu z definicji wartości oczekiwanych zmiennej x lub y wedle przepisu {{LinkWzór|4.13|Momenty statystyczne dla funkcji złożonej}}, ostatecznie otrzymujemy że wartość oczekiwana sumy dwóch zmiennych jest równa sumie wartości oczekiwanych tychże samych argumentów. {{CentrujWzór|<MATH>E(x+y)=E(x)+E(y)\;</MATH>|5.3}} Analogicznie jak przy dowodzie schematu {{LinkWzór|5.3}} wartość oczekiwana różnicy argumentów x i y jest równa różnicy wartości oczekiwanych tychże samych argumentów: {{CentrujWzór|<MATH>E(x-y)=E(x)-E(y)\;</MATH>|5.4}} Gdy we wzorze {{LinkWzór|5.4}} zachodzi y=x, to wtedy otrzymujemy, że wartość oczekiwana z liczby zero jest liczbą zero. {{CentrujWzór|<MATH>E(0)=E(x)-E(x)=0\Rightarrow E(0)=0</MATH>|5.5}} Podstawiając we wzorze {{LinkWzór|5.4}} za zmienną x liczbę zero i wykorzystując własność {{LinkWzór|5.5}}, otrzymujemy że wartość oczekiwana jest funkcją nieparzystą. {{CentrujWzór|<MATH>E(-y)=E(0)-E(y)\Rightarrow E(-y)=-E(y)\;</MATH>|5.6}} === Iloczyn wartości oczekiwanych === Określmy iloczyn wartości oczekiwanych. Załóżmy, że mamy dwa niezależne zdarzenia, wtedy gęstość prawdopodobieństwa uzyskania wyników x i y jest równa iloczynowi gęstości prawdopodobieństwa uzyskania tychże samych wyników. {{CentrujWzór|<MATH>f(x,y)=g(x)h(y)\;</MATH>|5.7}} Niech naszą funkcją złożoną będzie H(x,y)=xy, to zgodnie z {{LinkWzór|4.13|Momenty statystyczne dla funkcji złożonej}} oraz ze wzorem na niezależne zdarzenia {{LinkWzór|5.7}} i jeśli dodatkowo przyjmować będziemy wzory na gęstość uzyskania zmiennej x lub y względem gęstości uzyskania jednocześnie dwóch wyników {{LinkWzór|2.41|Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych}} i {{LinkWzór|2.42|Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych}}, wtedy otrzymujemy wzór na wartość oczekiwaną iloczynu dwóch argumentów, która jak się dowiemy dla zmiennych niezależnych jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych dla tychże samych zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH>E(xy)=\int\limits^{b}_{a}\int^{d}_{c} xyf(x,y)dxdy=\int\limits^{b}_{a}\int^{d}_{c} xg(x)yh(y)dxdy=\int\limits^{b}_{a} xg(x)dx \int\limits^{d}_{c} yh(y)dy=\;E(x)E(y)</MATH>|5.8}} Wzór wynikający z obliczeń {{LinkWzór|5.8}} możemy przepisać dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>E(xy)=E(x)E(y)\;</MATH>|5.9|Obramuj}} == Wariancja, współczynnik korelacji, transformacje liniowe == Odchylenie standardowe i wariancja to podstawowe wielkości w statystyce matematycznej, pozwalają określić, jaki błąd popełniliśmy w doświadczeniu, oraz czy wyniki uzyskane w doświadczeniu są zależne od innych wyników (tu mowa o kowariancji). === Kowariancja dwóch zmiennych === Kowariancję dwóch zmiennych typu dyskretnego x i y, gdy ich wartościami oczekiwanymi są kolejno {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}}, definiujemy wedle wzoru {{LinkWzór|4.32|Momenty statystyczne dla funkcji złożonej}}, gdy prawdopodobieństwo uzyskania tychże wyników jest P(x{{Sub|i}},y{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cov}(x,y)=\sum^n_{i=1}(x_i-\hat{x})(y_i-\hat{y})P(x_i,y_i)</MATH>|5.10}} Dla zmiennych typu losowego ciągłego wzór {{LinkWzór|4.32|Momenty_statystyczne_dla_funkcji_złożonej}} na kowariancję, gdy gęstość uzyskania dwóch wyników x i y jest równe h(x,y), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cov}(x,y)=\int\int (x-\hat{x})(y-\hat{y})h(x,y)dxdy</MATH>|5.11}} Ogólnie, oba te przypadki losowych wartości, dyskretnych bądź ciągłych, można zapisać jako wartość oczekiwana wyrażenia (x-x{{Sub|0}})(y-y{{Sub|0}}), ale tylko dla dwóch zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cov}(x,y)=E\Big\{(x-\hat{x})(y-\hat{y})\Big\}</MATH>|5.12}} Można powiedzieć, że kowariancja jest wartością oczekiwaną {{LinkWzór|4.13|Momenty statystyczne dla funkcji złożonej}}, gdy funkcją złożoną jest: {{CentrujWzór|<MATH>H(x,y)=(x-\hat{x})(y-\hat{y})\;</MATH>|5.13}} === Kowariancja dwóch niezależnych wyników w doświadczeniu === Zdefiniujmy f(x) jako gęstość prawdopodobieństwa uzyskania wyniku ''x'', a także g(x) jako gęstość prawdopodobieństwa uzyskania wyniku ''y'', wówczas prawdopodobieństwo uzyskania tychże wyników dla dwóch niezależnych zdarzeń określa się wzorem {{LinkWzór|5.7}}. Dla zmiennych niezależnych typu ciągłego można udowodnić z definicji jedynkowego momentu statystycznego zmiennej x lub y, czyli {{LinkWzór|3.10|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}} względem ich wartości oczekiwanych {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} lub {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}}, która jest zawsze równa zero, stąd dochodzimy do wniosku, że ta kowariancja dwóch zdarzeń w tym przypadku jest równa zero, zatem można by powiedzieć, że w takim razie te dwa pomiary są niezależne od siebie. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cov}(x,y)=\int\int (x-\hat{x})(y-\hat{y})h(x,y)dxdy=\int\int (x-\hat{x})(y-\hat{y})f(x)g(x)dxdy=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\int (x-\hat{x})f(x)dx\int (y-\hat{y})g(y)dy=0\cdot 0=0\;</MATH>|5.14}} W ten sposób otrzymujemy, że dla dwóch niezależnych zdarzeń (uzyskania wyników) kowariancja jest równa zero, czyli ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{cov}(x,y)=0\;</MATH>|5.15|Obramuj}} === Wariancja kombinacji liniowej dwóch zmiennych === Wyznaczmy wariancję sumy kombinacji liczb x i y. Obliczenia przeprowadzimy wykorzystując ze wzorów skróconego mnożenia i z wartości oczekiwanych sumy zdarzeń {{LinkWzór|5.3}} oraz definicji wariancji {{LinkWzór|3.14|Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne}} i ostatecznie z definicji kowariancji dla dwóch zmiennych {{LinkWzór|5.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(ax+by)=E\left (\Big((ax-by)-(a\hat{x}-b\hat{y})\Big)^2\right )\;=\;E\left (\Big(a(x-\hat{x})+b(y-\hat{y})\Big)^2\right )=E\big (a^2(x-\hat{x})^2+b^2(y-\hat{y})+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2ab(x-\hat{x})(y-\hat{y})\big)=a^2\sigma^2(x)+b^2\sigma^2(y)+2abE((x-\hat{x})(y-\hat{y}))=a^2\sigma^2(x)+b^2\sigma^2(y)+2ab\operatorname{conv}(x,y)\;</MATH>|5.16}} Wzór wynikający z obliczeń {{LinkWzór|5.16}} możemy przepisać dla przejrzystości wykładu w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(ax+by)=a^2\sigma^2(x)+b^2\sigma^2(y)+2ab \operatorname{conv}(x,y)\;</MATH>|5.17}} === Współczynnik korelacji === Definicja współczynnika korelacji wygląda jako iloraz kowariancji zmiennej x i y przez iloczyn odchyleń standardowych pomiarowych tych samych zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(x,y)={{\operatorname{cov}(x,y)}\over{\sigma(x)\sigma(y)}}</MATH>|5.18}} ==== Obliczenia z użyciem współczynnika korelacji ==== Użyjemy zredukowanych zmiennych, która jest ilorazem odchylenia od wartości oczekiwanej {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} zmiennej x przez odchylenie standardowe tej samej zmiennej {{CentrujWzór|<MATH>u={{x-\hat{x}}\over \sigma(x)}\;</MATH>|5.19}} Z własności podstawienia {{LinkWzór|5.19}} wnioskujemy, że wartość oczekiwana tej samej zmiennej jest taka jak udowodnimy, że jest równa zero, co nie powinno nas dziwić: {{CentrujWzór|<MATH>E(u)=E\left({{x-\hat{x}}\over{\sigma(x)}}\right)={{1}\over{\sigma(x)}}\left(\hat{x}-\hat{x}\right)=0\;</MATH>|5.20}} Natomiast wariancja wartości zmiennej rozważanej zmiennej u, przy czym wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.17}}, jest równa jeden, jak udowodnimy poniżej. {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(u)=\sigma^2\left({{x-\hat{x}}\over{\sigma(x)}}\right)=\sigma^{-2}(x)\Big(\sigma^2(x)+\sigma^2(\hat{x})-2\operatorname{cov}(x,\hat{x})\Big)=\sigma^{-2}(x)\sigma^2(x)=1\;</MATH>|5.21}} Powyżej skorzystaliśmy, że wariancja z wartości oczekiwanej jest równa zero, również kowariancja, w której jedna ze zmiennej jest wartością oczekiwaną również też jest równa zero. Korzystając z dowodu wariancji {{LinkWzór|5.21}}, a także z tożsamości {{LinkWzór|5.17}} i na końcu z definicji współczynnika korelacji {{LinkWzór|5.18}}, wtedy można napisać, że wariancja sumy zmiennych u i v, którego definicje są według {{LinkWzór|5.19}}, można jak udowodnić, tą wielkość przedstawić wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(u+v)=\sigma(u)+\sigma(v)+2\rho(u,v)\sigma(u)\sigma(v)=(1+1+2\rho(u,v)\cdot 1\cdot 1=2(1+\rho(u,v))\Rightarrow\sigma^2(u+v)=2(1+\rho(u,v))\;</MATH>|5.23}} W przypadku wariancji różnicy tychże argumentów, co poprzednio możemy otrzymać wzór bardzo podobny do tożsamości {{LinkWzór|5.23}}, ale trochę w innej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(u-v)=2(1-\rho(u,v))\;</MATH>|5.24}} Ponieważ dowolna wariancją jest funkcją nieujemną. Z dwóch tożsamości {{LinkWzór|5.23}} i {{LinkWzór|5.24}} otrzymujemy własność dla współczynnika korelacji: {{CentrujWzór|<MATH>-1\leq\rho(u,v)\leq 1\;</MATH>|5.25}} Można wykazać, że współczynnika korelacji w zmiennych u i v zdefiniowanych w punkcie {{LinkWzór|5.19}} jest równa współczynnikowi korelacji, ale w zmiennych x i y, a oto dowód tej tożsamości {{CentrujWzór|<MATH>\rho(u,v)={\operatorname{cov}(u,v)\over{\sigma(u)\sigma(v)}}=\operatorname{cov}(u,v)=\operatorname{cov}\left ({{{x-\hat{x}}\over{\sigma(x)}}{{y-\hat{y}}\over{\sigma(y)}}}\right )={{\operatorname{cov}(x,y)}\over{\sigma(x)\sigma(y)}}=\rho(x,y)</MATH>|5.26}} Dla zmiennych zależnych według pewnej funkcji y=f(x), ale tym razem określmy, że te zmienne zależą w sposób liniowy wedle: {{CentrujWzór|<math>y=ax+b\;</math>|5.27}} Zatem na podstawie zależności {{LinkWzór|5.27}} możemy policzyć współczynnik kowariancji wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(x,y)\sigma(x)\sigma(y)=\operatorname{cov}(x,y)=E\Big[((ax-b)-(a\hat{x}-b))(x-\hat{x})\Big]=E\left [a(x-x_0)^2\right]=aE\left ((x-\hat{x})^2\right )=a\sigma^2(x)\;</MATH>|5.28}} Również otrzymujemy, że wariancja zmiennej ''y'', która się zmienia według funkcji liniowej {{LinkWzór|5.27}}, jest ona określona według wyprowadzenia: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(y)=E[(y-\hat{y})^2]=E\left[\left((ax+b)-(a \hat{x}+b)\right)^2\right]=E\left[\left(a(x-\hat{x})\right)^2\right]=a^2E[(x-\hat{x})^2]=a^2\sigma^2(x)\;</MATH>|5.29}} Z obliczeń {{LinkWzór|5.29}} możemy wyznaczyć odchylenie standardowe zmiennej y, biorąc pierwiastek obu stron wspomnianej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(y)=|a|\sigma(x)\;</MATH>|5.30}} Zatem funkcja korelacji, dla ''y'' zależnego liniowo od ''x'', według {{LinkWzór|5.28}} zależy od odchylenia standardowego zmiennej y {{LinkWzór|5.30}} oraz z definicji odchylenia standardowego zmiennej x, wtedy dostajemy, że liczona wspomniana wielkość jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(x,y)={{\operatorname{cov}(x,y)}\over{\sigma(x)\sigma(y)}}={{a\sigma^2}\over{\sigma|a|\sigma}}={{a}\over{|a|}}=\begin{cases} \displaystyle 1 & \mbox{ dla } a>0\\ \displaystyle -1 & \mbox{ dla } a<0 \end{cases}</MATH>|5.31}} Dodatkowo mamy &rho;(x,y)=0, gdy a=0. Czyli gdy &rho;(x,y)=1, to funkcja liniowa {{LinkWzór|5.27}} jest rosnąca, tzn. a>0, ale następnie gdy zachodzi &rho;(x,y)=-1 ta sama funkcja liniowa jest teraz malejąca, bo wtedy mamy a<0. Natomiast, gdy jeszcze zachodzi dla współczynnika korelacji &rho;(x,y)=0, wtedy ta nasza funkcja liniowa jest funkcją stałą, bo a=0. === Transformacje liniowe i ortogonalne === Wiemy, że każdą funkcję można przetransformować pewnymi transformacjami liniowymi wokół pewnego punktu, a więc zakładamy, że mamy {{Formuła|<MATH>\vec{y}</MATH>}}, która jest wielkością wektorową, którą można przetransformować pewnymi funkcjami liniowymi względem argumentu {{Formuła|<MATH>\vec{y}\;</MATH>}}, według wzoru poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{align} y_1&=a_1+t_{11}x_1+t_{12}x_2+...+t_{1n}x_n\\ y_2&=a_2+t_{21}x_1+t_{22}x_2+...+t_{2n}x_n\\ &\ldots\\ y_n&=a_n+t_{n1}x_1+t_{n2}x_2+...+t_{nn}x_n \end{align} </MATH>|5.32}} Można udowodnić z transformacji {{LinkWzór|5.32}}, że współczynniki t{{Sub|ij}} można zapisać jako pochodne cząstkowe zmiennej y{{Sub|i}} względem argumentu x{{Sub|j}}: {{CentrujWzór|<MATH>t_{ij}={{\partial y_i}\over{\partial x_j}}</MATH>|5.33}} Macierzowa postać wzoru na zmienną y{{Sub|i}} względem argumentu x{{Sub|j}}, lub ogólniej przy wektorze {{Formuła|<MATH>\vec{y}</MATH>}} względem wektora argumentu {{Formuła|<MATH>\vec{x}</MATH>}}, przedstawia się wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}=\begin{bmatrix}t_{11}&&t_{12}&&\cdots&&t_{1n}\\t_{21}&&t_{22}&&...&&t_{1n}\\\cdots&&\cdots&&\ddots&&\vdots\\t_{n1}&&t_{n2}&&\cdots&&t_{nn}\end{bmatrix}\mathbf{x}+\mathbf{a}</MATH>|5.34}} Powyższy zapis można przedstawić w bardziej uproszczony sposób macierzowy, przy czym używając macierzy T, którego elementy są zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|5.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}=T\mathbf{x}+\mathbf{a}</MATH>|5.35}} Aby uzyskać wartość oczekiwaną zmiennej ''y'', korzystamy z wzoru {{LinkWzór|5.35}} zastępując wszystkie zmienne w wspomnianym wzorze ich wartościami oczekiwanymi, względem wartości oczekiwanej wektora ''x'' i "y", ostatecznie otrzymując: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\mathbf{y}}=T \hat{\mathbf{x}}+\mathbf{a}</MATH>|5.36}} Ogólnie, gdy chcemy policzyć kowariancję zmiennej x i y, tzn. czy oba zdarzenia są zależne od siebie, wtedy należy wykorzystać ze wzoru na macierzową postać kowariancji napisanej wedle tożsamości {{LinkWzór|4.34|Momenty statystyczne dla funkcji złożonej}}. Wzory {{LinkWzór|5.35}} i {{LinkWzór|5.36}} podstawiamy do wzoru na kowariancję, wtedy dostajemy wyrażenie na kowariancję zmiennej y. {{CentrujWzór|<MATH>C_y=E\left ((\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})^T\right )=E\left ((T\mathbf{x}+\mathbf{a}-T\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{a})(T\mathbf{x}-\mathbf{a}-T\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{a})^T\right )=E\left (T(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}})^TT^T\right )=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=TE\left ((\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}})^T\right )T^T\;</MATH>|5.37}} Na podstawie definicji kowariancji zmiennej x, czyli {{LinkWzór|4.34|Momenty statystyczne dla funkcji złożonej}}, możemy zapisać jak zależy kowariancja zmiennej y względem kowariancji zmienne x, gdy macierz transformacji w przekształceniu {{LinkWzór|5.34}} jest T: {{CentrujWzór|<MATH>C_y=TC_xT^T\;</MATH>|5.38}} Jeśli mamy ''n'' zmiennych, które nie zależą od siebie, to wyrazy pozadiagonalne są równe od zero, czyli conv(x,y)=0, ale posiada tylko wyrazy diagonalne, które w ogólności są różne od zera i są równe wariancji poszczególnych zmiennych losowych. Wiemy, jakie są elementy macierzy transformacji z {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\mathbf{y}\;</MATH>}} według wzoru {{LinkWzór|5.32}}, którego elementy są policzone według {{LinkWzór|5.33}}, stąd kowariancja wyniku wykorzystując przy tym przybliżenie wedle wzoru {{LinkWzór|5.32}}, którą jest funkcja liniowa wokół pewnego punktu względem małego wychylenia od tego elementu, zatem wariacja zmiennej y{{Sub|i}} przy zerowaniu się elementów kowariancji (elementów macierzy kowariancji pozadiagnoalnych), jeżeli mamy zmienne niezależne, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(y_i)=\sqrt{\sum^n_{j=1} {\left ({{\partial y_i}\over{\partial x_j}}\right )}^2{(\Delta x_j)}^2}</MATH>|5.39}} W doświadczeniach fizycznych przyjmuje się zwykle, że pierwiastek wariancji jest to odchylenie wyniku pomiarowego: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(y_i)=\Delta y_i\;</MATH>|5.40}} Jest to niepewność pomiarowa wyniku pomiaru zmiennej y{{Sub|i}}, obliczonej przez eksperymentatora na podstawie wyników doświadczeń. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ltm4kb0vfcynh52v1mntdwcsly9vhx3 0 14035 558673 513433 2026-10-05T02:49:44Z Persino 2851 558673 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Centralne twierdzenie graniczne''' - gdy wykonamy n &rarr; &infin; czyli nieskończenie wiele pomiarów, a w praktyce bardzo dużą liczbę pomiarów, tzn. &Omega;>>1, to rozkład statystyczny przechodzi w rozkład normalny. Tutaj liczbą stopni swobody jest ilość doświadczeń przeprowadzonych na obiekcie S. Wiemy jednak, że poszczególne wyniki doświadczalne podlegają rozkładowi normalnemu, ale czy ich średnie arytmetyczne również, tego nie wiadomo. Poniżej przedstawimy, że jednak tak jest, że rozkład dotyczący rozkładu średniej arytmetycznej jest również rozkładem normalnym. Jeśli jest spełnione to twierdzenie, uzasadnione jest stosowanie dla dużej liczby pomiarów rozkładu normalnego napisanej jako rozkład średniej arytmetycznej lub jako rozkład sumy wszystkich pomiarów, ponieważ mimo, że liczba tych pomiarów nie jest naprawdę nieskończenie duża, to twierdzenie jest w miarę dobrze spełnione, przy tych ograniczonych warunkach. == Dowód twierdzenia "Centralne twierdzenie graniczne" == W n-próbach prawdopodobieństwo uzyskania tych samych średnich arytmetycznych {{Formuła|<MATH>\overline x_i=\overline x\;</MATH>}} jest przedstawiona w podobny sposób jak rozkład wyników pomiarów w próbie, czyli według {{LinkWzór|11.34|Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym}}, co na tej podstawie możemy uzyskać prawdopodobieństwo uzyskania wartości średnich arytmetycznych w próbach: {{CentrujWzór|<MATH>P_0(\overline{x})=F e^{-{{Dn}\over{2}}(\overline{x}-x_0)^2}\;</MATH>|13.1}} Jak udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|13.1}}, że rozkład tych samych średnich arytmetycznych w próbach podlega pewnemu rozkładowi, a więc w próbach uzyskanie tych średnich podlega ciągłemu rozkładowi normalnemu w przypadku quasiciągłym podstawiając definicję {{LinkWzór|11.35|Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym}} na {{Formuła|<MATH>Dn\;</MATH>}} jest przedstawiona w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0(\overline{x})=F_0 e^{-{{(\overline{x}-x_0)^2}\over{2\sigma^2(\overline{x})}}}\;</MATH>|13.2}} Naszym krokiem jest znormalizowanie funkcji gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|13.2}} średniej arytmetycznej, zatem dochodzimy do wniosku, że stała F{{Sub|0}} jest napisana wzorem poniżej tak jak w punkcie {{LinkWzór|11.30|Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym}}, ale w tym przypadku odchylenie standardowe jest odchyleniem standardowym średniej arytmetycznej. {{CentrujWzór|<MATH>F_0={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(\overline{x})}}\;</MATH>|13.3}} Zatem nasz rozkład statystyczny średniej arytmetycznej {{LinkWzór|13.2}} przy wykorzystaniu warunku {{LinkWzór|13.3}} jest pisany: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0(\overline{x})={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(\overline{x})}} e^{-{{(\overline{x}-x_0)^2}\over{2\sigma^2(\overline{x})}}}\;</MATH>|13.4}} Można również udowodnić, na podstawie tego samego kształtu rozkładu gęstości prawdopodobieństwa średniej arytmetycznej {{LinkWzór|13.4}}, co w rozkładzie gęstości prawdopodobieństwa pomiaru {{LinkWzór|11.31|Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym}}, że wariancja średniej arytmetycznej jest równa {{Formuła|<MATH>\sigma^2(\overline{x})\;</MATH>}} w naszym wyprowadzonym rozkładzie. Rozkład {{LinkWzór|13.4}} jest rozkładem normalnym średniej arytmetycznej wokół wartości dokładnej x{{Sub|0}}, co zostało udowodnione nasze powyższe twierdzenie napisane w tym tytule. == Rozkład statystyczny sumy wyników pomiarów == Aby udowodnić, że suma pomiarów podlega rozkładowi normalnemu, należy skorzystać tutaj ze wzoru {{LinkWzór|13.4}} (rozkładu uzyskania średniej arytmetycznej w próbie) i wykorzystać definicję wartości średniej arytmetycznej n pomiarów, zatem wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho_0(\overline{x})d\overline x={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(\overline x)}}e^{-{{\left(\overline x-x_0\right)^2}\over{2\sigma^2(\overline x)}}}d\overline x={{\sqrt{n}}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}e^{-n{{\left({{\sum^m_{p=1}x_{p}}\over{n}}-x_0\right)^2}\over{2\sigma^2(x)}}}d\overline x= {{\sqrt{n}}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}e^{-n{{\left({{\sum^m_{p=1}x_{p}-nx_0}\over{n}}\right)^2}\over{2\sigma^2(x)}}}d\overline x=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\sqrt{n}}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}e^{-n{{\left(\sum^m_{p=1}x_{p}-nx_0\right)^2}\over{2n^2\sigma^2(x)}}}d\overline x={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}e^{-{{\left(\sum^m_{p=1}x_{p}-nx_0\right)^2}\over{2n\sigma^2(x)}}}{{dn\overline{x}}\over{\sqrt n}}={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)\sqrt n}}e^{-{{\left(\sum^m_{p=1}x_{p}-nx_0\right)^2}\over{2n\sigma^2(x)}}}dn\overline x\;</MATH>|13.5}} Obierzmy zmienną &xi; zdefiniowaną jaką sumę pomiarów uzyskanych wyników w doświadczeniu, którego definicja jest poniżej, a także jego wartość dokładną, też zdefiniowaną poniżej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\xi=\sum^n_{p=1}x_j=n\overline{x}\;\;</MATH>|13.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\xi_0=nx_0\;</MATH>|13.7}} }} Następnie w celu wyznaczania wariancji sumy pomiarów {{LinkWzór|13.6}} korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|5.17|Momenty_statystyczne_w_działaniu}} przy założeniu, że poszczególne pomiary są niezależne od siebie, zatem ich kowariancja jest równa zera, zatem na podstawie tych rozważań można napisać, że wariancja wyrażenia &xi; jest sumą wariancji poszczególnych pomiarów: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(\xi)=\sigma^2(\sum^n_{p=1}x_p)=\sum^n_{p=1}\sigma^2(x)=n\sigma^2(x)\Rightarrow \sigma(\xi)=\sqrt {n}\sigma(x)\;</MATH>|13.8}} Zatem nasz rozkład {{LinkWzór|13.5}} po uwzględnieniu {{LinkWzór|13.6}} oraz {{LinkWzór|13.7}}, a także wzoru {{LinkWzór|13.8}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>dP={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(\xi)}}e^{-{{(\xi-\xi_0)^2}\over{2\sigma^2(\xi)}}}d\xi=\rho_0(\xi)d\xi\Rightarrow \rho_0(\xi)={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(\xi)}}e^{-{{(\xi-\xi_0)^2} \over{2\sigma^2(\xi)}}}\;</MATH>|13.9}} Można udowodnić, że w wyniku normalizacji rozkładu {{LinkWzór|13.9}} gęstość prawdopodobieństwa {{Formuła|<MATH>\rho(\xi)\;</MATH>}} całkuje się do jedynki względem {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}}, a kwadrat odchylenia od wartości średniej całkuje się do {{Formuła|<MATH>\sigma^2(\xi)\;</MATH>}} też względem tej samej zmiennej. Udowodniliśmy, że zmienna zdefiniowana wzorem {{LinkWzór|13.6}} ma rozkład normalny z wariacją {{LinkWzór|13.8}}, zatem nasz rozważany rozkład jest określony według wzoru {{LinkWzór|13.9}} i jest to rozkład normalny. == Funkcja charakterystyczna a "Centralne twierdzenie graniczne" == Z własności funkcji charakterystycznej wiemy jednak, że jego wartość funkcji charakterystycznej w punkcie t równej zero jest równa jeden, co wynika z {{LinkWzór|8.11|Funkcje charakterystyczne}}, a pierwsza pochodna jest wyrażona według {{LinkWzór|8.12|Funkcje charakterystyczne}} oraz druga pochodna jest wyrażona według {{LinkWzór|8.13|Funkcje charakterystyczne}}, zatem rozwińmy tą funkcję charakterystyczną w szereg Taylora wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{x}(t)=\phi(0)+\phi^{(1)}(0)t+{{1}\over{2}}\phi^{(2)}(0)t^2+...= 1-{{1}\over{2}}\sigma^2(x)t^2+...</Math>|13.10}} W prowadźmy nową zmienną zdefiniowaną przy pomocy wyników pomiarów x{{Sub|i}}, wartości dokładnej x{{Sub|0}}, odchylenia standardowego pojedyńczego wyniku pomiaru &sigma;(x) i względem ilości przeprowadzonych pomiarów, zatem jego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>u_i={{x_i-x_0}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}</MATH>|13.11}} Policzmy funkcję charakterystyczną względem nowej zmiennej zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|13.11}}, zatem z oczywistych powodów otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{u_i}(t)=E\left\{\exp(itu_i)\right\}= E\left\{\exp\left(it{{x_i-x_0}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}\right)\right\}=\phi_{x_i}\left({{t}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}\right)</MATH>|13.12}} Skorzystajmy z rozwinięcia funkcji &phi;{{Sub|u{{Sub|i}}}}(t) w szereg Taylora wedle sposobu {{LinkWzór|13.10}}, zatem po tych operacjach dostajemy funkcję charakterystyczną pojedynczego pomiaru x{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{x_i}\left({{t}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}\right)=1-{{1}\over{2}}\sigma^2(x)\left({{t}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}\right)^2+...= 1-{{t^2}\over{2n}}+...</MATH>|13.13}} Z definiujmy inną nową zmienną zależną "u" jako sumę nowych zmiennych losowych {{LinkWzór|13.12}}, zatem wtedy dochodzimy do wniosku, że tą zmienną możemy wyznaczyć względem zmiennej sumy "n" pomiarów {{LinkWzór|13.6}}, którego wartość dokładna jest {{LinkWzór|13.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>u=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{i=1}{{x_i-x_0}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{{\xi-\xi_0}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}</MATH>|13.14}} Funkcja charakterystyczna na podstawie wzoru {{LinkWzór|13.13}} i wedle twierdzenia {{LinkWzór|8.16|Funkcje_charakterystyczne}} dla n-doświadczeń jest iloczynem n takich wspomnianych funkcji charakterystycznych: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_u(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}\prod^n_{i=1}\phi_{u_i}(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\phi_{u_i}(t)\right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-{{t^2}\over{2n}}+...\right)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-{{t^2}\over{2n}}\right)^{(-2n)(-{{1}\over{2}})}=e^{-{{1}\over{2}}t^2}</math>|13.15}} Funkcja {{LinkWzór|13.15}} jest to funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego standardowego {{LinkWzór|8.24|Funkcje_charakterystyczne}} względem zmiennej {{LinkWzór|13.14}} na podstawie {{LinkWzór|8.24|Funkcje_charakterystyczne}}, który zachodzi dla specyficznych wartości dokładnej i odchylenia standardowego. Rozkład normalny jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(u)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{-{{1}\over{2}}u^2}={{1}\over{\sqrt{2\pi}}} e^{-{{1}\over{2}}{{(\xi-\xi_0)^2}\over{\sigma^2(x)n}}}={{1}\over{\sqrt{2\pi}}} e^{-{{(\xi-\xi_0)^2}\over{2\sigma^2(\xi)}}}</MATH>|13.16}} Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa względem zmiennej &xi;, zatem infinitezymalne prawdopodobieństwo, które jest niezmiennicze ze względu na zmienną, względem której liczymy tę funkcję gęstości prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(u)du=\rho(u)d{{\xi-\xi_0}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}= {{\rho(u)}\over{\sigma(x)\sqrt{n}}}d\xi={{\rho(u)}\over{\sigma(\xi)}}d\xi\;</MATH>|13.17}} Jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|13.17}}, a także z gęstości prawdopodobieństwa zmiennej u {{LinkWzór|13.16}}, to gęstość prawdopodobieństwa, uzyskania zmiennej sumy pomiarów {{LinkWzór|13.6}} wokół wartości dokładnej tej zmiennej {{LinkWzór|13.7}}, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\xi)={{\rho(u)}\over{\sigma(\xi)}}={{1}\over{\sqrt{2\pi}}\sigma(\xi)} e^{-{{(\xi-\xi_0)^2}\over{2\sigma^2(\xi)}}}</MATH>|13.18}} Można sprawdzić, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|13.18}} jest unormowana do jedynki i posiada wariancję &sigma;{{Sup|2}}(&xi;). Wzór {{LinkWzór|13.18}} jest taki sam jak wzór zapisany w punkcie {{LinkWzór|13.9}}, tylko innym sposobem udowodniliśmy, że zmienna {{LinkWzór|13.6}} podlega rozkładowi normalnemu. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> d9btjfn165uooff20zqdzxe3ayzo6cv 0 14046 558669 513429 2026-10-05T02:37:36Z Persino 2851 558669 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Prawdopodobieństwo Bernoulliego''' - jest to rozkład przedstawiający jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania w n próbach właściwości K przy jego trafieniach w ilości k. W tym rozkładzie wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania właściwości K w pojedynczym doświadczeniu jest równe p, a zdarzenia przeciwnego do K jest równe 1-p. == Rozkład statystyczny == Załóżmy, że ropatrujemy, że losowano właściwość K na ściśle określonych urnach, z ilością trafień k, w ściśle określonej kolejności z jakimi dokonano tychże trafień. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>P_{nk}=p^kq^{n-k}\;</MATH>|9.1}} Ponieważ we wzorze {{LinkWzór|9.1}} założono, że trafienia lub nie trafienia przeprowadzono w ścisłej kolejności, ale tak nie musi być. Ilość ścisłych takich kolejności jest {{Formuła|<MAtH>{n\choose k}\;</MAtH>}}, zatem prawdopodobieństwo trafienia w zdarzenie K w ilości k w dowolnej kolejności jest iloczynem prawdopodobieństwa {{LinkWzór|9.1}} przez wspomniany ostatnio symbol Newtona, zatem prawdopodobieństwo w rozkładzie Bernoullego piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_{nk}={n \choose k} p^k q^{n-k}\;</MATH>|9.2}} == Wartość oczekiwana == Średnią oczekiwaną dla rozkładu prawdopodobieństwa Bernoulliego P{{Sub|nk}} przedstawiamy jako średnią trafienia w właściwość K, i zapisujemy ją jako sumę po wszystkich możliwych k od zera do n względem iloczynu prawdopodobieństwa rozważanego rozkładu przez ilość trafień k. {{CentrujWzór|<MATH>E(k)=\sum^n_{k=1} k P_{nk}\;</MATH>|9.3}} Podstawiamy za prawdopodobieństwo uzyskania k trafień w n doświadczeniach właściwości K, czyli P{{Sub|nk}} do wzoru na wartość oczekiwaną tego rozkładu {{LinkWzór|9.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>E(k)=\sum^n_{k=1} k {n \choose k} p^k q^{n-k}=\sum^n_{k=1}k{{n!}\over{(n-k)!k!}}p^kq^{n-k}=\sum^n_{k=1}{{n!}\over{(n-k)!(k-1)!}}p^kq^{n-k}\;</MATH>|9.4}} W obliczeniach dokonujemy podstawienia k-1=k{{Sup|'}}, zatem mamy: {{CentrujWzór|<MATH>E(k)=\sum^{n-1}_{k=0}{{n!}\over{(n-k-1)!k!}} p^{k+1}q^{n-1-k}=np\sum^{n-1}_{k=0}{n-1 \choose k}p^k q^{n-1-k}=np \cdot 1=np\;</MATH>|9.5}} Otrzymujemy, że wartość oczekiwana dla rozkładu Bernoulliego na podstawie obliczeń {{LinkWzór|9.5}} jest iloczynem prawdopodobieństwa p uzyskania właściwości K w n doświadczeniach przeprowadzonej na pewnej urnie. {{CentrujWzór|<MATH>E(k)=np\;</MATH>|9.6}} == Odchylenie standardowe rozkładu Bernoulliego == Możemy wyznaczyć wariancję rozkładu Bernoulliego {{LinkWzór|9.2}}, korzystając ze wzoru opisującego rozkład dyskretny {{LinkWzór|3.18|Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne}} wyrażającego go względem wartości oczekiwanej uzyskania kwadratu ilości trafień k{{Sup|2}} i względem wartości oczekiwanej ilości trafień przedstawionych w punkcie {{linkWzór|9.6}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(k)=E(k^2)-E^2(k)\;</MATH>|9.7}} Następnie policzymy wartość oczekiwaną kwadratu ilości trafień, którego definicja jest w punkcie poniżej wykorzystując prawdopodobieństwo rozkładu Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH>E(k^2)=\sum^n_{k=0}k^2P_{nk}=\sum^n_{k=0}k^2{n \choose k}p^kq^{n-k}=\sum^n_{k=1}kk{{n!}\over{(n-k)!k!}}p^kq^{n-k}=\sum^n_{k=1}k{{n!}\over{(n-k)!(k-1)!}}p^kq^{n-k}\;</MATH>|9.8}} Dokonujemy podstawienia we wniosku {{linkWzór|9.8}} wedle schematu: k-1=k{{Sup|'}}: {{CentrujWzór|<MATH>E(k^2)=\sum^{n-1}_{k=0}(k+1){{n!}\over{(n-k-1)!k!}}p^{k+1}q^{n-1-k}=\sum^{n-1}_{k=0}k{{n!}\over{(n-k-1)!k!}}p^{k+1}q^{n-1-k}+\sum^{n-1}_{k=0}{{n!}\over{(n-k-1)!k!}}p^{k+1}q^{n-1-k}=\;</MATH><br> <MATH>=np \sum^{n-1}_{k=0}k {{(n-1)!}\over{(n-1-k)!k!}}p^kq^{n-1-k}+np \sum^{n-1}_{k=0} {{(n-1)!}\over{(n-1-k)!k!}}p^kq^{n-1-k}\;</MATH>|9.9}} Po krótkich przekształceniach w punkcie {{LinkWzór|9.9}} dostajemy, że wartość oczekiwana kwadratu ilości trafień jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>E(k^2)=np(n-1)p+np=n^2p^2-np^2+np\;</MATH>|9.10}} A zatem podstawiając wartości oczekiwane {{LinkWzór|9.6}} i {{LinkWzór|9.10}} do wzoru wariancję ilości trafień {{LinkWzór|9.7}}, zatem nasza ta rozważana wielkość można określić według: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(k)=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2=np-np^2=np(1-p)=npq\;</MATH>|9.11}} == Zestaw momentów statystycznych == Wartość oczekiwaną ilości trafień i wariacja ilości trafień k w n doświadczeniach właściwości K są napisane według wzorów {{LinkWzór|9.6}} i {{LinkWzór|9.11}}. Te wzory również wyprowadzimy za pomocą rozkładu zero-jedynkowego. Jeśli przyjmować będziemy, że losujemy jedynkę z prawdopodobieństwem p a zero z prawdopodobieństwem 1-p, to wartość oczekiwana tego zdarzenia jest napisana wedle obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>E(x_i)=1\cdot p+0\cdot q=p\;</MATH>|9.12}} Wzór {{LinkWzór|9.12}} określa wartość oczekiwaną dla pojedynczego zdarzenia, zatem dla n losować mamy {{Formuła|<MATH>x=\sum_i x_i\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}} jest to ilość wylosowanych jedynek, korzystając przy tym {{LinkWzór|5.3|Momenty_statystyczne_w_działaniu}}, wyrażamy przez równanie: {{CentrujWzór|<MATH>E(x)=\sum^n_{i=1}E(x_i)=\sum^n_{i=1}p=np\;</MATH>|9.13}} Wariancja dla pojedynczego doświadczenia jest określona przy tych samych warunkach co powyżej przy liczeniu wartości oczekiwanej pojedynczego pomiaru zera lub jedynki: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x_i)=(1-p)^2p+(0-p)^2q=p-2p^2+p^3+p^2(1-p)=p-2p^2+p^3+p^2-p^3=p-p^2=p(1-p)=pq\;</MATH>|9.14}} Wariancja dla każdego doświadczenia z n jest taka sama, a więc korzystając ze wzoru {{LinkWzór|5.17|Momenty statystyczne w działaniu}} przy założeniu, że te n doświadczeń są względem siebie niezależne, wtedy kowariancja tych dwóch różnych zdarzeń jest równa zero, zatem całkowita wariancja n doświadczeń jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=npq\;</MATH>|9.15}} Otrzymaliśmy takie same wzory na wartość oczekiwaną {{LinkWzór|9.13}} i wariancję {{LinkWzór|9.15}}, co w punktach {{LinkWzór|9.6}} i {{LinkWzór|9.11}} stosując intuicyjną metodę liczenia wartości oczekiwanej i wariancji. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> f2pait3npaj0dhupf21liu0tkcooal4 0 14048 558674 513434 2026-10-05T02:51:02Z Persino 2851 558674 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Twierdzenie o rozkładzie {{Formuła|<MATH>\chi^2\;</MATH>}}''' - jest to rozkład statystyczny zmiennej {{Formuła|<MATH>\chi^2=\sum^n_{i=1}x_i^2\;</MATH>}}, która opisuje n doświadczeń statystycznych, w którym x{{Sub|i}} są to wyniki uzyskane w pojedynczym doświadczeniu. Rozkład {{Formuła|<MATH>\chi^2\;\;</MATH>}} można napisać, gdy ilość doświadczeń jest co najmniej skończona (policzalna). == Przypadek szczególny, gdy liczba stopni swobody jest jeden == Rozkład, który rządzi pojedynczą próbą jest to rozkład normalny, wyrażamy wzorem {{LinkWzór|11.31|Twierdzenie_o_rozkładzie_normalnym_jednowymiarowym}}. Napiszmy czemu jest równe prawdopodobieństwo uzyskania wyniku z przedziału (x{{Sub|0}}-&chi;x{{Sub|0}}+&chi;), zatem na podstawie definicji gęstości prawdopodobieństwa wspomnianego rozkładu normalnego prawdopodobieństwo uzyskania wyniku w tym przedziale wyrażamy wzorem poniżej. W jego kolejnych krokach przekształcamy go, tak by wyrazić go jako całkę obliczonej w (0,&chi;) wiedząc, że ta wspomniana gęstość jest funkcją parzystą względem parametru x{{Sub|i}}-x{{Sub|0}}. {{CentrujWzór|<MATH>F(\chi^2)={1\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}\int\limits^{x_0+\chi}_{x_0-\chi} e^{-{{(x_i-x_0)^2}\over {2\sigma^2}}}dx_i={1\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}\int_{-\chi}^{\chi}e^{-{{s^2}\over {2\sigma^2}}}ds={1\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}\left(\int^{\chi}_{0}e^{-{{s^2}\over {2\sigma^2}}}ds+\int^{0}_{-\chi}e^{-{{s^2}\over {2\sigma^2}}}ds\right)=\;</math>{{Br}}<math>={1\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}\left(\int^{\chi}_{0}e^{-{{s^2}\over {2\sigma^2}}}ds-\int^0_{\chi}e^{-{{s^2}\over {2\sigma^2}}}ds\right)={1\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}\left(\int^{\chi}_{0}e^{-{{s^2}\over {2\sigma^2}}}ds+\int_0^{\chi}e^{-{{s^2}\over {2\sigma^2}}}ds\right)={2\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}\int^{\chi}_{0}e^{-{{s^2}\over {2\sigma^2}}}ds </mAth>|14.1}} Dokonajmy podstawienia zależnego od t, który jest ilorazem kwadratu zmiennej losowej s=x{{Sub|i}}-x{{Sub|0}} przez kwadrat odchylenia standardowego zmiennej x: {{CentrujWzór|<MATH>{{s}^2\over{\sigma^2}}=t\;</MATH>|14.2}} Możemy zróżniczkować podstawienie określane wzorem {{LinkWzór|14.2}}, dalej korzystając jeszcze raz ze wspomnianego podstawienia, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>2sds=dt\cdot\sigma^2\Rightarrow ds={{dt\sigma^2}\over{2s}}={{dt\sigma^2}\over{2\sigma\sqrt{t}}}\Rightarrow ds={{dt\sigma}\over{2\sqrt{t}}}\;</MATH>|14.3}} Wykorzystajmy podstawienie {{LinkWzór|14.2}} oraz definicję różniczki {{Formuła|<MATH>ds\;</MATH>}} według {{LinkWzór|14.3}}, to znając wszystkie te formuły, zatem podstawmy je do wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania wyniku wyżej określanym przedziale {{LinkWzór|14.1}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>F(\chi^2)={{1}\over {\sqrt{2\pi}\sigma}}\int\limits^{\chi^2}_{0} e^{-{{1}\over{2}}t}{{dt \sigma}\over {\sqrt{t}}}={{1}\over {\sqrt{2\pi}}}\int\limits^{\chi^2}_{0} t^{-{{1}\over{2}}}e^{-{{1}\over{2}}t}dt={{1}\over {\sqrt{2\pi}}}\int\limits^{\chi^2}_{0} t^{-{{1}\over{2}}}e^{-{{1}\over{2}}t}dt\;</MATH>|14.4}} Wykorzystajmy definicję &Gamma;(&lambda;) dla &lambda;=1/2n=1/2, a także znając tożsamość {{Formuła|<MATH>\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)=\sqrt{\pi}\;\;</MATH>}}, to wtedy wzór na prawdopodobieństwo {{LinkWzór|14.4}} uzyskania pomiaru w przedziale (-&chi;,&chi;) jest określone wzorem wynikających z obliczeń, którego wzór dla n=1, jest wyżej określaną formułą. {{CentrujWzór|<MATH>F(\chi^2)={1\over{\Gamma(\lambda) 2^{\lambda}}}\int\limits^{\chi^2}_0 t^{\lambda-1}e^{-{1\over 2}t}dt\;</MATH>|14.5}} A więc jego gęstość prawdopodobieństwa według wzoru na dystrybuantę zdarzenia {{LinkWzór|14.5}} można napisać poprzez różniczkowanie go względem zmiennej losowej &chi;{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\chi^2)={{1}\over{\Gamma(\lambda)2^\lambda}}{(\chi^2)}^{\lambda-1}e^{-{{1}\over{2}}\chi^2}\;</MATH>|14.6}} Wiemy jednak, że wzór {{LinkWzór|14.6}} jest spełniony dla jednego przeprowadzonego doświadczenia, ale można udowodnić, że ten nasz wzór jest spełniony dla dowolnej ilości prób, tzn. n&ge; 1. == Przypadek gdy liczba prób jest różna od jedynki == Policzmy funkcję charakterystyczną przy podanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.6}}, z definicji tejże funkcji charakterystycznej określanej jako wartość oczekiwaną funkcji eksponencjalnej exp(itx), co wedle definicji {{LinkWzór|8.3|Funkcje_charakterystyczne}} możemy go napisać w postaci nieobliczonej jeszcze, co dokonamy w późniejszych etapach, dalej przedstawimy go w postaci pewnej całki: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{\chi^2}(t)=\int^{\infty}_{0}e^{it \chi^2}\rho(\chi^2)d\chi^2={{1}\over{\Gamma(\lambda)2^{\lambda}}}\int^{\infty}_0(\chi^2)^{\lambda-1}e^{-{{1}\over{2}}\chi^2+it\chi^2}d\chi^2\;</MATH>|14.7}} Dokonajmy podstawienia, która będzie nam potrzebna we wzorze na funkcję charakterystyczną względem zmiennej losowej &chi;{{Sup|2}}, które to podstawienie oznaczymy jako zmienną &nu; zdefiniowanej poprzez parametr t: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{1}\over{2}}-it\right)\chi^2=\nu\Rightarrow{{1-2it}\over{2}}\chi^2=\nu\;</MATH>|14.8}} Podstawienie {{LinkWzór|14.8}} wykorzystujemy do wzoru na funkcję charakterystyczną {{linkWzór|14.7}}, stąd mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{\chi^2}(t)={{1}\over{\Gamma(\lambda)2^{\lambda}}} \int^{\infty}_0{{\nu^{\lambda-1}\nu^{\lambda-1}}\over{(1-2it)^{\lambda-1}}}e^{-\nu}{{d\nu 2}\over{1-2it}}={{1}\over{\Gamma(\lambda)2^{\lambda}}}(1-2it)^{-\lambda}\int^{\infty}_0\nu^{\lambda-1}e^{-\nu}d\nu=(1-2it)^{-\lambda}\Gamma^{-1}(\lambda)\Gamma(\lambda)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(1-2it)^{-\lambda}\Rightarrow\phi_{\chi^2}(t)=(1-2it)^{-\lambda}\;</MATH>|14.9}} Funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej &chi;{{Sup|2}} jest funkcją napisaną w {{LinkWzór|14.9}}. Funkcja charakterystyczna powiedziana jest w punkcie {{LinkWzór|14.9}} przy parametrze &lambda;, udowodnimy, że ona jest spełniona dla dowolnego n naturalnego większego od zera. Dla dowolnego n zmienną losową &chi;{{Sup|2}} określamy jako sumę po n doświadczeniach przeprowadzonych nad statystycznym układem poszczególnych wyników pomiarów podniesionych do kwadratu. {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2=\sum^n_{p=1}x_p^2\;</MATH>|14.11}} Dla &lambda;=1/2n, gdy oczywiście zachodzi n=1, to wtedy możemy określić z funkcji charakterystycznej {{LinkWzór|14.9}} ściśle określoną gęstość prawdopodobieństwa dla dowolnego "n". Jeśli &lambda;=1/2, to z funkcji {{LinkWzór|14.9}} na postawie twierdzenia {{LinkWzór|8.16|Funkcje_charakterystyczne}} otrzymujemy przypadek n>1 poprzez wymnożenie funkcji charakterystycznych {{LinkWzór|14.9}} dla n=1 przez siebie charakteryzują różne ale pojedyncze doświadczenia, stąd otrzymujemy funkcję charakterystyczną dla n&ge;1, wtedy zmienną losową jest {{LinkWzór|14.11}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{\chi^2}=\prod^n_{i=1}\phi_{\chi^2_i}=\prod^n_{i=1}(1-2it)^{-\lambda_i}=(1-2it)^{-\sum^n_{i=1}\lambda_i}=(1-2it)^ {-\sum^n_{i=1}{{1}\over{2}}n_i}=(1-2it)^{-{{1}\over{2}}\sum^n_{i=1}(n_i=1)}=(1-2it)^{-{{1}\over{2}}n}\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(1-2it)^{-\lambda}</MATH>|14.12}} Na podstawie {{LinkWzór|14.12}} i {{LinkWzór|14.11}} dochodzimy do wniosku, że funkcją charakterystyczną {{LinkWzór|14.9}} opisująca badany rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej {{LinkWzór|14.11}} jest {{LinkWzór|14.12}}, stąd rozkład gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.6}} jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej &chi;{{Sup|2}}{{LinkWzór|14.11}} o dystrybuancie {{LinkWzór|14.5}} dla n&ge;1. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 7zijslew52fz1bjve5g4tkbjaqxb3uj 0 14049 558675 513435 2026-10-05T02:52:38Z Persino 2851 558675 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Rozkład hipergeometrycznym''' jest to rozkład, w której w "n" losowań ma paść "k" klocków o właściwości {{Formuła|<MATH>K_s\;</MATH>}} i l klocków o właściwości {{Formuła|<MATH>L_s\;</MATH>}} podczas losowania z urny mających K klocków. == Wzór na rozkład hipergeometryczny == Załóżmy, że mamy N kul, przy czym K kul ma własność pierwszą, i L kul ma własność drugą, losujemy z takiej kombinacji n kul, ale i kul o własności pierwszej, i l kul o własności drugiej, także ilość wylosowanej z właściwością pierwszą i drugą razem jest równa ilości przeprowadzonych doświadczeń n, czyli powinno być i+l=n, a ilość kul o właściwościach pierwszych i drugich jest równa ilości wszystkich kul N, czyli zachodzi K+L=N, a więc prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku przy losowaniu pewnej ilości kul o właściwości L i K przy n doświadczeniach jest określana przez formułę: {{CentrujWzór|<MATH>W^n_i={{{K \choose i}{L \choose l}}\over{N \choose n}}={{{K \choose i}{N-K \choose n-i}}\over{N \choose n}}\;</MATH>|15.1}} == Wartość oczekiwana rozkładu hipergeometrycznego == Policzmy teraz wartość oczekiwaną rozkładu hipergeometrycznego zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|15.1}} mówiącej jaka jest średnia z wylosowanych kul o właściwości K, zatem wiedząc, że wspomniany rozkład jest rozkładem dyskretnym, przestawiamy tą średnią wedle definicji {{LinkWzór|2.11|Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych}}, gdy x{{Sub|i}} można zapisać jako zmienna "i": {{CentrujWzór|<MATH>E(i)=\sum_i i W^n_i={1\over{N \choose n}}\sum^n_{i=1}i{K \choose i}{ N-K \choose n-i}={1\over{N \choose n}}\sum^n_{i=1}i{{K!}\over{i!(K-i)!}}{{(N-K)!}\over{(N-K-n+i)!(n-i)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{n!(N-n)!}\over{N!}}\sum^n_{i=1}{{K!}\over{(i-1)!(K-i)!}}{{(N-K)!}\over{(N-K-n+i)!(n-i)!}}\;</MATH>|15.2}} Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1 do naszych obliczeń {{LinkWzór|15.2}}, które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>E(i)={{{n!(N-n)!}\over{N!}}\sum^{n-1}_{i=0}}{{{K!}\over{i!(K-1-i)!}}}{{(N-K)!}\over{(N-K-n+(i+1))!(n-1-i)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{n!(N-n)!}\over{N!}}K\sum^{n-1}_{i=0}{{(K-1)!}\over{i!(K-1-i)!}}{{(N-K)!}\over{(N-K-n+(i+1))!(n-1-i)}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n{{K}\over{N}}{1\over{{N-1 \choose n-1}}}\sum^n_{i=1}{K-1 \choose i}{N-K \choose n-1-i}=n {{K}\over{N}}{1\over{{N-1 \choose n-1}}}{N-1 \choose n-1}=n {{K}\over{N}}\;</MATH>|15.3}} Wartość oczekiwana zmiennej "i" jest wprost proporcjonalna do liczby losować "n", i do ilości kul o właściwości K przez ilość wszystkich kul N. Z definiujmy nową wielkość zwaną jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul o właściwości K. {{CentrujWzór|<MATH>p={{K}\over{N}}</MATH>|15.4}} Wtedy na podstawie definicji {{LinkWzór|15.4}} wzór {{LinkWzór|15.3}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E(i)=np\;</MATH>|15.5}} Czyli ten sam wzór otrzymaliśmy według {{LinkWzór|15.5}} taki sam jak zapisaną w punkcie {{LinkWzór|9.6|Twierdzenie_o_rozkładzie_Bernoulliego}}, który jest wartością oczekiwaną dla dyskretnego rozkładu {{sr|Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego|rozkładu Bernoulliego}}. == Wariancja rozkładu hipergeometrycznego == Wariancję w sposób ogólny zapisujemy wedle wzoru {{LinkWzór|3.18|Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne}}, wtedy musimy policzyć dodatkowo średnią i{{Sup|2}}, a średnią zmiennej losowej "i" już mamy policzoną w punkcie {{LinkWzór|15.5}}. Policzmy wartość oczekiwaną kwadratu zmiennej losowej i{{Sup|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>E(i^2)=\sum^n_{i=1}i^2 W^n_i=\sum^n_{i=1}i^2{{{K \choose k}{L \choose l}}\over{N \choose n}}={{n!(N-n)!}\over{N!}}\sum^n_{i=1}i^2{K \choose i}{{N-K} \choose {n-i}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{n!(N-n)!}\over{N!}}{\sum^n_{i=1}{i {{K!}\over{(i-1)!(K-i)!}}}{{(N-K)!}\over{(n-i)!(N-K-n+i)!}}}\;</MATH>|15.6}} Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1, czyli i=i'+1 do naszych obliczeń {{linkWzór|15.6}}, które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>E(i^2)={{n!(N-n)!}\over{N!}}\sum^{n-1}_{i=0}(i+1){{K!}\over{i!(K-i-1)!}}{{(N-K)!}\over{(n-i-1)!(N-K-n+i+1)!}}=\;</MATH>{{Br}} <MATH>={{n!(N-n)!}\over{N!}}\sum^{n-1}_{i=0}\Bigg(i{{K!}\over{i!(K-i-1)!}}{{(N-K)!}\over{(n-i-1)!(N-K-n+i+1)!}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{K!}\over{i!(K-i-1)!}}{{(N-K)!}\over{(n-i-1)!(N-K-n+i+1)!}}\Bigg)=n{{K}\over{N}} {{1}\over{N-1 \choose n-1}}\sum^{n-1}_{i=1}i{{(K-1)!}\over{i!(K-1-i)!}}{N-K \choose n-i-1}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+n{{K}\over{N}} {{1}\over{N-1 \choose n-1}}\sum^{n-1}_{i=0}{K-1 \choose i}{N-K \choose n-i-1}=n{{K}\over{N}} {{1}\over{N-1 \choose n-1}}\sum^{n-1}_{i=1}{{(K-1)!}\over{(i-1)!(K-1-i)!}}{N-K \choose n-i-1}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+n{{K}\over{N}} {{1}\over{N-1 \choose n-1}}\sum^{n-1}_{i=0}{K-1 \choose i}{N-K \choose n-i-1}=n{{K}\over{N}} {{1}\over{N-1 \choose n-1}}\sum^{n-1}_{i=1}{{(K-1)!}\over{(i-1)!(K-1-i)!}}{N-K \choose n-i-1}+n{{K}\over{N}}</MATH>|15.7}} Wyznaczmy pierwszy wyraz występującej w końcowych rozważaniach {{LinkWzór|15.7}} w postaci zwartej. Jeśli wyznaczymy jego postać, to wtedy ona posłuży nam do wyznaczania zwiniętej postaci powyższych obliczeń. Za punkt wyjścia weźmy pierwszy składnik sumy {{linkWzór|15.7}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>n{{K}\over{N}} {{1}\over{N-1 \choose n-1}}\sum^{n-1}_{i=1}{{{(K-1)!}\over{(i-1)!(K-i-1)!}}{ N-K \choose n-1-i}}\;</MATH>|15.8}} Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1 do naszych obliczeń {{LinkWzór|15.8}}. {{CentrujWzór|<MATH>n{{K}\over{N}}{{1}\over{{N-1 \choose n-1}}}\sum^{n-2}_{i=0}{{(K-2)!(K-1)}\over{i!(K-i-2)!}}{N-K \choose n-2-i}=n{{K}\over{N}}(K-1){{1}\over{{N-1 \choose n-1}}}\sum^{n-2}_{i=0}{K-2 \choose i}{N-K \choose n-2-i}=</MATH>{{Br}}<MATH>=n{{K(K-1)}\over{N}}{{1}\over{{N-1 \choose n-1}}}{N-2 \choose n-2}=n{{K(K-1)}\over{N}}{{1}\over{{N-2 \choose n-2}}}{{n-1}\over{N-1}}{N-2\choose n-2}=n{{K(K-1)}\over{N}}{(n-1)\over{N-1}}\;</MATH>|15.9}} Zbierając wszystkie obliczenia przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|15.9}}, które dokonaliśmy dla wyrażenia {{LinkWzór|15.8}}, zatem postać zwarta obliczeń {{LinkWzór|15.7}} dla wartości oczekiwanej z wyrażenia i{{Sup|2}} jest napisana wedle: {{CentrujWzór|<MATH>E(i^2)=n{{K(K-1)(n-1)}\over{N(N-1)}}+n{{K}\over{N}}\;</MATH>|15.10}} A teraz dobierzmy się do liczenia wariancji mając już obliczone wzory na wartość oczekiwaną zmiennej "i" {{LinkWzór|15.5}} i wartości oczekiwanej zmiennej i{{Sup|2}} {{LinkWzór|15.10}}, to na podstawie wzoru {{LinkWzór|3.18|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}} wielkość wariacji możemy napisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(i)=E(i^2)-E^2(i)=n{{K(K-1)(n-1)}\over{N(N-1)}}+n{{K}\over{N}}-n^2{{K^2}\over{N^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n{{K}\over{N^2(N-1)}}({{N(K-1)(n-1)}+N(N-1)-nK(N-1)})=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n{{K}\over{N^2(N-1)}}(NKn-KN-nN+N+N^2-N-nKN+nK)=n{{K}\over{N^2(N-1)}}{(-KN-nN+N^2+nK)}=</MATH>{{Br}}<MATH>=n{{K}\over{N^2(N-1)}}{(N^2-nN-KN+Kn)}\;</MATH>|15.11}} Po krótkich przekształceniach w punkcie {{LinkWzór|15.11}}, otrzymujemy wariancję zmiennej losowej "i", czyli kwadrat średniego odchylenie standardowego zapisaną przy pomocy zmiennych n, K, N, których oznaczenia wytłumaczyliśmy powyżej: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(i)={{nK(N-K)(N-n)}\over{N^2(N-1)}}\;</MATH>|15.12}} == Rozkład Bernoulliego jako szczególny przypadek rozkładu hipergeometrycznego == Przekształćmy wzór na wariancję &sigma;{{Sup|2}} zmiennej "i", wychodząc od wzoru {{LinkWzór|15.12}} w taki sposób, by w nim występowały stosunki K/N, co w sposób odpowiedni do poprzedniej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2=n{{K}\over{N}}{\left(1-{K\over N}\right)}{{N-n}\over{N-1}}\;</MATH>|15.13}} Jeśli wykorzystamy definicję wielkosci "p" według wzoru {{LinkWzór|15.4}}, a także że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego przez q=1-p, wtedy wzór {{LinkWzór|15.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(i)=npq{{N-n}\over{N-1}}\;</MATH>|15.14}} Gdy liczba klocków N jest o wiele większa niż ilość przeprowadzonych doświadczeń na układzie statystycznym, wtedy wzór {{linkWzór|15.14}} zapisujemy w sposób przybliżony wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(i)=npq\;\;</MATH>|15.15}} Gdy liczba klocków jest bardzo duża od liczby klocków wylosowanych, to wariancja zmiennej "i" {{LinkWzór|15.15}} przechodzi wariancję w rozkładzie Bernoulliego {{LinkWzór|9.11|Twierdzenie_o_rozkładzie_Bernoulliego}}, wtedy wartości oczekiwane jak i wariacje w przybliżeniu w tych w dwóch rozkładach są takie same, tzn. {{LinkWzór|15.5}} (rozkład hipergeometrycznym) i {{LinkWzór|9.6|Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego}} (rozkład Bernoullego). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 7xneewj7h7o5gs5md92j0xe6dioh273 0 14090 558671 513431 2026-10-05T02:44:29Z Persino 2851 558671 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Normal distribution pdf.png|ges_praw_roz_norm_ci_l_qci_c|Gęstość prawdopodobieństwa w rozkładzie normalnym ciągłym lub quasiciągłym|rozmiar=350px}} Artykuł zawiera wszystkie informacje dotyczące rozkładu normalnego, które są potrzebne do jego wyprowadzenia oraz prostą jego interpretację, a w szczególności interpretację &sigma; oraz punktu przegięcia, kiedy wyniki pomiaru należy odrzucić, a kiedy przyjąć. Niżej znajdują się wszystkie momenty statystyczne rozkładu normalnego. Należy zaznaczyć, że momenty statystyczne o nieparzystym stopniu są równe zeru, a pozostałe są od niego różne. Można tak interpretować, że rozrzut wyników doświadczalnych wokół wartości najprawdopodobniej x{{Sub|0}} jest symetryczny, tzn. ilość wyników pomiarowych przed oraz za x{{Sub|0}} jest taka sama, czyli funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją parzystą względem x{{Sub|0}}, z tego powodu momenty statystyczne nieparzystego stopnia są równe zero, gdyż funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą w całce symbolizującej moment statystyczny. '''Twierdzenie o rozkładzie normalnym''' – szczególny przypadek twierdzenia o rozkładzie wielomianowym, dający odpowiedź na pytanie jak postępować z danymi doświadczalnymi: czy je odrzucić jako mało prawdopodobne, czy je przyjąć w zależności od danych doświadczalnych uzyskanych z doświadczenia, poprzez uprzednie obliczenie {{Formuła|<math>\overline{x}\;</MATH>}} i &sigma;, czyli wartość średnią (arytmetyczną) i średnie odchylenie standardowe. Zasady obliczania tych wskaźników {{Formuła|<math>\overline{x}\;</MATH>}} czy &sigma; będziemy tu przyjmować za znane i nie będziemy do tego problemu podchodzić, tylko wyprowadzimy wzory na &sigma;(x) - to jest niepewność standardową pojedynczego wyniku pomiarowego, oraz {{Formuła|<MATH>\sigma(\overline{x})\;</MATH>}}, to jest niepewność standardową średniej arytmetycznej uzyskanych z doświadczenia wszystkich nie odrzuconych wyników pomiarowych, a także {{Formuła|<math>\overline{x}\;</MATH>}}, określające wartość, której prawdopodobieństwo uzyskanie w naszym doświadczeniu jest największe, wartość ta jest najdokładniejsza ze wszystkich uzyskanych x{{Sub|i}} względem wartości dokładnej x{{Sub|0}}. Celem doświadczenia jest uzyskanie wartości x{{Sub|0}}, ponieważ nie jest możliwe uzyskanie tej wartości, lub dokonania nieskończenie wielu pomiarów, bo wtedy {{Formuła|<MATH>\overline{x}=x_0\;</MATH>}}, to zamiast niej uzyskujemy {{Formuła|<math>\overline{x}\;</MATH>}} średnią arytmetyczną, która jest liczona dla każdej serii danych doświadczalnych, wykorzystując do tego celu rozkład normalny, w którym w miejsce wartości dokładnej wsadzamy {{Formuła|<MATH>\overline{x}\;</MATH>}}. Zwykle tak się robi w fizyce doświadczalnej, nie patrząc na opinie matematyków, w których matematycy mówią, że wszystko musi być dokładne, nie ma wartości przybliżonej - a jeśli są, to trzeba określić je w sposób ściśle określony. Jednak według fizyków nie ma wartości dokładnej, są tylko wartości przybliżone. W doświadczeniach fizycznych dane doświadczalne układają się wokół punktu x{{Sub|0}} (wartości dokładnej), i bardzo rzadko się zdarza, że wyjdzie jakiś wynik (pomiar), który jest odległy od x{{Sub|0}} nawet o &sigma;, a nawet o 2&sigma;, i jest to raczej {{lpg|błąd systematyczny}}, który może mówić o błędzie eksperymentatora, np. niedostosowanej temperatury do warunków doświadczalnych itp., dlatego odrzucanie wyników doświadczalnych bardzo oddalonych od x{{Sub|0}}, należy przyjąć jako odrzucone. Gdy {{Formuła|<MATH>|x_{i}-\overline{x}|>\sigma\;</MATH>}} odrzuca się te x{{Sub|i}} z poszczególnych prób i serii. Mówi się, że w przybliżeniu n&rArr;&infin; jest spełniony rozkład normalny, natomiast przy małym n tak nie jest, ponieważ w doświadczeniu powinno się robić co najmniej 30 pomiarów w doświadczeniu w poszczególnych próbach, by rozkład był w miarę spełniony, bo wtedy policzenie wariancji jest bardziej dokładne, a wartość średnia z wyników pomiarowych zbliża się do wartości dokładnej (bo czym, większa jest liczba uzyskanych wyników pomiarowych w wyniku doświadczenia to błąd wartości średniej jest bardziej mniejszy). Rozrzut wyników wokół wartości dokładnej jest porozrzucany po obu stronach x{{Sub|0}} i tak się dzieje, że wyniki doświadczalne znajdują się bardzo blisko wartości dokładnej. Prawdopodobieństwo uzyskania wyników o błędzie większym od &sigma; a nawet o 2&sigma; jest raczej bardzo mało prawdopodobne i nieodrzucanie tychże wyników doświadczalnych wnosi wkładu do obliczania &sigma;, zatem co je należy odrzucić, bo te wartości obliczenia stają się mało-wiarygodne przy nieodrzuceniu tychże wartości. Rozkład normalny jest spełniony dla nieskończonej ilości stopni swobody (liczby uzyskanych danych doświadczalnych), oczywiście minus jeden, bo mamy wzór na wariancję wyniku pomiarowego, licząc je dla poszczególnych prób. Niepewność pomiarową w doświadczeniu określmy jako średni błąd, który można popełnić, dla poszczególnych doświadczeń w próbach. Jeśli niepewności są większe niż &sigma;, to taki wynik częściowy doświadczenia należy odrzucić, toteż {{Formuła|<math>\overline{x}\;</MATH>}} i {{Formuła|<math>\sigma\;</MATH>}} należy przeliczyć od nowa, czy nie ma dalszych wyników doświadczenia, tzn.: x{{Sub|i}} określić jako odrzucone. Jeśli są, wówczas tę procedurę powtarzamy aż do skutku. Po tej czynności należy przejść do dalszego etapu badania, jakie są zależności w naszym doświadczeniu w poszczególnych próbach. Dlaczego trzeba odrzucać wyniki dla których {{Formuła|<MATH>(x_i-\overline{x})> \sigma\;</MATH>}}, ale ponieważ gdy zapoznamy się z wyprowadzeniem wzoru na rozkład normalny z zastosowaniem szeregu Taylora wokół wartości x{{Sub|0}}, i jak wiemy z analizy matematycznej, gdy większa jest różnica między x{{Sub|i}} (wynikiem pomiaru) a x{{Sub|0}} (wartością dokładną), to szereg Taylora przestaje być spełniony poza promieniem zbieżności, dlatego odchyły od x{{Sub|0}} nie powinny być za duże. == Wielomianowa kombinacja trafień w układ doświadczalny == Załóżmy, że mamy "m" punktów doświadczalnych, które będziemy uzyskiwać w "n" doświadczeniach. W "n" doświadczeniach możemy uzyskać w dany punkt o numerze j liczbę k{{Sub|j}} dotknięć. Według rozkładu normalnego w doświadczeniu staramy by liczba doświadczeń była nieskończenie duża, a praktycznie bardzo duża, by doświadczenie pokryło prawie wszystkie punkty możliwe do uzyskania w naszym doświadczeniu, przy czym uzyskane wyniki są powtarzane z różną częstością, wtedy liczba trafionych punktów l zbliżała się do liczby punktów w doświadczeniu możliwych do uzyskania. W wzorze {{LinkWzór|11.1}} wliczmy tylko te punkty, które zostały dotknięte w naszym doświadczeniu. Zatem ilość możliwych trafień w te punkty wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>W^n_{(k_1,k_2,k_3,...,k_l)}={{n!}\over{\prod^l_{j=1}k_{j}!}}\;</MATH>|11.1}} gdzie: * n jest to ilość przeprowadzonych doświadczeń w danym układzie doświadczalnym. * k{{Sub|j}} jest to ilość trafień w dany punkt doświadczalny. We wzorze {{LinkWzór|11.1}} jest spełniony związek mówiący, że liczba wszystkich poszczególnych trafień w dane punkty doświadczalne jest równe sumie przeprowadzonych doświadczeń. {{CentrujWzór|<MATH>n=\sum^l_{j=1}k_j\;</MATH>|11.2}} == Wyznaczanie wzoru przybliżonego na n! == W rozkładzie dwumianowym bardzo często występuje silnia, korzystanie z niej szczególnie jest niewygodne, gdy zachodzi n&rarr; &infin;. Będziemy korzystać ze wzoru Stirlinga, który wylicza w sposób przybliżony silnie z liczby n za pomocą potęgowania i pierwiastkowania, zatem ten wzór mozna napisać wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>n!\simeq\left({{n}\over{e}}\right)^n\sqrt{2\pi n}</MATH>|11.3}} Wzór {{LinkWzór|11.3}} staje się wyrażeniem dokładnym, gdy n&rarr;&infin;. Możemy z logarytmować wyrażenie przybliżone na silnie liczby n przedstawionego wedle wspomnianego wzoru i dokonać dalszych przybliżeń, z którego końcowego przybliżenia będziemy korzystać w dalszych obliczeniach na wyznaczaniem rozkładu normalnego. {{CentrujWzór|<MATH>\ln n!=n\ln n-n+{{1}\over{2}}\ln (2\pi)+{{1}\over{2}}\ln n= \left(n-{{1}\over{2}}\right)\ln n-n+{{1}\over{2}}\ln (2\pi)\simeq n\ln n-n</MATH>|11.4}} == Logarytm kombinacji trafień w układ doświadczalny == Policzmy logarytm naturalny wyrażenia na ilość możliwych pewnych dotknięć w "l" ściśle określonych punktów, którego wzór jest napisany tutaj {{LinkWzór|11.1}}, korzystając przy tym ze wzoru na przybliżenie wielkości logarytmu naturalnego silni z liczby n, czyli {{LinkWzór|11.4}} i z właściwości logarytmu iloczynu lub ilorazu dwóch liczb: {{CentrujWzór|<MATH>\ln W^n_{(k_1,k_2,...,k_l)}=\ln{{n!}\over{\prod^l_{j=1}k_j!}}= \ln n!-\sum^l_{j=1}k_j!=n\ln n-n-\sum^l_{j=1}(k_j\ln k_j-k_j)=n\ln n-n-\sum^l_{j=1}k_j\ln k_j+\sum^l_{j=1}k_j=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n\ln n-\sum^l_{j=1}k_j\ln k_j</MATH>|11.5}} W równaniu {{LinkWzór|11.5}} możemy wyznaczyć W{{Sup|n}}{{Sub|(k{{Sub|1}},k{{Sub|2}},...,k{{Sub|l}})}}, zatem dostajemy, że ilość możliwości realizacji układu statystycznego trafień w ściśle określony punkty z ilością trafień k{{Sub|j}} dla punktu o numerze "j" jest określana: {{CentrujWzór|<MATH>W^n_{(k_1,k_2,...,k_l)}=e^{\sum_{j=1}^lk_j\ln n-\sum^l_{j=1}k_j\ln k_j}=e^{-\sum^l_{j=1}k_j\ln {{k_j}\over{n}}}</MATH>|11.6}} Jeżeli mamy układ doświadczeń, w których uzyskano l dotknięć w punkty doświadczalne przeprowadzając n doświadczeń, wtedy prawdopodobieństwo uzyskania jednego doświadczenia z układów doświadczeń jest równe odwrotności {{Formuła|<MATH>W^n_{(k_1,k_2,...,k_l)}\;</MATH>}}. == Całkowite prawdopodobieństwo zdarzeń w rozkładzie normalnym == W doświadczeniu ilość możliwych dotknięć w dane punkty doświadczalne jest określone przez wzór {{LinkWzór|11.6}}. Prawdopodobieństwo, że nasze doświadczenie tak przejdzie, według określonego schematu jest określone jak jeden ze wszystkich możliwych potnieć w l punktów doświadczalnych: W{{Sup|n}}{{Sub|{(k{{Sub|1}},k{{Sub|2}},..,k{{Sub|n}})}}. Załóżmy, że mamy zbiór doświadczeń, w których otrzymaliśmy takie same dotknięcia w l punktów doświadczalnych, a prawdopodobieństwo tego zbioru jest określone przez stałe <MATH>p\;</MATH>, wtedy z definicji prawdopodobieństwa warunkowego prawdopodobieństwo, że uzyskamy dotknięcia w l punktów doświadczalnych jest określone jako iloczyn prawdopodobieństwa p i prawdopodobieństwa, że uzyskamy dotnięcia w l-punktów doświadczalnych z całego zbioru doświadczeń, w których otrzymujemy dotnięcia w te same w l punktów doświadczalnych: {{CentrujWzór|<math>P^n_{(k_1,k_2,...,k_l)}=p{{1}\over{W^n_{(k_1,k_2,...,k_l)}}}=pe^{\sum^l_{p=1}k_p\ln {{k_p}\over{n}}}=Ce^{\sum^l_{p=1}k_p\ln {{k_p}\over{n}}}</MATH>|11.7}} === Rozszerzenie przedziałów uzyskania wyników na R lub przedział w R === Załóżmy, że badamy przypadek w bardzo dużej ilości doświadczeń "n" dla zmiennej typu ciągłego w R lub w przedziale (a,b) należących do zbioru liczb rzeczywistych lub w przypadku quasiciągłym. Dla tego przypadku, w doświadczeniu, wiemy jednak że: &Delta;x&rarr;0 i (x{{Sub|0}}-&Delta; x/2,x{{Sub|0}}+&Delta; x/2), gdzie jest to malutki przedział dla którego wartości naszego wyniku pomiarowego są nierozróżnialne względem niepewności pomiarowej, ale i też z drugiej strony d &rarr; &infin;, co przedstawia rozległość pomiarów, co spełnia warunki dla naszego rozkładu normalnego. Prawdopodobieństwo uzyskania jakiegoś wyniku w rozważanym przedziale dąży zera, bo ilość wyników do uzyskania jest nieskończenie duża. Uzyskanie wyników w przedziale (-&infin;,&infin;), nie dość że długość przedmiotów miała by wiele do życzenia, jak i prawa fizycznego, które badamy mogą być nie spełnione dla aż tak dużego "d", np. prędkość świata dla "d" względnie miarę małego w porównywana tysiącami kilometrów jaką światła może przebyć, ma wiele do życzenia, a dla "d" bardzo dużego raczej już nie. Również &Delta; x nie może być nieskończenie małe, ponieważ niepewność pomiarowa przedmiotów jest jakaś tam, tak że rozróżnienie wyników w (x-&chi;,x+&chi;) graniczy z cudem. Czyli pomiary jakieś wielkości fizycznej nie mogą być pomiarami zbyt rozległymi względem naszego doświadczenia, jak i pomiarami bardzo małymi względnie wielkości, które mierzymy. Jeśli d jest względnie duże, a &Delta; x jest względnie małe, to nasz przedział można potraktować jak przedział ciągły o rozmiarach nieskończonych, tzn. (-&infin;,&infin;). === Gęstość prawdpodobieństwa dla zmiennej typu ciągłego lub quasiciągłego === Gęstość prawdopodobieństwa w n doświadczeniach należy zdefiniować wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{x}_{\infty})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{{P^n_{(k_1,k_2,...,k_n)}}\over{(\Delta x)^n}}</MATH>|11.8}} Ponieważ ilość danych do zbadania jest nieskończenie duża, i wtedy dochodzimy do wniosku, że zachodzi P{{Sub|n}}&rarr; 0, oczywiste jest, że ma sens stosowanie wtedy definicji gęstości prawdopodobieństwa. Tutaj zastępujemy wielkości k&rarr; k(x) dla nieskończenie przeprowadzonych doświadczeń w przedziale (a,b) lub w "R", wtedy gęstość prawdopodobieństwa uzyskania wyników z przedziału jest równe w naszym przypadku dla "n" (duże "n") doświadczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{x}_{\infty})=C e^{\int_a^b D(x)k(x)\ln {{k(x)}\over{n}}dx}</MATH>|11.9}} * gdzie {{Formuła|<MATH>D(x)\;</MATH>}} jest to gęstość ilości stanów ilości trafień dla zmiennej typu ciągłej w przedziale o grubości "dx". == Maksymalizacja prawdopodobieństwa dla pomiaru równej wartości dokładnej == Rozłóżmy sobie logarytm naturalny ilości trafień w dany punkt doświadczalny "x" względem wartości dokładnej napisanej przez x{{Sub|0}} w szereg Taylora, pisząc wszystkie wyrazy włącznie z kwadratowym, a pozostałe wyrazy oznaczając wielokropkami: {{CentrujWzór|<MATH>\ln {{k}\over{n}}=-A-B(x-x_0)-{{D}\over{2}}(x-x_0)^2+...\Rightarrow \ln {{k}\over{n}}\simeq-A-B(x-x_0)-{{D}\over{2}}(x-x_0)^2</MATH>|11.10}} Prawdopodobieństwo uzyskania k wyników takich samych uzyskanych w doświadczeniu w n wynikach pomiarowych jest równa na podstawie {{LinkWzór|11.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_0(x)={{k}\over{n}}\simeq e^{-A-B(x-x_0)-{{D}\over{2}}(x-x_0)^2}=He^{-B(x-x_0)-{{D}\over{2}}(x-x_0)^2}\Rightarrow P_0(x)\simeq He^{-B(x-x_0)-{{D}\over{2}}(x-x_0)^2}\;</MATH>|11.11}} Wzór na prawdopodobieństwo realizacji danego doświadczenia określonych wzorem {{LinkWzór|11.7}}, do którego podstawiamy wyrażenie na logarytm ilości trafień w punkt doświadczalny x, określonych według wzoru {{LinkWzór|11.10}}, i dostajemy pewne wyrażenie, które jest prawdopodobieństwem trafień w dany punkt doświadczalny od x{{Sub|1}} do x{{Sub|n}}, których wyników pomiarowych jest n. {{CentrujWzór|<MATH>P_0(\vec{x}_l)=Ce^{\sum^l_{p=1}k_p\ln {{k_p}\over{n}}}=Ce^{\sum^l_{p=1}\sum^{k_p}_{s=1}\ln {{k_p}\over{n}}}=Ce^{\sum^l_{p=1}\sum^{k_p}_{s=1}\left[-A-B(x_p-x_0)-{{D}\over{2}}(x_p-x_0)^2\right]}=Ce^{-\sum^n_{p=1}\left[A+B(x_p-x_0)+{{D}\over{2}}(x_p-x_0)^2\right]}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=P_0(\vec{x}_n)\;</MATH>|11.12}} Z obliczeń wynikających z przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|11.12}} przepiszmy końcowy wynik dla przejrzystości wykładu. {{CentrujWzór|<MATH>P_0(\vec{x}_n)=Ce^{-\sum^n_{p=1}\left[A+B(x_p-x_0)+{{D}\over{2}}(x_p-x_0)^2\right]}\;</MATH>|11.13}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>\vec{x}_l\;</MATH>}} są to wyniki doświadczalne uzyskane w wyniku doświadczenia, wyniki powtarzające się nie są wliczane do tego wektora. * {{Formuła|<MATH>\vec{x}_n\;</MATH>}} są to wyniki doświadczalne uzyskany w wyniku doświadczenia, przy czym do tego wektora są wliczane również wyniki powtarzające się. Wartość x{{Sub|0}} są tak dobieramy, by rozkład {{LinkWzór|11.13}} dla tej wartości przyjmował wartość największą, czyli wartość dokładna powinna być najbardziej prawdopodobna , zatem dochodzimy do wniosku, że B=0, a stałą związaną z A, możemy włączyć pod stałą C i w końcu dostajemy stałą F, co uwzględnimy poniżej. A to dowód, że stała B ma taką wartość. aby to udowodnić należy policzyć pochodną cząstkową prawdopodobieństwa rozkładu {{LinkWzór|11.13}} względem wartości x{{Sub|i}} uzyskanych w wyniku pomiaru i podstawić do niego za x{{Sub|i}} wartość dokładną x{{Sub|0}} a cały wynik przyrównać do zera: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial P_0(\vec{x}_n)}\over{\partial x_i}}(x_i=x_0)=C e^{-\sum^n_{p=1} \left[A+B(x_p-x_0)+{D\over 2}(x_p-x_0)^2\right]}\left[-B-D(x_i-x_0)\right](x_i=x_0)\Rightarrow B=0\;</MATH>|11.14}} Na podstawie wcześniejszych rozważań otrzymujemy, że prawdopodobieństwa naszego zdarzenia, że uzyskamy n pewnych wyników doświadczalnych, dla stałej D sformułowanej dla wyników pomiarowych jest zatem określona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>P_0(\vec{x}_n)=Fe^{-{{D}\over{2}}\sum^n_{p=1} (x_p-x_0)^2}</MATH>|11.15}} Prawdopodobieństwa uzyskania średnich arytmetycznych dla stałej D sformułowanej dla wartości średniej arytmetycznej, przy tym korzystając ze wzoru {{LinkWzór|11.15}}, jest ono równe wzorowi względem jego odchylenia od wartości dokładnej x{{Sub|0}} zastępując w ostatnim wspomnianym wzorze {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>\overline x_i\;</MATH>}} wiedząc, że ten wzór formujemy dla n prób: {{CentrujWzór|<MATH>P_0(\overline{x}_n)=F e^{-{D\over 2}\sum^n_{i=1}{(\overline{x}_i-x_0)^2}}\;</MATH>|11.16}} == Prawdopodobieństwo warunkowe względem prawdopodobieństwa wartości średniej == Określimy czemu jest równa gęstość prawdopodobieństwa względem średniej arytmetycznej, jeśli znamy tylko gęstość prawdopodobieństwo wyniku pomiarowego oraz średniej arytmetycznej względem wartości dokładnej x{{Sub|0}} ,czyli jaka jest gęstość prawdopodobieństwa, gdy mamy wartość średnią {{Formuła|<MATH>\overline{x}\;</MATH>}}, czyli skorzystajmy z definicji prawdopodobieństwa warunkowego: {{CentrujWzór|<MATH>P(\vec{x}_n)={{F_1}\over{F_2}}{{e^{-{D\over 2}\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}}\over {e^{-{D\over 2}\sum^n_{i=1}(\overline{x}-x_0)^2}}}=F_3 e^{-{D\over 2}\left(\sum^n_{i=1}\left((x_i-x_0)^2-(\overline{x}-x_0)^2\right)\right)}\;</MATH>|11.17}} Dokonajmy obliczeń pomocniczych rozwinięcia wyrazu o numerze "i" występującego w pierwszej sumie w postaci przekształceń jego, które przeprowadzimy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>(x_i-x_0)^2=(x_i-{\overline{x}}+{{\overline{x}}}-x_0)^2=(x_i-\overline{x})^2+({\overline{x}}-x_0)^2+(x_i-\overline{x})({\overline{x}}-x_0)\;</MATH>|11.18}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|11.18}}, prawdopodobieństwo uzyskania n wyników pomiarowych {{LinkWzór|11.17}} przedstawiamy według: {{CentrujWzór|<MATH>P(\vec{x}_n)=F_3 e^{-{D\over 2}\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2} e^{-{D\over 2}\sum^n_{i=1}({\overline{x}}-x_0)^2}e^{-{D\over 2}\sum^n_{i=1}((x_i-\overline{x})({\overline{x}}-x_0))}e^{{D\over 2}\sum^n_{i=1}(x_0-\overline{x})^2}\;</MATH>|11.19}} Redukując drugi i czwarty wyraz, i korzystając z tego, że poszczególne wyniki doświadczenia są niezależne od siebie, co można dla wyrazu trzeciego przeprowadzić obliczenia, który jest równy zero. {{CentrujWzór|<MATH>\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})(\overline{x}-x_0)=(\overline{x}-x_0)\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})=(\overline{x}-x_0)(\sum^n_{i=1}x_i-n\overline{x})=(\overline{x}-x_0)(n\overline{x}-n\overline{x})=0</MATH>|11.20}} Wedle obliczeń {{LinkWzór|11.20}} prawdopodobieństwo warunkowe względem średniej arytmetycznej prawdopodobieństwa uzyskania uzyskania pewnej ilości wyników {{LinkWzór|11.19}} jest określone: {{CentrujWzór|<MATH>P(\vec{x}_n)=F_3 e^{-{D \over 2}\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\;</MATH>|11.21}} Mając wzór na rozkład średniej {{Formuła|<MATH>\overline{x}\;</MATH>}} wokół wartości dokładnej {{Formuła|<MATH>x_0\;</MATH>}} {{LinkWzór|11.17}} oraz korzystając z definicji wartości średniej arytmetycznej dla bardzo dużej liczby wyników pomiarowych n, możemy ten wzór przekształcić jeszcze bardziej, zatem dochodzimy do schematu: {{CentrujWzór|<math>P_0(\overline{x})=F e^{-{D\over 2}{\sum^n_{i=1}\left({{\sum^n_{j=1}{x_j}}\over {n}}-x_0\right)^2}}=Fe^{-{{Dn}\over{2}}\left[\sum_{i=1}^n{{1}\over{n^2}}(x_i-x_0)^2+{{n-1}\over{n^2}}\sum_{ij=1,i\neq j}^n{{1}\over{n-1}}(x_i-x_0)(x_j-x_0)\right]}\simeq F e^{-D{\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}\over {2n}}\;</MATH>|11.22}} Przejdźmy jeszcze raz do wzoru {{LinkWzór|11.17}}, w której mianownik zastępujemy jej wyrażeniem równoważnym {{LinkWzór|11.22}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że prawdopodobieństwo uzyskania danego wyniku pomiarowego względem prawdopodobieństwa uzyskania ściśle określonej wartości średniej jest określone równoważnym do wspomnianego wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>P(\vec{x}_n)=F_3{{e^{-{D\over 2}\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}}\over {e^{-{D\over {2n}}\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}}}=F_3 e^{-{D\over 2}\left(1-{1\over n}\right)\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}=F_3 e^{-{D\over 2}{{{n-1}\over{n}}\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}}\;</MATH>|11.23}} == Wyznaczamy stałe D i F we wzorze na rozkład normalny == Zajmować będziemy się zajmować wielkością ciągłą zmiennej x, oczywiste jest że rozkład dyskretny można uważać za ciągły, gdy &Delta;&nbsp;x=x-x{{Sub|i-1}} jest bardzo małe w porównaniu z badanym przedziale (x{{Sub|0}}-d/2,x{{Sub|0}}+d/2), tzn. &Delta; x<<d, i dlatego w tym przypadku będziemy używać gęstości prawdopodobieństwa &rho; zamiast prawdopodobieństwa uzyskania n wyników pomiarowych P, w przypadku wielkości badanej. Tak by obejmował dwa przypadki, tzn. rozkład normalnym ciągły i quasiciągły. W przypadku quasistatycznym gęstość prawdopodobieństwa uzyskania pojedynczego wyniku pomiaru definiujemy jako iloraz prawdopodobieństwa uzyskania wyniku x{{Sub|i}} w przedziale o długości &Delta; x{{Sub|i}}. {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0(x_i)={{P_0(x_i)}\over{\Delta x_i}}\;</MATH>|11.24}} W przypadku ciągłym w {{LinkWzór|11.24}} możemy zastąpić wielkość dyskretną x{{Sub|i}} przez wielkość ciągłą x. Zakładamy, że mamy rozkład gęstości prawdopodobieństwa gęstości wartości losowej ciągłej zmiennej "x" lub w przypadku quasiciągłym, gdy różnica pomiędzy dwoma najbliższymi punktami doświadczalnymi jest mała w porównaniu z "d"(długością badanego przedziału), zatem tą gęstość prawdopodobieństwa dla stałej D sformułowanej dla wyników pomiarowych, wartości średniej arytmetycznej lub innego typu zmiennej przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0(x)=F e^{-{D\over 2}(x-x_0)^2}\;</MATH>|11.25}} Będziemy się posługiwać całkami przystępnymi, które będziemy się często posługiwać, które wynikają z rozważań z analizy matematycznej. A także można napisać całkę wynikającego z różniczkowania ciągłego obu stron {{LinkWzór|11.26}} względem parametru &alpha;, zatem te dwie całki (przed różniczkowaniem i po różniczkowaniu obu stron) przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{-\infty}_{\infty} e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{{\pi}/{\alpha}}\;</MATH>|11.26}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{-\infty}_{\infty} x^2 e^{-\alpha x^2}dx={{1}\over{2}}\sqrt{{\pi}\over{\alpha^{3}}}\;</MATH>|11.27}} }} Funkcja gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|11.25}} powinna być funkcją unormowaną, w tym celu należy skorzystać z tożsamości całkowej {{LinkWzór|11.26}}, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int\limits^{\infty}_{-\infty}Fe^{-{D\over 2}( x- x_{0})^2}dx=F \int\limits^{\infty}_{-\infty}e^{-{D\over 2}( x- x_{0})^2}dx\Rightarrow 1=F \sqrt{{{\pi}\over{D\over 2}}}\Rightarrow F=\sqrt{{D\over 2}\over{\pi}}</MATH>|11.28}} Wariancję możemy policzyć względem rozkładu {{LinkWzór|11.25}}, po podstawieniu do niej za stałą F napisanej wedle {{LinkWzór|11.28}} i korzystając z definicji wariancji zmiennej losowej ciągłej {{LinkWzór|2.15|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, przedstawiamy tą wielkość wedle obliczeń poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}{( x- x_0)^2}\overbrace{\underbrace{ \sqrt{{D}\over{2\pi}}}_{F}e^{-{{D}\over{2}}( x- x_0)^2}}^{\rho(x)}d x\Rightarrow\sigma^2=\sqrt{{D}\over{2\pi}}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{t^2e^{-{{D}\over{2}}t^2}}dt=\sqrt{{D\over 2}\over{\pi}}{{1}\over{2}}\sqrt{{{\pi}\over{{D^3}\over 8}}}={{1}\over{D}}\;</MATH>|11.29}} Zatem zmienna F, wynikająca z końcowych obliczeń {{LinkWzór|11.28}}, możemy podstawić do niego wzór wynikający też z obliczeń {{LinkWzór|11.29}}, wtedy tą stałą możemy przedstawić w zależności od odchylenia standardowego &sigma;(x). {{CentrujWzór|<MATH>F=\sqrt{{{D}\over{2\pi}}}={{1}\over{\sqrt{2\pi\sigma^2(x)}}}={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}</MATH>|11.30}} Na samym końcu możemy wyznaczyć rozkład &rho;(x) zmiennej x {{LinkWzór|11.25}} w pełnej jego okazałości, wykorzystując końcowe wyniki z obliczeń {{LinkWzór|11.29}} (stała D) i {{LinkWzór|11.30}} (stała F), wtedy ten nasz rozkład jest przedstawiony wedle: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_0(x)={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}e^{-{{(x-x_0)^2}\over{2\sigma^2(x)}}}\;</MATH>|11.31}} Jest to rozkład zmiennej losowej ciągłej x (rozkład normalny) względem wartości dokładnej. Wzór przedstawia się też jako gęstość prawdopodobieństwa uzyskania wyniku x: {{Formuła|<MATH>\rho_0(x)={{dP}\over{dx}}={{dk}\over{n}}{{1}\over{dx}}\;</MATH>}}, na podstawie {{LinkWzór|11.11}} (po podstawieniu do niej stałej B=0 i innych stałych uzyskanych w tym rozdziale), która jest liczbą wyników pomiarowych dk z wynikiem x podzielonej przez liczbę wszystkich wyników pomiarowych n uzyskanych w doświadczeniu w przedziale (x,x+dx) podzieloną też przez dx. == Związki w rozkładzie normalnym == Możemy określić odchylenie standardowe wyników pomiarowych, które podamy poniżej wyprowadzenie tego wzoru, mając kolejno wzory {{LinkWzór|11.23}} i {{LinkWzór|11.21}}, które są wzorami wynikających z definicji prawdopodobieństwa warunkowego wyników pomiarowych względem prawdopodobieństwa uzyskania średniej arytmetycznej wokół wartości dokładnej, te wzory kolejno przedstawiamy w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>P(\vec{x}_n)=F_3 e^{-{D\over 2}{{{n-1}\over{n}}\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}}\;</MATH>|11.32}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>P(\vec{x}_n)=F_3 e^{-{D \over 2}\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\;</MATH>|11.33}} }} A także ze wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania średniej arytmetycznej w n pomiarach wynikającego ze wzoru {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_0(\overline{x})=F e^{-D{\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}\over {2}}=Fe^{-{{Dn}\over{2}}(\overline{x}-x_0)^2}\;</MATH>|11.34}} Wzór {{LinkWzór|11.34}} jest również prawdopodobieństwem uzyskania średniej arytmetycznej {{Formuła|<MATH>\overline x\;</MATH>}} w doświadczeniu. W przypadku quasiciągłym i ciągłym prawdopodobieństwa zastępujemy gęstościami prawdopodobieństwa we wzorach {{LinkWzór|11.15}} i {{LinkWzór|11.34}}, wtedy można powiedziać wywody, że według równości {{LinkWzór|11.15}} mamy stałą D określoną przez {{LinkWzór|11.36}} i z drugiej jednak strony stałą D można określić względem równości {{LinkWzór|11.34}}, wedle sposobu {{LinkWzór|11.35}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>Dn={{1}\over{\sigma^2(\overline x)}}</MATH>|11.35}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>D={{1}\over{\sigma^2(x)}}</MATH>|11.36}} }} Jeśli wzór {{LinkWzór|11.36}} na stałą D podstawimy do wzoru {{LinkWzór|11.35}}, wtedy otrzymamy wyrażenie, które nadal będziemy przekształcać: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{\sigma^2(x)}}={{1}\over{\sigma^2(\overline{x})}}\Rightarrow\sigma(\overline{x})={{\sigma(x)}\over{\sqrt{n}}}</MATH>|11.37}} Co zgadza się z wzorem {{LinkWzór|6.11|Pobieranie próby}}, więc podejście {{LinkWzór|11.34}} jest prawidłowe. Według obliczeń {{LinkWzór|11.37}} wynika, że odchylenie standardowe średniej arytmetycznej jest równe odchyleniu standardowemu wyniku pomiaru podzielonej przez pierwiastek ilości wszystkich wyników pomiarów. Wiadomo jednak, że wzory {{LinkWzór|11.33}} i {{LinkWzór|11.34}} oznaczają to samo, więc możemy je przyrównać, zatem mamy: {{CentrujWzór|<MATH>F e^{-{D\over 2}{{{n-1}\over{n}}\sum^n_{i=1}(x_i-x_0)^2}}=F e^{-{D \over 2}\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\;</MATH>|11.38}} Z różnowartości funkcji eksponencjalnej we wzorze {{LinkWzór|11.38}} dostajemy równoważny do poprzedniego wzór, z którym troszkę go poprzekształcamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^n_{i=1} {{n-1}\over n}(x_i-x_0)^2=\sum^n_{i=1}(x_i-{\overline{x}})^2\Rightarrow{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}(x_i-x_0)^2}={1\over {n-1}}\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2\;</MATH>|11.39}} Gdy wyników pomiarów mamy nieskończenie wiele, wtedy ilość wyników pomiarów dla danego x podzielona przez ilość wszystkich wyników w doświadczeniu pokrywa się z infinitezymalnym prawdopodobieństwem uzyskania tego właśnie wyniku, zatem w przypadku granicznym lewa strona końcowej nierówności {{LinkWzór|11.39}} staje się całką z wariancji po nieskończonym przedziale zmienności, zatem odchylenie standardowe wyniku pomiarowego, która jest pierwiastkiem wariancji charakteryzujących rozkład jest napisana wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(x)=\sqrt{\sum^n_{i=1}({x_i-\overline{x})^2}\over{n-1}}\;</MATH>|11.40}} W końcu odchylenie standardowe średniej arytmetycznej {{LinkWzór|11.37}} otrzymamy podstawiając do niego wzór {{LinkWzór|11.40}} i dostając na samym końcu wzór {{LinkWzór|6.18|Pobieranie_próby}}. == Rozkład normalny == Rozkład dla wyniku pomiarowego ścisłej jednej wartości x{{Sub|i}} względem jej wartości dokładnej jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>P_0(x_i)={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}e^{-{{(x_i- x_0)^2}\over{2\sigma^2(x)}}}\;</MATH>|11.41}} W zastosowaniach fizycznych często stosujemy wzór na gęstość prawdopodobieństwa uzyskania pomiaru względem wartości średniej arytmetycznej zastępując wartość dokładną średnią arytmetyczną w {{LinkWzór|11.41}}, czyli wyprowadźmy rozkład uzyskany z {{LinkWzór|11.21}} dla pojedynczego pomiaru wykorzystując zależność na D {{LinkWzór|11.36}} normując go do jedynki, który mówi jaka jest gęstość prawdopodobieństwa warunkowego względem prawdopodobieństwa uzyskania wartości średniej arytmetycznej, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P(x_i)=F_{30}e^{-{{(x_i-\overline x)^2}\over{\sigma^2(x)}}}\Rightarrow P(x_i,\overline x)={{P(x_i)}\over{\int_{-\infty}^{\infty}P(x_i)dx_i}}={{e^{-{{(x_i- \overline{x})^2}\over{2\sigma^2(x)}}}}\over{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-{{(x_i- \overline{x})^2}\over{2\sigma^2(x)}}}dx_i }}= {{e^{-{{(x_i- \overline{x})^2}\over{2\sigma^2(x)}}} }\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}e^{-{{(x_i- \overline{x})^2}\over{2\sigma^2(x)}}}\Rightarrow </MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow P(x_i,\overline{x})={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma(x)}}e^{-{{(x_i- \overline{x})^2}\over{2\sigma^2(x)}}}\;</MATH>|11.42}} Można udowodnić, że odchylenie standardowe pomiaru według wzoru {{LinkWzór|11.42}} jest równe {{Formuła|<MATH>\sigma(x)\;</MATH>}} licząc tą niepewność względem wartości średniej arytmetycznej {{Formuła|<MATH>\overline x\;</MATH>}}, a nie wokół wartości dokładnej {{Formuła|<MATH>x_0\;</MATH>}}, licząc podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|11.29}}. Wzory {{LinkWzór|11.41}} i {{LinkWzór|11.42}} są wartością gęstości prawdopodobieństwa dla pojedynczego wyniku pomiarowego zmiennej losowej statystycznej ciągłej wokół wartości dokładnej lub średniej arytmetycznej. Rozkład wartości doświadczalnej wokół wartości dokładnej serii wyników pomiarowych z liczby wszystkich wyników pomiarowych "n", korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|11.41}}, wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>P_0(\vec{x}_n)=\prod^l_{i=1}P_0(x_i)={{1}\over{\left(\sqrt{2\pi}\sigma(x)\right)^n}}e^{-{{\sum^n_{i=1}(x_i- x_0)^2}\over{2\sigma^2(x)}}}\;</MATH>|11.43}} W zastosowaniach fizycznych stosowany jest przede wszystkim wzór wynikający z {{LinkWzór|11.42}}, mówiący jaka jest gęstość prawdopodobieństwa warunkowego uzyskania n wyników pomiarów względem wartości średniej: {{CentrujWzór|<MATH>P(\vec{x}_n,\overline{x})=\prod^n_{i=1}P(x_i,\overline{x})= {{1}\over{\left(\sqrt{2\pi}\sigma(x)\right)^n}}e^{-{{\sum^n_{i=1}(x_i- \overline{x})^2}\over{2\sigma^2(x)}}}\;</MATH>|11.44}} Należy przy tym pamiętać, że we wzorach {{LinkWzór|11.43}} oraz {{LinkWzór|11.44}}, wektor {{Formuła|<MATH>\vec{x}_n\;</MATH>}} może zawierać w sobie elementy powtarzające się więcej niż raz. == Obliczanie poszczególnych momentów statystycznych, wartość oczekiwana == Będziemy się tutaj zajmować wielkościami ciągłymi lub quasiciągłymi, której gęstość prawdopodobieństwa jest zdefiniowana według {{LinkWzór|11.31}} . Momenty statystyczne ogólnie n-tego rzędu definiujemy według sposobu {{LinkWzór|3.12|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}}. Wykorzystując definicję momentu statystycznego &mu;{{Sub|n}}, możemy policzyć jego wersję dla numerów nieparzystych, przy czym korzystając ze funkcja gęstości prawdopodobieństwa wspomniana wcześniej jest funkcją parzystą względem parametru x-x{{Sub|0}}, zatem można powiedzieć przy założeniu, że wartość dokładna zmiennej x jest x{{Sub|0}}, jest równa wartości oczekiwanej, tzn. {{Formuła|<MATH>\hat{x}=x_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma_{2n+1}=\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-x_0)^{2n+1}\rho_0(x)dx=\left({{\int\limits^{x_0}_{-\infty}}+{\int\limits^{\infty}_{x_0}}}\right)(x-x_0)^{2n+1}\rho_0(x)dx\;</MATH>|11.45}} Wykorzystujemy podstawienie t=x-x{{Sub|0}} w całce {{LinkWzór|11.45}} możemy dojść do wniosku, że nasza całka posiada funkcję podcałkową funkcją nieparzystą względem omawianego podstawienia, dzięki czemu ta całka jest równa zero. {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{2n+1}=\left({\int\limits^{0}_{-\infty}+\int\limits^{\infty}_{0}}\right)t^{2n+1}\rho_0(t)dt=\left({\int\limits_{\infty}^0+\int\limits^{\infty}_0}\right)t^{2n+1}\rho_0(t)dt= \left({-\int\limits^{\infty}_0+\int\limits^{\infty}_0}\right)t^{2n+1}\rho_0(t)dt=0\;</MATH>|11.46}} Czyli momenty statystyczne o nieparzystym stopniu są zawsze równe zero. Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|11.46}} udowodniliśmy rzeczywiście, że '''wartość oczekiwana''' jest równa '''wartości dokładnej''' dla rozkładu normalnego, bo parametr &mu;{{Sub|1}}=0, tak jak powinno zachodzić dla pierwszego momentu statystycznego. Obliczmy teraz momenty statystycznych o stopniu parzystym. Mając całki {{LinkWzór|11.26}} i jej pochodną względem parametru &alpha; {{LinkWzór|11.27}} możemy wyznaczyć dalszą pochodną całki {{LinkWzór|11.28}}, zatem ta ostatnia całka jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\pi}{1 \over 2}{3 \over 2}\alpha^{-5 \over 2}=\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-x_0)^4 e^{-\alpha(x-x_0)^2}\;</MATH>|11.47}} Przestawimy teraz całkę w postaci ogólnej, którą zapisujemy względem parametru n: {{CentrujWzór|<MATH> \sqrt{\pi}{{(2n-1)!!}\over{2^n}}\alpha^{-{2n-1}\over{2}}=\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-x_0)^{2n}e^{-\alpha(x-x_0)^2}\;</MATH>|11.48}} Zatem moment statystyczny &mu;{{Sub|2n}} możemy zapisać wedle schematu zależnego od parametru n. {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\pi}{{(2n-1)!!}\over{2^n}}2^{n+{{1}\over{2}}}\sigma^{2n+1}=\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-x_0)^{2n}e^{-{(x-x_0)^2}\over{2\sigma^2}}=\mu_{2n}\sqrt{2\pi}\sigma\Rightarrow\mu_{2n}={(2n-1)!!}\sigma^{2n}\;</MATH>|11.49}} Przy definicji momentu statystycznego względem wartości dokładnej {{LinkWzór|11.49}} przyjmujemy (-1)!!=1, to wtedy obejmiemy również szczegół normowania gęstości prawdopodobieństwa dla n=0. == Punkt przegięcia w rozkładzie normalnym == Mamy oto rozkład normalny wyprowadzony w {{LinkWzór|11.31}}, ogólnie dla zmiennej typu dyskretnego-przypadek quasiciągłym, lub gdy nasz przedział badany jest dość gęsty, co również już na pewno jest spełnione w przypadku ciągłym naszej badanej wielkości. Zatem w celu wyznaczeniu punktu przegięcia wyznaczmy pierwszą pochodną naszej badanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho_0(x)}\over{dx}}={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}e^{-{{(x-x_0)}^2}\over{2\sigma^2}}(-2){{x-x_0}\over{2\sigma^2}}\;</MATH>|11.50}} Oznaczamy w {{LinkWzór|11.50}} przez C pewne stałe występujące w nim, zatem możemy policzyć drugą pochodną gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego, a więc pierwszą pochodną wspomnianej pierwszej pochodnej, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\rho_0}\over{dx^2}}=C \left[e^{-{{(x-x_0)}^2}\over{2\sigma^2}}\left(-2\right){{(x-x_0)^2}\over{4\sigma^4}}+ e^{-{{(x-x_0)}^2}\over{2\sigma^2}}{{1}\over{2\sigma^2}}\right]=Ce^{-{{(x-x_0)}^2}\over{2\sigma^2}}{{1}\over{2\sigma^2}}\left[1-{{(x-x_0)^2}\over{\sigma^2}}\right]\;</MATH>|11.51}} Ponieważ liczymy punkty przegięcia funkcji Gausa rozkładu normalnego, względem drugiej pochodnej, która przyjmuje wartość zerową w tym przypadku, zatem na podstawie obliczeń {{LinkWzór|11.51}} dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>1-{{(x-x_0)^2}\over{\sigma^2}}=0\;</MATH>|11.52}} W ostatecznych obliczeniach rozwiązanie wynikające z {{LinkWzór|11.52}} jest: {{CentrujWzór|<math>x=x_0 \pm \sigma\;</MATH>|11.53}} Stąd można z interpretować jako, że otrzymane x w obliczeniach powinno się mieścić w granicach x{{Sub|i}}&isin; (x{{Sub|0}}-&sigma;,x{{Sub|0}}+&sigma;), a te wyniki, które nie spełniają tego warunku, powinny być odrzucone z danych doświadczalnych, i odnowa trzeba wyznaczać {{Formuła|<MATH>\overline{x}\;</MATH>}} i &sigma;. Przypominając przy liczeniu &rho;(x) trzeba wstawić za x{{Sub|0}} jego wartość średnią, tzn. {{Formuła|<MATH>\overline{x}\;</MATH>}}, co dla dużej ilości wyników doświadczalnych jest w przybliżeniu spełniona równość między tymi dwoma wielkościami, ponieważ średnia arytmetyczna ma najmniejszą niepewność pomiarową z tych wszystkich otrzymanych x z danych doświadczalnych. Dla tych wyników doświadczenia, które nie powinny być odrzucone funkcja z punktu widzenia dla tego punktu powinna być wklęsła. Funkcja Gausa dla x&isin; (x{{Sub|0}}-&sigma;,x{{Sub|0}}+&sigma;) jest funkcją wklęsłą, a dla dopełnienia wcześniej przedstawionego wzoru jest wypukła. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ourswyqchcu4tcmlbgx1uibhpx6n7ow 0 14091 558672 513432 2026-10-05T02:47:18Z Persino 2851 558672 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym''' - jest to uogólnienie {{sr|Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym|twierdzenia o rozkładzie normalnym jednej zmiennej}}. Ono określa, jeśli mamy n-wymiarowy wektor pomiaru: {{Formuła|<MATH>\vec{x}</MATH>}} oraz n-wymiarowy wektor wartości dokładnej: {{Formuła|<MATH>\vec{x}_0</MATH>}}, to jaka jest gęstość prawdopodobieństwo uzyskania n-wymiarowego wektora dla pomiarów wokół wartości dokładnej. == Wyprowadzenie twierdzenia o rozkładzie normalnym wielowymiarowym == Aby wprowadzić definicję gęstości prawdopodobieństwa uzyskania n wektorów, które symbolizują pomiary uzyskane w wyniku doświadczenia, a każde taki wektor z n jest m wymiarowy, które przedstawiają m pomiarów, różnych wielkości fizycznych uzyskanych jednocześnie. Każde takie m wielkości posiadają m wartości dokładnych. Mając wzór {{LinkWzór|11.7|Twierdzenie_o_rozkładzie_normalnym_jednowymiarowym}}, w nim można logarytm naturalny z liczby trafień w m-wymiarowy punkt przedstawić jako funkcję "g" z minusem, którego argumentem jest m-wymiarowy wektor przedstawiający n jednoczesnych pomiarów różnych wielkości fizycznych, dzięki której chcemy wyznaczyć m wartości dokładnych jednocześnie: {{CentrujWzór|<MATH>\ln {{k}\over{n}}=-g(\mathbf{x},\mathbf{x_0})</MATH>|12.1}} * gdzie m pomiarów jednoczesnych różnych wielkości fizycznych {{Formuła|<MAth>\mathbf{x}\;</math>}} i m wartości dokładnych {{Formuła|<MAth>\mathbf{x}_0;</MATH>}} przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m\end{bmatrix}</MATH>|12.2}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}_0=\begin{bmatrix} x_{01} \\ \vdots \\ x_{0m}\end{bmatrix}</MATH>|12.3}} }} Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>g(\mathbf{x},\mathbf{x_0})</MATH>}}, którego argumentem jest m jednoczesnych pomiarów pomiarów i m wartości dokładnych, w szereg Taylora względem względem m wartości dokładnych, które są zapisane w postaci wektora {{LinkWzór|12.3}} pomijając wyrazy trzeciego rzędu i wyższych w tym rozważanym szeregu: {{CentrujWzór|<MATH>g(\mathbf{x},\mathbf{x_0})\simeq g(\mathbf{x_0},\mathbf{x_0})+\sum^m_{i=1}\left({{\partial g}\over{\partial x}}\right)_{x_0}({x_i-x_{i0}})+{1 \over 2}\sum^m_{l=1}\sum^m_{p=1}\left({{\partial^2 g}\over{\partial x_l\partial x_p}}\right)_{x_0}{(x_l-x_{0l})(x_p-x_{0p})}</MATH>|12.4}} Zbudujmy macierze B i A występujące w przedstawieniu przybliżonych funkcji g , czyli według {{LinkWzór|12.4}}, gdzie macierz A jest wektorem poziomym pierwszych pochodnych cząstkowych względem wartości m pomiarów jednoczesnych x{{Sub|i}}, a macierz B jest macierzą drugich pochodnych cząstkowych tej samej funkcji co poprzednio względem tych samych pomiarów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A=\left[{{\partial g}\over{\partial x_1}},{{\partial g}\over{\partial x_1}},...,{{\partial g}\over{\partial x_n}}\right]</MATH>|12.5}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B=\begin{bmatrix} \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_{11}^2}}\right)_{\mathbf{x_0}}& \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_1\partial x_2}}\right)_{\mathbf{x_0}} &\cdots \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_1 \partial x_{1n}}}\right)_{\mathbf{x_0}}\\ \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_2\partial x_1}}\right)_{\mathbf{x_0}}& \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_{22}^2}}\right)_{\mathbf{x_0}} &\cdots \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_1 \partial x_{2n}}}\right)_{\mathbf{x_0}}\\ \cdots&\cdots&\cdots\cdots\\ \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_{n1}}}\right)_{\mathbf{x_0}}& \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_n\partial x_2}}\right)_{\mathbf{x_0}} &\cdots \left({{\partial^2 g}\over{\partial x_{nn}}}\right)_{\mathbf{x_0}} \end{bmatrix}</MATH>|12.6}} }} Na podstawie przedstawienia macierz A {{LinkWzór|12.5}} i macierzy B {{LinkWzór|12.6}} i definicji wektora m jednoczesnych pomiarów {{LinkWzór|12.3}} i definicji wektora m wartości dokładnych tychże wspomnianych pomiarów {{LinkWzór|12.3}}, funkcję g możemy napisać w sposób przybliżony wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>g(\mathbf{x})=g(\mathbf{x_0})+A(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+{1\over 2}(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^TB(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})</MATH>|12.7}} Wedle wzoru {{LinkWzór|12.1}} i przedstawienia funkcji g w szereg Taylora, który wektorowo zapisujemy wedle schematu {{LinkWzór|12.7}}, zatem na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.8|Twierdzenie_o_rozkładzie_normalnym_jednowymiarowym}} dla n pomiarów m wartości prawdopodobieństwo tego zdarzenia zapisujemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P(\mathbf{x}_n)=e^{-\sum^n_{p=1}\left[g(\mathbf{x_0})+A(\mathbf{x}_p-\mathbf{x}_0)+{1\over 2}(\mathbf{x}_p-\mathbf{x_0})^TB(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})\right]}</MATH>|12.8}} Prawdpodobieństwo uzyskania n pomiarów m różnych wielkości fizycznych {{LinkWzór|12.8}} powinno mieć największe prawdopodobieństwo, gdy we wspomnianym wzorze podstawimy, za każdy pomiar z n doświadczeń podstawimy jego wartość dokładną, w tym celu należy policzyć pierwszą pochodną względem jednego pomiaru z "n" m-wymiarowego wektora jednoczesnych pomiarów, który po dokonaniu wspomnianego podstawienia funkcją prawdopodobieństwa powinna przyjmować wartość ekstremalną, zatem dochodzimy do wniosku, że ta pierwsza pochodna powinna przyjmować wartość zero: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial P(\mathbf{x})}\over{\partial \mathbf{x}_r}}=e^{-\sum^n_{p=1}\left[g(\mathbf{x_0})+A(\mathbf{x}_p-\mathbf{x}_0)+{1\over 2}(\mathbf{x}_p-\mathbf{x_0})^TB(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})\right]}\cdot\left[ A+(\mathbf{x}_r-\mathbf{x}_0)^TB+B(\mathbf{x}_r-\mathbf{x}_0)\right]</MATH>|12.9}} Pierwsza pochodna {{LinkWzór|12.9}} musi przyjmować wartość zerową, gdy za m-wymiarowe wyniki pomiarów {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}_r\;</MATH>}} podstawimy jego wartości dokładne, zatem na podstawie tychże rozważań dostajemy we wspomnianym wzorze, że wektor poziomy A przyjmuje wartość zero w punkcie {{Formuła|<math>\mathbf{x}_r=\mathbf {x}_0\;</MAtH>}}. Wedle tychże rozważań prawdopodobieństwo uzyskania n m-wymiarowych pomiarów jest wyrażone przez: {{CentrujWzór|<MATH>P(\mathbf{x}_n)=C e^{-{{1}\over{2}}\sum^n_{p=1}(\mathbf{x}_p-\mathbf{x}_0)^TB(\mathbf{x}_p-\mathbf{x}_0)}</MATH>|12.10}} Dla pojedynczego pomiaru rozkład normalny prawdopodobieństwo uzyskania wektora jednoczesnych pomiarów, przy skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|12.10}}, który mówi coś o uzyskaniu m pomiarów jednoczesnych różnych wartości pomiarów, jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>P(\mathbf{x})=C e^{-{{1}\over{2}}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^TB(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)}</MATH>|12.11}} Na podstawie {{LinkWzór|12.1}} i {{LinkWzór|12.7}} wzór {{LinkWzór|12.11}} po podstawieniu za A wektora zerowego na podstawie powyższych rozważań przedstawia liczbę tych samych wektorów wyników pomiarowych z n niejednoczesnych pomiarów wektora wyników pomiarowych podzielonych przez n. Powyższy wzór jest spełniony, gdy mamy l poziomów, w którym te m-wymiarowe pomiary mogą posiadać składowe o pewnych wartościach. Gdy mamy m-wymiarową zmienne losowe ciągłe, to w tym przypadku gęstość prawdopodobieństwa jest opisywana tym samym wzorem co w przypadku dyskretnym, czyli równaniem {{LinkWzór|12.11}}. == Wyznaczenie elementów macierzy B, wartość dokładna a wartość oczekiwana == Macierz {{LinkWzór|12.6}} na podstawie przemienności różniczkowania jest macierzą przemienną względem dowolnego punktu, w którym ta macierz jest obliczona, zatem na podstawie tego można powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>B^T=B\;</MATH>|12.12}} === Dowód równości wartości oczekiwanej i dokładnej === Następnym krokiem jest policzenie wartości oczekiwanej funkcji wektorowej {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}}\;</math>}}, względem funkcji gęstości prawdopodobieństwa {{Formuła|<math>P(\mathbf{x})\;</MATH>}} przy m-wymiarowej przestrzeni. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|12.11}} jest funkcją parzystą względem argumentu {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\;</math>}}, to wartość średnia względem wspomnianej funkcji jest równa zero ze względu na jej nieparzystość, co poniżej wykorzystano tą własność: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int (\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)P(\mathbf{x})d^n\mathbf{x}\Rightarrow\int\limits^{\infty}_{-\infty}\cdot\cdot\cdot\int\limits^{\infty}_{-\infty}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)P(\mathbf{x})dx_1dx_2...dx_m=0</MATH>|12.13}} Na podstawie powyższych rozważań, które zawierają obliczenia {{LinkWzór|12.13}}, dochodzimy do wniosku, że m-wymiarowy wektor {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}_0\;</math>}} jest wartością oczekiwaną {{Formuła|<math>\hat{\mathbf{x}}\;</math>}} zmiennej {{Formuła|<MatH>\mathbf{x}\;</math>}}, bo jedynkowy moment &mu;{{Sub|1}} jest równy zero, tak jak powinno zachodzić zawsze dla tego obiektu statystycznego. === Definicja macierzy B poprzez macierz kowariancji === Korzystając z definicji funkcji prawdopodobieństwa dla pojedynczego m-wymiarowego pomiaru {{LinkWzór|12.11}}, to wzór na wartość oczekiwaną {{LinkWzór|12.13}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_{-\infty}\cdot\cdot\cdot\int\limits^{\infty}_{-\infty}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)C e^{-{{1}\over{2}}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^TB(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)}dx_1dx_2dx_3...dx_m=0\;</MATH>|12.14}} Zróżniczkujmy obie strony równania {{LinkWzór|12.14}} względem wektora wartości dokładnej, która jest wektorem wartości najprawdopodobnych (oczekiwanych) {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}_0</MATH>}}, oczywiste jest, że po tej operacji otrzymujemy bardziej skomplikowaną tożsamość, z którego będziemy wyprowadzać macierz B: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}...\int^{\infty}_{-\infty}\Bigg\{-I +\left[(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0){{1}\over{2}}(-1)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^TB^T+{{1}\over{2}}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^TB(-1)\right] \Bigg\}C e^{-{{1}\over{2}}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^TB(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot dx_1dx_2dx_3...dx_m=0</MATH>|12.15}} Korzystając z symetryczności macierzy napisanej w punkcie {{LinkWzór|12.12}} i omówionej dlaczego ta jest, to tożsamość napisana wedle {{LinkWzór|12.15}} przyjmuje postać bardziej uproszczoną postać: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}...\int^{\infty}_{-\infty}\left[-I+(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^TB \right]C e^{-{{1}\over{2}}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^TB(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)}dx_1dx_2dx_3....dx_m=0</MATH>|12.16}} Znów korzystamy z definicji funkcji prawdopodobieństwa {{LinkWzór|12.11}} dla pojedynczego pomiaru, zatem możemy wyrazić tożsamość {{LinkWzór|12.16}} w bardziej prostej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}...\int^{\infty}_{-\infty}\left[ -I+(\mathbf{x}-\mathbf{x})(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^TB \right]P(\mathbf{x})dx_1dx_2dx_3...dx_m=0</MATH>|12.17}} Wykorzystujemy definicję normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.54|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, która jest zapisana przy pomocy m-wymiarowej całki gęstości prawdopodobieństwa względem infinitezymalnej objętości należącej do tej przestrzeni przy całkowaniu po wszystkich punktach należących do tej przestrzeni: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}...\int^{\infty}_{-\infty}P(\mathbf{x})d^m\mathbf{x}=1\;</MATH>|12.18}} Korzystajmy ze wzoru na wartość oczekiwaną pewnej funkcji według wzoru {{LinkWzór|4.21|Momenty_statystyczne_dla_funkcji_złożonej}} przy tutaj panującej gęstości funkcji prawdopodobieństwa {{LinkWzór|12.11}}, wtedy można wartość oczekiwaną uzyskania m-wymiarowego wektora jednoczesnych pomiarów napisać sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}...\int^{\infty}_{-\infty}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T P(\mathbf{x})dx_1dx_2dx_3...dx_m=E\left[(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)\right]</MATH>|12.19}} Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|12.19}} i warunek normowania gęstości funkcji prawdopodobieństwa względem m-wymiarowej przestrzeni {{LinkWzór|12.18}}, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|12.17}} można zapisać wedle równoważnej do poprzedniego wzoru w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>-I+E\left[(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)\right]B=0\Rightarrow I=E\left[(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\right]B\;</MATH>|12.20}} Z końcowego równania wynikowego {{LinkWzór|12.20}} wyznaczmy macierz B, korzystając przy tym z wiadomości o macierzach z algebry: {{CentrujWzór|<MATH>B^{-1}=E\left[(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\right]</MATH>|12.21}} Widzimy, że macierz B{{Sup|-1}} jest macierzą kowariancji zdefiniowanej w punkcie według definicji {{LinkWzór|4.34|Momenty_statystyczne_dla_funkcji_złożonej}} przy jego dowodzie przeprowadzonego powyżej: {{CentrujWzór|<MATH>C=E\left[(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^T\right]=B^{-1}\Rightarrow B=C^{-1}</MATH>|12.22}} Na podstawie tych rozważań końcowych {{LinkWzór|12.22}} macierz B jest odwrotnością macierzy kowariancji C. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0stxm6vcevkok6zhm0m4vldtkxbo86g 0 14108 558663 513427 2026-10-05T02:25:23Z Persino 2851 558663 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Próbą''' nazywamy skończony zespół doświadczeń wykonanych w celu wyznaczenia kształtu poszukiwanego rozkładu. == Estymatory, wyznaczenie parametru λ w wyniku doświadczenia == Dla danej próby, aby estymować parametr &lambda; (jakiś parametr, który możemy wyznaczyć przez doświadczenie) należy przeprowadzić nieskończoną liczbę pomiarów, wówczas wynik jest dokładny. Jednak liczba pomiarów może być jedynie skończona, wtedy pojawia się problem estymacji parametrów. Zdefiniujmy estymator zależny od niezależnych parametrów uzyskanych w wyniku doświadczenia, tzn. x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},..., x{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=S(x_1,x_2,...,x_n)\;</MATH>|6.1}} Estymator nazywamy nieobciążonym, jeśli niezależnie od ilości przeprowadzonych doświadczeń, jej wartość oczekiwana jest równa estymowanemu parametrowi &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>E\{S(x_1,x_2,...,x_n)\}=\lambda\;</MATH> {{Tekst|&nbsp;dla każdego parametru n}}|6.2}} Jeśli wariancja estymatora {{LinkWzór|6.1}} znika dla dowolnie dużej próby, to estymator nazywamy zgodnym, co piszemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{n\rightarrow\infty}\sigma(S)=0\;</MATH>|6.3}} == Związki pomiędzy wariancjami pojedynczego pomiaru a średniej arytmetycznej == Średnią arytmetyczną wszystkich pomiarów w danej próbie określamy wedle jej definicji {{LinkWzór|1.1|Średnie w matematyce statystycznej}} jako sumę n pomiarów w uzyskanych w tej próbie przez ich liczbę: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}={{\sum^n_{i=1}{x_i}}\over{{n}}}</MATH>|6.4}} Policzmy wartość oczekiwaną wartości średniej danej próby wykorzystując, że wartość oczekiwana sumy argumentów jest równa sumie ich wartości oczekiwanych wedle wzoru podanego w punkcie {{LinkWzór|5.3|Momenty statystyczne w działaniu}}, która jest napisana wedle obliczeń: { {CentrujWzór|<MATH>E(\overline{x})={{\sum^n_{i=1}\hat{x}_i}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}\hat{x}}\over{n}}={{n \hat{x}}\over{n}}=\hat{x}</MATH>|6.5}} Jako że rozkłady w poszczególnych pomiarów w danym doświadczeniu są jednakowe, wtedy wartość oczekiwana danego pomiaru w doświadczeniu jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>E(\overline{x}_i)=\hat{x}\;</MATH>|6.6}} Zatem wartość oczekiwana wartości oczekiwanej {{LinkWzór|6.4}} jest równa wartości oczekiwanej danego pomiaru w doświadczeniu, zatem jeśli mamy bardzo dużo prób, to wartość oczekiwana wartości średniej jak udowodnimy, dąży do wartości oczekiwanej średniej arytmetycznej danego pomiaru, czyli przestawiana jest według: {{CentrujWzór|<MATH>E(\overline{x})=\hat{x}\;</MATH>|6.7}} Wyznaczmy błąd średniej arytmetycznej uzyskanych wyników w wyników doświadczenia {{LinkWzór|6.4}} i sprawdzimy, czy to odchylenie standardowe wraz zwiększającą się ilością pomiarów w doświadczeniu powoduje malenie tejże wielkości, także dla nieskończenie dużej ilości doświadczeń, to odchylenie zaczyna dążyć do zera, co przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\overline{x})\rightarrow 0</MATH>|6.8}} Z definicji wariacji jako wartości oczekiwanej z liczby {{Formuła|<MAtH>\overline{x}-\hat{x}\;</MATH>}} jako odchylenia wartości średniej {{LinkWzór|6.4}} od wartości oczekiwanej podniesionej do kwadratu i z twierdzenia na wartościach oczekiwanych {{LinkWzór|5.3|Momenty statystyczne w działaniu}} możemy wyznaczyć, tą właśnie wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(\overline{x})=E\left ((\overline{x}-\hat{x})^2\right )=E\left (({{\sum^n_{i=1}x_i}\over{n}}-\hat{x})^2\right )=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \left({{\sum^n_{i=1}{x_i-\hat{x}}}\over{n}}\right)^2={{\sum^n_{i=1}E\left[(x_i-\hat{x})^2\right]+\sum^n_{i,j=1,i\neq j}E\left[(x_i-\hat{x})(x_j-\hat{x})\right]}\over{n^2}}={{\sum^n_{i=1}E\left[(x_i-\hat{x})^2\right]}\over{n^2}}</MATH>|6.9}} We wzorze {{LinkWzór|6.9}} w drugim członie w liczniku wykorzystany został fakt, że kowariancja dla dwóch różnych zmiennych niezależnych jest równa zero, zatem na podstawie tego warunku dostajemy fakt. {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(\overline{x})={{\sum^n_{i=1}\sigma^2(x)}\over{n^2}}={{n\sigma^2}\over{n^2}}={\sigma^2(x)\over n}</MATH>|6.10}} A więc otrzymujemy bardzo ważną zależność z wyprowadzenia {{LinkWzór|6.10}}, które przepiszemy dla przejrzystości wykładu i jak się przekonamy, że wariancja średniej arytmetycznej zapisanej jako kwadrat odchylenia tejże średniej od wartości oczekiwanej, jest ona odwrotnie proporcjonalna do ilości pomiarów w danym doświadczeniu: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(\overline{x})={{\sigma^2(x)}\over{n}}</MATH>|6.11}} Gdy liczba pomiarów dąży do nieskończoności, wówczas odchylenie standardowe {{Formuła|<MATH>\sigma(\overline{x})\;</MATH>}} przyjmuje wartość dążącą do zera według wzoru {{LinkWzór|6.11}}, a korzystając z wiadomości o granicach, wnioskujemy, że {{LinkWzór|6.8}} jest jednak prawdą. Obierzmy teraz estymator, który jest wartością średnią kwadratów odchyleń wartości uzyskanych w doświadczeniu x{{Sub|i}} od wartości średniej wszystkich pomiarów w danym doświadczeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{s'}^2={{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}(x_i-\hat{x}+\hat{x}-\overline{x})^2}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}\left[(x_i-\hat{x})^2+(\overline{x}-\hat{x})^2-2(x_i-\hat{x})(\overline{x}-\hat{x})\right]}\over {n}}</MATH>|6.12}} We wzorze wykorzystamy fakt na podstawie wartości średniej dla trzeciego wyrazy w sumie w mianowniku {{LinkWzór|6.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^n(x_i-\hat{x})(\overline{x}-\hat{x})=(\overline{x}-\hat{x})\sum_{i=1}^n(x_i-\hat{x})=(\overline{x}-\hat{x})(n\overline{x}-n\hat{x})=n(\overline{x}-\hat{x})^2=\sum_{i=1}^n (\overline{x}-\hat{x})^2\;</MATH>}} Na podstawie powyższego ostatniego faktu i definicji wariancji jako wartości oczekiwanej kwadratu odchylenia zmiennej losowej od wartości oczekiwanej dla wartości średniej n pomiarów wartość oczekiwana estymatora {{LinkWzór|6.12}} (s{{Sub|'}}){{Sup|2}}, korzystając przy tym ze wzoru na wariancję średniej arytmetyczne w zależności od wariancji pojedynczego pomiaru, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E({s'}^2)={{\sum^n_{i=1}\Big(\sigma^2(x)+\sigma^2(\overline{x})-2\sigma^2(\overline{x})\Big)}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}\Big(\sigma^2(x)-\sigma^2(\overline{x})\Big)}\over{n}}={{n\sigma(x)-n\sigma^2(\overline{x})}\over{n}}={{n\sigma^2(x)-{{n\sigma(x)}\over{n}}}\over{n}}\;=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\;{{n\sigma^2(x)-\sigma(x)}\over{n}}={{(n-1)\sigma^2(x)}\over{n}}=\sigma(x){{n-1}\over{n}}</MATH>|6.13}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcje {{LinkWzór|6.13}} przepisujemy końcowy wniosek, że wartość oczekiwana estymatora {{LinkWzór|6.12}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>E({s^'}^2)=\sigma(x){{n-1}\over{n}}\;</MATH>|6.14}} Czyli ten nasz estymator {{LinkWzór|6.12}} jest estymatorem obciążonym. Określmy inny estymator, który będzie wynikał z poprzedniego i względem wyniku na wartość oczekiwaną starego estymatora {{LinkWzór|6.14}} określmy nowy estymator zdefiniowany: {{CentrujWzór|<MATH>s^2={s^'}^2{{n}\over{n-1}}</MATH>|6.15}} Korzystając z definicji estymatora s{{Sup|'}} {{LinkWzór|6.12}} i wyniku {{LinkWzór|6.14}}, możemy policzyć wartość oczekiwaną nowego estymatora s{{Sup|2}} {{LinkWzór|6.15}} wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(s)=E(s^2)=E({s^'}^2){{n}\over{n-1}}\rightarrow s^2={{\sum^n_{k=1}(x_k-\overline{x})^2}\over{n}}{{n}\over{n-1}}={{\sum^n_{k=1}(x_k-\overline{x})^2}\over{n-1}}</MATH>|6.16}} Równość &sigma;{{Sup|2}}(s)=E(s{{Sup|2}}) wynika bezpośrednio z definicji nowego estymatora {{LinkWzór|6.15}} i obliczeń {{LinkWzór|6.16}}. Zachodzi równość &sigma;{{Sup|2}}(s)=E(s{{Sup|2}})=s{{Sup|2}} dla nieskończonej ilości pomiarów, co w praktyce dla dużej ilości pomiarów zachodzi z dobrym przybliżeniem, tzn. &sigma;{{Sup|2}}(s)=E(s{{Sup|2}})&asymp; s{{Sup|2}}. Doszliśmy do wniosku, że najlepiej jest wyliczać średni błąd pomiarowy bardzo dużej ilości danych doświadczalnych według: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(x)=\sqrt{{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\over{n-1}}</MATH>|6.17}} Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej w zależności od odchyleń kwadratowych poszczególnych wyników, korzystając przy czym ze wzoru {{LinkWzór|6.11}}, mówiącej o związku wariancji średniej arytmetycznej z wariancją pomiaru, i ze wzoru {{LinkWzór|6.11}} mówiący coś od odchyleniu standardowym pojedynczego pomiaru, zatem to odchylenie tejże średniej arytmetycznej {{LinkWzór|6.4}} jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\overline{x})={{\sigma(x)}\over{\sqrt n}}=\sqrt{{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\over{n(n-1)}}</MATH>|6.18}} == Pobieranie próby z rozkładów cząstkowych == '''Gdy doświadczenie składa się z prób''' - nie zawsze tak się dzieje, że wynik do wyznaczenia jakieś wielkości określamy względem tylko jednej próby. Czasem mamy pewną liczbę prób, a w każdej próbie jest też duża liczba doświadczeń. Zwykle numer próby numerujemy jaki pierwszy wskaźnik przez x, a numer doświadczenia w próbie jako drugi wskaźnik zmiennej x, i w rezultacie dany pomiar w danej próbie oznaczamy x{{Sub|ij}}, zatem rozpisując kolejno pomiary dla m prób: : Próba 1: {{Formuła|<MATH>x_{11}, x_{12}, x_{13}, \dots, x_{1n_1}</MATH>}} : Próba 2: {{Formuła|<MATH>x_{21}, x_{22}, x_{23}, \dots, x_{2n_2}</MATH>}} : Próba m: {{Formuła|<MATH>x_{m1}, x_{m2}, x_{m3}, \dots, x_{mn}</MATH>}} Trzeba zaznaczyć, że dla ogólności: m&ne; n i najlepiej, by liczba pomiarów w j-tej próbie była bardzo duża, tzn. musi zachodzić n>>1. Mając średnie arytmetyczne z uzyskiwanych prób oraz ich odchylenia standardowe, można wyznaczyć całkowitą wartość średnią i odchylenia standardowe średniej arytmetycznej dla całej serii prób. == Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku przy n próbach == Całkowita gęstość prawdopodobieństwo uzyskania w n próbach danego wyniku x jest równe sumie po wszystkich próbach o numerach "k" względem wyrazów , które z definicji prawdopodobieństwa warunkowego są iloczynami gęstości prawdopodobieństwa uzyskania wyniku w próbie k, czyli f{{Sub|k}}(x) przez prawdopodobieństwo danej próby p{{Sub|k}}, która zależy od całkowitej liczby wszystkich pomiarów we wszystkich próbach i od ilości pomiarów w próbie o numerze "k": {{CentrujWzór|<MATH>f_r(x)=\sum^n_{k=1}f_k(x)p_k</MATH>|6.19}} Należy pamiętać, że gęstości prawdopodobieństwa f{{Sub|k}}(x) rządzące w danej próbie, dla różnych prób mogą być one różne, ale nie muszą być. Podobnie ilość doświadczeń w danej próbie może być różna, ale tym samym może być różne p{{Sub|k}}, ale też nie musi być tak oczywiście. == Dystrybuanta w rozkładzie cząstkowym i w próbach == Rozważając tylko k-tą próbę, dystrybuantę dla jednej zmiennej gęstości prawdopodobieństwa można wyznaczyć (patrz definicja: {{LinkWzór|2.7|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}) jako całkę od nieskończoności do wartości x, gdy funkcją podcałkową jest gęstości prawdopodobieństwa, która jest całkowana względem zmiennej losowej t. {{CentrujWzór|<MATH>F_k(x)=\int\limits^{x}_{-\infty}f_k(t)dt</MATH>|6.20}} Natomiast dla n-prób znając jakie jest prawdopodobieństwo pojedynczej próby o numerze k oraz z twierdzenia o prawdopodobieństwie warunkowych, że gęstość prawdopodobieństwa uzyskania wyników mniejszych niż x jest sumą iloczynu gęstości prawdopodobieństwa uzyskania danego wyniku z pewnego przedziału dla wartości mniejszych niż x pomnożonej przez prawdopodobieństwo opisujące daną próbę p{{Sub|k}}: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)=\sum^n_{k=1}F_k(x)p_k=\sum^n_{k=1}\int\limits^{x}_{-\infty}p_kf_k(t)dt=\int\limits^{x}_{-\infty}(\sum^n_{k=1} p_k f_k(t))dt=\int\limits^{x}_{-\infty}f_r(t)dt</MATH>|6.21}} Przy wyprowadzeniu wzoru {{LinkWzór|6.21}}, korzystaliśmy ze wzoru na całkowitą dystrybuantę {{LinkWzór|2.7|Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych}} i wyznaczaliśmy ją dla n-prób w punkcie {{LinkWzór|6.21}} oraz wiedząc, że całkowita gęstość prawdopodobieństwa rządzące n-próbami jest napisane wedle wzoru {{LinkWzór|6.19}}. == Średnia arytmetyczna i wartość oczekiwana przy n próbach == Wartość oczekiwaną {{LinkWzór|1.1|Średnie_w_matematyce_statystycznej}} z j-tej próby z uzyskanych wyników pomiarów obliczamy jako iloraz sumy wszystkich wyników pomiarów uzyskanych w tej próbie przez liczbę wszystkich pomiarów w tej samej próbie: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_j={\sum^{n_j}_{i=1}x_{ij}\over n_j}</MATH>|6.22}} * gdzie x{{Sub|ij}} jest to pomiar i-ty próbie dla pomiaru w tej próbie o numerze j. Wiemy jednak, że pomiary mogą się powtarzać z prawdopodobieństwem p{{Sub|jk}} w próbie j-tej, zatem średnia ważona {{LinkWzór|1.4|Średnie w matematyce statystycznej}} (wartość oczekiwana w próbie) jest dla j-tej próby jest wyrażona jako suma prawdopodobieństwa uzyskania pomiaru x{{Sub|jk}} przez prawdopodobieństwo tego pomiaru wspomniane wcześniej i ta średnia ważona jest: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_j=\sum^{n_j}_{k=1}p_{jk}x_{jk}</MATH>|6.23}} Dla ''m'' prób wartość średnia wszystkich wyników uzyskanych we wszystkich próbach, w rezultacie można przedstawić tą wielkość podobnie dla wzoru {{LinkWzór|6.23}} dla pomiaru w próbie, tylko w tym przypadku mamy do czynienia ze średnią arytmetyczną danej próby pomiarów uzyskanych z prawdopodobieństwem p{{Sub|j}}, jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}={{\sum^m_{i=1}\sum^{n_j}_{j=1}x_{ij}}\over{\sum^m_{k=1} n_k}}= {{\sum^m_{j=1}n_j\overline{x}_j}\over{\sum^m_{k=1}n_k}}{{{{1}\over{n}}}\over{{{1}\over{n}}}}= {{\sum_{j=1}{{n_j}\over{n}}\overline{x}_j}\over{\sum^m_{k=1}{{n_k}\over{n}}}} ={{\sum^m_{j=1}p_j\overline{x}_j}\over{\sum^m_{k=1}p_k}}=\sum^m_{j=1}p_j\overline{x}_j</MATH>|6.24}} We wzorze {{LinkWzór|6.24}} skorzystaliśmy z faktu, że suma wszystkich prawdopodobieństw uzyskania z każdej z próby z osobna jest równa jeden, co udowodnimy we wzorze poniżej w punkcie {{LinkWzór|6.27}}. Prawdopodobieństwo k-tej próby jest określone jako iloraz ilości wyników pomiarów w danej próbie n{{Sub|k}} w próbie o numerze k przez liczbę wszystkich pomiarów w n próbach. {{CentrujWzór|<MATH>p_k={{n_k}\over{n}}\;</MATH>|6.25}} Oczywiste jest, że suma wszystkich pomiarów danych prób jest równa liczbie wszystkich pomiarów we wszystkich próbach: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sum^m_{k=1}n_k</MATH>|6.26}} Ze wzoru {{LinkWzór|6.26}} po podzieleniu go przez liczbę wszystkich pomiarów we wszystkich próbach n i korzystając z definicji prawdopodobieństwa k-tej próby {{LinkWzór|6.25}} możemy napisać tożsamość, którą wcześniej z korzystaliśmy z niego. {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum^m_{k=1}{{n_k}\over{n}}\Rightarrow 1=\sum^m_{k=1}p_k</MATH>|6.27}} * co zostało wykorzystane w wyrażeniu {{LinkWzór|6.24}}. Wzór przedstawiający wartość oczekiwaną pomiaru uzyskiwanej ze wszystkich prób zapisujemy jak dla wzoru {{LinkWzór|6.23}}, które można zapisać jako sumę, ale za pomocą wartości oczekiwanych dla każdej próby z osobna: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}=\sum^m_{k=1}p_k\hat{x}_k</MATH>|6.28}} Średnia arytmetyczna dla funkcji złożonej H(x) jest napisana podobnie jak dla wzoru {{LinkWzór|6.28}}, ale zamiast wartości oczekiwanej E(x{{Sub|k}}) jest wartość oczekiwana E(H(x{{Sub|k}}). {{CentrujWzór|<MATH>E(H(x))=\sum^m_{k=1}p_kE(H(x_k))\;</MATH>|6.29}} Gdy dla poszczególnych prób występują zmienne losowe dyskretne, przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|6.23}} na średnią arytmetyczną w próbie, wtedy średnia arytmetyczna wszystkich wyników we wszystkich próbach wyrażamy za pomocą prawdopodobieństwa uzyskania danej próby {{LinkWzór|6.25}} i za pomocą prawdopodobieństwa uzyskania danego wyniku w próbie p{{Sub|ki}} wyniku x{{Sub|ki}} {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}=\sum^m_{k=1}p_k\overline{x}_k=\sum^m_{k=1}p_k\sum^{n_k}_{i=1}p_{ki}x_{ki}=\sum^m_{k=1}\sum^{n_k}_{i=1}p_kp_{ki}x_{ki}</MATH>|6.30}} Gdy dla poszczególnych prób uzyskujemy zmienne losowe ciągłe, co jest w zupełności spełnione dla bardzo dużych ilości pomiarów, i przy tym wykorzystując wzór {{LinkWzór|6.19}} na gęstość uzyskania wyniku we wszystkich próbach f{{Sub|r}}(x) otrzymujemy ten sam wzór co {{LinkWzór|6.28}}, ale na innej drodze wyprowadzenia. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}=E(x)=\int\limits^{\infty}_{-\infty} x f_r(x) dx=\sum^m_{k=1}p_k\int\limits^{\infty}_{-\infty}x f_k(x)dx=\sum^m_{k=1}p_k\hat{x}_k</MATH>|6.31}} == Wariancja i kwadrat z odchylenia standardowego dla n prób == Policzmy, jaka jest wariancja pomiaru wyniku (nie średniej z pomiarów w i-tej próbie) dla n prób przeprowadzonych przez różne zespoły, znając rozkłady prawdopodobieństwa uzyskanych pomiarów we wszystkich próbach f{{Sub|k}}(x) (ogólnie rozkłady dla różnych prób nie muszą być jednakowe), znając także prawdopodobieństwo k-tej próby p{{Sub|k}} {{LinkWzór|6.25}}, a także wartości oczekiwania uzyskanych wyników dla każdej próby z osobna E(x{{Sub|k}}) i wartości oczekiwanej {{Formuła|<MATH>\hat{x}=E(x)\;</MATH>}} dla wszystkich próby razem policzone na podstawie wzoru {{LinkWzór|6.31}}. Zatem według ogólnej definicji wariancji {{LinkWzór|2.12|Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych}}, jako drugiego momentu statystycznego można napisać wariancję pomiaru dla zmiennej typu ciągłego "x" wszystkich pomiarów we wszystkich próbach razem wziętych: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-\hat{x})^2f(x)dx=\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-\hat{x})^2\sum^m_{k=1}p_k f_k(x)dx=\sum^m_{k=1}p_k\int\limits^{\infty}_{-\infty}\Big((x-\hat{x}_k)+(\hat{x}_k-\hat{x})\Big)^2f_k(x)dx=</MATH>{{Br}} <MATH>=\sum^m_{k=1}p_k\Bigg\{\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-\hat{x}_k)^2 f_k(x)+\int\limits^{\infty}_{-\infty}(\hat{x}_k-\hat{x})^2 f_k(x)dx+2\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-\hat{x}_k)(\hat{x}_k-\hat{x})f_k(x)dx\Bigg\}</MATH>|6.32}} Ponieważ w ostatni składniku w nawiasie klamrowym wyraz w sumie {{LinkWzór|6.32}} znika, ze względu na pierwszy moment statystyczny {{LinkWzór|3.13|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}}, który jest zawsze równy zerowy dla pomiarów występujących dla k-tej próby. {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-\hat{x}_k)(\hat{x}_k-x_0)f_k(x)dx=(\hat{x}_k-\hat{x})\underbrace{\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-\hat{x}_k)f_k(x)dx}_{0}=0</MATH>|6.33}} A więc po ważnym wyznaczeniu ostatniego składnika w sumie wewnątrz nawiasu klamrowego i jak udowodniliśmy, że jest on zawsze równy zero, zatem na podstawie tych wniosków wariancję pomiaru dla wszystkich prób napisanej wedle {{LinkWzór|6.32}} możemy dokończyć obliczenia na tą wielkość idąc od obliczeń wspomnianych wcześniej: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\sum^m_{k=1}p_k\Bigg\{\int\limits^{\infty}_{-\infty}(x-\hat{x}_k)^2 f_k(x)dx+(\hat{x}_k-\hat{x})^2\int\limits^{\infty}_{-\infty}f_k(x)dx\Bigg\}=\sum^m_{k=1}p_k\bigg\{\sigma_k^2+(\hat{x}_k-\hat{x})^2\bigg\}</MATH>|6.34}} : '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>\sigma^2_k\;</MATH>}} jest to wariancja uzyskanych pomiarów w k-tej próbie. Wyznaczmy wariancję wszystkich prób średniej arytmetycznej od wartości oczekiwanej {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</math>}} wykorzystując definicję wariancji, a także definicję wartości średniej uzyskanych pomiarów we wszystkich próbach {{LinkWzór|6.24}} i prawdopodobieństwa, że dana próba jest z prawdopodobieństwem p{{Sub|k}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(\overline{x})=E\left ({(\overline{x}-\hat{x})}^2\right )= E\left[ \left(\sum^m_{k=1}p_k\overline{x}_k-\hat{x}\right)^2 \right]= E\left[\left(\sum^m_{k=1}{{n_k}\over{n}}\overline{x}_k-\hat{x}\right)^2\right]=E\left[\left({{\sum^m_{k=1}n_k\overline{x}_k-n\hat{x}}\over{n}}\right)^2\right]=\;</math>{{Br}}<math>= E\left[\left({{\sum^m_{k=1}n_k\overline{x}_k-\sum^m_{k=1}n_k\hat{x}}\over{n}}\right)^2\right]=E\left[\left(\sum^m_{k=1}{{n_k}\over{n}}(\overline{x}_k-\hat{x})\right)^2\right]=E\Bigg[\sum^m_{k=1}{{n_k^2}\over{n^2}}(\overline{x}_k-\hat{x})^2+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\sum^m_{i,j=1;i\neq j}{{n_in_j}\over{n^2}}(\overline{x}_i-\hat{x})(\overline{x}_j-\hat{x})\Bigg]=\sum^m_{k=1}{{n_k^2}\over{n^2}}E\left[(\overline{x}_k-\hat{x})^2\right]+\sum^m_{i,j;i\neq j}{{n_in_j}\over{n^2}}E\left[(\overline{x}_i-\hat{x})(\overline{x}_j-\hat{x})\right]= \sum^m_{k=1}{{n^2_k}\over{n^2}} E\Big((\overline{x_k}-\hat{x})^2\Big)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum^m_{k=1}{ {n_k^2\over n^2}}\sigma^2(\overline{x}_k)=\sum^m_{k=1}\left({ {n_k\over n}}\right)^2\sigma^2(\overline{x}_k)=\sum^m_{k=1}p^2_k\sigma^2(\overline{x}_k)\Rightarrow \sigma^2(\overline{x})=\sum^m_{k=1}p^2_k\sigma^2(\overline{x}_k)</MATH>|6.35}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\sigma(\overline{x}_k)\;</MATH>}} jest to wariancja średniej w próbie o numerze k-tej. Widzimy, że wzór na wariancję średniej arytmetycznej uzyskanych wyników pomiarów we wszystkich próbach jest sumą iloczynu kwadratu prawdopodobieństwa k-tej próby p{{Sub|k}} {{LinkWzór|6.25}} przez wariancję uzyskania średniej arytmetycznej {{Formuła|<MATH>\overline{x}_k\;</MATH>}} w próbie o numerze "k". <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 29u29uuh68ei3aqif97dytw59g9hswa 0 14129 558648 467581 2026-10-05T01:01:28Z Persino 2851 558648 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Średnią w matematyce statystycznej nazywamy przepis pozwalający wyliczyć na podstawie ''n'' wyników uzyskanych w doświadczeniu, jedną ściśle określoną wartość. Ogólnym przepisem na liczenie średnich jest {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}}, z której szczególnymi przypadkami są: ''{{sr|Średnia_arytmetyczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia ważona|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia geometryczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia harmoniczna|b=tak}}'' oraz ''{{sr|#Średnia kwadratowa|b=tak}}''. == Średnia arytmetyczna == Średnia arytmetyczna liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, to '''iloraz sumy''' ''n'' zmiennych '''przez liczbę''' tych zmiennych. {{CentrujWzór|<MATH>S_A=\overline{a}={{\sum^n_{k=1} a_k}\over{n}}\;</MATH>|1.1|Obramuj}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia_ważona|b=tak}} {{LinkWzór|1.4}}, jeśli przyjmiemy: {{Formuła|<MATh>p_i={{1}\over{n}}\;</MATH>}}, co wynika stąd, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z osobna (dzięki którym to prawdopodobieństwom chcemy policzyć średnią ważoną) jest jednakowe. Stąd wynika, że mianownik w średniej ważonej dla tego przypadku dla wszystkich n zdarzeń jest równy jeden. Po krótkich rozważaniach dochodzimy do wniosku, że dla równoprawdopodobnych zdarzeń średnia ważona przechodzi w średnią arytmetyczną. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}={{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}}}=\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i= {{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH>|1.2}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia_potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} gdy parametr "k" przyjmuje wartość jeden, co można udowodnić następująco: {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[1]{{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH> |1.3}} == Średnia ważona == Przy założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania każdego z wyników {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} wynosi odpowiednio: {{Formuła|<MATH>p_i\;</MATH>}}, to średnią ważoną definiuje się jako '''iloraz sumy''': ''n'' iloczynów prawdopodobieństwa uzyskania wyniku przez wartość uzyskaną w doświadczeniu '''przez sumę''' prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych wyników. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{k=1}p_k a_k}\over{\sum^n_{k=1} p_k}}\;</MATH>|1.4|Obramuj}} Gdy suma prawdopodobieństw uzyskania n wyników jest zdarzeniem pewnym, to średnia ważoną {{LinkWzór|1.4}} można zapisać wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>S_W=\sum^n_{k=1}p_k a_k\;</MATH>|1.5}} Można powiedzieć, że średnia ważona jest szczególnym przypadkiem średniej arytmetycznej, jeśli prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich wyników jest równe jeden tak jak w punkcie {{LinkWzór|1.5}} i poszczególne wyniki w średniej arytmetycznej powtarzają się, co pozwala wyliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania powtarzających się poszczególnych wyników, lub gdy wyniki {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} są unormowane. :Przyjmijmy, że spełniony jest ten drugi warunek, tzn. zachodzi {{Formuła|<MATH>a_{ij}\rightarrow{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}\;</MATH>}}, i posługujmy się tą definicją {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}. :Przyjmijmy też, że dla wyników pomiarów {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}, dla takich samych ''i'' zachodzi: {{Formuła|<MATH>a_{ik_1}=a_{ik_2}=a_i\;</MATH>}}, czyli mają taką samą wartość. Oznaczmy liczbę takich samych wyników, czyli o takim samym ''i'', przez {{Formuła|<MATH>n_i\;</MATH>}}. Zatem, wiedząc że {{Formuła|<MATH>\sum^n_{i=1}n_i=N\;</MATH>}}, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>S_A={{\sum^n_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{\sum^n_{i=1}n_i}}= {{\sum^n_{i=1}n_i{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{N}}=\sum^n_{i=1}{{n_i}\over{N}}{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}} ={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}=S_W\;</MATH> |1.6}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.6}} udowodniliśmy, że średnia arytmetyczna przechodzi w średnią ważoną przy unormowanych wynikach a_ij. == Średnia geometryczna == Średnia geometryczna, nazywana również ważoną średnią geometryczną liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, jest to pierwiastek ''n''-tego stopnia z iloczynu ''n'' liczb {{Formuła|<MATH>a_k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>S_g=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}a_k}\;</MATH>|1.7|Obramuj}} Bardzo ważne twierdzenie, mówiące o tym, że średnia geometryczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} dla rzędu zerowego, i ta tożsamość dla parametru "k" dążącego do zera przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>|1.8}} : Dowód wzoru {{LinkWzór|1.8}} dla k nieskończenie bliskiemu zero wykorzystuje regułę de l'Hospitala. {{CentrujWzór|<MATH>\ln \lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}\ln \sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{\ln{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\over{k}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^k}}{{\sum^n_{i=1}a_i^k\ln a_i}\over {n}}={{n}\over{\sum^n_{i=1}1}}{{\sum_{i=1}^n 1\cdot\ln a_i}\over{n}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\sum_{i=1}^n\ln a_i}\over{n}}={{\ln\prod^n_{i=1}a_i}\over{n}}\;=\;\ln\left({\prod^n_{i=1}a_i}\right)^{{{1}\over{n}}}=\ln\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>}} : Co kończy dowód tego twierdzenia. == Średnia harmoniczna == Średnia harmoniczna, zwana również ważoną średnią harmoniczną, jest to iloraz ilości pomiarów, których jest "n", dla których liczymy tą naszą średnią, przez sumę odwrotności tychże liczb: {{CentrujWzór|<MATH>S_H={{n}\over{\sum^n_{k=1}{{1}\over{a_k}}}}\;</MATH>|1.9|Obramuj}} Średnia harmoniczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy minus jeden (-1). {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[-1]{{{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}}= \left({{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}\right)^{-1}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{a_i}}}}=S_H\;</MATH>|1.10}} == Średnia kwadratowa == Średnia kwadratowa to przykład miary statystycznej liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}. Jest to pierwiastek '''ilorazu sumy''' kwadratów ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{CentrujWzór|<MATH>S_K=\sqrt{{{\sum^n_{k=1}a_k^{\;2}}\over{n}}}\;</MATH>|1.11|Obramuj}} Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy dwa (k=2). == Średnia potęgowa == Średnią potęgową (lub średnią uogólnioną) liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}} nazywamy pierwiastek ''k''-tego stopnia '''ilorazu sumy''' ''k''-tych potęg ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{Indeksuj|Wzór_średnia_potęgowa}}{{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\;</MATH>|1.12|Obramuj}} Średnia potęgowa jest szczególnym rozdzajem innych średnich, które podaliśmy wcześniej w tym rozdziale o średnich w matematyce statystycznej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dmya03e8oe3t0dahnrqxsk7aui04x00 558649 558648 2026-10-05T01:01:56Z Persino 2851 558649 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Średnią w matematyce statystycznej nazywamy przepis pozwalający wyliczyć na podstawie ''n'' wyników uzyskanych w doświadczeniu, jedną ściśle określoną wartość. Ogólnym przepisem na liczenie średnich jest {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}}, z której szczególnymi przypadkami są: ''{{sr|#Średnia arytmetyczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia ważona|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia geometryczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia harmoniczna|b=tak}}'' oraz ''{{sr|#Średnia kwadratowa|b=tak}}''. == Średnia arytmetyczna == Średnia arytmetyczna liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, to '''iloraz sumy''' ''n'' zmiennych '''przez liczbę''' tych zmiennych. {{CentrujWzór|<MATH>S_A=\overline{a}={{\sum^n_{k=1} a_k}\over{n}}\;</MATH>|1.1|Obramuj}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia_ważona|b=tak}} {{LinkWzór|1.4}}, jeśli przyjmiemy: {{Formuła|<MATh>p_i={{1}\over{n}}\;</MATH>}}, co wynika stąd, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z osobna (dzięki którym to prawdopodobieństwom chcemy policzyć średnią ważoną) jest jednakowe. Stąd wynika, że mianownik w średniej ważonej dla tego przypadku dla wszystkich n zdarzeń jest równy jeden. Po krótkich rozważaniach dochodzimy do wniosku, że dla równoprawdopodobnych zdarzeń średnia ważona przechodzi w średnią arytmetyczną. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}={{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}}}=\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i= {{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH>|1.2}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia_potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} gdy parametr "k" przyjmuje wartość jeden, co można udowodnić następująco: {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[1]{{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH> |1.3}} == Średnia ważona == Przy założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania każdego z wyników {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} wynosi odpowiednio: {{Formuła|<MATH>p_i\;</MATH>}}, to średnią ważoną definiuje się jako '''iloraz sumy''': ''n'' iloczynów prawdopodobieństwa uzyskania wyniku przez wartość uzyskaną w doświadczeniu '''przez sumę''' prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych wyników. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{k=1}p_k a_k}\over{\sum^n_{k=1} p_k}}\;</MATH>|1.4|Obramuj}} Gdy suma prawdopodobieństw uzyskania n wyników jest zdarzeniem pewnym, to średnia ważoną {{LinkWzór|1.4}} można zapisać wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>S_W=\sum^n_{k=1}p_k a_k\;</MATH>|1.5}} Można powiedzieć, że średnia ważona jest szczególnym przypadkiem średniej arytmetycznej, jeśli prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich wyników jest równe jeden tak jak w punkcie {{LinkWzór|1.5}} i poszczególne wyniki w średniej arytmetycznej powtarzają się, co pozwala wyliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania powtarzających się poszczególnych wyników, lub gdy wyniki {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} są unormowane. :Przyjmijmy, że spełniony jest ten drugi warunek, tzn. zachodzi {{Formuła|<MATH>a_{ij}\rightarrow{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}\;</MATH>}}, i posługujmy się tą definicją {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}. :Przyjmijmy też, że dla wyników pomiarów {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}, dla takich samych ''i'' zachodzi: {{Formuła|<MATH>a_{ik_1}=a_{ik_2}=a_i\;</MATH>}}, czyli mają taką samą wartość. Oznaczmy liczbę takich samych wyników, czyli o takim samym ''i'', przez {{Formuła|<MATH>n_i\;</MATH>}}. Zatem, wiedząc że {{Formuła|<MATH>\sum^n_{i=1}n_i=N\;</MATH>}}, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>S_A={{\sum^n_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{\sum^n_{i=1}n_i}}= {{\sum^n_{i=1}n_i{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{N}}=\sum^n_{i=1}{{n_i}\over{N}}{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}} ={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}=S_W\;</MATH> |1.6}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.6}} udowodniliśmy, że średnia arytmetyczna przechodzi w średnią ważoną przy unormowanych wynikach a_ij. == Średnia geometryczna == Średnia geometryczna, nazywana również ważoną średnią geometryczną liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, jest to pierwiastek ''n''-tego stopnia z iloczynu ''n'' liczb {{Formuła|<MATH>a_k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>S_g=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}a_k}\;</MATH>|1.7|Obramuj}} Bardzo ważne twierdzenie, mówiące o tym, że średnia geometryczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} dla rzędu zerowego, i ta tożsamość dla parametru "k" dążącego do zera przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>|1.8}} : Dowód wzoru {{LinkWzór|1.8}} dla k nieskończenie bliskiemu zero wykorzystuje regułę de l'Hospitala. {{CentrujWzór|<MATH>\ln \lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}\ln \sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{\ln{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\over{k}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^k}}{{\sum^n_{i=1}a_i^k\ln a_i}\over {n}}={{n}\over{\sum^n_{i=1}1}}{{\sum_{i=1}^n 1\cdot\ln a_i}\over{n}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\sum_{i=1}^n\ln a_i}\over{n}}={{\ln\prod^n_{i=1}a_i}\over{n}}\;=\;\ln\left({\prod^n_{i=1}a_i}\right)^{{{1}\over{n}}}=\ln\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>}} : Co kończy dowód tego twierdzenia. == Średnia harmoniczna == Średnia harmoniczna, zwana również ważoną średnią harmoniczną, jest to iloraz ilości pomiarów, których jest "n", dla których liczymy tą naszą średnią, przez sumę odwrotności tychże liczb: {{CentrujWzór|<MATH>S_H={{n}\over{\sum^n_{k=1}{{1}\over{a_k}}}}\;</MATH>|1.9|Obramuj}} Średnia harmoniczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy minus jeden (-1). {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[-1]{{{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}}= \left({{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}\right)^{-1}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{a_i}}}}=S_H\;</MATH>|1.10}} == Średnia kwadratowa == Średnia kwadratowa to przykład miary statystycznej liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}. Jest to pierwiastek '''ilorazu sumy''' kwadratów ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{CentrujWzór|<MATH>S_K=\sqrt{{{\sum^n_{k=1}a_k^{\;2}}\over{n}}}\;</MATH>|1.11|Obramuj}} Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy dwa (k=2). == Średnia potęgowa == Średnią potęgową (lub średnią uogólnioną) liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}} nazywamy pierwiastek ''k''-tego stopnia '''ilorazu sumy''' ''k''-tych potęg ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{Indeksuj|Wzór_średnia_potęgowa}}{{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\;</MATH>|1.12|Obramuj}} Średnia potęgowa jest szczególnym rozdzajem innych średnich, które podaliśmy wcześniej w tym rozdziale o średnich w matematyce statystycznej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> avm67l5cywhkiqecuaem0im82asg6tz 558650 558649 2026-10-05T01:02:26Z Persino 2851 /* Średnia arytmetyczna */ 558650 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Średnią w matematyce statystycznej nazywamy przepis pozwalający wyliczyć na podstawie ''n'' wyników uzyskanych w doświadczeniu, jedną ściśle określoną wartość. Ogólnym przepisem na liczenie średnich jest {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}}, z której szczególnymi przypadkami są: ''{{sr|#Średnia arytmetyczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia ważona|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia geometryczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia harmoniczna|b=tak}}'' oraz ''{{sr|#Średnia kwadratowa|b=tak}}''. == Średnia arytmetyczna == Średnia arytmetyczna liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, to '''iloraz sumy''' ''n'' zmiennych '''przez liczbę''' tych zmiennych. {{CentrujWzór|<MATH>S_A=\overline{a}={{\sum^n_{k=1} a_k}\over{n}}\;</MATH>|1.1|Obramuj}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia ważona|b=tak}} {{LinkWzór|1.4}}, jeśli przyjmiemy: {{Formuła|<MATh>p_i={{1}\over{n}}\;</MATH>}}, co wynika stąd, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z osobna (dzięki którym to prawdopodobieństwom chcemy policzyć średnią ważoną) jest jednakowe. Stąd wynika, że mianownik w średniej ważonej dla tego przypadku dla wszystkich n zdarzeń jest równy jeden. Po krótkich rozważaniach dochodzimy do wniosku, że dla równoprawdopodobnych zdarzeń średnia ważona przechodzi w średnią arytmetyczną. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}={{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}}}=\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i= {{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH>|1.2}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia_potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} gdy parametr "k" przyjmuje wartość jeden, co można udowodnić następująco: {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[1]{{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH> |1.3}} == Średnia ważona == Przy założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania każdego z wyników {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} wynosi odpowiednio: {{Formuła|<MATH>p_i\;</MATH>}}, to średnią ważoną definiuje się jako '''iloraz sumy''': ''n'' iloczynów prawdopodobieństwa uzyskania wyniku przez wartość uzyskaną w doświadczeniu '''przez sumę''' prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych wyników. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{k=1}p_k a_k}\over{\sum^n_{k=1} p_k}}\;</MATH>|1.4|Obramuj}} Gdy suma prawdopodobieństw uzyskania n wyników jest zdarzeniem pewnym, to średnia ważoną {{LinkWzór|1.4}} można zapisać wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>S_W=\sum^n_{k=1}p_k a_k\;</MATH>|1.5}} Można powiedzieć, że średnia ważona jest szczególnym przypadkiem średniej arytmetycznej, jeśli prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich wyników jest równe jeden tak jak w punkcie {{LinkWzór|1.5}} i poszczególne wyniki w średniej arytmetycznej powtarzają się, co pozwala wyliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania powtarzających się poszczególnych wyników, lub gdy wyniki {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} są unormowane. :Przyjmijmy, że spełniony jest ten drugi warunek, tzn. zachodzi {{Formuła|<MATH>a_{ij}\rightarrow{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}\;</MATH>}}, i posługujmy się tą definicją {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}. :Przyjmijmy też, że dla wyników pomiarów {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}, dla takich samych ''i'' zachodzi: {{Formuła|<MATH>a_{ik_1}=a_{ik_2}=a_i\;</MATH>}}, czyli mają taką samą wartość. Oznaczmy liczbę takich samych wyników, czyli o takim samym ''i'', przez {{Formuła|<MATH>n_i\;</MATH>}}. Zatem, wiedząc że {{Formuła|<MATH>\sum^n_{i=1}n_i=N\;</MATH>}}, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>S_A={{\sum^n_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{\sum^n_{i=1}n_i}}= {{\sum^n_{i=1}n_i{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{N}}=\sum^n_{i=1}{{n_i}\over{N}}{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}} ={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}=S_W\;</MATH> |1.6}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.6}} udowodniliśmy, że średnia arytmetyczna przechodzi w średnią ważoną przy unormowanych wynikach a_ij. == Średnia geometryczna == Średnia geometryczna, nazywana również ważoną średnią geometryczną liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, jest to pierwiastek ''n''-tego stopnia z iloczynu ''n'' liczb {{Formuła|<MATH>a_k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>S_g=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}a_k}\;</MATH>|1.7|Obramuj}} Bardzo ważne twierdzenie, mówiące o tym, że średnia geometryczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} dla rzędu zerowego, i ta tożsamość dla parametru "k" dążącego do zera przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>|1.8}} : Dowód wzoru {{LinkWzór|1.8}} dla k nieskończenie bliskiemu zero wykorzystuje regułę de l'Hospitala. {{CentrujWzór|<MATH>\ln \lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}\ln \sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{\ln{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\over{k}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^k}}{{\sum^n_{i=1}a_i^k\ln a_i}\over {n}}={{n}\over{\sum^n_{i=1}1}}{{\sum_{i=1}^n 1\cdot\ln a_i}\over{n}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\sum_{i=1}^n\ln a_i}\over{n}}={{\ln\prod^n_{i=1}a_i}\over{n}}\;=\;\ln\left({\prod^n_{i=1}a_i}\right)^{{{1}\over{n}}}=\ln\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>}} : Co kończy dowód tego twierdzenia. == Średnia harmoniczna == Średnia harmoniczna, zwana również ważoną średnią harmoniczną, jest to iloraz ilości pomiarów, których jest "n", dla których liczymy tą naszą średnią, przez sumę odwrotności tychże liczb: {{CentrujWzór|<MATH>S_H={{n}\over{\sum^n_{k=1}{{1}\over{a_k}}}}\;</MATH>|1.9|Obramuj}} Średnia harmoniczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy minus jeden (-1). {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[-1]{{{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}}= \left({{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}\right)^{-1}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{a_i}}}}=S_H\;</MATH>|1.10}} == Średnia kwadratowa == Średnia kwadratowa to przykład miary statystycznej liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}. Jest to pierwiastek '''ilorazu sumy''' kwadratów ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{CentrujWzór|<MATH>S_K=\sqrt{{{\sum^n_{k=1}a_k^{\;2}}\over{n}}}\;</MATH>|1.11|Obramuj}} Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy dwa (k=2). == Średnia potęgowa == Średnią potęgową (lub średnią uogólnioną) liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}} nazywamy pierwiastek ''k''-tego stopnia '''ilorazu sumy''' ''k''-tych potęg ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{Indeksuj|Wzór_średnia_potęgowa}}{{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\;</MATH>|1.12|Obramuj}} Średnia potęgowa jest szczególnym rozdzajem innych średnich, które podaliśmy wcześniej w tym rozdziale o średnich w matematyce statystycznej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 9gkbs2fpde3whqi6ngaptnrcn59rk6y 558651 558650 2026-10-05T01:03:16Z Persino 2851 558651 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Średnią w matematyce statystycznej nazywamy przepis pozwalający wyliczyć na podstawie ''n'' wyników uzyskanych w doświadczeniu, jedną ściśle określoną wartość. Ogólnym przepisem na liczenie średnich jest {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}}, z której szczególnymi przypadkami są: ''{{sr|#Średnia arytmetyczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia ważona|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia geometryczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia harmoniczna|b=tak}}'' oraz ''{{sr|#Średnia kwadratowa|b=tak}}''. == Średnia arytmetyczna == Średnia arytmetyczna liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, to '''iloraz sumy''' ''n'' zmiennych '''przez liczbę''' tych zmiennych. {{CentrujWzór|<MATH>S_A=\overline{a}={{\sum^n_{k=1} a_k}\over{n}}\;</MATH>|1.1|Obramuj}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia ważona|b=tak}} {{LinkWzór|1.4}}, jeśli przyjmiemy: {{Formuła|<MATh>p_i={{1}\over{n}}\;</MATH>}}, co wynika stąd, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z osobna (dzięki którym to prawdopodobieństwom chcemy policzyć średnią ważoną) jest jednakowe. Stąd wynika, że mianownik w średniej ważonej dla tego przypadku dla wszystkich n zdarzeń jest równy jeden. Po krótkich rozważaniach dochodzimy do wniosku, że dla równoprawdopodobnych zdarzeń średnia ważona przechodzi w średnią arytmetyczną. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}={{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}}}=\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i= {{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH>|1.2}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} gdy parametr "k" przyjmuje wartość jeden, co można udowodnić następująco: {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[1]{{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH> |1.3}} == Średnia ważona == Przy założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania każdego z wyników {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} wynosi odpowiednio: {{Formuła|<MATH>p_i\;</MATH>}}, to średnią ważoną definiuje się jako '''iloraz sumy''': ''n'' iloczynów prawdopodobieństwa uzyskania wyniku przez wartość uzyskaną w doświadczeniu '''przez sumę''' prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych wyników. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{k=1}p_k a_k}\over{\sum^n_{k=1} p_k}}\;</MATH>|1.4|Obramuj}} Gdy suma prawdopodobieństw uzyskania n wyników jest zdarzeniem pewnym, to średnia ważoną {{LinkWzór|1.4}} można zapisać wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>S_W=\sum^n_{k=1}p_k a_k\;</MATH>|1.5}} Można powiedzieć, że średnia ważona jest szczególnym przypadkiem średniej arytmetycznej, jeśli prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich wyników jest równe jeden tak jak w punkcie {{LinkWzór|1.5}} i poszczególne wyniki w średniej arytmetycznej powtarzają się, co pozwala wyliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania powtarzających się poszczególnych wyników, lub gdy wyniki {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} są unormowane. :Przyjmijmy, że spełniony jest ten drugi warunek, tzn. zachodzi {{Formuła|<MATH>a_{ij}\rightarrow{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}\;</MATH>}}, i posługujmy się tą definicją {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}. :Przyjmijmy też, że dla wyników pomiarów {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}, dla takich samych ''i'' zachodzi: {{Formuła|<MATH>a_{ik_1}=a_{ik_2}=a_i\;</MATH>}}, czyli mają taką samą wartość. Oznaczmy liczbę takich samych wyników, czyli o takim samym ''i'', przez {{Formuła|<MATH>n_i\;</MATH>}}. Zatem, wiedząc że {{Formuła|<MATH>\sum^n_{i=1}n_i=N\;</MATH>}}, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>S_A={{\sum^n_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{\sum^n_{i=1}n_i}}= {{\sum^n_{i=1}n_i{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{N}}=\sum^n_{i=1}{{n_i}\over{N}}{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}} ={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}=S_W\;</MATH> |1.6}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.6}} udowodniliśmy, że średnia arytmetyczna przechodzi w średnią ważoną przy unormowanych wynikach a_ij. == Średnia geometryczna == Średnia geometryczna, nazywana również ważoną średnią geometryczną liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, jest to pierwiastek ''n''-tego stopnia z iloczynu ''n'' liczb {{Formuła|<MATH>a_k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>S_g=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}a_k}\;</MATH>|1.7|Obramuj}} Bardzo ważne twierdzenie, mówiące o tym, że średnia geometryczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} dla rzędu zerowego, i ta tożsamość dla parametru "k" dążącego do zera przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>|1.8}} : Dowód wzoru {{LinkWzór|1.8}} dla k nieskończenie bliskiemu zero wykorzystuje regułę de l'Hospitala. {{CentrujWzór|<MATH>\ln \lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}\ln \sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{\ln{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\over{k}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^k}}{{\sum^n_{i=1}a_i^k\ln a_i}\over {n}}={{n}\over{\sum^n_{i=1}1}}{{\sum_{i=1}^n 1\cdot\ln a_i}\over{n}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\sum_{i=1}^n\ln a_i}\over{n}}={{\ln\prod^n_{i=1}a_i}\over{n}}\;=\;\ln\left({\prod^n_{i=1}a_i}\right)^{{{1}\over{n}}}=\ln\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>}} : Co kończy dowód tego twierdzenia. == Średnia harmoniczna == Średnia harmoniczna, zwana również ważoną średnią harmoniczną, jest to iloraz ilości pomiarów, których jest "n", dla których liczymy tą naszą średnią, przez sumę odwrotności tychże liczb: {{CentrujWzór|<MATH>S_H={{n}\over{\sum^n_{k=1}{{1}\over{a_k}}}}\;</MATH>|1.9|Obramuj}} Średnia harmoniczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy minus jeden (-1). {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[-1]{{{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}}= \left({{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}\right)^{-1}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{a_i}}}}=S_H\;</MATH>|1.10}} == Średnia kwadratowa == Średnia kwadratowa to przykład miary statystycznej liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}. Jest to pierwiastek '''ilorazu sumy''' kwadratów ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{CentrujWzór|<MATH>S_K=\sqrt{{{\sum^n_{k=1}a_k^{\;2}}\over{n}}}\;</MATH>|1.11|Obramuj}} Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy dwa (k=2). == Średnia potęgowa == Średnią potęgową (lub średnią uogólnioną) liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}} nazywamy pierwiastek ''k''-tego stopnia '''ilorazu sumy''' ''k''-tych potęg ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{Indeksuj|Wzór_średnia_potęgowa}}{{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\;</MATH>|1.12|Obramuj}} Średnia potęgowa jest szczególnym rozdzajem innych średnich, które podaliśmy wcześniej w tym rozdziale o średnich w matematyce statystycznej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> k5zg9n8ejf1bg7icnin3mjf2pn5ry12 558652 558651 2026-10-05T01:08:59Z Persino 2851 558652 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Średnią w matematyce statystycznej nazywamy przepis pozwalający wyliczyć na podstawie ''n'' wyników uzyskanych w doświadczeniu, jedną ściśle określoną wartość. Ogólnym przepisem na liczenie średnich jest {{sr|#Średnia potęgowa|średnia potęgowa|b=tak}}, z której szczególnymi przypadkami są: ''{{sr|#Średnia arytmetyczna|średnia arytmetyczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia ważona|średnia ważona|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia geometryczna|średnia geometryczna|b=tak}}'', ''{{sr|#Średnia harmoniczna|średnia harmoniczna|b=tak}}'' oraz ''{{sr|#Średnia kwadratowa|b=tak}}''. == Średnia arytmetyczna == Średnia arytmetyczna liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, to '''iloraz sumy''' ''n'' zmiennych '''przez liczbę''' tych zmiennych. {{CentrujWzór|<MATH>S_A=\overline{a}={{\sum^n_{k=1} a_k}\over{n}}\;</MATH>|1.1|Obramuj}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia ważona|średniej ważonej|b=tak}} {{LinkWzór|1.4}}, jeśli przyjmiemy: {{Formuła|<MATh>p_i={{1}\over{n}}\;</MATH>}}, co wynika stąd, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z osobna (dzięki którym to prawdopodobieństwom chcemy policzyć średnią ważoną) jest jednakowe. Stąd wynika, że mianownik w średniej ważonej dla tego przypadku dla wszystkich n zdarzeń jest równy jeden. Po krótkich rozważaniach dochodzimy do wniosku, że dla równoprawdopodobnych zdarzeń średnia ważona przechodzi w średnią arytmetyczną. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}={{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}}}=\sum^n_{i=1}{{1}\over{n}}a_i= {{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH>|1.2}} Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|średniej potęgowej|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} gdy parametr "k" przyjmuje wartość jeden, co można udowodnić następująco: {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[1]{{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i^1}\over{n}}={{\sum^n_{i=1}a_i}\over{n}}=S_A\;</MATH> |1.3}} == Średnia ważona == Przy założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania każdego z wyników {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} wynosi odpowiednio: {{Formuła|<MATH>p_i\;</MATH>}}, to średnią ważoną definiuje się jako '''iloraz sumy''': ''n'' iloczynów prawdopodobieństwa uzyskania wyniku przez wartość uzyskaną w doświadczeniu '''przez sumę''' prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych wyników. {{CentrujWzór|<MATH>S_W={{\sum^n_{k=1}p_k a_k}\over{\sum^n_{k=1} p_k}}\;</MATH>|1.4|Obramuj}} Gdy suma prawdopodobieństw uzyskania n wyników jest zdarzeniem pewnym, to średnia ważoną {{LinkWzór|1.4}} można zapisać wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>S_W=\sum^n_{k=1}p_k a_k\;</MATH>|1.5}} Można powiedzieć, że średnia ważona jest szczególnym przypadkiem średniej arytmetycznej, jeśli prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich wyników jest równe jeden tak jak w punkcie {{LinkWzór|1.5}} i poszczególne wyniki w średniej arytmetycznej powtarzają się, co pozwala wyliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania powtarzających się poszczególnych wyników, lub gdy wyniki {{Formuła|<MATH>a_i\;</MATH>}} są unormowane. :Przyjmijmy, że spełniony jest ten drugi warunek, tzn. zachodzi {{Formuła|<MATH>a_{ij}\rightarrow{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}\;</MATH>}}, i posługujmy się tą definicją {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}. :Przyjmijmy też, że dla wyników pomiarów {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}, dla takich samych ''i'' zachodzi: {{Formuła|<MATH>a_{ik_1}=a_{ik_2}=a_i\;</MATH>}}, czyli mają taką samą wartość. Oznaczmy liczbę takich samych wyników, czyli o takim samym ''i'', przez {{Formuła|<MATH>n_i\;</MATH>}}. Zatem, wiedząc że {{Formuła|<MATH>\sum^n_{i=1}n_i=N\;</MATH>}}, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>S_A={{\sum^n_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1}{{a_{ij}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{\sum^n_{i=1}n_i}}= {{\sum^n_{i=1}n_i{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}}\over{N}}=\sum^n_{i=1}{{n_i}\over{N}}{{a_{i}}\over{\sum^n_{i=1}p_i}} ={{\sum^n_{i=1}p_ia_i}\over{\sum^n_{i=1}p_i}}=S_W\;</MATH> |1.6}} W obliczeniach {{LinkWzór|1.6}} udowodniliśmy, że średnia arytmetyczna przechodzi w średnią ważoną przy unormowanych wynikach a_ij. == Średnia geometryczna == Średnia geometryczna, nazywana również ważoną średnią geometryczną liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}, jest to pierwiastek ''n''-tego stopnia z iloczynu ''n'' liczb {{Formuła|<MATH>a_k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>S_g=\sqrt[n]{\prod^n_{k=1}a_k}\;</MATH>|1.7|Obramuj}} Bardzo ważne twierdzenie, mówiące o tym, że średnia geometryczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|średniej potęgowej|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}} dla rzędu zerowego, i ta tożsamość dla parametru "k" dążącego do zera przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>|1.8}} : Dowód wzoru {{LinkWzór|1.8}} dla k nieskończenie bliskiemu zero wykorzystuje regułę de l'Hospitala. {{CentrujWzór|<MATH>\ln \lim_{k\rightarrow 0}\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}\ln \sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{\ln{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\over{k}}=\lim_{k\rightarrow 0}{{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^k}}{{\sum^n_{i=1}a_i^k\ln a_i}\over {n}}={{n}\over{\sum^n_{i=1}1}}{{\sum_{i=1}^n 1\cdot\ln a_i}\over{n}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\sum_{i=1}^n\ln a_i}\over{n}}={{\ln\prod^n_{i=1}a_i}\over{n}}\;=\;\ln\left({\prod^n_{i=1}a_i}\right)^{{{1}\over{n}}}=\ln\sqrt[n]{\prod^n_{i=1}a_i}\;</MATH>}} : Co kończy dowód tego twierdzenia. == Średnia harmoniczna == Średnia harmoniczna, zwana również ważoną średnią harmoniczną, jest to iloraz ilości pomiarów, których jest "n", dla których liczymy tą naszą średnią, przez sumę odwrotności tychże liczb: {{CentrujWzór|<MATH>S_H={{n}\over{\sum^n_{k=1}{{1}\over{a_k}}}}\;</MATH>|1.9|Obramuj}} Średnia harmoniczna jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|średniej potęgowej|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy minus jeden (-1). {{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[-1]{{{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}}= \left({{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}\over{n}}\right)^{-1}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}a_i^{-1}}}= {{n}\over{\sum^n_{i=1}{{1}\over{a_i}}}}=S_H\;</MATH>|1.10}} == Średnia kwadratowa == Średnia kwadratowa to przykład miary statystycznej liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}}. Jest to pierwiastek '''ilorazu sumy''' kwadratów ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{CentrujWzór|<MATH>S_K=\sqrt{{{\sum^n_{k=1}a_k^{\;2}}\over{n}}}\;</MATH>|1.11|Obramuj}} Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem {{sr|#Średnia potęgowa|średniej potęgowej|b=tak}} {{LinkWzór|1.12}}, gdy parametr "k" jest równy dwa (k=2). == Średnia potęgowa == Średnią potęgową (lub średnią uogólnioną) liczb {{Formuła|<MATH>a_1,a_2,...,a_n\;</MATH>}} nazywamy pierwiastek ''k''-tego stopnia '''ilorazu sumy''' ''k''-tych potęg ''n'' tychże liczb '''przez ich liczbę'''. {{Indeksuj|Wzór_średnia_potęgowa}}{{CentrujWzór|<MATH>S_P=\sqrt[k]{{{\sum^n_{i=1}a_i^k}\over{n}}}\;</MATH>|1.12|Obramuj}} Średnia potęgowa jest szczególnym rozdzajem innych średnich, które podaliśmy wcześniej w tym rozdziale o średnich w matematyce statystycznej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fes2bvu8c4vuyzghi5kmccfbp1p6c2z 0 14130 558676 513437 2026-10-05T02:54:36Z Persino 2851 558676 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Rozkład Poissona''' - jest to szczególny przypadek rozkładu Bernoulliego, w którym oznaczymy &lambda;=np=const<&infin;, który pozostaje stały przy p&rarr; 0 oraz przy n&rarr;&infin;. == Rozkład Poissona == Rozkład Poissona jest szczególnym przypadkiem rozkładu Bernouliego i jest zdefiniowany przy pomocy parametru &lambda; i liczby trafień w pewne zdarzenie o infitezymalnym prawdopodobieństwie p przy nieskończonej ilości doświadczeń: {{CentrujWzór|<MATH> P_{k}={{\lambda^k}\over{k!}}e^{-\lambda}</MATH>|16.1}} * gdzie parametr &lambda; jest napisanej wedle schematu poniżej jako iloczyn ilości doświadczeń przez prawdopodobieństwo zdarzenia, które losujemy. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=np\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>p\rightarrow 0</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>n\rightarrow\infty\;</MATH>|16.2}} Udowodnimy poniżej, że wartość oczekiwana, wariancja, i moment statystyczny rzędu trzeciego są sobie równe, czyli {{CentrujWzór|<MATH>E(k)=\sigma^2(k)=\mu_3(k)=\lambda\;</MATH>|16.3}} A skośność jest zdefiniowana jako trzecia potęga trzeciego momentu statystycznego &mu;{{Sub|3}} przez sześcian odchylenia standardowego czyli przez sześcian pierwiastka wariancji: {{CentrujWzór|<MATH>\omega={{1}\over{\sqrt{\lambda}}}\;</MATH>|16.4}} == Wyprowadzenie rozkładu Poissona == Ze wzoru na parametr &lambda; wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, którego to zdarzenie dotyczy wyrażonej poprzez liczbę przeprowadzonych doświadczeń, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>p={{\lambda}\over{n}}</MATH>|16.5}} Wykorzystamy wzór na prawdopodobieństwo dyskretne wylosowania k razy pewnej właściwości o prawdopodobieństwie zdarzenia p w n doświadczeniach, którego rozkład jest opisywany przez rozkład {{sr|Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego|rozkład Bernoulliego}}, do którego wzoru na rozkład {{LinkWzór|9.2|Twierdzenie_o_rozkładzie_Bernoulliego}} podstawimy wyrażenie na prawdopodobieństwo uzyskania zdarzenia p {{LinkWzór|16.5}}, którego definicja jest zdefiniowana przez stały parametr &lambda; i liczbę przeprowadzonych doświadczeń. {{CentrujWzór|<MATH> P_{nk}={ n \choose k}p^kq^{n-k}={{n!}\over{k!(n-k)!}}{\left({{\lambda}\over{n}}\right)^k}{{(1-{{\lambda}\over{n}})^n}\over{(1-{{\lambda}\over{n}}})^k}={{\lambda^k}\over{k!}}{{n(n-1)(n-2)\cdot...\cdot(n-k+1)}\over{n^k}}{{(1-{{\lambda}\over{n}})^n}\over{(1-{{\lambda}\over{n}}})^k}=</MATH>{{Br}} <MATH>={\lambda^k\over {k!}}{\left({1-{\lambda\over n}}\right)}^n{{(1-{{1}\over{n}})(1-{{2}\over{n}})\cdot...\cdot(1-{{k-1}\over{n}})}\over{({1-{\lambda\over n}})^k}}</MATH>|16.6}} W analizie matematycznej znamy granicę podaną poniżej, którą wykorzystamy w obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|16.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{n \rightarrow \infty}{\left(1-{{\lambda}\over n}\right)}^n=e^{-\lambda}</MATH>|16.7}} Dla obliczeń przeprowadzonych w linijce {{LinkWzór|16.6}} wykorzystamy wyrażenie na eksponens z liczby z minus &lambda;, którego definicja jest podana w punkcie {{linkWzór|16.7}}, dla której nasz rozkład przy nieskończenie małym prawdopodobieństwie "p", tak by był skończony parametr &lambda;, jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>P_k=\lim_{n \rightarrow \infty}P_{nk}={{\lambda^k}\over{k!}}e^{-\lambda}</MATH>|16.8}} Wyrażenie {{LinkWzór|16.8}} jest definicją '''rozkładu Poissona'''. == Normowanie rozkładu Poissona == Sprawdźmy czy rozkład Poissona {{LinkWzór|16.1}} jest wielkością unormowaną według wzoru {{LinkWzór|2.10|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, w tym celu wykorzystajmy definicję exp(&lambda;) w postaci nieskończonego szeregu potęgowego: {{CentrujWzór|<MATH> 1=\sum^{\infty}_{k=0}P_{k}=\sum^{\infty}_{k=0}{{e^{-\lambda}\lambda^k}\over{k!}}=e^{-\lambda}{\left({1+\lambda+{{\lambda^2}\over{2!}}+{{\lambda^3}\over {3!}}}+...\right)}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=e^0=1</MATH>|16.9}} Czyli rozkład P{{Sub|k}} jest rozkładem unormowanym do jedynki, tak jak powinien spełniać każdy rozkład statystyczny. == Wartość oczekiwana rozkładu Poissona == Wartością oczekiwaną względem zmiennej "k" dla rozkładu dyskretnego, czyli rozkładu Poissona {{LinkWzór|16.1}}, którą liczymy według jego przestawienia {{LinkWzór|2.11|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, zapisujemy sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>E(k)=\sum^{\infty}_{k=0}k P_k=\sum^{\infty}_{k=1}k P_k=\sum^{\infty}_{k=1}k{{\lambda^k}\over{k!}}e^{-\lambda}= \sum^{\infty}_{k=1}{{\lambda^k}\over{(k-1)!}}e^{-\lambda} =\lambda\sum^{\infty}_{k=1}{{\lambda^{k-1}}\over {(k-1)!}}e^{-\lambda}\;</MATH>|16.10}} Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1 do naszych obliczeń {{LinkWzór|16.10}}, które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>E(k)=\lambda e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{k=0}{{\lambda^k}\over{k!}}=\lambda e^{\lambda}e^{-\lambda}=\lambda\;</MATH>|16.11}} Z obliczeń końcowych wynikających z {{LinkWzór|16.11}} wynika, że wartość oczekiwana zmiennej k w postaci zwartej jest równa parametrowi &lambda; z definiowanej w punkcie {{LinkWzór|16.2}}. {{CentrujWzór|<MATH>E(k)=\lambda\;</MATH>|16.12}} == Wariancja w rozkładzie Poissona == Policzmy wartość czekiwaną zmiennej k{{Sup|2}}, z definicji wartości oczekiwanej dla tej zmiennej dostajemy wzór poniżej, z którego w tym samym punkcie będziemy przeprowadzać obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>E(k^2)=\sum^{\infty}_{k=0}k^2{{\lambda^k}\over{k!}}e^{-\lambda} =\sum^{\infty}_{k=1}k^2{{\lambda^k}\over{k!}}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{k=1}k{{\lambda^{k}}\over{(k-1)!}} =e^{-\lambda}\lambda\sum^{\infty}_{k=1}k{{\lambda^{k-1}}\over{(k-1)!}}</MATH>|16.13}} Dokonajmy podstawienia wedle schematu k'=k-1 do naszych obliczeń {{LinkWzór|16.14}}, które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>E(k^2)=e^{-\lambda}\lambda\sum^{\infty}_{k=0}(k+1){{\lambda^k}\over{k!}}=e^{-\lambda}\lambda\sum^{\infty}_{k=0}k{{\lambda^k}\over{k!}}+e^{-\lambda}\lambda\sum^{\infty}_{k=0}{{\lambda^k}\over{k!}}=\lambda^2+\lambda=\lambda(\lambda+1)\;</MATH>|16.14}} Korzystając z metody liczenia wariancji według {{LinkWzór|3.18|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}} i zbierając wyniki, tzn. wartość oczekiwaną zmiennej k{{Sup|2}} {{LinkWzór|16.14}} oraz wartość oczekiwaną zmienne k {{LinkWzór|16.12}}, wtedy ta nasza liczona wielkość statystyczna jest liczona wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2=E(k^2)-E^2(k)=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda\;</MATH>|16.15}} Z końcowych obliczeń {{LinkWzór|16.15}} dostajemy wariację zmiennej losowej w rozkładzie Poissona napisanej wedle wzoru, którą przepisujemy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2=\lambda\;</MATH>|16.16}} Udowodniliśmy, że wariancja rozkładu Poissona {{LinkWzór|16.16}} jest taka sama jak jej wartość oczekiwana {{LinkWzór|16.12}}. == Moment trzeci rozkładu Poissona i jego skośność == Momentem statystycznym rzędu trzeciego zdefiniowanej na podstawie {{LinkWzór|3.9|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}} nazywamy metodę, którego przepis jest poniżej. Wyrażmy ją za pomocą wartości oczekiwanej zmiennej losowej k{{Sup|3}}, k{{Sup|2}} i na końcu zmiennej k. {{CentrujWzór|<MATH>\mu_3=E\left[\left(k-E(k)\right)^3\right]=E(k^3)-3E(k^2)E(k)+3E(k)E^2(k)-E^3(k)\;</MATH>|16.17}} Policzmy wartość oczekiwaną wyrażenie k{{Sup|3}} względem rozkładu Poissona, czyli E(k{{Sup|3}}), więc do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>E(k^3)=\sum^{\infty}_{k=1}k^3{{\lambda^k}\over{k!}}e^{-\lambda} =\lambda e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{k=1}k^2{{\lambda^{k-1}}\over{(k-1)!}}</MATH>|16.18}} Dokonajmy podstawienia wedle schematu k'=k-1 do naszych obliczeń {{LinkWzór|16.18}}, które przeprowadzamy w celu wyznaczenia postaci zwartej do wspomnianego wzoru, zatem otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>E(k^3)=\lambda e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{k=0}{({k^2+2k+1})}{{\lambda^{k}}\over{k!}}=\lambda(\lambda^2+\lambda)+2 \lambda^2+\lambda=\lambda^3+3\lambda^2+\lambda\;</MATH>|16.19}} To teraz policzmy &gamma;{{Sub|3}} (moment trzeciego stopnia) zbierając wyniki razem z {{LinkWzór|16.19}} , {{LinkWzór|16.14}} i ostatni wzór {{LinkWzór|16.12}}, wtedy trzeci moment statystyczny przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_3=\lambda^3+3\lambda^2+\lambda-3\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda^3-\lambda^3=\lambda\;</MATH>|16.20}} Skośność nazywamy stosunek trzeciego momentu statystycznego przez sześcian odchylenia standardowego, zatem z definicji według rozkładu Poissona przedstawia się ono według: {{CentrujWzór|<MATH>\omega={\mu_3^3 \over \sigma^3}={\lambda \over {\lambda^{3 \over 2}}}=\lambda^{-{1\over 2}}\;</MATH>|16.21}} Skośność {{LinkWzór|16.21}} jest to odwrotność pierwiastka z wartości oczekiwanej &lambda; {{LinkWzór|16.12}} w rozkładzie Poissona. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6hwxdyiulaajyi4ydtwsrmb3tg7ijpe 0 14131 558677 467600 2026-10-05T02:56:12Z Persino 2851 558677 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Poznamy różne metody liczenia błędów pomiarowych dla danych uzyskanych z doświadczenia, a także na podstawie nich błędy pomiarowe wielkości bezpośrednich obliczonych z tychże danych. Będziemy przyjmować, że {{Formuła|<MATH>\overline{x}\;</MATH>}} jest to średnia arytmetyczna zdefiniowana wzorem {{LinkWzór|1.1|Średnie w matematyce statystycznej}}, a x{{Sub|i}} jest to i-ty wynik pomiaru uzyskanego w naszym doświadczeniu. Odchylenie standardowe jest określone według wzoru {{Formuła|<MATH>|\Delta x_i|=|x_i-\overline{x}|\;</MATH>}}. == Średnie odchylenie kwadratowe == Jeśli poszczególne pomiary różnych wielkości fizycznych są niezależne od siebie, to na podstawie znajomości średnich arytmetycznych tych niezależnych pomiarów można wyliczyć wielkość pośrednią {{Formuła|<MATH>y=f(\vec{x})\;</MATH>}}, a jej odchylenie standardowe wyznaczamy za pomocą odchyleń standardowych pomiarów bezpośrednich uzyskanych w doświadczeniu, którego odchylenie standardowe zmiennej y jest napisane wzorem {{LinkWzór|5.39|Momenty statystyczne w działaniu}}. Biorąc we wspomnianym wzorze notację &Delta;z=&sigma;(z), to błąd statystyczny funkcji uzyskanej {{Formuła|<MATH>f(\vec{x})\;</MATH>}} zależy od błędów pomiarowych w zależności od błędów jego argumentów. {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta f(\vec{x})|=\sqrt{\sum^n_{i=1}{{\left ({{\partial f(\vec{x})}\over{\partial x_i}}\right )}^2}{|\Delta x_i|}^2}</MATH>|17.1}} == Określanie błędów pomiarowych metodą różniczki zupełnej == To jest metoda, w której w fizyce doświadczalnej określa się błąd pewnej skomplikowanej zmiennej, mając na uwadze n zmiennych, tzn. x{{Sub|i}}, które są niezależne od siebie. Z wiadomości o analizie matematycznej różniczkę funkcji f można rozłożyć jako sumę n składników, w których każda jest iloczynem pochodnej cząstkowej funkcji f względem i-tej zmiennej x{{Sub|i}} pomnożonej przez różniczkę x{{Sub|i}}. {{CentrujWzór|<MATH>df(\vec{x})=\sum^n_{i=1}{{\partial f(\vec{x})}\over {\partial x_i} }dx_i</MATH>|17.2}} Będziemy dokonywali zastępowania wszystkich wyrazów z różniczkami ich wartościami bezwzględnymi z pewnych delt jakiś zmiennych dla której liczymy błąd: {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta f(\vec{x})|=|\sum^n_{i=1}{{\partial f(\vec{x})}\over{\partial x_i}}\cdot\Delta x_i|\leq \sum^n_{i=1}\left |{{\partial f(\vec{x})}\over{\partial x_i}}\right| \cdot|\Delta x_i|</MATH>|17.3}} Maksymalny błąd funkcji złożonej {{Formuła|<MATH>f(\vec{x})\;</MATH>}} w zależności od błędów jego argumentów, jest określony według końcowych rozważań przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|17.3}}: {{CentrujWzór|<MaTH>|\Delta f(\vec{x})|=\sum^n_{i=1}\left |{{\partial f(\vec{x})}\over{\partial x_i}}\right| \cdot|\Delta x_i|</MATH>|17.4}} Odchylenia &Delta; x{{Sub|i}} powinny być małe, ponieważ dla ich dużych wartości szereg Taylora staje się rozbieżny i liczenie błędu pomiarowego prowadzi na manowce. == Błąd przeciętny == Błędem przeciętnym nazywamy wielkość zdefiniowana jako stosunek wartości bezwzględnej odchyleń wyników pomiarów od jej wartości średniej policzonej wzorem {{LinkWzór|1.1|Średnie_w_matematyce_statystycznej}} przez liczbę wszystkich dokonanych pomiarów. {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta x|={\sum^n_{i=1}{|x_i-\overline{x}|}\over{n}}</MATH>|17.5}} == Średni błąd kwadratowy pomiaru == Średnim błędem kwadratowym nazywamy pierwiastkiem stosunku sumy kwadratów odchyleń poszczególnych pomiarów od wartości średniej policzonej wzorem {{LinkWzór|1.1|Średnie_w_matematyce_statystycznej}} przez liczbę wszystkich pomiarów. {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta x|=\sqrt{{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\over{n}}</MATH>|17.6}} == Średni błąd pomiarowy wyników == Średnim błędem pomiarów uzyskanych w doświadczeniu, w której panuje rozkład normalny jest obliczany wedle wzoru {{LinkWzór|6.17|Pobieranie_próby}} i jest określona jako pierwiastek ilorazu sumy kwadratu odchyleń pomiarów od wartości średniej policzonej wedle wzoru {{LinkWzór|1.1|Średnie_w_matematyce_statystycznej}} przez liczbę pomiarów minus jeden: {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta x|=\sqrt{{{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\over{n-1}}}</MATH>|17.7}} == Średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej == Średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej nazywamy błąd średniej arytmetycznej w zależności od błędu pomiaru okreslanej jako ten błąd {{LinkWzór|17.7}} przez pierwiastek liczby przeprowadzonych pomiarów, co wynika ze wzoru {{LinkWzór|6.11|Pobieranie próby}}. {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta \overline{x}|={{|\Delta x|}\over{\sqrt{n}}}=\sqrt{{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\over{n(n-1)}}</MATH>|17.8}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> bq75x4cgnxqxaj826qgebp6d63lgft5 0 14132 558678 513438 2026-10-05T02:57:30Z Persino 2851 558678 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Matematyczny opis metody''' - jest to metoda aproksymacyjna dla punktów x&isin;(x{{Sub|0}},x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},x{{Sub|3}},..,x{{Sub|n}}), dla których wartości powinny wynosić: y&isin;(y{{Sub|0}},y{{Sub|1}},y{{Sub|2}},y{{Sub|3}},...,y{{Sub|n}}). Zbudujmy funkcję S(x), taką, że: {{CentrujWzór|<MATH>S(\vec{x},\vec{y})=\sum^n_{i=0}\Big( y_i-f(x_i)\Big)^2</MATH>|18.1}} Funkcja S jest taką funkcją, która jest najmniejsza przy wyborze funkcji należących do zbioru F przy parze (x{{Sub|i}},y{{Sub|i}}). == Aproksymacja wielomianami W{{Sub|n}}(x) == Obierzmy funkcję f(x) jako pewien wielomian w celu aproksymacji zbioru punktów {{Formuła|<MATH>P\in(\vec{x},\vec{y})</MATH>}} ze współczynnikami a{{Sub|l}} w bazie n+1 wymiarowej, którego elementami bazy są wyrazy x{{Sup|i}}, które tworzą funkcję y: {{CentrujWzór|<MATH>y=\sum^r_{i=0}a_i x^i</MATH>|18.2}} Napiszmy wielomian {{Formuła|<MATH>S(\vec{x},\vec{y})\;</MATH>}} znając już obraną funkcję f(x), wedle definicji wielomianu {{LinkWzór|18.2}}, wtedy zbudujmy nasz funkcjonał: {{CentrujWzór|<MATH>S(\vec{x},\vec{y})=\sum^n_{i=0} \Big(y_i-\sum^r_{k=0}a_k x_i^k\Big)^2</MATH>|18.3}} Zbadajmy przy jakich parametrach a{{Sub|l}} funkcja S(x) {{LinkWzór|18.3}} przyjmuje wartość najmniejszą, zatem przy tych warunkach {{LinkWzór|18.3}} przyjmuje wartość ekstremalną, zatem wtedy z definicji ekstremum możemy policzyć pierwszą pochodną naszego wyrażenia i przyrównać ją do zera. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S(\vec{x},\vec{y})}\over{\partial a_l}}=0</MATH>|18.4}} Mamy już funkcję S(x) {{LinkWzór|18.3}} oraz warunek ekstremum {{LinkWzór|18.4}}, dalej wyznaczmy pewien wielomian, tzn. jego współczynniki o numerach a{{Sub|l}} w celu wyznaczenia pełnej postaci wielomianu stopnia "r" {{LinkWzór|18.2}}, które później przekształcimy go do bardziej zgrabnej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum^n_{i=0} \Big(y_i-\sum^r_{k=0}a_k x_i^k\Big)x^{l}_i\Rightarrow\sum^n_{i=0}y_ix^l_i=\sum^r_{k=0}a_k\sum^n_{i=0}x^k_i x_i^l</MATH>|18.5}} Na podstawie końcowych obliczeń zachodzących w punkcie {{LinkWzór|18.5}} możemy stworzyć odpowiednią macierz B, a także wektor pionowy {{Formuła|<MATH>\vec{Y}\;</MaTh>}}, również wektor pionowy współczynników liniowych {{Formuła|<MATh>\vec{A}\;</math>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> B=\begin{bmatrix} n & \sum^n_{i=0}x_i &\cdots&\sum^n_{i=0}x_i^r\\ \sum^n_{i=0}x_i & \sum^n_{i=0}x_i^2 &\cdots&\sum^n_{i=0}x_i^{r+1}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ \sum^n_{i=0}x_i^r&\sum^n_{i=0}x_i^{r+1}&\cdots&\sum^n_{i=0}x_i^{2r} \end{bmatrix}</MATH>|18.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Y}=\begin{bmatrix} \sum^n_{i=0}y_i \\ \sum^n_{i=0}y_ix^1_i\\ \vdots\\ \sum^n_{i=0}y_ix^r_i \end{bmatrix}</MATH>|18.7}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}=\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1\\ \vdots\\ a_r \end{bmatrix}</MATH>|18.8}}}} Równanie wynikające z końcowego wniosku {{LinkWzór|18.5}} można zapisać, na postawie definicji macierzy B {{LinkWzór|18.6}}, a także z definicji wektora pionowego {{Formuła|<MAth>\vec{Y}\;</math>}} {{LinkWzór|18.7}}, a także {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</math>}} {{LinkWzór|18.9}}, jako równanie macierzowe w postaci macierzowej: {{CentrujWzór|<MATH>BA=Y\Rightarrow A=B^{-1}Y</MATH>|18.9}} Z końcowego wzoru {{LinkWzór|18.9}} możemy wyznaczyć współczynniki liniowe występujące w definicji wielomianu {{LinkWzór|18.2}}. * Jednakże musi zachodzić zawsze {{Formuła|<MATH>\operatorname{det} B \not = 0</MATH>}}, aby istniała jego macierz odwrotna. Również zachodzi z przedstawienia macierzy {{LinkWzór|18.6}} właściwość: {{CentrujWzór|<MATH>B=B^T\,</MATH>|18.10}} Zatem macierz B na podstawie warunku {{LinkWzór|18.10}} jest macierzą samą do siebie symetryczną. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rzc79z7pdk15ok80xddhp39yr3tqoqy 0 14133 558576 513570 2026-10-04T17:50:53Z Persino 2851 558576 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Przedstawimy tutaj podstawowe rozkłady obowiązujące w fizyce statystycznej a w szczególności w fizyce klasycznej, a mianowicie rozkład Bolzmanna, Maxwella a także ich wyprowadzenia. Także przedstawimy podstawowe relację obowiązujące w tychże rozkładach. == Inne ogólne wyprowadzenie ogólnego rozkładu kanonicznego == Wyprowadźmy ogólny rozkład kanoniczny dla jakiegoś układu zakładając, z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}}. Prawdopodobieństwo, że układ ma energię E dla układu o liczbie cząstek N, objętości V i znajduje się w czasie t, wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>P=P(E,N,V,t)\;</MATH>|14.1}} Na podstawie {{LinkWzór|12.25|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} prawdopodobieństwo termodynamiczne jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa, że układ jest o średniej energii {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, objętości zajmowane przez nie {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i znajdującym się średnio w czasie {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, co ona jest równa jako iloraz stałej {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} (liczba wszystkich zdarzeń, że układ jest w stanie {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}}) przez prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>AP^{-1}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=\Omega\Rightarrow P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)={{A}\over{\Omega}}\Rightarrow\Omega={{A}\over{P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)}}\;</MATH>|14.2}} Z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} mamy relację, którego prawa strona jest zależna od temperatury a lewa od energii wewnętrznej układu, średniej liczby cząstek i objętości zajmowanej przez nie: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{k_BT}}={{\partial\ln {{A}\over{P}}}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)\Rightarrow {{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{1}\over{k_BT}}=-\beta\;</MATH>|14.3}} Funkcję prawdopodobieństwa realizacji układu ln P {{LinkWzór|14.1}} możemy rozłożyć w szereg Taylora w otoczeniu punktu średniej energii układu z dokładnością do wyrazów liniowych: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq A+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(E-\overline E)+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(V-\overline V)+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(N-\overline N)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(t-\overline t)=F+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)E+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)V+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)N+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)t=F+BE+CV+DN+Et\;</MATH>|14.4}} Co dalej podstawiając do wzoru na logarytm funkcji P {{LinkWzór|14.4}} wzór {{LinkWzór|14.3}}, mamy {{Formuła|<MATH>B=-\beta\;</MATH>}}, co w ten sposób dostajemy wzór na logarytm funkcji prawdopodobieństwa względem energii wewnętrznej w punkcje E, objętości V zajmowanej przez cząstki, liczby cząstek N i czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq F-\beta E+CV+DN+Et\;</MATH>|14.5}} Otrzymana tożsamość {{LinkWzór|14.5}} na logarytm funkcji prawdopodobieństwa, co z której wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa zależnej od &beta;, energii E, objętości V, liczby cząstek N i czasu t w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P=F-\beta E+CV+D N=F-\beta(E+GV+HN+It)\Rightarrow P=e^{F-\beta(E+GV+HN+It)}=e^{F}e^{-\beta (E+GV+HN+It)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=Ce^{-\beta (E+GV+HN+It)}=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\Rightarrow P=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\;</MATH>|14.6}} Wzór na stałe G i H w {{LinkWzór|14.6}} wyznaczamy podobnie jak w ogólnym rozkładzie kanonicznym w rozdziale {{sr|#Ogólne wyprowadzenie rozkładów dyskretnych, czyli ogólny rozkład kanoniczny|b=tak}} przy tym samym rozkładzie. Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E, zajmują objętość V, liczba tych cząstek jest N i są w czasie t, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadków pseudociągłych, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. A w przypadku dyskretnym w stanach zdegenerownych wzór {{LinkWzór|14.6}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|14.6u}} Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E{{Sub|i}}, zajmują objętość V{{Sub|i}}, liczba tych cząstek jest N{{Sub|i}} i są w czasie t{{Sub|i}}, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadku dyskretnego, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. == Rozkład Boltzmanna == A ponieważ energia {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, jako suma energii poszczególnych cząstek {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}} z definicji energii mechanicznej, i objętość jest sumą objętości zajmowanych przez poszczególne cząstki, jest przedstawiana: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E=\sum_iE_{i}\;</MATH>|14.7a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>V=\sum_i V_i\;</MATH>|14.7b}}}} Wtedy wzór na prawdopodobieństwo, że układ jest w stanie o energii E i objętości V przedstawia się jako iloczyn prawdopodobieństw, że cząstki będą miały energię {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}}, co można udowodnić z zasady zachowania energii mechanicznej {{LinkWzór|14.7a}}, i objętość, co można udowodnić z addywności objętości zajmowanych przez cząstki {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|14.7b}}: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=Ce^{-\beta (E+GV+H N)}=Ce^{\beta\sum_i(E_{i}+GV_i+H)}=C\prod_ie^{-\beta (E_{i}+GV_i+H)}=\prod_i Fe^{-\beta (E_i+GV_i+H)}=\prod_i P_i\;</MATH>|14.8}} Stąd na podstawie wywodu {{LinkWzór|14.8}} prawdopodobieństwo, że cząstka będzie posiadała energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i zajmowała objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} jest pisana również w zależności od temperatury T czyli od &beta;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta(E_i+GV_i+H)}\;</MATH>|14.9}} Stałe G i H w {{LinkWzór|14.9}} są takie same jak w rozkładzie dyskretnych w fizyce statystyczne dla poszczególnych rozważanych układów. A oto przykłady rozkładów Boltzmanna {{LinkWzór|14.9}} dla układu zamkniętego o stałej objętości, zamkniętego o niestałej objętości, otwartego o stałej objętości i otwartego o niestałej objętości: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta E_i}\;</MATH>|P1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|P2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i-\mu)}\;</MATH>|P3}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwary o niestałej objętości (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|P4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Możemy policzyć stałą F ze wzoru normującego funkcję P(E{{Sub|i}}) do jedynki z definicji funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum_iP_i=\sum_iFe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}=F\sum_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\Rightarrow F={{1}\over{\sum_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}}}\;</MATH>|14.10}} Odwrotność stałej F nazwijmy sumą statystyczną naszego rozważanego problemu, wtedy wzór na prawdopodobieństwo jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|14.11}} '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} energia cząstki w stanie {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_i)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}}. Wzór na średnią energię cząstki piszemy z definicji średniej ważonej jako: {{CentrujWzór|<MATH>\overline E_i={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}\;</MATH>|14.12a}} A na średnią objętość zajmowanej przez cząstkę: {{CentrujWzór|<MATH>\overline V_i={{1}\over{Z}}\sum_i V_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial C}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial C}}\;</MATH>|14.12ab}} Jeśli energia i objętość zajmowaną przez cząstkę jest ciągła dla którego liczymy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię i zajmuje jakąś objętość, to wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka jest w tym stanie należy zastąpić gęstością prawdopodobieństwa, wtedy wzór {{LinkWzór|14.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V)=Ce^{-\beta (E+pV-\mu)}\;</MATH>|14.13}} === Układ o stałej objętości i liczbie cząstek === Jeśli w układzie występuje tylko energia mechaniczna, to ona jest sumą jej energii kinetycznej i potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>E=E_k+E_p\;</MATH>|14.14}} Przy pomocy definicji na energię mechaniczną {{LinkWzór|14.14}}, wzór na prawdopodobieństwo, że układ posiada tą energię mechaniczną {{LinkWzór|14.13}} w układzie zamkniętym o stałej objętości zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=Ce^{-\beta E}=Ce^{-\beta(E_k+E_p)}=Ce^{-\beta E_k}e^{-\beta E_p}=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.15}} Zatem wyrażenie {{LinkWzór|14.15}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.16|Obramuj}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>E_p\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii mechanicznej, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej. Prawdopodobieństwa uzyskania energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} i potencjalnej {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, stąd wynika, że rozkład {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} też jest unormowany do jedynki. Podobnie jak w {{LinkWzór|14.16}} zachodzi podobnie dla przypadku gdy energia E jest wielkością ciągłą. == Rozkład Maxwella == Jeśli mamy gęstość prawdopodobieństwa energii potencjalnej, która nie zależy od punktu, w którym liczymy ową gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada takową energię potencjalną, oraz że poszczególne cząsteczki nie oddziaływują ze sobą, czyli nie mają wzajemnej energii potencjalnej, zatem ta gęstość prawdopodobieństwa jest wielkością stałą i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_p)=\operatorname{const}\;</MATH>|14.17}} Wtedy gęstość uzyskania przez cząstki energii kinetycznej i potencjalnej {{LinkWzór|14.16}} możemy przecałkować po wszystkich punktach należących do danego układu, które cząstki mogą posiadać, wiedząc że gęstość uzyskania przez cząstkę danego punktu nie zależy od niego i nasz rozkład Boltzmanna w części należącej do energii potencjalnej jest unormowany do jedynki po punktach należących do rozważanego układu, wtedy otrzymujemy wzór na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_k)=Ce^{-{{E_k}\over{k_BT}}}</MATH>|14.18}} Jest to gęstość prawdopodobieństwa , że cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. Energię kinetyczną cząstki można rozpisać na trzy składniki względem każdej współrzędnej w układzie kartezjańskim wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>E_k={{mv^2}\over{2}}={{m}\over{2}}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)={{mv_x^2}\over{2}}+{{mv_y^2}\over{2}}+{{mv_z^2}\over{2}}=E_{kx}+E_{ky}+E_{kz}</MATH>|14.19}} Mając związek {{LinkWzór|14.19}}, to rozkład na gęstość prawdopodobieństwa można rozpisać jako iloczyn gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka będzie posiadała daną energię względem jakieś ściśle określonej współrzędnej. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=Ce^{-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}}=Ce^{-\beta E_{kx}}e^{-\beta E_{ky}}e^{-\beta E_{kz}}=\rho( E_{kx})\rho(E_{ky})\rho(E_{kz})=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})</MATH>|14.20}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|14.20}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\;</MATH>|14.21|Obramuj}} '''gdzie:''' {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_{kx})=De^{-\beta E_{ki}}</MATH>|14.22}} Biorąc z mechaniki klasycznej energię cząstki dla jednej współrzędnej {{LinkWzór|14.22}} względem energii posiadanej przez cząstkę względem i-tej osi, wtedy możemy zapisać go względem prędkości cząstki, tzn. {{Formuła|<MATH>\rho(E_{kx})\sim \rho(v_i)\;</MATH>}}, wtedy ta gęstość prędkości, że cząstka będzie będzie miała jakąś współrzędną o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=D e^{-{{mv_i^2}\over{2}}}</MATH>|14.23}} Następnym krokiem jest unormowanie rozkładu {{LinkWzór|14.21}}, a więc z normowania {{LinkWzór|14.21}} względem objętości infinitezymalnej {{Formuła|<MATH>d^3\vec{v}\;</MATH>}}, wynika normowanie funkcji {{LinkWzór|14.23}} względem objętości w przestrzeni jednowymiarowej {{Formuła|<MATH>dv_i\;</MATH>}} dla ściśle określonej współrzędnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\rho(E_k)d^3\vec{v}=\int_{v_{k1}}\int_{v_{k2}}\int_{v_{k3}}\left(\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\right)dv_{k1}dv_{k2}dv_{k3}=\prod^3_{i=1}\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}\Rightarrow\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}=1</MATH>|14.24}} Z warunku normalizacyjnego podczas całkowania po całej objętości przestrzeni jednowymiarowej względem współrzędnej prędkości o numerze i-tej możemy policzyć stałą normalizacyjną występującą w {{LinkWzór|14.23}}. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_{-\infty}^{\infty}\rho(v_i)dv_i=D\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}= D\sqrt{{{\pi}\over{{{m}\over{2k_BT}}}}}=D\sqrt{{{2\pi k_BT }\over{m}}}\Rightarrow D=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}</MATH>|14.25}} Korzystając z {{LinkWzór|14.25}} dla stałej {{Formuła|<MATH>D\;</MATH>}}, wtedy rozkład {{LinkWzór|14.23}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.26}} == Rozkład Maxwella-podsumowanie == Gęstość prawdopodbieństwa, że dana cząstka posiada wektor prędkości jest wyrażona przez wzór {{LinkWzór|14.21}} poprzez {{LinkWzór|14.26}}, wtedy prawdopodobieństwo uzyskania prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}} jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v})={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.27}} Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada element prędkości o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}}, zatem to możemy wyznaczyć w sposób dla pierwszej współrzędnej, dla współrzędnej drugiej i trzeciej wyznaczamy podobnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_1)dv_1=\int_{v_2=-\infty}^{\infty}\int_{v_3=-\infty}^{\infty}{\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv_1dv_2dv_3={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(\int_{v_2=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_2^2}\over{2k_BT}}}dv_2\right)\left(\int_{v_3=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_3^2}\over{2k_BT}}}dv_3\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}{{2\pi k_BT}\over{m}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1\Rightarrow\rho(v_1)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.28}} Uogólniając wniosek {{LinkWzór|14.28}} dla i-tej współrzędnej otrzymujemy wzór {{LinkWzór|14.26}}, który jest gęstością prawdopodobieństwa, że dany element współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} posiada wartość {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} dla danej cząstki, wynikających ze wzoru {{LinkWzór|14.27}}. Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że cząstka posiada daną wartość prędkości jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)dv=\int_{v^2=const}\rho(\vec{v})dv_xdv_ydv_z= \int_{v^2=const}{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }dv_xdv_ydv_z={\left( {{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv\int_0^{2\pi}d\phi\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\int_0^{\pi} \left(\sin\theta d\theta\right)=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv</MATH>|14.29}} {{Rysunek|Maxwell-Boltzmann distribution 1.png|w1|Rozkład Maxwella-Boltzmanna dla tlenu dla temperatur -100°C,20°C i 600°C.}} Według {{LinkWzór|14.29}} gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2</MATH>|14.30}} Ilość cząstek o danej wartości prędkości jest wyrażone przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>dN=N\rho(v)dv=4\pi N{\left( {{m}\over {2\pi k_BT}} \right) }^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv</MATH>|14.31}} === Prędkość najbardziej prawdopodobna === W tym celu skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy można policzyć prędkość {{Formuła|<MATH>u_p</MATH>}} najbardziej prawdopodobną, które osiągana jest w ekstremum według wspomnianego wzoru. Warunek na ekstremum lokalne względem omawianego rozkładu gęstości, że cząstka posiada daną gęstość prawdopodobieństwa, o jej największej wartości jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>0={{{d\rho(v)}\over{dv}}\Bigg|}_{v=u_p}</MATH>|14.32}} Wtedy możemy policzyć nasze ekstremum w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>u_p\;</MATH>}}, zatem wtedy musimy podstawić wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.30}} do równości {{LinkWzór|14.32}}, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>0={{d}\over{dv}}\left({\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}4\pi u_p^2\right)={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}4\pi {{d}\over {dv}}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}u^2_p={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(2 u_p e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}+u_p^2 e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{{-2mu_p}\over {2k_BT}}\right)=</MATH>{{Br}} <MATH>={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}2u_pe^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{\left({1-{{u_p^2m}\over{2k_BT}}}\right)}\Rightarrow 1={{u_p^2m}\over{2k_BT}}\Rightarrow u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.33}} === Średnia kwadratowa prędkość === Średnią kwadratowa wartość prędkości jaką posiada dany układ cząstek wyznaczamy z definicji wartości średniej kwadratu wartości prędkości cząstki jako całka iloczynu kwadratu wartości prędkości i prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości, która jest iloczynem infizymalnej zmiany prędkości i gęstości prawdopodobieństwa. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0} v^2 \rho(v)dv</MATH>|14.34}} Do równania {{LinkWzór|14.34}} podstawiamy wzór na gęstość prawdopodobieństwa wartości prędkości napisaną według wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że średni kwadrat prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^2\underbrace{4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} v^2e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}}_{\rho(v)} dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}}\int\limits^{\infty}_{0}v^4 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} {{1}\over{2}}{3\over 4}{\left({{2k_BT}\over {m}}\right)}^{5\over 2}\sqrt{\pi}={{3k_BT}\over{m}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.35}} Widzimy, że końcowy wzór {{LinkWzór|14.35}} na omawianą średnią zależy od pierwiastka temperatury bezwzględnej T. === Średnia arytmetyczna prędkość === Średnią arytmetyczną prędkości cząstki możemy policzyć z definicji wartości średniej dla parametru ciągłego względem wartości prędkości, która przyjmuje wartości niezerowe: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0} v\rho(v)</MATH>|14.36}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}} na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości, wtedy można policzyć jej wartość średnią wedle wzoru {{LinkWzór|14.36}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv4\pi=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_{0}v^3 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv</MATH>|14.37}} Ale znamy z analizy matematycznej wynika tożsamość poniżej, z której policzymy pochodną względem parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha^{-1}_{i=1}=\int\limits^{\infty}_{0}v e^{-\alpha v^2}dv\Rightarrow{1\over 2}\alpha^{-2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3e^{-\alpha v^2}</MATH>|14.38}} Wtedy równanie {{LinkWzór|14.37}} według końcowej tożsamości {{LinkWzór|14.38}} przyjmuje wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2} {1\over 2}{\left({{2k_BT} \over {m}}\right)}^2=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.39}} == Porównanie średnich w rozkładzie Maxwella == Zestaw prędkości jakie wyznaczyliśmy poprzednio podamy poniżej: {{ElastycznyWiersz |1={{Center|'''Prędkość najbardziej prawdopodobna'''}}{{CentrujWzór|<MATH>u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.40}} |2={{Center|'''Prędkość kwadratowa'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.41}} |3={{Center|'''Prędkość średnia'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.42}} }} Porównując te trzy średnie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}>\overline{v}>u_p</MATH>|14.43}} A oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{{{3k_BT}\over { m}}}>\sqrt{{{8k_BT}\over{\pi m}}}>\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}\Rightarrow 3>{{8}\over{\pi}}>2\Rightarrow 3>2,548>2</MATH>|14.44}} Czyli widzimy, ze stałe określające różne rodzaje prędkości dla rozkładu Maxwella nie są jednakowe. == Rozkład prędkości względnych w rozkładzie Maxwella == Napiszmy rozkład, że pierwsza cząstka posiada prędkość: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH>m_1\;</MATH>}}, a druga prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH> m_2\;</MATH>}}, który jest iloczynem dwóch gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.27}}, każde dla innej cząstki opisującej jego prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v_1},\vec{v}_2)=dw(\vec{v_1})dw(\vec{v}_2)=\left({{m_1m_2}\over{(2\pi k_BT)^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1v_1^2}\over{k_BT}}}e^{-{{m_2v_2^2}\over{k_BT}}}d\vec{v}_1d\vec{v}_2</MATH>|14.45}} Możemy ułożyć układ równań opisujący prędkość środka masy tychże dwóch cząstek {{Formuła|<MATH>\vec{G}\;</MATH>}} (pierwsze równanie), a także ich prędkość względna {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{12}\;</MATH>}} (drugie równanie) w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{G}\\ \vec{v}_1-\vec{v}_2=\vec{v}_{12} \end{cases}</MATH>|14.46}} Policzmy, z układu równań {{LinkWzór|14.46}} prędkości: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2</MATH>}}. Jeśli znamy prędkość środka masy i prędkość względną, w tym celu rozwiążmy wspomniany układ równań w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} dla pierwszej cząstki i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} dla drugiej cząstki. W tym celu wyznaczmy wyznacznik powyższego układu: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} m_1&m_2\\ 1&-1 \end{vmatrix}=-m_1-m_2=-M</MATH>|14.47}} Również wyznaczniki dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} pierwszego ciała oraz dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} drugiego ciała wyrażają się wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_1}=\begin{vmatrix} M\vec{G}&m_2\\ \vec{v}_{12}&-1 \end{vmatrix}=-M\vec{G}-m_2\vec{v}_{12}</MATH>|14.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_2}=\begin{vmatrix} m_1&M\vec{G}\\ 1&\vec{v}_{12} \end{vmatrix}=m_1\vec{v}_{12}-M\vec{G}</MATH>|14.49}} }} Wyniku ostatecznych obliczeń otrzymujemy prędkości obu cząstek, znają ich prędkość środka masy i prędkość względną {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{W_{\vec{v}_1}}\over{W}}=\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{W_{\vec{v}_2}}\over{W}}=\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.51}}}} Wyznaczmy wyrażenie poniżej względem prędkości środka masy i prędkości względnej obu badanych cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{v}_1d\vec{v}_2=|J|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} {{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ {{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} 1&{{m_2}\over{M}}\\ 1&-{{m_1}\over{M}} \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=</MATH>{{Br}}<MATH>=\left|-{{m_1}\over{M}}-{{m_2}\over{M}}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}={{m_1+m_2}\over{M}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}=d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.52}} A zatem nasz rozkład {{LinkWzór|14.45}} wykorzystując przy tym obliczoną tożsamość {{LinkWzór|14.52}}, w której występują zamiast prędkości dwóch określonych cząstek wielkości, tzn. prędkość środka masy i prędkość względna, wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dwie cząstki będą posiadać prędkość, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_1\vec{v}_2)=dw(\vec{G},\vec{v}_{12})= \left({{{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{m_1+m_2}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1\left(\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\right)^2}\over{2k_BT}}}\cdot e^{-{{m_2(\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12})^2}\over{2\pi k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.53}} Wprowadźmy nowe parametry, który wstawimy do rozkładu {{LinkWzór|14.53}}, którą nazwiemy masą zredukowaną, wtedy wzór na całkowitą masę dwóch cząstek będący sumą mas pierwszej m{{Sub|1}} i drugiej cząstki m{{Sub|2}} i na masę zredukowaną jest: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\mbox{ lub inaczej }{{1}\over{\mu}}={{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\;</MATH>|14.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1+m_2=M\;</MATH>|14.55}} }} Można również udowodnić, że wielkość masy zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} {{LinkWzór|14.54}} jest pomiędzy masami obu cząstek, które opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu<m_1\wedge\mu<m_2\;</MATH>|14.56}} Wtedy rozkład {{LinkWzór|14.53}} przy definicjach {{LinkWzór|14.54}} (masa zredukowana) i {{LinkWzór|14.55}} (całkowita masa dwóch cząstek) jest napisany wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1G^2+2m_1{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\vec{G}+m_2G^2-2m_2{{m^1}\over{M}}\vec{G}\vec{v}_{12}+m_1{{m_2^2}\over{M^2}}v^2_{12}+m_2{{m_1^2}\over{M^2}}v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>{{Br}}<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}} e^{-{{(m_1+m_2)G^2+{{m_1m_2}\over{M^2}}v^2_{12}M}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{MG^2+\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.57}} Wzór {{LinkWzór|14.57}} jest iloczynem dwóch rozkładów gęstości prawdopodobieństwa, tzn. gęstości prawdopodobieństwa prędkości środka masy o masie M dwóch cząstek jakie one mogą posiadać i prędkości względnej tych cząstek o masie zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=dw(\vec{G})dw(\vec{v}_{12})</MATH>|14.58}} Ostatecznie otrzymujemy dwa rozkłady, na prędkość względną cząstek i ich prędkość środka masy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}</MATH>|14.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.60}}}} == Rozkład Maxwella energii względem ściśle określonej osi == Energia kinetyczna względem danej osi jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_i={{mv_i^2}\over{2}}\Rightarrow v_i=\sqrt{{{2E_i}\over{m}}}\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{m}\over{2E_i}}}{{2}\over{m}}dE_i\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i</MATH>|14.61}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|14.61}} (infinitezymalna zmiana prędkości cząstki w zależności od jej infitezymalnej zmiany energii, ale to wszystko względem jakieś współrzędnej układu kartezjańskiego) i {{LinkWzór|14.26}} (rozkładu gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MaTh>}} jakieś współrzędnej o numerze "i"), wtedy nieskończenie małe prawdopodobieństwo, że cząstka posiada tą właśnie prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v_i)dv_i=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}dv_i= \sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i=\underbrace{\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}}_{\rho(E_i)}dE_i</MATH>|14.62}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.62}} rozkład gęstości energii względem danej osi opisujących tą energię jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_i)=\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}</MATH>|14.63|Obramuj}} == Rozkład Maxwella całkowitej energii == Z definicji całkowita energia kinetyczna znanej z mechaniki klasycznej Newtona wyznaczmy jego prędkość znając jego energię i na samym końcu wyznaczmy jak się zmienia infinitezymalna wartość prędkość znając jego infinitezymalną zmianę jego energii. Wszystkie te dysputy zapisujemy razem: {{CentrujWzór|<MATH>E={{mv^2}\over{2}}\Rightarrow v=\sqrt{{{2E}\over{m}}}\Rightarrow dv=\sqrt{{{m}\over{2E}}}{{2}\over{m}}dE\Rightarrow dv=\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE\;</MATH>|14.64}} Znając rozkład wartości prędkości według {{LinkWzór|14.30}} i {{LinkWzór|14.64}}, to infinitezymalna prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada całkowitą energię (tutaj energię kinetyczną): {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v)dv=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}{{2E}\over{m}}\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2^3E}\over{m^3}}}dE=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \underbrace{4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}}_{\rho(E)}dE\;</MATH>|14.65}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.65}} rozkład gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną jest przestawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{3\over 2}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}</MATH>|14.66|Obramuj}} == Równanie stanu gazu doskonałego == Gaz doskonały posiada cząsteczki o zerowej objętości nieoddziaływujących ze sobą, tzn. gaz ten posiada tylko energię kinetyczną, natomiast nie posiada energii potencjalnej. Zatem całkowita energia (mechaniczna) układu jest to tylko w tym przypadku energia kinetyczna, na którą składają się wszystkie cząstki układu. Wiemy, że statystyka Maxwella dla współrzędnej prędkości {{LinkWzór|14.25}} jest funkcją parzystą, i średnia energia kinetyczna (całkowita) policzona dla każdej osi jest jednakowa dla współrzędnych ({{Formuła|<MATH>\overline{E}_x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_y\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_z\;</MATH>}}) nie zależy od owych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_x=\overline{E}_y=\overline{E}_z={{1}\over{3}} \overline{E}\;</MATH>|14.67}} * gdzie: * {{Formuła|<MATH>\overline{E}\;</MATH>}} - średnia energia kinetyczna całego układu. Rozważmy sześcian z gazem doskonałym i ustalmy raz na zawsze oś z, która jest prostopadła do jednej ze ściśle określonej ścianki. Podczas odbicia od rozważanej ścianki prędkość zmienia się z {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-v_z\;</MATH>}}, ponieważ jest to odbicie doskonale sprężyste (energia kinetyczna (całkowita) cząstki się nie zmienia), czyli zmiana pędu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta p=mv_{z}-m(-v_{z})=2mv_z\;</MATH>|14.68}} A więc średnia siła, dzięki której oddziaływuje dana cząstka z rozważaną ścianką według drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{\Delta p_z}\over{\Delta t}}={{2mv_z}\over {\Delta t}}\;</MATH>|14.69}} W średnim czasie w jakim cząstka jaką potrzebują przebyć cząstka wzdłuż ścianki prostopadłej do rozważanej o długości {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}} z prędkością {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>v_z={{\Delta x}\over{\Delta t}}\Rightarrow \Delta t={{\Delta x}\over{v_z}}\;</MATH>|14.70}} Korzystamy z {{LinkWzór|14.70}}, wtedy równanie {{LinkWzór|14.69}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{2mv_z}\over{{{\Delta x}\over{v_z}}}}={{2mv_z^2}\over{\Delta x}}\;</MATH>|14.71}} Ale średnia siła działające na ściankę o powierzchni {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MAth>}} działających przez {{Formuła|<MATH>dN\;</MATH>}} cząstek lecących do ścianki o wspomnianej powierzchni o danej prędkości z prędkościami od zera do nieskończoności (cząstki z prędkościami ujemnymi wzdłuż linii prostopadłej do danej ścianki nie lecą w kierunku naszej ściśle określonej ścianki) jest wyrażona wzorem poniżej. Zakładamy że gęstość rozkładu prędkości zetowej jest funkcją parzystą (bo liczba cząstek lecących pod danym kątem bryłowym jest jednakowa, zatem nie zależy od kierunku w którym dana cząstka się porusza, wiedząc że żaden kierunek nie jest wyróżniony), wtedy liczba cząstek posiadająca prędkość zetową {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>dN(v_z)=NdP(v_z)=N{{dP(v_z)}\over{dv_z}}dv_z=N\rho(v_z)dv_z\Rightarrow dN(v_z)=N\rho(v_z)dv_z</MATH>|14.72}} * gdzie: ** {{Formuła|<MATH>dN(v_z)\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie o prędkości zetowej {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}}. ** {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie. ** {{Formuła|<MATH>dP(v_z)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka ma rozważaną prędkość zetową. ** {{Formuła|<MATH>\rho(v_z)\;</MATH>}} gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada rozważaną prędkość zetową. Korzystając z {{LinkWzór|14.72}} i z parzystości funkcji gęstości prawdopodobieństwa względem zmiennej v{{Sub|z}} dla rozkładu {{LinkWzór|14.26}}, wtedy całkowita średnia siła działająca na ściśle określoną ściankę przez wszystkie padające na nią cząstki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F_c=\sum^{N}_{i=1}\begin{cases}\Delta F(v_{iz})&\mbox{ dla }v_{iz}>0\\0&\mbox{ dla }v_{iz}\leq 0\end{cases}\simeq\int_{v_z=0}^{\infty}dN(v_z)\Delta F(v_z)=\int_0^{\infty}N\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=N\int_0^{\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=</MATH>{{Br}}<MATH>={{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z</MATH>|14.73}} Ciśnienie działające na ścianki naczynia przy średniej sile wyrażonej według {{LinkWzór|14.73}}, która jest ilorazem tej siły i powierzchni ścianki na którą pada jest wyrażona dla prędkości dodatnich: {{CentrujWzór|<MATH>p={{\Delta F_c}\over{\Delta S}}={{{{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v)\Delta F(v_z)dv_z}\over{\Delta S}}= {{N}\over{2\Delta S}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z){{2mv_z^2}\over{\Delta x}}dv_z= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}{{mv_z^2}\over{2}}\rho(v_z)dv_z=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z </MATH>|14.74}} Średnia energia jednej cząstki w układzie względem osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}^1_z=\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z\;</MATH>|14.75}} Objętość układu w której znajduje się {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} cząstek, jeśli nasz rozważany gaz znajduje się prostopadłościanie, którego jedna, ze ścianek ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MATH>}}, a krawędzie boczne mają długość {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}}, w którym w pewnym czasie wszystkie cząstki przebywają tą właśnie odległość by oddziaływać z tą omawianą ścianką z średnią siłą {{LinkWzór|14.73}},z definicji objętości tej figury piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>V=\Delta S\Delta x\;</MATH>|14.76}} Uwzględniając wzory {{LinkWzór|14.75}} (średnią energię zetową cząstki) i {{LinkWzór|14.76}} (objętość układu), wtedy wzór {{LinkWzór|14.74}} na ciśnienia wywieraną na ściankę przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>p={{2N}\over{V}}\overline{E}^1_z\Rightarrow pV=2N\overline{E}^1_z\;</MATH>|14.77}} Całkowita energia kinetyczną układu wzdłuż jednej osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest sumę wszystkich N średnich energii należących do wszystkich cząstek także względem tej osi, a ponieważ te energie są jednakowe, to średnią energię kinetyczną zetową wystarczy pomnożyć przez N i otrzymamy naszą energię średnią układu cząstek względem tej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_z=N\overline{E}^1_z</MATH>|14.78}} Widząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.78}} (średnia energia układu), a także {{LinkWzór|14.77}} (ciśnienie wywierane na jakoś ściankę prostopadłościanu), wtedy możemy napisać pewien wzór w zależności od całkowitej energii kinetycznej cząstek w zależności tylko od osi zetowej. {{CentrujWzór|<MATH>pV=2\overline{E}_z\;</MATH>|14.79}} Uwzględniając warunek {{LinkWzór|14.67}} (zależność energii zetowej kinetycznej w zależności od całkowitej jego energii też kinetycznej), wtedy wzór {{LinkWzór|14.79}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>pV=2{{1}\over{3}}\overline{E}\Rightarrow pV={{2}\over{3}}\overline{E}</MATH>|14.80}} Wyznaczmy średnią energię kinetyczną układu, w którym jest gaz doskonały, korzystając z rozkładu {{LinkWzór|14.31}}, z której wynika kwadrat średniej prędkości kwadratowej {{LinkWzór|14.35}}, wtedy średnia całkowita energia układu w zależności od temperatury układu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\int^{\infty}_{0}E(v)dN(v)=\int^{\infty}_{0}E(v)N\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\int_0^{\infty}v^2\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\overline{v^2}=N{{m}\over{2}}{{3k_BT}\over{m}}={{3}\over{2}}Nk_BT</MATH>|14.81}} Według rozkładu Maxwella całkowita energia układu wedle obliczeń {{LinkWzór|14.81}}, która jest zależna od temperatury układu i liczby cząstek należących do niego, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{3}\over{2}}Nk_BT\;</MATH>|14.82|Obramuj}} Podstawiamy wzór {{LinkWzór|14.82}} na średnią całkowitą energię układu do równania {{LinkWzór|14.80}} do jego prawej strony: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{2}\over{3}}{{3}\over{2}}Nk_BT\Rightarrow pV=Nk_BT\;</MATH>|14.83}} Korzystając z definicji liczby moli w zależności od jego liczby cząsteczek {{LinkWzór|6.2|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} i z definicji na stałą gazową {{LinkWzór|6.5|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, wzór {{LinkWzór|14.83}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>pV=n\underbrace{N_Ak_B}_{R}T\Rightarrow pV=nRT\;</MATH>|14.84}} Końcowe równania {{LinkWzór|14.84}}, {{LinkWzór|14.83}}, gdzie oba te wzory są ze sobą równoważne, są to równania stanu gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> s89htc4167t0w5bgx0ato1y60yuzpvh 558595 558576 2026-10-04T19:12:59Z Persino 2851 558595 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Przedstawimy tutaj podstawowe rozkłady obowiązujące w fizyce statystycznej a w szczególności w fizyce klasycznej, a mianowicie rozkład Bolzmanna, Maxwella a także ich wyprowadzenia. Także przedstawimy podstawowe relację obowiązujące w tychże rozkładach. == Inne ogólne wyprowadzenie ogólnego rozkładu kanonicznego == Wyprowadźmy ogólny rozkład kanoniczny dla jakiegoś układu zakładając, z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}}. Prawdopodobieństwo, że układ ma energię E dla układu o liczbie cząstek N, objętości V i znajduje się w czasie t, wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>P=P(E,N,V,t)\;</MATH>|14.1}} Na podstawie {{LinkWzór|12.25|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} prawdopodobieństwo termodynamiczne jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa, że układ jest o średniej energii {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, objętości zajmowane przez nie {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i znajdującym się średnio w czasie {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, co ona jest równa jako iloraz stałej {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} (liczba wszystkich zdarzeń, że układ jest w stanie {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}}) przez prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>AP^{-1}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=\Omega\Rightarrow P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)={{A}\over{\Omega}}\Rightarrow\Omega={{A}\over{P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)}}\;</MATH>|14.2}} Z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} mamy relację, którego prawa strona jest zależna od temperatury a lewa od energii wewnętrznej układu, średniej liczby cząstek i objętości zajmowanej przez nie: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{k_BT}}={{\partial\ln {{A}\over{P}}}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)\Rightarrow {{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{1}\over{k_BT}}=-\beta\;</MATH>|14.3}} Funkcję prawdopodobieństwa realizacji układu ln P {{LinkWzór|14.1}} możemy rozłożyć w szereg Taylora w otoczeniu punktu średniej energii układu z dokładnością do wyrazów liniowych: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq A+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(E-\overline E)+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(V-\overline V)+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(N-\overline N)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(t-\overline t)=F+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)E+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)V+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)N+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)t=F+BE+CV+DN+Et\;</MATH>|14.4}} Co dalej podstawiając do wzoru na logarytm funkcji P {{LinkWzór|14.4}} wzór {{LinkWzór|14.3}}, mamy {{Formuła|<MATH>B=-\beta\;</MATH>}}, co w ten sposób dostajemy wzór na logarytm funkcji prawdopodobieństwa względem energii wewnętrznej w punkcje E, objętości V zajmowanej przez cząstki, liczby cząstek N i czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq F-\beta E+CV+DN+Et\;</MATH>|14.5}} Otrzymana tożsamość {{LinkWzór|14.5}} na logarytm funkcji prawdopodobieństwa, co z której wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa zależnej od &beta;, energii E, objętości V, liczby cząstek N i czasu t w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P=F-\beta E+CV+D N=F-\beta(E+GV+HN+It)\Rightarrow P=e^{F-\beta(E+GV+HN+It)}=e^{F}e^{-\beta (E+GV+HN+It)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=Ce^{-\beta (E+GV+HN+It)}=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\Rightarrow P=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\;</MATH>|14.6}} Wzór na stałe G i H w {{LinkWzór|14.6}} wyznaczamy podobnie jak w ogólnym rozkładzie kanonicznym w rozdziale {{sr|p=Wprowadzenie do fizyki statystycznej|#Ogólne wyprowadzenie rozkładów dyskretnych, czyli ogólny rozkład kanoniczny|b=tak}} przy tym samym rozkładzie. Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E, zajmują objętość V, liczba tych cząstek jest N i są w czasie t, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadków pseudociągłych, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. A w przypadku dyskretnym w stanach zdegenerownych wzór {{LinkWzór|14.6}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|14.6u}} Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E{{Sub|i}}, zajmują objętość V{{Sub|i}}, liczba tych cząstek jest N{{Sub|i}} i są w czasie t{{Sub|i}}, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadku dyskretnego, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. == Rozkład Boltzmanna == A ponieważ energia {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, jako suma energii poszczególnych cząstek {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}} z definicji energii mechanicznej, i objętość jest sumą objętości zajmowanych przez poszczególne cząstki, jest przedstawiana: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E=\sum_iE_{i}\;</MATH>|14.7a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>V=\sum_i V_i\;</MATH>|14.7b}}}} Wtedy wzór na prawdopodobieństwo, że układ jest w stanie o energii E i objętości V przedstawia się jako iloczyn prawdopodobieństw, że cząstki będą miały energię {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}}, co można udowodnić z zasady zachowania energii mechanicznej {{LinkWzór|14.7a}}, i objętość, co można udowodnić z addywności objętości zajmowanych przez cząstki {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|14.7b}}: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=Ce^{-\beta (E+GV+H N)}=Ce^{\beta\sum_i(E_{i}+GV_i+H)}=C\prod_ie^{-\beta (E_{i}+GV_i+H)}=\prod_i Fe^{-\beta (E_i+GV_i+H)}=\prod_i P_i\;</MATH>|14.8}} Stąd na podstawie wywodu {{LinkWzór|14.8}} prawdopodobieństwo, że cząstka będzie posiadała energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i zajmowała objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} jest pisana również w zależności od temperatury T czyli od &beta;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta(E_i+GV_i+H)}\;</MATH>|14.9}} Stałe G i H w {{LinkWzór|14.9}} są takie same jak w rozkładzie dyskretnych w fizyce statystyczne dla poszczególnych rozważanych układów. A oto przykłady rozkładów Boltzmanna {{LinkWzór|14.9}} dla układu zamkniętego o stałej objętości, zamkniętego o niestałej objętości, otwartego o stałej objętości i otwartego o niestałej objętości: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta E_i}\;</MATH>|P1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|P2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i-\mu)}\;</MATH>|P3}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwary o niestałej objętości (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|P4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Możemy policzyć stałą F ze wzoru normującego funkcję P(E{{Sub|i}}) do jedynki z definicji funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum_iP_i=\sum_iFe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}=F\sum_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\Rightarrow F={{1}\over{\sum_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}}}\;</MATH>|14.10}} Odwrotność stałej F nazwijmy sumą statystyczną naszego rozważanego problemu, wtedy wzór na prawdopodobieństwo jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|14.11}} '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} energia cząstki w stanie {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_i)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}}. Wzór na średnią energię cząstki piszemy z definicji średniej ważonej jako: {{CentrujWzór|<MATH>\overline E_i={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}\;</MATH>|14.12a}} A na średnią objętość zajmowanej przez cząstkę: {{CentrujWzór|<MATH>\overline V_i={{1}\over{Z}}\sum_i V_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial C}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial C}}\;</MATH>|14.12ab}} Jeśli energia i objętość zajmowaną przez cząstkę jest ciągła dla którego liczymy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię i zajmuje jakąś objętość, to wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka jest w tym stanie należy zastąpić gęstością prawdopodobieństwa, wtedy wzór {{LinkWzór|14.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V)=Ce^{-\beta (E+pV-\mu)}\;</MATH>|14.13}} === Układ o stałej objętości i liczbie cząstek === Jeśli w układzie występuje tylko energia mechaniczna, to ona jest sumą jej energii kinetycznej i potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>E=E_k+E_p\;</MATH>|14.14}} Przy pomocy definicji na energię mechaniczną {{LinkWzór|14.14}}, wzór na prawdopodobieństwo, że układ posiada tą energię mechaniczną {{LinkWzór|14.13}} w układzie zamkniętym o stałej objętości zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=Ce^{-\beta E}=Ce^{-\beta(E_k+E_p)}=Ce^{-\beta E_k}e^{-\beta E_p}=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.15}} Zatem wyrażenie {{LinkWzór|14.15}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.16|Obramuj}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>E_p\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii mechanicznej, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej. Prawdopodobieństwa uzyskania energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} i potencjalnej {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, stąd wynika, że rozkład {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} też jest unormowany do jedynki. Podobnie jak w {{LinkWzór|14.16}} zachodzi podobnie dla przypadku gdy energia E jest wielkością ciągłą. == Rozkład Maxwella == Jeśli mamy gęstość prawdopodobieństwa energii potencjalnej, która nie zależy od punktu, w którym liczymy ową gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada takową energię potencjalną, oraz że poszczególne cząsteczki nie oddziaływują ze sobą, czyli nie mają wzajemnej energii potencjalnej, zatem ta gęstość prawdopodobieństwa jest wielkością stałą i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_p)=\operatorname{const}\;</MATH>|14.17}} Wtedy gęstość uzyskania przez cząstki energii kinetycznej i potencjalnej {{LinkWzór|14.16}} możemy przecałkować po wszystkich punktach należących do danego układu, które cząstki mogą posiadać, wiedząc że gęstość uzyskania przez cząstkę danego punktu nie zależy od niego i nasz rozkład Boltzmanna w części należącej do energii potencjalnej jest unormowany do jedynki po punktach należących do rozważanego układu, wtedy otrzymujemy wzór na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_k)=Ce^{-{{E_k}\over{k_BT}}}</MATH>|14.18}} Jest to gęstość prawdopodobieństwa , że cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. Energię kinetyczną cząstki można rozpisać na trzy składniki względem każdej współrzędnej w układzie kartezjańskim wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>E_k={{mv^2}\over{2}}={{m}\over{2}}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)={{mv_x^2}\over{2}}+{{mv_y^2}\over{2}}+{{mv_z^2}\over{2}}=E_{kx}+E_{ky}+E_{kz}</MATH>|14.19}} Mając związek {{LinkWzór|14.19}}, to rozkład na gęstość prawdopodobieństwa można rozpisać jako iloczyn gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka będzie posiadała daną energię względem jakieś ściśle określonej współrzędnej. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=Ce^{-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}}=Ce^{-\beta E_{kx}}e^{-\beta E_{ky}}e^{-\beta E_{kz}}=\rho( E_{kx})\rho(E_{ky})\rho(E_{kz})=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})</MATH>|14.20}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|14.20}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\;</MATH>|14.21|Obramuj}} '''gdzie:''' {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_{kx})=De^{-\beta E_{ki}}</MATH>|14.22}} Biorąc z mechaniki klasycznej energię cząstki dla jednej współrzędnej {{LinkWzór|14.22}} względem energii posiadanej przez cząstkę względem i-tej osi, wtedy możemy zapisać go względem prędkości cząstki, tzn. {{Formuła|<MATH>\rho(E_{kx})\sim \rho(v_i)\;</MATH>}}, wtedy ta gęstość prędkości, że cząstka będzie będzie miała jakąś współrzędną o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=D e^{-{{mv_i^2}\over{2}}}</MATH>|14.23}} Następnym krokiem jest unormowanie rozkładu {{LinkWzór|14.21}}, a więc z normowania {{LinkWzór|14.21}} względem objętości infinitezymalnej {{Formuła|<MATH>d^3\vec{v}\;</MATH>}}, wynika normowanie funkcji {{LinkWzór|14.23}} względem objętości w przestrzeni jednowymiarowej {{Formuła|<MATH>dv_i\;</MATH>}} dla ściśle określonej współrzędnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\rho(E_k)d^3\vec{v}=\int_{v_{k1}}\int_{v_{k2}}\int_{v_{k3}}\left(\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\right)dv_{k1}dv_{k2}dv_{k3}=\prod^3_{i=1}\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}\Rightarrow\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}=1</MATH>|14.24}} Z warunku normalizacyjnego podczas całkowania po całej objętości przestrzeni jednowymiarowej względem współrzędnej prędkości o numerze i-tej możemy policzyć stałą normalizacyjną występującą w {{LinkWzór|14.23}}. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_{-\infty}^{\infty}\rho(v_i)dv_i=D\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}= D\sqrt{{{\pi}\over{{{m}\over{2k_BT}}}}}=D\sqrt{{{2\pi k_BT }\over{m}}}\Rightarrow D=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}</MATH>|14.25}} Korzystając z {{LinkWzór|14.25}} dla stałej {{Formuła|<MATH>D\;</MATH>}}, wtedy rozkład {{LinkWzór|14.23}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.26}} == Rozkład Maxwella-podsumowanie == Gęstość prawdopodbieństwa, że dana cząstka posiada wektor prędkości jest wyrażona przez wzór {{LinkWzór|14.21}} poprzez {{LinkWzór|14.26}}, wtedy prawdopodobieństwo uzyskania prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}} jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v})={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.27}} Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada element prędkości o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}}, zatem to możemy wyznaczyć w sposób dla pierwszej współrzędnej, dla współrzędnej drugiej i trzeciej wyznaczamy podobnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_1)dv_1=\int_{v_2=-\infty}^{\infty}\int_{v_3=-\infty}^{\infty}{\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv_1dv_2dv_3={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(\int_{v_2=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_2^2}\over{2k_BT}}}dv_2\right)\left(\int_{v_3=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_3^2}\over{2k_BT}}}dv_3\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}{{2\pi k_BT}\over{m}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1\Rightarrow\rho(v_1)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.28}} Uogólniając wniosek {{LinkWzór|14.28}} dla i-tej współrzędnej otrzymujemy wzór {{LinkWzór|14.26}}, który jest gęstością prawdopodobieństwa, że dany element współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} posiada wartość {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} dla danej cząstki, wynikających ze wzoru {{LinkWzór|14.27}}. Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że cząstka posiada daną wartość prędkości jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)dv=\int_{v^2=const}\rho(\vec{v})dv_xdv_ydv_z= \int_{v^2=const}{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }dv_xdv_ydv_z={\left( {{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv\int_0^{2\pi}d\phi\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\int_0^{\pi} \left(\sin\theta d\theta\right)=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv</MATH>|14.29}} {{Rysunek|Maxwell-Boltzmann distribution 1.png|w1|Rozkład Maxwella-Boltzmanna dla tlenu dla temperatur -100°C,20°C i 600°C.}} Według {{LinkWzór|14.29}} gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2</MATH>|14.30}} Ilość cząstek o danej wartości prędkości jest wyrażone przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>dN=N\rho(v)dv=4\pi N{\left( {{m}\over {2\pi k_BT}} \right) }^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv</MATH>|14.31}} === Prędkość najbardziej prawdopodobna === W tym celu skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy można policzyć prędkość {{Formuła|<MATH>u_p</MATH>}} najbardziej prawdopodobną, które osiągana jest w ekstremum według wspomnianego wzoru. Warunek na ekstremum lokalne względem omawianego rozkładu gęstości, że cząstka posiada daną gęstość prawdopodobieństwa, o jej największej wartości jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>0={{{d\rho(v)}\over{dv}}\Bigg|}_{v=u_p}</MATH>|14.32}} Wtedy możemy policzyć nasze ekstremum w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>u_p\;</MATH>}}, zatem wtedy musimy podstawić wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.30}} do równości {{LinkWzór|14.32}}, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>0={{d}\over{dv}}\left({\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}4\pi u_p^2\right)={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}4\pi {{d}\over {dv}}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}u^2_p={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(2 u_p e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}+u_p^2 e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{{-2mu_p}\over {2k_BT}}\right)=</MATH>{{Br}} <MATH>={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}2u_pe^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{\left({1-{{u_p^2m}\over{2k_BT}}}\right)}\Rightarrow 1={{u_p^2m}\over{2k_BT}}\Rightarrow u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.33}} === Średnia kwadratowa prędkość === Średnią kwadratowa wartość prędkości jaką posiada dany układ cząstek wyznaczamy z definicji wartości średniej kwadratu wartości prędkości cząstki jako całka iloczynu kwadratu wartości prędkości i prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości, która jest iloczynem infizymalnej zmiany prędkości i gęstości prawdopodobieństwa. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0} v^2 \rho(v)dv</MATH>|14.34}} Do równania {{LinkWzór|14.34}} podstawiamy wzór na gęstość prawdopodobieństwa wartości prędkości napisaną według wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że średni kwadrat prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^2\underbrace{4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} v^2e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}}_{\rho(v)} dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}}\int\limits^{\infty}_{0}v^4 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} {{1}\over{2}}{3\over 4}{\left({{2k_BT}\over {m}}\right)}^{5\over 2}\sqrt{\pi}={{3k_BT}\over{m}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.35}} Widzimy, że końcowy wzór {{LinkWzór|14.35}} na omawianą średnią zależy od pierwiastka temperatury bezwzględnej T. === Średnia arytmetyczna prędkość === Średnią arytmetyczną prędkości cząstki możemy policzyć z definicji wartości średniej dla parametru ciągłego względem wartości prędkości, która przyjmuje wartości niezerowe: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0} v\rho(v)</MATH>|14.36}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}} na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości, wtedy można policzyć jej wartość średnią wedle wzoru {{LinkWzór|14.36}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv4\pi=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_{0}v^3 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv</MATH>|14.37}} Ale znamy z analizy matematycznej wynika tożsamość poniżej, z której policzymy pochodną względem parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha^{-1}_{i=1}=\int\limits^{\infty}_{0}v e^{-\alpha v^2}dv\Rightarrow{1\over 2}\alpha^{-2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3e^{-\alpha v^2}</MATH>|14.38}} Wtedy równanie {{LinkWzór|14.37}} według końcowej tożsamości {{LinkWzór|14.38}} przyjmuje wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2} {1\over 2}{\left({{2k_BT} \over {m}}\right)}^2=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.39}} == Porównanie średnich w rozkładzie Maxwella == Zestaw prędkości jakie wyznaczyliśmy poprzednio podamy poniżej: {{ElastycznyWiersz |1={{Center|'''Prędkość najbardziej prawdopodobna'''}}{{CentrujWzór|<MATH>u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.40}} |2={{Center|'''Prędkość kwadratowa'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.41}} |3={{Center|'''Prędkość średnia'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.42}} }} Porównując te trzy średnie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}>\overline{v}>u_p</MATH>|14.43}} A oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{{{3k_BT}\over { m}}}>\sqrt{{{8k_BT}\over{\pi m}}}>\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}\Rightarrow 3>{{8}\over{\pi}}>2\Rightarrow 3>2,548>2</MATH>|14.44}} Czyli widzimy, ze stałe określające różne rodzaje prędkości dla rozkładu Maxwella nie są jednakowe. == Rozkład prędkości względnych w rozkładzie Maxwella == Napiszmy rozkład, że pierwsza cząstka posiada prędkość: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH>m_1\;</MATH>}}, a druga prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH> m_2\;</MATH>}}, który jest iloczynem dwóch gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.27}}, każde dla innej cząstki opisującej jego prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v_1},\vec{v}_2)=dw(\vec{v_1})dw(\vec{v}_2)=\left({{m_1m_2}\over{(2\pi k_BT)^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1v_1^2}\over{k_BT}}}e^{-{{m_2v_2^2}\over{k_BT}}}d\vec{v}_1d\vec{v}_2</MATH>|14.45}} Możemy ułożyć układ równań opisujący prędkość środka masy tychże dwóch cząstek {{Formuła|<MATH>\vec{G}\;</MATH>}} (pierwsze równanie), a także ich prędkość względna {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{12}\;</MATH>}} (drugie równanie) w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{G}\\ \vec{v}_1-\vec{v}_2=\vec{v}_{12} \end{cases}</MATH>|14.46}} Policzmy, z układu równań {{LinkWzór|14.46}} prędkości: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2</MATH>}}. Jeśli znamy prędkość środka masy i prędkość względną, w tym celu rozwiążmy wspomniany układ równań w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} dla pierwszej cząstki i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} dla drugiej cząstki. W tym celu wyznaczmy wyznacznik powyższego układu: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} m_1&m_2\\ 1&-1 \end{vmatrix}=-m_1-m_2=-M</MATH>|14.47}} Również wyznaczniki dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} pierwszego ciała oraz dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} drugiego ciała wyrażają się wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_1}=\begin{vmatrix} M\vec{G}&m_2\\ \vec{v}_{12}&-1 \end{vmatrix}=-M\vec{G}-m_2\vec{v}_{12}</MATH>|14.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_2}=\begin{vmatrix} m_1&M\vec{G}\\ 1&\vec{v}_{12} \end{vmatrix}=m_1\vec{v}_{12}-M\vec{G}</MATH>|14.49}} }} Wyniku ostatecznych obliczeń otrzymujemy prędkości obu cząstek, znają ich prędkość środka masy i prędkość względną {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{W_{\vec{v}_1}}\over{W}}=\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{W_{\vec{v}_2}}\over{W}}=\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.51}}}} Wyznaczmy wyrażenie poniżej względem prędkości środka masy i prędkości względnej obu badanych cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{v}_1d\vec{v}_2=|J|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} {{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ {{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} 1&{{m_2}\over{M}}\\ 1&-{{m_1}\over{M}} \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=</MATH>{{Br}}<MATH>=\left|-{{m_1}\over{M}}-{{m_2}\over{M}}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}={{m_1+m_2}\over{M}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}=d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.52}} A zatem nasz rozkład {{LinkWzór|14.45}} wykorzystując przy tym obliczoną tożsamość {{LinkWzór|14.52}}, w której występują zamiast prędkości dwóch określonych cząstek wielkości, tzn. prędkość środka masy i prędkość względna, wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dwie cząstki będą posiadać prędkość, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_1\vec{v}_2)=dw(\vec{G},\vec{v}_{12})= \left({{{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{m_1+m_2}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1\left(\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\right)^2}\over{2k_BT}}}\cdot e^{-{{m_2(\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12})^2}\over{2\pi k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.53}} Wprowadźmy nowe parametry, który wstawimy do rozkładu {{LinkWzór|14.53}}, którą nazwiemy masą zredukowaną, wtedy wzór na całkowitą masę dwóch cząstek będący sumą mas pierwszej m{{Sub|1}} i drugiej cząstki m{{Sub|2}} i na masę zredukowaną jest: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\mbox{ lub inaczej }{{1}\over{\mu}}={{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\;</MATH>|14.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1+m_2=M\;</MATH>|14.55}} }} Można również udowodnić, że wielkość masy zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} {{LinkWzór|14.54}} jest pomiędzy masami obu cząstek, które opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu<m_1\wedge\mu<m_2\;</MATH>|14.56}} Wtedy rozkład {{LinkWzór|14.53}} przy definicjach {{LinkWzór|14.54}} (masa zredukowana) i {{LinkWzór|14.55}} (całkowita masa dwóch cząstek) jest napisany wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1G^2+2m_1{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\vec{G}+m_2G^2-2m_2{{m^1}\over{M}}\vec{G}\vec{v}_{12}+m_1{{m_2^2}\over{M^2}}v^2_{12}+m_2{{m_1^2}\over{M^2}}v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>{{Br}}<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}} e^{-{{(m_1+m_2)G^2+{{m_1m_2}\over{M^2}}v^2_{12}M}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{MG^2+\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.57}} Wzór {{LinkWzór|14.57}} jest iloczynem dwóch rozkładów gęstości prawdopodobieństwa, tzn. gęstości prawdopodobieństwa prędkości środka masy o masie M dwóch cząstek jakie one mogą posiadać i prędkości względnej tych cząstek o masie zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=dw(\vec{G})dw(\vec{v}_{12})</MATH>|14.58}} Ostatecznie otrzymujemy dwa rozkłady, na prędkość względną cząstek i ich prędkość środka masy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}</MATH>|14.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.60}}}} == Rozkład Maxwella energii względem ściśle określonej osi == Energia kinetyczna względem danej osi jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_i={{mv_i^2}\over{2}}\Rightarrow v_i=\sqrt{{{2E_i}\over{m}}}\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{m}\over{2E_i}}}{{2}\over{m}}dE_i\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i</MATH>|14.61}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|14.61}} (infinitezymalna zmiana prędkości cząstki w zależności od jej infitezymalnej zmiany energii, ale to wszystko względem jakieś współrzędnej układu kartezjańskiego) i {{LinkWzór|14.26}} (rozkładu gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MaTh>}} jakieś współrzędnej o numerze "i"), wtedy nieskończenie małe prawdopodobieństwo, że cząstka posiada tą właśnie prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v_i)dv_i=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}dv_i= \sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i=\underbrace{\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}}_{\rho(E_i)}dE_i</MATH>|14.62}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.62}} rozkład gęstości energii względem danej osi opisujących tą energię jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_i)=\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}</MATH>|14.63|Obramuj}} == Rozkład Maxwella całkowitej energii == Z definicji całkowita energia kinetyczna znanej z mechaniki klasycznej Newtona wyznaczmy jego prędkość znając jego energię i na samym końcu wyznaczmy jak się zmienia infinitezymalna wartość prędkość znając jego infinitezymalną zmianę jego energii. Wszystkie te dysputy zapisujemy razem: {{CentrujWzór|<MATH>E={{mv^2}\over{2}}\Rightarrow v=\sqrt{{{2E}\over{m}}}\Rightarrow dv=\sqrt{{{m}\over{2E}}}{{2}\over{m}}dE\Rightarrow dv=\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE\;</MATH>|14.64}} Znając rozkład wartości prędkości według {{LinkWzór|14.30}} i {{LinkWzór|14.64}}, to infinitezymalna prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada całkowitą energię (tutaj energię kinetyczną): {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v)dv=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}{{2E}\over{m}}\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2^3E}\over{m^3}}}dE=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \underbrace{4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}}_{\rho(E)}dE\;</MATH>|14.65}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.65}} rozkład gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną jest przestawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{3\over 2}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}</MATH>|14.66|Obramuj}} == Równanie stanu gazu doskonałego == Gaz doskonały posiada cząsteczki o zerowej objętości nieoddziaływujących ze sobą, tzn. gaz ten posiada tylko energię kinetyczną, natomiast nie posiada energii potencjalnej. Zatem całkowita energia (mechaniczna) układu jest to tylko w tym przypadku energia kinetyczna, na którą składają się wszystkie cząstki układu. Wiemy, że statystyka Maxwella dla współrzędnej prędkości {{LinkWzór|14.25}} jest funkcją parzystą, i średnia energia kinetyczna (całkowita) policzona dla każdej osi jest jednakowa dla współrzędnych ({{Formuła|<MATH>\overline{E}_x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_y\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_z\;</MATH>}}) nie zależy od owych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_x=\overline{E}_y=\overline{E}_z={{1}\over{3}} \overline{E}\;</MATH>|14.67}} * gdzie: * {{Formuła|<MATH>\overline{E}\;</MATH>}} - średnia energia kinetyczna całego układu. Rozważmy sześcian z gazem doskonałym i ustalmy raz na zawsze oś z, która jest prostopadła do jednej ze ściśle określonej ścianki. Podczas odbicia od rozważanej ścianki prędkość zmienia się z {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-v_z\;</MATH>}}, ponieważ jest to odbicie doskonale sprężyste (energia kinetyczna (całkowita) cząstki się nie zmienia), czyli zmiana pędu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta p=mv_{z}-m(-v_{z})=2mv_z\;</MATH>|14.68}} A więc średnia siła, dzięki której oddziaływuje dana cząstka z rozważaną ścianką według drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{\Delta p_z}\over{\Delta t}}={{2mv_z}\over {\Delta t}}\;</MATH>|14.69}} W średnim czasie w jakim cząstka jaką potrzebują przebyć cząstka wzdłuż ścianki prostopadłej do rozważanej o długości {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}} z prędkością {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>v_z={{\Delta x}\over{\Delta t}}\Rightarrow \Delta t={{\Delta x}\over{v_z}}\;</MATH>|14.70}} Korzystamy z {{LinkWzór|14.70}}, wtedy równanie {{LinkWzór|14.69}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{2mv_z}\over{{{\Delta x}\over{v_z}}}}={{2mv_z^2}\over{\Delta x}}\;</MATH>|14.71}} Ale średnia siła działające na ściankę o powierzchni {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MAth>}} działających przez {{Formuła|<MATH>dN\;</MATH>}} cząstek lecących do ścianki o wspomnianej powierzchni o danej prędkości z prędkościami od zera do nieskończoności (cząstki z prędkościami ujemnymi wzdłuż linii prostopadłej do danej ścianki nie lecą w kierunku naszej ściśle określonej ścianki) jest wyrażona wzorem poniżej. Zakładamy że gęstość rozkładu prędkości zetowej jest funkcją parzystą (bo liczba cząstek lecących pod danym kątem bryłowym jest jednakowa, zatem nie zależy od kierunku w którym dana cząstka się porusza, wiedząc że żaden kierunek nie jest wyróżniony), wtedy liczba cząstek posiadająca prędkość zetową {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>dN(v_z)=NdP(v_z)=N{{dP(v_z)}\over{dv_z}}dv_z=N\rho(v_z)dv_z\Rightarrow dN(v_z)=N\rho(v_z)dv_z</MATH>|14.72}} * gdzie: ** {{Formuła|<MATH>dN(v_z)\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie o prędkości zetowej {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}}. ** {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie. ** {{Formuła|<MATH>dP(v_z)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka ma rozważaną prędkość zetową. ** {{Formuła|<MATH>\rho(v_z)\;</MATH>}} gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada rozważaną prędkość zetową. Korzystając z {{LinkWzór|14.72}} i z parzystości funkcji gęstości prawdopodobieństwa względem zmiennej v{{Sub|z}} dla rozkładu {{LinkWzór|14.26}}, wtedy całkowita średnia siła działająca na ściśle określoną ściankę przez wszystkie padające na nią cząstki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F_c=\sum^{N}_{i=1}\begin{cases}\Delta F(v_{iz})&\mbox{ dla }v_{iz}>0\\0&\mbox{ dla }v_{iz}\leq 0\end{cases}\simeq\int_{v_z=0}^{\infty}dN(v_z)\Delta F(v_z)=\int_0^{\infty}N\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=N\int_0^{\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=</MATH>{{Br}}<MATH>={{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z</MATH>|14.73}} Ciśnienie działające na ścianki naczynia przy średniej sile wyrażonej według {{LinkWzór|14.73}}, która jest ilorazem tej siły i powierzchni ścianki na którą pada jest wyrażona dla prędkości dodatnich: {{CentrujWzór|<MATH>p={{\Delta F_c}\over{\Delta S}}={{{{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v)\Delta F(v_z)dv_z}\over{\Delta S}}= {{N}\over{2\Delta S}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z){{2mv_z^2}\over{\Delta x}}dv_z= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}{{mv_z^2}\over{2}}\rho(v_z)dv_z=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z </MATH>|14.74}} Średnia energia jednej cząstki w układzie względem osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}^1_z=\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z\;</MATH>|14.75}} Objętość układu w której znajduje się {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} cząstek, jeśli nasz rozważany gaz znajduje się prostopadłościanie, którego jedna, ze ścianek ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MATH>}}, a krawędzie boczne mają długość {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}}, w którym w pewnym czasie wszystkie cząstki przebywają tą właśnie odległość by oddziaływać z tą omawianą ścianką z średnią siłą {{LinkWzór|14.73}},z definicji objętości tej figury piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>V=\Delta S\Delta x\;</MATH>|14.76}} Uwzględniając wzory {{LinkWzór|14.75}} (średnią energię zetową cząstki) i {{LinkWzór|14.76}} (objętość układu), wtedy wzór {{LinkWzór|14.74}} na ciśnienia wywieraną na ściankę przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>p={{2N}\over{V}}\overline{E}^1_z\Rightarrow pV=2N\overline{E}^1_z\;</MATH>|14.77}} Całkowita energia kinetyczną układu wzdłuż jednej osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest sumę wszystkich N średnich energii należących do wszystkich cząstek także względem tej osi, a ponieważ te energie są jednakowe, to średnią energię kinetyczną zetową wystarczy pomnożyć przez N i otrzymamy naszą energię średnią układu cząstek względem tej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_z=N\overline{E}^1_z</MATH>|14.78}} Widząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.78}} (średnia energia układu), a także {{LinkWzór|14.77}} (ciśnienie wywierane na jakoś ściankę prostopadłościanu), wtedy możemy napisać pewien wzór w zależności od całkowitej energii kinetycznej cząstek w zależności tylko od osi zetowej. {{CentrujWzór|<MATH>pV=2\overline{E}_z\;</MATH>|14.79}} Uwzględniając warunek {{LinkWzór|14.67}} (zależność energii zetowej kinetycznej w zależności od całkowitej jego energii też kinetycznej), wtedy wzór {{LinkWzór|14.79}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>pV=2{{1}\over{3}}\overline{E}\Rightarrow pV={{2}\over{3}}\overline{E}</MATH>|14.80}} Wyznaczmy średnią energię kinetyczną układu, w którym jest gaz doskonały, korzystając z rozkładu {{LinkWzór|14.31}}, z której wynika kwadrat średniej prędkości kwadratowej {{LinkWzór|14.35}}, wtedy średnia całkowita energia układu w zależności od temperatury układu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\int^{\infty}_{0}E(v)dN(v)=\int^{\infty}_{0}E(v)N\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\int_0^{\infty}v^2\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\overline{v^2}=N{{m}\over{2}}{{3k_BT}\over{m}}={{3}\over{2}}Nk_BT</MATH>|14.81}} Według rozkładu Maxwella całkowita energia układu wedle obliczeń {{LinkWzór|14.81}}, która jest zależna od temperatury układu i liczby cząstek należących do niego, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{3}\over{2}}Nk_BT\;</MATH>|14.82|Obramuj}} Podstawiamy wzór {{LinkWzór|14.82}} na średnią całkowitą energię układu do równania {{LinkWzór|14.80}} do jego prawej strony: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{2}\over{3}}{{3}\over{2}}Nk_BT\Rightarrow pV=Nk_BT\;</MATH>|14.83}} Korzystając z definicji liczby moli w zależności od jego liczby cząsteczek {{LinkWzór|6.2|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} i z definicji na stałą gazową {{LinkWzór|6.5|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, wzór {{LinkWzór|14.83}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>pV=n\underbrace{N_Ak_B}_{R}T\Rightarrow pV=nRT\;</MATH>|14.84}} Końcowe równania {{LinkWzór|14.84}}, {{LinkWzór|14.83}}, gdzie oba te wzory są ze sobą równoważne, są to równania stanu gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> m0jlqr4p31del0vli6zds6ejg8zzntu 558596 558595 2026-10-04T19:13:41Z Persino 2851 /* Inne ogólne wyprowadzenie ogólnego rozkładu kanonicznego */ 558596 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Przedstawimy tutaj podstawowe rozkłady obowiązujące w fizyce statystycznej a w szczególności w fizyce klasycznej, a mianowicie rozkład Bolzmanna, Maxwella a także ich wyprowadzenia. Także przedstawimy podstawowe relację obowiązujące w tychże rozkładach. == Inne ogólne wyprowadzenie ogólnego rozkładu kanonicznego == Wyprowadźmy ogólny rozkład kanoniczny dla jakiegoś układu zakładając, z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}}. Prawdopodobieństwo, że układ ma energię E dla układu o liczbie cząstek N, objętości V i znajduje się w czasie t, wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>P=P(E,N,V,t)\;</MATH>|14.1}} Na podstawie {{LinkWzór|12.25|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} prawdopodobieństwo termodynamiczne jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa, że układ jest o średniej energii {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, objętości zajmowane przez nie {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i znajdującym się średnio w czasie {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, co ona jest równa jako iloraz stałej {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} (liczba wszystkich zdarzeń, że układ jest w stanie {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}}) przez prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>AP^{-1}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=\Omega\Rightarrow P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)={{A}\over{\Omega}}\Rightarrow\Omega={{A}\over{P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)}}\;</MATH>|14.2}} Z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} mamy relację, którego prawa strona jest zależna od temperatury a lewa od energii wewnętrznej układu, średniej liczby cząstek i objętości zajmowanej przez nie: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{k_BT}}={{\partial\ln {{A}\over{P}}}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)\Rightarrow {{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{1}\over{k_BT}}=-\beta\;</MATH>|14.3}} Funkcję prawdopodobieństwa realizacji układu ln P {{LinkWzór|14.1}} możemy rozłożyć w szereg Taylora w otoczeniu punktu średniej energii układu z dokładnością do wyrazów liniowych: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq A+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(E-\overline E)+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(V-\overline V)+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(N-\overline N)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(t-\overline t)=F+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)E+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)V+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)N+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)t=F+BE+CV+DN+Et\;</MATH>|14.4}} Co dalej podstawiając do wzoru na logarytm funkcji P {{LinkWzór|14.4}} wzór {{LinkWzór|14.3}}, mamy {{Formuła|<MATH>B=-\beta\;</MATH>}}, co w ten sposób dostajemy wzór na logarytm funkcji prawdopodobieństwa względem energii wewnętrznej w punkcje E, objętości V zajmowanej przez cząstki, liczby cząstek N i czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq F-\beta E+CV+DN+Et\;</MATH>|14.5}} Otrzymana tożsamość {{LinkWzór|14.5}} na logarytm funkcji prawdopodobieństwa, co z której wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa zależnej od &beta;, energii E, objętości V, liczby cząstek N i czasu t w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P=F-\beta E+CV+D N=F-\beta(E+GV+HN+It)\Rightarrow P=e^{F-\beta(E+GV+HN+It)}=e^{F}e^{-\beta (E+GV+HN+It)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=Ce^{-\beta (E+GV+HN+It)}=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\Rightarrow P=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\;</MATH>|14.6}} Wzór na stałe G i H w {{LinkWzór|14.6}} wyznaczamy podobnie jak w ogólnym rozkładzie kanonicznym w rozdziale {{sr|p=Wprowadzenie do fizyki statystycznej|#Ogólne wyprowadzenie rozkładów dyskretnych, czyli ogólny rozkład kanoniczny}} przy tym samym rozkładzie. Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E, zajmują objętość V, liczba tych cząstek jest N i są w czasie t, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadków pseudociągłych, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. A w przypadku dyskretnym w stanach zdegenerownych wzór {{LinkWzór|14.6}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|14.6u}} Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E{{Sub|i}}, zajmują objętość V{{Sub|i}}, liczba tych cząstek jest N{{Sub|i}} i są w czasie t{{Sub|i}}, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadku dyskretnego, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. == Rozkład Boltzmanna == A ponieważ energia {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, jako suma energii poszczególnych cząstek {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}} z definicji energii mechanicznej, i objętość jest sumą objętości zajmowanych przez poszczególne cząstki, jest przedstawiana: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E=\sum_iE_{i}\;</MATH>|14.7a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>V=\sum_i V_i\;</MATH>|14.7b}}}} Wtedy wzór na prawdopodobieństwo, że układ jest w stanie o energii E i objętości V przedstawia się jako iloczyn prawdopodobieństw, że cząstki będą miały energię {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}}, co można udowodnić z zasady zachowania energii mechanicznej {{LinkWzór|14.7a}}, i objętość, co można udowodnić z addywności objętości zajmowanych przez cząstki {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|14.7b}}: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=Ce^{-\beta (E+GV+H N)}=Ce^{\beta\sum_i(E_{i}+GV_i+H)}=C\prod_ie^{-\beta (E_{i}+GV_i+H)}=\prod_i Fe^{-\beta (E_i+GV_i+H)}=\prod_i P_i\;</MATH>|14.8}} Stąd na podstawie wywodu {{LinkWzór|14.8}} prawdopodobieństwo, że cząstka będzie posiadała energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i zajmowała objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} jest pisana również w zależności od temperatury T czyli od &beta;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta(E_i+GV_i+H)}\;</MATH>|14.9}} Stałe G i H w {{LinkWzór|14.9}} są takie same jak w rozkładzie dyskretnych w fizyce statystyczne dla poszczególnych rozważanych układów. A oto przykłady rozkładów Boltzmanna {{LinkWzór|14.9}} dla układu zamkniętego o stałej objętości, zamkniętego o niestałej objętości, otwartego o stałej objętości i otwartego o niestałej objętości: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta E_i}\;</MATH>|P1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|P2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i-\mu)}\;</MATH>|P3}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwary o niestałej objętości (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|P4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Możemy policzyć stałą F ze wzoru normującego funkcję P(E{{Sub|i}}) do jedynki z definicji funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum_iP_i=\sum_iFe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}=F\sum_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\Rightarrow F={{1}\over{\sum_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}}}\;</MATH>|14.10}} Odwrotność stałej F nazwijmy sumą statystyczną naszego rozważanego problemu, wtedy wzór na prawdopodobieństwo jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|14.11}} '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} energia cząstki w stanie {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_i)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}}. Wzór na średnią energię cząstki piszemy z definicji średniej ważonej jako: {{CentrujWzór|<MATH>\overline E_i={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}\;</MATH>|14.12a}} A na średnią objętość zajmowanej przez cząstkę: {{CentrujWzór|<MATH>\overline V_i={{1}\over{Z}}\sum_i V_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial C}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial C}}\;</MATH>|14.12ab}} Jeśli energia i objętość zajmowaną przez cząstkę jest ciągła dla którego liczymy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię i zajmuje jakąś objętość, to wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka jest w tym stanie należy zastąpić gęstością prawdopodobieństwa, wtedy wzór {{LinkWzór|14.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V)=Ce^{-\beta (E+pV-\mu)}\;</MATH>|14.13}} === Układ o stałej objętości i liczbie cząstek === Jeśli w układzie występuje tylko energia mechaniczna, to ona jest sumą jej energii kinetycznej i potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>E=E_k+E_p\;</MATH>|14.14}} Przy pomocy definicji na energię mechaniczną {{LinkWzór|14.14}}, wzór na prawdopodobieństwo, że układ posiada tą energię mechaniczną {{LinkWzór|14.13}} w układzie zamkniętym o stałej objętości zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=Ce^{-\beta E}=Ce^{-\beta(E_k+E_p)}=Ce^{-\beta E_k}e^{-\beta E_p}=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.15}} Zatem wyrażenie {{LinkWzór|14.15}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.16|Obramuj}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>E_p\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii mechanicznej, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej. Prawdopodobieństwa uzyskania energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} i potencjalnej {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, stąd wynika, że rozkład {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} też jest unormowany do jedynki. Podobnie jak w {{LinkWzór|14.16}} zachodzi podobnie dla przypadku gdy energia E jest wielkością ciągłą. == Rozkład Maxwella == Jeśli mamy gęstość prawdopodobieństwa energii potencjalnej, która nie zależy od punktu, w którym liczymy ową gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada takową energię potencjalną, oraz że poszczególne cząsteczki nie oddziaływują ze sobą, czyli nie mają wzajemnej energii potencjalnej, zatem ta gęstość prawdopodobieństwa jest wielkością stałą i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_p)=\operatorname{const}\;</MATH>|14.17}} Wtedy gęstość uzyskania przez cząstki energii kinetycznej i potencjalnej {{LinkWzór|14.16}} możemy przecałkować po wszystkich punktach należących do danego układu, które cząstki mogą posiadać, wiedząc że gęstość uzyskania przez cząstkę danego punktu nie zależy od niego i nasz rozkład Boltzmanna w części należącej do energii potencjalnej jest unormowany do jedynki po punktach należących do rozważanego układu, wtedy otrzymujemy wzór na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_k)=Ce^{-{{E_k}\over{k_BT}}}</MATH>|14.18}} Jest to gęstość prawdopodobieństwa , że cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. Energię kinetyczną cząstki można rozpisać na trzy składniki względem każdej współrzędnej w układzie kartezjańskim wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>E_k={{mv^2}\over{2}}={{m}\over{2}}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)={{mv_x^2}\over{2}}+{{mv_y^2}\over{2}}+{{mv_z^2}\over{2}}=E_{kx}+E_{ky}+E_{kz}</MATH>|14.19}} Mając związek {{LinkWzór|14.19}}, to rozkład na gęstość prawdopodobieństwa można rozpisać jako iloczyn gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka będzie posiadała daną energię względem jakieś ściśle określonej współrzędnej. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=Ce^{-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}}=Ce^{-\beta E_{kx}}e^{-\beta E_{ky}}e^{-\beta E_{kz}}=\rho( E_{kx})\rho(E_{ky})\rho(E_{kz})=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})</MATH>|14.20}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|14.20}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\;</MATH>|14.21|Obramuj}} '''gdzie:''' {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_{kx})=De^{-\beta E_{ki}}</MATH>|14.22}} Biorąc z mechaniki klasycznej energię cząstki dla jednej współrzędnej {{LinkWzór|14.22}} względem energii posiadanej przez cząstkę względem i-tej osi, wtedy możemy zapisać go względem prędkości cząstki, tzn. {{Formuła|<MATH>\rho(E_{kx})\sim \rho(v_i)\;</MATH>}}, wtedy ta gęstość prędkości, że cząstka będzie będzie miała jakąś współrzędną o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=D e^{-{{mv_i^2}\over{2}}}</MATH>|14.23}} Następnym krokiem jest unormowanie rozkładu {{LinkWzór|14.21}}, a więc z normowania {{LinkWzór|14.21}} względem objętości infinitezymalnej {{Formuła|<MATH>d^3\vec{v}\;</MATH>}}, wynika normowanie funkcji {{LinkWzór|14.23}} względem objętości w przestrzeni jednowymiarowej {{Formuła|<MATH>dv_i\;</MATH>}} dla ściśle określonej współrzędnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\rho(E_k)d^3\vec{v}=\int_{v_{k1}}\int_{v_{k2}}\int_{v_{k3}}\left(\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\right)dv_{k1}dv_{k2}dv_{k3}=\prod^3_{i=1}\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}\Rightarrow\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}=1</MATH>|14.24}} Z warunku normalizacyjnego podczas całkowania po całej objętości przestrzeni jednowymiarowej względem współrzędnej prędkości o numerze i-tej możemy policzyć stałą normalizacyjną występującą w {{LinkWzór|14.23}}. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_{-\infty}^{\infty}\rho(v_i)dv_i=D\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}= D\sqrt{{{\pi}\over{{{m}\over{2k_BT}}}}}=D\sqrt{{{2\pi k_BT }\over{m}}}\Rightarrow D=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}</MATH>|14.25}} Korzystając z {{LinkWzór|14.25}} dla stałej {{Formuła|<MATH>D\;</MATH>}}, wtedy rozkład {{LinkWzór|14.23}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.26}} == Rozkład Maxwella-podsumowanie == Gęstość prawdopodbieństwa, że dana cząstka posiada wektor prędkości jest wyrażona przez wzór {{LinkWzór|14.21}} poprzez {{LinkWzór|14.26}}, wtedy prawdopodobieństwo uzyskania prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}} jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v})={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.27}} Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada element prędkości o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}}, zatem to możemy wyznaczyć w sposób dla pierwszej współrzędnej, dla współrzędnej drugiej i trzeciej wyznaczamy podobnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_1)dv_1=\int_{v_2=-\infty}^{\infty}\int_{v_3=-\infty}^{\infty}{\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv_1dv_2dv_3={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(\int_{v_2=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_2^2}\over{2k_BT}}}dv_2\right)\left(\int_{v_3=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_3^2}\over{2k_BT}}}dv_3\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}{{2\pi k_BT}\over{m}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1\Rightarrow\rho(v_1)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.28}} Uogólniając wniosek {{LinkWzór|14.28}} dla i-tej współrzędnej otrzymujemy wzór {{LinkWzór|14.26}}, który jest gęstością prawdopodobieństwa, że dany element współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} posiada wartość {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} dla danej cząstki, wynikających ze wzoru {{LinkWzór|14.27}}. Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że cząstka posiada daną wartość prędkości jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)dv=\int_{v^2=const}\rho(\vec{v})dv_xdv_ydv_z= \int_{v^2=const}{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }dv_xdv_ydv_z={\left( {{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv\int_0^{2\pi}d\phi\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\int_0^{\pi} \left(\sin\theta d\theta\right)=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv</MATH>|14.29}} {{Rysunek|Maxwell-Boltzmann distribution 1.png|w1|Rozkład Maxwella-Boltzmanna dla tlenu dla temperatur -100°C,20°C i 600°C.}} Według {{LinkWzór|14.29}} gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2</MATH>|14.30}} Ilość cząstek o danej wartości prędkości jest wyrażone przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>dN=N\rho(v)dv=4\pi N{\left( {{m}\over {2\pi k_BT}} \right) }^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv</MATH>|14.31}} === Prędkość najbardziej prawdopodobna === W tym celu skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy można policzyć prędkość {{Formuła|<MATH>u_p</MATH>}} najbardziej prawdopodobną, które osiągana jest w ekstremum według wspomnianego wzoru. Warunek na ekstremum lokalne względem omawianego rozkładu gęstości, że cząstka posiada daną gęstość prawdopodobieństwa, o jej największej wartości jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>0={{{d\rho(v)}\over{dv}}\Bigg|}_{v=u_p}</MATH>|14.32}} Wtedy możemy policzyć nasze ekstremum w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>u_p\;</MATH>}}, zatem wtedy musimy podstawić wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.30}} do równości {{LinkWzór|14.32}}, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>0={{d}\over{dv}}\left({\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}4\pi u_p^2\right)={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}4\pi {{d}\over {dv}}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}u^2_p={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(2 u_p e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}+u_p^2 e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{{-2mu_p}\over {2k_BT}}\right)=</MATH>{{Br}} <MATH>={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}2u_pe^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{\left({1-{{u_p^2m}\over{2k_BT}}}\right)}\Rightarrow 1={{u_p^2m}\over{2k_BT}}\Rightarrow u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.33}} === Średnia kwadratowa prędkość === Średnią kwadratowa wartość prędkości jaką posiada dany układ cząstek wyznaczamy z definicji wartości średniej kwadratu wartości prędkości cząstki jako całka iloczynu kwadratu wartości prędkości i prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości, która jest iloczynem infizymalnej zmiany prędkości i gęstości prawdopodobieństwa. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0} v^2 \rho(v)dv</MATH>|14.34}} Do równania {{LinkWzór|14.34}} podstawiamy wzór na gęstość prawdopodobieństwa wartości prędkości napisaną według wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że średni kwadrat prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^2\underbrace{4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} v^2e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}}_{\rho(v)} dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}}\int\limits^{\infty}_{0}v^4 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} {{1}\over{2}}{3\over 4}{\left({{2k_BT}\over {m}}\right)}^{5\over 2}\sqrt{\pi}={{3k_BT}\over{m}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.35}} Widzimy, że końcowy wzór {{LinkWzór|14.35}} na omawianą średnią zależy od pierwiastka temperatury bezwzględnej T. === Średnia arytmetyczna prędkość === Średnią arytmetyczną prędkości cząstki możemy policzyć z definicji wartości średniej dla parametru ciągłego względem wartości prędkości, która przyjmuje wartości niezerowe: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0} v\rho(v)</MATH>|14.36}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}} na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości, wtedy można policzyć jej wartość średnią wedle wzoru {{LinkWzór|14.36}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv4\pi=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_{0}v^3 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv</MATH>|14.37}} Ale znamy z analizy matematycznej wynika tożsamość poniżej, z której policzymy pochodną względem parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha^{-1}_{i=1}=\int\limits^{\infty}_{0}v e^{-\alpha v^2}dv\Rightarrow{1\over 2}\alpha^{-2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3e^{-\alpha v^2}</MATH>|14.38}} Wtedy równanie {{LinkWzór|14.37}} według końcowej tożsamości {{LinkWzór|14.38}} przyjmuje wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2} {1\over 2}{\left({{2k_BT} \over {m}}\right)}^2=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.39}} == Porównanie średnich w rozkładzie Maxwella == Zestaw prędkości jakie wyznaczyliśmy poprzednio podamy poniżej: {{ElastycznyWiersz |1={{Center|'''Prędkość najbardziej prawdopodobna'''}}{{CentrujWzór|<MATH>u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.40}} |2={{Center|'''Prędkość kwadratowa'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.41}} |3={{Center|'''Prędkość średnia'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.42}} }} Porównując te trzy średnie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}>\overline{v}>u_p</MATH>|14.43}} A oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{{{3k_BT}\over { m}}}>\sqrt{{{8k_BT}\over{\pi m}}}>\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}\Rightarrow 3>{{8}\over{\pi}}>2\Rightarrow 3>2,548>2</MATH>|14.44}} Czyli widzimy, ze stałe określające różne rodzaje prędkości dla rozkładu Maxwella nie są jednakowe. == Rozkład prędkości względnych w rozkładzie Maxwella == Napiszmy rozkład, że pierwsza cząstka posiada prędkość: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH>m_1\;</MATH>}}, a druga prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH> m_2\;</MATH>}}, który jest iloczynem dwóch gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.27}}, każde dla innej cząstki opisującej jego prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v_1},\vec{v}_2)=dw(\vec{v_1})dw(\vec{v}_2)=\left({{m_1m_2}\over{(2\pi k_BT)^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1v_1^2}\over{k_BT}}}e^{-{{m_2v_2^2}\over{k_BT}}}d\vec{v}_1d\vec{v}_2</MATH>|14.45}} Możemy ułożyć układ równań opisujący prędkość środka masy tychże dwóch cząstek {{Formuła|<MATH>\vec{G}\;</MATH>}} (pierwsze równanie), a także ich prędkość względna {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{12}\;</MATH>}} (drugie równanie) w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{G}\\ \vec{v}_1-\vec{v}_2=\vec{v}_{12} \end{cases}</MATH>|14.46}} Policzmy, z układu równań {{LinkWzór|14.46}} prędkości: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2</MATH>}}. Jeśli znamy prędkość środka masy i prędkość względną, w tym celu rozwiążmy wspomniany układ równań w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} dla pierwszej cząstki i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} dla drugiej cząstki. W tym celu wyznaczmy wyznacznik powyższego układu: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} m_1&m_2\\ 1&-1 \end{vmatrix}=-m_1-m_2=-M</MATH>|14.47}} Również wyznaczniki dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} pierwszego ciała oraz dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} drugiego ciała wyrażają się wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_1}=\begin{vmatrix} M\vec{G}&m_2\\ \vec{v}_{12}&-1 \end{vmatrix}=-M\vec{G}-m_2\vec{v}_{12}</MATH>|14.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_2}=\begin{vmatrix} m_1&M\vec{G}\\ 1&\vec{v}_{12} \end{vmatrix}=m_1\vec{v}_{12}-M\vec{G}</MATH>|14.49}} }} Wyniku ostatecznych obliczeń otrzymujemy prędkości obu cząstek, znają ich prędkość środka masy i prędkość względną {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{W_{\vec{v}_1}}\over{W}}=\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{W_{\vec{v}_2}}\over{W}}=\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.51}}}} Wyznaczmy wyrażenie poniżej względem prędkości środka masy i prędkości względnej obu badanych cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{v}_1d\vec{v}_2=|J|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} {{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ {{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} 1&{{m_2}\over{M}}\\ 1&-{{m_1}\over{M}} \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=</MATH>{{Br}}<MATH>=\left|-{{m_1}\over{M}}-{{m_2}\over{M}}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}={{m_1+m_2}\over{M}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}=d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.52}} A zatem nasz rozkład {{LinkWzór|14.45}} wykorzystując przy tym obliczoną tożsamość {{LinkWzór|14.52}}, w której występują zamiast prędkości dwóch określonych cząstek wielkości, tzn. prędkość środka masy i prędkość względna, wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dwie cząstki będą posiadać prędkość, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_1\vec{v}_2)=dw(\vec{G},\vec{v}_{12})= \left({{{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{m_1+m_2}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1\left(\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\right)^2}\over{2k_BT}}}\cdot e^{-{{m_2(\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12})^2}\over{2\pi k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.53}} Wprowadźmy nowe parametry, który wstawimy do rozkładu {{LinkWzór|14.53}}, którą nazwiemy masą zredukowaną, wtedy wzór na całkowitą masę dwóch cząstek będący sumą mas pierwszej m{{Sub|1}} i drugiej cząstki m{{Sub|2}} i na masę zredukowaną jest: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\mbox{ lub inaczej }{{1}\over{\mu}}={{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\;</MATH>|14.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1+m_2=M\;</MATH>|14.55}} }} Można również udowodnić, że wielkość masy zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} {{LinkWzór|14.54}} jest pomiędzy masami obu cząstek, które opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu<m_1\wedge\mu<m_2\;</MATH>|14.56}} Wtedy rozkład {{LinkWzór|14.53}} przy definicjach {{LinkWzór|14.54}} (masa zredukowana) i {{LinkWzór|14.55}} (całkowita masa dwóch cząstek) jest napisany wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1G^2+2m_1{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\vec{G}+m_2G^2-2m_2{{m^1}\over{M}}\vec{G}\vec{v}_{12}+m_1{{m_2^2}\over{M^2}}v^2_{12}+m_2{{m_1^2}\over{M^2}}v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>{{Br}}<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}} e^{-{{(m_1+m_2)G^2+{{m_1m_2}\over{M^2}}v^2_{12}M}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{MG^2+\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.57}} Wzór {{LinkWzór|14.57}} jest iloczynem dwóch rozkładów gęstości prawdopodobieństwa, tzn. gęstości prawdopodobieństwa prędkości środka masy o masie M dwóch cząstek jakie one mogą posiadać i prędkości względnej tych cząstek o masie zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=dw(\vec{G})dw(\vec{v}_{12})</MATH>|14.58}} Ostatecznie otrzymujemy dwa rozkłady, na prędkość względną cząstek i ich prędkość środka masy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}</MATH>|14.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.60}}}} == Rozkład Maxwella energii względem ściśle określonej osi == Energia kinetyczna względem danej osi jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_i={{mv_i^2}\over{2}}\Rightarrow v_i=\sqrt{{{2E_i}\over{m}}}\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{m}\over{2E_i}}}{{2}\over{m}}dE_i\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i</MATH>|14.61}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|14.61}} (infinitezymalna zmiana prędkości cząstki w zależności od jej infitezymalnej zmiany energii, ale to wszystko względem jakieś współrzędnej układu kartezjańskiego) i {{LinkWzór|14.26}} (rozkładu gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MaTh>}} jakieś współrzędnej o numerze "i"), wtedy nieskończenie małe prawdopodobieństwo, że cząstka posiada tą właśnie prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v_i)dv_i=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}dv_i= \sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i=\underbrace{\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}}_{\rho(E_i)}dE_i</MATH>|14.62}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.62}} rozkład gęstości energii względem danej osi opisujących tą energię jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_i)=\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}</MATH>|14.63|Obramuj}} == Rozkład Maxwella całkowitej energii == Z definicji całkowita energia kinetyczna znanej z mechaniki klasycznej Newtona wyznaczmy jego prędkość znając jego energię i na samym końcu wyznaczmy jak się zmienia infinitezymalna wartość prędkość znając jego infinitezymalną zmianę jego energii. Wszystkie te dysputy zapisujemy razem: {{CentrujWzór|<MATH>E={{mv^2}\over{2}}\Rightarrow v=\sqrt{{{2E}\over{m}}}\Rightarrow dv=\sqrt{{{m}\over{2E}}}{{2}\over{m}}dE\Rightarrow dv=\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE\;</MATH>|14.64}} Znając rozkład wartości prędkości według {{LinkWzór|14.30}} i {{LinkWzór|14.64}}, to infinitezymalna prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada całkowitą energię (tutaj energię kinetyczną): {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v)dv=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}{{2E}\over{m}}\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2^3E}\over{m^3}}}dE=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \underbrace{4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}}_{\rho(E)}dE\;</MATH>|14.65}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.65}} rozkład gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną jest przestawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{3\over 2}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}</MATH>|14.66|Obramuj}} == Równanie stanu gazu doskonałego == Gaz doskonały posiada cząsteczki o zerowej objętości nieoddziaływujących ze sobą, tzn. gaz ten posiada tylko energię kinetyczną, natomiast nie posiada energii potencjalnej. Zatem całkowita energia (mechaniczna) układu jest to tylko w tym przypadku energia kinetyczna, na którą składają się wszystkie cząstki układu. Wiemy, że statystyka Maxwella dla współrzędnej prędkości {{LinkWzór|14.25}} jest funkcją parzystą, i średnia energia kinetyczna (całkowita) policzona dla każdej osi jest jednakowa dla współrzędnych ({{Formuła|<MATH>\overline{E}_x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_y\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_z\;</MATH>}}) nie zależy od owych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_x=\overline{E}_y=\overline{E}_z={{1}\over{3}} \overline{E}\;</MATH>|14.67}} * gdzie: * {{Formuła|<MATH>\overline{E}\;</MATH>}} - średnia energia kinetyczna całego układu. Rozważmy sześcian z gazem doskonałym i ustalmy raz na zawsze oś z, która jest prostopadła do jednej ze ściśle określonej ścianki. Podczas odbicia od rozważanej ścianki prędkość zmienia się z {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-v_z\;</MATH>}}, ponieważ jest to odbicie doskonale sprężyste (energia kinetyczna (całkowita) cząstki się nie zmienia), czyli zmiana pędu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta p=mv_{z}-m(-v_{z})=2mv_z\;</MATH>|14.68}} A więc średnia siła, dzięki której oddziaływuje dana cząstka z rozważaną ścianką według drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{\Delta p_z}\over{\Delta t}}={{2mv_z}\over {\Delta t}}\;</MATH>|14.69}} W średnim czasie w jakim cząstka jaką potrzebują przebyć cząstka wzdłuż ścianki prostopadłej do rozważanej o długości {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}} z prędkością {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>v_z={{\Delta x}\over{\Delta t}}\Rightarrow \Delta t={{\Delta x}\over{v_z}}\;</MATH>|14.70}} Korzystamy z {{LinkWzór|14.70}}, wtedy równanie {{LinkWzór|14.69}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{2mv_z}\over{{{\Delta x}\over{v_z}}}}={{2mv_z^2}\over{\Delta x}}\;</MATH>|14.71}} Ale średnia siła działające na ściankę o powierzchni {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MAth>}} działających przez {{Formuła|<MATH>dN\;</MATH>}} cząstek lecących do ścianki o wspomnianej powierzchni o danej prędkości z prędkościami od zera do nieskończoności (cząstki z prędkościami ujemnymi wzdłuż linii prostopadłej do danej ścianki nie lecą w kierunku naszej ściśle określonej ścianki) jest wyrażona wzorem poniżej. Zakładamy że gęstość rozkładu prędkości zetowej jest funkcją parzystą (bo liczba cząstek lecących pod danym kątem bryłowym jest jednakowa, zatem nie zależy od kierunku w którym dana cząstka się porusza, wiedząc że żaden kierunek nie jest wyróżniony), wtedy liczba cząstek posiadająca prędkość zetową {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>dN(v_z)=NdP(v_z)=N{{dP(v_z)}\over{dv_z}}dv_z=N\rho(v_z)dv_z\Rightarrow dN(v_z)=N\rho(v_z)dv_z</MATH>|14.72}} * gdzie: ** {{Formuła|<MATH>dN(v_z)\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie o prędkości zetowej {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}}. ** {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie. ** {{Formuła|<MATH>dP(v_z)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka ma rozważaną prędkość zetową. ** {{Formuła|<MATH>\rho(v_z)\;</MATH>}} gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada rozważaną prędkość zetową. Korzystając z {{LinkWzór|14.72}} i z parzystości funkcji gęstości prawdopodobieństwa względem zmiennej v{{Sub|z}} dla rozkładu {{LinkWzór|14.26}}, wtedy całkowita średnia siła działająca na ściśle określoną ściankę przez wszystkie padające na nią cząstki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F_c=\sum^{N}_{i=1}\begin{cases}\Delta F(v_{iz})&\mbox{ dla }v_{iz}>0\\0&\mbox{ dla }v_{iz}\leq 0\end{cases}\simeq\int_{v_z=0}^{\infty}dN(v_z)\Delta F(v_z)=\int_0^{\infty}N\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=N\int_0^{\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=</MATH>{{Br}}<MATH>={{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z</MATH>|14.73}} Ciśnienie działające na ścianki naczynia przy średniej sile wyrażonej według {{LinkWzór|14.73}}, która jest ilorazem tej siły i powierzchni ścianki na którą pada jest wyrażona dla prędkości dodatnich: {{CentrujWzór|<MATH>p={{\Delta F_c}\over{\Delta S}}={{{{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v)\Delta F(v_z)dv_z}\over{\Delta S}}= {{N}\over{2\Delta S}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z){{2mv_z^2}\over{\Delta x}}dv_z= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}{{mv_z^2}\over{2}}\rho(v_z)dv_z=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z </MATH>|14.74}} Średnia energia jednej cząstki w układzie względem osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}^1_z=\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z\;</MATH>|14.75}} Objętość układu w której znajduje się {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} cząstek, jeśli nasz rozważany gaz znajduje się prostopadłościanie, którego jedna, ze ścianek ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MATH>}}, a krawędzie boczne mają długość {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}}, w którym w pewnym czasie wszystkie cząstki przebywają tą właśnie odległość by oddziaływać z tą omawianą ścianką z średnią siłą {{LinkWzór|14.73}},z definicji objętości tej figury piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>V=\Delta S\Delta x\;</MATH>|14.76}} Uwzględniając wzory {{LinkWzór|14.75}} (średnią energię zetową cząstki) i {{LinkWzór|14.76}} (objętość układu), wtedy wzór {{LinkWzór|14.74}} na ciśnienia wywieraną na ściankę przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>p={{2N}\over{V}}\overline{E}^1_z\Rightarrow pV=2N\overline{E}^1_z\;</MATH>|14.77}} Całkowita energia kinetyczną układu wzdłuż jednej osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest sumę wszystkich N średnich energii należących do wszystkich cząstek także względem tej osi, a ponieważ te energie są jednakowe, to średnią energię kinetyczną zetową wystarczy pomnożyć przez N i otrzymamy naszą energię średnią układu cząstek względem tej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_z=N\overline{E}^1_z</MATH>|14.78}} Widząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.78}} (średnia energia układu), a także {{LinkWzór|14.77}} (ciśnienie wywierane na jakoś ściankę prostopadłościanu), wtedy możemy napisać pewien wzór w zależności od całkowitej energii kinetycznej cząstek w zależności tylko od osi zetowej. {{CentrujWzór|<MATH>pV=2\overline{E}_z\;</MATH>|14.79}} Uwzględniając warunek {{LinkWzór|14.67}} (zależność energii zetowej kinetycznej w zależności od całkowitej jego energii też kinetycznej), wtedy wzór {{LinkWzór|14.79}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>pV=2{{1}\over{3}}\overline{E}\Rightarrow pV={{2}\over{3}}\overline{E}</MATH>|14.80}} Wyznaczmy średnią energię kinetyczną układu, w którym jest gaz doskonały, korzystając z rozkładu {{LinkWzór|14.31}}, z której wynika kwadrat średniej prędkości kwadratowej {{LinkWzór|14.35}}, wtedy średnia całkowita energia układu w zależności od temperatury układu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\int^{\infty}_{0}E(v)dN(v)=\int^{\infty}_{0}E(v)N\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\int_0^{\infty}v^2\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\overline{v^2}=N{{m}\over{2}}{{3k_BT}\over{m}}={{3}\over{2}}Nk_BT</MATH>|14.81}} Według rozkładu Maxwella całkowita energia układu wedle obliczeń {{LinkWzór|14.81}}, która jest zależna od temperatury układu i liczby cząstek należących do niego, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{3}\over{2}}Nk_BT\;</MATH>|14.82|Obramuj}} Podstawiamy wzór {{LinkWzór|14.82}} na średnią całkowitą energię układu do równania {{LinkWzór|14.80}} do jego prawej strony: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{2}\over{3}}{{3}\over{2}}Nk_BT\Rightarrow pV=Nk_BT\;</MATH>|14.83}} Korzystając z definicji liczby moli w zależności od jego liczby cząsteczek {{LinkWzór|6.2|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} i z definicji na stałą gazową {{LinkWzór|6.5|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, wzór {{LinkWzór|14.83}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>pV=n\underbrace{N_Ak_B}_{R}T\Rightarrow pV=nRT\;</MATH>|14.84}} Końcowe równania {{LinkWzór|14.84}}, {{LinkWzór|14.83}}, gdzie oba te wzory są ze sobą równoważne, są to równania stanu gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ceqzdd53y5gbi2vqj2ifl5zcp4a05kf 558597 558596 2026-10-04T19:14:24Z Persino 2851 /* Inne ogólne wyprowadzenie ogólnego rozkładu kanonicznego */ 558597 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Przedstawimy tutaj podstawowe rozkłady obowiązujące w fizyce statystycznej a w szczególności w fizyce klasycznej, a mianowicie rozkład Bolzmanna, Maxwella a także ich wyprowadzenia. Także przedstawimy podstawowe relację obowiązujące w tychże rozkładach. == Inne ogólne wyprowadzenie ogólnego rozkładu kanonicznego == Wyprowadźmy ogólny rozkład kanoniczny dla jakiegoś układu zakładając, z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}}. Prawdopodobieństwo, że układ ma energię E dla układu o liczbie cząstek N, objętości V i znajduje się w czasie t, wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>P=P(E,N,V,t)\;</MATH>|14.1}} Na podstawie {{LinkWzór|12.25|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} prawdopodobieństwo termodynamiczne jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa, że układ jest o średniej energii {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, objętości zajmowane przez nie {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i znajdującym się średnio w czasie {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, co ona jest równa jako iloraz stałej {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} (liczba wszystkich zdarzeń, że układ jest w stanie {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}}) przez prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>AP^{-1}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=\Omega\Rightarrow P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)={{A}\over{\Omega}}\Rightarrow\Omega={{A}\over{P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)}}\;</MATH>|14.2}} Z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} mamy relację, którego prawa strona jest zależna od temperatury a lewa od energii wewnętrznej układu, średniej liczby cząstek i objętości zajmowanej przez nie: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{k_BT}}={{\partial\ln {{A}\over{P}}}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)\Rightarrow {{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{1}\over{k_BT}}=-\beta\;</MATH>|14.3}} Funkcję prawdopodobieństwa realizacji układu ln P {{LinkWzór|14.1}} możemy rozłożyć w szereg Taylora w otoczeniu punktu średniej energii układu z dokładnością do wyrazów liniowych: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq A+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(E-\overline E)+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(V-\overline V)+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(N-\overline N)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(t-\overline t)=F+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)E+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)V+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)N+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)t=F+BE+CV+DN+Et\;</MATH>|14.4}} Co dalej podstawiając do wzoru na logarytm funkcji P {{LinkWzór|14.4}} wzór {{LinkWzór|14.3}}, mamy {{Formuła|<MATH>B=-\beta\;</MATH>}}, co w ten sposób dostajemy wzór na logarytm funkcji prawdopodobieństwa względem energii wewnętrznej w punkcje E, objętości V zajmowanej przez cząstki, liczby cząstek N i czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq F-\beta E+CV+DN+Et\;</MATH>|14.5}} Otrzymana tożsamość {{LinkWzór|14.5}} na logarytm funkcji prawdopodobieństwa, co z której wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa zależnej od &beta;, energii E, objętości V, liczby cząstek N i czasu t w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P=F-\beta E+CV+D N=F-\beta(E+GV+HN+It)\Rightarrow P=e^{F-\beta(E+GV+HN+It)}=e^{F}e^{-\beta (E+GV+HN+It)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=Ce^{-\beta (E+GV+HN+It)}=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\Rightarrow P=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\;</MATH>|14.6}} Wzór na stałe G i H w {{LinkWzór|14.6}} wyznaczamy podobnie jak w ogólnym rozkładzie kanonicznym w rozdziale: {{sr|p=Wprowadzenie do fizyki statystycznej|#Ogólne wyprowadzenie rozkładów dyskretnych, czyli ogólny rozkład kanoniczny}}, przy tym samym rozkładzie. Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E, zajmują objętość V, liczba tych cząstek jest N i są w czasie t, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadków pseudociągłych, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. A w przypadku dyskretnym w stanach zdegenerownych wzór {{LinkWzór|14.6}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|14.6u}} Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E{{Sub|i}}, zajmują objętość V{{Sub|i}}, liczba tych cząstek jest N{{Sub|i}} i są w czasie t{{Sub|i}}, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadku dyskretnego, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. == Rozkład Boltzmanna == A ponieważ energia {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, jako suma energii poszczególnych cząstek {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}} z definicji energii mechanicznej, i objętość jest sumą objętości zajmowanych przez poszczególne cząstki, jest przedstawiana: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E=\sum_iE_{i}\;</MATH>|14.7a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>V=\sum_i V_i\;</MATH>|14.7b}}}} Wtedy wzór na prawdopodobieństwo, że układ jest w stanie o energii E i objętości V przedstawia się jako iloczyn prawdopodobieństw, że cząstki będą miały energię {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}}, co można udowodnić z zasady zachowania energii mechanicznej {{LinkWzór|14.7a}}, i objętość, co można udowodnić z addywności objętości zajmowanych przez cząstki {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|14.7b}}: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=Ce^{-\beta (E+GV+H N)}=Ce^{\beta\sum_i(E_{i}+GV_i+H)}=C\prod_ie^{-\beta (E_{i}+GV_i+H)}=\prod_i Fe^{-\beta (E_i+GV_i+H)}=\prod_i P_i\;</MATH>|14.8}} Stąd na podstawie wywodu {{LinkWzór|14.8}} prawdopodobieństwo, że cząstka będzie posiadała energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i zajmowała objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} jest pisana również w zależności od temperatury T czyli od &beta;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta(E_i+GV_i+H)}\;</MATH>|14.9}} Stałe G i H w {{LinkWzór|14.9}} są takie same jak w rozkładzie dyskretnych w fizyce statystyczne dla poszczególnych rozważanych układów. A oto przykłady rozkładów Boltzmanna {{LinkWzór|14.9}} dla układu zamkniętego o stałej objętości, zamkniętego o niestałej objętości, otwartego o stałej objętości i otwartego o niestałej objętości: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta E_i}\;</MATH>|P1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|P2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i-\mu)}\;</MATH>|P3}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwary o niestałej objętości (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|P4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Możemy policzyć stałą F ze wzoru normującego funkcję P(E{{Sub|i}}) do jedynki z definicji funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum_iP_i=\sum_iFe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}=F\sum_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\Rightarrow F={{1}\over{\sum_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}}}\;</MATH>|14.10}} Odwrotność stałej F nazwijmy sumą statystyczną naszego rozważanego problemu, wtedy wzór na prawdopodobieństwo jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|14.11}} '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} energia cząstki w stanie {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_i)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}}. Wzór na średnią energię cząstki piszemy z definicji średniej ważonej jako: {{CentrujWzór|<MATH>\overline E_i={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}\;</MATH>|14.12a}} A na średnią objętość zajmowanej przez cząstkę: {{CentrujWzór|<MATH>\overline V_i={{1}\over{Z}}\sum_i V_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial C}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial C}}\;</MATH>|14.12ab}} Jeśli energia i objętość zajmowaną przez cząstkę jest ciągła dla którego liczymy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię i zajmuje jakąś objętość, to wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka jest w tym stanie należy zastąpić gęstością prawdopodobieństwa, wtedy wzór {{LinkWzór|14.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V)=Ce^{-\beta (E+pV-\mu)}\;</MATH>|14.13}} === Układ o stałej objętości i liczbie cząstek === Jeśli w układzie występuje tylko energia mechaniczna, to ona jest sumą jej energii kinetycznej i potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>E=E_k+E_p\;</MATH>|14.14}} Przy pomocy definicji na energię mechaniczną {{LinkWzór|14.14}}, wzór na prawdopodobieństwo, że układ posiada tą energię mechaniczną {{LinkWzór|14.13}} w układzie zamkniętym o stałej objętości zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=Ce^{-\beta E}=Ce^{-\beta(E_k+E_p)}=Ce^{-\beta E_k}e^{-\beta E_p}=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.15}} Zatem wyrażenie {{LinkWzór|14.15}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.16|Obramuj}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>E_p\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii mechanicznej, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej. Prawdopodobieństwa uzyskania energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} i potencjalnej {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, stąd wynika, że rozkład {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} też jest unormowany do jedynki. Podobnie jak w {{LinkWzór|14.16}} zachodzi podobnie dla przypadku gdy energia E jest wielkością ciągłą. == Rozkład Maxwella == Jeśli mamy gęstość prawdopodobieństwa energii potencjalnej, która nie zależy od punktu, w którym liczymy ową gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada takową energię potencjalną, oraz że poszczególne cząsteczki nie oddziaływują ze sobą, czyli nie mają wzajemnej energii potencjalnej, zatem ta gęstość prawdopodobieństwa jest wielkością stałą i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_p)=\operatorname{const}\;</MATH>|14.17}} Wtedy gęstość uzyskania przez cząstki energii kinetycznej i potencjalnej {{LinkWzór|14.16}} możemy przecałkować po wszystkich punktach należących do danego układu, które cząstki mogą posiadać, wiedząc że gęstość uzyskania przez cząstkę danego punktu nie zależy od niego i nasz rozkład Boltzmanna w części należącej do energii potencjalnej jest unormowany do jedynki po punktach należących do rozważanego układu, wtedy otrzymujemy wzór na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_k)=Ce^{-{{E_k}\over{k_BT}}}</MATH>|14.18}} Jest to gęstość prawdopodobieństwa , że cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. Energię kinetyczną cząstki można rozpisać na trzy składniki względem każdej współrzędnej w układzie kartezjańskim wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>E_k={{mv^2}\over{2}}={{m}\over{2}}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)={{mv_x^2}\over{2}}+{{mv_y^2}\over{2}}+{{mv_z^2}\over{2}}=E_{kx}+E_{ky}+E_{kz}</MATH>|14.19}} Mając związek {{LinkWzór|14.19}}, to rozkład na gęstość prawdopodobieństwa można rozpisać jako iloczyn gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka będzie posiadała daną energię względem jakieś ściśle określonej współrzędnej. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=Ce^{-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}}=Ce^{-\beta E_{kx}}e^{-\beta E_{ky}}e^{-\beta E_{kz}}=\rho( E_{kx})\rho(E_{ky})\rho(E_{kz})=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})</MATH>|14.20}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|14.20}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\;</MATH>|14.21|Obramuj}} '''gdzie:''' {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_{kx})=De^{-\beta E_{ki}}</MATH>|14.22}} Biorąc z mechaniki klasycznej energię cząstki dla jednej współrzędnej {{LinkWzór|14.22}} względem energii posiadanej przez cząstkę względem i-tej osi, wtedy możemy zapisać go względem prędkości cząstki, tzn. {{Formuła|<MATH>\rho(E_{kx})\sim \rho(v_i)\;</MATH>}}, wtedy ta gęstość prędkości, że cząstka będzie będzie miała jakąś współrzędną o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=D e^{-{{mv_i^2}\over{2}}}</MATH>|14.23}} Następnym krokiem jest unormowanie rozkładu {{LinkWzór|14.21}}, a więc z normowania {{LinkWzór|14.21}} względem objętości infinitezymalnej {{Formuła|<MATH>d^3\vec{v}\;</MATH>}}, wynika normowanie funkcji {{LinkWzór|14.23}} względem objętości w przestrzeni jednowymiarowej {{Formuła|<MATH>dv_i\;</MATH>}} dla ściśle określonej współrzędnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\rho(E_k)d^3\vec{v}=\int_{v_{k1}}\int_{v_{k2}}\int_{v_{k3}}\left(\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\right)dv_{k1}dv_{k2}dv_{k3}=\prod^3_{i=1}\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}\Rightarrow\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}=1</MATH>|14.24}} Z warunku normalizacyjnego podczas całkowania po całej objętości przestrzeni jednowymiarowej względem współrzędnej prędkości o numerze i-tej możemy policzyć stałą normalizacyjną występującą w {{LinkWzór|14.23}}. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_{-\infty}^{\infty}\rho(v_i)dv_i=D\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}= D\sqrt{{{\pi}\over{{{m}\over{2k_BT}}}}}=D\sqrt{{{2\pi k_BT }\over{m}}}\Rightarrow D=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}</MATH>|14.25}} Korzystając z {{LinkWzór|14.25}} dla stałej {{Formuła|<MATH>D\;</MATH>}}, wtedy rozkład {{LinkWzór|14.23}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.26}} == Rozkład Maxwella-podsumowanie == Gęstość prawdopodbieństwa, że dana cząstka posiada wektor prędkości jest wyrażona przez wzór {{LinkWzór|14.21}} poprzez {{LinkWzór|14.26}}, wtedy prawdopodobieństwo uzyskania prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}} jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v})={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.27}} Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada element prędkości o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}}, zatem to możemy wyznaczyć w sposób dla pierwszej współrzędnej, dla współrzędnej drugiej i trzeciej wyznaczamy podobnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_1)dv_1=\int_{v_2=-\infty}^{\infty}\int_{v_3=-\infty}^{\infty}{\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv_1dv_2dv_3={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(\int_{v_2=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_2^2}\over{2k_BT}}}dv_2\right)\left(\int_{v_3=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_3^2}\over{2k_BT}}}dv_3\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}{{2\pi k_BT}\over{m}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1\Rightarrow\rho(v_1)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.28}} Uogólniając wniosek {{LinkWzór|14.28}} dla i-tej współrzędnej otrzymujemy wzór {{LinkWzór|14.26}}, który jest gęstością prawdopodobieństwa, że dany element współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} posiada wartość {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} dla danej cząstki, wynikających ze wzoru {{LinkWzór|14.27}}. Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że cząstka posiada daną wartość prędkości jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)dv=\int_{v^2=const}\rho(\vec{v})dv_xdv_ydv_z= \int_{v^2=const}{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }dv_xdv_ydv_z={\left( {{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv\int_0^{2\pi}d\phi\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\int_0^{\pi} \left(\sin\theta d\theta\right)=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv</MATH>|14.29}} {{Rysunek|Maxwell-Boltzmann distribution 1.png|w1|Rozkład Maxwella-Boltzmanna dla tlenu dla temperatur -100°C,20°C i 600°C.}} Według {{LinkWzór|14.29}} gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2</MATH>|14.30}} Ilość cząstek o danej wartości prędkości jest wyrażone przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>dN=N\rho(v)dv=4\pi N{\left( {{m}\over {2\pi k_BT}} \right) }^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv</MATH>|14.31}} === Prędkość najbardziej prawdopodobna === W tym celu skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy można policzyć prędkość {{Formuła|<MATH>u_p</MATH>}} najbardziej prawdopodobną, które osiągana jest w ekstremum według wspomnianego wzoru. Warunek na ekstremum lokalne względem omawianego rozkładu gęstości, że cząstka posiada daną gęstość prawdopodobieństwa, o jej największej wartości jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>0={{{d\rho(v)}\over{dv}}\Bigg|}_{v=u_p}</MATH>|14.32}} Wtedy możemy policzyć nasze ekstremum w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>u_p\;</MATH>}}, zatem wtedy musimy podstawić wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.30}} do równości {{LinkWzór|14.32}}, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>0={{d}\over{dv}}\left({\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}4\pi u_p^2\right)={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}4\pi {{d}\over {dv}}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}u^2_p={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(2 u_p e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}+u_p^2 e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{{-2mu_p}\over {2k_BT}}\right)=</MATH>{{Br}} <MATH>={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}2u_pe^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{\left({1-{{u_p^2m}\over{2k_BT}}}\right)}\Rightarrow 1={{u_p^2m}\over{2k_BT}}\Rightarrow u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.33}} === Średnia kwadratowa prędkość === Średnią kwadratowa wartość prędkości jaką posiada dany układ cząstek wyznaczamy z definicji wartości średniej kwadratu wartości prędkości cząstki jako całka iloczynu kwadratu wartości prędkości i prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości, która jest iloczynem infizymalnej zmiany prędkości i gęstości prawdopodobieństwa. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0} v^2 \rho(v)dv</MATH>|14.34}} Do równania {{LinkWzór|14.34}} podstawiamy wzór na gęstość prawdopodobieństwa wartości prędkości napisaną według wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że średni kwadrat prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^2\underbrace{4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} v^2e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}}_{\rho(v)} dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}}\int\limits^{\infty}_{0}v^4 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} {{1}\over{2}}{3\over 4}{\left({{2k_BT}\over {m}}\right)}^{5\over 2}\sqrt{\pi}={{3k_BT}\over{m}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.35}} Widzimy, że końcowy wzór {{LinkWzór|14.35}} na omawianą średnią zależy od pierwiastka temperatury bezwzględnej T. === Średnia arytmetyczna prędkość === Średnią arytmetyczną prędkości cząstki możemy policzyć z definicji wartości średniej dla parametru ciągłego względem wartości prędkości, która przyjmuje wartości niezerowe: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0} v\rho(v)</MATH>|14.36}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}} na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości, wtedy można policzyć jej wartość średnią wedle wzoru {{LinkWzór|14.36}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv4\pi=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_{0}v^3 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv</MATH>|14.37}} Ale znamy z analizy matematycznej wynika tożsamość poniżej, z której policzymy pochodną względem parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha^{-1}_{i=1}=\int\limits^{\infty}_{0}v e^{-\alpha v^2}dv\Rightarrow{1\over 2}\alpha^{-2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3e^{-\alpha v^2}</MATH>|14.38}} Wtedy równanie {{LinkWzór|14.37}} według końcowej tożsamości {{LinkWzór|14.38}} przyjmuje wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2} {1\over 2}{\left({{2k_BT} \over {m}}\right)}^2=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.39}} == Porównanie średnich w rozkładzie Maxwella == Zestaw prędkości jakie wyznaczyliśmy poprzednio podamy poniżej: {{ElastycznyWiersz |1={{Center|'''Prędkość najbardziej prawdopodobna'''}}{{CentrujWzór|<MATH>u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.40}} |2={{Center|'''Prędkość kwadratowa'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.41}} |3={{Center|'''Prędkość średnia'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.42}} }} Porównując te trzy średnie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}>\overline{v}>u_p</MATH>|14.43}} A oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{{{3k_BT}\over { m}}}>\sqrt{{{8k_BT}\over{\pi m}}}>\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}\Rightarrow 3>{{8}\over{\pi}}>2\Rightarrow 3>2,548>2</MATH>|14.44}} Czyli widzimy, ze stałe określające różne rodzaje prędkości dla rozkładu Maxwella nie są jednakowe. == Rozkład prędkości względnych w rozkładzie Maxwella == Napiszmy rozkład, że pierwsza cząstka posiada prędkość: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH>m_1\;</MATH>}}, a druga prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH> m_2\;</MATH>}}, który jest iloczynem dwóch gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.27}}, każde dla innej cząstki opisującej jego prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v_1},\vec{v}_2)=dw(\vec{v_1})dw(\vec{v}_2)=\left({{m_1m_2}\over{(2\pi k_BT)^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1v_1^2}\over{k_BT}}}e^{-{{m_2v_2^2}\over{k_BT}}}d\vec{v}_1d\vec{v}_2</MATH>|14.45}} Możemy ułożyć układ równań opisujący prędkość środka masy tychże dwóch cząstek {{Formuła|<MATH>\vec{G}\;</MATH>}} (pierwsze równanie), a także ich prędkość względna {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{12}\;</MATH>}} (drugie równanie) w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{G}\\ \vec{v}_1-\vec{v}_2=\vec{v}_{12} \end{cases}</MATH>|14.46}} Policzmy, z układu równań {{LinkWzór|14.46}} prędkości: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2</MATH>}}. Jeśli znamy prędkość środka masy i prędkość względną, w tym celu rozwiążmy wspomniany układ równań w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} dla pierwszej cząstki i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} dla drugiej cząstki. W tym celu wyznaczmy wyznacznik powyższego układu: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} m_1&m_2\\ 1&-1 \end{vmatrix}=-m_1-m_2=-M</MATH>|14.47}} Również wyznaczniki dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} pierwszego ciała oraz dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} drugiego ciała wyrażają się wzorami: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_1}=\begin{vmatrix} M\vec{G}&m_2\\ \vec{v}_{12}&-1 \end{vmatrix}=-M\vec{G}-m_2\vec{v}_{12}</MATH>|14.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_2}=\begin{vmatrix} m_1&M\vec{G}\\ 1&\vec{v}_{12} \end{vmatrix}=m_1\vec{v}_{12}-M\vec{G}</MATH>|14.49}} }} Wyniku ostatecznych obliczeń otrzymujemy prędkości obu cząstek, znają ich prędkość środka masy i prędkość względną {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{W_{\vec{v}_1}}\over{W}}=\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{W_{\vec{v}_2}}\over{W}}=\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.51}}}} Wyznaczmy wyrażenie poniżej względem prędkości środka masy i prędkości względnej obu badanych cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{v}_1d\vec{v}_2=|J|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} {{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ {{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} 1&{{m_2}\over{M}}\\ 1&-{{m_1}\over{M}} \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=</MATH>{{Br}}<MATH>=\left|-{{m_1}\over{M}}-{{m_2}\over{M}}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}={{m_1+m_2}\over{M}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}=d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.52}} A zatem nasz rozkład {{LinkWzór|14.45}} wykorzystując przy tym obliczoną tożsamość {{LinkWzór|14.52}}, w której występują zamiast prędkości dwóch określonych cząstek wielkości, tzn. prędkość środka masy i prędkość względna, wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dwie cząstki będą posiadać prędkość, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_1\vec{v}_2)=dw(\vec{G},\vec{v}_{12})= \left({{{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{m_1+m_2}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1\left(\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\right)^2}\over{2k_BT}}}\cdot e^{-{{m_2(\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12})^2}\over{2\pi k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.53}} Wprowadźmy nowe parametry, który wstawimy do rozkładu {{LinkWzór|14.53}}, którą nazwiemy masą zredukowaną, wtedy wzór na całkowitą masę dwóch cząstek będący sumą mas pierwszej m{{Sub|1}} i drugiej cząstki m{{Sub|2}} i na masę zredukowaną jest: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\mbox{ lub inaczej }{{1}\over{\mu}}={{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\;</MATH>|14.54}} |2={{CentrujWzór|<MATH>m_1+m_2=M\;</MATH>|14.55}} }} Można również udowodnić, że wielkość masy zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} {{LinkWzór|14.54}} jest pomiędzy masami obu cząstek, które opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu<m_1\wedge\mu<m_2\;</MATH>|14.56}} Wtedy rozkład {{LinkWzór|14.53}} przy definicjach {{LinkWzór|14.54}} (masa zredukowana) i {{LinkWzór|14.55}} (całkowita masa dwóch cząstek) jest napisany wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1G^2+2m_1{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\vec{G}+m_2G^2-2m_2{{m^1}\over{M}}\vec{G}\vec{v}_{12}+m_1{{m_2^2}\over{M^2}}v^2_{12}+m_2{{m_1^2}\over{M^2}}v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>{{Br}}<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}} e^{-{{(m_1+m_2)G^2+{{m_1m_2}\over{M^2}}v^2_{12}M}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{MG^2+\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.57}} Wzór {{LinkWzór|14.57}} jest iloczynem dwóch rozkładów gęstości prawdopodobieństwa, tzn. gęstości prawdopodobieństwa prędkości środka masy o masie M dwóch cząstek jakie one mogą posiadać i prędkości względnej tych cząstek o masie zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=dw(\vec{G})dw(\vec{v}_{12})</MATH>|14.58}} Ostatecznie otrzymujemy dwa rozkłady, na prędkość względną cząstek i ich prędkość środka masy. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}</MATH>|14.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.60}}}} == Rozkład Maxwella energii względem ściśle określonej osi == Energia kinetyczna względem danej osi jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_i={{mv_i^2}\over{2}}\Rightarrow v_i=\sqrt{{{2E_i}\over{m}}}\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{m}\over{2E_i}}}{{2}\over{m}}dE_i\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i</MATH>|14.61}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|14.61}} (infinitezymalna zmiana prędkości cząstki w zależności od jej infitezymalnej zmiany energii, ale to wszystko względem jakieś współrzędnej układu kartezjańskiego) i {{LinkWzór|14.26}} (rozkładu gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MaTh>}} jakieś współrzędnej o numerze "i"), wtedy nieskończenie małe prawdopodobieństwo, że cząstka posiada tą właśnie prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v_i)dv_i=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}dv_i= \sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i=\underbrace{\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}}_{\rho(E_i)}dE_i</MATH>|14.62}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.62}} rozkład gęstości energii względem danej osi opisujących tą energię jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_i)=\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}</MATH>|14.63|Obramuj}} == Rozkład Maxwella całkowitej energii == Z definicji całkowita energia kinetyczna znanej z mechaniki klasycznej Newtona wyznaczmy jego prędkość znając jego energię i na samym końcu wyznaczmy jak się zmienia infinitezymalna wartość prędkość znając jego infinitezymalną zmianę jego energii. Wszystkie te dysputy zapisujemy razem: {{CentrujWzór|<MATH>E={{mv^2}\over{2}}\Rightarrow v=\sqrt{{{2E}\over{m}}}\Rightarrow dv=\sqrt{{{m}\over{2E}}}{{2}\over{m}}dE\Rightarrow dv=\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE\;</MATH>|14.64}} Znając rozkład wartości prędkości według {{LinkWzór|14.30}} i {{LinkWzór|14.64}}, to infinitezymalna prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada całkowitą energię (tutaj energię kinetyczną): {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v)dv=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}{{2E}\over{m}}\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2^3E}\over{m^3}}}dE=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \underbrace{4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}}_{\rho(E)}dE\;</MATH>|14.65}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.65}} rozkład gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną jest przestawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{3\over 2}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}</MATH>|14.66|Obramuj}} == Równanie stanu gazu doskonałego == Gaz doskonały posiada cząsteczki o zerowej objętości nieoddziaływujących ze sobą, tzn. gaz ten posiada tylko energię kinetyczną, natomiast nie posiada energii potencjalnej. Zatem całkowita energia (mechaniczna) układu jest to tylko w tym przypadku energia kinetyczna, na którą składają się wszystkie cząstki układu. Wiemy, że statystyka Maxwella dla współrzędnej prędkości {{LinkWzór|14.25}} jest funkcją parzystą, i średnia energia kinetyczna (całkowita) policzona dla każdej osi jest jednakowa dla współrzędnych ({{Formuła|<MATH>\overline{E}_x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_y\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_z\;</MATH>}}) nie zależy od owych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_x=\overline{E}_y=\overline{E}_z={{1}\over{3}} \overline{E}\;</MATH>|14.67}} * gdzie: * {{Formuła|<MATH>\overline{E}\;</MATH>}} - średnia energia kinetyczna całego układu. Rozważmy sześcian z gazem doskonałym i ustalmy raz na zawsze oś z, która jest prostopadła do jednej ze ściśle określonej ścianki. Podczas odbicia od rozważanej ścianki prędkość zmienia się z {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-v_z\;</MATH>}}, ponieważ jest to odbicie doskonale sprężyste (energia kinetyczna (całkowita) cząstki się nie zmienia), czyli zmiana pędu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta p=mv_{z}-m(-v_{z})=2mv_z\;</MATH>|14.68}} A więc średnia siła, dzięki której oddziaływuje dana cząstka z rozważaną ścianką według drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{\Delta p_z}\over{\Delta t}}={{2mv_z}\over {\Delta t}}\;</MATH>|14.69}} W średnim czasie w jakim cząstka jaką potrzebują przebyć cząstka wzdłuż ścianki prostopadłej do rozważanej o długości {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}} z prędkością {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>v_z={{\Delta x}\over{\Delta t}}\Rightarrow \Delta t={{\Delta x}\over{v_z}}\;</MATH>|14.70}} Korzystamy z {{LinkWzór|14.70}}, wtedy równanie {{LinkWzór|14.69}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{2mv_z}\over{{{\Delta x}\over{v_z}}}}={{2mv_z^2}\over{\Delta x}}\;</MATH>|14.71}} Ale średnia siła działające na ściankę o powierzchni {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MAth>}} działających przez {{Formuła|<MATH>dN\;</MATH>}} cząstek lecących do ścianki o wspomnianej powierzchni o danej prędkości z prędkościami od zera do nieskończoności (cząstki z prędkościami ujemnymi wzdłuż linii prostopadłej do danej ścianki nie lecą w kierunku naszej ściśle określonej ścianki) jest wyrażona wzorem poniżej. Zakładamy że gęstość rozkładu prędkości zetowej jest funkcją parzystą (bo liczba cząstek lecących pod danym kątem bryłowym jest jednakowa, zatem nie zależy od kierunku w którym dana cząstka się porusza, wiedząc że żaden kierunek nie jest wyróżniony), wtedy liczba cząstek posiadająca prędkość zetową {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>dN(v_z)=NdP(v_z)=N{{dP(v_z)}\over{dv_z}}dv_z=N\rho(v_z)dv_z\Rightarrow dN(v_z)=N\rho(v_z)dv_z</MATH>|14.72}} * gdzie: ** {{Formuła|<MATH>dN(v_z)\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie o prędkości zetowej {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}}. ** {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie. ** {{Formuła|<MATH>dP(v_z)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka ma rozważaną prędkość zetową. ** {{Formuła|<MATH>\rho(v_z)\;</MATH>}} gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada rozważaną prędkość zetową. Korzystając z {{LinkWzór|14.72}} i z parzystości funkcji gęstości prawdopodobieństwa względem zmiennej v{{Sub|z}} dla rozkładu {{LinkWzór|14.26}}, wtedy całkowita średnia siła działająca na ściśle określoną ściankę przez wszystkie padające na nią cząstki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F_c=\sum^{N}_{i=1}\begin{cases}\Delta F(v_{iz})&\mbox{ dla }v_{iz}>0\\0&\mbox{ dla }v_{iz}\leq 0\end{cases}\simeq\int_{v_z=0}^{\infty}dN(v_z)\Delta F(v_z)=\int_0^{\infty}N\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=N\int_0^{\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=</MATH>{{Br}}<MATH>={{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z</MATH>|14.73}} Ciśnienie działające na ścianki naczynia przy średniej sile wyrażonej według {{LinkWzór|14.73}}, która jest ilorazem tej siły i powierzchni ścianki na którą pada jest wyrażona dla prędkości dodatnich: {{CentrujWzór|<MATH>p={{\Delta F_c}\over{\Delta S}}={{{{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v)\Delta F(v_z)dv_z}\over{\Delta S}}= {{N}\over{2\Delta S}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z){{2mv_z^2}\over{\Delta x}}dv_z= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}{{mv_z^2}\over{2}}\rho(v_z)dv_z=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z </MATH>|14.74}} Średnia energia jednej cząstki w układzie względem osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}^1_z=\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z\;</MATH>|14.75}} Objętość układu w której znajduje się {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} cząstek, jeśli nasz rozważany gaz znajduje się prostopadłościanie, którego jedna, ze ścianek ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MATH>}}, a krawędzie boczne mają długość {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}}, w którym w pewnym czasie wszystkie cząstki przebywają tą właśnie odległość by oddziaływać z tą omawianą ścianką z średnią siłą {{LinkWzór|14.73}},z definicji objętości tej figury piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>V=\Delta S\Delta x\;</MATH>|14.76}} Uwzględniając wzory {{LinkWzór|14.75}} (średnią energię zetową cząstki) i {{LinkWzór|14.76}} (objętość układu), wtedy wzór {{LinkWzór|14.74}} na ciśnienia wywieraną na ściankę przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>p={{2N}\over{V}}\overline{E}^1_z\Rightarrow pV=2N\overline{E}^1_z\;</MATH>|14.77}} Całkowita energia kinetyczną układu wzdłuż jednej osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest sumę wszystkich N średnich energii należących do wszystkich cząstek także względem tej osi, a ponieważ te energie są jednakowe, to średnią energię kinetyczną zetową wystarczy pomnożyć przez N i otrzymamy naszą energię średnią układu cząstek względem tej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_z=N\overline{E}^1_z</MATH>|14.78}} Widząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.78}} (średnia energia układu), a także {{LinkWzór|14.77}} (ciśnienie wywierane na jakoś ściankę prostopadłościanu), wtedy możemy napisać pewien wzór w zależności od całkowitej energii kinetycznej cząstek w zależności tylko od osi zetowej. {{CentrujWzór|<MATH>pV=2\overline{E}_z\;</MATH>|14.79}} Uwzględniając warunek {{LinkWzór|14.67}} (zależność energii zetowej kinetycznej w zależności od całkowitej jego energii też kinetycznej), wtedy wzór {{LinkWzór|14.79}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>pV=2{{1}\over{3}}\overline{E}\Rightarrow pV={{2}\over{3}}\overline{E}</MATH>|14.80}} Wyznaczmy średnią energię kinetyczną układu, w którym jest gaz doskonały, korzystając z rozkładu {{LinkWzór|14.31}}, z której wynika kwadrat średniej prędkości kwadratowej {{LinkWzór|14.35}}, wtedy średnia całkowita energia układu w zależności od temperatury układu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\int^{\infty}_{0}E(v)dN(v)=\int^{\infty}_{0}E(v)N\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\int_0^{\infty}v^2\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\overline{v^2}=N{{m}\over{2}}{{3k_BT}\over{m}}={{3}\over{2}}Nk_BT</MATH>|14.81}} Według rozkładu Maxwella całkowita energia układu wedle obliczeń {{LinkWzór|14.81}}, która jest zależna od temperatury układu i liczby cząstek należących do niego, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{3}\over{2}}Nk_BT\;</MATH>|14.82|Obramuj}} Podstawiamy wzór {{LinkWzór|14.82}} na średnią całkowitą energię układu do równania {{LinkWzór|14.80}} do jego prawej strony: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{2}\over{3}}{{3}\over{2}}Nk_BT\Rightarrow pV=Nk_BT\;</MATH>|14.83}} Korzystając z definicji liczby moli w zależności od jego liczby cząsteczek {{LinkWzór|6.2|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} i z definicji na stałą gazową {{LinkWzór|6.5|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, wzór {{LinkWzór|14.83}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>pV=n\underbrace{N_Ak_B}_{R}T\Rightarrow pV=nRT\;</MATH>|14.84}} Końcowe równania {{LinkWzór|14.84}}, {{LinkWzór|14.83}}, gdzie oba te wzory są ze sobą równoważne, są to równania stanu gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ddfoahe0t1f9p9pkry09zin1ec71f8g 0 14142 558562 538633 2026-10-04T17:11:06Z Persino 2851 558562 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wprowadzimy zasady termodynamiki fenomenologicznej w sposób empiryczny, tzn. w sposób fenomenologiczny, nie wynikając w wewnetrzną strukturę, budowę układu czyli czy składa się z cząsteczek czy z atomów (w przypadku gazów szlachetnych). == Zerowa zasada termodynamiki == Zerową zasadę można opisać według prawa przechodności, tzn. jeśli układ termodynamiczny A jest w równowadze termodynamicznej z układem B, a układ C jest w równowadze z układem B, to układ A jest w równowadze termodynamicznym z układem C. Twierdzenie to mówi, że istnieje pojęcie temperatury, która określa tę równowagę. Przedstawiamy to za pomocą diagramu: {{CentrujWzór|<MATH>[(T_A \Leftrightarrow T_B) \wedge(T_B \Leftrightarrow T_C)] \Rightarrow (T_A \Leftrightarrow T_C)\;</MATH>|2.1}} == Pierwsza zasada termodynamiki == Pojęciem energii wewnętrznej nazywamy ilość energii zgromadzonej w ciele, poprzez wymianę energii w wyniku pracy lub dostarczenia ciepła. Nie można określić, ile jest w ciele energii wewnętrznej, natomiast można określić jej zmianę, tzn. {{Formuła|<MATH>\Delta U\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>dU=\delta Q+\delta W+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|2.2}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>dU\;</MATH>}} - nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej, * {{Formuła|<MATH>\delta Q\;</MATH>}} - nieskończenie mała zmiana dostarczenia energii do ciała czyli ma znak plus, gdy {{Formuła|<MATH>\delta Q>0\;</MATH>}} dostarczano energię w postaci ciepła do układu, lub znak minus, gdy jest oddawana energia w tej samej postaci z rozważanego układu, * {{Formuła|<MATH>\delta W\;</MATH>}} - nieskończenie mała zmiana pracy wykonywanej nad układem, * {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} - potencjał chemiczny, a {{Formuła|<MATH>dN\;</MATH>}} to bardzo mała zmiana liczby cząstek w układzie, ta stała jest związana, ile cząstek przybywa do układu od zewnątrz, wtedy {{Formuła|<MATH>dN>0\;</MATH>}}, w przeciwnym przypadku jest ujemne, lub przy braku tej wymiany zerowe, * {{Formuła|<MATH>\omega\;</MATH>}} - potencjał czasowy, a {{Formuła|<MATH>dt\;</MATH>}} to bardzo mała zmiana czasu układu, związany z reakcjami chemicznymi, czy jądrowymi, a nawet procesami wydzielania lub pochłonięcia się energii przy jakiś procesach fizycznych (mieszania się składników). A jak nie ma tego typu wymiany energii w układzie, to {{Formuła|<MATH>\omega=0</MATH>}}. A ogólniej tą zmienną (a właściwie funkcję) piszemy {{Formuła|<MATH>\omega=\omega(t)\;</MATH>}}, która ma postać zwykle funkcyjną. === Praca i ciepło === '''Ciepło''' jest to rodzaj energii, która jest wymieniana między układami termodynamicznymi, w celu osiągnięcia równowagi termodynamicznej. '''Praca''' jest to praca, która jest wykonywana przez siły zewnętrzne, w trakcie równowagi termodynamicznej, czyli w stanie quasistatycznym. W stanie równowagi, siły ciśnienia w gazie działają na ścianki naczynia z siłą: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_p=p\vec{S}\;</MATH>|2.3}} Która jest równoważona przez siły zewnętrzne działająca na tłok, ponieważ zmiana objętości układu jest wykonana w czasie o przedziale nieskończenie dużym, a w praktyce w czasie bardzo dużym przedziale czasu, w którym podczas zmiany tej objętości przechodzimy przez poszczególne stany quasistacjonarne (stany które w przybliżeniu są stanami stacjonarnymi). A jeśli zmiana objętości jest wykonywana w nieskończonym czasie, tak by przy przejściu w tych stanach pośrednich układ przebywał w czasie nieskończenie dużym, w praktyce w czasie bardzo dużym, tak by stan przebywania w tych stanach był o wiele większy niż stany relaksacji tychże stanach pośrednich), którego siły zewnętrzne w naczyniu w zależności od sił ciśnienia działających na ściankę naczynia mają te same kierunki i wartości, ale przeciwne zwroty: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_z=-\vec{F}_p\;</MATH>|2.4}} Infinitezymalna praca wykonaną przez siły zewnętrzne {{LinkWzór|2.4}}, na podstawie definicji infitezymalnej pracy i definicji ciśnienia, co oznacza siłę działającej na powierzchnię S prostopadłą do tłoka pochodzącą od ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>\delta W=\vec{F_z} d\vec{r}=-\vec{F_p}d\vec{r}=-p\vec{S}d\vec{r}=-pdV\;</MATH>|2.5}} Ze wzoru {{LinkWzór|2.5}} wynika wynikowe wyrażenie na infinitezymalną pracę podczas nieskończenie małej zmiany jego objętości przy ciśnieniu panujących w badanym układzie wynoszącej "p", jest ona wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH> \delta W=-pdV\;</MATH>|2.6}} Określmy teraz nieskończenie małe ciepło dostarczone do układu znając temperaturę panującą w tym układzie, to z definicji infinitezymalnej zmiany entropii możemy wyprowadzić właśnie tą naszą wielkość, która zależy od temperatury bezwzględnej w układzie i od infinitezymalnej zmiany entropii panującej w naszym układzie: {{CentrujWzór|<MATH>dS={{\delta Q}\over{T}}\Rightarrow\delta Q=TdS\;</MATH>|2.7}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>dS\;</MATH>}} jest to zmiana entropii w ciele, * {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} temperatura podczas tej zmiany. Jeśli przed daną wielkością występuje {{Formuła|<MATH>\delta\;</MATH>}}, to wtedy {{Formuła|<MATH>\delta K\;</MATH>}} nie jest różniczką zupełną, a jeśli {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}}, to wtedy {{Formuła|<MATH>d K\;</MATH>}} jest różniczką zupełną. Różniczką zupełną nazywamy taką różniczkę wielkości {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, jeśli da się przedstawić ona według równania: {{CentrujWzór|<MATH>dK=\sum^n_{p=1}\left({{\partial K}\over{\partial x_p}}\right)_{x_{i\neq p}}dx_p\;</MATH>|2.8}} * gdzie {{Formuła|<MATH>x_p\;</MATH>}}- parametr termodynamiczny o numerze "p" opisujący nasz badany układ. === Perpetuum mobile pierwszego rodzaju === Pierwszą zasadę termodynamiki można traktować jako zasadę zachowania energii. Mówi ona, że nie da się zbudować maszyny, która tworzy z niczego jakikolwiek energię. === Pełne sformułowanie pierwszej zasady termodynamiki === Bardzo mała zmiana energii wewnętrznej zależy od zmiany ciepła, która jest określana przez równość {{LinkWzór|2.7}} zależącą od temperatury panującej w układzie podczas wymiany nieskończenie małego ciepła i od infinitezymalnej zmianu wielkości ekstensywnej zwanej entropią w tym badanym obiekcie, a także od pracy wykonanej nad ciałem (układem) wykonanej przez siły zewnętrzne {{LinkWzór|2.6}} równoważącej siły pochodzące od ciśnienia panującej w gazie podczas jego działania na tłok, a także zależy od wymiany liczby cząstek, a także zależy od zmiany energii względem różniczki czasu, zatem korzystając z tychże wymienionych wzorów, to pierwszą zasadę termodynamiki można określić przez równanie: {{CentrujWzór|<MATH> dU=\delta Q-pdV+\mu dN+\omega dt=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|2.9|Obramuj}} Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki {{LinkWzór|2.2}} i wzoru {{LinkWzór|2.6}} otrzymujemy wyrażenie na infinitezymalną zmianę ciepła w zależności od bardzo małej zmiany energii wewnętrznej układu i wykonanej pracy w układzie podczas zmiany jego objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=dU-\delta W\Rightarrow\delta Q=dU+pdV-\mu dN-\omega dt\;</MATH>|2.10|Obramuj}} === Intuicyjne wyprowadzenie "Pierwszej zasady termodynamiki" === Zakładając, że ścianka naczynia z tłokiem jest idealnie gładka (zderzenia cząstek ze ściankami naczynia są całkowicie doskonałe), wtedy przesuwając tłok o bardzo małe przesunięcie {{Formuła|<MATH>d\vec{r}\;</MATH>}} zmieniamy objętość układu o infinitezymalną wartość {{Formuła|<MATH>dV\;</MATH>}}, wtedy zmiana energii wewnętrznej gazu jest równa pracy wykonanej przez układ wedle zasady zachowania energii, czyli wedle równania {{Formuła|<MATH>\delta W=-pdV\;</MATH>}}. Gdy ścianka nie jest idealnie gładka, wtedy poszczególne cząstki badanego danego układu podczas zderzeń ze ściankami dawane im jest ze strony ścianek, im ograniczających badanego układu, z części swojej energii kinetycznej z drgań i ruchu postępowego cząsteczek w ściankach, co wyrażane jest poprzez infinitezymalną zmianę entropii w temperaturze T w jakim układ się znajduje (zakładamy przy czym, że układ znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej), a ciepło to jest wyrażone przez {{Formuła|<MATH>\delta Q=TdS</MATH>}}, cząstki mogą dochodzić do układu, co zwiększa wtedy jego energię o {{Formuła|<MATH>\mu dN\;</MATH>}}, a także energia w układzie może się wydzielać od wiązań chemicznych lub jądrowych, a nawet mieszania się składników, co zwiększa wtedy jego energię o {{Formuła|<MATH>\omega dt\;</MATH>}}, zsumując te energie otrzymujemy zmianę energii wewnętrznej, to na podstawie tego otrzymujemy wzór {{LinkWzór|2.2}}, który jest treścią pierwszej zasady termodynamiki fenomenologicznej. === Pierwsza zasada termodynamiki jako prawo przemiany energii === Dla procesów adiabatycznych, energia wymieniana na w sposób ciepła wynosi zero, czyli wiemy korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|2.7}} na infinitezymalną zmianę ciepła, że całka temperatury całkowaną względem entropii podczas omawianej przemiany wynosi z oczywistych powodów zero: {{CentrujWzór|<MATH>0=\Delta Q=\int TdS=\overline T\int dS\Rightarrow \int dS=0\Rightarrow \sum_i\delta S_i=0</MATH>|2.11}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|2.11}} zmiana entropii całego układu, która nie wymienia ciepła jest zero, na podstawie z twierdzenie średnich dla całek Riemanna, również podobne twierdzenie zachodzi dla sum dla różnic entropii o numerach {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}. Wykorzystując {{LinkWzór|2.10}}, która omawia pierwszą zasadę termodynamiki, jeśli podczas naszego procesu zmiana ciepła jest zero, to wtedy ze względu, że energia wewnętrzna U posiada różniczkę zupełną energii wewnętrznej, to różniczka pracy, która w ogólności nie jest różniczką zupełną, w tym szczególnym przypadku dla naszej omawianej przemiany różniczka pracy jest różniczką zupełną. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta U=\left(\Delta W\right)_{ad}</MATH>|2.12}} W tym przypadku można sformułować zasadę: : ''Dla procesów adiabatycznych zmiana stanu układu termodynamicznego wywołana jest przez pracę sił zewnętrznych niezależnych od sposobu w jakim ta zmiana jest wykonywana, czyli mamy równanie powiedziane {{LinkWzór|2.12}}, U posiada różniczkę zupełną i jest zależna od parametrów opisujących układ, wtedy różniczka pracy {{LinkWzór|2.6}} dla procesów adiabatycznych jest różniczką zupełną, bo zachodzi:'' {{CentrujWzór|<MATH>\Delta U=U_2-U_1=\int^2_1 dU=\int^2_1\delta W</MATH>|2.13}}'' == Druga zasada termodynamiki == Podamy różne sformułowania drugiej zasady termodynamiki: '''Sformułowanie Clausiusa''': :Niemożliwe jest przekazywanie ciepła od ciała o niższej temperaturze ciału o temperaturze wyższej bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu. '''Sformułowanie Kelvina''': : Nie możliwe jest pobieranie ciepła z jednego źródła i zamianę go na pracę bez prowadzenia innych zmian w układzie i otoczeniu. Ogólnie zmiana entropii jest całką, przy którym z korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|2.7}}, która jest napisana w zależności od infinitezymalnej zmiany ciepła wymienianego między układem a otoczeniem. Jeśli poszczególne zmiany infinitezymalne parametrów stanu są nałożone na pewną krzywą stanu układu, w którym mówiąc ogólnie jest zmiana temperatury, ale nie musi tak zachodzić, to wtedy całkowitą zmianę entropii między dwoma punktami końcowymi (punktem początkowym i końcowym, między dwoma stanami, w której ta zmiana jest wykonywana) jest określona jako całka infinitezymalnych entropii określająca dany pośredni stan między badanymi stanami krańcowymi, w którym ogólnie występuje zmiana temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S=\int\limits^{stan 2}_{stan 1}dS=\int\limits^{stan 2}_{stan 1} {{\delta Q}\over{T}}\;</MATH>|2.14}} Drugą zasadę termodynamiki, która określa, że całkowita zmiana entropii badanego układu nigdy nie maleje i którą można zapisać w postaci warunku: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta S\geq 0\;</MATH>|2.15}} Dla układów termodynamicznych znak równości {{LinkWzór|2.15}} dotyczy procesów odwracalnych. Całkowita entropia układu określa całkowite nieuporządkowanie układu, a jego zmiana jest tak napisana, by nie zmniejszać nieuporządkowania (bałaganu) układu, którego badamy, chociaż potocznie by się wydawało być odwrotnie, tzn. czy jest większy porządek na początku wszechświata, czy teraz, by się wydawało, że teraz, a w fizyce tak już nie jest, w fizyce jest odwrotnie niż według potocznego punktu widzenia. ===Perpetuum mobile drugiego rodzaju=== Perpetuum mobile drugiego rodzaju - całe ciepło pobrane od ciała nie da się zamienić całkowicie na pracę, czyli musi być, że: {{CentrujWzór|<MATH> \delta Q \ne dW\;</MATH>|2.16}} A gdyby istniało to urządzenie, to wtedy dałoby się zamienić całkowicie ciepło na pracę, ale według drugiej zasady termodynamiki to niemożliwe. == Trzecia zasada termodynamiki == Według trzeciej zasady termodynamiki mamy, że entropia i ciepło właściwe znikają w temperaturze T=0. Podczas przemian fizycznych, nigdy nie można dojść to temperatury T=0, a jedynie do bardzo jej bliskiego dodatniego otoczenia, ponieważ ciepło substancji maleje asymptotycznie do zera. == Wyprowadzenie "Zerowej zasady termodynamiki" == Podzielmy nasz układ na n części, najlepiej by liczba tych części była liczbą nieskończenie dużą lub prawie nieskończoną, by poszczególne podukłady były infinitezymalnie małe, na tyle małe by w takiej cząstce znajdowała się na tyle dużo cząstek by prawa termodynamiki były spełnione, chodzi tutaj o wzór na infinitezymalną pracę i o drugą zasadę termodynamiki. Wiemy jednak, że całkowita zmiana energii wewnętrznej dla n podukładów jest niezmienna z zasady zachowania energii całego układu i wynosi zero: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^n_{i=1}dU_i=0\;</MATH>|2.17}} Wiadomo, że objętość całego układu jest niezmienna i jej zmiana w zależności od zmian objętości w poszczególnych częściach tego układu jest zero (tzn.: sumaryczna zmiana objętości całego układu jako zmiany poszczególnych jej składników jest równa zero): {{CentrujWzór|<MATH>\sum^n_{i=1}dV_i=0\;</MATH>|2.18}} Zmiana cząstek układu danej substancji i fazy jest równa zero w układzie zamkniętym: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^n_{i=1}dN_i=0\;</MATH>|2.18a}} Rozpatrujemy układ w danym czasie statystycznym, mówiąc: {{CentrujWzór|<MATH>dt_i=dt=0\;</MATH>|2.18b}} Z pierwszej zasady termodynamiki wiadomo mamy wzór {{LinkWzór|2.2}}, a także mamy wzór na infinitezymalną wykonaną pracę poprzez infinitezymalną zmianę jej objętości {{LinkWzór|2.6}}, oraz ciśnienie w całym układzie jest niezależne od punktu, w którym układ jest badamy i jest stałe dla całego układu (bo układ jest w stanie równowagi mechanicznej, tzn. poszczególne składniki, punktu układu, są w spoczynku wedle drugiej zasady dynamiki Newtona), korzystamy tutaj ze wzoru {{LinkWzór|2.17}}, także z warunku na zmianę objętości całego układu {{LinkWzór|2.18}}, zatem zmiana energii wewnętrznej całego układu jest określona przy pomocy zmian energii na w sposób ciepła między poszczególnymi podukładami: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum^n_{i=1}dU_i=\sum^n_{i=1}\left(\delta Q_i+pdV_i+\mu_i dN_i+\omega_i dt_i\right)= \sum^n_{i=1}\delta Q_i+p\sum^n_{i=1}dV_i+\sum^n_{i=1}\mu_i dN_i+\sum^n_{i=1}\omega_i dt_i=\sum^n_{i=1}\delta Q_i</MATH>|2.19}} Z równania {{LinkWzór|2.19}} otrzymujemy rezultat, że całkowite ciepło wymieniane między różnymi podukładami w układzie termodynamicznym jest równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^n_{i=1}\delta Q_i=0\;</MATH>|2.20}} Podzielmy obie strony równania {{LinkWzór|2.20}} przez stałą C o wymiarze temperatury, wtedy otrzymujemy inne równoważne równanie, bo mamy tutaj zawsze, że stała C jest nierówna zero z definicji: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^n_{i=1}{{\delta Q_i}\over{C}}=0\;</MATH>|2.21}} Z drugiej zasady termodynamiki {{LinkWzór|2.15}} dla układów odwracalnych całkowita entropia całego układu jest sumą infinitezymalnych zmian entropii różnych podukładów i jako całość nie zmienia się: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum^n_{i=1}{{\delta Q_i}\over{T_i}}\;</MATH>|2.22}} Odejmijmy równanie {{LinkWzór|2.22}} od wzoru {{LinkWzór|2.21}}, stąd dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^n_{i=1}\left({{1}\over{C}}-{{1}\over{T_i}}\right)\delta Q_i=0\;</MATH>|2.23}} Równanie {{LinkWzór|2.23}} jest spełnione dla dowolnego ciepła przekazywanej między różnymi podukładami, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{C}}-{{1}\over{T_i}}=0\Rightarrow C=T_i\;</MATH>|2.24}} Stała {{Formuła|<MATH>C\;</MATH>}} jest niezależna od rodzaju układów i od numeru "i", zatem dochodzimy do wniosku, że temperatura całego układu jest stała i jest taka sama, niezależna od numeru podukładu, w którym ta temperatura obowiązuje, ani od zmiany objętości poszczególnych podukładów, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>T=C=T_1=T_2=...=T_n\;</MATH>|2.25}} Z {{LinkWzór|2.25}} z pierwszej i drugiej zasady termodynamiki w stanie równowagi termodynamicznej dla układów odwracalnych wynika zerowa zasada termodynamiki, czyli ta zasada została udowodniona na podstawie pierwszej i drugiej zasady termodynamiki (przemiany quasistatyczny) i równowagi mechanicznej poszczególnych cząstek (podukładów) w całym wielkim układzie. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6iwj7nu8vdrtvz0j4g7db1chs07trta 0 14145 558563 513439 2026-10-04T17:13:40Z Persino 2851 558563 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Potencjałami termodynamicznymi, nazywamy takie wielkości fizyczne, które posiadają różniczki zupełne, tzn. ich zmiana zależy od punktu początkowego do końcowego, a nie zależy po jakiej drodze układ podążał między tymi punktami. Różniczkami zupełnymi nazywamy wielkości, jeśli je można zapisać w sposób {{LinkWzór|2.8|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}. == Definicje == Poznamy tutaj wszystkie definicje potencjałów termodynamicznych. === Energia wewnętrzna === Jest to potencjał termodynamiczny, określa miarę do wykonania pracy. Na miarę tej energii składa się energia oddziaływań między molekułami w tym ciele, energia potencjalna elektronów a jądrem, i inne nie wymienione w tym ciele energie. Energia wewnętrzna jest oznaczana przez U. Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}, który jest równaniem stanu, ogólnie rzecz biorąc energia wewnętrzna U posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę energii wewnętrznej można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|3.1}} do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\sum_i\left({{\partial U}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.1}} Wzór powyższy na różniczkę energii wewnętrznej jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując przy tym twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę energii wewnętrznej pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać tą energię w tychże punktach. === Entalpia === Entalpia jest to potencjał termodynamiczny z definiowana jako sumę energii wewnętrznej i iloczynu ciśnienia panującego w układzie przez jego objętość i rozważamy ją jako: {{CentrujWzór|<MATH>H=U+pV\;</MATH>|3.2}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}} - to entalpia. * {{Formuła|<MATH>U\;</MATH>}} - energia wewnętrzna * {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}} - ciśnienie w ciele w równowadze termodynamicznej * {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}} - objętość ciała Entalpia {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}} posiada różniczkę zupełną, ze względu że energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę entalpii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dH=\sum_i\left({{\partial H}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.3}} Wzór {{LinkWzór|3.3}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę entalpii pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać entalpię w tychże punktach. === Entropia === Entropia określa miarę uporządkowania cząstek w danym układzie i wyraża się wzorem względem dwóch parametrów niezależnych z trzech, bo jest spełnione równanie {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}, definicja infinitezymalnej zmiany entropii wyraża się wzorem {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}. Entropia jest wielkością addywną i posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę entropii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\sum_i\left({{\partial S}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.4}} Wzór {{LinkWzór|3.4}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę entropii pomiędzy punktami A i B, to wystarczy znać entropię w tychże punktach. === Energia swobodna === Energia swobodna jest potencjał termodynamiczny określanym wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=U-TS\;</MATH>|3.5}} Energia swobodna składa się z różnicy energii wewnętrznej &nbsp;{{Formuła|<MATH>U\;</MATH>}}&nbsp;oraz z energii związanej {{Formuła|<MATH>TS\;</MATH>}} jako iloczyn temperatury układu przez entropie posiadanej przez układ. Energia swobodna posiada różniczkę zupełną, bo energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną czyli różniczkę energii swobodnej można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dF=\sum_i\left({{\partial F}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.6}} Wzór {{LinkWzór|3.6}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych wielkości, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę energii swobodnej pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać energię swobodną w tychże punktach. === Gibbsa-entalpia swobodna === Potencjał Gibbsa lub entalpia swobodna, której definicja jest jako różnicę entalpi posiadanej przez ciało i energii związanej, jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>G=H-TS\;</MATH>|3.7}} Potencjał Gibbsa &nbsp;{{Formuła|<MATH>G\;</MAth>}}&nbsp;posiada różniczkę zupełną, ponieważ jak wcześniej udowodniliśmy entalpia posiada różniczkę zupełną, zatem różniczkę entropii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\sum_i\left({{\partial G}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.8}} Wzór {{LinkWzór|3.8}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych wyrazów, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę potencjału Gibbsa pomiędzy punktami A i B, to wystarczy znać potencjał Gibbsa w tychże punktach. == Wyprowadzenie związków między potencjałami termodynamicznymi == === Energia wewnętrzna === Różniczkę energii wewnętrznej {{Formuła|<MATH>dU\;</MATH>}} jest określana według pierwszej zasady termodynamiki z definicją infinitezymalnej pracy {{LinkWzór|2.6|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} i infinitezymalnego ciepła dostarczonego do naszego układu {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} uwzględniając definicję różniczki potencjału termodynamicznego energii wewnętrznej, mówiąca ile cząstek wchodzi do układu z otoczenia, co jest też związane ze zmiana energii wewnętrznej układu, oczywiście jest, że: {{CentrujWzór|<MATH>dU=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.9}} Energię wewnętrzna posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą wielkość względem entropii, objętości i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}dS+ \left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,N}dt\;</MATH>|3.10}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.9}} ze wzorem {{LinkWzór|3.10}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisanej za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę energii wewnętrznej, zatem na podstawie porównania wspominanych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.11}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.12}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}</MATH>|3.13}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,t}\;</MATH>|3.13a}}}} === Entalpia === Różniczkę entalpii można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.1}} (definicji etalpi) i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.1}} (definicji różniczki energii wewnętrznej), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej entropii, ciśnienia i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dH=d(U+pV)=dU+Vdp+pdV=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt+Vdp+pdV=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow dH=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.14}} Ze wzoru {{LinkWzór|3.15}} wynika wzór zdefiniowanych na różniczkach: {{CentrujWzór|<MATH>dH=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.15}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dH=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}dS+ \left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}dp+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{S,p,t}dN+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}dt\;</MATH>|3.16}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.16}} ze wzorem {{LinkWzór|3.15}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisane, zdefiniowane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę entalpii, zatem na podstawie porównania wspomnianych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH> T=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.17}}|2={{CentrujWzór|<MATH> V=\left({{\partial H}\over{dp}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.18}}|3={{CentrujWzór|<MATH> \mu =\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{S,p,t}</MATH>|3.19}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}\;</MATH>|3.19a}}}} === Energia swobodna === Różniczkę energii swobodnej można zapisać przy pomocy rozpisanej {{LinkWzór|3.9}} różniczki energii wewnętrznej, zatem: Różniczkę energii swobodnej można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.9}} i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.6}} (definicji różniczki energii wewnętrznej), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej entropii, temperatury i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dF=dU-d(TS)=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt-TdS-SdT\;</MATH>|3.20}} Wzór {{LinkWzór|3.17}} można zapisać w sposób: {{CentrujWzór|<MATH> dF=-pdV-SdT+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.21}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dF=\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N}dV+ \left({{\partial F}\over{\partial T}}\right)_{V,N}dT+\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T}dN+\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|3.22}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.22}} ze wzorem {{LinkWzór|3.21}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę energii swobodnej, zatem na podstawie porównania wspomnianych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH> p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial F}\over {\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.24}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}</MATH>|3.25}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}\;</MATH>|3.25a}}}} === Potencjał Gibbsa === Różniczkę na potencjał Gibbsa można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.7}} (definicji potencjału Gibbsa) i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.15}} (definicji różniczki etalpii), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej ciśnienia, temperatury i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dG=d(H-TS)=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt-TdS-SdT\;</MATH>|3.26}} Ze wzoru {{LinkWzór|3.27}} wynika wzór zdefiniowanych na różniczkach: {{CentrujWzór|<MATH> dG=Vdp-SdT+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.27}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|3.28}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.28}} ze wzorem {{LinkWzór|3.27}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej zdefiniowane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę potencjału Gibbsa, zatem na podstawie porównania wspominanych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>V=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.29}}|2={{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.30}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{T,p,t}</MATH>|3.31}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}\;</MATH>|3.31a}}}} == Wzory między potencjałami a parametrami mierzalnymi == Zbierając wszystkie wyniki, to z definicji potencjałów termodynamicznych, tzn. energii wewnętrznej, entalpii, energii swobodnej i potencjału Gibbsa, można wyznaczyć z tychże parametrów ekstensywnych policzyć parametry termodynamiczne ekstensywne (intensywne) wedle sposobu: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Energia wewnętrzna'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>T=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.32}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.33}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}\;</MATH>|3.34}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega =\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,N}\;</MATH>|3.34a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Entalpia'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> T=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> V=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.36}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial H}\over {\partial N}}\right)_{p,S,t}</MATH>|3.37}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega =\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}\;</MATH>|3.37a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Energia swobodna'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.38}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial F}\over {\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.39}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}</MATH>|3.40}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}\;</MATH>|3.40a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Potencjał Gibbsa'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>V=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.41}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.42}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial G}\over {\partial N}}\right)_{T,p,t}</MATH>|3.43}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}\;</MATH>|3.43a}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Zależność między potencjałem chemicznym &mu; i czasowym &omega;, a potencjałem Gibbsa == Rozpiszemy różniczkę potencjału Gibbsa względem zmiennych {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MaTh>T\;</math>}}, {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, oczywiście jest, że różniczka zupełna funkcji Gibbsa (ten potencjał posiada różniczkę zupełną) można z definicji tejże różniczki zapisać wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial G}\over {\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|3.44}} Jeśli we wzorze {{LinkWzór|3.44}} będziemy rozpatrywać stałe ciśnienie (układ jest w równowadze mechanicznej) i stałą temperaturę w układzie (układ jest w równowadze termodynamicznej), to wtedy dwa pierwsze wyraz znika, a pozostaje tylko trzeci, który jest zależny od potencjału chemicznego i różniczki liczby cząstek jakie posiada układ, i czwarty, który jest zależny od potencjału czasowego i różniczki czasu, zatem wspomniane równanie przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt=\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.45}} Wzór {{LinkWzór|3.45}} przy postawionych warunkach brzegowych możemy przepisać dla przejrzystości dalszych rozważań w postaci różniczkowej: {{CentrujWzór|<MATH> dG=\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.46}} Całkujemy wzór {{LinkWzór|3.46}} obustronnie z prawej strony względem ilości cząstek przy stałym potencjale chemicznym i czasowym, a z lewej względem potencjału Gibbsa, wtedy dostajemy tożsamość ze stałą bliżej nieokreśloną: {{CentrujWzór|<MATH> G=\mu N+\omega t+const\;</MATH>|3.47}} Przyjmujemy, że stała jest równa zera w równaniu {{LinkWzór|3.47}}, bo potencjał Gibbsa nie ma wartości absolutnej, tylko jest określona z dokładnością do pewnej stałej, czyli możemy wyzerować tą stałą, nie zmniejszając ogólności znaczenia tego potencjału ekstensywengo G, czyli przyjmijmy const=0, która występuje we wzorze {{LinkWzór|3.47}}, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH> G=\mu N+\omega t\;</MATH>|3.48}} Równanie {{LinkWzór|3.48}} jest spełnione w stanie równowagi termodynamicznej, tzn. gdy temperatura i ciśnienie w układzie nie zmieniają się, tylko liczba cząstek i czas mogą się zmieniać zgodnie {{LinkWzór|3.46}}. W końcu w równanie {{LinkWzór|3.48}} na potencjał Gibbsa jest zależny od potencjału chemicznego i ilości cząstek w danej fazie oraz potencjału czasowego i czasu układu statystycznego. == Prawa Maxwella w statystyce fizycznej == Potencjały termodynamiczne posiadają różniczkę zupełną, zatem z definicji różniczki zupełnej powinno zachodzić: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2 F\left(x,y\right)}\over{\partial x\partial y}}={{\partial^2 F\left(x,y\right)}\over{\partial y \partial x}}</MATH>|3.49}} Wzory Maxwella można wyprowadzić korzystając z warunku, by różniczka była różniczką zupełną {{LinkWzór|3.49}} oraz ze wzorów w rozdziale: {{sr|#Wzory między potencjałami a parametrami mierzalnymi}}, wtedy możemy napisać związki termodynamiczne, które są nazywane '''związkami (prawami) Maxwella''': {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial T}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}=-\left({{\partial p}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t} </MATH>|3.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial T}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}=\left({{\partial V}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t} </MATH>|3.51}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}=\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} </MATH>|3.52}} |4={{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=-\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.53}} }} == Łatwy sposób zapamiętania związków między potencjałami termodynamicznymi a także praw Maxwella == {{Rysunek|Thermodynamic potentials.png|lk1|Rysunek pozwala zapamiętać w łatwy sposób związki między potencjałami termodynamicznymi a parametrami nie będące potencjałami termodynamicznymi a także prawa Maxwella w fizyce statystycznej}} Jak zapamiętać związki między potencjałami termodynamicznymi, a mianowicie tak. Mamy cztery potencjały termodynamiczne, tzn. U,H,G,F. Jak widzimy na rysunku z prawej i lewej strony lub góra i dół występują parametry mierzalne p,V,T,S. A więc te wielkości, których potencjał termodynamiczny tworzy pochodną występujący w środku danego boku według naszego rysunku obok, względem wielkości mierzalnej występującym z prawej i z lewej strony. W ten sposób dodarliśmy do zmiennej mierzalnej , jeśli przy tej zmiennej występuje strzałka to ta pochodna cząstkowa ma wartość ujemną, a jego wartość występuje na początku wektora, znak dodatni, gdy dodarliśmy do miejsca, który jest początkiem wektora, a wartość tej pochodnej występuje na końcu tego wektora. Jak zapamiętać prawa Maxwella, a mianowicie tak. Na obrzeżach występują cztery wektory, początek (koniec) tego wektora wskazuje względem jakiej wielkości będziemy różniczkować, a koniec (początek) jaką wielkość różniczkujemy. Jeśli wielkość którą różniczkujemy znajduje się na początku wektora, to wtedy znak naszego wyrażenia jest dodatni, a w przeciwnym wypadku ujemny. To wyrażenie jest równe tak samo nierozpatrywany wyrażeniu dla boku przeciwległego. Widzimy, że za pomocą takiej metody można łatwo wywnioskować znak (minus lub plus) w tożsamości Maxwella. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qsk3oi2osuycs75xtbycp97p5o9mqb4 558564 558563 2026-10-04T17:14:44Z Persino 2851 /* Prawa Maxwella w statystyce fizycznej */ 558564 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Potencjałami termodynamicznymi, nazywamy takie wielkości fizyczne, które posiadają różniczki zupełne, tzn. ich zmiana zależy od punktu początkowego do końcowego, a nie zależy po jakiej drodze układ podążał między tymi punktami. Różniczkami zupełnymi nazywamy wielkości, jeśli je można zapisać w sposób {{LinkWzór|2.8|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}. == Definicje == Poznamy tutaj wszystkie definicje potencjałów termodynamicznych. === Energia wewnętrzna === Jest to potencjał termodynamiczny, określa miarę do wykonania pracy. Na miarę tej energii składa się energia oddziaływań między molekułami w tym ciele, energia potencjalna elektronów a jądrem, i inne nie wymienione w tym ciele energie. Energia wewnętrzna jest oznaczana przez U. Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}, który jest równaniem stanu, ogólnie rzecz biorąc energia wewnętrzna U posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę energii wewnętrznej można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|3.1}} do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\sum_i\left({{\partial U}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.1}} Wzór powyższy na różniczkę energii wewnętrznej jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując przy tym twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę energii wewnętrznej pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać tą energię w tychże punktach. === Entalpia === Entalpia jest to potencjał termodynamiczny z definiowana jako sumę energii wewnętrznej i iloczynu ciśnienia panującego w układzie przez jego objętość i rozważamy ją jako: {{CentrujWzór|<MATH>H=U+pV\;</MATH>|3.2}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}} - to entalpia. * {{Formuła|<MATH>U\;</MATH>}} - energia wewnętrzna * {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}} - ciśnienie w ciele w równowadze termodynamicznej * {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}} - objętość ciała Entalpia {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}} posiada różniczkę zupełną, ze względu że energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę entalpii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dH=\sum_i\left({{\partial H}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.3}} Wzór {{LinkWzór|3.3}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę entalpii pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać entalpię w tychże punktach. === Entropia === Entropia określa miarę uporządkowania cząstek w danym układzie i wyraża się wzorem względem dwóch parametrów niezależnych z trzech, bo jest spełnione równanie {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}, definicja infinitezymalnej zmiany entropii wyraża się wzorem {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}. Entropia jest wielkością addywną i posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę entropii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\sum_i\left({{\partial S}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.4}} Wzór {{LinkWzór|3.4}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę entropii pomiędzy punktami A i B, to wystarczy znać entropię w tychże punktach. === Energia swobodna === Energia swobodna jest potencjał termodynamiczny określanym wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=U-TS\;</MATH>|3.5}} Energia swobodna składa się z różnicy energii wewnętrznej &nbsp;{{Formuła|<MATH>U\;</MATH>}}&nbsp;oraz z energii związanej {{Formuła|<MATH>TS\;</MATH>}} jako iloczyn temperatury układu przez entropie posiadanej przez układ. Energia swobodna posiada różniczkę zupełną, bo energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną czyli różniczkę energii swobodnej można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dF=\sum_i\left({{\partial F}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.6}} Wzór {{LinkWzór|3.6}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych wielkości, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę energii swobodnej pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać energię swobodną w tychże punktach. === Gibbsa-entalpia swobodna === Potencjał Gibbsa lub entalpia swobodna, której definicja jest jako różnicę entalpi posiadanej przez ciało i energii związanej, jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>G=H-TS\;</MATH>|3.7}} Potencjał Gibbsa &nbsp;{{Formuła|<MATH>G\;</MAth>}}&nbsp;posiada różniczkę zupełną, ponieważ jak wcześniej udowodniliśmy entalpia posiada różniczkę zupełną, zatem różniczkę entropii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\sum_i\left({{\partial G}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.8}} Wzór {{LinkWzór|3.8}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych wyrazów, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę potencjału Gibbsa pomiędzy punktami A i B, to wystarczy znać potencjał Gibbsa w tychże punktach. == Wyprowadzenie związków między potencjałami termodynamicznymi == === Energia wewnętrzna === Różniczkę energii wewnętrznej {{Formuła|<MATH>dU\;</MATH>}} jest określana według pierwszej zasady termodynamiki z definicją infinitezymalnej pracy {{LinkWzór|2.6|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} i infinitezymalnego ciepła dostarczonego do naszego układu {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} uwzględniając definicję różniczki potencjału termodynamicznego energii wewnętrznej, mówiąca ile cząstek wchodzi do układu z otoczenia, co jest też związane ze zmiana energii wewnętrznej układu, oczywiście jest, że: {{CentrujWzór|<MATH>dU=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.9}} Energię wewnętrzna posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą wielkość względem entropii, objętości i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}dS+ \left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,N}dt\;</MATH>|3.10}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.9}} ze wzorem {{LinkWzór|3.10}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisanej za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę energii wewnętrznej, zatem na podstawie porównania wspominanych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.11}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.12}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}</MATH>|3.13}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,t}\;</MATH>|3.13a}}}} === Entalpia === Różniczkę entalpii można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.1}} (definicji etalpi) i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.1}} (definicji różniczki energii wewnętrznej), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej entropii, ciśnienia i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dH=d(U+pV)=dU+Vdp+pdV=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt+Vdp+pdV=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow dH=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.14}} Ze wzoru {{LinkWzór|3.15}} wynika wzór zdefiniowanych na różniczkach: {{CentrujWzór|<MATH>dH=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.15}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dH=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}dS+ \left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}dp+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{S,p,t}dN+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}dt\;</MATH>|3.16}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.16}} ze wzorem {{LinkWzór|3.15}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisane, zdefiniowane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę entalpii, zatem na podstawie porównania wspomnianych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH> T=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.17}}|2={{CentrujWzór|<MATH> V=\left({{\partial H}\over{dp}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.18}}|3={{CentrujWzór|<MATH> \mu =\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{S,p,t}</MATH>|3.19}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}\;</MATH>|3.19a}}}} === Energia swobodna === Różniczkę energii swobodnej można zapisać przy pomocy rozpisanej {{LinkWzór|3.9}} różniczki energii wewnętrznej, zatem: Różniczkę energii swobodnej można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.9}} i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.6}} (definicji różniczki energii wewnętrznej), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej entropii, temperatury i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dF=dU-d(TS)=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt-TdS-SdT\;</MATH>|3.20}} Wzór {{LinkWzór|3.17}} można zapisać w sposób: {{CentrujWzór|<MATH> dF=-pdV-SdT+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.21}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dF=\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N}dV+ \left({{\partial F}\over{\partial T}}\right)_{V,N}dT+\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T}dN+\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|3.22}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.22}} ze wzorem {{LinkWzór|3.21}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę energii swobodnej, zatem na podstawie porównania wspomnianych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH> p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial F}\over {\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.24}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}</MATH>|3.25}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}\;</MATH>|3.25a}}}} === Potencjał Gibbsa === Różniczkę na potencjał Gibbsa można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.7}} (definicji potencjału Gibbsa) i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.15}} (definicji różniczki etalpii), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej ciśnienia, temperatury i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dG=d(H-TS)=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt-TdS-SdT\;</MATH>|3.26}} Ze wzoru {{LinkWzór|3.27}} wynika wzór zdefiniowanych na różniczkach: {{CentrujWzór|<MATH> dG=Vdp-SdT+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.27}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|3.28}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.28}} ze wzorem {{LinkWzór|3.27}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej zdefiniowane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę potencjału Gibbsa, zatem na podstawie porównania wspominanych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>V=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.29}}|2={{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.30}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{T,p,t}</MATH>|3.31}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}\;</MATH>|3.31a}}}} == Wzory między potencjałami a parametrami mierzalnymi == Zbierając wszystkie wyniki, to z definicji potencjałów termodynamicznych, tzn. energii wewnętrznej, entalpii, energii swobodnej i potencjału Gibbsa, można wyznaczyć z tychże parametrów ekstensywnych policzyć parametry termodynamiczne ekstensywne (intensywne) wedle sposobu: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Energia wewnętrzna'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>T=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.32}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.33}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}\;</MATH>|3.34}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega =\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,N}\;</MATH>|3.34a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Entalpia'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> T=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> V=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.36}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial H}\over {\partial N}}\right)_{p,S,t}</MATH>|3.37}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega =\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}\;</MATH>|3.37a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Energia swobodna'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.38}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial F}\over {\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.39}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}</MATH>|3.40}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}\;</MATH>|3.40a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Potencjał Gibbsa'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>V=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.41}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.42}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial G}\over {\partial N}}\right)_{T,p,t}</MATH>|3.43}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}\;</MATH>|3.43a}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Zależność między potencjałem chemicznym &mu; i czasowym &omega;, a potencjałem Gibbsa == Rozpiszemy różniczkę potencjału Gibbsa względem zmiennych {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MaTh>T\;</math>}}, {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, oczywiście jest, że różniczka zupełna funkcji Gibbsa (ten potencjał posiada różniczkę zupełną) można z definicji tejże różniczki zapisać wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial G}\over {\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|3.44}} Jeśli we wzorze {{LinkWzór|3.44}} będziemy rozpatrywać stałe ciśnienie (układ jest w równowadze mechanicznej) i stałą temperaturę w układzie (układ jest w równowadze termodynamicznej), to wtedy dwa pierwsze wyraz znika, a pozostaje tylko trzeci, który jest zależny od potencjału chemicznego i różniczki liczby cząstek jakie posiada układ, i czwarty, który jest zależny od potencjału czasowego i różniczki czasu, zatem wspomniane równanie przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt=\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.45}} Wzór {{LinkWzór|3.45}} przy postawionych warunkach brzegowych możemy przepisać dla przejrzystości dalszych rozważań w postaci różniczkowej: {{CentrujWzór|<MATH> dG=\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.46}} Całkujemy wzór {{LinkWzór|3.46}} obustronnie z prawej strony względem ilości cząstek przy stałym potencjale chemicznym i czasowym, a z lewej względem potencjału Gibbsa, wtedy dostajemy tożsamość ze stałą bliżej nieokreśloną: {{CentrujWzór|<MATH> G=\mu N+\omega t+const\;</MATH>|3.47}} Przyjmujemy, że stała jest równa zera w równaniu {{LinkWzór|3.47}}, bo potencjał Gibbsa nie ma wartości absolutnej, tylko jest określona z dokładnością do pewnej stałej, czyli możemy wyzerować tą stałą, nie zmniejszając ogólności znaczenia tego potencjału ekstensywengo G, czyli przyjmijmy const=0, która występuje we wzorze {{LinkWzór|3.47}}, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH> G=\mu N+\omega t\;</MATH>|3.48}} Równanie {{LinkWzór|3.48}} jest spełnione w stanie równowagi termodynamicznej, tzn. gdy temperatura i ciśnienie w układzie nie zmieniają się, tylko liczba cząstek i czas mogą się zmieniać zgodnie {{LinkWzór|3.46}}. W końcu w równanie {{LinkWzór|3.48}} na potencjał Gibbsa jest zależny od potencjału chemicznego i ilości cząstek w danej fazie oraz potencjału czasowego i czasu układu statystycznego. == Prawa Maxwella w statystyce fizycznej == Potencjały termodynamiczne posiadają różniczkę zupełną, zatem z definicji różniczki zupełnej powinno zachodzić: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2 F\left(x,y\right)}\over{\partial x\partial y}}={{\partial^2 F\left(x,y\right)}\over{\partial y \partial x}}</MATH>|3.49}} Wzory Maxwella można wyprowadzić korzystając z warunku, by różniczka była różniczką zupełną {{LinkWzór|3.49}} oraz ze wzorów w rozdziale: {{sr|#Wzory między potencjałami a parametrami mierzalnymi|b=tak}}, wtedy możemy napisać związki termodynamiczne, które są nazywane '''związkami (prawami) Maxwella''': {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial T}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}=-\left({{\partial p}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t} </MATH>|3.50}} |2={{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial T}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}=\left({{\partial V}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t} </MATH>|3.51}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}=\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} </MATH>|3.52}} |4={{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=-\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.53}} }} == Łatwy sposób zapamiętania związków między potencjałami termodynamicznymi a także praw Maxwella == {{Rysunek|Thermodynamic potentials.png|lk1|Rysunek pozwala zapamiętać w łatwy sposób związki między potencjałami termodynamicznymi a parametrami nie będące potencjałami termodynamicznymi a także prawa Maxwella w fizyce statystycznej}} Jak zapamiętać związki między potencjałami termodynamicznymi, a mianowicie tak. Mamy cztery potencjały termodynamiczne, tzn. U,H,G,F. Jak widzimy na rysunku z prawej i lewej strony lub góra i dół występują parametry mierzalne p,V,T,S. A więc te wielkości, których potencjał termodynamiczny tworzy pochodną występujący w środku danego boku według naszego rysunku obok, względem wielkości mierzalnej występującym z prawej i z lewej strony. W ten sposób dodarliśmy do zmiennej mierzalnej , jeśli przy tej zmiennej występuje strzałka to ta pochodna cząstkowa ma wartość ujemną, a jego wartość występuje na początku wektora, znak dodatni, gdy dodarliśmy do miejsca, który jest początkiem wektora, a wartość tej pochodnej występuje na końcu tego wektora. Jak zapamiętać prawa Maxwella, a mianowicie tak. Na obrzeżach występują cztery wektory, początek (koniec) tego wektora wskazuje względem jakiej wielkości będziemy różniczkować, a koniec (początek) jaką wielkość różniczkujemy. Jeśli wielkość którą różniczkujemy znajduje się na początku wektora, to wtedy znak naszego wyrażenia jest dodatni, a w przeciwnym wypadku ujemny. To wyrażenie jest równe tak samo nierozpatrywany wyrażeniu dla boku przeciwległego. Widzimy, że za pomocą takiej metody można łatwo wywnioskować znak (minus lub plus) w tożsamości Maxwella. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> cwjo63tweubpe3pvn87jjv274rh7i3j 0 14146 558577 513412 2026-10-04T17:52:18Z Persino 2851 558577 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zespoły statystyczne w fizyce statystycznej klasycznej są to zespoły, które opisują pewne układy, w których można policzyć prawdopodobieństwo (gęstość prawdopodobieństwa w przypadku ciągłym) w zależności od energii, liczby cząstek, objętości. Na podstawie tychże zespołów kanonicznych możemy policzyć ich wartości średnie. Znając sumę statystyczną możemy policzyć również tym sposobem wynikających z definicji ich wartości średnich pewne średnie. Znając sumę statystyczną możemy policzyć energię swobodną i ewentualnie inne potencjały termodynamiczne. Przy pomocy energii swobodnej możemy policzyć ciśnienie i znając średnią liczbę cząstek dla wielkiego zespołu kanonicznego lub liczbę cząstek dla zespołu kanonicznego możemy wyznaczyć równanie stanu. Gdy nie uwzględniamy oddziaływania między atomami w gazie niezależnie jaki zespół wybierzemy, to dochodzimy do analogicznych równań stanu. Dojdziemy do wniosku że w zespole kanonicznym i w wielkim zespole kanonicznym równanie stanu gazu doskonałego jest uderzająco podobne do układu opisującego zespół mikrokanoniczny. Jedyną różnicą od nich jest taka, że układ izolowany posiada raz na zawsze ustaloną energię wewnętrzną (która nie jest wymieniana między układem a otoczeniem), liczbę cząstek (gdzie cząstki nie idą z układu do otoczenia i odwrotnie) i objętość (jest wielkością stałą) w układzie. A układy opisywane przez zespół kanoniczny istnieje taka owa wymiana energii, a w wielkim zespole kanonicznym jeszcze dodatkowo jest wymiana cząstek, a te zespoły posiadają stałą zależną od liczby (lub średniej liczby) cząstek energię (lub średnią energię) zwanej energią wewnętrzną układu. Jak wspomnieliśmy powyżej układy dzielimy na '''izolowane''' (nie ma wymiany energii i liczby cząstek między układem a otoczeniem), '''zamknięte''' (jest tylko wymieniana energia między układem a otoczeniem), '''otwarte''' (występują tu oba rodzaje wymiany, tzn. energii i liczby cząstek). Pierwszy z nich opisuje zespół mikrokanoniczny, drugi-Zespół kanoniczny, trzeci-Wielki zespół kanoniczny). Jak widzimy każdy wyższy stopień zaawansowania opisuje coraz bardziej zaawansowana suma statystyczna opisująca zaawansowanie układu, które opisują, uwzględniające kolejne cechy układów opisujące przez odpowiednie zespoły. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hd9435t1emi3cbjmiwp2c9bq8zybc6z 0 14150 558621 467553 2026-10-04T21:52:15Z Persino 2851 558621 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie kuli == W przestrzeni n-wymiarowej mamy zdefiniowaną pewną normę {{Formuła|<MATH>||\cdot||</MATH>}}, należącej do przestrzeni rzeczywistej, wzór na kulę niedomkniętą, a także domkniętą, a na samym końcu sfery przestawiamy wzorami poniżej o promieniach R, obie kule (niedomkniętą i domkniętą) dla przestrzeni z tą właśnie zdefiniowaną normą przestawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||\vec{x}-\vec{x}_0||< R</MATH>|6.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\vec{x}-\vec{x}_0||\leq R</MATH>|6.2}}|3={{CentrujWzór|<MATH>||\vec{x}-\vec{x}_0||=R</MATH>|6.3}} }} Dla przestrzeni Euklidesowej z normalną normą kule niedomkniętą, domknięta, a także sferę przestawiamy po kolei: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum^N_{i=1}(\vec{x}_i-\vec{x}_{0i})^2< R^2</MATH>|6.4}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum^N_{i=1}(\vec{x}_i-\vec{x}_{0i})^2\leq R^2</MATH>|6.5}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum^N_{i=1}(\vec{x}_i-\vec{x}_{0i})^2=R^2</MATH>|6.6}} }} * gdzie N jest to wymiar kuli w przestrzeni n-wymiarowej. == Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni == Wzór na sferę {{LinkWzór|6.6}}, dla której promień naszej rozważanej sfery jest R mając współrzędne środka tej kuli x_io, i współrzędne punktów sfery x_i, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\sum^N_{i=1}(x_i-x_{i0})^2}=R</MATH>|6.7}} Oznaczmy dla oczywistych powodów, że środek kuli jest w środku układu współrzędnych, tzn. zachodzi warunek x_0i=0 we wzorze {{LinkWzór|6.7}}, co nie umniejsza dowodu, by później wyznaczyć objętość n wymiarowej kuli zanurzonej w przestrzeni n-wymiarowej, zatem z definicji n-wymiarowej objętości kuli o promieniu jeden &Omega;(1) pomnożonej przez R^s mamy: {{CentrujWzór|<MATH>R^s\Omega_s(1)=\int\int\cdot\ldots\cdot\int dx_1dx_2\cdot..\cdot dx_n</MATH>|6.8}} Grupując we wzorze {{LinkWzór|6.8}} odpowiednio wyrazy w czynniku pod całką, gdy promień kuli wynosi jeden, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|6.8}}, wtedy objętość n-wymiarowej tej kuli jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega_s(1)=\int\limits^1_{-1}dx_1\int\cdot\ldots\cdot\int dx_2\cdot\ldots\cdot dx_n</MATH>|6.9}} Obierzmy promień kuli s wymiarowej o promieniu jeden, który określany wzorem {{Formuła|<MATH>R_1=\sqrt{y_1^2+R_1^2}\;</MATH>}}, gdzie R₁ jest promień kuli w s-1 wymiarowej przestrzeni, pisząc ją przez {{Formuła|<MATH>R_1^2=\sum^n_{i=1}x^2_i\;</MATH>}}, wtedy jej objętość: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega_s(1)=\int\limits^1_{-1} dy_1 R^{s-1}_1\Omega_{s-1}(1)</MATH>|6.10}} Ale ponieważ zachodzi na pewno {{Formuła|<MATH>R_1=\sqrt{1-y_1^2}\;</MATH>}}, to wzór {{LinkWzór|6.10}} na promień jednostkowy kuli, którego objętość &Omega;_s(1) wyżej wspomniana w zależności od objętości kuli s-1 wymiarowej &Omega;_s-1(1), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega_s(1)=\int\limits^1_{-1}dy_1(1-y^2_1)^{{s-1}\over{2}}\Omega_{s-1}\Rightarrow\Omega_s(1)=\Omega_{s-1}\int\limits^1_{-1}dy_1(1-y^2_1)^{{s-1}\over{2}}</MATH>|6.11}} Policzmy teraz całkę początkowo przekształcając tą całkę z własności symetryczności funkcji podcałkowej, która występuje jako całka we wzorze końcowym wynikowym {{LinkWzór|6.11}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^1_{-1}dy_1(1-y^2_1)^{{s-1}\over{2}}=2\int\limits^1_0dy_1(1-y^2_1)^{{s-1}\over{2}}</MATH>|6.12}} Dokonując podstawienia wynikającego z podstawienia wynikającego ze wzoru x=y², to różniczka funkcji y(x) piszemy przez {{Formuła|<MATH>dy=dx^{1\over 2}={{1}\over{2}}x^{-{{1}\over{2}}}dx\;</MATH>}}, wtedy końcowy wzór {{linkWzór|6.12}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>2\int\limits^1_0 {1\over 2}x^{-1\over 2}(1-x)^{{s-1}\over{2}}=\int\limits^1_0x^{-{1\over 2}}(1-x)^{{s-1}\over{2}}</MATH>|6.13}} Całka występująca we wzorze {{LinkWzór|6.13}} jest szczególnym rodzajem całki Eulera pierwszego rodzaju, gdzie w naszym przypadku mamy {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{2}}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\beta={{s+1}\over{2}}</MATH>}}, którą definiujemy wzorem zapisaną w punkcie {{LinkWzór|5.1|Całki_i_funkcje_Eulera}}. Całka Eulera B(a,b) dla parametrów równych a=&alpha; i b=&beta; we wspomnianym wzorze na definicji całki Eulera pierwszego rzędu, dla naszych argumentów wchodzących w skład do tej całki, którą możemy napisać jako tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>B\left({1\over 2},{{s+1}\over{2}}\right)={{\Gamma({1\over 2})\Gamma({{s+1}\over{2}}) }\over{\Gamma(1+{{s}\over{2}})}}</MATH>|6.14}} Korzystając z całki {{linkWzór|6.13}} i z definicji całki Eulera dla specyficznych wartości a i b dla kuli zanurzonej w s-wymiarowej przestrzeni i po pewnych operacjach dokonywanych przez nas we wzorach pośrednich, to wzór na objętość n-wymiarowej kuli jednostkowej przestawianych wzorem {{LinkWzór|6.11}}, które tutaj dla kuli jednostkowej, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega_s(1)={{\Gamma({1\over 2})\Gamma({{s+1}\over{2}}) }\over{\Gamma(1+{{s}\over{2}})}}\cdot {{\Gamma({1\over 2})\Gamma({{s}\over{2}}) }\over{\Gamma({{s+1}\over{2}})}}\cdot...\cdot {{\Gamma({1\over 2})\Gamma({{3}\over{2}}) }\over{\Gamma(2)}}\Omega_1(0)\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{{s-1}\over 2}\Gamma({3 \over 2})}\over{{\Gamma({{s}\over{2}}+1)}}}\Omega_1(1)</MATH>|6.15}} Ale pamiętając również, że funkcja {{Formuła|<MATH>\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)\;</MATH>}}, którego wartość wprowadziliśmy w punkcie {{linkWzór|5.34|Całki_i_funkcje_Eulera}}, wtedy objętość kuli określamy ogólnym wzorem w zależności od funkcji &Gamma; z liczby {{Formuła|<MATH>{{s}\over{2}}+1\;</MATH>}}, gdzie s jest wymiarem kuli s-wymiarowej. {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma({3\over 2})={1\over 2}\Gamma({1\over 2})={1\over 2}\sqrt{\pi}\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{{s-1}\over 2}{1\over 2}\sqrt{\pi}}\over{{\Gamma({{s}\over{2}}+1)}}}2\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{s\over 2}}\over{\Gamma({{s}\over{2}}+1)}}</MATH>|6.16}} Gdy s jest równa podwojonej liczbie k, czyli wedle podstawienia {{Formuła|<MATH>s=2k</MATH>}}, które dokonamy we wzorze {{LinkWzór|6.16}}, zatem objętość kuli jednostkowej w tym naszym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega_{2k}(1)={{\pi^k}\over{\Gamma(k+1)}}\Rightarrow \Omega_{2k}(1)={{\pi^k}\over{k!}}</MATH>|6.17}} Gdy s jest liczbą nieparzystą, czyli jest równa podwojonej wartości k odejmując od niej później jeden, czyli według podstawienia {{Formuła|<MATH>s=2k-1</MATH>}}, to wyrażenie {{LinkWzór|6.16}} piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega_{2k-1}={{\pi^{k-{1\over 2}}}\over{\Gamma(k-{1\over 2}+1)}}\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{k-{{1}\over{2}}}2^{k}}\over{(2k-1)(2k-3)(2k-5)\cdot...\cdot 1\cdot\Gamma({{1}\over{2}})}}\Rightarrow\Omega_s(1)={{\pi^{k-{{1}\over{2}}}2^{k}}\over{s!!\sqrt{\pi}}}\Rightarrow\Omega_s(1)={{{\pi^{k-1}}2^{k}}\over{s!!}}</MATH>|6.18}} === Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej === Wiedząc, że objętość s-wymiarowej kuli jest wyrażona za pomocą objętości kuli jednostkowej pomnożonej przez s-tą potęgę promienia tejże kuli, którego ta objętość jest {{Formuła|<MATH>V_s=\Omega_s(1)R^s\;</MATH>}}, to ta nasza objętość jest wyrażona wedle wzorów dla s parzystego {{LinkWzór|6.17}} i s nieparzystego {{LinkWzór|6.18}}, wtedy zbierając to wszystko do kupy, piszemy: {{CentrujWzór|<math>V_{s}=\frac { \pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma (\frac{s}{2}+1)}\cdot R^{s} = \begin{cases} \displaystyle {\pi^k\over k!}\cdot R^s & \mbox{dla }s=2k \\[2ex] \displaystyle {2^k \pi^{k-1}\over s!!}\cdot R^s & \mbox{dla } s=2k-1 \end{cases}</math>|6.19}} ''co kończy dowód.'' === Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni === Zakładamy, że mamy dwie sfery o wspólnym środku i promieniach, takimi że zachodzi {{Formuła|<MATH>R_1-R_2 \rightarrow dR</MATH>}}, czyli wystarczy policzyć pochodną funkcji V określone wzorem ogólnym {{LinkWzór|6.19}} względem promienia kuli określonego przez wielkość R, {{CentrujWzór|<MATH>P_sdR={{dV}\over{dR}}dR={{\pi^{s\over 2}}\over{\Gamma({s\over 2}+1)}}sR^{s-1}dR</MATH>|6.21}} Stąd jego powierzchnia s-wymiarowej kuli, korzystając ze wzoru na objętość kuli określone wzorem {{LinkWzór|6.19}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_s=\frac { \pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma (\frac{s}{2}+1)}\cdot sR^{s-1} = \begin{cases} \displaystyle {\pi^k\over k!}\cdot sR^{s-1} & \mbox{dla }s=2k \\[2ex] \displaystyle {2^k \pi^{k-1}\over s!!}\cdot sR^{s-1} & \mbox{dla } s=2k-1 \end{cases}</math>|6.22}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> axhq0d0y071mhkqivd04oapyykvjrw8 0 14214 558583 513517 2026-10-04T18:06:46Z Persino 2851 558583 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Kwantowy zespół statystyczny''' - jest to układ termodynamiczny opisywanych według prawideł mechaniki kwantowej, którego stan jest opisywany przez hamiltonian {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}}. == Operator gęstości w statystyce kwantowej == Rozważmy układ termodynamiczny, w którym {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} oznacza stan kwantowy układu. W tym układzie postulujemy istnienie zespołu statystycznego. Ten zespół określa z pośród L kopi danego układu prawdopodobieństwa, że dany układ (kopia) znajduje się w ściśle określonym stanie kwantowym. Będziemy oznaczać wszystkie uogólnione współrzędne wszystkich cząstek wchodzących w skład układu przez literkę x. Niech stanem kwantowym naszego układu określa funkcja kwantowa (falowa) k-ta. W ogólności każda kopia z pośród z L określa inna funkcja falowa oznaczona innym k. Równanie falowe w mechanice kwantowej zależne od czasu jest reprezentowane przez: {{CentrujWzór|<MATH> i\hbar{{\partial \psi^{(k)}(x)}\over{\partial t}}=\hat{H}\psi^{(k)}(x,t)</MATH>|19.1}} Kolejne warunki jakie funkcja falowa powinna spełniać, która jest rozwiązaniem równania falowego {{LinkWzór|19.1}} powinna spełniać warunek ortogonalności i zupełności, a te warunki są podane poniżej: {{ElastycznyWiersz |1={{Center|'''ortogonalność'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\int dx\psi_n^{*}\psi_m(t)=\delta_{mn}</MATH>|19.2}} |2={{Center|'''zupełność'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\sum_n \psi_n^{*}(x)\psi_n(x')=\delta(x-x')</MATH>|19.3}} }} Całkowita funkcja falowa, która jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.1}} jest kombinacją liniową (w funkcjach dyskretnej ortogonalnej bazy), którego współczynniki {{Formuła|<MATH>a^{(k)}_p\;</MATH>}} są współczynnikami rozwinięcia całkowitej funkcji falowej rozwiązania wspomnianego równania mających wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\psi^{(k)}(x,t)=\sum_p a^{(k)}_p\psi_p(x)</MATH>|19.4}} gdzie: * "k" jest to numer funkcji falowej opisującej dany stan kwantowy o tym numerze, liczba tych wszystkich układów jest "L", które muszą być opisane w ogólności funkcją {{Formuła|<MATH>\psi^{(k)}(x,t)\;</MATH>}}, którego norma nie musi być jeden. * {{Formuła|<MATH>a^{(k)}</MATH>}} są to aplitudy prawdopodobieństwa, * {{Formuła|<MATH>|a_n^{(k)}|^2</MATH>}},jest to prawdopodobieństwo tego, że układ znajduje się w stanie opisywany przez wektor bazy ortogonalnej rozwiązania równania falowego zależnego od czasu &psi;{{Sub|n}}(x). Wartości średnie operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} możemy w taki sposób napisać, gdy mamy L kopii układu, którego badamy. W liczniku oraz w mianowniku poniższego równania jest dzielenie przez liczbę L i które to wyrażania są pewnymi sumami, w liczniku i mianowniku jest tam w sumie L wyrazów, każde dla innego układu z ogólnej ich liczby L. Każdy składnik w mianowniku po podzieleniu przez L jest jakoby prawdopodobieństwem , że wybierzemy pewny układ z L, a w nim pewny parametr z prawdopodobieństwem {{Formuła|<MATH>\langle\psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle\;</MATH>}}. Ze względu na z ortogonalizowane funkcje własne, które są rozwiązaniami powyższego równania {{LinkWzór|19.1}}, to wyrażenie jest coś w rodzaju wartości średniej, dla pojedynczego układ z L wartości własnej operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa policzonej według {{LinkWzór|19.4}}, a 1/L jest prawdopodobieństwem, że dany układ jako kopie z L istnieje, zatem średnia wartość omawianego operatora dla L układów, z definicji średniej ważonej, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}={{{{1}\over{L}}\sum_k\langle\psi^{(k)}|\hat{O}|\psi^{(k)}\rangle}\over{{{1}\over{L}}\sum_k\langle\psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle}}</MATH>|19.5}} Jest to podwójna gęstość prawdopodobieństwa, jest to średnia średnich, czyli mając średnią danej kopii układu względem omawianego operatora, a później badając L układów, to policzyć możemy średnią dla L kopii układów. Zakładamy, nie pomijając ogólności wykładu, że funkcja {{Formuła|<MATH>\psi^{(k)}</MATH>}} jest unormowana do jedynki, w każdym bodź razie możemy tak zrobić, tzn.:{{Formuła|<MATH>\langle\psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle=1</MATH>}}, co według tego możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}\langle\psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}1={{1}\over{L}}L=1\;</MATH>|19.6}} Równanie {{LinkWzór|19.5}} na wartość średnią naszego operatora na podstawie warunku z unormowania operatorów funkcji własnych rozwiązania równania własnego, wtedy jest spełnione {{LinkWzór|19.6}}, zatem nasze wspomniane wyrażenie przy tych dysputach przyjmuje kształt: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}={{1}\over{L}}\sum_k\langle\psi^{(k)}|\hat{O}|\psi^{(k)}\rangle</MATH>|19.7}} Rozwijamy funkcję {{Formuła|<MATH>\psi^{k}\;</MATH>}} w szereg w funkcjach bazy naszego zespołu według {{LinkWzór|19.4}}, wtedy równanie {{LinkWzór|19.7}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}\langle \sum_n a^{(k)}_n\psi_m(x)|\sum_n a^{(k)}_n\psi_m(x)\rangle= {{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}\sum_n\sum_m {a_n^{(k)}}^{*}{a_m^{(k)}}\langle\psi_n|\hat{O}|\psi_m\rangle</MATH>|19.8}} Oznaczmy, że elementami macierzowymi operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} względem funkcji własnych bazy ortogonalnej o numerach n i m są w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>O_{nm}=\langle\psi_n|\hat{O}|\psi_m\rangle=\int dx\psi_n^{*}(x)\hat{O}\psi_m(x)</MATH>|19.9}} Przyjmijmy, że elementy macierzowe operatora gęstości są zdefiniowane: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{mn}={{1}\over{L}}\sum_{k=1}^L {a_n^{(k)}}^{*}{a_m^{(k)}}</MATH>|19.10}} Korzystając ze wzoru na elementy macierzowe operatora gęstości {{LinkWzór|19.10}} i też ze wzoru na średnią wartość operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} {{LinkWzór|19.8}} względem jego elementów macierzowych {{LinkWzór|19.9}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}=\sum_m\sum_n \rho_{mn}O_{nm}</MATH>|19.11}} Z równania {{LinkWzór|19.11}} dostajemy równanie na średnią wartość operatora {{Formuła|<MaTh>\hat{O}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}=\sum{(\hat{\rho}\hat{O})}_{mm}=Tr(\hat{\rho}\hat{O})</MATH>|19.12}} Tożsamość na średnią wartość operatora {{Formuła|<MAtH>\hat{O}\;</MATH>}} jest napisana poprawnie, gdy ślad operatora gęstości jest równy jeden. Udowodnijmy czemu jest równy mianownik w tożsamości {{LinkWzór|19.5}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{L}}\sum_k\langle \psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle={{1}\over{L}}\sum_k\langle\sum_pa_p^{(k)}\psi_p|\sum_sa_s^{(k)}\psi_s\rangle={{1}\over{L}}\sum_k\sum_p\sum_s{a_p^{(k)}}^*a_s^{(k)}\langle\psi_p|\psi_s\rangle={{1}\over{L}}\sum_k\sum_p\sum_s{a_p^{(k)}}^*a_s^{(k)}\delta_{ps}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_k{{1}\over{L}}\sum_p|a_p^{(k)}|^2=\sum_p{{1}\over{L}}\sum_k|a_p^{(k)}|^2=\sum_p\rho_{pp}=Tr(\hat{\rho})\;</MATH>|19.13}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|19.13}} udowodniliśmy, że ślad operatora gęstości jest równe mianownikowi wyrażenia {{LinkWzór|19.5}} i jeśli zachodzi {{LinkWzór|19.6}}, to ten ślad jest równy jeden. Uogólniając wniosek, mówimy że średnia operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} analogicznie do równania {{LinkWzór|19.12}} przy dowodzie {{LinkWzór|19.13}}, gdy funkcja {{Formuła|<MATH>\psi^{(k)}(x)\;</MATH>}} nie jest unormowana do jedynki, wtedy to równanie przyjmuje bardziej ogólną postać do równania poprzednio wspomnianego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}={{Tr(\hat{\rho}\hat{O})}\over{Tr(\hat{\rho})}}</MATH>|19.14}} Gdy zachodzi {{LinkWzór|19.14}}, wtedy nieprawdą jest, że ślad operatora gęstości jest równy jeden. Operator, dla którego elementy macierzowe operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\rho}\;</MATH>}} są przedstawione wedle wzoru, tzn.:{{Formuła|<MATH>\rho_{mn}</MATH>}} {{LinkWzór|19.10}}, to ten operator można zapisać wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}(t)=\sum_{mn}{{1}\over{L}}\sum_{k} {a_n^{(k)}}^{*}(t)a_m^{(k)}(t)|\psi_m\rangle\langle\psi_n|=\sum_{mn}\rho_{mn}|\psi_m\rangle\langle\psi_n|</MATH>|19.15}} Widząc definicję na {{Formuła|<MATH>\rho_{mn}</MATH>}} {{LinkWzór|19.14}}, wtedy możemy policzyć jej pochodną cząstkową względem czasu pomnożonej przez iloczyn stałej kreślonej Plancka przez jednostkę urojoną: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial \rho_{mn}}\over{\partial t}}={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}\left[i\hbar{{\partial a_n^{(k)*}(t)}\over{\partial t}}a_m^{(k)}(t)+a_n^{(k)*}(t)i\hbar{{\partial a_m^{(k)}}\over{\partial t}}\right]</MATH>|19.16}} Stosując rozwiązanie równania falowego rozwiniętego w funkcjach ortogonalnej bazy {{LinkWzór|19.4}} do równania zależnego od czasu mechaniki kwantowej {{LinkWzór|19.1}}, to dochodzimy wtedy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>i \hbar{{\partial}\over{\partial t}}\sum_p a_p^{(k)}(t)\psi_p(x)=\hat{H}\sum_p a_p^{(k)}(t)\psi_p(x)</MATH>|19.17}} Teraz mnożymy obie strony tożsamości {{LinkWzór|19.17}} przez funkcję falową ortogonalnej bazy o numerze m, czyli przez funkcją &psi;{{Sub|m}}(x): {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial a_m^{(k)}(t)}\over{\partial t}}=\sum_{p}\langle\psi_m|\hat{H}|\psi_{p}\rangle a_{p}^{(k)}(t)=\sum_{p}H_{mp}a_{p}^{(k)}</MATH>|19.18}} Z tożsamości udowodnionej przy pomocy obliczeń w punkcie {{LinkWzór|19.18}} możemy przepisać jego skrajne wyrazy, by potem przeprowadzać kolejne wnioski. {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial a_m^{(k)}(t)}\over{\partial t}}=\sum_{p}H_{mp}a_{p}^{(k)}</MATH>|19.19}} Z definicji elementów macierzowych i definicji iloczynu skalarnego sprzężenie zespolone elementu macierzowego hamiltonianu o numerach "m" i "p" jest równe elementowi macierzowemu, ale z odwróconą jego numeracją, tzn. "p" a później" m": {{CentrujWzór|<MATH>H_{mp}^{*}=H_{mp}</MATH>|19.20}} Zatem policzmy sprzężenie równiania {{LinkWzór|19.19}} wykorzystując przy tym udowodniony warunek {{LinkWzór|19.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\hbar{{\partial a_m^{(k)*}(t)}\over{\partial t}}=\sum_{p}H_{pm}a_{p}^{(k)*}</MATH>|19.21}} Stosując równanie {{LinkWzór|19.21}} i {{LinkWzór|19.19}} i to wszystko podstawiając do równania opisującego propagację elementu macierzowego operatora gęstości {{LinkWzór|19.16}}, oczywiste jest: {{CentrujWzór|<MATH> i \hbar{{\partial \rho_{nm}}\over{\partial t}}=\sum_k\left[\sum_pH_{mp}a_n^{(k)}{a_p^{(k)}}^{*}-\sum_p a_p^{(k)}{a_m^{(k)}}^{*}H_{pn}\right]\Rightarrow i \hbar{{\partial \rho_{nm}}\over{\partial t}}=\sum_p{({H_{mp}\rho_{pn}-\rho_{mp}H_{pn}})}</MATH>|19.22}} Napiszmy teraz równanie {{LinkWzór|19.22}}, który jest wersji macierzowej w jego wersję operatorową przy pomocy definicji operatora komutacji: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial \hat{\rho}(t)}\over{\partial t}}=[\hat{H},\hat{\rho}(t)]</MATH>|19.23}} Niech operator gęstości będzie napisany wedle sposobu poniżej, który jest zależny od operatora całkowitej energii układu i od czasu, ale też od operatora gęstości w czasie zerowym {{Formuła|<MATH>\hat{\rho}(t=0)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}(t)=e^{-i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}\hat{\rho}(0)e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}=\hat S\hat{\rho}(0)\hat S^{-1}</MATH>|19.24}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</math>}} jest to operator ewolucji {{LinkWzór|10.35|Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej|Mechanika_kwantowa|MK}}. Sprawdźmy, czy operator gęstości z definiowanej według {{LinkWzór|19.24}} zależy od czasu, w tym celu obliczmy jego pochodną cząstkową względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\hat{\rho}(t)}\over{\partial t}}=i\hbar\left[-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}e^{-{{\hat{H}t}\over{\hbar}}}\hat{\rho}(0)e^{{i\hat{H}t}\over{\hbar}}+e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}}\hat{\rho}(0)e^{{i\hat{H}t}\over{\hbar}}{{i\hat{H}}\over{\hbar}}\right]=\hat{H}\hat{\rho}-\hat{\rho}\hat{H}=[\hat{H},\hat{\rho}(t)]</MATH>|19.25}} W {{LinkWzór|19.25}} skorzystaliśmy, że operator {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} komutuje z innymi operatorami zależnymi tylko od niego samego {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}}, zatem jeśli będziemy przyjmować, że operator gęstości zależy tylko od operatora całkowitej energii układu wedle sposobu {{Formuła|<MATH>\hat{\rho}=\hat{\rho}(\hat{H})\;</MATH>}}, to operator gęstości wedle tej definicji nie zależy w ogóle od czasu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\hat{\rho}(t)}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|19.26}} Jeśli wszystkie kopie badanego układu zespołu statystycznego są w tym samym stanie co oznacza {{Formuła|<MATH>\psi(x)=\psi^{(k)}\;</MATH>}}, to równość na element macierzowy operatora gęstości zapisujemy według {{LinkWzór|19.10}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{mn}={{1}\over{L}}\sum_k {a^*_n}^{(k)}a_m^{(k)}={{1}\over{L}}\sum_k{a^*_n}a_m={a^*_n}a_m</MATH>|19.27}} Wyznaczmy kwadrat operatora gęstości zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|19.27}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{\rho}^2)_{mn}=\rho_{ml}\rho_{ln}=\sum_l a_m a_l^* a_la^*_n=a_ma^*_n\underbrace{\sum_l a_l^* a_l}_{1}=a_ma^*_n=a_ma^*_n=\rho_{mn}</MATH>|19.28}} Na podstawie {{LinkWzór|19.28}} dochodzimy do wniosku, że operator {{Formuła|<MATH>\hat{\rho}\;</MATH>}} jest operatorem rzutowym (idempotentny). A więc jego wartości własne to są 0 i 1. Napiszmy jeszcze raz dla {{LinkWzór|19.22}} przy definicji operatora gęstości zależnego od hamiltonianu, jeśli zachodzi {{LinkWzór|19.26}} i jednocześnie &psi;{{Sub|n}}(x) są stanami własnymi operatora energii, bo ono jest rozwiązaniem równania własnego operatora niezależnego od czasu całkowitej energii, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>0=i\hbar{{\partial\rho_{mn}}\over{\partial t}}=\sum_p\left( H_{mp}\rho_{pn}-\rho_{mp}H_{pn}\right)=\sum_p\left(\langle\phi_m|H|\phi_p\rangle\rho_{pn}-\rho_{mp}\langle \phi_p|H|\phi_n\rangle\right)=\sum_p\left(E_m\delta_{mp}\rho_{pn}-E_n\delta_{pn}\rho_{mp}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(E_m-E_n)\rho_{mn}\;</MATH>|19.29}} Dochodzimy do wniosku, jeśli elementy macierzowe operatora gęstości nie zależą od czasu, to musi zachodzić na pewno m=n. Na podstawie {{LinkWzór|19.29}}, gdy zachodzi warunek na operator gęstości {{LinkWzór|19.26}}, to elementy macierzowe operatora gęstości posiadają nieznikające elementy diagonalne, tzn. występują tylko na jego przekątnej, a pozostałe elementy są oczywiście równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{mn}=\rho_n\delta_{mn}\;</MATH>|19.30}} Na podstawie wzoru na elementy macierzowe operatora gęstości {{LinkWzór|19.10}} i zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|19.30}}, możemy napisać elementy macierzowe operator gęstości wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{nn}=\rho_{n}={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}|a_n^{(k)}|^2</MATH>|19.31}} Jeśli zachodzi {{Formuła|<MATH>|a_n^{(k)}|^2\leq 1\;</MATH>}}, który jest prawdopodobieństwem, że stan n jest realizowany dla k-tej kopi układu z L, zatem diagonalne jego elementy macierzy gęstości są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq \rho_{nn}=\rho_{n}={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}|a_n^{(k)}|^2\leq{{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}1={{1}\over{L}}L=1\;</MATH>|19.32}} Z obliczeń na diagonalnych elementach macierzowych operatora gęstości {{LinkWzór|19.32}} wynika warunek: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq\rho_n\leq 1\;</MATH>|19.33}} Dochodzimy do wniosku, że elementy diagonalne tegoż operatora mają sens prawdpodobieństwa. Gdy operator gęstości jest zdefiniowany wedle wzoru {{LinkWzór|19.15}}, to wtedy jest spełniony na pewno warunek na ten operator {{LinkWzór|19.23}}. Tylko istnieje jeden problem, nie znamy operatora gęstości dla czasu t=0, i z tego względu musimy postulować wygląd tego operatora w czasie początkowym. == Zespół mikrokanoniczny == Zespół mikrokanoniczny jest definiowany podobnie jak zespole klasycznej, jego odpowiednika. Przyjmujemy, że jest to układ izolowany, tzn. nie może być wymiany energii, ani masy, ale także liczby cząstek, a objętość jest stała. Kwantowa interpretacja tego rozkładu dla współczynników {{Formuła|<MATH>a_n\;</MATH>}} występująca w definicji elementu macierzowego operatora gęstości jest: {{CentrujWzór|<MATH>|a_n|^2=\begin{cases}\displaystyle \mbox{ 1 dla }E<E_n<E+\Delta \\ \displaystyle \mbox{ 0 w innych przypadkach}\end{cases}</MATH>|19.34}} Operator gęstości {{LinkWzór|19.10}} w zespole mikrokanonicznym przyjmuje wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}=\sum_{E<E_n<E+\Delta} |\psi_n\rangle\langle\psi_n|</MATH>|19.35}} Można udowodnić, że elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.35}} są elementy diagonalne równe jeden. A oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{rp}=\langle\psi_r|\sum_{E<E_n<E+\Delta} |\psi_n\rangle\langle\psi_n||\psi_p\rangle= \sum_{E<E_n<E+\Delta}\langle\psi_r|\psi_n\rangle\langle \psi_n|\psi_p\rangle=\sum_{E<E_n<E+\Delta}\delta_{rn}\delta_{np}=1\;</MATH>|19.36}} A ślad operatora {{LinkWzór|19.35}} jest napisany wedle sposobu poniżej, jak się przekonamy jest ona równa prawdopodobieństwu termodynamicznemu z jakim istnieje pewien układ statystyczny: {{CentrujWzór|<MATH>Tr(\hat{\rho})=\sum_n\langle\psi_n|\hat{\rho}|\psi_n\rangle=\sum_{E<E_n<E+\Delta}\sum_n|\langle\psi_n|\psi_n\rangle|^2=\Gamma(E)</MATH>|19.37}} Termodynamikę określamy definiując entropię według wzoru w zależności od prawdopodobieństwa termodynamicznego {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, która nadal jest słuszna (tak jak w mechanice klasycznej) w mechanice kwantowej, która jest w pewnym stopniu mechaniką dyskretną. == Zespół kanoniczny (T,V,N,t) == Jest to układ zamknięty, w którym temperatura ,objętość, liczba cząstek i czas są stałe. Natomiast układ może wymieniać energię między otoczeniem a układem. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki , a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Z}}e^{-\beta\hat{H}}={{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta E_n}\langle\psi_n|</MATH>|19.38}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.38}} są z definicji elementami macierzowymi dowolnego operatora o nieznikających diagonalnych elementach, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta E_n}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta E_n}\langle\psi_n|\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_p\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta E_n}={{1}\over{Z}}e^{-\beta E_p}\delta_{pr}\;</math>|19.39}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. == Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ,t) == Jest to układ, w którym temperatura, objętość, czas, potencjał chemiczny i czas są stałe, natomiast liczba cząstek jest wielkością nie stałą. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Q}}e^{-\beta (\hat{H}-\mu\hat{N})}={{1}\over{Q}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta(E_n-\mu N_n)}\langle\psi_n|</MATH>|19.40}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.40}} są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}} i liczbę cząstek N{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Q}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta (E_n-\mu N_n)}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Q}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta( E_n-\mu N_n)}\langle\psi_n|\psi_r\rangle={{1}\over{Q}}\sum_n\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta( E_n-\mu N_n)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Q}}e^{-\beta(E_p-\mu N_p)}\delta_{pr}\;</math>|19.41}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. == Zespół kanoniczny (T,p,N,t) == Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie i liczba cząstek i czas są stałe, natomiast objętość jest wielkością niestałą. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (\hat{H}+p\hat V)}={{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta(E_n+p V_n)}\langle\psi_n|</MATH>|19.40a}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.40a}} są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}} i objętość V{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta (E_n+pV_n)}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta( E_n+pV_n)}\langle\psi_n|\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta( E_n+pV_n)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Z}}e^{-\beta(E_p+pV_p)}\delta_{pr}\;</math>|19.41a}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. == Zespół kanoniczny (T,p,μ,t) == Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie, potencjał chemiczny i czas są stałe, natomiast objętość i liczba cząstek są wielkościami nie stałymi. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (\hat{H}+p\hat V-\mu\hat{N})}={{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta(E_n+pV-\mu N_n)}\langle\psi_n|</MATH>|19.40b}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.40b}} są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}}, objętość V{{Sub|p}} i liczbę cząstek N{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta (E_n+pV_n-\mu N_n)}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta( E_n+pV_n-\mu N_n)}\langle\psi_n|\psi_r\rangle=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Z}}\sum_n\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta( E_n+pV_n-\mu N_n)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta(E_p+pV_p-\mu N_p)}\delta_{pr}\;</math>|19.41b}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. == Zespół kanoniczny (T,p,μ,&omega;) == Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie oraz potencjał chemiczny i czasowy są stałe, natomiast objętość, liczba cząstek i czas są wielkościami nie stałymi. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (\hat{H}+p\hat V-\mu\hat{N}-\omega \hat t)}={{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta(E_n+pV-\mu N_n-\omega t_n)}\langle\psi_n|</MATH>|19.40ba}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.40ba}} są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}}, objętość V{{Sub|p}} i liczbę cząstek N{{Sub|p}} oraz był w czasie t{{Sub|n}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta (E_n+pV_n-\mu N_n-\omega t_n)}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta( E_n+pV_n-\mu N_n-\omega t_n)}\langle\psi_n|\psi_r\rangle=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Z}}\sum_n\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta( E_n+pV_n-\mu N_n-\omega t_n)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta(E_p+pV_p-\mu N_p-\omega t_n)}\delta_{pr}\;</math>|19.41ba}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> iphhehsje07f0s56a42hbajczwqyel6 0 14215 558588 470259 2026-10-04T18:17:32Z Persino 2851 558588 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Promieniowanie ciała doskonale czarnego-gaz fotonowy == Ciało doskonale czarne, możemy sobie wyobrazić jako pewną wnękę z bardzo małą dziurką, przez którą mogą przedostawać się fotony. Fotony to są kwanty promieniowania, które są bozonami o spinie równej {{Formuła|<MATH>\hbar\;</math>}}, mają masę spoczynkową równą zero, pęd obliczamy z równania de Broglie'a, czyli dla fotonu w zależności od wektora falowego, jest równy: {{Formuła|<MATH>\vec{p}=\hbar\vec{k}\;</MATH>}}. Charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji &epsilon; i podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Mówimy, że układ znajduje się w stanie w równowagi termodynamicznej, jeśli taka sama ilość fotonów przedostaje się przez tą dziurkę na zewnątrz, jak też do wewnątrz tej komory, tak więc uczynimy. Ilość fotonów w takiej komorze jest stała, tzn. potencjał chemiczny wynosi 0, a potencjał czasowy też jest równy zero, bo w układzie nie zachodzą reakcję jądrowe, czy chemiczne, czy nawet procesy mieszania się składników, z którym jest związane wydzielanie lub pochłonięcie energii, zatem wzory na potencjał chemiczny i czasowy, znając energię swobodną układu napisanych wedle wzoru {{LinkWzór|3.40|Potencjały_termodynamiczne}}, są zapisane: {{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>{\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)}_{V,T,t}=\mu=0</MATH>|24.1}}|{{CentrujWzór|<MATH>{\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)}_{V,T,N}=\omega=0</MATH>|24.1a}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|24.1}} i {{LinkWzór|24.1a}} energia swobodna {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}} z definicji ekstremum osiąga wartość ekstremalną, tzn. osiąga minimum albo maksimum w zależności od znaku wyższych pochodnych energii swobodnej względem liczby fotonów znajdujących się w układzie. Wzór Plancka na energie kwantu fotonu, który zależy od częstotliwości lub częstotliwości kołowej fotonów, jest: {{CentrujWzór|<MATH> E=\hbar\omega</MATH>|24.2}} Wiemy jednak, że całkowita energia układu fotonów w układzie (w wnęce, wewnątrz ciała doskonale czarnego) jest określona jako suma energii wszystkich korpuskułów zwanych fotonami, czyli inaczej mówiąc, jest to suma iloczynu liczby cząstek o danej energii {{LinkWzór|24.2}} pomnożonej przez tą właśnie energię: {{CentrujWzór|<MATH>E(\{n_{\vec{k}},{\epsilon}\})=\sum_{\vec{k}} n_{\vec{k},\epsilon}\hbar\omega_{\vec{k}}</MATH>|24.3}} Możemy policzyć sumę statystyczną, na podstawie wzoru na średnią energię całkowitą układu {{LinkWzór|24.3}} w kwantowym zespole kanonicznym, jako: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\prod_{\vec{k}_{\epsilon}}\sum^{\infty}_{n_{\vec{k}}=0} e^{n_{kr}\beta\hbar\omega_k}=\prod_{\vec{k}_{\epsilon}}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}=\left(\prod_{k}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}\right)^2</MATH>|24.4}} Dwójka jako wykładnik potęgi w sumie statystycznej {{LinkWzór|24.4}} pojawia się, bo fotony charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji. Wykorzystamy równanie {{LinkWzór|24.4}} do obliczenia energii swobodnej, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, ale dla układu statystycznego w zespole kanonicznym kwantowym, zależy ona ogólnie od sumy statystycznej, której definicja jest napisany w punkcie {{LinkWzór|16.3|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=-k_BT \ln Z=-2k_BT\ln\prod_{k}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}=-2k_BT\sum_k \ln (1-e^{-\beta\hbar\omega_k})</MATH>|24.5}} Promieniowanie we wnętrze podlega klasycznemu równaniu falowemu wynikającego elektrodynamiki klasycznej Maxwella, jego równanie jest przedstawione: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\phi(\vec{r},t)-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi(\vec{r},t)}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|24.6}} Rozwiązaniem równania falowego {{LinkWzór|24.6}} jest rozwiązanie we funkcjach falowych o częstotliwości drgań &omega; i o licznie falowej "k": {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{r},t)=u e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}</MATH>|24.7}} Wstawiamy przypuszczalne rozwiązanie równania falowego {{LinkWzór|24.7}} do równania falowego {{LinkWzór|24.6}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(k^2-{{\omega^2}\over{c^2}}\right)ue^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=0</MATH>|24.8}} Ponieważ wartość funkcja eksponens jest zawsze różna od zera z definicji tejże funkcji, zatem z równania {{LinkWzór|24.8}} dostajemy zależność między częstością kołową &omega; fali fotonów znajdujących się we wnęce w zależności od jego liczby falowej k, który jest ilorazem liczby 2&pi; przez długość tejże opisywanej tutaj fali &lambda;, ten opis jest wedle wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>k^2-{{\omega^2}\over{c^2}}=0\Rightarrow\omega=ck\;</MATH>|24.9}} Funkcja {{LinkWzór|24.7}} powinna być periodyczna, tzn. wartość funkcji na ściankach we wnęce sześciennego układu powinna być wszędzie stała i powinna spełniać warunek, że wychylenia drgań fali reprezentujący fotony na ściankach tego układu powinno być wszędzie takie same. {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{x}+\vec{L})=\psi(\vec{x})\;</MATH>|24.10}} Z rozwiązania funkcji falowej {{LinkWzór|24.7}} i warunku brzegowego na tą poprzednio wspomnianą funkcję, czyli {{LinkWzór|24.10}} wynika zależność, która wynika z periodyczności funkcji falowej zakładając przy tym {{Formuła|<MATH>L_x=L_y=L_z=L=V^{{{1}\over{2}}}</MATH>}} (mamy sześcian): {{CentrujWzór|<MATH>i\vec{k}\vec{L}=i2\pi\vec{l}\Rightarrow k_i={{2\pi}\over{L}}l_i</MATH>|24.11}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}} współrzędne wektora falowego o numerze "i" wektora falowego. * {{Formuła|<MATH>l_i=0,\pm 1,\pm 2,...</MATH>}} są to pewne stałe całkowite (niedodatnie i nieujemne) Dochodzimy do wniosku, że liczba falowa jest wielkością skwantowaną i napisaną wedle równania końcowego {{LinkWzór|24.11}}. Elementarna objętość zajmowana przez numerowane wektory falowe, którego współrzędne są napisane wedle {{LinkWzór|24.11}} w przestrzeni wektorów falowych {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}}, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta k|=\Delta k_x\Delta k_y\Delta k_z={{(2\pi)^3}\over{L^3}}={({2\pi})^3\over V}</MATH>|24.12}} Liczba stanów w objętości elementarnej {{Formuła|<MATH>4\pi k^2dk</MATH>}} jest stosunkiem tejże właśnie liczby przez objętość elementarną wyrażoną wzorem {{LinkWzór|24.12}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{4\pi k^2dk}\over{|\Delta k|}}={{4\pi k^2 dk}\over{ {{{(2\pi)}^3}\over{V}} }}={{V}\over{2\pi^2}}k^2 dk</MATH>|24.13}} Częstotliwość kołowa fali elektromagnetycznej, pojedyńczego fotonu z warunku {{LinkWzór|24.9}} oraz z definicji skwantowanego wektora falowego {{LinkWzór|24.11}}, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=c|\vec{k}|=c{{2\pi}\over{V^{1\over 3}}}{|\vec{l}|}</MATH>|24.14}} Ciśnienie gazu fotonowego można policzyć ze wzoru z fizyki fenomenologicznej {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} i korzystając z już policzonej sumy statystycznej {{LinkWzór|24.5}}, wtedy to oczekiwane ciśnienie gazu fotonowego panujące we wnęce jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{TN}=-2k_BT\sum_k{{\beta \hbar}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}{{\partial \omega_k}\over{\partial V}}</MATH>|24.15}} Pochodna cząstkowa częstotliwości kołowej względem objętości można policzyć wychodząc tylko ze wzoru {{LinkWzór|24.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\omega_k}\over{\partial V}}=-{{1}\over{3}}c{{2\pi}\over{V^{{{4}\over{3}}}}}|\vec{l}|=-{{1}\over{3}}c{{2\pi}\over{V^{{{1}\over{3}}}}}|\vec{l}|{{1}\over{V}}=-{{1\over 3}}{{\omega_k}\over{V}}</MATH>|24.16}} Po podstawieniu wzoru {{LinkWzór|24.16}} do równania na ciśnienie gazu fotonowego {{LinkWzór|24.15}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że ta wielkość jest: {{CentrujWzór|<MATH>p=-2k_BT\sum_k{{\beta \hbar}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}\left(-{{1\over 3}}{{\omega_k}\over{V}}\right)={{2} \over {3}}k_BT\sum_{\vec{l}}{{\beta\hbar}\over{e^{\beta \hbar\omega_k}-1}}{{\omega_k}\over{V}}</MATH>|24.17}} Po dalszych przekształceniach wyrażenia {{LinkWzór|24.17}}, Wyznaczamy iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętości (objętości wnęki), to: {{CentrujWzór|<MATH>pV={2\over{3}}k_BT\sum_{\vec{l}}{{\beta\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}={2\over 3}\sum_{\vec{l}}{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}</MATH>|24.18}} Wyznaczmy energię wewnętrzną gazu fotonowego (gazu we wnęce) korzystając ze statystyki Bosego-Einsteina dla bozonów {{LinkWzór|20.10|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}} i falowej natury fotonów (mają pewną częstość fali) oraz że fotony są kwantami według Plancka, a także skorzystamy, że fonony występują w dwóch polaryzacjach, zatem energia całkowita układu fotonów ma się wedle: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}=\sum_{\vec{k}\epsilon}n_{\vec{k},\epsilon}\hbar\omega_k= 2\sum_k\overline{n}_{k}\hbar\omega_k=2\sum_{\vec{k}}{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}</MATH>|24.19}} We wzorze {{LinkWzór|24.18}} możemy wyznaczyć pewien czynnik, zwany energią układu opisany przy pomocy wzoru {{LinkWzór|24.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{1}\over{3}}U</MATH>|24.20}} Wyznaczmy całkowitą energię wewnętrzną gazu wypromieniowania przez gaz o wszystkich częstościach, korzystając ze wzoru na energię układu fotonów napisanego wcześniej {{LinkWzór|24.19}} oraz ze wzoru na gęstość stanów {{LinkWzór|24.13}}, która powstaje podczas zamieniania zwykłej sumy na całkę jako czynnik w tejże całce. {{CentrujWzór|<MATH>U=2\sum_k{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}=2{{V}\over{2{\pi}^2}}\int\limits^{4\pi}_0{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}k^2dk</MATH>|24.21}} Wzór {{LinkWzór|24.9}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|24.21}} za częstość kołową fotonów, jeśli traktować je jako falę. {{CentrujWzór|<MATH>U={{V\hbar c}\over{\pi^2}}\int^{\infty}_0{{k^3}\over{e^{\beta\hbar ck}-1}}dk={{V\hbar c}\over{\pi^2{({\beta\hbar c})}^4}}\int^{\infty}_0 {{x^3}\over{e^x-1}}dx={{\hbar}\over{c^3\pi^2}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4V\int^{\infty}_{0}{{x^3}\over{e^x-1}}dx</MATH>|24.22}} Korzystamy z całki przystępnej znanej i policzonej z analizy matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0{{x^3}\over{e^x-1}}dx={{\pi^4}\over{15}}</MATH>|24.23}} Korzystamy z już policzonej całki {{LinkWzór|24.23}} i wykorzystujemy tą całkę do wyliczenia całki we wzorze {{LinkWzór|24.22}}, wtedy otrzymujemy zwarte równanie na energię wewnętrzną układów fotonów we wnętrze: {{CentrujWzór|<MATH>U={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4V</MATH>|24.24}} A energia całkowita wypromieniowana fotonów z cała doskonale czarnego dla wszystkich częstości na jednostkę objętości można policzyć, korzystając ze wzoru {{LinkWzór|24.24}} na energię wewnętrzną dzieląc tą właśnie wielkość przez objętość tego rozważanego ciała. {{CentrujWzór|<MATH>u={{U}\over{V}}={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4={{8\pi^5k_B^4}\over{15c^3h^3}}T^4</MATH>|24.25}} Ciepło właściwe pod stałą objętością gazu doskonałego dostajemy, biorąc pochodną cząstkową wyrażenia {{LinkWzór|24.25}} względem temperatury bezwzględnej pod stałą objętością, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>C_v={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^3 4{{k_B}\over{\hbar}}={{4k_B\pi^2}\over{15}}\left({{k_BT}\over{\hbar c}}\right)^3</MATH>|24.26}} Prawo przedstawione wzorem {{LinkWzór|24.26}} przedstawiające ciepło właściwe w zależności od temperatury nosi nazwę '''prawa Stefana-Boltzmanna'''. == Właściwości termodynamiczne idealnego gazu fermionowego == Wiemy, że fermiony nie mogą znajdować się w stanie kwantowym w liczbie większym niż 1, nie tak jak cząstki zwane bozonami. Liczba fermionów znajdujących się wstanie A może znajdować się co najwyżej jeden fermion, czyli zero lub jeden. Licząc wielką sumę statystyczną skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|20.5|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}} pamiętając, że mamy do czynienia z fotonami, a potencjał czasowy jest równy zero, ze względu, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, i procesy wydzielania lub pochłonięcia się energii wyniku mieszania się składników, tam nie zachodzą, ale za to fermiony od zewnątrz mogą dochodzić. {{CentrujWzór|<MATH>Q=\prod^{\infty}_{N=0}\sum_{n_k}e^{-\beta{(\epsilon_k-\mu)N}}=\prod_{k}\sum_{n_k=0,1}\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.27}} Po wstawieniu za wielką sumę statystyczną wyliczoną w punkcie {{LinkWzór|24.27}} do wzoru łączące potencjał termodynamiczny z iloczynem ciśnienia punującego w gazie fermionowym przez jego objętość jaką ten gaz zajmuje, ta opisywana formuła jest napisana wzorem {{LinkWzór|17.38|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}}, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\Rightarrow pV=k_BT\sum_k\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.28}} Będziemy korzystać tutaj ze wzoru, znanego z mechaniki klasycznej na energię kinetyczną cząstki napisanej w zależności od jego pędu klasycznego według Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>E= {{p^2}\over{2m}}</MATH>|24.29}} Wzór znanego z teorii o falach de Broglie'a, który stanowi jakoby przelicznik długości fali na pęd posiadanej przez ciało, a jeśli mamy pęd, to mamy jego całkowitą posiadaną energię przez ściśle określoną cząstkę, a wiec pęd naszego ciała w zależności od jego długości fali, jeśli te cząstki traktować jako fale, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>p= {h\over \lambda}</MATH>|24.30}} Oczywiście jest, że z definicji liczby falowej zdefiniowaną przez długość fali mamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{h\over{\lambda}}}={{\hbar 2\pi}\over{\lambda}}=\hbar k</MATH>|24.31}} Możemy wyznaczyć pęd cząstki, znając jego liczbę falową, tzn. podstawiając wzór {{LinkWzór|24.31}} do wzoru na pęd cząstki {{LinkWzór|24.30}}, wtedy dochodzimy do zależności pędu cząstki w zależności od jego liczby falowej posiadanej przez falę stowarzyszoną z tą cząstką. {{CentrujWzór|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>|24.32}} Aby otrzymać wzór na energię kinetyczną cząstki należy wzór na pęd {{LinkWzór|24.32}} podstawić do wzoru na energię cząstki kwantowej {{LinkWzór|24.29}}, ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_k=E={{\hbar^2k^2}\over {2m}}\;</MATH>|24.33}} Pamiętając, że wyrażenie {{LinkWzór|24.12}} stanowi elementarną objętość w przestrzeni fazowej, zatem liczba stanów w elementarnej przestrzeni fazowej jest napisana poprzez wzór {{LinkWzór|24.13}}: {{CentrujWzór|<MATH> D(\epsilon_k)d\epsilon_k={{V}\over {(2\pi)^3}}d^3\vec{k}= {{V}\over{(2\pi)^3}}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}d\phi\sin\phi k^2dk={{V}\over{(2\pi)^3}}4\pi k^2dk={{V}\over{2\pi^2}}k^2dk</MATH>|24.34}} Ze wzoru {{LinkWzór|24.33}} wyznaczmy kwadrat wektora falowego, oczywiście jest, że wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>k^2={{2m\epsilon_k}\over{\hbar^2}}</MATH>|24.35}} Zróżniczkujmy obie strony tożsamości {{LinkWzór|24.35}}, tzn. prawą i lewą stronę tegoż wspomnianego równania, to otrzymane równanie dzielimy przez liczbę dwa, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>2kdk=2{m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k\Rightarrow kdk={m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k</MATH>|24.36}} Z równania {{LinkWzór|24.35}} wyznaczmy wartość wektora falowego w zależności od energii pojedynczej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>k=\sqrt{{{2m\epsilon_k}\over{\hbar^2}}}= \left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}</MATH>|24.37}} Mając wzór {{LinkWzór|24.37}} i końcowy wzór {{LinkWzór|24.36}}, wtedy za pomocą tychże tożsamości możemy policzyć wyrażenie pomocnicze, które nam będzie potrzebne w dalszych rachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>k^2dk=k kdk=\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}{m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k={{1}\over{2}} \left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.38}} Wyznaczmy liczbę stanów opisywanych przez wzór {{LinkWzór|24.34}} wykorzystując obliczoną tożsamość {{LinkWzór|24.38}}, zatem dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>D(\epsilon_k)d\epsilon_k={{V}\over{2\pi^2}}k^2dk= {{V}\over{4\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.39}} Uwzględniając sumę po spinach fermionu, tzn zgodną lub niezgodnie z kierunkiem ruchu fermionu, czyli nasz czynnik wynosi 2. Wyznaczmy sumę występującą wyrażeniu {{LinkWzór|24.28}}, w tym celu policzmy wyrażenie pomocnicze: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\vec{k}}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)= 2\int_0^{\infty}D(\epsilon_k)d\epsilon_k\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)=2{{V}\over{4\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\int_0^{\infty} \ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{V}\over{2\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\int_0^{\infty} \ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.40}} Wzór {{LinkWzór|24.40}} możemy podstawić do prawej części wzoru za sumę {{LinkWzór|24.28}}, jednocześnie tą równość dzielimy obustronnie przez iloczyn stałej Boltzmanna i temperatury bezwzględnej, stąd mamy równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over{k_BT}}={{V}\over{2\pi^2}}{({{2m}\over{\hbar^2}})}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 d\epsilon_k\sqrt{\epsilon_k}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.41}} A teraz całkujemy przez części całkę występującą po prawej stronie równości {{LinkWzór|24.41}}, względem zmiennej &epsilon;{{Sub|k}}; pamiętając, że otrzymane wyrażenie niecałkowe występujące w wyrażeniu poniżej jest zawsze równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over{k_BT}}={{V}\over{2\pi^2}} {\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\left\{{ {2\over 3}{|\epsilon^{3\over 2}\ln(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)})|^{\infty}_0}}+{{2}\over{3k_BT}}\int\limits^{\infty}_0{{\epsilon^{3\over 2}}\over{e^{\beta(e_k-\mu)}+1}}\right\}={{V}\over{2\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}{{2}\over{3k_BT}} \int\limits^{\infty}_0{{\epsilon^{3\over 2}}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}</MATH>|24.42}} A teraz napiszmy, czemu jest równa średnia energia wszystkich cząstek (fermionów) w układzie, w tym celu napiszmy przekształcenia ogólne na cząstkach zwanych fermionami: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=U={{1}\over{Q}}\sum^{\infty}_{N=0}\sum_k \epsilon_k e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}={{1}\over Q}\sum^{\infty}_{N=0}\sum_i\left(\left(\epsilon_k-\mu N\right)+\mu N\right)e^{-\beta(\epsilon_i-\mu N)}=-\left({{\partial\ln Q}\over{\partial \beta}}\right)_{pV}+\mu \overline{N}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{\partial}\over{\partial \beta}}\sum_{\vec{k}}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)+\mu\sum_{\vec{k}}n(\epsilon_k)=\sum_{\vec{k}}{{\epsilon_k-\mu}\over{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}}+\mu \sum_{\vec{k}}n(\epsilon_k)=\sum_{\vec{k}}\left[{{\epsilon_k-\mu}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}} +{{\mu}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}\right]</MATH>|24.43}} Z przekształceń {{LinkWzór|24.43}} dostajemy, że energia wewnętrzna układu fermionów jest równa sumie iloczynu liczby cząstek n(&epsilon;{{Sub|k}}) o energii &epsilon;{{Sub|k}} przez tą właśnie energię sumując po wszystkich parametrach "k" jakie może przyjmować układ kwantowy badanego zespołu fermionów. {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_{\vec{k}}\epsilon_k n(\epsilon_k)</MATH>|24.44}} Wyznaczmy sumę {{LinkWzór|24.44}} na energię układu fermionów, wtedy należy uwzględnić sumowanie po spinach (zgodną i odwrotną z kierunkiem ruchu fermionu), tak jak w obliczeniach {{LinkWzór|24.40}}, zatem ta energia jest: { {CentrujWzór|<MATH>U=2\int_0^{\infty}D(\epsilon_k){{\epsilon_kd\epsilon_k}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}={{V}\over{2\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\int^{\infty}_{0} {{\epsilon_k^{3\over 2}}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}d\epsilon_k</MATH>|24.45}} Równanie na energię wewnętrzną U {{LinkWzór|24.45}} wstawiamy do wzoru {{LinkWzór|24.42}}, wtedy dostajemy równanie wiążące ciśnienie, objętość gazy fermionowego z jego energią wewnętrzną (energią układu fermionów): {{CentrujWzór|<MATH>pV={{2}\over{3}}U</MATH>|24.46|Obramuj}} == Kondensacja Bosego-Einsteina == Rozważmy idealny nierelatywistyczny gaz bozonowy o liczbie cząstek N. Masa pojedynczej cząstki wynosi m. W gazie idealnym zakładamy, że nie ma oddziaływania między pojedynczymi atomami (cząsteczkami). Energia pojedynczego atomu jest równa według wyrażenia zależnego od liczby falowej "k" jeśli traktować je jako fale według teorii korpuskularno-falowej {{LinkWzór|24.33}}. Średnia liczba wszystkich cząstek znajdujących się w naszym badanym układzie kwantowym jest wyrażona przez sumę liczby cząstek znajdujących się na poszczególnych poziomach o energiach tychże poziomów równych &epsilon;{{Sub|k}} określonych wedle wzoru {{LinkWzór|20.10|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}}. {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k \overline{n}_k\;</MATH>|24.47}} Wiemy, że zawsze bozony podlegają statystyce Bosego-Einsteina, więc średnią liczbę cząstek, pamiętając, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, tam nie zachodzą, wtedy {{Formuła|<MATH>\omega=0\;</MATH>}}, czyli możemy zapisać wedle schematu liczbę cząstek bozonów: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k{{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}</MATH>|24.48}} Rozważmy, liczbę cząstek N{{Sub|0}} znajdujących się w stanie, gdy energia tego poziomu &epsilon;{{Sub|k}} jest równa zero, która jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>N_0={{1}\over{e^{-\beta\mu}-1}}</MATH>|24.49}} Jeśli przyjmiemy oznaczenia zmiennej z w zależności od potencjału chemicznego panującego w układzie wymieniającego cząstki z otoczeniem i względem parametry &beta;, która jest zależna od temperatury bezwzględnej, zatem to oznaczenie w końcu zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> e^{\beta\mu}={{1}\over{z}}</MATH>|24.50}} Aby N{{Sub|0}}, była istotnie większa od zera, to musi zachodzić N{{Sub|0}}>0, to zgodnie z naszym założeniem liczba "z" powinna być z zakresu od zera do jedynki w przedziale obustronnie otwartym. Dla tych "z" funkcja {{LinkWzór|24.49}} przyjmuje wartość istotnie dodatnią, i tylko wtedy występuje kondensacja Bosego-Einsteina. Wzór na średnią liczbę cząstek znajdujących się w układzie wedle wyrażenia {{LinkWzór|24.48}}, zamieniając w nim sumowanie na całkę wprowadzając w tej całce po tej zamianie gęstość stanów D(&epsilon;{{Sub|k}}), jest: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k{{1}\over{z^{-1}e^{\beta\epsilon_k}-1}}=\int\limits_0^{\infty}D(\epsilon_k)d\epsilon_k{{1}\over{z^{-1}e^{\beta\epsilon_k}-1}}</MATH>|24.51}} Podstawiając za gęstość stanów D(&epsilon;{{Sub|k}})d&epsilon;{{Sub|k}} wyrażenie wyprowadzone wcześniej, które jest słuszne na klasycznych cząstek kwantowych, a więc dla cząstek uczestniczących w kondensacji Bosego-Einsteina, określonych wedle wzoru {{LinkWzór|24.39}}, wtedy tą liczbę N przedstawiamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>N={{V}\over{4\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0{{\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k}\over{{{1}\over{z}}e^{\beta\epsilon_k}-1}}={{V}\over{4\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2\beta}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0{{\sqrt{\epsilon_k\beta}d(\beta\epsilon_k)}\over{{{1}\over{z}}e^{\beta\epsilon_k}-1}}={{V}\over{4\pi^2}}\left({{{2mk_BT}\over{\hbar^2}}}\right)^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}</MATH>|24.52}} Zauważmy, że bezmyślnie zamiana sumowania na całkowanie, prowadzi do błędu, gdyż gubimy wszystkie bozony obsadzająca stan zerowy, tzn. dla stanu dla którego jego energia &epsilon;{{Sub|k}} jest równa zero, gdyż ta funkcja podcałkowa nie uwzględnia tego opisywanego w tychże dysputach stanu cząstek o tej energii. W tym celu prowadźmy oznaczenia liczby cząstek na jednostkę objętości V z ogólnej liczby cząstek i liczby cząstek na jednostkę objętości n{{Sub|0}} ulegająca kondensacji Bosego-Einsteina. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>n={{N}\over{V}}</MATH>|24.53}}|2={{CentrujWzór|<MATH> n_0={{N_0}\over{V}}</MATH>|24.54}}}} I dlatego wzór {{LinkWzór|24.52}} napisanych przy pomocy wzoru na n {{LinkWzór|24.53}} (całkowita liczba bozonów znajdująca się w układzie) i n{{Sub|0}} {{LinkWzór|24.54}} (liczba bozonów ulegająca omawianej kondensacji przy energii cząstek dla tego poziomu dla kondensatu jest równa zero) wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{{V}\over{4\pi^2}}\left({{{2mk_BT}\over{\hbar^2}}}\right)^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}</MATH>|24.55}} Wyznaczmy całkę pomocniczą znajdująca się we równaniu {{LinkWzór|24.55}} po prawej jego stronie wspomnianego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}} =\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}{{ze^{-x}}\over{ze^{-x}}} =\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}ze^{-x}}\over{1-ze^{-x}}} =\int\limits^{\infty}_0 dx z e^{-x}\sqrt{x}\sum^{\infty}_{l=0}z^l e^{-lx}=\sum^{\infty}_0z^{l+1}\int\limits^{\infty}_0\sqrt{x}e^{-(l+1)x}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum^{\infty}_{l=1} z^l\int\limits^{\infty}_0 dx\sqrt{x}e^{-lx}</MATH>|24.56}} Następnie dokonajmy podstawienia wedle schematu u=lx w obliczeniach pomocniczych {{LinkWzór|24.56}}, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}\int\limits^{\infty}_0 du u^{1\over 2}e^{-u}</MATH>|24.57}} Całka przystępna znana w analizie matematycznej podajemy poniżej, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0 du u^{1\over 2}e^{-u}={{1}\over{2}}\sqrt{\pi}</MATH>|24.58}} Obliczoną całkę {{LinkWzór|24.58}} wsadzamy do {{LinkWzór|24.57}}, a to z kolei wsadzamy do wzoru {{LinkWzór|24.56}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{{1}\over{2}}{{\sqrt{\pi}}\over{4\pi^2}}\left({{2mk_BT}\over{\hbar^2}}\right)^{3\over 2}\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}</MATH>|24.59}} Oznaczmy wyrażenie stojące z prawej strony wzoru {{LinkWzór|24.59}} zależne od parametru "z" zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}} jako funkcję g{{Sub|3/2}}(z): {{CentrujWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}=g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.60}} Równość {{LinkWzór|24.59}}, na podstawie podstawienia do niego wzoru {{LinkWzór|24.60}}, wtedy dostajemy wzór na "n" w zależności od n{{Sub|0}} i liczby "z" zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+\left({{mk_BT}\over{2\hbar^2\pi}}\right)^{3\over 2}g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.61}} Liczba bozonów o pędzie zerowym na jednostkę objętości zależne z oczywistych powodów od parametru z zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}}, jakie zajmują te bozony jest oczywiście wyrażona przez: {{CentrujWzór|<MATH>n_0={{1}\over{V}}{{1}\over{{1\over z}-1}}</MATH>|24.62}} Oznaczmy jako parametr &lambda;, który jest zdefiniowany wedle schematu poniżej, zależnej od masy tychże bozonów i temperatury układów bozonów: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={1\over{\sqrt{{{mk_BT}\over{2\hbar^2\pi}}}}}\Rightarrow \lambda=\sqrt{{2\hbar^2\pi}\over{mk_BT}}</MATH>|24.63}} Wyrażenie {{LinkWzór|24.61}} na podstawie oznaczenia przez parametr &lambda; {{LinkWzór|24.63}} jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{1\over {{\lambda^3}}}g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.64}} Po przekształceniu wyrażenie {{LinkWzór|24.64}} tak by ten obiekt pomnożyć przez stałą &lambda;{{Sup|3}}, wtedy dochodzimy do wyrażenia równoważnego do poprzedniego: {{CentrujWzór|<MATH>n_0\lambda^3=n\lambda^3-g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.65}} Temperatura przy której n{{Sub|0}} jest istotnie różna od zera, to dla z&rarr; 1. Wiemy, że funkcja g{{Sub|3/2}} jest funkcją rosnącą według jego definicji {{LinkWzór|24.60}}, ponieważ funkcje potęgowe w nim występujące są funkcjami potęgowymi rosnącymi, i wartość maksymalną przyjmuje dla parametru "z" jest dla z równej jeden dla wcześniej określonego przedziału zmienności zmiennej "z". Kondensacja występuje przy spełnionym warunku z&rarr; 1, wtedy n{{Sub|0}} jest równe zero, zatem wzór {{LinkWzór|24.65}} przy tych warunkach przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>n\lambda_{kr}^3=g_{3\over 2}(1)</MATH>|24.66}} A zatem przy pomocy wzoru dla oznaczenia &lambda; {{LinkWzór|24.63}} wzór {{LinkWzór|24.66}} można zapisać w takowej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>n\left({{2\hbar^2\pi}\over{mk_BT_{kr}}}\right)^{3\over 2}=g_{3\over 2}(1)\Rightarrow \left({{2\hbar^2\pi}\over{mk_B}}\right)^{3\over 2}={{g_{3\over 2}(1)T_{kr}^{{{3}\over{2}}}}\over{n}}</MATH>|24.67}} Temperaturę krytyczną T{{Sub|kr}} na podstawie równania {{LinkWzór|24.67}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>T_{kr}={{n^{2\over 3}2\hbar^2\pi}\over{mk_B g^{2\over 3}_{3\over 2}(1)}}</MATH>|24.68}} Wiadomo, że w kondensacie Bosego-Einsteina, jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|24.66}} dla temperatury krytycznej, w której zaczyna się tworzyć kondensat Bosego-Einsteina, wtedy n{{Sub|0}}=0, a liczba cząstek "n" w zależności od temperatury krytycznej jest zapisana: {{CentrujWzór|<MATH>n={{g_{{3}\over{2}}(1)}\over{\lambda_{kr}^3}}\Rightarrow n=\left({{mk_BT_{kr}}\over{2\hbar^2\pi}}\right)^{3\over 2} g_{3\over 2}(1)</MATH>|24.69}} Wzór {{LinkWzór|24.61}} zapisanej na ogólną liczbę cząstek bozonów w badanym układzie na podstawie {{LinkWzór|24.69}} przyjmuje inną równoważną do poprzedniego postać: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+n\left({{T}\over{T_{kr}}}\right)^{3\over 2}{{g_{3\over 2}(z)}\over{g_{3\over 2}(1)}}</MATH>|24.70}} Wyznaczamy wielkość n{{Sub|0}} we wzorze na całkowitą liczbę cząstek znajdujących się w układzie bozonów w zależności od liczby cząstek ulegających kondensacji {{LinkWzór|24.70}}, zatem dochodzimy do wniosku, że liczba cząstek ulegająca kondensacji spełnia tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>n_0=n\left\{1-\left({{T}\over{T_{kr}}}\right)^{3\over 2}{{g_{3\over 2}(z)}\over{g_{3\over 2}(1)}}\right\}</MATH>|24.71}} W bezpośrednim otoczeniu {{Formuła|<MATH>T_{kr}</MATH>}}, przyjmujemy zgodnie dyskusją wcześniejszą, że parametr "z" jest równy jeden, wtedy wzór {{LinkWzór|24.71}} po wzajemnym skróceniu funkcji g{{Sub|3/2}}(1) dostajemy przepis na liczbę cząstek ulegająca kondensacji w otoczeniu wspomnianego punktu: {{CentrujWzór|<MATH>{{n_0}\over{n}}={{N_0}\over{N}}=\begin{cases} 0&\mbox{ dla }T>T_{kr}\\ 1-{\left({T\over T_{kr}}\right)}^{3\over 2}&\mbox{ dla }T<T_{kr} \end{cases}</MATH>|24.72}} Podkreślmy na zakończenie, że bozony dla temperatury bezwzględnej T>T{{Sub|kr}} tworzą osobną fazę niż dla temperatury bezwzględnej T<T{{Sub|kr}}, wtedy tą ostatnią fazę nazywamy kondensatem Bosego-Einsteina. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> adruz1xt2tmf6g0k51e18cwgidot616 558589 558588 2026-10-04T18:17:49Z Persino 2851 558589 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Promieniowanie ciała doskonale czarnego-gaz fotonowy == Ciało doskonale czarne, możemy sobie wyobrazić jako pewną wnękę z bardzo małą dziurką, przez którą mogą przedostawać się fotony. Fotony to są kwanty promieniowania, które są bozonami o spinie równej {{Formuła|<MATH>\hbar\;</math>}}, mają masę spoczynkową równą zero, pęd obliczamy z równania de Broglie'a, czyli dla fotonu w zależności od wektora falowego, jest równy: {{Formuła|<MATH>\vec{p}=\hbar\vec{k}\;</MATH>}}. Charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji &epsilon; i podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Mówimy, że układ znajduje się w stanie w równowagi termodynamicznej, jeśli taka sama ilość fotonów przedostaje się przez tą dziurkę na zewnątrz, jak też do wewnątrz tej komory, tak więc uczynimy. Ilość fotonów w takiej komorze jest stała, tzn. potencjał chemiczny wynosi 0, a potencjał czasowy też jest równy zero, bo w układzie nie zachodzą reakcję jądrowe, czy chemiczne, czy nawet procesy mieszania się składników, z którym jest związane wydzielanie lub pochłonięcie energii, zatem wzory na potencjał chemiczny i czasowy, znając energię swobodną układu napisanych wedle wzoru {{LinkWzór|3.40|Potencjały_termodynamiczne}}, są zapisane: {{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>{\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)}_{V,T,t}=\mu=0</MATH>|24.1}}|{{CentrujWzór|<MATH>{\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)}_{V,T,N}=\omega=0</MATH>|24.1a}}}} Ze wzoru {{LinkWzór|24.1}} i {{LinkWzór|24.1a}} energia swobodna {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}} z definicji ekstremum osiąga wartość ekstremalną, tzn. osiąga minimum albo maksimum w zależności od znaku wyższych pochodnych energii swobodnej względem liczby fotonów znajdujących się w układzie. Wzór Plancka na energie kwantu fotonu, który zależy od częstotliwości lub częstotliwości kołowej fotonów, jest: {{CentrujWzór|<MATH> E=\hbar\omega</MATH>|24.2}} Wiemy jednak, że całkowita energia układu fotonów w układzie (w wnęce, wewnątrz ciała doskonale czarnego) jest określona jako suma energii wszystkich korpuskułów zwanych fotonami, czyli inaczej mówiąc, jest to suma iloczynu liczby cząstek o danej energii {{LinkWzór|24.2}} pomnożonej przez tą właśnie energię: {{CentrujWzór|<MATH>E(\{n_{\vec{k}},{\epsilon}\})=\sum_{\vec{k}} n_{\vec{k},\epsilon}\hbar\omega_{\vec{k}}</MATH>|24.3}} Możemy policzyć sumę statystyczną, na podstawie wzoru na średnią energię całkowitą układu {{LinkWzór|24.3}} w kwantowym zespole kanonicznym, jako: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\prod_{\vec{k}_{\epsilon}}\sum^{\infty}_{n_{\vec{k}}=0} e^{n_{kr}\beta\hbar\omega_k}=\prod_{\vec{k}_{\epsilon}}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}=\left(\prod_{k}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}\right)^2</MATH>|24.4}} Dwójka jako wykładnik potęgi w sumie statystycznej {{LinkWzór|24.4}} pojawia się, bo fotony charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji. Wykorzystamy równanie {{LinkWzór|24.4}} do obliczenia energii swobodnej, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, ale dla układu statystycznego w zespole kanonicznym kwantowym, zależy ona ogólnie od sumy statystycznej, której definicja jest napisany w punkcie {{LinkWzór|16.3|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=-k_BT \ln Z=-2k_BT\ln\prod_{k}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}=-2k_BT\sum_k \ln (1-e^{-\beta\hbar\omega_k})</MATH>|24.5}} Promieniowanie we wnętrze podlega klasycznemu równaniu falowemu wynikającego elektrodynamiki klasycznej Maxwella, jego równanie jest przedstawione: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\phi(\vec{r},t)-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi(\vec{r},t)}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|24.6}} Rozwiązaniem równania falowego {{LinkWzór|24.6}} jest rozwiązanie we funkcjach falowych o częstotliwości drgań &omega; i o licznie falowej "k": {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{r},t)=u e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}</MATH>|24.7}} Wstawiamy przypuszczalne rozwiązanie równania falowego {{LinkWzór|24.7}} do równania falowego {{LinkWzór|24.6}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(k^2-{{\omega^2}\over{c^2}}\right)ue^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=0</MATH>|24.8}} Ponieważ wartość funkcja eksponens jest zawsze różna od zera z definicji tejże funkcji, zatem z równania {{LinkWzór|24.8}} dostajemy zależność między częstością kołową &omega; fali fotonów znajdujących się we wnęce w zależności od jego liczby falowej k, który jest ilorazem liczby 2&pi; przez długość tejże opisywanej tutaj fali &lambda;, ten opis jest wedle wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>k^2-{{\omega^2}\over{c^2}}=0\Rightarrow\omega=ck\;</MATH>|24.9}} Funkcja {{LinkWzór|24.7}} powinna być periodyczna, tzn. wartość funkcji na ściankach we wnęce sześciennego układu powinna być wszędzie stała i powinna spełniać warunek, że wychylenia drgań fali reprezentujący fotony na ściankach tego układu powinno być wszędzie takie same. {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{x}+\vec{L})=\psi(\vec{x})\;</MATH>|24.10}} Z rozwiązania funkcji falowej {{LinkWzór|24.7}} i warunku brzegowego na tą poprzednio wspomnianą funkcję, czyli {{LinkWzór|24.10}} wynika zależność, która wynika z periodyczności funkcji falowej zakładając przy tym {{Formuła|<MATH>L_x=L_y=L_z=L=V^{{{1}\over{2}}}</MATH>}} (mamy sześcian): {{CentrujWzór|<MATH>i\vec{k}\vec{L}=i2\pi\vec{l}\Rightarrow k_i={{2\pi}\over{L}}l_i</MATH>|24.11}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}} współrzędne wektora falowego o numerze "i" wektora falowego. * {{Formuła|<MATH>l_i=0,\pm 1,\pm 2,...</MATH>}} są to pewne stałe całkowite (niedodatnie i nieujemne) Dochodzimy do wniosku, że liczba falowa jest wielkością skwantowaną i napisaną wedle równania końcowego {{LinkWzór|24.11}}. Elementarna objętość zajmowana przez numerowane wektory falowe, którego współrzędne są napisane wedle {{LinkWzór|24.11}} w przestrzeni wektorów falowych {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}}, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta k|=\Delta k_x\Delta k_y\Delta k_z={{(2\pi)^3}\over{L^3}}={({2\pi})^3\over V}</MATH>|24.12}} Liczba stanów w objętości elementarnej {{Formuła|<MATH>4\pi k^2dk</MATH>}} jest stosunkiem tejże właśnie liczby przez objętość elementarną wyrażoną wzorem {{LinkWzór|24.12}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{4\pi k^2dk}\over{|\Delta k|}}={{4\pi k^2 dk}\over{ {{{(2\pi)}^3}\over{V}} }}={{V}\over{2\pi^2}}k^2 dk</MATH>|24.13}} Częstotliwość kołowa fali elektromagnetycznej, pojedyńczego fotonu z warunku {{LinkWzór|24.9}} oraz z definicji skwantowanego wektora falowego {{LinkWzór|24.11}}, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=c|\vec{k}|=c{{2\pi}\over{V^{1\over 3}}}{|\vec{l}|}</MATH>|24.14}} Ciśnienie gazu fotonowego można policzyć ze wzoru z fizyki fenomenologicznej {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} i korzystając z już policzonej sumy statystycznej {{LinkWzór|24.5}}, wtedy to oczekiwane ciśnienie gazu fotonowego panujące we wnęce jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{TN}=-2k_BT\sum_k{{\beta \hbar}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}{{\partial \omega_k}\over{\partial V}}</MATH>|24.15}} Pochodna cząstkowa częstotliwości kołowej względem objętości można policzyć wychodząc tylko ze wzoru {{LinkWzór|24.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\omega_k}\over{\partial V}}=-{{1}\over{3}}c{{2\pi}\over{V^{{{4}\over{3}}}}}|\vec{l}|=-{{1}\over{3}}c{{2\pi}\over{V^{{{1}\over{3}}}}}|\vec{l}|{{1}\over{V}}=-{{1\over 3}}{{\omega_k}\over{V}}</MATH>|24.16}} Po podstawieniu wzoru {{LinkWzór|24.16}} do równania na ciśnienie gazu fotonowego {{LinkWzór|24.15}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że ta wielkość jest: {{CentrujWzór|<MATH>p=-2k_BT\sum_k{{\beta \hbar}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}\left(-{{1\over 3}}{{\omega_k}\over{V}}\right)={{2} \over {3}}k_BT\sum_{\vec{l}}{{\beta\hbar}\over{e^{\beta \hbar\omega_k}-1}}{{\omega_k}\over{V}}</MATH>|24.17}} Po dalszych przekształceniach wyrażenia {{LinkWzór|24.17}}, Wyznaczamy iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętości (objętości wnęki), to: {{CentrujWzór|<MATH>pV={2\over{3}}k_BT\sum_{\vec{l}}{{\beta\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}={2\over 3}\sum_{\vec{l}}{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}</MATH>|24.18}} Wyznaczmy energię wewnętrzną gazu fotonowego (gazu we wnęce) korzystając ze statystyki Bosego-Einsteina dla bozonów {{LinkWzór|20.10|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}} i falowej natury fotonów (mają pewną częstość fali) oraz że fotony są kwantami według Plancka, a także skorzystamy, że fonony występują w dwóch polaryzacjach, zatem energia całkowita układu fotonów ma się wedle: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}=\sum_{\vec{k}\epsilon}n_{\vec{k},\epsilon}\hbar\omega_k= 2\sum_k\overline{n}_{k}\hbar\omega_k=2\sum_{\vec{k}}{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}</MATH>|24.19}} We wzorze {{LinkWzór|24.18}} możemy wyznaczyć pewien czynnik, zwany energią układu opisany przy pomocy wzoru {{LinkWzór|24.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{1}\over{3}}U</MATH>|24.20}} Wyznaczmy całkowitą energię wewnętrzną gazu wypromieniowania przez gaz o wszystkich częstościach, korzystając ze wzoru na energię układu fotonów napisanego wcześniej {{LinkWzór|24.19}} oraz ze wzoru na gęstość stanów {{LinkWzór|24.13}}, która powstaje podczas zamieniania zwykłej sumy na całkę jako czynnik w tejże całce. {{CentrujWzór|<MATH>U=2\sum_k{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}=2{{V}\over{2{\pi}^2}}\int\limits^{4\pi}_0{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}k^2dk</MATH>|24.21}} Wzór {{LinkWzór|24.9}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|24.21}} za częstość kołową fotonów, jeśli traktować je jako falę. {{CentrujWzór|<MATH>U={{V\hbar c}\over{\pi^2}}\int^{\infty}_0{{k^3}\over{e^{\beta\hbar ck}-1}}dk={{V\hbar c}\over{\pi^2{({\beta\hbar c})}^4}}\int^{\infty}_0 {{x^3}\over{e^x-1}}dx={{\hbar}\over{c^3\pi^2}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4V\int^{\infty}_{0}{{x^3}\over{e^x-1}}dx</MATH>|24.22}} Korzystamy z całki przystępnej znanej i policzonej z analizy matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0{{x^3}\over{e^x-1}}dx={{\pi^4}\over{15}}</MATH>|24.23}} Korzystamy z już policzonej całki {{LinkWzór|24.23}} i wykorzystujemy tą całkę do wyliczenia całki we wzorze {{LinkWzór|24.22}}, wtedy otrzymujemy zwarte równanie na energię wewnętrzną układów fotonów we wnętrze: {{CentrujWzór|<MATH>U={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4V</MATH>|24.24}} A energia całkowita wypromieniowana fotonów z cała doskonale czarnego dla wszystkich częstości na jednostkę objętości można policzyć, korzystając ze wzoru {{LinkWzór|24.24}} na energię wewnętrzną dzieląc tą właśnie wielkość przez objętość tego rozważanego ciała. {{CentrujWzór|<MATH>u={{U}\over{V}}={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4={{8\pi^5k_B^4}\over{15c^3h^3}}T^4</MATH>|24.25}} Ciepło właściwe pod stałą objętością gazu doskonałego dostajemy, biorąc pochodną cząstkową wyrażenia {{LinkWzór|24.25}} względem temperatury bezwzględnej pod stałą objętością, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>C_v={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^3 4{{k_B}\over{\hbar}}={{4k_B\pi^2}\over{15}}\left({{k_BT}\over{\hbar c}}\right)^3</MATH>|24.26}} Prawo przedstawione wzorem {{LinkWzór|24.26}} przedstawiające ciepło właściwe w zależności od temperatury nosi nazwę '''prawa Stefana-Boltzmanna'''. == Właściwości termodynamiczne idealnego gazu fermionowego == Wiemy, że fermiony nie mogą znajdować się w stanie kwantowym w liczbie większym niż 1, nie tak jak cząstki zwane bozonami. Liczba fermionów znajdujących się wstanie A może znajdować się co najwyżej jeden fermion, czyli zero lub jeden. Licząc wielką sumę statystyczną skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|20.5|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}} pamiętając, że mamy do czynienia z fotonami, a potencjał czasowy jest równy zero, ze względu, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, i procesy wydzielania lub pochłonięcia się energii wyniku mieszania się składników, tam nie zachodzą, ale za to fermiony od zewnątrz mogą dochodzić. {{CentrujWzór|<MATH>Q=\prod^{\infty}_{N=0}\sum_{n_k}e^{-\beta{(\epsilon_k-\mu)N}}=\prod_{k}\sum_{n_k=0,1}\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.27}} Po wstawieniu za wielką sumę statystyczną wyliczoną w punkcie {{LinkWzór|24.27}} do wzoru łączące potencjał termodynamiczny z iloczynem ciśnienia punującego w gazie fermionowym przez jego objętość jaką ten gaz zajmuje, ta opisywana formuła jest napisana wzorem {{LinkWzór|17.38|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}}, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\Rightarrow pV=k_BT\sum_k\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.28}} Będziemy korzystać tutaj ze wzoru, znanego z mechaniki klasycznej na energię kinetyczną cząstki napisanej w zależności od jego pędu klasycznego według Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>E= {{p^2}\over{2m}}</MATH>|24.29}} Wzór znanego z teorii o falach de Broglie'a, który stanowi jakoby przelicznik długości fali na pęd posiadanej przez ciało, a jeśli mamy pęd, to mamy jego całkowitą posiadaną energię przez ściśle określoną cząstkę, a wiec pęd naszego ciała w zależności od jego długości fali, jeśli te cząstki traktować jako fale, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>p= {h\over \lambda}</MATH>|24.30}} Oczywiście jest, że z definicji liczby falowej zdefiniowaną przez długość fali mamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{h\over{\lambda}}}={{\hbar 2\pi}\over{\lambda}}=\hbar k</MATH>|24.31}} Możemy wyznaczyć pęd cząstki, znając jego liczbę falową, tzn. podstawiając wzór {{LinkWzór|24.31}} do wzoru na pęd cząstki {{LinkWzór|24.30}}, wtedy dochodzimy do zależności pędu cząstki w zależności od jego liczby falowej posiadanej przez falę stowarzyszoną z tą cząstką. {{CentrujWzór|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>|24.32}} Aby otrzymać wzór na energię kinetyczną cząstki należy wzór na pęd {{LinkWzór|24.32}} podstawić do wzoru na energię cząstki kwantowej {{LinkWzór|24.29}}, ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_k=E={{\hbar^2k^2}\over {2m}}\;</MATH>|24.33}} Pamiętając, że wyrażenie {{LinkWzór|24.12}} stanowi elementarną objętość w przestrzeni fazowej, zatem liczba stanów w elementarnej przestrzeni fazowej jest napisana poprzez wzór {{LinkWzór|24.13}}: {{CentrujWzór|<MATH> D(\epsilon_k)d\epsilon_k={{V}\over {(2\pi)^3}}d^3\vec{k}= {{V}\over{(2\pi)^3}}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}d\phi\sin\phi k^2dk={{V}\over{(2\pi)^3}}4\pi k^2dk={{V}\over{2\pi^2}}k^2dk</MATH>|24.34}} Ze wzoru {{LinkWzór|24.33}} wyznaczmy kwadrat wektora falowego, oczywiście jest, że wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>k^2={{2m\epsilon_k}\over{\hbar^2}}</MATH>|24.35}} Zróżniczkujmy obie strony tożsamości {{LinkWzór|24.35}}, tzn. prawą i lewą stronę tegoż wspomnianego równania, to otrzymane równanie dzielimy przez liczbę dwa, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>2kdk=2{m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k\Rightarrow kdk={m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k</MATH>|24.36}} Z równania {{LinkWzór|24.35}} wyznaczmy wartość wektora falowego w zależności od energii pojedynczej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>k=\sqrt{{{2m\epsilon_k}\over{\hbar^2}}}= \left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}</MATH>|24.37}} Mając wzór {{LinkWzór|24.37}} i końcowy wzór {{LinkWzór|24.36}}, wtedy za pomocą tychże tożsamości możemy policzyć wyrażenie pomocnicze, które nam będzie potrzebne w dalszych rachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>k^2dk=k kdk=\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}{m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k={{1}\over{2}} \left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.38}} Wyznaczmy liczbę stanów opisywanych przez wzór {{LinkWzór|24.34}} wykorzystując obliczoną tożsamość {{LinkWzór|24.38}}, zatem dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>D(\epsilon_k)d\epsilon_k={{V}\over{2\pi^2}}k^2dk= {{V}\over{4\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.39}} Uwzględniając sumę po spinach fermionu, tzn zgodną lub niezgodnie z kierunkiem ruchu fermionu, czyli nasz czynnik wynosi 2. Wyznaczmy sumę występującą wyrażeniu {{LinkWzór|24.28}}, w tym celu policzmy wyrażenie pomocnicze: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\vec{k}}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)= 2\int_0^{\infty}D(\epsilon_k)d\epsilon_k\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)=2{{V}\over{4\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\int_0^{\infty} \ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{V}\over{2\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\int_0^{\infty} \ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.40}} Wzór {{LinkWzór|24.40}} możemy podstawić do prawej części wzoru za sumę {{LinkWzór|24.28}}, jednocześnie tą równość dzielimy obustronnie przez iloczyn stałej Boltzmanna i temperatury bezwzględnej, stąd mamy równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over{k_BT}}={{V}\over{2\pi^2}}{({{2m}\over{\hbar^2}})}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 d\epsilon_k\sqrt{\epsilon_k}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.41}} A teraz całkujemy przez części całkę występującą po prawej stronie równości {{LinkWzór|24.41}}, względem zmiennej &epsilon;{{Sub|k}}; pamiętając, że otrzymane wyrażenie niecałkowe występujące w wyrażeniu poniżej jest zawsze równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over{k_BT}}={{V}\over{2\pi^2}} {\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\left\{{ {2\over 3}{|\epsilon^{3\over 2}\ln(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)})|^{\infty}_0}}+{{2}\over{3k_BT}}\int\limits^{\infty}_0{{\epsilon^{3\over 2}}\over{e^{\beta(e_k-\mu)}+1}}\right\}={{V}\over{2\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}{{2}\over{3k_BT}} \int\limits^{\infty}_0{{\epsilon^{3\over 2}}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}</MATH>|24.42}} A teraz napiszmy, czemu jest równa średnia energia wszystkich cząstek (fermionów) w układzie, w tym celu napiszmy przekształcenia ogólne na cząstkach zwanych fermionami: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=U={{1}\over{Q}}\sum^{\infty}_{N=0}\sum_k \epsilon_k e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}={{1}\over Q}\sum^{\infty}_{N=0}\sum_i\left(\left(\epsilon_k-\mu N\right)+\mu N\right)e^{-\beta(\epsilon_i-\mu N)}=-\left({{\partial\ln Q}\over{\partial \beta}}\right)_{pV}+\mu \overline{N}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{\partial}\over{\partial \beta}}\sum_{\vec{k}}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)+\mu\sum_{\vec{k}}n(\epsilon_k)=\sum_{\vec{k}}{{\epsilon_k-\mu}\over{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}}+\mu \sum_{\vec{k}}n(\epsilon_k)=\sum_{\vec{k}}\left[{{\epsilon_k-\mu}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}} +{{\mu}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}\right]</MATH>|24.43}} Z przekształceń {{LinkWzór|24.43}} dostajemy, że energia wewnętrzna układu fermionów jest równa sumie iloczynu liczby cząstek n(&epsilon;{{Sub|k}}) o energii &epsilon;{{Sub|k}} przez tą właśnie energię sumując po wszystkich parametrach "k" jakie może przyjmować układ kwantowy badanego zespołu fermionów. {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_{\vec{k}}\epsilon_k n(\epsilon_k)</MATH>|24.44}} Wyznaczmy sumę {{LinkWzór|24.44}} na energię układu fermionów, wtedy należy uwzględnić sumowanie po spinach (zgodną i odwrotną z kierunkiem ruchu fermionu), tak jak w obliczeniach {{LinkWzór|24.40}}, zatem ta energia jest: { {CentrujWzór|<MATH>U=2\int_0^{\infty}D(\epsilon_k){{\epsilon_kd\epsilon_k}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}={{V}\over{2\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\int^{\infty}_{0} {{\epsilon_k^{3\over 2}}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}d\epsilon_k</MATH>|24.45}} Równanie na energię wewnętrzną U {{LinkWzór|24.45}} wstawiamy do wzoru {{LinkWzór|24.42}}, wtedy dostajemy równanie wiążące ciśnienie, objętość gazy fermionowego z jego energią wewnętrzną (energią układu fermionów): {{CentrujWzór|<MATH>pV={{2}\over{3}}U</MATH>|24.46|Obramuj}} == Kondensacja Bosego-Einsteina == Rozważmy idealny nierelatywistyczny gaz bozonowy o liczbie cząstek N. Masa pojedynczej cząstki wynosi m. W gazie idealnym zakładamy, że nie ma oddziaływania między pojedynczymi atomami (cząsteczkami). Energia pojedynczego atomu jest równa według wyrażenia zależnego od liczby falowej "k" jeśli traktować je jako fale według teorii korpuskularno-falowej {{LinkWzór|24.33}}. Średnia liczba wszystkich cząstek znajdujących się w naszym badanym układzie kwantowym jest wyrażona przez sumę liczby cząstek znajdujących się na poszczególnych poziomach o energiach tychże poziomów równych &epsilon;{{Sub|k}} określonych wedle wzoru {{LinkWzór|20.10|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}}. {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k \overline{n}_k\;</MATH>|24.47}} Wiemy, że zawsze bozony podlegają statystyce Bosego-Einsteina, więc średnią liczbę cząstek, pamiętając, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, tam nie zachodzą, wtedy {{Formuła|<MATH>\omega=0\;</MATH>}}, czyli możemy zapisać wedle schematu liczbę cząstek bozonów: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k{{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}</MATH>|24.48}} Rozważmy, liczbę cząstek N{{Sub|0}} znajdujących się w stanie, gdy energia tego poziomu &epsilon;{{Sub|k}} jest równa zero, która jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>N_0={{1}\over{e^{-\beta\mu}-1}}</MATH>|24.49}} Jeśli przyjmiemy oznaczenia zmiennej z w zależności od potencjału chemicznego panującego w układzie wymieniającego cząstki z otoczeniem i względem parametry &beta;, która jest zależna od temperatury bezwzględnej, zatem to oznaczenie w końcu zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> e^{\beta\mu}={{1}\over{z}}</MATH>|24.50}} Aby N{{Sub|0}}, była istotnie większa od zera, to musi zachodzić N{{Sub|0}}>0, to zgodnie z naszym założeniem liczba "z" powinna być z zakresu od zera do jedynki w przedziale obustronnie otwartym. Dla tych "z" funkcja {{LinkWzór|24.49}} przyjmuje wartość istotnie dodatnią, i tylko wtedy występuje kondensacja Bosego-Einsteina. Wzór na średnią liczbę cząstek znajdujących się w układzie wedle wyrażenia {{LinkWzór|24.48}}, zamieniając w nim sumowanie na całkę wprowadzając w tej całce po tej zamianie gęstość stanów D(&epsilon;{{Sub|k}}), jest: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k{{1}\over{z^{-1}e^{\beta\epsilon_k}-1}}=\int\limits_0^{\infty}D(\epsilon_k)d\epsilon_k{{1}\over{z^{-1}e^{\beta\epsilon_k}-1}}</MATH>|24.51}} Podstawiając za gęstość stanów D(&epsilon;{{Sub|k}})d&epsilon;{{Sub|k}} wyrażenie wyprowadzone wcześniej, które jest słuszne na klasycznych cząstek kwantowych, a więc dla cząstek uczestniczących w kondensacji Bosego-Einsteina, określonych wedle wzoru {{LinkWzór|24.39}}, wtedy tą liczbę N przedstawiamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>N={{V}\over{4\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0{{\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k}\over{{{1}\over{z}}e^{\beta\epsilon_k}-1}}={{V}\over{4\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2\beta}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0{{\sqrt{\epsilon_k\beta}d(\beta\epsilon_k)}\over{{{1}\over{z}}e^{\beta\epsilon_k}-1}}={{V}\over{4\pi^2}}\left({{{2mk_BT}\over{\hbar^2}}}\right)^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}</MATH>|24.52}} Zauważmy, że bezmyślnie zamiana sumowania na całkowanie, prowadzi do błędu, gdyż gubimy wszystkie bozony obsadzająca stan zerowy, tzn. dla stanu dla którego jego energia &epsilon;{{Sub|k}} jest równa zero, gdyż ta funkcja podcałkowa nie uwzględnia tego opisywanego w tychże dysputach stanu cząstek o tej energii. W tym celu prowadźmy oznaczenia liczby cząstek na jednostkę objętości V z ogólnej liczby cząstek i liczby cząstek na jednostkę objętości n{{Sub|0}} ulegająca kondensacji Bosego-Einsteina. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>n={{N}\over{V}}</MATH>|24.53}}|2={{CentrujWzór|<MATH> n_0={{N_0}\over{V}}</MATH>|24.54}}}} I dlatego wzór {{LinkWzór|24.52}} napisanych przy pomocy wzoru na n {{LinkWzór|24.53}} (całkowita liczba bozonów znajdująca się w układzie) i n{{Sub|0}} {{LinkWzór|24.54}} (liczba bozonów ulegająca omawianej kondensacji przy energii cząstek dla tego poziomu dla kondensatu jest równa zero) wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{{V}\over{4\pi^2}}\left({{{2mk_BT}\over{\hbar^2}}}\right)^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}</MATH>|24.55}} Wyznaczmy całkę pomocniczą znajdująca się we równaniu {{LinkWzór|24.55}} po prawej jego stronie wspomnianego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}} =\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}{{ze^{-x}}\over{ze^{-x}}} =\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}ze^{-x}}\over{1-ze^{-x}}} =\int\limits^{\infty}_0 dx z e^{-x}\sqrt{x}\sum^{\infty}_{l=0}z^l e^{-lx}=\sum^{\infty}_0z^{l+1}\int\limits^{\infty}_0\sqrt{x}e^{-(l+1)x}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum^{\infty}_{l=1} z^l\int\limits^{\infty}_0 dx\sqrt{x}e^{-lx}</MATH>|24.56}} Następnie dokonajmy podstawienia wedle schematu u=lx w obliczeniach pomocniczych {{LinkWzór|24.56}}, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}\int\limits^{\infty}_0 du u^{1\over 2}e^{-u}</MATH>|24.57}} Całka przystępna znana w analizie matematycznej podajemy poniżej, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0 du u^{1\over 2}e^{-u}={{1}\over{2}}\sqrt{\pi}</MATH>|24.58}} Obliczoną całkę {{LinkWzór|24.58}} wsadzamy do {{LinkWzór|24.57}}, a to z kolei wsadzamy do wzoru {{LinkWzór|24.56}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{{1}\over{2}}{{\sqrt{\pi}}\over{4\pi^2}}\left({{2mk_BT}\over{\hbar^2}}\right)^{3\over 2}\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}</MATH>|24.59}} Oznaczmy wyrażenie stojące z prawej strony wzoru {{LinkWzór|24.59}} zależne od parametru "z" zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}} jako funkcję g{{Sub|3/2}}(z): {{CentrujWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}=g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.60}} Równość {{LinkWzór|24.59}}, na podstawie podstawienia do niego wzoru {{LinkWzór|24.60}}, wtedy dostajemy wzór na "n" w zależności od n{{Sub|0}} i liczby "z" zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+\left({{mk_BT}\over{2\hbar^2\pi}}\right)^{3\over 2}g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.61}} Liczba bozonów o pędzie zerowym na jednostkę objętości zależne z oczywistych powodów od parametru z zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}}, jakie zajmują te bozony jest oczywiście wyrażona przez: {{CentrujWzór|<MATH>n_0={{1}\over{V}}{{1}\over{{1\over z}-1}}</MATH>|24.62}} Oznaczmy jako parametr &lambda;, który jest zdefiniowany wedle schematu poniżej, zależnej od masy tychże bozonów i temperatury układów bozonów: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={1\over{\sqrt{{{mk_BT}\over{2\hbar^2\pi}}}}}\Rightarrow \lambda=\sqrt{{2\hbar^2\pi}\over{mk_BT}}</MATH>|24.63}} Wyrażenie {{LinkWzór|24.61}} na podstawie oznaczenia przez parametr &lambda; {{LinkWzór|24.63}} jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{1\over {{\lambda^3}}}g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.64}} Po przekształceniu wyrażenie {{LinkWzór|24.64}} tak by ten obiekt pomnożyć przez stałą &lambda;{{Sup|3}}, wtedy dochodzimy do wyrażenia równoważnego do poprzedniego: {{CentrujWzór|<MATH>n_0\lambda^3=n\lambda^3-g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.65}} Temperatura przy której n{{Sub|0}} jest istotnie różna od zera, to dla z&rarr; 1. Wiemy, że funkcja g{{Sub|3/2}} jest funkcją rosnącą według jego definicji {{LinkWzór|24.60}}, ponieważ funkcje potęgowe w nim występujące są funkcjami potęgowymi rosnącymi, i wartość maksymalną przyjmuje dla parametru "z" jest dla z równej jeden dla wcześniej określonego przedziału zmienności zmiennej "z". Kondensacja występuje przy spełnionym warunku z&rarr; 1, wtedy n{{Sub|0}} jest równe zero, zatem wzór {{LinkWzór|24.65}} przy tych warunkach przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>n\lambda_{kr}^3=g_{3\over 2}(1)</MATH>|24.66}} A zatem przy pomocy wzoru dla oznaczenia &lambda; {{LinkWzór|24.63}} wzór {{LinkWzór|24.66}} można zapisać w takowej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>n\left({{2\hbar^2\pi}\over{mk_BT_{kr}}}\right)^{3\over 2}=g_{3\over 2}(1)\Rightarrow \left({{2\hbar^2\pi}\over{mk_B}}\right)^{3\over 2}={{g_{3\over 2}(1)T_{kr}^{{{3}\over{2}}}}\over{n}}</MATH>|24.67}} Temperaturę krytyczną T{{Sub|kr}} na podstawie równania {{LinkWzór|24.67}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>T_{kr}={{n^{2\over 3}2\hbar^2\pi}\over{mk_B g^{2\over 3}_{3\over 2}(1)}}</MATH>|24.68}} Wiadomo, że w kondensacie Bosego-Einsteina, jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|24.66}} dla temperatury krytycznej, w której zaczyna się tworzyć kondensat Bosego-Einsteina, wtedy n{{Sub|0}}=0, a liczba cząstek "n" w zależności od temperatury krytycznej jest zapisana: {{CentrujWzór|<MATH>n={{g_{{3}\over{2}}(1)}\over{\lambda_{kr}^3}}\Rightarrow n=\left({{mk_BT_{kr}}\over{2\hbar^2\pi}}\right)^{3\over 2} g_{3\over 2}(1)</MATH>|24.69}} Wzór {{LinkWzór|24.61}} zapisanej na ogólną liczbę cząstek bozonów w badanym układzie na podstawie {{LinkWzór|24.69}} przyjmuje inną równoważną do poprzedniego postać: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+n\left({{T}\over{T_{kr}}}\right)^{3\over 2}{{g_{3\over 2}(z)}\over{g_{3\over 2}(1)}}</MATH>|24.70}} Wyznaczamy wielkość n{{Sub|0}} we wzorze na całkowitą liczbę cząstek znajdujących się w układzie bozonów w zależności od liczby cząstek ulegających kondensacji {{LinkWzór|24.70}}, zatem dochodzimy do wniosku, że liczba cząstek ulegająca kondensacji spełnia tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>n_0=n\left\{1-\left({{T}\over{T_{kr}}}\right)^{3\over 2}{{g_{3\over 2}(z)}\over{g_{3\over 2}(1)}}\right\}</MATH>|24.71}} W bezpośrednim otoczeniu {{Formuła|<MATH>T_{kr}</MATH>}}, przyjmujemy zgodnie dyskusją wcześniejszą, że parametr "z" jest równy jeden, wtedy wzór {{LinkWzór|24.71}} po wzajemnym skróceniu funkcji g{{Sub|3/2}}(1) dostajemy przepis na liczbę cząstek ulegająca kondensacji w otoczeniu wspomnianego punktu: {{CentrujWzór|<MATH>{{n_0}\over{n}}={{N_0}\over{N}}=\begin{cases} 0&\mbox{ dla }T>T_{kr}\\ 1-{\left({T\over T_{kr}}\right)}^{3\over 2}&\mbox{ dla }T<T_{kr} \end{cases}</MATH>|24.72}} Podkreślmy na zakończenie, że bozony dla temperatury bezwzględnej T>T{{Sub|kr}} tworzą osobną fazę niż dla temperatury bezwzględnej T<T{{Sub|kr}}, wtedy tą ostatnią fazę nazywamy kondensatem Bosego-Einsteina. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> givo2z0yjetxxrx03mop08ofwmajadd 0 14230 558590 470260 2026-10-04T18:21:14Z Persino 2851 558590 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się zajmować fluktuacjami energii (zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny) i fluktuacją ilości cząstek w układzie (wielki zespół kanoniczny). == Definicja fluktuacji bezwzględnej == Fluktuacją nazywamy wartość średnią kwadratową odchylenia wielkości x od jej wartości średniej i będziemy je oznaczać: {{Formuła|<MATH>\overline{\delta x}</MATH>}}, zatem z definicji średniego odchylenia możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\delta x}^2=\overline{(x-\overline{x})^2}=\overline{x^2}-{\overline{2x}\overline{x}}+\overline{\overline{x}^2}=(\overline{x^2})-2(\overline{x})^2+(\overline{x})^2=(\overline{x^2})-(\overline{x})^2</MATH>|25.1}} Zatem ze wzoru {{LinkWzór|25.1}} dostajemy równoważne do poprzedniego wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\delta x}=\sqrt{\overline{x^2}-\overline{x}^2}</MATH>|25.2|Obramuj}} Na podstawie {{LinkWzór|25.2}} widzimy, że fluktuacja zależy od średniej kwadratu wielkości x i od średniej tegoż wyrażenia, ten wzór {{LinkWzór|25.2}} jest alternatywnym zgodnym wzorem z początkową definicją fluktuacji średniej dla badanego układu. == Definicja fluktuacji względnej == Fluktuacją względną nazywamy wielkość zddefiniowanej za pomocą ilorazu fluktuacji bezwzględnej zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|25.2}} przez wartość statystyczną średnią danego układu, i oznaczmy ją literką "k", omawiana wielkość jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>k={\sqrt{\overline{{(\delta x)}^2}}\over{\overline{x}}}={{\sqrt{\overline{x^2}-\overline{x}^2}}\over{\overline{x}}}</MATH>|25.3}} == Fluktuacje w zespole kanonicznym (T,V,N,t) == Średnia energia układu według zespołu kanonicznego, którego wyprowadzenie napisaliśmy w punkcie {{LinkWzór|16.4|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}} jest ona równoważna do wspomnianego wzoru na tą średnią wzorowi wyrażone poprzez sumę statystyczną "Z", ale nie używają logarytmu naturalnego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={1\over{Z}}\sum_i E_i e^{-\beta E_i}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial \beta}}</MATH>|25.4}} A średnia kwadratu energii układu wyrazimy przez sumę statystyczną naszego zespołu kanonicznego, i którą policzymy z definicji wartości średniej kwadratu energii jakie układ statystyczny może przyjmować: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E^2}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i^2e^{-\beta E_i}={{1}\over{Z}}{{\partial^2 Z}\over{\partial \beta^2}}</MATH>|25.5}} Średni kwadrat fluktuacji bezwzględnej energii cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym, która jak wyprowadzimy jest zależna liniowo od kwadratu temperatury bezwzględnej układu oraz liniowo od ciepła właściwego pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta E)^2}=\overline{E^2}-\left(\overline{E}\right)^2={1\over Z}{{\partial^2 Z}\over{\partial \beta^2}}-{1\over Z^2}{\left({{\partial Z}\over{\partial \beta^2}}\right)^2}={{\partial}\over{\partial \beta}}\left({{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial \beta}}\right)=-{{\partial \overline{E}}\over{\partial \beta}}=k_BT^2 C_V</MATH>|25.6}} W rezultacie na podstawie wzoru {{LinkWzór|25.6}} wzór na kwadrat odchylenia kwadratowego piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta E)^2}=k_BT^2 C_V</MATH>|25.7|Obramuj}} === Rząd fluktuacji energii === Jeśli energia wewnętrzna na podstawie gazu doskonałego klasycznego jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|16.11|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}} w układzie zamkniętym, którą dla porządku dziennego powtórzymy jego zapis poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>U=E={{3}\over{2}}Nk_BT</MATH>|25.8}} Ciepło właściwe gazu doskonałego o energii wewnętrznej U, zdefiniowanej przy pomocy wzoru {{LinkWzór|25.8}}, dla nieoddziaływających klasycznych cząstek jest wielkością niezależna od temperatury, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>C_V=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}={{3}\over{2}}Nk_B</MATH>|25.9}} Względna fluktuacja energii wewnętrznej układu zamkniętego {{LinkWzór|25.3}} przy definicji ciepła właściwego dla tego gazu w tym układzie {{LinkWzór|25.9}} przy wykorzystaniu wzoru na bezwzględną fluktuację energii {{LinkWzór|25.7}}, wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>k={\sqrt{\overline{(\delta E)^2}}\over \overline{E}}={\sqrt{k_BT^2 {3\over 2}Nk_B }\over{{3\over 2} Nk_BT}}=\sqrt{{2}\over{3}}{{1}\over{\sqrt{N}}}</MATH>|25.10}} Oczywiste jest, że według {{LinkWzór|25.10}}, mamy końcowy wzór na względna fluktuację liczby cząstek znajdującej się w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>k=\sqrt{{2}\over{3}}{{1}\over{\sqrt{N}}}</MATH>|25.11|Obramuj}} Na podstawie wzoru na względną fluktuację względną {{LinkWzór|25.11}} otrzymamy, że czym większa jest liczba cząstek, to względna fluktuacja energii w danym układzie jest czym mniejsza. Dla liczby cząstek N dążących do nieskończoności względna fluktuacja wynosi zero, czyli nie ma względnych fluktuacji energii. == Fluktuacje w wielkim zespole kanonicznym (T,V,μ,t) == === Fluktuacja energii wewnętrznej === Średnia energia układu w wielkim zespołu kanonicznym udowodnionych w punkcie {{LinkWzór|17.4|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}} jest równa wzorowi wyrażone poprzez wielką sumę statystyczną "Q": {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={1\over{Q}}\sum_i E_i e^{-\beta E_i+\alpha\mu N_i}=-{{1}\over{Q}}{{\partial Q}\over{\partial \beta}}</MATH>|25.12}} A średnia kwadratu energii układu wyrazimy także przez sumę statystyczną jak w przypadku {{LinkWzór|25.12}} dla naszego wielkiego zespołu kanonicznego jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E^2}={{1}\over{Q}}{{\partial^2 Q}\over{\partial \beta^2}}</MATH>|25.13}} Średnia kwadrat fluktuacja energii cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym jak się przekonamy, jest ona proporcjonalna liniowo do kwadratu temperatury bezwzględnej i liniowo do ciepła właściwego pod stałym parametrem równym objętości układu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta E)^2}=\overline{E^2}-\left(\overline{E}\right)^2={1\over Q}{{\partial^2 Q}\over{\partial \beta^2}}-{1\over Q^2}{\left({{\partial Q}\over{\partial \beta}}\right)^2}={{\partial}\over{\partial \beta}}\left({{1}\over{Q}}{{\partial Q}\over{\partial \beta}}\right)=-{{\partial \overline{E}}\over{\partial \beta}}=k_BT^2 C_V</MATH>|25.14}} W rezultacie mamy na podstawie {{LinkWzór|25.14}} równość, którą przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta E)^2}=k_BT^2 C_V</MATH>|25.15|Obramuj}} === Rząd fluktuacji energii === Jeśli energia wewnętrzna dla wielkiego zespołu kanonicznego dla gazu doskonałego klasycznego jest napisana wedle wzoru {{LinkWzór|17.43|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}} w układzie zamkniętym oraz pamiętając, że ciepło właściwe pod stałą objętością jest takie jak we wzorze {{LinkWzór|25.9}}. Korzystając ze wzoru na energię średnią układu (energia wewnętrzna układu cząstek układu statystycznego), to względna fluktuacja energii jest napisana przez wzór zależnych od średniej liczby cząstek znajdujących się w układzie wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>k=\sqrt{{2}\over{3}}{{1}\over{\sqrt{\overline{N}}}}</MATH>|25.16|Obramuj}} Na podstawie {{LinkWzór|25.16}}, czym większa jest średnia liczba cząstek, to względne fluktuacje energii w danym układzie są czym mniejsze. Dla średniej liczby cząstek układu dążących do nieskończoności nie ma względnych fluktuacji energii. === Fluktuacja liczby cząstek === Średnia liczba cząstek w układzie według wielkiego zespołu kanonicznego, którego wyprowadzenie napisaliśmy w punkcie {{LinkWzór|17.5|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}} jest ona równoważna do wspomnianego wzoru na tą średnią wyrażonej poprzez sumę statystyczną "Z", ale nie używają logarytmu naturalnego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{1}\over{Q}}{{\partial Q}\over{\partial \gamma}}</MATH>|25.17}} A średnia kwadratu ilości cząstek w układzie wyrazimy przez sumę statystyczną naszego zespołu kanonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N^2}={{1}\over{Q}}{{\partial^2 Q}\over{\partial \gamma^2}}</MATH>|25.18}} A średnia kwadratu liczby cząstek układu wyrazimy przez sumę statystyczna naszego zespołu kanonicznego, i którą policzymy z definicji wartości średniej kwadratu liczby cząstek {{LinkWzór|25.18}} i średniej liczby cząstek {{LinkWzór|25.17}}, jakie układ statystyczny może przyjmować: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta N)^2}=\overline{N^2}-(\overline{N})^2={1\over{Q}}{{\partial^2 Q}\over{\partial \gamma^2}}-{{1}\over{Q^2}}\left({{\partial Q}\over{\partial \gamma}}\right)^2={{1}\over{\partial \gamma}}\left({{1}\over{Q}}{{\partial Q}\over{\partial \gamma}}\right)={{\partial\overline{N}}\over{\partial \gamma}}=-{{k_BT^2}\over{\mu}}{{\partial \overline{N}}\over{\partial T}}</MATH>|25.19}} Średni kwadrat fluktuacji bezwzględnej ilości cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym, które jak wyprowadziliśmy jest zależna liniowo od kwadratu temperatury bezwzględnej układu oraz liniowo od pochodnej cząstkowej średniej liczby cząstek względem temperatury bezwzględnej T panujących w naszym układzie. jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\delta N}^2=-{{k_BT^2}\over{\mu}}{{\partial \overline{N}}\over{\partial T}}</MATh>|25.20}} == Opis ruchów Browna przez Einsteina == Weźmy sobie ruchy Browna, którą będziemy obserwowali w jednym wymiarze, dla której znamy rozkład prawdopodobieństwo. Załóżmy, że w przedziale czasowym (t,t+&tau;) cząstka zmienia swoje położenie x do x+&Delta;. Niech mamy N cząstek w układzie, dla których dN cząstek przemieściło się z &Delta; +&Delta;+d&Delta; w przedziale czasowym (t, t+&tau;). Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że takie przesunięcie nastąpiło jest wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>f_{\tau}(\Delta)d\Delta={{dN}\over{N}}\;</MATH>|25.21}} Prawdopodobieństwow względem małego przemieszczenia jest funkcją parzystą i spełnia warunek f{{Sub|&tau;}}(&Delta;)=f{{Sub|&tau;}}(-&Delta;) Całkowite prawdopodobieństwo określoną względem dowolnego przemieszczenia jest równe jedności i jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta f_{\tau}(\Delta)=1\;</MATH>|25.22}} Liczba cząstek, które w przedziale czasowym &tau; wyszły z przedziału dx piszemy według następującego przestawienia: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\int_{-\infty}^{-dx}+\int_{dx}^{\infty}\right)d\Delta f_{\tau}(\Delta)n(x+\Delta,t)dx\;</MATH>|24.23}} Gdy przerwa dx w powyższym wyrażeniu {{LinkWzór|24.23}} dąży do zera, zatem granica całki prawdopodobieństwa staje się zaniedbywalnie mała, wtedy praktycznie 100% cząstek ucieka z przedziału dx. Liczba cząstek znalezione w dx w chwili t+&tau;, które były tam w przedziale czasowym &tau; jest zapisane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>n(x,t+\tau)dx=\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta f_{\tau}(\Delta)n(x+\Delta,t)dx\;</MATH>|24.24}} Rozłóżmy sobie w szereg Taylora prawą stronę względem &Delta;, a jego lewą stronę względem &tau; i w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>n(x,t)+\tau{{\partial n(x,t)}\over{\partial t}}+...=\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta f_{\tau}(\Delta)\left[ n(x,t)+\Delta{{\partial n(x,t)}\over{\partial x}}+{{\Delta^2}\over{2}}{{\partial^2n(x,t)}\over{\partial x^2}}+...\right]\;</MATH>|24.25}} Pierwszy wyraz po prawej stronie jest równa jedności, a dla drugiego wyrazu ze względu na parzystość funkcji gęstości prawdopodobieństwa znika ona, i tylko pozostaje nam trzeci wyraz, bo dalsze wyrazy gwałtowanie maleją do zera dla {{Formuła|<MATH>\tau\rightarrow 0\;</MATH>}}, zatem w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>\tau{{\partial n(x,t)}\over{\partial t}}={{\partial^2n(x,t)}\over{\partial x^2}}{{1}\over{2}}\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta \Delta^2f_{\tau}(\Delta)\;</MATH>|24.26}} Stałą występujące we wzorze {{LinkWzór|24.26}}, którą oznaczymy przez D, i określimy ją względem wielkości infinitezymalnej wielkości &tau;, którą możemy przepisać według: {{CentrujWzór|<math>D=\lim_{\tau\rightarrow 0}{{1}\over{2\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta\Delta^2f_{\tau}(\Delta)\;</MATH>|24.27}} Przy definicji stałej D {{LinkWzór|24.27}} dla równości {{LinkWzór|24.25}} otrzymujemy stąd wniosek, która jest związkiem łączącym pierwszą pochodną koncentracji cząstek względem czasu z drugą pochodną koncentracji względem współrzędnej iksowej, który jest opisem ruchów Browna dany przez Einsteina: {{CentrujWzór|<math>{{\partial n(x,t)}\over{\partial t}}=D{{\partial^2n(x,t)}\over{\partial x^2}}\;</MATH>|24.28}} Równanie {{LinkWzór|24.28}} możemy uogólnić z jednego do trzech wymiarach zastępując w powyższych x przez {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, a całka pojedynczą przez całkę potrójną, i w ten sposób równość {{LinkWzór|24.24}} po dokonaniu pewnych operacji według wcześniejszych wspomnień rozkładając go w szereg Taylora otrzymamy równość: {{CentrujWzór|<MATH> n(x,t)+\tau{{\partial n(x,t)}\over{\partial t}}+...=\iiint d\vec{\Delta} f_{\tau}(\vec{\Delta})\Bigg[n(x,t)+\vec{\Delta}\nabla n(\vec{r},t)+{{(\Delta_x)^2}\over{2}}{{\partial^2n(\vec{r},t)}\over{\partial x^2}}+{{(\Delta_y)^2}\over{2}}{{\partial^2n(\vec{r},t)}\over{\partial y^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{(\Delta_z)^2}\over{2}}{{\partial^2n(\vec{r},t)}\over{\partial z^2}}+...\Bigg]\;</MATH>|24.29}} Pierwsza całka występująca po jego prawej stronie jest równa jedności pomnożonej przez n(x,t), druga całka jest równa zero ze względu na parzystość funkcji gęstości prawdopodobieństwa, zatem dla &Delta;{{Sub|x}}=&Delta;{{Sub|y}}=&Delta;{{Sub|z}}=&Delta; da nam w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial n(\vec{r},t)}\over{\partial t}}=\nabla^2n(\vec{r},t){{1}\over{2\tau}}\iiint d\vec{\Delta}\Delta^2 f_{\tau}(\vec{\Delta})\;</MATH>|24.30}} Wtedy definicja parametru D dla trzech wymiarów możemy przepisać go na podstawie {{LinkWzór|24.30}} przy pomocy definicji definicji gęstości prawdopodobieństwa napisanej dla trzech wymiarów: {{CentrujWzór|<MATH>D=\lim_{\tau\rightarrow 0}{{1}\over{2\tau}}\iiint d\vec{\Delta}\Delta^2 f_{\tau}(\vec{\Delta})\;</MATH>|24.31}} Równanie opisujące w trzech wymiarach możemy przestawić, czyli {{LinkWzór|24.30}}, przy definicji parametru D {{LinkWzór|24.31}}, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial n(\vec{r},t)}\over{\partial t}}=D\nabla^2n(\vec{r},t)\;</MATH>|24.32}} == Związek współczynnika dyfuzji z temperaturą bezwzględną == Równanie ciągłości napisane w trzech wymiarach napisanej dla koncentracji cząstek powiązane z gęstością prądu piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\vec{j}+{{\partial n}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|24.33}} Pochodną czasową koncentracji cząstek piszemy przy pomocy równania {{LinkWzór|24.32}}, które podstawiamy do tożsamości różniczkowej {{LinkWzór|24.33}} i w ten sposób możemy otrzymać tożsamość na gęstość prądu: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\left(\vec{j}+D\nabla n\right)=0\Rightarrow\vec{j}=-D\nabla n\;</MATH>|24.34}} Cząstka poruszająca się w płynie osiąga stacjonarną gęstość dryfu proporcjonalne do działającej siły zewnętrznej, który tutaj przestawiamy poprzez współczynnik proporcjonalności &eta; zwanej współczynnikiem ruchliwości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}=\eta\vec{F}_{zew}\;</MATH>|24.35}} Gęstość dryfu {{Formuła|<MATH>\vec{j}\;</MATH>}} musi kompensować z gęstością dryfu {{Formuła|<MATH>n\vec{u}\;</MATH>}}, który prowadzi do gradientu gęstości n, czyli te prądy muszą być w równowadze, co możemy napisać równość na tą równowagę wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{j}+n\vec{u}=0\;</MATH>|24.36}} Jeśli do wzoru {{LinkWzór|24.36}} podstawimy wzór na gęstość prądu płynu {{LinkWzór|24.34}} i wzór na prędkość stacjonarnego dryfu {{LinkWzór|24.35}} i wykorzystując do tego ostatniego wyrażenie siły poprzez gradient potencjału: {{CentrujWzór|<MATH>-D\nabla n-\eta n\nabla U=0\;</MATH>|24.37}} Z drugiej jednak strony gęstość cząstek o energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>U(\vec{r})\;</MATH>}} możemy wyrazić poprzez tą energię i wyrazić jego gradient, który podstawimy je do tożsamości {{LinkWzór|24.37}}, koncentrację w zależności od energii potencjalnej cząstek i jego gradient możemy przestawić je w jednej linijce, które są wyrażone w zależności od położenia: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>n(\vec{r})=n(0)e^{-{{U(\vec{r})}\over{k_BT}}}\;</MATH>|24.38}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla n=-{{n}\over{k_BT}}\nabla U(\vec{r})\;</MATH>|24.39}} }} Wzór {{LinkWzór|24.39}} podstawiamy do tożsamości {{LinkWzór|24.37}} i w ten sposób otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{Dn\nabla{U}}\over{k_BT}}-\eta n\nabla U=0\;</MATH>|24.40}} Współczynnik dyfuzji D występujący w prawie {{LinkWzór|24.32}}, która jest równaniem dyfuzji wyprowadzonego przez Einsteina, przestawiamy w zależności od temperatury T i współczynnika ruchliwości &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>D=k_BT\eta\;</MATH>|24.41}} == Szumy Nyquista i wyprowadzenie wzoru Nyquista == Termiczny ruch w metalach powoduje tzw. szumy Nyquista, tzn. są to fluktuację od średnich napięcia i natężenia płynącego prądu w metalach, i dla opornika możemy napisać średnią kwadratu odchylenia napięcia od kwadratu wartości średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V^2}=4Rk_BT\Delta\nu\;</MATH>|24.42}} Wynik {{LinkWzór|24.41}} wiąże fluktuację napięcia z oporem i jest przykładem twierdzenia flutuacyjno-dyssypacyjnego. Weźmy sobie opornik o długości L i oporze R. Na końcach tego przewodnika jest umieszczony opornik R. W tym przewodniku rozchodzą się fale biegnące w przewodniku R, które są pochodzenia termicznego, które są absorbowane całkowicie bez odbić na obu jego końcach. Częstotliwość modu podstawowego, a także częstotliwość o modzie n, dla rozważanego przewodnika o długości L, przestawiamy je w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\nu_0={{c}\over{2L}}\;</MATH>|24.43}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\nu_n=n\nu_0\;</MATH>|24.44}} }} Wiedząc, że częstotliwość kołowa &omega;{{Sub|n}} jest związana z częstością &nu;{{Sub|n}} poprzez wzór &omega;{{Sub|n}}=2&pi;&nu;{{Sub|n}}, wtedy energię modu o numerze n możemy określić według rozkładu Bosego-Einsteina sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>E_n={{\hbar\omega_n}\over{e^{{{\hbar\omega_n}\over{k_BT}}}-1}}\;</MATH>|24.45}} Tutaj będziemy stosowali warunki na częstości kołowe {{Formuła|<MATH>{{\hbar\omega_n}\over{k_BT}}<<1</MATH>}} dla rozkładu {{LinkWzór|24.45}}, dla którego stosując ten warunek, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>E_n\simeq k_BT\;</MATH>|24.46}} {{Rysunek|Schemat elektryczny obwodu elektrycznego służący do wyprowadzenia prawa Nyquista.jpeg|lk1|Schemat elektryczny obwodu elektrycznego służący do wyprowadzenia prawa Nyquista}} Widzimy, że energia E{{Sub|n}} nie zależy od numeru modu, zatem jeśli w szerokości &Delta;&nu; na podstawie {{LinkWzór|24.44}} istnieje &Delta;&nu;/&nu;{{Sub|0}} modów, wtedy całkowita energia w naszym pasmie jest iloczynem liczby modów przez k{{Sub|B}}T, i jeśli jednocześnie zastosujemy wzór {{LinkWzór|24.43}} do wzoru na całkowitą energię, wtedy tą wielkość określamy: {{CentrujWzór|<MATH>E=k_BT{{\Delta\nu}\over{\nu_0}}={{2k_BTL}\over{c}}\Delta\nu\;</math>|24.47}} W przewodniku rozchodzą się dwie fale biegnące w przeciwnych kierunkach normalna i odbita, wtedy całkowity czas z jakim jedną z tych fal biegnących przebyła odległość L, czyli przez jeden przewodnik, możemy obliczyć z definicji prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>c={{L}\over{t}}\Rightarrow t={{L}\over{c}}\;</MATH>|24.48}} Całkowita energia absorbowana przez jeden oporniki R, pochodząca od jednej fali biegnących w jednostce czasu określamy jako stosunek {{LinkWzór|24.47}} przez podwojoną prędkość czasu {{LinkWzór|24.48}}, jest ona wyrażona jako: {{CentrujWzór|<MATH>P={{E}\over{2t}}={{{{2k_BTL}\over{c}}\Delta\nu}\over{2{{L}\over{c}}}}=k_BT\Delta\nu\;</MATH>|24.49}} We wzorze {{LinkWzór|24.49}} rozpatrywaliśmy tylko jedną falę biegnącą w jednym kierunku. Z definicji energii traconej przez opornik w jednostce czasu określamy przez iloczyn kwadratu natężenia prądu i oporności odbiornika, co stosując jego definicję do {{LinkWzór|24.49}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{I^2}R=k_BT\Delta\nu\;</MATH>|24.50}} Według rysunku obok napięcie mierzone na obu opornikach R jest wyrażone poprzez U=2IR, co stąd wynika, że I=U/2R, wtedy całkowita moc wydzielana przez oporność jest przepisana poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>I^2R={{U^2}\over{4R}}\;</MATH>|24.51}} Wzór {{LinkWzór|24.51}} możemy podstawić do tożsamości {{LinkWzór|24.50}}, i na samym końcu otrzymujemy wzór {{LinkWzór|24.42}}, który jest wzorem Nyquista. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> iyupi3g1gf3t70wl71iyyoas01iahkt 0 14234 558571 513406 2026-10-04T17:33:07Z Persino 2851 558571 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Fenomenologiczna teoria przejść fazowych''' - w układzie mamy N faz, każda z tych faz znajduje się w równowadze z pozostałymi fazami. Układ znajduje się w fazie równowagi, gdy molowe potencjały Gibbsa poszczególnych faz są jednakowe. Jeśli molowe potencjały Gibbsa są sobie równe, to wynika z tego, że potencjały chemiczne są sobie też równe, jak udowodnimy poniżej. Zauważmy, że mamy fazy i-tą i j-tą fazę, to zachodzą między nimi warunki: {{CentrujWzór|<MATH>\mu^i\left(p,T,N,t\right)=\mu^j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.1}} Same potencjały będziemy oznaczać dużymi literkami jak w rozdziale: {{sr|Potencjały termodynamiczne}}, a ich odpowiedniki, które powstają po podzieleniu ich przez liczbę moli, będziemy oznaczać je małymi literami. == Stan równowagi termodynamicznej == Udowodnijmy, że stanem równowagi chemicznej, musi istnieć równość miedzy potencjałami chemicznymi, dla danej substancji, między fazami, należącej do układu. Zauważmy, że mamy układ zamknięty f-fazami i s-substancjami. Każda substancja w tym układzie posiada pewną ilość cząstek, która nie może się zmieniać w przypadku braku reakcji chemicznych i jądrowych, ale nie może się zmieniać też w przypadku, gdy one mogą występować, w układzie mogą być reakcje chemiczne miedzy substancjami lub reakcje jądrowe pomiędzy jądrami, ale one występują w równowadze, ale nie ma procesów wydzielania energii w wyniku mieszania się składników (wtedy by doprowadzało do zmiany innych różniczek), wtedy ilość cząstek należącej do substancji i-tej jest: {{CentrujWzór|<MATH>N_i=\sum_{k=1}^f N_i^k\;</MATH>|9.2}} Z równania {{LinkWzór|9.2}} wynika, że całkowita liczba cząstek musi być ona stała, zatem dochodzimy do wniosku, że zmiana wszystkich liczb cząstek znajdujących się w układzie we wszystkich substancjach i fazach wziętych razem, przy założeniu, że w układzie nie mogą zachodzić reakcje chemiczne i jądrowe lub mogą one zachodzić, ale w równowadze, jest równa zero. {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k \delta N_i^k=0\;</MATH>|9.3}} Potencjał Gibbsa dla całego układu jest ogólnie niestały i ogólnie zmienia się, przyjmuje wartość najmniejszą z możliwych, wykorzystując {{LinkWzór|3.48|Potencjały_termodynamiczne}} dla ścisłej określonej substancji i jednocześnie fazy, uwzględniając ten warunek dla kilku faz i substancji, którego potencjał Gibbsa jest wielkością addytywną, przedstawia się. {{CentrujWzór|<MATH>G=\sum^f_{k=1}\left(\sum^s_{i=1} \mu_i^kN^k_i+\omega_i^kt^k_i\right)\;</MATH>|9.4}} A w stanie równowagi potencjał Gibbsa ma najmniejszą postać, aby wyznaczyć to ekstremum, by wyznaczyć potencjały chemiczne i czasowe dla poszczególnych faz i substancji, to różniczka {{LinkWzór|9.4}} przyjmuje wartość zero, podobnie jak dla wyznaczania ekstremum dla funkcji jednej zmiennej, przy tym wykorzystując, że potencjały chemiczne i czasowe, dla poszczególnych faz nie zmieniają się, bo układ występuje w stanie równowagi. {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum^f_{k=1}\left(\sum_{i=1}^s \mu^k_i dN^k_i+\omega_i^kdt^k_i\right)\;</MATH>|9.5}} Ale z równości {{LinkWzór|9.5}} nic pożytecznego nie otrzymamy bez mnożników Lagrange'a. Wykorzystujemy mnożniki Lagrange'a mając {{LinkWzór|9.3}}, że liczba indywiduów danej substancji nie zmienia się, oczywiście jest, że {{LinkWzór|9.5}} zachodzi, odejmując to od równości {{LinkWzór|9.4}} wyraz, który jest równy zero z definicji wiedząc, że {{Formuła|<MATH>t^k_i=\overline t=t\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline {\gamma^k_i}=\gamma\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>f(N^k_i,t^k_i)=\left(s\overline{\lambda_iN_i}-\sum^s_{i=1}\lambda_i N_i\right)+\left(sf\overline{\gamma^k_i t^k_i}-\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\gamma^k_i t^k_i\right)=\left(s\overline{\lambda_iN_i}-\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\lambda_i N^k_i\right)+\left(sf\overline{\gamma^k_i}\overline t-\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\gamma^k_i t^k_i\right)</MATH>|9.5a}} A z definicji funkcji {{Formuła|<MATH>f(N^k_i,t^k_i)\;</MATH>}} w {{LinkWzór|9.5a}} wynika, że ona jest równa zero. Zatem różniczka funkcjonału powstałego z definicji funkcji Gibbsa {{LinkWzór|9.4}} i wyrażenia równego dokładnie zero {{LinkWzór|9.5a}} (ten funkcjonał przedstawia się {{Formuła|<MATH>\phi=G+f(N^k_i,t^k_i)\;</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta \phi=\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\left(\sum_{i=1}^s \mu^k_i dN^k_i+\omega_i^kdt^k_i\right)-\sum^s_{i=1}\lambda_i \sum_k^f dN_i^k-\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\gamma dt^k_i \;</MATH>|9.7}} Odwracamy sumę w wyrażeniu {{LinkWzór|9.7}} w odjemniku, tak by najpierw było sumowanie po wszystkich fazach, a potem po substancjach, tak jak zachodzi w odjemnej w tym samym wspomnianym wyrażeniu: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\left(\mu_i^k dN^k_i+\omega_i^kdt^k_i\right)-\sum_k^f\sum^s_{i=1}\lambda_idN_i^k-\sum_k^f\sum^s_{i=1}\gamma dt^k_i \;</MATH>|9.8}} Po wykorzystaniu przemienności sumowania w równości {{LinkWzór|9.8}} napiszmy wszystkie wyrazy pod jedną sumą po fazach, a potem po substancjach: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta \phi=\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\left(\mu_i^k-\lambda_i\right)dN_i^k+\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\left(\omega_i^k-\gamma\right)dt_i^k\;</MATH>|9.9}} Z równania {{LinkWzór|9.9}} wynika, że aby było ono spełnione zawsze dla dowolnych infinitezymalnych zmian ilości cząsteczek należących do danej fazy i substancji {{Formuła|<MATH>dN_i^k\;</MATH>}}, tak aby całe wyrażenie było równe zero, musimy napisać: {{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>\mu_i^k=\lambda_i\;</MATH>|9.10}}|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i^k=\gamma\;</MATH>|9.10a}}}} Przedstawiając to bardziej obrazowo dla wszystkich możliwych faz danej substancji o numerze "i" potencjał chemiczny jest wielkością niezależną od numeru fazy, w której ta faza należy do danej substancji. {{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>\mu_i^1=\mu_i^2=\mu_i^3=...=\mu_i^f=\mu_i\;</MATH>|9.11}}|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i^1=\omega_i^2=\omega_i^3=...=\omega_i^f=\gamma\;</MATH>|9.11a}}}} Czyli dla danej substancji istnieje stałość pomiędzy potencjałami chemicznymi w stanie równowagi termodynamicznej dla poszczególnych faz. == Klasyfikacja Ehrenfesta przejść fazowych == Podobnie jak w poprzednio określiliśmy, molowe potencjały Gibbsa (jest to iloraz potencjału Gibbsa przez liczbę moli zajmowanej przez tę substancji (fazę) w układzie) są ciągłe dla wszystkich faz. Ale zaś jej pochodne nie są ciągłe, tzn. entropia i objętość molowa. Molowy odpowiednik entropii (jest to iloraz entropii przez liczbę moli substancji w układzie danej fazy o entropii {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}) jest zdefiniowane odpowiednio jak w {{LinkWzór|3.42|Potencjały_termodynamiczne}}, jest wyrażona według: {{CentrujWzór|<MATH>s_i=-\left({{\partial g^i}\over{\partial T}}\right)_{p,t}\;</MATH>|9.12}} Objętość molowa (iloraz objętości zajmowanej przed daną fazę przez liczbę moli substancji tejże fazy o objętości {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}}) jest zdefiniowana według {{LinkWzór|3.41|Potencjały_termodynamiczne}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\left({{\partial g^i}\over{\partial p}}\right)_{T,t}\;</MATH>|9.13}} Można wyznaczyć wyższe pochodne molowych potencjałów Gibbsa, korzystając z {{LinkWzór|9.12}} i z molowego odpowiednika {{LinkWzór|5.19|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, wtedy druga pochodna molowego potencjału Gibbsa jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial^2 g}\over{\partial T^2}}\right)_{p,t}= \left({{\partial}\over{\partial T}}{{\partial g}\over{\partial T}}\right)_{p,t}=-\left({{\partial s}\over{\partial T}}\right)_{p,t}=-\left({{{\partial_p Q}\over{nT}}\over{\partial T}}\right)_{p,t}=-{{C_p}\over{nT}}=-{{c_p}\over{T}}\;</MATH>|9.14}} Według Ehrenfesta przejście pomiędzy fazą i-tą oraz j-tą jest przejściem n-tego rodzaju, jeśli molowa funkcja Gibbsa i jej pochodne do rzędu "n" są ciągłe w punktach współistnienia faz. Dla przejścia pierwszego rodzaju zachodzi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>g^i\left(p,T,N,t\right)=g_j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.15}}|2={{CentrujWzór|<MATH>s_i\left(p,T,N,t\right)\not{=}s_j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.16}}|3={{CentrujWzór|<MATH>v_i\left(p,T,N,t\right)\not{=}v_j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.17}}}} == Równanie Clapeyrona-Clausiusa == Przejście według Clapeyrona-Clausiusa są to przejścia fazowe pierwszego rodzaju. Dla obu faz powinien zachodzi warunek {{LinkWzór|9.15}}. Funkcja g jest funkcją ciągłą przy przejściu z jednej fazy do drugiej, tzn. zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>g^i\left(p,T,N,t\right)=g^j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.18a}} {{CentrujWzór|<MATH>g^i\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)=g^j\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)\;</MATH>|9.18}} Prawą i zarówno lewą stronę równania {{LinkWzór|9.18}} można rozłożyć wykorzystując szereg Taylora dla dwóch zmiennych zaniedbując wyrazy rzędu drugiego i wyższych, ponieważ wyrazy drugiego i dalsze są względnie nieskończenie małe względem wyrazów pierwszego rzędu: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial g^i}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t} dp^{ij}+\left({{\partial g^i}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t} dT+\left({{\partial g^i}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial g^i}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N} dt=\left({{\partial g^j}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t} dp^{ij}+\left({{\partial g^j}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t} dT+\left({{\partial g^j}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t} dN+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial g^j}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N} dt\;</MATH>|9.19}} Ostatnie dwa wyrazy po lewej i prawej stronie w {{LinkWzór|9.19}} są takie same na pomocy twierdzenia {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.10a}}, a dwa pozostałe inne, stąd możemy je usunąć z tej równości wskaźnikowej by powstałe równanie było równoważne poprzedniemu. We wzorze {{LinkWzór|9.19}} wykorzystujemy wzory {{LinkWzór|9.12}} i {{LinkWzór|9.13}} dla prawej i lewej strony równania {{LinkWzór|9.19}} na granicy dwóch faz i-tej i j-tej, wtedy dostajemy, że: {{CentrujWzór|<MATH>v^i dp^{ij}-s^i dT=v^j dp^{ij}-s^j dT\;</MATH>|9.20}} Po przeniesieniu pewnych wyrazów w równaniu {{LinkWzór|9.20}} na jej przeciwną stronę, czyli grupując wyrazy względem tych samych różniczek, tak by różniczki różnych parametrów znajdowały się po ich przeciwnych stronach, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(v^i-v^j\right)dp^{ij}=\left(s^i-s^j\right)dT\;</MATH>|9.21}} Z równania różniczkowego liniowego {{LinkWzór|9.21}} wyznaczmy pochodną ciśnienia względem temperatury na lini przejść fazowych między oba rozważanymi fazami, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{s^i-s^j}\over{v_i-v_j}}\Rightarrow {{dp^{ij}}\over{dT}}={{\Delta s^{ij}}\over{\Delta v^{ij}}}\;</MATH>|9.22}} Jeśli zachodzi równowaga termodynamiczna, tzn.: {{Formuła|<MATH>T=const\;</MATH>}}, to wtedy różnica molowych entropii, korzystając przy tym z definicji infinitezymalnej entropii {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, jest wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s^{ij}=s^i-s^j=\int\limits^j_i{{dQ}\over{Tn}}={{Q}\over{Tn}}={{\Delta q^{ij}}\over{T}}\;</MATH>|9.23}} Wykorzystując {{LinkWzór|9.23}} na zmianę molowych entropii między oba fazami, który jest ilorazem ciepła molowego przejść między rozważanymi fazami przez temperaturę tychże faz, wtedy wzór {{LinkWzór|9.22}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{\Delta q^{ij}}\over{T \Delta v^{ij}}}\;</MATH>|9.24|Obramuj}} Równanie {{LinkWzór|9.24}} jest równanie przejść fenomenologicznych pierwszego rodzaju, tzn. przejścia, w którym molowy potencjał Gibbsa jest wielkością ciągłą między oba fazami. == Równania Ehrenfesta == Równania Ehrenfesta są to równania opisujące przejścia fazowe II drugiego rodzaju, tzn.: że dodatkowo entropia i objętość molowa muszą być ciągłe na granicy dwóch faz, tzn muszą być spełnione warunki: : '''Z ciągłości molowej entropii:''' {{CentrujWzór|<MATH>s^i\left(p,T,N,t\right)=s^j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.25}} {{CentrujWzór|<MATH>s^i\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)=s^j\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)\;</MATH>|9.26}} : '''Z ciągłości molowej objętości:''' {{CentrujWzór|<MATH>v^i\left(p,T,N,t\right)=v^j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.27}} {{CentrujWzór|<MATH>v^i\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)=v^j\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)\;</MATH>|9.28}} Równanie {{LinkWzór|9.26}} rozkładamy w szereg Taylora względem wyrazów liniowych, ponieważ wyrazy wyższego rzędu są nieskończenie małe względem wyrazów liniowych, a także korzystając z {{LinkWzór|9.25}}, wtedy wyrazy wolne dla ściśle określonych p, N i T po obu stronach naszego rozwinięcia {{LinkWzór|9.26}} znikają, stąd wynika, że: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial s^i}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t} dp^{ij}+\left({{\partial s^i}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t} dT+\left({{\partial s^i}\over{\partial T}}\right)_{p,T,t} dN+\left({{\partial s^i}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N} dt=\left({{\partial s^j}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t} dp^{ij}+\left({{\partial s^j}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t} dT+\left({{\partial s^j}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t} dN+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial s^j}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N} dt\;</MATH>|9.29}} Ostatnie dwa wyrazy w {{LinkWzór|9.29}} dwóch stron są takie same, bo twierdzenie {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.10a}}, a więc możemy usunąć te wyrazy z równości, by potem następne równanie po tej operacji było równoważne poprzedniemu. Przy pomocy {{LinkWzór|5.19|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, to pochodna molowej entropii względem temperatury pod stałym ciśnieniem jest równa ilorazowi ciepła właściwego molowego przez temperaturę naszego badanego układu: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial s\left(p,T,t\right)}\over{\partial T}}\right)_{p,t}={{{{\partial_{p,t} q}\over{T}}}\over{\partial_{p,t} T}}={{1}\over{T}}{{\partial_{p,t} q}\over{\partial_{p,t} T}}={{1}\over{T}}\left({{\partial q}\over{\partial T}}\right)_{p,t}={{c_p}\over{T}}\;</MATH>|9.30}} Wykorzystując wzór na rozszerzalność termiczną {{LinkWzór|5.8|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, a także wzór Maxwella w termodynamice {{LinkWzór|3.53|Potencjały_termodynamiczne}}, to wtedy pochodna cząstkowa entropii molowej względem ciśnienia panującego w układzie pod stałą temperaturą, jak udowodnimy poniżej, jest ona równa z minusem iloczynowi objętości molowej i współczynnika rozszerzalności termicznej, można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial s\left(p,T,t\right)}\over{\partial p}}\right)_{T,t}=-\left({{\partial v}\over{\partial T}}\right)_{p,t}=-v\alpha\;</MATH>|9.31}} Wykorzystując związki {{LinkWzór|9.30}} (pochodna entropii molowych dwóch faz względem temperatury dwóch faz) i {{LinkWzór|9.31}}, to równanie {{LinkWzór|9.29}} (pochodna entropi molowej dwóch faz względem ciśnienia wywieranego prze układ na ścianki naczynia rozważanego układu) przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>-v\alpha^idp^{ij}+{{c_p^i}\over{T}}dT=-v\alpha^Jdp^{ij}+{{c_p^j}\over{T}}dT\;</MATH>|9.32}} Grupować będziemy wyrazy w {{LinkWzór|9.32}} względem odpowiednich różniczek, czyli względem różniczek ciśnienia i temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{T}}\left(c_p^i-c_p^j\right)=vdp^{ij}\left(\alpha^i-\alpha^j\right)\;</MATH>|9.33}} Równanie {{LinkWzór|9.33}} można zapisać jako pochodna ciśnienia względem temperatury na granicy obu faz w zależności od ilorazu różnicy ciepeł właściwych molowych przez różnice współczynników rozszerzalności termicznej obu faz znajdujących się w równowadze termodynamicznej, a także przez iloczyn temperatury całego układu i objętości molowych obu substancji, jeśli przyjąć tak jak powiedzieliśmy wcześniej, że objętość molowa jest w naszym przypadku wielkością ciągłą. {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{c_p^j-c_p^i}\over{Tv\left(\alpha^j-\alpha^j\right)}}\;</MATH>|9.34|Obramuj}} A teraz będziemy rozpatrywać wzory związane na objętość molową, czyli {{LinkWzór|9.28}}, które możemy rozłożyć w szereg Taylora pomijając wyrazy drugiego i wyższych rzędów, bo one są nieskończenie małe względem wyrazów liniowych, dalej redukujemy wyrazy wolne znajdujące się po obu stronach rozważanego równania dla dwóch faz na granicy ich współistnienia {{LinkWzór|9.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial v^i}\over{\partial p}}\right)_{T,t}dp^{ij}+\left({{\partial v^i}\over{\partial T}}\right)_{p,t}dT=\left({{\partial v^j}\over{\partial p}}\right)_{,t}Tdp^{ij}+\left({{\partial v^j}\over{\partial T}}\right)_{p,t}dT\;</MATH>|9.35}} Z równania {{LinkWzór|5.8|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} na współczynnik rozszerzalności termicznej, otrzymujemy jej molowy odpowiednik, który jest pochodną cząstkową molowej objętości względem temperatury układu pod stałym ciśnieniem, który jest równy iloczynowi objętości molowej i współczynnikowi rozszerzalności termicznej &alpha;: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial v^i}\over{\partial T}}\right)_p=v\alpha\;</MATH>|9.36}} Również z równania {{LinkWzór|5.10|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} na współczynnik ściśliwości, to jej molowy odpowiednik jest pochodną cząstkową objętości molowej względem ciśnienia panujące w gazie pod stałą temperaturą, jest ona równa z minusem iloczynowi objętości molowej i współczynnika prężności &kappa;: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial v^i}\over{\partial p}}\right)_T=-v\kappa\;</MATH>|9.37}} Wykorzystując związki {{LinkWzór|9.36}} (wzór związany z rozszerzalnością termiczną) oraz {{LinkWzór|9.37}} (wzór związany ze ściśliwością), wtedy równanie {{LinkWzór|9.35}} ma się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>-v\kappa^idp^{ij}+v\alpha^idT=-v\kappa^jdp^{ij}+v\alpha^jdT\;</MATH>|9.38}} W równaniu {{LinkWzór|9.38}} grupując wokół odpowiednich różniczek, czyli względem różniczek ciśnienia i temperatury na granicy współistnienia dwóch faz, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>vdT\left(\alpha^i-\alpha^j\right)=vdp^{ij}\left(\kappa^i-\kappa^j\right)\;</MATH>|9.39}} Równanie {{LinkWzór|9.39}}, jeśli wyliczyć czemu jest równa pochodna zupełna ciśnienia względem temperatury w zależności od ilorazu różnicy współczynnika ściśliwości termicznej przez różnicę prężności dla obu faz będących w równowadze termodynamicznej, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{v \left(\alpha^i-\alpha^j\right)}\over{v\left(\kappa^i-\kappa^j\right)}}\;</MATH>|9.40}} Ostatecznie równanie {{LinkWzór|9.40}} wyznaczając pochodną ciśnienia względem temperatury, czyli przechodzi w prawo: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{\alpha^i-\alpha^j}\over{\kappa^i-\kappa^j}}\;</MATH>|9.41|Obramuj}} Równania {{LinkWzór|9.34}} i {{LinkWzór|9.41}} na {{Formuła|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}\;</MATH>}} są nazywane równaniami Ehrenfesta przemian fazowych II rodzaju, one obrazują jak zmienia się ciśnienie względem temperatury mając objętość molową, ciepła molowe i rozszerzalność termiczną i temperaturę układu, a w drugim przypadku znając rozszerzalność termiczną i ściśliwość substancji dwóch faz. == Równanie Gibbsa-Duhema z potencjałem chemicznym i czasowym == W naszych rozumowaniach "k" jest to numer fazy, a "i" numer substancji w układzie. Z drugiej strony potencjał Gibbsa według {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} a także z definicji entalpii {{LinkWzór|3.2|Potencjały_termodynamiczne}}, jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>G^k=H^k-T^kS^k=U^k+p^kV^k-T^kS^k\;</MATH>|9.42}} Różniczka równania {{LinkWzór|9.42}} po wykorzystaniu wzoru na pierwszą zasadę termodynamiki {{LinkWzór|2.9|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>dG^k=T^kdS^k-p^kdV^k+p^kdV^k+V^kdp^k-T^kdS^k-S^kdT^k\;</MATH>|9.43}} Po zredukowaniu pewnych wyrazów w {{LinkWzór|9.43}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dG^k=-S^kdT^k+V^kdp^k\;</MATH>|9.44}} Uwzględniając potencjał chemiczny i czasowy, w {{LinkWzór|9.44}}, dla różnych faz w układzie, czyli uwzględniając potencjały chemiczne wszystkich faz we wszystkich substancjach(<MATH>\mu^k_i\;</MATH>) i wymianę cząsteczek w tychże fazach cząsteczek należących do jakieś fazy, a także potencjał czasowy, i wymianę cząstek pomiędzy czasami, wtedy równanie {{LinkWzór|9.44}} z tą poprawką przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>dG^k=-S^kdT^k+V^kdp^k+\sum_{i=1}^s\mu^k_i dN^k_i+\sum_i^s\omega^k_i dt^i\;</MATH>|9.45}} Wykorzystując definicję potencjału Gibbsa według {{LinkWzór|3.48|Potencjały_termodynamiczne}}, która jest zdefiniowana dla jednej fazy, ale ponieważ potencjał Gibbsa jest wielkością ciągłą, czyli sumując po wszystkich fazach i substancja, to wtedy różniczka całkowitego potencjału Gibbsa jest: {{CentrujWzór|<MATH>dG^k=d\left[\sum^s_{i=1}\left(\mu^k_iN^k_i+\omega^k_it^k_i\right)\right]=\sum_{i=1}^s\left( \mu^k_i dN^k_i+d\mu^k_iN^k_i+\omega^k_idt+d\omega^k_iN^k_i\right)\;</MATH>|9.46}} Wykorzystując {{LinkWzór|9.45}} i {{LinkWzór|9.46}} oraz odejmując je od siebie, bo różniczka zupełna potencjału Gibbsa w obu tych równaniach jest tą samą wielkością i są sobie równe, ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>-S^kdT^k+V^kdp^k+\sum_{i=1}^s\mu^k_i dN^k_i-\sum_{i=1}^s\left( \mu^k_i dN^k_i+d\mu^k_iN^k_i+\omega^k_idt+d\omega^k_iN^k_i\right)=0\;</MATH>|9.47}} Z równania {{LinkWzór|9.47}} dostajemy równanie po z redukowaniu pewnych wyrazów: {{CentrujWzór|<MATH>-S^kdT^k+V^kdp^k-\sum^s_{i=1}\left(N^k_id\mu^k_i+t^k_id\omega^k_i\right)=0</MATH>|9.48}} Ponieważ, mamy stan równowagi chemicznej, to z równości potencjałów dla danej substancji napisanej wedle wzoru {{LinkWzór|9.11}}, wtedy otrzymujemy równanie Gibbsa-Dehema, tzn. równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-S^kdT^k+V^kdp^k-\sum^s_{i=1}\left(N^k_id\mu_i+t^k_id\omega^k_i\right)=0\;</MATH>|9.49|Obramuj}} == Reguła faz Gibbsa dla układu fenomenologicznego w czasoprzestrzeni == Do opisy układu wieloskładnikowego i wielofazowego potrzebny jest zestaw parametrów, tzn. temperatury ciśnienia i liczby cząstek należących do danej fazy(temperatura {{Formuła|<MATH>T^k\;</MATH>}}, ciśnienie {{Formuła|<MATH>p^k\;</MATH>}}) oraz fazy, substancji ({{Formuła|<MATH>N_i^k\;</MATH>}}) i czasu, w których znajduje się cząstka ({{Formuła|<MATH>N_i^k\;</MATH>}}), czyli mając zestawy parametrów dla każdych z faz i substancji: {{CentrujWzór|<MATH>\left(T^k,p^k,N_i^k,t_i^k\right)\;</MATH>|9.50}} Tych parametrów określonych zestawem dla każdej fazy i substancji {{LinkWzór|9.50}} jest w postaci liczby: {{CentrujWzór|<MATH>f+f+sf+sf=2f\left(s+1\right)\;</MATH> {{Tekst|parametrów}}|9.51}} W stanie równowagi zachodzą warunki: {{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>T^1=T^2=...=T^f\;</MATH>|9.52a}}|{{CentrujWzór|<MATH>p^1=p^2=...=p^f\;</MATH>|9.52b}}|{{CentrujWzór|<MATH>\mu_i^1=\mu_i^2=...=\mu_i^f\;</MATH>|9.52c}}|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i^1=\omega_i^2=...=\omega_i^f\;</MATH>|9.52d}}}} W równaniach: {{LinkWzór|9.52a}}, {{LinkWzór|9.52b}}, {{LinkWzór|9.52c}} i {{LinkWzór|9.52d}}, każda faza ma taką samą temperaturę, czyli ilość stopni swobody jest pomniejszona od {{LinkWzór|9.51}} o liczbę {{Formuła|<MATH>f-1\;</MATH>}}, podobnie jest w przypadku ciśnienia, który pomniejsza o następne {{Formuła|<MATH>f-1\;</MATH>}} stopni swobody, a ponieważ mamy s substancji, to w przypadku potencjału chemicznego pomniejszana kolejno ilość stopni swobody o {{Formuła|<MATH>f-1\;</MATH>}} pomnożonej przez s (ilość substancji), wtedy całkowita ilość stopni swobody jaką posiada układ jest wyrażona według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>f-1+f-1+2s\left(f-1\right)=2f-2+2s\left(f-1\right)=2\left(f-1\right)+2s\left(f-1\right)=2\left(s+1\right)\left(f-1\right)\; </MATH>| 8.53}} Ale także istnieje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} równań Gibbsa-Duhema zdefiniowanego według {{LinkWzór|9.49}}. Na podstawie powyższych rozważań ilość zmiennych niezależnych stopni swobody wszystkich faz i substancji jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>2\left(s+1\right)f-2\left(s+1\right)\left(f-1\right)-f=2\left(s+1\right)\left(f-f+1\right)-f=2s+2-f\;</MATH>|9.54}} Ale też również {{Formuła|<MATH>\omega_i^f>0\;</MATH>}} (ponieważ wszystkie cząstki w czasie przesuwają się równo do przodu w czasie (tak samo) i np. nie mogą przesuwać się niektóre, czy wszystkie, do dołu w czasie, a więc dla każdej fazy i substancji ta wartość jest taka sama - na podstawie twierdzenia {{LinkWzór|9.10a}}), a tych równań jest {{Formuła|<MATH>s\;</MATH>}}, a więc równość {{LinkWzór|9.54}} napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>2s+2-f-s=s+2-f\;</MATH>|9.54a}} Ilość stopni swobody jaką posiada układ według {{LinkWzór|9.54a}} jest zawsze większa lub równa zero z definicji liczby stopni swobody, a więc zależność pomiędzy liczbą substancji a faz przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>s+2-f\geq 0\;</MATH>|9.55}} Przenosimy pewne parametry zwązane z "f" (ilość faz) i "s" (ilość substancji) w taki sposób w {{LinkWzór|9.55}}, by te parametry znajdowały się po przeciwnych stronach wspomnianej nierówności. {{CentrujWzór|<MATH>f\leq s+2\;</MATH>|9.56|Obramuj}} Jeśli ilość substancji jest równa jeden, to w stanie równowagi termodynamicznej są co najwyżej trzy fazy, czyli mogą współistnieć w punkcie potrójnym trzy fazy, a w lini przemiany dwa, a gdzie indziej jeden tak jak w przypadku wody w przypadku stałym, ciekłym i gazowym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0i4tcyjwj44szp85qi3x8538tq3g369 0 14236 558567 513511 2026-10-04T17:22:03Z Persino 2851 558567 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wyprowadzimy tu związki wynikające z równania stanu jakieś substancji oraz związki wynikające, że poszczególne potencjały termodynamiczne posiadają różniczkę zupełną. A także wprowadzimy pewne związki charakteryzujące pewne cechy danej substancji. Wprowadzimy również definicję ciepła właściwego pod stałym parametrem x, a w szczególności pod stałym ciśnieniem lub objętością oraz związki między nimi. == Różniczkowa tożsamość łącząca parametry stanu == Wiemy, że równanie stanu zależy od trzech parametrów, wystarczy znać, je dwie, a trzeci wyliczyć z równania uwikłanego {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}. Jeśli mamy dwa niezależne parametry, tzn.: p, V, to parametr T można policzyć względem parametrów p i V i tak cyklicznie dla parametrów p,V,T. Z twierdzenia o różniczce zupełnej mamy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> dp=\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t} dT+\left({{\partial p}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t} dN+\left({{\partial p}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N} dt</MATH>|5.1}} Równanie {{LinkWzór|5.1}} jest również spełnione, nawet pod stałym ciśnieniem, wtedy lewa strona równania jest równa zero, a w prawej jego stronie zamiast różniczek zupełnych występują różniczki pod stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>0=\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}{\partial_{p,N,t}} V+\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t} {\partial_{p,N,t}} T+\left({{\partial p}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t} {\partial_{p,N,t}} N+\left({{\partial p}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}{\partial_{p,N,t}} t</MATH>|5.2}} Po przeniesieniu pierwszego składnika sumy {{LinkWzór|5.2}} z prawej strony na jego lewą, wtedy dostajemy inne ale równoważne równanie do poprzedniego: {{CentrujWzór|<MATH>-\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}{\partial_{p,N,t}} V=\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t} {\partial_{p,N,t}}T</MATH>|5.3}} Podzielimy obie strony {{LinkWzór|5.3}} przez niezerową różniczkę pod stałym ciśnieniem {{Formuła|<MATH>\partial_{p,t} T\;</MATH>}}, według omówień powyżej: {{CentrujWzór|<MATH>-\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.4}} Można odwrócić pochodną cząstkową występująca po prawej stronie równania {{LinkWzór|5.4}} i biorąc jego odwrotność, tzn. liczyć pochodną cząstkową ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością, to zamiast niej należy wziąć odwrotność pochodnej cząstkowej wielkości temperatury względem ciśnienia pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}={{1}\over{\left({{\partial T}\over{\partial p}}\right)_{V,N,t}}}</MATH>|5.5}} Korzystając z wzoru tożsamościowego {{LinkWzór|5.5}}, wtedy równanie {{LinkWzór|5.4}} przechodzi w wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}\left({{\partial T}\over{\partial p}}\right)_{V,N,t}=-1</MATH>|5.6|Obramuj}} Związek {{LinkWzór|5.6}} jest to związek łączący parametry stanu układu, tzn. {{Formuła|<MATH>p,V,T\;</MATH>}}, w której znajduje się liczba {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} cząsteczek substancji w rozważanym układzie. == Fenomenologiczna definicja entropii == Entropia układu jest wielkością addytywną, tzn. jeśli układ podzielić na bardzo dużą ilość fragmentów praktycznie, a teoretycznie liczba tych fragmentów jest nieskończenie duża, to wtedy całkowita entropia układu jest sumą infitezymalnych entropii obowiązujących w danym punkcie, mówiący o uporządkowaniu tychże fragmentów, należących do badanego ciała, dla którego liczymy tą właśnie entropię: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int\limits_VdS(\vec{r})</MATH>|5.7}} * '''gdzie:''' : {{Formuła|<MATH>dS(\vec{r})\;</MATH>}} - jest różniczką entropii, która jest entropią bardzo małej części układu w przeciwieństwie {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, która oznacza entropię małego fragmentu ciała w dany czasie, co oznacza oznacza wzór na infitezymalną zmianę entropii naszego ciała po dokonaniu przemian między dwoma punktami A i B w pewnym bardzo długim czasie w porównaniu z czasem relaksacji układu w stanach pośrednich należących na krzywej linii przemian między naszymi opisywanymi punktami. == Różniczkowe parametry stanu charakteryzujące układ == Z definiujemy pewne parametry charakteryzujące pewien układ, tzn.rozszerzalność termiczna, prężność termiczną, '''współczynnik ściśliwości termicznej'''. Współczynnik rozszerzalności termicznej definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha={{1}\over{V}}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|5.8|Obramuj}} Jest to iloraz pochodnej objętości układu względem jej temperatury pod stałym ciśnieniem przez objętość gazu zajmowanego przez układ. Wzór {{LinkWzór|5.8}} obrazuje jak zmienia się objętość układu w zależności od zmiany jego temperatury. '''Współczynnik prężności termicznej''' substancji: {{CentrujWzór|<MATH>\beta={{1}\over{p}}\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.9|Obramuj}} Jest to iloraz pochodnej ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością przez ciśnienie gazu wywierane na ścianki układu. Wzór {{LinkWzór|5.9}} przedstawia jak zmienia się ciśnienia działające na ścianki układu w zależności od zmiany jego temperatury. '''Współczynnik prężności''': {{CentrujWzór|<MATH>\kappa=-{{1}\over{V}}\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|5.10|Obramuj}} Jest to iloraz pochodnej objętości zajmowanej przez układ względem ciśnienia pod stałą temperaturą przez objętość rozważanego układu. Wzór {{LinkWzór|5.10}} mówi, jeśli zmieni się ciśnienie działające na ścianki układu, to jak zmienia się jego objętość, oczywiste jest, że gdy czym większe ciśnienia działające na układ, to zmniejsza się jego objętość, stąd minus we wzorze {{LinkWzór|5.10}}. Wstawiamy wzory {{LinkWzór|5.8}}, {{LinkWzór|5.9}} i {{LinkWzór|5.10}} do związku {{LinkWzór|5.6}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{1\over{-\kappa V}}{\alpha V}{{1}\over{\beta p}}=-1\;</MATH>|5.11}} Po krótkich przekształceniach z {{LinkWzór|5.11}} dostajemy ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=p\beta\kappa\;</MATH>|5.12|Obramuj}} We wzorze {{LinkWzór|5.12}} rozszerzalność termiczna {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} układu zależy od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}} działające na ścianki rozważanego układu przez prężność termiczną gazu {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}, a także od współczynnika ściśliwości {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}. == Termodynamiczne funkcje stanu a pojęcie entropii == Mamy dwie funkcje {{Formuła|<MATH>U=U\left(V,T,N,t\right)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S=S\left(V,T,N,t\right)\;</MATH>}}, które są funkcjami {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} i czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}. Z definicji różniczki zupełnej energii wewnętrznej rozłóżmy ową różniczkę względem zmiennych objętości i temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} dV+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t} dT+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t} dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N} dt</MATH>|5.13}} oraz z definicji różniczki zupełnej entropii rozłóżmy ową różniczkę względem tych samych zmiennych jak w przypadku różniczki energii wewnętrznej: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt</MATH>|5.14}} Ale korzystając z {{LinkWzór|2.2|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} (pierwsza zasada termodynamiki) i do niego podstawiamy wzór na zmianę ciepła wynikającego ze wzoru {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} (zmiana entropii poprzez stosunek zmiany ciepła wymienianego między układem a otoczeniem), a także korzystając ze związków wynikającego z definicji różniczki zupełnej tychże wielkości, tzn.{{LinkWzór|5.13}} i {{LinkWzór|5.14}}, wtedy dostajemy związek: {{CentrujWzór|<MATH>\left[p+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}\right]dV+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{T,N,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N} dt=T\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,T,t}dT+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+T\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt</MATH>|5.15}} Porównujemy obie strony {{LinkWzór|5.15}} względem tych samych różniczek zupełnych, tzn. dla dowolnych różniczek objętości i temperatury, wtedy dostajemy dwa ostateczne równania wiążące entropię z energią wewnętrzną: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=p+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}</MATH>|5.16}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}=T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.17}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}=T\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\;</MATH>|5.17a}} }} {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}=T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}\;</MATH>|5.17b}} == Ciepło właściwe pod stałym parametrem == Policzymy ciepła właściwe przemiany pod stałym parametrem x, wykorzystując definicję ciepła właściwego poprzez jego temperaturę i różniczkę entropii pod stałym rozważanym parametrem: {{CentrujWzór|<MATH>C_x={{({\delta Q})_x}\over{dT}}={{{(TdS)}_x}\over{dT}}=T\left({{({{\partial S}\over{\partial T}})_xdT+({{\partial S}\over{\partial x}})_Tdx}\over{dT}}\right)_x</MATH>|5.18}} Ze wzoru {{LinkWzór|5.18}} wynika, że ciepło właściwe procesu zachodzący pod stałym parametrem x jest iloczynem temperatury i pochodnej entropii względem temperatury pod stałym parametrem x: {{CentrujWzór|<MATH>C_x=T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_x</MATH>|5.19|Obramuj}} == Termodynamiczne funkcje stanu a pojęcie entalpii == Będziemy korzystali z definicji ciepła właściwego poprzez różniczkę zupełną entropii {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} i definicji etalpii {{LinkWzór|3.2|Potencjały_termodynamiczne}}, za pomocą tych dwóch wspomnianych wzorów dostajemy zależność różniczkową: {{CentrujWzór|<MATH>TdS=dU+pdV=dH-dpV+pdV=dH-pdV-Vdp+pdV=dH-Vdp\;</MATH>|5.20}} W równaniu {{LinkWzór|5.20}} jest powiedziane, że energia wymieniana na w sposób ciepła (iloczyn temperatury ciała i różniczki entropii), można zapisać jako różniczkę entalpi i iloczynu objętości układu i infnitezymalnej zmiany ciśnienia, którego ta wspomniana tożsamość przepiszemy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>TdS=dH-Vdp\;</MATH>|5.21}} Z definicji różniczki zupełnej entropii, rozkładając przy okazji ją względem parametrów stanu ciśnienia i temperatury, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|5.22}} Z definicji różniczki zupełnej entalpii rozkładając ją względem tych samych parametrów co różniczkę entropii, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dH=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial H}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|5.23}} Wstawiamy do równania {{LinkWzór|5.21}} tożsamości na różniczkę entropii {{LinkWzór|5.22}} i na różniczkę etalpii {{LinkWzór|5.23}}, wtedy dostajemy związek łączący prawą i lewą stronę naszego równania: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,T,t}dN+T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial H}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt-Vdp</MATH>|5.24}} Równanie {{LinkWzór|5.24}} możemy przekształcić grupując w nim wyrazy z prawej względem różniczek temperatury i ciśnienia, czyli względem obranych dwóch zmiennych niezależnych: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+T\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt=\left[\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}-V\right]dp+\left({{\partial H}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{p,T}dt</MATH>|5.25}} Porównujemy obie strony równania {{LinkWzór|5.25}} względem tych samych różniczek zmiennych niezależnych o których powiedzialiśmy wcześniej, które mogą przyjmować wartości infinitezymalne ale dowolne, zatem dostajemy dwa ostateczne wynikowe równania: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}-V</MATH>|5.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=\left({{\partial H}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|5.27}} |3={{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}=\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}\;</MATH>|5.27a}} }} {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}=\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}\;</MATH>|5.27b}} Korzystamy z '''tożsamości Maxwella''' {{LinkWzór|3.53|Potencjały_termodynamiczne}}, który jest jeden z czterech równań Maxwella, i wstawiamy to do równania {{LinkWzór|5.26}} do wyrażenia z lewej strony owego wzoru, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>-T\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}-V</MATH>|5.28}} == Związek między ciepłem właściwym, pod stałym ciśnieniem a stałą objętością, w układach zamkniętych == Definicja ciepła właściwego pod stałym parametrem "x", jako wzoru ogólnego, który przedstawia się jako różniczkę ciepła wymienianego między układem, a otoczeniem na w sposób ciepła względem temperatury, tak by parametr x przyjmował wartość możliwie stałą wartość: {{CentrujWzór|<MATH>C_x=\left({{\delta Q}\over{dT}}\right)_{x,t}\;</MATH>|5.29}} Różniczka zupełna energii wewnętrznej z definicji tegoż obiektu przedstawiając ją względem różniczki zupełnej temperatury i objętości, i ta nieskończenia mała zmiana tego obiektu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|5.30}} Wykorzystywać będziemy z {{LinkWzór|2.10|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} (pierwsza zasada termodynamiki) i wstawiając do niej wyrażenie na różniczkę zmiany energii wewnętrznej{{LinkWzór|5.30}}, która jest przedstawiona względem różniczek temperatury i objętości, dostajemy różniczkę ciepła wymienianą między układem a otoczeniem, że: {{CentrujWzór|<MATH> \delta Q=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt+pdV\;</MATH>|5.31}} W równaniu {{LinkWzór|5.31}} grupujemy wyrazy względem różniczek zupełnych temperatury (dT) i objętości (dV), czyli otrzymujemy wyrażenie zależne od pochodnych cząstkowych względem energii wewnętrznej: {{CentrujWzór|<MATH> \delta Q=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}+p\right)dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|5.32}} Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, które jest potrzebne do wyznaczenia drugiego wyrazu w {{LinkWzór|5.32}}, by je wyrazić przez parametry stanu układu termodynamicznego, które można policzyć, znając równanie stanu danej substancji: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}+p= \left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=\left({{\partial(U-F)}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=\left({{\partial (TS)}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=T\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.33}} Przy wyprowadzeniu równania {{LinkWzór|5.33}} korzystaliśmy z {{LinkWzór|3.52|Potencjały_termodynamiczne}}. Po podstawieniu ostatniego wzoru do drugiego wyrazu pod różniczką objętości do wzoru na różniczkę ciepła {{LinkWzór|5.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}dt\;</MATH>|5.34}} Jeśli będziemy uwzględniać stałą objętość, to wtedy równanie {{LinkWzór|5.34}} przedstawiamy w zależności od infinitezymalnej zmiany temperatury i ciepła właściwego pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT\;</MATH>|5.35}} Co wynika z {{LinkWzór|5.35}} dzieląc obustronnie wspomniane równanie przez różniczkę temperatury, wtedy mamy wzór na ciepło właściwe pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_v=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.36}} Ze związku {{LinkWzór|5.36}} wzór {{LinkWzór|5.34}} można przedstawić jako równanie zależne od ciepła właściwego pod stałą objętością i od parametrów stanu w równaniu opisującego dany układ: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=C_vdT+T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|5.37}} Uwzględniać będziemy wzór {{LinkWzór|5.29}}, który mówi o wymianie energii na w sposób ciepła &delta;Q pod stałym parametrem x, wtedy wychodząc z początkowego wzoru {{LinkWzór|5.37}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>C_x\partial_x T=C_v\partial _x T+\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\partial_x V+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\partial_x N+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}\partial_x t\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow C_x-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\left({{\partial N}\over{\partial T}}\right)_x+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}\left({{\partial t}\over{\partial T}}\right)_x\;</MATH>|5.38}} Z obliczeń {{LinkWzór|5.38}} a właściwie jego ostatnia wynikowa tożsamość, z której wynika wzór poniżej na różnice ciepeł właściwych pod stałym parametrem x i stałą objętością, które przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>C_x-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\left({{\partial N}\over{\partial T}}\right)_x+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}\left({{\partial t}\over{\partial T}}\right)_x\;</MATH>|5.39}} Dla układów o energii wewnętrznej niezależnych od liczby cząstek w nim, i czasu, co na podstawie tego napiszmy równość {{LinkWzór|5.39}}, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>C_x-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\;</MATH>|5.39a}} Jeśli uwzględnimy, że: {{Formuła|<MATH>x=p\;</MATh>}}, to wtedy wzór {{LinkWzór|5.39}} na różnice ciepła właściwe pod stałym ciśnieniem i objętością przy tym ostatnim ograniczeniu na parametr "x" przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\left({{\partial N}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}\left({{\partial t}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}\;</MATH>|5.40aa}} Dla tych samych przypadków, co równanie {{LinkWzór|5.39a}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>x=p\;</MATH>}}, wynikające też z {{LinkWzór|5.40aa}}, piszmy: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}\;</MATH>|5.40}} == Związek między ciepłami właściwymi pod stałym parametrem i ciśnieniem oraz objętością dla przypadków energii wewnętrznej niezależnej od liczby cząstek i czasu == Podzielmy równanie {{LinkWzór|5.39}} przez równanie {{LinkWzór|5.40}}, wtedy dostajemy wzór na iloraz różnicy ciepeł, w którym to w liczniku jest różnica ciepeł właściwych pod stały parametrem i objętością, a w mianowniku jest to różnica ciepeł właściwym pod stałym ciśnieniem i objętością. {{CentrujWzór|<MATH>{{C_x-C_v}\over{C_p-C_v}}={{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x}\over{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p}}</MATH>|5.41}} Rozpiszmy pochodną objętości względem temperatury pod stałym ciśnieniem używając do tego celu wyznaczników funkcyjnych w sposób jak pokazano poniżej podczas liczenia tej pochodnej cząstkowej. {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p={{D\left(V,p\right)}\over{D\left(T,p\right)}}={{D\left(V,p\right)}\over{D\left(x,T\right)}}{{D\left(x,T\right)}\over{D\left(T,p\right)}}= \begin{vmatrix} \left({{\partial V}\over{\partial x}}\right)_T&\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\\ \left({{\partial p}\over{\partial x}}\right)_T&\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_x \end{vmatrix}\left(-{{\partial x}\over{\partial p}}\right)_T=-\left({{\partial x}\over{\partial p}}\right)_T\Bigg[\left({{\partial V}\over{\partial x}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_x-\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\left({{\partial p}\over{\partial x}}\right)_T\Bigg]=\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x-\left({{\partial V}\over{\partial x}}\right)_T\left({{\partial x}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_x=\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_x= \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\left[1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x\right] </MATH>|5.42}} Wzór {{LinkWzór|5.42}} można przepisać dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p=\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\left[1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x\right]</MATH>|5.43}} Równanie {{LinkWzór|5.43}} można podstawić do mianownika z prawej strony równania w {{LinkWzór|5.41}}, widzimy w powyższej tożsamości, że w nim lewa strona nie zależy od parametru iksowego, a jego prawa strona owszem zależy od parametru iksowego i je liczymy względem określonych pochodnych względem pewnych stałych parametrów, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{C_x-C_v}\over{C_p-C_v}}={{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x}\over{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p}}={{\left({{\partial V}\over{\partial t}}\right)_x}\over{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\left(1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x\right)}}= {{1}\over{1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x}}</MATH>|5.44}} Po odwróceniu wzoru {{LinkWzór|5.44}}, dostajemy bardzo proste równanie łączące różne ciepła właściwe z parametrami stanu opisujących przez równania stanu danej opisywanej substancji: {{CentrujWzór|<MATH>{{C_p-C_v}\over{C_x-C_v}}=1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x</MATH>|5.45}} Korzystamy z własności, że pochodną pod stałym parametrem możemy odwrócić (zamienić licznik i mianownik miejscami), przy tym biorąc jego odwrotność: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T={{1}\over{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_T}}</MATH>|5.46}} Do wzoru {{LinkWzór|5.45}}, którego lewa strona jest ilorazem różnicy ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością przez różnicę ciepła właściwego pod stałym parametrem x i ciepła właściwego pod stałą objętością i do jej prawej strony podstawiamy tożsamość {{LinkWzór|5.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{C_p-C_v}\over{C_x-C_v}}=1-{{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x}\over{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_T}}</MATH>|5.47}} Gdy będziemy się posługiwać procesami adiabatycznymi, to wtedy dla tego procesu ciepło właściwe jest równe zero, zatem dla tego procesu mamy: {{CentrujWzór|<MATH>C_{adiabata}=0\;</MATH>|5.48}} Bo w przemianie adiabatycznej nie ma wymiany energii w postaci ciepła między układem a otoczeniem, tylko jest wymiana na w sposób pracy. Według {{LinkWzór|5.48}} (proces adiabatyczny) wzór {{LinkWzór|5.47}} przyjmuje postać dla procesu powyżej omawianego omawianego: {{CentrujWzór|<MATH>1-{{C_p}\over{C_v}}=1-{{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{adiabata}}\over{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_T}}</MATH>|5.49}} Redukując obie jedynki po obu stronach tożsamości {{LinkWzór|5.49}} i mnożąc obustronnie przez minus jeden, wtedy ostatecznie otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{C_p}\over{C_v}}={{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{adiabata}}\over{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_T}}</MATH>|5.50}} Ze wzoru {{LinkWzór|5.50}} wiemy, że jeśli znamy stosunek {{Formuła|<MATH>{{\partial p}\over{\partial V}}\;</MATH>}} dla izotermy i adiabaty, to możemy policzyć stosunek: {{Formuła|<MATH>{{C_p}\over{C_v}}\;</MATH>}} dla dowolnych substancji, czyli współczynnik {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}, który występuje w równaniu na adiabatę. == Infinitezymalna zmiana energii wewnętrznej a równanie stanu == Będziemy brać pod lupę równanie na różniczkę energii wewnętrznej, w tym celu rozłóżmy różniczkę energii wewnętrznej względem temperatury, objętości, liczby cząstek i czasu, wykorzystując jednocześnie równanie {{LinkWzór|5.33}} z pierwszego na ostatni krok: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{T,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{T,V}dt= C_VdT+\left[\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}+p-p\right]dV+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{T,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{T,V,N}dt=C_{V,t}dT+\left[T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}-p\right]dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{T,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{T,V}dt</MATH>|5.51}} Zatem z powyższego równania dostajemy, że nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej danego układu jest zależna od ciepła właściwego C{{Sub|V}} i od parametrów termodynamicznych: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_VdT+\left[T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}-p\right]dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{T,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{T,V,N}dt\;</MATH>|5.52a}} Równanie {{LinkWzór|5.52a}} przedstawia infinitezymalną zmianę energii wewnętrznej danej substancji w zależności od infinitezymalnej zmiany temperatury, objętości, liczby cząstek i czasu, co można je wyznaczyć znając równanie stanu danej substancji np. gazu i ciepło właściwe pod stałą objętością. Dla przypadku stałej liczby cząstek w układzie i stałego czasu (lub w przypadku małego potencjału czasowego) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_VdT+\left[T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}-p\right]dV\;</MATH>|5.52}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 41zn1f8ymr10k1tka6b5tscmfio4hax 0 14248 558575 513410 2026-10-04T17:45:38Z Persino 2851 558575 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zajmować będziemy się wyprowadzeniem praw mechaniki statystycznej, które zostały podane w termodynamice fenomenologicznej. == Pierwsza zasada termodynamiki == Udowodnimy {{sr|p=Zasady termodynamiki fenomenologicznej|#Pierwsza_zasada_termodynamiki|pierwszą zasadę termodynamiki}} zasadę sformułowaną czysto statystycznie dla tej samej zasady sformułowaną czysto fenomenologicznie. Z mechaniki klasycznej mamy wzór na siłę działających na cząstki względem gradientu energii ze znakiem minus: {{CentrujWzór|<MATH>F=\vec F\vec n=-\operatorname{grad}E\vec n=-\left({{\partial E}\over{\partial l_{\vec n}}}\vec n\right)\vec n=-{{\partial E}\over{\partial l}}=pS\;</MATH>|13.1}} Siła {{LinkWzór|13.1}} jest siłą prostopadłą do pewnej ścianki naczynia działającą na niego przez cząstki układu o energii E. Jeśli tą siłę podzielimy przez powierzchnię tejże ścianki, to otrzymamy ciśnienie z jaką cząstki wywierają na tą ściankę. {{CentrujWzór|<MATH>p={{\partial F}\over{\partial S}}={{-\partial{{\partial E}\over{\partial l}}}\over{\partial S}}=-{{\partial^2 E}\over{\partial S\partial l}}=-{{\partial E}\over{\partial V}}\;</MATH>|13.2}} A potencjał chemiczny jest pochodnej cząstkowej energii wewnętrznej względem liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>\mu={{\partial E}\over{\partial N}}\;</MATH>|13.3}} Rozpatrując człon na ciśnienie chwilowe, bo układ może być z pewnym prawdopodobieństwie, że będzie napierał na tą ściankę z ciśnieniem {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}, wtedy średnie ciśnienie jakie panuje na ściśle określonej ściance tego naczynia jest wyrażone przez poniżej, a średni potencjał chemiczny, średnia liczba cząstek i średnia objętość: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sum_k P_kp_k=p\;\;</MATH>|13.4a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sum_kP_k\mu_k=\mu\;</MATH>|13.4b}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\sum_k N_kp_k=N\;\;</MATH>|13.4c}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\sum_kP_kV_k=V\;</MATH>|13.4d}}|5={{CentrujWzór|<MATH>\sum_kt_k\omega_k=t\;</MATH>|13.4e}}}} Powyższe rozważania będziemy wykorzystywali poniżej. Wzór na średnią energię wszystkich cząstek jest sumą iloczynów jednej z możliwości występowania danej energii danego układu {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}} przez prawdopodobieństwo jego występowania {{Formuła|<MATH>P_k\;</MATH>}}, że dana energia układu istnieje, zatem średnia energia układu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}=\sum_k E_kP_k\;</MATH>|13.5}} Różniczka obu stron równania na energię wewnętrzną układu {{LinkWzór|13.5}} z twierdzenia różniczki iloczynu piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=d\overline{E}=\sum_kE_k dP_k+\sum_k P_kd E_k=\sum_kE_k dP_k+\sum_kP_k{{\partial E_k}\over{\partial V_k}}dV_k+\sum_kP_k{{\partial E_k}\over{\partial N_k}}dN_k+\sum_kP_k{{\partial E_k}\over{\partial t_k}}dt_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_kE_kdP_k-\sum_kP_kp_kdV_k+\sum_kP_k\mu_kdN_k+\sum_kP_k\omega_kdt_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_k(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-\sum_k(pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-\sum_kP_kp_kdV_k+\sum_kP_k\mu_kdN_k+\sum_kP_k\omega_kdt_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_k(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-\sum_k\left(pd(P_kV_k)-pP_kdV_k-\mu d(P_kN_k)+\mu P_kdN_k-\omega d(P_kt_k)+\omega P_kdt_k\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum_kP_kp_kdV_k+\sum_kP_k\mu_kdN_k+\sum_kP_k\omega_kdt_k=\sum_k(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-pdV+\mu dN+\omega dt+\sum_k(p-p_k)P_kdV_k+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum_k(\mu-\mu_k)P_kdN_k-\sum_k(\omega-\omega_k)P_kdt_k=\sum_k(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-pdV+\mu dN+\omega dt</MATH>|13.6}} W powyższych obliczeniach przyjęliśmy, że przy przejściu na całkę pojawiają się zamiast: {{Formuła|<MATH>dV_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>dN_k\;</MATH>}}, kolejno elementy {{Formuła|<MATH>d\overline V_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\overline N_k\;</MATH>}}, takie by całkowita wartość wyrażenia nie zmieniała wartości, a więc pierwsza suma: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k(p-p_k)P_kdV_k=\int (p-p(k))P(k)dV(k)=d\overline V_k\sum_k(p-p_k)P_k=0\;</MATH>|13.7a}} a także druga: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k(\mu-\mu_k)P_kdN_k=\int(\mu-\mu(k))P(k)dN(k)=d\overline N_k\sum_k(\mu-\mu_k)P_k=0\;</MATH>|13.7b}} I ostatecznie trzecia: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k(\omega-\omega_k)P_kdt_k=\int(\omega-\omega(k))P(k)dt(k)=d\overline t_k\sum_k(\omega-\omega_k)P_k=0\;</MATH>|13.7c}} W obliczeniach przyjęliśmy, że P(k), p(k) i &mu;(k) dla k będącą liczbą nienaturalną są równe zero, a dla k naturalnych mamy P(k)=P{{Sub|k}}, p(k)=p{{Sub|k}} i &mu;(k)=&mu;{{Sub|k}}. W {{LinkWzór|13.6}} drugi człon przedstawia różniczkę pracy, trzeci ze zmianą energii związanej z wymianą cząstek, a pierwszy można potraktować jako energię wymienianą na sposób ciepła: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_k\left(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k\right)dP_k=\delta Q\;\;</MATH>|13.8}} Wyrażenie na infinitezymalną zmianę energii wewnętrznej układu wyrażona wedle wzoru {{LinkWzór|13.6}} przy pomocy energii przekazywanej na w sposób pracy, energii przekazywanej od otoczenia przez wymianę cząstek i energii wymienianej na w sposób ciepła przez układ może być zapisywana wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\delta Q-pdV+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|13.9}} Otrzymaliśmy takie same równanie jak w równaniu na pierwszą zasadę termodynamiki {{LinkWzór|2.10|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, zatem udowodniliśmy tą zasadę w sposób czysto statystyczny. == Druga zasada termodynamiki == Korzystamy z równania na entropię pojedynczego układu {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, jeśli z korzystamy z definicji różniczki iloczynu funkcji podobnie jak przy pochodnych iloczynu funkcji, tylko zamiast pochodnych występują pewne różniczki tychże funkcji, wtedy różniczka entropii: {{CentrujWzór|<MATH>dS=-k_Bd\sum^l_{i=1}P_i\ln P_i=-k_B\sum^l_{i=1}dP_i\ln P_i-k_B\sum^l_{i=1}P_i d\ln P_i=</MATH><MATH>-k_B\sum^l_{i=1}dP_i\ln P_i-k_B \sum^l_{i=1} dP_i\;</MATH>|13.10}} Wykorzystując unormowanie prawdopodobieństwa {{Formuła|<MATH>P_i\;</Math>}} do jedynki, który jest prawdopodobieństwem uzyskania przez układ energii o wartości {{Formuła|<math>E_i\;</Math>}}, a prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe jeden, więc jego różniczka jest równa zero, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|13.10}} zapisywać będziemy: {{CentrujWzór|<MATH>dS=-k_B\sum^l_{i=1}dP_i\ln P_i-k_B d\sum^l_{i=1}P_i=-k_B\sum^l_{i=1}dP_i\ln P_i-k_b d 1=-k_B\sum^l_{i=1}\ln P_i dP_i\;</MATH>|13.11}} Statystycznie prawdopodobieństwo występowania danej energii układu o wartości {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}}, w układzie kanonicznym w danej temperaturze bezwzględnej T i o danej sumie statystycznej charakteryzującej dany układ statystyczny jest przestawione w danej właściwości w danej degeneracji (wtedy znika g{{Sub|i}}) uzyskania energii E{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega dt_i)}\;</MATH>|13.12}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.12}} na prawdopodobieństwo, że dany układ będzie miał pewne wartości dyskretne, wtedy możemy napisać wyrażenie {{LinkWzór|13.11}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dS=-k_B\sum^l_{i=1} \left[-\ln Z-\beta (E_i+ pV_i-\mu N_i-\omega dt_i)\right] dP_i=k_B\ln Zd \sum^l_{i=1} P_i-k_B \sum^l_{i=1}(-1)\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega dt_i) dP_i\;</MATH>|13.13}} Wykorzystując jeszcze raz warunek unormowania funkcji w {{LinkWzór|13.13}} dochodzimy, że pierwszy wyraz w ostatnim wzorze znika na podstawie tego że różniczka stałej a mianowicie jedynki jest równa zero. Dochodzimy w ostateczności do wyrażenia charakteryzującego, że infinitezymalna zmiana entropii układu jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>dS=k_B\sum^l_{i=1}\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega dt_i) dP_i={{1}\over{T}}\sum^l_{i=1}(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega dt_i) dP_i\;</MATH>|13.14}} W {{LinkWzór|13.14}} wykorzystaliśmy definicję na parametr {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}, która jest zależna od odwrotności iloczynu temperatury bezwzględnej przez stałą Boltzmanna, wtedy iloczyn parametru &beta; i stałej k{{Sub|B}} jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>k_B\beta=k_B{{1}\over{k_BT}}={{1}\over{T}}\;</MATH>}} I to powyższe wyrażenie wykorzystaliśmy we wzorze {{LinkWzór|13.14}}. By dojść do dalszych etapów myśleniowych {{LinkWzór|13.14}} wykorzystamy wzór {{LinkWzór|13.8}}, czyli wzór na definicję różniczki ciepła, jako suma po stanach charakteryzującej układ, którego dany stan układu jest charakteryzowany przez energię stanu i różniczką prawdopodobieństwa dyskretnego, że dany stan o pewnej energii wystąpi, wtedy nasz wzór przechodzi w fenomenologiczną definicję różniczki zupełnej entropii: {{CentrujWzór|<MATH>dS={{\delta Q}\over{T}}\;</MATH>|13.15}} Równanie {{LinkWzór|13.15}} możemy też przedstawić jako różniczkę ciepła w zależności od jego temperatury i zmiany różniczki zupełnej entropii w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=TdS\;</MATH>|13.16}} Równanie {{LinkWzór|13.15}} jest fenomenologiczną definicją różniczki entropii. Związek tej części energii wewnętrznej układu, która dokonuje się na sposób ciepła, która zależy od temperatury i różniczki zupełnej entropii jest treścią drugiej zasady termodynamiki. == Trzecia zasada termodynamiki == Ta zasada wyraża się, że entropia układu w temperaturze T=0 jest równa zero. Aby dokonać interpretacji tej zasady rozważmy substancję czystą w kontakcie z termostatem. Stan układu jest opisany przez równanie określającą prawdopodobieństwo dyskretne w danej właściwości uzyskania danej energii {{Formuła|<MaTH>E_i\;</math>}} w danej temperaturze bezwzględnej: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}} g_ie^{-\beta\left( E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i\right)}\;</MATH>|13.17}} Stan przy {{Formuła|<MATH>T\rightarrow 0\;</MATH>}} jest stanem skwantowanym, więc poziomy energii {{Formuła|<MATH>E_i(N,V,t)\;</MATH>}} trzeba numerować liczbami całkowitymi, zatem suma statystyczna rozkładu kanonicznego jest: {{CentrujWzór|<MATH>Z=g_0 e^{-\beta (E_0+pV_0-\mu N_0-\omega t_0)}+g_1 e^{-\beta (E_1+pV_1-\mu N_1-\omega t_1)}+...\simeq g_0 e^{-\beta (E_0+pV_0-\mu N_0-\omega t_0)}\;</MATH>|13.18}} A więc jego energia swobodna z jej definicji w zależności od sumy statystycznej {{LinkWzór|13.18}} jest równa na podstawie {{LinkWzór|18.25|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=-pV_0+\mu N_0+\omega t_0-k_BT \ln Z=-pV_0+\mu N_0+\omega t_0-k_BT \ln g_0+k_BT\beta (E_0+pV_0-\mu N_0-\omega t_0)\;</MATH>|13.19}} Wzór {{LinkWzór|13.19}} można zapisać równoważnie po skorzystaniu z definicji {{Formuła|<MaTh>\beta\;</MATH>}} w innej równoważnej postaci do wspomnianego wyrażenia: {{CentrujWzór|<MATH>F=-pV_0+\mu N_0+\omega t_0-k_BT \ln g_0+E_0+pV_0-\mu N_0-\omega t_0=-k_BT\ln g_0\;</MATH>|13.20}} Jego entropia jest wyrażona według wzoru {{LinkWzór|3.39|Potencjały_termodynamiczne}}, która jest pochodną energii swobodnej (tutaj {{LinkWzór|13.20}}) względem temperatury przy stałej objętości: {{CentrujWzór|<MATH> S_0=S\left(T=0\right)=-\lim_{T\rightarrow 0}\left({{\partial F}\over{\partial T}}\right)_{V,N}=k_B \ln g_0\;</MATH>|13.21}} Wyrażenie {{LinkWzór|13.21}} można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>S_0=k_B\ln g_0\;</MATH>|13.22}} Stan o temperaturze T=0 jest stanem nie zdegenerowanym, tzn. {{Formuła|<MATH>g_0=1\;</MATH>}}, a także występuje tylko jeden stan o energii {{Formuła|<matH>E_0\;</Math>}}, i jest jak powiedzieliśmy powyżej jest on jedynym stanem: {{CentrujWzór|<MATH>S_0=k_B \ln g_0=k_B \ln 1=k_B 0=0\;</MATH>|13.23}} Otrzymujemy z ostatnich dysput, że entropia w temperaturze dążącej do zera bezwzględnego wedle wzoru {{LinkWzór|13.22}} przy ciągłości entropii, dąży do wartości zero, co możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>0=\lim_{T\rightarrow 0}S\;</MATH>|13.24}} Wzór {{LinkWzór|13.24}} jest tzw. '''twierdzeniem Nernsta-Plancka'''. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ljgj9gie8i9xo3dzp89mzri1habiw6u 0 14252 558569 513404 2026-10-04T17:27:08Z Persino 2851 558569 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Gazem doskonałym''' jest opisywany przez równanie gazu doskonałego, jest to równanie opisujące tylko gaz, gdy on posiada dużą temperaturę, objętość molową lub nawet gdy jest rozrzedzony, tzn. gdy gaz posiada względnie małą liczbę cząsteczek. Gaz doskonały spełnia * '''prawo Boyle'a-Mariotte'a''' (równanie izotermiczne), czyli procesy zachodzące pod stałą temperaturą, w których iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętość jest wielkością stałą: {{CentrujWzór|<MATH>pV=\operatorname{const}\;</MATH>|7.1}} * '''prawo Charles'a''' (równanie izobaryczne), czyli procesy zachodzące pod stałym ciśnieniem, w którym objętość gazu jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej panującej w gazie: {{CentrujWzór|<MATH>V\sim T\;</MATH>|7.2}} * '''prawo Gay-Lussaca''' (równanie izochoryczne), czyli procesy zachodzące pod stałą objętością, w którym ciśnienie panujące w gazie jest wprost proporcjonalne do temperatury naszego badanego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>p\sim T\;</MATH>|7.3}} Biorąc warunki {{LinkWzór|7.1}} (parwo Boyle'a-Mariotte'a), {{LinkWzór|7.2}} (prawo Charles'a), {{LinkWzór|7.3}} (prawo Gay-Lussaca), dostajemy bardziej ogólne równanie stanu gazu doskonałego w postaci dla jednego mola gazu: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV_{mol}}\over{T}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.4}} Stałą występująca w {{LinkWzór|7.4}} nazwijmy stałą gazową i oznaczmy literką {{Formuła|<MATH>R\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV_{mol}}\over{T}}=R\;</MATH>|7.5}} Mając definicję objętości molowej zdefiniowanej w równaniu jako iloraz objętości gazu przez liczbę moli cząstek jaką posiada gaz doskonały według {{LinkWzór|6.3|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, to równanie {{LinkWzór|7.5}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p{{V}\over{n}}}\over{T}}=R\Rightarrow{{pV}\over{nT}}=R\Rightarrow pV=nRT\;</MATH>|7.6}} Ogólne równanie stanu gazu doskonałego (Calpeyrona) na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.6}} jest zapisywane jako: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\;</MATH>|7.7|Obramuj}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|7.7}} iloczyn ciśnienia gazu jakie działa na ścianki naczynia przez objętość tego naczynia jest wprost proporcjonalna do temperatury jaką posiada nasz gaz. Udowodniliśmy, że z prawa Charles'a, prawa Gay-Lussaca i prawa Boyle'a-Mariotte'a wynika ogólne równanie stanu gazu doskonałego i udowodnimy, czy z równania gazu doskonałego wynikają te właśnie cząstkowe równania. Wprowadzimy inny sposób wyprowadzania równania Calpeyrona wykorzystując definicję różniczki zupełnej wiedząc, że jednych z parametrów zależy od dwóch pozostałych parametrów, więc możemy napisać różniczkę ciśnienia w zależności od różniczki temperatury i objętości: {{CentrujWzór|<MATH>dp={{\partial p}\over{\partial T}}dT+{{\partial p}\over{\partial V_{mol}}}dV_{mol}\;</MATH>|7.8}} Możemy rozważyć dwa sposoby rozpatrywania różniczki {{LinkWzór|7.8}}, tzn. przy stałej temperaturze T i objetości V, ale najpierw rozpatrzmy stałą objętość wykorzystując {{LinkWzór|7.3}}, wtedy {{Formuła|<MATH>{{\partial p}\over{\partial T}}=k\wedge k={{p}\over{T}}\;</MATH>}}, a następnie rozpatrzmy przypadek stałej temperatury wykorzystując {{LinkWzór|7.1}}, wtedy {{Formuła|<MATH>{{\partial p}\over{\partial V_{mol}}}=-{{a}\over{V^2_{mol}}}\wedge a=pV_{mol}\;</MATH>}}, co na podstawie tego wzór {{LinkWzór|7.8}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>dp={{p}\over{T}}dT-{{p}\over{V_{mol}}}dV_{mol}\Rightarrow {{dp}\over{p}}={{dT}\over{T}}-{{dV_{mol}}\over{V_{mol}}}\Rightarrow \ln p=\ln T-\ln V_{mol}+\ln R\Rightarrow pV_{mol}=RT\;</MATH>|7.9}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.9}} wyprowadziliśmy równanie stanu gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} dla jednego mola gazu. == Wirialne równanie stanu dla gazu doskonałego == Wirialne równanie stanu {{LinkWzór|6.7|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} przechodzi w równanie gazu doskonałego, gdy A(T)=0, B(T)=0, C(T)=0 i dalej lub gdy objętość molowa zajmowanej przez gaz jest bardzo duża w porównaniu z owymi współczynnikami. Wirialne równanie stanu tak zostało sformułowane, by dla dużych objętości molowych przechodziło w równanie stanu gazu doskonałego. == Związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem i pod stałą objętością == Policzymy związek między ciepłem właściwym dla stałej objętości, a pod stałym ciśnieniem, dla układów zamkniętych w równowadze termodynamicznej. Jeśli z równania gazu doskonałego wyznaczymy ciśnienie względem temperatury i objętości, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow p={{nRT}\over{V}}\;</MATH>|7.10}} Korzystając ze wzoru na ciśnienie w zależności od pozostałych parametrów gazu {{LinkWzór|7.10}}, to pochodna cząstkowa ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością dla tego gazu jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V={{nR}\over{V}}\;</MATH>|7.11}} Wyznaczmy z równania gazu doskonałego objętość względem temperatury i ciśnienia panującego w gazie znajdującym się w równowadze termodynamicznej i mechanicznej: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow V={{nRT}\over {p}}\;</MATH>|7.12}} To pochodna cząstkowa objętości względem temperatury bezwzględnej pod stałym ciśnieniem, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12}}, jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p={{nR}\over{p}}\;</MATH>|7.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|5.40|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} i do tego wzoru podstawić pochodne cząstkowe {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.13}}, wtedy otrzymujemy ostatecznie wzór na różnicę ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p=T{{nR}\over{V}}{{nR}\over{p}}=T{{nRnR}\over{pV}}={{nRT \cdot nR}\over{nRT}}=nR\;\;</MATH>|7.14}} Z obliczeń w punkcie {{LinkWzór|7.14}} otrzymujemy ogólny związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem a objętością dla gazu doskonałego, który jest wprost proporcjonalny do ilości moli cząsteczek jaką posiada nasz rozważany gaz. {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=nR\;\;</MATH>|7.15}} Przyjmujemy jako definicję ciepła molowego pod stałym ciśnieniem i objętością jako iloraz ciepeł właściwych przez liczność materii jako posiada dany gaz: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_p={{C_p}\over{n}}\;</MATH>|7.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_v={{C_v}\over{n}}\;\;</MATH>|7.17}}}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.16}} (ciepło właściwe molowe pod stałym ciśnieniem) i {{LinkWzór|7.17}} (ciepło właściwe molowe pod stałą objętością) podstawiając to wszystko do równania {{LinkWzór|7.15}}, wtedy końcowe równanie przyjmuje równoważną do poprzedniego postać: {{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_p-C^{mol}_v=R\;\;</MATH>|7.18}} Dochodzimy do wniosku, że dla gazu doskonałego różnica między ciepłem właściwym molowym pod stałym ciśnieniem i pod stałą objętością jest wielkością stałą i nie zależy od rodzaju i liczności gazu i jest ona równa stałej gazowej. == Infinitezymalna zmiana energii wewnętrznej dla gazu doskonałego == Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam bardzo potrzebne w późniejszych obliczeniach w przypadku gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V-p= T{{nR}\over{V}}-p={{nRT}\over{V}}-p={{pV}\over{V}}-p=0\;\;</MATH>|7.19}} Dla gazu doskonałego zachodzi również wzór w postaci ogólnej {{LinkWzór|5.52|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.19}} drugi wyraz znika z różniczką objętości i pozostaje tylko wyraz z różniczką temperatury, zatem dochodzimy do wniosku, że energia wewnętrzna gazu nie zależy od objętości tego gazu, co zachodzi tylko dla gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T=0\;\;</MATH>|7.20}} Zmiana energii wewnętrznej nie zależy od objętości dla gazu doskonałego i według {{LinkWzór|7.19}} równanie {{LinkWzór|5.52|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} przyjmuje bardzo prostą postać: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_vdT=nC_v^{mol}dT\;\;</MATH>|7.21}} Widzimy, że nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej gazu zależy od ciepła właściwego molowego pod stałą objętością i ilości moli cząsteczek jaką posiada gaz względem infinitezymalnej zmiany temperatury. == Równanie izotermiczne – prawo Boyle'a-Mariotte'a == {{Rysunek|Isotherms.png|lk1|Wykres przemiany izotermicznej, linia niebieska jest dla temperatury T{{Sub|1}}, zielona dla T{{Sub|2}} i czerwona dla T{{Sub|1}}. Zachodzi T{{Sub|1}}<T{{Sub|2}}<T{{Sub|3}}}} Jest to równanie stanu gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w którym temperatura jest stała dla układu zamkniętego: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT=const\;\;</MATH>|7.22}} Z równania {{LinkWzór|7.22}} wynika, że iloczyn ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia i objętości zajmowanej przez gaz jest wielkością niezmienniczą, dla stałej temperatury gazu wynika równanie. {{CentrujWzór|<MATH>pV=const\;\;</MATH>|7.23}} == Równanie izobaryczne – prawo Charles'a == {{Rysunek|Charles's law graph.png|lk2|Wykres przemiany izobarycznej dla tej samej liczności gazu. Górny wykres jest dla mniejszego ciśnienia niż dolny. Jak widzimy oba wykresy mają punkt wspólny w temperaturze zero Kelwina}} Jest to równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w której ciśnienie jest wielkością stałą: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow{{p}\over{nR}}={{T}\over{V}}=const\;\;</MATH>|7.24}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.22}} wynika, że iloraz temperatury gazy przez objętość zajmowaną przez gaz jest wielkością stałą dla stałego ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia: {{CentrujWzór|<MATH>{{T}\over{V}}=const\;\;</MATH>|7.25}} Stała po prawej stronie równania {{LinkWzór|7.25}} jest zależna liniowo od ciśnienia gazu działających na ścianki naczynia i odwrotnie proporcjonalna do liczności gazu. Równanie Charles'a przy pomocy temperatury Celsjusza można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>V=V_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)</MATH>|7.25a}} * {{Formuła|<MATH>V_0\;</MATH>}} – jest to objętość gazu w temperaturze zera stopni Celsjusza. Równanie {{LinkWzór|7.25a}} jest równoważna z równaniem {{LinkWzór|7.25}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>V=V_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)={{V_0}\over{273,16}}(t+273,16)={{V_0}\over{273,16}}T\;</MATH>|7.25b}} Zatem udowodniliśmy równoważność obu równań z temperaturą Kelwina i Celsjusza. == Równanie izochoryczne – prawo Gay-Lussaca == {{Rysunek|Gay-Lussac's_law_graph.png|lk4|Wykres przemiany izochorycznej dla tej samej liczności gazu. Górny wykres jest dla mniejszej objętości niż dolny. Jak widzimy oba wykresy mają punkt wspólny w temperaturze zero Kelwina}} Jest to równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w którym objętość pozostaje stała, oczywiście: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow{{V}\over{nR}}={{T}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.26}} Z równania {{LinkWzór|7.26}} wynika, że iloraz temperatury gazu przez ciśnienie wywieranego przez gaz na ścianki naczynia, w którym znajduje się gaz jest wielkością stałą przy stałej objętości gazu. {{CentrujWzór|<MATH>{{T}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.27}} Stała po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|7.27}} jest w liniowym związku z objętością gazu i odwrotnie proporcjonalna do jego liczności. Prawo Gay-Lussaca można też zapisać w zależności od temperatury Celsjusza w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)</MATH>|7.27a}} * {{Formuła|<MATH>p_0\;</MATH>}} – jest to ciśnienie gazu w temperaturze zera stopni Celsjusza. Udowodnijmy, że równanie {{LinkWzór|7.27a}} jest równoważne z {{LinkWzór|7.27}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)=p_0{{273,16+t}\over{273,16}}={{p_0}\over{273,16}}T\;</MATH>|7.27b}} Zatem udowodniliśmy równoważność obu równań z temperaturą Kelwina i Celsjusza. == Równanie adiabaty – równania Poissona == Równanie adiabaty lub równoważnie równanie Poissona, w którym układzie zamkniętym nie ma wymiany ciepła między otoczeniem a układem, liczba cząstek jest stała, a równanie stanu gazu doskonałego, a według niego energia wewnętrzna jego z oczywistych powodów nie zależy od czasu, oczywiście: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=0\;\;</MATH>|7.28}} Z: {{sr|p=Zasady termodynamiki fenomenologicznej|#Pierwsza zasada termodynamiki|z pierwszej zasady termodynamiki}}, wynika, że równanie {{LinkWzór|2.2|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, biorąc jeszcze {{LinkWzór|7.28}} (przemiana adiabatyczna), to oczywiście jest, że mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=-pdV\;\;</MATH>|7.29}} Dochodzimy do wniosku, że w przemianie adiabatycznym wymiana energii miedzy układem a otoczeniem odbywa się na w sposób pracy objętościowej. Dla gazu doskonałego łącząc równania {{LinkWzór|7.21}} i {{LinkWzór|7.29}}, bo oznaczają to samo, dostajemy, że: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT=-pdV\;\;</MATH>|7.30}} Z równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy ciśnienie, wtedy wykorzystujemy to otrzymane równanie stanu gazu doskonałego z wyznaczonym powiedzianym parametrem do {{LinkWzór|7.30}} dokonując w nim odpowiednich mnożeń tak układamy tam wyrazy, by wyrazy jednej zmiennej znajdował się na jednej stronie, a wyrazy drugiej zmiennej znajdowały się na drugiej stronie, by potem można by je scałkować w sposób nieoznaczony: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT=-{{nRT}\over{V}}dV\Rightarrow C_v{{dT}\over{T}}=-{nR}{{dV}\over V}\Rightarrow\ln T^{C_v}=-\ln V^{nR}+C\Rightarrow T^{C_v}V^{nR}=C=const\;</MATH>|7.31}} Równanie {{LinkWzór|7.31}} pierwiastkujemy obustronnie względem C{{Sub|v}}, zatem otrzymujemy ważny wniosek, jako równanie stanu adiabaty względem zmiennych temperatury i objętości gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{{{nR}\over{C_v}}}=const\;</MATH>|7.32}} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|7.15}} na różnicę ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i stałą objętością, wtedy z równania {{LinkWzór|7.32}} otrzymujemy równoważne równanie: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{{{C_p-C_v}\over{C_v}}}=const\Rightarrow TV^{{{C_p}\over{C_v}}-1}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.33}} Definiujemy nowy parametr, jako iloraz ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem przez ciepło właściwe pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}\;\;</MATH>|7.34}} Wykorzystując definicję stałej &kappa; wedle definicji {{LinkWzór|7.34}}, to wtedy równanie {{LinkWzór|7.33}} przyjmuje wynikową ostateczną uproszczoną postać: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{\kappa-1}=const\;\;</MATH>|7.35}} Równanie {{LinkWzór|7.35}} zależy od stałej &kappa; i jest w zmiennych T, V, można je przedstawić w zmiennych (p,V), w tym celu wykorzystujemy jeszcze raz równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, z niego wyprowadzając temperaturę bezwzględną, zatem wykorzystując owe wyrażenie do wspomnianego równania, wtedy rozważane równanie przyjmowało będzie wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over {nR}}V^{\kappa-1}=const\Rightarrow pV^{\kappa}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.36}} Napiszmy inną postać równań Poissona, jeśli mamy {{LinkWzór|7.35}},to z równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczmy objętość podstawiając ją do równania stanu gazu adiabaty napisanego wedle ostatniego równania, wtedy dostajemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH> T (nR)^{\kappa-1}{{T^{\kappa-1}}\over{p^{\kappa-1}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.37}} Z {{LinkWzór|7.37}} grupując czynniki w zmiennych względem temperatury "T" i ciśnienia "p" po lewej stronie ostatniego równania, a stałe po prawej stronie tegoż równania, więc ostatecznie otrzymujemy równanie w tychże zmiennych. {{CentrujWzór|<MATH>{{T^{{{\kappa}}\over{\kappa-1}}}\over{p}}=const\;</MATH>|7.38}} === Zestawienie równań Poissona === Przedstawimy tutaj cały zestaw równań Poissona w zmiennych ciśnienie-objętość (p,V), temperatura-objętość, (T,V), temperatura-ciśnienie (T,p). {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.39|Obramuj}}|2={{CentrujWzór|<MATH>TV^{\kappa-1}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.40|Obramuj}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{T^{{{\kappa}}\over{\kappa-1}}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.41|Obramuj}}}} == Porównanie wykresów p-V dla adiabaty i izotermy gazu doskonałego == {{Rysunek|Sample adiabatic curve.png|w1|Krzywa czerwona i zielona – [[w:izoterma|izotermy]] ([[w:przemiana izotermiczna|przemiana izotermiczna]]), niebieska – adiabata}} Równanie izotermy, dla określonej temperatury T jest określone według {{LinkWzór|7.23}}. A równanie adiabaty jest określone według {{LinkWzór|7.39}} Wyznaczmy stałą {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} występujące we wzorze adiabaty. {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}</MATH>|7.42}} Wiadomo dla gazu jednoatomowego korzystając przy tym z zasady ekwipartycji energii {{LinkWzór|6.10|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, że jego ciepło właściwie jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>C_v={{3}\over{2}}nR</MATH>|7.43}} Różnica ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=nR \Rightarrow C_p=nR+C_v</MATH>|7.44}} Z równania {{LinkWzór|7.44}} wyznaczamy ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>C_p=nR+{{3}\over{2}}nR={{5}\over{2}}nR</MATH>.|7.45}} Korzystając przy tym z definicji na ciepło właściwe pod stałą objętością {{LinkWzór|7.43}} i ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem {{LinkWzór|7.45}}, wtedy dostajemy, że dla gazu doskonałego jednoatomowego parametr &kappa; jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}={{{{5}\over{2}}nR}\over{{{3}\over{2}}nR}}={{5}\over{3}}\simeq 1,667 </MATH>|7.46}} == Równania politropy == Jest to równanie, w której podczas takiej przemiany ciepło właściwe pozostaje stałe, które jest stałe przy stałym parametrze x. Korzystając z równania {{LinkWzór|2.10|Zasady termodynamiki fenomenologicznej}} przyjmując stałą liczbę cząstek w układzie i o energii wewnętrznej niezależnej od czasu, wtedy napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH> dU=\delta Q-pdV\Rightarrow dU=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.47}} Energia wewnętrzna nie zależy od drogi w zmiennych (p,V) po jakich przebywał układ w sposób quasistatyczny, zatem rozłóżmy różniczkę energii wewnętrznej względem dwóch zmiennych niezależnych względem temperatury i objętości posiadanej przez dany gaz: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_VdT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T dV\;</MATH>|7.48}} Po przyrównaniu równań na różniczkę zupełną energii wewnętrznej {{LinkWzór|7.48}} i równania {{LinkWzór|7.47}}, bo one oznaczają to samo, to dostajemy inne wynikowe równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_VdT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T dV=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.49}} Mamy wzór na ciepło właściwe gazu pod stałą objętością zdefiniowaną wedle wzoru {{LinkWzór|5.36|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} i podstawiając tą definicję do równania {{LinkWzór|7.49}}, mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT+{\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)}_TdV=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.50}} W równaniu {{LinkWzór|7.50}} grupując wyrazy względem tych samych różniczek, tzn. względem różniczek temperatury i objętości, tak by znajdowały się po różnych obu stronach naszego rozważanego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT=\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T+p\right)dV\;\;</MATH>|7.51}} W równaniu {{LinkWzór|7.51}} mamy w nim występującą energię wewnętrzną, zatem na razie owe równanie jest bezużyteczne, dopóki nie wykorzystamy wzoru {{LinkWzór|5.33|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} podstawiając go do równania {{LinkWzór|7.51}}, wtedy tak rozważane równanie możemy przedstawić w zmiennych równania stanu: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_VdV\;\;</MATH>|7.52}} Rozpatrując gaz doskonały, to z równania {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy ciśnienie podstawiając uzyskane równanie do {{LinkWzór|7.52}}, wtedy ono przechodzi w równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT= T{{nR}\over{V}}dV\;</MATH>|7.53}} W równaniu {{LinkWzór|7.53}} tak wykonujemy obustronne mnożenia, by zmienne jednej zmiennej były po tej samej stronie, a zmienne drugiej zmiennej po drugiej jej stronie, by potem można by je scałkować w sposób oznaczony jako funkcje jednej zmiennej. {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right){{dT}\over{T}}={{nR}\over{V}}dV\;</MATH>|7.54}} Po scałkowaniu nieoznaczonym obustronnym równania {{LinkWzór|7.54}} otrzymujemy ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)\ln T=\left(C_p-C_v\right)\ln V +\ln D\Rightarrow\ln T^{C_x-C_v}=\ln V^{C_p-C_v}+\ln D\Rightarrow{{T^{C_x-C_v}}\over{V^{C_p-C_v}}}=D\;</MATH>|7.55}} Widzimy, że nasze równanie politropy zależy od stałej D. Aby przedstawić równanie {{LinkWzór|7.55}} względem zmiennych p i V, to wtedy biorąc kolejne przekształcenia równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy z tego równania tym razem temperaturę: {{CentrujWzór|<MATH>{{p^{C_x-C_v}V^{C_x-C_v}}\over{V^{C_p-C_v}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.56}} Z równania {{LinkWzór|7.56}} po niezbyt wyczerpujących działaniach na potęgach objętości V, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>p^{C_x-C_v}V^{C_x-C_p}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.57}} Co z kolei w równaniu {{LinkWzór|7.57}} dokonujemy pierwiastkowania względem różnicy ciepła właściwego pod stałym parametrem "x" i ciepła właściwego pod stałą objętością, czyli C{{Sub|x}}-C{{Sub|v}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{{{C_x-C_p}\over{C_x-C_v}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.58|Obramuj}} Równanie {{LinkWzór|7.58}} jest równaniem politropy dla gazu doskonałego, który zachodzi pod stałym parametrem "x", wtedy owe ciepło właściwe jest równe C{{Sub|x}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> q9zv8yb09oxujqmk8keh2fd6z5d1mfq 558594 558569 2026-10-04T19:04:25Z Persino 2851 /* Równanie adiabaty – równania Poissona */ 558594 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Gazem doskonałym''' jest opisywany przez równanie gazu doskonałego, jest to równanie opisujące tylko gaz, gdy on posiada dużą temperaturę, objętość molową lub nawet gdy jest rozrzedzony, tzn. gdy gaz posiada względnie małą liczbę cząsteczek. Gaz doskonały spełnia * '''prawo Boyle'a-Mariotte'a''' (równanie izotermiczne), czyli procesy zachodzące pod stałą temperaturą, w których iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętość jest wielkością stałą: {{CentrujWzór|<MATH>pV=\operatorname{const}\;</MATH>|7.1}} * '''prawo Charles'a''' (równanie izobaryczne), czyli procesy zachodzące pod stałym ciśnieniem, w którym objętość gazu jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej panującej w gazie: {{CentrujWzór|<MATH>V\sim T\;</MATH>|7.2}} * '''prawo Gay-Lussaca''' (równanie izochoryczne), czyli procesy zachodzące pod stałą objętością, w którym ciśnienie panujące w gazie jest wprost proporcjonalne do temperatury naszego badanego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>p\sim T\;</MATH>|7.3}} Biorąc warunki {{LinkWzór|7.1}} (parwo Boyle'a-Mariotte'a), {{LinkWzór|7.2}} (prawo Charles'a), {{LinkWzór|7.3}} (prawo Gay-Lussaca), dostajemy bardziej ogólne równanie stanu gazu doskonałego w postaci dla jednego mola gazu: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV_{mol}}\over{T}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.4}} Stałą występująca w {{LinkWzór|7.4}} nazwijmy stałą gazową i oznaczmy literką {{Formuła|<MATH>R\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV_{mol}}\over{T}}=R\;</MATH>|7.5}} Mając definicję objętości molowej zdefiniowanej w równaniu jako iloraz objętości gazu przez liczbę moli cząstek jaką posiada gaz doskonały według {{LinkWzór|6.3|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, to równanie {{LinkWzór|7.5}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p{{V}\over{n}}}\over{T}}=R\Rightarrow{{pV}\over{nT}}=R\Rightarrow pV=nRT\;</MATH>|7.6}} Ogólne równanie stanu gazu doskonałego (Calpeyrona) na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.6}} jest zapisywane jako: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\;</MATH>|7.7|Obramuj}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|7.7}} iloczyn ciśnienia gazu jakie działa na ścianki naczynia przez objętość tego naczynia jest wprost proporcjonalna do temperatury jaką posiada nasz gaz. Udowodniliśmy, że z prawa Charles'a, prawa Gay-Lussaca i prawa Boyle'a-Mariotte'a wynika ogólne równanie stanu gazu doskonałego i udowodnimy, czy z równania gazu doskonałego wynikają te właśnie cząstkowe równania. Wprowadzimy inny sposób wyprowadzania równania Calpeyrona wykorzystując definicję różniczki zupełnej wiedząc, że jednych z parametrów zależy od dwóch pozostałych parametrów, więc możemy napisać różniczkę ciśnienia w zależności od różniczki temperatury i objętości: {{CentrujWzór|<MATH>dp={{\partial p}\over{\partial T}}dT+{{\partial p}\over{\partial V_{mol}}}dV_{mol}\;</MATH>|7.8}} Możemy rozważyć dwa sposoby rozpatrywania różniczki {{LinkWzór|7.8}}, tzn. przy stałej temperaturze T i objetości V, ale najpierw rozpatrzmy stałą objętość wykorzystując {{LinkWzór|7.3}}, wtedy {{Formuła|<MATH>{{\partial p}\over{\partial T}}=k\wedge k={{p}\over{T}}\;</MATH>}}, a następnie rozpatrzmy przypadek stałej temperatury wykorzystując {{LinkWzór|7.1}}, wtedy {{Formuła|<MATH>{{\partial p}\over{\partial V_{mol}}}=-{{a}\over{V^2_{mol}}}\wedge a=pV_{mol}\;</MATH>}}, co na podstawie tego wzór {{LinkWzór|7.8}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>dp={{p}\over{T}}dT-{{p}\over{V_{mol}}}dV_{mol}\Rightarrow {{dp}\over{p}}={{dT}\over{T}}-{{dV_{mol}}\over{V_{mol}}}\Rightarrow \ln p=\ln T-\ln V_{mol}+\ln R\Rightarrow pV_{mol}=RT\;</MATH>|7.9}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.9}} wyprowadziliśmy równanie stanu gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} dla jednego mola gazu. == Wirialne równanie stanu dla gazu doskonałego == Wirialne równanie stanu {{LinkWzór|6.7|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} przechodzi w równanie gazu doskonałego, gdy A(T)=0, B(T)=0, C(T)=0 i dalej lub gdy objętość molowa zajmowanej przez gaz jest bardzo duża w porównaniu z owymi współczynnikami. Wirialne równanie stanu tak zostało sformułowane, by dla dużych objętości molowych przechodziło w równanie stanu gazu doskonałego. == Związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem i pod stałą objętością == Policzymy związek między ciepłem właściwym dla stałej objętości, a pod stałym ciśnieniem, dla układów zamkniętych w równowadze termodynamicznej. Jeśli z równania gazu doskonałego wyznaczymy ciśnienie względem temperatury i objętości, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow p={{nRT}\over{V}}\;</MATH>|7.10}} Korzystając ze wzoru na ciśnienie w zależności od pozostałych parametrów gazu {{LinkWzór|7.10}}, to pochodna cząstkowa ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością dla tego gazu jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V={{nR}\over{V}}\;</MATH>|7.11}} Wyznaczmy z równania gazu doskonałego objętość względem temperatury i ciśnienia panującego w gazie znajdującym się w równowadze termodynamicznej i mechanicznej: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow V={{nRT}\over {p}}\;</MATH>|7.12}} To pochodna cząstkowa objętości względem temperatury bezwzględnej pod stałym ciśnieniem, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12}}, jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p={{nR}\over{p}}\;</MATH>|7.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|5.40|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} i do tego wzoru podstawić pochodne cząstkowe {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.13}}, wtedy otrzymujemy ostatecznie wzór na różnicę ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p=T{{nR}\over{V}}{{nR}\over{p}}=T{{nRnR}\over{pV}}={{nRT \cdot nR}\over{nRT}}=nR\;\;</MATH>|7.14}} Z obliczeń w punkcie {{LinkWzór|7.14}} otrzymujemy ogólny związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem a objętością dla gazu doskonałego, który jest wprost proporcjonalny do ilości moli cząsteczek jaką posiada nasz rozważany gaz. {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=nR\;\;</MATH>|7.15}} Przyjmujemy jako definicję ciepła molowego pod stałym ciśnieniem i objętością jako iloraz ciepeł właściwych przez liczność materii jako posiada dany gaz: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_p={{C_p}\over{n}}\;</MATH>|7.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_v={{C_v}\over{n}}\;\;</MATH>|7.17}}}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.16}} (ciepło właściwe molowe pod stałym ciśnieniem) i {{LinkWzór|7.17}} (ciepło właściwe molowe pod stałą objętością) podstawiając to wszystko do równania {{LinkWzór|7.15}}, wtedy końcowe równanie przyjmuje równoważną do poprzedniego postać: {{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_p-C^{mol}_v=R\;\;</MATH>|7.18}} Dochodzimy do wniosku, że dla gazu doskonałego różnica między ciepłem właściwym molowym pod stałym ciśnieniem i pod stałą objętością jest wielkością stałą i nie zależy od rodzaju i liczności gazu i jest ona równa stałej gazowej. == Infinitezymalna zmiana energii wewnętrznej dla gazu doskonałego == Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam bardzo potrzebne w późniejszych obliczeniach w przypadku gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V-p= T{{nR}\over{V}}-p={{nRT}\over{V}}-p={{pV}\over{V}}-p=0\;\;</MATH>|7.19}} Dla gazu doskonałego zachodzi również wzór w postaci ogólnej {{LinkWzór|5.52|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.19}} drugi wyraz znika z różniczką objętości i pozostaje tylko wyraz z różniczką temperatury, zatem dochodzimy do wniosku, że energia wewnętrzna gazu nie zależy od objętości tego gazu, co zachodzi tylko dla gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T=0\;\;</MATH>|7.20}} Zmiana energii wewnętrznej nie zależy od objętości dla gazu doskonałego i według {{LinkWzór|7.19}} równanie {{LinkWzór|5.52|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} przyjmuje bardzo prostą postać: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_vdT=nC_v^{mol}dT\;\;</MATH>|7.21}} Widzimy, że nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej gazu zależy od ciepła właściwego molowego pod stałą objętością i ilości moli cząsteczek jaką posiada gaz względem infinitezymalnej zmiany temperatury. == Równanie izotermiczne – prawo Boyle'a-Mariotte'a == {{Rysunek|Isotherms.png|lk1|Wykres przemiany izotermicznej, linia niebieska jest dla temperatury T{{Sub|1}}, zielona dla T{{Sub|2}} i czerwona dla T{{Sub|1}}. Zachodzi T{{Sub|1}}<T{{Sub|2}}<T{{Sub|3}}}} Jest to równanie stanu gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w którym temperatura jest stała dla układu zamkniętego: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT=const\;\;</MATH>|7.22}} Z równania {{LinkWzór|7.22}} wynika, że iloczyn ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia i objętości zajmowanej przez gaz jest wielkością niezmienniczą, dla stałej temperatury gazu wynika równanie. {{CentrujWzór|<MATH>pV=const\;\;</MATH>|7.23}} == Równanie izobaryczne – prawo Charles'a == {{Rysunek|Charles's law graph.png|lk2|Wykres przemiany izobarycznej dla tej samej liczności gazu. Górny wykres jest dla mniejszego ciśnienia niż dolny. Jak widzimy oba wykresy mają punkt wspólny w temperaturze zero Kelwina}} Jest to równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w której ciśnienie jest wielkością stałą: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow{{p}\over{nR}}={{T}\over{V}}=const\;\;</MATH>|7.24}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.22}} wynika, że iloraz temperatury gazy przez objętość zajmowaną przez gaz jest wielkością stałą dla stałego ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia: {{CentrujWzór|<MATH>{{T}\over{V}}=const\;\;</MATH>|7.25}} Stała po prawej stronie równania {{LinkWzór|7.25}} jest zależna liniowo od ciśnienia gazu działających na ścianki naczynia i odwrotnie proporcjonalna do liczności gazu. Równanie Charles'a przy pomocy temperatury Celsjusza można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>V=V_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)</MATH>|7.25a}} * {{Formuła|<MATH>V_0\;</MATH>}} – jest to objętość gazu w temperaturze zera stopni Celsjusza. Równanie {{LinkWzór|7.25a}} jest równoważna z równaniem {{LinkWzór|7.25}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>V=V_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)={{V_0}\over{273,16}}(t+273,16)={{V_0}\over{273,16}}T\;</MATH>|7.25b}} Zatem udowodniliśmy równoważność obu równań z temperaturą Kelwina i Celsjusza. == Równanie izochoryczne – prawo Gay-Lussaca == {{Rysunek|Gay-Lussac's_law_graph.png|lk4|Wykres przemiany izochorycznej dla tej samej liczności gazu. Górny wykres jest dla mniejszej objętości niż dolny. Jak widzimy oba wykresy mają punkt wspólny w temperaturze zero Kelwina}} Jest to równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w którym objętość pozostaje stała, oczywiście: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow{{V}\over{nR}}={{T}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.26}} Z równania {{LinkWzór|7.26}} wynika, że iloraz temperatury gazu przez ciśnienie wywieranego przez gaz na ścianki naczynia, w którym znajduje się gaz jest wielkością stałą przy stałej objętości gazu. {{CentrujWzór|<MATH>{{T}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.27}} Stała po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|7.27}} jest w liniowym związku z objętością gazu i odwrotnie proporcjonalna do jego liczności. Prawo Gay-Lussaca można też zapisać w zależności od temperatury Celsjusza w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)</MATH>|7.27a}} * {{Formuła|<MATH>p_0\;</MATH>}} – jest to ciśnienie gazu w temperaturze zera stopni Celsjusza. Udowodnijmy, że równanie {{LinkWzór|7.27a}} jest równoważne z {{LinkWzór|7.27}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)=p_0{{273,16+t}\over{273,16}}={{p_0}\over{273,16}}T\;</MATH>|7.27b}} Zatem udowodniliśmy równoważność obu równań z temperaturą Kelwina i Celsjusza. == Równanie adiabaty – równania Poissona == Równanie adiabaty lub równoważnie równanie Poissona, w którym układzie zamkniętym nie ma wymiany ciepła między otoczeniem a układem, liczba cząstek jest stała, a równanie stanu gazu doskonałego, a według niego energia wewnętrzna jego z oczywistych powodów nie zależy od czasu, oczywiście: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=0\;\;</MATH>|7.28}} Z {{sr|p=Zasady termodynamiki fenomenologicznej|#Pierwsza zasada termodynamiki|pierwszej zasady termodynamiki}}, wynika, że równanie {{LinkWzór|2.2|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, biorąc jeszcze {{LinkWzór|7.28}} (przemiana adiabatyczna), to oczywiście jest, że mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=-pdV\;\;</MATH>|7.29}} Dochodzimy do wniosku, że w przemianie adiabatycznym wymiana energii miedzy układem a otoczeniem odbywa się na w sposób pracy objętościowej. Dla gazu doskonałego łącząc równania {{LinkWzór|7.21}} i {{LinkWzór|7.29}}, bo oznaczają to samo, dostajemy, że: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT=-pdV\;\;</MATH>|7.30}} Z równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy ciśnienie, wtedy wykorzystujemy to otrzymane równanie stanu gazu doskonałego z wyznaczonym powiedzianym parametrem do {{LinkWzór|7.30}} dokonując w nim odpowiednich mnożeń tak układamy tam wyrazy, by wyrazy jednej zmiennej znajdował się na jednej stronie, a wyrazy drugiej zmiennej znajdowały się na drugiej stronie, by potem można by je scałkować w sposób nieoznaczony: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT=-{{nRT}\over{V}}dV\Rightarrow C_v{{dT}\over{T}}=-{nR}{{dV}\over V}\Rightarrow\ln T^{C_v}=-\ln V^{nR}+C\Rightarrow T^{C_v}V^{nR}=C=const\;</MATH>|7.31}} Równanie {{LinkWzór|7.31}} pierwiastkujemy obustronnie względem C{{Sub|v}}, zatem otrzymujemy ważny wniosek, jako równanie stanu adiabaty względem zmiennych temperatury i objętości gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{{{nR}\over{C_v}}}=const\;</MATH>|7.32}} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|7.15}} na różnicę ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i stałą objętością, wtedy z równania {{LinkWzór|7.32}} otrzymujemy równoważne równanie: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{{{C_p-C_v}\over{C_v}}}=const\Rightarrow TV^{{{C_p}\over{C_v}}-1}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.33}} Definiujemy nowy parametr, jako iloraz ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem przez ciepło właściwe pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}\;\;</MATH>|7.34}} Wykorzystując definicję stałej &kappa; wedle definicji {{LinkWzór|7.34}}, to wtedy równanie {{LinkWzór|7.33}} przyjmuje wynikową ostateczną uproszczoną postać: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{\kappa-1}=const\;\;</MATH>|7.35}} Równanie {{LinkWzór|7.35}} zależy od stałej &kappa; i jest w zmiennych T, V, można je przedstawić w zmiennych (p,V), w tym celu wykorzystujemy jeszcze raz równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, z niego wyprowadzając temperaturę bezwzględną, zatem wykorzystując owe wyrażenie do wspomnianego równania, wtedy rozważane równanie przyjmowało będzie wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over {nR}}V^{\kappa-1}=const\Rightarrow pV^{\kappa}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.36}} Napiszmy inną postać równań Poissona, jeśli mamy {{LinkWzór|7.35}},to z równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczmy objętość podstawiając ją do równania stanu gazu adiabaty napisanego wedle ostatniego równania, wtedy dostajemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH> T (nR)^{\kappa-1}{{T^{\kappa-1}}\over{p^{\kappa-1}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.37}} Z {{LinkWzór|7.37}} grupując czynniki w zmiennych względem temperatury "T" i ciśnienia "p" po lewej stronie ostatniego równania, a stałe po prawej stronie tegoż równania, więc ostatecznie otrzymujemy równanie w tychże zmiennych. {{CentrujWzór|<MATH>{{T^{{{\kappa}}\over{\kappa-1}}}\over{p}}=const\;</MATH>|7.38}} === Zestawienie równań Poissona === Przedstawimy tutaj cały zestaw równań Poissona w zmiennych ciśnienie-objętość (p,V), temperatura-objętość, (T,V), temperatura-ciśnienie (T,p). {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.39|Obramuj}} |2={{CentrujWzór|<MATH>TV^{\kappa-1}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.40|Obramuj}} |3={{CentrujWzór|<MATH>{T^{{{\kappa}}\over{\kappa-1}}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.41|Obramuj}} }} == Porównanie wykresów p-V dla adiabaty i izotermy gazu doskonałego == {{Rysunek|Sample adiabatic curve.png|w1|Krzywa czerwona i zielona – [[w:izoterma|izotermy]] ([[w:przemiana izotermiczna|przemiana izotermiczna]]), niebieska – adiabata}} Równanie izotermy, dla określonej temperatury T jest określone według {{LinkWzór|7.23}}. A równanie adiabaty jest określone według {{LinkWzór|7.39}} Wyznaczmy stałą {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} występujące we wzorze adiabaty. {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}</MATH>|7.42}} Wiadomo dla gazu jednoatomowego korzystając przy tym z zasady ekwipartycji energii {{LinkWzór|6.10|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, że jego ciepło właściwie jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>C_v={{3}\over{2}}nR</MATH>|7.43}} Różnica ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=nR \Rightarrow C_p=nR+C_v</MATH>|7.44}} Z równania {{LinkWzór|7.44}} wyznaczamy ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>C_p=nR+{{3}\over{2}}nR={{5}\over{2}}nR</MATH>.|7.45}} Korzystając przy tym z definicji na ciepło właściwe pod stałą objętością {{LinkWzór|7.43}} i ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem {{LinkWzór|7.45}}, wtedy dostajemy, że dla gazu doskonałego jednoatomowego parametr &kappa; jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}={{{{5}\over{2}}nR}\over{{{3}\over{2}}nR}}={{5}\over{3}}\simeq 1,667 </MATH>|7.46}} == Równania politropy == Jest to równanie, w której podczas takiej przemiany ciepło właściwe pozostaje stałe, które jest stałe przy stałym parametrze x. Korzystając z równania {{LinkWzór|2.10|Zasady termodynamiki fenomenologicznej}} przyjmując stałą liczbę cząstek w układzie i o energii wewnętrznej niezależnej od czasu, wtedy napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH> dU=\delta Q-pdV\Rightarrow dU=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.47}} Energia wewnętrzna nie zależy od drogi w zmiennych (p,V) po jakich przebywał układ w sposób quasistatyczny, zatem rozłóżmy różniczkę energii wewnętrznej względem dwóch zmiennych niezależnych względem temperatury i objętości posiadanej przez dany gaz: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_VdT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T dV\;</MATH>|7.48}} Po przyrównaniu równań na różniczkę zupełną energii wewnętrznej {{LinkWzór|7.48}} i równania {{LinkWzór|7.47}}, bo one oznaczają to samo, to dostajemy inne wynikowe równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_VdT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T dV=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.49}} Mamy wzór na ciepło właściwe gazu pod stałą objętością zdefiniowaną wedle wzoru {{LinkWzór|5.36|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} i podstawiając tą definicję do równania {{LinkWzór|7.49}}, mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT+{\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)}_TdV=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.50}} W równaniu {{LinkWzór|7.50}} grupując wyrazy względem tych samych różniczek, tzn. względem różniczek temperatury i objętości, tak by znajdowały się po różnych obu stronach naszego rozważanego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT=\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T+p\right)dV\;\;</MATH>|7.51}} W równaniu {{LinkWzór|7.51}} mamy w nim występującą energię wewnętrzną, zatem na razie owe równanie jest bezużyteczne, dopóki nie wykorzystamy wzoru {{LinkWzór|5.33|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} podstawiając go do równania {{LinkWzór|7.51}}, wtedy tak rozważane równanie możemy przedstawić w zmiennych równania stanu: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_VdV\;\;</MATH>|7.52}} Rozpatrując gaz doskonały, to z równania {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy ciśnienie podstawiając uzyskane równanie do {{LinkWzór|7.52}}, wtedy ono przechodzi w równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT= T{{nR}\over{V}}dV\;</MATH>|7.53}} W równaniu {{LinkWzór|7.53}} tak wykonujemy obustronne mnożenia, by zmienne jednej zmiennej były po tej samej stronie, a zmienne drugiej zmiennej po drugiej jej stronie, by potem można by je scałkować w sposób oznaczony jako funkcje jednej zmiennej. {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right){{dT}\over{T}}={{nR}\over{V}}dV\;</MATH>|7.54}} Po scałkowaniu nieoznaczonym obustronnym równania {{LinkWzór|7.54}} otrzymujemy ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)\ln T=\left(C_p-C_v\right)\ln V +\ln D\Rightarrow\ln T^{C_x-C_v}=\ln V^{C_p-C_v}+\ln D\Rightarrow{{T^{C_x-C_v}}\over{V^{C_p-C_v}}}=D\;</MATH>|7.55}} Widzimy, że nasze równanie politropy zależy od stałej D. Aby przedstawić równanie {{LinkWzór|7.55}} względem zmiennych p i V, to wtedy biorąc kolejne przekształcenia równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy z tego równania tym razem temperaturę: {{CentrujWzór|<MATH>{{p^{C_x-C_v}V^{C_x-C_v}}\over{V^{C_p-C_v}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.56}} Z równania {{LinkWzór|7.56}} po niezbyt wyczerpujących działaniach na potęgach objętości V, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>p^{C_x-C_v}V^{C_x-C_p}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.57}} Co z kolei w równaniu {{LinkWzór|7.57}} dokonujemy pierwiastkowania względem różnicy ciepła właściwego pod stałym parametrem "x" i ciepła właściwego pod stałą objętością, czyli C{{Sub|x}}-C{{Sub|v}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{{{C_x-C_p}\over{C_x-C_v}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.58|Obramuj}} Równanie {{LinkWzór|7.58}} jest równaniem politropy dla gazu doskonałego, który zachodzi pod stałym parametrem "x", wtedy owe ciepło właściwe jest równe C{{Sub|x}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qoxrkfallvrurza1mfjcocwa80kqeva 0 14272 558587 513416 2026-10-04T18:14:12Z Persino 2851 558587 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Cząstki o innych statystykach''' - w naszych rozważaniach rozpatrywaliśmy, gdy pewna skończona liczba cząstek (>1) może obsadzać dany stan kwantowy. Również możliwe jest uogólnienie tego stanu, jako uogólnienia statystyk kwantowych. Oczywiście takie cząstki podlegają tym rozkładom. == Ułamkowe statystyki == Dotychczas mieliśmy do czynienia, gdy funkcja falowa wielu cząstek miała postać symetryczną lub antysymetryczną. Co jest spełnione w trzech wymiarach, wtedy grupą symetrii jest grupa permutacji. W dwóch wymiarach grupą symetrii jest grupa warkoczowa. Ogólna funkcja falowa spełniająca te warunki jest funkcją spełniająca warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(1,2)=e^{i\theta}\psi(2,1)\;</MATH>|22.1}} Gdy {{Formuła|<MATH>\theta=0</MATH>}}, to mamy do czynienia z bozonami, czyli funkcję symetryczną wobec przedstawień parametrów. Gdy {{Formuła|<MATH>\theta=\pi</MATH>}}, to mamy do czynienia z fermionami, czyli funkcja falowa jest funkcją antysymetryczną wobec przedstawień parametrów. Ułamkową statystyką i ułamkowe ładunki charakteryzują się u kwazicząstek obserwowanych w warunkach kwantowego zjawiska Halla, wtedy mamy do czynienia z dwumiarowym gazem elektronowym w umieszczonym silnym prostopadłym polu magnetycznym. == Uogólnienie zasady Pauliego wykluczania == Istnieją próby uogólnienia statystyki dla obiektów trójwymiarowych poprzez uogólnienie zasady Pauliego dla fermionów. Załóżmy, że mamy skwantowane poziomy o energiach &epsilon;{{Sub|i}}, &epsilon;{{Sub|2}},...,&epsilon;{{Sub|l}}, a liczba tych poziomów jest "l", i będziemy je oznaczać przez literkę "i". Przez stan w danym poziomie będziemy rozumieć, że ten poziom jest podzielony na d{{Sub|i}} części (posiada d{{Sub|i}} stanów) czyli za pomocą d{{Sub|i}}-1 przegród jest on podzielony. Według zasady Fermiego, że każde wsadzenie fermionu, zmniejsza liczbę stanów (części w danym poziomie o numerze "i") o jeden, zatem powinno zachodzić: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial d_i}\over{\partial n_i}}=-1\;</MATH>|22.2}} gdzie * d{{Sub|i}}- to liczba stanów (części, podzielona za pomocą d{{Sub|i}}-1 przegród) w i-tym poziomie. * n{{Sub|i}} to liczba cząstek w stanach w i-tym poziomie. Uogólnienie zasady Pauliego polega na założeniu, ze zamiast -1 dla fermionów w {{LinkWzór|22.2}} występuje liczba "g", co mamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial d_i}\over{\partial n_i}}=-g\;</MATH>|22.3}} Wyznaczmy parametr d{{Sub|i}} określanego przy pomocy wzoru {{LinkWzór|22.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>d_i=g_i-gn_i\;</MATH>,bo <MATH>g_i=d_i(n_i=0)\;</MATH>|22.4}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>g_i\;</MATH>}} jest to liczba stanów (części) w danym poziomie, gdy liczba obsadzonych cząstek jest zero <MATH>(n_i=0)\;</MATH>. * {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} określa, że każde obsadzenie stanów dla poziomu o numerze "i", zmniejsza liczbę stanów o tą właśnie liczbę przy każdym wsadzeniu do niej jakieś cząstki. Określając liczbę stanów mikroskopowych W{{Sub|i}} w danym poziomie (liczba możliwości obsadzenia danego poziomu jest oznaczona przez n{{Sub|i}} cząstek), która jest kombinacją z powtórzeniami z d{{Sub|i}} stanami, które może obsadzać n{{Sub|i}} cząstek. {{CentrujWzór|<MATH>W_i=C^{n_i}_{d_i}={d_i+n_i-1\choose n_i}={{(d_i+n_i-1)!}\over{n_i!(d_i-1)!}}={{(g_i+(1-g)n_i-1)!}\over{n_i!(g_i-gn_i-1)!}}\;</MATH>|22.5}} Liczbą możliwości obsadzenia danego poziomu jest równa W{{Sub|i}}, a liczba ściśle określona możliwych obsadzeń w "l" poziomach, przy założeniach, że te poziomy są obsadzone przez n{{Sub|1}}, n{{Sub|2}},..,n{{Sub|l}} cząstek, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>W\{n_i\}=\prod^l_{i=1} W_i\;</MATH>|22.6}} Mogą być też różne obsadzenia tych w "l" poziomach, zakładając że liczba ściśle określonych obsadzeń danego l poziomów jest równa {{Formuła|<MATH>W\{n_i\}\;</MATH>}}, liczba możliwych obsadzeń tychże poziomów jest sumą możliwości tych ściśle określonych obsadzeń, mamy tu na myśli, że mamy liczby n{{Sub|1}},n{{Sub|2}},...,n{{Sub|l}} ściśle określone, tych zestawów liczb może być bardzo dużo, a liczba wszystkich możliwych zestawów tych liczb wraz z możliwością obsadzeń dla ściśle określonego tego zestawu jest napisana przez: {{CentrujWzór|<MATH>W=\sum_{n_i}W\{n_i\}\;</MATH>|22.7}} == Wyprowadzenie wzoru na funkcję rozkładu cząstek o ułamkowej statystyce == Po podstawieniu za entropię w uogólnionej statystyce, która jest statystyczną definicją entropii {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, za prawdopodobieństwo termodynamiczne &Omega; napisane wedle wzoru na W{n{{Sub|i}}} {{LinkWzór|22.6}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B \ln W\{n_i\}=k_B\ln\prod^l_{i=1}W_i=k_B\sum^l_{i=1}\ln W_i=k_B\sum^l_{i=1}\ln{{(g_i+(1-g)n_i-1)!}\over{n_i!(g_i-gn_i-1)!}}\;</MATH>|22.8}} We wzorze {{LinkWzór|22.8}} wykorzystamy twierdzenie o logarytmie iloczynu, by potem można było wykorzystać wzór Stirlinga rozpisują po kolei silnie w odpowiedni sposób: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\sum^l_{i=1}\big[(g_i+(1-g)n_i-1)\ln (g_i+(1-g)n_i-1)-(g_i+(1-g)n_i-1)-n_i\ln n_i+n_i+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-(g_i-gn_i-1)\ln(g_i-gn_i-1)+(g_i-gn_i-1)\big]</MATH>|22.9}} Wyznaczmy pochodną entropii wyrażenia {{LinkWzór|22.9}} względem liczby cząstek zajmujący stan o numerze "i" przez liczbę n{{Sub|i}}, wtedy ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial n_i}}=k_B\left[ (1-g)\ln(g_i+(1-g)n_i-1)+(1-g)-(1-g)-\ln n_i-1+1+g\ln(g_i-gn_i-1)+g-g \right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\left[ (1-g)\ln(g_i+(1-g)n_i-1)-\ln n_i+g\ln(g_i-gn_i-1) \right]\simeq k_B\ln {{(g_i+(1-g)n_i)^{1-g}(g_i-gn_i)^g}\over{n_i}} </MATH>|22.10}} Zbudujmy funkcjonał taki sam jak w {{LinkWzór|21.4|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, ale za entropią wsadzamy wzór zdefiniowanej według {{LinkWzór|22.9}}, wtedy możemy policzyć pochodną tegoż funkcjonału względem liczby cząstek n{{Sub|i}} obsadzających stan "i", która przyjmuje wartość zero, a dlaczego, to wyjaśnione zostało przy tym funkcjonale: {{CentrujWzór|<MATH>k_B\ln {{(g_i+(1-g)n_i)^{1-g}(g_i-gn_i)^g}\over{n_i}}-k_BB\epsilon_i-k_BCV_{i}+D=0</MATH>|22.11}} W równaniu {{LinkWzór|22.11}} po podzieleniu jego przez stałą Bolzmanna k{{Sub|B}} i przenoszeniu dwóch ostatnich wyrazów związanych ze stałą B i C na jej prawą stronę: {{CentrujWzór|<MATH> \ln{{{[g_i+(1-g){n_i}]}^{1-g}{(g_i-g{n_i})}^g}\over{{n_i}}}=B\epsilon_i+CV_i+D</MATH>|22.12}} W równaniu {{LinkWzór|22.12}} wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie pod logarytmem naturalnym z lewej strony z wspomnianego równania: {{CentrujWzór|<MATH>{{{[g_i+(1-g){n_i}]}^{1-g}{(g_i-g{n_i})}^g}\over{{n_i}}}=e^{B\epsilon_i+C}\Rightarrow{[g_i+(1-g){n_i}]}^{1-g}{(g_i-g{n_i})}^g=n_i e^{B\beta\epsilon_i+CV_i+D}</MATH>|22.13}} Podzielmy obustronnie równanie końcowe wynikowe {{LinkWzór|22.13}} przez parametr g{{Sub|i}}, wtedy dostajemy następne równoważne równanie dla niezerowego tego parametru: {{CentrujWzór|<MATH>{\left[1+(1-g){{n_i}\over{g_i}}\right]}^{1-g}{\left(1-g{{n_i}\over{g_i}}\right)}^g={{n_i}\over{g_i}} e^{B\epsilon_i+CV_i+D}</MATH>|22.14}} Wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy przy pomocy ilorazu ilości cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", czyli n{{Sub|i}} przez g{{Sub|i}}, która mówi ile jest stanów na danym poziomie kwantowym o pewnej energii &epsilon;{{Sub|k}} zajmujących objętości V{{Sub|k}}, gdy liczba obsadzonych cząstek wynosi zero, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>{{{n_i}}\over{g_i}}=\overline{n}_i</MATH>|22.15}} Na podstawie definicji nowej zmiennej {{LinkWzór|22.15}}, co możemy podstawić go do równania {{LinkWzór|22.14}}, wtedy on przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{B\epsilon_i+CV_i+D}</MATH>|22.16}} Stałe B, C i D wyznaczamy podobnie jak dla funkcjonału {{LinkWzór|21.21|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, co stąd można napisać {{LinkWzór|21.23|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, {{LinkWzór|21.25|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, i {{LinkWzór|21.26|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, zatem wtedy wzór {{LinkWzór|22.16}} można narysować w poniższych statystykach. Na podstawie {{LinkWzór|22.16}} można utworzyć przykładowe statystyki: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{\beta\epsilon_i}</MATH>|J1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{\beta(\epsilon_i-\mu)}</MATH>|J2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}</MATH>]J3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}</MATH>|J4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli we wzorze {{LinkWzór|22.16}} zachodzi g=0, to mamy do czynienia z bozonami, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>(1+\overline{n}_i)=\overline{n}_ie^{B\epsilon_i+CV_i+D)}\Rightarrow 1=\overline{n}_i\left(e^{B\epsilon_i+CV_i+D}-1\right)\Rightarrow \overline{n}_i={{1}\over{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}-1}}</MATH>|22.17}} Równanie {{LinkWzór|22.17}} jest '''rozkładem Bosego-Einsteina'''. A jeśli zachodzi w {{LinkWzór|22.16}} g=1 to, wtedy mamy do czynienia z fermionami, dochodzimy do wniosku, że dla tego przypadku zachodzi na pewno: {{CentrujWzór|<MATH>(1-\overline{n}_i)=\overline{n}_ie^{B\epsilon_i+CV_i+D)}\Rightarrow 1=\overline{n}_i\left(1+e^{B\epsilon_i+CV_i+D}\right)\Rightarrow\overline{n}_i={{1}\over{1+e^{B\epsilon_i+CV_i+D}}} </MATH>|22.18}} Równanie końcowe {{LinkWzór|22.18}} jest '''rozkładem Fermiego-Diraca'''. Z definiujmy nową zmienną &omega;{{Sub|i}}, które przedstawimy tutaj poniżej w pierwszej linijce, w której definiujemy liczbę cząstek znajdującej się na poziomie o numerze "i" i definiujemy ją jako odwrotność sumy naszej nowej zmiennej &omega;{{Sub|i}} i parametru g występującej we wzorze {{LinkWzór|22.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i={{1}\over{\omega_i+g}}</MATH>|22.19}} Dokonajmy podstawienia napisanego według {{LinkWzór|22.19}} do wyrażenia {{LinkWzór|22.16}} do jego lewej strony: {{CentrujWzór|<MATH>\left[1+(1-g){{1}\over{\omega_i+g}}\right]^{1-g} \left[1-g{{1}\over{\omega_i+g}}\right]^g=\left[{{\omega_i+g+1-g}\over{\omega_i+g}}\right]^{1-g} \left[{{\omega_i+g-g}\over{\omega_i+g}}\right]^g= {{\left(\omega_i+1\right)^{1-g}\left(\omega_i\right)^g}\over{\omega_i+g}}</MATH>|22.20}} Równanie {{LinkWzór|22.16}} przy pomocy już obliczonego wyrażenia {{LinkWzór|22.20}}, który jest lewą stroną wspomnianej równości, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\left(\omega_i+1\right)^{1-g}\left(\omega_i\right)^g}\over{\omega_i+g}}={{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}}\over{\omega_i+1}} \Rightarrow (\omega_i+1)^{1-g}(\omega_i)^g=e^{B\epsilon_i+CV_i+D} </MATh>|22.21}} Ze wzoru {{LinkWzór|22.21}} możemy wyznaczyć parametr &omega;{{Sub|i}} względem parametru n{{Sub|i}} przedstawiający liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i", gdy każde obsadzenie zmniejsza liczbę cząstek o "g". {{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i(\omega_i+g)=1\Rightarrow \omega_i+g={{1}\over{\overline n_i}}\Rightarrow \omega_i={{1}\over{\overline n_i}}-g</MATH>|22.22}} Wiadomo jednak, że &omega;{{Sub|i}} jest liczbą nieujemną, wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|22.19}} dostajemy nierówność na liczbę cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", gdy znamy parametr wcześniej omówiony "g" : {{CentrujWzór|<MATH>n_i\leq {{1}\over{g}}</MATH>|22.23}} Dla temperatury zera bezwzględnego wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie poniżej w zależności od energii danego poziomu &epsilon;{{Sub|i}} zajmujących objętości V{{Sub|k}}. A oto przykłady funkcji eksponencjalnej występującej w {{LinkWzór|22.16}}: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>e^{{\epsilon_i}\over {k_BT}}=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i<0\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i>0 \end{cases}</MATH>|J5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>e^{{\epsilon_i}\over {k_BT}}=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i<\mu\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i>\mu \end{cases}</MATH>|J6}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>e^{{\epsilon_i}\over {k_BT}}=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i<0\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i>0 \end{cases}</MATH>|J7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>e^{{\epsilon_i}\over {k_BT}}=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i<\mu\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i>\mu \end{cases}</MATH>|J8}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Korzystać będziemy z równości {{LinkWzór|22.22}}, a także będziemy rozważać równanie {{LinkWzór|22.16}}, wtedy parametr &omega;{{Sub|i}} przyjmuje postać dla temperatury bezwzględnej równej zero kelwinów dla przykładowych rozkładów: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i=\begin{cases} 0\mbox{ dla }\epsilon_i<0\\ \infty\mbox{ dla }\epsilon_i>0 \end{cases}</MATH>|J9}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i<\mu\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i>\mu \end{cases}</MATH>|J10}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i<0\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i>0 \end{cases}</MATH>|J11}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i<\mu\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i>\mu \end{cases}</MATH>|J12}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Korzystać będziemy z własności parametru &omega;{{Sub|i}} policzonego w punkcie {{LinkWzór|22.22}} dla temperatury w kelwinach równej zero, wtedy funkcja {{LinkWzór|22.19}} dla tej temperatury przestawia się wedle schematu w zależności od energii poziomu w danym stanie o numerze "i". {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i=\begin{cases} {{1}\over{g}}\mbox{ dla }\epsilon_i<\epsilon_F=0\\ 0\mbox{ dla }\epsilon_i>\epsilon_F=0 \end{cases}</MATH>|J13}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i=\begin{cases} {{1}\over{g}}\mbox{ dla }\epsilon_i<\epsilon_F=\mu\\ 0\mbox{ dla }\epsilon_i>\epsilon_F=\mu \end{cases}</MATH>|J14}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i=\begin{cases} {{1}\over{g}}\mbox{ dla }\epsilon_i+pV_i<\epsilon_F=0\\ 0\mbox{ dla }\epsilon_i+pV_i>\epsilon_F=0 \end{cases}</MATH>|J15}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i=\begin{cases} {{1}\over{g}}\mbox{ dla }\epsilon_i+pV_i<\epsilon_F=\mu\\ 0\mbox{ dla }\epsilon_i+pV_i>\epsilon_F=\mu \end{cases}</MATH>|J16}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} gdzie: * &epsilon;{{Sub|F}} oznacza poziom Fermiego, takiego że &epsilon;{{Sub|F}}>0 dla parametru g różnej od zera. Substancje oparte na ułamkowej statystyce mają średnią liczbę cząstek w temperaturze zera bezwzględnego równą: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> N=\sum^{\epsilon_i\leq \epsilon_F=0}_i{{1}\over{g}}</MATH>|J17}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> N=\sum^{\epsilon_i\leq \epsilon_F=\mu}_i{{1}\over{g}}</MATH>|J18}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> N=\sum^{\epsilon_i+pV_i\leq \epsilon_F=0}_i{{1}\over{g}}</MATH>|J19}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> N=\sum^{\epsilon_i+pV_i\leq \epsilon_F=\mu}_i{{1}\over{g}}</MATH>|J20}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hxn2zutflusjm9y5wjdmo514r08wnuk 558612 558587 2026-10-04T21:08:00Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie wzoru na funkcję rozkładu cząstek o ułamkowej statystyce */ 558612 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Cząstki o innych statystykach''' - w naszych rozważaniach rozpatrywaliśmy, gdy pewna skończona liczba cząstek (>1) może obsadzać dany stan kwantowy. Również możliwe jest uogólnienie tego stanu, jako uogólnienia statystyk kwantowych. Oczywiście takie cząstki podlegają tym rozkładom. == Ułamkowe statystyki == Dotychczas mieliśmy do czynienia, gdy funkcja falowa wielu cząstek miała postać symetryczną lub antysymetryczną. Co jest spełnione w trzech wymiarach, wtedy grupą symetrii jest grupa permutacji. W dwóch wymiarach grupą symetrii jest grupa warkoczowa. Ogólna funkcja falowa spełniająca te warunki jest funkcją spełniająca warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(1,2)=e^{i\theta}\psi(2,1)\;</MATH>|22.1}} Gdy {{Formuła|<MATH>\theta=0</MATH>}}, to mamy do czynienia z bozonami, czyli funkcję symetryczną wobec przedstawień parametrów. Gdy {{Formuła|<MATH>\theta=\pi</MATH>}}, to mamy do czynienia z fermionami, czyli funkcja falowa jest funkcją antysymetryczną wobec przedstawień parametrów. Ułamkową statystyką i ułamkowe ładunki charakteryzują się u kwazicząstek obserwowanych w warunkach kwantowego zjawiska Halla, wtedy mamy do czynienia z dwumiarowym gazem elektronowym w umieszczonym silnym prostopadłym polu magnetycznym. == Uogólnienie zasady Pauliego wykluczania == Istnieją próby uogólnienia statystyki dla obiektów trójwymiarowych poprzez uogólnienie zasady Pauliego dla fermionów. Załóżmy, że mamy skwantowane poziomy o energiach &epsilon;{{Sub|i}}, &epsilon;{{Sub|2}},...,&epsilon;{{Sub|l}}, a liczba tych poziomów jest "l", i będziemy je oznaczać przez literkę "i". Przez stan w danym poziomie będziemy rozumieć, że ten poziom jest podzielony na d{{Sub|i}} części (posiada d{{Sub|i}} stanów) czyli za pomocą d{{Sub|i}}-1 przegród jest on podzielony. Według zasady Fermiego, że każde wsadzenie fermionu, zmniejsza liczbę stanów (części w danym poziomie o numerze "i") o jeden, zatem powinno zachodzić: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial d_i}\over{\partial n_i}}=-1\;</MATH>|22.2}} gdzie * d{{Sub|i}}- to liczba stanów (części, podzielona za pomocą d{{Sub|i}}-1 przegród) w i-tym poziomie. * n{{Sub|i}} to liczba cząstek w stanach w i-tym poziomie. Uogólnienie zasady Pauliego polega na założeniu, ze zamiast -1 dla fermionów w {{LinkWzór|22.2}} występuje liczba "g", co mamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial d_i}\over{\partial n_i}}=-g\;</MATH>|22.3}} Wyznaczmy parametr d{{Sub|i}} określanego przy pomocy wzoru {{LinkWzór|22.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>d_i=g_i-gn_i\;</MATH>,bo <MATH>g_i=d_i(n_i=0)\;</MATH>|22.4}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>g_i\;</MATH>}} jest to liczba stanów (części) w danym poziomie, gdy liczba obsadzonych cząstek jest zero <MATH>(n_i=0)\;</MATH>. * {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} określa, że każde obsadzenie stanów dla poziomu o numerze "i", zmniejsza liczbę stanów o tą właśnie liczbę przy każdym wsadzeniu do niej jakieś cząstki. Określając liczbę stanów mikroskopowych W{{Sub|i}} w danym poziomie (liczba możliwości obsadzenia danego poziomu jest oznaczona przez n{{Sub|i}} cząstek), która jest kombinacją z powtórzeniami z d{{Sub|i}} stanami, które może obsadzać n{{Sub|i}} cząstek. {{CentrujWzór|<MATH>W_i=C^{n_i}_{d_i}={d_i+n_i-1\choose n_i}={{(d_i+n_i-1)!}\over{n_i!(d_i-1)!}}={{(g_i+(1-g)n_i-1)!}\over{n_i!(g_i-gn_i-1)!}}\;</MATH>|22.5}} Liczbą możliwości obsadzenia danego poziomu jest równa W{{Sub|i}}, a liczba ściśle określona możliwych obsadzeń w "l" poziomach, przy założeniach, że te poziomy są obsadzone przez n{{Sub|1}}, n{{Sub|2}},..,n{{Sub|l}} cząstek, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>W\{n_i\}=\prod^l_{i=1} W_i\;</MATH>|22.6}} Mogą być też różne obsadzenia tych w "l" poziomach, zakładając że liczba ściśle określonych obsadzeń danego l poziomów jest równa {{Formuła|<MATH>W\{n_i\}\;</MATH>}}, liczba możliwych obsadzeń tychże poziomów jest sumą możliwości tych ściśle określonych obsadzeń, mamy tu na myśli, że mamy liczby n{{Sub|1}},n{{Sub|2}},...,n{{Sub|l}} ściśle określone, tych zestawów liczb może być bardzo dużo, a liczba wszystkich możliwych zestawów tych liczb wraz z możliwością obsadzeń dla ściśle określonego tego zestawu jest napisana przez: {{CentrujWzór|<MATH>W=\sum_{n_i}W\{n_i\}\;</MATH>|22.7}} == Wyprowadzenie wzoru na funkcję rozkładu cząstek o ułamkowej statystyce == Po podstawieniu za entropię w uogólnionej statystyce, która jest statystyczną definicją entropii {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, za prawdopodobieństwo termodynamiczne &Omega; napisane wedle wzoru na W{n{{Sub|i}}} {{LinkWzór|22.6}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B \ln W\{n_i\}=k_B\ln\prod^l_{i=1}W_i=k_B\sum^l_{i=1}\ln W_i=k_B\sum^l_{i=1}\ln{{(g_i+(1-g)n_i-1)!}\over{n_i!(g_i-gn_i-1)!}}\;</MATH>|22.8}} We wzorze {{LinkWzór|22.8}} wykorzystamy twierdzenie o logarytmie iloczynu, by potem można było wykorzystać wzór Stirlinga rozpisują po kolei silnie w odpowiedni sposób: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\sum^l_{i=1}\big[(g_i+(1-g)n_i-1)\ln (g_i+(1-g)n_i-1)-(g_i+(1-g)n_i-1)-n_i\ln n_i+n_i+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-(g_i-gn_i-1)\ln(g_i-gn_i-1)+(g_i-gn_i-1)\big]</MATH>|22.9}} Wyznaczmy pochodną entropii wyrażenia {{LinkWzór|22.9}} względem liczby cząstek zajmujący stan o numerze "i" przez liczbę n{{Sub|i}}, wtedy ta wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial n_i}}=k_B\left[ (1-g)\ln(g_i+(1-g)n_i-1)+(1-g)-(1-g)-\ln n_i-1+1+g\ln(g_i-gn_i-1)+g-g \right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\left[ (1-g)\ln(g_i+(1-g)n_i-1)-\ln n_i+g\ln(g_i-gn_i-1) \right]\simeq k_B\ln {{(g_i+(1-g)n_i)^{1-g}(g_i-gn_i)^g}\over{n_i}} </MATH>|22.10}} Zbudujmy funkcjonał taki sam jak w {{LinkWzór|21.4|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, ale za entropią wsadzamy wzór zdefiniowanej według {{LinkWzór|22.9}}, wtedy możemy policzyć pochodną tegoż funkcjonału względem liczby cząstek n{{Sub|i}} obsadzających stan "i", która przyjmuje wartość zero, a dlaczego, to wyjaśnione zostało przy tym funkcjonale: {{CentrujWzór|<MATH>k_B\ln {{(g_i+(1-g)n_i)^{1-g}(g_i-gn_i)^g}\over{n_i}}-k_BB\epsilon_i-k_BCV_{i}+D=0</MATH>|22.11}} W równaniu {{LinkWzór|22.11}} po podzieleniu jego przez stałą Bolzmanna k{{Sub|B}} i przenoszeniu dwóch ostatnich wyrazów związanych ze stałą B i C na jej prawą stronę: {{CentrujWzór|<MATH> \ln{{{[g_i+(1-g){n_i}]}^{1-g}{(g_i-g{n_i})}^g}\over{{n_i}}}=B\epsilon_i+CV_i+D</MATH>|22.12}} W równaniu {{LinkWzór|22.12}} wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie pod logarytmem naturalnym z lewej strony z wspomnianego równania: {{CentrujWzór|<MATH>{{{[g_i+(1-g){n_i}]}^{1-g}{(g_i-g{n_i})}^g}\over{{n_i}}}=e^{B\epsilon_i+C}\Rightarrow{[g_i+(1-g){n_i}]}^{1-g}{(g_i-g{n_i})}^g=n_i e^{B\beta\epsilon_i+CV_i+D}</MATH>|22.13}} Podzielmy obustronnie równanie końcowe wynikowe {{LinkWzór|22.13}} przez parametr g{{Sub|i}}, wtedy dostajemy następne równoważne równanie dla niezerowego tego parametru: {{CentrujWzór|<MATH>{\left[1+(1-g){{n_i}\over{g_i}}\right]}^{1-g}{\left(1-g{{n_i}\over{g_i}}\right)}^g={{n_i}\over{g_i}} e^{B\epsilon_i+CV_i+D}</MATH>|22.14}} Wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy przy pomocy ilorazu ilości cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", czyli n{{Sub|i}} przez g{{Sub|i}}, która mówi ile jest stanów na danym poziomie kwantowym o pewnej energii &epsilon;{{Sub|k}} zajmujących objętości V{{Sub|k}}, gdy liczba obsadzonych cząstek wynosi zero, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>{{{n_i}}\over{g_i}}=\overline{n}_i</MATH>|22.15}} Na podstawie definicji nowej zmiennej {{LinkWzór|22.15}}, co możemy podstawić go do równania {{LinkWzór|22.14}}, wtedy on przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{B\epsilon_i+CV_i+D}</MATH>|22.16}} Stałe B, C i D wyznaczamy podobnie jak dla funkcjonału {{LinkWzór|21.21|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, co stąd można napisać {{LinkWzór|21.23|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, {{LinkWzór|21.25|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, i {{LinkWzór|21.26|Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego}}, zatem wtedy wzór {{LinkWzór|22.16}} można narysować w poniższych statystykach. Na podstawie {{LinkWzór|22.16}} można utworzyć przykładowe statystyki: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{\beta\epsilon_i}</MATH>|J1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{\beta(\epsilon_i-\mu)}</MATH>|J2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}</MATH>]J3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1+(1-g)\overline{n}_i)^{1-g}(1-g \overline{n}_i)^g=\overline{n}_ie^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}</MATH>|J4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli we wzorze {{LinkWzór|22.16}} zachodzi g=0, to mamy do czynienia z bozonami, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>(1+\overline{n}_i)=\overline{n}_ie^{B\epsilon_i+CV_i+D)}\Rightarrow 1=\overline{n}_i\left(e^{B\epsilon_i+CV_i+D}-1\right)\Rightarrow \overline{n}_i={{1}\over{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}-1}}</MATH>|22.17}} Równanie {{LinkWzór|22.17}} jest '''rozkładem Bosego-Einsteina'''. A jeśli zachodzi w {{LinkWzór|22.16}} g=1 to, wtedy mamy do czynienia z fermionami, dochodzimy do wniosku, że dla tego przypadku zachodzi na pewno: {{CentrujWzór|<MATH>(1-\overline{n}_i)=\overline{n}_ie^{B\epsilon_i+CV_i+D)}\Rightarrow 1=\overline{n}_i\left(1+e^{B\epsilon_i+CV_i+D}\right)\Rightarrow\overline{n}_i={{1}\over{1+e^{B\epsilon_i+CV_i+D}}} </MATH>|22.18}} Równanie końcowe {{LinkWzór|22.18}} jest '''rozkładem Fermiego-Diraca'''. Z definiujmy nową zmienną &omega;{{Sub|i}}, które przedstawimy tutaj poniżej w pierwszej linijce, w której definiujemy liczbę cząstek znajdującej się na poziomie o numerze "i" i definiujemy ją jako odwrotność sumy naszej nowej zmiennej &omega;{{Sub|i}} i parametru g występującej we wzorze {{LinkWzór|22.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i={{1}\over{\omega_i+g}}</MATH>|22.19}} Dokonajmy podstawienia napisanego według {{LinkWzór|22.19}} do wyrażenia {{LinkWzór|22.16}} do jego lewej strony: {{CentrujWzór|<MATH>\left[1+(1-g){{1}\over{\omega_i+g}}\right]^{1-g} \left[1-g{{1}\over{\omega_i+g}}\right]^g=\left[{{\omega_i+g+1-g}\over{\omega_i+g}}\right]^{1-g} \left[{{\omega_i+g-g}\over{\omega_i+g}}\right]^g= {{\left(\omega_i+1\right)^{1-g}\left(\omega_i\right)^g}\over{\omega_i+g}}</MATH>|22.20}} Równanie {{LinkWzór|22.16}} przy pomocy już obliczonego wyrażenia {{LinkWzór|22.20}}, który jest lewą stroną wspomnianej równości, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\left(\omega_i+1\right)^{1-g}\left(\omega_i\right)^g}\over{\omega_i+g}}={{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}}\over{\omega_i+1}} \Rightarrow (\omega_i+1)^{1-g}(\omega_i)^g=e^{B\epsilon_i+CV_i+D} </MATh>|22.21}} Ze wzoru {{LinkWzór|22.21}} możemy wyznaczyć parametr &omega;{{Sub|i}} względem parametru n{{Sub|i}} przedstawiający liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i", gdy każde obsadzenie zmniejsza liczbę cząstek o "g". {{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i(\omega_i+g)=1\Rightarrow \omega_i+g={{1}\over{\overline n_i}}\Rightarrow \omega_i={{1}\over{\overline n_i}}-g</MATH>|22.22}} Wiadomo jednak, że &omega;{{Sub|i}} jest liczbą nieujemną, wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|22.19}} dostajemy nierówność na liczbę cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", gdy znamy parametr wcześniej omówiony "g" : {{CentrujWzór|<MATH>n_i\leq {{1}\over{g}}</MATH>|22.23}} Dla temperatury zera bezwzględnego wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie poniżej w zależności od energii danego poziomu &epsilon;{{Sub|i}} zajmujących objętości V{{Sub|k}}. A oto przykłady funkcji eksponencjalnej występującej w {{LinkWzór|22.16}}: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>e^{{\epsilon_i}\over {k_BT}}=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i<0\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i>0 \end{cases}</MATH>|J5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>e^{{\epsilon_i}\over {k_BT}}=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i<\mu\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i>\mu \end{cases}</MATH>|J6}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>e^{{\epsilon_i}\over {k_BT}}=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i<0\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i>0 \end{cases}</MATH>|J7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>e^{{\epsilon_i}\over {k_BT}}=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i<\mu\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i>\mu \end{cases}</MATH>|J8}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Korzystać będziemy z równości {{LinkWzór|22.22}}, a także będziemy rozważać równanie {{LinkWzór|22.16}}, wtedy parametr &omega;{{Sub|i}} przyjmuje postać dla temperatury bezwzględnej równej zero kelwinów dla przykładowych rozkładów: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i=\begin{cases} 0\mbox{ dla }\epsilon_i<0\\ \infty\mbox{ dla }\epsilon_i>0 \end{cases}</MATH>|J9}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i<\mu\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i>\mu \end{cases}</MATH>|J10}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i<0\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i>0 \end{cases}</MATH>|J11}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega_i=\begin{cases} 0 \mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i<\mu\\ \infty\mbox{ gdy }\epsilon_i+pV_i>\mu \end{cases}</MATH>|J12}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Korzystać będziemy z własności parametru &omega;{{Sub|i}} policzonego w punkcie {{LinkWzór|22.22}} dla temperatury w kelwinach równej zero, wtedy funkcja {{LinkWzór|22.19}} dla tej temperatury przestawia się wedle schematu w zależności od energii poziomu w danym stanie o numerze "i". {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i=\begin{cases} {{1}\over{g}}\mbox{ dla }\epsilon_i<\epsilon_F=0\\ 0\mbox{ dla }\epsilon_i>\epsilon_F=0 \end{cases}</MATH>|J13}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i=\begin{cases} {{1}\over{g}}\mbox{ dla }\epsilon_i<\epsilon_F=\mu\\ 0\mbox{ dla }\epsilon_i>\epsilon_F=\mu \end{cases}</MATH>|J14}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i=\begin{cases} {{1}\over{g}}\mbox{ dla }\epsilon_i+pV_i<\epsilon_F=0\\ 0\mbox{ dla }\epsilon_i+pV_i>\epsilon_F=0 \end{cases}</MATH>|J15}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline n_i=\begin{cases} {{1}\over{g}}\mbox{ dla }\epsilon_i+pV_i<\epsilon_F=\mu\\ 0\mbox{ dla }\epsilon_i+pV_i>\epsilon_F=\mu \end{cases}</MATH>|J16}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} gdzie: * &epsilon;{{Sub|F}} oznacza poziom Fermiego, takiego że &epsilon;{{Sub|F}}>0 dla parametru g różnej od zera. Substancje oparte na ułamkowej statystyce mają średnią liczbę cząstek w temperaturze zera bezwzględnego równą: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> N=\sum^{\epsilon_i\leq \epsilon_F=0}_i{{1}\over{g}}</MATH>|J17}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> N=\sum^{\epsilon_i\leq \epsilon_F=\mu}_i{{1}\over{g}}</MATH>|J18}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> N=\sum^{\epsilon_i+pV_i\leq \epsilon_F=0}_i{{1}\over{g}}</MATH>|J19}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> N=\sum^{\epsilon_i+pV_i\leq \epsilon_F=\mu}_i{{1}\over{g}}</MATH>|J20}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0yfj2f6gnk5vq1cfl1i1q40t69saotq 0 14276 558584 513518 2026-10-04T18:08:28Z Persino 2851 558584 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Statystyka w fizyce kwantowej dla cząstek''' - Każda cząstka podlega pewnemu rozkładowi statystycznemu, tak samo jak '''fermiony''' i '''bozony'''. Dla fermionów w jednym stanie kwantowym może znajdować się conaj wyżej tylko jedna cząstka. Dla bozonów liczba tych cząstek może być bardzo duża. == Obliczanie sumy statystycznej == Całkowita energia układu cząstek, ich liczba cząstek i objętość jest napisana w zależności od energii danej cząstki i ich liczby jakie mogą się one znajdować na poziomie "i"-tej. {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E_{\alpha}=\sum^l_{k=1} n_k\epsilon_k\;</MATH>|20.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>V=\sum^l_{k=1} n_kV_k\;</MATH>|20.2}} |3={{CentrujWzór|<MATH>N=\sum^l_{k=1}n_k\;</MATH>|20.3}} }} Obliczmy teraz w sposób ogólną sumę statystyczną dla zespołu kanonicznego (T,p,μ) według {{LinkWzór|17.3|Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ,t)}} (dla zespoły dyskretnego suma za wzorem na prawdopodobieństwo dyskretne) w fizyce kwantowej, gdy mamy skwantowane poziomy energii i w danej objętości może się znajdować się różna ilość cząstek, a także mamy różną objętość, tą sumę liczymy według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{\alpha}e^{(\alpha E_{\alpha}+\gamma V_{\alpha}+\omega N)}=\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{\{n_{k_i}\}}e^{-\sum_{n_{k_i}}(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)n_{k_i}} =\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{N=\sum k_i}\prod_{k_i}e^{(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)n_{k_i}}=</MATH>{{Br}} <MATH>=\sum_{n_{k_1}}\sum_{n_{k_2}}...\sum_{n_{k_i}}e^{(\alpha\epsilon_{k_1}+\gamma V_{k_1}+\omega)n_{k_1}}e^{(\alpha\epsilon_{k_2}+\gamma V_{k_2}+\omega)n_{k_2}}\cdot...\cdot e^{(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)n_{k_i}}= \prod_{k_i}\sum_{n_{k_i}}[e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}]^{n_{k_i}}</MATH>|20.4}} Doszliśmy do wniosku, z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|20.4}}, że wielka suma statystyczna jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\prod_{k_i}\sum_{n_{k_i}}[e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}]^{n_{k_i}}</MATH>|20.5}} == Suma statystyczna dla fermionów i bozonów == Korzystając z wniosku z przedostatniego rozdziału ze wzoru na sumę statystyczną zespołu kanonicznego wedle wzoru {{LinkWzór|20.5}}, przy czym musimy pamiętać, że dla fermionów {{Formuła|<MATH>n_{k_i}</MATH>}} liczba cząstek jakie mogą przebiegać dla danego poziomu może przebiegać od zera do jedynki, a dla bozonów ta sama liczba przebiega od zera do nieskończoności, możemy ją napisać dla fermionów i bozonów w ogólności pamiętając, że dla bozonów zachodzi warunek {{Formuła|<MATH>\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega<0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\begin{cases} \prod_{k_i}\left(1+e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)\mbox{ fermiony}\\ \prod_{k_i}{\left(1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)}^{-1}\mbox{ bozony} \end{cases}</MATH>|20.6}} Wyrażenie na potencjał termodynamiczny napisanej wedle {{LinkWzór|17.8|Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ,t)}} przy definicji wielkiej sumy statystycznych dla fermionów i bozonów {{LinkWzór|20.6}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>\ln Z=\pm\sum_{k_i}\ln\left(1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)</MATH> |20.7}} We wzorze {{LinkWzór|20.7}} oczywiście górne znaki są dla fermionów a dolne dla bozonów. == Funkcje Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina == {{Rysunek|Fermi dirac distr.svg|lk1|Statystyki Fermiego-Diraca}} {{Rysunek|Porównanie statystyk kwantowych.png|lk2|Porównanie statystyk kwantowych}} Ogólnie dla fermionów i bozonów możemy policzyć liczbę cząstek wchodzących w skład układu według {{LinkWzór|18.22|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\left({{\partial \ln Z}\over{\partial \omega}}\right)_{T,V}=\sum_{k_i}{{e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}}=\sum_{k_i}{{ e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}} {{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\gamma}}}=</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_{k_i}{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}\pm 1}}=\sum_i \overline{n}_{k_i}</MATH>|20.8}} W powyższych obliczeniach dla wzoru {{LinkWzór|20.8}} wyznaczaliśmy całkowitą średnią liczbę cząstek występujących na wszystkich stanach na jakich te cząstki mogą występować. Następnie wyznaczmy całkowitą średnią energię układu jako suma energii wszystkich cząstek występujących we wszystkich stanach, zatem musimy wykorzystać wzór na średnią energię układu {{LinkWzór|18.20|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}} do wyznaczenia tej energii i wyznaczmy całkowitą średnią objętość układu jako suma objętości zajmowane przez wszystkie cząstki występujące we wszystkich stanach, zatem musimy wykorzystać wzór na średnią liczbę cząstek układu {{LinkWzór|18.21|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}} do wyznaczenia tej objętości. I dojdziemy do wniosku, że przy rozkładzie Bosego Einsteina i Fermiego-Diraca otrzymamy takie same wzory na rozkłady liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline{n}_{k_i}\;</MATH>}}, jak przy liczeniu całkowitej średniej liczby cząstek znajdujących się w układzie, w którym podana jest średnia liczba cząstek przy energii {{Formuła|<MATH>\epsilon_{k_i}\;</MATH>}}, i tych w trzech sposobach wyznaczania omawianych rozkładów wyjdą te same rozkłady o których wspomnieliśmy. Przy czym zakładamy, że stałe stojące przy rozkładzie nazwijmy je {{Formuła|<math>\alpha=\beta\;</Math>}}, {{Formuła|<MATH>\gamma=\beta p\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MaTH>\omega=\beta\mu\;</MATH>}}, co skorzystamy przy wyznaczaniu średniej energii i objętości układu w powyższym wyprowadzeniu przy wyznaczaniu wielkiej sumy statystycznej {{Formuła|<MATH>Q\;</MATH>}} wedle wzoru {{LinkWzór|20.6}}, by potem znów skorzystać z tego poniżej, i napisać nasze średnie ilości cząstek w rozkładzie o danej energii i zajmujących dane objętości, które otrzymamy poniżej. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{\partial}\over{\partial \alpha}}\ln Z=\pm{{\partial}\over{\partial \alpha}}\sum_i\ln\left(1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)=\sum_i{{\epsilon_{k_i} e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega }}}=\sum_i{{\epsilon_{k_i} e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega }}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i\epsilon_{k_i}{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}\pm 1}}=\sum_i \epsilon_{k_i}\overline{n}_{k_i}\;</Math>|20.9}} A teraz policzmy średnią objętość układu bozonów lub fermionów według: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\partial}\over{\partial \gamma}}\ln Z=\pm{{\partial}\over{\partial \gamma}}\sum_i\ln\left(1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)=\sum_i{{V_{k_i} e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega }}}=\sum_i{{V_{k_i} e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega }}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i V_{k_i}{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}\pm 1}}=\sum_i V_{k_i}\overline{n}_{k_i}\;</Math>|20.10}} Ogólnie ilość fermionów lub bozonów znajdujących się w stanach o energiach {{Formuła|<MATH>\epsilon_{k_i}\;</MATH>}} i zajmujących objętości {{Formuła|<MATH>V_{k_i}\;</MATH>}} można wyedukować ze wzorów {{LinkWzór|20.8}}, {{LinkWzór|20.9}} i {{LinkWzór|20.10}}, ten rozkład liczby cząstek o danej energii jest: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} {{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1}}\mbox{ fermiony}&\mbox{ (a)}\\ {{1}\over{e^{-\gamma\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}\mbox{ bozony}&\mbox{ (b)}\\ \end{cases}</MATH>|20.11}} A oto przykłady rozkładów wynikających z {{LinkWzór|20.11}}: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Fermiego-Diraca}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Bosego-Einsteina}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta\epsilon_i}+1}}</MATH>|M1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta\epsilon_i}-1}}</MATH>|M2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}+1}}</MATH>|M3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}-1}}</MATH>|M4}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}+1}}</MATH>|M5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}-1}}</MATH>|M6}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}+1}}</MATH>|M7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}-1}}</MATH>|M8}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Parastatystyki == Wiemy, że statystyki Fermiego-Diraca, która jest w przypadku fermionów opisujących, że w danym stanie może przebywać tylko najwyżej jedna cząstka, a dla bozonów w jednym stanie może przebywać nieskończenie wielka ilość cząstek. Uogólniając to przyjmijmy, że w danym stanie może przebywać najwięcej "p" cząstek. Suma statystyczna policzona ogólnie (dla wszystkich przypadków) według {{LinkWzór|20.5}} przebiera postać w zależności od liczby "p" wedle: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\prod_{k_i}\sum^p_{n=0}[e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}]^n</MATH>|20.12}} Korzystając z twierdzenia o sumie ciągu geometrycznego występującego pod iloczynem dla sumy statystycznej {{LinkWzór|20.12}}, którego n przebiega od n=0 do n=p, a tych wszystkich składników jest ich p+1 wyrazów w tejże sumie. {{CentrujWzór|<MATH>Q=\prod_{k_i}{{1-e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}}\over{1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}} </MATH>|20.13}} Potencjał termodynamiczny napisanej w przypadku sumy statystycznej {{LinkWzór|20.12}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\ln Q=\sum_{k_i}\ln{{1-e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}}\over{1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}}=\sum_{k_i}\ln({1-e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}})-\ln(1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega})</MATH>|20.14}} Policzmy teraz średnią liczbę cząstek {{Formuła|<MATH>\overline{N}</MATH>}} znajdujących się w tym układzie statystycznym według zespołu kanonicznego wykorzystując wzór {{LinkWzór|18.19|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}}, zatem ta średnia liczba cząstek we wszystkich stanach: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\sum_{k_i}\left[-{{(p+1) e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}}\over{{1-e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}}}}+{{e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}}\right]</MATH>|20.15}} Korzystamy tutaj z definicji &beta;, który jest napisany w punkcie {{LinkWzór|12.32|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} we wzorze {{LinkWzór|20.14}}, wtedy średnia liczba cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\sum_{k_i}\left\{{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)(-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega)}-1}}\right\}</MATH>|20.16}} Ze wzoru {{LinkWzór|20.16}} otrzymujemy, że średnia liczba cząsteczek znajdująca się w stanie o energii {{Formuła|<MATH>\epsilon_{k_i}\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\gamma)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)(-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega)}-1}}</MATH>|20.17}} A oto przykłady poszczególnych rozkładów wynikających z {{LinkWzór|20.17}}: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta\epsilon_{k_i}}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta\epsilon_{k_i}}-1}}</MATH>|N1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}</MATH>|N2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}+p V_{k_i})}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}+pV_{k_i})}-1}}</MATH>|N3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}+p V_{k_i}-\mu)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}+p V_{k_i}-\mu)}-1}}</MATH>|N4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Gdy liczba "p" dąży do nieskończoności, wtedy mamy do czynienia z bozonami, to wzór {{LinkWzór|20.16}} przy znanych &alpha;, &beta;, &gamma; przy tym warunku przechodzi w bardzo znany rozkład przy poszczególnych rozkładach dla {{Formuła|<MATH>-(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)>0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}</MATH>|20.18}} Zatem otrzymaliśmy '''statystykę Bosego-Einsteina''' napisaną wzorem {{LinkWzór|20.18}}, który jest podobny dla rozkładów bozonów {{LinkWzór|20.11}}. Gdy maksymalna liczba cząstek jakie mogą obsadzać stan o pewnej energii wynosi jeden, czyli p=1, to wyrażenie {{LinkWzór|20.16}} przy znanych &alpha;, &beta;, &gamma; po krótkich przekształceniach też przechodzi w bardzo znany rozkład: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_k-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}-{{2}\over{e^{-2(-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\gamma)}-1}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_k-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}\left(1-{{2}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_k-\gamma V_{k_i}-\beta}-1}}{{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1-2}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1}}</MATH>|20.19}} Otrzymaliśmy '''rozkład Fermiego-Diraca''' we wzorze końcowym {{LinkWzór|20.19}}, który jest podobny do rozkładów fermionów {{LinkWzór|20.11}}. Dokonajmy podstawienia tak by nowy parametr mógł być równy zero, którego definicja, we wzorze {{LinkWzór|20.17}}: {{CentrujWzór|<MATH>x=-(\alpha\epsilon_q+\gamma V_q+\omega)\;</MATH>|20.20}} We wzorze na średnią liczbą cząstek w stanie o energii {{Formuła|<MATH>\epsilon_p\;</MATH>}} i objętości przez nie zajmowanych {{Formuła|<MATH>V_p\;</MATH>}} napisaną wedle wzoru {{LinkWzór|20.16}} przejdźmy w nim do granicy, gdy zmienna zdefiniowana w punkcie {{LinkWzór|20.19}} dąży do wartości zerowej, czyli pisząc to dla wspomnianego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{x\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\lim_{x\rightarrow 0}({{1}\over{e^x-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)x}-1}})=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-(p+1)(e^x-1)}\over{(e^x-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-p e^x+p-e^x+1}\over{(e^x-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=</MATH>{{Br}} <MATH>=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{x(p+1)}-pe^x+p-e^x}\over{e^{x(p+2)}-e^x-e^{x(p+1)}+1}}</MATH>|20.21}} Teraz stosujemy twierdzenie de l'Hospitala dla powyższego wyrażenia: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{x\rightarrow 0}{{(p+1)e^{x(p+1)}-pe^x-e^x}\over{(p+2)e^{x(p+2)}-e^x-(p+1)e^{x(p+1)}}}</MATH>|20.22}} I jeszcze raz stosujemy twierdzenie de-Hospitala. {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{x\rightarrow 0}{{(p+1)^2e^{x(p+1)}-pe^x-e^x}\over{(p+2)^2e^{x(p+2)}-e^x-(p+1)^2e^{x(p+1)}}}={{p^2+2p+1-p-1}\over{p^2+4p+4-1-p^2-2p-1}}={{p^2+p}\over{2(p+1)}}={{p(p+1)}\over{2(p+1)}}={{p}\over{2}}</MATH>|20.23}} Oznacza to podobnie jak przy bozonach, że kondensacja cząstek przy energii równej potencjałowi chemicznemu przy którym według dowodu przeprowadzonego powyżej jest równa połowie liczby "p", czyli równy {{Formuła|<MATH>{{p}\over{2}}</MATH>}}. Rozpatrzmy statystykę {{LinkWzór|20.16}} dla temperatury bezwzględnej dążącej do zera, wtedy ten wspomniany rozkład przechodzi w wtedy w funkcję schodkową, przy którym schodek zniża się z "p" do zera dla {{Formuła|<MATH>x\rightarrow 0\;</MATH>}}. {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q<0\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q>0 \end{cases}</MATH>|L1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q<\mu\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q>\mu \end{cases}</MATH>|L2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q+pV_q<0\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q+pV_q>0 \end{cases}</MATH>|L3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q+pV_q<\mu\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q+pV_q>\mu \end{cases}</MATH>|L4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Cząstki o tej statystyce zachowują się jak fermiony, dla T=0 funkcja ta przypomina funkcję schodkową o wysokości p. A przypadku fermionów wysokość schodka jest równa 1. Substancja zachowująca się według tego rozkładu w zależności od parametru p raz zachowuje się jak kondensat Bosego-Einsteina, a za innym razem jak cząstki zwane fermionami. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dqxw0crbv1x5v5372jxy8tcs4g35g8j 0 14312 558568 513441 2026-10-04T17:23:09Z Persino 2851 558568 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Fenomenologicznym równaniem stanu gazu''' nazywamy równanie stanu gazu wyprowadzonej empirycznie, czyli za pomocą doświadczenia i jest to równanie {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}. == Definicja jednego mola == : ''Jednym molem nazywamy taką liczność materii, w którym znajduje się atomów w 12 gramach węgla-12(izotopu węgla o liczbie masowej A=12).'' Przy pomocy doświadczenia wykazano, że w jednym molu znajduje się {{Formuła|<MATH>6.02\cdot 10^{23}</MATH>}} atomów(cząsteczek), i tą wielkość dla jednego mola substancji nazywamy stałą Avogadro i oznaczamy {{Formuła|<MATH>N_A\;</MATH>}}. W literaturze stałą Avogadra piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>N_A=6,02\cdot 10^{23}mol^{-1}</MATH>|6.1}} Można przeliczyć liczbę moli {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} na ilość cząsteczek {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} według: {{CentrujWzór|<MATH>N=N_An\;</MATH>|6.2}} == Objętość molowa == Objętością molową gazu nazywamy iloraz objętości zajmowanej przez ciało przez liczbę moli cząstek znajdujących się w danym badanym układzie, który można przeliczyć wykorzystując liczbę moli substancji liczbę {{LinkWzór|6.2}}. {{CentrujWzór|<MATH>V_{mol}={{V}\over{n}}</MATH>|6.3}} Często równanie {{LinkWzór|6.3}} zapisuje się jako iloczyn objętości molowej równej liczbowo objętości gazu zajmowanej przez jeden mol przez liczbę moli danej substancji: {{CentrujWzór|<MATH>V=V_{mol}n\;</MATH>|6.4}} Powyższe równanie stosuje się w celu wyznaczenia objętości gazu znając jego objętość molową {{Formuła|<MATH>V_{mol}\;</MATH>}} i jego liczność "n". == Stała gazowa == Stałą gazową definiuje się jako iloczyn stałej Boltzmanna {{Formuła|<MATH>k_B\;</MATH>}} i stałej Avogadra przedstawiająca liczbę cząstek zajmowanej przez jeden mol danej substancji: {{CentrujWzór|<MATH>R=k_BN_A\;</MATH>|6.5}} Stała gazowa według ostatniego wzoru jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>R=k_BN_A=1,38\cdot 10^{-23}\cdot 6,02\cdot 10^{23}=8,31{{J}\over{mol\cdot K}}</MATH>|6.6}} == Wirialne równanie stanu gazu == Ogólnym równaniem stanu gazu rzeczywistego jest równanie zwane wirialnym równaniem stanu zdefiniowanej według: {{CentrujWzór|<MATH>pV_{mol}=RT+{{A(T)}\over{V_{mol}}}+{{B(T)}\over{V^2_{mol}}}+{{C(T)}\over{V^3_{mol}}}+...</MATH>|6.7}} gdzie współczynniki: {{Formuła|<MATH>A(T),B(T),C(T),...</MATH>}} są to funkcję zależne od temperatury bezwzględnej {{Formuła|<MATH>T</MATH>}}, a także: * {{Formuła|<MATH>V_{mol}\;</MATH>}} jest to objętość molowa gazu. == Zasada ekwipartycji energii == Każdemu stopniowi swobody odpowiada energia wyrażona przez wyrażenie poniżej i jest równa połowie iloczynu stałej Boltzmanna i temperatury układu jaki on posiada: {{CentrujWzór|<MATH>E={{1}\over{2}}k_BT\;</MATH>|6.8}} Ponieważ w gazie jednoatomowym jest N cząsteczek mogących się poruszać w trzech niezależnych kierunkach, wtedy liczba stopni swobody wynosi 3N, zatem całkowita energia układu jest: {{CentrujWzór|<MATH>U=3NE={{3}\over{2}}Nk_BT={{3}\over{2}}nRT\;</MATH>|6.9}} Jego ciepło właściwe właściwe po policzeniu jej jako pochodną cząstkową {{LinkWzór|6.9}} względem temperatury pod stałą objętością jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>C_V=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_V={{3}\over{2}}nR\;</MATH>|6.10}} W szczególności cząsteczki mogą być dwuatomowe, trójatomowe, oczywiście połączone (w pojedynczych cząsteczkach dla atomów) sprężynkami, które mogą być z dobrym przybliżeniem oscylatorama harmonicznego. Dla gazu dwuatomowego mamy {{Formuła|<MATH>3N\cdot 2-N=5N\;</MATH>}} stopni swobody, a więc jego energia wewnętrzna jest: {{CentrujWzór|<MATH>U=5NE={{5}\over{2}}Nk_BT={{5}\over{2}}nRT\;</MATH>|6.11}} A jego ciepło molowe pod stałym cisnieniem jest wyrażona dla dwuatomowego gazu. {{CentrujWzór|<MATH>C_P={{5}\over{2}}nR\;</MATH>|6.12}} Zasadę ekwipartycji energii można udowodnić za pomocą statystyki fizycznej. == Prawo Dulonga-Petita == {{Twierdzenie|tekst= ''Ciepło molowe pierwiastków w stanie stałym tworzących sieć prostą jest wielkością stałą i niezależną od właściwości substancji i jest równe:'' {{CentrujWzór|<MATH>C_V^{mol}=3R\;</MATH>|6.13}} }} Atomy w ciele stałym można założyć, że są ułożone w sieć prostą, którego każdy atom oddziaływuje z sześcioma przyjaciółmi, a z każdym przyjacielem jest związana energia kinetyczna i potencjalna, a więc na jeden atom przypada 12 stopni swobody minus sześć więzów stąd mamy sześć stopni swobody, ale ponieważ atomów w sieci jest N, a więc całkowita energia kryształu jest: {{CentrujWzór|<MATH>U=6NE={{6}\over{2}}Nk_BT=3Nk_BT=3nRT\;</MATH>|6.14}} Według definicji ciepła właściwego dla danej substancji pod stałą objętością {{LinkWzór|5.36|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} dochodzimy do wniosku, że ono jest wielkością stałą zależną od liczby moli danej substancji i jest ona wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>C_V={{\partial U}\over{\partial T}}=3nR\;</MATH>|6.15}} A więc jego ciepło molowe pod stałą objętością, którą otrzymamy dzieląc rozwiązanie {{LinkWzór|6.15}} przez liczbę moli substancji, co która jest wielkością stałą niezależną od ilości i właściwości substancji, którego kryształy tworzą sieć prostą i ta wielkość jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>C_V^{mol}={{C_V}\over{n}}=3R\;</MATH>}} ''Co kończy dowód twierdzenia.'' <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6e5ylgjx66be54cpmkpofi7n7cxoevt 0 14321 558658 498159 2026-10-05T02:09:16Z Persino 2851 558658 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zauważmy, że w wyniku doświadczenia uzyskujemy ''n'' liczb, które podlegają pewnym rozkładom, na razie bliżej nieokreślone, ale dzięki którym możemy wyliczyć gęstość prawdopodobieństwa uzyskania tychże wyników. == Rozkłady statystyczne == '''Rozkłady statystyczne''' - są to rozkłady jakim podlegają pewne losowe wartości, nazywane kolejno {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}}, gdzie ''i'' jest: numerem zmiennej k podlegającej temu rozkładowi - gdy rozkład jest dyskretny, lub k(x) - gdy rozkład jest ciągły względem argumentu x. Każdej wartości losowej podlegają pewne momenty statystyczne, tj.: &gamma;{{Sub|k}}, gdzie ''k'' jest numerem momentu statystycznego. Szczególnym momentem statystycznym jest zerowy moment statystyczny, tj.: &gamma;{{Sub|0}}=1, czyli normowanie funkcji do jedynki, a także jego moment statystyczny o numerze jeden &gamma;{{Sub|1}}=0, z którego możemy wyznaczyć średnią E(x) dla rozkładu ciągłego lub dyskretnego. Wariancja jest momentem statystycznym rzędu drugiego V(x)=&sigma;{{Sup|2}}. <br/>Gdzie: :&sigma; jest to odchylenie standardowym danego zespołu pomiarów. Ogólnie momenty statystyczne mogą być dyskretne lub ciągłe. W kolejnych rozdziałach omówiono ich wzory. == Prawdopodobieństwo lub gęstość prawdopodobieństwa == Dla zmiennej skokowej (dyskretnej) A, prawdopodobieństwo określa się jako stosunek liczby zdarzeń tegoż zdarzenia przez liczbę wszystkich zdarzeń w zbiorze &Omega;, które są w pewnym układzie statystycznym, wzór na tą wielkość przedstawia się według: {{CentrujWzór|<MATH>P=\frac{\,\overline{\overline{\omega}}\,}{\,\overline{\overline{\Omega}}\,}\;</MATH>|2.1|Obramuj}} Gdzie: : {{Formuła|<MATH>\overline{\overline{\omega}}\;</MATH>}} jest to moc A, czyli liczba elementów w zbiorze A, inaczej zajście tego zdarzenia : {{Formuła|<MATH>\overline{\overline{\Omega}}\;</MATH>}} jest to liczba wszystkich zdarzeń zachodzących w zbiorze {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}. Dla zmiennej ciągłej prawdopodobieństwo zajścia jakiegokolwiek zdarzenia dąży do zera, czyli {{Formuła|<MATH>dP\rightarrow 0\;</MATH>}}. Wówczas ze wzoru {{LinkWzór|2.1}} wynika oczywiście: {{Formuła|<MATH>\overline{\overline{\omega}}<<\overline{\overline{\Omega}}\;</MATH>}}, a więc w tym przypadku należy zamienić pojęcie prawdopodobieństwa przez pojęcie gęstości prawdopodobieństwa. Oczywiste jest, że gęstość prawdopodobieństwa ma właśnie wtedy sens dla zmiennej typu ciągłego. Definiujemy tą wielkość się jako stosunek prawdopodobieństwa zdarzenia z przedziału (x,x+dx) przez wielkość dx: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)={{dP(x)}\over{dx}}\;</MATH>|2.2}} Natomiast dla funkcji wielu zmiennych, czyli gdy badamy jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania n zmiennych jednocześnie {{Formuła|<MATH>\vec{x}=\left(x_1,x_2,x_3,...,x_n\right)\;</MATH>}}, którą to elementy tegoż wektora są w postaci ciągłej, gdzie ogólnie: : {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}} jest to element w ''n'' wymiarowej przestrzeni zdarzeń, to gęstość prawdopodobieństwa definiujemy jako iloraz nieskończenie małego prawdopodobieństwa zdarzenia z przedziału dla poszczególnej współrzędnej naszego wektora {{Formuła|<MATH>(x_i,x_i+dx_i)\;</MATH>}}, dla i=1,..,n przez infinitezymalną objętość w którym znajdują się ten nasz obiekt opisywanej przy pomocy podanego tutaj przedziału zmienności naszej zmiennej podanej wcześniej w tym tekście. {{CentrujWzór|<MATH>f(\vec{x})={{dP(\vec{x})}\over{dV}}\;</MATH>|2.3}} Gdzie: : {{Formuła|<MATH>dV\;</MATH>}} jest to objętość w przestrzeni ''n'' wymiarowej, w której liczymy infinitezymalne prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, które jest równe {{Formuła|<MATH>dP(\vec{x})\;</MATH>}}. Gęstość prawdopodobieństwa jest to pochodna dystrybuanty względem n-wymiarowej objętości, w której znajdują się te zdarzenia, jak się później przekonamy w późniejszych podrozdziałach. Widzimy, że w przypadku dyskretnym jest sens stosować zwykłe prawdopodobieństwo zdarzenia {{LinkWzór|2.1}}, ale w przypadku ciągłym już gęstość prawdopodobieństwa zdarzenia dla jednej zmiennej stosujemy wzór {{LinkWzór|2.2}} (przestrzeń jednowymiarowa) lub wzór dla "n" zmiennych stosujemy tożsamość {{LinkWzór|2.3}} (przestrzeń n-wymiarowa). == Rozkłady losowe jednej zmiennej == Będziemy zajmować się tutaj rozkładami losowymi, dyskretnymi lub ciągłymi, zależącymi od jednej zmiennej. === Dystrybuanta i prawdopodobieństwo uzyskania jednej zmiennej losowej === ---- Prawdopodobieństwem uzyskania zmiennej losowej jednej zmiennej nazywamy możliwość uzyskania tejże zmiennej w doświadczeniu. Dystrybuantą nazywamy prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej losowej w doświadczeniu z pewnego przedziału różnie określanego dla zmiennej losowej dyskretnej lub ciągłej, których definicje podamy poniżej. ==== Zmienna losowa dyskretna ==== Dla zmiennej losowej dyskretnej kolejne zdarzenia numerujemy od i=0 do i=n, zatem dystrybuantę dla zmiennej losowej dyskretnej definiujemy jako prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy elementy w naszym doświadczeniu o numerach {{Formuła|<MATH>0\leq i\leq m\leq n\;</MATH>}}. Dystrybuantę określamy za pomocą sumy prawdopodobieństw uzyskania elementu x{{Sub|i}} o numerach podanych wcześniej: {{CentrujWzór|<MATH>F(m)=P(i\leq m)=\sum_{i=0}^{i\leq m}P(x_i)\;</MATH>|2.4}} Dystrybuantę dla zmiennej losowej dyskretnej zdarzenia przeciwnego określamy, korzystając przy czym ze wzoru dystrybuantę zdarzeń o numerach i=0 do i=n {{LinkWzór|2.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>F^r(m)=P(i>m )=1-P(i\leq m)=\sum^n_{i=0}P(x_i)-\sum^{m}_{i=0}P(x_i)=\sum^n_{i=m+1}P(x_i)\;</MATH>|2.5}} Dystrybuanta dla zdarzenia przeciwnego - jest to prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych losowych przeciwnych do zdarzenia x{{Sub|i}} o numerach w przedziału {{Formuła|<MATH>0\leq i\leq m\;</MATH>}}, czyli dla zdarzeń o numerach {{Formuła|<MATH>m<i\leq n\;</MATH>}}. Należy zauważyć, że wielkość ''n'' może być zarówno skończona jak i nieskończona, dla zmiennej losowej jednej zmiennej. Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej x{{Sub|i}} o numerze "i" jest różnicą dystrybuant dla argumentu "i" oraz dla argumentu "i-1", definicja jego jest: {{CentrujWzór|<MATH>P(x_i)=F(i)-F(i-1)\;</MATH>|2.6}} Widzimy, że ze wzoru {{LinkWzór|2.6}} prawdopodobieństwo danego zdarzenia można określić za pomocą definicji dystrybuant. ==== Zmienna losowa ciągła ==== Dystrybuantę dla zmiennej losowej ciągłej jednowymiarowej ''x'', definiujemy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.2}} dla przedziału zmienności argumentu "x" z przedziału określonego (a,b), którą określa się: {{CentrujWzór|<MATH>F(c)=P(x<c)=\int\limits^c_{a}\rho(x)dx\;</MATH>|2.7}} Dystrybuanta dla parametru c - jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia z przedziału {{Formuła|<MATH>x\in(a,c)\;</MATH>}}. Korzystając ze wzoru na dystrybuantę {{LinkWzór|2.7}} dystrybuantę dla zdarzenia przeciwnego ciągłego określamy jako prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń dla przedziału, gdy liczba "x" jest większa od liczby "c": {{CentrujWzór|<MATH>F^r(c)=P(x>c)=1-P(x<c)=1-\int\limits^c_{a}\rho(x)dx=\int\limits^{b}_{a}\rho(x)-\int\limits^c_{a}\rho(x)dx= \int\limits^{b}_{c}\rho(x)dx\;</MATH>|2.8}} Zatem dystrybuanta dla zdarzenia przeciwnego określa prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do {{Formuła|<MATH>x\in(a,c)\;</MATH>}}, czyli dla zdarzenia {{Formuła|<MATH>x\in(c,b)\;</MATH>}}. Gęstością prawdopodobieństwa nazywamy pochodną dystrybuanty względem argumentu zdarzenia "x": {{CentrujWzór|<MATH>f(x)={{dF(x)}\over{dx}}={{F(x+dx)-F(x)}\over{dx}}={{dP(x)}\over{dx}}</MATH>|2.9}} Widzimy, że w powyższym wzorze różnica dystrybuant dla x+dx i x, czyli F(x+dx)-F(x) jest nieskończenie małym prawdopodobieństwem zdarzenia "x", czyli dP(x). Iloraz różnicy dystrybuant określonych we wzorze {{LinkWzór|2.9}} przez różniczkę dx jest to gęstość prawdopodobieństwa zdarzenia "x". === Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja === ---- Normowanie rozkładu zmiennej losowej dyskretnej lub ciągłej nazywamy zdarzeniem pewnym uzyskania jakiejkolwiek zmiennej losowej. Wartość oczekiwana, to średnia arytmetyczna uzyskanych danych doświadczalnych dla dużej ilości doświadczeń. Wariancja jest to średnie odchylenie kwadratowe uzyskanych wyników pomiarów. ==== Zmienna losowa dyskretna ==== Normowanie funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennej typu dyskretnego jest napisane wedle równania poniżej jako sumę prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń, o wszystkich możliwych "i" w zbiorze &Omega;. {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum^n_{i=1}P(x_i)\;</MATH>|2.10}} Normowanie do jedynki określa prawdopodobieństwa zdarzeń jakichkolwiek możliwych w przestrzeni zdarzeń {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}, a więc prawdopodobieństwo zdarzenia się jakiegokolwiek zdarzenia jest pewne (tzn. zdarzy się na pewno). Wartość oczekiwana - jest to średnia wartość, jaką można uzyskać w doświadczeniu w skutek dużej ilości wykonanych doświadczeń, jest definiowana jako sumę iloczynu zdarzenia x{{Sub|i}} przez prawdopodobieństwo jego uzyskania P(x{{Sub|i}}). {{CentrujWzór|<math>\hat{x}=E(x)=\sum^n_{i=1}x_iP(x_i)</MATH>|2.11}} Wariancją nazywamy średnim kwadratowym odchyleniem zmiennych pomiarów x{{Sub|i}}, czyli jest to wartość oczekiwana {{LinkWzór|2.11}}, ale dla zmiennej (x{{Sub|i}}-E(x)){{Sup|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{var}(x)=\sigma^2(x)=\sum^n_{i=1}(x_i-\hat{x})^2P(x_i)</MATH>|2.12}} Wariancja dla zmiennej losowej dyskretnej określa średnie kwadratowe odchylenie od wartości średniej dla bardzo dużej ilości pomiarów, podlegających rozważanemu rozkładowi. ==== Zmienna losowa ciągła ==== Normowanie funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennej typu ciągłego jest napisane wedle równania poniżej jako całkę gęstości prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń ciągłych zachodzących w zbiorze Ω. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int^b_a\rho(x)dx</MATH>|2.13}} Normowanie do jedynki określa prawdopodobieństwa zdarzeń jakichkolwiek możliwych w przestrzeni zdarzeń &Omega;, a więc prawdopodobieństwo zdarzenia się jakiegokolwiek zdarzenia jest pewne (tzn. zdarzy się na pewno). Wartość oczekiwana - jest to średnia wartość, jaką można uzyskać w doświadczeniu w skutek dużej ilości wykonanych doświadczeń, jest definiowana ona jako całka iloczynu zdarzenia "x" przez gęstość prawdopodobieństwa jego uzyskania &rho;(x) liczona względem zmiennej x. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}=E(x)=\int\limits^b_a x\rho(x)dx\;</MATH>|2.14}} Wariancją nazywamy średnim kwadratowym odchyleniem zmiennej pomiarów "x" podniesiony do kwadratu, czyli jest to wartość oczekiwana {{LinkWzór|2.14}}, ale dla zmiennej (x-E(x)){{Sup|2}}. {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{var}(x)=\sigma^2(x)=\int\limits_b^a (x-\hat{x})^2 \rho(x)dx\;</MATH>|2.15}} Wariancja dla zmiennej ciągłej losowej określa średnią kwadratową odchylenie od wartości średniej, jakie można uzyskać w doświadczeniu, podlegającej rozkładowi &rho;(x). === Wartość modalna === W rozkładzie funkcji jednej zmiennej, wartość modalna, to wartość najbardziej prawdopodobna, zwana też modą. Gdy funkcja gęstości prawdopodobieństwa posiada jedno ekstremum, to rozkład nazywamy jedno modalnym. Modę możemy wyznaczyć dla zmiennej typu ciągłego jednej zmiennej przy pomocy dwóch wzorów na warunek konieczny istnienia ekstremum i wystarczającym: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho(x)}\over{dx}}=0 \qquad {{d^2\rho(x)}\over{dx^2}}<0\;</MATH>|2.16}} Dla zmiennej typu dyskretnego wyznaczamy wartość modalną przez sprawdzenie, dla jakiego {{Formuła|<MATH>x_n\;</MATH>}} funkcja prawdopodobieństwa {{Formuła|<MATH>P(x_n)\;</MATh>}} przyjmuje wartość największą z możliwych ze wszystkich zdarzeń losowych. === Mediana, kwantyle i kwartyle === Mediana jest to wartość ''x'' w rozkładzie funkcji jednej zmiennej, dla której dystrybuanta {{LinkWzór|2.4}} (rozkład zmiennej losowej dyskretnej) lub {{LinkWzór|2.7}} (rozkład zmiennej losowej ciągłej) przyjmuje wartość połowy jedynki: {{CentrujWzór|<MATH>F(x_{0,5})=P(x<x_{0,5})=0,5\;</MATH>|2.17}} Kwartylami dystrybuanty nazywamy te wielkości x{{Sub|0,25}}, x{{Sub|0,75}}, dla których dystrybuanta kolejno przyjmuje wartości 0,25, 0,75: {{CentrujWzór|<MATH>F(x_{0,25})=0,25\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;oraz&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>F(x_{0,75})=0,75\;</MATH>|2.18}} Kwantylami nazywamy dystrybuanty nazywamy te wielkości x{{Sub|r}}, dla których dystrybuanta przyjmuje wartość "r". {{CentrujWzór|<MATH>F(x_r)=r\;</MATH>|2.19}} * gdzie x{{Sub|r}} są to wielkości x{{Sub|0,1}}, x{{Sub|0,2}},...,x{{Sub|0,9}}. === Rozkład jednostajny === Określmy rozkład zmiennej losowej typu ciągłego, dla którego gęstość prawdopodobieństwa przedstawia w zależności od parametru c przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=\begin{cases} c & \quad \mbox{dla }a\leq x <b\\ 0 & \quad \mbox{dla } x<a\mbox{ lub }x\geq b \end{cases}\;</MATH>|2.20}} Rozkład {{LinkWzór|2.20}} nazywany jest rozkładem jednostajnym. Uwzględniając warunek na unormowanie funkcji f(x) {{LinkWzór|2.13}}, wtedy całkę normującą możemy napisać całkując tą naszą funkcję w przedziale (a,b), bo ona w tym przedziale przyjmuje wartość stałą niezerową. Dla pozostałych przedziałów wspomnianej funkcji gęstości prawdopodobieństwa nie wnosi nic do całki poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx= \; c\int\limits_{a}^{b} dx= \; c(b-a)\;</MATH>}} Ponieważ nasz rozkład w postaci unormowanej dla całki normującej (powyżej), która powinna przyjmować wartość jeden, zatem stąd można będzie wyznaczyć parametr "c", wtedy na podstawie tegoż parametru gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego {{LinkWzór|2.20}} piszemy wedle postaci: {{CentrujWzór|<MATH> f(x)={{1}\over{b-a}}\quad \mbox{ dla }\;a\leq x<b\;</MATH>{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;oraz <MATH> f(x)=0 \quad \mbox{ dla }\;x<a\;\mbox{ lub }\;x\geq b\;</MATH>|2.21}} Dystrybuanta dla tego samego rozkładu wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.7}} przy definicji gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.21}} piszemy wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)=\begin{cases} \int\limits_{a}^{x}{{dx}\over{b-a}}={{x-a}\over{b-a}}\quad \mbox{ dla } a\leq x<b\\ 0 \quad \mbox{ dla } x<a\\ 1 \quad \mbox{ dla } x\geq b\end{cases}\;</MATH>|2.22}} Policzmy teraz wartość średnią zmiennej ciągłej ''x'' wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.14}} przy definicji gęstości prawdopodobieństwa f(x). {{CentrujWzór|<MATH>E(x)=\overline{x}= \;{{1}\over{b-a}}\int\limits^b_a xdx\;=\;{{1}\over{b-a}}{{1}\over{2}}{(b^2-a^2)}\;={{b+a}\over{2}}\;</MATH>}} Wariancja zmiennej ''x'', wychodząc najpierw od wzoru {{LinkWzór|2.15}} przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|2.21}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x^2)=\;\int\limits^b_a (x-\overline{x})^2f(x)dx\;=\;\int\limits^b_a x^2 f(x)dx-\left(\int\limits^b_a x f(x)dx \right)^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{3}}{{1}\over{b-a}}(b^3-a^3)-{{(b+a)^2}\over{4}}\;=\;{{4(b^2+ba+a^2)-3(b^2+a^2+2ab)}\over{12}}={{b^2+a^2-2ab}\over{12}}\;=\;{{(b-a)^2}\over{12}}\;</MATH>|2.23}} === Rozkład Cauchy'ego === {{Rysunek|Rozkład Cauchy'ego.jpg|Ges_praw_roz_cach|Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu Cauchy'ego (góra) oraz model prowadzący do tego rozkładu (dół)}} Jest to rozkład jednorodny o niezerowej gęstości prawdopodobieństwa jedynie w przedziale kątowym: {{CentrujWzór|<MATH>\theta\in \left ({{-\pi}\over{2}},{{\pi}\over{2}}\right )\;</MATH>|2.24}} Z jednorodności gęstości prawdopodobieństwa i długości przedziału {{LinkWzór|2.24}} wynika postać tejże funkcji gęstości prawdopodobieństwa w tymże przedziale: {{Formuła|<MATH>f(\theta)={{1}\over{\pi}}\;</MATH>}}. Wybierzmy oś ''x'', względem której możemy określać kąty &theta; i napiszemy go przeliczający z wielkości, która jest kątem &theta; na wartość "x", który mówi coś o położeniu cząstki, gdy odległość naszego punktu od osi iksowej według rysunku obok wynosi jeden. {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\operatorname{arctg}(x)\;</MATH>|2.25}} Biorąc pochodną funkcji {{LinkWzór|2.25}} względem argumentu ciągłęgo ''x'': {{CentrujWzór|<MATH>{{d\theta}\over{dx}}={{1}\over{1+x^2}}\;</MATH>|2.26}} Gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej ''x'' przez jakąś cząstkę o promieniu wodzącym o wartości jeden względem jego gęstości prawdopodobienstwa względem kąta &theta;, czyli f(&theta;), którą to określamy: {{CentrujWzór|<MATH>g(x)=\left | {{d\theta}\over{dx}}\right | f(\theta)={{1}\over{\pi}}{{1}\over{1+x^2}}\;</MATH>|2.27}} Sprawdźmy czy napisany rozkład zmiennej losowej "x" ciągłej {{LinkWzór|2.27}} jest rozkładem unormowanym: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{dx}\over{1+x^2}}= {{1}\over{\pi}}\left|\operatorname{arctg}(x)\right|^{\infty}_{-\infty}={{1}\over{\pi}}\left({{\pi}\over{2}}+{{\pi}\over{2}}\right)={{1}\over{\pi}}\pi=1\;</MaTH>|2.28}} Policzmy teraz wartość oczekiwaną funkcji gęstości prawdopodobieństwa g(x) {{LinkWzór|2.27}} względem jej położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}={{1}\over{\pi}}\int\limits^{\infty}_{-\infty}xg(x)dx=0\;</MATH>|2.29}} Uwzględniliśmy w obliczeniach {{LinkWzór|2.29}} fakt, że funkcja podcałkowa jest nieparzysta. zatem średnie położenie cząstki jest więc równe zero. Teraz policzmy wariancję wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.15}} względem gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}{{1}\over{\pi}}{{x^2dx}\over{1+x^2}}=\;{{1}\over{\pi}}\int\limits^{\infty}_{-\infty}\left (1-{{1}\over{1+x^2}}\right )={{1}\over{\pi}}\left |x-\operatorname{arctg}(x)\right |_{x=-\infty}^{x=\infty}={{2}\over{\pi}}\lim_{x\rightarrow \infty}(x-\operatorname{arctg}(x))=\infty\;</MATH>|2.30}} Przy liczeniu wariancji skorzystaliśmy z zależności ze funkcja arctg(x) ma kres dolny oraz górny. {{CentrujWzór|<MATH>-{{\pi}\over{2}}\leq\operatorname{arctg}(x)\leq{{\pi}\over{2}}\;</MATH>}} {{Formuła|<MATH>\operatorname{arctg}(x)\;</MATH>}} posiada wartość skończoną w nieskończonościach, którą odejmujemy od nieskończonego ''x'', stąd otrzymaliśmy nieskończoną wartość wariancji {{LinkWzór|2.30}}. Wariancja, a więc i odchylenie standardowe, funkcji {{LinkWzór|2.30}} dąży do nieskończoności. Wtedy mówimy, że wariancja dla rozkładu Cauchy'ego nie istnieje. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.27}}, w którym przyjmuje wartość maksymalną dla x=0 i wynosi {{Formuła|<MaTH>{{1}\over{\pi}}\;</MATH>}}. Połowę swej wartości posiada w punktach x=-1 i x=1, zatem szerokość połówkowa jest napisana wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma=1-(-1)=2\;</MATH>}} === Rozkład Lorentza (Breita-Wignera) === Rozkład Lorentza inaczej Breita-Wignera jako rozkład gęstości prawdopodobienstwa zmiennej losowej ciagłej zapisujemy wględem argumentu "a", która jest wartością średnią tegoż rozkładu, i względem parametru &Gamma;, który jest szerokością połówkową tego rozważanego rozkładu. {{CentrujWzór|<MATH>g(x)={{2}\over{\pi\Gamma}}{{\Gamma^2}\over{4(x-a)^2+\Gamma^2}}\;</Math>|2.31}} Rozkład {{LinkWzór|2.31}} przechodzi w rozkład Cauchego {{LinkWzór|2.27}}, gdy {{Formuła|<math>a=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\Gamma=2\;</MATH>}}. Sprawdźmy czy rozkład Breita-Wignera {{LinkWzór|2.31}} jest unormowany wychodząc od wzoru normującego {{LinkWzór|2.13}} przy gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.31}}. {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx={{2\Gamma^2}\over{\pi\Gamma}}\int_{-\infty}^{\infty}{{dx}\over{4(x-a)^2+\Gamma^2}}={{2\Gamma}\over{\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{dx}\over{\Gamma^2\left\{1+\left[{{2(x-a)}\over{\Gamma}}\right]^2\right\}}}=\begin{Bmatrix} t={{2(x-a)}\over{\Gamma}}\\ dt={{2dx}\over{\Gamma}} \end{Bmatrix}={{2}\over{\pi\Gamma}}\int^{\infty}_{-\infty}{{{{\Gamma}\over{2}}dt}\over{1+t^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{dt}\over{1+t^2}}=1\;</MATH>|2.32}} Rozważana funkcja jak oczekiwaliśmy jest unormowana do jedynki. Wyznaczmy średnią wartość zmiennej losowej "x" dla rozkładu Lorentza {{LinkWzór|2.31}} wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}=\int_{-\infty}^{\infty}xg(x)dx={{2\Gamma^2}\over{\pi\Gamma}}\int_{-\infty}^{\infty}{{xdx}\over{4(x-a)^2+\Gamma^2}}={{2\Gamma}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{xdx}\over{\Gamma^2\left\{1+\left[{{2}\over{\Gamma}}\left(x-a\right)\right]^2\right\} }}=\begin{Bmatrix} t={{2}\over{\Gamma}}\left(x-a\right)\\ x-a={{\Gamma}\over{2}}t\Rightarrow x=a+{{\Gamma}\over{2}}t\\ dx={{\Gamma}\over{2}}dt \end{Bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2}\over{\Gamma\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{ {{\Gamma}\over{2}} (a+{{\Gamma}\over{2}}t)dt}\over{1+t^2}}= {{a}\over{\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{dt}\over{1+t^2}}+{{\Gamma}\over{2}}\int_{-\infty}^{\infty}{{tdt}\over{1+t^2}}={{a}\over{\pi}}\operatorname{arcg}(t)\Bigg|^{\infty}_{-\infty}= {{a}\over{\pi}}\left({{\pi}\over{2}}+{{\pi}\over{2}}\right)={{a}\over{\pi}}\pi=a\;</MATH>|2.33}} Średnia wartość zmiennej losowej podlegającej wedle rozkładu Breita-Wignera jest równy liczbie "a" występującej we wzorze {{LinkWzór|2.31}}, tak jak oczekiwaliśmy. Wyznaczmy wariancję wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.15}} przy definicji rozkładu Lorentza wedle obliczeń poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-a)^2g(x)dx={{2\Gamma^2}\over{\pi\Gamma}}\int_{-\infty}^{\infty}{{(x-a)^2dx}\over{4(x-a)^2+\Gamma^2}}= {{2\Gamma}\over{\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{(x-a)^2dx}\over{\Gamma^2\left\{1+\left[{{2(x-a)dx}\over{\Gamma}}\right]^2\right\}}} ={{2}\over{\Gamma\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{(x-a)^2dx}\over{1+\left[{{2(x-a)}\over{\Gamma}}\right]^2}}=\;</MATH>{{Br}}<math>=\begin{Bmatrix}t={{2(x-a)}\over{\Gamma}}\\ dt={{2}\over{\Gamma}}dx\\ x-a={{\Gamma}\over{2}}t\end{Bmatrix}= {{2}\over{\Gamma\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{ {{\Gamma^2}\over{4}}t^2{{\Gamma}\over{2}}dt}\over{1+t^2}}= {{\Gamma^2}\over{4\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{(t^2+1-1)dt}\over{1+t^2}}= {{\Gamma^2}\over{4\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}\left(1-{{1}\over{1+t^2}}\right)dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\Gamma^2}\over{4\pi}}\left|t-\operatorname{arcgtg}(t)\right|^{\infty}_{-\infty}=\infty \;</MAtH>|2.34}} Wariancja wedle rozkładu Breita-Wignera jest równa nieskończoność, co oznacza, że w wyniku losowania zmienną losowej można znaleźć w całej nieskończonej przestrzeni, którego średni pomiar nieskończonej ilości pomiarów wynosi "a". Rozkład Breita-Wignera przyjmuje wartość maksymalną dla {{Formuła|<math>x=a\;</MATH>}}, i wartość rozkładu Breita-Wignera dla tego punktu jest równa {{Formuła|<MATH>{{2}\over{\pi\Gamma}}\;</MATH>}}, funkcja g(x) dla której przyjmuje wartość równą połowie jej wartości maksymalnej, gdy zachodzi warunek {{Formuła|<MATH>2(x-a)=\pm\Gamma\;</MAth>}}, co udowodnimy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>g(x=\pm{{\Gamma}\over{2}}+a)={{2}\over{\pi\Gamma}}{{\Gamma^2}\over{\Gamma^2+\Gamma^2}}= {{2}\over{\pi\Gamma}}{{1}\over{2}}={{1}\over{2}}g(a)\;</MATH>|2.35}} Co jest połówkową wartością wartości maksymalnej, zatem wtedy możemy policzyć szerokość połówkową naszego rozkładu: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\Gamma}\over{2}}+a\right)-\left(-{{\Gamma}\over{2}}+a\right)= {{\Gamma}\over{2}}+a+{{\Gamma}\over{2}}-a=\Gamma\;</MATH>|2.36}} Udowodniliśmy, że szerokość połówkowa rozważanego rozkładu wynosi &Gamma;, tak jak przypuszczaliśmy. == Rozkłady losowe dwóch zmiennych == === Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa === Jeśli dolnym zakresem zmiennej ''x'' jest ''a'', oraz dolnym zakresem zmiennej ''y'' jest ''c'', to '''dystrybuantę''' zmiennych losowych ciągłych ze względu na oba parametry określamy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa &rho;(x,y) dla argumentu "x" z przedziału (a,x) oraz dla argumentu y z przedziału (c,y) względem argumentu iksowego i igrekowego: {{CentrujWzór|<MATH>F(x,y)=P(a<x,c<y)=\int\limits^x_a\int\limits^y_c \rho(x,y)dxdy\;</MATH>|2.37}} Zwykle przy naszych założeniach mamy, że wielkości a i c sa równe minus nieskończoność, ale nie zawsze tak jest. Wiemy jednak, że dystrybuanta wedle wzoru {{LinkWzór|2.37}} dla argumentów x=a i y=c wynosi zero: {{CentrujWzór|<MATH>F(a,c)=0\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>x<a\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<math>y<c\;</MATH>|2.38}} Dla dwóch zmiennych, '''gęstość prawdopodobieństwa''' uzyskania jednocześnie zmiennych x i y jest podwójną pochodną względem zmiennych x i y funkcji F(x,y) (dystrybuanty), w którym w mianowniku jest to infinitezymalne prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej x i y w przedziale (prostokącie): {{Formuła|<MATH>(x,x+dx)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>(y,y+dy)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>f(x,y)={{\partial}\over{\partial x}}{{\partial}\over{\partial y}}F(x,y)\;</MATH>|2.39}} Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych x i y w prostokącie {{Formuła|<MATH>x\in(a_0,b_0)\subset(a,b)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y\in(c_0,d_0)\subset(c,d)\;</MATH>}}, określa się jako podwójną całę względem gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.39}} całkując względem argumentu x i y w określonym wcześniej przedziale. {{CentrujWzór|<MATH>P(a_0\leq x<b_0,c_0\leq y<d_0)=\int\limits_a^b\left [\int\limits_c^d f(x,y) dy \right ]dx\;</MATH>|2.40}} Jeśli przecałkujemy po całkowitym obszarze zmiennej y, tzn. (c,d), otrzymamy wtedy gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej x należącej do przedziału (a,b), tzn. {{CentrujWzór|<MATH>g(x)=\int\limits_c^df(x,y)dy\;</MATH>|2.41}} Podobnie uzyskujemy prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej y należących do przedziału (c,d), gdy przecałkujemy funkcję {{LinkWzór|2.39}} po całym zmienności zmiennej x. {{CentrujWzór|<MATH>h(y)=\int\limits_{a}^bf(x,y)dx\;</MATH>|2.42}} Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej x w podprzedziale (a{{Sub|0}},b{{Sub|0}}) należących do przedziału całej zmienności tejże zmiennej (a,b) określa się dla dowolnego y z przedziału (c,d), całkując funkcję {{LinkWzór|2.39}} po całym przebiegu zmienności zmiennej y i po określonym podprzedziale iksowym: {{CentrujWzór|<MATH>P(a_0<x<b_0)= P(a_0<x<b_0,c<y<d)=\int\limits_{a_0}^{b_0}\left [\int\limits_c^df(x,y)dy\right ]dx=\int\limits_{a_0}^{b_0} g(x)dx\;</MATH>|2.43}} Podobnie określamy prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej y w przedziale (c{{Sub|0}},d{{Sub|0}}). === Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja === Normowaniem rozkładu dwóch zmiennych nazywamy zdarzeniem pewnym, który jest równy na pewno jeden. Przepis normowania funkcji zapisujemy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa g(x,y) całkując względem argumentu x i y po całym ich przebiegu zmienności. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c}g(x,y)dxdy\;</MATH>|2.44}} Wartością oczekiwaną zmiennej ''x'' nazywamy przepis, który jest całką po całym przebiegu zmienności zmiennych x i y, w którym funkcją podcałkową jest równa iloczynowi zmiennej x i gęstości prawdopodobieństwa &rho;(x,y). Tą całkę przestawmy względem gęstości prawdopodobieństwa zmiennej "x" określonym wzorem {{LinkWzór|2.41}}. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}=E(x)=\int^{b}_{a}\int^{c}_{d}x\rho(x,y)dxdy=\int^{b_x}_{a_x}xg(x)dx\;</MATH>|2.45}} Wartością oczekiwaną zmiennej ''x'' nazywamy przepis, który jest całką po całym przebiegu zmienności zmienne x i y, w którym funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej y i gęstości prawdopodobienstwa &rho;(x,y). Tą całkę przestawiamy względem gęstości prawdopodobieństwa zmiennej "y" określonym wzorem {{LinkWzór|2.41}}. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{y}=E(y)=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c}y\rho(x,y)dxdy=\int^{d}_{c}yg(y)dy\;</MATH>|2.46}} Wariancją zmiennej x nazywamy wartość oczekiwaną z funkcji {{Formuła|<MAtH>(x-\hat{x})^2\;</math>}}, jest to średnia kwadratowa zmiennej wielkości odchylenia od jego wartości oczekiwanej, w którym ta całka jest całkowaniem po całej przedziale zmienności zmiennej "x" i "y". {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c}\left(x-\hat{x}\right)^2\rho(x,y)dxdy=\int^{b}_{a}\left(x-\hat{x}\right)g(x)dx</MATH>|2.47}} Wariancją zmiennej y nazywamy wartość oczekiwaną z funkcji {{Formuła|<MAtH>(y-\hat{y})^2\;</math>}}, jest to średnia kwadratowa zmiennej wielkości odchylenia od jego wartości oczekiwanej, w której całka jest całkowaniem po całej przedziale zmienności zmiennej "x" i "y". {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(y)=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c}(y-\hat{y})^2\rho(x,y)dxdy=\int^{d}_{c}(y-\hat{y})h(y)dy</MATH>|2.48}} == Rozkłady losowe n-zmiennych == === Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa === Określmy n-wymiarowy wektor, którego składowymi jest n-zmiennych, i które są pomiarami losowymi zmiennych składowych ciągłych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{x}=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\;</MATH>|2.49}} przy czym poszczególne elementy wektora {{Formuła|<MATH>\vec{x}\;</MATH>}} spełniają związek przynależności do zbioru liczb rzeczywistych: {{Formuła|<MATH>x_k\in(a_k,b_k)\in R^1</MATH>}}. n-wymiarowy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{x}\;</MATH>}} wchodzi w skład gęstości prawdopodobieństwa uzyskania n-składowych tego wspomnianego wektora. Dystrybuantę określamy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa względem argumentu x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},...,x{{Sub|3}}, całkując po przedziale zmienności x{{Sub|1}}<c{{Sub|1}},x{{Sub|2}}<c{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}<c{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>F(\vec{c})=P(\vec{x}<\vec{c})=P(x_1<c_1,x_2<c_2,...,x_n<c_n)=\int^{x_1}_{a_1}\int^{x_2}_{a_2}...\int^{x_n}_{a_n}f(x_1,x_2,...,x_n)d^n\vec{x}</MATH>|2.50}} Gęstością prawdopodobieństwa uzyskania n-zmiennych nazywamy funkcję, która jest pochodną cząstkową n zmiennych, tzn. względem argumentu x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_1,x_2,...,x_n)={{\partial^n\vec{F}(x_1,x_2,...,x_n)}\over{\partial x_1\partial x_2...\partial x_n}}</MATH>|2.51}} Jak widzimy, wzory {{LinkWzór|2.50}} i {{LinkWzór|2.51}} są uogólnieniem wzorów kolejno {{LinkWzór|2.7}} (dystrybuanta jednej zmiennej losowej ciągłej) oraz {{LinkWzór|2.9}} (gęstość prawdopodobieństwa jednej zmiennej) dla dwóch zmiennych. Gęstość uzyskania tylko zmiennej x{{Sub|k}} określa się podobnie jak przy wzorach dla gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej "x", gdy mamy funkcję gęstości prawdopdobieństwa dwóch zmiennych {{LinkWzór|2.41}} i {{LinkWzór|2.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>g(x_k)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_{k-1}}_{a_{k-1}}\int^{b_{k+1}}_{a_{k+1}}...\int^{b_n}_{a_n}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_{k-1}dx_{k+1}...dx_n\;</MATH>|2.52}} Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych {{Formuła|<MATH>x_k\;</MATH>}} w wymiarowym prostokącie dla którego zachodzą warunki c{{Sub|k}}&le; x{{Sub|k}}&le; d{{Sub|k}} wyraża się przez: {{CentrujWzór|<MATH>P(c_1\leq x_1\leq d_2,c_2\leq x_2\leq d_2...c_n\leq x_n\leq d_n)=\int^{d_1}_{c_1}\int^{d_2}_{c_2}...\int^{d_n}_{c_n}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n</MATH>|2.53}} === Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja === Normowanie funkcji nazywamy zdarzenie pewne uzyskania jakikolwiek zmiennej, która jest wektorem {{LinkWzór|2.49}} i która jest równa jeden, i nazywamy całkę gęstości funkcji prawdopodobieństwa z funkcji f(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) liczoną względem tychże argumentów po całym przedziale zmienności zmiennych x{{Sub|i}} dla i=1,2,...,n. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n</MATH>|2.54}} Wartością oczekiwaną zmiennej x{{Sub|k}} nazywamy liczoną po całym przedziale zmienności wektora {{LinkWzór|2.49}}, w którym funkcją podcałkową jest iloczyn gęstości prawdopodobieństwa f(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) i zmiennej x{{Sub|k}}. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}_k=E(x_k)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}x_k f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n=\int^{b_k}_{a_k}x_kg(x_k)dx_k</MATH>|2.55}} Wariancją zmiennej losowej ciągłej x{{Sub|k}} w przestrzeni n-wymiarowej nazywamy całkę po całej zmienności wektora {{LinkWzór|2.49}}, w której funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji prawdopodobieństwa f(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) i zmiennej {{Formuła|<MatH>(x_k-\hat{x}_k)^2</MaTH>}}, czyli jest to średnia tejże podanej funkcji: {{CentrujWzór|<MaTH>\sigma^2(x_k)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}\left(x_k-\hat{x}_k\right)^2 f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n=\int^{b_k}_{a_k}\left(x_k-\hat{x}_k\right)^2g(x_k)dx_k</MATH>|2.56}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> bvsjah7pkg9twhdvhy4o2mh02bql2wc 558660 558658 2026-10-05T02:13:11Z Persino 2851 558660 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zauważmy, że w wyniku doświadczenia uzyskujemy ''n'' liczb, które podlegają pewnym rozkładom, na razie bliżej nieokreślone, ale dzięki którym możemy wyliczyć gęstość prawdopodobieństwa uzyskania tychże wyników. == Rozkłady statystyczne == '''Rozkłady statystyczne''' - są to rozkłady jakim podlegają pewne losowe wartości, nazywane kolejno {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}}, gdzie ''i'' jest: numerem zmiennej k podlegającej temu rozkładowi - gdy rozkład jest dyskretny, lub k(x) - gdy rozkład jest ciągły względem argumentu x. Każdej wartości losowej podlegają pewne momenty statystyczne, tj.: &gamma;{{Sub|k}}, gdzie ''k'' jest numerem momentu statystycznego. Szczególnym momentem statystycznym jest zerowy moment statystyczny, tj.: &gamma;{{Sub|0}}=1, czyli normowanie funkcji do jedynki, a także jego moment statystyczny o numerze jeden &gamma;{{Sub|1}}=0, z którego możemy wyznaczyć średnią E(x) dla rozkładu ciągłego lub dyskretnego. Wariancja jest momentem statystycznym rzędu drugiego V(x)=&sigma;{{Sup|2}}. Gdzie: : &sigma; jest to odchylenie standardowym danego zespołu pomiarów. Ogólnie momenty statystyczne mogą być dyskretne lub ciągłe. W kolejnych rozdziałach omówiono ich wzory. == Prawdopodobieństwo lub gęstość prawdopodobieństwa == Dla zmiennej skokowej (dyskretnej) A, prawdopodobieństwo określa się jako stosunek liczby zdarzeń tegoż zdarzenia przez liczbę wszystkich zdarzeń w zbiorze &Omega;, które są w pewnym układzie statystycznym, wzór na tą wielkość przedstawia się według: {{CentrujWzór|<MATH>P=\frac{\,\overline{\overline{\omega}}\,}{\,\overline{\overline{\Omega}}\,}\;</MATH>|2.1|Obramuj}} Gdzie: : {{Formuła|<MATH>\overline{\overline{\omega}}\;</MATH>}} jest to moc A, czyli liczba elementów w zbiorze A, inaczej zajście tego zdarzenia : {{Formuła|<MATH>\overline{\overline{\Omega}}\;</MATH>}} jest to liczba wszystkich zdarzeń zachodzących w zbiorze {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}. Dla zmiennej ciągłej prawdopodobieństwo zajścia jakiegokolwiek zdarzenia dąży do zera, czyli {{Formuła|<MATH>dP\rightarrow 0\;</MATH>}}. Wówczas ze wzoru {{LinkWzór|2.1}} wynika oczywiście: {{Formuła|<MATH>\overline{\overline{\omega}}<<\overline{\overline{\Omega}}\;</MATH>}}, a więc w tym przypadku należy zamienić pojęcie prawdopodobieństwa przez pojęcie gęstości prawdopodobieństwa. Oczywiste jest, że gęstość prawdopodobieństwa ma właśnie wtedy sens dla zmiennej typu ciągłego. Definiujemy tą wielkość się jako stosunek prawdopodobieństwa zdarzenia z przedziału (x,x+dx) przez wielkość dx: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)={{dP(x)}\over{dx}}\;</MATH>|2.2}} Natomiast dla funkcji wielu zmiennych, czyli gdy badamy jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania n zmiennych jednocześnie {{Formuła|<MATH>\vec{x}=\left(x_1,x_2,x_3,...,x_n\right)\;</MATH>}}, którą to elementy tegoż wektora są w postaci ciągłej, gdzie ogólnie: : {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}} jest to element w ''n'' wymiarowej przestrzeni zdarzeń, to gęstość prawdopodobieństwa definiujemy jako iloraz nieskończenie małego prawdopodobieństwa zdarzenia z przedziału dla poszczególnej współrzędnej naszego wektora {{Formuła|<MATH>(x_i,x_i+dx_i)\;</MATH>}}, dla i=1,..,n przez infinitezymalną objętość w którym znajdują się ten nasz obiekt opisywanej przy pomocy podanego tutaj przedziału zmienności naszej zmiennej podanej wcześniej w tym tekście. {{CentrujWzór|<MATH>f(\vec{x})={{dP(\vec{x})}\over{dV}}\;</MATH>|2.3}} Gdzie: : {{Formuła|<MATH>dV\;</MATH>}} jest to objętość w przestrzeni ''n'' wymiarowej, w której liczymy infinitezymalne prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, które jest równe {{Formuła|<MATH>dP(\vec{x})\;</MATH>}}. Gęstość prawdopodobieństwa jest to pochodna dystrybuanty względem n-wymiarowej objętości, w której znajdują się te zdarzenia, jak się później przekonamy w późniejszych podrozdziałach. Widzimy, że w przypadku dyskretnym jest sens stosować zwykłe prawdopodobieństwo zdarzenia {{LinkWzór|2.1}}, ale w przypadku ciągłym już gęstość prawdopodobieństwa zdarzenia dla jednej zmiennej stosujemy wzór {{LinkWzór|2.2}} (przestrzeń jednowymiarowa) lub wzór dla "n" zmiennych stosujemy tożsamość {{LinkWzór|2.3}} (przestrzeń n-wymiarowa). == Rozkłady losowe jednej zmiennej == Będziemy zajmować się tutaj rozkładami losowymi, dyskretnymi lub ciągłymi, zależącymi od jednej zmiennej. === Dystrybuanta i prawdopodobieństwo uzyskania jednej zmiennej losowej === ---- Prawdopodobieństwem uzyskania zmiennej losowej jednej zmiennej nazywamy możliwość uzyskania tejże zmiennej w doświadczeniu. Dystrybuantą nazywamy prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej losowej w doświadczeniu z pewnego przedziału różnie określanego dla zmiennej losowej dyskretnej lub ciągłej, których definicje podamy poniżej. ==== Zmienna losowa dyskretna ==== Dla zmiennej losowej dyskretnej kolejne zdarzenia numerujemy od i=0 do i=n, zatem dystrybuantę dla zmiennej losowej dyskretnej definiujemy jako prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy elementy w naszym doświadczeniu o numerach {{Formuła|<MATH>0\leq i\leq m\leq n\;</MATH>}}. Dystrybuantę określamy za pomocą sumy prawdopodobieństw uzyskania elementu x{{Sub|i}} o numerach podanych wcześniej: {{CentrujWzór|<MATH>F(m)=P(i\leq m)=\sum_{i=0}^{i\leq m}P(x_i)\;</MATH>|2.4}} Dystrybuantę dla zmiennej losowej dyskretnej zdarzenia przeciwnego określamy, korzystając przy czym ze wzoru dystrybuantę zdarzeń o numerach i=0 do i=n {{LinkWzór|2.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>F^r(m)=P(i>m )=1-P(i\leq m)=\sum^n_{i=0}P(x_i)-\sum^{m}_{i=0}P(x_i)=\sum^n_{i=m+1}P(x_i)\;</MATH>|2.5}} Dystrybuanta dla zdarzenia przeciwnego - jest to prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych losowych przeciwnych do zdarzenia x{{Sub|i}} o numerach w przedziału {{Formuła|<MATH>0\leq i\leq m\;</MATH>}}, czyli dla zdarzeń o numerach {{Formuła|<MATH>m<i\leq n\;</MATH>}}. Należy zauważyć, że wielkość ''n'' może być zarówno skończona jak i nieskończona, dla zmiennej losowej jednej zmiennej. Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej x{{Sub|i}} o numerze "i" jest różnicą dystrybuant dla argumentu "i" oraz dla argumentu "i-1", definicja jego jest: {{CentrujWzór|<MATH>P(x_i)=F(i)-F(i-1)\;</MATH>|2.6}} Widzimy, że ze wzoru {{LinkWzór|2.6}} prawdopodobieństwo danego zdarzenia można określić za pomocą definicji dystrybuant. ==== Zmienna losowa ciągła ==== Dystrybuantę dla zmiennej losowej ciągłej jednowymiarowej ''x'', definiujemy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.2}} dla przedziału zmienności argumentu "x" z przedziału określonego (a,b), którą określa się: {{CentrujWzór|<MATH>F(c)=P(x<c)=\int\limits^c_{a}\rho(x)dx\;</MATH>|2.7}} Dystrybuanta dla parametru c - jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia z przedziału {{Formuła|<MATH>x\in(a,c)\;</MATH>}}. Korzystając ze wzoru na dystrybuantę {{LinkWzór|2.7}} dystrybuantę dla zdarzenia przeciwnego ciągłego określamy jako prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń dla przedziału, gdy liczba "x" jest większa od liczby "c": {{CentrujWzór|<MATH>F^r(c)=P(x>c)=1-P(x<c)=1-\int\limits^c_{a}\rho(x)dx=\int\limits^{b}_{a}\rho(x)-\int\limits^c_{a}\rho(x)dx= \int\limits^{b}_{c}\rho(x)dx\;</MATH>|2.8}} Zatem dystrybuanta dla zdarzenia przeciwnego określa prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do {{Formuła|<MATH>x\in(a,c)\;</MATH>}}, czyli dla zdarzenia {{Formuła|<MATH>x\in(c,b)\;</MATH>}}. Gęstością prawdopodobieństwa nazywamy pochodną dystrybuanty względem argumentu zdarzenia "x": {{CentrujWzór|<MATH>f(x)={{dF(x)}\over{dx}}={{F(x+dx)-F(x)}\over{dx}}={{dP(x)}\over{dx}}</MATH>|2.9}} Widzimy, że w powyższym wzorze różnica dystrybuant dla x+dx i x, czyli F(x+dx)-F(x) jest nieskończenie małym prawdopodobieństwem zdarzenia "x", czyli dP(x). Iloraz różnicy dystrybuant określonych we wzorze {{LinkWzór|2.9}} przez różniczkę dx jest to gęstość prawdopodobieństwa zdarzenia "x". === Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja === ---- Normowanie rozkładu zmiennej losowej dyskretnej lub ciągłej nazywamy zdarzeniem pewnym uzyskania jakiejkolwiek zmiennej losowej. Wartość oczekiwana, to średnia arytmetyczna uzyskanych danych doświadczalnych dla dużej ilości doświadczeń. Wariancja jest to średnie odchylenie kwadratowe uzyskanych wyników pomiarów. ==== Zmienna losowa dyskretna ==== Normowanie funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennej typu dyskretnego jest napisane wedle równania poniżej jako sumę prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń, o wszystkich możliwych "i" w zbiorze &Omega;. {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum^n_{i=1}P(x_i)\;</MATH>|2.10}} Normowanie do jedynki określa prawdopodobieństwa zdarzeń jakichkolwiek możliwych w przestrzeni zdarzeń {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}, a więc prawdopodobieństwo zdarzenia się jakiegokolwiek zdarzenia jest pewne (tzn. zdarzy się na pewno). Wartość oczekiwana - jest to średnia wartość, jaką można uzyskać w doświadczeniu w skutek dużej ilości wykonanych doświadczeń, jest definiowana jako sumę iloczynu zdarzenia x{{Sub|i}} przez prawdopodobieństwo jego uzyskania P(x{{Sub|i}}). {{CentrujWzór|<math>\hat{x}=E(x)=\sum^n_{i=1}x_iP(x_i)</MATH>|2.11}} Wariancją nazywamy średnim kwadratowym odchyleniem zmiennych pomiarów x{{Sub|i}}, czyli jest to wartość oczekiwana {{LinkWzór|2.11}}, ale dla zmiennej (x{{Sub|i}}-E(x)){{Sup|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{var}(x)=\sigma^2(x)=\sum^n_{i=1}(x_i-\hat{x})^2P(x_i)</MATH>|2.12}} Wariancja dla zmiennej losowej dyskretnej określa średnie kwadratowe odchylenie od wartości średniej dla bardzo dużej ilości pomiarów, podlegających rozważanemu rozkładowi. ==== Zmienna losowa ciągła ==== Normowanie funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennej typu ciągłego jest napisane wedle równania poniżej jako całkę gęstości prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń ciągłych zachodzących w zbiorze Ω. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int^b_a\rho(x)dx</MATH>|2.13}} Normowanie do jedynki określa prawdopodobieństwa zdarzeń jakichkolwiek możliwych w przestrzeni zdarzeń &Omega;, a więc prawdopodobieństwo zdarzenia się jakiegokolwiek zdarzenia jest pewne (tzn. zdarzy się na pewno). Wartość oczekiwana - jest to średnia wartość, jaką można uzyskać w doświadczeniu w skutek dużej ilości wykonanych doświadczeń, jest definiowana ona jako całka iloczynu zdarzenia "x" przez gęstość prawdopodobieństwa jego uzyskania &rho;(x) liczona względem zmiennej x. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}=E(x)=\int\limits^b_a x\rho(x)dx\;</MATH>|2.14}} Wariancją nazywamy średnim kwadratowym odchyleniem zmiennej pomiarów "x" podniesiony do kwadratu, czyli jest to wartość oczekiwana {{LinkWzór|2.14}}, ale dla zmiennej (x-E(x)){{Sup|2}}. {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{var}(x)=\sigma^2(x)=\int\limits_b^a (x-\hat{x})^2 \rho(x)dx\;</MATH>|2.15}} Wariancja dla zmiennej ciągłej losowej określa średnią kwadratową odchylenie od wartości średniej, jakie można uzyskać w doświadczeniu, podlegającej rozkładowi &rho;(x). === Wartość modalna === W rozkładzie funkcji jednej zmiennej, wartość modalna, to wartość najbardziej prawdopodobna, zwana też modą. Gdy funkcja gęstości prawdopodobieństwa posiada jedno ekstremum, to rozkład nazywamy jedno modalnym. Modę możemy wyznaczyć dla zmiennej typu ciągłego jednej zmiennej przy pomocy dwóch wzorów na warunek konieczny istnienia ekstremum i wystarczającym: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\rho(x)}\over{dx}}=0 \qquad {{d^2\rho(x)}\over{dx^2}}<0\;</MATH>|2.16}} Dla zmiennej typu dyskretnego wyznaczamy wartość modalną przez sprawdzenie, dla jakiego {{Formuła|<MATH>x_n\;</MATH>}} funkcja prawdopodobieństwa {{Formuła|<MATH>P(x_n)\;</MATh>}} przyjmuje wartość największą z możliwych ze wszystkich zdarzeń losowych. === Mediana, kwantyle i kwartyle === Mediana jest to wartość ''x'' w rozkładzie funkcji jednej zmiennej, dla której dystrybuanta {{LinkWzór|2.4}} (rozkład zmiennej losowej dyskretnej) lub {{LinkWzór|2.7}} (rozkład zmiennej losowej ciągłej) przyjmuje wartość połowy jedynki: {{CentrujWzór|<MATH>F(x_{0,5})=P(x<x_{0,5})=0,5\;</MATH>|2.17}} Kwartylami dystrybuanty nazywamy te wielkości x{{Sub|0,25}}, x{{Sub|0,75}}, dla których dystrybuanta kolejno przyjmuje wartości 0,25, 0,75: {{CentrujWzór|<MATH>F(x_{0,25})=0,25\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;oraz&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>F(x_{0,75})=0,75\;</MATH>|2.18}} Kwantylami nazywamy dystrybuanty nazywamy te wielkości x{{Sub|r}}, dla których dystrybuanta przyjmuje wartość "r". {{CentrujWzór|<MATH>F(x_r)=r\;</MATH>|2.19}} * gdzie x{{Sub|r}} są to wielkości x{{Sub|0,1}}, x{{Sub|0,2}},...,x{{Sub|0,9}}. === Rozkład jednostajny === Określmy rozkład zmiennej losowej typu ciągłego, dla którego gęstość prawdopodobieństwa przedstawia w zależności od parametru c przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=\begin{cases} c & \quad \mbox{dla }a\leq x <b\\ 0 & \quad \mbox{dla } x<a\mbox{ lub }x\geq b \end{cases}\;</MATH>|2.20}} Rozkład {{LinkWzór|2.20}} nazywany jest rozkładem jednostajnym. Uwzględniając warunek na unormowanie funkcji f(x) {{LinkWzór|2.13}}, wtedy całkę normującą możemy napisać całkując tą naszą funkcję w przedziale (a,b), bo ona w tym przedziale przyjmuje wartość stałą niezerową. Dla pozostałych przedziałów wspomnianej funkcji gęstości prawdopodobieństwa nie wnosi nic do całki poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx= \; c\int\limits_{a}^{b} dx= \; c(b-a)\;</MATH>}} Ponieważ nasz rozkład w postaci unormowanej dla całki normującej (powyżej), która powinna przyjmować wartość jeden, zatem stąd można będzie wyznaczyć parametr "c", wtedy na podstawie tegoż parametru gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego {{LinkWzór|2.20}} piszemy wedle postaci: {{CentrujWzór|<MATH> f(x)={{1}\over{b-a}}\quad \mbox{ dla }\;a\leq x<b\;</MATH>{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;oraz <MATH> f(x)=0 \quad \mbox{ dla }\;x<a\;\mbox{ lub }\;x\geq b\;</MATH>|2.21}} Dystrybuanta dla tego samego rozkładu wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.7}} przy definicji gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.21}} piszemy wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)=\begin{cases} \int\limits_{a}^{x}{{dx}\over{b-a}}={{x-a}\over{b-a}}\quad \mbox{ dla } a\leq x<b\\ 0 \quad \mbox{ dla } x<a\\ 1 \quad \mbox{ dla } x\geq b\end{cases}\;</MATH>|2.22}} Policzmy teraz wartość średnią zmiennej ciągłej ''x'' wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.14}} przy definicji gęstości prawdopodobieństwa f(x). {{CentrujWzór|<MATH>E(x)=\overline{x}= \;{{1}\over{b-a}}\int\limits^b_a xdx\;=\;{{1}\over{b-a}}{{1}\over{2}}{(b^2-a^2)}\;={{b+a}\over{2}}\;</MATH>}} Wariancja zmiennej ''x'', wychodząc najpierw od wzoru {{LinkWzór|2.15}} przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|2.21}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x^2)=\;\int\limits^b_a (x-\overline{x})^2f(x)dx\;=\;\int\limits^b_a x^2 f(x)dx-\left(\int\limits^b_a x f(x)dx \right)^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{3}}{{1}\over{b-a}}(b^3-a^3)-{{(b+a)^2}\over{4}}\;=\;{{4(b^2+ba+a^2)-3(b^2+a^2+2ab)}\over{12}}={{b^2+a^2-2ab}\over{12}}\;=\;{{(b-a)^2}\over{12}}\;</MATH>|2.23}} === Rozkład Cauchy'ego === {{Rysunek|Rozkład Cauchy'ego.jpg|Ges_praw_roz_cach|Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu Cauchy'ego (góra) oraz model prowadzący do tego rozkładu (dół)}} Jest to rozkład jednorodny o niezerowej gęstości prawdopodobieństwa jedynie w przedziale kątowym: {{CentrujWzór|<MATH>\theta\in \left ({{-\pi}\over{2}},{{\pi}\over{2}}\right )\;</MATH>|2.24}} Z jednorodności gęstości prawdopodobieństwa i długości przedziału {{LinkWzór|2.24}} wynika postać tejże funkcji gęstości prawdopodobieństwa w tymże przedziale: {{Formuła|<MATH>f(\theta)={{1}\over{\pi}}\;</MATH>}}. Wybierzmy oś ''x'', względem której możemy określać kąty &theta; i napiszemy go przeliczający z wielkości, która jest kątem &theta; na wartość "x", który mówi coś o położeniu cząstki, gdy odległość naszego punktu od osi iksowej według rysunku obok wynosi jeden. {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\operatorname{arctg}(x)\;</MATH>|2.25}} Biorąc pochodną funkcji {{LinkWzór|2.25}} względem argumentu ciągłęgo ''x'': {{CentrujWzór|<MATH>{{d\theta}\over{dx}}={{1}\over{1+x^2}}\;</MATH>|2.26}} Gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej ''x'' przez jakąś cząstkę o promieniu wodzącym o wartości jeden względem jego gęstości prawdopodobienstwa względem kąta &theta;, czyli f(&theta;), którą to określamy: {{CentrujWzór|<MATH>g(x)=\left | {{d\theta}\over{dx}}\right | f(\theta)={{1}\over{\pi}}{{1}\over{1+x^2}}\;</MATH>|2.27}} Sprawdźmy czy napisany rozkład zmiennej losowej "x" ciągłej {{LinkWzór|2.27}} jest rozkładem unormowanym: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{dx}\over{1+x^2}}= {{1}\over{\pi}}\left|\operatorname{arctg}(x)\right|^{\infty}_{-\infty}={{1}\over{\pi}}\left({{\pi}\over{2}}+{{\pi}\over{2}}\right)={{1}\over{\pi}}\pi=1\;</MaTH>|2.28}} Policzmy teraz wartość oczekiwaną funkcji gęstości prawdopodobieństwa g(x) {{LinkWzór|2.27}} względem jej położenia iksowego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}={{1}\over{\pi}}\int\limits^{\infty}_{-\infty}xg(x)dx=0\;</MATH>|2.29}} Uwzględniliśmy w obliczeniach {{LinkWzór|2.29}} fakt, że funkcja podcałkowa jest nieparzysta. zatem średnie położenie cząstki jest więc równe zero. Teraz policzmy wariancję wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.15}} względem gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\int\limits^{\infty}_{-\infty}{{1}\over{\pi}}{{x^2dx}\over{1+x^2}}=\;{{1}\over{\pi}}\int\limits^{\infty}_{-\infty}\left (1-{{1}\over{1+x^2}}\right )={{1}\over{\pi}}\left |x-\operatorname{arctg}(x)\right |_{x=-\infty}^{x=\infty}={{2}\over{\pi}}\lim_{x\rightarrow \infty}(x-\operatorname{arctg}(x))=\infty\;</MATH>|2.30}} Przy liczeniu wariancji skorzystaliśmy z zależności ze funkcja arctg(x) ma kres dolny oraz górny. {{CentrujWzór|<MATH>-{{\pi}\over{2}}\leq\operatorname{arctg}(x)\leq{{\pi}\over{2}}\;</MATH>}} {{Formuła|<MATH>\operatorname{arctg}(x)\;</MATH>}} posiada wartość skończoną w nieskończonościach, którą odejmujemy od nieskończonego ''x'', stąd otrzymaliśmy nieskończoną wartość wariancji {{LinkWzór|2.30}}. Wariancja, a więc i odchylenie standardowe, funkcji {{LinkWzór|2.30}} dąży do nieskończoności. Wtedy mówimy, że wariancja dla rozkładu Cauchy'ego nie istnieje. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.27}}, w którym przyjmuje wartość maksymalną dla x=0 i wynosi {{Formuła|<MaTH>{{1}\over{\pi}}\;</MATH>}}. Połowę swej wartości posiada w punktach x=-1 i x=1, zatem szerokość połówkowa jest napisana wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma=1-(-1)=2\;</MATH>}} === Rozkład Lorentza (Breita-Wignera) === Rozkład Lorentza inaczej Breita-Wignera jako rozkład gęstości prawdopodobienstwa zmiennej losowej ciagłej zapisujemy wględem argumentu "a", która jest wartością średnią tegoż rozkładu, i względem parametru &Gamma;, który jest szerokością połówkową tego rozważanego rozkładu. {{CentrujWzór|<MATH>g(x)={{2}\over{\pi\Gamma}}{{\Gamma^2}\over{4(x-a)^2+\Gamma^2}}\;</Math>|2.31}} Rozkład {{LinkWzór|2.31}} przechodzi w rozkład Cauchego {{LinkWzór|2.27}}, gdy {{Formuła|<math>a=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\Gamma=2\;</MATH>}}. Sprawdźmy czy rozkład Breita-Wignera {{LinkWzór|2.31}} jest unormowany wychodząc od wzoru normującego {{LinkWzór|2.13}} przy gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.31}}. {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx={{2\Gamma^2}\over{\pi\Gamma}}\int_{-\infty}^{\infty}{{dx}\over{4(x-a)^2+\Gamma^2}}={{2\Gamma}\over{\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{dx}\over{\Gamma^2\left\{1+\left[{{2(x-a)}\over{\Gamma}}\right]^2\right\}}}=\begin{Bmatrix} t={{2(x-a)}\over{\Gamma}}\\ dt={{2dx}\over{\Gamma}} \end{Bmatrix}={{2}\over{\pi\Gamma}}\int^{\infty}_{-\infty}{{{{\Gamma}\over{2}}dt}\over{1+t^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{dt}\over{1+t^2}}=1\;</MATH>|2.32}} Rozważana funkcja jak oczekiwaliśmy jest unormowana do jedynki. Wyznaczmy średnią wartość zmiennej losowej "x" dla rozkładu Lorentza {{LinkWzór|2.31}} wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}=\int_{-\infty}^{\infty}xg(x)dx={{2\Gamma^2}\over{\pi\Gamma}}\int_{-\infty}^{\infty}{{xdx}\over{4(x-a)^2+\Gamma^2}}={{2\Gamma}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{xdx}\over{\Gamma^2\left\{1+\left[{{2}\over{\Gamma}}\left(x-a\right)\right]^2\right\} }}=\begin{Bmatrix} t={{2}\over{\Gamma}}\left(x-a\right)\\ x-a={{\Gamma}\over{2}}t\Rightarrow x=a+{{\Gamma}\over{2}}t\\ dx={{\Gamma}\over{2}}dt \end{Bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2}\over{\Gamma\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{ {{\Gamma}\over{2}} (a+{{\Gamma}\over{2}}t)dt}\over{1+t^2}}= {{a}\over{\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{dt}\over{1+t^2}}+{{\Gamma}\over{2}}\int_{-\infty}^{\infty}{{tdt}\over{1+t^2}}={{a}\over{\pi}}\operatorname{arcg}(t)\Bigg|^{\infty}_{-\infty}= {{a}\over{\pi}}\left({{\pi}\over{2}}+{{\pi}\over{2}}\right)={{a}\over{\pi}}\pi=a\;</MATH>|2.33}} Średnia wartość zmiennej losowej podlegającej wedle rozkładu Breita-Wignera jest równy liczbie "a" występującej we wzorze {{LinkWzór|2.31}}, tak jak oczekiwaliśmy. Wyznaczmy wariancję wychodząc od wzoru {{LinkWzór|2.15}} przy definicji rozkładu Lorentza wedle obliczeń poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-a)^2g(x)dx={{2\Gamma^2}\over{\pi\Gamma}}\int_{-\infty}^{\infty}{{(x-a)^2dx}\over{4(x-a)^2+\Gamma^2}}= {{2\Gamma}\over{\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{(x-a)^2dx}\over{\Gamma^2\left\{1+\left[{{2(x-a)dx}\over{\Gamma}}\right]^2\right\}}} ={{2}\over{\Gamma\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{(x-a)^2dx}\over{1+\left[{{2(x-a)}\over{\Gamma}}\right]^2}}=\;</MATH>{{Br}}<math>=\begin{Bmatrix}t={{2(x-a)}\over{\Gamma}}\\ dt={{2}\over{\Gamma}}dx\\ x-a={{\Gamma}\over{2}}t\end{Bmatrix}= {{2}\over{\Gamma\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{ {{\Gamma^2}\over{4}}t^2{{\Gamma}\over{2}}dt}\over{1+t^2}}= {{\Gamma^2}\over{4\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{{(t^2+1-1)dt}\over{1+t^2}}= {{\Gamma^2}\over{4\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}\left(1-{{1}\over{1+t^2}}\right)dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\Gamma^2}\over{4\pi}}\left|t-\operatorname{arcgtg}(t)\right|^{\infty}_{-\infty}=\infty \;</MAtH>|2.34}} Wariancja wedle rozkładu Breita-Wignera jest równa nieskończoność, co oznacza, że w wyniku losowania zmienną losowej można znaleźć w całej nieskończonej przestrzeni, którego średni pomiar nieskończonej ilości pomiarów wynosi "a". Rozkład Breita-Wignera przyjmuje wartość maksymalną dla {{Formuła|<math>x=a\;</MATH>}}, i wartość rozkładu Breita-Wignera dla tego punktu jest równa {{Formuła|<MATH>{{2}\over{\pi\Gamma}}\;</MATH>}}, funkcja g(x) dla której przyjmuje wartość równą połowie jej wartości maksymalnej, gdy zachodzi warunek {{Formuła|<MATH>2(x-a)=\pm\Gamma\;</MAth>}}, co udowodnimy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>g(x=\pm{{\Gamma}\over{2}}+a)={{2}\over{\pi\Gamma}}{{\Gamma^2}\over{\Gamma^2+\Gamma^2}}= {{2}\over{\pi\Gamma}}{{1}\over{2}}={{1}\over{2}}g(a)\;</MATH>|2.35}} Co jest połówkową wartością wartości maksymalnej, zatem wtedy możemy policzyć szerokość połówkową naszego rozkładu: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\Gamma}\over{2}}+a\right)-\left(-{{\Gamma}\over{2}}+a\right)= {{\Gamma}\over{2}}+a+{{\Gamma}\over{2}}-a=\Gamma\;</MATH>|2.36}} Udowodniliśmy, że szerokość połówkowa rozważanego rozkładu wynosi &Gamma;, tak jak przypuszczaliśmy. == Rozkłady losowe dwóch zmiennych == === Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa === Jeśli dolnym zakresem zmiennej ''x'' jest ''a'', oraz dolnym zakresem zmiennej ''y'' jest ''c'', to '''dystrybuantę''' zmiennych losowych ciągłych ze względu na oba parametry określamy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa &rho;(x,y) dla argumentu "x" z przedziału (a,x) oraz dla argumentu y z przedziału (c,y) względem argumentu iksowego i igrekowego: {{CentrujWzór|<MATH>F(x,y)=P(a<x,c<y)=\int\limits^x_a\int\limits^y_c \rho(x,y)dxdy\;</MATH>|2.37}} Zwykle przy naszych założeniach mamy, że wielkości a i c sa równe minus nieskończoność, ale nie zawsze tak jest. Wiemy jednak, że dystrybuanta wedle wzoru {{LinkWzór|2.37}} dla argumentów x=a i y=c wynosi zero: {{CentrujWzór|<MATH>F(a,c)=0\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>x<a\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<math>y<c\;</MATH>|2.38}} Dla dwóch zmiennych, '''gęstość prawdopodobieństwa''' uzyskania jednocześnie zmiennych x i y jest podwójną pochodną względem zmiennych x i y funkcji F(x,y) (dystrybuanty), w którym w mianowniku jest to infinitezymalne prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej x i y w przedziale (prostokącie): {{Formuła|<MATH>(x,x+dx)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>(y,y+dy)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>f(x,y)={{\partial}\over{\partial x}}{{\partial}\over{\partial y}}F(x,y)\;</MATH>|2.39}} Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych x i y w prostokącie {{Formuła|<MATH>x\in(a_0,b_0)\subset(a,b)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y\in(c_0,d_0)\subset(c,d)\;</MATH>}}, określa się jako podwójną całę względem gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.39}} całkując względem argumentu x i y w określonym wcześniej przedziale. {{CentrujWzór|<MATH>P(a_0\leq x<b_0,c_0\leq y<d_0)=\int\limits_a^b\left [\int\limits_c^d f(x,y) dy \right ]dx\;</MATH>|2.40}} Jeśli przecałkujemy po całkowitym obszarze zmiennej y, tzn. (c,d), otrzymamy wtedy gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej x należącej do przedziału (a,b), tzn. {{CentrujWzór|<MATH>g(x)=\int\limits_c^df(x,y)dy\;</MATH>|2.41}} Podobnie uzyskujemy prawdopodobieństwo znalezienia zmiennej y należących do przedziału (c,d), gdy przecałkujemy funkcję {{LinkWzór|2.39}} po całym zmienności zmiennej x. {{CentrujWzór|<MATH>h(y)=\int\limits_{a}^bf(x,y)dx\;</MATH>|2.42}} Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej x w podprzedziale (a{{Sub|0}},b{{Sub|0}}) należących do przedziału całej zmienności tejże zmiennej (a,b) określa się dla dowolnego y z przedziału (c,d), całkując funkcję {{LinkWzór|2.39}} po całym przebiegu zmienności zmiennej y i po określonym podprzedziale iksowym: {{CentrujWzór|<MATH>P(a_0<x<b_0)= P(a_0<x<b_0,c<y<d)=\int\limits_{a_0}^{b_0}\left [\int\limits_c^df(x,y)dy\right ]dx=\int\limits_{a_0}^{b_0} g(x)dx\;</MATH>|2.43}} Podobnie określamy prawdopodobieństwo uzyskania zmiennej y w przedziale (c{{Sub|0}},d{{Sub|0}}). === Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja === Normowaniem rozkładu dwóch zmiennych nazywamy zdarzeniem pewnym, który jest równy na pewno jeden. Przepis normowania funkcji zapisujemy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa g(x,y) całkując względem argumentu x i y po całym ich przebiegu zmienności. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c}g(x,y)dxdy\;</MATH>|2.44}} Wartością oczekiwaną zmiennej ''x'' nazywamy przepis, który jest całką po całym przebiegu zmienności zmiennych x i y, w którym funkcją podcałkową jest równa iloczynowi zmiennej x i gęstości prawdopodobieństwa &rho;(x,y). Tą całkę przestawmy względem gęstości prawdopodobieństwa zmiennej "x" określonym wzorem {{LinkWzór|2.41}}. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}=E(x)=\int^{b}_{a}\int^{c}_{d}x\rho(x,y)dxdy=\int^{b_x}_{a_x}xg(x)dx\;</MATH>|2.45}} Wartością oczekiwaną zmiennej ''x'' nazywamy przepis, który jest całką po całym przebiegu zmienności zmienne x i y, w którym funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej y i gęstości prawdopodobienstwa &rho;(x,y). Tą całkę przestawiamy względem gęstości prawdopodobieństwa zmiennej "y" określonym wzorem {{LinkWzór|2.41}}. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{y}=E(y)=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c}y\rho(x,y)dxdy=\int^{d}_{c}yg(y)dy\;</MATH>|2.46}} Wariancją zmiennej x nazywamy wartość oczekiwaną z funkcji {{Formuła|<MAtH>(x-\hat{x})^2\;</math>}}, jest to średnia kwadratowa zmiennej wielkości odchylenia od jego wartości oczekiwanej, w którym ta całka jest całkowaniem po całej przedziale zmienności zmiennej "x" i "y". {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c}\left(x-\hat{x}\right)^2\rho(x,y)dxdy=\int^{b}_{a}\left(x-\hat{x}\right)g(x)dx</MATH>|2.47}} Wariancją zmiennej y nazywamy wartość oczekiwaną z funkcji {{Formuła|<MAtH>(y-\hat{y})^2\;</math>}}, jest to średnia kwadratowa zmiennej wielkości odchylenia od jego wartości oczekiwanej, w której całka jest całkowaniem po całej przedziale zmienności zmiennej "x" i "y". {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(y)=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c}(y-\hat{y})^2\rho(x,y)dxdy=\int^{d}_{c}(y-\hat{y})h(y)dy</MATH>|2.48}} == Rozkłady losowe n-zmiennych == === Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa === Określmy n-wymiarowy wektor, którego składowymi jest n-zmiennych, i które są pomiarami losowymi zmiennych składowych ciągłych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{x}=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\;</MATH>|2.49}} przy czym poszczególne elementy wektora {{Formuła|<MATH>\vec{x}\;</MATH>}} spełniają związek przynależności do zbioru liczb rzeczywistych: {{Formuła|<MATH>x_k\in(a_k,b_k)\in R^1</MATH>}}. n-wymiarowy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{x}\;</MATH>}} wchodzi w skład gęstości prawdopodobieństwa uzyskania n-składowych tego wspomnianego wektora. Dystrybuantę określamy jako całkę gęstości prawdopodobieństwa względem argumentu x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},...,x{{Sub|3}}, całkując po przedziale zmienności x{{Sub|1}}<c{{Sub|1}},x{{Sub|2}}<c{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}<c{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>F(\vec{c})=P(\vec{x}<\vec{c})=P(x_1<c_1,x_2<c_2,...,x_n<c_n)=\int^{x_1}_{a_1}\int^{x_2}_{a_2}...\int^{x_n}_{a_n}f(x_1,x_2,...,x_n)d^n\vec{x}</MATH>|2.50}} Gęstością prawdopodobieństwa uzyskania n-zmiennych nazywamy funkcję, która jest pochodną cząstkową n zmiennych, tzn. względem argumentu x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_1,x_2,...,x_n)={{\partial^n\vec{F}(x_1,x_2,...,x_n)}\over{\partial x_1\partial x_2...\partial x_n}}</MATH>|2.51}} Jak widzimy, wzory {{LinkWzór|2.50}} i {{LinkWzór|2.51}} są uogólnieniem wzorów kolejno {{LinkWzór|2.7}} (dystrybuanta jednej zmiennej losowej ciągłej) oraz {{LinkWzór|2.9}} (gęstość prawdopodobieństwa jednej zmiennej) dla dwóch zmiennych. Gęstość uzyskania tylko zmiennej x{{Sub|k}} określa się podobnie jak przy wzorach dla gęstość prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej "x", gdy mamy funkcję gęstości prawdopdobieństwa dwóch zmiennych {{LinkWzór|2.41}} i {{LinkWzór|2.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>g(x_k)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_{k-1}}_{a_{k-1}}\int^{b_{k+1}}_{a_{k+1}}...\int^{b_n}_{a_n}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_{k-1}dx_{k+1}...dx_n\;</MATH>|2.52}} Prawdopodobieństwo uzyskania zmiennych {{Formuła|<MATH>x_k\;</MATH>}} w wymiarowym prostokącie dla którego zachodzą warunki c{{Sub|k}}&le; x{{Sub|k}}&le; d{{Sub|k}} wyraża się przez: {{CentrujWzór|<MATH>P(c_1\leq x_1\leq d_2,c_2\leq x_2\leq d_2...c_n\leq x_n\leq d_n)=\int^{d_1}_{c_1}\int^{d_2}_{c_2}...\int^{d_n}_{c_n}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n</MATH>|2.53}} === Normowanie, wartość oczekiwana, wariancja === Normowanie funkcji nazywamy zdarzenie pewne uzyskania jakikolwiek zmiennej, która jest wektorem {{LinkWzór|2.49}} i która jest równa jeden, i nazywamy całkę gęstości funkcji prawdopodobieństwa z funkcji f(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) liczoną względem tychże argumentów po całym przedziale zmienności zmiennych x{{Sub|i}} dla i=1,2,...,n. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n</MATH>|2.54}} Wartością oczekiwaną zmiennej x{{Sub|k}} nazywamy liczoną po całym przedziale zmienności wektora {{LinkWzór|2.49}}, w którym funkcją podcałkową jest iloczyn gęstości prawdopodobieństwa f(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) i zmiennej x{{Sub|k}}. {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}_k=E(x_k)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}x_k f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n=\int^{b_k}_{a_k}x_kg(x_k)dx_k</MATH>|2.55}} Wariancją zmiennej losowej ciągłej x{{Sub|k}} w przestrzeni n-wymiarowej nazywamy całkę po całej zmienności wektora {{LinkWzór|2.49}}, w której funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji prawdopodobieństwa f(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) i zmiennej {{Formuła|<MatH>(x_k-\hat{x}_k)^2</MaTH>}}, czyli jest to średnia tejże podanej funkcji: {{CentrujWzór|<MaTH>\sigma^2(x_k)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}\left(x_k-\hat{x}_k\right)^2 f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n=\int^{b_k}_{a_k}\left(x_k-\hat{x}_k\right)^2g(x_k)dx_k</MATH>|2.56}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> eno9gpycb0ercj3yxloch4e0mwq164p 0 14322 558670 513430 2026-10-05T02:39:11Z Persino 2851 558670 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Rozkład wielomianowy jest uogólnieniem rozkładu dwumianowego, tym razem mamy zamiast dwóch mamy "l" właściwości, w które trafiamy w n doświadczeniach. Ilość poszczególnych trafień jest k{{Sub|j}} w właściwość o numerze "j" Wszystkie ilości trafień powinny spełniać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^l_{j=1}k_j=n\;</MATH>|10.1}} Wzór na prawdopodobieństwo w rozkładzie wielomianowy względem ilości trafień w poszczególne trafienia k{{Sub|1}},k{{Sub|2}},...,k{{Sub|l}}, znając prawdopodobieństwa zdarzeń o numerach kolejno j=1,...,l, w których prawdopodobieństwo uzyskania w pojedynczym doświadczeniu poszczególnych właściwości jest napisane kolejno p{{Sub|1}},p{{Sub|2}},...,p{{Sub|l}}, przy ilości przeprowadzonych doświadczeń, których jest "n", jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>W^n_{(k_1,k_2,...,k_l)}={{n!}\over{\,\prod^l_{j=1}k_j!\,}}\prod^l_{j=1}p_j^{k_j}\;</MATH>|10.2}} Dla rozkładu dwumianowego, który jest bardzo podobny jest do równania Bernoullego, wzór {{LinkWzór|10.2}} dla l=2 przechodzi we: {{CentrujWzór|<MATH>W^n_{(k,n-k)}={{n!}\over{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k}\;</MATH>|10.3}} Załóżmy, że mamy n doświadczeń, w których trafiamy w pewne właściwości, jeśli trafimy w tą właściwość, to ją oznaczamy jako jeden, w przeciwnym przypadku jako zero. Zatem wartość oczekiwaną dla rozkładu wielomianowego trafienia właściwości o numerze "i" jest określone przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>E^k(x_i)=0p_1+0p_2+...+1p_i+...+0p_l=p_i\;</MATH>|10.4}} Dla n przeprowadzonych doświadczeń wartość oczekiwana losowania właściwości K{{Sup|i}} jest określona na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.3|Momenty_statystyczne_w_działaniu}} dla przeprowadzonych n doświadczeniach: {{CentrujWzór|<MATH>E(x_i)=\sum^n_{k=1}E^k(x_i)=\sum^{n}_{k=1}p_i=np_i\;</MATH>|10.5}} Wartość oczekiwana zdarzenia K{{Sub|i}} o numerze "i" dla rozkładu wielomianowego jest równa wzorowi {{LinkWzór|10.5}}. Korzystając z tej właściwości rozkładu wielomianowego, to wyznaczmy elementy macierzy kowariancji dla elementów diagonalnych (czyli liczymy wariancję) dla pojedynczego doświadczenia, wtedy oczywiste jest: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ii}^k=E\{(x_i-p_i)^2\}=(1-p_i)^2p_i+(0-p_i)^2(1-p_i)\,= (1+p_i^2-2p_i)p_i+p_i^2-p_i^3=p_i+p_i^3-2p_i^2+p_i^2-p_i^3=p_i-p_i^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=p_i(1-p_i)\;</MATH>|10.6}} Dla przeprowadzonych n doświadczeń, wiedząc, że poszczególne doświadczenia są niezależne od siebie, zatem kowariancja różnych doświadczeń względem siebie dla tego samego rozkładu jest równa zero dla uzyskania tego samego wyniku, na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.17|Momenty statystyczne w działaniu}} mamy wzór na elementy diagonalne kowariancji, które są z definicji wariancjami statystycznymi uzyskania odpowiednich wyników o właściwości K{{Sub|i}}. {{CentrujWzór|<MATH>c_{ii}=\sum_{k=1}^nc^k_{ii}=\sum_{k=1}^n p_i(1-p_i)=np_i(1-p_i)\;</MATH>|10.7}} Korzystając z tej samej wartości oczekiwanej co w {{LinkWzór|10.6}}, czyli z {{LinkWzór|10.4}}, to możemy przeprowadzić obliczenia dla pozadiagonalnych elementów macierzy kowariancji c{{Sub|ij}}, czyli dla elementów, dla których zachodzi i&ne;j: {{CentrujWzór|<MATH>c^k_{ij}=(1-p_i)(1-p_j)(p_i+p_j)+(-p_i)(1-p_j)(1-p_i+p_j)+(1-p_i)(-p_j)(1-p_j+p_i)+p_ip_j(1-p_i-p_j)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-p_i(1-p_j)+p_i(1-p_j)(p_i-p_j)-p_j(1-p_i)+p_j(1-p_i)+p_j(1-p_i)(p_j-p_i)+(1-p_i)(1-p_j)(p_i+p_j)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+p_ip_j-p_ip_j(p_i+p_j)=(p_i-p_j)\Big[p_i(1-p_j)-p_j(1-p_i)\Big]-p_i+p_ip_j-p_j+p_ip_j+(p_i+p_j)(1-p_i-p_j+p_ip_j-p_ip_j)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+p_ip_j=(p_i-p_j)\Big[p_i-p_j-p_i+p_j+p_ip_j\Big]-p_i-p_j+p_ip_j+p_ip_j+(p_i+p_j)(1-p_i-p_j)+p_ip_j=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=p_i^2+p_j^2-2p_ip_j-p_o-p_j+2p_ip_j+p_i+p_j-(p_i+p_j)^2+p_ip_j=p_i^2+p_j^2-p_i^2-p_j^2-2p_ip_j+p_ip_j=-2p_ip_j+p_ip_j=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-p_ip_j\;</MATH>|10.8}} Zgodnie ze wzorem na wariancję (diagonalne elementy kowariancji) {{LinkWzór|10.7}} i wzorem na pozadiagonalne elementy kowariancji) {{LinkWzór|10.8}} możemy otrzymać ogólny wzór na dowolne elementy kowariancji dla pojedynczego doświadczenia, którego dowód przeprowadzimy poniżej, czy się zgadza z powyższymi wzorami udowodnionymi powyżej. {{CentrujWzór|<MATH>c^k_{ij}=p_i(\delta_{ij}-p_j)\;</MATH>|10.9}} Gdy i=j, to diagonalne elementy macierzy kowariancji {{LinkWzór|10.9}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH>c^k_{ii}=p_i(1-p_i)\;</MATH>}} co zgadza się ze wzorem {{LinkWzór|10.6}}. Gdy i&ne; j, to macierz kowariancji dla jednego doświadczenia {{LinkWzór|10.9}} przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>c^k_{ij}=p_i(0-p_j)=-p_ip_j\;</MATH>}} co zgadza się ze wzorem {{LinkWzór|10.8}}. Zatem wzór na macierz kowariancji {{LinkWzór|10.9}} pojedynczego doświadczenia jest macierzą poprawną względem jej szczególnych przypadków. Macierz kowariancji opisujący n doświadczeń [c{{Sub|ij}}] jest sumą n macierzy kowariancji, które opisują poszczególne doświadczenia, którego elementy dla każdego małego doświadczenia są {{LinkWzór|10.9}} i tą ogólną macierz kowariancji zapisujemy jako [c{{Sub|ij}}]=&Sigma;{{Sub|k{{=}}1,2,...,n}}[c{{Sup|k}}{{Sub|ij}}]. Jak to udowodniono dla i=j, właściwość macierzy kowariancji została udowodniona w punkcie {{LinkWzór|10.7}}, gdy i&ne;j, to elementy n macierzy kowariancji o tych samych wskaźnikach dodają się do siebie, podobnie jest dla diagonalnych elementów macierzy kowariancji (wariancje): {{CentrujWzór|<MATH>c_{ij}=\sum^n_{k=1}c^k_{ij}=\sum^n_{k=1}p_i(\delta_{ij}-p_j)=np_i(\delta_{ij}-p_j)\;</MATH>|10.10}} Ostatecznie, macierzą kowariancji nazywamy na podstawie jej końcowego przedstawienia {{LinkWzór|10.10}} wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>C=[c_{ij}]_{n\times n}=[np_i(\delta_{ij}-p_j)]_{n\times n}\;</MATH>|10.11}} Wiadomo, że z definicji {{LinkWzór|4.34|Momenty statystyczne dla funkcji złożonej}}, że macierz kowariancji jest macierzą symetryczną, a więc definicja macierzy {{LinkWzór|10.11}} powinna to spełniać. Elementy na diagonalnej są z samej siebie z definicji symetryczne, a zatem sprawdźmy czy elementy pozadiagonalne są symetryczne względem siebie. {{CentrujWzór|<MATH>c_{ij}=np_i(\delta_{ij}-p_j)=-np_ip_j=-np_jp_i=np_j(\delta_{ji}-p_i)=c_{ji}\;</MATH>|10.12}} Z rozważań w punkcie {{LinkWzór|10.12}}, że pozadiagonalne elementy kowariancji są elementami symetrycznymi, zatem dostajemy, że w ogólności macierz kowariancji dla rozkładu wielomianowego jest macierzą symetryczną, co nie powinno być dla nas zdziwieniem. {{CentrujWzór|<MATH>c_{ij}=c_{ji}\;</MATH>|10.12a}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3hxtzetlg9ub97g7qa6fwgekt5llsib 0 14350 558680 554865 2026-10-05T03:02:25Z Persino 2851 558680 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Podstawy transformacji Galileusza i Lorentza == Prawa transformacyjne położenia ciała w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są: {{CentrujWzór|<MATH>{\vec X}^'=\vec{f}({\vec X})\;</MATH>|1.1}} gdzie: * położenie ciała w starym układzie współrzędnych:{{Formuła|<MATH>\vec{X}=[ct,x_1,x_2,x_3,..,x_i,...,x_n]^T\;</MATH>}}, a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci:{{Formuła|<MATH>{\vec X}^'=[ct^',x_1^',x_2^',x_3^',..,x_i^',...,x_n^']^T\;</MATH>}} jako położenie ciała w nowym układzie współrzędnych, * jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w (n+1)-wymiarowej czasoprzestrzeni. Różniczka zmiany położenia danego ciała w czasie, korzystając z definicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>d{\vec X}^'={{\partial{\vec f}({\vec X})}\over{\partial {\vec X}}}d{\vec X}\;</MATH>|1.2}} Załóżmy, że macierz występująca w {{LinkWzór|1.2}} jest stałą o charakterze macierzowym, stąd dojdziemy, że ona opisuje układy płaskie (tensor Minkowskiego {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}}) i inercjalne ({{Formuła|<MATH>\vec V=\mbox{const}\;</MATH>}}). Ciało, które ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni {{Formuła|<MATH>{\vec X}_P\;</MATH>}}, po przesunięciu tego układu o wektor {{Formuła|<MATH>-\vec{C}\;</MATH>}}, wtedy to ciało ma położenie {{Formuła|<math>\vec{X}\;</math>}}, co tą transformację możemy pisać: {{CentrujWzór|<MATH>{ \vec X}={ \vec X}_P+{ \vec C}\;</MATH>|1.3}} * gdzie {{Formuła|<MATH>{\vec C}=[c^0,c^1,c^2,c^3,...,c^i,...,c^n]^T\;</MATH>}} jest pewną stałą wektorową, a wektor {{Formuła|<MATH>\vec X_P\;</MATH>}} jest to położenie ciała w układzie przed przesunięciem, a {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} po przesunięciu. Jak zachodzi w starym układzie współrzędnych {{LinkWzór|1.3}} (bez primów) to podobnie jest dla nowego układu współrzędnych (tylko, że z primami). Możemy wykorzystać {{LinkWzór|1.3}} bez primów i z primami do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego wychodząc ze wzoru {{LinkWzór|1.2}} dla {{Formuła|<MATH>\vec X=\vec X_P\;</MATH>}} pamiętając, że zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec C=\operatorname{const}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec C^'=\operatorname{const}^'\;</MATH>}}, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>d{\vec X}^'_P={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}d{\vec X}_P\Rightarrow d{\vec X}^'={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}d{\vec X}\Rightarrow M={{\partial {\vec f}({\vec X})}\over{\partial {\vec X}}}={{\partial {\vec f}({\vec X}_P)}\over{\partial {\vec X}_P}}=\left[\operatorname{const}_{\mu\nu}\right]_{n+1\times n+1}\;</MATH>|1.4}} W układzie według teorii Einsteina wynika, że równanie {{LinkWzór|1.2}} nie zależy od tego o jaki wektor {{Formuła|<MATH>-\vec{C}\;</MAth>}} przesuniemy stary i wektor {{Formuła|<MATH>-{\vec C}^'</MATH>}} nowy układ współrzędnych, postać transformacji {{LinkWzór|1.1}} dla {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} transformujące się do {{Formuła|<MATH>\vec X^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec X_{P}\;</MATH>}} transformujące się do {{Formuła|<MATH>\vec X_P^'\;</MATH>}} jest z dokładnością do stałej wektorowej taka sama (bo ta pochodna dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} jest stałą w {{LinkWzór|1.2}}, dlatego że zachodzi {{LinkWzór|1.4}} (końcowy wzór)), zatem przedostatni wzór w {{LinkWzór|1.4}} opisuje to samo, co wzór {{LinkWzór|1.2}}, pamiętając o udowodnionej stałości pochodnej: {{Formuła|<Math>{{\partial {\vec f}({\vec X})}\over{\partial{\vec X}}}\;</MAth>}}, wtedy ta postać transformacji spełnia zasadę jednorodności przestrzeni i czasu, a transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się: {{Określenie|uchwyt=FF|czego=Transformacje tensora położenia w czasoprzestrzeni płaskiej|tekst= Transformacje współrzędnych ciała ze starego układu odniesienia do nowego w przestrzeni n-wymiarowej, pamiętając, że czas jest współrzędną, przedstawiają się n+1 wzorami: {{ElastycznaKolumna | 1 = {{CentrujWzór|<math>t^'={m^{0}}_{0}t+{{{m^{0}}_{1}x^1}\over{c}}+{{{m^{0}}_{2}x^2}\over{c}}+{{{m^{0}}_{3}x^3}\over{c}}+...+{{{m^{0}}_{n}x^n}\over{c}}+{{r^0}\over{c}}\;</MATH>|1.5}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>{x^'}^1={m^{1}}_{0}ct+{m^{1}}_{1}x^1+{m^{1}}_{2}x^2+{m^{1}}_{3}x^3+...+{m^{1}}_{n}x^{n}+r^{1}\;</MATH>|1.6}} | 3 = {{CentrujWzór|<math>{x^'}^2={m^{2}}_{0}ct+{m^{2}}_{1}x^1+{m^{2}}_{2}x^2+{m^{2}}_{3}x^3+...+{m^{2}}_{n}x^{n}+r^{2}\;</MATH>|1.7}} | 4 = {{CentrujWzór|<math>{x^'}^3={m^{3}}_{0}ct+{m^{3}}_{1}x^1+{m^{3}}_{2}x^2+{m^{3}}_{3}x^3+...+{{m^3}}_{n}x^{n}+r^{3}\;</MATH>|1.8}} | 5 = {{Center|{{P|---------------------------------------------------------------------}}}} | 6 = {{CentrujWzór|<math>{x^'}^n={m^{n}}_{0}ct+{m^{n}}_{1}x^1+{m^{n}}_{2}x^2+{m^{n}}_{3}x^3+...+{m^{n}}_{n}x^n+r^{n}\;</MATH>|1.9}}}} }} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|1.6}}, {{LinkWzór|1.7}}, {{LinkWzór|1.8}} i {{LinkWzór|1.9}} transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{X}^'_p=M_p \vec{X}_p+M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\wedge \vec X^'=MX+{\vec R}_0\;</MATH>|1.10}} * gdzie&nbsp;{{Formuła|<MATH>\vec{X}_p=[x_1,x_2,...,x_n]^T\;</MATH>}}. Wektor wodzący ciała odniesienia względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór {{LinkWzór|1.10}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>0=M_p\vec{X}_{pu}+M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\wedge {\vec R}_0=-M{\vec X}_{0}\;</MATH>|1.11}} Jeśli we wzorze {{LinkWzór|1.11}} wyznaczymy wielkość {{Formuła|<math>M_{x0}ct+\vec{R}_{p0}\;</math>}} i podstawimy go do wzoru {{LinkWzór|1.10}}, wtedy dostajemy wzór na transformację położenia ciała w starym układzie odniesienia na nowy układ. Wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia i w tym układzie możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie odniesienia i wiedząc jakie jest położenie ciała w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej w starym układzie współrzędnych możemy otrzymać położenie ciała w nowym układzie współrzędnych znając położenie stałe nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>{\vec R}_O\;</MATH>}} względem starego układu współrzędnych, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{X}^'_p=M_p\left(\vec{X}_p-\vec{X}_{pu}\right)\wedge {\vec X}^'=M(\vec X-\vec X_0)\;</MATH>|1.12}} Wzór {{LinkWzór|1.12}} jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, w którym dla czasoprzestrzeni mamy {{Formuła|<MATH>B=[\vec e_0,\vec e_1,\vec e_2,\cdots,\vec e_n]\;</MATH>}}. == Tożsamość na część macierzy transformacji M na M{{Sub|x0}} == Wyprowadźmy wzór na wielkość M{{Sub|x0}} zakładając stałość macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana {{Formuła|<MATH>{{d\vec{X_u}}\over{dt}}=\vec{V}\;</MATH>}}, i dalej zróżniczkujmy wzór {{LinkWzór|1.10}} względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz: {{CentrujWzór|<MATH>0=M_p\vec{V}+M_{x0}c\Rightarrow M_{x0}=-M_p{{\vec{V}}\over{c}}\;</MATH>|1.16a}} Z końcowych rozważań {{LinkWzór|1.16a}} możemy napisać, że pierwszą kolumnę bez zerowego wiersza macierzy transformacji przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{m^{i}}_{0}=-{m^{i}}_{j}{{V^j}\over{c}}\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>j=1,2,3,...,n\;</MATH>|1.16b}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> puro1shtagg02t8s6oa43w9yx5c4dyx 0 14382 558622 467568 2026-10-04T21:59:29Z Persino 2851 558622 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Operator Nabla == Operator nabla oznaczamy symbolem &nabla;, jest wektorem różniczkowania, każda jego składowa jest pochodną cząstkową za każdym razem po innej współrzędnej trójwymiarowego układu współrzędnej, tzn. po kolei x,y,z, jego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\sum^{3}_{i=1}\vec{k_i}{{\partial}\over{\partial x_i}}=\vec{i}{{\partial f}\over{\partial x}}+\vec{j}{{\partial f}\over{\partial y}}+\vec{k}{{\partial f}\over{\partial z}}</MATH>|7.1}} == Baza ortogonalna we współrzędnych uogólnionych == Niech znamy funkcję transformująca współrzędne uogólnione trójwymiarowego układu współrzędnych transformujących się według {{Formuła|<MATH>\vec{r}=f(\vec{q})</MATH>}} do trójwymiarowego układu kartezjańskiego, wtedy możemy napisać definicję na wektory jednostkowe zależne od "i" w krzywoliniowym układzie współrzędnych jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e_i}={{{{\partial \vec{r}}\over{\partial q_i}}}\over{||\vec{e_i}||}}</MATH>, gdzie: <MATH>||\vec{e_i}||=\left|\left|{{\partial \vec{r}}\over{\partial q_i}}\right|\right|</MATH>|7.2}} Niech operator &nabla; działa na współrzędną uogólnioną q_r, wtedy wynik tej operacji rozkładamy w bazie {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k\;</MATH>}} opisywaną wzorem {{LinkWzór|7.2}}, którego wersory z założenia są prostopadłe do siebie: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla q_r=\sum^3_{k=1}\alpha_{kr} \vec{e_k}</MATH>|7.3}} Ale wektory {{Formuła|<MATH>\vec{e_r}</MATH>}} tworzą bazę wektorów bazowych unormowanych i ortogonalnych do jedności, to pomnóżmy ostatni wzór obustronnie przez wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e_n}</MATH>}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla q_r\vec{e_n}=\sum^3_{k=1}\alpha_{kr}\vec{e_k}\vec{e_n}\Rightarrow\nabla q_r\vec{e_n}=\sum^3_{k=1}\alpha_{kr}\delta_{kn}\Rightarrow\nabla q_r\vec{e_n}=\alpha_{rn}</MATH>|7.4}} Jeśli zastąpimy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e}_n\;</MATH>}} przez jego definicję {{LinkWzór|7.2}} we wzorze {{LinkWzór|7.4}}, wtedy możemy napisać lewą stronę tego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^3_{i=1}\vec{k_i}{{\partial q_r}\over{\partial x_i}}{{{{\partial \sum^3_{s=1}\vec{k_s}\vec{x_s}}\over{\partial q_n}}}\over{||\vec{e_n}||}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{s=1}\vec{k_i}\vec{k_s}{{\partial q_k}\over{\partial x_i}}{{\partial x_s}\over{\partial q_n}}{{1}\over{||e_{n}||}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{s=1}\delta_{is}{{\partial q_r}\over{\partial x_i}}{{\partial x_s}\over{\partial q_n}}{{1}\over{||e_{n}||}}={{1}\over{||e_{r}||}}\sum^3_{i=1}{{\partial q_r}\over{\partial x_i}}{{\partial x_i}\over{\partial q_n}}={{1}\over{||e_{n}||}}\delta_{rn}=\alpha_{rn}</MATH>|7.5}} Wzór {{LinkWzór|7.3}} na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{linkWzór|7.5}} piszemy przy definicji wersora {{linkWzór|7.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla q_k={{\vec{e_k}}\over{||\vec{e_k}||}}</MATH>|7.6}} == Operator Nabla we współrzędnych uogólnionych == Napiszmy operator &nabla;, który jest we współrzędnych trójwymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich, który przekształcimy przy pomocy wzoru {{linkWzór|7.6}}, by póżniej przepisać jego definicję we współrzędnych uogólnionych: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\sum^3_{i=1}\vec{k_i}{{\partial}\over{\partial x_i}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{r=1}\vec{k_i}{{\partial q_r}\over{\partial x_i}}{{\partial}\over{\partial q_r}}=\sum^3_{r=1}\nabla q_r{{\partial}\over{\partial q_r}}=\sum^3_{r=1}{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}</MATH>|7.7}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.7}}, operator &nabla; napisany jest we współrzędnych uogólnionych przy pomocy wersorów uogólnionego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\sum^3_{r=1}{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}</MATH>|7.8}} == Operator &nabla; we współrzędnych cylindrycznych i kulistych == === Operator Nabla we współrzędnych cylindrycznych === Niech mamy wektor wodzący danego punktu w trójwymiarowym układzie współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} w zależności od współrzędnych cylindrycznych, tzn. od (&rho;,&theta;,z), którego piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=[\rho \cos\theta,\rho \sin\theta,z]</MATH>|7.9}} Wektory bazy cylindrycznego układu współrzędnych obliczamy, korzystając przy tym z definicji wektora wodzącego w układzie kartezjańskich {{LinkWzór|7.9}} i przy wykorzystaniu definicji ortogonalnych wersorów {{LinkWzór|7.2}}, którego są definicjami wektorów bazowych uogólnionego układu współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial \rho}}=[\cos\theta,\sin\theta,0]\;</MATH>|7.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||e_r||=\left|\left|{{\partial \vec{r}}\over{\partial \rho}}\right|\right|=1\;</MATH>|7.11}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{\rho}=[\cos\theta,\sin\theta,0]\;</MATH>|7.12}} }} {{ELastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial \theta}}=[-\rho \sin\theta,\rho \cos\theta,0]\;</MATH>|7.13}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||e_{\theta}||=\left|\left|{{\partial \vec{r}}\over{\partial \theta}}\right|\right|=\rho\;</MATH>|7.14}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e_{\theta}}=[-\sin\theta,\cos \theta,0]\;</MATH>|7.15}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial z}}=[0,0,1]\;</MATH>|7.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\vec{e_z}||=\left|\left|{{\partial\vec r}\over{\partial z}}\right|\right|=1\;</MATH>|7.17}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e_z}=[0,0,1]</MATH>|7.18}} }} Jeśli wykorzystamy wzory {{LinkWzór|7.12}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.18}}, którego definicję operatora &nabla; wyjdziemy z {{LinkWzór|7.8}}, którego ten nasz operator był początkowo zapisany we współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych opisywanego wzorem {{LinkWzór|7.1}}, to we współrzędnych cylindrycznych piszemy go: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}</MATH>|7.19}} === Operator Nabla we współrzędnych kulistych === We współrzędnych kulistych wektor wodzący {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, napisany we współrzędnych kartezjańskich układu współrzędnych w zależności od współrzędnych kulistych, jest zdefiniowany: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=[\rho\cos\theta\sin\phi,\rho\sin\theta\sin\phi,\rho\cos\phi]</MATH>|7.20}} Korzystając z wektora wodzącego w układzie kartezjańskich {{LinkWzór|7.20}} i przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|7.2}}, wtedy możemy wyznaczyć wersory uogólnionego układu współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial \rho}}=[\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]\;</MATH>|7.21}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\vec{e}_{\rho}||=1\;</MATH>|7.22}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{\rho}=[\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]\;</MATH>|7.23}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial \theta}}=[-\rho\sin\theta\sin\phi,\rho\cos\theta\sin\phi,0]\;</MATH>|7.24}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\vec{e_{\theta}}||=\rho\sin\phi\;</MATH>|7.25}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e_\theta}=[-\sin\theta,\cos\theta,0]\;</MATH>|7.26}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial\phi}}=[\rho\cos\theta\cos\phi,\rho\sin\theta\cos\phi,-\rho\sin\phi]\;</MATH>|7.27}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||e_{\phi}||=\rho\;</MATH>|7.28}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>e_{\phi}=[\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]\;</MATH>|7.29}} }} Jeśli wykorzystamy wzory {{LinkWzór|7.23}}, {{LinkWzór|7.26}} i {{LinkWzór|7.29}}, którego definicję operatora ∇ wyjdziemy z {{linkWzór|7.8}}, którego ten nasz operator był początkowo zapisanej we współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych opisywanej wzorem {{LinkWzór|7.1}}, a we współrzędnych kulistych piszemy go: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e}_\theta}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+{{\vec{e}_{\phi}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \phi}}</MATH>|7.30}} == Operator Δ == Kwadrat operatora &nabla;, czyli operator &Delta; piszemy przy definicji operatora wspomnianego operatora &nabla; {{linkWzór|7.1}}, którego to operator tutaj rozważany wychodzi z definicji operatora &nabla; i ortogonalności wersorów w kartezjańskim układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\nabla^2=\nabla\nabla=\sum^3_{i=1}\vec{k_i}{{\partial}\over{\partial x_i}}\sum^3_{r=1}\vec{k_i}{{\partial}\over{\partial x_i}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{r=1}\vec{k_i}\vec{k_r}{{\partial^2}\over{\partial x_i\partial x_r}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{r=1}\delta_{ri}{{\partial^2}\over{\partial x_i\partial x_r}}=\sum^3_{i=1}{{\partial^2}\over{\partial x_i^2}}</MATH>|7.31}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.31}} operator &Delta; piszemy we współrzędnych kartezjańskich wedle sposobu zapisanego poniżej, jako sumą drugich pochodnych względem każdej ze zmiennych, tzn. x, y ,z: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\sum^3_{i=1}{{\partial^2}\over{\partial x_i^2}}</MATH>|7.32}} == Operator Δ we współrzędnych uogólnionych == Operator &Delta; we współrzędnych uogólnionych zapisujemy jako kwadrat operatora &nabla; we współrzędnych uogólnionych {{LinkWzór|7.8}}, wtedy możemy napisać tą tożsamość operatorową dla tego opisywanego tutaj operatora: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\nabla\nabla=\nabla\sum^3_{r=1}{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}= \sum^3_{m=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}=\sum^3_{m=1}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}{{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}}</MATH>|7.33}} Zatem na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.33}} dla kwadratu operatora &nabla;, czyli operatora &Delta;, którego definicja we współrzędnych uogólnionych jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\sum^3_{m=1}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}\left\{{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}\right\}</MATH>|7.34}} == Operator &Delta; w układzie cylindrycznym i kulistym == === Operator Δ we współrzędnych cylindrycznych === Wyznaczmy operator &Delta; we współrzędnych cylindrycznych {{LinkWzór|7.9}}, wykorzystując wzór na operator &Delta; zapisanego w sposób ogólny dla współrzędnych w dowolnym układzie krzywoliniowym {{LinkWzór|7.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\sum^3_{m=1}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}\left\{{{\vec{e}_{r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}\right\}=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}\right)+{{\vec{e_\theta}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}} \left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}\right)+</MATH>{{Br}} <MATH>+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}\right)=\vec{e}_{\rho}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+\vec{e_{\theta}}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left({{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\right)+\vec{e_{z}}{{\partial^2}\over{\partial \rho\partial z}}\right)+\vec{e}_{\rho}\left({{\partial\vec{e}_{\rho}}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\partial\vec{e_{\theta}}}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\rho\partial \theta}}+{{\partial \vec{e_z}}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\partial z}}\right)+</MATH>{{Br}} <MATH>+{{\vec{e_\theta}}\over{\rho}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial^2}\over{\partial \theta\partial \rho}}+{\vec{e_{\theta}}}{{\partial}\over{\partial \theta}}{{\partial}\over{\rho\partial\theta}}+\vec{e_z}{{\partial^2}\over{\partial\theta\partial z}}\right)+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}\left({{\partial\vec{e_{\theta}} }\over{\partial\theta}}{{\partial}\over{\partial \rho}}-\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\rho\partial\theta}}+{{\partial\vec{e_z}}\over{\partial \theta}}{{\partial}\over{\partial z}}\right)+\vec{e_z}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial^2}\over{\partial z\partial \rho}}+\vec{e_{\theta}}{{\partial}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\rho\partial\theta}}+\vec{e_z}{{\partial^2}\over{\partial z^2}}\right)+</MATH>{{Br}} <MATH>+\vec{e_z}\left({{\partial e_{\rho}}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\partial \vec{e_{\theta}}}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\rho\partial\theta}}+{{\partial \vec{e_{\theta}}}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\partial z}}\right)={{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+{{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\partial^2}\over{\rho^2\partial\theta^2}}+{{\partial^2}\over{\partial z^2}}={{1}\over{\rho}}{{{\partial}\over{\partial \rho}}}\left(\rho{{{\partial}\over{\partial \rho}}}\right)+{{1}\over{\rho^2}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{\partial^2}\over{\partial z^2}}</MATH>|7.35}} Ostatecznie wzór na operator &Delta; zapisanego we współrzędnych cylindrycznych jako kwadrat operatora &nabla; zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta={{1}\over{\rho}}{{{\partial}\over{\partial \rho}}}\left(\rho{{{\partial}\over{\partial \rho}}}\right)+{{1}\over{\rho^2}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{\partial^2}\over{\partial z^2}}</MATH>|7.36}} === Operator Δ we współrzędnych kulistych === Wyznaczmy operator Δ opisany we kulistym układzie współrzędnych {{LinkWzór|7.20}} wykorzystując wzór na operator &Delta; we współrzędnych uogólnionych {{LinkWzór|7.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\sum^3_{m=1}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}\left\{{{\vec{e}_{\rho}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}\right\}=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left[\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\Bigg[\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\Bigg]+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left[\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\right) +\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left({{e_{\theta}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\right)+ \vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left({{\vec{e_{\phi}}}\over {\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\left({\vec{e}_{\rho}}{{\partial }\over{\partial \rho}}\right)+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\left({{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\right)+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\left({{\vec{e_\phi}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\right)+ {{\vec{e_\phi}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left({{e_{\theta}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left({{ \vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)={{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+\underbrace{\vec{e}_{\rho}{{\partial \vec{e}_{\rho}}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}}_{0}+\underbrace{\vec{e}_{\rho}\vec{e_{\theta}}{{\partial}\over{\partial \rho}}({{1}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}})}_{0}+\underbrace{\vec{e}_{\rho}{{\partial\vec{e_{\theta}}}\over{\partial \rho}}{{1}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial }\over{\partial\theta}}}_{0} +\underbrace{\vec{e}_{\rho}\vec{e_{\phi}}{{\partial }\over{\partial \rho}}\left({{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \phi}}\right)}_{0}+\underbrace{\vec{e}_{\rho}{{\partial \vec{e_{\phi}}}\over{\partial \rho}}{{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}}_{0}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\underbrace{{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}\vec{e}_{\rho}{{\partial^2}\over{\partial \rho\partial\theta}}}_{0}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}\underbrace{{{\partial \vec{e}_{\rho}}\over{\partial\theta}}}_{\sin\phi \vec{e_{\theta}}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+ {{\vec{e_{\theta}}\vec{e_{\theta}}}\over{\rho^2\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+ \underbrace{{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho^2\sin^2\phi}}{{\partial\vec{e_{\theta}}}\over{\partial\theta}}{{\partial}\over{\partial\theta}}}_{0}+\underbrace{{{\vec{e_{\theta}}\vec{e_{\phi}}}\over{\rho^2\sin\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta\partial\phi}}}_{0}+{{{1}\over{\rho^2\sin\phi}}\underbrace{\vec{e_{\theta}}{{{\partial \vec{e_{\phi}}}\over{\partial\theta}}}}_{\cos\phi}{{\partial}\over{\partial\phi}}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\underbrace{{{{\vec{e_{\phi}}}\vec{e_{\rho}}}\over{\rho}}{{\partial^2}\over{\partial\phi\partial \rho}}}_{0}+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}\underbrace{{{\partial \vec{e_{\rho}}}\over{\partial \phi}}}_{\vec{e_{\phi}}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+\underbrace{{{\vec{e_{\phi}}\vec{e_{\theta}}}\over{\rho^2}}{{\partial}\over{\partial \phi}}{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}}_{0}+\underbrace{{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho^2\sin\phi}}{{\partial \vec{e_{\theta}}}\over{\partial \phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}}_{0} +{{\vec{e_{\phi}}\vec{e_{\phi}}}\over{\rho^2}}{{\partial^2}\over{\partial\phi^2}}+\underbrace{{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho^2}}{{\partial \vec{e_{\phi}}}\over{\partial\phi}}{{\partial}\over{\partial \phi}}}_{0}={{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+{{2}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{\rho^2\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{1}\over{\rho^2}}\operatorname{ctg}\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}+{{1}\over{\rho^2}}{{\partial^2}\over{\partial\phi^2}}</MATH>|7.37}} Aby przestawić końcowy wzór wynikających z obliczeń {{linkWzór|7.37}} musimy przekształcić pewne tożsamości, zatem dokonajmy obliczeń na wzorach ogólnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}= {{1}\over{\sin\phi}}\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}+{{1}\over{\sin\phi}}\sin\phi{{\partial^2}\over{\partial\phi^2}} =\operatorname{ctg}\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}+{{\partial^2}\over{\partial\phi^2}}</MATH>|7.38}} A teraz wyznaczmy drugą tożsamość operatorową wykorzystując twierdzenie o pochodnej iloczynu i z faktu istnienia jedynki operatorowej, zatem to drugie przekształcenie operatorowe możemy napisać sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}{{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}(\rho)={{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}(\rho)={{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}(r{{\partial}\over{\partial \rho}}+\hat{1})={{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+{{2}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}</MATH>|7.39}} Operator &Delta; napisanej początkowo w punkcie {{LinkWzór|7.37}} przy przekształceniach przeprowadzonych według {{LinkWzór|7.38}} i {{LinkWzór|7.39}} na pewnych wyrażeniach operatorowych, to wzór na operator &Delta; we współrzędnych kulistych piszemy wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta={{1}\over{\rho}}{{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}(\rho)+{{1}\over{\rho^2}}\left({{1}\over{\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)</MATH>|7.40}} Powyższe równanie na &Delta; {{LinkWzór|7.40}} można inaczej przedstawić przy pomocy operatora &Lambda;, gdzie ten ostatni operator zależy tylko od współrzędnych kątowych w kulistym układzie współrzędnym: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta={{1}\over{\rho}}{{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}(\rho)+{{1}\over{\rho^2}}\Lambda</MATH>|7.41}} * gdzie definicja operatora &Lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\Lambda={{1}\over{\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}</MATH>|7.42}} == Rotacja we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych i kulistych == === Rotacja we współrzędnych kartezjańskiej === Rotacje operatora nabla przy działaniu na jej funkcję wektorową {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} piszemy na podstawie definicji iloczynu wektorowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.16|Działania_na_wektorach}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{f}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ f_x&f_y&f_z \end{vmatrix}= \vec{i}\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\vec{j}\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)+\vec{k}\left({{\partial f_y}\over{\partial x}}-{{\partial f_x}\over{\partial y}}\right)</MATH>|7.43}} === Rotacja we współrzędnych cylindrycznych === Aby wyznaczyć we współrzędnych cylindrycznych wektor {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, w którym to w układzie współrzędnych obowiązują wektory ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{f}=\sum_i f_i\vec{e}_i\;</MATH>|7.44}} Bardzo ważnym dla nas spotkaniem jest policzenie współrzędnych kartezjańskich w zależności od współrzędnych cylindrycznego układu współrzędnych, zatem korzystając ze wzorów na wektory bazowe cylindrycznym układzie współrzędnym, tzn. wektory {{LinkWzór|7.12}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.18}}, wtedy możemy wyznaczyć trzy równania tworzące układ równań: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} f_x=f_{\rho}\cos\theta-f_{\theta}\sin\theta\\ f_y=f_{\rho}\sin\theta+f_{\theta}\cos\theta\\ f_z=f_z \end{cases}\;</MATH>|7.45}} Operatory jednostkowe w cylindrycznym układzie współrzędnych w zależności od wersorów w kartezjańskim układzie współrzędnych są: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \vec{i}\cos\theta+\vec{j}\sin\theta=\vec{e}_{\rho}\\ -\vec{j}\sin\theta+\vec{j}\cos\theta=\vec{e}_{\theta}\\ \vec{k}=\vec{e}_z \end{cases}\;</MATH>|7.46}} Wyznaczmy wektory jednostkowe w kartezjańskiego układzie współrzędnych, wiedząc, że wyznacznik główny układu równań {{linkWzór|7.46}} jest równy jeden, wtedy możemy wyznaczyć te wektory, bo wspomniany układ jest układem Cramera: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \vec{i}=\vec{e}_{\rho}\cos\theta-\sin\theta\vec{e}_{\theta}\\ \vec{j}=\cos\theta\vec{e}_{\theta}+\sin\theta\vec{e}_{\rho}\end{cases}\;</MATH>|7.47}} Mając otrzymane wzory napisane w punkcie {{LinkWzór|7.47}}, które są przepisem na wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów ortogonalnej bazy w układzie cylindrycznym, a także korzystając z trzech tożsamości {{LinkWzór|7.45}}, wtedy możemy napisać rotację wektora {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} używając jego formalnej definicji {{LinkWzór|7.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{f}=\left(\vec{e}_{\rho}\cos\theta-\sin\theta\vec{e}_{\theta}\right)\left[\left(\sin\theta{{\partial}\over{\partial\rho}}+{{\cos\theta}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)f_z-\left({{\partial }\over{\partial z}}\right)\left(f_{\rho}\sin\theta+f_{\theta}\cos\theta\right)\right]+ \left(\cos\theta\vec{e}_{\theta}+\sin\theta\vec{e}_{\rho}\right)\bigg[{{\partial}\over{\partial z}}\bigg(f_{\rho}\cos\theta+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-f_{\theta}\sin\theta\bigg)-\left(\cos\theta{{\partial}\over{\partial\rho}}-{{\sin\theta}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)f_z\bigg]+\vec{e}_z\Bigg[\left(\cos\theta{{\partial}\over{\partial\rho}}-{{\sin\theta}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\left(f_{\rho}\sin\theta+\cos\theta f_{\theta}\right)-\left(\sin\theta {{\partial}\over{\partial\rho}}+{{\cos\theta}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\left(f_{\rho}\cos\theta-f_{\theta}\sin\theta\right)\Bigg]= \vec{e}_{\rho}\Bigg[\cos\theta\sin\theta{{\partial f_z}\over{\partial\rho}}+{{\cos^2\theta}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial\theta}}-\sin\theta\cos\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}-\cos^2\theta {{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}+\sin\theta\cos\theta {{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}-\sin^2\theta {{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sin\theta\cos\theta{{\partial f_z}\over{\partial\rho}}+{{\sin^2\theta}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial\theta}}\Bigg]+ \vec{e}_{\theta}\Bigg[ -\sin^2\theta{{\partial f_z}\over{\partial\rho}}-{{\sin\theta\cos\theta}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial\theta}}+\sin^2\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}+\sin\theta\cos\theta{{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}} +\cos^2\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\cos\theta\sin\theta{{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}-\cos^2\theta{{\partial f_z}\over{\partial\rho}}+{{\cos\theta\sin\theta}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial\theta}}\Bigg]+ \vec{e}_z\Bigg[\cos\theta\sin\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\rho}}+\cos^2\theta{{\partial f_{\theta}}\over{\partial \rho}}-{{\sin^2\theta}\over{\rho}}{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\theta}}-{{\cos\theta\sin\theta}\over{\rho}}f_{r}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-{{\sin\theta\cos\theta}\over{\rho}}{{\partial f_{\theta}}\over{\partial\theta}}+{{\sin^2\theta}\over{\rho}}f_{\theta}-\sin\theta\cos\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial \rho}}+\sin^2\theta{{\partial f_{\theta}}\over{\partial\rho}}-{{\cos^2\theta}\over{\rho}}{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\theta}}+{{\cos\theta\sin\theta}\over{\rho}}f_{\rho}+{{\cos\theta\sin\theta}\over{\rho}}{{\partial f_{\theta}}\over{\partial \theta}}+{{\cos^2\theta}\over{\rho}}f_{\theta} \Bigg]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \vec{e}_{\rho}\left[{{1}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial}\theta}-{{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}\right] +\vec{e}_{\theta}\left[{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial \rho}}\right] +\vec{e}_z\left[{{\partial f_{\theta}}\over{\partial\rho}}-{{1}\over{\rho}}{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\theta}}+{{1}\over{\rho}}f_{\theta}\right] </MATH> |7.48}} Rotacja wektora {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, która jest zdefiniowana przy pomocy argumentów cylindrycznego układu współrzędnych jest napisana w troszeczkę uproszczonej postaci, ale równoważnej do rotacji obliczonego w punkcie {{LinkWzór|7.48}}, to w końcu dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{f}=\nabla\times\vec{v}= \vec{e}_{\rho}\left[{{1}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial}\theta}-{{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}\right] +\vec{e}_{\theta}\left[{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial \rho}}\right] +\vec{e}_z{{1}\over{\rho}}\left[{{\partial(\rho f_{\theta})}\over{\partial\rho}}-{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\theta}}\right]\;</MATH>|7.49|Obramuj}} === Rotacja we współrzędnych kulistej === Aby wyznaczyć całkę we współrzędnych cylindrycznych, to wektor {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, w którym to układzie współrzędnych obowiązują wektory ortogonalizowane, piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{f}=\sum_i f_i\vec{e}_i\;</MATH>|7.50}} Bardzo ważnym dla spotkaniem jest policzenie współrzędnych kartezjańskich w zależności od współrzędnych kulistego układu współrzędnych, zatem korzystając ze wzorów na wektory bazowe w naszym układzie współrzędnym, tzn. wektory {{LinkWzór|7.23}}, {{LinkWzór|7.26}} i {{LinkWzór|7.29}}, zatem możemy wyznaczyć trzy równania tworzące układ równań: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} f_x=f_{\rho}\cos\theta\sin\phi -f_{\theta}\sin\theta +f_{\phi}\cos\theta\cos\phi\\ f_y=f_{\rho}\sin\theta\sin\phi +f_{\theta}\cos\theta +f_{\phi}\sin\theta\cos\phi\\ f_z=f_{\rho}\cos\phi -f_{\phi}\sin\phi\\ \end{cases}\;</MATH>|7.51}} Wyznaczmy operatory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów bazy jednostkowej cylindrycznego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \vec{e}_r=\vec{i}\cos\theta\sin\phi+\vec{j}\sin\theta\sin\phi+\vec{k}\cos\phi\\ \vec{e}_{\theta}=-\vec{i}\sin\theta+\vec{j}\cos\theta\\ \vec{e}_{\phi}=\vec{i}\cos\theta\cos\phi+\vec{j}\sin\theta\cos\phi-\vec{k}\sin\phi \end{cases} </MATH>|7.52}} Wyznaczmy wyznacznik główny układu równań określonych w punkcie {{LinkWzór|7.52}}, którego definicja jest dla powyższego układu równań: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\phi\\ -\sin\theta&\cos\theta&0\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi&-\sin\phi \end{vmatrix}=\cos\phi\begin{vmatrix} -\sin\theta&\cos\theta\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi \end{vmatrix}-\sin\phi\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{vmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> \cos\phi\left(-\sin^2\theta\cos\phi-\cos^2\theta\cos\phi\right)-\sin\phi\left(\cos^2\theta\sin\phi+\sin^2\theta\sin\phi\right)=-\cos^2\phi-\sin^2\phi=-1\;</MATH>|7.53}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.53}} wyznacznik główny układu równań {{LinkWzór|7.52}} jest równy minus jeden, czyli jego wartość bezwzględna jest równa jeden, co nam ułatwi później bardzo obliczenia. Następnym krokiem dla naszego rozważanego układu równań {{LinkWzór|7.52}} jest wyznaczenie wyznacznika: {{CentrujWzór|<MATH> W_x=\begin{vmatrix} \vec{e}_r&\sin\theta\sin\phi&\cos\phi\\ \vec{e}_{\theta}&\cos\theta&0\\ \vec{e}_{\phi}&\sin\theta\cos\phi&-\sin\phi \end{vmatrix}= \cos\phi\begin{vmatrix} \vec{e}_{\theta}&\cos\theta\\ \vec{e}_{\phi}&\sin\theta\cos\phi \end{vmatrix}-\sin\phi\begin{vmatrix} \vec{e}_r&\sin\theta\sin\phi\\ \vec{e}_{\theta}&\cos\theta \end{vmatrix}= </MATH>{{Br}}<MATH>= \cos\phi\left(\vec{e}_{\theta}\sin\theta\cos\phi-\vec{e}_{\phi}\cos\theta\right)-\sin\phi\left(\vec{e}_r\cos\theta-\vec{e}_{\theta}\sin\theta\sin\phi\right)= -\vec{e}_r\cos\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\left(\sin\theta\cos^2\phi+\sin\theta\sin^2\phi\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\vec{e}_{\phi}\cos\theta\cos\phi= -\vec{e}_r\cos\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\sin\theta-\vec{e}_{\phi}\cos\theta\cos\phi</MATH>|7.54}} Następnym krokiem jest wyznaczenie wyznacznika W_y dla układu równań {{linkWzór|7.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> W_y=\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\vec{e}_r&\cos\phi\\ -\sin\theta&\vec{e}_{\theta}&0\\ \cos\theta\cos\phi&\vec{e}_{\phi}&-\sin\phi\\ \end{vmatrix} =\cos\phi\begin{vmatrix} -\sin\theta&\vec{e}_{\theta}\\ \cos\theta\cos\phi&\vec{e}_{\phi} \end{vmatrix}-\sin\phi\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\vec{e}_r\\ -\sin\theta&\vec{e}_{\theta} \end{vmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\cos\phi\left(-\sin\theta\vec{e}_{\phi}-\cos\theta\cos\phi\vec{e}_{\theta}\right)-\sin\phi\left(\cos\theta\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\sin\theta\vec{e}_r\right) =-\vec{e}_r\sin\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\left(-\cos\theta\cos^2\phi-\cos\theta\sin^2\phi\right)+</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{e}_{\phi}\left(-\sin\theta\cos\phi\right)= -\vec{e}_r\sin\theta\sin\phi-\vec{e}_{\theta}\cos\theta-\vec{e}_{\phi}\sin\theta\cos\phi</MATH>|7.55}} Następnym krokiem jest wyznaczenie wyznacznika W_z dla układu równań {{linkWzór|7.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> W_z=\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi&\vec{e}_r\\ -\sin\theta&\cos\theta&\vec{e}_{\theta}\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi&\vec{e}_{\phi}\end{vmatrix} =\vec{e}_r\begin{vmatrix} -\sin\theta&\cos\theta\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi\\ \end{vmatrix}- \vec{e}_{\theta}\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi\end{vmatrix} +\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{e}_{\phi}\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{vmatrix}= \vec{e}_r\left(-\sin^2\theta\cos\phi-\cos^2\theta\cos\phi\right)-\vec{e}_{\theta}\left(\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi-\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{e}_{\phi}\left(\cos^2\theta\sin\phi+\sin^2\theta\sin\phi\right)=-\vec{e}_r\cos\phi+\vec{e}_{\phi}\sin\phi\;</MATH> |7.56}} Wyznaczmy czemu są równe wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów w kulistym układzie odniesienia wykorzystując fakt, że macierz główna układu W, czyli układu {{LinkWzór|7.53}} jest równa minus jeden, i wyznaczniki W_i, które są już wyznaczone w punktach {{LinkWzór|7.54}}, {{LinkWzór|7.55}} i {{LinkWzór|7.56}}, zatem te wersory obowiązujące w układzie kartezjańskim w zależność od wersorów w układzie kulistymi są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \vec{i}=\vec{e}_r\cos\theta\sin\phi-\vec{e}_{\theta}\sin\theta+\vec{e}_{\phi}\cos\theta\cos\phi\\ \vec{j}=\vec{e}_r\sin\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\cos\theta+\vec{e}_{\phi}\sin\theta\cos\phi\\ \vec{k}=\vec{e}_r\cos\phi-\vec{e}_{\phi}\sin\phi \end{cases}\;</MATH>|7.57}} Otrzymane wzory napisane w punkcie {{LinkWzór|7.57}}, które są przepisem na wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów ortogonalnej bazy w układzie kulistym, a także korzystając z trzech tożsamości {{LinkWzór|7.51}}, zatem możemy napisać rotację wektora {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} używając jego formalnej definicji w układzie współrzędnych kartezjańskich {{LinkWzór|7.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{f}=\nabla\times\vec{f}= \left(\vec{e}_r\cos\theta\sin\phi-\vec{e}_{\theta}\sin\theta+\vec{e}_{\phi}\cos\theta\cos\phi\right)\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\left(\vec{e}_r\sin\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\cos\theta+\vec{e}_{\phi}\sin\theta\cos\phi\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)+\left(\vec{e}_r\cos\phi-\vec{e}_{\phi}\sin\phi\right)\left({{\partial f_y}\over{\partial x}}-{{\partial f_x}\over{\partial y}}\right)= \vec{e}_r\Bigg[\cos\theta\sin\phi\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\sin\theta\sin\phi\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\cos\phi\left({{\partial f_y}\over{\partial x}}-{{\partial f_x}\over{\partial y}}\right)\Bigg]+\vec{e}_{\theta}\left[-\sin\theta\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\cos\theta\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)\right]+\vec{e}_{\phi}\Bigg[\cos\theta\cos\phi\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\sin\theta\cos\phi\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)-\sin\phi\left({{\partial f_y}\over{\partial x}}-{{\partial f_x}\over{\partial y}}\right)\Bigg]</MATH>|7.58}} Podamy teraz końcowy wzór na rotację wektora {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, wyprowadzonych przy pomocy wzorów {{LinkWzór|7.30}}, a także {{LinkWzór|7.51}} i {{LinkWzór|7.57}}, to dochodzimy do końcowego wzoru wynikający z {{LinkWzór|7.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{f}={{1}\over{\rho\sin\phi}}\left[{{\partial(\sin\phi f_{\theta})}\over{\partial\phi}}-{{\partial f_{\phi}}\over{\partial\theta}}\right]\vec{e}_r+{{1}\over{\rho}}\left[{{\partial(\rho f_{\phi})}\over{\partial r}}-{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\phi}}\right]\vec{e}_{\theta}+{{1}\over{\rho}}\left[{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial f_r}\over{\partial\theta}}-{{\partial(\rho f_{\theta})}\over{\partial\rho}}\right]\vec{e}_{\Phi}</MATH>|7.58a|Obramuj}} == Pochodne iloczynów == === Tożsamość pierwsza === Tutaj będziemy wyznaczać niektóre tożsamości, korzystając z właności operatora &nabla;, zatem przejdźmy do naszych dowodów: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\left(\vec{A}\vec{B}\right)=\vec{A}\times\left(\nabla\times\vec{B}\right)+\vec{B}\times(\nabla\times\vec{A})+(\vec{A}\nabla)\vec{B}+(\vec{B}\nabla)\vec{A}\;</MATH>|7.59|Obramuj}} Oto dowód pierwszej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}\times\left(\nabla\times\vec{B}\right)+\vec{B}\times(\nabla\times\vec{A})+(\vec{A}\nabla)\vec{B}+(\vec{B}\nabla)\vec{A}= \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}A_j\nabla_lB_m+\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}A_j\nabla_lB_m+(A_s\nabla_s)B_i+(B_s\nabla_s)A_{i}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_j\nabla_lB_m+\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)A_j\nabla_lB_m+(A_s\nabla_s)B_i+(B_s\nabla_s)A_{i}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= =A_m\nabla_iB_m-A_j\nabla_j B_i+B_m\nabla_iA_m-B_j\nabla_j A_i+(A_s\nabla_s)B_i+(B_s\nabla_s)A_{i}=A_m\nabla_iB_m+B_m\nabla_iA_m=\nabla_i(A_mB_m)=\nabla(\vec{A}\vec{B})\;</MATH>}} === Tożsamość druga === Tożsamość druga przedstawiająca się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla(f\vec{A})=f(\nabla\vec{A})+\vec{A}(\nabla f)\;</MATH>|7.60|Obramuj}} Oto dowód drugiej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla(f\vec{A})=\nabla i(f A_i)=f\nabla_i A_i+A_i\nabla f=f(\nabla\vec{A})+\vec{A}(\nabla f)\;</MATH>}} === Tożsamość trzecia === Tożsamość trzecia przedstawiająca się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})\;</MATH>|7.61|Obramuj}} Oto dowód trzeciej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla(\vec{A}\times\vec{B})=\nabla_i\epsilon_{ijk}A_jB_k=A_j\epsilon_{ijk}\nabla_iB_k+B_k\epsilon_{ijk}\nabla_iA_j=-A_j\epsilon_{jik}\nabla_iB_k+B_k\epsilon_{kij}\nabla_iA_j=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})\;</MATH>}} === Tożsamości czwarta === Tożsamość czwarta przedstawiająca się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(f\vec{A})=f(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\times\left(\nabla f\right)\;</MATH>|7.62|Obramuj}} Oto dowód czwartej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(f\vec{A})=\epsilon_{ijk}\nabla_jfA_k=\epsilon_{ijk}(f\nabla_jA_k+A_k\nabla_jf)=\epsilon_{ijk}\nabla_jA_k-\epsilon_{ikj}A_k\nabla_jf)=f(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\times\left(\nabla f\right)\;</MATH>}} === Tożsamość piąta === Tożsamość piąta przedstawiająca się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)=(\vec{B}\nabla)\vec{A}-(\vec{A}\nabla)\vec{B}+\vec{A}(\nabla\vec{B})-\vec{B}(\nabla\vec{A})\;</MATH>|7.63|Obramuj}} Oto dowód piątej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_j A_lB_m=\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)\nabla_jA_lB_m= \nabla_m A_iB_m-\nabla_mA_mB_i=A_i\nabla_mB_m+B_m\nabla_mA_i-A_m\nabla_mB_i-B_i\nabla_m A_m=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\vec{A}(\nabla\vec{B})+(\vec{B}\nabla)\vec{A}-(\vec{A}\nabla)\vec{B}-\vec{B}(\nabla\vec{A})\;</MATH>}} == Twierdzenia całkowe == Tutaj podamy pewne twierdzenia całkowe z dowodami, tzn. twierdzenie gradientów, prawo Gaussa i Stokesa, którego to dowody przestawimy poniżej. === Twierdzenie dla gradientów === Twierdzenie dla gradientów przedstawia całkowanie funkcji &nabla;f od punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} do punktu {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}} i otrzymujemy podobny wzór jak przy całkowaniu na lini prostej, zatem to twierdzenie przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{\vec{a}}^{\vec{b}}\left(\nabla f\right)d\vec{l}=f(\vec{b})-f(\vec{a})\;</MATH>|7.64}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|7.64}} należy policzyć wyrażenie przy założeniu, że {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}} jest wektorem jednostkowym skierowanych w kierunku różniczkowania w przestrzeni trójwymiarowej: {{CentrujWzór|<MATH>{{df(\vec{x})}\over{d l}}={{\partial f(\vec{x})}\over{\partial x_i}}{{dx_i}\over{dl}}=\nabla f(\vec{x})\vec{n}\Rightarrow d{f}(x)=\nabla{f}(\vec{x})\vec{n}dl\Rightarrow df(\vec{x})=\nabla f(\vec{x})d\vec{l}\;</MATH>|7.65}} Na podstawie końcowego wniosku wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.65}}, które całkujemy obustronnie całką oznaczoną od punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} do punktu {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}}, zatem stąd wniosek, że twierdzenie dla gradientów {{LinkWzór|7.64}} jest spełnione. === Twierdzenie Gaussa (tzn. twierdzenie dywergencji) === Załóżmy, że mamy pewną objętość zamkniętą ograniczoną powierzchnią zamkniętą, gdzie {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} jest infinitezymalnym elementem tejże powierzchni, zatem to nasze wspomniane wyżej twierdzenie przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\int(\nabla\cdot\vec{A})dV=\oint\vec{A}d\vec{S}\;</MATH>|7.66}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|7.66}} musimy podać wzór na dywergencją wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}, którą nazywamy w analizie matematycznej wielkość określona: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{A}=\lim_{V\rightarrow 0}{{\oint\vec{A}d\vec{S}}\over{V}}\;</MATH>|7.67}} Wyobraźmy sobie teraz pewien sześcian o objętości dążącej do zera, dla którego wyznaczymy dywergencję wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}, zatem niech w środku tego sześcianu istnieje pewien wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{A}dxdydz=\left({A}_z+{{\partial{A}_z}\over{\partial z}}{{1}\over{2}}dz\right)dxdy+\left(-{A}_y+{{\partial{A}_y}\over{\partial y}}{{1}\over{2}}dy\right)dxdz+\left({A}_y+{{\partial{A}_y}\over{\partial y}}{{1}\over{2}}dy\right)dxdz+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left(-{A}_z+{{\partial{A}_z}\over{\partial z}}{{1}\over{2}}dz\right)dxdy+\left({A}_x+{{\partial{A}_x}\over{\partial x}}{{1}\over{2}}dx\right)dydz+\left(-{A}_x+{{\partial{A}_x}\over{\partial x}}{{1}\over{2}}dx\right)dydz=\left({{\partial {A}_x}\over{\partial x}}+{{\partial{A}_y}\over{\partial y}}+{{\partial{A}_z}\over{\partial z}}\right)dxdydz=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\nabla\vec A\Rightarrow\nabla\vec{A}=\operatorname{div}\vec{A}\;</MATH>|7.68}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.67}} dywergencja wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest to działanie operatora &nabla; na wspomnianą wcześniej funkcję wektorową, zatem na podstawie definicji dywergencji pewnej funkcji wektorowej {{linkWzór|7.67}} prawo Gaussa {{LinkWzór|7.66}} jest twierdzeniem udowodnionym. === Twierdzenie Stokesa (tj. dla rotacji) === Załózmy, że mamy powierzchnię ograniczoną pewnym zamkniętym konturem, wtedy prawo Stokesa przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int\left(\nabla\times\vec{A}\right)\cdot d\vec {S}=\oint\vec{A}d\vec{l}\;</MATH>|7.69}} Rzut na wektor jednostkowy rotacji pewnej funkcji wektorowej, tzn. ten rzut jest dodatni gdy pokrywa się ten rzut z kierunkiem wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}}, w którym, to definicji wprowadzimy powierzchnię S nieskończenie małą, którego ogranicza pewny kontur obiegany odwrotnie względem ruchu wskazówek zegara, którego zwrot naszego wektora jednostkowego jest do góry tej powierzchni (nad zegarem), nazywamy wielkością określoną: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\operatorname{rot}\vec{A}\right)_n=\lim_{S\rightarrow 0}{{\oint \vec{A}d\vec{l}}\over{S}}\;</MATH>|7.70}} We wzorze {{LinkWzór|7.70}} rotacją wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}, nazywamy rotacją wzdłuż wektora normalnego {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}}, którego wartość jest określona wspomnianym wyżej wzorem, jeśli będziemy określać współrzędną iksową rotacji, to należy obrać prostokąt prostopadły do osi iksowej, ale ten wektor normalny powinien mieć ten sam zwrot co ta nasza oś, wtedy iloczyn współrzędnej iksowej rotacji i współrzędnej malutkiego elementy powierzchni wektora prostopadłego do tego wycinka powierzchni względem osi iksowej określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\operatorname{rot}\vec{A}\right)_xdydz=\left(A_z+{{\partial A_z}\over{\partial y}}{{1}\over{2}}dy\right)dz-\left(A_z-{{\partial A_z}\over{\partial y}}{{1}\over{2}}dy\right)dz-\left(A_y+{{\partial A_y}\over{\partial z}}{{1}\over{2}}dz\right)dy+\left(A_y-{{\partial A_y}\over{\partial z}}{{1}\over{2}}dz\right)dy=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left({{\partial A_z}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}}\right)dzdy\Rightarrow\left(\operatorname{rot}\vec{A}\right)_x={{\partial A_z}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.71}} Aby wyznaczyć współrzędną igrekową i zetową rotacji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} możemy policzyć zmieniając w sposób cykliczny zmienne z zestawu zmiennych x,y,z w powyższych obliczeniach, to rotacja wspomnianego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{A}=\left({{\partial A_z}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}}\right)\vec{i}+\left({{\partial A_x}\over{\partial z}}-{{\partial A_z}\over{\partial x}}\right)\vec{j}+\left({{\partial A_y}\over{\partial x}}-{{\partial A_x}\over{\partial y}}\right)\vec{k}=\nabla\times\vec{A}\;</MATH>|7.72}} Mając już zdefiniowaną rotację naszego wektora, która jest równa iloczynowi wektorowemu operatora &nabla; i naszego wektora. Znając wzór {{LinkWzór|7.70}} definicją rotacji możemy zapisać dla bardzo małego prostokącika w przybliżeniu: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{A}\vec{S}\simeq\oint_S\vec{A}d\vec{l}\;</MATH>|7.73}} Całą powierzchnię ograniczoną konturem zamkniętym dzielimy na malutkie prostokąciki, by te prostokąciki były równoległe wobec siebie na tej zamkniętej powierzchni, zatem cyrkulacja dla krzywej ograniczającej wielką powierzchnię jest równa sumie cyrkulacji po małych powierzchniach wcześniej określonych, można tak powiedzieć, bo cyrkulacja po małym wycinku danej powierzchni redukuje się częściowo z całką, które różnią się znakiem na tym samym wspólnym boku, czyli należącego do dwóch malutkich powierzchni. Na podstawie powyższych rozważań piszemy wzór {{linkWzór|7.73}} dla S bardzo małego, którego to biorąc całkę na obu stronach naszej przybliżonej tożsamości po małych prostokącikach, co stąd wynika wzór {{LinkWzór|7.69}}. Co kończy dowód. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2oxoz9eyneqvhph5rvtgxigdwgxzfyp 558623 558622 2026-10-04T21:59:54Z Persino 2851 /* Operator Nabla we współrzędnych cylindrycznych */ 558623 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Operator Nabla == Operator nabla oznaczamy symbolem &nabla;, jest wektorem różniczkowania, każda jego składowa jest pochodną cząstkową za każdym razem po innej współrzędnej trójwymiarowego układu współrzędnej, tzn. po kolei x,y,z, jego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\sum^{3}_{i=1}\vec{k_i}{{\partial}\over{\partial x_i}}=\vec{i}{{\partial f}\over{\partial x}}+\vec{j}{{\partial f}\over{\partial y}}+\vec{k}{{\partial f}\over{\partial z}}</MATH>|7.1}} == Baza ortogonalna we współrzędnych uogólnionych == Niech znamy funkcję transformująca współrzędne uogólnione trójwymiarowego układu współrzędnych transformujących się według {{Formuła|<MATH>\vec{r}=f(\vec{q})</MATH>}} do trójwymiarowego układu kartezjańskiego, wtedy możemy napisać definicję na wektory jednostkowe zależne od "i" w krzywoliniowym układzie współrzędnych jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e_i}={{{{\partial \vec{r}}\over{\partial q_i}}}\over{||\vec{e_i}||}}</MATH>, gdzie: <MATH>||\vec{e_i}||=\left|\left|{{\partial \vec{r}}\over{\partial q_i}}\right|\right|</MATH>|7.2}} Niech operator &nabla; działa na współrzędną uogólnioną q_r, wtedy wynik tej operacji rozkładamy w bazie {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k\;</MATH>}} opisywaną wzorem {{LinkWzór|7.2}}, którego wersory z założenia są prostopadłe do siebie: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla q_r=\sum^3_{k=1}\alpha_{kr} \vec{e_k}</MATH>|7.3}} Ale wektory {{Formuła|<MATH>\vec{e_r}</MATH>}} tworzą bazę wektorów bazowych unormowanych i ortogonalnych do jedności, to pomnóżmy ostatni wzór obustronnie przez wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e_n}</MATH>}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla q_r\vec{e_n}=\sum^3_{k=1}\alpha_{kr}\vec{e_k}\vec{e_n}\Rightarrow\nabla q_r\vec{e_n}=\sum^3_{k=1}\alpha_{kr}\delta_{kn}\Rightarrow\nabla q_r\vec{e_n}=\alpha_{rn}</MATH>|7.4}} Jeśli zastąpimy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e}_n\;</MATH>}} przez jego definicję {{LinkWzór|7.2}} we wzorze {{LinkWzór|7.4}}, wtedy możemy napisać lewą stronę tego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^3_{i=1}\vec{k_i}{{\partial q_r}\over{\partial x_i}}{{{{\partial \sum^3_{s=1}\vec{k_s}\vec{x_s}}\over{\partial q_n}}}\over{||\vec{e_n}||}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{s=1}\vec{k_i}\vec{k_s}{{\partial q_k}\over{\partial x_i}}{{\partial x_s}\over{\partial q_n}}{{1}\over{||e_{n}||}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{s=1}\delta_{is}{{\partial q_r}\over{\partial x_i}}{{\partial x_s}\over{\partial q_n}}{{1}\over{||e_{n}||}}={{1}\over{||e_{r}||}}\sum^3_{i=1}{{\partial q_r}\over{\partial x_i}}{{\partial x_i}\over{\partial q_n}}={{1}\over{||e_{n}||}}\delta_{rn}=\alpha_{rn}</MATH>|7.5}} Wzór {{LinkWzór|7.3}} na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{linkWzór|7.5}} piszemy przy definicji wersora {{linkWzór|7.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla q_k={{\vec{e_k}}\over{||\vec{e_k}||}}</MATH>|7.6}} == Operator Nabla we współrzędnych uogólnionych == Napiszmy operator &nabla;, który jest we współrzędnych trójwymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich, który przekształcimy przy pomocy wzoru {{linkWzór|7.6}}, by póżniej przepisać jego definicję we współrzędnych uogólnionych: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\sum^3_{i=1}\vec{k_i}{{\partial}\over{\partial x_i}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{r=1}\vec{k_i}{{\partial q_r}\over{\partial x_i}}{{\partial}\over{\partial q_r}}=\sum^3_{r=1}\nabla q_r{{\partial}\over{\partial q_r}}=\sum^3_{r=1}{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}</MATH>|7.7}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.7}}, operator &nabla; napisany jest we współrzędnych uogólnionych przy pomocy wersorów uogólnionego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\sum^3_{r=1}{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}</MATH>|7.8}} == Operator &nabla; we współrzędnych cylindrycznych i kulistych == === Operator Nabla we współrzędnych cylindrycznych === Niech mamy wektor wodzący danego punktu w trójwymiarowym układzie współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} w zależności od współrzędnych cylindrycznych, tzn. od (&rho;,&theta;,z), którego piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=[\rho \cos\theta,\rho \sin\theta,z]</MATH>|7.9}} Wektory bazy cylindrycznego układu współrzędnych obliczamy, korzystając przy tym z definicji wektora wodzącego w układzie kartezjańskich {{LinkWzór|7.9}} i przy wykorzystaniu definicji ortogonalnych wersorów {{LinkWzór|7.2}}, którego są definicjami wektorów bazowych uogólnionego układu współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial \rho}}=[\cos\theta,\sin\theta,0]\;</MATH>|7.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||e_r||=\left|\left|{{\partial \vec{r}}\over{\partial \rho}}\right|\right|=1\;</MATH>|7.11}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{\rho}=[\cos\theta,\sin\theta,0]\;</MATH>|7.12}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial \theta}}=[-\rho \sin\theta,\rho \cos\theta,0]\;</MATH>|7.13}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||e_{\theta}||=\left|\left|{{\partial \vec{r}}\over{\partial \theta}}\right|\right|=\rho\;</MATH>|7.14}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e_{\theta}}=[-\sin\theta,\cos \theta,0]\;</MATH>|7.15}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial z}}=[0,0,1]\;</MATH>|7.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\vec{e_z}||=\left|\left|{{\partial\vec r}\over{\partial z}}\right|\right|=1\;</MATH>|7.17}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e_z}=[0,0,1]</MATH>|7.18}} }} Jeśli wykorzystamy wzory {{LinkWzór|7.12}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.18}}, którego definicję operatora &nabla; wyjdziemy z {{LinkWzór|7.8}}, którego ten nasz operator był początkowo zapisany we współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych opisywanego wzorem {{LinkWzór|7.1}}, to we współrzędnych cylindrycznych piszemy go: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}</MATH>|7.19}} === Operator Nabla we współrzędnych kulistych === We współrzędnych kulistych wektor wodzący {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, napisany we współrzędnych kartezjańskich układu współrzędnych w zależności od współrzędnych kulistych, jest zdefiniowany: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=[\rho\cos\theta\sin\phi,\rho\sin\theta\sin\phi,\rho\cos\phi]</MATH>|7.20}} Korzystając z wektora wodzącego w układzie kartezjańskich {{LinkWzór|7.20}} i przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|7.2}}, wtedy możemy wyznaczyć wersory uogólnionego układu współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial \rho}}=[\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]\;</MATH>|7.21}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\vec{e}_{\rho}||=1\;</MATH>|7.22}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{\rho}=[\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]\;</MATH>|7.23}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial \theta}}=[-\rho\sin\theta\sin\phi,\rho\cos\theta\sin\phi,0]\;</MATH>|7.24}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\vec{e_{\theta}}||=\rho\sin\phi\;</MATH>|7.25}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e_\theta}=[-\sin\theta,\cos\theta,0]\;</MATH>|7.26}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \vec{r}}\over{\partial\phi}}=[\rho\cos\theta\cos\phi,\rho\sin\theta\cos\phi,-\rho\sin\phi]\;</MATH>|7.27}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||e_{\phi}||=\rho\;</MATH>|7.28}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>e_{\phi}=[\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]\;</MATH>|7.29}} }} Jeśli wykorzystamy wzory {{LinkWzór|7.23}}, {{LinkWzór|7.26}} i {{LinkWzór|7.29}}, którego definicję operatora ∇ wyjdziemy z {{linkWzór|7.8}}, którego ten nasz operator był początkowo zapisanej we współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych opisywanej wzorem {{LinkWzór|7.1}}, a we współrzędnych kulistych piszemy go: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e}_\theta}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+{{\vec{e}_{\phi}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \phi}}</MATH>|7.30}} == Operator Δ == Kwadrat operatora &nabla;, czyli operator &Delta; piszemy przy definicji operatora wspomnianego operatora &nabla; {{linkWzór|7.1}}, którego to operator tutaj rozważany wychodzi z definicji operatora &nabla; i ortogonalności wersorów w kartezjańskim układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\nabla^2=\nabla\nabla=\sum^3_{i=1}\vec{k_i}{{\partial}\over{\partial x_i}}\sum^3_{r=1}\vec{k_i}{{\partial}\over{\partial x_i}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{r=1}\vec{k_i}\vec{k_r}{{\partial^2}\over{\partial x_i\partial x_r}}=\sum^3_{i=1}\sum^3_{r=1}\delta_{ri}{{\partial^2}\over{\partial x_i\partial x_r}}=\sum^3_{i=1}{{\partial^2}\over{\partial x_i^2}}</MATH>|7.31}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.31}} operator &Delta; piszemy we współrzędnych kartezjańskich wedle sposobu zapisanego poniżej, jako sumą drugich pochodnych względem każdej ze zmiennych, tzn. x, y ,z: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\sum^3_{i=1}{{\partial^2}\over{\partial x_i^2}}</MATH>|7.32}} == Operator Δ we współrzędnych uogólnionych == Operator &Delta; we współrzędnych uogólnionych zapisujemy jako kwadrat operatora &nabla; we współrzędnych uogólnionych {{LinkWzór|7.8}}, wtedy możemy napisać tą tożsamość operatorową dla tego opisywanego tutaj operatora: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\nabla\nabla=\nabla\sum^3_{r=1}{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}= \sum^3_{m=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}=\sum^3_{m=1}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}{{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}}</MATH>|7.33}} Zatem na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.33}} dla kwadratu operatora &nabla;, czyli operatora &Delta;, którego definicja we współrzędnych uogólnionych jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\sum^3_{m=1}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}\left\{{{\vec{e_r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}\right\}</MATH>|7.34}} == Operator &Delta; w układzie cylindrycznym i kulistym == === Operator Δ we współrzędnych cylindrycznych === Wyznaczmy operator &Delta; we współrzędnych cylindrycznych {{LinkWzór|7.9}}, wykorzystując wzór na operator &Delta; zapisanego w sposób ogólny dla współrzędnych w dowolnym układzie krzywoliniowym {{LinkWzór|7.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\sum^3_{m=1}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}\left\{{{\vec{e}_{r}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}\right\}=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}\right)+{{\vec{e_\theta}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}} \left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}\right)+</MATH>{{Br}} <MATH>+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\vec{e_z}{{\partial}\over{\partial z}}\right)=\vec{e}_{\rho}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+\vec{e_{\theta}}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left({{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\right)+\vec{e_{z}}{{\partial^2}\over{\partial \rho\partial z}}\right)+\vec{e}_{\rho}\left({{\partial\vec{e}_{\rho}}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\partial\vec{e_{\theta}}}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\rho\partial \theta}}+{{\partial \vec{e_z}}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\partial z}}\right)+</MATH>{{Br}} <MATH>+{{\vec{e_\theta}}\over{\rho}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial^2}\over{\partial \theta\partial \rho}}+{\vec{e_{\theta}}}{{\partial}\over{\partial \theta}}{{\partial}\over{\rho\partial\theta}}+\vec{e_z}{{\partial^2}\over{\partial\theta\partial z}}\right)+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho}}\left({{\partial\vec{e_{\theta}} }\over{\partial\theta}}{{\partial}\over{\partial \rho}}-\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\rho\partial\theta}}+{{\partial\vec{e_z}}\over{\partial \theta}}{{\partial}\over{\partial z}}\right)+\vec{e_z}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial^2}\over{\partial z\partial \rho}}+\vec{e_{\theta}}{{\partial}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\rho\partial\theta}}+\vec{e_z}{{\partial^2}\over{\partial z^2}}\right)+</MATH>{{Br}} <MATH>+\vec{e_z}\left({{\partial e_{\rho}}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\partial \vec{e_{\theta}}}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\rho\partial\theta}}+{{\partial \vec{e_{\theta}}}\over{\partial z}}{{\partial}\over{\partial z}}\right)={{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+{{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\partial^2}\over{\rho^2\partial\theta^2}}+{{\partial^2}\over{\partial z^2}}={{1}\over{\rho}}{{{\partial}\over{\partial \rho}}}\left(\rho{{{\partial}\over{\partial \rho}}}\right)+{{1}\over{\rho^2}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{\partial^2}\over{\partial z^2}}</MATH>|7.35}} Ostatecznie wzór na operator &Delta; zapisanego we współrzędnych cylindrycznych jako kwadrat operatora &nabla; zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta={{1}\over{\rho}}{{{\partial}\over{\partial \rho}}}\left(\rho{{{\partial}\over{\partial \rho}}}\right)+{{1}\over{\rho^2}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{\partial^2}\over{\partial z^2}}</MATH>|7.36}} === Operator Δ we współrzędnych kulistych === Wyznaczmy operator Δ opisany we kulistym układzie współrzędnych {{LinkWzór|7.20}} wykorzystując wzór na operator &Delta; we współrzędnych uogólnionych {{LinkWzór|7.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\sum^3_{m=1}\sum^3_{r=1}{{\vec{e_m}}\over{||e_m||}}{{\partial}\over{\partial q_m}}\left\{{{\vec{e}_{\rho}}\over{||e_r||}}{{\partial}\over{\partial q_r}}\right\}=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left[\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\Bigg[\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\Bigg]+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left[\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]=\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\right) +\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left({{e_{\theta}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\right)+ \vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\left({{\vec{e_{\phi}}}\over {\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\left({\vec{e}_{\rho}}{{\partial }\over{\partial \rho}}\right)+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\left({{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\right)+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}\left({{\vec{e_\phi}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial \rho}}\right)+ {{\vec{e_\phi}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left({{e_{\theta}}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left({{ \vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)={{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+\underbrace{\vec{e}_{\rho}{{\partial \vec{e}_{\rho}}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}}_{0}+\underbrace{\vec{e}_{\rho}\vec{e_{\theta}}{{\partial}\over{\partial \rho}}({{1}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}})}_{0}+\underbrace{\vec{e}_{\rho}{{\partial\vec{e_{\theta}}}\over{\partial \rho}}{{1}\over{\rho\sin\phi}}{{\partial }\over{\partial\theta}}}_{0} +\underbrace{\vec{e}_{\rho}\vec{e_{\phi}}{{\partial }\over{\partial \rho}}\left({{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \phi}}\right)}_{0}+\underbrace{\vec{e}_{\rho}{{\partial \vec{e_{\phi}}}\over{\partial \rho}}{{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\phi}}}_{0}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\underbrace{{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}\vec{e}_{\rho}{{\partial^2}\over{\partial \rho\partial\theta}}}_{0}+{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho\sin\phi}}\underbrace{{{\partial \vec{e}_{\rho}}\over{\partial\theta}}}_{\sin\phi \vec{e_{\theta}}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+ {{\vec{e_{\theta}}\vec{e_{\theta}}}\over{\rho^2\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+ \underbrace{{{\vec{e_{\theta}}}\over{\rho^2\sin^2\phi}}{{\partial\vec{e_{\theta}}}\over{\partial\theta}}{{\partial}\over{\partial\theta}}}_{0}+\underbrace{{{\vec{e_{\theta}}\vec{e_{\phi}}}\over{\rho^2\sin\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta\partial\phi}}}_{0}+{{{1}\over{\rho^2\sin\phi}}\underbrace{\vec{e_{\theta}}{{{\partial \vec{e_{\phi}}}\over{\partial\theta}}}}_{\cos\phi}{{\partial}\over{\partial\phi}}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\underbrace{{{{\vec{e_{\phi}}}\vec{e_{\rho}}}\over{\rho}}{{\partial^2}\over{\partial\phi\partial \rho}}}_{0}+{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho}}\underbrace{{{\partial \vec{e_{\rho}}}\over{\partial \phi}}}_{\vec{e_{\phi}}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+\underbrace{{{\vec{e_{\phi}}\vec{e_{\theta}}}\over{\rho^2}}{{\partial}\over{\partial \phi}}{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}}_{0}+\underbrace{{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho^2\sin\phi}}{{\partial \vec{e_{\theta}}}\over{\partial \phi}}{{\partial}\over{\partial \theta}}}_{0} +{{\vec{e_{\phi}}\vec{e_{\phi}}}\over{\rho^2}}{{\partial^2}\over{\partial\phi^2}}+\underbrace{{{\vec{e_{\phi}}}\over{\rho^2}}{{\partial \vec{e_{\phi}}}\over{\partial\phi}}{{\partial}\over{\partial \phi}}}_{0}={{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+{{2}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{\rho^2\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{1}\over{\rho^2}}\operatorname{ctg}\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}+{{1}\over{\rho^2}}{{\partial^2}\over{\partial\phi^2}}</MATH>|7.37}} Aby przestawić końcowy wzór wynikających z obliczeń {{linkWzór|7.37}} musimy przekształcić pewne tożsamości, zatem dokonajmy obliczeń na wzorach ogólnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}= {{1}\over{\sin\phi}}\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}+{{1}\over{\sin\phi}}\sin\phi{{\partial^2}\over{\partial\phi^2}} =\operatorname{ctg}\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}+{{\partial^2}\over{\partial\phi^2}}</MATH>|7.38}} A teraz wyznaczmy drugą tożsamość operatorową wykorzystując twierdzenie o pochodnej iloczynu i z faktu istnienia jedynki operatorowej, zatem to drugie przekształcenie operatorowe możemy napisać sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}{{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}(\rho)={{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}(\rho)={{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}(r{{\partial}\over{\partial \rho}}+\hat{1})={{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}+{{2}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial \rho}}</MATH>|7.39}} Operator &Delta; napisanej początkowo w punkcie {{LinkWzór|7.37}} przy przekształceniach przeprowadzonych według {{LinkWzór|7.38}} i {{LinkWzór|7.39}} na pewnych wyrażeniach operatorowych, to wzór na operator &Delta; we współrzędnych kulistych piszemy wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta={{1}\over{\rho}}{{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}(\rho)+{{1}\over{\rho^2}}\left({{1}\over{\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}\right)</MATH>|7.40}} Powyższe równanie na &Delta; {{LinkWzór|7.40}} można inaczej przedstawić przy pomocy operatora &Lambda;, gdzie ten ostatni operator zależy tylko od współrzędnych kątowych w kulistym układzie współrzędnym: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta={{1}\over{\rho}}{{\partial^2}\over{\partial \rho^2}}(\rho)+{{1}\over{\rho^2}}\Lambda</MATH>|7.41}} * gdzie definicja operatora &Lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>\Lambda={{1}\over{\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}</MATH>|7.42}} == Rotacja we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych i kulistych == === Rotacja we współrzędnych kartezjańskiej === Rotacje operatora nabla przy działaniu na jej funkcję wektorową {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} piszemy na podstawie definicji iloczynu wektorowego zapisanego w punkcie {{LinkWzór|1.16|Działania_na_wektorach}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{f}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ f_x&f_y&f_z \end{vmatrix}= \vec{i}\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\vec{j}\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)+\vec{k}\left({{\partial f_y}\over{\partial x}}-{{\partial f_x}\over{\partial y}}\right)</MATH>|7.43}} === Rotacja we współrzędnych cylindrycznych === Aby wyznaczyć we współrzędnych cylindrycznych wektor {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, w którym to w układzie współrzędnych obowiązują wektory ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{f}=\sum_i f_i\vec{e}_i\;</MATH>|7.44}} Bardzo ważnym dla nas spotkaniem jest policzenie współrzędnych kartezjańskich w zależności od współrzędnych cylindrycznego układu współrzędnych, zatem korzystając ze wzorów na wektory bazowe cylindrycznym układzie współrzędnym, tzn. wektory {{LinkWzór|7.12}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.18}}, wtedy możemy wyznaczyć trzy równania tworzące układ równań: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} f_x=f_{\rho}\cos\theta-f_{\theta}\sin\theta\\ f_y=f_{\rho}\sin\theta+f_{\theta}\cos\theta\\ f_z=f_z \end{cases}\;</MATH>|7.45}} Operatory jednostkowe w cylindrycznym układzie współrzędnych w zależności od wersorów w kartezjańskim układzie współrzędnych są: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \vec{i}\cos\theta+\vec{j}\sin\theta=\vec{e}_{\rho}\\ -\vec{j}\sin\theta+\vec{j}\cos\theta=\vec{e}_{\theta}\\ \vec{k}=\vec{e}_z \end{cases}\;</MATH>|7.46}} Wyznaczmy wektory jednostkowe w kartezjańskiego układzie współrzędnych, wiedząc, że wyznacznik główny układu równań {{linkWzór|7.46}} jest równy jeden, wtedy możemy wyznaczyć te wektory, bo wspomniany układ jest układem Cramera: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \vec{i}=\vec{e}_{\rho}\cos\theta-\sin\theta\vec{e}_{\theta}\\ \vec{j}=\cos\theta\vec{e}_{\theta}+\sin\theta\vec{e}_{\rho}\end{cases}\;</MATH>|7.47}} Mając otrzymane wzory napisane w punkcie {{LinkWzór|7.47}}, które są przepisem na wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów ortogonalnej bazy w układzie cylindrycznym, a także korzystając z trzech tożsamości {{LinkWzór|7.45}}, wtedy możemy napisać rotację wektora {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} używając jego formalnej definicji {{LinkWzór|7.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{f}=\left(\vec{e}_{\rho}\cos\theta-\sin\theta\vec{e}_{\theta}\right)\left[\left(\sin\theta{{\partial}\over{\partial\rho}}+{{\cos\theta}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)f_z-\left({{\partial }\over{\partial z}}\right)\left(f_{\rho}\sin\theta+f_{\theta}\cos\theta\right)\right]+ \left(\cos\theta\vec{e}_{\theta}+\sin\theta\vec{e}_{\rho}\right)\bigg[{{\partial}\over{\partial z}}\bigg(f_{\rho}\cos\theta+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-f_{\theta}\sin\theta\bigg)-\left(\cos\theta{{\partial}\over{\partial\rho}}-{{\sin\theta}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)f_z\bigg]+\vec{e}_z\Bigg[\left(\cos\theta{{\partial}\over{\partial\rho}}-{{\sin\theta}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\left(f_{\rho}\sin\theta+\cos\theta f_{\theta}\right)-\left(\sin\theta {{\partial}\over{\partial\rho}}+{{\cos\theta}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\left(f_{\rho}\cos\theta-f_{\theta}\sin\theta\right)\Bigg]= \vec{e}_{\rho}\Bigg[\cos\theta\sin\theta{{\partial f_z}\over{\partial\rho}}+{{\cos^2\theta}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial\theta}}-\sin\theta\cos\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}-\cos^2\theta {{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}+\sin\theta\cos\theta {{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}-\sin^2\theta {{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sin\theta\cos\theta{{\partial f_z}\over{\partial\rho}}+{{\sin^2\theta}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial\theta}}\Bigg]+ \vec{e}_{\theta}\Bigg[ -\sin^2\theta{{\partial f_z}\over{\partial\rho}}-{{\sin\theta\cos\theta}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial\theta}}+\sin^2\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}+\sin\theta\cos\theta{{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}} +\cos^2\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\cos\theta\sin\theta{{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}-\cos^2\theta{{\partial f_z}\over{\partial\rho}}+{{\cos\theta\sin\theta}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial\theta}}\Bigg]+ \vec{e}_z\Bigg[\cos\theta\sin\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\rho}}+\cos^2\theta{{\partial f_{\theta}}\over{\partial \rho}}-{{\sin^2\theta}\over{\rho}}{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\theta}}-{{\cos\theta\sin\theta}\over{\rho}}f_{r}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-{{\sin\theta\cos\theta}\over{\rho}}{{\partial f_{\theta}}\over{\partial\theta}}+{{\sin^2\theta}\over{\rho}}f_{\theta}-\sin\theta\cos\theta{{\partial f_{\rho}}\over{\partial \rho}}+\sin^2\theta{{\partial f_{\theta}}\over{\partial\rho}}-{{\cos^2\theta}\over{\rho}}{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\theta}}+{{\cos\theta\sin\theta}\over{\rho}}f_{\rho}+{{\cos\theta\sin\theta}\over{\rho}}{{\partial f_{\theta}}\over{\partial \theta}}+{{\cos^2\theta}\over{\rho}}f_{\theta} \Bigg]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \vec{e}_{\rho}\left[{{1}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial}\theta}-{{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}\right] +\vec{e}_{\theta}\left[{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial \rho}}\right] +\vec{e}_z\left[{{\partial f_{\theta}}\over{\partial\rho}}-{{1}\over{\rho}}{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\theta}}+{{1}\over{\rho}}f_{\theta}\right] </MATH> |7.48}} Rotacja wektora {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, która jest zdefiniowana przy pomocy argumentów cylindrycznego układu współrzędnych jest napisana w troszeczkę uproszczonej postaci, ale równoważnej do rotacji obliczonego w punkcie {{LinkWzór|7.48}}, to w końcu dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{f}=\nabla\times\vec{v}= \vec{e}_{\rho}\left[{{1}\over{\rho}}{{\partial f_z}\over{\partial}\theta}-{{\partial f_{\theta}}\over{\partial z}}\right] +\vec{e}_{\theta}\left[{{\partial f_{\rho}}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial \rho}}\right] +\vec{e}_z{{1}\over{\rho}}\left[{{\partial(\rho f_{\theta})}\over{\partial\rho}}-{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\theta}}\right]\;</MATH>|7.49|Obramuj}} === Rotacja we współrzędnych kulistej === Aby wyznaczyć całkę we współrzędnych cylindrycznych, to wektor {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, w którym to układzie współrzędnych obowiązują wektory ortogonalizowane, piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{f}=\sum_i f_i\vec{e}_i\;</MATH>|7.50}} Bardzo ważnym dla spotkaniem jest policzenie współrzędnych kartezjańskich w zależności od współrzędnych kulistego układu współrzędnych, zatem korzystając ze wzorów na wektory bazowe w naszym układzie współrzędnym, tzn. wektory {{LinkWzór|7.23}}, {{LinkWzór|7.26}} i {{LinkWzór|7.29}}, zatem możemy wyznaczyć trzy równania tworzące układ równań: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} f_x=f_{\rho}\cos\theta\sin\phi -f_{\theta}\sin\theta +f_{\phi}\cos\theta\cos\phi\\ f_y=f_{\rho}\sin\theta\sin\phi +f_{\theta}\cos\theta +f_{\phi}\sin\theta\cos\phi\\ f_z=f_{\rho}\cos\phi -f_{\phi}\sin\phi\\ \end{cases}\;</MATH>|7.51}} Wyznaczmy operatory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów bazy jednostkowej cylindrycznego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \vec{e}_r=\vec{i}\cos\theta\sin\phi+\vec{j}\sin\theta\sin\phi+\vec{k}\cos\phi\\ \vec{e}_{\theta}=-\vec{i}\sin\theta+\vec{j}\cos\theta\\ \vec{e}_{\phi}=\vec{i}\cos\theta\cos\phi+\vec{j}\sin\theta\cos\phi-\vec{k}\sin\phi \end{cases} </MATH>|7.52}} Wyznaczmy wyznacznik główny układu równań określonych w punkcie {{LinkWzór|7.52}}, którego definicja jest dla powyższego układu równań: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\phi\\ -\sin\theta&\cos\theta&0\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi&-\sin\phi \end{vmatrix}=\cos\phi\begin{vmatrix} -\sin\theta&\cos\theta\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi \end{vmatrix}-\sin\phi\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{vmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> \cos\phi\left(-\sin^2\theta\cos\phi-\cos^2\theta\cos\phi\right)-\sin\phi\left(\cos^2\theta\sin\phi+\sin^2\theta\sin\phi\right)=-\cos^2\phi-\sin^2\phi=-1\;</MATH>|7.53}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.53}} wyznacznik główny układu równań {{LinkWzór|7.52}} jest równy minus jeden, czyli jego wartość bezwzględna jest równa jeden, co nam ułatwi później bardzo obliczenia. Następnym krokiem dla naszego rozważanego układu równań {{LinkWzór|7.52}} jest wyznaczenie wyznacznika: {{CentrujWzór|<MATH> W_x=\begin{vmatrix} \vec{e}_r&\sin\theta\sin\phi&\cos\phi\\ \vec{e}_{\theta}&\cos\theta&0\\ \vec{e}_{\phi}&\sin\theta\cos\phi&-\sin\phi \end{vmatrix}= \cos\phi\begin{vmatrix} \vec{e}_{\theta}&\cos\theta\\ \vec{e}_{\phi}&\sin\theta\cos\phi \end{vmatrix}-\sin\phi\begin{vmatrix} \vec{e}_r&\sin\theta\sin\phi\\ \vec{e}_{\theta}&\cos\theta \end{vmatrix}= </MATH>{{Br}}<MATH>= \cos\phi\left(\vec{e}_{\theta}\sin\theta\cos\phi-\vec{e}_{\phi}\cos\theta\right)-\sin\phi\left(\vec{e}_r\cos\theta-\vec{e}_{\theta}\sin\theta\sin\phi\right)= -\vec{e}_r\cos\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\left(\sin\theta\cos^2\phi+\sin\theta\sin^2\phi\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\vec{e}_{\phi}\cos\theta\cos\phi= -\vec{e}_r\cos\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\sin\theta-\vec{e}_{\phi}\cos\theta\cos\phi</MATH>|7.54}} Następnym krokiem jest wyznaczenie wyznacznika W_y dla układu równań {{linkWzór|7.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> W_y=\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\vec{e}_r&\cos\phi\\ -\sin\theta&\vec{e}_{\theta}&0\\ \cos\theta\cos\phi&\vec{e}_{\phi}&-\sin\phi\\ \end{vmatrix} =\cos\phi\begin{vmatrix} -\sin\theta&\vec{e}_{\theta}\\ \cos\theta\cos\phi&\vec{e}_{\phi} \end{vmatrix}-\sin\phi\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\vec{e}_r\\ -\sin\theta&\vec{e}_{\theta} \end{vmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\cos\phi\left(-\sin\theta\vec{e}_{\phi}-\cos\theta\cos\phi\vec{e}_{\theta}\right)-\sin\phi\left(\cos\theta\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\sin\theta\vec{e}_r\right) =-\vec{e}_r\sin\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\left(-\cos\theta\cos^2\phi-\cos\theta\sin^2\phi\right)+</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{e}_{\phi}\left(-\sin\theta\cos\phi\right)= -\vec{e}_r\sin\theta\sin\phi-\vec{e}_{\theta}\cos\theta-\vec{e}_{\phi}\sin\theta\cos\phi</MATH>|7.55}} Następnym krokiem jest wyznaczenie wyznacznika W_z dla układu równań {{linkWzór|7.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> W_z=\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi&\vec{e}_r\\ -\sin\theta&\cos\theta&\vec{e}_{\theta}\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi&\vec{e}_{\phi}\end{vmatrix} =\vec{e}_r\begin{vmatrix} -\sin\theta&\cos\theta\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi\\ \end{vmatrix}- \vec{e}_{\theta}\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi\\ \cos\theta\cos\phi&\sin\theta\cos\phi\end{vmatrix} +\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{e}_{\phi}\begin{vmatrix} \cos\theta\sin\phi&\sin\theta\sin\phi\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{vmatrix}= \vec{e}_r\left(-\sin^2\theta\cos\phi-\cos^2\theta\cos\phi\right)-\vec{e}_{\theta}\left(\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi-\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{e}_{\phi}\left(\cos^2\theta\sin\phi+\sin^2\theta\sin\phi\right)=-\vec{e}_r\cos\phi+\vec{e}_{\phi}\sin\phi\;</MATH> |7.56}} Wyznaczmy czemu są równe wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów w kulistym układzie odniesienia wykorzystując fakt, że macierz główna układu W, czyli układu {{LinkWzór|7.53}} jest równa minus jeden, i wyznaczniki W_i, które są już wyznaczone w punktach {{LinkWzór|7.54}}, {{LinkWzór|7.55}} i {{LinkWzór|7.56}}, zatem te wersory obowiązujące w układzie kartezjańskim w zależność od wersorów w układzie kulistymi są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} \vec{i}=\vec{e}_r\cos\theta\sin\phi-\vec{e}_{\theta}\sin\theta+\vec{e}_{\phi}\cos\theta\cos\phi\\ \vec{j}=\vec{e}_r\sin\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\cos\theta+\vec{e}_{\phi}\sin\theta\cos\phi\\ \vec{k}=\vec{e}_r\cos\phi-\vec{e}_{\phi}\sin\phi \end{cases}\;</MATH>|7.57}} Otrzymane wzory napisane w punkcie {{LinkWzór|7.57}}, które są przepisem na wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów ortogonalnej bazy w układzie kulistym, a także korzystając z trzech tożsamości {{LinkWzór|7.51}}, zatem możemy napisać rotację wektora {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}} używając jego formalnej definicji w układzie współrzędnych kartezjańskich {{LinkWzór|7.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{f}=\nabla\times\vec{f}= \left(\vec{e}_r\cos\theta\sin\phi-\vec{e}_{\theta}\sin\theta+\vec{e}_{\phi}\cos\theta\cos\phi\right)\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\left(\vec{e}_r\sin\theta\sin\phi+\vec{e}_{\theta}\cos\theta+\vec{e}_{\phi}\sin\theta\cos\phi\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)+\left(\vec{e}_r\cos\phi-\vec{e}_{\phi}\sin\phi\right)\left({{\partial f_y}\over{\partial x}}-{{\partial f_x}\over{\partial y}}\right)= \vec{e}_r\Bigg[\cos\theta\sin\phi\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\sin\theta\sin\phi\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\cos\phi\left({{\partial f_y}\over{\partial x}}-{{\partial f_x}\over{\partial y}}\right)\Bigg]+\vec{e}_{\theta}\left[-\sin\theta\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\cos\theta\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)\right]+\vec{e}_{\phi}\Bigg[\cos\theta\cos\phi\left({{\partial f_z}\over{\partial y}}-{{\partial f_y}\over{\partial z}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\sin\theta\cos\phi\left({{\partial f_x}\over{\partial z}}-{{\partial f_z}\over{\partial x}}\right)-\sin\phi\left({{\partial f_y}\over{\partial x}}-{{\partial f_x}\over{\partial y}}\right)\Bigg]</MATH>|7.58}} Podamy teraz końcowy wzór na rotację wektora {{Formuła|<MATH>\vec{f}\;</MATH>}}, wyprowadzonych przy pomocy wzorów {{LinkWzór|7.30}}, a także {{LinkWzór|7.51}} i {{LinkWzór|7.57}}, to dochodzimy do końcowego wzoru wynikający z {{LinkWzór|7.58}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{f}={{1}\over{\rho\sin\phi}}\left[{{\partial(\sin\phi f_{\theta})}\over{\partial\phi}}-{{\partial f_{\phi}}\over{\partial\theta}}\right]\vec{e}_r+{{1}\over{\rho}}\left[{{\partial(\rho f_{\phi})}\over{\partial r}}-{{\partial f_{\rho}}\over{\partial\phi}}\right]\vec{e}_{\theta}+{{1}\over{\rho}}\left[{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial f_r}\over{\partial\theta}}-{{\partial(\rho f_{\theta})}\over{\partial\rho}}\right]\vec{e}_{\Phi}</MATH>|7.58a|Obramuj}} == Pochodne iloczynów == === Tożsamość pierwsza === Tutaj będziemy wyznaczać niektóre tożsamości, korzystając z właności operatora &nabla;, zatem przejdźmy do naszych dowodów: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\left(\vec{A}\vec{B}\right)=\vec{A}\times\left(\nabla\times\vec{B}\right)+\vec{B}\times(\nabla\times\vec{A})+(\vec{A}\nabla)\vec{B}+(\vec{B}\nabla)\vec{A}\;</MATH>|7.59|Obramuj}} Oto dowód pierwszej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}\times\left(\nabla\times\vec{B}\right)+\vec{B}\times(\nabla\times\vec{A})+(\vec{A}\nabla)\vec{B}+(\vec{B}\nabla)\vec{A}= \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}A_j\nabla_lB_m+\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}A_j\nabla_lB_m+(A_s\nabla_s)B_i+(B_s\nabla_s)A_{i}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_j\nabla_lB_m+\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)A_j\nabla_lB_m+(A_s\nabla_s)B_i+(B_s\nabla_s)A_{i}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= =A_m\nabla_iB_m-A_j\nabla_j B_i+B_m\nabla_iA_m-B_j\nabla_j A_i+(A_s\nabla_s)B_i+(B_s\nabla_s)A_{i}=A_m\nabla_iB_m+B_m\nabla_iA_m=\nabla_i(A_mB_m)=\nabla(\vec{A}\vec{B})\;</MATH>}} === Tożsamość druga === Tożsamość druga przedstawiająca się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla(f\vec{A})=f(\nabla\vec{A})+\vec{A}(\nabla f)\;</MATH>|7.60|Obramuj}} Oto dowód drugiej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla(f\vec{A})=\nabla i(f A_i)=f\nabla_i A_i+A_i\nabla f=f(\nabla\vec{A})+\vec{A}(\nabla f)\;</MATH>}} === Tożsamość trzecia === Tożsamość trzecia przedstawiająca się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})\;</MATH>|7.61|Obramuj}} Oto dowód trzeciej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla(\vec{A}\times\vec{B})=\nabla_i\epsilon_{ijk}A_jB_k=A_j\epsilon_{ijk}\nabla_iB_k+B_k\epsilon_{ijk}\nabla_iA_j=-A_j\epsilon_{jik}\nabla_iB_k+B_k\epsilon_{kij}\nabla_iA_j=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})\;</MATH>}} === Tożsamości czwarta === Tożsamość czwarta przedstawiająca się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(f\vec{A})=f(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\times\left(\nabla f\right)\;</MATH>|7.62|Obramuj}} Oto dowód czwartej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(f\vec{A})=\epsilon_{ijk}\nabla_jfA_k=\epsilon_{ijk}(f\nabla_jA_k+A_k\nabla_jf)=\epsilon_{ijk}\nabla_jA_k-\epsilon_{ikj}A_k\nabla_jf)=f(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\times\left(\nabla f\right)\;</MATH>}} === Tożsamość piąta === Tożsamość piąta przedstawiająca się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)=(\vec{B}\nabla)\vec{A}-(\vec{A}\nabla)\vec{B}+\vec{A}(\nabla\vec{B})-\vec{B}(\nabla\vec{A})\;</MATH>|7.63|Obramuj}} Oto dowód piątej tożsamości przedstawiająca się: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_j A_lB_m=\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)\nabla_jA_lB_m= \nabla_m A_iB_m-\nabla_mA_mB_i=A_i\nabla_mB_m+B_m\nabla_mA_i-A_m\nabla_mB_i-B_i\nabla_m A_m=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\vec{A}(\nabla\vec{B})+(\vec{B}\nabla)\vec{A}-(\vec{A}\nabla)\vec{B}-\vec{B}(\nabla\vec{A})\;</MATH>}} == Twierdzenia całkowe == Tutaj podamy pewne twierdzenia całkowe z dowodami, tzn. twierdzenie gradientów, prawo Gaussa i Stokesa, którego to dowody przestawimy poniżej. === Twierdzenie dla gradientów === Twierdzenie dla gradientów przedstawia całkowanie funkcji &nabla;f od punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} do punktu {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}} i otrzymujemy podobny wzór jak przy całkowaniu na lini prostej, zatem to twierdzenie przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{\vec{a}}^{\vec{b}}\left(\nabla f\right)d\vec{l}=f(\vec{b})-f(\vec{a})\;</MATH>|7.64}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|7.64}} należy policzyć wyrażenie przy założeniu, że {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}} jest wektorem jednostkowym skierowanych w kierunku różniczkowania w przestrzeni trójwymiarowej: {{CentrujWzór|<MATH>{{df(\vec{x})}\over{d l}}={{\partial f(\vec{x})}\over{\partial x_i}}{{dx_i}\over{dl}}=\nabla f(\vec{x})\vec{n}\Rightarrow d{f}(x)=\nabla{f}(\vec{x})\vec{n}dl\Rightarrow df(\vec{x})=\nabla f(\vec{x})d\vec{l}\;</MATH>|7.65}} Na podstawie końcowego wniosku wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.65}}, które całkujemy obustronnie całką oznaczoną od punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} do punktu {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}}, zatem stąd wniosek, że twierdzenie dla gradientów {{LinkWzór|7.64}} jest spełnione. === Twierdzenie Gaussa (tzn. twierdzenie dywergencji) === Załóżmy, że mamy pewną objętość zamkniętą ograniczoną powierzchnią zamkniętą, gdzie {{Formuła|<MATH>d\vec{S}\;</MATH>}} jest infinitezymalnym elementem tejże powierzchni, zatem to nasze wspomniane wyżej twierdzenie przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\int(\nabla\cdot\vec{A})dV=\oint\vec{A}d\vec{S}\;</MATH>|7.66}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|7.66}} musimy podać wzór na dywergencją wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}, którą nazywamy w analizie matematycznej wielkość określona: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{A}=\lim_{V\rightarrow 0}{{\oint\vec{A}d\vec{S}}\over{V}}\;</MATH>|7.67}} Wyobraźmy sobie teraz pewien sześcian o objętości dążącej do zera, dla którego wyznaczymy dywergencję wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}, zatem niech w środku tego sześcianu istnieje pewien wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{A}dxdydz=\left({A}_z+{{\partial{A}_z}\over{\partial z}}{{1}\over{2}}dz\right)dxdy+\left(-{A}_y+{{\partial{A}_y}\over{\partial y}}{{1}\over{2}}dy\right)dxdz+\left({A}_y+{{\partial{A}_y}\over{\partial y}}{{1}\over{2}}dy\right)dxdz+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left(-{A}_z+{{\partial{A}_z}\over{\partial z}}{{1}\over{2}}dz\right)dxdy+\left({A}_x+{{\partial{A}_x}\over{\partial x}}{{1}\over{2}}dx\right)dydz+\left(-{A}_x+{{\partial{A}_x}\over{\partial x}}{{1}\over{2}}dx\right)dydz=\left({{\partial {A}_x}\over{\partial x}}+{{\partial{A}_y}\over{\partial y}}+{{\partial{A}_z}\over{\partial z}}\right)dxdydz=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\nabla\vec A\Rightarrow\nabla\vec{A}=\operatorname{div}\vec{A}\;</MATH>|7.68}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|7.67}} dywergencja wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} jest to działanie operatora &nabla; na wspomnianą wcześniej funkcję wektorową, zatem na podstawie definicji dywergencji pewnej funkcji wektorowej {{linkWzór|7.67}} prawo Gaussa {{LinkWzór|7.66}} jest twierdzeniem udowodnionym. === Twierdzenie Stokesa (tj. dla rotacji) === Załózmy, że mamy powierzchnię ograniczoną pewnym zamkniętym konturem, wtedy prawo Stokesa przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int\left(\nabla\times\vec{A}\right)\cdot d\vec {S}=\oint\vec{A}d\vec{l}\;</MATH>|7.69}} Rzut na wektor jednostkowy rotacji pewnej funkcji wektorowej, tzn. ten rzut jest dodatni gdy pokrywa się ten rzut z kierunkiem wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}}, w którym, to definicji wprowadzimy powierzchnię S nieskończenie małą, którego ogranicza pewny kontur obiegany odwrotnie względem ruchu wskazówek zegara, którego zwrot naszego wektora jednostkowego jest do góry tej powierzchni (nad zegarem), nazywamy wielkością określoną: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\operatorname{rot}\vec{A}\right)_n=\lim_{S\rightarrow 0}{{\oint \vec{A}d\vec{l}}\over{S}}\;</MATH>|7.70}} We wzorze {{LinkWzór|7.70}} rotacją wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}}, nazywamy rotacją wzdłuż wektora normalnego {{Formuła|<MATH>\vec{n}\;</MATH>}}, którego wartość jest określona wspomnianym wyżej wzorem, jeśli będziemy określać współrzędną iksową rotacji, to należy obrać prostokąt prostopadły do osi iksowej, ale ten wektor normalny powinien mieć ten sam zwrot co ta nasza oś, wtedy iloczyn współrzędnej iksowej rotacji i współrzędnej malutkiego elementy powierzchni wektora prostopadłego do tego wycinka powierzchni względem osi iksowej określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\operatorname{rot}\vec{A}\right)_xdydz=\left(A_z+{{\partial A_z}\over{\partial y}}{{1}\over{2}}dy\right)dz-\left(A_z-{{\partial A_z}\over{\partial y}}{{1}\over{2}}dy\right)dz-\left(A_y+{{\partial A_y}\over{\partial z}}{{1}\over{2}}dz\right)dy+\left(A_y-{{\partial A_y}\over{\partial z}}{{1}\over{2}}dz\right)dy=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left({{\partial A_z}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}}\right)dzdy\Rightarrow\left(\operatorname{rot}\vec{A}\right)_x={{\partial A_z}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.71}} Aby wyznaczyć współrzędną igrekową i zetową rotacji wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}\;</MATH>}} możemy policzyć zmieniając w sposób cykliczny zmienne z zestawu zmiennych x,y,z w powyższych obliczeniach, to rotacja wspomnianego wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{A}=\left({{\partial A_z}\over{\partial y}}-{{\partial A_y}\over{\partial z}}\right)\vec{i}+\left({{\partial A_x}\over{\partial z}}-{{\partial A_z}\over{\partial x}}\right)\vec{j}+\left({{\partial A_y}\over{\partial x}}-{{\partial A_x}\over{\partial y}}\right)\vec{k}=\nabla\times\vec{A}\;</MATH>|7.72}} Mając już zdefiniowaną rotację naszego wektora, która jest równa iloczynowi wektorowemu operatora &nabla; i naszego wektora. Znając wzór {{LinkWzór|7.70}} definicją rotacji możemy zapisać dla bardzo małego prostokącika w przybliżeniu: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{A}\vec{S}\simeq\oint_S\vec{A}d\vec{l}\;</MATH>|7.73}} Całą powierzchnię ograniczoną konturem zamkniętym dzielimy na malutkie prostokąciki, by te prostokąciki były równoległe wobec siebie na tej zamkniętej powierzchni, zatem cyrkulacja dla krzywej ograniczającej wielką powierzchnię jest równa sumie cyrkulacji po małych powierzchniach wcześniej określonych, można tak powiedzieć, bo cyrkulacja po małym wycinku danej powierzchni redukuje się częściowo z całką, które różnią się znakiem na tym samym wspólnym boku, czyli należącego do dwóch malutkich powierzchni. Na podstawie powyższych rozważań piszemy wzór {{linkWzór|7.73}} dla S bardzo małego, którego to biorąc całkę na obu stronach naszej przybliżonej tożsamości po małych prostokącikach, co stąd wynika wzór {{LinkWzór|7.69}}. Co kończy dowód. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gvrpqe1klilhprbjov3f43q6rqilwiz 0 14513 558592 513442 2026-10-04T18:31:23Z Persino 2851 558592 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Przestrzeń nieeuklidesowa''' - przestrzeń, która nie jest przestrzenią euklidesową, tzn. nie jest spełniony piąty postulat geometrii euklidesowej o prostych równoległych. == Konwencja Einsteina == W standardowej konwencji sumacyjnej, dla przypadku tensorowego przy sumowaniu iloczynów tensora kontrawariantnego T{{Sup|n}} i kowariantnego S{{Sub|n}}, których wskaźnikiem niemym jest n, tę sumę możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>P=\sum_pT^pS_p\;</MATH>|2.1}} A jeśli użyjemy konwencji sumacyjnej Einsteina, to przykład {{LinkWzór|2.1}} zapisujemy w prostszej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P=T^pS_p\;</MATH>|2.2}} Widzimy, że obie konwencje oznaczają to samo, ale wygodniejsza jest konwencja Einsteina, bo zapis wyrażenia P jest o wiele prostszy i zawsze będziemy stosować konwencję Einsteina (chyba że zostanie napisane inaczej). == Tensor kowariantny == Tensorem kowariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych, których liczba wynosi ''m'', na nowe o takiej samej liczbie zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH>\widehat{B}_{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,..,\widehat{q}_m)= \sum_{k_i}\left[\prod^{n}_{i=1}{{\partial q^{k_i}}\over{\partial \widehat{q}^{p_i}}}\right]B_{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.3}} Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach dolnych ze współrzędnych starych na nowe, dla dwóch zmiennych zapisanych w konwencji Einsteina. {{CentrujWzór|<MATH> \widehat{B}_{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2)={{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}{{\partial q^{k_2}}\over{\partial\widehat{q}^{p_2}}}B_{k_1k_2}(q_1,q_2)\;</math>|2.4}} A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach dolnych dla m zmiennych ze starych współrzędnych na nowe zapisaną w konwencji Einsteina przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> \widehat{B}_{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_1,...,\widehat{q}_m)={{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}{{\partial q^{k_2}}\over{\partial\widehat{q}^{p_2}}}B_{k_1k_2}(q_1,q_1,..,q_m)\;</math>|2.5}} == Tensor kontrawariantny == Tensorem kontrawariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych na nowe według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)=\sum_{k_i}\left[\prod^n_{i=1}{{\partial\widehat{q}^{p_i}}\over{\partial q^{k_i}}}\right]A^{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.6}} Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach górnych dla dwóch zmiennych zapisanej ze starych na nowe w konwencji Einsteina: {{CentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2)={{\partial\widehat{q}^{p_1}}\over{\partial q^{k_1}}}{{\partial\widehat{q}^{p_2}}\over{\partial q^{k_2}}}\widehat{A}^{k_1k_2}(q_1,q_2)\;</MATH>|2.7}} A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach górnych dla m zmiennych zapisanych q starych współrzędnych na nowe w konwencji Einsteina piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)={{\partial\widehat{q}^{p_1}}\over{\partial q^{k_1}}}{{\partial\widehat{q}^{p_2}}\over{\partial q^{k_2}}}A^{k_1k_2}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.8}} == Definicja prostego tensora metrycznego == Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, przy zastosowaniu twierdzenia o różniczce zupełnej zależnej od n zmiennych, używając przy tym definicji delty Kroneckera, możemy przedstawić infinitezymalną długość według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>ds=\sqrt{ dx^i dx^{i}}=\sqrt{\delta_{ij}dx^idx^j}=\sqrt{\delta_{ij} {{\partial x^i}\over{\partial p^k}} {{\partial x^j}\over{\partial p^r}}dp^kdp^r}=\sqrt{g_{kr}dp^kdp^r}\;</MATH>|2.9}} W obliczeniach {{LinkWzór|2.9}} wprowadziliśmy tensor g{{Sub|kr}}, mając zmienne x{{Sup|i}} przedstawione w zależności od współrzędnych w układzie krzywoliniowym: {{CentrujWzór|<MATH>g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{ \partial p^r}}\;</MATH>|2.10}} Mając powyższy wzór {{LinkWzór|2.10}} tensor metryczny w układzie kartezjańskim przedstawiany jest jako delta Kroneckera, który jest tensorem symetrycznym z definicji. Teraz udowodnimy, że tensor metryczny jest tensorem symetrycznym, korzystając z definicji tensora Kroneckera, który jest symetryczny, wtedy możemy dojść do wniosku, że: {{CentrujWzór|<MATH>g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}} ={{1}\over{2}}\left(\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ \delta_{ji}{{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right) ={{1}\over{2}}\delta_{ij}\left({{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ {{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right) \;</MATH>|2.11}} W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami ''k'' na ''r'' i odwrotnie, mamy g{{Sub|kr}}=g{{Sub|rk}}, czyli tensor metryczny jest symetryczny, co oznacza, że dla macierzy ''g'' tensora metrycznego mamy: g=g{{Sup|T}}, bo {{Formuła|<MATH>g=[g_{ij}]_{nxn}\;</MATH>}}. == Definicja odwrotnego tensora metrycznego == Tensor odwrotny do tensora metrycznego g{{Sub|kr}} definiujemy w analogii do tensora metrycznego prostego, przestawionego w punkcie {{LinkWzór|2.10}}, wedle wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}</MATH>|2.12}} Oczywiste jest, że tensor metryczny odwrotny {{LinkWzór|2.12}} jest tensorem symetrycznym (korzystać tutaj będziemy z symetryczności delty Kroneckera), czego dowód jest przedstawiony poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}={{1}\over{2}}\left(\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+\delta^{ji}{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)= {{1}\over{2}}\delta^{ij}\left({{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)</MATH>|2.13}} W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami ''k'' na ''r'' i odwrotnie, mamy g{{Sup|kr}}=g{{Sup|rk}}, zatem możemy dojść do wniosku, że odwrotny tensor metryczny przestawionej w punkcie {{LinkWzór|2.12}} jest tensorem symetrycznym ze względu na zmianę wskaźników ''k'' i ''r'' między sobą. == Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach == Aby zamienić zwykły tensor lub tensor metryczny z jego wersji kowariantnej do kontrawariantnej lub odwrotnie, postępujemy wedle schematów: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A^p=A_sg^{sp}\;</MATH>|2.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A_p=A^sg_{sp}\;</MATH>|2.15}} }} Jeśli zwykły tensor ma kilka wskaźników, składających się ze wskaźników dolnych lub górnych albo składających się ze wskaźników jednocześnie górnych i dolnych, to możemy je przenosić z góry na dół lub odwrotnie, wykorzystując podobne przedstawienia do {{LinkWzór|2.14}} lub {{LinkWzór|2.15}}. == Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego == Sprawdźmy, czy tensor metryczny kowariantno-kotrawarianty jest tensorem jednostkowym, ale korzystając z definicji tensora metrycznego prostego {{LinkWzór|2.10}} i odwrotnego {{LinkWzór|2.12}} oraz podobnych przekształceń do {{LinkWzór|2.14}} i {{LinkWzór|2.15}}, kolejno postępując: {{CentrujWzór|<MATH>{g^m}_k={g_k}^{m}=g_{kr}g^{rm}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{\partial p^r}}\delta^{pq}{{\partial p^r}\over{\partial x^p}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={\delta^j}_p\delta_{ij}\delta^{pq}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^i}}= {{\partial p^m}\over{\partial p^k}}={\delta^m}_{k}={\delta_k}^m</MATH>|2.16}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.16}} dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{g_k}^{m}={\delta_k}^m</MATH>|2.17}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{g^m}_k={\delta^m}_k</MATH>|2.18}}}} Macierz g{{Sup|m}}{{Sub|k}} jest macierzą diagonalną i jednostkową, a także tensor jako macierz g{{Sub|ij}} jest macierzą odwrotną do macierzy (tensora) g{{Sup|ij}} wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|2.16}}. == Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny == W układzie krzywoliniowym wektor wodzący można przedstawić w układzie Euklidesa, w którym zanurzony jest układ krzywoliniowy, a zapisać go możemy przy pomocy wzoru zależnego od współrzędnych kartezjańskich i współrzędnych krzywoliniowych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{k}_i x^i(q^j)\;</MATH>|2.19}} Zdefiniujmy wektor, który jest zapisywany jako pochodna cząstkowa wektora wodzącego {{LinkWzór|2.19}} względem współrzędnej krzywoliniowej q{{Sup|m}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_m={{\partial \vec{r}}\over{\partial q^m}}={{\partial \left(\vec{k}_i x^i\right)}\over{\partial q^m}}=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}\;</MATH>|2.20}} Wyznaczmy iloczyn wektorów zdefiniowanych w {{LinkWzór|2.20}} o wskaźnikach ''m'' i ''n'', wtedy możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik jest tensorem metrycznym prostym {{LinkWzór|2.10}}, co wynika z definicji wektora kowariantnego {{LinkWzór|2.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_m\vec{e}_n=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}} \vec{k}_j{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=g_{mn}\;</MATH>|2.21}} Jeszcze raz przepiszmy wynik końcowy obliczeń w punkcie {{LinkWzór|2.21}}, który jest analogiczną definicją do {{LinkWzór|2.10}}. Stąd wynika, że iloczyn dwóch wektorów kowariantnych jest równy podwójnie kowariantnemu tensorowi metrycznemu: {{CentrujWzór|<MATH>g_{mn}=\vec{e}_m\vec{e}_n\;</MATH>|2.22}} Podnieśmy wskaźnik ''m'' do góry we wzorze {{LinkWzór|2.22}}, który jest wektorem {{LinkWzór|2.20}} i jednocześnie tensorem, a zatem ostatecznie możemy napisać iloczyn m-tego kontrawariantnego wektora bazy ''przez'' n-ty kowariantny wektor, który jak się można przekonać jest tensorem metrycznym o wskaźniku górnym m i dolnym n: {{CentrujWzór|<MATH>{g^{m}}_{n}=\vec{e}^m\vec{e}_n\;</MATH>|2.23}} == Definicja symboli Christoffela == Pochodną danego wektora bazy po współrzędnej krzywoliniowej (np. pochodną {{Formuła|<MATH>e_l</MATH>}} po {{Formuła|<MATH>q^l</MATH>}}) można wyrazić przez kombinacje liniowe wektorów bazy {{Formuła|<MATH>e_j</MATH>}} - współczynniki kombinacji nazywa się symbolami Christofela dla wektorów bazy {{Formuła|<MATH>e_j</MATH>}}: {{CentrujWzór|<math>\nabla_le_j \equiv \frac{\partial e_j}{\partial q^l} = {\Gamma^k}_{l j}e_k.\;</MATH>|2.24}} '''Twierdzenie:''' Dla wektorów kobazy {{Formuła|<MATH>e^j</MATH>}} zachodzą związki {{CentrujWzór|<MATH>\nabla_le^j\equiv \frac{\partial e^j}{\partial q^l} = -{\Gamma^j}_{l k}e^k\;</MATH>|2.25}} '''Dowód:''' Pomnóżmy wzór {{LinkWzór|2.24}} przez {{Formuła|<MATH>e_r</MATH>}} i wykorzystajmy zależność {{Formuła|<MATH>e_k e_r = g_{kr}</MATH>}} (por. {{LinkWzór|2.22}}): {{CentrujWzór|<MATH>\nabla_le_j e_r={\Gamma^k}_{lj}g_{kr}\;</MATH>|2.26}} Pomnóżmy {{LinkWzór|2.26}} przez tensor metryczny {{Formuła|<MATH>g^{kr}</MATH>}} i wykorzystajmy tożsamość {{LinkWzór|2.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\nabla_le_j)e_rg^{kr}={\Gamma^k}_{lj}\; </MATH>|2.27}} Pomnóżmy obustronnie {{LinkWzór|2.27}} przez {{Formuła|<MATH>e^{j}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e_rg^{kr}e^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.28}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>e_r g^{k r} = e^k</MATH>}} (por. {{LinkWzór|2.20}}), oraz {{CentrujWzór|<MATH>e^ie_k=e^i g_{sk}e^s=g_{sk}e^ie^s=g_{sk}g^{is}={g^i}_k={\delta^i}_k\;</MATH>|2.29}} To równanie {{LinkWzór|2.28}} można przekształcić do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e^ke^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow\nabla_l (e_je^ke^j)-(\nabla_l e^k) e_je^j-(\nabla_l e^j)e_je^k={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow(\nabla_le^k{g^{j}}_j)-(\nabla_l e^k) {g^j}_j-(\nabla_l e^j){g^k}_j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.30}} Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|2.18}} w {{LinkWzór|2.30}} otrzymamy {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla_l e^k){g^{j}}_j-(\nabla_le^k){g^{j}}_j-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.31}} Pierwsze dwa wyrazy w {{LinkWzór|2.31}} redukują się, tzn. mamy {{CentrujWzór|<MATH>-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow(\nabla_le^k)=-{\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.32}} - otrzymaliśmy wzór {{LinkWzór|2.25}} , cnd. == Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej == W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną wektora o współrzędnych kowariantnych. Dowolny wektor A można rozłożyć na składowe kontrawariantne A{{Sup|i}} względem wersorów e{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>A=A^ie_i\;\;</MATH>|2.33}} Policzmy różniczkę wektora A wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej z iloczynu dwóch wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>dA=dA^i e_i+A^i de_i\;\;</MATH>|2.34}} Wykorzystać tożsamość {{LinkWzór|2.24}} obliczamy różniczkę wektora e{{Sub|i}} {{CentrujWzór|<MATH>de_i={{\partial e_i}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_i dx^l={\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.35}} Wzór {{LinkWzór|2.35}} wstawiamy do {{LinkWzór|2.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^i}\over{\partial x^l}}dx^le_i+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.36}} Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze {{LinkWzór|2.36}} otrzymujemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}dx^le_k+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.37}} Obie strony {{LinkWzór|2.37}} dzielmy przez różniczkę ''du'' - po przekształceniu otrzymujemy pochodną zupełną wielkości x{{Sup|l}} względem zmiennej ''u'' pomnożonej przez wektor e{{Sub|k}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li} \right){{dx^l}\over{du}}e_k\;</MATH>|2.38}} Wyrażenie w nawiasie wzoru {{LinkWzór|2.38}} definiuje pochodną kowariantną: oprócz zwykłej pochodnej cząstkowej mamy tu składnik zawierający sumę iloczynów współrzędnych wektora A i symbolu Christoffela: {{CentrujWzór|<MATH>{A^k}_{;l}={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li}\;</MATH>|2.39|Obramuj}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.38}} nazywamy pochodna absolutną, a {{LinkWzór|2.39}} jest '''pochodną kowariantną wielkości kontrawariantnej'''. == Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej == W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną o współrzędnych kowariantnych, w tym celu napiszmy wektor A, który można rozłożyć na składowe B{{Sub|i}} względem wektorów kontrawiantnych e{{Sup|i}}, wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>B=B_je^j\;\;</MATH>|2.40}} A teraz policzmy różniczkę wielkości wektorowej B zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|2.40}} wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej iloczynu dwóch wielkości. Na samym końcu nasza różniczka ''dB'' wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>dB=dB_je^j+Bde^j\;\;</MATH>|2.41}} Możemy również, wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|2.25}} i używając jej we wzorze na różniczkę wersora e{{Sub|i}}, napisać tożsamość na różniczkę zupełną wielkości wektora kontrawariantnego o wskaźniku i-tym: {{CentrujWzór|<MATH>de^j={{\partial e^j}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e^jdx^l=-{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.42}} Tożsamości na różniczkę wektora wielkości kontrawiariantnej {{LinkWzór|2.42}} możemy użyć we wzorze na różniczkę zupełną wielkość B {{LinkWzór|2.41}}, którą można przy pomocy tensora Christoffela zapisać wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>dB={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}e^jdx^l+B_j\nabla_le^jdx^l={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}dx^le^j-B_j{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.43}} Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze {{LinkWzór|2.43}} możemy przepisać wspomniany wzór na różniczkę zupełną wielkości B jako różniczkę absolutną: {{CentrujWzór|<MATH>{{dB}\over{du}}=\left({{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k=\left( {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k\;</MATH>|2.44}} A zatem zdefiniujmy na podstawie wzoru {{LinkWzór|2.44}} pochodną tensorową, która mieści się w nawiasie w wspomnianym wyrażeniu. Zapisujemy ją jako wielkość kowariantną, w której występuje zwykła pochodna cząstkowa i wyraz będący iloczynem współrzędnej wielkości B i symbolu Christoffela: {{CentrujWzór|<MATH>B_{k;l}= {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\;</MATH>|2.45|Obramuj}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.44}} nazywamy pochodną absolutną, natomiast wzór {{LinkWzór|2.45}} nazywamy '''pochodną kowariantną wielkości kowariantnej'''. == Pochodna tensorowa iloczynu tensorów == Wyznaczymy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, najpierw podając pełną jej postać: {{CentrujWzór|<MATH>(A^iB^j)_{;k}={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;</MATH>|2.46}} Wyznaczmy lewą stronę równania {{LinkWzór|2.46}}, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej {{LinkWzór|2.39}}, po czym przejdziemy do jej prawej strony, zatem przekształcając jednocześnie możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>(A^iB^j)_{;k}={C^{ij}}_{;k}={C^{ij}}_{,k}+{\Gamma^{i}}_{ks}C^{sj}+ {\Gamma^{j}}_{ks}C^{is}={(A^iB^j)}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^sB^j+{\Gamma^j}_{ks}A^iB^s=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={A^i}_{,k}B^j+A^i{B^j}_{,k}+({\Gamma^i}_{ls}A^s)B^j+({\Gamma^j}_{ks}B^s)A^i=B^j({A^i}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^s)+A^i({B^j}_{,k}+\Gamma^j_{ks}B^s)={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;</MATH>|2.47}} ''Co kończy dowód''. Wyznaczmy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, w tym celu najpierw podamy, jak ta zależność jest napisana w pełnej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(A_iB_j)_{;k}={A_i}_{;k}B_j+A_i{B_j}_{;k}\;</MATH>|2.48}} Wyznaczmy lewą stronę równania {{LinkWzór|2.48}}, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej {{LinkWzór|2.45}}, i przejdziemy do jej prawej strony, przekształcając jednocześnie obie strony: {{CentrujWzór|<MATH>(A_iB_i)_{;k}=C_{ij;k}=C_{ij,k}-{\Gamma^s}_{ik} C_{sj}-{\Gamma^s}_{jk}C^{is}=(A_iB_i)_{,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}A_iB_s=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=A_iB_{j,k}+A_{i,k}B_j-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}B_sA_i=A_i(B_{j,k}-{\Gamma^s}_{jk}B_s)+(A_{i,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_s)B_j=A_iB_{j;k}+A_{i;k}B_j\;</MATH>|2.49}} ''Co kończy dowód.'' == Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela == Weźmy pochodną cząstkową pewnego skalaru, który nazwiemy &phi; napisaną względem wielkości &alpha; i &beta;, co wyrazimy: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,i,j}={{\partial}\over{\partial x^{i}}}{{\partial}\over{\partial x^{j}}}\phi\;</MATH>|2.50}} Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\phi_{;i;j}=\phi_{;j;i}\;</MATH>|2.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,i}=\phi_{;i}\wedge \phi_{,j}=\phi_{;j}\;</MATH>|2.52}}}} Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,i,j}-\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ij}=\phi_{,j,i}-\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.53}} Pochodna cząstkowa względem parametru x{{Sup|&alpha;}}, a potem od parametru x{{Sup|&alpha;}} jest taka sama, gdybyśmy różniczkowali od odwrotnej strony, zatem wiadomo z analizy matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,j,i}=\phi_{,i,j}\;</MATH>|2.54}} W takim bądź razie wyrażenie {{LinkWzór|2.53}}, przy pomocy tożsamości {{LinkWzór|2.54}} wynikającej z przemienności różniczkowania cząstkowego, możemy zapisać w uproszczonej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ij}=\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.55}} Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej &phi; i z przemienności różniczkowania cząstkowego funkcji &phi; {{LinkWzór|2.54}}, tensor Christoffela jest zapisywany wzorem poniżej, w którym widać że tensor ten jest przemienny ze względu na kolejność dolnych wskaźników: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^{k}}_{ij}={\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.56}} Udowodnijmy następną tożsamość ze względu na przemienność pierwszego z drugim lub pierwszego i z trzecim wskaźnika symboli Christoffela, a to prawo na wstępie zapiszmy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma_{kij}=\Gamma_{ikj}=\Gamma_{jik}\;</MATH>|2.56a}} Weźmy wzór {{LinkWzór|2.24}} i pomnóżmy go obustronnie przez wektor {{Formuła|<MATH>e_l\;</MATH>}} pamiętając, że {{Formuła|<MATH>e_ke^l=e_le^k={\delta_k}^l={\delta_l}^k\;</MATH>}}, co będziemy wyznaczać będziemy przemienność wskaźnika pierwszego z drugim w symbolach Christoffela, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e^l={\Gamma^k}_{l j}e_ke^l\Rightarrow(\nabla_le_j)e^l={\Gamma^l}_{k j}e_ke^l\Rightarrow (\nabla_le_j)e^l={\Gamma^l}_{k j}e^ke_l\Rightarrow (\nabla_le_j)e^l={{{\Gamma_l}^k}_j}e_ke^l\Rightarrow \left((\nabla_le_j)-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\right)e^l=0</MATH>|2.56b}} A ponieważ wektor {{Formuła|<MATH>e^l\;</MATH>}} może być dowolny, wtedy z {{LinkWzór|2.56b}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla_le_j-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k=0\Rightarrow\nabla_le_j={{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\;</MATH>|2.56c}} Porównajmy dwa wzory końcowy {{LinkWzór|2.56c}} z {{LinkWzór|2.24}}, wtedy otrzymujemy w przypadku dowolnego {{Formuła|<MATH>e_k\;</MATH>}} przemienność pierwszego wskaźnika z drugim: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{l j}={{{\Gamma_l}^k}_j}\;</MATH>|2.56d}} Zatem właściwość symboli Christoffela przemienności wskaźnika pierwszego z trzecim wychodząc od {{LinkWzór|2.56d}} możemy napisać w inny sposób sprowadząjąc wskaźniki górne na dolne, wtedy wykorzystując {{LinkWzór|2.56}} (sprowadzając wskaźniki na dół), potem na podstawie tego dochodzimy do wniosku sprowadzając wskaźnik k do góry, co: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{l j}={\Gamma_{jl}}^k\;</MATH>|2.56e}} Zatem przemienność pierwszego z drugim (na podstawie {{LinkWzór|2.56d}}) i pierwszego z trzecim {{LinkWzór|2.56e}} wskaźnika symboli Christoffela, czyli mamy właściwość po sprowadzeniu wskaźników górnych na dolne, czyli wtedy zachodzi {{LinkWzór|2.56a}}, co później dzięki właściwości tensora metrycznego ta właściwość też jest spełniona przy sprowadzeniu jakiś wskaźników z dołu do góry. == Uogólnienie tensora absolutnego == Weźmy tensor o dowolnych wskaźnikach dolnych i górnych, wówczas wielkość A zapisujemy jako zależność od wektorów (tensorów) e{{Sub|k{{Sub|i}}}}: {{CentrujWzór|<MATH>A=A^{k_1,k_2,..,k_r}_{r_1,r_2,...,r_m}e_{k_1}e_{k_2}\cdot ...\cdot e_{k_r} e^{r_1}e^{r_2}\cdot ... \cdot e^{r_m}\;\;</MATH>|2.60}} Stosując konwencje sumacyjną Einsteina, wtedy {{LinkWzór|2.60}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>A=A^{k_1,k_2,..,k_r}_{r_1,r_2,...,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;</MATH>|2.61}} Szczególnymi przypadkami powyższej definicji są schematy zapisane wedle wzorów {{LinkWzór|2.33}} i {{LinkWzór|2.40}}. == Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych == Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu {{LinkWzór|2.61}}, dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez: {{CentrujWzór|<MATH>dA=d\left[\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)\right]=d\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\right)\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\left(\sum^r_{q=1}A^{...,k_{q-1},k_q,k_{q+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}de_{k_q}\prod^r_{i=1,i\neq q}e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left(\sum^m_{q=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{q-1},r_q,r_{q+1},...}de^{r_q}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1,i\neq q}e^{r^i}\right)\;</MATH>|2.62}} Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów {{LinkWzór|2.24}} i {{LinkWzór|2.25}}, aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>de_q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_q dx^l={\Gamma^k}_{lq}e_kdx^l\;</MATH>|2.63}}|2={{CentrujWzór|<MATH>de^q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_le^qdx^l=-{\Gamma^q}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.64}}}} A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru {{LinkWzór|2.62}} do którego podstawiamy dwie tożsamości {{LinkWzór|2.63}} i {{LinkWzór|2.64}}, wtedy dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}dx^l\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\sum^r_{i=1} A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}dx^l\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^{q}}_{lr_i}\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}dx^l\right)\;</MATH>|2.65}} Jeśli wzór {{LinkWzór|2.65}} podzielimy przez wielkość ''du'', dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości x{{Sup|l}} względem wielkości ''u'' i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\right){{dx^l}\over{du}}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;</MATH>|2.66}} A więc pochodna tensorowa wielkości A nazwijmy wyrażenie w nawiasie {{LinkWzór|2.66}} względem wielkości x{{Sup|l}}, którą piszemy wedle sposobu poniżej przedstawionej ją za pomocą tensorów Christoffela: {{CentrujWzór|<MATH>A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m;l}={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_q,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1}...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\;</MATH>|2.67}} Dla tensorów dwu-wskaźnikowych górnych lub dolnych podamy ogólny wzór określony według wzoru {{LinkWzór|2.67}}, dla przykładów poniżej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>{A^{ij}}_{;l}={{\partial A^{ij}}\over{\partial x^l}}+A^{qj}{\Gamma^i}_{lq}+A^{iq}{\Gamma^j}_{lq}\;</MATH>|2.68}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ij;l}={{\partial A_{ij}}\over{\partial x^l}}-A_{kj}{\Gamma^k}_{li}-A_{ik}{\Gamma^k}_{lj}\;</MATH>|2.69}} }} Dla tensora dwuwskaźnikowego górno-dolnego podamy ogólny wzór według wzoru {{LinkWzór|2.67}}, które zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{A^i}_{j;l}={{\partial {A^i}_j}\over{\partial x^l}}+{A^{m}}_j{\Gamma^i}_{lm}-{A^{i}}_m{\Gamma^{m}}_{lj}\;</MATH>|2.70}} == Własności tensora metrycznego == Możemy przekształcić tensor kontrawariantny na tensor kowariantny z własności tensora metrycznego prostego, które możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>V_{i}=g_{ik} V^{k}\;\;</MATH>|2.71}} Także możemy zróżniczkować tensorowo obustronnie dane równanie {{LinkWzór|2.71}} wykorzystując przy okazji wzór na pochodną tensorową iloczynu wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>V_{i;j}=g_{ik;j}V^{k}+g_{ik}{V^{k}}_{;j}\;\;</MATH>|2.72}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że powinno zachodzić z własności tensora metrycznego przy niemym wskaźniku &mu;, przy operacjach na wskaźnikach: {{CentrujWzór|<MATH>g_{ik}{V^{k}}_{;j}=V_{i;j}\;\;</MATH>|2.73}} Równość {{LinkWzór|2.72}} do której zastosujemy tożsamość tensorową {{LinkWzór|2.73}}, którą zapisujemy z własności tensora metrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>V_{i;j}=g_{ik;j}V^{k}+V_{i;j}\;\;</MATH>|2.74}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|2.74}} i aby ona była tożsamością, to powinno na pewno zachodzić wyrażenie poniżej, czyli dowolna pochodna kowariantna tensora metrycznego podwójnie kowariantnego byłaby zapisywana według tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>g_{ik;j}=0\;\;</MATH>|2.75}} == Wyznaczanie symboli Christoffela == Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi {{LinkWzór|2.75}}, to wykorzystując przy okazji wzór {{LinkWzór|2.69}}, możemy powiedzieć, że: {{ElastycznyWiersz |1={{Strong|(j,r,l)->}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}-{\Gamma^k}_{lj}g_{kr}-{\Gamma^k}_{lr}g_{jk}=0\;\;</MATH>|2.76}} |_1=width:auto; }} Poprzez permutację wskaźników we wzorze {{LinkWzór|2.76}} otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela: {{ElastycznyWiersz |1={{Strong|(r,l,j)->}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{\Gamma^k}_{jr}g_{kl}-{\Gamma^k}_{jl}g_{rk}=0\;\;</MATH>|2.77}}|_1=width:auto; }} {{ElastycznyWiersz |1={{Strong|(l,j,r)->}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-{\Gamma^k}_{rl}g_{kj}-{\Gamma^k}_{rj}g_{lk}=0\;\;</MATH>|2.78}}|_1=width:auto; }} Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-2{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}=0\;\;</MATH>|2.79}} Dzieląc przez dwa oraz mnożąc przez g{{Sup|kr}} tożsamość otrzymaną w punkcie {{LinkWzór|2.79}} przechodzimy do tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}g^{kr}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;</MATH>|2.80}} Po przekształceniach w punkcie {{LinkWzór|2.80}} wykorzystując własności tensora metrycznego, oraz że zachodzi dla tensora metrycznego kontrawiariantno-kowariantnego {{LinkWzór|2.18}}, co ono jest równo delcie Kroneckera, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^p}_{lj}{\delta^k}_p={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\Rightarrow{\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;</MATH>|2.81}} Końcowy wynik zapisany w punkcie {{LinkWzór|2.81}} jest zależny od pierwszych pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, a także zależy od tensora metrycznego podwójnie kontrawariantnego tego samego tensora co wcześniej. Dlatego piszemy go wedle sposobności: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{jr,l}+g_{rl,j}-g_{lj,r}\right)\;</MATH>|2.82|Obramuj}} == Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych == Teraz udowodnimy, że pochodne kowariantne mieszane w przestrzeni nieeuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania: {{CentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}\;</MATH>|2.83}} Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu {{LinkWzór|2.39}}, to możemy również zapisać przy innych oznaczeniach podobnie, ale oznaczające to samo: {{CentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l}={{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\;</MATH>|2.84}} Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową {{LinkWzór|2.84}}, to wyrażenie {{LinkWzór|2.83}} możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego: {{CentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}=({a^k}_{;l})_{;n}-({a^k}_{;n})_{;l}=\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{;n}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{;l}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{,n}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^r}_{lm}\right){\Gamma^k}_{nr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{,l}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^r}_{nm}\right){\Gamma^k}_{lr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(a^k_{,l,n}-a^k_{,n,l}\right)+a^m\left({\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)+a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)\;</MATH> |2.85}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.83}} wedle obliczeń {{LinkWzór|2.85}} zapisujemy wedle wzoru poniżej wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny: {{CentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}={R^k}_{mnl}a^m\;</MATH>|2.86}} * gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;</MATH>|2.87|Obramuj}} == Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych == Teraz udowodnimy, że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania: {{CentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}\;\;</MATH>|2.88}} Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu {{LinkWzór|2.45}}, może zostać zapisać podobnie z użyciem innych oznaczeń, ale oznaczających to samo: {{CentrujWzór|<MATH>a_{k;l}= {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_j{\Gamma^j}_{lk}\;</MATH>|2.89}} Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową {{LinkWzór|2.89}}, to wyrażenie {{LinkWzór|2.88}} możemy zapisać poniżej jako różnicę pochodnych kowariantnych wspomnianego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=\left({{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{;n} -\left({{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{;l}=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{,n}-\left( {{\partial a_r}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lr} \right){\Gamma^r}_{nk}-\left({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}+a_m{\Gamma^m}_{sk}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;</MATH>{{Br}} <MATH>-\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{,l}- \left({{\partial a_r}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nr}\right){\Gamma^r}_{lk}-\left({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}-a_m{\Gamma^m}_{sk}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=\left(a_{k,l,n}-a_{k,n,l}\right)+a_m\left({{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}\right)+a_m\left({\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}\right)\;</MATH>|2.90}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.88}} wedle obliczeń {{LinkWzór|2.90}} zapisujemy wedle wzoru poniżej, wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny: {{CentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=-{{R^{m}}}_{knl}a_m\;\;</MATH>|2.91}} * gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela, które zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{R^{m}}}_{kln}={{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}+{\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}=-{R^m}_{knl}\;</MATH>|2.92|Obramuj}} == Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych == Do wzoru na czterowskaźnikowy tensor krzywizny {{LinkWzór|2.87}} wstawiamy za tensory Christoffela zdefiniowane wedle wzoru {{LinkWzór|2.82}}, w końcu otrzymujemy następujący wzór zależny tylko od drugich pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, co wykażemy później: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{mr,l,n}+g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{mr,n,l}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,n}\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+\;</math>{{Br}}<math>-{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,l}\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;</MATH>|2.93}} Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero według schematu {{LinkWzór|2.75}}, to wyznaczając z niego pochodną cząstkową stojącą po lewej stronie tensora metrycznego, a pozostałe po prawej jego stronie, otrzymujemy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>0={g^{kr}}_{;n}={g^{kr}}_{,n}+{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\Rightarrow{g^{kr}}_{,n}=-{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}-{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\;</MATH>|2.94}} Czterowskaźnikowy tensor krzwywizny {{LinkWzór|2.93}} po zastosowaniu do niego tożsamości wynikowej {{LinkWzór|2.94}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\right)\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+ {{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ls}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}\right)\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\Rightarrow\;</math>{{Br}}<math>\Rightarrow{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ns}{\Gamma^s}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ls}{\Gamma^s}_{nm}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}+{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}\;</MATH>|2.95}} Następnie wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje według wzoru {{LinkWzór|2.25}}, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}={\Gamma_{pn}}^k{\Gamma^p}_{lm}= {{\Gamma_p}^k}_n{\Gamma^p}_{lm}={\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}\;</MATH>|2.96}} Dalej wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje {{LinkWzór|2.25}}, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}={\Gamma_{pl}}^k{\Gamma^p}_{nm}={\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;</MATH>|2.97}} Mając wzór {{LinkWzór|2.95}}, a także tożsamości {{LinkWzór|2.96}} i {{LinkWzór|2.97}}, wspomniany czterowskaźnikowy tensor krzywizny możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+ {{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;</MATH>|2.98}} Przepisując jeszcze raz końcowy wynik {{LinkWzór|2.98}}, wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny z tylko pierwszym wskaźnikiem górnym zapisujemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;</MATH>|2.99}} Inny równoważny do {{LinkWzór|2.99}} czterowskaźnikowy tensor krzywizny, z wykorzystaniem własności tensora metrycznego, otrzymujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}=g_{ik}{R^k}_{mnl}=g_{ik}{{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;</MATH>|2.100}} Czterowskaźnikowy tensor krzywizny o wszystkich wskaźnikach dolnych na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.100}} piszemy natomiast wedle wyobrażeń: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,m,n}-g_{lm,i,n}-g_{in,m,l}+g_{nm,i,l}\right)\;</MATH>|2.101|Obramuj}} == Tensorowy charakter tensora krzywizny == Z definicji pochodnej tensorowej {{LinkWzór|2.67}} możemy napisać pochodne tensorowe tensora Christoffela w takiej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{lm;n}={\Gamma^k}_{lm,n}+{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}- {\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^{k}}_{sm}-{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}\;</MATH>|2.102}} Tożsamość {{LinkWzór|2.102}} wstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.86}} na tensor czterowskaźnikowy krzywizny i otrzymujemy równość, którą zapisujemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}+{\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}- {\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^k}_{sl}{\Gamma^s}_{mn}-{\Gamma^s}_{ml}{\Gamma^k}_{ns}-{\Gamma^s}_{nl}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;</MATH>|2.103}} Jak udowodniliśmy czterowskaźnikowy tensor krzywizny {{LinkWzór|2.103}} jest zwykłym tensorem, ponieważ występują w nim same tensory, ale w nich nie ma pochodnych cząstkowych, co pierwotnie ten sam tensor zawierał w zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|2.92}}. Można więc na podstawie wspomnianych tychże obliczeń powiedzieć, iż: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}\;</MATH>|2.104|Obramuj}} == Właściwości tensora krzywizny == Ze względu na przestawienie wskaźników w pierwszej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny w takim działaniu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= -{{1}\over{2}}\left(g_{ml,in}-g_{lm,mn}-g_{mn,il}+g_{ni,ml}\right)=-R_{minl}\;\;</MATH>|2.105}} Ze względu na przestawienie wskaźników w drugiej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny takim działaniu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= -{{1}\over{2}}\left(g_{in,ml}-g_{nm,il}-g_{il,mn}+g_{lm,in}\right)=-R_{imln}\;\;</MATH>|2.106}} Zaś ze względu na przestawienie pierwszej pary wskaźników z drugą parą wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje symetryczność takiego działania: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= {{1}\over{2}}\left(g_{nm,li}-g_{ml,ni}-g_{ni,lm}+g_{il,lm}\right)=R_{nlim}\;\;</MATH>|2.107}} Stwierdziliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.105}} przy przestawianiu pierwszej pary wskaźników, {{LinkWzór|2.106}} przy przedstawianiu drugiej pary wskaźników i ostatecznie {{LinkWzór|2.107}} przy przedstawieniu pierwszej pary wskaźników z drugą parą otrzymujemy, co następuje: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}=-R_{minl}=-R_{imln}=R_{nlim}\;\;</MATH>|2.108}} Przejdźmy teraz do następnej tożsamości, korzystając ze wzoru {{LinkWzór|2.101}}. Dochodzimy zatem do wniosku, że ta tożsamość jest równa zero, na co dowód przeprowadzamy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)+{{1}\over{2}}\left(g_{in,lm}-g_{nl,im}-g_{im,ln}+g_{ml,in}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{2}}\left(g_{im,nl}-g_{mn,il}-g_{il,nm}+g_{ln,im}\right)=0\;\;</MATH>|2.109}} Na podstawie obliczeń wykonanych w punkcie {{LinkWzór|2.109}} przepisując jeszcze raz wynik końcowy, co do czego doszliśmy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}=0\;\;</MATH>|2.110|Obramuj}} == Tożsamość Bianchiego == Pochodna zwykła cząstkowa tensora krzywizny zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.101}} przyjmuje takową postać w wyglądzie tensorowym: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)\;\;</MATH>|2.111}} Policzmy teraz tożsamość poniżej korzystając przy tym z definicji pochodnej cząstkowej czterowskaźnikowego tensora krzywizny, który jest napisana wzorem {{LinkWzór|2.111}}. {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}= {{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)+\;\;</MATH>{{Br}} <MATH>+{{1}\over{2}}\left(g_{in,mpl}-g_{nm,ipl}-g_{ip,mnl}+g_{pm,inl}\right)+ {{1}\over{2}}\left(g_{ip,mln}-g_{pm,iln}-g_{il,mpn}+g_{lm,ipn}\right)=0\;\;</MATH>|2.112}} Powyższą tożsamość jest spełniona, ponieważ różniczkowanie jest przemienne i przepisując nasz wniosek w postaci twierdzenia o tensorach, udowadniamy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}=0\;\;</MATH>|2.113|Obramuj}} Zdefiniujmy nowy dwuwskaźnikowy tensor, który jest kombinacją czterowskaźnikowego tensora krzywizny i tensora metrycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl}=g^{im}R_{imnl}\;\;</MATH>|2.114}} Można udowodnić, że zachodzi na pewno tożsamość podana poniżej; polegająca na tym, że tensor {{LinkWzór|2.114}} jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zmianie wskaźników miejscami przed tensorem pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl}=-K_{ln}\;\;</MATH>.|2.115}} A dowód {{LinkWzór|2.115}} przeprowadzamy wykorzystując definicję pewnego tensora zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.114}} i korzystając przy tym z własności {{LinkWzór|2.106}}, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl}=g^{im}R_{imnl}=g^{im}(-R_{imln})=-g^{im}R_{imln}=-K_{ln}\;\;</MATH>|2.116}} Udowodniliśmy, że tensor K{{Sub|nl}} {{LinkWzór|2.114}}, jest tensorem antysymetrycznym, tak jak powiedziane zostało wcześniej z własności tensora czterowskaźnikowego krzywizny. Pochodna tensorowa tensora K{{Sub|nl}} zapisanego w punkcie {{LinkWzór|2.114}}, przedstawia się wzorem wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}\;\;</MATH>|2.117}} Następnym naszym krokiem jest policzenie wyrażenia poniżej z wykorzystaniem przy tym tożsamości {{LinkWzór|2.117}}. Dzięki temu wiemy, że; {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}+K_{pn,l}-{\Gamma^k}_{pl}K_{kn}-{\Gamma^k}_{nl}K_{pk}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{ln}K_{kp}-{\Gamma^k}_{pn}K_{lk}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{lp}(K_{nk}+K_{kn})-{\Gamma^k}_{np}(K_{kl}+K_{lk})-{\Gamma^k}_{ln}(K_{kp}+K_{pk})=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.118}} Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.118}} zachodzi tożsamość, którą udowodniliśmy we wspomnianych obliczeniach: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.119|Obramuj}} Teraz skorzystamy z definicji K{{Sub|nl}} {{LinkWzór|2.114}} i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero wedle punktu {{LinkWzór|2.75}}, a wtedy lewa strona {{LinkWzór|2.119}} jest zapisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>L=K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=(R_{imnl}g^{im})_{;p}+(R_{impn}g^{im})_{;l}+(R_{imlp}g^{im})_{;n}=g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})\;\;</MATH>|2.120}} A także prawą stronę równości {{LinkWzór|2.119}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;</MATH>|2.121}} Dochodzimy do wniosku, że jeśli {{Formuła|<MATH>L=P\;</MATH>}}, czyli wyrażenia {{LinkWzór|2.120}} i {{LinkWzór|2.121}} są sobie równe, bo punkt {{LinkWzór|2.119}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;</MATH>|2.122}} Poniżej traktujemy jako zmienne g{{Sub|im}} i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych, co wtedy można udowodnić, że na pewno zachodzą własności powiedziana poniżej, bo tensor czterowskaźnikowy krzywizny {{LinkWzór|2.101}} i jego pochodna zawierają w sobie kolejno drugie i trzecie pochodne podwójnie kowariantnego tensora metrycznego względem współrzędnych, co z definicji pochodnej złożonej znana ze szkoły średniej przedstawiamy te własności jako: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial R_{imnl}}\over{\partial g^{im}}}=0\;</MATH>|2.123a}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial R_{imnl,p}}\over{\partial g^{im}}}=0\;</MATH>|2.123b}} }} Poniżej traktujemy jako zmienne g{{Sup|im}} i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych. Z wiadomości pochodzących z analizy matematycznej możemy napisać tożsamość matematyczną, która będą przydatne do dalszych obliczeń w celu maksymalnego uproszczenia tożsamości {{LinkWzór|2.122}} wykorzystując udowodnioną tożsamość {{LinkWzór|2.123a}} i {{LinkWzór|2.123b}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial (R_{imnl}g^{im})_{,p}}\over{\partial g^{im}}}={{\partial (R_{imnl,p}g^{im}+R_{imnl}{g^{im}}_{,p})}\over{\partial g^{im}}}=R_{imnl,p}\;</MATH>|2.124}} Zróżniczkujmy obie strony równania tensorowego {{LinkWzór|2.122}} względem g{{Sup|im}}, wtedy otrzymujemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}\;\;</MATH>|2.125}} Wcześniej udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość {{LinkWzór|2.113}}. Zatem '''tożsamość Bianchiego''' po zastosowaniu wspomnianej tożsamości do {{LinkWzór|2.125}} pozwala na wyciągnięcie końcowego wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=0\;\;</MATH>|2.126|Obramuj}} == Tensor Ricciego == Definicja tensora Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny o pierwszym wskaźniku górnym {{LinkWzór|2.87}} piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ml}={R^k}_{mkl}=R_{lm}\;</MATH>|2.127}} Powyższe skrajne równości są sobie równe w {{LinkWzór|2.127}}. Na tej podstawie możemy udowodnić, korzystając z czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ml}={R^k}_{mkl}= {{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,mk}-g_{lm,rk}-g_{rk,ml}+g_{km,rl}\right)={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{km,rl}-g_{rk,ml}-g_{lm,rk}+g_{rl,mk}\right)=R_{lm}\;</MATH>|2.128}} '' Co kończy dowód. '' Tensor Ricciego {{LinkWzór|2.127}} zdefiniowany poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny, w której sumowanie następuje po dwóch wskaźnikach niemych, tzn. pierwszym i trzecim, pozwala na narysowanie definicji tego tensora: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ln}=g^{km}R_{klmn}={R^m}_{lmn}\;</MATH>|2.129}} == Skalar Ricciego == A skalar Ricciego można zdefiniować poprzez tensor Ricciego {{LinkWzór|2.129}} wedle sposobu podanego poniżej lub inaczej, wyrażając w tym samym wzorze tensor Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny: {{CentrujWzór|<MATH>R=g^{ln}R_{ln}=g^{ln}g^{km}R_{klmn}\;</MATH>|2.130}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> b82wn0t9jn2gmdqdw708gb7dsn0yy6n 0 15115 558619 513419 2026-10-04T21:45:31Z Persino 2851 558619 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zajmować się będziemy obrotem punktu wokół początku układu współrzędnych, a także obrotem układu współrzędnego płaskiego o ściśle określony kąt, a także obrotem układu współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej o ściśle określone kąty Eulera. == Obrót punktu wokół osi z == Spróbujmy napisać transformacje obrotu punktu (x,y) dla przestrzeni dwuwymiarowej przy obrocie odwrotnym niż ruch wskazówek zegara o kąt &alpha; do punktu (x',y'), wiedząc że transformacje współrzędnych z układu cylindrycznego na kartezjański można napisać w postaci wzorów x=rcos&alpha; i y=rsin&alpha;: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x'=r\cos(\alpha+\phi)=r\cos\alpha\cos\phi-r\sin\alpha\sin\phi=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=x\cos\phi-y\sin\phi\;</MATH>|4.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>y'=r\sin(\alpha+\phi)=r\sin\alpha\cos\phi+r\cos\alpha\sin\phi=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=x\sin\phi+y\cos\phi\;</MATH>|4.2}} }} Otrzymujemy w ten sposób dwa równania przedstawiające obrót wokół osi z o kąt &phi; mając stare współrzędne kartezjańskie "x" i "y" w płaskim układzie współrzędnych: * '''Obrót dwuwymiarowy punktu, wokół osi z:''' {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>x'=x\cos\phi-y\sin\phi\;</MATH>|4.3}} |2={{CentrujWzór|<MATH>y'=x\sin\phi+y\cos\phi\;</MATH>|4.4}} }} Macierzowo, macierz obrotu punktu w układzie kartezjańskim wokół osi z o kąt &phi; piszemy na podstawie wzorów {{LinkWzór|4.3}} i {{LinkWzór|4.4}} według: {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix} \cos\phi&-\sin\phi\\ \sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}</MATH>|4.5}} Ogólnie macierzowo związek {{LinkWzór|4.3}} i {{LinkWzór|4.4}} piszemy ogólnie przy definicji macierzy obrotu {{LinkWzór|4.5}} wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>X'=MX\;</MATH>|4.6}} Po podstawieniu za M określone wzorem {{LinkWzór|4.5}} do {{LinkWzór|4.6}} możemy macierzowo opisać transformacje obrotu punktu (x,y) wokół punktu (0,0) wedle wzoru określonego poniżej. {{Twierdzenie|tekst=Pełny zapis transformacji wraz z macierzą obrotu punktu w przestrzeni dwuwymiarowej dla transformacji prostej: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi&-\sin\phi\\ \sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}</MATH>|4.7}} }} {{Twierdzenie|tekst=Pełny zapis transformacji wraz z macierzą obrotu punktu w przestrzeni dwuwymiarowej dla transformacji odwrotnej: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi\\ -\sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}</MATH>|4.8}} }} == Obrót układu współrzędnych wokół osi z == Z poprzedniego rozdziału wiemy, że macierz transformacji określająca obrót punktu wokół początku układu współrzędnej jest napisana wzorem {{LinkWzór|4.7}}. Teraz niech punkt pozostaje w spoczynku, a układ współrzędnych porusza się odwrotnie ze wskazówkami współrzędnych, wtedy w macierzy transformacji trzeba zastąpić według podstawienia {{Formuła|<MATH>\alpha\rightarrow-\alpha\;</MATH>}}, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi\\ -\sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}</MATH>|4.9}} Zaś sama transformacja wygląda : {{Twierdzenie|tekst=Pełny zapis transformacji wraz z macierzą transformacji dla obracającego się układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi\\ -\sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}</MATH>|4.10}} }} == Kąty Eulera == Kąty Eulera (od nazwiska szwajcarskiego matematyka [[w:Leonhard Euler|Leonharda Eulera]]), to układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. === Definicja === {{Rysunek|Kąty Eulera.svg|gg1|Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych}} Dokonajmy obrotu układu współrzędnych xyz do x'y'z', według opisu: *obrotu wokół osi z, takiego aby oś x pokryła się z linią węzłów w *obrotu wokół osi x ( = w), takiego aby oś z pokryła się z osią z' *obrotu wokół osi z ( = z'), takiego aby oś x pokryła się z osią x' (wówczas również oś y pokryje się z osią y'). Przy czym zakładamy, że obrót wokół np. osi x uważamy za dodatni, gdy odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara. Obrót układu współrzędnych można opisać przez trójkę kątów: : {{Formuła|<MATH>\varphi,\psi,\theta=[0,2\pi),[0,2\pi),[0,\pi)</MATH>}}. Określmy: * {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} — kąt mierzony od osi x do osi węzłów w w kierunku wyznaczonym osią z jest to kąt obrotu 1. * {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} — kąt mierzony od osi węzłów w do osi x' w kierunku wyznaczonym osią z' jest to kąt obrotu 2. * {{Formuła|<math>\psi</MATH>}} — kąt mierzony od osi z do z' w kierunku wyznaczonym osią węzłów w jest to kąt obrotu 3. Macierze obrotu A₁, A₂ i A₃, którego symbolizują obroty układu współrzędnych, z charakteryzowane powyżej wynoszą: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<math> A_1 = \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\qquad</MATH>|4.11}} |2={{CentrujWzór|<MATH> A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\qquad</MATH>|4.12}} |3={{CentrujWzór|<MATH> A_3 = \begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0\\ -\sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>|4.13}} }} Macierz obrotu {{LinkWzór|4.11}}(przy pierwszym obrocie) i {{LinkWzór|4.13}}(przy trzecim obrocie) są w kierunku wyznaczonym przez trzecią oś, a {{LinkWzór|4.12}}(przy drugim obrocie) jest w kierunku wyznaczonym przez pierwszą oś. Macierz obrotu w trzech kierunkach na podstawie macierzy poszczególnych obrotów {{LinkWzór|4.11}}, {{LinkWzór|4.12}} i {{LinkWzór|4.13}} jest przedstawiona wzorem A=A₃A₂A₁), co po podstawieniu do tej formuły macierze obrotów, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>A=A_3A_2A_1=\begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0\\ -\sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix} \cos\psi&\sin\psi\cos\theta&\sin\psi\sin\theta\\ -\sin\psi&\cos\psi\cos\theta&\cos\psi\sin\theta\\ 0&-\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </MATH>|4.14}} Macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, określająca obroty ze starego położenia do nowego układu współrzędnych, przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>A=A_3A_2A_1=\begin{bmatrix} \cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi &\cos\psi\sin\varphi+\sin\psi\cos\theta\cos\varphi &\sin\psi\sin\theta\\ -\sin\psi\cos\varphi-\cos\psi\cos\theta\sin\varphi &-\sin\psi\sin\varphi+\cos\psi\cos\theta\cos\varphi &\cos\psi\sin\theta\\ \sin\theta\sin\varphi &-\sin\theta\cos\varphi &\cos\theta \end{bmatrix}</MATH>|4.15}} Natomiast odwrotna macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, przekształcająca obroty z nowego położenia układu współrzędnych do starego, jest napisana w sposób następujący: {{CentrujWzór|<MATH>A^{-1}=A^{-1}_1A^{-1}_2A^{-1}_3=A^{T}_1A^{T}_2A^{T}_3=(A_3A_2A_1)^T=A^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix} \cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi &-\sin\psi\cos\varphi-\cos\psi\cos\theta\sin\varphi &\sin\theta\sin\varphi\\ \cos\psi\sin\varphi+\sin\psi\cos\theta\cos\varphi &-\sin\psi\sin\varphi+\cos\psi\cos\theta\cos\varphi &-\sin\theta\cos\varphi\\ \sin\psi\sin\theta &\cos\psi\sin\theta &\cos\theta \end{bmatrix}</MATH>|4.16}} Odwrotną macierz obrotu {{LinkWzór|4.16}} można również otrzymać z {{LinkWzór|4.15}} zamieniając jednocześnie według {{Formuła|<MATH>\psi\rightarrow\varphi\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\varphi\rightarrow\psi\;</MATH>}}, a potem wszystkie kąty zmieniając na przeciwne. Podobnie jak dla wzoru {{LinkWzór|4.10}} możemy napisać podobny wzory ale dla transformacji Eulera dla każdego kąta z osobna: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}=A_1\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\;</MATH>|4.17}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} x^{''}\\ y^{''}\\ z^{''} \end{bmatrix}=A_2\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'} \end{bmatrix}\;</MATH>|4.18}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'} \end{bmatrix}=A_3\begin{bmatrix} x^{''}\\ y^{''}\\ z^{''} \end{bmatrix}\;</MATH>|4.19}} }} Co można napisać łącząc te trzy transformacje w transformacje Eulera wykorzystując, że całkowita macierz obrotu <MATH>A\;</MATH> jest iloczynem poszczególnych macierzy obrotów wykorzystywanych w transformacjach {{LinkWzór|4.17}}, {{LinkWzór|4.18}} i {{LinkWzór|4.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'} \end{bmatrix}=A_3A_2A_1\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'} \end{bmatrix}=A\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\;</MATH>|4.20}} Można udowodnić, że transformacja {{LinkWzór|4.20}} zachowuje długość w przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej, w której mamy układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny), bo: {{CentrujWzór|<MATH>{\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}}^TA^TA\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}}^TA^{-1}A\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\Rightarrow{\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\;</MATH>|4.21}} co dowód tego został ukończony. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ank0nmwl37roho5ynv54ls4r5n41zzq 0 15120 558593 513418 2026-10-04T18:32:47Z Persino 2851 558593 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Omówimy tutaj trzy rodzaje układów współrzędnych, tzn. układ kartezjański, cylindryczny i sferyczny. == Układ kartezjański == {{Rysunek|Cartesian-coordinate-system.svg|u1|Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich}} Układem współrzędnych kartezjańskich, nazywamy taki układ współrzędnych, w których zadany jest punkt zwany początkiem układu współrzędnych. W punkcie tym wszystkie wspòłrzędne są równe zero. === Współrzędne === W układzie współrzędnych kartezjańskich trzy pierwsze osie, nazywamy: * oś x: odcięta * oś y: rzędna * oś z: kota Prostokątny układ współrzędny jest to układ, której współrzędne danego punktu powstają poprzez prostokątny rzut jego na poszczególne osie układu. === Podział płaszczyzny === {{Rysunek|Cartesian coordinates 2D PL.svg|U2|Podział przestrzenny płaszczyzny na ćwiartki}} Kartezjański układ współrzędnych {{Formuła|<math>(x,y)\;</math>}} w dwóch wymiarach dzieli płaszczyznę na cztery części tzw. '''ćwiartki''': * '''I ćwiartka''' – {{Formuła|<math>\left\{(x,\; y): x>0, \; y>0\right\}</math>}}, * '''II ćwiartka''' – {{Formuła|<math>\left\{(x,\; y): x<0, \; y>0\right\}</math>}}, * '''III ćwiartka''' – {{Formuła|<math>\left\{(x,\; y): x<0, \; y<0\right\}</math>}}, * '''IV ćwiartka''' – {{Formuła|<math>\left\{(x,\; y): x>0, \; y<0\right\}</math>}}. === Skrętność trójwymiarowego układu współrzędnych === Każdy układ kartezjański w przestrzeni trójwymiarowej może być lewoskrętny lub prawoskrętny. Według reguły prawej dłoni, jeśli obracamy prawą dłoń od OX do OY, to taki układ nazywamy prawoskrętny. == Układ cylindryczny == {{Rysunek|Cylindrical_coordinates.png|u21|Walcowy układ współrzędnych}} Walcowym (cylindrycznym) układem współrzędnych jest to układ współrzędnych w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Każdy punkt w przestrzeni zapisuje się za pomocą trójki współrzędnych {{Formuła|<MATH>(\rho,\phi,z)\;</MATH>}}, gdzie poszczególne współrzędne wyrażają się w postaci: : {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}: jest to odległość układ współrzędnych od jego początku. : {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} jest to kąt rzutu jaki tworzy rzut wektora wodzącego z osią OX. : {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} jest to odległość rzutu punktu na oś OZ od początku układu współrzędnych. === Przejście do układu współrzędnych kartezjańskiego === Wzory transformujące współrzędne &phi; i &rho; i z{{Sup|'}} w układzie współrzędnych kartezjańskich walcowatych przedstawiamy wedle sposobu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x=\rho\cos\phi\;</MATH>|3.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y=\rho\sin\phi\;</MATH>|3.2}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z=z'\;</MATH>|3.3}}}} ==== Jakobian przejścia ==== Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańskich do walcowatych: {{CentrujWzór|<MATH>{{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,z')}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z'}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z'}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z'}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\ \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi\\ \sin\phi&\rho\cos\phi \end{vmatrix}=\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;</MATH>|3.4}} Przepiszmy końcowy wynik {{LinkWzór|3.4}}, który właśnie wyznaczyliśmy: {{CentrujWzór|<MATH> {{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,z')}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z'}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z'}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z'}} \end{vmatrix}=\rho</MATH>|3.5}} == Układ sferyczny == {{Rysunek|Spherical Coordinates.svg|ui25|Wspólrzędne punktu w "matematycznym" systemie współrzędnych sferycznych}} Dowolnemu punktowi można przepisać trójkę współrzędnych {{Formuła|<MATH>(\rho,\theta,\phi)</MATH>}}: * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} - promień wodzący, gdzie {{Formuła|<MATH>\rho\geq 0</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} - długość azymutalna ,gdzie {{Formuła|<MATH>0\leq \theta\leq 2\pi</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} - odległość zenitalna, gdzie {{Formuła|<MATH>0\leq \phi\le\pi</MATH>}} === Przejście do układu współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowej === Wzory transformujące współrzędne kuliste &rho; i &theta; i &phi; w układzie współrzędnych kartezjańskich sferycznych do współrzędnych kartezjańskich przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x=\rho\sin\phi\cos\theta\;</MATH>|3.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y=\rho\sin\phi\sin\theta\;</MATH>|3.7}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z=\rho\cos\phi\;</MATH>|3.8}}}} === Jakobian przejścia === Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańkich do sferycznych według: {{CentrujWzór|<MATH>{{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,\theta)}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial \theta}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial \theta}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial \theta}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi&-\rho\sin\phi&0 \end{vmatrix}=\cos\phi\begin{vmatrix} \rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta \end{vmatrix}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\rho\sin\phi\begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta \end{vmatrix} =\rho^2\cos\phi(\cos^2\theta\sin\phi\cos\phi+\sin\phi\cos\phi\sin^2\theta)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\rho^2\sin\phi(\sin^2\phi\cos^2\phi+\sin^2\phi\sin^2\theta)=\rho^2\cos\phi\sin\phi\cos\phi+\rho^2\sin\phi\sin\phi^2=\rho^2\sin\phi(\cos^2\phi+\sin^2 \phi)=\rho^2\sin\phi \;</MATH>|3.9}} Przepiszmy końcowy wynik {{linkWzór|3.9}}, który właśnie wyznaczyliśmy: {{CentrujWzór|<MATH>{{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,\theta)}}=\rho^2\sin\phi</MATH>|3.10}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> o9iyskwvqwfu1c480wolrx3atiyecq7 0 15972 558582 470251 2026-10-04T18:04:03Z Persino 2851 558582 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zespół kanoniczny (T,p,N,t) == Jest to rozkład, w którym temperatura, ciśnienie i liczba cząstek jest stała, a potencjał chemiczny {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} jest równy zero. Ten rozkład można przedstawić przy pomocy rozkładu {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} przy powyższych wprowadzeniach: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+pV_i)}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp; <MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta(E_i+pV_i)}</MATH>|18.1}} Powyższy wzór przedstawia prawdopodobieństwo w układzie dyskretnym, że układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}}. Jeśli rozważamy przybliżenie klasyczne, w których pędy i położenia są wielkościami ciągłymi, to nasz rozkład statystyczny {{LinkWzór|18.1}} w którym prawdopodobieństwo zostaje zastąpione gęstością prawdopodobieństwem, że układ będzie miał energię E i objętość V, gdy w układzie panuje stałe ciśnienie p, jest. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V)={{e^{-\beta(E+pV)}}\over{Z}}</MATH>|18.2}} Rozkład gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|18.2}}, który powinien być rozkładem unormowanym, w którym wielka suma statystyczna na podstawie tego ma definicję: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\int^{V}_{v=0} dv\int_{\underset{\vec{q}\in v(R^{3N})}{\overset{\vec{p}\in R^{3N}}{}}}e^{-\beta(E(\vec{p},\vec{q})+pv)}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})</MATH>|18.3}} Gdzie {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MATH>}} jest zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|15.35|Zespół_mikrokanoniczny}}. W dalszych rozważaniach przyjmijmy dyskretny wariant naszego rozkładu (T,p,N), a wnioski są również słuszne dla rozkłady ciągłego. Przestawmy nasz rozkład {{LinkWzór|18.1}} w postaci poniżej wraz z sumą statystyczną, i z tego wyglądu tego rozkładu prawdopodobieństwa będziemy korzystać w dalszych rozważaniach dla wygody: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i)={{g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp; <MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}</MATH>|18.4}} Średnią energię układy w tymże zespole wyznaczymy z definicji wartości średniej energii układu, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej Z względem parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_{i=1}^n E_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z}}= {{\partial\sum_{i=1}^ng_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial Z}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}</MATH>|18.5}} Wyznaczmy średnią objętość układu w tymże zespole kanonicznym, korzystając z definicji wartości średniej objętości układu, i jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej Z względem parametru {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\sum_{i=1}^n V_i g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z}}= {{\partial \sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z\partial \gamma}}={{\partial Z}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}</MATH>|18.6}} Przedstawmy dwa wzory na wartości średnie energii i objętości jakie może przyjmować układ w układzie. w którym są stałe parametry (T,p,N), które przepisujemy dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}\;</MATH>|18.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}\;</MATH>|18.8}}}} === Związek między energią swobodną a sumą statystyczną === Korzystając z definicji entropii dla naszego układu musimy z korzystać ze wzoru na entropię układu według rozkładu dyskretnego {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|18.1}}, przy czym wyrażając w {{LinkWzór|18.4}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum_{i=1}^l Z^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i)}\ln {{e^{-\beta(E_i+pV_i)}}\over{Z}}=-k_BZ^{-1}\sum_{i=1}^l e^{-\beta(E_i+pV_i)}(-\beta(E_i+pV_i)-\ln Z)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-k_BZ^{-1}(-\beta)\sum_{i=1}^l e^{-\beta(E_i+pV_i)}(E_i+pV_i)+k_BZ^{-1}\sum_{i=1}^l e^{-\beta(E_i+pV_i)}\ln Z=T^{-1}(\overline{E}+p\overline{V})+k_B\ln Z\;</MATH>|18.9}} Wzór otrzymany na entropię w końcowych obliczeniach w {{LinkWzór|18.9}} należy pomnożyć obustronnie przez temperaturę bezwzględną T dostając następne równoważne wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>ST=\overline{E}+p\overline{V}+k_BT\ln Z\;</MATH>|18.10}} Wykorzystajmy definicję energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy tą wielkość przy pomocy energii związanej układu {{LinkWzór|18.10}} można zapisać wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>F=\overline{E}-ST=-p\overline{V}-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.11}} Widzimy, że energia swobodna układu jest zależna od średniej objętości układu i sumy statystycznej i pozostałych parametrów, które tutaj się nie zmieniają. === Związek między energią Gibbsa, a sumą statystyczną === Energia Gibbsa {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} w tymże zespole według wzoru na energię swobodną układu {{LinkWzór|18.11}} przedstawiamy prowadząc kolejno obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>G=U+p\overline{V}-TS=F+p\overline{V}=-p\overline{V}-k_BT\ln Z+p\overline{V}=-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.12}} Widzimy, że potencjał Gibbsa jest zależny od sumy statystycznej układu policzonego według {{LinkWzór|18.3}} (suma statystyczna jest podana za wzorem) dla układu dyskretnego {{LinkWzór|18.1}} lub według {{LinkWzór|18.2}} dla rozkładu ciągłego. == Zespół kanoniczny (T,p,μ,t) == Jest to rozkład, w którym temperatura, ciśnienie i potencjał chemiczny są wielkościami stałymi. Ten rozkład możemy przedstawić przy pomocy rozkładu {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} dla przypadku dyskretnego przy powyższych wprowadzeniach: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_i e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}</MATH>|18.13}} Powyższy wzór przedstawia prawdopodobieństwo w układzie dyskretnym, że układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} i liczbę cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}}. Jeśli rozważamy przybliżenie klasyczne, w których pędy i położenia są wielkościami ciągłymi, to nasz rozkład statystyczny {{LinkWzór|18.13}}, w którym prawdopodobieństwo zostaje zastąpione gęstością prawdopodobieństwem, że układ będzie miał energię E, objętość V i liczbę cząstek, gdy w układzie panuje stałe ciśnienie p. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V,N)={{e^{-\beta(E+pV-\mu N)}}\over{Z}}</MATH>|18.14}} Dla rozkładu gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|18.14}}, który powinien być rozkładem unormowanym, suma statystyczna ma definicję: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\int^V_{v=0}dv\sum^N_{n=0}\int_{\underset{\vec{q}\in v(R^{3n})}{\overset{\vec{p}\in R^{3n}}{}}} e^{-\beta(E(\vec{p},\vec{q})+pv-\mu n)}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})</MATH>|18.15}} Gdzie {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MatH>}} jest zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|15.35|Zespół_mikrokanoniczny}}. W dalszych rozważaniach przyjmijmy dyskretny wariant naszego rozkładu (T,p,&mu;), a wnioski są również słuszne dla rozkłady ciągłego. Przestawmy nasz rozkład {{LinkWzór|18.13}} w postaci poniżej wraz z sumą statystyczną, z którego przedstawienia rozkładu prawdopodobieństwa będziemy korzystać w dalszych rozważaniach dla naszej wygody: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)={{g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}</MATH>|18.16}} Wyznaczmy średnią energię układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru {{Formuła|<math>\alpha\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_{i=1}^nE_i g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial Z}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}</MATH>|18.17}} Wyznaczmy średnią objętość układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &gamma;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\sum_{i=1}^n V_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial Z}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}</MATH>|18.18}} Wyznaczmy średnie ilości cząstek w układzie, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &omega;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\sum_{i=1}^n N_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z\partial\omega}}={{\partial Z}\over{Z\partial\omega}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\omega}}</MATH>|18.19}} Przedstawmy dwa wzory na wartości średnie energii i objętości jako może przyjmować układ w układzie, w którym są stałe parametry (T,p,&mu;), które przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}\;</MATH>|18.20}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}\;</MAth>|18.21}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\partial\ln Z}\over{\partial\omega}}\;</MATH>|18.22}}}} === Związek między energią swobodną, a sumą statystyczną === Korzystając z definicji entropii dla naszego układu musimy z korzystać ze wzoru na entropię układu {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} dla rozkładu dyskretnego zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|18.13a}}, przy czym uwzględniając w {{LinkWzór|18.16a}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum_{i=1}^lP_i\ln P_i=-k_B\sum_{i=1}^lZ^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}\ln\left[ Z^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-k_B\sum_{i=1}^lZ^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}(-\ln Z-\beta E_i-\beta pV_i+\beta\mu N_i)=k_B\ln Z+k_B\beta(\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N})\;</MATH>|18.23a}} Wzór otrzymany na entropię w końcowych obliczeniach w {{LinkWzór|18.23a}} należy pomnożyć obustronnie przez temperaturę bezwzględną T dostając następne równoważne wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>ST=k_BT\ln Z+(\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N})\;</MATH>|18.24a}} Wykorzystajmy definicję energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy tą wielkość przy pomocy energii związanej układu {{LinkWzór|18.24}} można zapisać wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>F=\overline{E}-TS=-p\overline{V}+\mu\overline{N}-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.25a}} Widzimy, że energia swobodna układu jest zależna od średniej objętości układu, średniej liczby cząstek w układzie i od sumy statystycznej i od pozostałych parametrów, które tutaj wcale się tutaj nie zmieniają. === Związek między energią Gibbsa, a sumą statystyczną === Energia Gibbsa {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} w tymże zespole podstawiamy do wzoru na energię swobodną układu {{LinkWzór|18.25a}}, w ostateczności otrzymujemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>G=\overline{E}-TS+p\overline{V}=F+p\overline{V}=\mu\overline{N}-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.26}} Widzimy, że potencjał Gibbsa jest zależny od sumy statystycznej układu policzonego według {{LinkWzór|18.15}} (suma statystyczna jest podana za wzorem) dla układu dyskretnego {{LinkWzór|18.13}} lub według {{LinkWzór|18.16}} dla rozkładu ciągłego. == Zespół kanoniczny (T,p,μ,&omega;) == Jest to rozkład, w którym temperatura, ciśnienie i potencjał chemiczny są wielkościami stałymi. Ten rozkład możemy przedstawić przy pomocy rozkładu {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} dla przypadku dyskretnego przy powyższych wprowadzeniach: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_i e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}</MATH>|18.13a}} Powyższy wzór przedstawia prawdopodobieństwo w układzie dyskretnym, że układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} i liczbę cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}}. Jeśli rozważamy przybliżenie klasyczne, w których pędy i położenia są wielkościami ciągłymi, to nasz rozkład statystyczny {{LinkWzór|18.13a}}, w którym prawdopodobieństwo zostaje zastąpione gęstością prawdopodobieństwem, że układ będzie miał energię E, objętość V i liczbę cząstek, gdy w układzie panuje stałe ciśnienie p. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V,N)={{e^{-\beta(E+pV-\mu N-\omega t_i)}}\over{Z}}</MATH>|18.14a}} Dla rozkładu gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|18.14a}}, który powinien być rozkładem unormowanym, suma statystyczna ma definicję: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\int_0^tdt\int^V_{v=0}dv\sum^N_{n=0}\int_{\underset{\vec{q}\in v(R^{3n})}{\overset{\vec{p}\in R^{3n}}{}}} e^{-\beta(E(\vec{p},\vec{q})+pv-\mu n-\omega t)}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})</MATH>|18.15a}} Gdzie {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MatH>}} jest zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|15.35|Zespół_mikrokanoniczny}}. W dalszych rozważaniach przyjmijmy dyskretny wariant naszego rozkładu (T,p,&mu;), a wnioski są również słuszne dla rozkłady ciągłego. Przestawmy nasz rozkład {{LinkWzór|18.13a}} w postaci poniżej wraz z sumą statystyczną, z którego przedstawienia rozkładu prawdopodobieństwa będziemy korzystać w dalszych rozważaniach dla naszej wygody: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)={{g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+zeta t_i}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}</MATH>|18.16a}} Wyznaczmy średnią energię układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru {{Formuła|<math>\alpha\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_{i=1}^nE_i g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial Z}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}</MATH>|18.17a}} Wyznaczmy średnią objętość układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &gamma;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\sum_{i=1}^n V_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial Z}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}</MATH>|18.18a}} Wyznaczmy średnie ilości cząstek w układzie, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &omega;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\sum_{i=1}^n N_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z\partial\omega}}={{\partial Z}\over{Z\partial\omega}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\omega}}</MATH>|18.19a}} Wyznaczmy średni czas układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &zeta;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{t}={{\sum_{i=1}^n N_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z\partial\zeta}}={{\partial Z}\over{Z\partial\zeta}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\zeta}}</MATH>|18.19aa}} Przedstawmy dwa wzory na wartości średnie energii i objętości jako może przyjmować układ w układzie, w którym są stałe parametry (T,p,&mu;,&omega;), które przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}\;</MATH>|18.20a}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}\;</MAth>|18.21a}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\partial\ln Z}\over{\partial\omega}}\;</MATH>|18.22a}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\partial\ln Z}\over{\partial\zeta}}\;</MATH>|18.22aa}}}} === Związek między energią swobodną, a sumą statystyczną === Korzystając z definicji entropii dla naszego układu musimy z korzystać ze wzoru na entropię układu {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} dla rozkładu dyskretnego zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|18.13}}, przy czym uwzględniając w {{LinkWzór|18.16}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum_{i=1}^lP_i\ln P_i=-k_B\sum_{i=1}^lZ^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\ln\left[ Z^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-k_B\sum_{i=1}^lZ^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}(-\ln Z-\beta E_i-\beta pV_i+\beta\mu N_i+\beta \omega t_i)=k_B\ln Z+k_B\beta(\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N}-\omega \overline {t})\;</MATH>|18.23}} Wzór otrzymany na entropię w końcowych obliczeniach w {{LinkWzór|18.23}} należy pomnożyć obustronnie przez temperaturę bezwzględną T dostając następne równoważne wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>ST=k_BT\ln Z+(\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N}-\omega\overline t)\;</MATH>|18.24}} Wykorzystajmy definicję energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy tą wielkość przy pomocy energii związanej układu {{LinkWzór|18.24}} można zapisać wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>F=\overline{E}-TS=-p\overline{V}+\mu\overline{N}+\omega \overline t-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.25}} Widzimy, że energia swobodna układu jest zależna od średniej objętości układu, średniej liczby cząstek w układzie i od sumy statystycznej i od pozostałych parametrów, które tutaj wcale się tutaj nie zmieniają. === Związek między energią Gibbsa, a sumą statystyczną === Energia Gibbsa {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} w tymże zespole według wzoru na energię swobodną układu {{LinkWzór|18.25}} przedstawiamy prowadząc kolejno obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>G=U+p\overline{V}-TS=F+p\overline{V}=-p\overline V+\mu\overline{N}+\omega \overline t-k_BT\ln Z+p\overline{V}=\mu\overline{N}+\omega \overline t-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.12a}} Widzimy, że potencjał Gibbsa jest zależny od sumy statystycznej układu policzonego według {{LinkWzór|18.15a}} (suma statystyczna jest podana za wzorem) dla układu dyskretnego {{LinkWzór|18.13a}} lub według {{LinkWzór|18.15a}} dla rozkładu ciągłego. === Unormowana suma statystyczna === Jak się przekonaliśmy, parametrami stałymi są ciśnienie i temperatura, a więc to jest rozkład statystyczny kanoniczny (T,p,&mu;,&omega;), zatem do wzoru na potencjał Gibbsa policzonej w wcześniej w punkcie {{LinkWzór|18.12a}} możemy podstawić inny wzór {{LinkWzór|3.48|Potencjały_termodynamiczne}} policzonej z rachunku o różniczce zupełnej (te dwa wzory oznaczają tą sam potencjał Gibbsa) dostając tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>G=F+p\overline V=\mu \overline{N}+\omega\overline t-k_BT\ln Z\Rightarrow \mu \overline{N}+\omega\overline t=\mu \overline{N}+\omega\overline t-k_BT\ln Z\Rightarrow \ln Z=0\Rightarrow Z=1\;</MATH>|18.27a}} Z powyższej tożsamości możemy zredukować te same wyrazy związane z średnią ilością cząstek w układzie i w ten sposób otrzymujemy, że suma statystyczna w tym rozkładzie ma wartość jeden, ale nie tożsamościowo: {{CentrujWzór|<MATH>\ln Z=0\Rightarrow Z=1\;</MATH>|18.28a}} Zatem nasz rozkład {{LinkWzór|18.13a}}, przy unormowanym sumie statystycznym, która zawsze dąży do jedności, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)=e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|18.29a}} Jest to rozkład kanoniczny (T,p,&mu;&omega;) mówiący jakie jest prawdopodobieństwo, że układ będzie posiadał energię E{{Sub|i}}, objętość V{{Sub|i}}, liczbę cząstek N{{Sub|i}} będących w czasie t{{Sub|i}} znajdujących się w naszym rozważanym układzie. Rozkład ciągły (T,p,&mu;&omega;) jest prawie taki sam jak w {{LinkWzór|18.29a}}, tylko w tym rozkładzie należy zastąpić wedle schematu E{{Sub|i}}&rarr; E,V{{Sub|i}}&rarr; V,N{{Sub|i}}&rarr; N i t{{Sub|i}}&rarr; t, a prawdopodobieństwo przez P(E{{Sub|i}},V{{Sub|i}},N{{Sub|i}}) należy zastąpić gęstością prawdopodobieństwa &rho;(E,V,N), że układ będzie miał wartości E, V, N i t przy stałych pozostałych parametrach. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dsve8nz9d2nslh46xvc8br6hlb0vy93 0 15991 558565 513440 2026-10-04T17:17:21Z Persino 2851 558565 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Wyprowadzenie różniczki entropii == W wielu zagadnieniach korzystaliśmy z definicji różniczki ciepła danej wzorem {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} oraz w definicjach potencjałów termodynamicznych w rozdziale: {{sr|Potencjały_termodynamiczne}}, a także korzystaliśmy z zupełności tejże różniczki w {{LinkWzór|3.4|Potencjały_termodynamiczne}}, ale nigdy nie zastanawialiśmy, że czy nasze postępowania i założenia co do zupełności tejże różniczki są prawdziwe. Korzystamy z różniczki zupełnej entropii według wzoru {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} dany wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>dS={{\delta Q}\over{T}}\;</MATH>|4.1}} Czynnik całkujący różniczki niezupełnej ciepła {{Formuła|<MATH>\delta Q\;</MATH>}} jest odwrotnością temperatury bezwzględnej T, aby różniczka napisana w punkcie {{LinkWzór|4.1}} była różniczką zupełną: {{CentrujWzór|<MATH>\nu={{1}\over{T}}\;</MATH>|4.2}} Udowodnimy, że jeśli czynnik całkujący jest w postaci wzoru {{LinkWzór|4.2}}, to różniczka entropii jest zupełna i odwrotnie. Przedstawmy równanie {{LinkWzór|4.1}}, gdzie czynnik całkujący jest napisany wedle {{LinkWzór|4.2}}, w postaci ogólnej: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\nu \delta Q\;</MATH>|4.3}} Twierdzenie do udowodnienia, która jest twierdzeniem prostym jest: {{Twierdzenie|uchwyt=A|tekst= Wzór {{LinkWzór|4.3}} jest różniczką zupełną, gdy zachodzi {{LinkWzór|4.2}}. }} Zaprzeczeniem powyższego twierdzenia jest: {{Twierdzenie|uchwyt=B|tekst= Mając definicję czynnika całkującego {{LinkWzór|4.2}} w różniczce entropii {{LinkWzór|4.3}} i udowodnijmy, że {{LinkWzór|4.3}} nie jest różniczką zupełną. }} Udowodnimy, że zaprzeczenie naszego twierdzenia jest twierdzeniem fałszywym, czyli wtedy będzie można powiedzieć, że twierdzenie proste jest twierdzeniem prawdziwym. {{sr|p=Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej#Pierwsza zasada termodynamiki|#Z pierwszej zasady termodynamiki}} według wzoru {{LinkWzór|2.9|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, ale z tego wzoru wyprowadźmy wzór na różniczkę ciepła, która jest sumą różniczki energii wewnętrznej i iloczynu ciśnienia posiadanego przez ciało i infinitezymalnej zmiany jego objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=dU+pdV\;</MATH>|4.4}} Korzystamy, że {{Formuła|<MATH>dU\;</MATH>}}, jest różniczką zupełną i rozłożymy go względem objętości i temperatury posiadanej przez nasz badany układ, to wtedy różniczka ciepła wymieniana przez nasz układ jest wyrażona przez sumę infinitezymalnych wielkości, w których grupujemy wyrazy względem tych samych różniczek zupełnych, wtedy dochodzimy więc do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}dT+pdV+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}dt=\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p)\right)dV+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}dt\;</MATH>|4.5}} Różniczka entropii, na podstawie wzoru {{LinkWzór|4.3}} i po podstawieniu do niego wzoru na infinitezymalne wymieniane ciepło między układem a otoczeniem, jest napisana wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\nu \delta Q=\nu\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p\right)dV+\nu\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}dt\;</MATH>|4.6}} Jeśli {{LinkWzór|4.3}} jest różniczką zupełną, to wtedy taką samą równoważną różniczkę, analogicznie do wzoru {{LinkWzór|4.6}}, możemy rozpisać: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,t}dV+\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,t} dT+\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{V,T} dt</MATH>|4.7}} Aby {{Formuła|<MATH>dS\;</MATH>}} była różniczką zupełną według wzoru {{LinkWzór|4.7}}, to wtedy pochodna cząstkowa pierwszego składnika sumy względem temperatury pod stałą objętością jest równa pochodnej cząstkowej drugiego składnika względem objętości pod stałą temperaturą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial }\over{\partial T}}\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,t}\right)_{V,t}=\left({{\partial}\over{\partial V}}\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\right)_{T,t}={{\partial^2 S}\over{\partial T\partial V}}</MATH>|4.8}} Korzystając z warunku {{LinkWzór|4.8}} (warunek na istnienie różniczki zupełnej entropii) dla wzoru {{LinkWzór|4.6}} na różniczkę entropii, wtedy otrzymujemy warunek na zupełność różniczki entropii: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial\nu\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p)\right)}\over{\partial T}}\right)_{V,t}=\left({{\partial \left(\nu{{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}}\over{\partial V}}\right)_{T,t}\;</MATH>|4.9}} Przekształcamy wzór {{LinkWzór|4.9}} korzystając z definicji sumy lub iloczynu pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p\right)+\nu\left({{\partial^2U}\over{\partial V\partial T}}+\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\right)=\nu{{\partial^2U}\over{\partial T\partial V}}+\left({{\partial\nu}\over{\partial V}}\right)_{T,t}\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\;</MATH>|4.10}} Z własności znanej z analizy matematycznej pamiętamy , gdy druga pochodna energii wewnętrznej jest ciągła, a także pierwsza pochodna tejże wielkości też jest ciągła, co jest własnością w termodynamice fenomenologicznej dla wielkości U, zatem zachodzi na pewno tożsamość {{Formuła|<MATH>{{\partial^2U}\over{\partial V\partial T}}={{\partial^2U}\over{\partial T\partial V}}\;</MATH>}}, czyli różniczkowanie cząstkowe jest działaniem przemiennym, tzn. nie zależy od kolejności różniczkowania dla przypadku funkcji U, wtedy dochodzimy do wniosku, że tożsamość {{LinkWzór|4.10}} piszemy wedle sposobu poniżej przy tej omawianej wcześniej w tym tekście tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p\right)+\nu\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}=\left({{\partial\nu}\over{\partial V}}\right)_{T,t}\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\;</MATH>|4.11}} Korzystamy, z definicji czynnika całkującego {{LinkWzór|4.2}}, który nie zależy od objętości, zatem pochodna cząstkowa czynnika całkującego względem objętości pod stałą temperaturą bezwzględną T jest wielkością zerową: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial\nu}\over{\partial V}}\right)_T=0\;</MATH>|4.12}} Korzystamy z warunku na ograniczenie naszego czynnika całkującego {{LinkWzór|4.12}}, to wtedy wzór {{LinkWzór|4.11}} przyjmuje bardziej uproszczoną postać: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p\right)+\nu\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}=0\;</MATH>|4.13}} We równaniu {{LinkWzór|4.13}} zastępujemy ciśnienie "p" przez prawą stronę tożsamości termodynamicznej {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} oraz wykorzystują definicję energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, a także z jednego z czterech równań Maxwella, tzn. tożsamości {{LinkWzór|3.52|Potencjały_termodynamiczne}}, to wtedy możemy wyznaczyć tożsamość poniżej, która jest zależna tylko od parametrów termodynamicznych, tzn. od temperatury, ciśnienia i na końcu od objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p=\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,t}=\left({{\partial (U-F)}\over{\partial V}}\right)_{T,t}=\left({{\partial TS}\over{\partial V}}\right)_{T,t}=T\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,t}=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}</MATH>|4.14}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|4.14}}, wtedy podstawiamy ten wzór do wzoru {{LinkWzór|4.13}} do drugiego czynnika dla pierwszego składnika sumy, wtedy ta ostatnia wspomniana tożsamość zapisujemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}+\nu\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}=0\Rightarrow\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\left[\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}T+\nu\right]=0</MATH>|4.15}} Pochodna cząstkowa:{{Formuła|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}</MATH>}} jest na ogół różna od zera (nie mówmy tutaj o procesach izotermicznych), zatem dochodzimy do wniosku, że drugi czynnik jest równy zero, niezależnie z jakimi procesami mamy do czynienia, nawet z izotermicznymi: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}T+\nu=0\Rightarrow T\partial_{V,t} \nu+\nu\partial_{V,t}T=0\Rightarrow {{\partial_{V,t} \nu}\over{\nu}}+{{\partial_{V,t} T}\over{T}}=0</MATH>|4.16}} Przecałkujmy obie strony równania {{LinkWzór|4.16}} i wyznaczmy zależność czynnika całkującego bezpośrednio od temperatury i pośrednio poprzez stałą zależną od objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\ln \nu+\ln T=\ln C(V)\Rightarrow \ln \nu=\ln C(V)-\ln T\Rightarrow \ln\nu=\ln {{C(V)}\over{T}}\Rightarrow \nu={{C(V)}\over{T}}\;</MATH>|4.17}} Dostajemy, że aby różniczka {{Formuła|<MATH>dS\;</MATH>}} było różniczką zupełną wedle warunku {{LinkWzór|4.12}}, czynnik całkujący nie zależy od objętości pod stałą temperaturą, wtedy w tyn czynniku usuwając w nim tą zależność od objętości, którą zastępujemy zwykłą stałą, zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\nu={{C(V)}\over{T}}={{\operatorname{const}}\over{T}}</MATH>|4.18}} Przyjmijmy, że stała występująca w {{LinkWzór|4.18}} jest równa jeden, czyli zachodzi warunek brzegowy {{Formuła|<MATH>\operatorname{const}=1\;</MATH>}}, zatem czynnik całkujący zapisujemy w postaci wzoru {{LinkWzór|4.2}}. Definicja {{LinkWzór|4.1}} nie jest sprzeczna zupełnością różniczki entropii, czyli&nbsp;<MATH>dS\;</MATH>&nbsp; gdy czynnikiem całkującym jest wyrażenie {{LinkWzór|4.2}}, wtedy wspomniany w tym tekście pierwszy wzór jest różniczką zupełną. Zatem zaprzeczenie naszego twierdzenia jest twierdzeniem fałszywym, zatem twierdzenie proste jest twierdzeniem prawdziwym. Zajmować się teraz będziemy twierdzeniem odwrotnym, zatem jeśli zachodzi wzór na czynnik całkujący {{LinkWzór|4.2}} we tożsamości {{LinkWzór|4.3}}, to ta wielkość opisaną tym wzorem jest również różniczką zupełną. ''Co kończy dowód.'' <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> g46c54um6uoezlhjni9l363bzs6sgbr 558566 558565 2026-10-04T17:17:38Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie różniczki entropii */ 558566 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Wyprowadzenie różniczki entropii == W wielu zagadnieniach korzystaliśmy z definicji różniczki ciepła danej wzorem {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} oraz w definicjach potencjałów termodynamicznych w rozdziale: {{sr|Potencjały termodynamiczne}}, a także korzystaliśmy z zupełności tejże różniczki w {{LinkWzór|3.4|Potencjały_termodynamiczne}}, ale nigdy nie zastanawialiśmy, że czy nasze postępowania i założenia co do zupełności tejże różniczki są prawdziwe. Korzystamy z różniczki zupełnej entropii według wzoru {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} dany wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>dS={{\delta Q}\over{T}}\;</MATH>|4.1}} Czynnik całkujący różniczki niezupełnej ciepła {{Formuła|<MATH>\delta Q\;</MATH>}} jest odwrotnością temperatury bezwzględnej T, aby różniczka napisana w punkcie {{LinkWzór|4.1}} była różniczką zupełną: {{CentrujWzór|<MATH>\nu={{1}\over{T}}\;</MATH>|4.2}} Udowodnimy, że jeśli czynnik całkujący jest w postaci wzoru {{LinkWzór|4.2}}, to różniczka entropii jest zupełna i odwrotnie. Przedstawmy równanie {{LinkWzór|4.1}}, gdzie czynnik całkujący jest napisany wedle {{LinkWzór|4.2}}, w postaci ogólnej: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\nu \delta Q\;</MATH>|4.3}} Twierdzenie do udowodnienia, która jest twierdzeniem prostym jest: {{Twierdzenie|uchwyt=A|tekst= Wzór {{LinkWzór|4.3}} jest różniczką zupełną, gdy zachodzi {{LinkWzór|4.2}}. }} Zaprzeczeniem powyższego twierdzenia jest: {{Twierdzenie|uchwyt=B|tekst= Mając definicję czynnika całkującego {{LinkWzór|4.2}} w różniczce entropii {{LinkWzór|4.3}} i udowodnijmy, że {{LinkWzór|4.3}} nie jest różniczką zupełną. }} Udowodnimy, że zaprzeczenie naszego twierdzenia jest twierdzeniem fałszywym, czyli wtedy będzie można powiedzieć, że twierdzenie proste jest twierdzeniem prawdziwym. {{sr|p=Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej#Pierwsza zasada termodynamiki|#Z pierwszej zasady termodynamiki}} według wzoru {{LinkWzór|2.9|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, ale z tego wzoru wyprowadźmy wzór na różniczkę ciepła, która jest sumą różniczki energii wewnętrznej i iloczynu ciśnienia posiadanego przez ciało i infinitezymalnej zmiany jego objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=dU+pdV\;</MATH>|4.4}} Korzystamy, że {{Formuła|<MATH>dU\;</MATH>}}, jest różniczką zupełną i rozłożymy go względem objętości i temperatury posiadanej przez nasz badany układ, to wtedy różniczka ciepła wymieniana przez nasz układ jest wyrażona przez sumę infinitezymalnych wielkości, w których grupujemy wyrazy względem tych samych różniczek zupełnych, wtedy dochodzimy więc do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}dT+pdV+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}dt=\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p)\right)dV+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}dt\;</MATH>|4.5}} Różniczka entropii, na podstawie wzoru {{LinkWzór|4.3}} i po podstawieniu do niego wzoru na infinitezymalne wymieniane ciepło między układem a otoczeniem, jest napisana wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\nu \delta Q=\nu\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p\right)dV+\nu\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}dt\;</MATH>|4.6}} Jeśli {{LinkWzór|4.3}} jest różniczką zupełną, to wtedy taką samą równoważną różniczkę, analogicznie do wzoru {{LinkWzór|4.6}}, możemy rozpisać: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,t}dV+\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,t} dT+\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{V,T} dt</MATH>|4.7}} Aby {{Formuła|<MATH>dS\;</MATH>}} była różniczką zupełną według wzoru {{LinkWzór|4.7}}, to wtedy pochodna cząstkowa pierwszego składnika sumy względem temperatury pod stałą objętością jest równa pochodnej cząstkowej drugiego składnika względem objętości pod stałą temperaturą, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial }\over{\partial T}}\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,t}\right)_{V,t}=\left({{\partial}\over{\partial V}}\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\right)_{T,t}={{\partial^2 S}\over{\partial T\partial V}}</MATH>|4.8}} Korzystając z warunku {{LinkWzór|4.8}} (warunek na istnienie różniczki zupełnej entropii) dla wzoru {{LinkWzór|4.6}} na różniczkę entropii, wtedy otrzymujemy warunek na zupełność różniczki entropii: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial\nu\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p)\right)}\over{\partial T}}\right)_{V,t}=\left({{\partial \left(\nu{{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}}\over{\partial V}}\right)_{T,t}\;</MATH>|4.9}} Przekształcamy wzór {{LinkWzór|4.9}} korzystając z definicji sumy lub iloczynu pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p\right)+\nu\left({{\partial^2U}\over{\partial V\partial T}}+\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\right)=\nu{{\partial^2U}\over{\partial T\partial V}}+\left({{\partial\nu}\over{\partial V}}\right)_{T,t}\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\;</MATH>|4.10}} Z własności znanej z analizy matematycznej pamiętamy , gdy druga pochodna energii wewnętrznej jest ciągła, a także pierwsza pochodna tejże wielkości też jest ciągła, co jest własnością w termodynamice fenomenologicznej dla wielkości U, zatem zachodzi na pewno tożsamość {{Formuła|<MATH>{{\partial^2U}\over{\partial V\partial T}}={{\partial^2U}\over{\partial T\partial V}}\;</MATH>}}, czyli różniczkowanie cząstkowe jest działaniem przemiennym, tzn. nie zależy od kolejności różniczkowania dla przypadku funkcji U, wtedy dochodzimy do wniosku, że tożsamość {{LinkWzór|4.10}} piszemy wedle sposobu poniżej przy tej omawianej wcześniej w tym tekście tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p\right)+\nu\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}=\left({{\partial\nu}\over{\partial V}}\right)_{T,t}\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\;</MATH>|4.11}} Korzystamy, z definicji czynnika całkującego {{LinkWzór|4.2}}, który nie zależy od objętości, zatem pochodna cząstkowa czynnika całkującego względem objętości pod stałą temperaturą bezwzględną T jest wielkością zerową: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial\nu}\over{\partial V}}\right)_T=0\;</MATH>|4.12}} Korzystamy z warunku na ograniczenie naszego czynnika całkującego {{LinkWzór|4.12}}, to wtedy wzór {{LinkWzór|4.11}} przyjmuje bardziej uproszczoną postać: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p\right)+\nu\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}=0\;</MATH>|4.13}} We równaniu {{LinkWzór|4.13}} zastępujemy ciśnienie "p" przez prawą stronę tożsamości termodynamicznej {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} oraz wykorzystują definicję energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, a także z jednego z czterech równań Maxwella, tzn. tożsamości {{LinkWzór|3.52|Potencjały_termodynamiczne}}, to wtedy możemy wyznaczyć tożsamość poniżej, która jest zależna tylko od parametrów termodynamicznych, tzn. od temperatury, ciśnienia i na końcu od objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}+p=\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,t}-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,t}=\left({{\partial (U-F)}\over{\partial V}}\right)_{T,t}=\left({{\partial TS}\over{\partial V}}\right)_{T,t}=T\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,t}=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}</MATH>|4.14}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|4.14}}, wtedy podstawiamy ten wzór do wzoru {{LinkWzór|4.13}} do drugiego czynnika dla pierwszego składnika sumy, wtedy ta ostatnia wspomniana tożsamość zapisujemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}+\nu\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}=0\Rightarrow\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}\left[\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}T+\nu\right]=0</MATH>|4.15}} Pochodna cząstkowa:{{Formuła|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}</MATH>}} jest na ogół różna od zera (nie mówmy tutaj o procesach izotermicznych), zatem dochodzimy do wniosku, że drugi czynnik jest równy zero, niezależnie z jakimi procesami mamy do czynienia, nawet z izotermicznymi: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial \nu}\over{\partial T}}\right)_{V,t}T+\nu=0\Rightarrow T\partial_{V,t} \nu+\nu\partial_{V,t}T=0\Rightarrow {{\partial_{V,t} \nu}\over{\nu}}+{{\partial_{V,t} T}\over{T}}=0</MATH>|4.16}} Przecałkujmy obie strony równania {{LinkWzór|4.16}} i wyznaczmy zależność czynnika całkującego bezpośrednio od temperatury i pośrednio poprzez stałą zależną od objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\ln \nu+\ln T=\ln C(V)\Rightarrow \ln \nu=\ln C(V)-\ln T\Rightarrow \ln\nu=\ln {{C(V)}\over{T}}\Rightarrow \nu={{C(V)}\over{T}}\;</MATH>|4.17}} Dostajemy, że aby różniczka {{Formuła|<MATH>dS\;</MATH>}} było różniczką zupełną wedle warunku {{LinkWzór|4.12}}, czynnik całkujący nie zależy od objętości pod stałą temperaturą, wtedy w tyn czynniku usuwając w nim tą zależność od objętości, którą zastępujemy zwykłą stałą, zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\nu={{C(V)}\over{T}}={{\operatorname{const}}\over{T}}</MATH>|4.18}} Przyjmijmy, że stała występująca w {{LinkWzór|4.18}} jest równa jeden, czyli zachodzi warunek brzegowy {{Formuła|<MATH>\operatorname{const}=1\;</MATH>}}, zatem czynnik całkujący zapisujemy w postaci wzoru {{LinkWzór|4.2}}. Definicja {{LinkWzór|4.1}} nie jest sprzeczna zupełnością różniczki entropii, czyli&nbsp;<MATH>dS\;</MATH>&nbsp; gdy czynnikiem całkującym jest wyrażenie {{LinkWzór|4.2}}, wtedy wspomniany w tym tekście pierwszy wzór jest różniczką zupełną. Zatem zaprzeczenie naszego twierdzenia jest twierdzeniem fałszywym, zatem twierdzenie proste jest twierdzeniem prawdziwym. Zajmować się teraz będziemy twierdzeniem odwrotnym, zatem jeśli zachodzi wzór na czynnik całkujący {{LinkWzór|4.2}} we tożsamości {{LinkWzór|4.3}}, to ta wielkość opisaną tym wzorem jest również różniczką zupełną. ''Co kończy dowód.'' <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> sk1aifu0x8z1t77pkcrc1uiaco87lus 0 16020 558573 513513 2026-10-04T17:37:43Z Persino 2851 558573 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Obiegami termodynamicznymi nazywamy szereg dowolnych przemian termodynamicznych, któremu podlega czynnik termodynamiczny,np.: ciśnienie, objętość, temperatura, entropia. Stan czynnika termodynamicznego na końcu pokrywa się ze stanem czynnika na początku. == Sprawność cyklu == {{Rysunek|CarnotCycle3.png|lk0|Obieg termodynamiczny w układzie T-S. Biały obszar przedstawia pracę cyklu, czerwony obszar odpowiada ciepłu wymienionemu z chłodnicą}} Sprawność cyklu jest to stosunek wartości bezwzględnej pracy wykonanej nad układem przez ciepło oddane cyklowi i wyraża się on: {{CentrujWzór|<MATH>\eta={{|\Delta W|}\over{Q}}\;</MATH>|11.1}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q\;</MATH>}} jest to energia oddana cyklowi w postaci ciepła * {{Formuła|<MATH>\Delta W</MATH>}}-praca wykonana przez cykl. Zachodzi również z {{sr|p=Zasady termodynamiki fenomenologicznej|#Pierwsza_zasada_termodynamiki|pierwszej zasady termodynamiki}} z równania {{LinkWzór|2.2|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} wynika, że zmiana energii wewnętrznej dla cyklu jest równa zero, bo energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną. {{CentrujWzór|<MATH>0=\Delta U=\Delta Q+\Delta W\;</MATH>|11.2}} Z równania {{LinkWzór|11.2}} wynika, że energia wymieniana między układem, a otoczeniem jest równa z minusem pracy wykonanej przez układ. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\;</math>|11.3}} Pracę możemy wyliczyć przy pomocy wzoru {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} i jest to pole na wykresie (p,V) ograniczonej przez cykl wziętej z minusem, gdy cykl odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara lub z plusem gdy odwrotnie. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint dW=-\oint p dV</MATH>|11.4}} A energia przekazywaną między układem a otoczeniem w postaci ciepła w cyklu możemy wyrazić w zmiennych (T,S) jako pole ograniczone przez cykl na wykresie i jest ona równa pracy wykonanej nad cyklem wziętej razem z minusem, co wynika ze wzoru {{LinkWzór|11.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=\oint TdS=\oint p dV=-\Delta W</MATH>|11.5}} === Prosty cykl === Jest to cykl, którego odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara, to całkowita energia oddana lub przejęta przez cykl jest większa lub równa zero, a praca wykonana nad cyklem jest zawsze nie większa niż zero, czyli w tym cyklu prostym zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\geqslant 0\;</math>|11.6}} Dla cyklu określmy całkowitą energię wymienianą między układem a otoczeniem na w sposób ciepła, czyli energię oddaną, przyjętą przez cykl przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_1+Q_2\;</math>|11.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q=Q_1\;</math>|11.8}}}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q_1\geqslant 0\;</math>}} jest to energia oddawana cyklowi przez grzejnik, * {{Formuła|<MATH>Q_2\leqslant 0\;</math>}} jest to energia oddawana przez cykl do chłodnicy, i dlatego ma wartość ujemną. A zatem sprawność cyklu prostego, korzystając przy tym {{LinkWzór|11.7}} (całkowita energia w postaci ciepła wymieniana między układem a otoczeniem), {{LinkWzór|11.8}} (ciepło oddane cyklowi), a także {{LinkWzór|11.6}} (związek między całkowitym ciepłem wymienianym między układem i otoczeniem z pracą wykonaną nad cyklem), to wzór {{LinkWzór|11.1}} (sprawność cyklu) przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P={{|\Delta W|}\over{Q}}={{-\Delta W}\over{Q_1}}={{Q_1+Q_2}\over{Q_1}}=1+{{Q_2}\over{Q_1}}=1-{{|Q_2|}\over{Q_1}}\leqslant 1\;</math>|11.9}} W cyklu prostym sprawność cyklu jest zawsze mniejsza niż jeden i większa niż zero, bo na pewno zachodzi warunek: {{Formuła|<MATH>Q_1-|Q_2|\geqslant 0\;</math>}}. === Odwrotny cykl === Jest to cykl, który odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara, to całkowita energia oddana lub przyjęta przez cykl jest mniejsza lub równa zero, a praca wykonana nad cyklem jest zawsze nie mniejsza niż zero, czyli w tym cyklu odwrotnym zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\leqslant 0\;</MATH>|11.10}} Dla cyklu określmy całkowitą energię wymienianą między układem a otoczeniem na w sposób ciepła i energię oddaną cyklowi wedle: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_1+Q_2\;</MATH>|11.11}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q=Q_2\;</MAth>|11.12}}}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q_1\leqslant 0\;</MATH>}} jest to energia zabierana cyklowi przez grzejnik * {{Formuła|<MATH>Q_2\geqslant 0\;</MATH>}} jest to energia oddawana układowi przez chłodnicę. Zatem sprawność cyklu odwrotnego, korzystając z {{LinkWzór|11.11}} (całkowita energia wymieniane między układem a otoczeniem na w sposób ciepła), {{LinkWzór|11.12}} (energia na w sposób ciepła oddana cyklowi), a także {{LinkWzór|11.10}} (związek między całkowitym ciepłem wymienianym między układem a otoczeniem a pracą wykonaną nad cyklem) , to wzór {{LinkWzór|11.1}} (sprawność cyklu) przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O={{|\Delta W|}\over{Q}}={{\Delta W}\over{Q_2}}={{-\Delta Q}\over{Q_2}}=-{{Q_1+Q_2}\over{Q_2}}=-{{-|Q_1|+Q_2}\over{Q_2}}={{|Q_1|}\over{Q_2}}-1\geqslant 0\;</math>|11.13}} W cyklu odwrotnym sprawność jest większa niż zero, bo zachodzi zawsze warunek {{Formuła|<MATH>|Q_1|-Q_2\geqslant 0</math>}}. == Cykle Carnota == Cyklem Carnota nazywamy obieg termodynamiczny składający się z dwóch przemian adiabatycznych i dwóch izotermicznych. Prostym cyklem Carnota nazywamy gdy obieg odbywa się zgodnie z kierunkiem ruchu zegara, odwrotnym cyklem Carnota nazywamy, gdy obieg odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara. === Prosty cykl Carnota === {{Rysunek|Carnot_pv.jpg|lk1|Cykl Carnota, gdzie: isotherm-izoterma, isentrop-adiabata}} {{Rysunek|CarnotCycle1.png|lk2|Cykl Carnota, w zmiennych T-S}} Cykl Carnota polega na dwóch przemianach izotermicznych oraz dwóch przemianach adiabatycznych. : Proces 1-2 jest to przemiana izotermiczna polegająca sprężaniu izotermicznym, w którym jest oddawana część energia w postaci ciepła do chłodnicy, która jest częścią energii zabieranej z grzejnika, przy czym nie zmienia się jego temperatura, a także jest oddawana do cyklu energia na sposób pracy. Zakładamy że pojemność cieplna chłodnicy jest nieskończenie duża, podobnie jest z grzejnikiem. : Przemiana 2-3 jest to przemiana polegająca na sprężaniu adiabatycznym, w którym jest dawana do cyklu energia na w sposób pracy, ale wcale na w sposób ciepła, bo w tym procesie ciepło właściwe jest równe zero, tzn.:{{Formuła|<math>C_{adiabata}=0</MATH>}}. : A także procesie 3-4, w którym jest dawana energia na sposób ciepłą z grzejnika, oraz zabierana jest energia na w sposób pracy, którego pojemność jest nieskończenie duża, tak by jego temperatura nie zmieniała w tym procesie izotermicznego rozprężania się gazu. : Proces 4-1 polega na adiabatycznym rozprężania, z którego jest zabierana energia na sposób pracy, ale nie na w sposób ciepła. W cyklu Carnota temperatura grzejnika {{Formuła|<MATH>T_1</MATH>}}, jest większa od temperatury chłodnicy {{Formuła|<MATH>T_2</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>T_1>T_2</MATH>}}. === Odwrotny Cykl Carnota === Jest to odwrotny cykl termodynamiczny, polegających na dwóch przemianach izotermicznych i na dwóch przemianach adiabatycznych. : Na drodze 2-1 ciepło zabierane jest z chłodnicy, w której występuje izotermiczne rozprężanie. : Na 1-4 jest to adiabata w którym występuje adiabatyczne sprężanie gazu bez wymiany ciepła z otoczeniem, tylko energia jest oddawana cyklowi w postaci wykonanej pracy. : Na 4-3 występuje izotermiczne sprężanie gazu w którym energia wewnętrzna gazu nie zmienia się, tylko ciepło jest oddawane przez cykl do grzejnika kosztem wykonanej pracy przez cykl. : Na 3-2 występuje adiabatyczne rozprężanie gazu. A więc w sumie energia dostarczona do cyklu na w sposób energii i energia na w sposób ciepła dostarczona z chłodnicy jest oddawana do grzejnika dla naszego cyklu odwrotnego, przy czym {{Formuła|<MATH>|Q_1|\geqslant |Q_2|</MATH>}}, czyli: {{Formuła|<MATH>-\Delta W=\Delta Q=Q_1+Q_2\leqslant 0</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\Delta W\geqslant 0</MATH>}}. === Sprawność prostego i odwrotnego cyklu Carnota === Niech w prostym cyklu Carnota określonym krancom od 1 do 4 odpowiadają określone współrzędne (p,V,T),a zatem mamy:{{Formuła|<MATH>1-(p_1,V_1,T_2),2-(p_2,V_2,T_2),3-(p_3,V_3,T_1),4-(p_4,V_4,T_1)\;</MATH>}} Policzmy dla poszczególnych przedziałach krańców odpowiednie prace wykonane przez gaz doskonały. Równanie gazu doskonałego przedstawia się jako {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}} . Będziemy również korzystać z równań adiabaty względem ściśle określonych dwóch parametrów termodynamicznych. Wyznaczmy prace wykonywaną przez gaz doskonały pomiędzy stanami, na które wskazują wskaźniki z prawej strony na dole. Praca wykonana między punktami 1-2 podczas przemiany izotermicznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>W_{12}=-\int^2_1 pdV=-nRT_2\int^2_1V^{-1}dV=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.14}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 2-3 podczas przemiany adiabatycznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>W_{23}=-\int^3_2pdV=-C_{23}\int^3_2V^{-\kappa}dV=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left[V^{-\kappa+1}\right]_2^3=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{\kappa}\right)</MATH>|11.15}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 3-4 podczas przemiany adiabatycznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_4\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>W_{34}=-\int^4_3pdV=-nRT_1\int^4_3V^{-1}dV=-nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}</math>|11.16}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 4-1 podczas przemiany izotermicznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_4\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>W_{41}=-\int^1_4pdV=-C_{23}\int^1_4V^{-\kappa}dV=-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left[V^{-\kappa+1}\right]_4^1=</MATH> <MATH>=-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{\kappa}\right)</MATH>|11.17}} W poniższym równaniu wykorzystujemy równanie adiabaty {{LinkWzór|7.39|Gazy_doskonałe}}, zatem określmy {{Formuła|<MATH>W_A\;</MATH>}} jako sumę prac między punktami 2-3 oraz 4-1: {{CentrujWzór|<MATH>W_A=W_{23}+W_{41}=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{-\kappa+1}\right)+-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{\kappa-1}\right)=</MATH>{{Br}} <MATH>=-{{T_1V_3^{\kappa-1}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{-\kappa+1}\right)+-{{T_1V_4^{\kappa-1}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{-\kappa+1}\right)=-{{T_1}\over{1-\kappa}}+{{T_1V_3^{\kappa-1}V_2^{-\kappa}}\over{1-\kappa}}-{{T_1V_4^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}+{{T_1}\over{1-\kappa}}=</MATH>{{Br}} <MATH>={{T_1V_3^{\kappa-1}V_2^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}-{{T_1V_4^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}} </MATH>|11.18}} Z równania adiabaty w zmiennych temperatura-objętość napisanych wedle wzoru {{LinkWzór|7.40|Gazy doskonałe}} można połączyć punkt 2 z punktem 3: {{CentrujWzór|<MATH>T_2V_2^{\kappa-1}=T_1V_3^{\kappa-1}</MATH>|11.19}} Również też dla tego samego równania adiabaty, ale dla innej linii w cyklu Carnota można połączyć punkt 4 z punktem 1. {{CentrujWzór|<MATH>T_2V_1^{\kappa-1}=T_1V_4^{\kappa-1}</MATH>|11.20}} Wykorzystujemy równania {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}, wtedy równanie {{LinkWzór|11.18}} przyjmuje postać poniżej i jak się przekonamy, to wyrażenie jest równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>W_A={{T_2V_2^{\kappa-1}V_2^{-\kappa+1}-T_2V_1^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}= {{T_2-T_2}\over{1-\kappa}}=0</MATH>|11.21}} Dochodzimy, że praca wykonana między punktami 2-3 i 4-1 nic nie wnosi do cyklu Carnota. Wyznaczmy prace w cyklu w sumie dla punktów 1-2 i dla 3-4, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>W_T=W_{12}+W_{34}=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}-nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}</MATH>|11.22}} Z równania adiabaty w zmiennych T,V dla cyklu Carnota mamy wzory można połączyć punkty 1-4 i 2-3, wtedy otrzymujemy dwie poniższe tożsamości łączące wspomniane punkty: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T_2V_4^{\kappa-1}=T_1V_1^{\kappa-1}</MATH>|11.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH>T_2V_3^{\kappa-1}=T_1V_2^{\kappa-1}</MAtH>|11.24}}}} Podzielmy stronami równania {{LinkWzór|11.23}} i {{LinkWzór|11.24}} przez siebie, wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MatH>{{V_3}\over{V_4}}={{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.25}} Zależność {{LinkWzór|11.25}} mówiący, że stosunek objętości w punktach 3-4 jest taki sam jak stosunek objętości w punktach 2-1, i ten stosunek wykorzystujemy w równaniu {{LinkWzór|11.22}}, tzn. podstawiając do niego, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>W_T=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}+nRT_1\ln {{V_2}\over{V_1}}=nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.26}} Policzmy sprawność cyklu prostego Carnota: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P_C={{-W_T-W_A}\over{-W_{34}}}={{-nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}}\over{nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}}}= {{-nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}}\over{-nRT_1\ln {{V_2}\over{V_1}}}}={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.27}} Sprawność cyklu prostego Carnota przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_C^P={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.28|Obramuj}} Wyznaczmy sprawność cyklu odwrotnego Carnota, ale przedtem policzmy prace: {{Formuła|<MATH>W^O_T</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>W^O_A</MAtH>}}, tak ja poprzednio {{LinkWzór|11.21}}, {{LinkWzór|11.26}} dla cyklu prostego, poprzez zamianę 1 na 2 i 2 na 1, wtedy otrzymujemy naszą sprawność: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O_C={{W^0_T+W^0_A}\over{-W_{12}}}={{nR(T_1-T_2)\ln {{V_1}\over{V_2}}}\over{nRT_2\ln{{V_1}\over{V_2}}}}={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.29}} Sprawność cyklu odwrotnego Carnota przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MaTH>\eta_C^O={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.30|Obramuj}} Udowodniliśmy powyżej, że praca wykonana przez obie przemiany adiabatyczne, tzn.:2-3 oraz 4-1 jest sumarycznie równa zero. A zatem praca i ciepło czy to dostarczone do układu czy oddawane jest tylko wynikiem dwóch przemian izotermicznych. Widzimy, że sprawności cyklu Carnota jak i prostego i odwrotnego jest zależna zarówno od temperatury grzejnika T{{Sub|1}}, jak i od temperatury chłodnicy T{{Sub|2}}. === Sprawność prostego dowolnego cyklu względem prostego cyklu Carnota === Dla dowolnej przemiany odwracalnej, czy to dla cyklu prostego lub odwrotnego zmiana entropii jest równa zero, ponieważ entropia posiada różniczkę zupełną: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_C=0\;</MATH>|11.31}} A także cykl Carnota jest cyklem odwracalnym. Zmiana entropii dla grzejnika i chłodnicy, gdzie {{Formuła|<MATH>\Delta S_{GC}</MATH>}}, to zmiana entropii grzejnika i chłodnicy, razem z cyklem wyraża się według: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_C+\Delta S_{GC}\geqslant 0\Rightarrow\Delta S_{GC}\geqslant 0</MATH>|11.32}} Zmiana entropii w dowolnym układzie termodynamicznym jest zawsze większa lub równa zero, z drugiej zasady termodynamiki całkowita zmiana entropii w cyklu jest sumą zmian entropii grzejnika i chłodnicy. Ciepło dostarczone do cyklu przez grzejnik Q{{Sub|1}} dla grzejnika jest to ciepło oddane, wiec jest przyjęte w nim ze znakiem minus, podobnie jest dla chłodnicy, cykl oddaje ciepło do chłodnicy, więc ono ma znak ujemny, ale ponieważ dla chłodnicy jest to ciepło przyjęte , to określamy je ze znakiem minus, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{-Q_1}\over{T_1}}+{{-Q_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.33}} Z {{LinkWzór|11.33}}, które otrzymaliśmy z drugiej zasady termodynamiki, to wtedy możemy napisać, iloraz energii ciepła oddawanego do chłodnicy Q{{Sub|2}} przez cykl, przez ciepło oddawane do cyklu Q{{Sub|1}} przez grzejnik: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_2}\over{Q_1}}\leqslant -{{T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.34}} Na podstawie wzoru na sprawność cyklu prostego {{LinkWzór|11.9}} i nierówności {{LinkWzór|11.34}} możemy napisać sprawność dowolnego cyklu: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=1+{{Q_2}\over{Q_1}}\leqslant 1-{{T_2}\over{T_1}}={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.35}} Ostatecznie z {{LinkWzór|11.35}} sprawność tego samego cyklu względem sprawności w cyklu Carnota {{LinkWzór|11.28}} jest wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P\leqslant {{T_1-T_2}\over{T_1}}> 0</MATH>{{Tekst|, bo }}<MATH>T_1> T_2\;</MATH>|11.36|Obramuj}} Sprawność dowolnego prostego cyklu {{LinkWzór|11.36}} jest zawsze mniejsza lub równa od sprawności cyklu Carnota. === Sprawność odwrotnego dowolnego cyklu względem odwrotnego cyklu Carnota === Zmiana entropii cyklu Carnota jest równa zero {{Formuła|<MATH>\Delta S_C=0\;</MATH>}}, bo jest cyklem odwracalnym i entropia posiada różniczkę zupełną. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy jest zawsze większa od zera lub jej równa zgodnie z drugą zasadą termodynamiki. Jeśli weźmiemy energie oddawane do grzejnika i zabierane od chłodnicy, i te energię oznaczać będziemy odpowiednim znakiem. A energie {{Formuła|<MATH>Q_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Q_2\;</MATH>}} mają odpowiednie znaki względem czy energia jest oddawana lub dodawana do naszego badanego cyklu. Energia jest oddawana do grzejnika od cyklu, więc ona posiada wartość ujemną względem cyklu, zatem przed {{Formuła|<MATH>Q_1\;</MATH>}} musi postawić dodatkowy znak minus, jeśli przedstawić względem grzejnika (bo dla grzejnika ciepło -Q{{Sub|1}} ma wartość dodatnią), a od chłodnicy do cyklu jest oddawana energia w postaci ciepła, więc znak tej energii względem cyklu jest dodatni, zatem przez {{Formuła|<MATH>Q_2\;</MATH>}} musi występować znak minus by mięć tą energię względem chłodnicy (bo dla chłodnicy to ciepło jest od niego zabierane, więc -Q{{Sub|2}} ma wartość ujemną), zatem całkowita zmiana entropii jest sumą zmian entropii grzejnika i chłodnicy i z drugiej zasady termodynamiki jest zawsze nie mniejsza niż zero. {{CentrujWzór|<MATH>{{-Q_1}\over{T_1}}+{{-Q_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.37}} Po pomnożeniu przez {{Formuła|<MATH>-1</MATH>}} i po przegrupowaniu wyrazów w nierówności {{LinkWzór|11.37}}, tak by energia w postaci ciepła oddawana grzejnikowi Q{{Sub|1}} znajdowała się na jego lewej stronie, a energia w postaci ciepła zabierana z chłodnicy Q{{Sub|2}} była po prawej stronie, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_1}\over{T_1}}\leqslant -{{Q_2}\over{T_2}}</MATH>|11.38}} Po podzieleniu przez {{Formuła|<MATH>Q_2>0\;</math>}}, która dla cyklu odwrotnego ma wartość dodatnią i pomnożeniu przez wartość zawsze dodatnią,tzn. {{Formuła|<MATH>T_1\;</MATH>}} obu stron równania {{LinkWzór|11.38}}, wtedy dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_1}\over{Q_2}}\leqslant -{{T_1}\over{T_2}}</MATH>|11.39}} Jeśli skorzystamy z nierówności {{LinkWzór|11.39}} możemy otrzymać sprawności dowolnego cyklu odwrotnego względem sprawności odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=-{{Q_1+Q_2}\over{Q_2}}=-{{Q_1}\over{Q_2}}-1\geqslant{{T_1}\over{T_2}}-1={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.40}} Ostatecznie z dysput {{LinkWzór|11.40}} wynika, że sprawność dowolnego cyklu jest zawsze nie mnieJsza niż sprawność odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}. {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O\geqslant{{T_1-T_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.51|Obramuj}} Sprawność dowolnego odwrotnego cyklu Carnota jest zawsze większa lub równa sprawności odwrotnego cyklu Carnota. == Silnik cieplny == {{Rysunek|Carnot heat engine 2.svg|lk3|'''Schemat energetyczny silnika cieplnego'''}} Jest to urządzenie, która zamienia energię w postaci ciepła częściowo w energię mechaniczną. Silniki cieplne pobierają energię z grzejnika i oddają część tej energii do chłodnicy, a reszta energii jest zamieniana na pracę. Ilość energii jaki zyskuje silnik jest zawsze większa od zera, a praca jest wykonywana przez silnik. Relacja między pracą, a energią cieplną jaką zyskuje silnik spełnia relację: {{CentrujWzór|<MATH>0\leqslant \Delta Q=-\Delta W\;</MATH>|11.52}} Silniki cieplne działają w oparciu o prosty cykl, którego sprawność jest mniejsza od cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}. Jeśli oznaczymy {{Formuła|<MATH>T_1</MATH>}} jako temperatura grzejnika, a {{Formuła|<MATH>T_2</MATh>}} temperatura chłodnicy, to całkowita sprawność silnika spełnia warunek: {{CentrujWzór|<math>\eta^P={{W}\over{Q_H}}={{Q_H-Q_C}\over{Q_H}}\leqslant{{T_H-T_C}\over{T_H}}</MATH>|11.53}} gdzie * {{Formuła|<MATH>Q_H</MATH>}} - jest to ciepło oddane z grzejnika do silnika cieplnego, * {{Formuła|<MATH>Q_C</MATH>}} - jest to ciepło oddane z silnika do chłodnicy, * {{Formuła|<MATH>T_H</MATH>}} - to temperatura grzejnika, {{Formuła|<maTh>T_C</MATH>}}-temperatura chłodnicy. Zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>Q_H-Q_C=|W|\geqslant 0</MATH>|11.54}}. Maksymalną sprawność jaką uzyskuje silnik w którym sumaryczna zmiana entropii grzejnika i chłodnicy uzyskuje wartość zero i wtedy silnik ma sprawność cyklu Carnota. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy spełnia wtedy warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_{H}=-\Delta S_{C}\;</MATH>|11.55}} == Pompa ciepła == {{Rysunek|Heatpump.svg|lk5|Schemat prostej sprężarkowej pompy ciepła 1) skraplacz, 2) zawór dławiący (lub kapilara), 3) parownik, 4) sprężarka.}} Jest to obieg termodynamiczny przebiegającej odwrotnie ze wskazówkami zegara, polega na przekazywaniu energii od chłodnicy kosztem wykonanej pracy, która jest dodatnia i dalej ona jest przekazywana do grzejnika wraz z tym ciepłem pochodzących z chłodnicy. Ilość energii przezywana do grzejnika w postaci ciepła jest większa niż ciepło odbierane od chłodnicy. Tak to się dzieje, bo trzeba uwzględnić energii wykonaną w postaci pracy, która jest przekazywana do cyklu. Relacja między pracą, a energią cieplną jaką zyskuje silnik spełnia relację: {{CentrujWzór|<MATH>0\leqslant \Delta W=-\Delta Q</MATH>|11.56}} gdzie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_H+Q_C\;</MATH>|11.57}} Sprawność pomp cieplnych jest większa lub równa niż sprawność odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.28}} i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O={{W}\over{Q_C}}={{|Q_H|-Q_C}\over{Q_C}}\geqslant{{T_H-T_C}\over{T_C}}</MATH>|11.58}} Minimalną sprawność jaką uzyskuje silnik w którym sumaryczna zmiana entropii grzejnika i chłodnicy uzyskuje wartość zero i wtedy silnik ma sprawność odwrotnego cyklu Carnota. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy spełnia wtedy warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_{H}=-\Delta S_C\;</MATH>|11.59}} == Cykl Diesla == {{Rysunek|CyklDiesla_pV.png|l2|Cykl Diesla w układzie p-V}} Cyklem Diesla (obieg Diesla) nazywamy prosty (prawozbieżny) obieg termodynamiczny, w którym występują dwa cykle adiabatyczne, jedna izochora i izobara. Cykl Diesla jest obiegiem porównawczym silnika wysokoprężnego (silnika Diesla). : 1 - jest to przemiana polegająca na rozprężaniu izobarycznym gazu przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} od objętości:{{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, przy czym tutaj występuje ochładzanie gazu : 2 - jest to przemiana polegająca na rozprężaniu adiabatycznym gazy od objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} i ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} do objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} i ciśnienia {{Formuła|<math>p_2\;</MATH>}}. : 3 - jest to przemiana polegająca izochorycznym chłodzeniu gazu przy objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} : 4 - jest to przemiana polegająca na adiabatycznym sprężaniu gazu od objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} i ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} i ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}. === Sprawność cyklu Diesla === Będziemy przeprowadzać obliczenia dla cyklu Diesla w celu wyznaczenia jego sprawności. Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 1 jest równe, na którym ciśnienie pozostaje stałe i jest równe {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=C_pn\int^{V_2}_{V_1}dT=C_pn\int^{V_2}_{V_1}d{{pV}\over{nR}}= {{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)>0\;</MATH>|11.60}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 2 na odcinku adiabatycznym jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_2=0\;</MATH>|11.61}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 3 na którym objętość jest stała i wynosi {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} a ciśnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_2\;</maTh>}} do {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}, zatem ta energia jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Q_3=C_Vn\int^{p_1}_{p_2}dT=C_Vn\int^{p_1}_{p_2}d{{pV}\over{nR}}= {{C_vV_3}\over{R}}(p_1-p_2)<0\;</MATH>|11.62}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 4, który jest odcinkiem adiabatycznym jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_4=0\;</MATH>|11.63}} Współczynnik sprawności prostego cyklu Diesla, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|11.9}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MAth>\eta={{Q_3+Q_1}\over{Q_1}}={{{{C_vV_3}\over{R}}(p_1-p_2)+{{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)}\over{{{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)}}=1-{{C_v}\over{C_p}}{{{{p_2}\over{p_3}}-{{p_1}\over{p_3}}}\over{{{V_2}\over{V_3}}-{{V_1}\over{V_3}}}}\;</MATH>|11.64}} Z równań adiabaty zachodzą łączące punkty krańcowe na odcinku 2 oraz 4 można napisać dwa brzegowe warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>p_3V_2^{\kappa}=p_2V_3^{\kappa}\Rightarrow {{p_2}\over{p_3}}=\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa}\;</MATH>|11.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>p_1V_3^{\kappa}=p_3V_1^{\kappa}\Rightarrow{{p_1}\over{p_3}}=\left({{V_1}\over{V_3}}\right)^{\kappa}\;</MATH>|11.66}}}} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|11.65}} i {{LinkWzór|11.66}}, zatem sprawność cyklu prostego Diesla {{LinkWzór|11.64}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<maTH>\eta=1-{{C_v}\over{C_p}}{{\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa}-\left({{V_1}\over{V_3}}\right)^{\kappa}}\over{{{V_2}\over{V_3}}-{{V_1}\over{V_3}}}}= 1-{{C_v}\over{C_p}}\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa-1}{{1-\left({{V_1}\over{V_2}}\right)^{\kappa}}\over{1-{{V_1}\over{V_2}}}}\;</MATH>|11.67}} Sprawność cyklu Diesla według {{LinkWzór|11.67}} wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=1-{{C_v}\over{C_p}}\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa-1}{{1-\left({{V_1}\over{V_2}}\right)^{\kappa}}\over{1-{{V_1}\over{V_2}}}}\;</MATH>|11.68|Obramuj}} '''gdzie''': * {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} dla gazu doskonałego zachodzi {{LinkWzór|7.40|Gazy doskonałe}}. == Cykl Otta == {{Rysunek|Cykl_Otta.png|l1|Cykl Otta w układzie p-V}} Cykl Otta - odwracalny cykl termodynamiczny w którym występują cztery z procesów elementarnych: : '''0''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izobarycznym przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} od objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} : '''1''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izochorycznym, przy objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}. : '''2''' - przemiana polegająca na sprężaniu adiabatycznym (na wykresie 3), od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} i objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} i objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}. : '''3''' - przemiana polegająca na chłodzeniu izochorycznym przy objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}, od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} : '''4''' - rozprężaniu adiabatycznym od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} przy objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} przy objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}. : '''5''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izobarycznym przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} od objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} === Sprawność cyklu Otta === Będziemy przeprowadzać obliczenia dla cyklu Otta w celu wyznaczenia sprawności tegoż obiegu. Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 4 i 2 na tych odcinkach adiabatycznych jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_4=Q_2=0\;\;</MATH>|11.69}} Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 1, w którym objętość się nie zmienia i wynosi {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, a ciśnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} i ta energia jest zatem równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=C_vn\int dT=C_vn\int d\left({{pV}\over{nR}}\right)={{C_v}\over{R}}V_2(p_3-p_1)>0\;\;</MATH>|11.70}} Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 3, w którym objętość się nie zmienia i wynosi {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} a cisnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}}, ta energia jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_3=C_vn\int dT=C_vn\int d\left({{pV}\over{nR}}\right)={{C_v}\over{R}}V_1(p_2-p_4)<0\;\;</MATH>|11.71}} Sprawność cyklu Otta, który jest cyklem odwrotnym na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.13}} i na podstawie wcześniejszych obliczeń wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>\eta={{-Q_1-Q_3}\over{Q_1}}=-1-{{Q_3}\over{Q_1}}=-1-{{{{C_v}\over{R}}V_1(p_2-p_4)}\over{{{C_v}\over{R}}V_2(p_3-p_1)}}=-1-{{V_1}\over{V_2}}{{(p_2-p_4)}\over{p_3-p_1}} \;\;</MATH>|11.72}} Z równań adiabaty łączące krańcowe punkty na przemianach 2 oraz 4 zachodzą warunki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p_4V_1^{\kappa}=p_3V_2^{\kappa}</MATH>|11.73}} |2={{CentrujWzór|<MATH>p_2V_1^{\kappa}=p_1V_2^{\kappa}</MATH>|11.74}} }} Z równań {{LinkWzór|11.73}} (przemiana 2) i {{LinkWzór|11.74}} (przemiana 4) wynika równanie: {{CentrujWzór|<math>(p_2-p_4)V_1^{\kappa}=(p_1-p_3)V_2^{\kappa}\Rightarrow {{p_2-p_4}\over{p_3-p_1}}=-\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa}\;\;</MATH>|11.75}} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|11.75}} i podstawiając to równanie do wzoru sprawność cyklu {{LinkWzór|11.72}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=-1-{{V_1}\over{V_2}}{{p_2-p_4}\over{p_3-p_1}}=-1+{{V_1}\over{V_2}}\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa}=-1+\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa-1}\;\;</MATH>|11.76}} Stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.40|Gazy_doskonałe}}. Ostatecznie sprawność cyklu Otta według {{LinkWzór|11.76}} przedstawia się ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa-1}-1\;\;</MATH>|11.77|Obramuj}} Sprawność cyklu Otta jest zależna od objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MatH>V_2\;</Math>}} i od współczynnika {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}, który dla gazu doskonałego jest większa niż jeden według wzoru {{LinkWzór|7.40|Gazy_doskonałe}} i związku {{LinkWzór|7.42|Gazy_doskonałe}}, zatem sprawność cyklu Otta jest zawsze większa niż zero, tak jak powinno. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> a73kd4i1ys2xaz1ye8t3e5lgzoi84u0 0 16029 558572 513407 2026-10-04T17:33:49Z Persino 2851 558572 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Stany diag.png|lk1|Przykładowy wykres stanów równowagi}} Przemiany fazowe są to przemiany, w którym występuje zmiana fazy gazu, których operujemy, one występują wśród krzywych termodynamicznych stanów równowagi. Gdy faza nie jest w stanie równowagi z pozostałymi fazami, to wtedy nie występuje żadna, że przemian wymienionych poniżej. Strzałki na wykresie oznaczają kierunki przemiany, przy czym nazwy na rysunku są skrótami pierwszych liter nazw przemian. Symbole przemian pojawiają się w tytułach danego zagadnienia, jako przemiany X-Y(np.: S-R), gdzie X(=S) i Y(=R) oznaczają kolejne przemiany między fazami. == Sublimacja,resublimacja-przemiany S-R == Sublimacja Jest to przemiana, w którym występuje przejście, ze stanu stałego w stan gazowy z pominięciem fazy ciekłej. Resublimacja jest to proces odwrotny. Obie powyższe przemiany występuje, gdy istnieje stan równowagi między ciałem stałym a gazem. == Parowanie, wrzenie, skraplanie-przemiany P-Sk == Parowanie jest przemiana, w której ze stanu ciekłego substancja przechodzi w stan gazowy, w tej przemianie występuje parowanie z powierzchni cieczy Wrzenie jest to parowanie cieczy z całej objętości, gdy substancja osiągnęła temperaturę wrzenia. Skraplanie jest to przejście ze stanu gazowego w stan ciekły. Powyższe przemiany występują, gdy istnieje stan równowagi termodynamicznej między cieczą a gazem. == Krystalizacja, topnienie-przemiana K-T == Krystalizacja jest to przemiana w którym substancja ze stanu ciekłego, przechodzi w stan stały. Topnienie jest to przemiana w którym występuje przejście substancji ze stanu stałego w stan ciekły. Obie te przemiany występują, gdy istnieje stan równowagi między ciałem stałym a cieczą. == Punkt krytyczny == Punkt krytyczny to warunki krytyczne definiujące stan układu fizycznego oddzielające stany o odmiennych właściwościach (ciecz - para nasycona), w którym nie można rozróżnić obu stanów (cieczy i pary nasyconej). Na przykład: dla czystych substancji - gazów punkt krytyczny oznacza temperaturę krytyczną (i odpowiadające mu ciśnienie krytyczne, czyli maksymalne ciśnienie nad daną cieczą), powyżej której nie można skroplić gazu niezależnie od wielkości ciśnienia. Jest to punkt krytyczny trójwymiarowy (układ o 3 stopniach swobody translacji - 3D). Parametry krytyczne oznacza się często indeksem "cr", "c" lub "kr", czasami z dodatkiem "2D" ("2") lub "3D" ("3") w zależności od tego jakiego układu dotyczą, np. T3c. Dla gazów parametry krytyczne można określić na podstawie współczynników odpowiedniego równania stanu, np. równanie van der Waalsa, w przypadku gazów zaadsorbowanych na powierzchni (układ 2-wymiarowy) warunki krytyczne będą się różniły. Podobnie dla pewnych innych zjawisk związanych z dwoma wymiarami (2D). Wiele tzw. przejść fazowych również zachodzi jedynie w warunkach powyżej lub poniżej pewnych wartości krytycznych, np. gęstości, temperatury, ciśnienia. punkt krytyczny dla ciekłych układów wieloskładnikowych oznacza stan w którym zanika różnica pomiędzy współistniejącymi fazami ciekłymi - dla wielu mieszanin ciekłych istnieją obszary (określone przede wszystkim przez krytyczne temperatury), w których istnieje całkowita mieszalność oraz obszary, gdzie istnieje ograniczenie rozpuszczalności, a więc w pewnym przedziale stężeń współistnieją (zwykle dwie) odrębne fazy - np. faza A nasycona składnikiem B oraz faza B nasycona składnikiem A. == Stan nadkrytyczny == Stan nadkrytyczny - jest to taki stan danej substancji, w którym temperatura i ciśnienie są większe od ciśnienia i temperatury punktu krytycznego danej substancji. W punkcie krytycznym zanika różnica gęstości między fazą ciekłą a gazową danej substancji, więc w stanie nadkrytycznym nie istnieje granica między cieczą a gazem. Z definicji tego stanu wynika, że przez podniesienie ciśnienia nie można skroplić takiej substancji, tak jak jest to możliwe dla gazu poniżej temperatury krytycznej (zwanego parą). Właściwości fizyczne substancji znajdujących się w tym stanie takie jak gęstość, współczynnik dyfuzji, przenikalność elektryczna i lepkość zależą silnie od temperatury i ciśnienia, w znacznie większym stopniu niż w stanie ciekłym, ale mniejszym niż w gazowym. == Punkt potrójny == Jest to punkt na wykresie stanów równowagi, w którym może występować dana substancja w trzech stanach, wtedy substancja w tym punkcje występuje w trzech fazach, według '''Reguły faz Gibbsa'''. Występuje ona wyniku przecięcia krzywych równowagi fazowej, tzn.:ciało stałe-ciecz,ciecz-gaz. === Punkt potrójny wody === Jest to stan termodynamiczny, w którym woda występuje w trzech stanach skupienia,tzn.: gaz, ciecz, ciała stałe. Ten stan występuje przy ciśnieniu p=611,73 Pa, temperaturze t={{C|0,01}} (273,16 K). == Ciepło przemian fazowych == Załóżmy, że nasza substancja ma pewną masę, ta substancja ulega np. parowaniu, topnieniu i inne zjawiskom, w którym występuje przemiana układu z bardziej uporządkowanego do układu mniej uporządkowanego, np.lodu do cieczy lub odwrotnie. {{CentrujWzór|<MATH>Q=q m\;</MATH>|10.1}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q\;</MATH>}} ciepło topnienia (parowania), * {{Formuła|<MATH>q\;</MATH>}} współczynnik topnienia * {{Formuła|<MATH>m\;</MATH>}} masa ciała, który ma uleć topnieniu. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> c9n4pf6z55dfzskn8f7hb1m4lb21fwe 0 16041 558664 467588 2026-10-05T02:29:44Z Persino 2851 558664 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Metoda najmniejszej wiarygodności zajmuje się gęstością uzyskania danego pomiaru w zależności od estymowanego parametru, a także zajmuje się ilorazem wiarygodności, czy nawet funkcją wiarygodności zależącą od parametru estymowanego {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}</MATH>}}. == Iloraz wiarygodności, funkcje i logarytmiczne funkcje wiarygodności == Niech estymowanym parametrem będzie n-wymiarowy wektor, to wartość oczekiwana estymatora S(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) {{LinkWzór|6.1|Pobieranie_próby}}, którego elementy można przedstawić w postaci ogólnej &lambda;{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\lambda}=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</MATH>|7.1}} A także niech mamy też macierz o "n" kolumnach, który każdy wiersz przedstawia "n" wyników uzyskanych w wyniku doświadczenia, który każdy taki pomiar charakteryzuje inną wielkość fizyczną, a tych serii jednoczesnych pomiarów różnych wielkości fizycznych jest "m": {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}=(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,...,\mathbf{x}_n)=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{21}&\cdots&x_{n1}\\ x_{12}&x_{22}&\cdots&x_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{1m}&x_{2m}&\cdots&x_{nm} \end{bmatrix}</MATH>|7.2}} Niech mamy gęstość prawdopodobieństwa, że w pomiarze uzyskamy ściśle określony macierz pomiarów (<strong>x</strong>{{Sub|1}},<strong>x</strong>{{Sub|2}},...,<strong>x</strong>{{Sub|n}}) {{LinkWzór|7.2}} w zależności od estymowanego wektora (&lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}) napisanych w punkcie {{LinkWzór|7.1}}, zatem nasz rozważany obiekt statystyczny można napisać ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=f(\mathbf{x},\vec{\lambda})</MATH>|7.3}} Infinitezymalne prawdopodobieństwo uzyskania jednocześnie macierzy pomiarów dla macierzy o "n" kolumnach różnych "n" wielkości fizycznych {{LinkWzór|7.2}} w kolejnych seriach jest: {{CentrujWzór|<MATH>dP=f(\mathbf{x},\vec{\lambda})d\mathbf{x}</MATH>|7.4}} Jeśli nasze doświadczenie jest przeprowadzone w n-próbach, to nasze infinitezymalne prawdopodobieństwo, w analogii do wzoru {{LinkWzór|7.4}} uzyskania różnych wielkości fizycznych wyników pomiarów w danej próbie w zależności od numeru próby "i" i wektora parametrów estymowanych {{LinkWzór|7.1}} jest napisana według wyrażenia zależnego od wspomnianego wskaźnika: {{CentrujWzór|<MATH>dP^{i}=f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.5}} Wektor uzyskania wyników n różnych pomiarów uzyskanych w danej próbie o numerze "i" jest przestawiona symbolem {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^i</MATH>}}, która jest wielkością statystyczną napisanej w punkcie {{LinkWzór|7.5}}. Ilorazem wiarygodności nazywamy iloraz iloczynu N funkcji gęstości prawdopodobieństwa, których każda zależy od wektora n-wymiarowego pomiarów różnych wielkości fizycznych {{LinkWzór|7.2}} uzyskanych w danej próbie, dla którego ta gęstość prawdopodobieństwa dotyczy. Natomiast wszystkie te gęstości prawdopodobieństwa zależą od tego samego wektora estymowanych parametrów {{LinkWzór|7.1}}. Należy pamiętać, że w ilorazie wiarygodności w mianowniku występuje ten sam wyraz co w liczniku, ale dla innego wektora estymowanych parametrów estymowanych {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}_2\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q={{\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda}_1)}\over{\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda}_2)}}</MATH>|7.6}} Funkcją wiarygodności nazywamy funkcję zdefiniowanej w postaci iloczynu funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych prób "i" przy danym wektorze parametru estymowanego, których jak powiedziano wcześniej, każda taka gęstość prawdopodobieństwa zależy od wektora pomiarów {{LinkWzór|7.1}} wykonanych w danej próbie o numerze "i" {{CentrujWzór|<MATH>L=\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.7}} Logarytmiczną funkcją wiarygodności nazywamy logarytm naturalny funkcji wiarygodności L zdefiniowanych w punkcie {{LinkWzór|7.7}}, która jak można udowodnić, można ją przedstawić jako suma logarytmów gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych prób: {{CentrujWzór|<MATH>l=\ln L=\ln\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})=\sum^N_{i=1}\ln f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.8}} Pochodną logarytmiczną gęstości prawdopodobieństwa dla próby i-tej nazywamy funkcję, która jest pochodną kierunkową funkcji logarytmicznej {{LinkWzór|7.8}} względem parametru estymowanego&nbsp;{{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}&nbsp; i jak można udowodnić, że jest to iloraz pochodnej kierunkowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa policzonej przy parametrze {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}} podzielonej przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa "f": {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})={{d\ln f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}\over{d\vec{\lambda}}}={{1}\over{f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}}{{d f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}\over{d\vec{\lambda}}}={{f^'_{\vec{\lambda}}}\over{f}}={{\nabla\cdot f}\over{f}}</MATH>|7.9}} W rozważanym wzorze przyjmowaliśmy, że: {{Formuła|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda});</MATH>}} jest to pochodna logarytmiczna gęstości prawdopodobieństwa względem parametru estymowanego {{LinkWzór|7.1}} dla próby i-tej. Wielkość statystyczna {{Formuła|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})\;</MATH>}} jest wektorem n-wymiarowym, i posiada elementów tyle co ilość estymowanych elementów wektora {{LinkWzór|7.1}}. Zatem pochodna funkcji logarytmicznej {{LinkWzór|7.8}} nazywamy funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>l^'_{\vec{\lambda}}=\sum^N_{i=1}\varphi(\vec{x^i},\vec{\lambda})=\sum^N_{i=1}{{f^'_{\vec{\lambda}}}\over{f}}</MATH>|7.10}} Gdy rozważamy logarytmiczną funkcją wiarygodności {{LinkWzór|7.8}}, to możemy wyznaczyć najlepsze parametry estymowane {{LinkWzór|7.1}}, w tym celu należy wyznaczyć pochodną cząstkową względem parametru {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}}, jeśli parametrów estymowanych jest jeden, dla danego elementu jednowymiarowego wektora estymowanego, dla której logarytmiczna funkcja wiarygodności przejmuje wartość ekstremalną (w tym przypadku maksymalną), dla której pochodna funkcji logarytmicznej funkcji warygodności przyjmuje wartość zero. W ogólnym przypadku, gdy wektor estymowanych parametrów nie jest jednowymiarowy, tylko ma n-parametrów, to pochodna kierunkowa funkcji {{LinkWzór|7.8}} względem wektora parametrów estymowanych {{LinkWzór|7.1}}, który jest jak w matematyce napisana z definicji, jest równy n-wymiarowemu wektorowi, która każdy taki element przedstawia pochodną cząstkową funkcji "l" względem innej współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial l}\over{\partial\vec{\lambda}}}=\vec{0}\Rightarrow{{\partial l}\over{\partial \lambda_i}}=0\mbox{ dla i=1,2,...,n}</MATH>|7.11}} Jeśli chcemy wyznaczyć najbardziej prawdopodobne parametry estymowane, to każdą taką pochodną cząstkową w n-wymiarowym wektorze należy przyrównać do zera i mając n równań możemy wyznaczyć te parametry. == Estymatory o minimalnym obciążeniu względem parametru λ == Estymator S {{LinkWzór|6.1|Pobieranie_próby}} nazywamy nieobciążonym, jeśli jego wartość oczekiwana jest równa wartości estymowanego parametru. Wariancja estymowanego parametru zgodnie {{LinkWzór|6.3|Pobieranie_próby}} wynosi zero, jeśli ten estymator jest zgodny. Ale my tym razem przyjmijmy, że tak nie jest, ale weźmy tym razem, że funkcja B(&lambda;) (definicja poniżej) jest liczbą możliwie najmniejszą (nie musi być równa zero), wtedy jego pochodna zupełna względem tego parametru estymowanego przyjmowała wartość zero (ale tym razem parametr estymowany {{LinkWzór|7.1}} jest wektorem jednoelementowym, niż w poprzednim podrozdziale). Funkcję B(&lambda;) definiujemy jako różnicę wartości estymatora S i wartości estymowanej &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>B(\lambda)=E(S)-\lambda\;</MATH>|7.12}} Powyższe stwierdzenia są niewystarczający by stwierdzić, by S był dobrym estymatorem, należało by także zażądać, by wariancja estymowanego parametru {{Formuła|<MATH>\sigma(S)\;</MATH>}} przyjmowała wartość najmniejszą, a w szczególnym przypadku ma przyjmować wartość według wzoru napisanego {{LinkWzór|6.3|Pobieranie_próby}}. Aby wyznaczyć funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa w N próbach przy pomocy cząstkowych funkcji rozkładu w poszczególnych próbach gęstości prawdopodobieństwa, których każda zależy od wektora pomiarów w danej próbie i od jednakowego jednowymiarowego parametru estymowanego: {{CentrujWzór|<MATH>f(\mathbf{x}^1,\mathbf{x}^2,...,\mathbf{x}^N,\lambda)=f(\mathbf{x}^1,\lambda)f(\mathbf{x}^2,\lambda)\cdot...\cdot f(\mathbf{x}^N,\lambda)=\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)\;</MATH>|7.13}} Wartość oczekiwania naszego estymatora S, która jest napisana względem N wektorów pomiarów napisanej dla każdej próby, względem funkcji prawdopodobieństwa zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.13}} i ta wielkość statystyczna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E(S)=\int S(\mathbf{x}^1,...,\mathbf{x}^N)\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i\;</MATH>|7.14}} Po zróżniczkowaniu wartości oczekiwanej {{LinkWzór|7.14}} w względem parametru estymowanego &lambda; i wykorzystując przy tym tożsamość {{LinkWzór|7.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>E^'_{\lambda}(S)=1+B^'(\lambda)=\int\left(S\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^',\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i= E\left\{S\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right\}=E\left\{S\sum^N_{i=1}\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\right\} \;</MATH>|7.15}} Korzystając z definicji {{LinkWzór|7.10}} na pochodną logarytmiczną gęstości funkcji prawdopodobieństwa obowiązującego w N próbach razem, który napiszemy dla jednej wartości estymowanej &lambda;, czyli funkcja l{{Sup|'}}, wtedy wzór {{LinkWzór|7.15}} przechodzi w równoważne równanie: {{CentrujWzór|<MATH>1+B^'(\lambda)=E\left\{Sl^'\right\}\;</MATH>|7.16}} Całkowita gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jakikolwiek wyniku dla ściśle określonej próby jest ściśle określona i jest równa 1, co powinno być zrozumiałe zgodnie definicją gęstości funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=1\;</MATH>|7.17}} Znając własność {{LinkWzór|7.17}}, to całkowita gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jakikolwiek wyniku w n-próbach, jak można udowodnić dla całej całej przestrzeni też jest równe jeden. {{CentrujWzór|<MATH>\int \prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\prod^N_{i=1}\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\prod^N_{i=1} 1=1\;</MATH>|7.18}} Według tożsamości wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.18}} jesteśmy pewni przepisując nasz wniosek, że jest spełniony wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\int \prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=1\;</MATH>|7.19}} Różniczkując za pomocą pochodnej cząstkowej tożsamość udowodnioną wcześniej i przedstawionej w punkcie {{LinkWzór|7.19}} względem parametru &lambda;, który jest estymowanym parametrem, wtedy dostajemy inną równoważną tożsamość, jeśli przy tym wykorzystamy wzór {{LinkWzór|7.10}} i policzymy jego wartość oczekiwaną, którą jak udowodnimy w naszym przypadku jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\int\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=E(l^')=0\;</MATH>|7.20}} Doszliśmy do wniosku, że wartość oczekiwana funkcji l{{Sup|'}} jest równa na pewno zero. Zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.16}} i tożsamości udowodnionej {{LinkWzór|7.20}}, która jest równa zero, co wykorzystamy poniżej, zatem dochodzimy do wniosku, że zachodzi inna tożsamość, ale wynikającego z poprzednich rozważań: {{CentrujWzór|<MATH>1+B^'(\lambda)=E\{Sl^'\}=E\{Sl^'\}-E(S)E(l^')=E\{Sl^'\}-E\{E(S)l^'\}=E\{Sl^'-E(S)l^'\}=E\{(S-E(S))l^'\}\;\;</MATH>|7.21}} Napiszmy pomocnicze wyrażenie poniżej, które trywialnie można udowodnić. Jak wiemy lewa strona równości na podstawie, że (ax+y){{Sup|2}} jest zawsze dodatnia. Z dodatniości gęstości prawdopodobieństwa wynika, że wartość oczekiwana E[(ax+y){{Sup|2}}] jest wielkością zawsze dodatnią dla każdego parametru "a": {{CentrujWzór|<MATH>0\leq E[(ax+y)^2]=a^2E(x^2)+2aE(xy)+E(y^2)\;</MATH>|7.22}} Z powyższych oczekiwań wartość oczekiwana {{LinkWzór|7.22}} ma wartość zawsze nieujemną, tzn. powyższe równanie można potraktować jako dwumian kwadratowy względem parametru "a", którego &Delta; jest zawsze niedodatnia przy parametrze a&ge; 0, wtedy równanie kwadratowe {{LinkWzór|7.22}} przyjmuje wartości nieujemne: {{CentrujWzór|<MATH>0\geq \Delta=4E^2(xy)-4E(x^2)E(y^2)\;</MATH>|7.23}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.23}} dochodzimy do wniosku, że spełnione jest równanie wynikające ze wspomnianej nierówności: {{CentrujWzór|<MATH>E^2(xy)\leq E(x^2)E(y^2)\;</MATH>|7.24}} Nierówność {{LinkWzór|7.24}} jest nazywana '''nierównością Cauchy-Schwarza'''. Korzystając z nierówności {{LinkWzór|7.24}} dochodzimy do wniosku, że według wzoru {{LinkWzór|7.21}} można wywnioskować pewną nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>[1+B^'(\lambda)]^2=E^2[(S-E(S))l^']\leq E[(S-E(S))^2]E({l^'}^2)\;</MATH>|7.25}} Policzmy wartość oczekiwaną kwadratu wartości funkcji {{LinkWzór|7.10}}, z oczywistych powodów możemy napisać przekształcając to właśnie wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\left(\sum^N_{i=1}\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\right)^2\right\}= E\left\{\sum^N_{i=1}\varphi^2(\mathbf{x}^i,\lambda)\right\}+2E\left\{\sum_{i\neq j}\varphi(\vec{x^i},\lambda)\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)\right\}\;</MATH>|7.26}} Policzmy drugi wyraz równości w końcowych obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|7.26}}, który jak się przekonamy jest równa zero. Oczywiście wartość oczekiwana funkcji &phi; dla różnych prób jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych dla każdej z prób z osobna. Dlatego tak się dzieje, ponieważ wartości oczekiwane są liczone względem n-wymiarowego wektora pomiarów, dla każdej niezależnej próby pomiarów, zatem na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.9|Momenty statystyczne w działaniu}} można tak zrobić. {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)]=E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)]E[\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)]\;</MATH>|7.27}} Dla każdego czynnika wyrażenia występującego w równaniu {{LinkWzór|7.27}}, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.9}} i normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla i-tej próby {{LinkWzór|7.17}}, dochodzimy więc do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^,\lambda)]=\int{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\int f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i={{d}\over{d\lambda}}\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i={{d}\over{d\lambda}}1=0\;</MATH>|7.28}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|7.26}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.27}}, a potem {{LinkWzór|7.28}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\sum^N_{i=1}\varphi^2(\mathbf{x}^i,\lambda) \right\}=E\left\{\sum^N_{i=1}\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)^2\right\}\;</MATH>|7.29}} Wiadomo, jednak ze wzoru {{LinkWzór|7.9}} i jeśli z niego policzymy wartość oczekiwaną i na podstawie oczywistej tożsamości {{LinkWzór|7.17}} można oczywiście udowodnić, że ta tożsamość jest zapisywana: {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)]=E\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda}}\right)=\int {{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}f(x^i,\lambda)dx^i=0\;</MATH>|7.30}} Wyznaczmy tożsamość napisana poniżej, która będzie nam bardzo potrzebna w poniższych obliczeniach, zatem korzystając z wiadomości z rachunku na pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int {{d}\over{d\lambda}}\left[\left({{f^'}\over{f}}\right)f\right]= \int {{{f^'}^2}\over{f}}+f({{f^'}\over{f}})^'=\int \left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2+\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\}fdx=E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2\right\}+E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\} \Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2\right\}=-E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\}\;</MATH>|7.31}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|7.31}} wyrażenie {{LinkWzór|7.29}} możemy zapisać w innej równoważnej postaci do niego: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\sum_{i=1}^N\left({{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}\right)^2\right\}=-E\left\{\left({{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}\right)^'\right\}=-E(l^{''})\;</MATH>|7.32}} Zdefiniujmy podstawienie jako funkcję I(&lambda;) zależącej od wartości oczekiwanej funkcji l{{Sup|'}}{{Sup|2}} zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.32}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>I(\lambda)=E({l^'}^2)\;</MATH>|7.33}} Wariancji estymatora S zdefiniowana jako wartość oczekiwana kwadratu odchylenia (S-E(S)){{Sup|2}} względem gęstości prawdopodobieństwa n-prób {{LinkWzór|7.13}} piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>E\left[(S-E(S))^2\right]=\sigma^2(S)\;</MATH>|7.34}} oraz z {{LinkWzór|7.33}}, dostajemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{1+B^'(\lambda)\right\}^2\leq E\left[(S-E(S))^2\right]E({l^'}^2)=\sigma^2(S)I(\lambda)\;</MATH>|7.35}} Jeśli wykorzystamy udowodnioną nierówność {{LinkWzór|7.25}} a potem z definicji wariancji estymatora S i oznaczenia {{LinkWzór|7.33}}, dochodzimy wtedy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)\geq{{(1+B^'(\lambda))^2}\over{I(\lambda)}}\;</MATH>|7.36}} Powyższą nierówność nazywamy '''nierównością informacyjną'''. Jeśli B(&lambda;) jest zdefiniowana według wzoru {{LinkWzór|7.12}} i przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy mamy najlepsze dopasowanie parametru estymowanego &lambda; z warunkiem ekstremum B{{Sup|'}}(&lambda;)=0, to wzór {{LinkWzór|7.36}} ze znikającą pierwszą pochodną funkcji B(&lambda;) jest zapisywany: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)\geq {{1}\over{I(\lambda)}}\;</MATH>|7.37}} Zapytajmy siebie, jaka jest najmniejsze ograniczenie na B{{Sup|'}}(&lambda;), co zachodzi to wtedy, gdy &sigma;(S) zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|7.34}} przyjmuje wartość najmniejszą, czyli według wzoru {{LinkWzór|7.25}}, którego nierówność należy zastąpić równością, wtedy wyróżnik trójmianu {{LinkWzór|7.23}} przyjmuje wartość równą zero. Na podstawie wiadomości z algebry dostajemy, że wartość oczekiwana wyrażenia (a+y){{Sup|2}} jest równa zero, tzn. zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>E[(ax+y)^2]=0\;</MATH>|7.38}} W którym położono na podstawie wcześniejszych rozważań, że x=S-E(S) oraz y=l{{Sup|'}}, to ze wzoru {{LinkWzór|7.38}} można powiedzieć na pewno z nieujemności gęstości prawdopodobieństwa, dzięki której liczymy wartość oczekiwaną, otrzymujemy że wyrażenie z której liczymy wartość oczekiwaną jest równa zero. {{CentrujWzór|<MATH>E\left[\left(a(S-E(S))+l^'\right)^2\right]=0\Rightarrow\left(a(S-E(S))+l^'\right)^2=0\Rightarrow l^'+(-A(\lambda))(S-E(S))=0\;</MATH>|7.39}} To wtedy z tożsamości końcowej {{LinkWzór|7.39}} możemy wyznaczyć wyrażenie na l{{Sup|'}}, które możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> l^'=A(\lambda))(S-E(S))\;</MATH>|7.40}} Wyrażenie {{LinkWzór|7.40}} możemy przecałkować obustronnie względem parametru estymowanego &lambda;, otrzymując końcowe wyrażenie zależne od estymatora S i stałych zależnych lub niezależnych od parametru &lambda;, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>l=\int l^'d\lambda=C(\lambda)S+D(\lambda)+D\;</MATH>|7.41}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.8}} oraz z wyprowadzonego wyrażenia {{LinkWzór|7.41}} możemy napisać funkcję L, którą zapiszemy poniżej, która jest gęstością prawdopodobieństwa uzyskania pewnych pomiarów w N próbach, wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>L=e^l=de^{C(\lambda)S+D(\lambda)}\;</MATH>|7.42}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.40}}, wtedy wartość oczekiwana tego wyrażenia względem gęstości prawdopodobieństwa N prób jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=A^2(\lambda)E[(S-E(S))^2]\;</MATH>|7.43}} Jeśli wyrażenie na wartość oczekiwaną l{{Sup|'}}{{Sup|2}} podstawimy do nierówności {{LinkWzór|7.37}}, która staje się nierównością dla najmniejszego z możliwych dla wariacji &sigma;(S) i biorąc definicję funkcji I(&lambda;) {{LinkWzór|7.33}}, wtedy dostajemy nierówność na to obciążenie estymatora S: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)={{1}\over{I(\lambda)}}={{1}\over{E({l^'}^2)}}={{1}\over{A^2(\lambda)E[(S-E(S))^2]}}={{1}\over{A^2(\lambda)\sigma^2(S)}}\;</MATH>|7.44}} Mnożąc obustronnie przez &sigma;{{Sup|2}}(S) równość {{LinkWzór|7.44}}, wtedy dostajemy równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^4(S)={{1}\over{A^2(\lambda)}}\;</MATH>|7.45}} Co pierwiastkując obustronnie pierwiastkiem drugiego stopnia równość {{LinkWzór|7.45}}, wtedy dostajemy że najmniejsza wariancja estymatora S spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)={{1}\over{|A(\lambda)|}}\;</MATH>|7.46}} Czyli najmniejsza wartość dla wariancji estymatora S dla której zachodzi warunek {{LinkWzór|7.46}} zależy od parametru &lambda; wartości estymowanej. == Estymacja dla jednego estymowanego parametru == Niech pochodna funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} w punkcje parametru estymatora &lambda;{{Sub|0}} jest równa zero, a która jest pochodną funkcją gęstości prawdopodobieństwa dla N-prób {{LinkWzór|7.7}} w tym punkcie, bo mamy doczynienia z parametrem &lambda; najbardziej prawdopodobnym, czyli dla tej wartości funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla N-prób {{LinkWzór|7.7}} przyjmuje wartość maksymalną z wiadomości o ekstremum z analizy matematycznej. {{CentrujWzór|<MATH>l^'(\lambda_0)=\sum_{i=1}^N\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)_{\lambda_0}=0</MATH>|7.47}} Drugą pochodną "l" względem najbardziej prawdopodobnego parametru &lambda;{{Sub|0}}można wyrazić w innej postaci, jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.32}} i potem po wyrażeniu jej w końcu przy pomocy wyrażenia {{LinkWzór|7.33}} w wspomnianym punkcie, co ta wielkość jest wielkością stałą, zatem możemy ją wyrazić względem parametru b{{Sup|-2}}. {{CentrujWzór|<MATH>l^{''}(\lambda_0)=E\left\{\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x},\lambda)}}\right)^2\right\}=E(l^{''})=-E({l^'}^2)=-I(\lambda_0)=-b^{-2}</MATH>|7.48}} Rozłóżmy pochodną logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.8}} w szereg Taylora korzystając wtedy z obliczeń {{LinkWzór|7.48}}, dostajemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>l^{'}(\lambda)=l^'(\lambda_0)+l^{''}(\lambda_0)(\lambda-\lambda_0)+...=-{{(\lambda-\lambda_0)}\over{b^2}}</MATH>|7.49}} We wzorze {{LinkWzór|7.49}} z korzystaliśmy, ze pierwsza pochodna {{LinkWzór|7.47}} przyjmuje wartość zerową dla punktu &lambda;, a także korzystaliśmy ze wzoru {{LinkWzór|7.48}}, która jest wyznaczona dla punktu &lambda;{{Sub|0}}, zatem logarytmiczna funkcja wiarygodności na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.49}}, dla której policzymy całkę wspomnianego wyrażenia względem parametru &lambda;, przedstawia się ona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>l(\lambda)=\int l^'d\lambda=-\int {{(\lambda-\lambda_0)}\over{b^2}}=-{{(\lambda -\lambda_0)^2}\over{2b^2}}</MATH>|7.50}} Funkcja wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} wychodząc ze wzoru {{LinkWzór|7.50}} przyjmuje kształt: {{CentrujWzór|<MATH>L(\lambda)=Ae^{-{{(\lambda-\lambda)^2}\over{2b^2}}}</MATH>|7.51}} Wzór {{LinkWzór|7.51}} nazywamy '''rozkładem normalnym (Gaussa)'''. == Estymacja dla kilku estymowanych parametrów == Funkcje wiarygodności można potraktować również jako funkcję n-wielowymiarowego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}} parametrów estymowanych, które są podane w punkcie poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\lambda}=(\lambda_1,...,\lambda_n)</MATH>|7.52}} Rozłóżmy funkcje wiarygodności {{LinkWzór|7.8}} w szereg Taylora dla wielu zmiennych względem &lambda;{{Sub|i}}, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>l(\vec{\lambda}_0)=l(\vec{\lambda}_0)+\sum^n_{i=1}\left({{\partial l}\over{\partial\lambda_i}}\right)_{\vec{\lambda}_0}\left(\lambda_i-(\lambda_0)_i\right)+{{1}\over{2}}\sum^n_{i,j=1} \left({{\partial^2 l}\over{\partial\lambda_i\partial\lambda_j}}\right)_{\vec{\lambda}_0}\left[\lambda_i-(\lambda_0)_i\right]\left[\lambda_j-(\lambda_0)_j\right]+...</MATH><br>|7.53}} Pierwsze pochodne przyjmują wartość zerową, ponieważ parametry &lambda;{{Sub|0i}} są najbardziej prawdopodobne zgodnie {{LinkWzór|7.11}}, czyli są tak dobrane, by funkcja wiarygodności osiągała wartość maksymalną. Można udowodnić, że funkcja logarytmiczna wiarygodności wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.53}} przyjmuje ową postać: {{CentrujWzór|<MATH>l(\vec{\lambda})=l(\vec{\lambda}_0)-{{1}\over{2}}(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^TB(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)+...</MATH>|7.54}} W logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.54}} obrywamy wszystkie wyrazy, które są pochodnymi większego rzędu niż dwa, zatem funkcja wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} w tym przypadku przyjmuje takową postać: {{CentrujWzór|<MATH>L=Ae^{-{{1}\over{2}}(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^TB(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)}</MATH>|7.54a}} Macierz B we wzorze na funkcję wiarygodności {{LinkWzór|7.54a}} jest zależna od drugich pochodnych logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.8}}, która ta macierz jest wzięta z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>B=-\begin{pmatrix} {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1^2}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1\partial\lambda_2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1\partial\lambda_n}}\\ {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2\partial_1}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2^2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2\partial\lambda_n}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_1}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_n}} \end{pmatrix}</MATH>|7.55}} Można udowodnić, że odwrotność macierzy {{LinkWzór|7.55}} przyjmuje wygląd podanych według wzoru poniżej, który jakoby jest wartością oczekiwaną z pewnej funkcji macierzowej, która jest definicją kowariancji wedle jej definicji {{LinkWzór|4.34|Momenty_statystyczne_dla_funkcji_złożonej}}: {{CentrujWzór|<MATH>B^{-1}=E((\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^T(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)=C</MATH>|7.56}} * Co powyższe twierdzenie jest udowodnione w rozdziale: {{sr|p=Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym|wielowymiarowym twierdzeniu normalnym}}, którego końcowy wynik jest podany w punkcie {{LinkWzór|12.21|Twierdzenie_o_rozkładzie_normalnym_wielowymiarowym}} oraz że wartością oczekiwaną rozkładu {{LinkWzór|7.54a}} jest wektor wartości dokładnych {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}_0\;</MATH>}} zmiennej wektorowej {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1y0dn40lpsoz44kfplq0064swwd1l1w 558665 558664 2026-10-05T02:30:41Z Persino 2851 /* Estymacja dla kilku estymowanych parametrów */ 558665 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Metoda najmniejszej wiarygodności zajmuje się gęstością uzyskania danego pomiaru w zależności od estymowanego parametru, a także zajmuje się ilorazem wiarygodności, czy nawet funkcją wiarygodności zależącą od parametru estymowanego {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}</MATH>}}. == Iloraz wiarygodności, funkcje i logarytmiczne funkcje wiarygodności == Niech estymowanym parametrem będzie n-wymiarowy wektor, to wartość oczekiwana estymatora S(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) {{LinkWzór|6.1|Pobieranie_próby}}, którego elementy można przedstawić w postaci ogólnej &lambda;{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\lambda}=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</MATH>|7.1}} A także niech mamy też macierz o "n" kolumnach, który każdy wiersz przedstawia "n" wyników uzyskanych w wyniku doświadczenia, który każdy taki pomiar charakteryzuje inną wielkość fizyczną, a tych serii jednoczesnych pomiarów różnych wielkości fizycznych jest "m": {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}=(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,...,\mathbf{x}_n)=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{21}&\cdots&x_{n1}\\ x_{12}&x_{22}&\cdots&x_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{1m}&x_{2m}&\cdots&x_{nm} \end{bmatrix}</MATH>|7.2}} Niech mamy gęstość prawdopodobieństwa, że w pomiarze uzyskamy ściśle określony macierz pomiarów (<strong>x</strong>{{Sub|1}},<strong>x</strong>{{Sub|2}},...,<strong>x</strong>{{Sub|n}}) {{LinkWzór|7.2}} w zależności od estymowanego wektora (&lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}) napisanych w punkcie {{LinkWzór|7.1}}, zatem nasz rozważany obiekt statystyczny można napisać ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=f(\mathbf{x},\vec{\lambda})</MATH>|7.3}} Infinitezymalne prawdopodobieństwo uzyskania jednocześnie macierzy pomiarów dla macierzy o "n" kolumnach różnych "n" wielkości fizycznych {{LinkWzór|7.2}} w kolejnych seriach jest: {{CentrujWzór|<MATH>dP=f(\mathbf{x},\vec{\lambda})d\mathbf{x}</MATH>|7.4}} Jeśli nasze doświadczenie jest przeprowadzone w n-próbach, to nasze infinitezymalne prawdopodobieństwo, w analogii do wzoru {{LinkWzór|7.4}} uzyskania różnych wielkości fizycznych wyników pomiarów w danej próbie w zależności od numeru próby "i" i wektora parametrów estymowanych {{LinkWzór|7.1}} jest napisana według wyrażenia zależnego od wspomnianego wskaźnika: {{CentrujWzór|<MATH>dP^{i}=f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.5}} Wektor uzyskania wyników n różnych pomiarów uzyskanych w danej próbie o numerze "i" jest przestawiona symbolem {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^i</MATH>}}, która jest wielkością statystyczną napisanej w punkcie {{LinkWzór|7.5}}. Ilorazem wiarygodności nazywamy iloraz iloczynu N funkcji gęstości prawdopodobieństwa, których każda zależy od wektora n-wymiarowego pomiarów różnych wielkości fizycznych {{LinkWzór|7.2}} uzyskanych w danej próbie, dla którego ta gęstość prawdopodobieństwa dotyczy. Natomiast wszystkie te gęstości prawdopodobieństwa zależą od tego samego wektora estymowanych parametrów {{LinkWzór|7.1}}. Należy pamiętać, że w ilorazie wiarygodności w mianowniku występuje ten sam wyraz co w liczniku, ale dla innego wektora estymowanych parametrów estymowanych {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}_2\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q={{\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda}_1)}\over{\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda}_2)}}</MATH>|7.6}} Funkcją wiarygodności nazywamy funkcję zdefiniowanej w postaci iloczynu funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych prób "i" przy danym wektorze parametru estymowanego, których jak powiedziano wcześniej, każda taka gęstość prawdopodobieństwa zależy od wektora pomiarów {{LinkWzór|7.1}} wykonanych w danej próbie o numerze "i" {{CentrujWzór|<MATH>L=\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.7}} Logarytmiczną funkcją wiarygodności nazywamy logarytm naturalny funkcji wiarygodności L zdefiniowanych w punkcie {{LinkWzór|7.7}}, która jak można udowodnić, można ją przedstawić jako suma logarytmów gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych prób: {{CentrujWzór|<MATH>l=\ln L=\ln\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})=\sum^N_{i=1}\ln f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.8}} Pochodną logarytmiczną gęstości prawdopodobieństwa dla próby i-tej nazywamy funkcję, która jest pochodną kierunkową funkcji logarytmicznej {{LinkWzór|7.8}} względem parametru estymowanego&nbsp;{{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}&nbsp; i jak można udowodnić, że jest to iloraz pochodnej kierunkowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa policzonej przy parametrze {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}} podzielonej przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa "f": {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})={{d\ln f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}\over{d\vec{\lambda}}}={{1}\over{f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}}{{d f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}\over{d\vec{\lambda}}}={{f^'_{\vec{\lambda}}}\over{f}}={{\nabla\cdot f}\over{f}}</MATH>|7.9}} W rozważanym wzorze przyjmowaliśmy, że: {{Formuła|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda});</MATH>}} jest to pochodna logarytmiczna gęstości prawdopodobieństwa względem parametru estymowanego {{LinkWzór|7.1}} dla próby i-tej. Wielkość statystyczna {{Formuła|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})\;</MATH>}} jest wektorem n-wymiarowym, i posiada elementów tyle co ilość estymowanych elementów wektora {{LinkWzór|7.1}}. Zatem pochodna funkcji logarytmicznej {{LinkWzór|7.8}} nazywamy funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>l^'_{\vec{\lambda}}=\sum^N_{i=1}\varphi(\vec{x^i},\vec{\lambda})=\sum^N_{i=1}{{f^'_{\vec{\lambda}}}\over{f}}</MATH>|7.10}} Gdy rozważamy logarytmiczną funkcją wiarygodności {{LinkWzór|7.8}}, to możemy wyznaczyć najlepsze parametry estymowane {{LinkWzór|7.1}}, w tym celu należy wyznaczyć pochodną cząstkową względem parametru {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}}, jeśli parametrów estymowanych jest jeden, dla danego elementu jednowymiarowego wektora estymowanego, dla której logarytmiczna funkcja wiarygodności przejmuje wartość ekstremalną (w tym przypadku maksymalną), dla której pochodna funkcji logarytmicznej funkcji warygodności przyjmuje wartość zero. W ogólnym przypadku, gdy wektor estymowanych parametrów nie jest jednowymiarowy, tylko ma n-parametrów, to pochodna kierunkowa funkcji {{LinkWzór|7.8}} względem wektora parametrów estymowanych {{LinkWzór|7.1}}, który jest jak w matematyce napisana z definicji, jest równy n-wymiarowemu wektorowi, która każdy taki element przedstawia pochodną cząstkową funkcji "l" względem innej współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial l}\over{\partial\vec{\lambda}}}=\vec{0}\Rightarrow{{\partial l}\over{\partial \lambda_i}}=0\mbox{ dla i=1,2,...,n}</MATH>|7.11}} Jeśli chcemy wyznaczyć najbardziej prawdopodobne parametry estymowane, to każdą taką pochodną cząstkową w n-wymiarowym wektorze należy przyrównać do zera i mając n równań możemy wyznaczyć te parametry. == Estymatory o minimalnym obciążeniu względem parametru λ == Estymator S {{LinkWzór|6.1|Pobieranie_próby}} nazywamy nieobciążonym, jeśli jego wartość oczekiwana jest równa wartości estymowanego parametru. Wariancja estymowanego parametru zgodnie {{LinkWzór|6.3|Pobieranie_próby}} wynosi zero, jeśli ten estymator jest zgodny. Ale my tym razem przyjmijmy, że tak nie jest, ale weźmy tym razem, że funkcja B(&lambda;) (definicja poniżej) jest liczbą możliwie najmniejszą (nie musi być równa zero), wtedy jego pochodna zupełna względem tego parametru estymowanego przyjmowała wartość zero (ale tym razem parametr estymowany {{LinkWzór|7.1}} jest wektorem jednoelementowym, niż w poprzednim podrozdziale). Funkcję B(&lambda;) definiujemy jako różnicę wartości estymatora S i wartości estymowanej &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>B(\lambda)=E(S)-\lambda\;</MATH>|7.12}} Powyższe stwierdzenia są niewystarczający by stwierdzić, by S był dobrym estymatorem, należało by także zażądać, by wariancja estymowanego parametru {{Formuła|<MATH>\sigma(S)\;</MATH>}} przyjmowała wartość najmniejszą, a w szczególnym przypadku ma przyjmować wartość według wzoru napisanego {{LinkWzór|6.3|Pobieranie_próby}}. Aby wyznaczyć funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa w N próbach przy pomocy cząstkowych funkcji rozkładu w poszczególnych próbach gęstości prawdopodobieństwa, których każda zależy od wektora pomiarów w danej próbie i od jednakowego jednowymiarowego parametru estymowanego: {{CentrujWzór|<MATH>f(\mathbf{x}^1,\mathbf{x}^2,...,\mathbf{x}^N,\lambda)=f(\mathbf{x}^1,\lambda)f(\mathbf{x}^2,\lambda)\cdot...\cdot f(\mathbf{x}^N,\lambda)=\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)\;</MATH>|7.13}} Wartość oczekiwania naszego estymatora S, która jest napisana względem N wektorów pomiarów napisanej dla każdej próby, względem funkcji prawdopodobieństwa zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.13}} i ta wielkość statystyczna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E(S)=\int S(\mathbf{x}^1,...,\mathbf{x}^N)\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i\;</MATH>|7.14}} Po zróżniczkowaniu wartości oczekiwanej {{LinkWzór|7.14}} w względem parametru estymowanego &lambda; i wykorzystując przy tym tożsamość {{LinkWzór|7.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>E^'_{\lambda}(S)=1+B^'(\lambda)=\int\left(S\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^',\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i= E\left\{S\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right\}=E\left\{S\sum^N_{i=1}\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\right\} \;</MATH>|7.15}} Korzystając z definicji {{LinkWzór|7.10}} na pochodną logarytmiczną gęstości funkcji prawdopodobieństwa obowiązującego w N próbach razem, który napiszemy dla jednej wartości estymowanej &lambda;, czyli funkcja l{{Sup|'}}, wtedy wzór {{LinkWzór|7.15}} przechodzi w równoważne równanie: {{CentrujWzór|<MATH>1+B^'(\lambda)=E\left\{Sl^'\right\}\;</MATH>|7.16}} Całkowita gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jakikolwiek wyniku dla ściśle określonej próby jest ściśle określona i jest równa 1, co powinno być zrozumiałe zgodnie definicją gęstości funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=1\;</MATH>|7.17}} Znając własność {{LinkWzór|7.17}}, to całkowita gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jakikolwiek wyniku w n-próbach, jak można udowodnić dla całej całej przestrzeni też jest równe jeden. {{CentrujWzór|<MATH>\int \prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\prod^N_{i=1}\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\prod^N_{i=1} 1=1\;</MATH>|7.18}} Według tożsamości wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.18}} jesteśmy pewni przepisując nasz wniosek, że jest spełniony wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\int \prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=1\;</MATH>|7.19}} Różniczkując za pomocą pochodnej cząstkowej tożsamość udowodnioną wcześniej i przedstawionej w punkcie {{LinkWzór|7.19}} względem parametru &lambda;, który jest estymowanym parametrem, wtedy dostajemy inną równoważną tożsamość, jeśli przy tym wykorzystamy wzór {{LinkWzór|7.10}} i policzymy jego wartość oczekiwaną, którą jak udowodnimy w naszym przypadku jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\int\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=E(l^')=0\;</MATH>|7.20}} Doszliśmy do wniosku, że wartość oczekiwana funkcji l{{Sup|'}} jest równa na pewno zero. Zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.16}} i tożsamości udowodnionej {{LinkWzór|7.20}}, która jest równa zero, co wykorzystamy poniżej, zatem dochodzimy do wniosku, że zachodzi inna tożsamość, ale wynikającego z poprzednich rozważań: {{CentrujWzór|<MATH>1+B^'(\lambda)=E\{Sl^'\}=E\{Sl^'\}-E(S)E(l^')=E\{Sl^'\}-E\{E(S)l^'\}=E\{Sl^'-E(S)l^'\}=E\{(S-E(S))l^'\}\;\;</MATH>|7.21}} Napiszmy pomocnicze wyrażenie poniżej, które trywialnie można udowodnić. Jak wiemy lewa strona równości na podstawie, że (ax+y){{Sup|2}} jest zawsze dodatnia. Z dodatniości gęstości prawdopodobieństwa wynika, że wartość oczekiwana E[(ax+y){{Sup|2}}] jest wielkością zawsze dodatnią dla każdego parametru "a": {{CentrujWzór|<MATH>0\leq E[(ax+y)^2]=a^2E(x^2)+2aE(xy)+E(y^2)\;</MATH>|7.22}} Z powyższych oczekiwań wartość oczekiwana {{LinkWzór|7.22}} ma wartość zawsze nieujemną, tzn. powyższe równanie można potraktować jako dwumian kwadratowy względem parametru "a", którego &Delta; jest zawsze niedodatnia przy parametrze a&ge; 0, wtedy równanie kwadratowe {{LinkWzór|7.22}} przyjmuje wartości nieujemne: {{CentrujWzór|<MATH>0\geq \Delta=4E^2(xy)-4E(x^2)E(y^2)\;</MATH>|7.23}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.23}} dochodzimy do wniosku, że spełnione jest równanie wynikające ze wspomnianej nierówności: {{CentrujWzór|<MATH>E^2(xy)\leq E(x^2)E(y^2)\;</MATH>|7.24}} Nierówność {{LinkWzór|7.24}} jest nazywana '''nierównością Cauchy-Schwarza'''. Korzystając z nierówności {{LinkWzór|7.24}} dochodzimy do wniosku, że według wzoru {{LinkWzór|7.21}} można wywnioskować pewną nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>[1+B^'(\lambda)]^2=E^2[(S-E(S))l^']\leq E[(S-E(S))^2]E({l^'}^2)\;</MATH>|7.25}} Policzmy wartość oczekiwaną kwadratu wartości funkcji {{LinkWzór|7.10}}, z oczywistych powodów możemy napisać przekształcając to właśnie wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\left(\sum^N_{i=1}\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\right)^2\right\}= E\left\{\sum^N_{i=1}\varphi^2(\mathbf{x}^i,\lambda)\right\}+2E\left\{\sum_{i\neq j}\varphi(\vec{x^i},\lambda)\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)\right\}\;</MATH>|7.26}} Policzmy drugi wyraz równości w końcowych obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|7.26}}, który jak się przekonamy jest równa zero. Oczywiście wartość oczekiwana funkcji &phi; dla różnych prób jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych dla każdej z prób z osobna. Dlatego tak się dzieje, ponieważ wartości oczekiwane są liczone względem n-wymiarowego wektora pomiarów, dla każdej niezależnej próby pomiarów, zatem na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.9|Momenty statystyczne w działaniu}} można tak zrobić. {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)]=E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)]E[\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)]\;</MATH>|7.27}} Dla każdego czynnika wyrażenia występującego w równaniu {{LinkWzór|7.27}}, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.9}} i normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla i-tej próby {{LinkWzór|7.17}}, dochodzimy więc do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^,\lambda)]=\int{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\int f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i={{d}\over{d\lambda}}\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i={{d}\over{d\lambda}}1=0\;</MATH>|7.28}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|7.26}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.27}}, a potem {{LinkWzór|7.28}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\sum^N_{i=1}\varphi^2(\mathbf{x}^i,\lambda) \right\}=E\left\{\sum^N_{i=1}\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)^2\right\}\;</MATH>|7.29}} Wiadomo, jednak ze wzoru {{LinkWzór|7.9}} i jeśli z niego policzymy wartość oczekiwaną i na podstawie oczywistej tożsamości {{LinkWzór|7.17}} można oczywiście udowodnić, że ta tożsamość jest zapisywana: {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)]=E\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda}}\right)=\int {{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}f(x^i,\lambda)dx^i=0\;</MATH>|7.30}} Wyznaczmy tożsamość napisana poniżej, która będzie nam bardzo potrzebna w poniższych obliczeniach, zatem korzystając z wiadomości z rachunku na pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int {{d}\over{d\lambda}}\left[\left({{f^'}\over{f}}\right)f\right]= \int {{{f^'}^2}\over{f}}+f({{f^'}\over{f}})^'=\int \left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2+\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\}fdx=E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2\right\}+E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\} \Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2\right\}=-E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\}\;</MATH>|7.31}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|7.31}} wyrażenie {{LinkWzór|7.29}} możemy zapisać w innej równoważnej postaci do niego: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\sum_{i=1}^N\left({{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}\right)^2\right\}=-E\left\{\left({{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}\right)^'\right\}=-E(l^{''})\;</MATH>|7.32}} Zdefiniujmy podstawienie jako funkcję I(&lambda;) zależącej od wartości oczekiwanej funkcji l{{Sup|'}}{{Sup|2}} zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.32}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>I(\lambda)=E({l^'}^2)\;</MATH>|7.33}} Wariancji estymatora S zdefiniowana jako wartość oczekiwana kwadratu odchylenia (S-E(S)){{Sup|2}} względem gęstości prawdopodobieństwa n-prób {{LinkWzór|7.13}} piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>E\left[(S-E(S))^2\right]=\sigma^2(S)\;</MATH>|7.34}} oraz z {{LinkWzór|7.33}}, dostajemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{1+B^'(\lambda)\right\}^2\leq E\left[(S-E(S))^2\right]E({l^'}^2)=\sigma^2(S)I(\lambda)\;</MATH>|7.35}} Jeśli wykorzystamy udowodnioną nierówność {{LinkWzór|7.25}} a potem z definicji wariancji estymatora S i oznaczenia {{LinkWzór|7.33}}, dochodzimy wtedy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)\geq{{(1+B^'(\lambda))^2}\over{I(\lambda)}}\;</MATH>|7.36}} Powyższą nierówność nazywamy '''nierównością informacyjną'''. Jeśli B(&lambda;) jest zdefiniowana według wzoru {{LinkWzór|7.12}} i przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy mamy najlepsze dopasowanie parametru estymowanego &lambda; z warunkiem ekstremum B{{Sup|'}}(&lambda;)=0, to wzór {{LinkWzór|7.36}} ze znikającą pierwszą pochodną funkcji B(&lambda;) jest zapisywany: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)\geq {{1}\over{I(\lambda)}}\;</MATH>|7.37}} Zapytajmy siebie, jaka jest najmniejsze ograniczenie na B{{Sup|'}}(&lambda;), co zachodzi to wtedy, gdy &sigma;(S) zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|7.34}} przyjmuje wartość najmniejszą, czyli według wzoru {{LinkWzór|7.25}}, którego nierówność należy zastąpić równością, wtedy wyróżnik trójmianu {{LinkWzór|7.23}} przyjmuje wartość równą zero. Na podstawie wiadomości z algebry dostajemy, że wartość oczekiwana wyrażenia (a+y){{Sup|2}} jest równa zero, tzn. zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>E[(ax+y)^2]=0\;</MATH>|7.38}} W którym położono na podstawie wcześniejszych rozważań, że x=S-E(S) oraz y=l{{Sup|'}}, to ze wzoru {{LinkWzór|7.38}} można powiedzieć na pewno z nieujemności gęstości prawdopodobieństwa, dzięki której liczymy wartość oczekiwaną, otrzymujemy że wyrażenie z której liczymy wartość oczekiwaną jest równa zero. {{CentrujWzór|<MATH>E\left[\left(a(S-E(S))+l^'\right)^2\right]=0\Rightarrow\left(a(S-E(S))+l^'\right)^2=0\Rightarrow l^'+(-A(\lambda))(S-E(S))=0\;</MATH>|7.39}} To wtedy z tożsamości końcowej {{LinkWzór|7.39}} możemy wyznaczyć wyrażenie na l{{Sup|'}}, które możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> l^'=A(\lambda))(S-E(S))\;</MATH>|7.40}} Wyrażenie {{LinkWzór|7.40}} możemy przecałkować obustronnie względem parametru estymowanego &lambda;, otrzymując końcowe wyrażenie zależne od estymatora S i stałych zależnych lub niezależnych od parametru &lambda;, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>l=\int l^'d\lambda=C(\lambda)S+D(\lambda)+D\;</MATH>|7.41}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.8}} oraz z wyprowadzonego wyrażenia {{LinkWzór|7.41}} możemy napisać funkcję L, którą zapiszemy poniżej, która jest gęstością prawdopodobieństwa uzyskania pewnych pomiarów w N próbach, wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>L=e^l=de^{C(\lambda)S+D(\lambda)}\;</MATH>|7.42}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.40}}, wtedy wartość oczekiwana tego wyrażenia względem gęstości prawdopodobieństwa N prób jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=A^2(\lambda)E[(S-E(S))^2]\;</MATH>|7.43}} Jeśli wyrażenie na wartość oczekiwaną l{{Sup|'}}{{Sup|2}} podstawimy do nierówności {{LinkWzór|7.37}}, która staje się nierównością dla najmniejszego z możliwych dla wariacji &sigma;(S) i biorąc definicję funkcji I(&lambda;) {{LinkWzór|7.33}}, wtedy dostajemy nierówność na to obciążenie estymatora S: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)={{1}\over{I(\lambda)}}={{1}\over{E({l^'}^2)}}={{1}\over{A^2(\lambda)E[(S-E(S))^2]}}={{1}\over{A^2(\lambda)\sigma^2(S)}}\;</MATH>|7.44}} Mnożąc obustronnie przez &sigma;{{Sup|2}}(S) równość {{LinkWzór|7.44}}, wtedy dostajemy równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^4(S)={{1}\over{A^2(\lambda)}}\;</MATH>|7.45}} Co pierwiastkując obustronnie pierwiastkiem drugiego stopnia równość {{LinkWzór|7.45}}, wtedy dostajemy że najmniejsza wariancja estymatora S spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)={{1}\over{|A(\lambda)|}}\;</MATH>|7.46}} Czyli najmniejsza wartość dla wariancji estymatora S dla której zachodzi warunek {{LinkWzór|7.46}} zależy od parametru &lambda; wartości estymowanej. == Estymacja dla jednego estymowanego parametru == Niech pochodna funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} w punkcje parametru estymatora &lambda;{{Sub|0}} jest równa zero, a która jest pochodną funkcją gęstości prawdopodobieństwa dla N-prób {{LinkWzór|7.7}} w tym punkcie, bo mamy doczynienia z parametrem &lambda; najbardziej prawdopodobnym, czyli dla tej wartości funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla N-prób {{LinkWzór|7.7}} przyjmuje wartość maksymalną z wiadomości o ekstremum z analizy matematycznej. {{CentrujWzór|<MATH>l^'(\lambda_0)=\sum_{i=1}^N\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)_{\lambda_0}=0</MATH>|7.47}} Drugą pochodną "l" względem najbardziej prawdopodobnego parametru &lambda;{{Sub|0}}można wyrazić w innej postaci, jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.32}} i potem po wyrażeniu jej w końcu przy pomocy wyrażenia {{LinkWzór|7.33}} w wspomnianym punkcie, co ta wielkość jest wielkością stałą, zatem możemy ją wyrazić względem parametru b{{Sup|-2}}. {{CentrujWzór|<MATH>l^{''}(\lambda_0)=E\left\{\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x},\lambda)}}\right)^2\right\}=E(l^{''})=-E({l^'}^2)=-I(\lambda_0)=-b^{-2}</MATH>|7.48}} Rozłóżmy pochodną logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.8}} w szereg Taylora korzystając wtedy z obliczeń {{LinkWzór|7.48}}, dostajemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>l^{'}(\lambda)=l^'(\lambda_0)+l^{''}(\lambda_0)(\lambda-\lambda_0)+...=-{{(\lambda-\lambda_0)}\over{b^2}}</MATH>|7.49}} We wzorze {{LinkWzór|7.49}} z korzystaliśmy, ze pierwsza pochodna {{LinkWzór|7.47}} przyjmuje wartość zerową dla punktu &lambda;, a także korzystaliśmy ze wzoru {{LinkWzór|7.48}}, która jest wyznaczona dla punktu &lambda;{{Sub|0}}, zatem logarytmiczna funkcja wiarygodności na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.49}}, dla której policzymy całkę wspomnianego wyrażenia względem parametru &lambda;, przedstawia się ona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>l(\lambda)=\int l^'d\lambda=-\int {{(\lambda-\lambda_0)}\over{b^2}}=-{{(\lambda -\lambda_0)^2}\over{2b^2}}</MATH>|7.50}} Funkcja wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} wychodząc ze wzoru {{LinkWzór|7.50}} przyjmuje kształt: {{CentrujWzór|<MATH>L(\lambda)=Ae^{-{{(\lambda-\lambda)^2}\over{2b^2}}}</MATH>|7.51}} Wzór {{LinkWzór|7.51}} nazywamy '''rozkładem normalnym (Gaussa)'''. == Estymacja dla kilku estymowanych parametrów == Funkcje wiarygodności można potraktować również jako funkcję n-wielowymiarowego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}} parametrów estymowanych, które są podane w punkcie poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\lambda}=(\lambda_1,...,\lambda_n)</MATH>|7.52}} Rozłóżmy funkcje wiarygodności {{LinkWzór|7.8}} w szereg Taylora dla wielu zmiennych względem &lambda;{{Sub|i}}, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>l(\vec{\lambda}_0)=l(\vec{\lambda}_0)+\sum^n_{i=1}\left({{\partial l}\over{\partial\lambda_i}}\right)_{\vec{\lambda}_0}\left(\lambda_i-(\lambda_0)_i\right)+{{1}\over{2}}\sum^n_{i,j=1} \left({{\partial^2 l}\over{\partial\lambda_i\partial\lambda_j}}\right)_{\vec{\lambda}_0}\left[\lambda_i-(\lambda_0)_i\right]\left[\lambda_j-(\lambda_0)_j\right]+...</MATH><br>|7.53}} Pierwsze pochodne przyjmują wartość zerową, ponieważ parametry &lambda;{{Sub|0i}} są najbardziej prawdopodobne zgodnie {{LinkWzór|7.11}}, czyli są tak dobrane, by funkcja wiarygodności osiągała wartość maksymalną. Można udowodnić, że funkcja logarytmiczna wiarygodności wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.53}} przyjmuje ową postać: {{CentrujWzór|<MATH>l(\vec{\lambda})=l(\vec{\lambda}_0)-{{1}\over{2}}(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^TB(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)+...</MATH>|7.54}} W logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.54}} obrywamy wszystkie wyrazy, które są pochodnymi większego rzędu niż dwa, zatem funkcja wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} w tym przypadku przyjmuje takową postać: {{CentrujWzór|<MATH>L=Ae^{-{{1}\over{2}}(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^TB(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)}</MATH>|7.54a}} Macierz B we wzorze na funkcję wiarygodności {{LinkWzór|7.54a}} jest zależna od drugich pochodnych logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.8}}, która ta macierz jest wzięta z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>B=-\begin{pmatrix} {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1^2}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1\partial\lambda_2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1\partial\lambda_n}}\\ {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2\partial_1}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2^2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2\partial\lambda_n}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_1}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_n}} \end{pmatrix}</MATH>|7.55}} Można udowodnić, że odwrotność macierzy {{LinkWzór|7.55}} przyjmuje wygląd podanych według wzoru poniżej, który jakoby jest wartością oczekiwaną z pewnej funkcji macierzowej, która jest definicją kowariancji wedle jej definicji {{LinkWzór|4.34|Momenty_statystyczne_dla_funkcji_złożonej}}: {{CentrujWzór|<MATH>B^{-1}=E((\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^T(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)=C</MATH>|7.56}} * Co powyższe twierdzenie jest udowodnione w rozdziale: {{sr|Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym|wielowymiarowym twierdzeniu normalnym}}, którego końcowy wynik jest podany w punkcie {{LinkWzór|12.21|Twierdzenie_o_rozkładzie_normalnym_wielowymiarowym}} oraz że wartością oczekiwaną rozkładu {{LinkWzór|7.54a}} jest wektor wartości dokładnych {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}_0\;</MATH>}} zmiennej wektorowej {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qmxg5uughhcp0488tb909205vc66jiv 558666 558665 2026-10-05T02:31:05Z Persino 2851 /* Estymacja dla kilku estymowanych parametrów */ 558666 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Metoda najmniejszej wiarygodności zajmuje się gęstością uzyskania danego pomiaru w zależności od estymowanego parametru, a także zajmuje się ilorazem wiarygodności, czy nawet funkcją wiarygodności zależącą od parametru estymowanego {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}</MATH>}}. == Iloraz wiarygodności, funkcje i logarytmiczne funkcje wiarygodności == Niech estymowanym parametrem będzie n-wymiarowy wektor, to wartość oczekiwana estymatora S(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) {{LinkWzór|6.1|Pobieranie_próby}}, którego elementy można przedstawić w postaci ogólnej &lambda;{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\lambda}=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</MATH>|7.1}} A także niech mamy też macierz o "n" kolumnach, który każdy wiersz przedstawia "n" wyników uzyskanych w wyniku doświadczenia, który każdy taki pomiar charakteryzuje inną wielkość fizyczną, a tych serii jednoczesnych pomiarów różnych wielkości fizycznych jest "m": {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}=(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,...,\mathbf{x}_n)=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{21}&\cdots&x_{n1}\\ x_{12}&x_{22}&\cdots&x_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{1m}&x_{2m}&\cdots&x_{nm} \end{bmatrix}</MATH>|7.2}} Niech mamy gęstość prawdopodobieństwa, że w pomiarze uzyskamy ściśle określony macierz pomiarów (<strong>x</strong>{{Sub|1}},<strong>x</strong>{{Sub|2}},...,<strong>x</strong>{{Sub|n}}) {{LinkWzór|7.2}} w zależności od estymowanego wektora (&lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}) napisanych w punkcie {{LinkWzór|7.1}}, zatem nasz rozważany obiekt statystyczny można napisać ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=f(\mathbf{x},\vec{\lambda})</MATH>|7.3}} Infinitezymalne prawdopodobieństwo uzyskania jednocześnie macierzy pomiarów dla macierzy o "n" kolumnach różnych "n" wielkości fizycznych {{LinkWzór|7.2}} w kolejnych seriach jest: {{CentrujWzór|<MATH>dP=f(\mathbf{x},\vec{\lambda})d\mathbf{x}</MATH>|7.4}} Jeśli nasze doświadczenie jest przeprowadzone w n-próbach, to nasze infinitezymalne prawdopodobieństwo, w analogii do wzoru {{LinkWzór|7.4}} uzyskania różnych wielkości fizycznych wyników pomiarów w danej próbie w zależności od numeru próby "i" i wektora parametrów estymowanych {{LinkWzór|7.1}} jest napisana według wyrażenia zależnego od wspomnianego wskaźnika: {{CentrujWzór|<MATH>dP^{i}=f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.5}} Wektor uzyskania wyników n różnych pomiarów uzyskanych w danej próbie o numerze "i" jest przestawiona symbolem {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^i</MATH>}}, która jest wielkością statystyczną napisanej w punkcie {{LinkWzór|7.5}}. Ilorazem wiarygodności nazywamy iloraz iloczynu N funkcji gęstości prawdopodobieństwa, których każda zależy od wektora n-wymiarowego pomiarów różnych wielkości fizycznych {{LinkWzór|7.2}} uzyskanych w danej próbie, dla którego ta gęstość prawdopodobieństwa dotyczy. Natomiast wszystkie te gęstości prawdopodobieństwa zależą od tego samego wektora estymowanych parametrów {{LinkWzór|7.1}}. Należy pamiętać, że w ilorazie wiarygodności w mianowniku występuje ten sam wyraz co w liczniku, ale dla innego wektora estymowanych parametrów estymowanych {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}_2\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q={{\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda}_1)}\over{\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda}_2)}}</MATH>|7.6}} Funkcją wiarygodności nazywamy funkcję zdefiniowanej w postaci iloczynu funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych prób "i" przy danym wektorze parametru estymowanego, których jak powiedziano wcześniej, każda taka gęstość prawdopodobieństwa zależy od wektora pomiarów {{LinkWzór|7.1}} wykonanych w danej próbie o numerze "i" {{CentrujWzór|<MATH>L=\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.7}} Logarytmiczną funkcją wiarygodności nazywamy logarytm naturalny funkcji wiarygodności L zdefiniowanych w punkcie {{LinkWzór|7.7}}, która jak można udowodnić, można ją przedstawić jako suma logarytmów gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych prób: {{CentrujWzór|<MATH>l=\ln L=\ln\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})=\sum^N_{i=1}\ln f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.8}} Pochodną logarytmiczną gęstości prawdopodobieństwa dla próby i-tej nazywamy funkcję, która jest pochodną kierunkową funkcji logarytmicznej {{LinkWzór|7.8}} względem parametru estymowanego&nbsp;{{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}&nbsp; i jak można udowodnić, że jest to iloraz pochodnej kierunkowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa policzonej przy parametrze {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}} podzielonej przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa "f": {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})={{d\ln f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}\over{d\vec{\lambda}}}={{1}\over{f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}}{{d f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}\over{d\vec{\lambda}}}={{f^'_{\vec{\lambda}}}\over{f}}={{\nabla\cdot f}\over{f}}</MATH>|7.9}} W rozważanym wzorze przyjmowaliśmy, że: {{Formuła|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda});</MATH>}} jest to pochodna logarytmiczna gęstości prawdopodobieństwa względem parametru estymowanego {{LinkWzór|7.1}} dla próby i-tej. Wielkość statystyczna {{Formuła|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})\;</MATH>}} jest wektorem n-wymiarowym, i posiada elementów tyle co ilość estymowanych elementów wektora {{LinkWzór|7.1}}. Zatem pochodna funkcji logarytmicznej {{LinkWzór|7.8}} nazywamy funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>l^'_{\vec{\lambda}}=\sum^N_{i=1}\varphi(\vec{x^i},\vec{\lambda})=\sum^N_{i=1}{{f^'_{\vec{\lambda}}}\over{f}}</MATH>|7.10}} Gdy rozważamy logarytmiczną funkcją wiarygodności {{LinkWzór|7.8}}, to możemy wyznaczyć najlepsze parametry estymowane {{LinkWzór|7.1}}, w tym celu należy wyznaczyć pochodną cząstkową względem parametru {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}}, jeśli parametrów estymowanych jest jeden, dla danego elementu jednowymiarowego wektora estymowanego, dla której logarytmiczna funkcja wiarygodności przejmuje wartość ekstremalną (w tym przypadku maksymalną), dla której pochodna funkcji logarytmicznej funkcji warygodności przyjmuje wartość zero. W ogólnym przypadku, gdy wektor estymowanych parametrów nie jest jednowymiarowy, tylko ma n-parametrów, to pochodna kierunkowa funkcji {{LinkWzór|7.8}} względem wektora parametrów estymowanych {{LinkWzór|7.1}}, który jest jak w matematyce napisana z definicji, jest równy n-wymiarowemu wektorowi, która każdy taki element przedstawia pochodną cząstkową funkcji "l" względem innej współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial l}\over{\partial\vec{\lambda}}}=\vec{0}\Rightarrow{{\partial l}\over{\partial \lambda_i}}=0\mbox{ dla i=1,2,...,n}</MATH>|7.11}} Jeśli chcemy wyznaczyć najbardziej prawdopodobne parametry estymowane, to każdą taką pochodną cząstkową w n-wymiarowym wektorze należy przyrównać do zera i mając n równań możemy wyznaczyć te parametry. == Estymatory o minimalnym obciążeniu względem parametru λ == Estymator S {{LinkWzór|6.1|Pobieranie_próby}} nazywamy nieobciążonym, jeśli jego wartość oczekiwana jest równa wartości estymowanego parametru. Wariancja estymowanego parametru zgodnie {{LinkWzór|6.3|Pobieranie_próby}} wynosi zero, jeśli ten estymator jest zgodny. Ale my tym razem przyjmijmy, że tak nie jest, ale weźmy tym razem, że funkcja B(&lambda;) (definicja poniżej) jest liczbą możliwie najmniejszą (nie musi być równa zero), wtedy jego pochodna zupełna względem tego parametru estymowanego przyjmowała wartość zero (ale tym razem parametr estymowany {{LinkWzór|7.1}} jest wektorem jednoelementowym, niż w poprzednim podrozdziale). Funkcję B(&lambda;) definiujemy jako różnicę wartości estymatora S i wartości estymowanej &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>B(\lambda)=E(S)-\lambda\;</MATH>|7.12}} Powyższe stwierdzenia są niewystarczający by stwierdzić, by S był dobrym estymatorem, należało by także zażądać, by wariancja estymowanego parametru {{Formuła|<MATH>\sigma(S)\;</MATH>}} przyjmowała wartość najmniejszą, a w szczególnym przypadku ma przyjmować wartość według wzoru napisanego {{LinkWzór|6.3|Pobieranie_próby}}. Aby wyznaczyć funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa w N próbach przy pomocy cząstkowych funkcji rozkładu w poszczególnych próbach gęstości prawdopodobieństwa, których każda zależy od wektora pomiarów w danej próbie i od jednakowego jednowymiarowego parametru estymowanego: {{CentrujWzór|<MATH>f(\mathbf{x}^1,\mathbf{x}^2,...,\mathbf{x}^N,\lambda)=f(\mathbf{x}^1,\lambda)f(\mathbf{x}^2,\lambda)\cdot...\cdot f(\mathbf{x}^N,\lambda)=\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)\;</MATH>|7.13}} Wartość oczekiwania naszego estymatora S, która jest napisana względem N wektorów pomiarów napisanej dla każdej próby, względem funkcji prawdopodobieństwa zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.13}} i ta wielkość statystyczna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E(S)=\int S(\mathbf{x}^1,...,\mathbf{x}^N)\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i\;</MATH>|7.14}} Po zróżniczkowaniu wartości oczekiwanej {{LinkWzór|7.14}} w względem parametru estymowanego &lambda; i wykorzystując przy tym tożsamość {{LinkWzór|7.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>E^'_{\lambda}(S)=1+B^'(\lambda)=\int\left(S\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^',\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i= E\left\{S\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right\}=E\left\{S\sum^N_{i=1}\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\right\} \;</MATH>|7.15}} Korzystając z definicji {{LinkWzór|7.10}} na pochodną logarytmiczną gęstości funkcji prawdopodobieństwa obowiązującego w N próbach razem, który napiszemy dla jednej wartości estymowanej &lambda;, czyli funkcja l{{Sup|'}}, wtedy wzór {{LinkWzór|7.15}} przechodzi w równoważne równanie: {{CentrujWzór|<MATH>1+B^'(\lambda)=E\left\{Sl^'\right\}\;</MATH>|7.16}} Całkowita gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jakikolwiek wyniku dla ściśle określonej próby jest ściśle określona i jest równa 1, co powinno być zrozumiałe zgodnie definicją gęstości funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=1\;</MATH>|7.17}} Znając własność {{LinkWzór|7.17}}, to całkowita gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jakikolwiek wyniku w n-próbach, jak można udowodnić dla całej całej przestrzeni też jest równe jeden. {{CentrujWzór|<MATH>\int \prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\prod^N_{i=1}\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\prod^N_{i=1} 1=1\;</MATH>|7.18}} Według tożsamości wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.18}} jesteśmy pewni przepisując nasz wniosek, że jest spełniony wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\int \prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=1\;</MATH>|7.19}} Różniczkując za pomocą pochodnej cząstkowej tożsamość udowodnioną wcześniej i przedstawionej w punkcie {{LinkWzór|7.19}} względem parametru &lambda;, który jest estymowanym parametrem, wtedy dostajemy inną równoważną tożsamość, jeśli przy tym wykorzystamy wzór {{LinkWzór|7.10}} i policzymy jego wartość oczekiwaną, którą jak udowodnimy w naszym przypadku jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\int\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=E(l^')=0\;</MATH>|7.20}} Doszliśmy do wniosku, że wartość oczekiwana funkcji l{{Sup|'}} jest równa na pewno zero. Zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.16}} i tożsamości udowodnionej {{LinkWzór|7.20}}, która jest równa zero, co wykorzystamy poniżej, zatem dochodzimy do wniosku, że zachodzi inna tożsamość, ale wynikającego z poprzednich rozważań: {{CentrujWzór|<MATH>1+B^'(\lambda)=E\{Sl^'\}=E\{Sl^'\}-E(S)E(l^')=E\{Sl^'\}-E\{E(S)l^'\}=E\{Sl^'-E(S)l^'\}=E\{(S-E(S))l^'\}\;\;</MATH>|7.21}} Napiszmy pomocnicze wyrażenie poniżej, które trywialnie można udowodnić. Jak wiemy lewa strona równości na podstawie, że (ax+y){{Sup|2}} jest zawsze dodatnia. Z dodatniości gęstości prawdopodobieństwa wynika, że wartość oczekiwana E[(ax+y){{Sup|2}}] jest wielkością zawsze dodatnią dla każdego parametru "a": {{CentrujWzór|<MATH>0\leq E[(ax+y)^2]=a^2E(x^2)+2aE(xy)+E(y^2)\;</MATH>|7.22}} Z powyższych oczekiwań wartość oczekiwana {{LinkWzór|7.22}} ma wartość zawsze nieujemną, tzn. powyższe równanie można potraktować jako dwumian kwadratowy względem parametru "a", którego &Delta; jest zawsze niedodatnia przy parametrze a&ge; 0, wtedy równanie kwadratowe {{LinkWzór|7.22}} przyjmuje wartości nieujemne: {{CentrujWzór|<MATH>0\geq \Delta=4E^2(xy)-4E(x^2)E(y^2)\;</MATH>|7.23}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.23}} dochodzimy do wniosku, że spełnione jest równanie wynikające ze wspomnianej nierówności: {{CentrujWzór|<MATH>E^2(xy)\leq E(x^2)E(y^2)\;</MATH>|7.24}} Nierówność {{LinkWzór|7.24}} jest nazywana '''nierównością Cauchy-Schwarza'''. Korzystając z nierówności {{LinkWzór|7.24}} dochodzimy do wniosku, że według wzoru {{LinkWzór|7.21}} można wywnioskować pewną nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>[1+B^'(\lambda)]^2=E^2[(S-E(S))l^']\leq E[(S-E(S))^2]E({l^'}^2)\;</MATH>|7.25}} Policzmy wartość oczekiwaną kwadratu wartości funkcji {{LinkWzór|7.10}}, z oczywistych powodów możemy napisać przekształcając to właśnie wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\left(\sum^N_{i=1}\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\right)^2\right\}= E\left\{\sum^N_{i=1}\varphi^2(\mathbf{x}^i,\lambda)\right\}+2E\left\{\sum_{i\neq j}\varphi(\vec{x^i},\lambda)\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)\right\}\;</MATH>|7.26}} Policzmy drugi wyraz równości w końcowych obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|7.26}}, który jak się przekonamy jest równa zero. Oczywiście wartość oczekiwana funkcji &phi; dla różnych prób jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych dla każdej z prób z osobna. Dlatego tak się dzieje, ponieważ wartości oczekiwane są liczone względem n-wymiarowego wektora pomiarów, dla każdej niezależnej próby pomiarów, zatem na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.9|Momenty statystyczne w działaniu}} można tak zrobić. {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)]=E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)]E[\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)]\;</MATH>|7.27}} Dla każdego czynnika wyrażenia występującego w równaniu {{LinkWzór|7.27}}, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.9}} i normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla i-tej próby {{LinkWzór|7.17}}, dochodzimy więc do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^,\lambda)]=\int{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\int f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i={{d}\over{d\lambda}}\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i={{d}\over{d\lambda}}1=0\;</MATH>|7.28}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|7.26}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.27}}, a potem {{LinkWzór|7.28}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\sum^N_{i=1}\varphi^2(\mathbf{x}^i,\lambda) \right\}=E\left\{\sum^N_{i=1}\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)^2\right\}\;</MATH>|7.29}} Wiadomo, jednak ze wzoru {{LinkWzór|7.9}} i jeśli z niego policzymy wartość oczekiwaną i na podstawie oczywistej tożsamości {{LinkWzór|7.17}} można oczywiście udowodnić, że ta tożsamość jest zapisywana: {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)]=E\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda}}\right)=\int {{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}f(x^i,\lambda)dx^i=0\;</MATH>|7.30}} Wyznaczmy tożsamość napisana poniżej, która będzie nam bardzo potrzebna w poniższych obliczeniach, zatem korzystając z wiadomości z rachunku na pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int {{d}\over{d\lambda}}\left[\left({{f^'}\over{f}}\right)f\right]= \int {{{f^'}^2}\over{f}}+f({{f^'}\over{f}})^'=\int \left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2+\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\}fdx=E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2\right\}+E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\} \Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2\right\}=-E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\}\;</MATH>|7.31}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|7.31}} wyrażenie {{LinkWzór|7.29}} możemy zapisać w innej równoważnej postaci do niego: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\sum_{i=1}^N\left({{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}\right)^2\right\}=-E\left\{\left({{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}\right)^'\right\}=-E(l^{''})\;</MATH>|7.32}} Zdefiniujmy podstawienie jako funkcję I(&lambda;) zależącej od wartości oczekiwanej funkcji l{{Sup|'}}{{Sup|2}} zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.32}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>I(\lambda)=E({l^'}^2)\;</MATH>|7.33}} Wariancji estymatora S zdefiniowana jako wartość oczekiwana kwadratu odchylenia (S-E(S)){{Sup|2}} względem gęstości prawdopodobieństwa n-prób {{LinkWzór|7.13}} piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>E\left[(S-E(S))^2\right]=\sigma^2(S)\;</MATH>|7.34}} oraz z {{LinkWzór|7.33}}, dostajemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{1+B^'(\lambda)\right\}^2\leq E\left[(S-E(S))^2\right]E({l^'}^2)=\sigma^2(S)I(\lambda)\;</MATH>|7.35}} Jeśli wykorzystamy udowodnioną nierówność {{LinkWzór|7.25}} a potem z definicji wariancji estymatora S i oznaczenia {{LinkWzór|7.33}}, dochodzimy wtedy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)\geq{{(1+B^'(\lambda))^2}\over{I(\lambda)}}\;</MATH>|7.36}} Powyższą nierówność nazywamy '''nierównością informacyjną'''. Jeśli B(&lambda;) jest zdefiniowana według wzoru {{LinkWzór|7.12}} i przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy mamy najlepsze dopasowanie parametru estymowanego &lambda; z warunkiem ekstremum B{{Sup|'}}(&lambda;)=0, to wzór {{LinkWzór|7.36}} ze znikającą pierwszą pochodną funkcji B(&lambda;) jest zapisywany: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)\geq {{1}\over{I(\lambda)}}\;</MATH>|7.37}} Zapytajmy siebie, jaka jest najmniejsze ograniczenie na B{{Sup|'}}(&lambda;), co zachodzi to wtedy, gdy &sigma;(S) zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|7.34}} przyjmuje wartość najmniejszą, czyli według wzoru {{LinkWzór|7.25}}, którego nierówność należy zastąpić równością, wtedy wyróżnik trójmianu {{LinkWzór|7.23}} przyjmuje wartość równą zero. Na podstawie wiadomości z algebry dostajemy, że wartość oczekiwana wyrażenia (a+y){{Sup|2}} jest równa zero, tzn. zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>E[(ax+y)^2]=0\;</MATH>|7.38}} W którym położono na podstawie wcześniejszych rozważań, że x=S-E(S) oraz y=l{{Sup|'}}, to ze wzoru {{LinkWzór|7.38}} można powiedzieć na pewno z nieujemności gęstości prawdopodobieństwa, dzięki której liczymy wartość oczekiwaną, otrzymujemy że wyrażenie z której liczymy wartość oczekiwaną jest równa zero. {{CentrujWzór|<MATH>E\left[\left(a(S-E(S))+l^'\right)^2\right]=0\Rightarrow\left(a(S-E(S))+l^'\right)^2=0\Rightarrow l^'+(-A(\lambda))(S-E(S))=0\;</MATH>|7.39}} To wtedy z tożsamości końcowej {{LinkWzór|7.39}} możemy wyznaczyć wyrażenie na l{{Sup|'}}, które możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> l^'=A(\lambda))(S-E(S))\;</MATH>|7.40}} Wyrażenie {{LinkWzór|7.40}} możemy przecałkować obustronnie względem parametru estymowanego &lambda;, otrzymując końcowe wyrażenie zależne od estymatora S i stałych zależnych lub niezależnych od parametru &lambda;, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>l=\int l^'d\lambda=C(\lambda)S+D(\lambda)+D\;</MATH>|7.41}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.8}} oraz z wyprowadzonego wyrażenia {{LinkWzór|7.41}} możemy napisać funkcję L, którą zapiszemy poniżej, która jest gęstością prawdopodobieństwa uzyskania pewnych pomiarów w N próbach, wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>L=e^l=de^{C(\lambda)S+D(\lambda)}\;</MATH>|7.42}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.40}}, wtedy wartość oczekiwana tego wyrażenia względem gęstości prawdopodobieństwa N prób jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=A^2(\lambda)E[(S-E(S))^2]\;</MATH>|7.43}} Jeśli wyrażenie na wartość oczekiwaną l{{Sup|'}}{{Sup|2}} podstawimy do nierówności {{LinkWzór|7.37}}, która staje się nierównością dla najmniejszego z możliwych dla wariacji &sigma;(S) i biorąc definicję funkcji I(&lambda;) {{LinkWzór|7.33}}, wtedy dostajemy nierówność na to obciążenie estymatora S: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)={{1}\over{I(\lambda)}}={{1}\over{E({l^'}^2)}}={{1}\over{A^2(\lambda)E[(S-E(S))^2]}}={{1}\over{A^2(\lambda)\sigma^2(S)}}\;</MATH>|7.44}} Mnożąc obustronnie przez &sigma;{{Sup|2}}(S) równość {{LinkWzór|7.44}}, wtedy dostajemy równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^4(S)={{1}\over{A^2(\lambda)}}\;</MATH>|7.45}} Co pierwiastkując obustronnie pierwiastkiem drugiego stopnia równość {{LinkWzór|7.45}}, wtedy dostajemy że najmniejsza wariancja estymatora S spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)={{1}\over{|A(\lambda)|}}\;</MATH>|7.46}} Czyli najmniejsza wartość dla wariancji estymatora S dla której zachodzi warunek {{LinkWzór|7.46}} zależy od parametru &lambda; wartości estymowanej. == Estymacja dla jednego estymowanego parametru == Niech pochodna funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} w punkcje parametru estymatora &lambda;{{Sub|0}} jest równa zero, a która jest pochodną funkcją gęstości prawdopodobieństwa dla N-prób {{LinkWzór|7.7}} w tym punkcie, bo mamy doczynienia z parametrem &lambda; najbardziej prawdopodobnym, czyli dla tej wartości funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla N-prób {{LinkWzór|7.7}} przyjmuje wartość maksymalną z wiadomości o ekstremum z analizy matematycznej. {{CentrujWzór|<MATH>l^'(\lambda_0)=\sum_{i=1}^N\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)_{\lambda_0}=0</MATH>|7.47}} Drugą pochodną "l" względem najbardziej prawdopodobnego parametru &lambda;{{Sub|0}}można wyrazić w innej postaci, jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.32}} i potem po wyrażeniu jej w końcu przy pomocy wyrażenia {{LinkWzór|7.33}} w wspomnianym punkcie, co ta wielkość jest wielkością stałą, zatem możemy ją wyrazić względem parametru b{{Sup|-2}}. {{CentrujWzór|<MATH>l^{''}(\lambda_0)=E\left\{\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x},\lambda)}}\right)^2\right\}=E(l^{''})=-E({l^'}^2)=-I(\lambda_0)=-b^{-2}</MATH>|7.48}} Rozłóżmy pochodną logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.8}} w szereg Taylora korzystając wtedy z obliczeń {{LinkWzór|7.48}}, dostajemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>l^{'}(\lambda)=l^'(\lambda_0)+l^{''}(\lambda_0)(\lambda-\lambda_0)+...=-{{(\lambda-\lambda_0)}\over{b^2}}</MATH>|7.49}} We wzorze {{LinkWzór|7.49}} z korzystaliśmy, ze pierwsza pochodna {{LinkWzór|7.47}} przyjmuje wartość zerową dla punktu &lambda;, a także korzystaliśmy ze wzoru {{LinkWzór|7.48}}, która jest wyznaczona dla punktu &lambda;{{Sub|0}}, zatem logarytmiczna funkcja wiarygodności na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.49}}, dla której policzymy całkę wspomnianego wyrażenia względem parametru &lambda;, przedstawia się ona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>l(\lambda)=\int l^'d\lambda=-\int {{(\lambda-\lambda_0)}\over{b^2}}=-{{(\lambda -\lambda_0)^2}\over{2b^2}}</MATH>|7.50}} Funkcja wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} wychodząc ze wzoru {{LinkWzór|7.50}} przyjmuje kształt: {{CentrujWzór|<MATH>L(\lambda)=Ae^{-{{(\lambda-\lambda)^2}\over{2b^2}}}</MATH>|7.51}} Wzór {{LinkWzór|7.51}} nazywamy '''rozkładem normalnym (Gaussa)'''. == Estymacja dla kilku estymowanych parametrów == Funkcje wiarygodności można potraktować również jako funkcję n-wielowymiarowego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}} parametrów estymowanych, które są podane w punkcie poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\lambda}=(\lambda_1,...,\lambda_n)</MATH>|7.52}} Rozłóżmy funkcje wiarygodności {{LinkWzór|7.8}} w szereg Taylora dla wielu zmiennych względem &lambda;{{Sub|i}}, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>l(\vec{\lambda}_0)=l(\vec{\lambda}_0)+\sum^n_{i=1}\left({{\partial l}\over{\partial\lambda_i}}\right)_{\vec{\lambda}_0}\left(\lambda_i-(\lambda_0)_i\right)+{{1}\over{2}}\sum^n_{i,j=1} \left({{\partial^2 l}\over{\partial\lambda_i\partial\lambda_j}}\right)_{\vec{\lambda}_0}\left[\lambda_i-(\lambda_0)_i\right]\left[\lambda_j-(\lambda_0)_j\right]+...</MATH><br>|7.53}} Pierwsze pochodne przyjmują wartość zerową, ponieważ parametry &lambda;{{Sub|0i}} są najbardziej prawdopodobne zgodnie {{LinkWzór|7.11}}, czyli są tak dobrane, by funkcja wiarygodności osiągała wartość maksymalną. Można udowodnić, że funkcja logarytmiczna wiarygodności wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.53}} przyjmuje ową postać: {{CentrujWzór|<MATH>l(\vec{\lambda})=l(\vec{\lambda}_0)-{{1}\over{2}}(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^TB(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)+...</MATH>|7.54}} W logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.54}} obrywamy wszystkie wyrazy, które są pochodnymi większego rzędu niż dwa, zatem funkcja wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} w tym przypadku przyjmuje takową postać: {{CentrujWzór|<MATH>L=Ae^{-{{1}\over{2}}(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^TB(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)}</MATH>|7.54a}} Macierz B we wzorze na funkcję wiarygodności {{LinkWzór|7.54a}} jest zależna od drugich pochodnych logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.8}}, która ta macierz jest wzięta z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>B=-\begin{pmatrix} {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1^2}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1\partial\lambda_2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1\partial\lambda_n}}\\ {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2\partial_1}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2^2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2\partial\lambda_n}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_1}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_n}} \end{pmatrix}</MATH>|7.55}} Można udowodnić, że odwrotność macierzy {{LinkWzór|7.55}} przyjmuje wygląd podanych według wzoru poniżej, który jakoby jest wartością oczekiwaną z pewnej funkcji macierzowej, która jest definicją kowariancji wedle jej definicji {{LinkWzór|4.34|Momenty_statystyczne_dla_funkcji_złożonej}}: {{CentrujWzór|<MATH>B^{-1}=E((\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^T(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)=C</MATH>|7.56}} * Co powyższe twierdzenie jest udowodnione w rozdziale o: {{sr|Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym|wielowymiarowym twierdzeniu normalnym}}, którego końcowy wynik jest podany w punkcie {{LinkWzór|12.21|Twierdzenie_o_rozkładzie_normalnym_wielowymiarowym}} oraz że wartością oczekiwaną rozkładu {{LinkWzór|7.54a}} jest wektor wartości dokładnych {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}_0\;</MATH>}} zmiennej wektorowej {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> h1ig6pp97fcegsjzxvfqkxowlu5trck 0 17274 558659 513426 2026-10-05T02:11:47Z Persino 2851 558659 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy liczyć pewne wielkości, które są funkcją pewnych wyników uzyskanych w doświadczeniu, charakteryzujących sam pomiar tychże wielkości. == Moment statystyczny λ rzędu l == Ogólnie momentem rzędu "l" nazywamy wielkość, która jest wartością oczekiwaną zmiennej potęgowej x{{Sup|l}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_l=E\left\{x^l\right\}</MATH>|3.1}} ==== '''Rozważając dla zmiennej typu dyskretnego:''' ==== Dla zmiennej typu dyskretnego wzór {{LinkWzór|3.1}} definiujemy przez prawdopodobieństwo zdarzenie losowego dyskretnego, którego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako sumę po wszystkich możliwych wskaźnikach p, dla którego numerujemy kolejno otrzymane wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją pod sumą jest iloczyn zmiennej losowej x{{Sub|p}} podniesionej do potęgi "l" i prawdopodobieństwa P(x{{Sub|p}}): {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_l=\sum^n_{p=1}x_p^lP(x_p)</MATH>|3.2}} Wartością oczekiwaną nazywamy momentem statystycznym rzędu "l" równej jeden , którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru {{LinkWzór|3.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_1=\hat{x}=E(x)=\sum^n_{p=1}x_pP(x_p)\;</MATH>|3.3}} Momentem statystycznym rzędu "l" równe zero nazywamy normowaniem funkcji prawdopodobieństwa do jedynki {{LinkWzór|2.10|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, którego dla tego "l" przepis piszemy według {{LinkWzór|3.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_0=\sum^n_{p=1} x^0P(x_p)=\sum^n_{p=1}P(x_p)=1\;</MATH>|3.4}} ==== '''Rozważając dla zmiennej typu ciągłego:''' ==== Dla zmiennej typu dyskretnego wzór {{LinkWzór|3.1}} definiujemy przez prawdopodobieństwo zdarzenia losowego ciągłego, którego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako całkę po wszystkich możliwych wartościach x, jakie może przyjmować wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej losowej x i prawdopodobieństwa f(x): {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_l=\int^b_a x^l f(x)dx</MATH>|3.5}} Wartością oczekiwaną nazywamy momentem statystycznym rzędu "l" równej jeden, którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru {{LinkWzór|3.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_1=\hat{x}=E(x)=\int^b_a xf(x)dx\;</MATH>|3.6}} Momentem statystycznym rzędu "l" równej zero nazywamy normowaniem funkcji prawdopodobieństwa do jedynki {{LinkWzór|2.13|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru {{LinkWzór|3.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_0=\int^b_a x^0 f(x)dx=\int^b_a f(x)dx=1\;</MATH>|3.7}} == Momenty statystyczne μ względem wartości średniej == Ogólnie momentem statystycznym rzędu l danej wielkości nazywamy wartość oczekiwana, która jest wartością średniej zmiennej (x-E(x)){{Sup|l}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_l=E\left\{(x-\hat{x})^l \right\}</MATH>|3.8}} ==== ''' Przypadek zmiennej dyskretnej: ''' ==== Dla zmiennej typu dyskretnego wzór {{LinkWzór|3.8}} przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego dyskretnego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako sumę po wszystkich możliwych wartościach "i" jakie może przyjmować wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją pod sumą jest iloczyn zmiennej losowej x{{Sub|i}}-E(x) podniesionej do potęgi "l" i prawdopodobieństwa P(x{{Sub|p}}): {{CentrujWzór|<MATH>\mu_l=\sum^n_{i=1} {(x_{i}-\hat{x})}^l P(x_i)</MATH>|3.9|Obramuj}} Moment statystyczny rzędu zerowego jest to warunek normowania funkcji prawdopodobieństwa i jest równy jeden, tak jak w przypadku {{LinkWzór|3.4}}. ===== Następnie policzmy dyskretny jedynkowy i dwójkowy moment statystyczny: ===== Wartością oczekiwaną nazywamy momentem statystycznym rzędu "l" równej jeden , którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru {{LinkWzór|3.9}}: {{CentrujWzór|<Math>\mu_1=\sum^n_{i=1}(x_{i}-\hat{x})P(x_i)= \sum^n_{i=1}x_{i}P(x_i)-\hat{x}\sum^n_{i=1}P(x_i)=\hat{x}-\hat{x}=0\;</MATH>|3.10}} Udowodniliśmy, że jedynkowy moment statystyczny jest równy zero z warunku normowania funkcji {{LinkWzór|2.10|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}} i z definicji wartości średniej {{LinkWzór|2.11|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}. Wariancją nazywamy drugi moment statystyczny liczony według ogólnego przepisu {{LinkWzór|3.9}} dla tego "l": {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(x)^2=\mu_2=\sum^n_{i=1}(x_i-\hat{x})^2P(x_i)</MATH>|3.11}} ==== '''Dla zmiennej typu ciągłego:''' ==== Jeśli zmienna "x" jest zmienną ciągłą, należącą do przedziału (a,b), wówczas n-ty moment statystyczny {{LinkWzór|3.6}} piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_l=\int\limits^b_a (x-\hat{x})^l\rho(x)dx</MATH>|3.12|Obramuj}} Moment statystyczny rzędu zerowego jest to warunek normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa, i który jest równy jeden. ===== Następnie policzmy ciągły jedynkowy i dwójkowy moment statystyczny: ===== Wartością oczekiwaną nazywamy momentem statystycznym rzędu "l" równej jeden, którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru {{LinkWzór|3.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_1=\int^b_a(x-\hat{x})^1\rho(x)dx= \int^b_ax\rho(x)dx-\hat{x}\int^b_a\rho(x)dx=\hat{x}-\hat{x}=0</MATH>|3.13}} Zatem udowodniliśmy, że jedynkowy moment statystyczny ma wartość równą zero. Wariancją nazywamy drugi moment statystyczny liczony według przepisu {{LinkWzór|3.12}} i którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=\mu_2=\int^b_a(x-\hat{x})^2\rho(x)dx</MATH>|3.14}} == Momenty statystyczne ciągłe μ dla dwóch zmiennych == Momentem statystycznym n-zmiennych nazywamy wzór {{LinkWzór|3.8}} dla zmiennej "x" i przestawmy ją względem prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej x wedle schematu {{LinkWzór|2.41|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i(x)=\int^{d}_{c}\int^{b}_{a}(x-\hat{x})^if(x,y)dxdy=\int_{b}^{a}(x-\hat{x})^ig(x)dx</MATH>|3.15}} Momentem statystycznym n-zmiennych nazywamy wzór {{LinkWzór|3.8}} dla zmiennej "y" i przestawmy ją względem prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej y wedle schematu {{LinkWzór|2.42|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i(y)=\int^{d}_{c}\int^{b}_{a}(y-\hat{y})^if(x,y)dxdy=\int_{d}^{c}(y-\hat{y})^ih(y)dy</MATH>|3.16}} Wartością oczekiwaną funkcji względem x określa wzór {{LinkWzór|2.45|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, a względem y wzór {{LinkWzór|2.46|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, natomiast wariancje określa dla zmiennej x, którego definicja {{LinkWzór|2.47|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, i dla y, którego definicja {{LinkWzór|2.48|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}. Momenty statystyczne {{LinkWzór|3.15}} oraz {{LinkWzór|3.16}} przyjmują wartość jeden dla {{Formuła|<MAtH>i=0\;</MATH>}} i jest to warunek normowania gęstości funkcji prawdopodobieństwa {{Formuła|<MATH>\rho(x)\;</MATH>}} dla tych momentów statystycznych. Rozważane momenty statystyczne, tym razem rzędu pierwszego, jak można udowodnić są równe zero z definicji normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa oraz wartości oczekiwanych. == Momenty statystyczne ciągłe dla n-zmiennych == Momentem statystycznym n-zmiennych nazywamy wzór {{LinkWzór|3.8}}, gdy funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest f(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) i w nim jest to całka po całej zmienności wszystkich zmiennych x{{Sub|k}}. Przedstawmy ją w zależności od gęstości prawdopodobieństwa zmiennej x{{Sub|k}}, czyli g(x{{Sub|k}}) według wzoru {{LinkWzór|2.52|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i(x_k)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}\left(x_k-\hat{x}_{k}\right)^i f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n=\int_{a_k}^{b_k}(x_k-\hat{x}_{k})^ig(x_k)dx</MATH>|3.17}} Wartość oczekiwana możemy wyznaczyć dla argumentu x{{Sub|k}} według wzoru {{LinkWzór|2.55|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}, a wariancję wedle {{LinkWzór|2.56|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}}. == Związek pomiędzy drugim a pierwszym momentem statystycznym == Wyprowadzając wzór na drugi moment statystyczny &sigma;{{Sup|2}}(x)=&mu;{{Sub|2}}(x) wedle przepisu {{LinkWzór|3.8}}, dla x ciągłego lub dyskretnego, i korzystając z tego, że x{{Sub|0}}=E(x), wtedy wariancję wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x)=E\left ((x-\hat{x})^2\right )\;=\;E(x^2)+\hat{x}^2-2\hat{x}E(x)=E(x^2)+E^2(x)-2E(x)E(x)=E(x^2)-E^2(x)\;</MATH>|3.18a}} Ostatecznie otrzymujemy zależność na wariancję, mając wartość oczekiwaną kwadratu zmiennej losowej E(x{{Sup|2}}) oraz samą wartość oczekiwaną E(x) tej samej zmiennej też losowej. {{CentrujWzór|<MATH> \sigma^2(x)=E(x^2)-E^2(x)\;\;</MATH>|3.18}} Wzór {{LinkWzór|3.18}} dla funkcji prostej (linowej), o współczynniku liniowym równej jeden, uogólnimy na przypadek funkcji złożonej, której szczególnym przypadkiem jest funkcji liniowa H(x)=x. Oznacza to, że używamy podstawienia zmiennej x funkcją H(x) we wzorze {{LinkWzór|3.18}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2_{H(x)}=E\left \{\Big (H(x)-E[H(x)]\Big )^2\right \}\;=\;E\left \{H^2(x)\right\}-E^2\left\{H(x)\right\}\;</MATH>|3.19}} Gdy mamy do czynienia z funkcją n-wymiarową, tzn. {{Formuła|<MATH>H(\vec{x})=H(x_1,x_2,...,x_n)\;</MATH>}}, to wariancję względem tej funkcji można zapisać analogicznie do {{LinkWzór|3.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2_{H(\vec{x})}=E\left \{\Big (H(\vec{x})-E[H(\vec{x})]\Big )^2\right \}\;=\;E\left \{H^2(\vec{x})\right\}-E^2\left\{H(\vec{x})\right\}\;</MATH>|3.20}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> b3z0qbc4rq7hy9fpivygv27elkc5zn5 0 17284 558668 513445 2026-10-05T02:36:35Z Persino 2851 558668 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wiemy, że każde uzyskanie wyniku w wyniku doświadczenia jest poparte pewnym rokładem statystycznym. Zapoznamy się tutaj z rozkładami i twierdzeniami: : '''{{sr|Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego}}''' - tutaj prawdopodobieństwo uzyskania pojedynczego wyniku jest równe p. Tutaj wyznaczamy prawdopodobieństwo uzyskania k razy wyniku A z n doświadczeń. : '''{{sr|Twierdzenie o rozkładzie wielomianowym}}''' - jest to uogólnienie rozkładu Bernoulliego na przypadek zachodzenia "s" różnych zdarzeń przy różnych Ich trafieniach przy przeprowadzonych n doświadczeniach. : '''{{sr|Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym}}''' - jest to uogólnienie rozkładu wielomianowego na przypadek bardzo dużej ilości doświadczeń , tak żeby zachodziło n>>1, by uzyskać skończone ilości wyników danego pomiaru danej wielkości fizycznej (zdarzenia A). Ten rozkład jest napisany jaka jest gęstość prawdopodobieństwo uzyskania wyniku ''x'' w przestrzeni jednowymiarowej. : '''{{sr|Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym}}''' - jest to uogólnienie Twierdzenie o rozkładzie normalnym jednowymiarowym, gdy chcemy zapytać jaka jest gęstość uzyskania n-wymiarowego wyniku. : '''{{sr|Centralne twierdzenie graniczne}}''' - dowód tego twierdzenia jest taki, że przy liczbie doświadczeń n&rarr;&infin; rozkład wyników uzyskanych w doświadczeniu przechodzi w rozkład normalny. : '''{{sr|Twierdzenie o rozkładzie χ²}}''' - jeśli rozkład statystyczny w n próbach zmiennej statystycznej &chi;², która jest sumą kwadratów wyników pomiarów, przy którym w pojedynczej próbie rozkład wyników pomiarów jest rozkładem normalnym. : '''{{sr|Twierdzenie o rozkładzie hipergeometrycznym}}''' - jeśli w zbiorze zdarzeń mamy dwa rodzaje zdarzeń, to jeśli zapytamy jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania wyników składającej się z k zdarzeń A i n-k zdarzeń B przy n losowaniach. : '''{{sr|Twierdzenie o rozkładzie Poissona}}''' - jest to uogólnienie rozkładu Bernoulliego na przypadek, gdy warunek n p=&lambda;, gdy spełnione są jednocześnie warunki: n&rarr;&infin; oraz p&rarr; 0. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> s9iyywidgi71wkj48ftuqsv0573gnhk 0 17418 558661 467584 2026-10-05T02:16:55Z Persino 2851 558661 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zwykle liczyliśmy momenty statystyczne dla funkcji prostych, tzn. dla funkcji, dla których zachodzi H(x)=x. Tutaj zajmiemy się liczeniem momentów statystycznych dla funkcji różnych od funkcji liniowej, czyli dla funkcji złożonej względem argumentu ''x'', która jest zmienną ciągłą lub dyskretną, zależną od dwóch bądź więcej argumentów dla funkcji złożonej. == Momenty statystyczne dla funkcji złożonej jednej zmiennej == Ogólnie momentem statystycznym rzędu l danej wielkości względem jej wartość oczekiwanej nazywamy wartość średnią zmiennej (H(x)-E[H(x)]){{Sup|l}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i(H)=E\left[\Big(H(x)-E[H(x)]\Big)^i\right]</MATH>|4.1}} * gdzie E[H(x)] jest to wartość oczekiwana funkcji H(x). === Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x dyskretnej === Dla zmiennej typu dyskretnego wzór {{LinkWzór|4.1}} przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego dyskretnego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako sumę po wszystkich możliwych wartościach x{{Sub|p}} jakie mogą przyjmować wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją pod sumą jest iloczyn zmiennej losowej H(x{{Sub|p}})-E[H(x)] i prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku P(x{{Sub|p}}): {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i(H)=\sum^n_{k=1} \Big(H(x_k)-E[H(x)]\Big)^i\operatorname{P}(x_k)\;</MATH>|4.2}} Moment statystyczny zerowy jest to unormowanie gęstości funkcji prawdopodobieństwa. Wartość oczekiwaną funkcji H(x) nazywamy przepis, która jest sumą po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji H(x{{Sub|k}}) przy prawdopodobieństwie zdefiniowanej wedle wzoru P(x{{Sub|k}}). {{CentrujWzór|<MATH>E[H(x)]=\sum^n_{k=1} H(x_k)\operatorname{P}(x_k)\;</MATH>|4.3}} Moment statystyczny, którego przepis jest w {{LinkWzór|4.2}} dla parametru "i" równej jeden jest równy zero, co wynika z warunku normowania funkcji prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.10|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}} i definicji wartości oczekiwanej funkcji H(x) według {{LinkWzór|4.3}}. Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x) jest sumą po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(x{{Sub|k}})-E[H(x)]){{Sup|2}} przy prawdopodobieństwie określonych pomiarów: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2[H(x)]=\sum^n_{p=1}\left\{\Big(H(x_p)-E[H(x)]\Big)^2\right\}P(x_p)</MATH>|4.4}} === Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x ciągłej === Dla zmiennej typu ciągłego wzór {{LinkWzór|4.1}} przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego ciągłego momentem statystycznym rzędu "i" definiujemy przepis jako całkę po wszystkich możliwych wartościach x jakie może przyjmować wyniki z doświadczenia, którego funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej losowej H(x)-E[H(x)] i gęstości prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku &rho;(x). Momentem statystyczny i-tego rzędu dla funkcji ciągłej dla przedziału {{Formuła|<MATH>x\in(a,b)\;</MATH>}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i=\int\limits^b_a {\Big(H(x)-E[H(x)]\Big)}^i\rho(x)dx\;</MATH>|4.5}} Moment statystyczny zerowy jest to unormowanie gęstości funkcji prawdopodobieństwa do jedynki. Wartość oczekiwaną funkcji H(x) nazywamy przepis, która jest całką po wszystkich x, jakie mogą być uzyskane z doświadczenia względem funkcji H(x) przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle wzoru &rho;(x). {{CentrujWzór|<MATH>E[H(x)]=\int\limits^b_a H(x)\rho(x)dx\;</MATH>|4.6}} Moment statystyczny, którego przepis jest w {{LinkWzór|4.5}} dla parametru "i" równej jeden jest równy zero, co wynika z warunku normowania funkcji prawdopodobieństwa {{LinkWzór|2.13|Wprowadzenie do rozkładów zmiennych losowych}} i definicji wartości oczekiwanej funkcji H(x) według {{LinkWzór|4.6}}. Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x), która jest całką po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(x)-E[H(x)]){{Sup|2}} przy gęstości prawdopodobieństwa określonego pomiaru &rho;(x), jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2[H(x)]=\int\Big[H(x)-E[H(x)]\Big]^2\rho(x)dx\;</MATH>|4.7}} === Uogólnienie momentu statystycznego na przypadek dowolnej jednej zmiennej === Obierzmy funkcję jednej zmiennej H(x), która jest napisana względem parametru "l" jako pewna funkcja potęgowa: {{CentrujWzór|<MATH>H(x)=(x-c)^l\;\;</MATH>|4.8}} Dla dowolnego typu zmiennej przy prawdopodobieństwie lub gęstości zdarzenie losowego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_l=E\left\{(x-c)^l\right\}\;</MATH>|4.9}} Wzór {{LinkWzór|4.9}} nazywamy momentem statystycznym rzędu l względem punktu ''c''. Niech tym punktem ''c'' będzie wartość średnia uzyskanych wyników pomiarów, wtedy moment statystyczny &mu;{{Sub|l}} względem wartości oczekiwanej uzyskanych w wyniku doświadczenia jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_l=E\left\{(x-\hat{x})^l\right\}\;</MATH>|4.10}} Jak widzimy, wzory {{LinkWzór|3.9|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}} i {{LinkWzór|3.12|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}} są szczególnymi przypadkami wzoru {{LinkWzór|4.10}}. Moment statystyczny rzędu l=1 ma wartość zero, co można udowodnić z definicji normowania funkcji (gęstości funkcji) prawdopodobieństwa z definicji jego wartości oczekiwanej, którą to piszemy ogólnie według: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{x}=E(x)\;\;</MATH>|4.11}} == Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem dwuwymiarowym == Dla zmiennej typu ciągłego wzór przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego ciągłego momentem statystycznym rzędu "i" definiujemy przepis jako całkę po wszystkich możliwych wartościach x, który należy do przedziału (a,b) i y, które należy do przedziału (c,d), jakie mogą przyjmować w wyniki doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej losowej H(x,y)-E[H(x,y)] i gęstości prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku &rho;(x,y): Moment statystyczny i-tego rzędu dla funkcji ciągłej dla przedziału: {{Formuła|<MATH>x\in(a,b)\;</MATH>}} określa się: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i(x,y)=\int_{c}^{d}\int_{b}^{a}\Big(H(x,y)-E\left\{H(x,y)\right\}\Big)^i f(x,y)dxdy\;</MATH>|4.12}} Wartość oczekiwaną funkcji H(x,y) nazywamy przepis, która jest całką po wszystkich x i y jakie mogą być uzyskane z doświadczenia względem funkcji H(x,y) przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle &rho;(x,y): {{CentrujWzór|<MATH>E\left\{H(x,y)\right\}=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}H(x,y)f(x,y)dxdy\;</MATH>|4.13}} Momentem statystyczny nazywamy przepis, któþrego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|4.12}} dla parametru "i" większej lub równej zero. Warunkiem normowania funkcji prawdopodobieństwa według wzoru {{LinkWzór|2.44|Wprowadzenie_do_rozkładów_zmiennych_losowych}} jest wzór {{LinkWzór|4.12}} dla i=0. Wzór {{LinkWzór|4.13}} jest definicją wartości oczekiwanej funkcji H(x). Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x,y) jest całką po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(x,y)-E[H(x,y)]){{Sup|2}} przy gęstości prawdopodobieństwie określonego pomiaru &rho;(x,y): {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2\left\{H(x,y)\right\}=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}\Big(H(x,y)-E\left\{H(x,y)\right\}\Big)^2f(x,y)dxdy\;</MATH>|4.14}} === Moment statystyczny dla dwóch zmiennych === Obierzmy reprezentację funkcji dwuwymiarowej H(x,y) względem argumentu x i y, w których wykładniki potęg są przy x jest "l" i przy y jest "m": {{CentrujWzór|<MATH>H(x,y)=x^ly^m\;\;</MATH>|4.15}} Wówczas wartość oczekiwana funkcji {{LinkWzór|4.15}} piszemy tak jak normalnie jako moment statystyczny &lambda;{{Sub|lm}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{lm}=E(x^ly^m)\;\;</MATH>|4.16}} Wielkość {{LinkWzór|4.16}} nazywamy momentami rzędu l i m. === Momenty statystyczne względem pewnych punktów dla dwóch zmiennych === Obierzmy teraz jeszcze inną reprezentację funkcji H(x,y), też dla dwóch zmiennych co {{LinkWzór|4.15}}, ale względem punktów a i b, którego przepis tej funkcji jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>H(x,y)=(x-a)^l(y-b)^m\;\;</MATH>|4.17}} Momentem statystycznym &mu;{{Sub|lm}} funkcji {{LinkWzór|4.17}} rzędu l i m, względem punktów a i b, nazywamy wartość oczekiwaną tejże funkcji: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{lm}=E\left\{(x-a)^l(y-b)^m\right\}\;</MATH>|4.18}} Szczególne znaczenie mają momenty statystyczne policzone względem &lambda;{{Sub|10}} i &lambda;{{Sub|01}}. Oznaczmy a=&lambda;{{Sub|10}}=E(x) oraz b=&lambda;{{Sub|01}}=E(y). Zatem wzór {{LinkWzór|4.18}}, gdy te punkty a i b są kolejno wartościami oczekiwanymi zmiennych losowych x i y. {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{lm}=E\left\{(x-\lambda_{10})^l(y-\lambda_{01})^m\right\}\;</MATH>|4.19}} == Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem n-wymiarowym == Momentem statystycznym i-tego rzędu dla funkcji ciągłej z argumentem n-wymiarowym: {{Formuła|<MATH>\vec{x}=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\;\;</MATH>}} nazywamy wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i(x_1,x_2,..,x_n)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}\Big[H(x_1,x_2,...,x_n)-E\left\{H\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\right\}\Big]^i\cdot\;f(x_1,x_2,..,x_n)dx_1dx_2...dx_n\;\;</MATH>|4.20}} Wartością oczekiwaną funkcji {{Formuła|<MATH>H(x_1,x_2,...,x_n)\;\;</MATH>}} nazywamy wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>E\left\{H(x_1,x_2,...,x_n)\right\}=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}H(x_1,x_2,..,x_n)f(x_1,x_2,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n\;</MATH>|4.21}} Wariancja jest to drugi moment statystyczny według {{LinkWzór|4.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(x_1,x_2,..,x_n)=\int^{b_1}_{a_1}\int^{b_2}_{a_2}...\int^{b_n}_{a_n}\left[H(x_1,x_2,...,x_n)-E\Big\{H\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\Big\}\right]^2f(x_1,x_2,..,x_n)dx_1dx_2...dx_n\;\;</MATH>|4.22}} === Momenty statystyczne dla wielu zmiennych === Obierzmy funkcję n zmiennych H(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) nazywamy funkcję zdefiniowanej za pomocą iloczynu odpowiednich potęg x{{Sub|k}}{{Sup|l{{Sub|k}}}}: {{CentrujWzór|<MATH>H(x_1,x_2,...,x_n)=x_1^{l_1}x_2^{l_2}...x_n^{l_n}\;</MATH>|4.23}} Momentami statystycznymi rzędu l{{Sub|1}},l{{Sub|2}},..,l{{Sub|n}} nazywamy wartość średnią funkcji złożonej napsanej w punkcie {{LinkWzór|4.23}} wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{l_1l_2...l_n}=E\left\{x_1^{l_1}x_2^{l_2}...x_n^{l_n}\right\} \;</MATH>|4.24}} Wartościami oczekiwanymi zmiennych x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},..,x{{Sub|n}} nazywamy zdefiniowane momenty statystyczne, jako wartości oczekiwane pewnych zmiennych x{{Sub|k}}, w których numery momentu statystycznego {{LinkWzór|4.24}} są wszystkie równe zero, oprócz tylko jednej wartości l{{Sub|k}} dla jakiegoś k: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix} \lambda_{10...0}=E(x_1)=\hat{x}_{1},\mbox{ } \lambda_{01...0}=E(x_2)=\hat{x}_{2},\mbox{ } \cdots, \lambda_{00...1}=E(x_n)=\hat{x}_{n} \end{matrix}\;</MATH>|4.25}} === Momenty statystyczne względem pewnego punktu dla wektora n-wymiarowego === Obierzmy teraz funkcję n zmiennych względem punktu {{Formuła|<MATH>(a_1,a_2,...,a_n)\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>H(x_1,x_2,...,x_n)=(x_1-a_1)^{l_1}(x_2-a_2)^{l_2}...(x_n-a_n)^{l_n}\;\;</MATH>|4.26}} Momentami statystycznymi rzędu {{Formuła|<MATH>l_1,l_2,..l_n\;</MATH>}} względem {{LinkWzór|4.20}} nazywamy wyrażenia zdefiniowane: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{l_1l_2...l_n}=E\left\{(x_1-a_1)^{l_1}(x_2-a_2)^{l_2}...(x_n-a_n)^{l_n}\right\}\;</MATH>|4.27}} Jeśli rozważanym punktem (a{{Sub|1}}, a{{Sub|2}},...,a{{Sub|n}}) jest n-wymiarowy wektor wartości oczekiwanych zdefiniowanych w {{LinkWzór|4.21}}, wówczas nasz moment {{LinkWzór|4.27}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{l_1l_2...l_n}=E\left\{(x_1-\hat{x}_{1})^{l_1}(x_2-\hat{x}_{2})^{l_2}...(x_n-\hat{x}_{n})^{l_n}\right\}\;</MATH>|4.28}} === Definicja wariancji przez moment statystyczny μ === Jeśli skorzystamy z definicji momentów statystycznych {{LinkWzór|4.24}}, wtedy dla poszczególnych przypadków dla różnych zmiennych x{{Sub|i}} wariancja względem jej wartości oczekiwanej jest zdefiniowana jako: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix} \mu_{20...0}=E\left\{(x_1-\hat{x}_{1})^2\right\},\mbox{ } \mu_{02...0}=E\left\{(x_2-\hat{x}_{2})^2\right\}, ..., \mu_{00...2}=E\left\{(x_n-\hat{x}_{n})^2\right\} \end{matrix} \;</MATH>|4.29}} === Definicja kowariancji przez moment statystyczny μ === Korzystając z momentów statystycznych {{LinkWzór|4.27}} przy funkcji H(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|4.26}}, można zdefiniować kowariancję względem elementów n-wymiarowego wektora dla a{{Sub|i}} i b{{Sub|j}}, jeśli wszystkie liczby l{{Sub|k}} w {{LinkWzór|4.27}} są równe zero oprócz dwóch: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{00...1_i...1_j...0}=E\left\{(x_i-a_j)(x_j-a_j)\right\}\;</MATH>|4.30}} Jeśli naszymi punktami a{{Sub|i}}, b{{Sub|j}} są wartości oczekiwane elementów x{{Sub|i}} oraz x{{Sub|j}}, to kowariancję c{{Sub|ij}} na podstawie wzoru {{LinkWzór|4.30}}, pokazując jednocześnie, że on jest równy pewnemu momentowi statystycznemu względem pewnych wartości oczekiwanych, piszemy. {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{00...1_i...1_j...0}=E\left\{(x_i-\hat{x}_{i})(x_j-\hat{x}_{j})\right\}=c_{ij}\;</MATH>|4.31}} Macierz o elementach c{{Sub|ij}} definiujemy przepisując dla przejrzystości wykładu jego elementy: {{CentrujWzór|<MATH>c_{ij}=E\left\{(x_i-\hat{x}_{i})(x_j-\hat{x}_{j})\right\}\;</MATH>|4.32}} Jeśli zdefiniujemy wektor pionowy zmiennych losowych n zmiennych, które uzyskamy w pewnym doświadczeniu, to wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\;</MATH>|4.33}} to definicja macierzy kowariancji korzystając z definicji jego elementów {{LinkWzór|4.32}} i z definicji macierzy transponowanej: {{CentrujWzór|<MATH>C=E\left\{(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}})^T\right\}\;</MATH>|4.34}} == Momenty statystyczne gdy H(x) =x == Momenty statystyczne wokół funkcji prostych są szczególnym przypadkiem momentów statystycznych funkcji złożonych dla jednowymiarowego przypadku, tzn. gdy H(x)=x, niezależnie czy x jest ciągłe czy dyskretne. Należy wtedy dla wzorów {{LinkWzór|4.3}} i {{LinkWzór|4.4}} lub {{LinkWzór|4.6}} i {{LinkWzór|4.7}} dokonać tego podstawienia w tym przypadku. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> h42zoaaw86r160be5vtrb9103b87ff5 0 17422 558667 513428 2026-10-05T02:32:39Z Persino 2851 558667 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wprowadzimy funkcję zwaną funkcją charakterystyczną, która charakteryzuje sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa. Mając funkcję gęstości prawdopodobieństwa można określić funkcję charakterystyczną i odwrotnie, mając funkcję charakterystyczną możemy określić sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa. == Wartość oczekiwana z wielkości zespolonej == Załóżmy, że mamy pewną funkcję prostą zespoloną, która jest sumą jej części rzeczywistej i urojonej i której definicją jest: {{CentrujWzór|<Math>z=x+iy\;</MATH>|8.1}} Znając wartości oczekiwane względem funkcji prostych x i y przy pewnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa, to jego wartość oczekiwana {{LinkWzór|8.1}}, korzystając przy tym z udowodnionej tożsamości {{LinkWzór|5.3|Momenty statystyczne w działaniu}}, możemy przedstawić jako sumę wartości oczekiwanej argumentu x i iloczynu jednostki urojonej przez wartości oczekiwanej argumentu y. {{CentrujWzór|<MATH>E(z)=E(x)+i E(y)\;</MATH>|8.2}} == Funkcja charakterystyczna rozkładu == Funkcją charakterystyczną rozkładu względem zmiennej x definiujemy jak wartość oczekiwana z funkcji eksponencjalnej z argumentu itx. {{CentrujWzór|<MATH>\phi(t)=E\left[\exp(itx)\right]=\int_{a}^{x} \exp(itx) f(x)dx</MATh>|8.3}} Przy definiowaniu funkcji {{LinkWzór|8.3}}, korzystaliśmy z założenia {{LinkWzór|8.2}}. Znając funkcję charakterystyczną rozkładu możemy napisać funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x) na podstawie transformaty Fouriera według funkcji charakterystycznej zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|8.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)={{1}\over{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-itx}\phi(t)dt\;</MATH>|8.4}} Dystrybuantę zmiennej x gęstości prawdopodobieństwa f(x) {{LinkWzór|8.4}} definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)-F(a)=\int^x_a f(x)dx=\int^{+\infty}_{\infty} {{dt}\over{2\pi}}\int^{x}_{a}e^{-itx}dx={{i}\over{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty}{{e^{-itx}-e^{-ita}}\over{t}}\phi(t)dt</MATH>|8.5}} == Momenty statystyczne λ, a funkcji charakterystyczna rozkładu == Weźmy n-tą pochodną funkcji zespolonej {{LinkWzór|8.3}}, którą nazywamy: {{CentrujWzór|<MATH>\phi^{(n)}(t)=i^n\int^{b}_a x^n e^{itx}f(x)=i^nE\left[x^n \exp(itx)\right]\;</MATH>|8.6}} Policzmy n-tą pochodną funkcji charakterystycznej {{LinkWzór|8.6}} w punkcie t=0, i korzystając przy tym z definicji momentu statystycznego {{LinkWzór|3.1|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}}, zatem oczywiste jest, że n-ta pochodna funkcji {{linkWzór|8.3}} w punkcie zerowym jest wprost proporcjonalna do momentu statystycznego &lambda;{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>\phi^{(n)}(0)=i^n E\left[x^n\right]\Rightarrow \phi^{(n)}=i^n\lambda_n</MATH>|8.7}} == Momenty statystyczne μ, a funkcja charakterystyczna rozkładu == Zdefiniujmy funkcję charakterystyczną &phi;{{Sub|y}}(t) dla funkcji zdefiniowanej jako {{Formuła|<MATH>y=x-\overline{x}\;</MATH>}} względem jakieś funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{y}(t)=E\left\{\exp[it(x-\overline{x})]\right\}\;</MATH>|8.8}} n-ta pochodna funkcji &phi;{{Sub|y}} {{LinkWzór|8.8}} jest napisana wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\phi^{(n)}_y(t)=i^nE\left\{(x-\overline{x})^n\exp[it(x-\overline{x})]\right\}</MATH>|8.9}} Następnie policzmy n-tą pochodną {{LinkWzór|8.8}} w punkcie t=0 , korzystając przy tym z definicji momentu statystycznego &mu;{{Sub|n}} względem średniej arytmetycznej przy jego definicji {{LinkWzór|3.8|Momenty_statystyczne_ciągłe_i_dyskretne}}: {{CentrujWzór|<MATH>\phi^{(n)}_y(0)=i^nE\left\{(x-\overline{x})^n\right\}=i^n\mu_n</MATH>|8.10}} Ze wzoru {{LinkWzór|8.10}} wynika, że zerowa pochodna (sama funkcja) jest równa jeden dla t=0, co wynika z normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa, czy z definicji momentu statystycznego &mu;{{Sub|n}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_y(0)=1\;</MATH>|8.11}} A jego pierwsza pochodna z własności {{LinkWzór|3.13|Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne}} momentu statystycznego o numerze jeden jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_y^{(1)}(0)=0\;</MATH>|8.12}} Także wariacja, z własności {{LinkWzór|3.14|Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne}} wzięta z minusem, jest napisana w zależności od drugiej pochodnej funkcji &phi;{{Sub|y}}(t) w tymże punkcie dla t=0: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_y^{(2)}(0)=-\sigma^2(x)\;</MATH>|8.13}} == Funkcja charakterystyczna dwóch niezależnych zmiennych == Weźmy pod lupę funkcję w=x+y, gdzie x- to jest zmienna pierwszego rozkładu, y-drugiego rozkładu, zatem funkcję charakterystyczną względem parametru "w", a także korzystając przy tym z własności funkcji eksponencjalnej, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_w(t)=E\left\{\exp[it(x+y)]\right\}=E\left\{\exp[itx]\exp[ity]\right\} </MATH>|8.14}} Wiedząc, ze parametry x i y są zmiennymi niezależnymi w danym doświadczeniu w układzie statystycznym, wedle wzoru {{LinkWzór|5.9|Momenty statystyczne w działaniu}} możemy ten obiekt {{LinkWzór|8.14}} zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_w(t)=E\left\{\exp(itx)\right\}E\left\{\exp(ity)\right\}=\phi_x(t)\phi_y(t)</MATH>|8.15}} ---- '''Funkcja charakterystyczna rozkładu sumy dwóch niezależnych''' od siebie zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych dla tychże zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{x+y}(t)=\phi_x(t)\phi_y(t)\;</MATH>|8.16|Obramuj}} == Rozkład normalny i jego funkcja charakterystyczna == Przyjmijmy na razie bez dowodu, że funkcja rozkładu normalnego (Gaussa) jednowymiarowego względem zmiennej x przy definicji parametru b=&sigma;(x) w tej funkcji względem wartości średniej parametru a=E(x) przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(x)={{1}\over{\sqrt{2\pi}b}}e^{-{{(x-a)^2}\over{2b^2}}}</MATH>|8.17}} Przy pomocy funkcji rozkładu {{LinkWzór|8.17}} możemy napisać funkcję charakterystyczną {{LinkWzór|8.3}} charakteryzującą ten właśnie wspomniany rozkład: {{CentrujWzór|<MATH>\phi(t)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{itx}e^{-{{1}\over{2}}{{(x-a)^2}\over{b^2}}}d{{x-a}\over{b}}</MATH>|8.18}} Dokonajmy zamiany zmiennych, którego wygląd jest napisany poniżej, z której możemy wyznaczyć zmienną x od zmiennej podstawienia u i od pozostałych parametrów: {{CentrujWzór|<MATH>u={{(x-a)}\over{b}}\Rightarrow x=ub+a</MATH>|8.19}} Wtedy funkcja charakterystyczna {{LinkWzór|8.18}} na podstawie definicji podstawienia {{LinkWzór|8.19}} możemy zapisać za pomocą całki względem parametru u. {{CentrujWzór|<MATH>\phi(t)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ita}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{1}\over{2}}u^2+it(bu+a)}du</MATH>|8.20}} Rozpiszmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam potrzebne do wyznaczenia całki w wyrażeniu {{LinkWzór|8.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{1}\over{2}}u^2+itbu=-{{1}\over{2}}(u^2-2itbu-t^2b^2)-{{1}\over{2}}t^2b^2=-{{1}\over{2}}(u-itb)^2-{{1}\over{2}}t^2b^2</MATH>|8.21}} Korzystając z obliczeń {{LinkWzór|8.21}}, dochodzimy do wniosku, że funkcja charakterystyczna {{LinkWzór|8.20}} ma się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\phi(t)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ita}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{1}\over{2}}(u-itb)^2-{{1}\over{2}}t^2b^2}du={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ita}e^{-{{1}\over{2}}t^2b^2}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{1}\over{2}}r^2}dr={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ita}e^{-{{1}\over{2}}t^2b^2}\sqrt{2\pi}=e^{ita}e^{-{{1}\over{2}}t^2b^2} </MATH>|8.22}} ---- '''Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego (Gaussa)''' na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.22}} przepisuje ostateczną formę na funkcję charakterystyczną rozkładu rozkładu normalnego: {{CentrujWzór|<MATH>\phi(t)=e^{ita}e^{-{{1}\over{2}}t^2b^2}\;</MATH>|8.23|Obramuj}} Dla '''postaci standardowej''', wtedy zachodzi a=0 i b=1, funkcja {{LinkWzór|8.23}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\phi(t)=e^{-{{1}\over{2}}t^2}\;</MATH>|8.24|Obramuj}} Funkcja charakterystyczna dla postaci standardowej jest to funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego standardowego z dokładnością do czynnika normalizacyjnego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> k8dlt1bwh556hm5dxghfj6og9t9qta0 0 17444 558561 513510 2026-10-04T17:09:18Z Persino 2851 558561 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Fizyka fenomenologiczna''' - jest to dział fizyki zajmującej się opisem pewnych układów, nie wnikając w przyczyny zjawisk, jakie zachodzą ("dlaczego tak się dzieje"), tylko opisując układ szeregiem równań. Zajmuje się opisem makroskopowym, w których używa się łatwo mierzalnych wielkości termodynamicznych, takich jak p- ciśnienie, T- temperatura, V -objętość, S- entropia. == Termodynamika == W fizyce, obserwatorzy mierzą świat używając różnych skal, mierząc czas i przestrzeń. Codziennie spotykamy świat makroskopowy mierzony w sekundach i metrach. Zmniejszając świat o dziesięć wielkości, mamy świat atomów i cząsteczek. Gdy świat zmniejszymy o kolejne dziesięć, to wtedy mamy świat kwarków. Gdy skalę będziemy zwiększać w odwrotnym kierunku, to wtedy będziemy opisywać kosmologię. Prawa fizyczne w skali najmniejszej są najbardziej fundamentalne. W skali jądra atomowego wiedza na temat kwarków nić nam nie mówi o budowie i na temat oddziaływania w jądrze atomowym. W zasadzie każdą skalę możemy opisywać fenomenologicznie, tzn. empirycznie. :Według doświadczenia każde ciało makroskopowe relaksuje się do stanu stacjonarnego. Ten stan nazywamy stanem równowagi termodynamicznej. Po zmianie warunków zewnętrznych układ się zmienia i relaksuje się do nowego stanu równowagi (stanu stacjonarnego). Każde z ciał przebywa większość swojego czasu w stanie równowagi, przerywanym przez niemal natychmiastowe przejścia z jednego stanu do drugiego. Analizę zjawisk makroskopowych możemy podzielić na: * ''Termodynamika'' - jest to nauka o fenomenologicznej teorii stanów równowagi i przejść pomiędzy nimi. * ''Mechanika statystyczna'' - jest to wyprowadzenie zasad makroskopowych, z ich mikroskopowej analizy. * ''Teoria kinetyczna'' - jest to mikroskopowy opis pomiędzy stanami równowagi. == Parametry termodynamiczne == W fizyce fenomenologicznej wprowadza się zespół parametrów, które opisując badany układ, dzieli się na: * '''wielkości ekstensywne''', które są wprost proporcjonalne do ilości materii w układzie * '''wielkości intensywne''' są niezależne od ilości materii w układzie Typowy rozmiar ciał makroskopowych to: {{Formuła|<MATH>L\simeq 1\mbox{ }m\;</MATH>}}, a zasięg sił atomowych jest przedstawiany przy pomocy: {{Formuła|<MATH>r_0=10^{-10}\mbox{ }m\;</MATH>}}, a stosunek pomiędzy nimi: {{Formuła|<MATH>{{L}\over{r_0}}=10^{10}\;</MATH>}}. Właściwości ekstensywne są odzwierciedleniem jakie atom czuje zasięg sił atomowych, tak daleko, jak daleko one są dostępne. A intensywność oznacza, że atom nie czuje powierzchni, czyli kształtu i charakteru powierzchni. Podział na wielkości intensywne i ekstensywne pojawia się, gdy: * układ jest mały * układ posiada niejednorodny potencjał zewnętrzny * występują długo-zasięgowe oddziaływania – odpychanie Coulomba między cząstkami posiadających ładunki jednoimienne lub nawet przyciąganie grawitacyjne * geometria układu jest taka, że efekty powierzchniowe wpływają na własności całego układu == Granica termodynamiczna == Fizyka fenomenologiczna opisuje ciała makroskopowe, które w sposób wyidealizowany spełniają warunki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>N\rightarrow\infty\;</MATH>|1.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{N}\over{V}}=\operatorname{const}</MATH>|1.2}} }} A w doświadczeniu liczba cząstek znajdujących się w układzie jest bardzo ogromna, prawie nieskończona wedle naszych wyobrażeń. Stan układu jest określony przez wiele parametrów termodynamicznych, jak na przykład przez wielkości ekstensywne: N - ilość cząstek, V - objętość układu, a także przez wielkości intensywne: p - ciśnienie układu wywierane na ścianki układu i T - temperatura ciała w stanie równowagi termodynamicznej, a także objętość molowa układu, która nie zależy od ilości cząstek w układzie. W układzie, gdy nie ma zewnętrznych potencjałów, rozkład ciśnienia jest jednorodny. Ciśnienie mierzy się w jednostkach ciśnienia atmosferycznego: {{CentrujWzór|<MATH>1\mbox{ }\operatorname{atm}=1,013\cdot 10^{5}\mbox{ }\operatorname{Pa}\;</MaTh>|1.3}} == Procesy termodynamiczne == Parametry stanu układu są opisane przez równanie poniżej, w której dwa dowolne parametry stanu są wielkościami niezależnymi, a pozostały zależy od poprzednich. Te trzy parametry można powiązać równaniem stanu w sposób uwikłany: {{CentrujWzór|<MATH>f(p,V,T)=0\;</MATH>|1.4}} Zmiana jednego parametru powoduje zmianę pozostałych. W fizyce fenomenologicznej zakłada się, że procesy fenomenologiczne przebiegając bardzo powoli, tzn. są to procesy quasistatyczne. Takie procesy są odwracalne, tzn. gdy by przebiegał on w odwrotnym kierunku, jeśli zewnętrzne warunki zostaną odwrócone, to układ powróci do stanu początkowego. W termodynamice posługujemy się innymi jednostkami energii niż &nbsp;{{Formuła|<MATH>\operatorname{J}\;</MATH>}}&nbsp;, a np. kalorie z definiowane: jest to ciepło jaką należy dostarczyć jednemu gramowi wody, by jego temperaturę podnieść z {{C|14,5}} do {{C|15,5}}, na podstawie tych rozważań dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>1\mbox{ }\operatorname{cal}\equiv 4,184\mbox{ }\operatorname{J}\;</MATH>|1.5}} W krajach anglosaskich używa się innej jednostki ciepła: {{CentrujWzór|<MATH>1\mbox{ }\operatorname{Btu}\equiv 1055\mbox{ }\operatorname{J}\;</MATH>|1.6}} Procesów nieodwracalnych nie da się przedstawić za pomocą żadnej linii w przestrzeni fazowej. Procesem nieodwracalnym jest na przykład nagłe rozprężanie gazu po usunięcia ścianki w pojemniku. W takim rozprężeniu ciepło nie jest wymieniane bo &Delta; Q=0, tylko energia na w sposób pracy, tzn. energia od układu jest dostarczana do otoczenia w postaci pracy objętościowej: {{CentrujWzór|<MATH>\delta W=-pdV\;</MATH>|1.7}} To praca wykonana przez układ jest całką z wyrażenia różniczkowego {{LinkWzór|1.7}} na ściśle określonej drodze w przestrzeni fazowej od punktu A do B. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\int^B_A \delta W=-\int^B_A pdV\;</MATH>|1.8}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1h7up3pnwtchd5ltajls564lxazlphp 0 17455 558570 513512 2026-10-04T17:29:23Z Persino 2851 558570 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Gazem van der Waalsa''' nazywamy gaz, którego poszczególne cząsteczki oddziaływują ze sobą, zwane oddziaływaniem van der Waalsa mających pewną objętość w przeciwnie do gazu doskonałego, którego cząsteczki mają zerową objętość i nie oddziaływują ze sobą. Stąd wynika, że gaz van der Waalsa ma energię kinetyczną i potencjalną, a gaz doskonały ma tylko energię kinetyczną. == Równanie gazu van der Waalsa == Równanie gazu van der Waalsa, które jest zależne od oddziaływania między cząsteczkami tego gazu i jego objętości własnej zajmowanej przez jego jeden mol gazu, przedstawiamy w postaci równania stanu: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p+{{an^2}\over{V^2}}\right)(V-nb)=nRT\;</MATH>|8.1|Obramuj}} Gdy {{Formuła|<MATH>a=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>b=0\;</MATH>}}, to wtedy równanie {{LinkWzór|8.1}} przechodzi w równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}} lub objętość zajmowaną przez gaz van der Waalsa jest bardzo duża, czyli gdy nasz gaz jest bardzo rozrzedzony, to nasze równanie w przybliżeniu staje się równaniem stanu gazu doskonałego. Wykorzystując definicję objętości molowej, czyli: {{Formuła|<MATH>V=nV_{mol}\;</MATH>}}, równanie {{LinkWzór|8.1}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p+{{an^2}\over{V_{mol}^2n^2}}\right)(V_{mol}n-nb)=nRT\Rightarrow\left(p+{{a}\over{V_{mol}^2}}\right)n(V_{mol}-b)=nRT</MATH>|8.2}} Według {{LinkWzór|8.2}} równania stanu gazu van der Waalsa dla jednego mola gazu, po podzieleniu wspomnianego wzoru przez liczność gazu "n", otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p+{{a}\over{V^2_{mol}}}\right)(V_{mol}-b)=RT</MATH>|8.3|Obramuj}} == Zachowanie się gazu van der Waalsa == {{Rysunek|Fazovy diagram vyparovani.svg|w1|Izotermy gazu rzeczywistego dla gazu van der Waalsa}} {{Rysunek|Fazovy diagram kriticky stav.svg|w2|Zbiór faz gazie doskonałym}} Izotermą gazu rzeczywistego nazywamy zależność objętości molowej gazu od ciśnienia. Izotermą gazu rzeczywistego w T=T{{Sub|kr}} nazywamy izotermą krytyczną. W tym punkcję punkty 1 i 2 zlewają się w jeden punkt K. Parametry stanu w punkcie to: V{{Sub|kr}},p{{Sub|kr}},T{{Sub|kr}} nazywamy parametrami krytycznymi. W punkcie K styczna do izotermy w tym punkcje jest równoległa do osi OV. Dowolną izotermą leżącą poniżej punktu krytycznego (T<T{{Sub|kr}}) jest krzywą ciągłego przejścia substancji ze stanu gazowego do stanu ciekłego. Składa się ona z trzech odcinków e,2,g,f,1 c. Na odcinku e-2 substancja znajduję się w stanie gazowym. Odcinek 2-1 odpowiada przechodzeniu substancji ze stany gazowego do ciekłego. Punkty 2 i 1 poziomej izotermy odpowiadają początkowi i końcowi kondensacji w procesie izotermicznego sprężania gazu rzeczywistego. Punkt 2 odpowiada stanowi wrzącej cieczy, a dalej przed punktem 2 odpowiada suchej pary nasyconej. Mieszaninę wrzącej i suchej pary nasyconej jaka istnieje w dowolnym punkcje M na odcinku 1-2 nazywamy parą wilgotną. W termodynamice fazą nazywamy zbiór wszystkich części układu mający jednakowy skład chemiczny i znajdujący się w jednakowym stanie. Wilgotna faza jest układem dwufazowym. Na rysunku widzimy, że '''zbiór faz gazu doskonałego''', na którym krzywe K-1 i 2-K powstają przez połączenie punktów 1 i 2 dla różnych temperatur. Krzywe 1-K i 2-K schodzą się w punkcie K. Krzywa wrzenia 1-K oddziela jednakowy obszar A cieczy od obszaru dwuskładnikowego. Krzywa 1-K jest krzywą początku przejścia fazowego C rodzaju ze stany ciekłego w stan gazowy B. Krzywa graniczna 2-K oddziela obszar dwufazowy C od jednofazowego obszaru B stanu gazowego. Na rysunku opisujący pierwszy '''wykres równania van der Waalsa''', na których krzywe odcinki 1-f odpowiada cieczy przegrzanej, który można otrzymać przez opóźnienie wrzenia w punkcie 1. Odcinek g-2 odpowiada parze przechłodzonej, który powstaje poprzez przechłodzenie cieczy obszaru C. Jeśli wprowadzimy centra kondensacji do pary przesyconej, to wtedy nastąpi szybka kondensacja pary nasyconej. Odcinek g-f nie odpowiada żadnemu stanowi w rzeczywistym gazie. Aby równanie bardziej opisywała gaz rzeczywisty, to trzeba krzywe 1-g i f-2 należy zastąpić odcinkiem, którym pole nad tym odcinkiem jest takie same jak pod odcinkiem, czyli trzeba zastosować regułę Maxwella. == Parametry krytyczne == Aby otrzymać parametry krytyczna: {{Formuła|<MATH>p_{kr},V_{kr},p_{kr}</MATH>}}, należy zastosować warunki na punkt przegięcia izotermy van der Waalsa na punkt K, czyli pierwsza i druga pochodna cząstkowa ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia względem objętości zajmowanej przez gaz dla punktu krytycznego jest równa zero: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{p_{kr}}=0</MATH>|8.4}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial^2 p}\over{\partial V^2}}\right)_{p_{kr}}=0</MATH>|8.5}} }} A zależność p{{Sub|kr}}=p(V{{Sub|kr}},T{{Sub|kr}}) przedstawia się dla jednego mola substancji gazu van der Waalsa, z którego możemy wyznaczyć ciśnienie krytyczne w zależności od pozostałych parametrów krytycznych: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p_{kr}+{{an^2}\over{V_{kr}^2}}\right)\left(V_{kr}-nb\right)= nRT_{kr}\Rightarrow p_{kr}={{nRT_{kr}}\over{V_{kr}-nb}}-{{an^2}\over{V_{kr}^2}}</MATH>|8.6}} gdzie * a-stała charakteryzująca oddziaływanie między atomami gazu rzeczywistego. * b-objętość jednego mola atomów. Warunek pierwszy na warunki krytyczne w gazie van der Waalsa, tj. pierwsza pochodna ciśnienia względem objętości w warunkach krytycznych jest równa zero i przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>0=\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{p_{kr}}=-{{nRT_{kr}}\over{\left(V_{kr}-nb\right)^2}}+2{{an^2}\over{V_{kr}^3}}\Rightarrow 2{{an^2}\over{V_{kr}^3}}={{nRT_{kr}}\over{\left(V_{kr}-nb\right)^2}}</MATH>|8.7}} Bierzemy drugą pochodną wyrażenia ciśnienia krytycznego względem objętości {{LinkWzór|8.6}} w warunkach krytycznych, czyli pierwszą pochodną prawej strony wyrażenia {{LinkWzór|8.7}} i przyrównując ją do zera: {{CentrujWzór|<MATH>0=\left({{\partial^2 p}\over{\partial V^2}}\right)_{p_{kr}}=2{{nRT_{kr}}\over{\left(V_{kr}-nb\right)^3}}-6{{an^2}\over{V_{kr}^4}}\Rightarrow 6{{an^2}\over{V_{kr}^4}}=2{{nRT_{kr}}\over{\left(V_{kr}-nb\right)^3}}</MATH>|8.8}} Dzielimy przez siebie obie strony wynikowego końcowego równania {{LinkWzór|8.7}} przez równanie {{LinkWzór|8.8}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{3}}V_{kr}={{1}\over{2}}\left(V_{kr}-nb\right)\Rightarrow V_{kr}=3nb\;</MATH>|8.9|Obramuj}} Następnie policzmy temperaturę krytyczna T{{Sub|kr}} z równania {{LinkWzór|8.7}} podstawiając do niego wzór na objętość krytyczną {{LinkWzór|8.9}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{nRT_{kr}}\over{4n^2b^2}}=2{{an^2}\over{27n^3b^3}}\Rightarrow T_{kr}={8\over{27}}{{a}\over{bR}}</MATH>|8.10|Obramuj}} A teraz policzmy p{{Sub|kr}} przy pomocy równania {{LinkWzór|8.9}} (wzór na objętość krytyczną) i {{LinkWzór|8.10}} (wzór na temperaturę krytyczną), oczywiście jest: {{CentrujWzór|<MATH>p_{kr}={{nRT_{kr}}\over{V_{kr}-nb}}-{{an^2}\over{V^2_{kr}}}={{nR}\over{2nb}}{{8}\over{27}}{{a}\over{bR}}-{{a}\over{9b^2}}={{4a}\over{27b^2}}-{{3a}\over{27b^2}}</MATH>|8.11}} A więc ostatecznie z równania {{LinkWzór|8.11}} dostajemy wzór na ciśnienie krytyczne panujące w warunkach krytycznych: {{CentrujWzór|<MATH>p_{kr}={{1}\over{27}}{{a}\over{b^2}}</MATH>|8.12|Obramuj}} == Parametry krytyczne dla równania van der Waalsa == Warunki krytyczne to są warunki, w których nie ma różnicy między fazą ciekłą i gazową. Oto wzory na parametry krytyczne objętości, ciśnienia i temperatury opisujące ten właśnie stan wspomniany powyżej: {{ElastycznyWiersz |1={{Center|'''Objętość krytyczna'''}}{{CentrujWzór|<MATH>V_{kr}=3nb\;</MATH>|8.13}} |2={{Center|'''Ciśnienie krytyczne'''}}{{CentrujWzór|<MATH>p_{kr}={{1}\over{27}}{{a}\over{b^2}}</MATH>|8.14}} |3={{Center|'''Temperatura krytyczna'''}}{{CentrujWzór|<MATH>T_{kr}={8\over{27}}{{a}\over{bR}}</MATH>|8.15}} }} == Zredukowane równanie stanu gazu van der Waalsa == Zdefiniujmy parametry zredukowane dla zmiennych (p,V,T), względem ich parametrów krytycznych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\tau={{T}\over{T_{kr}}}</MATH>|8.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi={{V}\over{V_{kr}}}</MATH>|8.17}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\pi={{p}\over{p_{kr}}}</MATH>|8.18}}}} Napiszmy równanie van der Waalsa, korzystając z {{LinkWzór|8.16}} (temperatura zredukowana), {{LinkWzór|8.17}} (objętość zredukowana), {{LinkWzór|8.18}} (ciśnienie zredukowane), a także z definicji parametrów krytycznych: {{LinkWzór|8.13}} (objętość krytyczna), {{LinkWzór|8.14}} (ciśnienie krytyczne), {{LinkWzór|8.15}} (temperatura krytyczna), wtedy nasze równanie stanu gazu van der Waasla {{LinkWzór|8.1}} po dokonaniu nim dalszych podstawień i przekształceń, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\pi {{a}\over{27b^2}}+{{a}\over{9b^2\psi^2}}\right)\left(3b \psi-b\right)=R {{8a}\over{27bR}}\tau\Rightarrow\left(\pi {{a}\over{27b}}+{{a}\over{9b\psi^2}}\right)\left(3\psi-1\right)={{8a\tau}\over{27b}}</MATH>|8.19}} Teraz mnożymy obustronnie końcowe równanie {{LinkWzór|8.19}} przez wyrażenie będące pewną stałą charakteryzujący gaz van der Waalsa {{Formuła|<MATH>{{27b}\over{a}}</MATH>}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że równanie zredukowane van der Waasla jest: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\pi+{{3}\over{\psi^2}}\right)\left(3\psi-1\right)=8\tau</MATH>|8.20|Obramuj}} Otrzymane równanie nie zależy od właściwości fizycznych badanego gazu rzeczywistego i jest to tzw. '''równanie van der Waalsa zredukowane'''. == Infitezymalna zmiana energii wewnętrznej a równania gazu van der Waalsa == W celu policzeniu tej zmiany w tym celu przedstawmy równanie {{LinkWzór|8.1}} po wyznaczeniu z niego ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>p={{nRT}\over{V-nb}}-{{an^2}\over{V^2}}\;</MATH>|8.21}} Wtedy pochodna energii wewnętrznej gazu względem objętości zajmowanej przez gaz van der Waalsa pod stałą temperaturą po końcowych przekształceniach jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu objętości zajmowanej przez gaz i proporcjonalna do kwadratu liczności materii tegoż gazu przy stałej proporcjonalności równej "a", która zależy od oddziaływania między cząsteczkami, natomiast ona nie zależy od objętości własnej cząsteczek. {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V-p= T{{nR}\over{V-nb}}-p={{nRT}\over{V-b}}-{{nRT}\over{V-b}}+{{an^2}\over{V^2}}={{an^2}\over{V^2}}</MATH>|8.22}} Znając {{LinkWzór|8.22}}, wtedy równanie {{LinkWzór|5.52|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} można zapisać przy tych warunkach: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_VdT+{{an^2}\over{V^2}}dV\;</MATH>|8.23}} Widzimy, gdy a=0, to równanie {{LinkWzór|8.23}} przechodzi w równanie {{LinkWzór|7.21|Gazy_doskonałe}}, czyli takie same jak dla gazu doskonałego, nawet gdy b&ge;0. Widzimy, że nie jest prawdą w ogólnym przypadku równanie {{LinkWzór|7.19|Gazy_doskonałe}}. == Wirialne równanie stanu gazu Van der Waalsa == Równane '''Van der Waalsa''' wyraża się wzorem {{LinkWzór|8.1}}. Ciśnienie w równaniu van der Wallsa możemy wyznaczyć według {{LinkWzór|8.6}}, wtedy iloczyn pV dla gazu van der Waalsa jest według {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{nRT}\over{1-{{nb}\over{V}}}}-{{n^2a}\over{V}}</MATH>|8.24}} Z analizy matematycznej wiadomo, że lewą stronę poniższego równania rozwijamy w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{1-x}}=1+x+x^2+x^3+...\;</MATH>|8.24a}} Napiszmy równanie wirialne opisujące gaz '''Van der Waalsa''' według ogólnego wzoru {{LinkWzór|6.7|Wstęp do fenomenologicznych równań stanu}} rozwijając w szereg Taylora pierwszy składnik równania stanu {{LinkWzór|8.24}}, tak jak wyrażenie {{LinkWzór|8.24a}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT(1+{{nb}\over{V}}+{{n^2b^2}\over{V^2}}+...)-{{n^2a}\over{V}}\;</MATH>|8.25}} Po grupowaniu wyrazów podobnych w równaniu {{LinkWzór|8.25}}, w którym w pierwszym składniku w iloczynie występuje nieskończony szereg potęgowy: {{CentrujWzór|<MATH>pV_{mol}=RT+{{bRT-a}\over{V_{mol}}}+{{b^2RT}\over{V_{mol}^2}}+{{b^3RT}\over{V_{mol}^3}}+...\;</MATH>|8.26|Obramuj}} * gdzie stałe występujące w równaniu wirialnym gazu {{LinkWzór|6.7|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} są: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A(T)=(bRT-a))\;</MATH>|8.27}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B(T)=b^2RT\;</MATH>|8.28}}|3={{CentrujWzór|<MATH>C(T)=b^3RT\;</MATH>|8.29}}}} Oczywiście w równości {{LinkWzór|8.26}} występują dalsze wyrazy w szeregu w tym omawianym równania, tzn. oprócz stałych zależnych od temperatury A(T), B(T), C(T). == Związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem a stałą objętością == Wyznaczmy różnice ciepeł właściwych, tzn. ciepła pod stałą objętością i pod stałym ciśnieniem, które będzie można wykorzystać do równania {{LinkWzór|5.40|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T{{\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V}\over{\left({{\partial T}\over{\partial V}}\right)_p}}</MATH>|8.30}} Będziemy korzystać z równania van der Waalsa opisanego równaniem {{LinkWzór|8.1}}, zatem wtedy możemy policzyć wyrażenie związane z pochodną cząstkową temperatury względem objętości pod stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>nR\left({{\partial T}\over{\partial V}}\right)_p=\left({{\partial nRT}\over{\partial V}}\right)_p=p+{{n^2a}\over{V^2}}+(V-nb)\left(-2{{an^2}\over{V^3}}\right)={{nRT}\over{V-nb}}-2(V-nb){{an^2}\over{V^3}}</MATH>|8.31}} Następnym krokiem jest z tego samego równania stanu gazu co wcześniej policzyć wyrażenie związane z pochodną cząstkową ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V={{nRT}\over{V-nb}}</MATH>|8.32}} Ostatnim krokiem jest policzenie {{LinkWzór|8.30}}, korzystając z pochodnej temperatury względem objętości pod stałym ciśnieniem {{LinkWzór|8.31}} podzielonej przez wyrażenie nR i też pochodnej ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością {{LinkWzór|8.32}}, wtedy dochodzimy, że różnica ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością jest równa pewnemu wyrażeniu, które dla dużych objętości tego gazu jest równa w przybliżeniu wielkości nR: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v={{ {{nRT}\over{V-nb}} }\over{ {{T}\over{V-nb}}-2(V-nb){{an}\over{RV^3}} }}={{nR}\over{ 1-{{2(V-nb)^2an}\over{RV^3T}} }}</MATH>|8.33}} Widzimy gdy nie ma oddziaływania między atomami (a=0), to wtedy równanie {{LinkWzór|8.33}} przechodzi również w równanie {{LinkWzór|7.13|Gazy_doskonałe}}, które jest słuszne dla gazu doskonałego. Widzimy, że w ogólnym przypadku, różnica ciepeł właściwych jest zależna od temperatury i objętości gazu van der Waalsa. Widzimy, że także dla temperatury bardzo wysokiej gazu van der Waalsa wyrażenie {{LinkWzór|8.33}} jest takie same jak dla gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6ifr5uu4evhl9ffxyx5dkaw1oeezch0 0 17470 558574 526321 2026-10-04T17:43:14Z Persino 2851 558574 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Fizyka statystyczna''' - zajmuje się mikroskopowym opisem danego układu, zastępując p- ciśnienie, T -temperaturę, objętość, jej statystycznymi definicjami bez przyjmowania jej na oko. Pytania na które odpowiada fizyka statystyczna jest dlaczego takie jest równanie stanu, a nie inne, i dlaczego. '''Dyskretne zespoły statystyczne''' - wyprowadzone tutaj związki dla rozkładów statystycznych dotyczą tylko pędów i położeń przyjmujące wartości dyskretne. Nie należy ich stosować do fizyki klasycznej dla całego zestawu temperatur, ale z powodzeniem należy je stosować dla temperatur bliskich pokojowej z przybliżeniem ciągłości poziomów energii i położeń w układzie, tylko wtedy w tym przybliżeniu można stosować prawa mechaniki klasycznej (pęd i położenia są ciągłe), ale w żadnym przypadku dla temperatur bardzo niskich z prawami fizyki klasycznej. Ale tutaj szczególnie dla temperatur niskich należy stosować teorię z dyskretnymi stanami omawianych parametrów. Będziemy stosować wzór na różne średnie statystyczne na różne rozkłady kanoniczne po-cichu z przybliżeniem ciągłości pędu i położenia. Ale mając na myśli temperatury bliskie pokojowemu, wtedy sumę po dyskretnych pędach i położeniach możemy zastąpić całką po całej przestrzeni fazowej dostępnej dla danego rozkładu w przybliżeniu klasycznym całkując względem funkcji gęstości prawdopodobieństwa i pewnego parametru statystycznego, dla której chcemy wyznaczyć średnią, a dla zmieniającej się liczby cząstek, to jeszcze do tego dochodzi sumowanie po liczbach cząstek jakie układ może przyjmować i całką po wszystkich objętościach układu, jeśli objętość układu jest zmienna. == Statystyczna definicja temperatury == W danej równowadze termodynamicznej układ może sie realizować w &Omega; możliwościach zwanej prawdopodobieństwem termodynamicznym, wtedy ma sens definicja temperatury zwaną temperaturą statystyczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\ln \Omega}\over{\partial \overline E}}={{1}\over{k_BT}}</MATH>|12.5|Obramuj}} Równanie {{LinkWzór|12.5}} jest to statystyczna definicja temperatury bezwzględnej w kelwinach. == Ogólne wyprowadzenie rozkładów dyskretnych, czyli ogólny rozkład kanoniczny == Tutaj będziemy wyznaczać czysto statystycznie rozkład dyskretny występujący w fizyce statystycznej. ==== Liczba wszystkich możliwości w stanie o energii E{{Sub|i}}, objętości V{{Sub|i}} i liczby cząstek N{{Sub|i}}, w czasie t{{Sub|i}} ==== Załóżmy, że cząstki w układzie mogą się znajdować się przy skwantowanych energiach {{Formuła|<MATH>{E}_{ij}\;</MATH>}}&nbsp;i objętościach &nbsp;{{Formuła|<MATH>{V}_{ij}\;</MATH>}} zajmowanych przez jedną cząstkę. Liczba tych wszystkich możliwości obsadzeń określona przez równanie zależne od energii, objętości, liczby cząstek i czasu w stanie i-tym jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>W_{i}=W_i(E_i,V_i,N_i,t_i)</MATH>|12.6}} Na podstawie {{LinkWzór|12.6}} energia, objętość, liczba cząstek i czas układu mogą przyjmować tylko wartości dyskretne. ==== Wyznaczanie prawdopodobieństwa uzyskania danej energii, objętości zajmowane przez te cząstki i liczby cząstek, w układzie ==== Układ w danym przedziale czasie (w szczególności w danym czasie) realizuje tylko jedną realizację w jednej właściwości, zatem prawdopodobieństwo uzyskania tylko jednej realizacji w jednej właściwości jest równa odwrotności wyrażenia {{Formuła|<MATH>W_i\;</MATH>}} wyliczonej idąc od wzoru {{LinkWzór|12.6}}, a tych sposobów realizacji jest {{Formuła|<MATH>W_i\;</MATH>}}, a także musimy skorzystać z prawdopodobieństwa warunkowego w taki sposób, że prawdopodobieństwo uzyskania właściwości i-tej jest p. Jeżeli układ jest g{{Sub|i}} zdegenerowany w stanie i-tym (generacja występuje w liczbie g{{Sub|i}}), wtedy piszemy prawdopodobieństwo dla jednej realizacji układu uzyskania właściwości i-tej: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=pg_i{{1}\over{W_i}}=pg_ie^{\ln {{1}\over{W_i}}}\;</MATH>|12.7}} ===== Wyznaczanie z definicji szeregu Taylora logarytmu odwrotności liczby możliwości uzyskania energii E{{Sub|i}}, objętości V{{Sub|i}} i liczby cząstek N{{Sub|i}} ===== Załóżmy, że badamy układ, który się składa się {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}} cząstek, badając dany układ, możemy rozłożyć w szereg Taylora wyrażenie {{Formuła|<MATH>\ln {{1}\over{W_i}}\;</MATH>}} względem energii {{Formuła|<MATH>{E}_{i}\;</MATH>}} i objętości {{Formuła|<MATH>{V}_{i}\;</MATH>}} zajmowanej przez {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}} i czasu {{Formuła|<MATH>t_i\;</MATH>}} cząstek w i-tej realizacji układu ("i"-numer możliwej realizacji układu (przyjmujemy liczenie od jedynki)): {{CentrujWzór|<MATH>\ln {{1}\over{W_i}}=-A-B({E}_{i}-{E}_{0})-C({V}_{i}-{V}_{0})-D(N_i-N_{0})-E(t_i-t_0)...\;</MATH>|12.8}} Wtedy w wyrażeniu {{LinkWzór|12.8}} możemy pozostawić tylko wyrazy stałe i liniowe, w której występują wyrazy liniowe względem energii, objętości, liczby cząstek i w czasu w i-tej właściwości układu, jakie dane cząstki mogą się znajdować, a dalsze wyrazy nieliniowe odrzucamy, wtedy równanie {{LinkWzór|12.8}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\ln {{1}\over{W_i}}\simeq -A-B({E}_{i}-{E}_{0})-C({V}_{i}-{V}_{0})-D(N_i-N_0)-E(t_i-t_0)= -K-B {E}_{i}-C {V}_{i}-DN_i-Et_i\;</MATH>|12.9}} ===== Prawdopodobieństwo obsadzeń stanu i-tego ===== Korzystać będziemy ze wzoru {{LinkWzór|12.9}}, który jest rozwinięciem w szereg Taylora względem energii, liczby cząstek, objętości i czasu, jakie cząstki mogą posiadać w "i"-tej realizacji układu, z dokładnością do wyrazów liniowych, to podstawiamy go do równości {{LinkWzór|12.7}}, wtedy można powiedzieć, że prawdopodobieństwo uzyskania energii układu {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} dla liczby cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}} zajmowanej przez nie objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} w czasie {{Formuła|<MATH>t_i\;</MATH>}} jest równa wedle wyrażenia poniżej przy stałych bliżej nieokreślonych "B","C","D", "E" i "F", które mamy zamiar możliwie wyprowadzić: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)=pg_ie^{\ln{{1}\over{W_i}}}\simeq pg_ie^{-K-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}=pg_ie^{-K}e^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}=Fg_ie^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}</MATH>|12.10}} Rozkład {{LinkWzór|12.10}} unormujemy do jedynki, wedle teorii prawdopodobieństwa, że zdarzenie pewne ma prawdopodobieństwo równe jeden, wtedy możemy napisać sumę statystyczną zdefiniowaną: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-B E_i-CV_i-DN_i-Et_i}\;</MATH>|12.11}} Wtedy rozkład prawdopodobieństwa {{LinkWzór|12.10}} zdefiniowany przy pomocy sumy statystycznej {{LinkWzór|12.11}} i na podstawie, że stała F jest odwrotnością sumy statystycznej, można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}}\over{Z}}\;</MATH>|12.12}} Przepiszmy wtrącenie uwzględniając w eksponsie wyłączając przez nawias stałą B w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-B\left(E_i+{{C}\over{B}}V_i+{{D}\over{B}}N_i+{{E}\over{B}}t_i\right)}}\over{Z}}={{g_ie^{-B\left(E_i+GV_i+HN_i+It_i\right)}}\over{Z}}\;</MATH>|12.13}} ==== Wyprowadzenie proporcjonalności pomiędzy sumą statystyczną a prawdopodobieństwem termodynamicznym ==== Udowodnijmy, że suma statystyczna jest wprost proporcjonalna do prawdopodobieństwa termodynamicznego, co można udowodnić z rozkładu dyskretnego przy nieokreślnych stałych G, H i I. {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-B(E_i+GV_i+HN_i+It_i)}}\over{Z}}={{k}\over{\Omega}}={{k A}\over{\Omega A}}\;</MATH>|12.14}} We wzorze {{LinkWzór|12.14}} dobieramy tak stałą {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}}, by zachodziła równość {{Formuła|<MATH>Z=A\Omega\;</MATH>}}, co stąd na tej podstawie udowodniliśmy, co chcieliśmy udowodnić, co jest oczywiste nie tylko na podstawie dowodu: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega\sim Z\;</MATH>|12.15}} ==== Wyprowadzenie odwrotnej proporcjonalności pomiędzy sumą statystyczną albo prawdopodobieństwem termodynamicznym a prawdopodobieństwem, że układ przyjmuje średnią energię, liczbę cząstek i objętość zajmowane przez nie ==== Wyprowadzimy związek prawdopodobieństwa uzyskania wartości średnich z prawdopodobieństwem termodynamicznym według rozkładu {{LinkWzór|12.13}}. Wzór na prawdopodobieństwo, ogólnie dla układów otwartych (nie izolowanych) w zespole termodynamicznym, o ściśle określonej energii średniej i ilości cząstek piszemy ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>P\left(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t\right)=Fge^{-B\left(\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t \right)}\;</MATH>|12.16}} Wzór na uzyskanie średniej wartości {{Formuła|<MATH>\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}\;</MATH>}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}\;</MATH>|12.17}} Udowodnimy, że prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}} jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa {{LinkWzór|12.16}}, że dany układ będzie miał średnią energię, objętość i liczbę cząstek. Rozwijając sumę statystyczną w szereg Taylora względem punktu {{Formuła|<MATH>T_0\;</MATH>}}, zamieniając przy okazji {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} (wtedy rozważanej funkcji nie się rozłożyć w szereg Taylora) na jej odwrotność (wtedy ją się da), co jest uwidocznione w poniższych obliczeniach, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\ln Z(T)=\ln Z(T_0)+{{\partial\ln Z(T_0)}\over{\partial T}}(T_0)(T-T_0)+...\Rightarrow\ln Z(T)\simeq \ln \operatorname{const}+{{\partial\ln Z}\over{\partial T}}(T_0)T-{{\partial\ln Z}\over{\partial T}}(T_0)T_0\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \ln Z(T)\simeq \operatorname {const}-{{\partial\ln Z}\over{\partial B}}{{\partial B}\over{\partial T}}T\Rightarrow {{\partial\ln Z}\over{\partial B}}{{\partial B}\over{\partial T}}T\simeq Z(T)-\operatorname{const}\Rightarrow {{\partial\ln Z}\over{\partial B}}B\simeq (\ln Z(T)-\ln A)T^{-1}B{{\partial T}\over{\partial B}}</MATH>|12.18}} Napiszmy wzór na logarytm prawdopodobieństwa uzyskania średniej energii, liczby cząstek i objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t)=\ln Fe^{-B\left(\overline{E}+H\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t \right)}=\ln F-B\left(\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t\right)=\ln F+B\left({{\partial\ln Z}\over{\partial B}}\right)=\ln F+B{{\partial\ln Z}\over{\partial B}}\simeq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\simeq\ln F+(\ln Z(T)-\ln A)B{{\partial T}\over{\partial B}}T^{-1}=\ln \left\{F\left[\left( {{Z(T)}\over{A}}\right)^{B{{\partial T}\over{\partial B}}T^{-1}}\right]\right\}\Rightarrow P(\overline{E},\overline{V},\overline{N})=F\left({{Z(T)}\over{A}}\right)^{B{{\partial T}\over{\partial B}}T^{-1}}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow Z(T)\simeq A\left(F^{-1}P(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t)\right)^{{{T}\over{B}}{{\partial B}\over{\partial T}}}</MATH>|12.19}} Stąd na podstawie {{LinkWzór|12.19}} i {{LinkWzór|12.15}} mamy zależność pomiędzy prawdopodobieństwem termodynamicznym a prawdopodobieństwem uzyskania wartości średniej energii, objetości zajmowanej przez cząstki i liczby cząstek. {{CentrujWzór|<MATH>\Omega\simeq R\left(F^{-1}P(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t)\right)^{{{T}\over{B}}{{\partial B}\over{\partial T}}}\;</MATH>|12.20}} Policzmy pochodną logarytmu sumy statystycznej względem średniej energii wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|12.19}} i {{LinkWzór|12.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \ln Z}\over{\partial E}}={{T}\over{B}}{{\partial B}\over{\partial T}}(-B)=-T{{\partial B}\over{\partial T}}\Rightarrow {{\partial \ln Z}\over{\partial E}}=-T{{\partial B}\over{\partial T}}\;</MATH>|12.21}} Zdefiniujmy zmienną &beta; w zależności od temperatury bezwzględnej T: {{CentrujWzór|<MATH>\beta={{1}\over{k_BT}}\;</MATH>|12.21a}} Różłóżmy stałą B w szereg Taylora względem zmiennej &beta; {{LinkWzór|12.21a}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\Bigg(B=B_0+{{\partial B}\over{\partial \beta}}(\beta_0)(\beta-\beta_0)+...\Rightarrow {{\partial B}\over{\partial \beta}}\beta=B+\operatorname{const}\wedge {{\partial B}\over{\partial T}}T={{\partial B}\over{\partial \beta}}{{\partial\beta}\over{\partial T}}T=-{{\partial B}\over{\partial \beta}}{{1}\over{k_BT^2}}T\Rightarrow {{\partial B}\over{\partial T}}T=-{{\partial B}\over{\partial \beta}}\beta\Bigg)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{\partial B}\over{\partial T}}T=-B+\operatorname{const}\;</MATH>|12.22}} Wykorzystujemy wzór {{LinkWzór|12.22}} i podstawiamy go do {{LinkWzór|12.21}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \ln Z}\over{\partial \overline E}}=B+\operatorname{const}\;</MATH>|12.23}} Widzimy, że pochodna logarytmu sumy statystycznej względem średniej energii jest wielkością względną, aby uniezależnić się od tej stałej tam występującej musimy przyjąć {{Formuła|<MATH>\operatorname{const}=0\;</MATH>}}, co na tej podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \ln Z}\over{\partial \overline E}}=B\;</MATH>|12.24}} Na podstawie, że we wzorze {{LinkWzór|12.24}} na podstawie naszych rozważań stała tam występująca przyjmuje wartość zerową, a więc stała ta również we wzorze {{LinkWzór|12.20}} przyjmuje wartość zerową, stąd istnieje odwrotna proporcjonalność pomiędzy prawdopodobieństwem termodynamicznym albo sumą statystyczną a prawdopodobieństwem uzyskania przez układ średniej energii, liczby cząstek i zajmowanej przez nie objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega\sim Z\sim\left(P(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t)\right)^{-1}\;</MATH>|12.25}} ==== Wyprowadzenie stałej B z definicji średniej energii(energia wewnętrzna), definicji temperatury bezwzględnej i proporcjalności pomiędzy sumą statystyczną a prawdopodobieństwem termodynamicznym ==== Energię wewnętrzną (energię średnią), wedle definicji wartości średniej względem parametru {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} należącej do układu można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_i E_ig_ie^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}}\over{Z}}=-{{{{\partial Z}\over{\partial B}}} \over{Z}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial \overline{E}}}{{\partial \overline{E}}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial \overline{E}}}{{\partial\overline{E}}\over{\partial T}}{{\partial T}\over{\partial B}}\;</MATH>|12.26}} Z korzystajmy z pochodnej logarytmu sumy statystycznej według {{LinkWzór|12.23}}, to równanie {{LinkWzór|12.26}} wtedy dostajemy wzór na średnią energię w zależności od stałej B, co to wspomniane równanie przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=-B{{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}{{\partial T}\over{\partial B}}</MATH>|12.27}} Mamy sobie średnią energię, rozłóżmy go wokół małego odchylenia od temperatury {{Formuła|<MATH>T_0\;</MATH>}}, objętości {{Formuła|<math>V_0\;</mATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>N_0\;</MATH>}} i czasu {{Formuła|<MATH>t_0\;</MATH>}} w szereg Taylora i pomijając wyrazy kwadratowe i wyższe. Wszystkie stałe niezależące od temperatury T, objętości V i liczby cząstek N należącej do układu wtaczamy do stałej {{Formuła|<MATH>E_0\;</MATH>}} i w ten sposób po dokonaniu wszystkich przekształceń, co tutaj będziemy robili, wtedy piszemy ją wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=E_0+{{\partial\overline{E}}\over{\partial T}}(T_0,V_0,N_0,t_0)(T-T_0)+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{V}}}(T_0,V_0,N_0,t_0)(\overline{V}-V_0)+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{N}}}(T_0,V_0,N_0,t_0)(\overline{N}-N_0)+{{\partial\overline{E}}\over{\partial t}}(T_0,V_0,N_0,t_0)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot(\overline{t}-t_0)={\widetilde E}_0+{{\partial\overline{E}}\over{\partial T}}(T_0,V_0,N_0,t_0)T+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{V}}}(T_0,V_0,N_0,t_0)\overline{V}+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{N}}}(T_0,V_0,N_0, t_0)\overline{N}+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{t}}}(T_0,V_0,N_0, t_0)\overline{t}</MATH>|12.28}} Z równania {{LinkWzór|12.28}} pochodna średniej energii układu względem temperatury w punkcie {{Formuła|<MATH>T,V,N,t\;</MATH>}} jest równa tej samej pochodnej względem temperatury liczonej w punkcie {{Formuła|<MATH>T_0, V_0, N_0,t_0\;</math>}}, gdy odchylenia T,V,N,t od tych parametrów są bardzo małe. Podstawmy wzór {{LinkWzór|12.28}} do wyrażenia {{LinkWzór|12.27}}, wtedy dostajemy równanie po dokonywanych przekształceniach, idąc po kolei otrzymamy wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>{\widetilde E}_0+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}T+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{V}}}\overline{V}+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{N}}}\overline{N}+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{t}}}\overline{t}=-B{{\partial \overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot{{\partial T}\over{\partial B}}\Rightarrow {\widetilde E}_0+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{V}}}\overline{V}+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{N}}}\overline{N}+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0, t_0)}\over{\partial \overline{t}}}\overline{t}={{\partial \overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}\left(-T-B{{\partial T}\over{\partial B}}\right)\;</MATH>|12.29}} Ponieważ lewa strona {{LinkWzór|12.29}} nie zależy od temperatury bezwzględnej, a prawa zależy tylko od temperatury, i wykorzystują własność wspomnianego równania, można policzyć pochodną cząstkową względem temperatury dla obu jego stron naszego równania: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial \overline{E}(T_0,N_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}\left(-2-B{{{\partial ^2T}\over{\partial T\partial B}}}\right)</MATH>|12.30}} W ogólności stała w {{LinkWzór|12.30}}, czyli {{Formuła|<MATH>{{\partial \overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}\;</MATH>}} jest na ogół różna od zera, zatem dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=-2-B{{{\partial ^2T}\over{\partial T\partial B}}}</MATH>|12.31}} We wzorze {{LinkWzór|12.31}} ponieważ stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} zależy od temperatury {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} to aby ten wzór był tożsamościowo równy zero, to musi być spełnione wyrażenie następujące: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{k_BT}}=\beta</MATH>&nbsp;bo&nbsp; <MATH>\partial B=-{{1}\over{k_BT^2}}\partial T\;</MATH>|12.32}} Stąd stała B {{LinkWzór|12.32}} jest równa wzorowi na &beta; {{LinkWzór|12.21a}}. ==== Wykorzystanie definicji stałej B do definicji rozkładu kanonicznego ==== Następnym krokiem jest policzenie następnych stałych, ale najpierw przepisując nasz rozkład {{LinkWzór|12.13}} do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+GV_i+H N_i+It_i)}}\over{Z}}</MATH>|12.33}} ==== Wyprowadzenie statystycznej definicji temperatury ==== Na podstawie, że prawdopodobieństwo termodynamiczne jest wprost proporcjonalne do sumy statystycznej {{LinkWzór|12.15}}, a także zachodzi zależność {{LinkWzór|12.24}}, a także udowodniliśmy, że stała B {{LinkWzór|12.32}} jest to po prostu &beta;, która jest zależna od temperatury, wtedy na tej podstawie mamy udowodnioną statystyczną definicję temperatury {{LinkWzór|12.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \ln \Omega}\over{\partial \overline E}}={{\partial \ln Z}\over{\partial \overline E}}=B=\beta={{1}\over{k_BT}}\Rightarrow {{\partial \ln \Omega}\over{\partial \overline E}}={{1}\over{k_BT}}\;</MATH>|12.34}} ==== Wyliczanie stałych z tożsamości różniczkowych na potencjałach termodynamicznych ==== Napiszmy pewną średnią przy pomocy średniej energii, objętości i ilości cząstek jakie posiada układ. Ta złożona stała jest tak zdefiniowana, że zależy tylko od temperatury bezwzględnej układu, bo stała {{Formuła|<MATH>B=\beta\;</MATH>}} jest zależna tylko od temperatury T według tożsamości {{LinkWzór|12.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t={{\sum_{i=1}^n(E_i+GV_i+HN_i+It_i)g_ie^{-\beta(E_i+GV_i+HN_i+It_i)}}\over{Z}}=A(T)\;</MATH>|12.35}} Zmienne {{Formuła|<MATH>\overline{V}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}} są to zmienne niezależne od siebie. Zróżniczkujmy obie strony równania {{LinkWzór|12.35}} cząstkowo względem średniej objętości układu {{Formuła|<MATH>\overline{V}\;</MATH>}}, korzystając przy tym z tożsamości {{LinkWzór|3.33|Potencjały_termodynamiczne}}, zatem otrzymujemy wyrażenie, z którego wyznaczymy stałą G: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\overline{E}}\over{\partial\overline{V}}}+G=0\Rightarrow G=-{{\partial\overline{E}}\over{\partial\overline{V}}}=-(-p)=p\;</MATH>|12.36}} Następnie, aby otrzymać następną stałą zróżniczkujmy obie strony równania {{LinkWzór|12.35}} cząstkowo względem średniej liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}}, korzystając z tożsamości {{LinkWzór|3.34|Potencjały_termodynamiczne}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{N}}}+H=0\Rightarrow H=-{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{N}}}\Rightarrow H=-\mu\;</MATH>|12.37}} A teraz policzmy czemu jest równa stała {{Formuła|<MATH>I\;</MATH>}}. Dalej zróżniczkujmy równość {{LinkWzór|12.35}} względem czasu, i wyznaczmy czemu jest równy nasza stała, co przekonamy się, że jest równa potencjałowi chemicznemu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline t}}+I=0\Rightarrow I=-{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline t}}=-\omega\Rightarrow I=-\omega\;</MATH>|12.37a}} Gdzie w naszych obliczeniach: * {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} jest to potencjał chemiczny, * {{Formuła|<MATH>\omega\;</MATH>}} jest to potencjał czasowy, * {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}} jest to ciśnienie panujące w układzie. ==== Ogólny wzór na prawdopodobieństwo uzyskania energii E{{Sub|i}}, V{{Sub|i}} i N{{Sub|i}} w poszczególnych stanach zdegenerowanych w i-tej właściwości ==== Udowodniliśmy, że rozkład {{LinkWzór|12.33}}, przy definicji &beta; {{LinkWzór|12.32}} i definicji pozostałych stałych, tzn. {{LinkWzór|12.36}} (definicja stałej G) i {{LinkWzór|12.37}} (definicja stałej H), można zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}}\over{Z}}\;</MATH> &nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum^n_{i=1}g_i e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}</MATH>|12.38|Obramuj}} Mamy do czynienia z różnymi układami, w którym V{{Sub|i}} pozostaje stałe lub N{{Sub|i}}, albo już wcale, wtedy rozkład {{LinkWzór|12.42}} redukuje się do rozkładów pokazanych jako przykłady w różnych układach wraz z ich sumami statystycznymi dla rozkładów dyskretnych dla czasu w danym punkcie: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=3|{{Center|'''Rozkłady statystyczne dla czasów {{Formuła|<MATH>t\in\{t_1,t_2,t_3,...,t_n\}\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>t_{i+1}>t_i\;</MATH>}}'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Układy statystyczne'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkłady'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Sumy statystyczne'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N,t)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,t_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D1a}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta (E_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D2a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N,t)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,t_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D3a}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D4a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ,t)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,N_i,t_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D5a}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta (E_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D6a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o niestałej objętości (T,p,μ,t)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D7a}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D8a}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} A dla danego czasu w przestrzeni mamy: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=3|{{Center|'''Rozkłady statystyczne dla danego czasu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Układy statystyczne'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkłady'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Sumy statystyczne'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta E_i}\;</MATH>|D1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta E_i}\;</MATH>|D2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|D3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|D4}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,N_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i-\mu N_i)}\;</MATH>|D5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta (E_i-\mu N_i)}\;</MATH>|D6}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o niestałej objętości (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i)}\;</MATH>|D7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i)}\;</MATH>|D8}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} ==== Ogólny wzór na prawdopodobieństwo uzyskania energii E{{Sub|i}}, V{{Sub|i}} i N{{Sub|i}} w poszczególnych stanach niezdegenerowanych w i-tej właściwości ==== Na podstawie {{LinkWzór|12.38}} wzór unormujmy się do jedynki względem w k-tej właściwości według tylko jednej realizacji układu (gdzie sumowanie po i-tym wskaźniku jest to sumowanie po właściwościach i-tych i degeneracjach układu, którego łącznie oznaczymy przez l): {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)}}\over{Z}}\;</MATH> &nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^le^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)}</MATH>|12.39|Obramuj}} ==== Wyliczanie średniej z rozkładu dyskretnego ==== Wyznaczmy średnią {{Formuła|<MATH>\overline{E+pV-\mu N+It}\;</MATH>}} według wyznaczonego wcześniej rozkładu {{LinkWzór|12.38}} ze wszystkimi jego stałymi, wtedy tą średnią zapisujemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N}+I\overline t=\overline{E+pV-\mu N+It}={{\sum_{i=1}^n(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)}}\over{Z}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{1}\over{Z}}{{\partial}\over{\partial\beta}}\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial\beta}}=-{{\partial\ln Z}\over{\partial\beta}}</MATH>|12.40a}} Ta nasza średnia jest równa z minusem pochodnej logarytmu naturalnego sumy statystycznej Z {{LinkWzór|12.38}} (podana po prawej stronie wzoru) względem parametru &beta; {{LinkWzór|12.32}}. A dla danego czasu {{Formuła|<MATH>t_i=t\;</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N}=\overline{E+pV-\mu N}={{\sum_{i=1}^n(E_i+pV_i-\mu N_i)g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}}\over{Z}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{1}\over{Z}}{{\partial}\over{\partial\beta}}\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial\beta}}=-{{\partial\ln Z}\over{\partial\beta}}</MATH>|12.40}} == Hipoteza ergodyczna (dowód) == Niech będzię dowolny układ statystyczny, i popatrzmy na pewną cząstkę w jakimś przedziale czasowym: {{CentrujWzór|<MATH>t\in\langle 0,T_0\rangle\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>T_0>0\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;w przypadku pseudociągłym, a dyskretnym:&nbsp;}}<MATH>t\in\{t_1,t_2,t_3,...,t_n\}\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>t_{i+1}>t_i\;</MATH>{{Tekst|.}}|12.1}} Obliczmy jakąś średnią jakiegoś parametru w naszym powyższym przedziale czasowym, dochodzimy, więc do wniosku, że średnia badanego parametru jakieś cząstki w czasie {{LinkWzór|12.1}} należących do badanego układu jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>(\overline{p})_T={{1}\over{T_0}}\int\limits^{T_0}_0 p(t)dt\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;w przypadku pseudociągłym, a dyskretnym:&nbsp;}}<MATH>(\overline{p})_T={{1}\over{n}}\sum_{i=1}^np(t_i)\;</MATH>|12.2}} Idąc inną drogą można policzyć średnią arytmetyczną tego samego parametru co powyżej, ale liczymy średnią jakiegoś parametru, które posiadają wszystkie cząstki, idąc po wszystkich cząstkach należących do badanego układu: {{CentrujWzór|<MATH>(\overline{p})_Z={{1}\over{N}}\sum^N_{i=1}p_i\;</MATH>|12.3}} W hipotezie ergodycznej, zakładamy, że zachodzi równość pomiędzy {{LinkWzór|12.2}} a {{LinkWzór|12.3}}, tzn. średnia jakiegoś parametru należących do cząstki względem dużego czasu jest równa średniej tego samego parametru, licząc po wszystkich cząstkach należących do układu w danym czasie: {{CentrujWzór|<MATH>(\overline{p})_T=(\overline{p})_Z\;</MATH>|12.4}} Weźmy dowolny układ dla przypadku dyskretnego czasu, wychodząc {{LinkWzór|12.38}}, wtedy napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i)=\sum_j P(E_i,V_j,N_j,t_j)=\sum_jg_i{{e^{-\beta(E_i+pV_j-\mu N_j-\omega t_j)}}\over{\sum_i \sum_jg_ie^{-\beta (E_i+pV_j-\mu N_j-\omega t_j)}}}=g_i{{e^{-\beta E_i}}\over{\sum_ig_ie^{-\beta E_i}}}={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta E_i}\;</MATH>|FR5}} A w przypadku pseudociągłego czasu, wychodząc {{LinkWzór|12.38}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i)=\int_0^T P_i(E_i,V_j,N_j,t)dt=\int_0^{T_0}\sum_jg_i{{e^{-\beta(E_i+pV_j-\mu N_j-\omega t)}}\over{\int_0^{T_0}dt\sum_i\sum_jg_ie^{-\beta (E_i+pV_j-\mu N_j-\omega t)}}}dt=g_i{{e^{-\beta E_i}}\over{\sum_ig_i e^{-\beta E_i}}}={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta E_i}\;</MATH>|FR5a}} Dla przypadku pseudociągłej energii i objętości we wzorach {{LinkWzór|FR5}} i {{LinkWzór|FR5a}} zastępujemy {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>V_j\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}}, sumę przez całkę po przestrzeni fazowej, dodając element {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|15.35|Zespół mikrokanoniczny}}, do tej całki, i usuwamy tam element {{Formuła|<MATH>g_i\;</MATH>}}. Na podstawie wzoru {{LinkWzór|D1a}} otrzymujemy, że w przedziale czasowym lub zbiorze czasowym, w {{LinkWzór|12.1}}, cząstki w układzie mają energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} w przypadku dyskretnym ({{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}} w przypadku pseudociągłym) z prawdopodobieństwem określonym końcowym wzorem {{LinkWzór|FR5}} ({{LinkWzór|FR5a}}). Rozkład {{LinkWzór|FR5}} ({{LinkWzór|FR5a}}) jest to ten sam rozkład, co dla danego czasu w przestrzeni w układzie statystycznym {{LinkWzór|D1}}. Oba wzory można napisać dla jednej cząstki w obu układach statystycznych, wtedy otrzymamy rozkład Maxwella {{LinkWzór|14.30|Rozkłady klasyczne w fizyce}} dla przypadku mechaniki Newtona lub rozkład dyskretny dla mechaniki kwantowej, a je dla w przypadku dyskretnego udowadnia się tak: {{CentrujWzór|<MATH>P(\epsilon_{sl})={{\prod_{i, i\neq l}\sum_jg_{ij} e^{-\beta \epsilon_{ij}}g_{sl}e^{-\beta \epsilon_{sl}}}\over{\prod_i\sum_j g_{ij}e^{-\beta \epsilon_{ij}}}}={{g_{sl}e^{-\beta \epsilon_l}}\over{\sum_l g_{sl}e^{-\beta \epsilon_{sl}}}}\Rightarrow P(\epsilon_{sl})={{g_{sl}e^{-\beta \epsilon_{sl}}}\over{\sum_l g_{sl}e^{-\beta \epsilon_{sl}}}}={{1}\over{Z}}g_{sl}e^{-\beta\epsilon_{sl}}\;</MATH>|FR6}} A dla przypadku pseudociągłej energii udowadnia się tak: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\epsilon_l)={{\prod_{i, i\neq l}\int d\Gamma_i e^{-\beta \epsilon_{i}}e^{-\beta \epsilon_{l}}}\over{\prod_i\int d\Gamma_i e^{-\beta \epsilon_{i}}}}={{e^{-\beta \epsilon_l}}\over{\int d\Gamma_i e^{-\beta \epsilon_{l}}}}\Rightarrow P(\epsilon_{l})={{e^{-\beta \epsilon_{l}}}\over{\int d\Gamma_i e^{-\beta \epsilon_{sl}}}}={{1}\over{Z}}e^{-\beta\epsilon_{l}}\;</MATH>|FR6a}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MATH>}} w przestrzeni fazowej to jest różniczka według {{LinkWzór|15.35|Zespół mikrokanoniczny}}, a {{Formuła|<MATH>\rho(\epsilon_l)\;</MATH>}} jest to pseudogęstość {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}}-tej cząstki w układzie. Rozkład {{LinkWzór|FR6}} w przypadku dyskretnym ({{LinkWzór|FR6a}} w przypadku pseudociągłym) jest udowodniony dla danej cząstki w czasie w przedziale czasowym lub w zbiorze czasowym, według {{LinkWzór|12.1}}, a rozkład dla jednej cząstki w danym czasie w przestrzeni też według {{LinkWzór|FR6}} ({{LinkWzór|FR6a}}), też wychodząc od {{LinkWzór|FR5}} ({{LinkWzór|FR5a}}), ale dla stałego tam danego czasu, a ponieważ względem tych dwóch prawdopodobieństw średnie liczymy tak samo, stąd wzór {{LinkWzór|12.2}} ma taką samą wartość, co {{LinkWzór|12.3}}, a więc prawo {{LinkWzór|12.4}} jest ogólnie spełnione, zatem hipoteza ergodyczna jest udowodnionym twierdzeniem. == Wyprowadzenie statystycznej definicji entropii == Wyprowadzimy związek entropii z prawdopodobieństwem termodynamicznym według rozkładu {{LinkWzór|12.38}}. Wyznaczmy wyrażenie, który jest logarytmem naturalnym prawdopodobieństwa termodynamicznego, która jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobienstwa, na podstawie udowodnionej proporcjonalności {{LinkWzór|12.25}}, że układ będzie miał pewne wartości średnie, tzn. średnią energię, objętość i liczbę cząstek. Podstawiając za to prawdopodobieństwo P określonych według wzoru {{LinkWzór|12.38}} zależące od średniej energii, objętości i liczby cząstek, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\ln\Omega=\ln\left(A\cdot P^{-1}\left(\overline{E},\overline{V},\overline{N}, \overline t\right)\right)=\ln A+\ln P^{-1}\left(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t\right)=\ln A+\ln \left({{1}\over{Z}} ge^{-\beta\left(\overline{E}+p\overline{V}-\overline{N}\mu -\omega\overline t\right)}\right)^{-1}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\ln{{AZ}\over{g}}+\beta\left(\overline{E}+p\overline{V}-\overline{N}\mu-\omega\overline t \right)\;</MATH>|12.41}} Z równania {{LinkWzór|12.41}} dostajemy, że mamy tożsamość na logarytm prawdopodobieństwa termodynamicznego wyrażony względem pewnych stałych i średniej energii, objętości i liczby cząstek układu, które zależą od parametru {{Formuła|<MAtH>\beta\;</MATH>}}, która natomiast zależy od temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>\ln \Omega= \operatorname{const}+\beta\left(\overline{E}+p\overline{V}-\overline{N}\mu-\omega\overline t \right)\;</MATH>|12.42}} Wzór {{LinkWzór|12.42}} możemy zapisać rozwijając go do jego pełnej definicji oznaczenia {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}} {{LinkWzór|12.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>\ln\Omega=\operatorname{const}+{{\overline{E}+p\overline{V}-\overline{N}\mu-\omega\overline t }\over {k_BT}}\;</MATH>|12.43}} Skorzystajmy z równań {{LinkWzór|3.33|Potencjały_termodynamiczne}} (wzór na wielkość ciśnienia w pochodnej cząstkowej energii wewnętrznej układu względem jego objętości pod stałą entropią, liczbą cząstek i czasem) i ze wzoru {{LinkWzór|3.34|Potencjały_termodynamiczne}} (wzór na wielkość potencjału chemicznego w zależności od pochodnej energii wewnętrznej układu względem liczby cząstek pod stałą entropią układu, objętością i czasem) oraz na podstawie wypisanej tożsamości średniej energii w szereg Taylora {{LinkWzór|12.28}} można zapisać wzór na średnią energię układu na podstawie wniosku {{LinkWzór|12.40a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=D+\left({{{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}}\right)_{V,N,t}T-p\overline{V}+\mu \overline{N}+\omega\overline t\;</MATH>|12.44}} Stałą D we wzorze {{LinkWzór|12.44}} przyjmujemy za równą zero, ponieważ prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}} musi mieć wartość skończoną na podstawie {{LinkWzór|12.43}} i średnia energia jest wielkością względną, wtedy według wzoru {{LinkWzór|12.44}} równanie na logarytm naturalny prawdopodobieństwa termodynamicznego {{LinkWzór|12.43}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \ln \Omega=\operatorname{const}+{{ {\left|\left({{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\right| }T}\over {k_BT}}\;</MATH>|12.45}} Po uwzględnieniu powyższego szczegółu, zatem równanie {{LinkWzór|12.45}} dokonując w drugim kroku skracania temperatur bezwzględnych i mnożenia obustronnego przez stałą Boltzmanna {{Formuła|<MATH>k_B\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\ln \Omega=\operatorname{const}+{{ \left({{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}T}\over {k_BT}}\Rightarrow k_B\ln \Omega=\operatorname{const}+{\left({{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}\;</MATH>|12.46}} Wykorzystując wzór na energię swobodną {{LinkWzór|3.5|Potencjały termodynamiczne}} a także tożsamość {{LinkWzór|3.39|Potencjały termodynamiczne}}, wtedy równość {{LinkWzór|12.46}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>k_B\ln \Omega=\operatorname{const}+{\left({{\partial F}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}+S+T{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}\Rightarrow k_B\ln \Omega=\operatorname{const}-S+S+T{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow k_B\ln \Omega=\operatorname{const}+T{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}\;</MATH>|12.47}} Ale z szeregu Taylora można napisać równość z dokładnością do wyrazów liniowych, wtedy rozkładamy dalej {{Formuła|<MATH>S(T)\;</MATH>}} względem punktu {{Formuła|<MATH>T_0\;</MATH>}}, co wtedy otrzymamy zależność, która jest równa entropii w temperaturze T z dokładnością do stałej, w zależności od pierwszej pochodnej entropii względem temperatury pod stałą objętością, liczbą cząstek i temperaturą: {{CentrujWzór|<MATH>S(T)=S(T_0)+{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T_0)(T-T_0)+...\Rightarrow S(T)\simeq S(T_0)+{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T_0)T-{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T_0)T_0\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow S(T)-\operatorname{const}\simeq{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T)T\Rightarrow S(T)-\operatorname{const}\simeq{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T)T\;</MATH>|12.48}} Uwzględniając wnioski z równości przybliżonej {{LinkWzór|12.48}} (wzór na różnicę entropi w temperaturze T) do tożsamości {{LinkWzór|12.47}} co tam podstawiając tam za iloczyn pochodnej entropii względem temperatury pod stałą objętością i liczbą cząstek przez temperaturę, co możemy udowodnić: {{CentrujWzór|<MATH>k_B \ln\Omega=\operatorname{const}+S\;</MATH>|12.49}} Przenosimy stałą w {{LinkWzór|12.49}} na lewą stronę tego równania i odwracając stronami: {{CentrujWzór|<MATH>S=\operatorname{const}+k_B\ln \Omega\;</MATH>|12.50}} Entropia zależy od stałej {{Formuła|<MATH>\operatorname{const}\;</MATH>}}, a także jest to wielkość względna bo posiada różniczkę zupełną, a więc przyjmijmy {{Formuła|<MATH>\operatorname{const}=0\;</MATH>}}, stąd po tej operacji: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\ln\Omega\;</MATH>|12.51|Obramuj}} === Podział układu na dowolną liczbę podukładów, a entropia statystyczna === Podzielmy układ na ileś tam podukładów nieizolowanych wtedy prawdopodobieństwo termodynamiczne pojedynczego układu wyraża się jako {{Formuła|<MATH>\Omega_i\;</MATH>}} wtedy prawdopodobieństwo termodynamiczne całego układu podzielonego jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega=\prod_i\Omega_i\;</MATH>|12.52}} Z logarytmujmy obie strony równości, dalej wykorzystajmy twierdzenie o logarytmie iloczynu dla jego prawej strony, co pomnóżmy to wyrażenie obustronnie przez k{{Sub|B}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>k_B\ln \Omega=k_B\ln\prod_i\Omega_i=\sum_i k_B\ln\Omega_i\;</MATH>|12.53}} Entropia pojedyńczego podukładu, który powstaje po podzieleniu całego układu, a także całego układu jest równa na podstawie definicji entropii {{LinkWzór|12.53}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_i=k_B\ln\Omega_i\;</MATH>|12.54}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\ln\Omega\;</MATH>|12.55}}}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|12.55}} (entropia całego układu) i {{LinkWzór|12.54}} (entropia pojedynczego układu) tożsamość {{LinkWzór|12.53}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>S=\sum_iS_i\;</MATH>|12.56}} Na podstawie tożsamości na pewno spełnionej {{LinkWzór|12.52}} otrzymujemy tożsamość {{LinkWzór|12.56}}, co stąd dostajemy, że entropia jest wielkością addytywną. Zatem udowodniliśmy, że wyrażenie {{LinkWzór|12.56}} jest też słuszne dla układów izolowanych, czyli do wszystkich rodzajów układów (izolowanych, zamkniętych-stała objętość lub nie, otwartych-stała objętość lub nie). === Dowód addytywności entropii === Prawdopodobieństwo termodynamiczne stanu końcowego jest oznaczana tak: {{Formuła|<MATH>\Omega={{\Omega}\over{\Omega_1\Omega_2}}\Omega_1\Omega_2\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\Omega=N!\;</MATH>}}, a poszczególnych dwóch mniejszych po podzieleniu układu na dwa: {{Formuła|<MATH>\Omega_1=N_1!\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\Omega_2=N_2!\;</MATH>}}, ale z oczywistych sposobów zachodzi {{Formuła|<MATH>N=N_1+N_2\;</MATH>}}, zatem błąd względny obliczeń przy liczeniu entropii względem entropii dwóch razem układów jest, wiedząc, że zachodzi dla skończonych podukładów statystycznych większego układu statystycznego {{Formuła|<MATH>{{N_1}\over{N}}\rightarrow\operatorname{const}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{N_2}\over{N}}\rightarrow\operatorname{const}\;</MATH>}} i też zachodzi {{Formuła|<MATH>N_1,N_2\rightarrow\infty\;</MATH>}}, co na podstawie tych wniosków napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>k={{S-S_1-S_2}\over{S}}={{\ln\Omega-\ln\Omega_1\Omega_2}\over{\ln \Omega}}={{\ln\Omega-\ln\Omega_1-\ln \Omega_2}\over{\ln \Omega}}={{N\ln N-N-N_1\ln N_1+N_1-N_2\ln N_2+N_2}\over{N\ln N-N}}\rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\rightarrow{{N\ln N-N_1\ln N_1-N_2\ln N_2}\over{N\ln N}}=-{{N_1\ln {{N_1}\over{N}}+N_2\ln {{N_2}\over{N}}}\over{N\ln N}}=-{{{{N_1}\over{N}}\ln {{N_1}\over{N}}+{{N_2}\over{N}}\ln {{N_2}\over{N}}}\over{\ln N}}=-{{ {{N_1}\over{N}} }\over{\ln N}}\ln {{N_1}\over{N}}-{{ {{N_1}\over{N}} }\over{\ln N}}\ln {{N_2}\over{N}}\rightarrow 0\;</MATH>|12.55s}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|12.55s}}, że błąd względny jaki popełniamy, biorąc addytywność entropii, jest nieskończenie mały, a praktycznie doświadczalnie mały, zatem entropia układu jest równa entropii dwóch osobnych podukładów, co można rozszerzyć na podstawie indukcji matematycznej do dowolnej liczby podukładów. Zatem twierdzenie {{LinkWzór|12.56}} jest spełnione z bardzo bardzo małym błędem obliczeń względnym, praktycznie dążącym do zera, stąd na podstawie tego wzór {{LinkWzór|12.52}} jest wtedy też spełniony. == Entropia, a prawdopodobieństwa stanu układów == Załóżmy, że badamy L ponumerowanych kopii danego układu, w którym wykryto, że układ wystepuje {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}} stanach, a ilość wszystkich możliwych obsadzeń, która jest jednocześnie prawdopodobieństwem termodynamicznym układu dla {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} kopii układów włącznie dla tychże układów statystycznych jest wyrażona według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\Omega}={{L!}\over{k_1!k_2!...k_l!}}</MATH>|12.57}} gdzie suma wszystkich możliwych {{Formuła|<MATH>k_i\;</mATH>}} przy l poziomach jakie może przyjmować układ jest równa L kopii wedle {{LinkWzór|12.57}} jakie układ może przyjmować stany, nawet tychże zgenerowanych stanów włącznie: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum^l_{i=1}k_i\;</MATH>|12.58}} Wykryto z L kopii , że i-tej(z l) stanie tych badanych układów jest {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}}, to można policzyć entropię wychodząc z równości {{LinkWzór|12.51}}, i jest ona przedstawiona poniżej, co wykorzystując przy tym wzór Stirlinga, możemy tą entropię zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{S}=k_B\ln\hat{\Omega}=k_B\ln {{L!}\over{k_1!k_2!...k_l!}}= k_B\left[L\ln L-L-\sum^l_{i=1}\left(k_i\ln k_i-k_i\right)\right]=k_B\left[L\ln L-\sum^l_{i=1}k_i-\sum^l_{i=1}k_i\ln k_i+\sum^k_{i=1}k_i\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\left( L\ln L-\sum^l_{i}k_i\ln k_i\right)=k_B\left(\sum^l_{i=1}{k_i}\ln L-\sum^l_{i=1}k_i\ln k_i\right)=-k_B\left(\sum^l_{i=1}k_i\ln{{k_i}\over{L}}\right)</MATH>|12.59}} Ponieważ rozpatrujemy L kopii układów, w która każda znajduje się w innym stanie kwantowym, prawdopodobieństwo termodynamiczne &Omega;{{Sub|i}} dla każdego takiego układu z osobna jest jednakowe i wynosi &Omega;, co można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega=\Omega_i\;</MATH>|12.60}} Według prawa statystycznego Boltzmanna entropii {{LinkWzór|12.51}} entropia pojedynczego układu S=S{{Sub|i}} w zależności od jego prawdopodobieństwa termodynamicznego &Omega;{{Sub|i}}, które jest takie same dla każdej kopii tych wszystkich układów z L, jest według {{LinkWzór|12.60}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_i=k_B\ln \Omega_i\;</MATH>|12.61}} Gdy dodamy do siebie {{Formuła|<MATH>S_i\;</MATH>}} opisujące i-te kopie naszego układu, to wtedy entropia L układów włącznie, przy czym korzystając z warunku {{LinkWzór|12.56}}, jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{S}=\sum^L_{i=1}S_i=k_B\sum^L_{i=1}\ln\Omega_i= k_B\ln\prod^L_{i=1}\Omega_i=k_B\ln\Omega^L=Lk_B\ln\Omega=L S\;</MATH>|12.62}} Z równości {{LinkWzór|12.62}} możemy wyznaczyć entropię S pojedynczego układu w zależności od entropii L układów {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</MATH>}} dzieląc tą ostatnią wielkość przez stałą L: {{CentrujWzór|<MATH>S={{\hat{S}}\over{L}}\;</MATH>|12.63}} Wyznaczymy entropię przypadająca na jeden układ, a nie na {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}}, zatem ta entropia, jest to średnia z entropii wyrażona wedle wzoru {{LinkWzór|12.59}}, czyli ona jest wyrażona przy pomocy wzoru {{LinkWzór|12.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>S={{\hat{S}}\over{L}}={{1}\over{L}}k_B\left(-\sum^l_{i=1}k_i\ln{{k_i}\over{L}}\right)= -k_B\sum^l_{i=1}{{k_i}\over{L}}\ln{{k_i}\over{L}}</MATH>|12.64}} Oznaczmy we wzorze {{LinkWzór|12.64}} jako stosunek {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}}, że tyle jest układów identycznych z L kopii danego układu i ten stosunek nazywamy prawdopodobieństwem, że dany układ będzie posiadał identyczny stan. {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{k_i}\over{L}}</MATH>|12.65}} Wzór {{LinkWzór|12.65}} podstawiamy do wzoru na entropię układu {{LinkWzór|12.64}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum^l_{i=1} P_i\ln P_i=-k_B\overline{\ln P_i}</MATH>|12.66|Obramuj}} Entropia przypadająca na jeden układ, jest to średnia z logarytmu prawdopodobieństwa w rozkładzie dyskretnym, że uzyskamy właściwość o numerze "i" pomnożonej przez stałą Boltzmanna i to wszystko wzięte z minusem. == Rozkład statystyczny a ekstremum entropii układu == Średnia liczba cząstek, objętość i energię możemy napisać poniżej. {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\sum^l_{i=1} E_iP_i\Rightarrow\overline{E}L=\sum^l_{i=1} E_ik_i\;</MATH>|12.68}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}=\sum^l_{i=1} V_iP_i\Rightarrow\overline{V}L=\sum^l_{i=1} V_ik_i\;</MATH>|12.69}} }} {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\sum^l_{i=1} N_iP_i\Rightarrow L\overline{E}=\sum^l_{i=1} N_ik_i\;</MATH>|12.70}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{t}=\sum^l_{i=1} t_iP_i\Rightarrow L\overline{t}=\sum^l_{i=1} t_ik_i\;</MATH>|12.70a}} }} Napiszmy funkcjonał za pomocą mnożników nieoznaczonych Lagrange'a, który jest równy z definicji entropii układu, bo te wprowadzone współczynniki nic nie zmieniają: {{CentrujWzór|<MATH>\phi(P_i(E_i,V_i,N_i))=\hat{S}+k_B B(\overline{E}L-\sum^l_{i=1} E_ik_i)+k_BC(\overline{V}L-\sum^l_{i=1} V_ik_i)+k_BD(\overline{N}L-\sum^l_{i=1} N_ik_i)+k_BA(L-\sum^l_{i=1}k_i)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+k_bE(\overline t L -\sum_i t_i k_i)\;</MATH>|12.71}} Wyznaczmy pochodną cząstkową S, czyli wyrażenia {{LinkWzór|12.71}} względem liczby cząstek przebywających w stanie "i", czyli {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \hat{S}}\over{\partial k_i}}=-k_B\left(\ln k_i+1\right)\simeq -k_B\ln k_i</MATH>|12.72}} Mając już policzoną pochodną entropii dla L kopii danego układu względem {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}} występowania tej samej kopii w L kopiach, zatem możemy wyznaczyć ekstremum wyrażenia {{LinkWzór|12.71}} wiedząc, że jednocześnie, że on wynika z ekstremum entropii, a mnożniki Lagrange'a co do tego ekstremum tego dla funkcjonału również nic nie zmieniają: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial\phi}\over{\partial k_i}}=-k_B\ln k_i-k_BB E_i-k_BCV_i-k_BDN_i-k_BA-k_bEt_i</MATH>|12.73}} Z równania {{LinkWzór|12.73}} wynika równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\ln k_i=-A-B E_i-CV_i-DN_i\Rightarrow k_i=e^{-A}e^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}</MATH>|12.74}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|12.74}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{k_i}\over{L}}=F g_ie^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}</MATH>|12.75}} Parametry we wzorze {{LinkWzór|12.75}}, tzn. B,C,D wyznaczamy podobnie jak dla równania {{LinkWzór|12.13}}, a także podobnie wyznaczamy współczynnik normalizacyjny F, zatem rozważane równanie możemy napisać w przypadku dyskretnym: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^l g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}</MATH>|12.76}} Wyznaczmy drugą pochodną funkcjonału {{LinkWzór|12.71}}, czyli pierwszą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|12.73}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\phi}\over{\partial k_i^2}}={{\partial}\over{\partial k_i}}{{\partial\phi}\over{\partial k_i}}= {{\partial}\over{\partial k_i}}\left[-k_B\ln k_i-k_BB E_i-k_BCV_i-k_BDN_i-k_BA\right]=-k_B{{1}\over{k_i}}<0</MATH>|12.77}} Równanie {{LinkWzór|12.76}} jest identyczne z {{LinkWzór|12.38}}, które wyprowadziliśmy z czysto statystycznych przesłanek, jak udowodniliśmy na podstawie {{LinkWzór|12.73}}, entropia dla L kopii danego układu przyjmuje wartość maksymalną, co doszliśmy do wniosku według {{LinkWzór|12.77}} dla pojedynczego naszego układu, co kończy nasze rozważania. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gu351wbc5cisbi1l2y99da6w2zw1frz 0 17511 558578 470248 2026-10-04T17:54:03Z Persino 2851 558578 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Jest to zespół opisujący układ izolowany, w którym nie ma wymiany energii i cząstek między układem a otoczeniem. == Prawdopodobieństwo termodynamiczne == Zespół mikrokanoniczny opisuje układy izolowane, w których nie ma wymiany z otoczeniem ani energii czy masy. Rozpatrzmy przestrzeń fazową w celu wyznaczenia prawdopodobieństwa termodynamicznego badanego układu, co liczymy go według: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}{{1}\over{h^{3N}}}\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int\limits_{E\leq H(\vec{p},\vec{q})\leq E+\Delta }d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}=\lim_{\Delta\rightarrow 0}{{1}\over{h^{3N}}}\underbrace{\int\int...\int}_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\underbrace{\int\int...\int}_{E\leq H(\vec{p},\vec{q})\leq E+\Delta } dq_1 dq_2 \cdot...\cdot dq_{3N}dp_1 dp_2\cdot...\cdot dp_{3N}\;</MATH>|15.1}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\Omega(E)\;</MATH>}} jest to prawdopodobieństwo termodynamiczne badanego układu o liczbie stopni swobody {{Formuła|<MATH> {3N\cdot}\;</MATH>}} i takim samym wymiarze w przestrzeni fazowej. Każdy wynik {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec{q}\;</MATH>}} jest tak samo prawdopodobny. tzn. każda składowa {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}}, a także {{Formuła|<MATH>\vec{q}\;</MATH>}} mają takie same prawdopodobieństwo. Mając {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}} można obliczyć entropię posiadane przez ciało według wzoru {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} i energię w rozważanym układzie z przybliżeniem klasycznym (według praw mechaniki klasycznej). Wyznaczenie prawdopodobieństwa termodynamicznego według wzoru {{LinkWzór|15.1}} jest bardzo niewygodne. Wyrażenie {{LinkWzór|15.1}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E,N,V)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}{{1}\over{h^{3N}}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\left(\int_{E\leq H+\Delta}-\int_{H\leq E}\right)d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}= \lim_{\Delta\rightarrow 0}{{1}\over{h^{3N}}}\Bigg(\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int_{E\leq H+\Delta}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int_{H\geq E}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}\Bigg)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\left(\Sigma(E+\Delta)-\Sigma(E)\right)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\Sigma(E+\Delta)\left(1-{{\Sigma(E,N,V)}\over{\Sigma(E+\Delta,N,V)}}\right)</MATH>|15.2}} Funkcja {{Formuła|<MATH>\Sigma(E)\;</MATH>}} opisuje pewną kulę, a właściwie jej objętość, którego promień jest rosnącą funkcją E w przestrzeni pędowej, jeśli na energię E przypada tylko energia kinetyczna, lub gdy w przypadku energii potencjalnej jeśli ją cząstki posiadają, w przypadku oscylatora harmonicznego, jeśli poszczególne cząstki są połączone sprężynkami, wtedy ta nasza figura w przestrzeni fazowej nie jest kulą, ale w każdym bądź razem można tak przeskalować zmienne należącym do przestrzeni fazowej by ona była kulą. Liczba stopni swobody badanego układu jest rosnącą funkcją liczby cząstek i rośnie do nieskończoności, gdy liczba cząstek dąży do nieskończoności. Objętość kuli o promieniu R w przestrzeni s-wymiarowej wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>V_s(R)={{\pi^{{{s}\over{2}}}}\over{\Gamma({{s}\over{2}}+2)}}R^s\;</MATH>|15.3}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|15.3}} na objętość w przestrzeni fazowej, tuż po przeskalowaniu zmiennych tak by otrzymać dla zmiennych przeskalowanych kulę, wtedy możemy napisać przybliżoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Sigma(E,N,V)}\over{\Sigma(E+\Delta,N,V)}}= {{{{\pi^{{{s}\over{2}}}}\over{\Gamma({{s}\over{2}}+2)}}R^s(E,N,V)}\over{{{\pi^{{{s}\over{2}}}}\over{\Gamma({{s}\over{2}}+2)}}R^s(E+\Delta,N,V)}}=\left({{R(E,N,V)}\over{R(E+\Delta,N,V)}}\right)^s\;</MATH>|15.4}} Wielkość w {{LinkWzór|15.4}} pod potęgą jest mniejszą niż jeden, a ponieważ liczba cząstek jest liczbą bardzo ogromną (prawie nieskończoność w naszych wyobrażeniach), więc s też jest ogromne, zatem nasze wyrażenie jest w przybliżeniu równe zero. Korzystając z tego faktu, to {{LinkWzór|15.2}} możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E,N,V)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\Sigma(E+\Delta)\left(1-{{\Sigma(E,N,V)}\over{\Sigma(E+\Delta,N,V)}}\right)\simeq \lim_{\Delta\rightarrow 0}\Sigma(E+\Delta)\left(1-0\right)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\Sigma(E+\Delta)=\Sigma(E)\;</MATH>|15.5}} Dochodzimy do wniosku, że zachodzi dla ogromnej liczby cząstek, która wynika z obliczeń {{LinkWzór|15.5}}, wiedząc, że ona jest przybliżoną tożsamością: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E,N,V)\simeq \Sigma(E,N,V)\;</MATH>|15.6}} Na podstawie {{LinkWzór|15.6}} i {{LinkWzór|15.1}} możemy napisać, że: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E,N,V)\simeq\Sigma(E,N,V)={{1}\over{h^{3N}}}\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int\limits_{H(\vec{p},\vec{q})\leq E}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}</MATH>|15.7}} Na podstawie {{LinkWzór|15.6}} dla bardzo dużej liczby cząstek objętość kuli jest zawarta w wąskiej warstwie przy jej powierzchni. == Przypadek gazu doskonałego w zespole mikrokanonicznym == Rozpatrzmy prosty przypadek gazu doskonałego, o energii całkowitej równej E, która jest sumą energii poszczególnych cząstek o stałej ilości cząstek N w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>E=\sum^N_{i=1}E_i=\sum^{3N}_{i=1}{{p^2_i}\over{2m}}\;</MATH>|15.8}} We wzorze {{LinkWzór|15.8}} braliśmy sumowanie po energiach względem poszczególnych współrzędnych dla każdej cząstki. W tym samym wzorze co poprzednio mnożymy obustronnie to równanie przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>2m\;</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^{3N}_{i=1}p^2_i=2mE\;</MATH>|15.9}} Całkę {{LinkWzór|15.1}} (prawdopodobieństwo termodynamiczne) możemy przedstawić używając {{LinkWzór|15.9}}, ale ponieważ dla dużej ilości cząstek całka w wąskiej warstwie przy jej powierzchni jest równa całce po kuli o tym samym rozważanym samym promieniu, wtedy tą objętość kuli (prawdopodobieństwo termodynamiczne) liczymy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|15.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Sigma(E)={{V^N}\over{h^{3N}}}\int\limits_{\sum_{3N}p^2_i\leq 2mE}dp_1dp_2\cdot...\cdot dp_{3N}\;</MATH>|15.10}} Cząstki o energii {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}} są w przestrzeni fazowej o grubości {{Formuła|<MATH>dR\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>R\;</MATH>}} jest wyrażone według {{LinkWzór|15.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>R=\sqrt{2mE}\;</MATH>|15.11}} Objętość kuli o promieniu R jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|15.3}}, zatem równanie {{LinkWzór|15.10}} przedstawiamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\Sigma(E)={{V^N{\left(2mE\right)}^{3N\over 2}\pi^{{3N\over 2}}}\over{h^{3N}\Gamma\left({{{3N}\over{2}}+1}\right)}}\Rightarrow\Sigma(E)={V^N{\left({{2m\pi E}\over{h^2}}\right)}^{{3N}\over 2}}\cdot{{1}\over{\Gamma\left({{3N}\over{2}}+1\right)}}\;</MATH>|15.12}} Wzór {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, która przedstawia entropię układu, zależąca od prawdopodobieństwa termodynamicznego wyrażone przez równanie {{LinkWzór|15.12}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>S(E,V)=k_B\ln\Sigma(E)=N k_B\ln\left[{V{\left({{2m\pi E}\over{h^2}}\right)}^{3\over 2}}\right]-k_B\ln\Gamma\left({{3N}\over{2}}+1\right)\;</MATH>|15.13}} Korzystajmy ze wzoru Stirlinga ln n!=n ln n-n, wtedy funkcję &Gamma; oraz korzystając, że dla x całkowitych zachodzi &Gamma;(x)=x!, to tą funkcję we wzorze {{LinkWzór|15.7}} możemy rozpisać: {{CentrujWzór|<MATH>\ln\Gamma\left({{{3N}\over{2}}+1}\right)={{3N}\over 2}\ln {3N\over 2}-{{3N}\over{2}}=\ln{{\left({{3N\over 2}}\right)}^{{3\over 2}N}}-{{3N}\over{2}}\;</MATH>|15.14}} Korzystając z rozwinięcie funkcji {{Formuła|<MATH>\Gamma\;</MATH>}} {{LinkWzór|15.14}}, to wzór {{LinkWzór|15.13}} na entropię możemy napisać w przybliżonej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>S(E,V)=Nk_B\ln\left[{V{\left({{4m\pi E}\over{3h^2}}\right)}^{3\over 2}}\right]+{{{3}\over{2}}}Nk_B\;</MATH>|15.15}} Ale korzystając ze wzoru {{LinkWzór|3.32|Potencjały_termodynamiczne}}, ale w jego wersji w postaci odwróconej (licznik i mianownik w tej pochodnej zmieniają się miejscami) i po podstawieniu do niego za wielkość, którą jest entropia {{LinkWzór|15.15}}, wtedy dochodzimy do: {{CentrujWzór|<MATH>{1\over{T}}=\left({{\partial S}\over{\partial E}}\right)_V={3\over 2}Nk_B{1\over E}\;</MATH>|15.16}} Biorąc równość wedle {{LinkWzór|15.16}} na odwrotność temperatury, to energię cząstek w układzie izolowanym możemy napisać jako równanie wynikającego z ostatniej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>E={{3}\over 2}Nk_BT\;</MATH>|15.17}} Widzimy, że energia cząstek zależy od temperatury i ilości cząstek. Zróżniczkujemy obie strony równania {{LinkWzór|15.15}} korzystając z {{LinkWzór|3.33|Potencjały_termodynamiczne}} (wzoru który pozwala policzyć ciśnienie panujące w gazie znając jego energię całkowitą przy stałej wartości entropii) przy stałej entropii, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial S(E,V)}\over{\partial V}}\right)_S=0=Nk_B{1\over V}-Nk_B {{{{3}\over{2}}E^{1\over 2}}\over{E^{3\over 2}}}p \;</MATH>|15.18}} Po krótkich przekształceniach wzór {{LinkWzór|15.18}} możemy napisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{1\over V}={{3p}\over{2E}}\Rightarrow E={{3}\over {2}}pV\;</MATH>|15.19}} Według powyższego wzoru energia wszystkich cząstek w rozważanym układzie zależy od ciśnienia panującego w układzie i od objętości zajmowanej przez układ. Przyrównując równania {{LinkWzór|15.19}} i {{LinkWzór|15.17}} na energię do siebie, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{3}\over{2}}Nk_BT={{3}\over{2}}pV\;</MATH>|15.20}} Po skróceniu, względem stałych czynników po obu stronach wzoru {{LinkWzór|15.20}} otrzymujemy równanie stanu gazu doskonałego w zależności od ilości cząstek N jakie gaz posiada w układzie, w którym się znajduje. {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BNT\;</MATH>|15.21}} I jeśli {{Formuła|<MATH>N=N_A n\;</MATH>}}, które przedstawia liczbę cząstek znając liczbę moli cząstek w badanym układzie, które możemy wyprowadzić {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}}, Idąc dalej mamy: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nN_A k_B T\;</MATH>|15.22}} Ale zachodzi równanie {{LinkWzór|6.5|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, wtedy równanie {{LinkWzór|15.22}} przyjmuje postać po zastąpieniu czynnika {{Formuła|<MATH>N N_Ak_B\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>nR\;</MATH>}}, po tych podstawieniach otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\;</MATH>|15.23}} Jest to znany wzór dotyczącej stanu gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}}, tzn. wzór Clapeyrona. == Paradoks Gibbsa w gazie doskonałym == Energia gazu w układzie izolowanym w zależności od jego temperatury jest napisana zależnością {{LinkWzór|15.17}}, wtedy jego entropia korzystając ze wzoru {{LinkWzór|15.15}} jest napisana w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>S(E,V)=Nk_BT\ln V+Nk_B \ln {\left({{2\pi mk_BT}\over{h^2}}\right)}^{3\over 2}+{3\over 2}Nk_B=Nk_BT\ln V+NS_0(T)\;</MATH>|15.24}} Jeśli mamy dwa jednakowe gazy i przyjmować będziemy addytywność liczby cząstek (bo nie ma w nich reakcji chemicznych i jądrowych) i objętości, to całkowita liczba cząstek i objętość wyznaczamy wedle: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>N=N_1+N_2\;</MATH>|15.25}}|2={{CentrujWzór|<MATH>V=V_1+V_2\;</MATH>|15.26}}}} Całkowita entropia tychże gazów po zmieszaniu wedle {{LinkWzór|15.25}} (liczba cząstek dwóch gazów po zmieszaniu) i {{LinkWzór|15.26}} (objętość całkowita dwóch gazów po zmieszaniu) można napisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>S(E,V)=(N_1+N_2)k_B\ln(V_1+V_2)+(N_1+N_2)S_0(T)\;</MATH>|15.27}} Rozpatrzmy dwa gazy przed zmieszaniem, zatem ich entropie są wyrażone przez wzory: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>S_1=N_1k_BT\ln V+N_1S_0(T)\;</MATH>|15.28}}|2={{CentrujWzór|<MATH>S_1=N_2k_BT\ln V+N_2S_0(T)\;</MATH>|15.29}}}} Zmiana entropii dwóch gazów przed i po zmieszaniu w zależności od objętości całkowitej dwóch gazów przed zmieszaniem i od liczby cząstek i objętości tychże dwóch gazów po zmieszaniem jest wyrażenie przez: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S=S_{12}-(S_1+S_2)=k_B(N_1+N_2)\ln V-k_B N_1\ln V_1-k_B N_2 \ln V_2=k_BN_1 \ln{{V}\over{V_1}}+k_BN_2 \ln {{V}\over{V_2}}\;</MATH>|15.30}} Widzimy, że zmiana entropii jest różna niż zero, co jest nie do przyjęcia dla dwóch jednakowych gazów, w każdym bodź razem gaz można rozdzielić na dwie części choćby myślowo badając je, to nie powinno być żadnej różnicy na entropii. Zatem przyjmijmy propozycję Gibbsa, wykorzystując {{LinkWzór|15.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B \ln {\Sigma\over N!}=k_B\ln\Sigma-k_B\ln N!\simeq k_B\ln \Sigma-Nk_B\ln N+Nk_B=N k_B\ln {{V}\over{N}}+NS_0(T)\;</MATH>|15.31}} To entropia ogólnie dwóch różnych gazów wziętych razem (po zmieszaniu dwóch części jednakowego gazu) jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>S=(N_1+N_2) k_B\ln{{V_1+V_2}\over{N_1+N_2}}+NS_0(T)\;</MATH>|15.32}} Różnica entropii jest równa po rozpatrzeniu tych dwóch gazów całkowitej entropii po i entropii przed zmieszaniu przy założeniu, że entropia posiada własność addywną, tzn. entropia dwóch części gazów jest równa sumie entropii tychże składników: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S=k_B N_1\ln {{{V}\over{N}}\over{{V_1}\over{N_1}}}+k_B N_2\ln {{{V}\over{N}}\over{{V_2}\over{N_2}}}\;</MATH>|15.33}} Ale dla dwóch jednakowych gazów, mając na uwadze, że objętości molowe dwóch części przez zmieszaniem, a także tego samego gazu po zmieszaniu są jednakowe, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{V_1}\over{N_1}}={{V_2}\over{N_2}}={{V}\over{N}}={{V}\over{nN_A}}={{V_{mol}}\over{N_A}}\;</MATH>|15.34}} To zmiana entropii w {{LinkWzór|15.33}} jest równa zero, co jest do przyjęcia. A wiec trzeba przyjąć taka zasadę, że należy postępować przy liczeniu infinizymalnej objętości w przestrzeni fazowej na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>d\Gamma={{d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}}\over{h^{3N}N!}}\;</MATH>|15.35|Obramuj}} Jest to wzór na elementarną objętość w przestrzeni fazowej, ten nowy sposób obliczania elementarnej objętości fazowej nazywa się "poprawnym boltzmannowskim zliczaniem". W fizyce dyskretnej układ jest nierozróżnialny, gdy zamienimy cząstki miejscami w sumowaniu, a rozróżnialny w fizyce klasycznej gdy występuje ten sam rozkład pędów w zależności w dwóch różnych położeniach w danym układzie dla dwóch różnych cząstek, w tym pierwszym gdy zamienimy sumę na całkę, wtedy dana możliwość jest liczona {{Formuła|<math>N!\;</MATH>}} razy, czyli prawdopodobieństwo termodynamiczne liczone według drugiego wzoru należy podzielić przez tą właśnie wspomnianą liczbę, a przy sumowaniu dyskretnym dana możliwość jest powtarzana conaj wyżej raz w danym nierozróżnialnym układzie. Jak widzimy, że właściwości kwantowe dały sobie znać w statystyce klasycznej, tzn. do nierozróżnialności cząstek. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2bct5mvnv6nvwkacb577gdpmvlyuv0v 0 17512 558579 470249 2026-10-04T17:57:07Z Persino 2851 558579 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Jest to zespół opisujący układ zamknięty, w którym jest wymiana tylko energii między układem a otoczeniem. == Rozkład i średnia energia układu == Zespołem kanonicznym (T,V,N), nazywamy rozkład wyrażony wzorem {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} dla stałej temperatury, objętości, ciśnienia i ilości cząstek i zerowym potencjale chemicznym. Dla tego rozkładu {{Formuła|<MATH>e^{\beta pV}\;</MATH>}} włączamy pod stałą, bo w tym zespole objętość układu i liczba cząstek w układzie jest stała (układ zamknięty). Stosując przybliżenie klasyczne, gdzie pędy i położenia są wielkościami ciągłymi, to po zastąpieniu prawdopodobieństwa, że dany układ będzie miał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} gęstością prawdopodobieństwa, wtedy sumę w sumie statystycznej należy zastąpić całką po ciągłej przestrzeni fazowej z poprawnym boltzmannowskim zliczaniem, zatem suma statystyczna, że dany układ będzie posiadał energię, gdy nie ma wymiany cząstek między układem a otoczeniem, pamiętając przy tym, że w przypadku ciągłym nie ma degeneracji stanu, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\int_{\vec{q}\in V(R^{3N}),\vec{p}\in R^{3N}}e^{-\beta E(\vec{p},\vec{q})}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})</MATH>|16.1}} Wtedy nasz rozkład na gęstość energii, że dany układ będzie posiadał energię E w tymże zespole przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)={{e^{-\beta E(\vec{p},\vec{q})}}\over{Z}}</MATH>|16.2}} Ogólnie prawdopodobieństwo w tym zespole kanonicznym w rozkładzie skwantowanym jest odpowiednikiem zespołu ciągłego opisywanych przez równanie {{LinkWzór|16.2}} przy definicji wielkiej sumy statystycznej {{LinkWzór|16.1}}, którą napiszemy wraz z jego definicją wielkiej sumy statystycznej uwzględniając degeneracje stanu danej właściwości: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i)={{g_ie^{-\beta E_i}}\over{Z}}\;</math>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta E_i}\;</math>|16.3}} Dla ogólności wykładu przyjmiemy rozkład dyskretny {{LinkWzór|16.3}}, a wniosku dla rozkładu ciągłego z oczywistych z względów wyjdą takie same. Wtedy średnią energię układu liczymy z definicji wartości średniej tejże wielkości statystycznej na podstawie wzoru prawdopodobieństwo, że uzyskamy parametru E_i wedle wzoru {{LinkWzór|16.3}}, wtedy możemy napisać tą średnią: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_{i=1}^n E_ig_ie^{-\beta E_i}}\over{Z}}=-{{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{-\beta E_i}}\over{Z\partial\beta}}={{\partial Z}\over{Z\partial\beta}}=-{{\partial\ln Z}\over{\partial\beta}}</MATH>|16.4}} Energią średnią układu możemy wyznaczyć również licząc pochodną względem temperatury logarytmu sumy statystycznej Z w względem temperatury, którego wyjściowym równaniem jest wzór {{LinkWzór|16.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>U=-{{\partial\ln Z}\over{\partial\beta}}=-{{\partial\ln Z}\over{\partial T}}{{\partial T}\over{\partial\beta}}=-{{\partial\ln Z}\over{\partial T}}\left(-k_BT^2\right)=k_BT^2{{\partial\ln Z}\over{\partial T}}</MATH>|16.5}} Widzimy, że w innym przedstawieniu średniej energii wewnętrznej układu zależy ona od policzonej sumy statystycznej {{LinkWzór|16.1}} i od kwadratu temperatury bezwzględnej T. == Związek między energią swobodną a sumą statystyczną == Wyznaczmy entropię układu korzystając ze wzoru {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, przy czym zakładając, bo tak będzie najłatwiej, że energia układu jest skwantowana, wtedy będziemy się posługiwać nie gęstością prawdopodobieństwa a prawdopodobieństwem, że dany układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}}, i we wzorze na prawdopodobieństwo uwzględniając we wzorze rozkład kanoniczny {{LinkWzór|16.3}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g_i), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum^l_{i=1}e^{-\beta E_i}\ln {{e^{-\beta E_i}}\over{Z}}=-k_B\sum^l_{i=1}{{e^{-\beta E_i}}\over{Z(\beta)}}(-\beta E_i-\ln Z(\beta))=k_B\beta \sum^l_{i=1}{E_ie^{-\beta E_i}\over{Z(\beta)}}+k_BZ^{-1}(\beta)\sum^l_{i=1} e^{-\beta E_i}\ln Z(\beta)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\beta\sum^l_{i=1}E_i{e^{-\beta E_i}\over Z(\beta)}+k_B\ln Z(\beta)\;</MATH><br>|16.6}} Pierwszy składnik, a w nim suma jest wprost proporcjonalna do średniej energii w układzie {{LinkWzór|16.4}}, wtedy to równanie na entropię {{LinkWzór|16.6}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>S={{1}\over{T}}\overline{E}+k_B\ln Z\;</MATH>|16.7}} Jak widzimy, że entropia układu zależy od jego temperatury, średniej energii układu i sumy statystycznej. Mnożymy obie strony równości {{LinkWzór|16.7}} przez temperaturę bezwzględną T, oraz będziemy korzystać z definicji energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy wzór ten nasz wspomniany wzór przechodzi w równość: {{CentrujWzór|<MATH>ST=\overline{E}+k_B T\ln Z(\beta)\Rightarrow F=\overline{E}-ST=-k_BT\ln Z(\beta)\;</MATH>|16.8}} Widzimy, że w końcowym wzorze {{LinkWzór|16.8}} energia swobodna dla układu statystycznego, gdy opisywujemy wedle naszego zespołu kanonicznego, jest liniowo proporcjonalna do temperatury bezwzględnej T i do logarytmu naturalnego sumy statystycznej panującej w układzie statystycznym. == Przypadek gazu doskonałego w fizyce klasycznej == Energia układu cząstek, znając pędy poszczególnych cząstek i ich masy, które są jednakowe dla tego samego gazu, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>E=\sum^{3N}_{i=1} {{p^2_i}\over {2m}}\;</MATH>|16.9}} W {{LinkWzór|16.9}} korzystaliśmy, że kwadrat pędu danej cząstki jest sumą kwadratów jej współrzędnych. Energię układu liczyliśmy w sposób klasyczny. Widzimy, że cząstki w rozważanym gazie nie oddziaływają ze sobą, czyli mogą się nawzajem przenikać. Pierwszym krokiem jest policzenie sumy statystycznej badanego układu według omawianego zespołu kanonicznego względem pędów i położeń poszczególnych cząstek. {{CentrujWzór|<MATH>Z={{1}\over{N!h^{3N}}}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}e^{-\beta \sum^{3N}_{1}{{p_i^2}\over {2m}}}d^{3N}\vec{p}d^{3N}\vec{q}={{1}\over{N!h^{3N}}}\int_{\vec{q}\in R^{3N}} d^{3N}\vec{q}\left\{\int\limits^{\infty}_{-\infty}e^{-\beta{{p^2_i}\over{2m}}}dp_i\right\}^{3N}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow Z={{V^N}\over{N!h^{3N}}}{\left(\sqrt{2m\pi k_BT}\right)}^{3N}\;</MATH>|16.10}} Widzimy, że suma statystyczna zależy od ilości cząstek i temperatury badanego układu. Korzystamy z definicji energii średniej w rozważanym tutaj zespole kanonicznym {{LinkWzór|16.4}}, to możemy policzyć tą energię znając jego sumę statystyczną naszego układu i w nim po skróceniu względem temperatury bezwzględnej: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=k_BT^2{{3}\over{2}}{N\over T}\Rightarrow\overline{E}={3\over 2}k_BNT\;</MATH>|16.11}} Średnia energia układu zależy od ilości cząstek w układzie i jego temperatury. Korzystając już z policzonej sumy statystycznej {{LinkWzór|16.10}}, wtedy policzmy energię swobodną ze wzoru {{LinkWzór|16.8}}, oczywiście: {{CentrujWzór|<MATH>F=-Nk_BT\ln V-{3\over 2}k_BN\ln T-k_B{3\over 2}(2m\pi k_B)-(N\ln N-N)-3Nh\;</MATH>|16.12}} Następnym krokiem jest wykorzystanie wzoru {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} wiążącej energię swobodną układu z jego objętością, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>p=Nk_BT{1\over V};\;</MATH>|16.12a}} Widzimy we wzorze {{LinkWzór|16.12a}}, że ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalna do objętości i proporcjonalna do jego temperatury bezwzględnej gazu T. Ten sam wzór mnożymy obustronnie przez objętość układu V, w której znajduje się gaz i w końcu otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH>pV=Nk_BT\;</MATH>&nbsp;&nbsp;lub&nbsp;&nbsp;<MATH>pV=nRT\;</MATH>|16.13}} Wzór {{LinkWzór|16.13}} jest wzorem gazu doskonałego wyprowadzonej z stosowanego tutaj rozkładu kanonicznego. == Równanie gazu van der Waalsa == Wcześniej rozważaliśmy gaz, którego cząsteczki nie oddziaływają ze sobą żadnymi siłami. W przypadku, którego kuliste atomy oddziaływają ze sobą, to jego suma statystyczna jest napisana poniższym wzorem, jest ona zależna nie tylko od energii kinetycznej cząstek, ale też od energii potencjalnej poszczególnych atomów, korzystamy również, że atomy mają pewną objętość: {{CentrujWzór|<MATH>Z(V,T)={{1}\over{N!h^{3N}}}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})} d^{3N}\vec{p} d^{3N}\vec{q} e^{-\beta\sum_k(E^k_k+E^k_p)}={{1}\over{N!h^{3N}}}\left(\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\beta {{p^2}\over{2m}}}dp\right)^{3N}\left(\int_{\vec{q}\in R^{3N}} d^{3N}\vec{q}\right) e^{-\beta\sum_k E^k_p}=\;</MATH><br><MATH>={{1}\over{N!h^{3N}}}{(2\pi m k_BT)}^{{3\over 2}N}(V-Nb)^N e^{-\beta\sum_k E^k_p}\;</MATH>|16.14}} Wiemy jednak, że oddziaływanie między atomami przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>u(r)=\begin{cases} \infty &\hbox{ dla } r<d\\ -\epsilon({{d}\over{r}})^6&\hbox{ dla } r>d \end{cases}\;</MATH>|16.15}} Widzimy, że gdy atomy zbliżą się aż za bardzo do siebie, to są odpychane od siebie nieskończonymi siłami, tak by atomy nie nakładały się na siebie. Suma energii potencjalnej cząstek jest zależna od energii średniej potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k E^k_p=N\overline{E^k_p}\;</MATH>|16.16}} Policzmy średnią energię potencjalną cząstek korzystając z {{LinkWzór|16.16}}, pamiętając jednakże: {{CentrujWzór|<MATH>{{dN}\over{4\pi r^2dr}}={{N}\over{V}}\Rightarrow dN={{N}\over{V}}4\pi r^2dr\;</MATH>|16.17}} Wzór {{LinkWzór|16.17}} przedstawia ilość cząstek posiadająca daną energię potencjalną, bo ta energia względem danego atomu jest zależna od odległości od innego atomu od niego. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E^k_p}=\int\limits_d^{\infty} u(r) {{N}\over{V}}4\pi r^2 dr=-\int\limits_d^{\infty}\epsilon {{N}\over{V}}({{d}\over{r}})^6 4\pi r^2 dr=-{{N}\over{V}}\epsilon 4\pi d^6\int\limits_d^{\infty} r^{-4} dr={{N}\over{V}}\epsilon 4\pi d^6 {{1}\over{3}}[r^{-3}]_d^{\infty}=-{{N}\over{V}}\epsilon 4 \pi d^6 {{1}\over{3}} d^{-3}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{N}\over{V}}\epsilon {4\over 3} \pi d^3=-{{N}\over{V}}\epsilon b^'\;</MATH>|16.18}} Średnia energia cząstek zależy od ilości cząstek i objętości badanego układu. Suma energii potencjalnej cząstek {{LinkWzór|16.16}}, korzystając z obliczeń {{LinkWzór|16.18}}, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_k E^k_p=N\overline{E^k_p}=-{{N^2}\over{V}}\epsilon b^'\;</MATH>|16.19}} Przy liczeniu sumy statystycznej {{LinkWzór|16.14}}, korzystając ze wzoru na całkowitą energię potencjalną układu cząstek {{LinkWzór|16.17}}, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Z(V,T)={{1}\over{N!h^{3N}}}{(2\pi m k_BT)}^{{3N}\over 2}(V-Nb)^N e^{{{1}\over{k_BT}}{{N^2}\over{V}}\epsilon b^'}\;</MATH>|16.20}} Suma statystyczna badanego gazu zależy od ilości cząstek znajdującej się w gazie i od temperatury gazu van der Waalsa, a także od objętości jaką zajmuje gaz. Ostatecznie możemy policzyć energię swobodną gazu wychodząc z {{LinkWzór|16.8}}, gdy suma statystyczna gazu van der Waalsa jest zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|16.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=-k_BT \ln Z(V,T)=-k_BT \left[-(N\ln N-N)-3N\ln h+{{3}\over{2}}N \ln(2\pi m k_BT)+N\ln(V-Nb^')+{{1}\over{k_BT}}{{N^2}\over{V}}\epsilon b^'\right]\;</MATH>|16.21}} A teraz z korzystajmy, ze wzoru {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}}, by policzyć ciśnienie badanego gazu jakie panuje w nim przy energii swobodnej napisanej wedle {{LinkWzór|16.21}}. {{CentrujWzór|<MATH>p={{k_BNT}\over{V-Nb^'}}-{{{N^2}\over{V^2}}\epsilon b^'}\;</MATH>|16.22}} Jak widzimy ciśnienie gazu van der Waalsa zależy od objętości gazu zajmowanego w naczyniu i od jego temperatury, a ponadto od objętości własnej cząsteczek, czym większa ta objętość, to ciśnienie panujące w gazie jest czym większe. Czym większe oddziaływanie między cząstkami, to jest mniejsze ciśnienie na ściankach naczynia na którą oddziaływuje nasz gaz. Oznaczmy nowy parametr przy pomocy &epsilon; i b': {{CentrujWzór|<MATH>a^'=\epsilon b^'\;</MATH>|16.23}} Wtedy równanie stanu gazu van der Waalsa {{LinkWzór|16.22}} według oznaczenia {{LinkWzór|16.23}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>p+{{a^'N^2}\over{V^2}}={{k_BNT}\over{V-Nb^'}}\;</MATH>|16.24}} Wymnóży równanie stanu {{LinkWzór|16.24}} przez wyrażenie V-Nb dochodząc do ostatecznego równania zależącego od liczby cząsteczek N. {{CentrujWzór|<MATH>(p+{{a^'N^2}\over{V^2}})(V-Nb^')=k_BNT\;</MATH>|16.25}} Teraz zapiszmy równanie {{LinkWzór|16.25}} zależącą od liczby moli cząsteczek, korzystając z równania przeliczającego liczbę moli cząsteczek n na liczbę cząsteczek wedle schematu {{LinkWzór|6.2|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} i z definicji stałej gazowej {{LinkWzór|6.5|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p+{{a^'N_A^2n^2}\over{V^2}}\right)\left(V-N_Anb^'\right)=k_BnN_AT\Rightarrow\left(p+{{an^2}\over{V}}\right)\left(V-nb\right)=nRT\;</math>|16.26}} W równaniu {{LinkWzór|16.26}} oznaczono a^'N_A=a i b=N_Ab^' i końcowe wspomniane równanie jest równaniem, z którego często korzystamy. Powyższe równanie jest równaniem stanu gazu rzeczywistego van der Waalsa. Widzimy, że to równanie zależy od stałej {{Formuła|<MATH>a\;</MATH>}}, która charakteryzuje oddziaływanie między atomami, oraz od całkowitej objętości atomów w układzie, tzn.{{Formuła|<MATH>nb\;</MATH>}}. Energia wewnętrzna układu oddziaływających ze sobą cząstek siłami potencjalnymi jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}=k_BT^2{{\partial \ln Z}\over{\partial T}} =k_BT^2{{3}\over{2}}N {{1}\over{T}}-{{N^2{a^'}}\over{V}}= {{3}\over{2}}k_BNT-{{N^2{a^'}}\over{V}}={{3}\over{2}}nRT-{{n^2a}\over{V}}\;</MATH>|16.27}} Równanie {{LinkWzór|16.25}} różni się od {{LinkWzór|7.19|Gazy_doskonałe}} jedynie drugim członem, który jest odpowiedzialny za oddziaływanie między atomami. Gdyby w gazie doskonałym znikły oddziaływania między atomami, to jego energia byłaby taka sama jak energia gazu doskonałego. Nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|16.27}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>dU={{3}\over{2}}nRdT+{{n^2a}\over{V^2}}dV\;</MATH>|16.28}} Widzimy, że infinitezymalna zmiana energii {{LinkWzór|16.28}} wyprowadzonej z przesłanek statystycznych jest tym samym wzorem co {{LinkWzór|8.23|Gazy_van_der_Waalsa}} wyprowadzonej z przesłanek fenomenologicznych, ale dla gazu jednoatomowego van der Waalsa. == Przypadek gazu doskonałego fotonowego w fizyce relatywistycznej == Wyprowadzimy równanie stanu dla fotonów i udowodnimy, że spełnia on równanie stanu gazu doskonałego. Energia pojedynczego fotonu według szczególnej teorii względności, jeśli jeszcze fotony potraktować jako, że mają energię spoczynkową równą zero, jest wyrażona w zależności od pędu relatywistycznego fotonu p_i przez równanie: {{CentrujWzór|<MATH> E_i=p_ic\;</MATH>|16.29}} Widzimy, że energia jakiegoś fotonu jest wprost proporcjonalna do pędu tegoż fotonu. Energia całkowita układu fotonów jest sumą energii tychże korpuskuł {{LinkWzór|16.29}} wchodzących wkład układu, czyli jest wyrażona przez równanie: {{CentrujWzór|<MATH>E=\sum^N_{i=1}E_i=\sum^N_{i=1} p_i c</MATH>|16.30}} Korzystamy ze wzoru na całkowitą energię układu fotonów {{LinkWzór|16.30}}, zatem suma statystyczna układu fotonów wychodząc od {{LinkWzór|16.1}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>Z={{1}\over{N!h^{3N}}}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})} e^{-\beta \sum^N_{i=1}E_i}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}={{V^N}\over{N!h^{3N}}}\left(\int e^{-\beta p c}d^{3}\vec{p}\right)^N={{V^N}\over{N!h^{3N}}} {\left({\int\limits^{\infty}_{0} e^{-\beta p c} 4\pi p^2dp}\right)^N}\;</MATH>|16.31}} Policzmy całkę pomocniczą korzystając z wiadomości analizy matematycznej przez całkowanie przez części: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0 e^{-a x}x^2 dx=-\underbrace{{{1}\over{a}}e^{-ax}x^2|^{\infty}_0}_{0}+{{2}\over a}\int\limits^{\infty}_0e^{-ax}xdx=-\underbrace{{{2}\over{a^2}}e^{-ax}x|^{\infty}_0}_0+{2\over a^2}\int\limits^{\infty}_0{e^{-ax}dx}={{2}\over{a^3}}\;</MATH>|16.32}} Dokończmy liczenie sumy statystycznej w punkcie {{LinkWzór|16.31}} przy pomocy całki pomocniczej {{LinkWzór|16.32}}, zatem dochodzimy do wniosku, że suma statystyczna jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>Z={{V^N}\over{N!h^{3N}}}\left({{8\pi}\over{\left(\beta c\right)^3}}\right)^N\;</MATH>|16.33}} Suma statystyczna dla układu fotonów zależy od objętości tegoż układu i jego temperatury. Średnia energia statystyczna {{LinkWzór|16.4}}, po podstawieniu do niego sumy statystycznej {{LinkWzór|16.33}}, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial \beta}}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial \beta}}=3k_BNT\;</MATH>|16.34}} Energia układu fotonów jest wprost proporcjonalna do ilości cząstek w układzie i też liniowo zależy od temperatury układu. Różni się ona od energii gazu doskonałego według mechaniki klasycznej {{LinkWzór|16.11}} o czynnik {{Formuła|<MATH>{{1}\over{2}}\;</MATH>}}. Możemy policzyć ciśnienie panującego w gazie fotonowym, jeśli wykorzystamy ze wzoru na ciśnienie gazu fotonowego {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} wychodząc od wzoru na energię swobodną w zależności od sumy statystycznej {{LinkWzór|16.8}} przy definicji sumy statystycznej {{LinkWzór|16.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_T=k_BT{{N}\over{V}}\;</MATH>|16.35}} Zatem udowodniliśmy, że równanie stanu dla fotonów po wymnożeniu obustronnie równania {{LinkWzór|16.35}} przez objętość zajmowaną przez gaz V jest równaniem stanu gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BNT\;</MATH>|16.36}} == Rozkład Maxwella jako szczególny przypadek zespołu kanonicznego == Udowodnimy tutaj, że rozkład Maxwella jest szczególnym przypadkiem naszego rozkładu kanonicznego. Energia całkowita kinetyczna dla całego zespołu cząstek w układzie zamkniętym dla gazu doskonałego, według mechaniki klasycznej jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|16.9}}. We wzorze na całkowitą energię układu cząstek w rozważanym przypadku powiedziane jest, że poszczególne cząstki nie oddziaływają ze sobą, tzn. nie posiadają wzajemnej energii potencjalnej. Nasza suma statystyczna według {{LinkWzór|16.1}} dla naszego przypadku już jest policzona wcześniej w punkcie {{LinkWzór|16.10}}. Interesuje na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada pęd, bez względu na jego położenie, a także położenia i pędy innych cząstek, w tym celu policzmy wyrażenie poniżej, by wyznaczyć to wielkość powiedzianą powyżej, by ta wybrana cząstka znajdowała się ostatnia, zatem nasz licznik musimy przecałkować po wszystkich położeniach jakie cząstki mogą posiadać, i po wszystkich pędach cząstek, oprócz tej ostatniej: {{CentrujWzór|<MATH>dA=e^{-\beta\sum^{3N}_{i=3N-2}{{p^2_{i}}\over{2m}}}dp_{3N-2}dp_{3N-1}dp_{3N}\int_{\vec{p}\in R^{3N-3}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}e^{-\beta\sum^{3N-3}_{i=1}{{p_i^2}\over{2m}}}d^{3N-3}\vec{p}_{3N-3}d^{3N}\vec{q}=</MATH><br> <MATH>=e^{-\beta\sum^{3N}_{i=3N-2}{{p^2_{i}}\over{2m}}}dp_{3N-2}dp_{3N-1}dp_{3N} \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\beta{{p^2_i}\over{2m}}}dp_i\right)^{3N-3}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}d^{3N}\vec{q}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=e^{-\beta\sum^{3N}_{i=3N-2}{{p^2_{i}}\over{2m}}}dp_{3N-2}dp_{3N-1}dp_{3N}V^N\left(2\pi k_B mT\right)^{{{3}\over{2}}N-{{3}\over{2}}}</MATH>|16.37}} Prawdopodobieństwa, że dana 3N-ta cząstka posiada ściśle określony pęd, jest określona wzorem za pomocą ilorazu, której licznik jst według {{LinkWzór|16.37}} przez mianowniku dla obliczonej sumy statystycznej {{LinkWzór|16.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>dP={{dA}\over{Z}}={{e^{-\beta\sum^{3N}_{i=3N-2}{{p^2_{i}}\over{2m}}}dp_{3N-2}dp_{3N-1}dp_{3N}V^N\left(2\pi k_B mT\right)^{{{3}\over{2}}N-{{3}\over{2}}}}\over{\left(2\pi k_BmT\right)^{{{3}\over{2}}N}V^{N}}}=e^{-\beta\sum^{3N}_{i=3N-2}{{p^2_{i}}\over{2m}}}dp_{3N-2}dp_{3N-1}dp_{3N}\left({{1}\over{2\pi k_BmT}}\right)^{{{3}\over{2}}}=</MATH><br><MATH>=e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}(m^{2})^{{3}\over{2}}dv_{x}dv_ydv_z\left({{1}\over{2\pi k_BmT}}\right)^{{{3}\over{2}}}=\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv_{x}dv_ydv_z</MATH> |16.38}} Gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka będzie posiadała ściśle określoną prędkość jest zależna od wartości cząstki, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>f(\vec{v})=\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|16.39}} Wzór {{LinkWzór|16.39}} jest rozkładem prędkości wektora {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}}, które jak udowodniliśmy stanowi rozkład Maxwella {{LinkWzór|14.27|Rozkłady_klasyczne_w_fizyce}} dla danej rozważanej pojedynczej cząstki, zatem udowodniliśmy, że rozkład Maxwella jest szczególnym przypadkiem zespołu kanonicznego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> m1nsmhtggozpi9qci17rzsgyo0c8rjm 0 17513 558580 513516 2026-10-04T18:00:22Z Persino 2851 558580 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Jest to zespół opisujący układ otwarty, w którym jest wymiana cząstek (masy) i energii między układem a otoczeniem. == Rozkład, średnia energia i liczba cząstek w układzie == Wielkim zespołem kanonicznym nazywamy rozkład wyrażony wzorem {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, gdzie potencjał chemiczny {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} jest w ogólności różny od zera, ale przeciwnie do zespołu kanonicznego liczba cząstek jest już nie stała w układzie, a pozostałe parametry co w zespole kanonicznym są stałe, czyli jest to zespół {{Formuła|<MATH>(p,V,T,\mu)\;</MATH>}}, zatem czynnik {{Formuła|<MATH>e^{\beta pV}\;</MATH>}} włączamy pod stałą w tym rozkładzie. W wielkim zespole kanonicznym sumę statystyczną nazwijmy wielką sumę statystyczną i będziemy je oznaczać przez {{Formuła|<MATH>Q\;</MATH>}}, zamiast {{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}. Stosując przybliżenie klasyczne, gdzie pędy i położenia są ciągłe, zatem po zastąpieniu prawdopodobieństwa gęstością prawdopodobieństwa, że dany układ będzie miał energię {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}} o liczbie czastek {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}, wtedy sumowanie w wielkiej sumie statystycznej należy zastąpić całką z uwzględnieniem poprawnego boltzmannowskiego zliczania po pędach i położeniach i zwykłym sumowaniem po wszystkich liczbach czastek jakie może posiadać układ, pamiętając przy tym, że w przypadku ciągłym nie ma degeneracji stanu, zatem wielka suma statystyczna wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\sum^N_{n=0} \int_{\vec{q}\in V(R^{3N}),\vec{p}\in R^{3n}} e^{-\beta\left[E(\vec{p},\vec{q})-\mu n\right]}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})\;</MATH>|17.1}} A sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa w wielkim zespole kanonicznym wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,n)={{e^{-\beta(E-\mu n)}}\over{Q}}\;</MATH>|17.2}} Ogólnie prawdopodobieństwo w wielkim zespole kanonicznym w rozkładzie skwantowanym jako odpowiednik zespołu ciągłego opisywanych przez równanie {{LinkWzór|17.2}} przy definicji wielkiej sumy statysycznej {{LinkWzór|17.1}} jest napisane wraz z definicją wielkiej sumy statystycznej w tymże rozkładzie dyskretnym w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,N_i)={{g_ie^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}\;</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Q=\sum_{i=1}^ng_i e^{-\alpha E_i+\gamma N_i}</MATH>|17.3}} Dla ogólności wykładu przyjmiemy rozkład dyskretny {{LinkWzór|17.3}}, a wnioski dla rozkładu ciągłego z oczywistych z względów wyjdą takie same. Średnią energię układu liczymy z definicji wartości średniej tejże wielkości statystycznej, na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo, że uzyskamy parametry E{{Sub|i}}, N{{Sub|i}} wedle wzoru {{LinkWzór|17.3}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{\sum_{i=1}^ng_i E_i e^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}= -{{{{\partial}\over{\partial\alpha}}\sum_{i=1}^ng_i e^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}=-{{\partial Q}\over{Q\partial\alpha}}=-{{\partial \ln Q}\over{\partial\alpha}}\;</MATH>|17.4}} A średnia liczba cząstek znajdujących się w układzie liczymy z definicji średniej tejże wielkości statystycznej, którą liczymy ją na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania wielkości E{{Sub|i}}, N{{Sub|i}} {{LinkWzór|17.3}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\sum_{i=1}^n N_ig_ie^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}= {{{{\partial}\over{\partial\gamma}}\sum_{i=1}^n g_ie^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}={{\partial Q}\over{Q\partial\gamma}}={{\partial\ln Q}\over{\partial\gamma}}\;</MATH>|17.5}} Widzimy, czy to średnia energia układu, czy to średnia liczba cząstek w układzie, powinny one zależeć tylko od temperatury ({{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}) oraz od potencjału chemicznego ({{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}}), jeśli jest różna od zera. Prawdopodobieństwo, że układ będzie miał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} o liczbie cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}} innym sposobem niż {{LinkWzór|17.3}}, ale równoważnej, jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,N_i)={{z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}\over{\sum_{i=1}^n z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}}\;</MATH>&nbsp;gdzie:<MATH>z=e^{\beta\mu}\;</MATH>|17.6}} Średnia liczba cząstek wyrażona innym sposobem niż według wzoru {{LinkWzór|17.5}}, na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa {{LinkWzór|17.6}}, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\sum_{i=1}^n N_i z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}\over{\sum_{i=1}^n z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}}=z{{\sum_{i=1}^n{{\partial}\over{\partial z}}z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}\over{\sum_{i=1}^n z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}}=z{{\partial Q}\over{Q\partial z}}=z{{\partial \ln Q}\over{\partial z}}=e^{\beta\mu}{{\partial\ln Q}\over{\partial\mu}}{{\partial\mu}\over{\partial e^{\beta\mu}}}=e^{\beta\mu}{{\partial\ln Q}\over{\partial\mu}}e^{-\beta\mu}{{1}\over{\beta}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left({{\partial k_BT\ln Q}\over{\partial\mu}}\right)_{V,T}=\left({{\partial\Omega}\over{\partial \mu}}\right)_{V,T}\Rightarrow \overline{N}=\left({{\partial\Omega}\over{\partial \mu}}\right)_{V,T}\;</MATH>|17.7}} * gdzie potencjałem termodynamicznym nazywamy wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega=k_BT\ln Q\;</MATH>|17.8}} Średnia liczba cząstek w układzie w wielkim zespole kanonicznym liczona czy to sposobem {{LinkWzór|17.5}}, lub czy {{LinkWzór|17.7}}, w każdym bądź razie w obu tych sposobach powinien wyjść ten sam wynik. == Wyprowadzenie w oparciu o statystyczną interpretację rozkładu w układach otwartych == Aby wyprowadzić wielki rozkład statystyczny dla całego ciągłego rozkładu, czyli zależnego od ciągłych pędów i położeń, w oparciu o zwykły zespół kanoniczny należy podzielić nasz układ na dwie części, w którym gęstość prawdopodobieństwo w każdym punkcie danego podukładu jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(q_i,p_i,N_i)={{1}\over{Q_{N_i}}(V_i,T)}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}{{d^{3N_i}q_id^{3N_i}p_ie^{-\beta E_i(q_i,p_i,N_i)}}\over{h^{3N_i}N_i!}}\;</MATH>|17.9}} Dla całego układu (dwóch części razem) mamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)={{1}\over{Q_{N}}(V,T)}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}{{d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}e^{-\beta E_i(q,p,N)}}\over{h^{3N}N!}}\;</MATH>|17.10}} Niech mamy układy jako całość, w których znajduje się N cząstek, podzielmy na dwa podukłady we wszystkich możliwych możliwościach, tych możliwości jest {{Formuła|<MATH>{N \choose N_1}\;</MATH>}}, i liczba cząstek znajdująca się w jednym podukładzie z dwóch zmienia się od zera do maksymalnej liczby cząstek znajdujących się w całym układzie, podobnie jest dla drugiego podukładu. Zatem suma statystyczna dwóch układów jako całości po podzieleniu na dwa układy cząstkowe jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)={{1}\over{h^{3N}N!}}\Bigg\{\sum^N_{N_1=0} {N \choose N_1}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}{{d^{3N_1}q_1d^{3N_1}p_1e^{-\beta E_1(q_1,p_1,N_1)}}}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})} d^{3N_2}q_2d^{3N_2}p_2e^{-\beta H(q_2,p_2)}\Bigg\}\;</MATH>|17.11}} Po wykorzystaniu definicji symbolu Newtona we wzorze {{LinkWzór|17.11}} i po pewnych skróceniach, wtedy otrzymujemy wzór na wielką sumę statystyczną całego układu w zależności od całek charakteryzujący dwa wybrane podukłady, gdy liczba cząstek wspomnianym wcześniej równaniu zmienia się od N{{Sub|1}}=0 do N{{Sub|1}}=N, czyli zmienia się od zera do maksymalnej liczby cząstek, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)=\sum^N_{N_1=0}{{\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})} d^{3N_1}q_1d^{3N_1}p_1 e^{\beta E_1(q_1,p_1,N_1)}}\over{h^{3N_1}N_1!}}{{\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})} d^{3N_2}q_2d^{3N_2}p_2e^{-\beta E(q_2,p_2)}}\over{h^{3N_2}N_2!}}\;</MATH>|17.12}} Z równości {{LinkWzór|17.12}} wynika wzór na wielką sumę statystyczną całego układu w zależności od sum statystycznych dwóch wybranych wcześniej podukładów po wszystkich możliwych liczbach cząstek, jeśli liczba cząstek jako ogółu jest N: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)=\sum^N_{N_1=0} Q_{N_1}(V_1,T) Q_{N_2}(V_2,T)\;</MATH>|17.13}} Podzielmy równanie {{LinkWzór|17.13}} przez wielką sumę statystyczną charakteryzujący cały układu statystyczny: {{Formuła|<MATH>Q_N(V,T)\;</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum^N_{N_1=0}\int d\Gamma_1 e^{-\beta E(q_1,p_1,N_1)}{{Q_{N_2}(V_2,T)}\over{Q_N(V,T)}}\;</MATH>|17.14}} Dla całości, dla dwóch układów energia swobodna jest przedstawiana według wzoru {{LinkWzór|16.8|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}, bo ten cały układ nie wymienia między układem a otoczeniem żadnych cząstek i tą energię piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>F(V,T)=-k_BT \ln Q_N(V,T)\;\;</MATH>|17.15}} Po wyznaczeniu wielkości statystycznej wielkiej sumy statystycznej całego układu {{Formuła|<MATH>Q_N(V,T)\;</MATH>}} z równania na energię swobodną {{LinkWzór|17.15}}, wtedy suma statystyczna w zależności od jego energii swobodnej jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)=e^{-\beta \operatorname{F}(V,N,T)}\;\;</MATH>|17.16}} Dla drugiego układu, podobnie jak u {{LinkWzór|17.16}} piszemy jak wyraża się suma statystyczna podukładu numer dwa w zależności od jego energii swobodnej: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{N_2}=e^{-\beta\operatorname{F}(V_2,N_2,T)}\;</MATH>|17.17}} Z równań na sumy statystyczne {{LinkWzór|17.16}} (układu wielkiego całego) i {{LinkWzór|17.17}} (podukładu numer dwa) napiszmy wyrażenie będące ilorazem sumy statystycznej układu drugiego przez sumę statystyczną układu całego w zależności od ich energii swobodnych panujący w układzie wielkim i małym: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_{N_2}(V_2,N_2)}\over{Q_N(V,T)}}=e^{-\beta(F(V_2,N_2,T)-F(V,N,T))}\;</MATH>|17.18}} Ponieważ objętość i liczba cząstek są wielkościami addytywnymi jak zakładamy, zatem według równości {{LinkWzór|17.18}} iloraz wielkiej sumy statystycznej podukładu przez wielką sumę statystyczną układu jako całości jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_{N_2}(V_2,N_2)}\over {Q_N(V,T)}}=e^{-\beta(F(V-V_1,N-N_1,T)-F(V,N,T)}\;</MATH>|17.19}} Można wyrażenie {{Formuła|<MATH>F(V-V_1,N-N_1,T)\;</MATH>}}, które możemy rozłożyć w szereg Taylora i stosując jednocześnie wzór {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} (w tym wzorze liczymy ciśnienie panujące w układzie znając jego sumę statystyczną) oraz {{LinkWzór|3.40|Potencjały_termodynamiczne}} (w tym wzorze liczymy potencjał chemiczny znają energię swobodną układu), to energia swobodna podukładu drugiego jest: {{CentrujWzór|<MATH>F(V-V_1,N-N_1,T)=F(V,N,T)-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{NT}V_1-\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{VT}N_1=F(V,N,T)+pV_1-\mu N_1\;\;</MATH>|17.20}} Stosując równanie na różnicę energii swobodnych układu drugiego i układu jako całości {{LinkWzór|17.20}}, wtedy równanie {{LinkWzór|17.19}} na iloraz pewnych sum statystycznych można zapisać względem objętości i liczby cząstek podukładu pierwszego: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_{N_2}(V-V_1,T)}\over{Q_N(V,T)}}=e^{-\beta(pV_1-\mu N_1)}\;</MATH>|17.21}} Po podstawieniu tożsamości {{LinkWzór|17.21}} do równania {{LinkWzór|17.14}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum^N_{N_1=0}\int d\Gamma_1 e^{-\beta E(p_1,q_1,N_1)}e^{-\beta(pV_1-\mu N_1)}\;</MATH>|17.22}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|17.22}}, mamy wzór na gęstość prawdopodobieństwa, że pierwszy układ ogólnie będzie posiadał pewną energię i liczbę cząstek, która spełnia wszystkie własności by być nią: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(q,p,N)=e^{-\beta pV}e^{-\beta(H(p,q,N)-\mu N)}\;\;</MATH>|17.23}} Ponieważ p i V są wielkościami stałymi w {{LinkWzór|17.23}} przy normowaniu powyższego wzoru do jedynki, to wielka suma statystyczna: {{CentrujWzór|<MATH>e^{\beta pV}=Q(V,T,\mu)\;\;</MATH>|17.24}} Równanie {{LinkWzór|17.23}}, który jest gęstością prawdopodobieństwa uzyskania przez układ energii E i liczby cząstek N, i do którego zastosujemy wzór {{LinkWzór|17.24}}, jest zapisane: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(q,p,N)={{e^{-\beta(E-\mu N)}}\over{Q(V,T,\mu)}}\;</MATH>|17.25}} Również z tożsamości {{LinkWzór|17.24}} wykorzystują definicję parametru &beta;, która zależy od temperatury bezwzględnej T, wynika: {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BT\ln Q(V,T,\mu)\;</MATH>|17.26}} Równanie {{LinkWzór|17.26}} jest spełnione dla rozkładu ciągłego, udowodnimy później, że ono jest spełniona również dla energii typu dyskretnego. Normujemy funkcję {{Formuła|<MATH>\rho(q,p,N)\;</MATH>}} do jedynki, wtedy dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>Q(V,T,\mu)=\sum^N_{n=0}\int_{\vec{p}\in R^{3N},\vec{q}\in V(R^{3N})} e^{-\beta(E-\mu n)}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})\;</MATH>|17.27}} Jest to wzór na wielką sumę statystyczną układu opisywanego przez wielki zespół kanoniczny, ale przy ciągłości pędu i położeń (przybliżenie klasyczne). == Związek między energią swobodną, a sumą statystyczną == Z korzystamy z równania {{LinkWzór|17.3}} na prawdopodobieństwo dyskretne, że układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i liczbę cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}}, wtedy równanie na entropię układu {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} wyrażamy w zależności od tego prawdopodobieństwa statystycznego w badanym układzie, przy czym wyrażając w {{LinkWzór|17.3}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum^l_{i=1}{{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\ln {{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over{Q(\alpha,\gamma)}}=-k_B\sum^l_{i=1}{{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over{Q(\alpha,\gamma)}}(-\gamma\sum^l_{l=1} E_i+\alpha N_i-\ln Q(\alpha,\gamma))\;</MATH><br> <MATH>={k_B\gamma\sum^l_{i=1}{E_i{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over {Q(\alpha,\gamma)}}}-k_B\alpha{\sum^l_{i=1}{N_i{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over {Q(\alpha,\gamma)}}}+k_B\sum^l_{i=1}{{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over {Q(\alpha,\gamma)}}\ln Q(\alpha,\gamma)\;</MATH>|17.28}} W obliczeniach {{LinkWzór|17.28}} wykorzystamy wzór na średnią liczbę cząstek {{LinkWzór|17.5}} i średnią energię układu {{LinkWzór|17.4}}, wtedy równanie na entropie {{LinkWzór|17.28}} można zapisać w postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\gamma \overline{E}-k_B\alpha\overline{N}+k_B \ln Q(\alpha,\gamma)\;\;</MATH>|17.29}} Korzystając z definicji parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} i parametru {{Formuła|<MATH> \gamma\;</MATH>}}, i mnożąc obustronnie {{LinkWzór|17.29}} przez temperaturę bezwzględną T, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>ST=\overline{E}-\mu\overline{N}+k_BT\ln Q(\alpha,\gamma)\;\;</MATH>|17.30}} Korzystając z definicji energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy otrzymujemy tą wielkość, korzystając ze wzoru na energię związaną {{LinkWzór|17.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=U-TS=\overline{E}-TS=\mu\overline{N}-k_BT \ln Q(\alpha,\gamma)\;\;</MATH>|17.31}} Ostatecznie z wyrażenia na energię swobodną {{LinkWzór|17.31}}, którą przepiszmy na przejrzystości, jest ona zależna jak się przekonaliśmy od średniej liczby cząstek, temperatury bezwzględnej i wielkiej sumy statystycznej charakteryzującej cały badany układ statystyczny. {{CentrujWzór|<MATH>F=\mu\overline{N}-k_BT\ln Q(\alpha,\gamma)\;</MATH>|17.32}} == Potencjał termodynamiczny == Korzystamy z równania na energię swobodną układu według wzoru {{LinkWzór|17.32}}, które wyprowadziliśmy dla wielkiego zespołu statystycznego w badanym układzie statystycznym, wtedy po przenoszeniu wyrazu związanego z energią swobodną na jej przeciwną stronę, wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>-\mu\overline{N}+F=-k_BT \ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.33}} Do wzoru {{LinkWzór|17.33}} możemy podstawić wzór na energię swobodną {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}. {{CentrujWzór|<MATH>U-TS-\mu\overline{N}=-k_BT \ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.34}} Z definicji etalpi swobodnej G {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} (zależność entalpii i energii związanej) i podstawiając w nim wzór na zwykłą etalpię H {{LinkWzór|3.2|Potencjały_termodynamiczne}} (zależność energii wewnętrznej i iloczynu ciśnienia panującego w gazie przez jego objętość), to: {{CentrujWzór|<MATH> G=H-TS=U+pV-TS\;\;</MATH>|17.35}} Mając wzór {{LinkWzór|17.34}} na podstawie napisanej tożsamości {{LinkWzór|17.35}} możemy napisać formułę: {{CentrujWzór|<MATH>G-pV-\mu\overline{N}=-k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.36}} A ponieważ w wielkim rozkładzie termodynamicznym mamy stałą objętość i temperaturę, to korzystając z udowodnionej wcześniej równości {{LinkWzór|3.48|Potencjały_termodynamiczne}} na potencjał Gibbsa w zależności od średniej ilości cząstek jakie posiada układ do {{LinkWzór|17.36}}, wtedy dostajemy inny wynikowy wzór: {{CentrujWzór|<MATH> G-pV-\mu N=\mu N-pV-\mu N=-pV=\Omega=-k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.37}} Z równania {{LinkWzór|17.37}} wynika związek iloczynu ciśnienia panującego w gazie przez jego własną objętość, która jest równa wyrażeniu zależnego liniowo od temperatury bezwzględnej T i logarytmu naturalnego wielkiej sumy statystycznej obowiązujących w wielkim zespole kanonicznym. {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.38}} W ten sposób wzór {{LinkWzór|17.38}} udowodniliśmy, że jest słuszny też w przypadku dyskretnym, nie tylko dla przypadku ciągłego, co udowodniliśmy pisząc formułę {{LinkWzór|17.26}}. == Gaz doskonały według mechaniki klasycznej == Energię kinetyczną gazu (całkowitą bo gaz doskonały nie posiada energii potencjalnej) jest wyrażona przez równanie {{LinkWzór|16.9|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}. Zatem możemy policzyć wielką sumę statystyczną {{Formuła|<MATH>Q(\alpha,\beta)\;</MATH>}} według ogólnego wzoru obowiązującego dla wielkiego zespołu kanonicznego {{LinkWzór|17.1}}, a więc do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>Q(\alpha,\beta)=\sum\limits^{N}_{n=0}{{\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int\limits_{\vec{q}\in R^{3N}} e^{-\beta E+\alpha n} d^{3N}\vec{q}d^{3N} \vec{p}}\over{n!h^{3n}}}=\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3N}}}\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int\limits_{\vec{q}\in R^{3N}} e^{-\beta \sum^{3n}_{i=1}{{\vec{p}_i^2}\over{2m}}+\alpha n}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}=\;</MATH><br><MATH>=\sum^N_{n=0}{{\left\{\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}d^{3N}\vec{q}\right\}\left\{\int\limits_{\vec{q}\in R^{3N}}e^{-\beta\sum^{3n}_{i=1}{{\vec{p}_i^2}\over{2m}}}d^{3N}\vec{p}\right\}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}=\sum^N_{n=0}{{V^n \left\{\int\limits^{\infty}_{-\infty}e^{-\beta{{p^2}\over{2m}}}dp\right\}^{3n}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}=\sum^N_{n=0}{{V^n({{2m\pi\over{\beta}}})^{{{3}\over{2}}n}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}\;</MATH>|17.39}} Średnia energia gazu klasycznego znając już jego wielką sumę statystyczną {{LinkWzór|17.39}} możemy policzyć ze wzoru {{LinkWzór|17.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=-\left({{\partial \ln Q(\alpha,\beta)}\over{\partial \beta}}\right)_{\alpha}= -{{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}{\left({{\partial Q(\alpha,\beta)}\over{\partial \beta}}\right)}_{\alpha}=-{{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^n{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n-1}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}{{3\over 2}n}{-{2m\pi}\over{\beta^2}}=\;</MATH>{{Br}}<math>={{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^n{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}{3\over 2}nk_BT={{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^n{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n}ne^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}{{3}\over {2}}k_BT\;</MATH>|17.40}} Policzmy teraz średnią liczbę cząstek jakie może posiadać układ<MATH>\overline{N}\;</MATH> wedle wyprowadzonego wzoru {{LinkWzór|17.5}} znając wielką sumę statystyczną już policzoną {{LinkWzór|17.39}}, przejdźmy do liczenia: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\left({{\partial Q(\alpha,\beta)}\over{\partial\alpha}}\right)_{\beta}= {{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^n{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{{3\over 2}}n}ne^{\alpha}}\over{n!h^{3n}}} \;</MATH>|17.41}} Powracając jeszcze raz do średniej energii, korzystając ze wzoru na średnią liczbę cząstek jakie są w układzie odwartym {{LinkWzór|17.41}}, wtedy wzór na średnią energię układu w zależności od średniej liczby cząstek i temperatury ukłądu zapisujemy wedle {{LinkWzór|17.40}}, która przyjmuje równoważną do poprzedniego postać: {{CentrujWzór|<math>\overline{E}={{3}\over{2}}\overline{N}k_BT\;</MATH>|17.42}} Wzór {{LinkWzór|17.42}} w wielkim zespole kanonicznym jest bardzo podobny do wzoru {{LinkWzór|16.11|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}. Tym one się różnią, że w pierwszym wzorze jest średnia ilość cząstek, a w drugim dokładna ilość cząstek. Policzmy teraz energię swobodną wynikającego ze wzoru {{LinkWzór|17.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=\mu \overline{N}-k_BT \ln Q\;</MATH>|17.43}} Policzmy teraz ciśnienie znając energię swobodną F {{LinkWzór|17.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_T=k_BT {{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^{n-1}{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n}ne^{\alpha}}\over{n!h^{3n}}}=k_BT {{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\left(\sum^N_{n=0}{{V^{n}{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n}ne^{\alpha}}\over{n!h^{3n}}}\right){{1}\over{V}}\;</MATH>|17.44}} Korzystając z obliczonej średniej liczby cząstek ponownie {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}} z {{LinkWzór|17.41}}. otrzymujemy równanie stanu, które jest zależne od średniej liczby cząstek znajdujące się w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_B\overline{N}T\;</MATH>&nbsp;lub&nbsp;<MATH>pV=\overline{n}N_Ak_BT\Rightarrow pV=\overline{n}RT</MATH>|17.45}} Równanie {{LinkWzór|17.45}} jest równaniem stanu gazu doskonałego wedle {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}}. == Przypadek gazu fotonowego w fizyce klasycznej == Całkowita energia układu jest wyrażone przez równanie {{LinkWzór|16.30|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}}, wtedy możemy policzyć wielką sumę statystyczną w wielkim zespole kanonicznym dla tego rozważanego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>Q(\alpha,\gamma)=\sum\limits^{N}_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3n})}\int\limits_{\vec{p}\in R^{3n}} e^{-\alpha E+\gamma n} d^{3n}\vec{q}d^{3n}\vec{p}=\sum^N_{n=0}{{\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3n})}\int \limits_{\vec{q}\in R^{3n}}d^{3n}\vec{q}d^{3n}\vec{p}e^{-\alpha\sum^n_{i=1} p_ic+\gamma n}}\over{n!h^{3n}}}=\;</MATH><br><MATH>=\sum^N_{n=0}{{V^n{(\int_0^{\infty}{e^{-\alpha p c}}d^{3}\vec{p})}^n e^{\gamma n}}\over{n!h^{3n}}}=\sum^N_{n=0}{{V^n{(\int_0^{\infty}{e^{-\alpha p c}}4\pi p^2dp)}^n e^{\gamma n}}\over{n!h^{3n}}}\;</MATH>|17.46}} We wzorze {{LinkWzór|17.46}} wykorzystajmy tożsamość policzoną w punkcie {{LinkWzór|16.32|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}}, wtedy możemy dokończyć liczenie wielkiej sumy statystycznej: {{CentrujWzór|<MATH>Q(\alpha,\gamma)=\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}V^n\left({{8\pi}\over{\left(\alpha c\right)^3}}\right)^n e^{\gamma n}\;</MATH>|17.47}} A także policzmy średnią ilość cząstek znajdujących się w objętości V, korzystając ze wzoru na średnią liczbę cząstek słuszne dla wielkiego zespołu kanonicznego {{LinkWzór|17.5}} znając wielką sumę statystyczną policzoną {{LinkWzór|17.47}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\left({{\partial \ln Q(\alpha,\gamma)}\over{\partial \gamma}}\right)_{\alpha}={{1}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}V^n{\left({{8\pi}\over{(\alpha c)^3}}\right)}^n ne^{\gamma n}\;</MATH>|17.48}} Policzmy teraz energię średnią układu słuszne dla wielkiego zespołu kanonicznego, korzystając z {{LinkWzór|17.4}} znając dla tego rozważanego przypadku wielką sumę statystyczną {{LinkWzór|17.47}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=-\left({{\partial \ln Q(\alpha,\gamma)}\over{\partial \alpha}}\right)_{\gamma}=-{{1}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\left({{\partial Q(\alpha,\gamma)}\over{\partial \alpha}}\right)_{\gamma}={{1}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}e^{\gamma n}n\left({{8\pi}\over{(\alpha c)^3}}\right)^{n-1}3{{8\pi}\over{c^3\alpha^4}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}e^{\gamma n}3n\left({{8\pi}\over{(\alpha c)^3}}\right)^nk_BT\;</MATH>|17.49}} Biorąc za średnią liczbę cząstek znajdującą się w układzie {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}} pisaną według wzoru {{LinkWzór|17.48}} we wzorze na średnią energię układu {{LinkWzór|17.49}}, wtedy otrzymujemy tą samą energię, ale wyrażoną w zależności od średniej liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=3\overline{N}k_BT\;</MATH>|17.50}} Wzór {{LinkWzór|17.50}} jest wzorem bardzo podobny do wzoru {{LinkWzór|16.34|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}}, tylko jest taka różnica, że w pierwszym występuje średnia ilość cząstek, a w drugim dokładna ilość cząstek. Weźmy teraz energię swobodną napisanej wedle wzoru {{LinkWzór|17.32}}, wtedy ciśnienie możemy policzyć ze wzoru {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}}, zatem przejdźmy do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_T={{k_BT}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}nV^{n-1}\left({{8\pi}\over{\alpha c}}\right)^n e^{\gamma n}={{k_BT}\over{Q(\alpha,\gamma)}}{{\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}nV^n\left({{8\pi}\over{\alpha c}}\right)^n e^{\gamma n}}\over{V}}\;</MATH>|17.51}} Korzystając z definicji średniej liczby cząstek panującą w układzie {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}} {{LinkWzór|17.48}}, wtedy równanie {{LinkWzór|17.51}} przyjmuje postać według poniższego równania: {{CentrujWzór|<MATH>pV=\overline{N}k_BT\;</MATH>|17.52}} Równanie {{LinkWzór|17.52}} jest równaniem stanu gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 005blr1leyin6n7wzxhfplg47hm9tkp 558581 558580 2026-10-04T18:01:49Z Persino 2851 558581 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Jest to zespół opisujący układ otwarty, w którym jest wymiana cząstek (masy) i energii między układem a otoczeniem. == Rozkład, średnia energia i liczba cząstek w układzie == Wielkim zespołem kanonicznym nazywamy rozkład wyrażony wzorem {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, gdzie potencjał chemiczny {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} jest w ogólności różny od zera, ale przeciwnie do zespołu kanonicznego liczba cząstek jest już nie stała w układzie, a pozostałe parametry co w zespole kanonicznym są stałe, czyli jest to zespół {{Formuła|<MATH>(p,V,T,\mu)\;</MATH>}}, zatem czynnik {{Formuła|<MATH>e^{\beta pV}\;</MATH>}} włączamy pod stałą w tym rozkładzie. W wielkim zespole kanonicznym sumę statystyczną nazwijmy wielką sumę statystyczną i będziemy je oznaczać przez {{Formuła|<MATH>Q\;</MATH>}}, zamiast {{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}. Stosując przybliżenie klasyczne, gdzie pędy i położenia są ciągłe, zatem po zastąpieniu prawdopodobieństwa gęstością prawdopodobieństwa, że dany układ będzie miał energię {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}} o liczbie czastek {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}, wtedy sumowanie w wielkiej sumie statystycznej należy zastąpić całką z uwzględnieniem poprawnego boltzmannowskiego zliczania po pędach i położeniach i zwykłym sumowaniem po wszystkich liczbach cząstek jakie może posiadać układ, pamiętając przy tym, że w przypadku ciągłym nie ma degeneracji stanu, zatem wielka suma statystyczna wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\sum^N_{n=0} \int_{\vec{q}\in V(R^{3N}),\vec{p}\in R^{3n}} e^{-\beta\left[E(\vec{p},\vec{q})-\mu n\right]}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})\;</MATH>|17.1}} A sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa w wielkim zespole kanonicznym wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,n)={{e^{-\beta(E-\mu n)}}\over{Q}}\;</MATH>|17.2}} Ogólnie prawdopodobieństwo w wielkim zespole kanonicznym w rozkładzie skwantowanym jako odpowiednik zespołu ciągłego opisywanych przez równanie {{LinkWzór|17.2}} przy definicji wielkiej sumy statysycznej {{LinkWzór|17.1}} jest napisane wraz z definicją wielkiej sumy statystycznej w tymże rozkładzie dyskretnym w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,N_i)={{g_ie^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}\;</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Q=\sum_{i=1}^ng_i e^{-\alpha E_i+\gamma N_i}</MATH>|17.3}} Dla ogólności wykładu przyjmiemy rozkład dyskretny {{LinkWzór|17.3}}, a wnioski dla rozkładu ciągłego z oczywistych z względów wyjdą takie same. Średnią energię układu liczymy z definicji wartości średniej tejże wielkości statystycznej, na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo, że uzyskamy parametry E{{Sub|i}}, N{{Sub|i}} wedle wzoru {{LinkWzór|17.3}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{\sum_{i=1}^ng_i E_i e^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}= -{{{{\partial}\over{\partial\alpha}}\sum_{i=1}^ng_i e^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}=-{{\partial Q}\over{Q\partial\alpha}}=-{{\partial \ln Q}\over{\partial\alpha}}\;</MATH>|17.4}} A średnia liczba cząstek znajdujących się w układzie liczymy z definicji średniej tejże wielkości statystycznej, którą liczymy ją na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania wielkości E{{Sub|i}}, N{{Sub|i}} {{LinkWzór|17.3}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\sum_{i=1}^n N_ig_ie^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}= {{{{\partial}\over{\partial\gamma}}\sum_{i=1}^n g_ie^{-\alpha E_i+\gamma N_i}}\over{Q}}={{\partial Q}\over{Q\partial\gamma}}={{\partial\ln Q}\over{\partial\gamma}}\;</MATH>|17.5}} Widzimy, czy to średnia energia układu, czy to średnia liczba cząstek w układzie, powinny one zależeć tylko od temperatury ({{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}) oraz od potencjału chemicznego ({{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}}), jeśli jest różna od zera. Prawdopodobieństwo, że układ będzie miał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} o liczbie cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}} innym sposobem niż {{LinkWzór|17.3}}, ale równoważnej, jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,N_i)={{z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}\over{\sum_{i=1}^n z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}}\;</MATH>&nbsp;gdzie:<MATH>z=e^{\beta\mu}\;</MATH>|17.6}} Średnia liczba cząstek wyrażona innym sposobem niż według wzoru {{LinkWzór|17.5}}, na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa {{LinkWzór|17.6}}, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\sum_{i=1}^n N_i z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}\over{\sum_{i=1}^n z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}}=z{{\sum_{i=1}^n{{\partial}\over{\partial z}}z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}\over{\sum_{i=1}^n z^{N_i}g_ie^{-\beta E_i}}}=z{{\partial Q}\over{Q\partial z}}=z{{\partial \ln Q}\over{\partial z}}=e^{\beta\mu}{{\partial\ln Q}\over{\partial\mu}}{{\partial\mu}\over{\partial e^{\beta\mu}}}=e^{\beta\mu}{{\partial\ln Q}\over{\partial\mu}}e^{-\beta\mu}{{1}\over{\beta}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left({{\partial k_BT\ln Q}\over{\partial\mu}}\right)_{V,T}=\left({{\partial\Omega}\over{\partial \mu}}\right)_{V,T}\Rightarrow \overline{N}=\left({{\partial\Omega}\over{\partial \mu}}\right)_{V,T}\;</MATH>|17.7}} * gdzie potencjałem termodynamicznym nazywamy wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega=k_BT\ln Q\;</MATH>|17.8}} Średnia liczba cząstek w układzie w wielkim zespole kanonicznym liczona czy to sposobem {{LinkWzór|17.5}}, lub czy {{LinkWzór|17.7}}, w każdym bądź razie w obu tych sposobach powinien wyjść ten sam wynik. == Wyprowadzenie w oparciu o statystyczną interpretację rozkładu w układach otwartych == Aby wyprowadzić wielki rozkład statystyczny dla całego ciągłego rozkładu, czyli zależnego od ciągłych pędów i położeń, w oparciu o zwykły zespół kanoniczny należy podzielić nasz układ na dwie części, w którym gęstość prawdopodobieństwo w każdym punkcie danego podukładu jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(q_i,p_i,N_i)={{1}\over{Q_{N_i}}(V_i,T)}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}{{d^{3N_i}q_id^{3N_i}p_ie^{-\beta E_i(q_i,p_i,N_i)}}\over{h^{3N_i}N_i!}}\;</MATH>|17.9}} Dla całego układu (dwóch części razem) mamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)={{1}\over{Q_{N}}(V,T)}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}{{d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}e^{-\beta E_i(q,p,N)}}\over{h^{3N}N!}}\;</MATH>|17.10}} Niech mamy układy jako całość, w których znajduje się N cząstek, podzielmy na dwa podukłady we wszystkich możliwych możliwościach, tych możliwości jest {{Formuła|<MATH>{N \choose N_1}\;</MATH>}}, i liczba cząstek znajdująca się w jednym podukładzie z dwóch zmienia się od zera do maksymalnej liczby cząstek znajdujących się w całym układzie, podobnie jest dla drugiego podukładu. Zatem suma statystyczna dwóch układów jako całości po podzieleniu na dwa układy cząstkowe jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)={{1}\over{h^{3N}N!}}\Bigg\{\sum^N_{N_1=0} {N \choose N_1}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}{{d^{3N_1}q_1d^{3N_1}p_1e^{-\beta E_1(q_1,p_1,N_1)}}}\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})} d^{3N_2}q_2d^{3N_2}p_2e^{-\beta H(q_2,p_2)}\Bigg\}\;</MATH>|17.11}} Po wykorzystaniu definicji symbolu Newtona we wzorze {{LinkWzór|17.11}} i po pewnych skróceniach, wtedy otrzymujemy wzór na wielką sumę statystyczną całego układu w zależności od całek charakteryzujący dwa wybrane podukłady, gdy liczba cząstek wspomnianym wcześniej równaniu zmienia się od N{{Sub|1}}=0 do N{{Sub|1}}=N, czyli zmienia się od zera do maksymalnej liczby cząstek, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)=\sum^N_{N_1=0}{{\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})} d^{3N_1}q_1d^{3N_1}p_1 e^{\beta E_1(q_1,p_1,N_1)}}\over{h^{3N_1}N_1!}}{{\int_{\vec{p}\in R^{3N}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})} d^{3N_2}q_2d^{3N_2}p_2e^{-\beta E(q_2,p_2)}}\over{h^{3N_2}N_2!}}\;</MATH>|17.12}} Z równości {{LinkWzór|17.12}} wynika wzór na wielką sumę statystyczną całego układu w zależności od sum statystycznych dwóch wybranych wcześniej podukładów po wszystkich możliwych liczbach cząstek, jeśli liczba cząstek jako ogółu jest N: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)=\sum^N_{N_1=0} Q_{N_1}(V_1,T) Q_{N_2}(V_2,T)\;</MATH>|17.13}} Podzielmy równanie {{LinkWzór|17.13}} przez wielką sumę statystyczną charakteryzujący cały układu statystyczny: {{Formuła|<MATH>Q_N(V,T)\;</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum^N_{N_1=0}\int d\Gamma_1 e^{-\beta E(q_1,p_1,N_1)}{{Q_{N_2}(V_2,T)}\over{Q_N(V,T)}}\;</MATH>|17.14}} Dla całości, dla dwóch układów energia swobodna jest przedstawiana według wzoru {{LinkWzór|16.8|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}, bo ten cały układ nie wymienia między układem a otoczeniem żadnych cząstek i tą energię piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>F(V,T)=-k_BT \ln Q_N(V,T)\;\;</MATH>|17.15}} Po wyznaczeniu wielkości statystycznej wielkiej sumy statystycznej całego układu {{Formuła|<MATH>Q_N(V,T)\;</MATH>}} z równania na energię swobodną {{LinkWzór|17.15}}, wtedy suma statystyczna w zależności od jego energii swobodnej jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N(V,T)=e^{-\beta \operatorname{F}(V,N,T)}\;\;</MATH>|17.16}} Dla drugiego układu, podobnie jak u {{LinkWzór|17.16}} piszemy jak wyraża się suma statystyczna podukładu numer dwa w zależności od jego energii swobodnej: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{N_2}=e^{-\beta\operatorname{F}(V_2,N_2,T)}\;</MATH>|17.17}} Z równań na sumy statystyczne {{LinkWzór|17.16}} (układu wielkiego całego) i {{LinkWzór|17.17}} (podukładu numer dwa) napiszmy wyrażenie będące ilorazem sumy statystycznej układu drugiego przez sumę statystyczną układu całego w zależności od ich energii swobodnych panujący w układzie wielkim i małym: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_{N_2}(V_2,N_2)}\over{Q_N(V,T)}}=e^{-\beta(F(V_2,N_2,T)-F(V,N,T))}\;</MATH>|17.18}} Ponieważ objętość i liczba cząstek są wielkościami addytywnymi jak zakładamy, zatem według równości {{LinkWzór|17.18}} iloraz wielkiej sumy statystycznej podukładu przez wielką sumę statystyczną układu jako całości jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_{N_2}(V_2,N_2)}\over {Q_N(V,T)}}=e^{-\beta(F(V-V_1,N-N_1,T)-F(V,N,T)}\;</MATH>|17.19}} Można wyrażenie {{Formuła|<MATH>F(V-V_1,N-N_1,T)\;</MATH>}}, które możemy rozłożyć w szereg Taylora i stosując jednocześnie wzór {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} (w tym wzorze liczymy ciśnienie panujące w układzie znając jego sumę statystyczną) oraz {{LinkWzór|3.40|Potencjały_termodynamiczne}} (w tym wzorze liczymy potencjał chemiczny znają energię swobodną układu), to energia swobodna podukładu drugiego jest: {{CentrujWzór|<MATH>F(V-V_1,N-N_1,T)=F(V,N,T)-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{NT}V_1-\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{VT}N_1=F(V,N,T)+pV_1-\mu N_1\;\;</MATH>|17.20}} Stosując równanie na różnicę energii swobodnych układu drugiego i układu jako całości {{LinkWzór|17.20}}, wtedy równanie {{LinkWzór|17.19}} na iloraz pewnych sum statystycznych można zapisać względem objętości i liczby cząstek podukładu pierwszego: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_{N_2}(V-V_1,T)}\over{Q_N(V,T)}}=e^{-\beta(pV_1-\mu N_1)}\;</MATH>|17.21}} Po podstawieniu tożsamości {{LinkWzór|17.21}} do równania {{LinkWzór|17.14}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum^N_{N_1=0}\int d\Gamma_1 e^{-\beta E(p_1,q_1,N_1)}e^{-\beta(pV_1-\mu N_1)}\;</MATH>|17.22}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|17.22}}, mamy wzór na gęstość prawdopodobieństwa, że pierwszy układ ogólnie będzie posiadał pewną energię i liczbę cząstek, która spełnia wszystkie własności by być nią: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(q,p,N)=e^{-\beta pV}e^{-\beta(H(p,q,N)-\mu N)}\;\;</MATH>|17.23}} Ponieważ p i V są wielkościami stałymi w {{LinkWzór|17.23}} przy normowaniu powyższego wzoru do jedynki, to wielka suma statystyczna: {{CentrujWzór|<MATH>e^{\beta pV}=Q(V,T,\mu)\;\;</MATH>|17.24}} Równanie {{LinkWzór|17.23}}, który jest gęstością prawdopodobieństwa uzyskania przez układ energii E i liczby cząstek N, i do którego zastosujemy wzór {{LinkWzór|17.24}}, jest zapisane: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(q,p,N)={{e^{-\beta(E-\mu N)}}\over{Q(V,T,\mu)}}\;</MATH>|17.25}} Również z tożsamości {{LinkWzór|17.24}} wykorzystują definicję parametru &beta;, która zależy od temperatury bezwzględnej T, wynika: {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BT\ln Q(V,T,\mu)\;</MATH>|17.26}} Równanie {{LinkWzór|17.26}} jest spełnione dla rozkładu ciągłego, udowodnimy później, że ono jest spełniona również dla energii typu dyskretnego. Normujemy funkcję {{Formuła|<MATH>\rho(q,p,N)\;</MATH>}} do jedynki, wtedy dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>Q(V,T,\mu)=\sum^N_{n=0}\int_{\vec{p}\in R^{3N},\vec{q}\in V(R^{3N})} e^{-\beta(E-\mu n)}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})\;</MATH>|17.27}} Jest to wzór na wielką sumę statystyczną układu opisywanego przez wielki zespół kanoniczny, ale przy ciągłości pędu i położeń (przybliżenie klasyczne). == Związek między energią swobodną, a sumą statystyczną == Z korzystamy z równania {{LinkWzór|17.3}} na prawdopodobieństwo dyskretne, że układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i liczbę cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}}, wtedy równanie na entropię układu {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} wyrażamy w zależności od tego prawdopodobieństwa statystycznego w badanym układzie, przy czym wyrażając w {{LinkWzór|17.3}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum^l_{i=1}{{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\ln {{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over{Q(\alpha,\gamma)}}=-k_B\sum^l_{i=1}{{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over{Q(\alpha,\gamma)}}(-\gamma\sum^l_{l=1} E_i+\alpha N_i-\ln Q(\alpha,\gamma))\;</MATH><br> <MATH>={k_B\gamma\sum^l_{i=1}{E_i{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over {Q(\alpha,\gamma)}}}-k_B\alpha{\sum^l_{i=1}{N_i{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over {Q(\alpha,\gamma)}}}+k_B\sum^l_{i=1}{{e^{-\gamma E_i+\alpha N_i}}\over {Q(\alpha,\gamma)}}\ln Q(\alpha,\gamma)\;</MATH>|17.28}} W obliczeniach {{LinkWzór|17.28}} wykorzystamy wzór na średnią liczbę cząstek {{LinkWzór|17.5}} i średnią energię układu {{LinkWzór|17.4}}, wtedy równanie na entropie {{LinkWzór|17.28}} można zapisać w postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\gamma \overline{E}-k_B\alpha\overline{N}+k_B \ln Q(\alpha,\gamma)\;\;</MATH>|17.29}} Korzystając z definicji parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} i parametru {{Formuła|<MATH> \gamma\;</MATH>}}, i mnożąc obustronnie {{LinkWzór|17.29}} przez temperaturę bezwzględną T, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>ST=\overline{E}-\mu\overline{N}+k_BT\ln Q(\alpha,\gamma)\;\;</MATH>|17.30}} Korzystając z definicji energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy otrzymujemy tą wielkość, korzystając ze wzoru na energię związaną {{LinkWzór|17.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=U-TS=\overline{E}-TS=\mu\overline{N}-k_BT \ln Q(\alpha,\gamma)\;\;</MATH>|17.31}} Ostatecznie z wyrażenia na energię swobodną {{LinkWzór|17.31}}, którą przepiszmy na przejrzystości, jest ona zależna jak się przekonaliśmy od średniej liczby cząstek, temperatury bezwzględnej i wielkiej sumy statystycznej charakteryzującej cały badany układ statystyczny. {{CentrujWzór|<MATH>F=\mu\overline{N}-k_BT\ln Q(\alpha,\gamma)\;</MATH>|17.32}} == Potencjał termodynamiczny == Korzystamy z równania na energię swobodną układu według wzoru {{LinkWzór|17.32}}, które wyprowadziliśmy dla wielkiego zespołu statystycznego w badanym układzie statystycznym, wtedy po przenoszeniu wyrazu związanego z energią swobodną na jej przeciwną stronę, wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>-\mu\overline{N}+F=-k_BT \ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.33}} Do wzoru {{LinkWzór|17.33}} możemy podstawić wzór na energię swobodną {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}. {{CentrujWzór|<MATH>U-TS-\mu\overline{N}=-k_BT \ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.34}} Z definicji etalpi swobodnej G {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} (zależność entalpii i energii związanej) i podstawiając w nim wzór na zwykłą etalpię H {{LinkWzór|3.2|Potencjały_termodynamiczne}} (zależność energii wewnętrznej i iloczynu ciśnienia panującego w gazie przez jego objętość), to: {{CentrujWzór|<MATH> G=H-TS=U+pV-TS\;\;</MATH>|17.35}} Mając wzór {{LinkWzór|17.34}} na podstawie napisanej tożsamości {{LinkWzór|17.35}} możemy napisać formułę: {{CentrujWzór|<MATH>G-pV-\mu\overline{N}=-k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.36}} A ponieważ w wielkim rozkładzie termodynamicznym mamy stałą objętość i temperaturę, to korzystając z udowodnionej wcześniej równości {{LinkWzór|3.48|Potencjały_termodynamiczne}} na potencjał Gibbsa w zależności od średniej ilości cząstek jakie posiada układ do {{LinkWzór|17.36}}, wtedy dostajemy inny wynikowy wzór: {{CentrujWzór|<MATH> G-pV-\mu N=\mu N-pV-\mu N=-pV=\Omega=-k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.37}} Z równania {{LinkWzór|17.37}} wynika związek iloczynu ciśnienia panującego w gazie przez jego własną objętość, która jest równa wyrażeniu zależnego liniowo od temperatury bezwzględnej T i logarytmu naturalnego wielkiej sumy statystycznej obowiązujących w wielkim zespole kanonicznym. {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\;\;</MATH>|17.38}} W ten sposób wzór {{LinkWzór|17.38}} udowodniliśmy, że jest słuszny też w przypadku dyskretnym, nie tylko dla przypadku ciągłego, co udowodniliśmy pisząc formułę {{LinkWzór|17.26}}. == Gaz doskonały według mechaniki klasycznej == Energię kinetyczną gazu (całkowitą bo gaz doskonały nie posiada energii potencjalnej) jest wyrażona przez równanie {{LinkWzór|16.9|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}. Zatem możemy policzyć wielką sumę statystyczną {{Formuła|<MATH>Q(\alpha,\beta)\;</MATH>}} według ogólnego wzoru obowiązującego dla wielkiego zespołu kanonicznego {{LinkWzór|17.1}}, a więc do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>Q(\alpha,\beta)=\sum\limits^{N}_{n=0}{{\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int\limits_{\vec{q}\in R^{3N}} e^{-\beta E+\alpha n} d^{3N}\vec{q}d^{3N} \vec{p}}\over{n!h^{3n}}}=\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3N}}}\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int\limits_{\vec{q}\in R^{3N}} e^{-\beta \sum^{3n}_{i=1}{{\vec{p}_i^2}\over{2m}}+\alpha n}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}=\;</MATH><br><MATH>=\sum^N_{n=0}{{\left\{\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}d^{3N}\vec{q}\right\}\left\{\int\limits_{\vec{q}\in R^{3N}}e^{-\beta\sum^{3n}_{i=1}{{\vec{p}_i^2}\over{2m}}}d^{3N}\vec{p}\right\}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}=\sum^N_{n=0}{{V^n \left\{\int\limits^{\infty}_{-\infty}e^{-\beta{{p^2}\over{2m}}}dp\right\}^{3n}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}=\sum^N_{n=0}{{V^n({{2m\pi\over{\beta}}})^{{{3}\over{2}}n}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}\;</MATH>|17.39}} Średnia energia gazu klasycznego znając już jego wielką sumę statystyczną {{LinkWzór|17.39}} możemy policzyć ze wzoru {{LinkWzór|17.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=-\left({{\partial \ln Q(\alpha,\beta)}\over{\partial \beta}}\right)_{\alpha}= -{{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}{\left({{\partial Q(\alpha,\beta)}\over{\partial \beta}}\right)}_{\alpha}=-{{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^n{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n-1}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}{{3\over 2}n}{-{2m\pi}\over{\beta^2}}=\;</MATH>{{Br}}<math>={{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^n{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n}e^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}{3\over 2}nk_BT={{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^n{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n}ne^{\alpha n}}\over{n!h^{3n}}}{{3}\over {2}}k_BT\;</MATH>|17.40}} Policzmy teraz średnią liczbę cząstek jakie może posiadać układ<MATH>\overline{N}\;</MATH> wedle wyprowadzonego wzoru {{LinkWzór|17.5}} znając wielką sumę statystyczną już policzoną {{LinkWzór|17.39}}, przejdźmy do liczenia: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\left({{\partial Q(\alpha,\beta)}\over{\partial\alpha}}\right)_{\beta}= {{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^n{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{{3\over 2}}n}ne^{\alpha}}\over{n!h^{3n}}} \;</MATH>|17.41}} Powracając jeszcze raz do średniej energii, korzystając ze wzoru na średnią liczbę cząstek jakie są w układzie odwartym {{LinkWzór|17.41}}, wtedy wzór na średnią energię układu w zależności od średniej liczby cząstek i temperatury ukłądu zapisujemy wedle {{LinkWzór|17.40}}, która przyjmuje równoważną do poprzedniego postać: {{CentrujWzór|<math>\overline{E}={{3}\over{2}}\overline{N}k_BT\;</MATH>|17.42}} Wzór {{LinkWzór|17.42}} w wielkim zespole kanonicznym jest bardzo podobny do wzoru {{LinkWzór|16.11|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}. Tym one się różnią, że w pierwszym wzorze jest średnia ilość cząstek, a w drugim dokładna ilość cząstek. Policzmy teraz energię swobodną wynikającego ze wzoru {{LinkWzór|17.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=\mu \overline{N}-k_BT \ln Q\;</MATH>|17.43}} Policzmy teraz ciśnienie znając energię swobodną F {{LinkWzór|17.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_T=k_BT {{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\sum^N_{n=0}{{V^{n-1}{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n}ne^{\alpha}}\over{n!h^{3n}}}=k_BT {{1}\over{Q(\alpha,\beta)}}\left(\sum^N_{n=0}{{V^{n}{({{2m\pi}\over{\beta}})}^{{3\over 2}n}ne^{\alpha}}\over{n!h^{3n}}}\right){{1}\over{V}}\;</MATH>|17.44}} Korzystając z obliczonej średniej liczby cząstek ponownie {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}} z {{LinkWzór|17.41}}. otrzymujemy równanie stanu, które jest zależne od średniej liczby cząstek znajdujące się w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_B\overline{N}T\;</MATH>&nbsp;lub&nbsp;<MATH>pV=\overline{n}N_Ak_BT\Rightarrow pV=\overline{n}RT</MATH>|17.45}} Równanie {{LinkWzór|17.45}} jest równaniem stanu gazu doskonałego wedle {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}}. == Przypadek gazu fotonowego w fizyce klasycznej == Całkowita energia układu jest wyrażone przez równanie {{LinkWzór|16.30|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}}, wtedy możemy policzyć wielką sumę statystyczną w wielkim zespole kanonicznym dla tego rozważanego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>Q(\alpha,\gamma)=\sum\limits^{N}_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3n})}\int\limits_{\vec{p}\in R^{3n}} e^{-\alpha E+\gamma n} d^{3n}\vec{q}d^{3n}\vec{p}=\sum^N_{n=0}{{\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3n})}\int \limits_{\vec{q}\in R^{3n}}d^{3n}\vec{q}d^{3n}\vec{p}e^{-\alpha\sum^n_{i=1} p_ic+\gamma n}}\over{n!h^{3n}}}=\;</MATH><br><MATH>=\sum^N_{n=0}{{V^n{(\int_0^{\infty}{e^{-\alpha p c}}d^{3}\vec{p})}^n e^{\gamma n}}\over{n!h^{3n}}}=\sum^N_{n=0}{{V^n{(\int_0^{\infty}{e^{-\alpha p c}}4\pi p^2dp)}^n e^{\gamma n}}\over{n!h^{3n}}}\;</MATH>|17.46}} We wzorze {{LinkWzór|17.46}} wykorzystajmy tożsamość policzoną w punkcie {{LinkWzór|16.32|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}}, wtedy możemy dokończyć liczenie wielkiej sumy statystycznej: {{CentrujWzór|<MATH>Q(\alpha,\gamma)=\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}V^n\left({{8\pi}\over{\left(\alpha c\right)^3}}\right)^n e^{\gamma n}\;</MATH>|17.47}} A także policzmy średnią ilość cząstek znajdujących się w objętości V, korzystając ze wzoru na średnią liczbę cząstek słuszne dla wielkiego zespołu kanonicznego {{LinkWzór|17.5}} znając wielką sumę statystyczną policzoną {{LinkWzór|17.47}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\left({{\partial \ln Q(\alpha,\gamma)}\over{\partial \gamma}}\right)_{\alpha}={{1}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}V^n{\left({{8\pi}\over{(\alpha c)^3}}\right)}^n ne^{\gamma n}\;</MATH>|17.48}} Policzmy teraz energię średnią układu słuszne dla wielkiego zespołu kanonicznego, korzystając z {{LinkWzór|17.4}} znając dla tego rozważanego przypadku wielką sumę statystyczną {{LinkWzór|17.47}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=-\left({{\partial \ln Q(\alpha,\gamma)}\over{\partial \alpha}}\right)_{\gamma}=-{{1}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\left({{\partial Q(\alpha,\gamma)}\over{\partial \alpha}}\right)_{\gamma}={{1}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}e^{\gamma n}n\left({{8\pi}\over{(\alpha c)^3}}\right)^{n-1}3{{8\pi}\over{c^3\alpha^4}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}e^{\gamma n}3n\left({{8\pi}\over{(\alpha c)^3}}\right)^nk_BT\;</MATH>|17.49}} Biorąc za średnią liczbę cząstek znajdującą się w układzie {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}} pisaną według wzoru {{LinkWzór|17.48}} we wzorze na średnią energię układu {{LinkWzór|17.49}}, wtedy otrzymujemy tą samą energię, ale wyrażoną w zależności od średniej liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=3\overline{N}k_BT\;</MATH>|17.50}} Wzór {{LinkWzór|17.50}} jest wzorem bardzo podobny do wzoru {{LinkWzór|16.34|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}}, tylko jest taka różnica, że w pierwszym występuje średnia ilość cząstek, a w drugim dokładna ilość cząstek. Weźmy teraz energię swobodną napisanej wedle wzoru {{LinkWzór|17.32}}, wtedy ciśnienie możemy policzyć ze wzoru {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}}, zatem przejdźmy do dzieła: {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_T={{k_BT}\over{Q(\alpha,\gamma)}}\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}nV^{n-1}\left({{8\pi}\over{\alpha c}}\right)^n e^{\gamma n}={{k_BT}\over{Q(\alpha,\gamma)}}{{\sum^N_{n=0}{{1}\over{n!h^{3n}}}nV^n\left({{8\pi}\over{\alpha c}}\right)^n e^{\gamma n}}\over{V}}\;</MATH>|17.51}} Korzystając z definicji średniej liczby cząstek panującą w układzie {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}} {{LinkWzór|17.48}}, wtedy równanie {{LinkWzór|17.51}} przyjmuje postać według poniższego równania: {{CentrujWzór|<MATH>pV=\overline{N}k_BT\;</MATH>|17.52}} Równanie {{LinkWzór|17.52}} jest równaniem stanu gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 4q9bm5ka75tz1ogxot92en8ugz9thvp 0 17531 558586 513519 2026-10-04T18:12:18Z Persino 2851 558586 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Tym razem rozpatrzmy kryształ. Opis ciał krystalicznych, jest problemem dość trudnym, po prostu trzeba znać energię potencjalną poszczególnych jonów wychylonych z położenia równowagi. Trudności te omija się przez wprowadzenie pewnych funkcji, przyjmujących wartość minimalną dla równowagowych położeń jonów. Poszczególne jony sieci krystalicznej zastępuje się fononami, które zachowują się jak fotony. Ponieważ energia swobodna przyjmuje wartość minimalną, to wtedy według wzoru {{LinkWzór|3.40|Potencjały_termodynamiczne}} potencjał chemiczny pozostaje stały i jest równy zero. Także stała pozostaje objętość, więc wtedy mamy do czynienia z zespołem kanonicznym. A więc średnia statystyczna liczba jonów {{LinkWzór|20.10|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}} dla bozonów jest wyrażona przez: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{q\lambda}}={{1}\over{e^{{{\hbar\omega_{q\lambda}}\over{k_BT}}}-1}}</MATH>|23.1}} Średnia energia drgań jonów sieci krystalicznej, czyli energia wewnętrzna kryształu, czyli suma energia wszystkich fononów dla wszystkich możliwych q i &lambda; jest. {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_{q\lambda}\hbar\omega_{q\lambda}\overline{n_{q\lambda}}</MATH>|23.2}} Fonony posiadają trzy różne polaryzacje, jako że ośrodku sprężystym mogą się rozchodzić dwie fale poprzeczne i jedna fala podłużna. W rezultacie uzyskujemy widno fononów składające z trzech głównych gałęzi, tzn.: fononów akustycznych. Częstotliwość kołowa fotonów można wyrazić za pomocą prędkości rozchodzenia się drgań sieci krystalicznej, które opiszemy wzorem dla &lambda;=1,2,3. {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{q\lambda}=v_{\lambda}q\;</MATH>|23.3}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>q\;</MATH>}} - jest wektorem falowym fali fononów. * {{Formuła|<MATH>\omega_{q\lambda}\;</MATH>}} - częstość kołowa fali fononów. * {{Formuła|<MATH>v_{\lambda}\;</MATH>}} - prędkość fazowa fononów. Policzmy energię wewnętrzną sieci krystalicznej, poprzez energię wszystkich fotonów, posiadających pewną energię, korzystając z wzoru {{LinkWzór|23.1}} na rozkład statystyczny liczby fononów, całkowita energia wewnętrzna drgań tychże fononów wedle wzoru {{LinkWzór|23.2}}, jest przedstawiona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_{q\lambda}{{\hbar\omega_{q\lambda}}\over{e^{{\hbar\omega_{q\lambda}}\over{k_BT}}-1}}</MATH>|23.4}} Zamieniając sumowanie na całkę w równaniu {{LinkWzór|23.4}}, wtedy to nasze równanie przekształca się we wzór: {{CentrujWzór|<MATH>U={{V}\over{{({2\pi})}^3}}\sum_{\lambda}\int dq_x \int dq_y \int dq_z {{\hbar\omega_{q\lambda}}\over{e^{{\hbar\omega_{q\lambda}}\over{k_BT}}-1}}={{V}\over{{({2\pi})}^3}}4\pi\sum_{\lambda}\int\limits_0^{\Theta_D} {{\hbar\omega_{q\lambda}}\over{e^{{\hbar\omega_{q\lambda}(E)}\over{k_BT}}-1}}q^2(E)dq(E)</MATH>|23.5}} Trzeba pamiętać, że energia pojedynczego fononu jest napisana wprost proporcjonalnie do częstości kołowej drgań fali fotonów w krysztale i jest napisana przy pomocy wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>E=\hbar\omega_{q\lambda}</MATH>|23.6}} Zdefiniujmy temperatura Debey'a T zdefiniowanej przy pomocy wielkości &Theta;{{Sub|D}}, którego miano jest w dżulach (J), a ta temperatura jest określona wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>T={{\Theta_D}\over{k_B}}</MATH>|23.7}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\Theta_D\;</MATH>}} jest to wielkość graniczna, do której wykonujemy całkowanie w wyrażeniu {{LinkWzór|23.5}}, a właściwie w granicy górnej w całce występującej w tym wyrażeniu. Wiadomo, że w równości {{LinkWzór|23.3}} można wyznaczyć z niego wielkość q: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{q\lambda}=v_{\lambda}q\Rightarrow q={{\omega_{q\lambda}}\over{v_\lambda}}</MATH>|23.8}} Podstawiając równanie na wektor falowy fononów {{LinkWzór|23.8}} do równania na energię wewnętrzną drgającego kryształu {{LinkWzór|23.5}}, wtedy dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>U={{V}\over{{({2\pi})}^3}}4\pi\sum_{\lambda}\int\limits_0^{\Theta_D} {{\hbar\omega_{q\lambda}(E)}\over{e^{{\hbar\omega_{q\lambda}(E)}\over{k_BT}}-1}}{{\omega^2_{q\lambda}(E)}\over{v_{\lambda}^3}}d\omega_{q\lambda}(E)</MATH>|23.9}} Dokonajmy podstawienia napisanego poniżej do wzoru {{LinkWzór|23.9}}, którego podstawienie jest stosunkiem energii fononu drgań sieci krystalicznej {{LinkWzór|23.6}} przez iloczynu stałej Boltzmanna przez temperaturę bezwzględną (w kelwinach). {{CentrujWzór|<MATH>\eta={{\hbar\omega_{\lambda q}}\over{k_BT}}</MATH>|23.10}} Tym razem wzór {{LinkWzór|23.9}}, po zmianie zmiennej całkującej wyrażonej przy pomocy formuły {{LinkWzór|23.10}}, wtedy nasze wspomniane wyrażenie na energię wewnętrzną U jest teraz wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_{\lambda}{{1}\over{v^3_{\lambda}}}{{V}\over{2\pi^2}}{{k_B^4T^4}\over{\hbar^3}}\int\limits_0^{{\Theta}\over{k_BT}}d\eta{{\eta^3}\over{e^{\eta}-1}}</MATH>|23.11}} W niskich temperaturach, całkowanie na U można rozciągnąć do nieskończoności. Całka daje wtedy wartość stałą niezależną do temperatury, wtedy powinno być, że energia wewnętrzna drgań kryształu jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej: {{CentrujWzór|<MATH>U\sim T^4\;</MATH>|23.12}} Z definicji pojemności cieplnej dla niskich temperatur pochodna funkcji energii wewnętrznej {{LinkWzór|23.12}} jest wprost proporcjonalna do trzeciej potęgi temperatury bezwzględnej i dla temperatury zera bezwzględnego pojemności cieplna dla stałej temperatury jest równa zero, czyli te wnioski prowadzą do: {{CentrujWzór|<MATH>C_v\sim T^3\;</MATH>|23.13}} W wysokich temperaturach zachodzi T>>&Theta;{{Sub|D}}k_B, wtedy można dokonać rozwinięcia funkcji podanej poniżej w szereg Taylora względem wyrazów liniowych. Wyrazy w tym kwadratowe i wyższe pomijamy. {{CentrujWzór|<MATH>e^{{\omega_{q\lambda}\over {k_BT}}}-1\simeq{\omega_{q\lambda}\over {k_BT}}=\eta</MATH>|23.14}} We wzorze {{LinkWzór|23.11}} (energia wewnętrzna) po użyciu przybliżenia {{LinkWzór|23.14}}, w wysokich temperaturach piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_{\lambda}{{1}\over{v^3_{\lambda}}}{{V}\over{2\pi^2}}{{k_B^4T^4}\over{\hbar^3}}\int\limits_0^{{\Theta}\over{k_BT}}\eta^2d\eta=\sum_{\lambda}{{1}\over{v^3_{\lambda}}}{{V}\over{2\pi^2}}{{k_B^4T^4}\over{\hbar^3}}{{1}\over{3}}{}\left({{\Theta}\over{k_BT}}\right)^3=\sum_{\lambda}{{1}\over{v^3_{\lambda}}}{{V}\over{2\pi^2}}{{k_BT}\over{\hbar^3}}{{1}\over{3}}\Theta^3</MATH>|23.15}} W wysokich temperaturach według obliczeń {{LinkWzór|23.15}} energia wewnętrzna drgań kryształu jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej, co jest przedstawione: {{CentrujWzór|<MATH>U\sim T\;</MATH>|23.16}} Stąd jego ciepło właściwe z definicji pod stałą objętością według proporcjonalności {{LinkWzór|23.16}} jest wielkością stałą i wynoszącą: {{CentrujWzór|<MATH>C_v=const\;</MATH>|23.17}} Wynik ten tzn. proporcjonalność ciepłą właściwego ciał stałych do trzeciej potęgi temperatury według {{LinkWzór|23.13}} w niskich temperaturach i brak tej zależności dla wysokich temperatur według {{LinkWzór|23.17}} objaśnia zagadkowe przez wiele lat zachowanie ciepła właściwego pod stałą objętością C{{Sub|v}} dla ciał stałych. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mce95hqrx6gf44e9zsvepg148nbk8rv 0 17549 558585 470255 2026-10-04T18:10:48Z Persino 2851 558585 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wyprowadzimy statystykę Bolztmanna bezpośrednio z przesłanek czysto statystycznych, statystyki Fermiego i Diraca wyprowadzone poprzez kombinację bez powtórzeń (statystyka Fermiego) lub przez kombinację z powtórzeniami (statystyka Bosego), korzystając że pochodna entropii przyjmuje wartość maksymalną, czyli pierwsza pochodna wspomnianej funkcji termodynamicznej przyjmuje w tym punkcie wartość zero. == Funkcjonał entropii == Załóżmy, że energie są skwantowane i istnieje l poziomów o energiach {{Formuła|<MATH>\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_l\;</MATH>}}. Średnia energia znajdujących się w układzie cząstek piszemy w zależności o energii poszczególnych poziomów jakie zajmują cząstki obsadzając stany pomnożone przez liczbę cząstek n{{Sub|i}} o numerze "i", a liczba cząstek jest sumą tych wszystkich cząstek znajdujących się w tych stanach. {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\sum_{i=1}^ln_i\epsilon_i</MATH>|21.1}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}=\sum^l_{i=1}n_iV_i</MATH>|21.2}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\overline {N}=\sum^l_{i=1}n_i\;</MATH>|21.3}} }} Napiszmy funkcjonał oparty i uzupełniony o współczynniki Lagrange'a, który spełnia te same właściwości co entropia S. {{CentrujWzór|<MATH>\phi\{n_i\}=S+k_BB(\overline{E}-\sum_{i=1}^ln_i\epsilon_i)+k_BC(\overline{V}-\sum_{i=1}^ln_iV_i)+k_BD(\overline{N}-\sum^l_{i=1}n_i)</MATH>|21.4}} == Rozkład Boltzmanna == Załóżmy, że istnieje N cząstek w l przegrodach, to wtedy możliwości obsadzeń jest: {{CentrujWzór|<MATH>W={{\overline N!}\over{n_1!n_2!...n_l!}}\Rightarrow \ln W=\overline N\ln \overline N-\overline N-\sum_i n_i \ln n_i+\sum_i n_i\Rightarrow \ln W=\overline N\ln \overline N-\sum_in_i\ln n_i\Rightarrow S=k_B\ln W=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\overline N\ln \overline N-k_B\sum_in_i\ln n_i=-k_B\sum_in_i\ln {{n_i}\over{\overline N}}</MATH>|21.5}} Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki {{LinkWzór|21.1}}, {{LinkWzór|21.2}}) i {{LinkWzór|21.3}}), którego definicja S jest dana tutaj wzorem {{LinkWzór|21.5}}, ma pochodną cząstkową względem n{{Sub|i}} równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, A mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, co na podstawie {{LinkWzór|21.3}} zamiast D możemy napisać {{Formuła|<MATH>D-\overline N\;</MATH>}} w {{LinkWzór|21.4}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial \phi}\over{\partial n_i}}=-k_B\left(\overline N+\ln {{n_i}\over{\overline N}}\right)-k_BBE_i-k_BCV_i-k_B(D-\overline N)\Rightarrow -k_B\left(\overline N+\ln {{n_i}\over{\overline N}}\right)-k_BBE_i-k_BCV_i+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-k_B(D-\overline N)\Rightarrow k_B\ln {{n_i}\over{\overline N}}= -k_B(BE_i+CV_i+D)\Rightarrow n_i=\overline Ne^{-(BE_i+CV_i+D)}\;</MATH>|21.6}} Jak łatwo można sprawdzić, że druga pochodna funkcjonału {{LinkWzór|21.5}} przyjmuje wartość ujemną, co spełnia właściwości maksymalizacji entropii bo wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2 \phi}\over{\partial n_i^2}}=-k_B{{\overline N}\over{n_i}}<0\;</MATH>}} Końcowy wzór na liczbę cząstek n{{Sub|i}} {{LinkWzór|21.6}} jest to rozkład Boltzmanna. == Statystyka Fermiego == W każdych obsadzanych poziomów istnieje {{Formuła|<MATh>g_j\;</math>}} stanów, które można obsadzać w przeróżny sposób przez n{{Sub|i}} cząstek, w których w każdej z przegródek (poziomów) może się znajdować conaj wyżej jedna cząstka, liczymy je jako kombinację bez powtórzeń: {{CentrujWzór|<MATH>W_i={g_i\choose n_i}={{g_i!}\over{n_i!(g_i-n_i)!}}</MATH>|21.7}} Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych W{{Sub|i}} dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l: {{CentrujWzór|<MATH>W\{n_i\}=\prod^l_{i=1}W_i=\prod^l_{i=1}{{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}</MATH>|21.8}} Jeśli podstawić do wzoru na entropię {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} wyrażenie {{LinkWzór|21.8}}, która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga {{LinkWzór|5.37|Całki_i_funkcje_Eulera|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\ln W\{n_i\}=k_B\ln \prod^l_{i=1}{{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}= k_B\sum^l_{i=1}\ln {{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\sum^l_{i=1}\left[g_i\ln g_i-g_i-n_j\ln n_j+n_j-(g_j-n_j)\ln (g_j-n_j)+(g_j-n_j)\right]</MATH>|21.9}} Wyznaczmy pochodną cząstkową entropii {{LinkWzór|21.9}} względem n{{Sub|i}}, która jest ilością cząstek w stanie "i": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial n_j}}=k_B\left[-\ln n_j-1+1+\ln (g_j-n_j)+1-1\right]=k_B\left[-\ln n_j+\ln(g_j-n_j)\right]</MATH>|21.10}} Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki {{LinkWzór|21.1}}, {{LinkWzór|21.2}} i {{LinkWzór|21.3}}), którego definicja S jest dana tutaj wzorem {{LinkWzór|21.9}}, ma pochodną cząstkową równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają. Jeśli w naszym funkcjonale na S {{LinkWzór|21.9}} dobierzemy współczynniki Lagrange'a co dostając wzór {{LinkWzór|21.4}} wtedy pochodna funkcjonału po przyrównaniu go do zera przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial\phi}\over{\partial n_i}}=k_B\left[-\ln n_j+\ln(g_j-n_j)\right]-k_BB\epsilon_i-k_BCV_i-k_BD\Rightarrow \ln\left({{g_j}\over{n_j}}-1\right)=B\epsilon_i+CV_i+D</MATH>|21.11}} Z równości {{LinkWzór|21.11}} z pewnością możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{g_j}\over{n_j}}-1=e^{B\epsilon_i+CV_i+D}\Rightarrow {{g_j}\over{n_j}}=e^{A\epsilon_i+CV_i+D}+1</MATH>|21.12}} Ostatecznie z tożsamości końcowej wyznaczonej w punkcie {{LinkWzór|21.12}} otrzymujemy liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i" o energii &epsilon;{{Sub|i}}, gdy w tym wstanie istnieje g{{Sub|i}} przegród. {{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}+1}}</MATH>|21.13}} Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Fermiego druga pochodna funkcjonału {{LinkWzór|21.5}} ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii, bo wtedy {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\phi}\over{\partial n_i^2}}=k_B\left(-{{1}\over{n_j}}-{{1}\over{g_j-n_j}}\right)<0</MATH>}} Równanie {{LinkWzór|21.13}} przedstawia rozkład Fermiego (liczby cząstek zajmującej dany poziom o energii {{Formuła|<MATH>\epsilon_i\;</MATH>}}) w zależności od energii &epsilon;{{Sub|i}} danego poziomu. == Statystyka Bosego == Załóżmy, że poziomy są skwantowane, które są podzielona na l poziomów. W każdym poziomie znajduje się {{Formuła|<MATH>g_i\;</MATH>}} stanów. Każdy stan może być wybierany więcej niż jeden raz. Liczba możliwych obsadzeń danego stanu jest kombinacją z powtórzeniami. Liczba tych sposobów jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>W_i=C^{n_i}_{g_i}={ n_i+g_j-1\choose n_i}={{(n_j+g_j-1)!}\over{n_i!(g_j-1)!}}</MATH>|21.14}} Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych W{{Sub|i}} dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l: {{CentrujWzór|<MATH>W\{n_i\}=\prod_{i=1}^l {{(n_i+g_i-1)!}\over{n_i!(g_i-1)!}}</MATH>|21.15}} Jeśli podstawić do wzoru na entropię {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} wyrażenie {{LinkWzór|21.15}}, która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga {{LinkWzór|5.37|Całki_i_funkcje_Eulera|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\ln W\{n_i\}=k_B\sum^l_{i=1}\left[(n_i+g_i-1)\ln(n_i+g_i-1)-(n_i+g_i-1)-n_i\ln n_i+n_i-(g_i-1)\ln(g_i-1)+(g_i-1)\right]</MATH>|21.16}} Pochodna cząstkowa entropii {{LinkWzór|21.16}} względem liczby cząstek obsadzających dany poziom o numerze i, czyli względem n{{Sub|i}}, jest wyrażona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial n_i}}=k_B\left[\ln(n_i+g_i-1)+1-1-\ln n_i-1+1\right]=k_B\left[\ln(n_i+g_i-1)-\ln n_i\right]=k_B\ln\left[1+{{g_i-1}\over{n_i}}\right]\simeq k_B\ln\left[1+{{g_i}\over{n_i}}\right]</MATH>|21.17}} Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a, którą definiujemy wzorem {{LinkWzór|21.4}}, w którym wykorzystamy definicję entropii zapisaną według {{LinkWzór|21.16}}, ma pochodną cząstkową względem n{{Sub|i}} równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, zatem mając wzór {{LinkWzór|21.15}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial\phi}\over{\partial n_i}}=k_B\ln\left[1+{{g_i}\over{n_i}}\right]-k_BB\epsilon_i-k_BCV_i-k_BD</MATH>|21.18}} W równaniu {{LinkWzór|21.16}} dokonując prostych przekształceń, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{g_i}\over{n_i}}=e^{B\epsilon_i+CV_i+D}\Rightarrow {{g_i}\over{n_i}}=e^{B\epsilon_i+C}-1</MATH>|21.19}} Z równości {{LinkWzór|21.19}} dostajemy wzór na rozkład cząstek zwanych bozonami, które obsadzają dany poziom o energii &epsilon;{{Sub|i}}, gdzie w tym poziomie liczba stanów jest równa g{{Sub|i}}. {{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}-1}}</MaTH>|21.20}} Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Bosego druga pochodna funkcjonału {{LinkWzór|21.5}} ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii bo wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\phi}\over{\partial n_i^2}}=-k_B{{1}\over{1+{{g_i}\over{n_i}}}}{{g_i}\over{n_i^2}}<0\;</MATH>}} Równanie {{LinkWzór|21.20}} jest wzorem na rozkład Bosego. == Wyznaczanie parametrów B i C w rozkładach Boltzmanna, Fermiego i Bosego == Funkcjonał napisanej w punckie {{LinkWzór|21.4}} możemy zapisać względem średniej energii i liczby cząstek należących do układu, tak by po tych przekształceniach otrzymać wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\phi\{n_i\}=\ln A(T)+B\overline{E}+C\overline{V}+D\overline{N}=\ln\Omega</MATH>|21.21}} Z równania {{LinkWzór|21.21}} możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo termodynamiczne układu statystycznego, jeśli średnia energia i liczba cząstek jest jakaś tam: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega=A(T)e^{B\overline{E}+C\overline V+D\overline{N}}</MATH>|21.22}} Z definicji temperatury statystycznej napisanej wedle wzoru {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} dla definicji prawdopodobieństwa termodynamicznego dla rozkładu Fermiego lub Bosego wyrażających się wzorem {{LinkWzór|21.22}}, wtedy możemy wyznaczyć stałą "B" występujących we wzorze {{LinkWzór|21.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{k_BT}}=\beta\;</MATH>|21.23}} Również można napisać korzystając z definicji stałej B {{LinkWzór|21.23}} średnią wartość, która jest zależna tylko od temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>\beta\overline{E}+C\overline V+D\overline{N}=\operatorname{const}</MATH>|21.24}} Gdy C i D są równe zero mamy zespół kanoniczny, gdy tylko C jest równe zero to mamy wielki zespół kanoniczny, gdy D jest równe zero mamy statystykę (T,P,N) a gdy C i D są nierówne zero to mamy statystykę (T,p,μ). Jeśli przyjmiemy, że stała C jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania {{LinkWzór|21.24}} cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą C, która jest wyrażona w zależności od parametru &beta; i ciśnienia p. {{CentrujWzór|<MATH>\beta{{\partial \overline E}\over{\partial \overline V}}+C=0\Rightarrow -\beta p+C=0\Rightarrow C=\beta p\;</MATH>|21.25}} Jeśli przyjmiemy, że stała D jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania {{LinkWzór|21.24}} cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą D, która jest wyrażona w zależności od parametru &beta; i potencjału chemicznego &mu;. {{CentrujWzór|<MATH>\beta{{\partial\overline{E}}\over{\partial\overline{N}}}+D=0\Rightarrow D=-\beta\mu\;</MATH>|21.26}} Rozkład Boltzmanna zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|21.6}}, rozkład Fermiego zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|21.13}} i Bosego zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|21.20}} możemy zapisać po uzupełnienia w nich za definicję stałej "B" wzór {{LinkWzór|21.21}}, stałej "C" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór {{LinkWzór|21.23}} i stałej "D" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór {{LinkWzór|21.24}}, to wtedy: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Boltzmanna}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Fermiego}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Bosego}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i=Ne^{-\beta\epsilon_i}</MATH>|B1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta\epsilon_i}+1}}</MATH>|B2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta\epsilon_i}-1}}</MATH>|B3}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i=\overline Ne^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}</MATH>|B4}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}+1}}</MATH>|B5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}-1}}</MATH>|B6}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i=Ne^{-\beta(\epsilon_i+pV_i)}</MATH>|B7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}+1}}</MATH>|B8}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}-1}}</MATH>|B9}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i=\overline Ne^{-\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}</MATH>|B10}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}+1}}</MATH>|B11}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}-1}}</MATH>|B12}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> brgk764ni5z506wojdz9lds0s4uekan 0 18881 558699 548258 2026-10-05T03:51:35Z Persino 2851 558699 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor. == Czterowektor wielkości tensorowych == Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego {{Formuła|<MATH>T^{\mu}\;</MATH>}} i kowariantnego {{Formuła|<MATH>T_{\mu}\;</MATH>}}, mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.76|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}: {{CentrujWzór|<MATH>T^{\mu}=\begin{bmatrix}T_t\\\vec T\end{bmatrix}=[T_t,T_x,T_y,T_z]^T\wedge T_{\mu}=T^{\nu}\eta_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}\pm T_t\\\mp\vec T\end{bmatrix}=[\pm T_t,\mp T_x,\mp T_y,\mp T_z]^T\;</MATH>|G1}} == Tensor położenia w czasoprzestrzeni == Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni. Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny: {{CentrujWzór|<MATH>x^{\mu}=\left[ct,x,y,z,...\right]^T=\begin{bmatrix}ct\\x^i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ct\\\vec{r}\end{bmatrix}\wedge x_{\mu}=x^{\nu}\eta_{\nu\mu}=\left[\pm ct,\mp x,\mp y,\mp z,...\right]^T=\begin{bmatrix}\pm ct\\\mp x^i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pm ct\\\mp\vec{r}\end{bmatrix}\;</Math>|2.1}} * gdzie pierwsza współrzędna {{Formuła|<MATH>x^0=ct\;</MATH>}} jest to współrzędna czasowa, a {{Formuła|<MATH>x^i=\vec r=\left[x,y,z,...\right]^T\;</MATH>}} jest to położenie w przestrzeni zwykłej. == Tensor prędkości w czasoprzestrzeni == Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x{{Sup|&mu;}} {{LinkWzór|2.1}} względem interwału czasoprzestrzennego: {{CentrujWzór|<MATH>u^{\mu}={{dx^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.2}} * gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie {{LinkWzór|1.74a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} (przestrzeń nieprostokątna) i {{LinkWzór|1.74b|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i {{LinkWzór|1.80a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} dla mechaniki Newtona. === Szczególna teoria względności === Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości {{LinkWzór|2.2}} wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem {{LinkWzór|1.74a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>u^0={{dx^0}\over{ds}}={{cdt}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=\gamma\;</MATH>|2.3}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>u^i={{dx^i}\over{ds}}={{dx^0}\over{ds}}={{dx^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}={{v^i}\over{c}}\gamma\;</MATH>|2.4}} }} Zbierając wnioski {{LinkWzór|2.3}} (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i {{LinkWzór|2.4}} (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>u^{\mu}=\begin{bmatrix}u^0\\u^i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u^0\\\vec u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma\\{{\vec{v}}\over{c}}\gamma\end{bmatrix}={{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}c\\\vec v\end{bmatrix}={{\gamma}\over{c}}v^{\mu}\wedge v^{\mu}=\begin{bmatrix}c\\v^i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\\vec v\end{bmatrix}\;</MATH>|2.5}} === Mechanika Newtona === Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x{{Sup|&mu;}} {{LinkWzór|2.1}} względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie {{LinkWzór|2.2}}. Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości {{LinkWzór|2.2}} wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem {{LinkWzór|1.80a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>u^0={{dx^0}\over{ds}}={{cdt}\over{cdt}}=1\;</MATH>|2.3a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>u^i={{dx^i}\over{ds}}={{dx^i}\over{cdt}}={{v^i}\over{c}}\;</MATH>|2.4a}} }} Zbierając wnioski {{LinkWzór|2.3a}} (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i {{LinkWzór|2.4a}} (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>u^{\mu}=\begin{bmatrix}u^0\\u^i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u^0\\\vec u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\{{\vec{v}}\over{c}}\end{bmatrix}={{1}\over{c}}\begin{bmatrix}c\\\vec v\end{bmatrix}={{v^{\mu}}\over{c}}\wedge v^{\mu}=\begin{bmatrix}c\\v^i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\\\vec v\end{bmatrix}\;</MATH>|2.5a}} Patrząc na {{LinkWzór|2.5a}} wielkości {{Formuła|<MATH>u^{\mu}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>v^{\mu}\;</MATH>}} są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości. == Interwał czasoprzestrzenny == Będziemy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego. === Szczególna teoria względności === Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego {{LinkWzór|1.75|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia {{LinkWzór|2.1}}, zatem wzór {{LinkWzór|1.74a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=\pm\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\Rightarrow 1=\pm\eta_{\mu\nu}{{dx^{\mu}}\over{ds}}{{dx^{\nu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.6}} Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie {{LinkWzór|2.2}}, to końcową tożsamość wynikową {{LinkWzór|2.6}} przepisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>1=\pm\eta_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}\;</MATH>|2.7}} Co {{LinkWzór|2.7}} i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego &eta;{{Sub|ij}}, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu: {{CentrujWzór|<MATH>1=\pm u_{\nu}u^{\nu}\;</MATH>|2.8}} === Mechanika Newtona === Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.77|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} w szczególnej teorii względności przy {{Formuła|<MATH>||\vec v||<<c\;</MATH>}}, które spełnia mechanika Newtona, jest {{LinkWzór|1.80a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} znając definicję tensora prędkości {{LinkWzór|2.2}} przepiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>ds=cdt\Rightarrow 1={{dct}\over{ds}}={{dx^0}\over{ds}}=u^0\Rightarrow u^0=1\wedge v^0=u^0c=c\Rightarrow v^0=c\;</MATH>|2.8aa}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.8aa}} w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła {{Formuła|<MATH>v^0=c\;</MATH>}}, co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem {{LinkWzór|2.5a}}. == Tensor pędu w czasoprzestrzeni == Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|2.2}}, masy spoczynkowej badanego ciała m{{Sub|0}} i prędkości światła w próżni: {{CentrujWzór|<MATH>p^{\mu}=m_0 cu^{\mu}\;</MATH>|2.8a}} === Szczególna teoria względności === Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie {{LinkWzór|2.5}}, wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc{{Sup|2}} jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c. {{CentrujWzór|<MATH>p^0=m_0cu^0=m_0 c\gamma=m_0\gamma c=mc={{mc^2}\over{c}}={{E_r}\over{c}}\;</MATH>|2.9}} I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v{{Sup|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>p^i=m_0c u^i=m_0 c{{v^i}\over{c}}\gamma=m_0\gamma v^i=m v^i\;</MATH>|2.10}} Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli {{LinkWzór|2.9}}, i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego {{LinkWzór|2.10}}, zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>p^{\mu}=\begin{bmatrix}{{E_r}\over{c}}\\\vec{p}\end{bmatrix}\;</MATH>|2.11}} === Mechanika Newtona === Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie {{LinkWzór|2.5}}, wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc{{Sup|2}} jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c. {{CentrujWzór|<MATH>p^0=m_0cu^0=m_0 c={{m_0c^2}\over{c}}={{E_0}\over{c}}\;</MATH>|2.91}} I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v{{Sup|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>p^i=m_0c u^i=m_0 c{{v^i}\over{c}}=m_0v^i\;</MATH>|2.101}} Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli {{LinkWzór|2.91}}, i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego {{LinkWzór|2.101}}, zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>p^{\mu}=\begin{bmatrix}{{E_0}\over{c}}\\\vec{p}\end{bmatrix}\;</MATH>|2.111}} === Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego === Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona. ==== Szczególna teoria względności ==== Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu {{LinkWzór|2.11}}, zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>{p^'}^{\mu}=\begin{bmatrix}{{E^'_r}\over{c}}\\\vec{p}'\end{bmatrix}={M^{\mu}}_{\nu}p^{\nu}=\begin{bmatrix} \gamma&-\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\ -M_p{{\vec{V}}\over{c}}&M_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{E_r}\over{c}}\\\vec p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{\gamma}\over{c}}E_r-\gamma{{\left(\vec V,\vec p\right)}\over{c}}\\-M_p{{\vec V}\over{c}}{{E_r}\over{c}}+M_p\vec p\end{bmatrix}\;</MATH>|2.12}} Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z {{LinkWzór|2.12}} postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E^'_r=\gamma\left(E_r-(\vec V,\vec p)\right)\;</MATH>|2.13}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec p^'=M_p\left(\vec p-{{\vec V}\over{c^2}}E_r\right)=M_p\left(\vec p-m\vec V\right)\;</MATH>|2.14}} }} Mamy już transformację wektora pędu według {{LinkWzór|2.14}}, przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec p=\vec p_{||}+\vec p_{\perp}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec p_{||}^'=\gamma C_p\left(\vec p_{||}-m\vec V\right)\;</MATH>|2.15}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec p_{\perp}^'=C_{p}\vec p_{\perp}\;</MATH>|2.16}} }} Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH>{\vec {p}^'_{\perp}}^2={\vec {p}^'}_{\perp}^TA^'{\vec p}^'_{\perp}=\vec p_{\perp}^TC_p^TA^'C_p\vec p_{\perp}=\vec p_{\perp}^TA\vec p_{\perp}=\vec p^2_{\perp}\Rightarrow {{\vec p}^'_{\perp}}^2=\vec p_{\perp}^2\Rightarrow |{\vec p}_{\perp}^'|=|\vec p_{\perp}|\;</MATH>|2.17}} Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości. ==== Mechanika Newtona ==== Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu {{LinkWzór|2.111}}, zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji {{LinkWzór|1.63d|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>{p^'}^{\mu}=\begin{bmatrix}{{E^'_0}\over{c}}\\\vec{p}'\end{bmatrix}={M^{\mu}}_{\nu}p^{\nu}=\begin{bmatrix} 1&0\\ -C_p{{\vec{V}}\over{c}}&C_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{E_0}\over{c}}\\\vec p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{E_0}\over{c}}\\-C_p{{\vec V}\over{c}}{{E_0}\over{c}}+C_p\vec p\end{bmatrix}\;</MATH>|2.121}} Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z {{LinkWzór|2.121}} postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E^'_0=E_0\Rightarrow m_0^'=m_0\;</MATH>|2.131}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec p^'=C_p\left(\vec p-{{\vec V}\over{c^2}}E_0\right)=C_p\left(\vec p-m_0\vec V\right)\;</MATH>|2.141}} }} Na podstawie {{LinkWzór|2.131}} masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według {{LinkWzór|2.141}}, przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec p=\vec p_{||}+\vec p_{\perp}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec p_{||}^'=C_p\left(\vec p_{||}-m_0\vec V\right)\;</MATH>|2.151}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec p_{\perp}^'=C_{p}\vec p_{\perp}\;</MATH>|2.161}} }} Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH>{\vec p^'_{\perp}}^2={{\vec p}^'_{\perp}}^TA^'\vec p^'_{\perp}=\vec p_{\perp}^TC_p^TA^'C_p\vec p_{\perp}=\vec p_{\perp}^TA\vec p_{\perp}=\vec p^2_{\perp}\Rightarrow {{\vec p}^'_{\perp}}^2=\vec p_{\perp}^2\Rightarrow |{\vec p}_{\perp}^'|=|\vec p_{\perp}|\;</MATH>|2.171}} Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości. == Tensor siły w czasoprzestrzeni == N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu {{LinkWzór|2.8a}} względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie {{LinkWzór|1.74a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} (lub {{LinkWzór|1.74b|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}): {{CentrujWzór|<MaTH>K^{\mu}={{dp^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.18}} === Szczególna teoria względności === Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły {{LinkWzór|2.18}} i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina {{LinkWzór|1.110|Trzy zasady dynamiki Einsteina}}: {{CentrujWzór|<MATH>K^i={{dp^i}\over{cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}={{dp^i}\over{dt}}{{\gamma}\over{c}}=F^i{{\gamma}\over{c}}\;</MATH>|2.19}} Wedle wzoru {{LinkWzór|2.13}} siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{K}{{c}\over{\gamma}}\Rightarrow \vec K={{\gamma}\over{c}}\vec F\;</MATH>|2.20}} Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru {{LinkWzór|2.7}} i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m{{Sub|0}}c){{Sup|2}} i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu {{LinkWzór|2.8}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>m_0^2c^2=\eta_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu}\;</MATH>|2.21}} Zróżniczkujmy obie strony równania {{LinkWzór|2.15}} względem linii światła: {{CentrujWzór|<MATH>0=\eta_{\mu\nu}\left({{dp^{\mu}}\over{ds}}p^{\nu}+p^{\mu}{{dp^{\nu}}\over{ds}}\right)\Rightarrow 0=\eta_{\mu\nu}{{dp^{\mu}}\over{ds}}p^{\nu}+\eta_{\mu\nu}p^{\mu}{{dp^{\nu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.22}} Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość {{LinkWzór|2.22}} po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu &mu;&rarr;&nu; i &nu;&rarr;&mu;, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną: {{CentrujWzór|<MATH>0=\eta_{\mu\nu}p^{\mu}{{dp^{\nu}}\over{ds}}\Rightarrow 0=p_{\nu}{{dp^{\nu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.23}} Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły {{LinkWzór|2.18}} we wzorze {{LinkWzór|2.23}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>0=p_{\nu}K^{\nu}\;</MATH>|2.24}} W równaniu {{LinkWzór|2.18}} wydzielamy części przestrzenne (&nu;=1,2,3) od jej elementów czasowego (&nu;=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły {{LinkWzór|2.18}}, właśnie ten element można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>0=p_0K^0+p_iK^i\Rightarrow K^0=-{{p_iK^i}\over{p_0}}=-{{p_iF^i\gamma/c}\over{E_r/c}}=-{{-p^ia_{ij}F^j}\over{E_r}}\gamma={{\vec{p}^TA\vec{F}}\over{E_r}}\gamma={{\left(\vec{p},\vec{F}\right)}\over{E_r}}\gamma\;</MATH>|2.25}} Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski {{LinkWzór|2.19}} (część przestrzenna tensora siły) i {{LinkWzór|2.19}} (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>K^{\mu}=\begin{bmatrix}{{\left(\vec{p},\vec{F}\right)}\over{E_r}}\gamma\\\vec{F}{{\gamma}\over{c}}\end{bmatrix}={{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\left({{\vec v}\over{c}},\vec{F}\right)\\\vec{F}\end{bmatrix}={{\gamma}\over{c}}F^{\mu}\wedge F^{\mu}=\begin{bmatrix}\left({{\vec v}\over{c}},\vec{F}\right)\\\vec{F}\end{bmatrix}\;</MATH>|2.27}} Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} względem układu K, i dalej ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>K^{\mu}\;</MATH>}} jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły {{Formuła|<MATH>F^{\mu}\;</MATH>}} w {{LinkWzór|2.27}} nie jest tensorem, a {{Formuła|<MATH>K^{\mu}\;</MATH>}} jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w {{LinkWzór|2.27}}, a w mechanice Newtona według {{LinkWzór|2.18}} na podstawie definicjni tensora prędkości {{LinkWzór|2.5a}} mamy: === Mechanika Newtona === W mechanice Newtona według {{LinkWzór|2.18}} na podstawie definicjni tensora prędkości {{LinkWzór|2.5a}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>K^{\mu}=\begin{bmatrix}0\\{{1}\over{c}}\vec{F}\end{bmatrix}={{1}\over{c}}\begin{bmatrix}0\\\vec F\end{bmatrix}={{1}\over{c}}F^{\mu}\wedge F^{\mu}=\begin{bmatrix}0\\\vec F\end{bmatrix}\;</MATH>|F1}} Wielkości w {{LinkWzór|F1}}, tzn.: {{Formuła|<MATH>K^{\mu}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>F^{\mu}\;</MATH>}} są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe {{Formuła|<MATH>F^{\mu}\;</MATH>}} są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły: {{CentrujWzór|<MATH>\vec K={{1}\over{c}}\vec F\;</MATH>|F2}} == Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas == Mając tensory położenia {{LinkWzór|2.1}} i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas: {{CentrujWzór|<MATH>X^{\mu}={{\sum_{k}m_kx^{\mu}_{k}}\over{\sum_km_k}}\;</MATH>|2.28}} Gdzie {{Formuła|<MATH>x^{\mu}_k\;</MATH>}} to tensor położenia ciała o numerze {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>X^{\mu}\;</MATH>}} to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej {{Formuła|<MATH>\lambda\;</MATH>}} możemy napisać w postaci podobnej do {{LinkWzór|1.114|Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona}},tzn: {{CentrujWzór|<MATH>\left({X^{\mu}}\right)^{(n)}(\lambda)={{\sum_{k}m_k\cdot\left({x^{\mu}_{k}}\right)^{(n)}(\lambda)}\over{\sum_km_k}}\;</MATH>|2.29}} Wzór {{LinkWzór|2.29}} podobnie się udowadnia jak wzór {{LinkWzór|1.114|Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona}}. A więc twierdzenie {{LinkWzór|2.29}} zostało udowodnione. Wzory {{LinkWzór|2.28}} i {{LinkWzór|2.29}} są równoważne ze wzorami {{LinkWzór|1.113|Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona}} i {{LinkWzór|1.114|Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona}} dla {{Formuła|<MATH>\mu=i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\lambda=t\;</MATH>}}. Gdy we wzorze {{LinkWzór|2.28}} mamy {{Formuła|<MATH>m_{k}=m_{0k}\gamma\;</math>}}, gdzie w nim {{Formuła|<MATH>m_{0k}\;</MATH>}} to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}}, a także {{Formuła|<MATH>x^{0}=t\;</MATH>}}, to wtedy dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>t\sum_km_{k}=\sum_km_{k}t\Rightarrow\sum_km_{k}=\sum_km_{k}\wedge M_0=\sum_km_{0k}\wedge M=\sum_km_{0k}\gamma_k\Rightarrow M_0\Gamma=M\Rightarrow M_0={{\sum_km_{0k}\gamma_k}\over{\Gamma}}={{M}\over{\Gamma}}\;</MATH>|2.30}} Widzimy, że według wzoru {{LinkWzór|2.30}} masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór {{LinkWzór|2.28}} dla {{Formuła|<MATH>\mu=0\;</MATH>}} jest tożsamością. Stąd wzór {{LinkWzór|2.29}} jest słuszny dla każdego {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} dla {{Formuła|<MATH>\lambda=t\;</MATH>}}. A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez {{Formuła|<MATH>\Gamma\;</MATH>}}, które jest zdefiniowane wzorem {{LinkWzór|1.106|Trzy zasady dynamiki Einsteina}}(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}. Przepiszmy wzór {{LinkWzór|2.29}} dla {{Formuła|<MATH>\mu=i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\lambda=t\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>n=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_k=m_{0k}\gamma_k\;</MATH>}}, co po przekształceniu go wykorzystując {{LinkWzór|2.30}} i {{LinkWzór|2.5}} oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{V^i}\over{c}}M=\sum_i m_i {{v^i}\over{c}}\Rightarrow {{V^i}\over{c}}M_0\Gamma=\sum_km_{0k}\gamma_k{{v^i_k}\over{c}}\Rightarrow U^iM_0=\sum_k m_{0k}u^i_k\;</MATH>|2.31}} Stąd na podstawie {{LinkWzór|2.31}} mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi {{Formuła|<MATH>{{dx^0}\over{cdt}}={{cdt}\over{cdt}}=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>u^0=\gamma{{dx^0}\over{cdt}}=\gamma\;</MATH>}} według {{LinkWzór|2.5}}, to możemy napisać w prawej i lewej stronie {{LinkWzór|2.30}} wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości {{Formuła|<MATH>{{dx^0_k}\over{cdt}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{dX^0_k}\over{cdt}}\;</MATH>}}, a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych: {{CentrujWzór|<MATH>U^0M_0=\sum_km_{0k}u^0_k\;</MATH>|2.32}} Łącząc wzory {{LinkWzór|2.31}} i {{LinkWzór|2.32}} ze sobą w jeden wzór dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>U^{\mu}={{\sum_im_{0i}u^{\mu}_i}\over{M_0}}\;</MATH>|2.33}} Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas {{Formuła|<MATH>M_0\;</MATH>}} jest zdefiniowana według {{LinkWzór|2.30}}. == Tensor siły dla środka mas == Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka {{LinkWzór|2.6}} dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie {{LinkWzór|1.113|Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona}} o środku mas układu cząstek, to wzory {{LinkWzór|2.18}} i {{LinkWzór|2.27}} są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły {{LinkWzór|1.121|Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona}} ogólnie dla środka mas układów cząstek, a {{LinkWzór|1.121|Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona}} udowodniliśmy wychodząc z {{LinkWzór|1.110|Trzy zasady dynamiki Einsteina}}. Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe. == Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych) == A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować. {{Twierdzenie|uchwyt=GH|jakie=pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych)|tekst= W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} (popatrz na definicję macierzy transformacji {{LinkWzór|B5|Przechodniość macierzy transformacji}} w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, czy zakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić w układach globalnie (lokalnie) płaskich, by potem przejść do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero. }} * 1. A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>u^{\mu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0</MATH>|Ld}} W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości {{LinkWzór|Ld}} jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej {{LinkWzór|4.44abc|Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości}} i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}. Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji {{LinkWzór|B5|Przechodniość macierzy transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}u^{\mu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=\overline u^{\nu}{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0\;</MATH>|Ld1}} Wyraz w {{LinkWzór|Ld1}} jest równy zero ze względu, że wyraz {{Formuła|<MATH>{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}=0\;</MATH>}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero. * 2. A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}=0\Rightarrow\lim_{V\rightarrow 0}\int u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int\left((u^iu^{\mu})_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right)dV=\lim_{S\rightarrow 0}\int u^iu^{\mu}dS_i-\lim_{V\rightarrow 0}\int u^{\mu}{u^i}_{,i}dV=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V {u^i}_{,i}dV=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i=0\;</MATH>|Ld2}} A więc przejście od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wyrażenia {{LinkWzór|Ld2}} do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) daje nam jego wartość zero. * 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S(\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u^jdS_j=0\Rightarrow \lim_{V\rightarrow}\int_V\left((\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u_j\right)_{,j}dV= \lim_{V\rightarrow 0}\int_V\Big((\rho_0c^2+p)_{,j}u^{\mu}u^j+(\rho_0c^2+p){u^{\mu}}_{,j}u^j+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+(\rho_0 c^2+p)u^{\mu}{u^j}_{,j}\Big)dV= u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^j}_{,j}dV=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{d}\over{ds}}\left(\rho_0c^2+p\right)dV+(\rho_0c^2+p)\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{u^{\mu}}_{,j}u^jdV+(\rho_0c^2+p)u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_Su^jdS_j=0\;</MATH>|Ld3a}} Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej {{LinkWzór|4.44abc|Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości}} i niezależności ciśnienia {{LinkWzór|r6|Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości}} względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w {{LinkWzór|Ld3a}} jest równy zero na podstawie przykładu {{LinkWzór|Ld2}}. Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według {{LinkWzór|W.9da|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}. A więc przejście całki {{LinkWzór|Ld3a}} od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero. == Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów == Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał). === Szczególna teoria względności === Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności. ==== Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie ==== Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci {{LinkWzór|2.18}}, piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości {{LinkWzór|4.6a|Własności czasoprzestrzeni}} (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej, możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>dK^{\mu}=dm_0c{{du^{\mu}}\over{ds}}=\rho_0cdV_0{{du^{\mu}}\over{ds}}=\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}dV\Rightarrow {{dK^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>|2.42}} Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci {{LinkWzór|2.42}}. Korzystając z definicji gęstości tensora siły {{Formuła|<MATH>{{dK^{\mu}}\over{dV}}</MATH>}} według wzoru {{LinkWzór|2.42}} przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły {{Formuła|<MATH>{{dF^{\mu}}\over{dV}}</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|2.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dK^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}\Rightarrow{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{dt}}\;</MATH>|2.42a}} Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci {{LinkWzór|2.42a}}, jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru &gamma; i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t. ==== Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości ==== Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu {{LinkWzór|2.42}} przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy {{LinkWzór|4.44abc|Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości}} oraz twierdzenie {{LinkTwierdzenie|GH}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dK^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{ds}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}{{dt}\over{ds}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\Bigg(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}{{\gamma}\over{c}}\Bigg)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\right)dV=\rho_0c\gamma \lim_{V\rightarrow 0}\int_Vu^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\rho_0c\gamma \lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left[\left(u^iu^{\mu}\right)_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right]dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\rho_0c\gamma u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Su^idS_i-\rho_0c\gamma u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Su^{i}dS_i+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV-cu^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0\gamma}\over{\partial s}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}dV\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>{{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial s}}\rho v^{\mu}\;</MATH>|2.38}} Wzór na gęstość tensora siły {{LinkWzór|2.38}} zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w {{LinkWzór|2.38}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dK^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}dV=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}dV\Rightarrow{{dK^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\;</MATH>|2.38y1}} Wzór na gęstość tensora siły {{LinkWzór|2.38y1}} jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, &gamma; i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości {{LinkWzór|2.38}} i {{LinkWzór|2.38y1}} piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość {{LinkWzór|2.27}}, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>{{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial s}}\left(\rho v^{\mu}\right)\wedge {{dK^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial s}}\Rightarrow {{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\gamma}\over{c}}{{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho v^{\mu}\right)\wedge {{dK^{\mu}}\over{dV}}={{\gamma}\over{c}}\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}\Rightarrow{{dF^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\rho v^{\mu}\right)\wedge\;</MATH>{{Br}}<MATH>\wedge{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{\partial u^{\mu}}\over{\partial t}}\;</MATH>|2.35}} Wzory na gęstość tensora siły {{LinkWzór|2.38}} i {{LinkWzór|2.38y1}} są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi {{LinkWzór|2.42}} oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|2.35}} są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi {{LinkWzór|2.42a}} na mocy twierdzenia {{LinkTwierdzenie|GH}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych. ==== Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich ==== Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru {{LinkWzór|2.42a}}, a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według {{LinkWzór|1.110|Trzy zasady dynamiki Einsteina}}, a więc: {{CentrujWzór|<MATH>{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0c\gamma{{du^{\mu}}\over{dt}}\;</MATH>|2.43}} Napiszmy z definicji delty Diraca: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\gamma dV={{dm_0}\over{dV}}dV=m_0\delta^n(\vec r-\vec r_0)dV\;</MATH>|2.44}} * gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej. Na podstawie {{LinkWzór|2.43}} i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>F^{\mu}=\int_V{{dF^{\mu}}\over{dV}}dV=m_0\int_V\delta^n(\vec r-\vec r_0)c{{du^{\mu}}\over{dt}}dV\Rightarrow F^{\mu}=m_0c{{du^{\mu}}\over{dt}}\Rightarrow F^{\mu}={{dp^{\mu}}\over{dt}}\Rightarrow\vec F={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|2.45}} Stąd wzór {{LinkWzór|2.43}} dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór {{LinkWzór|2.45}} (końcowy wzór), czyli w {{LinkWzór|1.110|Trzy zasady dynamiki Einsteina}}. Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci {{LinkWzór|2.18}}, a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie {{LinkWzór|2.42}} (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych. === Mechanika Newtona === Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona. ==== Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie ==== Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego|Mechanika teoretyczna|MT}}, piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy), możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>dF^{\mu}=dm_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}=\rho_0dV{{dv^{\mu}}\over{dt}}=\rho_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}dV\Rightarrow {{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0{{d v^{\mu}}\over{dt}}\;</MATH>|2.42s}} Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci {{LinkWzór|2.42s}}, jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t. ==== Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości ==== Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu {{LinkWzór|2.42s}} przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości {{LinkWzór|W.9da1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej {{LinkWzór|4.44abc|Pewne prawa w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości}} oraz twierdzenie {{LinkTwierdzenie|GH}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dF^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0 v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}\right)dV=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+{{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}-v^{\mu}{{\partial\rho_0}\over{\partial t}}\right)dV=\rho_0\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\left(v^iv^{\mu}\right)_{,i}-{v^i}_{,i}v^{\mu}\right)dV+ \lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}-v^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0}\over{\partial t}}dV=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \rho_0v^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Sv^idS_i-\rho_0v^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\int_Sv^idS_i+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}dV-v^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial\rho_0}\over{\partial t}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}dV\Rightarrow{{dF^{\mu}}\over{dV}}={{\partial}\over{\partial t}}\rho v^{\mu}\;</MATH>|2.38s}} Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w {{LinkWzór|2.38s}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{V\rightarrow 0}\int_V{{dF^{\mu}}\over{dV}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\left(\rho_0v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}+\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}\right)dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0v^{i}{{\partial v^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV+\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int_V\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}dV\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0{{\partial v^{\mu}}\over{\partial t}}\;</MATH>|2.38y}} Wzór {{LinkWzór|2.38y}} jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły {{LinkWzór|2.38s}} i {{LinkWzór|2.38y}} są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi {{LinkWzór|2.42s}} na mocy twierdzenia {{LinkTwierdzenie|GH}} w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych. ==== Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich ==== Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru {{LinkWzór|2.42s}}, a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według {{LinkWzór|1.110|Trzy zasady dynamiki Einsteina}}, a więc: {{CentrujWzór|<MATH>{{dF^{\mu}}\over{dV}}=\rho_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}\;</MATH>|2.43s}} Napiszmy z definicji delty Diraca: {{CentrujWzór|<MATH>dV=dV_0\wedge dm=dm_0\wedge\rho_0dV_0=dm_0={{dm_0}\over{dV}}dV=m_0\delta^n(\vec r-\vec r_0)dV\;</MATH>|2.44s}} * gdzie n to wymiar przestrzeni zwykłej. Na podstawie {{LinkWzór|2.43s}} i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: {{CentrujWzór|<MATH>F^{\mu}=\int_V{{dF^{\mu}}\over{dV}}dV=m_0\int_V\delta^n(\vec r-\vec r_0){{dv^{\mu}}\over{dt}}dV\Rightarrow F^{\mu}=m_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}\Rightarrow F^{\mu}={{dp^{\mu}}\over{dt}}\Rightarrow\vec F={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|2.45s}} Stąd wzór {{LinkWzór|2.43s}} dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór {{LinkWzór|2.45s}} (końcowy wzór), czyli w {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego|Mechanika teoretyczna|MT}}. Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabozakrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego|Mechanika teoretyczna|MT}}, a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie {{LinkWzór|2.42s}} (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 70l2bs87yb5zjampf2oyqzg7xm29mrg 0 18883 558697 548269 2026-10-05T03:42:02Z Persino 2851 558697 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Tutaj zajmować się będziemy wnioskami wynikającymi z własności czasoprzestrzeni. == Dylatacja czasu == Zakładamy, że prędkość nowego układu współrzędnych jest stała i wynosi {{Formuła|<Math>\vec{V}\;</MATh>}}, zatem zakładając, że czas początkowy, który liczymy w starym i nowym układzie współrzędnych tak by był równy zero, zatem na podstawie {{LinkWzór|1.66b|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta t'={{\Delta t-{{(\vec{V},\Delta \vec{x})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.1}} Połóżmy sobie w nowym układzie odniesienia, że mamy spoczywający sobie zegar, czyli w tym przypadku jest na pewno {{Formuła|<MATH>\Delta \vec{x}=0\;</MATH>}}, zatem w takiej sytuacji różnica pomiędzy dwoma zdarzeniami zwana czasem własnym wynosi: &Delta;t=τ{{Sub|0}}, oraz czas w starym układzie współrzędnych jest dany przez wzór &Delta; t'=τ, a zatem na podstawie {{LinkWzór|4.1}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\tau=\Delta t^'={{\overbrace{\Delta t}^{\tau_0}-{{(\vec{V},\overbrace{\Delta \vec{x}}^0)}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{\tau_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.2}} A zatem dylatacja czasu wedle dyskusji {{LinkWzór|4.2}}, której to przepisujemy jego końcowy wynik poniżej, który wyraża się jako transformacja czasu &tau;, w układzie w którym obserwator porusza się z prędkością u względem układu spoczywającego &tau;{{Sub|0}}, w którym dany obserwator spoczywa. {{CentrujWzór|<MATH>\tau={{\tau_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.3}} A więc czas się wydłuża w układzie K' względem ciała spoczywającego w układzie K. Gdy prędkość ciała jest równa prędkości światła, to przy skończonym czasie &tau; w nowym układzie współrzędnych poruszających się V=c, wtedy jego czas własny wynosi zero, zatem w tym przypadku w nim wcale nie ma upływu czasu. == Skrócenie długości == Zakładając, że prędkość układu jest stała. Ciało w układzie K spoczywa. Będziemy wykorzystywać wzór {{LinkWzór|1.65a|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}}. Niech mamy pręt, który jest pod pewnym kątem względem prędkości nowego układu współrzędnych względem nowego {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, napiszmy wektor, który jest równoległy do tego pręta {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}} o wartości, którego jest to długość tego pręta, wtedy po rozłożeniu tego wektora na składową równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} względem starego, wtedy otrzymujemy wektor {{Formuła|<MATH>\Delta \vec x_{||}\;</MATH>}}, który ma długość {{Formuła|<MATH>l_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec x^'_{||}=C_p{{\Delta \vec x_{||}-\vec V\Delta t}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=C_p{{\Delta\vec x_{||}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\Rightarrow|\Delta \vec x^'_{||}|^2=(\Delta\vec x^'_{||},\Delta \vec x^'_{||})={{\Delta\vec x^T_{||}C_p^TA^'C_p\Delta \vec x_{||}}\over{{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{\Delta\vec x^T_{||}A\Delta \vec x_{||}}\over{{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{|\Delta\vec x_{||}|^2}\over{{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow|\Delta\vec x^'_{||}|={{|\Delta \vec x_{||}|}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{l_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}</MATH>|4.4}} Ponieważ długość {{Formuła|<MATH>\Delta x_{||}\;</MATH>}} liczymy w tym samym czasie a wiec ona jest równa długości własnej l{{Sub|0}} w układzie K, w którym ciało spoczywa, podobnie liczmy też ten wektor ale w nowym układzie współrzędnych. Liczona różnica {{Formuła|<MATH>|\Delta \vec x^'_{||}|\;</MATH>}} odpowiada różnicy czasów w K', tzn. {{Formuła|<MATH>\Delta t^'\;</MATH>}}, wiedząc że w starym układzie odniesienia mamy &Delta; t=0, zatem według wzoru {{LinkWzór|1.66a|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} różnica czasów pomiędzy dwoma końcami pręta poruszającego się w nowym układzie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta t'={{-{{(\vec V,\Delta\vec x_{||})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}={{-{{Vl_0}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.5}} Długość l, który jest długością składowej wektora równoległego do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}. Jego prawy koniec znajduje się w przeszłości o różnicę czasu &Delta; t, zatem do długości {{LinkWzór|4.4}} musimy dodać do niego wielkość V'&Delta; t', tak aby prawy i lewy koniec naszego rozważanego pręta były liczone w tym samym czasach w obydwu jego końcach. Układ K jest dla niego układem własnym nieporuszających się, a K' jest układem poruszającym się z prędkością o wartości V'=V jak udowodniono w {{LinkWzór|1.33b|Transformacje prędkości - początek rozważań}}. {{CentrujWzór|<MATH>l=\left|\Delta\vec x^'_{||}\right|-V^'\left|\Delta t^'\right|={{l_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}-V{{{{Vl_0}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}= l_0{{\left(\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right)^2}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=l_0\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\;</MATH>|4.6}} Możemy przepisać wynik z punktu {{LinkWzór|4.6}}, wtedy długość danej składowej równoległej do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} w układzie, w którym pręt porusza się z prędkością V jest równa {{Formuła|<MATH>l\;</math>}}, a jest ona wyrażona w zależności od długości {{Formuła|<MATH>l_0\;</MATH>}} w układzie w którym pręt spoczywa: {{CentrujWzór|<MATH>l=l_0\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\;</MATH>|4.6a|Obramuj}} Stąd wychodzi, że ciało spoczywające w układzie spoczynkowym K ma największą długość, w innych układach różnych niż K długość układu jest mniejsza, czyli zawsze zachodzi l<l{{Sub|0}}. == Transformacja częstotliwości fali elektromagnetycznej dla względnej prędkości źródła i odbiornika == Będziemy tutaj rozpatrywać, gdy odbiornik spoczywa i źródło się porusza, a także gdy odbiornik jest w ruchu, a źródło spoczywa. === Odbiornik spoczywa, a źródło się porusza === Załóżmy, że mamy oś OX, w którym źródło fali elektromagnetycznej (układ K'), porusza się zgodnie z kierunkiem wzrostu osi OX. Odbiornik fali elektromagnetycznej znajduje się w punkcje x{{Sub|1}}, czyli dla naszego przypadku, gdy fala zostanie wysłana odwrotnie do kierunku ruchu nadajnika z pewnym maksimum (zakładamy, że źródło oddala się od odbiornika i odbiornik znajduje się przed źródłem), to ona dojdzie w czasie t{{Sub|1}}. {{CentrujWzór|<MATH>x_1=x_0-ct_1\;</MATH>|4.7}} Po czasie T'{{Sub|0}} względem naszego układu , źródło fali elektromagnetycznej ponownie wysyła np. maksimum drań, zatem on dopłynie do odbiornika w czasie t{{Sub|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>x_1=x_0+V T'_0-c(t_2-T_0^')\;</MATH>|4.8}} Przyrównując oba wzory na x{{Sub|1}}, czyli w tym przypadku {{LinkWzór|4.7}} i {{LinkWzór|4.8}}, i wiedząc, że mamy T=t{{Sub|2}}-t{{Sub|1}}, w takim przypadku można powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>x_0-ct_1=x_0+V T'_0-c(t_2-T'_0)\Rightarrow-c T+cT'_0+VT'_0=0\Rightarrow T=T'_0\left(1+{{V}\over{c}}\right)\;</MATH>|4.9}} Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu {{LinkWzór|4.3}} i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym nadajnika T{{Sub|0}} (w układzie, w którym nadajnik spoczywa), i w starym układzie odniesienia (w układzie, w której nadajnik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T'{{Sub|0}}, to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>T'_0={{T_0}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.10}} Idąc dalej podstawiając {{LinkWzór|4.10}} do końcowego wynikowego wzoru {{LinkWzór|4.9}}, bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia T{{Sup|'}}{{Sub|0}} i względem nowego T{{Sub|0}}, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik T{{Sub|0}} i odbieranych przez odbiornik T: {{CentrujWzór|<MATH>T=T_0{{1+{{V}\over{c}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=T_0{{\left(\sqrt{1+{{V}\over{c}}}\right)^2}\over{\sqrt{1-{{V}\over{c}}}\sqrt{1+{{V}\over{c}}}}}=T_0\sqrt{{1+{{V}\over{c}}}\over{1-{{V}\over{c}}}}\;</MATH>|4.11}} Wiedząc, że częstość fali jest wyrażona wzorem {{Formuła|<MATH>\nu={{1}\over{T}}\;</MATH>}}, czyli jest odwrotnością okresu drań fali elektromagnetycznego w próżni, to wtedy transformacja częstości fali odbieranej w zależności częstości wysyłanej jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=\nu_0\sqrt{{1-{{V}\over{c}}}\over{1+{{V}\over{c}}}}\;</MATH>|4.12}} Możemy wyrazić długość fali &lambda; przez częstość w sposób {{Formuła|<MATH>\lambda={{c}\over{\nu}}\;</MATH>}}, czyli jest to odwrotność częstości fali elektromagnetycznego pomnożonej przez prędkość światła c, a długość fali transformuje się: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=\lambda_0\sqrt{{1+{{V}\over{c}}}\over{1-{{V}\over{c}}}}\;</MATH>|4.13}} Przy założeniach, że jeśli V>0, to wtedy źródło oddala się od odbiornika, oraz gdy V<0, to źródło przybliża się do odbiornika. Gdy prędkość źródła znajduje się pod kątem &alpha; względem linii odbiornik i źródło, co on znajduje się daleko od odbiornika, to wtedy on oddala się od niego z prędkością (tzn. składowa równoległa prędkości źródła do linii łączący odbiornik ze źródłem): {{CentrujWzór|<MATH>V^'=V\cos\alpha;\;</MATH>|4.14}} a dalej do wzoru na okres drgań {{LinkWzór|4.9}} stosujemy wzór {{LinkWzór|4.14}} i później tożsamość na dylatacje czasu {{LinkWzór|4.10}}, tzn. na wydłużenie czasu {{Formuła|<MATH>T_0\;</MATH>}} na czas {{Formuła|<MATH>T^'_0\;</MATH>}}, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>T=T_0{{1+{{V}\over{c}}\cos\alpha}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.15}} Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali, wtedy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\nu=\nu_0{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1+{{V}\over{c}}\cos\alpha}}\;</MATH>|4.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=\lambda_0{{1+{{V}\over{c}}\cos\alpha}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.17}} }} === Odbiornik się porusza, a źródło spoczywa === Załóżmy, że odbiornik oddala się od źródła i zakładamy, że odbiornik znajduje się za źródłem, wtedy równanie na położenie odbiornika w chwili {{Formuła|<MATH>t_1\;</MATH>}} przedstawia się wzorem na {{Formuła|<MATH>x_1\;</MATH>}}, tzn. początkowe położenie źródła jest {{Formuła|<MATH>x_0\;</MATH>}}, a po czasie {{Formuła|<MATH>t_1\;</MATH>}} po jakim doszła do odbiornika fala elektromagnetyczna jest położeniem {{Formuła|<MATH>x_1\;</MATH>}}, tzn. zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>x_1=x_0+ct_1\;</MATH>|4.18}} a równanie na położenie odbiornika w chwili {{Formuła|<MATH>t_2\;</MATH>}} piszemy wzorem poniżej, przy czym zachodzi {{Formuła|<MATH>T^'=t_2-t_1\;</MATH>}} dla spoczywającego źródła, który jest źródłem wysyłających fal elektromagnetycznych, co wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>x_1+VT^'=x_0+c(t_2-T_0)\;</MATH>|4.19}} Podstawiając wzór {{LinkWzór|4.18}} do {{LinkWzór|4.19}}, co na tej podstawie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>x_0+ct_1+VT^'=x_0+c(t_2-T_0)\Rightarrow c(t_2-t_1)-VT^'-cT_0=0\Rightarrow cT^'-VT^'-cT_0=0\Rightarrow T_0=T^'\left(1-{{V}\over{c}}\right)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow T^'=T_0{{1}\over{1-{{V}\over{c}}}}\;</MATH>|4.20}} Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu {{LinkWzór|4.3}} i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym odbiornika T (w układzie, w którym odbiornik spoczywa) i w starym układzie odniesienia (w układzie, w którym odbiornik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T', to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>T^'={{T}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.21}} Idąc dalej podstawiając {{LinkWzór|4.21}} do końcowego wynikowego wzoru {{LinkWzór|4.20}}, bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia T{{Sup|'}} i względem nowego T, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik T{{Sub|0}} i odbieranych przez odbiornik T: {{CentrujWzór|<MATH>{{T}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}=T_0{{1}\over{1-{{V}\over{c}}}}\Rightarrow {{T}\over{\sqrt{1-{{V}\over{c}} } \sqrt{1+{{V}\over{c}} }} }=T_0{{1}\over{\left(\sqrt{1-{{V}\over{c}} }\right)^2}}\Rightarrow T=T_0\sqrt{ { {1+{{V}\over{c}} }\over{1-{{V}\over{c}} } }} \;</MATH>|4.22}} A dalsze wzory wynikające z {{LinkWzór|4.22}} na długość i częstość fali dla naszego rozważanego przypadku są takie same jak w punktach {{LinkWzór|4.12}} i {{LinkWzór|4.13}}. A te wzory są spełnione dla przypadku {{Formuła|<MATH>V>0\;</MATH>}}, gdy odbiornik oddala się od źródła, a {{Formuła|<MATH>V<0\;</MATH>}}, gdy jest odwrotnie. Gdy odbiornik znajduje się daleko od źródła i on oddala się z prędkością od niej o wartości (tzn. składowa równoległa prędkości odbiornika do linii łączący odbiornik ze źródłem): {{CentrujWzór|<MATH>V^'=V\cos\alpha\;</MATH>|4.23}} Wzór {{LinkWzór|4.23}} stosujemy do wzoru {{LinkWzór|4.20}} na okres drgań i dalej tożsamość na dylatację czasu {{LinkWzór|4.21}} wydłużenia czasu spoczynkowego {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} na czas {{Formuła|<MATH>T^'\;</MATH>}}, wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>T=T_0{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{V}\over{c}}\cos\alpha}}\;</MATH>|4.24}} Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali elektromagnetycznej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\nu=\nu_0{{1-{{V}\over{c}}\cos\alpha}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|4.25}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=\lambda_0{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{V}\over{c}}\cos\alpha}}\;</MATH>|4.26}} }} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ad7kyiaw3um266xt3o9a49l11cc8j96 0 19075 558591 467563 2026-10-04T18:24:28Z Persino 2851 558591 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Przedstawimy tu wszystkie wiadomości o wektorach, tzn. dodawanie, odejmowanie, a także iloczyn skalarny i wektorowy dwóch wektorów. Oprócz tego wprowadzimy symbol Leviego-Civity oraz zależność symbolu Leviego-Civity z [[w:Symbol Kroneckera|deltami Kroneckera]]. == Układ współrzędnych == {{Rysunek|Coord planes color point pl.svg|trój_wymiar_ukl_wsp|Trójwymiarowy prawoskrętny układ współrzędnych}} W układzie współrzędnych w przestrzeni n-wymiarowej możemy zaobserwować n-proste, które nazywamy osiami. Przecinają się one w jednym punkcie, zwanym punktem zerowym, którego współrzędne są równe (0,0,...,0). W środku układu współrzędnych jest określana baza n-wymiarowa, najczęściej kanoniczna, której każdy wektor ma przedstawienie {{Formuła|<MATH>\vec{e}_i=(0,0,...,1_i,....,0)\;</MATH>}}. Dla przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej układ odniesienia jest pokazany na rysunku obok. Jak widzimy, każdy jego punkt jest określany za pomocą tylko trzech współrzędnych. Kąty między tymi [[w:Wersor|wersorami]] są kątami prostymi. == Definicja wektora == Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, tzn. taką, w której każdy z punktów można opisać za pomocą n współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>A=(a_1,a_2,..,a_n)\;</MATH>|1.1}} Weźmy dwa takie punkty, które połączymy pewnym odcinkiem, i określimy zwrot do jednego z tych punktów. Wektor, który w tym przypadku nazywamy zaczepionym, definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AB}=B-A=(b_1,b_2,...,b_n)-(a_1,a_2,...,a_n)=[b_1-a_1,b_2-a_2,...,b_n-a_n]\;</MATH>|1.2}} Zatem, ogólnie każdy wektor zaczepiony czy swobodny możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=[a_1,a_2,...,a_n]=\vec{k}_1a_1+\vec{k}_2a_2+...+\vec{k}_na_n\;</MATH>|1.3}} Co dla przestrzeni trójwymiarowej {{LinkWzór|1.3}}, numerując kolejno współrzędne przez x,y,z, to wspomniany wzór zapisać można jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=[a_x,a_y,a_z]=\vec{i}a_x+\vec{j}a_y+\vec{k}a_z\;</MATH>|1.4}} == Dodawanie i odejmowanie wektorów == {{Rysunek|Vectoren optellen 2.svg|dodaw_dw_wek|Dodawanie dwóch wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej}} {{Rysunek|Vector subtraction.png|odej_dw_wek|Odejmowanie dwóch wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej}} Jeśli mamy dwa wektory {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}}, to różnicą (sumą) dwóch wektorów, ogólnie niezaczepionych (tzn. takich w których początek wektora nie jest określony) nazywamy działanie o następującej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{c}=\vec{a}\pm\vec{b}=[a_1,a_2,...,a_n]\pm[b_1,b_2,...,b_n]=[a_1\pm b _1,a_2\pm b_2,...,a_n\pm b_n]\;</MATH>|1.5}} Graficznie dodawanie wektorów określamy według rysunku {{LinkRysunek|dodaw_dw_wek}}, a odejmowanie {{LinkRysunek|odej_dw_wek}}. == Norma wektora == Normą wektora {{Formuła|<MATH>\vec{a}=[a_1,a_2,...,a_n]\;</MATH>}} w przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej nazywamy długość tego wektora, którego wzór wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>|\vec {a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}\;</MATH>|1.6}} == Iloczyn skalarny == {{Rysunek|Inner-product-angle.png|dwa_wek_o_wsp|Dwa wektory o wspólnym początku}} Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy działanie określone jako iloczyn długości tychże wektorów oraz kosinusa kąta między nimi (określonego jak gdyby te wektory miały jeden punkt wspólny i różne końce) {{CentrujWzór|<MATH>\vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha\;</MATH>|1.7}} Iloczyn skalarny dwóch wektorów można alternatywnie określić jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\;</MATH>|1.8}} Znając iloczyn skalarny dwóch wektorów określony wzorem {{LinkWzór|1.7}}, a także długości wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{x}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{y}\;</MATH>}} określonych wedle wzoru {{LinkWzór|1.6}}, można zapisać kosinus kąta między nimi: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\alpha={{\vec{x}\cdot\vec{y}}\over{|\vec{x}||\vec{y}|}}\;</MATH>|1.9}} == Iloczyn wektorowy == Mając definicję iloczynu mieszanego, skonstruowaną za pomocą iloczynu wektorowego i skalarnego, można przedstawić iloczyn wektorowy jako macierz wersorów układu kartezjańskiego wraz ze współrzędnymi dwóch wektorów, dzięki któremu wyznaczamy iloczyn wektorowy. Zapiszmy iloczyn skalarny wektora {{Formuła|<MATH>\vec{c}\;</MATH>}} przez iloczyn wektorowy wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{b}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})= \eta\begin{vmatrix} c_x&c_y&c_z\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{vmatrix}</MATH>|1.10}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{d}=\vec{a}\times\vec{b}\;</MATH>}} jest prostopadły do wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} oraz do {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}} i tym samym układ wektorów {{Formuła|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b},\vec{a},\vec{b})\;</MATH>}} tworzy nową bazę o wymiarze trzy zanurzoną w starej bazie w układzie kartezjańskim o takim samym wymiarze. W definicji iloczynu mieszanego {{LinkWzór|1.10}} wprowadziliśmy parametr η=±1, ponieważ z definicji wspomnianego iloczynu mieszanego, z jeszcze niewyznaczonym parametrem, wynika że iloczyn wektorowy jest prostopadły do wektorów, z którego jest wyznaczony. Istnieją dwa rodzaje tych wektorów, różniące się tylko zwrotami, i dlatego w tej definicji występuje ten wspomniany parametr, by określić te dwa wektory. Parametr η wyznaczymy poniżej, tj. wybierzemy jeden z dwóch tych wektorów, tak by definicja iloczynu wektorowego była taka, a zbudowana na jej podstawie baza określająca nowy układ współrzędnych w oparciu o te trzy wspomniane wcześniej wektory (dwa wektory iloczynu wektorowego i trzeci wektor, który jest jego wynikiem), była taka by skrętność nowego układu współrzędnych była zgodna z ze skrętnością starego układu, w którym współrzędne tych trzech wektorów są wyznaczone. Niech baza starego układu odniesienia posiada bazę kanoniczną. Z definicji iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć współrzędne wyniku iloczynu wektorowego, którego przestawienie tegoż wektora za pomocą wersorów w prostokątnym układzie współrzędnym starej bazy na razie bliżej nie znanych, które mamy zamiar wyznaczyć. Możemy to zrobić wykorzystując definicję iloczynu mieszanego jako iloczyn pewnego wektora (w tym przypadku wektory bazy starego układu współrzędnych) i iloczynu wektorowego dwóch dowolnych wektorów. Zatem wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem pierwszego wektora bazy kanonicznej w starym układzie współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec{c}=\vec{i}=(1,0,0)\;</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>d_x=\vec{i}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix} 1&0&0\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{vmatrix}=\eta\begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}</MATH>|1.11}} Wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem drugiego wektora bazy kanonicznej w starym układzie współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec{c}=\vec{j}=(0,1,0)\;</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>d_y=\vec{j}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix} 0&1&0\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{vmatrix}=-\eta\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}</MATH>|1.12}} Wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem trzeciego wektora bazy kanonicznej układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec{c}=\vec{k}=(0,0,1)\;</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>d_z=\vec{k}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix} 0&0&1\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{vmatrix}=\eta\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_y \end{vmatrix}</MATH>|1.13}} Jeśli weźniemy {{Formuła|<MATH>\vec{d}=(d_x,d_y,d_z)\;</MATH>}}, to układ trzech wektorów {{Formuła|<MATH>(\vec{d},\vec{a},\vec{b})\;</MATH>}} jako nowy układ współrzędnych jest zgodny ze starym układem współrzędnym kartezjańskim, gdy wyznacznik macierzy przejścia ze starego układu współrzędnych do nowego spełnia warunek det(T)>0. Zbudujmy macierz przejścia: {{CentrujWzór|<MATH>T=\begin{bmatrix} d_x&d_y&d_z\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{bmatrix}</MATH>|1.14}} Wykorzystując definicję wektora {{Formuła|<MATH>\vec{d}\;</MATH>}}, którego współrzędne są podane w punktach {{LinkWzór|1.11}}, {{LinkWzór|1.12}} i {{LinkWzór|1.13}}, uzyskujemy wyznacznik macierzy T {{LinkWzór|1.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>\det T=\begin{vmatrix} \eta\begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}& -\eta\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}& \eta\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_y \end{vmatrix}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{vmatrix}=\eta\left( \begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_y \end{vmatrix}^2 \right) </MATH>|1.15}} Aby w naszej nowej bazie skrętność była zgodna ze skrętnością starego układu trójwymiarowego kartezjańskiego, musi zachodzić η = 1 wedle obliczeń {{LinkWzór|1.15}}. Udowodniliśmy więc, że iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów jest dany tak, by jego definicja na podstawie wcześniejszych rozważań i η=1 (obliczenia {{LinkWzór|1.15}}) była napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}\times\vec{b}=\vec{i}d_x+\vec{j}d_y+\vec{k}d_z= \vec{i}\begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_y \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{vmatrix}</MATH>|1.16}} === Długość wyniku iloczynu wektorowego === Znając długość kąta między wektorami składowymi iloczynu wektorowego, iloczyn wektorowy operujący na długościach wektorów można przedstawić : {{CentrujWzór|<MATH>|\vec{c}|=|\vec{a}| |\vec{b}|\sin\alpha\;</MATH>|1.17}} W celu udowodnienia wzoru {{LinkWzór|1.17}} podnieśmy go do kwadratu i wykorzystamy wzór na jedynkę trygonometryczną, otrzymamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{c}^{\,2}=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}\sin^2\alpha\Rightarrow\vec{c}^{\,2}=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}(1-\cos^2\alpha)\Rightarrow\vec{c}^{\,2}=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}-\vec {a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}\cos^2\alpha\;</MATH>|1.18}} Do tożsamości {{LinkWzór|1.18}} wykorzystajmy wzór na iloczyn skalarny {{LinkWzór|1.7}}, wówczas możemy napisać : {{CentrujWzór|<MATH>\vec{c}^{\,2}=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\Leftrightarrow \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)^2=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\;</MATH>|1.19}} Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzorów na długość dowolnego wektora {{LinkWzór|1.6}} i alternatywnego wzoru na iloczyn skalarny {{LinkWzór|1.8}}, znając współrzędne składowych wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}}, skąd można wyznaczyć składowe wektorów iloczynu wektorowego. Zatem {{LinkWzór|1.19}} na podstawie naszych rozważań zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_xb_z-a_zb_x)^2+(a_xb_y-a_yb_x)^2=(a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b_x^2+b_y^2+b_z^2)-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)^2\;</MATH>|1.20}} Lewą stronę równości {{LinkWzór|1.20}} możemy rozpisać w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>L=a_y^2b_z^2+a_z^2b_y^2-2a_ya_zb_yb_z+a_x^2b_z^2+a_z^2b_x^2-2a_xa_zb_xb_z+a_x^2b_y^2+a_y^2b_x^2-2a_xa_yb_xb_y\;</MATH>|1.21}} Prawą stronę równości {{LinkWzór|1.20}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P=a_x^2b_x^2+a_x^2b_y^2+a_x^2b_z^2+a_y^2b_x^2+a_y^2b_y^2+a_y^2b_z^2+a_z^2b_x^2+a_z^2b_y^2+a_z^2b_z^2-a_x^2b_x^2-a_y^2b_y^2-a_z^2b_z^2-2a_xa_yb_xb_y-2a_xa_zb_xb_z+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2a_ya_zb_yb_z \;</MATH>|1.22}} Po redukcji wyrazów podobnych w wyrażeniu {{LinkWzór|1.22}} dochodzimy do wniosku, że zachodzi L=P, zatem udowodniliśmy, że spełniona jest tożsamość {{LinkWzór|1.20}}, a zatem {{LinkWzór|1.17}}. == Iloczyn mieszany == Korzystając z {{LinkWzór|1.16}}, iloczyn mieszany przedstawiamy przyjmując &eta;=1, wówczas skrętność dwóch składowych iloczynu wektorowego i samego wyniku jest taka sama jak skrętność układu odniesienia, w której zanurzone są te trzy wspomniane wektory. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=[c_x,c_y,c_z][d_x,d_y,d_z]= c_x\begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}-c_y\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}+c_z\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_y \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} c_x&c_y&c_z\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{vmatrix}</MATH>|1.23}} Udowodniliśmy zatem, że wzór {{LinkWzór|1.23}} jest taki sam jak {{LinkWzór|1.10}}, z tą różnicą, że &eta; musi być równe jeden. Z definicji wyznacznika oraz definicji iloczynu mieszanego {{LinkWzór|1.23}} zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})\;</MATH>|1.24}} == Właściwości podwójnego iloczynu wektorowego == Napiszmy pewną tożsamość, którą udowodnimy później: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\vec{b})\;</MATH>|1.25}} Poniżej przedstawiony jest dowód z użyciem definicji iloczynu wektorowego {{LinkWzór|1.16}} i iloczynu skalarnego za pomocą współrzędnych wektorów {{LinkWzór|1.8}}, wchodzących w skład podwójnego iloczynu wektorowego. Skorzystamy tu z nieformalnej definicji iloczynu wektorowego w przestrzeni trójwymiarowej jako macierzy, w której występują ortonormalne wersory. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ \begin{vmatrix} b_y&b_z\\ c_y&c_z\\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} b_z&b_x\\ c_z&c_x\\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} b_x&b_y\\ c_x&c_y \end{vmatrix} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_yc_z-b_zc_y&b_zc_x-b_xc_z&b_xc_y-b_yc_x \end{vmatrix}=</MATH>{{Br}} <MATH>=\vec{i}[a_y(b_xc_y-b_yc_x)-a_z(b_zc_x-b_xc_z)]+\vec{j}[a_z(b_yc_z-b_zc_y)-a_x(b_xc_y-b_yc_x)]+\vec{k}[a_x(b_zc_x-b_xc_z)-a_y(b_yc_z-b_zc_y)]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\vec{i}(b_x a_yc_y-c_x a_yb_y-c_x a_zb_z+b_x a_zc_z)+\vec{j}(b_y a_zc_z-c_ya_zb_z-c_ya_xb_x+b_ya_xc_x)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{k}(b_za_xc_x-c_za_xb_x-c_za_yb_y+b_za_yc_y)=\vec{i} b_x(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)-\vec{i}c_x(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\vec{j}b_y(a_zc_z+a_xc_x+a_xc_x)-\vec{j} c_y(a_zb_z+a_yb_y+a_xb_x)+\vec{k}b_z(a_xc_x+c_ya_y+a_zc_z)-\vec{k}c_z(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(\vec{i}b_x+\vec{j}b_y+\vec{k}b_z)(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)-(\vec{i}c_x+\vec{j}c_y+\vec{k}c_z)(a_xc_x+a_yb_y+a_zb_z)=\vec{b}\left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)</MATH>|1.26}} Co kończy dowód. == Symbole Leviego-Civity w iloczynie wektorowym == Iloczyn wektorowy {{LinkWzór|1.16}} można alternatywnie przedstawić w łatwiejszy sposób, tzn. za pomocą [[w:Symbol Leviego-Civity|symboli Leviego-Civity]] w układach prostokątnych: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b})_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k</MATH>|1.27}} * gdzie: symbol &epsilon;{{Sub|ijk}}, nazywany symbolem Leviego-Civity, definiujemy w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ijk} = \begin{cases} 1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ jest to permutacja parzysta } (1,2,3) \\ 0 & \mbox{gdy } i=j \mbox{ lub } j=k \mbox{ lub } k=i\\ -1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ jest to permutacja nieparzysta } (1,2,3) \\ \end{cases}</MATH>|1.28}} Widzimy, że w definicji {{LinkWzór|1.28}} dla każdej parzystej permutacji (1,2,3) we wskaźnikach ''ijk'', symbol Leviego-Civity daje nam wartość 1 (jeden), a dla każdej nieparzystej permutacji daje nam wartość -1 (minus jeden). Gdy wskaźniki w ''ijk'' się powtarzają, wówczas symbol ten jest z oczywistych powodów równy zero. Jeśli mamy układy ogólnie krzywoliniowe (zakrzywione), wtedy {{LinkWzór|1.27}} przepisać możemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b})^i={\epsilon^{i}}_{jk}a^jb^k</MATH>|1.27a}} Załóżmy, że {{LinkWzór|1.27a}} jest spełnione dla układów początkowo prostokątnych, wtedy z definicji transformacji wektora według algebry, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>x^i=\overline{x}^{i^i}{\Lambda^i}_{i^'}\;</MATH>|1.28b}} Wykorzystajmy transformację {{LinkWzór|1.28b}} do tożsamości {{LinkWzór|1.27a}} napisaną jako transformacja z dowolnych układów współrzędnych krzywoliniowych (zakrzywionych) do układów prostokątnych płaskich, co: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b})^{i}{\overline\Lambda^{i^'}}_{i}={\epsilon^{i}}_{jk}{{\overline\Lambda}^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'}\Rightarrow \overline{(\vec{a}\times\vec{b})}^{i^'}={{\epsilon}^{i}}_{jk}{\overline\Lambda^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'}={\overline{\epsilon}^{i^'}}_{j^'k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'} \;</MATH>|1.28ba}} Gdzie symbole Leviego-Civity w {{LinkWzór|1.28ba}}, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline{\epsilon}^{i^'}}_{j^'k^'}={\epsilon^{i}}_{jk}{{\overline\Lambda}^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\;</MATH>|1.28c}} Symbole Leviego-Civity z primami i nadkreśleniami, to są dla układów ogólnie krzywoliniowych (zakrzywionych), a bez primów bez nadkreśleń te symbole są dla układów, ale tym razem dla prostokątnych, czyli wzór {{LinkWzór|1.27a}} jest dla układów ogólnie krzywoliniowych (zakrzywionych), jak udowodniliśmy z przestawieniem symboli Leviego-Civity według {{LinkWzór|1.28c}}. == Zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera == Mając już wyznaczony wzór na podwójny iloczyn wektorowy {{LinkWzór|1.25}} załóżmy, że kolejno wektory {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{c}\;</MATH>}} są równe wektorom bazy kanonicznej trójwymiarowego euklidesowego układu współrzędnych, tzn. są zapisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>|1.29}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MATH>|1.30}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_3=(0,0,1)\;</MATH>|1.31}}}} Dlatego podwójny iloczyn wektorowy {{LinkWzór|1.25}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_i\times(\vec{e}_j\times\vec{e}_k)=\vec{e}_j(\vec{e}_i\cdot\vec{e}_k)-\vec{e}_k(\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j)\;</MATH>|1.32}} Znając definicję wersorów kanonicznych trójwymiarowego układu współrzędnych {{LinkWzór|1.29}}, {{LinkWzór|1.30}} i {{LinkWzór|1.31}}, oraz wykorzystując definicję iloczynu wektorowego przy pomocy symboli Leviego-Civity, którego kolejne wektory są wektorami bazy kanonicznej {{LinkWzór|1.32}}, możemy utworzyć następującą tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{pil}\epsilon_{ljk}=\delta_{pj}\delta_{ik}-\delta_{pk}\delta_{ij}\;</MATH>|1.33}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> nhti0xhro4k04ycxl2drdzvxwz2b7ic 0 19838 558620 467567 2026-10-04T21:49:25Z Persino 2851 558620 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Poznamy tutaj całki, które są nam w fizyce bardzo potrzebne do przeprowadzania różnych obliczeń. == Całka Eulera pierwszego rodzaju == Całką Eulera pierwszego rodzaju nazywamy całkę mówiąc za Legendre całkę zapisaną za pomocą schematu poniżej, który jest funkcją argumentów a i b, które są liczbami rzeczywistymi. Ta nasza funkcja Eulera jest całką całkowalną przy granicach od zera do jedynki z pewnego wyrażenia ściśle określonego: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)=\int^1_{0}x^{a-1}\left(1-x\right)^{b-1}dx\;</MATH>|5.1}} Można udowodnić, że ze względu na przestawianie argumentów w całce {{LinkWzór|5.1}} jest działaniem przemiennym ze względu na kolejność parametrów a i b, co można udowodnić zmieniając zmienną x na x=1-t: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)=\int^1_{-1}x^{a-1}\left(1-x\right)^{b-1}dx=\int^{-1}_{1}\left(1-t\right)^{a-1}\left(1-\left(1-t\right)\right)^{b-1}d(1-t)=\int^1_{-1}\left(1-t\right)^{a-1}t^{b-1}dt=B(b,a)\;</MATH>|5.2}} Można również udowodnić tożsamość rekurencyjną, która jest zależna od argumentów a i b oraz która jest zależnością rekurencyjną po argumencie b, przedstawiamy tą rekurencję: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)={{b-1}\over{a+b-1}}B(a,b-1)\;</MATH>|5.3}} Tożsamość {{LinkWzór|5.3}} udowodniamy przez całkowanie przez części dla b>1, korzystając z definicji całki Eulera {{LinkWzór|5.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)=\int_0^1(1-x)^{b-1}x^{a-1}dx=\int_{0}^1(1-x)^{b-1}d{{x^{a}}\over{a}}={{x^{a}(1-x)^{b-1}}\over{a}}\Bigg|^{1}_0+{{b-1}\over{a}}\int_0^1x^a(1-x)^{b-2}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{b-1}\over{a}}\int^1_0x^a(1-x)^{b-1-1}dx={{b-1}\over{a}}\int^1_0{{x^{a-1}(x-1+1)(1-x)^{b-1}}\over{1-x}}dx=-{{b-1}\over{a}}\int^1_0x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{b-1}\over{a}}\int^1_0x^{a-1}(1-x)^{b-2}dx=-{{b-1}\over{a}}B(a,b)+{{b-1}\over{a}}B(a,b-1)</MATH>|5.4}} Korzystając z końcowego wniosku w przeprowadzonych obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|5.4}} dochodzimy do wniosku, że B(a,b) można zapisać w zależności od B(a,b-1), co dowód tej zależności przeprowadzimy poniżej w taki sposób, że pierwszy wyraz po prawej stronie w wspomnianym wyprowadzeniu przenosimy na jej lewą stronę: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)+{{b-1}\over{a}}B(a,b)={{b-1}\over{a}}B(a,b-1)\Rightarrow B(a,b)\left(1+{{b-1}\over{a}}\right)={{b-1}\over{a}}B(a,b-1)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow B(a,b){{a+b-1}\over{a}}={{b-1}\over{a}}B(a,b-1)\Rightarrow B(a,b)={{b-1}\over{a+b-1}}B(a,b-1) </MATH>|5.5}} Wzór {{LinkWzór|5.5}} przestawia zależność rekurencyjną jaką oczekiwaliśmy otrzymać z obliczeń. Niech mamy już obliczone całki Eulera B(a,1), w ten sposób na podstawie zależności rekurencyjnej końcowego wywodu {{LinkWzór|5.5}} piszemy wedle schematu wzór na wielkość B(a,n), którego pierwszym argumentem jest dowolna liczba rzeczywista, a drugim argumentem jest liczba naturalna znana z analizy matematycznej ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,n)={{n-1}\over{a+n-1}}\cdot{{n-2}\over{a+n-2}}\cdots\cdot{{1}\over{a+1}}B(a,1)\;</MATH>|5.6}} Następnym krokiem jest wyznaczenie całki Eulera {{LinkWzór|5.1}} dla argumentu b=1, czyli całkę Eulera pierwszego rodzaju B(a,1), gdy drugim jego argumentem jest liczba całkowita równa jeden, zatem w takim przypadku mamy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,1)=\int_0^1x^{a-1}dx={{1}\over{a}}\;</MATH>|5.7}} Zatem wyrażenie {{LinkWzór|5.6}} przy obliczonej całce Eulera B(a,1) {{LinkWzór|5.7}}, czyli w tym ostatnim w drugim argumentem w całce Eulera pierwszego rodzaju jest liczba jeden, zatem możemy wyznaczyć ogólny wzór na opisywaną tutaj całkę. {{CentrujWzór|<MATH>B(a,n)=B(n,a)={{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot (n-1)}\over{a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1)}}\;</MATH>|5.8}} Wzór {{LinkWzór|5.8}} jest słuszny, gdy a jest rzeczywiste, określmy teraz przypadek, gdy a jest liczbą naturalną oznaczonej przez m, wtedy ze wspomnianego wzoru dostajemy wzór zapisujemy za pomocą silni: {{CentrujWzór|<MATH>B(m,n)={{(n-1)!(m-1)!}\over{(m+n-1)!}}\;</MATH>|5.9}} == Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b) == W całce Eulera {{LinkWzór|5.1}} dokonajmy podstawienia określonego wzorem {{Formuła|<MATH>x={{y}\over{1+y}}\;</MATH>}}, gdzie argument x jest ilorazem liczby y przez y+1, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)=\int^{\infty}_{0}{{y^{a-1}}\over{(1+y)^{a-1}}}\left(1-{{y}\over{1+y}}\right)^{b-1}d{{y}\over{1+y}}= \int_0^{\infty}{{y^{a-1}}\over{(1+y)^{a-1}}}{{1}\over{(1+y)^{b-1}}}{{1+y-y}\over{(1+y)^2}}dy=\int_0^{\infty}{{y^{a-1}}\over{(1+y)^{a+b}}}dy\;</MATH>|5.10}} W całce Eulera {{LinkWzór|5.1}} określoną wzorem {{LinkWzór|5.10}} po dokonaniu w nim podstawienia za b=1-a, 0<a<1 , dostajemy wniosek na całkę Eulera B(1-a,a): {{CentrujWzór|<MATH>B(a,1-a)=\int_0^{\infty}{{y^{a-1}}\over{1+y}^{a+1-a}}dy=\int_0^{\infty}{{y^{a-1}}\over{1+y}}dy\;</MATH>|5.11}} Całka Eulera {{LinkWzór|5.10}} można przepisać bez dowodu, którego to dowód można znaleźć w analizie matematycznej, a my tutaj napiszemy gotowe jego rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,1-a)={{\pi}\over{\sin a\pi}}\;</MATH>|5.12}} == Całka Eulera drugiego rodzaju == Całką Eulera drugiego rodzaju nazywamy całkę zapisaną wedle schematu poniżej, która jest funkcją jednego argumentu a, całkowana w granicach od zera do nieskończoności. {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\int_0^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx\;</MATH>|5.13}} Dokonajmy podstawienia określonego wzorem {{Formuła|<MATH>x=\ln{{1}\over{z}}\;</MATH>}}, którego jest logarytmem z odwrotności liczby z i którą tą całkę {{LinkWzór|5.13}} zapisujemy po dokonaniu tego podstawienia do ostatnio wspomnianej całki: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\int^0_{\infty}\left(\ln{{1}\over{z}}\right)^{a-1}{{1}\over{e^{\ln {{1}\over{z}}} }}d\ln {{1}\over{z}}=\int_0^{\infty}\left(\ln{{1}\over{z}}\right)^{a-1}z z{{1}\over{z^2}}dz=\int_0^{\infty}\left(\ln{{1}\over{z}}\right)^{a-1}dz\;</MATH>|5.14}} Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość, z której wyjdziemy jest tożsamość {{Formuła|<MATH>\lim_{\alpha\rightarrow \infty}{{a^{\alpha}-1}\over{\alpha}}=\ln a\;</MATH>}}, w tej tożsamości należy dokonać podstawienia rozpatrzonego według schematu {{Formuła|<MATH>\alpha\rightarrow{{1}\over{n}}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\ln {{1}\over{z}}=\lim_{n\rightarrow}n\left(1-z^{{1}\over{n}}\right)\;</MATH>|5.15}} Całkę {{LinkWzór|5.14}} możemy zapisać przy pomocy udowodnionej tożsamości {{LinkWzór|5.15}} w tym tekście, którą zapisujemy przy pomocy granicy n dążącą do nieskończoności: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{\alpha-1}\int_0^1\left(1-z^{{1}\over{n}}\right)^{a-1}dz\;</MATH>|5.16}} Do tożsamości {{LinkWzór|5.16}} podstawimy podstawienie wedle schematu z=yⁿ, zatem ten nasz wspomniany wzór przyjmuje postać bardzo podobną do całki Eulera pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{a-1}\left(1-\left(y^n\right)^{{{1}\over{n}}}\right)^{a-1}dy^n=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{a}\int_0^1y^{n-1}(1-y)^{a-1}dy\;</MATH>|5.17}} Całka występująca we wzorze {{LinkWzór|5.17}} jest całką Eulera pierwszego rodzaju, zatem możemy napisać ostatnio wspomniany wzór wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{a}B(a,n)\;</MATH>|5.18}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|5.8}}, to można napisać całkę Eulera drugiego rodzaju {{LinkWzór|5.18}} zapisaną przy pomocy granicy z liczby całkowitej n dążącej do nieskończoności: {{CentrujWzór|<math>\Gamma(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^a\cdot{{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot(n-1)}\over{a(a+1)(a+2)\cdot...\cdot(a+n-1)}}\;</MATH>|5.19}} == Ciągłość funkcji &Gamma;'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju == Całkę Eulera {{LinkWzór|5.13}} zróżniczkujmy względem argumentu "a", a potem jeszcze raz względem argumentu a, i w ten sposób otrzymamy pierwszą i drugą pochodną funkcji &Gamma;(a), to dochodzimy do postaci tych dwóch pochodnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma^'(a)=\int_0^{\infty}x^{a-1}\ln x e^{-x}dx\;</MATH>|5.20}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma^{''}(a)=\int_0^{\infty}x^{a-1}(\ln x)^2e^{-x}dx\;</MATH>|5.21}} }} n-ta pochodna funkcji &Gamma;(x) {{LinkWzór|5.13}} zapisujemy analogicznie do wzorów {{LinkWzór|5.20}} (Pierwsza pochodna funkcji &Gamma;(a) {{LinkWzór|5.13}}) i {{LinkWzór|5.21}} (Druga pochodna funkcji &Gamma;(a) {{LinkWzór|5.13}}), zatem ogólna forma tej n-tej pochodnej jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma^{(n)}(x)=\int_0^{\infty}x^{a-1}\left(\ln x\right)^ne^{-x}dx\;</MATH>|5.22}} == Postać rekurencyjna funkcji &Gamma;(x) == Przecałkujmy przez części funkcję napisaną poniżej wedle praw analizy matematycznej, z której wykorzystamy definicję funkcji &Gamma;(a) zapisaną wzorem w punkcie {{LinkWzór|5.13}}. {{CentrujWzór|<MATH>a\int_0^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx=x^ae^{-x}\Bigg|^{\infty}_0+\int_0^{\infty}x^{a}e^{-x}dx\;</MATH>|5.23}} Jeśli skorzystamy z definicji całki Eulera {{LinkWzór|5.13}}, to tożsamość {{LinkWzór|5.23}}, którą zapiszemy przy pomocy definicji całki Eulera &Gamma;(a) jako: {{CentrujWzór|<MATH>a\Gamma(a)=\Gamma(a+1)\;</MATH>|5.24}} Wyznaczmy całkę Eulera &Gamma;(1), wtedy funkcja potęgowa występująca we wspomnianej funkcji {{linkWzór|5.13}} (pierwszy czynnik) jest równa jeden dla a=1, ze względu na zerowanie się wykładnika potęgi (bo a-1=0) dla pierwszego czynnika w całce, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(1)=-\int_0^{\infty}e^{-x}d(-x)=-\int_0^{-\infty}e^{-x}dx=-\int_0^{-\infty}e^{x}dx=e^{x}\Bigg|_0^{-\infty}=1\;</MATH>|5.25}} Postać rekurencyjna {{LinkWzór|5.24}} dla a naturalnego, którą oznaczymy przez "n" i z własności {{LinkWzór|5.25}} możemy napisać, że: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)=(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)=(n-1)(n-2)\cdot...\cdot 1=(n-1)!\;</MATH>|5.26}} == Granica górna funkcji &Gamma;(a) dla a nieskończonego == Obierzmy takie n by było liczbą naturalną nie większą niż a, by było a>n+1, zatem mamy &Gamma;(a)>n!, jeśli dodatkowo zauważymy, że {{Formuła|<MATH>{{n}\over{a}}\rightarrow 1\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)={{\Gamma(a+1)}\over{a}}>{{n!}\over{a}}={{(n-1)!n}\over{a}}=(n-1)!{{n}\over{a}}\rightarrow (n-1)!\rightarrow\infty\;</MATH>|5.27}} Widzimy, że granicą dla "a" nieskończonego jest &Gamma;(a) nieskończone, zatem największą wartością &Gamma;(a) jakie może przyjmować jest wartość nieskończona. == Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i &Gamma;(a) == Do całki {{LinkWzór|5.13}} dokonujemy podstawienia opisane przez schemat x=ty, które to x jest iloczynem liczby t i liczby y, zatem przy założeniu t>0, nasza wspomniana całka jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\int_0^{\infty}t^{a-1}y^{a-1}e^{-ty}d(ty)=t^a\int_0^{\infty}y^{a-1}e^{-ty}dy\Rightarrow {{\Gamma(a)}\over{t^a}}=\int_0^{\infty}y^{a-1}e^{ty}dy\;</MATH>|5.28}} We wzorze {{LinkWzór|5.28}} piszemy zamiast a wyrażenie a+b (będące sumą liczb a i b) oraz 1+t (będące sumą jedynki i liczby b) zamiast t, zatem w ten sposób dostajemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Gamma(a+b)}\over{(1+t)^{a+b}}}=\int_0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy\;</MATH>|5.29}} Tożsamość {{LinkWzór|5.29}} mnożymy przez funkcję potęgową t^a-1 czyli funkcję z liczby t o wykładniku a-1 i obie strony tak otrzymanego równania całkujemy względem zmiennej t: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a+b)\int_0^{\infty}{{t^{a-1}}\over{(1+t)^{a+b}}}dt=\int_0^{\infty}t^{a-1}dt\int_0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy\;</MATH>|5.30}} Całka występująca po lewej stronie jest funkcją B(a,b), czyli ona jest taka sama, jak całka zapisana w punkcie {{LinkWzór|5.10}}. Zatem całkę występująca po prawej stronie równości {{LinkWzór|5.30}}, przy wykorzystaniu z definicji drugiej całki Eulera (pierwszego rodzaju) {{LinkWzór|5.13}}, możemy napisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a+b)B(a,b)=\int_0^{\infty}t^{a-1}dt\int_0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy=\int_0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-y}dy\int_0^{\infty}t^{a-1}e^{-ty}dt=\int _0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-y}{{\Gamma(a)}\over{y^a}}dy=\;</math>{{Br}}<math>=\Gamma(a)\int_0^{\infty}y^{b-1}e^{-x}dy=\Gamma(a)\Gamma(b)\;</math>|5.31}} Tożsamość wynikająca z obliczeń przedstawionych w punkcie {{LinkWzór|5.31}} jest napisana poniżej (pierwszy wzór wynikowy), stąd możemy wyznaczyć B(a,b), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a+b)B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)\Rightarrow B(a,b)={{\Gamma(a)\Gamma(b)}\over{\Gamma(a+b)}}\;</MATH>|5.32}} == Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy &Gamma;(a) i &Gamma;(1-a), a B(a,1-a) == We wzorze {{LinkWzór|5.31}} dokonajmy podstawienia b=1-a (którego to b jest różnicą liczby 1 i liczby b), w którym wiadomo, że "a" należy do do przedziału 0<a<1, ale też później korzystając z tożsamości na funkcję B(a,1-a) napisaną w punkcie {{LinkWzór|5.12}}, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)\Gamma(1-a)=B(a,1-a)\Rightarrow \Gamma(a)\Gamma(1-a)={{\pi}\over{\sin a\pi}}\;</MATH>|5.33}} Korzystając z tożsamości {{LinkWzór|5.33}}, to tożsamość {{Formuła|<MATH>\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)\;</MATH>}} jest napisana wzorem wynikowym wynikających z powyższych obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)\Gamma\left(1-{{1}\over{2}}\right)={{\pi}\over{\sin {{1}\over{2}}\pi}}\Rightarrow \Gamma\left({{1}\over{2}}\right)=\sqrt{\pi}\;</MATH>|5.34}} == Wzór Stirlinga == Napiszmy funkcję &Gamma;(x+1), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju z argumentu x powiększonej o jeden, w którym dokonamy od razu podstawienia w postaci wzoru zależnej od liczby x i od parametru u, czyli podstawienia {{Formuła|<MATH>t=x+u\sqrt{x}\;</MATH>}}, wiedząc, że dla t równego zero (t=0) według wspomnianego podstawienia mamy {{Formuła|<MATH>u=-\sqrt{x}\;</MATH>}}, co wykorzystamy w całce poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}t^{x}e^{-t}dt=\int_{-\sqrt{x}}^{\infty}e^{-x-u\sqrt{y}}(x+u\sqrt{x})^xdu\sqrt{x}=\int_{-\sqrt{x}}^{\infty}\sqrt{x}e^{-x-u\sqrt{x}}e^{x\ln(x+u\sqrt{x})}du=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sqrt{x}e^{-x}\int_{-\sqrt{x}}^{\infty}e^{-u\sqrt{x}+x\ln\left[x\left(1+u{{1}\over{\sqrt{x}}}\right)\right]}du= x^x\sqrt{x}e^{-x}\int^{\infty}_{-\sqrt{x}}e^{-u\sqrt{x}+x\ln\left(1+{{u}\over{\sqrt{x}}}\right)}du</MATH>|5.35}} Ponieważ posługujemy wartościami x, które są liczbami bardzo dużymi, zatem możemy powiedzieć, że posługujemy się wartościami nieskończenie dużymi, to logarytm naturalny z liczby n! możemy przybliżyć wyrażeniem {{Formuła|<MATH>\ln(1+a)\simeq a-{{a^2}\over{2}}\;</MATH>}} dla a bardzo małego bliskiego zeru, wtedy końcową całkę {{LinkWzór|5.35}} można przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(x+1)\simeq x^x\sqrt{x}e^{-x}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u\sqrt{x}+x\left({{u}\over{\sqrt{x}}}-{{1}\over{2}}{{u^2}\over{x}}\right)}du=x^x\sqrt{x}e^{-x}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{u^2}\over{2}}}du=x^x\sqrt{x}e^{-x}\sqrt{2\pi}=\sqrt{2\pi}x^{x+{{1}\over{2}}}e^{-x}\;</MATH>|5.36}} Jeśli skorzystamy z udowodnionej tożsamości {{LinkWzór|5.36}} i za miejsce x wstawimy wartość n, to przybliżona tożsamość {{LinkWzór|5.36}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>n!\simeq\sqrt{2\pi}n^{n+{{1}\over{2}}}e^{-n}\;</MATH>|5.37}} Po zlogarytmowaniu wyrażenia {{LinkWzór|5.37}} logarytmem naturalnym ze względu na n bardzo duże w końcowych obliczeniach pomijamy składnik z liczby {{Formuła|<MATH>\ln\sqrt{2\pi}</MATH>}}, bo jest mały z porównaniu z innymi składnikami sumy: {{CentrujWzór|<MATH>\ln n!\simeq\ln\sqrt{2\pi}+\left(n+{{1}\over{2}}\right)\ln n-n\simeq n\ln n-n\;</MATH>|5.38}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 4qur6moqm6yrqpht88m6rsq0bcy1b7m 0 19877 558624 526877 2026-10-04T22:05:02Z Persino 2851 558624 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować funkcjami, którego argumenty mają wartości zespolone, a wartością tejże opisywanej funkcji jest wartość należącej do zbioru liczb zespolonych. == Przestawienie algebraiczne liczb zespolonych == {{Rysunek|Zbior_R_zbior_C.png|wp2r|Płaszczyzna zespolona}} Wprowadźmy jednostkę liczb urojoną "i", którego kwadrat jest równy minus jeden, zatem każdą liczbę zespoloną piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>z=\operatorname{Re}(z)+i \operatorname{Im}(z)=x+i y\;</MATH>|8.1}} Część rzeczywista liczby zespolonej zapisanej wzorem {{LinkWzór|8.1}} oznaczamy symbolem Re(z), a część urojoną symbolem Im(z). == Płaszczyzna zespolona == Każdą liczbę zespoloną możemy przestawić w postaci punktu na płaszczyźnie zespolonej, bo liczby zespolone według wzoru {{LinkWzór|8.1}} mają część rzeczywistą i urojoną, a część urojona występuje przy symbolu i. Wszystkie liczby zespolone wypełniają całą płaszczyznę zespoloną, co przestawiamy rysunkiem z prawej strony. == Przestawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i eksponencjalnej == === Przestawienie trygonometryczne === {{Rysunek|Complejog1.png|wp2r1|Postać trygonometryczna liczby zespolonej}} Jeśli oś iksowa jest osią części rzeczywistej liczby zespolonej w przedstawieniu {{LinkWzór|8.1}}, a część igrekowa jest osią części urojonej wspomnianego przestawienia liczby zespolonej, co jest napisane według rysunku obok, liczbą zespoloną w przestawieniu zespolonej nazywamy przestawienie: {{CentrujWzór|<MATH>z=\rho\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\;</MATH>|8.2}} * Gdzie modułem &rho; liczby zespolonej nazywamy przestawienie zapisane przy pomocy części rzeczywistej i urojonej liczby zespolonej w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}\;</MATH>|8.3}} === Przestawienie eksponencjalne liczby zespolonej === Przestawieniem eksponencjalne liczby zespolonej nazywamy przestawienie w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>z=\rho e^{i\phi}\;</MATH>|8.4}} * gdzie kąt &phi; jest to ten sam kąt napisaną w przestawieniu trygonometrycznym we wzorze {{LinkWzór|8.2}}. Aby wyznaczyć równoważność między oba przestawieniami liczby zespolonej, tzn. między {{LinkWzór|8.2}} i {{LinkWzór|8.4}} należy wyznaczyć wyrażenie poniżej, korzystając przestawienia funkcji kosinus i sinus w jego przedstawieniu według Taylora, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\phi+i\sin\phi=\left(1-{{\phi^2}\over{2!}}+{{\phi^4}\over{4!}}-...\right)+i\left(\phi-{{\phi^3}\over{3!}}+{{\phi^5}\over{5!}}+...\right)= 1+i\phi-{{\phi^2}\over{2!}}-i{{\phi^3}\over{3!}}+{{\phi^4}\over{4!}}+i{{\phi^5}\over{5!}}+...=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1+(i\phi)+{{(i\phi)^2}\over{2!}}+{{(i\phi)^3}\over{3!}}+{{(i\phi)^4}\over{4!}}+{{(i\phi)^5}\over{5!}}+...=e^{i\phi}\;</MATH>|8.5}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.5}} wykazaliśmy równoważność wzorów {{LinkWzór|8.4}} i {{LinkWzór|8.2}}. == Operacje różniczkowania na funkcjach zespolonych a funkcje holomorficzne == Jeśli funkcję zespoloną przestawimy jako funkcję jednej zmiennej zespolonej, czyli jako funkcje dwóch zmiennych rzeczywistych, wtedy z twierdzenia o różniczce zupełnej dla liczby zespolonej różniczkę funkcji f możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>df={{\partial f}\over{\partial x}}dx+{{\partial f}\over{\partial y}}dy\;</MATH>|8.6}} Wzór {{LinkWzór|8.6}} możemy zapisać w sposób równoważny (ale jego równoważność udowodnimy później) wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>df={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\left(dx+idy\right)+{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\left(dx-idy\right)\;</MATH>|8.7}} Aby przeprowadzić równoważność pomiędzy przestawieniami tej samej różniczki df, czyli wzorów {{LinkWzór|8.6}} i {{LinkWzór|8.7}} przy pomocy rozpisywania jej na części rzeczywistą i urojonej, co wynika z przestawienia liczby zespolonej {{LinkWzór|8.1}}. {{CentrujWzór|<MATH>df=\left\{{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]+{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\right\}dx+i\left\{{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]-{{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\right\}dy ={{\partial f}\over{\partial x}}dx+{{\partial f}\over{\partial y}}dy</MATH>|8.8}} Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.8}} równoważność wzorów {{LinkWzór|8.6}} i {{LinkWzór|8.7}}, co było nam do udowodnienia. Policzmy teraz dla funkcji zespolonej pochodną funkcją f względem liczby z, a także pochodną tej samej funkcji co poprzednio, ale względem liczby zespolonej sprzężonej do niego, co matematycznie te dwie pochodne piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial z}}={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}-i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\;</MATH>|8.9}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}={{1}\over{2}}\left[{{\partial f}\over{\partial x}}+i{{\partial f}\over{\partial y}}\right]\;</MATH>|8.10}} }} Wprowadzając oznaczenia {{LinkWzór|8.9}} i {{LinkWzór|8.10}} do wzoru {{LinkWzór|8.7}}, wtedy on przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH>df={{\partial f}\over{\partial z}}dz+{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}d\overline{z}\;</MATH>|8.11}} '''Funkcją holomorficzną''' nazywamy funkcję, która jest pochodną funkcji f względem {{Formuła|<MATH>\overline{z}\;</MATH>}}, czyli wyrażenie {{LinkWzór|8.10}} jest równe zero. Przestawmy funkcję zespoloną f(z) w postaci zespolonej przy pomocy funkcji u(x,y), która jest częścią rzeczywistą wspomnianej funkcji zespolonej, a także funkcji v(x,y), która jest częścią urojoną funkcji zespolonej, zatem tą naszą funkcję przestawiamy na podstawie {{LinkWzór|8.1}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\;</MATH>|8.12}} Pochodną cząstkową {{LinkWzór|8.10}} piszemy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|8.12}} wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial f}\over{\partial\overline{z}}}={{1}\over{2}}\left[\left({{\partial u}\over{\partial x}}+i{{\partial v}\over{\partial x}}\right)+i\left({{\partial u}\over{\partial y}}+i{{\partial v}\over{\partial y}}\right)\right]={{1}\over{2}}\left[{{\partial u}\over{\partial x}}-{{\partial v}\over{\partial y}}+i\left({{\partial v}\over{\partial x}}+{{\partial u}\over{\partial y}}\right)\right]\;</MATH>|8.13}} Aby funkcja f była funkcją holomorficzną, to na podstawie wzoru końcowego {{LinkWzór|8.13}} muszą być spełnione związki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial u}\over{\partial x}}={{\partial v}\over{\partial y}}\;</MATH>|8.14}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial u}\over{\partial y}}=-{{\partial v}\over{\partial x}}\;</MATH>|8.15}} }} == Całkowanie we przestrzeni funkcji zespolonych == Całkowanie funkcji {{LinkWzór|8.12}} po konturze w przestrzeni zespolonej nazywamy całkowaniem, które zapisujemy wedle wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\int_Cf(z)dz=\int_C(u+iv)(dx+idy)=\int_C\left(udx-vdy\right)+i\int_C\left(vdx+udy\right)\;</MATH>|8.16}} Jeśli wykorzystamy twierdzenie Greena znanej z analizy matematycznej, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_C f(x,y)dx+g(x,y)dy=\int_S\left({{\partial g}\over{\partial x}}-{{\partial f}\over{\partial y}}\right)dxdy\;</MATH>|8.17}} Całkę {{LinkWzór|8.12}}, korzystając przy tym z twierdzenia całki okrężnej funkcji Greena, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_Cf(z)dz=\int_S\left(-{{\partial u}\over{\partial y}}-{{\partial v}\over{\partial x}}\right)dxdy+i\int_S\left({{\partial u}\over{\partial x}}-{{\partial v}\over{\partial y}}\right)dxdy\;</MATH>|8.18}} Dla funkcji holomorficznej całka okrężna {{LinkWzór|8.18}}, a stąd również {{LinkWzór|8.16}}, czyli na podstawie wzorów {{LinkWzór|8.14}} i {{LinkWzór|8.15}}, przyjmuje wartość zero. == Wyprowadzenie wzoru całkowego Cauchy'ego == Jest to całka funkcji zapisanej w przestrzeni zespolonej, którą możemy okreslić w następujący sposób: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)={{1}\over{2\pi i}}\oint {{f(t)}\over{t-z}}dt\;</MATH>|8.19}} Całkowanie występujące we wzorze {{LinkWzór|8.19}} możemy tak przekształcić, by po dokonaniu do niego podstawienia {{Formuła|<MATH>t-z=re^{i\phi}\;</MATH>}}, stąd możemy napisać wzór na dt, czyli {{Formuła|<MATH>dt=ire^{i\phi}dt\;</MATH>}}, by otrzymać w ostateczności przekształcone wyrażenie całkowe: {{CentrujWzór|<MATH>\oint{{f(t)}\over{t-z}}dt=\oint{{f(z+re^{i\phi})}\over{re^{i\phi}}}ire^{i\phi}d\phi=i\oint f(z+re^{\phi})d\phi\;</MATH>|8.20}} Możemy wybrać takie całkowanie wokół punktu osobliwego z, by promień okręgu okalający wspomniany punkt osobliwy dążył do zera, zatem całkę {{LinkWzór|8.18}} piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>i\oint f(z+re^{\phi})d\phi=i\int_0^{2\pi} f(z_0)d\phi=if(z_0)\int_0^{2\pi} d\phi=2\pi i f(z_0)\;</MATH>|8.21}} Na podstawie wzorów {{LinkWzór|8.21}}, {{LinkWzór|8.20}} dochodzimy do wniosku, że spełniony jest wzór {{LinkWzór|8.19}}. == Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu == Szeregiem Laurenta nazywamy szereg określony wzorem poniżej, względem potęg jego dodatnich i ujemnych wraz z potęgą zero, zapisanej za pomocą współczynników a_-n i b_n, czyli we wspomnianym wzorze występuje wszelkie potęgi wyrazu (z-z₀), zatem na tej podstawie nasz szereg: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\;</MATH>|8.22}} Następnym krokiem jest wyznaczenie wyrażenia poniżej całkując wokół pewnego punktu z₀, dokonując podstawienia {{Formuła|<MATH>z-z_0=re^{i\phi}\;</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint(z-z_0)^kdz=\oint r^ke^{ik\phi}ire^{i\phi}d\phi=ir^{k+1}\int_0^{2pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi\;</MATH>|8.23}} We wzorze {{LinkWzór|8.23}}, gdy k=-1, wtedy wspomniany wzór jest równy 2&pi;i;, ale gdy k&ne;-1, wtedy wspomniany wcześniej wzór jest równoważny całce: {{CentrujWzór|<MATH>ir^{k+1}\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}e^{i(k+1)\phi}\Bigg|_0^{2\pi}=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}\left(e^{i(k+1)2\pi}-1\right)=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}(1-1)=0\;</MATH>|8.24}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|8.24}} i dla k=-1 dochodzimy do wniosku, że dla poszczególnych k, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_C(z-z_0)^kdz=\begin{cases} 0&\mbox{ dla } k\neq -1\\ 2\pi i&\mbox{ dla } k=-1\\ \end{cases}\;</MATH>|8.25}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie czynników a{{Sub|-n}} i b{{Sub|n}}, zatem wyznaczmy teraz ten pierwszy czynnik, zatem w obliczeniach poniżej występuje po odpowiednich obliczeniach suma całek, w której wszystkie całki oprócz jednej są równe zero, tzn. oprócz s=n, zatem te całki, które są równe zero od razu pomijamy w trzecim przekształceniu, zatem końcowa całka jest już poznana, bo ona omawiana była w punkcie {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2\pi i}}\oint(z-z_0)^{n-1}f(z)={{1}\over{2\pi i}}\oint(z-z_0)^{n-1}\left(\sum_{s=1}^{\infty}a_{-s}(z-z_0)^{-s}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\right)= {{1}\over{2\pi i}}a_{-n}\oint {{1}\over{(z-z_0)}}dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2\pi i}}a_{-n}2\pi i=a_{-n}\;</MATH>|8.26}} Dalszym krokiem jest wyznaczenie czynników b{{Sub|n}}, zatem w obliczeniach poniżej występuje po odpowiednich obliczeniach suma całek, w której wszystkie całki oprócz jednej są równa zero, tzn. oprócz l=n, zatem te całki, które są równe zero od razu pomijamy w trzecim przekształceniu, to końcowa całka jest już znana, bo ona omawiana była w punkcie {{LinkWzór|8.19}}, wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2\pi i}}\oint{{f(z)}\over{(z-z_0)^{m+1}}}={{1}\over{2\pi i}}\oint{{1}\over{(z-z_0)^{m+1}}}\left(\sum_{s=1}^{\infty}a_{-s}(z-z_0)^{-s}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\right)= {{1}\over{2\pi i}}b_{n}\oint {{1}\over{(z-z_0)}}dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2\pi i}}b_{n}2\pi i=b_{n}\;</MATH>|8.27}} Na podstawie końcowych obliczeń współczynniki szeregu Laurenta {{LinkWzór|8.22}} w przeprowadzonych obliczeniach, w celu ich wyznaczenia w punktach {{LinkWzór|8.26}} i {{LinkWzór|8.27}}, są równe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_{-n}={{1}\over{2\pi i}}\oint_C(z-z_0)^{n-1}f(z)dz\;</MATH>|8.28|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_m={{1}\over{2\pi i}}\oint_C {{f(z)}\over{(z-z_0)^{m+1}}}dz\;</MATH>|8.29|Obramuj}} }} == Zastosowanie definicji residuum funkcji == Przeprowadźmy całkowanie funkcji zespolonej w przestrzeni zespolonej po linii zamkniętej, wtedy ta funkcja podcałkowa, jeśli ją przestawimy szeregiem Laurenta, to wszystkie całki wyrazów oprócz wyrazu z czynnikiem a{{Sub|-1}} znikają, czyli są równe zero, zatem zostaje tylko wyraz ze wspomnianym czynnikiem. Jeśli funkcja podcałkowa f(z) ma kilka residuów, to szereg Laurenta jest sumą szeregów Laurenta dla różnych x{{Sub|0}}, czyli {{LinkWzór|8.22}}, zatem dochodzimy do wniosku z właściwości {{LinkWzór|8.25}}, że jeśli gdy ma jedno residuum, to wtedy {{CentrujWzór|<MATH>\oint f(z)=2\pi i \operatorname{Res} f(z_0)\;</MATH>|8.30}} A dla kilku residuum, tzn. funkcja f(z) ma kilka osobliwych punktów, to z własności funkcji Laurenta dla kilku punktów osobliwych mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_C f(z)dz=2\pi i\sum_j \operatorname{Res} f(z_j)\;</MATH>|8.31}} == Wyznaczanie residuum funkcji == Niech szereg Laurenta {{LinkWzór|8.22}} posiada wyraz, który to w mianowniku (z-z{{Sub|j}}) wykładnik potęgi ma nawiększą wartość w porównaniu z wykładnikami potęgi w mianowniku z innymi wyrazami należącego do tego szeregu: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)={{a_{-m}}\over{(z-z_j)^m}}+{{a_{-m+1}}\over{(z-z_j)^{m-1}}}+...</MATH>|8.32}} Wtedy residuum funkcji {{LinkWzór|8.32}} wyznaczamy przy pomocy wzoru poniżej, przy punkcie osobliwym z{{Sub|j}}. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Res} f(z_j)={{1}\over{(m-1)!}}\lim_{z\rightarrow z_j}\left[(z-z_j)^mf(z)\right]^{(m-1)}\;</MATH>|8.33}} Zaraz wytłumaczymy wzór {{LinkWzór|8.33}}, zatem do dzieła. Szereg {{LinkWzór|8.32}} mnożymy obustronnie przez (z-z{{Sub|j}}){{Sup|m}}, w ten sposób likwidujemy wszystkie wyrazy ujemne z-z{{Sub|j}}. Przy czynniku a{{Sub|-1}} pojawi się potęga (z-z{{Sub|j}}){{Sup|m-1}}. Tak otrzymany szereg różniczkujemy m-1 razy likwidując tym samym współczynnik a{{Sub|-n}} z wyjatkiem a{{Sub|-1}}, aby wyszedł czynnik a{{Sub|-1}} należy tak otrzymane wyrażenie podzielić przez (m-1)!. Na samym końcu przechodzimy do granicy przy {{Formuła|<MATH>_{z\rightarrow z_j}\;</MATH>}}, by potem otrzymać wzór {{LinkWzór|8.33}}. Co kończy dowód tego twierdzenia. == Dalszy ciąg badania funkcji holomorficznych == Niech mamy dwa wektory określone jako pochodne wektorów wodzących w kartezjańskim układzie współrzędnym, które określamy jako pochodną cząstkową z tych wektorów względem pewnych parametrów charakteryzujących te nasze omawiane wektory. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{T}_1={{\partial\vec{r}_1}\over{\partial s_1}}\;</MATH>|8.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{T}_2={{\partial\vec{r}_2}\over{\partial s_2}}\;</MATH>|8.35}} }} Kat między wektorami {{LinkWzór|8.34}} a {{LinkWzór|8.35}} określamy ze wzoru na iloczyn skalarny, zatem znając długości wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{T}_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{T}_2\;</MATH>}} i ich iloczyn skalarny, to możemy policzyć kosinus kąta pomiędzy naszymi omawianymi wektorami. {{CentrujWzór|<MATH>\cos\alpha={{(\vec{T}_1,\vec{T}_2)}\over{||\vec{T}_1|| ||\vec{T}_2||}}\;</MATH>|8.36}} Określmy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji {{LinkWzór|8.16}} względem zmiennych x i y, zatem tą macierz określamy wedle sposobu poniżej, przekształcimy tą macierz z warunku na holomorficzność funkcji {{LinkWzór|8.12}}, czyli ze wzoru określająca tą właściwość funkcji, tj. {{LinkWzór|8.14}} i {{LinkWzór|8.15}}. {{CentrujWzór|<MATH>F=\begin{bmatrix} {{\partial u}\over{\partial x}}&{{\partial u}\over{\partial y}}\\ {{\partial v}\over{\partial x}}&{{\partial v}\over{\partial y}}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {{\partial u}\over{\partial x}}&{{\partial u}\over{\partial y}}\\ -{{\partial u}\over{\partial y}}&{{\partial u}\over{\partial x}}\end{bmatrix}\;</MATH>|8.37}} Określmy teraz wektor {{Formuła|<MATH>\vec{Y}\;</MATH>}} w nowych zmiennych (u, v) określany podobnie jak w punkcie dla wektora {{Formuła|<MATH>\vec {r}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2\;</MATH>}}, czyli przy pomocy {{LinkWzór|8.34}} i {{LinkWzór|8.35}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Y}={{d\vec{w}}\over{\partial s}}={{\partial(u,v)}\over{\partial (x,y)}}{{d(x,y)}\over{ds}}=F^'\vec{T}\;</MATH>|8.38}} Kąt pomiędzy dwoma różnymi wektorami {{LinkWzór|8.38}} wyznaczamy z definicji iloczynu skalarnego dla przestrzeni euklidesowej przestawionej w postaci macierzowej znanej z algebry, zatem jak się przekonamy, że porównując kąty pomiędzy wektorami określanymi według wzoru {{LinkWzór|8.36}}, a kątem pomiędzy wektorami {{LinkWzór|8.34}} i {{LinkWzór|8.35}}, to jak się przekonamy są kątami sobie równymi. {{CentrujWzór|<MATH>\cos\beta={{(F^'\vec{T}_1,F^'\vec{T}_2)}\over{||F^'\vec{T}_1|| ||F^'\vec{T}_2||}}={{\vec{T}_1^T(F^')^TA^'F^'\vec{T}}\over{|\vec{T}_1^T(F^')^TA^'F^'\vec{T}_1||\vec{T}_2^T(F^')^TA^'F^'\vec{T}_2|}}={{(\vec{T}_1,\vec{T}_2)}\over{||\vec{T}_1|| ||\vec{T}_2||}}=\cos\alpha\;</MATH>|8.39}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> so9do6r29driihbfjg7k9gxgqmwwy3e 0 19906 558625 513443 2026-10-04T22:10:23Z Persino 2851 558625 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W tym rozdziale zapoznamy się z wielomianami, którego definicja jest przestawiana wzorem poniżej, jest ona kombinacją liniową funkcji potęgowych x{{Sup|n}} ze współczynnikami a{{Sub|n}} i b{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n(x)=a_n x^n+b_nx^{n-1}+...\;</MATH>|9.1}} Będziemy się również zajmować wielomianami Legendre'a P{{Sub|n}}, Hermite'a H{{Sub|n}} i Laguerre'a L{{Sub|n}} i na samym końcu Czebyszewa T{{Sub|n}}. Każdy z tych wielomianów ma swoją dziedzinę zapisanych w przedziałach dla każdego wielomianu z osobna, podamy też dla tych wielomianów funkcje czemu są równe: {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>\begin{matrix} P_n(x):&\rho=1&A=0&B=1-x^2&x\in (-1,1)\\ H_n(x):&\rho=e^{-x^2}&A=-2x&B=1&x\in(-\infty,+\infty)\\ L_n(x):&\rho=x^{\lambda}e^{-x}&A=\lambda-x&B=x&x\in(0,\infty)\\ T_n(x):&\rho={{1}\over{\sqrt{1-x^2}}}&A=x&B=1-x^2&x\in(-1,1)\\ \end{matrix}\;</MATH>}} == Definicje ortogonalności wielomianów Q{{Sub|n}} == Zdefiniujmy iloczyn skalarny dwóch funcji jednej zmiennej f(x) i g(x), w przedziale (&alpha;,&beta;). {{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\int_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)dx\;</MATH>|9.2}} Funkcje f(x) i g(x) są ortogonalne, jeśli zachodzi warunek (f,g)=0. Wprowadzając do wzoru {{LinkWzór|9.2}} wagę &rho;(x), możemy zdefiniować iloczyn skalarny dwóch wielomianów jako: {{CentrujWzór|<MATH>(Q_n,Q_m)=\int_{\alpha}^{\beta}Q_n(x)Q_m(x)\rho(x)dx\;</MATH>|9.3}}. Wielomiany (9.1) są z definicji ortogonalne, tzn. zachodzi związek (Q{{Sub|n}},Q{{Sub|m}})=&delta;{{Sub|nm}} == Wstęp do własności wielomianów ortogonalnych == Każdą potęgę x{{Sup|k}} możemy przestawić jako kombinację liniową wielomianów ortogonalnych Q{{Sub|0}}, Q{{Sub|1}},Q{{Sub|2}},Q{{Sub|3}},...,Q{{Sub|k}}, wtedy na podstawie tej własności funkcja potęgowa dla k<n jest ortogonalna z wielomianem Q{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>(x^k,Q_n)=0\mbox{ dla }k=0,1,2,3,...,n-1\;</MATH>|9.4}} Funkcja ortogonalna Q{{Sub|n}} ma n pierwiastków, bo to wynika z tego, że ona jest iloczynem n czynników (x-x{{Sub|j}}), zatem nasz wspomniany wielomian piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot ...\cdot(x-x_n)\;</MATH>|9.5}} Aby przeprowadzić dowód przedstawienia funkcji Q{{Sub|n}} w postaci iloczynów pewnych czynników {{LinkWzór|9.5}} musimy przeprowadzić dowód nie wprost, zatem załóżmy, że nasz wielomian ma m<n pierwiastków, wtedy wielomian Q{{Sub|n}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n=(x-x_1)(x-x_2)\cdot ...\cdot(x-x_m)W_{n-m}(x)\;</MATH>|9.6}} Iloczyn skalarny wielomianu ortogonalnego Q{{Sub|n}}(x) {{linkWzór|9.6}} i wielomianu zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|9.5}} na mocy twierdzenia {{LinkWzór|9.4}} jest równy zero, na podstawie definicji iloczynu skalarnego {{LinkWzór|9.3}}, zatem iloczyn skalarny napisany tuż niżej dla m<n jest po prostu równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>I=(Q_n,(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot ...\cdot(x-x_m)=\int_{\alpha}^{\beta}Q_n(x)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot ...\cdot(x-x_m))\rho(x)dx\;</MATH>|9.7}} Ale z drugiej jednak strony ten sam wielomian {{LinkWzór|9.5}} możemy przepisać w postaci wielomianów o ustalonych znakach, zatem iloczyn skalarny {{LinkWzór|9.7}}, dla obranej odpowiedniej funkcji Q{{Sub|n}} wyżej zdefiniowaną, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>I=\int_{\alpha}^{\beta}(x-x_1)^2(x-x_2)^2...(x-x_m)^2W_{n-m}(x)\rho(x)dx\;</MATH>|9.8}} Przeprowadźmy dowód nie wprost i załóżmy, że wielomian ma mniej pierwiastów niż n, tzn. ma ich m, a W{{Sub|n-m}} nie ma pierwiastków rzeczywistych. Na podstawie wzoru {{LinkWzór|9.7}} całka jest równa zero, bo zachodzi m<n, a całka {{LinkWzór|9.8}}, w której występują czynniki podniesione do kwadratu, które są ustalonego znaku, ale 0<n-m<n, jest nie równa zero, bo wielomian W{{Sub|n-m}} jest ustalonego znaku, zatem ten sam wynik {{LinkWzór|9.7}} i {{LinkWzór|9.8}} przyjmuje raz wynik równy zero, a za drugim razem jest nierówny zero, wtedy mamy sprzeczność, ale gdy m=n bo (m<n), to wtedy też jest sprzeczność, stąd wielomian Q{{Sub|n}} ma n pierwiastków. A więc dostajemy, że wielomian ortogonalny Q{{Sub|n}} ma n pierwiastków i da się przedstawić wzorem {{linkWzór|9.5}}. == Wielomiany ortogonalne jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych == Tutaj będziemy rozpatrywać wielomiany ortogonalne spełniających warunki ortogonalności. Aby przeprowadzić dalsze obliczenia napiszmy wielomian wymierny napisaną wedle schematu poniżej, który to jest ilorazem pochodnej zmiennej &rho;, która jest wagą przy całkowaniu przy iloczynie skalarnym {{LinkWzór|9.3}}, przez tą samą wagę, które to wyrażenie jest ilorazem wielomianu A przez B, zatem w takim przypadku ten iloraz spełnia tożsamość (pierwszy wzór), a także napiszmy warunek na równość w punktach brzegowych x=&alpha;,&beta;, który to jest iloczynem wagi &rho;(x) i wielomianu B(x), który jest równy zero w tymże punktach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{{\rho^'}\over{\rho}}={{A}\over{B}}}\;</MATH>|9.9}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho(x)B(x)=0\mbox{ dla } x=\alpha,\beta\;</MATH>|9.10}} }} Wyznaczmy funkcję V, która będzie nam bardzo potrzebna w toku dalszych obliczeń przy wyznaczeniu odpowiedniego typu równań różniczkowych, w tym celu należy skorzystać z równości {{LinkWzór|9.9}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>V={{1}\over{\rho}}\left(\rho BQ^'_n\right)^'={{1}\over{\rho}}\left[\rho^' BQ_n^'+\rho B^'Q_n^'+\rho BQ_n^{''}\right]={{\rho^'}\over{\rho}}BQ_n^'+B ^'Q_n^'+ BQ_n^{''}={{A}\over{B}}BQ_n^'+B^'Q_n^'+BQ_n^{''}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(A+B^'\right)Q^'_n+BQ_n^{''}\;</MATH>|9.11}} Zbadajmy ortogonalność wielomianów V z funkcją potęgową x{{Sup|k}} dla k<n, wtedy obliczmy najpierw iloczyn skalarny funkcji V z funkcją potęgową, i sprawdzimy później czy te tutaj wspomniane wielomiany są do siebie ortogonalne, ale najpierw całkując w tak otrzymanym iloczynie skalarnym przez części, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>(V,x^k)=\int_{\alpha}^{\beta}x^k(\rho BQ_n^')^'dx=x^k\rho BQ_n^'\Bigg|_{\alpha}^{\beta}-k\int_{\alpha}^{\beta}x^{k-1}\rho(x)B(x)Q_n^'(x)dx\;</MATH>|9.12}} Zakładamy, że iloczyn &rho;(x)B(x) w punktach &alpha; i &beta; jest równy zero, czyli zachodzi wzór {{LinkWzór|9.10}}, zatem pierwszy składnik we wzorze {{LinkWzór|9.12}} znika, zatem pozostaje nam tylko drugi składnik, którego całkujemy przez części. {{CentrujWzór|<MATH>(V,x^k)=k\int_{\alpha}^{\beta}\left(x^{k-1}\rho(x)B(x))\right)^'Q_{n}(x)dx=k\int_{\alpha}^{\beta}\left[(k-1)x^{k-2}\rho(x)B(x)+x^{k-1}\left(\rho(x)B(x)\right)^{'}\right]Q_n(x)dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =k\int_{\alpha}^{\beta}\left[(k-1)x^{k-2}B(x)+x^{k-1}{{1}\over{\rho}}\left(\rho^'(x)B+\rho B^'\right)\right]Q_n(x)\rho(x) dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= k\int_{\alpha}^{\beta}\left[(k-1)x^{k-2}B(x)+x^{k-1}\left(A+ B^'\right)\right]Q_n(x)\rho(x) dx</MATH>|9.13}} Ponieważ wyrażenia x{{Sup|k}} i x{{Sup|k-1}} są wielomianami, dla których zachodzi k<n, zatem wielomian Q_n jest prostopadły do funkcji potęgowej, stąd wynika, że wyrażenie {{LinkWzór|9.13}} jest równe zero, zatem wielomian V zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|9.11}} jest wielomianem prostopadłym do funkcji potęgowej x{{Sup|k}}, zatem w takim przypadku możemy napisać, że wielomian V jest wyrażamy wzorem V=&gamma; Q{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left(A+B^'\right)Q^'_n+BQ_n^{''}=\gamma Q_n\;</MATH>|9.14}} Współczynnik &gamma; wyznaczamy w równaniu różniczkowym {{LinkWzór|9.14}} w taki sposób by porównać w nim wyrazy stojące przy x{{Sup|n}}, to w takim razie dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=n\left[A_1+(n+1)B_2\right]\;</MATH>|9.15}} Mając równanie różniczkowe {{LinkWzór|9.14}} na wielomian ortogonalny Q{{Sub|n}} zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|9.1}}, zatem możemy napisać wzory różniczkowe na wielomiany Legendre'a P{{Sub|n}}, Hermite'a H{{Sub|n}},Laguerre'a L{{Sub|n}} i Czybyszewa T{{Sub|n}} podstawiając za A i B pewne ściśle określone wielomiany: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Wielomian Legendre'a P{{Sub|n}}'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Wielomian Hermite'a H{{Sub|n}}'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1-x^2)P_n^{''}-2xP^'_n+n(n+1)P_n=0</MATH>|9.16}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>H_n^{''}-2xH^'_n+2n H_n=0\;</MATH>|9.17}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Wielomian Laguerre'a L{{Sub|n}}'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Wielomian Czebyszewa T{{Sub|n}}'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>xL_n^{''}+(\lambda+1-x)L_n^'+nL_n=0\;</MATH>|9.18}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1-x^2)T^{''}_n-xT^'_n+n^2T_n=0\;</MATH>|9.19}}}}<!-- -->}}}} == Wzór Rodrigues'a == Można wykazać, że wielomiany ortogonalne można zapisać nade wszystko w prostej postaci. Wielomiany {{Formuła|<MATH>Q_n(x);</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\tilde{Q}_n\;</MATH>}} są to wielomiany różniące się tylko stałym czynnikiem, wtedy wzór Rodrigues'a wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n-\tilde{Q}_n={{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^{(n)}\;</MATH>|9.20}} Znając wzór {{LinkWzór|9.20}} nie jesteśmy pewni, czy wielomian {{Formuła|<MATH>\tilde{Q}_n(x)\;</MATH>}} jest w ogóle wielomianem, zatem zapiszmy wielomian poniżej i sprawdźmy czemu jest równy wielomian określony: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^k\;</MATH>|9.21}} Wyznaczmy wyrażenie {{LinkWzór|9.21}} dla k=0, czyli dla pochodnej zerowego rzędu, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^{(0)}=B^n\;</MATH>|9.22}} Teraz wyznaczmy wyrażenie {{LinkWzór|9.21}} dla k=1, czyli dla pochodnej pierwszego rzędu, wtedy będziemy musieli wykorzystać wzór {{LinkWzór|9.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^1={{1}\over{\rho}}\left(\rho^' B^n+\rho nB^{n-1}B^'\right)={{\rho^'}\over{\rho}}B^n+nB^{n-1}B^'={{A}\over{B}}B^n+nB^{n-1}B^'=AB^n+B^{n-1}B^'=B^{n-1}\left(A+nB^'\right)\;</MATH>|9.23}} Patrząc na dwa wnioski, czyli {{LinkWzór|9.22}} (przypadek zerowej pochodnej) i {{LinkWzór|9.23}} (przypadek pierwszej pochodnej), możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik {{LinkWzór|9.21}} jest iloczynem wielomianu B{{Sup|n-k}} i wielomianu W{{Sub|k}}, zatem w takim przypadku dochodzimy do wniosku, że spełniona jest prawdopodobnie tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^{(k)}=B^{n-k}W_k\;</MATH>|9.24}} Aby udowodnić tożsamość {{LinkWzór|9.24}} należy skorzystać z metody indukcji zupełnej. Przypadek k=0,1, czyli przypadki {{LinkWzór|9.22}} i {{LinkWzór|9.23}} zostały już udowodnione, zatem w takim przypadku wykażmy, czy z zdania n wynika zdanie n+1, zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^{(k+1)}={{1}\over{\rho}}\left[(\rho B^n)^{(k)}\right]^'={{1}\over{\rho}}\left[\rho B^{n-k}W_k\right]^' ={{1}\over{\rho}}\left[\rho^' B^{n-k}W_k+\rho \left(B^{n-k}\right)^'W_k+\rho B^{n-k}W_k^'\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=AB^{n-k-1}W_k+(n-k)B^{n-k-1}W_k+B^{n-k}W_k^'=B^{n-k-1}\left(AW_k+(n-k)W_k+BW_k^'\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=B^{n-k-1}\left(W_k(A+n-k)+BW_k^'\right)\;</MATH>|9.25}} Jeśli porównamy wynik końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.25}} i wzór {{LinkWzór|9.24}}, wtedy mamy tożsamość iteracyjną: {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=BW_k^'+(A+(n-k)B^')W_k\;</MATH>|9.26}} Jest to równanie różniczkowo-róznicowe na wielkość W{{Sub|n}}, któremu odpowiada wartość początkowa iteracji: {{CentrujWzór|<MATH>W_0=1\;</MATH>|9.27}} Gdy mamy n=k, przypadek wielomianu W{{Sub|n}} zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|9.20}} pokrywa się z wielomianem {{Formuła|<MATH>\tilde{Q}_n\;</MATH>}}, zatem problem znalezienia wielomianów ortogonalnych sprowadza się do problemu znalezienia wielomianu W{{Sub|n}}. Ten wielomian będziemy zapisywali go podobnie jak we wzorze {{LinkWzór|9.1}} dla wielomianu Q{{Sub|n}}, czyli określmy nasz wielomian W_n jako: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=w_nx^m+v_nx^{m-1}+...\;</MATH>|9.28}} == Wielomiany Legendre'a == Wielomiany Legendre'a są opisywane przez równanie różniczkowe opisane przez wzór {{LinkWzór|9.16}}, gdzie B=1-x^2 i A=0, wtedy równanie iteracyjne {{LinkWzór|9.26}} przyjmuje postać iteracyjną: {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=(1-x^2)W_k^'-2x(n-k) W_k\;</MATH>|9.29}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k+1}} w {{LinkWzór|9.29}}, zatem możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k: {{CentrujWzór|<MATH>w_{k+1}=-w_kk-2(n-k)w_k\Rightarrow w_{k+1}=-2w_k(n-k)-k=-w_k(2n-2k+k)w_k=-(2n-k)w_k\Rightarrow w_{k+1}=-(2n-k)w_k\;</MATH>|9.30}} Napiszmy w sposób zwarty współczynniki w{{Sub|n}} dla wielomianu W{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>w_n=(n-1-2n)(n-2-2n)(n-3-2n)\cdot...(0-2n)=(-n-1)(-n-2)(-n-3)\cdot...\cdot(-2n)=(-1)^n{{(2n)!}\over{n!}}\;</MATH>|9.31}} Jeśli będziemy porównywać współczynnikami stojące przy potędze x{{Sup|k}} w {{linkWzór|9.42}} dostajemy tożsamość iteracyjną: {{CentrujWzór|<MATH>v_{k+1}=-(k-1)v_k+(2k-2n)v_{k}=(k+1-2n)v_k\;</MATH>|9.32}} Gdy zadamy warunek brzegowy v{{Sub|0}}=0, wtedy na podstawie warunku {{linkWzór|9.32}} dostajemy wniosek, że v{{Sub|n}}=0. {{Rysunek|Legendre Polynomials for n&#61;0 to 5.jpeg|kw1|Wielomiany Legendre'a P{{Sub|n}}(x) dla n&#61;0,...,5|rozmiar=300px}} Wielomiany Legrendre'a jako rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|9.16}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_n={{(-1)^n}\over{2^nn!}}\tilde{P}_n={{(-1)^n}\over{2^nn!}}\left[\left(1-x^2\right)^n\right]^{(n)}\;</MATH>|9.33}} Czynniki stojące przy dwóch ostatnich wyrazach dla wielomianów Legendre'a {{LinkWzór|9.33}} są równe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>a_n={{(2n)!}\over{2^n(n!)^2}}\;</MATH>|9.34}}|2={{CentrujWzór|<MATH>b_n=0\;</MATH>|9.35}}}} == Wielomiany Hermite'a == {{Rysunek|Hermite_polynomial.svg|w1|Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite'a|rozmiar=300px}} Rozpatrzmy równanie iteracyjne dla wielomianów iteracyjnych W{{Sub|k}}, który jest odpowiednikiem równania różniczkowego Hermite'a {{LinkWzór|9.17}}. {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=W_k^'-2xW_k\;</MATH>|9.36}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k}} i x{{Sup|k-1}}, i przyjmując odpowiednie warunki brzegowe, tzn. w{{Sub|0}}=1 i v{{Sub|0}}=0, wtedy dostajemy wnioski iteracyjne dla tych dwóch najwyższych współczynników. Jak się przekonamy współczynnik v{{Sub|n}} jest równy zawsze zero, bo współczynnik v₀ jest równy zero. Współczynniki w{{Sub|n}} i v{{Sub|n}} na współczynników {{Formuła|<MATH>w_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>v_k\;</MATH>}}, z których otrzymamy ich wersje, ale z {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}}, z postaci iteracyjnej na postać zwartą, są przedstawione wzorami w sposób: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>w_{k+1}=-2w_k\wedge w_0=1\Rightarrow w_n=(-2)^n\;</MATH>|9.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>v_{k+1}=-2v_k\wedge v_0=0\Rightarrow v_n=0\;</MATH>|9.38}} }} Wielomiany Hermite'a nazywamy wielomianami napisane jako: {{CentrujWzór|<MATH>H_n=(-1)^n\tilde{H}_n=(-1)^ne^{x^2}\left(e^{-x^2}\right)^{(n)}\;</MATH>|9.39}} Czynniki stojący w ostatnich wyrazach we wzorze na wielomiany Legendre'a H_n {{LinkWzór|9.39}} są równe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_n=2^n\;</MATH>|9.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_n=0\;</MATH>|9.41}} }} == Wielomiany Laguerre'a == {{Rysunek|Laguerre_polynomials-four.png|w2|Wykresy pierwszych czterech wielomianów Laguerre'a|rozmiar=300px}} Równaniem iteracyjnym równania różniczkowego Hermitte'a nazywamy wielomian, który jest odpowiednikiem równania różniczkowego {{LinkWzór|9.18}}, który wyrażamy wzorem iteracyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=xW_k^'+(\lambda-x+n-k)W_k\;</MATH>|9.42}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k+1}} w {{LinkWzór|9.42}} możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w{{Sub|k}}, stąd z warunkiem brzegowym w₀=1 otrzymujemy w{{sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>w_{k+1}=-w_k\Rightarrow w_k=(-1)^k\Rightarrow w_n=(-1)^n\;</MATH>|9.43}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k}} w {{LinkWzór|9.42}} możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika v{{Sub|k}}, stąd z warunkiem brzegowym v{{Sub|0}}=0 otrzymujemy v{{sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_{k+1}=kw_k+(\lambda+n-k)w_k-v_{k}=(\lambda+n)w_k-v_k=(\lambda+n)(-1)^k-v_k\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow v_n=(-1)^{n-1}(\lambda+n)n\;</MATH>|9.44}} Wielomianem Laguerre'a nazywamy wielomianem ortogonalnym, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>L_n=\tilde{L}_n=x^{-1}e^x\left(x^{\lambda+n}e^{-x}\right)^{(n)}\;</MATH>|9.45}} Najwyższe dwa współczynniki stojące przy wielomianie Laguerre'a L{{Sub|n}} są to współczynniki opisujące wielomian: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_n=(-1)^n\;</MATH>|9.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_n=(-1)^{n-1}n(n+\lambda)\;</MATH>|9.46a}} }} == Wielomian Czebyszewa == Równaniem iteracyjnym równania różniczkowego Hermitte'a nazywamy wielomian, który jest odpowiednikiem {{linkWzór|9.19}}, który wyrażamy wzorem iteracyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=(1-x^2)W^'_k+\left[x-2(n-k)x\right]W_k\;</MATH>|9.47}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k+1}} w {{LinkWzór|9.47}} możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k, stąd z warunkiem brzegowym w{{Sub|0}}=1 otrzymujemy w{{sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>w_{k+1}=-kw_k-(2n-2k-1)w_k=-w_k\left(2n-k-1\right)]\Rightarrow w_{k}=-w_{k-1}(2n-k)\Rightarrow w_n=(-1)^n{{(2n-1)!}\over{(n-1)!}}\;</MATH>|9.48}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k}} w {{LinkWzór|9.47}} możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika v{{Sub|k}}, stąd z warunkiem brzegowym v{{Sub|0}}=0 otrzymujemy v{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_{k+1}=-v_k(k-1)+[1-2(n-k)]v_k=(1-2n+2k-k+1)v_k=(2-2n+k)v_k\Rightarrow v_n=0\;</MATH>|9.49}} {{Rysunek|Czebyszew polynomials for n&#61;0 to 5.jpeg|lk2|Wykresy wielomianu Czebyszewa dla n&#61;0 do n&#61;5|rozmiar=300px}} Wielomianem Czebyszewa nazywamy wielomianem, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego Czebyszewa {{LinkWzór|9.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>T_n=(-1)^n{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\tilde{T}_n=(-1)^n{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\sqrt{1-x^2}\left[(1-x^2)^{n-{{1}\over{2}}}\right]^{(n)}\;</MATH>|9.50}} Przy wielomianach Czebyszewa T_n współczynniki stojące przy dwóch najwyższych jego potęgach są to współczynniki wyrażone wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_n=1\;</MATH>|9.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_n=0\;</MATH>|9.52}} }} == Definicja normy wielomianów ortogonalnych == Wielomiany ortogonalne nie stanowią zwykle bazy ortogonalnej, ponieważ ich normy są nierówne jeden, zatem normą wielomianu ortonormalnego nazywamy normą zapisywanej wzorem przy korzystaniu z definicji iloczynu skalarnego dla dwóch wielomianów ortonormalnych {{LinkWzór|9.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>||Q_n||^2=(Q_n,Q_n)=(a_nx^n+b_nx^{n-1}+...,Q_n)\;</MATH>|9.53}} Wiadomo, że wielomian x{{Sup|k}} jest ortonormalny do wielomianu Q{{Sub|n}} dla k<n, wtedy norma wielomianu ortogonalnego dla ściśle określonego n w {{LinkWzór|9.53}} sprowadza się do postaci poniżej, wprowadzając jeszcze współczynnik f{{Sub|n}}, który jest wprost proporcjonalności pomiędzy {{Formuła|<MATH>Q_n\;</MATH>}} a {{Formuła|<MATH>\hat{Q}_n\;</MATH>}}, i całkując tak otrzymaną całkę n razy przez części, dostajemy stąd wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>||Q_n||^2=a_n(x^n,Q_n)=a_n(x^n,Q_n)=a_nf_n\int_{\alpha}^{\beta}x^n{{1}\over{\rho}}(\rho B^n)^{(n)}\rho dx=(-1)^nn!a_nf_n\int_{\alpha}^{\beta}\rho B^ndx\;</MATH>|9.54}} Napiszmy teraz normy dla poszczególnych rozważanych tutaj wielomianów ortonormalnych w tymże module. === Norma dla wielomianu Legendre'a === Przy liczeniu normy wielomianu Legendre'a {{LinkWzór|9.33}}, korzystamy z definicji normy wielomianu Q{{Sub|n}} {{LinkWzór|9.54}}, i z definicji wagi równą &rho;=1 oraz ʙ=1-x{{Sup|2}} i A=0: {{CentrujWzór|<MATH>||P_n||^2=(-1)^n n!\underbrace{{{(2n)!}\over{2^n(n!)^2}}}_{a_n}\underbrace{{{(-1)^n}\over{2^n n!}}}_{f_n}\int^1_{-1}(1-x^2)^ndx\;</MATH>|9.55}} Obliczmy tę całkę dokonując podstawienia t=(x+1)/2, czyli x=2t-1, w ten sposób możemy piszemy {{LinkWzór|9.55}}: {{CentrujWzór|<MATH>||P_n||^2={{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}\int_{0}^1\left(1-\left(2t-1\right)^2\right)^n2dt={{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}\int_0^1\left(1-4t^2+4t-1\right)2dt= {{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}\int_0^1\left(-4t^2+4t\right)^ndt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}2^{2n+1}\int_0^1t^n(1-t)^ndt= {{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}2^{2n+1}B(n+1,n+1)=2{{(2n)!}\over{(n!)^2}}{{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1)}\over{\Gamma(2n+2)}}=2{{(2n)!}\over{(n!)^2}}{{n!n!}\over{(2n+1)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2}\over{2n+1}}\;</MATH>|9.56}} === Norma dla wielomianu Hermite'a === Przy liczeniu normy wielomianu Hermite'a {{LinkWzór|9.39}}, korzystamy z definicji normy wielomianu Q{{Sub|n}} {{LinkWzór|9.54}}, zatem ta nasza rozważaną normę piszemy wedle schematu poniżej przy definicji &rho;=e{{Sup|-x{{Sup|2}}}} oraz B=1 i A=-2x, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>||H_n||^2=(-1)^n n! 2^n(-1)^n\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=2^nn!\sqrt{\pi}\;</MATH>|9.57}} === Norma dla wielomianu Laguerre'a === Przy liczeniu normy wielomianu Hermite'a {{LinkWzór|9.39}}, korzystamy z definicji normy wielomianu Q{{Sub|n}} {{LinkWzór|9.54}}, to ta nasza rozważaną normę piszemy wedle przepisu poniżej przy definicjach {{Formuła|<MATH>\rho=x^{\lambda} e^{-x}\;</MATH>}} oraz B=x i A=&lambda;-x gdzie &lambda;>-1, korzystając przy tym z definicji funkcji &Gamma; Eulera drugiego rodzaju {{LinkWzór|5.13|Całki i funkcje Eulera}}: {{CentrujWzór|<MATH>||L_n||^2=(-1)^nn!(-1)^n\int_0^{\infty}x^{\lambda+n}e^{-x}dx=n!\Gamma(\lambda+n+1)\;</MATH>|9.58}} === Norma dla wielomianu Czebyszewa === Przy liczeniu normy wielomianu Czebyszewa {{LinkWzór|9.50}}, korzystamy z definicji normy wielomianu Q{{Sub|n}} {{LinkWzór|9.54}}, zatem ta nasza rozważaną normę piszemy wedle schematu poniżej przy definicji {{Formuła|<MATH>\rho={{1}\over{\sqrt{1-x^2}}}\;</MATH>}} oraz B=1-x{{Sup|2}} i A=x korzystając przy tym z definicji funkcji &Gamma; Eulera drugiego rodzaju {{LinkWzór|5.13|Całki i funkcje Eulera}}: {{CentrujWzór|<MATH>||T_n||^2=(-1)^nn! (-1)^n{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\int_{-1}^1(1-x^2)^{n-{{1}\over{2}}}dx=n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\int_{0}^1\left[1-\left(2t-1\right)^2\right]^{n-{{1}\over{2}}}dx=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\int_{0}^1\left(1-4t^2-1+4t\right)^{n-{{1}\over{2}}}dt= =n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}2^{2n}\int_{-1}^1t^{n-{{1}\over{2}} }(1-t)^{n-{{1}\over{2}}}dt= n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}2^{2n}B\left(n+{{1}\over{2}},n+{{1}\over{2}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}2^{2n}{{\Gamma(n+{{1}\over{2}})\Gamma(n+{{1}\over{2}})}\over{\Gamma(2n+1)}}= =n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}2^{2n} {{\left(n-{{1}\over{2}}\right)^2\left(n-{{3}\over{2}}\right)^2\cdot...\cdot\left({{3}\over{2}}\right)^2\left({{1}\over{2}}\right)^2\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)^2}\over{(2n)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\pi{{\left((2n-1)!!\right)^2}\over{(2n)!}}= {{n!(n-1)!}\over{(2n-2)!!}}\pi{{(2n-1)!!(2n)!!}\over{(2n)!(2n)!!}}= {{n!(n-1)!}\over{(2n-2)!!}}\pi{{(2n)!}\over{(2n)!(2n)!!}}={{n!(n-1)!}\over{(2n-2)!!}}\pi{{1}\over{(2n)!!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= ={{n!(n-1)!2n}\over{(2n)!!^2}}\pi={{n!(n-1)!2n}\over{2^{2n}(n!)^2}}\pi={{n!n!2n}\over{n2^{2n}(n!)^2}}\pi={{1}\over{2^{2n-1}}}\pi={{\pi} \over{2^{n-1}}}\;</MATH>|9.60}} Następnym krokiem jest wyznaczenie normy wielomianu Czebyszewa T{{Sub|n}} dla n=0, korzystając z definicji normy dowolnego wielomianu {{LinkWzór|9.54}} dla tego n, zatem możemy policzyć tą wielkość wedle poniższego sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>||T_0||^2=\int^{1}_{-1}\left(1-x^2\right)^{-{{1}\over{2}}}dx=\int_0^{1}\left[1-\left(2t-1\right)^2\right]^{-{{1}\over{2}}}=\int_0^{1}t^{-{{1}\over{2}}}(1-t)^{-{{1}\over{2}}}={{\Gamma^2\left({{1}\over{2}}\right)}\over{\Gamma(1)}}=\left(\sqrt{\pi}\right)^2=\pi\;</MATH>|9.61}} == Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych == Przestawmy wielomian xQ{{Sub|n}} w postaci rekurencyjnej, który jest jakoby wielomianem n+1 stopnia, który jest kombinacją wielomianów Q{{Sub|0}}, Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}},...,Q{{Sub|n+1}}: {{CentrujWzór|<MATH>xQ_n=\sum_{j=0}^{n+1}c_jQ_j\;</MATH>|9.62}} Na wielomian xQ{{Sub|n}}{{LinkWzór|9.62}} podziałajmy iloczynem skalarnym zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|9.2}} względem wielomianu Q{{Sub|j}}, zatem w takim przypadku możemy napisać, że współczynnik c{{Sub|i}} jest iloczynem skalarnym członu xQ{{Sub|n}} przez człon Q{{Sub|i}} podzielonej przez kwadrat modułu wielomianu Q{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>(xQ_n,Q_i)=\left(\sum_{j=0}^{n+1}c_jQ_j,Q_i\right)=\sum_{j=0}^{n+1}c_j(Q_j,Q_i)=c_i||Q_i||\Rightarrow c_i={{(xQ_n, Q_i)}\over{||Q_i||^2}} ={{\int_{\alpha}^{\beta}xQ_nQ_idx}\over{||Q_i||^2}}={{\int_{\alpha}^{\beta}xQ_iQ_n\rho dx}\over{||Q_i||^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(xQ_i,Q_n\right){{1}\over{||Q_i||^2}}\;</MATH>|9.63}} Na podstawie definicji współczynnika c{{Sub|i}} możemy powiedzieć, że wielomian xQ{{Sub|n}} jest kombinacją wielomianów Q{{Sub|n+1}}, Q{{Sub|n}} i Q{{Sub|n-1}}, czyli w ten w sposób określamy współczynniki c{{Sub|n+1}}, c{{Sub|n}} i c{{Sub|n-1}}, a pozostałe współczynniki c{{Sub|i}} na podstawie związku {{LinkWzór|9.63}} są równe zero, zatem wielomian {{LinkWzór|9.62}} jest równy wyrażeniu: {{CentrujWzór|<MATH>xQ_n=c_{n+1}Q_{n+1}+c_nQ_n+c_{n-1}Q_{n-1}\;</MATH>|9.64}} W wielomianie {{LinkWzór|9.64}} zapisaną w sposób rekurencyjny, w którym porównując współczynniki stojące przy potęgach x{{Sup|n+1}} dostajemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>a_n=c_{n+1}a_{n+1}\Rightarrow c_{n+1}={{a_n}\over{a_{n+1}}}\;</MATH>|9.65}} Następnym krokiem jest porównanie współczynników stojących przy x{{Sup|n}}, w takim wypadku: {{CentrujWzór|<MATH>b_n=a_nc_n+b_{n+1}c_{n+1}\;</MATH>|9.66}} Przy liczeniu współczynnika c{{Sub|n}}, który wynika ze związku {{linkWzór|9.66}} wykorzystamy definicję współczynnika c{{Sub|n+1}} {{LinkWzór|9.65}}, co wyniku czego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>c_n={{b_n}\over{c_n}}-{{b_{n+1}c_{n+1}}\over{a_n}}={{b_n}\over{c_n}}-{{b_{n+1}a_n}\over{a_n a_{n+1}}}={{b_n}\over{c_n}}-{{b_{n+1}}\over{a_{n+1}}}\;</MATH>|9.67}} Jeśli skorzystamy ze wzoru końcowego wynikowego {{LinkWzór|9.63}} dochodzimy do związku na współczynnik c_n-1 rozpisując go korzystając z {{LinkWzór|9.65}}. {{CentrujWzór|<MATH>c_{n-1}=(xQ_n,Q_{n-1}){{1}\over{||Q_{n-1}||^2}}={{\int_{\alpha}^{\beta}xQ_nQ_{n-1}}\over{||Q_{n-1}||^2}}={{\int_{\alpha}^{\beta}xQ_{n-1}Q_n}\over{||Q_{n-1}||^2}}= {{(xQ_{n-1},Q_n)}\over{||Q_{n-1}||^2}}={{(xQ_{n-1},Q_n)}\over{||Q_n||^2}}{{||Q_n||^2}\over{||Q_{n-1||^2}}}={a_{n-1}{}\over{a_n}}{{||Q_n||^2}\over{||Q_{n-1||^2}}}\;</MATH>|9.68}} == Wielomiany ortogonalne, a jego funkcje tworzące == Funkcjami tworzącymi nazywamy funkcje dwóch zmiennych, które po rozłożeniu w szereg potęgowy względem jednej zmiennej, przy którym w każdym składniku występuje pewien ściśle określony wielomian ortogonalny. Teraz napiszmy funkcję tworzącą &Psi; dla wielomianów {{Formuła|<MATH>\tilde{Q}_n\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)=\sum_{n=0}^{\infty}{{\tilde{Q}_n(x)}\over{n!}}w^n\;</MATH>|9.69}} Jeśli skorzystamy ze wzoru całkowego Cauchy'ego {{LinkWzór|9.17}}, wtedy wzór zapisany w punkcie {{LinkWzór|9.69}} można zapisać w troszeczkę w innej postaci, ale równoważnej do poprzedniego: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}{{1}\over{\rho(x)}}{{d^n}\over{dx^n}}\left[\rho(x) B^n(x)\right]={{1}\over{\rho(x)}}\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}{{d^n}\over{dx^n}}\left[\rho(x)B^n(x)\right]\;</MATH>|9.70}} Jeśli wykorzystamy wzór całkowy Cachy'ego {{LinkWzór|8.17|Wprowadzenie do funkcji zespolonej}}, wtedy możemy napisać tożsamość całkową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(x)B^n(x)={{1}\over{2\pi i}}\oint_C{{\rho(z)B^n(z)}\over{z-x}}dz\;</MATH>|9.71}} Wzór {{LinkWzór|9.70}} na podstawie własności {{LinkWzór|9.71}}, która jest całką Cachy'ego w pewnym sensie, przekształcamy do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}{{d^n}\over{dx^n}}\oint_Cdz{{\rho(z)B^n(z)}\over{z-x}}= {{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}\oint_Cdz \rho(z)B^n(z){{n!}\over{(z-x)^{n+1}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint_C{{\rho(z)dz}\over{z-x}}\sum_{n=0}^{\infty}{{w^nB^n(z)}\over{(z-x)^n}}</math>|9.72}} W wyrażeniu na &Psi;(z,w) pod sumą mamy szereg geometryczny o ilorazie {{Formuła|<MATH>q={{wB}\over{(z-x)}}\;</MATH>}}, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|9.72}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Psi(x,w)={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint_C{{\rho(z)dz}\over{z-x}}{{1}\over{1-{{wB(z)}\over{(z-x)}}}}={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint_C{{\rho(z)dz}\over{z-x}}{{(z-x)}\over{z-x-wB(z)}}={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint_C{{\rho(z)dz}\over{z-x-wB(z)}}dz</MATH>|9.73}} Funkcję &Psi;(x,w) {{LinkWzór|9.73}} z zasadami liczenia residuum wyznaczamy względem puntu osobliwego z₁ wynikający z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>z_1-x-wB(z_1)=0\;</MATH>|9.74}} Wokół punktu z{{Sub|1}} w całce {{LinkWzór|9.73}} mianownik dąży do zera, zatem możemy skorzystać z reguły de l'Hospitala, wtedy tą naszą całkę piszemy wedle schematu poniżej. Nasza całka przebiega po linii zamkniętej w przestrzeni zespolonej o promieniu dążącej do zera (można udowodnić, że ten sam wynik wyjdzie, gdy policzymy całkę {{linkWzór|9.73}} po dowolnej linii zamkniętej w płaszczyźnie zespolonej okalający ten właśnie punkt, punkt osobliwy), a także w tych samych przekształceniach wykorzystamy metodę liczenia residuum {{LinkWzór|8.32|Wprowadzenie do funkcji zespolonej}}. {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint{{\rho^'(z)dz}\over{1-wB^'(z)}}={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}{{1}\over{1-wB^'(z_1)}}\oint\rho^'(z)dz= {{1}\over{2\pi i\rho(x)}}{{1}\over{1-wB^'(z_1)}}2\pi i \rho(z_1)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{\rho(x)}}{{\rho(z_1)}\over{1-wB^'(z_1)}}\;</MATH>|9.75}} === Funkcje tworzące dla wielomianów Legendre'a === Równanie {{LinkWzór|9.74}} dla wielomianu Legendre'a {{LinkWzór|9.33}}, dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>B(x)=1-x^2\;</MATH>}} i &rho;=1, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>z_1-x-w(1-z_1^2)=0\Rightarrow 0=z_1-x-w+wz_1^2\Rightarrow wz_1^2+z_1-x-(x+w)=0\Rightarrow z_1={{-1\pm\sqrt{1+4w(x+w)}}\over{2w}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{-1\pm{{\sqrt{1+4wx+4w^2}}}\over{2w}}}</MATH>|9.76}} Rozwiązanie {{LinkWzór|9.76}} z minusem odrzucamy, ponieważ z{{Sub|1}} jest poza przedziałem zmienności wielomianu Legendre'a, natomiast rozwiązanie z plusem przyjmujemy, bo jest w granicach przedziału zmienności naszego wielomianu, zatem funkcję tworzącą {{linkWzór|9.75}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)={{1}\over{1+2wz_1}}={{1}\over{1+2w{{-1+\sqrt{1+4wx+4w^2}}\over{2w}}}}={{1}\over{\sqrt{1+4wx+4w^2}}}=\sum_{n=0}^n{{w^n}\over{n!}}\tilde{P}_n(x)\;</MATH>|9.77}} Jeśli dodatkowo we wniosku {{LinkWzór|9.77}} napiszemy {{Formuła|<MATH>w=-{{\nu}\over{2}}\;</MATH>}}, to dojdziemy do następującej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\sqrt{1-2x\nu+\nu^2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n{{\nu^n}\over{2^nn!}}\tilde{P}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n{{\nu^n}\over{2^nn!}}{{2^nn!}\over{(-1)^n}}P_n(x)\Rightarrow{{1}\over{\sqrt{1-2x\nu+\nu^2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\nu^nP_n(x)\;</MATH>|9.78}} === Funkcje tworzące dla wielomianów Hermite'a === Równanie {{LinkWzór|9.74}} dla wielomianów Hermite'a {{LinkWzór|9.39}}, dla którego mamy B(x)=1, {{Formuła|<MATH>\rho(x)=e^{-x^2}\;</MATH>}}, jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>z_1-x-w=0\;</MATH>|9.79}} Funkcja tworząca {{LinkWzór|9.75}} dla wielomianów Hermite'a, po wykorzystaniu residuum policzonego w {{LinkWzór|9.79}}, piszemy w postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)={{1}\over{e^{-x^2}}}{{e^{-\left(x+w\right)^2}}\over{1-w\cdot 0}}=e^{x^2}e^{-x^2-w^2-2xw}=e^{-w^2-2xw}\;</MATH>|9.80}} Zatem możemy napisać {{linkWzór|9.80}}, korzystając przy tym z {{LinkWzór|9.69}}, w postaci rozwinięcia: {{CentrujWzór|<MATH>e^{-w^2-2xw}=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^2}\over{n!}}\tilde{H}_n(x)\;</MATH>|9.81}} Jeśli przyjmować będziemy w=-v w tożsamości {{LinkWzór|9.81}}, wtedy na podstawie definicji wielomianów Hermite'a H(x) przy pomocy {{Formuła|<MATH>\tilde{H}(x)\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.39}} funkcję tworzącą wielomianu H{{Sub|n}} możemy napisać w postaci rozwinięcia: {{CentrujWzór|<MATH>e^{-\nu^2+2x\nu}=\sum_{n=0}^{\infty}{{\nu^n}\over{n!}}(-1)^n\tilde{H}_n(x)\Rightarrow e^{-\nu^2+2x\nu}=\sum_{n=0}^{\infty}{{\nu^n}\over{n!}}H_n(x)\;</MATH>|9.82}} === Funkcje tworzące dla wielomianu Laguerre'a === Równanie {{LinkWzór|9.74}} dla wielomianu Laguerre'a {{LinkWzór|9.45}}, dla którego zachodzi B(x)=x, {{Formuła|<MATH>\rho(x)=x^{\lambda}e^{-x}\;</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>z_1-x-wz_1=0\Rightarrow z_1(1-w)=x\Rightarrow z_1={{x}\over{1-w}}\;</MATH>|9.83}} Funkcja tworząca {{LinkWzór|9.75}} dla wielomianów Laguerre'a, po wykorzystaniu residuum policzonego w {{linkWzór|9.83}}, piszemy w postaci rozwinięcia: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x^{\lambda}e^{-x}}}{{{{x^{\lambda}}\over{(1-w)^{\lambda}}}e^{-{{x}\over{1-w}}}}\over{1-w}}=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}L_n(x)\Rightarrow {{e^{-{{x}\over{1-w}}+{{x(1-w)}\over{(1-w)}}}}\over{(1-w)^{\lambda+1}}}=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}L_n(x)\Rightarrow{{e^{-{{xw}\over{1-w}}}}\over{(1-w)^{\lambda+1}}}=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}L_n(x) </MATH>|9.84}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 64l72we8fpl095s0h7jpa5m006zr6mb 0 19933 558626 467570 2026-10-04T22:16:29Z Persino 2851 558626 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W tym rozdziale zajmować się będziemy funkcjami sferycznymi, która ta funkcja zależy od dwóch współrzędnych kątowych, którego to zapis Y=Y{{Sub|lm}}. Funkcje Y{{Sub|lm}} są wzajemnie ortogonalne do siebie, tzn. to zachodzi związek mówiącej o tej ortogonalności. {{CentrujWzór|<MATH>(Y_{lm},Y_{l^'m^'})=\delta_{ll^'}\delta_{mm^'}\;</MATH>|10.1}} Iloczynem skalarnym dwóch funkcji zależnych od funkcji kątowych określamy wedle warunku: {{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\int_V \tilde{f}(\phi,\psi)g(\phi,\psi)dV=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}\tilde{f}(\theta,\phi)g(\theta,\phi)\sin\phi d\phi\;</MATH>|10.2}} == Równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem są funkcje sferyczne == Równaniem, które się tutaj zajmować się tutaj będziemy, jest to równanie zależne od zmiennych kulistego układu współrzędnych, czyli zależy od zmiennych (r,&phi;.&xi;), określmy przez równanie: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2f}\over{\partial r^2}}+{{2}\over{r}}{{\partial f}\over{\partial r}}+{{1}\over{r^2}}{{\partial}\over{\partial\xi}}\left(\left(1-\xi^2\right){{\partial f}\over{\partial\xi}}\right)+{{1}\over{r^2(1-\xi^2)}}{{\partial^2f}\over{\partial\theta}}=0\;</MATH>|10.3}} Funkcję f piszemy jako iloczyn funkcji potęgowej r{{Sup|l}} i funkcji kulistej Y(&theta;,&phi;): {{CentrujWzór|<MATH>f(r,\xi,\theta)=r^{l}Y(\xi,\theta)\;</MATH>|10.4}} Tożsamość {{LinkWzór|10.4}} podstawiamy do równości różniczkowej {{LinkWzór|10.3}}, wtedy dostajemy następnie równanie różniczkowe, to dowód tego przejścia pokazujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r^lY)+{{2}\over{r}}{{\partial (r^lY)}\over{\partial r}}+{{1}\over{r^2}}{{\partial}\over{\partial\xi}}\left(\left(1-\xi^2\right){{\partial (r^lY)}\over{\partial\xi}}\right)+{{1}\over{r^2(1-\xi^2)}}{{\partial^2(r^lY)}\over{\partial\theta^2}}=0\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow l(l-1)r^{l-2}Y+2lr^{l-2}Y+r^{l-2}{{\partial}\over{\partial\xi}}\left(\left(1-\xi^2){{\partial Y}\over{\partial\xi}}\right)\right)+r^{l-2}{{1}\over{(1-\xi^2)}}{{\partial^2 Y}\over{\partial\theta^2}}=0\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow l(l+1)Yr^{l-2}+r^{l-2}{{\partial}\over{\partial\xi}}\left(\left(1-\xi^2\right){{\partial Y}\over{\partial\xi}}\right)+r^{l-2}{{1}\over{(1-\xi^2)}}{{\partial^2 Y}\over{\partial\theta^2}}=0\Rightarrow l(l+1)Y+{{\partial}\over{\partial\xi}}\left(\left(1-\xi^2\right){{\partial Y}\over{\partial\xi}}\right)+{{1}\over{(1-\xi^2)}}{{\partial^2 Y}\over{\partial\theta^2}}=0</MATH>|10.5}} Takie samo równanie, co równanie końcowe wynikające przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|10.5}} otrzymamy z {{LinkWzór|10.3}}, tzn. gdy weżniemy dla ujemnych potęg r{{Sup|-l-1}}, czyli dla rozwiązania: {{CentrujWzór|<MATH>f(r,\xi,\theta)=r^{-l-1}Y(\xi,\theta)\;</MATH>|10.6}} Co pokazują obliczenia, które wynikają z dodawania czynników wynikające z dwóch pierwszych pochodnych (pierwsza i druga pochodna funkcji) przy czynniku r{{Sup|l-3}}: {{CentrujWzór|<MATH>(-l-1)(-l-2)+2(-l-1)=l^2+2l+l+2-2l-2=l^2+l=l(l+1)\;</MATH>}} Funkcja Laplace'a jest funkcją, która jest kombinacją dwóch wyrazów z potęgą ujemną oraz dodatnią, czyli jest kombinacją liniową funkcji {{LinkWzór|10.4}} i funkcji {{LinkWzór|10.6}}. Funkcja Y(&theta;,&phi;) jest iloczynem dwóch wyrazów, tzn. T(&xi;) i &Phi;(&theta;), co opis tego rozwiązania zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>Y(\xi,\theta)=T(\xi)\Theta(\theta)\;</MATH>|10.7}} Możemy podstawić rozwiązanie równania kulistego {{LinkWzór|10.7}} do równania różniczkowego {{LinkWzór|10.5}}, w takim przypadku możemy napisać od razu po dokonaniu tejże opisywanej operacji: {{CentrujWzór|<MATH>l(l+1)T\Theta+{{\partial}\over{\partial \xi}}\left(\left(1-\xi^2\right){{\partial T\Theta}\over{\partial\xi}}\right)+{{1}\over{1-\xi^2}}{{\partial T\Theta}\over{\partial\theta^2}}=0\;</MATH>|10.8}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|10.8}} dzielimy obustronnie przez wyrażenie zapisane wzorem {{LinkWzór|10.7}}, następnie po krótkich przekształceniach i po krótkich przenosinach pewnych wyrazów w taki sposób by po na prawej i lewej stronie rozważanego równania znajdowały się różne funkcje zależne od różnych zmiennych, wtedy dostajemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>(1-\xi^2)\left(l(l+1)+{{1}\over{T}}{{\partial}\over{\partial\xi}}\left[(1-\xi^2){{\partial T}\over{\partial\xi}}\right]\right)=-{{1}\over{\Theta}}{{\partial^2\Theta}\over{\partial\theta^2}}\;</MATH>|10.9}} Funkcje znajdujące się po obu stronach równania {{LinkWzór|10.9}} są zależne od innych zmiennych, obie te funkcje są tożsamościowo równe sobie, zatem obie jego strony możemy przyrównać do stałej. Aby tak się stało musimy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>C^2=-{{1}\over{\Theta}}{{\partial^2\Theta}\over{\partial^2\theta}}\Rightarrow \Theta=e^{iC\theta}\;</MATH>|10.10}} Aby końcowa tożsamość wynikowa {{LinkWzór|10.10}} była poprawnie sformułowana, to ona na pewno powinna mieć takie same wartości dla &phi;=0 i 2&pi;: {{CentrujWzór|<math>e^{iC2\pi}=e^0\Rightarrow iC\pi=\pi m\Rightarrow C=m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,..\;</MATH>|10.11}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|10.11}} funkcja {{LinkWzór|10.10}} przyjmuje ostateczną końcową postać: {{CentrujWzór|<MATH>\Theta(\theta)=e^{im\theta}\;</MATH>|10.12}} Jeśli równanie na &Theta;(&theta;) {{LinkWzór|10.12}} podstawimy do równania {{LinkWzór|10.9}}, otrzymujemy następne równanie różniczkowe na funkcję T, w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>(1-\xi^2)\left(l(l+1)+{{1}\over{T}}{{d}\over{d\xi}}\left[(1-\xi^2){{d T}\over{d\xi}}\right]\right)=m^2\Rightarrow (l(l+1)T+{{d}\over{d\xi}}\left[(1-\xi^2){{d T}\over{d\xi}}\right]={{m^2}\over{1-\xi^2}}T\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{d}\over{d\xi}}\left[(1-\xi^2){{d T}\over{d\xi}}\right]+\left(l(l+1)-{{m^2}\over{1-\xi^2}}\right)T=0\;</MATH>|10.13}} W równaniu {{LinkWzór|10.13}}, która określa pewną funkcję T w zależności od parametru m i zmiennej &xi;. dokonujemy podstawienia, która jest definicją wyrazu (1-&xi;{{Sup|2}}){{Sup|m/2}} i pewnej funkcji P{{Sub|lm}}. {{CentrujWzór|<MATH>T=(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}P_{lm}\;</MATH>|10.14}} Następnym naszym krokiem jest policzenie składnika pierwszego, która znajduje się w równaniu końcowym wynikowym {{LinkWzór|10.13}}, zatem policzmy ten wyraz korzystając z definicji funkcji T poprzez iloczyn dwóch funkcji zależnych od &xi; {{LinkWzór|10.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{d\xi}}\left[(1-\xi^2){{d T}\over{d\xi}}\right]={{d}\over{d\xi}}\left[(1-\xi^2){{d \left[(1-\xi^2)^{ {{m}\over{2}} }P_{lm}\right]}\over{d\xi}}\right] ={{d}\over{d\xi}}\left\{(1-\xi^2)\left[{{m}\over{2}}(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}-1}(-2\xi)P_{lm}+\left(1-\xi^2\right)^{{{m}\over{2}}}{{dP_{lm}}\over{d\xi}}\right]\right\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d}\over{d\xi}}\left\{ -m\xi(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}P_{lm}+(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}+1}{{dP_{lm}}\over{d\xi}}\right\} =-m(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}P_{lm}-m\xi(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}-1}{{m}\over{2}}(-2\xi )P_{lm}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-m\xi(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}{{dP_{lm}}\over{d\xi}} +\left({{m}\over{2}}+1\right)\left(1-\xi^2\right)^{{{m}\over{2}}}\left(-2\xi\right){{dP_{lm}}\over{d\xi}}+(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}+1}{{d^2P_{lm}}\over{d\xi^2}}=\left(1-\xi^2\right)^{{{m}\over{2}}+1}{{d^2P_{lm}}\over{d\xi^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-2{{dP_{lm}}\over{d\xi}}\xi\left(1-\xi^2\right)^{{{m}\over{2}}}(m+1)+\left(1-\xi^2\right)^{{{m}\over{2}}-1}\left(m^2\xi^2-m\left(1-\xi^2\right)\right)P_{lm}\;</MATH>|10.15}} Za pierwszy składnik sumy występującej w sumie po lewej stronie równania różniczkowego {{LinkWzór|10.13}} podstawiamy wyrażenie wynikłe z obliczeń {{LinkWzór|10.15}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}+1}{{d^2P_{lm}}\over{d\xi^2}}-2{{dP_{lm}}\over{d\xi}}\xi(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}(m+1)+(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}-1}\left(m^2\xi^2-m(1-\xi^2)\right)P_{lm}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left(l(l+1)-{{m^2}\over{1-\xi^2}}\right)(1-\xi^2)^{{m}\over{2}}P_{lm}=0\;</MATH>|10.16}} W celu dalszego przekształcenia równania {{LinkWzór|10.16}} należy dokonać obliczeń dla wyrazów stojących przy czynniku P{{Sub|lm}}, ale będziemy liczyć bez tego czynnika, co jest dla nas oczywiste dlaczego tak robimy. {{CentrujWzór|<MATH>(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}-1}\left(m^2\xi^2-m(1-\xi^2)\right)+\left(l(l+1)-{{m^2}\over{1-\xi^2}}\right)(1-\xi^2)^{{m}\over{2}}= (1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}-1}\left(m^2\xi^2-m(1-\xi^2)-m^2\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+l(l+1)(1-\xi^2)^{{m}\over{2}}=(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}-1}\left[m^2(\xi^2-1)-m(1-\xi^2)\right]=-(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}-1}\left(1-\xi^2\right)m(m+1)+l(l+1)(1-\xi^2)^{{m}\over{2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}\left(l(l+1)-m(m+1)\right)</MATH>|10.17}} Do równania {{LinkWzór|10.16}} możemy podstawić wynik obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|10.17}} dla wyrazów stojących przy P{{Sub|lm}}, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}+1}{{d^2P_{lm}}\over{d\xi^2}}-2{{dP_{lm}}\over{d\xi}}\xi(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}(m+1)+(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}\left(l(l+1)-m(m+1)\right)P_{lm}=0\;</MATH>|10.18}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|10.18}} dzielimy obustronnie przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>\left(1-\xi^2\right)^{{{m}\over{2}}}\;</MATH>}}, co można tak zrobić przy założeniu, że mamy {{Formuła|<MATH>\xi\neq \pm 1\;</MATH>}}, w takim przypadku równanie {{LinkWzór|10.18}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>(1-\xi^2){{d^2P_{lm}}\over{d\xi^2}}-2{{dP_{lm}}\over{d\xi}}\xi(m+1)+\left(l(l+1)-m(m+1)\right)P_{lm}=0\;</MATH>|10.19}} W równaniu {{LinkWzór|10.19}}, gdy m zastąpimy przez zero, wtedy otrzymamy równanie Legendre'a wprowadzone w punkcie {{LinkWzór|9.16|Wprowadzenie_do_wielomianów_ortogonalnych}}, zatem możemy powiedzieć, że P{{Sub|l0}} są to wielomiany Legendre'a. Równanie różniczkowe {{LinkWzór|10.19}} możemy zróżniczkować względem zmiennej &xi;, w takim przypadku mamy równość wynikową w porównaniu do poprzedniej równości: {{CentrujWzór|<MATH>-2\xi P_{lm}^{''}+(1-\xi^2)P_{lm}^{'''}-2P_{lm}^{'}(m+1)-2P_{lm}^{''}\xi(m+1)+\left(l(l+1)-m(m+1)\right)P^'_{lm}=0\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH> \Rightarrow(1-\xi^2)P_{lm}^{'''}-2\xi(m+2)P^{''}_{lm}+\left(l(l+1)-m(m+1)-2(m+1)\right)P^{'}_{lm}=0\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH> (1-\xi^2)\left(P_{lm}^{'}\right)^{''}-2\xi(m+2)\left(P^{'}_{lm}\right )^'+\left(l(l+1)-(m+1)(m+2)\right)\left(P_{lm}\right)^'=0\;</MATH>|10.20}} Ze wzoru końcowego możemy powiedzieć, że spełniona jest tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>P_{l,m+1}=P^'_{lm}\;</MATH>|10.21}} Wykorzystując wzór na wielomiany Legendre'a, które są zdefiniowane wzorem {{LinkWzór|9.33|Wprowadzenie_do_wielomianów_ortogonalnych}} oraz wzór na funkcje sferyczne {{LinkWzór|10.21}} dochodzimy wtedy do wniosku, że wielomiany, które są rozwiązaniami równania {{LinkWzór|10.19}}, które to ogólnie przedstawienie przez P{{Sub|lm}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_{lm}=P_l^{(m)}={{(-1)^l}\over{2^ll!}}\left[(1-\xi^2)^l\right]^{(l+m)}\;</MATH>|10.22}} Z otrzymanego wzoru {{LinkWzór|10.22}} dochodzimy do wniosku, że parametr m występujący we wzorze na równanie różniczkowe {{LinkWzór|10.19}} przebiega wartości: {{CentrujWzór|<MATH>m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l\;</MATH>|10.23}} Końcowy wzór na rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.13}} jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>Y_{lm}\left(\xi,\theta\right)=N(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}\left(P_l(\xi)\right)^{(m)}e^{im\theta}\;</MATH>|10.24}} == Funkcje sferyczne, a jego ortogonalność == Mając funkcje sferyczne {{LinkWzór|10.24}}, można udowodnić, że te funkcje wraz z odpowiednio dobraną stałą N jest funkcją ortogonalną, zatem z definicji iloczynu skalarnego i wspomnianej funkcji Y{{Sub|lm}} możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>(Y_{lm},Y_{'^'m^'})=N_{lm}N_{l'^'m^'}\int^1_{-1}d\xi(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}+{{m^'}\over{2}}}P_{l}^{(m)}(\xi)P_{l^'}^{(m^')}(\xi)\int_0^{2\pi}e^{(-m+m^')\theta}d\theta\;</MATH>|10.25}} Ostatnia całka oznaczona występująca we wzorze na iloczyn skalarny dwóch funkcji kulistych jest równa zero, gdy {{Formuła|<MATH>m\neq m^'\;</MATH>}}, a jest różna od zera, gdy m=m' i jest ona równa 2&pi;, w takim razie {{LinkWzór|10.25}} możemy przepisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(Y_{lm}, Y_{l^'m^'})=2\pi N_{lm}N_{l'^'m}\delta_{mm^'}\int^1_{-1}d\xi\left[(1-\xi^2)^{m}P_{l}^{(m)}\right](\xi)P_{l^'}^{(m)}(\xi)\;</MATH>|10.26}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.25}} całkujemy przez części i wyrazy stojące pod całką są równe zero dla &xi;=-1,1, zatem takim bądź razem dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>(Y_{lm},Y_{l^'m^'})=2\pi N_{lm}N_{l'^'m}\delta_{m^'m}(-1)^m\int_{-1}^{1}d\xi\left(\left(1-\xi^2\right)^{m}P_l^{(m)}\right)^{(m)}P_{l^'}\;</MATH>|10.27}} We wzorze {{LinkWzór|10.27}}, gdy zachodzi l'>l, toteż całka oznaczona występująca w tym samym wzorze jest równa zero, co wynika że każdy wielomian ortogonalny {{Formuła|<MATH>P_l^'\;</MATH>}} ma iloczyn skalarny równy zero, dla stopnia niższego niż posiadany stopień przez wielomian P{{Sub|l}}, w takim przypadku całka występująca we wzorze {{LinkWzór|10.27}} jest różna od zera, zatem w takim razie możemy napisać tożsamość, czemu jest równe {{LinkWzór|10.25}}: {{CentrujWzór|<MATH>(Y_{lm}, Y_{l^'m^'})=\operatorname{const}\cdot \delta_{l^'l}\delta_{mm^'}\;</MATH>|10.28}} ==Normowanie funkcji sferycznych== Gdy we wzorze {{LinkWzór|10.26}} podstawimy l=l' i m=m', wtedy ten wspomniany wzór przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>||Y_{lm}||=2\pi N_{lm}^2(-1)^m\int_{-1}^{1}d\xi\left(\underbrace{\left(1-\xi^2\right)^mP_l^{(m)}}_{W(\xi)}\right)^{(m)}P_{l}\;</MATH>|10.29}} Pod całką występuje wielomian {{Formuła|<MATH>\left(1-\xi^2\right)^mP_l\;</MATH>}}, który jest rzędu l, ale również wielomian P{{Sub|l}}, też jest takiego rzędu, w takim razie całka występująca we wzorze {{LinkWzór|10.27}} nie jest równa zero. Rozważmy wielomian W(&xi;) występujący we wzorze {{LinkWzór|10.29}}, zatem jest taki, że potęgi mniejsze niż l, są wycinane przez wielomian Legendre'a {{Formuła|<MATH>P_{l}\;</MATH>}}, bo to jest wielomian ortogonalny, w takim przypadku w całce należy posługiwać się tylko największą potęgą tegoż wielomianu, bo pozostałe potęgi są wycinane. Możemy teraz określić największy wyraz stojący przy wielomianie W(&xi;), w takim przypadku możemy napisać czynnik stojący przy największej potędze w wspominanym wielomianie, zatem ten współczynnik: {{CentrujWzór|<MATH>w=(-1)^ma_{l}\left[l(l-1)(l-2)\cdot...\cdot(l-m+1)\right]\left[\left(l+m\right)\left(l+m-1\right)\cdot...\cdot(l+1)\right]\;</MATH>|10.30}} Liczby całkowite występujące w pierwszym wyrazie pochodzą z różniczkowania wielomianu P{{Sub|l}}, a liczby całkowite w drugim czynniku pochodzą z różniczkowania całego wyrażenia w dużym nawiasie. Wzór {{LinkWzór|10.30}} możemy napisać w postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>w=(-1)^ma_l{{(l+m)!}\over{(l-m)!}}\;</MATH>|10.31}} Zatem norma funkcji kulistej Y{{Sub|lm}} {{LinkWzór|10.29}}, wiedząc że w iloczynie skalarnym iloczyn a{{Sub|l}}&xi;{{Sup|l}} można uzupełnić do pełnego wielomianu P{{Sub|l}} i zarazem znając normę wielomianu Legendre'a {{LinkWzór|9.56|Wprowadzenie_do_wielomianów_ortogonalnych}}, określamy według: {{CentrujWzór|<MATH>||Y_{lm}||^2=2\pi N_{lm}^2{{(l+m)!}\over{(l-m)!}}\int_{-1}^1a_l\xi^lP_l(\xi)d\xi=2\pi N_{lm}^2{{(l+m)!}\over{(l-m)!}}{{2}\over{2l+1}}=N_{lm}^2{{4\pi}\over{2l+1}}{{(l+m)!}\over{(l-m)!}}\;</MATH>|10.32}} Ze wzoru wynikającego z {{LinkWzór|10.32}} możemy napisać stałą N{{Sub|lm}}, bo norma funkcji kulistej jest równa jeden, jako: {{CentrujWzór|<MATH>N_{lm}=\sqrt{{{2l+1}\over{4\pi}}{{(l-m)!}\over{(l+m)!}}}\;</MATH>|10.33}} Pełny wzór {{LinkWzór|10.24}} uzyskujemy podstawiając do niego tożsamość za stałą N{{Sub|lm}} {{LinkWzór|10.33}}: {{CentrujWzór|<MATH>Y_{lm}\left(\xi=\cos\phi,\theta\right)=\sqrt{{{2l+1}\over{4\pi}}{{(l-m)!}\over{(l+m)!}}}(1-\xi^2)^{{{m}\over{2}}}\left(P_l(\xi)\right)^{(m)}e^{im\theta}=\sqrt{{{2l+1}\over{4\pi}}{{(l-m)!}\over{(l+m)!}}}\sin^{m}\phi {{d^{m}P_l(\cos\phi)}\over{d(\cos\phi)^{m}}}e^{im\theta}</MATH>|10.34}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> pgcgowtezme62ifurxg77vflukekwbk 0 19942 558627 467571 2026-10-04T22:22:37Z Persino 2851 558627 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować funkcjami Bessela, który to on znany jest bardzo w matematyce i fizyce. Argument funkcji Bessela będziemy oznaczać przez x, a wskaźnikiem funkcji są współczynniki rzeczywiste. Funkcje Bessela oznaczamy przez J{{Sub|&nu;}}. == Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania == Równanie różniczkowe, które definiuje funkcje Bessela jest to równanie określone: {{CentrujWzór|<MATH>x^2J_{\nu}^{''}+xJ_{\mu}^{'}+(x^2-\nu^2)J_{\nu}=0\;</MATH>|11.1}} Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|11.1}} w postaci funkcji, w której wolny wyraz a{{Sub|0}} jest różny od zera. Możemy to otrzymać, gdy szereg potęgowy pomnożymy przez funkcję x{{Sup|&lambda;}} tak jak poniżej, zatem ostatecznie funkcje Bessela piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu}=x^{\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+\lambda}\;</MATH>|11.2}} Wyznaczmy pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela {{LinkWzór|11.2}}, która jest proponowanym rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|11.1}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>J^{'}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (\lambda+n)x^{n+\lambda-1}\;</MATH>|11.3}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>J^{''}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\lambda+n)(\lambda+n-1)x^{n+\lambda-1}\;</MATH>|11.4}} }} Możemy podstawić funkcję Bessela {{LinkWzór|11.2}}, a także pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela {{LinkWzór|11.3}} i {{LinkWzór|11.4}} do równania różniczkowego Bessela {{LinkWzór|11.1}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>x^2\left[\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\lambda+n)(\lambda+n-1)x^{n+\lambda-2}\right]+x\sum_{n=0}^{\infty}a_n (\lambda+n)x^{n+\lambda-1}+(x^2-v^2)\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+\lambda}=0\;</MATH>|11.5}} Po krótkich przekształceniach, tzn. czynników stojących przed sumami jako czynniki włączamy pod tą sumę i po przegrupowaniu wyrazów: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+\lambda)^2-\nu^2\right]a_nx^n+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0\;</MATH>|11.6}} Współczynnik a{{Sub|0}} jest tak zdefiniowane w szeregu {{LinkWzór|11.2}} by był różny od zera, w takim razie z równania {{LinkWzór|11.6}} możemy otrzymać wyraz stojący przy potędze o wykładniku zerowym z liczby x: {{CentrujWzór|<MATH>(\lambda^2-\nu^2)a_0=0\;</MATH>|11.7}} Z równości {{LinkWzór|11.7}} otrzymujemy dwa rozwiązania na parametr &lambda;, jedno z plusem a drugie z minusem, którego to piszemy za pomocą jednego ogólnego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=\pm\nu\;</MATH>|11.8}} Jedno rozwiązaniu z plusem we wzorze zapisywanej ogólnie w punkcie {{LinkWzór|11.8}} odpowiada rozwiązaniu regularnemu, a drugie z minusem odpowiada rozwiązaniu osobliwemu, które to w punkcie x=0 funkcja Besella {{LinkWzór|11.2}} ma wartość osobliwą. Współczynnik stojący w tożsamości {{LinkWzór|11.6}} stojący przy pierwszej potędze, tzn. przy x{{Sup|1}} dla naszego wspomnianego równanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH>0=\left[(1+\lambda)^2-\nu^2\right]a_1=\left[(1\pm\nu)^2-\nu^2\right]a_1=\left[1+\nu^2\pm2\nu-\nu^2\right]a_1=\left[1\pm2\nu\right]a_1\Rightarrow 0=\left(1\pm 2\nu\right)a_1\;</MATH>|11.9}} Patrząc na warunek na liczbę &lambda; według {{LinkWzór|11.8}}, to z {{LinkWzór|11.9}} wynika, że a{{Sub|1}} jest równa zero. Równanie {{LinkWzór|11.6}} możemy przekształcić do tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+\nu)^2-\lambda^2\right]a_nx^n+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n}=0\;</MATH>|11.10}} W takim razie w równaniu różniczkowym {{LinkWzór|11.10}} otrzymujemy wniosek na współczynniki a{{Sub|n}} we funkcji Bessela w zależności od współczynników a{{Sub|n-2}}, zatem poszczególne współczynniki: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{n=0}^{\infty} n(n+2\lambda)x^{n}+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n}=0\Rightarrow a_n=-a_{n-2}{{1}\over{n(n+2\lambda)}}\;</MATH>|11.11}} Ale ponieważ a{{Sub|1}} jest równy zero co wcześniej wykazaliśmy w punkcie {{LinkWzór|11.9}}, to również na podstawie {{LinkWzór|11.11}} ma miejsce warunek: {{CentrujWzór|<MATH>a_{2l+1}=0, \mbox{ dla } l=0,1,2,...\;</MATH>|11.12}} Dla indeksów parzystych można udowodnić, że istnieje ogólny wzór na współczynniki a{{Sub|2l}}, który zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej wynikający ze wzoru ogólnego na współczynniki {{LinkWzór|11.11}}: {{CentrujWzór|<MATH>a_{2l}={{1}\over{2l(2l+2\lambda)}}a_{2l-2}=(-1)^l{{a_0}\over{2^{2l}l!(l+\lambda)(l-1+\lambda)...(1+\lambda)}}\;</MATH>|11.13}} Mając na uwadze uproszczenie ogólnych formuł przyjmijmy, że współczynnik a{{Sub|0}} przyjmuje szczególna formę zapisywaną przy pomocy funkcji &Gamma;(x) definiowana w punkcie {{LinkWzór|5.12|Całki i funkcje Eulera}}: {{CentrujWzór|<MATH>a_0={{1}\over{2^{\lambda}\Gamma(1+\lambda)}}\;</MATH>|11.14}} Biorąc na uwagę wzór {{LinkWzór|11.14}} na współczynnik a{{Sub|0}}, wtedy wzór {{LinkWzór|11.13}} na współczynnik a{{Sub|2l}} przy wykorzystywaniu wzoru zapisany w punkcie {{LinkWzór|5.24|Całki_i_funkcje_Eulera}} piszemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>a_{2l}=(-1)^l{{1}\over{2^{2l+\lambda}l!\Gamma(l+\lambda+1)}} \mbox{ dla }(l=0,1,2,3,...)\;</MATH>|11.15}} Ponieważ przyjmujemy rozwiązanie regularne, więc z tożsamości {{LinkWzór|11.8}} wybieramy rozwiązanie z plusem, w takim przypadku szereg Bessela przyjmuje ostateczną formę: {{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu}(x)=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+\nu}\;</MATH>|11.16}} == Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca == Jeśli w funkcji {{LinkWzór|11.16}} parametr &nu; jest liczbą naturalną &nu;=n=0,1,2,3,.., to funkcja Bessela możemy napisać dla tak określonego &nu; z definicji funkcji J{{Sub|&nu;}}, w której występuje funkcją &Gamma; zależna od całkowitego parametru, którego postać jest &Gamma;(l+n+1)=(l+n)!: {{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu}(x)=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!(n+l)!}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+n}\;</MATH>|11.17}} Następnym krokiem jest udowodnienie, że funkcją tworzącą wielomianu Bessela {{LinkWzór|11.17}} jest funkcją w postaci wzoru {{Formuła|<MATH>e^{{{x}\over{2}}(w-{{1}\over{w}})}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(w,x)=e^{{{x}\over{2}}(w-{{1}\over{w}})}=e^{{{xw}\over{2}}}e^{-{{x}\over{2w}}}=\sum_{m=0}^{\infty}{{1}\over{m!}}\left({{xw}\over{2}}\right)^m\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^{l}{{1}\over{l!}}\left({{x}\over{2w}}\right)^l=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!m!}}\left({{x}\over{2}}\right)^{l+m}w^{m-l}\;</MATH>|11.18}} We wzorze {{LinkWzór|11.18}} wprowadźmy parametr l+m zamiast parametru m, wtedy wspomniane równanie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(w,x)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left[\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!(l+n)!}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+1}\right]w^m\;</MATH>|11.19}} Wyrażenie stojące w nawiasie we wzorze {{LinkWzór|11.19}} są to funkcje Bessela, wtedy funkcja tworząca: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(w,x)=e^{{{x}\over{2}}\left(w-{{1}\over{w}}\right)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}J_m(x)w^m\;</MATH>|11.19a}} == Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe == We wzorze {{LinkWzór|11.19a}} dokonajmy podstawienia pod funkcję tworzącą Bessela w postaci w=e{{Sup|i&phi;}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(w,x)=e^{{{x}\over{2}}\left(w-{{1}\over{w}}\right)}=e^{{{x}\over{2}}\left(e^{i\phi}-e^{-i\phi}\right)}=e^{{{x}\over{2}}i 2\sin\phi}=e^{ix\sin\phi}\;</MATH>|11.20}} Obie strony tak otrzymanej równości {{LinkWzór|11.20}} mnożymy obustronnie przez e{{Sup|im&phi;}}, a następnie całkujemy obustronnie przez zmienną &phi; w granicach 0 do 2&pi;, wtedy piszemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{0}^{2\pi}e^{i(x\sin\phi-m\phi)}d\phi=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)\int_0^{2\pi}e^{i(n-m)}d\phi\;</MATH>|11.21}} Prawa strona równości {{LinkWzór|11.21}} jest równa zero, gdy n jest nie równe m, a jest różna od zera i równa 2&pi;, gdy n=m, wtedy możemy napisać wzór na funkcję Bessela wynikającą ze wspomnianego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>J_{m}(x)={{1}\over{2\pi}}\int_0^{2\pi}e^{i(x\sin\phi-m\phi)}d\phi\;</MATH>|11.22}} W szczególnym przypadku, gdy w równaniu {{LinkWzór|11.22}} współczynnik m jest równy zero, więc to ostatnie równanie na funkcję Bessela J{{Sub|0}}, tak by po drugiej równości dokonać podstawienia &phi;:=&pi;/2+&phi;, i ze względu na okresowość funkcji cos&phi;, piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>J_0(x)={{1}\over{2\pi}}\int_0^{2\pi}e^{ix\sin\phi}d\phi={{1}\over{2\pi}}\int^{2\pi-{{\pi}\over{2}}}_{-{{\pi}\over{2}} }e^{ix\cos\phi}d\phi=\left(\int_0^{2\pi}-\int_{2\pi-{{\pi}\over{2}}}^{2\pi}+\int_{-{{\pi}\over{2}}}^0\right)e^{ix\cos\phi}d\phi={{1}\over{2\pi}}\int_0^{2\pi}e^{ix\cos\phi}d\phi\;</MATH>|11.23}} == Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2 == Funkcje Bessela {{LinkWzór|11.16}} dla &nu;=1/2, dla którego zapis o indeksie równej połowie jedynki, są równe: {{CentrujWzór|<MATH>J_{{{1}\over{2}}}=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma\left(l+{{3}\over{2}}\right)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+{{1}\over{2}}}\;</MATH>|11.24}} Z teorii funkcji &Gamma; możemy napisać tożsamość, którego można rozpisać funkcję &Gamma; przy wykorzystaniu definicji funkcji &Gamma; dla &nu; równego 1/2: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\left(l+{{3}\over{2}}\right)=(l+{{1}\over{2}})(l-{{1}\over{2}})\cdot...\cdot \Gamma\left({{1}\over{2}}\right)=\sqrt{\pi}{{(2l+1)!!(2l+2)!!}\over{2^{l}(2l+2)!!}}= \sqrt{\pi}{{(2l+2)!}\over{2^{l}2^{l+1}(l+1)!}}=\sqrt{\pi}{{(2l+2)!}\over{l^{2l+1}(l+1)!}}=\sqrt{{\pi}\over{2}}{{(2l+1)!}\over{l!2^{2l+{{1}\over{2}}}}}\;</MATH>|11.25}} Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|11.25}} wzór na funkcję Bessela zapisane w punkcie {{LinkWzór|11.24}} piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>J_{{{1}\over{2}}}=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sum^{\infty}_{0}(-1)^l{{x^{2l+1}}\over{(2l+1)!}}\;</MATH>|11.26}} Szereg zapisanej w punkcie {{LinkWzór|11.26}} jest to szereg funkcji sinus z liczby x, zatem ta nasza tutaj rozważana funkcja Bessela jest to po prostu: {{CentrujWzór|<MATH>J_{{{1}\over{2}}}(x)=\sqrt{{2}\over{\pi x}}\sin x\;</MATH>|11.27|Obramuj}} Funkcje Bessela {{LinkWzór|11.16}} dla &nu;=-1/2 zapisujemy wedle sposobu, którego zapis jest o indeksie równym minus połowie jedynki: {{CentrujWzór|<MATH>J_{-{{1}\over{2}}}(x)=\sum^{\infty}_{l=0}{{1}\over{l!\Gamma\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l-{{1}\over{2}}}\;</MATH>|11.28}} Z teorii funkcji Gamma możemy napisać tożsamość, którego jest rozwinięciem funkcji &Gamma; dla &nu; połówkowego i równego 1/2, którą piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\left(l+{{1}\over{2}}\right)=\left(l-{{1}\over{2}}\right)\left(l-{{3}\over{2}}\right)...\Gamma\left({{\pi}\over{}2}\right)= \sqrt{\pi}{{(2l-1)!!(2l)!!}\over{2^{l-1}(2l)!!}}=\sqrt{\pi}{{(2l)!}\over{2^{2l-1}l!}}=\sqrt{{{\pi}\over{2}}}{{(2l)!}\over{l!2^{2l-{{3}\over{2}}}}}\;</MATH>|11.29}} Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|11.28}} wzór na funkcję Bessela zapisaną w punkcie {{LinkWzór|11.26}} piszemy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>J_{-{{1}\over{2}}}\left(x\right)=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sum_{l=1}^{\infty}{{2^{2l-{{3}\over{2}}}}\over{(2l)!}}{{x^{2l}}\over{2^{2l}}}= \sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{l!2^{2l-{{3}\over{2}}}}\over{l!(2l)!}}{{x^{2l}}\over{2^{2l-{{3}\over{2}}}}} =\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sum^{\infty}_{l=0}(-1)^l{{x^{2l}}\over{(2l)!}}</MATH>|11.30}} Szereg zapisany w punkcie {{LinkWzór|11.30}} jest to szereg funkcji kosinus z liczby x, zatem tą naszą tutaj rozważaną funkcję Bessela piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_{-{{1}\over{2}}}(x)=\sqrt{{2}\over{\pi x}}\cos x\;</MATH>|11.31|Obramuj}} == Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych == Pokażemy, że wzór rekurencyjny dla funkcji Bessela o wskaźniku o wartości &nu;+1 wyraża się w zależności od współczynnika &nu; wzorem za pomocą operacji różniczkowania funkcji Bessela względem wskaźnika &nu;, dla której pod różniczkowaniem względem "x" jest iloczyn funkcji potęgowej x{{Sub|-&nu;}} i funkcji Bessela {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu+ 1}=- x^{\nu}{{d}\over{dx}}\left(x^{-\nu}J_{\nu}\right)\;</MATH>|11.32}} Wzór {{LinkWzór|11.32}} udowodniamy przez bezpośrednio przez wstawianie do niego funkcji Bessela J{{Sub|&nu;}} zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dx}}J_{\nu}={{d}\over{dx}}x^{-\nu}\left(\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1)}}{{x^{2l}}\over{2^{2l+\nu}}}\right)= -\sum_{l=1}^{\infty}{{1}\over{(l-1)!\Gamma(l-1+\nu+1+1)}}{{x^{2l-1}}\over{2^{2(l-1)+\nu+1}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1+1)}}{{x^{2l+1}}\over{2^{2l+\nu+1}}}</MATH>|11.33}} Zatem na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|11.33}} możemy zapisać wyrażenie, które jak udowodnimy w końcowych dysputach, że jest to po prostu rozważane wyrażenie, które jest funkcją Bessela o wskaźniku &nu;+1. {{CentrujWzór|<MATH>-x^{\nu}{{d}\over{dx}}J_{\nu}=-x^{\nu}\left(-\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1+1)}}{{x^{2l+1}}\over{2^{2l+\nu+1}}}\right)=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1+1)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+\nu+1}=J_{\nu+1}\;</MATH>|11.34}} Udowodnijmy następną rekurencję, której to element J{{Sub|&nu;-1}} jest pisany przy pomocy wzoru na J{{Sub|&nu;}} za pomocą operacji różniczkowania, którego to rekurencja jest: {{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu-1}=x^{-\nu}{{d}\over{dx}}\left(x^{\nu}J_{\nu}\right)\;</MATH>|11.35}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|11.35}} musimy napisać wyrażenie różniczkowe, która jest iloczynem funkcji x{{Sup|-&nu;}} i pochodnej z iloczynu funkcji x{{Sup|&nu;}} i funkcji Bessela J{{Sub|&nu;}}, wtedy mamy problem: {{CentrujWzór|<MATH>x^{-\nu}{{d}\over{dx}}\left(x^{\nu}J_{\nu}\right)=x^{-\nu}{{d}\over{dx}}\left(\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l+2\nu}\right)= \sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu+1)}}(2l+2\nu){{x^{2l+\nu-1}}\over{2^{2l+\nu}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l+\nu-1+1)}}{{x^{2l+\nu-1}}\over{2^{2l+\nu-1}}}=J_{\nu-1}</MATH>|11.36}} Co kończy dowód tożsamości {{LinkWzór|11.35}}. == Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0 == Mając wzór na funkcje Bessela zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|11.16}}, który można zapisać dla punktu blisko zera pomijając wyrazy wyższego rzędu wedle potęg z liczby x, bo następne potęgi dla małego otoczenia w tymże punkcie są rzędu niższego niż &nu;, są bardzo malutkie w porównaniu ze wspomnianym wyrazem, w takim przypadku funkcja Bessela piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_{\nu}(x)\simeq{{1}\over{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)}}x^{\nu}\;</MATH>|11.37}} Niech wskaźnik &nu; jest liczbą całkowitą, w takim przypadku możemy przestawić funkcję J{{Sub|-n}} w zależności od J{{Sub|n}} wedle sposobu poniżej, wiedząc, że funkcja &Gamma; o współczynniku ujemnym przyjmuje wartość nieskończoną, a jego odwrotność jest zero. {{CentrujWzór|<MATH>J_{-n}(x)=\sum_{l=0}^{\infty}(-1)^l{{1}\over{l!\Gamma(l-n+1)}}\left({{x}\over{2}}\right)^{2l-n}\simeq (-1)^n{{x^{n}}\over{n!2^n}}=(-1)^nJ_n(x)\;</MATH>|11.38}} == Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym == Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja J{{Sub|l+1/2}}(x) ma postać asymptotyczną, którego wygląd w zależności od parametru "l" jest on zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH>J_{l+{{1}\over{2}}}(x)=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.39}} Teraz zastosujemy wzór {{LinkWzór|11.32}}, by udowodnić rozwiązanie asymptotyczne {{LinkWzór|11.39}}, w tym celu przy dowodzie dla l=0 dostajemy dokładny wzór {{LinkWzór|11.27}}. Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku dla x bardzo dużego: {{CentrujWzór|<MATH>J_{l+{{3}\over{2}}}=-x^{l+{{1}\over{2}}}{{d}\over{dx}}\left(x^{-l-{{1}\over{2}}}J_{l+{{1}\over{2}}}\right)= -x^{l+{{1}\over{2}}}{{d}\over{dx}}\left((x^{-l-{{1}\over{2}}}\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\right)= -x^{l+{{1}\over{2}}}\sqrt{{{2}\over{\pi}}}{{d}\over{dx}}\left[{{\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+1}}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -x^{l+{{1}\over{2}}}\sqrt{{{2}\over{\pi}}}\left[{{\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+1}}}-(l+1){{\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+2}}}\right]</MATH>|11.40}} Wykażemy że drugi wyraz występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie {{LinkWzór|11.40}}: {{CentrujWzór|<MATH>J_{l+{{3}\over{2}}}=-\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)=\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sin\left(x-(l+1){{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.41}} Co kończy dowód twierdzenia {{LinkWzór|11.39}} na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej. Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja J{{Sub|l-1/2}} ma postać asymptotyczną, którego wygląd w zależności od parametru "l" jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>J_{-l-{{1}\over{2}}}(x)=(-1)^l\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.42}} Teraz zastosujemy wzór {{LinkWzór|11.35}}, by udowodnić wzór {{LinkWzór|11.41}}, w tym celu udowodnimy nasz wzór dla l=0 dla którego dostajemy dokładny wzór {{LinkWzór|11.31}}. Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku x bardzo dużego: {{CentrujWzór|<MATH>J_{-l-{{3}\over{2}}}(x)=x^{l+{{1}\over{2}}}{{d}\over{dx}}\left(x^{-l-{{1}\over{2}}}J_{\nu}\right)=x^{l+{{1}\over{2}}}{{d}\over{dx}}\left(x^{-l-{{1}\over{2}}}(-1)^l\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\right) =\sqrt{{2}\over{\pi}}(-1)^lx^{l+{{1}\over{2}} } {{d}\over{dx}} {{\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+1} }}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(-1)^l\sqrt{{2}\over{\pi}}x^{l+{{1}\over{2}} } \left(-{{\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+1}}}-(l+1){{\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{x^{l+2}}}\right)\;</MATH>|11.43}} Wyraz drugi występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie {{LinkWzór|11.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>J_{-l-{{3}\over{2}}}(x)=(-1)^{l+1}\sqrt{{2}\over{\pi x}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}-{{1}\over{2}}\pi+{{1}\over{2}}\pi\right)=(-1)^{l+1}\sqrt{{2}\over{\pi x}}\cos\left(x-(l+1){{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.44}} Co kończy dowód wzoru {{LinkWzór|11.41}} na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej. == Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela == Funkcję Neumanna N{{Sub|&nu;}}, które sa bardzo związane z funkcjami Bessela, jak później powiemy. Te funkcje są osobliwe w punkcie x=0, jego definicja jest napisana wzorem wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>N_{\nu}={{J_{v}\cos(\pi\nu)-J_{-\nu}}\over{\sin\pi \nu}}\mbox{ dla }(v\neq 0,\pm 1,\pm 2,...)\;</MATH>|11.45}} Dla indeksów całkowitych funkcje Neumanna uzyskujemy w granicy dla &nu;, która jest liczbą określoną przy wzorze {{LinkWzór|11.45}}, której granica jest: {{CentrujWzór|<MATH>N_n=\lim_{\nu\rightarrow n} N_{\nu}\;</math>|11.46}} Jeśli przyjmować będziemy, że wielkość &nu; jest podana wzorem {{Formuła|<MATH>\nu=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, w takim przypadku wzór {{LinkWzór|11.45}} przyjmować będziemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>N_{l+{{1}\over{2}}}={{\cos\left(\left(l+{{1}\over{2}}\right)\pi\right)J_{\nu+{{1}\over{2}}}-J_{-l-{{1}\over{2}}}}\over{\sin\left(\left(l+{{1}\over{2}}\right)\pi\right)}}={{-\sin (l\pi)J_{\nu+{{1}\over{2}}} -J_{-l-{{1}\over{2}}}}\over{\cos l\pi}}={{-J_{-l-{{1}\over{2}}}}\over{(-1)^l}}=(-1)^{l+1}J_{-l-{{1}\over{2}}}\;</MATH>|11.47}} Funkcję Hankela przestawiamy jako kombinację funkcji Bessela {{LinkWzór|11.16}} i Neumanna N{{Sub|&nu;}} {{LinkWzór|11.45}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>H^*_{\pm}=J_{\nu}\pm i N_{\nu}\;</MATH>|11.48}} == Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela == Sferyczne funkcje Bessela oznaczamy przez j{{Sub|l}}(x), a także funkcje Neumanna i Hankela piszemy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>j_l(x)=\sqrt{{\pi}\over{2x}}J_{l+{{1}\over{2}}}\;</MATH>|11.49}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>n_j=(-1)^{l+1}\sqrt{{{\pi}\over{2x}}}J_{-l-{{1}\over{2}}}(x)\;</MATH>|11.50}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>h^*_l=j_l\pm i n_l\;</MATH>|11.51}} }} Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru {{LinkWzór|11.39}}, dochodzimy do związków, że funkcja Bessela {{LinkWzór|11.49}} jest napisana wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>j_l(x)=\sqrt{{\pi}\over{2x}}\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)={{1}\over{x}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.52}} Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru {{LinkWzór|11.42}} dochodzimy do związku, że funkcja Neumanna {{LinkWzór|11.50}} ma wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>n_l=(-1)^{l+1}\sqrt{{{\pi}\over{2x}}}(-1)^l\sqrt{{{2}\over{\pi x}}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)=-{{1}\over{x}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|11.53}} A na sam koniec podamy jak wygląda funkcja Hankela dla jej przypadku asymptotycznego, dochodzimy do związków, że wedle definicji tejże funkcji {{LinkWzór|11.51}} jest narysowana ona: {{CentrujWzór|<MATH>h_l^*={{1}\over{x}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\pm i(-1){{1}\over{x}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)={{1}\over{x}}\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\mp i{{1}\over{x}}\cos\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)=\mp{{i}\over{x}}\left(\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\mp\sin\left(x-l{{\pi}\over{2}}\right)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\mp{{i}\over{x}}e^{\mp i(x-l{{\pi}\over{2}})}=\mp{{i}\over{x}}e^{\mp ix}e^{\pm i l{{\pi}\over{2}}}= \mp{{i}\over{x}}e^{\mp ix}i^{\pm l}=\mp{{i^{1\pm l}}\over{x}}e^{\mp ix}\;</MATH>|11.54}} == Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych == Rozłóżmy funkcje opisująca falę płaską we funkcjach Legendre'a {{LinkWzór|9.33|Wprowadzenie_do_wielomianów_ortogonalnych}}, wtedy możemy rozpisać naszą funkcję e{{Sup|ikx}} w pewien szereg, którego jest kombinacją liniową w funkcjach Legendre'a P{{Sub|l}}, którego to współczynniki są funkcjami zależnymi od wskaźnika l i argumentu r: {{CentrujWzór|<MATH>e^{ikx}=\sum_{l=0}^{\infty}c_lR_{l}(r)P_l(\cos\phi)\;</MATH>|11.55}} Biorąc wzór na definicję Laplasjanu we współrzędnych kulistych {{LinkWzór|7.41|Operatory_różniczkowe}} i wiedząc, że Y{{Sub|l}}=P{{Sub|l0}}, która nie zależy od zmiennej radialnej, wtedy na podstawie wzoru {{LinkWzór|10.5|Funkcje_sferyczne_w_matematyce}}, która jest definicją Laplasjanu, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Y_{l0}=-{{l(l+1)}\over{r^2}}Y_{l0}\;</MATH>|11.56}} Rozpiszmy wzór na Laplasjan wedle sposobu {{LinkWzór|7.41|Operatory_różniczkowe}} i biorąc tylko jako działanie na ten operator funkcję R(r): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta R(r)={{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}\left(rR\right)={{1}\over{r}}{{\partial}\over{\partial r}}\left(R+r{{\partial R}\over{\partial r}}\right)={{1}\over{r}}{{\partial R(r)}\over{\partial r}}+{{\partial^2R}\over{\partial r^2}}+{{1}\over{r}}{{\partial R}\over{\partial r}}= {{\partial^2R}\over{\partial r^2}}+{{2}\over{r}}{{\partial R}\over{\partial r}}\;</MATH>|11.57}} Zatem możemy podziałać Laplasjanem obie strony równania {{LinkWzór|11.55}}, a do lewej jego strony także dokonujemy różniczkować względem współrzędnych kartezjańskim, a z jego z prawej strony we współrzędnych kulistych, w takim przypadku mamy równanie poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>-k^2e^{ikz}=-k^2\sum_{l=0}^{\infty}c_lR_{l}(r)P_l(\cos\phi)=\sum_{l=0}^{\infty}c_l\left[\left({{\partial^2R}\over{\partial r^2}}+{{2}\over{r}}{{\partial R}\over{\partial r}}\right)-{{1}\over{r^2}}l(l+1)R_l\right]P_l(\xi)\;</MATH>|11.58}} Ze wzoru {{LinkWzór|11.58}} możemy napisać równanie różniczkowe, które jest tożsamościowo równe zero, w takim przypadku możemy napisać równanie, które w dalszych kroku mamy zamiar rozwiązać wykorzystując przy tym {{LinkWzór|11.55}} do lewej strony ostatniego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>R^{''}_l+{{2}\over{r}}R^'_l+\left[k^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right]R_l=0\;</MATH>|11.59}} Do równania {{LinkWzór|11.59}} wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy następująco: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>r\rightarrow\rho=kr</MATH>|11.60}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>R_l\rightarrow S=\sqrt{\rho}R_l\;</MATH>|11.61}} }} Możemy wykorzystać wzory {{LinkWzór|11.60}}, która jest definicją zmiennej &rho;, a wzór {{LinkWzór|11.61}}, która jest definicją S, i te ostatnie dwa wspomniane wzory wstawiamy do wspomnianego na samym początku równania różniczkowego, w ten sposób dokonajmy dwóch następnych kroków, by dalej wykorzystać równanie {{LinkWzór|11.59}}, ale najpierw policzmy jego pierwszą jego pochodną: {{CentrujWzór|<MATH>R^'=k{{\partial}\over{\partial \rho}}\left(S\rho^{-{{1}\over{2}}}\right)=k{{S^'}\over{\sqrt{\rho}}}-k{{S}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}\;</MATH>|11.62}} Następnie jest policzenie drugiej pochodnej, piszemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>R^{''}=k^2{{\partial}\over{\partial \rho}}\left({{S^'}\over{\sqrt{\rho}}}-{{S}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}\right)= k^2{{S^{''}}\over{\rho^{{1}\over{2}}}}-{{S^'}\over{2\rho^{{{3}\over{2}}}}}k^2-k^2{{S^'}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}+{{3}\over{2}}k^2{{S}\over{\rho^{{5}\over{4}}}}\;</MATH>|11.63}} Wzory udowodnione w puntach {{LinkWzór|11.62}} i {{LinkWzór|11.63}} są to wzory, które podstawimy do równania różniczkowego {{LinkWzór|11.59}}, w takim przypadku możemy napisać następne równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>k^2{{S^{''}}\over{\rho^{{1}\over{2}} }}-{{S^'}\over{2\rho^{{{3}\over{2}} } }}k^2 -k^2{{S^'}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}+{{3}\over{4}}k^2{{S}\over{\rho^{{5}\over{2}}}}+{{2k}\over{\rho}}\left(k{{S^'}\over{\sqrt{\rho}}}-k{{S}\over{2}}\rho^{-{{3}\over{2}}}\right)+k^2\left(1-{{l(l+1)}\over{\rho^2}}\right){{S}\over{\sqrt{\rho}}}=0\;</MATH>|11.64}} Równanie różniczkowe {{LinkWzór|11.64}} dzielimy obustronnie przez k{{Sup|2}}, a następnie mnożymy tak powstałe równanie przez {{Formuła|<MATH>\rho^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>}} i jednocześnie dalej redukując odpowiednie składniki do siebie z lewej strony rozważanego równania, w takim razie możemy dojść do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>S^{''}+{{S^'}\over{\rho}}+\left[{{1}\over{4\rho^2}}+1-{{l(l+1)}\over{\rho^2}}\right]S=0\Rightarrow S^{''}+{{2S^'}\over{\rho}}+\left[1-{{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2}\over{\rho^2}}\right]S=0\Rightarrow \rho^2S^{''}+S^'\rho+\left(\rho^2-\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2\right)S=0</MATH>|11.65}} Równanie wynikłe z końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|11.65}} jest to równanie na funkcję Bessela {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>S(\rho)=J_{l+{{1}\over{2}}}(\rho)\;</MATH>|11.66}} Zatem wykorzystując wzory {{LinkWzór|11.60}} i {{LinkWzór|11.61}}, to możemy napisać wzór {{LinkWzór|11.66}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>R_l(kr)={{S}\over{\sqrt{\rho}}}={{J_{l+{{1}\over{2}}}(kr)}\over{\sqrt{kr}}}\sim j_l(kr)\;</MATH>|11.67}} Funkcja R{{Sub|l}}(kr) jest wprost proporcjonalna do funkcji sferycznej Bessela {{LinkWzór|11.52}}. Wzór {{LinkWzór|11.55}} do którego podstawimy funkcję sferyczną Bessela, ale przedtem przy czym ewentualne stałe będziemy wkładać do stałej c{{Sub|l}}, i zakładając przy tym, że współrzędna zetowa wyraża się przy pomocy współrzędnej &theta; wzorem, tzn. &xi;=r cos&theta;=r&xi;, w takim razie będziemy mogli powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>e^{ikr\xi}=\sum_{l=0}^{\infty}c_lj_l(kr)P_l(\xi)\;</MATH>|11.68}} W celu wyznaczenia współczynników c{{Sub|l}} należy pomnożyć obie strony równania {{LinkWzór|11.68}} przez wielomian Legendre'a P{{Sub|n}}(&xi;) i z całkować obie jego strony, i wiedząc, że norma wielomianu Legendre'a jest policzona tutaj {{LinkWzór|9.57|Wprowadzenie_do_wielomianów_ortogonalnych}}, to: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-1}^{1}e^{ikr\xi}P_n(\xi)d\xi=c_nj_n(kr){{2}\over{2n+1}}\;</MATH>|11.69}} Weźmy sobie lewą stronę równania {{LinkWzór|11.69}} i dokonajmy jego całkowania przez części, w takim razie otrzymujemy pewne wyrażenie, które jest wyrażone za pomocą wyrazu wolnego i za pomocą następnej całki: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-1}^{1}e^{ikr\xi}P_n(\xi)d\xi={{1}\over{ikr}}e^{ikr\xi}P_n(\xi)\Bigg|^{1}_{-1}-{{1}\over{ikr}}\int^1_{-1}e^{ikr\xi}P_n^'(x)d\xi\;</MATH>|11.70}} Wyraz wolny można napisać dla jego granic w punktach 1 i -1, w których wielomiany Legendre'a zapisujemy wedle P{{Sub|n}}(1)=1 i P{{Sub|n}}(-1)=(-1){{Sup|n}}, którego to pierwszy wyraz w {{LinkWzór|11.70}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{ikr}}e^{ikr\xi}P_{n}(\xi)\Bigg |^{1}_{-1}={{e^{ikr}-(-1)^ne^{-ikr}}\over{ikr}}={{e^{ikr}-e^{in\pi}e^{-ikr}}\over{ikr}}=e^{in{{\pi}\over{2}}}{{e^{i(kr-n{{\pi}\over{2}})}-e^{-i(kr-n{{\pi}\over{2}})}}\over{ikr}}\;</MATH>|11.71}} Do dalszych kroków jest wyznaczenie tożsamości, którą udowodnimy jako lemat, w takim przypadku mamy: {{CentrujWzór|<MATH>e^{in{{\pi}\over{2}}}=i^n\;</MATH>|11.72}} Dowód dla i=0 dla lematu twierdzeniem prawdziwym dla {{LinkWzór|11.72}}, zatem sprawdźmy co wyjdzie, gdy przejdziemy stwierdzenia z n do n+1, w takim bodź razie możemy pomnożyć równość {{LinkWzór|11.72}}, przez jednostkę urojoną równej jednostce urojonej i przestawienie jego w postaci <MATH>e^{i\pi/2}\;</MATH> i po wykorzystaniu twierdzenia o iloczynie funkcji potęgowych o tym samej podstawie, w takim przypadku możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>e^{i(n+1){{\pi}\over{2}}}=i^{n+1}\;</MATH>|11.73}} Co kończy dowód lematu {{LinkWzór|11.72}}. Równość {{LinkWzór|11.71}} możemy zapisać, korzystając przy tym z {{LinkWzór|11.73}}, i z definicji funkcji sinus: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{ikr}}\int^1_{-1}e^{ikr\xi}P_{n}(\xi)=2i^n{{\sin\left(kr-n{{\pi}\over{2}}\right)}\over{kr}}\;</MATH>|11.74}} Przy wyrażaniu {{LinkWzór|11.74}} skorzystaliśmy, że drugi wyraz znajdujący się w punkcie wyrażenia {{LinkWzór|11.70}} piszemy wedle sposobu poniżej, tzn. całkę poniżej całkujemy poprzez części, w takim przypadku udowodniliśmy, że ten wyraz jest wprost proporcjonalny do odwrotności kwadratu z liczby r, co uzasadnia w {{LinkWzór|11.70}}, że należy uciąć wyrazy rzędu więcej niż wyrazy proporcjonalne do odwrotności z odległości radialnej jako wyrażenia niecałkowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{ikr}}\int_{-1}^{1}e^{ikr\xi}P^{'}_n(\xi)d\xi={{1}\over{(ikr)^2}}e^{ikr\xi}P^'_n(\xi)\Bigg|^{1}_{-1}-{{1}\over{(ikr)^2}}\int_{-1}^{1}e^{ikr\xi}P^{''}(\xi)d\xi\sim{{1}\over{(ikr)^2}}\;</MATH>|11.75}} Jeszcze raz powracając do równania {{LinkWzór|11.69}} możemy napisać tożsamość na funkcję zależną od x, czyli c{{Sub|n}}j{{Sub|n}}(x), która jest iloczynem współczynnika c{{Sub|n}} i asymptotycznej właściwości sferycznej funkcji Bessela j{{Sub|n}}(x) zdefiniowaną wzorem {{LinkWzór|11.52}}: {{CentrujWzór|<MATH>2i^n{{\sin\left(kr-n{{\pi}\over{2}}\right)}\over{kr}}=c_nj_n(kr){{2}\over{2n+1}}\Rightarrow c_nj_n(\xi)=i^n(2n+1){{\sin\left(kr-{{n\pi}\over{2}}\right)}\over{kr}}\;</MATH>|11.76}} Mając wzór na c{{Sub|n}}j{{Sub|n}}(x), który jest określony przez wzór końcowy wynikowy {{LinkWzór|11.76}}, wtedy wzór {{LinkWzór|11.68}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>e^{ikz}=\sum_{l=0}^{\infty}i^n(2n+1){{\sin\left(kr-l{{\pi}\over{2}}\right)}\over{kr}}P_l(\phi)\;</MATH>|11.78}} Jeśli wprowadzimy asymptotyczne sferyczne funkcje Bessela j{{Sub|n}}(x), które są zdefiniowane wzorem {{LinkWzór|11.52}}, w takim przypadku {{LinkWzór|11.78}}, który jest zarazem wzorem przybliżonym, przepisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>e^{ikz}=\sum_{l=0}^{\infty}i^n(2l+1)j_l(kr)P_l(\cos\phi)\;</MATH>|11.79}} == Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela == Funkcja Bessela nie spełnia ogólnych warunków ortogonalizacji, jak to ma miejsce w przypadku wielomianów ortogonalnych, tzn. całka {{Formuła|<MATH>\int_0^{2\pi}J_{\mu}J_{\nu}dx\;</MATH>}} nie jest równe zero, zatem znajdziemy inny właściwy warunek ortogonalizacji dla naszej tutaj rozważanej funkcji. Obierzmy sobie dwie funkcje, które nazwiemy jako y{{Sub|1}} i y{{Sub|2}}, dla których "a" jest nierówne "b": {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y_1=J_{\mu}(ax)\;</MATH>|11.80}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y_2=J_{\nu}(bx)\;</MATH>|11.81}} }} Funkcje, tzn. {{LinkWzór|11.80}} i {{LinkWzór|11.81}} podstawiamy do równania różniczkowego Bessela {{LinkWzór|11.1}} i dzielimy obustronnie przez x{{Sup|2}}, to dla tych dwóch rozwiązań mamy przestawienia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y_1^{''}+{{1}\over{x}}y_1^'+\left(a^2-{{\nu^2}\over{x^2}}\right)y_1=0\;</MATH>|11.82}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y_2^{''}+{{1}\over{x}}y_2^{'}+\left(b^2-{{\nu^2}\over{x^2}}\right)y_2=0\;</MATH>|11.83}} }} Wzór {{LinkWzór|11.82}} mnożymy obustronnie przez y{{Sub|2}}, a wzór {{LinkWzór|11.83}} mnożymy obustronnie przez y{{Sub|1}} i tak powstałe wzory odejmujemy od siebie, w ten sposób dostajemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>y_1^{''}y_2-y_2^{''}y_1+{{1}\over{x}}\left(y_1^'y_2-y^'y_1\right)=(b^2-a^2)y_1y_2\;</MATH>|11.84}} Wprowadźmy nową funkcję zdefiniowaną za pomocą funkcji y{{Sub|1}} i y{{Sub|2}}, a także za pomocą tychże pochodnych, w takim przypadku mamy definicję nowej zmiennej<MATH>_{u=y_1^{'}y_2-y_2^{'}y_1}\;</MATH>, w ten sposób {{LinkWzór|11.84}} przechodzi w równość: {{CentrujWzór|<MATH>u^'+{{u}\over{x}}=(b^2-a^2)y_1y_2\Rightarrow xu^'+u=(b^2-a^2)xy_1y_2\Rightarrow (xu)^'=(b^2-a^2)xy_1y_2\;</MATH>|11.85}} Końcową równość {{LinkWzór|11.85}} musimy przecałkować w przedziale od (0,L), w ten sposób dostajemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>Lu(L)=(b^2-a^2)\int_0^Lxy_1(x)y_2(x)dx\;</MATH>|11.86}} Wedle definicji na zmienną u, funkcje poniżej powinny być równe zero dla x=a,b, które są różnymi parametrami, dla naszego przypadku musi być przynajmniej jeden warunek z dwóch spełniony, co piszemy je: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>J_{\mu}(xL)=0\;</MATH>|11.87}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>J^'_{\mu}(xL)=0\;</MATH>|11.88}} }} Jeśli jest spełniony odpowiednio warunek {{LinkWzór|11.87}} (funkcja Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero) lub {{LinkWzór|11.88}} (pierwsza pochodna funkcji Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero), to lewa strona równości {{LinkWzór|11.86}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^LxJ_{\mu}(ax)J_{\nu}(bx)dx=0\;</MATH>|11.89|Obramuj}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> jtbj5chareepilm529y2hm6yiqjihr3 0 19952 558628 513444 2026-10-04T22:28:59Z Persino 2851 558628 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> {{Rysunek|Dirac distribution PDF.png|kf|Wykres funkcji delta Diraca. Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla {{Formuła|<MATH>x_0=0</MATH>}}. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożonej przez funkcję.|rozmiar=300px}} Funkcja Diraca jest jedną z podstawowych funkcji rozważanych w mechanice kwantowej. Poniżej podamy własności funkcji Diraca i ich dowody. Od naszej funkcji Diraca oczekujemy, by w punkcie zerowym miała wartość niezerową, a w pozostałych punktach przyjmowała wartość równą zero, tak by całka tej funkcji po całej nieskończonej przestrzeni jednowymiarowej miała wartość równą jeden. Stąd wynika, że funkcja ta w punkcie zerowym ma wartość równą plus nieskończoność. Oczywiste jest, że całkowanie po całej przestrzeni rzeczywistej można zawęzić do całkowania do przedziału dowolnie małego zawierający nasz punkt zerowy: {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)=0\;\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>x\neq 0\;\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;oraz&nbsp;}}<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1\;</MATH>|12.1|Obramuj}} A zatem oczekujemy, by funkcja Diraca dążyła do osobliwości w punkcie x=0. '''Własności funkcji Diraca''' '''(1)''' Podstawowa własność funkcji Diraca: całka iloczynu zwykłej funkcji f(x) i funkcji Diraca jest równa wartości funkcji f(x) obliczonej w punkcie x=0 {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)dx=f(0)\;\;</MATH>|12.2}} '''Dowód:''' Poza punktem zerowym funkcja Diraca przyjmuje wartość zero, a więc punkty te nie wnoszą nic do całki {{LinkWzór|12.1}} - całkowanie możemy zawęzić do przedziału dążącego do zera {{Formuła|<MATH>\left(-h,h\right)\;</MATH>}} i obliczyć wedle naszych wcześniejszych omówień: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)dx=\lim_{h\rightarrow 0}\int_{-h}^{h} f(x)\delta(x)dx=\lim_{h\rightarrow 0} f(-h\le\zeta\le h)\int_{-h}^{h}\delta(x)dx=\lim_{h\rightarrow 0} f(-h\le\zeta\le h)=f(0)\;</MATH>|12.3}} Co kończy dowód. '''(2)''' Funkcja Diraca jest równa nieskończoności w punkcie {{Formuła|<MATH>x_0=0</MATH>}}, a w pozostałych punktach jest równa zero. Z własności przesunięcia równoległego o wektor jednowymiarowy {{Formuła|<MATH>x_0</MATH>}} wynika, że powinno zachodzić: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x-x_0)=0\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>x\neq x_0\;</MATH>{{Br}}|12.4}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)dx=1\;</MATH>|12.5}} }} '''(3)''' Z własności przesunięcia równoległego wynika też, że całka iloczynu funkcji f(x) i funkcji Diraca przesuniętej o wektor {{Formuła|<MATH>x_0\;</MATH>}} jest równa funkcji f(x) w punkcie osobliwym {{Formuła|<MATH>x_0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)\;</MATH>|12.6}} '''(4)''' Gdy funkcja f(x) jest funkcją Diraca, to z wzoru {{LinkWzór|12.6}} formalnie wynika, że: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_1)\delta(x-x_2)dx=\delta(x_2-x_1)=\delta(x_1-x_2)\;</MATH>|12.7}} Ponadto: Z własności tej wynika, że funkcja '''{{Formuła|<MATH>\delta(x)\;</MATH>}} jest funkcją parzystą'''. '''Uwaga 1:''' Wzór {{LinkWzór|12.6}} de facto jest udowodniony dla przypadku, gdy f(x) oznacza w tym wzorze funkcję. Delta Diraca nie jest jednak funkcją, ale tzw. dystrybucją. Formalne podstawienie do tego wzoru zamiast funkcji delty Diraca stanie się dopiero uprawnione, gdy własność ta zostanie rozszerzona na dystrybucje, czego dowód jest pokazany poniżej. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|12.7}} można przedstawić w dwóch równoważnych postaciach: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_1)\delta(x-x_2)dx=\begin{Bmatrix}x-x_1=t\\ dx=dt \end{Bmatrix}=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\delta(t-(x_2-x_1))dt=\delta(x_2-x_1)\;</MATH>|12.8}} lub {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_1)\delta(x-x_2)dx=\begin{Bmatrix}x-x_2=t\\ dx=dt \end{Bmatrix}=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-(x_1-x_2))\delta(t)dt=\delta(x_1-x_2)\;</MATH>|12.9}} Na podstawie równości obliczeń {{LinkWzór|12.8}} oraz {{LinkWzór|12.9}} wnioskujemy, że funkcja {{Formuła|<MATH>\delta(x)</MATH>}} jest funkcją parzystą względem punktu <MATH>x=0</MATH>, bo wartość całki nie może się zmieniać w zależności od sposobu liczenia tejże całki, cnd. '''Uwaga 2:''' O tym, że delta Diraca nie jest "zwykłą funkcją" można przekonać się, podstawiając do wzoru {{LinkWzór|12.6}} wartości delty Diraca {{Formuła|<MATH>\delta(x-x_1)</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\delta(x-x_2)</MATH>}} - gdy {{Formuła|<MATH>x_1\neq x_2</MATH>}}, to formalnie otrzymalibyśmy {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x-x_1) \delta(x-x_2)=0 </MATH>}} w całej przestrzeni jednowymiarowej, co oznaczałoby, że cała całka ma wartość równą zero, w oczywistej sprzeczności z wzorem {{LinkWzór|12.7}} '''Wnioski:''' 1. Całka z iloczynu funkcji i dystrybucji daje w wyniku pojedynczą liczbę, zaś całka z iloczynu dwóch delt Diraca daje w wyniku inną deltą Diraca, która jest nie liczbą, ale dystrybucją określoną na całej przestrzeni. 2. Nie można mnożyć dystrybucji przez siebie w sposób identyczny, jak mnoży się funkcje. Zamiast tego można tworzyć całki z iloczynów dystrybucji - tzw. sploty (por. niżej)''' == Wprowadzenie do teorii funkcji próbnych w teorii dystrybucji == W teorii dystrybucji pierwszym krokiem jest wprowadzenie zbioru funkcji zwanych próbnymi. Zgodnie z naszymi wymogami, funkcjami próbnymi nazywamy funkcje nieskończenie różniczkowalne i są one różne od zera na ograniczonym obszarze, zbiór tychże funkcji będziemy oznaczać symbolem {{Formuła|<MATH>C_0^{\infty}\;</MATH>}}. {{Rysunek|Funkcja próbna.jpeg|wk2|Funkcja próbna&nbsp;{{Formuła|<MATH>\tilde{f}(x)\;</MATH>}}}} Przykładem funkcji próbnych jest funkcja zdefiniowana: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{f}(x)=\begin{cases} Ne^{{{1}\over{x^2-1}}}&\mbox{ dla }|x|<1\\ 0&\mbox{ dla }|x|\geq 1 \end{cases}</MATH>|12.10}} Zdefiniujemy funkcję {{Formuła|<MATH>\phi_{\epsilon}(x)</MATH>}}, która jest splotem funkcji &phi; i funkcji {{Formuła|<MATH>{{1}\over{\epsilon}}\tilde{f}\left({{x}\over{\epsilon}}\right)</MATH>}}, zatem tą naszą funkcję piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{\epsilon}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x-y)\tilde{f}\left({{y}\over{\epsilon}}\right){{dy}\over{\epsilon}}\;</MATH>|12.11}} Jeśli w powyższej funkcji dokonamy podstawienia t=x-y, to natychmiast otrzymamy wzór poniżej, co na podstawie tego możemy udowodnić przemienność naszego splotu funkcji f i funkcji {{Formuła|<MATH>\tilde{\phi}</MATH>}}, z której wynika różniczkowalność naszego splotu. {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{\epsilon}(x)={{1}\over{\epsilon}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}\left({{x-t}\over{\epsilon}}\right)\phi(t)dt\;</MATH>}} Na podstawie ostatniego równania, funkcja {{Formuła|<MATH>\tilde{\phi}_{\epsilon}</MATH>}} jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, co wynika z faktu, że funkcja {{Formuła|<MATH>\tilde{f}</MATH>}} jest też nieskończenienie wiele razy różniczkowalna, bo ona jest zależna od "x", a funkcja {{Formuła|<MATH>\phi(t)</MATH>}} już nie zależy od argumentu x, co tą różniczkowalność wynika z teorii o pochodnej na całce. We wzorze {{LinkWzór|12.11}} dokonajmy podstawienia, które określamy przy pomocy parametru t, czyli y=&epsilon;t, w takim razie powyższą funkcję piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{\epsilon}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x-\epsilon t)\tilde{f}(t)dt\;</MATH>|12.12}} Następnym bardzo ważnym krokiem jest policzenie wyrażenia, która jest różnicą funkcji &phi;_&epsilon;(x) i,&phi;(x), korzystając z faktu o normalizacji delty Diraca {{LinkWzór|12.1}}, w takim przypadku dostajemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{\epsilon}(x)-\phi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x-\epsilon t)\tilde{f}(t)dt-\phi(x)\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(t)dt= \int_{-\infty}^{\infty}\left(\phi(x-\epsilon t)-\phi(x)\right)\tilde{f}(t)dt\;</MATH>|12.13}} W przeprowadzonych obliczeniach {{LinkWzór|12.13}} funkcja podcałkowa dla &epsilon; dążącego do zera dąży do zera, zatem cała całka dąży do zera, stąd wynika, że funkcja {{Formuła|<MATH>\tilde{f}</MATH>}} dla której zdefiniowana jest norma {{LinkWzór|12.1}} jest poprawną definicją tejże naszej rozważanej funkcji. == Ciągłość funkcji próbnych w teorii dystrybucji == W powyższym wzorze funkcja &phi;_n jest tak zdefiniowana, by te omawiane funkcje nie wychodziły poza pewien przedział, czyli mają ograniczone nośniki. Funkcje te dążą jednostajnie do funkcji &phi;₀, a także to samo dotyczy ich pochodnych, w takim przypadku mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_n^{(k)}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}\phi_0^{(k)},\mbox{ dla } k=0,1,2,...\;</MATH>|12.14}} == Matematyczna definicja funkcji próbnej w teorii dystrybucji == Funkcją próbną (dystrybucją) nazywamy funkcjonał liniowy ciągły w pewnej ściśle określonej przestrzeni. Wynik działania dystrybucji określać będziemy symbolem T[&phi;] lub symbolem &langle;T,&phi;&rangle;: {{CentrujWzór|<MATH>T:\phi\rightarrow T[\phi]\;</MATH>|12.15}} Dystrybucja spełnia również warunki liniowości, którego zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>T[a\phi_1+b\phi_2]=a T[\phi_1]+bT[\phi_2]\;</MATH>|12.16}} Na sam koniec wprowadźmy warunek ciągłości dla dystrybucji dla n dążącego do nieskończoności: {{CentrujWzór|<MATH>T[\phi_n]\rightarrow T[\phi_0]\;</MATH>|12.17}} == Przykłady dystrybucji == * Zdefiniujmy całkę, określoną za pomocą dystrybucji, którą zapiszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\langle{{1}\over{x}},\psi\rangle=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\int_{-\infty}^{-\epsilon}{{1}\over{x}}\phi(x)dx+\int^{\infty}_{\epsilon}{{1}\over{x}}\psi(x)dx\right]\;</MATH>|12.18}} Sposób liczenia całki z odwrotności funkcji x przeprowadzonych w punkcie nazywamy wartością główną tej całki. W tym celu aby z ilustrować wartość główną policzmy dwie te same całki poniżej i przekonamy co to jest wartość główna przy liczeniu tej samej całki dwoma sposobami, w których wychodzą różne wyniki. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\int^{-\epsilon}_{-1}{{1}\over{x}}dx+\int_{\epsilon}^1{{1}\over{x}}dx\right]=\ln\epsilon-\ln\epsilon=0\;</MATH>|12.19}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\int_{-1}^{-\epsilon}{{1}\over{x}}dx+\int_{2\epsilon}^1{{1}\over{x}}dx\right]=\ln\epsilon-\ln2\epsilon=-\ln 2\;</MATH>|12.20}} }} Wartością główna całki {{Formuła|<MATH>\int_{-1}^1{{1}\over{x}}dx</MATH>}} jest całka policzona wedle schematu {{LinkWzór|12.19}}, a wartością główną nie jest całka obliczona wedle schematu {{LinkWzór|12.20}}. * Wzór {{LinkWzór|12.21}} zostanie udowodniony za pomocą obliczeń pokazanych w dalszej treści: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x+i0}}={{1}\over{x}}-i\pi\delta\;</MATH>|12.21}} Dowód {{LinkWzór|12.21}} przebiega na podstawie teorii o dystrybucjach, ale najpierw zróbmy tak, by pod całką funkcja posiadała mianownik zawierający wyrażenie rzeczywiste: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\langle{{1}\over{x+i\epsilon}},\psi\rangle=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty}{{\psi(x)}\over{x+i\epsilon}}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\int_{-\infty}^{\infty}{{x\psi(x)}\over{x^2+\epsilon^2}}dx-i\epsilon\int_{-\infty}^{\infty}{{\psi(x)}\over{x^2+\epsilon^2}}\right]\;</MATH>|12.22}} W pierwszej całce możemy przejść do granicy, a drugiej całce dokonujemy podstawienia x=&epsilon;t, i wiedząc, że całka {{Formuła|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}{{1}\over{1+t^2}}dt</MATH>}} jest równa liczbie &pi;, a także wykorzystując fakt {{LinkWzór|12.2|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}}, w takim razie możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}{{\psi(x)}\over{x}}dx-i\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}{{\psi(\epsilon t)}\over{t^2+1}}dt= \int_{-\infty}^{\infty}{{\psi(x)}\over{x}}dx-i\psi(0)\int_{-\infty}^{\infty}{{dt}\over{t^2+1}}= \int_{-\infty}^{\infty}{{1}\over{x}}\psi(x)dx-i\pi\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\delta(x)dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left\langle{{1}\over{x}}-i\pi\delta,\psi\right\rangle\;\;</MATH>|12.23}} == Ciągi zależne od delty &epsilon; i zbieżne do pewnej funkcji f(x) przy &epsilon; dążącej do zera == Aby utworzyć ciąg deltopodobny należy skonstruować ciąg, który zależy od &epsilon;, które jak wiemy dąży do delty Diraca, w takim przypadku ten ciąg definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>f_{\epsilon}(x)={{1}\over{\epsilon}}f\left({{x}\over{\epsilon}}\right)\;</MATH>|12.24}} Udowodnimy, że w przypadku granicznym nasz ciąg f_&epsilon;(x) jest dystrybucją, czyli jest równa delcie Diraca. Wynik działania dystrybucji f_&epsilon;(x), który jest ciągiem deltopodobnym {{LinkWzór|12.17}} w przedziale nieskończonym definiujemy wzorem poniżej. W tym samym punkcie w całce wprowadzimy nowe zmienne zapisane wzorem x=t&epsilon;: {{CentrujWzór|<MATH>\langle f_{\epsilon},\phi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{{1}\over{\epsilon}}f\left({{x}\over{\epsilon}}\right){\phi}(x)dx=\int^{\infty}_{-\infty}f(t){\phi}(\epsilon t)dt\;</MATH>|12.25}} Gdy przejdziemy do granicy &epsilon; dążącego do zera dla ciągu zależnego od parametru &epsilon; {{LinkWzór|12.24}} i na samym końcu korzystając ze wzoru, którego spełnia funkcja f(x), czyli warunku, tzn.&nbsp;{{Formuła|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dt=1</MATH>}}, którego jest własnością ogólnie dystrybucji {{LinkWzór|12.1}}, a szczegółowo delty Diraca, w takim przypadku możemy napisać przekształcenia: {{CentrujWzór|<MATH>\langle f_{\epsilon},\phi\rangle\xrightarrow[\epsilon\rightarrow 0]{}\phi(0)\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=\phi(0)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\psi(x)dx=\langle\delta,\psi(x)\rangle\;</MATH>|12.26}} == Mnożenie dystrybucji przez dowolną funkcję o ograniczonym nośniku == Wprowadźmy sugestię, co do dystrybucji, którą określamy mnożenie dystrybucji przez funkcję należącej do dziedziny liczb zespolonych, zatem dystrybucja jest tak napisana by było spełniona równość: {{CentrujWzór|<MATH>\langle fT,\phi\rangle=\langle T,f\phi\rangle\;</MATH>|12.27}} Jako przykład rozpatrzmy funkcję f=x, która podstawiona do wzoru {{LinkWzór|12.27}} przestawia się wzorem z definicji działania dystrybuanty T: {{CentrujWzór|<MATH>\langle x\delta,\phi\rangle=\langle\delta,x\phi\rangle=0\phi(0)=0\;</MATH>|12.28}} Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.28}} możemy wywnioskować, że wyrażenie, która jest iloczynem liczby x i delty Diraca jest równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>x\delta(x)=0\;</MATH>|12.29}} Rozpatrzmy następny przypadek, która to funkcja nie jest równa zero dla x=0, a w pozostałych przypadkach jest nierówna zero, w takim przypadku możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)\;</MATH>|12.30}} Gdy delta Diraca jest tylko nierówna zero w punkcie x=a, to równanie {{LinkWzór|12.30}} z warunku przesunięcia równoległego przestawiamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)\delta(x-a)=f(a)\delta(x-a)\;</MATH>|12.31}} Teraz wykażemy, że delta Diraca &delta;(x) z dokładnością do stałego czynnika jest rozwiązaniem równości: {{CentrujWzór|<MATH>xT=0\;</MATH>|12.32}} Aby udowodnić, że tak jest, należy liczbę <T,&phi;>, w której definiujemy funkcję &psi;(x), która w punkcie x=0 jest równa jeden, co na tej podstawie w drugiej równości w poniższym rozpisaniu pierwszy wyraz jest równy zero, w takim przypadku to nasze wyrażenie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T,\phi\rangle=\langle T,\phi-\phi(0)\psi\rangle+\phi(0)\langle T,\psi\rangle=\phi(0)\underbrace{\langle T,\psi\rangle}_c=c\langle\delta,\phi\rangle\;</MATH>|12.33}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.33}} rozwiązaniem równania {{LinkWzór|12.32}} jest funkcja zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>T=c\delta(x)\;</MATH>|12.34}} Teraz rozpatrzmy jaka jest funkcja T, która jest rozwiązaniem równania, będącego iloczynem funkcji x i T, która jest równa dla naszego przypadku liczbie jeden: {{CentrujWzór|<MATH>xT=1\;</MATH>|12.35}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|12.35}}, która jest niejednorodnym równaniem, którego rozwiązaniem szczególnym jest rozwiązanie {{Formuła|<MATH>T={{1}\over{x}}</MATH>}}, ale też korzystając z faktu, że {{LinkWzór|12.34}} jest rozwiązaniem równania jednorodnego {{LinkWzór|12.32}}, w takim rozwiązaniem ogólnym równania wspomnianego na samym początku tego zdania jest funkcja w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{x}}+c\delta(x)\;</MATH>|12.36}} == Różniczkowanie funkcji uogólnionych == Pochodną dystrybucji nazywamy taką nową dystrybucję, która spełnia tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T^',\phi\rangle=-\langle T,\phi^'\rangle\;</MATH>|12.37}} Aby udowodnić tożsamość {{LinkWzór|12.37}} należy {{Formuła|<MATH>\langle T^',\phi\rangle</MATH>}} przestawić na w sposób całki Riemmanna, i wiedząc, że dystrybucja T jest równa zero w nieskończonościach, zatem całkowanie dokonajmy poprzez części: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T^',\phi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}T^{'}(x)\phi(x)dx=T\phi|^{\infty}_{-\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\phi^'(x)dx=-\langle T,\phi^'\rangle\;</MATH>|12.38}} == Pochodna uogólniona trzech zmiennych i wykorzystanie w tym celu definicji Laplasjanu == Weźmy teraz funkcję T, która jest zależna od promienia &rho;, którego to definicję T i &rho; definiujemy wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{\rho}}\;</MATH>|12.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\;</MATH>|12.40}} }} Mając definicję Laplasjanu, czyli definicję operatora &Delta; {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe}}, to działaniem tegoż operatora na funkcję T {{LinkWzór|12.29}} jest określone przez: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta T=\Delta {{1}\over{r}}={{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\rho^2}}\left(\rho T\right)={{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\rho^2}}\left(\rho{{1}\over{x}}\right)={{1}\over{\rho}}{{\partial 1}\over{\partial\rho^2}}=0\;</MATH>|12.41}} Widzimy, że Laplasjan funkcji T zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|12.39}} jest równy zero dla &rho; nierównej zero, zatem sprawdźmy jaki jest wynik działania operatora &Delta;, gdy &rho; jest równy zero. W tym celu policzmy {{LinkWzór|12.38}} {{CentrujWzór|<MATH>\langle\Delta{{1}\over{r}},\phi\rangle=-1\langle\nabla {{1}\over{r}},\nabla\phi\rangle=(-1)(-1)\langle {{1}\over{r}},\Delta \phi\rangle=\langle {{1}\over{r}},\Delta \phi\rangle=\int_{R^3}{{1}\over{r}}\Delta\phi dV\;</MATH>|12.42}} Całkowanie po całej objętości w przestrzeni trójwymiarowej zapisaną w punkcie {{LinkWzór|12.42}} możemy zapisać jako całkowanie po kuli o promieniu R bez kuli zawartej wewnątrz tej kuli o promieniu &epsilon;, co jej promień dąży do zera, czyli w ten sposób wektor normalny dla kuli większej jest zwrócony na zewnątrz kuli, a wektor normalny dla kuli o promieniu &epsilon; jest zwrócony do środka tejże omawianej kuli, zatem ostatni wzór zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{R^3}{{1}\over{r}}\nabla\phi dV=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{K(0,R)-K(0,\epsilon)}{{1}\over{r}}\Delta\phi dV\;</MATH>|12.43}} Funkcję podcałkową występująca w wyrażeniu {{LinkWzór|12.43}}, korzystając z definicji o pochodnej iloczynu dwóch funkcji, możemy przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{r}}\Delta\phi={{1}\over{r}}\nabla\nabla\phi=\nabla \left[{{1}\over{r}}\nabla\phi\right]-\nabla {{1}\over{r}}\nabla\phi= \nabla \left[{{1}\over{r}}\nabla\phi\right]-\nabla\left[\phi\nabla\left({{1}\over{r}}\right)\right]+\phi\Delta\left({{1}\over{r}}\right)\;</MATH>|12.44}} Ostatni człon w równaniu {{LinkWzór|12.44}} jest równy zero na podstawie tożsamości udowodnionej w punkcie {{LinkWzór|12.41}}, wtedy całka {{LinkWzór|12.42}}, przy wykorzystaniu twierdzenia {{LinkWzór|7.66|Operatory_różniczkowe}}, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{K(0,R)-K(0,\epsilon)}{{1}\over{r}}\Delta\phi dV=\int \nabla \left[{{1}\over{r}}\nabla\phi\right]dV-\int\nabla\left[\phi\nabla\left({{1}\over{r}}\right)\right]dV=\int_{S_{\epsilon}} {{1}\over{r}}\nabla\phi d\vec{S}-\int_{S_{\epsilon}} \phi\nabla\left({{1}\over{r}}\right) d\vec{S}\;</MATH>|12.45}} Przy całkowaniu pierwszej całki, przy definicji dS=r²d&Omega; i r=&epsilon;, to pierwsza całka w wyrażeniu {{LinkWzór|12.45}} jest równa zero, w takim przypadku został nam do rozpatrzenia człon drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\left({{1}\over{r}}\right)\vec{n}=-{{\partial}\over{\partial r}}\left({{1}\over{r}}\right)={{1}\over{r^2}}\;</MATH>|12.46}} W wyrażeniu przyjęliśmy, że wektor {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}} ma kierunek do środka kuli o promieniu &epsilon; i dlatego po prawej stronie w drugiej równości {{LinkWzór|12.46}} występuje znak minus. Wtedy po pewnych rozważaniach równanie {{LinkWzór|12.45}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{K(0,R)-K(0,\epsilon)}{{1}\over{r}}\Delta\phi dV=-\int_{S_{\epsilon}}\phi{{1}\over{r^2}}dS\;</MATH>|12.47}} Równanie {{LinkWzór|12.42}}, na podstawie późniejszych obliczeń i definicji wycinka powierzchni kuli, której powierzchnia jest iloczynem funkcji r² i kata bryłowego d&Omega;, przestawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\langle\Delta{{1}\over{r}},\phi\rangle=-\phi(0)\int {{1}\over{r^2}}r^2d\Omega=-\phi(0)\int d\Omega=-4\pi \phi(0)=-4\pi\langle\delta,\phi\rangle\;</MATH>|12.48}} Wedle rozważań przeprowadzonych powyżej dla dowolnych funkcji &phi; możemy napisać tożsamość wynikającą z przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|12.48}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\left({{1}\over{r}}\right)=-4\pi\delta(r)\;</MATH>|12.49|Obramuj}} == Sploty funkcji uogólnionych == Jak wiadomo dystrybucji nie należy mnożyć przez siebie, ale można określić działanie o charakterze splotu. Zatem splotem dwóch funkcji uogólnionych nazywamy funkcję oznaczoną za pomocą oznaczenia *, i zdefiniowaną równoważnymi wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(f_1*f_2)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy\;</MATH>|12.50}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(f_1*f_2)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(y)f_2(x-y)dy\;</MATH>|12.51}} }} Sprawdźmy, czy splot zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|12.50}} lub wzorem {{LinkWzór|12.51}} są działaniami przemiennymi. W tym celu dokonajmy podstawienia określonego wzorem t=x-y, aby tą przemienność udowodnić: {{CentrujWzór|<MATH>(f_1*f_2)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(y)f_2(x-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x-t)f_2(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}f_2(t)f_1(x-t)dt=f_2*f_1\;</MATH>|12.52}} Inną definicją splotu nazywamy technikę dystrybucyjną napisaną wedle sposobu poniżej. Widzimy, że jest to całka dwóch zmiennych x i y, która określa działanie dystrybucji przy dowolnej funkcję próbnej &phi;(x) zależnej tylko od jednego parametru. {{CentrujWzór|<MATH>\langle f_1*f_2,\phi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}(f_1*f_2)(x)\phi(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}dx f_1(x-y)f_2(y)\phi(x)\;</MATH>|12.53}} Jeśli w równaniu {{LinkWzór|12.53}} dokonamy podstawienia określonego wzorem t=x-y, to tą wspomnianą równość można przepisać po tym podstawieniu wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\langle f_1*f_2,\phi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}dt f_1(t)\int_{-\infty}^{\infty}dy f_2(y)\phi(t+y)\;</MATH>|12.54}} Widząc wzór {{LinkWzór|12.54}} możemy napisać definicję splotu dwóch dystrybucji, czyli splotu dwóch funkcji uogólnionych wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T_1*T_2,\phi\rangle=\langle T_1(x),\langle T_2(y),\phi(x+y)\rangle\rangle\;</MATH>|12.55}} == Iloczyn funkcyjny delty Diraca z pewną ściśle określoną funkcją == Podzielmy funkcję f(x) na mniejsze przedziały, w których ta nasza funkcja jest monotoniczna, te przedziały monotoniczności oznaczamy przez (a_j,b_j). Dla nasz istotne są te przedziały, w którym funkcja f(x) zmienia znak. Jeśli na jakimś przedziale funkcja nie zmienia znaku, to dystrybucja, która jest złożeniem delty Diraca i funkcji f(x) jest równa zero. Z definicji działania względem dowolnej funkcji &phi;: {{CentrujWzór|<MATH>\langle\delta(f(x)),\phi\rangle=\sum_j\int_{a_j}^{b_j}\delta(f(x))\phi(x)dx;</MATH>|12.56}} Na każdej z przedziału funkcję f(x) możemy rozwinąć wokół punktu zerowego (miejsca zerowego) w szereg Taylora w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=f(x_j)+f^'(x_j)(x-x_j)=f^'(x_j)(x-x_j)\;</MATH>|12.57}} Naszym krokiem jest dokonanie podstawienia określonego przez t=f'(x_j)(x-x_j), wtedy wzór {{LinkWzór|12.56}} po dokonaniu tegoż podstawienia możemy przepisać pamiętając, że granicę całkowania zmienią się wedle sposobów p_j=|f'(x_j)|(a_j-x_j), q_j=|f'(x_j)|(b_j-x_j): {{CentrujWzór|<MATH>\langle\delta(f(x)),\phi\rangle=\sum_j{{1}\over{|f^'(x_j)|}}\int_{p_j}^{q_j}\delta(t)\phi\left({{t}\over{f^'(x_j)}}+x_j\right)dt\;</MATH>|12.58}} Górna granica całkowania we wzorze {{LinkWzór|12.58}} jest większa od zera, a dolna jest od jego mniejsza, zatem ta nasza rozważana całka jest równa funkcji &phi;(x_j), w takim przypadku ostatnie obliczenia zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\langle\delta(f(x)),\phi\rangle=\sum_j{{1}\over{|f^'(x_j)|}}\phi(x_j)\Rightarrow \langle\delta(f(x)),\phi\rangle=\sum_j{{1}\over{|f^'(x_j)|}}\langle\delta(x-x_j),\phi(x)\rangle\;</MATH>|12.59}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|12.59}}, możemy napisać tożsamość na złożenie funkcji {{Formuła|<MATH>\delta(f(x))</MATH>}} i funkcji f(x): {{CentrujWzór|<MATH>\delta(f(x))=\sum_j{{1}\over{|f^'(x_j)|}}\delta(x-x_j)\;</MATH>|12.60}} Dla przykładu wykorzystując wzór {{LinkWzór|12.60}} możemy napisać wzór na złożenie delty Diraca &delta;(x) i funkcji f(x)=x²-a² wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x^2-a^2)={{1}\over{2a}}\left(\delta(x-a)+\delta(x+a)\right)\;</MATH>|12.61}} == Przykład funkcji (delty) Diraca == Funkcja rozważana przez Diraca, która jest często używana w mechanice kwantowej jest funkcja, którą jak udowodnimy jest też innym przedstawieniem funkcji Diraca. {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)=\lim_{a\rightarrow \infty}{{\sin ax}\over{\pi x}}\;</MATH>|12.62|Obramuj}} Funkcja Diraca {{LinkWzór|12.62}} opiera się na całce, którą dowodzimy w analizie w teorii całki: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}{{\sin x}\over{x}}dx=\pi\;</MATH>|12.63}} Funkcja zdefiniowana w {{LinkWzór|12.62}} na podstawie już obliczonej całki {{LinkWzór|12.63}} jest funkcją unormowaną do jedynki, tak samo jak standardowa funkcja Diraca: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{a\rightarrow \infty}{{\sin ax}\over{\pi x}}dx={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{a\rightarrow \infty}{{\sin ax}\over{ax}}dax=\begin{Bmatrix} ax=t\\ dax=dt \end{Bmatrix}={{1}\over{\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}{{\sin t}\over{t}}dt={{1}\over{\pi}}\pi=1\;</MATH>|12.64}} Sprawdźmy, czy funkcja przedstawiona przez Diraca {{LinkWzór|12.62}} jest funkcją parzystą, tak jak zwykła definicja tej naszej funkcji: {{CentrujWzór|<MATH>\delta(-x)=\lim_{a\rightarrow \infty}{{\sin a(-x)}\over{\pi (-x)}}=\lim_{a\rightarrow \infty}{{\sin ax}\over{\pi x}}=\delta(x)\;</MATH>|12.65}} Funkcja rozważana przez Diraca na podstawie obliczeń {{LinkWzór|12.65}} jest funkcją parzystą jak przypuszczaliśmy. {{CentrujWzór|<MATH>\delta(-x)=\delta(x)\;</MATH>|12.66|Obramuj}} A zatem przejdźmy do innego dowodu, tzn. że ona jest funkcją osobliwą dla punktu zerowego, czyli dla tego punktu przyjmuje wartość nieskończoną: {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)=\infty\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>x=0\;</MATH>|12.67}} Udowodnijmy warunek {{LinkWzór|12.67}} na podstawie przedstawienia naszej funkcji wedle {{LinkWzór|12.62}} zakładając, że {{Formuła|<MATH>ax<\epsilon</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest dowolnie małe, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\delta(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\delta(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\lim_{a\rightarrow \infty}{{\sin ax}\over{\pi x}}=\lim_{a\rightarrow \infty}\lim_{x \rightarrow 0}{{\sin ax}\over{\pi ax}}a=\lim_{a\rightarrow \infty}{{a}\over{\pi}}=\infty\;</MATH>|12.68}} Funkcja rozważana przez Diraca jest osobliwa w punkcie zerowym i ma okres {{Formuła|<MATH>{{2\pi}\over{a}}</MATH>}} znikającym wraz ze wzrostem wartości x, ale {{Formuła|<MATH>\lim_{a\rightarrow\infty}{{2\pi}\over{a}}=0</MATH>}}, czyli ma okres zerowy, czyli średnia wartość funkcji w dowolnym punkcie nierównym zeru jest wartość zero poza punktem x=0, dla którego dąży do nieskończoności, jak udowodniliśmy. Zatem funkcja {{LinkWzór|12.62}} ma wszystkie własności funkcji Diraca, więc jest nią, co można używać ją w tymże sensie jako funkcję uogólnioną. == Funkcja Heaviside'a == Podamy jeszcze inne własności funkcji Diraca. Napiszmy funkcję schodkową i nazwijmy ją '''funkcją Heaviside'a''' oraz opisując tą funkcję, że dla liczb dodatnich funkcja przyjmuje wartość jeden, a dla liczb ujemnych wartość zero, a dla zera już jest równa połowie jedynki: {{CentrujWzór|<MATH>\theta(\tau)=\begin{cases} 1&\mbox{ dla }\tau>0\\ {{1}\over{2}}&\mbox{ dla }\tau=0\\ 0&\mbox{ dla }\tau<0 \end{cases}\;</MATH>|12.69}} Pochodną funkcji schodkowej {{LinkWzór|12.69}} jest to po prostu delta Diraca, którą jak widzimy, że pochodna naszej omawianej funkcji jest wszędzie równa zero, ale już dla punktu &tau;=0, dla której już jest równa nieskończoność. {{CentrujWzór|<MATH>{{d\theta(\tau)}\over{d\tau}}=\delta(\tau)\;</MATH>|12.70}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> n4oq96qpgklbwk0hhvkkmqczfgb3kf3 0 19955 558629 467573 2026-10-04T22:33:24Z Persino 2851 558629 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdą funkcję, która zmienia się okresowo możemy rozłożyć w szereg sinusów i kosinusów. Takie postępowanie nosi nazwę procedury spektralnej lub harmonicznej. Naszą funkcję możemy rozłożyć w szereg funkcji wykładniczych o urojonych wykładniku potęgi. Takie rozłożenie w szereg Fouriera stosuje się zwykle dla przebiegów czasowych i przestrzennych. == Funkcje uogólnione periodyczne i funkcje próbne w teorii dystrybucji == Oczywiste jest, że dystrybucję f definiujemy przy użyciu funkcji próbnej &phi;. Funkcja zwana dystrybuantą jest definiowana przy pomocy funkcji próbnej, jeśli jest funkcją okresową i jej periodyczność jest określona wzorem f(x+l)=f(x), to działanie na funkcję próbną &phi;(x) będziemy określać w postaci całki, którą dzielimy na najmniejsze przedziały, w której już ta funkcja nie jest funkcją periodyczną i zamiast całki pojawia się suma całek. Korzystając przy tym z okresowości funkcji f, więc jego działanie określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\langle f,\phi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\phi(x)dx=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{nL}^{(n+1)L}f(x)\phi(x)dx=\begin{Bmatrix}x=y-nL\end{Bmatrix}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_0^L f(y-nL)\phi(y-nL)dy=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_0^Lf(y-nL)\phi(y-nL)dy=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_0^L f(y)\phi(y-nL)dy= \int_0^Ldyf(y)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\phi(y-nL)\;</MATH>|13.1}} Na sam koniec otrzymaliśmy nową funkcję próbną w obliczeniach {{LinkWzór|13.1}}, którą nazwiemy &psi;(y), a jej definicją jest: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(y)=\sum_{-\infty}^{\infty}\psi(y+nL)\;</MATH>|13.2}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.1}} działanie funkcji możemy zredukować do postaci poniżej, używając ogólnego symbolu T dystrybuanty. Podwójny znak działania będziemy tutaj określać tutaj dla działania ograniczone do pierwszego okresu. {{CentrujWzór|<MATH>\langle T,\psi\rangle=\langle\langle T,\sum_{n=-\infty}^{\infty}\phi(x+nL)\rangle\rangle=\langle\langle T,\psi\rangle\rangle\;</MATH>|13.3}} == Określenie współczynników Fouriera względem dystrybuanty T == Każdej dystrybucji możemy przepisać pewne współczynniki Fouriera, w której występuje dystrybuanta T(x) zależna tylko od jednej zmiennej iksowej: {{CentrujWzór|<MATH>c_n(T)={{1}\over{L}}\langle\langle T,e^{{{-2\pi inx}\over{L}}}\rangle\rangle={{1}\over{L}}\int_0^LT(x)e^{-{{2\pi inx}\over{L}}}\;</MATH>|13.4}} == Definicja szeregu Fouriera == Szeregiem Fouriera F[T] o periodyczności T i o okresie L nazywamy szereg ze współczynnikami c{{Sub|n}}(T) określaną: {{CentrujWzór|<MATH>F[T]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(T)e^{{{2\pi inx}\over{L}}}\;</MATH>|13.5}} Wykażemy, że szereg określony wzorem {{LinkWzór|13.5}} jest równy samej dystrybucji określanej przez funkcję T, czyli zachodzi na pewno: {{CentrujWzór|<MATH>F[T]=T\;</MATH>|13.6}} Z analizy funkcjonalnej wiadomo, że każdą funkcję możemy przybliżać funkcjami typu {{Formuła|<MATH>\psi(y)=e^{-{{2\pi iny}\over{L}}}\;</MATH>}}, teraz określmy działanie F[T] na funkcją &psi;(y) sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>\langle\langle F[T],\psi\rangle\rangle=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(T)\langle\langle e^{{{2\pi iny}\over{L}}},e^{-{{2\pi imy}\over{L}}}\rangle\rangle= \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(T)\delta_{nm}L=c_m(T)L\;</MATH>|13.7}} Jeśli natomiast podstawimy wzór na współczynniki Fouriera {{LinkWzór|13.4}} do wzoru {{LinkWzór|13.7}}, to otrzymamy równość, z którego coś wywnioskujemy dalej, tzn. zachodzi tożsamość {{LinkWzór|13.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle\langle F[T],\psi\rangle\rangle={{1}\over{L}}\langle\langle T,e^{{{-2\pi inx}\over{L}}}\rangle\rangle L\Rightarrow \langle\langle F[T],\psi\rangle\rangle=\langle\langle T,e^{{{-2\pi inx}\over{L}}}\rangle\rangle=\langle\langle T,\psi\rangle\rangle\;</MATH>|13.8}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|13.8}} udowodniliśmy tożsamość {{LinkWzór|13.6}}, która jest prawdziwa dla dowolnej funkcji próbnej &psi;. == Twierdzenie Bessela-Parsevala == Zakładamy, że mamy dwie funkcje f(y) i g(y), które określać te funkcje będziemy w postaci szeregów określonych wzorami {{LinkWzór|13.5}}, przy założeniu, że jest spełniona tożsamość {{LinkWzór|13.6}}, to: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>f(y)=\sum_m c_m(f)e^{{{2\pi i ym}\over{L}}}\;</MATH>|13.9}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>g(y)=\sum_n c_n(g)e^{{{2\pi i yn}\over{L}}}\;</MATH>|13.10}} }} Mając już szeregi {{LinkWzór|13.9}} i {{LinkWzór|13.10}} możemy określić iloczyn skalarny funkcji f przez g w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\sum_0^L\overline{f}(y)g(y)dy=\sum_m\sum_n\tilde{c}_m(f)c_n(g)\int_0^{L}e^{2\pi i y{{n-m}\over{L}}}=L\sum_n\sum_m\tilde{c}_m(g)c_n(g)\delta_{nm}=\sum_{n}\tilde{c}_n(f)c_n(g)\;</MATH>|13.11}} == Rozwinięcie dowolnej funkcji w szereg sinusów i cosinusów == Bardzo często szereg Fouriera przestawiamy jako szereg funkcji sinus i cosinus. Można to uczynić, gdy funkcję wykładniczą o wykładniku urojonym występującą w szeregu {{LinkWzór|13.5}} można rozłożyć na funkcję kosinus i sinus, co piszemy po tej operacji: {{CentrujWzór|<MATH>T(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cos(2\pi nx/L)+i\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\sin(2\pi nx/L)</MATH>|13.12}} Funkcja cosinus występująca w szeregu {{LinkWzór|13.12}} jest funkcją parzystą, zatem szereg z cosinusami możemy zapisać uproszczonym wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cos(2\pi nx/L)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}c_n\cos(2\pi nx/L)+\sum_{n=-1}^{-\infty}c_n\cos(2\pi x n/L)= c_0+\sum_{n=1}^{\infty}(c_n+c_{-n})\cos(2\pi x n/L)\;</MATH>|13.13}} Podobnie możemy zrobić z szeregiem z sinusami, wiedząc że jest to funkcja nieparzysta: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\sin(2\pi nx/L)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin(2\pi nx/L)+\sum_{n=-1}^{-\infty}c_n\sin(2\pi x n/L)= \sum_{n=1}^{\infty}(c_n-c_{-n})\sin(2\pi x n/L)\;</MATH>|13.14}} Wzór {{LinkWzór|13.12}}, który możemy przestawić w innej postaci przy pomocy obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|13.13}} i w {{LinkWzór|13.14}}, jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>T(x)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}(c_n+c_{-n})\cos(2\pi x n/L)+i\sum_{n=1}^{\infty}(c_n-c_{-n})\sin(2\pi x n/L)\;</MATH>|13.15}} Naszym następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników c{{Sub|0}}, i współczynników stojących przy cosinusach a{{Sub|n}}=c{{Sub|n}}+c{{Sub|-n}}, i współczynników stojących przy sinusach a{{Sub|n}}=c{{Sub|n}}+c{{Sub|-n}} i współczynnika wolnego a{{Sub|0}}=c{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>a_0=c_0={{1}\over{L}}\langle\langle T,1\rangle\rangle\;</MATH>|13.16}} {{CentrujWzór|<MATH>a_n=c _n+c_{-n}={{1}\over{L}}\langle\langle T,e^{-2\pi in x/L}\rangle\rangle+{{1}\over{L}}\langle\langle T,e^{2\pi in x/L}\rangle\rangle={{2}\over{L}}\langle\langle T,\cos(2\pi n y/L)\rangle\rangle\;</MATH>|13.17}} {{CentrujWzór|<MATH>b_n=i(c_n-c_{-n})=i\left[{{1}\over{L}}\langle\langle T,e^{-2\pi in x/L}\rangle\rangle-{{1}\over{L}}\langle\langle T,e^{2\pi in x/L}\rangle\rangle\right]={{2}\over{L}}\langle\langle T,\sin(2\pi n y/L)\rangle\rangle\;</MATH>|13.18}} === Ostateczny wzór na szereg Fouriera i jego współczynniki Fouriera === Szereg otrzymany w punkcie {{LinkWzór|13.15}}, przy uzyskanych współczynnikach a{{Sub|0}} {{LinkWzór|13.16}}, a{{Sub|n}} {{LinkWzór|13.17}} i b{{Sub|n}} {{LinkWzór|13.18}}, możemy zapisać w uproszczonej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>T(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(2\pi x n/L)+i\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(2\pi x n/L)\;</MATH>|13.15a}} * gdzie stałe a{{Sub|0}} , b{{Sub|n}} i c{{Sub|n}} są zdefiniowane w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_0={{1}\over{L}}\int_0^Lf(y)dy\;</MATH>|13.16a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>a_n={{2}\over{L}}\int_0^{L}f(y)\cos(2\pi ny/L)dy\;</MATH>|13.17a}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>b_n={{2}\over{L}}\int_0^Lf(y)\sin(2\pi n y/L)dy</MATH>|13.18a}} }} == Policzalny postęp Fouriera == Policzalny (skończony) szereg Fouriera prosty, ale też jego transformatę odwrotną piszemy wedle przestawień: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{A}_{\nu}={{1}\over{N}}\sum^{N-1}_{n=0}A_ne^{-{{2\pi i\nu n}\over{N}}}\;</MATH>|13.19}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{\nu}=\sum^{N-1}_{n=0}\tilde{A}_ne^{{{2\pi i\nu n}\over{N}}}\;</MATH>|13.20}} }} Aby wykazać, że transformata odwrotna {{LinkWzór|13.20}} jest działaniem odwrotnym do {{LinkWzór|13.19}}, wtedy należy podstawić wzór {{LinkWzór|13.19}} do {{LinkWzór|13.20}}, wtedy powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>A_n={{1}\over{N}}\sum_{m=0}^{N-1}A_m\sum_{\nu=0}^{N-1}e^{-2\pi i\nu(m-n)/N}\;</MATH>|13.21}} W szeregu {{LinkWzór|13.21}} mamy sumę postępu geometrycznego o ilorazie {{Formuła|<MATH>q=\left(e^{2\pi i(n-m)}\right)^{1/N}=1^{1/N}=1\;</MATH>}}. Nasz szereg nasz w postaci zwartej jest równa zero dla n różnego m, a natomiast gdy n=m jest równy jeden. A więc, to mamy drugą sumę szeregu występującego w punkcie {{LinkWzór|13.21}}, która jest równa N&delta;{{Sub|nm}}, w takim razie szereg {{LinkWzór|13.21}} dla naszego przypadku zapisujemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>A_n={{1}\over{N}}\sum_{m=0}^{N-1}A_m N\delta_{nm}=A_{n}\;</MATH>|13.22}} Zatem udowodniliśmy, że transformata {{LinkWzór|13.20}} jest transformatą odwrotną do transformaty {{LinkWzór|13.19}}. Jeśli oznaczymy przez {{Formuła|<MATH>w=e^{2\pi i/N}\;</MATH>}}, wtedy {{Formuła|<MATH>\overline{w}=e^{-2\pi i/ N}=w^{-1}\;</MATH>}}, jeśli oznaczymy elementy macierzy w postaci {{Formuła|<MATH>W_{nm}=w^{mn}\;</MATH>}}, to macierz transformująca z {{Formuła|<MATH>A_n\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>\tilde{A}_n\;</MATH>}} i odwrotnie jest {{Formuła|<MATH>\overline{W}\;</MATH>}}, wtedy wzory wynikające z {{LinkWzór|13.19}} na transformatę prostą {{LinkWzór|13.19}} i wzoru {{LinkWzór|13.20}} na transformatę odwrotną piszemy je razem: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{A}={{1}\over{N}}\overline{W}\cdot A\;</MATH>|13.23}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A=W\tilde{A}\;</MATH>|13.24}} }} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> kryqz35wkdchthwc095h3ruln1tb4r0 0 19957 558630 467574 2026-10-04T22:38:20Z Persino 2851 558630 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Transformaty Fouriera są to transformaty pozwalające na rozkład pewnej funkcji na funkcje harmoniczne. W praktyce bardzo często jest potrzebne określenie transformaty z funkcji, lub z funkcji do transformaty, w takim razie rozważane transformaty są bardzo potrzebne w fizyce i matematyce. == Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji == Transformatę funkcji {{Formuła|<MATH>{\phi}</MATH>}} będziemy oznaczać symbolem {{Formuła|<MATH>\tilde{\phi}\;</MATH>}}, tzn. wzoru na transformatę prostą, a także określmy drugi wzór na transformatę, tzn. na transformatę odwrotną: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx\;</MATH>|14.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\phi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\tilde{\phi}(k)dk\;</MATH>|14.2}} }} W celu przeprowadzenia dowodu, że transformacja {{LinkWzór|14.2}} jest transformatą odwrotną do transformaty prostej {{LinkWzór|14.1}}, napiszmy co się stanie, gdy dokonamy podwójnej transformaty funkcji &phi;(x), w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)={{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ixy}\phi(y)dy\right)dx\;</MATH>|14.3}} Aby umożliwić zamianę kolejności całkowania wprowadźmy funkcję wykładniczą {{Formuła|<MATH>e^{-\epsilon^2x^2}\;</MATH>}}, która jest funkcją wolnozmienną i przy granicy &epsilon; dążącej do zera dąży do jedynki, czyli powinno być: {{CentrujWzór|<MATH>1=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{-\epsilon^2x^2}\;</MATH>|14.4}} Wtedy na podstawie granicy {{LinkWzór|14.4}} tożsamość {{LinkWzór|14.3}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\int_{-\infty}^{\infty}dx e^{-\epsilon^2\left(x^2+{{ix(k+y)}\over{\epsilon^2}}\right)}\;</MATH>|14.5}} Funkcję wykładniczą występującą w całce w równości {{LinkWzór|14.5}} możemy przestawić wedle tożsamości napisanej poniżej, którą to udowodnimy, jak się przekonamy, to są rachunki elementarne przy dowodzie poniższego lematu: {{CentrujWzór|<MATH>e^{-\epsilon^2\left(x^2+ix{{k+y}\over{\epsilon^2}}\right)}=e^{-\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.6}} Następnym krokiem jest udowodnienie tożsamości zapisanej w punkcie {{LinkWzór|14.6}} i jej rozpisanie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2+{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}=\epsilon^2\left(x^2-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^4}}+2i{{x(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)+{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}\;</MATH>|14.7}} Zatem tożsamość {{LinkWzór|14.6}} została udowodniona przy pomocy obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.7}}. Następnym krokiem jest obliczenie całki oznaczonej podanej poniżej, dzięki której przeprowadzimy dalszy krok obliczeń {{LinkWzór|14.5}} wykorzystując fakt {{LinkWzór|14.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-z)^2}dx=\sqrt{{{\pi}\over{a}}}\;</MATH>|14.8}} Dzięki tej całce możemy przejść do dalszego kroku obliczeń wyrażenia {{LinkWzór|14.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{\sqrt{\pi}}\over{4\pi^2\epsilon}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.9}} Mamy tutaj funkcję deltopodobną, która spełnia wszystkie warunki ciągu deltopodobnego, którą określamy wedle wzoru poniżej zależnej od zmiennej y i k: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}(y)={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.10}} Funkcja {{LinkWzór|14.10}} która jest funkcją deltopodobną spełnia całkę {{LinkWzór|12.1|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla &epsilon; dążącego do zera funkcja dla y nierównego -k, przyjmuje wartość zero, tylko dla y=-k wykładnik potęgi jest równy zero, dla której ta funkcja jest równa nieskończoność dla &epsilon; dążącego do zera, zatem ta nasza funkcja deltopodobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia deltopodobną wielkością. Ponieważ funkcja {{LinkWzór|14.10}} jest funkcją deltopodobną, to funkcję zapisaną w punkcie {{LinkWzór|14.9}} możemy przestawić wedle schematu poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)={{1}\over{2\pi}}\phi(-k)\;</MATH>|14.11}} Równanie {{LinkWzór|14.11}} jest bardzo ważnym wynikiem mówiącym, że dwukrotna transformacja Fouriera tej samej funkcji przechodzi w funkcję wyjściową, ale argumentem jest argument przeciwny do k, czyli -k. Ponadto cały wynik jest podzielony przez liczbę 2&pi;. Stąd wniosek, że transformatę odwrotną zapisujemy wedle wzoru {{LinkWzór|14.2}}. == n-te pochodne transformaty Fouriera == Mając wzór {{LinkWzór|14.1}} możemy napisać n-tą pochodną transformacji Fouriera, którą piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\left[{\phi}^{(n)}(k)\right]^T=(-i)^n{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ikx}\phi(x)dx=(-i)^n\left(x^n\phi(x)\right)^T\;</MATH>|14.12}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|14.12}} należy skorzystać, z twierdzenia o indukcji zupełnej. Zatem twierdzenie {{LinkWzór|14.12}} jest spełniona dla n=1, na mocy {{LinkWzór|14.1}}, zatem jeśli twierdzenie {{LinkWzór|14.12}} jest spełnione dla przypadku n, to powinno być spełnione dla przypadku n+1, co można udowodnić różniczkując stronami obie strony równana {{LinkWzór|14.12}}, co otrzymamy twierdzenie, ale dla przypadku n+1. Co kończy dowód naszego twierdzenia. == Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych == Weźmy sobie n-tą pochodną transformacji funkcji &phi;, która jest określona względem zmiennej k, jest ona napisana podobnym wzorem do {{LinkWzór|14.1}}, której to całkę całkujemy przez części n-razy pamiętając, że za każdym razem powstające niecałkowe wyrazy w granicy w nieskończoności są równe zero ze względu na znikanie funkcji próbnych {{Formuła|<MATH>\phi^{(n)}(x)\;</MATH>}} w nieskończonościach: {{CentrujWzór|<MATH>\left[\phi^{(n)}\right]^{T}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi^{(n)}(x)dx=(ik)^n{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx=(ik)^n\tilde{\phi}(k)\;</MATH>|14.13}} Aby zapoznać się z transformatami pochodnej, należy rozwiązać pewien przykład obrazujący prawo {{LinkWzór|14.13}}, zatem napiszmy równanie, od którego będziemy wyznaczać funkcję f poniżej, z której policzymy transformatę Fouriera obu jego stron, w takim razie weźmy przykład: {{CentrujWzór|<MATH>f^{''}+f^{'}+f=g\Rightarrow \tilde{f^{''}}+\tilde{f^{'}}+\tilde{f}=\tilde{g}\;</MATH>|14.14}} Następnym krokiem jest wykorzystanie wzoru {{LinkWzór|14.13}} na n-tą pochodną transformaty funkcji f, z którego wyprowadzimy wzór na transformatę funkcji f, czyli {{Formuła|<MATH>\tilde{f}\;</MATH>}}, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>-k^2\tilde{f}+ik\tilde{f}+\tilde{f}=\tilde{g}\Rightarrow\tilde{f}={{\tilde{g}}\over{-k^2+ik+1}}\;</MATH>|14.15}} Jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|14.2}} i znając transformatę funkcji g, zatem otrzymujemy wzór na funkcję f, którego zamiar mieliśmy wyznaczyć z pierwszego równania {{LinkWzór|14.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}{{\tilde{g}(k)}\over{-k^2+ik+1}}dk\;</MATH>|14.16}} == Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji == Przy liczeniu transformaty iloczynu dwóch funkcji skorzystamy tutaj z podobnego triku podobnego do {{LinkWzór|14.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi_1(x)\phi_2(x)dx= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2-ikx}\phi_1(x)\phi_2(x)dx\;</MATH>|14.17}} Do wzoru {{LinkWzór|14.17}} wstawiamy wzory na transformatę odwrotną przez wzór {{LinkWzór|14.2}}, otrzymując poniższy wzór. W tych obliczeniach zastosujemy również wzór {{LinkWzór|14.6}}, tylko tutaj zamiast k+y występuje -k+k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2-ikx}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik_1x}\tilde{\phi}(k_1)dk_1\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik_2x}\tilde{\phi}(k_2)dk_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2+ix(-k+k_1+k_2)}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2\left(x+i{{\left(-k+k_1+k_2\right)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(-k+k_1+k_2)^2}\over{4\epsilon^2}}}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}}\sqrt{{{\pi}\over{\epsilon^2}}} ={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}} </MATH>|14.18}} W obliczeniach {{LinkWzór|14.18}} występuje funkcja deltopodobna o postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.19}} Funkcja {{LinkWzór|14.19}} spełnia całkę {{LinkWzór|12.1|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla ε dążącego do zera funkcja dla k nierównego k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}}, rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla k=k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}} wykładnik potęgi jest równy zero. Należy jeszcze uwzględnić ε stojący w czynniku przed eksponensem w mianowniku, zatem przy ε dążącym do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, a więc spełnia wszystkie warunki do pretendowania do bycia funkcją deltopodobną. W takim razie możemy napisać {{LinkWzór|14.18}}, korzystając przy tym z {{LinkWzór|12.38|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} na splot funkcji uogólnionych: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1dk_2\tilde{\phi}_1(k_1)\tilde{\phi}_2(k_2)\delta(k-k_1-k_2)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\tilde{\phi}_2(k-k_1)=[\tilde{\phi}_1*\tilde{\phi}_2](k)\;</MATH>|14.20}} Na podstawie tychże przeprowadzonych obliczeń transformata iloczynu dwóch funkcji jest równa splotowi transformaty tychże funkcji. == Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji == Splot dwóch funkcji napisanej wedle jego definicji {{LinkWzór|12.39|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} piszemy wedle schematu poniżej i jak się przekonamy jest ona równa z dokładnością do stałego czynnika iloczynowi transformat funkcji &phi;{{Sub|1}}(k) i &phi;{{Sub|2}}(k): {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1*\phi_2]^{T}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-ikx}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi_1(x-y)\phi_2(y) ={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\phi_2(y)dy\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(x-y)}\phi_1(x-y)d(x-y)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=2\pi\tilde{\phi}_1(k)\tilde{\phi}_2(k)\;</MATH>|14.21}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|14.21}} udowodniliśmy, że transformata splotu funkcji &phi;{{Sub|1}} i funkcji &phi;{{Sub|2}} jest równa iloczynowi transformat z każdej funkcji z osobna omawianych pomnożonej przez liczbę 2&pi;. == Transformata Fouriera iloczynu skalarnego == Z definicji iloczynu skalarnego dwóch transformat i z definicji transformaty funkcji &phi; zapisanej wedle {{LinkWzór|14.1}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\tilde{\phi}}_1(k)\tilde{\phi}_2(k)dk={{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{ikx}\overline{\phi}_1(x)\int_{-\infty}^{\infty}dye^{-iky}\phi_2(y)\;</MATH>|14.22}} Następnym krokiem jest wykorzystanie granicy, którego schemat jest tutaj {{Formuła|<MATH>1=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{-\epsilon^2k^2}\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|14.21}} możemy przekształcić do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{4\pi^2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int^{\infty}_{-\infty}dkdxdye^{-\epsilon^2\left(k^2-{{ik(x-y)}\over{\epsilon^2}}\right)}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(y)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{4\pi^2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int^{\infty}_{-\infty}dkdxdye^{-{{(x-y)^2}\over{4\epsilon^2}}}e^{-\epsilon^2\left(k+i{{x-y}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(y) </MATH>|14.23}} We wzorze {{LinkWzór|14.23}} wykorzystujemy tożsamość całkową {{LinkWzór|14.8}}, wtedy nasz wspomniany wzór przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{4\epsilon\pi\sqrt{\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdte^{-{{t^2}\over{4\epsilon^2}}}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x+t)\;</MATH>|14.24}} Funkcją deltopodobną występującą w obliczeniach {{LinkWzór|14.24}} jest to funkcja zapisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{t^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.25}} Funkcja {{LinkWzór|14.25}} spełnia całkę {{LinkWzór|12.2|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla ε dążącego do zera funkcja dla t nierównego 0, ta nasza rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla t=0 wykładnik potęgi jest równy zero, zatem należy wliczyć ε stojący w czynniku w jego mianowniku przed eksponensem, zatem przy naszym ε dążącej do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, zatem ta nasza funkcja delto-podobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia delto-podobną wielkością. Wtedy obliczenia {{LinkWzór|14.23}} można dokończyć w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdt\delta(t)\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x+t)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x)={{1}\over{2\pi}}(\phi_1,\phi_2)\;</MATH>|14.26}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.26}} i powyżej w tym rozdziale stwierdzamy, że iloczyn skalarny transformaty funkcji &phi;{{Sub|1}} i funkcji &phi;{{Sub|2}} jest równy iloczynowi skalarnemu samych dwóch funkcji tutaj omawianych podzielonej przez liczbę 2&pi;. == Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej == Napiszmy czemu jest równa transformata funkcji przesuniętej &phi;{{Sub|a}}=&phi;(x-a), w takim przypadku z definicji transformaty mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}_a(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\psi_a(a)={{1}\over{2\pi}}e^{-ika}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(x-a)}\psi(x-a)=e^{-ika}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikt}\psi(t)dt=e^{-ika}\tilde{\psi}(x)\;</MATH>|14.27}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.27}} możemy powiedzieć, że transformata funkcji przesuniętej o odcinek „a” wzdłuż osi iksowej jest równa transformacie samej nieprzesuniętej funkcji pomnożonej przez czynnik e{{Sup|-ika}}. == Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej == Ogólnie funkcję parzystą i nieparzystą oznaczamy, gdy ona spełnia własność ogólnie (wybieramy plus gdy mamy do czynienia z funkcją parzystą, a znak minus, gdy mamy do czynienia z funkcją nieparzystą): {{CentrujWzór|<MATH>\phi(-x)=\pm \phi(x)\;</MATH>|14.28}} Wyznaczmy jakie własności spełnia transformata funkcji parzystej i nieparzystej, czyli wykorzystując własności dla tych funkcji {{LinkWzór|14.28}}, w takim wypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(-k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(-k)x}\psi(x)dx=\begin{Bmatrix}y=-x\end{Bmatrix}= -{{1}\over{2\pi}}\int_{\infty}^{-\infty}e^{-iky}\psi(-y)dy={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\psi(-y)dy=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\pm {{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\psi(y)dy=\pm\tilde{\phi}(k)\Rightarrow\tilde{\phi}(-k)= \pm\tilde{\phi}(k)\;</MATH>|14.29}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|14.29}} transformata funkcji parzystej (nieparzystej) jest transformatą parzystą (nieparzystą). == Transformata Fouriera dla dystrybucji == Transformatą Fouriera dystrybucji T nazywamy dystrybucję opisywaną przez własność {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T,\tilde{\phi}\rangle=\langle \tilde{T},\phi\rangle\;</MATH>|14.30}} Jeśli dystrybucja T jest funkcją, to możemy napisać {{CentrujWzór|<MATH>\langle f,\tilde{\phi}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}dxf(x){{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dye^{-ixy}\phi(y)= \int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y){{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-iyx}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\tilde{f}(y)=\langle \tilde{f},\phi\rangle\;</MATH>|14.31}} == Transformata Fouriera delty Diraca == Dowód naszej własności przeprowadzamy na podstawie definicji {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \tilde{\delta},\phi\rangle=\langle \delta,\tilde{\phi}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\tilde{\phi}(x)dx=\tilde{\phi}(0)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\phi(x)dx={{1}\over{2\pi}}\langle 1,\phi\rangle\;</MATH>|14.32}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|14.32}} przedstawiamy transformatę Fouriera delty Diraca jako: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}={{1}\over{2\pi}}\;</MATH>|14.33}} Wynik {{LinkWzór|14.33}} możemy udowodnić przeprowadzając obliczenia tradycyjną metodą przeprowadzoną wedle wzoru {{LinkWzór|14.1}}, w takim przypadku możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\delta(x)dx={{1}\over{2\pi}}e^{ik\cdot 0}={{1}\over{2\pi}}\;</MATH>|14.34}} Transformatę delty Diraca przesuniętej o odcinek „a” wzdłuż osi x przestawiamy na podstawie twierdzenia {{LinkWzór|14.27}}. Wyniku obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.32}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}_a(k)=e^{-ika}\tilde{\delta}(k)\;</MATH>|14.35}} == Transformata Fouriera funkcji stałej == Korzystając z twierdzenia {{LinkWzór|14.11}} możemy powiedzieć, że podwójna transformata delty Diraca jest równa tej samej delcie, ale podzielonej przez 2&pi;, w takim razie, ze względu na parzystość delty Diraca: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\delta}}={{1}\over{2\pi}}\delta(-x)={{1}\over{2\pi}}\delta(x)\;</MATH>|14.36}} Z drugiej strony ten sam dowód możemy przeprowadzić jeszcze raz licząc transformatę obu jego stron według wzoru {{LinkWzór|14.34}}, wtedy na podstawie tego dostajemy własność: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\delta}}={{1}\over{2\pi}}\tilde{1}\;</MATH>|14.37}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|14.36}} i {{LinkWzór|14.37}} dostając bardzo ważną właściwość, że transformata jedynki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{1}=\delta\;</MATH>|14.38}} Na podstawie własności {{LinkWzór|14.38}} możemy powiedzieć, że transformata Fouriera stałej jest równa delcie Diraca. W fizyce często stosuje się umowną wersję definicji delty Diraca, którą zapisujemy wedle sposobów, które są ze sobą równoważne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dk\;</MATH>|14.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}dk\;</MATH>|14.40}} }} Należy pamiętać, że funkcje podcałkowe we wzorach {{LinkWzór|14.39}} i {{LinkWzór|14.40}} nie są zbieżne wedle definicji całki Riemanna. == Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej == Dystrybucją przesunięcia o wartość o „a” nazywamy taka dystrybucją, którą wynikiem działania na funkcję &phi;(x), ale też przesuniętą o „a”, daje nam działanie samej dystrybucji na tą samą funkcji &phi;(x), co zapisujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T(x-a),\phi(x-a)\rangle=\langle T(x),\phi(x)\rangle\;</MATH>|14.41}} Transformatę dystrybucji możemy policzyć wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T_a(k),\phi(k)\rangle=\langle T(x-a),\tilde{\phi}(x)\rangle=\langle T(x),\tilde{\phi}(x+a)\rangle\;</MATH>|14.42}} Następnym krokiem jest napisać transformatę funkcji &phi; przesuniętej o wartość „a”, co w tym przypadku napiszmy transformatę funkcji przesuniętej wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(y+a)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\phi(x+a)dx={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(y+a)}\phi(x)dy={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}\left(e^{-iax}\phi(x)\right)dx=\left[e^{-iax}\phi(x)\right]^{T}(y)\;</MATH>|14.43}} Jeśli wykorzystamy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|14.43}}, wtedy możemy przeprowadzić do końca nasze obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \tilde{T}_a(k),\tilde{\phi}(k+a)\rangle=\langle T(x-a),\tilde{\phi}(x)\rangle=\langle T(x),\tilde{\phi}(x+a)\rangle=\langle T(k),[e^{-iak}\tilde{\phi}(k)]^{T}(y)\rangle =\langle \tilde{T}(k),e^{-iak}\tilde{\phi}(k)\rangle=\langle e^{-ika}\tilde{T}(k),\phi(k)\rangle </MATH>|14.44}} Porównując prawą i lewą stronę obliczeń {{LinkWzór|14.44}} dostajemy stąd bardzo ważny wniosek co do przesunięcia transformaty dystrybuanty T(x), czyli w takim przypadku możemy napisać końcowy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{T}_a(k)=e^{-ika}\tilde{T}(k)\;</math>|14.45}} Porównując wzór {{LinkWzór|14.45}} ze wzorem {{LinkWzór|14.27}} dochodzimy do wniosku, że transformata przesunięcia zwykłej funkcji i przesunięcia transformaty dystrybuanty są to definicje formalnie identyczne. == Transformata Fouriera dla potęgi == Określmy transformatę funkcji potęgowej określonej przez wzór T=x{{Sup|n}}, wykorzystując przy tym definicję transformaty dystrybuanty {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[x^n]^{T},\phi\rangle=\langle x^n,\tilde{\phi}\rangle=\langle 1,x^n\tilde{\phi}\rangle\;</MATH>|14.46}} Następnym krokiem jest wykorzystanie twierdzenia o transformacie n-tej pochodnej, przy tym wykorzystując wzór {{LinkWzór|14.13}}, wtedy możemy otrzymać tożsamość biorąc za k=x: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi^{(n)}]^{T}=(ix)^n\tilde{\phi}\Rightarrow x^n\tilde{\phi}=(-i)^n\phi^{(n)}\;</MATH>|14.47}} Na podstawie przestawionych obliczeń {{LinkWzór|14.47}} możemy dokończyć obliczenia, które przerwaliśmy w punkcie {{LinkWzór|14.46}}, zatem biorąc tożsamość {{LinkWzór|14.38}} i w wyniku końcowych obliczeń dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[x^n]^{T},\phi\rangle=(-i)^n\langle1,[\phi^{(n)}]^{T}\rangle=(-i)^n\langle\tilde{1},\phi^{(n)}\rangle =(-i)^n\langle\delta,\phi^{(n)}\rangle=(-i)^n\langle(-1)^n\delta^{(n)},\phi\rangle=\langle i^n\delta^{(n)},\phi\rangle</MATH>|14.48}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.48}} możemy powiedzieć zdanie: {{CentrujWzór|<MATH>[x^n]^{T}=i^n\delta^{(n)}\;</MATH>|14.49}} Wzór {{LinkWzór|14.49}} otrzymujemy również poprzez n-krotnie różniczkowanie obustronne wzoru {{LinkWzór|14.39}}. == Transformata Fouriera funkcji sinus == Przed dalszym krokiem wyznaczenia transformaty funkcji sinus należy przeprowadzić nasz ciąg obliczeń przy okazji korzystając ze wzoru {{LinkWzór|14.30}} i rozkładając wzór na sinus poprzez funkcje eksponencjalne, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\sin x]^{T}\phi\rangle=\langle \sin x,\tilde{\phi}\rangle={{1}\over{2i}}\left(\langle e^{ix},\tilde{\phi}\rangle-\langle e^{-ix},\tilde{\phi}\rangle\right)\;</MATH>|14.50}} Następnie określmy przesunięcie transformaty funkcji &phi;, wtedy możemy powiedzieć że zachodzą dwa poniższe wzory w zależności od znaku wykładniku potęgi stojącej przy funkcji {{Formuła|<MATH>\tilde{\phi}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>e^{ik}\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k-1)x}\phi(x)dx=\tilde{\phi}(k-1)\;</MATH>|14.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>e^{-ik}\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k+1)x}\phi(x)dx=\tilde{\phi}(k+1)\;</MATH>|14.52}}}} Zatem na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|14.51}} i {{LinkWzór|14.52}} i korzystając z własności {{LinkWzór|14.41}} możemy dokończyć obliczenia przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.50}}. {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\sin x]^T,\phi\rangle={{1}\over{2i}}\left(\langle 1,\tilde{\phi}(k+1)\rangle-\langle 1,\tilde{\phi}(k-1)\rangle\right)={{1}\over{2i}}\left(\langle\tilde{1},\phi(k+1)\rangle-\langle\tilde{1},\phi(k-1)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{1}\over{2i}}\left( \langle \delta(k),\phi(k+1)\rangle-\langle\delta(k),\phi(k-1)\rangle \right)={{1}\over{2i}}\left(\langle\delta(k-1),\phi(k)\rangle-\langle \delta(k+1),\phi(k)\rangle\right) ={{1}\over{2i}}\left(\langle \delta(k-1)-\delta(k+1),\phi(k)\rangle\right)</MATH>|14.53}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.53}} możemy powiedzieć, że porównując skrajne równości we wspomnianych obliczeniach, zatem na podstawie tego dostajemy, że transformata funkcji sin x wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>[\sin x]^T={{1}\over{2i}}\left[\delta(k-1)-\delta(k+1)\right]\;</MATH>|14.54}} == Transformata Fouriera funkcji schodkowej == Funkcję schodkową Heaviside'a &theta;(x) można wyrazić poprzez funkcję znakową wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta(x)={{1}\over{2}}\left(1+\operatorname{sqn} x\right)\;</MATH>|14.55}} Na podstawie przestawienia funkcji schodkowej poprzez funkcję znakową transformata funkcji schodkowej sprowadza się do obliczenia transformaty funkcji znakowej. Wyznaczmy transformatę funkcji znakowej, którą możemy wyznaczyć przy pomocy przy poniższych obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle=\langle \operatorname{sqn},\tilde{\phi}\rangle=\lim_{A\rightarrow \infty}\left[-\int_{-A}^0\tilde{\phi}(k)dk+\int_0^A\tilde{\phi}dk\right]=\lim_{A\rightarrow \infty}\left[\left(-\int_{-A}^{0}+\int_0^A\right)dk{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx\right]\;</MATH>|14.56}} W całce występującej w punkcie {{LinkWzór|14.56}} jest dozwolona zmiana kolejności całkowania, zatem na podstawie tych wspomnień możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle={{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx\phi(x) \left(-\int_{-A}^{0}+\int_0^A\right)e^{-ikx}dk ={{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{-ix}}\left(-2+e^{ixA}+e^{-ixA}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{-ix}}\left(-2+2\cos(xA)\right)</MATH>|14.57}} Dalszym naszym krokiem jest obliczenie całki poniżej, którą jak wykażemy jest równa zero, w takim razie możemy powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)\cos kA}\over{x}}=\begin{Bmatrix}y=xA\end{Bmatrix}= \lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}{{dy}\over{A}}{{A}\over{y}}\phi\left({{y}\over{A}}\right)\cos ydy =\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi\left({{y}\over{A}}\right){{\cos y}\over{y}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\phi(0)\int_{-\infty}^{\infty}dy{{\cos y}\over{y}}=0\;</MATH>|14.58}} Ostatnia całka w obliczeniach {{LinkWzór|14.58}} jest równa zero, dlatego, że funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą. Na podstawie wspomnianych obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.58}}, to obliczenia {{LinkWzór|14.57}} możemy dokończyć do: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle={{1}\over{i\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{x}}=\left\langle{{1}\over{i\pi}}{{1}\over{k}},\phi\right\rangle\;</MATH>|14.59}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.59}} możemy powiedzieć, że zachodzi transformata funkcji znakowej: {{CentrujWzór|<MATH>[\operatorname{sqn}]^T={{1}\over{i\pi k}}\;</MATH>|14.60}} Wedle przestawienia funkcji schodkowej Heaviside'a {{LinkWzór|14.55}} i transformaty funkcji znakowej {{LinkWzór|14.60}} i przestawienia, że transformata jedynki jest zapisana według {{LinkWzór|14.38}}, wtedy powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\theta}(k)={{1}\over{2}}\left[\tilde{1}+[\operatorname{sqn}]^T\right]={{1}\over{2}}\delta(k)-{{i}\over{2\pi k}}\;</MATH>|14.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> s3dqpjfjfwjq2t1qh84ke3b95tb7ydo 0 19969 558631 467575 2026-10-04T22:44:03Z Persino 2851 558631 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Tutaj tylko podamy wstęp do teorii operatorów liniowych, które są bardzo potrzebne w analizie funkcjonalnej, ale najpierw zapoznamy się z definicją iloczynu skalarnego, ten obiekt powinien spełniać własności : {{CentrujWzór|<MATH>(f,f)\geq 0\;</MATH>|15.1}} Wzór {{LinkWzór|15.1}} mówi nam, jakie warunki powinien spełniać iloczyn skalarny dwóch funkcji skalarnych lub wektorowych ale ogólnie zespolonych, jeśli ten iloczyn jest równy zero, to możemy dojść do wniosku, że funkcja f jest równa zero. Następnym bardzo ważnym postulatem jest, że zamienienie dwóch funkcji miejscami w iloczynie skalarnym, to ten nowy wynik jest sprzężonym zespolono z starym wynikiem przed przestawieniem, w takim przypadku drugi postulat: {{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\overline{(g,f)}\;</MATH>|15.2}} Ostatnim warunkiem jest liniowość, że względu na drugi czynnik w tymże obiekcie, co zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>(f,ag+bh)=(a(f,g)+b(f,h)\;</MATH>|15.3}} Jeśli zastosujemy wzór na liniowość drugiego czynnika {{LinkWzór|15.3}} i postulat {{LinkWzór|15.2}}, wtedy dostajemy, że istnieje anty-liniowość ze względu na pierwszy czynnik, co obrazujemy: {{CentrujWzór|<MATH>(af+bh,g)=\overline{a}(f,g)+\overline{b}(h,g)\;</MATH>|15.4}} Gdy mamy iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni kartezjańskiej, to definicja takiego iloczynu jest napisana przez definicję poszczególnych składowych: {{CentrujWzór|<MATH>(A,B)=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\;</MATH>|15.5}} W przestrzeni funkcyjnej często przyjmuje się jako definicję iloczynu skalarnego dla dwóch funkcji zapisanych w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\int_a^b\overline{f(x)}g(x)dx\;</MATH>|15.6}} Kwadrat normy wektora f zapisujemy wedle nastepującej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>||f||^2={(f,f)}\;</MATH>|15.7}} Kwadrat definicji normy funkcji f {{LinkWzór|15.7}}, wynikającego z definicji iloczynu skalarnego {{LinkWzór|15.6}}, określamy dla przestrzeni jednowymiarowej i trójwymiarowej jako normę wektora: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>||f||^2=\int^a_b|f(x)|^2dx\;</MATH>|15.8}}|2={{CentrujWzór|<MATH>||f||^2=\int_{R^3}|f(\vec{r})|^2d^3\vec{r}\;</MATH>|15.9}}}} Odległość dwóch funkcji f i g definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>d(f,g)=||f-g||\;</MATH>|15.10}} Przestrzeń nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg pewnych funkcji ma granicę w tej omawianej przestrzeni, w której określamy daną funkcję. == Iloczyn operatorowy == Iloczynem dwóch operatorów {{Formuła|<MATH>A\cdot Bw</MATH>}} nazywamy operację, której najpierw operator B działa na funkcję w, a potem w ten sposób otrzymanego obiektu wsadzamy do działania operatora A, co ten wynik zapisujmy: {{CentrujWzór|<MATH>(AB)w=A(Bw)\;</MATH>|15.11}} Jeśli n-ta potęga operatora A działa na funkcję w, wtedy jego działanie jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A^nw=A(A...(A(Aw))...)\;</MATH>|15.12}} == Funkcja, w której argumentem jest pewien operator == Załóżmy, że mamy pewną funkcję, w której argumentem nie jest pewna liczba, tylko pewnego rodzaju operator. Przykładem takiej funkcji, w której występuje pewien operator: {{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})={{1}\over{1-\hat{A}}}\;</MATH>|15.13}} Ponieważ jest to funkcja gładka, możemy rozpatrzyć szereg Taylora {{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})=f(0)\hat{1}+f^{'}(0)\hat{A}+{{1}\over{2!}}f^{''}(0)\hat{A}^2+...\;</MATH>|15.14}} Zbieżność szeregu {{LinkWzór|15.14}} nie jest automatyczna, aby był szeregiem zbieżnym należy określić normę naszego operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} należy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>||A||=\operatorname{sup}||\hat{A}f||\mbox{, gdy zachodzi }||f||=1\;</MATH>|15.15}} Funkcję {{LinkWzór|15.14}} możemy liczyć wedle sposobu poniżej, tak się to dzieje, gdy dokonamy rozwinięcia funkcji f(x)=(1-x){{Sup|-1}} w szereg Taylora i do tego operatora wstawiamy operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}}, zatem na podstawie tychże rozważań możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})=(1-\hat{A})^{-1}=\hat{1}+\hat{A}+\hat{A}^2+\hat{A}^3+...\;</MATH>|15.16}} A eksponens pewnego operatora liczymy podobnie jak w przykładzie {{LinkWzór|15.16}}, ale tym razem mamy do czynienia z funkcją, której jest eksonens, której to naszą funkcję e{{Sup|ax}} rozkładamy w szereg Tayllora, a później do niego podstawiamy operator {{Formuła|<MATH>a\hat{A}\;</MATH>}}, co możemy pisać: {{CentrujWzór|<MATH>f(a\hat{A})=e^{a\hat{A}}=\hat{I}+a\hat{A}+{{1}\over{2!}}a^2\hat{A}^2+{ {1}\over{3!}}a^3\hat{A}^3+...\;</MATH>|15.17}} == Wprowadzenie do teorii komutacji i antykomutacji dwóch operatorów == Ogólnie dwa operatory nie są przemiennymi operatorami, tzn. nie zachodzi w ogólności działanie {{Formuła|<MATH>\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}\;</MATH>}}, zatem wprowadźmy definicję komutatora, w których dla dwóch operatorów nazywamy definicję: {{CentrujWzór|<MATH>[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\;</MATH>|15.18}} Dla przykładu policzmy komutator określony dla dwóch operatorów, tzn. operatora mnożenia przez liczbę i operatora różniczkowania, którego obliczenia przeprowadzimy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\left[x,{{d}\over{dx}}\right]=x{{d}\over{dx}}-{{d}\over{dx}}(x)=x{{d}\over{dx}}-x{{d}\over{dx}}-\hat{1}=-\hat{1}\;</MATH>|15.19}} Naszym następnym krokiem jest udowodnienie twierdzenia, której przestawienie jest wedle poniższego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}\;</MATH>|15.20}} Dowód tożsamości {{LinkWzór|15.20}} przestawimy wedle toku obliczeń poniżej, z którego to udowodnimy, że wychodząc z prawej strony obliczeń wspomnianego wzoru przechodzimy do jego lewej strony: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{A}\hat{C}\hat{B}+\hat{A}\hat{C}\hat{B}-\hat{C}\hat{A}\hat{B}=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{C}\hat{A}\hat{B}=[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]\;</MATH>|15.21}} == Definicja operatora sprzężonego == Operatorem sprzężonym {{Formuła|<MATH>\hat{A}^*\;</MATH>}} do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taki operator, którego definicja jest przestawiana przy pomocy pewnych wektorów u i v, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u,v)=(u,\hat{A}^*v)\;</MATH>|15.22}} Następnym krokiem bardzo znanym fizyce, gdy operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest pewną macierzą, a u i v są pewnego rodzaju wektorami pionowymi, jest: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u,v)=\sum_{i,j=1}^n\overline{A}_{ij}\hat{u}_iv_j=\sum_{i,j=1}^n\overline{u}_j\overline{A}^T_{ji}v_i=(u,\overline{A}^Tv)\;</MATH>|15.23}} Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|15.23}} możemy napisać wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\overline{\hat{A}}^T\;</MATH>|15.24}} == Iloczyn operatora i pewnego parametru, a tego sprzężenie == Wykorzystując definicję operatora sprzężonego {{LinkWzór|15.24}} możemy obliczyć wyrażenie {{Formuła|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)\;</MATH>}} dwoma różnymi sposobami, by potem można by je przyrównać łatwo: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)=(u,(\lambda\hat{A})^*v)\;</MATH>|15.25}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)=\overline{\lambda}(\hat{A}u,v)=\overline{\lambda}(u,\hat{A}v)=(u,\overline{\lambda}\hat{A}v)\;</math>|15.26}} }} Możemy przyrównać oba powyższe wzory do siebie, bo one oznaczają to samo, stąd wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A})^*=\overline{\lambda}\hat{A}^*\;</MATH>|15.27}} == Definicja operatora hermitowskiego, czyli operatora samo-sprzężonego == Operatorem samosprzężonym do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</math>}} nazywamy taki operator, który jest równy samemu opisywanemu operatorowi: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\hat{A}\;</MATH>|15.28}} Gdy dany operatorem jest zwykłą macierzą, to warunek {{LinkWzór|15.24}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{A}}^T=\hat{A}\;</MATH>|15.29}} == Definicja operatora odwrotnego == Definicją operatora odwrotnego {{Formuła|<MATH>\hat{A}^{-1}\;</MATH>}} do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taki operator spełniający warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\hat{A}=\hat{I}\;</MATH>|15.30}} Jeśli operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest zwykłą macierzą, to operator odwrotny tegoż operatora (tutaj macierzy) nazywamy macierzą odwrotną znaną z klasycznego kursu algebry. == Definicja operatora unitarnego == Operatorem unitarnym {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy takim operatorem, który po prowadzeniu do iloczynu skalarnego nie zmienia długości norm, wtedy jego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}w,\hat{A}v)=(w,v)\;</MATH>|15.31}} Jeśli wykorzystamy definicję operatora sprzężonego unitarnego określona wedle wzoru {{LinkWzór|15.22}}, wtedy wzór {{LinkWzór|15.31}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}w,\hat{A}\hat{v})=(w,\hat{A}^*\hat{A}v)\;</MATH>|15.32}} Ze wzoru {{LinkWzór|15.31}} i {{LinkWzór|15.32}} wynika, że operator sprzężony od {{Formuła|<math>\hat{A}\;</MATH>}} jest równy operatorowi odwrotnemu, co przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\hat{A}^{-1}\;</MATH>|15.33}} == Elementy macierzowe operatora == Załóżmy, że mamy bazę ortogonalną zdefiniowanej wedle określenia e{{Sub|i}}, w takim przypadku elementami macierzowymi operatora w naszej bazie nazywamy elementy: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ij}=(e_i,\hat{A}e_j)\;</MATH>|15.34}} Transformacją wektorów bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego przy określeniu, przy definicji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}}, określamy jako: {{CentrujWzór|<MATH>e_j^'=\sum_iU_{ij} e_i\Rightarrow B^'=\hat{U}^T\hat{B}\;</MATH>|15.35}} A dowód unitarności operatora {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}} przeprowadzamy w sposób : {{CentrujWzór|<MATH>I=(B^',B^')=(\hat{U}^TB,\hat{U}^TB)=(B,(\hat{U}^*)^T\hat{U}^TB)\;</MATH>|15.36}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|15.36}} możemy napisać, że operator sprzężony, który mówi coś o przejściu z jednego układu do drugiego jest równy operatorowi odwrotnemu do {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}}, co zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{U}^*=\hat{U}^{-1}\;</MATH>|15.37}} Określmy elementy macierzowe operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} w nowej bazie względem elementów tego samego operatora w starej bazie: {{CentrujWzór|<math>A_{mn}^'=(e_m^',\hat{A}e_n^')=\sum_{i,j}\overline{U}_{im}U_{jn}(e_i,\hat{A}e_j)=\sum_{i,j}\overline{U}_{im}U_{jn}A_{ij}=\sum_{i,j}\overline{U}_{mi}^TU_{jm}A_{ij}\;</MATH>|15.38}} Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|15.38}} możemy powiedzieć, że transformacja operatora z jednego układu współrzędnych do drugiego i po jego odwróceniu, określamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^'=\hat{U}^+\hat{A}\hat{U}\;</MATH>|15.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}=\hat{U}\hat{A}^'\hat{U}^{-1}\;</MATH>|15.40}} }} == Definicja śladu operatora == Śladem operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taką liczbą, która jest sumą jego elementów diagonalnych elementów macierzowych operatora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Tr}\hat{A}=\sum_i\hat{A}_{ii}\;</MATH>|15.41}} Wykażemy, że ślad operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest niezmienny od wyboru bazy, w której liczymy elementy macierzowe naszego operatora, możemy to stwierdzenie udowodnić: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Tr}\hat{A}^'=\sum_{m}A^'_{mm}=\sum_{i}\overline{U}^T_{ij}A_{jk}U_{ki}=\sum_{i}U_{ki}\overline{U}^{T}_{ij}A_{jk}=\sum_i\delta_{kj}A_{jk}=\sum_jA_{jj}=\operatorname{Tr}\hat{A}\;</MATH>|15.42}} == Równanie własne, wektory i wartości własne operatora == Równaniem własnym operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} przy oznaczeniach dla wartości własnych &lambda; i wektorów własnych u nazywamy obiekt: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u=\lambda u\;</MATH>|15.43}} == Operatory hermitowskie w zagadnieniu własnym == *W artości własne operatora hermitowskiego mając wartości własne rzeczywiste, co możemy udowodnić pisząc dowód tej własności wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=(u,\lambda u)=(u,\hat{A}u)=(\hat{A}^*u,u)=(\hat{A}u,u)=(\lambda u,u)=\overline{\lambda}\;</MATH>|15.44}} Wedle dowodu przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|15.44}} udowodniliśmy tezę naszego twierdzenia. * Wektory własne są do siebie ortogonalne równania własnego {{LinkWzór|15.44}} dla operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}}, wtedy napiszmy dwa równania własne dla różnych wartości własnych naszego tutaj rozważanego operatora. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u_1=\lambda_1u\;</MATH>|15.45}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u_2=\lambda_2u\;</MATH>|15.46}} }} Równanie {{LinkWzór|15.41}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>u_2^*\;</MATH>}} lewostronnie, a zaś równanie {{LinkWzór|15.42}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>u_1\;</MATH>}} prawostronnie, w takim razie te operacje zapisujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(u_2,\hat{A}u_1)=\lambda_1(u_2,u_1)\;</MATH>|15.47}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u_2,u_1)=\lambda_2(u_2,u_1)\;</MATH>|15.48}} }} Ponieważ operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest operatorem hermitowskim, i korzystając własności {{LinkWzór|15.22}} możemy powiedzieć, że lewe strony równań {{LinkWzór|15.47}} i {{LinkWzór|15.48}} są sobie równe, wtedy możemy odejmując oba te równania od siebie: {{CentrujWzór|<MATH>0=(u_2,u_1)(\lambda_1-\lambda_2)\;</MATH>|15.49}} Dla różnych wartości własnych równania własnego {{LinkWzór|15.43}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>(u_2,u_1)=0\;</MATH>|15.50}} Warunek {{LinkWzór|15.50}} wskazuje, że wektory własne równania {{LinkWzór|15.43}} są do siebie ortogonalne. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> f8rxp9dld3sitduyolrv6ncpu69hnff 0 19974 558632 513423 2026-10-04T22:50:43Z Persino 2851 558632 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W fizyce z reguły każdy układ ma pewne wartości symetrii, które określamy po dokonaniu tejże symetrii układ pozostaje bez zmian. Wpływem działania grup symetrii na pewne układy zajmuje się tutaj dziedzina matematyki zwaną teorią grup i ich reprezentacji. == Warunki jakie musi spełniać para (G,&sdot;), by być grupą == Wybierzmy sobie zbiór G, w którym istnieje działanie, które w wyniku działania dwóch elementów tychże elementów należącej do tego zbioru powstaje element należącej do tej naszej grupy G. * Dla każdych elementów {{Formuła|<MATH>a,b\in G\;</MATH>}} istnieje trzeci element {{Formuła|<MATH>c\in G\;</MATH>}}, które takie działanie dwóch elementów, których w wyniku powstaje trzeci element, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>c=a\cdot b\;</MATH>|16.1}} * W zbiorze G istnieje pewien element neutralny, które w wyniku pomnożenie przez dany element należącej do zbioru G lewostronnie czy prawostronnie powstaje ten sam element, co określamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a\cdot e=a\;</MATH>|16.2}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>e\cdot a=a\;</MATH>|16.3}} }} * Dla każdego elementu a należącego do zbioru G istnieje element odwrotny a{{Sup|-1}}, który przy znajomości elementu neutralnego w zbiorze G określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>a\cdot a^{-1}=a^{-1}a=e\;</MATH>|16.4}} * Działanie określone w zbiorze G dla grupy jest działaniem łącznym, co jest określane: {{CentrujWzór|<MATH>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\;</MATH>|16.5}} == Grupy permutacji == Jest to grupa przekształceń skończonych, który w wyniku działania na l elementów otrzymujemy spermutowany wynik, który w zależności od argumentów wrzuconych do funkcji, różni się kolejnością elementów, lub w szczególności może nie być zmiany kolejności, co mamy do czynienia z permutacją tożsamościową. Określmy permutacja P określoną wedle wzoru na zbiorze n-elementowym należącej do zbioru X, co określamy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>P:X\rightarrow X\mbox{, czyli }P(x_1,x_2,x_3,...x_n)=(x_{j_1},x_{j_2},...,x_{j_n})\;</MATH>|16.6}} Odwzorowanie {{LinkWzór|16.6}} jest działaniem wzajemnie jednoznacznym, zatem istnieje też operacja odwrotna do P. Działaniem grupowym dwóch permutacji określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>(P_1\cdot P_2)(x)=P_1(P_2(x))\;</MATH>|16.7}} Elementem jednostkowym nazywamy permutacją identycznościową, która wyniku operacji {{LinkWzór|16.6}} nie zmienia kolejności wyrazów. Liczba elementów permutacji skończonej jest równa liczbie n! == Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej == Załóżmy, że mamy oś obrotu wyznaczony przez jednostkowy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}}, i obracamy cały układ współrzędnych o kąt &alpha;, w ten sposób otrzymujemy wzór określający nowe współrzędne po obrocie dla danego punktu względem starych współrzędnych przed obrotem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^'=C_{\vec{k}}(\alpha)\vec{r}=(1-\cos\alpha)(\vec{k}\vec{r})\vec{k}+\vec{r}\cos\alpha+(\vec{k}\times\vec{r})\sin\alpha\;</MATH>|16.8}} Inny sposobem obrotu naszego układu współrzędnych jest podanie trzech współrzędnych (&theta;,&phi;,&psi;), które tworzą grupę obrotów określanych jako C(&theta;,&phi;,&psi;). Popatrzmy na wzory {{LinkWzór|4.11|Obrót_układu_współrzędnych}}, {{LinkWzór|4.12|Obrót_układu_współrzędnych}} i {{LinkWzór|4.13|Obrót_układu_współrzędnych}}, a później oznaczmy je po kolei C{{Sub|3}}(&phi;), C{{Sub|1}}(&theta;), C{{Sub|3}}(&psi;). {{CentrujWzór|<MATH>C(\psi,\theta,\phi)=C_3(\psi)C_1(\theta)C_1(\phi)\;</MATH>|16.9}} Jeśli zatem po pewnych omówieniach wstawimy za obroty występujące w punkcie {{LinkWzór|16.9}} odpowiednie macierze, to otrzymamy macierz określoną przez wzór {{LinkWzór|4.15|Obrót_układu_współrzędnych}}. == Translacje, inwersje i odbicia == Translacją jest to operacja polegająca na sztywnym przesunięciu całej przestrzeni o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{t}\;</MATH>}}, co obrazujemy: {{CentrujWzór|<MATH>T:\vec{r}\rightarrow\vec{r}+\vec{t}\;</MATH>|16.10}} Inwersją względem danego punktu nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, w której następuje zmiana znaku naszego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, które to określamy związkiem: {{CentrujWzór|<MATH>I:\vec{r}\rightarrow-\vec{r}\;</MATH>|16.11}} Aby otrzymać macierz inwersji, który działa na wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, to musimy ją napisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>I=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.12}} Odbiciem względem płaszczyzny prostopadłej do wektora {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}} oznaczamy zwykle symbolem &sigma;{{Sub|k}}. Odbicie względem płaszczyzny prostopadłej do osi iksowej oznaczamy przez &sigma;{{Sub|1}}, a odbicie dla osi igrekowej oznaczamy odbicie względem osi prostopadłej do osi igrekowej, podobnie ma się to do osi zetowej, zatem wszystkie te trzy macierze odbicia dla osi iksowej, igrekowej i zetowej określamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_1=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.13}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.14}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.15}} }} == Definicje grupy cyklicznych, a także definicje podgrup i klas == * Grupa cykliczna jest to grupa, której elementy są potęgami pierwszego elementu nieneutralnego wchodzącej w skład grupy, to zbiór, który jest grupą, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>G=\{e, a,a^2,a^3,a^4,...,a^n\}\;</MATH>|16.16}} Przykładem grupy obrotów cyklicznych jest grupa obrotów wokół ustalonej osi o kąty będącego wielokrotnością liczby 2&pi;/n. * Podgrupą nazywamy taki podzbiór H grupy G, którego działania dla poszczególnych elementów tejże grupy nie wychodzą poza granice tejże podgrupy. * Klasa jest to zbiór K elementów danej grupy, który powstaje z jednego elementu b&isin;G, jest to zbiór określony; {{CentrujWzór|<MATH>K=K_a=\{b\cdot a\cdot b^{-1}\in G, b\in G\}\;</MATH>|16.17}} == Grupy symetrii na podstawie molekuły wody == {{Rysunek|Water molecule.svg|swg1|Molekuła wody}} Tutaj zbudujemy pewne działania na grupach symetrii dotyczącej molekuły wody (tlenku wodoru). Struktura przestrzenna cząsteczki wody jest pokazana na rysunku z prawej strony tego rozdziału. Grupy symetrii opisywanej tutaj cząsteczki wody przestawiamy wedle opisów: * e - przekształcenie, które działa w sposób neutralny na dany obiekt i w rezultacie otrzymujemy ten sam obiekt wyjściowy do wejściowego, czyli jest to przekształcenie identycznościowe. * C{{Sub|2}} - jest to przekształcenie, która obraca dany obiekt o 180{{Sup|o}} względem osi pionowej. * &sigma;{{Sub|1}} - jest to przekształcenie, które powoduje odbicie względem płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny rysunku. * &sigma;{{Sub|2}} - jest to przekształcenie powodujące odbicie rysunku względem płaszczyzny w której jest zapisany ten rysunek. Napiszemy w tabeli elementy działające na symetriach e, C{{Sub|2}}, &sigma;{{Sub|1}}, &sigma;{{Sub|2}}, ale działań przeprowadzonych w tabelce nie będziemy udowadniać. {{Tabelka|opcje=width=100%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=5 width=50%|}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|G}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|e}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|C{{Sub|2}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|&sigma;{{Sub|1}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|&sigma;{{Sub|2}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=5 width=50% align=right|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|e}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|C{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|C{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|C{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|C{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Podziały grup na klasy == Każda grupę można podzielić na podzbiory, których zbiory nie pokrywają się ze sobą i działania obsługujące taką grupę nie wychodzą poza zakres tej naszej struktury, którą jest podgrupa. Wybierzmy teraz klasy (opisuje je schemat {{LinkWzór|16.17}}) generowane przez dwa różne elementy a i b, wtedy jeśli te dwie klasy mają wspólne elementy, to powinno zachodzić na pewno {{Formuła|<MATH>gag^{-1}=hbh^{-1}\;</MATH>}}. Z tego wzoru możemy wyznaczyć element b w postaci {{Formuła|<MATH>b=h^{-1}gag^{-1}h</MATH>}}. Stąd widzimy, że mając element "a" możemy wyznaczyć element "b", zatem elementy a i b należą do tej samej grupy, a więc dwa zbiory, które mają elementy wspólne muszą się pokrywać. Rozpatrzmy sobie cząsteczkę amoniaku, która zawiera przekształcenie identycznościowe E, trzy odbicia względem pionowych płaszczyzn przechodzące oczywiście przez oś główną naszej rozważanej cząsteczki i dwusieczną katów w podstawie (&sigma;{{Sub|1}},&sigma;{{Sub|2}},&sigma;{{Sub|3}}), a także zawiera dwa obroty, tzn. pierwszy obrót o 120{{Sup|o}} (C{{Sup|+}}), a także obrót o 240{{Sup|o}} (C{{Sup|-}}). Ta grupa posiada elementy: {{CentrujWzór|<MATH>G=C_{3\nu}=\{E,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,C^+,C^-\}\;</MATH>|16.19}} W naszym rozważaniach w przypadku grupy {{LinkWzór|16.19}} licząc jej elementy odwrotne, co piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_m^{-1}=\sigma_m\mbox{, m=1,2,3}\;</MATH>|16.20}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(C^+)^{-1}=C^{-1}\;</MATH>|16.21}}|3={{CentrujWzór|<MATH>(C^{-})^{-1}=C^+\;</MATH>|16.22}} }} Można udowodnić, że grupa G {{LinkWzór|16.19}} dzieli się na trzy rozłączne klasy, których to klasy piszemy wedle przestawień: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>K_1=\{E\}\;</MATH>|16.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH>K_2=\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}\;</MATH>|16.24}}|3={{CentrujWzór|<MATH>K_3=\{C^+,C^-\}\;</MATH>|16.25}}}} == Reprezentacji struktur, które są grupami == Własności opisywanych symetrii mają swój swoisty sposób, które są zapisywane w przestrzeni położeń R{{Sup|3}} lub pośrednio określone na funkcjach w tej przestrzeni, operacje te zwykle przedstawiamy w macierzowej postaci i nazywać je będziemy reprezentacjami. '''Reprezentacją''' D grupy G jest to zbiór obiektów, które są macierzami kwadratowymi, które są homomorficzne z rozważaną grupą i spełniające podobne własności jak i rozważana grupa. Zgodnie z naszym postulatem możemy powiedzieć: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>D(e)=\{\delta_{ij}\}\;</MATH>|16.26}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>D(a\cdot b)=D(a)D(b)\;</MATH>|16.27}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>D(a^{-1})=D^{-1}(a)\;</math>|16.28}} }} Warunki {{LinkWzór|16.26}}, {{LinkWzór|16.27}} i {{LinkWzór|16.28}} sugerują, że reprezentacje też są grupami. === Grupa symetrii wody === Symetrię molekuły wody już rozważaliśmy w rozdziale {{LinkUstęp|#Grupy symetrii na podstawie molekuły wody}}, tylko tutaj podamy je w macierzowej wersji w rachunku reprezentacji, które są elementami odbicia, w takim razie ich odpowiednikami są macierze: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_1=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.29}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_2=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|16.30}} }} === Grupa symetrii amoniaku === {{Rysunek|Group symmetry of ammonia.svg|swg2|Symetrie cząsteczki amoniaku}} Symetrie cząsteczki amoniaku sprowadzają się do symetrii przekształceń trójkąta równobocznego. Ograniczmy się teraz do płaszczyzny, czyli do dwuwymiarowego układu współrzędnych, a środek umieszczać będziemy w środku geometrycznym trójkąta. Przekształceniami rządzącymi naszym trójkątem równobocznym są to transformacje typu C{{Sub|3&nu;}}, czyli są to transformacje, których omawiana grupa zawiera elementy zapisanej w punkcie {{LinkWzór|16.19}}, zatem w rachunku reprezentacji mamy macierze D(E), D(&sigma;{{Sub|1}}), D(&sigma;{{Sub|2}}), D(&sigma;{{Sub|3}}), D(C;{{Sup|+}}), D(C;{{Sup|-}}): {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>D(E)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.31}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>D(\sigma_1)=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.32}}|3={{CentrujWzór|<MATH>D(\sigma_2)=\begin{bmatrix} {{1}\over{2}}&-{{\sqrt{3}}\over{2}}&0\\ -{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.33}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>D(\sigma_3)\begin{bmatrix} {{1}\over{2}}&{{\sqrt{3}}\over{2}}&0\\ {{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>D(C^+)=\begin{bmatrix} -{{1}\over{2}}&{{\sqrt{3}}\over{2}}&0\\ -{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.35}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>D(C^-)=\begin{bmatrix} -{{1}\over{2}}&-{{\sqrt{3}}\over{2}}&0\\ {{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.36}} }} == Wstęp do reprezentacji równoważnej == Dwie reprezentacje D i D{{Sup|<nowiki>'</nowiki>}} nazywamy równoważnymi, jeśli istnieje taka macierz A, dla a&isin;G, dla której macierz A jest taka sama dla wszystkich elementów grupy, zatem przekształcenie między reprezentacjami równoważnymi przestawiamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>D^'(a)=AD(a)A^{-1}\;</MATH>|16.37}} == Wstęp do reprezentacji przywiedlnych == Reprezentacja jest reprezentacją przywiedlną, jeśli istnieje ściśle określona macierz S, w której to reprezentacji D(a) tą całą macierz możemy przekształcić do postaci klatkowej za pomocą transformacji równoważnej {{LinkWzór|16.37}}, gdzie a&isin; G, a jeśli nie da się tego zrobić, to reprezentację nazywamy nieprzywiedlną. {{CentrujWzór|<MATH>D^'(a)=S^{-1}D(a)S=\begin{bmatrix} D_1(a)&0&0&\cdots&0\\ 0&D_2(a)&0&\cdots&0\\ 0&0&D_3(a)&\cdots&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&D_m(a)\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|16.38}} Rozkład reprezentacji na reprezentacje nieprzywiedlne nazywamy sumą prostą tychże reprezentacji i zapisujemy go: {{CentrujWzór|<MATH>D(a)=D_1\oplus D_2\oplus...\oplus D_m(a)\;</MATH>|16.39}} Dla przykładu symetrii molekuły amoniaku określamy przez dwie macierze nieprzywiedlne D{{Sub|1}}(a) i D{{Sub|2}}(a), dla każdego elementu grupy G, czyli dla elementów składających się na tą grupę, wiedząc że zachodzi {{LinkWzór|16.31}}, {{LinkWzór|16.32}}, {{LinkWzór|16.33}}, {{LinkWzór|16.34}}, {{LinkWzór|16.35}} i macierzy {{LinkWzór|16.36}}, zatem na podstawie tego: {{Tabelka|opcje=width=100%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|E}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|&sigma;{{Sub|3}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|C{{Sup|+}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|C{{Sup|-}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|D{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|D{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}{{1}\over{2}}&-{{\sqrt{3}}\over{2}}\\-{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}{{1}\over{2}}&{{\sqrt{3}}\over{2}}\\{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}-{{1}\over{2}}&{{\sqrt{3}}\over{2}}\\-{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}-{{1}\over{2}}&-{{\sqrt{3}}\over{2}}\\{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej == Jeśli reprezentacja D(a) nieprzywiedlna komutuje z pewną macierzą A, to ta macierz jest prost proporcjonalna do macierzy jednostkowej, co powiemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>[A,D(a)]\Rightarrow AD=DA\;</MATH>|16.39a}} Załóżmy, że macierz A ma wartości własne i jednej wartości własnej odpowiada kilka wektorów własnych, zatem to równanie własne zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>Au=\lambda u\;</MATH>|16.40}} Na podstawie własności {{LinkWzór|16.40}} (równanie własne operatora A) i {{LinkWzór|16.39}} (komutacji macierzy A z reprezentacji D(a)) możemy w takim razie napisać obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>A[D(a)u]=D(a)[Au]=D(a)[\lambda u]=\lambda[D(a)u]\Rightarrow A=\lambda E\;</MATH>|16.41}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|16.41}} możemy napisać własność dla macierzy A, dla której zachodzi A=&lambda;E, i która jest pokazana we wspomnianych obliczeniach. == Dowód lematu Schura == Niech mamy dwie reprezentanty D{{Sup|1}} i D{{Sup|2}}, które są reprezentantami nierównoważnymi i nieprzywiedlnymi grupy G, działający oczywiście w przestrzeniach L{{Sub|1}} i L{{Sub|2}}. Operator liniowy odwzorowuje przestrzeń L{{Sub|2}} w przestrzeń L{{Sub|1}} spełnia własność: {{CentrujWzór|<MATH>D^{1}(a)A=AD^{2}(a)\mbox{, }a\in G\;</MATH>|16.42}} To macierz A jest macierzą zerową. W celu dowodu powyższego lematu, załóżmy, że wymiar przestrzeni L{{Sub|1}} jest większy od wymiaru przestrzeni L{{Sub|2}}, zatem oznaczmy przez M obraz powstały wyniku działania macierzy A na przestrzeń L{{Sub|2}}, wtedy jest oczywiste, żeby tak zachodziło musi być M&isin;L{{Sub|1}}. Zbiór ten M jest przestrzenią niezmienniczą względem operatora D{{Sub|1}}. Jeśli wykorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|16.42}}, to możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>D^1M=D^1AL_2=AD^2L_2\subset M\;</MATH>|16.43}} Zatem przestrzeń M pokrywa się w przestrzenią L{{Sub|1}}, co przeczy twierdzeniu o wymiarach, bo zakładaliśmy, że wymiar przestrzeni L{{Sub|1}} jest większy od wymiary przestrzeni L{{Sub|2}}, zatem dochodzimy do wniosku, że macierz A jest macierzą zerową (A=0). == Pełne przedstawienie twierdzenia o ortogonalności == Weźmy dwie nieprzywiedlne reprezentacje, które będziemy oznaczać wskaźnikami &alpha; i &beta;, wybierzmy dla naszych dwóch reprezentacji odpowiednie macierze reprezentujące, tzn. macierze D{{Sup|&alpha;}}{{Sub|ij}} oraz D{{Sup|&beta;}}{{Sub|ij}}, to rozważmy iloczyn skalarny dwóch reprezentacji zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>(D_{ij}^{\alpha},D_{ml}^{\beta})=\sum_{a\in G}D_{ij}^{\alpha}(a){D}_{ml}^{\beta}(a)\;</MATH>|16.44}} Okazuje się, że tak zdefiniowany iloczyn skalarny na reprezentacjach jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(D_{ij}^{\alpha},D^{\beta}_{ml}\right)={{n}\over{d_{\alpha}}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{im}\delta_{jl}\;</MATH>|16.45}} * gdzie: * n - to ilość elementów grupy, którą reprezentuje reprezentanta. * d{{Sub|&alpha;}} -to wymiar przestrzeni grupy, którą reprezentuje dana reprezentanta. '''Dowód faktu''' {{LinkWzór|16.45}} przestawiamy poniżej w tym rozdziale. Załóżmy, że przestrzenie, której wymiar wskazuje reprezentacja ze wskaźnikiem &alpha; od reprezentacją ze wskaźnikiem &beta; ma większy wymiar (d{{Sub|&alpha;}}>d{{Sub|&beta;}}), zatem na podstawie tego zbudujmy macierz A wedle schematu poniżej i zapisując jednocześnie bardziej szczegółowo wskazując na jego elementy A{{Sub|im}}: {{CentrujWzór|<MATH>A=\sum_{b\in G}D^{\alpha}(b)BD^{\beta}(b^{-1})\Rightarrow A_{im}=\sum_{b\in G}\sum_{p,q}D_{ip}^{\alpha}(b)B_{pq}D^{\beta}_{qm}(b^{-1})\;</MATH>|16.46}} Aby udowodnić, czy spełnione jest twierdzenie Schura {{LinkWzór|16.42}} dla dwóch różnych reprezentacji, takich że macierz B jest przekształceniem przestrzeni L{{Sub|&beta;}} w przestrzeń L{{Sub|&alpha;}}, co udowodnimy, że zachodzi A=0, zatem musimy udowodnić, czy zachodzi ogólnie {{LinkWzór|16.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>D^{\alpha}(a)A=\sum_{b\in G}D^{\alpha}(a)D^{\alpha}(b)BD^{\beta}(b^{-1})=\sum_{b\in G}D^{\alpha}(ab)BD^{\beta}((ab)^{-1}a)= \left(\sum_{b\in G}D^{\alpha}(ab)BD^{\beta}((ab)^{-1})\right)D^{\beta}(a)=AD^{\beta}(a)\;</MATH>|16.47}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|16.47}} udowodniliśmy, że macierz A spełnia warunek {{LinkWzór|16.42}}, zatem macierz A jest równa zero. Jeśli obierzemy macierz, którego elementy macierzy B można zapisać wedle: {{CentrujWzór|<MATH>B_{pq}=\delta_{jp}\delta_{lq}\;</MATH>|16.48}} Na podstawie definicji elementów macierzy B, czyli według {{LinkWzór|16.48}}, że macierz A jest zerowa dla innego &alpha; i &beta;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{b\in G}D^{\alpha}_{ij}D^{\beta}_{lm}(b^{-1})\;</MATH>|16.49}} Następną częścią dowodu jest założenie, że obie reprezentacje są jednakowe, tzn. &alpha;=&beta;, również też zachodzi dowód dla tego przypadku {{LinkWzór|16.47}}, które to udowodniliśmy, nie wiedząc jakie wartości przyjmuje &alpha; i &beta;, więc gdy obie te liczby są równe, to nie wiemy jakie wartości przyjmuje macierz A, zatem korzystając z twierdzenia udowodnionego w tym module w rozdziale {{sr|#Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej|b=tak}}, a w nim {{LinkWzór|16.39}}, zatem należy powiedzieć, jak udowodniono tam, że macierz A jest macierzą jednostkową pomnożonej przez stałą według {{LinkWzór|16.41}}, wtedy macierz: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ii}=d\lambda=\sum_{b\in G}\sum_{p,q}D_{ip}(b)B_{pq}D^{-1}_{qi}(b)=\sum_{b\in G}\sum_{p,q}B_{pq}(D^{-1}(b)D(b))_{qp}= \sum_{b\in G}\sum_{p,q}B_{pq}\delta_{qp}=\sum_{b\in G}\sum_p B_{pp}=\sum_p\sum_{b\in G}B_{pp}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n\sum_p B_{pp}\;</MATH>|16.50}} Elementy macierzy B przestawimy w takiej postaci jak w punkcie {{LinkWzór|16.48}}, co na podstawie tego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_pB_{pp}=\sum_{p}\delta_{jp}\delta_{lp}=\delta_{jl}\;</MATH>|16.51}} Wtedy do wzoru {{LinkWzór|16.50}} podstawiając do niego otrzymaną tożsamość {{LinkWzór|16.51}}, wtedy dostajemy związek: {{CentrujWzór|<MATH>d\lambda=\sum_{b\in G}\sum_{p,q}D_{ip}(b)B_{pq}D^{-1}_{qi}(b)=n\delta_{jl}\Rightarrow \lambda={{n}\over{d}}\delta_{jl}\;</MATH>|16.52}} Ale ponieważ macierz A jest macierzą jednostkową pomnożonej przez stałą &lambda;, wtedy dochodzimy po wstawieniu do niej definicji macierzy A{{Sub|im}} poprzez definicję parametru &lambda; określonego w punkcie {{LinkWzór|16.52}}, wtedy elementy macierzy A są w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_{im}=\lambda \delta_{im}={{n}\over{d}}\delta_{jl}\delta_{im}\;</MATH>|16.53}} Elementy macierzy A zapisane wedle wzoru {{LinkWzór|16.46}} przy definicji macierzy B {{LinkWzór|16.48}} i po wykorzystaniu warunku {{LinkWzór|16.49}} dla &alpha; nierównego &beta; i wzoru {{LinkWzór|16.53}} dla &alpha;=&beta;, wtedy dla dowolnego &alpha; i &beta; możemy zapisać wzór łączące oba te dwa przypadki: {{CentrujWzór|<MATH>A_{im}\rightarrow\sum_{b\in G}D^{\alpha}_{ij}(b)D^{\beta}_{lm}(b^{-1})={{n}\over{d}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{jl}\delta_{im}\;</MATH>|16.53a}} Zwykle mamy do czynienia z reprezentacjami unitarnymi, zatem macierz D{{Sup|-1}}(b) można zastąpić macierzą transponowaną, i która jest sprzężona jeszcze sensie zespolonym. mając wzór {{LinkWzór|16.53a}} po wykorzystaniu naszych wniosków wcześniej ostatnio powiedzianych, otrzymujemy {{LinkWzór|16.45}}. == Reprezentacje i jego charaktery == Charakter oznaczamy przez symbol &chi; i jego definicja jest taka, że jest to ślad reprezentacji D(a): {{CentrujWzór|<MATH>\chi(a)=\operatorname{Tr} D(a)=\sum_{ll}D_{ll}(a)\;</MATH>|16.54}} Na podstawie twierdzenia {{LinkWzór|15.37|Wprowadzenie_do_teorii_operatorów_liniowych}} charaktery nie zależą od bazy, którego reprezentacje są liczone. Zbiór charakterów opisanych wzorem {{LinkWzór|16.54}}, których liczba jest taka sama jak i elementów grupy G, zatem zbiór charakterów tworzy n-wymiarowy wektor, którego to zapis: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=(\chi(a_1),\chi(a_2),...,\chi(a_n))\;</MATH>|16.55}} Jeśli będziemy rozpatrywać grupę symetrii amoniaku, którego to macierze zapisane są w punkcie [[#Wstęp do reprezentacji przywiedlnych|Wstęp do reprezentacji przywiedlnych]], biorąc reprezentację D{{Sub|1}} jako jednowymiarowy wektor, wtedy według tej samej tabelki charakter jest zawsze równy jeden, co zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^1(g)=1\;</MATH>|16.56}} Następnie biorąc reprezentację dwuwymiarową D{{Sub|2}} grupy symetrii amoniaku, wtedy na podstawie tego charaktery dla tej reprezentacji są przestawione wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2(E)=2\;</MATH>|16.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2(\sigma_m)=0\mbox{ (m=0,1,2,3)}\;</MATH>|16.57a}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2(C^{\pm})=-1\;</MATH>|16.58}} }} == Ortogonalna właściwość charakterów == Udowodnimy, że iloczyn skalarny dwóch charakterów charakteryzujące dwie różne reprezentacji przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>(\chi^{\alpha},\chi^{\beta})=\sum_{a\in G}\chi^{\alpha}(a)\chi^{\beta}(a)=\sum_{i,l}\sum_{a\in G}D^{\alpha}_{ii}(a)D_{ll}^{\beta}(a)=0\;</MATH>|16.59}} Iloczyn charakterów zapisanych wedle wzoru {{LinkWzór|16.59}} na podstawie wielkiego twierdzenia ortogonalności na reprezentantach, czyli według wzoru {{LinkWzór|16.45}} jest równy zero, dla &alpha; różnego &beta;. Wyznaczmy normę reprezentacji &chi;{{Sub|&alpha;}}, i wykorzystując wzór {{LinkWzór|16.45}}, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>||\chi^{\alpha}||^2=\sum_{i,l}{{n}\over{d_{\alpha}}}\delta_{il}\delta_{il}={{n}\over{d_{\alpha}}}\sum_{il}\delta_{il}\delta_{il}= {{n}\over{d_{\alpha}}}d_{\alpha}=n\;</MATH>|16.60}} == Reprezentacje przywiedlne i jego charaktery == Wiadomo, że na podstawie {{LinkWzór|16.38}} reprezentację przywiedlną można przestawić jako sumę prostą reprezentacji nieprzywiedlnych, w której dana reprezentacja może się powtarzać m{{Sub|&alpha;}}, to charakter całej reprezentacji przywiedlnej, po rozkładzie jej na reprezentacje nieprzywiedlne jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(a)=\sum_{\alpha}m_{\alpha}\chi^{\alpha}(a)\;</MATH>|16.61}} == Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji == Grupowy kwadrat charakteru danej reprezentacji jest równy modułowi charakterowi całej reprezentacji przywiedlnej, czy według wzorowi określonego wzorem {{LinkWzór|16.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>||\chi||^2=\left(\sum_{\alpha}m_{\alpha}\chi^{\alpha},\sum_{\beta}m_{\beta}\chi^{\beta}\right)=\sum_{\alpha,\beta}m_{\alpha}m_{\beta}(\chi^{\alpha}, \chi^{\beta})=\sum_{\alpha,\beta}m_{\alpha}m_{\beta}n\delta_{\alpha\beta}=n\sum_{\alpha}m_{\alpha}^2\;</MATH>|16.62}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|16.62}} kwadrat charakteru reprezentacji przywiedlnej dla określonego "a" jest równy sumie kwadratów współczynników m{{Sub|&alpha;}}, który to wskazuje na ilość powtarzającej się danej reprezentacji nieprzywiedlnej w rozkładzie reprezentacji przywiedlnej na sumą prostą reprezentacji nieprzywiedlnych, pomnożone przez liczbę n. Na podstawie tychże rozważań dochodzimy, że jeśli dana reprezentacja jest przywiedlna, to kwadrat skalarny jej charakteru jest większy niż n. == Charaktery grup przemiennych i jego reprezentacje == Przykładami grup przemiennych są to obroty wokół pewnej osi i translację przestrzenne. Reprezentacje takich grup są reprezentacjami przemiennymi, które ta przemienność jest napisana przez poniższą równość: {{CentrujWzór|<MATH>D(a)D(b)=D(ab)=D(ba)=D(b)D(a)\;</MATH>|16.63}} Na podstawie twierdzenia udowodnionego w rozdziale [[#Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej|Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej]] i z wniosku {{LinkWzór|16.63}} możemy wnioskować, że wszystkie operatory reprezentacji nieprzywiedlnych są operatorami jednostkowymi pomnożonej przez pewną stałą &lambda;, znaczy to, że wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze są to przestrzenie jednowymiarowe, jeśli będziemy rozpatrywać reprezentację unitarne, możemy wtedy tą stałą napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=e^{i\alpha}\;</MATH>|16.64}} Gdy mamy doczynienia z translakcjami, to parametr &alpha; jest iloczynem liczby k i translacji x, czyli &alpha;=kx, zatem nasz charakter naszej reprezentacji przesunięcia dla reprezentacji nieprzywiedlnych piszemy wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^k(x)=e^{ikx}\;</MATH>|16.65}} Dla grup obrotów C{{Sub|n}} liczba &alpha; jest tak zdefiniowana by była wielokrotnością liczby 2&pi;/n, w takim przypadku parametr &alpha; definiujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha={{2\pi}\over{n}}m\mbox{ (m=0,1,2,3,.,,n-1)}\;</MATH>|16.66}} Oczywiste jest, że taki wybór parametru &alpha; {{LinkWzór|16.66}} zapewnia jednoznaczność dla obrotu o kąt pełny. Ale w obrębie jednej reprezentacji możemy dokonywać obroty będące krotnością l-tą kąta 2&pi;/n, w takim przypadku charakterem m-tym nazywamy liczbę przestawioną: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^{m}(l)=e^{i2\pi lm/n}\mbox{ (l,m=01,2,3,..,n-1)}\;</MATH>|16.67}} Jeśli mamy grupę C{{Sub|&infin;}}, dopuszczalne są obroty o dowolny kąt, wtedy charakter danej reprezentacji nieprzywiedlnych piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^m(\phi)=e^{im\phi} \mbox{ (}m\in C\mbox{)}\;</MATH>|16.68}} Ostatni wzór jest wzorem do reprezentacji grup obrotów sfery. Wzór {{LinkWzór|16.67}} przechodzi we wzór {{LinkWzór|16.68}}, gdy m/n zastąpimy liczbą rzeczywistą. == Definicja iloczynu reprezentacji == Często w fizyce dwa układy opisujemy różnymi wzorami, np. powłoki elektronowe i jadra, które są opisywane różnymi zmiennymi. Łączna grupa symetrii takiego naszego układu jest iloczynem albo kartezjańskim lub prostym, czyli dwóch symetrii związanych z określanymi podukładami jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>G=G_1\times G_2=\{(g_1,g_2):g_1\in C_1, g_2\in C_2\}\;</MATH>|16.69}} Ten sam zapis stosujemy stosujemy dla każdej reprezentacji naszej rozważanej grupy: {{CentrujWzór|<MATH>D(g)=D_1(g_1)\times D_2(g_2)\;</MATH>|16.70}} Mnożyć oczywiście możemy niekoniecznie różne reprezentacje tej naszej grupy wedle symetrii danego układu. Charakter reprezentacji {{LinkWzór|16.70}} nazywamy iloczynem ogólnie dwóch charakterów reprezentacji danych dwóch grup: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(g)=\chi_1(g_1)\chi_2(g_2)\;</MATH>|16.70a}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> eg9yob3hiu3oylws3u508qa4npxg1ic 0 19992 558633 467577 2026-10-04T22:52:15Z Persino 2851 558633 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Punktem wyjścia rachunku wariacyjnego jest pewien obrany funkcjonał L, którego argumentami są funkcje specyficzne dla danego problemu. Funkcjonał L ma zwykle postać całki oznaczonej po pewnym przedziale dla funkcji podcałkowej zależącego od argumentu x: {{CentrujWzór|<math>L[y]=\int_{a}^{b}F(x,y(x),y^'(x))dx\;</MATH>|17.1}} Funkcjonał w rachunku wariacyjnym jest zazwyczaj nieliniowy, tzn. spełnia nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>L[py_1+qy_2]\neq pL[y_1]+qL[y_2]\;</MATH>|17.2}} Funkcjonał napisanej wedle we wzoru {{LinkWzór|17.1}} nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla podkreślenia faktów i dla uniknięcia nieporozumień nawias kwadratowy po L jest oznaczeniem, że mamy do czynienia z funkcjonałem, w której to w nawiasie występuje funkcja y, której to szukamy w rachunku wariacyjnym. == Wariacje funkcji i funkcjonału == Wariacja funkcjonału funkcji y będziemy umownie oznaczać przez &delta;y i nazywamy tą wielkość jako różnicę funkcji y{{Sub|1}} i funkcji y, to oznaczamy matematycznie: {{CentrujWzór|<MATH>\delta y=y_1-y\;</MATH>|17.3}} Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to, że maksymalna wartość {{LinkWzór|17.3}} modułu z wielkości {{LinkWzór|17.3}} przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>||\delta y||=\operatorname{max}|y_1(x)-y(x)|<<1\;</MATH>|17.4}} Wariację funkcjonału L, czyli &delta;y definiujemy podobnie jak w przypadku różniczki funkcji df wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>L[y+\delta y]-L[y]=\delta L[y,\delta y]+0(\delta y)\;</MATH>|17.5}} Ostatni człon oznacza resztę, która jest małą wielkością wyższego rzędu, ze względu na przyrost funkcji y == Ekstremum funkcjonału == Funkcjonał uzyskuje minimum dla funkcji y{{Sub|o}}, jeśli funkcjonał funkcji y, czyli L[y] jest większy niż funkcjonał funkcji dla naszej wspomnianej funkcji y{{Sub|o}}, czyli L[y{{Sub|o}}]: {{CentrujWzór|<MATH>L[y]\geq L[y_o]\;</MATH>|17.6}} Analogicznie również definiujemy maksimum naszego badanego tutaj funkcjonału. Warunkiem koniecznym istnienia funcjonału jest znikanie funkcjonału L dla tutaj funkcji szukanej y, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\delta L[y_0,\delta y_0]=0\;</MATH>|17.7}} == Równanie Eulera-Lagrange'a == Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji y{{Sub|o}} i dalej weźmy funkcję y, która różni się od funkcji y{{Sub|0}} niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=y{{Sub|o}}+&delta;y Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b, jest równa zero, co matematycznie &delta;y(a)=&delta;y(b)=0 na końcach, w których liczymy naszą całkę {{LinkWzór|17.1}}, zatem wariacje &delta;y' i &delta;y są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y{{Sup|'}}(x)| i |y{{Sub|0}}(x)|, co matematycznie piszemy je dla x&isin;(a,b) równaniami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|\delta y(x)|<<|y_0(x)|\;</MATH>|17.8}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|\delta y^'(x)|<<|y^'(x)|\;</MATH>|17.9}} }} Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem zmiennych &delta;y i &delta;y' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia: {{CentrujWzór|<MATH>F(x,y,y^')=F(x,y_0,y_0^')+{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'\;</MATH>|17.10}} Funkcję {{LinkWzór|17.10}} wstawiamy do funkcjonału określonego w punkcie {{LinkWzór|17.1}} i w drugiej całce dokonujemy całkowania poprzez części względem argumentu x, i zakładając, że wariacja funkcji y jest równa zero w naszych punktach, zatem na podstawie tego: {{CentrujWzór|<MATH>\delta L=\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta ydx+\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'dx= \int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta ydx+\left({{\partial F}\over{\partial y^'}}\right)\delta y(x)\Bigg|^b_a-\int_a^b{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta ydx\;</MATH>|17.11}} Drugi wyraz w przeprowadzonych obliczeniach {{LinkWzór|17.11}} znika na podstawie warunku granicznego na końcach przedziału (a,b), dla której wariacja funkcji y znika. Szukamy taką funkcję y dla której wariacja &delta; L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y, zatem na podstawie tego możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta L=\int_a^b\left[{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\right]\delta y dx\;</MATH>|17.12}} Funkcja podcałkowa w punkcie {{LinkWzór|17.12}} jest zawsze równa zero, dla dowolnie małego &delta;, zatem w takim przypadku zachodzi równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}=0\;</MATH>|17.13}} == Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ == Funkcja we funkcjonale L[y] {{LinkWzór|17.1}}, w której występuje funkcja F możemy rozszerzyć, gdy nasz badany układ ma pewne więzy, zatem nową funkcję F{{Sup|*}} tworzymy pisząc to za pomocą mnożników (czynników) Lagrange'a, zatem ta funkcja: {{CentrujWzór|<MATH>F^*=F+\sum_j\lambda_j\phi_j\;</MATH>|17.14}} Mając już nową funkcję {{LinkWzór|17.14}} i aby wyznaczyć funkcję szukaną y, należy podstawić tą wspomnianą funkcję do {{LinkWzór|17.1}} i w ten sposób możemy określić funkcjonał L{{Sup|*}}, i wtedy dla tak obranego funkcjonału możemy wykorzystać na samym końcu wzór {{LinkWzór|17.13}} wynikająca zerowania się wariacji funkcjonału odpowiadającemu funkcji F{{Sup|*}}, wtedy to równanie różniczkowe możemy wykorzystać do znalezienia naszej szukanej funkcji y(x). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ozwprblx7wfgq0opi3jq7585306ahvz 0 20199 558634 513424 2026-10-04T22:53:45Z Persino 2851 558634 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W wielu zastosowaniach technicznych, a w szczególności w teorii obwodów elektrycznych spotykamy się z transformacjami Laplace'a, które są odpowiednikiem transformacji Fouriera. Funkcje, które stanowią bazę transformacji Laplace'a, które zaczęto je nazywać oryginałami. == Definicja transformaty prostej Laplace'a == Transformatą L[f] oryginału f jest to funkcja zależna od oryginału f(t), która to z kolei zależy od zmiennej "t", którą określamy: {{CentrujWzór|<MATH>L[f(t)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt\;</MATH>|18.1}} Zwykle transformatę funkcji f, czyli L[f(t)] oznaczamy symbolem {{Formuła|<MATH>\tilde{f}(s)\;</MATH>}}. == Przykłady transformat Laplace'a == Tutaj podamy transformaty Laplace'a dla wielu funkcji elementarnych, które możemy wyznaczyć z prostych reguł całkowania z analizy matematycznej. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Lp.'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Oryginał f'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Transformata {{Formuła|<MATH>\tilde{f}\;</MATH>}}'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{1}\over{s}}\;</math>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>t^a\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{\Gamma(a+1)}\over{s^{a+1}}}\mbox{ }(a>-1)\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>e^{-\lambda t}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{1}\over{s+\lambda}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|4}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>e^{-\lambda t}t^a\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{\Gamma(a+1)}\over{(s+\lambda)^{a+1}}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>\sin\omega t\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{\omega}\over{s^2+\omega^2}}\mbox{ }(\omega>0)\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|6}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>\cos\omega t\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{s}\over{s^2+\omega^2}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>t^n\sin\omega t\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>n!{{\operatorname{Im}(s+i\omega)^{n+1}}\over{(s^2+\omega^2)^{n+1}}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|8}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>t^n\cos\omega t\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>n!{{\operatorname{Im}(s+i\omega)^{n+1}}\over{(s^2+\omega^2)^{n+1}}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|9}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>\sinh\omega t\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{\omega}\over{s^2-\omega^2}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|10}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>\cosh\omega t\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{s\over{s^2-\omega^2}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|11}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{e^{-at}}\over{\sqrt{\pi t}}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>{{1}\over{\sqrt{s+a}}}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Transformacja odwrotna == Jeśli znamy transformatę funkcji {{Formuła|<MATH>\tilde{f}\;</MATH>}}, którą wyliczyliśmy dla funkcji f według wzoru {{LinkWzór|18.1}}, to funkcję f(t) można wyznaczyć korzystając ze: {{CentrujWzór|<MATH>f(t)={{1}\over{2\pi i}}\int^{x+i\infty}_{x-i\infty}e^{zt}\tilde{f}(z)dz\;</MATH>|18.2}} * gdzie z=x+iy i dz=idy. Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|18.2}}, który omawia przejście z transformaty Laplace'a z funkcji {{Formuła|<MATH>\tilde{f}(z)\;</MATH>}} do funkcji f(t), którą to transformatę wyznaczamy z powyższego wzoru, zatem przejdźmy do właściwego etapu dowodu. Do transformaty odwrotnej Laplace'a podstawiamy wzór na jego transformatę prostą Laplace'a i w rezultacie mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int^{x+i\infty}_{x-i\infty}e^{zt}\tilde{f}(z)dz=i\int_{-\infty}^{\infty}e^{(x+iy)t}dy\int_0^{\infty}e^{-(x+iy)\tau}f(\tau)d\tau =i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau) d\tau\int_{-A}^{A}e^{iy(t-\tau)}dy=\;</MATH><BR><MATH>= i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\left[{{e^{iA(t-\tau)}-e^{-iA(t-\tau)}}\over{i(t-\tau)}}\right]^A_{-A}= i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau{{2\sin A(t-\tau)}\over{t-\tau}}=\;</MATH><BR><MATH> =2\pi i\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\lim_{A\rightarrow\infty}{{\sin A(t-\tau)}\over{\pi(t-\tau)}}</MATH>|18.3}} Funkcja napisana wewnątrz wzoru {{LinkWzór|18.3}} jest deltą Diraca. którego to określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\delta(t-\tau)=\lim_{A\rightarrow\infty}{{\sin A(t-\tau)}\over{\pi(t-\tau)}}\;</MATH>|18.4}} Na podstawie definicji delty Diraca, tym razem przestawionego w punkcie {{LinkWzór|18.4}}, która występuje w obliczeniach {{LinkWzór|18.3}}, i według właściwości delty Diraca możemy dokończyć te nasze obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>2\pi i\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\delta(t-\tau)=2\pi i \int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=2\pi i f(t)\;</MATH>|18.5}} Na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie {{LinkWzór|18.5}} i {{LinkWzór|18.4}} udowodniliśmy, że transformata odwrotna, która jest przestawiona wzorem {{LinkWzór|18.2}} jest transformatą odwrotną do transformaty prostej zapisaną wzorem {{LinkWzór|18.1}}. == Transformata Laplace'a pochodnej == We wzorze {{LinkWzór|18.1}} podstawimy, zamiast funkcji f(t) funkcję f'(t), to całkując tak otrzymany wzór przez części dostajemy obraz: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-st}f'(t)dt=f(t)e^{-st}\Bigg|_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}f^'(t)dt=-f(0)+s\tilde{f}(s)\;</MATH>|18.6}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|18.6}} transformata pochodnej funkcji f(s) przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{f}^'(s)=s\tilde{f}(s)-f(0)\;</MATH>|18.7}} Analogicznie wyprowadzamy transformatę drugiej pochodnej, którą to określamy przeprowadzając jednocześnie obliczenia wykorzystując wzór {{LinkWzór|18.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{f}^{''}(s)=s\tilde{f}^'(s)-f^'(0)=s^2\tilde{f}(s)-sf(0)-f^'(0)\;</MATH>|18.7a}} == Transformata Laplace'a całki z oryginału == Określmy funkcję pierwotną z oryginału, którym jest całka, która dla argumentu t=0 jest równa zero, co wynika z definicji całki: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=\int_0^{t}f(\tau)d\tau\;</MATH>|18.8}} Wyznaczmy transformatę funkcji F(t) określoną wzorem {{LinkWzór|18.8}}, zatem te obliczenia możemy przeprowadzić jako: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-st}F(t)dt=-{{1}\over{s}}e^{-st}F(t)\Bigg|_0^{\infty}+{{1}\over{s}}\int_0^{\infty}e^{-st}F'(t)dt={{1}\over{s}}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt={{\tilde{f}(s)}\over{s}}\;</MATH>|18.9}} W drugiej równości w obliczeniach {{LinkWzór|18.9}} pierwszy wyraz jest równy zero, bo F(0)=0 i {{Formuła|<MATH>\lim_{t\rightarrow\infty}e^{-st}=0\;</MATH>}}. Według przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|18.9}} transformata powyżej całki jest przestawiana: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{F}(t)={{\tilde{f}(s)}\over{s}}\;</MATH>|18.10}} == Transformata funkcji przesuniętej == Jeśli transformatą funkcji f(t) jest funkcja {{Formuła|<MATH>L[f(s)]\;</MATH>}}, to oczywiste jest, że transformatą funkcji f(t-a) jest funkcja f_a(t), którą liczymy: {{CentrujWzór|<MATH>L[f_a(s)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t-a)dt=\int_0^{\infty}e^{-s(t-a)-sa}f(t-a)dt=e^{-sa}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt=e^{-sa}\tilde{f}(s)\;</MATH>|18.11}} == Transformata funkcji f(at) dla a>0 == Wyznaczamy transformatę funkcji f(at) dokonując podstawienia u=at, by potem policzyć transformatę szukanej funkcji: {{CentrujWzór|<MATH>L[f(at)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(at)dt={{1}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-{{s}\over{a}}at}f(at)d(at)={{1}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-{{s}\over{a}}u}f(u)d(u)={{1}\over{a}}\tilde{f}\left({{s}\over{a}}\right)\;</MATH>|18.12}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8nyg2macqjhn661um96wz8ywhkalswt 0 20213 558635 467579 2026-10-04T22:54:27Z Persino 2851 558635 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Równania różnicowe, są to pewne związki rekurencyjne, które określają wartość danego wyrazu w sposób niebezpośredni - pośrednio, przez wyrazy go poprzedzające. Mogą to być ciągi: liczbowe, funkcyjne, a nawet i wektorowe. Indeksy mogą być numerowane liczbami naturalnymi lub całkowitymi. W naszych obliczeniach ograniczymy się do zmiennej jednej funkcji jednej zmiennej. == Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu == Równanie różnicowe liniowe, pierwszego rzędu, możemy zapisać równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}-a_ny_n=b_n\;</MATH>|19.1}} Wszystkie współczynniki występujące we wzorze {{LinkWzór|19.1}} są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej ''n'' jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną, tak określoną: {{CentrujWzór|<MATH>z_m={{y_m}\over{a_1a_2...a_{m-1}}}\;</MATH>|19.2}} Wzór na zmienną y{{Sub|m}} wyznaczoną ze wzoru {{LinkWzór|19.2}} podstawiamy do równania różnicowego {{LinkWzór|19.1}} i, dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a{{Sub|1}}a{{Sub|2}}...a{{Sub|n}}, dostajemy schemat: {{CentrujWzór|<MATH>z_{n+1}a_1a_2..a_{n}-z_na_na_1a_2...a_{n-1}=b_n \quad \Rightarrow \quad z_{n+1}-z_n={{b_n}\over{a_1}a_2...a_n}\Rightarrow z_{n+1}-z_n=c_n\mbox{,}\quad c_n={{b_n}\over{a_1a_2...a_n}}\;</MATH>|19.3}} Ogólnym rozwiązaniem z{{Sub|n}} równania różnicowego wynikającym z końcowego związku {{LinkWzór|19.3}} jest równanie: {{CentrujWzór|<MATH>z_n=C+c_1+c_2+..+c_{n-1}\;</MATH>|19.4}} Z równania {{LinkWzór|19.4}} możemy wyznaczyć y{{Sub|m}} wynikające z równania {{LinkWzór|19.2}}. Procedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle nie trzeba się do niej uciekać, bo wystarczy rozpisać kilka pierwszych wyrazów na y{{Sub|m}} i stąd wyznaczyć ogólne wyrażenie na ten wyraz. == Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego == Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego rzędu drugiego, który często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+2}-ay_{n+1}+by_n=0\;</MATH>|19.5}} Rozwiązania tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej: {{CentrujWzór|<MATH>y_m=\lambda^m\qquad m=0,1,2,n,n+1,n+2,..\;</MATH>|19.6}} Rozwiązanie {{LinkWzór|19.6}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|19.5}}, i dzieląc tak otrzymane równanie przez &lambda;{{Sup|m}}, dochodzimy do równania kwadratowego: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2-a\lambda+b=0\;</MATH>|19.7}} Z równania {{LinkWzór|19.7}} możemy otrzymać parametr &lambda;, który przedstawia się w postaci dwóch wzorów zależnych od stałych a i b występujących w równaniu {{LinkWzór|19.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{1,2}={{1}\over{2}}\left(a\pm\sqrt{a^2-4b}\right)\;</MATH>|19.8}} Ogólnym rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}} jest równanie: {{CentrujWzór|<MATH>y_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\;</MATH>|19.9}} Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli &lambda;=&lambda;{{Sub|1}}=&lambda;{{Sub|2}}, to rozwiązaniem równania różnicowego {{LinkWzór|19.5}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>y_n=(C_1+nC_2)\lambda^n\;</MATH>|19.10}} Aby sprawdzić, czy rzeczywiście {{LinkWzór|19.10}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.5}}, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego {{LinkWzór|19.7}} jest równy zero, podstawiamy nasze rozwiązanie do równania różnicowego i po podzieleniu przez &lambda;{{Sup|n}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>(C_1+(n+2)C_2)\lambda^2-a(C_1+(n+1) C_2)\lambda+b(C_1+n C_2)=0\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+C_2[(n+2)\lambda^2-a(n+1)\lambda+bn]=0\Rightarrow C_1(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2n(\lambda^2-a\lambda+b)+C_2\lambda(2\lambda-a)=0\;</MATH>|19.11}} Równanie {{LinkWzór|19.11}} jest rozwiązaniem prawdziwym na mocy równania kwadratowego {{LinkWzór|19.7}} i wartości parametru {{Formuła|<MATH>\lambda={{1}\over{2}}a\;</MATH>}}, gdy rozwiązaniem tego równania {{LinkWzór|19.7}} są dwa jednakowe pierwiastki. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 5z0my9a9nloj0vx2hqdne3i43e4969f 0 20222 558636 513425 2026-10-04T22:59:46Z Persino 2851 558636 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wprowadźmy operator {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} i pewną funkcję {{Formuła|<MATH>\psi(\underline{x})\;</MATH>}}, której argumenty {{Formuła|<MATH>\underline{x}\;</MATH>}} są elementami n-wymiarowej przestrzeni. Załóżmy, że: {{Formuła|<MATH>\psi(\underline{x})\;</MATH>}}, jest rozwiązaniem pewnego '''równania''' niejednorodnego omawianego operatora, które to równanie możemy przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}\psi(\underline{x})=K(\underline{x})\;</MATH>|20.1}} Zakładamy, że operator {{Formuła|<MATH>\hat{O}^{-1}\;</MATH>}} posiada operator odwrotny. Działając lewostronnie równość {{LinkWzór|20.1}} przez nasz '''operator odwrotny''' do {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} dostajemy równoważne do poprzedniego równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\underline{x})=\hat{O}^{-1}K(\underline{x})\;</MATH>|20.2}} Jeśli skorzystamy z własności funkcji Diraca, czyli z własności {{LinkWzór|12.1|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}}, to wyrażenie {{LinkWzór|20.2}} możemy zapisać równoważnie w postaci całki po lewej stronie - co wynika z własności delty Diraca: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\underline{x})=\int K(\underline{x}^')\hat{O}^{-1}\delta^n(\underline{x}-\underline{x}^')d^n\underline{x}^'\;</MATH>|20.3}} '''Funkcją Greena''' nazywamy wyrażenie, które jest iloczynem operatorowym odwrotności operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} i n-wymiarowej funkcji Diraca, zapisując tę funkcję według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>G(\underline{x}-\underline{x}^')=\hat{O}^{-1}\delta^n(\underline{x}-\underline{x}^')\;</MATH>|20.4|Obramuj}} Również z funkcji Greena (definicja {{LinkWzór|20.4}}) możemy wyznaczyć n-wymiarową '''deltę''' (funkcję) '''Diraca''' z definicji funkcji Greena, wtedy jest ona iloczynem operatorowym operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} i funkcji Greena, zależną od dwóch n-wymiarowych argumentów: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}G(\underline{x}-\underline{x}^')=\delta^n(\underline{x}-\underline{x}^')\;</MATH>|20.5}} Biorąc wyrażenie {{LinkWzór|20.3}} i korzystając z definicji funkcji Greena {{LinkWzór|20.4}}, oraz mając na uwadze, że funkcja {{Formuła|<MATH>\psi(\underline{x})\;</MATH>}} jest szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego {{LinkWzór|20.1}}, wtedy otrzymamy rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\underline{x})=\int K(\underline{x}^')G(\underline{x},\underline{x}^')d\underline{x}^'\;</MaTH>|20.6}} Niech rozwiązaniami równania jednorodnego operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} będą funkcje &psi;{{Sub|0}} spełniające: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}\psi_0(\underline{x})=0\;</MATH>|20.7}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|20.1}} jest suma rozwiązania {{LinkWzór|20.6}} i rozwiązania jednorodnego operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} {{LinkWzór|20.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\underline{x})=\psi_0(\underline{x})+\int K(\underline{x}^')G(\underline{x}-\underline{x}^')d^n\underline{x}^'\;</MATH>|20.8|Obramuj}} Oczywiste jest, że funkcja własna {{LinkWzór|20.8}} jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|20.1}}. Udowodnijmy to, korzystając przy tym z własności {{LinkWzór|20.7}}, a zatem przejdźmy do właściwego dowodu, wstawiając wyrażenie {{LinkWzór|20.8}} do równości {{LinkWzór|20.1}} do jej lewej strony: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}\psi(\underline{x})=\hat{O}\left(\psi_0(\underline{x})+\int K(\underline{x}^')G(\underline{x}-\underline{x}^')d^n\underline{x}^'\right)=\underbrace{\hat{O}\psi_0(\underline{x})}_{=0}+\hat{O}\int K(\underline{x}^')G(\underline{x}-\underline{x}^')d^n\underline{x}^'=\hat{O}\int K(\underline{x}^')G(\underline{x}-\underline{x}^')d^n\underline{x}^'\;</MATH>|20.9}} W {{LinkWzór|20.9}} z korzystamy z definicji funkcji Greena {{LinkWzór|20.4}}, wtedy nasze wyrażenie ma się: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}\psi(\underline{x})=\hat{O}\int K(\underline{x}^')\hat{O}^{-1}\delta^n(\underline{x}-\underline{x}^')d^n\underline{x}^'=\int K(\underline{x}^')\delta^n(\underline{x}-\underline{x}^')d^n\underline{x}^'=K(\underline{x})\;</MATH>|20.10}} Doszliśmy do wniosku (a korzystaliśmy z definicji delty Diraca), że z lewej strony {{LinkWzór|20.1}} dochodzimy do jej prawej strony pomocy obliczeń {{LinkWzór|20.10}}, zatem funkcja {{LinkWzór|20.7}} jest rozwiązaniem równania niejednorodnego {{LinkWzór|20.1}}. == Problem funkcji Greena dla oscylatora harmonicznego == W problemie oscylatora harmonicznego mamy równanie różniczkowe, a wiedząc że nasz układ drga z częstotliwością &omega;, możemy to równanie różniczkowe na opisywany ruch przestawić jako: {{CentrujWzór|<MATH>u^{''}+2\gamma u^{'}+\omega_0^2u={{F}\over{m}}\;</MATH>|20.11}} Operatorem {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} nazywamy operator, który przestawiamy na podstawie definicji równania różniczkowego {{LinkWzór|20.11}} dla oscylatora, którego drgania są wymuszane względem siły zewnętrznej F: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}={{d^2}\over{dt^2}}+2\gamma{{d}\over{dt}}+\omega_0^2\;</MATH>|20.12}} Aby policzyć funkcję Greena należy skorzystać z jej definicji zapisanej w punkcie {{LinkWzór|20.4}} i z definicji wersji całkowej funkcji Diraca {{LinkWzór|14.39|Wstęp_do_transformacji_Fouriera}}. W takim przypadku możemy napisać funkcję Greena używając definicji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}}, uzyskując dla {{Formuła|<MATH>t\neq 0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>G(t)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{1}\over{\hat{O}e^{it\omega}}}d\omega={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{e^{-it\omega}d\omega}\over{-\omega^2+2i\gamma \omega+\omega_0^2}}=\begin{Bmatrix}x=-\omega t\\dx=-td\omega \end{Bmatrix}=\sgn(t){{t}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{e^{ix}dx}\over{-x^2-2i\gamma t x+\omega_0^2t^2}}\;</MATH>|20.13}} Rozważmy pomocniczą całkę i wykażemy, że ona jest równa całce {{LinkWzór|20.13}} dla {{Formuła|<MATH>t\neq 0\;</MATH>}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>J(t)=\sgn(t){{t}\over{2\pi}}\oint_C {{e^{iz}dz}\over{-z^2-2i\gamma t z+\omega_0^2t^2}}\;</MATH>|20.14}} wtedy musimy policzyć punkty osobliwe w całce zespolonej {{LinkWzór|20.14}}, wtedy rozwiązując równość kwadratową -z{{Sup|2}}+2i&gamma;t z+&omega;{{Sub|0}}{{Sup|2}}t{{Sup|2}}=0 występująca w tej całce mamy: {{CentrujWzór|<MATH>z_{\pm}={{-2i\gamma t \mp\sqrt{-4\gamma^2t^2+4\omega_0^2t^2}}\over{-2}}=\pm t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}+it\gamma\;</MATH>|20.15}} Niech mamy t>0. Bo wybraliśmy całkowanie po konturze w górnej półpłaszczyźnie bo pierwiastki {{LinkWzór|20.15}} leżą w górnej półpłaszczyźnie, całka po konturze C sprowadza się do całki po odcinku {{Formuła|<MATH>(-\infty,\infty)\;</MATH>}} dla {{Formuła|<MATH>R\rightarrow \infty;\;</MATH>}}, a tym konturem C jest prosta o odcinku (-R,R) i półokrąg łączący punkt (R,0) z punktem (-R,0) w górnej półpłaszczyźnie, a całka po półokręgu jak udowodnimy jest równa zero co mamy dowieść, zatem zastępując {{Formuła|<math>z\;</math>}} przez {{Formuła|<MATH>R\cos\alpha+i\sin\alpha\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\left|\oint_C {{e^{iz}dz}\over{-z^2-2i\gamma t z+\omega_0^2t^2}}\right|\leqslant\lim_{R\rightarrow\infty}\int_0^{\pi}{{\left|e^{iR\cos(\theta+\pi)-R\sin(\theta+\pi)}\right|}\over{|z|\left|1-{{z_+}\over{|z|}}\right|\left|1-{{z_-}\over{|z|}}\right|}} \left|dz\right|\leqslant\lim_{R\rightarrow\infty}{{1}\over{R^2}}\int_0^{\pi}\left|e^{-iR\cos\theta}\right|e^{-R\sin\theta}Rd\theta \leqslant\;</MATH>{{Br}}<MATH>\leqslant \lim_{R\rightarrow\infty}{{1}\over{R}}\int_0^{\pi}e^{-R\sin\alpha}d\theta\leqslant\lim_{R\rightarrow\infty}{{2}\over{R}}\int_0^{{{\pi}\over{2}}}e^{-R{{2}\over{\pi}}\theta}d\theta=\lim_{R\rightarrow\infty}{{2}\over{R}}(-1){{\pi}\over{2R}}\int_0^{{{\pi}\over{2}}}e^{-R{{2}\over{\pi}}\theta}d\left(-R{{2}\over{\pi}}\theta\right)=\lim_{R\rightarrow\infty}(-1){{\pi}\over{R^2}}\left(e^{-R}-1\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\lim_{R\rightarrow\infty}{{\pi}\over{R^2}}\lim_{R\rightarrow\infty}(1-e^{-R})=0\;</MATH>|20.16}} Zatem całka po półokręgu od {{Formuła|<MATH>(R,0)\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>(-R,0)\;</MATH>}} jest równa zero, zatem dla {{Formuła|<math>t>0\;</math>}} zatem prawdziwe jest zamienienie całki po odcinku (-R,R) {{LinkWzór|20.13}} na kontur w {{LinkWzór|20.14}}, bo wtedy zachodzi G(t)=J(t). Wtedy residuum funkcji sprowadza się dla pierwszego bieguna według definicji residuum {{LinkWzór|8.33|Wprowadzenie_do_funkcji_zespolonej}} w całce {{LinkWzór|20.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Res}f=\mp e^{-\gamma t}{{e^{\pm it\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}}\over{2t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}}\;</MATH>|20.17}} Co w tym przypadku funkcja Greena sprowadza się na podstawie policzonej residuum funkcji {{LinkWzór|20.17}}: {{CentrujWzór|<MATH>G(t)={{t}\over{2\pi}}(2\pi i)(-1){{e^{-\gamma t}}\over{2t\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}}\left(e^{it\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}-e^{-it\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}\right)=e^{-\gamma t}{{\sin t \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}\over{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}}\;</MATH>|20.18}} Zgodnie z lematem Jordana, w przypadku tak obranego konturu, by znajdował się on na górnej półpłaszczyźnie, tzn. dla takiego t<0, że mamy J(t)=0 w całce {{LinkWzór|20.14}}, bo na górnej półpłaszczyźnie nie ma biegunów dla tego t według {{LinkWzór|20.15}} bo bieguny znajdują się w dolnej półpłaszczyźnie, możemy powiedzieć, że całka {{LinkWzór|20.14}} J(t) jest równa całce {{LinkWzór|20.13}}, czyli G(t)=J(t), a więc funkcja Greena się zeruje, co zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>G(t)=0\mbox{ }t<0\;</MATH>|20.19}} Dla t=0 funkcja Greena sprowadza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>G(0)=\lim_{t\rightarrow 0}{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{{1}\over{\hat{O}e^{it\omega}}}d\omega={{1}\over{2\pi}}\lim_{t\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}{{e^{-it\omega}d\omega}\over{-\omega^2+2i\gamma \omega+\omega_0^2}}={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} {{d\omega}\over{-\omega^2+2i\gamma\omega+\omega_0^2}}\;</MATH>|20.20}} Rozważmy pomocniczą całkę i wykażemy, że ona jest równa całce {{LinkWzór|20.19}} dla t=0: {{CentrujWzór|<MATH>J(0)={{1}\over{2\pi}}\oint_C {{dz}\over{-z^2-2i\gamma z+\omega_0^2}}\;</MATH>|20.21}} Bieguny funkcji podcałkowej {{LinkWzór|20.21}} są równe rozwiązaniu dwumianu kwadratowego -z{{Sup|2}}+2i&gamma; z+&omega;{{Sub|0}}{{Sup|2}}=0: {{CentrujWzór|<MATH>z_{\pm}={{-2i\gamma \pm\sqrt{-4\gamma^2+4\omega_0^2}}\over{-2}}=\mp \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}+i\gamma\;</MATH>|20.22}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|20.22}} bieguny znajdują się w górnej półpłaszczyźnie, policzmy, czy całka po konturze {{LinkWzór|20.21}} sprowadza się całce po odcinku <MATH>(-\infty,\infty)\;</MATH>, czyli policzmy oszacowanie czy całka po półokręgu się zeruje: {{CentrujWzór|<MATH>|J(0)|\leqslant {{1}\over{2\pi}}\lim_{R\rightarrow \infty}\int_0^{\pi}{{|dz|}\over{|z|^2\left|1-{{z_-}\over{|z|}}\right|\left|1-{{z_+}\over{|z|}}\right|}}\leqslant {{1}\over{2\pi}}\lim_{R\rightarrow \infty}\int_0^{\pi}{{Rd\theta}\over{R^2}}=\lim_{R\rightarrow \infty} {{\pi}\over{2\pi R}}=\lim_{R\rightarrow \infty}{{1}\over{2R}}=0</MATH>|20.23}} Co dowód {{LinkWzór|20.23}} pokazuje, że całka {{LinkWzór|20.21}} sprowadza się do całki {{LinkWzór|20.20}}, czyli G(0)=J(0). Policzmy residuum całki {{LinkWzór|20.21}}, na podstawie biegunów {{LinkWzór|20.22}}, a więc do roboty: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Res}f=\pm {{1}\over{2\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}}\;</MATH>|20.24}} A sama funkcja Greena {{LinkWzór|20.20}} przedstawia się na podstawie residuum {{LinkWzór|20.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>G(0)={{1}\over{2\pi}}\left({{1}\over{2\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}}-{{1}\over{2\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}}\right)=0\;</MATH>|20.25}} Jak wiemy funkcja Greena G(t) dla t=0 jest równa zero, zatem znając funkcję Greena, co stąd końcowe rozwiązanie na funkcje Greena {{LinkWzór|20.18}}, {{LinkWzór|20.19}} i {{LinkWzór|20.25}} możemy wykorzystać do policzenia funkcji u(t), która jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|20.11}}, co daje się to zapisać za pomocą funkcji Greena G(t) wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>u(t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(t-t^')F(t^')dt^'=\int^t_{-\infty}G(t-t^')F(t^')dt^'\;</MATH>|20.26}} Znając funkcję Greena dla oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|20.18}}, {{LinkWzór|20.19}} i {{LinkWzór|20.25}} oraz postać siły, którą mamy zamiar określić, może być to przypadek harmoniczny drgań siły opisanych według funkcji F=F{{Sub|0}}sin &Omega; t, to wtedy możemy oczywiście policzyć funkcję u(t) zapisaną wzorem {{LinkWzór|20.26}}. Należy zauważyć, że funkcja Greena nic nie upraszcza. == Definicja operatorowej funkcji Greena == Zamiast skalarnej definicji funkcji Greena {{LinkWzór|20.5}} wprowadza się jego definicję operatorową, gdzie zamiast delty Diraca występuje operator jednostkowy, a zamiast funkcji Greena operator {{Formuła|<MATH>\hat{G}(t)\;</MATH>}}, zatem definicję operatora Greena piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>(z-\hat{H})\hat{G}(z)=\hat{I}\;</MATH>|20.27}} Ze wzoru {{LinkWzór|20.27}} możemy wyznaczyć operator {{Formuła|<MATH>\hat{G}(t)\;</MATH>}}, jeśli {{Formuła|<MATH>z-\hat{H}\;</MATH>}} posiada operator odwrotny, wtedy ten operator piszemy wedle sposobu zależny od operatora całkowitej energii badanej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{G}(z)=(z-\hat{H})^{-1}\;</MATH>|20.28}} Operatora definicja na funkcję Greena jest często niepraktyczna, w takim przypadku wprowadza się elementy macierzowe operatora Greena wedle jego definicji operatora Greena {{LinkWzór|20.28}}, których definicję jest zależna od elementów macierzowych operatora Diraca: {{CentrujWzór|<MATH>zG_{\alpha\beta}-\sum_{\gamma}H_{\alpha\gamma}G_{\gamma\beta}=\delta_{\alpha\gamma}\;</MATH>|20.29}} Bardzo wygodna jest baza funkcji własnych operatora {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}}, zatem jego elementy macierzowe piszemy przy pomocy funkcji bazy ortogonalnej &phi;{{Sub|&alpha;}}, które są funkcjami własnymi operatora całkowitej energii badanej cząstki lub układu: {{CentrujWzór|<MATH>H_{\alpha\beta}=\lambda_{\alpha}\delta_{\alpha\gamma}\;</MATH>|20.30}} Wtedy równanie macierzowe {{LinkWzór|20.21}} piszemy wedle rozkładu operatora {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} w postaci macierzowej, których przestawienie jest zależne od wartości własnej &lambda;{{Sub|&alpha;}} rozważanego operatora energii: {{CentrujWzór|<MATH>zG_{\alpha\beta}-\sum_{\gamma}\lambda_{\alpha}\delta_{\alpha\gamma}G_{\gamma\beta}=\delta_{\alpha\beta}\Rightarrow zG_{\alpha\beta}-\lambda_{\alpha}G_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}\Rightarrow G_{\alpha\beta}={{1}\over{z-\lambda_{\alpha}}}\delta_{\alpha\beta}\;</MATH>|20.31}} == Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena == Równanie operatorowego {{LinkWzór|20.27}}, który w tym przypadku nie zawsze da się rozwiązać, ma to miejsce, gdy operator {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} jest zapisany jako operator różniczkowy, czy to zapisanej w języku operatorów, w takim przypadku dokonuje się rozkładu operatora {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} na sumę operatora niezaburzonego i zaburzenia w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}\;</MATH>|20.32}} Napiszmy teraz funkcję na funkcję Greena niezaburzoną {{Formuła|<MATH>\hat{G}_0\;</MATH>}} i jej odpowiednik zaburzony {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}}, w takim przypadku możemy powiedzieć ze zachodzą tożsamości operatorowe na te wielkości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(z-\hat{H}_0)\hat{G}_0=I\;</MATH>|20.33}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(z-\hat{H}_0-\hat{V})\hat{G}=I\;</MATH>|20.34}} }} Mając wzór {{LinkWzór|20.33}}, który w równoważny sposób można zapisać, jako {{Formuła|<MATH>x-\hat{H}_0=\hat{G}_0^{-1}\;</MATH>}}, które to podstawiamy do równania operatorowego {{LinkWzór|20.34}}, w takim przypadku otrzymujemy równość po dokonaniu opisanej operacji: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{G}_0^{-1}-\hat{V})\hat{G}=\hat{I}\;</MATH>|20.35}} Jeśli równanie operatorowe {{LinkWzór|20.27}} pomnożymy przez operator niezaburzonej funkcji Greena {{Formuła|<MATH>\hat{G}_0\;</MATH>}}, wyznaczamy stąd funkcję Greena zaburzoną: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{G}=\hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}\;</MATH>|20.36}} Równanie {{LinkWzór|20.36}} możemy rozpisać w równoważny dla niego sposób wyznaczają z niego operator {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}}, który jest zależny od operatora {{Formuła|<MATH>\vec{G}_0\;</math>}} i od {{Formuła|<mAth>\hat{V}\;</math>}}: {{CentrujWzór|<math>\hat{G}-\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}=\hat{G}_0\Rightarrow(\hat{I}-\hat{G}_0\hat{V})\hat{G}=\hat{G}_0\Rightarrow\hat{G}=(\hat{I}-\hat{G}_0\hat{V})^{-1}\hat{G}_0\;</MATH>|20.37}} Końcową równość {{LinkWzór|20.37}}, która jest równaniem Dyssona, która to możemy rozwinąć w szereg i w ten sposób otrzymać tożsamość operatorową na operator Greena dla hamiltonianu niezaburzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{G}=(\hat{I}-\hat{G}_0\hat{V})^{-1}\hat{G}_0=\hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0+...\;</MATH>| 20.38}} Wzór {{LinkWzór|20.38}} jest nazywana wzorem Dyssona, który to dla małej poprawki {{Formuła|<MATH>\hat{V}\;</MATH>}} do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{H}_0\;</MATH>}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{G}\simeq \hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0\;</MATH>|20.39}} == Rachunek zaburzeń dla stacjonarnego równania Schrödingera == Równanie Schrödingera zawierający potencjał zaburzony V przestawiamy dla równania własnego zależnego od funkcji własnej i wartości własnej przestawiamy je na w sposób:f {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{H}_0+V)\psi=E\psi\;</MATH>|20.40}} Nie zmniejszając na ogólności w przypadku równania {{LinkWzór|20.40}} możemy napisać go wprowadzając przy tym parametr &epsilon;, który dąży do zera, w takim przypadku wspomniane równanie własne w sposób równoważny zapisujemy je według: {{CentrujWzór|<MATH>(E+i0-\hat{H}_0)\psi=V\psi \Leftrightarrow\lim_{\epsilon\rightarrow 0}(E+i\epsilon-\hat{H}_0)\psi=V\psi\;</MATH>|20.41}} Prawą stronę równości {{LinkWzór|20.41}} możemy potraktować jako niejednorodność, równanie jednorodne zbudowane na podstawie {{LinkWzór|20.41}} ma rozwiązanie &psi;{{Sub|0}}, którego rozwiązaniem szczególnym powyższego równania jest &psi;, zatem przy definicji odwrotności operatora {{Formuła|<MATH>\hat{G}_0\;</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>E+i0-\hat{H}_0=G_0^{-1}\;</MATH>}} (zmienna E+i&epsilon; jest odpowiednikiem "z" w {{LinkWzór|20.28}}), możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_0+\hat{G}_0V\psi\;</MATH>|20.42}} Co równanie {{LinkWzór|20.42}} można podstawić do równania {{LinkWzór|20.41}} i sprawdzić jego słuszność, co tutaj nie będziemy robili. W równości {{LinkWzór|20.42}} wyznaczamy funkcję &psi;{{Sub|0}} w zależności od funkcji &psi; i operatora {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}}, z którego na podstawie tego będziemy wyznaczać naszą funkcję własną &psi; równania własnego hamiltonianu: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{I}-\hat{G}_0V)\psi=\psi_0\Rightarrow\psi=(\hat{I}-\hat{G}_0V)^{-1}\psi_0\;</MATH>|20.43}} Funkcję jako odwrotności pewnego operatora przestawimy jako nieskończony szereg geometryczny, którą piszemy na podstawie tożsamości {{LinkWzór|20.43}}, wtedy on przestawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_0+\hat{G}_0V\psi+G_0VG_0V\psi_0+...\;</MATH>|20.44}} Jeśli przyjmować będziemy funkcję &psi; jako małą względem wielkości V, zatem {{LinkWzór|20.44}} piszemy w przybliżonej w postaci, dla które prawa strona zależy od operatora operatora {{Formuła|<MATH>\hat{G}_0\;</MATH>}} i od funkcji własnej hamiltonianu niezaburzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi\simeq\psi_0+\hat{G}_0V\psi_0\;</MATH>|20.45}} Język operatorowy {{LinkWzór|20.45}} w przełożeniu na język funkcyjny zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=\psi_0(\vec{r})+\iiint_{R^3}G_0(\vec{r}-\vec{r}^')V(\vec{r}^')\psi_0(\vec{r}^')d^3\vec{r}^'\;</MATH>|20.46}} == Związek funkcji gęstości stanów z funkcjami Greena == W układach wielocząstkowych często się stosuje sumowania po wszystkich cząstkach, które to sumowanie często możemy zamienić na całkowanie, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F(E_{\alpha})\rightarrow\int_0^{\infty}F(E)g(E)dE\;</MATH>|20.47}} Powyższe przejście jest możliwe, gdy funkcja F zależy tylko od energii. Wprowadziliśmy tutaj funkcję gęstości stanów, czy inaczej znana jako gęstością spektralną i określa ona liczbę stanów o energiach zbliżonych do E. Przejście od sumowania do całki wykonujemy według definicji definicji delty Diraca zapisanej przy pomocy stanów E{{Sub|&alpha;}} wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\alpha}F(E_{\alpha})=\sum_{\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}F(E)\delta(E-E_{\alpha})dE=\int_{-\infty}^{\infty}F(E)\left\{\sum_{\alpha}\delta(E-E_{\alpha})\right\}dE\;</MATH>|20.48}} Porównując wzory {{LinkWzór|20.47}} ze wzorem {{LinkWzór|20.48}}, otrzymujemy wzór na funkcję gęstości stanów, która jest zależna od energii stanów, i przestawiana jest jako sumę delt Diraca zapisanej względem energii poszczególnych poziomów {{LinkWzór|20.42}} E{{Sub|&alpha;}} i jest to sumowanie względem &alpha;: {{CentrujWzór|<MATH>g(E)=\sum_{\alpha}\delta(E-E_{\alpha})\;</MATH>|20.49}} Mając wzór {{LinkWzór|20.31}} i za "z" w tym wzorze podstawiamy z=E+i0 i wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|12.21|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}}, wtedy możemy napisać elementy macierzowe operatora {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}} z definicji elementów macierzowych: {{CentrujWzór|<MATH>G_{\alpha\alpha}={{1}\over{E-E_{\alpha}+i0}}={{1}\over{E-E_{\alpha}}}-i\pi\delta(E-E_{\alpha})\;</MATH>|20.50}} Zadem ślad elementów macierzowych funkcji Greena wedle wzoru {{LinkWzór|20.42}} przestawiamy jako część rzeczywistą ze zespolonej funkcji elementu macierzowego G{{Sub|&alpha;&alpha;}} z definiowaną w punkcie {{LinkWzór|20.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Im}[\operatorname{Tr}G(E+i0)]=-\pi\sum_{\alpha}\delta(E-E_{\alpha})\Rightarrow \sum_{\alpha}\delta(E-E_{\alpha})=-{{1}\over{\pi}}\operatorname{Im}\left[\operatorname{Tr}G(E+i0)\right]\;</MATH>|20.51}} Na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|20.51}} i wzoru na gęstość stanów {{LinkWzór|20.49}}, dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest równa wyrażeniu {{LinkWzór|20.51}} i przedstawiamy go jako: {{CentrujWzór|<MATH>g(E)=-{{1}\over{\pi}}\operatorname{Im}\left[\operatorname{Tr}G(E+i0)\right]\;</MATH>|20.52}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0ny2uhmpfcdv5t80h13skyxxb6dtsx8 0 20411 558637 501020 2026-10-04T23:09:57Z Persino 2851 558637 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zagadnienie interpolacji == Załóżmy, że mamy n+1 punktów x{{Sub|0}},x{{Sub|1}},...,x{{Sub|n}}, co nazywamy węzłami interpolacji, w którym dla każdego x{{Sub|i}} jest przyporządkowana pewna wartość, która jest pewną wartością funkcji, czyli y{{Sub|i}}, co ogólnie możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_0)=y_0, f(x_1)=y_1,..,f(x_n)=y_n\;</MATH>|1.1}} Przeprowadźmy pewną krzywą przechodzącej przez punkty {{LinkWzór|1.1}}, co nazywamy interpolacją, czyli znając te nasze punkty możemy policzyć wartość funkcji pomiędzy tymi punktami. == Zagadnienie interpolacji przy pomocy wielomianów == Będziemy szukali zagadnienia interpolacyjnego w postaci wielomianu przechodzącego poprzez te punkty, co ten wielomian jest stopnia n-tego, który to piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\;</MATH>|1.2}} Zakładamy, że węzły znajdują się w dowolnym miejscu w przedziale <a,b>. Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.1}}, wtedy możemy napisać n+1 równań, które to zapisane są w postaci układów równań, z którego będziemy wyznaczać parametry a{{Sub|0}},a{{Sub|1}},...,a{{Sub|n}}. {{CentrujWzór|<MATH>\left\{\begin{matrix} a_0+a_1x_0+a_2x_0^2+...+a_nx_0^n=y_0\\ a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+...+a_nx_1^n=y_1\\ -----------\\ a_0+a_1x_n+a_2x_n^2+...+a_nx_n^n=y_n \end{matrix}\right.\;</MATH>|1.3}} Możemy wyznaczyć wyznacznik główny układu równań {{LinkWzór|1.3}}, który jest wyznacznikiem Vandermonde'a pisanych w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} 1&x_0&x_0^2&x_0^3&\cdots&x_0^n\\ 1&x_1&x_1^2&x_1^3&\cdots&x_1^n\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&&\cdots\\ 1&x_n&x_n^2&x_n^3&\cdots&x_n^n \end{vmatrix}=\prod_{0\leq j<i\leq n}(x_i-x_j)\neq 0\;</math>|1.4}} Układ równań {{LinkWzór|1.3}} nazywamy układem Cramera, których to współczynniki a{{Sub|i}} wyliczamy ze wzoru Cramera w następującej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>a_i={{1}\over{D}}\sum_{i=1}^n y_jD_{ij}\mbox{ gdzie: }j=0,1,2,..,n\;</MATH>|1.5}} Z twierdzenia Cramera istnieje taki wielomian {{LinkWzór|1.2}} spełniający warunki {{LinkWzór|1.1}}. == Interpolacja według Lagrange'a == Jeśli wzór na a{{Sub|i}} {{LinkWzór|1.5}} podstawimy do wzoru na wielomian n-tego stopnia, w których poszczególne wielomiany bazowe są co najwyżej n-tego stopnia {{LinkWzór|1.2}}, otrzymujemy wtedy wzór na wielomian W{{Sub|n}}(x): {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=y_0\Phi_0(x)+y_1\Phi_1(x)+...+y_n\Phi_n(x)\;</MATH>|1.6}} * gdzie wielomiany &Phi;{{Sub|0}}, &Phi;{{Sub|1}},...,&Phi;{{Sub|n}} są wielomianami co najwyżej n-tego stopnia. Jeśli założymy, że węzły są rozłożone w dowolny sposób w danym ściśle określonym przedziale, to dla argumentu x=x{{Sub|i}} funkcję {{LinkWzór|1.6}} możemy napisać też w postaci zwartej i przy pomocy oznaczenia y{{Sub|i}}=F(x{{Sub|i}}), gdzie ta ostatnia jest funkcją interpolowaną w punktach x{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x_i)=y_0\Phi_0(x_i)+y_1\Phi_1(x_i)+...+y_n\Phi_n(x_i)=\sum_{k=0}^ny_k\Phi_k(x_i)=\sum_{k=0}^nF(x_k)\Phi_k(x_i)\;</MATH>|1.7}} Z równania {{LinkWzór|1.7}} wynika następująca własność, którą piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi_j(x_i)=\begin{cases} 0& \mbox{ gdy }j\neq i\\ 1& \mbox{ gdy }j=i\end{cases}\;</MATH>|1.8}} Teraz skonstruujmy wielomian &Phi;{{Sub|j}}(x), który w punktach x{{Sub|0}},x{{Sub|1}},...,x{{Sub|j-1}},x{{Sub|j+1}},..,x{{Sub|n}} jest określony według {{LinkWzór|1.8}} dla wspomnianych węzłów jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi_j(x)=\lambda(x-x_0)(x-x_1)\cdot...\cdot(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdot....\cdot(x-x_n)\;</MATH>|1.9}} Równość {{LinkWzór|1.9}}, która przestawia funkcję &Phi;{{Sub|j}}(x), w której możemy policzyć parametr &lambda;, która zależy od węzłów przestawionych powyżej, z własności funkcji &Phi;(x) przestawionych w punkcie {{LinkWzór|1.8}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>1=\lambda(x_j-x_0)(x_j-x_i)\cdot...\cdot(x-x_{j-1})(x_j-x_{j=1})\cdot...\cdot (x_j-x_n)\;</MATH>|1.10}} Z wartości &lambda; otrzymanego z tożsamości {{LinkWzór|1.10}} jako odwrotności jedynki i wyrażenia zależnego od różnic pewnych węzłów i podstawieniu jego do równania {{LinkWzór|1.9}}, wtedy otrzymujemy równość na funkcję &Phi;{{Sub|j}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi_j(x)={{(x-x_0)(x-x_i)\cdot ...\cdot(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdot...\cdot(x-x_n)}\over{(x_j-x_0)(x_j-x_i)\cdot...\cdot(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdot ...\cdot(x_j-x_n)}}\;</math>|1.11}} Zatem całkowity wielomian interpolacyjny W{{Sub|n}}(x) przestawionego w punkcie {{LinkWzór|1.6}}, na podstawie wyliczonej funkcji &Phi;{{Sub|j}}(x) napisaną w punkcie {{LinkWzór|1.11}}, piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=y_0{{(x-x_1)(x-x_2)\cdot...\cdot(x-x_n)}\over{(x_0-x_1)...(x_0-x_n)}}+y_1{{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}\over{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)}}+...+\;</MATH>{{Br}} <MATH>+y_n{{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})}\over{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_{n-1})}}=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=\sum_{j=0}^ny_j{{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})...(x-x_n)}\over{(x_{j}-x_0)(x_{j}-x_1)...(x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})...(x-x_n)}}\;</MATH> |1.12}} Oznaczmy przez oznaczenie &omega;(x), który zależy od iloczynów różnic argumentu x i j-tego węzła w problemie interpolacyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)\;</MATH>|1.13}} Zatem wielomian W{{Sub|n}}(x) {{LinkWzór|1.12}} według przestawienia &omega;{{Sub|n}} {{LinkWzór|1.13}} jako wielomianu n+1-tego stopnia przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=\sum_{j=0}^ny_j{{w_n(x)}\over{(x-x_j)\left\{{{\omega_n(x)}\over{(x-x_j)}}\right\}_{x=x_j}}}=\sum_{j=0}^ny_i{{\omega_n(x)}\over{(x-x_j)\omega^'_n(x_j)}}\;</MATH>|1.14}} * gdzie &omega;'{{Sub|n}} jest wielomian pochodzący od &omega;{{Sub|n}}(x) w punkcie x=x{{Sub|j}}, który jest zapisany bez użycia czynnika (x-x{{Sub|j}}), która jest miejscem zerowym funkcji &omega;{{Sub|n}}. Otrzymany wzór {{LinkWzór|1.12}} spełnia wszystkie warunki interpolacji i nazywamy go wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a. == Metoda interpolacyjna Aitkena == Zbudujmy teraz wielomian stopnia pierwszego w postaci wyznacznika, które w punktach x{{Sub|i}}, x{{Sub|j}} przyjmuje wartości y{{Sub|i}} i y{{Sub|j}}, którego definicja jest przestawiona dla dwóch węzłów interpolacyjnych: {{CentrujWzór|<MATH>W_{i,j}(x)={{\begin{vmatrix} y_i&x_i-x\\ y_j&x_j-x \end{vmatrix}}\over{x_j-x_i}}\;</MATH>|1.15}} W oparciu o wielomian pierwszego stopnia {{LinkWzór|1.15}}, który zbudujemy jako wielomian drugiego stopnia, który w punktach x{{Sub|i}}, x{{Sub|j}},x{{Sub|k}} <MATH>(1\neq j\neq k)\;</MATH> przyjmuje wartości y{{Sub|i}}, y{{Sub|j}}, y{{Sub|k}}, który jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W_{i,j,k}(x)={{\begin{vmatrix} W_{i,j}(x)&x_j-x\\ W_{i,k}&x_k-x \end{vmatrix}}\over{x_k-x_j}}\;</MATH>|1.16}} Ogólnie rzecz można powiedzieć, że wielomian n-tego stopnia przyjmujący dla argumentów x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}, określony koleino dla odpowiednich węzłów, której odpowiadają określone wartości y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}},...,,y{{Sub|n}}, że jest to wielomian interpolacyjny przestawionych następującym wzorem interpolacyjnym dla wspomnianych węzłów: {{CentrujWzór|<MATH>W_{1,2,..,k,m}={{\begin{vmatrix}W_{1,2,..k-1,k}(x)&x_k-x\\W_{1,2,...,k-1,m}(x)&x_m-x\end{vmatrix}}\over{x_m-x_k}}\;</MATH>|1.17}} Wielomian otrzymany wychodząc od {{LinkWzór|1.15}} i {{LinkWzór|1.16}} piszemy jako wielomian {{LinkWzór|1.17}} o stopniu n, który spełnia wszystkie warunki interpolacyjne dla węzłów interpolacyjnych oznaczonej ogólnie x{{Sub|i}}. == Oszacowanie błędu dla problemu interpretacyjnego Lagrange'a == Zdefiniujmy sobie wielomian na przedziale <a,b>, który jest określony wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon(x)=f(x)-W_n(x)\;</MATH>|1.18}} Musimy dalej określić funkcję &epsilon;(x) mając na uwadze, że pochodna f(x) ma pochodne do rzędu n+1 włącznie, zatem teraz wprowadzamy funkcje pomocniczą z pewną stałą K: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(u)=f(u)-W_n(u)-K(u-x_0)(u-x_1)....(u-x_n)\;</MATH>|1.19}} Z powodów oczywistych przy definicji &phi;(u) funkcja dla punktów x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}},..,x{{Sub|n}}, które są węzłami w omawianym problemie interpolacyjnym, przyjmuje wartość zerową w tychże punktach. Współczynnik K bywa tak zwykle dobierany, by funkcja &phi;(u) miała również pierwiastek w punkcie <MATH>\overline{x}\;</MATH>, zatem tożsamość {{LinkWzór|1.19}}, z której wyliczymy K, jest wyrażana: {{CentrujWzór|<MATH>K={{f(\overline{x})-W_n(\overline{x})}\over{(\overline{x}-x_0)(\overline{x}-x_1)...(\overline{x}-x_n)}}={{f(\overline{x})-W_n(\overline{x})}\over{\omega_n(\overline{x})}}\;</MATH>|1.20}} Mianownik w równości {{LinkWzór|1.19}} jest zawsze nierówny zero, dla {{Formuła|<MATH>\overline{x}\neq x_i\;</MATH>}}, tzn. {{Formuła|<MATH>(x_0<x_i<...x_n)\;</MATH>}}. Funkcja &phi;(u) ma n+2 miejsc zerowych w przedziale <a,b> dla punktów {{Formuła|<MATH>x_0,x_1,x_2,...,x_n,\overline{x}\;</MATH>}}. Jeśli skorzystamy z twierdzenia Rolle'a możemy powiedzieć, że pierwsza pochodna funkcji {{LinkWzór|1.20}} ma n+1 miejsc zerowych funkcji, każda pochodna pierwszego rzędu równa zero należy do odpowiednich przedziałów, w których każdy taki przedział posiada jedną pochodną równą zero. W każdym tak opisanej w przedziale, jeśli nań go na małe odcinki podzielimy między punktami interpolacyjnymi, w ten sposób otrzymujemy, że druga pochodna według naszego wcześniej wspomnianego wzoru przyjmuje wartość zerową w pewnym punkcie wewnątrz tego przedziału, a tych miejsc zerowych w całym omawianym przedziale jest n, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\psi^{''}(\xi_0^{(2)})=\psi^{''}(\xi_1^{(2)})=....=\psi^{''}(\xi_{n-1}^{(2)})=0\;</MATH>|1.21}} Jeśli będziemy kontynuować nasze rozważania dochodzimy do wniosku, ze mamy conaj mniej jeden taki punkt, który mieści się w przedziale (min(x,x{{Sub|0,}}),max(x,x{{Sub|n}})), dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\varphi^{(n+1)}(\xi)=0\;</MATH>}}, natomiast jeśli mamy {{Formuła|<MATH>W_n^{n+1}(x)=0\;</MATH>}}, ale i też n+1 pochodna funkcji &omega;, którą to piszemy wzorem {{Formuła|<MATH>\omega^{(n+1)}_n(x)]=(n+1)!\;</MATH>}}, zatem n+1-ta pochodna funkcji {{LinkWzór|1.16}}, która na tej podstawie i wcześniejszych rozważań, zapisujemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi^{(n+1)}(u)=f^{(n+1)}(u)-K(n+1)!\;</MATH>|1.22}} I jeśli weźmiemy miejsce zerowe funkcji &phi;(u), które jest w punkcie &xi; dla {{Sup|(n+1)}} według wcześniejszych określeń jest równa zero, to wtedy z tożsamości {{LinkWzór|1.22}} wynika wzór na parametr K dla ściśle określonych węzłów: {{CentrujWzór|<MATH>K={{f^{(n+1)}(\xi)}\over{(n+1)!}}\;</MATH>|1.23}} Jako ostatni krok należy wykorzystać równość {{LinkWzór|1.20}} i wyliczoną stałą K przestawioną w punkcie {{LinkWzór|1.23}}, wtedy mamy następujący wzór na różnicę funkcji, z którego chcemy napisać interpolację W{{Sub|n}}(x) i funkcji, którą chcemy interpolować, tzn.: f(x), wtedy możemy napisać tożsamość używając tutaj zamiast <MATH>\overline{x}\;</MATH> symbol x: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)-W_n(x)={{f^{(n+1)}(\xi)}\over{(n+1)!}}\omega_n(x)\;</MATH>|1.24}} Przyjmijmy teraz jako maksimum funkcji f{{Sup|(n+1)}} w przedziale <a,b>, jeśli w ogóle w tym przedziale istnieje jego maksimum, które oznaczmy je przez M{{Sub|n+1}}, tą wartość funkcji oznaczamy jako: {{CentrujWzór|<MATH>M_{n+1}=\sup_{x\in\langle a,b\rangle }|f^{(n+1)}(x)|\;</MATH>|1.25}} Bezwzględny błąd opisywania funkcji f(x) w postaci wielomianów W{{Sub|n}}(x) jest to wzór napisanych na podstawie {{LinkWzór|1.25}} i {{LinkWzór|1.24}}, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>|f(x)-W_n(x)|\leq{{M_{n+1}}\over{(n+1)!}}|\omega_n(x)|\;</MATH>|1.26}} == Problem najlepszego wyboru węzłów interpolacji == Problem najlepszego wyboru wezłów interpolacji po raz pierwszy przestawił Czybyszew, który to wielomiany Czybyszewa przestawiamy wedle wzoru na przedziale <-1,1>: {{CentrujWzór|<MATH>T_n=\cos(n\operatorname{arccos} (x))\;</MATH>|1.27}} Jak sie okazuje, że wielomiany Czybyszewa dla pierwszych jego wyrazów przestawiamy: * {{Formuła|<MATH>T_0=\cos(0\cdot\operatorname{arccos}(x))=\cos(0)=1\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>T_1(x)=\cos(\operatorname{\arccos}(x))=x\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>T_2(x)=\cos(2\cdot\operatorname{arccos}(x))=2\cos^2(\operatorname{arccos}(x))-1=2x^2-1\;</MATH>}} .... A jego kolejne wyrazy są przestawione wzorem na wielomian Czybyszewa, który to związek iteracyjny przestawiony jest w zależności od liczby naturalnej n jako wskaźnika i od argumentu x: {{CentrujWzór|<math>T_n(x)=2xT_{n-1}-T_{n-2}\mbox{ n=2,3,4,...}\;</MATH>|1.28}} Wielomian Czybyszewa {{LinkWzór|1.27}} jak można wykazać ma pierwiastki w punktach x{{Sub|n}}, które to są zależne od liczby naturalnej m i n, które to pierwiastki po podstawieniu wzoru poniższego do {{LinkWzór|1.27}} daje nam wartość zerową funkcji T{{Sub|n}}(x), zatem: {{CentrujWzór|<MATH>x_n=\cos\left({{2m+1}\over{2n}}\pi\right)\;</MATH>|1.29}} A dowodem tego, że liczby {{LinkWzór|1.29}} są pierwiastkami równania {{LinkWzór|1.27}} jest dokonanie do niego podstawienia wspomnianych liczb, tzn. x{{Sub|n}}, co po dokonaniu obliczeń otrzymujemy zero: {{CentrujWzór|<MATH>T_n=\cos\left(n\cdot\operatorname{arccos}(x_n)\right)= \cos\left(n\cdot\operatorname{arccos}\left(\cos\left({{2m+1}\over{2n}}\pi\right)\right)\right)=\cos\left(n{{2m+1}\over{2n}}\pi\right)=\cos\left(m+{{1}\over{2}}\right)=0\;</MATH>|1.30}} Parząc na kolejne wyrazy przedstawione w punkcie {{LinkWzór|1.28}}, to one mają przy najwyższej potędze wartość 2{{Sup|n-1}}, zatem szukamy wielomianu, który przy najwyższej potędze będzie miał wartość jeden, zatem na podstawie tego możemy napisać wielomian, który to {{LinkWzór|1.27}} ma pierwiastki w punktach {{LinkWzór|1.29}}, zatem na podstawie tego możemy napisać równość po podzieleniu wielomianu T{{Sub|n}}(x) przez liczbę 2{{Sup|n}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>T^*_{n+1}(x)={{1}\over{2^n}}T_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdot...\cdot (x-x_n)\;</MATH>|1.31}} Zatem wielomian <MATH>\omega_n(x)\;</MATH> na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.31}}, który to w punktach {{LinkWzór|1.29}} ma pierwiastki, możemy przestawić według następującego sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n(x)={{1}\over{2^n}}T_{n+1}(x)\;</MATH>|1.32}} Co wówczas na podstawie, że wielomian Czybyszewa {{LinkWzór|1.27}}, który ma ograniczoną wartość leżącą między wartościami <-1,1>, co możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sup_{x\in(-1,1)}|\omega_n(x)|={{1}\over{2^n}}\;</MATH>|1.33}} Ograniczenia przedziału błędów między szukanym wielomianem W{{Sub|n}}(x), a funkcją interpolowaną f(x) {{LinkWzór|1.26}}, możemy przedstawić wykorzystując fakt ograniczenia wielomianu &omega;{{Sub|n}}(x), zatem ten nasz błąd bezwzględny przy liczeniu wartości funkcji przy pomocy funkcji interpolującej względem samej funkcji interpolowanej możemy przestawić według: {{CentrujWzór|<MATH>|f(x)-W_n|\leq{{M_{n+1}}\over{2^n(n+1)!}}\;</MATH>|1.34}} == Wzór interpolacyjny Newtona dla dowolnych odstępu argumentu == Określmy teraz funkcję f(x), określone dla tablicy x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}},..,x{{Sub|n}}, które są węzłami interpolacji, a natomiast punkty odpowiadająca tym węzłom są to wartości f(x{{Sub|0}}), f(x{{Sub|1}}), f(x{{Sub|2}}),.. f(x{{Sub|n}}), zatem zdefiniujmy teraz ilorazy różnicowe: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_{i-1};x_i)={{f(x_{i})-f(x_{i-1})}\over{x_i-x_{i-1}}}\;</MATH>|1.35}} Iloraz różnicowy drugiego rzędu, który to piszemy przy pomocy ilorazów różnicowych pierwszego rzędu, wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_{i};x_{i+1};x_{i+2})={{f(x_{i+1};x_{i+2})-f(x_i;x_{i+1})}\over{x_{i+2}-x_i}}\;</MATH>|1.36}} Dla dowolnego ilorazu różnicowego n-tego rzędu, który to piszemy przy pomocy ilorazów różnicowych n-1 rzędu, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i;x_{i+1};x_{i+2};..;x_{i+n})={{f(x_1;x_2;...x_{i+n})-f(x_1;x_2;...,x_{i+n-1})}\over{x_{i+n}-x_i}}\;</MATH>|1.37}} Napiszmy teraz wielomian interpolacyjny W{{Sub|n}}, który to spełnia następujący warunek interpolacyjny poniżej, czyli wartość funkcji f w punkcie x{{Sub|i}} jest równa funkcji, której jest funkcją interpolacyjną W{{Sub|n}}, też w tym samym punkcie, którą to piszemy wedle schematu ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x_i)=f(x_i),\mbox{ dla }i=0,1,2,...,n\;,</MATH>|1.38}} Zapiszmy teraz wielomian interpolacyjny W{{Sub|n}}(x) rozpisując ją jako tożsamość, która jest sumą różnic wielomianu W{{Sub|i}}(x) i W{{Sub|i-1}}(x), co do całego wielomianu dodamy funkcję W{{Sub|0}}(x), wtedy taki przebieg rozważań sugeruje, że ona jest funkcją W{{Sub|n}}(x), którą to możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=W_0(x)+[W_{1}(x)-W_0(x)]+[W_2(x)-W_1(x)]+...+[W_n-W_{n-1}]\;</MATH>|1.39}} Oczywiste jest, że wielomian W{{Sub|k}}-W{{Sub|k-1}}(x) jest różnicą rozważanych wielomianów, który jest iloczynem stałej A przez iloczyn różnić argumentu x i argumentu x{{Sub|i}} dla całej gamy węzłów od i=0 do i=k-1, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>W_k(x)-W_{k-1}(x)=A(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{k-1})\;</MATH>|1.40}} * gdzie A jest pewna stałą, aby je obliczyć należy wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.38}} i podstawić x{{Sub|k}} do {{LinkWzór|1.40}} wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.14}} na wielomian interpolacyjny Lagrange'a, wtedy na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>A={{f(x_k)}\over{(x_k-x_0)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})}}-{{\sum_{i=0}^{k-1}f(x_i){{\omega_{k-1}(x_k)}\over{(x_k-x_i)\omega^'_{k-1}(x_i)}} }\over{(x_k-x_0)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})}}\;</MATH>|1.41}} Wzór {{LinkWzór|1.41}} z oczywistych powodów na podstawie tożsamości na wielomian &omega;{{Sub|k}}, według wzoru {{LinkWzór|1.13}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>A={{f(x_k)}\over{\omega_{k-1}(x_k)}}+\sum_{i=0}^{k-1}{{f(x_i)}\over{(x_k-x_i)\omega^'_{k-1}(x_i)}}=\sum_{i=0}^k{{f(x_i)}\over{\omega_k(x_i)}}\;</MATH>|1.42}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.42}} różnica wielomianów dla k i k-1, czyli według wzoru {{LinkWzór|1.40}}, jest zapisana dla dowolnego argumentu x tejże funkcji: {{CentrujWzór|<MATH>W_k(x)-W_{k-1}(x)=\left(\sum_{i=0}^k{{f(x_i)}\over{\omega_k(x_i)}}\right)\omega_{k-1}(x)\;</MATH>|1.43}} Jeśli chcemy zapisać {{LinkWzór|1.37}} w postaci dogodnej używając ilorazów różnicowych, to iloraz różnicowy rzędu n przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i;x_{i+1};...;x_{i+n})={{f(x_i)}\over{(x_i-x_{i+1})(x_i-x_{i+2})...(x_i-x_{i+n})}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH> {{f(x_{i})}\over{(x_{i+1}-x_i)(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+n})}}+...+\;</MATH>{{Br}}<MATH> {{f(x_{i+n})}\over{(x_{i+n}-x_i)(x_{i+n}-x_{i+1})...(x_{i+n}-x_{i+n-1})}}</MATH>|1.44}} Wzór {{LinkWzór|1.34}} możemy udowodnić metodą indukcji zupełnej, którego dla n=1 ten etap dowodu piszemy w postaci poniżej, jak się przekonamy, że wspomniany wzór pokrywa się ze wzorem powyżej dla przypadku n=1, zatem na podstawionych tych wypowiedzeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i;x_{i+1})={{f(x_{i+1})-f(x_i)}\over{x_{i+1}-x_i}}={{f(x_{i})}\over{x_i-x_{i+1}}}+{{f(x_{i+1})}\over{x_{i+1}-x_i}}\;</MATH>|1.45}} Teraz dokonajmy następnej części dowodu i sprawdźmy, czy z części dowodu dla n=k-1 wynika dowód n=k, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i;x_{i+1};x_{i+2};..x_{n+k})={{f(x_{i+1};x_{i+2};...x_{i+k})-f(x_i;x_{i+1};...;x_{i+k-1})}\over{x_{i+k}-x_i}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{(x_{i+k}-x_i)}}\Bigg\{\Bigg[ {{f(x_{i+1})}\over{(x_{i+1}-x_{i+2})(x_{i+1}-x_{i+3})...(x_{i+1}-x_{i+k})}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH> +{{f(x_{i+2}}\over{(x_{i+2}-x_{i+1})(x_{i+2}-x_{i+3})...(x_{i+k}-x_{i+k-1})}}+...+\;</MATH>{{Br}} <MATH>+{{f(x_{i+k})}\over{(x_{i+k}-x_{i+1})(x_{i+k}-x_{i+2})...(x_{i+k}-x_{i+k-1})}}\Bigg]-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\Bigg[ {{f(x_k)}\over{(x_{i}-x_{i+1})(x_i-x_{i+2})...(x_i-x_{i+k-1})}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+ {{f(x_i)}\over{(x_{i+1}-x_i)(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+k-1}) }}+\;</MATH>{{Br}}<MATH> +{{f(x_{i+1})}\over{(x_{i+1}-x_i)(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+k-1})}}+...+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+ {{f(x_{i+k-1})}\over{(x_{i+k-1}-x_k)(x_{i+k-1}-x_{i+1})...(x_{i+k-1}-x_{i+k-1})}}\Bigg]\Bigg\}</MATH>|1.46}} W przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|1.46}} możemy uzyskać taką prawidłowość, że wyrazy stojące przy f(x{{Sub|i}}) oraz f(x{{Sub|i+k}}) występują tylko jeden raz, Natomiast składniki zawierające czynnik f(x{{Sub|i}}) dla j=i+1,i+2,..,i+k-1 występują parami, zatem rozpisując te pary, możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{(x_{i+k}-x_i)}}\Bigg[{{f(x_i)}\over{(x_j-x_{i+1})(x_j-x_{i+2})...(x_j-x_{j-1})...(x_j-x_{i+k})}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH> -{{f(x_i)}\over{(x_j-x_i)(x_j-x_{i+12})..(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})...(x_i-x_{j+k-1})}}\Bigg]=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{f(x_i)}\over{(x_j-x_{i})...(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})..(x_j-x_{j+k-1})}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot{{1}\over{(x_{i+k}-x_i)}}\left[{{1}\over{x_j-x_{i+k}}}-{{1}\over{x_j-x_i}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{f(x_j)}\over{(x_j-x_i)(x_i-x_{i+})...(x_j-x_{i+1})(x_j-x_{j+1})...(x_j-x_{i+k})}}\;</MATH>|1.47}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.47}} i {{LinkWzór|1.46}} udowodniliśmy za pomocą indukcji matematycznej, że wyrazy pod sumą w {{LinkWzór|1.43}} możemy przestawić je jako ilorazy różnicowe do następującej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_1;x_2;...;x_{i+k})=\sum_{j=1}^{j=i+k}{{f(x_j)}\over{(x_j-x_i)(x_j-x_{i+1})...(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})..(x_j-x_{i+k})}}\;</MATH>|1.48}} Przy dalszych rozważaniach skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|1.43}}, i {{LinkWzór|1.48}} dla przypadku i=0 , a także z W{{Sub|0}}(x{{Sub|0}})=f(x{{Sub|0}}), co według przedstawienia {{LinkWzór|1.14}} można zapisać wielomian W{{Sub|n}}(x): {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=f(x_0)+f(x_0;x_1)\omega_0(x)+f(x_0;x_1;x_2)\omega_1(x)+...f(x_0;x_1;...x_n)\omega_{n-1}(x)\;</MATH>|1.49}} Wzór interpolacyjny {{LinkWzór|1.49}} możemy zapisać w postaci interpolacyjnej, który ma nazwę wzoru interpolacyjnego Netwona dla dowolnych odstępów dla węzłów lub wzoru interpolacyjnego Newtona z ilorazem różnicowym. == Różnice progresywne i wsteczne == Wezły w sieci w poprzednich rozważaniach mogły być całkowicie dowolne, tzn. węzły: x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}}, ...,x{{Sub|n}}. Tym razem wybierzemy węzły, które są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>x_1=x_0+h\mbox{, }x_2=x_0+2h\mbox{,...}x_n=x_0+nh\;</MATH>|1.50}} === Różnice progresywne === Niech będą określone wartości funkcji f(x) w punktach x{{Sub|0}},x{{Sub|1}},...,x{{Sub|n}} określone wzorami według punktu {{LinkWzór|1.50}}, zatem różnica progresywną pierwszego rodzaju piszemy według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta f=f(x+h)-f(x)\;</MATH>|1.52}} Aby zdefiniować różnice progresywne wyższych rzędów należy określić tożsamość, która jest zdefiniowana przy pomocy kilku operatorów różnic: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^n f=\Delta(\Delta^{n-1}f)\;</MATH>|1.53}} Przykładem różnicy drugiego rzędu nazywamy różnicę przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.53}} określoną wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^2f=\Delta(\Delta f)=\Delta[f(x+h)-f(x)]=[f(x_2h)-f(x+h)]-f(x+h)-f(x)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\;</MATH>|1.54}} Ogólnie rzecz biorąc możemy obrać wartości y{{Sub|0}}, y{{Sub|1}},..,y{{Sub|n}}, wtedy n-ta różnica elementu ciągu y{{Sub|i}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^ny_i={n \choose 0}y_{i+n}-{n\choose 1}y_{i+n-1}+{ n\choose 2}y_{i+n+2}-...-(-1)^n{n\choose n-1} y_{i+1}+...+(-1)^n{ n\choose n}y_i\;</MATH>|1.55}} Co wyrażenie {{LinkWzór|1.55}} możemy napisać w formie bardzo uproszczonej, używając definicji sumy, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^n y_{i}=\sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n-j}\;</MATH>|1.56}} Teraz wzór {{LinkWzór|1.55}} udowodnimy przy pomocy indukcji matematycznej, co dla n=1 powyższy wzór przechodzi w tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^1y_i=\Delta y_i=(-1)^0{1\choose 0}y_{i+1}+(-1)^{1}{1 \choose 1}y_i=y_{i+1}-y_i\;</MATH>|1.57}} Co wzór {{LinkWzór|1.55}} na podstawie jej szczególnego przypadku {{LinkWzór|1.56}}, czyli dla n=1, czyli on się pokrywa ze wzorem {{LinkWzór|1.52}}. Teraz udowodnijmy wzór {{LinkWzór|1.56}}, ze jeśli ten nasz wzór jeśli jest prawdziwy dla n, to jest prawdziwy dla n+1, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^{n+1}y_i=\Delta\Delta^n y_i=\Delta\left(\sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n-j}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n-j+1}-\sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n-j}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n+1-j}+\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j}{n\choose j-1}y_{i+n+1-j}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{j=1}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n+1-j}+\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}{n\choose j-1}y_{i+n+1-j}+{n\choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n\choose n}y_i=\;</MATH>{{Br}}<MATH>\sum_{j=1}^n(-1)^j\left[{n\choose j}+{ n\choose j-1}\right]y_{i+n+1-j}+{n+1\choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n+1\choose n+1}y_{i}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\sum_{j=1}^n(-1)^{j}{n+1\choose j}y_{i+n+1-j}+{n+1\choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n+1\choose n+1}y_i=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{j=0}^{n+1}(-1)^{j}{n+1\choose j} y_{i+n+1-j}</maTH>|1.58}} Co kończy dowód twierdzenia {{LinkWzór|1.55}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.58}} i {{LinkWzór|1.57}}. Następny bardzo ważnym twierdzeniem jest twierdzenie podane przy pomocy wzoru na element y{{Sub|k}} przy pomocy k-tych rzędów różnic progresywnych: {{CentrujWzór|<MATH>y_k=y_0+{k \choose 1}\Delta y_0+{k \choose 2}\Delta^2y_0+...+{k\choose k}\Delta^k y_0=\sum_{i=0}^k{k\choose i}\Delta^i y_0\;</MATH>|1.59}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|1.59}} należy wykorzystać twierdzenie o indukcji matematycznej. Wedle twierdzenia od indukcji zupełnej sprawdźmy dla k=0, zatem dla tego nasz wzór wspomniany przechodzi w wzór, który jest zwykłą tożsamością. Sprawdźmy, czy jeśli nasz wzór {{LinkWzór|1.59}} jest prawdziwy dla k, to czy z niego wynika prawdziwość dla k+1, w tym celu napiszmy do niego wyrażenie: {{CentrujWzór|<math>y_{k+1}=y_k+\Delta y_k=\sum_{i=0}^k{k\choose i}\Delta^i y_0+\sum_{i=0}^k{k\choose i}\Delta^{i+1} y_0=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{i=0}^{k}{k\choose i}\Delta^ky_0+\sum_{i=1}^{k+1}{k\choose i-1}\Delta^ky_0=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_{i=1}^{k}\left[{k\choose i}+{k\choose i-1}\right]\Delta ^i y_0+{k+1\choose 0}\Delta y_0+{k+1\choose k+1}\Delta^{k+1}y_0=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum^k_{i=1}{k+1\choose i}\Delta^iy_0+{k+1\choose 0}\Delta y_0+{k+1\choose k+1}\Delta^{k+1}y_0=\sum_{i=0}^{k+1}{k+1\choose i}\Delta^iy_0</MATH>|1.60}} ==== Pewne dowody ważnych twierdzeń na różnicach progresywnych ==== Najpierw podamy pewne trzy twierdzenia bez dowodu, których to dowody są trywialne, oto twierdzenia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta(g_k\pm f_k)=\Delta g_k\pm\Delta f_k\;</MATH>|1.61}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta(af_k)=a\Delta f_k\;</MATH>|1.62}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\Delta^m(\Delta^n f_k)=\Delta^{m+n}f_k\;</MATH>|1.63}} }} Teraz podamy następne twierdzenia, którego dowód w cale nie jest trywialny, zatem to pierwsze twierdzenie piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta[f_k\cdot g_k]=f_{k+1}\Delta g_k+g_{k+1}\Delta f_k\;</MATH>|1.64|Obramuj}} A jego dowód przeprowadzamy w sposób następujący: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta[f_k\cdot g_k]=f_{k+1}g_{k+1}-f_kg_k=f_{k+1}g_{k+1}-f_kg_k+f_{k+1}g_{k}-f_{k+1}g_{k}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =f_{k+1}(g_{k+1}-g_k)+g_k(f_{k+1}-f_k)=f_{k+1}\Delta g_k+g_{k+1}\Delta f_k\;</MATH>|1.65}} Teraz podamy następne twierdzenia, którego dowód w cale nie jest trywialny, zatem to pierwsze twierdzenie piszemy wedle następującego schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta{{f_k}\over{g_k}}={{\Delta f_{k}g_k-f_k\Delta g_{k+1}}\over{g_{k+1}g_k}}\;</MATH>|1.66|Obramuj}} A jego dowód, który przeprowadzamy w sposób następujący: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta{{f_k}\over{g_k}}={{f_{k+1}}\over{g_{k+1}}}-{{f_k}\over{g_k}}={{f_{k+1}g_k-f_kg_{k+1}}\over{g_{k+1}g_k}}= {{f_{k+1}g_k-f_kg_k+f_kg_k-f_kg_{k+1}}\over{g_{k+1}g_k}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{(f_{k+1}-f_k)g_k-f_k(g_{k+1}-g_k))}\over{g_{k+1}g_k}}={{\Delta f_k g_k-f_k\Delta g_k}\over{g_{k+1}g_k}}\;</MATH>|1.67}} === Różnice wsteczne === Różnice wsteczne przyjęło się oznaczać jako pierwszą różnice progresywną w punkcie x{{Sub|i-1}}, którego zapis tejże rozważanej różnicy piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla f_i=f_{i}-f_{i-1}\;</MATH>|1.68}} Katą różnicę wsteczną przyjęło się rozważać jaką różnicę według {{LinkWzór|1.68}}, którą piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^ky_i=\nabla^{k-1}y_i-\nabla^{k-1}y_{i-1}\;</MATH>|1.69}} Twierdzenie, które będziemy podawać i udowodniać poniżej jest to twierdzenie: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^ky_i=\Delta^ky_{i-k}\;</MATH>|1.70}} Twierdzenie {{LinkWzór|1.70}} udowadniamy przy pomocy indukcji zupełnej, zatem dla k=0 wspomniane twierdzenie można udowodnić, co jest trywialne, zatem nasze twierdzenie dla tego k jest prawdziwe. Załóżmy teraz, że nasze twierdzenie {{LinkWzór|1.70}} jest prawdziwe dla k i udowodnimy, że jest ono słuszne dla k+1, zatem wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^{k+1}y_i=\nabla\nabla^k y_i=\nabla\Delta^k_{i-k}y_i=\Delta^k_{i-k}y_i-\Delta^k_{i-(k+1)}y_i=\Delta^{k+1}y_{i-(k+1)}\;</MATH>|1.71}} == Równanie interpolacyjne Newtona dla jednakowych różnic argumentów == W punkcie {{LinkWzór|1.49}} napisaliśmy wzór interpolacyjnego Newtona, w której występują pewne wielkości {{LinkWzór|1.39}}, dla węzłów ogólnie o różnych odstępach, które tutaj będziemy pisali ten wzór dla jednakowych ostępów dla punktów x{{Sub|i}}=x{{Sub|0}}+ih, gdzie i=0,1,2,..,n. Na podstawie tego napiszemy teraz ilorazy różnicowe, które to są dla naszego przypadku: {{Wzór|<math> f(x_0)=a_0=y_0\;</MATH>{{Br}} <MATH>f(x_0;x_1)=a_1={{y_1-y_0}\over{h}}\;</MATH>{{Br}} <MATH>f(x_0;x_1;x_2)=a_2={{{{y_2-y_1}\over{h}}-{{y_1-y_0}\over{h}}}\over{2h}}={{y_1-2y_i+y_0}\over{2h^2}}\;</MATH>{{Br}} <MATH>\mbox{----------------}</MATH>{{Br}} <MATH>f(x_0;...;x_n)={{y_n-ny_{n-1}+{n\choose 2}y_{n-2}-...+(-1)^ny_n}\over{n!h^n}}\;</MATH>|1.72}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.72}} ilorazy różnicowe o numerze "k" definiujemy jako iloraz różnicy k-tej zmiennej y{{Sub|0}} przez iloczyn k silni i k-tej potęgi stałej: {{CentrujWzór|<MATH>a_k={{\Delta^ky_0}\over{k!h^k}}\;</MATH>|1.73}} Wzór {{LinkWzór|1.72}} udowadniamy przy pomocy twierdzenia o indukcji zupełnej, zatem dla k=0 wzór {{LinkWzór|1.73}} przyjmuje postać, którą jest wartość funkcji y{{Sub|0}}, zatem wtedy <MATH>a_0={{\Delta^0y_0}\over{0!h^0}}=y_0\;</MATH>. Następnym krokiem jest stwierdzenie, że wzór {{LinkWzór|1.73}} jest prawdziwy, i udowodniamy tą równość dla k+1, zatem do dzieła. {{CentrujWzór|<MATH>a_{k+1}={{{{\Delta^ky_1}\over{h^kk!}}-{{\Delta^ky_0}\over{h^kk!}}}\over{h(k+1)}}={{\Delta^k y_1-\Delta^k y_0}\over{h^{k}(k+1)!}}={{\Delta^{k+1}y_0}\over{h^k(n+1)}}\;</MATH>|1.74}} Jeśli podstawimy wzór {{LinkWzór|1.73}}, który jest ilorazem różnicowym, do równości {{LinkWzór|1.49}}. który jest ilorazem różnicowym, w ten sposób otrzymujemy następującą tożsamość na wzór interpolacyjny Newtona wykorzystując definicję różnicy dowolnego rzędu i wiedząc, że różnica między dowolnymi a sąsiednimi wyrazami jest równa h: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=y_0+{{\Delta y_0}\over{h}}(x-x_0)+{{\Delta^2y_0}\over{2!h^2}}(x-x_0)(x-x_1)+...+{{\Delta^ny_0}\over{n!h^n}}(x-x_0)(x-x_1)..(x-x_{n-1})\;</MATH>|1.75}} Wprowadźmy teraz nową zmienną q, którą to definiujemy jako iloraz różnicy x i x{{Sub|0}} przez liczbę h, który jest odległością między punktami sąsiednimi, to zmienną q piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>q={{x-x_0}\over{h}}\;</MATH>|1.76}} Ale też zachodzą następujące tożsamości {{LinkWzór|1.76}}, które są ilorazami różnicy zmiennej x i węzła o numerze i-tym przez stałą odległość pomiędzy punktami, które to piszemy: {{Wzór| <MATH>{{x-x_1}\over{h}}={{x-(x_0+h)}\over{h}}=q-1\;</math>{{Br}} <MATH>{{x-x_2}\over{h}}={{x-(x_0+2h)}\over{h}}=q-1\;</MATH>{{Br}} <MATH>...................\;</MATH>{{Br}} <MATH>{{x-x_{n-1}}\over{h}}={{x-[x_0+(n-1)h]}\over{h}}=q-(n-1)\;</MATH>|1.77}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, który to wynika z definicji zmiennej q zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|1.76}}, wtedy możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.75}}: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x_q)=W_n(x_0+qh)=y_0+{{q}\over{1!}}\Delta y_0+{{q(q-1)}\over{2!}}\Delta^2y_0+...+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{q(q-1)}\over{2!}}\Delta^2y_0+...+{{q(q-1)...(q-n+1)}\over{n!}}\Delta^ny_0\;</MATH>|1.78}} Jeśli znów skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|1.75}} i wzoru na różnice wsteczna w zależności od różnic progresywnych {{LinkWzór|1.70}} i zmieniając numeracje z x{{Sub|i}} na x{{Sub|i-n}} bo interesuje nas zachowanie funkcji w końcowej części przedziału, tzn. że na pewno numerujemy argumenty w taki sposób by ich numeracja była od tyłu, możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=y_0+{{\nabla y_0}\over{h}}(x-x_0)+{{\nabla^2y_0}\over{2!h^2}}(x-x_0)(x-x_{-1})+..+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\nabla^ny_0}\over{n!h^n}}(x-x_0)(x-x_{-1})...(x-x_{-n+1})\;</MATH>|1.79}} Jeśli przyjmować będziemy x{{Sub|i}}=x{{Sub|0}}+ih, dla i=0,-1,-2,..-n, a także przyjmować będziemy, że zmienna q jest ilorazem różnicy węzła zerowego i zmiennej x przez stałą odległość pomiędzy punktami: {{CentrujWzór|<MATH>q={{x_0-x}\over{h}}\;</MATH>|1.80}} To wtedy wykonując podobne obliczenia jak w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, to wtedy wzór {{LinkWzór|1.79}}, na podstawie definicji zmiennej q {{LinkWzór|1.80}}, piszemy w następującej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W_{n}(x)=y_0-q\nabla y_0+{{q(q-1)}\over{2}}\nabla^2y_0-...+(-1)^n{{q(q-1)(q-2)...(q-n+1)}\over{n!}}\nabla^ny_0\;</MATH>|1.81}} Wzór {{LinkWzór|1.81}} nazywamy drugim wzorem interpolacyjnym Newtona na interpolację wstecz. == Interpolacja przy pomocy funkcji sklejanych == === Wstęp do funkcji sklejanych === Określmy sobie teraz n+1 punktów x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},..x{{Sub|n}} dla której zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b\;</math>|1.82}} Funkcję s(x) będziemy określać jako funkcję sklejaną stopnia (<MATH>m\geq 1</MATH>), jeżeli w każdym z tych przedziałów funkcja jest stopnia m, a także wartości tychże funkcji należą do wartości liczb zespolonych. Na każdym z tych przedziałów (x{{Sub|i}},x{{Sub|i+1}}) i=0,1,2,..,n-1 określmy teraz funkcję sklejaną w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>s(x)=c_{im}x^m+c_{im-1}x^{m-1}+...+c_{i1}x+c_{i0}\;</MATH>|1.83}} Ponieważ współczynników c{{Sub|im}} dla ściśle określonego jest m+1, a ponieważ tych naszych przedziałów jest n określonych według {{LinkWzór|1.82}}, zatem liczba wszystkich współczynników c{{Sub|ik}} jest n(m+1). Jeśli teraz określimy pochodną funkcji s(x), to liczba współczynników określonej przez "i" jest ich m, bo stała c{{Sub|i0}} w tej pierwszej pochodnej znika, a w każdym węźle x{{Sub|i}} dla i=1,2,..,n określamy według m(n-1) warunków brzegowych, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć, że funkcja s(x) zależy od n(m+1)-m(n-1)=nm+n-mn+m=n+m zmiennych . Określmy teraz funkcję s(x) jako funkcję potęgową, dla której z oczywistych powodów zachodzi x{{Sub|i}}=x{{Sub|0}}+ih dla i=-1,0,1,..,n,n+1, określmy dodatkowo i=-3,-2,-1,n,n+1,n+2,n+3. Zatem na podstawie tego możemy zbudować pewną funkcję sklejaną, który to przepisujemy wzorami: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi_i^3(x)={{1}\over{h^3}}\begin{cases} (x-x_{i-2})^2&\mbox{ dla } x\in\langle x-x_{i-1}\rangle\\ h^3+3h^2(x-x_{i-1})+3h(x-x_{i-1})^2-3(x-x_{i-1})^3&\mbox{ dla }x\in\langle x_{i-1};x_i\rangle\\ h^3+3h^2(x_{i+1}-x)+3h(x_{i+1}-x)^2-3(x_{i+1}-x)^3&\mbox{ dla }x\in\langle x_i;x_{i+1}\rangle\\ (x_{i+2}-x)^3&\mbox{ dla }x\in\langle x_{i+i};x_{i+2}\rangle \\ 0&\mbox{ dla pozostałych }x\in R \end{cases}\;</math>|1.84}} {{Rysunek|Splot funkcji.png|sf|Splot funkcji &Phi;{{Sub|3}}{{Sup|i}}(x)}} Wykresem ogólnym funkcji {{LinkWzór|1.84}} jest funkcja podana obok na prawej jego stronie tego modułu. Teraz określmy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi_i^3(x)\;</MATH>}} w punktach x{{Sub|j-2}}, x{{Sub|j-1}},x{{Sub|i}}, x{{Sub|i+1}},x{{Sub|i+2}} i wartości tej funkcji {{LinkWzór|1.84}} w tymże punktach określamy przy pomocy tabelki poniżej. {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i-2}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i-1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i+1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i+2}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\Phi^3_i(x)\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>(\Phi_i^3(x))^'\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{3}\over{h}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{3}\over{h}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>(\Phi^3_i(x))^{''}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{6}\over{h^2}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{12}\over{h^2}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{6}\over{h^2}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}<!-- -->}} Każdą funkcję s(x) należącej do pewnego zbioru możemy przestawić w bazie funkcji {{Formuła|<MATH>\Phi_i^3(x)\;</MATH>}}, którą to wspomniana funkcja jest w postaci kombinacji liniowej funkcji bazy, co ten zapis piszemy w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>s(x)=\sum_{i=-1}^{n+1}c_i\Phi_i^3(x) \mbox{ gdzie: }a\leq x\leq b\;</MATH>|1.85}} === Interpolacja funkcji interpolowanej przy pomocy funkcji sklejanej stopnia trzeciego === Obierzmy sobie teraz funkcję interpolacyjną należącej do zbioru funkcji sklejanych stopnia trzeciego, które dla węzłów sieci x{{Sub|i}} wartość funkcji i funkcji interpolującej dla tego argumentu wynosi f(x{{Sub|i}}) piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s(x_i)=f(x_i)=y_i\;</MATH>|1.86}} Jak wiemy, że funkcja trzeciego stopnia, której to przestawiamy wzorem {{LinkWzór|1.83}} dla m=3 ma n+3 niezależnych parametrów, w tym wliczając {{LinkWzór|1.86}}, w ten sposób otrzymujemy dwa parametry swobodne, dodatkowe warunki jakie funkcja powinna spełniać są dwa warunki nałożone na pierwszą pochodną, którą to możemy określić jako: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>s^{'}(a+0)=\alpha_1\;</MATH>|1.87}} |{{CentrujWzór|<MATH>s^'(b-0)=\beta_1\;</MATH>|1.88}} }} Lub dwa warunki określone przez wzory na drugich pochodnych: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>s^{''}(a+0)=\alpha_2\;</MATH>|1.89}} |{{CentrujWzór|<MATH>s^{''}(b-0)=\beta_2\;</MATH>|1.90}} }} Na funkcję s(x) możemy określić też przez inne warunki, tzn. warunki określoności funkcji f(x), o okresie b-a, którą to tak składamy by za pomocą funkcji sklejanych tak by było można je sprowadzić na przedział jednowymiarowy nieskończony , tzn. warunki określoności możemy napisać dla i-tej pochodnej funkcji s(x) w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>s^{(i)}(a+0)=s^{(i)}(b-0)\;</math>|1.91}} Określmy teraz funkcję s<nowiki>''</nowiki>(x), która w punkcie x{{Sub|j}} przyjmuje wartość stałą funkcji równą M{{Sub|j}}: {{CentrujWzór|<MATH>M_j=s^{''}(x_j)\mbox{ gdzie:}j=0,1,2,..n\;</MATH>|1.92}} Zgodnie z określeniem drugiej pochodnej funkcji s(x) w punkcie x{{Sub|j}} {{LinkWzór|1.92}}, to określmy drugą pochodną funkcji x dla dowolnego argumentu należącego do <x{{Sub|j-1}},x{{Sub|j}}> w postaci: {{CentrujWzór|<math>s^{''}(x)=M_{j-1}{{x_j-x}\over{h_j}}+M_j{{x-x_{j-1}}\over{h_j}}\mbox{ gdzie: }x\in\langle x_{i-1}, x_j\rangle\mbox{ i }h_j=x_j-x_{j-1}\;</MATH>|1.93}} Możemy z całkować funkcję {{LinkWzór|1.93}} względem argumentu x, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, którą to piszemy wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>s^{'}(x)=-M_{j-1}{{(x_j-x)^2}\over{2h_j}}+M_j{{(x-x_{j-1})^2}\over{2h_j}}+A_j\;</MATH>|1.94}} Zatem na ostatnim wniosku możemy otrzymamy funkcje s(x), która wynika z całkowania funkcji {{LinkWzór|1.94}} w naszym wyżej określonym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>s(x)=M_{j-1}{{(x_j-x)^3}\over{6h_j^2}}+M_j{{(x-x_{j-1})^3}\over{6h_j}}+A_j(x-x_{j-1})+B_j\;</MATH>|1.95}} Na funkcję s(x) {{LinkWzór|1.95}} możemy nałożyć warunki interpolacji {{LinkWzór|1.86}}, w ten sposób wzór {{LinkWzór|1.95}} dla tych węzłów możemy napisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>s(x_{j-1})=M_{j-1}{{h_j^ 2}\over{6}}+B_j=y_{j-1}\;</MATH>|1.96}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>s(x_j)=M_j{{h_j^2}\over{6}}+A_jh_j+B_j=y_j\;</MATH>|1.97}} }} Z warunku {{LinkWzór|1.96}} wyznaczamy stałą B{{Sub|j}}, którą schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j=y_{j-1}-M_{j-1}{{h_j^2}\over{6}}\;</MATH>|1.98}} Z warunku {{LinkWzór|1.97}} możemy wyznaczyć wzór na stałą A{{Sub|j}}, którą to piszemy po podstawieniu do niego wzoru na stałą B{{Sub|j}} {{LinkWzór|1.98}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>A_j={{y_j}\over{h_j}}-{{B_j}\over{h_j}}-{{M_jh_j}\over{6}}={{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}-{{h_j}\over{6}}\left(M_j-M_{j-1}\right)\;</MATH>|1.99}} Piszemy teraz warunek, która mówi, że s{{Sup|<nowiki>'</nowiki>}}(x) jest funkcja ciągłą na przedziale obustronnie zamkniętym <a,b>, zatem w tym celu należy obliczyć granicę jednostronne w punktach x{{Sub|j}}+0, x{{Sub|j}}-0. Możemy policzyć te pochodne przy wykorzystaniu tożsamości na pewne stałe, czyli stałe zdefiniowane według wzoru A{{Sub|j}} {{LinkWzór|1.99}}, ale najpierw przedstawmy pochodną s(x) w punkcie x{{Sub|j}}-0: {{CentrujWzór|<MATH>s^{'}(x_j-0)=M_j{{h_j}\over{2}}+{{y_j-y_{i-1}}\over{h_j}}-{{h_j}\over{6}}(M_j-M_{j-1})+{{y_j-y_{i-1}}\over{h_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{h_j}\over{6}}M_{j-1}+{{h_j}\over{3}}M_j+{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}\;</MATH>|1.100}} i pochodną funkcji s(x) w punkcie x{{Sub|j}}+0: {{CentrujWzór|<MATH>s^'(x_j+0)=-M_j{{h_{j+1}}\over{2}}+{{y_{j+1}-y_{j}}\over{h_{j+1}}}-{{h_{j+1}}\over{6}}\left(M_{j+1}-M_{j}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{h_{j+1}}\over{3}}M_{j}-{{h_{j+1}}\over{6}}M_{j+1}+{{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}</MATH>|1.101}} I zażądamy by funkcja sklejana s(x) była funkcją ciągłą w punkcie x{{Sub|j}}, tzn, pochodna lewostronna {{LinkWzór|1.100}} tej funkcji jest równa pochodnej prawostronnej tej samej funkcji {{LinkWzór|1.101}}, tzn. by spełniała warunek: {{CentrujWzór|<MATH>s^{'}(x_j-0)=s^'(x_j+0)\;</MATH>|1.102}} Dalej wykorzystamy warunek {{LinkWzór|1.102}}, który przedstawia ciągłość funkcji s'(x) w punkcie x{{Sub|j}}, następnie do tego wzoru podstawiamy formułę na pochodną lewostronną {{LinkWzór|1.100}} i prawostronną {{LinkWzór|1.101}}, zatem takim razie możemy otrzymać warunek, który będziemy dalej przekształcać w tym samym punkcie: {{CentrujWzór|<MATH>{{h_j}\over{6}}M_{j-1}+{{h_j}\over{3}}M_j+{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}=-{{h_{j+1}}\over{3}}M_{j}-{{h_{j+1}}\over{6}}M_{j+1}+{{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{h_j}\over{6}}M_{j-1}+{{h_j+h_{j+1}}\over{3}}M_j+{{h_{j+1}}\over{6}}M_{j+1}={{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}-{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}\;</MATH>|1.103}} Wzór {{LinkWzór|1.103}} mnożymy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>{{6}\over{h_j+h_{j+1}}}\;</MATH>}}, w ten sposób możemy dojść do następnego celu: {{CentrujWzór|<MATH>(1-{{h_{j+1}}\over{h_i+h_{j+1}}})M_{j-1}+2M_j+{{h_{j+1}}\over{h_j+h_{j+1}}}M_{j+1}={{6}\over{h_j+h_{j+1}}}\left({{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}-{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}\right)\;</MATH>|1.104}} Wprowadźmy teraz oznaczenia, które będą nam potrzebne do dalszego kroku obliczeń: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_j={{h_{j+1}}\over{h_j+h_{j+1}}}\;</MATH>|1.105}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i=1-\lambda_i\;</MATH>|1.106}} }} {{CentrujWzór|<MATH>d_i={{6}\over{h_j+h_{j+1}}}\left({{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}-{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}\right)=6f(x_{j-1};x_j;x_{j+1})\;</MATH>|1.107}} Na podstawie oznaczeń {{LinkWzór|1.105}}, {{LinkWzór|1.106}}, {{LinkWzór|1.107}} równanie {{LinkWzór|1.104}} piszemy wedle przepisu: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_j M_{j-1}+2M_j+\lambda_jM_{j+1}=d_j\;</MATH>|1.108}} Warunek {{LinkWzór|1.87}} możemy przedstawić podstawiając w funcji s(x) {{LinkWzór|1.101}} taki argument by było "x" dążące do x{{Sub|0}} prawostronnie: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_1=-{{h_{1}}\over{3}}M_{0}-{{h_{1}}\over{6}}M_{1}+{{y_{1}-y_0}\over{h_{1}}}\Rightarrow {{h_{1}}\over{3}}M_{0}+{{h_{1}}\over{6}}M_{1}={{y_{1}-y_0}\over{h_{1}}}-\alpha_1\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH> 2M_0+M_1={{6}\over{h_1}}\left({{y_{1}-y_0}\over{h_{1}}}-\alpha\right)</MATH>|1.109}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.109}} otrzymujemy dwie bardzo ważne tożsamości na d{{Sub|0}}, które zapisujemy w zależności od współczynników M{{Sub|0}} i M{{Sub|1}} dla pierwszej tożsamości i w zalezności od y{{Sub|0}}, y{{Sub|1}} i h{{Sub|1}} w drugiej tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>2M_0+M_1=d_0\;</MATH>|1.110}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d_0={{6}\over{h_1}}\left({{y_1-y_0}\over{h_1}}-\alpha_1\right)\;</MATH>|1.111}} }} Warunek {{LinkWzór|1.88}} możemy przedstawić podstawiając za funkcję s(x) {{LinkWzór|1.101}} dla i=n-1 i dla "x" dążącego lewostronnie do x{{Sub|n}}:, {{CentrujWzór|<MATH>\beta_1={{h_n}\over{6}}M_{n-1}+{{h_n}\over{3}}M_n+{{y_n-y_{n-1}}\over{h_n}}\Rightarrow \beta_1-{{y_{n}-y_{n-1}}\over{h_{n}}}={{h_{n}}\over{6}}M_{n-1}+{{h_{n}}\over{3}}M_{n}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow M_{n-1}+2M_n={{6}\over{h_n}}\left(\beta_1-{{y_{n}-y_{n-1}}\over{h_{n}}}\right) </MATH>|1.112}} Z tożsamości {{LinkWzór|1.112}} otrzymujemy dwie bardzo ważne tozsamości na d{{Sub|n}}, które zapisujemy w zależności od współczynników M{{Sub|n}} i M{{Sub|n-1}} dla pierwszej tożsamości i w zależności od y{{Sub|n}}, y{{Sub|n-1}} i h{{Sub|n}} w drugiej tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M_{n-1}+2M_n=d_n\;</MATH>|1.113}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d_n={{6}\over{h_n}}\left(\beta_1-{{y_n-y_{n-1}}\over{h_n}}\right)\;</MATH>|1.114}} }} Na podstawie tożsamości {{LinkWzór|1.108}} , {{LinkWzór|1.110}} i {{LinkWzór|1.113}} możemy napisać równanie macierzowe jako: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} 2&1&0&\cdots&0\\ \mu_1&2&\lambda_1&\cdots&0\\ 0&\mu_1&2&\cdots&0\\ \vdots&&&&\vdots\\ 0&\cdots&\cdots&2&\lambda_{n-1}\\ 0&\cdots&\cdots&1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M_0\\M_1\\\vdots\\M_{n-1}\\M_n\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_0\\d_1\\ \vdots\\d_{n-1}\\d_n\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|1.115}} Jeśli będziemy przyjmować funkcje okresową s(x) o okresie b-a, to wtedy na podstawie {{LinkWzór|1.91}} możemy powiedzieć, że wielkość o wskaźniku n+1 jest to wielkość o wskaźniku 1, a wielkość o wskaźniku n jest to wielkość o wskaźniku 0. Zatem na podstawie tego i wcześniejszych rozważań tożsamość {{LinkWzór|1.108}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_nM_1+\mu_nM_{n-1}+2M_n=\tilde{d}_n\;</MATH>|1.116}} Wzory na &lambda;{{Sub|n}} według {{LinkWzór|1.105}}, &mu;{{Sub|n}} według {{LinkWzór|1.106}} i {{Formuła|<MATH>\tilde{d}_n\;</MATH>}} według {{LinkWzór|1.107}} piszemy tutaj na podstawie określoności funkcji s(x) wedle schematów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_n={{h_1}\over{h_1+h_{n}}}\;</MATH>|1.117}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_n=1-\lambda_n\;</MATH>|1.118}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{d}_n={{6}\over{h_1+h_n}}\left({{y_1-y_0}\over{h_1}}-{{y_n-y_{n-1}}\over{h_n}}\right)\;</MATH>|1.119}} }} Na podstawie równania {{LinkWzór|1.108}} i {{LinkWzór|1.116}} możemy napisać tożsamość macierzową wynikającej z przyjęcia okresowości funkcji s(x) rugując stałą M{{Sub|0}} (M{{Sub|0}}=M{{Sub|n}}): {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} 2&\lambda_1&0&\cdots&\mu_1\\ \mu_1&2&\lambda_1&\cdots&0\\ 0&\mu_1&2&\cdots&0\\ \vdots&&&&\vdots\\ 0&\cdots&\cdots&2&\lambda_{n-1}\\ \lambda_n&\cdots&\cdots&\mu_n&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M_1\\M_2\\\vdots\\M_{n-1}\\M_n\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_1\\d_2\\ \vdots\\d_{n-1}\\\tilde{d}_n\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|1.120}} Można obliczyć stałe M{{Sub|i}} z warunku macierzowego {{LinkWzór|1.115}} dla funkcji nieokresowej s(x) lub dla funkcji okresowej s(x) według warunku macierzowego {{LinkWzór|1.120}}, zatem przy pomocy obliczonych współczynników M{{Sub|i}} możemy policzyć wartość s(x) w punkcie "x" ze wzoru {{LinkWzór|1.95}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0shbi5hgqhazdryo0e31kkzlxy7x55m 0 20460 558638 479158 2026-10-04T23:19:28Z Persino 2851 558638 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W poprzednim rozdziale rozpatrywaliśmy interpolację funkcji, gdy liczba punktów (węzłów) jest istotnie duża, to należało by zbudować wielomian takiego stopnia ile jest węzłów. Interpolacja jest z tego względu niewygodna. Jeśli każdy punkt interpolowany posiada pewien błąd pomiarowy, to interpolowanie staje się zbyteczne, ze względu na to lepszym problem natomiast jest aproksymacja, która przechodzi pomiędzy punktami, ale to aproksymacja funkcji f(x) polega na wyznaczników takich współczynników a{{Sub|0}}, a{{Sub|1}},...,a{{Sub|n}}, które występują w funkcji aproksymującej: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)=a_0\varphi_0(x)+a_1\varphi_1(x)+...+a_m\varphi_n(x)\;</MATH>|2.1}} Aproksymacja dana wzorem {{LinkWzór|2.1}} nazywamy aproksymacją liniową. A maszynach cyfrowych, często ogromną rolę odgrywa aproksymacja wymierna, którą to piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)={{a_0\varphi_0(x)+a_1\varphi_1(x)+...+a_m\varphi_n(x)}\over{b_0\psi_0(x)+b_1\psi_1(x)+...+b_m\psi_n(x)}}\;</MATH>|2.2}} Aby powiedzieć, co to jest aproksymacja funkcji należy wprowadzić pojęcie normy funkcji, która to definiujemy w przypadku funkcji ciągłych bez wagi i z wagą kolejno wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||f||_2=\left(\int_a^b|f(x)|^2dx\right)^{{{1}\over{2}}} \;</MATH>|2.2a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||f||_{2,w}=\left(\int_a^bw(x)|f(x)|^2dx\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|2.3}} }} === Wprowadzenie do aproksymacji średniokwadratowej === W aproksymacji średniokwadratowej dla funkcji f(x) określonej w przedziale &langle;a,b&rangle; poszukujemy minimum całki: {{CentrujWzór|<MATH>||F(x)-f(x)||=\int_a^bw(x)[F(x)-f(x)]^2dx\;</MATH>|2.4}} lub na zbiorze dyskretnym zamiast całki {{LinkWzór|2.4}} poszukujemy minimum sumy: {{CentrujWzór|<MATH>||F(x)-f(x)||=\sum_{i=1}^nw(x_i)[F(x_i)-f(x_i)]^2\;</MATH>|2.5}} === Wprowadzenie aproksymacji jednostajnej === W przypadku aproksymacji jednostajnej poszukujemy taką funkcję F(x), dla której jest najmniejsze maksimum różnicy pomiędzy funkcją F(x) a funkcją f(x) określonych na przedziale &langle;a,b&rangle;: {{CentrujWzór|<MATH>||F(x)-f(x)||=\sup_{x\in\langle a, b\rangle}|F(x)-f(x)|\;</MATH>|2.6}} == Omówienie aproksymacji średniokwadratowej == Poszukujemy funkcji aproksymującej, której to piszemy przy pomocy funkcji bazowej &phi;{{Sub|i}}(x) i współczynników a{{Sub|i}}, przy czym te współczynniki są tak określone, by {{LinkWzór|2.4}} przyjmowało wartość minimalną, przy funkcji wagowej w(x{{Sub|j}}) większej od zera, wtedy napiśmy taką funkcję H przy naszych współczynnikach a{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>H(a_0,a_1,..,a_m)=\sum_{j=1}^nw(x_j)\left[f(x_j)-\sum_{i=0}^ma_i\varphi_i(x_j)\right]^2\;</MATH>|2.7}} Aby funkcja względem współczynników a{{Sub|i}} , czyli według {{LinkWzór|2.7}} przyjmowała wartość ekstremalną, to wtedy musi zachodzić, że pochodna funkcji H {{LinkWzór|2.7}} względem współczynników a{{Sub|k}} powinna być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial H}\over{\partial a_k}}=0\mbox{, }k=0,1,2,..,m\;</MATH>|2.8}} Jeśli do warunku na ekstremalną wartość funkcji H, czyli {{LinkWzór|2.8}}, względem współczynników a{{Sub|k}} wstawimy definicje funkcji H {{LinkWzór|2.7}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial H}\over{\partial a_k}}=-2\sum_{j=0}^nw(x_j)\left[f(x_j)-\sum_{i=0}^ma_i\varphi_i(x_j)\right]\varphi_k(x_j)=0\;</MATH>|2.9}} Równość {{LinkWzór|2.9}} sugeruje, że można zdefiniować macierze: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{D}=\begin{bmatrix} \varphi_0(x_0)&\cdots&\varphi_m(x_0)\\ \varphi_0(x_1)&\cdots&\varphi_m(x_1)\\ \cdots\\\cdots&\cdots&\cdots\\ \varphi_0(x_n)&\cdots&\varphi_m(x_n)\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|2.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}=\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}\;</MATH>|2.11}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{f}=\begin{bmatrix}f(x_0)\\f(x_1)\\\vdots\\f(x_n)\end{bmatrix}\;</MATH>|2.12}} }} Mając zdefiniowane macierze {{LinkWzór|2.10}}, {{LinkWzór|2.11}} i {{LinkWzór|2.12}} możemy napisać równość {{LinkWzór|2.9}} w postaci macierzowej przy nieosobliwej macierzy D: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{D}^T\mathbf{D}\mathbf{A}=\mathbf{D}^T\mathbf{f}\Rightarrow\mathbf{D}\mathbf{A}=\mathbf{f}\;</MATH>|2.13}} W wyniku aproksymacji średnio-kwadratowej otrzymujemy na podstawie {{LinkWzór|2.13}}, że iloczyn macierzy D (zdefiniowanej przy pomocy funkcji &phi;{{Sub|i}}(x{{Sub|j}})) przez wektor A (zdefiniowanej przy pomocy współczynników aproksymacji a{{Sub|i}}) jest równa wektorowi f (zdefiniowanej przy pomocy wartości funkcji f(x{{Sub|j}}) dla j=0,1,..,m). == Omówienie aproksymacji wielomianowej == Przyjmijmy jako funkcje bazowe ciąg jednomianów x{{Sup|i}}, dla i=0,1,2,..,m, do której zastosujemy warunek {{LinkWzór|2.9}} i zmienimy w nim kolejność sumowania, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{j=0}^n\left[f(x_j)-\sum_{i=1}^ma_ix_j^i\right]x_j^k=0\Rightarrow\sum_{j=0}^nf(x_j)x_j^k=\sum_{i=0}^ma_i\sum_{j=0}^nx_j^{i+k}\;</MATH>|2.14}} Jeśli wprowadzimy następujące oznaczenia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>g_{ik}=\sum_{j=0}^nx_j^{ik+k}\;</MATH>|2.15}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho_k=\sum_{j=0}^nf(x_j)x_j^k\;</MATH>|2.16}} }} To otrzymamy równość na podstawie oznaczeń {{LinkWzór|2.15}} i {{LinkWzór|2.16}} i wejściowej równości {{LinkWzór|2.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=0}^ma_ig_{ik}=\rho_k\mbox{ gdzie: }k=0,1,2,...m\;</MATH>|2.17}} Jak wiadomo układ równań określonych wzorem {{LinkWzór|2.17}} jest układem Cramera o wyznaczniku głównym nie równym zero i stąd możemy wyznaczyć współczynniki a{{Sub|i}}, których jest m+1, czyli w ten sposób mamy na podstawie tychże obliczonych współczynników wielomian aproksymacyjny. Jeśli ilość punktów aproksymacyjnych pokrywa się z liczbą stopnia wielomianów aproksymacyjnych, to H=0, w ten sposób funkcja aproksymacyjna staje się funkcją interpolacyjną, zwykle tak powinno być, że funkcja aproksymacyjna zbudowana na podstawie wielomianów, których stopień powinien być o wiele mniejszy niż liczba punktów aproksymacyjnych. == Wielomiany ortogonalne i ich aproksymacja przy pomocy tychże wielomianów == Przy wyznaczaniu funkcji aproksymacyjnej wielomianowej, której bazami są jednomiany odpowiednich potęg, który obliczenia są bardzo pracochłonne, a ponadto ich wyniki są niepewne. Dodatkowo mamy fakt, że przy zmianie stopnia wielomianu aproksymacyjnego wymaga ponownego rozwiązania układu normalnego, co przemawia przeciwko tejże metodzie. Ten fakt przemawia, żeby opisywać problem aproksymacyjny przy pomocy wielomianów ortogonalnych. Wielomianami ortogonalnymi nazywamy wielomiany, które spełniają warunek ortogonalności, oraz ich normy są większe niż zero, które te warunki możemy zapisać wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=0}^nf(x_i)g(x_i)=0\;</MATH>|2.18}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=0}^n [f(x_i)]^2>0\;</MATH>|2.19}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=0}^n[g(x_i)]^2>0\;</MATH>|2.20}} }} Wprowadźmy teraz zmienną q, która jest ilorazem różnicy starej zmiennej x i zmiennej x{{Sub|0}} przez odstęp h, który to opisuje punkty jednakowo oddalone: {{CentrujWzór|<MATH>q={{x-x_0}\over{h}}\;</MATH>|2.21}} Teraz wprowadźmy teraz funkcję {{Formuła|<MATH>F^{(n)}_i(q)\;</MATH>}}, które są wzajemnie ortogonalne, które spełniają warunek ortoganalności {{LinkWzór|2.18}} dla j&ne;k: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=0}^nF_j^{(n)}(q)F_k^{(n)}(q)=0\;</MATH>|2.22}} Zbudujmy teraz wielomian powiedziany tuż poniżej, której to piszemy wzorem ogólnikowym za pomocą sumy wielomianów o wzrastających stopniu zmiennej q, który każdy z składników jest iloczynem różnic z liczby q i pewnej liczby o zakresie od 0 do k+1: {{CentrujWzór|<MATH>F^{(n)}_k(q)=a_0+a_1q+a_2q(q-1)+a_3q(q-1)(q-2)+...+a_kq(q-1)...(q-k-1)\;</math>|2.23}} Wielomian {{LinkWzór|2.23}} możemy zapisać w sposób ogólny przy w prowadzeniu oznaczenia q{{Sup|[k]}}, który jest równy iloczynowi różnicy z liczby q i pewnej liczby o zakresie od 0 do k+1, zatem to oznaczenie możemy przepisać wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>q^{[k]}=q(q-1)...(q-k+1)\;</MATH>|2.24}} Wzór {{LinkWzór|2.23}} przy pomocy oznaczenia q{{Sup|[k]}}, który jest zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|2.24}}, możemy przepisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>F^{(n)}_k=a_0+a_1q^{[2]}+...+a_kq^{[k]}\;</MATH>|2.25}} Ciąg funkcji {{LinkWzór|2.25}}, który to możemy napisać dla k=0,1,...,m, której kolejne elementy są wielomianami ortogonalnymi, piszemy je jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{F}^{(n)}_k(0)=1\;</MATH>|2.26}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{F}^{(n)}_k(q)=1+b_1q^{[1]}+...+b_kq^{[k]}\;</MATH>|2.26a}} }} Można udowodnić po stosunkowo prostych obliczeniach, że wielomiany {{LinkWzór|2.26a}}, które są zapisane k=0,1,2,...,m, są ortogonalne do siebie, gdy one zapisane są na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{F}^{(n)}_k(q)=\sum_{s=0}^k(-1)^s{ k\choose s}{k+s\choose s}{{q^{[s]}}\over{n^{[s]}}}\;</MATH>|2.27}} Wzór {{LinkWzór|2.27}} nazywamy wielomianami Grama, które są określone dla k=0,1,2,3,..m dla n+1 równoległych węzłów x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}},...,x{{Sub|n}}. Wzór aproksymacyjny, który jest oparty na wielomianach Grama {{LinkWzór|2.27}} jest odpowiednikiem wzoru {{LinkWzór|2.1}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>y_m=\sum_{k=0}^m{{c_k}\over{s_k}}\hat{F}^{(n)}_k(q)=\sum_{k=0}^m{{c_k}\over{s_k}}\hat{F}^{(n)}_k\left({{x-x_0}\over{h}}\right)\;</MATH>|2.28}} Jeśli weżniemy <MATH>m\leq n\;</MATH>, to stałe s{{Sub|k}} i c{{Sub|k}} piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>s_k=\sum_{i=0}^n[\hat{F}^{(n)}_k(q)]^2\;</MATH>|2.29}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>c_k=\sum_{i=0}^ny_i\hat{F}^{(n)}(x_i)\;</MATH>|2.30}} }} Gdy punkty nie są równoodległe do siebie, to objeżmy sobie pewien ciąg wielomianów &phi;{{Sub|i}}, i udowodnimy za pomocą indukcji matematyczne, że ten obrany wielomian jest ortogonalny, który to zapisujemy iteracyjnie w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_{j+1}=(x-\alpha_{j+1})\varphi_j(x)-\beta_j\varphi_{j-1}(x)\mbox{ dla } j=0,1,.. \;</math>|2.31}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_0(x)=1\;</MATH>|2.32}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_{-1}(x)=0\;</MATH>|2.33}} }} W której to stałe &beta;{{Sub|j}} i &alpha;{{Sub|j+1}} możemy określić wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\beta_j={{\sum_{i=0}^n\varphi_j^2(x_j)}\over{\sum_{i=1}^n\varphi^2_{j-1}(x_i)}}\;</MATH>|2.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_{j+1}={{\sum_{i=0}^{n}x_i\varphi^2_j(x_i)}\over{\sum_{j=0}^n\varphi^2_j(x)}}\;</MATH>|2.35}} }} Sprawdźmy, czy wielomian &phi;{{Sub|2}} jest wielomianem ortogonalnym z wielomianem &phi;{{Sub|1}} jako pierwszy krok twierdzenia o indukcji matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>(\varphi_2,\varphi_1)=\sum_{i=0}^n(x_i-\alpha_{2})\varphi_1^2(x_i)=\sum_{i=0}^n x_i\varphi_1^2(x_i)-\alpha_{2}\sum_{i=0}^n\varphi^2_1(x_i)=\;</math>{{Br}}<math>=\sum_{i=0}^n x_i\varphi_1^2(x_i)-\left({{\sum_{i=0}^{n}x_i\varphi^2_1(x_i)}\over{\sum_{j=0}^n\varphi^2_1(x)}}\right)\sum_{i=0}^n\varphi_1^2(x_i)=0\;</MATH>|2.36}} Następnym krokiem jest wykazanie, czy wielomian {{LinkWzór|2.31}} w następnym założeniu indukcyjnym jest wielomianem ortogonalnym do pozostałych wielomianów, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>(\varphi_{j+1},\varphi_j)=\sum_{i=1}^n (x_i-\alpha_{j+1})\varphi_i=\sum_{i=1}^nx_i\varphi_i-{{\sum_{i=0}^{n}x_i\varphi^2_j(x_i)}\over{\sum_{j=0}^n\varphi^2_j(x)}}\sum_{i=0}^n\varphi_j^2(x_i)=0\;</MATH>|2.37}} A także wykażemy dla zupełności wykładu, czy wielomian &phi;{{Sub|j+1}}(x) jest ortogonalny z wielomianem &phi;{{Sub|j-1}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\varphi_{j+1},\varphi_{j-1})=((x-\alpha_{j+1})\varphi_j(x)-\beta_j\varphi_{j-1}(x),\varphi_{j-1})=\beta_j(\varphi_{j-1},\varphi_{j-1})=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\beta_j((x-\alpha_{j-1})\varphi_{j-2}(x)-\beta_{j-2}\varphi_{j-3}(x),\varphi_{j-1})=0\;</MATH>|2.38}} Możemy zbudować teraz wielomian y{{Sub|m}}(x), który to jest odpowiednikiem wielomianu aproksymującego daną funkcję f(x), czyli wielomianu {{LinkWzór|2.28}}, który to piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>y_m(x)=\sum_{k=0}^m b_k\varphi_k(x)\;</MATH>|2.39}} Piszemy stałą b{{Sub|k}} występujących w punkcie {{LinkWzór|2.39}}, którą zapiszemy przy pomocy ilorazu funkcji C{{Sub|k}} i funkcji S{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>b_k={{C_k}\over{S_k}}\;</MATH>|2.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>C_k=\sum_{i=0}^ny_i\varphi_k(x_i)\;</MATH>|2.41}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>S_k=\sum_{i=0}^n\varphi_k^2(x_i)\;</MATH>|2.42}} }} === Średniokwadratowa aproksymacja funkcji ciągłych === Weźmy teraz funkcję aproksymacyjną P(x), którą podobnie będziemy definiować jak w punkcie {{LinkWzór|2.1}}, ale ta funkcja jest ciągłą funkcją jego argumentu, co dotyczy również funkcji f(x) aproksymowanej, których średniokwadratowa norma piszemy wedle następującego schematu: {{CentrujWzór|<MATH>H_n=\int_a^b[P(x)-f(x)]^2dx=\int_a^b\left[\sum_{i=0}^na_i\varphi_i(x)-f(x)\right]^2dx\;</math>|2.43}} Aby wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji H{{Sub|n}} należy policzyć wszystkie pochodne tejże funkcji aproksymacyjnej względem współczynników a{{Sub|0}}, a{{Sub|1}},...,a{{Sub|n}}, które powinny przyjmować wartość zerową, stąd możemy wyznaczyć te nasze współczynniki, dzięki której możemy wyznaczyć wielomian aproksymacyjny. == Omówienie aproksymacji trygonometrycznej == Zagadnieniach naszych często spotykamy się z funkcjami, tzn. z funkcjami okresowymi o pewnym okresie, które to są zdefiniowane jako funkcja aproksymująca w postaci kombinacji liniowych funkcji trygonometrycznych, która zależy od zmiennej x ciągłej, definicję tejże funkcji piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n(x)={{a_0}\over{2}}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\;</MATH>|2.44}} Bardzo interesującym przypadkiem, gdy funkcja f(x) ma okres 2L, i dalej na podstawie tego obierzmy sobie punkty aproksymujące, których postać jest następująca: {{CentrujWzór|<MATH>x_i={{\pi j}\over{L}}\mbox{ dla }j=0,1,2,..,2L-1\;</MATH>|2.45}} Najpierw musimy udowodnić tożsamość matematyczną korzystając z definicji liczby zespolonej w postaci eksponentu {{LinkWzór|8.4|Wprowadzenie_do_funkcji_zespolonej|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|8.2|Wprowadzenie_do_funkcji_zespolonej|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, które to wykorzystamy do liczenia wyrażenia poniżej wykorzystując, że węzły aproksymacji są przestawione według {{LinkWzór|2.45}}, na tej podstawie dla k&ne; 0 możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{j=0}^{2L-1}\cos kx_j+i\sum_{i=0}^{2L-1}\sin kx_j=\sum_{j=1}^{2L-1}e^{ikx_i}=\sum_{j=1}^{2L-1}e^{i{{k j\pi}\over{L}}}= {{1-e^{i{{kj\pi}\over{L}}2L}}\over{1-e^{i{{kj\pi}\over{L}}}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> {{1-\cos (2\pi kj)-i\sin(2\pi kj)}\over{1-e^{i{{kj\pi}\over{L}}}}}=0</MATH>|2.46}} Następnym krokiem jest wykorzystanie tożsamości policzonej w trzech punktach poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{j=0}^{2L-1}\sin mx_i\cdot\sin kx_i={{1}\over{2}}\sum_{j=0}^{2L-1}\left[\cos (m-k)x_i-\cos(m+l)x_i\right]=\begin{cases} 0&\mbox{ dla }m\neq k\\ L&\mbox{ dla }m=k\neq 0\\ 0&\mbox{ dla }m=k=0 \end{cases}\;</MATH>|2.47}} {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=0}^{2L-1}\cos mx_i\cdot\cos kx_i={{1}\over{2}}|\sum_{j=0}^{2L-1}\left[\cos(m-k)x_i+\cos(m+l)x_i\right]=\begin{cases} 0&\mbox{ dla }m\neq k\\ L&\mbox{ dla }m=k\neq 0\\ 2L&\mbox{ dla }m=k=0 \end{cases} \;</MATH>|2.48}} {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=0}^{2L-1}\cos kx_i\sin kx_i={{1}\over{2}}\sum_{i=0}^{2L-1}\left[\sin(k+m)x_i+\sin(k-m)x_i\right]=0\;</MATH>|2.49}} Wielomian trygonometryczny {{LinkWzór|2.44}} możemy zapisać używając, że x{{Sub|i}} jest zdefiniowane sposobem {{LinkWzór|2.45}}, zatem możemy podać ten nasz wielomian: {{CentrujWzór|<MATH>y_n(x_j)={{1}\over{2}}a_0+\sum_{k=1}^n\left(a_k\cos kx_j+b_k\sin kx_j \right)\mbox{ dla }n<L\;</MATH>|2.50}} Aby wyznaczyć współczynniki wielomianu a{{Sub|j}} i b{{Sub|j}} należy wykorzystać warunki ortogonalności {{LinkWzór|2.47}}, {{LinkWzór|2.48}} i {{LinkWzór|2.49}}, a także będziemy korzystać z aproksymacji średnio-kwadratowej {{LinkWzór|2.5}} dla funkcji f(x) określonej na dyskretnej ilości zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH>I=\sum_{i=0}^{2L-1}\left[f(x_i)-y_n(x_i)\right]^2\;</MATH>|2.51}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|2.51}} te nasze współczynniki a{{Sub|k}} i b{{Sub|k}} są określone na postawie wyliczonych kolejnych pochodnych pierwszego rzędu względem stałych, bo norma średniokwadratowa róźnicy funkcji aproksymowanej i aproksymujacej przyjmuje wartość najmniejszą dla funkcji aproksymującej {{LinkWzór|2.50}}: {{CentrujWzór|<MATH>a_k={{1}\over{L}}\sum_{i=0}^{2L-1}f(x_i)\cos k x_i={{1}\over{L}}\sum_{i=0}^{2L-1}f(x_i)\cos\left({{\pi ki}\over{L}}\right)\;</MATH>|2.52}} {{CentrujWzór|<MATH>b_k={{1}\over{L}}\sum_{i=0}^{2L-1}f(x_i)\sin kx_i={{1}\over{L}}\sum_{i=0}^{2L-1}f(x_i)\sin\left({{\pi ki}\over{L}}\right)\;</MATH>|2.53}} == Funkcje sklejane i aproksymacja za pomocą niej == Omówimy tutaj aproksymację średnio-kwadratową dla węzłów aproksymacji jednakowo oddalonych x{{Sub|i}}=a+ih przy <MATH>_{h={{b-a}\over{n}}}\;</MATH> dla funkcji sklejanych trzeciego stopnia, zatem funkcja aproksymacyjna można przestawić jako kombinację liniową funkcji trzeciego stopnia <MATH>\Phi^3_i(x)\;</MATH> określonych w przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>s(x)=\sum_{i=-1}^{n+1}c_i\Phi^3_i(x)\mbox{ gdzie:}x\leq x\leq b\;</MATH>|2.54}} Będziemy teraz rozważać aproksymację średnio-kwadratową funkcji ciągłej f(x), której norma poniżej przyjmuje wartość najmniejszą: {{CentrujWzór|<MATH>I=\int_a^b\left[f(x)-\sum_{i=-1}^{n=1}c_i\Phi^3_i(x)\right]^2dx\;</MATH>|2.55}} Funkcja {{LinkWzór|2.54}} jest funkcją parametrów c{{Sub|k}}, którego chcemy napisać jego wartość najmniejszą, zatem musimy policzyć jego pierwszą pochodną względem odpowiednich współczynników, w ten sposób mamy n+3 niewiadomych określonych n+3 równań, których to wyznaczamy z równania zapisanego dla dowolnego j=-1,0,1,..n+1, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=-1}^{n+1}c_i\int_a^b\Phi^3_i(x)\Phi^3_j(x)dx=\int_a^bf(x)\Phi^3_j(x)dx\;</MATH>|2.56}} Jeśli wprowadzimy następujące oznaczenie, która jest całką na przedziale od a do b na iloczynie funkcji <MATH>\Phi^3_j\;</MATH> i <MATH>\Phi^3_i\;</MATH>, i ta cała całka jest podzielona przez liczbę h, zatem zapis równań {{LinkWzór|2.56}} piszemy wzorami dla i=-1,0,1,..,n+1: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=-1}^{n+1}c_ia_{ij}={{1}\over{h}}\int_a^bf(x)\Phi^3_j(x)dx\;</MATH>|2.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>a_{ij}={{1}\over{h}}\int_a^b\Phi^3_i(x)\Phi^3_j(x)dx\;</MATH>|2.58}} }} Jeśli wyznacznik główny tego rozwinięcia {{LinkWzór|2.57}}, czyli określonej przez elementy {{LinkWzór|2.58}}, jest nierówny zero, to mamy wtedy określone elementy c{{Sub|i}}, które jednoznacznie są określone. Następnym naszym etapem jest rozważanie funkcji f(x) określonej na elementach dyskretnych, dla którego warunek na aprosykację średniokwadratową {{LinkWzór|2.51}} piszemy przy wadzie w(x{{Sub|i}}) równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>I=\sum_{k=0}^m\left[f(x_i)-\sum_{i=-1}^{n+1}c_i\Phi^3(x_i)\right]^2\;</MATH>|2.59}} Aby funkcja {{LinkWzór|2.59}} przyjmowała wartość najmniejszą, należy policzyć jego pierwszą pochodną względem współczynników c{{Sub|i}} i przyrównać tą pochodną do zera, zatem na podstawie tego otrzymujemy układ równań na współczynniki c{{Sub|i}} przy definicji elementów macierzy b{{Sub|ij}} podanych w tym samej linijce: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=-1}^{n+1}b_{ij}c_i=\sum_{k=0}^nf(x_i)\Phi_j^3(x_i)\;</MATH>|2.60}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_{ij}=\sum_{k=0}^n\phi_i^3(x_k)\phi^3_j(x_k)\;</MATH>|2.61}} }} Jeśli wyznacznik główny tego rozwinięcia {{LinkWzór|2.60}}, czyli określonej przez elementy {{LinkWzór|2.61}} jest nierówny zero, to mamy wtedy określone elementy c{{Sub|i}}, które jednoznacznie są określone. == Aproksymacja jednostajna przy pomocy wielomianów == Każdą funkcję możemy aproksymować wielomianami dowolnego stopnia {{LinkWzór|2.1}}. Jeśli opis danej funkcji jest określonej przy pomocy szeregów Taylora, to wynik jej może być obcięty do wielomianu o stopniu jakiś tam, zatem możemy wybrać funkcję aproksymującą o stopniu n zapisując ją: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\;</MATH>|2.62}} Stopień wielomianu {{LinkWzór|2.62}} jest taki, żeby wyrażenie zapisane poniżej miało najmniejszą wartość w przedziale <a,b>: {{CentrujWzór|<MATH>E_n=\sup_{x\in\langle a,b\rangle}|f(x)-W_n(x)|\;</MATH>|2.63}} przy wyznaczeniu wielomianu najlepszego stopnia, często korzysta się z twierdzenia Borela, który powiedział i wykazał , że dla każdej funkcji ciągłej f(x) na omawianej przedziale i dowolnej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jeden wielomian, który aproksymuje funkcję f(x). == Metoda aproksymacji jednostajnych, czyli metoda szeregów potęgowych == Najlepszą metodą przy aproksymacji funkcji f(x) ciągłej na przedziale <a,b> jest rozwiniecie w postaci szeregów potęgowych Taylora, który to rozwiniemy w otoczeniu punktu x{{Sub|0}} o promieniu zbieżności &delta;, co można powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>x_0-\delta<a<b<x_0+\delta\;</MATH>|2.64}} Rozwinięcie funkcji f(x) w szereg Taylora z dokładności do n-tego stopnia piszemy wzorem w otoczeniu punktu x{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=f(x_0)+{{f^'(x_0)}\over{1!}}(x-x_0)+{{f^{''}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2+...+{{f^{(n+1)}}\over{n!}}(x-x_0)^n\;</MATH>|2.65}} Różnica funkcji aproksymującej W{{Sub|n}} i funkcji aproksymowanej W{{Sub|n}}(x) jest wyrażona wzorem znanej z analizy matematycznej, którą to piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)-W_n(x)={{f^{(n+1)(c)}}\over{(n-1)!}}(x-x_0)^{n+1}\;</MATH>|2.66}} Jeśli maksymalną wartość n+1 pochodnej funkcji f(x) na rozważanym przedziale określimy przez M{{Sub|n+1}}, to według aproksymacji jednostajnej na podstawie {{LinkWzór|2.65}} możemy powiedzieć, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>|f(x)-W_n(x)|\leq {{M_{n+1}}\over{(n-1)!}}\delta^{n+1}\;</MATH>|2.67}} Za pomocą funkcji {{LinkWzór|2.65}} możemy policzyć dowolne przybliżenie funkcji dla dowolnego przybliżenia, który zależy od stopnia aproksymującej funkcji. == Naprawdę szybka transformacja Fouriera == Każdą funkcję określoną w n różnych punktach określonych na "n" punktach <MATH>_{x_{\beta}={{2\pi\beta}\over{n}}\mbox{, }\beta=0,1...,n-1}\;</MATH> możemy przybliżać wielomianami trygonometrycznymi: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)=\sum_{k=0}^{n-1}c_ke^{ikx}\;</MATH>|2.68}} Można udowodnić, że wzór {{LinkWzór|2.68}} jest równoważny wzorowi: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)={{a_0}\over{2}}+\sum_{k=1}^m\left(a_{k}\cos kx+b_k\sin kx\right)+{{1}\over{2}}a_{m+1}\cos(m+1)x\;</MATH>|2.69}} * gdzie &theta;=1, mamy: {{Formuła|<MATH>m={{n-2}\over{2}}\;</MATH>}} dla n parzystych. * gdzie &theta;=0, mamy {{Formuła|<MATH>m={{n-1}\over{2}}\;</MATH>}} dla n nieparzystych. Udowodnijmy przejście od wzoru {{LinkWzór|2.68}} do wzoru {{LinkWzór|2.69}} dla n parzystego i nieparzystego. Dla n parzystego wzór {{LinkWzór|2.68}} przepisujemy następująco: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)=\sum_{k=0}^{2m+2}c_ke^{ikx}=\sum_{i=0}^m c_ke^{ikx}+\sum_{i=m+1}^{2m+2}c_ie^{ikx}= \sum_{k=0}^mc_ke^{ikx}+\sum_{k=0}^{m+1}c_{2m+2-k}e^{i(2m+2-k)x}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{k=0}^mc_ke^{ikx_\beta}+\sum_{k=0}^{m+1}c_{2m+2-k}e^{i(2m+2)x_{\beta}}e^{-ikx_{\beta}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> \sum_{k=0}^m\left(c_ke^{ikx_\beta}+c_{2m+2-i}e^{-ikx_{\beta}}\right)+c_{m+1}e^{i(m+1)x_{\beta}}\;</MATH>|2.70}} Jak można dalej udowodnić, że otrzymany końcowy wzór {{LinkWzór|2.70}} jest równoważny wzorowi, które po krótkich perypetiach otrzymujemy {{LinkWzór|2.69}} dla n parzystego. Rozpatrzmy teraz przypadek końcowy, gdy n jest nieparzyste, zatem w takim razie równość {{LinkWzór|2.68}} możemy zapisać w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>F(x)=\sum_{k=0}^{2m+1}c_ke^{ikx}=\sum_{k=0}^{m}c_ke^{ikx}+\sum_{k=m}^{2m+1}c_ke^{ikx}= \sum_{k=0}^{m}c_ke^{ikx}+\sum_{k=0}^{2m+1-k}c_{k}e^{i(2m+1-k)x}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{k=0}^mc_ke^{ikx_{\beta}}+\sum_{k=0}^mc_{2m+i-k}e^{i(2m+1)kx_{\beta}}e^{-ikx}=\sum_{i=0}^{m}\left(c_ke^{ikx}+c_{2m+1-i}e^{-ikx}\right) \;</MATH>|2.71}} Jak można dalej udowodnić, że otrzymany końcowy wzór {{LinkWzór|2.71}} jest równoważna wzorowi, które po krótkich perypetiach otrzymujemy {{LinkWzór|2.68}} dla n nieparzystego. Za pomocą aproksymacji średnio-kwadratowej możemy policzyć współczynniki c{{Sub|k}} występujące we wzorze {{LinkWzór|2.68}} i współczynniki a{{Sub|k}} i b{{Sub|k}} występujące we wzorze: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>c_k={{1}\over{n}}\sum_{\beta}^{n-1}f(x_{\beta})e^{-ikx_{\beta}}\;</MATH>|2.72}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>a_k={{1}\over{2n}}\sum_{\beta=0}^{n-1}f(x_{\beta})\cos kx_{\beta}\;</MATH>|2.73}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>b_k={{1}\over{2n}}\sum_{\beta}^{n-1}f(x_{\beta})\sin kx_{\beta}\;</MATH>|2.74}} }} Naszym celem jest wyznaczenie współczynników {{LinkWzór|2.68}} mając ciąg wartości x{{Sub|&beta;}}. === Wyliczanie współczynników c{{Sub|k}} === Jest to metoda polegająca, która nosi nazwę szybkiej transformacji Fouriera. Wprowadźmy teraz nasze obliczenia wprowadzając oznaczenia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>w=e^{- {{2\pi i}\over{n}} }\mbox{, }k=0,1,..n-1\;</MATH>|2.75}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>a_{\beta}={{1}\over{n}}f\left({{2\pi\beta}\over{n}}\right)\;</MATH>|2.76}} }} Wzór {{LinkWzór|2.72}} zapisujemy przy pomocy oznaczeń {{LinkWzór|2.75}} i {{LinkWzór|2.76}}: {{CentrujWzór|<MATH>c_k=\sum_{\beta=0}^{n-1}a_{\beta}w^{k\beta}\;</MATH>|2.77}} Każdą liczbę naturalną możemy rozłożyć na czynniki różne od jedności, co są iloczynami liczb r{{Sub|i}}, którego wskaźnik jest od liczby i=1 do liczby p, co liczbę n możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>n=r_1r_2...r_p\;</MATH>|2.78}} Wprowadźmy teraz oznaczenie liczby n{{Sub|&beta;}}, które to mamy napisać dla v=0,1,..p-1, która jest iloczynem liczby r{{Sub|i}}, które to "i" jest od v+1 do p, co można powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n_v=r_{v+1}\cdot r_{v+2}\cdot...\cdot r_p=\prod_{i=v+1}^pr_i\;</MATH>|2.79}} Z równości {{LinkWzór|2.79}} dla n{{Sub|p}} możemy przyjąć, że n{{Sub|p}}=1. Wzór {{LinkWzór|2.78}} na podstawie {{LinkWzór|2.79}} piszemy następującą tożsamością, która jest iloczynem liczb r{{Sub|i}} od i=1 do v przez czynnik n{{Sub|v}}: {{CentrujWzór|<MATH>n=r_1r_2...r_vn_{v}\;</MATH>|2.80}} Każdą liczbę k w przedziału {{Formuła|<MATH>k\in\langle 0;n-1\rangle\;</MATH>}}, którą tą liczbę definiujemy jako sumę liczb zdefiniowanej w punkcie n{{Sub|v}}{{LinkWzór|2.78}} pomnożonej przez <MATH>_{0\leq\alpha_i\leq r_i-1}\;</MATH>, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>k=\alpha_1n_1+\alpha_2n_2+...\alpha_{p-1}n_{p-1}+\alpha_pn_p\Rightarrow k=\alpha_1(r_2r_3...r_p)+\alpha_2(r_3...r_p)+...\alpha_{p-1}r_{p-1}+\alpha_p\cdot 1\;</MATH>|2.81}} Współczynniki &alpha;{{Sub|i}} są elementami pewnego zbioru, który to posiada elementy jako liczby naturalne od 0 do r{{Sub|i}}, co matematycznie: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_i\in\left\{0,1,2,...,r_i-1\right\}\;</MATH>|2.82}} Każdy ułamek {{Formuła|<MATH>{{\beta}\over{n}}\;</MATH>}} mający jednoznaczny zapis dla dowolnej liczby naturalnej <MATH>\beta\in\langle 0;n-1\rangle\;</MATH>, po wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|2.79}}, który zachodzi dla <MATH>0\leq l_i\leq r_i-1\;</MATH>, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\beta}\over{n}}={{l_1}\over{n_0}}+{{l_2}\over{n_2}}+...+{{l_p}\over{n_{p-1}}}\Rightarrow {{\beta}\over{n}}={{l_1}\over{r_1...r_p}}+{{l_2}\over{r-2..r_p}}+{{r_{p-1}}\over{r_{p-1}r_p}}+{{l_p}\over{r_p}}\;</MATH>|2.83}} Współczynniki l{{Sub|i}}, która jest elementem pewnego wzoru, który to zbiór posiada elementy z liczby naturalnej od 0 do r{{Sub|i}}, co matematycznie to własność naszej liczby piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>l_i=\in\left\{0,1,2,..,r_i-1\right\}\;</MATH>|2.84}} Dodatkowo oznaczmy liczbę naturalną k{{Sub|v}} i ułamek <MATH>{{\beta_{v}}\over{n_v}}\;</MATH>, które są zdefiniowane przy pomocy liczby &alpha;{{Sub|i}} {{LinkWzór|2.82}} i l{{Sub|i}} {{LinkWzór|2.84}}, wiedząc, że zachodzi k{{Sub|v}}<n{{Sub|v}}, dla zmienności wskaźnika dolnego v od 0 do p (p=0,1,..p). {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>k_{v}=\sum_{i=v+1}^p\alpha_in_i\;</MATH>|2.85}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\beta_{v}}\over{n_v}}=\sum_{i=v}^{p-1}{{l_{i+1}}\over{n_i}}\;</MATH>|2.86}} }} Napiszmy teraz wyraz, który jest iloczynem liczby k i &beta; podzielonej przez liczbę n, zatem w takim razie korzystając z {{LinkWzór|2.80}} i {{LinkWzór|2.82}} możemy napisać równość, którą to piszemy mając na uwadze stałą całkowitą M występująca w obliczeniach poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{{k\beta}\over{n}}=\left(\sum_{i=1}^p\alpha_in_i\right)\left(\sum_{v=0}^{p-1}{{l_{v+1}}\over{n_v}}\right)=\sum_{v=0}^{p-1}{{l_{v+1}}\over{n_v}}\left(\sum_{i=v+1}^p\alpha_in_i\right)+M=\sum_{v=0}^{p-1}{{l_{v+1}k_{v}}\over{n_v}}+M\;</MATH>|2.87}} Mając już obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|2.87}} i definicji zmiennej w {{LinkWzór|2.75}} podniesionej do potęgi o wykładniku k&beta;, wtedy możemy zapisać to wyrażenie w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>w^{k\beta}=e^{-2\pi i{{k\beta}\over{n}}}=e^{-2\pi i\left(\sum_{v=0}^{p-1}{{l_{v+1}}\over{n_v}}+M\right)}= \prod_{v=0}^{p-1}e^{-2\pi i{{l_{v+1}k_v}\over{n_v}}-M2\pi i}=\prod_{v=0}^{p-1}e^{-2\pi i{{l_{v+1}k_v}\over{n_v}}}=\prod_{v=0}^{p-1}w_v^{l_{v+1}k_v}\;</MATH>|2.88}} Wzór {{LinkWzór|2.77}}, który przedstawia wzór na współczynniki c{{Sub|k}}, które są współczynnikami rozwinięcia {{LinkWzór|2.68}}, piszemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>c_k=c(l_1,l_2,..,l_p)=\sum_{l_1=0}^{r_1-1}\sum_{l_2=0}^{r_2-1}...\sum_{l_p=0}^{r_p-1}c^{(0)}(l_1,l_2,,..,l_p)w_0^{k_0l_1}w_1^{k_1l_2}\cdot...\cdot w^{k_{p-1}l_v}_{p-1}\;</MATH>|2.89}} Człony c{{Sup|(k)}} występujące we wzorze {{LinkWzór|2.89}} są to człony, które nazywamy współczynnikami manipulacyjnymi. Ze wzoru {{LinkWzór|2.89}} współczynniki manipulacyjne możemy obliczyć kolejno rozpoczynając od obliczenia współczynnika c{{Sup|(1)}}, który to piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>c^{(1)}(l_1,l_2,l;..,l_{p-1},\alpha_p)=\sum_{l_p=0}^{r_p-1}c^{(0)}(l_1,l_2,..l_p)w_{p-1}^{k_{p-1}l_p}\;</MATH>|2.90}} Gdy założymy stałość l{{Sub|1}}, l{{Sub|2}},..,l{{Sub|p-1}} przy każdej jego możliwości otrzymujemy <MATH>_{{{n}\over{r_p}}}\;</MATH> transformat Fouriera funkcji <MATH>_{f\left({{2\pi\beta}\over{n}}\right)}\;</math>, których każda posiada {{Formuła|<MATH>r_p^2\;</MATH>}} operacji. Przy wykonaniu drugiej operacji względem {{LinkWzór|2.90}} po wyznaczaniu współczynników c{{Sup|(0)}}(l{{Sub|1}},..,l{{Sub|p}}) do c{{Sup|(1)}}(l{{Sub|1}},..,l{{Sub|p-1}},&alpha;{{Sub|p}}) przejdźmy do drugiego kroku by policzyć następny współczynnik manipulacyjny: {{CentrujWzór|<MATH>c^{(2)}(l_1,l_2,..,l_{p-2},\alpha_{p-1},\alpha_p)=\sum_{l_p=0}^{r_{p-1}}c^{(0)}(l_1,l_2,..,\alpha_p)w_{p-2}^{k_{p-2}l_{p-2}}\;</MATH>|2.91}} Gdy założymy stałość l{{Sub|1}}, l{{Sub|2}},..,l{{Sub|p-1}} przy każdej jego możliwości otrzymujemy <MATH>_{{{n}\over{r_{p-1}}}}\;</MATH> transformat Fouriera, których każda posiada {{Formuła|<MATH>r_{p-1}^2\;</MATH>}} operacji. Po tym krokach otrzymujemy współczynniki manipulacyjny jako: {{CentrujWzór|<MATH>c_k=c^{(p)}(\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_p)=\sum_{l_1=0}^{r_1-1}c^{(p-1)}(l_1,\alpha_2,..,\alpha_n)w_0^{k_0l_1}\;</MATH>|2.92}} W rezultacie otrzymujemy c{{Sub|k}} według {{LinkWzór|2.92}} w n(r{{Sub|1}}+r{{Sub|2}}+...+r{{Sub|p}}) operacjach. === Metoda Cooleya-Tukeya === Tą metodę stosuje się gdy n jest całkowitą potęgą dwójki, tzn. zachodzi n=2{{Sup|p}}. Obierzmy sobie liczbę &beta;=2&beta;{{Sub|1}}, która jest liczbą parzystą, lub gdy &beta;=2&beta;{{Sub|1}}+1, gdy &beta; jest liczbą nieparzystą, wtedy wzór na współczynniki Fouriera c{{Sub|k}} {{LinkWzór|2.71}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>c_k=\sum_{\beta_1=0}^{{{n}\over{2}}-1}a_{2\beta_1}(w^2)^{k\beta_1}+ \sum_{\beta_1=0}^{{{n}\over{2}}-1}a_{2\beta_1+1}w^{k(2\beta_1+1)}=\sum_{\beta_1=0}^{{{n}\over{2}}-1}a_{2\beta_1}(w^2)^{k\beta_1}+ \sum_{\beta_1=0}^{{{n}\over{2}}-1}a_{2\beta_1+1}(w^2)^{2k\beta_1}w^k \;</MATH>|2.93}} Jeśli odpowiednio oznaczymy liczbę k poprzez zmienną &alpha; wedle sposobu {{Formuła|<MATH>k={{n}\over{2}}\alpha+k_1\;</MATH>}}, gdzie mamy k{{Sub|1}}=0,1,..,n/2-1, &alpha;=0,1, zatem możemy teraz napisać tożsamość, wykorzystując przy tym fakt w{{Sup|n}}=1 przy liczbie "w" zdefiniowaną według {{LinkWzór|2.75}}: {{CentrujWzór|<MATH>(w^2)^{k\beta_1}=(w^2)^{\left(\alpha{{n }\over{2}}+k_1\right)\beta_1}=(w^{2})^{{{\alpha n\beta_1}\over{2}}}(w^2)^{k_1\beta_1}=(w^n)^{\alpha\beta_1}(w^2)^{k_1\beta_1}=(w^2)^{k_1\beta_1}\;</MATH>|2.94}} Wprowadźmy teraz dwie funkcje zależne od liczby k{{Sub|1}} zdefiniowane: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\xi(k_1)=\sum_{\beta_1=0}^{{{n}\over{2}}-1}a_{2\beta_1}(w^2)^{k_1\beta_1}\;</MATH>|2.95}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\eta(k_1)=\sum_{\beta_1=0}^{{{n}\over{2}}-1}a_{2\beta_1+1}(w^2)^{k_1\beta_1}\;</MATH>|2.96}} }} W ten sposób wzór na nasz współczynnik c{{Sub|k}} {{LinkWzór|2.93}}, na podstawie tożsamości napisanej wzorami {{LinkWzór|2.95}} i {{LinkWzór|2.96}}, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>c_k=\xi(k_1)+w^k\eta(k_1)\;</MATH>|2.97}} Na podstawie definicji liczby k poprzez liczbę k{{Sub|1}} wynika, że jeśli <MATH>_{k=0,1,..,{{n}\over{2}}-1}\;</MATH>, wtedy mamy <MATH>_{k_1=k}\;</MATH>, bo &alpha;=0, a jeśli {{Formuła|<MATH>k={{n}\over{2}},..,n-1\;</MATH>}}, wtedy na pewno mamy {{Formuła|<MATH>k_1=k-{{n}\over{2}}\;</MATH>}}, bo &alpha;=1. Dla "n" będącego potęgą dwójki wymagana jest ilość operacji 2nlog{{Sub|2}}n dla szybkiej transformacji Fouriera. === Algorytm szybkiego mnożenia === Określmy ciąg współczynników {{Formuła|<MATH>\vec{a}=\left[a_0,a_1,a_2,..,a_{n-1}\right]\;</MATH>}}, które będą współczynnikami zespolonymi, a przez {w{{Sup|k}}} dla k=0,1,..,n-1 niech będzie ciag pierwiastków z jedności. Zdefiniujmy macierz A[i,j]=w{{Sup|ij(mod n)}} dla i,j=0,1,2,..,n-1, wtedy możemy określić wektor {{Formuła|<MATH>\mathcal{F}(\vec{a})=\hat{A}\cdot\vec{a}\;</MATH>}}, którego i-ty element jest: {{CentrujWzór|<MATH>f_i=\sum_{k=0}^{n-1}a_kw^{(k\cdot i)(\operatorname{mod} n)}\mbox{, }i=0,1,..,n-1\;</math>|2.98}} Bardzo łatwo można wykazać, że elementami odwrotnymi do macierzy o elementach A[i,j] jest macierz o elementach <MATH>_{A^{-1}[i,j]={{1}\over{n}}w^{-ij\mod n}}\;</math>, wtedy możemy zdefiniować transformację odwrotną według schematu {{Formuła|<MATH>\mathcal{F}^{-1}(\vec{a})=\hat{A}^{-1}\cdot\vec{a}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>f_i^{-1}={{1}\over{n}}\sum_{i=0}^{n-1}a_kw^{-(ki)(\operatorname{mod}n)}\;</MATH>|2.99}} Transformatę {{LinkWzór|2.99}} nazywamy dyskretną odwrotną transformatą Fouriera. Oczywiste jest, że zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{a}=\mathcal{F}^{-1}(\vec{a})\mathcal{F}(\vec{a})\;</MATH>}}. Obieżmy sobie ciąg dwóch wektorów pionowych {{Formuła|<MATH>\vec{a}=[a_0,a_1,..,a_{n-1}]^T\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{b}=[b_0,b_1,..,b_{n-1}]^T\;</MATH>}}, to splotem wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}} nazywamy wektor o 2n-1 współczynnikach <MATH>\vec{c}=[c_0,c_1,...,c_{2n-1}]^T\;</MATH>, które elementy tego wektora piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>c_i=\sum_{j=0}^{n-1}a_jb_{i-j}\mbox{, }a_k=b_k=0\mbox{ dla }k<0\mbox{ lub }k\geq n\mbox{, }c_{2n-1}=0\;</MATH>|2.100}} Jak się ukazuje współczynniki c{{Sub|k}} są identyczne ze współczynnikami iloczynu wielomianów P(x) oraz Q(x), które są stopnia n-1, których definicje: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>P(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\;</MATH>|2.101}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>Q(x)=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i\;</MATH>|2.102}} }} Iloczyn wielomianu P(x) {{LinkWzór|2.101}} i Q(x) {{LinkWzór|2.102}} definiujemy jako splot tychże funkcji w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P(x)Q(x)=\sum_{i=0}^{2n-2}x^i\sum^{2n-2}_{j=0}a_jb_{i-j}=\sum_{i=0}^{2n-2}\sum_{j=0}^{2n-2}a_jb_{i-j}x^i\;</MATH>|2.103}} Aby uzyskać wielomiany 2n-2 stopnia z P(x) i z Q(x), to w tych wielomianach współczynniki dla k<n są współczynnikami niezerowymi w ogólności, a dla k&ge;n współczynniki tychże wielomianów są równe tożsamościowo zeru. Współczynniki wielomianu P(x)Q(x) możemy policzyć: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}*\vec{b}=\mathcal{F}^{-1}\left(\mathcal{F}(a)\cdot\mathcal{F}(b)\right)\;</MATH>|2.104}} Standardowo uzyskanie c{{Sub|K}} wymaga n{{Sup|2}} operacji, ale jeśli rozłożymy liczbę n na czynniki pierwsze, tzn. n=r{{Sub|1}}r{{Sub|2}}...r{{Sub|p}}, to powyższa operacja wymaga n(r{{Sub|1}}+r{{Sub|2}}+...+r{{Sub|P}}) operacji. Można wykazać, że dla wielomianu interpolacyjnego stopnia n przy n+1 więzach wymagana klasycznie ilość operacji jest n{{Sup|2}}, a użycie szybkiej transformacji Fouriera wymaga {{Formuła|<MATH>nlog_2^2n\;</MATH>}} operacji. == Przybliżenie Padégo, czyli przybliżenie wielomianami wymiernymi == Jak się okazuje lepszą dokładność uzyskuje się przybliżając funkcję f(x) wielomianami wymiernymi, który piszemy przez iloraz wielomianu L{{Sub|n}}(x) stopnia n-tego przez wielomian M{{Sub|k}} stopnia k-tego: {{CentrujWzór|<MATH>R_{n,k}(x)={{L_n(x)}\over{M_k(x)}}\;</MATH>|2.105}} Wielomian wymierny {{LinkWzór|2.105}} daje największą dokładność niż przybliżenie wielomianami N=n+k stopnia wielomianami danymi wzorami Taylora czy Maclaurina. Natomiast, gdy x jest równe zeru, to wielomian aproksymowany jest równy wielomianowi aproksymującemu {{LinkWzór|2.105}}, które dla porządku dziennego piszemy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>f(0)={{L_n(0)}\over{M_k(0)}} \;</MATH>|2.106}} Wielomiany L{{Sub|n}}(x) i M{{Sub|m}}(x) piszemy w postaci wzorów Maclaurina, czyli w postaci przybliżenia Taullora względem punktu zerowego. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\;</MATH>|2.107}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M_k(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^k\;</MATH>|2.108}} }} Ponieważ wielomian M{{Sub|k}}(x) dla x=0 powinien być nie równy zero, więc b{{Sub|0}}&ne;0, więc przyjmijmy, że b{{Sub|0}}=1. Funkcję f(x) możemy rozłożyć w szereg Maclaurina opisując go jako szereg potęgowy nieskończony, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=\sum_{i=0}^{\infin}c_ix^i\;</MATH>|2.109}} Mając na uwadze szereg L{{Sub|n}}(x) {{LinkWzór|2.107}} oraz szereg M{{Sub|k}}(x) {{LinkWzór|2.108}}, a także dokładne rozłożenie funkcji f(x) w szereg Maclaurina {{LinkWzór|2.109}}, to możemy napisać błąd przybliżenia funkcji f(x) funkcją aproksymującą wymierną {{LinkWzór|2.105}}: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)-{{L_n(x)}\over{M_k(x)}}={{f(x)M_k(x)-L_n(x)}\over{M_k(x)}}={{\left(\sum^{\infty}_{i=0}c_ix^i\right)\left(\sum_{i=0}^kb_ix^i\right)-\sum_{i=0}^na_ix^i}\over{\sum_{i=0}^kb_ix^i}}\;</MATH>|2.110}} Chcemy, by zachodziło {{Formuła|<MATH>f(0)-R_{n,k}(0)=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>f^{(m)}(0)-R^{(m)}_{n,k}(0)=0\;</MATH>}} dla m=0,1,2,..,k+n, to powinno być, że wszystkie wyrazy w liczniku {{LinkWzór|2.110}} powinny być równe zero dla potęg mniejszych niż n+k+1, zatem licznik powyższego wyrażenia możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\sum^{\infty}_{i=0}c_ix^i\right)\left(\sum_{i=0}^kb_ix^i\right)-\sum_{i=0}^na_ix^i=\sum_{i=n+k+1}^{\infin}d_ix^i\;</MATH>|2.111}} Z powyższych wniosków natychmiast otrzymujemy {{Formuła|<MATH>a_r=\sum_{j=0}^rc_{r-j}b_j\;</MATH>}} dla r=0,1,2,..,n, ale też mamy b{{Sub|j}}=0 dla j>k i c{{Sub|j}}=0 dla j<0, także {{Formuła|<MATH>\sum_{j=0}^kc_{n+k-s-j}b_j=0\;</MATH>}} dla s=0,1,2,..,k-1. Z analizy błędów dla otoczenia zerowego najmniejszy błąd się uzyskuje gdy n=k lub n=k+1, błąd rośnie gdy oddalamy się coraz dalej od punktu zerowego. == Przybliżenia szeregami Czebyszewa == Przybliżenie Padégo nie jest najlepsze, ponieważ błąd wielomianów wymiernych rośnie wraz z oddalaniem się od punktu zerowego, a na końcach przedziału błędy mogą być naprawdę duże w aproksymacji jednostajnej, podobnie jest z przybliżeniami Maclaurina, dlatego stosuje się szeregi Czebyszewa, który błąd liczenia zmiennej układa się równomiernie wzdłuż całego przedziału. Metodą przybliżenia funkcji f(x) przy pomocy wielomianów Czebyszewa jest zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)\simeq {{1}\over{2}}a_0+\sum_{j=1}^{n}c_jT_{j}(x)\mbox{, gdzie: }c_i={{2}\over{\pi}}\int_{-1}^{1}{{f(x)T_j(x)}\over{\sqrt{1-x^2}}}dx\;</MATH>|2.112}} Funkcję f(x) będziemy przybliżać wielomianami T{{Sub|n,k}}(x), którego definicja względem współczynników a{{Sub|i}} i b{{Sub|i}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>T_{n,k}(x)={{\sum_{i=0}^na_iT_i(x)}\over{\sum_{i=0}^k b_iT_i(x)}}\;</MATH>|2.113}} Błąd wybrania funkcji {{LinkWzór|2.113}} aproksymującej funkcję aproksymowaną f(x), pisaną względem {{LinkWzór|2.112}}, doprowadzając dwa ułamki wymierne do wspólnego mianownika, piszemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)-T_{n,k}={{\left[{{1}\over{2}}c_0+\sum_{i=1}^{\infty}c_jT_j(x)\right]\sum_{j=0}^kb_iT_i(x)-\sum_{i=0}^na_iT_i(x)}\over{\sum_{i=0}^kb_iT_i(x)}}\;</MATH>|2.114}} Podobnie jak dla przybliżenia Padégo licznik wyrażenia {{LinkWzór|2.114}} można napisać, że on jest równy pewnej kombinacji liniowych wielomianów Czebyszewa o wskaźnikach większych lub równych n+1. {{CentrujWzór|<MATH>\left[{{1}\over{2}}c_0+\sum_{i=1}^{\infty}c_jT_j(x)\right]\sum_{j=0}^kb_iT_i(x)-\sum_{i=0}^na_iT_i(x)=\sum_{j=n+k+1}^{\infty}h_jT_j(x)\;</MATH>|2.115}} Wielomiany Czebyszewa spełniają tożsamość rekurencyjną słuszna na tychże wielomianów dla dowolnych wskaźników naturalnych "i" i "j" dla x mieszczącego się w przedziale (-1,1): {{CentrujWzór|<MATH>T_{i+j}(x)+T_{|i-j|}(x)=2T_i(x)T_{j}(x)\;</MATH>|2.116}} Jeśli wykorzystamy {{LinkWzór|2.116}}, wtedy lewą stronę równania {{LinkWzór|2.115}} piszemy: {{CentrujWzór|<math>\left[{{1}\over{2}}c_0+\sum_{i=1}^{\infty}c_jT_j(x)\right]\sum_{j=0}^kb_iT_i(x)-\sum_{i=0}^na_iT_i(x)=\;</math>{{Br}}<math>= {{1}\over{2}}c_0\sum_{i=0}^kb_iT_j(x)+{{1}\over{2}}\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{s=0}^kc_jb_s\left(T_{j+s}(x)+T_{|j-s|}(x)\right)-\sum_{i=0}^na_iT_i(x)=\;</math>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2}}c_0\sum_{i=0}^kb_iT_j(x)+{{1}\over{2}}\left(\sum^{k}_{s=0}\sum_{\overset{r=1}{\underset{r\neq s}{}}}^{\infty}c_{|r-s|}b_sT_r(x)+\sum_{s=0}^{k}\sum^{\infty}_{r=0}c_{r+s}b_sT_r(x)\right)-\sum_{i=0}^na_iT_{i}(x)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2}}\sum_{r=1}^{\infty}\left(\sum^{k}_{s=0}c_{|r-s|}b_s+\sum_{s=0}^{k}c_{r+s}b_s\right)T_r(x)+{{1}\over{2}}T_0\sum_{i=0}^kb_ic_i-\sum_{i=0}^na_iT_{i}(x)=</MATH>{{Br}}<MATH> ={{1}\over{2}}\sum_{r=1}^{\infty}\left[\sum^{k}_{s=0}b_s\left(c_{|r-s|}+c_{r+s}\right)\right]T_r(x)+{{1}\over{2}}T_0\sum_{i=0}^kb_ic_i-\sum_{i=0}^na_iT_{i}(x)</MATH>|2.117}} Z obliczeń {{LinkWzór|2.117}} i równości {{LinkWzór|2.115}} otrzymujemy od razu trzy tożsamości na współczynniki a{{Sub|r}}, dla r=0,1,2,..,&infin;: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_0={{1}\over{2}}\sum_{i=0}^kb_ic_i\;</MATH>|2.118}} | 2 = {{CentrujWzór|<MaTH>a_r={{1}\over{2}}\sum^{k}_{s=0}b_s\left(c_{|r-s|}+c_{r+s}\right)\mbox{ dla }r=1,2,..,n+k\;</MATH>|2.119}} }} {{CentrujWzór|<MATH>a_r=0\mbox{ dla }r>n\;</MATH>|2.120}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> d6bosokrgs0kjqk2rli5oernuseapzi 0 20463 558639 487120 2026-10-04T23:37:27Z Persino 2851 558639 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować przybliżonym rozwiązywaniem równań, które dotyczy w sposób szczególny rozwiązań przestępnych. Wiadomo jednak, że z równania algebraiczne stopnia większego niż cztery nie da się w ogólności rozwiązać, tzn. nie istnieją ogólne metody rozwiązywania tego typu równań. Najlepszą i najcenniejszą informacją jest znanie przedziału, w której dana funkcja przyjmuje wartość zero. == Metoda znajdowania pierwiastków metodą połowienia == Mamy sobie równanie f(x)=0, którą to będziemy rozwiązywać metodą połowienia. Załóżmy, że mamy przedział {{Formuła|<MATH>\langle a;b\rangle\;</MATH>}}, w której funkcja f(x) ma dokładnie jeden pierwiastek, w których na końcach tego przedziału funkcja f(x) przyjmuje przeciwne znaki, tzn. spełniona jest nierówność f(a)f(b)<0. Podany przedział dzielimy na dwie połówki, tzn. na przedziały, które to określamy następującymi przedziałami {{Formuła|<MATH>\langle a;x_i\rangle</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\langle x_i\;b\rangle\;</MATH>}}. Jeśli w punkcie x{{Sub|1}} funkcja ma pierwiastek, to zakończony jest sposób znajdowania pierwiastków w naszej metodzie połowienia. Jeśli w tym miejscu ta funkcja w punkcie x{{Sub|1}} nie ma pierwiastka, to wybieramy ten podprzedział, w której na końcach iloczyn funkcji wartości na tych końcach maja przeciwne znaki, to w tym przedziale dzielimy ten nasz przedział na dwa podprzedziały, w ten sposób otrzymamy punkt, w której punkt x{{Sub|i}} dzieli te przedziały na dwa. Jeśli w tak otrzymanym w punkcie x{{Sub|2}} funkcja f(x) ma pierwiastek, to tą metodą został zakończony sposób liczenia pierwiastka w tej metodzie, a jeśli nie ma, to znów wybieramy mówiąc ogólnie przedział, dla której zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i)f(x_{i+1})<0\;</MATH>|3.1}} a podany przedział znów dzielimy na połowę. Ten proces wyznaczania pierwiastków powtarzamy dopóki nie znajdziemy pierwiastka, której dokładność przy każdym kroku jest zwiększana i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>|x_i-x_{i+1}|={{1}\over{2^i}}(b-a)\;</MATH>|3.2}} == Reguła falsi == {{Rysunek|Metodo delle secanti.gif|ims|Ilustracja metody siecznych}} Tą metodą wyznaczamy pierwiastki pewnej funkcji f(x), którą tą metodę stosuje się, gdy wartości funkcji w punktach a, i b miały przeciwne znaki, zatem prowadzimy sieczną przechodzącą przez punkty (a,f(a)) i b(b,f(b)), znajdujemy stąd dla jakiej wartości x następuje przecięcie z osią OX. Równanie tej siecznej przestawiamy jako: {{CentrujWzór|<MATH>y-f(a)={{f(b)-f(a)}\over{b-a}}(x-a)\;</MATH>|3.3}} Jak powiedzieliśmy wcześniej znajdujemy taką wartość x, dla której w równaniu {{LinkWzór|3.3}} mamy y=0, wtedy dostajemy pierwsze przybliżenie pierwiastka funkcji f(x) w postaci liczby x, które to piszemy wzorem wyznaczając jednocześnie z równości {{LinkWzór|3.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{f(a)}\over{f(b)-f(a)}}(b-a)=x_1-a\Rightarrow x_1=a-{{f(a)}\over{f(b)-f(a)}}(b-a)\;</MATH>|3.4}} Mając już wyznaczoną wartość x{{Sub|1}} możemy przeprowadzić następną sieczną, którego za miejsce "a' we wzorze podstawiamy x{{Sub|k}} a za x{{Sub|1}} podstawiamy x{{Sub|k+1}}, w ten sposób otrzymujemy rekurencję, która jest napisana wzorem dla k=1,2,..n: {{CentrujWzór|<MATH>x_{0}=a,x_{k+1}=x_k-{{f(x_k)}\over{f(b)-f(x_k)}}(b-x_k)\;</MATH>|3.5}} Jeśli dla uproszczenia rozważań będziemy przyjmować f'(x)>0 i f<nowiki>''</nowiki>(x)>0, to można udowodnić, że ciąg {{LinkWzór|3.5}} jest ciągiem rosnącym i zbieżnym do pierwiastka x, której jest rozwiązaniem równania f(x)=0. === Wartość graniczna zespołu przybliżeń === Można udowodnić w przypadku granicznych, gdy n dąży do nieskończoności, to biorąc granicę obu jego stron dostajemy następujący warunek graniczny: {{CentrujWzór|<MATH>g=g-{{f(g)}\over{f(b)-f(g)}}(b-g)\;</MATH>|3.6}} W równości {{LinkWzór|3.6}} przyjęliśmy, że zachodzi warunek graniczny dla ciągu x{{Sub|n}}, który to zapisujemy wzorem: {{Formuła|<MATH>g=\lim_{n\rightarrow \infty}x_n(a<g<b)\;</MATH>}}, zatem wtedy z wspomnianej równości otrzymujemy od razu f(g)=0. === Oszacowanie błędu bezwzględnego w tym przybliżeniu === Błąd n-tego przybliżenia możemy ocenić korzystając z twierdzenia Lagrange'a, napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_n)-f(\alpha)=f^'(c)(x_n-\alpha)\;</MATH>|3.7}} Z równości {{LinkWzór|3.7}} możemy napisać oszacowanie błędu, korzystając z faktu, że liczba &alpha; jest pierwiastkiem równania f(x): {{CentrujWzór|<MATH>|x_n-\alpha|\leq{{|f(x_n)|}\over{m}}\mbox{, gdzie: }m=\inf_{x\in\langle a;\rangle b>}|f^'(x)|\;</MATH>|3.8}} === Błędy bezwzględne przybliżonej wartości regułą falsi przy kolejnych przybliżeniach wartości miejsca zerowego funkcji f(x) === Załóżmy, że kolejne przybliżenie pierwiastka funkcji f(x), czyli x{{Sub|k}} liczymy ze wzoru, do którego będzie nam potrzebne czemu jest równe f(x{{Sub|k}}), które to wzór obliczający to wskazane przybliżenie wyznaczamy ze wzoru znanego z własności funkcji liniowych znanej ze szkolnej matematyki: {{CentrujWzór|<MATH>0-f(x_k)={{f(x_k)-f(b)}\over{x_k-b}}(x_{k+1}-a)\;</MATH>|3.9}} Jeśli przyjmować będziemy, że f(&alpha;) jest równe zero, a &alpha; jest pierwiastkiem tego równana, to wtedy równość {{LinkWzór|3.9}} możemy przedstawić w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>f(\alpha)-f(x_k)={{f(x_k)-f(b)}\over{x_k-b}}(x_{k+1}-x_k)\;</MATH>|3.10}} Korzystając z twierdzenia Lagrange'a dla prawej i lewej strony równości, wtedy wzór {{LinkWzór|3.10}} możemy przepisać robiąc te podstawienia wynikłe z podanego wcześniej twierdzenie Lagrange'a: {{CentrujWzór|<MATH>(\alpha-x_k)f^'(\xi_k)={{(x_k-b)f^'(\overline{x}_k)}\over{x_k-b}}(x_{k+1}-x_k)\Rightarrow (\alpha-x_k)f^'(\xi_k)=(x_{k+1}-x_k)f^'(\overline{x}_k)\;</MATH>|3.11}} Możemy wykonać potrzebne wymnażania w równości {{LinkWzór|3.11}} i dodać na samym końcu wyraz {{Formuła|<MATH>-x_{k+1}f^'(\xi_k)\;</MATH>}}, zatem dokonując te wskazane operacje na tym wspomnianym równaniu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha f^'(\xi_k)-x_kf^'(\xi_k) -x_{k+1}f^'(\xi_k)=(x_{k+1}-x_k)f^'(\overline{x}_k)-x_{k+1}f^'(\xi_k)\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH> (\alpha-x_{k+1})f^'(\xi_k)=(x_{k+1}-x_k)f^'(\overline{x}_k)-(x_{k+1}-x_{k})f^{'}(\xi_k)\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH> (\alpha-x_{k+1})f^'(\xi_k)=(x_{k+1}-x_k)(f^'(\overline{x}_k)-f^{'}(\xi_k))\;</MATH>|3.12}} Po krótkich przekształceniach we wzorze {{LinkWzór|3.12}} możemy dojść do wniosku, że możemy napisać równość, którą przepiszemy ponownie działając wartością bezwzględną na obie jego strony: {{CentrujWzór|<MATH>(\alpha-x_{k+1})={{f^'(\overline{x}_k)-f^{'}(\xi_k)}\over{f^'(\xi_k)}}(x_{k+1}-x_k)\Rightarrow |\alpha-x_{k+1}|={{|f^'(\overline{x}_k)-f^{'}(\xi_k)|}\over{|f^'(\xi_k)|}}|x_{k+1}-x_k|\;</MATH>|3.13}} Jeśli wprowadzimy minimalną wartość funkcji f(x) w naszym przedziale <a,b> i oznaczymy przez m, a maksymalną wartość tej samej funkcji w tym samym przedziale oznaczymy przez M, co te wartości zapisujemy wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m=\inf_{x\in \langle a,b\rangle }|f^'(x)|\;</MATH>|3.14}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M=\sup_{x\in\langle a,b\rangle}|f^'(x)|\;</MATH>|3.15}} }} To końcowy wynik zapisany przy tożsamościach {{LinkWzór|3.14}} i {{LinkWzór|3.15}} możemy wykorzystać do końcowych obliczeń zapisanej w punkcie {{LinkWzór|3.13}}, zatem w końcowych perypetiach otrzymujemy następującą równość, którą to piszemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>|\alpha-x_{k+1}|\leq {{M-m}\over{m}}|x_{k+1}-x_k|\;</MATH>|3.16}} Jeśli dodatkowo założymy, że zachodzi warunek <MATH>M\leq 2m\;</MATH>, to wtedy równość {{LinkWzór|3.16}} możemy przepisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\alpha-x_{k+1}|\leq |x_{k+1}-x_k|\;</MATH>|3.17}} === Inny wzór na błąd bezwzględny oszacowania wartości dokładnej pierwiastka funkcji f(x) === Oszacowanie zapisane wzorem {{LinkWzór|3.16}} jest oszacowaniem niezbyt dobrym, ponieważ wymaga ona obliczenia wartości kolejnych przybliżeń &alpha;, która jest pierwiastkiem funkcji f(x), która wymaga znajomości stałych m i M, a także nie wiadomo jak duża liczba występuje przy czynniku |x{{Sub|k+1}}-x{{Sub|k}}|, zatem tutaj dokonamy innego przybliżenia wartości dokładnej pierwiastka pierwiastka funkcji f(x). W celu obliczenia wartości błędu bezwzględnego wartości dokładnej &alpha;, który jest pierwiastkiem funkcji f(x), którą liczymy w małym otoczeniu tej wartości, zatem pierwszą pochodną funkcji w punkcie x{{Sub|k+1}} możemy policzyć zastępując tą wartość pochodnej ilorazem różnicowym, z którego wyliczymy błąd bezwzględny oszacowania wartości uzyskanej z iteracji x{{Sub|n+1}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{f(\alpha)-f(x_{n+1})}\over{\alpha-x_{n+1}}}\simeq f^{'}(x_{n+1})\Rightarrow |\alpha-x_{n+1}|\simeq\left|{{f(x_{n+1})}\over{f^'(x_{n+1})}}\right|\simeq\left|{{x_{k+1}-x_k}\over{f(x_{k+1})-f(x_k)}}\right||f(x_{k+1})|\;</MATH>|3.18}} == Metoda siecznych == Regułę falsi stosowaliśmy, gdy punkty a i b powinny być takie, by wartości funkcji f(x) policzonych z tychże argumentów nie powinna być mieć tych samych znaków, i to jest właściwy problem reguły falsi. Lepszą metodą jest metoda siecznych, którą to piszemy wzorem uzyskanym z {{LinkWzór|3.5}}, w która powstaje po zastąpieniu w nim parametru b przez kolejne przybliżenia pierwiastka funkcji f(x), czyli przez x{{Sub|n-1}}, zatem na podstawie tych rozważań możemy podać iteracje, dzięki której będziemy liczyli kolejne przybliżenia x{{Sub|k}} pierwiastka &alpha; funkcji f(x), mamy: {{CentrujWzór|<MATH>x_{n+1}=x_n-{{f(x_n)}\over{f(x_n)-f(x_{n-1})}}(x_n-x_{n-1})\;</MATH>|3.19}} Ta metoda jest znacznie szybsza niż reguła falsi, ale może zdarzyć się, że jeśli początkowe przybliżenia pierwiastka leżą daleko od poszukiwanego pierwiastka, ta metoda może być niezbieżna do tego poszukiwanego pierwiastka. Może zdarzyć się, że według metody {{LinkWzór|3.19}} dokładność różnicy x{{Sub|n+1}}-x{{Sub|n}} jest takiego samego rzędu co oszacowanie, którego błędem jest obarczona, to następne przybliżenia są mało wiarygodne. Bardzo ważnym kryterium jest, że ciąg wartości funkcji |f(x{{Sub|k}})| stanowią ciąg wartości malejący, w końcowej fazie obliczeń, a jeśli wartości bezwzględne różnic wartości kolejnych wartości przybliżeń są wartościami niemalejącymi w dalszym kroku obliczeń, tzn. zamiast maleć, to szybko rośną, to należy takie obliczenia przerwać i w takim przypadku należy powtórzyć lokalizację pierwiastka zmniejszając zawężenia początkowe przedziały iteracji, tzn. zmniejszamy przedziały, dla którego poszukujemy dane pierwiastki naszej funkcji f(x) w danym przedziałach zmienności funkcji f(x). == Metoda Newtona (stycznych) == {{Rysunek|Newton iteration.svg|Metoda Newtona (stycznych)}} Przybliżoną wartość pierwiastka możemy obliczyć na przedziale <a,b>, gdy pierwsza i druga pochodna mają stały znak, to wtedy możemy zastosować metodę Newtona, którą także nazywamy metodą stycznych. Polega ona na tym, że prowadzimy styczną do wykresu w danym punkcie funkcji y=f(x), i punkt, w którym ona przecina oś OX nazywamy pierwszym przybliżeniem pierwiastka. Następnym krokiem znając pierwsze przybliżenie pierwiastka, to w punkcie pierwszego przybliżenia możemy przeprowadzić styczną naszej funkcji, i punkt, której ta styczna przecina os OX nazywamy drugiem przybliżeniem pierwiastka. Równanie które opisuje tą właśnie styczną nazywamy równanie, które piszemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>y-f(b)=f'(b)(x-b)\;</MATH>|3.20}} jeśli we wzorze przyjmować będziemy y=0, bo badamy punkt przecięcia stycznej z osią OX, zatem pierwsze przybliżenie naszego pierwiastka nazywamy liczbę, którą opisujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>x_1=b-{{f(b)}\over{f'(b)}}\;</MATH>|3.21}} Dalszym krokiem jest pokazanie, że x{{Sub|1}}, leży bliżej &alpha; niż b od liczby &alpha;, która jest pierwiastkiem równania f(x). Z twierdzenia Taylora możemy napisać tożsamość w postaci wzoru, z którego wyznaczymy zmienną &alpha;, która jest miejscem zerowej naszej rozpatrywanej funkcji, czyli zachodzi f(&alpha;)=0. {{CentrujWzór|<MATH>f(\alpha)=f(b)+f'(b)(\alpha-b)+{{1}\over{2}}f^{''}(c)(\alpha-b)^2\Rightarrow\alpha=b-{{f(b)}\over{f'(b)}}-{{1}\over{2}}{{f^{''}(c)}\over{f'(b)}}(\alpha-b)^2\;</MATH>|3.22}} Jeśli wykorzystamy {{LinkWzór|3.21}} do ostatecznej równości {{LinkWzór|3.22}}, w ten sposób otrzymujemy równość, która jest różnicą pierwiastką &alpha; i liczby x{{Sub|1}}, którą to ostatecznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha-x_1=-{{1}\over{2}}{{f^{''}(c)}\over{f'(b)}}(\alpha-b)^2\le 0\;</MATH>|3.23}} Z równości {{LinkWzór|3.23}} otrzymaliśmy tożsamość na &alpha;-x{{Sub|1}} przy przyjętych założeniach f<nowiki>''</nowiki>(c)>0 i f'(b)>0· Z równości {{LinkWzór|3.21}} możemy otrzymać równość przy dodatnich znakach funkcji i pierwszej pochodnej w punkcie b, stąd dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>x_1-b=-{{f(b)}\over{f'(b)}}<0\;</MATH>|3.24}} Stąd z nierówności {{LinkWzór|3.24}} możemy napisać nierówność x{{Sub|1}}. Patrząc na rysunek obok dostajemy wniosek, że liczba x{{Sub|1}} przybliża się coraz bliżej &alpha; i coraz dalej od liczby b dla funkcji f(x) przy liczeniu przybliżonych wartości pierwiastka &alpha;. Jeśli napiszemy z twierdzenia Lagrange'a, którego to przepisz podajemy względem punktu &alpha; i x{{Sub|1}} i wiedząc, że punkcie &alpha; funkcja f(x) przyjmuje wartość zerową, zatem na podstawie tego możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_1)-f(\alpha)=f'(c)(x_1-\alpha)\Rightarrow f(x_1)=f'(c)(x_1-c)\;</MATH>|3.25}} Na podstawie końcowej tożsamości {{LinkWzór|3.25}}, możemy napisać, że kolejne przybliżenia pierwiastką będą się zbliżały do liczby &alpha;, ale wartości funkcji f(x) z tych przybliżonych miejsc zerowych będą miały nadal ten sam znak. Ostateczne równanie z tej n-tej stycznej piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>y-f(x_n)=f'(x_n)(x-x_n)\;</MATH>|3.26}} Jesli we wzorze {{LinkWzór|3.26}} przyjmować będziemy y=0, to x=x{{Sub|n+1}} będzie n+1 przybliżeniem pierwiastka &alpha;, dla której funkcja f(x) przyjmuje wartość funkcji równą zero. Zatem na podstawie tego możemy napisać równość na n+1 na przybliżony pierwiastek &alpha; rozważanej funkcji. {{CentrujWzór|<MATH>x_{n+1}=x_n-{{f(x_n)}\over{f'(x_n)}}\;</MATH>|3.27}} Jeśli we wzorze {{LinkWzór|3.26}} przejdziemy do granicy dla n nieskończonego takiego, by zachodziło {{Formuła|<MATH>\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=g\;</MATH>}}, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>g=g-{{f(g)}\over{f'(g)}}\;</MATH>|3.28}} To z równości {{LinkWzór|3.28}} możemy otrzymać równość f(g)=0, co potwierdza, ze g jest pierwiastkiem funkcji f(x), który jest liczbą &alpha;. Błąd n-tego przybliżenia możemy policzyć ze wzoru, który wyprowadziliśmy w punkcie {{LinkWzór|3.8}}, który jest również słuszny dla metody stycznych Newtona. Zgodnie z twierdzeniem Taylora możemy napisać równość przy wykorzystaniu równości {{LinkWzór|3.26}}, zatem na tej podstawie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_n)=f\left[x_{n-1}+(x_n-x_{n+1})\right]=\;</MATH><Br><MATH>=f(x_{x-1})+f'(x_{n-1})(x_n-x_{n-1})+{{1}\over{2}}f^{''}(\xi_{n-1})(x_n-x_{n-1})^2= {{1}\over{2}}f^{''}(\xi_{n-1})(x_n-x_{n-1})^2 \;</MATH>|3.29}} Jeśli napiszemy {{Formuła|<MATH>M=\sup_{x\in\langle a;b\rangle}|f^{''}(x)|\;</MATH>}}, to końcowy wynik wedle obliczeń {{LinkWzór|3.28}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>|f(x_n)|\leq{{1}\over{2}}M(x_n-x_{n-1})\;</MATH>|3.30}} Jeśli wykorzystamy wzór, który jest również słuszny na metody stycznych, czyli {{LinkWzór|3.8}}, to otrzymamy nierówność wynikającą z {{LinkWzór|3.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>|x_n-\alpha|m\leq|f(x_n)|\leq{{1}\over{2}}M(x_n-x_{n-1})\Rightarrow |x_{n}-\alpha|\leq{{M}\over{2m}}(x_n-x_{n-1})^2={{M}\over{2m}}\left({{f(x_n)}\over{f'(x_n)}}\right)^2\;</MATH>|3.31}} Jeśli przyjmować będziemy tak jak przy regule falsi, że <MATH>M\leq 2m\;</MATH>, to wtedy nierówność {{LinkWzór|3.31}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>|\alpha-x_{n}|\simeq \left|{{f(x_n)}\over{f'(x_n)}}\right|^2\;</MATH>|3.32}} Co pozwala na przerwanie iteracji, jeśli wyniku procedury iteracyjnej błąd bezwzględny kolejnych przybliżonych pierwiastków pewnego y=f(x) jest mniejszy od bardzo małej liczby &epsilon;: {{CentrujWzór|<MATH>|x_{n+1}-x_n|<\epsilon\;</MATH>|3.33}} == Poszukiwanie pierwiastków wielomianów o dziedzinie zespolonej == Będziemy opisywać metody poszukiwania miejsc zerowych wielomianów należące do dziedziny zespolonej za wyjątkiem reguły falsi, i to wszystko będziemy robili dla wielomianu, których argument będziemy oznaczali przez "z": {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_n=0\;</MATH>|3.33a}} === Znajdowanie liczby miejsc zerowych rzeczywistych dla wielomianu o współczynnikach rzeczywistych === ==== Twierdzenie Sturma ==== Orientacyjną liczbę miejsc zerowych można uzyskać przez naszkicowanie wykresu funkcji rzeczywistego wielomianu y=f(x). Dokładną liczbę pierwiastków można uzyskać metodą Sturna. Obierzmy sobie ciąg Sturma f{{Sub|0}}(x),f{{Sub|1}}(x),f{{Sub|2}}(x),...,f{{Sub|p}}(x), w których poszczególne elementy sa takie, że f{{Sub|0}}(x) jest to zwykła rzeczywista funkcja f(x), a funkcja f{{Sub|1}}(x) jest to pierwsza pochodna funkcji f(x). A f{{Sub|2}}(x) jest to reszta z dzielenia funkcji f{{Sub|0}}(x) przez funkcję f{{Sub|1}}(x) wzietej ze znakiem przeciwnym, element f{{Sub|3}}(x) jest to reszta z dzielenia funkcji f{{Sub|1}}(x) przez f{{Sub|2}}(x) wziętej ze znakiem przeciwnym. Takie postępowanie powtarzamy, aż uzyskamy wielomian f{{Sub|p+1}}(x), który jest tożsamościowo równy zero, wtedy mamy wielomian f{{Sub|p}}, który jest największym dzielnikiem wielomianu f(x). Jeśli wielomian f{{Sub|p}} jest stopnia k i największy wspólny dzielnik jest liczbą rzeczywistą, i ten wielomian nie ma zer wielokrotnych, to znaczy, że jego miejscem zerowym jest k+1-krotnym miejscem zerowym wielomianu f(x). Oznaczmy przez N(x{{Sub|0}}) liczbę zmian znaków ciągu Sturna w punkcie x=x{{Sub|0}}. Mając na uwadze wszystko o twierdzeniu Sturna zdefiniujmy twierdzenie Sturna: {{Twierdzenie|kogo=Sturma|tekst=Jeśli mamy ciąg Sturma {f{{Sub|i}}(x)} dla i=0,1,2,..,p określonego w przedziale (a,b), i zachodzi f{{Sub|0}}(a)f{{Sub|0}}(b)&ne;0, to liczba pierwiast ków rzeczywistych wielomianu rzeczywistego w tymże przedziale jest równa liczbie N(a)-N(b).}} Przy zastosowaniu twierdzenia Sturma otrzymujemy czysto ułamkowe współczynniki, ale ponieważ interesują nas tylko znaki wielomianów, więc należy je pomnożyć przez liczbę naturalna różną od zera. Określmy sobie wielomian f(x)=x{{Sup|3}}+x{{Sup|2}}-x-1, to wtedy możemy określić sobie ciąg Sturma: * f{{Sub|0}}(x)=x{{Sup|3}}+x{{Sup|2}}-x-1 * f{{Sub|1}}(x)=3x{{Sup|2}}+2x-1 * f{{Sub|2}}(x)=x+1 Ale f{{Sub|3}} jest tożsamościowo równy zero, więc to wielomian f(x) ma pierwiastek podwójny równy -1. Podzielmy wielomian f{{Sub|0}}(x) przez x+1, to otrzymamy wielomian o pojedynczych pierwiastkach: * f{{Sub|0}}(x)=x{{Sup|2}}-1 * f{{Sub|1}}(x)=2x * f{{Sub|2}}(x)=1 Powyższy wielomian ma trzy pierwiastki, jeden pojedynczy i jeden podwójny pierwiastek. Rozważmy sobie teraz tabelkę zmian znaków dla wielomianu ostatniego f{{Sub|0}}(x). {{Tabelka|klasa=wikitable|opcje=width=100%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|-&infin;}}<!-- -->{{Komórka|+&infin;}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|+1}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|f{{Sub|0}}}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|f{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|f{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|N(x)}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->}}<!-- -->}} Według tablicy zmiany znaków w przedziale nieskończonym wielomian f{{Sub|0}}(x) ma N(-&infin;)-N(&infin;)=2-0=2 pierwiastków. ==== Twierdzenie Fouriera ==== Twierdzenie Sturna chociaż pozwala wyznaczyć dokładnie liczbę miejsc zerowych pierwiastków, to kolejne rachunki przy wyznaczaniu kolejnych miejsc zerowych pierwiastków może nastręczać trudności ze względu na skomplikowane rachunki. Określmy sobie teraz inną metodę liczenia miejsc zerowych, zatem obierzmy sobie ciąg kolejnych pochodnych f(x), f'(x),f<nowiki>''</nowiki>(x),...,f{{Sup|(n)}}(x). A przez M(x{{Sub|0}}) oznaczmy liczbę zmian znaków ciągu {f{{Sup|(i)}}(x)} dla i=0,1,2,,n w punkcie x=x{{Sub|0}}. Mając to twierdzenie możemy określić twierdzenie Fouriera: {{Twierdzenie|kogo=Fouriera|tekst= Jeśli f(x) jest wielomianem stopnia n-tego określonych na przedziale (a,b), gdy zachodzi f(a)f(b)&ne;0, to liczba miejsc zerowych wielomianu f(x) jest M(a)-M(b) lub jest od niej mniejsza o liczbę parzystą. }} Określmy sobie wielomian f(x)=x{{Sup|3}}-2x{{Sup|2}}-5x+5, wtedy sobie tworzymy ciąg czterech pochodnych: * f(x)=x{{Sup|3}}-2x{{Sup|2}}-5x+5 * f'(x)=3x{{Sup|2}}-4x-5 * f<nowiki>''</nowiki>(x)=6x-4 * f<nowiki>'''</nowiki>(x)=0 to tablicę zmiany znaków określamy: {{Tabelka|klasa=wikitable|opcje=width=100%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|-&infin;}}<!-- -->{{Komórka|+&infin;}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|f}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|f'}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|f<nowiki>''</nowiki>}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|f<nowiki>'''</nowiki>}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->{{Komórka|+}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|M(x)}}<!-- -->{{Komórka|3}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}<!-- -->}} Na podstawie powyższej tablicy stwierdzamy, że wielomian f(x) ma jeden albo trzy pierwiastki, bo M(-&infin;)-M(&infin;)=3. Z warunku M(-&infin;)-M(1)=1 wynika, że istnieje jeden pierwiastek ujemny, a z M(0)-M(1)=1 wynika, że istnieje jeden pierwiastek z przedziału (0,1), a z M(1)-M(3)=1, stąd wynika, że przedziale (1,3) mamy też jeden pierwiastek, czyli ogólnie wielomian f(x) ma trzy pierwiastki w przedziale nieskończonym. ==== Twierdzenie Laguerre'a ==== Weźmy sobie wielomian f(x)=a{{Sub|0}}x{{Sup|n}}+a{{Sub|1}}x{{Sup|n-1}}+...+a{{Sub|n-1}}x+a{{Sub|n}}, dla a{{Sub|0}}&ne;0, to wtedy sobie tworzymy ciąg wielomianów: * f{{Sub|0}}(x)=a{{Sub|0}} * f{{Sub|1}}(x)=a{{Sub|0}}x+a{{Sub|1}} * f{{Sub|2}}(x)=a{{Sub|0}}x{{Sup|2}}+a{{Sub|1}}x+a{{Sub|2}} &nbsp;------------- * f{{Sub|n}}=f(x) Oznaczmy przez liczbę L(x{{Sub|0}}) liczbę zmian znaków powyższego ciągu wielomianów {f{{Sub|k}}(x)} dla k=0,1,2,..,n w punkcie x=x{{Sub|0}}. {{Twierdzenie|kogo=Laguerre'a|tekst= Jeśli f(x) jest wielomianem stopnia n określonych na przedziale (a,b), takim, że f(a)f(b)&ne;0, to liczba miejsc zerowych wielomianu f(x) w tym przedziale jest równa L(a)-L(b) lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą. }} ==== Reguła Kartezjusza ==== Szczególnym przypadkiem twierdzenia Laguerre'a jest reguła Kartezjusza mówiąca, że liczba dodatnich miejsc zerowych wielomianu f(x) jest równa zmianie znaków współczynników a{{Sub|0}},a{{Sub|1}},...,a{{Sub|n}} lub od niej jest mniejsza o parzystą liczbę. === Lokalizowanie miejsc zerowych rzeczywistych wielomianów rzeczywistych === Dla nas istotnym problem jest znalezienie przedziału miejsc zerowych, w których mieszczą się miejsca zerowe, w tym celu określmy wielomiany wynikające z wielomianu f(x) przez proste przekształcenie go: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>f_1(x)=x^nf\left({{1}\over{x}}\right)=0\;</MATH>|3.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>f_2(x)=f(-x)=0\;</MATH>|3.35}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>f_3(x)=x^nf\left(-{{1}\over{x}}\right)=0\;</MATH>|3.36}} }} Dla wielomianów {{LinkWzór|3.34}}, {{LinkWzór|3.35}} i {{LinkWzór|3.36}} kresy górne zer dodatnich są R{{Sub|1}},R{{Sub|2}},R{{Sub|3}}. Wszystkie dodatnie miejsca zerowe wielomianu f(x) mieszczą się zatem dla przedziału (1/R{{Sub|1}},R), a ujemne w przedziale (-R{{Sub|2}},-1/R{{Sub|3}}). Bardzo ważnym twierdzeniem jest twierdzenie Lagrange'a mówiące: {{Twierdzenie|kogo=Lagrange'a|tekst= Niech a{{Sub|0}}&ne;0 i a{{Sub|k}} będzie pierwszym ujemnym współczynnikiem wielomianu f(x), to wszystkie dodatnie miejsca zerowe tegoż wielomianu są mniejsze niż: {{CentrujWzór|<MATH>R=1+\sqrt[k]{{{A}\over{|a_0|}}}\;</MATH>|3.37}} * gdzie A jest maksimum modułów ujemnych współczynników wielomianu f(x). Jeśli wielomian ma tylko dodatnie współczynniki, to on nie ma miejsc zerowych dodatnich. }} === Metoda znajdowania przybliżonych miejsc zerowych wielomianu rzeczywistego === Weźmy sobie pod ostrzał wielomian o współczynnikach i argumencie rzeczywistym: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+..+a_n\;</MATH>|3.38}} Gdy wielomian {{LinkWzór|3.38}} podzielimy przez jednomian x-x{{Sub|j}}, wtedy wielomian {{LinkWzór|3.38}} z resztą dzielenia R{{Sub|j}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=(x-x_j)(b_nx^{n-1}+b_1x^{n-2}+...+b_{n-1})+R_j\;</MATH>|3.39}} By stwierdzić jaka jest zależność pomiędzy współczynnikami a{{Sub|k}} i b{{Sub|k}}, należy w wielomianie {{LinkWzór|3.39}} wykonać mnożenie przez x-x{{Sub|j}}: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=x(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+...+b_{n-1})-x_j((b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+...+b_{n-1}))+R_j=\;</MATH><BR><MATH>=b_0x^n+(b_1-x_jb_0)x^{n-1}+(b_2-x_jb_1)x^{n-2}+..+(b_k-x_jb_{k-1})x^{n-k}+..-x_jb_{n-1}+R_j\;</MATH>|3.40}} Zależność pomiędzy współczynnikami możemy wyedukować ze wzoru {{LinkWzór|3.40}} patrząc jednocześnie na wzór {{LinkWzór|3.38}}, a także w tej samej linijce podamy wzór na resztę z dzielenia R{{Sub|j}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>b_0=a_0\;</MATH>|3.41}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_k=a_k+x_jb_{k-1}\mbox{, dla }k=1,2,...,n\;</MATH>|3.42}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>R_j=b_n=a_n+x_jb_{n-1}\;</MATH>|3.43}} }} Jeśli powtórnie dokonamy dzielenia wielomianu występującego w nawiasie {{LinkWzór|3.39}} przez wielomian x-x{{Sub|j}}, wtedy wielomian f(x) piszemy przy pomocy reszty z dzielenia <MATH>R_j^'\;</MATH> wychodząc od wzoru {{LinkWzór|3.39}} jako wzór: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=(x-x_j)^2(c_0x^{n-1}+..+c_{n-2})+(x-x_j)R_j^'+R_j\;</MATH>|3.44}} Patrząc na wzory rekurencyjne {{LinkWzór|3.41}}, {{LinkWzór|3.42}} i {{LinkWzór|3.43}} dla wielomianu {{LinkWzór|3.44}}, piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>c_0=b_0=a_0\;</MATH>|3.45}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>c_k=b_k+x_jc_{k-1}\mbox{ dla }k=1,2,..,n-1\;</MATH>|3.46}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>R_j^'=c_{n-1}=b_{n-1}+x_jc_{n-2}\;</MATH>|3.47}} }} Wzory na f(x) {{LinkWzór|3.40}} i {{LinkWzór|3.44}} pozwalają napisać dwie bardzo ważne tożsamości, z których będziemy korzystali, tzn. f(x{{Sub|j}})=R{{Sub|j}} i f'(x{{Sub|j}})=R'{{Sub|j}}. Przy pomocy metody siecznych {{LinkWzór|3.19}} i metody Newtona {{LinkWzór|3.27}} możemy wyedukować dwa wzory, przy pomocy której będziemy liczyli pierwiastki wielomianu rzeczywistego: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x_{j+1}=x_j-{{R_j(x_j-x_{j-1})}\over{R_j-R_{j-1}}}\;</MATH>|3.48}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>x_{j+1}=x_j-{{R_j}\over{R_j^'}}\;</MATH>|3.49}} }} === Umieszczanie zer wielomianów ogólnie zespolonych === ==== Warunki na miejsca zerowe zespolone wielomianów zespolonych ==== Podamy poniżej kilka twierdzeń pozwalające określić położenie miejsc zerowych zespolonych wielomianów zespolonych. {{Twierdzenie|kogo=Cauchy'ego|jakie=pierwsze|tekst= Niech mamy dwa wielomiany o argumentach zespolonych, który przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+...+a_n\mbox{, }a_0\neq 0\;</MATH>|3.50}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>F(z)=|a_0|z^n-\sum_{k=1}^n|a_k|z^{n-k}\;</MATH>|3.51}} }} Oznaczmy przez &alpha; jako jedyne dodatnie miejsce zerowe rzeczywiste wielomianu F(z) {{LinkWzór|3.51}}, to miejsca zerowe wielomianu f(z) {{LinkWzór|3.50}}, czyli z{{Sub|1}}, z{{Sub|2}},...,z{{Sub|n}}, spełniają następujące właściwości: {{CentrujWzór|<MATH>|z_k|\leq\alpha\mbox{ dla }k=1,2,...,n\;</MATH>|3.52}} }} {{Twierdzenie|jakie=drugie|tekst= Napiszmy wielomian o współczynnikach i argumentach zespolonych: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=\sum_{k=0}^na_kz^{n-k}\mbox{, }a_0=1\;</MATH>|3.53}} i określmy przesz &beta; dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią i określmy liczbę rzeczywistą &gamma;, którą napiszemy według jego definicji poprzez parametr &beta;: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=\max\left({{1}\over{\beta}},\sum_{k=1}^n|a_k|\beta^{k-1}\right)\;</MATH>|3.54}} to wtedy wszystkie miejsca zerowe wielomianu {{LinkWzór|3.50}} spełniają nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>|z_k|\leq\gamma\mbox{, }k=1,2,..,n\;</MATH>|3.55}} }} {{Twierdzenie|jakie=trzecie|tekst= Napiszmy wielomian f(z) o współczynnikach zespolonych i o argumentach zespolonych, którego zerowy współczynnik jest nierówny zero, pisząc go według definicji: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=\sum_{k=0}^na_kz^{n-k}\mbox{, }a_0\neq 0\;</MATH>|3.56}} wtedy wszystkie miejsca zerowe wielomianu f(z) {{LinkWzór|3.56}} spełniają nierówność określoną: {{CentrujWzór|<MATH>|z_k|\leq 1+\max_{1\leq k\leq n}\left|{{a_k}\over{a_0}}\right|\mbox{, }k=1,2,..,n\;</MATH>|3.57}} }} {{Twierdzenie|jakie=czwarte|tekst= Moduły wszystkich miejsc zerowych zespolonych wielomianu o współczynnikach rzeczywistych {{Formuła|<MATH>f(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^{n-k}\;</MATH>}} spełniają nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>\min\left({{a_1}\over{a_0}},{{a_2}\over{a_1}},...,{{a_n}\over{a_{n-1}}}\right)\leq|z_k|\leq \max\left({{a_1}\over{a_0}},{{a_2}\over{a_1}},...,{{a_n}\over{a_{n-1}}}\right)\;</MATH>|3.58}} }} {{Twierdzenie|jakie=piąte|tekst=Dla wielomianu o współczynnikach rzeczywistych {{Formuła|<MATH>f(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^{n-k}\;</MATH>}}, jeśli wszystkie współczynniki spełniają warunek a{{Sub|0}}>a{{Sub|1}}...>a{{Sub|n}}>0, to moduły wszystkich miejsc zerowych są mniejsze niż jeden, a jeśli a{{Sub|n}}>a{{Sub|n-1}}...>a{{Sub|0}}>0, to moduły wszystkich miejsc zerowych są większe niż jeden. }} Określmy teraz wielomian zespolony o współczynnikach i argumentach zespolonych: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=\sum_{k=0}^na_kz^{n-k}=a_0z^n+a_1z^{n-1}+...+a_0\;</MATH>|3.59}} Zbudujmy dla niego wielomian, którego argumentem jest odwrotność liczby zespolonej "z" dla wielomianu {{LinkWzór|3.59}}, który tak powstały wielomian pomnożymy przez n-tą potęgę z liczby "z", w ten sposób otrzymujemy wielomian po sprzężeniu zespolonym jego współczynników: {{CentrujWzór|<MATH>f^*(z)=z^n\overline{f}\left({{1}\over{z}}\right)=\sum_{k=0}^n\overline{a}_kz^k=\overline{a}_0+\overline{a}_1z+...+\overline{a}_nz^n\;</MATH>|3.60}} Tworzymy teraz ciąg wielomianów f{{Sub|0}}(z), f{{Sub|1}}(z), f{{Sub|2}}(z),..., f{{Sub|n}}(z), przy czym zerowy element tego ciągu jest taki sam jak funkcja f(z), dla którego chcemy udowodnić, ile jest miejsc zerowych leżących w kole jednostkowym, czyli mamy f{{Sub|0}}(z)=f(z). Utwórzmy sobie teraz funkcję <MATH>f_0^*(z)\;</MATH> z funkcji f{{Sub|0}}(z) w taki sam sposób w jaki tworzyliśmy funkcję {{LinkWzór|3.57}}, i na podstawie jej i funkcji f{{Sub|0}}(z) tworzymy funkcję f{{Sub|1}}(z) , przy pomocy współczynników z podkreśleniem górnym, które są współczynnikami wielomianu <MATH>f_0^*(z)\;</MATH>, i przy pomocy współczynników bez podkreślenia, które są współczynnikami wielomianu f{{Sub|0}}(z) przy pomocy schematu: {{CentrujWzór|<MATH>f_1(z)=\overline{a}_nf_0(z)-a_0f_0^*(z)\;</MATH>|3.61}} Możemy stworzyć teraz funkcję <MATH>f^*_1(z)\;</MATH> w taki sam w sposób jaki tworzyliśmy funkcję {{LinkWzór|3.57}}, ale tym razem z wielomianu f{{Sub|1}}(z). W podobnym sposobem tworzymy funkcję f{{Sub|2}}(z) ze współczynników wielomianu f{{Sub|1}}(z) i {{Formuła|<MATH>f^*_1(z)\;</MATH>}} i tychże funkcji, czyli według: {{CentrujWzór|<MATH>f_2(z)=\overline{a}^{(1)}_{n-1}f_1(z)-a_0^{(1)}f_1^*(z)\;</MATH>|3.62}} i w ogólności na podstawie sposobu tworzenia funkcji f{{Sub|1}}(z) i f{{Sub|2}}(z) tworzymy pewną funkcje o wskaźniku j+1: {{CentrujWzór|<MATH>f_{j+1}(z)=\overline{a}^{(j)}_{n-1}f_j(z)-a_0f^*_j(z)\mbox{ dla }j=0,1,2,..,n-1\;</MATH>|3.63}} Co w ogólności przy sposobie tworzenia funkcji f{{Sub|j+1}}(z) {{LinkWzór|3.63}} możemy napisać ją w ogólności: {{CentrujWzór|<MATH>f_j(z)=\sum_{k=0}^{n-j}a_k^{(j)}z^{n-j-k}\mbox{ dla }j=0,1,2,..,n\;</MATH>|3.64}} Na podstawie ciągu wielomianów {f{{Sub|j}}(z)}, którego elementy są napisane według {{LinkWzór|3.64}}, tworzymy ciąg &delta;{{Sub|k}} zbudowanych ze współczynników tych wielomianów, którego elementami są: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{j+1}=\left|a_{n-j}^{(j)}\right|^2-\left|a_0^{(j)}\right|^2\;</MATH>|3.65}} i na samym końcu tworzymy ciąg powstałe z wymnożenia k elementów początkowych liczb &delta;{{Sub|j}} {{LinkWzór|3.65}} według: {{CentrujWzór|<MATH>P_k=\delta_1\delta_2...\delta_k\;</MATH>|3.66}} W ten sposób na samym końcu możemy napisać twierdzenie szóste: {{Twierdzenie|jakie=szóste|tekst=Dla wielomianu stopnia n {{LinkWzór|3.59}} tworzymy ciąg liczb sposobem P{{Sub|k}} {{LinkWzór|3.66}}, których jest s liczb ujemnych i n-s liczb dodatnich, to liczba miejsc zerowych wielomianów mieszczące się wewnątrz koła jednostkowego jest s. }} ==== Kryterium Michajłowa ==== {{Kryterium|kogo=Michajłowa|tekst= Warunkiem koniecznym i dostatecznym, by wielomian {{Formuła|<MATH>f(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^{n-k}\;</MATH>}} o współczynnikach rzeczywistych miał miejsca zerowe o ujemnych częściach rzeczywistych, jest by wektor w płaszczyźnie zespolonej o początku w punkcie (0,0) i o końcu w punkcie f(it) zatoczył kąt n&pi;/2 przy zmianie t od zera do +&infin;, przy którym wiadomo, że krzywa f(it) nie może mieć punktów wspólnych z początkiem układu współrzędnych. }} ==== Kryterium Routha ==== Określmy sobie wielomian o współczynnikach a{{Sub|k}} i b{{Sub|k}} przy pomocy których możemy napisać wielomian o argumentach zespolonych w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=a_0z^n+b_0z^{n-1}+a_1z^{n-2}+b_1z^{n-3}+...\;</MATH>|3.67}} wtedy określmy sobie współczynniki z alfabetu łacińskiego poczynając od c, które możemy zapisać wraz z odpowiednimi indeksami: {{Wzór| <MATH>c_k=a_{k+1}-{{a_0}\over{b_0}}b_{k+1}\mbox{, }k=0,1,2,..,r-1\mbox{, }b_0\neq 0\;</MATH><BR> <MATH>d_k=b_{k+1}-{{b_0}\over{c_0}}c_{k+1}\mbox{, }k=0,1,2,...,r-1\mbox{, }c_0\neq 0\;</MATH><br> <MATH>e_k=b_{k+1}-{{b_0}\over{d_0}}d_{k+1}\mbox{, }k=0,1,2,...,r-2\mbox{, }d_0\neq 0\;</MATH><BR> &nbsp;-------------------------------- |3.68}} Liczby {{LinkWzór|3.68}} ustawmy w tablicy: {{Wzór| <MATH>a_0,a_1,a_2,...,a_r</MATH><BR> <MATH>b_0, b_1,b_2,...,b_r</MATH><BR> <MATH>c_0,c_1,c_2,...,c_{r-1}</MATH><BR> <MATH>d_0,d_1,d_2,...,d_{r-1}</MATH><BR> <MATH>e_0,e_1,e_2,...,e_{r-2}</MATH><BR> &nbsp;-------------------------------- |3.69}} Teraz możemy napisać odpowiednie kryterium dla liczb w tablicy {{LinkWzór|3.69}}: {{Kryterium|kogo=Routha|tekst= Warunkiem koniecznym i dostatecznym, by wszystkie miejsca zerowe miały części rzeczywiste ujemne dla wielomianu rzeczywistego {{LinkWzór|3.67}}, to muszą być elementy pierwszej kolumny {{LinkWzór|3.69}} różne od zera i mieć jednakowy znak. }} ==== Kryterium Hurwitza ==== {{Kryterium|kogo=Hurwitza|tekst= Warunkiem koniecznym i dostatecznym, by wszystkie miejsca zerowe wielomianu {{Formuła|<MATH>f(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^{n-k}\;</MATH>}} o a{{Sub|n}}>0 i o współczynnikach rzeczywistych były o ujemnych częściach rzeczywistych, jest by poniższe wyznaczniki miały wartość dodatnią, przy którym wiadomo, że a{{Sub|j}}=0 dla j<0. {{CentrujWzór|<MATH>D_1=a_{n-1}\mbox{, }D_2=\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_n\\a_{n-3}&a_{n-2}\end{vmatrix}\mbox{, }D_3=\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_n&0\\a_{n-3}&a_{n-2}&a_{n-1}\\a_{n-5}&a_{n-4}&a_{n-3}\end{vmatrix}\mbox{,...,}\;</MATH><BR><MATH> D_n=\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_n&0&\cdots&0\\ a_{n-3}&a_{n-2}&a_{n-1}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1-n}&a_{2-n}&a_{3-n}&\cdots&a_0\end{vmatrix} </MATH>|3.70}} }} === Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianu zespolonego === Aby znaleźć miejsce zerowe wielomianu zespolonego należy użyć metody siecznych {{LinkWzór|3.46}} lub metody Newtona {{LinkWzór|3.47}}, które te metody są zbieżne do jego miejsca zerowego, nawet dla zer zespolonych, nie tylko dla zer rzeczywistych. Wprowadźmy oznaczenia zamiast "x" będziemy oznaczali przez "z", która wraz z częścią rzeczywistą i zespoloną piszemy go: {{CentrujWzór|<MATH>z_i=x_i+jy_i\;</MATH>|3.71}} Wprowadźmy oznaczenia współczynników b{{Sub|k}} i c{{Sub|k}} występujące w {{LinkWzór|3.39}} i {{LinkWzór|3.44}} zapisanych jako liczby zespolone: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>b_k=\gamma_k+j\delta_k\;</MATH>|3.72}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>c_k=\epsilon_k+j\eta_k\;</MATH>|3.73}} }} Według wzoru {{LinkWzór|3.41}} możemy zapisać &gamma;{{Sub|0}}=a{{Sub|0}} i &gamma;{{Sub|0}}=0, jeśli podstawimy argument zespolony z{{Sub|k}} {{LinkWzór|3.72}}, a także za współczynnik {{LinkWzór|3.73}} do {{LinkWzór|3.42}}, w wyniku czego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\underbrace{\gamma_k+j\delta_k}_{b_k}=a_k+\underbrace{(x_k+jy_k)}_{z_k}\underbrace{(\gamma_{k-1}+j\delta_{k-1})}_{b_{k-1}}=a_k+(x_i\gamma_{k-1}-y_i\delta_{i})+j(\gamma_{k-1}y_k+\delta_{k-1}x_k)\;</MATH>|3.74}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|3.71}} możemy porównać obie strony tego równania do siebie jej części rzeczywiste i zespolone, w ten sposób otrzymujemy dwa wzory: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\gamma_k=a_k+x_iy_{k-1}-y_i\delta_{k-1}\mbox{ dla }k=1,2,..,n\;</MATH>|3.75}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta_k=x_i\delta_{k-1}+y_i\gamma_{k-1}\mbox{ dla }k=1,2,..,n\;</MATH>|3.76}} }} Patrząc na wzór {{LinkWzór|3.45}} możemy napisać, że &epsilon;{{Sub|0}}=b{{Sub|0}}=&gamma;{{Sub|0}} i &eta;{{Sub|0}}=0. Wykorzystując wzór {{LinkWzór|3.42}} możemy podobnie liczyć c{{Sub|k}} jak w punkcie {{LinkWzór|3.74}} b{{Sub|k}}: {{CentrujWzór|<MATH>\underbrace{\epsilon_k+j\eta_k}_{c_k}=\gamma_k+i\delta_k+\underbrace{(x_k+jy_k)}_{z_k}\underbrace{(\epsilon_{k-1}+j\eta_{k-1})}_{c_{k-1}}=\;</MATH><BR><MATH>=(\gamma_k+x_k\epsilon_{k-1}-y_k\eta_{k-1})+j(\delta_k+x_k\eta_{k-1}+\epsilon_{k-1}y_k)\;</MATH>|3.77}} Oglądając się na obliczenia {{LinkWzór|3.77}} możemy napisać dwie bardzo ważne wzory na &epsilon;{{Sub|k}} i &eta;{{Sub|k}} dla k=1,2,..,n-1: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_k=\gamma_k+x_k\epsilon_{k-1}-y_k\eta_{k-1}\;</MATH>|3.78}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\eta_k=\delta_k+x_k\eta_{k-1}+\epsilon_{k-1}y_k\;</MATH>|3.79}} }} Reszty z dzielenia, tzn. wzory R{{Sub|i}} {{LinkWzór|3.43}} i R'{{Sub|i}}{{LinkWzór|3.47}} możemy napisać przy pomocy wzorów na b{{Sub|k}} {{LinkWzór|3.72}} i c{{Sub|k}} {{LinkWzór|3.73}} wedle: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R_i=b_n=\gamma_n+j\delta_n\;</MATH>|3.80}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>R_i^'=c_{n-1}=\epsilon_{n-1}+j\eta_{n-1}\;</MATH>|3.81}} }} Mając wzory na metodę stycznych {{LinkWzór|3.49}} możemy podstawić do niego wzór {{LinkWzór|3.80}}, a także {{LinkWzór|3.81}}, otrzymując: {{CentrujWzór|<MATH>\underbrace{x_{i+1}+jy_{i+1}}_{z_{k+1}}=\underbrace{x_{i}+jy_{i}}_{z_{k}}-{{\overbrace{\gamma_n+j\delta_n}^{R_j}}\over{\underbrace{\epsilon_{n-1}+j\eta_{n-1}}_{R_j^'}}}= x_{i}+jy_{i}-{{(\gamma_n+j\delta_n)(\epsilon_{n-1}-j\eta_{n-1})}\over{(\epsilon_{n-1}+j\eta_{n-1})(\epsilon_{n-1}-j\eta_{n-1})}}=\;</MATH><BR><MATH>=x_{i}+jy_{i}-{{(\gamma_n\epsilon_{n-1}+\delta_n\eta_{n-1})+j(-\gamma_n\eta_{n-1}+\epsilon_{n-1}\delta_n)}\over{\epsilon_{n-1}^2+\eta_{n-1}^2}}\;</MATH>|3.82}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|3.81}} możemy napisać dwie tożsamości na część rzeczywistą x{{Sub|k+1}} i urojoną y{{Sub|k+1}} liczby zespolonej z{{Sub|k+1}} wedle: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x_{i+1}=x_i-{{\gamma_n\epsilon_{n-1}+\delta_n\eta_{n-1}}\over{\epsilon_{n-1}^2+\eta_{n-1}^2}}\;</MATH>|3.83}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y_{i+1}=y_i-{{\delta_n\epsilon_{n-1}-\gamma_n\eta_{n-1}}\over{\epsilon_{n-1}^2+\eta_{n-1}^2}}\;</MATH>|3.84}} }} == Wprowadzenie do układów równań nieliniowych == Szukamy takiego rozwiązania {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\in\mathbf{R}^n\;</MATH>}}, dla którego odwzorowanie {{Formuła|<MATH>\mathbf{F}:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^n\;</MATH>}} przyjmuje wartość zero {{Formuła|<MATH>\mathbf{F}(\alpha)=0\;</MATH>}}. Jeśli szczególnym odwzorowaniem jest funkcja afiniczna {{Formuła|<MATH>\mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{b}\;</MATH>}}, to szukamy rozwiązania {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} jest wektorem szukanych wielkości, a {{Formuła|<MATH>\mathbf{b}\;</MATH>}} jest wektorem wyrazów wolnych. W obliczeniach numerycznych będziemy szukali ciągu wektorów {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(0)}, \mathbf{x}^{(1)},...</MATH>}}, które są zbieżne do wartości {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}}, który jest rozwiązaniem równania {{Formuła|<MATH>\mathbf{F}(\mathbf{\alpha})=0\;</MATH>}}. Zbudujmy odwzorowanie {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i)}=G(\mathbf{x}^{(i-1)},\mathbf{x}^{(i-2)}...\mathbf{x}^{(i-p)})\;</MATH>}}, to takie odwzorowanie nazywamy metodą stacjonarną p-punktową, jeśli mamy w szczególnym przypadku {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i)}=G(\mathbf{x}^{i-1})\;</MATH>}}, to tą metodę nazywamy stacjonarną. Jesli operator G ulega modyfikacją podczas iteracji, to taka metodę nazywamy niestacjonarną lub metodą zmiennego operatora. {{Określenie|kogo=Ostrowskiego|tekst= Napiszmy odwzorowanie {{Formuła|<MATH>G:\mathbf{D}\in\mathbf{R}^n\times\mathbf{R}^n\times ...\times\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^n\;</MATH>}} i określmy tzw. punkt przyciągania metody iteracyjnej, jeśli mamy takie otoczenie U{{Sub|&alpha;}} naszego punktu, że zbierając punkty {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(-p+1)},\mathbf{x}^{(-p+2)},\mathbf{x}^{-p+3},...,\mathbf{x}^{(0)}\;</MATH>}}, co z tego otoczenia uzyskamy ciąg punktów dążącej do wektora {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}}, tzn. ciąg {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(1)},\mathbf{x}^{(2)},...\in\mathbf{D}\;</MATH>}}, który jest zbieżny do wektora {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}}, które największe z tych otoczeń nazywamy obszarem przeciągania punktu {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} w n-wymiarowej przestrzeni. }} {{Lemat|tekst= Niech mamy odwzorowanie {{Formuła|<MATH>G:\mathbf{D}\in\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^n\;</MATH>}}, jeśli istnieje takie c<1, dla którego zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{G}\mathbf{x}-\mathbf{\alpha}||<c||\mathbf{x}-\mathbf{\alpha}||\;</MATH>|3.85}} dla której istnieje kula {{Formuła|<MATH>\mathbf{K}(\mathbf{\alpha},r)\subset\mathbf{D}\;</MATH>}}, to ciąg punktów {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)},...\;</MATH>}} jest zawarty wewnątrz tej kuli. Ta zbieżność jest conaj mniej liniowa, bo według {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{G}(\mathbf{x}^{(i)})\;</MATH>}} zachodzi {{Formuła|<MATH>||\mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{\alpha}||\leq c||\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{\alpha}||\;</MATH>}} dla "i" naturalnego z zerem. }} {{Określenie|tekst= Niech mamy odwzorowanie {{Formuła|<MATH>G:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^n\;</MATH>}}, to różniczkowanie w sensie Fricheta w punkcie {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} nazywamy odwzorowanie dla którego istnieje macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^n\;</MATH>}}, dla której zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{h\rightarrow 0}{{||G(\mathbf{x}+\mathbf{h})-G(\mathbf{x})-\mathbf{A}\mathbf{h}||}\over{||\mathbf{h}||}}=0\;</MATH>|3.86}} wtedy macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} nazywamy pochodną odwzorowania G w punkcie {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} i oznaczać je będziemy przez {{Formuła|<MATH>G^'(\mathbf{x})\;</MATH>}}. }} {{Twierdzenie|kogo=Ostrowskiego|tekst= Weźmy sobie pochodną Frecheta zwana inaczej F-pochodną odwzorowania {{Formuła|<MATH>G:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^n\;</MATH>}} w punkcie {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}}, w którym F-pochodna ma promień spektralny równy {{Formuła|<MATH>\varphi(G'(\mathbf{\alpha}))=\beta\;</MATH>}}, oraz oczywiście zachodzi {{Formuła|<MATH>G(\mathbf{\alpha})=\mathbf{\alpha}\;</MATH>}}, to punkt {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}} jest punktem przyciągania metody iteracyjnej {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=G(\mathbf{x}^{(i)})\;</MATH>}}, z którego uzyskujemy kolejne przybliżenia wektora {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}}. }} {{Dowód|czego=twierdzenia Ostrowskiego|tekst= Ponad wszelką wątpliwość można napisać {{Formuła|<MATH>G^'(\alpha)\leq \beta+\epsilon\;</MATH>}} dla promienia spektralnego &beta;. Z określenia pochodnej Frecheta możemy napisać, że istnieje kula {{Formuła|<MATH>\mathbf{K}(\mathbf{\alpha},r)\;</MATH>}} taka, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>||G(\mathbf{x})-G(\mathbf{\alpha})-G^'(\mathbf{\alpha})(\mathbf{x}-\mathbf{\alpha})||\leq\epsilon||\mathbf{x}-\mathbf{\alpha}||\;</MATH>|3.87}} dla {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} należącego do kuli. Wtedy na podstawie tychże warunków możemy napisać : {{CentrujWzór|<MATH>||G(\mathbf{x})-\mathbf{\alpha}||=||G(\mathbf{x})-\mathbf{\alpha}-G^'(\mathbf{\alpha})(\mathbf{x}-\mathbf{\alpha})+G^'(\mathbf{\alpha})(\mathbf{x}-\mathbf{\alpha}) ||\leq\;</MATH><BR><MATH>\leq||G^'(\mathbf{\alpha})(\mathbf{x}-\mathbf{\alpha})||+\epsilon||\mathbf{x}-\mathbf{\alpha}||\leq(\beta+2\epsilon)||\mathbf{x}-\mathbf{\alpha}||\;</MATH>|3.88}} Wtedy możemy wybrać &epsilon; dostatecznie małe, by zachodziło &beta;+2&epsilon;<1, co stąd wynika, że ciąg generowany przez funkcję wektorową {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i)}=G(\mathbf{x}^{(i)})\;</MATH>}} jest ciągiem zbieżnym do wektora {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}}. }} === Metoda Newtona a rozwiązywanie układu równań wielu zmiennych === {{Twierdzenie|jakie=pierwsze|tekst= Niech istnieje F-pochodna funkcji wektorowej {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{x})\;</MATH>}} zwarta w pewnym otoczeniu {{Formuła|<MATH>\mathbf{K}(\mathbf{\alpha},r)\;</MATH>}} taki, że wektor {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}} spełnia równanie {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{\alpha})=0\;</MATH>}} i w punkcie {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}} jest nieosobliwa, wtedy punkt {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}} nazywamy punktem przyciągania metody iteracyjnej: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-[F'(\mathbf{x}^{(i)})]^{-1}F(\mathbf{x}^{(i)})\;</MATH>|3.89}} }} {{Dowód|czego=twierdzenia pierwszego|tekst= Z warunku nieosobliwości F-pochodnej funkcji wektorowej {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{x})\;</MATH>}} możemy napisać funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>G(\mathbf{x})=\mathbf{x}-[F'(\mathbf{x})]^{-1}F(\mathbf{x})\;</MATH>|3.90}} dla której pochodna powyższej funkcji w punkcie <MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH> jest równa zero, zatem z twierdzenie Ostrowskiego podaną w poprzednim rozdziale istnieje metoda iteracyjna {{LinkWzór|3.89}}, która pozwala wyliczyć kolejne przybliżenia rozwiązania równania {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{x})=0\;</MATH>}}, czyli kolejne przybliżenia rozwiązania {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}}. }} Za każdym razem w metodzie Newtona należy liczyć F-pochodną funkcji {{Formuła|<MATH>F^'(\mathbf{x})\;</MATH>}}, i jego odwrotność, a także wartości funkcji {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{x})\;</MATH>}}, co jest szczególnym utrudnieniem tejże metody, ale należy pamiętać, że ta metoda jest szybko zbieżna, w tym celu napiszmy twierdzenie drugie. {{Twierdzenie|czego=drugie|tekst= Jeśli odwzorowanie spełnia wszystkie warunki twierdzenia Ostrowskiego podanego w poprzednim rozdziale, i ciągłość funkcji {{Formuła|<MATH>F'(\mathbf{x})\;</MATH>}} w punkcie {{Formuła|<MATH>\mathbf{\alpha}\;</MATH>}} jest typu Höldera, tzn. spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>||F^'(\mathbf{x})-F^'(\mathbf{\alpha})||\leq H||\mathbf{x}-\mathbf{\alpha}||^p\;</MATH>|3.91}} to wtedy jest spełniony warunek: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{\alpha}||\leq C||\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{\alpha}||^{p+1}\mbox{ gdzie: }C=4H||F^'(\mathbf{\alpha})^{-1}||\;</MATH>|3.92}} }} Według powyższego twierdzenia zbieżność metody Newtona jest bardzo szybka, bo bowiem można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{\alpha}||}\over{||\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{\alpha}||}}\leq C||\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{\alpha}||^p\;</MATH>|3.93}} Widzimy, że według {{LinkWzór|3.93}} w ciągu wektorów {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i)}\;</MATH>}}, w których odległość pomiędzy nimi dąży do zero wraz ze wzrastającym "i". W szczególnym przypadku, gdy mamy p=2, to wtedy mamy zbieżność kwadratową, tzn. zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{\alpha}||\leq C||\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{\alpha}||^2\;</MATH>|3.94}} ==== Metoda kolejnych poprawek trójmianu kwadratowego - metoda Bairstowa ==== Weźmy sobie wielomian f(z), którym wszystkie współczynniki oznaczmy przez a{{Sub|k}}, w którym przy najwyższej potędze jest a{{Sub|0}} i wskaźnik wzrasta wraz z maleniem wykładnika potęgi przy z{{Sup|k}}, który dzielimy przez trójmian kwadratowy x{{Sup|2}}+p{{Sub|i}}z+q{{Sub|i}}, w ten sposób otrzymujemy wynik wraz z resztą z dzielenia równą R{{Sub|i}}z+S{{Sub|i}}, zatem na podstawie tego wielomian f(x) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=(z^2+p_iz+q_i)(b_0z^{n-2}+b_1z^{n-3}+...+b_{n-2})+R_iz+S_i\;</MATH>|3.95}} Mnożenie występujące w pierwszym składniku wykonujemy, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=b_0z^{n}+b_1z^{n-1}+...+b_{n-2}z^2+p_iz(b_0z^{n-2}+b_1z^{n-3}+...+b_{n-2})+\;</MATH><BR><MATH>+q_i(b_0z^{n-2}+b_1z^{n-3}+...+b_{n-2})+R_iz+S_i=\;</MATH><BR><MATH> =b_0z^n+(b_1+p_ib_0)z^{n-1}+(b_2+p_ib_1+q_ib_0)z^{n-2}+...+(b_k+p_ib_{k-1}+q_ib_{k-2})z^{n-k}+....+\;</MATH><BR><MATH>+(p_ib_{n-2}+q_ib_{n-3})z+q_ib_{n-2}+R_iz+S_i\;</MATH>|3.96}} Wiedząc, że początkowe współczynniki wielomianu f(x) oznaczmy przez a{{Sub|k}}, wtedy iteracyjne wzory na b{{Sub|k}} na podstawie {{LinkWzór|3.86}} wyrażamy poprzez dwa wzory: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>b_0=a_0\;</MATH>|3.97}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_k=a_k-p_ib_{k-1}-q_ib_{n-2}\mbox{ dla }k=1,2,..,n\;</MATH>|3.98}} }} Wzory na współczynniki R{{Sub|i}} i S{{Sub|i}} na podstawie {{LinkWzór|3.96}} są: {{CentrujWzór|<MATH>R_i=a_{n-1}-p_ib_{n-2}-q_ib_{n-3}\equiv b_{n-1}\;</MATH>|3.99}} {{CentrujWzór|<MATH>S_i=a_n-q_ib_{n-2}\equiv a_n-p_ib_{n-1}-q_ib_{n-2}+p_ib_{n-1}\equiv b_n+p_ib_{n-1}\;</MATH>|3.100}} Jeszcze raz dzielimy przez ten sam trójmian kwadratowy występujący we wielomianie przedstawionym w punkcie {{LinkWzór|3.95}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=(z^2+p_iz+q_i)^2(c_0z^{n-4}+c_1z^{n-3}+...+c_{n-4})+(R_i^'z+S_i^')(z^2+p_iz+q_i)+R_iz+S_i\;</MATH>|3.101}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|3.95}}, {{LinkWzór|3.101}} otrzymujemy wzory na współczynniki c{{Sub|k}} dla k=1,2,..,n-2 zamieniając a{{Sub|k}} na b{{Sub|k}} i b{{Sub|k}} na c{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>c_0=b_0\;</MATH>|3.102}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>c_k=b_k-p_ic_{k-1}-q_ic_{k-2}\;</MATH>|3.103}} }} A współczynniki R'{{Sub|i}} i S'{{Sub|i}} wedle {{LinkWzór|3.99}} i {{LinkWzór|3.100}} możemy napisać zamieniając a{{Sub|k}} na b{{Sub|k}} i b{{Sub|k}} na c{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R_i^'=b_{n-3}-p_ic_{n-4}-q_ic_{n-5}\equiv c_{n-3}\;</MATH>|3.104}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>S_i^'=b_{n-2}-q_ic_{n-4}\equiv c_{n-2}+p_kc_{n-3}\;</MATH>|3.105}} }} Mamy znaleźć takie p{{Sub|i}} i q{{Sub|i}}, by w wielomianie {{LinkWzór|3.95}} parametry R{{Sub|i}} i S{{Sub|i}} w granicy dążyły do zera, zatem najpierw policzmy pierwsze pochodne cząstkową wyrazów b{{Sub|k}} względem p{{Sub|i}} i q{{Sub|i}}, wtedy: {{Wzór|<MATH>{{\partial b_1}\over{\partial p_k}}=-b_0-p_k{{\partial b_0}\over{\partial p_k}}=-b_0=-c_0\;</MATH><BR> <MATH>{{\partial b_2}\over{\partial p_k}}=-b_1-p_k{{\partial b_1}\over{\partial p_k}}=-b_1-p_k(-c_0)=-b_1+p_kc_0=-c_1\;</MATH><BR> <MATH>{{\partial b_3}\over{\partial p_k}}=-b_2-p_k{{\partial b_2}\over{\partial p}}-q_k{{\partial b_1}\over{\partial p}}=-b_2+p_kc_1+q_kc_0=-c_2\;</MATH><BR> &nbsp;-----------------------<BR> <MATH>{{\partial b_k}\over{\partial p_k}}=-b_{k-1}-p_kc_{k-2}+qc_{k-3}=-c_{k-1}\;</MATH><BR> <MATH>{{\partial b_1}\over{\partial q_k}}=-p_k{{\partial b_0}\over{\partial q}}=0\;</MATH><BR> <MATH>{{\partial b_2}\over{\partial q_k}}=-p_k{{\partial b_1}\over{\partial q}}-b_0-q_k{{\partial b_0}\over{\partial q}}=-b_0=-c_0\;</MATH><BR> <MATH>{{\partial b_3}\over{\partial q_k}}=-p_k{{\partial b_2}\over{\partial q}}-b_1-q_k{{\partial b_1}\over{\partial q_k}}=-p_k(-c_0)-b_1=p_kc_0-(c_1+p_kc_0)=-c_1\;</MATH><BR> &nbsp;------- <MATH>{{\partial b_k}\over{\partial q_k}}=-c_{k-2}\;</MATH>|3.106}} Policzmy teraz F-pochodną funkcji wektorowej składającej się z funkcji R{{Sub|i}} {{LinkWzór|3.99}} i S{{Sub|i}} {{LinkWzór|3.100}}: {{CentrujWzór|<MATH>F'(p_k,q_k)=\begin{bmatrix} {{\partial R_k}\over{\partial p_k}}&{{\partial R_k}\over{\partial q_k}}\\ {{\partial S_k}\over{\partial p_k}}&{{\partial R_k}\over{\partial S_k}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -c_{n-2}&-c_{n-3}\\ -c_{n-1}+b_{n-1}-p_kc_{n-2}&-c_{n-2}-p_kc_{n-3}\end{bmatrix}=\;</MATH><BR> <MATH>=\begin{bmatrix} -c_{n-2}&-c_{n-3}\\ -c_{n-1}+c_{n-1}+pc_{n-2}+q_kc_{n-3}-p_kc_{n-2}&-c_{n-2}-p_kc_{n-3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -c_{n-2}&-c_{n-3}\\ q_kc_{n-3}&-c_{n-2}-p_kc_{n-3}\end{bmatrix} \;</MATH>|3.107}} Wyznaczmy teraz wyznacznik macierzy F'(p{{Sub|k}},q{{Sub|k}}) {{LinkWzór|3.107}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{det}F^'(p_k,q_k)=c_{n-2}^2+pc_{n-2}c_{n-3}+q_kc_{n-3}^2=c_{n-2}^2+c_{n-3}\left(\underbrace{p_kc_{n-2}+q_kc_{n-3}}_r\right)=c_{n-2}^2+c_{n-3}r\;</MATH>|3.108}} Wyznaczmy teraz elementy odwrotności macierzy {{LinkWzór|3.107}} z dokładnością do pewnego czynnika, tzn. odwrotność wyrazu detF'(p{{Sub|k}},q{{Sub|k}}), który pomnożymy jednocześnie przez wektor pionowy składająca się z R{{Sub|k}} {{LinkWzór|3.99}} i S{{Sub|k}} {{LinkWzór|3.100}}: {{CentrujWzór|<MATH>\underbrace{\begin{bmatrix} -c_{n-2}-p_kc_{n-3}&c_{n-3}\\ -q_kc_{n-3}&-c_{n-2}\end{bmatrix}}_{\operatorname{det}F^'(p_k,q_k)F^'(p_k,q_k)^{-1}}\begin{bmatrix}b_{n-1}\\b_n+p_kb_{n-1}\end{bmatrix}=\;</MATH><BR><MATH>=\begin{bmatrix} -c_{n-2}b_{n-1}-p_kc_{n-3}b_{n-1}+c_{n-3}b_n+p_kc_{k-3}b_{n-1}\\ -q_kc_{n-3}b_{n-1}-c_{k-2}b_n-p_kc_{k-2}b_{n-1} \end{bmatrix}=\;</MATH><BR><MATH>=\begin{bmatrix} c_{n-3}b_n-c_{n-2}b_{n-1}\\ -b_{n-1}(p_kc_{n-2}+q_kc_{n-3})-c_{n-2}b_n\end{bmatrix}</MATH>|3.109}} Stosując dwuwymiarową metodę Newtona {{LinkWzór|3.89}} możemy powiedzieć stosując obliczenia napisane w punkcie {{LinkWzór|3.109}} uwzględniając policzony wyznacznik macierzy detF'(p{{Sub|k}},q{{Sub|k}}) policzonej w punkcie {{LinkWzór|3.108}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}p_{k+1}\\q_{k+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_k\\q_k\end{bmatrix}-{{1}\over{c_{n-2}^2+c_{n-3}\left(p_kc_{n-2}+q_kc_{n-3}\right)}}\begin{bmatrix} c_{n-3}b_n-c_{n-2}b_{n-1}\\ -b_{n-1}(p_kc_{n-2}+q_kc_{n-3})-c_{n-2}b_n\end{bmatrix}\;</MATH>|3.110}} Z równości macierzowej {{LinkWzór|3.110}} możemy wyedukować dwie bardzo ważne tożsamości w metodze Bairstowa na iterację współczynników p{{Sub|k}} i q{{Sub|k}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{k+1}=p_k-{{c_{n-3}b_n-c_{n-2}b_{n-1}}\over{c_{n-2}^2+c_{n-3}r}}\;</MATH>|3.111}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>q_{k+1}=q_k-{{-b_{n-1}r-c_{n-2}b_n}\over{c_{n-2}^2+c_{n-3}r}}\;</MATH>|3.112}} }} === Metoda siecznych jako metoda n+1 punktowa === Metoda ta polega na odwzorowaniu liniowym (afinicznym) funkcji {{Formuła|<MATH>f(\mathbf{y})\;</MATH>}} w odwzorowaniu {{Formuła|<MATH>F:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^n\;</MATH>}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>F(\mathbf{y}^{(i)})=A\mathbf{y}^{(i)}+\mathbf{b}\mbox{ dla }j=0,1,2,..,n\;</MATH>|3.113}} Oznaczmy przez <MATH>_{\Delta\mathbf{Y}}\;</MATH> jako różnice elementów argumentów {{LinkWzór|3.113}} o kolumnach {{Formuła|<MATH>\mathbf{y}^{(1)}-\mathbf{y}^{(0)}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\mathbf{y}^{(2)}-\mathbf{y}^{(1)}\;</MATH>}},..., a przez {{Formuła|<MATH>\Delta \mathbf{F}\;</MATH>}} o kolumnach {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{y}^{(1)})-F(\mathbf{y}^{(0)})\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{y}^{(2)})-F(\mathbf{y}^{(1)})\;</MATH>}},..., wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\mathbf{F}=\mathbf{A}\cdot\Delta\mathbf{Y}\;</MATH>|3.114}} Szunanym punktem rozwiązania {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}=0\;</MATH>}} przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|3.113}} jest rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}=-\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}=-\mathbf{A}^{-1}\left(F(\mathbf{y}-\mathbf{A}\mathbf{y}\right)=\mathbf{y}-\mathbf{A}^{-1}F(\mathbf{y})\;</MATH>|3.115}} Jeśli zastosujemy wzór {{LinkWzór|3.114}} do tożsamości {{LinkWzór|3.115}} podstawiając za macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, wtedy kolejne przybliżenie miejsca zerowego funkcji {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{x})\;</MATH>}} możemy napisać przyjmując we wspomnianym wzorze jako {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i)}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\Delta \mathbf{Y}^{(i)}[\Delta F^{(i)}]^{-1}F(\mathbf{x}^{(i)})\;</MATH>|3.116}} W powyższym odwzorowaniu wybieramy n+1 punktów {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(-n)}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(-n+1)}\;</MATH>}},..,{{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(0)}\;</MATH>}}, wtedy obliczamy kolejno macierze {{Formuła|<MATH>\Delta\mathbf{F}^{(i)}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\Delta \mathbf{Y}^{(i)}\;</MATH>}}, oczywiście przyjmując w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}^{(0)}=\mathbf{x}^{(i-n)}\mbox{, }\mathbf{y}^{(1)}=\mathbf{x}^{(i-n+1)}\mbox{, }...\mbox{, }\mathbf{y}^{(n)}=\mathbf{x}^{(i)}\;</MATH>|3.117}} Metodę {{LinkWzór|3.116}} nazywamy n+1 punktową metodą siecznych, ponieważ do wyznaczania kolejno punktów {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(0)}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(1)}\;</MATH>}},... potrzebne jest n+1 poprzednich punktów i wartości odwzorowania obiektu F w tychże punktach, przy czym należy pamiętać, że macierz {{Formuła|<MATH>\Delta\mathbf{F}^{(i)}\;</MATH>}} musi być macierzą niesosobliwą, tzn. jego wyznacznik nie powinien być równy zero. Metoda Newtona {{LinkWzór|3.89}} sprowadza się do metody dyskretnej siecznych przez proste zastąpienie kolejnych kolummn macierzy F-pochodnej przez: {{CentrujWzór|<MATH>\left[{{F(\mathbf{x}^{(i)}+h\mathbf{e}^{(1))})}\over{h}},...,{{F(\mathbf{x}^{(i)}+h\mathbf{e}^{(n)})}\over{h}}\right]\;</MATH>|3.118}} W powyższym, wzorze przyjęto, że mamy n+1 punktów, tzn. {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i)}\mbox{, }\mathbf{x}^{(i-1)}\mbox{,..., }\mathbf{x}^{(i-n)}\;</MATH>}}, wtedy przyjmujemy {{Formuła|<MATH>\mathbf{y}^{(n)}=\mathbf{x}^{(i)}\;</MATH>}}, a także możemy napisać brakujące punkty {{Formuła|<MATH>\mathbf{y}^{(n-1)},...,\mathbf{y}^{(0)}\;</MATH>}},. wtedy te punkty dobieramy na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}^{(n-j)}=\mathbf{x}^{(i)}+h\mathbf{e}^{(i)}\;</MATH>|3.119}} i dlatego we wzorze {{LinkWzór|3.118}} argumenty są określone wzorem {{LinkWzór|3.119}}. Jeśli macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{B}\;</MATH>}} jest macierzą osobliwą, to macierz {{Formuła|<MATH>\Delta\mathbf{F}=\mathbf{B}\Delta\mathbf{Y}\;</MATH>}} w odwzorowaniu {{Formuła|<MATH>{F}(\mathbf{x})=\mathbf{B}\mathbf{x}+\mathbf{c}\;</MATH>}} jest również macierzą osobliwą, wtedy stosowanie metody {{LinkWzór|3.116}} (metody siecznych) nie ma sensu, wtedy metoda siecznych jest stosowana przy założeniu dodatkowych warunków warunkujących niezawodność tejże metody. === Poszukiwanie wartości minimalnej funkcji jednej zmiennej === Aby znaleźć wartość funkcji w odwzorowaniu {{Formuła|<MATH>f:\mathbf{R}^1\rightarrow\mathbf{R}^1\;</MATH>}} należy znaleźć miejsca zerowe pochodnej funkcji f(x), ale może się zdarzyć, że policzenie pochodnej funkcji jest kłopotliwe, lub nawet niemożliwe, że względu na nieznajomość funkcji obiegającej pewne punkty w przedziale <a,b>, w tym celu zdefiniujmy lemat, dla której funkcja w przedziale (a,&alpha;) jest funkcją malejącą, a dla (&alpha;,b) jest funkcją rosnąca: {{Lemat|tekst= W celu zlokalizowania punktu &alpha; w przedziale <a,b>, należy policzyć dwie wartości funkcji dla dwóch argumentów w tymże przedziale. }} {{Dowód|czego=powyższego twierdzenia|tekst= Weźmy dwa dowolne punktu t{{Sub|1}} i t{{Sub|2}}, takie, że spełniony jest warunek a<t{{Sub|1}}<t{{Sub|2}}<b, wtedy jeśli jest spełniony warunek f(t{{Sub|1}})&le;f(t{{Sub|2}}) to minimum funkcji leży w przedziale &alpha;&isin;<&alpha;,t{{Sub|2}}>, a jeśli f(t{{Sub|1}})>f(t{{Sub|2}}), to minimum funkcji f(t) leży w przedziale &alpha;&isin;<t{{Sub|1}},b> }} ==== Dwie metody podziału na równe przedziały ==== Będziemy szukali minimum funkcji przy przedziałach dążących do zera powstająca w wyniku podziału na coraz mniejsze przedziały w wyniku kolejnych kroków, wtedy w wyniku twierdzenia Cantora w przypadku granicznym punkty a{{Sup|(i)}} i b{{Sup|(i)}} dążą do &alpha;. ===== Podział na trzy równe części w wyniku kolejnych przedziałów w wyniku iteracji ===== Wybierzmy sobie dwa punkty, które należą do przedziału <a,b>, które przedstawimy w zależności od liczb a i b: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>t_1^{(i)}={{2}\over{3}}a+{{1}\over{3}}b\;</MATH>|3.120}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>t_2^{(i)}={{1}\over{3}}a+{{2}\over{3}}b\;</MATH>|3.121}} }} W wyniku iteracji każdy kolejny przedział w zależności od przedziału poprzedniego jest mniejszy 3/2 razy, to wyniku iteracji przy I-tej iteracji końcowy przedział jest krótszy (3/2){{Sup|I}} razy w 2I obliczeniach wartości funkcji, i wyniku iteracji końcowy przedział ma długość nie większą niż: {{CentrujWzór|<MATH>b-a=\left({{2}\over{3}}\right)^I(b^{(0)}-a^{(0)})\;</MATH>|3.122}} Aby uzasadnić powyższy wzór to dla I=1 można go uzyskać odejmując od {{LinkWzór|3.121}} liczbę "a" lub od b liczbę {{LinkWzór|3.120}}, dalej wyniku czego uzyskujemy wzór iteracyjny i w zależności "i", i wyniku czego po rozwiązaniu iteracji uzyskujemy wzór {{LinkWzór|3.122}}. ===== Podział na cztery równe części wyniku kolejnych podziałów w wyniku iteracji - metoda połowienia ===== W przedziale pomiędzy punktami "a" i "b" wybierzmy trzy kolejne punkty podziału, w którym będziemy liczyli wartość funkcji: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>t_1^{(i)}={{3}\over{4}}a+{{1}\over{4}}b\;</MATH>|3.123}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>t_2^{(i)}={{1}\over{2}}a+{{1}\over{2}}b\;</MATH>|3.124}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>t_3^{(i)}={{1}\over{4}}a+{{3}\over{4}}b\;</MATH>|3.125}} }} Wyniku kolejnych i-tej iteracji końcowy przedział końcowy przedział ma długość nie większą niż: {{CentrujWzór|<MATH>b-a=\left({{1}\over{2}}\right)^I(b^{(0)}-a^{(0)})\;</MATH>|3.126}} Uzyskamy to w wyniku 2I+1 obliczeniach wartości w I iteracjach. Metoda połowienia dzieli podany przedział na cztery części, a metoda podziału na trzy części, i wyniku czego można powiedzieć, ze metoda połowienia jest metodą bardziej efektywną, bo metoda podziału dzieli przedziały na większe elementy niż metoda połowienia przy tym samym kroku iteracji, bo ta ostatnia dzieli jeszcze na mniejsza części niż ta metoda ta przedostatnia przy tej samej ilości iteracji. ==== Metoda Johnsona optymalnych podziałów ==== Do tej metody korzystamy z liczb Fibonacciego, którego definicję przypominamy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>F_0=F_1=1\mbox{, }F_i=F_{i-1}+F_{i-2}\mbox{ dla }i=2,3,...\;</MATH>|3.127}} Wybieramy dwa punkty, którego będziemy podawali dla i=1,2,..,N-2 przy pomocy liczb Fibonacciego {{LinkWzór|3.127}}, w takim wypadku: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>t_1^{(i)}={{F_{N-i-1}}\over{F_{N-1+i}}}(b-a)+a\;</MATH>|3.128}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>t_2^{(i)}={{F_{N-i}}\over{F_{N-i+1}}}(b-a)+a\;</MATH>|3.129}} }} Podyskutujmy teraz o punktach "a" i "b", tzn. jeśli mamy {{Formuła|<MATH>f(t_1^{(i)})\leq f(t_2^{(i)})\;</MATH>}}, to liczba "a" jest taka sama, a liczba "b" staje się liczbą {{Formuła|<MATH>t_2^{(i)}\;</MATH>}}, w drugim przypadku {{Formuła|<MATH>f(t_1^{(i)})>f(t_2^{(i)})\;</MATH>}}, to wtedy "b" jest bez zmian a "a" jest liczbą {{Formuła|<MATH>t_1^{(i)}\;</MATH>}}. Po i-tej iteracji końcowy przedział ma długość poniżej, do którego wykorzystamy obliczenia dla punktu {{LinkWzór|3.129}}, od którego odejmować będziemy liczbę "a", co wyniki czego otrzymujemy maksymalna długość jaki może mieć przedział w i-tej operacji: {{CentrujWzór|<MATH>b-a={{F_{N-1}}\over{F_N}}{{F_{N-2}}\over{F_{N-1}}}\cdot\mbox{...}\cdot{{F_2}\over{F_3}}(b^{(0)}-a^{(0)})={{F_2}\over{F_N}}{{b^{(0)}-a^{(0)}}\over{F_N}}(b^{(0)}-a^{(0)})={{2(b^{(0)}-a^{(0)})}\over{F_N}}\;</MATH>|3.130}} Aby uzyskać przedział końcowy, w którym będziemy poszukiwali minimum funkcji uzyskujemy w N-1 obliczeniach wartości funkcji. ==== Efektywna metoda złotego podziału ==== Metoda ta polega by w następnej iteracji przedział zmniejszał się o taką sama długość przy wyborze punktów <MATH>t_1^{(i)}\;</MATH> i <MATH>t_1^{(i)}\;</MATH>, w taki sposób jeden z punktów pokrywał się z punktem powstałej w poprzednim kroku iteracji. Algorytm ten wymaga by był spełniony warunek: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>t_2^{(i)}-a=b-t_1^{(i)}=\tau(b-a)\mbox{ dla }\tau\in(0,1)\;</MATH>|3.131}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b-t_2^{(i)}=\tau(b-t_1^{(i)})\;</MATH>|3.132}} }} Wyznaczmy liczby {{Formuła|<MATH>t_1^{(i)}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t_1^{(i)}\;</MATH>}} z równania {{LinkWzór|3.131}} i podstawmy je do wzoru {{LinkWzór|3.132}}, w ten sposób otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>b-a-\tau(b-a)=\tau\tau(b-a)\Rightarrow 1-\tau=\tau^2\Rightarrow\tau^2+\tau-1=0\;</MATH>|3.133}} Końcowe równanie {{LinkWzór|3.133}} jest równaniem kwadratowym, którego rozwiązaniem jest liczba: {{CentrujWzór|<MATH>\tau={{\sqrt{5}-1}\over{2}}\simeq 0,62\;</MATH>|3.134}} Jeszcze raz wykorzystując wzór {{LinkWzór|3.131}} by otrzymać później wzory na punkty {{Formuła|<MATH>t_1^{(i)}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t_1^{(i)}\;</MATH>}} jako punkty, w którym chcemy policzyć wartości funkcji i potem było można znaleźć wartości funkcji, w takim wypadku: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>t_1^{(1)}=a+\tau(b-a)\;</MATH>|3.135}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>t_2^{(1)}=b-\tau(b-a)\;</MATH>|3.136}} }} Rozważmy przypadek, gdy {{Formuła|<MATH>f(t_1^{(i)})\leq f(t_2^{(i)})\;</MATH>}}, to wtedy punkt "a" pozostaje bez zmian, to wybieramy przedział w następnym kroku iteracji jako {{Formuła|<MATH>\langle a, t_1^{(i)})\rangle\;</MATH>}} lub gdy {{Formuła|<MATH>f(t_1^{(i)})> f(t_2^{(i)})\;</MATH>}} w następnym kroku iteracji przyjmujemy przedział {{Formuła|<MATH>\langle t_2^{(i)},b\rangle\;</MATH>}}. Interesuje nas efektywność metody złotego podziału w porównaniu z metodą optymalnych podziałów Johnsona, i jeśli w opisywanej tutaj metodzie mamy K obliczeń wartości funkcji, to w metodzie Johnsona mamy N=K+1 obliczeń wartości funkcji. Jeśli mamy w metodzie Johnsona {{Formuła|<MATH>|t-\alpha|\leq 2{{b^{(0)-a^{(0)}}}\over{F_{K+1}}}\;</MATH>}}, to w metodzie złotego podziału mamy iteracji {{Formuła|<MATH>|t-\alpha|\leq{{b^{(0)}-a^{(0)}}\over{G_{K+1}}}\;</MATH>}}, dla którego mamy {{Formuła|<MATH>G_i=\left({{1}\over{\tau}}\right)^{i-1}\;</MATH>}} Z powyższych oszacowań możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>2{{b^{(0)}-a^{(0)}}\over{F_{K+1}}}\leq {{b^{(0)}-a^{(0)}}\over{G_{K-1}}}\mbox{ i }{{b^{(0)}-a^{(0)}}\over{G_{K}}}\leq 2{{b^{(0)}-a^{(0)}}\over{F_{K+1}}}\Rightarrow 2G_{K-1}\leq F_{K+1}\leq 2G_K\;</MATH>|3.137}} Aby mieć dokładność w metodzie złotego podziału zbliżoną do metody optymalnych podziałów Johnsona należy w tej przedostatniej metodzie wykonać dodatkowy krok obliczeń, gdy mamy wykonane K-1 kroków. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ruwzrrhdqpwbt3acjii19oy89t9p1wy 0 20874 558550 518462 2026-10-04T16:13:26Z Persino 2851 558550 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Ruchem drgającym harmonicznym nazywamy drgania, które zależą od częstotliwości kołowej drgań własnych &omega; i przesunięcia fazowego &phi;. Drgania te opisujemy względem czasu "t" wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.1}} Ruch pokazany przy pomocy równości {{LinkWzór|1.1}}, są to ruchy o jednym stopniu swobody. Okresem drgań harmonicznych nazywamy odwrotność częstości &nu;, którą możemy przepisać przy pomocy definicji częstotliwości kołowej: {{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{\nu}}={{2\pi}\over{\omega}}\;</MATH>|1.2}} == Siła kierujące i bezwładność ciała dla drgań o jednym stopniu swobody == Ruch harmoniczny {{LinkWzór|1.1}} jest rezultatem działania dwóch przeciwstawnych czynników, tzn. siły kierującej i bezwładności. Siła kierująca w ruchu harmonicznym usiłuje przywrócić układ do stanu równowagi, a bezwładność jest cechą układu, która przeciwstawia się zmianom ruchu układu. == Drgania tłumione == Ruch harmoniczny opisywany wzorem {{LinkWzór|1.1}} nie jest ruchem tłumionym, bo jego amplituda nie zmienia się w miarę upływu czasu. W ruchu tłumionym, amplituda drgań maleje z czasem. Przykładem drgań gasnących są drgania opisane równością: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.3}} == Wahadło matematyczne == {{Rysunek|Wahadło matematyczne.jpeg|lk1|Wahadło matematyczne}} Wahadłem matematycznym nazywamy układ, w którym ciało o masie M jest zawieszone na nieważkiej nici lub pręcie o długości l. Siłą kierującą w ruchu wahadła jest składowa siły grawitacji prostopadła do nici, jej wartość określa wzór F=Mg sin&psi;, to z drugiej zasady dynamiki Newtona w tym przypadku wynika: {{CentrujWzór|<MATH>Ml{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-Mg\sin\psi\;</MATH>|1.4}} Funkcję sinus możemy rozłożyć w szereg Taylora, którego zapis dla naszej funkcji jest następujący: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\psi=\psi-{{\psi^3}\over{3!}}+{{\psi^5}\over{5!}}-...\;</MATH>|1.5}} Dla małych kątów &psi;, można pominąć wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszym, wówczas równość {{LinkWzór|1.4}} możemy przestawić {{LinkWzór|1.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-{{g}\over{l}}\psi\rightarrow {{d^2\psi}\over{dt^2}}=-\omega^2\psi\mbox{ gdzie: }\omega^2={{g}\over{l}}\;</math>|1.6}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.6}} są funkcje harmoniczne w postaci {{LinkWzór|1.1}} (co udowodnimy poniżej), dla której druga pochodna tego właśnie przypuszczalnego rozwiązania naszej funkcji jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.7}} Jeśli funkcję {{LinkWzór|1.7}} wraz {{LinkWzór|1.1}} podstawimy do wzoru {{LinkWzór|1.6}}, w ten sposób otrzymamy tożsamość, co dowodzi o harmoniczności ruchu masy M w wahadle matematycznym. == Ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch sprężynek == {{Rysunek|Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi.jpeg|wk1|Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi}} {{Rysunek|Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi.jpeg|wk2|Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi}} Rozważmy dwie sprężynki przyczepione do ścianek i połączone ze sobą poprzez masę M. Sprężynki mają znikomą masę. Całkowita siła działająca na masę M jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>F_z=-K(z-a_0)+K(2a-z-a)=-2K(z-a)\;</MATH>|1.8}} Ruch ciężarka możemy opisać drugim prawem dynamiki Newtona, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2z}\over{dt^2}}=F_z\Rightarrow M{{d^2z}\over{dt^2}}=-2K(z-a)\;</MATH>|1.9}} Ruch ciała M będziemy opisywać funkcją &psi;(t), którą definiujemy jako starą funkcję z(t) minus stałą "a", zatem w {{LinkWzór|1.9}} możemy dokonać zamiany zmiennych według: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=z(t)-a\;</MATH>|1.10}} Równanie {{LinkWzór|1.9}} przy pomocy podstawienia {{LinkWzór|1.10}}, którym występuje poszukiwana funkcja &psi;(t) jest zależna od czasu, dla równania, która jest równaniem oscylatora harmonicznego, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-{{2K}\over{M}}\psi(t)\;</MATH>|1.11}} Kwadrat częstości kołowej ruchu harmonicznego ciała, a także rozwiązanie ruchu {{LinkWzór|1.9}} na podstawie {{LinkWzór|1.11}} i {{LinkWzór|1.10}}, przestawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\omega^2={{2K}\over{M}}\;</MATH>|1.12}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z(t)=\psi(t)+a=a+A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.13}}}} == Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn == {{Rysunek|Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn.jpeg|lk2|Drgania podłużne. Dolny rysunek układ w stanie równowagi, a górny układ w stanie drgań poprzecznych.}} Rozważmy ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch nieważkich sprężyn. Współczynnik sprężystości sprężyn wynosi K. W położeniu równowagi każda ze sprężyn zostaje napięta do długości a. Opisywany układ może wykonywać dwa rodzaje drgań poprzecznych i jedno drganie podłużne. W stanie równowagi siła działająca na ciało z jednej ze sprężyn jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>T_0=K(a-a_0)\;</MATH>|1.14}} Opisu drgań podłużnych nie będziemy powtarzać, ponieważ jest zamieszczony w poprzednim rozdziale. W drganiach poprzecznych siła, z jaką pojedyncza sprężyna działa na ciężarek M, jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>T=K(l-a_0)\;</math>|1.15}} Z drugiej zasady dynamiki Newtona ruch opisujący drgania poprzeczne jest opisywany przez równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=F_x=-2T\sin\theta=-2K(l-a_0){{x}\over{l}}\Rightarrow M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2Kx\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)\;</MATH>|1.16}} Należy zauważyć, że długość l występująca po prawej stronie wzoru końcowego {{LinkWzór|1.16}} jest funkcją w ogólności od zmiennej x. == Mała długość swobodna sprężyny jako pierwsze przybliżenie == Równanie ruchu ciała o masie M {{LinkWzór|1.16}} w przybliżeniu małej długości sprężyny, tzn. stosunek długości sprężyny swobodnej a{{Sub|0}} przez długość sprężyny l jest w naszym przypadku tutaj rozważanym wielkością pomijalną. Równanie ruchu {{LinkWzór|1.16}} przybliżeniu tutaj omawianym jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;</MATH>|1.17}} Wzór {{LinkWzór|1.17}} uzyskaliśmy na podstawie dokładnego rozwiązania {{LinkWzór|1.16}}, w której definicja kwadratu częstotliwości kołowej dla przybliżenia małej długości sprężyny przy zachodzącym {{LinkWzór|1.14}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2K}\over{M}}={{2T_0}\over{Ma}}\mbox{ (dla }a_0=0\mbox{)}\;</MATH>|1.18}} Rozwiązaniem równania ruchu {{LinkWzór|1.17}} jest to równanie zależne od częstotliwości kołowej &omega;, które jest opisane wzorem {{LinkWzór|1.1}}. Widzimy, ze zgodnie ze wzorami {{LinkWzór|1.18}} i {{LinkWzór|1.12}}, że częstość drgań poprzecznych w naszym przybliżeniu jest równa częstości drgań podłużnych w ruchu drgającym ciała o masie M. == Przybliżenie małych drgań == Aby rozwiązać równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.16}} stosowaliśmy przybliżenia małej długości swobodnej sprężyny, wtedy stosunek długości swobodnej sprężyny a{{Sub|0}} do długości aktualnej sprężyny jest względnie mały, których stosunek w takiej sytuacji możemy pominąć. Jeśli tego stosunku nie można pominąć, to możemy powiedzieć, że dla małego &epsilon;, względem którego będziemy rozkładali odwrotność długości chwilowej sprężyny w szereg Taylora, który to podstawimy do równania różniczkowego {{LinkWzór|1.16}}, i pominiemy wyrazy wyższe niż liniowe, w ten sposób dojdziemy do równania różniczkowego, które jest równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego, to co chcieliśmy otrzymać. Zatem napiszmy teraz definicję kwadratu chwilowej długości sprężyny "l" i kwadratu wielkości &epsilon;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>l^2=a^2+x^2\;</math>|1.19}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2={{x^2}\over{a^2}}\;</mAth>|1.20}}}} Odwrotność długości sprężyny liczymy, rozkładając ją w szereg Taylora względem zmiennej x, która jest położeniem ciała o masie M: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{l}}={{1}\over{a}}\left(1+\epsilon\right)^{-{{1}\over{2}}}={{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq{{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\;</MATH>|1.21}} Wzór {{LinkWzór|1.21}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.16}} do odjemnika w nawiasie, w ten sposób możemy otrzymać równość zależną od zmiennej x, którego to równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq-{{2Kx}\over{M}}\left[1-{{a_0}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\right]\;</MATH>|1.22}} Równanie ruchu {{LinkWzór|1.22}} możemy przepisać, dokonując odpowiednich przekształceń w nawiasie w końcowej wspomnianej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x^2}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{Ma}}(a-a_0)+{{K}\over{M}}a_0\left({{x}\over{a}}\right)^3+...\;</MATH>|1.23}} W równaniu ruchu masy M zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.23}} możemy pominąć wyższe wyrazy niż liniowe przy przybliżeniu małych drgań, by potem wykorzystać wzór {{LinkWzór|1.14}}: {{CentrujWzór|<math>{{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2K}\over{Ma}}(a-a_0)x\Rightarrow {{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2T_0}\over{Ma}}x\;</MATH>|1.24}} Kwadrat częstotliwości kołowej ruchu drgającego drgań poprzecznych wynika z równania różniczkowego {{LinkWzór|1.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2T_0}\over{Ma}}\;</MATH>|1.25}} Rozwiązanie równania ruchu {{LinkWzór|1.24}} przy definicji kwadratu częstotliwości kołowej {{LinkWzór|1.25}} jest równaniem zapisane w punkcie {{LinkWzór|1.1}}. Możemy wyznaczyć iloraz częstotliwość drgań podłużnych {{LinkWzór|1.12}} przez częstotliwość kołową drgań poprzecznych {{LinkWzór|1.25}} przy oznaczeniu {{LinkWzór|1.14}} w następującej postaci: {{CentrujWzór|<math>{{\omega_{pod}}\over{\omega_{poprz}}}={{1}\over{\left(1-{{a_0}\over{a}}\right)^{{{1}\over{2}}}}}\;</MATH>|1.26}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.26}}, gdy długość własna sprężyny a{{Sub|0}} jest względnie mała w porównaniu z długością sprężyny w stanie równowagi "a", to częstotliwości kołowe drgań podłużnych i poprzecznych są sobie w przybliżeniu równe. == Obwód LC, czyli solenoid z dwoma kondensatorami == {{Rysunek|Układ LC.jpeg|wk3|Szeregowy układ LC dwóch kondensatorów o pojemności elektrycznej C i solenoidu o długości własnej L}} Równanie opisujących układ LC z dwoma kondensatorami o pojemności C i z cewką od indukcji elektrycznej L przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>-L{{dI}\over{dt}}-{{Q_2}\over{C}}-{{Q_1}\over{C}}=0\;</MATH>|1.27}} Ładunek Q{{Sub|1}} jest powiązany z ładunkiem Q{{Sub|2}}, a także ten drugi ładunek jest powiązany z natężeniem prądu elektrycznego płynącego w obwodzie: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_1=Q_2\;</MATH>|1.28}}|2={{CentrujWzór|<math>{{dQ_2}\over{dt}}=I\;</MATH>|1.29}}}} Równanie {{LinkWzór|1.27}} możemy tak napisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|1.28}}, które to możemy dalej zróżniczkować obustronnie względem czasu przy wykorzystaniu {{LinkWzór|1.29}}, wtedy otrzymamy równość różniczkową drugiego stopnia: {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI}\over{dt}}+2{{Q_2}\over{C}}=0\Rightarrow L{{d^2I}\over{dt^2}}=2{{I}\over{C}}=0\Rightarrow {{d^2I}\over{dt^2}}=-{{2}\over{LC}}I\;</math>|1.30}} Końcowe równanie {{LinkWzór|1.30}} jest równaniem oscylatora harmonicznego, którego kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2}\over{LC}}\;</MATH>|1.31}} Natężenie prądu elektrycznego, który jest rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.30}} przestawiamy podobnym wzorem do {{LinkWzór|1.1}}, jest to równanie w postaci: {{CentrujWzór|<math>I(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.32}} == Zasada superpozycji i liniowość równań ruchu == Omawiane tutaj były przypadki, w których siła kierunkowa była wprost proporcjonalna do &psi;(t), natomiast niezależała od wyższych potęg &psi;, tzn. &psi;{{Sup|2}},&psi;{{Sup|3}},.... Równanie niezawierające wyższych potęg &psi; niż pierwszego stopnia nazywamy równaniem liniowym. Gdy w naszym równaniu występują wyższe potęgi niż pierwszego stopnia, tak powstałe równanie nazywamy nieliniowym. Natomiast, gdy równanie nie zawiera wyrazów z niezależnych od &psi; nazywamy równaniem jednorodnym. === Wprowadzenie do równań liniowych jednorodnych === Równania liniowe i jednorodne różniczkowe mają tę właściwość, że suma dwóch rozwiązań równania liniowego i jednorodnego też spełnia równanie liniowe i jednorodne, co jest wiadomo. Udowodnimy czy też jest dla równań różniczkowych nieliniowych, że jeśli mamy dwa rozwiązania poniższego równania różniczkowego, to suma ich ma spełniać też to równanie, jak wykażemy co jest jedynie możliwe, gdy mamy równanie różniczkowe liniowe. A oto mamy równość różniczkową w ogólności zależną od wyższych potęg niż pierwszego stopnia: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi+\alpha\psi^2+\beta\psi^3+\gamma\psi^4+..\;</MATH>|1.33}} Weźmy dwa rozwiązania &psi;{{Sub|1}} i &psi;{{Sub|2}}, które spełniają równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.33}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_1(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_1+\alpha\psi_1^2+\beta\psi_1^3+..\;</MATH>|1.34}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_2(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_2+\alpha\psi^2_2+\beta\psi^3_2+..\;</MATH>|1.35}}}} Sumę rozwiązań &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} też spełnia równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.33}} jak i składowe tejże sumy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}=-C(\psi_1+\psi_2)+\alpha(\psi_1+\psi_2)^2+\beta(\psi_1+\psi_2)^3+...\;</MATH>|1.36}} Równanie {{LinkWzór|1.34}} możemy dodać do {{LinkWzór|1.35}} do siebie i porównać ze wzorem {{LinkWzór|1.36}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{dt^2}}+{{d^2\psi}\over{dt^2}}={{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}\;</MATH>|1.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-C\psi_1-C\psi_2=-C(\psi_1+\psi_2)\;</MATH>|1.38}}}} {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha\psi_1^2+\alpha\psi_2^2=\alpha(\psi_1+\psi_2)^2\;</MATH>|1.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\beta\psi^3_1+\beta\psi_2^3=\beta(\psi_1+\psi_2)^3\;</MATH>|1.40}}}} Równanie {{LinkWzór|1.37}} i {{LinkWzór|1.38}} są tożsamościami, tzn. które są zawsze spełnione, a równości {{LinkWzór|1.39}} i {{LinkWzór|1.40}} są zawsze spełnione tylko dla &alpha;=0 i &beta;=0, zatem co zachodzi tylko dla rozwiązania liniowego przy postawionych warunkach powyżej, to superpozycja rozwiązań równania różniczkowego liniowego jest też rozwiązaniem tego samego równania różniczkowego. Co kończy dowód. === Warunki początkowe a superpozycja rozwiązań === Załóżmy, że mamy dwa rozwiązania jako szczególne rozwiązania w chwilach szczególnych &psi;{{Sub|1}}(0) i &psi;{{Sub|2}}(0), które odpowiadają warunkom brzegowym rozwiązań &psi;{{Sub|1}}(t) i &psi;{{Sub|2}}(t), a rozwiązania równania będące superpozycją naszych rozwiązań, czyli &psi;{{Sub|1}}(t)+&psi;{{Sub|2}}(t), odpowiadają warunki brzegowe w postaci: &psi;{{Sub|1}}(0)+&psi;{{Sub|2}}(0). === Niejednorodne równanie liniowe === Wprowadźmy do równania liniowego siłę wymuszającą F(t) zależną od czasu, wtedy po tej operacji otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi(t)+F(t) \;</MATH>|1.41}} Załóżmy, że mamy dwa równania różniczkowe {{LinkWzór|1.41}}, każde odpowiada innej sile wymuszającej, to superpozycja dwóch rozwiązań spełnia równanie różniczkowe odpowiadające sumie dwóch sił wymuszających w równaniu {{LinkWzór|1.41}}, tzn. F{{Sub|1}}(t)+F{{Sub|2}}(t). === Wahadło sferyczne === W celu zilustrowania zasady superpozycji rozpatrzmy wahadło sferyczne zawieszone na nieważkiej nici, która posiada możliwość ruchu w dowolnym kierunku. Położenie równowagi znajduje się w punkcie x=0 i y=0, co równania ruchu takiego wahadła piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}x\;</MATH>|1.42}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2y}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}y\;</MATH>|1.43}}}} Powyższe dwa równania są rozdzielone, tzn. każde równanie zależy od innych zmiennych i ich rozwiązania są niezależne i są opisywane wzorami tylko od zmiennej t i są to dwa rozwiązania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y(t)=A_2\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|1.45}}}} Kwadrat częstotliwości kołowej występujących w rozwiązaniach {{LinkWzór|1.44}} i {{LinkWzór|1.45}} wynikających z równań {{LinkWzór|1.42}} i {{LinkWzór|1.43}} zapisujemy wzorem {{LinkWzór|1.6}}. == Układy o dwóch stopniach swobody i jego drgania swobodne == Opis układów w ogólnej konfiguracji wymaga znajomości dwóch zmiennych, tzn. &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}}, co oznacza np. ruch wahadła wokół płaszczyzn wzajemnie prostopadłych kierunkach w płaszczyźnie drgań, a w przypadku układów LC, co oznacza, że &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} oznaczają ładunki na dwóch kondensatorach lub też natężenia prądów elektrycznych. Najbardziej ogólny ruch harmoniczny jest superpozycja dwóch drgań harmonicznych, których jak wiemy też jest w pewnym senie ruchem harmonicznych. Składowe tych rozważanych drgań harmonicznych nazywamy drganiami normalnymi lub drganiami własnymi. Można tak dobrać warunki początkowe, by układ wykonywał jedno lub drugie drganie harmoniczne. Załóżmy, że układ wykonuje drgania z częstotliwościami kołowymi &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}. Przesunięcia fazowe dla obu drgań normalnych są sobie równe. Dla obu tychże drgań wychylenia od stanu równowagi są opisywane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\;</MATH>|1.46}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi)={{B_1}\over{A_1}}\psi_a\;</MATH>|1.47}}}} Dla drugiej postaci drgań normalnych, zachodzą podobne związki jak w punktach {{LinkWzór|1.46}} I {{LinkWzór|1.47}}, tylko jedynkę zamieniamy na dwójkę. W ogólnej konfiguracji wychylenia od położenia równowagi dla &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} zapisujemy jako superpozycja drgań harmonicznych o częstotliwościach &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.48}} a dla drugiej zmiennej, tzn. &psi;{{Sub|b}} drgania opisujemy: {{CentrujWzór|<math>\psi_b(t)=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.48a}} ===Wahadło sferyczne jako układ drgający o dwóch stopniach swobody=== Dla wahadła sferycznego na podstawie równań różniczkowy opisujący te nasze drgania , tzn. równań {{LinkWzór|1.42}} i {{LinkWzór|1.43}} dla dwóch niezależnych drgań, tzn. w niezależnych zmiennych, dla którego kwadrat częstotliwości kołowej jest opisywany wzorem {{LinkWzór|1.6}}, których to wychylenia od stanu równowagi dla tych rozważanych zmiennych są przestawione jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t)\equiv \psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1t+\varphi)\;</MATH>|1.49}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y(t)\equiv\psi_b(t)=\cos(\omega_2t+\varphi)\;</math>|1.50}}}} === Przybliżenie harmoniczne dla dwuwymiarowego układu współrzędnych === {{Rysunek|Dwuwymiarowy_oscylator_harmoniczny_w_stanie_równowagi.jpeg|wk5|Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w stanie równowagi}} {{Rysunek|Dwuwymiarowy_oscylator_harmoniczny_w_ogólnej_konfiguracji.jpeg|wk6|Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w ogólnej konfiguracji}} Rysunek obok przestawia ruch ciała o masie M przyczepionych do czterech sprężyn o stałych proporcjonalnych K{{Sub|1}} i K{{Sub|2}}, które są przyczepione do odpowiednich ścianek. Masy sprężynek są w przybliżeniu zerowe w porównaniu z masą kulki M. Kulka może wykonywać dwa niezależne drgania wzdłuż osi iksowej i igrekowej lub w postaci złożenia tychże drgań. We wzorach opisujących ruch masy M pomijamy człony x{{Sup|2}}/a{{Sup|2}}, y{{Sup|2}}/a{{Sup|2}} i xy/a{{Sup|2}}. W ten sposób możemy napisać przybliżenie klasyczne małych drgań. Jeśli dokonamy odpowiedniego małego przesunięcia ciała M w kierunku osi iksowej, to wtedy z dokładnością do wyrazów wyżej podanych otrzymamy wzór na siłę iksową i igrekową w postaci: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_x=-2K_1x\;</MATH>|1.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_y=0\;</math>|1.52}}}} Podobnie postępujemy, gdy dokonamy małego przesunięcia wzdłuż osi igrekowej. Ogólne równania ruchu opisujące drgania masy M są to równania ruchu zapisane w przybliżeniu małej długości sprężyny, które możemy napisać je jako dwa równania opisujące ruch ciała M na płaszczyźnie xy, których rozwiązania są superpozycją drgań wzdłuż osi iksowej i igrekowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2K_1x\;</math>|1.53}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2y}\over{dt^2}}=-2K_2y\;</MATH>|1.54}}}} Rozwiązania równania {{LinkWzór|1.53}}, a także kwadrat częstotliwości kołowej możemy zapisać w postaci poniższych tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x=A_2\cos(\omega_1 t+\varphi)\;</MATH>|1.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_1={{2K_1}\over{M}}\;</MATH>|1.56}}}} Wychylenie od punktu początkowego względem osi igrekowej jako rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|1.54}} i kwadrat jej częstotliwości kołowej piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>y=B_2\cos(\omega_2 t+\varphi)\;</MATH>|1.57}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{2K_2}\over{M}}\;</MATH>|1.58}}}} === Współrzędne normalne w układzie obróconym o pewien kąt === {{Rysunek|Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych.jpeg|wk7|Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych}} Albowiem równania {{LinkWzór|1.53}} i {{LinkWzór|1.54}} opisują ruchy harmoniczne, ale w ogólności to ma ogólnych rozwiązań w postaci rozwiązań {{LinkWzór|1.48}} i {{LinkWzór|1.48a}}. W naszym przypadku opisujące ruch harmoniczny. Aby łatwiej można było opisywać ruch harmoniczny kulki wprowadza się współrzędne x'. y', które są obliczone względem starych współrzędnych obrócone o kąt &alpha;, których są kombinacjami liniowymi współrzędnych starych x i y. Są to współrzędne, których równania ruchu masy M opisywane są względem jednej współrzędnej, a każde równanie różniczkowe zależy od innej zmiennej. W ogólnym przypadku wybór współrzędnych normalnych nie jest taki łatwy. Zazwyczaj jest tak, że równania ruchu zawierają współrzędne x i y wziętej razem. W ogólnym przypadku prosta transformacja nie wystarcza i należy dokonać ogólnej transformacji liniowej w układzie równań różniczkowych opisujących nasze ruchy, by w ten sposób każde równanie było opisywane we współrzędnych normalnych, tzn. każde równanie zależało tylko od jednej zmiennej. === Rozwiązywanie równań różniczkowych ruchu === Załóżmy, że mamy układ fizyczny, która drga, który jest opisywany przy pomocy równań różniczkowych zapisane we współrzędnych x i y w postaci: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=a_{11}x-a_{12}y\;</math>|1.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2y}\over{dt^2}}=-a_{21}x-a_{22}y\;</MATH>|1.60}}}} Przyjmijmy, że rozwiązaniami równań ruchu {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} są to rozwiązania w postaci funkcji x i y, które są opisywane w postaci funkcji zależnych od czasu i są zależne od takiego samego przesunięcia fazowego. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.61}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y=B\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.62}}}} Jeśli układ wykonuje drgania normalne wzdłuż jednej osi, to wtedy równania {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} są opisywane równaniami dla każdego ruchu z osobna: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;</MATH>|1.63}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2y}\over{dt^2}}=-\omega^2y\;</MATH>|1.64}}}} W ogólnym przypadku, gdy nie mamy doczynienia ze współrzędnymi normalnymi, to wtedy należy rozwiązania {{LinkWzór|1.61}} i {{LinkWzór|1.62}} podstawić do {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.64}}, w ten sposób otrzymać następujący układ równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>(a_{11}-\omega^2)x+a_{12}y=0\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>a_{21}x+(a_{22}-\omega^2)y=0\;</MATH>|1.66}}}} Z równań {{LinkWzór|1.62}} i {{LinkWzór|1.66}} możemy wyznaczyć stosunek x/y wedle następujących sposobów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>y/x=(\omega^2-a_{11})/a_{12} \;</MATH>|1.67}}|2={{CentrujWzór|<math>y/x=a_{21}/(\omega^2-a_{22})\;</MATH>|1.68}}}} Warunkiem koniecznym by rozwiązać równania różniczkowe ruchu {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}}, jest równość obu stron {{LinkWzór|1.67}} i {{LinkWzór|1.68}}, co prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>(a_{11}-\omega^2)(a_{22}-\omega^2)-a_{21}a_{12} = 0\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} jest równaniem kwadratowym względem zmiennych &omega;{{Sup|2}}, którego rozwiązaniem są dwa kwadraty częstotliwości &omega;{{Sub|1}}{{Sup|2}} i &omega;{{Sub|2}}{{Sup|2}}. Stosunek y/z względem równości {{LinkWzór|1.67}} dla jednej i drugiej postaci drgań normalnych nazywamy stosunkiem w postaci: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}={{B_1}\over{A_1}}={{\omega_1^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;</MATH>|1.70}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}={{B_2}\over{A_2}}={{\omega_2^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;</MATH>|1.71}}}} Rozwiązaniami równania różniczkowego falowego {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} dla współrzędnej x jest superpozycją rozwiązań równania falowego dla częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, co jest to rozwiązaniem w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.72}} A rozwiązaniami y(y) według {{LinkWzór|1.71}} są to rozwiązania przestawione w postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH>y(t)={{B_1}\over{A_1}}A_1\cos(\omega_1t+\varphi)+{{B_2}\over{A_2}}A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)=B_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.73}} === Drgania podłużne, układ sprężynek i ciężarków === {{Rysunek|Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne.jpeg|wk9|Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne}} Rozpatrzmy układ trzech sprężynek o masie zaniedbywanej, w których dwie sprężynki są połączone ze ściankami, a sprężynka środkowa jest połączona z ciężarkami o masie M. Rozważmy sytuację, gdy dwa ciężarki są przesunięte o to samo przesunięcie, wtedy sprężynka środkowa nie jest napięta, Siła z jaką sprężynka działa na pierwsze ciało jest określona wzorem F{{Sub|1}}=-K&psi;{{Sub|a}}, a na drugie ciało wzorem F{{Sub|2}}=-K&psi;{{Sub|b}}, przy założeniu &psi;{{Sub|a}}=&psi;{{Sub|b}}, i pamiętając że sprężynka środkowa nie oddziaływuje w takim przypadku z ciężarkami, równanie ruchu jest opisane: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a\;</MATH>|1.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K\psi_b\;</MATH>|1.75}} }} Kwadrat częstotliwości kołowej z jaką drga ten układ dwóch mas jest określony przez wzór: {{CentrujWzór|<math>\omega^2_1={{K}\over{M}}\;</MATH>|1.76}} Rozważmy teraz sytuację, gdy &psi;{{Sub|a}}=-&psi;{{Sub|b}}, wtedy siła działająca na pierwszy ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, której kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: {{CentrujWzór|<MATH>F_1=-K\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)=-K\psi_a-2K\psi_a=-3K\psi_a\;</MATH>|1.77}} A całkowita siła działająca na drugi ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: {{CentrujWzór|<MATH>F_2=-K\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)=-K\psi_b-2K\psi_b=-3K\psi_a\;</MATH>|1.78}} Równania ruchu dla ciężarka pierwszego i drugiego są określone przez wzory wynikających z drugiego prawa Newtona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\psi_a\;</math>|1.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-3K\psi_b\;</math>|1.80}}}} Kwadrat częstotliwości drgań swobodnych drgań normalnych, który dla drgań dwóch ciężarków opisywanych przez równania różniczkowe {{LinkWzór|1.79}} i {{LinkWzór|1.80}}, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{3K}\over{M}}\;</MATH>|1.81}} Na podstawie przypadków szczególnych jakie dokonaliśmy w powyższych rozważaniach dowiadujemy się, że układ może drgać na dwa sposoby, której kwadrat częstotliwości jest opisany wzorem {{LinkWzór|1.76}} lub {{LinkWzór|1.81}}. Rozważmy teraz przypadek ogólny, w którym opisywać będziemy ruch dwóch tych ciężarków, które są opisywane równaniami wynikających z drugiego prawa Newtona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.82}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K(\psi_b-\psi_a)-k\psi_b\;</MATH>|1.83}}}} Równania {{LinkWzór|1.82}} i {{LinkWzór|1.83}} możemy do siebie dodać i je odjąć, w ten sposób otrzymać następne dwa równania zależne od zmiennych &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}} i &psi;{{Sub|a}}-&psi;{{Sub|b}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-K(\psi_a+\psi_b)\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-3K(\psi_a-\psi_b)\;</MATH>|1.85}}}} Na podstawie równości {{LinkWzór|1.84}} otrzymujemy pierwsze równanie na kwadrat częstotliwości kołowej drgań {{LinkWzór|1.76}}, a także z równania {{LinkWzór|1.85}} wynika drugi kwadrat częstotliwości kołowej drgań normalnych {{LinkWzór|1.81}}. Z równań {{LinkWzór|1.84}} i {{LinkWzór|1.85}} wnioskujemy, że można napisać następujące dwa równania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_a+\psi_b=2A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)\;</MATH>|1.86}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_a-\psi_b=2A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.87}}}} Całkowite rozwiązanie ruchu opisujące przez równanie {{LinkWzór|1.86}} i równanie {{LinkWzór|1.87}} są opisywane dla &Psi;{{Sub|a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.88}} A także rozwiązanie opisujące ruch ciała drugiego jest opisywane: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)-A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</math>|1.89}} === Drgania poprzeczne, układ sprężynek i ciężarków === {{Rysunek|Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek.jpeg|wk10|Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek}} Rozważmy teraz sobie konfigurację sprężynek wykonujących drgania poprzeczne. Rozpatrzmy teraz konfigurację, w którym środkowa sprężynka nie jest wcale naprężona, wtedy równanie ruchu pierwszej masy przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K(l-a){{\psi_a}\over{l}}\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;</MATH>|1.90}} Równanie ruchu drugiego ciała jest bardzo podobne do {{LinkWzór|1.90}}. To równanie rozwiązuje się tak samo jak {{LinkWzór|1.16}}, pamiętając przy tym o {{LinkWzór|1.15}}, zatem kwadrat częstotliwości kołowej opisujący pierwsze drganie normalne dla &psi;{{Sub|a}}=&psi;{{Sub|b}} liczymy według: {{CentrujWzór|<math>\omega^2={{T_0}\over{Ma}}\;</math>|1.91}} Następną postacią drgań normalnych jest to drganie, którego dla tego ruchu zachodzi &psi;{{Sub|A}}=-&psi;{{Sub|b}}, kąt pomiędzy sprężynką pierwszą a poziomem jest dwukrotnie mniejszy niż kąt pomiędzy sprężynką drugą a poziomem, co będziemy korzystali w wyprowadzeniu równania ruchu dla drugiej postaci drgań normalnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta-T\sin2\theta\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}\simeq -3T\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;</MATH>|1.92}} Równanie ruchu dla drugiej sprężynki jest bardzo podobne do {{LinkWzór|1.92}}. Równanie {{LinkWzór|1.92}} rozwiązuje się bardzo podobnie jak równanie {{LinkWzór|1.16}} pamiętając przy okazji o {{LinkWzór|1.15}}, zatem kwadrat częstotliwości drgań normalnych możemy przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{3T_0}\over{Ma}}\;</MATH>|1.93}} === Dwa sprzężone ze sobą obwody LC === {{Rysunek|Dwa_obwody_sprżężone_ze_sobą_LC.jpeg|wk11|Dwa obwody sprżężone ze sob LC}} Układ dwóch sprzężonych ze sobą obwodów LC nazywamy układ składający się z trzech kondensatorów o pojemności C równoległych względem siebie i dwóch cewek o indukcyjności własnej L też równoległych wobec siebie. Napiszmy teraz równania różniczkowe według drugiego prawa Kirchhoffa, które rządzą dwoma oczkami z osobna, które to powiązane są ze sobą względem prądów płynących przez cewki I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}}, i przy pomocy ładunków znajdujących się na poszczególnych kondensatorach Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}} i Q{{Sub|3}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_a}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_1-{{1}\over{C}}Q_2\;</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_2-{{1}\over{C}}Q_3\;</MATH>|1.95}}}} Możemy z różniczkować równania {{LinkWzór|1.94}} i {{LinkWzór|1.95}} względem czasu i w ten sposób otrzymujemy stąd dwie dalsze tożsamości zawierające prądy I{{Sub|a}}, I{{Sub|b}}, a także pochodnych ładunków znajdujących się na kondensatorach Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}} policzonych względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_a}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}{{dQ_1}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}\;</MATH>|1.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_3}\over{dt}}\;</MATH>|1.97}}}} Z pierwszego prawa Kirchhoffa możemy otrzymać trzy tożsamości, które wiążą ładunki na kondensatorach z natężeniami prądów płynących w poszczególnych obwodach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_1}\over{dt}}=-I_a\;</MATH>|1.98}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_2}\over{dt}}=I_a-I_b\;</MATH>|1.99}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_3}\over{dt}}=I_b\;</MATH>|1.100}}}} Tożsamości {{LinkWzór|1.98}}, {{LinkWzór|1.99}} i {{LinkWzór|1.100}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|1.96}} i {{LinkWzór|1.97}}, w ten sposób otrzymujemy dwie równości różniczkowe zależne od zmiennych I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}} i od pozostałych parametrów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_a}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}I_a+{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)\;</MATH>|1.101}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_b}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)-{{1}\over{C}}I_b\;</MATH>|1.102}}}} Równania {{LinkWzór|1.101}} i {{LinkWzór|1.102}} możemy do siebie dodać i odjąć, w ten sposób otrzymać dwa równania zależne od zmiennych I{{Sub|a}}+I{{Sub|b}} oraz od I{{Sub|a}}-I{{Sub|b}} z osobna, z których możemy wyznaczyć te wielkości w postaci ich drgań z pewnymi częstotliwościami kołowymi określonych kolejno przez &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, zatem te dwa równania piszemy jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2(I_a+I_b)}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_a+I_b)\;</MATH>|1.103}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2(I_a-I_b)}\over{dt^2}}=-{{3}\over{C}}(I_a-I_b)\;</MATH>|1.104}}}} Z równań {{LinkWzór|1.103}} i {{LinkWzór|1.104}} możemy otrzymać dwie wspomniane wcześniej częstotliwości kołowe drgań normalnych, której to kwadraty: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2={{1}\over{LC}}\;</MATH>|1.105}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{3}\over{LC}}\;</MATH>|1.106}}}} Układ drga z jedną częstotliwości kołowych, którego kwadraty są opisywane wzorami {{LinkWzór|1.105}}, {{LinkWzór|1.106}}, gdy dla pierwszej mamy I{{Sub|a}}=I{{Sub|b}}, a dla drugiej I{{Sub|a}}=-I{{Sub|B}}. Ogólne rozwiązania na natężenia prądów I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}} są zapisane jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>I_a=A\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.107}}|2={{CentrujWzór|<MATH>I_b=A\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-B\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.108}}}} == Dudnienia == Jest wiele przykładów układów drgających z dwiema częstotliwościami podstawowymi &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, przykładem takich drgań mogą być drgania o dwóch stopniach swobody. Przykładem układów o dwóch stopniach swobody są drgania spowodowane przez dwie siły wymuszające drgających z dwoma częstotliwościami. Aby zobaczyć co to są dudnienia, rozpatrzmy dwa drania o takich samych amplitudach i różnych częstotliwościach podstawowych, które są opisane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_1=A\cos\omega_1 t\;</MATH>|1.109}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_2=A\cos\omega_2 t\;</MATH>|1.110}}}} Całkowite wychylenie od położenia równowagi określamy jako sumę wychyleń {{LinkWzór|1.109}} i {{LinkWzór|1.110}} i są one zależne od częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_a+\psi_b=A\cos\omega_1t+B\cos\omega_2 t\;</MATH>|1.111}} === Modulacje === Średnią częstotliwość kołową &omega;{{Sub|śr}}, która jest sumą częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} podzielonych przez dwa, oraz częstotliwość kołową modulacji &omega;{{Sub|mod}}, która jest różnicą dwóch częstotliwości kołowych podanych wcześniej i podzielonych przez dwa: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;</math>|1.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;</MATH>|1.113}}}} Częstotliwości drgań kołowych drgań normalnych możemy napisać w zależności od częstotliwości drgań średnich i częstotliwości drgań modulacji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1=\omega_{sr}+\omega_{mod}\;</MATH>|1.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{2}=\omega_{sr}-\omega_{mod}\;</MATH>|1.115}}}} Jeszcze raz, patrząc na wzór {{LinkWzór|1.111}} przy takich samych amplitudach A i B, które tutaj oznaczymy przez A, a także na wzory {{LinkWzór|1.114}} i {{LinkWzór|1.115}}, wtedy możemy dojść do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t=A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|1.116}} * gdzie amplituda modulacyjna określamy według wzoru {{LinkWzór|1.116}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t)\;</MATH>|1.117}} Wzór {{LinkWzór|1.116}} jest wzorem ogólnym, ale największe korzyści daje nam, gdy częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są do siebie zbliżone, to wtedy mamy na pewno &omega;{{Sub|1}}&asymp;&omega;{{Sub|2}} i &omega;{{Sub|mod}}<<&omega;{{Sub|sr}}, a więc amplituda praktycznie się nie zmienia i wtedy układ wykonuje drania prawie harmoniczne o częstości &omega;{{Sub|sr}}. Natomiast gdy &omega;{{Sub|mod}}=0, to wtedy mamy &omega;{{Sub|sr}}=&omega;{{Sub|1}}=&omega;{{Sub|2}}, jeśli te częstotliwości kołowe różnią się niewiele, to taki ruch nazywamy prawie harmonicznym lub prawie monochromatycznym o częstotliwości &omega;{{Sub|sr}} i o amplitudzie prawie się nie zmieniającej. === Dudnienia wywołane przez dwa kamertony === Rozważmy dwa kamertony, które wywołują fale dźwiękowe, które powodują zmiany ciśnienia w pobliżu błony bębenkowej, której jako &psi; jest różnicą ciśnień błony bębenkowej pomiędzy jej warstwą zewnętrzną a wewnętrzną. Jeśli mamy dwa kamertony, to ta różnica na naszej błonie jest równa sumie różnic ciśnień &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}}, czyli jest superpozycją dwóch fal pochodzących od kamertonów. Gdy różnica częstotliwości &nu; różnią się o więcej niż 6%, to nasz mózg, wolą opis drgań opisany wzorem {{LinkWzór|1.111}}. Oznacza to, że fale o dwóch częstotliwościach są słyszane jako dwa odrębne dźwięki. Jeśli natomiast mamy {{Formuła|<MATH>\nu_2={{5}\over{4}}\nu_1\;</MATH>}}, to słyszane dwa dźwięki oddzielona są wielką tercją. Jeśli natomiast {{Formuła|<math>\nu_2=1,06\nu_1\;</MATH>}}, wtedy dźwięk &nu;{{Sub|2}} słyszany jest jako półtonu wyższy od &nu;{{Sub|1}}. Jeśli natomiast dźwięki różnią o mniej niż 10Hz, to nasze ucho ma kłopoty z rozróżnianiem ich jako odrębne tony. W tym wypadku dźwięki są słyszane jako dźwięk o częstotliwości &nu;{{Sub|sr}} o wolno zmiennej amplitudzie, który jest napisany zależnością {{LinkWzór|1.117}} dla różnicy ciśnień &psi;(t) danym wzorem {{LinkWzór|1.116}}. === Detektor mocy superpozycji fali dźwiękowej === Według wzoru {{LinkWzór|1.117}} amplituda fali dźwiękowej oscyluje z częstością kołową modulacji &omega;{{Sub|mod}}, co za każdym razem &omega;{{Sub|mod}}t zwiększa się o 2&pi;, w której amplituda modulacji A{{Sub|mod}} wykonuje pełny cykl modulacji (mamy tu na myśl powolne zmiany zmiany z częstotliwością modulacji &omega;{{Sub|mod}}). W tym czasie amplituda A{{Sub|mod}} dwa razy przyjmuje wartość równą zero, w której ludzkie ucho nic nie słyszy, a także przyjmuje dwa razy wartość bezwzględną równą wartości maksymalnej, tzn. raz maksymalną wartość wziętej z minusem, a za drugim razem z plusem, czyli w tym czasie amplituda przyjmuje dwa różne znaki o takiej samej wartości bezwzględnej amplitudy. Ludzkie ucho nie rozróżnia z jakim znakiem amplitudy mamy do czynienia, ale rozróżnia jedynie kwadrat amplitudy fali dźwiękowej, który ma dwa maksima w jednym trakcie okresu. {{Rysunek|Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, amplituda modulacji, kwadrat amplitudy modulacji, cykl modulacyjny i dudnienia.jpg|wk131|Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, amplituda modulacji, kwadrat amplitudy modulacji, cykl modulacyjny i dudnienia, przyjęto A&#61;1m,&omega;{{Sub|1}}&#61;0,3Hz i &omega;{{Sub|2}}&#61;0,37Hz.}} Częstością dudnień nazywamy częstość powtarzania się maksymalnego kwadratu amplitudy fali modulowanej, jest ona pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{dud}=2\omega_{mod}=\omega_1-\omega_2 \,</MATH>|1.118}} Aby przekonać się o tym, że kwadrat amplitudy modulowanej, czyli kwadrat z {{LinkWzór|1.117}} drga z częstotliwością kołową {{LinkWzór|1.118}}, to napiszmy następujące przekształcenia, wykorzystując znane związki z trygonometrii, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>A^2_{mod}(t)=4A^2\cos^2\omega_{mod} t=4A^2{{1}\over{2}}\left(1+\cos 2\omega_{mod}t\right)=2A^2\left(1+\cos 2\omega_{mod}t\right)\;</MATH>|1.119}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|1.119}}, że kwadrat amplitudy oscyluje z podwojoną częstotliwością modulowaną {{LinkWzór|1.118}}, co było do wykazania. === Dudnienia słabo sprzężonych ze sobą wahadeł === {{Rysunek|Sprzężone identyczne wahadła matematyczne.jpeg|wk13|Dwa wahadła matematyczne sprzężone ze sobą.}} Weźmy układ dwóch wahadeł słabo sprzężone ze sobą, czyli dwie masy M zawieszone na nieważkich niciach, oraz połączone ze sobą przy pomocy sprężynki o stałej sprężystości K. Rozwiązując równania ruchu dla tych mas M, dowiemy się, że układ może drgać z dwiema częstotliwościami kołowymi, które są opisywane w zależności od stałej sprężystości K, przyspieszenia grawitacyjnego g i masy M. Mając równania ruchu możemy określić częstotliwości dudnień lub częstotliwość modulowaną, a także częstotliwość średnią. Napiszmy teraz równania ruchu obu kulek w sposób: {{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.120}}|{{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.121}}}} Różniczkowe równania ruchu dla obu kulek M, tzn. {{LinkWzór|1.120}} I {{LinkWzór|1.121}} możemy dodać i odjąć od siebie, w ten sposób otrzymać wnioski zależne od zmiennych &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}} (pierwsza równość) i od &psi;{{Sub|a}}-&psi;{{Sub|b}} (druga równość), by z tych równań wyznaczyć wzory na wspomniane zmienne przy pomocy definicji częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)\;</MATH>|1.123}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a-\psi_b)-2K(\psi_a-\psi_b)\;</MATH>|1.124}}}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|1.123}} i {{LinkWzór|1.124}}, w ten sposób otrzymujemy formuły na kwadraty wspomnianych częstotliwości kołowych drgań harmonicznych, których przedstawienie jest zależne od przyspieszenia ziemskiego "g", długości wahadła matematycznego "l" i stałej sprężystości K i masy obu kulek M: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|1.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\;</MATH>|1.125a}}}} W celu określenia jak wyglądają dudnienia napiszmy, czemu są równe &psi;{{Sub|a}} I &psi;{{Sub|b}} dla osobnych drgań harmonicznych, to napiszmy równania na przemieszczenie ciała "a" dla &psi;{{Sub|a}} i ciała "b" dla &psi;{{Sub|b}} przy definicji częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, w takim wypadku piszemy je: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=\psi_1+\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.126}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=\psi_1-\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.127}} {{Rysunek|Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi.jpeg|wk15|Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi}} Najsilniejszy efekt obserwuje się, gdy obie amplitudy są jednakowego znaku, tzn. A{{Sub|1}}=A{{Sub|2}}=A. Jeśli któraś z amplitud jest równe zero lub w przybliżeniu równe zero, to mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi z drgających z jedną częstotliwością kołową, tzn. &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}. Drgania dwóch mas przy jednakowych amplitudach możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t\;</MATH>|1.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A\cos\omega_1-A\cos\omega_2t\;</math>|1.129}}}} Wykorzystamy wzory {{LinkWzór|1.114}} i {{LinkWzór|1.115}}, by potem je użyć do {{LinkWzór|1.128}} {{LinkWzór|1.129}}, by dalej przeprowadzić końcowe obliczenia na drgania obu mas. Dla pierwszej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "a", czyli &psi;{{Sub|a}} {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t\equiv A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|1.129a}} Dla drugiej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "b", czyli &psi;{{Sub|b}} {{LinkWzór|1.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t-A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=-2A\sin\omega_{mod}t\sin\omega_{sr}t\equiv -B_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;</MATH>|1.129b}} Energię kulki pierwszej określamy w zależności od częstotliwości modulacyjnej &omega;{{Sub|mod}} i &omega;{{Sub|sr}}, które określamy względem częstotliwości drgań podstawowych, którego piszemy przy pomocy kwadratu funkcji kosinus z iloczynu częstotliwości modulowanej i czasu, i częstotliwości średniej: {{CentrujWzór|<MATH>E_a={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2A_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t\;</MATH>|1.130}} A energię drugiej kulki podobnie jak dla pierwszej kulki określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>E_b={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2B_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t\;</MATH>|1.131}} Określmy teraz wielkość zwaną E, która jest sumą całkowitych energii kulki pierwszej {{LinkWzór|1.130}} i drugiej {{LinkWzór|1.131}}, którego ta energia jest wielkością stałą jak można udowodnić, tzn. tylko zależy od częstotliwości średniej obu drgań podstawowych: {{CentrujWzór|<MATH>E_a+E_b=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t+2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t=2MA^2\omega_{sr}^2=E\;</MATH>|1.132}} Całkowite energie kulki pierwszej {{LinkWzór|1.130}} i drugiej {{LinkWzór|1.131}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.132}}, są napisane jako z definicji kwadratu sinusa i kosinusa kąta połówkowego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_a={{1}\over{2}}E\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|1.133}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_b={{1}\over{2}}E\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|1.134}}}} A różnica energii obu kulek, tzn. E{{Sub|a}} i E{{Sub|b}} na podstawie {{LinkWzór|1.133}} i {{LinkWzór|1.134}} przestawiamy jako funkcję wprost proporcjonalną do kosinusa z argumentu (&omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}})t, i wyrażamy ją: {{CentrujWzór|<MATH>E_a-E_b=E\cos(\omega_1-\omega_2)t\;</MATH>|1.135}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mqg0xqrv5teqi4ol1o3f8t37ol6cqlk 558551 558550 2026-10-04T16:20:38Z Persino 2851 558551 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Ruchem drgającym harmonicznym nazywamy drgania, które zależą od częstotliwości kołowej drgań własnych &omega; i przesunięcia fazowego &phi;. Drgania te opisujemy względem czasu "t" wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.1}} Ruch pokazany przy pomocy równości {{LinkWzór|1.1}}, są to ruchy o jednym stopniu swobody. Okresem drgań harmonicznych nazywamy odwrotność częstości &nu;, którą możemy przepisać przy pomocy definicji częstotliwości kołowej: {{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{\nu}}={{2\pi}\over{\omega}}\;</MATH>|1.2}} == Siła kierujące i bezwładność ciała dla drgań o jednym stopniu swobody == Ruch harmoniczny {{LinkWzór|1.1}} jest rezultatem działania dwóch przeciwstawnych czynników, tzn. siły kierującej i bezwładności. Siła kierująca w ruchu harmonicznym usiłuje przywrócić układ do stanu równowagi, a bezwładność jest cechą układu, która przeciwstawia się zmianom ruchu układu. == Drgania tłumione == Ruch harmoniczny opisywany wzorem {{LinkWzór|1.1}} nie jest ruchem tłumionym, bo jego amplituda nie zmienia się w miarę upływu czasu. W ruchu tłumionym, amplituda drgań maleje z czasem. Przykładem drgań gasnących są drgania opisane równością: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.3}} == Wahadło matematyczne == {{Rysunek|Wahadło matematyczne.jpeg|lk1|Wahadło matematyczne}} Wahadłem matematycznym nazywamy układ, w którym ciało o masie M jest zawieszone na nieważkiej nici lub pręcie o długości l. Siłą kierującą w ruchu wahadła jest składowa siły grawitacji prostopadła do nici, jej wartość określa wzór F=Mg sin&psi;, to z drugiej zasady dynamiki Newtona w tym przypadku wynika: {{CentrujWzór|<MATH>Ml{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-Mg\sin\psi\;</MATH>|1.4}} Funkcję sinus możemy rozłożyć w szereg Taylora, którego zapis dla naszej funkcji jest następujący: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\psi=\psi-{{\psi^3}\over{3!}}+{{\psi^5}\over{5!}}-...\;</MATH>|1.5}} Dla małych kątów &psi;, można pominąć wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszym, wówczas równość {{LinkWzór|1.4}} możemy przestawić {{LinkWzór|1.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-{{g}\over{l}}\psi\rightarrow {{d^2\psi}\over{dt^2}}=-\omega^2\psi\mbox{ gdzie: }\omega^2={{g}\over{l}}\;</math>|1.6}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.6}} są funkcje harmoniczne w postaci {{LinkWzór|1.1}} (co udowodnimy poniżej), dla której druga pochodna tego właśnie przypuszczalnego rozwiązania naszej funkcji jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.7}} Jeśli funkcję {{LinkWzór|1.7}} wraz {{LinkWzór|1.1}} podstawimy do wzoru {{LinkWzór|1.6}}, w ten sposób otrzymamy tożsamość, co dowodzi o harmoniczności ruchu masy M w wahadle matematycznym. == Ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch sprężynek == {{Rysunek|Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi.jpeg|wk1|Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi}} {{Rysunek|Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi.jpeg|wk2|Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi}} Rozważmy dwie sprężynki przyczepione do ścianek i połączone ze sobą poprzez masę M. Sprężynki mają znikomą masę. Całkowita siła działająca na masę M jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>F_z=-K(z-a_0)+K(2a-z-a)=-2K(z-a)\;</MATH>|1.8}} Ruch ciężarka możemy opisać drugim prawem dynamiki Newtona, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2z}\over{dt^2}}=F_z\Rightarrow M{{d^2z}\over{dt^2}}=-2K(z-a)\;</MATH>|1.9}} Ruch ciała M będziemy opisywać funkcją &psi;(t), którą definiujemy jako starą funkcję z(t) minus stałą "a", zatem w {{LinkWzór|1.9}} możemy dokonać zamiany zmiennych według: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=z(t)-a\;</MATH>|1.10}} Równanie {{LinkWzór|1.9}} przy pomocy podstawienia {{LinkWzór|1.10}}, którym występuje poszukiwana funkcja &psi;(t) jest zależna od czasu, dla równania, która jest równaniem oscylatora harmonicznego, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-{{2K}\over{M}}\psi(t)\;</MATH>|1.11}} Kwadrat częstości kołowej ruchu harmonicznego ciała, a także rozwiązanie ruchu {{LinkWzór|1.9}} na podstawie {{LinkWzór|1.11}} i {{LinkWzór|1.10}}, przestawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\omega^2={{2K}\over{M}}\;</MATH>|1.12}}|2={{CentrujWzór|<MATH>z(t)=\psi(t)+a=a+A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.13}}}} == Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn == {{Rysunek|Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn.jpeg|lk2|Drgania podłużne. Dolny rysunek układ w stanie równowagi, a górny układ w stanie drgań poprzecznych.}} Rozważmy ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch nieważkich sprężyn. Współczynnik sprężystości sprężyn wynosi K. W położeniu równowagi każda ze sprężyn zostaje napięta do długości a. Opisywany układ może wykonywać dwa rodzaje drgań poprzecznych i jedno drganie podłużne. W stanie równowagi siła działająca na ciało z jednej ze sprężyn jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>T_0=K(a-a_0)\;</MATH>|1.14}} Opisu drgań podłużnych nie będziemy powtarzać, ponieważ jest zamieszczony w poprzednim rozdziale. W drganiach poprzecznych siła, z jaką pojedyncza sprężyna działa na ciężarek M, jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>T=K(l-a_0)\;</math>|1.15}} Z drugiej zasady dynamiki Newtona ruch opisujący drgania poprzeczne jest opisywany przez równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=F_x=-2T\sin\theta=-2K(l-a_0){{x}\over{l}}\Rightarrow M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2Kx\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)\;</MATH>|1.16}} Należy zauważyć, że długość l występująca po prawej stronie wzoru końcowego {{LinkWzór|1.16}} jest funkcją w ogólności od zmiennej x. == Mała długość swobodna sprężyny jako pierwsze przybliżenie == Równanie ruchu ciała o masie M {{LinkWzór|1.16}} w przybliżeniu małej długości sprężyny, tzn. stosunek długości sprężyny swobodnej a{{Sub|0}} przez długość sprężyny l jest w naszym przypadku tutaj rozważanym wielkością pomijalną. Równanie ruchu {{LinkWzór|1.16}} przybliżeniu tutaj omawianym jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;</MATH>|1.17}} Wzór {{LinkWzór|1.17}} uzyskaliśmy na podstawie dokładnego rozwiązania {{LinkWzór|1.16}}, w której definicja kwadratu częstotliwości kołowej dla przybliżenia małej długości sprężyny przy zachodzącym {{LinkWzór|1.14}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2K}\over{M}}={{2T_0}\over{Ma}}\mbox{ (dla }a_0=0\mbox{)}\;</MATH>|1.18}} Rozwiązaniem równania ruchu {{LinkWzór|1.17}} jest to równanie zależne od częstotliwości kołowej &omega;, które jest opisane wzorem {{LinkWzór|1.1}}. Widzimy, ze zgodnie ze wzorami {{LinkWzór|1.18}} i {{LinkWzór|1.12}}, że częstość drgań poprzecznych w naszym przybliżeniu jest równa częstości drgań podłużnych w ruchu drgającym ciała o masie M. == Przybliżenie małych drgań == Aby rozwiązać równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.16}} stosowaliśmy przybliżenia małej długości swobodnej sprężyny, wtedy stosunek długości swobodnej sprężyny a{{Sub|0}} do długości aktualnej sprężyny jest względnie mały, których stosunek w takiej sytuacji możemy pominąć. Jeśli tego stosunku nie można pominąć, to możemy powiedzieć, że dla małego &epsilon;, względem którego będziemy rozkładali odwrotność długości chwilowej sprężyny w szereg Taylora, który to podstawimy do równania różniczkowego {{LinkWzór|1.16}}, i pominiemy wyrazy wyższe niż liniowe, w ten sposób dojdziemy do równania różniczkowego, które jest równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego, to co chcieliśmy otrzymać. Zatem napiszmy teraz definicję kwadratu chwilowej długości sprężyny "l" i kwadratu wielkości &epsilon;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>l^2=a^2+x^2\;</math>|1.19}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2={{x^2}\over{a^2}}\;</mAth>|1.20}}}} Odwrotność długości sprężyny liczymy, rozkładając ją w szereg Taylora względem zmiennej x, która jest położeniem ciała o masie M: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{l}}={{1}\over{a}}\left(1+\epsilon\right)^{-{{1}\over{2}}}={{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq{{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\;</MATH>|1.21}} Wzór {{LinkWzór|1.21}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.16}} do odjemnika w nawiasie, w ten sposób możemy otrzymać równość zależną od zmiennej x, którego to równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq-{{2Kx}\over{M}}\left[1-{{a_0}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\right]\;</MATH>|1.22}} Równanie ruchu {{LinkWzór|1.22}} możemy przepisać, dokonując odpowiednich przekształceń w nawiasie w końcowej wspomnianej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x^2}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{Ma}}(a-a_0)+{{K}\over{M}}a_0\left({{x}\over{a}}\right)^3+...\;</MATH>|1.23}} W równaniu ruchu masy M zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.23}} możemy pominąć wyższe wyrazy niż liniowe przy przybliżeniu małych drgań, by potem wykorzystać wzór {{LinkWzór|1.14}}: {{CentrujWzór|<math>{{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2K}\over{Ma}}(a-a_0)x\Rightarrow {{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2T_0}\over{Ma}}x\;</MATH>|1.24}} Kwadrat częstotliwości kołowej ruchu drgającego drgań poprzecznych wynika z równania różniczkowego {{LinkWzór|1.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2T_0}\over{Ma}}\;</MATH>|1.25}} Rozwiązanie równania ruchu {{LinkWzór|1.24}} przy definicji kwadratu częstotliwości kołowej {{LinkWzór|1.25}} jest równaniem zapisane w punkcie {{LinkWzór|1.1}}. Możemy wyznaczyć iloraz częstotliwość drgań podłużnych {{LinkWzór|1.12}} przez częstotliwość kołową drgań poprzecznych {{LinkWzór|1.25}} przy oznaczeniu {{LinkWzór|1.14}} w następującej postaci: {{CentrujWzór|<math>{{\omega_{pod}}\over{\omega_{poprz}}}={{1}\over{\left(1-{{a_0}\over{a}}\right)^{{{1}\over{2}}}}}\;</MATH>|1.26}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.26}}, gdy długość własna sprężyny a{{Sub|0}} jest względnie mała w porównaniu z długością sprężyny w stanie równowagi "a", to częstotliwości kołowe drgań podłużnych i poprzecznych są sobie w przybliżeniu równe. == Obwód LC, czyli solenoid z dwoma kondensatorami == {{Rysunek|Układ LC.jpeg|wk3|Szeregowy układ LC dwóch kondensatorów o pojemności elektrycznej C i solenoidu o długości własnej L}} Równanie opisujących układ LC z dwoma kondensatorami o pojemności C i z cewką od indukcji elektrycznej L przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>-L{{dI}\over{dt}}-{{Q_2}\over{C}}-{{Q_1}\over{C}}=0\;</MATH>|1.27}} Ładunek Q{{Sub|1}} jest powiązany z ładunkiem Q{{Sub|2}}, a także ten drugi ładunek jest powiązany z natężeniem prądu elektrycznego płynącego w obwodzie: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>Q_1=Q_2\;</MATH>|1.28}}|2={{CentrujWzór|<math>{{dQ_2}\over{dt}}=I\;</MATH>|1.29}}}} Równanie {{LinkWzór|1.27}} możemy tak napisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|1.28}}, które to możemy dalej zróżniczkować obustronnie względem czasu przy wykorzystaniu {{LinkWzór|1.29}}, wtedy otrzymamy równość różniczkową drugiego stopnia: {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI}\over{dt}}+2{{Q_2}\over{C}}=0\Rightarrow L{{d^2I}\over{dt^2}}=2{{I}\over{C}}=0\Rightarrow {{d^2I}\over{dt^2}}=-{{2}\over{LC}}I\;</math>|1.30}} Końcowe równanie {{LinkWzór|1.30}} jest równaniem oscylatora harmonicznego, którego kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2}\over{LC}}\;</MATH>|1.31}} Natężenie prądu elektrycznego, który jest rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.30}} przestawiamy podobnym wzorem do {{LinkWzór|1.1}}, jest to równanie w postaci: {{CentrujWzór|<math>I(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.32}} == Zasada superpozycji i liniowość równań ruchu == Omawiane tutaj były przypadki, w których siła kierunkowa była wprost proporcjonalna do &psi;(t), natomiast niezależała od wyższych potęg &psi;, tzn. &psi;{{Sup|2}},&psi;{{Sup|3}},.... Równanie niezawierające wyższych potęg &psi; niż pierwszego stopnia nazywamy równaniem liniowym. Gdy w naszym równaniu występują wyższe potęgi niż pierwszego stopnia, tak powstałe równanie nazywamy nieliniowym. Natomiast, gdy równanie nie zawiera wyrazów z niezależnych od &psi; nazywamy równaniem jednorodnym. === Wprowadzenie do równań liniowych jednorodnych === Równania liniowe i jednorodne różniczkowe mają tę właściwość, że suma dwóch rozwiązań równania liniowego i jednorodnego też spełnia równanie liniowe i jednorodne, co jest wiadomo. Udowodnimy czy też jest dla równań różniczkowych nieliniowych, że jeśli mamy dwa rozwiązania poniższego równania różniczkowego, to suma ich ma spełniać też to równanie, jak wykażemy co jest jedynie możliwe, gdy mamy równanie różniczkowe liniowe. A oto mamy równość różniczkową w ogólności zależną od wyższych potęg niż pierwszego stopnia: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi+\alpha\psi^2+\beta\psi^3+\gamma\psi^4+..\;</MATH>|1.33}} Weźmy dwa rozwiązania &psi;{{Sub|1}} i &psi;{{Sub|2}}, które spełniają równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.33}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_1(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_1+\alpha\psi_1^2+\beta\psi_1^3+..\;</MATH>|1.34}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_2(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_2+\alpha\psi^2_2+\beta\psi^3_2+..\;</MATH>|1.35}}}} Sumę rozwiązań &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} też spełnia równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.33}} jak i składowe tejże sumy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}=-C(\psi_1+\psi_2)+\alpha(\psi_1+\psi_2)^2+\beta(\psi_1+\psi_2)^3+...\;</MATH>|1.36}} Równanie {{LinkWzór|1.34}} możemy dodać do {{LinkWzór|1.35}} do siebie i porównać ze wzorem {{LinkWzór|1.36}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{dt^2}}+{{d^2\psi}\over{dt^2}}={{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}\;</MATH>|1.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>-C\psi_1-C\psi_2=-C(\psi_1+\psi_2)\;</MATH>|1.38}}}} {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\alpha\psi_1^2+\alpha\psi_2^2=\alpha(\psi_1+\psi_2)^2\;</MATH>|1.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\beta\psi^3_1+\beta\psi_2^3=\beta(\psi_1+\psi_2)^3\;</MATH>|1.40}}}} Równanie {{LinkWzór|1.37}} i {{LinkWzór|1.38}} są tożsamościami, tzn. które są zawsze spełnione, a równości {{LinkWzór|1.39}} i {{LinkWzór|1.40}} są zawsze spełnione tylko dla &alpha;=0 i &beta;=0, zatem co zachodzi tylko dla rozwiązania liniowego przy postawionych warunkach powyżej, to superpozycja rozwiązań równania różniczkowego liniowego jest też rozwiązaniem tego samego równania różniczkowego. Co kończy dowód. === Warunki początkowe a superpozycja rozwiązań === Załóżmy, że mamy dwa rozwiązania jako szczególne rozwiązania w chwilach szczególnych &psi;{{Sub|1}}(0) i &psi;{{Sub|2}}(0), które odpowiadają warunkom brzegowym rozwiązań &psi;{{Sub|1}}(t) i &psi;{{Sub|2}}(t), a rozwiązania równania będące superpozycją naszych rozwiązań, czyli &psi;{{Sub|1}}(t)+&psi;{{Sub|2}}(t), odpowiadają warunki brzegowe w postaci: &psi;{{Sub|1}}(0)+&psi;{{Sub|2}}(0). === Niejednorodne równanie liniowe === Wprowadźmy do równania liniowego siłę wymuszającą F(t) zależną od czasu, wtedy po tej operacji otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi(t)+F(t) \;</MATH>|1.41}} Załóżmy, że mamy dwa równania różniczkowe {{LinkWzór|1.41}}, każde odpowiada innej sile wymuszającej, to superpozycja dwóch rozwiązań spełnia równanie różniczkowe odpowiadające sumie dwóch sił wymuszających w równaniu {{LinkWzór|1.41}}, tzn. F{{Sub|1}}(t)+F{{Sub|2}}(t). === Wahadło sferyczne === W celu zilustrowania zasady superpozycji rozpatrzmy wahadło sferyczne zawieszone na nieważkiej nici, która posiada możliwość ruchu w dowolnym kierunku. Położenie równowagi znajduje się w punkcie x=0 i y=0, co równania ruchu takiego wahadła piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}x\;</MATH>|1.42}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2y}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}y\;</MATH>|1.43}}}} Powyższe dwa równania są rozdzielone, tzn. każde równanie zależy od innych zmiennych i ich rozwiązania są niezależne i są opisywane wzorami tylko od zmiennej t i są to dwa rozwiązania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y(t)=A_2\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|1.45}}}} Kwadrat częstotliwości kołowej występujących w rozwiązaniach {{LinkWzór|1.44}} i {{LinkWzór|1.45}} wynikających z równań {{LinkWzór|1.42}} i {{LinkWzór|1.43}} zapisujemy wzorem {{LinkWzór|1.6}}. == Układy o dwóch stopniach swobody i jego drgania swobodne == Opis układów w ogólnej konfiguracji wymaga znajomości dwóch zmiennych, tzn. &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}}, co oznacza np. ruch wahadła wokół płaszczyzn wzajemnie prostopadłych kierunkach w płaszczyźnie drgań, a w przypadku układów LC, co oznacza, że &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} oznaczają ładunki na dwóch kondensatorach lub też natężenia prądów elektrycznych. Najbardziej ogólny ruch harmoniczny jest superpozycja dwóch drgań harmonicznych, których jak wiemy też jest w pewnym senie ruchem harmonicznych. Składowe tych rozważanych drgań harmonicznych nazywamy drganiami normalnymi lub drganiami własnymi. Można tak dobrać warunki początkowe, by układ wykonywał jedno lub drugie drganie harmoniczne. Załóżmy, że układ wykonuje drgania z częstotliwościami kołowymi &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}. Przesunięcia fazowe dla obu drgań normalnych są sobie równe. Dla obu tychże drgań wychylenia od stanu równowagi są opisywane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\;</MATH>|1.46}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi)={{B_1}\over{A_1}}\psi_a\;</MATH>|1.47}}}} Dla drugiej postaci drgań normalnych, zachodzą podobne związki jak w punktach {{LinkWzór|1.46}} I {{LinkWzór|1.47}}, tylko jedynkę zamieniamy na dwójkę. W ogólnej konfiguracji wychylenia od położenia równowagi dla &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} zapisujemy jako superpozycja drgań harmonicznych o częstotliwościach &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.48}} a dla drugiej zmiennej, tzn. &psi;{{Sub|b}} drgania opisujemy: {{CentrujWzór|<math>\psi_b(t)=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.48a}} === Wahadło sferyczne jako układ drgający o dwóch stopniach swobody === Dla wahadła sferycznego na podstawie równań różniczkowy opisujący te nasze drgania , tzn. równań {{LinkWzór|1.42}} i {{LinkWzór|1.43}} dla dwóch niezależnych drgań, tzn. w niezależnych zmiennych, dla którego kwadrat częstotliwości kołowej jest opisywany wzorem {{LinkWzór|1.6}}, których to wychylenia od stanu równowagi dla tych rozważanych zmiennych są przestawione jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t)\equiv \psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1t+\varphi)\;</MATH>|1.49}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y(t)\equiv\psi_b(t)=\cos(\omega_2t+\varphi)\;</math>|1.50}}}} === Przybliżenie harmoniczne dla dwuwymiarowego układu współrzędnych === {{Rysunek|Dwuwymiarowy_oscylator_harmoniczny_w_stanie_równowagi.jpeg|wk5|Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w stanie równowagi}} {{Rysunek|Dwuwymiarowy_oscylator_harmoniczny_w_ogólnej_konfiguracji.jpeg|wk6|Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w ogólnej konfiguracji}} Rysunek obok przestawia ruch ciała o masie M przyczepionych do czterech sprężyn o stałych proporcjonalnych K{{Sub|1}} i K{{Sub|2}}, które są przyczepione do odpowiednich ścianek. Masy sprężynek są w przybliżeniu zerowe w porównaniu z masą kulki M. Kulka może wykonywać dwa niezależne drgania wzdłuż osi iksowej i igrekowej lub w postaci złożenia tychże drgań. We wzorach opisujących ruch masy M pomijamy człony x{{Sup|2}}/a{{Sup|2}}, y{{Sup|2}}/a{{Sup|2}} i xy/a{{Sup|2}}. W ten sposób możemy napisać przybliżenie klasyczne małych drgań. Jeśli dokonamy odpowiedniego małego przesunięcia ciała M w kierunku osi iksowej, to wtedy z dokładnością do wyrazów wyżej podanych otrzymamy wzór na siłę iksową i igrekową w postaci: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_x=-2K_1x\;</MATH>|1.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_y=0\;</math>|1.52}}}} Podobnie postępujemy, gdy dokonamy małego przesunięcia wzdłuż osi igrekowej. Ogólne równania ruchu opisujące drgania masy M są to równania ruchu zapisane w przybliżeniu małej długości sprężyny, które możemy napisać je jako dwa równania opisujące ruch ciała M na płaszczyźnie xy, których rozwiązania są superpozycją drgań wzdłuż osi iksowej i igrekowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2K_1x\;</math>|1.53}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2y}\over{dt^2}}=-2K_2y\;</MATH>|1.54}}}} Rozwiązania równania {{LinkWzór|1.53}}, a także kwadrat częstotliwości kołowej możemy zapisać w postaci poniższych tożsamości: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x=A_2\cos(\omega_1 t+\varphi)\;</MATH>|1.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_1={{2K_1}\over{M}}\;</MATH>|1.56}}}} Wychylenie od punktu początkowego względem osi igrekowej jako rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|1.54}} i kwadrat jej częstotliwości kołowej piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>y=B_2\cos(\omega_2 t+\varphi)\;</MATH>|1.57}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{2K_2}\over{M}}\;</MATH>|1.58}}}} === Współrzędne normalne w układzie obróconym o pewien kąt === {{Rysunek|Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych.jpeg|wk7|Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych}} Albowiem równania {{LinkWzór|1.53}} i {{LinkWzór|1.54}} opisują ruchy harmoniczne, ale w ogólności to ma ogólnych rozwiązań w postaci rozwiązań {{LinkWzór|1.48}} i {{LinkWzór|1.48a}}. W naszym przypadku opisujące ruch harmoniczny. Aby łatwiej można było opisywać ruch harmoniczny kulki wprowadza się współrzędne x'. y', które są obliczone względem starych współrzędnych obrócone o kąt &alpha;, których są kombinacjami liniowymi współrzędnych starych x i y. Są to współrzędne, których równania ruchu masy M opisywane są względem jednej współrzędnej, a każde równanie różniczkowe zależy od innej zmiennej. W ogólnym przypadku wybór współrzędnych normalnych nie jest taki łatwy. Zazwyczaj jest tak, że równania ruchu zawierają współrzędne x i y wziętej razem. W ogólnym przypadku prosta transformacja nie wystarcza i należy dokonać ogólnej transformacji liniowej w układzie równań różniczkowych opisujących nasze ruchy, by w ten sposób każde równanie było opisywane we współrzędnych normalnych, tzn. każde równanie zależało tylko od jednej zmiennej. === Rozwiązywanie równań różniczkowych ruchu === Załóżmy, że mamy układ fizyczny, która drga, który jest opisywany przy pomocy równań różniczkowych zapisane we współrzędnych x i y w postaci: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=a_{11}x-a_{12}y\;</math>|1.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2y}\over{dt^2}}=-a_{21}x-a_{22}y\;</MATH>|1.60}}}} Przyjmijmy, że rozwiązaniami równań ruchu {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} są to rozwiązania w postaci funkcji x i y, które są opisywane w postaci funkcji zależnych od czasu i są zależne od takiego samego przesunięcia fazowego. {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.61}}|2={{CentrujWzór|<MATH>y=B\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.62}}}} Jeśli układ wykonuje drgania normalne wzdłuż jednej osi, to wtedy równania {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} są opisywane równaniami dla każdego ruchu z osobna: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;</MATH>|1.63}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2y}\over{dt^2}}=-\omega^2y\;</MATH>|1.64}}}} W ogólnym przypadku, gdy nie mamy doczynienia ze współrzędnymi normalnymi, to wtedy należy rozwiązania {{LinkWzór|1.61}} i {{LinkWzór|1.62}} podstawić do {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.64}}, w ten sposób otrzymać następujący układ równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>(a_{11}-\omega^2)x+a_{12}y=0\;</MATH>|1.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>a_{21}x+(a_{22}-\omega^2)y=0\;</MATH>|1.66}}}} Z równań {{LinkWzór|1.62}} i {{LinkWzór|1.66}} możemy wyznaczyć stosunek x/y wedle następujących sposobów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>y/x=(\omega^2-a_{11})/a_{12} \;</MATH>|1.67}}|2={{CentrujWzór|<math>y/x=a_{21}/(\omega^2-a_{22})\;</MATH>|1.68}}}} Warunkiem koniecznym by rozwiązać równania różniczkowe ruchu {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}}, jest równość obu stron {{LinkWzór|1.67}} i {{LinkWzór|1.68}}, co prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>(a_{11}-\omega^2)(a_{22}-\omega^2)-a_{21}a_{12} = 0\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} jest równaniem kwadratowym względem zmiennych &omega;{{Sup|2}}, którego rozwiązaniem są dwa kwadraty częstotliwości &omega;{{Sub|1}}{{Sup|2}} i &omega;{{Sub|2}}{{Sup|2}}. Stosunek y/z względem równości {{LinkWzór|1.67}} dla jednej i drugiej postaci drgań normalnych nazywamy stosunkiem w postaci: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}={{B_1}\over{A_1}}={{\omega_1^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;</MATH>|1.70}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}={{B_2}\over{A_2}}={{\omega_2^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;</MATH>|1.71}}}} Rozwiązaniami równania różniczkowego falowego {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} dla współrzędnej x jest superpozycją rozwiązań równania falowego dla częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, co jest to rozwiązaniem w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.72}} A rozwiązaniami y(y) według {{LinkWzór|1.71}} są to rozwiązania przestawione w postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH>y(t)={{B_1}\over{A_1}}A_1\cos(\omega_1t+\varphi)+{{B_2}\over{A_2}}A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)=B_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.73}} === Drgania podłużne, układ sprężynek i ciężarków === {{Rysunek|Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne.jpeg|wk9|Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne}} Rozpatrzmy układ trzech sprężynek o masie zaniedbywanej, w których dwie sprężynki są połączone ze ściankami, a sprężynka środkowa jest połączona z ciężarkami o masie M. Rozważmy sytuację, gdy dwa ciężarki są przesunięte o to samo przesunięcie, wtedy sprężynka środkowa nie jest napięta, Siła z jaką sprężynka działa na pierwsze ciało jest określona wzorem F{{Sub|1}}=-K&psi;{{Sub|a}}, a na drugie ciało wzorem F{{Sub|2}}=-K&psi;{{Sub|b}}, przy założeniu &psi;{{Sub|a}}=&psi;{{Sub|b}}, i pamiętając że sprężynka środkowa nie oddziaływuje w takim przypadku z ciężarkami, równanie ruchu jest opisane: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a\;</MATH>|1.74}} |{{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K\psi_b\;</MATH>|1.75}} }} Kwadrat częstotliwości kołowej z jaką drga ten układ dwóch mas jest określony przez wzór: {{CentrujWzór|<math>\omega^2_1={{K}\over{M}}\;</MATH>|1.76}} Rozważmy teraz sytuację, gdy &psi;{{Sub|a}}=-&psi;{{Sub|b}}, wtedy siła działająca na pierwszy ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, której kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: {{CentrujWzór|<MATH>F_1=-K\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)=-K\psi_a-2K\psi_a=-3K\psi_a\;</MATH>|1.77}} A całkowita siła działająca na drugi ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: {{CentrujWzór|<MATH>F_2=-K\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)=-K\psi_b-2K\psi_b=-3K\psi_a\;</MATH>|1.78}} Równania ruchu dla ciężarka pierwszego i drugiego są określone przez wzory wynikających z drugiego prawa Newtona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\psi_a\;</math>|1.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-3K\psi_b\;</math>|1.80}}}} Kwadrat częstotliwości drgań swobodnych drgań normalnych, który dla drgań dwóch ciężarków opisywanych przez równania różniczkowe {{LinkWzór|1.79}} i {{LinkWzór|1.80}}, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{3K}\over{M}}\;</MATH>|1.81}} Na podstawie przypadków szczególnych jakie dokonaliśmy w powyższych rozważaniach dowiadujemy się, że układ może drgać na dwa sposoby, której kwadrat częstotliwości jest opisany wzorem {{LinkWzór|1.76}} lub {{LinkWzór|1.81}}. Rozważmy teraz przypadek ogólny, w którym opisywać będziemy ruch dwóch tych ciężarków, które są opisywane równaniami wynikających z drugiego prawa Newtona: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.82}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K(\psi_b-\psi_a)-k\psi_b\;</MATH>|1.83}}}} Równania {{LinkWzór|1.82}} i {{LinkWzór|1.83}} możemy do siebie dodać i je odjąć, w ten sposób otrzymać następne dwa równania zależne od zmiennych &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}} i &psi;{{Sub|a}}-&psi;{{Sub|b}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-K(\psi_a+\psi_b)\;</MATH>|1.84}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-3K(\psi_a-\psi_b)\;</MATH>|1.85}}}} Na podstawie równości {{LinkWzór|1.84}} otrzymujemy pierwsze równanie na kwadrat częstotliwości kołowej drgań {{LinkWzór|1.76}}, a także z równania {{LinkWzór|1.85}} wynika drugi kwadrat częstotliwości kołowej drgań normalnych {{LinkWzór|1.81}}. Z równań {{LinkWzór|1.84}} i {{LinkWzór|1.85}} wnioskujemy, że można napisać następujące dwa równania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_a+\psi_b=2A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)\;</MATH>|1.86}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_a-\psi_b=2A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.87}}}} Całkowite rozwiązanie ruchu opisujące przez równanie {{LinkWzór|1.86}} i równanie {{LinkWzór|1.87}} są opisywane dla &Psi;{{Sub|a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.88}} A także rozwiązanie opisujące ruch ciała drugiego jest opisywane: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)-A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</math>|1.89}} === Drgania poprzeczne, układ sprężynek i ciężarków === {{Rysunek|Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek.jpeg|wk10|Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek}} Rozważmy teraz sobie konfigurację sprężynek wykonujących drgania poprzeczne. Rozpatrzmy teraz konfigurację, w którym środkowa sprężynka nie jest wcale naprężona, wtedy równanie ruchu pierwszej masy przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K(l-a){{\psi_a}\over{l}}\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;</MATH>|1.90}} Równanie ruchu drugiego ciała jest bardzo podobne do {{LinkWzór|1.90}}. To równanie rozwiązuje się tak samo jak {{LinkWzór|1.16}}, pamiętając przy tym o {{LinkWzór|1.15}}, zatem kwadrat częstotliwości kołowej opisujący pierwsze drganie normalne dla &psi;{{Sub|a}}=&psi;{{Sub|b}} liczymy według: {{CentrujWzór|<math>\omega^2={{T_0}\over{Ma}}\;</math>|1.91}} Następną postacią drgań normalnych jest to drganie, którego dla tego ruchu zachodzi &psi;{{Sub|A}}=-&psi;{{Sub|b}}, kąt pomiędzy sprężynką pierwszą a poziomem jest dwukrotnie mniejszy niż kąt pomiędzy sprężynką drugą a poziomem, co będziemy korzystali w wyprowadzeniu równania ruchu dla drugiej postaci drgań normalnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta-T\sin2\theta\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}\simeq -3T\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;</MATH>|1.92}} Równanie ruchu dla drugiej sprężynki jest bardzo podobne do {{LinkWzór|1.92}}. Równanie {{LinkWzór|1.92}} rozwiązuje się bardzo podobnie jak równanie {{LinkWzór|1.16}} pamiętając przy okazji o {{LinkWzór|1.15}}, zatem kwadrat częstotliwości drgań normalnych możemy przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{3T_0}\over{Ma}}\;</MATH>|1.93}} === Dwa sprzężone ze sobą obwody LC === {{Rysunek|Dwa_obwody_sprżężone_ze_sobą_LC.jpeg|wk11|Dwa obwody sprżężone ze sob LC}} Układ dwóch sprzężonych ze sobą obwodów LC nazywamy układ składający się z trzech kondensatorów o pojemności C równoległych względem siebie i dwóch cewek o indukcyjności własnej L też równoległych wobec siebie. Napiszmy teraz równania różniczkowe według drugiego prawa Kirchhoffa, które rządzą dwoma oczkami z osobna, które to powiązane są ze sobą względem prądów płynących przez cewki I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}}, i przy pomocy ładunków znajdujących się na poszczególnych kondensatorach Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}} i Q{{Sub|3}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_a}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_1-{{1}\over{C}}Q_2\;</MATH>|1.94}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_2-{{1}\over{C}}Q_3\;</MATH>|1.95}}}} Możemy z różniczkować równania {{LinkWzór|1.94}} i {{LinkWzór|1.95}} względem czasu i w ten sposób otrzymujemy stąd dwie dalsze tożsamości zawierające prądy I{{Sub|a}}, I{{Sub|b}}, a także pochodnych ładunków znajdujących się na kondensatorach Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}} policzonych względem czasu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_a}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}{{dQ_1}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}\;</MATH>|1.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_3}\over{dt}}\;</MATH>|1.97}}}} Z pierwszego prawa Kirchhoffa możemy otrzymać trzy tożsamości, które wiążą ładunki na kondensatorach z natężeniami prądów płynących w poszczególnych obwodach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_1}\over{dt}}=-I_a\;</MATH>|1.98}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_2}\over{dt}}=I_a-I_b\;</MATH>|1.99}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_3}\over{dt}}=I_b\;</MATH>|1.100}}}} Tożsamości {{LinkWzór|1.98}}, {{LinkWzór|1.99}} i {{LinkWzór|1.100}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|1.96}} i {{LinkWzór|1.97}}, w ten sposób otrzymujemy dwie równości różniczkowe zależne od zmiennych I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}} i od pozostałych parametrów: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_a}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}I_a+{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)\;</MATH>|1.101}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_b}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)-{{1}\over{C}}I_b\;</MATH>|1.102}}}} Równania {{LinkWzór|1.101}} i {{LinkWzór|1.102}} możemy do siebie dodać i odjąć, w ten sposób otrzymać dwa równania zależne od zmiennych I{{Sub|a}}+I{{Sub|b}} oraz od I{{Sub|a}}-I{{Sub|b}} z osobna, z których możemy wyznaczyć te wielkości w postaci ich drgań z pewnymi częstotliwościami kołowymi określonych kolejno przez &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, zatem te dwa równania piszemy jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2(I_a+I_b)}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_a+I_b)\;</MATH>|1.103}}|2={{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2(I_a-I_b)}\over{dt^2}}=-{{3}\over{C}}(I_a-I_b)\;</MATH>|1.104}}}} Z równań {{LinkWzór|1.103}} i {{LinkWzór|1.104}} możemy otrzymać dwie wspomniane wcześniej częstotliwości kołowe drgań normalnych, której to kwadraty: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2={{1}\over{LC}}\;</MATH>|1.105}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{3}\over{LC}}\;</MATH>|1.106}}}} Układ drga z jedną częstotliwości kołowych, którego kwadraty są opisywane wzorami {{LinkWzór|1.105}}, {{LinkWzór|1.106}}, gdy dla pierwszej mamy I{{Sub|a}}=I{{Sub|b}}, a dla drugiej I{{Sub|a}}=-I{{Sub|B}}. Ogólne rozwiązania na natężenia prądów I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}} są zapisane jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>I_a=A\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.107}}|2={{CentrujWzór|<MATH>I_b=A\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-B\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.108}}}} == Dudnienia == Jest wiele przykładów układów drgających z dwiema częstotliwościami podstawowymi &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, przykładem takich drgań mogą być drgania o dwóch stopniach swobody. Przykładem układów o dwóch stopniach swobody są drgania spowodowane przez dwie siły wymuszające drgających z dwoma częstotliwościami. Aby zobaczyć co to są dudnienia, rozpatrzmy dwa drania o takich samych amplitudach i różnych częstotliwościach podstawowych, które są opisane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_1=A\cos\omega_1 t\;</MATH>|1.109}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_2=A\cos\omega_2 t\;</MATH>|1.110}}}} Całkowite wychylenie od położenia równowagi określamy jako sumę wychyleń {{LinkWzór|1.109}} i {{LinkWzór|1.110}} i są one zależne od częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_a+\psi_b=A\cos\omega_1t+B\cos\omega_2 t\;</MATH>|1.111}} === Modulacje === Średnią częstotliwość kołową &omega;{{Sub|śr}}, która jest sumą częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} podzielonych przez dwa, oraz częstotliwość kołową modulacji &omega;{{Sub|mod}}, która jest różnicą dwóch częstotliwości kołowych podanych wcześniej i podzielonych przez dwa: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;</math>|1.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;</MATH>|1.113}}}} Częstotliwości drgań kołowych drgań normalnych możemy napisać w zależności od częstotliwości drgań średnich i częstotliwości drgań modulacji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1=\omega_{sr}+\omega_{mod}\;</MATH>|1.114}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{2}=\omega_{sr}-\omega_{mod}\;</MATH>|1.115}}}} Jeszcze raz, patrząc na wzór {{LinkWzór|1.111}} przy takich samych amplitudach A i B, które tutaj oznaczymy przez A, a także na wzory {{LinkWzór|1.114}} i {{LinkWzór|1.115}}, wtedy możemy dojść do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t=A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|1.116}} * gdzie amplituda modulacyjna określamy według wzoru {{LinkWzór|1.116}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t)\;</MATH>|1.117}} Wzór {{LinkWzór|1.116}} jest wzorem ogólnym, ale największe korzyści daje nam, gdy częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są do siebie zbliżone, to wtedy mamy na pewno &omega;{{Sub|1}}&asymp;&omega;{{Sub|2}} i &omega;{{Sub|mod}}<<&omega;{{Sub|sr}}, a więc amplituda praktycznie się nie zmienia i wtedy układ wykonuje drania prawie harmoniczne o częstości &omega;{{Sub|sr}}. Natomiast gdy &omega;{{Sub|mod}}=0, to wtedy mamy &omega;{{Sub|sr}}=&omega;{{Sub|1}}=&omega;{{Sub|2}}, jeśli te częstotliwości kołowe różnią się niewiele, to taki ruch nazywamy prawie harmonicznym lub prawie monochromatycznym o częstotliwości &omega;{{Sub|sr}} i o amplitudzie prawie się nie zmieniającej. === Dudnienia wywołane przez dwa kamertony === Rozważmy dwa kamertony, które wywołują fale dźwiękowe, które powodują zmiany ciśnienia w pobliżu błony bębenkowej, której jako &psi; jest różnicą ciśnień błony bębenkowej pomiędzy jej warstwą zewnętrzną a wewnętrzną. Jeśli mamy dwa kamertony, to ta różnica na naszej błonie jest równa sumie różnic ciśnień &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}}, czyli jest superpozycją dwóch fal pochodzących od kamertonów. Gdy różnica częstotliwości &nu; różnią się o więcej niż 6%, to nasz mózg, wolą opis drgań opisany wzorem {{LinkWzór|1.111}}. Oznacza to, że fale o dwóch częstotliwościach są słyszane jako dwa odrębne dźwięki. Jeśli natomiast mamy {{Formuła|<MATH>\nu_2={{5}\over{4}}\nu_1\;</MATH>}}, to słyszane dwa dźwięki oddzielona są wielką tercją. Jeśli natomiast {{Formuła|<math>\nu_2=1,06\nu_1\;</MATH>}}, wtedy dźwięk &nu;{{Sub|2}} słyszany jest jako półtonu wyższy od &nu;{{Sub|1}}. Jeśli natomiast dźwięki różnią o mniej niż 10Hz, to nasze ucho ma kłopoty z rozróżnianiem ich jako odrębne tony. W tym wypadku dźwięki są słyszane jako dźwięk o częstotliwości &nu;{{Sub|sr}} o wolno zmiennej amplitudzie, który jest napisany zależnością {{LinkWzór|1.117}} dla różnicy ciśnień &psi;(t) danym wzorem {{LinkWzór|1.116}}. === Detektor mocy superpozycji fali dźwiękowej === Według wzoru {{LinkWzór|1.117}} amplituda fali dźwiękowej oscyluje z częstością kołową modulacji &omega;{{Sub|mod}}, co za każdym razem &omega;{{Sub|mod}}t zwiększa się o 2&pi;, w której amplituda modulacji A{{Sub|mod}} wykonuje pełny cykl modulacji (mamy tu na myśl powolne zmiany zmiany z częstotliwością modulacji &omega;{{Sub|mod}}). W tym czasie amplituda A{{Sub|mod}} dwa razy przyjmuje wartość równą zero, w której ludzkie ucho nic nie słyszy, a także przyjmuje dwa razy wartość bezwzględną równą wartości maksymalnej, tzn. raz maksymalną wartość wziętej z minusem, a za drugim razem z plusem, czyli w tym czasie amplituda przyjmuje dwa różne znaki o takiej samej wartości bezwzględnej amplitudy. Ludzkie ucho nie rozróżnia z jakim znakiem amplitudy mamy do czynienia, ale rozróżnia jedynie kwadrat amplitudy fali dźwiękowej, który ma dwa maksima w jednym trakcie okresu. {{Rysunek|Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, amplituda modulacji, kwadrat amplitudy modulacji, cykl modulacyjny i dudnienia.jpg|wk131|Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, amplituda modulacji, kwadrat amplitudy modulacji, cykl modulacyjny i dudnienia, przyjęto A&#61;1m,&omega;{{Sub|1}}&#61;0,3Hz i &omega;{{Sub|2}}&#61;0,37Hz.}} Częstością dudnień nazywamy częstość powtarzania się maksymalnego kwadratu amplitudy fali modulowanej, jest ona pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{dud}=2\omega_{mod}=\omega_1-\omega_2 \,</MATH>|1.118}} Aby przekonać się o tym, że kwadrat amplitudy modulowanej, czyli kwadrat z {{LinkWzór|1.117}} drga z częstotliwością kołową {{LinkWzór|1.118}}, to napiszmy następujące przekształcenia, wykorzystując znane związki z trygonometrii, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>A^2_{mod}(t)=4A^2\cos^2\omega_{mod} t=4A^2{{1}\over{2}}\left(1+\cos 2\omega_{mod}t\right)=2A^2\left(1+\cos 2\omega_{mod}t\right)\;</MATH>|1.119}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|1.119}}, że kwadrat amplitudy oscyluje z podwojoną częstotliwością modulowaną {{LinkWzór|1.118}}, co było do wykazania. === Dudnienia słabo sprzężonych ze sobą wahadeł === {{Rysunek|Sprzężone identyczne wahadła matematyczne.jpeg|wk13|Dwa wahadła matematyczne sprzężone ze sobą.}} Weźmy układ dwóch wahadeł słabo sprzężone ze sobą, czyli dwie masy M zawieszone na nieważkich niciach, oraz połączone ze sobą przy pomocy sprężynki o stałej sprężystości K. Rozwiązując równania ruchu dla tych mas M, dowiemy się, że układ może drgać z dwiema częstotliwościami kołowymi, które są opisywane w zależności od stałej sprężystości K, przyspieszenia grawitacyjnego g i masy M. Mając równania ruchu możemy określić częstotliwości dudnień lub częstotliwość modulowaną, a także częstotliwość średnią. Napiszmy teraz równania ruchu obu kulek w sposób: {{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.120}}|{{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.121}}}} Różniczkowe równania ruchu dla obu kulek M, tzn. {{LinkWzór|1.120}} I {{LinkWzór|1.121}} możemy dodać i odjąć od siebie, w ten sposób otrzymać wnioski zależne od zmiennych &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}} (pierwsza równość) i od &psi;{{Sub|a}}-&psi;{{Sub|b}} (druga równość), by z tych równań wyznaczyć wzory na wspomniane zmienne przy pomocy definicji częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)\;</MATH>|1.123}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a-\psi_b)-2K(\psi_a-\psi_b)\;</MATH>|1.124}}}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|1.123}} i {{LinkWzór|1.124}}, w ten sposób otrzymujemy formuły na kwadraty wspomnianych częstotliwości kołowych drgań harmonicznych, których przedstawienie jest zależne od przyspieszenia ziemskiego "g", długości wahadła matematycznego "l" i stałej sprężystości K i masy obu kulek M: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|1.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\;</MATH>|1.125a}}}} W celu określenia jak wyglądają dudnienia napiszmy, czemu są równe &psi;{{Sub|a}} I &psi;{{Sub|b}} dla osobnych drgań harmonicznych, to napiszmy równania na przemieszczenie ciała "a" dla &psi;{{Sub|a}} i ciała "b" dla &psi;{{Sub|b}} przy definicji częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, w takim wypadku piszemy je: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=\psi_1+\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.126}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=\psi_1-\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.127}} {{Rysunek|Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi.jpeg|wk15|Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi}} Najsilniejszy efekt obserwuje się, gdy obie amplitudy są jednakowego znaku, tzn. A{{Sub|1}}=A{{Sub|2}}=A. Jeśli któraś z amplitud jest równe zero lub w przybliżeniu równe zero, to mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi z drgających z jedną częstotliwością kołową, tzn. &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}. Drgania dwóch mas przy jednakowych amplitudach możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t\;</MATH>|1.128}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A\cos\omega_1-A\cos\omega_2t\;</math>|1.129}}}} Wykorzystamy wzory {{LinkWzór|1.114}} i {{LinkWzór|1.115}}, by potem je użyć do {{LinkWzór|1.128}} {{LinkWzór|1.129}}, by dalej przeprowadzić końcowe obliczenia na drgania obu mas. Dla pierwszej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "a", czyli &psi;{{Sub|a}} {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t\equiv A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|1.129a}} Dla drugiej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "b", czyli &psi;{{Sub|b}} {{LinkWzór|1.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t-A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=-2A\sin\omega_{mod}t\sin\omega_{sr}t\equiv -B_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;</MATH>|1.129b}} Energię kulki pierwszej określamy w zależności od częstotliwości modulacyjnej &omega;{{Sub|mod}} i &omega;{{Sub|sr}}, które określamy względem częstotliwości drgań podstawowych, którego piszemy przy pomocy kwadratu funkcji kosinus z iloczynu częstotliwości modulowanej i czasu, i częstotliwości średniej: {{CentrujWzór|<MATH>E_a={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2A_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t\;</MATH>|1.130}} A energię drugiej kulki podobnie jak dla pierwszej kulki określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>E_b={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2B_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t\;</MATH>|1.131}} Określmy teraz wielkość zwaną E, która jest sumą całkowitych energii kulki pierwszej {{LinkWzór|1.130}} i drugiej {{LinkWzór|1.131}}, którego ta energia jest wielkością stałą jak można udowodnić, tzn. tylko zależy od częstotliwości średniej obu drgań podstawowych: {{CentrujWzór|<MATH>E_a+E_b=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t+2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t=2MA^2\omega_{sr}^2=E\;</MATH>|1.132}} Całkowite energie kulki pierwszej {{LinkWzór|1.130}} i drugiej {{LinkWzór|1.131}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.132}}, są napisane jako z definicji kwadratu sinusa i kosinusa kąta połówkowego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_a={{1}\over{2}}E\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|1.133}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_b={{1}\over{2}}E\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|1.134}}}} A różnica energii obu kulek, tzn. E{{Sub|a}} i E{{Sub|b}} na podstawie {{LinkWzór|1.133}} i {{LinkWzór|1.134}} przestawiamy jako funkcję wprost proporcjonalną do kosinusa z argumentu (&omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}})t, i wyrażamy ją: {{CentrujWzór|<MATH>E_a-E_b=E\cos(\omega_1-\omega_2)t\;</MATH>|1.135}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 19x0dukn7lbu74owkvazq8gesfm9auw 0 20975 558549 467641 2026-10-04T16:11:20Z Persino 2851 558549 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Rozważmy układ o N stopniach swobody, której N może być nieskończone. Przy N skończonym układ ma n częstotliwości drgań normalnych, dla całego układu istnieje jednakowe przesunięcie kątowe. Dla przykładu weźmy stosunek amplitud o następujących stosunkach: {{CentrujWzór|<MATH>A:B:C:D=1:0,-3,-8\;</math>}} To stosunek przesunięć drgań od położenia równowagi względem drgań podstawowych piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\mbox{, }\psi_b=0\mbox{, }\psi_c=-3\psi_a\mbox{, }\psi_d=-8\psi_a\;</MATH>}} Jeśli układ fizyczny ma dużo elementów, to odległość pomiędzy nimi powinna być bardzo mała, praktycznie można powiedzieć, że ich odległość dąży do zera przy liczbie elementów dążących do nieskończoności, wtedy układ zachowuje się jak układ ciągły. Przesunięcia od położenia równowagi zapisujemy jako funkcja położenia (x,y,z) i czasu "t", którego zapis matematyczny jest &psi;(x,y,z,t), która zastępuje przemieszczenia &psi;{{Sub|a}}(t), &psi;{{Sub|b}}(t), &psi;{{Sub|c}}(t),,.., itd. dla osobnych elementów układu. Takie zachowanie się funkcji &psi; nazywamy falami. == Drgania poprzeczne struny dyskretnej == Weźmy sobie ciała od 1 do N połączonych sprężynkami o znikomych masach, które spełniają prawo Hooka. {{Rysunek|Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy.jpeg|wk1|Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy|rozmiar=300px}} Wraz rosnącymi numerami drgań postaci drgań swobodnych rośnie częstość kołowa drgań, a także rośnie siła kierująca powodująca te drgania. Dla postaci N=2 drgań swobodnych ma jeden węzeł. Na rysunku powyżej zaznaczono układy od jednego stopnia swobody do N-tego stopnia swobody. Dla N stopni swobody mamy N-1 węzłów. Kształt sprężymy ma charakter zygzakowaty dla największej postaci drgań, dla której każdy odcinek łączący masy przecina oś równowagi. == Drgania poprzeczne struny ciągłej == Załóżmy, że mamy N ciężarków połączonych ze sobą sprężynkami, których liczba N jest bardzo duża, powiedźmy, że wynosi N=1000000, których każdy z ciężarków wykonują drgania &psi;{{Sub|a}}, &psi;{{Sub|b}}, &psi;{{Sub|c}}, itd.. , wtedy układ zachowuje się prawie jak ciągły. Zatem całkowite wychylenie od stanu równowagi w zależności od położenia ciężarków, a także od czasu, jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(x,y,z,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,z,t)+\hat{y}\psi_y(x,y,z,t)+\hat{z}_z\psi_z(x,y,z,t)\;</MATH>|2.1}} === Drgania podłużne i poprzeczne dla płaszczyźnie === Wybierzmy sobie drgania jednomiarowej struny dla drgań poprzecznych, której przemieszczenie dla naszego przypadku określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_x(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)+\hat{z}\psi_z(z,t)\;</MATH>|2.2}} Drgania podłużne są wykonywane wzdłuż osi zetowej, a nas interesują drgania poprzeczne, co na podstawie wzoru {{linkWzór|2.2}} możemy przepisać wzór na postać tychże drgań: {{CentrujWzór|<math>\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)\;</MATH>|2.3}} === Polaryzacja struny ciągłej === Dokonajmy dalszych uproszczeń, i powiedźmy, że drania są wykonywane wzdłuż osi iksowej. Gęstość takiej struny jest równa &rho;. A masa na odcinku &Delta;x wyrażamy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M=\rho_0\Delta z\;</MATH>|2.4}} {{Rysunek|Poprzeczne drgania struny ciągłej.jpeg|wk2|Poprzeczne drgania struny ciągłej}} Całkowita siła działająca na wycinek struny przy pomocy siły kierującej T wyrażamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1\;</MATH>|2.5}} Chcemy wyrazić siłę F{{Sub|x}} poprzez pochodne cząstkową wychylenia od stanu równowagi względem położenia zetowego małego odcinka struny przy działających siłach na jej prawy i lewy koniec argumenty, który zapis nachylenia w tymże punkcie jest: *{{Formuła|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\;</math>}}, który jest równy tangensowi nachylenia struny względem osi z dla chwili t dla wycinka struny o położeniu z. Siłę {{linkWzór|2.5}} możemy przestawić przy pomocy wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1=T_2\cos\theta_2\operatorname{tg}\theta_2-T_1\cos\theta_1\operatorname{tg}\theta_1=T_0\operatorname{tg}\theta_2-T_0\operatorname{tg}\theta_1=</MATH>{{Br}}<MATH>= T_0\left({{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)_2-T_0\left({{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)_1</MATH>|2.6}} Zdefiniujmy funkcję f(z) zależną od z jako pochodną cząstkową wielkości &psi;(z,t) względem położenia z, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)={{\partial \psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</math>|2.7}} Rozłóżmy funkcję {{linkWzór|2.7}} względem położenia wokół punktu z{{Sub|1}}, wykorzystując szereg Taylora, by potem wyciąć z niego wyrazy więcej niż liniowe: {{CentrujWzór|<MATH>f(z_2)=f(z_1)+(z_2-z_1)\left({{df}\over{dz}}\right)_1+{{1}\over{2}}(z_2-z_1)^2\left({{d^2f}\over{dx^2}}\right)_1+...\;</MATH>|2.8}} Biorąc &Delta;z=z{{Sub|2}}-z{{Sub|1}}, możemy napisać różnice funkcji f(z) w puntach z{{Sub|2}} i z{{Sub|1}}, którego różnica jest wprost proporcjonalna do drugiej pochodnej funkcji &psi; względem położenia przy stałej proporcjonalności równej &Delta;z: {{CentrujWzór|<MATH>f(z_2)-f(z_1)=\Delta z\left({{\partial f}\over{\partial z}}\right)_1=\Delta z{{d}\over{dz}}\left({{\partial\psi_z}\over{\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial \psi}\over{\partial z}}\left({{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial^2 \psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|2.9}} Wniosek wypływający z tożsamości {{LinkWzór|2.9}} i wzoru {{linkWzór|2.6}} na definicję siły F{{Sub|x}} jest taki: {{CentrujWzór|<MATH>F_z=T_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|2.10}} Zastosujmy teraz drugie prawo Newtona dla wycinka drgającej struny przy definicji siły F{{Sub|x}} {{linkWzór|2.10}}, który po skróceniu przez &Delta;z otrzymujemy tożsamość, robiąc te czynności po kolei: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=T_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}={{T_0}\over{\rho_0}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}} \;</MATH>|2.11}} === Fale stojące drgającej struny === Załóżmy, że struna drga z jedną częstością kołową, wtedy mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi normalnymi. Równanie wychylenia struny od położenia równowagi określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|2.12}} Druga pochodna cząstkowa wyrażenia {{linkWzór|2.12}} względem czasu określamy jako wielkość wprost proporcjonalną do kwadratu częstotliwości kołowej drgań i do funkcji A(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi=-\omega^2A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.13}} A druga pochodna funkcji &Psi;(z,t) {{linkWzór|2.12}} względem położenia z wycinka struny ciągłej piszemy przez wzór poniżej, która jest zależna od drugiej pochodnej zupełnej wielkości A(z) względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}={{\partial(A(z)\cos(\omega t+\varphi))}\over{\partial z^2}}=\cos(\omega t+\varphi){{d^2 A(z)}\over{dz^2}}\;</MATH>|2.14}} Biorąc równanie różniczkowe falowe {{linkWzór|2.11}} i po podstawieniu do niego wzoru {{LinkWzór|2.13}} i {{linkWzór|2.14}} i skróceniu przez kosinus, którego argumentami są te same określone wyrażenia, co uzasadnia takie działanie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=\omega^2{{\rho_0}\over{T_0}}A(z)\;</MATH>|2.15}} Rozwiązując równanie {{linkWzór|2.15}} dla oscylatora harmonicznego, których ogólna postać tych oscylacji jest kombinacją funkcji sinus i cosinus względem wyrażenia 2&pi;z/&lambda;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=A\sin\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)+B\cos\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)\;</MATH>|2.16}} A także możemy napisać wniosek wynikający z {{LinkWzór|2.16}}, którą to możemy napisać jako druga pochodna zupełna względem położenia "z", która jest wprost proporcjonalna do funkcji A(z) i do odwrotności kwadratu długości fali kreślonej i to wszystko wziętej razem z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}} =-\left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2A(z)\;</MATH>|2.17}} Możemy porównać obie strony wzorów {{linkWzór|2.15}} z {{LinkWzór|2.17}}, a właściwie jej prawe strony, a lewe strony są takie same, do siebie, w ten sposób mamy tożsamość na prędkość fali, który jest pierwiastkiem z ilorazu siły kierującej T{{Sub|0}} i gęstości liniowej masy dla tej opisywanej tutaj struny: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2=\omega^2{{\rho_0}\over{T_0}}\Rightarrow \left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2=(2\pi\nu)^2{{\rho_0}\over{T_0}}\Rightarrow \lambda\nu=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\equiv v_0=\operatorname{const}\;</MATH>|2.18}} === Fale stojące === Całkowita funkcja falowa opisujące fale jest funkcją przedstawiona na podstawie wzorów {{linkWzór|2.12}} i {{linkWzór|2.16}}, jest tutaj przedstawiona w jego pełnej postaci dla fali stojącej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,t)=\cos\left(\omega t+\varphi\right)\left[A\sin\left(2\pi {{z}\over{\lambda}}\right)+B\cos\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)\right]\;</MATH>|2.19}} === Warunki brzegowe === Rozwiązanie na funkcje stojące {{linkWzór|2.19}} nie zawiera w sobie warunków brzegowych, bo ono jest ogólnym rozwiązaniem, w taki sposób, by dla z=0 był jeden koniec strony a drugi koniec znajduje się dla z=L, wtedy drugi współczynnik zetowy stojący w nawiasie {{linkWzór|2.19}} jest równy zero dla zerowego wychylenia lewego końca, bo ten koniec jest zaczepiony, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t)=\cos(\omega t+\varphi)[0+B]=0\;</MATH>|2.20}} Patrząc na tożsamość {{linkWzór|2.20}} dowiadujemy się, że stała B jest zawsze równa zero, co było udowodnienia. Równanie fali stojącej {{LinkWzór|2.19}} możemy zapisać, na podstawie dowodu {{linkWzór|2.20}}, że stała B=0, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\sin{{2\pi z}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.21}} Aby dla prawego końca struny wychylenie dla fali stojącej {{linkWzór|2.20}} jest równe zero, czyli dla z=L, wtedy funkcja sinus powinna być równa zero, co matematycznie: {{CentrujWzór|<MATH>\sin{{2\pi L}\over{\lambda}}=0\;</MATH>|2.22}} Wykorzystując z własności funkcji sinus we równaniu {{linkWzór|2.22}}, w ten sposób otrzymujemy, że L powinno być całkowitą wielokrotnością z liczby &lambda;/2, co można udowodnić, przeprowadzając odpowiednie obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>{{2\pi L}\over{\lambda}}=\pi k\Rightarrow L={{\lambda}\over{2}}k\mbox{ dla }k=\pm 1,\pm 2,...\;</MATH>|2.23}} W obliczeniach {{linkWzór|2.23}} pominęliśmy przypadek k=0, ponieważ wymagało to by zerową długość struny, lub gdy długość fali drgań była nieskończona. Dla k=1 warunek brzegowy wygląda {{Formuła|<MATH>\lambda_1=2L\;</MATH>}}, a z warunku {{linkWzór|2.23}} i z definicji na stałą &lambda;{{Sub|1}} dalsze wzory na długość fali &lambda;{{Sub|k}} w zależności od k>1 zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_k={{1}\over{k}}\lambda_1\;</MATH>|2.24}} === Stosunki częstotliwości kołowych w drganiach harmonicznych === {{Rysunek|Drgania struny o jej nieruchomych końcach.jpeg|wk3|Drgania struny o jej nieruchomych końcach}} Częstotliwości &nu; poszczególnych drgań możemy napisać w zależności częstotliwości podstawowej &nu;{{Sub|1}} względem {{linkWzór|2.24}} w postaci wzorów: {{CentrujWzór|<MATH>\nu_1={{v_0}\over{\lambda_1}}\mbox{, }\nu_2=2\nu_1\mbox{, }\nu_3=3\nu_1\mbox{, }\nu_4=4\nu_4,\mbox{...}\;</MATH>|2.25}} === Kątowa liczba falowa === Liczbę falowa nazywamy liczbę falową &sigma;, która jest odwrotnością długości fali, a kątową liczbę falową nazywamy obiekt, która powstaje po pomnożeniu jego przez liczbę 2&pi;, wtedy; {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma={{1}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.26}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k=2\pi\sigma={{2\pi}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.27}}}} Równanie fali {{linkWzór|2.20}} możemy przestawić przy pomocy {{LinkWzór|2.26}} lub {{linkWzór|2.27}} na kilka równoważnych sposobów: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\sin\left(2\pi{{t}\over{T}}\right)\sin\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)=A\sin2\pi\nu t\sin\left(2\pi\sigma z\right)=A\sin\omega t\sin kz</math>|2.28}} Patrząc na wzór {{linkWzór|2.28}}, który przestawia drgania struny z obiema końcami nieruchomymi, tzn. dla z=0 dla naszej funkcji warunek nieruchomego lewego końca jest automatycznie spełnione, a także dla z=L warunek prawego nieruchomego końca jest spełnione, gdy kątowa liczba falowa drgań spełnia warunki: {{CentrujWzór|<MATH>k_1L=\pi\mbox{, }k_2L=2\pi\mbox{, }k_3L=\pi\mbox{,...}\;</MATH>|2.29}} lub w przestawieniu liczby falowej &sigma;: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_1L={{1}\over{2}}\mbox{, }\sigma_2L=1\mbox{, }\sigma_3L={{3}\over{2}}\mbox{,...}\;</MATH>|2.30}} === Związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością === Patrząc na wzór {{linkWzór|2.17}} otrzymujemy wzór na związek dyspersyjny liczby falowej i częstotliwości &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}{{1}\over{\lambda}}=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\sigma\;</MATH>|2.31}} Równość {{linkWzór|2.31}} mnożymy obustronnie przez liczbę 2&pi; i po wykorzystaniu definicji częstotliwości kołowej i kątowej liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}k\;</MATH>|2.32}} === Struny fortepianowe i jego związek dyspersyjny === Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej, czyli związku {{Formuła|<math>{{\omega^2}\over{k^2}}\;</MATH>}} w zależności od liczby kątowej przestawiamy: {{CentrujWzór|<math>{{\omega^2}\over{k^2}}={{T_0}\over{\rho_0}}+\alpha k^2\;</MATH>|2.33}} Związek {{linkWzór|2.33}} jest bardzo podobny do związku {{linkWzór|2.32}}, tylko jest ta różnica, że jeśli struna jest idealnie giętka, to wtedy stała &alpha; jest w rzeczywistości jest równa zero, ale struna nie jest taka tak naprawdę, tzn. dla której w ogólności dla struny nie idealnie giętkiej nie zachodzą już zależności &lambda;{{Sub|1}}=2L, &lambda;{{Sub|2}}=1/2&lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|3}}=1/3&lambda;{{Sub|1}}, itd. Częstości dla naszej struny nie tworzą tutaj ciągu harmonicznego &nu;{{Sub|2}}=2&nu;{{Sub|1}}, &nu;{{Sub|3}}=3&nu;{{Sub|1}}, itd., ponieważ powyższy związek dyspersyjny nie daje takiej zależności, ten ciąg otrzymujemy w granicy &alpha; dążącego do zera, tzn., wtedy gdy zachodzi związek &lambda;&nu;=const. == Analiza Fouriera ogólnych drgań struny ciągłej == Ogólne wychylenie wycinka ciągłej struny przestawiamy jako sumę drgań prostych harmonicznych: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A_1\sin k_1z\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\sin k_2z\cos(\omega_2t+\varphi_2)+...\;</MATH>|2.34}} === Analiza Fouriera struny drgań jako złożenie drgań harmonicznych === Każdą funkcję F(z) możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem zmiennej, znając współczynniki A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} naszego szeregu dla naszej funkcji, której postać tego szeregu jest: {{CentrujWzór|<MATH>F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[A_n\sin n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z+B_n\cos n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z\right]=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z+\sum_{n=0}^{\infty}B_n\cos n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin nk_1z+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\cos nk_1z</math>|2.35}} Następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników Fouriera B{{Sub|0}} i B{{Sub|n}}, a także A{{Sub|n}}, które wyznaczymy, pamiętając przy tym, że zachodzi z{{Sub|2}}=z{{Sub|1}}+&lambda;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\int_{z_1}^{z_2}\sin nk_1zdz=0\;</math>|2.36}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}\cos nk_1zdz=0\;</MATH>|2.37}}}} {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sin k_1z\sin mk_1z={{1}\over{2}}\cos(n-m)k_1z-{{1}\over{2}}\cos(n+m)k_1z\;</MATH>|2.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\cos k_1z\sin mk_1 z={{1}\over{2}}\sin(n+m)k_1 z+{{1}\over{2}}\sin(n-m)k_1z\;</MATH>|2.39}}}} Funkcję F(z) możemy obustronnie przecałkować względem zmiennej w przedziale (z{{Sub|1}},z{{Sub|2}}), wykorzystując przy tym związek {{linkWzór|2.36}} oraz {{linkWzór|2.37}}, w ten sposób otrzymać związek zawierający w sobie stałą B{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}B_0dz=B_0(z_2-z_1)=B_0\lambda_1\;</MATH>|2.40}} Wykorzystując fakty {{linkWzór|2.38}} i {{linkWzór|2.39}}, a także fakty w postaci całek {{linkWzór|2.36}} i {{linkWzór|2.37}}, wtedy możemy napisać całki, napisane w przedziale (z{{Sub|1}},z{{Sub|2}}), w których funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji F(z) i funkcji sinus lub kosinus z argumentu mk{{Sub|1}}z, całkowalną względem zmiennej "z", którego to przepisy w postaci już policzonych całek zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)\sin mk_1zdz={{1}\over{2}}A_n\lambda_1\;</MATH>|2.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)\cos mk_1zdz={{1}\over{2}}\lambda_1B_m\;</math>|2.42}}}} ==== Współczynniki Fouriera ==== Patrząc na wzory {{linkWzór|2.40}} i {{linkWzór|2.41}} oraz {{linkWzór|2.42}}, wtedy możemy napisać wzory na współczynniki szeregu Fouriera {{linkWzór|2.35}} dla funkcji F(z), tzn. wzory na współczynniki A{{Sub|m}}, B{{Sub|n}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)dz\;</MATH>|2.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\sin mk_1zdz\;</MATH>|2.44}}|3={{CentrujWzór|<MATH>B_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\cos mk_1zdz\;</MATH>|2.45}}}} === Fala prostokątna i jego analiza Fouriera === {{Rysunek|Fala prostokątna.jpeg|wk4|Rysunek przestawia impuls periodycznej fali prostokątny|rozmiar=300px}} Rozpatrzmy teraz falę prostokątną, która jest falą periodyczną, i patrząc na rysunek obok dowiadujemy się, że ona jest nieciągła dla z=0 i z=L. Wiec nie należy oczekiwać, że szereg Fouriera w pewnym przybliżeniu przestawi w miarę dokładnie falę prostokątna. Korzystając z {{linkWzór|2.41}} dowiadujemy się, że współczynniki B{{Sub|m}} są równe zero, a współczynniki A{{Sub|m}} istnieją tylko dla nieparzystych m. Aby to wykazać policzymy kolejno współczynniki na nasze współczynniki szeregu Fouriera, zatem wyznaczmy czemu jest równy na współczynnik B{{Sub|0}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda}F(z)dz={{1}\over{\lambda_1}}\left(\int_{0}^L1dz+\int_L^{2L}(-1)dz\right)=0\;</MATH>|2.46}} i dalej policzymy współczynniki B{{Sub|m}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>B_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\cos mk_1z dz={{2}\over{\lambda_1}}\left(\int_{0}^L\cos mk_1z-\int_L^{2L}\cos mk_1z\right)={{2}\over{\lambda_1}}\int_0^L\left(\cos mk_1z-\cos(mk_1(z+L))\right)dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2}\over{\lambda_1}}(2)\int_0^L\left[\sin \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\right]={{4}\over{\lambda_1}}\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\int_0^L\sin {{1}\over{2}}mk_1(2z+L)dz=</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{4}\over{\lambda_1}}\sin\left({{1}\over{2}}m{{2\pi}\over{2L}}L\right){{1}\over{mk_1}}\left[\cos \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\right]_0^L=-{{2}\over{\pi m}}\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\left[\cos(m{{3}\over{2}}\pi)-\cos(m{{1}\over{2}}\pi)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{4}\over{\pi m}}\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\sin \left(m\pi\right)\sin\left(m{{\pi}\over{2}}\right)=0\;</MATH>|2.47}} i dalej policzymy współczynniki A{{Sub|m}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.44}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_m={{2}\over{\lambda}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\sin mk_1z dz={{2}\over{\lambda_1}}\left[\int_{0}^L\left(\sin mk_1z-\sin mk_1(z+L)\right)dz\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -{{4}\over{\lambda_1}}\left[\int_0^L\cos \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\right]=-{{4}\over{\lambda_1}}\sin ({{1}\over{2}}mk_1L){{1}\over{mk_1}}\left[\sin {{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right]_0^L=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{2}\over{m\pi}}\sin m{{\pi}\over{2}}\left(\sin 3m{{\pi}\over{2}}-\sin m{{\pi}\over{2}}\right)=-{{4}\over{m\pi}}\sin\left( m{{\pi}\over{2}}\right)\left[\cos\left(m\pi\right)\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{4}\over{m\pi}}\sin^2\left(m{{\pi}\over{2}}\right)\cos\left(m\pi\right)= \begin{cases} {{4}\over{m\pi}}&\mbox{m nieparzyste}\\ 0&\mbox{m parzyste}\end{cases}\;</MATH>|2.48}} Jak widzimy, że współczynniki A{{Sub|m}} {{linkWzór|2.48}}, B{{Sub|0}} {{linkWzór|2.46}}, B{{Sub|m}} {{linkWzór|2.47}} są takie jak przypuszczaliśmy. Analiza Fouriera pokazuje, że impuls prostokątny możemy rozłożyć na fale harmoniczne, wykorzystując przy tym wzór na współczynnik B{{Sub|0}} {{linkWzór|2.46}}, na współczynnik B{{Sub|m}} {{linkWzór|2.47}} i na samym końcu na współczynnik A{{Sub|m}} {{linkWzór|2.48}}, wtedy zapisujemy nasz impuls w postaci szeregu Fouriera: {{CentrujWzór|<MATH>F(z)=B_0+\sum_{m=1}^{\infty}B_m\cos mk_1z+\sum_{n=1}A_m\sin mk_1z={{4}\over{\pi}}\left[\sin k_1z+{{1}\over{3}}\sin 3k_1z+{{1}\over{5}}\sin 5k_1z+...\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\underbrace{\underbrace{1,273\sin {{\pi z}\over{L}}}_{f_1}+\underbrace{0,424\sin {{3\pi z}\over{L}}}_{f_3}+\underbrace{0,255\sin {{5\pi z}\over{L}}}_{f_5}}_{f_{1+3+5}}+...</MATH>|2.49}} {{Rysunek|Analiza fourierowska impulsu prostokątnego.jpeg|wk5|Analiza fourierowska impulsu prostokątnego|rozmiar=300px}} === Fourierowska analiza okresowej funkcji zależnej od czasu === Funkcje okresowa zależna od czasu spełnia taki warunek, że dodanie do funkcji dla argumentu t{{Sub|1}} okresu T{{Sub|1}}, otrzymujemy tą samą funkcję bez tej dokonanej operacji, co matematycznie zapisujemy: {{CentrujWzór|<math>f(T+t_1)=f(t_1)\mbox{ dla } t\in R\;</MATH>|2.50}} Funkcję zależną od czasu możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem czasu "t" do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\cos n\omega_1t+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega_1t\;</MATH>|2.51}} Mając funkcję okresową F(t) możemy rozłożyć tą funkcję w szereg Fouriera, mając definicję współczynników Fouriera o postaciach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+t_1}F(t)dt\;</MATH>|2.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+T_1}F(t)\cos n\omega_1 t dt\;</MATH>|2.53}}|3={{CentrujWzór|<MATH>A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+T_1}F(t)\sin n\omega_1 t dt\;</MATH>|2.54}}}} === Drgania struny niejednorodnej === Zakładamy, że siła T{{Sub|0}} działa w stanie równowagi, która jest zależna od zmiennej zetowej, którą piszemy wzorem {{linkWzór|2.6}}. Obierzmy sobie funkcję f(z), którego postać jest w zależności od tej siły i pierwszej pochodnej wychylenia od stanu równowagi dla drgań poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</math>|2.55}} Funkcję możemy rozłożyć w szereg Taylora {{linkWzór|2.8}} funkcję f(z) {{linkWzór|2.55}}, w ten sposób otrzymujemy, że siła F{{Sub|x}} działająca na na bardzo mały wycinek struny niejednorodnej jest: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=\Delta z{{\partial}\over{\partial z}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\;</MATH>|2.56}} Drugie prawo dynamiki Newtona dla naszego przypadku niejednorodnej struny, który piszemy wzorem poniżej, którą dzielimy przez długość małego wycinka struny &Delta;z i przez gęstość tegoż wycinka &rho;(z), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(z)\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}=\Delta z{{\partial}\over{\partial z}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\Rightarrow {{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}={{1}\over{\rho(z)}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\;</MATH>|2.57}} Niech fala będzie opisywana wzorem zależnym od amplitudy A(z) i części periodycznej cos(&omega;t+&phi;), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.58}} Dla drgań normalnych struny możemy napisać zależności jako drugą pochodną przemieszczenie względem czasu i pierwszą pochodną tego samego przemieszczenia względem położenia "z", która jak się okazuje jest wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej zupełnej funkcji A(z) względem położenia małego wycinka struny względem położenia, zatem te wielkości: {|width=100%|- |{{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|2.59}} |{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=\cos(\omega t+\varphi){{dA(z)}\over{dz}}\;</MATH>|2.60}} |} Mając fakty {{linkWzór|2.59}} i {{linkWzór|2.60}}, co one możemy podstawić do wzoru {{linkWzór|2.57}}, w ten sposób otrzymać równość różniczkową z pochodnymi zupełnymi zależnych od współrzędnej zetowej: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho(z)}}{{d}\over{dz}}\left[T_0(z){{dA(z)}\over{dz}}\right]=-\omega^2A(z)\;</MATH>|2.61}} == Drgania układu dyskretnego o N stopniach swobody == {{Rysunek|Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi.jpeg|wk6|Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi}} Rozpatrzmy układ w stanie równowagi składający się z N kulek o masach M połączonych sprężynkami napiętej w taki sposób, w których każda taka sprężynka działa na każdą kulkę z osobną z siłą T{{Sub|0}}, układ składający się z sprężynek o pewnej stałej sprężystości i kulek o masach M ma długość L=(N+1)a. === Równanie ruchu struny dyskretnej === {{Rysunek|Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych.jpeg|wk7|Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych}} Wzór na siłę działająca na układ dyskretnym piszemy podobnie jak według wzoru {{linkWzór|2.6}}, tylko tam zamiast pochodnej występują różnice, zatem równanie ruchu w naszym przypadku piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=T_0{{\psi_{n+1}(t)-\psi_n(t)}\over{a}}-T_0{{\psi_n(t)-\psi_{n-1}}\over{a}}\;</MATH>|2.62}} Obierzmy sobie ogólną postać wychylenia n-tej cząstki od położenia równowagi w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.63}} Druga pochodna zupełna wyrażenia {{linkWzór|2.63}} względem czasu, która jest wprost proporcjonalna do amplitudy A{{Sub|n}} i do kwadratu częstotliwości kołowej, i dalej, mówiąc od funkcji kosinus, to wszystko wziętej z minusem, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_n(t)}\over{dt}}=-\omega^2\psi_n(t)=-\omega^2A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.64}} Równanie {{linkWzór|2.62}} możemy w taki sposób napisać po wykorzystaniu {{linkWzór|2.63}} i {{linkWzór|2.64}}, które to piszemy w zależności częstotliwości kołowej drgań, a także od amplitud zależnych od n, n+1 i n-1, który to końcowy rozważany wzór piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>-M\omega^2A_n={{T_0}\over{a}}\left(A_{n+1}-2A_n+A_{n-1}\right)\Rightarrow A_{n+1}+A_{n-1}=A_n\left(2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2\right)\;</MATH>|2.65}} Rozpatrzmy tak jak w przypadku struny ciągłej, którego to dla struny na obu jego końcach naszej struny nie ma wychylenia od stanu równowagi, zatem amplitudę A{{Sub|n}} możemy napisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n}=A\sin kna\;</math>|2.66}} Zatem dzięki definicji amplitudy A{{Sub|n}} według {{linkWzór|2.66}} wówczas możemy napisać następujące wzory na amplitudy A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, co na samym końcu możemy policzyć różnicę amplitud dla n+1 i n-1, wtedy według wspomnianego wzoru możemy napisać trzy dalsze wzory: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}=A\sin k(n+1)a=A\sin(kna+ka)=A(\sin kna\cos ka+cos kna\sin ka\;</MATH>|2.67}} {{CentrujWzór|<MATH>A_{n-1}=A\sin k(n-1)a=A\sin (kna-ka)=A(\sin kna\cos ka-\cos kna\sin ka)\;</MATH>|2.68}} {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}-A_{n-1}=2A\sin kna\cos ka=2A_n\cos ka\;</MATH>|2.69}} Możemy wykorzystać końcowy związek {{linkWzór|2.69}} do {{linkWzór|2.65}}, w ten sposób otrzymać wzór w ogólności dla niezerowego w A{{Sub|n}}, który jest zależny od częstotliwości kołowej drgań i innych parametrów: {{CentrujWzór|<MATH>2A_n\cos ka=A_n(2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2)\;</MATH>|2.70}} We związku {{linkWzór|2.70}} możemy wyznaczyć kwadrat częstotliwości kołowej i w ten sposób otrzymać zależność od kątowej liczby falowej "k" lub też w zależności do liczby falowej &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>2\cos ka=2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2\Rightarrow \omega^2={{2T_0}\over{Ma}}(1-\cos ka)\Rightarrow\omega^2={{4T_0}\over{Ma}}\sin^2 {{ka}\over{2}}={{4T_0}\over{Ma}}\sin^2{{\pi a}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.71}} ==== Ogólna postać drgań i warunki brzegowe ==== {{Rysunek|Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach.jpeg|wk8|Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach|rozmiar=300px}} {{Rysunek|Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy.jpeg|wk9|Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy. Pięć zaznaczonych punktów na wykresie odpowiada pięciu częstotliwościom struny z pięcioma z ciężarkami.}} Ogólną postać drgań A{{Sub|n}} możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus z argumentu kna: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=A\sin kna+B\cos kna\;</MATH>|2.72}} Na lewym końcu wychylenie z położenia równowagi jest zerowe, i wykorzystując fakt {{linkWzór|2.72}}, dowiadujemy się, że B=0, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=A\sin kna\;</MATH>|2.73}} Aby prawy koniec struny dyskretnej miał wychylenie dyskretne zerowe, to powinien zachodzić związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\;</math>|2.74}} Na rysunku obok zaznaczono zależność częstotliwości &omega;(k) od kątowej liczby falowej, którą tą zależność piszemy na podstawie {{linkWzór|2.71}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{T_0}\over{Ma}}}\sin {{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.75}} ==== Przejścia układu dyskretnego do granicy fal długich ==== Weźmy sobie fale o długości fali o wiele mniejszych niż zetowa odległość pomiędzy ciężarkami, tzn. a<<&lambda;, co jest równoważne 2&pi;a/&lambda;<<1, wtedy możemy rozłożyć funkcję sinus w szereg Taylora w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\sin x=x-{{1}\over{6}}x^3+...\;</MATH>|2.76}} Do wzoru {{linkWzór|2.75}} możemy wykorzystać rozwinięcie funkcji sin {{linkWzór|2.76}}, by w ten sposób napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{T_0}\over{Ma}}}\left[{{1}\over{2}}ka-{{1}\over{48}}(ka)^3+....\right]=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}k\left[1-{{1}\over{48}}(ka)^2+....\right]\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\omega(k)\simeq\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}k\;</MATH>|2.77}} === Drgania podłużne układu mas połączonych ze sobą sprężynkami === {{Rysunek|Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami.jpeg|wk10|Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami|rozmiar=300px}} Równanie ruchu dla masy ściśle określonej zapisujemy względem wychylenia od stanu równowagi poszczególnych sprężynek &psi;{{Sub|n}}, którego to przepis: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n}\over{dt^2}}=K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|2.78}} równanie tego typu {{linkWzór|2.78}} było już rozwiązywane, zatem podajmy związek dyspersyjny łączący częstotliwość kołową z kątową liczbą falową, którego postać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(t)=2\sqrt{{{K}\over{M}}}\sin{{ka}\over{2}}=2\sqrt{{K}\over{M}}\sin{{\pi a}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.79}} Wychylenia poszczególnych mas dla drgań podłużnych możemy zapisać pod postacią funkcji: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=A\sin nka\cos(\omega(k) t+\varphi)\;</math>|2.80}} === Układ LC wzajemnie sprzężonych ze sobą cewek i kondensatorów === {{Rysunek|Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów.jpeg|wk11|Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów}} Patrząc na rysunek b) obok możemy napisać drugie prawo Kirchhoffa w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_a}\over{dt}}=-{{Q^'}\over{C}}+{{Q}\over{C}}\;</MATH>|2.81}} Równanie {{linkWzór|2.81}} możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i wykorzystywać będziemy pierwsze prawo Kirchhoffa: {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_n}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_n-I_{n+1})+{{1}\over{C}}\left(I_{n-1}-I_n\right)\;</math>|2.82}} Co {{linkWzór|2.82}} możemy zapisać równoważnie w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> L{{d^2I_n}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}(I_{n+1}-I_{n})-{{1}\over{C}}\left(I_{n}-I_{n-1}\right) </MATH>|2.82a}} Równanie {{linkWzór|2.82a}} jest równaniem, którego typ poznaliśmy wcześniej, którego związek dyspersyjny częstotliwości kołowej względem kątowej liczby falowej określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{1}\over{LC}}}\sin {{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.83}} Równanie na natężenie prądu elektrycznego płynącego w obwodzie LC w poszczególnym oczku w cewce określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>I_n(t)=(A\sin nka+B\cos nka)\cos \left(\omega(k)t+\varphi\right)\;</MATH>|2.84}} === Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek === Równanie ruchu n-tej masy dla układu sprzężonych ze sobą wahadeł matematycznych za pomocą sprężynek opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n(t)}\over{dt^2}}=-Mg{{\psi_n}\over{l}}+K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|2.85}} [{Rysunek|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek.jpeg|wk13|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek}} Równanie {{linkWzór|2.85}} jest równaniem, którego typ jest już znany, czyli stąd możemy wyliczyć częstotliwość kołową drgań w zależności od liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)={{g}\over{l}}+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.86}} Jeśli w prowadzimy częstotliwość drgań wahadła matematycznego, którego kwadrat jest napisany w punkcie {{linkWzór|1.6|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}, i je oznaczymy przez <MATH>\omega_0^2\;</MATH>, wtedy nasz związek dyspersyjny {{linkWzór|2.86}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}=\omega^2_0+\omega_1^2\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.87}} Widzimy, że związek {{linkWzór|2.87}} zależy od częstotliwości kołowej drgań podstawowych wahadła matematycznego &omega;{{Sub|0}}, a także zależy od stałej sprężystości, masy kulek, a także od kątowej liczby falowej "k". Jeśli przyjmować będziemy <MATH>_{v_0^2={{\omega_1^2a^2}\over{4}}}\;</MATH>, wtedy związek dyspersyjny {{linkWzór|2.87}}, przy założeniu ka<<1, zapisujemy w postaci przybliżonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)=\omega_0^2+v_0^2k^2\;</MATH>|2.88}} === Związek dyspersyjny dla plazmy === Wyprowadzimy tutaj związek dyspersyjny dotyczącej plazmy, który możemy przestawić jak się przekonamy od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|p}}, a także od długości światła. Wiemy, że kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)=c^2(k_x^2+\underbrace{k_y^2+k_z^2}_{k^2})=\underbrace{c^2k_x^2}_{\omega_0^2}+c^2k^2=\omega^2_p+c^2k^2\;</MATH>|2.89}} Widzimy, że pozostało na wyliczyć kwadrat częstotliwości podstawowej, tj. {{Formuła|<MATH>\omega^2_p\;</MATH>}}, który wyprowadzimy w dalszych rozważaniach. Elektryczna obojętna plazma składa się z większości cząsteczek obojętnych i pewnej liczby cząsteczek zjonizowanych. Jonosfera ziemi składa się się z dużej ilości cząsteczek obojętnych N{{Sub|2}} i O{{Sub|2}}. Proces jonizacji tego gazu powodowany jest poprzez pochłoniecie promieniowania pochodzącego od słońca. Największą gęstość jonów zjonizowanych występuje przy odległości 200km do 400km nad powierzchnią ziemi. Przy niższych wysokościach proces jonizacji nie zachodzi ze względu na pochłonięcie promieniowania przez wyższe warstwy atmosfery, i dlatego na tej wysokości gęstość jonów i elektronów maleje do zera. Plazma jest elektrycznie obojętna i nie stanowi źródła pola elektrycznego, ale istnieją w niej warstwy zjonizowane na wskutek działania pola elektrycznego zewnętrznego, że dodatnie jony są przyspieszane w jedną stronę, a elektrony w drugą stronę. W skutek nadmiaru ładunku zostaje zlikwidowane do zera ładunek w wyniku ich przyciągania do siebie, czyli jony i elektrony. A bezwładność odciąga je od stanu równowagi, powodując nowy nadmiar ładunku, a także niedobór ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego wyznaczamy z prawa Gausa, pamiętając przy okazji ze pole na zewnątrz takiego układu jest równe zero, przestawiamy je w zależności od powierzchni rozważanych okładek A: {{Rysunek|Oscylacje plazmy.jpeg|wk15|Oscylacje plazmy pomiędzy okładkami}} {{CentrujWzór|<MATH>-\epsilon_0E_xA=Q\Rightarrow E_x=-{{Q}\over{\epsilon_0 A}}\;</MATH>|2.90}} Całkowity ładunek znajdujących się w grubości x plazmy przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i grubości warstwy przy pomocy wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>Q=NeAx\;</MATH>|2.91}} Równanie ruchu plazmy możemy przestawić w zależności od pola działającego ze strony pola w wewnątrz tej plazmy według mechaniki klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH>m{{d^2x}\over{dt}}=eE_x\;</MATH>|2.92}} Wzór na natężenie pola iksowego elektrycznego E{{Sub|x}} {{linkWzór|2.90}} i wzór na łądunek znajdujących się w plazmie {{linkWzór|2.91}} podstawiamy do wzoru {{linkWzór|2.92}} opisującą drugą zasadę dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{NeA}}{{d^2Q}\over{dt^2}}=-e{{Q}\over{\epsilon_0A}}\Rightarrow{{d^2Q}\over{dt^2}}={{e^2N}\over{\epsilon_0m}}Q\;</MATH>|2.93}} Końcowe równanie {{linkWzór|2.92}} jest równaniem oscylatora harmonicznego, w której kwadrat częstotliwości kołowej drgań, która jest jednocześnie kwadratem częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|p}}, który to przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i ich masy, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{e^2N}\over{\epsilon_0m}}=\omega_p^2\;</MATH>|2.94}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 766ubltajres5hffdmksbedgti4uqzz 558552 558549 2026-10-04T16:28:38Z Persino 2851 558552 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Rozważmy układ o N stopniach swobody, której N może być nieskończone. Przy N skończonym układ ma n częstotliwości drgań normalnych, dla całego układu istnieje jednakowe przesunięcie kątowe. Dla przykładu weźmy stosunek amplitud o następujących stosunkach: {{CentrujWzór|<MATH>A:B:C:D=1:0,-3,-8\;</math>}} To stosunek przesunięć drgań od położenia równowagi względem drgań podstawowych piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\mbox{, }\psi_b=0\mbox{, }\psi_c=-3\psi_a\mbox{, }\psi_d=-8\psi_a\;</MATH>}} Jeśli układ fizyczny ma dużo elementów, to odległość pomiędzy nimi powinna być bardzo mała, praktycznie można powiedzieć, że ich odległość dąży do zera przy liczbie elementów dążących do nieskończoności, wtedy układ zachowuje się jak układ ciągły. Przesunięcia od położenia równowagi zapisujemy jako funkcja położenia (x,y,z) i czasu "t", którego zapis matematyczny jest &psi;(x,y,z,t), która zastępuje przemieszczenia &psi;{{Sub|a}}(t), &psi;{{Sub|b}}(t), &psi;{{Sub|c}}(t),,.., itd. dla osobnych elementów układu. Takie zachowanie się funkcji &psi; nazywamy falami. == Drgania poprzeczne struny dyskretnej == Weźmy sobie ciała od 1 do N połączonych sprężynkami o znikomych masach, które spełniają prawo Hooka. {{Rysunek|Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy.jpeg|wk1|Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy|rozmiar=300px}} Wraz rosnącymi numerami drgań postaci drgań swobodnych rośnie częstość kołowa drgań, a także rośnie siła kierująca powodująca te drgania. Dla postaci N=2 drgań swobodnych ma jeden węzeł. Na rysunku powyżej zaznaczono układy od jednego stopnia swobody do N-tego stopnia swobody. Dla N stopni swobody mamy N-1 węzłów. Kształt sprężymy ma charakter zygzakowaty dla największej postaci drgań, dla której każdy odcinek łączący masy przecina oś równowagi. == Drgania poprzeczne struny ciągłej == Załóżmy, że mamy N ciężarków połączonych ze sobą sprężynkami, których liczba N jest bardzo duża, powiedźmy, że wynosi N=1000000, których każdy z ciężarków wykonują drgania &psi;{{Sub|a}}, &psi;{{Sub|b}}, &psi;{{Sub|c}}, itd.. , wtedy układ zachowuje się prawie jak ciągły. Zatem całkowite wychylenie od stanu równowagi w zależności od położenia ciężarków, a także od czasu, jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(x,y,z,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,z,t)+\hat{y}\psi_y(x,y,z,t)+\hat{z}_z\psi_z(x,y,z,t)\;</MATH>|2.1}} === Drgania podłużne i poprzeczne dla płaszczyźnie === Wybierzmy sobie drgania jednomiarowej struny dla drgań poprzecznych, której przemieszczenie dla naszego przypadku określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_x(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)+\hat{z}\psi_z(z,t)\;</MATH>|2.2}} Drgania podłużne są wykonywane wzdłuż osi zetowej, a nas interesują drgania poprzeczne, co na podstawie wzoru {{linkWzór|2.2}} możemy przepisać wzór na postać tychże drgań: {{CentrujWzór|<math>\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)\;</MATH>|2.3}} === Polaryzacja struny ciągłej === Dokonajmy dalszych uproszczeń, i powiedźmy, że drania są wykonywane wzdłuż osi iksowej. Gęstość takiej struny jest równa &rho;. A masa na odcinku &Delta;x wyrażamy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M=\rho_0\Delta z\;</MATH>|2.4}} {{Rysunek|Poprzeczne drgania struny ciągłej.jpeg|wk2|Poprzeczne drgania struny ciągłej}} Całkowita siła działająca na wycinek struny przy pomocy siły kierującej T wyrażamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1\;</MATH>|2.5}} Chcemy wyrazić siłę F{{Sub|x}} poprzez pochodne cząstkową wychylenia od stanu równowagi względem położenia zetowego małego odcinka struny przy działających siłach na jej prawy i lewy koniec argumenty, który zapis nachylenia w tymże punkcie jest: * {{Formuła|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\;</math>}}, który jest równy tangensowi nachylenia struny względem osi z dla chwili t dla wycinka struny o położeniu z. Siłę {{linkWzór|2.5}} możemy przestawić przy pomocy wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1=T_2\cos\theta_2\operatorname{tg}\theta_2-T_1\cos\theta_1\operatorname{tg}\theta_1=T_0\operatorname{tg}\theta_2-T_0\operatorname{tg}\theta_1=</MATH>{{Br}}<MATH>= T_0\left({{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)_2-T_0\left({{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)_1</MATH>|2.6}} Zdefiniujmy funkcję f(z) zależną od z jako pochodną cząstkową wielkości &psi;(z,t) względem położenia z, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)={{\partial \psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</math>|2.7}} Rozłóżmy funkcję {{linkWzór|2.7}} względem położenia wokół punktu z{{Sub|1}}, wykorzystując szereg Taylora, by potem wyciąć z niego wyrazy więcej niż liniowe: {{CentrujWzór|<MATH>f(z_2)=f(z_1)+(z_2-z_1)\left({{df}\over{dz}}\right)_1+{{1}\over{2}}(z_2-z_1)^2\left({{d^2f}\over{dx^2}}\right)_1+...\;</MATH>|2.8}} Biorąc &Delta;z=z{{Sub|2}}-z{{Sub|1}}, możemy napisać różnice funkcji f(z) w puntach z{{Sub|2}} i z{{Sub|1}}, którego różnica jest wprost proporcjonalna do drugiej pochodnej funkcji &psi; względem położenia przy stałej proporcjonalności równej &Delta;z: {{CentrujWzór|<MATH>f(z_2)-f(z_1)=\Delta z\left({{\partial f}\over{\partial z}}\right)_1=\Delta z{{d}\over{dz}}\left({{\partial\psi_z}\over{\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial \psi}\over{\partial z}}\left({{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial^2 \psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|2.9}} Wniosek wypływający z tożsamości {{LinkWzór|2.9}} i wzoru {{linkWzór|2.6}} na definicję siły F{{Sub|x}} jest taki: {{CentrujWzór|<MATH>F_z=T_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|2.10}} Zastosujmy teraz drugie prawo Newtona dla wycinka drgającej struny przy definicji siły F{{Sub|x}} {{linkWzór|2.10}}, który po skróceniu przez &Delta;z otrzymujemy tożsamość, robiąc te czynności po kolei: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=T_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}={{T_0}\over{\rho_0}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}} \;</MATH>|2.11}} === Fale stojące drgającej struny === Załóżmy, że struna drga z jedną częstością kołową, wtedy mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi normalnymi. Równanie wychylenia struny od położenia równowagi określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|2.12}} Druga pochodna cząstkowa wyrażenia {{linkWzór|2.12}} względem czasu określamy jako wielkość wprost proporcjonalną do kwadratu częstotliwości kołowej drgań i do funkcji A(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi=-\omega^2A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.13}} A druga pochodna funkcji &Psi;(z,t) {{linkWzór|2.12}} względem położenia z wycinka struny ciągłej piszemy przez wzór poniżej, która jest zależna od drugiej pochodnej zupełnej wielkości A(z) względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}={{\partial(A(z)\cos(\omega t+\varphi))}\over{\partial z^2}}=\cos(\omega t+\varphi){{d^2 A(z)}\over{dz^2}}\;</MATH>|2.14}} Biorąc równanie różniczkowe falowe {{linkWzór|2.11}} i po podstawieniu do niego wzoru {{LinkWzór|2.13}} i {{linkWzór|2.14}} i skróceniu przez kosinus, którego argumentami są te same określone wyrażenia, co uzasadnia takie działanie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=\omega^2{{\rho_0}\over{T_0}}A(z)\;</MATH>|2.15}} Rozwiązując równanie {{linkWzór|2.15}} dla oscylatora harmonicznego, których ogólna postać tych oscylacji jest kombinacją funkcji sinus i cosinus względem wyrażenia 2&pi;z/&lambda;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=A\sin\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)+B\cos\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)\;</MATH>|2.16}} A także możemy napisać wniosek wynikający z {{LinkWzór|2.16}}, którą to możemy napisać jako druga pochodna zupełna względem położenia "z", która jest wprost proporcjonalna do funkcji A(z) i do odwrotności kwadratu długości fali kreślonej i to wszystko wziętej razem z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}} =-\left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2A(z)\;</MATH>|2.17}} Możemy porównać obie strony wzorów {{linkWzór|2.15}} z {{LinkWzór|2.17}}, a właściwie jej prawe strony, a lewe strony są takie same, do siebie, w ten sposób mamy tożsamość na prędkość fali, który jest pierwiastkiem z ilorazu siły kierującej T{{Sub|0}} i gęstości liniowej masy dla tej opisywanej tutaj struny: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2=\omega^2{{\rho_0}\over{T_0}}\Rightarrow \left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2=(2\pi\nu)^2{{\rho_0}\over{T_0}}\Rightarrow \lambda\nu=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\equiv v_0=\operatorname{const}\;</MATH>|2.18}} === Fale stojące === Całkowita funkcja falowa opisujące fale jest funkcją przedstawiona na podstawie wzorów {{linkWzór|2.12}} i {{linkWzór|2.16}}, jest tutaj przedstawiona w jego pełnej postaci dla fali stojącej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,t)=\cos\left(\omega t+\varphi\right)\left[A\sin\left(2\pi {{z}\over{\lambda}}\right)+B\cos\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)\right]\;</MATH>|2.19}} === Warunki brzegowe === Rozwiązanie na funkcje stojące {{linkWzór|2.19}} nie zawiera w sobie warunków brzegowych, bo ono jest ogólnym rozwiązaniem, w taki sposób, by dla z=0 był jeden koniec strony a drugi koniec znajduje się dla z=L, wtedy drugi współczynnik zetowy stojący w nawiasie {{linkWzór|2.19}} jest równy zero dla zerowego wychylenia lewego końca, bo ten koniec jest zaczepiony, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t)=\cos(\omega t+\varphi)[0+B]=0\;</MATH>|2.20}} Patrząc na tożsamość {{linkWzór|2.20}} dowiadujemy się, że stała B jest zawsze równa zero, co było udowodnienia. Równanie fali stojącej {{LinkWzór|2.19}} możemy zapisać, na podstawie dowodu {{linkWzór|2.20}}, że stała B=0, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\sin{{2\pi z}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.21}} Aby dla prawego końca struny wychylenie dla fali stojącej {{linkWzór|2.20}} jest równe zero, czyli dla z=L, wtedy funkcja sinus powinna być równa zero, co matematycznie: {{CentrujWzór|<MATH>\sin{{2\pi L}\over{\lambda}}=0\;</MATH>|2.22}} Wykorzystując z własności funkcji sinus we równaniu {{linkWzór|2.22}}, w ten sposób otrzymujemy, że L powinno być całkowitą wielokrotnością z liczby &lambda;/2, co można udowodnić, przeprowadzając odpowiednie obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>{{2\pi L}\over{\lambda}}=\pi k\Rightarrow L={{\lambda}\over{2}}k\mbox{ dla }k=\pm 1,\pm 2,...\;</MATH>|2.23}} W obliczeniach {{linkWzór|2.23}} pominęliśmy przypadek k=0, ponieważ wymagało to by zerową długość struny, lub gdy długość fali drgań była nieskończona. Dla k=1 warunek brzegowy wygląda {{Formuła|<MATH>\lambda_1=2L\;</MATH>}}, a z warunku {{linkWzór|2.23}} i z definicji na stałą &lambda;{{Sub|1}} dalsze wzory na długość fali &lambda;{{Sub|k}} w zależności od k>1 zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_k={{1}\over{k}}\lambda_1\;</MATH>|2.24}} === Stosunki częstotliwości kołowych w drganiach harmonicznych === {{Rysunek|Drgania struny o jej nieruchomych końcach.jpeg|wk3|Drgania struny o jej nieruchomych końcach}} Częstotliwości &nu; poszczególnych drgań możemy napisać w zależności częstotliwości podstawowej &nu;{{Sub|1}} względem {{linkWzór|2.24}} w postaci wzorów: {{CentrujWzór|<MATH>\nu_1={{v_0}\over{\lambda_1}}\mbox{, }\nu_2=2\nu_1\mbox{, }\nu_3=3\nu_1\mbox{, }\nu_4=4\nu_4,\mbox{...}\;</MATH>|2.25}} === Kątowa liczba falowa === Liczbę falowa nazywamy liczbę falową &sigma;, która jest odwrotnością długości fali, a kątową liczbę falową nazywamy obiekt, która powstaje po pomnożeniu jego przez liczbę 2&pi;, wtedy; {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma={{1}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.26}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k=2\pi\sigma={{2\pi}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.27}}}} Równanie fali {{linkWzór|2.20}} możemy przestawić przy pomocy {{LinkWzór|2.26}} lub {{linkWzór|2.27}} na kilka równoważnych sposobów: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\sin\left(2\pi{{t}\over{T}}\right)\sin\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)=A\sin2\pi\nu t\sin\left(2\pi\sigma z\right)=A\sin\omega t\sin kz</math>|2.28}} Patrząc na wzór {{linkWzór|2.28}}, który przestawia drgania struny z obiema końcami nieruchomymi, tzn. dla z=0 dla naszej funkcji warunek nieruchomego lewego końca jest automatycznie spełnione, a także dla z=L warunek prawego nieruchomego końca jest spełnione, gdy kątowa liczba falowa drgań spełnia warunki: {{CentrujWzór|<MATH>k_1L=\pi\mbox{, }k_2L=2\pi\mbox{, }k_3L=\pi\mbox{,...}\;</MATH>|2.29}} lub w przestawieniu liczby falowej &sigma;: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_1L={{1}\over{2}}\mbox{, }\sigma_2L=1\mbox{, }\sigma_3L={{3}\over{2}}\mbox{,...}\;</MATH>|2.30}} === Związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością === Patrząc na wzór {{linkWzór|2.17}} otrzymujemy wzór na związek dyspersyjny liczby falowej i częstotliwości &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}{{1}\over{\lambda}}=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\sigma\;</MATH>|2.31}} Równość {{linkWzór|2.31}} mnożymy obustronnie przez liczbę 2&pi; i po wykorzystaniu definicji częstotliwości kołowej i kątowej liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}k\;</MATH>|2.32}} === Struny fortepianowe i jego związek dyspersyjny === Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej, czyli związku {{Formuła|<math>{{\omega^2}\over{k^2}}\;</MATH>}} w zależności od liczby kątowej przestawiamy: {{CentrujWzór|<math>{{\omega^2}\over{k^2}}={{T_0}\over{\rho_0}}+\alpha k^2\;</MATH>|2.33}} Związek {{linkWzór|2.33}} jest bardzo podobny do związku {{linkWzór|2.32}}, tylko jest ta różnica, że jeśli struna jest idealnie giętka, to wtedy stała &alpha; jest w rzeczywistości jest równa zero, ale struna nie jest taka tak naprawdę, tzn. dla której w ogólności dla struny nie idealnie giętkiej nie zachodzą już zależności &lambda;{{Sub|1}}=2L, &lambda;{{Sub|2}}=1/2&lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|3}}=1/3&lambda;{{Sub|1}}, itd. Częstości dla naszej struny nie tworzą tutaj ciągu harmonicznego &nu;{{Sub|2}}=2&nu;{{Sub|1}}, &nu;{{Sub|3}}=3&nu;{{Sub|1}}, itd., ponieważ powyższy związek dyspersyjny nie daje takiej zależności, ten ciąg otrzymujemy w granicy &alpha; dążącego do zera, tzn., wtedy gdy zachodzi związek &lambda;&nu;=const. == Analiza Fouriera ogólnych drgań struny ciągłej == Ogólne wychylenie wycinka ciągłej struny przestawiamy jako sumę drgań prostych harmonicznych: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A_1\sin k_1z\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\sin k_2z\cos(\omega_2t+\varphi_2)+...\;</MATH>|2.34}} === Analiza Fouriera struny drgań jako złożenie drgań harmonicznych === Każdą funkcję F(z) możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem zmiennej, znając współczynniki A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} naszego szeregu dla naszej funkcji, której postać tego szeregu jest: {{CentrujWzór|<MATH>F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[A_n\sin n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z+B_n\cos n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z\right]=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z+\sum_{n=0}^{\infty}B_n\cos n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin nk_1z+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\cos nk_1z</math>|2.35}} Następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników Fouriera B{{Sub|0}} i B{{Sub|n}}, a także A{{Sub|n}}, które wyznaczymy, pamiętając przy tym, że zachodzi z{{Sub|2}}=z{{Sub|1}}+&lambda;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\int_{z_1}^{z_2}\sin nk_1zdz=0\;</math>|2.36}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}\cos nk_1zdz=0\;</MATH>|2.37}}}} {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sin k_1z\sin mk_1z={{1}\over{2}}\cos(n-m)k_1z-{{1}\over{2}}\cos(n+m)k_1z\;</MATH>|2.38}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\cos k_1z\sin mk_1 z={{1}\over{2}}\sin(n+m)k_1 z+{{1}\over{2}}\sin(n-m)k_1z\;</MATH>|2.39}}}} Funkcję F(z) możemy obustronnie przecałkować względem zmiennej w przedziale (z{{Sub|1}},z{{Sub|2}}), wykorzystując przy tym związek {{linkWzór|2.36}} oraz {{linkWzór|2.37}}, w ten sposób otrzymać związek zawierający w sobie stałą B{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}B_0dz=B_0(z_2-z_1)=B_0\lambda_1\;</MATH>|2.40}} Wykorzystując fakty {{linkWzór|2.38}} i {{linkWzór|2.39}}, a także fakty w postaci całek {{linkWzór|2.36}} i {{linkWzór|2.37}}, wtedy możemy napisać całki, napisane w przedziale (z{{Sub|1}},z{{Sub|2}}), w których funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji F(z) i funkcji sinus lub kosinus z argumentu mk{{Sub|1}}z, całkowalną względem zmiennej "z", którego to przepisy w postaci już policzonych całek zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)\sin mk_1zdz={{1}\over{2}}A_n\lambda_1\;</MATH>|2.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)\cos mk_1zdz={{1}\over{2}}\lambda_1B_m\;</math>|2.42}}}} ==== Współczynniki Fouriera ==== Patrząc na wzory {{linkWzór|2.40}} i {{linkWzór|2.41}} oraz {{linkWzór|2.42}}, wtedy możemy napisać wzory na współczynniki szeregu Fouriera {{linkWzór|2.35}} dla funkcji F(z), tzn. wzory na współczynniki A{{Sub|m}}, B{{Sub|n}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)dz\;</MATH>|2.43}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\sin mk_1zdz\;</MATH>|2.44}}|3={{CentrujWzór|<MATH>B_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\cos mk_1zdz\;</MATH>|2.45}}}} === Fala prostokątna i jego analiza Fouriera === {{Rysunek|Fala prostokątna.jpeg|wk4|Rysunek przestawia impuls periodycznej fali prostokątny|rozmiar=300px}} Rozpatrzmy teraz falę prostokątną, która jest falą periodyczną, i patrząc na rysunek obok dowiadujemy się, że ona jest nieciągła dla z=0 i z=L. Wiec nie należy oczekiwać, że szereg Fouriera w pewnym przybliżeniu przestawi w miarę dokładnie falę prostokątna. Korzystając z {{linkWzór|2.41}} dowiadujemy się, że współczynniki B{{Sub|m}} są równe zero, a współczynniki A{{Sub|m}} istnieją tylko dla nieparzystych m. Aby to wykazać policzymy kolejno współczynniki na nasze współczynniki szeregu Fouriera, zatem wyznaczmy czemu jest równy na współczynnik B{{Sub|0}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda}F(z)dz={{1}\over{\lambda_1}}\left(\int_{0}^L1dz+\int_L^{2L}(-1)dz\right)=0\;</MATH>|2.46}} i dalej policzymy współczynniki B{{Sub|m}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>B_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\cos mk_1z dz={{2}\over{\lambda_1}}\left(\int_{0}^L\cos mk_1z-\int_L^{2L}\cos mk_1z\right)={{2}\over{\lambda_1}}\int_0^L\left(\cos mk_1z-\cos(mk_1(z+L))\right)dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2}\over{\lambda_1}}(2)\int_0^L\left[\sin \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\right]={{4}\over{\lambda_1}}\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\int_0^L\sin {{1}\over{2}}mk_1(2z+L)dz=</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{4}\over{\lambda_1}}\sin\left({{1}\over{2}}m{{2\pi}\over{2L}}L\right){{1}\over{mk_1}}\left[\cos \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\right]_0^L=-{{2}\over{\pi m}}\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\left[\cos(m{{3}\over{2}}\pi)-\cos(m{{1}\over{2}}\pi)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{4}\over{\pi m}}\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\sin \left(m\pi\right)\sin\left(m{{\pi}\over{2}}\right)=0\;</MATH>|2.47}} i dalej policzymy współczynniki A{{Sub|m}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.44}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_m={{2}\over{\lambda}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\sin mk_1z dz={{2}\over{\lambda_1}}\left[\int_{0}^L\left(\sin mk_1z-\sin mk_1(z+L)\right)dz\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -{{4}\over{\lambda_1}}\left[\int_0^L\cos \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\right]=-{{4}\over{\lambda_1}}\sin ({{1}\over{2}}mk_1L){{1}\over{mk_1}}\left[\sin {{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right]_0^L=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{2}\over{m\pi}}\sin m{{\pi}\over{2}}\left(\sin 3m{{\pi}\over{2}}-\sin m{{\pi}\over{2}}\right)=-{{4}\over{m\pi}}\sin\left( m{{\pi}\over{2}}\right)\left[\cos\left(m\pi\right)\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{4}\over{m\pi}}\sin^2\left(m{{\pi}\over{2}}\right)\cos\left(m\pi\right)= \begin{cases} {{4}\over{m\pi}}&\mbox{m nieparzyste}\\ 0&\mbox{m parzyste}\end{cases}\;</MATH>|2.48}} Jak widzimy, że współczynniki A{{Sub|m}} {{linkWzór|2.48}}, B{{Sub|0}} {{linkWzór|2.46}}, B{{Sub|m}} {{linkWzór|2.47}} są takie jak przypuszczaliśmy. Analiza Fouriera pokazuje, że impuls prostokątny możemy rozłożyć na fale harmoniczne, wykorzystując przy tym wzór na współczynnik B{{Sub|0}} {{linkWzór|2.46}}, na współczynnik B{{Sub|m}} {{linkWzór|2.47}} i na samym końcu na współczynnik A{{Sub|m}} {{linkWzór|2.48}}, wtedy zapisujemy nasz impuls w postaci szeregu Fouriera: {{CentrujWzór|<MATH>F(z)=B_0+\sum_{m=1}^{\infty}B_m\cos mk_1z+\sum_{n=1}A_m\sin mk_1z={{4}\over{\pi}}\left[\sin k_1z+{{1}\over{3}}\sin 3k_1z+{{1}\over{5}}\sin 5k_1z+...\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\underbrace{\underbrace{1,273\sin {{\pi z}\over{L}}}_{f_1}+\underbrace{0,424\sin {{3\pi z}\over{L}}}_{f_3}+\underbrace{0,255\sin {{5\pi z}\over{L}}}_{f_5}}_{f_{1+3+5}}+...</MATH>|2.49}} {{Rysunek|Analiza fourierowska impulsu prostokątnego.jpeg|wk5|Analiza fourierowska impulsu prostokątnego|rozmiar=300px}} === Fourierowska analiza okresowej funkcji zależnej od czasu === Funkcje okresowa zależna od czasu spełnia taki warunek, że dodanie do funkcji dla argumentu t{{Sub|1}} okresu T{{Sub|1}}, otrzymujemy tą samą funkcję bez tej dokonanej operacji, co matematycznie zapisujemy: {{CentrujWzór|<math>f(T+t_1)=f(t_1)\mbox{ dla } t\in R\;</MATH>|2.50}} Funkcję zależną od czasu możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem czasu "t" do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\cos n\omega_1t+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega_1t\;</MATH>|2.51}} Mając funkcję okresową F(t) możemy rozłożyć tą funkcję w szereg Fouriera, mając definicję współczynników Fouriera o postaciach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+t_1}F(t)dt\;</MATH>|2.52}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+T_1}F(t)\cos n\omega_1 t dt\;</MATH>|2.53}}|3={{CentrujWzór|<MATH>A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+T_1}F(t)\sin n\omega_1 t dt\;</MATH>|2.54}}}} === Drgania struny niejednorodnej === Zakładamy, że siła T{{Sub|0}} działa w stanie równowagi, która jest zależna od zmiennej zetowej, którą piszemy wzorem {{linkWzór|2.6}}. Obierzmy sobie funkcję f(z), którego postać jest w zależności od tej siły i pierwszej pochodnej wychylenia od stanu równowagi dla drgań poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</math>|2.55}} Funkcję możemy rozłożyć w szereg Taylora {{linkWzór|2.8}} funkcję f(z) {{linkWzór|2.55}}, w ten sposób otrzymujemy, że siła F{{Sub|x}} działająca na na bardzo mały wycinek struny niejednorodnej jest: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=\Delta z{{\partial}\over{\partial z}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\;</MATH>|2.56}} Drugie prawo dynamiki Newtona dla naszego przypadku niejednorodnej struny, który piszemy wzorem poniżej, którą dzielimy przez długość małego wycinka struny &Delta;z i przez gęstość tegoż wycinka &rho;(z), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(z)\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}=\Delta z{{\partial}\over{\partial z}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\Rightarrow {{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}={{1}\over{\rho(z)}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\;</MATH>|2.57}} Niech fala będzie opisywana wzorem zależnym od amplitudy A(z) i części periodycznej cos(&omega;t+&phi;), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.58}} Dla drgań normalnych struny możemy napisać zależności jako drugą pochodną przemieszczenie względem czasu i pierwszą pochodną tego samego przemieszczenia względem położenia "z", która jak się okazuje jest wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej zupełnej funkcji A(z) względem położenia małego wycinka struny względem położenia, zatem te wielkości: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|2.59}} |{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=\cos(\omega t+\varphi){{dA(z)}\over{dz}}\;</MATH>|2.60}} }} Mając fakty {{linkWzór|2.59}} i {{linkWzór|2.60}}, co one możemy podstawić do wzoru {{linkWzór|2.57}}, w ten sposób otrzymać równość różniczkową z pochodnymi zupełnymi zależnych od współrzędnej zetowej: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho(z)}}{{d}\over{dz}}\left[T_0(z){{dA(z)}\over{dz}}\right]=-\omega^2A(z)\;</MATH>|2.61}} == Drgania układu dyskretnego o N stopniach swobody == {{Rysunek|Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi.jpeg|wk6|Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi}} Rozpatrzmy układ w stanie równowagi składający się z N kulek o masach M połączonych sprężynkami napiętej w taki sposób, w których każda taka sprężynka działa na każdą kulkę z osobną z siłą T{{Sub|0}}, układ składający się z sprężynek o pewnej stałej sprężystości i kulek o masach M ma długość L=(N+1)a. === Równanie ruchu struny dyskretnej === {{Rysunek|Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych.jpeg|wk7|Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych}} Wzór na siłę działająca na układ dyskretnym piszemy podobnie jak według wzoru {{linkWzór|2.6}}, tylko tam zamiast pochodnej występują różnice, zatem równanie ruchu w naszym przypadku piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=T_0{{\psi_{n+1}(t)-\psi_n(t)}\over{a}}-T_0{{\psi_n(t)-\psi_{n-1}}\over{a}}\;</MATH>|2.62}} Obierzmy sobie ogólną postać wychylenia n-tej cząstki od położenia równowagi w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.63}} Druga pochodna zupełna wyrażenia {{linkWzór|2.63}} względem czasu, która jest wprost proporcjonalna do amplitudy A{{Sub|n}} i do kwadratu częstotliwości kołowej, i dalej, mówiąc od funkcji kosinus, to wszystko wziętej z minusem, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_n(t)}\over{dt}}=-\omega^2\psi_n(t)=-\omega^2A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.64}} Równanie {{linkWzór|2.62}} możemy w taki sposób napisać po wykorzystaniu {{linkWzór|2.63}} i {{linkWzór|2.64}}, które to piszemy w zależności częstotliwości kołowej drgań, a także od amplitud zależnych od n, n+1 i n-1, który to końcowy rozważany wzór piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>-M\omega^2A_n={{T_0}\over{a}}\left(A_{n+1}-2A_n+A_{n-1}\right)\Rightarrow A_{n+1}+A_{n-1}=A_n\left(2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2\right)\;</MATH>|2.65}} Rozpatrzmy tak jak w przypadku struny ciągłej, którego to dla struny na obu jego końcach naszej struny nie ma wychylenia od stanu równowagi, zatem amplitudę A{{Sub|n}} możemy napisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n}=A\sin kna\;</math>|2.66}} Zatem dzięki definicji amplitudy A{{Sub|n}} według {{linkWzór|2.66}} wówczas możemy napisać następujące wzory na amplitudy A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, co na samym końcu możemy policzyć różnicę amplitud dla n+1 i n-1, wtedy według wspomnianego wzoru możemy napisać trzy dalsze wzory: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}=A\sin k(n+1)a=A\sin(kna+ka)=A(\sin kna\cos ka+cos kna\sin ka\;</MATH>|2.67}} {{CentrujWzór|<MATH>A_{n-1}=A\sin k(n-1)a=A\sin (kna-ka)=A(\sin kna\cos ka-\cos kna\sin ka)\;</MATH>|2.68}} {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}-A_{n-1}=2A\sin kna\cos ka=2A_n\cos ka\;</MATH>|2.69}} Możemy wykorzystać końcowy związek {{linkWzór|2.69}} do {{linkWzór|2.65}}, w ten sposób otrzymać wzór w ogólności dla niezerowego w A{{Sub|n}}, który jest zależny od częstotliwości kołowej drgań i innych parametrów: {{CentrujWzór|<MATH>2A_n\cos ka=A_n(2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2)\;</MATH>|2.70}} We związku {{linkWzór|2.70}} możemy wyznaczyć kwadrat częstotliwości kołowej i w ten sposób otrzymać zależność od kątowej liczby falowej "k" lub też w zależności do liczby falowej &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>2\cos ka=2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2\Rightarrow \omega^2={{2T_0}\over{Ma}}(1-\cos ka)\Rightarrow\omega^2={{4T_0}\over{Ma}}\sin^2 {{ka}\over{2}}={{4T_0}\over{Ma}}\sin^2{{\pi a}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.71}} ==== Ogólna postać drgań i warunki brzegowe ==== {{Rysunek|Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach.jpeg|wk8|Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach|rozmiar=300px}} {{Rysunek|Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy.jpeg|wk9|Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy. Pięć zaznaczonych punktów na wykresie odpowiada pięciu częstotliwościom struny z pięcioma z ciężarkami.}} Ogólną postać drgań A{{Sub|n}} możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus z argumentu kna: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=A\sin kna+B\cos kna\;</MATH>|2.72}} Na lewym końcu wychylenie z położenia równowagi jest zerowe, i wykorzystując fakt {{linkWzór|2.72}}, dowiadujemy się, że B=0, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=A\sin kna\;</MATH>|2.73}} Aby prawy koniec struny dyskretnej miał wychylenie dyskretne zerowe, to powinien zachodzić związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\;</math>|2.74}} Na rysunku obok zaznaczono zależność częstotliwości &omega;(k) od kątowej liczby falowej, którą tą zależność piszemy na podstawie {{linkWzór|2.71}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{T_0}\over{Ma}}}\sin {{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.75}} ==== Przejścia układu dyskretnego do granicy fal długich ==== Weźmy sobie fale o długości fali o wiele mniejszych niż zetowa odległość pomiędzy ciężarkami, tzn. a<<&lambda;, co jest równoważne 2&pi;a/&lambda;<<1, wtedy możemy rozłożyć funkcję sinus w szereg Taylora w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\sin x=x-{{1}\over{6}}x^3+...\;</MATH>|2.76}} Do wzoru {{linkWzór|2.75}} możemy wykorzystać rozwinięcie funkcji sin {{linkWzór|2.76}}, by w ten sposób napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{T_0}\over{Ma}}}\left[{{1}\over{2}}ka-{{1}\over{48}}(ka)^3+....\right]=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}k\left[1-{{1}\over{48}}(ka)^2+....\right]\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\omega(k)\simeq\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}k\;</MATH>|2.77}} === Drgania podłużne układu mas połączonych ze sobą sprężynkami === {{Rysunek|Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami.jpeg|wk10|Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami|rozmiar=300px}} Równanie ruchu dla masy ściśle określonej zapisujemy względem wychylenia od stanu równowagi poszczególnych sprężynek &psi;{{Sub|n}}, którego to przepis: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n}\over{dt^2}}=K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|2.78}} Równanie tego typu {{linkWzór|2.78}} było już rozwiązywane, zatem podajmy związek dyspersyjny łączący częstotliwość kołową z kątową liczbą falową, którego postać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(t)=2\sqrt{{{K}\over{M}}}\sin{{ka}\over{2}}=2\sqrt{{K}\over{M}}\sin{{\pi a}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.79}} Wychylenia poszczególnych mas dla drgań podłużnych możemy zapisać pod postacią funkcji: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=A\sin nka\cos(\omega(k) t+\varphi)\;</math>|2.80}} === Układ LC wzajemnie sprzężonych ze sobą cewek i kondensatorów === {{Rysunek|Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów.jpeg|wk11|Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów}} Patrząc na rysunek b) obok możemy napisać drugie prawo Kirchhoffa w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_a}\over{dt}}=-{{Q^'}\over{C}}+{{Q}\over{C}}\;</MATH>|2.81}} Równanie {{linkWzór|2.81}} możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i wykorzystywać będziemy pierwsze prawo Kirchhoffa: {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_n}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_n-I_{n+1})+{{1}\over{C}}\left(I_{n-1}-I_n\right)\;</math>|2.82}} Co {{linkWzór|2.82}} możemy zapisać równoważnie w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> L{{d^2I_n}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}(I_{n+1}-I_{n})-{{1}\over{C}}\left(I_{n}-I_{n-1}\right) </MATH>|2.82a}} Równanie {{linkWzór|2.82a}} jest równaniem, którego typ poznaliśmy wcześniej, którego związek dyspersyjny częstotliwości kołowej względem kątowej liczby falowej określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{1}\over{LC}}}\sin {{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.83}} Równanie na natężenie prądu elektrycznego płynącego w obwodzie LC w poszczególnym oczku w cewce określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>I_n(t)=(A\sin nka+B\cos nka)\cos \left(\omega(k)t+\varphi\right)\;</MATH>|2.84}} === Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek === Równanie ruchu n-tej masy dla układu sprzężonych ze sobą wahadeł matematycznych za pomocą sprężynek opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n(t)}\over{dt^2}}=-Mg{{\psi_n}\over{l}}+K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|2.85}} {{Rysunek|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek.jpeg|wk13|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek}} Równanie {{LinkWzór|2.85}} jest równaniem, którego typ jest już znany, czyli stąd możemy wyliczyć częstotliwość kołową drgań w zależności od liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)={{g}\over{l}}+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.86}} Jeśli w prowadzimy częstotliwość drgań wahadła matematycznego, którego kwadrat jest napisany w punkcie {{linkWzór|1.6|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}, i je oznaczymy przez <MATH>\omega_0^2\;</MATH>, wtedy nasz związek dyspersyjny {{linkWzór|2.86}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}=\omega^2_0+\omega_1^2\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.87}} Widzimy, że związek {{linkWzór|2.87}} zależy od częstotliwości kołowej drgań podstawowych wahadła matematycznego &omega;{{Sub|0}}, a także zależy od stałej sprężystości, masy kulek, a także od kątowej liczby falowej "k". Jeśli przyjmować będziemy <MATH>_{v_0^2={{\omega_1^2a^2}\over{4}}}\;</MATH>, wtedy związek dyspersyjny {{linkWzór|2.87}}, przy założeniu ka<<1, zapisujemy w postaci przybliżonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)=\omega_0^2+v_0^2k^2\;</MATH>|2.88}} === Związek dyspersyjny dla plazmy === Wyprowadzimy tutaj związek dyspersyjny dotyczącej plazmy, który możemy przestawić jak się przekonamy od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|p}}, a także od długości światła. Wiemy, że kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)=c^2(k_x^2+\underbrace{k_y^2+k_z^2}_{k^2})=\underbrace{c^2k_x^2}_{\omega_0^2}+c^2k^2=\omega^2_p+c^2k^2\;</MATH>|2.89}} Widzimy, że pozostało na wyliczyć kwadrat częstotliwości podstawowej, tj. {{Formuła|<MATH>\omega^2_p\;</MATH>}}, który wyprowadzimy w dalszych rozważaniach. Elektryczna obojętna plazma składa się z większości cząsteczek obojętnych i pewnej liczby cząsteczek zjonizowanych. Jonosfera ziemi składa się się z dużej ilości cząsteczek obojętnych N{{Sub|2}} i O{{Sub|2}}. Proces jonizacji tego gazu powodowany jest poprzez pochłoniecie promieniowania pochodzącego od słońca. Największą gęstość jonów zjonizowanych występuje przy odległości 200km do 400km nad powierzchnią ziemi. Przy niższych wysokościach proces jonizacji nie zachodzi ze względu na pochłonięcie promieniowania przez wyższe warstwy atmosfery, i dlatego na tej wysokości gęstość jonów i elektronów maleje do zera. Plazma jest elektrycznie obojętna i nie stanowi źródła pola elektrycznego, ale istnieją w niej warstwy zjonizowane na wskutek działania pola elektrycznego zewnętrznego, że dodatnie jony są przyspieszane w jedną stronę, a elektrony w drugą stronę. W skutek nadmiaru ładunku zostaje zlikwidowane do zera ładunek w wyniku ich przyciągania do siebie, czyli jony i elektrony. A bezwładność odciąga je od stanu równowagi, powodując nowy nadmiar ładunku, a także niedobór ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego wyznaczamy z prawa Gausa, pamiętając przy okazji ze pole na zewnątrz takiego układu jest równe zero, przestawiamy je w zależności od powierzchni rozważanych okładek A: {{Rysunek|Oscylacje plazmy.jpeg|wk15|Oscylacje plazmy pomiędzy okładkami}} {{CentrujWzór|<MATH>-\epsilon_0E_xA=Q\Rightarrow E_x=-{{Q}\over{\epsilon_0 A}}\;</MATH>|2.90}} Całkowity ładunek znajdujących się w grubości x plazmy przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i grubości warstwy przy pomocy wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>Q=NeAx\;</MATH>|2.91}} Równanie ruchu plazmy możemy przestawić w zależności od pola działającego ze strony pola w wewnątrz tej plazmy według mechaniki klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH>m{{d^2x}\over{dt}}=eE_x\;</MATH>|2.92}} Wzór na natężenie pola iksowego elektrycznego E{{Sub|x}} {{linkWzór|2.90}} i wzór na łądunek znajdujących się w plazmie {{linkWzór|2.91}} podstawiamy do wzoru {{linkWzór|2.92}} opisującą drugą zasadę dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{NeA}}{{d^2Q}\over{dt^2}}=-e{{Q}\over{\epsilon_0A}}\Rightarrow{{d^2Q}\over{dt^2}}={{e^2N}\over{\epsilon_0m}}Q\;</MATH>|2.93}} Końcowe równanie {{linkWzór|2.92}} jest równaniem oscylatora harmonicznego, w której kwadrat częstotliwości kołowej drgań, która jest jednocześnie kwadratem częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|p}}, który to przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i ich masy, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{e^2N}\over{\epsilon_0m}}=\omega_p^2\;</MATH>|2.94}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1d375syywf6jfemat38v92nssjufwco 0 21006 558548 513450 2026-10-04T16:07:17Z Persino 2851 558548 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Oscylator tłumiony w przedstawieniu jednowymiarowym == Wyobraźmy sobie oscylator harmoniczny, który doznaje siły kierującej {{Formuła|<MATH>-M\omega_0^2x(t)\;</math>}} pochodzącej od sprężyny o stałej sprężystości {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}, dla której układ doznaje siły oporu {{Formuła|<MATH>-M\Gamma\dot{x}(t)\;</MATH>}}, którym występuje stała &Gamma;, która jest współczynnikiem tłumienia na jednostkę masy, lub po prostu jest zwana współczynnikiem tłumienia. Na układ też działa siły wymuszająca układ do ruchu F(t). Biorąc wszystkie te uwagi możemy napisać z drugiej zasady dynamiki Newtona równość różniczkową: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}(t)=-M\omega_0^2x(t)-M\Gamma\dot{x}(t)+F(t)\;</MATH>|3.1}} === Tłumienie oscylacji harmonicznych bez udziału siły wymuszającej === Równanie {{LinkWzór|3.1}} można napisać przy założeniu, że nie mamy siły wymuszającej F(t), wtedy tak otrzymane równanie możemy podzielić przez masę M, i wszystkie wyrazy przenosząc na jedną stronę, w takim wypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}(t)+\Gamma\dot{x}(t)+\omega_0^2x(t)=0\;</MATH>|3.2}} Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego liniowego {{LinkWzór|3.2}} jest rozwiązaniem oscylatora tłumionego zależne od stałej &tau; i częstotliwości kołowej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)\;</MATH>|3.3}} Dalszym krokiem jest policzenie pierwszej i drugiej pochodnej zupełnej położenia względem czasu masy M oscylatora tłumionego {{LinkWzór|3.3}}, jego pierwsza pochodna jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=-{{1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1\sin(\omega_1 t+\theta)</MATH>|3.4}} Wyznaczmy teraz drugą pochodną zupełnej wyrażenia {{LinkWzór|3.3}} względem czasu, czyli pierwszą pochodną pierwszej pochodnej wyrażenia {{LinkWzór|3.4}} względem czasu, zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<math>\ddot{x}={{1}\over{4\tau^2}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4\tau^2}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)</math>|3.5}} Ogólne rozwiązanie {{LinkWzór|3.3}}, pierwszą pochodną funkcji x(t) {{LinkWzór|3.4}}, a także drugą pochodną funkcji x(t) {{LinkWzór|3.5}} podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|3.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{4\tau^2}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{\tau}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-e^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)+\Gamma\left(-{{1}\over{2\tau}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)-e^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1\sin(\omega_1 t+\theta)\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\omega_0^2e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)=0</MATH>|3.6}} Tożsamość {{LinkWzór|3.6}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>e^{-{{t}\over{2\tau}}}\;</MATH>}}, bo ono jest zawsze niezerowe, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, w którym grupujemy wyrazy względem sin&omega;t i cos&omega;t: {{CentrujWzór|<MATH>\cos(\omega_1 t+\theta)\left[{{1}\over{4\tau^2}}-\omega_1^2-{{\Gamma}\over{2\tau}}+\omega_0^2\right]+\sin(\omega_1 t+\theta)\left[ {{\omega_1}\over{\tau}}-\Gamma\omega_1\right]=0</MATH>|3.7}} Równość {{LinkWzór|3.7}} jest słuszna dla każdego czasu, stąd wynika, że czynniki stojące przy sin(&omega;t+&theta;) i cos(&omega;t+&theta;) powinny być zawsze równe zero, w ten sposób dostajemy układ dwóch równań: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} {{1}\over{4\tau^2}}-\omega_1^2-{{\Gamma}\over{2\tau}}+\omega_0^2=0\Rightarrow {{\Gamma^2}\over{4}}-\omega_1^2-{{\Gamma^2}\over{2}}+\omega_0^2=0\Rightarrow-{{1}\over{4}}\Gamma^2-\omega_1^2+\omega_0^2=0\\ {{\omega_1}\over{\tau}}-\Gamma\omega_1=0\Rightarrow \tau={{1}\over{\Gamma}} \end{cases} </MATH>|3.8}} Na podstawie układu równań {{LinkWzór|3.8}} otrzymujemy następujące tożsamości na &tau; i &omega;{{Sup|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\tau={{1}\over{\Gamma}}\;</MATH>|3.9}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2=\omega_0^2-{{1}\over{4}}\Gamma^2\;</MATH>|3.10}}}} Rozwiązanie {{LinkWzór|3.3}} równania różniczkowego jednorodnego {{LinkWzór|3.2}} możemy przestawić w postaci równoważnej przy pomocy funkcji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus jako ich kombinację liniową pomnożoną przez funkcję eksponencjalną malejącą wraz z czasem do zero dla "t" nieskończonego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}(A\sin\omega_1 t+B\cos\omega_1 t)\;</MATH>|3.11}} Możemy wyznaczyć pierwszą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|3.11}}, w ten sposób mamy wzór na prędkość ciała w chwili "t": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=-{{\Gamma}\over{2}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}(A\sin\omega_1 t+B\cos\omega_1 t)+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}(A\omega_1\cos\omega_1 t-B\sin\omega_1 t)\;</MATH>|3.12}} Wyznaczmy warunki początkowe dla t=0, tj. dla równania {{LinkWzór|3.11}},która jest położeniem masy w czasie "t", dla równania {{LinkWzór|3.12}}, który jest prędkością ciała o masie M w czasie "t", by potem wyznaczyć stałe A i B w zależności od warunków początkowych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(0)=B\;</MATH>|3.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(0)=-{{\Gamma}\over{2}}B+A\omega_1\;</MATH>|3.14}}}} Wykorzystując fakty, tzn. (zależność na położenie ciała w czasie t=0) {{LinkWzór|3.13}} i (zależność prędkości ciała w chwili zerowej){{LinkWzór|3.14}}, w ten sposób ogólne rozwiązanie oscylatora harmonicznego tłumionego {{LinkWzór|3.11}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}t\Gamma}\left[x(0)\cos\omega_1 t+\left(\dot{x}(0)+{{1}\over{2}}\Gamma x(0)\right){{\sin\omega_1 t}\over{\omega_1}}\right]\;</MATH>|3.15}} Jeśli natomiast <MATH>\omega_0^2<{{1}\over{4}}\Gamma^2\;</math>, i wiedząc coś o liczbach zespolonych, które są wprowadzone w algebrze, możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|3.10}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1=\pm i|\omega_1|\;</MATH>|3.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\omega_1|=\sqrt{{{1}\over{4}}\Gamma^2-\omega_0^2}\;</MATH>|3.17}}}} Zatem równość {{LinkWzór|3.15}} możemy napisać na podstawie tożsamości {{LinkWzór|3.16}} i {{LinkWzór|3.17}}, w którym &omega; jest liczbą zespoloną, a także wykorzystując fakty o związkach pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami hiperbolicznymi: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}t\Gamma}\left[x(0)\cosh|\omega_1| t+\left(\dot{x}(0)+{{1}\over{2}}\Gamma x(0)\right){{\sinh|\omega_1| t}\over{|\omega_1|}}\right]</MATH>|3.18}} Wyznaczmy teraz energię całkowitą zmieniającą się wraz z czasem, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości, którego zapis jest przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|3.3}}, który jest wzorem na położenie ciała w chwili "t", i biorąc przykład słabego tłumienia, wtedy wyraz z &Gamma; jako czynnik w {{LinkWzór|3.12}} możemy pominąć, bo ono jest bardzo małe, zatem w takim wypadku średnia energia całkowita jest: {{CentrujWzór|<MATH>\langle E(t)\rangle={{1}\over{2}}M\langle\dot{x}^2\rangle+{{1}\over{2}}\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle={{1}\over{2}}Me^{-\Gamma t}\left[\omega_1^2\langle(A\cos\omega_1 t-B\sin\omega_1 t)^2\rangle+\omega_0^2\langle(A\sin\omega_1 t+\cos\omega_1 t)^2\rangle\right]=</MATH>{{Br}}<MATH>=\underbrace{ {{1}\over{2}}M(\omega_1^2+\omega_0^2)\left({{1}\over{2}}A^2+{{1}\over{2}}B^2\right)}_{E_0} e^{-t\Gamma}=E_0e^{-t\Gamma}=E_0e^{-{{t}\over{\tau}}}</math>|3.19}} === Drgania stacjonarne podczas działania siły harmonicznej siły wymuszającej === Każdą siłę wymuszającą okresową możemy rozłożyć w szereg Fouriera, których każdy wyraz jest funkcją kosinus o przesunięciu fazowym &phi;(&omega;) o amplitudzie F(&omega;), która ta całkowita siła jest przestawiona: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=\sum_{\omega}F(\omega)\cos[\omega t+\varphi(\omega)]\;</MATH>|3.20}} W szeregu {{LinkWzór|3.20}} weźmy tylko jeden wyraz, tak by funkcja kosinus nie zawierała wcale przesunięcia fazowego, wtedy tą siłę przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.21}} Całkowite równanie ruchu masy M dla drgań harmonicznych, gdy istnieją w nim straty energii spowodowane niezerowym współczynnikiem tłumienia, na którą to masę działa siła harmoniczna drgająca z częstością &omega;, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}(t)+M\Gamma \dot{x}(t)+M\omega_0^2x(t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.22}} Drgania wykonywane przez oscylator opisywany przez równanie {{LinkWzór|3.22}} jest napisana jako kombinacja funkcji sinus i kosinus: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A\sin\omega t+B\cos\omega t\;</MATH>|3.23}} Wzór {{LinkWzór|3.23}} podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|3.22}}, otrzymując tożsamość: {{CentrujWzór|<math>-M\omega^2\left(A\sin\omega t+Bcos\omega t\right)+M\Gamma\omega(A\cos\omega t-B\sin\omega t)+M\omega_0^2(A\sin\omega t+B\cos\omega t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.24}} Równanie {{LinkWzór|3.24}} możemy pogrupować względem funkcji sinus i kosinus, w ten sposób otrzymać dalsze przekształcenie tej równości: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\omega t\left(-AM\omega^2-BM\Gamma\omega+AM\omega_0^2\right)+\cos\omega t\left(-MB\omega^2+MA\Gamma\omega+M\omega_0^2B-F_0\right)=0\;</MATH>|3.25}} Równanie {{LinkWzór|3.25}} jest spełnione dla każdego czasu "t", wtedy współczynniki stojące przy kosinusach i sinusach są równe zero, wtedy mamy układ równań, które będziemy rozwiązywać ze względu na współczynniki A i B: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} -AM\omega^2-BM\Gamma\omega+AM\omega_0^2=0\\ -MB\omega^2+MA\Gamma\omega+M\omega_0^2B-F_0=0 \end{cases}\;</MATH>|3.26}} Z pierwszego równania {{LinkWzór|3.26}} możemy wyznaczyć stałą B zależną od stałej A, częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, częstotliwości drgań siły wymuszającej i współczynnika tłumienia &Gamma;, którego równanie jest: {{CentrujWzór|<MATH>B=A{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|3.27}} Tożsamość {{LinkWzór|3.27}} możemy podstawić do drugiego równania układu równań {{LinkWzór|3.26}}, z którego w dalszych rozumowaniach otrzymamy wzór na stałą A: {{CentrujWzór|<MATH>M(\omega_0^2-\omega_0^2)A{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}+MA\Gamma\omega-F_0=0\;</MATH>|3.28}} Z tożsamości {{LinkWzór|3.28}} możemy wyznaczyć stałą A, którego wzór jest napisany przy pomocy częstotliwości kołowej drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i drgań wymuszonych &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>A={{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.29}} Równanie przestawione wzorem {{LinkWzór|3.29}} jest to wzór na '''amplitudę absorpcyjną'''. Wzór na A {{LinkWzór|3.29}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.27}}, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>B={{F_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.30}} Równanie na stałą B {{LinkWzór|3.30}} nazywamy równaniem na '''amplitudę elastyczną'''. Wkład energii spowodowanej przez amplitudę elastyczną po uśrednianiu w ciągu całego okresu jest równy zero, bo straty energii są równe sile F{{Sub|0}}cos&omega;t pomnożonej przez {{Formuła|<MATH>\dot{x}(t)\;</MATH>}} i dlatego ta amplituda w ogólności nie powoduje strat energii. Można udowodnić, że całkowita strata energii spowodowana przez amplitudę absorpcyjną spowodowaną po uśrednianiu jego w ciągu jednego okresu jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>P={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}\;</MATH>|3.31}} A dowód jego polega na uśrednianiu strat energii w czasie t w ciągu jednego okresu, jak widzimy poniżej straty energii są zależne od amplitudy absorpcyjnej, częstotliwości drgań siły wymuszającej i na samym końcu od amplitudy F{{Sub|0}} drgań harmonicznej siły zewnętrznej działającej na nasz układ drgający: {{CentrujWzór|<MATH>P=F_0\langle\cos\omega t(\omega A_{abs}\cos\omega t+\omega-A_{el}\sin\omega t)\rangle=F_0\omega\left[A_{abs}\langle\cos^2\omega t\rangle+A_{el}\langle\cos\omega t\sin\omega t\rangle\right]={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}\;</MATH>|3.32}} Całkowita średnia energia tracona uśrednianą w ciągu jednego okresu jest wyrażona przy pomocy amplitudy elastycznej A{{Sub|el}}, absorpcyjnej A{{Sub|ab}}, współczynnika &Gamma; i masy drgającej M: {{CentrujWzór|<MATH>P_t=M\Gamma\langle \dot{x}_s^2\rangle={{1}\over{2}}M\Gamma\omega^2\left[A_{ab}^2+A_{el}^2\right]\;</MATH>|3.33}} Można udowodnić, że wzór {{LinkWzór|3.33}} za pomocą prostych przekształceń, jest równy wzorowi {{LinkWzór|3.31}}. Całkowita energia zmagazynowana w oscylatorze tłumionym podtrzymywanym siłą wymuszającą jest wyrażona po uśrednianiu jej w ciągu jednego okresu: {{CentrujWzór|<math>E={{1}\over{2}}M\langle\dot{x}^2\rangle+{{1}\over{2}}M\omega_0^2\langle x_s^2\rangle+{{1}\over{2}}M\omega_0^2={{1}\over{2}}M\left(\omega^2+\omega_0^2\right)\left[{{1}\over{2}}A_{ab}^2+ {{1}\over{2}}A_{el}^2\right]\;</MATH>|3.34}} === Rezonans === Wzór {{LinkWzór|3.31}} możemy przepisać w postaci równania na moc traconą podczas oporów ruchów, która jest tak skonstruowana, by dla &omega;=&omega;{{Sub|0}}, by było P(&omega;{{Sub|0}})=P{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P=P_0{{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.35}} Stała proporcjonalności P{{Sub|0}} została tak dobrana, by dla &omega;=&omega;{{Sub|0}}, całkowita moc promieniowania była równa P{{Sub|0}}. Wartość P równej połowie maksymalnej rezonansowej jest napisana w takiej formie, by było spełnione: {{CentrujWzór|<MATH>(\omega_0^2-\omega)^2=\Gamma^2\omega^2\Rightarrow\omega_0^2-\omega=\pm \Gamma\omega\Rightarrow\omega^2\pm\Gamma\omega-\omega_0^2=0\;</MATH>|3.36}} Z równości podanej w punkcie {{LinkWzór|3.36}} możemy wyznaczyć częstotliwość &omega; w zależności od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}} i współczynnika tłumienia, którego postać naszej tożsamości na tą wspomnianą częstotliwość jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega={{\pm\Gamma\pm\sqrt{\Gamma^2+4\omega^2}}\over{2}}\Rightarrow\omega=\pm\sqrt{\omega_0^2+{{1}\over{4}}\Gamma^2}\pm{{1}\over{2}}\Gamma </MATH>|3.37}} Ponieważ częstotliwość kołowa drgań kołowych jest wielkością nieujemną, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|3.37}} możemy tak napisać, w którym drugi składnik jest połową współczynnika tłumienia wziętej z minusem lub plusem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\sqrt{\omega_0^2+{{1}\over{4}}\Gamma^2}\pm{{1}\over{2}}\Gamma\;</math>|3.38}} Wyrażenie z plusem {{LinkWzór|3.38}} możemy odjąć od wyrażenia wziętego z minusem, w ten sposób otrzymujemy tożsamość na szerokość połówkową: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \omega={{1}\over{2}}\Gamma+{{1}\over{2}}\Gamma\Rightarrow \Delta\omega=\Gamma\Rightarrow(\Delta\omega)_{rez}\tau_{swob}=1\;</MATH>|3.39}} === Amplituda elastyczna i jego zależność od częstości === {{Rysunek|Rezonans dla oscylatora wymuszonego.jpeg|wk1|Rezonans dla oscylatora wymuszonego, kiedy oscylator harmoniczny jest poddawany sile wymuszającej F(t){{=}}F{{Sub|0}}cos&omega;t}} Amplituda elastyczna jest dana wzorem {{LinkWzór|3.29}}, a jego stosunek do amplitudy absorpcyjnej piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{A_{el}}\over{A_{ab}}}={{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|3.40}} Gdy częstotliwość siły wymuszającej jest o wiele mniejsza od drgań podstawowych układu, wtedy absorpcja energii jest zbyt mała w porównaniu z absorpcją energii w rezonansie przez układ. Dla drgającego układu daleko od rezonansu masy możemy napisać tożsamość, która jest spełniona w przybliżeniu: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)\simeq A_{el}\cos\omega t\simeq{{F_0\cos\omega t}\over{M(\omega_0^2-\omega^2)}}\;</MATH>|3.41}} === Krzywe rezonansowe === Dla oscylatora harmonicznego drgania wymuszone możemy opisywać za pomocą kilku wielkości zależne od częstotliwości kołowych, ale napiszmy najpierw wzór na amplitudę absorpcyjną: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}(\omega)=A_{ab}(\omega_0){{\Gamma^2\omega_0\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.42}} Teraz wyznaczmy kwadrat modułu amplitudy, która jest sumą kwadratów amplitudy elastycznej {{LinkWzór|3.30}} i absorpcyjnej {{LinkWzór|3.29}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>|A(\omega)|^2={{\Gamma^2\omega^2}\over{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2]^2}}+ {{(\omega_0^2-\omega^2)^2}\over{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2]^2}}={{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}=|A(\omega_0)|^2{{\Gamma^2\omega_0^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.43}} Energię oscylacji określamy według wzoru {{LinkWzór|3.31}}, która jest definicją mocy traconej przez układ, znając definicję amplitudy absorpcyjnej {{LinkWzór|3.30}}, piszemy ją: {{CentrujWzór|<MATH>P(\omega)={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}={{1}\over{2}}F_0\omega{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}= {{F_0}\over{2\Gamma}}{{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}=P(\omega_0){{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.44}} Całkowita energia zmagazynowana przez układ określamy jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej posiadanej przez układ, którą piszemy w postaci wzoru {{LinkWzór|3.34}}, do której wykorzystamy wzór {{LinkWzór|3.43}}, w ten sposób otrzymamy końcową tożsamość opisującą tą naszą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>E(\omega)=E(\omega_0){{ {{1}\over{2}}\Gamma^2\left(\omega^2+\omega_0^2\right)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.45}} W powyższych wielkościach mianownik jest określony poprzez częstotliwość drgań podstawowych i częstotliwość drgań wymuszonych: {{CentrujWzór|<MATH>D=(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2=(\omega_0-\omega)^2(\omega_0+\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\;</MATH>|3.46}} Definicja D napiszmy, gdy częstotliwość &omega; jest bliska &omega;{{Sub|0}}, dla stanu słabego tłumienia, tzn. dla którego zachodzi &Gamma;<<&omega;{{Sub|0}}, przy pomocy tychże dysput sumę &omega;{{Sub|0}}+&omega; możemy przestawić w przybliżeniu w postaci 2&omega;{{Sub|0}}, wtedy D opisujemy wzorem przybliżonym na podstawie jej ścisłej definicji {{LinkWzór|3.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>D\simeq4\omega_0^2\left[(\omega_0-\omega)^2+{{\Gamma^2}\over{4}}\right]\;</MATH>|3.47}} Wtedy możemy wprowadzić współczynnik R(&omega;), który jest tak dobrany by dla &omega;{{Sub|0}} był równy jeden, czyli zachodziło R(&omega;{{Sub|0}})=1: {{CentrujWzór|<MATH>R(\omega)={{\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}\over{(\omega_0-\omega)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}\;</MATH>|3.48}} Funkcja {{LinkWzór|3.48}} jest funkcją parzystą ze względu na &omega;{{Sub|0}}-&omega;, następnie udowodnimy, aby wspomniana funkcja była równa połowie jedynki, czyli wtedy powinno zachodzić {{Formuła|<math>\omega_0-\omega=\mp{{1}\over{2}}\Gamma\;</MATH>}}, co z tego możemy wywnioskować {{Formuła|<MATH>\omega=\omega_0\pm{{1}\over{2}}\Gamma\;</MATH>}}, co dalej można łatwo udowodnić, że szerokość połówkowa naszej funkcji jest równa &Gamma;. Funkcja R(&omega;) w optyce jest nazywana często rozkładem lorentzowskim, a w fizyce jądrowej jest nazywana krzywą rezonansową Breita-Wignera, dla którego zamiast &omega; i &omega;{{Sub|0}} są zastępowane tam kolejno przez {{Formuła|<math>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>E_0=\hbar\omega_0\;</MATH>}}. === Niestacjonarne drgania harmoniczne tłumione === Niestacjonarne drgania harmoniczne, która jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|3.23}}, która jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|3.22}}, a dla równania jednorodnego {{LinkWzór|3.2}}, którego rozwiązaniem jest {{LinkWzór|3.11}}, to suma tych rozwiązań tutaj rozważanych piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{ab}\sin\omega t+A_{el}\cos\omega t+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\left(A_1\sin\omega_1 t+B_1\cos\omega_1 t\right)\;</MATH>|3.49}} Częstotliwość &omega;{{Sub|1}} we wzorze {{LinkWzór|3.49}} jest to wielkość opisana wzorem {{LinkWzór|3.10}}. === Układ drgający niestacjonarny spoczywający w stanie początkowym === Aby układ w stanie początkowym t=0 miał położenie zerowe, wtedy musi zachodzić B{{Sub|1}}=A{{Sub|el}}. Dalej będziemy mieli na myśli słabe tłumienie, tzn. czynnik exp(-&Gamma; t) praktycznie się wcale nie zmienia w chwili w ciągu jednego okresu, zatem dla chwili początkowej mamy {{Formuła|<MATH>\dot{x}(0)=\omega A_{ab}+\omega_1A_1\;</math>}}, ponieważ interesują nas częstotliwości rezonansowe niezbyt odległe od częstotliwości podstawowej, czyli kładziemy A{{Sub|1}}=-A{{Sub|ab}}, czyli powinno chodzić: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(0)=(\omega-\omega_1)A_{ab}\;</MATH>|3.50}} co prędkość drgań początkowych jest równa zero, gdy zachodzi w przybliżeniu &omega;=&omega;{{Sub|1}}, lub gdy A{{Sub|ab}}=0, co implikuje &Gamma;=0. Na podstawie tychże omawianych wniosków dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{ab}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)+A_{el}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)\;</MATH>|3.51}} Gdy częstość wymuszająca drgania jest równa częstotliwości drgań tłumionych, czyli &omega;=&omega;{{Sub|1}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|3.49}} możemy powiedzieć, że zachodzi własność: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=\left[1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]\left(A_{ab}\sin\omega t+A_{el}\cos\omega t\right)=\left[1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]x_s(t)\;</MATH>|3.52}} === Oscylator niestacjonarny przy braku tłumienia === Tutaj kładziemy &Gamma;=0, wtedy amplituda absorpcyjna A{{Sub|ab}} jest równa zero, wtedy wzór na amplitudę elastyczną {{LinkWzór|3.29}} jest wyrażona przy pomocy częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości drgań wymuszonych &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{F_0}\over{M}}{{1}\over{\omega_0-\omega^2}}\;</MATH>|3.53}} Wtedy położenie masy M {{LinkWzór|3.51}}, przy powyżej kładzionych warunkach, i wzoru na amplitudę ellastyczną {{LinkWzór|3.53}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)={{F_0}\over{M}}{{\cos\omega t-\cos\omega_0 t}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|3.53a}} Jeśli wprowadzimy związki na częstotliwość średnią {{Formuła|<MATH>\omega_{sr}={{1}\over{2}}(\omega_0+\omega)\;</MATH>}} i wolnozmienną amplitudę oscylacji harmonicznych z niską częstością modulacji napisaną {{Formuła|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)\;</MATH>}}, wtedy położenie ciała w zależności od amplitudy modulacyjnej i amplitudę drgań przestawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;,</MATH>|3.54}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}={{F_0}\over{M}}{{2\sin{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|3.55}}}} Energia modulacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy modulacji określoną w punkcie {{LinkWzór|3.55}} jest określona w zależności od czasu i częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości drgań wymuszonych: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=E_0\sin^2{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t={{1}\over{2}}E_0\left[1-\cos(\omega_0-\omega)t\right]\;</MATH>|3.56}} Gdy częstotliwość &omega; jest równa częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, to wtedy położenie ciała {{LinkWzór|3.53}} możemy napisać, korzystając z wiadomości o granicach na funkcjach trygonometrycznych znanych z analizy matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)={{F_0 t}\over{M}}\sin\omega_0 t\lim_{\omega\rightarrow\omega_0}{{\sin{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t}\over{{{1}\over{2}}\left(\omega_0-\omega\right)t(\omega_0+\omega)}}={{1}\over{2}}{{F_0t}\over{M\omega_0}}\sin\omega_0t\;</MATH>|3.57}} === Drgania niestacjonarne nietrwałe i jego dudnienie === Będziemy liczyli energię drgań niestacjonarnych od czasu w przypadku słabego tłumienia, zatem w takim wypadku czynnik eksponencjalny występujący we wzorze {{LinkWzór|3.51}} w ciągu jednego okresu niewiele się zmienia, wtedy możemy rozważmy przypadek, gdy częstotliwość wymuszająca i drgań tłumionych są bardzo bliskie częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, zatem prędkość masy M liczymy jako pochodna wspomnianego wzoru w postaci przybliżonego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\left(\omega\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\omega_1\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\omega\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\omega_1\sin\omega_1 t\right)\simeq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\simeq\omega_0\left[A_{ab}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)\right]\;</MATH>|3.58}} Całkowita energia układu mechanicznego dla słabego tłumienia, piszemy przy pomocy prędkości drgań masy w zależności od czasu {{LinkWzór|3.58}} i położenia drgań tej samej masy w zależności do czasu {{LinkWzór|3.51}}: {{CentrujWzór|<math>E(t)={{1}\over{2}}M\dot{x}+{{1}\over{2}}M\omega_0^2x^2={{1}\over{2}}M\omega_0^2\Bigg\{\left[A_{ab}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)\right]^2+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left[A_{ab}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)+A_{el}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)\right]^2\Bigg\}={{1}\over{2}}M\omega_0^2\Bigg( A_{ab}^2\cos^2\omega t+A_{ab}^2e^{-\Gamma t}\cos^2\omega_1 t+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+A_{el}^2\sin^2\omega t +A_{el}^2e^{-\Gamma t}\sin^2\omega_1 t-2A_{ab}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\cos\omega_1 t-2A_{ab}A_{el}\cos\omega t\sin\omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\sin\omega_1 t+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\sin\omega t-2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\cos\omega_1t\sin\omega_1 t+2A_{el}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega t\sin\omega_1 t+</MATH>{{Br}}<MATH>+A_{ab}^2\sin^2\omega t+A_{ab}^2e^{-\Gamma t}\sin^2\omega_1 t+A_{el}^2\cos^2\omega t+A_{el}^2e^{-\Gamma t}\cos^2\omega_1 t- 2A_{ab}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}\sin\omega t\sin\omega_1t+2A_{ab}A_{el}\sin\omega t\cos\omega t+</MATH>{{Br}}<MATH>-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega t\cos\omega_1 t-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1t\cos\omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\sin\omega_1t\cos\omega_1t-2A_{el}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\cos\omega_1 t \Bigg)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}M\omega_0^2\left[A_{ab}^2+A_{el}^2+(A_{ab}^2+A_{el}^2)e^{-\Gamma t}- 2(A_{ab}^2+A_{el}^2)e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos(\omega-\omega_1)t\right]=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos(\omega-\omega_1)t\right]\;</MATH>|3.59}} Funkcja kosinus mieści się w zakresie wartości od minus jedynki do jedynki, zatem kres dolny rozwiązania {{LinkWzór|3.59}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]=E\left(1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right)^2\;</MATH>|3.60}} Kres górny rozwiązania {{LinkWzór|3.56}} na podstawie własności funkcji kosinus rozważanej powyżej przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<math>E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}+2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]=E\left(1+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right)^2\;</MATH>|3.61}} {{Rysunek|Energia oscylacji drgań niestacjonarnych.jpeg|wk5|Energia oscylacji rośnie od zera i wykonuje przejściowe dudnienia, tzn. energia oscyluje pomiędzy drganiami wymuszającymi, a drganiami swobodnymi, by na samym końcu osiągnąć energię E odpowiadającego drganiom stacjonarnym.}} Według rysunku obok, gdy by nie było tłumienia, oscylacje były by draniami oscylatora harmonicznego i takie dudnienia zachodziły by bez końca. Przy istnieniu dudnienia układ swoją fazę oscylacji ustala do siły wymuszającej, by ostatecznie osiągnąć częstotliwość drgań oscylacji równą &omega;, a względna faza pomiędzy oscylatorem a siłą wymuszającą zostaje ustalona w taki sposób, by ilość energii dostarczonej do układu była równa energii traconej przez sam oscylator przez siłę oporu spowodowanej w równaniu {{LinkWzór|3.22}} przy współczynniku tłumienia &Gamma;. == Rezonans o dwóch stopniach swobody == === Drgania wymuszone dwóch wahadeł wymuszonych === {{Rysunek|Oscylacje wymuszone wahadeł sprzężonych.jpeg|wk3|Oscylacje wymuszone wahadeł sprzężonych a) stan równowagin B) układ w stanie drgań}} Równania ruchu drgań pierwszego i drugiego wahadła matematycznego, które są sprzężone ze sobą za pomocą sprężyny, do drugiej sprężyny jest podłączona siła, która zmienia się kosinusoidalnie z siłą F{{Sub|0}}cos&omega;t, to równania ruchu takiego układu są przestawione: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} M\ddot{\psi}_a=-{{Mg}\over{l}}\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)-M\Gamma\dot{\psi}_a+F_0\cos\omega t\\ M\ddot{\psi}_b=-{{Mg}\over{l}}\psi_b+K(\psi_a-\psi_b)-M\Gamma\dot{\psi}_b \end{cases}\;</MATH>|3.62}} Możemy dodać i odjąć powyższe równanie układu równań, w ten sposób otrzymać układ następny równoważny do poprzedniego układu równań: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} M(\dot{\psi}_a+\dot{\psi}_b)=-{{Mg}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)+F_0\cos\omega t\\ M(\ddot{\psi}_a-\ddot{\psi}_b)=-M\left({{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\right)(\psi_a-\psi_b)+F_0\cos\omega t\\ \end{cases}\;</MATH>|3.63}} Nasz układ posiada dwie częstotliwości podstawowe, które są przestawione w punkcie {{LinkWzór|1.125|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i {{LinkWzór|1.126|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. {{Rysunek|Amplituda elastyczna i absorpcyjna dwóch wahadeł sprężonych ze sobą, których drgania są uruchamiane przy pomocy siły wymuszającej.jpeg|wk7|Amplituda elastyczna i absorpcyjna dwóch wahadeł sprężonych ze sobą, których drgania są uruchamiane przy pomocy siły wymuszającej.}} Podamy teraz wzory na amplitudę elastyczną i absorpcyjną, wykorzystując przy okazji wzór {{LinkWzór|3.23}}, którego amplituda A jest sumą dwóch amplitud absorpcyjnych podanych dla obu częstotliwości podstawowych {{LinkWzór|3.29}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_{01}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+{{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_{02}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.64}} A amplituda elastyczna dla naszego układu zapisujemy podobnie jak przy amplitudzie absorpcyjnej podanej w punkcie {{LinkWzór|3.64}}, która ta amplituda B jest sumą amplitud elastycznych dla obu drgań amplitud elastycznych podanych w punkcie {{LinkWzór|3.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{F_0}\over{M}}{{\omega_{01}^2-\omega^2}\over{(\omega_{01}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+{{F_0}\over{M}}{{\omega^2_{02}-\omega^2}\over{(\omega_{02}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.65}} == Drgania wymuszone układów izolowanych o wielu stopniach swobody == === Wahadła sprzężone ze sobą w przybliżeniu ciągłości === Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek opisujemy przy pomocy równania {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, które dla porządku dziennego jeszcze raz powtórzymy. {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n(t)}\over{dt^2}}=-Mg{{\psi_n}\over{l}}+K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|3.66}} Załóżmy, że funkcja &psi;{{Sub|n}} jest wolno-zmienną funkcją n. Co wynika z tego, że wszystkie ciężarki znajdujące niemal blisko siebie wykonują w przybliżeniu te same drgania, zatem napiszmy teraz funkcją &psi; dla n, n+1 i n-1: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=\psi(z,t)\;</MATH>|3.67}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}(t)=\psi(z+a,t)+\psi(z,t)+a{{1}\over{2}}{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}+...\;</MATH>|3.68}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n-1}(t)=\psi(z-a,t)+\psi(z,t)-a{{1}\over{2}}{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}+...\;</MATH>|3.69}} Na podstawie {{LinkWzór|3.67}}, {{LinkWzór|3.68}} i {{LinkWzór|3.69}} można otrzymać dwie następujące tożsamości, która ta pierwsza jest różnicą funkcji wychylenia od stanu równowagi dla n+1 i dla n, a ta druga różnica jest różnicą funkcji zależnej od n dla n i n-1: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}-\psi_n=a{{\partial\psi}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.70}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n}-\psi_{n-1}=a{{\partial\psi}\over{\partial z}}-{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.71}}}} Równości {{LinkWzór|3.70}} i {{LinkWzór|3.71}} możemy podstawić do równania różniczkowo-różnicowego {{LinkWzór|3.66}}, w ten sposób otrzymać tożsamość różniczkową drugiego stopnia, z której możemy wyznaczyć funkcję &psi;, która jest rozwiązaniem równania opisującej ruch drgający: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega_0^2\psi(z,t)+{{Ka^2}\over{M}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.72}} === Równanie Kliena-Gordona === Jeśli sobie obierzemy funkcję zależną od z i t, którą jest funkcja harmoniczna zależna od czasu, pomnożonej przez amplitudę zależną od z, to jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\cos(\omega t+\varphi)A(z)\;</MATH>|3.73}} A jej drugie pochodne cząstkowe liczone względem czasu i położenia, których pierwsza jest wprost proporcjonalna do A(z), a druga do drugiej pochodnej zupełnej względem położenia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\cos(\omega t+\varphi)A(z)\;</MATH>|3.74}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=\cos(\omega t+\varphi){{d^2A(z)}\over{dz^2}}\;</MATH>|3.75}}}} Wykorzystując tożsamości {{LinkWzór|3.74}} i {{LinkWzór|3.75}}, i podstawiając to wszystko do równości różniczkowej {{LinkWzór|3.72}}, wtedy możemy napisać końcowe równanie na A(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dt^2}}={{M}\over{Ka^2}}(\omega_0^2-\omega^2)A(z)\;</MATH>|3.76}} ==== Fale sinusoidalne ==== Fale sinusoidalne możemy opisać równaniem {{LinkWzór|3.76}} dla której definicja stałej k{{Sup|2}}, która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej drgań wymuszonej &omega; i częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, podajemy w tej samej linijce oba równania, co równanie falowe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=-k^2A(z)\;</MATH>|3.77}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k^2=(\omega^2-\omega_0^2){{M}\over{Ka^2}}\;</MATH>|3.78}}}} wtedy A(z) jest kombinacją funkcji sinus i kosinus, których argumentem jest funkcja kz, którą piszemy przy pomocy stałej A i B: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=A\sin k z+B\cos kz\;</MATH>|3.79}} Stałe A i B występujące w równaniu {{LinkWzór|3.79}} są to stałe opisywane przez warunki brzegowe. ==== Fale eksponencjalne ==== Są to fale opisywane na podstawie {{LinkWzór|3.76}}, dla którego definicję stałej &chi;{{Sup|2}}, która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej podstawowej drgań &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości wymuszonej &omega;, które te związki podajemy w jednej i tej samej linijce co równanie różniczkowe drgań tejże opisywanej fali: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=\chi ^2A(z)\;</MATH>|3.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi^2=(\omega_0^2-\omega^2){{M}\over{Ka^2}}\;</MATH>|3.81}}}} Rozwiązanie A(z), które jest rozwiązaniem {{LinkWzór|3.80}} piszemy jako kombinacja funkcji eksponencjalnych, których pierwsza jest funkcja malejącą do zera, a druga rosnąca do nieskończoności dla "z" coraz większego: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=Ae^{-\chi z}+Be^{\chi z}\;</MATH>|3.82}} Stałe A i B występujące w równaniu {{LinkWzór|3.82}} są stałe opisywane przez warunki brzegowe. === Związki dyspersyjne === Związki {{LinkWzór|3.78}} i {{LinkWzór|3.81}} możemy zapisać na częstotliwość kołową drgań w zależności od częstotliwości kołowej drgań zależnych od czasu i stałej liczbie falowej "k" lub "&chi;", które te związki piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;</MATH>|3.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{Ka^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|3.84}}}} '''Ośrodkiem dyspersyjnym''' nazywamy ośrodek w którym rozchodzą się fale sinusoidalne, a '''ośrodkiem reaktywnym''' nazywamy taki ośrodek, w którym rozchodzą się fale eksponencjalne. Ten sam ośrodek może być jednocześnie ośrodkiem dyspercyjnym lub reaktywnym dla różnych zakresów częstotliwości kołowej. === Wahadła matematycznych sprzężonych ze sobą przy pomocy jednakowych sprężynek === Równanie rózniczkowe różnicowe {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} możemy zapisać, wprowadzając częstość kołową drgań podstawowych wahadła matematycznego &omega;{{Sub|0}}, którym to w tym równaniu grupujemy wyrazy względem wyrazów z tym samym wskaźnikiem n: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}_n=-\omega_0^2\psi_n+{{K}\over{M}}\left(\psi_{n+1}-2\psi_n+\psi_{n-1}\right)\;</MATH>|3.85}} Wprowadźmy definicję wychylenia od stanu równowagi od czasu, która zależy od czasu, którą przestawiamy przy pomocy funkcji kosinus z argumentu &omega;t+&phi;, którą jest suma iloczynu częstotliwości kołowej przez czas "t" i przesunięcia fazowego &phi;, co ta funkcja trygonometryczna pomnożona jest przez amplitudę A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n=A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|3.86}} Wzór na wychylenia od stanu równowagi {{LinkWzór|3.86}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.85}}, w ten sposób mamy równość na związek dyspersyjny na &omega;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>-\omega^2A_n=-\omega_0^2-{{2K}\over{M}}A_n+{{2K}\over{M}}{{A_{n+1}+A_{n-1}}\over{2A_n}}\Rightarrow\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1-{{A_{n+1}+A_{n-1}}\over{2A_m}}\right)\;</MATH>|3.87}} ==== Zakres dyspersyjny częstości ==== Amplituda A{{Sub|n}} możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus względem argumentu kna, której definicja: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n}=A\sin kna+B\cos kna\;</MATH>|3.88}} Definicja amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, na podstawie definicji A{{Sub|n}} {{LinkWzór|3.88}} (tylko we wzorze tym zamiast n podstawiamy kolejno n+1 i n-1), wykorzystując z twierdzenia o rozdzielności mnożenia względem dodawania, by później było można zastosować twierdzenie od kosinusie sumy i kosinusie różnicy dla tych amplitud: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}=A\sin(kna+ka)+B\cos(kna +ka)\;</MATH>|3.89}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{n-1}=A\sin(kna-ka)+B\cos(kna -ka)\;</MATH>|3.90}}}} Zapiszmy sumę amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, możemy je zapisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.89}} i {{LinkWzór|3.90}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=2A\sin ka\cos kna+2B\cos kna\cos ka=2\cos ka\left(A\sin kna+B\cos kna\right)=2A\cos ka A_n\;</MATH>|3.91}} Obliczenia {{LinkWzór|3.91}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.88}} przy wykorzystaniu tożsamości trygonometrycznych na kątach połówkowych, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2+\omega_0^2+{{2K}\over{M}}(1-\cos ka)\Rightarrow\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|3.92}} ==== Dolny zakresy reaktywny częstości ==== Amplitudę A{{Sub|n}} dla zakresu reaktywnego możemy przestawić jako kombinację funkcji eksponencjalnych z argumentów różniących się znakiem w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=Ae^{-\chi na}+Be^{\chi na}\;</MATH>|3.93}} Wtedy suma amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}} możemy opisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.93}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=Ae^{\chi a}e^{\chi na}+Be^{-\chi a}e^{-\chi na}+Ae^{-\chi a}e^{\chi na}+Be^{\chi a}e^{-\chi na} =Ae^{\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)+Be^{-\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)=\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)A_n\;</math>|3.94}} Obliczenia {{LinkWzór|3.94}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|3.87}}, w ten sposób otrzymać tożsamość matematyczną, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left[1-{{1}\over{2}}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\right]=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1-\cosh \chi a\right)\;</MATH>|3.95}} Wzór {{LinkWzór|3.94}} możemy zapisać w formie podobnej do {{LinkWzór|3.92}} przy wykorzystaniu tożsamości na funkcjach hiperbolicznych, którego zapis w formie bardziej uproszczonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{4K}\over{M}}\sinh^2\left({{\chi a}\over{2}}\right)\;</MATH>|3.96}} ==== Górny zakres reaktywny ==== Przyjmijmy, że amplituda jest opisywana przez zygzakowatą (przemienną) falę eksponencjalną, której definicja: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=(-1)^n\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)\;</MATH>|3.97}} Wtedy suma amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}} możemy zapisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.97}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=-A(-1)^ne^{\chi a}e^{\chi na}-(-1)^nBe^{-\chi a}e^{-\chi na}-(-1)^nAe^{-\chi a}e^{\chi na}+(-1)^nBe^{\chi a}e^{-\chi na} =\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-A(-1)^ne^{\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)-(-1)^nBe^{-\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)=-\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)(-1)^n\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)=-\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)A_n\;</math>|3.98}} Obliczenia {{LinkWzór|3.98}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|3.87}}, w ten sposób otrzymać tożsamość, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych z znanej analizy matematycznej, doprowadzając końcowe równanie do postaci bardziej uproszczonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left[1+{{1}\over{2}}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\right]=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1+\cosh ka\right)=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\cosh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|3.99}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 9vhg96uekaor7ovi1gy0gymsz023ze1 558553 558548 2026-10-04T16:33:41Z Persino 2851 558553 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Oscylator tłumiony w przedstawieniu jednowymiarowym == Wyobraźmy sobie oscylator harmoniczny, który doznaje siły kierującej {{Formuła|<MATH>-M\omega_0^2x(t)\;</math>}} pochodzącej od sprężyny o stałej sprężystości {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}, dla której układ doznaje siły oporu {{Formuła|<MATH>-M\Gamma\dot{x}(t)\;</MATH>}}, którym występuje stała &Gamma;, która jest współczynnikiem tłumienia na jednostkę masy, lub po prostu jest zwana współczynnikiem tłumienia. Na układ też działa siły wymuszająca układ do ruchu F(t). Biorąc wszystkie te uwagi możemy napisać z drugiej zasady dynamiki Newtona równość różniczkową: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}(t)=-M\omega_0^2x(t)-M\Gamma\dot{x}(t)+F(t)\;</MATH>|3.1}} === Tłumienie oscylacji harmonicznych bez udziału siły wymuszającej === Równanie {{LinkWzór|3.1}} można napisać przy założeniu, że nie mamy siły wymuszającej F(t), wtedy tak otrzymane równanie możemy podzielić przez masę M, i wszystkie wyrazy przenosząc na jedną stronę, w takim wypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}(t)+\Gamma\dot{x}(t)+\omega_0^2x(t)=0\;</MATH>|3.2}} Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego liniowego {{LinkWzór|3.2}} jest rozwiązaniem oscylatora tłumionego zależne od stałej &tau; i częstotliwości kołowej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)\;</MATH>|3.3}} Dalszym krokiem jest policzenie pierwszej i drugiej pochodnej zupełnej położenia względem czasu masy M oscylatora tłumionego {{LinkWzór|3.3}}, jego pierwsza pochodna jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=-{{1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1\sin(\omega_1 t+\theta)</MATH>|3.4}} Wyznaczmy teraz drugą pochodną zupełnej wyrażenia {{LinkWzór|3.3}} względem czasu, czyli pierwszą pochodną pierwszej pochodnej wyrażenia {{LinkWzór|3.4}} względem czasu, zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<math>\ddot{x}={{1}\over{4\tau^2}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4\tau^2}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)</math>|3.5}} Ogólne rozwiązanie {{LinkWzór|3.3}}, pierwszą pochodną funkcji x(t) {{LinkWzór|3.4}}, a także drugą pochodną funkcji x(t) {{LinkWzór|3.5}} podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|3.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{4\tau^2}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{\tau}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-e^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)+\Gamma\left(-{{1}\over{2\tau}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)-e^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1\sin(\omega_1 t+\theta)\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\omega_0^2e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)=0</MATH>|3.6}} Tożsamość {{LinkWzór|3.6}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>e^{-{{t}\over{2\tau}}}\;</MATH>}}, bo ono jest zawsze niezerowe, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, w którym grupujemy wyrazy względem sin&omega;t i cos&omega;t: {{CentrujWzór|<MATH>\cos(\omega_1 t+\theta)\left[{{1}\over{4\tau^2}}-\omega_1^2-{{\Gamma}\over{2\tau}}+\omega_0^2\right]+\sin(\omega_1 t+\theta)\left[ {{\omega_1}\over{\tau}}-\Gamma\omega_1\right]=0</MATH>|3.7}} Równość {{LinkWzór|3.7}} jest słuszna dla każdego czasu, stąd wynika, że czynniki stojące przy sin(&omega;t+&theta;) i cos(&omega;t+&theta;) powinny być zawsze równe zero, w ten sposób dostajemy układ dwóch równań: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} {{1}\over{4\tau^2}}-\omega_1^2-{{\Gamma}\over{2\tau}}+\omega_0^2=0\Rightarrow {{\Gamma^2}\over{4}}-\omega_1^2-{{\Gamma^2}\over{2}}+\omega_0^2=0\Rightarrow-{{1}\over{4}}\Gamma^2-\omega_1^2+\omega_0^2=0\\ {{\omega_1}\over{\tau}}-\Gamma\omega_1=0\Rightarrow \tau={{1}\over{\Gamma}} \end{cases} </MATH>|3.8}} Na podstawie układu równań {{LinkWzór|3.8}} otrzymujemy następujące tożsamości na &tau; i &omega;{{Sup|2}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\tau={{1}\over{\Gamma}}\;</MATH>|3.9}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2=\omega_0^2-{{1}\over{4}}\Gamma^2\;</MATH>|3.10}}}} Rozwiązanie {{LinkWzór|3.3}} równania różniczkowego jednorodnego {{LinkWzór|3.2}} możemy przestawić w postaci równoważnej przy pomocy funkcji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus jako ich kombinację liniową pomnożoną przez funkcję eksponencjalną malejącą wraz z czasem do zero dla "t" nieskończonego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}(A\sin\omega_1 t+B\cos\omega_1 t)\;</MATH>|3.11}} Możemy wyznaczyć pierwszą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|3.11}}, w ten sposób mamy wzór na prędkość ciała w chwili "t": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=-{{\Gamma}\over{2}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}(A\sin\omega_1 t+B\cos\omega_1 t)+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}(A\omega_1\cos\omega_1 t-B\sin\omega_1 t)\;</MATH>|3.12}} Wyznaczmy warunki początkowe dla t=0, tj. dla równania {{LinkWzór|3.11}},która jest położeniem masy w czasie "t", dla równania {{LinkWzór|3.12}}, który jest prędkością ciała o masie M w czasie "t", by potem wyznaczyć stałe A i B w zależności od warunków początkowych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(0)=B\;</MATH>|3.13}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(0)=-{{\Gamma}\over{2}}B+A\omega_1\;</MATH>|3.14}}}} Wykorzystując fakty, tzn. (zależność na położenie ciała w czasie t=0) {{LinkWzór|3.13}} i (zależność prędkości ciała w chwili zerowej){{LinkWzór|3.14}}, w ten sposób ogólne rozwiązanie oscylatora harmonicznego tłumionego {{LinkWzór|3.11}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}t\Gamma}\left[x(0)\cos\omega_1 t+\left(\dot{x}(0)+{{1}\over{2}}\Gamma x(0)\right){{\sin\omega_1 t}\over{\omega_1}}\right]\;</MATH>|3.15}} Jeśli natomiast <MATH>\omega_0^2<{{1}\over{4}}\Gamma^2\;</math>, i wiedząc coś o liczbach zespolonych, które są wprowadzone w algebrze, możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|3.10}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1=\pm i|\omega_1|\;</MATH>|3.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\omega_1|=\sqrt{{{1}\over{4}}\Gamma^2-\omega_0^2}\;</MATH>|3.17}}}} Zatem równość {{LinkWzór|3.15}} możemy napisać na podstawie tożsamości {{LinkWzór|3.16}} i {{LinkWzór|3.17}}, w którym &omega; jest liczbą zespoloną, a także wykorzystując fakty o związkach pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami hiperbolicznymi: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}t\Gamma}\left[x(0)\cosh|\omega_1| t+\left(\dot{x}(0)+{{1}\over{2}}\Gamma x(0)\right){{\sinh|\omega_1| t}\over{|\omega_1|}}\right]</MATH>|3.18}} Wyznaczmy teraz energię całkowitą zmieniającą się wraz z czasem, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości, którego zapis jest przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|3.3}}, który jest wzorem na położenie ciała w chwili "t", i biorąc przykład słabego tłumienia, wtedy wyraz z &Gamma; jako czynnik w {{LinkWzór|3.12}} możemy pominąć, bo ono jest bardzo małe, zatem w takim wypadku średnia energia całkowita jest: {{CentrujWzór|<MATH>\langle E(t)\rangle={{1}\over{2}}M\langle\dot{x}^2\rangle+{{1}\over{2}}\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle={{1}\over{2}}Me^{-\Gamma t}\left[\omega_1^2\langle(A\cos\omega_1 t-B\sin\omega_1 t)^2\rangle+\omega_0^2\langle(A\sin\omega_1 t+\cos\omega_1 t)^2\rangle\right]=</MATH>{{Br}}<MATH>=\underbrace{ {{1}\over{2}}M(\omega_1^2+\omega_0^2)\left({{1}\over{2}}A^2+{{1}\over{2}}B^2\right)}_{E_0} e^{-t\Gamma}=E_0e^{-t\Gamma}=E_0e^{-{{t}\over{\tau}}}</math>|3.19}} === Drgania stacjonarne podczas działania siły harmonicznej siły wymuszającej === Każdą siłę wymuszającą okresową możemy rozłożyć w szereg Fouriera, których każdy wyraz jest funkcją kosinus o przesunięciu fazowym &phi;(&omega;) o amplitudzie F(&omega;), która ta całkowita siła jest przestawiona: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=\sum_{\omega}F(\omega)\cos[\omega t+\varphi(\omega)]\;</MATH>|3.20}} W szeregu {{LinkWzór|3.20}} weźmy tylko jeden wyraz, tak by funkcja kosinus nie zawierała wcale przesunięcia fazowego, wtedy tą siłę przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.21}} Całkowite równanie ruchu masy M dla drgań harmonicznych, gdy istnieją w nim straty energii spowodowane niezerowym współczynnikiem tłumienia, na którą to masę działa siła harmoniczna drgająca z częstością &omega;, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}(t)+M\Gamma \dot{x}(t)+M\omega_0^2x(t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.22}} Drgania wykonywane przez oscylator opisywany przez równanie {{LinkWzór|3.22}} jest napisana jako kombinacja funkcji sinus i kosinus: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A\sin\omega t+B\cos\omega t\;</MATH>|3.23}} Wzór {{LinkWzór|3.23}} podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|3.22}}, otrzymując tożsamość: {{CentrujWzór|<math>-M\omega^2\left(A\sin\omega t+Bcos\omega t\right)+M\Gamma\omega(A\cos\omega t-B\sin\omega t)+M\omega_0^2(A\sin\omega t+B\cos\omega t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.24}} Równanie {{LinkWzór|3.24}} możemy pogrupować względem funkcji sinus i kosinus, w ten sposób otrzymać dalsze przekształcenie tej równości: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\omega t\left(-AM\omega^2-BM\Gamma\omega+AM\omega_0^2\right)+\cos\omega t\left(-MB\omega^2+MA\Gamma\omega+M\omega_0^2B-F_0\right)=0\;</MATH>|3.25}} Równanie {{LinkWzór|3.25}} jest spełnione dla każdego czasu "t", wtedy współczynniki stojące przy kosinusach i sinusach są równe zero, wtedy mamy układ równań, które będziemy rozwiązywać ze względu na współczynniki A i B: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} -AM\omega^2-BM\Gamma\omega+AM\omega_0^2=0\\ -MB\omega^2+MA\Gamma\omega+M\omega_0^2B-F_0=0 \end{cases}\;</MATH>|3.26}} Z pierwszego równania {{LinkWzór|3.26}} możemy wyznaczyć stałą B zależną od stałej A, częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, częstotliwości drgań siły wymuszającej i współczynnika tłumienia &Gamma;, którego równanie jest: {{CentrujWzór|<MATH>B=A{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|3.27}} Tożsamość {{LinkWzór|3.27}} możemy podstawić do drugiego równania układu równań {{LinkWzór|3.26}}, z którego w dalszych rozumowaniach otrzymamy wzór na stałą A: {{CentrujWzór|<MATH>M(\omega_0^2-\omega_0^2)A{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}+MA\Gamma\omega-F_0=0\;</MATH>|3.28}} Z tożsamości {{LinkWzór|3.28}} możemy wyznaczyć stałą A, którego wzór jest napisany przy pomocy częstotliwości kołowej drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i drgań wymuszonych &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>A={{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.29}} Równanie przestawione wzorem {{LinkWzór|3.29}} jest to wzór na '''amplitudę absorpcyjną'''. Wzór na A {{LinkWzór|3.29}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.27}}, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>B={{F_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.30}} Równanie na stałą B {{LinkWzór|3.30}} nazywamy równaniem na '''amplitudę elastyczną'''. Wkład energii spowodowanej przez amplitudę elastyczną po uśrednianiu w ciągu całego okresu jest równy zero, bo straty energii są równe sile F{{Sub|0}}cos&omega;t pomnożonej przez {{Formuła|<MATH>\dot{x}(t)\;</MATH>}} i dlatego ta amplituda w ogólności nie powoduje strat energii. Można udowodnić, że całkowita strata energii spowodowana przez amplitudę absorpcyjną spowodowaną po uśrednianiu jego w ciągu jednego okresu jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>P={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}\;</MATH>|3.31}} A dowód jego polega na uśrednianiu strat energii w czasie t w ciągu jednego okresu, jak widzimy poniżej straty energii są zależne od amplitudy absorpcyjnej, częstotliwości drgań siły wymuszającej i na samym końcu od amplitudy F{{Sub|0}} drgań harmonicznej siły zewnętrznej działającej na nasz układ drgający: {{CentrujWzór|<MATH>P=F_0\langle\cos\omega t(\omega A_{abs}\cos\omega t+\omega-A_{el}\sin\omega t)\rangle=F_0\omega\left[A_{abs}\langle\cos^2\omega t\rangle+A_{el}\langle\cos\omega t\sin\omega t\rangle\right]={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}\;</MATH>|3.32}} Całkowita średnia energia tracona uśrednianą w ciągu jednego okresu jest wyrażona przy pomocy amplitudy elastycznej A{{Sub|el}}, absorpcyjnej A{{Sub|ab}}, współczynnika &Gamma; i masy drgającej M: {{CentrujWzór|<MATH>P_t=M\Gamma\langle \dot{x}_s^2\rangle={{1}\over{2}}M\Gamma\omega^2\left[A_{ab}^2+A_{el}^2\right]\;</MATH>|3.33}} Można udowodnić, że wzór {{LinkWzór|3.33}} za pomocą prostych przekształceń, jest równy wzorowi {{LinkWzór|3.31}}. Całkowita energia zmagazynowana w oscylatorze tłumionym podtrzymywanym siłą wymuszającą jest wyrażona po uśrednianiu jej w ciągu jednego okresu: {{CentrujWzór|<math>E={{1}\over{2}}M\langle\dot{x}^2\rangle+{{1}\over{2}}M\omega_0^2\langle x_s^2\rangle+{{1}\over{2}}M\omega_0^2={{1}\over{2}}M\left(\omega^2+\omega_0^2\right)\left[{{1}\over{2}}A_{ab}^2+ {{1}\over{2}}A_{el}^2\right]\;</MATH>|3.34}} === Rezonans === Wzór {{LinkWzór|3.31}} możemy przepisać w postaci równania na moc traconą podczas oporów ruchów, która jest tak skonstruowana, by dla &omega;=&omega;{{Sub|0}}, by było P(&omega;{{Sub|0}})=P{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P=P_0{{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.35}} Stała proporcjonalności P{{Sub|0}} została tak dobrana, by dla &omega;=&omega;{{Sub|0}}, całkowita moc promieniowania była równa P{{Sub|0}}. Wartość P równej połowie maksymalnej rezonansowej jest napisana w takiej formie, by było spełnione: {{CentrujWzór|<MATH>(\omega_0^2-\omega)^2=\Gamma^2\omega^2\Rightarrow\omega_0^2-\omega=\pm \Gamma\omega\Rightarrow\omega^2\pm\Gamma\omega-\omega_0^2=0\;</MATH>|3.36}} Z równości podanej w punkcie {{LinkWzór|3.36}} możemy wyznaczyć częstotliwość &omega; w zależności od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}} i współczynnika tłumienia, którego postać naszej tożsamości na tą wspomnianą częstotliwość jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega={{\pm\Gamma\pm\sqrt{\Gamma^2+4\omega^2}}\over{2}}\Rightarrow\omega=\pm\sqrt{\omega_0^2+{{1}\over{4}}\Gamma^2}\pm{{1}\over{2}}\Gamma </MATH>|3.37}} Ponieważ częstotliwość kołowa drgań kołowych jest wielkością nieujemną, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|3.37}} możemy tak napisać, w którym drugi składnik jest połową współczynnika tłumienia wziętej z minusem lub plusem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\sqrt{\omega_0^2+{{1}\over{4}}\Gamma^2}\pm{{1}\over{2}}\Gamma\;</math>|3.38}} Wyrażenie z plusem {{LinkWzór|3.38}} możemy odjąć od wyrażenia wziętego z minusem, w ten sposób otrzymujemy tożsamość na szerokość połówkową: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \omega={{1}\over{2}}\Gamma+{{1}\over{2}}\Gamma\Rightarrow \Delta\omega=\Gamma\Rightarrow(\Delta\omega)_{rez}\tau_{swob}=1\;</MATH>|3.39}} === Amplituda elastyczna i jego zależność od częstości === {{Rysunek|Rezonans dla oscylatora wymuszonego.jpeg|wk1|Rezonans dla oscylatora wymuszonego, kiedy oscylator harmoniczny jest poddawany sile wymuszającej F(t){{=}}F{{Sub|0}}cos&omega;t}} Amplituda elastyczna jest dana wzorem {{LinkWzór|3.29}}, a jego stosunek do amplitudy absorpcyjnej piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{A_{el}}\over{A_{ab}}}={{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|3.40}} Gdy częstotliwość siły wymuszającej jest o wiele mniejsza od drgań podstawowych układu, wtedy absorpcja energii jest zbyt mała w porównaniu z absorpcją energii w rezonansie przez układ. Dla drgającego układu daleko od rezonansu masy możemy napisać tożsamość, która jest spełniona w przybliżeniu: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)\simeq A_{el}\cos\omega t\simeq{{F_0\cos\omega t}\over{M(\omega_0^2-\omega^2)}}\;</MATH>|3.41}} === Krzywe rezonansowe === Dla oscylatora harmonicznego drgania wymuszone możemy opisywać za pomocą kilku wielkości zależne od częstotliwości kołowych, ale napiszmy najpierw wzór na amplitudę absorpcyjną: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}(\omega)=A_{ab}(\omega_0){{\Gamma^2\omega_0\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.42}} Teraz wyznaczmy kwadrat modułu amplitudy, która jest sumą kwadratów amplitudy elastycznej {{LinkWzór|3.30}} i absorpcyjnej {{LinkWzór|3.29}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>|A(\omega)|^2={{\Gamma^2\omega^2}\over{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2]^2}}+ {{(\omega_0^2-\omega^2)^2}\over{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2]^2}}={{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}=|A(\omega_0)|^2{{\Gamma^2\omega_0^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.43}} Energię oscylacji określamy według wzoru {{LinkWzór|3.31}}, która jest definicją mocy traconej przez układ, znając definicję amplitudy absorpcyjnej {{LinkWzór|3.30}}, piszemy ją: {{CentrujWzór|<MATH>P(\omega)={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}={{1}\over{2}}F_0\omega{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}= {{F_0}\over{2\Gamma}}{{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}=P(\omega_0){{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.44}} Całkowita energia zmagazynowana przez układ określamy jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej posiadanej przez układ, którą piszemy w postaci wzoru {{LinkWzór|3.34}}, do której wykorzystamy wzór {{LinkWzór|3.43}}, w ten sposób otrzymamy końcową tożsamość opisującą tą naszą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>E(\omega)=E(\omega_0){{ {{1}\over{2}}\Gamma^2\left(\omega^2+\omega_0^2\right)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.45}} W powyższych wielkościach mianownik jest określony poprzez częstotliwość drgań podstawowych i częstotliwość drgań wymuszonych: {{CentrujWzór|<MATH>D=(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2=(\omega_0-\omega)^2(\omega_0+\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\;</MATH>|3.46}} Definicja D napiszmy, gdy częstotliwość &omega; jest bliska &omega;{{Sub|0}}, dla stanu słabego tłumienia, tzn. dla którego zachodzi &Gamma;<<&omega;{{Sub|0}}, przy pomocy tychże dysput sumę &omega;{{Sub|0}}+&omega; możemy przestawić w przybliżeniu w postaci 2&omega;{{Sub|0}}, wtedy D opisujemy wzorem przybliżonym na podstawie jej ścisłej definicji {{LinkWzór|3.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>D\simeq4\omega_0^2\left[(\omega_0-\omega)^2+{{\Gamma^2}\over{4}}\right]\;</MATH>|3.47}} Wtedy możemy wprowadzić współczynnik R(&omega;), który jest tak dobrany by dla &omega;{{Sub|0}} był równy jeden, czyli zachodziło R(&omega;{{Sub|0}})=1: {{CentrujWzór|<MATH>R(\omega)={{\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}\over{(\omega_0-\omega)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}\;</MATH>|3.48}} Funkcja {{LinkWzór|3.48}} jest funkcją parzystą ze względu na &omega;{{Sub|0}}-&omega;, następnie udowodnimy, aby wspomniana funkcja była równa połowie jedynki, czyli wtedy powinno zachodzić {{Formuła|<math>\omega_0-\omega=\mp{{1}\over{2}}\Gamma\;</MATH>}}, co z tego możemy wywnioskować {{Formuła|<MATH>\omega=\omega_0\pm{{1}\over{2}}\Gamma\;</MATH>}}, co dalej można łatwo udowodnić, że szerokość połówkowa naszej funkcji jest równa &Gamma;. Funkcja R(&omega;) w optyce jest nazywana często rozkładem lorentzowskim, a w fizyce jądrowej jest nazywana krzywą rezonansową Breita-Wignera, dla którego zamiast &omega; i &omega;{{Sub|0}} są zastępowane tam kolejno przez {{Formuła|<math>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>E_0=\hbar\omega_0\;</MATH>}}. === Niestacjonarne drgania harmoniczne tłumione === Niestacjonarne drgania harmoniczne, która jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|3.23}}, która jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|3.22}}, a dla równania jednorodnego {{LinkWzór|3.2}}, którego rozwiązaniem jest {{LinkWzór|3.11}}, to suma tych rozwiązań tutaj rozważanych piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{ab}\sin\omega t+A_{el}\cos\omega t+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\left(A_1\sin\omega_1 t+B_1\cos\omega_1 t\right)\;</MATH>|3.49}} Częstotliwość &omega;{{Sub|1}} we wzorze {{LinkWzór|3.49}} jest to wielkość opisana wzorem {{LinkWzór|3.10}}. === Układ drgający niestacjonarny spoczywający w stanie początkowym === Aby układ w stanie początkowym t=0 miał położenie zerowe, wtedy musi zachodzić B{{Sub|1}}=A{{Sub|el}}. Dalej będziemy mieli na myśli słabe tłumienie, tzn. czynnik exp(-&Gamma; t) praktycznie się wcale nie zmienia w chwili w ciągu jednego okresu, zatem dla chwili początkowej mamy {{Formuła|<MATH>\dot{x}(0)=\omega A_{ab}+\omega_1A_1\;</math>}}, ponieważ interesują nas częstotliwości rezonansowe niezbyt odległe od częstotliwości podstawowej, czyli kładziemy A{{Sub|1}}=-A{{Sub|ab}}, czyli powinno chodzić: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(0)=(\omega-\omega_1)A_{ab}\;</MATH>|3.50}} Co prędkość drgań początkowych jest równa zero, gdy zachodzi w przybliżeniu &omega;=&omega;{{Sub|1}}, lub gdy A{{Sub|ab}}=0, co implikuje &Gamma;=0. Na podstawie tychże omawianych wniosków dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{ab}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)+A_{el}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)\;</MATH>|3.51}} Gdy częstość wymuszająca drgania jest równa częstotliwości drgań tłumionych, czyli &omega;=&omega;{{Sub|1}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|3.49}} możemy powiedzieć, że zachodzi własność: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=\left[1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]\left(A_{ab}\sin\omega t+A_{el}\cos\omega t\right)=\left[1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]x_s(t)\;</MATH>|3.52}} === Oscylator niestacjonarny przy braku tłumienia === Tutaj kładziemy &Gamma;=0, wtedy amplituda absorpcyjna A{{Sub|ab}} jest równa zero, wtedy wzór na amplitudę elastyczną {{LinkWzór|3.29}} jest wyrażona przy pomocy częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości drgań wymuszonych &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{F_0}\over{M}}{{1}\over{\omega_0-\omega^2}}\;</MATH>|3.53}} Wtedy położenie masy M {{LinkWzór|3.51}}, przy powyżej kładzionych warunkach, i wzoru na amplitudę ellastyczną {{LinkWzór|3.53}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)={{F_0}\over{M}}{{\cos\omega t-\cos\omega_0 t}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|3.53a}} Jeśli wprowadzimy związki na częstotliwość średnią {{Formuła|<MATH>\omega_{sr}={{1}\over{2}}(\omega_0+\omega)\;</MATH>}} i wolnozmienną amplitudę oscylacji harmonicznych z niską częstością modulacji napisaną {{Formuła|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)\;</MATH>}}, wtedy położenie ciała w zależności od amplitudy modulacyjnej i amplitudę drgań przestawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;,</MATH>|3.54}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}={{F_0}\over{M}}{{2\sin{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|3.55}}}} Energia modulacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy modulacji określoną w punkcie {{LinkWzór|3.55}} jest określona w zależności od czasu i częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości drgań wymuszonych: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=E_0\sin^2{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t={{1}\over{2}}E_0\left[1-\cos(\omega_0-\omega)t\right]\;</MATH>|3.56}} Gdy częstotliwość &omega; jest równa częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, to wtedy położenie ciała {{LinkWzór|3.53}} możemy napisać, korzystając z wiadomości o granicach na funkcjach trygonometrycznych znanych z analizy matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)={{F_0 t}\over{M}}\sin\omega_0 t\lim_{\omega\rightarrow\omega_0}{{\sin{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t}\over{{{1}\over{2}}\left(\omega_0-\omega\right)t(\omega_0+\omega)}}={{1}\over{2}}{{F_0t}\over{M\omega_0}}\sin\omega_0t\;</MATH>|3.57}} === Drgania niestacjonarne nietrwałe i jego dudnienie === Będziemy liczyli energię drgań niestacjonarnych od czasu w przypadku słabego tłumienia, zatem w takim wypadku czynnik eksponencjalny występujący we wzorze {{LinkWzór|3.51}} w ciągu jednego okresu niewiele się zmienia, wtedy możemy rozważmy przypadek, gdy częstotliwość wymuszająca i drgań tłumionych są bardzo bliskie częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, zatem prędkość masy M liczymy jako pochodna wspomnianego wzoru w postaci przybliżonego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\left(\omega\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\omega_1\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\omega\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\omega_1\sin\omega_1 t\right)\simeq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\simeq\omega_0\left[A_{ab}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)\right]\;</MATH>|3.58}} Całkowita energia układu mechanicznego dla słabego tłumienia, piszemy przy pomocy prędkości drgań masy w zależności od czasu {{LinkWzór|3.58}} i położenia drgań tej samej masy w zależności do czasu {{LinkWzór|3.51}}: {{CentrujWzór|<math>E(t)={{1}\over{2}}M\dot{x}+{{1}\over{2}}M\omega_0^2x^2={{1}\over{2}}M\omega_0^2\Bigg\{\left[A_{ab}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)\right]^2+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left[A_{ab}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)+A_{el}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)\right]^2\Bigg\}={{1}\over{2}}M\omega_0^2\Bigg( A_{ab}^2\cos^2\omega t+A_{ab}^2e^{-\Gamma t}\cos^2\omega_1 t+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+A_{el}^2\sin^2\omega t +A_{el}^2e^{-\Gamma t}\sin^2\omega_1 t-2A_{ab}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\cos\omega_1 t-2A_{ab}A_{el}\cos\omega t\sin\omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\sin\omega_1 t+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\sin\omega t-2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\cos\omega_1t\sin\omega_1 t+2A_{el}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega t\sin\omega_1 t+</MATH>{{Br}}<MATH>+A_{ab}^2\sin^2\omega t+A_{ab}^2e^{-\Gamma t}\sin^2\omega_1 t+A_{el}^2\cos^2\omega t+A_{el}^2e^{-\Gamma t}\cos^2\omega_1 t- 2A_{ab}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}\sin\omega t\sin\omega_1t+2A_{ab}A_{el}\sin\omega t\cos\omega t+</MATH>{{Br}}<MATH>-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega t\cos\omega_1 t-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1t\cos\omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\sin\omega_1t\cos\omega_1t-2A_{el}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\cos\omega_1 t \Bigg)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}M\omega_0^2\left[A_{ab}^2+A_{el}^2+(A_{ab}^2+A_{el}^2)e^{-\Gamma t}- 2(A_{ab}^2+A_{el}^2)e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos(\omega-\omega_1)t\right]=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos(\omega-\omega_1)t\right]\;</MATH>|3.59}} Funkcja kosinus mieści się w zakresie wartości od minus jedynki do jedynki, zatem kres dolny rozwiązania {{LinkWzór|3.59}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]=E\left(1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right)^2\;</MATH>|3.60}} Kres górny rozwiązania {{LinkWzór|3.56}} na podstawie własności funkcji kosinus rozważanej powyżej przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<math>E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}+2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]=E\left(1+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right)^2\;</MATH>|3.61}} {{Rysunek|Energia oscylacji drgań niestacjonarnych.jpeg|wk5|Energia oscylacji rośnie od zera i wykonuje przejściowe dudnienia, tzn. energia oscyluje pomiędzy drganiami wymuszającymi, a drganiami swobodnymi, by na samym końcu osiągnąć energię E odpowiadającego drganiom stacjonarnym.}} Według rysunku obok, gdy by nie było tłumienia, oscylacje były by draniami oscylatora harmonicznego i takie dudnienia zachodziły by bez końca. Przy istnieniu dudnienia układ swoją fazę oscylacji ustala do siły wymuszającej, by ostatecznie osiągnąć częstotliwość drgań oscylacji równą &omega;, a względna faza pomiędzy oscylatorem a siłą wymuszającą zostaje ustalona w taki sposób, by ilość energii dostarczonej do układu była równa energii traconej przez sam oscylator przez siłę oporu spowodowanej w równaniu {{LinkWzór|3.22}} przy współczynniku tłumienia &Gamma;. == Rezonans o dwóch stopniach swobody == === Drgania wymuszone dwóch wahadeł wymuszonych === {{Rysunek|Oscylacje wymuszone wahadeł sprzężonych.jpeg|wk3|Oscylacje wymuszone wahadeł sprzężonych a) stan równowagin B) układ w stanie drgań}} Równania ruchu drgań pierwszego i drugiego wahadła matematycznego, które są sprzężone ze sobą za pomocą sprężyny, do drugiej sprężyny jest podłączona siła, która zmienia się kosinusoidalnie z siłą F{{Sub|0}}cos&omega;t, to równania ruchu takiego układu są przestawione: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} M\ddot{\psi}_a=-{{Mg}\over{l}}\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)-M\Gamma\dot{\psi}_a+F_0\cos\omega t\\ M\ddot{\psi}_b=-{{Mg}\over{l}}\psi_b+K(\psi_a-\psi_b)-M\Gamma\dot{\psi}_b \end{cases}\;</MATH>|3.62}} Możemy dodać i odjąć powyższe równanie układu równań, w ten sposób otrzymać układ następny równoważny do poprzedniego układu równań: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} M(\dot{\psi}_a+\dot{\psi}_b)=-{{Mg}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)+F_0\cos\omega t\\ M(\ddot{\psi}_a-\ddot{\psi}_b)=-M\left({{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\right)(\psi_a-\psi_b)+F_0\cos\omega t\\ \end{cases}\;</MATH>|3.63}} Nasz układ posiada dwie częstotliwości podstawowe, które są przestawione w punkcie {{LinkWzór|1.125|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i {{LinkWzór|1.126|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. {{Rysunek|Amplituda elastyczna i absorpcyjna dwóch wahadeł sprężonych ze sobą, których drgania są uruchamiane przy pomocy siły wymuszającej.jpeg|wk7|Amplituda elastyczna i absorpcyjna dwóch wahadeł sprężonych ze sobą, których drgania są uruchamiane przy pomocy siły wymuszającej.}} Podamy teraz wzory na amplitudę elastyczną i absorpcyjną, wykorzystując przy okazji wzór {{LinkWzór|3.23}}, którego amplituda A jest sumą dwóch amplitud absorpcyjnych podanych dla obu częstotliwości podstawowych {{LinkWzór|3.29}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_{01}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+{{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_{02}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.64}} A amplituda elastyczna dla naszego układu zapisujemy podobnie jak przy amplitudzie absorpcyjnej podanej w punkcie {{LinkWzór|3.64}}, która ta amplituda B jest sumą amplitud elastycznych dla obu drgań amplitud elastycznych podanych w punkcie {{LinkWzór|3.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{F_0}\over{M}}{{\omega_{01}^2-\omega^2}\over{(\omega_{01}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+{{F_0}\over{M}}{{\omega^2_{02}-\omega^2}\over{(\omega_{02}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.65}} == Drgania wymuszone układów izolowanych o wielu stopniach swobody == === Wahadła sprzężone ze sobą w przybliżeniu ciągłości === Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek opisujemy przy pomocy równania {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, które dla porządku dziennego jeszcze raz powtórzymy. {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n(t)}\over{dt^2}}=-Mg{{\psi_n}\over{l}}+K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|3.66}} Załóżmy, że funkcja &psi;{{Sub|n}} jest wolno-zmienną funkcją n. Co wynika z tego, że wszystkie ciężarki znajdujące niemal blisko siebie wykonują w przybliżeniu te same drgania, zatem napiszmy teraz funkcją &psi; dla n, n+1 i n-1: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=\psi(z,t)\;</MATH>|3.67}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}(t)=\psi(z+a,t)+\psi(z,t)+a{{1}\over{2}}{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}+...\;</MATH>|3.68}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n-1}(t)=\psi(z-a,t)+\psi(z,t)-a{{1}\over{2}}{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}+...\;</MATH>|3.69}} Na podstawie {{LinkWzór|3.67}}, {{LinkWzór|3.68}} i {{LinkWzór|3.69}} można otrzymać dwie następujące tożsamości, która ta pierwsza jest różnicą funkcji wychylenia od stanu równowagi dla n+1 i dla n, a ta druga różnica jest różnicą funkcji zależnej od n dla n i n-1: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}-\psi_n=a{{\partial\psi}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.70}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n}-\psi_{n-1}=a{{\partial\psi}\over{\partial z}}-{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.71}}}} Równości {{LinkWzór|3.70}} i {{LinkWzór|3.71}} możemy podstawić do równania różniczkowo-różnicowego {{LinkWzór|3.66}}, w ten sposób otrzymać tożsamość różniczkową drugiego stopnia, z której możemy wyznaczyć funkcję &psi;, która jest rozwiązaniem równania opisującej ruch drgający: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega_0^2\psi(z,t)+{{Ka^2}\over{M}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.72}} === Równanie Kliena-Gordona === Jeśli sobie obierzemy funkcję zależną od z i t, którą jest funkcja harmoniczna zależna od czasu, pomnożonej przez amplitudę zależną od z, to jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\cos(\omega t+\varphi)A(z)\;</MATH>|3.73}} A jej drugie pochodne cząstkowe liczone względem czasu i położenia, których pierwsza jest wprost proporcjonalna do A(z), a druga do drugiej pochodnej zupełnej względem położenia kulki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\cos(\omega t+\varphi)A(z)\;</MATH>|3.74}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=\cos(\omega t+\varphi){{d^2A(z)}\over{dz^2}}\;</MATH>|3.75}}}} Wykorzystując tożsamości {{LinkWzór|3.74}} i {{LinkWzór|3.75}}, i podstawiając to wszystko do równości różniczkowej {{LinkWzór|3.72}}, wtedy możemy napisać końcowe równanie na A(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dt^2}}={{M}\over{Ka^2}}(\omega_0^2-\omega^2)A(z)\;</MATH>|3.76}} ==== Fale sinusoidalne ==== Fale sinusoidalne możemy opisać równaniem {{LinkWzór|3.76}} dla której definicja stałej k{{Sup|2}}, która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej drgań wymuszonej &omega; i częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, podajemy w tej samej linijce oba równania, co równanie falowe: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=-k^2A(z)\;</MATH>|3.77}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k^2=(\omega^2-\omega_0^2){{M}\over{Ka^2}}\;</MATH>|3.78}}}} Wtedy A(z) jest kombinacją funkcji sinus i kosinus, których argumentem jest funkcja kz, którą piszemy przy pomocy stałej A i B: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=A\sin k z+B\cos kz\;</MATH>|3.79}} Stałe A i B występujące w równaniu {{LinkWzór|3.79}} są to stałe opisywane przez warunki brzegowe. ==== Fale eksponencjalne ==== Są to fale opisywane na podstawie {{LinkWzór|3.76}}, dla którego definicję stałej &chi;{{Sup|2}}, która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej podstawowej drgań &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości wymuszonej &omega;, które te związki podajemy w jednej i tej samej linijce co równanie różniczkowe drgań tejże opisywanej fali: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=\chi ^2A(z)\;</MATH>|3.80}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi^2=(\omega_0^2-\omega^2){{M}\over{Ka^2}}\;</MATH>|3.81}}}} Rozwiązanie A(z), które jest rozwiązaniem {{LinkWzór|3.80}} piszemy jako kombinacja funkcji eksponencjalnych, których pierwsza jest funkcja malejącą do zera, a druga rosnąca do nieskończoności dla "z" coraz większego: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=Ae^{-\chi z}+Be^{\chi z}\;</MATH>|3.82}} Stałe A i B występujące w równaniu {{LinkWzór|3.82}} są stałe opisywane przez warunki brzegowe. === Związki dyspersyjne === Związki {{LinkWzór|3.78}} i {{LinkWzór|3.81}} możemy zapisać na częstotliwość kołową drgań w zależności od częstotliwości kołowej drgań zależnych od czasu i stałej liczbie falowej "k" lub "&chi;", które te związki piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;</MATH>|3.83}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{Ka^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|3.84}}}} '''Ośrodkiem dyspersyjnym''' nazywamy ośrodek w którym rozchodzą się fale sinusoidalne, a '''ośrodkiem reaktywnym''' nazywamy taki ośrodek, w którym rozchodzą się fale eksponencjalne. Ten sam ośrodek może być jednocześnie ośrodkiem dyspercyjnym lub reaktywnym dla różnych zakresów częstotliwości kołowej. === Wahadła matematycznych sprzężonych ze sobą przy pomocy jednakowych sprężynek === Równanie rózniczkowe różnicowe {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} możemy zapisać, wprowadzając częstość kołową drgań podstawowych wahadła matematycznego &omega;{{Sub|0}}, którym to w tym równaniu grupujemy wyrazy względem wyrazów z tym samym wskaźnikiem n: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}_n=-\omega_0^2\psi_n+{{K}\over{M}}\left(\psi_{n+1}-2\psi_n+\psi_{n-1}\right)\;</MATH>|3.85}} Wprowadźmy definicję wychylenia od stanu równowagi od czasu, która zależy od czasu, którą przestawiamy przy pomocy funkcji kosinus z argumentu &omega;t+&phi;, którą jest suma iloczynu częstotliwości kołowej przez czas "t" i przesunięcia fazowego &phi;, co ta funkcja trygonometryczna pomnożona jest przez amplitudę A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n=A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|3.86}} Wzór na wychylenia od stanu równowagi {{LinkWzór|3.86}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.85}}, w ten sposób mamy równość na związek dyspersyjny na &omega;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>-\omega^2A_n=-\omega_0^2-{{2K}\over{M}}A_n+{{2K}\over{M}}{{A_{n+1}+A_{n-1}}\over{2A_n}}\Rightarrow\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1-{{A_{n+1}+A_{n-1}}\over{2A_m}}\right)\;</MATH>|3.87}} ==== Zakres dyspersyjny częstości ==== Amplituda A{{Sub|n}} możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus względem argumentu kna, której definicja: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n}=A\sin kna+B\cos kna\;</MATH>|3.88}} Definicja amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, na podstawie definicji A{{Sub|n}} {{LinkWzór|3.88}} (tylko we wzorze tym zamiast n podstawiamy kolejno n+1 i n-1), wykorzystując z twierdzenia o rozdzielności mnożenia względem dodawania, by później było można zastosować twierdzenie od kosinusie sumy i kosinusie różnicy dla tych amplitud: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}=A\sin(kna+ka)+B\cos(kna +ka)\;</MATH>|3.89}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{n-1}=A\sin(kna-ka)+B\cos(kna -ka)\;</MATH>|3.90}}}} Zapiszmy sumę amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, możemy je zapisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.89}} i {{LinkWzór|3.90}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=2A\sin ka\cos kna+2B\cos kna\cos ka=2\cos ka\left(A\sin kna+B\cos kna\right)=2A\cos ka A_n\;</MATH>|3.91}} Obliczenia {{LinkWzór|3.91}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.88}} przy wykorzystaniu tożsamości trygonometrycznych na kątach połówkowych, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2+\omega_0^2+{{2K}\over{M}}(1-\cos ka)\Rightarrow\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|3.92}} ==== Dolny zakresy reaktywny częstości ==== Amplitudę A{{Sub|n}} dla zakresu reaktywnego możemy przestawić jako kombinację funkcji eksponencjalnych z argumentów różniących się znakiem w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=Ae^{-\chi na}+Be^{\chi na}\;</MATH>|3.93}} Wtedy suma amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}} możemy opisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.93}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=Ae^{\chi a}e^{\chi na}+Be^{-\chi a}e^{-\chi na}+Ae^{-\chi a}e^{\chi na}+Be^{\chi a}e^{-\chi na} =Ae^{\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)+Be^{-\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)=\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)A_n\;</math>|3.94}} Obliczenia {{LinkWzór|3.94}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|3.87}}, w ten sposób otrzymać tożsamość matematyczną, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left[1-{{1}\over{2}}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\right]=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1-\cosh \chi a\right)\;</MATH>|3.95}} Wzór {{LinkWzór|3.94}} możemy zapisać w formie podobnej do {{LinkWzór|3.92}} przy wykorzystaniu tożsamości na funkcjach hiperbolicznych, którego zapis w formie bardziej uproszczonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{4K}\over{M}}\sinh^2\left({{\chi a}\over{2}}\right)\;</MATH>|3.96}} ==== Górny zakres reaktywny ==== Przyjmijmy, że amplituda jest opisywana przez zygzakowatą (przemienną) falę eksponencjalną, której definicja: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=(-1)^n\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)\;</MATH>|3.97}} Wtedy suma amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}} możemy zapisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.97}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=-A(-1)^ne^{\chi a}e^{\chi na}-(-1)^nBe^{-\chi a}e^{-\chi na}-(-1)^nAe^{-\chi a}e^{\chi na}+(-1)^nBe^{\chi a}e^{-\chi na} =\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-A(-1)^ne^{\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)-(-1)^nBe^{-\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)=-\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)(-1)^n\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)=-\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)A_n\;</math>|3.98}} Obliczenia {{LinkWzór|3.98}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|3.87}}, w ten sposób otrzymać tożsamość, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych z znanej analizy matematycznej, doprowadzając końcowe równanie do postaci bardziej uproszczonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left[1+{{1}\over{2}}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\right]=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1+\cosh ka\right)=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\cosh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|3.99}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ieyxh17pwz4zzukbg13v4g31kyzsymp 0 21025 558547 555458 2026-10-04T16:04:35Z Persino 2851 558547 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Fale biegnące w układach otwartych i zamkniętych — rozwinięcie maksymalnie komplikujące opis fizyczny i matematyczny == Będziemy rozpatrywali tutaj układy otwarte, tzn. nie mające zewnętrznych granic w sensie fizycznym i geometrycznym, co oznacza, że obszar, w którym rozchodzi się fala, nie jest ograniczony przez powierzchnie odbijające, a energia falowa może swobodnie „uciekać” w nieskończoność, bez powrotu do źródła. Powietrze na dworze dla rozchodzących się fal dźwiękowych zachowuje się jak układ otwarty, przy czym w tym idealizowanym opisie pomijamy wszelkie efekty powstałe w wyniku odbić fal dźwiękowych od budynków, drzew, przeszkód terenowych, a także od warstw atmosfery o zmiennej gęstości. W praktyce oznacza to, że traktujemy przestrzeń jako jednorodny, izotropowy ośrodek akustyczny, w którym fala dźwiękowa rozchodzi się bez odbić i bez rozpraszania, a jedynym istotnym parametrem jest prędkość propagacji fali oraz jej częstotliwość. Rozchodzące się fale dźwiękowe w zamkniętym pomieszczeniu zachowują się natomiast jak układ zamknięty, w którym istnieją wyraźnie zdefiniowane granice — ściany, sufit, podłoga — pełniące rolę powierzchni odbijających. W takim układzie energia falowa nie może swobodnie opuścić obszaru, lecz wielokrotnie odbija się od granic, prowadząc do zjawisk interferencji, powstawania fal stojących, rezonansów własnych pomieszczenia oraz złożonych rozkładów pola akustycznego. Jeśli ścianki tego pomieszczenia pokryjemy materiałem całkowicie pochłaniającym fale dźwiękowe, to wtedy taki układ zachowuje się jak układ otwarty w sensie energetycznym: energia fali jest pochłaniana na granicach, nie wraca do wnętrza, a fala nie tworzy trwałych struktur stojących. W celu zbudowania matematycznego opisu fal biegnących, rozpatrzmy tutaj fale, których wychylenia od stanu równowagi piszemy w punkcie odniesienia {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}}, przy czym wychylenie jest funkcją czasu i ma postać klasycznych drgań harmonicznych: {{CentrujWzór|<MATH> \psi(0,t)=A\cos\omega t\; </MATH>|4.1}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\psi(0,t)</MATH>}} może reprezentować dowolną wielkość falową: wychylenie cząstki ośrodka, nadciśnienie akustyczne, prędkość cząstki, bądź inną skalarną lub wektorową składową pola falowego, sprowadzoną do jednej współrzędnej. Amplituda {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} jest stała w czasie (dla idealnych drgań harmonicznych), a częstotliwość kołowa {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} określa szybkość zmian fazy w czasie. Rozpatrzmy teraz układ, który zachowuje się tak, jak w punkcie {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}} w czasie {{Formuła|<MATH>t'</MATH>}}, przy czym czas {{Formuła|<MATH>t'</MATH>}} piszemy w zależności od czasu laboratoryjnego {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} oraz położenia {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}, w którym rozchodzi się fala z prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Idea jest następująca: fala, która w chwili {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} ma pewną fazę w punkcie {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}}, pojawi się w punkcie o współrzędnej {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} dopiero po czasie równym {{Formuła|<MATH>z/v_{f}</MATH>}}. Zatem czas „lokalny” w punkcie {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} jest opóźniony względem czasu w punkcie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH> t'=t-\frac{z}{v_{f}}\; </MATH>|4.2}} Równość {{LinkWzór|4.2}} jest kluczowa, ponieważ wyraża fundamentalną własność fal: przesunięcie w przestrzeni jest równoważne przesunięciu w czasie, przy czym współczynnikiem proporcjonalności jest prędkość fazowa {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Możemy teraz podstawić wzór {{LinkWzór|4.2}} do wzoru {{LinkWzór|4.1}}, w ten sposób otrzymać równość zależną od czasu {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} i położenia zetowego {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}, w której znajduje się fala biegnąca: {{CentrujWzór|<MATH> \psi(z,t) = \psi(0,t') = A\cos\omega t' = A\cos\omega\left(t-\frac{z}{v_{f}}\right) = A\cos\left(\omega t-\frac{\omega z}{v_{f}}\right)\; </MATH>|4.3}} Równość {{LinkWzór|4.3}} jest już pełnym opisem fali biegnącej w jednowymiarowym ośrodku, w którym fala propaguje się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} z prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Widzimy, że faza drgań zależy zarówno od czasu, jak i od położenia, a przesunięcie fazy w przestrzeni jest proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} i odwrotnie proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Dla fal biegnących, które są funkcją kosinus, zapisaną w zależności od liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} i częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}, przedstawiamy standardowy wzór: {{CentrujWzór|<MATH> \psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\; </MATH>|4.4}} Wzór {{LinkWzór|4.4}} jest kanoniczną postacią fali harmonicznej biegnącej wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}. Liczba falowa {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} określa, jak szybko faza zmienia się w przestrzeni: im większe {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, tym krótsza długość fali i tym szybciej zmienia się faza w funkcji położenia. Możemy teraz porównać wzór {{LinkWzór|4.4}} ze wzorem {{LinkWzór|4.3}}, które oznaczają to samo, w ten sposób dostajemy wniosek, że liczba falowa jest stosunkiem częstotliwości kołowej drgań harmonicznych i prędkości fazowej drgań: {{CentrujWzór|<MATH> k=\frac{\omega}{v_{f}}\; </MATH>|4.5}} Równość {{LinkWzór|4.5}} jest pierwszą fundamentalną relacją między parametrami fali: częstotliwością kołową {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}, liczbą falową {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} i prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Z tej relacji możemy natychmiast napisać definicję prędkości fazowej w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej, która jest ich stosunkiem. W tej samej linijce napiszmy dwa następne wzory określające prędkość fazową, która za pierwszym razem jest iloczynem długości falowej {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i częstotliwości {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}, a za drugim razem jest stosunkiem długości falowej przez okres drgań {{Formuła|<MATH>T</MATH>}} fal biegnących: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> v_{f}=\frac{\omega}{k}\; </MATH>|4.6}} |2={{CentrujWzór|<MATH> v_{f}=\lambda\nu\; </MATH>|4.7}} |3={{CentrujWzór|<MATH> v_{f}=\frac{\lambda}{T}\; </MATH>|4.8}} }} Równości {{LinkWzór|4.6}}–{{LinkWzór|4.8}} są różnymi, lecz równoważnymi definicjami prędkości fazowej. Wzór {{LinkWzór|4.6}} wiąże prędkość fazową bezpośrednio z parametrami falowymi {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, wzór {{LinkWzór|4.7}} jest klasyczną definicją prędkości fali jako iloczynu długości fali i częstotliwości, natomiast {{LinkWzór|4.8}} wyraża prędkość jako stosunek długości fali do okresu drgań. Aby jeszcze bardziej skomplikować i uściślić opis fazy fali, zdefiniujemy funkcję fazową, która jest zdefiniowana w zależności od częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, a także od zmiennych czasu {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} i położenia {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(z,t)=\omega t-kz\; </MATH>|4.9}} Funkcja {{Formuła|<MATH>\varphi(z,t)</MATH>}} opisuje lokalną fazę drgań w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili czasu. Linie stałej fazy {{Formuła|<MATH>\varphi=\operatorname{const}</MATH>}} reprezentują powierzchnie (w jednowymiarowym przypadku — punkty) o identycznym stanie drgań, co jest kluczowe przy analizie prędkości propagacji fali. Podamy teraz inną metodę wyprowadzenia wzoru na prędkość fazową. Na podstawie definicji funkcji fazowej {{LinkWzór|4.9}}, której różniczka jest napisana z definicji różniczki zupełnej, wyrażamy ją w zależności od częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial t}dt + \frac{\partial\varphi}{\partial z}dz = \omega dt-kdz\; </MATH>|4.10}} Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy różniczka funkcji fazowej jest równa dokładnie zero, tzn. {{Formuła|<MATH>d\varphi=0</MATH>}}. Oznacza to, że poruszamy się wzdłuż linii stałej fazy, czyli śledzimy ruch punktu, w którym faza drgań nie zmienia się w czasie. W ten sposób dostajemy równość z definicji prędkości znaną z kinematyki klasycznej, którą nazwiemy prędkością fazową: {{CentrujWzór|<MATH> v_{f} = \left(\frac{dz}{dt}\right)_{\varphi=\operatorname{const}} = \frac{\omega}{k}\; </MATH>|4.11}} Równość {{LinkWzór|4.11}} jest niezwykle istotna, ponieważ pokazuje, że prędkość fazowa jest prędkością, z jaką przesuwa się w przestrzeni punkt o stałej fazie drgań. Jest to definicja czysto kinematyczna, wynikająca z geometrii funkcji fazowej w przestrzeni {{Formuła|<MATH>(z,t)</MATH>}}. W połączeniu z wcześniejszymi definicjami {{LinkWzór|4.6}}–{{LinkWzór|4.8}} tworzy ona spójną strukturę pojęciową, w której prędkość fazowa jest jednocześnie parametrem falowym, wielkością kinematyczną oraz elementem łączącym opis czasowy i przestrzenny fali. Cały powyższy opis — od rozróżnienia układów otwartych i zamkniętych, poprzez konstrukcję funkcji {{Formuła|<MATH>\psi(z,t)</MATH>}}, aż po definicję funkcji fazowej {{Formuła|<MATH>\varphi(z,t)</MATH>}} i prędkości fazowej {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}} — stanowi fundament pełnej teorii fal biegnących w jednowymiarowych ośrodkach, zarówno ciągłych, jak i dyskretnych. W dalszych częściach można tę strukturę komplikować jeszcze bardziej, wprowadzając prędkość grupową, dyspersję, złożone widma częstotliwościowe oraz przejście do opisów w przestrzeni Fouriera. == Związek dyspersyjny dla wahadeł matematycznych sprzężonych przy pomocy sprężynek == Równanie różnicowo-różniczkowe możemy napisać wzorem {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, które dla porządku dziennego tutaj przepisujemy: {{CentrujWzór|<math>\ddot{\psi}_n=-{{g}\over{l}}\psi_n+{{K}\over{M}}\left(\psi_{n+1}-\psi_n\right)-{{K}\over{M}}(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|4.12}} Dla fal biegnących, którego wychylenie od stanu równowagi jest opisane w punkcie {{LinkWzór|4.4}}, dla której drugą pochodną cząstkową względem czasu piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}_n=-\omega^2\psi_n\;</MATH>|4.13}} Równanie {{LinkWzór|4.12}} możemy zapisać, przy pomocy zachodzącej tożsamości dla fal biegnących {{LinkWzór|4.13}}, która jest drugą pochodną cząstkową wychylenia podłużnego względem czasu, która jest iloczynem wychylenia od stanu równowagi &psi;{{Sub|n}} przez kwadrat częstotliwości kołowej drgań i to wszystko wzięte z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\left(1-{{\psi_{n+1}+\psi_{n-1}}\over{2\psi_n}}\right)\;</MATH>|4.13a}} === Harmoniczne fale biegnące === Dla fal sinusoidalnych fal biegnących wychylenie od stanu równowagi możemy przepisać w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej w zależności od zmiennej czasowej i położenia z=na: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n=A\cos(\omega t+\varphi-kz)\;</MATH>|4.14}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.14}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=A\cos(\omega t+\varphi+kna+ka)+A\cos(\omega t+\varphi+kna-ka)=2\psi_n\cos ka\;</MATH>|4.15}} Związek {{LinkWzór|4.15}} możemy podstawić do {{LinkWzór|4.13}}, w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej w zależności od liczby falowej w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{g}\over{l}}-{{2K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|4.16}} === Eksponencjalne fale biegnące w układzie otwartym === Dla fal eksponencjalnych biegnących w układzie otwartym wychylenie od stanu równowagi dla z=na zależnego od częstotliwości kołowej i stałej zaniku fal &chi;, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Ae^{-\chi z}\cos\omega t\;</MATH>|4.17}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.17}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=Ae^{-\chi kna}e^{-\chi ka}\cos \omega t+Ae^{\chi ka}e^{\chi na}\cos\omega t=Ae^{-\chi kna}\cos\omega t\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)=\psi_n\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)\;</MATH>|4.18}} Tożsamość napisana w punkcie {{LinkWzór|4.18}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.13}}, przy wykorzystaniu definicji funkcji hiperbolicznych, w ten sposób mamy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej względem wielkości stałej zaniku dla rozchodzących się fal biegnących eksponencjalnych: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{4K}\over{M}}\sinh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|4.19}} === Przemienne eksponencjalne fale biegnące w układzie otwartym === Dla fal eksponencjalnych biegnących w układzie otwartym wychylenie od stanu równowagi, dla z=na zależnego od częstotliwości kołowej i stałej zaniku fal &chi;, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(-1)^ne^{-\chi z}\cos\omega t\;</MATH>|4.20}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.20}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=-A(-1)^ne^{-\chi kna}e^{-\chi ka}\cos \omega t-Ae^{\chi ka}(-1)^ne^{\chi na}\cos\omega t=-Ae^{-\chi kna}(-1)^n\cos\omega t\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)=-\psi_n\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)\;</MATH>|4.21}} Tożsamość napisana w punkcie {{LinkWzór|4.21}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.13}}, przy wykorzystaniu definicji funkcji hiperbolicznych, w ten sposób mamy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej w zależności od stałej zaniku &chi; dla rozchodzących się fal biegnących: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\cosh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|4.22}} === Prędkość fazowa fal poprzecznych rozchodzącej się w strunie obciążonymi ciężarkami === Prędkość fazowa rozchodzenia się fal w strunie obciążonej sprężynkami możemy napisać, patrząc na definicję kwadratu częstotliwości kołowej {{LinkWzór|2.71|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, z którego wyznaczymy samą częstotliwość, co po podzieleniu jego obustronnie przez liczbę falową "k" otrzymamy prędkość fazową: {{CentrujWzór|<MATH>v_f={{\omega}\over{k}}=2\sqrt{{T_0}\over{Ma}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{k}}\;</MATH>|4.23}} Biorąc przypadek dla małej liczby falowej "k", wtedy obliczenia dla wzoru {{LinkWzór|4.23}} przeprowadzamy tak jak w punkcie {{LinkWzór|2.77|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, w ten sposób możemy otrzymać wzór na prędkość fazową w przybliżeniu małej liczby falowej, wykorzystując przy tym definicję masowej gęstości liniowej, zatem dokonajmy tychże obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>v_f=\sqrt{{T_0a}\over{M}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{{{ka}\over{2}}}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}{{{{ka}\over{2}}-{{1}\over{6}}\left({{ka}\over{2}}\right)^3+...}\over{{{ka}\over{2}}}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}\left(1-{{1}\over{24}}(ka)^2+...\right)\simeq\sqrt{{T_0a}\over{M}}=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.24}} === Prędkość fazowa fal podłużnych rozchodzącej się w strunie obciążonymi ciężarkami === Prędkość rozchodzenia się fal w zależności liczby falowej możemy przestawić, wykorzystując wzór na kwadrat częstotliwości kołowej {{LinkWzór|2.79|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} z którego wyznaczymy samą częstotliwość, co po podzieleniu jego przez liczbę falową "k", w ten sposób dostajemy wzór na prędkość fazową rozchodzenia się fal: {{CentrujWzór|<MATH>v_f={{\omega}\over{k}}=2\sqrt{{{K}\over{M}}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{k}}\;</MATH>|4.25}} Dokonując podobnych obliczeń jak w punkcie {{LinkWzór|4.24}} dla k bardzo małego, w ten sposób, wykorzystując definicję gęstości liniowej, by otrzymać później tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>v_f=\sqrt{{Ka^2}\over{M}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{{{ka}\over{2}}}}\simeq\sqrt{{Ka^2}\over{M}}=\sqrt{{Ka}\over{\rho_0}}=\sqrt{{{K_LL}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.26}} bo zachodzi K{{Sub|L}}L=Ka, w którym każda sprężyna ma współczynnik sprężystości równej K, sprężynki wszystkie razem wzięte mają współczynnik sprężystości K{{Sub|L}} i dlatego tak powinniśmy napisać. == Prędkość rozchodzenia się dźwięku w naczyniu == Będziemy tutaj wyprowadzać równanie rządzącego przy rozchodzącego się dźwięku w danym ośrodku, znając pochodną zupełną ciśnienia względem objętości w stanie równowagi danego ośrodka, tutaj będziemy się zajmować powietrzem, ale związek , który tutaj otrzymamy jest zgodny dla innych ośrodków sprężystych a także dla powietrza. Powietrze znajdujące się w naczyniu zachowuje się jak sprężynka o stałej sprężystości K{{Sub|L}}, którego długość jest L{{Sub|1}}, która zostaje ściśnięta do długości L, a siła wywierana na ścianki naczynia jest wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=-K_L(L-L_1)\;</MATH>|4.27}} Możemy zróżniczkować tożsamość {{LinkWzór|4.27}}, w ten sposób otrzymać równość różniczkową: {{CentrujWzór|<math>dF=-K_LdL\;</MATH>|4.28}} Z drugiej jednak strony powiedźmy, gdy nastąpi zmiana długości sprężyny dL towarzyszy zmiana ciśnienia dp i zmiana siły wywieranej dF, zatem tą siłę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dF=Adp=A\left({{dp}\over{dV}}\right)_0A dL=A^2\left({{dp}\over{dV}}\right)dL\;</MATH>|4.29}} Porównując wzory {{LinkWzór|4.29}} z {{LinkWzór|4.28}} możemy napisać tożsamość na współczynnik sprężystości powietrza: {{CentrujWzór|<MATH>K_L=-A^2{{dp}\over{dV}}\;</MATH>|4.30}} Gęstość liniową masy możemy powiązać z gęstością objętościową, która jak udowodnimy gęstość liniowa masy jest równa iloczynowi gęstości objętościowej pomnożonej przez powierzchnię przekroju ośrodka, w której dźwięk rozchodzi się względem linii prostopadłej względem tego przekroju, według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{0L}L_0=\rho_{0V}AL_0\Rightarrow \rho_{0L}=\rho_{0V}A\;</MATH>|4.31}} Wzory {{LinkWzór|4.30}} i {{LinkWzór|4.31}} możemy podstawić do wzoru końcowego {{LinkWzór|4.24}}, w ten sposób otrzymujemy końcową równość na kwadrat prędkości rozchodzenia się dźwięku: {{CentrujWzór|<MATH>v^2={{K_LL}\over{\rho_{0L}}}=\left({{-A^2{{dp}\over{dV}}L}\over{\rho_{0V}A}}\right)=-{{-AL\left({{dp}\over{dV}}\right)_0}\over{\rho_{0V}}}=-{{V_0}\over{\rho_0}}\left({{dp}\over{dV}}\right)_0\;</MATH>|4.32}} === Prędkość rozchodzenia się fal w powietrzu === Biorąc równanie stanu gazu doskonałego dla izotermy, czyli pod stałą temperaturą, wyznaczać z niego będziemy ciśnienie panujące w panujące gazie w zależności od jej objętości: {{CentrujWzór|<MATH>pV=p_0V_0\Rightarrow p={{p_0 V_0}\over{V}}\;</MATH>|4.33}} Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną ciśnienia {{LinkWzór|4.33}} względem objętości V, i kładąc V=V{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp}\over{dV}}=-{{p_0V_0}\over{V^2}}\Rightarrow V_0\left({{dp}\over{dV}}\right)_0=-p_0\;</MATH>|4.34}} Wzór {{LinkWzór|4.34}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.32}}, w ten sposób dostajemy równość, którą wyrażamy w zależności od ciśnienia gazu i jego gęstości objętościowej: {{CentrujWzór|<MATH>v=\sqrt{{{p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.35}} === Poprawka do modelu dotyczącego prędkości rozchodzenia się dźwięku === Model opisujący prędkość dźwięku w gazie opisaną w punkcie {{LinkWzór|4.35}} jest modelem tylko dobrym, tylko jest jedyna różnica, że w tym modelu prędkość dźwięku jest napisana z błędem 15% w porównaniem z prędkością dźwięku policzonego z doświadczenia, zatem ten model zawiera pewne błędy, który świadczy, że zastosowaliśmy model gazu doskonałego dla stałej temperatury układu. Lepszym modelem jest równanie adiabaty. W porównaniu modelu Boyla i adiabaty przy sprężaniu gazu ciśnienie jest nieco większe a przy rozprężaniu jest nieco mniejsze. Podczas rozprężaniu i sprężenia gazu temperatura gazu nie jest w rzeczywiści stała w danym punkcie przestrzeni. Biorąc równanie stanu gazu doskonałego dla adiabaty, czyli układu nie wymieniającego się energii z otoczeniem, wyznaczać z niego będziemy ciśnienie panujące w gazie w zależności od jej objętości: {{CentrujWzór|<math>pV^{\kappa}=p_0V^{\kappa}_0\Rightarrow p=p_0V_0^{\kappa}V^{-\kappa}\;</MATH>|4.36}} Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną ciśnienia {{LinkWzór|4.37}} względem objętości V, i kładąc V=V{{Sub|0}}, by w ten sposób otrzymać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp}\over{dv}}=-\kappa p_0V^{\kappa}_0V^{-\kappa-1}\Rightarrow V_0\left({{dp}\over{dV}}\right)_0=-\kappa p_0\;</MATH>|4.37}} Wzór {{LinkWzór|4.37}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.32}}, w ten sposób otrzymać równość na prędkość fazową rozchodzenia się fal dźwiękowych, którą wyrażamy w zależności od ciśnienia gazu i jego gęstości objętościowej, która panuje w stanie równowagi: {{CentrujWzór|<MATH>v=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.38}} === Prędkość fazowa w linii przesyłowym === Częstotliwość fazową linii przesyłowej możemy przestawić poprzez wzór {{LinkWzór|2.83|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, który możemy przestawić w granicy małych liczb falowych w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{4}\over{LC}}\sin^2 {{ka}\over{2}}\simeq {{4}\over{LC}}{{k^2a^2}\over{4}}={{a^2k^2}\over{LC}}\;</MATH>|4.39}} Kwadrat prędkości fazowej przestawiamy z jego definicji {{LinkWzór|4.11}} dla małych liczb falowych, która jest przestawiona jako odwrotność iloczynu ilorazu indukcji własnej przez przez długość linii przez iloraz pojemności linii przez jej długość: {{CentrujWzór|<MATH>v_f^2={{\omega^2}\over{k^2}}={{{{a^2k^2}\over{LC}}}\over{k^2}}={{a^2}\over{LC}}={{1}\over{{{L}\over{a}}{{C}\over{a}}}}\;</MATH>|4.40}} === Dolnoprzepustowa linia przesyłowa === {{Rysunek|Dolno przepustowa linia cylindryczna.jpeg|wk2|Dolno przepustowa linia cylindryczna}} Z prawa Gaussa dla elektrostatyki, w zależności od ładunku znajdującego się wewnętrznej powierzchni możemy opisać z tego prawa wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>-E\epsilon_0 2\pi r a=Q\Rightarrow E=-{{Q}\over{2\pi \epsilon_0r a}}\;</MATH>|4.41}} Wyznaczmy teraz różnicę potencjału między dolną częścią a jej górną częścią kondensatora, którą możemy przestawić według obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>-{{d\varphi}\over{dr}}=-{{Q}\over{2\pi\epsilon_0 r a}}\Rightarrow d\varphi={{Q}\over{2\pi\epsilon_0 r a}}dr\Rightarrow U={{Q}\over{2\pi\epsilon_0a}}\ln{{r+D}\over{r}}\;</MATH>|4.42}} Całkowita pojemność kondensatora {{LinkWzór|4.40}} jest przestawiana z jego definicji jako iloraz ładunku na okładkach kondensatora cylindrycznego przez jego różnicę potencjałów pomiędzy cylindrycznymi okładkami: {{CentrujWzór|<MATH>C={{Q}\over{U}}={{2\pi\epsilon_0 a}\over{\ln{{r+D}\over{r}}}}\;</MATH>|4.43}} Wyznaczmy indukcję magnetyczną pola magnetycznego znajdującego się w kondensatorze pomiędzy jego okładkami: {{CentrujWzór|<MATH>B2\pi r=\mu_0I\Rightarrow B={{\mu_0I}\over{2\pi r}}\;</MATH>|4.44}} Policzmy strumień indukcji pola magnetycznego z jego formalnej definicji, a później indukcję własną: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi=\int_r^{r+D} B dr a=a\int_r^{r+D} {{\mu_0I}\over{2\pi r}}dr={{\mu_0aI}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}\Rightarrow L={{\mu_0a}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}\;</MATH>|4.45}} Napiszmy teraz iloczyn pojemności elektrycznej kondensatora C i indukcyjności z jej definicji, tzn. {{LinkWzór|4.41}} i {{LinkWzór|4.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>LC={{2\pi\epsilon_0 a}\over{\ln{{r+D}\over{r}}}}{{\mu_0a}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}= \mu_0\epsilon_0 a^2\Rightarrow {{C}\over{a}}{{L}\over{a}}={{1}\over{c^2}}\;</MATH>|4.46}} Jeśli popatrzymy na wzór na kwadrat prędkości fazowej {{LinkWzór|4.40}} i na wzór {{LinkWzór|4.46}} dowiadujemy się, że prędkość fazowa jest równa prędkości światła w dolnoprzepustowej linii przesyłowej. === Linia przesyłowa zrobiona przy pomocy dwóch równoległych pasków przewodzących === {{Rysunek|Linia przesyłowa składająca się z dwóch pasków.jpeg|wk1|Linia przesyłowa zbudowana przy pomocy równoległych pasków przewodzących}} Różnica potencjałów między paskami określamy z jego definicji, a także natężenie pola elektrycznego określamy z prawa Gaussa, piszemy je związkami: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>U=gE_x\;</MATH>|4.47}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x={{Q}\over{\epsilon_0wa}}\;</MATH>|4.48}}}} Pojemność elektryczna, która jest ilorazem ładunku znajdującego na kondensatorze przez różnicę potencjału znajdującego się na okładkach, wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>C={{Q}\over{U}}={{Q}\over{gE_x}}={{Q}\over{g{{Q}\over{\epsilon_0wa}}}}\Rightarrow{{C}\over{a}}={{w\epsilon_0}\over{g}}\;</MATH>|4.49}} Strumień indukcji pola magnetycznego względem powierzchni bocznej możemy określić jako iloczyn igrekowej współrzędnej indukcji pola magnetycznego przez powierzchnię o wartości ga: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi=B_yga\;</MATH>|4.50}} Z prawa Stokesa możemy również powiedzieć, że iloczyn współrzędnej igrekowej pola magnetycznego i długości bocznej kondensatora jest równa iloczynowi przenikalności magnetycznej ośrodka, w którym jest próżnia, przez natężenie prądu elektrycznego płynącego w linii: {{CentrujWzór|<MATH>wB_y=\mu_0I\Rightarrow B_y=\mu_0{{I}\over{w}}\;</MATH>|4.51}} Wzór na indukcję pola magnetycznego a właściwie na jej współrzędną igrekową podstawiamy do {{LinkWzór|4.50}}, wykorzystując definicję indukcyjności własnej, możemy pisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi= LI=\mu_0{{Iga}\over{w}}\Rightarrow {{L}\over{a}}={{\mu_0g}\over{w}}\;</MATH>|4.52}} Mnożymy wzory {{LinkWzór|4.49}} i {{LinkWzór|4.52}}, w ten sposób otrzymujemy odwrotność na kwadrat prędkości światła w próżni: {{CentrujWzór|<MATH>{{C}\over{a}}{{L}\over{a}}= {{w\epsilon_0}\over{g}}{{\mu_0g}\over{w}}=\mu_0\epsilon_0={{1}\over{c^2}}\;</MATH>|4.53}} Patrząc wzór na kwadrat prędkości fazowej {{LinkWzór|4.40}} i definicję iloczynu ilorazu pojemności linii przesyłowej przez "a" i przez iloraz indukcji pola magnetycznego przez "a". dowiadujemy się, że prędkość fazową linii przesyłowej jest równa prędkości światła w próżni "c". == Zjawisko załamania światła i dyspersja == {{Rysunek|Załamanie promieni świetlnych przechodzącej z ośrodka pierwszego do drugiego.png|wk3|Zjawisko załamania promieni świetlnych}} Z rysunku obok otrzymujemy natychmiast, następujące dwa równania, które wynikają z rysunku obok: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{v_1t}\over{d}}=\sin\theta_1\;</MATH>|4.54}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{v_2t}\over{d}}=\sin\theta_2\;</MATH>|4.55}}}} Dzielimy wzory {{LinkWzór|4.54}} i {{LinkWzór|4.55}} względem siebie, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{v_1}\over{v_2}}={{\sin\theta_1}\over{\sin\theta_2}}\Rightarrow{{c}\over{v_1}}\sin\theta_1={{c}\over{v_2}}\sin\theta\;</MATH>|4.56}} Teraz wykorzystamy definicję współczynnika załamania n=c/v dla rozważanego ośrodka pierwszego i drugiego, to na podstawie tego równość {{LinkWzór|4.56}} przepisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\;</MATH>|4.57}} === Wyprowadzenie wzoru na współczynnik załamania promieni świetlnych === Względna przenikalność elektryczną możemy przepisać według następującego schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\;</MATH>|4.58}} Dalszym krokiem jest wyprowadzenie wzoru na współczynnik przenikalność elektryczną względną, wiedząc że <MATH>_{\vec{P}=\chi\epsilon_0\vec{E}}\;</MATH>, którego przestawienie jest: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r\epsilon_0\vec{E}=\epsilon_0\vec{E}+\epsilon_0\chi\vec{E}\Rightarrow\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|4.59}} Na podstawie alternatywnej definicji polaryzacji elektrycznej P=Nqx(t) przenikalność względna elektryczna możemy przepisać do: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+{{Nqx(t)}\over{\epsilon_0E(t)}}\;</MATH>|4.60}} Napiszmy teraz równanie ruchu ładunku elektrycznego, który napiszemy za pomocą częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}}, współczynnika tłumienia &Gamma;, i przy pomocy natężenia pola elektrycznego zmieniającego się według funkcji kosinus E(t)=E{{Sub|0}}cos&omega;t, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2-M\Gamma\dot{x}+qE(t)\;</MATH>|4.61}} Położenie ciała o masie M możemy zapisać jako rozwiązanie równania {{LinkWzór|4.61}} przy pomocy amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} według: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos\omega t+A_{ab}\cos\omega t\;</MATH>|4.62}} Rozważmy sobie ośrodek przezroczysty, takich jak szkło, woda, są one przezroczyste i nie następuje wtedy absorpcja promieni świetlnych. Dla ośrodków barwnych, nastepuje absorpcja wszystkich częstości oprócz jednej, i interesują nam te częstości, które są daleko od częstości rezonansowych, wtedy amplituda absorpcyjna według {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} jest w przybliżeniu równa zero, zatem istnieje tylko amplituda elastyczna, która jest równa dla naszego przypadku według {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}= {{c^2}\over{{{c^2}\over{\mu_r\epsilon_r}}}}=\mu_r\epsilon_r\simeq \epsilon_r=1+{{Nqx(t)}\over{\epsilon_0E(t)}}=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{\omega_0^2-\omega^2}} \;</MATH>|4.63}} Powyżej skorzystano z definicji współczynnika załamania, a także z definicji prędkości światła w ośrodku materialnym, dla którego względna przenikalność magnetyczna jest w przybliżeniu równa jeden. Jeśli powiązać kwadrat współczynnika załamania z liczbą falową, z częstotliwością kołową i z prędkością światła w próżni, to wtedy wzór {{LinkWzór|4.63}} jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{c^2k^2}\over{\omega^2}}=n^2=\epsilon_r=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|4.64}} Związek {{LinkWzór|4.64}} jest związkiem liczby falowej z częstotliwością kołową, który jest związkiem dyspersyjnych dla światła widzialnego. == Strumień energii i impedancja == Prędkość fazową rozchodzenia się fal w strunie obciążonych punktowymi ciężarkami określamy jako pierwiastek z stosunku siły napięcia działająca na strunę T{{Sub|0}} i gęstości liniowej struny &rho;{{Sub|0}}, a impedancję charakterystyczną nazywamy pierwiastek z iloczynu gęstości liniowej struny i siły napięcia, których definicje tychże wielkości określamy poprzez wzory: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>v_f=\sqrt{{T_0}\over{\rho_0}}\;</MATH>|4.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Z=\sqrt{\rho_o T_0}\;</MATH>|4.66}}}} Poniżej podamy również wzór na impedancję w tej samej strunie, ale dla drgań poprzecznych. === Fale poprzeczne biegnące w strunie ciągłej === Całkowita siła iksowa działająca na ciągłą strunę wywołująca jego ruch falowy w postaci fal biegnących określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T\sin\theta=T\cos\theta{{\sin\theta}\over{\cos\theta}}=T_{0}\operatorname{tg}\theta=T_0{{\partial \psi}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.67}} === Wprowadzenie do definicji impedancji charakterystycznej === Każdy element struny ciągłej wykonuje ruch harmoniczny określanych jako funkcja, dla której jest ona wprost proporcjonalna do kosinusa z argument różnicy iloczynu częstotliwości kołowej przez czas i iloczynu liczby falowej przez położenie danego elementu struny, co jego definicja tejże funkcji piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|4.68}} Pierwsza pochodna wychylenia od stanu równowagi &psi;(z,t) względem położenia z i czasu t struny piszemy przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=kA\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|4.69}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|4.70}}}} {{Rysunek|Emisja poprzeczna fali biegnącej.jpeg|wk6|Wytwarzanie fal biegnących. a) równowaga, b)ogólna konfiguracja}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|4.69}} i {{LinkWzór|4.70}} możemy napisać wzór łączący pochodną cząstkową wychylenia od stanu równowagi {{LinkWzór|4.42}} względem położenia z i pochodnej cząstkową wychylenia względem czasu w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=-{{1}\over{v_f}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.71}} Całkowita siła działająca na strunę ze strony generatora {{LinkWzór|4.65}} możemy napisać, wykorzystując wniosek {{LinkWzór|4.71}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-{{T_0}\over{v_f}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.72}} Wprowadźmy teraz impedancję, jest ona stosunkiem siły T{{Sub|0}} i prędkości fazowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z={{T_0}\over{v_f}}={{T_0}\over{\sqrt{{T_0}\over{\rho_0}}}}=\sqrt{T_0\rho_0}\;</MATH>|4.73}} Przy definicji impedancji {{LinkWzór|4.73}} wzór na siłę iksowa działającą na strunę ciągłą określamy jako iloczyn pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi &psi; względem czasu "t" przez impedancję Z, to razem wszystko wzięte z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-Z{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.74}} === Moc wytwarzana przez generator drgań struny === Całkowita wytwarzana moc w czasie "t" jest iloczynem siły F{{Sub|x}} zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|4.74}} i prędkości wychylenia od stanu równowagi, która jest pochodną cząstkową wychylenia &psi; względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>P(t)=F_x{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\left(Z{{\partial\psi}\over{\partial t}}\right){{\partial\psi}\over{\partial t}}=Z\left({{\partial\psi}\over{\partial t}}\right)^2\;</MATH>|4.75}} Innym sposobem wyprowadzenie mocy wytwarzanej przez generator jest opisany przez wzór w zależności od pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia względem położenia: {{CentrujWzór|<MATH>P(t)=F_x{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]{{\partial\psi}\over{\partial t}}= \left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]\left[-v_f{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]={{v_f}\over{T_0}}\left[-T_0{{\partial \psi}\over{\partial z}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.76}} === Promieniowanie wytarzane przez układ sprężynek i mas === {{Rysunek|Emisja promieniowania fal podłużnych przez generator.jpeg|wk7|Emisja promieniowania fal podłużnych przez generator. a)Równowaga. b) układ w ruchu.}} Niech mamy układ sprężynek, które łączą jednakowe masy, wtedy wielkość odpowiadająca wielkości napięcia w strunie T{{Sub|0}} jest wielkość Ka, wtedy impedancję możemy określić jako pierwiastek z wielkości Ka i gęstości masowej liniowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z={{Ka}\over{\sqrt{{{Ka}\over{\rho_0}}}}}=\sqrt{Ka\rho_0}\;</MATH>|4.77}} Całkowita moc wytwarzana przez generator podczas wytwarzania fal podłużnych w układzie sprężynek w zależności od czasu "t" lub położenia jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>P(z,t)=Z\left[{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-Ka{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.78}} Całkowita siła działająca na układ mas sprężynek przy założeniu, że w stanie równowagi sprężynki pozostają napięte z siłą F{{Sub|0}}, która nie wpływa na ruch drgający układów kulek, jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=F_0-Ka{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.79}} === Fale głosowe === Prędkość fazowa fal dźwiękowej jest określana przez wzór {{LinkWzór|4.38}}, porównując ten wzór z {{LinkWzór|4.26}} (w tym drugim mamy gęstość liniową, a w tym pierwszym gęstość objętościową), dochodzimy do wniosku, że rolę napięcia sprężyny spełnia &kappa;p{{Sub|0}}, wtedy impedancję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\sqrt{\kappa p_0\rho_0}\;</MATH>|4.80}} Natężenia fali dźwiękowej można napisać na podstawie tożsamości {{LinkWzór|4.76}} określoną względem pochodnej wychylenia podłużnego &psi;(z,t) względem czasu "t" lub położenia "z": {{CentrujWzór|<MATH>I(z,t)=Z\left[{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-\kappa p_0{{\partial \psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.81}} Siłą działająca na jednostkę powierzchni określamy względem stałego ciśnienia panującego w ośrodku p{{Sub|0}}, która to fala dźwiękowa zaburza stałe nasze ciśnienie atmosferyczne przy pomocy członu harmonicznego, który powoduje, że mamy raz ciśnienie wyższe, a za drugim niższe od naszego rozważanego ciśnienia p{{Sub|0}}. {{CentrujWzór|<math>{{F_x}\over{A}}=p_0-\kappa p_0{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.82}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ktbd0k48j0o5qypqn3eteb31eelpwqa 558554 558547 2026-10-04T16:38:25Z Persino 2851 558554 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Fale biegnące w układach otwartych i zamkniętych — rozwinięcie maksymalnie komplikujące opis fizyczny i matematyczny == Będziemy rozpatrywali tutaj układy otwarte, tzn. nie mające zewnętrznych granic w sensie fizycznym i geometrycznym, co oznacza, że obszar, w którym rozchodzi się fala, nie jest ograniczony przez powierzchnie odbijające, a energia falowa może swobodnie „uciekać” w nieskończoność, bez powrotu do źródła. Powietrze na dworze dla rozchodzących się fal dźwiękowych zachowuje się jak układ otwarty, przy czym w tym idealizowanym opisie pomijamy wszelkie efekty powstałe w wyniku odbić fal dźwiękowych od budynków, drzew, przeszkód terenowych, a także od warstw atmosfery o zmiennej gęstości. W praktyce oznacza to, że traktujemy przestrzeń jako jednorodny, izotropowy ośrodek akustyczny, w którym fala dźwiękowa rozchodzi się bez odbić i bez rozpraszania, a jedynym istotnym parametrem jest prędkość propagacji fali oraz jej częstotliwość. Rozchodzące się fale dźwiękowe w zamkniętym pomieszczeniu zachowują się natomiast jak układ zamknięty, w którym istnieją wyraźnie zdefiniowane granice — ściany, sufit, podłoga — pełniące rolę powierzchni odbijających. W takim układzie energia falowa nie może swobodnie opuścić obszaru, lecz wielokrotnie odbija się od granic, prowadząc do zjawisk interferencji, powstawania fal stojących, rezonansów własnych pomieszczenia oraz złożonych rozkładów pola akustycznego. Jeśli ścianki tego pomieszczenia pokryjemy materiałem całkowicie pochłaniającym fale dźwiękowe, to wtedy taki układ zachowuje się jak układ otwarty w sensie energetycznym: energia fali jest pochłaniana na granicach, nie wraca do wnętrza, a fala nie tworzy trwałych struktur stojących. W celu zbudowania matematycznego opisu fal biegnących, rozpatrzmy tutaj fale, których wychylenia od stanu równowagi piszemy w punkcie odniesienia {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}}, przy czym wychylenie jest funkcją czasu i ma postać klasycznych drgań harmonicznych: {{CentrujWzór|<MATH> \psi(0,t)=A\cos\omega t\; </MATH>|4.1}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\psi(0,t)</MATH>}} może reprezentować dowolną wielkość falową: wychylenie cząstki ośrodka, nadciśnienie akustyczne, prędkość cząstki, bądź inną skalarną lub wektorową składową pola falowego, sprowadzoną do jednej współrzędnej. Amplituda {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} jest stała w czasie (dla idealnych drgań harmonicznych), a częstotliwość kołowa {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} określa szybkość zmian fazy w czasie. Rozpatrzmy teraz układ, który zachowuje się tak, jak w punkcie {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}} w czasie {{Formuła|<MATH>t'</MATH>}}, przy czym czas {{Formuła|<MATH>t'</MATH>}} piszemy w zależności od czasu laboratoryjnego {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} oraz położenia {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}, w którym rozchodzi się fala z prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Idea jest następująca: fala, która w chwili {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} ma pewną fazę w punkcie {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}}, pojawi się w punkcie o współrzędnej {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} dopiero po czasie równym {{Formuła|<MATH>z/v_{f}</MATH>}}. Zatem czas „lokalny” w punkcie {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} jest opóźniony względem czasu w punkcie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH> t'=t-\frac{z}{v_{f}}\; </MATH>|4.2}} Równość {{LinkWzór|4.2}} jest kluczowa, ponieważ wyraża fundamentalną własność fal: przesunięcie w przestrzeni jest równoważne przesunięciu w czasie, przy czym współczynnikiem proporcjonalności jest prędkość fazowa {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Możemy teraz podstawić wzór {{LinkWzór|4.2}} do wzoru {{LinkWzór|4.1}}, w ten sposób otrzymać równość zależną od czasu {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} i położenia zetowego {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}, w której znajduje się fala biegnąca: {{CentrujWzór|<MATH> \psi(z,t) = \psi(0,t') = A\cos\omega t' = A\cos\omega\left(t-\frac{z}{v_{f}}\right) = A\cos\left(\omega t-\frac{\omega z}{v_{f}}\right)\; </MATH>|4.3}} Równość {{LinkWzór|4.3}} jest już pełnym opisem fali biegnącej w jednowymiarowym ośrodku, w którym fala propaguje się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} z prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Widzimy, że faza drgań zależy zarówno od czasu, jak i od położenia, a przesunięcie fazy w przestrzeni jest proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} i odwrotnie proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Dla fal biegnących, które są funkcją kosinus, zapisaną w zależności od liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} i częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}, przedstawiamy standardowy wzór: {{CentrujWzór|<MATH> \psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\; </MATH>|4.4}} Wzór {{LinkWzór|4.4}} jest kanoniczną postacią fali harmonicznej biegnącej wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}. Liczba falowa {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} określa, jak szybko faza zmienia się w przestrzeni: im większe {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, tym krótsza długość fali i tym szybciej zmienia się faza w funkcji położenia. Możemy teraz porównać wzór {{LinkWzór|4.4}} ze wzorem {{LinkWzór|4.3}}, które oznaczają to samo, w ten sposób dostajemy wniosek, że liczba falowa jest stosunkiem częstotliwości kołowej drgań harmonicznych i prędkości fazowej drgań: {{CentrujWzór|<MATH> k=\frac{\omega}{v_{f}}\; </MATH>|4.5}} Równość {{LinkWzór|4.5}} jest pierwszą fundamentalną relacją między parametrami fali: częstotliwością kołową {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}, liczbą falową {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} i prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Z tej relacji możemy natychmiast napisać definicję prędkości fazowej w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej, która jest ich stosunkiem. W tej samej linijce napiszmy dwa następne wzory określające prędkość fazową, która za pierwszym razem jest iloczynem długości falowej {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i częstotliwości {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}, a za drugim razem jest stosunkiem długości falowej przez okres drgań {{Formuła|<MATH>T</MATH>}} fal biegnących: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH> v_{f}=\frac{\omega}{k}\; </MATH>|4.6}} |2={{CentrujWzór|<MATH> v_{f}=\lambda\nu\; </MATH>|4.7}} |3={{CentrujWzór|<MATH> v_{f}=\frac{\lambda}{T}\; </MATH>|4.8}} }} Równości {{LinkWzór|4.6}}–{{LinkWzór|4.8}} są różnymi, lecz równoważnymi definicjami prędkości fazowej. Wzór {{LinkWzór|4.6}} wiąże prędkość fazową bezpośrednio z parametrami falowymi {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, wzór {{LinkWzór|4.7}} jest klasyczną definicją prędkości fali jako iloczynu długości fali i częstotliwości, natomiast {{LinkWzór|4.8}} wyraża prędkość jako stosunek długości fali do okresu drgań. Aby jeszcze bardziej skomplikować i uściślić opis fazy fali, zdefiniujemy funkcję fazową, która jest zdefiniowana w zależności od częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, a także od zmiennych czasu {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} i położenia {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(z,t)=\omega t-kz\; </MATH>|4.9}} Funkcja {{Formuła|<MATH>\varphi(z,t)</MATH>}} opisuje lokalną fazę drgań w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili czasu. Linie stałej fazy {{Formuła|<MATH>\varphi=\operatorname{const}</MATH>}} reprezentują powierzchnie (w jednowymiarowym przypadku — punkty) o identycznym stanie drgań, co jest kluczowe przy analizie prędkości propagacji fali. Podamy teraz inną metodę wyprowadzenia wzoru na prędkość fazową. Na podstawie definicji funkcji fazowej {{LinkWzór|4.9}}, której różniczka jest napisana z definicji różniczki zupełnej, wyrażamy ją w zależności od częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial t}dt + \frac{\partial\varphi}{\partial z}dz = \omega dt-kdz\; </MATH>|4.10}} Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy różniczka funkcji fazowej jest równa dokładnie zero, tzn. {{Formuła|<MATH>d\varphi=0</MATH>}}. Oznacza to, że poruszamy się wzdłuż linii stałej fazy, czyli śledzimy ruch punktu, w którym faza drgań nie zmienia się w czasie. W ten sposób dostajemy równość z definicji prędkości znaną z kinematyki klasycznej, którą nazwiemy prędkością fazową: {{CentrujWzór|<MATH> v_{f} = \left(\frac{dz}{dt}\right)_{\varphi=\operatorname{const}} = \frac{\omega}{k}\; </MATH>|4.11}} Równość {{LinkWzór|4.11}} jest niezwykle istotna, ponieważ pokazuje, że prędkość fazowa jest prędkością, z jaką przesuwa się w przestrzeni punkt o stałej fazie drgań. Jest to definicja czysto kinematyczna, wynikająca z geometrii funkcji fazowej w przestrzeni {{Formuła|<MATH>(z,t)</MATH>}}. W połączeniu z wcześniejszymi definicjami {{LinkWzór|4.6}}–{{LinkWzór|4.8}} tworzy ona spójną strukturę pojęciową, w której prędkość fazowa jest jednocześnie parametrem falowym, wielkością kinematyczną oraz elementem łączącym opis czasowy i przestrzenny fali. Cały powyższy opis — od rozróżnienia układów otwartych i zamkniętych, poprzez konstrukcję funkcji {{Formuła|<MATH>\psi(z,t)</MATH>}}, aż po definicję funkcji fazowej {{Formuła|<MATH>\varphi(z,t)</MATH>}} i prędkości fazowej {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}} — stanowi fundament pełnej teorii fal biegnących w jednowymiarowych ośrodkach, zarówno ciągłych, jak i dyskretnych. W dalszych częściach można tę strukturę komplikować jeszcze bardziej, wprowadzając prędkość grupową, dyspersję, złożone widma częstotliwościowe oraz przejście do opisów w przestrzeni Fouriera. == Związek dyspersyjny dla wahadeł matematycznych sprzężonych przy pomocy sprężynek == Równanie różnicowo-różniczkowe możemy napisać wzorem {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, które dla porządku dziennego tutaj przepisujemy: {{CentrujWzór|<math>\ddot{\psi}_n=-{{g}\over{l}}\psi_n+{{K}\over{M}}\left(\psi_{n+1}-\psi_n\right)-{{K}\over{M}}(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|4.12}} Dla fal biegnących, którego wychylenie od stanu równowagi jest opisane w punkcie {{LinkWzór|4.4}}, dla której drugą pochodną cząstkową względem czasu piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}_n=-\omega^2\psi_n\;</MATH>|4.13}} Równanie {{LinkWzór|4.12}} możemy zapisać, przy pomocy zachodzącej tożsamości dla fal biegnących {{LinkWzór|4.13}}, która jest drugą pochodną cząstkową wychylenia podłużnego względem czasu, która jest iloczynem wychylenia od stanu równowagi &psi;{{Sub|n}} przez kwadrat częstotliwości kołowej drgań i to wszystko wzięte z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\left(1-{{\psi_{n+1}+\psi_{n-1}}\over{2\psi_n}}\right)\;</MATH>|4.13a}} === Harmoniczne fale biegnące === Dla fal sinusoidalnych fal biegnących wychylenie od stanu równowagi możemy przepisać w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej w zależności od zmiennej czasowej i położenia z=na: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n=A\cos(\omega t+\varphi-kz)\;</MATH>|4.14}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.14}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=A\cos(\omega t+\varphi+kna+ka)+A\cos(\omega t+\varphi+kna-ka)=2\psi_n\cos ka\;</MATH>|4.15}} Związek {{LinkWzór|4.15}} możemy podstawić do {{LinkWzór|4.13}}, w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej w zależności od liczby falowej w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{g}\over{l}}-{{2K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|4.16}} === Eksponencjalne fale biegnące w układzie otwartym === Dla fal eksponencjalnych biegnących w układzie otwartym wychylenie od stanu równowagi dla z=na zależnego od częstotliwości kołowej i stałej zaniku fal &chi;, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Ae^{-\chi z}\cos\omega t\;</MATH>|4.17}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.17}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=Ae^{-\chi kna}e^{-\chi ka}\cos \omega t+Ae^{\chi ka}e^{\chi na}\cos\omega t=Ae^{-\chi kna}\cos\omega t\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)=\psi_n\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)\;</MATH>|4.18}} Tożsamość napisana w punkcie {{LinkWzór|4.18}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.13}}, przy wykorzystaniu definicji funkcji hiperbolicznych, w ten sposób mamy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej względem wielkości stałej zaniku dla rozchodzących się fal biegnących eksponencjalnych: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{4K}\over{M}}\sinh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|4.19}} === Przemienne eksponencjalne fale biegnące w układzie otwartym === Dla fal eksponencjalnych biegnących w układzie otwartym wychylenie od stanu równowagi, dla z=na zależnego od częstotliwości kołowej i stałej zaniku fal &chi;, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(-1)^ne^{-\chi z}\cos\omega t\;</MATH>|4.20}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.20}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=-A(-1)^ne^{-\chi kna}e^{-\chi ka}\cos \omega t-Ae^{\chi ka}(-1)^ne^{\chi na}\cos\omega t=-Ae^{-\chi kna}(-1)^n\cos\omega t\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)=-\psi_n\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)\;</MATH>|4.21}} Tożsamość napisana w punkcie {{LinkWzór|4.21}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.13}}, przy wykorzystaniu definicji funkcji hiperbolicznych, w ten sposób mamy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej w zależności od stałej zaniku &chi; dla rozchodzących się fal biegnących: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\cosh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|4.22}} === Prędkość fazowa fal poprzecznych rozchodzącej się w strunie obciążonymi ciężarkami === Prędkość fazowa rozchodzenia się fal w strunie obciążonej sprężynkami możemy napisać, patrząc na definicję kwadratu częstotliwości kołowej {{LinkWzór|2.71|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, z którego wyznaczymy samą częstotliwość, co po podzieleniu jego obustronnie przez liczbę falową "k" otrzymamy prędkość fazową: {{CentrujWzór|<MATH>v_f={{\omega}\over{k}}=2\sqrt{{T_0}\over{Ma}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{k}}\;</MATH>|4.23}} Biorąc przypadek dla małej liczby falowej "k", wtedy obliczenia dla wzoru {{LinkWzór|4.23}} przeprowadzamy tak jak w punkcie {{LinkWzór|2.77|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, w ten sposób możemy otrzymać wzór na prędkość fazową w przybliżeniu małej liczby falowej, wykorzystując przy tym definicję masowej gęstości liniowej, zatem dokonajmy tychże obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>v_f=\sqrt{{T_0a}\over{M}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{{{ka}\over{2}}}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}{{{{ka}\over{2}}-{{1}\over{6}}\left({{ka}\over{2}}\right)^3+...}\over{{{ka}\over{2}}}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}\left(1-{{1}\over{24}}(ka)^2+...\right)\simeq\sqrt{{T_0a}\over{M}}=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.24}} === Prędkość fazowa fal podłużnych rozchodzącej się w strunie obciążonymi ciężarkami === Prędkość rozchodzenia się fal w zależności liczby falowej możemy przestawić, wykorzystując wzór na kwadrat częstotliwości kołowej {{LinkWzór|2.79|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} z którego wyznaczymy samą częstotliwość, co po podzieleniu jego przez liczbę falową "k", w ten sposób dostajemy wzór na prędkość fazową rozchodzenia się fal: {{CentrujWzór|<MATH>v_f={{\omega}\over{k}}=2\sqrt{{{K}\over{M}}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{k}}\;</MATH>|4.25}} Dokonując podobnych obliczeń jak w punkcie {{LinkWzór|4.24}} dla k bardzo małego, w ten sposób, wykorzystując definicję gęstości liniowej, by otrzymać później tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>v_f=\sqrt{{Ka^2}\over{M}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{{{ka}\over{2}}}}\simeq\sqrt{{Ka^2}\over{M}}=\sqrt{{Ka}\over{\rho_0}}=\sqrt{{{K_LL}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.26}} bo zachodzi K{{Sub|L}}L=Ka, w którym każda sprężyna ma współczynnik sprężystości równej K, sprężynki wszystkie razem wzięte mają współczynnik sprężystości K{{Sub|L}} i dlatego tak powinniśmy napisać. == Prędkość rozchodzenia się dźwięku w naczyniu == Będziemy tutaj wyprowadzać równanie rządzącego przy rozchodzącego się dźwięku w danym ośrodku, znając pochodną zupełną ciśnienia względem objętości w stanie równowagi danego ośrodka, tutaj będziemy się zajmować powietrzem, ale związek , który tutaj otrzymamy jest zgodny dla innych ośrodków sprężystych a także dla powietrza. Powietrze znajdujące się w naczyniu zachowuje się jak sprężynka o stałej sprężystości K{{Sub|L}}, którego długość jest L{{Sub|1}}, która zostaje ściśnięta do długości L, a siła wywierana na ścianki naczynia jest wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=-K_L(L-L_1)\;</MATH>|4.27}} Możemy zróżniczkować tożsamość {{LinkWzór|4.27}}, w ten sposób otrzymać równość różniczkową: {{CentrujWzór|<math>dF=-K_LdL\;</MATH>|4.28}} Z drugiej jednak strony powiedźmy, gdy nastąpi zmiana długości sprężyny dL towarzyszy zmiana ciśnienia dp i zmiana siły wywieranej dF, zatem tą siłę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dF=Adp=A\left({{dp}\over{dV}}\right)_0A dL=A^2\left({{dp}\over{dV}}\right)dL\;</MATH>|4.29}} Porównując wzory {{LinkWzór|4.29}} z {{LinkWzór|4.28}} możemy napisać tożsamość na współczynnik sprężystości powietrza: {{CentrujWzór|<MATH>K_L=-A^2{{dp}\over{dV}}\;</MATH>|4.30}} Gęstość liniową masy możemy powiązać z gęstością objętościową, która jak udowodnimy gęstość liniowa masy jest równa iloczynowi gęstości objętościowej pomnożonej przez powierzchnię przekroju ośrodka, w której dźwięk rozchodzi się względem linii prostopadłej względem tego przekroju, według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{0L}L_0=\rho_{0V}AL_0\Rightarrow \rho_{0L}=\rho_{0V}A\;</MATH>|4.31}} Wzory {{LinkWzór|4.30}} i {{LinkWzór|4.31}} możemy podstawić do wzoru końcowego {{LinkWzór|4.24}}, w ten sposób otrzymujemy końcową równość na kwadrat prędkości rozchodzenia się dźwięku: {{CentrujWzór|<MATH>v^2={{K_LL}\over{\rho_{0L}}}=\left({{-A^2{{dp}\over{dV}}L}\over{\rho_{0V}A}}\right)=-{{-AL\left({{dp}\over{dV}}\right)_0}\over{\rho_{0V}}}=-{{V_0}\over{\rho_0}}\left({{dp}\over{dV}}\right)_0\;</MATH>|4.32}} === Prędkość rozchodzenia się fal w powietrzu === Biorąc równanie stanu gazu doskonałego dla izotermy, czyli pod stałą temperaturą, wyznaczać z niego będziemy ciśnienie panujące w panujące gazie w zależności od jej objętości: {{CentrujWzór|<MATH>pV=p_0V_0\Rightarrow p={{p_0 V_0}\over{V}}\;</MATH>|4.33}} Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną ciśnienia {{LinkWzór|4.33}} względem objętości V, i kładąc V=V{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp}\over{dV}}=-{{p_0V_0}\over{V^2}}\Rightarrow V_0\left({{dp}\over{dV}}\right)_0=-p_0\;</MATH>|4.34}} Wzór {{LinkWzór|4.34}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.32}}, w ten sposób dostajemy równość, którą wyrażamy w zależności od ciśnienia gazu i jego gęstości objętościowej: {{CentrujWzór|<MATH>v=\sqrt{{{p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.35}} === Poprawka do modelu dotyczącego prędkości rozchodzenia się dźwięku === Model opisujący prędkość dźwięku w gazie opisaną w punkcie {{LinkWzór|4.35}} jest modelem tylko dobrym, tylko jest jedyna różnica, że w tym modelu prędkość dźwięku jest napisana z błędem 15% w porównaniem z prędkością dźwięku policzonego z doświadczenia, zatem ten model zawiera pewne błędy, który świadczy, że zastosowaliśmy model gazu doskonałego dla stałej temperatury układu. Lepszym modelem jest równanie adiabaty. W porównaniu modelu Boyla i adiabaty przy sprężaniu gazu ciśnienie jest nieco większe a przy rozprężaniu jest nieco mniejsze. Podczas rozprężaniu i sprężenia gazu temperatura gazu nie jest w rzeczywiści stała w danym punkcie przestrzeni. Biorąc równanie stanu gazu doskonałego dla adiabaty, czyli układu nie wymieniającego się energii z otoczeniem, wyznaczać z niego będziemy ciśnienie panujące w gazie w zależności od jej objętości: {{CentrujWzór|<math>pV^{\kappa}=p_0V^{\kappa}_0\Rightarrow p=p_0V_0^{\kappa}V^{-\kappa}\;</MATH>|4.36}} Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną ciśnienia {{LinkWzór|4.37}} względem objętości V, i kładąc V=V{{Sub|0}}, by w ten sposób otrzymać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp}\over{dv}}=-\kappa p_0V^{\kappa}_0V^{-\kappa-1}\Rightarrow V_0\left({{dp}\over{dV}}\right)_0=-\kappa p_0\;</MATH>|4.37}} Wzór {{LinkWzór|4.37}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.32}}, w ten sposób otrzymać równość na prędkość fazową rozchodzenia się fal dźwiękowych, którą wyrażamy w zależności od ciśnienia gazu i jego gęstości objętościowej, która panuje w stanie równowagi: {{CentrujWzór|<MATH>v=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.38}} === Prędkość fazowa w linii przesyłowym === Częstotliwość fazową linii przesyłowej możemy przestawić poprzez wzór {{LinkWzór|2.83|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, który możemy przestawić w granicy małych liczb falowych w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{4}\over{LC}}\sin^2 {{ka}\over{2}}\simeq {{4}\over{LC}}{{k^2a^2}\over{4}}={{a^2k^2}\over{LC}}\;</MATH>|4.39}} Kwadrat prędkości fazowej przestawiamy z jego definicji {{LinkWzór|4.11}} dla małych liczb falowych, która jest przestawiona jako odwrotność iloczynu ilorazu indukcji własnej przez przez długość linii przez iloraz pojemności linii przez jej długość: {{CentrujWzór|<MATH>v_f^2={{\omega^2}\over{k^2}}={{{{a^2k^2}\over{LC}}}\over{k^2}}={{a^2}\over{LC}}={{1}\over{{{L}\over{a}}{{C}\over{a}}}}\;</MATH>|4.40}} === Dolnoprzepustowa linia przesyłowa === {{Rysunek|Dolno przepustowa linia cylindryczna.jpeg|wk2|Dolno przepustowa linia cylindryczna}} Z prawa Gaussa dla elektrostatyki, w zależności od ładunku znajdującego się wewnętrznej powierzchni możemy opisać z tego prawa wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>-E\epsilon_0 2\pi r a=Q\Rightarrow E=-{{Q}\over{2\pi \epsilon_0r a}}\;</MATH>|4.41}} Wyznaczmy teraz różnicę potencjału między dolną częścią a jej górną częścią kondensatora, którą możemy przestawić według obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>-{{d\varphi}\over{dr}}=-{{Q}\over{2\pi\epsilon_0 r a}}\Rightarrow d\varphi={{Q}\over{2\pi\epsilon_0 r a}}dr\Rightarrow U={{Q}\over{2\pi\epsilon_0a}}\ln{{r+D}\over{r}}\;</MATH>|4.42}} Całkowita pojemność kondensatora {{LinkWzór|4.40}} jest przestawiana z jego definicji jako iloraz ładunku na okładkach kondensatora cylindrycznego przez jego różnicę potencjałów pomiędzy cylindrycznymi okładkami: {{CentrujWzór|<MATH>C={{Q}\over{U}}={{2\pi\epsilon_0 a}\over{\ln{{r+D}\over{r}}}}\;</MATH>|4.43}} Wyznaczmy indukcję magnetyczną pola magnetycznego znajdującego się w kondensatorze pomiędzy jego okładkami: {{CentrujWzór|<MATH>B2\pi r=\mu_0I\Rightarrow B={{\mu_0I}\over{2\pi r}}\;</MATH>|4.44}} Policzmy strumień indukcji pola magnetycznego z jego formalnej definicji, a później indukcję własną: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi=\int_r^{r+D} B dr a=a\int_r^{r+D} {{\mu_0I}\over{2\pi r}}dr={{\mu_0aI}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}\Rightarrow L={{\mu_0a}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}\;</MATH>|4.45}} Napiszmy teraz iloczyn pojemności elektrycznej kondensatora C i indukcyjności z jej definicji, tzn. {{LinkWzór|4.41}} i {{LinkWzór|4.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>LC={{2\pi\epsilon_0 a}\over{\ln{{r+D}\over{r}}}}{{\mu_0a}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}= \mu_0\epsilon_0 a^2\Rightarrow {{C}\over{a}}{{L}\over{a}}={{1}\over{c^2}}\;</MATH>|4.46}} Jeśli popatrzymy na wzór na kwadrat prędkości fazowej {{LinkWzór|4.40}} i na wzór {{LinkWzór|4.46}} dowiadujemy się, że prędkość fazowa jest równa prędkości światła w dolnoprzepustowej linii przesyłowej. === Linia przesyłowa zrobiona przy pomocy dwóch równoległych pasków przewodzących === {{Rysunek|Linia przesyłowa składająca się z dwóch pasków.jpeg|wk1|Linia przesyłowa zbudowana przy pomocy równoległych pasków przewodzących}} Różnica potencjałów między paskami określamy z jego definicji, a także natężenie pola elektrycznego określamy z prawa Gaussa, piszemy je związkami: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>U=gE_x\;</MATH>|4.47}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x={{Q}\over{\epsilon_0wa}}\;</MATH>|4.48}}}} Pojemność elektryczna, która jest ilorazem ładunku znajdującego na kondensatorze przez różnicę potencjału znajdującego się na okładkach, wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>C={{Q}\over{U}}={{Q}\over{gE_x}}={{Q}\over{g{{Q}\over{\epsilon_0wa}}}}\Rightarrow{{C}\over{a}}={{w\epsilon_0}\over{g}}\;</MATH>|4.49}} Strumień indukcji pola magnetycznego względem powierzchni bocznej możemy określić jako iloczyn igrekowej współrzędnej indukcji pola magnetycznego przez powierzchnię o wartości ga: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi=B_yga\;</MATH>|4.50}} Z prawa Stokesa możemy również powiedzieć, że iloczyn współrzędnej igrekowej pola magnetycznego i długości bocznej kondensatora jest równa iloczynowi przenikalności magnetycznej ośrodka, w którym jest próżnia, przez natężenie prądu elektrycznego płynącego w linii: {{CentrujWzór|<MATH>wB_y=\mu_0I\Rightarrow B_y=\mu_0{{I}\over{w}}\;</MATH>|4.51}} Wzór na indukcję pola magnetycznego a właściwie na jej współrzędną igrekową podstawiamy do {{LinkWzór|4.50}}, wykorzystując definicję indukcyjności własnej, możemy pisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi= LI=\mu_0{{Iga}\over{w}}\Rightarrow {{L}\over{a}}={{\mu_0g}\over{w}}\;</MATH>|4.52}} Mnożymy wzory {{LinkWzór|4.49}} i {{LinkWzór|4.52}}, w ten sposób otrzymujemy odwrotność na kwadrat prędkości światła w próżni: {{CentrujWzór|<MATH>{{C}\over{a}}{{L}\over{a}}= {{w\epsilon_0}\over{g}}{{\mu_0g}\over{w}}=\mu_0\epsilon_0={{1}\over{c^2}}\;</MATH>|4.53}} Patrząc wzór na kwadrat prędkości fazowej {{LinkWzór|4.40}} i definicję iloczynu ilorazu pojemności linii przesyłowej przez "a" i przez iloraz indukcji pola magnetycznego przez "a". dowiadujemy się, że prędkość fazową linii przesyłowej jest równa prędkości światła w próżni "c". == Zjawisko załamania światła i dyspersja == {{Rysunek|Załamanie promieni świetlnych przechodzącej z ośrodka pierwszego do drugiego.png|wk3|Zjawisko załamania promieni świetlnych}} Z rysunku obok otrzymujemy natychmiast, następujące dwa równania, które wynikają z rysunku obok: {{ElastycznyWiersz |{{CentrujWzór|<MATH>{{v_1t}\over{d}}=\sin\theta_1\;</MATH>|4.54}} |{{CentrujWzór|<MATH>{{v_2t}\over{d}}=\sin\theta_2\;</MATH>|4.55}} }} Dzielimy wzory {{LinkWzór|4.54}} i {{LinkWzór|4.55}} względem siebie, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{v_1}\over{v_2}}={{\sin\theta_1}\over{\sin\theta_2}}\Rightarrow{{c}\over{v_1}}\sin\theta_1={{c}\over{v_2}}\sin\theta\;</MATH>|4.56}} Teraz wykorzystamy definicję współczynnika załamania n=c/v dla rozważanego ośrodka pierwszego i drugiego, to na podstawie tego równość {{LinkWzór|4.56}} przepisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\;</MATH>|4.57}} === Wyprowadzenie wzoru na współczynnik załamania promieni świetlnych === Względna przenikalność elektryczną możemy przepisać według następującego schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\;</MATH>|4.58}} Dalszym krokiem jest wyprowadzenie wzoru na współczynnik przenikalność elektryczną względną, wiedząc że <MATH>_{\vec{P}=\chi\epsilon_0\vec{E}}\;</MATH>, którego przestawienie jest: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r\epsilon_0\vec{E}=\epsilon_0\vec{E}+\epsilon_0\chi\vec{E}\Rightarrow\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|4.59}} Na podstawie alternatywnej definicji polaryzacji elektrycznej P=Nqx(t) przenikalność względna elektryczna możemy przepisać do: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+{{Nqx(t)}\over{\epsilon_0E(t)}}\;</MATH>|4.60}} Napiszmy teraz równanie ruchu ładunku elektrycznego, który napiszemy za pomocą częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}}, współczynnika tłumienia &Gamma;, i przy pomocy natężenia pola elektrycznego zmieniającego się według funkcji kosinus E(t)=E{{Sub|0}}cos&omega;t, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2-M\Gamma\dot{x}+qE(t)\;</MATH>|4.61}} Położenie ciała o masie M możemy zapisać jako rozwiązanie równania {{LinkWzór|4.61}} przy pomocy amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} według: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos\omega t+A_{ab}\cos\omega t\;</MATH>|4.62}} Rozważmy sobie ośrodek przezroczysty, takich jak szkło, woda, są one przezroczyste i nie następuje wtedy absorpcja promieni świetlnych. Dla ośrodków barwnych, nastepuje absorpcja wszystkich częstości oprócz jednej, i interesują nam te częstości, które są daleko od częstości rezonansowych, wtedy amplituda absorpcyjna według {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} jest w przybliżeniu równa zero, zatem istnieje tylko amplituda elastyczna, która jest równa dla naszego przypadku według {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}= {{c^2}\over{{{c^2}\over{\mu_r\epsilon_r}}}}=\mu_r\epsilon_r\simeq \epsilon_r=1+{{Nqx(t)}\over{\epsilon_0E(t)}}=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{\omega_0^2-\omega^2}} \;</MATH>|4.63}} Powyżej skorzystano z definicji współczynnika załamania, a także z definicji prędkości światła w ośrodku materialnym, dla którego względna przenikalność magnetyczna jest w przybliżeniu równa jeden. Jeśli powiązać kwadrat współczynnika załamania z liczbą falową, z częstotliwością kołową i z prędkością światła w próżni, to wtedy wzór {{LinkWzór|4.63}} jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{c^2k^2}\over{\omega^2}}=n^2=\epsilon_r=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|4.64}} Związek {{LinkWzór|4.64}} jest związkiem liczby falowej z częstotliwością kołową, który jest związkiem dyspersyjnych dla światła widzialnego. == Strumień energii i impedancja == Prędkość fazową rozchodzenia się fal w strunie obciążonych punktowymi ciężarkami określamy jako pierwiastek z stosunku siły napięcia działająca na strunę T{{Sub|0}} i gęstości liniowej struny &rho;{{Sub|0}}, a impedancję charakterystyczną nazywamy pierwiastek z iloczynu gęstości liniowej struny i siły napięcia, których definicje tychże wielkości określamy poprzez wzory: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>v_f=\sqrt{{T_0}\over{\rho_0}}\;</MATH>|4.65}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Z=\sqrt{\rho_o T_0}\;</MATH>|4.66}}}} Poniżej podamy również wzór na impedancję w tej samej strunie, ale dla drgań poprzecznych. === Fale poprzeczne biegnące w strunie ciągłej === Całkowita siła iksowa działająca na ciągłą strunę wywołująca jego ruch falowy w postaci fal biegnących określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T\sin\theta=T\cos\theta{{\sin\theta}\over{\cos\theta}}=T_{0}\operatorname{tg}\theta=T_0{{\partial \psi}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.67}} === Wprowadzenie do definicji impedancji charakterystycznej === Każdy element struny ciągłej wykonuje ruch harmoniczny określanych jako funkcja, dla której jest ona wprost proporcjonalna do kosinusa z argument różnicy iloczynu częstotliwości kołowej przez czas i iloczynu liczby falowej przez położenie danego elementu struny, co jego definicja tejże funkcji piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|4.68}} Pierwsza pochodna wychylenia od stanu równowagi &psi;(z,t) względem położenia z i czasu t struny piszemy przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=kA\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|4.69}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|4.70}}}} {{Rysunek|Emisja poprzeczna fali biegnącej.jpeg|wk6|Wytwarzanie fal biegnących. a) równowaga, b)ogólna konfiguracja}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|4.69}} i {{LinkWzór|4.70}} możemy napisać wzór łączący pochodną cząstkową wychylenia od stanu równowagi {{LinkWzór|4.42}} względem położenia z i pochodnej cząstkową wychylenia względem czasu w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=-{{1}\over{v_f}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.71}} Całkowita siła działająca na strunę ze strony generatora {{LinkWzór|4.65}} możemy napisać, wykorzystując wniosek {{LinkWzór|4.71}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-{{T_0}\over{v_f}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.72}} Wprowadźmy teraz impedancję, jest ona stosunkiem siły T{{Sub|0}} i prędkości fazowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z={{T_0}\over{v_f}}={{T_0}\over{\sqrt{{T_0}\over{\rho_0}}}}=\sqrt{T_0\rho_0}\;</MATH>|4.73}} Przy definicji impedancji {{LinkWzór|4.73}} wzór na siłę iksowa działającą na strunę ciągłą określamy jako iloczyn pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi &psi; względem czasu "t" przez impedancję Z, to razem wszystko wzięte z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-Z{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.74}} === Moc wytwarzana przez generator drgań struny === Całkowita wytwarzana moc w czasie "t" jest iloczynem siły F{{Sub|x}} zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|4.74}} i prędkości wychylenia od stanu równowagi, która jest pochodną cząstkową wychylenia &psi; względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>P(t)=F_x{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\left(Z{{\partial\psi}\over{\partial t}}\right){{\partial\psi}\over{\partial t}}=Z\left({{\partial\psi}\over{\partial t}}\right)^2\;</MATH>|4.75}} Innym sposobem wyprowadzenie mocy wytwarzanej przez generator jest opisany przez wzór w zależności od pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia względem położenia: {{CentrujWzór|<MATH>P(t)=F_x{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]{{\partial\psi}\over{\partial t}}= \left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]\left[-v_f{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]={{v_f}\over{T_0}}\left[-T_0{{\partial \psi}\over{\partial z}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.76}} === Promieniowanie wytarzane przez układ sprężynek i mas === {{Rysunek|Emisja promieniowania fal podłużnych przez generator.jpeg|wk7|Emisja promieniowania fal podłużnych przez generator. a)Równowaga. b) układ w ruchu.}} Niech mamy układ sprężynek, które łączą jednakowe masy, wtedy wielkość odpowiadająca wielkości napięcia w strunie T{{Sub|0}} jest wielkość Ka, wtedy impedancję możemy określić jako pierwiastek z wielkości Ka i gęstości masowej liniowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z={{Ka}\over{\sqrt{{{Ka}\over{\rho_0}}}}}=\sqrt{Ka\rho_0}\;</MATH>|4.77}} Całkowita moc wytwarzana przez generator podczas wytwarzania fal podłużnych w układzie sprężynek w zależności od czasu "t" lub położenia jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>P(z,t)=Z\left[{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-Ka{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.78}} Całkowita siła działająca na układ mas sprężynek przy założeniu, że w stanie równowagi sprężynki pozostają napięte z siłą F{{Sub|0}}, która nie wpływa na ruch drgający układów kulek, jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=F_0-Ka{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.79}} === Fale głosowe === Prędkość fazowa fal dźwiękowej jest określana przez wzór {{LinkWzór|4.38}}, porównując ten wzór z {{LinkWzór|4.26}} (w tym drugim mamy gęstość liniową, a w tym pierwszym gęstość objętościową), dochodzimy do wniosku, że rolę napięcia sprężyny spełnia &kappa;p{{Sub|0}}, wtedy impedancję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\sqrt{\kappa p_0\rho_0}\;</MATH>|4.80}} Natężenia fali dźwiękowej można napisać na podstawie tożsamości {{LinkWzór|4.76}} określoną względem pochodnej wychylenia podłużnego &psi;(z,t) względem czasu "t" lub położenia "z": {{CentrujWzór|<MATH>I(z,t)=Z\left[{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-\kappa p_0{{\partial \psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.81}} Siłą działająca na jednostkę powierzchni określamy względem stałego ciśnienia panującego w ośrodku p{{Sub|0}}, która to fala dźwiękowa zaburza stałe nasze ciśnienie atmosferyczne przy pomocy członu harmonicznego, który powoduje, że mamy raz ciśnienie wyższe, a za drugim niższe od naszego rozważanego ciśnienia p{{Sub|0}}. {{CentrujWzór|<math>{{F_x}\over{A}}=p_0-\kappa p_0{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.82}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> pdfnli7yxyb7bgiekgp6ge4izbnw390 0 21029 558546 467645 2026-10-04T16:02:00Z Persino 2851 558546 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Całkowita siła działająca na falę by je wytworzyć jest wyrażona jako wielkość wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi i impedancji Z, którą wyrazimy wzorem {{LinkWzór|4.48|Opis_fal_biegnących}}. Falę padającą możemy wyrazić przez {{LinkWzór|4.4|Opis_fal_biegnących}}, którą tutaj przepiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|5.1}} W punkcie z=0 fala padająca jest opisana wzorem {{LinkWzór|5.1}}, którą możemy zapisać formułą: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}(0,t)=A\cos\omega t\;</MATH>|5.2}} == Współczynnik odbicia == Oznaczmy ostatni punkt struny przez L, a amortyzator przez P, wtedy siła działająca ze strony amortyzatora na falę padającą i odbitą jest zapisana: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{pad}(P\mbox{ na }L)=-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.3}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{odb}(P\mbox{ na }L)=Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.4}}}} A więc całkowita siła działająca jednocześnie na falę odbitą i padającą jest sumą sił {{LinkWzór|5.3}} i {{LinkWzór|5.4}}, i po prostu jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>F_{pad}(P\mbox{ na }L)=-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.5}} Fala odbita &psi;{{Sub|odb}} i padająca &psi;{{Sub|pad}}, której superpozycją jest fala &psi;, której będziemy liczyli pochodną cząstkową względem czasu, można ją rozłożyć na sumę pochodnych cząstkowych względem czasu fali padającej i odbitej: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(0,t)}\over{\partial t}}={{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;,</MATH>|5.6}} Z drugiej jednak całkowita siła działająca ze strony oporu amortyzatora równa jest sile oporu amortyzatora na strunę, wtedy całkowita siła działająca na "falę" &psi;,, dla którego impedancja jest wyrażona przez Z{{Sub|2}}, jest wyrysowana: {{CentrujWzór|<MATH>F(P\mbox{ na }L)=-Z_2{{\partial\psi(0,t)}\over{\partial t}}=-Z_2\left({{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\right)=-Z_2{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}-Z_2{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.7}} Siła {{LinkWzór|5.5}} jest równa sile wyrażona troszeczkę w innej postaci {{LinkWzór|5.7}}, wtedy, przyrównując do siebie te siły, bo one oznaczają to samo, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}=-Z_2{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}-Z_2{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</math>|5.8}} Wzór {{LinkWzór|5.8}} możemy napisać troszeczkę w innej postaci, grupując wyrazy w nim występujące, by po lewej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenie od stanu równowagi fali odbitej względem czasu, a po prawej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenia fali padającej od stanu równowagi względem czasu, co to wszystko możemy wyrazić przez wzór: {{CentrujWzór|<math>{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}=\left[{{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}\right]{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.9}} == Fale padająca i odbita, superpozycja tychże fal == W równanie ruchu {{LinkWzór|5.9}} możemy przecałkować obie jego strony, w ten sposób otrzymamy wychylenie od stanu równowagi fali odbitej w zależności od amplitudy fali padającej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}(0,t)=R_{12}\psi_{pad}(0,t)=R_{12}A\cos\omega t\;</MATH>|5.10}} Współczynnik odbicia występującej we wzorze {{LinkWzór|5.8}} nazywamy wielkość określaną: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}\;</MATH>|5.11}} Fala odbita jest falą biegnącą w kierunku -z, której jej podstać dla z<0 otrzymujemy na podstawie jej związku dla z=0, zastępując zmienne z=0 i "t" zmiennymi "z", t+z/v{{Sub|f}}, dla której v{{Sub|f}} jest prędkością fazową fali. Wzór na falę odbitą piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}(z,t)=R_{12}A\cos\left[\omega\left(t+{{z}\over{v_f}}\right)\right]=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.12}} Całkowite przemieszenie poszczególnych części fali jest sumą fali padającej i odbitej wyrażony związkiem {{LinkWzór|5.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)+R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.13}} == Przemieszczenia fali odbitej i padającej, a siła kierująca == Ogólnie siłą kierująca możemy wyrazić przez wzór zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|4.41|Opis_fal_biegnących}}, która jak wiemy jest zależna od pierwszej pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia "z", która jest równa sile kierującej działającej ze strony sprężyny znajdującej się na lewo od punktu "z" na sprężynę ze strony prawej od tego punktu. Jak można udowodnić współczynnik odbicia pierwszej pochodnej przemieszczenia względem czasu dla tych fal jest taki sam jak dla samych przemieszczeń, a współczynnik odbicia dla pochodnej przemieszczeń względem położenia jest równy minus współczynnika odbicia przemieszczeń, który wyrażamy przy pomocy poprzednich rozważań równej {{LinkWzór|5.11}}. Aby to wszystko udowodnić napiszmy poniższe rozważania. Przemieszczenia fali padającej i odbitej wyrażamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|5.12}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|5.14}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.15}}}} Porównując wzory {{LinkWzór|5.14}} i {{LinkWzór|5.15}} dochodzimy do wniosku, że współczynnik proporcjonalności jest R{{Sub|12}}. Wtedy możemy policzyć pochodne cząstkowe wychyleń względem czasu fali padającej {{LinkWzór|5.14}} i odbitej {{LinkWzór|5.15}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{pad}}\over{\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|5.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{odb}}\over{\partial t}}=-R_{12}\omega A\sin(\omega t+kz)\;</MATH>|5.17}}}} Współczynnik proporcjonalności prędkości przemieszczeń między falą odbita i padającą jest to współczynnik napisany jako R{{Sub|12}}. Pochodne cząstkowe przemieszczeń względem położenia danego elementu układu drgającego możemy napisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{pad}}\over{\partial z}}=k A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|5.18}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{odb}}\over{\partial z}}=-R_{12}k A\sin(\omega t+kz)\;</MATH>|5.19}}}} Porównując tożsamość {{LinkWzór|5.18}} z {{LinkWzór|5.19}} możemy dojść do wniosku, że współczynnik odbicia dla pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia określamy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>R_{{\partial\psi}\over{\partial z}}=-R_{12}\;</MATH>|5.20}} == Ciągłość parametrów fali na granicy dwóch ośrodków == Na granicy między dwoma ośrodkami prędkość, czyli pierwsza pochodna przemieszczenia względem czasu, a także siła kierująca (definicja {{LinkWzór|4.41|Opis_fal_biegnących}}) są wielkościami ciągłymi na granicy dwóch ośrodków. Siła działająca na falę padająca i przechodzącą na tej granicy wziętej razem dwóch ośrodków jest wyrażana przez: {{CentrujWzór|<MATH>-T_1{{\partial\psi_1}\over{\partial z}}+T_2{{\partial\psi_1}\over{\partial z}}=0\mbox{ dla }z=0\;</MATH>|5.21}} Skokowi siły napinającej struny według {{LinkWzór|5.21}} towarzyszy kant struny i w rezultacie nachylenie struny nie jest wielkością ciągłą. natomiast wielkością ciągłą jest iloczyn nachylenia struny i siły napinającej. == Współczynnik transmisji == Napiszmy teraz wzór, który określimy przy pomocy współczynnika odbicia R, która jest superpozycją fali padającej i odbitej dla ośrodka pierwszego, którą piszemy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_1(z,t)=\varphi_0\cos(\omega t-k_1z)+R\varphi_0\cos(\omega t+k_1z)\;</MATH>|5.22}} Wzór {{LinkWzór|5.21}} określa wielkości falowe, którymi mogą być przemieszczenie, prędkość, lub nawet siła kierująca, który nasz wspomniany wzór piszemy przy pomocy współczynnika odbicia R, który dla przemieszczeń i prędkości są wyrażane przez R{{Sub|12}}. Fala rozchodząca się w ośrodku drugim z ośrodka pierwszego jest określana przy pomocy współczynnika transmisji T: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_2=T\varphi_0\cos(\omega t-k_2z)\;</MATH>|5.23}} Współczynnik transmisji możemy wyznaczyć dla z=0, wtedy następująca równość wielkości {{LinkWzór|5.23}} z wielkością {{LinkWzór|5.22}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_2(0,t)=\varphi_1(0,t)\;</MATH>|5.24}} Do wzoru {{LinkWzór|5.24}} możemy podstawić wzory {{LinkWzór|5.22}} i {{LinkWzór|5.23}}, by w ten sposób otrzymać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T\varphi_0\cos\omega t=\varphi_0(1+R)\cos\omega t\;</MATH>|5.25}} Z równości {{LinkWzór|5.25}} możemy otrzymać wzór na współczynnik transmisji, który jest sumą jedynki i współczynnika odbicia: {{CentrujWzór|<MATH>T=1+R\;</matH>|5.26}} We wzorze {{LinkWzór|5.26}} R jest równe R{{Sub|12}}, gdy &phi;{{Sub|0}} jest to przemieszczenie &phi; lub prędkością &part;&psi;/&part; t, natomiast gdy jest równa -R{{Sub|12}}, co wtedy mamy do czynienia z siła kierującą -T&part;&psi;/&part; z. (Uwaga: Symbol T jest używany zarówno do oznaczenia napięcia struny, jak i dla współczynnika transmisji). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r2z100vgu6u4bh1vukfdmgvx86hm3zm 558555 558546 2026-10-04T16:40:01Z Persino 2851 558555 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Całkowita siła działająca na falę by je wytworzyć jest wyrażona jako wielkość wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi i impedancji Z, którą wyrazimy wzorem {{LinkWzór|4.48|Opis_fal_biegnących}}. Falę padającą możemy wyrazić przez {{LinkWzór|4.4|Opis_fal_biegnących}}, którą tutaj przepiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|5.1}} W punkcie z=0 fala padająca jest opisana wzorem {{LinkWzór|5.1}}, którą możemy zapisać formułą: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}(0,t)=A\cos\omega t\;</MATH>|5.2}} == Współczynnik odbicia == Oznaczmy ostatni punkt struny przez L, a amortyzator przez P, wtedy siła działająca ze strony amortyzatora na falę padającą i odbitą jest zapisana: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>F_{pad}(P\mbox{ na }L)=-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.3}}|2={{CentrujWzór|<MATH>F_{odb}(P\mbox{ na }L)=Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.4}}}} A więc całkowita siła działająca jednocześnie na falę odbitą i padającą jest sumą sił {{LinkWzór|5.3}} i {{LinkWzór|5.4}}, i po prostu jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>F_{pad}(P\mbox{ na }L)=-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.5}} Fala odbita &psi;{{Sub|odb}} i padająca &psi;{{Sub|pad}}, której superpozycją jest fala &psi;, której będziemy liczyli pochodną cząstkową względem czasu, można ją rozłożyć na sumę pochodnych cząstkowych względem czasu fali padającej i odbitej: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(0,t)}\over{\partial t}}={{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;,</MATH>|5.6}} Z drugiej jednak całkowita siła działająca ze strony oporu amortyzatora równa jest sile oporu amortyzatora na strunę, wtedy całkowita siła działająca na "falę" &psi;,, dla którego impedancja jest wyrażona przez Z{{Sub|2}}, jest wyrysowana: {{CentrujWzór|<MATH>F(P\mbox{ na }L)=-Z_2{{\partial\psi(0,t)}\over{\partial t}}=-Z_2\left({{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\right)=-Z_2{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}-Z_2{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.7}} Siła {{LinkWzór|5.5}} jest równa sile wyrażona troszeczkę w innej postaci {{LinkWzór|5.7}}, wtedy, przyrównując do siebie te siły, bo one oznaczają to samo, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}=-Z_2{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}-Z_2{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</math>|5.8}} Wzór {{LinkWzór|5.8}} możemy napisać troszeczkę w innej postaci, grupując wyrazy w nim występujące, by po lewej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenie od stanu równowagi fali odbitej względem czasu, a po prawej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenia fali padającej od stanu równowagi względem czasu, co to wszystko możemy wyrazić przez wzór: {{CentrujWzór|<math>{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}=\left[{{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}\right]{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.9}} == Fale padająca i odbita, superpozycja tychże fal == W równanie ruchu {{LinkWzór|5.9}} możemy przecałkować obie jego strony, w ten sposób otrzymamy wychylenie od stanu równowagi fali odbitej w zależności od amplitudy fali padającej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}(0,t)=R_{12}\psi_{pad}(0,t)=R_{12}A\cos\omega t\;</MATH>|5.10}} Współczynnik odbicia występującej we wzorze {{LinkWzór|5.8}} nazywamy wielkość określaną: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}\;</MATH>|5.11}} Fala odbita jest falą biegnącą w kierunku -z, której jej podstać dla z<0 otrzymujemy na podstawie jej związku dla z=0, zastępując zmienne z=0 i "t" zmiennymi "z", t+z/v{{Sub|f}}, dla której v{{Sub|f}} jest prędkością fazową fali. Wzór na falę odbitą piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}(z,t)=R_{12}A\cos\left[\omega\left(t+{{z}\over{v_f}}\right)\right]=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.12}} Całkowite przemieszenie poszczególnych części fali jest sumą fali padającej i odbitej wyrażony związkiem {{LinkWzór|5.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)+R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.13}} == Przemieszczenia fali odbitej i padającej, a siła kierująca == Ogólnie siłą kierująca możemy wyrazić przez wzór zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|4.41|Opis_fal_biegnących}}, która jak wiemy jest zależna od pierwszej pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia "z", która jest równa sile kierującej działającej ze strony sprężyny znajdującej się na lewo od punktu "z" na sprężynę ze strony prawej od tego punktu. Jak można udowodnić współczynnik odbicia pierwszej pochodnej przemieszczenia względem czasu dla tych fal jest taki sam jak dla samych przemieszczeń, a współczynnik odbicia dla pochodnej przemieszczeń względem położenia jest równy minus współczynnika odbicia przemieszczeń, który wyrażamy przy pomocy poprzednich rozważań równej {{LinkWzór|5.11}}. Aby to wszystko udowodnić napiszmy poniższe rozważania. Przemieszczenia fali padającej i odbitej wyrażamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|5.12}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|5.14}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.15}}}} Porównując wzory {{LinkWzór|5.14}} i {{LinkWzór|5.15}} dochodzimy do wniosku, że współczynnik proporcjonalności jest R{{Sub|12}}. Wtedy możemy policzyć pochodne cząstkowe wychyleń względem czasu fali padającej {{LinkWzór|5.14}} i odbitej {{LinkWzór|5.15}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{pad}}\over{\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|5.16}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{odb}}\over{\partial t}}=-R_{12}\omega A\sin(\omega t+kz)\;</MATH>|5.17}}}} Współczynnik proporcjonalności prędkości przemieszczeń między falą odbita i padającą jest to współczynnik napisany jako R{{Sub|12}}. Pochodne cząstkowe przemieszczeń względem położenia danego elementu układu drgającego możemy napisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{pad}}\over{\partial z}}=k A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|5.18}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{odb}}\over{\partial z}}=-R_{12}k A\sin(\omega t+kz)\;</MATH>|5.19}}}} Porównując tożsamość {{LinkWzór|5.18}} z {{LinkWzór|5.19}} możemy dojść do wniosku, że współczynnik odbicia dla pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia określamy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>R_{{\partial\psi}\over{\partial z}}=-R_{12}\;</MATH>|5.20}} == Ciągłość parametrów fali na granicy dwóch ośrodków == Na granicy między dwoma ośrodkami prędkość, czyli pierwsza pochodna przemieszczenia względem czasu, a także siła kierująca (definicja {{LinkWzór|4.41|Opis_fal_biegnących}}) są wielkościami ciągłymi na granicy dwóch ośrodków. Siła działająca na falę padająca i przechodzącą na tej granicy wziętej razem dwóch ośrodków jest wyrażana przez: {{CentrujWzór|<MATH>-T_1{{\partial\psi_1}\over{\partial z}}+T_2{{\partial\psi_1}\over{\partial z}}=0\mbox{ dla }z=0\;</MATH>|5.21}} Skokowi siły napinającej struny według {{LinkWzór|5.21}} towarzyszy kant struny i w rezultacie nachylenie struny nie jest wielkością ciągłą. natomiast wielkością ciągłą jest iloczyn nachylenia struny i siły napinającej. == Współczynnik transmisji == Napiszmy teraz wzór, który określimy przy pomocy współczynnika odbicia R, która jest superpozycją fali padającej i odbitej dla ośrodka pierwszego, którą piszemy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_1(z,t)=\varphi_0\cos(\omega t-k_1z)+R\varphi_0\cos(\omega t+k_1z)\;</MATH>|5.22}} Wzór {{LinkWzór|5.21}} określa wielkości falowe, którymi mogą być przemieszczenie, prędkość, lub nawet siła kierująca, który nasz wspomniany wzór piszemy przy pomocy współczynnika odbicia R, który dla przemieszczeń i prędkości są wyrażane przez R{{Sub|12}}. Fala rozchodząca się w ośrodku drugim z ośrodka pierwszego jest określana przy pomocy współczynnika transmisji T: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_2=T\varphi_0\cos(\omega t-k_2z)\;</MATH>|5.23}} Współczynnik transmisji możemy wyznaczyć dla z=0, wtedy następująca równość wielkości {{LinkWzór|5.23}} z wielkością {{LinkWzór|5.22}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_2(0,t)=\varphi_1(0,t)\;</MATH>|5.24}} Do wzoru {{LinkWzór|5.24}} możemy podstawić wzory {{LinkWzór|5.22}} i {{LinkWzór|5.23}}, by w ten sposób otrzymać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T\varphi_0\cos\omega t=\varphi_0(1+R)\cos\omega t\;</MATH>|5.25}} Z równości {{LinkWzór|5.25}} możemy otrzymać wzór na współczynnik transmisji, który jest sumą jedynki i współczynnika odbicia: {{CentrujWzór|<MATH>T=1+R\;</MATH>|5.26}} We wzorze {{LinkWzór|5.26}} R jest równe R{{Sub|12}}, gdy &phi;{{Sub|0}} jest to przemieszczenie &phi; lub prędkością &part;&psi;/&part; t, natomiast gdy jest równa -R{{Sub|12}}, co wtedy mamy do czynienia z siła kierującą -T&part;&psi;/&part; z. (Uwaga: Symbol T jest używany zarówno do oznaczenia napięcia struny, jak i dla współczynnika transmisji). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> j8clafptpfez9zf9z5fff8uvm07s6tm 0 21033 558545 467646 2026-10-04T16:00:20Z Persino 2851 558545 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Dotychczas rozważaliśmy drgania, które były drganiami harmonicznymi o jednej tylko częstości &omega;. Dowiedzieliśmy, że superpozycja fal o jednakowych amplitudach, ale o prawie jednakowych częstościach kołowych prowadzi do zjawiska dudnień. Omówimy tutaj zjawisko dudnień powstałych z nakładania się wielu fal o zbliżonych amplitudach. Jak się okazuje, że fale mogą rozchodzić się z prędkością grupową, niosąc ze sobą energię z tą właśnie prędkością. == Prędkość grupowa == Sumę dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, ale dla różnych liczb falowych i częstotliwości kołowych, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega_1 t-k_1z)+A\cos(\omega_2 t-k_2z)\;</MATH>|6.1}} Definicję częstotliwości modulowanej i liczby falowej modulowanej, a także ich odpowiedniki średnie rysujemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;</MATH>|6.2}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_{mod}={{1}\over{2}}\left(k_1-k_2\right)\;</MATH>|6.3}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;</MATH>|6.4}}|4={{CentrujWzór|<MATH>k_{sr}={{1}\over{2}}\left(k_1+k_2\right)\;</MATH>|6.5}}}} Wykorzystując powyższe definicję średniej częstotliwości kołowej i średniej liczby dwóch fal o zbliżonych częstościach, możemy określić jako sumę {{LinkWzór|6.1}} w postaci zwartej z wyodrębnionymi amplitudami modulowanymi zależnych od częstotliwości i liczb falowych modulowanych, a także z wyodrębnioną częścią harmoniczną, która zależy od średniej częstotliwości i średniej liczby falowej, co te wszystkie wnioski określimy przez dwa poniższe wzory: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A_{mod}(z,t)\cos(\omega_{sr}t+k_{sr})\;</MATH>|6.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t-k_{mod}z)\;</MATH>|6.7}}}} Funkcję fazową amplitudy {{LinkWzór|6.7}} można napisać w takiej postaci, która po zróżniczkowaniu obu jego stron dla tej funkcji stałej, w ten sposób otrzymujemy wzór, z którego możemy wyznaczyć prędkość rozchodzenia się modulacji: {{CentrujWzór|<MATH>0=\omega_{mod}dt-k_{mod}dz\Rightarrow {{dz}\over{dt}}=v_{mod}={{\omega_{mod}}\over{k_{mod}}}={{\omega_1-\omega_2}\over{k_2-k_1}}\;</MATH>|6.8}} Prędkość modulacji możemy rozłożyć w szereg Taylora, w ten sposób dowiadujemy się, że prędkość rozchodzenia się modulacji, która jest ilorazem różnicowym częstotliwości kołowej i liczby falowej k, jest ona w przybliżeniu równa pochodnej zupełnej częstotliwości kołowej względem liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>v_{mod}={{\omega_2-\omega_1}\over{k_2-k_1}}={{d\omega}\over{dk}}+...\;</MATH>|6.9}} Na podstawie tożsamości {{LinkWzór|6.9}} możemy określić prędkość grupową, którą nazywamy pochodną zupełną częstotliwości kołowej względem liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}\;</MATH>|6.10}} == Składanie się fal o prostokątnym rozkładzie widmowym == Superpozycja N fal, których amplitudy są jednakowe, ale o częstościach kołowych równomiernie rozłożonych pomiędzy częstościami &omega;{{Sub|1}}, a &omega;{{Sub|2}}, których ta całkowita fala &psi;(t) jest zdefiniowana: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos\omega_1t=A\cos(\omega_1t+\delta \omega)+A\cos(\omega_1t+2\delta\omega)+...+A\cos\omega_2t\;</MATH>|6.11}} Wielkość &delta;&omega; jest tak zdefiniowana w taki sposób jako iloraz różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|2}} i &omega;{{Sub|1}} podzielonej przez N-1, co matematycznie: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\omega={{\omega_2-\omega_1}\over{N-1}}={{\Delta \omega}\over{N-1}}\;</MATH>|6.12}} Najlepszym sposobem jest przestawienie sumy drgań harmonicznych {{LinkWzór|6.11}} przy pomocy funkcji eksponencjalnych, których częścią rzeczywistą jest ta nasza rozważana suma drgań harmonicznych {{LinkWzór|6.11}}, którego przestawienie jest: {{CentrujWzór|<MATH>f(t)=e^{-i\omega_1t}+e^{-i(\omega_1t+2\delta\omega)}+...+e^{-i(\omega_1t+2\Delta\omega)}\;</math>|6.13}} Funkcja {{LinkWzór|6.13}} jest szeregiem geometrycznym o ilorazie exp(-&delta;&omega;t), wtedy zapisujemy go w postaci zwartej: {{CentrujWzór|<math>f(t)=e^{-i\omega_1 t}{{1-e^{-iN\delta\omega t}}\over{1-e^{-i\delta\omega t}}}={{e^{-{{1}\over{2}}N\delta\omega t}}\over{e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}{{e^{{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}}\over{e^{{{1}\over{2}}i\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}=e^{-i\omega_1 t}e^{-{{1}\over{2}}i(N-1)\delta\omega}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=e^{-i(\omega_1+{{1}\over{2}}\Delta\omega)}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=e^{-i\omega_{sr}t}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}\;</MATH>|6.14}} Całkowita funkcja falowa zapisana w postaci zwartej {{LinkWzór|6.11}} jest częścią rzeczywistą obliczeń napisaną w punkcie {{LinkWzór|6.14}}, którą rysujemy w postaci funkcji zależnej od czasu "t", częstotliwości średniej drgań &omega;{{Sub|śr}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos\omega_{sr}t{{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.15}} Amplituda fali &psi;(t), występująca we wzorze {{LinkWzór|6.15}} jest zależna od czasu i jest napisana przy pomocy funkcji sinus, która występuje w mianowniku i liczniku, której licznik jest zależny od liczby przegród, jest wykreślona: {{CentrujWzór|<MATH>A(t)={{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.16}} Gdy N=2, wtedy równość na funkcję &psi;(t) {{LinkWzór|6.15}}, którą definiujemy, zamieniając 1/2&omega;t przez zmienną x, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A{{\sin 2x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}t=A{{2\sin x\cos x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}=2A\cos x=2A\cos\omega_{mod} t\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|6.17}} Wzór na funkcję &psi;(t) dla N=2 otrzymaliśmy jak w punkcie {{LinkWzór|1.116|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}, co jest zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Przy liczeniu funkcji {{LinkWzór|6.16}} dla t=0 należy się dokładnie przyjrzeć, bo licznik i mianownik tego wyrażenia jest równy zero, wtedy należy dokonać zamiany zmiennych według <MATH>_{\theta={{1}\over{2}}\delta\omega t}\;</MATH>, i obliczyć granicę, wykorzystując wiadomości o granicach z analizy matematycznej. {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{\theta}}=N\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{N\theta}}=N\;</MATH>|6.18}} Amplitudę {{LinkWzór|6.16}} możemy przestawić jako funkcję A(t) przy A=A(0)/N, dla którego tą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<math>A(t)=A(0){{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.19}} Przejdźmy teraz do granicy, dla którego N jest bardzo duże, wtedy odstępy pomiędzy składowymi drgań harmonicznych &delta;&omega; są na tyle małe, że ich doświadczalnie nie możemy rozróżnić, wtedy mamy doczynienia z fizyką, a nie z matematyką. Amplitudę {{LinkWzór|6.16}} możemy napisać dla warunku &delta;&omega; bardzo małego i przy zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|6.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>A(t)=A(0){{\sin {{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta\omega t}\over{N{{1}\over{2}}\delta\omega t}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta \omega t}\over{{{1}\over{2}}\Delta\omega}}\;</MATH>|6.20}} Wychylenie od stanu równowagi {{LinkWzór|6.11}} jako superpozycja N fal harmonicznych, przy wykorzystaniu {{LinkWzór|6.12}}, piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\left[\delta\omega\cos\omega_1 t+\delta\omega\cos(\omega_1+\delta\omega)t+...+\delta\omega\cos\omega_2 t\right]\;</MATH>|6.21}} Równość {{LinkWzór|6.21}} możemy zapisać w postaci całkowej, przy założeniu, że &delta;&omega; jest bardzo małe, praktycznie zerowe, jako całkę od &omega;=&omega;{{Sub|1}}, aż do &omega;=&omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\int_{\omega_1}^{\omega_2}\cos\omega td\omega\;</MATH>|6.22}} == Szereg Fouriera liczona względem czasu == Szeregiem Fouriera nazywamy takie wyrażenie, której każdą funkcję F(t) możemy rozłożyć ten nasz szereg, którego postać jest zależna od współczynników B{{Sub|0}} i współczynników zależnych od n, czyli od A{{Sub|n}} i od B{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega t+\sum_{n=1}^{\infty} B_n \cos\omega_1 t\;</MATH>|6.23}} Wówczas jak możemy udowodnić, że współczynniki A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} możemy napisać przy pomocy funkcji F(t), jak to robiliśmy też dla szeregu Fouriera zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.35|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, tylko tam była definicja względem liczby falowej, a tutaj względem częstotliwości kołowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)dt\;</MATH>|6.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\cos n\omega_ tdt\;</MATH>|6.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\sin n\omega_ tdt\;</MATH>|6.26}}}} == Przejście od szeregu Fouriera w jej postać całkową == Rozważmy kilka pierwszych wyrazów w szeregu Fouriera, tzn. A{{Sub|1}}sin&omega;{{Sub|1}}t+B{{Sub|1}}cos&omega;{{Sub|1}}t, A{{Sub|1}}sin&omega;{{Sub|1}}t+B{{Sub|1}}cos&omega;{{Sub|1}}t. Pierwsze wyrazy są tak małe w podanych wyrazach, że można je zaniedbać. Widzimy, że T{{Sub|1}}, która jest okresem. Sztucznie utworzona funkcja zależy od naszego okresu, więc ten okres możemy zwiększać o dowolną wielokrotność, zatem okres T{{Sub|1}} jest dowolny, to częstotliwość kołową &omega;{{Sub|1}}=2&pi;/T{{Sub|1}} możemy dowolnie zmniejszać. W gruncie rzeczy T{{Sub|1}} możemy wziąć na tyle duże by wyrazy A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} można było zaniedbać. Rozważmy n na tyle duże by nie można było zaniedbać współczynników A{{Sub|n}} , B{{Sub|n}}, wtedy szereg {{LinkWzór|6.23}} możemy zapisać, biorąc jak na razie dla uproszczenia wyrazy z sinusami: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=...+A_n\sin n\omega_1 t+A_{n+1}\sin(n\omega_1+\omega_1)t+...\;</MATH>|6.27}} Obierzmy sobie teraz funkcję &omega; zmiennej n i &omega;{{Sub|1}}, która jest iloczynem liczby n i częstotliwości &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=n\omega_1\;</MATH>|6.28}} Niech przyrost &delta;&omega; będzie taki, że różniczka z n jest ilorazem z delty częstotliwości kołowej &omega; przez częstotliwość &omega;{{Sub|1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\omega=\omega_1\delta n\Rightarrow \delta n={{\delta\omega}\over{\omega_1}}\;</MATH>|6.29}} Załóżmy, że w pasmie n do n+&delta; n wszystkie współczynniki A{{Sub|n}} są sobie równe, wtedy wszystkie te wyrazy możemy przegrupować względem tychże współczynników, by później było można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=....+\delta nA_n\sin n\omega_1 t+...=...+\delta\omega{{A_n}\over{\omega_1}}\sin\omega t+..\equiv...+\delta\omega A(\omega)\sin\omega t+..=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega t d\omega\;</math>|6.30}} W końcu na podstawie obliczeń {{LinkWzór|6.30}} możemy napisać całkę Fouriera, którego postać piszemy względem współczynników A(&omega;) i B(&omega;) (powyżej było przyjęte, że B(&omega;)=0, a poniżej jest dla różnego od zera dla ogólności), której ogólna postać naszej całki: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega td\omega+\int_0^{\infty}B(\omega)\cos\omega t d\omega\;</MATH>|6.31}} Na podstawie definicji współczynnika A{{Sub|n}} {{LinkWzór|6.26}} i B{{Sub|n}}{{LinkWzór|6.25}}, a także z własności &omega;{{Sub|1}}T{{Sub|1}}=2&pi;, a także będziemy przyjmować t{{Sub|0}}=-&infin;, a T{{Sub|0}}=&infin;, wtedy możemy napisać definicję współczynników A(&omega;) i B(&omega;) przy wcześniejszych poczynionych uwagach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A(\omega)={{A_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega tdt\;</MATH>|6.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B(\omega)={{B_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega tdt\;</MATH>|6.33}}}} == Całki Fouriera dla tłumionego oscylatora tłumionego == Wychylenie od stanu równowagi dla tłumionego oscylatora od stanu równowagi przy zerowym przesunięciu fazowym przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1t\;</MATH>|6.34}} Wtedy, patrząc na tożsamość {{LinkWzór|3.10|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, możemy napisać tożsamość wiążąca częstotliwość drgań tłumionych &omega;{{Sub|1}} względem drgań harmonicznych podstawowych i współczynnika tłumionego, z którego skorzystamy w dalszym kroku obliczeń. Policzmy tutaj dwie całki poniższe, które będą nam bardzo potrzebne w dalszych rozważaniach: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bxdx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}+{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx=-{{b}\over{a^2}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx dx={{b}\over{b^2+a^2}}\;</MATH>|6.35}} Dalej policzmy drugą z kolei całkę: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx= {{1}\over{a}}+e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int e^{ax}\cos bx\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx={{a}\over{b^2+a^2}}\;</MATH>|6.36}} Policzmy teraz współczynnik A(&omega;) według wzoru {{LinkWzór|6.32}} występującego jako współczynnik we wzorze {{LinkWzór|6.31}}, korzystując przy tym z tożsamości fizycznej {{LinkWzór|6.36}}: {{CentrujWzór|<MATH>2\pi A(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}[\sin(\omega+\omega_1)t+\sin(\omega-\omega_1)t]dt=\;</MATH>{{Br}}<math>= {{\omega+\omega_1}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{\omega-\omega_1}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{\omega+\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{\omega-\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;</math>{{Br}}<math>={{(\omega+\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+(\omega-\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}={{2\omega(\omega^2+\omega_0^2)-4\omega_1^2\omega}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}</math>|6.37}} Dalszym krokiem jest policzenie B(&omega;) według wzoru {{LinkWzór|6.33}} występujące jako współczynnik we {{LinkWzór|6.31}}, wykorzystując przy tym z tożsamości fizycznej {{LinkWzór|6.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>2\pi B(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}[\cos(\omega+\omega_1)t+\cos(\omega-\omega_1)t]dt=\;</MATH>{{Br}}<math>= {{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;</math>{{Br}}<math>={{{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}</math>|6.38}} Wyznaczmy wielkość I(&omega;), która jest sumą kwadratów wielkości 2&pi;A(&omega;){{LinkWzór|6.38}} i 2&pi;B(&omega;){{LinkWzór|6.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>I(\omega)=[2\pi A(\omega)]^2+[2\pi B(\omega)]^2=\left({{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2+\left({{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^2\Gamma^2(\omega^2-\omega_0^2)+\Gamma^2(\omega^2+\omega_0^2)^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^4\Gamma^2-4\omega^2\omega_0^2\Gamma^2+\Gamma^2\omega^4+\Gamma^2\omega_0^4+2\Gamma^2\omega^2\omega_0^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{4\omega^2\left[(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2\right]+\Gamma^2\left[\omega^2\Gamma^2+(\omega^2-\omega_0^2)^2\right]}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}={{4\omega^2+\Gamma^2}\over{(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2}} </MATH>|6.39}} == Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym == Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym dla fal dyspersyjnych dla z=0 piszemy w postaci zależnej od częstotliwości kołowej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega t+B(\omega)\cos\omega t\right]d\omega\;</MATH>|6.40}} Dla k&ne;0 całkę Fouriera możemy przestawić w zależności od liczby falowej, która z kolei zależy od liczby falowej dla fal biegnących, co można uzyskać, zamieniając zmienną "t" na primowane, i podstawiając dalej za t' w tożsamości {{LinkWzór|6.40}} wyrażenie t-z/v i pamiętając, że &psi;(0,t')=&psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega \left(t-{{z}\over{v}}\right)+B(\omega)\cos\omega\left(t-{{z}\over{v}}\right)\right]d\omega\;</MATH>|6.41}} Wykorzystajmy definicję prędkości fazowej, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|4.11|Opis fal biegnących}}, wtedy równość {{LinkWzór|6.41}} dla liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej możemy przepisać do: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin(\omega t-k(\omega)z)+B(\omega)\cos(\omega t-k(\omega)z)\right]d\omega\;</MATH>|6.42}} == Klasyczne równanie falowe a fale ulegające dyspersji == Załóżmy, że mamy wychylenie od stanu równowagi, którego równanie piszemy przy pomocy częstotliwości drgań &omega;, liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej k(&omega;): {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</math>|6.43}} Równanie falowe różniczkowe, którego rozwiązaniem jest {{LinkWzór|6.43}}, jest w postaci zależnej od prędkości fazowej, którego z kolei zależy od częstotliwości kołowej, możemy otrzymać, licząc drugie pochodne wychylenia naszego przemieszczenia względem czasu i położenia: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</MATH>|6.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</MATH>|6.45}}}} Równości {{LinkWzór|6.44}} i {{LinkWzór|6.45}} porównujemy je względem siebie, w ten sposób otrzymujemy wzór na równanie falowe zależne od drugich pochodnych przemieszczenia &psi; względem czasu i położenia "z": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|6.46}} Do równości {{LinkWzór|6.46}} wykorzystamy definicję prędkości fazowej {{LinkWzór|4.11|Opis fal biegnących}}, w ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe, które jest zależne od prędkości fazowej, a która z kolei zależy od częstotliwości kołowej, lub mówiąc równoważnie od liczby falowej, bo we związku dyspersyjnym częstotliwość jest zależna od liczby falowej: {{CentrujWzór|<math>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=v^2(\omega){{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|6.47}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1tjriv1g4x1rz6x17ygaq175jxtg1pg 558556 558545 2026-10-04T16:42:30Z Persino 2851 558556 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Dotychczas rozważaliśmy drgania, które były drganiami harmonicznymi o jednej tylko częstości &omega;. Dowiedzieliśmy, że superpozycja fal o jednakowych amplitudach, ale o prawie jednakowych częstościach kołowych prowadzi do zjawiska dudnień. Omówimy tutaj zjawisko dudnień powstałych z nakładania się wielu fal o zbliżonych amplitudach. Jak się okazuje, że fale mogą rozchodzić się z prędkością grupową, niosąc ze sobą energię z tą właśnie prędkością. == Prędkość grupowa == Sumę dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, ale dla różnych liczb falowych i częstotliwości kołowych, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega_1 t-k_1z)+A\cos(\omega_2 t-k_2z)\;</MATH>|6.1}} Definicję częstotliwości modulowanej i liczby falowej modulowanej, a także ich odpowiedniki średnie rysujemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;</MATH>|6.2}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_{mod}={{1}\over{2}}\left(k_1-k_2\right)\;</MATH>|6.3}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;</MATH>|6.4}}|4={{CentrujWzór|<MATH>k_{sr}={{1}\over{2}}\left(k_1+k_2\right)\;</MATH>|6.5}}}} Wykorzystując powyższe definicję średniej częstotliwości kołowej i średniej liczby dwóch fal o zbliżonych częstościach, możemy określić jako sumę {{LinkWzór|6.1}} w postaci zwartej z wyodrębnionymi amplitudami modulowanymi zależnych od częstotliwości i liczb falowych modulowanych, a także z wyodrębnioną częścią harmoniczną, która zależy od średniej częstotliwości i średniej liczby falowej, co te wszystkie wnioski określimy przez dwa poniższe wzory: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A_{mod}(z,t)\cos(\omega_{sr}t+k_{sr})\;</MATH>|6.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t-k_{mod}z)\;</MATH>|6.7}}}} Funkcję fazową amplitudy {{LinkWzór|6.7}} można napisać w takiej postaci, która po zróżniczkowaniu obu jego stron dla tej funkcji stałej, w ten sposób otrzymujemy wzór, z którego możemy wyznaczyć prędkość rozchodzenia się modulacji: {{CentrujWzór|<MATH>0=\omega_{mod}dt-k_{mod}dz\Rightarrow {{dz}\over{dt}}=v_{mod}={{\omega_{mod}}\over{k_{mod}}}={{\omega_1-\omega_2}\over{k_2-k_1}}\;</MATH>|6.8}} Prędkość modulacji możemy rozłożyć w szereg Taylora, w ten sposób dowiadujemy się, że prędkość rozchodzenia się modulacji, która jest ilorazem różnicowym częstotliwości kołowej i liczby falowej k, jest ona w przybliżeniu równa pochodnej zupełnej częstotliwości kołowej względem liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>v_{mod}={{\omega_2-\omega_1}\over{k_2-k_1}}={{d\omega}\over{dk}}+...\;</MATH>|6.9}} Na podstawie tożsamości {{LinkWzór|6.9}} możemy określić prędkość grupową, którą nazywamy pochodną zupełną częstotliwości kołowej względem liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}\;</MATH>|6.10}} == Składanie się fal o prostokątnym rozkładzie widmowym == Superpozycja N fal, których amplitudy są jednakowe, ale o częstościach kołowych równomiernie rozłożonych pomiędzy częstościami &omega;{{Sub|1}}, a &omega;{{Sub|2}}, których ta całkowita fala &psi;(t) jest zdefiniowana: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos\omega_1t=A\cos(\omega_1t+\delta \omega)+A\cos(\omega_1t+2\delta\omega)+...+A\cos\omega_2t\;</MATH>|6.11}} Wielkość &delta;&omega; jest tak zdefiniowana w taki sposób jako iloraz różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|2}} i &omega;{{Sub|1}} podzielonej przez N-1, co matematycznie: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\omega={{\omega_2-\omega_1}\over{N-1}}={{\Delta \omega}\over{N-1}}\;</MATH>|6.12}} Najlepszym sposobem jest przestawienie sumy drgań harmonicznych {{LinkWzór|6.11}} przy pomocy funkcji eksponencjalnych, których częścią rzeczywistą jest ta nasza rozważana suma drgań harmonicznych {{LinkWzór|6.11}}, którego przestawienie jest: {{CentrujWzór|<MATH>f(t)=e^{-i\omega_1t}+e^{-i(\omega_1t+2\delta\omega)}+...+e^{-i(\omega_1t+2\Delta\omega)}\;</math>|6.13}} Funkcja {{LinkWzór|6.13}} jest szeregiem geometrycznym o ilorazie exp(-&delta;&omega;t), wtedy zapisujemy go w postaci zwartej: {{CentrujWzór|<math>f(t)=e^{-i\omega_1 t}{{1-e^{-iN\delta\omega t}}\over{1-e^{-i\delta\omega t}}}={{e^{-{{1}\over{2}}N\delta\omega t}}\over{e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}{{e^{{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}}\over{e^{{{1}\over{2}}i\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}=e^{-i\omega_1 t}e^{-{{1}\over{2}}i(N-1)\delta\omega}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=e^{-i(\omega_1+{{1}\over{2}}\Delta\omega)}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=e^{-i\omega_{sr}t}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}\;</MATH>|6.14}} Całkowita funkcja falowa zapisana w postaci zwartej {{LinkWzór|6.11}} jest częścią rzeczywistą obliczeń napisaną w punkcie {{LinkWzór|6.14}}, którą rysujemy w postaci funkcji zależnej od czasu "t", częstotliwości średniej drgań &omega;{{Sub|śr}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos\omega_{sr}t{{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.15}} Amplituda fali &psi;(t), występująca we wzorze {{LinkWzór|6.15}} jest zależna od czasu i jest napisana przy pomocy funkcji sinus, która występuje w mianowniku i liczniku, której licznik jest zależny od liczby przegród, jest wykreślona: {{CentrujWzór|<MATH>A(t)={{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.16}} Gdy N=2, wtedy równość na funkcję &psi;(t) {{LinkWzór|6.15}}, którą definiujemy, zamieniając 1/2&omega;t przez zmienną x, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A{{\sin 2x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}t=A{{2\sin x\cos x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}=2A\cos x=2A\cos\omega_{mod} t\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|6.17}} Wzór na funkcję &psi;(t) dla N=2 otrzymaliśmy jak w punkcie {{LinkWzór|1.116|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}, co jest zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Przy liczeniu funkcji {{LinkWzór|6.16}} dla t=0 należy się dokładnie przyjrzeć, bo licznik i mianownik tego wyrażenia jest równy zero, wtedy należy dokonać zamiany zmiennych według <MATH>_{\theta={{1}\over{2}}\delta\omega t}\;</MATH>, i obliczyć granicę, wykorzystując wiadomości o granicach z analizy matematycznej. {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{\theta}}=N\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{N\theta}}=N\;</MATH>|6.18}} Amplitudę {{LinkWzór|6.16}} możemy przestawić jako funkcję A(t) przy A=A(0)/N, dla którego tą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<math>A(t)=A(0){{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.19}} Przejdźmy teraz do granicy, dla którego N jest bardzo duże, wtedy odstępy pomiędzy składowymi drgań harmonicznych &delta;&omega; są na tyle małe, że ich doświadczalnie nie możemy rozróżnić, wtedy mamy doczynienia z fizyką, a nie z matematyką. Amplitudę {{LinkWzór|6.16}} możemy napisać dla warunku &delta;&omega; bardzo małego i przy zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|6.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>A(t)=A(0){{\sin {{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta\omega t}\over{N{{1}\over{2}}\delta\omega t}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta \omega t}\over{{{1}\over{2}}\Delta\omega}}\;</MATH>|6.20}} Wychylenie od stanu równowagi {{LinkWzór|6.11}} jako superpozycja N fal harmonicznych, przy wykorzystaniu {{LinkWzór|6.12}}, piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\left[\delta\omega\cos\omega_1 t+\delta\omega\cos(\omega_1+\delta\omega)t+...+\delta\omega\cos\omega_2 t\right]\;</MATH>|6.21}} Równość {{LinkWzór|6.21}} możemy zapisać w postaci całkowej, przy założeniu, że &delta;&omega; jest bardzo małe, praktycznie zerowe, jako całkę od &omega;=&omega;{{Sub|1}}, aż do &omega;=&omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\int_{\omega_1}^{\omega_2}\cos\omega td\omega\;</MATH>|6.22}} == Szereg Fouriera liczona względem czasu == Szeregiem Fouriera nazywamy takie wyrażenie, której każdą funkcję F(t) możemy rozłożyć ten nasz szereg, którego postać jest zależna od współczynników B{{Sub|0}} i współczynników zależnych od n, czyli od A{{Sub|n}} i od B{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega t+\sum_{n=1}^{\infty} B_n \cos\omega_1 t\;</MATH>|6.23}} Wówczas jak możemy udowodnić, że współczynniki A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} możemy napisać przy pomocy funkcji F(t), jak to robiliśmy też dla szeregu Fouriera zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.35|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, tylko tam była definicja względem liczby falowej, a tutaj względem częstotliwości kołowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)dt\;</MATH>|6.24}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\cos n\omega_ tdt\;</MATH>|6.25}}|3={{CentrujWzór|<MATH>A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\sin n\omega_ tdt\;</MATH>|6.26}}}} == Przejście od szeregu Fouriera w jej postać całkową == Rozważmy kilka pierwszych wyrazów w szeregu Fouriera, tzn. A{{Sub|1}}sin&omega;{{Sub|1}}t+B{{Sub|1}}cos&omega;{{Sub|1}}t, A{{Sub|1}}sin&omega;{{Sub|1}}t+B{{Sub|1}}cos&omega;{{Sub|1}}t. Pierwsze wyrazy są tak małe w podanych wyrazach, że można je zaniedbać. Widzimy, że T{{Sub|1}}, która jest okresem. Sztucznie utworzona funkcja zależy od naszego okresu, więc ten okres możemy zwiększać o dowolną wielokrotność, zatem okres T{{Sub|1}} jest dowolny, to częstotliwość kołową &omega;{{Sub|1}}=2&pi;/T{{Sub|1}} możemy dowolnie zmniejszać. W gruncie rzeczy T{{Sub|1}} możemy wziąć na tyle duże by wyrazy A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} można było zaniedbać. Rozważmy n na tyle duże by nie można było zaniedbać współczynników A{{Sub|n}} , B{{Sub|n}}, wtedy szereg {{LinkWzór|6.23}} możemy zapisać, biorąc jak na razie dla uproszczenia wyrazy z sinusami: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=...+A_n\sin n\omega_1 t+A_{n+1}\sin(n\omega_1+\omega_1)t+...\;</MATH>|6.27}} Obierzmy sobie teraz funkcję &omega; zmiennej n i &omega;{{Sub|1}}, która jest iloczynem liczby n i częstotliwości &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=n\omega_1\;</MATH>|6.28}} Niech przyrost &delta;&omega; będzie taki, że różniczka z n jest ilorazem z delty częstotliwości kołowej &omega; przez częstotliwość &omega;{{Sub|1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\omega=\omega_1\delta n\Rightarrow \delta n={{\delta\omega}\over{\omega_1}}\;</MATH>|6.29}} Załóżmy, że w pasmie n do n+&delta; n wszystkie współczynniki A{{Sub|n}} są sobie równe, wtedy wszystkie te wyrazy możemy przegrupować względem tychże współczynników, by później było można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=....+\delta nA_n\sin n\omega_1 t+...=...+\delta\omega{{A_n}\over{\omega_1}}\sin\omega t+..\equiv...+\delta\omega A(\omega)\sin\omega t+..=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega t d\omega\;</math>|6.30}} W końcu na podstawie obliczeń {{LinkWzór|6.30}} możemy napisać całkę Fouriera, którego postać piszemy względem współczynników A(&omega;) i B(&omega;) (powyżej było przyjęte, że B(&omega;)=0, a poniżej jest dla różnego od zera dla ogólności), której ogólna postać naszej całki: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega td\omega+\int_0^{\infty}B(\omega)\cos\omega t d\omega\;</MATH>|6.31}} Na podstawie definicji współczynnika A{{Sub|n}} {{LinkWzór|6.26}} i B{{Sub|n}}{{LinkWzór|6.25}}, a także z własności &omega;{{Sub|1}}T{{Sub|1}}=2&pi;, a także będziemy przyjmować t{{Sub|0}}=-&infin;, a T{{Sub|0}}=&infin;, wtedy możemy napisać definicję współczynników A(&omega;) i B(&omega;) przy wcześniejszych poczynionych uwagach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A(\omega)={{A_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega tdt\;</MATH>|6.32}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B(\omega)={{B_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega tdt\;</MATH>|6.33}}}} == Całki Fouriera dla tłumionego oscylatora tłumionego == Wychylenie od stanu równowagi dla tłumionego oscylatora od stanu równowagi przy zerowym przesunięciu fazowym przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1t\;</MATH>|6.34}} Wtedy, patrząc na tożsamość {{LinkWzór|3.10|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, możemy napisać tożsamość wiążąca częstotliwość drgań tłumionych &omega;{{Sub|1}} względem drgań harmonicznych podstawowych i współczynnika tłumionego, z którego skorzystamy w dalszym kroku obliczeń. Policzmy tutaj dwie całki poniższe, które będą nam bardzo potrzebne w dalszych rozważaniach: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bxdx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}+{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx=-{{b}\over{a^2}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx dx={{b}\over{b^2+a^2}}\;</MATH>|6.35}} Dalej policzmy drugą z kolei całkę: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx= {{1}\over{a}}+e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int e^{ax}\cos bx\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx={{a}\over{b^2+a^2}}\;</MATH>|6.36}} Policzmy teraz współczynnik A(&omega;) według wzoru {{LinkWzór|6.32}} występującego jako współczynnik we wzorze {{LinkWzór|6.31}}, korzystując przy tym z tożsamości fizycznej {{LinkWzór|6.36}}: {{CentrujWzór|<MATH>2\pi A(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}[\sin(\omega+\omega_1)t+\sin(\omega-\omega_1)t]dt=\;</MATH>{{Br}}<math>= {{\omega+\omega_1}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{\omega-\omega_1}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{\omega+\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{\omega-\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;</math>{{Br}}<math>={{(\omega+\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+(\omega-\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}={{2\omega(\omega^2+\omega_0^2)-4\omega_1^2\omega}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}</math>|6.37}} Dalszym krokiem jest policzenie B(&omega;) według wzoru {{LinkWzór|6.33}} występujące jako współczynnik we {{LinkWzór|6.31}}, wykorzystując przy tym z tożsamości fizycznej {{LinkWzór|6.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>2\pi B(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}[\cos(\omega+\omega_1)t+\cos(\omega-\omega_1)t]dt=\;</MATH>{{Br}}<math>= {{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;</math>{{Br}}<math>={{{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}</math>|6.38}} Wyznaczmy wielkość I(&omega;), która jest sumą kwadratów wielkości 2&pi;A(&omega;){{LinkWzór|6.38}} i 2&pi;B(&omega;){{LinkWzór|6.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>I(\omega)=[2\pi A(\omega)]^2+[2\pi B(\omega)]^2=\left({{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2+\left({{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^2\Gamma^2(\omega^2-\omega_0^2)+\Gamma^2(\omega^2+\omega_0^2)^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^4\Gamma^2-4\omega^2\omega_0^2\Gamma^2+\Gamma^2\omega^4+\Gamma^2\omega_0^4+2\Gamma^2\omega^2\omega_0^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{4\omega^2\left[(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2\right]+\Gamma^2\left[\omega^2\Gamma^2+(\omega^2-\omega_0^2)^2\right]}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}={{4\omega^2+\Gamma^2}\over{(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2}} </MATH>|6.39}} == Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym == Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym dla fal dyspersyjnych dla z=0 piszemy w postaci zależnej od częstotliwości kołowej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega t+B(\omega)\cos\omega t\right]d\omega\;</MATH>|6.40}} Dla k&ne;0 całkę Fouriera możemy przestawić w zależności od liczby falowej, która z kolei zależy od liczby falowej dla fal biegnących, co można uzyskać, zamieniając zmienną "t" na primowane, i podstawiając dalej za t' w tożsamości {{LinkWzór|6.40}} wyrażenie t-z/v i pamiętając, że &psi;(0,t')=&psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega \left(t-{{z}\over{v}}\right)+B(\omega)\cos\omega\left(t-{{z}\over{v}}\right)\right]d\omega\;</MATH>|6.41}} Wykorzystajmy definicję prędkości fazowej, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|4.11|Opis fal biegnących}}, wtedy równość {{LinkWzór|6.41}} dla liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej możemy przepisać do: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin(\omega t-k(\omega)z)+B(\omega)\cos(\omega t-k(\omega)z)\right]d\omega\;</MATH>|6.42}} == Klasyczne równanie falowe a fale ulegające dyspersji == Załóżmy, że mamy wychylenie od stanu równowagi, którego równanie piszemy przy pomocy częstotliwości drgań &omega;, liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej k(&omega;): {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</math>|6.43}} Równanie falowe różniczkowe, którego rozwiązaniem jest {{LinkWzór|6.43}}, jest w postaci zależnej od prędkości fazowej, którego z kolei zależy od częstotliwości kołowej, możemy otrzymać, licząc drugie pochodne wychylenia naszego przemieszczenia względem czasu i położenia: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</MATH>|6.44}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</MATH>|6.45}}}} Równości {{LinkWzór|6.44}} i {{LinkWzór|6.45}} porównujemy je względem siebie, w ten sposób otrzymujemy wzór na równanie falowe zależne od drugich pochodnych przemieszczenia &psi; względem czasu i położenia "z": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|6.46}} Do równości {{LinkWzór|6.46}} wykorzystamy definicję prędkości fazowej {{LinkWzór|4.11|Opis fal biegnących}}, w ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe, które jest zależne od prędkości fazowej, a która z kolei zależy od częstotliwości kołowej, lub mówiąc równoważnie od liczby falowej, bo we związku dyspersyjnym częstotliwość jest zależna od liczby falowej: {{CentrujWzór|<math>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=v^2(\omega){{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|6.47}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r4gcyte85vhh2jbqk78znl67oae4n1r 0 21037 558544 513452 2026-10-04T15:55:48Z Persino 2851 558544 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Dotychczas rozważaliśmy fale, opisując je w jednym kierunku. Wprowadzimy fale biegnące trójwymiarowe, opisując je jako fale płaskie odpowiednio, obracając układ współrzędnych. Przekonamy się, że przejście do trzech wymiarów daje nam coś więcej niż zwykła zamianę zmiennych dla fal płaskich rozchodzącej się względem starego układu wzdłuż osi "z", na podstawie tego otrzymujemy dodatkowe stopnie swobody. Dla trzech wymiarów możemy mieć falę elektromagnetyczną, którą dla jednego kierunku mamy czystą falę biegnącą. == Wektor propagacji dla płaskich fal harmonicznych == Fala płaska rozchodząca się w jednym wymiarze, która jest falą harmoniczną dla z=0, jest funkcją o stałej amplitudzie A i częstotliwości kołowej &omega;, którego równanie fali dla tego "z" piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t^')=A\cos\omega t^'\;</MATH>|7.1}} Gdy we wzorze {{LinkWzór|7.1}} podstawimy t'=t-z/v, wtedy otrzymamy fale płaską określoną w płaszczyźnie z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.2}} Iloczyn liczby falowej i położenia z, czyli kz, możemy napisać dla układu obróconego względem tego układu o pewien kąt: {{CentrujWzór|<MATH>kz^'=k(\vec{z}^'\cdot\vec{r})=(k\vec{z}^')\vec{r}=\vec{k}\vec{r}\;</MATH>|7.3}} W ogólnym przypadku iloczyn wektora propagacji i wektora położenia możemy zapisać względem jego współrzędnych w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;</MATH>|7.4}} Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w trójwymiarowej przestrzeni, nazywamy wychylenie od stanu równowagi, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|7.3}}, jest określane przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+kz^')=A\cos(\omega t-k_xx-k_yy-k_zz)=A\cos(\omega t-\vec{k}\vec{r})\;</MATH>|7.5}} === Prędkość fazowa === Funkcję fazową napisaną dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}} nazywamy funkcję zależną od częstotliwości kołowej i liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(t,\vec{r})=\omega t-\vec{k}\vec{r}\;</MATH>|7.6}} Będziemy się tutaj zajmować przypadkiem, gdy &phi; jest funkcją stałą: {{CentrujWzór|<MATH>0=\omega dt-\vec{k}d\vec{r}\;</MATH>|7.7}} Interesuje nasz przypadek, gdy {{Formuła|<MATH>\vec{k}||d\vec{r}\;</MATH>}}, bo fala rozchodzi się zgodnie z kierunkiem wektora propagacji, zatem w takim przypadku prędkość fazową definiujemy jako stosunek częstotliwości kołowej &omega; i liczby falowej k, która jest długością wektora propagacji. {{CentrujWzór|<MATH>v={{\omega}\over{k}}\;</MATH>|7.8}} === Przykłady fal biegnących w trójwymiarze === Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w przestrzeni, której częstość kołowa jest zależna od składowych wektora propagacji, posiada związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k^2=c^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;</MATH>|7.9}} Dla fal rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym z prędkością "v", w którym możemy zapisać jako stosunek prędkości światła i stałej załamania, w którym to możemy zastąpić w {{LinkWzór|7.8}} "c" przez prędkość "v", wtedy mamy związek dyspersyjny dla tej rozważanej prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{c^2}\over{n^2}}k^2={{c^2}\over{n^2}}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;</MATH>|7.10}} Rozchodząca się fala w jonosferze, która ma częstość podstawową równą &omega;{{Sub|pl}}, dla którego częstość kołowa jest zależna od tej częstości i od wektora propagacji, ma związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<math>\omega^2=\omega_{pl}^2+c^2k^2=\omega_{pl}^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)\;</MATH>|7.11}} === Fale stojące === Fale biegnące w dwóch osobnych kierunkach i mające takie same amplitudy i częstotliwości kołowe, w wyniku nakładania się takich fal, otrzymamy związek: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(\vec{k}\vec{r}+\alpha)\;</MATH>|7.12}} Pamiętając, że {{Formuła|<MATH>\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;</MATH>}}, to stosując odpowiednie przekształcenia trygonometryczne możemy napisać na podstawie {{LinkWzór|7.12}} związek: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(k_xx+\alpha_1)\cos(k_yz+\alpha_2)\cos(k_z+\alpha_3)\;</MATH>|7.13}} === Trójwymiarowe równanie falowe według klasycznego równania fali === Wyznaczmy teraz drugą pochodną cząstkową równania fali {{LinkWzór|7.5}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi\;</MATH>|7.14}} A teraz policzmy drugie pochodne wspomnianego równania fali względem położeń w trzech możliwych sposobach, tzn. względem trzech możliwych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}=-k_x^2\psi\;</MATH>|7.15}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}=-k_y^2\psi\;</MATH>|7.16}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}=-k_z^2\psi\;</MATH>|7.17}}}} Całkowite równanie falowe na podstawie związku {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} ,{{LinkWzór|7.16}} i {{LinkWzór|7.17}}, przy wykorzystaniu definicji długości wektora propagacji, którego długość jest liczbą falową, przy definicji prędkości falowej {{LinkWzór|7.8}}, i definicji laplasjanu, czyli operatora &Delta;, jest napisane według: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2\left({{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=v^2\Delta\psi\;</MATH>|7.18}} === Przykłady równań fali === Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, przy założeniu, że prędkość fazowa fali jest równa prędkości światła w próżni równej "c", jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta\psi\;</MATH>|7.19}} Dla fal elektromagnetycznych rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym należy w równaniu falowym, wprowadzić prędkość rozchodzącej się fali równą c/n. Wtedy równanie różniczkowe falowe zapisujemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=({{c}\over{n(\omega)}})^2\Delta\psi\;</MATH>|7.20}} Dla fal rozchodzących się w jonosferze równanie falowe jest natomiast zależne dodatkowo od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|pl}}, która jest przedstawiona w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2_{pl}+c^2\Delta\psi\;</MATH>|7.21}} === Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w falowodzie === {{Rysunek|Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w prostokątnym falowodzie.jpeg|kw1|Prostokątny falowód, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne z przewodzącymi paskami bocznymi}} Równanie falowe dla przestrzeni dwuwymiarowej, w której rozchodzą się fale elektromagnetyczne {{LinkWzór|7.19}} określanych względem współrzędnych igrekowej i zetowej, jest napisane według: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\left({{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow-\omega^2\psi=c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|7.22}} Całkowite równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w falowodzie, określamy jako funkcję y i z, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos(k_zz-\omega t)\;</math>|7.23}} Związek {{LinkWzór|7.23}} na podstawie {{LinkWzór|7.22}} zachodzi, gdy mamy związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k_y^2+c^2k_z^2\;</MATH>|7.24}} Funkcja fali {{LinkWzór|7.23}} na obu końcach naszego falowodu jest tak skonstruowane by w tych punktach była równa zero, co dla y=0 zachodzi automatycznie, ale znów dla y=b już nie, aby to zachodziło musi być spełniony warunek: {{CentrujWzór|<MATH>k_yb=m\pi\mbox{ dla }k=1,2,3,..\;</math>|7.25}} Będziemy teraz rozpatrywać częstość progową, czyli tzn. dla której zachodzi m=1, wtedy warunek dyspersyjny {{LinkWzór|7.24}} dla której zachodzi wniosek na k{{Sub|y}}, zapisujemy na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{c^2\pi^2}\over{b^2}}+c^2k_z^2\;</MATH>|7.26}} Widzimy, że związek dyspersyjny {{LinkWzór|7.26}} ma kształt podobny do związku dyspersyjnego w jonosferze {{LinkWzór|7.11}} albo do związku dyspersyjnego dla wahadeł sprzężonych ze sobą {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} dla małych k: {{CentrujWzór|<math>\omega^2={{g}\over{l}}+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;</math>|7.27}} Dla częstości kołowej poniżej częstości &pi;c/b równanie fali przestawiamy w zależności od stałej zaniku &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos\omega te^{-\chi z}\;</MATH>|7.28}} Związek dyspersyjny dla równania fali {{LinkWzór|7.28}}, który można otrzymać, podstawiając go do {{LinkWzór|7.19}}, otrzymujemy wtedy inny wzór do {{LinkWzór|7.26}}, który jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k_y-c^2\chi^2_z={{c^2\pi^2}\over{b^2}}-c^2\chi^2_z\;</MATH>|7.29}} === Fale biegnące krzyżujące się nawzajem === Równanie fali {{LinkWzór|7.23}} możemy zapisać jako superpozycja fal biegnących o takich samych częstotliwościach, ale różnych liczbach falowych, którego schemat krzyżowania się tychże fal przestawiana jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=A\sin k_yy\cos(k_zz-\omega t)={{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)-{{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)\;</MATH>|7.30}} dla której we wzorze {{LinkWzór|7.30}} mamy związek dla wektorów propagacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}_1+\hat{z}k_z+\hat{y}k_y\mbox{, }\vec{k}_z=\hat{z} k_z-\hat{y}k_y\;</MATH>|7.31}} Krzyżowanie się fal wynika z tego, że {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;,</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{k}_2\;</MATH>}} dla związków {{LinkWzór|7.31}} mają przeciwne skierowane składowe igrekowe tychże omawianych wektorów propagacji. === Prędkość fazowa i grupowa fal rozchodzących się fal falowodzie === {{Rysunek|Ilustracja prędkości fazowej i grupowej.jpeg|kw2|Ilustracja prędkości fazowej i grupowej dla fali krzyżujących się w falowodzie}} Ilustracja dla fal biegnących w falowodzie pozwala na ustalić związek pomiędzy prędkością grupową a fazową w wyniku nakładania się dwóch fal krzyżujących się ze sobą. Odpowiednik {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;</math>}} znosi składową igrekową z {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;</MATH>}} z tą sama składową, ale oba te wektory propagacji mają tą sama składową zetową. Podczas gdy promień przebywa odległość ct, w tym czasie czoło fali przebyło odległość równą: {{CentrujWzór|<MATH>{{ct}\over{v_ft}}=\cos\theta\Rightarrow v_f={{c}\over{\cos\theta}}\;</MATH>|7.32}} Podobnie mówimy dla prędkości grupowej, uzmysławiając sobie, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{v_gt}\over{ct}}=\cos\theta\Rightarrow v_g=c\cos\theta\;</MATH>|7.33}} Wyznaczmy teraz iloczyn prędkości fazowej i grupowej, który jest równy kwadratowi prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>v_gv_f={{\omega}\over{k_z}}{{d\omega}\over{dk_z}}={{c}\over{\cos\theta}}c\cos\theta=c^2\;</MATH>|7.34}} Drugi bardzo ważny związek wynika skorzystania z udowodnionego związku {{LinkWzór|7.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\omega^2}\over{dk^2_z}}=c^2\Rightarrow d\omega^2=c^2dk^2_z\Rightarrow \omega^2=c^2k_z^2+\operatorname{const}\;</MATH>|7.35}} jeśli do związku {{LinkWzór|7.24}} podstawimy związek {{LinkWzór|7.25}}, w ten sposób otrzymujemy związek dyspersyjny w zależności do liczby dyskretnej dodatniej całkowitej m i współrzędnej zetowej wektora propagacji: {{CentrujWzór|<math>\omega^2=c^2k^2_z+{{c^2\pi^2m^2}\over{b^2}}\;</MATH>|7.36}} Co potwierdza zgodność {{LinkWzór|7.35}} z {{LinkWzór|7.36}}. === Odbijanie światła i jego przepuszczanie padającego ze szkła do powietrza === {{Rysunek|Odbicie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza.jpeg|kw3|Odbijanie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza}} Określmy teraz dwa ośrodki, którym pierwszym jest powietrze a drugim szkło, szkło rozciąga się z minus nieskończoności do zera, a druga część przestrzeni stanowi próżnia. Wartości wektorów propagacji określamy z definicji prędkości fazowej dla próżni dla światła w sposób: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_2={{\omega}\over{c}}\;</MATH>|7.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_1=n{{\omega}\over{c}}\;</MATH>|7.38}}}} Współrzędne igrekowe wektorów propagacji są sobie równe w próżni i w szkle, i je zapisujemy na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>k_{2y}=k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;</MATH>|7.39}} Związek otrzymany w punkcie {{LinkWzór|7.39}} podstawiamy do związku na całkowitą wartość wektora propagacji dla przestrzeni dwuwymiarowej, z którego możemy otrzymać wzór na kwadrat współrzędnej zetowej wektora propagacji: {{CentrujWzór|<MATH>{{\omega^2}\over{c^2}}=k_{2y}^2+k_{2z}^2={{n^2\omega^2}\over{c^2}}\sin^2\theta_1+k_{2z}^2\Rightarrow k_{2z}^2={{\omega^2}\over{c^2}}(1-n^2\sin^2\theta_1)\;</MATH>|7.40}} Gdy promienia załamanego nie ma, wtedy kwadrat współrzędnej zetowej wektora falowego dla fali w próżni jest równy zero. Ten kąt przy którym to pojawia się jest zwany kątem granicznym padania całkowitego odbicia wewnętrznego i przejawia się on według {{LinkWzór|7.40}}: {{CentrujWzór|<MATH>n\sin\theta_g=1\;</MATH>|7.41}} === Wyprowadzenie prawa Snelliusa === Weźmy sobie dwa dowolne ośrodki, w którym pierwszy jest ośrodek o współczynniku załamania n{{Sub|2}}, a drugi o współczynniku załamania n{{Sub|1}}. Mając na myśli, że igrekowe współrzędne promienia przed i po załamaniu w zależności od całkowitej długości liczby falowej przestawiamy jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_{2y}=k_2\sin\theta_2=n_2{{\omega}\over{c}}\sin\theta_2\;</MATH>|7.42}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n_1{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;</MATH>|7.43}}}} Porównując te dwie wielkości na współrzędne igrekowe dla ośrodka pierwszego jak i drugiego, które się nie zmieniają, to możemy określić pewien związek pomiędzy kątami padania i załamania: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_1\;</MATH>|7.44}} === Całkowite wewnętrzne odbicie === Rozważmy przypadek, gdy we wzorze {{LinkWzór|7.40}} wyrażenie to przyjmuje wartość ujemną dla pewnych katów większych od kąta granicznego, zatem weźmy sobie na tyle duży kąt by stała {{Formuła|<math>k_{2x}^2\;</MATH>}} miała wartość ujemną, wtedy należy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>-\chi^2_{2z}=-\chi^2=k_{2z}^2\;</MATH>|7.45}} Wtedy związek {{LinkWzór|7.40}}, który jest napisany w zależności od kąta padania na granicy dwóch ośrodków &theta;{{Sub|1}}, na postawie {{LinkWzór|7.45}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2={{\omega^2}\over{c^2}}(n^2\sin^2\theta_1-1)\;</MATH>|7.46}} Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni jest fala zanikającą, która opisywana jest przy pomocy funkcji proporcjonalnej do funkcji wykładniczej: {{CentrujWzór|<math>\psi(y,z,t)=A\cos(\omega t-k_y t)e^{-\chi z}\;</MATH>|7.47}} Widzimy, że wtedy funkcja falowa jest falą biegnącą wzdłuż osi igrekowej, a falą wykładniczą wzdłuż osi zetowej. Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.47}}, to średnia gęstość energii jest wprost proporcjonalna do jego średniej czasowej kwadratu funkcji falowej. == Teoretyczny opis fal na wodzie == Zawsze nas interesowały fale na wodzie. Pominiemy niektóre właściwości rzeczywistej wody, miedzy innymi jej lepkość, dla której Prof. Richard Feynman określa je mianem suchej wody. Przemieszczenie na wodzie poszczególnych punktów, które będziemy opisywać jej jako położenie poszczególnych elementów wody zależne od położenia i czasu, określamy je przez: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(x,y,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,t)+\hat{y}\psi_y(x,y,t)\;</MATH>|7.48}} Chwilowa prędkość wody o współrzędnych x, y w stanie równowagi, która jest określana jako pochodna cząstkowa przemieszczenia {{LinkWzór|7.48}}, jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(x,y,t)={{\partial\vec{\psi}(x,y,t)}\over{\partial t}}=\hat{x}{{\partial\psi_x}\over{\partial t}}+\hat{y}{{\partial\psi_y}\over{\partial t}} \;</MATH>|7.49}} Lokalne prawo zachowania masy mówi, że suma dywergencji iloczynu prędkości przez gęstość i pochodnej cząstkowej gęstości cząstkowej względem czasu jest równa zero, a my będziemy rozpatrywać, gdy gęstość wody nie zmienia się w czasie i też w przestrzeni, wtedy dywergencja wektora prędkości powinna być równa zero, co do tak uzyskanego prawa podstawiamy {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\cdot\vec{v}=\nabla\cdot{{\partial\vec{\psi}}\over{\partial t}}={{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot\vec{\psi}\Rightarrow \nabla\cdot\vec{\psi}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.50}} Warunek braku pęcherzyków we wzorze {{LinkWzór|7.50}} indukuje, że dywergencja wektora przemieszczenia poszczególnych elementów wody indukuje natomiast fakt: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{\psi}={{\partial\psi_x}\over{\partial x}}+{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=0\;</MATH>|7.51}} Brak wirów w wodzie indukuje wskazuje, że rotacja wektora prędkości {{LinkWzór|7.49}} pokazuje, a co za tym idzie, że rotacja przemieszczenia jest wielkością stałą i równą zero, tzn. że powinno zachodzić przy braku pęcherzyków : {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\times\vec{v}=\nabla\times{{\partial\psi}\over{\partial\psi}}={{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\psi)\Rightarrow\nabla\times\vec{\psi}=0\Rightarrow 0={{\partial\psi_y}\over{\partial x}}-{{\partial\psi_x}\over{\partial y}}=0\;</MATH>|7.52}} Przyjmijmy, że funkcje &psi;{{Sub|x}} i &psi;{{Sub|y}}, które są przemieszczeniami w zależnymi od czasu i położenia iksowego, która względem tych argumentów zmieniają się w sposób sinusoidalny lub kosinusoidalny, przedstawiają się: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y(x,y,t)=\cos\omega t\sin kx f(y)\;</MATH>|7.53}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x(x,y,t)=\cos\omega t\cos kx g(y)\;</MATH>|7.54}}}} === Zależności pomiędzy ruchem poziomym a pionowym === Wzory {{LinkWzór|7.53}} i {{LinkWzór|7.54}} możemy podstawić do {{LinkWzór|7.51}} i {{LinkWzór|7.52}}, w ten sposób otrzymujemy warunki w postaci dwóch równań różniczkowych względem dwóch nieznanych funkcji, które chcemy wyznaczyć: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>-kg(y)+{{df(y)}\over{dy}}=0\;</MATH>|7.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{dg(y)}\over{dy}}-kf(y)=0\;</MATH>|7.56}}}} Równanie {{LinkWzór|7.55}} różniczkujemy obustronnie względem "y" i wykorzystujemy do niego równość {{LinkWzór|7.56}}, otrzymujemy równanie drugiego rzędu, którego rozwiązanie podamy w jednej linijce: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f}\over{dy^2}}=k^2f=0\Rightarrow f(y)=Ae^{ky}+Be^{-ky}\;</MATH>|7.57}} Końcowe rozwiązanie f(y) podane w punkcie {{LinkWzór|7.57}} podstawiamy do wzoru różniczkowego za f(y) {{LinkWzór|7.55}}, w ten sposób otrzymujemy równość na rozwiązanie g(y): {{CentrujWzór|<MATH>g(y)=Ae^{ky}-Be^{-ky}\;</MATH>|7.58}} === Warunki brzegowe na dnie zbiornika wodnego === Na dnie zbiornika wodnego nie ma ruchu pionowego wody, zatem powinno zachodzić dla y=-h warunek &psi;{{Sub|y}}(-h)=0, co indukuje od razu warunek brzegowy zależności stałej B od stałej A, który piszemy wzorem {{Formuła|<MATH>B=-Ae^{-2kh}\;</MATH>}}, co daje nam równania na przemieszczenia względem osi iksowej i igrekowej, co je piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos\omega t\sin kx\left(e^{ky}-e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;</MATH>|7.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\cos\omega t\cos kx\left(e^{ky}+e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;</MATH>|7.60}}}} Gdy mamy do czynienia z głęboką wodą, wtedy przemieszczenia {{LinkWzór|7.59}} i {{LinkWzór|7.60}} możemy napisać po pominięciu wyrazu z e{{Sup|-2kh}}, w ten sposób otrzymujemy wzory na &psi;{{Sub|y}} i na &psi;{{Sub|x}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos\omega t\sin kxe^{ky}\;</MATH>|7.61}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\cos\omega t\cos kxe^{ky}\;</MATH>|7.62}}}} Gdy mamy doczynienia z wodą płytką, wtedy należy pominąć wyrazy z dokładnością do wyrazów liniowych względem przestawienia {{Formuła|<MATH>e^x\simeq 1+x\;</MATH>}}, w ten sposób dostajemy wniosek: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\psi_y=2A\cos\omega t\sin kx[k(y+h)]\;</MATH>|7.63}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=2A\cos\omega t\cos kx\;</MATH>|7.64}}}} === Związek dyspersyjny dla fal grawitacyjnych rozchodzącej się w wodzie === {{Rysunek|Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej.jpeg|kw4|Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej}} Całkowita siła, działając na nieskończenie mały element objętości wody o masie &Delta;m, która działa na powierzchni piszemy z definicji siły pochodzącej od ciśnienia, jest: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-L\Delta y[p(x+\Delta x)-p(x)]=-L\Delta y\rho g\left[\psi_y(x+\delta x)-\psi_y(x)\right]=L\delta y\Delta x\rho g{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-(\Delta M)g\left[{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}\right]_{y=0}\;</MATH>|7.65}} Druga zasada dynamiki Newtona dla naszego elementu wody o masie &Delta;M dla niezrównoważonej siły F{{Sub|x}} wprost proporcjonalnej do drugiej pochodnej igrekowego przemieszczenia względem czasu jest określana według: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=(\Delta M)\left[{{\partial^2\psi_y}\over{\partial t^2}}\right]_{y=0}\;,</MATH>|7.66}} Jeśli połączymy związki {{LinkWzór|7.65}} i {{LinkWzór|7.66}} przy istniejących funkcjach jako przemieszczenia iksowego {{LinkWzór|7.60}} i przemieszczenia igrekowego {{LinkWzór|7.59}}, w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny kwadratu częstotliwości kołowej względem liczby falowej i głębokości wody: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk{{1-e^{-2kh}}\over{1+e^{-2kh}}}\;</MATH>|7.67}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.67}} możemy napisać wzory na związki dyspersyjne na kwadrat częstotliwości kołowych dla wody głębokiej i płytkiej: {{ElastycznyWiersz|1={{Center|'''głęboka woda'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk\Rightarrow v_f=\sqrt{g\not{\lambda}}\;</MATH>|7.68}}|2={{Center|'''płytka woda'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk^2h\Rightarrow v_f=\sqrt{gh}\;</MATH>|7.69}}}} === Fale biegnące na wodzie === Rozważmy teraz fale na wodzie, które przestawiamy względem funkcji sinus i kosinus przy argumencie &omega;t-kx, których definicja przemieszczenia igrekowego i iksowego przestawiamy koleino: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos(\omega t-kx)f(y)\;</MATH>|7.70}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\sin(\omega t-kx)g(y)\;</MATH>|7.71}}}} Związki na f(y) i g(y) dla &psi;{{Sub|y}} {{LinkWzór|7.70}} i &psi;{{Sub|x}} {{LinkWzór|7.71}} są {{LinkWzór|7.55}} i {{LinkWzór|7.56}}, zatem dalsze obliczenia co do fal rozchodzących się po wodzie są takie same jak dla fal stojących, więc nie należy ich powtarzać. == Fale elektromagnetyczne w próżni == Zestaw równań obowiązujących w próżni, dla którego gęstość objętościowa ładunku i gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest równa zero, określamy wedle: {{Tabelka|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella dla gęstości i prądu objętościowych równych zero:'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}=0</MATH>|7.72}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|7.73}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|7.74}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}={{1}\over{c^2}}{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|7.75}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rozpatrzmy teraz równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, dostajemy gdy równość {{LinkWzór|7.75}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu, i do niego, podstawiając wzór {{LinkWzór|7.74}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\times{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}=c^2\nabla\times(\nabla\times\vec{E})\;</math>|7.76}} Tutaj skorzystamy z tożsamości różniczkowej, które tutaj nie będziemy udowodniać i ją przestawiamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{E})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|7.77}} Równość {{LinkWzór|7.76}} możemy napisać na podstawie zachodzącej tożsamości różniczkowej {{LinkWzór|7.77}} i pierwszego równania różniczkowego Maxwella {{LinkWzór|7.72}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=c^2\nabla^2\vec{E}(x,y,z,t)\;</MATH>|7.78}} Równanie {{LinkWzór|7.78}} jest równoważne trzem równaniom różniczkowym, które przepisujemy trzema związkami, które są równaniami falowymi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_x}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_x\;</math>|7.79}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_y}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_y\;</math>|7.80}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_z}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_z\;</math>|7.81}}}} Równania {{LinkWzór|7.79}}, {{LinkWzór|7.80}} i {{LinkWzór|7.81}} są to klasyczne równania falowe dla każdej współrzędnej z osobna. Podobne związki możemy otrzymać, gdy mamy doczynienia z falami magnetycznymi, które też otrzymujemy w postaci trzech związków. Całkowity wektor fali elektrycznej i magnetycznej, gdy mamy poszczególne współrzędne, które są równaniami falowymi, przestawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\vec{E}=\hat{x}E_x(z,t)+\hat{y}E_y(z,t)+\hat{z}E_z(z,t)\;</MATH>|7.82}}|2={{CentrujWzór|<math>\vec{B}=\hat{x}B_x(z,t)+\hat{y}B_y(z,t)+\hat{z}B_z(z,t)\;</MATH>|7.83}}}} Z warunku {{LinkWzór|7.72}} wynika, że składowa zetowa natężenia pola elektrycznego nie zależy od współrzędnej zetowej, czyli stąd wynika, że mamy doczynienia z falami poprzecznymi, napiszemy teraz dowód, wykorzystując, że fala {{LinkWzór|7.82}} nie zależy od współrzędnej iksowej i igrekowej, która mówi o poprzeczności fali elektrycznej, co matematycznie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\vec{E}={{\partial E_z(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.84}} Z {{LinkWzór|7.84}} wynika, co chcieliśmy wykazać. Następnie wykażmy czy pole magnetyczne jest polem poprzecznym, w tym celu należy wykorzystać drugie prawo Maxwella {{LinkWzór|7.73}} i z zależności współrzędnych wektora wektora indukcji magnetycznej {{LinkWzór|7.82}}, z której wynika od razu poprzeczność naszej fali magnetycznej. Wykażemy teraz, że zetowa współrzędna fali elektromagnetycznej nie zależy od czasu dla pola elektrycznego, w tym celu należy wykorzystać tożsamość {{LinkWzór|7.75}} dla fali magnetycznej zapisaną w punkcie {{LinkWzór|7.82}} w postaci pewnego wektora, stąd wnioskujemy, że współrzędna zetowa fali elektrycznej nie zależy od czasu, a matematyczny zapis tego dowodu jest: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla\times\vec{B})_z=\left(\begin{vmatrix} \hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ B_x&B_y&B_z\\ \end{vmatrix}\right)_z=\hat{z}\left({{\partial B_y}\over{\partial x}}-{{\partial B_x}\over{\partial y}}\right)=0\;,</MATH>|7.85}} Co z czwartego różniczkowego prawa Maxwella wynika nasz upragniony dowód o niezależności współrzędnej zetowej pola elektrycznego od czasu. Podobnie wykazujemy, że współrzędna zetowa pola magnetycznego też nie zależy od czasu, w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|7.74}}, co tutaj dowodzimy jak w punkcie {{LinkWzór|7.85}}. ===Polaryzacja liniowa i eliptyczna pola elektromagnetycznego=== Współrzędne pola elektrycznego nie są sprzężone równaniami różniczkowymi Maxwella E{{Sub|x}} i E{{Sub|y}}, one są niezależne od siebie, tzn. możemy wytworzyć je w taki sposób by E{{Sub|x}} było zawsze różne od zera, a składowa E{{Sub|y}} było zawsze równe zero, mówimy wtedy, że fala elektryczna jest spolaryzowana w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}}. Układ jest spolaryzowany kołowo, gdy natężenia współrzędnych fali elektrycznej spełniają zależności: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos\omega t\;</math>|7.86}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_y=E_0\sin\omega t\;</MATH>|7.87}}}} Widzimy, że według przestawienia współrzędnych iksowej {{LinkWzór|7.86}} i igrekowej {{LinkWzór|7.87}} pola elektrycznego zmieniają się z częstością kołową &omega;, co takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją kołową, to te współrzędne pola możemy powiązać równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>E_x^2+E_y^2=E_0^2\;</MATH>|7.88}} Natomiast, gdy pole jest związane zależnościami dla drgających składowych fali pola elektrycznego z częstością kołową &omega;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_{0x}\cos\omega t\;</math>|7.89}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_y=E_{0y}\sin\omega t\;</MATH>|7.90}}}} wtedy na podstawie zależności współrzędnej iksowej {{LinkWzór|7.89}} i igrekowej {{LinkWzór|7.90}} pola elektrycznego, to takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją eliptyczną, możemy je powiązać równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>{{E_x^2}\over{E_{0x}^2}}+{{E_y^2}\over{E_{0y}^2}}=1\;</math>|7.91}} Widzimy, że polaryzacja kołowa przestawiona wzorem {{LinkWzór|7.88}} jest szczególnym przypadkiem polaryzacji eliptycznej {{LinkWzór|7.91}} dla E{{Sub|0x}}=E{{Sub|0y}}=E{{Sub|0}}. === Biegnące Fale elektromagnetycznego harmoniczne === Przyjmijmy, że mamy falę biegnącą harmoniczną przestawiającą drgania pola elektrycznego w czasie drgającą z częstością kołową &omega; i posiadającej liczbę falową równą "k" przestawianą przy założeniu, że ta fala jest fala liniową. {{CentrujWzór|<MATH>E_x=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.92}} Biorąc warunki koleino {{LinkWzór|7.75}} i {{LinkWzór|7.76}}, wtedy przy pomocy równania fali {{LinkWzór|7.92}} przestawiających falę elektryczną biegnącą harmoniczną, które możemy wykorzystać do przestawienia poniższych równości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-{{1}\over{c^2}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}={{k^2}\over{\omega^2}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{k}\over{\omega}}kA\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.93}} {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}=-kA\sin(\omega t-kz)=-{{k}\over{\omega}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|7.94}} Widzimy na podstawie wzorów {{LinkWzór|7.93}} i {{LinkWzór|7.94}}, że pochodna B{{Sub|y}} względem czasu "t" i położenia "z" jest wprost proporcjonalna do odpowiednich pochodnych fali elektrycznej E{{Sub|x}}, zatem wnioski stąd wynikające: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\vec{E}(z,t)|=c|\vec{B}(z,t)|\;</MATH>|7.95}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\cdot\vec{B}=0\;</MATH>|7.96}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\hat{E}\times\hat{B}=\hat{v}\;</MATH>|7.97}}}} W powyższych rozważaniach pola elektryczne i magnetyczne biegły w zgodnych kierunkach zgodnie z osią "z", którego równania dla składowej pola magnetycznego igrekowego powstaje po podzieleniu E{{Sub|x}} przez prędkość światła, co {{LinkWzór|7.92}} dla pola elektrycznego razem z równania fali pola indukcji magnetycznej napisaną poniżej jest zgodne z równaniami Maxwella: {{CentrujWzór|<MATH>B_y={{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.98}} Ale również możemy rozpatrywać falę B{{Sub|y}}, dla której ta fala biegnie w kierunku przeciwnym do osi "z", którego równanie fali jest ze znakiem przeciwnym niż u {{LinkWzór|7.92}} i to równanie fali wyrażamy według: {{CentrujWzór|<MATH>B_y=-{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|7.99}} to równanie razem z {{LinkWzór|7.92}} również jest zgodne z równaniami Maxwella. Oba te kierunki są uwzględnione od razu w równaniach {{LinkWzór|7.95}}, {{LinkWzór|7.96}} i {{LinkWzór|7.97}}. === Stojąca fala elektromagnetyczna === Zajmijmy się teraz falami elektromagnetycznymi, zatem w nim występująca fala elektryczna może się rozchodzić w dwóch przeciwstawnym kierunkach, tzn. z kierunkiem +z i kierunkiem -z, wtedy suma amplitud tejże fali, dla której wykorzystamy wiadomości z trygonometrii, jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)={{1}\over{2}}A\cos(\omega t-kx)+{{1}\over{2}}A\cos(\omega t+kx)=A\cos\omega t \cos kx\;</MATH>|7.100}} Wektor indukcji magnetycznej jest napisany w zależności od natężenia pola elektrycznego, którą piszemy w postaci iloczynu wektorowego wektora jednostkowego w kierunku propagacji fali przez natężenie pola elektrycznego i ta całość podzielona przez prędkość światła w próżni "c". {{CentrujWzór|<MATH>\vec{B}={{1}\over{c}}\hat{r}\times\vec{E}\;</MATH>|7.101}} Dla fali magnetycznej w zależnej od fali elektrycznej biegnącej zgodnie lub niezgodnie z osią zetową, to ich superpozycja jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{B}(z,t)={{1}\over{c}}\hat{r}\times(\vec{E}^+(z,t)-\vec{E}^-(z,t))\;</MATH>|7.102}} Jeśli, patrząc na wzór {{LinkWzór|7.102}}, to można powiedzieć, że współrzędne igrekowe fali magnetycznej lecącą w kierunku +z odpowiadające fali elektrycznej iksowej lecącą w kierunku +z, a także odpowiadające współrzędne fali magnetycznej igrekowej lecącą do -z, która odpowiadają iksowej fali elektrycznej lecącą zgodnie -z, jeśli te dwie składowej pola magnetycznego lecącego zgodnie i odwrotnie do zwrotu osi zetowej dodamy je do siebie, w ten sposób otrzymujemy stojącą fale magnetyczną w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)-{{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)={{A}\over{c}}\sin\omega t\sin kz={{1}\over{c}}E_x\left[z-{{1}\over{4}}\lambda,t-{{1}\over{4}}T\right] \;</MATH>|7.103}} === Strumień rozchodzenia się energii fali płaskiej przez pewną powierzchnię === Gęstość energii występujących w danym punkcie nieskończenie małym w próżni jest wyrażona w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}\epsilon_0 E^2+{{1}\over{2\mu_0}}B^2={{1}\over{2}}\epsilon_0\left(E^2+c^2B\right)\;</MATH>|7.104}} Spróbujmy wyrazić energię występującym w nieskończenie małym elemencie powierzchni prostopadłej do osi z i grubości nieskończenie małej &Delta;z, wtedy ta wielkość jest wyrażona przez: {{CentrujWzór|<MATH>W(z,t)={{1}\over{2}}\epsilon_0A\Delta z\left(E^2+c^2B^2\right)\;</MATH>|7.105}} Wielkość {{LinkWzór|7.105}} zróżniczkujmy obustronnie względem czasu, wykorzystując definicję o pochodnej iloczynu dwóch funkcji, w ten sposób otrzymujemy wyrażenie mówiące ile jest energii dostarczanej do objetości nieskończenie małej w &Delta;zA w jednostce czasu. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=\epsilon_0A\Delta z\left(E_x{{\partial E_x}\over{\partial t}}+c^2B_y{{\partial B_y}\over{\partial t}}\right)\;</MATH>|7.106}} Teraz wykorzystajmy tożsamości {{LinkWzór|7.93}} i {{LinkWzór|7.94}}, by wyliczyć wartość energii wpływającej do powierzchni A o grubości &Delta;z. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=-\epsilon_0A\Delta z\left(c^2Ex{{\partial B_y}\over{\partial z}}+c^2B_y{{\partial E_x}\over{\partial z}}\right)=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{\partial E_xB_y}\over{\partial z}}=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)}\over{\Delta z}}=\; </MAth>{{Br}}<math>=-A{{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)\right)=-A\left(S_z(z+\Delta z)-S_z(z)\right) \;</MATH>|7.107}} Współrzędna zetowa ilości przekazywanej energii przez powierzchnię A w jednostce czasu i jednostce powierzchni jest to iloczyn wektorowy wektora natężenia fali elektrycznej przez wektor natężenia fali magnetycznej, jest wyrażona na podstawie {{LinkWzór|7.107}} jako: {{CentrujWzór|<MATH>S_z={{1}\over{\mu_0}}E_x(z,t)B_y(z,t)={{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(z,t)B_y(z,t)-E_y(z,t)B_x(z,t)\right)={{1}\over{\mu_0}}(\vec{E}\times\vec{B})_z=(\vec{E}\times\vec{H})_z\;</MATH>|7.108}} '''Wektorem Poyntinga''' nazywamy wektor, którego wartość jest ilością energii przekazywanej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni, a kierunek jest prostopadły do tej powierzchni, a zwrot jest na zewnątrz jej. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}\;</MATH>|7.109}} Jeśli wyrazić współrzędną iksową natężenia pola elektrycznego i igrekową współrzędną indukcji pola magnetycznego przy pomocy funkcji kosinus, w ten sposób mamy dwa równania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y={{E_0}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.111}}}} Gęstość energii {{LinkWzór|7.104}}, u której występuje wektor natężenia pola elektrycznego, który ma tylko składową niezerową iksową, a dla pola magnetycznego posiada tylko składową igrekową, jest: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}\epsilon_0(E_x^2+c^2B_y^2)=\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t-kz)\;</MATH>|7.112}} Ilość energii całkowitej wypływającej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni jest narysowana przez: {{CentrujWzór|<MATH>S_z={{1}\over{\mu_0}}E_xB_y={{E_0^2}\over{\mu_0c}}\cos^2(\omega t-kz)\;</MATH>|7.113}} === Gęstość i strumień energii dla elektromagnetycznej stojącej === Mając wzory dla fali stojącej pola elektrycznego {{LinkWzór|7.100}} i pola magnetycznego {{LinkWzór|7.103}}, to wtedy gęstość energii pola elektrycznego i gęstość energii pola magnetycznego mają maksima w odstępach 1/4 okresy i w odstępach położenia równej 1/4 długości fali. Energia pola elektrycznego oscyluje z częstością kołową równej 2&omega; od zera do podwojonej wartości średniej, podobnie dzieje się z energią pola magnetycznego, a wiec energia oscyluje z tematu, w którym mamy czystą energią pola elektrycznego do tematu w którym mamy czystą energię magnetyczną, z maksimami odległymi od siebie równej 1/4&lambda;. Przypomina to energie oscylatora harmonicznego, w której w jednej chwili mamy czystą energię potencjalną do chwili, gdy mamy czystą energię kinetyczną. === Ciśnienie promieniowania === Foton, który zostaje pochłonięty przez daną jednostkę powierzchni przekazuje jej pewien pęd równą pędowi cząstki, a jeśli foton całkowicie zostanie odbity od powierzchni przekazuje jej podwójny pęd równy zmianie pędu fotonu po odbiciu i przed odbiciem. Aby wyznaczyć zależność ciśnienia promieniowania promieniowania w zależności od energii danego fotonu musimy napisać siłę Lorentza w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{E}q+q\vec{v}\times\vec{B}=\hat{x}qE_x+q\hat{z}q\dot{x}B_y-\hat{x}q\dot{z}B_y\;</MATH>|7.114}} Weźmy sobie średnią czasową wyrażenia {{LinkWzór|7.114}}. Wyraz {{Formuła|<MATH>\hat{x}qE_x\;</MATH>}} ma średnią wartość równą zero, także ostatnio wyraz rozważanego wyrażenia jest równy zero, dzieje się to tak dlatego, że przyrost prędkości w kierunku osi z można zaniedbać. Pozostaje nam jeden wyraz, dla którego będziemy liczyli średnią powyższego wyrażenia, co możemy przepisać go w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\langle\vec{F}\rangle=\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}q\langle \dot{x}B_y\rangle</MATH>|7.115}} Z drugiej jednak strony moc wykonywana nad przesunięciem ładunku jest iloczynem siły {{LinkWzór|7.114}} i prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>{{dW}\over{dt}}=\vec{v}\vec{E}=q\vec{v}\vec{E}=q\dot{x}E_x\;</MATH>|7.116}} Ponieważ cB{{Sub|y}}=E{{Sub|x}}, wtedy możemy połączyć równości {{LinkWzór|7.115}} z {{LinkWzór|7.116}}, w ten sposób otrzymać związek między przekazywanym pędem a mocą wykonywaną nad ładunkiem: {{CentrujWzór|<MATH>\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}{{1}\over{c}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;</MATH>|7.117}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.117}} możemy wyznaczyć pęd fotonu w zależności od jego energii, który to pęd jest ilorazem energii fotonu W przez prędkość światła "c", lub inaczej energii fali W odpowiada pęd fali {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{P}={{W}\over{c}}\hat{z}\;</MATH>|7.118}} Energia W możemy również wyznaczyć z poniższego wzoru, która jest to energia policzona ze związku między energią a pędem ze szczególnej teorii względności dla masy jego spoczynkowej równy zero (jeśli tam podstawić M=0), co w rezultacie otrzymujemy w wyniku końcowych perypetiach równość {{LinkWzór|7.118}}. {{CentrujWzór|<MATH>W=\sqrt{c^2P^2+M^2c^4}\;</MATH>|7.119}} === Moment pędu przekazywanej przez fale biegnącą fali płaskiej === {{Rysunek|Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego.jpeg|kw5|Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego}} Fala elektromagnetyczna posiada nie tylko energię i pęd liniowy, ale również moment pędu. Będziemy rozpatrywać fale elektryczne, które wprawiają w ruch obrotowy ładunek q, co jest niemożliwe przy polu spolaryzowanym liniowo. Rozważmy falę elektryczną o stałym natężeniu obracającego się z pewną prędkością kołową, w którym pole magnetyczne w zależności od pola magnetycznego piszemy poprzez wzór {{Formuła|<MATH>c\vec{B}=\hat{z}\times\vec{E}\;</MATH>}}. Pole elektryczne rozpędza ładunek q, a pole magnetyczne zakrzywia jego tor ruchu naszej cząstki. Moment skręcający {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}\;</MATH>}} oddziałujący na ładunek q z siłą, która wynosi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times\vec{F}\;</MATH>}}, której ta wspomnianą wielkość piszemy pomnożoną przez częstotliwość kołową &omega;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega\vec{\tau}=\omega\vec{r}\times\vec{F}=\omega q\vec{r}\times\vec{E}+\omega\vec{r}\times q(\vec{v}\times\vec{B})\;</MATH>|7.120}} iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>}} ma kierunek zgodny z {{Formuła|<MATH>\hat{z}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times(\vec{v}\times{B})\;</MATH>}} ma kierunek {{Formuła|<MATH>-\vec{v}\;</MATH>}}. A ponieważ średnia czasowa prędkości w ciągu jednego okresu jest równe zero, to momentu całkowity pochodzący od pola magnetycznego nic nie wnosi do całkowitego momentu skręcającego, ale do niego wnosi tylko pole elektryczne: {{CentrujWzór|<MATH>\omega\vec{r}\times\vec{E}=\hat{z}\vec{v}\vec{E}\;,</MATH>|7.121}} wtedy średnia czasowa momentu skręcającego w ciągu jednego okresu jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \vec{\tau}\rangle=\left\langle{{d\vec{J}}\over{dt}}\right\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\langle q\vec{v}\times\vec{E}\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;</MATH>|7.122}} Moment pędu fali elektromagnetycznej spolaryzowanej kołowo możemy wyrazić od energii fali W na podstawie {{LinkWzór|7.122}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{J}=\hat{z}{{W}\over{\omega}}\;</MATH>|7.123}} === Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodku jednorodnym liniowym === Prędkość światła w zależności od prędkości światła w próżni i względem stałych przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka liniowego wyrażamy wzorem: {{CentrujWzór|<math>v^2={{1}\over{\epsilon\mu}}={{1}\over{\epsilon_0\mu_0\epsilon_r\mu_r}}={{c}\over{\epsilon_r\mu_r}}\;</MATH>|7.124}} Wtedy kwadrat liczby falowej jest równy stosunkowi kwadratów częstotliwości kołowych drgań przez kwadrat prędkości światła pomnożonej przez iloczyn względnych przenikalności elektrycznej &epsilon;{{Sub|r}} i magnetycznej &mu;{{Sub|r}} ośrodka liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>k^2={{\omega^2}\over{v^2}}={{\omega^2}\over{c^2}}\epsilon_r\mu_r\;</MATH>|7.125}} == Promieniowanie pochodzące od przyspieszającego ładunku == Załóżmy, że ładunek q znajduje się w chwili początkowej w spoczynku od czasu t=-&infin; do t=0, wtedy pole elektryczne tego ładunku jest to pole opisywane przez prawo Coulumba. W chwili t=0 cząstka doznaje chwilowego przyspieszenia przez króŧki czas &Delta;t, a później porusza się ze stała prędkością v=a&Delta;t. W chwili t=0 pole elektryczne dane jest przez prawo Coulumba: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=q{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\hat{r}}\over{r^2}}\;</MATH>|7.126}} Określmy teraz czas t długi w porównaniu z czasem &Delta;t. Gdy odległość r jest mniejsza niż c(t-&Delta;t) od ładunku q załamanie już mineło i pole elektryczne jest wtedy wywoływane przez ładunek poruszających się z prędkością v, jest określone jest przez wzór w zależności od kąta &theta;, w którym jest to kąt pomiędzy wektorem wodzącym punktu, w którym następuje obserwacja, którego początek ma w punkcie położenia chwilowego ładunku q, względem prędkości źródła pola elektrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E={{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}{{1-\beta^2}\over{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{{{3}\over{2}}}}}\;</MATH>|7.127}} {{Rysunek|Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku punktowego.jpeg|kw6|Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku punktowego, przy czym zakładamy, że t>>&Delta;t i przy założeniu v{{=}}(a&Delta;t)<<c. Składowe prędkości prostopadła i równoległa do punktu obserwacji jest równa v{{Sub|&perp;}} i v{{Sub|&#166;&#166;}}.}} Gdy prędkość ładunku jest o wiele mniejsza niż prędkość ładunku, czyli v<<c, wtedy pole elektryczne jest opisywane przez {{LinkWzór|7.126}}. Oznaczmy przez {{Formuła|<MATH>E_{\bot}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>E_{||}\;</MATH>}}, które są to wartości bezwzględne składowych {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} koleino prostopadłej i równoległej do kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\hat{r}\;</MATH>}}, które jest polem zajętym przez załamanie, pochodzących od ładunku, który poruszał się z przyspieszeniem. Prawo zachowania strumienia linii sił pola elektrycznego pociąga ze sobą oczywiście ciągłość linii sił i dlatego stosunek poprzecznej składowej pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>E_{\bot}\;</MATH>}} do składowej równoległej (podłużnych) da się przestawić jako stosunek odległości {{Formuła|<MATH>v_{\bot} t\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>c\Delta t\;</MATH>}}, który piszemy poprzez: {{CentrujWzór|<math>{{E_{\bot}}\over{E_{||}}}={{v_{\bot}t}\over{c\Delta t}}={{\overbrace{a_{\bot}\Delta t}^{v_{\bot}} \overbrace{{{r}\over{c}}}^t}\over{c\Delta t}}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}\;</MATH>|7.128}} Ponieważ pole elektryczne jest opisywane przez równanie {{LinkWzór|7.126}}, również przez ten sam wzór jest opisujemy składową równoległą (radialna) pola elektrycznego, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_{||}=E_r={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{q}\over{r^2}}\;</MATH>|7.129}} Możemy połączyć równanie {{LinkWzór|7.128}} z równaniem na składową radialną pola elektrycznego {{LinkWzór|7.129}}, w ten sposób otrzymujemy równość na składową prostopadłą pola elektrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_{\bot}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}E_{||}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}{{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}={{qa_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\;</MATH>|7.130}} Całkowity wektor natężenia pola elektrycznego promieniowania określamy w zależności od wektora {{Formuła|<MATH>\vec{a}_{\bot}\;</MATH>}} jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_{prom}(r,t)=-{{q\vec{a}_{\bot}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\mbox{ dla }t^'=t-{{r}\over{c}}\;</MATH>|7.131}} === Energia promieniowania wysyłana przez ładunek punktowy === Wiemy, że natężenia pola elektrycznego jest prostopadłe do wektora jednostkowego propagacji fali elektrycznej {{Formuła|<MATH>\hat{r}\;</MATH>}}, i wykorzystując definicję wektora Poyntinga, który jest natężeniem wysyłanym przez ładunek punktowy w danym punkcie na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, to wtedy możemy napisać wzór na ten wektor: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{S}(\vec{r},t)={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\vec{B}={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\left(\hat{r}\times\vec{E}\right)={{1}\over{\mu_0c}}E^2\hat{r}={{1}\over{\mu_0}}\left[-{{q\vec{a}_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}} \right]^2\hat{r}={{\mu_0q^2\vec{a}_{\bot}^2}\over{16\pi^2cr^2}}\hat{r} </MATH>|7.132}} Kwadrat przyspieszenia prostopadłego jest wyrażona od całkowitego przyspieszenia z definicji trójkąta prostokątnego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_{\bot}^2(t^')=\vec{a}^2(t^')\sin^2\phi\;</MATH>|7.133}} Tożsamość {{LinkWzór|7.133}} możemy podstawić do {{LinkWzór|7.132}}, w ten sposób mamy wzór na różniczkę mocy przekazywaną w jednostce czasu przez powierzchnię dS poprzez promieniowanie: {{CentrujWzór|<MATH>dP(\vec{r},t)={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}dS={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}r^2\sin\phi d\phi d\theta={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi d\theta\;</MATH>|7.133a}} Całkowita moc przekazywana w jednostce czasu przez powierzchnię zamkniętą wyrażamy poprzez całkę po całym przebiegu zmienności &theta; i &phi;, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}{{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi={{\mu_0q^2\vec{a}^2}\over{8\pi c}}\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi={{\mu_0q^2a^2}\over{6\pi c}}\;</MATH>|7.134}} === Całkowite promieniowanie dipola elektrycznego === Załóżmy, że ładunek q porusza się ruchem harmonicznym, którego funkcję położenia i przyspieszenia podamy w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t')=x_0\cos\omega t^\;</MATH>|7.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}(t^')=\hat{x}\ddot{x}(t^')=-\omega^2\hat{x}x(t^')\;</MATH>|7.136}}}} Całkowita moc promieniowania dipola elektrycznego P, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań, która jest wysyłana do nieskończoności, wyliczamy go, podstawiając {{LinkWzór|7.136}} do {{LinkWzór|7.134}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>P={{\mu_0q^2\omega^4}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;</MATH>|7.137}} === Szerokość naturalna promieniowania linii atomu dla światła === Zależność całkowitej średniej energii w zależności do czasu wyrażamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.19|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, zatem możemy udowodnić tożsamość, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem i po podzieleniu przez energie układu równa jest odwrotności współczynnika zaniku drgań &tau;, czyli współczynnikowi tłumienia &Gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{E}}\left[-{{dE}\over{dt}}\right]={{1}\over{\tau}}\;</MATH>|7.138}} Całkowita energia średnia oscylatora harmonicznego tłumionego dla słabego tłumienia zależnego od czasu (wtedy &omega;&asymp;&omega;{{Sub|0}}) możemy napisać poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\langle\dot{x}^2\rangle={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle=m\omega_0^2\langle x^2\rangle\;</MATH>|7.139}} Całkowita moc promieniowania wysyłana przez pewną powierzchnię zamkniętą określamy przez wzór {{LinkWzór|7.137}} i na podstawie tego możemy powiedzieć, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>-{{dE}\over{dt}}=P={{\mu_0q^2\omega^4_0}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;</MATH>|7.140}} Do wzoru {{LinkWzór|7.138}} postawiamy wzory {{LinkWzór|7.140}} i {{LinkWzór|7.139}}, w ten sposób otrzymujemy wzór na naturalną szerokość połówkową linii światła: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\omega={{1}\over{\tau}}={{P}\over{E}}={{\mu_0q^2\omega^2_0}\over{6\pi c m}}\;</MATH>|7.141}} === Prawo Rayleigha === Weźmy sobie teraz elektron występujący w cząsteczce molekuły, który drga pod wpływem harmonicznego natężenia pola fali elektrycznej, którego współrzędna iksowa jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos\omega t\;</MATH>|7.142}} Niech ładunek q będzie związany z w cząsteczką za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości {{Formuła|<MATH>K=m\omega_0^2\;</MATH>}}, który porusza się ruchem drgającym, wtedy równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki jest: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-m\omega_0^2x+qE_x\;</MATH>|7.143}} Ale ponieważ zachodzi {{Formuła|<MATH>\ddot{x}(t)=-\omega^2x(t)\;</MATH>}}, co jest słuszne dla ruchu drgającego harmonicznego, wtedy równość {{LinkWzór|7.143}} możemy przepisać, po zastąpieniu iksowego przyspieszenia przez iloczyn kwadratu częstotliwości kołowej drgań i położenia tej cząstki względem osi iksowej, wtedy równanie ruchu elektronu przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>-m\omega^2x(t)=-m\omega_0^2(t)+qE_x\Rightarrow x(t)={{qE_x(t)}\over{m(\omega_0^2-\omega^2)}}\;</MATH>|7.144}} Do wzoru {{LinkWzór|7.137}} na całkowitą moc wypromieniowanej do nieskończoności podstawiamy do tożsamości {{LinkWzór|7.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>P={{\mu_0\omega^4q^2}\over{6\pi c}}{{q^2}\over{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2}}\langle E_x^2(t)\rangle\;</MATH>|7.145}} W omawianym przypadku, gdy częstość kołową drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} jest o wiele większa niż częstość drgań harmonicznego pola elektrycznego, czyli &omega;{{Sub|0}}>>&omega;, co można przy pomocy tychże dysput powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>P\sim\omega^4\sim{{1}\over{\lambda^4}}\;</MATH>|7.146}} Wzór {{LinkWzór|7.146}} jest tzw. '''prawem Rayleigha''', która jest odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali promieniowania wysyłany przez ładunek. === Czemu niebo jest niebieskawe === Światło w zależności od długości fali jest rozpraszane w taki sposób, że światło o większej długości fali promieniowania elektromagnetycznego jest rozpraszane słabiej niż światło o mniejszej długości, to rozpraszanie jest dane przez prawo Rayleigha, którego to prawo obowiązuje dla równości {{LinkWzór|7.146}}, widzimy że światło niebieskie o długości fali 440-490nm jest lepiej rozpraszane niż światło czerwone, którego długość fali jest 630-780nm, i dlatego w dzień widzimy niebo niebieskawe, a wieczorem niebo czerwonawe. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ohjjcpjn6d20tj5e1ph18kmn57qulf7 558557 558544 2026-10-04T16:48:46Z Persino 2851 558557 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Dotychczas rozważaliśmy fale, opisując je w jednym kierunku. Wprowadzimy fale biegnące trójwymiarowe, opisując je jako fale płaskie odpowiednio, obracając układ współrzędnych. Przekonamy się, że przejście do trzech wymiarów daje nam coś więcej niż zwykła zamianę zmiennych dla fal płaskich rozchodzącej się względem starego układu wzdłuż osi "z", na podstawie tego otrzymujemy dodatkowe stopnie swobody. Dla trzech wymiarów możemy mieć falę elektromagnetyczną, którą dla jednego kierunku mamy czystą falę biegnącą. == Wektor propagacji dla płaskich fal harmonicznych == Fala płaska rozchodząca się w jednym wymiarze, która jest falą harmoniczną dla z=0, jest funkcją o stałej amplitudzie A i częstotliwości kołowej &omega;, którego równanie fali dla tego "z" piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t^')=A\cos\omega t^'\;</MATH>|7.1}} Gdy we wzorze {{LinkWzór|7.1}} podstawimy t'=t-z/v, wtedy otrzymamy fale płaską określoną w płaszczyźnie z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.2}} Iloczyn liczby falowej i położenia z, czyli kz, możemy napisać dla układu obróconego względem tego układu o pewien kąt: {{CentrujWzór|<MATH>kz^'=k(\vec{z}^'\cdot\vec{r})=(k\vec{z}^')\vec{r}=\vec{k}\vec{r}\;</MATH>|7.3}} W ogólnym przypadku iloczyn wektora propagacji i wektora położenia możemy zapisać względem jego współrzędnych w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;</MATH>|7.4}} Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w trójwymiarowej przestrzeni, nazywamy wychylenie od stanu równowagi, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|7.3}}, jest określane przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+kz^')=A\cos(\omega t-k_xx-k_yy-k_zz)=A\cos(\omega t-\vec{k}\vec{r})\;</MATH>|7.5}} === Prędkość fazowa === Funkcję fazową napisaną dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}} nazywamy funkcję zależną od częstotliwości kołowej i liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(t,\vec{r})=\omega t-\vec{k}\vec{r}\;</MATH>|7.6}} Będziemy się tutaj zajmować przypadkiem, gdy &phi; jest funkcją stałą: {{CentrujWzór|<MATH>0=\omega dt-\vec{k}d\vec{r}\;</MATH>|7.7}} Interesuje nasz przypadek, gdy {{Formuła|<MATH>\vec{k}||d\vec{r}\;</MATH>}}, bo fala rozchodzi się zgodnie z kierunkiem wektora propagacji, zatem w takim przypadku prędkość fazową definiujemy jako stosunek częstotliwości kołowej &omega; i liczby falowej k, która jest długością wektora propagacji. {{CentrujWzór|<MATH>v={{\omega}\over{k}}\;</MATH>|7.8}} === Przykłady fal biegnących w trójwymiarze === Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w przestrzeni, której częstość kołowa jest zależna od składowych wektora propagacji, posiada związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k^2=c^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;</MATH>|7.9}} Dla fal rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym z prędkością "v", w którym możemy zapisać jako stosunek prędkości światła i stałej załamania, w którym to możemy zastąpić w {{LinkWzór|7.8}} "c" przez prędkość "v", wtedy mamy związek dyspersyjny dla tej rozważanej prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{c^2}\over{n^2}}k^2={{c^2}\over{n^2}}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;</MATH>|7.10}} Rozchodząca się fala w jonosferze, która ma częstość podstawową równą &omega;{{Sub|pl}}, dla którego częstość kołowa jest zależna od tej częstości i od wektora propagacji, ma związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<math>\omega^2=\omega_{pl}^2+c^2k^2=\omega_{pl}^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)\;</MATH>|7.11}} === Fale stojące === Fale biegnące w dwóch osobnych kierunkach i mające takie same amplitudy i częstotliwości kołowe, w wyniku nakładania się takich fal, otrzymamy związek: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(\vec{k}\vec{r}+\alpha)\;</MATH>|7.12}} Pamiętając, że {{Formuła|<MATH>\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;</MATH>}}, to stosując odpowiednie przekształcenia trygonometryczne możemy napisać na podstawie {{LinkWzór|7.12}} związek: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(k_xx+\alpha_1)\cos(k_yz+\alpha_2)\cos(k_z+\alpha_3)\;</MATH>|7.13}} === Trójwymiarowe równanie falowe według klasycznego równania fali === Wyznaczmy teraz drugą pochodną cząstkową równania fali {{LinkWzór|7.5}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi\;</MATH>|7.14}} A teraz policzmy drugie pochodne wspomnianego równania fali względem położeń w trzech możliwych sposobach, tzn. względem trzech możliwych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}=-k_x^2\psi\;</MATH>|7.15}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}=-k_y^2\psi\;</MATH>|7.16}}|3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}=-k_z^2\psi\;</MATH>|7.17}}}} Całkowite równanie falowe na podstawie związku {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} ,{{LinkWzór|7.16}} i {{LinkWzór|7.17}}, przy wykorzystaniu definicji długości wektora propagacji, którego długość jest liczbą falową, przy definicji prędkości falowej {{LinkWzór|7.8}}, i definicji laplasjanu, czyli operatora &Delta;, jest napisane według: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2\left({{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=v^2\Delta\psi\;</MATH>|7.18}} === Przykłady równań fali === Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, przy założeniu, że prędkość fazowa fali jest równa prędkości światła w próżni równej "c", jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta\psi\;</MATH>|7.19}} Dla fal elektromagnetycznych rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym należy w równaniu falowym, wprowadzić prędkość rozchodzącej się fali równą c/n. Wtedy równanie różniczkowe falowe zapisujemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=({{c}\over{n(\omega)}})^2\Delta\psi\;</MATH>|7.20}} Dla fal rozchodzących się w jonosferze równanie falowe jest natomiast zależne dodatkowo od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|pl}}, która jest przedstawiona w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2_{pl}+c^2\Delta\psi\;</MATH>|7.21}} === Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w falowodzie === {{Rysunek|Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w prostokątnym falowodzie.jpeg|kw1|Prostokątny falowód, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne z przewodzącymi paskami bocznymi}} Równanie falowe dla przestrzeni dwuwymiarowej, w której rozchodzą się fale elektromagnetyczne {{LinkWzór|7.19}} określanych względem współrzędnych igrekowej i zetowej, jest napisane według: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\left({{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow-\omega^2\psi=c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|7.22}} Całkowite równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w falowodzie, określamy jako funkcję y i z, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos(k_zz-\omega t)\;</math>|7.23}} Związek {{LinkWzór|7.23}} na podstawie {{LinkWzór|7.22}} zachodzi, gdy mamy związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k_y^2+c^2k_z^2\;</MATH>|7.24}} Funkcja fali {{LinkWzór|7.23}} na obu końcach naszego falowodu jest tak skonstruowane by w tych punktach była równa zero, co dla y=0 zachodzi automatycznie, ale znów dla y=b już nie, aby to zachodziło musi być spełniony warunek: {{CentrujWzór|<MATH>k_yb=m\pi\mbox{ dla }k=1,2,3,..\;</math>|7.25}} Będziemy teraz rozpatrywać częstość progową, czyli tzn. dla której zachodzi m=1, wtedy warunek dyspersyjny {{LinkWzór|7.24}} dla której zachodzi wniosek na k{{Sub|y}}, zapisujemy na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{c^2\pi^2}\over{b^2}}+c^2k_z^2\;</MATH>|7.26}} Widzimy, że związek dyspersyjny {{LinkWzór|7.26}} ma kształt podobny do związku dyspersyjnego w jonosferze {{LinkWzór|7.11}} albo do związku dyspersyjnego dla wahadeł sprzężonych ze sobą {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} dla małych k: {{CentrujWzór|<math>\omega^2={{g}\over{l}}+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;</math>|7.27}} Dla częstości kołowej poniżej częstości &pi;c/b równanie fali przestawiamy w zależności od stałej zaniku &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos\omega te^{-\chi z}\;</MATH>|7.28}} Związek dyspersyjny dla równania fali {{LinkWzór|7.28}}, który można otrzymać, podstawiając go do {{LinkWzór|7.19}}, otrzymujemy wtedy inny wzór do {{LinkWzór|7.26}}, który jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k_y-c^2\chi^2_z={{c^2\pi^2}\over{b^2}}-c^2\chi^2_z\;</MATH>|7.29}} === Fale biegnące krzyżujące się nawzajem === Równanie fali {{LinkWzór|7.23}} możemy zapisać jako superpozycja fal biegnących o takich samych częstotliwościach, ale różnych liczbach falowych, którego schemat krzyżowania się tychże fal przestawiana jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=A\sin k_yy\cos(k_zz-\omega t)={{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)-{{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)\;</MATH>|7.30}} Dla której we wzorze {{LinkWzór|7.30}} mamy związek dla wektorów propagacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}_1+\hat{z}k_z+\hat{y}k_y\mbox{, }\vec{k}_z=\hat{z} k_z-\hat{y}k_y\;</MATH>|7.31}} Krzyżowanie się fal wynika z tego, że {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;,</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{k}_2\;</MATH>}} dla związków {{LinkWzór|7.31}} mają przeciwne skierowane składowe igrekowe tychże omawianych wektorów propagacji. === Prędkość fazowa i grupowa fal rozchodzących się fal falowodzie === {{Rysunek|Ilustracja prędkości fazowej i grupowej.jpeg|kw2|Ilustracja prędkości fazowej i grupowej dla fali krzyżujących się w falowodzie}} Ilustracja dla fal biegnących w falowodzie pozwala na ustalić związek pomiędzy prędkością grupową a fazową w wyniku nakładania się dwóch fal krzyżujących się ze sobą. Odpowiednik {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;</math>}} znosi składową igrekową z {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;</MATH>}} z tą sama składową, ale oba te wektory propagacji mają tą sama składową zetową. Podczas gdy promień przebywa odległość ct, w tym czasie czoło fali przebyło odległość równą: {{CentrujWzór|<MATH>{{ct}\over{v_ft}}=\cos\theta\Rightarrow v_f={{c}\over{\cos\theta}}\;</MATH>|7.32}} Podobnie mówimy dla prędkości grupowej, uzmysławiając sobie, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{v_gt}\over{ct}}=\cos\theta\Rightarrow v_g=c\cos\theta\;</MATH>|7.33}} Wyznaczmy teraz iloczyn prędkości fazowej i grupowej, który jest równy kwadratowi prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>v_gv_f={{\omega}\over{k_z}}{{d\omega}\over{dk_z}}={{c}\over{\cos\theta}}c\cos\theta=c^2\;</MATH>|7.34}} Drugi bardzo ważny związek wynika skorzystania z udowodnionego związku {{LinkWzór|7.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\omega^2}\over{dk^2_z}}=c^2\Rightarrow d\omega^2=c^2dk^2_z\Rightarrow \omega^2=c^2k_z^2+\operatorname{const}\;</MATH>|7.35}} Jeśli do związku {{LinkWzór|7.24}} podstawimy związek {{LinkWzór|7.25}}, w ten sposób otrzymujemy związek dyspersyjny w zależności do liczby dyskretnej dodatniej całkowitej m i współrzędnej zetowej wektora propagacji: {{CentrujWzór|<math>\omega^2=c^2k^2_z+{{c^2\pi^2m^2}\over{b^2}}\;</MATH>|7.36}} Co potwierdza zgodność {{LinkWzór|7.35}} z {{LinkWzór|7.36}}. === Odbijanie światła i jego przepuszczanie padającego ze szkła do powietrza === {{Rysunek|Odbicie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza.jpeg|kw3|Odbijanie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza}} Określmy teraz dwa ośrodki, którym pierwszym jest powietrze a drugim szkło, szkło rozciąga się z minus nieskończoności do zera, a druga część przestrzeni stanowi próżnia. Wartości wektorów propagacji określamy z definicji prędkości fazowej dla próżni dla światła w sposób: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_2={{\omega}\over{c}}\;</MATH>|7.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_1=n{{\omega}\over{c}}\;</MATH>|7.38}}}} Współrzędne igrekowe wektorów propagacji są sobie równe w próżni i w szkle, i je zapisujemy na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>k_{2y}=k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;</MATH>|7.39}} Związek otrzymany w punkcie {{LinkWzór|7.39}} podstawiamy do związku na całkowitą wartość wektora propagacji dla przestrzeni dwuwymiarowej, z którego możemy otrzymać wzór na kwadrat współrzędnej zetowej wektora propagacji: {{CentrujWzór|<MATH>{{\omega^2}\over{c^2}}=k_{2y}^2+k_{2z}^2={{n^2\omega^2}\over{c^2}}\sin^2\theta_1+k_{2z}^2\Rightarrow k_{2z}^2={{\omega^2}\over{c^2}}(1-n^2\sin^2\theta_1)\;</MATH>|7.40}} Gdy promienia załamanego nie ma, wtedy kwadrat współrzędnej zetowej wektora falowego dla fali w próżni jest równy zero. Ten kąt przy którym to pojawia się jest zwany kątem granicznym padania całkowitego odbicia wewnętrznego i przejawia się on według {{LinkWzór|7.40}}: {{CentrujWzór|<MATH>n\sin\theta_g=1\;</MATH>|7.41}} === Wyprowadzenie prawa Snelliusa === Weźmy sobie dwa dowolne ośrodki, w którym pierwszy jest ośrodek o współczynniku załamania n{{Sub|2}}, a drugi o współczynniku załamania n{{Sub|1}}. Mając na myśli, że igrekowe współrzędne promienia przed i po załamaniu w zależności od całkowitej długości liczby falowej przestawiamy jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>k_{2y}=k_2\sin\theta_2=n_2{{\omega}\over{c}}\sin\theta_2\;</MATH>|7.42}}|2={{CentrujWzór|<MATH>k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n_1{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;</MATH>|7.43}}}} Porównując te dwie wielkości na współrzędne igrekowe dla ośrodka pierwszego jak i drugiego, które się nie zmieniają, to możemy określić pewien związek pomiędzy kątami padania i załamania: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_1\;</MATH>|7.44}} === Całkowite wewnętrzne odbicie === Rozważmy przypadek, gdy we wzorze {{LinkWzór|7.40}} wyrażenie to przyjmuje wartość ujemną dla pewnych katów większych od kąta granicznego, zatem weźmy sobie na tyle duży kąt by stała {{Formuła|<math>k_{2x}^2\;</MATH>}} miała wartość ujemną, wtedy należy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>-\chi^2_{2z}=-\chi^2=k_{2z}^2\;</MATH>|7.45}} Wtedy związek {{LinkWzór|7.40}}, który jest napisany w zależności od kąta padania na granicy dwóch ośrodków &theta;{{Sub|1}}, na postawie {{LinkWzór|7.45}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2={{\omega^2}\over{c^2}}(n^2\sin^2\theta_1-1)\;</MATH>|7.46}} Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni jest fala zanikającą, która opisywana jest przy pomocy funkcji proporcjonalnej do funkcji wykładniczej: {{CentrujWzór|<math>\psi(y,z,t)=A\cos(\omega t-k_y t)e^{-\chi z}\;</MATH>|7.47}} Widzimy, że wtedy funkcja falowa jest falą biegnącą wzdłuż osi igrekowej, a falą wykładniczą wzdłuż osi zetowej. Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.47}}, to średnia gęstość energii jest wprost proporcjonalna do jego średniej czasowej kwadratu funkcji falowej. == Teoretyczny opis fal na wodzie == Zawsze nas interesowały fale na wodzie. Pominiemy niektóre właściwości rzeczywistej wody, miedzy innymi jej lepkość, dla której Prof. Richard Feynman określa je mianem suchej wody. Przemieszczenie na wodzie poszczególnych punktów, które będziemy opisywać jej jako położenie poszczególnych elementów wody zależne od położenia i czasu, określamy je przez: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(x,y,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,t)+\hat{y}\psi_y(x,y,t)\;</MATH>|7.48}} Chwilowa prędkość wody o współrzędnych x, y w stanie równowagi, która jest określana jako pochodna cząstkowa przemieszczenia {{LinkWzór|7.48}}, jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(x,y,t)={{\partial\vec{\psi}(x,y,t)}\over{\partial t}}=\hat{x}{{\partial\psi_x}\over{\partial t}}+\hat{y}{{\partial\psi_y}\over{\partial t}} \;</MATH>|7.49}} Lokalne prawo zachowania masy mówi, że suma dywergencji iloczynu prędkości przez gęstość i pochodnej cząstkowej gęstości cząstkowej względem czasu jest równa zero, a my będziemy rozpatrywać, gdy gęstość wody nie zmienia się w czasie i też w przestrzeni, wtedy dywergencja wektora prędkości powinna być równa zero, co do tak uzyskanego prawa podstawiamy {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\cdot\vec{v}=\nabla\cdot{{\partial\vec{\psi}}\over{\partial t}}={{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot\vec{\psi}\Rightarrow \nabla\cdot\vec{\psi}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.50}} Warunek braku pęcherzyków we wzorze {{LinkWzór|7.50}} indukuje, że dywergencja wektora przemieszczenia poszczególnych elementów wody indukuje natomiast fakt: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{\psi}={{\partial\psi_x}\over{\partial x}}+{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=0\;</MATH>|7.51}} Brak wirów w wodzie indukuje wskazuje, że rotacja wektora prędkości {{LinkWzór|7.49}} pokazuje, a co za tym idzie, że rotacja przemieszczenia jest wielkością stałą i równą zero, tzn. że powinno zachodzić przy braku pęcherzyków : {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\times\vec{v}=\nabla\times{{\partial\psi}\over{\partial\psi}}={{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\psi)\Rightarrow\nabla\times\vec{\psi}=0\Rightarrow 0={{\partial\psi_y}\over{\partial x}}-{{\partial\psi_x}\over{\partial y}}=0\;</MATH>|7.52}} Przyjmijmy, że funkcje &psi;{{Sub|x}} i &psi;{{Sub|y}}, które są przemieszczeniami w zależnymi od czasu i położenia iksowego, która względem tych argumentów zmieniają się w sposób sinusoidalny lub kosinusoidalny, przedstawiają się: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y(x,y,t)=\cos\omega t\sin kx f(y)\;</MATH>|7.53}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x(x,y,t)=\cos\omega t\cos kx g(y)\;</MATH>|7.54}}}} === Zależności pomiędzy ruchem poziomym a pionowym === Wzory {{LinkWzór|7.53}} i {{LinkWzór|7.54}} możemy podstawić do {{LinkWzór|7.51}} i {{LinkWzór|7.52}}, w ten sposób otrzymujemy warunki w postaci dwóch równań różniczkowych względem dwóch nieznanych funkcji, które chcemy wyznaczyć: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>-kg(y)+{{df(y)}\over{dy}}=0\;</MATH>|7.55}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{dg(y)}\over{dy}}-kf(y)=0\;</MATH>|7.56}}}} Równanie {{LinkWzór|7.55}} różniczkujemy obustronnie względem "y" i wykorzystujemy do niego równość {{LinkWzór|7.56}}, otrzymujemy równanie drugiego rzędu, którego rozwiązanie podamy w jednej linijce: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f}\over{dy^2}}=k^2f=0\Rightarrow f(y)=Ae^{ky}+Be^{-ky}\;</MATH>|7.57}} Końcowe rozwiązanie f(y) podane w punkcie {{LinkWzór|7.57}} podstawiamy do wzoru różniczkowego za f(y) {{LinkWzór|7.55}}, w ten sposób otrzymujemy równość na rozwiązanie g(y): {{CentrujWzór|<MATH>g(y)=Ae^{ky}-Be^{-ky}\;</MATH>|7.58}} === Warunki brzegowe na dnie zbiornika wodnego === Na dnie zbiornika wodnego nie ma ruchu pionowego wody, zatem powinno zachodzić dla y=-h warunek &psi;{{Sub|y}}(-h)=0, co indukuje od razu warunek brzegowy zależności stałej B od stałej A, który piszemy wzorem {{Formuła|<MATH>B=-Ae^{-2kh}\;</MATH>}}, co daje nam równania na przemieszczenia względem osi iksowej i igrekowej, co je piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos\omega t\sin kx\left(e^{ky}-e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;</MATH>|7.59}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\cos\omega t\cos kx\left(e^{ky}+e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;</MATH>|7.60}}}} Gdy mamy do czynienia z głęboką wodą, wtedy przemieszczenia {{LinkWzór|7.59}} i {{LinkWzór|7.60}} możemy napisać po pominięciu wyrazu z e{{Sup|-2kh}}, w ten sposób otrzymujemy wzory na &psi;{{Sub|y}} i na &psi;{{Sub|x}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos\omega t\sin kxe^{ky}\;</MATH>|7.61}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\cos\omega t\cos kxe^{ky}\;</MATH>|7.62}}}} Gdy mamy doczynienia z wodą płytką, wtedy należy pominąć wyrazy z dokładnością do wyrazów liniowych względem przestawienia {{Formuła|<MATH>e^x\simeq 1+x\;</MATH>}}, w ten sposób dostajemy wniosek: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\psi_y=2A\cos\omega t\sin kx[k(y+h)]\;</MATH>|7.63}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=2A\cos\omega t\cos kx\;</MATH>|7.64}}}} === Związek dyspersyjny dla fal grawitacyjnych rozchodzącej się w wodzie === {{Rysunek|Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej.jpeg|kw4|Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej}} Całkowita siła, działając na nieskończenie mały element objętości wody o masie &Delta;m, która działa na powierzchni piszemy z definicji siły pochodzącej od ciśnienia, jest: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-L\Delta y[p(x+\Delta x)-p(x)]=-L\Delta y\rho g\left[\psi_y(x+\delta x)-\psi_y(x)\right]=L\delta y\Delta x\rho g{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-(\Delta M)g\left[{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}\right]_{y=0}\;</MATH>|7.65}} Druga zasada dynamiki Newtona dla naszego elementu wody o masie &Delta;M dla niezrównoważonej siły F{{Sub|x}} wprost proporcjonalnej do drugiej pochodnej igrekowego przemieszczenia względem czasu jest określana według: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=(\Delta M)\left[{{\partial^2\psi_y}\over{\partial t^2}}\right]_{y=0}\;,</MATH>|7.66}} Jeśli połączymy związki {{LinkWzór|7.65}} i {{LinkWzór|7.66}} przy istniejących funkcjach jako przemieszczenia iksowego {{LinkWzór|7.60}} i przemieszczenia igrekowego {{LinkWzór|7.59}}, w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny kwadratu częstotliwości kołowej względem liczby falowej i głębokości wody: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk{{1-e^{-2kh}}\over{1+e^{-2kh}}}\;</MATH>|7.67}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.67}} możemy napisać wzory na związki dyspersyjne na kwadrat częstotliwości kołowych dla wody głębokiej i płytkiej: {{ElastycznyWiersz|1={{Center|'''głęboka woda'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk\Rightarrow v_f=\sqrt{g\not{\lambda}}\;</MATH>|7.68}}|2={{Center|'''płytka woda'''}}{{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk^2h\Rightarrow v_f=\sqrt{gh}\;</MATH>|7.69}}}} === Fale biegnące na wodzie === Rozważmy teraz fale na wodzie, które przestawiamy względem funkcji sinus i kosinus przy argumencie &omega;t-kx, których definicja przemieszczenia igrekowego i iksowego przestawiamy koleino: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos(\omega t-kx)f(y)\;</MATH>|7.70}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\sin(\omega t-kx)g(y)\;</MATH>|7.71}}}} Związki na f(y) i g(y) dla &psi;{{Sub|y}} {{LinkWzór|7.70}} i &psi;{{Sub|x}} {{LinkWzór|7.71}} są {{LinkWzór|7.55}} i {{LinkWzór|7.56}}, zatem dalsze obliczenia co do fal rozchodzących się po wodzie są takie same jak dla fal stojących, więc nie należy ich powtarzać. == Fale elektromagnetyczne w próżni == Zestaw równań obowiązujących w próżni, dla którego gęstość objętościowa ładunku i gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest równa zero, określamy wedle: {{Tabelka|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella dla gęstości i prądu objętościowych równych zero:'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}=0</MATH>|7.72}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|7.73}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|7.74}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}={{1}\over{c^2}}{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|7.75}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rozpatrzmy teraz równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, dostajemy gdy równość {{LinkWzór|7.75}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu, i do niego, podstawiając wzór {{LinkWzór|7.74}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\times{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}=c^2\nabla\times(\nabla\times\vec{E})\;</math>|7.76}} Tutaj skorzystamy z tożsamości różniczkowej, które tutaj nie będziemy udowodniać i ją przestawiamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{E})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|7.77}} Równość {{LinkWzór|7.76}} możemy napisać na podstawie zachodzącej tożsamości różniczkowej {{LinkWzór|7.77}} i pierwszego równania różniczkowego Maxwella {{LinkWzór|7.72}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=c^2\nabla^2\vec{E}(x,y,z,t)\;</MATH>|7.78}} Równanie {{LinkWzór|7.78}} jest równoważne trzem równaniom różniczkowym, które przepisujemy trzema związkami, które są równaniami falowymi: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_x}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_x\;</math>|7.79}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_y}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_y\;</math>|7.80}} |3={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_z}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_z\;</math>|7.81}} }} Równania {{LinkWzór|7.79}}, {{LinkWzór|7.80}} i {{LinkWzór|7.81}} są to klasyczne równania falowe dla każdej współrzędnej z osobna. Podobne związki możemy otrzymać, gdy mamy doczynienia z falami magnetycznymi, które też otrzymujemy w postaci trzech związków. Całkowity wektor fali elektrycznej i magnetycznej, gdy mamy poszczególne współrzędne, które są równaniami falowymi, przestawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\vec{E}=\hat{x}E_x(z,t)+\hat{y}E_y(z,t)+\hat{z}E_z(z,t)\;</MATH>|7.82}}|2={{CentrujWzór|<math>\vec{B}=\hat{x}B_x(z,t)+\hat{y}B_y(z,t)+\hat{z}B_z(z,t)\;</MATH>|7.83}}}} Z warunku {{LinkWzór|7.72}} wynika, że składowa zetowa natężenia pola elektrycznego nie zależy od współrzędnej zetowej, czyli stąd wynika, że mamy doczynienia z falami poprzecznymi, napiszemy teraz dowód, wykorzystując, że fala {{LinkWzór|7.82}} nie zależy od współrzędnej iksowej i igrekowej, która mówi o poprzeczności fali elektrycznej, co matematycznie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\vec{E}={{\partial E_z(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.84}} Z {{LinkWzór|7.84}} wynika, co chcieliśmy wykazać. Następnie wykażmy czy pole magnetyczne jest polem poprzecznym, w tym celu należy wykorzystać drugie prawo Maxwella {{LinkWzór|7.73}} i z zależności współrzędnych wektora wektora indukcji magnetycznej {{LinkWzór|7.82}}, z której wynika od razu poprzeczność naszej fali magnetycznej. Wykażemy teraz, że zetowa współrzędna fali elektromagnetycznej nie zależy od czasu dla pola elektrycznego, w tym celu należy wykorzystać tożsamość {{LinkWzór|7.75}} dla fali magnetycznej zapisaną w punkcie {{LinkWzór|7.82}} w postaci pewnego wektora, stąd wnioskujemy, że współrzędna zetowa fali elektrycznej nie zależy od czasu, a matematyczny zapis tego dowodu jest: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla\times\vec{B})_z=\left(\begin{vmatrix} \hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ B_x&B_y&B_z\\ \end{vmatrix}\right)_z=\hat{z}\left({{\partial B_y}\over{\partial x}}-{{\partial B_x}\over{\partial y}}\right)=0\;,</MATH>|7.85}} Co z czwartego różniczkowego prawa Maxwella wynika nasz upragniony dowód o niezależności współrzędnej zetowej pola elektrycznego od czasu. Podobnie wykazujemy, że współrzędna zetowa pola magnetycznego też nie zależy od czasu, w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|7.74}}, co tutaj dowodzimy jak w punkcie {{LinkWzór|7.85}}. === Polaryzacja liniowa i eliptyczna pola elektromagnetycznego === Współrzędne pola elektrycznego nie są sprzężone równaniami różniczkowymi Maxwella E{{Sub|x}} i E{{Sub|y}}, one są niezależne od siebie, tzn. możemy wytworzyć je w taki sposób by E{{Sub|x}} było zawsze różne od zera, a składowa E{{Sub|y}} było zawsze równe zero, mówimy wtedy, że fala elektryczna jest spolaryzowana w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}}. Układ jest spolaryzowany kołowo, gdy natężenia współrzędnych fali elektrycznej spełniają zależności: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos\omega t\;</math>|7.86}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_y=E_0\sin\omega t\;</MATH>|7.87}}}} Widzimy, że według przestawienia współrzędnych iksowej {{LinkWzór|7.86}} i igrekowej {{LinkWzór|7.87}} pola elektrycznego zmieniają się z częstością kołową &omega;, co takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją kołową, to te współrzędne pola możemy powiązać równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>E_x^2+E_y^2=E_0^2\;</MATH>|7.88}} Natomiast, gdy pole jest związane zależnościami dla drgających składowych fali pola elektrycznego z częstością kołową &omega;: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_{0x}\cos\omega t\;</math>|7.89}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_y=E_{0y}\sin\omega t\;</MATH>|7.90}}}} Wtedy na podstawie zależności współrzędnej iksowej {{LinkWzór|7.89}} i igrekowej {{LinkWzór|7.90}} pola elektrycznego, to takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją eliptyczną, możemy je powiązać równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>{{E_x^2}\over{E_{0x}^2}}+{{E_y^2}\over{E_{0y}^2}}=1\;</math>|7.91}} Widzimy, że polaryzacja kołowa przestawiona wzorem {{LinkWzór|7.88}} jest szczególnym przypadkiem polaryzacji eliptycznej {{LinkWzór|7.91}} dla E{{Sub|0x}}=E{{Sub|0y}}=E{{Sub|0}}. === Biegnące Fale elektromagnetycznego harmoniczne === Przyjmijmy, że mamy falę biegnącą harmoniczną przestawiającą drgania pola elektrycznego w czasie drgającą z częstością kołową &omega; i posiadającej liczbę falową równą "k" przestawianą przy założeniu, że ta fala jest fala liniową. {{CentrujWzór|<MATH>E_x=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.92}} Biorąc warunki koleino {{LinkWzór|7.75}} i {{LinkWzór|7.76}}, wtedy przy pomocy równania fali {{LinkWzór|7.92}} przestawiających falę elektryczną biegnącą harmoniczną, które możemy wykorzystać do przestawienia poniższych równości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-{{1}\over{c^2}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}={{k^2}\over{\omega^2}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{k}\over{\omega}}kA\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.93}} {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}=-kA\sin(\omega t-kz)=-{{k}\over{\omega}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|7.94}} Widzimy na podstawie wzorów {{LinkWzór|7.93}} i {{LinkWzór|7.94}}, że pochodna B{{Sub|y}} względem czasu "t" i położenia "z" jest wprost proporcjonalna do odpowiednich pochodnych fali elektrycznej E{{Sub|x}}, zatem wnioski stąd wynikające: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\vec{E}(z,t)|=c|\vec{B}(z,t)|\;</MATH>|7.95}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\cdot\vec{B}=0\;</MATH>|7.96}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\hat{E}\times\hat{B}=\hat{v}\;</MATH>|7.97}}}} W powyższych rozważaniach pola elektryczne i magnetyczne biegły w zgodnych kierunkach zgodnie z osią "z", którego równania dla składowej pola magnetycznego igrekowego powstaje po podzieleniu E{{Sub|x}} przez prędkość światła, co {{LinkWzór|7.92}} dla pola elektrycznego razem z równania fali pola indukcji magnetycznej napisaną poniżej jest zgodne z równaniami Maxwella: {{CentrujWzór|<MATH>B_y={{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.98}} Ale również możemy rozpatrywać falę B{{Sub|y}}, dla której ta fala biegnie w kierunku przeciwnym do osi "z", którego równanie fali jest ze znakiem przeciwnym niż u {{LinkWzór|7.92}} i to równanie fali wyrażamy według: {{CentrujWzór|<MATH>B_y=-{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|7.99}} To równanie razem z {{LinkWzór|7.92}} również jest zgodne z równaniami Maxwella. Oba te kierunki są uwzględnione od razu w równaniach {{LinkWzór|7.95}}, {{LinkWzór|7.96}} i {{LinkWzór|7.97}}. === Stojąca fala elektromagnetyczna === Zajmijmy się teraz falami elektromagnetycznymi, zatem w nim występująca fala elektryczna może się rozchodzić w dwóch przeciwstawnym kierunkach, tzn. z kierunkiem +z i kierunkiem -z, wtedy suma amplitud tejże fali, dla której wykorzystamy wiadomości z trygonometrii, jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)={{1}\over{2}}A\cos(\omega t-kx)+{{1}\over{2}}A\cos(\omega t+kx)=A\cos\omega t \cos kx\;</MATH>|7.100}} Wektor indukcji magnetycznej jest napisany w zależności od natężenia pola elektrycznego, którą piszemy w postaci iloczynu wektorowego wektora jednostkowego w kierunku propagacji fali przez natężenie pola elektrycznego i ta całość podzielona przez prędkość światła w próżni "c". {{CentrujWzór|<MATH>\vec{B}={{1}\over{c}}\hat{r}\times\vec{E}\;</MATH>|7.101}} Dla fali magnetycznej w zależnej od fali elektrycznej biegnącej zgodnie lub niezgodnie z osią zetową, to ich superpozycja jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{B}(z,t)={{1}\over{c}}\hat{r}\times(\vec{E}^+(z,t)-\vec{E}^-(z,t))\;</MATH>|7.102}} Jeśli, patrząc na wzór {{LinkWzór|7.102}}, to można powiedzieć, że współrzędne igrekowe fali magnetycznej lecącą w kierunku +z odpowiadające fali elektrycznej iksowej lecącą w kierunku +z, a także odpowiadające współrzędne fali magnetycznej igrekowej lecącą do -z, która odpowiadają iksowej fali elektrycznej lecącą zgodnie -z, jeśli te dwie składowej pola magnetycznego lecącego zgodnie i odwrotnie do zwrotu osi zetowej dodamy je do siebie, w ten sposób otrzymujemy stojącą fale magnetyczną w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)-{{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)={{A}\over{c}}\sin\omega t\sin kz={{1}\over{c}}E_x\left[z-{{1}\over{4}}\lambda,t-{{1}\over{4}}T\right] \;</MATH>|7.103}} === Strumień rozchodzenia się energii fali płaskiej przez pewną powierzchnię === Gęstość energii występujących w danym punkcie nieskończenie małym w próżni jest wyrażona w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}\epsilon_0 E^2+{{1}\over{2\mu_0}}B^2={{1}\over{2}}\epsilon_0\left(E^2+c^2B\right)\;</MATH>|7.104}} Spróbujmy wyrazić energię występującym w nieskończenie małym elemencie powierzchni prostopadłej do osi z i grubości nieskończenie małej &Delta;z, wtedy ta wielkość jest wyrażona przez: {{CentrujWzór|<MATH>W(z,t)={{1}\over{2}}\epsilon_0A\Delta z\left(E^2+c^2B^2\right)\;</MATH>|7.105}} Wielkość {{LinkWzór|7.105}} zróżniczkujmy obustronnie względem czasu, wykorzystując definicję o pochodnej iloczynu dwóch funkcji, w ten sposób otrzymujemy wyrażenie mówiące ile jest energii dostarczanej do objetości nieskończenie małej w &Delta;zA w jednostce czasu. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=\epsilon_0A\Delta z\left(E_x{{\partial E_x}\over{\partial t}}+c^2B_y{{\partial B_y}\over{\partial t}}\right)\;</MATH>|7.106}} Teraz wykorzystajmy tożsamości {{LinkWzór|7.93}} i {{LinkWzór|7.94}}, by wyliczyć wartość energii wpływającej do powierzchni A o grubości &Delta;z. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=-\epsilon_0A\Delta z\left(c^2Ex{{\partial B_y}\over{\partial z}}+c^2B_y{{\partial E_x}\over{\partial z}}\right)=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{\partial E_xB_y}\over{\partial z}}=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)}\over{\Delta z}}=\; </MAth>{{Br}}<math>=-A{{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)\right)=-A\left(S_z(z+\Delta z)-S_z(z)\right) \;</MATH>|7.107}} Współrzędna zetowa ilości przekazywanej energii przez powierzchnię A w jednostce czasu i jednostce powierzchni jest to iloczyn wektorowy wektora natężenia fali elektrycznej przez wektor natężenia fali magnetycznej, jest wyrażona na podstawie {{LinkWzór|7.107}} jako: {{CentrujWzór|<MATH>S_z={{1}\over{\mu_0}}E_x(z,t)B_y(z,t)={{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(z,t)B_y(z,t)-E_y(z,t)B_x(z,t)\right)={{1}\over{\mu_0}}(\vec{E}\times\vec{B})_z=(\vec{E}\times\vec{H})_z\;</MATH>|7.108}} '''Wektorem Poyntinga''' nazywamy wektor, którego wartość jest ilością energii przekazywanej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni, a kierunek jest prostopadły do tej powierzchni, a zwrot jest na zewnątrz jej. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}\;</MATH>|7.109}} Jeśli wyrazić współrzędną iksową natężenia pola elektrycznego i igrekową współrzędną indukcji pola magnetycznego przy pomocy funkcji kosinus, w ten sposób mamy dwa równania: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y={{E_0}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.111}}}} Gęstość energii {{LinkWzór|7.104}}, u której występuje wektor natężenia pola elektrycznego, który ma tylko składową niezerową iksową, a dla pola magnetycznego posiada tylko składową igrekową, jest: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}\epsilon_0(E_x^2+c^2B_y^2)=\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t-kz)\;</MATH>|7.112}} Ilość energii całkowitej wypływającej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni jest narysowana przez: {{CentrujWzór|<MATH>S_z={{1}\over{\mu_0}}E_xB_y={{E_0^2}\over{\mu_0c}}\cos^2(\omega t-kz)\;</MATH>|7.113}} === Gęstość i strumień energii dla elektromagnetycznej stojącej === Mając wzory dla fali stojącej pola elektrycznego {{LinkWzór|7.100}} i pola magnetycznego {{LinkWzór|7.103}}, to wtedy gęstość energii pola elektrycznego i gęstość energii pola magnetycznego mają maksima w odstępach 1/4 okresy i w odstępach położenia równej 1/4 długości fali. Energia pola elektrycznego oscyluje z częstością kołową równej 2&omega; od zera do podwojonej wartości średniej, podobnie dzieje się z energią pola magnetycznego, a wiec energia oscyluje z tematu, w którym mamy czystą energią pola elektrycznego do tematu w którym mamy czystą energię magnetyczną, z maksimami odległymi od siebie równej 1/4&lambda;. Przypomina to energie oscylatora harmonicznego, w której w jednej chwili mamy czystą energię potencjalną do chwili, gdy mamy czystą energię kinetyczną. === Ciśnienie promieniowania === Foton, który zostaje pochłonięty przez daną jednostkę powierzchni przekazuje jej pewien pęd równą pędowi cząstki, a jeśli foton całkowicie zostanie odbity od powierzchni przekazuje jej podwójny pęd równy zmianie pędu fotonu po odbiciu i przed odbiciem. Aby wyznaczyć zależność ciśnienia promieniowania promieniowania w zależności od energii danego fotonu musimy napisać siłę Lorentza w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{E}q+q\vec{v}\times\vec{B}=\hat{x}qE_x+q\hat{z}q\dot{x}B_y-\hat{x}q\dot{z}B_y\;</MATH>|7.114}} Weźmy sobie średnią czasową wyrażenia {{LinkWzór|7.114}}. Wyraz {{Formuła|<MATH>\hat{x}qE_x\;</MATH>}} ma średnią wartość równą zero, także ostatnio wyraz rozważanego wyrażenia jest równy zero, dzieje się to tak dlatego, że przyrost prędkości w kierunku osi z można zaniedbać. Pozostaje nam jeden wyraz, dla którego będziemy liczyli średnią powyższego wyrażenia, co możemy przepisać go w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\langle\vec{F}\rangle=\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}q\langle \dot{x}B_y\rangle</MATH>|7.115}} Z drugiej jednak strony moc wykonywana nad przesunięciem ładunku jest iloczynem siły {{LinkWzór|7.114}} i prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>{{dW}\over{dt}}=\vec{v}\vec{E}=q\vec{v}\vec{E}=q\dot{x}E_x\;</MATH>|7.116}} Ponieważ cB{{Sub|y}}=E{{Sub|x}}, wtedy możemy połączyć równości {{LinkWzór|7.115}} z {{LinkWzór|7.116}}, w ten sposób otrzymać związek między przekazywanym pędem a mocą wykonywaną nad ładunkiem: {{CentrujWzór|<MATH>\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}{{1}\over{c}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;</MATH>|7.117}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.117}} możemy wyznaczyć pęd fotonu w zależności od jego energii, który to pęd jest ilorazem energii fotonu W przez prędkość światła "c", lub inaczej energii fali W odpowiada pęd fali {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{P}={{W}\over{c}}\hat{z}\;</MATH>|7.118}} Energia W możemy również wyznaczyć z poniższego wzoru, która jest to energia policzona ze związku między energią a pędem ze szczególnej teorii względności dla masy jego spoczynkowej równy zero (jeśli tam podstawić M=0), co w rezultacie otrzymujemy w wyniku końcowych perypetiach równość {{LinkWzór|7.118}}. {{CentrujWzór|<MATH>W=\sqrt{c^2P^2+M^2c^4}\;</MATH>|7.119}} === Moment pędu przekazywanej przez fale biegnącą fali płaskiej === {{Rysunek|Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego.jpeg|kw5|Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego}} Fala elektromagnetyczna posiada nie tylko energię i pęd liniowy, ale również moment pędu. Będziemy rozpatrywać fale elektryczne, które wprawiają w ruch obrotowy ładunek q, co jest niemożliwe przy polu spolaryzowanym liniowo. Rozważmy falę elektryczną o stałym natężeniu obracającego się z pewną prędkością kołową, w którym pole magnetyczne w zależności od pola magnetycznego piszemy poprzez wzór {{Formuła|<MATH>c\vec{B}=\hat{z}\times\vec{E}\;</MATH>}}. Pole elektryczne rozpędza ładunek q, a pole magnetyczne zakrzywia jego tor ruchu naszej cząstki. Moment skręcający {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}\;</MATH>}} oddziałujący na ładunek q z siłą, która wynosi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times\vec{F}\;</MATH>}}, której ta wspomnianą wielkość piszemy pomnożoną przez częstotliwość kołową &omega;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega\vec{\tau}=\omega\vec{r}\times\vec{F}=\omega q\vec{r}\times\vec{E}+\omega\vec{r}\times q(\vec{v}\times\vec{B})\;</MATH>|7.120}} Iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>}} ma kierunek zgodny z {{Formuła|<MATH>\hat{z}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times(\vec{v}\times{B})\;</MATH>}} ma kierunek {{Formuła|<MATH>-\vec{v}\;</MATH>}}. A ponieważ średnia czasowa prędkości w ciągu jednego okresu jest równe zero, to momentu całkowity pochodzący od pola magnetycznego nic nie wnosi do całkowitego momentu skręcającego, ale do niego wnosi tylko pole elektryczne: {{CentrujWzór|<MATH>\omega\vec{r}\times\vec{E}=\hat{z}\vec{v}\vec{E}\;,</MATH>|7.121}} Wtedy średnia czasowa momentu skręcającego w ciągu jednego okresu jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \vec{\tau}\rangle=\left\langle{{d\vec{J}}\over{dt}}\right\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\langle q\vec{v}\times\vec{E}\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;</MATH>|7.122}} Moment pędu fali elektromagnetycznej spolaryzowanej kołowo możemy wyrazić od energii fali W na podstawie {{LinkWzór|7.122}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{J}=\hat{z}{{W}\over{\omega}}\;</MATH>|7.123}} === Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodku jednorodnym liniowym === Prędkość światła w zależności od prędkości światła w próżni i względem stałych przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka liniowego wyrażamy wzorem: {{CentrujWzór|<math>v^2={{1}\over{\epsilon\mu}}={{1}\over{\epsilon_0\mu_0\epsilon_r\mu_r}}={{c}\over{\epsilon_r\mu_r}}\;</MATH>|7.124}} Wtedy kwadrat liczby falowej jest równy stosunkowi kwadratów częstotliwości kołowych drgań przez kwadrat prędkości światła pomnożonej przez iloczyn względnych przenikalności elektrycznej &epsilon;{{Sub|r}} i magnetycznej &mu;{{Sub|r}} ośrodka liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>k^2={{\omega^2}\over{v^2}}={{\omega^2}\over{c^2}}\epsilon_r\mu_r\;</MATH>|7.125}} == Promieniowanie pochodzące od przyspieszającego ładunku == Załóżmy, że ładunek q znajduje się w chwili początkowej w spoczynku od czasu t=-&infin; do t=0, wtedy pole elektryczne tego ładunku jest to pole opisywane przez prawo Coulumba. W chwili t=0 cząstka doznaje chwilowego przyspieszenia przez króŧki czas &Delta;t, a później porusza się ze stała prędkością v=a&Delta;t. W chwili t=0 pole elektryczne dane jest przez prawo Coulumba: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=q{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\hat{r}}\over{r^2}}\;</MATH>|7.126}} Określmy teraz czas t długi w porównaniu z czasem &Delta;t. Gdy odległość r jest mniejsza niż c(t-&Delta;t) od ładunku q załamanie już mineło i pole elektryczne jest wtedy wywoływane przez ładunek poruszających się z prędkością v, jest określone jest przez wzór w zależności od kąta &theta;, w którym jest to kąt pomiędzy wektorem wodzącym punktu, w którym następuje obserwacja, którego początek ma w punkcie położenia chwilowego ładunku q, względem prędkości źródła pola elektrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E={{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}{{1-\beta^2}\over{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{{{3}\over{2}}}}}\;</MATH>|7.127}} {{Rysunek|Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku punktowego.jpeg|kw6|Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku punktowego, przy czym zakładamy, że t>>&Delta;t i przy założeniu v{{=}}(a&Delta;t)<<c. Składowe prędkości prostopadła i równoległa do punktu obserwacji jest równa v{{Sub|&perp;}} i v{{Sub|&#166;&#166;}}.}} Gdy prędkość ładunku jest o wiele mniejsza niż prędkość ładunku, czyli v<<c, wtedy pole elektryczne jest opisywane przez {{LinkWzór|7.126}}. Oznaczmy przez {{Formuła|<MATH>E_{\bot}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>E_{||}\;</MATH>}}, które są to wartości bezwzględne składowych {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} koleino prostopadłej i równoległej do kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\hat{r}\;</MATH>}}, które jest polem zajętym przez załamanie, pochodzących od ładunku, który poruszał się z przyspieszeniem. Prawo zachowania strumienia linii sił pola elektrycznego pociąga ze sobą oczywiście ciągłość linii sił i dlatego stosunek poprzecznej składowej pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>E_{\bot}\;</MATH>}} do składowej równoległej (podłużnych) da się przestawić jako stosunek odległości {{Formuła|<MATH>v_{\bot} t\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>c\Delta t\;</MATH>}}, który piszemy poprzez: {{CentrujWzór|<math>{{E_{\bot}}\over{E_{||}}}={{v_{\bot}t}\over{c\Delta t}}={{\overbrace{a_{\bot}\Delta t}^{v_{\bot}} \overbrace{{{r}\over{c}}}^t}\over{c\Delta t}}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}\;</MATH>|7.128}} Ponieważ pole elektryczne jest opisywane przez równanie {{LinkWzór|7.126}}, również przez ten sam wzór jest opisujemy składową równoległą (radialna) pola elektrycznego, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_{||}=E_r={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{q}\over{r^2}}\;</MATH>|7.129}} Możemy połączyć równanie {{LinkWzór|7.128}} z równaniem na składową radialną pola elektrycznego {{LinkWzór|7.129}}, w ten sposób otrzymujemy równość na składową prostopadłą pola elektrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_{\bot}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}E_{||}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}{{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}={{qa_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\;</MATH>|7.130}} Całkowity wektor natężenia pola elektrycznego promieniowania określamy w zależności od wektora {{Formuła|<MATH>\vec{a}_{\bot}\;</MATH>}} jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_{prom}(r,t)=-{{q\vec{a}_{\bot}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\mbox{ dla }t^'=t-{{r}\over{c}}\;</MATH>|7.131}} === Energia promieniowania wysyłana przez ładunek punktowy === Wiemy, że natężenia pola elektrycznego jest prostopadłe do wektora jednostkowego propagacji fali elektrycznej {{Formuła|<MATH>\hat{r}\;</MATH>}}, i wykorzystując definicję wektora Poyntinga, który jest natężeniem wysyłanym przez ładunek punktowy w danym punkcie na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, to wtedy możemy napisać wzór na ten wektor: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{S}(\vec{r},t)={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\vec{B}={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\left(\hat{r}\times\vec{E}\right)={{1}\over{\mu_0c}}E^2\hat{r}={{1}\over{\mu_0}}\left[-{{q\vec{a}_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}} \right]^2\hat{r}={{\mu_0q^2\vec{a}_{\bot}^2}\over{16\pi^2cr^2}}\hat{r} </MATH>|7.132}} Kwadrat przyspieszenia prostopadłego jest wyrażona od całkowitego przyspieszenia z definicji trójkąta prostokątnego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_{\bot}^2(t^')=\vec{a}^2(t^')\sin^2\phi\;</MATH>|7.133}} Tożsamość {{LinkWzór|7.133}} możemy podstawić do {{LinkWzór|7.132}}, w ten sposób mamy wzór na różniczkę mocy przekazywaną w jednostce czasu przez powierzchnię dS poprzez promieniowanie: {{CentrujWzór|<MATH>dP(\vec{r},t)={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}dS={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}r^2\sin\phi d\phi d\theta={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi d\theta\;</MATH>|7.133a}} Całkowita moc przekazywana w jednostce czasu przez powierzchnię zamkniętą wyrażamy poprzez całkę po całym przebiegu zmienności &theta; i &phi;, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}{{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi={{\mu_0q^2\vec{a}^2}\over{8\pi c}}\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi={{\mu_0q^2a^2}\over{6\pi c}}\;</MATH>|7.134}} === Całkowite promieniowanie dipola elektrycznego === Załóżmy, że ładunek q porusza się ruchem harmonicznym, którego funkcję położenia i przyspieszenia podamy w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>x(t')=x_0\cos\omega t^\;</MATH>|7.135}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}(t^')=\hat{x}\ddot{x}(t^')=-\omega^2\hat{x}x(t^')\;</MATH>|7.136}}}} Całkowita moc promieniowania dipola elektrycznego P, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań, która jest wysyłana do nieskończoności, wyliczamy go, podstawiając {{LinkWzór|7.136}} do {{LinkWzór|7.134}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>P={{\mu_0q^2\omega^4}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;</MATH>|7.137}} === Szerokość naturalna promieniowania linii atomu dla światła === Zależność całkowitej średniej energii w zależności do czasu wyrażamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.19|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, zatem możemy udowodnić tożsamość, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem i po podzieleniu przez energie układu równa jest odwrotności współczynnika zaniku drgań &tau;, czyli współczynnikowi tłumienia &Gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{E}}\left[-{{dE}\over{dt}}\right]={{1}\over{\tau}}\;</MATH>|7.138}} Całkowita energia średnia oscylatora harmonicznego tłumionego dla słabego tłumienia zależnego od czasu (wtedy &omega;&asymp;&omega;{{Sub|0}}) możemy napisać poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\langle\dot{x}^2\rangle={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle=m\omega_0^2\langle x^2\rangle\;</MATH>|7.139}} Całkowita moc promieniowania wysyłana przez pewną powierzchnię zamkniętą określamy przez wzór {{LinkWzór|7.137}} i na podstawie tego możemy powiedzieć, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>-{{dE}\over{dt}}=P={{\mu_0q^2\omega^4_0}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;</MATH>|7.140}} Do wzoru {{LinkWzór|7.138}} postawiamy wzory {{LinkWzór|7.140}} i {{LinkWzór|7.139}}, w ten sposób otrzymujemy wzór na naturalną szerokość połówkową linii światła: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\omega={{1}\over{\tau}}={{P}\over{E}}={{\mu_0q^2\omega^2_0}\over{6\pi c m}}\;</MATH>|7.141}} === Prawo Rayleigha === Weźmy sobie teraz elektron występujący w cząsteczce molekuły, który drga pod wpływem harmonicznego natężenia pola fali elektrycznej, którego współrzędna iksowa jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos\omega t\;</MATH>|7.142}} Niech ładunek q będzie związany z w cząsteczką za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości {{Formuła|<MATH>K=m\omega_0^2\;</MATH>}}, który porusza się ruchem drgającym, wtedy równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki jest: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-m\omega_0^2x+qE_x\;</MATH>|7.143}} Ale ponieważ zachodzi {{Formuła|<MATH>\ddot{x}(t)=-\omega^2x(t)\;</MATH>}}, co jest słuszne dla ruchu drgającego harmonicznego, wtedy równość {{LinkWzór|7.143}} możemy przepisać, po zastąpieniu iksowego przyspieszenia przez iloczyn kwadratu częstotliwości kołowej drgań i położenia tej cząstki względem osi iksowej, wtedy równanie ruchu elektronu przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>-m\omega^2x(t)=-m\omega_0^2(t)+qE_x\Rightarrow x(t)={{qE_x(t)}\over{m(\omega_0^2-\omega^2)}}\;</MATH>|7.144}} Do wzoru {{LinkWzór|7.137}} na całkowitą moc wypromieniowanej do nieskończoności podstawiamy do tożsamości {{LinkWzór|7.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>P={{\mu_0\omega^4q^2}\over{6\pi c}}{{q^2}\over{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2}}\langle E_x^2(t)\rangle\;</MATH>|7.145}} W omawianym przypadku, gdy częstość kołową drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} jest o wiele większa niż częstość drgań harmonicznego pola elektrycznego, czyli &omega;{{Sub|0}}>>&omega;, co można przy pomocy tychże dysput powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>P\sim\omega^4\sim{{1}\over{\lambda^4}}\;</MATH>|7.146}} Wzór {{LinkWzór|7.146}} jest tzw. '''prawem Rayleigha''', która jest odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali promieniowania wysyłany przez ładunek. === Czemu niebo jest niebieskawe === Światło w zależności od długości fali jest rozpraszane w taki sposób, że światło o większej długości fali promieniowania elektromagnetycznego jest rozpraszane słabiej niż światło o mniejszej długości, to rozpraszanie jest dane przez prawo Rayleigha, którego to prawo obowiązuje dla równości {{LinkWzór|7.146}}, widzimy że światło niebieskie o długości fali 440-490nm jest lepiej rozpraszane niż światło czerwone, którego długość fali jest 630-780nm, i dlatego w dzień widzimy niebo niebieskawe, a wieczorem niebo czerwonawe. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> izv05avc3nz8rnhzy0a3z1436vcah5f 0 21054 558558 513453 2026-10-04T16:54:08Z Persino 2851 558558 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Wstęp do opisu polaryzacji == Dla wszystkich ruchów falowych badaliśmy przemieszczenie, które określamy przy pomocy pewnej funkcji względem położenia równowagi. W ogólnym przypadku przemieszczenie określamy jako funkcje z "x","y","z", czyli {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}(x,y,z)\;</MATH>}}. Zwykle badamy fale płaskie, które określamy jako funkcje &psi;(z,t), gdzie z jest liczone wzdłuż rozchodzenia się fali płaskiej, często interesującymi wielkościami są {{Formuła|<MATH>{{\partial\vec{\psi}(z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{\partial\vec{\psi}(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>}}. Dla fal płaskich przemieszczenie będziemy określać przez wektor przemieszczenia w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)+\hat{z}\psi_z(z,t)\;</MATH>|8.1}} W przypadku fal poprzecznych wektor przemieszczenia {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}(z,t)\;</MATH>}} ma tylko składowe x i y. O takich falach mówimy, że one mają polaryzacje poprzeczną. Fala dźwiękowa jest to fala mająca przemieszczenie wzdłuż osi zetowej. Nie ma poprzecznych fal dźwiękowych, chociaż możemy je sobie wyobrazić jako fale odbijające, które są jako fale podłużne odbijające się od ścianek wewnętrznych rury, i w rezultacie dla fali rozchodzącej się wzdłuż rury fala dźwiękowa oprócz składowych podłużnych mają składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna, czyli suma fal elektrycznych i magnetycznych, ma tylko składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna ma też składowe podłużne, jeśli ona rozchodzi się w falowodzie. Falą poprzeczną nazywamy falę, dla której składowa zetowa przemieszczenia nigdy nie występuje, zatem drgania poprzeczne w analogii do {{LinkWzór|8.1}} są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)\;</math>|8.2}} == Promieniowanie ładunku punktowego == Innym przykładem fali płaskiej są drgania wyemitowane w początku układu współrzędnych, które daleko od punktu emisji obserwujemy jako fale płaskie, których przemieszczenie ładunku q jako źródła fal opisujemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}=\hat{x}x(t)+\hat{y}y(t)=\hat{x}x_0\cos(\omega t+\varphi_1)+\hat{y}y_0\cos(\omega t+\varphi_2)\;</MATH>|8.3}} Natężenie pola elektrycznego fali {{LinkWzór|7.134|Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni}} dla odległości r=z od początku układu współrzędnych wytworzone przez ładunek poruszający się z pewnym przyspieszeniem na podstawie {{LinkWzór|8.3}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}(z,t)=-{{q\vec{a}_{\bot}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}=-{{q\ddot{\vec{\psi}}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0zc^2}}={{q\omega^2\vec{\psi}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0 zc^2}}={{q\omega^2\vec{\psi}(t-{{z}\over{c}})}\over{4\pi\epsilon_0 zc^2}}\;</MATH>|8.4}} Biorąc współczynnik proporcjonalności {{Formuła|<MATH>{{q\omega^2}\over{4\pi\epsilon_0zc^2}}\;</MATH>}}, wtedy przemieszczenie fali może być uważane za natężenie pola elektrycznego w czasie przedwczesnym {{Formuła|<MATH>t^'=t-{{z}\over{c}}\;</MATH>}}. == Polaryzacja liniowa == W przypadku drgań poprzecznych, którego drgania są tam i z powrotem, to te drgania można opisywać w dwóch niezależnych kierunkach: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}=\hat{x}A_1\cos\omega t\;</MATH>|8.5}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}=\hat{y}A_2\cos\omega t\;</MATH>|8.6}}}} Superpozycją drgań {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}} w dwóch osobnych kierunkach nazywamy falę: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos\omega t+\hat{y}A_2\cos\omega t=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\cos\omega t\;</MATH>|8.7}} Całkowita długość drgań amplitudy opisywanej wzorem {{LinkWzór|8.7}} piszemy jako pierwiastek sumy kwadratów amplitud drgających w dwóch prostopadłych kierunkach: {{CentrujWzór|<MATH>A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}\;</MATH>|8.8}} Kierunkiem polaryzacji, patrząc na wzory {{LinkWzór|8.7}} i {{LinkWzór|8.8}}, nazywamy kierunek, którego wektor jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}={{A_1}\over{A}}\hat{x}+{{A_2}\over{A}}\hat{y}\;</MATH>|8.9}} Łatwo sprawdzić, że wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}} jest wektorem jednostkowym, co wynika z prostopadłości wektorów {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}}, które z kolei są wektorami jednostkowymi. === Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą === Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą nazywamy falę przy ustalonych płaszczyźnie drgań biegnącego w kierunku +z: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(z,t)=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|8.10}} === Liniowo spolaryzowana fala stojąca === Załóżmy, że mamy dwie fale biegnące w kierunku +z, a druga w kierunku -z, to superpozycja tychże fal możemy opisać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(z,t)={{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin(\omega t- kz)+{{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin(\omega t+kz)= {{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\left(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin \omega t\cos kz \;</MATH>|8.101}} == Polaryzacja kołowa == {{Rysunek|Polaryzacja_kołowa_fali.jpeg|wk1|Polaryzacja kołowa_fali przemieszczenia}} Tutaj przemieszczenie fali poprzecznej ulega ruchowi kołowemu. Równanie tejże fali opisujemy przy pomocy funkcji sinus i kosinus z ''&omega;t'', których drganie w kierunku {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} wyprzedza drganie w kierunku {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}} o kąt 90{{Sup|o}}; {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\sin\omega t\;</MATH>|8.12}} Podobnie, gdy fala drgań w kierunku {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} wyprzedza o kąt 90{{Sup|o}}, to fala spolaryzowana kołowo jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\cos\left(\omega t+{{\pi}\over{2}}\right)=\hat{x}A\cos\omega t-\hat{y}A\sin\omega t\;</MATH>|8.13}} === Spolaryzowana kołowo fala biegnąca === Spolaryzowana kołowo fala biegnącą nazywamy falę biegnącą w kierunku osi zetowej (+z), którego przepis jest zależny od częstotliwości kołowej &omega; i liczby falowej "k" : {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}-kz\right)=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|8.14}} === Spolaryzowana kołowo fala stojąca === Kołowo spolaryzowaną falę stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|8.12}} i {{LinkWzór|8.13}}, którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\left[\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\sin(\omega t-kz)\right]+\left[\hat{x}A\cos(\omega t+kz)+A\sin\left(\omega t+kz\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left[\hat{x}A(\cos(\omega t-kz)+\cos(\omega t+kz))+\hat{y}A(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right]=\left[\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\sin\omega t\right]\cos kz\;</MATH>|8.15}} == Polaryzacja eliptyczna == Falę spolaryzowaną eliptycznie nazywamy falę, których amplitudy drgań w kierunkach {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}} mają różne wartości amplitudy i wzory na fale stojącą dla której superpozycja dwóch fali biegnących w tych samych kierunkach, ale w innych płaszczyznach, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}-kz\right)=\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|8.16}} Eliptycznie spolaryzowana fale stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|8.16}}, którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\left[\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\sin(\omega t-kz)\right]+\left[\hat{x}A_1\cos(\omega t+kz)+A_2\sin\left(\omega t+kz\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left[\hat{x}A_1(\cos(\omega t-kz)+\cos(\omega t+kz))+\hat{y}A_2(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right]=\left[\hat{x}A_1\cos\omega t+\hat{y}A_2\sin\omega t\right]\cos kz\;</MATH>|8.15a}} == Superpozycja dwóch fal o niejednakowych amplitudach == Weźmy sobie dwie fale o jednakowej częstotliwości kołowej &omega; i o niejednakowych amplitudach, których superpozycja jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos(\omega t+\phi_1)+\hat{y}A_2\cos(\omega t+\phi_2)\;</math>|8.18}} Opiszmy falę biegnącą opisywaną według {{LinkWzór|8.18}}, którego będziemy rysowali na wykresach poniżej, których współrzędną iksową jest jedna z tych fali, a osią igrekową jest druga z tychże fali, dla różnych ich przesunięć fazowych: {{Rysunek|Polaryzacja jako superpozycja dwóch fal.jpeg|wk2|Polaryzacja jako superpozycja dwóch fal ogólnie o niejednakowych amplitudach i przesunięciach fazowych|rozmiar=600px|pozycja=center}} == Liczby zespolone w opisie fal == Zastosowanie liczb zespolonych z ilustrujmy na przykładzie fali elektromagnetycznej, a właściwie dla fali pola elektrycznego, którego superpozycja fal biegnących w dwóch prostopadłych płaszczyznach jest w postaci wektora natężenia fali pola elektrycznego, gdy te dwie fale są przesunięte względem siebie o pewne przesunięcie fazowe &phi;{{Sub|1}}-&phi;{{Sub|2}}, to ich superpozycja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}(z,t)=\hat{x}E_x(z,t)+\hat{y}E_y(z,t)=\hat{x}E_1\cos(\omega t-kz+\varphi_1)+\hat{y}\cos(\omega t-kz+\varphi_2)\;</MATH>|8.19}} Równanie {{LinkWzór|8.19}} możemy przestawić w postaci zespolonej, którego częścią rzeczywistą jest równanie {{LinkWzór|8.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_c=e^{-i(\omega t-kz)}\left(\hat{x}E_1e^{-i\phi_1}+\hat{y}E_2e^{-i\phi_2}\right)\;</MATH>|8.20}} Zespolone natężenie funkcji falowej możemy napisać jak superpozycja dwóch fal o funkcjach falowych {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_1(z,t)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_2(z,t)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_c(z,t)=A_1\vec{\psi}_1(z,t)+A_1\vec{\psi}_1(z,t)\;,</MATH>|8.21}} Funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_1(z,t)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_2(z,t)\;</MATH>}} są to funkcje, których definicje są wyrysowane w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej zapisane są przy pomocy funkcji eksponencjalnej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1(z,t)=\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.22}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_2(z,t)=\hat{y}e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.23}} }} Amplitudy występujące w równaniu są to amplitudy zależne od przesunięć fazowych &phi;{{Sub|1}} i &phi;{{Sub|2}} zapisane pod funkcją eksponencjalną, jak widzimy, te amplitudy są wielkościami zespolonymi: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>A_1=E_1e^{-i\varphi_1}\;</MATH>|8.24}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A_2=E_2e^{-i\varphi}\;</MATH>|8.25}} }} == Superpozycja funkcji ortonormalnych == Funkcję, które opisywaliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.22}} i {{LinkWzór|8.23}} są to funkcje ortonormalne i tworzą zupełną bazę ortonormalną zupełną bazowych funkcji falowych, które przestawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_2=\vec{\psi}_2^*\vec{\psi}_2=1\;</MATH>|8.26}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_1=\vec{\psi}_2^*\vec{\psi}_1=0\;</MATH>|8.27}} }} Aby sprawdzić, czy funkcję {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_2\;</MATH>}} zdefiniowane w poprzednim rozdziale tworzą zupełny układ bazowy należy na tych funkcjach wykonać następujące działania, które są opisywane wzorami {{LinkWzór|8.26}} i {{LinkWzór|8.27}}, zatem do dzieła: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_1=\hat{x}e^{i(\omega t-kz)}\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}=\hat{x}\hat{x}=1\;</MATH>|8.28}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_2=\hat{x}e^{i(\omega t-kz)}\hat{y}e^{-i(\omega t-kz)}=\hat{x}\hat{y}=0\;</MATH>|8.29}} }} Ponieważ nasze rozważane funkcje bazowe są funkcjami ortonormalnymi, zatem zdefiniujmy moduł funkcji natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}_c\;</MATH>}} zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|8.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>|\vec{E}_c|^2=\vec{E}_c^*\vec{E}_c=\left(A_1\vec{\psi}_1^*(z,t)+A_1\vec{\psi}_1^*(z,t)\right)\left(A_1\vec{\psi}_1(z,t)+A_1\vec{\psi}_1(z,t)\right)=|A_1|^2+|A_2|^2=E_1^2+E_2^2\;</MATH>|8.30}} == Inne postacie ortonormalnych funkcji bazowych == Aby napisać wektor natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|8.21}} w innych bazach niż tutaj obranego pierwotnie, których z oczywistych powodów jest ich nieskończenie wiele, które można tak obrać przez obrót pierwotnego układu współrzędnych o pewien kąt &phi;, których nowe wersory naszej bazy są napisane względem odpowiedników starej bazy w sposób: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{e}_1=\hat{x}\cos\varphi+\hat{y}\sin\varphi\;</MATH>|8.31}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{e}_1=\hat{x}\sin\varphi+\hat{y}\cos\varphi\;</MATH>|8.32}}}} Na podstawie przestawienia wersorów w {{LinkWzór|8.31}} {{LinkWzór|8.32}} dowiadujemy się, że one są do siebie ortonormalne, wtedy ich funkcje falowe są ortonormalne: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1=\hat{e}_1e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_2=\hat{e}_2e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.34}} }} == Przestawienie polaryzacji fali płaskiej == Falę biegnącą fali płaskiej, która jest spolaryzowana kołowo, którą możemy przedstawić w zależności od częstości kołowej i liczby falowej w postaci poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)={{A}\over{2}}\left\{\hat{x}\cos(\omega t-kz)+\hat{y}\cos\left[\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)-kz\right]\right\}+{{A}\over{2}}\left\{\hat{x}\cos(\omega t-kz)-\hat{y}\cos\left[\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\right]\right\}\;</MATH>|8.35}} Końcowy wynik {{LinkWzór|8.35}} możemy przestawić w postaci zespolonej za pomocą funkcji eksponencjalnych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=A\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}={{A}\over{2}}\left[\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}+\hat{y}e^{-i(\omega t-kz-{{\pi}\over{2}})}\right]+ {{A}\over{2}}\left[\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}-\hat{y}e^{-i(\omega t-kz-{{\pi}\over{2}})}\right]\;</MATH>|8.36}} Wykorzystamy tutaj pewne tożsamości na liczbach zespolonych, która wynika z definicji e{{Sup|ix}} jako liczby zespolonej zapisaną w postaci eksponencjalnej, które te tożsamości piszemy wzorami przy rozwinięciu jego do postaci trygonometrycznej: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>e^{i{{\pi}\over{2}}}=\cos{{\pi}\over{2}}+i\sin {{\pi}\over{2}}=i\;</MATH>|8.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>e^{-i{{\pi}\over{2}}}=\cos{{\pi}\over{2}}-i\sin {{\pi}\over{2}}=-i\;</MATH>|8.38}} }} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.37}} i {{LinkWzór|8.38}} wzór {{LinkWzór|8.36}} możemy przepisać po odpowiednich jego przekształceniach do wzoru, z którego będzie jasne jak wybierzemy funkcję ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{A}\over{2}}\left(\hat{x}-\hat{y}\right)e^{-i(\omega t-kz)}+{{A}\over{2}}\left(\hat{x}+\hat{y}\right)e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.39}} Wybierzmy sobie teraz funkcję ortonormalne spełniające warunki {{LinkWzór|8.26}} i {{LinkWzór|8.27}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_+={{\hat{x}+i\hat{y}}\over{\sqrt{2}}}e^{-i(\omega t-kz)}\;</math>|8.40}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_-={{\hat{x}-i\hat{y}}\over{\sqrt{2}}}e^{-i(\omega t-kz)}\;</math>|8.41}} }} Jeśli dodatkowo weźmiemy, że liczby A{{Sub|+}} i A{{Sub|-}}, których definicje są takie by przy wektorach ortonormalnych {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} była spełniona tożsamość {{LinkWzór|8.39}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{+}=A_{-}={{A}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|8.42}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.36}} i przedstawienia bazy ortogonalnej, tzn. {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} przy definicji jego współczynników {{LinkWzór|8.42}} równanie na natężenie fali elektromagnetycznej piszemy w postaci formalnej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_c=A_+\vec{\psi}_++A_-\vec{\psi}_-\;</MATH>|8.43}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> pqvul4kdtgpfcowzpkknitqottafgue 0 21093 558543 467651 2026-10-04T15:49:50Z Persino 2851 558543 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować zjawiskiem interferencji lub dyfrakcji. Zjawiskiem dyfrakcji nazywamy takie nakładanie się fal w wyniku superpozycji, która powstaje na detektorze w przypadku dojścia tam fali wytworzonych przez dwa źródła lub dwie szczeliny, które natomiast są pobudzone do wytwarzania tychże fal przez pewne prawdziwe źródło fal, jakie może być na przykład żarówka. == Superpozycja nakładania się dwóch lub więcej źródeł fal spójnych == Źródłami spójnymi w przypadku dwóch źródeł wytwarzających dwie fale, nazywamy falę, gdy różnica faz jest wielkością niezależną od czasu, co jest jedyne możliwe, gdy mamy doczynienia z falami o jednakowych częstotliwościach kołowych. Interferencją konstruktywną nazywamy falę wyniku nakładania się maksimów lub minimum tychże fal. A wynik interferencji dekonstruktywnej nazywamy takie nakładanie się dwóch fal, które powstaje wyniku nakładania się doliny pierwszej fali z grzbietem drugiej fali. Obraz interferencyjny nazywamy obraz, który powstaje w wyniku obszarów maksimum i minimum, który powstaje na detektorze. Jeśli będziemy rozpatrywać nakładanie się dwóch fal pochodzących od dalekich źródeł, wtedy mówimy, że detektor jest w dalekim polu źródeł. {{Rysunek|Far field sources.jpeg|lk1|Dalekie pole dwóch źródeł, gdy odległość L{{Sub|1p}} przekracza znacznie mniej niż jedną długość fali|rozmiar=300px}} Z rysunku obok wynika z definicji trójkąta prostokątnego: {{CentrujWzór|<MATH>L_{2p}^2=L_{1P}^2+d^2\;</MATH>|9.1}} Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia znanego z algebry dla różnicy kwadratów, co można napisać wzór wynikający z {{LinkWzór|9.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>L_{2P}^2-L_{1P}^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})=d^2\;</MATH>|9.2}} Interesuje nas przypadek, gdy L{{Sub|2P}} i L{{Sub|1P}} są prawie równe, ale ich różnica nie przekracza {{Formuła|<math>{{1}\over{2}}\lambda\;</MATH>}}, wtedy obliczenia {{LinkWzór|9.2}} można dokończyć przy naszych dysputach według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>d^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})={{1}\over{2}}\lambda(L_0+L_0)\;</math>|9.3}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|9.3}} można napisać, że przybliżenie dalekiego pola mamy, gdy iloczyn odległości do detektora od źródła fal przez długość fali światła jest równa w przybliżeniu kwadratowi odległości między dwoma źródłami, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>L_0\lambda\simeq d^2\;</math>|9.4}} === Źródło pola elektromagnetycznego fali podłużnej === Gdy fala jest wytwarzana przez oscylujący ładunek, która jak wiadomo porusza się z przyspieszeniem zależnych od czasu w postaci drgań harmonicznych tego ładunku, to fala elektromagnetyczna pola elektrycznego, wykorzystując wzór {{LinkWzór|7.131|Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni}} jest napisana w zależności od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=-{{q\ddot{y}(t^')}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}={{q\omega^2\cos(\omega t^'+\varphi)}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}\;</MATH>|9.5}} Widzimy na podstawie {{LinkWzór|9.5}} dla fali pola elektrycznego, która jest falą z pewną amplitudą, jest: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E(t)=A(r)\cos(\omega t^'+\varphi)=A(r)\cos\omega(t-{{r}\over{c}})\;</MATH>|9.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A(r)={{\omega^2}qy_0\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}}\;</MATH>|9.7}}}} Jeśli mamy N źródeł, to koleino oznaczamy natężenie fali pola elektrycznego przy pomocy wskaźnika jeden lub dwa, aż do N. === Różnica faz spowodowana różnicą dróg optycznych === {{Rysunek|Interference as a result we put the two sources.jpeg|lk2|Interferencja w wyniku nakładamy się dwóch źródeł}} Widzimy, że według rysunku obok różnica między promieniem r{{Sub|2}}, a r{{Sub|1}} jest równa &Delta;s, i jest wyrażona względem odległości dwóch szczelin i kąta pomiędzy poziomem, a promieniem pierwszym lub drugim, bo ten kąt dla promienia pierwszego i drugiego jest jednakowy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s=d\sin\theta\;</MATH>|9.8}} Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, zapisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Delta\phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow \Delta\phi=\Delta s{{2\pi}\over{\lambda}}=2\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;</MATH>|9.9}} === Równanie interferencyjne dla dwóch szczelin === Weźmy sobie teraz sobie falę płaską wytwarzaną przez źródło pierwsze jak i drugie, która jest falą pola elektrycznego, przy założeniu, że te dwie fale wytwarzane są przez dwa źródła o takiej samej częstotliwości i przesunięciu fazowym, dodajmy te dwie fale do siebie w wyniku superpozycji tychże fal daleko od źródła fal, otrzymujemy stąd wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>E(r,\theta,t)=E_1+E_2=A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi)+A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi-\Delta\phi)=2A(r)\cos(\omega t+\varphi-\Delta\phi)\cos \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;</MATH>|9.10}} Aby wystąpiły maksima fali w wyniku interferencji dwóch fal i w wyniku tego drugi czynnik musi być równy plus jeden lub minus jeden, co jest możliwe gdy: {{CentrujWzór|<MATH>\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}=m\pi\Rightarrow d\sin\theta=n\lambda\;</MATH>|9.11}} Fala napisana wzorem {{LinkWzór|9.10}}, aby przyjmowała wartość zero, czyli wtedy natężenie pola elektrycznego jest równe zero, to musi być spełnione: {{CentrujWzór|<math> \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}={{\pi}\over{2}}\left(2m+1\right)\Rightarrow d\sin\theta=\left(m+{{1}\over{2}}\right)\lambda\;</MATH>|9.12}} === Warunek spójności dwóch źródeł === {{Rysunek|Consistency multiple sources.jpeg|lk3|Spójność wielu źródeł|rozmiar=300px}} Wykażemy tutaj, że jeśli mamy źródła fal a,b,c, to wtedy działa ono jako efektywne punktowe źródło światła, jeśli jest spełniony pewien warunek, który mamy zamiar wyprowadzić. Według rysunku obok możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta={{D}\over{L}}\;</MATH>|9.13}} Wzór {{LinkWzór|9.13}} podstawiamy do {{LinkWzór|9.11}} dla n=1, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>d{{D}\over{L}}=\lambda\Rightarrow dD=\lambda L\;</math>|9.14}} W rzeczywistości d możemy być on wiele mniejsze niż to wynika z równania końcowego {{LinkWzór|9.14}}, zatem nasz warunek na spójność wielu źródeł piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dD<<\lambda L\;</MATH>|9.15}} === Obraz pojedynczej szczeliny w obrazie dyfrakcyjnym === {{Rysunek|N antennas or N narrow slits, which oscillate in phase loads.jpeg|lk4|N anten Huygensa lub N wąskich szczelin, których ładunki oscylują z odpowiednią częstością kołową}} Posłużmy się teraz konstrukcją Huygensa, którą zastępujemy falę od odległego źródła falą płaską, która pada na N szczelin, w których mamy oscylujące ładunki, które wytwarzają fale kuliste, którego natężenie fali jest opisane w przestrzeni rzeczywistej, mamy: {{CentrujWzór|<math>E=A(r)\cos(\omega t-kr_1)+A(r)\cos\omega t-kr_2)+...+A(r)\cos(\omega t-kr_N)\;</MATH>|9.16}} Superpozycję fali zapisaną w punkcie {{LinkWzór|9.16}} możemy również zapisać w postaci zespolonej w przestrzeni zespolonej przy pomocy eksponentów, którego odpowiednik wspomnianego równania jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(r)=A(r)e^{-i\omega t}\left(e^{ikr_1}+e^{ikr_2}+...+e^{ikr_N}\right)\;</MATH>|9.17}} Poszczególne odległości r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}},..,r{{Sub|N}} piszemy w zależności od ilości N szczelin, kąta padania &theta; i odległości między szczelinami: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix} r_2=r_1+d\sin\theta\\ r_3=r_1+2d\sin\theta\\ \cdots\\ r_N=r_1+(N-1)d\sin\theta\end{matrix}\;</MATH>|9.18}} Wzory {{LinkWzór|9.18}} wsadzamy do tożsamości {{LinkWzór|9.17}}, stąd w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy; {{CentrujWzór|<MATH>E_c=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{ik(r_2-r_1)}+e^{ik(r_3-r_1)}+...+e^{ik(r_{N-1}-r_1)}\right)=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{d\sin\theta}+e^{2d\sin\theta}+...+e^{(N-1)d\sin\theta}\right)</MATH>|9.19}} Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzoru na zwartą sumę szeregu geometrycznego, który ma iloraz {{Formuła|<MATH>q=e^{d\sin\theta}\;</math>}}, w ten sposób {{LinkWzór|9.19}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E_c=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{iNkd\sin\theta}-1}\over{e^{idk\sin\theta}-1}}=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}\;</MATH>{{Br}}<MATH>= A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}e^{i{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}= A(r)e^{-i(\omega t-kr_1-{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta)}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}\;</MATH>|9.20}} === Przykład ciągły nieskończenie wielu szczelin na odległości D === Weźmy sobie N szczelin, których liczba jest nieskończona przy stałym D przy d dążących do zero, zatem w takim przypadku mamy prawo powiedzieć na podstawie wzoru {{LinkWzór|9.17}}, że wypadkową amplitudę piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>A(r,\theta)=A(r)\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}= A(r)N\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin {{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}kNd\sin \theta}}=A(r,0){{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.21}} {{Rysunek|The amplitude of vibration and amplitude of the wave intensity.jpeg|lk5|Amplituda drgań i amplituda natężenia fali|rozmiar=300px}} Całkowite przemieszczenie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|9.21}} i na podstawie definicji naszego przemieszczenia {{LinkWzór|9.17}} jest określone: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(r,\theta)=A(r,0)e^{-i(\omega t-kr-{{1}\over{2}}kD\sin\theta)}{{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.22}} Według obliczeń {{LinkWzór|9.22}} możemy obliczyć średni strumień energii, która tutaj po uśrednieniu po czasie mamy: {{CentrujWzór|<MATH>I(r,\theta)=I_{max}{{\sin^2{{1}\over{2}}D\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.23}} === Nieoznaczoność liczby falowej i położenia i dyfrakcyjna kątowa szerokość wiązki === Patrząc na rysunek powyżej szerokość połówkowa wiązki nazywamy przedział, który rozciąga się od {{Formuła|<math>\theta=-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\;</MATH>}} do {{Formuła|<math>\theta={{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\;</MATH>}} i jego wartość określona jest przez: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\theta=\left({{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)-\left(-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)={{\lambda}\over{D}}\;</MATH>|9.24}} Całkowita wartość liczby falowej jest tak określona, by jego kwadrat był {{Formuła|<math>k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2\;</MATH>}}, zdefiniujmy w nim współrzędne iksowe k{{Sub|x}}=k cos&theta;, a k{{Sub|z}}=kcos&theta; i na samym końcu k{{Sub|y}}, która jest równa zero, zatem stosując przybliżenie małych kątów, wtedy kosinus zastąpimy przez jedynkę, a sinus kąta przez sam kąt, wtedy współrzędną iksową liczby falowej możemy zapisać w przybliżeniu wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>k_x=k\sin\theta\simeq k\theta\;</MATH>|9.25}} Zatem nieoznaczoność liczby falowej i położenia w ostatecznych rozrachunkach, przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, zastępując D przez &Delta;x, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_x\simeq d\Delta \theta\simeq k{{\lambda}\over{D}}={{2\pi}\over{D}}\Rightarrow \Delta k_xD\simeq 2\pi\Rightarrow\Delta k_x\Delta x\simeq 2\pi\;</MATH>|9.26}} Można również udowodnić podobnie jak powyżej, że nieoznaczoności zachodzą również dla współrzędnej igrekowej i zetowej, a także dla częstotliwości kołowej, które możemy napisać jako związki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_x\Delta x\geq 2\pi\;</math>|9.27}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_y\Delta y\geq 2\pi\;</math>|9.28}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_z\Delta z\geq 2\pi\;</math>|9.29}}|4={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\omega\Delta t\geq 2\pi\;</MATH>|9.30}}}} == Optyka geometryczna == === Odbicie od płaszczyzny fali płaskiej === {{Rysunek|The_reflection_of_light.jpg|lk7|Obicie fali płaskiej od płaszczyzny|rozmiar=300px}} Odległość dróg fazowych dwóch promieni padającej pierwszej względem promienia drugiego według rysunku obok możemy zapisać według: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s=d\sin\alpha-d\sin\beta=d(\sin\alpha-\sin\beta)\;</MATH>|9.31}} Różnica dróg fazowych między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Delta \phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda}}(\sin\alpha-\sin\beta)\;</MATH>|9.32}} Równanie fal materii pierwszego i drugiego promienia, uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu, pisząc je wedle: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_1=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}\;</MAth>|9.33}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_2=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\;</MaTH>|9.34}}}} Według zasady Huygensa musimy dodać fale {{LinkWzór|9.33}} do {{LinkWzór|9.34}}, które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0\right)}+e^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi\right)}\right)= Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\left(e^{i\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)}+e^{i\left(-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= 2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)=2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\cos \left[{{\pi}\over{\lambda}}d\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)\right]\;</MATH>|9.35}} W wyrażeniu {{LinkWzór|9.58}} kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest {{Formuła|<MaTH>m\pi\;</MATH>}}, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{\pi}\over{\lambda}}d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\pi\Rightarrow d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\lambda\Rightarrow\sin\alpha-\sin\beta=m{{\lambda}\over{d}}\;</MATH>|9.36}} Przyjmujemy, że &lambda;>d, wtedy {{Formuła|<MATH>m{{\lambda}\over{d}}>1\;</MATH>}}, ale ponieważ lewa strona równania jest zawsze mniejsza niż jeden, a prawa strona jest większa niż jeden dla m>0, co stąd wynika, że jedyną możliwością jest m=0, co na podstawie {{LinkWzór|9.36}} dostajemy &alpha;=&beta;. Otrzymujemy, ze promień odbicia jest równy promieniowi padania. === Załamanie fali płaskiej === Odległość AB i DC możemy policzyć przy pomocy właściwości trójkąta równobocznego, które tutaj piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>AB=d\sin\alpha\;</MATH>|9.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>DC=d\sin\beta\;</MATH>|9.38}}}} Różnica dróg między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<math>\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\alpha-{{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\beta=\omega\left({{1}\over{v_1}}d\sin\alpha-{{1}\over{v_2}}d\sin\beta\right)={{\omega d}\over{c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)</MATH>|9.39}} {{Rysunek|The phenomenon of refraction of light rays through a transparent isotropic incidence at the center.jpeg|lk8|Zjawisko załamania fali płaskiej|rozmiar=250px}} Funkcje falowe występujące w zjawisku załamania mają taki sam wygląd jak w zjawisku odbicia, czyli funkcje {{LinkWzór|9.33}} i {{LinkWzór|9.34}}, zatem złożenie tychże funkcji piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}+e^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\left(e^{i({{\Delta\phi}\over{2}})}+e^{i(-{{\Delta\phi}\over{2}})}\right)= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left[{{\omega d}\over{2c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)\right]\;</MATH>|9.40}} W wyrażeniu {{LinkWzór|9.37}} kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest {{Formuła|<MaTH>m\pi\;</MATH>}}, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{\omega d}\over{2c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)=m\pi\Rightarrow n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=m\pi{{2c}\over{\omega d}}\;</MATH>|9.41}} Dla dowolnie małego d występujące w tożsamości {{LinkWzór|9.41}} prawa jego strona jest dowolnie duża dla m>0, a lewa skończona jest skończona, zatem jedyną możliwością jest m=0, zatem co wynika ze wspomnianego równania wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=0\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;</MATH>|9.42}} Prawo opisane wzorem {{LinkWzór|9.40}} nazywamy prawem załamania Snelliusa. === Zasada Fermata a prawo odbicia === {{Rysunek|Fermat's principle and the law of reflection.jpeg|lk9|Zasada Fermata prawo odbicia}} Całkowity czas jaki promień leci na powierzchnię graniczną z punktu A, który pada na powierzchnię i odbija się od punktu B i leci do punktu C, jest wyrażona przy stałych parametrach y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>t={{1}\over{c}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{c}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;</math>|9.43}} Zróżniczkujmy obie strony równości {{LinkWzór|9.43}} i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, by otrzymać później prawo odbicia, wiedząc jednocześnie, że x{{Sub|1}}=L-x{{Sub|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;</MATH>|9.44}} Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego możemy otrzymać wnioski: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;</MATH>|9.45}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;</MATH>|9.46}}}} Wykorzystując tożsamości trygonometryczne {{LinkWzór|9.45}} i {{LinkWzór|9.46}}, które podstawiamy do {{LinkWzór|9.44}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>-\sin\alpha dx_2+\sin\beta dx_2=0\Rightarrow \sin\alpha=\sin\beta\;</MATH>|9.47}} W końcowym wniosku w zasadzie Fermata {{LinkWzór|9.47}} wnioskujemy równość kątów &alpha; i &beta;, co jest treścią ostateczną zasady Fermata dla zjawiska odbicia. === Prawo załamania fali a zasada Fermata === {{Rysunek|The law of refraction and the wave of Fermat's principle.jpeg|lk10|Prawo załamania fali a zasada Fermata|rozmiar=150px}} Całkowity czas jaki promień leci w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania n{{Sub|1}} padający na powierzchnię graniczną pomiędzy dwoma ośrodkami z punktu A, który załamuje się w punkcie punkcie B i leci do punktu C w drugim ośrodku o współczynniku załamania n{{Sub|2}}, jest wyrażony przy pomocy stałych y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>t={{1}\over{v_1}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{v_2}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;</math>|9.48}} Zróżniczkujmy obie strony równości {{LinkWzór|9.48}} i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, wtedy możemy otrzymać prawo załamania w dalszych niż poniżej dysputach, wiedząc jednocześnie, że x{{Sub|1}}=L-x{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{1}\over{v_1}}{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{1}\over{v_1}}{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;</MATH>|9.49}} Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego mamy wnioski: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;</MATH>|9.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;</MATH>|9.51}}}} Wykorzystując tożsamości trygonometryczne {{LinkWzór|9.50}} i {{LinkWzór|9.51}}, które podstawiamy do {{LinkWzór|9.49}}, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{1}\over{v_1}}\sin\alpha+{{1}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow {{c}\over{v_1}}\sin\alpha={{c}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;</math>|9.52}} Wzór końcowy wynikający z obliczeń {{LinkWzór|9.52}} jest tzw. prawem Snelliusa dla zjawiska załamania. === Zwierciadło wklęsłe === {{Rysunek|Concave mirror into which fall the rays from the object.jpeg|lk11|Zwierciadło wklęsłe na który padają promienie od przedmiotu|rozmiar=300px}} Rozważmy sobie teraz zwierciadło wklęsłe, zbadajmy jaki jest obraz danego przedmiotu występującego przed tym obiektem. Wysokość obrazu jest h i znajduje się w odległości od zwierciadła o x. Od przedmiotu promień świetlny leci do zwierciadła względem poziomu pod kątem &alpha;, i do zwierciadła dociera ono na wysokość równą wysokości h{{Sub|x}} przedmiotu minus długość względem pionu na jaką promień się obniżył, która jest iloczynem odległości przedmiotu od zwierciadła pomnożonej przez kąt z jakim leci nasz promień względem poziomu: {{CentrujWzór|<MATH>h_1=h_x-\alpha x\;</MATH>|9.53}} Kąt &gamma; według rysunku obok określamy jako iloraz wysokości h{{Sub|1}} napisaną wzorem {{LinkWzór|9.15}} przez promień krzywizny zwierciadła R. {{CentrujWzór|<MATH>{{h_1}\over{R}}=\gamma\Rightarrow\gamma={{h_x-\alpha x}\over{R}}\;</MATH>|9.54}} Całkowity kąt &beta; jest równy sumie kata &alpha; i &gamma;, który jest kątem pomiędzy odcinkiem łączący R z promieniem świetlnym w punkcie granicznym zwierciadła, który się odbija od zwierciadła w tymże punkcie: {{CentrujWzór|<MATH>\beta=\alpha+\gamma=\alpha+{{h-\alpha x}\over{R}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}\;</MATH>|9.55}} Nachylenie promienia odbitego od zwierciadła względem poziomu określamy jako sumę katów &beta; i &gamma;, który jest jednocześnie ilorazem sumy wysokości powstałego obrazu i wysokości nad osią główną zwierciadła, od której to wysokości odbija się promień świetlny wychodzący od przedmiotu: {{CentrujWzór|<MATH>{{h_y+h_1}\over{y}}=\beta+\gamma\Rightarrow {{h_y+h_x-\alpha x}\over{y}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}+{{h_x-\alpha x}\over{R}}\;</MATH>|9.56}} Załóżmy, że mamy dwa wzory {{LinkWzór|9.56}}, dla różnych &alpha;, tzn. dla &alpha;{{Sub|1}} i &alpha;{{Sub|2}} i odejmijmy od siebie te wzory i tak otrzymane równanie podzielmy przez &alpha;{{Sub|1}}-&alpha;{{Sub|2}}, otrzymując w ten sposób tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>-{{x}\over{y}}={{R-x}\over{R}}-{{x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}={{R-2x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}=1-{{2x}\over{R}}\Rightarrow{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{2}\over{R}}\;</MATH>|9.57}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych powyżej wzór na odległość ogniska od zwierciadła jest równa połowie promienia krzywizny zwierciadła, a także wzory na zwierciadło są w takim razie opisywane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;</MATH>|9.58|Obramuj}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f={{R}\over{2}}\;</MATH>|9.59|Obramuj}}}} Wzór {{LinkWzór|9.58}} podstawiamy do {{LinkWzór|9.56}}, w ten sposób otrzymujemy następną tożsamość, z której napiszemy jak zmienia się wysokość obrazów względem ich odległości od zwierciadła, czyli wzór na powiększenie obrazu względem przedmiotu, który jest stosunkiem odległości obrazu i przedmiotu: {{CentrujWzór|<math>\left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+{{2}\over{R}}\left(h_x-\alpha x\right)\Rightarrow \left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\left(h_x-\alpha x\right) \Rightarrow{{h_y}\over{y}}=\alpha+{{1}\over{x}}(h_x-\alpha x)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{h_y}\over{y}}={{h_x}\over{x}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}} </MATH>|9.60}} === Soczewka dwuwypukła === Narysujmy soczewkę dwuwypukłą o promieniach krzywizny R{{Sub|1}} i R{{Sub|2}}, i przedmiot będący po jego lewej stronie, a przedmiot po jego prawej strony, ale ten obiekt jest po przeciwnej stronie niż przedmiot. Na podstawie rysunku obok wyprowadzimy wzór soczewki i soczewkowy, a także wzór na powiększenie obrazu względem wielkości przedmiotu. {{Rysunek|Biconvex lens, the image and its inverted image.jpeg|lk12|Soczewka wypukła,przedmiot i jego obraz. Powyższą soczewkę oznaczyliśmy jako grubą, by było tam łatwiej zaznaczyć kąty, ale mając na myśli w rzeczywistości jako soczewkę cienką.|rozmiar=600px|pozycja=center}} W poniższych obliczeniach skorzystaliśmy z małości kątów, tzn. dla których zachodzi tg&alpha;&asymp;sin&alpha;&asymp;&alpha;, a także z warunku ze soczewka jest cienka ze wzoru h{{Sub|1}}&asymp;h{{Sub|3}}. Wysokość na jaką pada promień pochodzący od przedmiotu z wysokości h{{Sub|x}}. który leci na soczewkę jest sumą wysokości przedmiotu i długości jaką światło leciało pod kątem do góry. {{CentrujWzór|<MATH>h_1=h_x+h_2=h_x+x\alpha\;</MATH>|9.61}} Wyznaczmy teraz kąt z jaką promień pochodzący z przedmiotu pada na soczewkę z jego lewej strony względem R{{Sub|1}}, który przedstawiamy jako sumę kąta promienia lecącego z przedmiotu względem poziomu i nachylenia promienia krzywizny względem poziomu: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=\alpha+\beta=\alpha+{{h_1}\over{R_1}}=\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\;</MATH>|9.62}} Kąt pod jakim promień świetlny wszedł do wnętrza w soczewce względem promienia krzywizny R{{Sub|1}} jest określany za pomocą prawa Snelliusa dla małych kątów padania i odbicia: {{CentrujWzór|<MATH>\omega n_2=\gamma n_1\Rightarrow \omega={{n_1}\over{n_2}}\gamma={{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)\;</MATH>|9.63}} Kąt pod jakim pada promień z wnętrza na granicę soczewki względem R{{Sub|2}}, która chce wylecieć na zewnątrz jej jest określana z definicji dowolnego trójkąta, że suma kątów jest równa 180 stopni: {{CentrujWzór|<MATH>\pi=\omega+\psi+\theta\Rightarrow\psi=\pi-\omega-\theta\Rightarrow\psi=\pi-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)-\pi+\beta+\eta=-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{h_2}\over{R_1}}+{{h_1}\over{R_2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.64}} Kąt pod jakim wyszedł promień świetlny z soczewki względem R{{Sub|2}} jest opisany przez wzór wynikający z prawa załamania {{LinkWzór|9.49}} dla małych katów padania i załamania: {{CentrujWzór|<MATH>\tau n_1=n_2\psi\rightarrow \tau={{n_2}\over{n_1}}\psi=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.65}} Kąt pod jakim promień wyszedł z soczewki względem poziomu z oczywistych powodów piszemy przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\phi=\tau-\nu=\tau-{{h_3}\over{R_1}}=\tau-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_2}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \phi=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.66}} Kąt pomiędzy promienień wchodzący w obraz a poziomem jest wyrażony poprzez iloraz wysokości jakiej promień musi przebyć do obrazu pod kątem przez odległość obrazu od soczewki: {{CentrujWzór|<MATH>{{h_3+h_y}\over{y}}=\phi\Rightarrow {{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.67}} Weźmy sobie dwa promienie, które wylatują z przedmiotu na wysokości h{{Sub|x}} pod kątami: &alpha;{{Sub|1}} i &alpha;{{Sub|2}}, tworzymy w ten sposób dwa równania {{LinkWzór|9.67}}, które odejmiemy je od siebie, i dzieląc tak powstały wzór przez &alpha;{{Sub|1}}-&alpha;{{Sub|2}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{x}\over{y}}=-1+x\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.68}} Z obliczeń {{LinkWzór|9.68}} otrzymujemy równanie soczewki i równanie soczewkowe, czyli które przepisujemy przy pomocy dwóch wzorów, oznaczając przez "f" długość ogniskowej soczewki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;</MATH>|9.69}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{f}}=\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</math>|9.70}}}} Tożsamość {{LinkWzór|9.69}} podstawiamy w miejsce {{LinkWzór|9.70}} we wzorze {{LinkWzór|9.67}}, bo one oznaczają to samo, w ten sposób możemy otrzymać równość, z którego wynika, że powiększenie obrazu jest stosunkiem położenia obrazu "y" i położenia przedmiotu "x" względem soczewki: {{CentrujWzór|<math>{{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\Rightarrow {{h_x+x\alpha}\over{y}}+{{h_y}\over{y}}=-\alpha+{{h_x}\over{x}}+\alpha+{{h_x+\alpha x}\over{y}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}}\;</MATH>|9.70a}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r1adm2um7lq93odw5q0md72e0cc5zag 558559 558543 2026-10-04T16:58:31Z Persino 2851 558559 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować zjawiskiem interferencji lub dyfrakcji. Zjawiskiem dyfrakcji nazywamy takie nakładanie się fal w wyniku superpozycji, która powstaje na detektorze w przypadku dojścia tam fali wytworzonych przez dwa źródła lub dwie szczeliny, które natomiast są pobudzone do wytwarzania tychże fal przez pewne prawdziwe źródło fal, jakie może być na przykład żarówka. == Superpozycja nakładania się dwóch lub więcej źródeł fal spójnych == Źródłami spójnymi w przypadku dwóch źródeł wytwarzających dwie fale, nazywamy falę, gdy różnica faz jest wielkością niezależną od czasu, co jest jedyne możliwe, gdy mamy doczynienia z falami o jednakowych częstotliwościach kołowych. Interferencją konstruktywną nazywamy falę wyniku nakładania się maksimów lub minimum tychże fal. A wynik interferencji dekonstruktywnej nazywamy takie nakładanie się dwóch fal, które powstaje wyniku nakładania się doliny pierwszej fali z grzbietem drugiej fali. Obraz interferencyjny nazywamy obraz, który powstaje w wyniku obszarów maksimum i minimum, który powstaje na detektorze. Jeśli będziemy rozpatrywać nakładanie się dwóch fal pochodzących od dalekich źródeł, wtedy mówimy, że detektor jest w dalekim polu źródeł. {{Rysunek|Far field sources.jpeg|lk1|Dalekie pole dwóch źródeł, gdy odległość L{{Sub|1p}} przekracza znacznie mniej niż jedną długość fali|rozmiar=300px}} Z rysunku obok wynika z definicji trójkąta prostokątnego: {{CentrujWzór|<MATH>L_{2p}^2=L_{1P}^2+d^2\;</MATH>|9.1}} Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia znanego z algebry dla różnicy kwadratów, co można napisać wzór wynikający z {{LinkWzór|9.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>L_{2P}^2-L_{1P}^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})=d^2\;</MATH>|9.2}} Interesuje nas przypadek, gdy L{{Sub|2P}} i L{{Sub|1P}} są prawie równe, ale ich różnica nie przekracza {{Formuła|<math>{{1}\over{2}}\lambda\;</MATH>}}, wtedy obliczenia {{LinkWzór|9.2}} można dokończyć przy naszych dysputach według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>d^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})={{1}\over{2}}\lambda(L_0+L_0)\;</math>|9.3}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|9.3}} można napisać, że przybliżenie dalekiego pola mamy, gdy iloczyn odległości do detektora od źródła fal przez długość fali światła jest równa w przybliżeniu kwadratowi odległości między dwoma źródłami, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>L_0\lambda\simeq d^2\;</math>|9.4}} === Źródło pola elektromagnetycznego fali podłużnej === Gdy fala jest wytwarzana przez oscylujący ładunek, która jak wiadomo porusza się z przyspieszeniem zależnych od czasu w postaci drgań harmonicznych tego ładunku, to fala elektromagnetyczna pola elektrycznego, wykorzystując wzór {{LinkWzór|7.131|Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni}} jest napisana w zależności od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=-{{q\ddot{y}(t^')}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}={{q\omega^2\cos(\omega t^'+\varphi)}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}\;</MATH>|9.5}} Widzimy na podstawie {{LinkWzór|9.5}} dla fali pola elektrycznego, która jest falą z pewną amplitudą, jest: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E(t)=A(r)\cos(\omega t^'+\varphi)=A(r)\cos\omega(t-{{r}\over{c}})\;</MATH>|9.6}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A(r)={{\omega^2}qy_0\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}}\;</MATH>|9.7}}}} Jeśli mamy N źródeł, to koleino oznaczamy natężenie fali pola elektrycznego przy pomocy wskaźnika jeden lub dwa, aż do N. === Różnica faz spowodowana różnicą dróg optycznych === {{Rysunek|Interference as a result we put the two sources.jpeg|lk2|Interferencja w wyniku nakładamy się dwóch źródeł}} Widzimy, że według rysunku obok różnica między promieniem r{{Sub|2}}, a r{{Sub|1}} jest równa &Delta;s, i jest wyrażona względem odległości dwóch szczelin i kąta pomiędzy poziomem, a promieniem pierwszym lub drugim, bo ten kąt dla promienia pierwszego i drugiego jest jednakowy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s=d\sin\theta\;</MATH>|9.8}} Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, zapisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Delta\phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow \Delta\phi=\Delta s{{2\pi}\over{\lambda}}=2\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;</MATH>|9.9}} === Równanie interferencyjne dla dwóch szczelin === Weźmy sobie teraz sobie falę płaską wytwarzaną przez źródło pierwsze jak i drugie, która jest falą pola elektrycznego, przy założeniu, że te dwie fale wytwarzane są przez dwa źródła o takiej samej częstotliwości i przesunięciu fazowym, dodajmy te dwie fale do siebie w wyniku superpozycji tychże fal daleko od źródła fal, otrzymujemy stąd wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>E(r,\theta,t)=E_1+E_2=A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi)+A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi-\Delta\phi)=2A(r)\cos(\omega t+\varphi-\Delta\phi)\cos \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;</MATH>|9.10}} Aby wystąpiły maksima fali w wyniku interferencji dwóch fal i w wyniku tego drugi czynnik musi być równy plus jeden lub minus jeden, co jest możliwe gdy: {{CentrujWzór|<MATH>\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}=m\pi\Rightarrow d\sin\theta=n\lambda\;</MATH>|9.11}} Fala napisana wzorem {{LinkWzór|9.10}}, aby przyjmowała wartość zero, czyli wtedy natężenie pola elektrycznego jest równe zero, to musi być spełnione: {{CentrujWzór|<math> \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}={{\pi}\over{2}}\left(2m+1\right)\Rightarrow d\sin\theta=\left(m+{{1}\over{2}}\right)\lambda\;</MATH>|9.12}} === Warunek spójności dwóch źródeł === {{Rysunek|Consistency multiple sources.jpeg|lk3|Spójność wielu źródeł|rozmiar=300px}} Wykażemy tutaj, że jeśli mamy źródła fal a,b,c, to wtedy działa ono jako efektywne punktowe źródło światła, jeśli jest spełniony pewien warunek, który mamy zamiar wyprowadzić. Według rysunku obok możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta={{D}\over{L}}\;</MATH>|9.13}} Wzór {{LinkWzór|9.13}} podstawiamy do {{LinkWzór|9.11}} dla n=1, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>d{{D}\over{L}}=\lambda\Rightarrow dD=\lambda L\;</math>|9.14}} W rzeczywistości d możemy być on wiele mniejsze niż to wynika z równania końcowego {{LinkWzór|9.14}}, zatem nasz warunek na spójność wielu źródeł piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dD<<\lambda L\;</MATH>|9.15}} === Obraz pojedynczej szczeliny w obrazie dyfrakcyjnym === {{Rysunek|N antennas or N narrow slits, which oscillate in phase loads.jpeg|lk4|N anten Huygensa lub N wąskich szczelin, których ładunki oscylują z odpowiednią częstością kołową}} Posłużmy się teraz konstrukcją Huygensa, którą zastępujemy falę od odległego źródła falą płaską, która pada na N szczelin, w których mamy oscylujące ładunki, które wytwarzają fale kuliste, którego natężenie fali jest opisane w przestrzeni rzeczywistej, mamy: {{CentrujWzór|<math>E=A(r)\cos(\omega t-kr_1)+A(r)\cos\omega t-kr_2)+...+A(r)\cos(\omega t-kr_N)\;</MATH>|9.16}} Superpozycję fali zapisaną w punkcie {{LinkWzór|9.16}} możemy również zapisać w postaci zespolonej w przestrzeni zespolonej przy pomocy eksponentów, którego odpowiednik wspomnianego równania jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(r)=A(r)e^{-i\omega t}\left(e^{ikr_1}+e^{ikr_2}+...+e^{ikr_N}\right)\;</MATH>|9.17}} Poszczególne odległości r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}},..,r{{Sub|N}} piszemy w zależności od ilości N szczelin, kąta padania &theta; i odległości między szczelinami: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix} r_2=r_1+d\sin\theta\\ r_3=r_1+2d\sin\theta\\ \cdots\\ r_N=r_1+(N-1)d\sin\theta\end{matrix}\;</MATH>|9.18}} Wzory {{LinkWzór|9.18}} wsadzamy do tożsamości {{LinkWzór|9.17}}, stąd w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy; {{CentrujWzór|<MATH>E_c=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{ik(r_2-r_1)}+e^{ik(r_3-r_1)}+...+e^{ik(r_{N-1}-r_1)}\right)=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{d\sin\theta}+e^{2d\sin\theta}+...+e^{(N-1)d\sin\theta}\right)</MATH>|9.19}} Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzoru na zwartą sumę szeregu geometrycznego, który ma iloraz {{Formuła|<MATH>q=e^{d\sin\theta}\;</math>}}, w ten sposób {{LinkWzór|9.19}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E_c=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{iNkd\sin\theta}-1}\over{e^{idk\sin\theta}-1}}=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}\;</MATH>{{Br}}<MATH>= A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}e^{i{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}= A(r)e^{-i(\omega t-kr_1-{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta)}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}\;</MATH>|9.20}} === Przykład ciągły nieskończenie wielu szczelin na odległości D === Weźmy sobie N szczelin, których liczba jest nieskończona przy stałym D przy d dążących do zero, zatem w takim przypadku mamy prawo powiedzieć na podstawie wzoru {{LinkWzór|9.17}}, że wypadkową amplitudę piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>A(r,\theta)=A(r)\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}= A(r)N\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin {{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}kNd\sin \theta}}=A(r,0){{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.21}} {{Rysunek|The amplitude of vibration and amplitude of the wave intensity.jpeg|lk5|Amplituda drgań i amplituda natężenia fali|rozmiar=300px}} Całkowite przemieszczenie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|9.21}} i na podstawie definicji naszego przemieszczenia {{LinkWzór|9.17}} jest określone: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(r,\theta)=A(r,0)e^{-i(\omega t-kr-{{1}\over{2}}kD\sin\theta)}{{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.22}} Według obliczeń {{LinkWzór|9.22}} możemy obliczyć średni strumień energii, która tutaj po uśrednieniu po czasie mamy: {{CentrujWzór|<MATH>I(r,\theta)=I_{max}{{\sin^2{{1}\over{2}}D\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.23}} === Nieoznaczoność liczby falowej i położenia i dyfrakcyjna kątowa szerokość wiązki === Patrząc na rysunek powyżej szerokość połówkowa wiązki nazywamy przedział, który rozciąga się od {{Formuła|<math>\theta=-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\;</MATH>}} do {{Formuła|<math>\theta={{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\;</MATH>}} i jego wartość określona jest przez: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\theta=\left({{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)-\left(-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)={{\lambda}\over{D}}\;</MATH>|9.24}} Całkowita wartość liczby falowej jest tak określona, by jego kwadrat był {{Formuła|<math>k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2\;</MATH>}}, zdefiniujmy w nim współrzędne iksowe k{{Sub|x}}=k cos&theta;, a k{{Sub|z}}=kcos&theta; i na samym końcu k{{Sub|y}}, która jest równa zero, zatem stosując przybliżenie małych kątów, wtedy kosinus zastąpimy przez jedynkę, a sinus kąta przez sam kąt, wtedy współrzędną iksową liczby falowej możemy zapisać w przybliżeniu wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>k_x=k\sin\theta\simeq k\theta\;</MATH>|9.25}} Zatem nieoznaczoność liczby falowej i położenia w ostatecznych rozrachunkach, przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, zastępując D przez &Delta;x, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_x\simeq d\Delta \theta\simeq k{{\lambda}\over{D}}={{2\pi}\over{D}}\Rightarrow \Delta k_xD\simeq 2\pi\Rightarrow\Delta k_x\Delta x\simeq 2\pi\;</MATH>|9.26}} Można również udowodnić podobnie jak powyżej, że nieoznaczoności zachodzą również dla współrzędnej igrekowej i zetowej, a także dla częstotliwości kołowej, które możemy napisać jako związki: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_x\Delta x\geq 2\pi\;</math>|9.27}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_y\Delta y\geq 2\pi\;</math>|9.28}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_z\Delta z\geq 2\pi\;</math>|9.29}} |4={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\omega\Delta t\geq 2\pi\;</MATH>|9.30}} }} == Optyka geometryczna == === Odbicie od płaszczyzny fali płaskiej === {{Rysunek|The_reflection_of_light.jpg|lk7|Obicie fali płaskiej od płaszczyzny|rozmiar=300px}} Odległość dróg fazowych dwóch promieni padającej pierwszej względem promienia drugiego według rysunku obok możemy zapisać według: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s=d\sin\alpha-d\sin\beta=d(\sin\alpha-\sin\beta)\;</MATH>|9.31}} Różnica dróg fazowych między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Delta \phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda}}(\sin\alpha-\sin\beta)\;</MATH>|9.32}} Równanie fal materii pierwszego i drugiego promienia, uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu, pisząc je wedle: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\psi_1=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}\;</MAth>|9.33}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\psi_2=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\;</MaTH>|9.34}} }} Według zasady Huygensa musimy dodać fale {{LinkWzór|9.33}} do {{LinkWzór|9.34}}, które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0\right)}+e^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi\right)}\right)= Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\left(e^{i\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)}+e^{i\left(-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= 2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)=2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\cos \left[{{\pi}\over{\lambda}}d\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)\right]\;</MATH>|9.35}} W wyrażeniu {{LinkWzór|9.58}} kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest {{Formuła|<MaTH>m\pi\;</MATH>}}, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{\pi}\over{\lambda}}d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\pi\Rightarrow d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\lambda\Rightarrow\sin\alpha-\sin\beta=m{{\lambda}\over{d}}\;</MATH>|9.36}} Przyjmujemy, że &lambda;>d, wtedy {{Formuła|<MATH>m{{\lambda}\over{d}}>1\;</MATH>}}, ale ponieważ lewa strona równania jest zawsze mniejsza niż jeden, a prawa strona jest większa niż jeden dla m>0, co stąd wynika, że jedyną możliwością jest m=0, co na podstawie {{LinkWzór|9.36}} dostajemy &alpha;=&beta;. Otrzymujemy, ze promień odbicia jest równy promieniowi padania. === Załamanie fali płaskiej === Odległość AB i DC możemy policzyć przy pomocy właściwości trójkąta równobocznego, które tutaj piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>AB=d\sin\alpha\;</MATH>|9.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>DC=d\sin\beta\;</MATH>|9.38}}}} Różnica dróg między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<math>\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\alpha-{{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\beta=\omega\left({{1}\over{v_1}}d\sin\alpha-{{1}\over{v_2}}d\sin\beta\right)={{\omega d}\over{c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)</MATH>|9.39}} {{Rysunek|The phenomenon of refraction of light rays through a transparent isotropic incidence at the center.jpeg|lk8|Zjawisko załamania fali płaskiej|rozmiar=250px}} Funkcje falowe występujące w zjawisku załamania mają taki sam wygląd jak w zjawisku odbicia, czyli funkcje {{LinkWzór|9.33}} i {{LinkWzór|9.34}}, zatem złożenie tychże funkcji piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}+e^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\left(e^{i({{\Delta\phi}\over{2}})}+e^{i(-{{\Delta\phi}\over{2}})}\right)= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left[{{\omega d}\over{2c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)\right]\;</MATH>|9.40}} W wyrażeniu {{LinkWzór|9.37}} kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest {{Formuła|<MaTH>m\pi\;</MATH>}}, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{\omega d}\over{2c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)=m\pi\Rightarrow n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=m\pi{{2c}\over{\omega d}}\;</MATH>|9.41}} Dla dowolnie małego d występujące w tożsamości {{LinkWzór|9.41}} prawa jego strona jest dowolnie duża dla m>0, a lewa skończona jest skończona, zatem jedyną możliwością jest m=0, zatem co wynika ze wspomnianego równania wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=0\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;</MATH>|9.42}} Prawo opisane wzorem {{LinkWzór|9.40}} nazywamy prawem załamania Snelliusa. === Zasada Fermata a prawo odbicia === {{Rysunek|Fermat's principle and the law of reflection.jpeg|lk9|Zasada Fermata prawo odbicia}} Całkowity czas jaki promień leci na powierzchnię graniczną z punktu A, który pada na powierzchnię i odbija się od punktu B i leci do punktu C, jest wyrażona przy stałych parametrach y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>t={{1}\over{c}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{c}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;</math>|9.43}} Zróżniczkujmy obie strony równości {{LinkWzór|9.43}} i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, by otrzymać później prawo odbicia, wiedząc jednocześnie, że x{{Sub|1}}=L-x{{Sub|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;</MATH>|9.44}} Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego możemy otrzymać wnioski: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;</MATH>|9.45}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;</MATH>|9.46}}}} Wykorzystując tożsamości trygonometryczne {{LinkWzór|9.45}} i {{LinkWzór|9.46}}, które podstawiamy do {{LinkWzór|9.44}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>-\sin\alpha dx_2+\sin\beta dx_2=0\Rightarrow \sin\alpha=\sin\beta\;</MATH>|9.47}} W końcowym wniosku w zasadzie Fermata {{LinkWzór|9.47}} wnioskujemy równość kątów &alpha; i &beta;, co jest treścią ostateczną zasady Fermata dla zjawiska odbicia. === Prawo załamania fali a zasada Fermata === {{Rysunek|The law of refraction and the wave of Fermat's principle.jpeg|lk10|Prawo załamania fali a zasada Fermata|rozmiar=150px}} Całkowity czas jaki promień leci w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania n{{Sub|1}} padający na powierzchnię graniczną pomiędzy dwoma ośrodkami z punktu A, który załamuje się w punkcie punkcie B i leci do punktu C w drugim ośrodku o współczynniku załamania n{{Sub|2}}, jest wyrażony przy pomocy stałych y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>t={{1}\over{v_1}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{v_2}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;</math>|9.48}} Zróżniczkujmy obie strony równości {{LinkWzór|9.48}} i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, wtedy możemy otrzymać prawo załamania w dalszych niż poniżej dysputach, wiedząc jednocześnie, że x{{Sub|1}}=L-x{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{1}\over{v_1}}{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{1}\over{v_1}}{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;</MATH>|9.49}} Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego mamy wnioski: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;</MATH>|9.50}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;</MATH>|9.51}}}} Wykorzystując tożsamości trygonometryczne {{LinkWzór|9.50}} i {{LinkWzór|9.51}}, które podstawiamy do {{LinkWzór|9.49}}, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{1}\over{v_1}}\sin\alpha+{{1}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow {{c}\over{v_1}}\sin\alpha={{c}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;</math>|9.52}} Wzór końcowy wynikający z obliczeń {{LinkWzór|9.52}} jest tzw. prawem Snelliusa dla zjawiska załamania. === Zwierciadło wklęsłe === {{Rysunek|Concave mirror into which fall the rays from the object.jpeg|lk11|Zwierciadło wklęsłe na który padają promienie od przedmiotu|rozmiar=300px}} Rozważmy sobie teraz zwierciadło wklęsłe, zbadajmy jaki jest obraz danego przedmiotu występującego przed tym obiektem. Wysokość obrazu jest h i znajduje się w odległości od zwierciadła o x. Od przedmiotu promień świetlny leci do zwierciadła względem poziomu pod kątem &alpha;, i do zwierciadła dociera ono na wysokość równą wysokości h{{Sub|x}} przedmiotu minus długość względem pionu na jaką promień się obniżył, która jest iloczynem odległości przedmiotu od zwierciadła pomnożonej przez kąt z jakim leci nasz promień względem poziomu: {{CentrujWzór|<MATH>h_1=h_x-\alpha x\;</MATH>|9.53}} Kąt &gamma; według rysunku obok określamy jako iloraz wysokości h{{Sub|1}} napisaną wzorem {{LinkWzór|9.15}} przez promień krzywizny zwierciadła R. {{CentrujWzór|<MATH>{{h_1}\over{R}}=\gamma\Rightarrow\gamma={{h_x-\alpha x}\over{R}}\;</MATH>|9.54}} Całkowity kąt &beta; jest równy sumie kata &alpha; i &gamma;, który jest kątem pomiędzy odcinkiem łączący R z promieniem świetlnym w punkcie granicznym zwierciadła, który się odbija od zwierciadła w tymże punkcie: {{CentrujWzór|<MATH>\beta=\alpha+\gamma=\alpha+{{h-\alpha x}\over{R}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}\;</MATH>|9.55}} Nachylenie promienia odbitego od zwierciadła względem poziomu określamy jako sumę katów &beta; i &gamma;, który jest jednocześnie ilorazem sumy wysokości powstałego obrazu i wysokości nad osią główną zwierciadła, od której to wysokości odbija się promień świetlny wychodzący od przedmiotu: {{CentrujWzór|<MATH>{{h_y+h_1}\over{y}}=\beta+\gamma\Rightarrow {{h_y+h_x-\alpha x}\over{y}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}+{{h_x-\alpha x}\over{R}}\;</MATH>|9.56}} Załóżmy, że mamy dwa wzory {{LinkWzór|9.56}}, dla różnych &alpha;, tzn. dla &alpha;{{Sub|1}} i &alpha;{{Sub|2}} i odejmijmy od siebie te wzory i tak otrzymane równanie podzielmy przez &alpha;{{Sub|1}}-&alpha;{{Sub|2}}, otrzymując w ten sposób tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>-{{x}\over{y}}={{R-x}\over{R}}-{{x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}={{R-2x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}=1-{{2x}\over{R}}\Rightarrow{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{2}\over{R}}\;</MATH>|9.57}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych powyżej wzór na odległość ogniska od zwierciadła jest równa połowie promienia krzywizny zwierciadła, a także wzory na zwierciadło są w takim razie opisywane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;</MATH>|9.58|Obramuj}}|2={{CentrujWzór|<MATH>f={{R}\over{2}}\;</MATH>|9.59|Obramuj}}}} Wzór {{LinkWzór|9.58}} podstawiamy do {{LinkWzór|9.56}}, w ten sposób otrzymujemy następną tożsamość, z której napiszemy jak zmienia się wysokość obrazów względem ich odległości od zwierciadła, czyli wzór na powiększenie obrazu względem przedmiotu, który jest stosunkiem odległości obrazu i przedmiotu: {{CentrujWzór|<math>\left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+{{2}\over{R}}\left(h_x-\alpha x\right)\Rightarrow \left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\left(h_x-\alpha x\right) \Rightarrow{{h_y}\over{y}}=\alpha+{{1}\over{x}}(h_x-\alpha x)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{h_y}\over{y}}={{h_x}\over{x}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}} </MATH>|9.60}} === Soczewka dwuwypukła === Narysujmy soczewkę dwuwypukłą o promieniach krzywizny R{{Sub|1}} i R{{Sub|2}}, i przedmiot będący po jego lewej stronie, a przedmiot po jego prawej strony, ale ten obiekt jest po przeciwnej stronie niż przedmiot. Na podstawie rysunku obok wyprowadzimy wzór soczewki i soczewkowy, a także wzór na powiększenie obrazu względem wielkości przedmiotu. {{Rysunek|Biconvex lens, the image and its inverted image.jpeg|lk12|Soczewka wypukła,przedmiot i jego obraz. Powyższą soczewkę oznaczyliśmy jako grubą, by było tam łatwiej zaznaczyć kąty, ale mając na myśli w rzeczywistości jako soczewkę cienką.|rozmiar=600px|pozycja=center}} W poniższych obliczeniach skorzystaliśmy z małości kątów, tzn. dla których zachodzi tg&alpha;&asymp;sin&alpha;&asymp;&alpha;, a także z warunku ze soczewka jest cienka ze wzoru h{{Sub|1}}&asymp;h{{Sub|3}}. Wysokość na jaką pada promień pochodzący od przedmiotu z wysokości h{{Sub|x}}. który leci na soczewkę jest sumą wysokości przedmiotu i długości jaką światło leciało pod kątem do góry. {{CentrujWzór|<MATH>h_1=h_x+h_2=h_x+x\alpha\;</MATH>|9.61}} Wyznaczmy teraz kąt z jaką promień pochodzący z przedmiotu pada na soczewkę z jego lewej strony względem R{{Sub|1}}, który przedstawiamy jako sumę kąta promienia lecącego z przedmiotu względem poziomu i nachylenia promienia krzywizny względem poziomu: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=\alpha+\beta=\alpha+{{h_1}\over{R_1}}=\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\;</MATH>|9.62}} Kąt pod jakim promień świetlny wszedł do wnętrza w soczewce względem promienia krzywizny R{{Sub|1}} jest określany za pomocą prawa Snelliusa dla małych kątów padania i odbicia: {{CentrujWzór|<MATH>\omega n_2=\gamma n_1\Rightarrow \omega={{n_1}\over{n_2}}\gamma={{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)\;</MATH>|9.63}} Kąt pod jakim pada promień z wnętrza na granicę soczewki względem R{{Sub|2}}, która chce wylecieć na zewnątrz jej jest określana z definicji dowolnego trójkąta, że suma kątów jest równa 180 stopni: {{CentrujWzór|<MATH>\pi=\omega+\psi+\theta\Rightarrow\psi=\pi-\omega-\theta\Rightarrow\psi=\pi-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)-\pi+\beta+\eta=-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{h_2}\over{R_1}}+{{h_1}\over{R_2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.64}} Kąt pod jakim wyszedł promień świetlny z soczewki względem R{{Sub|2}} jest opisany przez wzór wynikający z prawa załamania {{LinkWzór|9.49}} dla małych katów padania i załamania: {{CentrujWzór|<MATH>\tau n_1=n_2\psi\rightarrow \tau={{n_2}\over{n_1}}\psi=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.65}} Kąt pod jakim promień wyszedł z soczewki względem poziomu z oczywistych powodów piszemy przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\phi=\tau-\nu=\tau-{{h_3}\over{R_1}}=\tau-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_2}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \phi=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.66}} Kąt pomiędzy promienień wchodzący w obraz a poziomem jest wyrażony poprzez iloraz wysokości jakiej promień musi przebyć do obrazu pod kątem przez odległość obrazu od soczewki: {{CentrujWzór|<MATH>{{h_3+h_y}\over{y}}=\phi\Rightarrow {{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.67}} Weźmy sobie dwa promienie, które wylatują z przedmiotu na wysokości h{{Sub|x}} pod kątami: &alpha;{{Sub|1}} i &alpha;{{Sub|2}}, tworzymy w ten sposób dwa równania {{LinkWzór|9.67}}, które odejmiemy je od siebie, i dzieląc tak powstały wzór przez &alpha;{{Sub|1}}-&alpha;{{Sub|2}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{x}\over{y}}=-1+x\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.68}} Z obliczeń {{LinkWzór|9.68}} otrzymujemy równanie soczewki i równanie soczewkowe, czyli które przepisujemy przy pomocy dwóch wzorów, oznaczając przez "f" długość ogniskowej soczewki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;</MATH>|9.69}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{f}}=\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</math>|9.70}}}} Tożsamość {{LinkWzór|9.69}} podstawiamy w miejsce {{LinkWzór|9.70}} we wzorze {{LinkWzór|9.67}}, bo one oznaczają to samo, w ten sposób możemy otrzymać równość, z którego wynika, że powiększenie obrazu jest stosunkiem położenia obrazu "y" i położenia przedmiotu "x" względem soczewki: {{CentrujWzór|<math>{{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\Rightarrow {{h_x+x\alpha}\over{y}}+{{h_y}\over{y}}=-\alpha+{{h_x}\over{x}}+\alpha+{{h_x+\alpha x}\over{y}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}}\;</MATH>|9.70a}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0kux7j1a3ivxavpomvb05ad9gmxqch7 0 21127 558532 526875 2026-10-04T15:23:00Z Persino 2851 /* Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej */ 558532 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}} wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie nie może przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} ===Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej=== W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i na kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> l28b2f8u5fe6alnmu37wh1pn96p4xel 558533 558532 2026-10-04T15:25:19Z Persino 2851 /* Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów */ 558533 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}} wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie nie może przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} ===Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej=== W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i na kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r4qyxrize4l8z1dgbjkjm8mnxibnow2 558534 558533 2026-10-04T15:26:37Z Persino 2851 /* Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej */ 558534 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie nie może przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} ===Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej=== W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i na kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 7bwhouftitx80ssykum78rfwwawxdvt 558535 558534 2026-10-04T15:28:36Z Persino 2851 /* Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej */ 558535 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna pomiędzy częstotliwością a liczbą falową przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i na kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hjgiejfhu0u73avy7z4mjz7c3d3risg 558536 558535 2026-10-04T15:30:12Z Persino 2851 /* Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności */ 558536 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i na kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fop2g2sosw0n59njgi8fpvuod9rmrux 558537 558536 2026-10-04T15:32:29Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego */ 558537 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> b0ccgec4sct9afphfz2hpp0d2uh7mt9 558538 558537 2026-10-04T15:34:47Z Persino 2851 /* Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego */ 558538 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci, wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z" i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z" i wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 12nommjhdee7iiraxbd9qby95gm3tan 558539 558538 2026-10-04T15:36:44Z Persino 2851 /* Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej */ 558539 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci, wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z", i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z", także wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e, oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> iam3gdvi9u4kp15bo01muuqfmr7owmv 558540 558539 2026-10-04T15:39:04Z Persino 2851 /* Gęsty ośrodek oporowy */ 558540 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci, wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z", i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z", także wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e, oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić, korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3xyc31rj7gmme1mgwe1lmh23x4u26fu 558541 558540 2026-10-04T15:40:44Z Persino 2851 /* Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna */ 558541 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} ===Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej=== Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci, wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z", i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z", także wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e, oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale [[Fale/Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni#Czemu_niebo_jest_niebieskawe|"Czemu niebo jest niebieskawe"]] rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz mówiąc oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony, rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić, korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rx6hpo0b48l307lxv7iwknyz2guxyh5 558542 558541 2026-10-04T15:46:34Z Persino 2851 558542 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}}|2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}}}} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} === Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej === Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw, licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw, licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci, wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z", i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z", także wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e, oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy, dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}}|2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}}}} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale {{sr|p=Fale dwu- i trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni|#Czemu niebo jest niebieskawe}} rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz, mówiąc, oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}}}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}}|2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}}}} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}}}} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać, dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony, rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}}}} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową, wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić, korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}}|2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}}}} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2va3jxsnq0uekcubgb8gmz8gkzl71iq 558560 558542 2026-10-04T17:08:11Z Persino 2851 558560 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}}}} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}} |2={{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}} }} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} === Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej === Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw, licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw, licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci, wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z", i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z", także wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e, oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy, dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}} |2={{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}} }} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}}}} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale: {{sr|p=Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni|#Czemu niebo jest niebieskawe}}, rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz, mówiąc, oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}} }} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}}}} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}}|2={{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}}}} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}}}} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}}}} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} Wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}}}} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}}}} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} Wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}}}} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} Dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}}}} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}}|2={{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}}}} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}} |2={{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}} }} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}} |2={{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}} }} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}}}} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}}|2={{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}}}} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać, dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony, rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}} }} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}}}} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} Wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową, wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić, korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}} |2={{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}} }} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} Wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gohmzasmtbwgf011fomnbvozfq92oud 0 21869 558605 513563 2026-10-04T20:01:25Z Persino 2851 558605 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zapoznamy się z definicją przekroju całkowego i różniczkowego, także będziemy się zajmować się tu z rozpraszaniem jądra X z cząstką "a", a także zjawiskiem Zjawisko Mössbauera, które to doświadczenie jest przeprowadzone dla małych temperatur, wtedy zjawisko odrzutu w nim nie zachodzi, jak dowiemy się później, co tam szczegółowo to zjawisko opiszemy. == Przekroje czynne == Wielkością charakteryzującą zajście rozpraszania (reakcji) jest całkowy i różniczkowy przekrój czynny. Zapoznamy się z definicją całkowego przekroju czynnego, a powiemy coś o różniczkowym przekroju czynnym, w tym o kątowym i energetyczny różniczkowym przekroju czynnym. === Całkowy przekrój czynny === Całkowy przekrój czynny jest to iloraz prawdopodobieństwa zajścia reakcji oznaczonej przez &lambda; przez jednostkę gęstości (stężenia cząstek &Phi;) i przez liczbę cząstek tarczy N: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma={{\lambda}\over{\Phi N}}\mbox{ gdzie :}\Phi={{dN_X}\over{dtS}}\;</MATH>|5.1}} Definicją 1 barn(b) jest 10{{Sup|-24}}cm{{Sup|2}}. === Różniczkowy przekrój czynny === * '''kątowy różniczkowy przekrój czynny''' Różniczkowy przekrój czynny opisuje prawdopodobieństwo reakcji, w której cząstka produkt jest wysyłana w określonym kierunku (&theta;&phi;) w elemencie kąta bryłowego d&Omega;, a jego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\theta,\phi)={{d\sigma(\theta,\phi)}\over{d\Omega}}\;</MATH>|5.2}} Definicja {{LinkWzór|5.11}} nazywamy kątowym przekrojem czynnym. Jeśli wykorzystamy definicję całkowego przekroju czynnego {{LinkWzór|5.1}}, to podstawiając to do wzoru {{LinkWzór|5.2}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(\theta,\phi)}\over{d\Omega}}={{d\lambda(\theta,\phi)}\over{d\Omega}}{{1}\over{\Phi N}}\;</MATH>|5.3}} Jednostką kątowego różniczkowego przekroju czynnego jest bsr{{Sup|-1}}. * '''Energetyczny różniczkowy przekrój czynny''' Zależność różniczkowego przekroju czynnego od energii cząstek wylatujących nazywamy energetyczny różniczkowym przekrojem czynnym, a jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(E)}\over{dE}}={{d\lambda(E)}\over{dE}}{{1}\over{\Phi N}}\;</MATH>|5.4}} Jednostką energetycznego różniczkowego przekroju czynnego jest beV{{Sup|-1}}. == Wzbudzenie kulombowskie jądra == Cząstka a zderza się z jądrem X i wyniku tego jądra X wzbudzają się: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow X^*+a\;</MATH>|5.5}} W jądrze występuje bariera kulombowska, w której energia cząstki "a" jest ma tyle mała od tej bariery kulombowskiej, więc cząstka nie może wniknąć do jądra, gdy by wnikła, to by była reakcja, a nie rozpraszanie. W wyniku rozpraszania {{LinkWzór|5.5}} uzyskujemy jądro wzbudzone kosztem energii kinetycznej jakoby jądro X by miało, gdy by jądro nie zostało wzbudzone. Przekrój czynny na rozpraszanie pochodzi od promieniowania elektrycznego i magnetycznego, który to przekrój jest ich sumą przekrojów czynnych tychże promieniowań: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{if}=\sigma_{if}(E l)+\sigma_{if}(M l)\;</MATH>|5.6}} {{Rysunek|Odwrotne przejście od poziomu niższego do wyższego.png|5.1|Odwrotne przejście elektromagnetyczne|rozmiar=300px}} Przekrój czynny pochodzący od promieniowania elektrycznego jest o wiele większy niż pochodzący od promieniowania magnetycznego, tzn. &sigma;{{Sub|if}}(El)>>&sigma;{{Sub|if}}(Ml), wtedy człon pochodzący od pola magnetycznego możemy pominąć i &sigma;{{Sub|if}} nosi nazwę wzbudzenia kulombowskiego, a nie wzbudzenia elektromagnetycznego. Przekrój czynny {{LinkWzór|5.6}} wyrażamy wzorem w zależności od zredukowanego prawdopodobieństwa przejścia ze stanu niższego {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} do wyższego {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{if}(El)=f(E_a, Z_a,E_0)\cdot B(i\rightarrow f,\sigma l)\;</MATH>|5.7}} Do równania {{LinkWzór|5.7}} należy skorzystać ze wzoru na przekrój czynny {{LinkWzór|5.1}}, a ona zależy od prawdopodobieństwa zajścia rozproszenia (reakcji) &lambda;, a &lambda; jest opisywane przez {{LinkWzór|3.88|Rozpady_(przejścia,_przemiany)_jądrowe}}, która zależy od prawdopodobieństwa zredukowanego B(&sigma;l,i→f), co kończy dowód ostatniej równości. Prawdopodobieństwo zredukowane {{Formuła|<MATH>B(i\rightarrow f,\sigma l)\;</MATH>}} oznacza przejście ze stanu niższego do wyższego. Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia, ze stanu wyższego do niższego i odwrotnie są sobie równe, je przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>B_{if}(2I_i+1)=B_{fi}(2I_f+1)\;</MATH>|5.8}} &sigma;{{Sub|if}} są szczególnie duże w pomiarach nad jądrem parzysto-parzystym. Na podstawie zredukowanych prawdopodobieństw przejścia możemy policzyć wewnętrzny moment kwadrupolowy. Oczywiście, że zachodzi dla przejścia prostego i odwrotnego: {{CentrujWzór|<MATH>|\langle i|\hat H(\sigma l)|f\rangle|^2=|\langle f|\hat H(\sigma l)|f\rangle|^2\Rightarrow B_{i\rightarrow f}={{1}\over{2I_i+1}}|\langle i|\hat H(\sigma l)|f\rangle|^2\;</MATH>|5.7a}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\pi_i\;</MATH>}} to są np. liczby na rysunku {{LinkRysunek|5.1}}. Dzięki prawdopodobieństwom zredukowanym możemy policzyć wewnętrzny moment kwadrupolowy. == Rozpraszanie rezonansowe kwantów &gamma; przez jądra atomowe. Efekt Mössbauera == {{Rysunek|Efekt rozpraszania rezonansowego kwantów gamma przez jądro atomowe.png|GHT|Rozpraszanie rezonansowe kwantów &gamma; przez jądro atomowe}} Rozpraszanie rezonansowe rozpraszania kwantów &gamma; można zrealizować w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma_{abs}+X\rightarrow X^*\rightarrow X+\gamma_{em}^'</MATH>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>\gamma_{abs}=\gamma_{em}^'\;</MATH>|5.9}} Widzimy, że kwant &gamma; zderza się z jądrem X i wyniku czego powstaje wzbudzone jądro X{{Sup|*}}, później to jądro wysyła kwant &gamma; przechodząc do stanu podstawowego o takiej samej energii jak przed zderzeniem z nim. Dla jąder atomowych spowodowanie rozpraszania rezonansowego przy małej szerokości energetycznej jest trudne, bo wtedy jest znaczna energia odrzutu. Aby nastąpiła absorpcja kwantu &gamma;, to energia kwantu musi być równa sumie energii pomiędzy dwoma kwantowymi poziomami w jądrze X i energii odrzutu samego jądra: {{CentrujWzór|<MATH>E_{\gamma}=E_0+E_{od}\;</MATH>|5.10}} Z zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.10}}, to równanie możemy uzupełnić, korzystając z definicji energii kinetycznej jądra X: {{CentrujWzór|<MATH>E_{\gamma}=E_{0}+{{p_{od}^2}\over{2M_x}}\;</MATH>|5.11}} Jeśli dodatkowo uwzględnimy, że pęd kwantu &gamma; jest przekazywany jadru X, który jest równy energii kwantu &gamma; podzielonej przez prędkość światła, czyli p{{Sub|&gamma;}}=E{{Sub|&gamma;}}/c, co wynika z zasady zachowania pędu, to: {{CentrujWzór|<math>E_{\gamma}-E_{0}=\Delta E={{p_{od}^2}\over{2M_x}}={{E_{\gamma}^2}\over{2M_xc^2}}\;</MATH>|5.12}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|5.12}} możemy powiedzieć, że energia odrzutu jądra X, w wyniku zderzenia jego z fotonem jest równa ilorazowi kwadratu energii kwantu &gamma; zderzającego się z jądrem przez podwojoną energię spoczynkową jądra X, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>E_{od}={{E_{\gamma}^2}\over{2M_xc^2}}\;</MATH>|5.13}} Dla uzyskania rezonansu dla emisji i absorpcji klwantu &gamma; należy skompensować {{Formuła|<MATH>2E_{od}={{2E_0^2}\over{2M_xc^2}}=10^{-2}eV\;</MATH>}} energii. Dla jąder atomowych rozpraszanie rezonansowe jest trudno zrealizować z powodu małej szerokości energetycznej poziomów jądrowych i znacznej energii odrzutu {{LinkWzór|5.13}} jądra przy emisji kwantu &gamma;. Naturalna szerokość, wynika z nieoznaczności czasu i energii, jest pisana poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\tau=\hbar\Rightarrow\Gamma={{\hbar}\over{\tau}}\;</MATH>|5.14}} Dla przejść jądrowych szerokość połówkowa energii dla nieokreśloności czasu zwykle 10{{Sup|-15}}s&le;&tau;&le;10{{Sup|-8}}s jest równa 5&sdot;10{{Sup|-9}}eV&le;&Gamma;&le;5&sdot;10{{Sup|-3}}eV. Energia odrzutu {{LinkWzór|5.8}} jądra X osiąga, wtedy wartość od 0,1 do 10eV. {{Rysunek|Linie emisyjne Fe-57.png|HG|Linie emisyjne {{Sup|578}}Fe.}} Np. dla {{Sup|57}}Fe szerokość naturalna linii &gamma; jest o energii 14,4keV, szerokość połówkowa jest &Gamma;=4,7&sdot;10{{Sup|-9}}eV, przy emisji kwantu &gamma; o energii 14,4keV energia odrzutu jądra {{Sup|57}}Fe jest: {{Formuła|<MATH>E_{od}={{E^2_{\gamma}}\over{2Mc^2}}\simeq 2\cdot 10^{-3}eV\;</MATH>}}, wtedy E{{Sub|od}}>>&Gamma; (blisko 10{{Sup|6}} razy). Linie emisyjne nie pokrywają się z liniami absorpcyjnymi, tzn. energia pochłoniętego fotonu, której częstość nie pokrywa się z częstotliwością emisji kwantów &gamma;. Przejścia optyczne występują dla szerokości połówkowej &Gamma;&asymp;10{{Sup|-8}}eV, dla której energia odrzutu jest E{{Sub|od}}&asymp;10{{Sup|-10}}eV, co wtedy energia odrzutu jest o wiele mniejsza niż szerokość połówkowa energii stanu wzbudzonego jądra X, który pochłonął kwant &gamma;, tzn. &Gamma;>>E{{Sub|od}}. === Ruchy termiczne jąder atomowych, a emisja kwantu &gamma; === Naturalna szerokość linii &gamma; jest powiększona o efekt Dopplera związanego z ruchem termicznym jądra, jeśli będziemy rozpatrywać składową p{{Sub|t}} w kierunku emisji kwantu &gamma;, to z zasady zachowania możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>E_0+{{p_t^2}\over{2M_x}}=E_{\gamma}+{{(p_t-p_{od})^2}\over{2M_x}}\;</MATH>|5.15}} Jeśli wykorzystamy, że pęd kwantu &gamma; jest równa ilorazowi energii kwantu &gamma; i prędkości światła, czyli p{{Sub|&gamma;}}=E{{Sub|&gamma;}}/c, wtedy równość {{LinkWzór|5.10}} możemy przepisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>E_0-E_{\gamma}=\Delta E={{p_{od}^2}\over{2M_x}}-p_{od}v_t=\underbrace{{{E_{\gamma}^2}\over{2M_xc^2}}}_{E_{od}}-\underbrace{E_{\gamma}{{v_t}\over{c}}}_{\Delta E_{\gamma}}\;</MATH>|5.16}} Jeśli &Delta;E{{Sub|&gamma;}}=E{{Sub|od}}, to energia kwantu &gamma; w zjawisko, w którym nie ma odrzutu jądra, wtedy zachodzi E{{Sub|&gamma;}}=E{{Sub|0}} i &Delta;E{{Sub|&gamma;}} ma rozkład Boltzmanowski i następuje poszerzenie dopplerowskie linii emisyjnej (absorpcyjnej),dla temperatury pokojowej dla szerokości D=0,05eV, tzn. E{{Sub|od}}, a więc wtedy w tym przypadku linie emisyjne i absorpcyjne pokrywają się częściowo, wtedy proces rezonansowy staje się możliwy. To pokrycie jest zwykle bardzo małe. === Poszerzenie linii emisyjnej i absorpcyjnej przy obracającym się źródle === {{Rysunek|Poszerzenie dopplerowskie linii emisyjnej źródła kwantów gamma.png|5.2|Poszerzenie dopplerowskie linii emisyjnej przez układu doświadczalny|rozmiar=300px}} Obszar linii emisyjnej i absorpcyjnej można istotnie zwiększyć w wyniku przesunięcia dopplerowskiego przez umieszczenie źródła kwantów &gamma; źródła na ruchomej tarczy, nadanie określonej prędkości jąder X w kierunku emisji kwantów &gamma;, wtedy poszerzenie linii jest równe iloczynowi energii emitowanego kwantu &gamma; przez iloraz prędkości źródła i prędkości światła: {{CentrujWzór|<math>\Delta E_{\gamma}=E_{\gamma}{{v}\over{c}}\;</MATH>|5.17}} Przy energii odrzutu mniejszej od energi kwantu &gamma; (E{{Sub|od}}>E{{Sub|&gamma;}}. Wzór {{LinkWzór|5.17}} podobnie możemy wyprowadzić jak dla termicznego poszerzenia linii {{LinkWzór|5.16}}. Można tak dobrać prędkość v(&omega;), by uzyskać znaczne poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej. W doświadczeniu ze źródłem {{Sup|189}}Hg, które przeprowadzano dla energii stanu wzbudzonego E{{Sub|0}}=411keV i średniego czasu życia tego poziomu &tau;=2&sdot;10{{Sup|-11}}s i dla prędkości v=700m/s, wtedy uzyskano częściowe poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej. === Zjawisko Mössbauera === Zjawisko Mössbauera jest to bezodrzutowa emisja i absorpcja kwantu &gamma;. W 1958 niemiecki fizyk R. Mössbauer zauważył, że bezodrzutowa emisja i absorpcja kwantu &gamma; istnieje w bardzo w niskich temperaturach, co jest związane z siecią krystaliczną. Przy tym faktach obserwowana linia &gamma; nie wykazuje poszerzenia dopplerowskiego, co za tym idzie: {{CentrujWzór|<MATH>E_{\gamma}=E_0=E_i-E_f\mbox{ i }E_{od}=0\;</MATH>|5.18}} {{Rysunek|Debye-Waller factor and the Mössbauer effect.png|5.3|Czynnik Debey'a-Wallera dla dwóch pierwiastków dla typowych ich przejść}} Co wynika, że jądro w niskich temperaturach nie może przyjąć dowolnej energii, tylko te skwantowane. Jeżeli {{Formuła|<math>E_{od}<\hbar\omega_f\;</MATH>}} drgania nie mogą zostać wzbudzone, i energia nie może zostać przyjęta przez jądro w sieci krystalicznej, bo to jest układ sztywny, tylko może zostać przyjęta na wzbudzenie jądra i energię odrzutu przyjęta przez całą sieć, bo energia odrzutu napisana poprzez wzór {{LinkWzór|5.8}} jest o wiele mniejsza niż poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej, co w konsekwencji E{{Sub|od}}<<&Gamma;. Stosunek liczby kwantów &gamma; wyemitowanych bezodrzutowo do całkowitej liczby kwantów wyemitowanych nazywamy czynnikiem Debey'a-Wallera f, który może być obliczony na gruncie dopplerowskiego modelu sieci krystalicznej przy temperaturze Debye'a {{Formuła|<MATH>\hbar\Theta_D=\hbar\omega_f^{max}\;</MATH>}}, gdzie &omega;{{Sup|max}} jest to maksymalna częstość fononów. Czynnik f jest tym większy czym mniejsza jest energia odrzutu E{{Sub|od}}, im wyższe jest temperatura Debye'a &Theta;{{Sub|D}}, im mniejsza jest temperatura kryształu. Dla {{Sup|57}}Fe w 300K aż 70% przejść &gamma; o energii 14,4keV ma charakter bezodrzutowy. == Nierelatywistyczne rozpraszanie elastyczne == {{Rysunek|Rozproszenie_cząstki_dodatniej_na_jądrze_atomu.svg|5.4|Rozproszenie cząstki dodatniej na jądrze|rozmiar=450px}} Rozpraszaniem Rutheforda nazywamy rozpraszanie elastyczne cząstki "a" w polu kulomboskim jądra atomowego X(a,a)X na potencjale elektrycznym (dla &kappa;>0), wtedy potencjał odpychający wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>V(r)=k{{Z_aZ_Xe^2}\over{r^2}}={{\kappa}\over{r}}\;</MATH>|5.19}} Będziemy się tutaj ograniczali do małych energii jądra atomowego, tak by przybliżenie nierelatywistyczne miało sens, cząstka "a" ma na tyle małą energię, by cząstka "a" nie mogła wejść do jądra by zaszła reakcja. Pomijamy tutaj krótkozasięgowe siły jądrowe. Przyjmijmy natomiast, że masa jądra M{{Sub|X}} jest o wiele większa niż masa cząstki o masie "m" oddziaływając z jądrem, wtedy mamy w przybliżeniu układ środka masy. Równanie toru cząstki "m" w układzie biegunowym jest: {{CentrujWzór|<MATH>r={{L^2/m_c\kappa}\over{1-\epsilon\cos\phi}}={{p}\over{1-\epsilon\cos\phi}}\;</MATH>|5.20}} Napiszmy teraz całkowitą energię mechaniczną cząstki "a" zderzającego się elastycznie z jądrem, którą przedstawiamy wedle wzoru {{LinkWzór|1.141|Kinematyka_i_dynamika_klasyczna_opisu_punktu_materialnego|Mechanika_teoretyczna|MT}}, z którego wyprowadzimy wzór na kwadrat mimośrodu elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)\Rightarrow 1-\epsilon^2=-{{2EL^2}\over{\kappa^2m}}\Rightarrow\epsilon^2=1+{{2EL^2}\over{\kappa^2m}}\;</MATH>|5.21}} {{Rysunek|The cross section and the scattering particles and the positively charged nucleus.svg|5.5|Rozpraszanie naładowanych cząstek na jądrze}} W prowadźmy teraz definicję parametru b=l/m przy definicji energii kinetycznej znajdującej się w nieskończoności, czyli {{Formuła|<MATH>p=\sqrt{2m_aE_a}\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|5.21}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2=1+{{4E_a^2b^2}\over{\kappa^2}}\;</MATH>|5.22}} Zamiast kąta biegunowego będziemy wprowadzali kąt rozproszenia &theta;, tzn. dla r→&infin; wprowadzając przy okazji &Phi;=&psi;/2, wtedy, jeśli przyjmować będziemy dodatkowo, że &psi;=&pi;-&phi;, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>1-\epsilon\cos{{\psi}\over{2}}=0\Rightarrow 1-\epsilon\cos\left({{\pi}\over{2}}-{{\varphi}\over{2}}\right)\Rightarrow \epsilon={{1}\over{\sin{{\varphi}\over{2}} }}\;</MATH>|5.23}} Wzór na kwadrat wielkości mimośrodu elipsy {{LinkWzór|5.22}} możemy przyrównać z kwadratem wielkości {{LinkWzór|5.23}}, z tak otrzymanej równości możemy wyznaczyć parametr "b" jako funkcję kąta rozproszenia &phi;, energii cząstki E{{Sub|a}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2=1+{{4E_a^2b^2}\over{\kappa^2}}={{1}\over{\sin^2{{\varphi}\over{2}} }}={{\sin^2{{\varphi}\over{2}} +\cos^2{{\varphi}\over{2}} }\over{\sin^2{{\varphi}\over{2}} }}=1+\operatorname{ctg}^2{{\varphi}\over{2}}\Rightarrow b={{\kappa}\over{2E_a}}\operatorname{ctg}{{\varphi}\over{2}} \;</MATH>|5.24}} Widzimy, że według {{LinkWzór|5.24}}, że &phi; jest funkcją b i E{{Sub|a}}, ale nie jest funkcją kąta azymutalnego &theta;. Opiszmy teraz przekrój czynny dla kątów (&phi;,&phi;+d&phi;), wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}\right)d\varphi=\int_0^{2\pi}{{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}d\Omega={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}\int_0^{2\pi}\sin\varphi d\varphi d\theta={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi d\varphi\Rightarrow{{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}={{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi</MATH>|5.25}} Liczba cząstek w pierścieniu (b,b+db), które dochodzą z nieskończoności do układu z jądrem jest taka sama jak liczba cząstek po rozproszeniu na jądrze w pierścieniu (&phi;,&phi;+d&phi;), zatem możemy przyrównać te dwie ilości cząstek, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>j2\pi b db=j{{d\sigma(\varphi)}\over{d\varphi}}d\varphi\Rightarrow j2\pi b db=j{{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}2\pi\sin\varphi d\varphi\Rightarrow {{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}={{b}\over{\sin\varphi}}\left|{{db}\over{d\varphi}}\right|\;</MATH>|5.26}} {{Rysunek|Wykres w zależności różniczkowego nierelatywistycznego rozpraszania elastycznego od kąta rozproszenia (rozpraszanie Rutherforda).png|5.6|Przekrój różniczkowy a rozpraszanie Rutheforda|rozmiar=200px}} Mając wzór {{LinkWzór|5.24}}, który możemy podstawić do wzoru {{LinkWzór|5.26}} za b, w ten sposób można otrzymać wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(\varphi)}\over{d\Omega}}={{\kappa\operatorname{ctg}{{\varphi}\over{2}} }\over{2E_a2\sin{{\varphi}\over{2}}\cos{{\varphi}\over{2}} }}{{\kappa}\over{4E_a\sin^2{{\varphi}\over{2}}}}=\left({{\kappa}\over{4E_a}}\right)^2{{1}\over{\sin^4{{\varphi}\over{2}}}}=\left(k{{Z_aZ_xe^2}\over{4E_a}}\right)^2{{1}\over{\sin^4{{\varphi}\over{2}}}}\;</MATH>|5.27}} Otrzymaliśmy taki sam wzór {{LinkWzór|5.27}} jak w punkcie {{LinkWzór|2.57|Problem_zderzenia_cząstek|Mechanika_teoretyczna|MT}} wyprowadzony dwoma różnymi sposobami. Jeśli będziemy przyjmować, ze centrum ma skończoną masę M{{Sub|x}}, to energię kinetyczną cząstki w nieskończoności, w której to wielkości w jego definicji występuje masa, to należy tą masę zastąpić jej odpowiednikiem {{Formuła|<MATH>m_{SM}={{m_aM_X}\over{m_a+M_X}}\;</MATH>}}. W przypadków nieznanych potencjałów oddziaływania o jej charakterze możemy uzyskać informacje obserwując w doświadczeniu rozkład kątowy rozpraszania obliczonych dla rozmaitych próbnych potencjałów w sposób teoretyczny. == Formalizm kwantowego opisu rozpraszania == Rozpraszanie elastyczne nie zmienia struktury wewnętrznej cząstek, ich oddziaływanie prowadzi do względnego ruchu przy zachowaniu całkowitej energii kinetycznej. Potencjałem rozpraszania nazywamy sumę potencjału kulombowskiego i jądrowego: {{Rysunek|Graficzne przedstawienie formalizmu kwantowego rozpraszania elastycznego obiektów.png|jk|Graficzne przedstawienie formalizmu kwantowego rozpraszania elastycznego}} {{Rysunek|Fala rozproszona i padająca.png|kj|Fala rozproszona i padająca.}} {{CentrujWzór|<MATH>V_{rozpr}(\vec{r},t)=V_{kul}(\vec{r})+V_{jadr}(\vec{r},t)\;</MATH>|5.28}} Załóżmy, że rozpraszamy cząstki obojętne np. mezony, w tym przypadku potencjał kulombowski nie gra roli, wtedy całkowity potencjał rozpraszania piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>V_{rozpr}(\vec{r},t)=V_{jadr}(\vec{r},t)\;</MATH>|5.29}} Problem opisu cząstki polega na przyporządkowaniu jej funkcji falowej zależnej od czasu {{Formuła|<MATH>\psi(\vec{r},t)\;</MATH>}} spełniające równanie Schrödigera z potencjałem {{Formuła|<MATH>V(\vec{r},t)\;</MaTH>}}. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dV wokół punktu {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} w przestrzeni nazywamy wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>dP(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)dV=\psi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t)dV\;</MATH>|5.30}} Załóżmy, że problem rozpraszania nie zależy od czasu (opis stacjonarny), wtedy funkcję falową cząstki piszemy {{Formuła|<MATH>\psi_{czastki}=\psi(\vec{r})\;</MATH>}}, i cząstka biegnie wzdłuż osi zetowej. Zgodnie z mechaniką kwantową możemy jej przyporządkować określoną funkcję falową według wzoru wyprowadzonego w punkcie {{LinkWzór|7.118|Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej|Mechanika_kwantowa|MK}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}(\vec{r})=Ae^{i(\vec{k}\vec{r})}\;</MATH>|5.31}} Centrum rozpraszania jest źródłem kulistej fali rozproszonej, która nakłada się na falę płaską {{LinkWzór|5.31}}, który przepisujemy z książki o: {{lg|Mechanika kwantowa|mechanice kwantowej}}, z punktu {{LinkWzór|29.8|Asymptotyczne_właściwości_wektora_własnego_Hamiltonianu,_a_jego_przekroje|Mechanika_kwantowa|MK}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{rozpr}(\vec{r})=Af(\phi){{e^{i(\vec{k}\vec{r})}}\over{r}}\;</MATH>|5.32}} W dużej odległości od centrum rozpraszającego dla r<big>&#187;</big>r{{Sub|jądra}} funkcja falowa opisująca cząstkę rozpraszaną na centrum rozpraszania pisanej przy pomocy czynnika normalizacyjnego jest sumą funkcji falowej fali płaskiej {{LinkWzór|5.31}} i funkcji fali rozproszonej {{LinkWzór|5.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=A\left[e^{i(\vec{k}\vec{r})}+f(\phi){{e^{i(\vec{k}\vec{r})}}\over{r}}\right]\;</MATH>|5.33}} == Model optyczny oddziaływania cząstka-jądro == Aby obejść problem opisu wielu ciał w mechanice kwantowej opisujących jadro i nieznajomość potencjału oddziaływania cząstek nukleon-nukleon przy opisie reakcji na jądrze atomowym, a także opisu skomplikowanych oddziaływań między cząstką inicjującą reakcję jądrową (rozpraszanie lub reakcja właściwa), a oddziaływaniem z poszczególnymi nukleonami jądra tarczy, to całkowity potencjał oddziaływania cząstki inicjującej a poszczególnymi nukleonami w jądrze piszemy przy pomocy zespołu liczb kwantowych oznaczonych ogólnie &alpha;, które zapisujemy przez uśredniony potencjał fenomenologiczny: {{CentrujWzór|<MATH>V(\vec{r},\alpha)=\sum_{i=1}^Av(\vec{r}_a,\vec{r}_i,\alpha)\;</MATH>|5.34}} Oddziaływanie cząstka-jądro w modelu optycznym traktujemy w analogii do oddziaływania fali świetlnej padającej na półprzezroczystą (mętną) kulę (tutaj jądro), stąd jest nazwa tego tutaj rozważanego modelu. Liczbą zespoloną tutaj jest współczynnik załamania, w której jej część rzeczywistą odpowiada rozpraszaniu cząstki na jądrze, a jej część urojona odpowiada zmianie długości fali, amplitudy lub absorpcji promieniowania na jądrze, co odpowiada definicji reakcji właściwej opisywanej w następnym module. Ten współczynnik załamania definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_s+in_a\;</MATH>|5.35}} Potencjał oddziaływanie cząstka i jądro opisuje się przy pomocy części rzeczywistej i urojonej w podobny sposób jak opisywaliśmy te części poprzez współczynnika załamania przy pomocy części rzeczywistej i urojonej, co temu pierwszemu odpowiada rozpraszaniu elastycznemu, a temu drugiemu reakcji właściwej, wtedy potencjał zespolony zapisujemy w postaci ogólnej: {{CentrujWzór|<MATH>V(\vec{r})=U(\vec{r})+iW(\vec{r})\;</MATH>|5.36}} Operator całkowitej energii oddziaływania nukleon-nukleon oddziaływania cząstek inicjującej reakcję, a oddziaływaniem nukleon-nukleon zapisujemy przy pomocy operatora opisujących strukturę wewnętrzna jądra tarczy {{Formuła|<MATH>\hat{H}_0\;</MATH>}}, a także przy pomocy operatora oddziaływania jądra atomowego z cząstką {{Formuła|<MATH>\hat{V}\;</MATH>}} i przy pomocy operatora energii kinetycznej ruchu względnego pomiędzy jądrem a cząstką, co w rezultacie możemy napisać całkowity hamiltonian opisujący rozpraszanie lub reakcję jądrową: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{T}+\hat{V}\;</MATH>|5.37}} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>\hat{H}_0\;</MATH>}} zapisujemy we współrzędnych &xi;, którego równanie własne jest pisane: {{CentrujWzór|<MaTH>\hat{H}_0\chi(\xi)=E\chi(\xi)\;</MATH>|5.38}} O wyborze funkcji {{Formuła|<MATH>U(\vec{r})\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>W(\vec{r})\;</MATH>}} decydują kryteria, które muszą być jako funkcje niezbyt skomplikowane oraz potrzebna jest do tego wiedza mówiąca coś o rozkładzie nukleonów w jądrze atomowym i o właściwościach oddziaływania nukleon-nukleon. Dla reakcji rozpraszania elastycznego nukleonu na nukleonie opisujemy potencjał oddziaływania przez równość: {{CentrujWzór|<MATH>U(r)=U_{c}(r)+U_{\tau}(r)+U_{sl}(r)+U_{kul}(r)\;</MATH>|5.39}} Jeśli wprowadzimy funkcje kształtu zwane też formfaktorami, które opisują zależność potencjału tylko od odległości oddziaływających nukleonów, wtedy funkcję {{LinkWzór|5.39}} możemy zmodyfikować na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>U(r)=U_{c}f_c(r)+U_{\tau}f_{\tau}(r)+U_{sl}f_{sl}(r)\hat{s}\hat{l}+U_{kul}(r)\;</MATH>|5.40}} Zwykle się przyjmuje, że f{{Sub|c}}(r)=f{{Sub|&tau;}}=f(r). Najlepszym przybliżeniem dla funkcji f(r) okazuje się przybliżenie Saxona-Woodsa opisujących rozkład nukleonów w jądrze dla promienia jądra zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|1.25|Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}} przy zdefiniowanym parametrze równej "a", dla której parametr rozmycia t {{LinkWzór|2.47|Najważniejsze_parametry_jądra_atomowego}} jest pomiędzy wartościami funkcji f(r) 0,1 a 0,9: {{CentrujWzór|<MATH>f(r)=\left[1+\exp\left({{r-R_0}\over{a}}\right)\right]^{-1}\;</MATH>|5.41}} Oddziaływanie spin-orbita, w której funkcja kształtu opisujemy przy pomocy funkcji Thomsona w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>f_{sl}(r)=\left(\underbrace{{{\hbar}\over{m_{\pi} c}}}_{\lambda_{\pi}}\right)^2{{1}\over{r}}{{df(r)}\over{dr}}\;</math>|5.41a}} * gdzie &lambda;{{Sub|&pi;}} jest to komptonowska długość fali mezonu &pi;. W przypadku potencjału lokalnego niezależnego od energii cząstki bombardującej zakłada się: * U{{Sub|C}}=U{{Sub|0c}}, która jest głębokością potencjału części centralnej. Dalej chcą uzależnić się od energii cząstki E zakładamy, że {{Formuła|<MATH>U_C=U_{OC}+\mu E\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} jest innym parametrem dla protonu i neutronu. * U{{Sub|sl}}=U{{Sub|0sl}} co jest to głębokość części spin-orbita. * {{Formuła|<MATH>U_{\tau}=U_{0t}{{\vec t-\vec T}\over{A}}=\pm {{1}\over{4}}U_{ot}{{N-Z}\over{A}}\;</MATH>}}, gdzie wektory {{Formuła|<MATH>\vec t\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec T\;</MATH>}} to są wektory izospinu cząstki i jądra. Wielkości U{{Sub|OC}}, U{{Sub|sl}} i U{{Sub|&tau;}} sa to parametry występujące przy funktorach, które dobiera się eksperymentalnie do wyników przeprowadzonych doświadczeń. O kształcie formfaktorów w części zespolonej potencjału {{LinkWzór|5.36}} wiemy znacznie mniej. Z doświadczenia wiadomo, że absorpcja cząstek zachodzi w części jego powierzchniowej i dlatego możemy podać formfaktor: {{CentrujWzór|<MATH>f_w(r)=sf_v(r)+(1-s)f_s(r)\;</MATH>|5.42}} gdzie f{{Sub|v}}(r) jest to formfaktror opisujące część objętościowa absorpcji cząstki, a f{{Sub|S}} jest to udział absorpcji jakieś cząstki przez część powierzchniową jądra atomowego. Przyjmuje się, że f{{Sub|v}}(r)=f(r) i {{Formuła|<MATH>f_s(r)=\exp\left(-{{r-R_{0G}}\over{a_G}}\right)\;</MATH>}}, która jest funkcją Gaussa, gdzie R{{Sub|0G}} jest to wielkość określona podobnie do {{LinkWzór|1.25|Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}}, a a{{Sub|G}} jest to parametr funkcji f{{Sub|s}}(r), lub {{Formuła|<MATH>f_s(r)\sim{{df(r)}\over{dr}}\;</MATH>}} z parametrami wcześniej omówionymi, tzn. R{{Sub|0G}} i a{{Sub|0G}}. Mając formafaktor {{LinkWzór|5.42}} możemy napisać cześć urojoną potencjału {{LinkWzór|5.36}}, którą zapisujemy w formie: {{CentrujWzór|<math>W(r)=W_0f_w(r)\;</MATH>|5.43}} Wyznaczmy potencjał oddziaływania cząstki w polu jądra atomowego dla różnych odległości od środka jądra. Potencjał kulombowski dla jednorodnie naładowanej kuli wewnątrz jądra wyprowadzimy korzystając z twierdzenia Ostrogradsiego-Gaussa w elektrostatyce, zatem do dzieła. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz jądra atomowego zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>E={{\rho{{4}\over{3}}\pi r^3}\over{4\pi\epsilon_0 r^2}}={{\rho}\over{3\epsilon_0}}r={{Ze}\over{3{{4}\over{3}}\pi R^3\epsilon_0}}r={{Ze}\over{4\pi \epsilon_0R^3}}r\;</MATH>|5.44}} Policzmy teraz potencjał pola elektrycznego zakładając, ze potencjał pola elektrycznego na powierzchni kuli &phi;(R) jest to potencjał elektryczny tak jak cały ładunek był umieszczony w środku kuli o promieniu R, zatem wewnątrz jądra atomowego, z ciągłości potencjału elektrycznego, potencjał elektryczny zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\varphi(r)}\over{dr}}=-E\Rightarrow d\varphi(r)=-{{Ze}\over{4\pi \epsilon_0R^3}}rdr\Rightarrow \varphi(R)-\varphi(r)=-{{Ze}\over{8\pi\epsilon_0 R^3}}(R^2-r^2)\Rightarrow \varphi(r)=\varphi(R)+{{Ze}\over{8\pi\epsilon_0 R^3}}(R^2-r^2)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\varphi(r)={{Ze}\over{4\pi \epsilon_0 R}}+{{Ze}\over{8\pi\epsilon_0 R^3}}(R^2-r^2)={{Ze}\over{8\pi\epsilon_0R}}\left(3-{{r^2}\over{R^2}}\right)\;</MATH>|5.45}} Wzór {{LinkWzór|5.45}} opisuje potencjał pola elektrostatycznego wewnątrz jądra atomowego, która jest kulą dla naszych przeprowadzonych rozważań. Potencjał elektrycznyna zewnątrz kuli zgodnie z twierdzeniem Ostrogradskiego-Gaussa zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(r)={{Ze}\over{4\pi\epsilon_0r}}\;</MATH>|5.46}} Wzory {{LinkWzór|5.45}} i {{LinkWzór|5.46}} opisują potencjał jadra atomowego dla całej gamy r, którego opisują potencjał pola elektrycznego. By otrzymać energię potencjalną, czyli potencjał oddziaływania cząstki, to dla cząstki o ładunku Z{{Sub|a}}e należy wspomniane wzory pomnożyć przez Z{{Sub|a}}e. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> kqnyiyz188x7kho9ucqz2m3cz2hpqw3 0 21870 558606 513562 2026-10-04T20:04:58Z Persino 2851 558606 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Reakcje jądrowe są to procesy zachodzące w wyniku oddziaływania jądrowego przy zderzeniu cząstki szybkiej "a" z jądrem tarczy X prowadzącej do zmiany kierunku ruchu lub energii stanu cząstki i jądra tarczy, lub też utworzenia nowego jądra i cząstki (cząstek b). '''Reakcją rozpraszania''' nazywamy taką reakcję, którego szybka cząstka zderza się z jądrem tarczy X, w ten sposób jądro zostaje wzbudzone, a cząstka "a" zmienia swój kierunek z inną energią kinetyczną niż poprzednio: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow X^*+a^'\;</MATH>|6.1}} '''Reakcją właściwą''' nazywamy taką reakcję, w której szybka cząstka w wyniku zderzenia z jądrem X powstaje jadro Y i cząstka b: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow Y+b\;</math>|6.2}} Jądra a i X nazywamy kanałem wejściowym, a końcowe produkty reakcji nazywamy kanałem wyjściowym, przykładem reakcji właściwej {{LinkWzór|6.2}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>{}^4_2He+{}^{14}_7N\rightarrow {}^{17}_8O+{}^1_1p\;</MATH>|6.3}} Reakcję {{LinkWzór|6.1}} i {{LinkWzór|6.2}} nazywamy reakcję, którą możemy zapisać krótkim zapisem X(a,b)Y lub (a,b), czy też (a,a'), co dla reakcji {{LinkWzór|6.3}} możemy powiedzieć {{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N({}^4_2He,p){}^{17}_8O\;</MATH>}}. Proces oddziaływania cząstki "a" z jądrem zwykle nie jest jednoznaczny, tzn. jednemu kanałowi wejściowemu może odpowiadać wiele kanałów wyjściowych. Każdej takiej reakcji jako możliwości zajścia przepisujemy przekrój czynny &sigma;{{Sub|f}}. Reakcją rozpraszania elastycznym nazywamy reakcję (a,a), w której jądro X w kanale wyjściowym nie jest wcale zbudzone, a w przypadku rozpraszania nieelastycznego, czyli (a,a'), stąd jądro X zaczyna być jądrem wzbudzonym. Reakcja dwuciałowa (a,b) jest gdy produktami reakcji są dwa produkty reakcji, reakcjami wielociałowymi, gdy produktami reakcji są więcej niż dwa produkty reakcji. == Klasyfikacja reakcji jądrowych == : '''Według energii parającej cząstki''' * reakcje niskiej energii E{{Sub|a}}&le;1MeV. * Reakcje średniej energii E{{Sub|a}} od 1 do 100MeV. * Reakcje wysokiej energii E{{Sub|a}}&ge;100MeV. W literaturze można spotkać inny poddział reakcji, tzn. poniżej i powyżej progu mezonowego, które w wyniku reakcji z jądrem mogą się tworzyć mezony &pi;. Masa spoczynkowa mezonów jest 273m{{Sub|e}}=130MeV. : '''Według rodzaju cząstki lub cząstek inicjujących daną reakcję lub cząstki stanowiącej jej produkty''' * reakcje neutronowe,np. (n,n'),(n,p),(n,&alpha;), (n,f), itp. * reakcje protonowe, np. (p,p'),(p,n),(p,&alpha;),(p,&gamma;), itp. * reakcje fotojądrowe, np. (&gamma;,n),&gamma;,p),(&gamma;,f), itp. * reakcje z ciężkimi jonami(HI), np. ({{Sup|11}}B,{{Sup|10}}B), ({{Sup|12}}C,{{Sup|13}}N),(HI,n), itp; : '''Według rodzaju reakcji''' * reakcje rozszczepieniowe: (a,f) * reakcje syntezy: X{{Sub|1}}+X{{Sub|2}}→Y+b. * reakcje wychwytu radiacyjnego: (a,&gamma;) * reakcje kruszenia(spalacji):A+X→Y{{Sub|1}}+Y{{Sub|2}}+Y{{Sub|3}}+...+b{{Sub|1}}+b{{Sub|2}}+... : '''Reakcje według schematu wewnętrznego, tzn. według mechanizmu reakcji''' * reakcja wprost (direct), są to reakcje dwuciałowe zachodzące w czasie średnim &tau;&asymp;10{{Sup|-22}} * reakcje złożone (compound), są to reakcje powolne z utworzeniem jądra pośredniego a+X→C{{Sup|*}}→Y+b+.... Jest to reakcja dwustopniowa dwuetapowa, z czasem średnim: &tau;=1{{Sup|-14}}&divide;10{{Sup|-16}}, w tej reakcji można wyróżnić dwa etapy, w którym powstaje jadro pośrednie, najczęściej wzbudzone, wtedy to jądro rozpada się na dalsze produkty reakcji. * reakcje o mechanizmie pośrednim, wtedy kiedy nie można określić jaka to reakcja. == Zasady zachowania w reakcjach jądrowych (reguły wyboru) == Są to prawa zachowania opisującego substraty i produktu reakcji, ogólne reguły wyboru są: * ładunku elektrycznego, czyli ładunek reakcji przed i po reakcji zostaje zachowany {{Formuła|<MATH>\sum_iZ_i=\sum_fZ_f\;</MATH>}}. * liczby nukleonów lub ogólniej w reakcjach, w której zostaje zachowana liczba nukleonów {{Formuła|<MATH>\sum_iA_i=\sum_fA_f\;</MATH>}}. * liczby barionowej, która jest zachowana podczas reakcji. * energii i pędu, tzn. pęd (energia) przed reakcją jest równa pędowi (energii) po reakcji. Prawo zachowania pędu jest {{Formuła|<MATH>\sum_i\vec{p}_i=\sum_f\vec{p}_f\;</MATH>}}, a energii {{Formuła|<MATH>\sum_iE_i=\sum_f E_f\;</MATH>}}. * liczby leptonów, która jest zachowana podczas reakcji. Jeśli będziemy rozpatrywać bilans energetyczny energii substratów i produktów, wtedy energia substratów jest równa energii produktów: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_im_{0i}c^2+\sum_iT_i=\sum_im_{0f}c^2+\sum_fT_f\;</MATH>|6.4}} Oznaczenie T w bilansie energetycznym {{LinkWzór|6.4}} jest to energia kinetyczna cząstek, wtedy energia wydzielana w wyniku reakcji Q (co wynika z ostatniego wzoru) piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\left(\sum_im_{0i}-\sum_{f}m_{0f}\right)c^2=\sum_fT_f-\sum_iT_i\;</MATH>|6.5}} Gdy Q>0, to taką reakcję nazywamy egzoenergetyczną, tzn. część energii spoczynkowej przechodzi w energię kinetyczną produktów. Reakcja nie ma progu, gdy zachodzi Q<0, to jest to reakcja endoenergetyczna, zachodzi kosztem energii kinetycznej substratów, ta reakcja zachodzi, gdy {{Formuła|<MATH>\sum_iT_i\geq;T_f\;</MATH>}}. Gdy Q=0 jest to reakcja rozpraszania elastycznego, dla której zachodzi {{Formuła|<MATH>\sum_iT_i=\sum_fT_f\;</MATH>}}. Dokładniejsze związki możemy określić, gdy zdefiniujemy układ odniesienia, tzn. układ laboratoryjny i układ związany z układem laboratoryjnym (CM). Załóżmy, że mamy reakcję a+X→Y+b. {{Rysunek|Zderzenie cząstek w układzie laboratoryjnym.png|6.1|Zderzenie cząstek w układzie laboratoryjnym}} W układzie laboratoryjnym w odróżnieniu od układu środka masy suma pędów w cale nie musi być równa zero, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_a=\vec{p}_b+\vec{p}_Y\;</MATH>|6.6}} bo suma pędów substratów przed reakcją jest równa sumie pędów po reakcji. Energia progu reakcji, który musi pokonać cząstka "a", by zaszła reakcja, wykorzystując definicję energii wydzielanej z reakcji, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>E_{prog}={{m_a+M_X}\over{M_X}}|Q|\;</MATH>|6.7}} {{Rysunek|Zderzenie cząstek w układzie środka masy.png|6.2|Zderzenie cząstek w układzie środka masy}} W układzie środka masy (CM) suma pędów substratów i produktów jest równa zero, tzn zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{a}+\vec{p}_X=0=\vec{p}_b+\vec{p}_Y\;</MATH>|6.8}} Energia progowa jaką musi pokonać cząstka "a", by zaszła reakcja jest równa wartości bezwzględnej energii wydzielanej (pochłanianej) w wyniku reakcji: {{CentrujWzór|<MATH>E_{prog}=|Q|\;</MATH>|6.9}} W obu układach, gdy Q>0 reakcja jest egzoenergetyczna, Q<0 reakcja endoenergetyczna, Q=0 reakcja rozpraszania sprężystego. == Reakcje bez pośredniego rozpraszania (reakcje wprost) == {{Rysunek|Rozkład kątowy w reakcji wprost (d,p) teoretycznie i doświadczalnie.png|6.3|Rozkład kątowy w reakcji wprost (d,p)|rozmiar=400px}} Reakcje wprost dzielimy na reakcje: '''Rozpraszanie elastyczne''' '''Rozpraszania nieelastyczne''' * Są to reakcje, które przebiegają według schematu X(a,a{{Sup|'}})X{{Sup|*}} kosztem energii cząstki bombardującej występuje wzbudzenie jądra tarczy w wyniku oddziaływania jądrowego. * Deekscytacji jąder tarczy towarzyszy emisja &gamma; lub EKW, pomiar widm &gamma; lub EKW pozwala wyznaczyć energię stanów wzbudzonych w tych jądrach. Zderzenie "a" z X jest procesem szybkim i jednostopniowym z udziałem jednego lub kilku zewnętrznych nuklidów. W jądrach nieparzystych występują preferowane stany jednocząstkowe, a w p-p występują wzbudzenia kolektywne, tzn. rotacje i oscylacje niskoenergetyczne. * Pomiary rozkładów kątowych dają informacje o kształcie jądra tarczy (potencjału rozpraszającego), a także informacje o spinie cząstki I, te rozkłady posiadają strukturę dyfrakcyjną. * Jeżeli energia cząstki naładowanej dodatnio E{{Sub|&alpha;}} jest mniejsza od bariery kulombowskiej jądra, to wzbudzenie jądra atomowego następuje w wyniku oddziaływania kulombowskiego. Taki proces nazywamy wzbudzeniem kulombowskim jądra. '''Reakcje transferu''' Jest to przekaz jednego lub więcej nukleonów do jądra tarczy z cząstki bombardującej. * Strippingu (zdarcia) jest to przekaz nukleonu(ów) z cząstki bombardującej do jądra tarczy, np.: : (d,n),(d,p),({{Sup|3}}He,d) -stripping jednego nukleonu : ({{Sup|3}}H,d),({{Sup|3}}H,n),({{Sup|16}}O,{{Sup|14}}N)- stripping dwóch nukleonów. '''Pick-up (przechwytu)''' jest to przekaz nukleonów z jądra tarczy do cząstki bombardującej, np. (n,d),(p,d),(d,{{Sup|3}}He), itp.. '''kuac-out (wymiany)''' dołączenie do jądra tarczy cząstki bombardującej i wyrwanie z niej innej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow Y+b\;</MATH>|6.10}} === Cechy charakterystyczne reakcji wprost === * uprzywilejowanie małych kątów wylotu cząstki w reakcji, brak symetrii względem kąta 90{{Sup|o}} (charakterystycznej dla reakcji przez jądro złożone). Dla większych kątów występuje struktura dyfrakcyjna. * rozkłady kątowe zależą od momentu pędu przekazanej jądru. * stosunkowo słaba zależność przekroju czynnego od energii cząstki bombardującej (zwykle jest funkcją rosnącą). * brak ostrych rezonansów na krzywej wzbudzenia * występowanie korelacji kątowej pomiędzy cząstką bombardującą, a fotonem &gamma;, który wylatuje ze wzbudzonego jądra tarczy. * Reakcja zachodzi w czasie t&le;10{{Sup|-22}}s jako proces jednostopniowy. * w reakcji jest zaangażowana mała liczba nukleonów dla jądra tarczy. * całkowy przekrój czynny jest zależny od kąta &theta;, która jest kątem pomiędzy cząstką bombardującą a cząstką wychodzącą z jądra tarczy, jest ona napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\theta)=S_{lj}\cdot\sigma_{lj}(\theta)\;</MATH>|6.11}} gdzie &sigma;{{Sub|lj}} jest to czynnik kinematyczny, a S{{Sub|lj}} czynnik spektroskopowy zależnej od funkcji falowej charakteryzującej jądro atomowe. a "l" i "j" jest to orbitalny i całkowity moment pędu przekazywanej jądru. Czynnik kinematyczny oznacza przekrój czynny na otrzymanie przez jądro tarczy orbitalnego momentu pędu "l" i całkowitego momentu pędu "j". == Reakcje przez jądro złożone == * W tej reakcji mamy dwie cząstki jądra pocisk, który zderza się z jądrem tarczą, wyniku czego powstaje jądro złożone, które jest wzbudzone do pewnego stanu: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow C^*\;</MATH>|6.12}} Jądro C{{Sup|*}} rozpada się na wiele sposobów. Energia wzbudzenia odpowiada stanom widma ciągłego. * energia wzbudzenia jądra rozkłada się statystycznie na wszystkie cząstki, lub na większość z nich należącej do wspomnianego jądra, co jest inaczej zwane '''wzbudzeniem kolektywnym''', jest ono napisane: {{CentrujWzór|<MATH>E_{wzb}(C)=S_a(C)+E_a^{kin}\;</MATH>|kp}} * istnieje wiele kanałów wyjściowych rozpadu jadra złożonego, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow C^*\rightarrow \begin{cases} C+\gamma\\ Y+b_f\\ F_1+F_2+\nu n \end{cases}\;</MATH>|6.13}} Pierwsza reakcja w {{LinkWzór|6.13}} jest to wychwyt radioaktywny. W przypadku drugiej reakcji cząstka b{{Sub|f}} oznacza (n,p,&alpha;), a ostatnia reakcja to reakcja rozpraszania, ale: * przekrój czynny jest iloczynem prawdopodobieństwa na utworzenie jądra wzbudzonego C{{Sup|*}} i prawdopodobieństwa rozpadu tego jądra z emisją według ściśle określonych produktów, tzn. Y{{Sub|f}}+b{{Sub|f}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(a,b_f)=\sigma(C)\cdot\lambda(b_f)\;</MATH>|6.14}} * prawdopodobieństwo utworzenia jądra złożonego, a prawdopodobieństwa rozpadu tego jądra na ściśle określone produkty są niezależne od siebie. Jądra złożone zapomina jak powstało i z jakiego kierunku nadleciał pocisk, zatem emisja cząstek b{{Sub|f}} jest izotropowa, {{Rysunek|Różniczkowy przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania.png|6.4|Różniczkowy przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania}} * rozkłady kątowe cząstek "b" wykazują symetrię według kata &theta;=90{{Sup|o}}, a także zależą od wartości spinu C{{Sup|*}}, a odstępstwo od tej zasady jest posiadanie przez jądro złożone wzbudzone wysokiej wartości momentu pędu powstałej w wyniku zderzenia z cząstką "a". Siła odśrodkowa rotacji jądra atomowego ułatwia emisję w kierunku prostopadłym do osi rotacji i posiada minimum przy kącie &theta;=90{{Sup|o}}, takie jądro wykazuje symetrię wobec tego kąta, * krzywe wzbudzenia reakcji wykazują ostre maksima, które świadczą o wychwycie przez jądro cząstki bombardującej przez jądro tarczy, gdy energia cząstki "a" E{{Sub|a}} zbliża się do energii rezonansowej określonej jako poziom wzbudzenia. Kształt krzywej rezonansowej dla przekroju czynnego &sigma;(E{{Sub|a}},E{{Sub|wzb}},&Gamma;) opisujemy rozkładem Brieita-Wignera (Lorentza) {{LinkWzór|2.54|Najważniejsze_parametry_jądra_atomowego}} Prawdopodobieństwo wychwytu jądra poza rezonansem maleje ze wzrostem (maleniem) energii cząstki bombardującej E{{Sub|a}}. Szerokość rezonansu określa poziom wzbudzenia jądra złożonego C{{Sup|*}}. Jego czas życia jest określony przez równanie {{Formuła|<MATH>\Gamma\cdot\tau=\hbar\;</MATH>}}. * przejścia C{{Sup|*}}→Y{{Sub|f}} do stanów wysokowzbudzonych jądra Y, odpowiadają szerokością energetycznym, które nawzajem się nakładają. Emisja niskoenergetycznych naładowanych cząstek maleje wraz energią cząstek emitowanych, ponieważ ich zdolność przenikania przez barierę sił kulombowską maleje, * Widmo energetyczne cząstek emitowanych zależy od energii cząstek emitowanych, a także od energii jądra wzbudzonego C{{Sup|*}}, rodzaju cząstki emitowanej b, od schematu pomiarów w jądrze atomowym. Najszybsze cząstki odpowiadają przejściu jądra ze stanu wzbudzonego C{{Sup|*}} do stanu podstawowego z widmem dyskretnym, wolniejsze do dyskretnych stanów podstawowych (liniowa część widma), bo w części niskoenergetycznej widmo jest ciągłe. Można tak powiedzieć, bo przy małych energiach poziomy w widmie dyskretne są tak gęsto poukładane, więc je można uważać za ciągłe, * czas trwania reakcji jest stosunkowo długi i wynosi 10{{Sup|-16}}s, * W reakcjach nad ciężkimi jądrami uzyskuje się stany wzbudzone jądra C{{Sup|*}} o najwyższych spinach I=100. Jeśli bombardujemy jądro ciężkimi jonami, to moment pędu unoszony do jądra jest bardzo duży (obszar wysokich energii wzbudzenia jądra), czyli poprzez cząstkę bombardującą uzyskuje się duży moment pędu C{{Sup|*}} jądra złożonego i przez to uzyskujemy duży jego spin. == Reakcje rozszczepieniowe (Fission), czyli reakcje przez jądro złożone == Reakcje rozszczepienia odkrył Fermi w 1934 roku. Jest to reakcja przez jądro złożone, których cząstka a i jądro X łączą się ze sobą i w wyniku czego powstaje jądro wzbudzone złożone C{{Sup|*}}, który rozszczepia się na kilka jąder z emisją kilku neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow C^*\rightarrow F_1+F_2+\nu n\mbox{ gdzie: }\nu=\mbox{od 1 do 3}\;</MATH>|6.15}} Przykładem reakcji rozszczepieniowej jest: {{CentrujWzór|<MATH>{}^1_0n+{}^{235}_{82}U\rightarrow {}^{236}_{92}U^*\rightarrow {}^{92}_{36}Kr+{}^{142}_{56}Ba+2{}^1_0n\;</MATH>|6.16}} Całkowita energia wzbudzenia jądra wzbudzonego C, czyli E{{Sub|wzb}} jest sumą energii wydzielanej podczas bombardowania cząstką "a" S{{Sub|a}}(C) i energii kinetyczna kinetycznej cząstki "a" minus energia bariery kulombowskiej E{{Sub|bar. kul.}} jaką cząstka "a" musi pokonać by zaszła reakcja: {{CentrujWzór|<MATH>E_{wzb}(C)=S_a(C)+\Delta E_a^{kin}-E_{par. kul.}(X,a)\;</MATH>|6.17}} Pociskiem może być dowolna cząstka o odpowiedniej energii, takiej by energia wzbudzenia jądra C była większa niż bariera na rozszczepienie. Ciepło reakcji możemy przedstawić jako różnicę energii cząstek przed i po rozczepieniu: {{CentrujWzór|<math>Q_{fc}=[M_j(C)+E_{wzb}]-\left\{[M_j(F_1)+E_{wzb}(F_1)]+[M_j(F_2)+E_{wzb}(F_2)]+\nu m_n\right\}\;</MATH>|6.18}} Masa jądra wzbudzonego jest sumą mas tarczy X i pocisku "a", oraz aby zaszła reakcja to energia wzbudzenia jądra C powinna być większa niż bariera potencjału jak powiedzieliśmy wcześniej, tzn. według drugiego wzoru poniżej, bo wtedy ma prawo zajść reakcja rozszczepieniowa wiedząc, że &Delta;W{{Sub|f}}(C) jest barierą na rozszczepienie, które muszą pokonać produkty reakcji, aby wyjść na zewnątrz, czyli aby udała się reakcja: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>M_j(C)=M_j(X)+m_a\;</MATH>|6.19}} |2={{CentrujWzór|<MATH>E^'_{wzb}(C)=E_{wzb}(C)-\Delta W_f(C)\geq 0\;</MATH>|6.20}} }} Reakcje (n,f), w których pociskami są neutronu, są zawsze egzoenergetyczne dla jader X ciężkich. Energia reakcji jest unoszona przez produkty reakcji, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>Q_f=\sum_lE^{(k)}(F_l)+\sum_{\nu}E^{(k)}_{\nu}(n)+\sum_kE_{\gamma_k}+\mbox{promieniowanie}\;</MATH>|6.22}} Promieniowanie wydzielane podczas reakcji {{LinkWzór|6.15}} może być to promieniowanie &beta;{{Sup|-}} i {{Formuła|<math>\tilde{\nu}\;</MATH>}}, która jest wydzielana w procesie rozpadu neutronu (która jest jednych z produktów rozważanej reakcji) zachodzącej według {{LinkWzór|3.41|Rozpady_(przejścia,_przemiany)_jądrowe}} i promieniowania &gamma;, która jest wydzielana w procesie deekscytacji jądra F{{Sub|i}}. Wiemy, że jeśli energia neutronów jako substratów reakcji jest E{{Sub|n}}=0,025eV, a energia wzbudzenia jądra złożonego jest {{Formuła|<MATH>{}^{235}U\;</MATH>}} w wyniku reakcji {{LinkWzór|6.20}} jest 6,5MeV, to w tym przypadku ciepło reakcji jest 200MeV, to jądra F{{Sub|i}} unoszą energię 165MeV, neutrony 5MeV, a fotony &gamma; energię 7MeV, a pozostałe produkty reakcji w wyniku promieniowania energię 23MeV, czyli ponad 80% energii przejmują fragmenty rozczepienia. === Mechanizm reakcji rozszczepienia === Cząstka bombardująca jądro wnika do jądra, i wyniku oddziaływań jądrowych tworzy się jądro złożone a+X→C o stanie energetycznym {{LinkWzór|6.17}}. W obszarze widm ciągłych powoduje to oscylacje kształtu (deformacje) jądra C, co przy energii wzbudzenia mniejszych niż bariera potencjału powoduje deekscytacje jądra z emisją kwantu &gamma; lub innej cząstki "b" różnej od cząstki bombardującej, a przy energii większej od bariery potencjału po czasie 10{{Sup|-14}}s od utworzenia jądra złożonego po podziale jądra na fragmenty, które są zwykle silnie wzbudzone, następuje silna emisja kwantów &gamma; w czasie 10{{Sup|-12}}s. Przy rozczepieniu fragmenty naszego jądra mogą mieć nadmiar neutronów, więc ulegają rozpadowi &beta;{{Sup|-}} do kolejnych jąder wzbudzonych lub jest emisja neutronów, co następuje w czasie 10{{Sup|-10}}s. === Energia neutronów pierwotnych === {{Rysunek|Kaliforn.png|6.5|Widmo neutronów emitowanych przez Cf-252|rozmiar=250px}} Widmo energii neutronów pierwotnych natychmiastowych (neutronów wychodzących z reakcji jako substraty reakcji, dzięki którego ma się prawo utworzyć jądro złożone C) jest zawsze ciągłe i średnia ich energia jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{E}_n=2\mbox{MeV}\;</MATH>}} w reakcji {{Formuła|<MATH>{}^{235}U(n,f)\;</MATH>}}. === Deformacja kropli jądrowej w procesie rozczepienia === Załóżmy, że jądro przyjmuje kształt kropli jądrowej, który jest elipsoidą obrotową wyrysowaną przy odpowiednich półosiach "a" i "b" wyrażonej przy pomocy mimośrodu elipsy i przy pomocy promienia jądra po deformacji R równych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>a=R(1+\epsilon)\;</MATH>|6.23}} |2={{CentrujWzór|<MATH>b=R(1+\epsilon)^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>|6.24}} }} Zakładamy, że przy deformacji jadra nie zmienia się jego objętość, tzn. gdy początkowo, gdy jądro przyjmowało kształŧ kuli, to jego objętość jest taka sama po deformacji, która przyjmuje wtedy wygląd elipsoidy obrotowej: {{CentrujWzór|<MATH>V_{kuli}(Z,A)\equiv V_{elipsoidy}(Z,A)\Rightarrow{{4\pi R^3}\over{3}}\equiv 4\pi ab^2/3\;</MATH>|6.25}} Pole powierzchni elipsoidy obrotowej można wyznaczyć przy pomocy powierzchni kuli o promieniu R i mimośrodu elipsoidy obrotowej: {{CentrujWzór|<MATH>S_{el.obrot}(\epsilon)=4\pi R^2\left(1+{{2}\over{5}}\epsilon^2+...\right)\;</MATH>|6.26}} Energia powierzchniowa elipsoidy możemy napisać przy pomocy powierzchni {{LinkWzór|6.26}} dla energii powierzchniowej elipsoidy obrotowej w zależności od energii powierzchniowej kuli: {{CentrujWzór|<MATH>W_{pow}(A,Z,\epsilon)=W_{pow}(A,Z)_{kuli}\left(1+{{2}\over{5}}\epsilon^2+...\right)\;</MATH>|6.26a}} Objętość zdeformowanego jądra możemy przedstawić podobnie jak powierzchnia zdeformowanego jądra, zatem energia kulombowska elipsoidy obrotowej (ta energia jest energia objętościową) możemy napisać w zależności od energii kulombowskiej kuli, przy pomocy mimośrodu elipsoidy obrotowej jądra zdeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>W_{cul}(A,Z,\epsilon)=\underbrace{W_{cul}(A,Z)_{kuli}}_{a_C{{Z^2}\over{A^{{{1}\over{3}}}}}}\left(1-{{1}\over{5}}\epsilon^2+..\right)\;</MATH>|6.27}} Całkowita energia jądra zdeformowanego jest sumą jej energii powierzchniowej W{{Sub|swob}}(A,Z,&epsilon;) i energii objętościowej W{{Sub|cul}}(A,Z,&epsilon;): {{CentrujWzór|<MATH>W(A,Z,\epsilon)=W_{cul}(A,Z,\epsilon)+W_{pow}(A,Z,\epsilon)=\left(W_{pow}(A,Z)+W_{cul}\right)_{kuli}+\epsilon^2{{2W_{pow}(A,Z)_{kuli}-W_{cul}(A,Z)_{kuli}}\over{5}}\;</MATH>|6.28}} {{Rysunek|The energy of the atomic nucleus (elispoidy rotation), depending on its eccentricity.png|6.6|Energia jądra w zależności od mimośródu jądra atomowego jako elipsoidy obrotowej|rozmiar=300px}} Jeśli przedstawimy całą energię jądra zdeformowanego przy pomocy energii stanu wzbudzonego przy przejściu jądra od kształtu kuli do kształtu elipsoidy obrotowej, którą przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>W(A,Z,\epsilon)=W(A,Z,\epsilon=0)+\Delta W_f(A,Z,\epsilon)\;</MATH>|6.29}} * gdzie bariera potencjału jądra zdeformowanego przedstawiamy w zależności od jego energii powierzchniowej i objętościowej, gdy by była kulą i od mimośrodu elipsoidy obrotowej, przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W_f(A,Z,\epsilon)=\epsilon^2{{2W_{pow}(A,Z)_{kuli}-W_{cul}(A,Z)_{kuli}}\over{5}}\;</MATH>|6.30}} ==== Bariera energetyczna równa wartości &Delta;W{{Sub|f}} większej od zera ==== {{Rysunek|Przejście tunelowe z barierą energetyczną.png|6.7|Przejście tunelowe z barierą energetyczną}} Rozważmy teraz przypadek &Delta;W{{Sub|f}}>0 {{LinkRysunek|6.6}}, wtedy jądro jest stabilne ze względu na oscylacje kształtu. Dla zrealizowania rozczepienia należy dostarczyć z zewnątrz energie E{{Sub|wzb}}>&Delta;W{{Sub|f}}. Rozszczepienie spontaniczne może być zrealizowane w wyniku przejść tunelowych i jego prawdopodobieństwo silnie zależy od Z{{Sup|2}}/A. Podamy teraz tabelkę dla poszczególnych jąder złożonych C{{Sup|*}} stosunek Z{{Sup|2}}/A i jego wysokość bariery &Delta;W{{Sub|f}}[MeV], a także energie separacji (wiązania) neutronu dla tych jąder: {{Tabelka|opcje=width=570px|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Jądro C{{Sup|*}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Z{{Sup|2}}/A}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|&Delta;W{{Sub|f}}[MeV]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|S{{Sub|n}}[MeV]}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{233}_{90}Th\;</MATH>}}}}<!-- -->{{komórka|34,8}}<!-- -->{{Komórka|6,5}}<!-- -->{{Komórka|5,0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{236}_{92}U\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|35,9}}<!-- -->{{Komórka|5,8}}<!-- -->{{Komórka|6,5}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{239}_{92}U\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|35,5}}<!-- -->{{Komórka|6,3}}<!-- -->{{Komórka|4,8}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{237}_{93}Np\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|36,5}}<!-- -->{{Komórka|5,6}}<!-- -->{{Komórka|6,7}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{240}_{94}Pu\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|36,8}}<!-- -->{{Komórka|4,8}}<!-- -->{{Komórka|6,5}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{92}Pb\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|32,3}}<!-- -->{{Komórka|35}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{197}_{79}Au\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|31,7}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}<!-- -->}} Te jądra po przechwyceniu neutronu dla którego zachodzi S{{Sub|n}}>&Delta;W{{Sub|f}} następuje potem rozszczepienie. Energie wzbudzenia jadra atomowego dla przypadku Z{{Sup|2}}/A<49; nazywamy sumę energii separacji neutronu jądra złożonego "C" i energii kinetycznej neutronu przez zderzeniem z jądrem tarczą, wtedy czas połowicznego rozpadu {{Formuła|<MATH>T_{1/2}=6\cdot 10^{15}lat\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>E_{wzb}(C)=S_n(C)+\Delta E_n^{kin}\;</MATH>|6.31}} ==== Bariera energetyczna równa wartości &Delta;W{{Sub|f}} nie większej niż zero ==== {{Rysunek|Energia jądra bez bariery energetycznej w rozczepieniu.png|6.8|Energia jądra bez bariery energetycznej}} Układ jest niestabilny ze względu na deformacje, ulega natychmiastowej fragmentacji, wtedy W{{Sub|cul}}(&epsilon;=0)&ge;2W{{Sub|pow}}(&epsilon;=0). Warunek ten zachodzi dla {{Formuła|<MATH>{{Z^2}\over{A}}\ge 49\;</MATH>}}, tzn dla jąder, dla których zachodzi Z&ge;120, tzn. dla jąder ciężkich o liczbie neutronów w zależności od liczby protonów we jądrze N=1,5Z. Dla tego przypadku czas połowicznego rozpadu wynosi {{Formuła|<MATH>T_{1/2}(sf)\simeq 10^{-22}s\;</MATH>}}. Te jądra są niestabilne ze względu na natychmiastowe rozszczepienie === Masy fragmentów rozczepienia jądra C* === Widmo mas fragmentów reakcji rozczepienia zależy od energii wzbudzenia jądra złożonego oraz od jego struktury powłokowej. Dla jąder ciężkich, tzn. dla liczb masowych mieszczących się w przedziale 230&divide;240 przy małej energii wzbudzenia rozszczepienie jest asymetryczne. Wyraźne dwa maksima występują przy A&asymp;95 i A&asymp;140;, wtedy stosunek liczb masowych tych dwóch maksimów występuje, gdy spełniony jest stosunek A{{Sub|1}}/A{{Sub|2}}&asymp;2/3. Asymetria ta maleje przy rosnącej energii wzbudzenia i rozczepienia, wtedy fragmentacja jąder przechodzi w widmo symetryczne, tzn. dla której zachodzi warunek A{{Sub|1}}&asymp;A{{Sub|2}}&asymp;A/2. Dla tych liczb masowych logarytm przekroju całkowego na rozszczepienie jest napisany w zależności od liczby masowej dla różnych energii wzbudzenia E{{Sub|wzb}} jądra złożonego C: {{Rysunek|Rozszczepienie na fragmenty jądra początkowego atomowego (rozszczepienie symetryczne i asymetryczne).jpeg|6.9|Rozszczepienie na fragmenty jądra atomowego (rozszczepienie symetryczne i asymetryczne)|rozmiar=700px|pozycja=center}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> s14adb5v0l57ts29q63cz3cla7seumn 0 21871 558607 513569 2026-10-04T20:08:50Z Persino 2851 558607 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zapoznamy się tutaj z reakcją łańcuchową, warunkami na rozszczepienie łańcuchowe, reakcjami syntezy i termosyntezy, bombą rozszczepieniową, bombą termojądrową. == Łańcuchowe reakcje rozszczepienia == Proces zapoczątkowany przez neutrony pierwotne jest źródłem neutronów wtórnych, tzn. natychmiastowych (wysyłanych od razu po fragmentacji jądra C i wtórnych powstałych przez wysyłanie neutronów przez produkty reakcji, te neutrony mogą wywoływać reakcje rozszczepienia dalszych jąder prowadzących do reakcji łańcuchowych. Warunkiem aby zaszła reakcja łańcuchowa w {{LinkWzór|6.13|Reakcje_jądrowe}} jest by &nu;>1, co jest spełnione dla jąder ciężkich, dla energii neutronów termicznych tzn. dla {{Sup|233}}U, to &nu;=2,58(6), dla {{Sup|235}}U, to &nu;=2,47(3), dla {{Sup|239}}Pu, to &nu;=3,05(8), które zachodzą przy energii progowej E{{Sub|prog}}&lt;S{{Sub|N}}. &nu; rośnie ze wzrostem E{{Sub|n}} neutronów pierwotnych, tzn. dla {{Sup|239}}Pu, gdy E{{Sub|n}}=14MeV, to &nu;=5. '''Oddziaływanie neutronu z jądrem atomowym może prowadzić do:''' * rozpraszania elastycznego prowadzi do obniżenia energii kinetycznej i zmiany kierunku rozpraszania n, która jest bardziej efektywna dla jąder lekkich H,D,{{Sup|12}}C, itp., zapisz tego zjawiska jest: {{CentrujWzór|<math>n+X\rightarrow X+n\;</MATH>|7.1}} * rozpraszanie nieelastyczne prowadzi do obniżenia energii neutronu i wzbudzenia jądra X{{Sup|*}}, co zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>n+X\rightarrow X^*+n^'\;</MATH>|7.2}} {{Rysunek|Zależność od energii neutronów przekroju czynnego kadmu i indu na wychwyt neutronów.jpeg|7.1|Zależność od energii neutronów przekroju czynnego kadmu i indu na pochłanianie neutronów|rozmiar=400px}} * wychwyt radiacyjny prowadzi do straty neutronu, w którym jądro atomowe X zamienia się wzbudzone jądro C, który w wyniku deekscytacji jądra wysyła kwant &gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>n+{}^AX\rightarrow {}^{A+1}C^*\rightarrow C+\gamma\;</math>|7.3}} Wychwyt neutronu przez jądro ma charakter rezonansowy, tzn. to jest najbardziej prawdopodobne dla energii neutronu, taki że spełnia związek: {{CentrujWzór|<MATH>E_n^{rez}+S_n(C)=E_{wzb}(C)\;</MATH>|7.4}} Dla energii neutronu {{Formuła|<MATH>E_n<E_n^{rez}\;</MATH>}} przekrój czynny na wychwyt neutronu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{wych}\sim{{1}\over{\sqrt{E}}}\;</MATH>|7.5}} Energie rezonansowe zwykle mieszczą się w przedziale 0,1eV do 10keV, co jest spełnione dla neutronów powolnych. Dla jąder {{Sup|113}}Cd 12,3% reakcji zachodzi przy wychwycie rezonansowym przy rezonansowej energii neutronów E{{Sub|rez}}&asymp;0,176eV, wtedy przekrój czynny na wychwyt neutronu według rysunku {{LinkRysunek|7.1}} jest &sigma;{{Sub|wych}}=6&sdot;10{{Sup|2}}b, a przy energii neutronów E{{Sub|n}}<E{{Sub|rez}} przekrój czynny na wychwyt neutronu jest &sigma;{{Sub|wych}}=3&sdot;10{{Sup|3}}b. Jądra {{Sup|113}}Cd mają bardzo wysoką barierę na rozszczepienie. Wychwyt neutronów termicznych (jądra o energii 0,025MeV w warunkach temperatury pokojowej) przez te jądra prowadzi do (n,n{{Sup|'}}), i do (n,&gamma;), ale nie ma reakcji na rozszczepienie (n,f). Bardzo dużą wartość przekroju czynnego &sigma;{{Sub|wych}} mają jądra {{Sup|135}}Xe wynoszącą na neutronów termicznych &sigma;{{Sub|wych}}=3,5&sdot;10{{Sup|6}}b. Jądra {{Sup|135}}Xe powstają w wyniku reakcji (n,f) na jądrach {{Sup|235}}U. Powstawanie tych jąder wyniku reakcji rozszczepienia powoduje tzw. zatrucie rezonansowe reakcji. Dla jąder uranu naturalnego (99,38%{{Sup|238}}U ({{Formuła|<MATH>T_{1/2}\simeq 7,0\cdot 10^8lat\;</math>}})+0,72%{{Sup|235}}U ({{Formuła|<MATH>T_{1/2}=4,5\cdot 10^9 lat\;</MATH>}})) zachodzące reakcje (n,&gamma;) i (n,f) mają układ rezonansów bardzo skomplikowany. Dla jądra {{Sup|235}}U przechwyt neutronu jest możliwy, bo energia separacji neutronu w jądrze {{Sup|236}}U jest większa niż jego bariera potencjału, dlatego może w nim zachodzić rozszczepienie na lżejsze jądra. Przekrój czynny na rozszczepienie na tym jądrze bardzo szybko rośnie wraz ze zmniejszaniem się energii neutronów, dla E{{Sub|n}}&ge;1 keV, omawiany przekrój czynny jest mniejszy niż 10b, a natomiast dla energii E{{Sub|n}}=0,025eV jest równy 580b. By zwiększyć przekrój czynny reakcji na rozszczepienie stosuje się moderator, który nie może być on np. w stanie gazowym, by miał dostateczną dużą gęstość, a jego przekrój czynny na pochłanianie neutronów był możliwie mały. Zadaniem modelatora jest zmniejszanie prędkości neutronów szybkich, najlepiej, by modelator składał się z atomów możliwie lekkich, wtedy straty energii neutronów na modelatorze były możliwie duże. W reaktorach jądrowych stosuje się D{{Sub|2}}0 i grafit. Reakcje (n,f) na jądrze {{Sup|238}}U zachodzą, gdy energia neutronów jest E{{Sub|n}}&ge;1,5MeV, czyli w tym przypadku mamy do czynienia z neutronami szybkimi. W przedziale energii neutronów wynoszącej od 1,5 do 20MeV przekrój czynny na rozszczepienie jest &sigma;{{Sub|f}}<1,5b. A przy tych energiach procentowo ilość reakcji na rozszczepienie względem rozpraszania nieelastycznego neutronu jest równa stosunkowi: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{\gamma}+\sigma_f}}\simeq 0,25\;</MATH>|7.6}} W wyniku rozpraszania elastycznego i nieelastycznego neutron bardzo szybko traci energię przechodząc poniżej progu 1,5MeV, zatem nie możliwe jest zrealizowanie łańcuchowej reakcji w wyniku rozszczepienia na jądrze {{Sup|238}}U. === Warunki na zajście reakcji łańcuchowej === Nie każdy neutron wytworzony w wyniku reakcji rozszczepienia prowadzi do reakcji rozszczepienia, więc warunek &nu;>0 nie jest wystarczający. Stosunek liczby neutronów dla dowolnej generacji do liczby neutronów aby następował ich wychwyt do reakcji rozszczepienia jest zwany stosunkiem mnożenia neutronów lub stosunkiem powielania neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>k={{N_f}\over{N_{wychw}}}=\nu{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\;</MATH>|7.7}} Przekrój czynny na wychwyt neutronów jest sumą na przekroje czynne na rozszczepienie i produkcji promieniowania &gamma; poprzez wychwyt neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{wychw}=\sigma_f+\sigma_{\gamma}\;</MATH>|7.8}} Jeśli czas średni życia jednej generacji wynosi &tau;, to przyrost neutronów w jednostce czasu dt w zależności od liczby neutronów i w zależności od zmiennej k przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{dN}\over{dt}}={{N(k-1)}\over{\tau}}\Rightarrow N(t)=N_0e^{{{k-1}\over{\tau}}t}\;</MATH>|7.9}} Liczba neutronów reakcji łańcuchowych w kolejnych generacjach jest uzależniona od liczby k, który może przyjmować następujące wartości: * k<1 - reakcja łańcuchowa nie rozwija się, jest to stan podkrytyczny. * k=1 - reakcja łańcuchowa przebiega ze stałą mocą, jest to stan krytyczny. * k>1 - reakcja łańcuchową rozwija się, może doprowadzić do wybuchu, jest to stan nadkrytyczny. Na przykład dla k=1,05, gdy &tau;&asymp;10{{Sup|-3}}s po jednej sekundzie liczba neutronów wzrasta 10{{Sup|22}} razy. Sytuacja k>1 ma miejsce w bombie atomowej. Jeśli mamy masę krytyczną, wtedy jest to stan krytyczny k=1. Napiszmy stałą k {{LinkWzór|7.7}} zależną od neutronów powstających N{{Sub|powst}} i uciekających N{{Sub|uc}}, bo neutrony mogą uciekać z objętości zajmowanej przez reakcję łańcuchową, wtedy: {{CentrujWzór|<math>k=k_{\infty}{{N_{powst}-N_{uc}}\over{N_{powst}}}=k_{\infty}\left(1-{{N_{uc}}\over{N_{powst}}}\right)\;</MATH>|7.10}} Stała k{{Sub|&infin;}} jest zależna od definicji stałej k {{LinkWzór|7.7}} i stosunek liczby neutronów uciekających do powstających są równe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{\infty}=\nu{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\;</MATH>|7.11}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{N_{uc}}\over{N_{powst}}}\sim{{S}\over{V}}\;</MATH>|7.12}} }} Widzimy, że k{{Sub|&infin;}} jest zależna od stosunku przekroju czynnego na rozszczepienie &sigma;{{Sub|f}} i przekroju czynnego na wychwyt neutronów i jest zależna od liczby neutronów &nu; powstających w wyniku reakcji łańcuchowej. Czym większy jest stosunek liczby neutronów uciekających do neutronów powstających, to im większy jest stosunek powierzchni czynnej masy (podkrytycznej, krytycznej lub nadkrytycznej) do objętości tejże masy, to czym mniejsza jest liczba "k". W przypadku czystego {{Sup|238}}U mamy k{{Sub|&infin;}}<1, bo gdyż {{Formuła|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\simeq 0,25\;</MATH>}} oraz &nu;&asymp;2,5, więc dla tego przypadku nie można zrealizować masy krytycznej. Dla {{Sup|235}}U dla neutronów termicznych mamy {{Formuła|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\simeq{{580b}\over{690b}}\simeq 0,854\;</MATH>}} i &nu;&asymp;2,5, więc {{LinkWzór|7.11}} k{{Sub|&infin;}}>1. Podobnie można uzyskać k{{Sub|&infin;}}&ge;2 dla {{Sup|233}}U i dla {{Sup|239}}Pu. Masa krytyczna zależy od {{Formuła|<MATH>{{S}\over{V}}\;</MATH>}} i od reflektora neutronów (jest to warstwa materiału o właściwościach odbijających uciekających neutronów z powrotem do rdzenia reaktora). Stan krytyczny można uzyskać na uranie naturalnym stosując moderator D{{Sub|2}}0 w reaktorach jądrowych. W reaktorach jądrowych stosuje się paliwo wzbogacone w {{Sup|235}}U ({{Sup|233}}U lub {{Sup|239}}Pu). w bombach jądrowych najczęściej stosuje się czysty {{Sup|235}}U lub {{Sup|239}}Pu dla zmniejszenia jego rozmiarów. == Reaktory jądrowe == {{Rysunek|Wwer-1000-scheme.png|7.2|Schemat rosyjskiego reaktora typu WWER-1000. 1 - pręty sterujące; 2 - osłona reaktora; 3 - obudowa reaktora; 4 - wlot i wylot wody; 5 - powłoka; 6 - obszar aktywny reaktora; 7 - pręty paliwowe}} {{Rysunek|Nuclear power plant-pressurized water reactor-PWR.png|7.3|Schemat elektrowni z reaktorem wodnym ciśnieniowym. 1. Blok reaktora 2. Komin chłodzący 3. Reaktor 4. Pręty kontrolne 5. Zbiornik wyrównawczy ciśnienia 6. Generator pary 7. Zbiornik paliwa 8. Turbina 9. Prądnica 10. Transformator 11. Skraplacz 12. Stan gazowy 13. Stan ciekły 14. Powietrze 15. Wilgotne powietrze 16. Rzeka 17. Układ chłodzenia 18. I obieg 19. II obieg 20. Para wodna 21. Pompa}} {{Rysunek|PressurizedWaterReactor.gif|7.4}} {{Rysunek|Crocus-p1020491.jpg|7.5|Rdzeń reaktora jądrowego}} Urządzenia, w których przeprowadza się ze stałą prędkością reakcje rozszczepienia jądrowego. Reakcje rozszczepienia mają zwykle przebieg lawinowy, tzn. jedna reakcja może zapoczątkować kilka następnych reakcji. W celu kontroli ile reakcji zapoczątkować ma reakcja łańcuchowa wprowadza się substancje pochłaniające neutrony, są to przede wszystkim bar i kadm. Substancje te są umieszczone w prętach regulacyjnych. Modelator wprowadza się w celu zmniejszania prędkości neutronów w wynika zderzenia neutronów z cząstkami modelatora. '''Reaktory dzieli się ze względu na szybkość neutronów:''' * neutrony termiczne, których modelatorem jest H{{Sub|2}}, D{{Sub|2}}O i grafit, * neutrony szybkie a reaktory o nie oparte są reaktorami powielającymi, paliwem jest {{Sup|238}}U lub {{Sup|232}}Th wzbogacony o {{Sup|235}}U, {{Sup|233}}U lub{{Sup|239}}Pu, reaktory o nie oparte są bez modelatora. Reakcje oparte na uranie {{Sup|238}}U są: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{238}U(n,\gamma)\rightarrow {}^{239}U\xrightarrow{\beta^-}{}^{239}Np\xrightarrow{\beta^-}{}^{239}Pu(f,n)\;</math>|7.13|Obramuj}} Reakcje oparte na torze {{Sup|232}}Th są: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{232}Th(n,\gamma)\rightarrow{}^{233}Th\xrightarrow{\beta^-}{}^{233}Pa\xrightarrow{\beta^-}{}^{233}U(f,n)\;</MATH>|7.14|Obramuj}} Energia uzyskana z 1g {{Sup|239}}U jest równa energii uzyskanej z 2,7 t {{Sup|12}}C. '''Podział według rodzaju reakcji jądrowej''', które dzielimy na: * rozszczepienie jądra atomowego-wszystkie reaktory w tym wszystkie komercyjne są oparte na rozszczepieniu reakcji jądrowych, której paliwem jest uran, ale trwają prace nad wykorzystaniem toru, * Kontrolowana synteza termojądrowa jest wykorzystana w reaktorach wykorzystujących termosyntezę jądrową, którego paliwem jest najczęściej wodór. Jak dotąd ilość energii włożonej jest większa niż energia uzyskana z termosyntezy, * Rozpad promieniotwórczy. '''Podział według chłodziwa:''' * reaktory wodne i ciśnieniowe tzw. PWR i WWER, której chłodziwem i modelatorem jest zwykła woda. która jest pod wysokim ciśnieniem tak by woda nieodparowywana podczas normalnej pracy reaktora, * reaktory wodne, wrzące (BWR), której chłodziwem i modelatorem jest zwykła wrząca woda: ** wyjątkowymi reaktorami wodnymi, wrzącymi są reaktory RBMK (między innymi w Czarnobylu tego typu reaktory zostały użyte w Czarnobylu oraz na terenie byłego ZSRR w innych reaktorach), wodą wrzącą w kanałach paliwowych są chłodzone, a moderowanie reaktorów grafitem. Jest uznawany za jeden z najniebezpieczniejszych ten rodzaj reaktora (elektrownia w Czarnobylu posiadała cztery reaktory typu RBMK), * reaktory wodne i basenowe, gdzie pręty paliwowe są zanurzone w wodzie, która jest modelatorem, a zarazem chłodziwem. Warstwa wody znajdująca się na reaktorem powinna mieć odpowiednią grubość by ekranować promieniowanie radiacyjne, by personel mógł pracować nad reaktorem, * reaktory gazowe (GCR, AGR, HTGR), której chłodziwem jest zwykły gaz, tzn. dwutlenek węgla lub hel, * reaktory prędkie (LMFR na szybkich neutronach) chłodziwem są stopione metale, tzn. sód lub ołów, pozbawionej modelatora, * reaktory solne (MSR), której chłodziwem są sole w stanie ciekłym, często fluoru. '''Podział według generacji:''' * Pierwszej generacji - prototypowe pierwsze reaktory jądrowe, * Drugiej generacji - pierwsze reaktory w celach przemysłowych, * Trzeciej generacji - reaktory nowszych konstrukcji reaktorów przemysłowych, * Czwartej generacji - najnowsze, ale w fazie projektów. '''Podział według przeznaczenia:''' energetyczne, * napędowe (głównie użyte do okrętów podwodnych i innych dużych okrętów nawodnych), * militarne (do broni jądrowej wytwarzanej do tego celu materiał rozszczepialny), * badawcze. {{Center| '''Podstawowe typy reaktorów energetycznych''' {{Tabelka|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Grupa}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Typ reaktora}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Chłodziwo|Chłodziwo]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|rodzaj}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Moderator|Moderator]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Paliwo jądrowe|Paliwo jądrowe]]}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|Grafitowo - gazowe [[w:GCR (reaktor jądrowy)|GCR]]}}<!-- -->{{Komórka|AGR}}<!-- -->{{Komórka|[[w:Dwutlenek węgla|CO{{Sub|2}}]], [[w:gaz|gaz]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | [[w:grafit|grafit]]}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| [[w:Magnox|Magnox]]}}<!-- -->{{Komórka| gaz, CO{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|U Naturalny}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| HTR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:He|He]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}}, UC{{Sub|2}}, ThO{{Sub|2}}, ... ({{Sup|235}}U, {{Sup|233}}U, Pu)}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Ciężkowodne}}<!-- -->{{Komórka| PHWR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:ciężka woda|ciężka woda]]}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->{{Komórka| ciężka woda}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} naturalny lub wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | Lekkowodne LWR}}<!-- -->{{Komórka| BWR}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | UO{{Sub|2}} wzbogacony lub UO{{Sub|2}} wzbogacony i MOX}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| PWR}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| WWER}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | Wodno - grafitowe}}<!-- -->{{Komórka| [[w:RBMK|RBMK]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | grafit}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|GLWR}}<!-- -->{{Komórka|ciśnieniowy}}<!-- -->{{Komórka| U naturalny lub wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Lekko - ciężkowodne}}<!-- -->{{Komórka| HWLWR}}<!-- -->{{Komórka| lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka| ciężka woda}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony - PuO{{Sub|2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Prędkie}}<!-- -->{{Komórka| FBR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:sód|sód]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony - PuO{{Sub|2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|styl=text-align:left|{{DivLinia}} * GCR - Gas Cooled Reactor * LWR - Light Water Reactor * AGR - Advanced Gas-cooled Reactor * Magnox - nazwa pochodzi od stopu magnezowego koszulek paliwowych * HTR - High Temperature (Gas-cooled) Reactor * VHTR - Very High Temperature Reactor * PHWR - Pressurized Heavy Water Reactor * BWR - Boiling Water Reactor (ABWR - Advanced Boiling Water Reactor) * PWR - Pressurized Water Reactor * WWER - Wodno Wodianoj Energeticzeskij Reaktor * RBMK - Reaktor Bolszoj Moszcznosti Kanalnyj * GLWR - Graphite Light Water Reactor * HWLWR - Heavy Water - Light Water Reactor * FBR - Fast Breeder Reactor<!-- -->}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} {{Rysunek|Pulstar2.jpg|7.6|Reaktor badawczy PULSAR, o mocy 1MW}} === Wodny reaktor ciśnieniowy === Reaktor wodny ciśnieniowy {{LinkRysunek|7.2}} jest inaczej zwany PWR od ang. Pressurized Water Reactor. Jest to reaktor jądrowy w którym modelatorem (zmniejszającej prędkość neutronów) jest zwykła lekka woda pod zastosowanym ciśnieniem 15MPa. Woda spełnia też rolę czynnika chłodzącego reaktor, który jest chłodziwem rdzenia reaktora. Produkowana wodę gorącą jest przez reaktor PWR , która później idzie do wytwornicy pary (WP), która oddaje wodzie ciepło pod niższym ciśnieniem, która zamienia się w parę wodną o temperaturę 275{{Sup|o}}C i o ciśnieniu 6MPa. Dwa czynniki robocze stosuje się w tym reaktorze, która zmniejsza ryzyko wycieku do otoczenia substancji radioaktywnych. Regulowana jest moc reaktora poprzez zmianę stężenia boru w postaci kwasu borowego w wodzie w obiegu pierwotnym. Stosowane podczas rozruchu reaktora i jego wyłączania są pręty grafitowe regulacyjne. Bardzo bezpiecznymi konstrukcjami są reaktory PWR, odnotowano tylko jeden przypadek jego awarii na sztucznej wyspie Three Mile Island. Zmniejszyła wyciek do otoczenia substancji radioaktywnych zastosowana obudowa, której reaktor był firmy Babcock & Wilcox. === Реактор Большой Мощности Канальный (Reaktor Bolszoj Moszcznosti Kanalnyj, Reaktor Kanałowy Wielkiej Mocy) (RBMK) === {{Rysunek|RBMK reactor schematic pl.svg|7.7|Schemat reaktora RBMK}} {{Rysunek|RBMK German.PNG|7.9|Powiększenie struktur reaktora}} {{Rysunek|RBMK reactor from Ignalina ArM.jpg|7.10|Powierzchnia reaktora w Ignalinie pozbawiona głowic elementów paliwowych}} Reaktor w którym modelatorem jest grafit, chłodziwem jest wrząca woda. Użycie modelatora grafitowego teoretycznie umożliwia użycie naturalnego uranu. Jest to jedna z najbardziej ekonomicznych konstrukcja reaktora, ale bardziej podatny na różnego rodzaju awarie, co było główną przyczyną awarii reaktora w Czarnobylu. {{Tabelka|klasa=wikitable|styl=font-size:85%|<!-- -->{{Tytuł|Parametry pracujących i projektowanych reaktorów typu RBMK}}<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Parametr}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-1000}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-1500}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-2000}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Moc cieplna}}<!-- -->{{Komórka|3200 MW}}<!-- -->{{Komórka|4800 MW}}<!-- -->{{Komórka|5400 MW}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Moc elektryczna}}<!-- -->{{Komórka|1000 MW}}<!-- -->{{Komórka|1500 MW}}<!-- -->{{Komórka|2000 MW}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Sprawność bloku}}<!-- -->{{Komórka|31,3%}}<!-- -->{{Komórka|31,3%}}<!-- -->{{Komórka|37%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Temperatura pary przed turbiną}}<!-- -->{{Komórka|280 °C}}<!-- -->{{Komórka|280 °C}}<!-- -->{{Komórka|450 °C}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Masa uranu w rdzeniu}}<!-- -->{{Komórka|192 t}}<!-- -->{{Komórka|189 t}}<!-- -->{{Komórka|226 t}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Kanałów odparowujących}}<!-- -->{{Komórka|1693}}<!-- -->{{Komórka|1661}}<!-- -->{{Komórka|1744}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Kanałów przegrzewających}}<!-- -->{{Komórka|styl=text-align:center|—}}<!-- -->{{Komórka|styl=text-align:center|—}}<!-- -->{{Komórka|872}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Wzbogacenie uranu}}<!-- -->{{Komórka|1,8%}}<!-- -->{{Komórka|1,8%}}<!-- -->{{Komórka|1,8-2,2%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rdzeń reaktora nie jest zamknięty w zbiorniku ciśnieniowym, ciśnienie panuje jedynie w rurach w których znajdują się pręty paliwowe i przepływa woda chłodząca. W betonowej studni jest umieszczony reaktor o wymiarach na 21,6 na 25,5 m. To 1661 sześciennych bloków grafitowych o krawędzi równej 250 mm stanowi rdzeń reaktora, gdzie kanałach występują pionowe otwory paliwowe. W celu chłodzenia, około 5% energii wydziela się w blokach grafitowych, i zapobieżenia zapłonu rozgrzanego grafitu przestrzeń pomiędzy blokami grafitowymi a kanałami paliwowymi wypełniono mieszaniną helu i azotu. Rdzeń reaktora jest otoczony warstwą grafitu o grubości 500-800 mm, która spełnia rolę pierwszej bariery ochronnej i reflektora neutronów. Reaktor jest otoczony lekką wodą o grubości 1,2 metra i dwumetrową ściana betonową. Z góry i z dołu reaktora jest on otoczony płytami stalowymi o grubości 200-250 mm. Kanały paliwowe stanowiące rury o średnicy 88 mm przechodzą przez rury chłodzące są wykonane ze stali nierdzewnej a w części głównej są wykonane ze stopu niobu i cyrkonu. Chłodzący indywidualnie wrzącą wodą jest każdy kanał o temperaturze wody lekkiej równej 290{{Sup|o}}C. Zestawy paliwowe o wysokości 3650 mm po 18 prętów każdy jest wewnątrz zestawu kanału paliwowego. Rurki (koszulki) cyrkonowo-niobowa o średnicy 13,6 mm i grubości 0,9 mm stanowią pojedyncze pręty paliwowe, pastylkami paliwowymi zapełniona o grubości 15 mm z dwutlenku uranu, minimalnie wzbogaconego do 1,8% uranem-235. Całkowita masa paliwa paliwa w reaktorze wynosi 190 t. Czas używania jednego pręta w reaktorze wynosi około 3 lata, a ich zmiana na nowe pręty może przebiegać podczas normalnej pracy reaktora. Ciepło odbierają z reaktora dwa jednoobiegowe układem chłodzenia. Woda pod ciśnieniem w kanałach paliwowych odbiera większość ciepła wydzielonego w trakcie reakcji rozszczepienia. Para wodna po opuszczeniu reaktora zawiera kropelki wody, w separatorach pary następuje oddzielenie wody z mieszaniny parowo-wodnej. Para o temperaturze 284 °C i ciśnieniu 6,5 MPa jest uzyskana w ilości średnio 5780 t na godzinę, która jest doprowadzana do dwóch turbogeneratorów o mocy 500 MW każdy z tych urządzeń. Po opuszczeniu turbogeneratora para jest skraplana w kondensatorze i kierowana do reaktora. Sprawność elektrowni jądrowej wynosi 31 %. Układ awaryjnego chłodzenia reaktora jest wyposażony w rdzeń, uruchamiany jeśli zostaje poważnie zaburzony obieg chłodziwa. W wieloblokowych elektrowniach, po 2-6 bloków pracują sobie reaktory. Zbudowano także udoskonalony reaktor jądrowy RBMK-1500, o mocy zwiększonej do 1500 MW, który pracuje w Ignalinie. Przygotowano także projekt udoskonalonego reaktora jądrowego RBMK-2000, w który wytwarza parę wodną o temperaturze 450 °C, używa się w nim uranu wzbogaconego do 2,2% uraniu-235. == Bomba jądrowa == {{Rysunek|Fission bomb assembly methods-PL.svg|7.11|Schemat dwóch metod detonowania ładunku jądrowego}} Bomba jądrowa czerpie energię z ciężkich jąder atomowych (uranu lub plutonu) w wyniku reakcji rozszczepienia pod wpływem bombardowania neutronami. Rozpadające jądra emitują neutrony zapoczątkowując inne rozszczepienia wywołując reakcję łańcuchową. Zasadą działania bomby jądrowej jest przekroczenie w najkrótszym czasie masy krytycznej ładunku jądrowego. Uzyskanie tego jest możliwe na dwa sposoby; poprzez zbliżenie kilku porcji materiału rozszczepialnego lub zapadnięcie materiału uformowanego w powłokę. Musi odbyć się to tak szybko by reakcja łańcuchowa nie została przerwana w wyniku rozproszenia materiałów rozszczepialnych energią rozszczepienia, dlatego używa się do tego celu ładunku konwencjonalnego, wtedy reakcja łańcuchowa dostarcza ogromną ilość energii. Wysoka temperatura i wysoka energia powodują szybki rozproszenie się materiału rozszczepialnego i przerwanie reakcji jądrowej. Jako ładunku nuklearnego używa się materiału rozszczepialnego uran-235 lub plutonu-239. Z jednego kilograma U-235 można uzyskać do 82TJ energii. Typowy czas trwania reakcji łańcuchowej jest 1&mu;s, stąd moc wynosi 82 EW/kg. == Reakcje syntezy i termosyntezy == Przedstawiamy ogólny schematyczny opis reakcji syntezy wraz z omówieniem rodziny reakcji p-p i CNO, a także przedstawimy wybrane reakcje syntezy wraz z energią wydzieloną w wyniku ich reakcji. === Ogólny opis reakcji syntezy === Są to reakcje jądrowe łączenia się dwóch jąder w jedno jądro cięższe i emitowania jednej lub kilku cząstek takich jak: n,p,&gamma;,&alpha;: {{CentrujWzór|<math>{}^{A_1}X_1+{}^{A_2}X_2\rightarrow {}^AY+b\;</MATH>|7.15}} W reakcjach przeprowadzonych w laboratoriach, by taka reakcja zaszła, energia cząstki zderzającej musi być taka by przekroczyła energię bariery kulombowskiej: {{CentrujWzór|<MATH>E_{X_1}^{kin}>E_{b. kul}\;</MATH>|7.16}} Wielkość bariery kulombowskiej dla jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MaTH>}} można oszacować dla protonu wykorzystując wzór na promień jądra atomowego {{LinkWzór|1.25|Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}} według modelu kroplowego: {{CentrujWzór|<MATH>E^{kin}_{b.kul}={{e^2Z}\over{4\pi\epsilon_0R}}={{e^2Z}\over{4\pi\epsilon_0r_0\sqrt[3]{A}}}={{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r_0}}{{Z}\over{\sqrt[3]{A}}}\;</MATH>|7.17}} W przypadku lżejszych atomów wartość energii protonu wynosi około 1 MeV. A więc aby zrealizować reakcję syntezy należy zrealizować tak by energia nie przekraczała kilku MeV na jeden nukleon. {{Rysunek|Synthesis of heavy nuclei and fission of heavy nuclei.svg|7.12|Synteza jąder lekkich i rozszczepienie ciężkich jąder atomowych}} Przy syntezie ciężkich jąder zawsze powstaje jądro atomowe zawsze bardziej stabilne niż jądra zderzające. Reakcje syntezy są zawsze egzoenergetyczne i wydziela się w nim ciepło reakcji: {{CentrujWzór|<MATH>Q_S=[M_j(X_1)+M_j(X_2)]-[M_j(Y)+m_b]\;</MATH>|7.18}} Do wzoru {{LinkWzór|7.18}} wykorzystujemy wzór M{{Sub|j}}(A,Z)=Zm{{Sub|p}}+Nm{{Sub|n}}-B(A,Z) i wykorzystując B(A,Z)=AE{{Sub|A}}, dostajemy natychmiast: {{CentrujWzór|<math>Q_S=A(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{1,2})\mbox{ gdzie: } \mathcal{E}_{12}={{\mathcal{E}_1A_1+\mathcal{E}_2A_2}\over{A_1+A_2}}\;</MATH>|7.19}} Które przy syntezie jąder lekkich przy wznoszącej się krzywej E(A) zawsze ciepło reakcji Q{{Sub|S}} jest większe niż zero. Syntezy jąder lekkich nie zachodzą w przyrodzie z powodu barier potencjału. Energia jąder lekkich jest w przedziale od 1,5 do 2,2 MeV, co po przeliczeniu na jeden nukleon produktu reakcji daje nam od 0,8 do 3,5 MeV. Dla jądra uranu daje nam 0,8MeV/nukleon (Q{{Sub|f}}=195MeV, co daje nam Q{{Sub|f}}/A=0,8MeV/nukleon, czyli mniej niż dla jąder lekkich. * Metodą syntezy ciężkich jąder (jądro HI jest o energii kilku MeV na nukleon) uzyskuje się jądra superciężkie, które zachodzą według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>HI+HN\rightarrow SHN+\nu n\;</MATH>|7.20}} gdzie HI -to jest superciężki jon wielokrotnie zjonizowany, HN -to ciężkie jądro, SHN -to superciężkie jądro, w wyniku reakcji wydziela się &nu; nukleonów równej od 1 do 3. Jądro pocisku i tarczy są tak dobrane by powstałe jądro nie ulegało natychmiastowemu rozszczepieniu z czasem średnim &tau;=10{{Sup|-22}}s. Przekrój czynny na reakcje syntezy jest rzędu nanobarnów, a więc jest niezwykle bardzo mały, np. dla reakcji: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{48}Ca+{}^{238}U\rightarrow{}^{283}112+3n\;</MATH>|7.21}} dla której przekrój czynny na reakcje syntezy jest &sigma;=5 nb. Pamiętajmy, że jądra superciężkie są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i spontaniczne rozszczepienie. ==== Wybrane reakcje syntezy ==== Przedstawiamy poniżej wybrane reakcje syntezy wraz z ilością wydzielanej energii w nim wraz energią na jednostkę masy atomowej. {{Center|<!-- -->{{Tabelka|klasa=wikitable|opcje=width=70%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''Reakcja'''}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''Wydzielana energia całkowita'''}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''w MeV'''}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''w MeV/j.m.at.'''}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^1_1H\rightarrow{}^2_1H+{}^0_{+1}e^++\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,44}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,72}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^2_1H\rightarrow{}^3_2He+\gamma\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|5,49}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,82}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^7_3Li\rightarrow{}^4_2He+{}^4_2He\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|17,35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2.16}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^2_1H\rightarrow{}^3_2He+{}^1_0n\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,27}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,81}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^2H_1\rightarrow{}^3_2He+{}^1_1H\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|4,03}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,00}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^2_1H+{}^3_1H\rightarrow{}^4_2He+{}^1_0n\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|17,59}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,50}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^2_1H+{}^3_2He\rightarrow{}^4_2He+{}^1_1H\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|18,35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,75}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^6_3Li\rightarrow{}^4_2He+{}^4_2He\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|22,37}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2,78}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^3_1H+{}^3_1H\rightarrow{}^4_2He+{}^1_0n+{}^1_0n\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|11,33}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,88}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^3_2He+{}^3_2He\rightarrow{}^4_2He+{}^1_1H+{}^1_1H\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|12,86}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2,13}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}U+{}^1_0n\rightarrow \mbox{rozszczepienie}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|195}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,83}}}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} === Reakcje termosyntezy === Są to reakcje syntezy zachodzące samoczynnie w układzie o bardzo dużej gęstości, złożone z lekkich jąder ogrzanych do bardzo wysokiej temperatury. Zderzenie jąder jest wynikiem jej ruchu termicznego. Średnia temperatura w ruchu we wnętrzu gwiazd jest około T&asymp;10{{Sup|8}}K (k{{Sub|bm}}t&asymp;8keV). Na przekroczenie bariery kulombowskiej w atomie wodoru wymagana jest średnia energia równa 700keV. W reakcji przekroczenie bariery kulombowskiej może zachodzić przy mniejszej energii niż ostatnio podaną w wyniku przejść tunelowych. Prawdopodobieństwo takich przejść jest bardzo małe i silnie zależy od energii cząstki bombardującej i wysokości bariery potencjału, a więc od iloczynu Z{{Sub|a}}&sdot;Z{{Sub|X}}. Natężenie reakcji termosyntezy zależy i silnie wzrasta od temperatury i gęstości materii jądrowej. Po przekroczeniu określonej temperatury staje się reakcją syntezy samopodtrzymującą i stale wydziela się energia o określonej mocy lub lawinowy jej wzrost, w którym następuje wybuch (bomba termojądrowa). Pierwsza sytuacja powiedziana jest w gwiazdach, gdzie spala się wodór w temperaturze od 15 do 18 pomnożone przez 10{{Sup|6}}K i gęstości 100g/cm{{Sup|3}} w cyklu p-n i CNO. Każda z tych cykli ma gałąź główną i dwa poboczne. Końcowym produktem tej reakcji jest {{Sup|4}}He w cyklu p-n i {{Sup|4}}He+{{Sup|12}}C w cyklu CNO. Przedstawmy cykl p-p, który daje 95% energii na Słońcu. {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix}{}^1H+{}^1H\rightarrow {}^2H+e^++\nu_e\\{}^2H+{}^1H\rightarrow {}^3He+\gamma\\{}^3He+{}^3He\rightarrow {}^4He+2{}^1H\end{matrix}\;</MATH>{{Br}}{{Tekst|co w sumie daje nam}}{{Br}}<MATH>4{}^1H\rightarrow{}^4He+2e^++2\nu_e+2\gamma\;</math>|7.22}} A także podamy gałąź główną CNO, który daje nam kilka procent energii na słońcu. W gwiazdach masywnych w cyklu CNO wytwarza się więcej energii niż w cyklu p-p, bo tam jest wyższa temperatura i gęstość: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix}{}^{12}C+{}^1H\rightarrow {13}N+\gamma\\{}^{13}N\rightarrow{}^{13}C+e^++\nu_e\\{}^{13}C+{}^1H\rightarrow{}^{14}N+\gamma\\{}^{14}N+{}^1H\rightarrow{}^{15}O+\gamma\\{}^{15}O\rightarrow{}^{15}N+e^++\nu_e\\{}^{15}N+{}^1H\rightarrow{}^{12}C+{}^4He\end{matrix}\;</math>|7.23}} Po wypaleniu się wodoru w gwieździe maleje jego ciśnienie w jej wnętrzu. Wtedy to powoduje kontrakcja Słońca w wyniku zapadania się grawitacyjnego, co powoduje wzrost jego temperatury w jego wnętrzu do ok. 10{{Sup|8}}K i gęstości 10{{Sup|5}}g/cm{{Sup|3}}. W tych warunkach następuje termosynteza jąder {{Sup|4}}He, a następnie {{Sup|12}}C,{{Sup|16}}O i Si. Trwają prace nad stworzeniem reaktora termojądrowego od 50lat, który by wykorzystywał reakcje syntezy w lekkich jądrach. Najbardziej obiecujące są reakcje deuteru lub trytu w jądrach helu-3 lub helu-4. Posiada ono najniższą z możliwych barier kulombowskiej i stosunkowo mały przekrój czynny na reakcje syntezy, tzn. {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix} {}^2H+{}^2H\rightarrow{}^3He+n&Q_S=3,3\mbox{MeV}\\ {}^2H+{}^2H\rightarrow{}^3H+p&Q_S=4,4\mbox{MeV}\\ {}^2H+{}^3H\rightarrow{}^4He+n&Q_S=17,6\mbox{MeV}\end{matrix}\;</MATH>|7.24}} Powyższe trzy charakteryzujące się reakcje jądrowe mają duże wartości Q{{Sub|S}}/A, a szczególnie trzecia z nich w {{LinkWzór|7.24}}. Zapasy ziemskie deuteronu są praktycznie niewyczerpalne - jest ich w wodzie morskiej ok. 0,015%. W warunkach ziemskich reakcje termosyntezy mogą przebiegać w znacznie mniejszej objętości i mniejszej gęstości niż na słońcu i dlatego straty energii w wyniku przewodnictwa cieplnego, promieniowania, liczby neutronów w tych warunkach będą zawsze duże. Oznacza to, że aby otrzymać samopodtrzymującą się reakcje termosyntezy należy podgrzać plazmę do bardzo wysokiej temperatury, wyższa niż temperatura na Słońcu. Określa się, że minimalna temperatura i gęstość plazmy deuterowo-trytowej może być n&tau;=10{{Sup|14}}cząstek&sdot;s/cm{{Sup|3}} i o określonej temperaturze 10{{Sup|8}}K, gdzie &tau; jest to czas utrzymywania określonych wartości koncentracji "n" i temperatury "T" plazmy. Ten problem próbuje się rozwiązać dwoma metodami: * Ogrzewanie całej objętości do temperatury 10{{Sup|8}}K plazmy o gęstości n&ge;10{{Sup|14}}cząstek/cm{{Sup|3}} w czasie stosunkowo długim &tau;&ge;0,1s. W celu niedostania się plazmy do ścianek obudowy stosuje się bardzo silne pole magnetyczne efektywne, które to pole magnetyczne jest wytwarzane przez powłoki w kształcie toroidu. W tym polu elektrony i jony poruszają się po spiralach nawiniętych na linie pola magnetycznego. Przy odpowiedniej konfiguracji toroidu poruszającą się plazmę można zagęścić w środku toroidu i ograniczyć jego kontakt ze ściankami komory. W procesie zagęszczania powstaje duża temperatura. Toroidy oparte na tej zasadzie nazywamy '''tokamakami'''. W roku 1963 w objętości kilkudziesięciu litrów uzyskano n&tau;=3&sdot;10{{Sup|11}}s&sdot;cząstek/cm{{Sup|3}} i temperaturę T=3&sdot;10{{Sup|6}}K. W reakcji termosyntezy po raz pierwszy uzyskano neutrony pochodzące z reakcji termosyntezy deuterony i trytu, ale ogólny bilans energii był ujemny. Trudności praktyczne z uzyskaniem praktycznego tokamaka wynikają głównie z niestabilności plazmy. * Nagrzewanie bardzo szybkie &tau;=10{{Sup|-9}}s poprzez impulsowe nagrzewanie małych objętości ze wszystkich stron do bardzo wysokiej temperatury, w taki sposób aby plazma nie mogła przeniknąć do ścianek, przy pomocy laserów lub wiązek elektronowych o bardzo dużej mocy. Mieszanina deuteronu i trytu w takich wiązkach może być w stanie stałym o bardzo dużej gęstości bez zagęszczania. == Bomba termojądrowa == {{Rysunek|Teller-ulam-multilang.png|7.13|Schemat budowy ładunku termojądrowego A - Faza rozszczepienia (ładunek główny) B - Faza fuzji (ładunek dodatkowy) 1 - Chemiczny materiał wybuchowy 2 - Osłona uranu-238 3 - Próżnia 4 - Pluton lub uran zawierający tryt w stanie gazowym 5 - Forma z polistyrenu 6 - Osłona uranu-238 7 - Deuterek litu-6 (paliwo fuzji) 8 - Pluton 9 - Osłona odbijająca promieniowanie X w kierunku ładunku dodatkowego}} W bombie termojądrowej występują reakcje syntezy lekkich atomów pierwiastków w wyniku czemu powstają ciężkie atomy pierwiastków o większej energii wiązania. Warunkiem koniecznym uzyskania syntezy jąder jest wysoka temperatura i wysoka gęstość cząstek reagujących. Mając na uwadze, że wybuch rozrzuca materiały reagujące powinno stosować się materiały reagujące w jak najniższej temperaturze. Pierwsze bomby termojądrowe były zbudowane w oparciu o deuter i tryt, w której nie jest on zbyt trwały, a czas jego połowicznego zaniku jest 12,26 lat, więc tak powstałej bomby nie należy zbytnio przechowywać. Rozwiązaniem tego problemu jest wytwarzanie trytu podczas wybuchu. Tryt jest otrzymywany z litu podczas bombardowania jego jąder neutronami powstałych z rozszczepienia ładunku inicjującego, którym jest uranowo-plutonowa bomba jądrowa o stosunkowo niewielkiej mocy. Zastosowanie deuteru i trytu w postaci związków w stanie stałym bez udziału chłodzenia znacznie upraszcza konstrukcję. Reakcje zachodzące podczas wybuchu bomby jądrowej są: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{matrix} {}^6Li+n\rightarrow {}^4He+{}^3T+\mbox{4,18MeV}\\ {}^3T+{}^2D\rightarrow {}^4He+n+\mbox{17,6MeV}\\ {}^2D+{}^2D\rightarrow {}^3T+p+\mbox{4MeV}\\ {}^2D+{}^2D\rightarrow {}^3He+n+\mbox{3,3MeV}\\ \end{matrix} </MATH>|17.25}} Zasadniczo mają najważniejszy wpływ dwie pierwsze reakcje {{LinkWzór|17.25}}, które tworzą samopodtrzymujący się cykl. Pierwsza dostarcza tryt do drugiej reakcji, a druga reakcja neutronów do pierwszej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qvued0akh3m9yui9zxm26nje6hhlt1p 558608 558607 2026-10-04T20:09:07Z Persino 2851 558608 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zapoznamy się tutaj z reakcją łańcuchową, warunkami na rozszczepienie łańcuchowe, reakcjami syntezy i termosyntezy, bombą rozszczepieniową, bombą termojądrową. == Łańcuchowe reakcje rozszczepienia == Proces zapoczątkowany przez neutrony pierwotne jest źródłem neutronów wtórnych, tzn. natychmiastowych (wysyłanych od razu po fragmentacji jądra C i wtórnych powstałych przez wysyłanie neutronów przez produkty reakcji, te neutrony mogą wywoływać reakcje rozszczepienia dalszych jąder prowadzących do reakcji łańcuchowych. Warunkiem aby zaszła reakcja łańcuchowa w {{LinkWzór|6.13|Reakcje_jądrowe}} jest by &nu;>1, co jest spełnione dla jąder ciężkich, dla energii neutronów termicznych tzn. dla {{Sup|233}}U, to &nu;=2,58(6), dla {{Sup|235}}U, to &nu;=2,47(3), dla {{Sup|239}}Pu, to &nu;=3,05(8), które zachodzą przy energii progowej E{{Sub|prog}}&lt;S{{Sub|N}}. &nu; rośnie ze wzrostem E{{Sub|n}} neutronów pierwotnych, tzn. dla {{Sup|239}}Pu, gdy E{{Sub|n}}=14MeV, to &nu;=5. '''Oddziaływanie neutronu z jądrem atomowym może prowadzić do:''' * rozpraszania elastycznego prowadzi do obniżenia energii kinetycznej i zmiany kierunku rozpraszania n, która jest bardziej efektywna dla jąder lekkich H,D,{{Sup|12}}C, itp., zapisz tego zjawiska jest: {{CentrujWzór|<math>n+X\rightarrow X+n\;</MATH>|7.1}} * rozpraszanie nieelastyczne prowadzi do obniżenia energii neutronu i wzbudzenia jądra X{{Sup|*}}, co zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>n+X\rightarrow X^*+n^'\;</MATH>|7.2}} {{Rysunek|Zależność od energii neutronów przekroju czynnego kadmu i indu na wychwyt neutronów.jpeg|7.1|Zależność od energii neutronów przekroju czynnego kadmu i indu na pochłanianie neutronów|rozmiar=400px}} * wychwyt radiacyjny prowadzi do straty neutronu, w którym jądro atomowe X zamienia się wzbudzone jądro C, który w wyniku deekscytacji jądra wysyła kwant &gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>n+{}^AX\rightarrow {}^{A+1}C^*\rightarrow C+\gamma\;</math>|7.3}} Wychwyt neutronu przez jądro ma charakter rezonansowy, tzn. to jest najbardziej prawdopodobne dla energii neutronu, taki że spełnia związek: {{CentrujWzór|<MATH>E_n^{rez}+S_n(C)=E_{wzb}(C)\;</MATH>|7.4}} Dla energii neutronu {{Formuła|<MATH>E_n<E_n^{rez}\;</MATH>}} przekrój czynny na wychwyt neutronu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{wych}\sim{{1}\over{\sqrt{E}}}\;</MATH>|7.5}} Energie rezonansowe zwykle mieszczą się w przedziale 0,1eV do 10keV, co jest spełnione dla neutronów powolnych. Dla jąder {{Sup|113}}Cd 12,3% reakcji zachodzi przy wychwycie rezonansowym przy rezonansowej energii neutronów E{{Sub|rez}}&asymp;0,176eV, wtedy przekrój czynny na wychwyt neutronu według rysunku {{LinkRysunek|7.1}} jest &sigma;{{Sub|wych}}=6&sdot;10{{Sup|2}}b, a przy energii neutronów E{{Sub|n}}<E{{Sub|rez}} przekrój czynny na wychwyt neutronu jest &sigma;{{Sub|wych}}=3&sdot;10{{Sup|3}}b. Jądra {{Sup|113}}Cd mają bardzo wysoką barierę na rozszczepienie. Wychwyt neutronów termicznych (jądra o energii 0,025MeV w warunkach temperatury pokojowej) przez te jądra prowadzi do (n,n{{Sup|'}}), i do (n,&gamma;), ale nie ma reakcji na rozszczepienie (n,f). Bardzo dużą wartość przekroju czynnego &sigma;{{Sub|wych}} mają jądra {{Sup|135}}Xe wynoszącą na neutronów termicznych &sigma;{{Sub|wych}}=3,5&sdot;10{{Sup|6}}b. Jądra {{Sup|135}}Xe powstają w wyniku reakcji (n,f) na jądrach {{Sup|235}}U. Powstawanie tych jąder wyniku reakcji rozszczepienia powoduje tzw. zatrucie rezonansowe reakcji. Dla jąder uranu naturalnego (99,38%{{Sup|238}}U ({{Formuła|<MATH>T_{1/2}\simeq 7,0\cdot 10^8lat\;</math>}})+0,72%{{Sup|235}}U ({{Formuła|<MATH>T_{1/2}=4,5\cdot 10^9 lat\;</MATH>}})) zachodzące reakcje (n,&gamma;) i (n,f) mają układ rezonansów bardzo skomplikowany. Dla jądra {{Sup|235}}U przechwyt neutronu jest możliwy, bo energia separacji neutronu w jądrze {{Sup|236}}U jest większa niż jego bariera potencjału, dlatego może w nim zachodzić rozszczepienie na lżejsze jądra. Przekrój czynny na rozszczepienie na tym jądrze bardzo szybko rośnie wraz ze zmniejszaniem się energii neutronów, dla E{{Sub|n}}&ge;1 keV, omawiany przekrój czynny jest mniejszy niż 10b, a natomiast dla energii E{{Sub|n}}=0,025eV jest równy 580b. By zwiększyć przekrój czynny reakcji na rozszczepienie stosuje się moderator, który nie może być on np. w stanie gazowym, by miał dostateczną dużą gęstość, a jego przekrój czynny na pochłanianie neutronów był możliwie mały. Zadaniem modelatora jest zmniejszanie prędkości neutronów szybkich, najlepiej, by modelator składał się z atomów możliwie lekkich, wtedy straty energii neutronów na modelatorze były możliwie duże. W reaktorach jądrowych stosuje się D{{Sub|2}}0 i grafit. Reakcje (n,f) na jądrze {{Sup|238}}U zachodzą, gdy energia neutronów jest E{{Sub|n}}&ge;1,5MeV, czyli w tym przypadku mamy do czynienia z neutronami szybkimi. W przedziale energii neutronów wynoszącej od 1,5 do 20MeV przekrój czynny na rozszczepienie jest &sigma;{{Sub|f}}<1,5b. A przy tych energiach procentowo ilość reakcji na rozszczepienie względem rozpraszania nieelastycznego neutronu jest równa stosunkowi: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{\gamma}+\sigma_f}}\simeq 0,25\;</MATH>|7.6}} W wyniku rozpraszania elastycznego i nieelastycznego neutron bardzo szybko traci energię przechodząc poniżej progu 1,5MeV, zatem nie możliwe jest zrealizowanie łańcuchowej reakcji w wyniku rozszczepienia na jądrze {{Sup|238}}U. === Warunki na zajście reakcji łańcuchowej === Nie każdy neutron wytworzony w wyniku reakcji rozszczepienia prowadzi do reakcji rozszczepienia, więc warunek &nu;>0 nie jest wystarczający. Stosunek liczby neutronów dla dowolnej generacji do liczby neutronów aby następował ich wychwyt do reakcji rozszczepienia jest zwany stosunkiem mnożenia neutronów lub stosunkiem powielania neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>k={{N_f}\over{N_{wychw}}}=\nu{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\;</MATH>|7.7}} Przekrój czynny na wychwyt neutronów jest sumą na przekroje czynne na rozszczepienie i produkcji promieniowania &gamma; poprzez wychwyt neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{wychw}=\sigma_f+\sigma_{\gamma}\;</MATH>|7.8}} Jeśli czas średni życia jednej generacji wynosi &tau;, to przyrost neutronów w jednostce czasu dt w zależności od liczby neutronów i w zależności od zmiennej k przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{dN}\over{dt}}={{N(k-1)}\over{\tau}}\Rightarrow N(t)=N_0e^{{{k-1}\over{\tau}}t}\;</MATH>|7.9}} Liczba neutronów reakcji łańcuchowych w kolejnych generacjach jest uzależniona od liczby k, który może przyjmować następujące wartości: * k<1 - reakcja łańcuchowa nie rozwija się, jest to stan podkrytyczny. * k=1 - reakcja łańcuchowa przebiega ze stałą mocą, jest to stan krytyczny. * k>1 - reakcja łańcuchową rozwija się, może doprowadzić do wybuchu, jest to stan nadkrytyczny. Na przykład dla k=1,05, gdy &tau;&asymp;10{{Sup|-3}}s po jednej sekundzie liczba neutronów wzrasta 10{{Sup|22}} razy. Sytuacja k>1 ma miejsce w bombie atomowej. Jeśli mamy masę krytyczną, wtedy jest to stan krytyczny k=1. Napiszmy stałą k {{LinkWzór|7.7}} zależną od neutronów powstających N{{Sub|powst}} i uciekających N{{Sub|uc}}, bo neutrony mogą uciekać z objętości zajmowanej przez reakcję łańcuchową, wtedy: {{CentrujWzór|<math>k=k_{\infty}{{N_{powst}-N_{uc}}\over{N_{powst}}}=k_{\infty}\left(1-{{N_{uc}}\over{N_{powst}}}\right)\;</MATH>|7.10}} Stała k{{Sub|&infin;}} jest zależna od definicji stałej k {{LinkWzór|7.7}} i stosunek liczby neutronów uciekających do powstających są równe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>k_{\infty}=\nu{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\;</MATH>|7.11}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{N_{uc}}\over{N_{powst}}}\sim{{S}\over{V}}\;</MATH>|7.12}} }} Widzimy, że k{{Sub|&infin;}} jest zależna od stosunku przekroju czynnego na rozszczepienie &sigma;{{Sub|f}} i przekroju czynnego na wychwyt neutronów i jest zależna od liczby neutronów &nu; powstających w wyniku reakcji łańcuchowej. Czym większy jest stosunek liczby neutronów uciekających do neutronów powstających, to im większy jest stosunek powierzchni czynnej masy (podkrytycznej, krytycznej lub nadkrytycznej) do objętości tejże masy, to czym mniejsza jest liczba "k". W przypadku czystego {{Sup|238}}U mamy k{{Sub|&infin;}}<1, bo gdyż {{Formuła|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\simeq 0,25\;</MATH>}} oraz &nu;&asymp;2,5, więc dla tego przypadku nie można zrealizować masy krytycznej. Dla {{Sup|235}}U dla neutronów termicznych mamy {{Formuła|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\simeq{{580b}\over{690b}}\simeq 0,854\;</MATH>}} i &nu;&asymp;2,5, więc {{LinkWzór|7.11}} k{{Sub|&infin;}}>1. Podobnie można uzyskać k{{Sub|&infin;}}&ge;2 dla {{Sup|233}}U i dla {{Sup|239}}Pu. Masa krytyczna zależy od {{Formuła|<MATH>{{S}\over{V}}\;</MATH>}} i od reflektora neutronów (jest to warstwa materiału o właściwościach odbijających uciekających neutronów z powrotem do rdzenia reaktora). Stan krytyczny można uzyskać na uranie naturalnym stosując moderator D{{Sub|2}}0 w reaktorach jądrowych. W reaktorach jądrowych stosuje się paliwo wzbogacone w {{Sup|235}}U ({{Sup|233}}U lub {{Sup|239}}Pu). w bombach jądrowych najczęściej stosuje się czysty {{Sup|235}}U lub {{Sup|239}}Pu dla zmniejszenia jego rozmiarów. == Reaktory jądrowe == {{Rysunek|Wwer-1000-scheme.png|7.2|Schemat rosyjskiego reaktora typu WWER-1000. 1 - pręty sterujące; 2 - osłona reaktora; 3 - obudowa reaktora; 4 - wlot i wylot wody; 5 - powłoka; 6 - obszar aktywny reaktora; 7 - pręty paliwowe}} {{Rysunek|Nuclear power plant-pressurized water reactor-PWR.png|7.3|Schemat elektrowni z reaktorem wodnym ciśnieniowym. 1. Blok reaktora 2. Komin chłodzący 3. Reaktor 4. Pręty kontrolne 5. Zbiornik wyrównawczy ciśnienia 6. Generator pary 7. Zbiornik paliwa 8. Turbina 9. Prądnica 10. Transformator 11. Skraplacz 12. Stan gazowy 13. Stan ciekły 14. Powietrze 15. Wilgotne powietrze 16. Rzeka 17. Układ chłodzenia 18. I obieg 19. II obieg 20. Para wodna 21. Pompa}} {{Rysunek|PressurizedWaterReactor.gif|7.4}} {{Rysunek|Crocus-p1020491.jpg|7.5|Rdzeń reaktora jądrowego}} Urządzenia, w których przeprowadza się ze stałą prędkością reakcje rozszczepienia jądrowego. Reakcje rozszczepienia mają zwykle przebieg lawinowy, tzn. jedna reakcja może zapoczątkować kilka następnych reakcji. W celu kontroli ile reakcji zapoczątkować ma reakcja łańcuchowa wprowadza się substancje pochłaniające neutrony, są to przede wszystkim bar i kadm. Substancje te są umieszczone w prętach regulacyjnych. Modelator wprowadza się w celu zmniejszania prędkości neutronów w wynika zderzenia neutronów z cząstkami modelatora. '''Reaktory dzieli się ze względu na szybkość neutronów:''' * neutrony termiczne, których modelatorem jest H{{Sub|2}}, D{{Sub|2}}O i grafit, * neutrony szybkie a reaktory o nie oparte są reaktorami powielającymi, paliwem jest {{Sup|238}}U lub {{Sup|232}}Th wzbogacony o {{Sup|235}}U, {{Sup|233}}U lub{{Sup|239}}Pu, reaktory o nie oparte są bez modelatora. Reakcje oparte na uranie {{Sup|238}}U są: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{238}U(n,\gamma)\rightarrow {}^{239}U\xrightarrow{\beta^-}{}^{239}Np\xrightarrow{\beta^-}{}^{239}Pu(f,n)\;</math>|7.13|Obramuj}} Reakcje oparte na torze {{Sup|232}}Th są: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{232}Th(n,\gamma)\rightarrow{}^{233}Th\xrightarrow{\beta^-}{}^{233}Pa\xrightarrow{\beta^-}{}^{233}U(f,n)\;</MATH>|7.14|Obramuj}} Energia uzyskana z 1g {{Sup|239}}U jest równa energii uzyskanej z 2,7 t {{Sup|12}}C. '''Podział według rodzaju reakcji jądrowej''', które dzielimy na: * rozszczepienie jądra atomowego-wszystkie reaktory w tym wszystkie komercyjne są oparte na rozszczepieniu reakcji jądrowych, której paliwem jest uran, ale trwają prace nad wykorzystaniem toru, * Kontrolowana synteza termojądrowa jest wykorzystana w reaktorach wykorzystujących termosyntezę jądrową, którego paliwem jest najczęściej wodór. Jak dotąd ilość energii włożonej jest większa niż energia uzyskana z termosyntezy, * Rozpad promieniotwórczy. '''Podział według chłodziwa:''' * reaktory wodne i ciśnieniowe tzw. PWR i WWER, której chłodziwem i modelatorem jest zwykła woda. która jest pod wysokim ciśnieniem tak by woda nieodparowywana podczas normalnej pracy reaktora, * reaktory wodne, wrzące (BWR), której chłodziwem i modelatorem jest zwykła wrząca woda: ** wyjątkowymi reaktorami wodnymi, wrzącymi są reaktory RBMK (między innymi w Czarnobylu tego typu reaktory zostały użyte w Czarnobylu oraz na terenie byłego ZSRR w innych reaktorach), wodą wrzącą w kanałach paliwowych są chłodzone, a moderowanie reaktorów grafitem. Jest uznawany za jeden z najniebezpieczniejszych ten rodzaj reaktora (elektrownia w Czarnobylu posiadała cztery reaktory typu RBMK), * reaktory wodne i basenowe, gdzie pręty paliwowe są zanurzone w wodzie, która jest modelatorem, a zarazem chłodziwem. Warstwa wody znajdująca się na reaktorem powinna mieć odpowiednią grubość by ekranować promieniowanie radiacyjne, by personel mógł pracować nad reaktorem, * reaktory gazowe (GCR, AGR, HTGR), której chłodziwem jest zwykły gaz, tzn. dwutlenek węgla lub hel, * reaktory prędkie (LMFR na szybkich neutronach) chłodziwem są stopione metale, tzn. sód lub ołów, pozbawionej modelatora, * reaktory solne (MSR), której chłodziwem są sole w stanie ciekłym, często fluoru. '''Podział według generacji:''' * Pierwszej generacji - prototypowe pierwsze reaktory jądrowe, * Drugiej generacji - pierwsze reaktory w celach przemysłowych, * Trzeciej generacji - reaktory nowszych konstrukcji reaktorów przemysłowych, * Czwartej generacji - najnowsze, ale w fazie projektów. '''Podział według przeznaczenia:''' energetyczne, * napędowe (głównie użyte do okrętów podwodnych i innych dużych okrętów nawodnych), * militarne (do broni jądrowej wytwarzanej do tego celu materiał rozszczepialny), * badawcze. {{Center| '''Podstawowe typy reaktorów energetycznych''' {{Tabelka|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Grupa}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Typ reaktora}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Chłodziwo|Chłodziwo]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|rodzaj}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Moderator|Moderator]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Paliwo jądrowe|Paliwo jądrowe]]}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|Grafitowo - gazowe [[w:GCR (reaktor jądrowy)|GCR]]}}<!-- -->{{Komórka|AGR}}<!-- -->{{Komórka|[[w:Dwutlenek węgla|CO{{Sub|2}}]], [[w:gaz|gaz]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | [[w:grafit|grafit]]}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| [[w:Magnox|Magnox]]}}<!-- -->{{Komórka| gaz, CO{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|U Naturalny}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| HTR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:He|He]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}}, UC{{Sub|2}}, ThO{{Sub|2}}, ... ({{Sup|235}}U, {{Sup|233}}U, Pu)}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Ciężkowodne}}<!-- -->{{Komórka| PHWR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:ciężka woda|ciężka woda]]}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->{{Komórka| ciężka woda}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} naturalny lub wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | Lekkowodne LWR}}<!-- -->{{Komórka| BWR}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | UO{{Sub|2}} wzbogacony lub UO{{Sub|2}} wzbogacony i MOX}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| PWR}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| WWER}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | Wodno - grafitowe}}<!-- -->{{Komórka| [[w:RBMK|RBMK]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | grafit}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|GLWR}}<!-- -->{{Komórka|ciśnieniowy}}<!-- -->{{Komórka| U naturalny lub wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Lekko - ciężkowodne}}<!-- -->{{Komórka| HWLWR}}<!-- -->{{Komórka| lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka| ciężka woda}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony - PuO{{Sub|2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Prędkie}}<!-- -->{{Komórka| FBR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:sód|sód]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony - PuO{{Sub|2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|styl=text-align:left|{{DivLinia}} * GCR - Gas Cooled Reactor * LWR - Light Water Reactor * AGR - Advanced Gas-cooled Reactor * Magnox - nazwa pochodzi od stopu magnezowego koszulek paliwowych * HTR - High Temperature (Gas-cooled) Reactor * VHTR - Very High Temperature Reactor * PHWR - Pressurized Heavy Water Reactor * BWR - Boiling Water Reactor (ABWR - Advanced Boiling Water Reactor) * PWR - Pressurized Water Reactor * WWER - Wodno Wodianoj Energeticzeskij Reaktor * RBMK - Reaktor Bolszoj Moszcznosti Kanalnyj * GLWR - Graphite Light Water Reactor * HWLWR - Heavy Water - Light Water Reactor * FBR - Fast Breeder Reactor<!-- -->}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} {{Rysunek|Pulstar2.jpg|7.6|Reaktor badawczy PULSAR, o mocy 1MW}} === Wodny reaktor ciśnieniowy === Reaktor wodny ciśnieniowy {{LinkRysunek|7.2}} jest inaczej zwany PWR od ang. Pressurized Water Reactor. Jest to reaktor jądrowy w którym modelatorem (zmniejszającej prędkość neutronów) jest zwykła lekka woda pod zastosowanym ciśnieniem 15MPa. Woda spełnia też rolę czynnika chłodzącego reaktor, który jest chłodziwem rdzenia reaktora. Produkowana wodę gorącą jest przez reaktor PWR , która później idzie do wytwornicy pary (WP), która oddaje wodzie ciepło pod niższym ciśnieniem, która zamienia się w parę wodną o temperaturę 275{{Sup|o}}C i o ciśnieniu 6MPa. Dwa czynniki robocze stosuje się w tym reaktorze, która zmniejsza ryzyko wycieku do otoczenia substancji radioaktywnych. Regulowana jest moc reaktora poprzez zmianę stężenia boru w postaci kwasu borowego w wodzie w obiegu pierwotnym. Stosowane podczas rozruchu reaktora i jego wyłączania są pręty grafitowe regulacyjne. Bardzo bezpiecznymi konstrukcjami są reaktory PWR, odnotowano tylko jeden przypadek jego awarii na sztucznej wyspie Three Mile Island. Zmniejszyła wyciek do otoczenia substancji radioaktywnych zastosowana obudowa, której reaktor był firmy Babcock & Wilcox. === Реактор Большой Мощности Канальный (Reaktor Bolszoj Moszcznosti Kanalnyj, Reaktor Kanałowy Wielkiej Mocy) (RBMK) === {{Rysunek|RBMK reactor schematic pl.svg|7.7|Schemat reaktora RBMK}} {{Rysunek|RBMK German.PNG|7.9|Powiększenie struktur reaktora}} {{Rysunek|RBMK reactor from Ignalina ArM.jpg|7.10|Powierzchnia reaktora w Ignalinie pozbawiona głowic elementów paliwowych}} Reaktor w którym modelatorem jest grafit, chłodziwem jest wrząca woda. Użycie modelatora grafitowego teoretycznie umożliwia użycie naturalnego uranu. Jest to jedna z najbardziej ekonomicznych konstrukcja reaktora, ale bardziej podatny na różnego rodzaju awarie, co było główną przyczyną awarii reaktora w Czarnobylu. {{Tabelka|klasa=wikitable|styl=font-size:85%|<!-- -->{{Tytuł|Parametry pracujących i projektowanych reaktorów typu RBMK}}<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Parametr}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-1000}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-1500}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-2000}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Moc cieplna}}<!-- -->{{Komórka|3200 MW}}<!-- -->{{Komórka|4800 MW}}<!-- -->{{Komórka|5400 MW}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Moc elektryczna}}<!-- -->{{Komórka|1000 MW}}<!-- -->{{Komórka|1500 MW}}<!-- -->{{Komórka|2000 MW}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Sprawność bloku}}<!-- -->{{Komórka|31,3%}}<!-- -->{{Komórka|31,3%}}<!-- -->{{Komórka|37%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Temperatura pary przed turbiną}}<!-- -->{{Komórka|280 °C}}<!-- -->{{Komórka|280 °C}}<!-- -->{{Komórka|450 °C}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Masa uranu w rdzeniu}}<!-- -->{{Komórka|192 t}}<!-- -->{{Komórka|189 t}}<!-- -->{{Komórka|226 t}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Kanałów odparowujących}}<!-- -->{{Komórka|1693}}<!-- -->{{Komórka|1661}}<!-- -->{{Komórka|1744}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Kanałów przegrzewających}}<!-- -->{{Komórka|styl=text-align:center|—}}<!-- -->{{Komórka|styl=text-align:center|—}}<!-- -->{{Komórka|872}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Wzbogacenie uranu}}<!-- -->{{Komórka|1,8%}}<!-- -->{{Komórka|1,8%}}<!-- -->{{Komórka|1,8-2,2%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rdzeń reaktora nie jest zamknięty w zbiorniku ciśnieniowym, ciśnienie panuje jedynie w rurach w których znajdują się pręty paliwowe i przepływa woda chłodząca. W betonowej studni jest umieszczony reaktor o wymiarach na 21,6 na 25,5 m. To 1661 sześciennych bloków grafitowych o krawędzi równej 250 mm stanowi rdzeń reaktora, gdzie kanałach występują pionowe otwory paliwowe. W celu chłodzenia, około 5% energii wydziela się w blokach grafitowych, i zapobieżenia zapłonu rozgrzanego grafitu przestrzeń pomiędzy blokami grafitowymi a kanałami paliwowymi wypełniono mieszaniną helu i azotu. Rdzeń reaktora jest otoczony warstwą grafitu o grubości 500-800 mm, która spełnia rolę pierwszej bariery ochronnej i reflektora neutronów. Reaktor jest otoczony lekką wodą o grubości 1,2 metra i dwumetrową ściana betonową. Z góry i z dołu reaktora jest on otoczony płytami stalowymi o grubości 200-250 mm. Kanały paliwowe stanowiące rury o średnicy 88 mm przechodzą przez rury chłodzące są wykonane ze stali nierdzewnej a w części głównej są wykonane ze stopu niobu i cyrkonu. Chłodzący indywidualnie wrzącą wodą jest każdy kanał o temperaturze wody lekkiej równej 290{{Sup|o}}C. Zestawy paliwowe o wysokości 3650 mm po 18 prętów każdy jest wewnątrz zestawu kanału paliwowego. Rurki (koszulki) cyrkonowo-niobowa o średnicy 13,6 mm i grubości 0,9 mm stanowią pojedyncze pręty paliwowe, pastylkami paliwowymi zapełniona o grubości 15 mm z dwutlenku uranu, minimalnie wzbogaconego do 1,8% uranem-235. Całkowita masa paliwa paliwa w reaktorze wynosi 190 t. Czas używania jednego pręta w reaktorze wynosi około 3 lata, a ich zmiana na nowe pręty może przebiegać podczas normalnej pracy reaktora. Ciepło odbierają z reaktora dwa jednoobiegowe układem chłodzenia. Woda pod ciśnieniem w kanałach paliwowych odbiera większość ciepła wydzielonego w trakcie reakcji rozszczepienia. Para wodna po opuszczeniu reaktora zawiera kropelki wody, w separatorach pary następuje oddzielenie wody z mieszaniny parowo-wodnej. Para o temperaturze 284 °C i ciśnieniu 6,5 MPa jest uzyskana w ilości średnio 5780 t na godzinę, która jest doprowadzana do dwóch turbogeneratorów o mocy 500 MW każdy z tych urządzeń. Po opuszczeniu turbogeneratora para jest skraplana w kondensatorze i kierowana do reaktora. Sprawność elektrowni jądrowej wynosi 31 %. Układ awaryjnego chłodzenia reaktora jest wyposażony w rdzeń, uruchamiany jeśli zostaje poważnie zaburzony obieg chłodziwa. W wieloblokowych elektrowniach, po 2-6 bloków pracują sobie reaktory. Zbudowano także udoskonalony reaktor jądrowy RBMK-1500, o mocy zwiększonej do 1500 MW, który pracuje w Ignalinie. Przygotowano także projekt udoskonalonego reaktora jądrowego RBMK-2000, w który wytwarza parę wodną o temperaturze 450 °C, używa się w nim uranu wzbogaconego do 2,2% uraniu-235. == Bomba jądrowa == {{Rysunek|Fission bomb assembly methods-PL.svg|7.11|Schemat dwóch metod detonowania ładunku jądrowego}} Bomba jądrowa czerpie energię z ciężkich jąder atomowych (uranu lub plutonu) w wyniku reakcji rozszczepienia pod wpływem bombardowania neutronami. Rozpadające jądra emitują neutrony zapoczątkowując inne rozszczepienia wywołując reakcję łańcuchową. Zasadą działania bomby jądrowej jest przekroczenie w najkrótszym czasie masy krytycznej ładunku jądrowego. Uzyskanie tego jest możliwe na dwa sposoby; poprzez zbliżenie kilku porcji materiału rozszczepialnego lub zapadnięcie materiału uformowanego w powłokę. Musi odbyć się to tak szybko by reakcja łańcuchowa nie została przerwana w wyniku rozproszenia materiałów rozszczepialnych energią rozszczepienia, dlatego używa się do tego celu ładunku konwencjonalnego, wtedy reakcja łańcuchowa dostarcza ogromną ilość energii. Wysoka temperatura i wysoka energia powodują szybki rozproszenie się materiału rozszczepialnego i przerwanie reakcji jądrowej. Jako ładunku nuklearnego używa się materiału rozszczepialnego uran-235 lub plutonu-239. Z jednego kilograma U-235 można uzyskać do 82TJ energii. Typowy czas trwania reakcji łańcuchowej jest 1&mu;s, stąd moc wynosi 82 EW/kg. == Reakcje syntezy i termosyntezy == Przedstawiamy ogólny schematyczny opis reakcji syntezy wraz z omówieniem rodziny reakcji p-p i CNO, a także przedstawimy wybrane reakcje syntezy wraz z energią wydzieloną w wyniku ich reakcji. === Ogólny opis reakcji syntezy === Są to reakcje jądrowe łączenia się dwóch jąder w jedno jądro cięższe i emitowania jednej lub kilku cząstek takich jak: n,p,&gamma;,&alpha;: {{CentrujWzór|<math>{}^{A_1}X_1+{}^{A_2}X_2\rightarrow {}^AY+b\;</MATH>|7.15}} W reakcjach przeprowadzonych w laboratoriach, by taka reakcja zaszła, energia cząstki zderzającej musi być taka by przekroczyła energię bariery kulombowskiej: {{CentrujWzór|<MATH>E_{X_1}^{kin}>E_{b. kul}\;</MATH>|7.16}} Wielkość bariery kulombowskiej dla jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MaTH>}} można oszacować dla protonu wykorzystując wzór na promień jądra atomowego {{LinkWzór|1.25|Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}} według modelu kroplowego: {{CentrujWzór|<MATH>E^{kin}_{b.kul}={{e^2Z}\over{4\pi\epsilon_0R}}={{e^2Z}\over{4\pi\epsilon_0r_0\sqrt[3]{A}}}={{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r_0}}{{Z}\over{\sqrt[3]{A}}}\;</MATH>|7.17}} W przypadku lżejszych atomów wartość energii protonu wynosi około 1 MeV. A więc aby zrealizować reakcję syntezy należy zrealizować tak by energia nie przekraczała kilku MeV na jeden nukleon. {{Rysunek|Synthesis of heavy nuclei and fission of heavy nuclei.svg|7.12|Synteza jąder lekkich i rozszczepienie ciężkich jąder atomowych}} Przy syntezie ciężkich jąder zawsze powstaje jądro atomowe zawsze bardziej stabilne niż jądra zderzające. Reakcje syntezy są zawsze egzoenergetyczne i wydziela się w nim ciepło reakcji: {{CentrujWzór|<MATH>Q_S=[M_j(X_1)+M_j(X_2)]-[M_j(Y)+m_b]\;</MATH>|7.18}} Do wzoru {{LinkWzór|7.18}} wykorzystujemy wzór M{{Sub|j}}(A,Z)=Zm{{Sub|p}}+Nm{{Sub|n}}-B(A,Z) i wykorzystując B(A,Z)=AE{{Sub|A}}, dostajemy natychmiast: {{CentrujWzór|<math>Q_S=A(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{1,2})\mbox{ gdzie: } \mathcal{E}_{12}={{\mathcal{E}_1A_1+\mathcal{E}_2A_2}\over{A_1+A_2}}\;</MATH>|7.19}} Które przy syntezie jąder lekkich przy wznoszącej się krzywej E(A) zawsze ciepło reakcji Q{{Sub|S}} jest większe niż zero. Syntezy jąder lekkich nie zachodzą w przyrodzie z powodu barier potencjału. Energia jąder lekkich jest w przedziale od 1,5 do 2,2 MeV, co po przeliczeniu na jeden nukleon produktu reakcji daje nam od 0,8 do 3,5 MeV. Dla jądra uranu daje nam 0,8MeV/nukleon (Q{{Sub|f}}=195MeV, co daje nam Q{{Sub|f}}/A=0,8MeV/nukleon, czyli mniej niż dla jąder lekkich. * Metodą syntezy ciężkich jąder (jądro HI jest o energii kilku MeV na nukleon) uzyskuje się jądra superciężkie, które zachodzą według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>HI+HN\rightarrow SHN+\nu n\;</MATH>|7.20}} gdzie HI -to jest superciężki jon wielokrotnie zjonizowany, HN -to ciężkie jądro, SHN -to superciężkie jądro, w wyniku reakcji wydziela się &nu; nukleonów równej od 1 do 3. Jądro pocisku i tarczy są tak dobrane by powstałe jądro nie ulegało natychmiastowemu rozszczepieniu z czasem średnim &tau;=10{{Sup|-22}}s. Przekrój czynny na reakcje syntezy jest rzędu nanobarnów, a więc jest niezwykle bardzo mały, np. dla reakcji: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{48}Ca+{}^{238}U\rightarrow{}^{283}112+3n\;</MATH>|7.21}} dla której przekrój czynny na reakcje syntezy jest &sigma;=5 nb. Pamiętajmy, że jądra superciężkie są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i spontaniczne rozszczepienie. ==== Wybrane reakcje syntezy ==== Przedstawiamy poniżej wybrane reakcje syntezy wraz z ilością wydzielanej energii w nim wraz energią na jednostkę masy atomowej. {{Center|<!-- -->{{Tabelka|klasa=wikitable|opcje=width=70%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''Reakcja'''}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''Wydzielana energia całkowita'''}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''w MeV'''}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''w MeV/j.m.at.'''}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^1_1H\rightarrow{}^2_1H+{}^0_{+1}e^++\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,44}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,72}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^2_1H\rightarrow{}^3_2He+\gamma\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|5,49}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,82}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^7_3Li\rightarrow{}^4_2He+{}^4_2He\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|17,35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2.16}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^2_1H\rightarrow{}^3_2He+{}^1_0n\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,27}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,81}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^2H_1\rightarrow{}^3_2He+{}^1_1H\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|4,03}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,00}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^2_1H+{}^3_1H\rightarrow{}^4_2He+{}^1_0n\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|17,59}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,50}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^2_1H+{}^3_2He\rightarrow{}^4_2He+{}^1_1H\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|18,35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,75}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^6_3Li\rightarrow{}^4_2He+{}^4_2He\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|22,37}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2,78}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^3_1H+{}^3_1H\rightarrow{}^4_2He+{}^1_0n+{}^1_0n\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|11,33}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,88}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^3_2He+{}^3_2He\rightarrow{}^4_2He+{}^1_1H+{}^1_1H\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|12,86}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2,13}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}U+{}^1_0n\rightarrow \mbox{rozszczepienie}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|195}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,83}}}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} === Reakcje termosyntezy === Są to reakcje syntezy zachodzące samoczynnie w układzie o bardzo dużej gęstości, złożone z lekkich jąder ogrzanych do bardzo wysokiej temperatury. Zderzenie jąder jest wynikiem jej ruchu termicznego. Średnia temperatura w ruchu we wnętrzu gwiazd jest około T&asymp;10{{Sup|8}}K (k{{Sub|bm}}t&asymp;8keV). Na przekroczenie bariery kulombowskiej w atomie wodoru wymagana jest średnia energia równa 700keV. W reakcji przekroczenie bariery kulombowskiej może zachodzić przy mniejszej energii niż ostatnio podaną w wyniku przejść tunelowych. Prawdopodobieństwo takich przejść jest bardzo małe i silnie zależy od energii cząstki bombardującej i wysokości bariery potencjału, a więc od iloczynu Z{{Sub|a}}&sdot;Z{{Sub|X}}. Natężenie reakcji termosyntezy zależy i silnie wzrasta od temperatury i gęstości materii jądrowej. Po przekroczeniu określonej temperatury staje się reakcją syntezy samopodtrzymującą i stale wydziela się energia o określonej mocy lub lawinowy jej wzrost, w którym następuje wybuch (bomba termojądrowa). Pierwsza sytuacja powiedziana jest w gwiazdach, gdzie spala się wodór w temperaturze od 15 do 18 pomnożone przez 10{{Sup|6}}K i gęstości 100g/cm{{Sup|3}} w cyklu p-n i CNO. Każda z tych cykli ma gałąź główną i dwa poboczne. Końcowym produktem tej reakcji jest {{Sup|4}}He w cyklu p-n i {{Sup|4}}He+{{Sup|12}}C w cyklu CNO. Przedstawmy cykl p-p, który daje 95% energii na Słońcu. {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix}{}^1H+{}^1H\rightarrow {}^2H+e^++\nu_e\\{}^2H+{}^1H\rightarrow {}^3He+\gamma\\{}^3He+{}^3He\rightarrow {}^4He+2{}^1H\end{matrix}\;</MATH>{{Br}}{{Tekst|co w sumie daje nam}}{{Br}}<MATH>4{}^1H\rightarrow{}^4He+2e^++2\nu_e+2\gamma\;</math>|7.22}} A także podamy gałąź główną CNO, który daje nam kilka procent energii na słońcu. W gwiazdach masywnych w cyklu CNO wytwarza się więcej energii niż w cyklu p-p, bo tam jest wyższa temperatura i gęstość: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix}{}^{12}C+{}^1H\rightarrow {13}N+\gamma\\{}^{13}N\rightarrow{}^{13}C+e^++\nu_e\\{}^{13}C+{}^1H\rightarrow{}^{14}N+\gamma\\{}^{14}N+{}^1H\rightarrow{}^{15}O+\gamma\\{}^{15}O\rightarrow{}^{15}N+e^++\nu_e\\{}^{15}N+{}^1H\rightarrow{}^{12}C+{}^4He\end{matrix}\;</math>|7.23}} Po wypaleniu się wodoru w gwieździe maleje jego ciśnienie w jej wnętrzu. Wtedy to powoduje kontrakcja Słońca w wyniku zapadania się grawitacyjnego, co powoduje wzrost jego temperatury w jego wnętrzu do ok. 10{{Sup|8}}K i gęstości 10{{Sup|5}}g/cm{{Sup|3}}. W tych warunkach następuje termosynteza jąder {{Sup|4}}He, a następnie {{Sup|12}}C,{{Sup|16}}O i Si. Trwają prace nad stworzeniem reaktora termojądrowego od 50lat, który by wykorzystywał reakcje syntezy w lekkich jądrach. Najbardziej obiecujące są reakcje deuteru lub trytu w jądrach helu-3 lub helu-4. Posiada ono najniższą z możliwych barier kulombowskiej i stosunkowo mały przekrój czynny na reakcje syntezy, tzn. {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix} {}^2H+{}^2H\rightarrow{}^3He+n&Q_S=3,3\mbox{MeV}\\ {}^2H+{}^2H\rightarrow{}^3H+p&Q_S=4,4\mbox{MeV}\\ {}^2H+{}^3H\rightarrow{}^4He+n&Q_S=17,6\mbox{MeV}\end{matrix}\;</MATH>|7.24}} Powyższe trzy charakteryzujące się reakcje jądrowe mają duże wartości Q{{Sub|S}}/A, a szczególnie trzecia z nich w {{LinkWzór|7.24}}. Zapasy ziemskie deuteronu są praktycznie niewyczerpalne - jest ich w wodzie morskiej ok. 0,015%. W warunkach ziemskich reakcje termosyntezy mogą przebiegać w znacznie mniejszej objętości i mniejszej gęstości niż na słońcu i dlatego straty energii w wyniku przewodnictwa cieplnego, promieniowania, liczby neutronów w tych warunkach będą zawsze duże. Oznacza to, że aby otrzymać samopodtrzymującą się reakcje termosyntezy należy podgrzać plazmę do bardzo wysokiej temperatury, wyższa niż temperatura na Słońcu. Określa się, że minimalna temperatura i gęstość plazmy deuterowo-trytowej może być n&tau;=10{{Sup|14}}cząstek&sdot;s/cm{{Sup|3}} i o określonej temperaturze 10{{Sup|8}}K, gdzie &tau; jest to czas utrzymywania określonych wartości koncentracji "n" i temperatury "T" plazmy. Ten problem próbuje się rozwiązać dwoma metodami: * Ogrzewanie całej objętości do temperatury 10{{Sup|8}}K plazmy o gęstości n&ge;10{{Sup|14}}cząstek/cm{{Sup|3}} w czasie stosunkowo długim &tau;&ge;0,1s. W celu niedostania się plazmy do ścianek obudowy stosuje się bardzo silne pole magnetyczne efektywne, które to pole magnetyczne jest wytwarzane przez powłoki w kształcie toroidu. W tym polu elektrony i jony poruszają się po spiralach nawiniętych na linie pola magnetycznego. Przy odpowiedniej konfiguracji toroidu poruszającą się plazmę można zagęścić w środku toroidu i ograniczyć jego kontakt ze ściankami komory. W procesie zagęszczania powstaje duża temperatura. Toroidy oparte na tej zasadzie nazywamy '''tokamakami'''. W roku 1963 w objętości kilkudziesięciu litrów uzyskano n&tau;=3&sdot;10{{Sup|11}}s&sdot;cząstek/cm{{Sup|3}} i temperaturę T=3&sdot;10{{Sup|6}}K. W reakcji termosyntezy po raz pierwszy uzyskano neutrony pochodzące z reakcji termosyntezy deuterony i trytu, ale ogólny bilans energii był ujemny. Trudności praktyczne z uzyskaniem praktycznego tokamaka wynikają głównie z niestabilności plazmy. * Nagrzewanie bardzo szybkie &tau;=10{{Sup|-9}}s poprzez impulsowe nagrzewanie małych objętości ze wszystkich stron do bardzo wysokiej temperatury, w taki sposób aby plazma nie mogła przeniknąć do ścianek, przy pomocy laserów lub wiązek elektronowych o bardzo dużej mocy. Mieszanina deuteronu i trytu w takich wiązkach może być w stanie stałym o bardzo dużej gęstości bez zagęszczania. == Bomba termojądrowa == {{Rysunek|Teller-ulam-multilang.png|7.13|Schemat budowy ładunku termojądrowego A - Faza rozszczepienia (ładunek główny) B - Faza fuzji (ładunek dodatkowy) 1 - Chemiczny materiał wybuchowy 2 - Osłona uranu-238 3 - Próżnia 4 - Pluton lub uran zawierający tryt w stanie gazowym 5 - Forma z polistyrenu 6 - Osłona uranu-238 7 - Deuterek litu-6 (paliwo fuzji) 8 - Pluton 9 - Osłona odbijająca promieniowanie X w kierunku ładunku dodatkowego}} W bombie termojądrowej występują reakcje syntezy lekkich atomów pierwiastków w wyniku czemu powstają ciężkie atomy pierwiastków o większej energii wiązania. Warunkiem koniecznym uzyskania syntezy jąder jest wysoka temperatura i wysoka gęstość cząstek reagujących. Mając na uwadze, że wybuch rozrzuca materiały reagujące powinno stosować się materiały reagujące w jak najniższej temperaturze. Pierwsze bomby termojądrowe były zbudowane w oparciu o deuter i tryt, w której nie jest on zbyt trwały, a czas jego połowicznego zaniku jest 12,26 lat, więc tak powstałej bomby nie należy zbytnio przechowywać. Rozwiązaniem tego problemu jest wytwarzanie trytu podczas wybuchu. Tryt jest otrzymywany z litu podczas bombardowania jego jąder neutronami powstałych z rozszczepienia ładunku inicjującego, którym jest uranowo-plutonowa bomba jądrowa o stosunkowo niewielkiej mocy. Zastosowanie deuteru i trytu w postaci związków w stanie stałym bez udziału chłodzenia znacznie upraszcza konstrukcję. Reakcje zachodzące podczas wybuchu bomby jądrowej są: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{matrix} {}^6Li+n\rightarrow {}^4He+{}^3T+\mbox{4,18MeV}\\ {}^3T+{}^2D\rightarrow {}^4He+n+\mbox{17,6MeV}\\ {}^2D+{}^2D\rightarrow {}^3T+p+\mbox{4MeV}\\ {}^2D+{}^2D\rightarrow {}^3He+n+\mbox{3,3MeV}\\ \end{matrix} </MATH>|17.25}} Zasadniczo mają najważniejszy wpływ dwie pierwsze reakcje {{LinkWzór|17.25}}, które tworzą samopodtrzymujący się cykl. Pierwsza dostarcza tryt do drugiej reakcji, a druga reakcja neutronów do pierwszej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> tbzonbgmprkduum6mnnjimii1iydycw 0 21967 558609 531693 2026-10-04T20:20:15Z Persino 2851 558609 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować oddziaływaniami różnego rodzaju promieniowania z materią, w tym cząstek ciężkich (w porównaniu z elektronami), elektronów, czy też promieniowania &gamma;. Także zajmować się będziemy promieniowaniem Czerenkowa, metodami detekcji cząstek naładowanych i promieniowania &gamma;, detektorami przejścia, które dzielimy na gazowe, scyntylacyjne i półprzewodnikowe. Zajmować się będziemy także spektrometrami promieniowania jądrowego, a także parametrami spektrometrów licznikowych i magnetycznych. == Oddziaływanie różnego rodzaju promieniowania z materią == Będziemy rozpatrywać metody oddziaływania promieniowania jądrowego z materią, w tym promieniowania, które są to zbiorem cząstek ciężki, także przedstawimy metody oddziaływania elektronów, a także promieniowania γ z materią. === Metody oddziaływania cząstek ciężkich z materią === Cząstki ciężkie będziemy rozumieć cząstki cięższe od elektronów, te cząstki przechodząc przez ciała materialne oddziaływują przez swoje pole elektryczne z elektronami odczepiając je od danych atomów tracąc przy tym energię. Jeśli cząstka poruszająca się w ośrodku ma pewną energię, oddziaływuje z elektronami i jądrami atomów ośrodka, w którym się porusza, dla energii kinetycznych cząstek poruszających się w ośrodku, która jest mniejsza niż energia pokonania bariery kulombowskiej jądra dla cząstek poruszających się w ośrodku, czyli E{{Sub|cz}}<E{{Sub|bariera kul}}, dla przypadku cząstki naładowanej lub gdy mamy do czynienia z promieniowaniem elektromagnetycznym bariera kulombowska nie gra roli, to oddziaływanie cząstek z materią prowadzi do: * wzbudzenia i jonizacji atomów, straty energii cząstek jonizacyjnych przy jonizacji atomów ośrodka, przez które przechodzi, można opisać przy pomocy wzoru Bethego-Blocha dla małych prędkości takich, że energia cząstki powinna być o wiele mniejsza niż wielkość (m{{Sup|2}}/2m{{Sub|e}})c{{Sup|2}}, przy którym "m" jest masą cząstki oddziałującej z ośrodkiem, a m{{Sub|e}} jest masą elektronów, c prędkość światła, zatem straty energii na jednostkę długości określamy według wzoru: {{Rysunek|StoppingHinAlBethe.png|8.1|Siła hamowania w aluminium dla protonu pędzących z pewną energią, a wzór Bethego-Blocha}} {{CentrujWzór|<MATH>-\frac{dE}{dx}=z^2n_e\varphi(v,I)={{4\pi e^4z^2n}\over{m_ev^2}}Z\ln{{2m_ev^2}\over{I}}</math>|8.1}} : gdzie v jest to prędkość cząstek jonizacyjnych, a I jest to średnia energia jonizacji ośrodka, i dalej n{{Sub|e}} jest to gęstość elektronów w ośrodku. Wielkość I jest wprost proporcjonalne do liczby atomowej Z ośrodka, przez którą przelatuje dana cząstka. Wzór empiryczny na tą wielkość określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>I=9,1Z\left(1+{{1,9}\over{Z^{{2}\over{3}}}}\right)eV\;</MATH>|8.2}} Gdy uwzględnimy cząstki o dużych energiach uwzględniające kontrakcję pola kulombowskiego, wtedy wzór {{LinkWzór|8.1}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>-{{dE}\over{dx}}={{4\pi e^4z^2n}\over{m_ev^2}}\left(\ln{{2m_ev^2}\over{I\left(1-\beta^2\right)}}-\beta^2\right)\;</MATH>|8.3}} * gdzie współczynnik &beta; jest to stosunek prędkości cząstki do prędkości światła. Dla bardzo małych energii cząstek wzór {{LinkWzór|8.1}} przestaje być słuszny, bo nieuwzględniania procesów przechwytywania przez cząstkę elektronów i dalszego jego oddawania. Ale ponieważ dla małych prędkości cząstek dominującym czynnikiem w {{LinkWzór|8.1}} jest 1/v{{Sup|2}}, zatem czym mniejsza prędkość, to straty energii cząstki jonizującej ośrodek mogą być naprawdę wysokie: * rozproszenia sprężystego na jądrach według Rutherforda dla mas cząstek jonizacyjnych m{{Sub|a}} mniejszych od masy jądra (m{{Sub|cz}}<M{{Sub|j}}), lub według Motta, gdy masa cząstki jonizującej m{{Sub|cz}} jest porównywalna z masą jądra atomowego. * promieniowania hamowania, który powstaje podczas hamowania cząstki w polu jądra atomowego, * promieniowania Czerenkowa, która powstaje, gdy prędkość cząstki jest większa niż prędkość światła w danym ośrodku materialnym, * wybijania elektronów w procesie jonizacji z powłok elektronowych z k-tej powłoki, gdy mamy do czynienia z energią cząstek promieniowania jonizacyjnego większą niż energia wiązania elektronu na k-tej powłoce. Wiedząc jakie są straty energii (patrz {{LinkWzór|8.1}} lub {{LinkWzór|8.2}}), wtedy możemy obliczyć zasięg cząstki w danym ośrodku, w którym znajduje się dana cząstka, i wiedząc, że zachodzi dE=mvdv, wtedy zasięg jego wyznaczamy ze wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>R=\int_0^{E_0}\left(-{{dE}\over{dx}}\right)^{-1}dE=z^{-2}\int_0^{E_0}f(v)dE=mz^{-2}\int_0^{v_0}f(v)vdv=mz^{-2}F(v_0)\;</MATH>|8.4}} Jeśli znamy zasięg liczony dla protonów możemy policzyć zasięgi dla innych cząstek mając wzór: {{CentrujWzór|<MATH>R_i(E_i)={{1}\over{z_i^2}}\left({{m_i}\over{m_p}}\right)R_p(E_p)T_i\;</MATH>|8.5}} * Przy czym R{{Sub|i}}(E{{Sub|i}}) oznacza się zasięg cząstki o liczbie masowej z{{Sub|i}} i masie m{{Sub|i}} i energii E{{Sub|i}}, a T{{Sub|i}} jest to czynnik nieznacznie odbiegający od jedynki, a zasięg protonów R{{Sub|p}}(E{{Sub|p}}) jest dla energii E{{Sub|p}}=m{{Sub|p}}E{{Sub|i}}/m{{Sub|i}}. Przy procesach w których mamy ciężkie jądra takie jak fragmenty rozszczepienia zaczynają brać pod uwagę zderzenia z jądrami niż zderzenia z elektronami. Możemy stosować formułę Bragga-Kleemanna, w których mamy doczynienia stosując je dla różnych ośrodków przez które przechodzi dana przelatująca cząstka, przy tym oznaczając ρ jako gęstość ośrodka, a A liczba masowa ośrodka: {{CentrujWzór|<MATH>{{R\rho}\over{\sqrt{A}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|8.6}} Jeśli zachodzi {{Formuła|<MATH>\sqrt{A_{pow}}=3,81\;</MATH>}}, a &rho;{{Sub|pow}}=1,226mg/cm{{Sup|3}}, wtedy zasięg danej cząstki w danym ośrodku o liczbie masowej A względem zasięgu w powietrzu, co wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>R_A=3,2\cdot 10^{-4}{{\sqrt{A}}\over{\rho_A}}R_{pow}\;</MATH>|8.7}} Jeśli mamy doczynienia z mieszaniną różnych pierwiastków lub jest związkiem w absorbencie o liczbach atomowych A{{Sub|1}},A{{Sub|2}},A{{Sub|3}},..., które są z częstościami &delta;{{Sub|1}},&delta;{{Sub|2}},&delta;{{Sub|3}},... wtedy we wzorze {{LinkWzór|8.6}} za pierwiastek wielkości A należy podstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{A}=\delta_1\sqrt{A_1}+\delta_2\sqrt{A_2}+\delta_3\sqrt{A_3}+\cdots\;</MATH>|8.8}} === Metody oddziaływania elektronów z materią === Kwestia oddziaływania elektronów z materią jest zagadnieniem bardziej skomplikowanym niż oddziaływanie elektronów z materią, czyli należy w liczyć w ten proces liczenia większą liczbę procesów oddziaływania, w to wliczamy jonizację, elastyczne zderzenia z jądrami i elektronami, w którym elektron może zmieniać energię i kierunek ruchu, nieelastyczne zderzenia, w której elektron traci część energii na promieniowanie hamowanie. Prawdopodobieństwo zajścia takiego procesu opisywany jest przez przekrój czynny i ma wymiar cm{{Sup|2}}, wtedy zmiana koncentracji elektronów dn w ośrodku liczymy według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>dn=-\sigma nNdx\;</MATH>|6.9}} Przekrój czynny na promieniowanie definiujemy jako pochodna energii względem osi prostopadłej do absorbenta podzielonej przez iloczyn koncentracji elektronów i jego energię: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma={{1}\over{nE}}{{dE}\over{dx}}\;</MATH>|6.10}} Gdy możliwa jest organizacja wielu procesów o przekrojach czynnych cząstkowych &sigma;{{Sub|1}},&sigma;{{Sub|2}},..., wtedy całkowity przekrój czynny badanego procesu rozpraszania promieniowania &gamma; jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3+\cdots\;</MATH>|6.11}} Różniczkowy przekrój czynny określa prawdopodobieństwo, że w danym koncie bryłowym d&Omega; lub gdy cząstka będzie miała energię (E,E+dE), to wtedy zachodzi: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\sigma(\theta,\phi)d\Omega\;</MATH>|6.12}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\sigma(E)dE\;</MATH>|6.13}}}} Przekroje czynne spotykane w fizyce mają bardzo małe wartości i dlatego wprowadzono jednostkę 1 barn, którego definicja 1b(barn)=10{{Sup|-24}}cm{{Sup|2}}. ==== Przekroje czynne przy przejściu promieniowania jonizującego ośrodek ==== Rozpatrzmy teraz przekroje czynne na jonizacje ośrodka w wyniku przechodzącego promieniowania elektronowego, którą przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_f=8\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{cm^2/atom}=2\cdot \underbrace{4\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2}_{1b}{{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{cm^2/atom}=2{{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{b/atom}\;</MATH>|6.14}} ==== Przekroje czynne na rozpraszanie sprężyste na elektronach, czyli w procesach, w których zachodzi zasada zachowania energii ==== Przekrój czynny na rozproszenia sprężyste na elektronach, które to występuje w obszarze kątów {{Formuła|<MATH>0^o-90^o\;</MATH>}}, charakteryzujemy prawdopodobieństwem tego processu pod kątami {{Formuła|<MATH>\theta \geqslant 45^o</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{res}=8\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{Z}\over{\beta^4}}\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}\simeq 2{{Z}\over{\beta^4}}\operatorname{b/atom}\;</MATH>|6.15}} ==== Przekroje czynne na rozproszenia sprężyste na jądrach ==== To rozpraszanie charakteryzuje się różnymi kątami i tą wielkość podamy dla kątów {{Formuła|<MATH>\theta\ge 90^{o}\;</MATH>}}, i przekrój czynny jego dla przedziału prędkości dla których zachodzi &beta;<<1, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{rs}=\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2Z^2{{1-\beta^2}\over{\beta^4}}cm^2/atom\simeq {{1}\over{4}}{{Z^2}\over{\beta^4}}b/atom\;</MATH>|FG}} ==== Przekroje czynne na emisję promieniowania występującego przy zmianie pędu cząstki w ośrodku ==== A na przekrój czynny na emisję promieniowania podamy poniżej, w którym promieniowanie hamowania występuje, gdy następuje zmiana pędu danej cząstki, czyli zmiana kierunku lub prędkości danej cząstki. Energia danej cząstki zmienia się wtedy w przedziale (h&nu;,h&nu;+d(h&nu;)) przy zmianie kierunku toru pod wpływem pola magnetycznego: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_p={{1}\over{137}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2Z^2{{E+m_0c^2}\over{E}}{{d(\hbar\omega)}\over{\hbar\omega}}B=\sigma(\hbar\omega)d(\hbar\omega)\;</MATH>|6.16}} * gdzie {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest słabo zależącą funkcją od zmiennych od E (energii cząstki) i Z (liczby atomowej). Straty energii elektronów podczas oddziaływania z materią są równe: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{dE}\over{dx}}\right)_p=n\int_0^E\hbar\omega\sigma(E,\hbar\omega)d(\hbar\omega)\;</MATH>|6.17}} Wykorzystując wzór na straty energii {{LinkWzór|6.17}} i wzór na przekrój czynny {{LinkWzór|6.10}}, wtedy wzór na przekrój czynny na emisję promieniowania hamowania jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_f={{1}\over{n}}{{1}\over{E}}{{dE}\over{dx}}={{16}\over{3}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{Z^2}\over{137}}{{E+m_0c^2}\over{E}}\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}={{8}\over{3\pi}}{{1}\over{137}}{{Z^2}\over{\beta^2}}\operatorname{b}/\operatorname{atom}\;</MATH>|6.18}} === Metody oddziaływanie promieniowania γ z materią === Kwanty &gamma; w ośrodkach oddziaływają z materią siłami elektromagnetycznymi: * z elektronami atomów lub cząsteczek, * z nukleonami jądra, * a także z polami elektromagnetycznymi jąder i elektronów na powłokach elektronowych. Następstwem tychże oddziaływań jest: * absorpcja kwantu &gamma;, * rozproszenie koherentne (sprężyste), tzn. energia kwantu &gamma; nie zmienia się, * rozproszenie niekoherentne (niesprężyste). Powyższe procesy są procesami, których prawdopodobieństwo jest funkcją zależną od energii kwantu: &gamma;, i liczby atomowej ośrodka Z. ---- * Rozpatrzmy teraz trzy przypadki, zatem najpierw pierwszy mówiący coś o oddziaływaniu z '''elektronami związanymi na powłokach elektronowych''' omawiany poniżej. Zjawisko '''absorpcji''' zachodzi wyniku fotoefektu, co zachodzi w wyniku zderzenie kwantu &gamma; z atomem i wyniku czego elektron zostaje uwolniony z atomu, co schemat tego zdarzenia opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma+e_n+X\rightarrow X^*+e_{sw}\;</MATH>|8.19}} To zjawisko następuje, gdy energia fotonu jest większa niż energia wiązania elektronu na danej powłoce elektronowej, czyli zachodzi {{Formuła|<MATH>h\nu\geq B_e(n)\;</MATH>}}. Energia wybitego elektronu jest równa: {{Formuła|<MATH>E_{fe}=h\nu-B_e(n)\;</MATH>}}. Jeśli energia fotonu spełnia warunek h&nu;<big>&#187;</big>B{{Sub|e}}(k), wtedy atom może być obdarty z elektronu, który znajduje się na n-tej powłoce elektronowej, który zostaje wydarty, jeśli energia fotonu jest odpowiednia. Przekrój czynny na zajście tego zdarzenia dla małych energii fotonu dla obu tych przypadków piszemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_f\sim{{Z^5}\over{h\nu}}\mbox{ dla }h\nu\ll B_e(K)\;</MATH>|8.20}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{\sigma\sim{{Z^5}\over{(h\nu)^{7/2}}}}\mbox{ dla }h\nu\geq B_e(K)\;</MATH>|8.21}} }} Zjawisko '''zderzenia koherentnego''' w rozpraszanie Rayleigh'a, zachodzi, gdy kąt między rozproszeniem kwantu &gamma; przed i po zderzeniu jest mniejsze niż 20{{Sup|o}} dla glinu (Al) i 4{{Sup|o}} dla ołowiu (Pb). Przekrój czynny na to rozpraszanie rośnie wraz z liczbą atomową jądra Z i maleje wraz z energią kwantu &gamma; h&nu;. Jego przekrój jest bardzo mały, obserwuje się to dla przypadku energii kwantu h&nu;&le;1MeV. Dla '''zderzenia niekoherentnego''' dzielimy rozpraszanie na Comptona, i Thomsona, z których to pierwsze jest oddziaływaniem z elektronami swobodnymi słabo związanymi z jądrem atomowym, tzn. dla którego zachodzi h&nu;>>B_e(n). Energia kwantu rozproszonego jest mniejsza niż przed zdarzeniem. Przekrój czynny na rozpraszanie Comptona dla małych energii fotonu, ale na tyle dużych by zachodził wcześniej podany efekt, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_C\sim{{Z}\over{h\nu}}\;</MATH>|8.22}} Rozpatrzmy rozpraszanie, dla której energia kwantu &gamma; jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa elektronu (rozpraszanie Thomsona). Jest to rozproszenie zachodzące według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>{\gamma+e_n\rightarrow X^*+\gamma^'}\;</MATH>|8.23}} Przekrój czynny na to zjawisko jest bardzo mały i maleje wraz z energią kwantu, a nie zależy od energii przejścia E{{Sub|&gamma;}}. * rozważmy teraz przypadek '''oddziaływania z jądrami lub nukleonami jadra atomowego'''. '''Absorpcja''' zachodzi wyniku fotoreakcji, gdy w wyniku zderzenia z jądrem kwantu &gamma; i wyniku czego wybijana jest cząstka "a" lub jądro rozszczepia się na mniejsze fragmenty. W przypadku pierwszym zachodzi gdy energia kwantu jest większa niż energia wiązania cząstki "a" w jądrze, a przypadku drugim, gdy energia kwantu jest większa niż energia bariery potencjału, tzn. zachodzi, gdy h&nu;&ge;10MeV. A przypadku '''rozpraszania koherentnego''' rezonansowego, które zachodzi, gdy wyniku pochłonięcia kwantu &gamma; jądro przechodzi w stan wzbudzony i później emituje inny foton o tej energii co przed pochłonięciem jego przed zderzeniem z jądrem, co zachodzi w zjawisku Mösbauera. Zjawisko to zachodzi według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma+{}^AX\rightarrow {}^AX^*_j\rightarrow {}^AX^*+\gamma\;</MATH>|8.24}} Dla zjawiska Tomsona które zachodzi, gdy rozpraszanie jest o kącie bardzo małym, zaledwie kilku stopni. Przekrój czynny na to rozpraszanie jest wtedy bardzo mały. '''A w przypadku zderzenia niekoherentnego''' Wzbudzenie jądra zachodzi według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma+X_j\rightarrow X^*_j+\gamma^'\;</math>|8.25}} Energia kwantu powinna być taka by była większa niż pierwszy stan wzbudzony jądra atomowego. Przekrój czynny na to zjawisko jest bardzo mały. * Rozważmy jako ostatni przypadek '''zderzenia z polem kulombowskim jądra lub z polem elektronów''', wtedy dla '''zjawiska absorpcji''' tworzy się para (e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}), dla zjawiska zachodzącego w polu jądra atomowego może to zachodzić, gdy energia fotonu jest większa od podwojonej energii spoczynkowej elektronu, jego przekrój czynny dla dużych energii fotonów jest pisany: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{pj}\sim Z^2\left(3\ln {{2h\nu}\over{m_ec^2}}-8\right)\sim Z^2\ln 2h\nu\;</MATH>|8.26}} lub w polu elektronu, wtedy energia fotonu jest taka by była większa niż czterokrotna wartość energii spoczynkowej elektronu. Udowodniono, że przekrój czynny na zajście tego zjawiska w polu elektronu jest o wiele mniejsze niż przekrój czynny na zajście tego zjawisko w polu jądra atomowego (&sigma;{{Sub|pe}}<<&sigma;{{Sub|pj}}). Dla zjawiska Delbruka '''zderzenia koherentnego''' w polu jądra atomowego tworzy się para (e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}) i ta para w wyniku anihilacji tworzy znów jeden foton, przy czym w tym zjawisku energia fotonu przed zajściem tworzenia pary i po anihilacji tej pary jest taka sama, to zjawisko zachodzi wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>{h\nu\rightarrow e^+e^-\rightarrow h\nu}\;</math>|8.27}} dalej oczywiste jest, że energia fotonu jest większa lub równa podwojonej energii spoczynkowa elektronu h&nu;&ge;2m{{Sub|e}}c{{Sup|2}}. {{Rysunek|Zależność przekroju czynnego absorpcji kwantu gamma od energii kwantu gamma przez materię.jpeg|8.3|Zależność przekroju czynnego absorpcji kwantu gamma od energii kwantu gamma}} Całkowity przekrój czynny na rozpraszanie kwantu &gamma; na atomie jest równa sumie przekroju czynnemu na fotoefekt, zjawisko Comptona i zjawiska na utworzenie pary elektron-pozyton, tj. e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}), co matematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^{tot}=\sigma_f+\sigma_c+\sigma_p\;</MATH>|8.28}} Rozpraszanie cząstek obojętnych z ośrodku materialnym może prowadzić do: * rozpraszania sprężystego i niesprężyste na jądrach atomowych * reakcji jądrowych właściwych: ** wychwytu radiacyjnego cząstki "a", co daje w wyniku jądro złożone, które to jądro wyniku przejściu na niższy poziom energetyczny wysyła kwant &gamma;. ** rozszczepienia jądra ** z utworzeniem nowego jadra Y z jądra X i wysłanie na zewnątrz tego jądra cząstki "b", co zachodzi według schematu a+X→Y+b, którą cząstka "b" jest cząstką naładowaną, i wtedy część energii, która wydziela się w wyniku reakcji przyjmuje cząstka "b". ==== Zjawisko fotoelektryczne ==== Kwant energii dawany jest elektronowi w materii, a ta energia dodatkowa elektronu jest potrzebna do pokonania bariery potencjału w niej i stworzenia energii kinetycznej elektronu w atomie, co możemy przedstawić wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega=E+E_B\;</MATH>|8.29}} Przekrój czynny w tym zjawisku jest określany w zależności od częstotliwości padającego na elektron fotonu: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_f\sim{{Z^h}\over{(\hbar\omega)^k}}\;</MATH>|8.30}} przy którym wykładniki h i k zależą od energii kwantu &gamma; i zmieniają się od wartości h=4,0 i k=3,5 dla niskich energii w porównaniu z energią spoczynkową elektronu do wartości h=4,6 i k=1 dla energii bardzo wysokich w porównaniu z masa spoczynkową elektronu. ==== Zjawisko Comptona ==== Przedstawmy sobie foton o częstotliwości &omega;, który zderza się ze spoczywającym elektronem, w wyniku której ten foton zostaje rozproszony pod pewnym kątem względem pierwotnego biegu kierunku fotonu przez zderzeniem pod kątem &theta;, a elektron też zostaje rozproszony pod kątem &phi; względem pierwotnego kierunku biegu naszego fotonu. Energia fotonów &gamma; przedstawiamy wzorem {{Formuła|<MATH>E_{\gamma}=\hbar \omega\;</MATH>}}, a także jego pęd {{Formuła|<MATH>p_f={{\hbar \omega}\over{c}}\;</MATH>}}, wtedy z prawa zachowania energii i pędu otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\hbar \omega=\hbar \omega^'+E\;</MATH>|8.31}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{\hbar \omega}\over{c}}={{\hbar \omega^'}\over{c}}\cos\theta+p\cos\phi\;</MATH>|8.32}} |3={{CentrujWzór|<MATH>0={{\hbar \omega^'}\over{c}}\sin\theta-p\sin\phi\;</MATH>|8.33}} }} Wtedy wzory na energię rozproszonego fotonu i energię odrzutu elektronu przedstawiamy w zależności od kąta &theta; lub &phi;: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<math>\hbar \omega^'={{hbar\omega}\over{1+\alpha(1-\cos\theta)}}\;</MATH>|8.34}} |2={{CentrujWzór|<MATH>E=\hbar \omega{{2\alpha\cos^2\phi}\over{(1+\alpha)^2-\alpha^2\cos^2\phi}}=\hbar \omega{{\alpha(1-\cos\theta)}\over{1+\alpha(1-\cos\theta)}}\;</MATH>|8.35}} }} * gdzie {{Formuła|<MATH>\alpha={{\hbar\omega}\over{m_0c^2}}\;</MATH>}}. Jeżeli obierzemy zjawisko Comptona, dla którego kwanty promieniowania &gamma; zderzają się z elektronami, wtedy możemy powiedzieć, że różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie pod kątem d&Omega; w kierunku kąta &theta; i &phi; dla spolaryzowanego kwantu &gamma; określamy przy pomocy kątów układu kulistego przez wzór (pierwszy wzór), co sumując go po wszystkich polaryzacjach kwantu rozproszonego, czyli tutaj dwóch prostopadłych kierunkach, (drugi wzór), mamy: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_C^{(1)}={{1}\over{4}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-2+4\cos^2\theta\right)d\Omega\rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\rightarrow d\sigma_C^{(2)}={{1}\over{2}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-2\sin^2\theta\cos^2\phi\right)d\Omega\;</MATH>|8.36}} Wzór {{LinkWzór|8.36}} wykazuje maksimum przy kącie &phi;=90{{Sup|o}}, tzn. rozproszenie w kierunku polaryzacji wektora falowego, wtedy ono przyjmuje kształt po całym kącie bryłowym. Różniczkowy przekrój czynny uśredniamy na podstawie dwóch kierunków polaryzacji, wtedy mamy różniczkowy przekrój czynny kwantu niespolaryzowanego (pierwszy wzór) i go całkując mamy (drugi wzór), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_C={{1}\over{2}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-\sin^2\theta\right)d\Omega\rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\rightarrow \sigma_C=\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{1}\over{\alpha}}\left\{\left[1-{{2(\alpha+1)}\over{\alpha^2}}\right]\ln(2\alpha+1)+{{1}\over{2}}+{{4}\over{\alpha}}-{{1}\over{2(2\alpha+1)^2}}\right\}\;</MATH>|8.37}} Dla przypadków &alpha; o wiele mniejszych niż jeden, wtedy {{LinkWzór|8.37}} przedstawia się przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_C\simeq {{8\pi}\over{3}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left(1-2\alpha\right)\operatorname{cm}^2/\operatorname{elektron}\simeq{{2}\over{3}}(1-2\alpha)\operatorname{b/elektron}\;</MATH>|8.38}} Natomiast dla przypadków &alpha; bardzo dużych, wtedy {{LinkWzór|8.37}} rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_C\simeq\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{1}\over{\alpha}}\left(\ln 2\alpha+{{1}\over{2}}\right)\operatorname{cm}^2\operatorname{/elektron}\simeq{{1}\over{4\alpha}}\left(\ln 2\alpha+{{1}\over{2}}\right)\operatorname{b}/\operatorname{elektron}\;</MATH>|8.39}} ==== Zjawisko tworzenia par elektronów ==== Kwant może być zamieniony w parę elektron-pozyton, wtedy, gdy jego energia jest większa niż podwojona energia spoczynkowa energia spoczynkowa elektronu, czyli {{Formuła|<MATH>\hbar\omega>2m_ec^2=2\cdot 0,51=1,02 MeV\;</MATH>}}. Ponieważ do tworzenia pary elektron-pozyton z jednego fotonu &gamma; potrzebne jest spełnienie zasady zachowania energii i pędu, to w tym pierwszym zachowanie tejże wielkości jest spełnione natychmiastowe, a w tym drugim spełnienie zasady zachowania pędu jest spełnienie przy obecności innego jądra lub elektronu, w tym drugim energia fotonu musi być olbrzymia, a przekrój czyny bardzo mały, by była spełniona zasada zachowania pędu. Elektrony po stworzeniu pary elektron-pozyton mają energię: {{CentrujWzór|<MATH>E=\hbar\omega-2m_ec^2\;</MATH>|8.40}} Podobnie anihilacja pozytonu o energii E z negatonem energia wytworzonych kwantów &gamma; wynosi poniżej, czyli przy tym dla E=0 energia kwantu &gamma; po anihilacji jest m{{Sub|o}}c{{Sup|2}}=0,51 MeV: {{CentrujWzór|<math>\hbar\omega=E+2m_ec^2\;</MATH>|8.41}} Aby wytworzyć parę elektron-pozyton, to przekrój czynny na przetworzenie tego procesu, który zachodzi w pobliżu jądra Z przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_p={{1}\over{137}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)Z^2f(\hbar\omega)\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}={{Z^2}\over{1720}}f(\hbar\omega)\operatorname{b/atom}\;</MATH>|8.42}} Funkcja {{Formuła|<MATH>f(\hbar\omega)\;</MATH>}} jest funkcją zależną od energii kwantu &gamma;, której zależność jest logarytmiczna na samym początku, a potem dąży do energii, którego wartość jest wielkością stałą niezależną od energii, i jest ona zależna od liczby atomowej jądra, w pobliżu której zachodzi tworzenie pary pozyton-negaton: {{CentrujWzór|<MATH>f={{28}\over{9}}\ln {{183}\over{Z^{{{1}\over{3}}}}}-{{2}\over{27}}\;</MATH>|8.43}} Całkowity przekrój czynny z użyciem promieniowania &gamma; jest określany przez {{LinkWzór|8.28}}. === Współczynnik absorpcji promieniowania jądrowego === Róźniczka natężenia promieniowania jądrowego przy przejściu przez ośrodek przez grubość dx jest określana przez wzór poniżej, przy którym &mu; jest to współczynnik absorpcji: {{CentrujWzór|<MATH>-dI=\mu Idx\mu\rightarrow I=I_0e^{-\mu x}\;</MATH>|8.44}} Można napisać, że współczynnik absorpcji jest równy iloczynowi współczynnika koncentracji atomów ośrodka i przekroju czynnego na zajście danego zjawiska i zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|6.9}}, że: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=n\sigma\;</MATH>|8.45}} Cały współczynnik absorpcji jest sumą współczynnika absorpcji na zjawisko fotoelektryczne &mu;{{Sub|f}}, na efekt Comptona &mu;{{Sub|C}}, tworzenia pary elektron-pozyton &mu;{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=\mu_f+\mu_C+\mu_p\;</MATH>|8.46}} Można wprowadzić współczynnik absorpcji &mu;/&rho;, gdzie &rho; oznacza gęstość ośrodka, przez który przechodzi dane promieniowanie, ale nie ma w niej zależności od stanu danego ośrodka, wiedząc, że masa ośrodka atomowa jednego nukleonu jest w przybliżeniu równa jeden unit, wtedy współczynnik masowy &mu;/&rho; określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>n=N_A{{\rho}\over{A}}\Rightarrow {{\mu}\over{\rho}}=\sigma{{N_A}\over{A}}\;</MATH>|8.47}} Jeśli rozpatrzymy &sigma;{{Sub|e}} jako przekrój czynny na zjawisko Comptona na jeden elektron, wtedy przekrój na Z elektronów w atomie wyrażamy poprzez wzór &sigma;{{Sub|C}}=Z&sigma;{{Sub|e}}, wtedy wzór {{LinkWzór|8.47}} na zjawisko Comptona przyjmuje sposobność: {{CentrujWzór|<MATH>{{\mu_C}\over{\rho}}=\sigma_eN_A{{Z}\over{A}}\;</MATH>|8.48}} == Promieniowanie Czerenkowa == Jeśli w ośrodku przezroczystym n>1 porusza się naładowana cząstka, z prędkością większą niż prędkość światła w tym ośrodku, to jemu ruchowi towarzyszy promieniowanie elektromagnetyczne korelowane z kierunkiem ruchu cząstki. Promieniowanie to odkrył w 1934 Czerenkow, stąd jego nazwa. {{Rysunek|Cherenkov.svg|8.2|Schemat składania prędkości dla promieniowania Czerenkowa}} Przez cząstkę emitowana jest fala kulista, w każdej jego punkcie toru, co w wyniku czego tworzy się czoło fali o kącie rozwarcia względem prędkości cząstki v równej &theta;, która ta cząstka tą falę emituje. Jeśli cząstka przebyła od pewnego punktu początkowego odległość vt=&beta;ct, a fala emitowana, z opisywanej cząstki, z tego punktu początkowego wskazanego wcześniej przebyła dotąd odległość r=ct/n, wtedy kąt jaki tworzy czoło fali z kierunkiem ruchu cząstki pędzącej z prędkością v jest zatem wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{c/nt}\over{\beta ct}}={{c/n}\over{\beta c}}={{1}\over{n\beta}}\;</MATH>|8.49}} Promieniowanie Czerenkowa jest emitowane dookoła ruchu cząstki w stożku 2θ, która jest zależna od prędkości cząstki umieszczonej w ośrodku, której prędkość jest większa niż prędkość światła. Jeśli cosθ≤1, co stąd wynika nβ≥1, tzn. musi zachodzić v≥c/n, czyli prędkość fazowa cząstki wywołująca efekt Cerenkowa jest większa od prędkości fazowej światła w danym ośrodku. Kąt graniczny jaki tworzy czoło fali z prędkością cząstki wyrażamy według wzoru {{LinkWzór|8.4}} dla v=c i przedstawiamy ten kąt w postaci formuły: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{1}\over{n}}\;</MATH>|8.50}} Oczywiste jest, gdy v{{Sub|cz}}<c/n cząstka nie ma prawa emitować tego promieniowania. * '''Wyjaśnienie efektu działania promieniowania Czerenkowa''' {{Rysunek|Układ dipoli w prędkościami mniejszymi lub większymi niż prędkość światła w ośrodku.png|8.4|Układ dipoli dla prędkości cząstki mniejszej niż prędkość światła lub większych q danym ośrodku, a promieniowanie Czerenkowa}} Cząstka naładowana powoduje polaryzację ośrodka wzdłuż toru, a powrót ośrodka do stanu równowagi powoduje emisję promieniowania koherentnego. Dla prędkości pędzących cząstek naładowanych mniejszych od prędkości światła w ośrodku, w tym przypadku dipole w nim są rozmieszczone symetrycznie wzdłuż naładowanej pędzącej cząstki. Gdy prędkość cząstki jest większa od prędkości światła, to w wyniku czego układ dipoli spolaryzowane ośrodka ma wyraźny wyróżniony kierunek w stronę pędzącej naszej cząstki. W tym przypadku powoduje to wzmacnianie promieniowania cząstki w kierunku określonym przez {{LinkWzór|8.51}}. Najmniejszą energię progową jaką dana cząstka może posiadać w ośrodku aby pojawiło się promieniowanie Czerenkowa jest nazywana energią progową cząstki w danym ośrodku. Dla radiatora ze szkła organicznego przy współczynniku załamania równą 1,5, gdy cząstką wywołującej promieniowanie jest elektron, to jego energia progowa jest 0,173MeV, a gdy proton to 322MeV. Liczba fotonów emitowanych przez radiator o długości l w jednostce czasu, gdy liczbę atomową cząstki oznaczymy przez Z, jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>N(\nu)d\nu\sim Z^2l\sin^2\theta d\nu\;</MATH>|8.51}} Energia progowa dla której powyżej następuje promieniowanie Czerenkowa w szkle organicznym dla którego współczynnik załamania jest n=1,5 dla elektronów jest 0,173 MeV, dla mezonów 49 MeV i dla protonów 322 MeV. == Metody detekcji cząstek naładowanych i cząstek &gamma; == Detektorami cząstek nazywamy układy pozwalające z identyfikować cząstki i określić ich energię, lokalizację, tor, moment pędu. Detektory cząstek dzielimy na: * detektory przejścia (licznikowe) * detektory śladowe. * magnetyczne spektroskopy Parametrami detektorów jest: * wydajność liczoną jako iloraz liczby cząstek zarejestrowanych i liczby cząstek padających na detektor, zwykle liczy się go w procentach: {{CentrujWzór|<MATH>w={{N_{zareje}}\over{N_{padaj}}}\cdot 100\%\;</MATH>|8.52}} * energetyczna zdolność rozdzielcza, która jest ilorazem szerokości energetycznej połówkowego piku spowodowaną przez cząstkę docierającą do piku, do całkowitej energii tej linii: {{CentrujWzór|<MATH>R_E={{\Delta E}\over{E}}\;</MATH>|8.53}} * pędowa zdolność rozdzielczą, która jest ilorazem szerokości pędowej połówkowego piku spowodowaną przez cząstkę docierającą do piku, do całkowitego pędu tej linii: {{CentrujWzór|<MATH>R_p={{\Delta p}\over{p}}\;</MATH>|8.54}} * czasowa zdolność rozdzielcza [s], jest czasem istnienia piku, od punktu, w której jej wartość była połowie maksymalnej wartości sygnału reprezentowanego przez pik, do drugiej wartości połówkowej istnienia tego naszego pojedynczego piku, * dokładność lokalizacji toru, * przeznaczenie (&gamma;, cząstki naładowane, cząstki nienaładowane). Jeśli skorzystamy z zależności pomiędzy energią kinetyczną a pędem {{Formuła|<MATH>E=\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}-m_0c^2\;</MATH>}} możemy napisać zdolność rozdzielczość energetyczną w zależności od zdolności rozdzielczej pędowej w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>R_E={{\Delta E}\over{E}}={{2pc^2\Delta p}\over{2E\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}}}={{\Delta p}\over{p}}{{p^2c^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=R_p{{(E+m_0c^2)^2-(m_0c^2)^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=\;</MATH><BR><MATH>+R_p{{E^2+(m_0c^2)^2+2Em_0c^2-(m_0c^2)^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=R_p{{E(E+2m_0c^2)}\over{E(E+m_0c^2)}}={{E+2m_0c^2}\over{E+m_0c^2}}R_p\;</MATH>|8.55}} Podział ze względu na konstrukcję i zasadę działania: * gazowe-komory jonizacyjne, licznik proporcjonalny, licznik Geigera-Müllera, * scyntylacyjne- dzieli się ze względu na rodzaj scyntylatora, tzn. jako nieorganiczny związek, organiczny związek. plastykowe. Ogólnie można je podzielić na stałe, ciekłe, rzadko gazowe, * półprzewodnikowe- powierzchniowe (rejestracja cząstki, których zasięg jest mały), objętościowe (koaksjalne). Ze względu na rodzaj półprzewodnika dzielimy je detektory na germanowe (Ge) i krzemowe (Si). == Detektory przejścia == {{Rysunek|Chambre d'ionisation.svg|8.5|Schemat licznika gazowego}} === Jonizacja === Rozpatrzmy najpierw co to jest jonizacja gazu by przejść do następnych problemów. Ono może się odbywać na kilka sposobów, które może się odbywać na poziomie atomowym, które tutaj omówimy: * zderzeniem cząstki o wysokiej energii z protonem, elektronem lub cząstką &alpha;, * wzajemnych zderzeniach cząstek o wysokiej energii, czyli atomy te ulegają jonizacji wzajemnej, * przez wybicie elektronu z powłoki atomu, * po wychwycie elektronu przez atom. === Liczniki gazowe (jonizacyjne) === {{Rysunek|Obszary pracy komory jonizacyjnej.png|8.6|Zależność amplitudy sygnału od napięcia anodowego, B obszar pracy komory jonizacyjnej, C-obszar pracy licznika proporcjonalnego, D-obszar pracy licznika-Geigera-Müllera, za obszarem Geigera-Müllera znajduje się obszar wyładowań nie zaznaczonej na rysunku}} {{Rysunek|Wykres przedstawiający obszary pracy licznika jonizacyjnego.jpg|8.7|Wykres przedstawiający obszary pracy licznika jonizacyjnego.}} Całkowite natężenie prądu płynącego w obwodzie {{LinkRysunek|8.3}} w jakim pracuje licznik gazowy jest równe sumie natężeń ładunków ujemnych i dodatnich: {{CentrujWzór|<MATH>I=I^++I^-\;</MATH>|8.54a}} Detektory jonizacyjne jest to pomiar uwolnionego ładunku wywołanej procesem jonizacji ośrodka przez przejście naładowanej cząstki. Aby liczba zarejestrowanych cząstek była wprost proporcjonalna do ilości energii straconej przez cząstkę i zdeponowanej w detektorze, w materiale detektora nie powinna zachodzić wzajemna rekombinacja cząstek, ani też napięcie na elektrodach nie powinno być duże by nie występowało lawinowe powielanie ładunku. Aby cząstki ze sobą nie rekombinowały stosuje się pole elektryczne o odpowiednio dużym natężeniu, która zapewnia ruch ładunku do odpowiednich elektrod, w ten sposób zmniejsza się prawdopodobieństwo rekombinacji. Przy niewielkiej energii jonizacja gazu, zanim elektrony dojdą do anody nastąpi rekombinacja elektronów z jonami, i nie wszystkie wtedy elektrody dojdą do elektrody. Przy większym napięciu pomiędzy elektrodami, już nie występuje niemal rekombinacja jonów z elektronami i prawie wszystkie elektrony i jony dojdą do odpowiednich elektrod, a sygnał odpowiada wytworzonej jonizacji, jest to obszar jonizacji. Przy dalszym wzroście może dojść do wtórnej jonizacji powodującej zwiększenie liczby jonów dotartych do elektrod, a więc zwiększenie prądu płynącego prądu od komory jonizacyjnej. Ten obszar nazywamy obszarem proporcjonalności komory jonizacyjnej. W tym obszarze elektrony pierwotne uzyskują dostateczną energię by wywołać dalszą jonizację na swej drodze, dzięki tej jonizacji zwiększa się wytworzony ładunek. Uzyskuje się wzmocnienie sygnału sięgającego 10{{Sup|2}} do 10{{Sup|4}}. Przy niezbyt wysokich napięciach wzmocnienie jest stałe i jego natężenie zależy od liczby wytworzonych jonów, a zatem od energii. Wytworzone napięcie sygnału zależy silnie od przyłożonego napięcia do elektrod i dlatego napięcie należy stabilizować. Dla uzyskania wtórnej jonizacji elektron musi być przyspieszony do dużych prędkości na stosunkowo małej drodze, to istnieje pewne graniczne pola elektrycznego poniżej, której wtórna jonizacja nie następuje. Np. dla argonu krytyczne napięcie jest 10kV/cm. Gdy natężenie pola elektrycznego przekracza wartość krytyczną elektrony są zdolne do wytworzenia wtórnej jonizacji. Impuls powstaje w obszarze dużego spadku napięcia w pobliżu anody. Ponieważ impuls zależy od ruchu jonów w pobliżu anody, więc natężenie nie zależy od anody, a więc wysokość jego nie zależy od miejsca, w którym powstała jonizacja pierwotna. W obszarze ograniczonej proporcjonalności występującym w liczniku wzmocnienie gazowe nie jest stałe i zależy od energii cząstek. Dla obszaru Geigera-Müllera, stosuje się detektory dla pomiaru cząstek naładowanych jak i promieniowania &gamma; lub promieniowania rentgenowskiego. W obszarze wyładowania ciągłego zachodzącym przy bardzo dużym napięciu licznik przestaje działać i może ulec zniszczeniu, wtedy w tym obszarze stosuje się liczniki iskrowe, dla tych liczników traci się informacje o energii cząstki. Ogólnie, gdy mamy dwa sygnały powstające w komorze blisko siebie w przedziale czasowym, to nie potrafimy odróżnić ich od siebie. === Komora jonizacyjna === {{Rysunek|Schemat obwodu z komorą jonizacyjną.png|8.8|Schemat obwodu z komorą jonizacyjną}} Liczba liczby jonów docierających do anody elektronów wyrażamy poprzez stosunek szerokości połówkowej piku energii sygnału, w której energie cząstek są w pewnym zakresie, przez energię jednej jonizacji wyrażonych przez: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta n_{jon}={{\Delta E}\over{E_0}}\;</MATH>|8.56}} Całkowita zmiana natężenia sygnału wyrażamy poprzez pierwszy z lewej wzór poniżej, a także napiszemy w tej samej linijce zmiany szerokości połówkowej napięcia anodowego, którą liczymy z {{LinkWzór|8.56}} podzielonej przez pojemność kondensatora "C" pod wpływem zewnętrznego sygnału, co w rezultacie: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta J\sim\Delta n_je={{e}\over{E_0}}\Delta E\;</MATH>|8.57}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\Delta U\sim{{e}\over{E_0C}}\Delta E\;</MATH>|8.58}} }} W powyższych rozważaniach należy rozważyć czasy relaksacji układu {{LinkRysunek|8.7}} dla którego zachodzi RC>&tau;. Komora jonizacyjna pozwala: * określić straty energii jonizacyjnej cząstki w komorze, np. dla cząstki &alpha; straty energii są {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}={{\Delta E}\over{E}}=0,5\%\;</MATH>}} dla energii cząstki jonizacyjnej E=5MeV. * rejestrować moment przejścia cząstki przez komorę 2&tau;{{Sub|0}}&sim;10{{Sup|-6}}s, * możemy rejestrować średnie natężenie prądu jonizacji spowodowanego przez strumień cząstek, * impulsy pochodzącej od poszczególnych cząstek. Będziemy się tylko interesowali tylko impulsami powodowanymi przez poszczególne cząstki. Urządzeniem tutaj rejestrującym jest kondesator przyłożonej do okładki komory jonizacyjnej. Gdy cząstka przejdzie przez okładki kondensatora, to spowoduje to przepływ prądu elektrycznego, który jest w postaci impulsu elektrycznego, który za kondensatorem może być wzmocniony i zarejestrowany. Podczas jonizacji gazów występujących w komorze jonizacyjnej na elektrony i jony dodatnie impuls jest to przejście ładunku do jednych z elektrod. {{Rysunek|Kształt impulsu jonizacyjnego w komorze jonizacyjnej przy bardzo dużej stałej czasowej (linia ciągła wykresu), i przy bardzo małej stałej impulsu (krzywa przerywana wykresu).png|8.9|Kształt impulsu jonizacyjnego w komorze jonizacyjnej przy bardzo dużej stałej czasowej (linia ciągła wykresu), i przy bardzo małej stałej impulsu (krzywa przerywana wykresu)}} Elektrody ze względu na bardzo małą masę są o wiele szybsze niż dodatnie jony, czyli nasz impuls będzie składał się z dwóch części: * szybko narastającej, która jest związana z przejściem elektronów, * powoli narastającej, która odpowiada za przejście jonów. W komorze jonizacyjnej energia tracona przez cząstkę jest wprost prostopadła do liczby zjonizowanych jonów. Jeżeli wszystkie zbierzemy na elektrodach, to wtedy w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy impuls o energii wprost proporcjonalnej do jego wysokości. Nachylenie części podstawowej wykresu rysunku obok jest wprost proporcjonalne do liczby pierwotnych jonów, ona nie zależy od którejkolwiek punktów w komorze jonizacyjnej. Można zróżniczkować impuls na rysunku obok. wtedy otrzymujemy impuls proporcjonalny do nachylenia krzywej bez różniczkowania. Wykres zróżnicowany jest wprost proporcjonalny do energii cząstek w komorze. === Liczniki proporcjonalne i wielodrutowe liczniki proporcjonalne === {{Rysunek|Wieludrutowy licznik proporcjonalny i struktura pola elekstrycznego w nim.jpeg|8.10|Wieludrutowy licznik proporcjonalny i struktura pola elektrycznego w nim}} Liczniki proporcjonalne pracują zwykle przy natężeniach 10{{Sup|4}} V/cm, wtedy wzmocnienie sygnału pochodzącego od cząstek naładowanych trafiającego do komory licznika jest 10{{Sup|4}}. Osiąga się to biorąc druty anodowe o średnicy 10-50 &mu;m. W tych licznikach stosuje się druty anodowe położone w odległości od siebie o 2 mm. Płaszczyznę anodową umieszcza się pomiędzy dwiema foliami lub też siatkami metalowymi. Te siatki lub folie umieszcza się od tych drutów o mniej niż 1cm. Podczas przechodzenia cząstki naładowanej przez komorę licznika, wtedy gaz się jonizuje i do anod trafiają elektrony i jednocześnie na katodzie indukuje się sygnał. Numer drutu, przy którym nastąpiło oddziaływania cząstki z gazu pozwala określić położenie cząstki w przestrzeni jednowymiarowej. Zastosowanie dwuwymiarowej lub nawet trójwymiarowej konfiguracji szeregu anod pozwala określić położenie cząstki w przestrzeni dwuwymiarowej lub trójwymiarowej przestrzeni. Poprzez druty anodowe można określić położenie cząstki w odrębnie pola magnetycznego i bez pola. W ten sposób pozwala określić tor zakrzywiony w polu magnetycznym i linie prostą w przestrzeni bez pola magnetycznego. {{Rysunek|Schemat elektrycznego prostego licznika proporcjonalnego.png|8.11|Schemat elektryczny prostego licznika proporcjonalnego}} Zajmijmy się teraz licznikiem proporcjonalnym zbudowanym według schematu {{LinkRysunek|8.11}}. Przy zwiększaniu napięcia pracy licznika zwiększa się energia jonów powstałych przy jonizacji przy przejściu cząstki naładowanej, wtedy liczba jonów wzrasta lawinowo wyniku lawinowej jonizacji gazu. Oznaczmy przez n{{Sub|a}} liczbę jonów pierwotnych. Emisja fotonów przez cząstki gazu w komorze jonizacyjnej jest powodowana w wyniku zderzeń z jonami i elektronami, wtedy atom gazu zostaje wzbudzony do bardzo wysokiego poziomu energetycznego, aby on przeszedł do stanu niższego potrzebna jest emisja fotonu. W pierwszym etapie jonizacji zostaje wytworzonych jonów i elektronów n{{Sub|1}}=n{{Sub|0}}k{{Sub|0}} w wyniku zderzeń z cząstką jonizującą z cząstkami gazu znajdującej się komorze gazowym, wtedy zostają z nich wybite n{{Sub|1}} elektronów, w drugim akcie w wyniku zderzeń z fotonami (powstałych w wyniku jego emisji przez wzbudzone atomy powstałych w wyniku zderzeń z jonami i elektronami), wtedy elektron zostaje wybity ze swojej powłoki elektronowej, w której się znajdował, wtedy w wyniku zderzeń z &omega;{{Sub|&gamma;}} fotonami powstaje n{{Sub|2}}=n{{Sub|0}}k{{Sub|0}}k{{Sub|0}}&omega;{{Sub|&gamma;}} elektronów, a w i-etapie zostaje wytworzonych elektronów (w wyniku zderzeń z fotonami wytworzonych we wcześniejszych aktach jonizacji): {{CentrujWzór|<MATH>n_i=n_0k_0^i\omega^{i-1}_{\gamma}\;</MATH>|8.59}} Całkowita liczba jonów wytworzonych w "i" etapach liczymy jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, co wyliczamy wykorzystując wzór na liczbę elektronów w i-tej fazie jonizacji {{LinkWzór|8.59}}, i wiedząc że k{{Sub|0}}&omega;{{Sub|&gamma;}}<1, co jest potrzebne, aby szereg był zbieżny: {{CentrujWzór|<MATH>k={{\sum_in_i}\over{n_0}}={{{{k_0n_0}\over{1-k_0\omega_{\gamma}}}}\over{n_0}}={{k_0}\over{1-k_0\omega_{\gamma}}}\;</MATH>|8.60}} W liczniku popłynie wtedy prąd o natężeniu napisanej poniżej i do niego proporcjonalnej szerokości połówkowej piku energii cząstki w liczniku &Delta;T: {{CentrujWzór|<MATH>J=kn_0e\sim\Delta T\;</MATH>|8.61}} Wiadomo jednak, że szerokość połówkowa napięcia, natężenie prądu i szerokość połówkowa energii impulsu są do siebie wprost proporcjonalne, tzn.: &Delta;U&sim;J&sim;&Delta;T. Liczniki proporcjonalne zastosowane są: * przy pomiarze niskoenergetycznych cząstek, np. dla promieniowania &gamma; o energii kwantu 50keV zdolność rozdzielcza licznika jest od 1 do 5%, * określają moment przejścia cząstki przez licznik w czasie 2&tau;{{Sub|0}}&sim;10{{Sup|-7}}. W licznikach stosuje się gaz szlachetny z dodatkiem par cząsteczek wieloatomowych. === Licznik Geigera-Müllera === {{Rysunek|Geiger.png|8.12|Schemat działania licznika Geigera-Müllera}} Jonizacja w tym liczniku nie zachodzi nie tylko pod wpływem promieniowania &alpha;, ale też mierzy też inne promieniowanie jonizujące, a więc licznik mierzy całkowite promieniowanie jonizacyjne. Przy pomocy fotodiody można stwierdzić ile pada fotonów do licznika, ale nie można zmierzyć ilości neutronów. Istnieje rozwiązanie pomijające ten problem, należy licznik wypełnić wodorem, wtedy neutrony zderzają się z protonami. Albo otacza się folią kadmową, wtedy neutrony pochłonięte przez kadm wywołują w nim reakcję jądrową, wyniku czego są emitowane fotony (promieniowanie &gamma;), w ten sposób można wykryć promieniowanie w postaci neutronów. Jedynym warunkiem zaistnienia reakcji jest spowolnienie neutronów do energii otoczenia, w tym celu licznik umieszcza się w bloku parafinowym, teflonowym. ==== Budowa licznika ==== Licznik jest zbudowany z komory stanowiącej katodę (elektrodę ujemną), przez oś symetrii wprowadza się drut miedziowy lub aluminiowy, który stanowi anodę (elektrodę dodatnią). Cylinder szklany jest wypełniony 90% argonu lub innym gazem szlachetnym i 10% parami alkoholu. Ciśnienie panujące w komorze jest rzędu kilkadziesiąt hektopaskali, zatem o wiele mniej niż przypadku ciśnienia atmosferycznego. ==== Działanie licznika ==== Kształt taki licznika pozwala na uzyskanie dużej wartości napięcia pomiędzy katodą, a anodą. Dla promieniowania jądrowego dostający się do komory gazowej licznika, to elektrony powstające w wyniku jonizacji gazu uzyskują na tyle dużą energię by wywołać dalsze akty jonizacji gazu i wzbudzenia gazu. Dzięki czemu powstaje jonizacja lawinowa gazu i wyniku czego do anody podąża coraz więcej elektronów. Poruszające się jony do katody poruszają się znacznie wolniej niż elektrody do anody, w obszarze pomiędzy elektrodami tworzy się ładunek przestrzenny. Ładunek przestrzenny zmniejsza natężenie pola elektrycznego. I wyniku czego wyładowanie powoli znika. Jony, które dodarły do katody wybijają z niej elektrony. Gdy cały ładunek jonów zostaje odprowadzony do katody lawiny elektronowe zaczynają się od nowa rozwijać. W ten sposób wyładowanie jest ciągle podtrzymywane i licznik nie może rejestrować następnych cząstek. Aby podtrzymywać wyładowanie ciągłe w obwód licznika włącza się duży opór rzędu 10{{Sup|9}} omów. Pozwala to na szybkie zebranie ładunku ujemnego z anody, czyli obniży się potencjał pomiędzy katodą i anodą , aż do chwili gdy jony dodatnie zostaną zebrane na katodzie. Co wystarcza by nowe elektrony wybite nie wywoływały nowych lawin, co prowadzi do wygaśnięcia wyładowania. Z anody zostaje odprowadzony ładunek po około setnej części sekundy i licznik jest zdolny do rejestrowania następnych cząstek. Innym sposobem wygaszania polega na wprowadzeniu pomiędzy elektrodami gazu szlachetnego z domieszkami gazu wieloatomowego, które przy odpowiedniej proporcji domieszki wyładowanie zostaje wygaszone. To się dzieje dlatego, że cząsteczki wieloatomowe pochłaniają silnie promieniowanie ultrafioletowe, oraz że te cząsteczki nie wybijają z katody elektronów. Jeśli układ domieszek jest tak dobrany, ze energia jonizacji gazu wieloatomowego jest mniejsza niż jednoatomowego, to przy zderzeniu jonów gazu podstawowego z cząsteczkami gazu wieloatomowego jonizują te cząsteczki, a te jony po dotarciu do katody nie wybijają z niej elektronów, tylko tworzą ładunek przestrzenny obniżając natężenie pola elektrycznego pomiędzy elektrodami. Licznik z domieszkami gazu wieloatomowego nosi nazwę samo-gasnącego. Na wskutek wtórnej jonizacji, która nie zależy od energii traconej przez cząstkę jonizującą gaz, a więc ten licznik, nie służy do pomiaru energii, tylko do pomiaru ilości cząstek zarejestrowanych. Licznik charakteryzuje się czasem martwym, który występuje stąd, że powłoka jonów przy katodzie obniża napięcie efektywne poniżej napięcia krytycznego. W tym czasie licznik nie jest zdolny do wykrywania nowych cząstek. === Liczniki iskrowe === {{Rysunek|Schemat_komory_iskrowej.png|8.13|Schemat komory iskrowej}} Przy dużych napięciach zasilania impulsami prostokątnymi o napięciu szczytu U&ge;10kV o czasie trwania impulsu 10{{Sup|-5}}÷10{{Sup|-7}}s generowanej przez generator WN i w czasie gdy przez licznik przejdzie cząstka naładowana lub cząstka &gamma; następuje wtedy lawinowa jonizacja gazu i następuje przeskok iskry elektrycznej z katody do anody. W tym liczniku nie występują wyładowania ciągłe, ponieważ to by spowodowało zniszczenie licznika, i dlatego licznik jest zasilany impulsami prostokątnymi. Rejestracja momentu przejścia cząstki jest możliwa dla najmniejszej szerokości połówkowego czasu trwania impulsu 2&tau;{{Sub|0}}&sim;10{{Sup|-8}}s. Jeśli liczniki rozłożone są jedna po drugim, wtedy tworzą tzw. komorę iskrową, w której można rejestrować tor cząstki jonizacyjnej na podstawie świecenia iskry. Opornik R musi być duży w miarę duży, by wygaszanie impulsu następowało szybko. W komorze gazowej występuje gaz szlachetny plus pary gazów wieloatomowych i to wszystko pod ciśnieniem 1 atm. {{Rysunek|Specyfika czułości komory iskrowej od opóźnienia impulsu napięcia przy chwili przejścia cząstki dla różnych napięć oczyszczających.png|8.14|Specyfika czułości komory iskrowej od opóźnienia impulsu napięcia przy chwili przejścia cząstki dla różnych napięć oczyszczających}} Na rysunku {{LinkRysunek|8.14}} przedstawiamy współczynnik wydajności komory od nałożonego na nią napięcia przy momencie przejścia cząstki a także względem wysokości napięcia oczyszczającego. Można stwierdzić, że przy pewnej wartości napięcia oczyszczającego następuje przy bardzo krótkim czasie czułość komory obniża się do zera. Ilość czasu, która jest potrzebna do powrotu komory do warunków początkowych jest 10ms. Normalnie stosuje się geometrię, której lokalizacja śladu jest opisana z dokładnością 0,2-1 nm. Aby uzyskać informacje o pędzie danej cząstki umieszcza się je w polu magnetycznym. === Detektory scyntylacyjne === Detektory (komory) scyntylacyjne, czyli detektory z elektronowym przetwornikiem obrazu jest to pewna odmiana licznika scyntylacyjnego mające na celu nie tylko za zadanie zarejestrowanie cząstki w postaci błysku światła spowodowana przez cząstkę w scyntylatorze, a także obserwację i fotografowanie jej śladu. Najważniejszym elementem komory scyntylacyjnej jest elektronowy przetwornik obrazu. {{Rysunek|Budowa i schemat działania komory scyntylacyjnej z elektronowym przetwornikiem obrazu.png|8.15|Budowa i schemat działania komory scyntylacyjnej z elektronowym przetwornikiem obrazu}} Mając układ optyczny, mamy obraz toru cząstki pędzącej w scyntylatorze, możemy uzyskać na fotokatodzie przetwornika obrazu obraz właściwy toru cząstki w scyntylatorze optycznym. Po wchłonięciu pewnej dawki fotonów na fotokatodzie następuje emisja elektronów (wtórna emisja elektronów), które za pomocą odpowiednich pól elektrycznych i magnetycznych są ogniskowanie na wyjściu komory scyntylacyjnej z zachowaniem stosunków geometrycznych obrazu. Elektrody w komorze są zbudowane z folii, które emitują elektrody pod wpływem zderzenia się z nią pewnej liczby elektronów. Elektrody są wykonywane warstwowo, w taki sposób, że przy pierwszej warstwie następuje pod wpływem zderzenia się z elektronami następuje błysk światła, który przy następnej warstwie powoduje emisję elektronów. Przy przejściu przez kilka elektrod liczba elektronów powiększa się w taki sposób by spowodować świecenie ekranu umieszczonego na końcu lampy. Jeżeli użyjemy pięciostopniowego przetwornika obrazu, to wzmocnienie elektronowe jest w przybliżeniu 3000 razy, co dalej przetwarzając je na światło uzyskujemy 10{{Sup|5}} do 10{{Sup|6}} razy, wtedy na ekranie uzyskujemy obrazy dostatecznie jasne do fotografowania. Scyntylatory buduje się z bloków złożonych z włókien sztucznych o średnicy (0,5-1)nm. Te włókna działają zarazem ja prowadnice, które przeciągają światło z głębi bloku do jego powierzchni. Mając skrzyżowane włókna scyntylacyjne, które te włókna są nałożone na siebie, otrzymujemy obraz przestrzenny. === Detektory śladowe === Detektory śladowe są zbudowane z ciała stałego, których działanie jest oparte na fakcie, cząstki naładowane powodują ślady w izolatorach, są to między innymi kryształy nioeorganiczne, szkła lub tworzywa sztuczne. Przejście cząstki naładowane powoduje powstanie śladu zakłóconego o średnicy 50 angstremów, który biegnie wedle toru cząstki, w którym ona przebyła. Można je oglądać pod bardzo dużym powiększeniem pod mikroskopem elektronowym, mogą one też doprowadzać do obszarów widocznych pod mikroskopem optycznym, gdy zastosujemy odpowiednią obróbkę chemiczną. Aby cząstki były rejestrowane przez różne substancje przezroczyste muszą mieć odpowiednie czułości, które pozwalają na rejestrację istnienia w danym punkcie o pewnych liczbach masowych i pewnych stratach energii przekraczająca daną wartość progową. Jeżeli mamy cząstkę o pewnej liczbie masowej i właściwych stratach energii przekraczające wartości progowe mogą być rejestrowane z wydajnością 100%, min. za pomocą labradorytu można zarejestrować cząstki o masach atomowych cięższych od jąder wapnia, który wykazuje straty energii większych od 19 MeV(mg&sdot;cm{{Sup|-2}}). Tą substancję wytrawia się w 48% procentowym roztworze kwasu fluorowodorowego w temperaturze 23{{Sup|o}}C przez około 40 minut. Najlepszym detektorem jest octan celulozy, który bada obecność cząstek α i azotan celulozy, który bada obecność protonów. === Licznik scyntylacyjny === {{Rysunek|Photomultipliertube-pl.svg|8.16|Schemat budowy licznika scyntylacyjnego zbudowanego z komory scyntylacyjnej i fotopowielacza}} Działanie licznika scyntylacyjnego polega na detekcji promieniowania gamma lub innego promieniowania. Cząstka &gamma; lub inne promieniowanie przelatując przez substancje powoduje jego wzbudzenie atomów, ale też i jonizację, które potem przechodząc do stanów podstawowych emitują fotony o długości światła widzialnego w postaci błysków światła widzialnego w postaci proporcjonalnej do fotonu gamma, te substancje o takich właściwościach nazywamy scyntylatorami. Licznik scyntylacyjny składa się z elementów: *scyntylatora - który emituje kwanty o długości fali światła widzialnego lub bliskiej widzialnego pod wpływem promieniowania jonizującego. Świecenie takie scyntylatora nazywamy luminescencją. Scyntylator jest substancją przezroczystą, która konwertuje promieniowanie jonizujące, które powoduje jonizacje na błyski świetlne. Jest on możliwie o największej licznie atomowej Z. Scyntylator jest umieszczony w obudowie wykonanej z aluminium, co skutecznie blokuje wzbudzanie scyntalotora światłem widzialnym. Okienko przez które jest wyprowadzone światło emitowane przez scyntylator wykonane jest z pleksi lub kwarcu. Światłoszczelność zewnętrznej części detektora scyntylatora pozwala na obserwację światła wysyłanego przez scyntylator. Szczelne osłonięcie scyntylatora warstwą metalu pozwala na obserwacje rozbłysków luminescencyjnych, których natężenie jest kilka rzędu mniejsze od natężenia światła dziennego. Światło uzyskane ze scyntylatora jest światłem o bardzo małym natężeniu leżącym w obszarze światła ultrafioletowego i skraju światła niebieskiego od 200nm do 450nm. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=6|{{Center|{{Strong|Charakterystyka wybranych scyntylatorów}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|Rodzaj scyntylatora}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|&lambda;{{Sub|max}}[nm]}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|&tau;[ms]}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|&epsilon;[%]}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|&rho;[g/cm{{Sup|3}}]}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|Zastosowanie}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|{{Center|{{Strong|Kryształy nieorganiczne}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|NaI(Tl) monokryształ}}<!-- -->{{Komórka|410}}<!-- -->{{Komórka|0,175}}<!-- -->{{Komórka|8}}<!-- -->{{Komórka|3,67}}<!-- -->{{Komórka|promieniowanie &gamma;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|CaI(Tl) monokryształ}}<!-- -->{{Komórka|500}}<!-- -->{{Komórka|0,77}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|4,51}}<!-- -->{{Komórka|promieniowanie &gamma;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|ZnS(Ag)}}<!-- -->{{Komórka|450}}<!-- -->{{Komórka|7}}<!-- -->{{Komórka|28}}<!-- -->{{Komórka|4,09}}<!-- -->{{Komórka|cząstki &alpha;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|{{Center|{{Strong|Kryształy organiczne}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Antracen}}<!-- -->{{Komórka|440}}<!-- -->{{Komórka|0,022}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|1,25}}<!-- -->{{Komórka|cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Stilbet}}<!-- -->{{Komórka|410}}<!-- -->{{Komórka|0,004}}<!-- -->{{Komórka|3}}<!-- -->{{Komórka|1,16}}<!-- -->{{Komórka|cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Antracen}}<!-- -->{{Komórka|400}}<!-- -->{{Komórka|0,004}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|1,23}}<!-- -->{{Komórka|cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|{{Center|{{Strong|Scyntylatory ciekłe}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Roztwór 5g p-terfenylu w dm{{Sup|3}} toluenu}}<!-- -->{{Komórka|355}}<!-- -->{{Komórka|0,0015}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|niskoenergetyczne cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Roztwór 3g 2,5-difenylooksazolu w dm{{Sup|3}} toluenu}}<!-- -->{{Komórka|382}}<!-- -->{{Komórka|0,0021}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|niskoenergetyczne cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|&lambda;{{Sub|max}} - długość fali w maksimum widma emisji,&tau; - okres półtrwania cząsteczki w stanie wzbudzonym, &epsilon; - wydajność promieniowania jonizującego w promieniowanie widzialne lub bliskie nadfioletu, &rho; - gęstość.}}<!-- -->}}<!-- -->}} * fotopowielacza- który jest czułą lampą elektronową na światło. Fotopowielacze stosuje się zwykle dla promieniowania ultrafioletowego próżniowego do widzialnego, ultrafiolet do widzialnego, widzialny bez podczerwieni, widzialny do podczerwieni. Na wewnętrznej części fotopowielacza jest naparowana fotokatoda, jest to kilkuatomowa warstwa półrzewodnika, lub z metali alkalicznych, które uwalnia elektrony w wyniku zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego. Kolejną częścią fotopowielacza jest soczewka elektromagnetyczna mająca na celu z ogniskowanie fotoelektronów, która ukierunkuje strumień na pierwszą dynodę. Fotony trafiające tam ze scyntylatora w postaci błysków światła trafiają na fotokatodę, który emituje elektron, który trafia do fotopowielacza. Elektrony odbijające się od dynod trafiające od fotokatody wybijają z niej następne elektrony wtórne. Dynody są podłączone do odpowiedniego napięcia, dzięki, któremu elektrony mogą zostać przyspieszane, i te elektrony dzięki temu mogą zostać wybijane. Na samym końcu elektrony trafiają do anody zamieniając ilość trafiających tam elektronów na sygnał elektryczny. Dzięki fotopowielaczowi uzyskuje się wzmocnienie powielania elektronów sięgającego od trzech do czterech, a ilość stopni powielających wynosi od kilku do kilkunastu. Powielanie elektronów na dynodach daje nam wzmocnienie praktycznie bezszumowe. Uzyskuje się tam lepszy stosunek szumu do sygnału niż fotodiodzie o takim samym wzmocnieniu. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Typ fotopowielacza}}<!-- -->{{komórka|nagłówek=tak|Długość mm}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Średnica katody}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Typ katody}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Czułość katody μA/m}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Współczynnik wzmocnienia}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Liczba stopni}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Napięcie V}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Prąd ciemny}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Φɜ-19 (ZSRR)}}<!-- -->{{Komórka|195}}<!-- -->{{Komórka|48}}<!-- -->{{Komórka|SbCs}}<!-- -->{{Komórka|35}}<!-- -->{{Komórka|2,5&sdot;10{{Sup|6}}}}<!-- -->{{Komórka|13}}<!-- -->{{Komórka|1500}}<!-- -->{{Komórka|3 &sdot;10{{Sup|-2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|RCA 6217}}<!-- -->{{Komórka|148}}<!-- -->{{Komórka|43}}<!-- -->{{Komórka|SbCs}}<!-- -->{{Komórka|40}}<!-- -->{{Komórka|2,8&sdot;10{{Sup|6}}}}<!-- -->{{Komórka|10}}<!-- -->{{Komórka|1200}}<!-- -->{{Komórka|5&sdot;10{{Sup|-2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|EMI 6097 (Wielka Brytania)}}<!-- -->{{Komórka|112}}<!-- -->{{Komórka|44}}<!-- -->{{Komórka|SbCs}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|7&sdot;10{{Sup|6}}}}<!-- -->{{Komórka|11}}<!-- -->{{Komórka|1200-1800}}<!-- -->{{Komórka|10&sdot;{{Sup|-1}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rozbłyski światła w scyntylatorze w scyntylatorze nazywamy '''luminenscencją''', który dzielimy na dwa typy: * fluorescencja, co ono występuje przy czasach wyświecania 10{{Sup|-8}}-10{{Sup|-9}}s, * fosforescencja powstaje wtedy, gdy stan wzbudzony następuje przez proces oddziaływania promieniowania ze stanem metatrwałym, czas wyświecania występuje z pewnym opóźnieniem w stosunku z czasem powstania tego stanu, ono nie nadaje się do budowy liczników scyntylacyjnych. Aby '''scyntylator''' był dobry to wymagamy następujących parametrów: * musi być silna scyntylacja, która powstaje pod wpływem padającego na scyntylator promieniowania, * musi być czas powstania i wyświecania impulsu bardzo krótki, * spektralna czułość fotopowielacza musi odpowiadać widmu scyntylacji. Scyntylatory dzielimy na: {{Rysunek|Poziomy w krysztale jonowym.png|pwkj|Poziomy w krysztale jonowym}} * '''scyntylatory nieorganiczne''' jodku sodu lub cezu aktywowanej talem NaI(Tl) i CsI(Tl) lub ZnS(Ag), w takich substancjach, które są substancjami jonowymi elektrony znajdują się w pewnych pasmach elektronowych, w stanie podstawowym elektrony znajdują się w stanie o najniższej energii, tzn. w pasmie podstawowym. Jeśli podziałamy promieniowaniem, to elektrony z pasma podstawowego mogą zostać przesunięte to pasma wzbudzonego. Jeśli kryształ jest domieszkowany, to stan podstawowy, a także stan wzbudzony dzielą się na podstany podstawowe lub wzbudzone. Przejście może nastąpić bezpośrednio ze stanu wzbudzonego do podstawowego poprzez kwant o dużej energii, a także między stanami wzbudzonymi wzbronionymi, które są powodowane przez domieszki (poprzez aktywowanie) {{Rysunek|Proces wzbudzenia elektronów w konwerterze poprzez promieniowanie.jpeg|pwewkpp|Proces wzbudzenia elektronów w konwerterze poprzez promieniowanie}} Licznik scyntylacyjny składa się z scyntylatora, detektora światła (fotodiody fotodiody lawinowej), a także układu analizująco zliczającego. Opiszmy działanie scyntylatora. Proces konwersji promieniowania na błyski świetlne nie zachodzi z stu procentową wydajnością. Cześć promieniowania nie dochodzi do konwertera, cześć cząstek promieniowania posiada na tyle dużą energię, że nie oddziaływuje z materiałem konwertera przechodząc przez nie, są też cząstki mającej na tyle odpowiednią energię, że energią promieniowania jest zużywana na podniesienie elektronu z poziomu niższego na wyższy, tzn. elektrony zostają przeniesione ze stanu podstawowego S{{Sub|0}} do wzbudzonego S{{Sub|1}}. Ten proces nazywamy absorpcją promieniowania dochodzącego do scyntylatora. Elektrony w stanie wzbudzonym nie mogą w tym w stanie przebywać w nieskończoność, ten poziom ulega rozpadowi w wyniku fluoroscencji, konwersji bezpromienistej, fluoroscencji opóźnionej. Jeśli poziomy wzbudzone S{{Sub|1}} mają wyraźnie rozdzielone orbitale od poziomu S{{Sub|0}}, zjawisko rozpadu stanu wzbudzonego zachodzi w wyniku fluoroscencji. {{Rysunek|Proces rozpraszania energii wzbudzenia elektronu w fluoroscencji.jpeg|pwewwf|Proces rozpraszania energii wzbudzenia w fluoroscencji}} * '''scyntylatory organiczne''', czyli antracen, naftalen, stilben, a także scyntylatory z tworzywa sztucznego, które są w stanie stałym roztworami w takim tworzywie, są substancje scyntylacyjne jak terfenyl, antracen: Elektron w stanie wzbudzonym w wyniku rozpadu w nim kolejnych poziomów przechodzi przez kolejne jego stany, aż dochodząc do stanu minimalnej energii stanu wzbudzonego. Energia z tychże przejść jest rozpraszana w postaci ciepła. Dalej przechodzi do stanu podstawowego ze stanu minimalnej energii stanu wzbudzonego przez emisję promieniowania świetlnego wychodzącego ze scyntylatora do fotodiody. W stanie podstawowym elektron przechodzi przez kolejne coraz niższe poziomy przechodząc do stanu równowagi termicznej, a energia wydzielana w wyniku przejścia jest w postaci ciepła, raz przeskakując raz w górę i dół w wyniku fluktuacji termicznej konwertera i otoczenia, czyli wędrówka elektronu nigdy się nie kończy. tzn. elektron nie osiąga nigdy stanu o najniższej energii. Część energii wzbudzenia elektronu jest marnowana na energię cieplną, a pozostała część na energię promieniowania promienistego. Długość fali promieniowania fluoroscencyjnego jest większa niż długość promieniowania rozpoczynającego cały cykl zachodzących w konwerterze, w której następuje wzbudzenie elektronu do stanu wzbudzonego. * '''scyntylatory gazowe''', czyli świecenie drobiny poprzez fluorescencję następuje poprzez wzbudzenie i jonizację atomów lub cząsteczek gazu dzięki przechodzącej przez nią cząstki naładowanej. Błysk tutaj generowany jest w obszarze nadfioletu, to zwykle stosuje się na ściankach zbiornika substancje wysyłające promieniowanie widzialne pod wpływem promieniowania nadfioletowego, jak np. kwaterfenyl lub difenylostilben. {{Rysunek|Proces rozpraszania wzbudzonego elektronu bezpromieniście.jpeg|pwwebp|Proces rozpraszania wzbudzonego elektronu bez promieniście}} Gdy poziomy stanu S{{Sub|0}} i S{{Sub|1}} częściowo się pokrywają, wtedy zmienia się energia rozpraszania wzbudzonego elektronu. Elektron przechodzący przez kolejne stany wzbudzone poziomu S{{Sub|1}} i S{{Sub|0}} rozprasza małe porcje energii doprowadzając siebie do stanu równowagi termicznej układu i otoczenia. Jeśli konwerter posiada dodatkowy stan zwany trypletowy, który powstaje przez wprowadzenie domieszki lub zanieczyścienia, to zmienia się mechanizm rozpraszania energii wzbudzenia elektronu. Elektron rozprasza się oddając małe porcje energii w postaci ciepła, gdy energia elektronu obniży się do energii najwyższego stanu trypletowego następuje przeniesienie interkombinacyjne elektronu (S{{Sub|1}})→(T). Elektron może się poruszać po kolejnych stanach trypletowych oddając energię przechodząc do stanu najniższej energii, który w wyniku zakazu Paulliego nie może przejść elektron do stanu S{{Sub|0}}. Powstały stan jest w stanie niezrównoważenia energetycznego, w który elektron może przejść w wyniku pochłaniania energii ze stanu trypletowego do stanu S{{Sub|1}}, z którego jest możliwe promieniowanie promieniste ze stanu S{{Sub|1}} do stanu S{{Sub|0}}, co później następuje rozpraszanie energii na w sposób ciepła doprowadzając układ do stanu równowagi termicznej. Mechanizm z wykorzystaniem stanu trypletowego wykorzystuje się w monokryształach, które na podstawie hodowli monokryształów wprowadza się aktywatory, które wywołują pojawienie się w nich stanu trypletowego nieobecnego w czystym krysztale. Przykładem monokryształu jest jodek sodu NaI z wykorzystaniem aktywatora, którym jest Tal (Tl). Taki scyntylator krystaliczny piszemy wzorem NaI(Tl). === Liczniki półprzewodnikowe === Liczniki półprzewodnikowe wypierają inne detektory, tzn. komory, liczniki i liczniki jonizacyjne, a nawet liczniki scyntylacyjne. One stanowią najnowszy, a zarazem obiecujący system wykrywania promieniowania jądrowego. Aby te liczniki zrozumieć należy umieć pewne wiadomości na temat elektronowej budowy ciała stałego. W tych ciałach poziomy o najmniejszej energii to jest pasmo podstawowe (S), a poziom na najwyższej energii to jest pasmo przewodnictwa (P). {{Rysunek|Budowa poziomów energetycznych w ciele stałem.png|bpewcs|Budowa poziomów energetycznych w ciele stałem. a)izolator. b) i c) przewodnik, d)półprzewodnik.}} Rozważmy przypadek, gdy poziom przewodnictwa jest niezapełniony i jest daleko od poziomu podstawowego, taki obiekt może się zachowywać jak izolator, następnie rozważmy, gdy pasmo podstawowe jest niecałkowicie zapełnione, a nawet rozważmy przypadek, gdy poziom przewodnictwa ma punkty wspólne z pasem podstawowym, wtedy po przyłożeniu prądu następuje zmiana prędkości elektronu znajdujących się w takim ciele. {{Rysunek|Struktura poziomów energetycznych elektronów w półprzewodniku.png|speewp|Struktura poziomów energetycznych elektronów w półprzewodniku. a) półprzewodnik typu n, b)półprzewodnik typu p.}} {{Rysunek|Warstwa zaporowa na złączu dla półprzewodnika typu n i typu p.png|wznzdp|Warstwa zaporowa na złączu dla półprzewodnika typu n i typu p. a) rozkład ładunku elektrycznego na złączu, b)zmiana potencjału na złączu.}} {{Rysunek|Prostownicze właściwości warstwy zaporowej.png|wzijdp|Warstwa zaporowa i jego działanie prostownicze.}} Jeśli podstawowe pasmo podstawowe i przewodnictwa leżą koło siebie, wtedy mamy doczynienia z półprzewodnikami. Zdarza się, że w pobliżu pasma przewodnictwa lub pasma podstawowego pojawiają się dodatkowe poziomy energetyczne. Spowodowane to jest defektami sieci krystalicznej, które występują np. zanieczyszczeń w sieci krystalicznej. Na rysunku obok półrzewodniki pokazane na rysunku a) są to półprzewodniki nadmiarowe oznaczone typu n, które mają dodatkowe poziomy nie daleko poziomu przewodnictwa. A zanieczyszczenia powodujące te dodatkowe poziomy nazywamy donorami. Są to atomy V grupy, którego przykładem jest fosfor, którym zastępujemy atomy krzemu atomami fosforu w sieci ciała krystalicznego ciała stałego. Ponieważ istnieje mała odległość poziomów spowodowanego przez donory, to pewna ilość elekronów przechodzi z tego pasma do pasma przewodnictwa, co przewodnictwo jest spowodowane ruchem elektronów, które mają ładunek elektryczny. Rozważmy sobie półprzewodniki typu p jako półprzewodniki niedomiarowe. Spowodowane są zastąpieniem atomów krzemu atomami III, np. borem, które nazwiemy akceptorami. Ze względu na małą odległość poziomów dodatkowych w pobliżu pasma przewodnictwa do stanu podstawowego może przejść elektron z tego poziomu dodatkowego, i wyniku czego dodatkowy poziom zachowuje się jak dziura. Dla tych przewodników następuje ruch ładunku dodatniego związane z dziurami. Weźmy sobie dwa półprzewodniki typu n i typu p złączone ze sobą, wyniku czego tworzy się styk, na którym powstaje zmiana potencjału zmieniająca się w sposób ciągły. Elektronu znajdujące się w półprzewodniku typu n mają wyższe energię niż elektrony w półprzewodniku, dlatego elektrony będą dyfundować do z n do p, a natomiast dziury będą dyfundować do półprzewodnika typu n, i one będą rekombinować z elektronami. Półprzewodnik typu n będzie ładował się w takim razie ujemnie. Powstaje w ten sposób podwójna warstwa zaporowa i powstanie pomiędzy półprzewodnikami różnica potencjału elektrycznego. Ta bariera będzie niższa, gdy przyłożymy do takiego układu napięcie w kierunku przeciwnym do powstałej różnicy potencjału, wtedy półprzewodnik n będzie ładowany ujemnie, a półprzewodnik p będzie ładowany dodatnio, to napięcie podwyższy się, gdy przyłożymy napięcie w kierunku zgodnym z różnicą potencjału bez przyłożenia potencjału, wtedy prąd płynący przez takie złącze przestanie płynąć. Złącze opisywane tutaj ma więc właściwości prostownicze, który przepuszcza prąd w jednym kierunku. Półprzewodniki p i n złączone ze sobą są bardzo podobny do komory jonizującej, w którym istnieje pewne pole elektryczne, w którym cząstka jonizująca gaz tworzy dwie cząstki elektron i dziura (jon dodatni). Podobnie jak w układzie półprzewodników w komorze jonizującej powstaje napięcie proporcjonalne do wytworzonego ładunku, czyli proporcjonalnej do energii traconej przez cząstkę jonizującą gaz w tej komorze. W półprzewodniku do wytworzenie pary dziura-elektron do tego energia jest dziesięć razy mniejsza niż energia do wytworzenia tej samej pary w komorze jonizacyjnej. Np. dla krzemu ona wynosi 3eV. Wielkość wytworzonego ładunku będzie o 10 razy większa niż w przypadku komory jonizacyjnej. Dalszą zaletą jest szybkość narastania impulsu w połprzewodniku niż przypadku komory jonizacyjnej i ona wynosi rzędu 10{{Sup|-8}}s. Ten czas narastania jest związany ze znaczną ruchliwością nośników ładunku elektrycznego. Zasięg cząstek w półprzewodniku jest bardzo mały w porównaniu z komorą jonizacyjną, dzięki temu rozmiary licznika półprzewodnikowego są małe. Detektory półprzewodnikowe dzielimy na: * detektory z barierą powierzchniową, na której powierzchni krzemu typu n wytwarza się bardzo cienką warstwę półprzewodnika typu p poprzez powierzchniowe utlenianie. Kontakty elektryczne z powierzchnią półprzewodnika uzyskuje się poprzez napylanie cienkiej warstwy metalu na powierzchni półprzewodnika, w taki sposób by nie usuwałby tlenu z powierzchni krzemu w wyniku reakcji chemicznych. Tym metalem jest często złoto, który rozpylamy na powierzchni krzemu o grubości ~30&mu;g/cm{{Sup|2}}. Następnie do takiej powierzchni złota przyłącza się przy pomocy specjalnych klejów druciki, które doprowadzają napięcie elektryczne, * detektory typu dyfuzyjnego. Poprzez dyfundowanie do krzemu, który jest typu p atomów do półprzewodnika typu p krzemu. W ten sposób tworzymy warstwę zaporową. Tą operację przeprowadzamy w temperaturze 700{{Sup|o}}-900{{Sup|o}}. Do tak powstałej warstwy możemy przyłączyć druciki. Tym półprzewodnikiem typu p jest np. gal, * detektory "Li-drifted". W tym obiektach atomy litu, które są donorami, wewnątrz krzemu one poruszają się w wyniku przyłożonego napięciu. Krzem typu p ma niewielki opór właściwy rzędu 100 do 300 &Omega;&sdot;cm. Lit dyfundowany do krzemu ma grubość kilkuset &mu;m, w ten sposób tworzymy sobie złącze typu p-n. Jeśli natomiast w temperaturze 150{{Sup|o}}c przyłączymy napięcie kilkuset woltów, wtedy jony litu będą wnikać do krzemu typu p, co w wyniki czego dostajemy obszar czuły o grubości kilku nm. === Detektory neutronów === Neutrony nie posiadają ładunku elektrycznego i dlatego słabo oddziałują z elektronami, które mają ładunek elektryczny ujemny. Do wykrywania neutronów musimy się posłużyć pewnymi zjawiskami, które posłużą do wykrywania neutronów. Tymi zjawiskami są zjawiska wytwarzanych przez neutrony promieniowania jonizującego, są nimi: * reakcję jądrowe wywołane przez neutrony z emisją pewnych cząstek, które są wydzielane przez np. reakcje (n,p), (n,&alpha;). * reakcje rozpraszania neutronów na protonach w wyniku czego do protonów jest dostarczana pewna energia, które te cząstki można wykryć, bo on stanowi jakoby promieniowanie jonizujące o ładunku dodatnim. * neutrony wywołują wzbudzenie atomów, które później takie obiekty emitują kwanty energii zwanych fotonami. Ze względu na energię neutronów, zatem od nich będzie zależało wybór metody detekcji neutronów poprzez promieniowanie jonizujące, ze względu na energie elektronów metody detekcji dzielimy na: * neutrony mające małą energią, tzn. neutrony powolne posiadające energię 0<E<1000 eV, ten podział dzielimy jeszcze na dalsze podgrupy: ** neutrony posiadające energie 0,001 eV, które nazwiemy neutronami zimnymi. Według zależności E=k{{Sub|B}}T te cząstki posiadają temperaturę T=11,6{{Sup|o}}K. ** neutrony posiadające energię 0,0025 eV, które są neutronami termicznymi, którym odpowiada w przybliżeniu temperatura T=~20{{Sup|o}}C. ** neutrony posiadające energię 1 do 1000 eV, które są neutronami rezonansowymi, nazwa ta pochodzi z stąd, że pewnych określonych podanych wcześniej energiach następuje gwałtowny wzrost przekroju czynnego na reakcję jądrową. * na neutrony mających energie pośrednie 1keV<E<500 keV * na neutrony prędkie posiadające energie E>50 MeV * na neutrony posiadające energie wysokie E>50 MeV Neutrony możemy wykryć poprzez reakcję jądrową, w której wydzielają się promieniowanie &alpha;: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{10}_5B+{}^1_0n\rightarrow{}^7_3Li+{}^4_2\alpha+Q\;</MATH>|8.62}} Jeśli w reakcji wydziela się energia (Q>0), to taką reakcję nazywamy reakcją egzoenergetyczną, ale gdy zachodzi Q<0, to reakcję nazywamy endoenergetyczną. W przypadku w reakcji {{LinkWzór|8.62}} wydziela się energia Q=+2,3MeV, która będzie zachodziła dla bardzo powolnych neutronów. Przekrój czynny na zachodzenie powyższej reakcji jest bardzo duży i wynosi około 3500b. W tej reakcji przekrój czynny maleje wraz z rosnącą energią neutronów odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka energii neutronów. {{Sup|20}}B jest 10% w zawartości pierwiastka w naturalnym borze, ale można ten pierwiastek wzbogacić aż do 90% w ten izotop. Aby wykryć cząstki &alpha; należy posłużyć się emulsjami jądrowymi, którym jednych ze składników jest {{Sup|10}}B, który występuje w postaci związku BF{{Sub|3}} lub występująca w postaci stałej na elektrodach. Weźmy teraz reakcję jądrową: {{CentrujWzór|<MATH>{}^6_3Li+{}^1_0n\rightarrow{}^3_1H+{}^4_2\alpha+Q\;</MATH>|8.63}} Reakcja {{LinkWzór|8.63}} jest reakcją egzoenergetyczną z wydzielającą się energią Q=+4,78 MeV. Przekrój tej reakcji jest rzędu 1000b dla neutronów termicznych. Lit w podobnie jak w poprzedniej reakcji B możemy wprowadzić do emulsji jądrowej lub też do liczników proporcjonalnych, lub do liczników scyntylacyjnych, do których wprowadzamy sctyntylatory liniowe LiI(Tl). Wydajność tak zbudowanych liczników jest bardzo duża i wynosi kilkudziesięciu procent. Te liczniki mogą się posłużyć do wykryweania tzw. neutronów prędkich z spowolnionych przez protony, tak by się stały neutronami termicznymi. Neutrony można też wykryć poprzez reakcje rozszczepienia, w których wydziela się produkty rozpadu i m neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX+{}^1_0n\rightarrow {}^{A_1}_{Z_1}Y+{}^{A_2}_{Z_2}W+m{}^1_0n\;</MATH>|8.64}} W powyższej reakcji powinien być spełniona zasada zachowania liczby masowej i ładunku elektrycznego, tzn. powinno zachodzić A{{Sub|1}}+A{{Sub|2}}=A, Z{{Sub|1}}+Z{{Sub|2}}=Z. Energia wydzielana w tychże reakcjach jest w postaci energii kinetycznej produktów i wynosić może nawet 200 MeV. Jądra {{Sup|235}}, {{Sup|239}}Pu ulegają reakcji rozszczepienia popd wpływem nuetronów termicznych, jeśli one posiadają energię wyższą od energii progowej, dzięki któremu już reakcja może zajść. Przedstawmy kilka energii progowych dla poszczególnych pierwiastków, dla {{Sup|238}}U to E{{Sub|p}}=1,49 MeV, dla {{Sup|232}}Pa to E{{Sub|p}}=0,5 MeV, dla {{Sup|237}}Np to E{{Sub|p}}=0,75 MeV, dla {{Sup|209}}Bi to E{{Sub|p}}=50 MeV, dla {{Sup|232}}Th to E{{Sub|p}}=1,75 MeV. Teraz opiszemy rozpraszanie neutronów na protonach, wtedy neutron jemu przekazuje część swojej energii, tak by on mógł by być zarejestrowany. Metoda ta jest bardzo pomocna do detekcji neutronów prędkich. Gdy energia protonów dochodzi do 10 MeV, wtedy jego przekrój czynny w zależności od kierunku rozpraszania jest izotropowy w układzie środka masy neutron-proton. Jeśli będziemy zakładać równe masy protonów i neutronów, bo one sa takie same w przybliżeniu. Energia, której uzyskuje proton po roszczepieniu zależy od jego kąta rozproszenia względem prędkości neutronów. Możemy je wyznaczyć również oprócz zasady zachowania pędu, z zasady zachowania energii. Z praw zachowania w mechanice klasycznej powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Bigg\{\begin{matrix}v_0=v_p\cos\theta+v_n\cos\phi\Rightarrow v_n\cos\phi=v_0-v_p\cos\theta\\ 0=v_p\sin\theta+v_n\sin\phi\Rightarrow v_n\sin\phi=-v_p\sin\theta \end{matrix}\;</MATH>|8.65}} Możemy podnieść obie strony równości w układzie równań {{LinkWzór|8.29}} i dodając je do siebie i wiedząc v{{Sup|2}}=2E/m, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>v_n^2=v_0^2+v_p^2-2v_0v_p\cos\theta \Rightarrow E_n=E_0+E_p-2\sqrt{E_pE_0}\cos\theta\;</MATH>|8.66}} Z prawa zachowania energii E{{Sub|n}}=E{{Sub|0}}-E{{Sub|p}}, wtedy {{LinkWzór|8.65}} przepisujemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>E_0+E_p-2\sqrt{E_0E_p}\cos\theta=E_0-E_p\Rightarrow E_p=E_0\cos^2\theta\;</MATH>|8.67}} Do detekcji neutronów możemy posłużyć się gazem, którym jest wodór-1 lub inny gaz zawierający wodór, który wypełnia licznik gazowy. Do wykrywania neutronów możemy również posłużyć się substancjami stałymi, takimi jak parafina lub polistyren. Aby rejestrować protony możemy się posłużyć scyntylatorami organicznymi (np. scyntylator Hornyaka zawierający w składzie ZnS(Ag)) lub stycznymi tworzywami. Do detekcji neutronów również posługujemy się licznikami półprzewodnikowymi z wewnętrznym radiatorem, na którą padają neutrony zderzając się protonami, których ma wykryć wcześniej wymieniony licznik. Neutrony możemy również wykryć przy pomocy helu, ale ta metoda może się posłużyć do wykrywania neutronów prędkich, czyli o wysokich energiach. Aby wykryć neutrony możemy się posłużyć się metodą aktywacyjną, polega ona na obserwowaniu promieniotwórczości wywołanej przez neutrony poprzez schwytanie przez pewne materiały. Materiał, który wydziela promieniowanie naświetlamy neutronami przez pewien czas, i dalej obserwujemy wydzielające się cząstki z tego materiału jakimś licznikiem do detekcji promieniotwórczości. Niech strumień neutronów aktywujący pewien materiał jest n, a przekrój czynny na wywołanie reakcji jest &sigma;(E), to liczba atomów, które są już promieniotwórcze tuż po naświetlaniu w sekundzie przez strumień neutronów &Phi;(E)dE jest: {{CentrujWzór|<MATH>dR=\sigma(R)n\Phi(E)dE\;</MATH>|8.68}} Jeśli będziemy rozpatrywać różne energie neutronów obejmujących energie od 0 do E{{Sub|max}} jest napisana jako całka wyrażenia {{LinkWzór|8.68}} po tych określonych energiach: {{CentrujWzór|<MATH>R=\int_0^{E_{max}}\sigma(E)n\Phi(E)dE\;</MATH>|8.69}} Mając liczbę impulsów C w liczniku w przedziale (t{{Sub|1}},t{{Sub|2}}), to liczba atomów promieniotwórczych określonych na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.33}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>R={{\lambda C}\over{\epsilon(1-e^{-\lambda t_0})(e^{-\lambda t_1}-e^{-\lambda t_2})}}\;</MATH>|8.70}} Oznaczenia występujące we wzorze {{LinkWzór|8.70}} są: * t{{Sub|0}} - czas aktywacji dla strumienia neutronów, * &lambda; - stała rozpadu atomu promieniotwórczego poprzez wzbudzenie przez aktywacje tego atomu przez neutrony, * &epsilon; - stała zależna od wydajności licznika i geometrii układu pomiarowego. == Spektrometry promieniowania jądrowego == Spektrometry służą do pomiaru widm promieniowania jądrowego. Nazwa spektrometru pomiarowego pochodzi zwykle od nazwy promieniowania, które badają, i z tego względu te spektrometry dzielimy na: * licznikowe - na wejściu mamy liczniki wraz z detektorami, które rejestrują promieniowanie &gamma;, &alpha;, &beta;, * magnetyczne - przeprowadza analizę energii cząstek, a szczegółowo bada wartości pędów rejetsrowanych naładowanych cząstek, tzn. cząstek &beta;, &alpha;. === Spektrometry licznikowe === {{Rysunek|Schemat blokowy spektrometru licznikowego.png|sbsl|Schemat blokowy spektrometru licznikowego.}} Spektrometry licznikowe dzielimy na spektrometry gazowe, które badają parametry cząstek &alpha;,&beta;, scyntylacyjne, które służą do rejestracji cząstek &alpha;,&beta;,&gamma;,..., a także na detektory półprzewodnikowe. Każdy detektor licznikowy składa się z elementów takich jak: detektora, przedwzmacniacza, wielokanałowego analizatora amplitudy impulsów, który na wejściu znajduje się przetwornik ADC, na którym w zależności od rodzaju detektora napięcie może sięgać nawet kilku tysięcy woltów. Detektor D działamy promieniowaniem ściśle określonym, wtedy na tym detektorze pojawia się impuls elektrycznym na wyjściu o wartości impulsu &Delta;U~&Delta;E, który ma krótki czas narastania, ale długi czas opadania, który po przejściu przez wzmacniacz zostaje ten impuls wzmocniony, który dalej przechodzi przez wzmacniacz spektroskopowy zostaje jeszcze raz wzmocniony i tam formuje się impuls, który ma kształt impulsów gausowskich. Przedwzmacniacz wstępnie wzmacnia, który potrafi przetransformować sygnał uzyskując wzmocnienie natężenia prądu sygnału do bardzo wysokiego, co również można powiedzieć, że ten obiekt transformuje opór rzędu 10{{Sup|5}}&Omega; na mały opór, bo musimy wzmacniacz ładunek, a nie napięcie. {{Rysunek|Sygnał w zależności od liczby kanałów.png|swzolkwp|Sygnał w zależności od liczby kanałów wielokanałowego przetwornika amplitudy ADC}} Najprostszy ze wzmacniaczy jest wtórnik emiterowy. Każdy wzmacniacz jest dostosowywany do ściśle określonego detektora promieniowania jądrowego. Dla detektorów półprzewodnikowych energia impulsów jest wprost proporcjonalna do ładunku przepływającego w tym detektorze i napięcie impulsów jest równa stosunkowi przepływającego ładunku przez jego pojemność, a pojemność jego zależy od napięcia panującego na elektrodach w detektorze. Przedwzmacniacz wzmacnia impuls ładunkowy i zamienia go na impuls napięciowy, który jest potrzebny by detektor zadziałał. Za wzmacniaczem spektroskopowym jest wielokanałowy analizator amplitudy, który służy do rejestracji i pomiaru amplitudy, który jest zbudowany z przetwornika ADC i za nim urządzenia elektronicznego położonych za przetwornikiem. To urządzenie w zależności od liczby kanałów dzielimy na analizatory proste i złożone. Przetwornik ADC przekształca impuls gaussowski na formę cyfrową. Elektronika za przetwornikiem jest odpowiedzialna za zapisanie sygnału w postaci cyfrowej do odpowiednich komórek pamięci np. w komputerze. ==== Wielokanałowy przetwornik amplitudy ADC ==== Wielokanałowy przetwornik amplitudy ADC jest to układ, który zamienia sygnał analogowy na reprezentację cyfrową. Możliwe jest dzięki temu przetwarzanie w urządzeniach cyfrowych przetworzonego sygnału na reprezentację zerowo-jedynkową i gromadzenie tychże danych na nośnikach pamięci. Przemiana sygnału analogowego polega na kwantyzacji sygnału analogowego zmieniającego się płynnie na wartości skokowe, ale w granicach odwzorowania skali. Przetwarzanie tego sygnału polega na trzech etapach , tzn. próbkowanie, kwantyzacja i na samym końcu kodowanie. A jeśli chcemy przetworzyć sygnał cyfrowy na analogowy, to taki przetwornik nazywamy przetwornikiem cyfrowo-analogowym C/A. Rozdzielczość przetwornika nazywamy ile dyskretnych wartości może przetworzyć i wyrażamy je często w bitach. Np. przetwornik ADC potrafi przetworzyć sygnał na jednej z 256 wartości liczbowych. Rozdzielczość możemy również wyrazić w woltach. Rozdzielczość wtedy możemy wyrazić jako stosunek całkowitej skalę pomiaru przez ilość stopni kwantyzacji. * '''Klasyfikacja przetworników ADC ze względu na rodzaj parametru:''' ** ładunkowe - Mierzy całkowity ładunek przepływający w czasie otwarcia bramki, ponieważ ładunek w wielu przypadkach jest wprost proporcjonalny do strat energii cząstki na detektorze. ** napięciowe - mierzone jako chwilową wartość na wejściu. ** "peak-sensing" - mierzy amplitudę impulsu, czyli największą wartość napięcia w czasie otwarcia bramki. Przetworniki ADC działają na zasadzie pomiaru czasu ładowania lub rozładowania kondensatorów prądem stałym. {{Rysunek|Przetwornik amplitudy ADC.png|sbpadc|Schemat blokowy przetwornika ADC}} {{Rysunek|Charakterystyka napięciowa przetwornika ADC od czasu.png|cnpadcod|Charakterystyka napięciowa przetwornika ADC od czasu.}} Uzyskanie pomiaru przy pomocy przetwornika daje dużą dokładność, ale istnieje duży czas pomiędzy bramką a uzyskanym wynikiem sięgających nawet kilkunasty &mu;s, jest to czas martwy, w którym nie należy mierzyć (badać) żadnego impulsu. Są takie przetworniki, które mają wejście clear, na którym podanie impulsu powoduje przerwanie procesu konwersji i rozpoczęcie gotowości przyjęcia dalszego impulsu. Parametrami przetworników ADC są: * zakres wejściowy z jakim należy mierzyć największe dopuszczalne napięcie. Również impuls możemy dostosować przy pomocy wzmacniaczy lub tłumików do przetwornika ADC, * następnym parametrem jest rozdzielczość mówiąca ile wartości napięcia można mierzyć w pewnym zakresie. Jest to liczba bitów mierzonych w pewnym zakresie. Jest ona podawana w zakresie od 8 do 12 bitów, * Czas konwersji sygnału z bramki a uzyskaniem wyniku, ** Liniowość całkowita jest to odchylenia maksymalne charakterystyki przetwornika od prostej, ** różniczkowa przedstawiająca na ile zachodzi równość szerokości kanałów, * stabilność jak kalibracja zmienia się w czasie i pewnej temperaturze. === Spektrometry magnetyczne === Siła Lorentza działająca na daną cząstkę piszemy jako suma siły elektrycznej i magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}\right)\;</MATH>}}, jeśli nie będziemy uwzględniać sił pola elektrycznego, i jeśli mamy prędkość ruchu cząstki prostopadłą do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{\bot}\;</MATH>}}, wtedy z drugiej zasady dynamiki Newtona i z dynamiki ruchu obrotowego mamy: {{CentrujWzór|<MATH>m{{v^2_{\bot}}\over{r}}=qv_{\bot}B\Rightarrow m{{v_{\bot}}\over{r}}=qB\Rightarrow r={{mv_{\bot}}\over{qB}}\;</MATH>|8.71}} Jeśli prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} nie jest prostopadła do wektora indukcji pola magnetycznego, ale kąt pomiędzy wektorami prędkości a indukcji pola magnetycznego jest &alpha;, wtedy piszemy {{Formuła|<MATH>v_{\bot}=v\sin\alpha\;</MATH>}}, to cząstka będzie się poruszała z po pętli śrubowej, a jeśli &alpha;=90{{Sup|0}}, to ruch cząstki jest po okręgu. Jeśli weżniemy płaszczyznę prostopadłą do {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}} i będziemy rzutować tor cząstki na tą płaszczyznę, wtedy jedno okrążenie następuje w czasie: {{CentrujWzór|<math>v_{\bot}={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v_{\bot}}}={{2\pi }\over{v_{\bot}}}{{mv_{\bot}}\over{qB}}\Rightarrow T={{2\pi m}\over{q B}}\;</MATH>|8.72}} Jeśli kąt pomiędzy prędkością cząstki a wektorem indukcji nie jest prosty, wtedy skok linii śrubowej określamy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>h=v_{||}T=v\sin\alpha {{2\pi m}\over{qB}}={{2\pi m v\sin\alpha}\over{qB}}\;</MATH>|8.73}} {{Rysunek|Massaspectrometer.GIF|smm|Spektrometr masowy magnetyczny}} Weźmy teraz spektrometr magnetyczny do określania mas cząstek, aby cząstką wyszła z komory, tak gdzie panuje pole elektryczne i magnetyczne muszą siły pola magnetycznego równoważyć siły pola elektrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>Eq=qvB\Rightarrow E=vB\;</MATH>|8.74}} Występuje właśnie taka zależność pomiędzy polem elektrycznym, a magnetycznym, gdy z komory ma wyjść cząstką o prędkości v. Możemy regulować wartościami pola elektrycznego lub magnetycznego, jeśli chcemy by wyszła cząstka o pewnej prędkości. Gdy cząstka wyjdzie z komory trafia na drugą komorą w której panuje tylko pole magnetyczne, która zakrzywia ruch cząstki naładowanej, a jego tor jest wtedy częścią półokręgu o promieniu r, na której na samym końcu drogi cząstka pada na kliszę fotograficzną, z której możemy wyznaczyć stosunek q/m, a jeśli znamy ładunek cząstki, to możemy policzyć jego masę. == Parametry spektrometrów licznikowych i magnetycznych == === Energetyczna zdolność rozdzielcza spektrometru === {{Rysunek|Parametry spektrometrów licznikowych i magnetycznych.png|pslim|Parametry spektrometrów licznikowych i magnetycznych}} Energetyczna zdolność rozdzielcza jest to parametr spektrometru (detektora) mające na wejściu do niego monochromatyczne promieniowanie określonego przez δ(E-E{{Sub|0}}). A po wyjściu z spektrometru mamy widmo rozmyte N(E), który na połowie jego wysokości ma szerokość ΔE{{Sub|1/2}}(E{{Sub|0}}) oznaczonej przez FWHM (FULL WIDTH AT HALF MAXIMUM), a na jego 1/10 wysokości ma szerokość oznaczonej przez FWTM (FULL WIDTH AT ONE TENTH MAXIMUM). Wielkość FWHM piszemy w jednostkach energii keV, którą nazywamy bezwzględną energetyczną zdolnością rozdzielczą spektrometru (detektora), a stosunek FWHM/E{{Sub|0}} wyrażamy w % nazywamy względną energetyczną zdolnością rozdzielczą przy określonej energii E{{Sub|0}} posiadającej przez zarejestrowane cząstki. Powstawanie rozkładu rozmytego N(E) są statystyczne fluktuacje powstałe podczas rejestracji cząstki przechodzącej przez detektor, do tego też się wniosą sumy detektora, a także fluktuacje przy wzmocnieniu fluktuacji i szumy w układach elektronicznych, z których jest zbudowanych sam spektrometr. W detekcji promieniowania przyjmuje się zdolność spektrometru jest wypadkową zdolnością rozdzielczą detektora, a także w nim pracujących układów elektronicznych, tzn.: przedwzmacniacza, wzmacniacza spektrometru magnetycznego, a także przetwornika ADC, itp.: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{FWHM}^2=\operatorname{FWHM}_D^2+\operatorname{FWHM}^2_{EL}\;</MATH>|8.75}} === Energetyczna zdolność rozdzielcza detektora === Źródłem fluktuacji amplitudy dla sygnałów wyjściowych, które wychodzą od detektora są statystyczne fluktuację liczby rodników prądu w, które są w detektorze powstałe przy rejestracji cząstki, które posiadają energię E. Te fluktuację możemy napisać czysto-statystycznie przez rozkład normalny Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH>P(n)={{1}\over{\sigma_n\sqrt{2\pi}}}e^{-{{(n-\langle n\rangle)^2}\over{2\sigma_n^2}}}\;</MATH>|8.76}} Odchylenie sygnału od wartości statystycznej równa połowie szerokości sygnału P(n) jest na wysokości {{Formuła|<MATH>1/\sqrt{e}\;</MATH>}}, wtedy zachodziło by {{Formuła|<math>\sigma_n=\sqrt{\langle n^2\rangle}\;</MATH>}}. W detektorach liniowych liczba rodników prądu możemy napisać przez {{Formuła|<MATH>n={{E}\over{\overline{\mathbf{E}}}}\;</MATH>}}, przy którym {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{E}}\;</MATH>}} jest energią potrzebną do wytworzenia pewnych nośników w detektorze, tzn. e{{Sup|-}} i dziury w półprzewodnikach oraz jonu dodatniego i e{{Sup|-}} w gazach itp., wtedy odchylenia od wartości statystycznej w rozważanych rozkładach statystycznych N(E) i P(E) piszemy przez: {{Formuła|<MATH>\sigma_E=\overline{\mathbf{E}}\sigma_n=\overline{\mathbf{E}}\sqrt{{{{\langle E\rangle}^2}\over{\langle\mathbf{E}^2\rangle}}}=\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;</MATH>}}. Teraz policzmy wartość FWHM, której wartośc jest równa połowie maksymalnej wartości: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}(E=\langle E\rangle)={{1}\over{2}}{{1}\over{\sigma_E\sqrt{2\pi}}}={{1}\over{2}}{{1}\over{\sigma_E\sqrt{2\pi}}}e^{-{{\left({{1}\over{2}}FWHM\right)^2\over{2\sigma^2_E}}}}\Rightarrow FWHM_D=2\sqrt{2\ln 2}\sigma_E=2\sqrt{2\ln 2}\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}=2,35\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow FWHM_D=2,35\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;</MATH>|8.77}} Wyliczone wartości stałych FWHM{{Sub|D}}, które są wyznaczone dla detektorów gazowych i półprzewodnikowych dla różnych energii E{{Sub|o}} okazały się dużo mniejszy od wartości wyznaczonej statystycznie, co okazuje się, że fluktuacje pierwotnych nośników prądu nie podlegają statystyce Gaussa, wtedy można wprowadzić czynnik poprawkowy F<1, który jest nazywamy czynnikiem FANO i przyjmuje wartości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_n=\sqrt{F\cdot \langle n^2\rangle}\;</MATH>|8.78}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\sigma_E=\sqrt{F\cdot\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;</MATH>|8.79}} }} wtedy wyrażenie FWHM{{Sub|D}} przy uwzględnieniu współczynnika Fano (współczynnika korekcji) jest napisane jako: {{CentrujWzór|<MATH>FWHM_D=2,35\sqrt{F\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}=2,35\sqrt{F\overline{\mathbf{E}}E_0}\;</MATH>|8.80}} Obserwowana szerokość N(E) z detektora jest uwarunkowana fluktuacjami statystycznymi i jest mniejsza zgodność dla dużych energii, pogarsza się z wielkością {{Formuła|<MATH>\sqrt{E}_0\;</MATH>}} dla rejestrowanych cząstek i dlatego jest ona wprost proporcjonalna do {{Formuła|<MATH>\sqrt{\overline{\mathbf{E}}}\;</MATH>}}. Przedstawimy teraz listę wartości {{Formuła|<MATH>\overline{E}\;</MATH>}} i F dla detektorów półprzewodnikowych, gazowych i scyntylacyjnych. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=rowspan=2|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan="2"|Detektory półprzewodnikowe}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=rowspan=2|Detektory gazowe}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan="2"|Detektory scyntylacyjne}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Ge}}<!-- -->{{Komórka|Si}}<!-- -->{{Komórka|Argon}}<!-- -->{{Komórka|Metan}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{E}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|2,96 2,62 3,71}}<!-- -->{{Komórka|77keV 77keV 300keV}}<!-- -->{{Komórka|około 300}}<!-- -->{{Komórka|26,4}}<!-- -->{{Komórka|29,2}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|F}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|około 0,005 do 0,1}}<!-- -->{{Komórka|około 1}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|od 0,17 do 0,25}}<!-- -->}}<!-- -->}} To jakie są wartości współczynnika korekcji F decydują mechanizmy wytwarzania nośników prądów, a także rodzaj nośnika, a także koreakcje pomiędzy tego typu procesami. Fotony w zjawisku luminescencji nie wykazują tego typu korelacji, a więc współczynnik korekcji dla scyntylatorów wynosi {{Formuła|<MATH>F\simeq 1\;</MATH>}}. Bardzo małe wartości współczynnika korekcji F i średniej energii obserwuje się przy germanie, i dlatego spektrometry w GeHP przy dużych wartościach energii wykazują rekordowo duże zdolności rozdzielcze promieniowania E{{Sub|γ}}=1,33MeV i FWHM=1,7keV. W porównaniu z najlepszymi scyntylatorami NaJ(Tl), FWHM=60keV są one 30-35 krotnie lepsze. Bardzo ważnym czynnikiem w detekcji promieniowania jądrowego jest zdolność rozdzielcza detektorów, która jest zależna od energii badanych cząstek, są to szumy wynikające z fluktuacji termicznych są tzw. prądy zerowe, które płyną przez spolaryzowany detektor, dot. termicznej kreacji par e{{Sup|-}}e{{Sup|+}}, a także obecność domieszek, a także występowanie prądu ciemnego w detektorach w fotopowielacza, itp. a także prądów płynących po powierzchni detektorów i po izolacji, które dochodzą często rzędu 10{{Sup|3}}V. Szumy te przedostają się do fluktuacji statystycznych, które zależą od energii poprzerzając w ten sposób pasmo FWHM{{Sub|D}} znacząco, co decydujący znak jest przy niskich energiach, przy których to maleje proporcjonalnie do {{Formuła|<MATH>\sqrt{E}\;</MATH>}}. Z powodów dużych szumów termicznych, niektóre urządzenia muszą pracować w temperaturze ciekłego helu 77K dla detektorów wykonanych z Ge. === Zdolność rozdzielcza elektroniki spektrometru (FWHM{{Sub|EL}}) === One charakteryzują się wszelkimi fluktuacjami i prądami oraz wzmacniaczami układów wzmacniających impulsy z detektora i przetwornika ADC wielokanałowego analizatora amplitudy. Szumy rejestrowanych cząstek zależą od energii rejestrowanych cząstek, czyli od amplitudy przetwarzanych impulsów, a także zależy od temperatury i jakości elementów elektronicznych z których są zbudowane spektrometry promieniowania jądrowego. Największy wpływ mają przedwzmacniacze ładunkowe we detektorach zbudowanych z półprzewodników, które są zbudowany z niskoszumowych tranzystorów polowych. Traktując szumy układów elektronicznych i detektora razem, czyli {{Formuła|<MATH>\sigma_{AP}^2=\sigma_{szum D}^2+\sigma^2_{EL}\;</MATH>}}, co jest sumą kwadratów szum detektora i układu elektronicznego, ta wielkość jest niezależna od rejestrowanego promieniowania. Zdolność energetyczna spektrometru określać w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>FWHM(E)=\sqrt{(2,35)^2F\overline{\mathbf{E}}E+FWHM^2_{AP}}\;</MATH>|8.81}} Z rozważań {{LinkWzór|8.79}} zależność zależność FWHM{{Sup|2}} dla spektrometrów liniowych powinna być zależność liniowa od E, ale ją dla E=0 określać będziemy jako FWHM{{Sub|AP}}. Jest to metoda określania wielkości FWHM{{Sub|AP}}. === Wydajności detektorów i spektrometrów === Są to parametry charakteryzujące się względnymi lub absolutnymi zarejestrowanymi przez detektor ściśle określonego typu promieniowania. Wydajność detektora określa ilość zarejestrowanych cząstek w zależności od cząstek padających: {{CentrujWzór|<MATH>\eta(E)={{N_{zar}}\over{N_{pad}}}\;</MATH>|8.82}} {{Rysunek|Obliczanie ilości cząstek padających.png|oicp|Obliczanie ilości cząstek padających}} Jest to wydajność (właściwa) detektora zarejestrowanych w dowolnym czasie &Delta;t. Dla cząstek naładowanych &alpha; i &beta; wydajność ta jest bliska 100%. Jej obniżenie może spowodować pochłonięcie pewnych ilości cząstek w okienku detektora. Wydajność detektora promieniowania &gamma; znacznie zależy od energii kwantów, a także od rodzaju detektora. Ale już dla ≤50keV zależy również od obserwowanych cząstek. Jeśli mamy źródło promieniowania &gamma; o aktywności A i kącie bryłowym detektora równym &Omega;, to w czasie t liczba padających cząstek jest: {{CentrujWzór|<MATH>N_{pad}(E_0)=A_{zr}{{I(E_0)}\over{\sum_i I_i(E)}}\Omega t=A_{zr}I_{zr}\Omega t\;</MATH>|8.83}} === Zdolność rozdzielcza η{{Sub|w}}(E) detektora (spektrometru) promieniowania jądrowego === Zdolność właściwa, którą liczymy względem wydajności dla danej energii określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_W(E)={{\eta(E)}\over{\eta(E_0)}}\;</MATH>|8.84}} Jest ona zależna od energii rejestrowanych cząstek. Mając definicję wydajności względnej dla zarejestrowanych cząstek o energii E, która jest ona stosunkiem {{LinkWzór|8.81}} dla energii E przez energię E{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_W(E)={{\eta(E)}\over{\eta(E_0)}}={{N_{pad}(E)}\over{N_{pad}(E_0)}}{{N_{zar}(E_0)}\over{N_{zar}(E)}}\;</MATH>|8.85}} Iloraz I(E)/I(E{{Sub|0}}) jest określana na podstawie tablic wzorcowych, a natomiast N{{Sub|zar}}(E{{Sub|0}})/N{{Sub|zar}}(E) określa się według widma energetycznego o energii E. === Zdolność rozdzielcza absolutna detektora w spektrometrze promieniowania jądrowego === Zdolność rozdzielcza spektrometru określa prawdopodobieństwo wykrycia cząstki, która posiada energię E{{Sub|0}} wylatującej ze źródła, która jest w odległości r od detektora: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_b(E)={{N_{zar}(E)}\over{N_{wylzr}}}={{N_{pad}(E)\eta(E)}\over{4\pi A_{zr}I_{zr}(E)t}}={{A_{zr}I_{zr}(E)\eta(E)\Omega t}\over{4\pi A_{zr}I_{zr}(E)t}}={{\Omega}\over{4\pi}}\eta(E)\;</MATH>|8.86}} Znajomość tej wydajności absolutnej spektrometru jest bardzo nam potrzebna do zbadania aktywności badanych przez nas źródeł. Wydajność spektrometru HPGe określa się na podstawie kwantów energii &gamma;, które są wydzielane przez {{Sup|60}}Co, gdzie tam są wysyłane kwanty o energii 1332 keV. Wydajność względna będziemy określać na podstawie scyntylatora NaI, której wydajność jest 1,2&sdot;10{{Sup|-3}}: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_{wa}(Ge)_{\gamma}={{\eta(1332keV)}\over{\eta(NaI(TL);1332keV)}}={{\eta(1332keV)}\over{1,2\cdot 10^{-3}}}\;</MATH>|8.87}} === Transmisja spektrometru magnetycznego === Jest to wielkość określająca prawdopodobieństwa wykrycia cząstki przez detektor o rozmiarze kątowym &Omega;, do którego doleciała ta cząstka z odległości r ze źródła do kolektora: {{CentrujWzór|<MATH>T={{\Omega}\over{4\pi}}\;</MATH>|8.88}} === Świetliwość spektrometru magnetycznego === Świetliwość spektrometru magnetycznego określamy poprzez iloczyn transmisji spektrometru magnetycznego T {{LinkWzór|8.88}} i powierzchni źródła S{{Sup|max}} dla której jeszcze jest dobra zdolność rozdzielcza spektrometru jądrowego: {{CentrujWzór|<MATH>L=T\cdot S^{max}\;</MATH>|8.89}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3b6hvuugmr1btfwcnhaxvjrhslggdmt 0 21970 558604 531710 2026-10-04T19:57:22Z Persino 2851 558604 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Aktywność źródła promieniotwórczego == === Aktywność promieniowania === Aktywność źródła promieniotwórczego jest to iloraz ilości rozpadów w pewnym ściśle określonym czasie wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>A_i=\left|{{dN_i}\over{dt}}\right|=\lambda N_i\;</MATH>|4.27}} Jeden Bekerel jest to jeden rozpad na sekundę {{Formuła|<MATH>1Bq={{1rozpad}\over{1sek}}\;</MATH>}}. Jeden Kiur jest równy {{Formuła|<math>1 Ci=3,7\cdot 10^{10}{{rozpad}\over{sek}}\;</MATH>}}, wtedy {{Formuła|<MATH>1Bq=0,27\cdot 10^{-10}Ci\;</MATH>}}. === Dawka promieniowania (DOZA) D pochłonięta === Dawkę promieniowania nazywamy ilość energii pochłoniętej przez daną masę wyrażoną przez: * 1 GREJ, tj. {{Formuła|<MATH>1Gy={{1J}\over{1kg}}\;</MATH>}}, * 1 RAD, tj. {{Formuła|<MATH>1Ra=10^{-2}Gy\;</MATH>}}, * 1 RENTGEN, tj. {{Formuła|<MATH>1R=2,58\cdot 10^{-4}{{C}\over{kg}}\;</MATH>}} - jest to dawka promieniowania, w którym 1 cm{{Sup|3}} suchego powietrza wytwarza się ładunek elektryczny równej {{Formuła|<math>3,3\cdot 10^{-10}C\;</math>}}, wiadomo jednak: {{Formuła|<MATH>1R=8,69\cdot 10^{-3}Gy\;</MATH>}}. == Dawka równoważna i skuteczna (dawki biologiczne) == Dawki równoważne skuteczne zależą od następujących czynników: * wielkości dawki pochłoniętej (D) * typu promieniowania w{{Sub|R}} * rodzajów narządów lub tkanek w{{Sub|T}} a) '''Dawkę równoważną H{{Sub|R}}''' dla ściśle określonego promieniowania nazywamy iloczyn współczynnika skuteczności promieniowania w{{Sub|R}} i dawki promieniowania R pochłoniętego przez dany narząd (tkankę): {{CentrujWzór|<MATH>H_R=w_RD\;</MATH>|W}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>D\;</MATH>}} to dawka promieniowania R (pochłonięta przez dany narząd (tkankę) T). : {{Formuła|<MATH>w_R\;</MATH>}} współczynnik skuteczności. {{Center|<!-- -->{{Tabelka|opcje=width=50%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|{{Strong|Rodzaj promieniowania R}}}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|w{{Sub|R}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|kwanty &gamma;}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|elektrony &beta;}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|neutronu &lt;10keV}}<!-- -->{{Komórka|5}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|neutrony od 10 do 100keV}}<!-- -->{{Komórka|10}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|neutrony od 100 do 200okeV}}<!-- -->{{Komórka|20}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|cząstki &alpha;, ciężkie jony}}<!-- -->{{Komórka|20}}<!-- -->}}<!-- -->}} }} Jednostką H{{Sub|R}} jest 1 SIWERT=1Sv&equiv;(w{{Sub|R}}=1)&sdot;1Gy. dla promieniowania &gamma; D=1Gy, H{{Sub|&gamma;}}=1Sv, a dla promieniowania &alpha; przy tym samym dozie D, tzn. H{{Sub|&alpha;}}=20Sv. b) '''Dawkę skuteczną E{{Sub|T}}''' dla określonego narządu (tkanki) nazywamy iloczyn dawki równoważnej H{{Sub|R}} i współczynnika określajacego rodzaj narządu: {{CentrujWzór|<MATH>E_T=w_TH_R=w_T\cdot w_R\cdot D\mbox{ }[\mbox{Sv}]\;</MATH>|4.27a}} * gdzie w{{Sub|T}} to wspóółczynnik wagowy poszczególnych tkanek. {{Center|<!-- -->{{Tabelka|opcje=width=50%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|{{Strong|Narząd lub tkanka}}}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|{{Strong|w{{Sub|T}}}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|gruczoły płciowe}}<!-- -->{{Komórka|0,20}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|szpik kostny}}<!-- -->{{Komórka|0,12}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|płuca}}<!-- -->{{Komórka|0,12}}<!-- -->}}{{wiersz|<!-- -->{{Komórka|żąłodek}}<!-- -->{{Komórka|0,12}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|wątroba}}<!-- -->{{Komórka|0,05}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|skóra}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|kości}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->}}<!-- -->}} }} Dla całego człowieka mamy normowanie dawki skutecznej równej w{{Sub|T}}{{Sup|całk}}&equiv;1. c) '''Skuteczna dawka obiążająca E''' jest to dawka sumaryczna otrzymawana przez człowieka w ciagu pewnego czasu (maksymalnie 50 lat dla osób dorosłych i 70 lat dla dzieci) == Źródła napromieniowania == Przedstawimy tutaj źródła promieniowania, które dzielimy na promieniotwórczość naturalną, promieniowanie kosmiczne, ze względu na awarie reaktorów jądrowych i prześwietlenia kosmiczne. === Promieniotwórczość naturalna === Dawka napromieniowania wyniku promieniotwórczości naturalnej jest E=2,5mSv/rok. W skorupie ziemskiej jest 60 zródeł naturalnych radioaktywnych nuklidów plus produkowanych przez promieniowanie kosmiczne. Największy udział wkładowy wnosi {{Formuła|<MATH>{}^{222}_{86}Rn\;</MATH>}}, dla którego czas połowicznego zaniku jest T{{Sub|1/2}}=3,8d. Jego rozpad jest: {{Formuła|<MATH>{}^{222}_{86}Rn\xrightarrow{\alpha}{}^{218}_84Po\;</MATH>}}. Eksploatuje się go z Ziemi, gdzie powstaje z rozpadu {{Formuła|<MATH>{}^{226}Ra\;</MATH>}}. W Stanach Zjednoczonych Ameryki (USA) aktywność średnia promieniowania w domach jest ok. 50 Bq/m{{Sup|3}}, a w powietrzu wynosi 1&divide;10BBq/m{{Sup|3}}, a w ciele człowieka znajduje się ok. 4kBq. === Promieniowanie kosmiczne === Dawka tego promieniowania rośnie wraz z wysokością, a wzrost wysokości o ok. 100m zwiększa dawkę na rok o ok. 11&mu;Sv. Dawka tego promieniowania jest {{Formuła|<MATH>E\simeq 0,07mSv/rok\;</MATH>}}. === Wybuchy jądrowe === W okresie 1945-1980 udało się wykonać 423 próby wybuchów w atmosferze, które spowodowały wytworzenie dużych ilości radioaktywnych nuklidów. Jego skuteczna dawka do roku 2000 jest ok. 4 mSv. W wyniku wybuchów jądrowych główny udział mają z podanymi w nawiasie stałymi połówkowymi czasu rozpadu w latach: {{Formuła|<MATH>{}^{14}C\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>5,7\cdot 10^3lat\;</MATH>}}) - 69%, {{Formuła|<MATH>{}^{137}Cs\;</MATH>}} (30,2at) - 14% i {{Formuła|<MATH>{}^{90}Sr\;</MATH>}} (28,5lat) - 3.2%. === Energetyka jądrowa === Przedstawimy tabelkę dotyczące paliwa w energetyce jądrowej: {{Tabelka|klasa=wikitable|styl=margin-left:auto;margin-right:auto|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Radioaktywne produkty'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|styl=max-width:300px;|'''Kolektywna skuteczna dawka obciążająca w osobo-sivertach na rok i jeden GW mocy {{Formuła|<MATH>[osobo-Sv/(GW\cdot rok)]\;</MATH>}}'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|wydobywanie uranu}}<!-- -->{{Komórka|0,5}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|produkcja paliwa }}<!-- -->{{Komórka|0,042}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|uwalnianie radioaktywnych nuklidów z reaktorów}}<!-- -->{{Komórka|4.16}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|przyrost zużytego paliwa}}<!-- -->{{Komórka|1,0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|transport paliwa}}<!-- -->{{Komórka|0,003}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|ok. 5.7}}<!-- -->}}<!-- -->}} Wszystkie elektrownie jądrowe na świecie produkują rocznie 400GW mocy na ok. 6mld miekszkańców, stąd skuteczna dawka na jednego człowieka na Ziemi jest równa ok. 0,4&mu;Sv/rok. === Awarie reaktorów jądrowych === Zostały udokumentowane i udowodnione 3 awarie reaktorów jądrowych, tzn.: pożar reaktora w Windscale w 1957 roku, częściowe stopienie rdzenia reaktora w Three Mile Island w 1979 roku oraz pożar i stopienie rdzenia reaktora w Czarnobylu w 1986 roku. {{Tabelka|klasa=wikitable|opcje=width=auto|styl=margin-left:auto;margin-right:auto;|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Awarie'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Div|styl="white-space:nowrap;|'''Skuteczna&nbsp;dawka&nbsp;obciążająca&nbsp;całe&nbsp;ciało&nbsp;[osobo-Sv]'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Zasięg&nbsp;skażeń'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Windscale}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1,3\cdot 10^3\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|100km}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Three&nbsp;Mile&nbsp;Island}}<!-- -->{{Komórka|20}}<!-- -->{{Komórka|80km}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Czarnobyl}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>6\cdot 10^5\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|ZSRR&nbsp;40%,&nbsp;Europa&nbsp;57%}}<!-- -->}}<!-- -->}} W Polsce wywołane katastrofą w Czarnobylu skażenie spowodowaną dawką obciążającą (przez 50lat) wynosi ok. 0,4&divide;2,2 mSv, a średnio 0,93 mSv, a w ciągu 1 roku ok. 0,31 m Sv. === Ekspozycje medyczne === Diagnostyka medyczna jest przeprowadzana przy pomocy promieniowania X i radionuklidów wprowadzanych do organizmu oraz radioterapii. Największy wkład w prześwietleniach wnosi ok. 1 mSv/rok dawki napromieniowania, a w Polsce jest 1,8 mSv/rok. Dla mieszkańca Europy dawka promieniowania jonizującego ze względu na naturalne promieniowanie jest 2,3 mSv/rok, a cywilizacyjne 1,22 mSv/rok, co daje razem 3,6mSv/rok. Główny udział napromieniowania mają naturalne źródła promieniowania i diagnostyka medyczna, tzn. ok. 90%. == Oddziaływanie procesów jądrowych z materią (e,&alpha;,&gamma;) - działania biologiczne promieniowania jonizującego == a) '''skutki stochastyczne''' W wyniku oddziaływania promieniowania z pojedynczymi komórkami z promieniowaniem jonizacyjnym lub przez wzbudzenie molekuł i atomów, w wyniku czego może to spowodować uszkodzenie DNA, które mogą doprowadzić do śmierci komórki, lub nawet jej mutacje, które mogą prowadzić do nowotworów złośliwych lub do zmian dziedzicznych. Pod pływem promieniowania jonizacyjnego 14Sv w populacji mieszkańców 10000 ocenia się, że jest 500 przypadków są to nowotwory, a na 50 przypadków zmiany genetyczne. Rozwój nowotworów rozwija się znacznie później niż napromieniowanie ciała. Najszybciej rozwija się białaczka ok. 2-5 lat. Skuteczna dawka obciążająca powstała w wyniku katastrofy Czarnobylu na 50 lat wynosi 0,9 mSv. Liczba zgonów (w Polsce mieszkańców jest ok. 40mln ludzi) jest równa ok. {{Formuła|<MATH>500\cdot{{40\cdot 10^6}\over{10^4}}\cdot 0,9\cdot 10^{-3}=1800</MATH>}} osób. Rocznie na nowotwory umiera ok. 70000 osób, a więc w ciągu 50 lat ok. 3,5 mln. osób. b) '''skutki deterministyczne''' Polega na przejściowym lub trwałym uszkodzeniu tkanek (śmierci organu), które następuje po przekroczeniu dawki progowej. Nie obserwuje się poważnych uszkodzeń organów poniżej 0,5 Sv. * Tabela dla dawki promieniowania równoważna na jeden rok dla poszczególnych części organizmu: {{Center|<!-- -->{{Tabelka|opcje=width=50%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Jądra}}<!-- -->{{Komórka|twała niepłodność}}<!-- -->{{Komórka|ok. 3,5&divide;6,0 Sv}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Jajniki}}<!-- -->{{Komórka|trwała niepłodność}}<!-- -->{{Komórka|ok. 2,5&divide;6,0Sv}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Oko}}<!-- -->{{Komórka|Zmętnienie}}<!-- -->{{Komórka|ok. 0,5&divide;6,0 Sv}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Szpik kostny}}<!-- -->{{Komórka|zachwianie funkcji krwinek}}<!-- -->{{Komórka|0,5 Sv}}<!-- -->}}<!-- -->}} }} Przestawimy teraz schemat {{Formuła|<MATH>LD^{X}_Y</MATH>}} dla przykładu {{Formuła|<MATH>LD^{30}_{50}\;</MATH>}}, który oznacza śmierć 50% osób w ciągu 30 dni. Wysokie dawki promieniowania oznaczają śmierć danego osobnika lub w nim zmiany nowotworowe. * Tabela dla dawki promieniowania równoważna na jeden rok dla poszczególnych organizmów: {{Center|<!-- -->{{Tabelka|opcje=width=50%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=2|{{Center|{{Strong|Śmiertelne dawki}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|wirusy}}<!-- -->{{Komórka|5000Sv}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Osa}}<!-- -->{{Komórka|1000}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|wąż}}<!-- -->{{Komórka|800}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|ryba}}<!-- -->{{Komórka|8,5}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nietoperz}}<!-- -->{{Komórka|150}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|kard (roślina)}}<!-- -->{{Komórka|10}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|szczur}}<!-- -->{{Komórka|8}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|pies}}<!-- -->{{Komórka|3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|małpa}}<!-- -->{{Komórka|5}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|człowiek}}<!-- -->{{Komórka|od 2,5 do 3}}<!-- -->}}<!-- -->}} }} Duże dawki napromieniowania na żywy organizmów może spowodować, że nastąpi śmierć lub niekorzystne zmiany nowotworowe w ciele tego osobnika. == Szeregi promieniotwórcze == Ciężkie nuklidy mogą być powiązane ze sobą genetycznie w tzw. szeregi lub rodziny promieniotwórcze. Warunkiem koniecznym, aby pierwiastek występował w szeregu jest, aby jego czas połowicznego zaniku T{{Sub|1/2}} lub czas połowicznego zaniku nuklidów poprzedzających go był większy lub równy wiekowi Ziemi T{{Sub|1/2}}&ge;5&sdot;10{{Sup|9}}lat. Ciężkie nuklidy mogą być powiązane ze sobą genetycznie w tzw. szeregi lub rodziny. Kolejno nuklidy występujące w danej rodzinie mają liczby masowe o różnicy cztery lub zero (w rozpadzie &beta; liczba masowa A się nie zmienia, w rozpadzie &alpha; liczba masowa A zmienia się o cztery), jest ona wyrażona wzorem A=4n+s, gdzie s=0,1,2,3 jest to liczba charakteryzująca daną rodzinę. === Rodzina torowa s=0 === Szereg rozpoczyna się izotopem toru {{Sup|232}}Th o okresie połowicznego zaniku 14 miliardów lat, a kończy się izotopem stabilnym {{Sup|208}}Pb. Szereg jest opisany 4n+0 i należy do niego czternaście izotopów nuklidów. {{CentrujWzór|<MATH>{}^{232}_{90}Th(T_{1/2}=1,4\cdot 10^{10} \mbox{lat})\rightarrow ....\rightarrow{}^{208}_{82}Pb\;</MATH>|4.1}} {{Tabelka|klasa=wikitable|styl=margin:auto;|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="80"|[[w:nuklid|nuklid]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|typ rozpadu}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|[[w:czas połowicznego rozpadu|czas połowicznego rozpadu]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="60" |uwolniona [[w:energia (fizyka)|energia]], [[w:MeV|MeV]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|produkt rozpadu}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 232}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,405•10{{Sup|10}} lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,081}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 228}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 228}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,75 lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,046}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:aktyn|Ac]] 228}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:aktyn|Ac]] 228}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,13 h}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 2,124}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 228}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 228}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,913 lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,520}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 224}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 224}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3,64 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,789}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:radon|Rn]] 220}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:radon|Rn]] 220}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 54,5 s}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,404}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 216}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 216}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,158 s}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,906}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 212}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 212}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 10,64 h}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,570}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 212}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 212}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]] 64,06%{{Br}} [[w:rozpad alfa|α]] 35,94%}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 60,55 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 2,252{{Br}} 6,208}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 212{{Br}} [[w:Tl|Tl]] 208}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 212}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3∙10{{Sup|-}} s}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 8,955}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 208}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tal|Tl]] 208}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3,0 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,999}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 208}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 208}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| trwały}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Rodzina neptunowa s=1 === Szereg rozpoczyna się {{Sup|237}}Np o czasie połowicznego zaniku 2,1 miliarda lat, a kończy sie na stabilnym izotopie {{Sup|209}}Bi. Szereg jest opisywany przez 4n+1 i należy do niego 13 nuklidów. {{CentrujWzór|<MATH>{}^{237}_{93}Np(2,2\cdot 10^6\mbox{lat})\rightarrow ...\rightarrow{}^{209}_{83}Bi\;</MATH> {{Tekst|(ten szereg nie istnieje w naturze)}}|4.2}} {{Tabelka|klasa=wikitable|styl=margin:auto;|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="80"|[[w:nuklid|nuklid]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|typ rozpadu}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|[[w:czas połowicznego rozpadu|czas połowicznego rozpadu]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="60" |uwolniona [[w:energia (fizyka)|energia]], [[w:MeV|MeV]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|produkt rozpadu}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:neptun (pierwiastek)|Np]] 237}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 2,14•10{{Sup|6}} lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,959}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:protaktyn|Pa]] 233}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:protaktyn|Pa]] 233}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 27,0 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,571}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:uran (pierwiastek)|U]] 233}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:uran (pierwiastek)|U]] 233}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,59•10{{Sup|5}} lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,909}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 229}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 229}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 7340 lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,168}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 225}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 225}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 14,8 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,36}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:aktyn|Ac]] 225}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:aktyn|Ac]] 225}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 10 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,935}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:frans (pierwiastek)|Fr]] 221}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:frans (pierwiastek)|Fr]] 221}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,8 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,3}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:astat|At]] 217}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:astat|At]] 217}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 32,3 ms}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 7,0}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 213}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 213}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]<br /> [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 46 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .{{Br}} 5,87}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 213{{Br}} [[w:tal|Tl]] 209}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 213}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,2∙10{{Sup|-6}} s}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 209}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tal|Tl]] 209}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 2,2 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3,99}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 209}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 209}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3,25 h}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,644}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 209}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 209}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| trwały}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Rodzina uranowo-radowa s=2 === Szereg rozpoczyna się nuklidem niestabilnym {{Sup|238}}U o czasie połowicznego zaniku 4,5 miliadra lat, a kończy się na stabilnym ołowiu {{Sup|206}}Pb. Szereg jest opisywany 4n+2 i należy do niego 16 nuklidów. {{CentrujWzór|<MATH>{}^{238}_{92}U(4,5\cdot 10^9\mbox{lat})\rightarrow ...\rightarrow{}^{206}_{82}Pb\;</MATH>|4.3}} {{Tabelka|klasa=wikitable|styl=margin:auto;|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="80"|[[w:nuklid|nuklid]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|typ rozpadu}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|[[w:czas połowicznego rozpadu|czas połowicznego rozpadu]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="60" |uwolniona [[w:energia (fizyka)|energia]], [[w:MeV|MeV]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|produkt rozpadu}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:uran (pierwiastek)|U]] 238}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,51•10{{Sup|9}} lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,270}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 234}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 234}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 24.10 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,273}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:protaktyn|Pa]] 234}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:protaktyn|Pa]] 234}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,18 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 2,197}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:uran (pierwiastek)|U]] 234}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:uran (pierwiastek)|U]] 234}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 2,44∙10{{Sup|5}} lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4.859}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 230}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 230}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 7,50∙10{{Sup|4}} lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,770}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 226}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 226}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1622 lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,871}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:radon|Rn]] 222}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:radon|Rn]] 222}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3,823 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,590}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 218}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 218}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3,05 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,88}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 214}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 214}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 26,8 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,024}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 214}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 214}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]] 99,98%{{Br}} [[w:rozpad alfa|α]] 0,02%}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 19,7 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3,272{{Br}} 5,617}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 214{{Br}} [[w:tal|Tl]] 210}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 214}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,162 ms}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 7,883}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 210}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tal|Tl]] 210}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,32 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,484}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 210}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 210}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 22,3 lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,064}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 210}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 210}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]] 99,99987%{{Br}} [[w:rozpad alfa|α]] 0,00013%}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,0 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,426{{Br}} 5,982}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 210{{Br}} [[w:Tl|Tl]] 206}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 210}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 138,375 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,407}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 206}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 206}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| trwały}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Rodzina uranowo-aktynowa s=3 === Szereg rozpoczyna się na niestabilnym {{Sup|235}}U o czasie połowicznego zaniku o czasie połowicznego zaniku 700 milionów lat, a kończy się na stabilnym {{Sup|207}}Pb. Szereg jest opisywany przez 4n+3 i należy do niego 14 nuklidów. {{CentrujWzór|<MATH>{}^{235}_{92}U(6,96\cdot 10^8\mbox{lat})\rightarrow ...\rightarrow {}^{207}_{82}Pb\;</MATH>|4.4}} {{Tabelka|klasa=wikitable|styl=margin:auto;|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="80"|[[w:nuklid|nuklid]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|typ rozpadu}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|[[w:czas połowicznego rozpadu|czas połowicznego rozpadu]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="60" |uwolniona [[w:energia (fizyka)|energia]], [[w:MeV|MeV]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=width="100"|produkt rozpadu}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:uran (pierwiastek)|U]] 235}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,96•10{{Sup|8}} lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,678}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 231}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 231}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 25,64 h}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,391}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:protaktyn|Pa]] 231}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:protaktyn|Pa]] 231}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 32760 lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,150}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:aktyn|Ac]] 227}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:aktyn|Ac]] 227}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]] 98,62%{{Br}} [[w:rozpad alfa|α]] 1,38%}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 21,772 lat}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 0,045{{Br}} 5.042}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 227{{Br}} [[w:frans (pierwiastek)|Fr]] 223}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tor (pierwiastek)|Th]] 227}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 18,72 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,147}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 223}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:frans (pierwiastek)|Fr]] 223}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 21,8 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,149}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 223}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rad (pierwiastek)|Ra]] 223}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 11,434 d}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 5,979}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:radon|Rn]] 219}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:radon|Rn]] 219}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 3,920 s}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,946}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 215}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 215}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]] 99,99977%{{Br}} [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]] 0,00023%}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,78 ms}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 7,527{{Br}} 0,715}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 211{{Br}} [[w:astat|At]] 215}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 211}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 36,1 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,367}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 211}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:bizmut|Bi]] 211}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]] 99,724%{{Br}} [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]] 0,276%}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 2,15 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 6,751{{Br}} 0,575}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tal|Tl]] 207{{Br}} [[w:polon|Po]] 211}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:polon|Po]] 211}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad alfa|α]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 510 ms}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 7,595}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 207}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:tal|Tl]] 207}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:rozpad beta|β{{Sup|-}}]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 4,79 min}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| 1,418}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 207}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| [[w:ołów|Pb]] 207}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| trwały}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->{{Komórka|opcje=align="center"| .}}<!-- -->}}<!-- -->}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0ba3kxnk0z65qktjje8coyrb5oee1j7 0 21971 558598 513567 2026-10-04T19:36:17Z Persino 2851 558598 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Etap współczesny == Według stanu obecnego fizykę dzielimy na działy: '''jądra atomowego''', '''cząstek elementarnych''' i '''kosmosu''' (chodzi tutaj o strukturę i teorię powstania wszechświata). W wyniku rozwoju techniki eksperymentalnej, tzn. akceleratorów, detektorów, elektroniki i komputerów, badano własności jąder atomowych i strukturę materii w wysokoenergetycznych wiązkach akceleratorowych p, e{{Sup|-}} i e{{Sup|+}} i innych cząstek, i w promieniowaniu kosmicznym. Nuklidami nazywamy jądra o ściśle określonej liczbie atomowej Z i masowej A. Odkryto ponad 3000 nuklidów (Z=od 1 do 118), 150 obiektów (cząstek) początkowo traktowanych jako cząstki elementarne. W 1964 r. Badano strukturę hadronów. M. Gell-Mann i G. Zweig postulowali, że te właśnie cząstki są złożone z trzech kwarków i jest to model kwarkowy hadronów. W latach siedemdziesiątych trzy kwarki już nie wystarczają do opisu nowych hadronów, rozwija się teoria oddziaływań silnych QCD. Odkryto sześć leptonów i sześć kwarków wraz z ich antycząstkami, które różnią się ''zapachem'' i ''kolorem'', w sumie tworzą trzy generacje. Cząstki złożone z trzech kwarków są bezbarwne. Każdy kwark występuje w trzech kolorach (w stanach kolorowych), charakteryzujących się elektrycznym ładunkiem ujemnym (-1/3)e lub ładunkiem dodatnim (2/3)e. Kwarki oddziałują ze sobą przy pomocy gluonów, które są bozonami o masie spoczynkowej równej zero i ładunku zerowym, ale mają ładunek kolorowy, ale występujących w ośmiu kolorach. Kwarki i gluony są uwięzione w hadronach, z których na przykład proton składa się z trzech kwarków (u,u,d): (2/3+2/3-1/3)e=e. Podobnie neutron składa z trzech kwarków (ddu): (-1/3-1/3+2/3)e=0. Mezony natomiast składają się z dwóch kwarków (kwark + antykwark). == Model standardowy materii == Cząstki fundamentalne składają się z sześciu leptonów i sześciu kwarków wraz z ich antycząstkami. Kwantową teorię pola elektromagnetycznego oraz słabego możemy połączyć w oddziaływanie elektrosłabe, model oddziaływania silnego i elektrosłabego możemy połączyć w model standardowy. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Podstawowe cząstki elementarne w fizyce cząstek elementarnych'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino elektronowe}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH><7\cdot 10^{-9}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|Elektron}}<!-- -->{{Komórka|0,0005111}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\mu}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino mionowe}}<!-- -->{{Komórka|<0,0003}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\mu^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Mion}}<!-- -->{{Komórka|0,106}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\tau}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino taonowe}}<!-- -->{{Komórka|<0.03}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\tau^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Taon}}<!-- -->{{Komórka|1.7771}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}<!-- -->}} W poniższej tabelce pokazaliśmy powierzchowne informacje o kwarkach, których jest sześć i których ładunki są ułamkowe, tzn. ich ładunki są oznaczane przez (+2/3)e i przez (-1/3)e. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Kwarki w modelu standardowym '''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|&mu;}}<!-- -->{{Komórka|górny}}<!-- -->{{Komórka|0,005}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|d}}<!-- -->{{Komórka|dolny}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|c}}<!-- -->{{Komórka|powabny}}<!-- -->{{Komórka|1.5}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|s}}<!-- -->{{Komórka|dziwny}}<!-- -->{{Komórka|0,2}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|t}}<!-- -->{{Komórka|szczytowy, wysoki, prawdziwy}}<!-- -->{{Komórka|180}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|b}}<!-- -->{{Komórka|piękny, niski}}<!-- -->{{Komórka|4,7}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli traktować, że 1 (jedynka) to jest 10{{Sup|-18}}m, to elektron ma wielkość mniejszą od jedynki, kwark o rozmiarach 10{{Sup|-18}}m ma rząd równy jedynce, proton ma wielkość równą 1000 (on ma rozmiary w metrach 10{{Sup|-15}}m), jądro ma wielkość 10000 o rozmiarach 10{{Sup|-14}}m, a atom ma wielkość 100000000 o rozmiarach 10{{Sup|-10}}m. Atomy, jądra i nukleony nie są kulami to jest tylko rząd wielkości. Elektron ma rozmiary bardzo małe i dlatego nie mówi się o rozmiarach elektronów. == Jądra atomowe == Jądra składają się z protonów i neutronów, gdzie liczba protonów wynosi Z (liczba porządkowa atomu), liczba neutronów N, a liczbę masową oznaczamy przez A, która jest równa licznie neutronów N i liczbie atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>A=N+Z\;</MATH>|1.1}} Ogólnie symbol pierwiastka oznaczamy jak poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_Z\hbox{X}_N\;</MATH>|1.2}} Przykładem jąder atomowych są: * {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}U\;</MATH>}}. Jądra atomowe dzielimy ze względu na liczbę atomową (liczbę protonów) Z, masową A i liczbę neutronów w jądrze N. * '''Izotopy''', których liczba atomowa Z jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}. * '''Izotony''', których liczba neutronów N w jądrze jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}. * '''Izobary''', których liczba protonów i neutronów razem wziętych jest wielkością stałą, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_2He\;</MATH>}}. Jądra dzielimy też ze względu na liczbę nukleonów w jądrze na: * '''Jądra parzyste''', w których A jest parzyste, ale Z i N też są liczbami parzystymi. * '''Jądra nieparzyste''', w których liczba masowa A jest liczbą nieparzystą. Ze względu na stabilność dzielimy je na: * '''jądra stabilne''', których znamy 274 w tym 215 jąder typu p-p (parzysto-parzyste) i 4 typu n-n (nieparzysto-nieparzyste). * '''jądra niestabilne''', są to jądra promieniotwórcze ze względu na rozpad &alpha;,&beta;, sf i emisję nukleonów. == Nuklid == Jest to atom o określonej liczbie atomowej (A,Z). Przykładem są nuklidy pierwiastka wodoru {{Formuła|<MATH>H, \mbox{ czyli }{}_1^1H, {}_1^2H,{}_1^3H.\;</MATH>}}. == Siły jądrowe == {{Rysunek|SMFc1.JPG|csj|Charakter sił jądrowych}} Nukleony w jądrze są związane siłami jądrowymi, które są wynikiem sił oddziaływania silnego, mającego krótki zasięg {{Formuła|<MATH>(\leq 2\cdot 10^{-15}m)\;</MATH>}}. Te siły nie zależą od rodzaju nukleonów, z którymi mamy doczynienia. Potencjał omawianego tutaj oddziaływania zależy od współrzędnej radialnej, jeśli przedstawić oddziaływanie silne w układzie współrzędnych kulistym V=V(r). Stała sprzężenia oddziaływania silnego wynosi {{Formuła|<MATH>\alpha_s\simeq 1\;</MATH>}}. Oddziaływania te ulegają wysycaniu. Przykłady stałej sprzężenia dla innych oddziaływań są: * pole grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\alpha\simeq 5.6\cdot 10^{-39}\;</MATH>}}, * oddziaływanie słabe {{Formuła|<MATH>\alpha_{sl}\simeq 1\cdot 10^{-5}\;</MATH>}}, * oddziaływanie elektromagnetyczne {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{137}}\;</MATH>}}. == Masa i energia wiązania jąder atomowych i nuklidów == Masę atomową nuklidów wyrażamy w jednostkach masy atomowej, która według definicji jest równa 1/12 masy atomu węgla {{Formuła|<MATH>{}^{12}_6C\;</MATH>}}, co schematycznie możemy przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>1u={{1}\over{12}}M({}^{12}_6C)=1,66\cdot 10^{-24}g=931,5016(3)MeV/c^2\;</MATH>|1.3}} Masę protonu, neutronu, a także elektronów piszemy w jednostkach masy atomowej, które to przeliczamy na energię (będąca równoważna z masą): * {{Formuła|<MATH>m_p=1,007276470(11)u=938,2796(27)MeV/c^2\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_n=1,008665012(37)u=939,5731(27)MeV\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_e=5,4858026(21)\cdot 10^{-4}u=0,5110034(14)MeV/C^2\;</MATH>}} Różnica masy neutrony i protonu jest równa dwa i pół masy elektronu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>m_n-m_p\simeq 1.29MeV\simeq 2.5m_e\;</MATH>|1.4a}} Neutron swobodny jest cząstką nietrwałą o czasie połowicznego zaniku równym T{{Sub|1/2}}=10,6m i on rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe wedle: {{CentrujWzór|<MATH>n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e (\mbox{rozpad }\beta^-)\;</MATH>|1.4}} == Budowa jądra atomowego i jego energia wiązania == Znając masy protonu, neutronu, elektronu i atomów można by oczekiwać, że po zsumowaniu mas Z protonów, N neutronów i Z elektronów ich suma będzie równa masie atomu. Rzeczywistość jest jednak inna, masa atomu jądra atomowego jest mniejsza niż oczekiwana. Niedobór masy można napisać według jego definicji: {{CentrujWzór|<MATH>Zm_p+(A-Z)m_n+Zm_e-M_a=\Delta M\;</MATH>|1.5}} Przy łączeniu cząstek wchodzących w skład atomu wydziela się pewna energia, którą można opisać z równoważności masy i energii: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=\Delta Mc^2\;</MATH>|1.6}} Do rozkładu jądra na składniki należy dostarczyć jądru energię równą {{LinkWzór|1.6}}, którą tutaj oznaczymy przez B(A,Z). Każdy atom składa się z jądra i elektronów, a jądro atomowe składa się z neutronów i protonów. Masa jądra nie jest sumą mas jego składników, tzn. protonów i neutronów. Energia wiązania jądra atomowego, w takim przypadku nazywamy różnicę sumy mas poszczególnych składników wchodzących w skład jądra atomowego i masy jądra, jest ona równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.7}} Masa elektronu jest bardzo mała, można więc masę protonu zastąpić przez masę atomu wodoru, wtedy wzór {{LinkWzór|1.5}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_H+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.8}} * gdzie M{{Sub|a}} jest masą jądra atomowego, już po połączeniu nukleonów w skład jądra atomowego. Znając defekt masy jądra atomowego w unitach możemy policzyć masę jądra przedstawionych w MeV: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=B(A,Z)=\Delta M\cdot 931{{MeV}\over{u}}\;</MATH>|1.9}} Energia wiązania jądra w przypadku atomu helu wynosi: B(A,Z)=28,39 MeV. Wyzwalana jest w trakcie powstawania jądra atomowego helu z czterech nukleonów (dwa neutrony i dwa protony). Można policzyć, że podczas powstawania 1 kg helu zostaje wyzwolona energia równa spaleniu 25 000 ton węgla. Znając energię wiązania B(A,Z) {{linkWzór|1.9}} możemy policzyć średnią energię przypadająca na jedno wiązanie, która jest ilorazem energii wiązania przez liczbę masową A, i wynosi ona: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{E}(A,Z)={{B(A,Z)}\over{A}}\;</MATH>|1.10}} Im większa jest energia średnia wiązania atomu, tym bardziej jądro jest trwalsze, tzn. należy dostarczyć więcej energii by rozłożyć atom na składniki. === Masa jądra atomowego === Masę jądra atomowego możemy wyliczyć znając masę neutronu i protonu, a także energię wiązania nukleonów jądra atomowego na podstawie wzoru {{linkWzór|1.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.11}} W tablicach są podane masy nuklidów (M(A,Z) (lub energie wiązania jądra z elektronami), które możemy wyrazić: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=M_j(A,Z)+Zm_e-B(elektr.)\;</MATH>|1.11a}} Energia wiązania jądra z elektronami wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(elektr.)\simeq (0,01Z)^{2,5}MeV\;</MATH>|1.11b}} Energia wiązania dla jądra elektronu z jądrem wodoru wyrażamy wzorem {{Formuła|<MATH>B(elektr.)=B({}^1_1H)=({}^1_1H)=({}^1_1H)=13,6eV\;</MATH>}}, a według wzoru {{LinkWzór|1.11b}} wynosi {{Formuła|<MATH>B({}^1_1H)=({}^1_1H)\simeq 10eV\;</MATH>}}. Ponieważ masa jądra atomu praktycznie się nie różni od masy całego atomu (jądra z krążącymi wokół elektronami), zatem masę protonu możemy zastąpić przez masę wodoru {{Formuła|<MATH>{}^1_1\hbox{H}\;</MATH>}}, co schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.12}} * gdzie B(A,Z) jest to energia wiązania nuklidów. Dla jąder izobarycznych jądrami najbardziej stabilnymi są te o największej energii wiązania i są one stabilne ze względu na rozpady &beta;, podczas gdy mogą one być niestabilne ze względu na rozpad &alpha;, sf. === Odchylenie masy (mass excess) === Odchyleniem masy nazywamy różnicę masy jądra atomowego {{linkWzór|1.11}} w unitach i liczby masowej pomnożonej przez unity: {{CentrujWzór|<MATH>ME(A,Z)=\left({{M(A,Z)}\over{u}}-A\right)u\;</MATH>|1.13}} Co wzór {{linkWzór|1.13}} możemy wyrazić nie tylko w w unitach, czyli w jednostkach masy atomowej, ale też ją zwykle wyrażamy w jednostkach energii MeV korzystając z przelicznika {{LinkWzór|1.9}}. Energia wiązania B(A,Z) decyduje o stabilności w zależności na naturalne rozpady &beta; &alpha;, sf, itp. W zbiorze jąder izobarycznych o danym A jądra o największej energii wiązania są stabilne ze względu na rozpady &beta;, te jądra mogą być również ze względu na rozpad &alpha;, sf. == Średnia energia wiązania nukleonów == {{Rysunek|Binding energy curve - common isotopes-pl.svg|sew|Średnia energia wiązania}} Jak można zauważyć według rysunku obok, że średnia energia wiązania jąder atomowych {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.4}} rośnie w obszarze jąder lekkich wykazując lokalne maksima przy A=4,8,12,16,.... * W pobliżu A=60 uzyskuje płaskie maksimum E{{Sup|max}}=8.8MeV. * Powoli maleje dla dużych A>60 osiągając w końcu energię E{{Sup|ciężkie}}=7.6MeV * Wykazuje lokalne wzrosty dla liczby Z lub '''N=2,8,20,(28),50,(64),82,126''', które to nazywamy liczbami magicznymi. Jadrami podwójnie magicznymi są to jądra opisane jako: * {{Formuła|<MATH>{}^4_2He_2\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{16}_8 O_8\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{40}_{20}Ca_{20}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{132}_{50}Sn_{82}\;</MATH>}}, &nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{146}_{(64)}Gd_{82}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb_{126}\;</MATH>}}. Wysycanie sił jądrowych powodowane jest przez istnienie oddziaływań n-n silnie odpychającego rdzenia, które nie pozwalają zbliżyć nukleonom na dowolnie bliskie odległości, co jest powodem ograniczania liczbę sąsiadów danego nukleonu. Powolny spadek B/A dla A>60 występuje w wyniku wzrostu odpychania kulombowskiego protonów, natomiast spadek B/A dla jąder lekkich tłumaczy się rosnącą rolę efektów powierzchniowych, które są istotne dla małych jąder atomowych. == Materia jądrowa (rozkłady gęstości ładunku i masy atomowej) == Jądra są obiektami fizycznymi związane ze sobą siłami jądrowymi o skończonym zasięgu, które są niezależne od rodzaju nukleonu. Można więc przypuszczać, że jądra atomowe są układami o skończonym zasięgu, a jego brzeg jest niezbyt rozmyty. Energia przypadająca na jednej nukleon w jądrze nie zależy od rodzaju nukleonu i jest niemal stała i wynosi około 8MeV, co świadczy, że siły jądrowe mają właściwość wysycania, czyli każdy przeciętny nukleon jest związany z jego najbliższymi nukleonami. W ciężkich jądrach stosunek B/A jest taki sam w jak cząstce &alpha; i wynosi B{{Sub|&alpha;}}=28,39MeV, w której na każdy nukleon przypadają trzy wiązania, stąd można przepuszczać, że na jeden nukleon przypada najwięcej trzy wiązania jakie tworzy. Można policzyć, że przy wiązaniu 1 kg helu (&alpha;) ({{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}) jest wytwarzana energia równa przy spalaniu 2500 ton węgla. Następstwem wysycania sił jądrowych, w których występuje niezależność ich od rodzaju nukleonu i zakazu Pauliego, jest prawie stała objętość przypadająca na jeden nukleon, co z {{linkWzór|1.10}} wynika {{Formuła|<MATH>V\sim A\;</MATH>}} i zachodzi {{LinkWzór|1.25}} oraz można przypuszczać, że rozkłady materii wewnątrz jądra są takie same. Wysycanie sił jądrowych w jądrze atomowym pozwala mówić, że w oddziaływaniach n-n o silnie odpychającym rdzeniu, które nie pozwalają się zbliżyć na dowolnie małe odległości nukleonom, ograniczając w ten sposób liczbę najbliższych sąsiadów. Powolny spadek wartości B/A w ciężkich jądrach dla A>60 tłumaczy się w wyniku wzrostu odpychania kolumbowskiego, natomiast stosunek B/A w jądrach lekkich tłumaczy się jako fakt rosnących efektów powierzchniowych. == Energię separacji (wiązania) nukleonu == Dobrą ilustracją wpływu liczb magicznych nukleonów neutronów i protonów jest tzw. energia separacji, czyli znając masy jądra początkowego {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} oraz masę jądra {{Formuła|<MATH>{}^{A-1}_ZX\;</MATH>}} lub {{Formuła|<math> {}^{A-1}_{Z-1}X\;</MATH>}} otrzymanego z {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} przez odłączenie jednego protonu lub neutronu, wtedy te energie, czyli energię separacji neutronu lub protonu możemy wyrazić przez: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=M(A-1,Z)+M_n-M(A,Z)\;</MATH>|1.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=M(A-1,Z-1)+M_p-M(A,Z)\;</MATH>|1.15}} }} Energia ta osiąga maksimum dla magicznych liczb dla protonu lub neutronu. Energii separacji protonu lub neutronu wykazuje przy pewnych liczbach atomowych lokalne skoki odpowiadające zamkniętym powłokom nukleonowych, analogicznie do energii jonizacji dla zamkniętych powłok elektronowych. Sugerowanie analogi powłok elektronowych do powłok nukleonowych sugeruje powstawanie liczb magicznych, że umieszczenie nukleonu poza zamkniętą powłoką sugerowałoby zmniejszenie energii separacji, bo słabsze byłyby wiązania pomiędzy nukleonami. Analogicznie do {{LinkWzór|1.14}} i {{LinkWzór|1.15}} energię wiązania neutronu dla jądra atomowego definiujemy przy pomocy energii wiązań jako różnicę energii wiązania dla ściśle określonego Z, ale po dodaniu do jądra jednego neutronu, wtedy z jądra z A powstaje jądro o liczbie masowej A-1, czyli jest to energia potrzebna do wyrwania energii z jądra atomowego wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z-1)M_n-B(A-1,Z)+M_n-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z)\;</MATH>|1.16}} Energia potrzebna do wyrwania jednego protonu wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=(Z-1)M({}^1_1H)+(A-Z)M_n-B(A-1,Z-1)+M_p-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1)\;</MATH>|1.17}} Energie separacji neutronu lub protony wykazują silne fluktuacje, które nazywamy efektami powłokowymi, a przykłady tychże energii: *{{Formuła|<MATH>S_n({}^2_1\hbox{H})=S_p({}^2_1\hbox{H})=2,2 MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_n({}^{13}_7\hbox{N})= 20,3MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_p({}^{13}_{7}N)=1,9MeV\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_p({}^{14}_{6}C)=20,8MeV\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję neutronu, są to jądra, dla których energia separacji neutronu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_n\leq 0\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję protonu, są to jądra, dla których energia separacji protonu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_p\leq 0\;</MATH>}}. Doświadczalnie wykazano, że istnieje związek dla energii separacji (dwójkowania, pairing) neutronu (n) lub protonu (p), które to piszemy następująco dla N i Z parzystego: {{CentrujWzór |1={{ElastycznyWiersz|1=<MATH>\begin{cases} S_n(N,Z)>S_n(N\pm 1,Z)\\ S_p(Z,N)>S_p(Z\pm 1, N) \end{cases}\;</MATH> |2={{Tekst|&nbsp;gdy&nbsp;&nbsp;}} |3={{ElastycznaKolumna |1={{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} |2={{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} }} |_1=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; |_2=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; |_3=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; }}|1.18}} Nukleony w jądrze atomowym są powiązane w pary (p-p), (n,n), ale nie w parę (n,p), których to moment pędu każdej pary wynosi zero, a więc też spin takiego układu jest równy zero, tzn. {{Formuła|<MATH>0^+\;</MATH>}}. == Energie oddziaływania pairing (parowania nukleonów w jądrze atomowym) == Energia parowania w jądrach atomowym jest to energia tylko oddziaływań silnych i jest to oddziaływanie łączące nukleony w pary pp i nn o przeciwnych spinach, są to krótkozasięgowe oddziaływania wysycające się na najbliższym sąsiedzie tego samego rodzaju, dążą by gęstość jądra atomowego dążyła do izotropowego rozkładu materii. Jest to oddziaływanie resztkowe w jądrach. Energie parowania neutronu i protonu są takie same P{{Sub|pp}}&asymp;P{{Sub|nn}}, mieszczą się one w zakresie od 2 do 8 MeV, a wzór na energię parowania w zależności od liczby masowej "A" przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>P={{24}\over{\sqrt{A}}}\mbox{MeV}\;</MATH>|1.19}} Jeśli jądro potraktujemy jako pewien układ, to energię wiązania możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,N)=\underbrace{B_c+B_{sp}(Z,N-1)}_{B(Z,N-1)}+B_{sp}(Z,N)+P_{nn}\;</MATH>|1.20}} Energia parowania nukleonu sparowanego, który definiujemy jako średnią energię dwóch sąsiednich energii separacji względem danego nuklidu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>B_{sp}(Z,N)]={{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.21}} Jeśli wykorzystamy wzór na energie separacji neutronu {{linkWzór|1.16}}, ten wzór wykorzystamy do {{linkWzór|1.20}}, stąd wyprowadzamy energię parowania neutronów: {{CentrujWzór|<math>P_{nn}(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1)-B_{sp}(Z,N)=S_n(A,Z)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.22}} Analogicznie do poprzedniego wzoru możemy wykorzystać wzór na energie separacji protonu {{linkWzór|1.17}} do podobnego wzoru do {{linkWzór|1.20}} (tylko zmienia się Z zamiast N), wtedy w ten sposób definiujemy energię parowania protonów: {{CentrujWzór|<MATH>P_{pp}(Z,N)=S_p(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z-1,N)+S_n(Z+1,N)\right]\;</MATH>|1.23}} Energia wiązania każdego nukleonu połączonej w pary, która jest taka sama w przybliżeniu dla neutronu i protonu, wyraża się: {{CentrujWzór|<math>\Delta_n={{P_{nn}}\over{2}}\simeq\Delta_p={{P_{pp}}\over{2}}\;</MATH>|1.24}} Nazywamy tą energię energią przerwy energetycznej neutronowej &Delta;{{Sub|n}} i protonowej &Delta;{{Sub|p}}, dla którego jak powiedzieliśmy powyżej są w przybliżeniu sobie równe. == Modele jąder atomowych == === Model kroplowy === Model kroplowy jest to inaczej zwany modelem Weizsäcke'a i Bethe'go, która mówi: * gęstość nukleonów w materii jądrowej nie zależy od liczby masowej A, dla którego promień jądra w zależności od liczby masowej i promienia {{Formuła|<MATH>r_0\simeq 1,2\cdot 10^{-13}cm\;</MATH>}} jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>R=r_0A^{{{1}\over{3}}}\;</MATH>|1.25}} Gęstość nukleonów możemy przestawić jako &rho;=0,17 nukl/fm{{Sup|3}}, średni promień jądra atomowego jest wyrażony przez {{Formuła|<MATH>\langle r^2\rangle_{nukl}=0,5fm\;</MATH>}}. * zależność natężenia sił jądrowej jest bardzo podobna do zależności oddziaływania Van der Waalsa działającej w cieczy, * oddziaływania jądrowe wysycają się tak jak wiązania chemiczne, za wyjątkiem jąder lekkich mamy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j\sim A\Rightarrow {{B_j}\over{A}}=\operatorname{const}.\;</MATH>|1.26}} Jądro atomowe opisujemy jako naładowana cząstka o ładunku Q=Ze, która jest nieściśliwą cieczą. Według modelu kroplowego całkowita energia wiązania jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=B_{obj}(A)+B_{pow}(A)+B_{cul}(Z,A)+\underbrace{B_{as}(N,Z)+B_{pairing}}_{\mbox{czlony jądrowe}}\;</math>|1.27}} Model kroplowy opisuje średnie właściwości jąder atomowych i nie uwzględnia jego struktury subtelnej. Ten model należy stosować dla jąder o {{Formuła|<MATH>A\geq30\;</MATH>}}. Dla jąder stabilnych {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} obliczone wartości B(A,Z) zgadzają się z doświadczeniem z błędem ok 2%. ==== Model kroplowy według Weizsöcke'a i Bethe'go ==== Energię wiązania jądra atomowego o liczbie atomowej Z i liczbie masowej A przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,A)=a_{\nu}A-a_{s}A^{{{2}\over{3}}}-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\pm\delta\;</MATH>|1.28}} * człon {{Formuła|<MATH>a_{\nu}A\;</MATH>}} jest to człon objętościowy pochodzący od przyciągania pochodzącymi od oddziaływania między nukleonami, wartość tej stałej stojąca przy liczbie masowej jest równa a{{Sub|&nu;}}=15,85 MeV, ten współczynnik jest miarą średniego wkładu do energii wiązania (stąd znak minus). * człon {{Formuła|<MATH>a_{s}A^{{{2}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon powierzchniowy, nukleony na brzegu mają mniejszą liczbę przyciągających parterów niż nukleony wewnątrz jądra atomowego, liczba nukleonów występujących na powierzchni kuli jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni kuli, stała występująca w tym wzorze jest równa a{{Sub|s}}=18,34 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon kulombowski pochodzących od odpychania miedzy nukleonami, wartość stałej występującej przy tym członie jest równa a{{Sub|c}}=0,71 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\;</MATH>}} jest członem asymetrycznym odzwierciedlających tendencje do ścieżki stabilności N+Z=A=2Z, a stała występująca tutaj jest równa a{{Sub|as}}=92,86 MeV. * człon &delta; człon charakteryzujący stabilność jąder parzysto-parzystych, mniejszą dla jąder parzysto-nieparzystych i nieparzysto-parzystych i jeszcze mniejszą dla jąder nieparzysto-nieparzystych, ten człon jest wyrażony: {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=+&Delta; dla jąder parzysto-parzystych{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=0 dla jądrem A nieparzystych {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=-&Delta; dla jąder nieparzysto-nieparzystych (A parzyste).{{Br}}W powyższych rozważaniach przyjęliśmy, że {{Formuła|<MATH>\Delta=11,46A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy według Myers'a i Świąteckiego ==== Energię wiązania jądra atomowego w tym modelu analogicznie opisujemy jak we wzorze opisujący model kroplowy Weizsöcke'a i Bethe'go. Jak widzimy, energia wiązania jest pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=15,68A-18,56 A^{{{2}\over{3}}}-0,717 Z^2A^{-{{1}\over{3}}}\left(1-1,69A^{-{{2}\over{3}}}\right)-28,1(N-Z)^2A^{-1}\left(1-1,18A^{-{{1}\over{3}}}\right)\pm\delta\mbox{ [MeV]}\;</MATH>|1.29}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>\delta_p=11\cdot A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy- dalsze rozważania ==== Ja widzimy patrząc na wzór {{linkWzór|1.28}} lub na wzór {{linkWzór|1.29}}, które są energiami wiązania nukleonów w jądrze, wyraża się pewną funkcją kwadratową, którą piszemy dla pewnych wyrazów a, b, c: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z)=B(Z,A=\operatorname{const})=aZ^2+bZ+c\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;ale&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;parzystego&nbsp;}}<MATH>c=c_1\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;p-p&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>c=c_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;n-n}}|2.30}} * gdzie: p-p to oznacza parzysto-parzyste, a n-n to nieparzysto-nieparzyste. Model kroplowy opisuje średnie własności jader atomowych, ale nie opisuje jej struktury. Nasz model należy stosować dla jąder atomowych {{Formuła|<MATH>A\geq 30\;</MATH>}}, a dla jąder {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} opisuje je z dokładnością do 2%. === Model gazu Fermiego === Protony i neutrony są to cząstki niezależne, które poruszają się niezależnie wewnątrz kuli o promieniu R=r{{Sub|0}}A{{Sup|1/2}} (patrz: {{LinkWzór|1.25}}), co stanowi, że pomiędzy tymi nukleonami nie ma wzajemnych oddziaływań. Nukleony są to fermiony zajmujące stan najniższy jak tylko możliwe ze względu na zakaz Pauliego bez dostarczania energii zewnątrz, co oznacza, że nukleony nie mogą się zderzać wzajemnie. Nukleony znajdują się w studni potencjału, a na każdym jego stopniu mogą znajdować się co najwyżej dwa nukleony. Energia najniższego poziomu jest to energia Fermiego, co rachunki pokazują, że średnia energia kinetyczna na tym poziomie jest E{{Sub|k}}=30 MeV, czemu odpowiada średni pęd &lt;p&gt;=240 MeV/c, który zwany jest pędem Fermiego. Potwierdzenie pędu Fermiego pokazuje, że zderzenie jego z pociskiem z nukleonami w jądrze atomowym mówi, że pędy nukleonów są rozłożone izotropowo w nim, dlatego ten model jądra atomowego tak jest zwany. === Model powłokowy === Jądra, które nie można opisać za pomocą modelu kroplowego lub modelu gazu Fermiego wskazują, że jeśli kwanty powstałe w wyniku przejścia z jednego poziomu do drugiego są widmami dyskretnymi (liniowymi), co wskazuje na to, że stany w jakim znajdują się protony i neutrony nie są stanami ciągłymi, tylko dyskretnymi. Badanie pewnych jąder wskazują, że w przyrodzie występują nuklidy o pewnych liczbach protonów lub neutronów. Dalsza analiza B/A wskazuje na pewne maksima przy pewnych liczbach protonów i neutronów zwanych liczbami magicznymi. == Energia wiązania jąder atomowych a jego stabilność == {{Rysunek|Isotopes and half-life.svg|ssdwilwwp|Ścieżka stabilności dla wszystkich izotopów znanych lub występujących w przyrodzie. Linia pozioma to oś Z, a pionowa oś N}} Dla jąder izobarycznych najsilniej związane są jądra o najmniejszej masie, izobary te są stabilne ze względu na rozpad &beta; ale mogą być niestabilne ze względu rozpad &alpha;, sf. Nuklidy występująca nad linią Z=N są niestabilne ze względu na rozpad &beta;{{Sup|-}}, a nuklidy znajdujące pod ścieżką stabilności są to nuklidy ze względu na rozpad &beta;{{Sup|+}}. Najcięższe znajdujące się nuklidy są to nuklidy, które podamy w tabelce poniżej w raz czasami ich rozpadu, które są jądrami niestabilnymi ze względu na rozpad &alpha; i samoistnie rozszczepienie: {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego rozpadu'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Skład procentowy występowania danego nuklidu w skład danego pierwiastka w przyrodzie.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{232}_{90}\hbox{Th}</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1,4\cdot 10^{10}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|100%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{234}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>2,5\cdot 10^5\mbox{ lat}\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,005%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>7,0\cdot 10^{8}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,72%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|99,27%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jadra {{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} są używane w energetyce jądrowej. Najcięższym nuklidem stabilnym znanym przez człowieka jest {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}\hbox{Pb}_{126}\;</MATH>}}, których jest w 52,4% wchodzących w skład pierwiastka ołowiu, a także {{Formuła|<MATH>{}^{209}_{83}\hbox{Bi}_{126}\;</maTH>}}, w których jest 100% wchodzących w skład pierwiastka bizmutu. Łącznie odkryto ponad 3000 nuklidów, co większości jąder są jądrami niestabilnymi. === Nuklidy stabilne i niestabilne === Przestawimy teraz tabelkę przedstawiający liczbę jąder stabilnych przy pewnej liczbie protonów i neutronów w jądrze w zależności od ich parzystości lub nieparzystości, dla jąder których czas połowicznego rozpadu jest większy od czasu życia ziemi, dla której czas trwania ziemi jest większy od {{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{lat}\;</MATH>}}: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jadra o nieparzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jądra o parzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Razem'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o nieparzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|54}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o parzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|165}}<!-- -->{{Komórka|220}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Razem'''}}<!-- -->{{Komórka|59}}<!-- -->{{Komórka|215}}<!-- -->{{Komórka|274}}<!-- -->}}<!-- -->}} Najcięższe nuklidy występujące na Ziemi w warunkach naturalnych są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i sf. Jądra stabilne lekkie to są dla {{Formuła|<MATH>N\simeq Z\;</MATH>}}, a ciężkie {{Formuła|<MATH>N\simeq 1,5Z\;</MATH>}}. Znanymi nuklidami nieparzysto-nieparzystych są to nuklidy:{{Formuła|<MATH>{}^2_{1}D_{1}\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^6_3Li_3\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{10}_8B</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N\;</MATH>}}. Teraz podamy tabelkę superciężkich nuklidów wytwarzanych w laboratorium wraz z niektórymi reakcjami syntezy tychże jąder. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Rok odkrycia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego życia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Reakcja uzyskania danego nuklidu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1996 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{269}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|170&mu;s}}<!-- -->{{Komórka||}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{271}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,1 ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{272}111\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,5&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1998/99 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{277}{112}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,24ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{283}112\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|81s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{289}114\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|30s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{48}_{20}Ca+{}^{244}_{94}Pu\rightarrow {}^{289}114+3n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|1999rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{289}116\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,2s}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{293}118\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|250&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{86}_{36}Kr+{}^{208}_{82}Pb\rightarrow{}^{293}118+n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Reguła Mattaucha (z doświadczenia) === Jeśli energie wiązania jądra atomowego {{linkWzór|1.6}} (w której występuje wielkość niedoboru masy {{LinkWzór|1.5}}) przedstawimy jako funkcję zmiennej Z dla jąder izobarycznych, ale dla A nieparzystego energię wiązania jądra atomowego układają się w parabolę, w której wystepuje jeden izotop (izobar) stabilny. Gdy natomiast A jest parzyste, to energia wiązania układa się w dwie parabole odpowiadające izobarom p-p, n-n, w tym przypadku może być więcej niż jeden izobar stabilny, a tych izobarów niestabilnych może być aż trzy. Pozostałe izobary (niestabilne) są niestabilne ze względu na rozpady &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC. {{ElastycznyWiersz |styl=width:auto;float:right;margin-left:10px; |{{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_102.png|mjoulma|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;102|pozycja=center}} |{{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_135.png|mjoulm135b|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;135|pozycja=center}} }} Dla rysunków podano masy jąder atomowych w MeV w zależności od liczby atomowej jako przykład dla jądra o A parzystego, w której występują dwie gałęzie paraboli, a także podano następny przykład dla jądra A nieparzystego, w której występuje jedna gałąź paraboli. Liczbę Z{{Sub|0}} dla której funkcja B(Z,A=const) osiąga maksimum względem Z, podobnie przy M(Z,A=const) osiąga minimum względem Z, możemy obliczyć z: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial B(Z,A)}\over{\partial Z}}\right)_{A=\operatorname{const}}=0\;</MATH>|1.23a}} i zgodnie ze wzorem Weizsäcker'a, gdy funkcja B(Z,A) jest przestawiona wzorem {{linkWzór|1.20}}, to maksimum funkcji energii wiązania jądra atomowego jest określona dla liczby atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z_0={{A}\over{1,98+0,015A^{{{2}\over{3}} }}}\;</MATH>|1.31}} Widzimy, że maksimum funkcji B(Z,A=const) jest zależne tylko od liczby masowej A. Możemy napisać dla ścieżki stabilności ze względu na rozpad &beta; wzór empiryczny Greena: {{CentrujWzór|<MATH>(N-Z)_{\beta\operatorname{ stabilne}}={{0,4A^2}\over{A+200}}</MATH>|1.23b}} == Rozpraszania wysokoenergetycznych cząstek e, p, n i innych cząstek na jądrze atomowym == Cząstki e, p, n te są traktowane jako sondy wynikające do wnętrza jąder. Ich kąt rozproszenia &theta; będzie uwarunkowany rozkładem gęstości centrów rozpraszających w jądrze, który uwarunkowany jest rozkładem masy i ładunków w naszym badanym obiekcie. Do badania rozkładu ładunku elektrycznego najlepiej do tego służą elektrony, ponieważ one kulombowsko oddziaływają z protonami, a więc daje ta metoda czystą informację o rozkładzie ładunku elektrycznego w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r). Relacje rozpraszania neutronów na jądrach atomowych dostarczają o rozkładzie masy w jądrze &rho;{{Sub|m}}(r). Realizacja tego projektu jest bardzo kłopotliwa ze względu na trudności z uzyskania wysokoenergetycznych neutronów. Relacje rozpraszanie protonów p są najtrudniejsze do interpretacji wyników doświadczalnych, gdyż oddziaływają one z jądrem atomowym ze względu na to, że ten obiekt posiada ładunek elektryczny, czyli oddziałuje kulombowsko odpychająco z jądrem atomowym i też za pomocą sił jądrowych i takie rozpraszanie dostarcza zarówno informacje o rozkładzie masy i ładunku wewnątrz jądra. {{Rysunek|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy).png|rcnprlm|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy)}} Aby cząstka mogła wniknąć do jądra atomowego, to powinna mieć długość fali de Broglie'a odpowiednio małą do rozmiarów badanego jądra. Przelicznik długości fali w zależności od jej energii padającej na jądro atomowe wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_e={{200}\over{E_e(MeV)}}fm\;</MATH>|1.32}} * dla {{Formuła|<MATH>E_e=500MeV\;</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>\lambda_e=0,4fm\;</MATH>}}. Jeśli ładunek byłby skupiony w jednym punkcie, to różniczkowy przekrój czynny dla cząstek o energii E na jądrach o liczbie atomowej Z jest napisany wzorem Motta: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}\right)_M=\left({{Ze^2}\over{2E_e}}\right)^2{{\cos^2{{\theta}\over{2}}}\over{\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+{{2E_e}\over{m_ec^2}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\right)\;</MATH>|1.33}} Jeśli uwzględnimy rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego w rzeczywistym jądrze atomowym, to według przybliżenia Borna pierwszego rzędu (mały ładunek jądra atomowego) piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}=\left({{d\sigma(E_c)}\over{d\Omega}}\right)_M|F(q)|^2\;</MATH>|1.34}} Tzn. wzór Motta ulega modyfikacji przy udziale czynnika kształtującego, który zależy od gęstości ładunku w tymże obiekcie wiedząc, że q jest pędem przekazywanym jądru (w jednostkach {{Formuła|<MATH>\hbar\;</MATH>}}) w wyniku zderzeń: {{CentrujWzór|<MATH>F(q)={{4\pi}\over{Zeq}}\int_0^{\infty}\rho_e(r)\sin(qr)rdr\;</MATH>|1.35}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> t350aa138col0mahuqf3727u5i2y66v 558599 558598 2026-10-04T19:37:05Z Persino 2851 /* Energia wiązania jąder atomowych a jego stabilność */ 558599 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Etap współczesny == Według stanu obecnego fizykę dzielimy na działy: '''jądra atomowego''', '''cząstek elementarnych''' i '''kosmosu''' (chodzi tutaj o strukturę i teorię powstania wszechświata). W wyniku rozwoju techniki eksperymentalnej, tzn. akceleratorów, detektorów, elektroniki i komputerów, badano własności jąder atomowych i strukturę materii w wysokoenergetycznych wiązkach akceleratorowych p, e{{Sup|-}} i e{{Sup|+}} i innych cząstek, i w promieniowaniu kosmicznym. Nuklidami nazywamy jądra o ściśle określonej liczbie atomowej Z i masowej A. Odkryto ponad 3000 nuklidów (Z=od 1 do 118), 150 obiektów (cząstek) początkowo traktowanych jako cząstki elementarne. W 1964 r. Badano strukturę hadronów. M. Gell-Mann i G. Zweig postulowali, że te właśnie cząstki są złożone z trzech kwarków i jest to model kwarkowy hadronów. W latach siedemdziesiątych trzy kwarki już nie wystarczają do opisu nowych hadronów, rozwija się teoria oddziaływań silnych QCD. Odkryto sześć leptonów i sześć kwarków wraz z ich antycząstkami, które różnią się ''zapachem'' i ''kolorem'', w sumie tworzą trzy generacje. Cząstki złożone z trzech kwarków są bezbarwne. Każdy kwark występuje w trzech kolorach (w stanach kolorowych), charakteryzujących się elektrycznym ładunkiem ujemnym (-1/3)e lub ładunkiem dodatnim (2/3)e. Kwarki oddziałują ze sobą przy pomocy gluonów, które są bozonami o masie spoczynkowej równej zero i ładunku zerowym, ale mają ładunek kolorowy, ale występujących w ośmiu kolorach. Kwarki i gluony są uwięzione w hadronach, z których na przykład proton składa się z trzech kwarków (u,u,d): (2/3+2/3-1/3)e=e. Podobnie neutron składa z trzech kwarków (ddu): (-1/3-1/3+2/3)e=0. Mezony natomiast składają się z dwóch kwarków (kwark + antykwark). == Model standardowy materii == Cząstki fundamentalne składają się z sześciu leptonów i sześciu kwarków wraz z ich antycząstkami. Kwantową teorię pola elektromagnetycznego oraz słabego możemy połączyć w oddziaływanie elektrosłabe, model oddziaływania silnego i elektrosłabego możemy połączyć w model standardowy. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Podstawowe cząstki elementarne w fizyce cząstek elementarnych'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino elektronowe}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH><7\cdot 10^{-9}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|Elektron}}<!-- -->{{Komórka|0,0005111}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\mu}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino mionowe}}<!-- -->{{Komórka|<0,0003}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\mu^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Mion}}<!-- -->{{Komórka|0,106}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\tau}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino taonowe}}<!-- -->{{Komórka|<0.03}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\tau^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Taon}}<!-- -->{{Komórka|1.7771}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}<!-- -->}} W poniższej tabelce pokazaliśmy powierzchowne informacje o kwarkach, których jest sześć i których ładunki są ułamkowe, tzn. ich ładunki są oznaczane przez (+2/3)e i przez (-1/3)e. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Kwarki w modelu standardowym '''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|&mu;}}<!-- -->{{Komórka|górny}}<!-- -->{{Komórka|0,005}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|d}}<!-- -->{{Komórka|dolny}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|c}}<!-- -->{{Komórka|powabny}}<!-- -->{{Komórka|1.5}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|s}}<!-- -->{{Komórka|dziwny}}<!-- -->{{Komórka|0,2}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|t}}<!-- -->{{Komórka|szczytowy, wysoki, prawdziwy}}<!-- -->{{Komórka|180}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|b}}<!-- -->{{Komórka|piękny, niski}}<!-- -->{{Komórka|4,7}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli traktować, że 1 (jedynka) to jest 10{{Sup|-18}}m, to elektron ma wielkość mniejszą od jedynki, kwark o rozmiarach 10{{Sup|-18}}m ma rząd równy jedynce, proton ma wielkość równą 1000 (on ma rozmiary w metrach 10{{Sup|-15}}m), jądro ma wielkość 10000 o rozmiarach 10{{Sup|-14}}m, a atom ma wielkość 100000000 o rozmiarach 10{{Sup|-10}}m. Atomy, jądra i nukleony nie są kulami to jest tylko rząd wielkości. Elektron ma rozmiary bardzo małe i dlatego nie mówi się o rozmiarach elektronów. == Jądra atomowe == Jądra składają się z protonów i neutronów, gdzie liczba protonów wynosi Z (liczba porządkowa atomu), liczba neutronów N, a liczbę masową oznaczamy przez A, która jest równa licznie neutronów N i liczbie atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>A=N+Z\;</MATH>|1.1}} Ogólnie symbol pierwiastka oznaczamy jak poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_Z\hbox{X}_N\;</MATH>|1.2}} Przykładem jąder atomowych są: * {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}U\;</MATH>}}. Jądra atomowe dzielimy ze względu na liczbę atomową (liczbę protonów) Z, masową A i liczbę neutronów w jądrze N. * '''Izotopy''', których liczba atomowa Z jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}. * '''Izotony''', których liczba neutronów N w jądrze jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}. * '''Izobary''', których liczba protonów i neutronów razem wziętych jest wielkością stałą, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_2He\;</MATH>}}. Jądra dzielimy też ze względu na liczbę nukleonów w jądrze na: * '''Jądra parzyste''', w których A jest parzyste, ale Z i N też są liczbami parzystymi. * '''Jądra nieparzyste''', w których liczba masowa A jest liczbą nieparzystą. Ze względu na stabilność dzielimy je na: * '''jądra stabilne''', których znamy 274 w tym 215 jąder typu p-p (parzysto-parzyste) i 4 typu n-n (nieparzysto-nieparzyste). * '''jądra niestabilne''', są to jądra promieniotwórcze ze względu na rozpad &alpha;,&beta;, sf i emisję nukleonów. == Nuklid == Jest to atom o określonej liczbie atomowej (A,Z). Przykładem są nuklidy pierwiastka wodoru {{Formuła|<MATH>H, \mbox{ czyli }{}_1^1H, {}_1^2H,{}_1^3H.\;</MATH>}}. == Siły jądrowe == {{Rysunek|SMFc1.JPG|csj|Charakter sił jądrowych}} Nukleony w jądrze są związane siłami jądrowymi, które są wynikiem sił oddziaływania silnego, mającego krótki zasięg {{Formuła|<MATH>(\leq 2\cdot 10^{-15}m)\;</MATH>}}. Te siły nie zależą od rodzaju nukleonów, z którymi mamy doczynienia. Potencjał omawianego tutaj oddziaływania zależy od współrzędnej radialnej, jeśli przedstawić oddziaływanie silne w układzie współrzędnych kulistym V=V(r). Stała sprzężenia oddziaływania silnego wynosi {{Formuła|<MATH>\alpha_s\simeq 1\;</MATH>}}. Oddziaływania te ulegają wysycaniu. Przykłady stałej sprzężenia dla innych oddziaływań są: * pole grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\alpha\simeq 5.6\cdot 10^{-39}\;</MATH>}}, * oddziaływanie słabe {{Formuła|<MATH>\alpha_{sl}\simeq 1\cdot 10^{-5}\;</MATH>}}, * oddziaływanie elektromagnetyczne {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{137}}\;</MATH>}}. == Masa i energia wiązania jąder atomowych i nuklidów == Masę atomową nuklidów wyrażamy w jednostkach masy atomowej, która według definicji jest równa 1/12 masy atomu węgla {{Formuła|<MATH>{}^{12}_6C\;</MATH>}}, co schematycznie możemy przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>1u={{1}\over{12}}M({}^{12}_6C)=1,66\cdot 10^{-24}g=931,5016(3)MeV/c^2\;</MATH>|1.3}} Masę protonu, neutronu, a także elektronów piszemy w jednostkach masy atomowej, które to przeliczamy na energię (będąca równoważna z masą): * {{Formuła|<MATH>m_p=1,007276470(11)u=938,2796(27)MeV/c^2\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_n=1,008665012(37)u=939,5731(27)MeV\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_e=5,4858026(21)\cdot 10^{-4}u=0,5110034(14)MeV/C^2\;</MATH>}} Różnica masy neutrony i protonu jest równa dwa i pół masy elektronu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>m_n-m_p\simeq 1.29MeV\simeq 2.5m_e\;</MATH>|1.4a}} Neutron swobodny jest cząstką nietrwałą o czasie połowicznego zaniku równym T{{Sub|1/2}}=10,6m i on rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe wedle: {{CentrujWzór|<MATH>n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e (\mbox{rozpad }\beta^-)\;</MATH>|1.4}} == Budowa jądra atomowego i jego energia wiązania == Znając masy protonu, neutronu, elektronu i atomów można by oczekiwać, że po zsumowaniu mas Z protonów, N neutronów i Z elektronów ich suma będzie równa masie atomu. Rzeczywistość jest jednak inna, masa atomu jądra atomowego jest mniejsza niż oczekiwana. Niedobór masy można napisać według jego definicji: {{CentrujWzór|<MATH>Zm_p+(A-Z)m_n+Zm_e-M_a=\Delta M\;</MATH>|1.5}} Przy łączeniu cząstek wchodzących w skład atomu wydziela się pewna energia, którą można opisać z równoważności masy i energii: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=\Delta Mc^2\;</MATH>|1.6}} Do rozkładu jądra na składniki należy dostarczyć jądru energię równą {{LinkWzór|1.6}}, którą tutaj oznaczymy przez B(A,Z). Każdy atom składa się z jądra i elektronów, a jądro atomowe składa się z neutronów i protonów. Masa jądra nie jest sumą mas jego składników, tzn. protonów i neutronów. Energia wiązania jądra atomowego, w takim przypadku nazywamy różnicę sumy mas poszczególnych składników wchodzących w skład jądra atomowego i masy jądra, jest ona równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.7}} Masa elektronu jest bardzo mała, można więc masę protonu zastąpić przez masę atomu wodoru, wtedy wzór {{LinkWzór|1.5}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_H+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.8}} * gdzie M{{Sub|a}} jest masą jądra atomowego, już po połączeniu nukleonów w skład jądra atomowego. Znając defekt masy jądra atomowego w unitach możemy policzyć masę jądra przedstawionych w MeV: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=B(A,Z)=\Delta M\cdot 931{{MeV}\over{u}}\;</MATH>|1.9}} Energia wiązania jądra w przypadku atomu helu wynosi: B(A,Z)=28,39 MeV. Wyzwalana jest w trakcie powstawania jądra atomowego helu z czterech nukleonów (dwa neutrony i dwa protony). Można policzyć, że podczas powstawania 1 kg helu zostaje wyzwolona energia równa spaleniu 25 000 ton węgla. Znając energię wiązania B(A,Z) {{linkWzór|1.9}} możemy policzyć średnią energię przypadająca na jedno wiązanie, która jest ilorazem energii wiązania przez liczbę masową A, i wynosi ona: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{E}(A,Z)={{B(A,Z)}\over{A}}\;</MATH>|1.10}} Im większa jest energia średnia wiązania atomu, tym bardziej jądro jest trwalsze, tzn. należy dostarczyć więcej energii by rozłożyć atom na składniki. === Masa jądra atomowego === Masę jądra atomowego możemy wyliczyć znając masę neutronu i protonu, a także energię wiązania nukleonów jądra atomowego na podstawie wzoru {{linkWzór|1.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.11}} W tablicach są podane masy nuklidów (M(A,Z) (lub energie wiązania jądra z elektronami), które możemy wyrazić: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=M_j(A,Z)+Zm_e-B(elektr.)\;</MATH>|1.11a}} Energia wiązania jądra z elektronami wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(elektr.)\simeq (0,01Z)^{2,5}MeV\;</MATH>|1.11b}} Energia wiązania dla jądra elektronu z jądrem wodoru wyrażamy wzorem {{Formuła|<MATH>B(elektr.)=B({}^1_1H)=({}^1_1H)=({}^1_1H)=13,6eV\;</MATH>}}, a według wzoru {{LinkWzór|1.11b}} wynosi {{Formuła|<MATH>B({}^1_1H)=({}^1_1H)\simeq 10eV\;</MATH>}}. Ponieważ masa jądra atomu praktycznie się nie różni od masy całego atomu (jądra z krążącymi wokół elektronami), zatem masę protonu możemy zastąpić przez masę wodoru {{Formuła|<MATH>{}^1_1\hbox{H}\;</MATH>}}, co schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.12}} * gdzie B(A,Z) jest to energia wiązania nuklidów. Dla jąder izobarycznych jądrami najbardziej stabilnymi są te o największej energii wiązania i są one stabilne ze względu na rozpady &beta;, podczas gdy mogą one być niestabilne ze względu na rozpad &alpha;, sf. === Odchylenie masy (mass excess) === Odchyleniem masy nazywamy różnicę masy jądra atomowego {{linkWzór|1.11}} w unitach i liczby masowej pomnożonej przez unity: {{CentrujWzór|<MATH>ME(A,Z)=\left({{M(A,Z)}\over{u}}-A\right)u\;</MATH>|1.13}} Co wzór {{linkWzór|1.13}} możemy wyrazić nie tylko w w unitach, czyli w jednostkach masy atomowej, ale też ją zwykle wyrażamy w jednostkach energii MeV korzystając z przelicznika {{LinkWzór|1.9}}. Energia wiązania B(A,Z) decyduje o stabilności w zależności na naturalne rozpady &beta; &alpha;, sf, itp. W zbiorze jąder izobarycznych o danym A jądra o największej energii wiązania są stabilne ze względu na rozpady &beta;, te jądra mogą być również ze względu na rozpad &alpha;, sf. == Średnia energia wiązania nukleonów == {{Rysunek|Binding energy curve - common isotopes-pl.svg|sew|Średnia energia wiązania}} Jak można zauważyć według rysunku obok, że średnia energia wiązania jąder atomowych {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.4}} rośnie w obszarze jąder lekkich wykazując lokalne maksima przy A=4,8,12,16,.... * W pobliżu A=60 uzyskuje płaskie maksimum E{{Sup|max}}=8.8MeV. * Powoli maleje dla dużych A>60 osiągając w końcu energię E{{Sup|ciężkie}}=7.6MeV * Wykazuje lokalne wzrosty dla liczby Z lub '''N=2,8,20,(28),50,(64),82,126''', które to nazywamy liczbami magicznymi. Jadrami podwójnie magicznymi są to jądra opisane jako: * {{Formuła|<MATH>{}^4_2He_2\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{16}_8 O_8\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{40}_{20}Ca_{20}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{132}_{50}Sn_{82}\;</MATH>}}, &nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{146}_{(64)}Gd_{82}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb_{126}\;</MATH>}}. Wysycanie sił jądrowych powodowane jest przez istnienie oddziaływań n-n silnie odpychającego rdzenia, które nie pozwalają zbliżyć nukleonom na dowolnie bliskie odległości, co jest powodem ograniczania liczbę sąsiadów danego nukleonu. Powolny spadek B/A dla A>60 występuje w wyniku wzrostu odpychania kulombowskiego protonów, natomiast spadek B/A dla jąder lekkich tłumaczy się rosnącą rolę efektów powierzchniowych, które są istotne dla małych jąder atomowych. == Materia jądrowa (rozkłady gęstości ładunku i masy atomowej) == Jądra są obiektami fizycznymi związane ze sobą siłami jądrowymi o skończonym zasięgu, które są niezależne od rodzaju nukleonu. Można więc przypuszczać, że jądra atomowe są układami o skończonym zasięgu, a jego brzeg jest niezbyt rozmyty. Energia przypadająca na jednej nukleon w jądrze nie zależy od rodzaju nukleonu i jest niemal stała i wynosi około 8MeV, co świadczy, że siły jądrowe mają właściwość wysycania, czyli każdy przeciętny nukleon jest związany z jego najbliższymi nukleonami. W ciężkich jądrach stosunek B/A jest taki sam w jak cząstce &alpha; i wynosi B{{Sub|&alpha;}}=28,39MeV, w której na każdy nukleon przypadają trzy wiązania, stąd można przepuszczać, że na jeden nukleon przypada najwięcej trzy wiązania jakie tworzy. Można policzyć, że przy wiązaniu 1 kg helu (&alpha;) ({{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}) jest wytwarzana energia równa przy spalaniu 2500 ton węgla. Następstwem wysycania sił jądrowych, w których występuje niezależność ich od rodzaju nukleonu i zakazu Pauliego, jest prawie stała objętość przypadająca na jeden nukleon, co z {{linkWzór|1.10}} wynika {{Formuła|<MATH>V\sim A\;</MATH>}} i zachodzi {{LinkWzór|1.25}} oraz można przypuszczać, że rozkłady materii wewnątrz jądra są takie same. Wysycanie sił jądrowych w jądrze atomowym pozwala mówić, że w oddziaływaniach n-n o silnie odpychającym rdzeniu, które nie pozwalają się zbliżyć na dowolnie małe odległości nukleonom, ograniczając w ten sposób liczbę najbliższych sąsiadów. Powolny spadek wartości B/A w ciężkich jądrach dla A>60 tłumaczy się w wyniku wzrostu odpychania kolumbowskiego, natomiast stosunek B/A w jądrach lekkich tłumaczy się jako fakt rosnących efektów powierzchniowych. == Energię separacji (wiązania) nukleonu == Dobrą ilustracją wpływu liczb magicznych nukleonów neutronów i protonów jest tzw. energia separacji, czyli znając masy jądra początkowego {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} oraz masę jądra {{Formuła|<MATH>{}^{A-1}_ZX\;</MATH>}} lub {{Formuła|<math> {}^{A-1}_{Z-1}X\;</MATH>}} otrzymanego z {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} przez odłączenie jednego protonu lub neutronu, wtedy te energie, czyli energię separacji neutronu lub protonu możemy wyrazić przez: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=M(A-1,Z)+M_n-M(A,Z)\;</MATH>|1.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=M(A-1,Z-1)+M_p-M(A,Z)\;</MATH>|1.15}} }} Energia ta osiąga maksimum dla magicznych liczb dla protonu lub neutronu. Energii separacji protonu lub neutronu wykazuje przy pewnych liczbach atomowych lokalne skoki odpowiadające zamkniętym powłokom nukleonowych, analogicznie do energii jonizacji dla zamkniętych powłok elektronowych. Sugerowanie analogi powłok elektronowych do powłok nukleonowych sugeruje powstawanie liczb magicznych, że umieszczenie nukleonu poza zamkniętą powłoką sugerowałoby zmniejszenie energii separacji, bo słabsze byłyby wiązania pomiędzy nukleonami. Analogicznie do {{LinkWzór|1.14}} i {{LinkWzór|1.15}} energię wiązania neutronu dla jądra atomowego definiujemy przy pomocy energii wiązań jako różnicę energii wiązania dla ściśle określonego Z, ale po dodaniu do jądra jednego neutronu, wtedy z jądra z A powstaje jądro o liczbie masowej A-1, czyli jest to energia potrzebna do wyrwania energii z jądra atomowego wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z-1)M_n-B(A-1,Z)+M_n-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z)\;</MATH>|1.16}} Energia potrzebna do wyrwania jednego protonu wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=(Z-1)M({}^1_1H)+(A-Z)M_n-B(A-1,Z-1)+M_p-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1)\;</MATH>|1.17}} Energie separacji neutronu lub protony wykazują silne fluktuacje, które nazywamy efektami powłokowymi, a przykłady tychże energii: *{{Formuła|<MATH>S_n({}^2_1\hbox{H})=S_p({}^2_1\hbox{H})=2,2 MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_n({}^{13}_7\hbox{N})= 20,3MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_p({}^{13}_{7}N)=1,9MeV\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_p({}^{14}_{6}C)=20,8MeV\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję neutronu, są to jądra, dla których energia separacji neutronu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_n\leq 0\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję protonu, są to jądra, dla których energia separacji protonu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_p\leq 0\;</MATH>}}. Doświadczalnie wykazano, że istnieje związek dla energii separacji (dwójkowania, pairing) neutronu (n) lub protonu (p), które to piszemy następująco dla N i Z parzystego: {{CentrujWzór |1={{ElastycznyWiersz|1=<MATH>\begin{cases} S_n(N,Z)>S_n(N\pm 1,Z)\\ S_p(Z,N)>S_p(Z\pm 1, N) \end{cases}\;</MATH> |2={{Tekst|&nbsp;gdy&nbsp;&nbsp;}} |3={{ElastycznaKolumna |1={{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} |2={{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} }} |_1=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; |_2=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; |_3=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; }}|1.18}} Nukleony w jądrze atomowym są powiązane w pary (p-p), (n,n), ale nie w parę (n,p), których to moment pędu każdej pary wynosi zero, a więc też spin takiego układu jest równy zero, tzn. {{Formuła|<MATH>0^+\;</MATH>}}. == Energie oddziaływania pairing (parowania nukleonów w jądrze atomowym) == Energia parowania w jądrach atomowym jest to energia tylko oddziaływań silnych i jest to oddziaływanie łączące nukleony w pary pp i nn o przeciwnych spinach, są to krótkozasięgowe oddziaływania wysycające się na najbliższym sąsiedzie tego samego rodzaju, dążą by gęstość jądra atomowego dążyła do izotropowego rozkładu materii. Jest to oddziaływanie resztkowe w jądrach. Energie parowania neutronu i protonu są takie same P{{Sub|pp}}&asymp;P{{Sub|nn}}, mieszczą się one w zakresie od 2 do 8 MeV, a wzór na energię parowania w zależności od liczby masowej "A" przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>P={{24}\over{\sqrt{A}}}\mbox{MeV}\;</MATH>|1.19}} Jeśli jądro potraktujemy jako pewien układ, to energię wiązania możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,N)=\underbrace{B_c+B_{sp}(Z,N-1)}_{B(Z,N-1)}+B_{sp}(Z,N)+P_{nn}\;</MATH>|1.20}} Energia parowania nukleonu sparowanego, który definiujemy jako średnią energię dwóch sąsiednich energii separacji względem danego nuklidu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>B_{sp}(Z,N)]={{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.21}} Jeśli wykorzystamy wzór na energie separacji neutronu {{linkWzór|1.16}}, ten wzór wykorzystamy do {{linkWzór|1.20}}, stąd wyprowadzamy energię parowania neutronów: {{CentrujWzór|<math>P_{nn}(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1)-B_{sp}(Z,N)=S_n(A,Z)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.22}} Analogicznie do poprzedniego wzoru możemy wykorzystać wzór na energie separacji protonu {{linkWzór|1.17}} do podobnego wzoru do {{linkWzór|1.20}} (tylko zmienia się Z zamiast N), wtedy w ten sposób definiujemy energię parowania protonów: {{CentrujWzór|<MATH>P_{pp}(Z,N)=S_p(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z-1,N)+S_n(Z+1,N)\right]\;</MATH>|1.23}} Energia wiązania każdego nukleonu połączonej w pary, która jest taka sama w przybliżeniu dla neutronu i protonu, wyraża się: {{CentrujWzór|<math>\Delta_n={{P_{nn}}\over{2}}\simeq\Delta_p={{P_{pp}}\over{2}}\;</MATH>|1.24}} Nazywamy tą energię energią przerwy energetycznej neutronowej &Delta;{{Sub|n}} i protonowej &Delta;{{Sub|p}}, dla którego jak powiedzieliśmy powyżej są w przybliżeniu sobie równe. == Modele jąder atomowych == === Model kroplowy === Model kroplowy jest to inaczej zwany modelem Weizsäcke'a i Bethe'go, która mówi: * gęstość nukleonów w materii jądrowej nie zależy od liczby masowej A, dla którego promień jądra w zależności od liczby masowej i promienia {{Formuła|<MATH>r_0\simeq 1,2\cdot 10^{-13}cm\;</MATH>}} jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>R=r_0A^{{{1}\over{3}}}\;</MATH>|1.25}} Gęstość nukleonów możemy przestawić jako &rho;=0,17 nukl/fm{{Sup|3}}, średni promień jądra atomowego jest wyrażony przez {{Formuła|<MATH>\langle r^2\rangle_{nukl}=0,5fm\;</MATH>}}. * zależność natężenia sił jądrowej jest bardzo podobna do zależności oddziaływania Van der Waalsa działającej w cieczy, * oddziaływania jądrowe wysycają się tak jak wiązania chemiczne, za wyjątkiem jąder lekkich mamy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j\sim A\Rightarrow {{B_j}\over{A}}=\operatorname{const}.\;</MATH>|1.26}} Jądro atomowe opisujemy jako naładowana cząstka o ładunku Q=Ze, która jest nieściśliwą cieczą. Według modelu kroplowego całkowita energia wiązania jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=B_{obj}(A)+B_{pow}(A)+B_{cul}(Z,A)+\underbrace{B_{as}(N,Z)+B_{pairing}}_{\mbox{czlony jądrowe}}\;</math>|1.27}} Model kroplowy opisuje średnie właściwości jąder atomowych i nie uwzględnia jego struktury subtelnej. Ten model należy stosować dla jąder o {{Formuła|<MATH>A\geq30\;</MATH>}}. Dla jąder stabilnych {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} obliczone wartości B(A,Z) zgadzają się z doświadczeniem z błędem ok 2%. ==== Model kroplowy według Weizsöcke'a i Bethe'go ==== Energię wiązania jądra atomowego o liczbie atomowej Z i liczbie masowej A przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,A)=a_{\nu}A-a_{s}A^{{{2}\over{3}}}-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\pm\delta\;</MATH>|1.28}} * człon {{Formuła|<MATH>a_{\nu}A\;</MATH>}} jest to człon objętościowy pochodzący od przyciągania pochodzącymi od oddziaływania między nukleonami, wartość tej stałej stojąca przy liczbie masowej jest równa a{{Sub|&nu;}}=15,85 MeV, ten współczynnik jest miarą średniego wkładu do energii wiązania (stąd znak minus). * człon {{Formuła|<MATH>a_{s}A^{{{2}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon powierzchniowy, nukleony na brzegu mają mniejszą liczbę przyciągających parterów niż nukleony wewnątrz jądra atomowego, liczba nukleonów występujących na powierzchni kuli jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni kuli, stała występująca w tym wzorze jest równa a{{Sub|s}}=18,34 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon kulombowski pochodzących od odpychania miedzy nukleonami, wartość stałej występującej przy tym członie jest równa a{{Sub|c}}=0,71 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\;</MATH>}} jest członem asymetrycznym odzwierciedlających tendencje do ścieżki stabilności N+Z=A=2Z, a stała występująca tutaj jest równa a{{Sub|as}}=92,86 MeV. * człon &delta; człon charakteryzujący stabilność jąder parzysto-parzystych, mniejszą dla jąder parzysto-nieparzystych i nieparzysto-parzystych i jeszcze mniejszą dla jąder nieparzysto-nieparzystych, ten człon jest wyrażony: {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=+&Delta; dla jąder parzysto-parzystych{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=0 dla jądrem A nieparzystych {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=-&Delta; dla jąder nieparzysto-nieparzystych (A parzyste).{{Br}}W powyższych rozważaniach przyjęliśmy, że {{Formuła|<MATH>\Delta=11,46A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy według Myers'a i Świąteckiego ==== Energię wiązania jądra atomowego w tym modelu analogicznie opisujemy jak we wzorze opisujący model kroplowy Weizsöcke'a i Bethe'go. Jak widzimy, energia wiązania jest pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=15,68A-18,56 A^{{{2}\over{3}}}-0,717 Z^2A^{-{{1}\over{3}}}\left(1-1,69A^{-{{2}\over{3}}}\right)-28,1(N-Z)^2A^{-1}\left(1-1,18A^{-{{1}\over{3}}}\right)\pm\delta\mbox{ [MeV]}\;</MATH>|1.29}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>\delta_p=11\cdot A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy- dalsze rozważania ==== Ja widzimy patrząc na wzór {{linkWzór|1.28}} lub na wzór {{linkWzór|1.29}}, które są energiami wiązania nukleonów w jądrze, wyraża się pewną funkcją kwadratową, którą piszemy dla pewnych wyrazów a, b, c: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z)=B(Z,A=\operatorname{const})=aZ^2+bZ+c\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;ale&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;parzystego&nbsp;}}<MATH>c=c_1\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;p-p&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>c=c_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;n-n}}|2.30}} * gdzie: p-p to oznacza parzysto-parzyste, a n-n to nieparzysto-nieparzyste. Model kroplowy opisuje średnie własności jader atomowych, ale nie opisuje jej struktury. Nasz model należy stosować dla jąder atomowych {{Formuła|<MATH>A\geq 30\;</MATH>}}, a dla jąder {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} opisuje je z dokładnością do 2%. === Model gazu Fermiego === Protony i neutrony są to cząstki niezależne, które poruszają się niezależnie wewnątrz kuli o promieniu R=r{{Sub|0}}A{{Sup|1/2}} (patrz: {{LinkWzór|1.25}}), co stanowi, że pomiędzy tymi nukleonami nie ma wzajemnych oddziaływań. Nukleony są to fermiony zajmujące stan najniższy jak tylko możliwe ze względu na zakaz Pauliego bez dostarczania energii zewnątrz, co oznacza, że nukleony nie mogą się zderzać wzajemnie. Nukleony znajdują się w studni potencjału, a na każdym jego stopniu mogą znajdować się co najwyżej dwa nukleony. Energia najniższego poziomu jest to energia Fermiego, co rachunki pokazują, że średnia energia kinetyczna na tym poziomie jest E{{Sub|k}}=30 MeV, czemu odpowiada średni pęd &lt;p&gt;=240 MeV/c, który zwany jest pędem Fermiego. Potwierdzenie pędu Fermiego pokazuje, że zderzenie jego z pociskiem z nukleonami w jądrze atomowym mówi, że pędy nukleonów są rozłożone izotropowo w nim, dlatego ten model jądra atomowego tak jest zwany. === Model powłokowy === Jądra, które nie można opisać za pomocą modelu kroplowego lub modelu gazu Fermiego wskazują, że jeśli kwanty powstałe w wyniku przejścia z jednego poziomu do drugiego są widmami dyskretnymi (liniowymi), co wskazuje na to, że stany w jakim znajdują się protony i neutrony nie są stanami ciągłymi, tylko dyskretnymi. Badanie pewnych jąder wskazują, że w przyrodzie występują nuklidy o pewnych liczbach protonów lub neutronów. Dalsza analiza B/A wskazuje na pewne maksima przy pewnych liczbach protonów i neutronów zwanych liczbami magicznymi. == Energia wiązania jąder atomowych a jego stabilność == {{Rysunek|Isotopes and half-life.svg|ssdwilwwp|Ścieżka stabilności dla wszystkich izotopów znanych lub występujących w przyrodzie. Linia pozioma to oś Z, a pionowa oś N}} Dla jąder izobarycznych najsilniej związane są jądra o najmniejszej masie, izobary te są stabilne ze względu na rozpad &beta; ale mogą być niestabilne ze względu rozpad &alpha;, sf. Nuklidy występująca nad linią Z=N są niestabilne ze względu na rozpad &beta;{{Sup|-}}, a nuklidy znajdujące pod ścieżką stabilności są to nuklidy ze względu na rozpad &beta;{{Sup|+}}. Najcięższe znajdujące się nuklidy są to nuklidy, które podamy w tabelce poniżej w raz czasami ich rozpadu, które są jądrami niestabilnymi ze względu na rozpad &alpha; i samoistnie rozszczepienie: {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego rozpadu'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Skład procentowy występowania danego nuklidu w skład danego pierwiastka w przyrodzie.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{232}_{90}\hbox{Th}</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1,4\cdot 10^{10}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|100%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{234}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>2,5\cdot 10^5\mbox{ lat}\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,005%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>7,0\cdot 10^{8}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,72%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|99,27%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jądra {{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} są używane w energetyce jądrowej. Najcięższym nuklidem stabilnym znanym przez człowieka jest {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}\hbox{Pb}_{126}\;</MATH>}}, których jest w 52,4% wchodzących w skład pierwiastka ołowiu, a także {{Formuła|<MATH>{}^{209}_{83}\hbox{Bi}_{126}\;</maTH>}}, w których jest 100% wchodzących w skład pierwiastka bizmutu. Łącznie odkryto ponad 3000 nuklidów, co większości jąder są jądrami niestabilnymi. === Nuklidy stabilne i niestabilne === Przestawimy teraz tabelkę przedstawiający liczbę jąder stabilnych przy pewnej liczbie protonów i neutronów w jądrze w zależności od ich parzystości lub nieparzystości, dla jąder których czas połowicznego rozpadu jest większy od czasu życia ziemi, dla której czas trwania ziemi jest większy od {{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{lat}\;</MATH>}}: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jadra o nieparzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jądra o parzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Razem'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o nieparzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|54}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o parzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|165}}<!-- -->{{Komórka|220}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Razem'''}}<!-- -->{{Komórka|59}}<!-- -->{{Komórka|215}}<!-- -->{{Komórka|274}}<!-- -->}}<!-- -->}} Najcięższe nuklidy występujące na Ziemi w warunkach naturalnych są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i sf. Jądra stabilne lekkie to są dla {{Formuła|<MATH>N\simeq Z\;</MATH>}}, a ciężkie {{Formuła|<MATH>N\simeq 1,5Z\;</MATH>}}. Znanymi nuklidami nieparzysto-nieparzystych są to nuklidy:{{Formuła|<MATH>{}^2_{1}D_{1}\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^6_3Li_3\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{10}_8B</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N\;</MATH>}}. Teraz podamy tabelkę superciężkich nuklidów wytwarzanych w laboratorium wraz z niektórymi reakcjami syntezy tychże jąder. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Rok odkrycia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego życia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Reakcja uzyskania danego nuklidu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1996 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{269}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|170&mu;s}}<!-- -->{{Komórka||}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{271}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,1 ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{272}111\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,5&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1998/99 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{277}{112}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,24ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{283}112\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|81s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{289}114\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|30s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{48}_{20}Ca+{}^{244}_{94}Pu\rightarrow {}^{289}114+3n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|1999rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{289}116\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,2s}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{293}118\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|250&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{86}_{36}Kr+{}^{208}_{82}Pb\rightarrow{}^{293}118+n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Reguła Mattaucha (z doświadczenia) === Jeśli energie wiązania jądra atomowego {{linkWzór|1.6}} (w której występuje wielkość niedoboru masy {{LinkWzór|1.5}}) przedstawimy jako funkcję zmiennej Z dla jąder izobarycznych, ale dla A nieparzystego energię wiązania jądra atomowego układają się w parabolę, w której wystepuje jeden izotop (izobar) stabilny. Gdy natomiast A jest parzyste, to energia wiązania układa się w dwie parabole odpowiadające izobarom p-p, n-n, w tym przypadku może być więcej niż jeden izobar stabilny, a tych izobarów niestabilnych może być aż trzy. Pozostałe izobary (niestabilne) są niestabilne ze względu na rozpady &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC. {{ElastycznyWiersz |styl=width:auto;float:right;margin-left:10px; |{{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_102.png|mjoulma|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;102|pozycja=center}} |{{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_135.png|mjoulm135b|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;135|pozycja=center}} }} Dla rysunków podano masy jąder atomowych w MeV w zależności od liczby atomowej jako przykład dla jądra o A parzystego, w której występują dwie gałęzie paraboli, a także podano następny przykład dla jądra A nieparzystego, w której występuje jedna gałąź paraboli. Liczbę Z{{Sub|0}} dla której funkcja B(Z,A=const) osiąga maksimum względem Z, podobnie przy M(Z,A=const) osiąga minimum względem Z, możemy obliczyć z: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial B(Z,A)}\over{\partial Z}}\right)_{A=\operatorname{const}}=0\;</MATH>|1.23a}} i zgodnie ze wzorem Weizsäcker'a, gdy funkcja B(Z,A) jest przestawiona wzorem {{linkWzór|1.20}}, to maksimum funkcji energii wiązania jądra atomowego jest określona dla liczby atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z_0={{A}\over{1,98+0,015A^{{{2}\over{3}} }}}\;</MATH>|1.31}} Widzimy, że maksimum funkcji B(Z,A=const) jest zależne tylko od liczby masowej A. Możemy napisać dla ścieżki stabilności ze względu na rozpad &beta; wzór empiryczny Greena: {{CentrujWzór|<MATH>(N-Z)_{\beta\operatorname{ stabilne}}={{0,4A^2}\over{A+200}}</MATH>|1.23b}} == Rozpraszania wysokoenergetycznych cząstek e, p, n i innych cząstek na jądrze atomowym == Cząstki e, p, n te są traktowane jako sondy wynikające do wnętrza jąder. Ich kąt rozproszenia &theta; będzie uwarunkowany rozkładem gęstości centrów rozpraszających w jądrze, który uwarunkowany jest rozkładem masy i ładunków w naszym badanym obiekcie. Do badania rozkładu ładunku elektrycznego najlepiej do tego służą elektrony, ponieważ one kulombowsko oddziaływają z protonami, a więc daje ta metoda czystą informację o rozkładzie ładunku elektrycznego w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r). Relacje rozpraszania neutronów na jądrach atomowych dostarczają o rozkładzie masy w jądrze &rho;{{Sub|m}}(r). Realizacja tego projektu jest bardzo kłopotliwa ze względu na trudności z uzyskania wysokoenergetycznych neutronów. Relacje rozpraszanie protonów p są najtrudniejsze do interpretacji wyników doświadczalnych, gdyż oddziaływają one z jądrem atomowym ze względu na to, że ten obiekt posiada ładunek elektryczny, czyli oddziałuje kulombowsko odpychająco z jądrem atomowym i też za pomocą sił jądrowych i takie rozpraszanie dostarcza zarówno informacje o rozkładzie masy i ładunku wewnątrz jądra. {{Rysunek|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy).png|rcnprlm|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy)}} Aby cząstka mogła wniknąć do jądra atomowego, to powinna mieć długość fali de Broglie'a odpowiednio małą do rozmiarów badanego jądra. Przelicznik długości fali w zależności od jej energii padającej na jądro atomowe wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_e={{200}\over{E_e(MeV)}}fm\;</MATH>|1.32}} * dla {{Formuła|<MATH>E_e=500MeV\;</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>\lambda_e=0,4fm\;</MATH>}}. Jeśli ładunek byłby skupiony w jednym punkcie, to różniczkowy przekrój czynny dla cząstek o energii E na jądrach o liczbie atomowej Z jest napisany wzorem Motta: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}\right)_M=\left({{Ze^2}\over{2E_e}}\right)^2{{\cos^2{{\theta}\over{2}}}\over{\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+{{2E_e}\over{m_ec^2}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\right)\;</MATH>|1.33}} Jeśli uwzględnimy rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego w rzeczywistym jądrze atomowym, to według przybliżenia Borna pierwszego rzędu (mały ładunek jądra atomowego) piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}=\left({{d\sigma(E_c)}\over{d\Omega}}\right)_M|F(q)|^2\;</MATH>|1.34}} Tzn. wzór Motta ulega modyfikacji przy udziale czynnika kształtującego, który zależy od gęstości ładunku w tymże obiekcie wiedząc, że q jest pędem przekazywanym jądru (w jednostkach {{Formuła|<MATH>\hbar\;</MATH>}}) w wyniku zderzeń: {{CentrujWzór|<MATH>F(q)={{4\pi}\over{Zeq}}\int_0^{\infty}\rho_e(r)\sin(qr)rdr\;</MATH>|1.35}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> t0n986c3qdiwpwy4gq6mmepqcmsf5ke 558600 558599 2026-10-04T19:37:39Z Persino 2851 /* Reguła Mattaucha (z doświadczenia) */ 558600 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Etap współczesny == Według stanu obecnego fizykę dzielimy na działy: '''jądra atomowego''', '''cząstek elementarnych''' i '''kosmosu''' (chodzi tutaj o strukturę i teorię powstania wszechświata). W wyniku rozwoju techniki eksperymentalnej, tzn. akceleratorów, detektorów, elektroniki i komputerów, badano własności jąder atomowych i strukturę materii w wysokoenergetycznych wiązkach akceleratorowych p, e{{Sup|-}} i e{{Sup|+}} i innych cząstek, i w promieniowaniu kosmicznym. Nuklidami nazywamy jądra o ściśle określonej liczbie atomowej Z i masowej A. Odkryto ponad 3000 nuklidów (Z=od 1 do 118), 150 obiektów (cząstek) początkowo traktowanych jako cząstki elementarne. W 1964 r. Badano strukturę hadronów. M. Gell-Mann i G. Zweig postulowali, że te właśnie cząstki są złożone z trzech kwarków i jest to model kwarkowy hadronów. W latach siedemdziesiątych trzy kwarki już nie wystarczają do opisu nowych hadronów, rozwija się teoria oddziaływań silnych QCD. Odkryto sześć leptonów i sześć kwarków wraz z ich antycząstkami, które różnią się ''zapachem'' i ''kolorem'', w sumie tworzą trzy generacje. Cząstki złożone z trzech kwarków są bezbarwne. Każdy kwark występuje w trzech kolorach (w stanach kolorowych), charakteryzujących się elektrycznym ładunkiem ujemnym (-1/3)e lub ładunkiem dodatnim (2/3)e. Kwarki oddziałują ze sobą przy pomocy gluonów, które są bozonami o masie spoczynkowej równej zero i ładunku zerowym, ale mają ładunek kolorowy, ale występujących w ośmiu kolorach. Kwarki i gluony są uwięzione w hadronach, z których na przykład proton składa się z trzech kwarków (u,u,d): (2/3+2/3-1/3)e=e. Podobnie neutron składa z trzech kwarków (ddu): (-1/3-1/3+2/3)e=0. Mezony natomiast składają się z dwóch kwarków (kwark + antykwark). == Model standardowy materii == Cząstki fundamentalne składają się z sześciu leptonów i sześciu kwarków wraz z ich antycząstkami. Kwantową teorię pola elektromagnetycznego oraz słabego możemy połączyć w oddziaływanie elektrosłabe, model oddziaływania silnego i elektrosłabego możemy połączyć w model standardowy. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Podstawowe cząstki elementarne w fizyce cząstek elementarnych'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino elektronowe}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH><7\cdot 10^{-9}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|Elektron}}<!-- -->{{Komórka|0,0005111}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\mu}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino mionowe}}<!-- -->{{Komórka|<0,0003}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\mu^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Mion}}<!-- -->{{Komórka|0,106}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\tau}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino taonowe}}<!-- -->{{Komórka|<0.03}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\tau^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Taon}}<!-- -->{{Komórka|1.7771}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}<!-- -->}} W poniższej tabelce pokazaliśmy powierzchowne informacje o kwarkach, których jest sześć i których ładunki są ułamkowe, tzn. ich ładunki są oznaczane przez (+2/3)e i przez (-1/3)e. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Kwarki w modelu standardowym '''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|&mu;}}<!-- -->{{Komórka|górny}}<!-- -->{{Komórka|0,005}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|d}}<!-- -->{{Komórka|dolny}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|c}}<!-- -->{{Komórka|powabny}}<!-- -->{{Komórka|1.5}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|s}}<!-- -->{{Komórka|dziwny}}<!-- -->{{Komórka|0,2}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|t}}<!-- -->{{Komórka|szczytowy, wysoki, prawdziwy}}<!-- -->{{Komórka|180}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|b}}<!-- -->{{Komórka|piękny, niski}}<!-- -->{{Komórka|4,7}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli traktować, że 1 (jedynka) to jest 10{{Sup|-18}}m, to elektron ma wielkość mniejszą od jedynki, kwark o rozmiarach 10{{Sup|-18}}m ma rząd równy jedynce, proton ma wielkość równą 1000 (on ma rozmiary w metrach 10{{Sup|-15}}m), jądro ma wielkość 10000 o rozmiarach 10{{Sup|-14}}m, a atom ma wielkość 100000000 o rozmiarach 10{{Sup|-10}}m. Atomy, jądra i nukleony nie są kulami to jest tylko rząd wielkości. Elektron ma rozmiary bardzo małe i dlatego nie mówi się o rozmiarach elektronów. == Jądra atomowe == Jądra składają się z protonów i neutronów, gdzie liczba protonów wynosi Z (liczba porządkowa atomu), liczba neutronów N, a liczbę masową oznaczamy przez A, która jest równa licznie neutronów N i liczbie atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>A=N+Z\;</MATH>|1.1}} Ogólnie symbol pierwiastka oznaczamy jak poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_Z\hbox{X}_N\;</MATH>|1.2}} Przykładem jąder atomowych są: * {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}U\;</MATH>}}. Jądra atomowe dzielimy ze względu na liczbę atomową (liczbę protonów) Z, masową A i liczbę neutronów w jądrze N. * '''Izotopy''', których liczba atomowa Z jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}. * '''Izotony''', których liczba neutronów N w jądrze jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}. * '''Izobary''', których liczba protonów i neutronów razem wziętych jest wielkością stałą, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_2He\;</MATH>}}. Jądra dzielimy też ze względu na liczbę nukleonów w jądrze na: * '''Jądra parzyste''', w których A jest parzyste, ale Z i N też są liczbami parzystymi. * '''Jądra nieparzyste''', w których liczba masowa A jest liczbą nieparzystą. Ze względu na stabilność dzielimy je na: * '''jądra stabilne''', których znamy 274 w tym 215 jąder typu p-p (parzysto-parzyste) i 4 typu n-n (nieparzysto-nieparzyste). * '''jądra niestabilne''', są to jądra promieniotwórcze ze względu na rozpad &alpha;,&beta;, sf i emisję nukleonów. == Nuklid == Jest to atom o określonej liczbie atomowej (A,Z). Przykładem są nuklidy pierwiastka wodoru {{Formuła|<MATH>H, \mbox{ czyli }{}_1^1H, {}_1^2H,{}_1^3H.\;</MATH>}}. == Siły jądrowe == {{Rysunek|SMFc1.JPG|csj|Charakter sił jądrowych}} Nukleony w jądrze są związane siłami jądrowymi, które są wynikiem sił oddziaływania silnego, mającego krótki zasięg {{Formuła|<MATH>(\leq 2\cdot 10^{-15}m)\;</MATH>}}. Te siły nie zależą od rodzaju nukleonów, z którymi mamy doczynienia. Potencjał omawianego tutaj oddziaływania zależy od współrzędnej radialnej, jeśli przedstawić oddziaływanie silne w układzie współrzędnych kulistym V=V(r). Stała sprzężenia oddziaływania silnego wynosi {{Formuła|<MATH>\alpha_s\simeq 1\;</MATH>}}. Oddziaływania te ulegają wysycaniu. Przykłady stałej sprzężenia dla innych oddziaływań są: * pole grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\alpha\simeq 5.6\cdot 10^{-39}\;</MATH>}}, * oddziaływanie słabe {{Formuła|<MATH>\alpha_{sl}\simeq 1\cdot 10^{-5}\;</MATH>}}, * oddziaływanie elektromagnetyczne {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{137}}\;</MATH>}}. == Masa i energia wiązania jąder atomowych i nuklidów == Masę atomową nuklidów wyrażamy w jednostkach masy atomowej, która według definicji jest równa 1/12 masy atomu węgla {{Formuła|<MATH>{}^{12}_6C\;</MATH>}}, co schematycznie możemy przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>1u={{1}\over{12}}M({}^{12}_6C)=1,66\cdot 10^{-24}g=931,5016(3)MeV/c^2\;</MATH>|1.3}} Masę protonu, neutronu, a także elektronów piszemy w jednostkach masy atomowej, które to przeliczamy na energię (będąca równoważna z masą): * {{Formuła|<MATH>m_p=1,007276470(11)u=938,2796(27)MeV/c^2\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_n=1,008665012(37)u=939,5731(27)MeV\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_e=5,4858026(21)\cdot 10^{-4}u=0,5110034(14)MeV/C^2\;</MATH>}} Różnica masy neutrony i protonu jest równa dwa i pół masy elektronu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>m_n-m_p\simeq 1.29MeV\simeq 2.5m_e\;</MATH>|1.4a}} Neutron swobodny jest cząstką nietrwałą o czasie połowicznego zaniku równym T{{Sub|1/2}}=10,6m i on rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe wedle: {{CentrujWzór|<MATH>n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e (\mbox{rozpad }\beta^-)\;</MATH>|1.4}} == Budowa jądra atomowego i jego energia wiązania == Znając masy protonu, neutronu, elektronu i atomów można by oczekiwać, że po zsumowaniu mas Z protonów, N neutronów i Z elektronów ich suma będzie równa masie atomu. Rzeczywistość jest jednak inna, masa atomu jądra atomowego jest mniejsza niż oczekiwana. Niedobór masy można napisać według jego definicji: {{CentrujWzór|<MATH>Zm_p+(A-Z)m_n+Zm_e-M_a=\Delta M\;</MATH>|1.5}} Przy łączeniu cząstek wchodzących w skład atomu wydziela się pewna energia, którą można opisać z równoważności masy i energii: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=\Delta Mc^2\;</MATH>|1.6}} Do rozkładu jądra na składniki należy dostarczyć jądru energię równą {{LinkWzór|1.6}}, którą tutaj oznaczymy przez B(A,Z). Każdy atom składa się z jądra i elektronów, a jądro atomowe składa się z neutronów i protonów. Masa jądra nie jest sumą mas jego składników, tzn. protonów i neutronów. Energia wiązania jądra atomowego, w takim przypadku nazywamy różnicę sumy mas poszczególnych składników wchodzących w skład jądra atomowego i masy jądra, jest ona równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.7}} Masa elektronu jest bardzo mała, można więc masę protonu zastąpić przez masę atomu wodoru, wtedy wzór {{LinkWzór|1.5}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_H+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.8}} * gdzie M{{Sub|a}} jest masą jądra atomowego, już po połączeniu nukleonów w skład jądra atomowego. Znając defekt masy jądra atomowego w unitach możemy policzyć masę jądra przedstawionych w MeV: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=B(A,Z)=\Delta M\cdot 931{{MeV}\over{u}}\;</MATH>|1.9}} Energia wiązania jądra w przypadku atomu helu wynosi: B(A,Z)=28,39 MeV. Wyzwalana jest w trakcie powstawania jądra atomowego helu z czterech nukleonów (dwa neutrony i dwa protony). Można policzyć, że podczas powstawania 1 kg helu zostaje wyzwolona energia równa spaleniu 25 000 ton węgla. Znając energię wiązania B(A,Z) {{linkWzór|1.9}} możemy policzyć średnią energię przypadająca na jedno wiązanie, która jest ilorazem energii wiązania przez liczbę masową A, i wynosi ona: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{E}(A,Z)={{B(A,Z)}\over{A}}\;</MATH>|1.10}} Im większa jest energia średnia wiązania atomu, tym bardziej jądro jest trwalsze, tzn. należy dostarczyć więcej energii by rozłożyć atom na składniki. === Masa jądra atomowego === Masę jądra atomowego możemy wyliczyć znając masę neutronu i protonu, a także energię wiązania nukleonów jądra atomowego na podstawie wzoru {{linkWzór|1.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.11}} W tablicach są podane masy nuklidów (M(A,Z) (lub energie wiązania jądra z elektronami), które możemy wyrazić: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=M_j(A,Z)+Zm_e-B(elektr.)\;</MATH>|1.11a}} Energia wiązania jądra z elektronami wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(elektr.)\simeq (0,01Z)^{2,5}MeV\;</MATH>|1.11b}} Energia wiązania dla jądra elektronu z jądrem wodoru wyrażamy wzorem {{Formuła|<MATH>B(elektr.)=B({}^1_1H)=({}^1_1H)=({}^1_1H)=13,6eV\;</MATH>}}, a według wzoru {{LinkWzór|1.11b}} wynosi {{Formuła|<MATH>B({}^1_1H)=({}^1_1H)\simeq 10eV\;</MATH>}}. Ponieważ masa jądra atomu praktycznie się nie różni od masy całego atomu (jądra z krążącymi wokół elektronami), zatem masę protonu możemy zastąpić przez masę wodoru {{Formuła|<MATH>{}^1_1\hbox{H}\;</MATH>}}, co schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.12}} * gdzie B(A,Z) jest to energia wiązania nuklidów. Dla jąder izobarycznych jądrami najbardziej stabilnymi są te o największej energii wiązania i są one stabilne ze względu na rozpady &beta;, podczas gdy mogą one być niestabilne ze względu na rozpad &alpha;, sf. === Odchylenie masy (mass excess) === Odchyleniem masy nazywamy różnicę masy jądra atomowego {{linkWzór|1.11}} w unitach i liczby masowej pomnożonej przez unity: {{CentrujWzór|<MATH>ME(A,Z)=\left({{M(A,Z)}\over{u}}-A\right)u\;</MATH>|1.13}} Co wzór {{linkWzór|1.13}} możemy wyrazić nie tylko w w unitach, czyli w jednostkach masy atomowej, ale też ją zwykle wyrażamy w jednostkach energii MeV korzystając z przelicznika {{LinkWzór|1.9}}. Energia wiązania B(A,Z) decyduje o stabilności w zależności na naturalne rozpady &beta; &alpha;, sf, itp. W zbiorze jąder izobarycznych o danym A jądra o największej energii wiązania są stabilne ze względu na rozpady &beta;, te jądra mogą być również ze względu na rozpad &alpha;, sf. == Średnia energia wiązania nukleonów == {{Rysunek|Binding energy curve - common isotopes-pl.svg|sew|Średnia energia wiązania}} Jak można zauważyć według rysunku obok, że średnia energia wiązania jąder atomowych {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.4}} rośnie w obszarze jąder lekkich wykazując lokalne maksima przy A=4,8,12,16,.... * W pobliżu A=60 uzyskuje płaskie maksimum E{{Sup|max}}=8.8MeV. * Powoli maleje dla dużych A>60 osiągając w końcu energię E{{Sup|ciężkie}}=7.6MeV * Wykazuje lokalne wzrosty dla liczby Z lub '''N=2,8,20,(28),50,(64),82,126''', które to nazywamy liczbami magicznymi. Jadrami podwójnie magicznymi są to jądra opisane jako: * {{Formuła|<MATH>{}^4_2He_2\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{16}_8 O_8\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{40}_{20}Ca_{20}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{132}_{50}Sn_{82}\;</MATH>}}, &nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{146}_{(64)}Gd_{82}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb_{126}\;</MATH>}}. Wysycanie sił jądrowych powodowane jest przez istnienie oddziaływań n-n silnie odpychającego rdzenia, które nie pozwalają zbliżyć nukleonom na dowolnie bliskie odległości, co jest powodem ograniczania liczbę sąsiadów danego nukleonu. Powolny spadek B/A dla A>60 występuje w wyniku wzrostu odpychania kulombowskiego protonów, natomiast spadek B/A dla jąder lekkich tłumaczy się rosnącą rolę efektów powierzchniowych, które są istotne dla małych jąder atomowych. == Materia jądrowa (rozkłady gęstości ładunku i masy atomowej) == Jądra są obiektami fizycznymi związane ze sobą siłami jądrowymi o skończonym zasięgu, które są niezależne od rodzaju nukleonu. Można więc przypuszczać, że jądra atomowe są układami o skończonym zasięgu, a jego brzeg jest niezbyt rozmyty. Energia przypadająca na jednej nukleon w jądrze nie zależy od rodzaju nukleonu i jest niemal stała i wynosi około 8MeV, co świadczy, że siły jądrowe mają właściwość wysycania, czyli każdy przeciętny nukleon jest związany z jego najbliższymi nukleonami. W ciężkich jądrach stosunek B/A jest taki sam w jak cząstce &alpha; i wynosi B{{Sub|&alpha;}}=28,39MeV, w której na każdy nukleon przypadają trzy wiązania, stąd można przepuszczać, że na jeden nukleon przypada najwięcej trzy wiązania jakie tworzy. Można policzyć, że przy wiązaniu 1 kg helu (&alpha;) ({{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}) jest wytwarzana energia równa przy spalaniu 2500 ton węgla. Następstwem wysycania sił jądrowych, w których występuje niezależność ich od rodzaju nukleonu i zakazu Pauliego, jest prawie stała objętość przypadająca na jeden nukleon, co z {{linkWzór|1.10}} wynika {{Formuła|<MATH>V\sim A\;</MATH>}} i zachodzi {{LinkWzór|1.25}} oraz można przypuszczać, że rozkłady materii wewnątrz jądra są takie same. Wysycanie sił jądrowych w jądrze atomowym pozwala mówić, że w oddziaływaniach n-n o silnie odpychającym rdzeniu, które nie pozwalają się zbliżyć na dowolnie małe odległości nukleonom, ograniczając w ten sposób liczbę najbliższych sąsiadów. Powolny spadek wartości B/A w ciężkich jądrach dla A>60 tłumaczy się w wyniku wzrostu odpychania kolumbowskiego, natomiast stosunek B/A w jądrach lekkich tłumaczy się jako fakt rosnących efektów powierzchniowych. == Energię separacji (wiązania) nukleonu == Dobrą ilustracją wpływu liczb magicznych nukleonów neutronów i protonów jest tzw. energia separacji, czyli znając masy jądra początkowego {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} oraz masę jądra {{Formuła|<MATH>{}^{A-1}_ZX\;</MATH>}} lub {{Formuła|<math> {}^{A-1}_{Z-1}X\;</MATH>}} otrzymanego z {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} przez odłączenie jednego protonu lub neutronu, wtedy te energie, czyli energię separacji neutronu lub protonu możemy wyrazić przez: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=M(A-1,Z)+M_n-M(A,Z)\;</MATH>|1.14}} |2={{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=M(A-1,Z-1)+M_p-M(A,Z)\;</MATH>|1.15}} }} Energia ta osiąga maksimum dla magicznych liczb dla protonu lub neutronu. Energii separacji protonu lub neutronu wykazuje przy pewnych liczbach atomowych lokalne skoki odpowiadające zamkniętym powłokom nukleonowych, analogicznie do energii jonizacji dla zamkniętych powłok elektronowych. Sugerowanie analogi powłok elektronowych do powłok nukleonowych sugeruje powstawanie liczb magicznych, że umieszczenie nukleonu poza zamkniętą powłoką sugerowałoby zmniejszenie energii separacji, bo słabsze byłyby wiązania pomiędzy nukleonami. Analogicznie do {{LinkWzór|1.14}} i {{LinkWzór|1.15}} energię wiązania neutronu dla jądra atomowego definiujemy przy pomocy energii wiązań jako różnicę energii wiązania dla ściśle określonego Z, ale po dodaniu do jądra jednego neutronu, wtedy z jądra z A powstaje jądro o liczbie masowej A-1, czyli jest to energia potrzebna do wyrwania energii z jądra atomowego wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z-1)M_n-B(A-1,Z)+M_n-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z)\;</MATH>|1.16}} Energia potrzebna do wyrwania jednego protonu wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=(Z-1)M({}^1_1H)+(A-Z)M_n-B(A-1,Z-1)+M_p-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1)\;</MATH>|1.17}} Energie separacji neutronu lub protony wykazują silne fluktuacje, które nazywamy efektami powłokowymi, a przykłady tychże energii: *{{Formuła|<MATH>S_n({}^2_1\hbox{H})=S_p({}^2_1\hbox{H})=2,2 MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_n({}^{13}_7\hbox{N})= 20,3MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_p({}^{13}_{7}N)=1,9MeV\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_p({}^{14}_{6}C)=20,8MeV\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję neutronu, są to jądra, dla których energia separacji neutronu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_n\leq 0\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję protonu, są to jądra, dla których energia separacji protonu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_p\leq 0\;</MATH>}}. Doświadczalnie wykazano, że istnieje związek dla energii separacji (dwójkowania, pairing) neutronu (n) lub protonu (p), które to piszemy następująco dla N i Z parzystego: {{CentrujWzór |1={{ElastycznyWiersz|1=<MATH>\begin{cases} S_n(N,Z)>S_n(N\pm 1,Z)\\ S_p(Z,N)>S_p(Z\pm 1, N) \end{cases}\;</MATH> |2={{Tekst|&nbsp;gdy&nbsp;&nbsp;}} |3={{ElastycznaKolumna |1={{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} |2={{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} }} |_1=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; |_2=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; |_3=margin-top:auto;margin-bottom:auto;height:100%;width:auto; }}|1.18}} Nukleony w jądrze atomowym są powiązane w pary (p-p), (n,n), ale nie w parę (n,p), których to moment pędu każdej pary wynosi zero, a więc też spin takiego układu jest równy zero, tzn. {{Formuła|<MATH>0^+\;</MATH>}}. == Energie oddziaływania pairing (parowania nukleonów w jądrze atomowym) == Energia parowania w jądrach atomowym jest to energia tylko oddziaływań silnych i jest to oddziaływanie łączące nukleony w pary pp i nn o przeciwnych spinach, są to krótkozasięgowe oddziaływania wysycające się na najbliższym sąsiedzie tego samego rodzaju, dążą by gęstość jądra atomowego dążyła do izotropowego rozkładu materii. Jest to oddziaływanie resztkowe w jądrach. Energie parowania neutronu i protonu są takie same P{{Sub|pp}}&asymp;P{{Sub|nn}}, mieszczą się one w zakresie od 2 do 8 MeV, a wzór na energię parowania w zależności od liczby masowej "A" przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>P={{24}\over{\sqrt{A}}}\mbox{MeV}\;</MATH>|1.19}} Jeśli jądro potraktujemy jako pewien układ, to energię wiązania możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,N)=\underbrace{B_c+B_{sp}(Z,N-1)}_{B(Z,N-1)}+B_{sp}(Z,N)+P_{nn}\;</MATH>|1.20}} Energia parowania nukleonu sparowanego, który definiujemy jako średnią energię dwóch sąsiednich energii separacji względem danego nuklidu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>B_{sp}(Z,N)]={{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.21}} Jeśli wykorzystamy wzór na energie separacji neutronu {{linkWzór|1.16}}, ten wzór wykorzystamy do {{linkWzór|1.20}}, stąd wyprowadzamy energię parowania neutronów: {{CentrujWzór|<math>P_{nn}(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1)-B_{sp}(Z,N)=S_n(A,Z)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.22}} Analogicznie do poprzedniego wzoru możemy wykorzystać wzór na energie separacji protonu {{linkWzór|1.17}} do podobnego wzoru do {{linkWzór|1.20}} (tylko zmienia się Z zamiast N), wtedy w ten sposób definiujemy energię parowania protonów: {{CentrujWzór|<MATH>P_{pp}(Z,N)=S_p(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z-1,N)+S_n(Z+1,N)\right]\;</MATH>|1.23}} Energia wiązania każdego nukleonu połączonej w pary, która jest taka sama w przybliżeniu dla neutronu i protonu, wyraża się: {{CentrujWzór|<math>\Delta_n={{P_{nn}}\over{2}}\simeq\Delta_p={{P_{pp}}\over{2}}\;</MATH>|1.24}} Nazywamy tą energię energią przerwy energetycznej neutronowej &Delta;{{Sub|n}} i protonowej &Delta;{{Sub|p}}, dla którego jak powiedzieliśmy powyżej są w przybliżeniu sobie równe. == Modele jąder atomowych == === Model kroplowy === Model kroplowy jest to inaczej zwany modelem Weizsäcke'a i Bethe'go, która mówi: * gęstość nukleonów w materii jądrowej nie zależy od liczby masowej A, dla którego promień jądra w zależności od liczby masowej i promienia {{Formuła|<MATH>r_0\simeq 1,2\cdot 10^{-13}cm\;</MATH>}} jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>R=r_0A^{{{1}\over{3}}}\;</MATH>|1.25}} Gęstość nukleonów możemy przestawić jako &rho;=0,17 nukl/fm{{Sup|3}}, średni promień jądra atomowego jest wyrażony przez {{Formuła|<MATH>\langle r^2\rangle_{nukl}=0,5fm\;</MATH>}}. * zależność natężenia sił jądrowej jest bardzo podobna do zależności oddziaływania Van der Waalsa działającej w cieczy, * oddziaływania jądrowe wysycają się tak jak wiązania chemiczne, za wyjątkiem jąder lekkich mamy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j\sim A\Rightarrow {{B_j}\over{A}}=\operatorname{const}.\;</MATH>|1.26}} Jądro atomowe opisujemy jako naładowana cząstka o ładunku Q=Ze, która jest nieściśliwą cieczą. Według modelu kroplowego całkowita energia wiązania jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=B_{obj}(A)+B_{pow}(A)+B_{cul}(Z,A)+\underbrace{B_{as}(N,Z)+B_{pairing}}_{\mbox{czlony jądrowe}}\;</math>|1.27}} Model kroplowy opisuje średnie właściwości jąder atomowych i nie uwzględnia jego struktury subtelnej. Ten model należy stosować dla jąder o {{Formuła|<MATH>A\geq30\;</MATH>}}. Dla jąder stabilnych {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} obliczone wartości B(A,Z) zgadzają się z doświadczeniem z błędem ok 2%. ==== Model kroplowy według Weizsöcke'a i Bethe'go ==== Energię wiązania jądra atomowego o liczbie atomowej Z i liczbie masowej A przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,A)=a_{\nu}A-a_{s}A^{{{2}\over{3}}}-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\pm\delta\;</MATH>|1.28}} * człon {{Formuła|<MATH>a_{\nu}A\;</MATH>}} jest to człon objętościowy pochodzący od przyciągania pochodzącymi od oddziaływania między nukleonami, wartość tej stałej stojąca przy liczbie masowej jest równa a{{Sub|&nu;}}=15,85 MeV, ten współczynnik jest miarą średniego wkładu do energii wiązania (stąd znak minus). * człon {{Formuła|<MATH>a_{s}A^{{{2}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon powierzchniowy, nukleony na brzegu mają mniejszą liczbę przyciągających parterów niż nukleony wewnątrz jądra atomowego, liczba nukleonów występujących na powierzchni kuli jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni kuli, stała występująca w tym wzorze jest równa a{{Sub|s}}=18,34 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon kulombowski pochodzących od odpychania miedzy nukleonami, wartość stałej występującej przy tym członie jest równa a{{Sub|c}}=0,71 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\;</MATH>}} jest członem asymetrycznym odzwierciedlających tendencje do ścieżki stabilności N+Z=A=2Z, a stała występująca tutaj jest równa a{{Sub|as}}=92,86 MeV. * człon &delta; człon charakteryzujący stabilność jąder parzysto-parzystych, mniejszą dla jąder parzysto-nieparzystych i nieparzysto-parzystych i jeszcze mniejszą dla jąder nieparzysto-nieparzystych, ten człon jest wyrażony: {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=+&Delta; dla jąder parzysto-parzystych{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=0 dla jądrem A nieparzystych {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=-&Delta; dla jąder nieparzysto-nieparzystych (A parzyste).{{Br}}W powyższych rozważaniach przyjęliśmy, że {{Formuła|<MATH>\Delta=11,46A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy według Myers'a i Świąteckiego ==== Energię wiązania jądra atomowego w tym modelu analogicznie opisujemy jak we wzorze opisujący model kroplowy Weizsöcke'a i Bethe'go. Jak widzimy, energia wiązania jest pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=15,68A-18,56 A^{{{2}\over{3}}}-0,717 Z^2A^{-{{1}\over{3}}}\left(1-1,69A^{-{{2}\over{3}}}\right)-28,1(N-Z)^2A^{-1}\left(1-1,18A^{-{{1}\over{3}}}\right)\pm\delta\mbox{ [MeV]}\;</MATH>|1.29}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>\delta_p=11\cdot A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy- dalsze rozważania ==== Ja widzimy patrząc na wzór {{linkWzór|1.28}} lub na wzór {{linkWzór|1.29}}, które są energiami wiązania nukleonów w jądrze, wyraża się pewną funkcją kwadratową, którą piszemy dla pewnych wyrazów a, b, c: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z)=B(Z,A=\operatorname{const})=aZ^2+bZ+c\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;ale&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;parzystego&nbsp;}}<MATH>c=c_1\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;p-p&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>c=c_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;n-n}}|2.30}} * gdzie: p-p to oznacza parzysto-parzyste, a n-n to nieparzysto-nieparzyste. Model kroplowy opisuje średnie własności jader atomowych, ale nie opisuje jej struktury. Nasz model należy stosować dla jąder atomowych {{Formuła|<MATH>A\geq 30\;</MATH>}}, a dla jąder {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} opisuje je z dokładnością do 2%. === Model gazu Fermiego === Protony i neutrony są to cząstki niezależne, które poruszają się niezależnie wewnątrz kuli o promieniu R=r{{Sub|0}}A{{Sup|1/2}} (patrz: {{LinkWzór|1.25}}), co stanowi, że pomiędzy tymi nukleonami nie ma wzajemnych oddziaływań. Nukleony są to fermiony zajmujące stan najniższy jak tylko możliwe ze względu na zakaz Pauliego bez dostarczania energii zewnątrz, co oznacza, że nukleony nie mogą się zderzać wzajemnie. Nukleony znajdują się w studni potencjału, a na każdym jego stopniu mogą znajdować się co najwyżej dwa nukleony. Energia najniższego poziomu jest to energia Fermiego, co rachunki pokazują, że średnia energia kinetyczna na tym poziomie jest E{{Sub|k}}=30 MeV, czemu odpowiada średni pęd &lt;p&gt;=240 MeV/c, który zwany jest pędem Fermiego. Potwierdzenie pędu Fermiego pokazuje, że zderzenie jego z pociskiem z nukleonami w jądrze atomowym mówi, że pędy nukleonów są rozłożone izotropowo w nim, dlatego ten model jądra atomowego tak jest zwany. === Model powłokowy === Jądra, które nie można opisać za pomocą modelu kroplowego lub modelu gazu Fermiego wskazują, że jeśli kwanty powstałe w wyniku przejścia z jednego poziomu do drugiego są widmami dyskretnymi (liniowymi), co wskazuje na to, że stany w jakim znajdują się protony i neutrony nie są stanami ciągłymi, tylko dyskretnymi. Badanie pewnych jąder wskazują, że w przyrodzie występują nuklidy o pewnych liczbach protonów lub neutronów. Dalsza analiza B/A wskazuje na pewne maksima przy pewnych liczbach protonów i neutronów zwanych liczbami magicznymi. == Energia wiązania jąder atomowych a jego stabilność == {{Rysunek|Isotopes and half-life.svg|ssdwilwwp|Ścieżka stabilności dla wszystkich izotopów znanych lub występujących w przyrodzie. Linia pozioma to oś Z, a pionowa oś N}} Dla jąder izobarycznych najsilniej związane są jądra o najmniejszej masie, izobary te są stabilne ze względu na rozpad &beta; ale mogą być niestabilne ze względu rozpad &alpha;, sf. Nuklidy występująca nad linią Z=N są niestabilne ze względu na rozpad &beta;{{Sup|-}}, a nuklidy znajdujące pod ścieżką stabilności są to nuklidy ze względu na rozpad &beta;{{Sup|+}}. Najcięższe znajdujące się nuklidy są to nuklidy, które podamy w tabelce poniżej w raz czasami ich rozpadu, które są jądrami niestabilnymi ze względu na rozpad &alpha; i samoistnie rozszczepienie: {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego rozpadu'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Skład procentowy występowania danego nuklidu w skład danego pierwiastka w przyrodzie.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{232}_{90}\hbox{Th}</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1,4\cdot 10^{10}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|100%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{234}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>2,5\cdot 10^5\mbox{ lat}\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,005%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>7,0\cdot 10^{8}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,72%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|99,27%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jądra {{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} są używane w energetyce jądrowej. Najcięższym nuklidem stabilnym znanym przez człowieka jest {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}\hbox{Pb}_{126}\;</MATH>}}, których jest w 52,4% wchodzących w skład pierwiastka ołowiu, a także {{Formuła|<MATH>{}^{209}_{83}\hbox{Bi}_{126}\;</maTH>}}, w których jest 100% wchodzących w skład pierwiastka bizmutu. Łącznie odkryto ponad 3000 nuklidów, co większości jąder są jądrami niestabilnymi. === Nuklidy stabilne i niestabilne === Przestawimy teraz tabelkę przedstawiający liczbę jąder stabilnych przy pewnej liczbie protonów i neutronów w jądrze w zależności od ich parzystości lub nieparzystości, dla jąder których czas połowicznego rozpadu jest większy od czasu życia ziemi, dla której czas trwania ziemi jest większy od {{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{lat}\;</MATH>}}: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jadra o nieparzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jądra o parzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Razem'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o nieparzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|54}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o parzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|165}}<!-- -->{{Komórka|220}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Razem'''}}<!-- -->{{Komórka|59}}<!-- -->{{Komórka|215}}<!-- -->{{Komórka|274}}<!-- -->}}<!-- -->}} Najcięższe nuklidy występujące na Ziemi w warunkach naturalnych są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i sf. Jądra stabilne lekkie to są dla {{Formuła|<MATH>N\simeq Z\;</MATH>}}, a ciężkie {{Formuła|<MATH>N\simeq 1,5Z\;</MATH>}}. Znanymi nuklidami nieparzysto-nieparzystych są to nuklidy:{{Formuła|<MATH>{}^2_{1}D_{1}\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^6_3Li_3\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{10}_8B</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N\;</MATH>}}. Teraz podamy tabelkę superciężkich nuklidów wytwarzanych w laboratorium wraz z niektórymi reakcjami syntezy tychże jąder. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Rok odkrycia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego życia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Reakcja uzyskania danego nuklidu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1996 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{269}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|170&mu;s}}<!-- -->{{Komórka||}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{271}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,1 ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{272}111\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,5&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1998/99 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{277}{112}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,24ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{283}112\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|81s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{289}114\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|30s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{48}_{20}Ca+{}^{244}_{94}Pu\rightarrow {}^{289}114+3n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|1999rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{289}116\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,2s}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{293}118\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|250&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{86}_{36}Kr+{}^{208}_{82}Pb\rightarrow{}^{293}118+n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Reguła Mattaucha (z doświadczenia) === Jeśli energie wiązania jądra atomowego {{linkWzór|1.6}} (w której występuje wielkość niedoboru masy {{LinkWzór|1.5}}) przedstawimy jako funkcję zmiennej Z dla jąder izobarycznych, ale dla A nieparzystego energię wiązania jądra atomowego układają się w parabolę, w której wystepuje jeden izotop (izobar) stabilny. Gdy natomiast A jest parzyste, to energia wiązania układa się w dwie parabole odpowiadające izobarom p-p, n-n, w tym przypadku może być więcej niż jeden izobar stabilny, a tych izobarów niestabilnych może być aż trzy. Pozostałe izobary (niestabilne) są niestabilne ze względu na rozpady &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC. {{ElastycznyWiersz | styl = width:auto;float:right;margin-left:10px; |{{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_102.png|mjoulma|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;102|pozycja=center}} |{{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_135.png|mjoulm135b|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;135|pozycja=center}} }} Dla rysunków podano masy jąder atomowych w MeV w zależności od liczby atomowej jako przykład dla jądra o A parzystego, w której występują dwie gałęzie paraboli, a także podano następny przykład dla jądra A nieparzystego, w której występuje jedna gałąź paraboli. Liczbę Z{{Sub|0}} dla której funkcja B(Z,A=const) osiąga maksimum względem Z, podobnie przy M(Z,A=const) osiąga minimum względem Z, możemy obliczyć z: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial B(Z,A)}\over{\partial Z}}\right)_{A=\operatorname{const}}=0\;</MATH>|1.23a}} i zgodnie ze wzorem Weizsäcker'a, gdy funkcja B(Z,A) jest przestawiona wzorem {{linkWzór|1.20}}, to maksimum funkcji energii wiązania jądra atomowego jest określona dla liczby atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z_0={{A}\over{1,98+0,015A^{{{2}\over{3}} }}}\;</MATH>|1.31}} Widzimy, że maksimum funkcji B(Z,A=const) jest zależne tylko od liczby masowej A. Możemy napisać dla ścieżki stabilności ze względu na rozpad &beta; wzór empiryczny Greena: {{CentrujWzór|<MATH>(N-Z)_{\beta\operatorname{ stabilne}}={{0,4A^2}\over{A+200}}</MATH>|1.23b}} == Rozpraszania wysokoenergetycznych cząstek e, p, n i innych cząstek na jądrze atomowym == Cząstki e, p, n te są traktowane jako sondy wynikające do wnętrza jąder. Ich kąt rozproszenia &theta; będzie uwarunkowany rozkładem gęstości centrów rozpraszających w jądrze, który uwarunkowany jest rozkładem masy i ładunków w naszym badanym obiekcie. Do badania rozkładu ładunku elektrycznego najlepiej do tego służą elektrony, ponieważ one kulombowsko oddziaływają z protonami, a więc daje ta metoda czystą informację o rozkładzie ładunku elektrycznego w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r). Relacje rozpraszania neutronów na jądrach atomowych dostarczają o rozkładzie masy w jądrze &rho;{{Sub|m}}(r). Realizacja tego projektu jest bardzo kłopotliwa ze względu na trudności z uzyskania wysokoenergetycznych neutronów. Relacje rozpraszanie protonów p są najtrudniejsze do interpretacji wyników doświadczalnych, gdyż oddziaływają one z jądrem atomowym ze względu na to, że ten obiekt posiada ładunek elektryczny, czyli oddziałuje kulombowsko odpychająco z jądrem atomowym i też za pomocą sił jądrowych i takie rozpraszanie dostarcza zarówno informacje o rozkładzie masy i ładunku wewnątrz jądra. {{Rysunek|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy).png|rcnprlm|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy)}} Aby cząstka mogła wniknąć do jądra atomowego, to powinna mieć długość fali de Broglie'a odpowiednio małą do rozmiarów badanego jądra. Przelicznik długości fali w zależności od jej energii padającej na jądro atomowe wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_e={{200}\over{E_e(MeV)}}fm\;</MATH>|1.32}} * dla {{Formuła|<MATH>E_e=500MeV\;</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>\lambda_e=0,4fm\;</MATH>}}. Jeśli ładunek byłby skupiony w jednym punkcie, to różniczkowy przekrój czynny dla cząstek o energii E na jądrach o liczbie atomowej Z jest napisany wzorem Motta: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}\right)_M=\left({{Ze^2}\over{2E_e}}\right)^2{{\cos^2{{\theta}\over{2}}}\over{\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+{{2E_e}\over{m_ec^2}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\right)\;</MATH>|1.33}} Jeśli uwzględnimy rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego w rzeczywistym jądrze atomowym, to według przybliżenia Borna pierwszego rzędu (mały ładunek jądra atomowego) piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}=\left({{d\sigma(E_c)}\over{d\Omega}}\right)_M|F(q)|^2\;</MATH>|1.34}} Tzn. wzór Motta ulega modyfikacji przy udziale czynnika kształtującego, który zależy od gęstości ładunku w tymże obiekcie wiedząc, że q jest pędem przekazywanym jądru (w jednostkach {{Formuła|<MATH>\hbar\;</MATH>}}) w wyniku zderzeń: {{CentrujWzór|<MATH>F(q)={{4\pi}\over{Zeq}}\int_0^{\infty}\rho_e(r)\sin(qr)rdr\;</MATH>|1.35}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ronm5hkzg2gj6kwwi16gxfzmakawdik 558645 558600 2026-10-05T00:45:29Z Persino 2851 558645 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Etap współczesny == Według stanu obecnego fizykę dzielimy na działy: '''jądra atomowego''', '''cząstek elementarnych''' i '''kosmosu''' (chodzi tutaj o strukturę i teorię powstania wszechświata). W wyniku rozwoju techniki eksperymentalnej, tzn. akceleratorów, detektorów, elektroniki i komputerów, badano własności jąder atomowych i strukturę materii w wysokoenergetycznych wiązkach akceleratorowych p, e{{Sup|-}} i e{{Sup|+}} i innych cząstek, i w promieniowaniu kosmicznym. Nuklidami nazywamy jądra o ściśle określonej liczbie atomowej Z i masowej A. Odkryto ponad 3000 nuklidów (Z=od 1 do 118), 150 obiektów (cząstek) początkowo traktowanych jako cząstki elementarne. W 1964 r. Badano strukturę hadronów. M. Gell-Mann i G. Zweig postulowali, że te właśnie cząstki są złożone z trzech kwarków i jest to model kwarkowy hadronów. W latach siedemdziesiątych trzy kwarki już nie wystarczają do opisu nowych hadronów, rozwija się teoria oddziaływań silnych QCD. Odkryto sześć leptonów i sześć kwarków wraz z ich antycząstkami, które różnią się ''zapachem'' i ''kolorem'', w sumie tworzą trzy generacje. Cząstki złożone z trzech kwarków są bezbarwne. Każdy kwark występuje w trzech kolorach (w stanach kolorowych), charakteryzujących się elektrycznym ładunkiem ujemnym (-1/3)e lub ładunkiem dodatnim (2/3)e. Kwarki oddziałują ze sobą przy pomocy gluonów, które są bozonami o masie spoczynkowej równej zero i ładunku zerowym, ale mają ładunek kolorowy, ale występujących w ośmiu kolorach. Kwarki i gluony są uwięzione w hadronach, z których na przykład proton składa się z trzech kwarków (u,u,d): (2/3+2/3-1/3)e=e. Podobnie neutron składa z trzech kwarków (ddu): (-1/3-1/3+2/3)e=0. Mezony natomiast składają się z dwóch kwarków (kwark + antykwark). == Model standardowy materii == Cząstki fundamentalne składają się z sześciu leptonów i sześciu kwarków wraz z ich antycząstkami. Kwantową teorię pola elektromagnetycznego oraz słabego możemy połączyć w oddziaływanie elektrosłabe, model oddziaływania silnego i elektrosłabego możemy połączyć w model standardowy. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Podstawowe cząstki elementarne w fizyce cząstek elementarnych'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino elektronowe}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH><7\cdot 10^{-9}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|Elektron}}<!-- -->{{Komórka|0,0005111}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\mu}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino mionowe}}<!-- -->{{Komórka|<0,0003}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\mu^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Mion}}<!-- -->{{Komórka|0,106}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\tau}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino taonowe}}<!-- -->{{Komórka|<0.03}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\tau^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Taon}}<!-- -->{{Komórka|1.7771}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}<!-- -->}} W poniższej tabelce pokazaliśmy powierzchowne informacje o kwarkach, których jest sześć i których ładunki są ułamkowe, tzn. ich ładunki są oznaczane przez (+2/3)e i przez (-1/3)e. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Kwarki w modelu standardowym '''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|&mu;}}<!-- -->{{Komórka|górny}}<!-- -->{{Komórka|0,005}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|d}}<!-- -->{{Komórka|dolny}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|c}}<!-- -->{{Komórka|powabny}}<!-- -->{{Komórka|1.5}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|s}}<!-- -->{{Komórka|dziwny}}<!-- -->{{Komórka|0,2}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|t}}<!-- -->{{Komórka|szczytowy, wysoki, prawdziwy}}<!-- -->{{Komórka|180}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|b}}<!-- -->{{Komórka|piękny, niski}}<!-- -->{{Komórka|4,7}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli traktować, że 1 (jedynka) to jest 10{{Sup|-18}}m, to elektron ma wielkość mniejszą od jedynki, kwark o rozmiarach 10{{Sup|-18}}m ma rząd równy jedynce, proton ma wielkość równą 1000 (on ma rozmiary w metrach 10{{Sup|-15}}m), jądro ma wielkość 10000 o rozmiarach 10{{Sup|-14}}m, a atom ma wielkość 100000000 o rozmiarach 10{{Sup|-10}}m. Atomy, jądra i nukleony nie są kulami to jest tylko rząd wielkości. Elektron ma rozmiary bardzo małe i dlatego nie mówi się o rozmiarach elektronów. == Jądra atomowe == Jądra składają się z protonów i neutronów, gdzie liczba protonów wynosi Z (liczba porządkowa atomu), liczba neutronów N, a liczbę masową oznaczamy przez A, która jest równa licznie neutronów N i liczbie atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>A=N+Z\;</MATH>|1.1}} Ogólnie symbol pierwiastka oznaczamy jak poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_Z\hbox{X}_N\;</MATH>|1.2}} Przykładem jąder atomowych są: * {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}U\;</MATH>}}. Jądra atomowe dzielimy ze względu na liczbę atomową (liczbę protonów) Z, masową A i liczbę neutronów w jądrze N. * '''Izotopy''', których liczba atomowa Z jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}. * '''Izotony''', których liczba neutronów N w jądrze jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}. * '''Izobary''', których liczba protonów i neutronów razem wziętych jest wielkością stałą, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_2He\;</MATH>}}. Jądra dzielimy też ze względu na liczbę nukleonów w jądrze na: * '''Jądra parzyste''', w których A jest parzyste, ale Z i N też są liczbami parzystymi. * '''Jądra nieparzyste''', w których liczba masowa A jest liczbą nieparzystą. Ze względu na stabilność dzielimy je na: * '''jądra stabilne''', których znamy 274 w tym 215 jąder typu p-p (parzysto-parzyste) i 4 typu n-n (nieparzysto-nieparzyste). * '''jądra niestabilne''', są to jądra promieniotwórcze ze względu na rozpad &alpha;,&beta;, sf i emisję nukleonów. == Nuklid == Jest to atom o określonej liczbie atomowej (A,Z). Przykładem są nuklidy pierwiastka wodoru {{Formuła|<MATH>H, \mbox{ czyli }{}_1^1H, {}_1^2H,{}_1^3H.\;</MATH>}}. == Siły jądrowe == {{Rysunek|SMFc1.JPG|csj|Charakter sił jądrowych}} Nukleony w jądrze są związane siłami jądrowymi, które są wynikiem sił oddziaływania silnego, mającego krótki zasięg {{Formuła|<MATH>(\leq 2\cdot 10^{-15}m)\;</MATH>}}. Te siły nie zależą od rodzaju nukleonów, z którymi mamy doczynienia. Potencjał omawianego tutaj oddziaływania zależy od współrzędnej radialnej, jeśli przedstawić oddziaływanie silne w układzie współrzędnych kulistym V=V(r). Stała sprzężenia oddziaływania silnego wynosi {{Formuła|<MATH>\alpha_s\simeq 1\;</MATH>}}. Oddziaływania te ulegają wysycaniu. Przykłady stałej sprzężenia dla innych oddziaływań są: * pole grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\alpha\simeq 5.6\cdot 10^{-39}\;</MATH>}}, * oddziaływanie słabe {{Formuła|<MATH>\alpha_{sl}\simeq 1\cdot 10^{-5}\;</MATH>}}, * oddziaływanie elektromagnetyczne {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{137}}\;</MATH>}}. == Masa i energia wiązania jąder atomowych i nuklidów == Masę atomową nuklidów wyrażamy w jednostkach masy atomowej, która według definicji jest równa 1/12 masy atomu węgla {{Formuła|<MATH>{}^{12}_6C\;</MATH>}}, co schematycznie możemy przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>1u={{1}\over{12}}M({}^{12}_6C)=1,66\cdot 10^{-24}g=931,5016(3)MeV/c^2\;</MATH>|1.3}} Masę protonu, neutronu, a także elektronów piszemy w jednostkach masy atomowej, które to przeliczamy na energię (będąca równoważna z masą): * {{Formuła|<MATH>m_p=1,007276470(11)u=938,2796(27)MeV/c^2\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_n=1,008665012(37)u=939,5731(27)MeV\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_e=5,4858026(21)\cdot 10^{-4}u=0,5110034(14)MeV/C^2\;</MATH>}} Różnica masy neutrony i protonu jest równa dwa i pół masy elektronu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>m_n-m_p\simeq 1.29MeV\simeq 2.5m_e\;</MATH>|1.4a}} Neutron swobodny jest cząstką nietrwałą o czasie połowicznego zaniku równym T{{Sub|1/2}}=10,6m i on rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe wedle: {{CentrujWzór|<MATH>n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e (\mbox{rozpad }\beta^-)\;</MATH>|1.4}} == Budowa jądra atomowego i jego energia wiązania == Znając masy protonu, neutronu, elektronu i atomów można by oczekiwać, że po zsumowaniu mas Z protonów, N neutronów i Z elektronów ich suma będzie równa masie atomu. Rzeczywistość jest jednak inna, masa atomu jądra atomowego jest mniejsza niż oczekiwana. Niedobór masy można napisać według jego definicji: {{CentrujWzór|<MATH>Zm_p+(A-Z)m_n+Zm_e-M_a=\Delta M\;</MATH>|1.5}} Przy łączeniu cząstek wchodzących w skład atomu wydziela się pewna energia, którą można opisać z równoważności masy i energii: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=\Delta Mc^2\;</MATH>|1.6}} Do rozkładu jądra na składniki należy dostarczyć jądru energię równą {{LinkWzór|1.6}}, którą tutaj oznaczymy przez B(A,Z). Każdy atom składa się z jądra i elektronów, a jądro atomowe składa się z neutronów i protonów. Masa jądra nie jest sumą mas jego składników, tzn. protonów i neutronów. Energia wiązania jądra atomowego, w takim przypadku nazywamy różnicę sumy mas poszczególnych składników wchodzących w skład jądra atomowego i masy jądra, jest ona równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.7}} Masa elektronu jest bardzo mała, można więc masę protonu zastąpić przez masę atomu wodoru, wtedy wzór {{LinkWzór|1.5}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_H+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.8}} * gdzie M{{Sub|a}} jest masą jądra atomowego, już po połączeniu nukleonów w skład jądra atomowego. Znając defekt masy jądra atomowego w unitach możemy policzyć masę jądra przedstawionych w MeV: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=B(A,Z)=\Delta M\cdot 931{{MeV}\over{u}}\;</MATH>|1.9}} Energia wiązania jądra w przypadku atomu helu wynosi: B(A,Z)=28,39 MeV. Wyzwalana jest w trakcie powstawania jądra atomowego helu z czterech nukleonów (dwa neutrony i dwa protony). Można policzyć, że podczas powstawania 1 kg helu zostaje wyzwolona energia równa spaleniu 25 000 ton węgla. Znając energię wiązania B(A,Z) {{linkWzór|1.9}} możemy policzyć średnią energię przypadająca na jedno wiązanie, która jest ilorazem energii wiązania przez liczbę masową A, i wynosi ona: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{E}(A,Z)={{B(A,Z)}\over{A}}\;</MATH>|1.10}} Im większa jest energia średnia wiązania atomu, tym bardziej jądro jest trwalsze, tzn. należy dostarczyć więcej energii by rozłożyć atom na składniki. === Masa jądra atomowego === Masę jądra atomowego możemy wyliczyć znając masę neutronu i protonu, a także energię wiązania nukleonów jądra atomowego na podstawie wzoru {{linkWzór|1.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.11}} W tablicach są podane masy nuklidów (M(A,Z) (lub energie wiązania jądra z elektronami), które możemy wyrazić: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=M_j(A,Z)+Zm_e-B(elektr.)\;</MATH>|1.11a}} Energia wiązania jądra z elektronami wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(elektr.)\simeq (0,01Z)^{2,5}MeV\;</MATH>|1.11b}} Energia wiązania dla jądra elektronu z jądrem wodoru wyrażamy wzorem {{Formuła|<MATH>B(elektr.)=B({}^1_1H)=({}^1_1H)=({}^1_1H)=13,6eV\;</MATH>}}, a według wzoru {{LinkWzór|1.11b}} wynosi {{Formuła|<MATH>B({}^1_1H)=({}^1_1H)\simeq 10eV\;</MATH>}}. Ponieważ masa jądra atomu praktycznie się nie różni od masy całego atomu (jądra z krążącymi wokół elektronami), zatem masę protonu możemy zastąpić przez masę wodoru {{Formuła|<MATH>{}^1_1\hbox{H}\;</MATH>}}, co schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.12}} * gdzie B(A,Z) jest to energia wiązania nuklidów. Dla jąder izobarycznych jądrami najbardziej stabilnymi są te o największej energii wiązania i są one stabilne ze względu na rozpady &beta;, podczas gdy mogą one być niestabilne ze względu na rozpad &alpha;, sf. === Odchylenie masy (mass excess) === Odchyleniem masy nazywamy różnicę masy jądra atomowego {{linkWzór|1.11}} w unitach i liczby masowej pomnożonej przez unity: {{CentrujWzór|<MATH>ME(A,Z)=\left({{M(A,Z)}\over{u}}-A\right)u\;</MATH>|1.13}} Co wzór {{linkWzór|1.13}} możemy wyrazić nie tylko w w unitach, czyli w jednostkach masy atomowej, ale też ją zwykle wyrażamy w jednostkach energii MeV korzystając z przelicznika {{LinkWzór|1.9}}. Energia wiązania B(A,Z) decyduje o stabilności w zależności na naturalne rozpady &beta; &alpha;, sf, itp. W zbiorze jąder izobarycznych o danym A jądra o największej energii wiązania są stabilne ze względu na rozpady &beta;, te jądra mogą być również ze względu na rozpad &alpha;, sf. == Średnia energia wiązania nukleonów == {{Rysunek|Binding energy curve - common isotopes-pl.svg|sew|Średnia energia wiązania}} Jak można zauważyć według rysunku obok, że średnia energia wiązania jąder atomowych {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.4}} rośnie w obszarze jąder lekkich wykazując lokalne maksima przy A=4,8,12,16,.... * W pobliżu A=60 uzyskuje płaskie maksimum E{{Sup|max}}=8.8MeV. * Powoli maleje dla dużych A>60 osiągając w końcu energię E{{Sup|ciężkie}}=7.6MeV * Wykazuje lokalne wzrosty dla liczby Z lub '''N=2,8,20,(28),50,(64),82,126''', które to nazywamy liczbami magicznymi. Jadrami podwójnie magicznymi są to jądra opisane jako: * {{Formuła|<MATH>{}^4_2He_2\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{16}_8 O_8\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{40}_{20}Ca_{20}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{132}_{50}Sn_{82}\;</MATH>}}, &nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{146}_{(64)}Gd_{82}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb_{126}\;</MATH>}}. Wysycanie sił jądrowych powodowane jest przez istnienie oddziaływań n-n silnie odpychającego rdzenia, które nie pozwalają zbliżyć nukleonom na dowolnie bliskie odległości, co jest powodem ograniczania liczbę sąsiadów danego nukleonu. Powolny spadek B/A dla A>60 występuje w wyniku wzrostu odpychania kulombowskiego protonów, natomiast spadek B/A dla jąder lekkich tłumaczy się rosnącą rolę efektów powierzchniowych, które są istotne dla małych jąder atomowych. == Materia jądrowa (rozkłady gęstości ładunku i masy atomowej) == Jądra są obiektami fizycznymi związane ze sobą siłami jądrowymi o skończonym zasięgu, które są niezależne od rodzaju nukleonu. Można więc przypuszczać, że jądra atomowe są układami o skończonym zasięgu, a jego brzeg jest niezbyt rozmyty. Energia przypadająca na jednej nukleon w jądrze nie zależy od rodzaju nukleonu i jest niemal stała i wynosi około 8MeV, co świadczy, że siły jądrowe mają właściwość wysycania, czyli każdy przeciętny nukleon jest związany z jego najbliższymi nukleonami. W ciężkich jądrach stosunek B/A jest taki sam w jak cząstce &alpha; i wynosi B{{Sub|&alpha;}}=28,39MeV, w której na każdy nukleon przypadają trzy wiązania, stąd można przepuszczać, że na jeden nukleon przypada najwięcej trzy wiązania jakie tworzy. Można policzyć, że przy wiązaniu 1 kg helu (&alpha;) ({{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}) jest wytwarzana energia równa przy spalaniu 2500 ton węgla. Następstwem wysycania sił jądrowych, w których występuje niezależność ich od rodzaju nukleonu i zakazu Pauliego, jest prawie stała objętość przypadająca na jeden nukleon, co z {{linkWzór|1.10}} wynika {{Formuła|<MATH>V\sim A\;</MATH>}} i zachodzi {{LinkWzór|1.25}} oraz można przypuszczać, że rozkłady materii wewnątrz jądra są takie same. Wysycanie sił jądrowych w jądrze atomowym pozwala mówić, że w oddziaływaniach n-n o silnie odpychającym rdzeniu, które nie pozwalają się zbliżyć na dowolnie małe odległości nukleonom, ograniczając w ten sposób liczbę najbliższych sąsiadów. Powolny spadek wartości B/A w ciężkich jądrach dla A>60 tłumaczy się w wyniku wzrostu odpychania kolumbowskiego, natomiast stosunek B/A w jądrach lekkich tłumaczy się jako fakt rosnących efektów powierzchniowych. == Energię separacji (wiązania) nukleonu == Dobrą ilustracją wpływu liczb magicznych nukleonów neutronów i protonów jest tzw. energia separacji, czyli znając masy jądra początkowego {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} oraz masę jądra {{Formuła|<MATH>{}^{A-1}_ZX\;</MATH>}} lub {{Formuła|<math> {}^{A-1}_{Z-1}X\;</MATH>}} otrzymanego z {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} przez odłączenie jednego protonu lub neutronu, wtedy te energie, czyli energię separacji neutronu lub protonu możemy wyrazić przez: {{ElastycznyWiersz | 1= {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=M(A-1,Z)+M_n-M(A,Z)\;</MATH>|1.14}} | 2 ={{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=M(A-1,Z-1)+M_p-M(A,Z)\;</MATH>|1.15}} }} Energia ta osiąga maksimum dla magicznych liczb dla protonu lub neutronu. Energii separacji protonu lub neutronu wykazuje przy pewnych liczbach atomowych lokalne skoki odpowiadające zamkniętym powłokom nukleonowych, analogicznie do energii jonizacji dla zamkniętych powłok elektronowych. Sugerowanie analogi powłok elektronowych do powłok nukleonowych sugeruje powstawanie liczb magicznych, że umieszczenie nukleonu poza zamkniętą powłoką sugerowałoby zmniejszenie energii separacji, bo słabsze byłyby wiązania pomiędzy nukleonami. Analogicznie do {{LinkWzór|1.14}} i {{LinkWzór|1.15}} energię wiązania neutronu dla jądra atomowego definiujemy przy pomocy energii wiązań jako różnicę energii wiązania dla ściśle określonego Z, ale po dodaniu do jądra jednego neutronu, wtedy z jądra z A powstaje jądro o liczbie masowej A-1, czyli jest to energia potrzebna do wyrwania energii z jądra atomowego wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z-1)M_n-B(A-1,Z)+M_n-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z)\;</MATH>|1.16}} Energia potrzebna do wyrwania jednego protonu wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=(Z-1)M({}^1_1H)+(A-Z)M_n-B(A-1,Z-1)+M_p-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1)\;</MATH>|1.17}} Energie separacji neutronu lub protony wykazują silne fluktuacje, które nazywamy efektami powłokowymi, a przykłady tychże energii: *{{Formuła|<MATH>S_n({}^2_1\hbox{H})=S_p({}^2_1\hbox{H})=2,2 MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_n({}^{13}_7\hbox{N})= 20,3MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_p({}^{13}_{7}N)=1,9MeV\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_p({}^{14}_{6}C)=20,8MeV\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję neutronu, są to jądra, dla których energia separacji neutronu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_n\leq 0\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję protonu, są to jądra, dla których energia separacji protonu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_p\leq 0\;</MATH>}}. Doświadczalnie wykazano, że istnieje związek dla energii separacji (dwójkowania, pairing) neutronu (n) lub protonu (p), które to piszemy następująco dla N i Z parzystego: {{CentrujWzór | 1 = {{ElastycznyWiersz|1=<MATH>\begin{cases} S_n(N,Z)>S_n(N\pm 1,Z)\\ S_p(Z,N)>S_p(Z\pm 1, N) \end{cases}\;</MATH> | 2 = {{Tekst|&nbsp;gdy&nbsp;&nbsp;}} | 3 = {{ElastycznaKolumna | 1 = {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} | 2 = {{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} }} }}|1.18}} Nukleony w jądrze atomowym są powiązane w pary (p-p), (n,n), ale nie w parę (n,p), których to moment pędu każdej pary wynosi zero, a więc też spin takiego układu jest równy zero, tzn. {{Formuła|<MATH>0^+\;</MATH>}}. == Energie oddziaływania pairing (parowania nukleonów w jądrze atomowym) == Energia parowania w jądrach atomowym jest to energia tylko oddziaływań silnych i jest to oddziaływanie łączące nukleony w pary pp i nn o przeciwnych spinach, są to krótkozasięgowe oddziaływania wysycające się na najbliższym sąsiedzie tego samego rodzaju, dążą by gęstość jądra atomowego dążyła do izotropowego rozkładu materii. Jest to oddziaływanie resztkowe w jądrach. Energie parowania neutronu i protonu są takie same P{{Sub|pp}}&asymp;P{{Sub|nn}}, mieszczą się one w zakresie od 2 do 8 MeV, a wzór na energię parowania w zależności od liczby masowej "A" przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>P={{24}\over{\sqrt{A}}}\mbox{MeV}\;</MATH>|1.19}} Jeśli jądro potraktujemy jako pewien układ, to energię wiązania możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,N)=\underbrace{B_c+B_{sp}(Z,N-1)}_{B(Z,N-1)}+B_{sp}(Z,N)+P_{nn}\;</MATH>|1.20}} Energia parowania nukleonu sparowanego, który definiujemy jako średnią energię dwóch sąsiednich energii separacji względem danego nuklidu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>B_{sp}(Z,N)]={{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.21}} Jeśli wykorzystamy wzór na energie separacji neutronu {{linkWzór|1.16}}, ten wzór wykorzystamy do {{linkWzór|1.20}}, stąd wyprowadzamy energię parowania neutronów: {{CentrujWzór|<math>P_{nn}(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1)-B_{sp}(Z,N)=S_n(A,Z)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.22}} Analogicznie do poprzedniego wzoru możemy wykorzystać wzór na energie separacji protonu {{linkWzór|1.17}} do podobnego wzoru do {{linkWzór|1.20}} (tylko zmienia się Z zamiast N), wtedy w ten sposób definiujemy energię parowania protonów: {{CentrujWzór|<MATH>P_{pp}(Z,N)=S_p(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z-1,N)+S_n(Z+1,N)\right]\;</MATH>|1.23}} Energia wiązania każdego nukleonu połączonej w pary, która jest taka sama w przybliżeniu dla neutronu i protonu, wyraża się: {{CentrujWzór|<math>\Delta_n={{P_{nn}}\over{2}}\simeq\Delta_p={{P_{pp}}\over{2}}\;</MATH>|1.24}} Nazywamy tą energię energią przerwy energetycznej neutronowej &Delta;{{Sub|n}} i protonowej &Delta;{{Sub|p}}, dla którego jak powiedzieliśmy powyżej są w przybliżeniu sobie równe. == Modele jąder atomowych == === Model kroplowy === Model kroplowy jest to inaczej zwany modelem Weizsäcke'a i Bethe'go, która mówi: * gęstość nukleonów w materii jądrowej nie zależy od liczby masowej A, dla którego promień jądra w zależności od liczby masowej i promienia {{Formuła|<MATH>r_0\simeq 1,2\cdot 10^{-13}cm\;</MATH>}} jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>R=r_0A^{{{1}\over{3}}}\;</MATH>|1.25}} Gęstość nukleonów możemy przestawić jako &rho;=0,17 nukl/fm{{Sup|3}}, średni promień jądra atomowego jest wyrażony przez {{Formuła|<MATH>\langle r^2\rangle_{nukl}=0,5fm\;</MATH>}}. * zależność natężenia sił jądrowej jest bardzo podobna do zależności oddziaływania Van der Waalsa działającej w cieczy, * oddziaływania jądrowe wysycają się tak jak wiązania chemiczne, za wyjątkiem jąder lekkich mamy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j\sim A\Rightarrow {{B_j}\over{A}}=\operatorname{const}.\;</MATH>|1.26}} Jądro atomowe opisujemy jako naładowana cząstka o ładunku Q=Ze, która jest nieściśliwą cieczą. Według modelu kroplowego całkowita energia wiązania jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=B_{obj}(A)+B_{pow}(A)+B_{cul}(Z,A)+\underbrace{B_{as}(N,Z)+B_{pairing}}_{\mbox{czlony jądrowe}}\;</math>|1.27}} Model kroplowy opisuje średnie właściwości jąder atomowych i nie uwzględnia jego struktury subtelnej. Ten model należy stosować dla jąder o {{Formuła|<MATH>A\geq30\;</MATH>}}. Dla jąder stabilnych {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} obliczone wartości B(A,Z) zgadzają się z doświadczeniem z błędem ok 2%. ==== Model kroplowy według Weizsöcke'a i Bethe'go ==== Energię wiązania jądra atomowego o liczbie atomowej Z i liczbie masowej A przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,A)=a_{\nu}A-a_{s}A^{{{2}\over{3}}}-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\pm\delta\;</MATH>|1.28}} * człon {{Formuła|<MATH>a_{\nu}A\;</MATH>}} jest to człon objętościowy pochodzący od przyciągania pochodzącymi od oddziaływania między nukleonami, wartość tej stałej stojąca przy liczbie masowej jest równa a{{Sub|&nu;}}=15,85 MeV, ten współczynnik jest miarą średniego wkładu do energii wiązania (stąd znak minus). * człon {{Formuła|<MATH>a_{s}A^{{{2}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon powierzchniowy, nukleony na brzegu mają mniejszą liczbę przyciągających parterów niż nukleony wewnątrz jądra atomowego, liczba nukleonów występujących na powierzchni kuli jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni kuli, stała występująca w tym wzorze jest równa a{{Sub|s}}=18,34 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon kulombowski pochodzących od odpychania miedzy nukleonami, wartość stałej występującej przy tym członie jest równa a{{Sub|c}}=0,71 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\;</MATH>}} jest członem asymetrycznym odzwierciedlających tendencje do ścieżki stabilności N+Z=A=2Z, a stała występująca tutaj jest równa a{{Sub|as}}=92,86 MeV. * człon &delta; człon charakteryzujący stabilność jąder parzysto-parzystych, mniejszą dla jąder parzysto-nieparzystych i nieparzysto-parzystych i jeszcze mniejszą dla jąder nieparzysto-nieparzystych, ten człon jest wyrażony: {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=+&Delta; dla jąder parzysto-parzystych{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=0 dla jądrem A nieparzystych {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=-&Delta; dla jąder nieparzysto-nieparzystych (A parzyste).{{Br}}W powyższych rozważaniach przyjęliśmy, że {{Formuła|<MATH>\Delta=11,46A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy według Myers'a i Świąteckiego ==== Energię wiązania jądra atomowego w tym modelu analogicznie opisujemy jak we wzorze opisujący model kroplowy Weizsöcke'a i Bethe'go. Jak widzimy, energia wiązania jest pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=15,68A-18,56 A^{{{2}\over{3}}}-0,717 Z^2A^{-{{1}\over{3}}}\left(1-1,69A^{-{{2}\over{3}}}\right)-28,1(N-Z)^2A^{-1}\left(1-1,18A^{-{{1}\over{3}}}\right)\pm\delta\mbox{ [MeV]}\;</MATH>|1.29}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>\delta_p=11\cdot A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy- dalsze rozważania ==== Ja widzimy patrząc na wzór {{linkWzór|1.28}} lub na wzór {{linkWzór|1.29}}, które są energiami wiązania nukleonów w jądrze, wyraża się pewną funkcją kwadratową, którą piszemy dla pewnych wyrazów a, b, c: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z)=B(Z,A=\operatorname{const})=aZ^2+bZ+c\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;ale&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;parzystego&nbsp;}}<MATH>c=c_1\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;p-p&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>c=c_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;n-n}}|2.30}} * gdzie: p-p to oznacza parzysto-parzyste, a n-n to nieparzysto-nieparzyste. Model kroplowy opisuje średnie własności jader atomowych, ale nie opisuje jej struktury. Nasz model należy stosować dla jąder atomowych {{Formuła|<MATH>A\geq 30\;</MATH>}}, a dla jąder {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} opisuje je z dokładnością do 2%. === Model gazu Fermiego === Protony i neutrony są to cząstki niezależne, które poruszają się niezależnie wewnątrz kuli o promieniu R=r{{Sub|0}}A{{Sup|1/2}} (patrz: {{LinkWzór|1.25}}), co stanowi, że pomiędzy tymi nukleonami nie ma wzajemnych oddziaływań. Nukleony są to fermiony zajmujące stan najniższy jak tylko możliwe ze względu na zakaz Pauliego bez dostarczania energii zewnątrz, co oznacza, że nukleony nie mogą się zderzać wzajemnie. Nukleony znajdują się w studni potencjału, a na każdym jego stopniu mogą znajdować się co najwyżej dwa nukleony. Energia najniższego poziomu jest to energia Fermiego, co rachunki pokazują, że średnia energia kinetyczna na tym poziomie jest E{{Sub|k}}=30 MeV, czemu odpowiada średni pęd &lt;p&gt;=240 MeV/c, który zwany jest pędem Fermiego. Potwierdzenie pędu Fermiego pokazuje, że zderzenie jego z pociskiem z nukleonami w jądrze atomowym mówi, że pędy nukleonów są rozłożone izotropowo w nim, dlatego ten model jądra atomowego tak jest zwany. === Model powłokowy === Jądra, które nie można opisać za pomocą modelu kroplowego lub modelu gazu Fermiego wskazują, że jeśli kwanty powstałe w wyniku przejścia z jednego poziomu do drugiego są widmami dyskretnymi (liniowymi), co wskazuje na to, że stany w jakim znajdują się protony i neutrony nie są stanami ciągłymi, tylko dyskretnymi. Badanie pewnych jąder wskazują, że w przyrodzie występują nuklidy o pewnych liczbach protonów lub neutronów. Dalsza analiza B/A wskazuje na pewne maksima przy pewnych liczbach protonów i neutronów zwanych liczbami magicznymi. == Energia wiązania jąder atomowych a jego stabilność == {{Rysunek|Isotopes and half-life.svg|ssdwilwwp|Ścieżka stabilności dla wszystkich izotopów znanych lub występujących w przyrodzie. Linia pozioma to oś Z, a pionowa oś N}} Dla jąder izobarycznych najsilniej związane są jądra o najmniejszej masie, izobary te są stabilne ze względu na rozpad &beta; ale mogą być niestabilne ze względu rozpad &alpha;, sf. Nuklidy występująca nad linią Z=N są niestabilne ze względu na rozpad &beta;{{Sup|-}}, a nuklidy znajdujące pod ścieżką stabilności są to nuklidy ze względu na rozpad &beta;{{Sup|+}}. Najcięższe znajdujące się nuklidy są to nuklidy, które podamy w tabelce poniżej w raz czasami ich rozpadu, które są jądrami niestabilnymi ze względu na rozpad &alpha; i samoistnie rozszczepienie: {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego rozpadu'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Skład procentowy występowania danego nuklidu w skład danego pierwiastka w przyrodzie.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{232}_{90}\hbox{Th}</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1,4\cdot 10^{10}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|100%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{234}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>2,5\cdot 10^5\mbox{ lat}\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,005%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>7,0\cdot 10^{8}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,72%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|99,27%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jądra {{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} są używane w energetyce jądrowej. Najcięższym nuklidem stabilnym znanym przez człowieka jest {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}\hbox{Pb}_{126}\;</MATH>}}, których jest w 52,4% wchodzących w skład pierwiastka ołowiu, a także {{Formuła|<MATH>{}^{209}_{83}\hbox{Bi}_{126}\;</maTH>}}, w których jest 100% wchodzących w skład pierwiastka bizmutu. Łącznie odkryto ponad 3000 nuklidów, co większości jąder są jądrami niestabilnymi. === Nuklidy stabilne i niestabilne === Przestawimy teraz tabelkę przedstawiający liczbę jąder stabilnych przy pewnej liczbie protonów i neutronów w jądrze w zależności od ich parzystości lub nieparzystości, dla jąder których czas połowicznego rozpadu jest większy od czasu życia ziemi, dla której czas trwania ziemi jest większy od {{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{lat}\;</MATH>}}: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jadra o nieparzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jądra o parzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Razem'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o nieparzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|54}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o parzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|165}}<!-- -->{{Komórka|220}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Razem'''}}<!-- -->{{Komórka|59}}<!-- -->{{Komórka|215}}<!-- -->{{Komórka|274}}<!-- -->}}<!-- -->}} Najcięższe nuklidy występujące na Ziemi w warunkach naturalnych są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i sf. Jądra stabilne lekkie to są dla {{Formuła|<MATH>N\simeq Z\;</MATH>}}, a ciężkie {{Formuła|<MATH>N\simeq 1,5Z\;</MATH>}}. Znanymi nuklidami nieparzysto-nieparzystych są to nuklidy:{{Formuła|<MATH>{}^2_{1}D_{1}\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^6_3Li_3\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{10}_8B</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N\;</MATH>}}. Teraz podamy tabelkę superciężkich nuklidów wytwarzanych w laboratorium wraz z niektórymi reakcjami syntezy tychże jąder. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Rok odkrycia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego życia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Reakcja uzyskania danego nuklidu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1996 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{269}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|170&mu;s}}<!-- -->{{Komórka||}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{271}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,1 ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{272}111\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,5&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1998/99 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{277}{112}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,24ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{283}112\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|81s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{289}114\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|30s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{48}_{20}Ca+{}^{244}_{94}Pu\rightarrow {}^{289}114+3n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|1999rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{289}116\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,2s}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{293}118\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|250&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{86}_{36}Kr+{}^{208}_{82}Pb\rightarrow{}^{293}118+n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Reguła Mattaucha (z doświadczenia) === Jeśli energie wiązania jądra atomowego {{linkWzór|1.6}} (w której występuje wielkość niedoboru masy {{LinkWzór|1.5}}) przedstawimy jako funkcję zmiennej Z dla jąder izobarycznych, ale dla A nieparzystego energię wiązania jądra atomowego układają się w parabolę, w której wystepuje jeden izotop (izobar) stabilny. Gdy natomiast A jest parzyste, to energia wiązania układa się w dwie parabole odpowiadające izobarom p-p, n-n, w tym przypadku może być więcej niż jeden izobar stabilny, a tych izobarów niestabilnych może być aż trzy. Pozostałe izobary (niestabilne) są niestabilne ze względu na rozpady &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC. {{ElastycznyWiersz | styl = width:auto;float:right;margin-left:10px | 1 = {{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_102.png|mjoulma|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;102|pozycja=center}} | 2 = {{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_135.png|mjoulm135b|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;135|pozycja=center}} }} Dla rysunków podano masy jąder atomowych w MeV w zależności od liczby atomowej jako przykład dla jądra o A parzystego, w której występują dwie gałęzie paraboli, a także podano następny przykład dla jądra A nieparzystego, w której występuje jedna gałąź paraboli. Liczbę Z{{Sub|0}} dla której funkcja B(Z,A=const) osiąga maksimum względem Z, podobnie przy M(Z,A=const) osiąga minimum względem Z, możemy obliczyć z: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial B(Z,A)}\over{\partial Z}}\right)_{A=\operatorname{const}}=0\;</MATH>|1.23a}} i zgodnie ze wzorem Weizsäcker'a, gdy funkcja B(Z,A) jest przestawiona wzorem {{linkWzór|1.20}}, to maksimum funkcji energii wiązania jądra atomowego jest określona dla liczby atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z_0={{A}\over{1,98+0,015A^{{{2}\over{3}} }}}\;</MATH>|1.31}} Widzimy, że maksimum funkcji B(Z,A=const) jest zależne tylko od liczby masowej A. Możemy napisać dla ścieżki stabilności ze względu na rozpad &beta; wzór empiryczny Greena: {{CentrujWzór|<MATH>(N-Z)_{\beta\operatorname{ stabilne}}={{0,4A^2}\over{A+200}}</MATH>|1.23b}} == Rozpraszania wysokoenergetycznych cząstek e, p, n i innych cząstek na jądrze atomowym == Cząstki e, p, n te są traktowane jako sondy wynikające do wnętrza jąder. Ich kąt rozproszenia &theta; będzie uwarunkowany rozkładem gęstości centrów rozpraszających w jądrze, który uwarunkowany jest rozkładem masy i ładunków w naszym badanym obiekcie. Do badania rozkładu ładunku elektrycznego najlepiej do tego służą elektrony, ponieważ one kulombowsko oddziaływają z protonami, a więc daje ta metoda czystą informację o rozkładzie ładunku elektrycznego w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r). Relacje rozpraszania neutronów na jądrach atomowych dostarczają o rozkładzie masy w jądrze &rho;{{Sub|m}}(r). Realizacja tego projektu jest bardzo kłopotliwa ze względu na trudności z uzyskania wysokoenergetycznych neutronów. Relacje rozpraszanie protonów p są najtrudniejsze do interpretacji wyników doświadczalnych, gdyż oddziaływają one z jądrem atomowym ze względu na to, że ten obiekt posiada ładunek elektryczny, czyli oddziałuje kulombowsko odpychająco z jądrem atomowym i też za pomocą sił jądrowych i takie rozpraszanie dostarcza zarówno informacje o rozkładzie masy i ładunku wewnątrz jądra. {{Rysunek|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy).png|rcnprlm|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy)}} Aby cząstka mogła wniknąć do jądra atomowego, to powinna mieć długość fali de Broglie'a odpowiednio małą do rozmiarów badanego jądra. Przelicznik długości fali w zależności od jej energii padającej na jądro atomowe wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_e={{200}\over{E_e(MeV)}}fm\;</MATH>|1.32}} * dla {{Formuła|<MATH>E_e=500MeV\;</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>\lambda_e=0,4fm\;</MATH>}}. Jeśli ładunek byłby skupiony w jednym punkcie, to różniczkowy przekrój czynny dla cząstek o energii E na jądrach o liczbie atomowej Z jest napisany wzorem Motta: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}\right)_M=\left({{Ze^2}\over{2E_e}}\right)^2{{\cos^2{{\theta}\over{2}}}\over{\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+{{2E_e}\over{m_ec^2}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\right)\;</MATH>|1.33}} Jeśli uwzględnimy rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego w rzeczywistym jądrze atomowym, to według przybliżenia Borna pierwszego rzędu (mały ładunek jądra atomowego) piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}=\left({{d\sigma(E_c)}\over{d\Omega}}\right)_M|F(q)|^2\;</MATH>|1.34}} Tzn. wzór Motta ulega modyfikacji przy udziale czynnika kształtującego, który zależy od gęstości ładunku w tymże obiekcie wiedząc, że q jest pędem przekazywanym jądru (w jednostkach {{Formuła|<MATH>\hbar\;</MATH>}}) w wyniku zderzeń: {{CentrujWzór|<MATH>F(q)={{4\pi}\over{Zeq}}\int_0^{\infty}\rho_e(r)\sin(qr)rdr\;</MATH>|1.35}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> i7dx499j4ras9z9z01q2s55w6ahqt40 558646 558645 2026-10-05T00:52:10Z Persino 2851 /* Energię separacji (wiązania) nukleonu */ 558646 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Etap współczesny == Według stanu obecnego fizykę dzielimy na działy: '''jądra atomowego''', '''cząstek elementarnych''' i '''kosmosu''' (chodzi tutaj o strukturę i teorię powstania wszechświata). W wyniku rozwoju techniki eksperymentalnej, tzn. akceleratorów, detektorów, elektroniki i komputerów, badano własności jąder atomowych i strukturę materii w wysokoenergetycznych wiązkach akceleratorowych p, e{{Sup|-}} i e{{Sup|+}} i innych cząstek, i w promieniowaniu kosmicznym. Nuklidami nazywamy jądra o ściśle określonej liczbie atomowej Z i masowej A. Odkryto ponad 3000 nuklidów (Z=od 1 do 118), 150 obiektów (cząstek) początkowo traktowanych jako cząstki elementarne. W 1964 r. Badano strukturę hadronów. M. Gell-Mann i G. Zweig postulowali, że te właśnie cząstki są złożone z trzech kwarków i jest to model kwarkowy hadronów. W latach siedemdziesiątych trzy kwarki już nie wystarczają do opisu nowych hadronów, rozwija się teoria oddziaływań silnych QCD. Odkryto sześć leptonów i sześć kwarków wraz z ich antycząstkami, które różnią się ''zapachem'' i ''kolorem'', w sumie tworzą trzy generacje. Cząstki złożone z trzech kwarków są bezbarwne. Każdy kwark występuje w trzech kolorach (w stanach kolorowych), charakteryzujących się elektrycznym ładunkiem ujemnym (-1/3)e lub ładunkiem dodatnim (2/3)e. Kwarki oddziałują ze sobą przy pomocy gluonów, które są bozonami o masie spoczynkowej równej zero i ładunku zerowym, ale mają ładunek kolorowy, ale występujących w ośmiu kolorach. Kwarki i gluony są uwięzione w hadronach, z których na przykład proton składa się z trzech kwarków (u,u,d): (2/3+2/3-1/3)e=e. Podobnie neutron składa z trzech kwarków (ddu): (-1/3-1/3+2/3)e=0. Mezony natomiast składają się z dwóch kwarków (kwark + antykwark). == Model standardowy materii == Cząstki fundamentalne składają się z sześciu leptonów i sześciu kwarków wraz z ich antycząstkami. Kwantową teorię pola elektromagnetycznego oraz słabego możemy połączyć w oddziaływanie elektrosłabe, model oddziaływania silnego i elektrosłabego możemy połączyć w model standardowy. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Podstawowe cząstki elementarne w fizyce cząstek elementarnych'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino elektronowe}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH><7\cdot 10^{-9}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|Elektron}}<!-- -->{{Komórka|0,0005111}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\mu}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino mionowe}}<!-- -->{{Komórka|<0,0003}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\mu^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Mion}}<!-- -->{{Komórka|0,106}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\tau}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino taonowe}}<!-- -->{{Komórka|<0.03}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\tau^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Taon}}<!-- -->{{Komórka|1.7771}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}<!-- -->}} W poniższej tabelce pokazaliśmy powierzchowne informacje o kwarkach, których jest sześć i których ładunki są ułamkowe, tzn. ich ładunki są oznaczane przez (+2/3)e i przez (-1/3)e. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Kwarki w modelu standardowym '''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|&mu;}}<!-- -->{{Komórka|górny}}<!-- -->{{Komórka|0,005}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|d}}<!-- -->{{Komórka|dolny}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|c}}<!-- -->{{Komórka|powabny}}<!-- -->{{Komórka|1.5}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|s}}<!-- -->{{Komórka|dziwny}}<!-- -->{{Komórka|0,2}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|t}}<!-- -->{{Komórka|szczytowy, wysoki, prawdziwy}}<!-- -->{{Komórka|180}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|b}}<!-- -->{{Komórka|piękny, niski}}<!-- -->{{Komórka|4,7}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli traktować, że 1 (jedynka) to jest 10{{Sup|-18}}m, to elektron ma wielkość mniejszą od jedynki, kwark o rozmiarach 10{{Sup|-18}}m ma rząd równy jedynce, proton ma wielkość równą 1000 (on ma rozmiary w metrach 10{{Sup|-15}}m), jądro ma wielkość 10000 o rozmiarach 10{{Sup|-14}}m, a atom ma wielkość 100000000 o rozmiarach 10{{Sup|-10}}m. Atomy, jądra i nukleony nie są kulami to jest tylko rząd wielkości. Elektron ma rozmiary bardzo małe i dlatego nie mówi się o rozmiarach elektronów. == Jądra atomowe == Jądra składają się z protonów i neutronów, gdzie liczba protonów wynosi Z (liczba porządkowa atomu), liczba neutronów N, a liczbę masową oznaczamy przez A, która jest równa licznie neutronów N i liczbie atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>A=N+Z\;</MATH>|1.1}} Ogólnie symbol pierwiastka oznaczamy jak poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_Z\hbox{X}_N\;</MATH>|1.2}} Przykładem jąder atomowych są: * {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}U\;</MATH>}}. Jądra atomowe dzielimy ze względu na liczbę atomową (liczbę protonów) Z, masową A i liczbę neutronów w jądrze N. * '''Izotopy''', których liczba atomowa Z jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}. * '''Izotony''', których liczba neutronów N w jądrze jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}. * '''Izobary''', których liczba protonów i neutronów razem wziętych jest wielkością stałą, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_2He\;</MATH>}}. Jądra dzielimy też ze względu na liczbę nukleonów w jądrze na: * '''Jądra parzyste''', w których A jest parzyste, ale Z i N też są liczbami parzystymi. * '''Jądra nieparzyste''', w których liczba masowa A jest liczbą nieparzystą. Ze względu na stabilność dzielimy je na: * '''jądra stabilne''', których znamy 274 w tym 215 jąder typu p-p (parzysto-parzyste) i 4 typu n-n (nieparzysto-nieparzyste). * '''jądra niestabilne''', są to jądra promieniotwórcze ze względu na rozpad &alpha;,&beta;, sf i emisję nukleonów. == Nuklid == Jest to atom o określonej liczbie atomowej (A,Z). Przykładem są nuklidy pierwiastka wodoru {{Formuła|<MATH>H, \mbox{ czyli }{}_1^1H, {}_1^2H,{}_1^3H.\;</MATH>}}. == Siły jądrowe == {{Rysunek|SMFc1.JPG|csj|Charakter sił jądrowych}} Nukleony w jądrze są związane siłami jądrowymi, które są wynikiem sił oddziaływania silnego, mającego krótki zasięg {{Formuła|<MATH>(\leq 2\cdot 10^{-15}m)\;</MATH>}}. Te siły nie zależą od rodzaju nukleonów, z którymi mamy doczynienia. Potencjał omawianego tutaj oddziaływania zależy od współrzędnej radialnej, jeśli przedstawić oddziaływanie silne w układzie współrzędnych kulistym V=V(r). Stała sprzężenia oddziaływania silnego wynosi {{Formuła|<MATH>\alpha_s\simeq 1\;</MATH>}}. Oddziaływania te ulegają wysycaniu. Przykłady stałej sprzężenia dla innych oddziaływań są: * pole grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\alpha\simeq 5.6\cdot 10^{-39}\;</MATH>}}, * oddziaływanie słabe {{Formuła|<MATH>\alpha_{sl}\simeq 1\cdot 10^{-5}\;</MATH>}}, * oddziaływanie elektromagnetyczne {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{137}}\;</MATH>}}. == Masa i energia wiązania jąder atomowych i nuklidów == Masę atomową nuklidów wyrażamy w jednostkach masy atomowej, która według definicji jest równa 1/12 masy atomu węgla {{Formuła|<MATH>{}^{12}_6C\;</MATH>}}, co schematycznie możemy przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>1u={{1}\over{12}}M({}^{12}_6C)=1,66\cdot 10^{-24}g=931,5016(3)MeV/c^2\;</MATH>|1.3}} Masę protonu, neutronu, a także elektronów piszemy w jednostkach masy atomowej, które to przeliczamy na energię (będąca równoważna z masą): * {{Formuła|<MATH>m_p=1,007276470(11)u=938,2796(27)MeV/c^2\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_n=1,008665012(37)u=939,5731(27)MeV\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_e=5,4858026(21)\cdot 10^{-4}u=0,5110034(14)MeV/C^2\;</MATH>}} Różnica masy neutrony i protonu jest równa dwa i pół masy elektronu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>m_n-m_p\simeq 1.29MeV\simeq 2.5m_e\;</MATH>|1.4a}} Neutron swobodny jest cząstką nietrwałą o czasie połowicznego zaniku równym T{{Sub|1/2}}=10,6m i on rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe wedle: {{CentrujWzór|<MATH>n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e (\mbox{rozpad }\beta^-)\;</MATH>|1.4}} == Budowa jądra atomowego i jego energia wiązania == Znając masy protonu, neutronu, elektronu i atomów można by oczekiwać, że po zsumowaniu mas Z protonów, N neutronów i Z elektronów ich suma będzie równa masie atomu. Rzeczywistość jest jednak inna, masa atomu jądra atomowego jest mniejsza niż oczekiwana. Niedobór masy można napisać według jego definicji: {{CentrujWzór|<MATH>Zm_p+(A-Z)m_n+Zm_e-M_a=\Delta M\;</MATH>|1.5}} Przy łączeniu cząstek wchodzących w skład atomu wydziela się pewna energia, którą można opisać z równoważności masy i energii: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=\Delta Mc^2\;</MATH>|1.6}} Do rozkładu jądra na składniki należy dostarczyć jądru energię równą {{LinkWzór|1.6}}, którą tutaj oznaczymy przez B(A,Z). Każdy atom składa się z jądra i elektronów, a jądro atomowe składa się z neutronów i protonów. Masa jądra nie jest sumą mas jego składników, tzn. protonów i neutronów. Energia wiązania jądra atomowego, w takim przypadku nazywamy różnicę sumy mas poszczególnych składników wchodzących w skład jądra atomowego i masy jądra, jest ona równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.7}} Masa elektronu jest bardzo mała, można więc masę protonu zastąpić przez masę atomu wodoru, wtedy wzór {{LinkWzór|1.5}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_H+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.8}} * gdzie M{{Sub|a}} jest masą jądra atomowego, już po połączeniu nukleonów w skład jądra atomowego. Znając defekt masy jądra atomowego w unitach możemy policzyć masę jądra przedstawionych w MeV: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=B(A,Z)=\Delta M\cdot 931{{MeV}\over{u}}\;</MATH>|1.9}} Energia wiązania jądra w przypadku atomu helu wynosi: B(A,Z)=28,39 MeV. Wyzwalana jest w trakcie powstawania jądra atomowego helu z czterech nukleonów (dwa neutrony i dwa protony). Można policzyć, że podczas powstawania 1 kg helu zostaje wyzwolona energia równa spaleniu 25 000 ton węgla. Znając energię wiązania B(A,Z) {{linkWzór|1.9}} możemy policzyć średnią energię przypadająca na jedno wiązanie, która jest ilorazem energii wiązania przez liczbę masową A, i wynosi ona: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{E}(A,Z)={{B(A,Z)}\over{A}}\;</MATH>|1.10}} Im większa jest energia średnia wiązania atomu, tym bardziej jądro jest trwalsze, tzn. należy dostarczyć więcej energii by rozłożyć atom na składniki. === Masa jądra atomowego === Masę jądra atomowego możemy wyliczyć znając masę neutronu i protonu, a także energię wiązania nukleonów jądra atomowego na podstawie wzoru {{linkWzór|1.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.11}} W tablicach są podane masy nuklidów (M(A,Z) (lub energie wiązania jądra z elektronami), które możemy wyrazić: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=M_j(A,Z)+Zm_e-B(elektr.)\;</MATH>|1.11a}} Energia wiązania jądra z elektronami wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(elektr.)\simeq (0,01Z)^{2,5}MeV\;</MATH>|1.11b}} Energia wiązania dla jądra elektronu z jądrem wodoru wyrażamy wzorem {{Formuła|<MATH>B(elektr.)=B({}^1_1H)=({}^1_1H)=({}^1_1H)=13,6eV\;</MATH>}}, a według wzoru {{LinkWzór|1.11b}} wynosi {{Formuła|<MATH>B({}^1_1H)=({}^1_1H)\simeq 10eV\;</MATH>}}. Ponieważ masa jądra atomu praktycznie się nie różni od masy całego atomu (jądra z krążącymi wokół elektronami), zatem masę protonu możemy zastąpić przez masę wodoru {{Formuła|<MATH>{}^1_1\hbox{H}\;</MATH>}}, co schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.12}} * gdzie B(A,Z) jest to energia wiązania nuklidów. Dla jąder izobarycznych jądrami najbardziej stabilnymi są te o największej energii wiązania i są one stabilne ze względu na rozpady &beta;, podczas gdy mogą one być niestabilne ze względu na rozpad &alpha;, sf. === Odchylenie masy (mass excess) === Odchyleniem masy nazywamy różnicę masy jądra atomowego {{linkWzór|1.11}} w unitach i liczby masowej pomnożonej przez unity: {{CentrujWzór|<MATH>ME(A,Z)=\left({{M(A,Z)}\over{u}}-A\right)u\;</MATH>|1.13}} Co wzór {{linkWzór|1.13}} możemy wyrazić nie tylko w w unitach, czyli w jednostkach masy atomowej, ale też ją zwykle wyrażamy w jednostkach energii MeV korzystając z przelicznika {{LinkWzór|1.9}}. Energia wiązania B(A,Z) decyduje o stabilności w zależności na naturalne rozpady &beta; &alpha;, sf, itp. W zbiorze jąder izobarycznych o danym A jądra o największej energii wiązania są stabilne ze względu na rozpady &beta;, te jądra mogą być również ze względu na rozpad &alpha;, sf. == Średnia energia wiązania nukleonów == {{Rysunek|Binding energy curve - common isotopes-pl.svg|sew|Średnia energia wiązania}} Jak można zauważyć według rysunku obok, że średnia energia wiązania jąder atomowych {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.4}} rośnie w obszarze jąder lekkich wykazując lokalne maksima przy A=4,8,12,16,.... * W pobliżu A=60 uzyskuje płaskie maksimum E{{Sup|max}}=8.8MeV. * Powoli maleje dla dużych A>60 osiągając w końcu energię E{{Sup|ciężkie}}=7.6MeV * Wykazuje lokalne wzrosty dla liczby Z lub '''N=2,8,20,(28),50,(64),82,126''', które to nazywamy liczbami magicznymi. Jadrami podwójnie magicznymi są to jądra opisane jako: * {{Formuła|<MATH>{}^4_2He_2\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{16}_8 O_8\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{40}_{20}Ca_{20}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{132}_{50}Sn_{82}\;</MATH>}}, &nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{146}_{(64)}Gd_{82}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb_{126}\;</MATH>}}. Wysycanie sił jądrowych powodowane jest przez istnienie oddziaływań n-n silnie odpychającego rdzenia, które nie pozwalają zbliżyć nukleonom na dowolnie bliskie odległości, co jest powodem ograniczania liczbę sąsiadów danego nukleonu. Powolny spadek B/A dla A>60 występuje w wyniku wzrostu odpychania kulombowskiego protonów, natomiast spadek B/A dla jąder lekkich tłumaczy się rosnącą rolę efektów powierzchniowych, które są istotne dla małych jąder atomowych. == Materia jądrowa (rozkłady gęstości ładunku i masy atomowej) == Jądra są obiektami fizycznymi związane ze sobą siłami jądrowymi o skończonym zasięgu, które są niezależne od rodzaju nukleonu. Można więc przypuszczać, że jądra atomowe są układami o skończonym zasięgu, a jego brzeg jest niezbyt rozmyty. Energia przypadająca na jednej nukleon w jądrze nie zależy od rodzaju nukleonu i jest niemal stała i wynosi około 8MeV, co świadczy, że siły jądrowe mają właściwość wysycania, czyli każdy przeciętny nukleon jest związany z jego najbliższymi nukleonami. W ciężkich jądrach stosunek B/A jest taki sam w jak cząstce &alpha; i wynosi B{{Sub|&alpha;}}=28,39MeV, w której na każdy nukleon przypadają trzy wiązania, stąd można przepuszczać, że na jeden nukleon przypada najwięcej trzy wiązania jakie tworzy. Można policzyć, że przy wiązaniu 1 kg helu (&alpha;) ({{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}) jest wytwarzana energia równa przy spalaniu 2500 ton węgla. Następstwem wysycania sił jądrowych, w których występuje niezależność ich od rodzaju nukleonu i zakazu Pauliego, jest prawie stała objętość przypadająca na jeden nukleon, co z {{linkWzór|1.10}} wynika {{Formuła|<MATH>V\sim A\;</MATH>}} i zachodzi {{LinkWzór|1.25}} oraz można przypuszczać, że rozkłady materii wewnątrz jądra są takie same. Wysycanie sił jądrowych w jądrze atomowym pozwala mówić, że w oddziaływaniach n-n o silnie odpychającym rdzeniu, które nie pozwalają się zbliżyć na dowolnie małe odległości nukleonom, ograniczając w ten sposób liczbę najbliższych sąsiadów. Powolny spadek wartości B/A w ciężkich jądrach dla A>60 tłumaczy się w wyniku wzrostu odpychania kolumbowskiego, natomiast stosunek B/A w jądrach lekkich tłumaczy się jako fakt rosnących efektów powierzchniowych. == Energię separacji (wiązania) nukleonu == Dobrą ilustracją wpływu liczb magicznych nukleonów neutronów i protonów jest tzw. energia separacji, czyli znając masy jądra początkowego {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} oraz masę jądra {{Formuła|<MATH>{}^{A-1}_ZX\;</MATH>}} lub {{Formuła|<math> {}^{A-1}_{Z-1}X\;</MATH>}} otrzymanego z {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} przez odłączenie jednego protonu lub neutronu, wtedy te energie, czyli energię separacji neutronu lub protonu możemy wyrazić przez: {{ElastycznyWiersz | 1= {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=M(A-1,Z)+M_n-M(A,Z)\;</MATH>|1.14}} | 2 ={{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=M(A-1,Z-1)+M_p-M(A,Z)\;</MATH>|1.15}} }} Energia ta osiąga maksimum dla magicznych liczb dla protonu lub neutronu. Energii separacji protonu lub neutronu wykazuje przy pewnych liczbach atomowych lokalne skoki odpowiadające zamkniętym powłokom nukleonowych, analogicznie do energii jonizacji dla zamkniętych powłok elektronowych. Sugerowanie analogi powłok elektronowych do powłok nukleonowych sugeruje powstawanie liczb magicznych, że umieszczenie nukleonu poza zamkniętą powłoką sugerowałoby zmniejszenie energii separacji, bo słabsze byłyby wiązania pomiędzy nukleonami. Analogicznie do {{LinkWzór|1.14}} i {{LinkWzór|1.15}} energię wiązania neutronu dla jądra atomowego definiujemy przy pomocy energii wiązań jako różnicę energii wiązania dla ściśle określonego Z, ale po dodaniu do jądra jednego neutronu, wtedy z jądra z A powstaje jądro o liczbie masowej A-1, czyli jest to energia potrzebna do wyrwania energii z jądra atomowego wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z-1)M_n-B(A-1,Z)+M_n-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z)\;</MATH>|1.16}} Energia potrzebna do wyrwania jednego protonu wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=(Z-1)M({}^1_1H)+(A-Z)M_n-B(A-1,Z-1)+M_p-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1)\;</MATH>|1.17}} Energie separacji neutronu lub protony wykazują silne fluktuacje, które nazywamy efektami powłokowymi, a przykłady tychże energii: *{{Formuła|<MATH>S_n({}^2_1\hbox{H})=S_p({}^2_1\hbox{H})=2,2 MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_n({}^{13}_7\hbox{N})= 20,3MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_p({}^{13}_{7}N)=1,9MeV\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_p({}^{14}_{6}C)=20,8MeV\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję neutronu, są to jądra, dla których energia separacji neutronu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_n\leq 0\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję protonu, są to jądra, dla których energia separacji protonu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_p\leq 0\;</MATH>}}. Doświadczalnie wykazano, że istnieje związek dla energii separacji (dwójkowania, pairing) neutronu (n) lub protonu (p), które to piszemy następująco dla N i Z parzystego: {{CentrujWzór | 1 = {{ElastycznyWiersz |1=<MATH>\begin{cases} S_n(N,Z)>S_n(N\pm 1,Z)\\ S_p(Z,N)>S_p(Z\pm 1, N) \end{cases}\;</MATH> | 2 = {{Tekst|&nbsp;gdy&nbsp;&nbsp;}} | 3 = {{ElastycznaKolumna | 1 = {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} | 2 = {{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} }} }} |1.18}} Nukleony w jądrze atomowym są powiązane w pary (p-p), (n,n), ale nie w parę (n,p), których to moment pędu każdej pary wynosi zero, a więc też spin takiego układu jest równy zero, tzn. {{Formuła|<MATH>0^+\;</MATH>}}. == Energie oddziaływania pairing (parowania nukleonów w jądrze atomowym) == Energia parowania w jądrach atomowym jest to energia tylko oddziaływań silnych i jest to oddziaływanie łączące nukleony w pary pp i nn o przeciwnych spinach, są to krótkozasięgowe oddziaływania wysycające się na najbliższym sąsiedzie tego samego rodzaju, dążą by gęstość jądra atomowego dążyła do izotropowego rozkładu materii. Jest to oddziaływanie resztkowe w jądrach. Energie parowania neutronu i protonu są takie same P{{Sub|pp}}&asymp;P{{Sub|nn}}, mieszczą się one w zakresie od 2 do 8 MeV, a wzór na energię parowania w zależności od liczby masowej "A" przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>P={{24}\over{\sqrt{A}}}\mbox{MeV}\;</MATH>|1.19}} Jeśli jądro potraktujemy jako pewien układ, to energię wiązania możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,N)=\underbrace{B_c+B_{sp}(Z,N-1)}_{B(Z,N-1)}+B_{sp}(Z,N)+P_{nn}\;</MATH>|1.20}} Energia parowania nukleonu sparowanego, który definiujemy jako średnią energię dwóch sąsiednich energii separacji względem danego nuklidu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>B_{sp}(Z,N)]={{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.21}} Jeśli wykorzystamy wzór na energie separacji neutronu {{linkWzór|1.16}}, ten wzór wykorzystamy do {{linkWzór|1.20}}, stąd wyprowadzamy energię parowania neutronów: {{CentrujWzór|<math>P_{nn}(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1)-B_{sp}(Z,N)=S_n(A,Z)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.22}} Analogicznie do poprzedniego wzoru możemy wykorzystać wzór na energie separacji protonu {{linkWzór|1.17}} do podobnego wzoru do {{linkWzór|1.20}} (tylko zmienia się Z zamiast N), wtedy w ten sposób definiujemy energię parowania protonów: {{CentrujWzór|<MATH>P_{pp}(Z,N)=S_p(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z-1,N)+S_n(Z+1,N)\right]\;</MATH>|1.23}} Energia wiązania każdego nukleonu połączonej w pary, która jest taka sama w przybliżeniu dla neutronu i protonu, wyraża się: {{CentrujWzór|<math>\Delta_n={{P_{nn}}\over{2}}\simeq\Delta_p={{P_{pp}}\over{2}}\;</MATH>|1.24}} Nazywamy tą energię energią przerwy energetycznej neutronowej &Delta;{{Sub|n}} i protonowej &Delta;{{Sub|p}}, dla którego jak powiedzieliśmy powyżej są w przybliżeniu sobie równe. == Modele jąder atomowych == === Model kroplowy === Model kroplowy jest to inaczej zwany modelem Weizsäcke'a i Bethe'go, która mówi: * gęstość nukleonów w materii jądrowej nie zależy od liczby masowej A, dla którego promień jądra w zależności od liczby masowej i promienia {{Formuła|<MATH>r_0\simeq 1,2\cdot 10^{-13}cm\;</MATH>}} jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>R=r_0A^{{{1}\over{3}}}\;</MATH>|1.25}} Gęstość nukleonów możemy przestawić jako &rho;=0,17 nukl/fm{{Sup|3}}, średni promień jądra atomowego jest wyrażony przez {{Formuła|<MATH>\langle r^2\rangle_{nukl}=0,5fm\;</MATH>}}. * zależność natężenia sił jądrowej jest bardzo podobna do zależności oddziaływania Van der Waalsa działającej w cieczy, * oddziaływania jądrowe wysycają się tak jak wiązania chemiczne, za wyjątkiem jąder lekkich mamy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j\sim A\Rightarrow {{B_j}\over{A}}=\operatorname{const}.\;</MATH>|1.26}} Jądro atomowe opisujemy jako naładowana cząstka o ładunku Q=Ze, która jest nieściśliwą cieczą. Według modelu kroplowego całkowita energia wiązania jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=B_{obj}(A)+B_{pow}(A)+B_{cul}(Z,A)+\underbrace{B_{as}(N,Z)+B_{pairing}}_{\mbox{czlony jądrowe}}\;</math>|1.27}} Model kroplowy opisuje średnie właściwości jąder atomowych i nie uwzględnia jego struktury subtelnej. Ten model należy stosować dla jąder o {{Formuła|<MATH>A\geq30\;</MATH>}}. Dla jąder stabilnych {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} obliczone wartości B(A,Z) zgadzają się z doświadczeniem z błędem ok 2%. ==== Model kroplowy według Weizsöcke'a i Bethe'go ==== Energię wiązania jądra atomowego o liczbie atomowej Z i liczbie masowej A przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,A)=a_{\nu}A-a_{s}A^{{{2}\over{3}}}-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\pm\delta\;</MATH>|1.28}} * człon {{Formuła|<MATH>a_{\nu}A\;</MATH>}} jest to człon objętościowy pochodzący od przyciągania pochodzącymi od oddziaływania między nukleonami, wartość tej stałej stojąca przy liczbie masowej jest równa a{{Sub|&nu;}}=15,85 MeV, ten współczynnik jest miarą średniego wkładu do energii wiązania (stąd znak minus). * człon {{Formuła|<MATH>a_{s}A^{{{2}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon powierzchniowy, nukleony na brzegu mają mniejszą liczbę przyciągających parterów niż nukleony wewnątrz jądra atomowego, liczba nukleonów występujących na powierzchni kuli jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni kuli, stała występująca w tym wzorze jest równa a{{Sub|s}}=18,34 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon kulombowski pochodzących od odpychania miedzy nukleonami, wartość stałej występującej przy tym członie jest równa a{{Sub|c}}=0,71 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\;</MATH>}} jest członem asymetrycznym odzwierciedlających tendencje do ścieżki stabilności N+Z=A=2Z, a stała występująca tutaj jest równa a{{Sub|as}}=92,86 MeV. * człon &delta; człon charakteryzujący stabilność jąder parzysto-parzystych, mniejszą dla jąder parzysto-nieparzystych i nieparzysto-parzystych i jeszcze mniejszą dla jąder nieparzysto-nieparzystych, ten człon jest wyrażony: {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=+&Delta; dla jąder parzysto-parzystych{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=0 dla jądrem A nieparzystych {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=-&Delta; dla jąder nieparzysto-nieparzystych (A parzyste).{{Br}}W powyższych rozważaniach przyjęliśmy, że {{Formuła|<MATH>\Delta=11,46A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy według Myers'a i Świąteckiego ==== Energię wiązania jądra atomowego w tym modelu analogicznie opisujemy jak we wzorze opisujący model kroplowy Weizsöcke'a i Bethe'go. Jak widzimy, energia wiązania jest pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=15,68A-18,56 A^{{{2}\over{3}}}-0,717 Z^2A^{-{{1}\over{3}}}\left(1-1,69A^{-{{2}\over{3}}}\right)-28,1(N-Z)^2A^{-1}\left(1-1,18A^{-{{1}\over{3}}}\right)\pm\delta\mbox{ [MeV]}\;</MATH>|1.29}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>\delta_p=11\cdot A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy- dalsze rozważania ==== Ja widzimy patrząc na wzór {{linkWzór|1.28}} lub na wzór {{linkWzór|1.29}}, które są energiami wiązania nukleonów w jądrze, wyraża się pewną funkcją kwadratową, którą piszemy dla pewnych wyrazów a, b, c: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z)=B(Z,A=\operatorname{const})=aZ^2+bZ+c\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;ale&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;parzystego&nbsp;}}<MATH>c=c_1\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;p-p&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>c=c_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;n-n}}|2.30}} * gdzie: p-p to oznacza parzysto-parzyste, a n-n to nieparzysto-nieparzyste. Model kroplowy opisuje średnie własności jader atomowych, ale nie opisuje jej struktury. Nasz model należy stosować dla jąder atomowych {{Formuła|<MATH>A\geq 30\;</MATH>}}, a dla jąder {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} opisuje je z dokładnością do 2%. === Model gazu Fermiego === Protony i neutrony są to cząstki niezależne, które poruszają się niezależnie wewnątrz kuli o promieniu R=r{{Sub|0}}A{{Sup|1/2}} (patrz: {{LinkWzór|1.25}}), co stanowi, że pomiędzy tymi nukleonami nie ma wzajemnych oddziaływań. Nukleony są to fermiony zajmujące stan najniższy jak tylko możliwe ze względu na zakaz Pauliego bez dostarczania energii zewnątrz, co oznacza, że nukleony nie mogą się zderzać wzajemnie. Nukleony znajdują się w studni potencjału, a na każdym jego stopniu mogą znajdować się co najwyżej dwa nukleony. Energia najniższego poziomu jest to energia Fermiego, co rachunki pokazują, że średnia energia kinetyczna na tym poziomie jest E{{Sub|k}}=30 MeV, czemu odpowiada średni pęd &lt;p&gt;=240 MeV/c, który zwany jest pędem Fermiego. Potwierdzenie pędu Fermiego pokazuje, że zderzenie jego z pociskiem z nukleonami w jądrze atomowym mówi, że pędy nukleonów są rozłożone izotropowo w nim, dlatego ten model jądra atomowego tak jest zwany. === Model powłokowy === Jądra, które nie można opisać za pomocą modelu kroplowego lub modelu gazu Fermiego wskazują, że jeśli kwanty powstałe w wyniku przejścia z jednego poziomu do drugiego są widmami dyskretnymi (liniowymi), co wskazuje na to, że stany w jakim znajdują się protony i neutrony nie są stanami ciągłymi, tylko dyskretnymi. Badanie pewnych jąder wskazują, że w przyrodzie występują nuklidy o pewnych liczbach protonów lub neutronów. Dalsza analiza B/A wskazuje na pewne maksima przy pewnych liczbach protonów i neutronów zwanych liczbami magicznymi. == Energia wiązania jąder atomowych a jego stabilność == {{Rysunek|Isotopes and half-life.svg|ssdwilwwp|Ścieżka stabilności dla wszystkich izotopów znanych lub występujących w przyrodzie. Linia pozioma to oś Z, a pionowa oś N}} Dla jąder izobarycznych najsilniej związane są jądra o najmniejszej masie, izobary te są stabilne ze względu na rozpad &beta; ale mogą być niestabilne ze względu rozpad &alpha;, sf. Nuklidy występująca nad linią Z=N są niestabilne ze względu na rozpad &beta;{{Sup|-}}, a nuklidy znajdujące pod ścieżką stabilności są to nuklidy ze względu na rozpad &beta;{{Sup|+}}. Najcięższe znajdujące się nuklidy są to nuklidy, które podamy w tabelce poniżej w raz czasami ich rozpadu, które są jądrami niestabilnymi ze względu na rozpad &alpha; i samoistnie rozszczepienie: {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego rozpadu'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Skład procentowy występowania danego nuklidu w skład danego pierwiastka w przyrodzie.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{232}_{90}\hbox{Th}</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1,4\cdot 10^{10}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|100%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{234}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>2,5\cdot 10^5\mbox{ lat}\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,005%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>7,0\cdot 10^{8}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,72%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|99,27%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jądra {{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} są używane w energetyce jądrowej. Najcięższym nuklidem stabilnym znanym przez człowieka jest {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}\hbox{Pb}_{126}\;</MATH>}}, których jest w 52,4% wchodzących w skład pierwiastka ołowiu, a także {{Formuła|<MATH>{}^{209}_{83}\hbox{Bi}_{126}\;</maTH>}}, w których jest 100% wchodzących w skład pierwiastka bizmutu. Łącznie odkryto ponad 3000 nuklidów, co większości jąder są jądrami niestabilnymi. === Nuklidy stabilne i niestabilne === Przestawimy teraz tabelkę przedstawiający liczbę jąder stabilnych przy pewnej liczbie protonów i neutronów w jądrze w zależności od ich parzystości lub nieparzystości, dla jąder których czas połowicznego rozpadu jest większy od czasu życia ziemi, dla której czas trwania ziemi jest większy od {{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{lat}\;</MATH>}}: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jadra o nieparzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jądra o parzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Razem'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o nieparzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|54}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o parzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|165}}<!-- -->{{Komórka|220}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Razem'''}}<!-- -->{{Komórka|59}}<!-- -->{{Komórka|215}}<!-- -->{{Komórka|274}}<!-- -->}}<!-- -->}} Najcięższe nuklidy występujące na Ziemi w warunkach naturalnych są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i sf. Jądra stabilne lekkie to są dla {{Formuła|<MATH>N\simeq Z\;</MATH>}}, a ciężkie {{Formuła|<MATH>N\simeq 1,5Z\;</MATH>}}. Znanymi nuklidami nieparzysto-nieparzystych są to nuklidy:{{Formuła|<MATH>{}^2_{1}D_{1}\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^6_3Li_3\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{10}_8B</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N\;</MATH>}}. Teraz podamy tabelkę superciężkich nuklidów wytwarzanych w laboratorium wraz z niektórymi reakcjami syntezy tychże jąder. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Rok odkrycia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego życia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Reakcja uzyskania danego nuklidu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1996 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{269}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|170&mu;s}}<!-- -->{{Komórka||}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{271}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,1 ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{272}111\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,5&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1998/99 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{277}{112}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,24ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{283}112\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|81s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{289}114\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|30s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{48}_{20}Ca+{}^{244}_{94}Pu\rightarrow {}^{289}114+3n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|1999rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{289}116\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,2s}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{293}118\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|250&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{86}_{36}Kr+{}^{208}_{82}Pb\rightarrow{}^{293}118+n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Reguła Mattaucha (z doświadczenia) === Jeśli energie wiązania jądra atomowego {{linkWzór|1.6}} (w której występuje wielkość niedoboru masy {{LinkWzór|1.5}}) przedstawimy jako funkcję zmiennej Z dla jąder izobarycznych, ale dla A nieparzystego energię wiązania jądra atomowego układają się w parabolę, w której wystepuje jeden izotop (izobar) stabilny. Gdy natomiast A jest parzyste, to energia wiązania układa się w dwie parabole odpowiadające izobarom p-p, n-n, w tym przypadku może być więcej niż jeden izobar stabilny, a tych izobarów niestabilnych może być aż trzy. Pozostałe izobary (niestabilne) są niestabilne ze względu na rozpady &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC. {{ElastycznyWiersz | styl = width:auto;float:right;margin-left:10px | 1 = {{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_102.png|mjoulma|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;102|pozycja=center}} | 2 = {{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_135.png|mjoulm135b|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;135|pozycja=center}} }} Dla rysunków podano masy jąder atomowych w MeV w zależności od liczby atomowej jako przykład dla jądra o A parzystego, w której występują dwie gałęzie paraboli, a także podano następny przykład dla jądra A nieparzystego, w której występuje jedna gałąź paraboli. Liczbę Z{{Sub|0}} dla której funkcja B(Z,A=const) osiąga maksimum względem Z, podobnie przy M(Z,A=const) osiąga minimum względem Z, możemy obliczyć z: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial B(Z,A)}\over{\partial Z}}\right)_{A=\operatorname{const}}=0\;</MATH>|1.23a}} i zgodnie ze wzorem Weizsäcker'a, gdy funkcja B(Z,A) jest przestawiona wzorem {{linkWzór|1.20}}, to maksimum funkcji energii wiązania jądra atomowego jest określona dla liczby atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z_0={{A}\over{1,98+0,015A^{{{2}\over{3}} }}}\;</MATH>|1.31}} Widzimy, że maksimum funkcji B(Z,A=const) jest zależne tylko od liczby masowej A. Możemy napisać dla ścieżki stabilności ze względu na rozpad &beta; wzór empiryczny Greena: {{CentrujWzór|<MATH>(N-Z)_{\beta\operatorname{ stabilne}}={{0,4A^2}\over{A+200}}</MATH>|1.23b}} == Rozpraszania wysokoenergetycznych cząstek e, p, n i innych cząstek na jądrze atomowym == Cząstki e, p, n te są traktowane jako sondy wynikające do wnętrza jąder. Ich kąt rozproszenia &theta; będzie uwarunkowany rozkładem gęstości centrów rozpraszających w jądrze, który uwarunkowany jest rozkładem masy i ładunków w naszym badanym obiekcie. Do badania rozkładu ładunku elektrycznego najlepiej do tego służą elektrony, ponieważ one kulombowsko oddziaływają z protonami, a więc daje ta metoda czystą informację o rozkładzie ładunku elektrycznego w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r). Relacje rozpraszania neutronów na jądrach atomowych dostarczają o rozkładzie masy w jądrze &rho;{{Sub|m}}(r). Realizacja tego projektu jest bardzo kłopotliwa ze względu na trudności z uzyskania wysokoenergetycznych neutronów. Relacje rozpraszanie protonów p są najtrudniejsze do interpretacji wyników doświadczalnych, gdyż oddziaływają one z jądrem atomowym ze względu na to, że ten obiekt posiada ładunek elektryczny, czyli oddziałuje kulombowsko odpychająco z jądrem atomowym i też za pomocą sił jądrowych i takie rozpraszanie dostarcza zarówno informacje o rozkładzie masy i ładunku wewnątrz jądra. {{Rysunek|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy).png|rcnprlm|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy)}} Aby cząstka mogła wniknąć do jądra atomowego, to powinna mieć długość fali de Broglie'a odpowiednio małą do rozmiarów badanego jądra. Przelicznik długości fali w zależności od jej energii padającej na jądro atomowe wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_e={{200}\over{E_e(MeV)}}fm\;</MATH>|1.32}} * dla {{Formuła|<MATH>E_e=500MeV\;</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>\lambda_e=0,4fm\;</MATH>}}. Jeśli ładunek byłby skupiony w jednym punkcie, to różniczkowy przekrój czynny dla cząstek o energii E na jądrach o liczbie atomowej Z jest napisany wzorem Motta: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}\right)_M=\left({{Ze^2}\over{2E_e}}\right)^2{{\cos^2{{\theta}\over{2}}}\over{\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+{{2E_e}\over{m_ec^2}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\right)\;</MATH>|1.33}} Jeśli uwzględnimy rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego w rzeczywistym jądrze atomowym, to według przybliżenia Borna pierwszego rzędu (mały ładunek jądra atomowego) piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}=\left({{d\sigma(E_c)}\over{d\Omega}}\right)_M|F(q)|^2\;</MATH>|1.34}} Tzn. wzór Motta ulega modyfikacji przy udziale czynnika kształtującego, który zależy od gęstości ładunku w tymże obiekcie wiedząc, że q jest pędem przekazywanym jądru (w jednostkach {{Formuła|<MATH>\hbar\;</MATH>}}) w wyniku zderzeń: {{CentrujWzór|<MATH>F(q)={{4\pi}\over{Zeq}}\int_0^{\infty}\rho_e(r)\sin(qr)rdr\;</MATH>|1.35}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3undrnk7ydzj74a3c10qpbnbj798xzj 558647 558646 2026-10-05T00:55:36Z Persino 2851 /* Energię separacji (wiązania) nukleonu */ 558647 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Etap współczesny == Według stanu obecnego fizykę dzielimy na działy: '''jądra atomowego''', '''cząstek elementarnych''' i '''kosmosu''' (chodzi tutaj o strukturę i teorię powstania wszechświata). W wyniku rozwoju techniki eksperymentalnej, tzn. akceleratorów, detektorów, elektroniki i komputerów, badano własności jąder atomowych i strukturę materii w wysokoenergetycznych wiązkach akceleratorowych p, e{{Sup|-}} i e{{Sup|+}} i innych cząstek, i w promieniowaniu kosmicznym. Nuklidami nazywamy jądra o ściśle określonej liczbie atomowej Z i masowej A. Odkryto ponad 3000 nuklidów (Z=od 1 do 118), 150 obiektów (cząstek) początkowo traktowanych jako cząstki elementarne. W 1964 r. Badano strukturę hadronów. M. Gell-Mann i G. Zweig postulowali, że te właśnie cząstki są złożone z trzech kwarków i jest to model kwarkowy hadronów. W latach siedemdziesiątych trzy kwarki już nie wystarczają do opisu nowych hadronów, rozwija się teoria oddziaływań silnych QCD. Odkryto sześć leptonów i sześć kwarków wraz z ich antycząstkami, które różnią się ''zapachem'' i ''kolorem'', w sumie tworzą trzy generacje. Cząstki złożone z trzech kwarków są bezbarwne. Każdy kwark występuje w trzech kolorach (w stanach kolorowych), charakteryzujących się elektrycznym ładunkiem ujemnym (-1/3)e lub ładunkiem dodatnim (2/3)e. Kwarki oddziałują ze sobą przy pomocy gluonów, które są bozonami o masie spoczynkowej równej zero i ładunku zerowym, ale mają ładunek kolorowy, ale występujących w ośmiu kolorach. Kwarki i gluony są uwięzione w hadronach, z których na przykład proton składa się z trzech kwarków (u,u,d): (2/3+2/3-1/3)e=e. Podobnie neutron składa z trzech kwarków (ddu): (-1/3-1/3+2/3)e=0. Mezony natomiast składają się z dwóch kwarków (kwark + antykwark). == Model standardowy materii == Cząstki fundamentalne składają się z sześciu leptonów i sześciu kwarków wraz z ich antycząstkami. Kwantową teorię pola elektromagnetycznego oraz słabego możemy połączyć w oddziaływanie elektrosłabe, model oddziaływania silnego i elektrosłabego możemy połączyć w model standardowy. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Podstawowe cząstki elementarne w fizyce cząstek elementarnych'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino elektronowe}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH><7\cdot 10^{-9}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|Elektron}}<!-- -->{{Komórka|0,0005111}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\mu}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino mionowe}}<!-- -->{{Komórka|<0,0003}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\mu^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Mion}}<!-- -->{{Komórka|0,106}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\tau}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino taonowe}}<!-- -->{{Komórka|<0.03}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\tau^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Taon}}<!-- -->{{Komórka|1.7771}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}<!-- -->}} W poniższej tabelce pokazaliśmy powierzchowne informacje o kwarkach, których jest sześć i których ładunki są ułamkowe, tzn. ich ładunki są oznaczane przez (+2/3)e i przez (-1/3)e. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Kwarki w modelu standardowym '''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|&mu;}}<!-- -->{{Komórka|górny}}<!-- -->{{Komórka|0,005}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|d}}<!-- -->{{Komórka|dolny}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|c}}<!-- -->{{Komórka|powabny}}<!-- -->{{Komórka|1.5}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|s}}<!-- -->{{Komórka|dziwny}}<!-- -->{{Komórka|0,2}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|t}}<!-- -->{{Komórka|szczytowy, wysoki, prawdziwy}}<!-- -->{{Komórka|180}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|b}}<!-- -->{{Komórka|piękny, niski}}<!-- -->{{Komórka|4,7}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli traktować, że 1 (jedynka) to jest 10{{Sup|-18}}m, to elektron ma wielkość mniejszą od jedynki, kwark o rozmiarach 10{{Sup|-18}}m ma rząd równy jedynce, proton ma wielkość równą 1000 (on ma rozmiary w metrach 10{{Sup|-15}}m), jądro ma wielkość 10000 o rozmiarach 10{{Sup|-14}}m, a atom ma wielkość 100000000 o rozmiarach 10{{Sup|-10}}m. Atomy, jądra i nukleony nie są kulami to jest tylko rząd wielkości. Elektron ma rozmiary bardzo małe i dlatego nie mówi się o rozmiarach elektronów. == Jądra atomowe == Jądra składają się z protonów i neutronów, gdzie liczba protonów wynosi Z (liczba porządkowa atomu), liczba neutronów N, a liczbę masową oznaczamy przez A, która jest równa licznie neutronów N i liczbie atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>A=N+Z\;</MATH>|1.1}} Ogólnie symbol pierwiastka oznaczamy jak poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_Z\hbox{X}_N\;</MATH>|1.2}} Przykładem jąder atomowych są: * {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}U\;</MATH>}}. Jądra atomowe dzielimy ze względu na liczbę atomową (liczbę protonów) Z, masową A i liczbę neutronów w jądrze N. * '''Izotopy''', których liczba atomowa Z jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}. * '''Izotony''', których liczba neutronów N w jądrze jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}. * '''Izobary''', których liczba protonów i neutronów razem wziętych jest wielkością stałą, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_2He\;</MATH>}}. Jądra dzielimy też ze względu na liczbę nukleonów w jądrze na: * '''Jądra parzyste''', w których A jest parzyste, ale Z i N też są liczbami parzystymi. * '''Jądra nieparzyste''', w których liczba masowa A jest liczbą nieparzystą. Ze względu na stabilność dzielimy je na: * '''jądra stabilne''', których znamy 274 w tym 215 jąder typu p-p (parzysto-parzyste) i 4 typu n-n (nieparzysto-nieparzyste). * '''jądra niestabilne''', są to jądra promieniotwórcze ze względu na rozpad &alpha;,&beta;, sf i emisję nukleonów. == Nuklid == Jest to atom o określonej liczbie atomowej (A,Z). Przykładem są nuklidy pierwiastka wodoru {{Formuła|<MATH>H, \mbox{ czyli }{}_1^1H, {}_1^2H,{}_1^3H.\;</MATH>}}. == Siły jądrowe == {{Rysunek|SMFc1.JPG|csj|Charakter sił jądrowych}} Nukleony w jądrze są związane siłami jądrowymi, które są wynikiem sił oddziaływania silnego, mającego krótki zasięg {{Formuła|<MATH>(\leq 2\cdot 10^{-15}m)\;</MATH>}}. Te siły nie zależą od rodzaju nukleonów, z którymi mamy doczynienia. Potencjał omawianego tutaj oddziaływania zależy od współrzędnej radialnej, jeśli przedstawić oddziaływanie silne w układzie współrzędnych kulistym V=V(r). Stała sprzężenia oddziaływania silnego wynosi {{Formuła|<MATH>\alpha_s\simeq 1\;</MATH>}}. Oddziaływania te ulegają wysycaniu. Przykłady stałej sprzężenia dla innych oddziaływań są: * pole grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\alpha\simeq 5.6\cdot 10^{-39}\;</MATH>}}, * oddziaływanie słabe {{Formuła|<MATH>\alpha_{sl}\simeq 1\cdot 10^{-5}\;</MATH>}}, * oddziaływanie elektromagnetyczne {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{137}}\;</MATH>}}. == Masa i energia wiązania jąder atomowych i nuklidów == Masę atomową nuklidów wyrażamy w jednostkach masy atomowej, która według definicji jest równa 1/12 masy atomu węgla {{Formuła|<MATH>{}^{12}_6C\;</MATH>}}, co schematycznie możemy przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>1u={{1}\over{12}}M({}^{12}_6C)=1,66\cdot 10^{-24}g=931,5016(3)MeV/c^2\;</MATH>|1.3}} Masę protonu, neutronu, a także elektronów piszemy w jednostkach masy atomowej, które to przeliczamy na energię (będąca równoważna z masą): * {{Formuła|<MATH>m_p=1,007276470(11)u=938,2796(27)MeV/c^2\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_n=1,008665012(37)u=939,5731(27)MeV\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_e=5,4858026(21)\cdot 10^{-4}u=0,5110034(14)MeV/C^2\;</MATH>}} Różnica masy neutrony i protonu jest równa dwa i pół masy elektronu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>m_n-m_p\simeq 1.29MeV\simeq 2.5m_e\;</MATH>|1.4a}} Neutron swobodny jest cząstką nietrwałą o czasie połowicznego zaniku równym T{{Sub|1/2}}=10,6m i on rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe wedle: {{CentrujWzór|<MATH>n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e (\mbox{rozpad }\beta^-)\;</MATH>|1.4}} == Budowa jądra atomowego i jego energia wiązania == Znając masy protonu, neutronu, elektronu i atomów można by oczekiwać, że po zsumowaniu mas Z protonów, N neutronów i Z elektronów ich suma będzie równa masie atomu. Rzeczywistość jest jednak inna, masa atomu jądra atomowego jest mniejsza niż oczekiwana. Niedobór masy można napisać według jego definicji: {{CentrujWzór|<MATH>Zm_p+(A-Z)m_n+Zm_e-M_a=\Delta M\;</MATH>|1.5}} Przy łączeniu cząstek wchodzących w skład atomu wydziela się pewna energia, którą można opisać z równoważności masy i energii: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=\Delta Mc^2\;</MATH>|1.6}} Do rozkładu jądra na składniki należy dostarczyć jądru energię równą {{LinkWzór|1.6}}, którą tutaj oznaczymy przez B(A,Z). Każdy atom składa się z jądra i elektronów, a jądro atomowe składa się z neutronów i protonów. Masa jądra nie jest sumą mas jego składników, tzn. protonów i neutronów. Energia wiązania jądra atomowego, w takim przypadku nazywamy różnicę sumy mas poszczególnych składników wchodzących w skład jądra atomowego i masy jądra, jest ona równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.7}} Masa elektronu jest bardzo mała, można więc masę protonu zastąpić przez masę atomu wodoru, wtedy wzór {{LinkWzór|1.5}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_H+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.8}} * gdzie M{{Sub|a}} jest masą jądra atomowego, już po połączeniu nukleonów w skład jądra atomowego. Znając defekt masy jądra atomowego w unitach możemy policzyć masę jądra przedstawionych w MeV: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=B(A,Z)=\Delta M\cdot 931{{MeV}\over{u}}\;</MATH>|1.9}} Energia wiązania jądra w przypadku atomu helu wynosi: B(A,Z)=28,39 MeV. Wyzwalana jest w trakcie powstawania jądra atomowego helu z czterech nukleonów (dwa neutrony i dwa protony). Można policzyć, że podczas powstawania 1 kg helu zostaje wyzwolona energia równa spaleniu 25 000 ton węgla. Znając energię wiązania B(A,Z) {{linkWzór|1.9}} możemy policzyć średnią energię przypadająca na jedno wiązanie, która jest ilorazem energii wiązania przez liczbę masową A, i wynosi ona: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{E}(A,Z)={{B(A,Z)}\over{A}}\;</MATH>|1.10}} Im większa jest energia średnia wiązania atomu, tym bardziej jądro jest trwalsze, tzn. należy dostarczyć więcej energii by rozłożyć atom na składniki. === Masa jądra atomowego === Masę jądra atomowego możemy wyliczyć znając masę neutronu i protonu, a także energię wiązania nukleonów jądra atomowego na podstawie wzoru {{linkWzór|1.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.11}} W tablicach są podane masy nuklidów (M(A,Z) (lub energie wiązania jądra z elektronami), które możemy wyrazić: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=M_j(A,Z)+Zm_e-B(elektr.)\;</MATH>|1.11a}} Energia wiązania jądra z elektronami wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(elektr.)\simeq (0,01Z)^{2,5}MeV\;</MATH>|1.11b}} Energia wiązania dla jądra elektronu z jądrem wodoru wyrażamy wzorem {{Formuła|<MATH>B(elektr.)=B({}^1_1H)=({}^1_1H)=({}^1_1H)=13,6eV\;</MATH>}}, a według wzoru {{LinkWzór|1.11b}} wynosi {{Formuła|<MATH>B({}^1_1H)=({}^1_1H)\simeq 10eV\;</MATH>}}. Ponieważ masa jądra atomu praktycznie się nie różni od masy całego atomu (jądra z krążącymi wokół elektronami), zatem masę protonu możemy zastąpić przez masę wodoru {{Formuła|<MATH>{}^1_1\hbox{H}\;</MATH>}}, co schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.12}} * gdzie B(A,Z) jest to energia wiązania nuklidów. Dla jąder izobarycznych jądrami najbardziej stabilnymi są te o największej energii wiązania i są one stabilne ze względu na rozpady &beta;, podczas gdy mogą one być niestabilne ze względu na rozpad &alpha;, sf. === Odchylenie masy (mass excess) === Odchyleniem masy nazywamy różnicę masy jądra atomowego {{linkWzór|1.11}} w unitach i liczby masowej pomnożonej przez unity: {{CentrujWzór|<MATH>ME(A,Z)=\left({{M(A,Z)}\over{u}}-A\right)u\;</MATH>|1.13}} Co wzór {{linkWzór|1.13}} możemy wyrazić nie tylko w w unitach, czyli w jednostkach masy atomowej, ale też ją zwykle wyrażamy w jednostkach energii MeV korzystając z przelicznika {{LinkWzór|1.9}}. Energia wiązania B(A,Z) decyduje o stabilności w zależności na naturalne rozpady &beta; &alpha;, sf, itp. W zbiorze jąder izobarycznych o danym A jądra o największej energii wiązania są stabilne ze względu na rozpady &beta;, te jądra mogą być również ze względu na rozpad &alpha;, sf. == Średnia energia wiązania nukleonów == {{Rysunek|Binding energy curve - common isotopes-pl.svg|sew|Średnia energia wiązania}} Jak można zauważyć według rysunku obok, że średnia energia wiązania jąder atomowych {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.4}} rośnie w obszarze jąder lekkich wykazując lokalne maksima przy A=4,8,12,16,.... * W pobliżu A=60 uzyskuje płaskie maksimum E{{Sup|max}}=8.8MeV. * Powoli maleje dla dużych A>60 osiągając w końcu energię E{{Sup|ciężkie}}=7.6MeV * Wykazuje lokalne wzrosty dla liczby Z lub '''N=2,8,20,(28),50,(64),82,126''', które to nazywamy liczbami magicznymi. Jadrami podwójnie magicznymi są to jądra opisane jako: * {{Formuła|<MATH>{}^4_2He_2\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{16}_8 O_8\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{40}_{20}Ca_{20}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{132}_{50}Sn_{82}\;</MATH>}}, &nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{146}_{(64)}Gd_{82}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb_{126}\;</MATH>}}. Wysycanie sił jądrowych powodowane jest przez istnienie oddziaływań n-n silnie odpychającego rdzenia, które nie pozwalają zbliżyć nukleonom na dowolnie bliskie odległości, co jest powodem ograniczania liczbę sąsiadów danego nukleonu. Powolny spadek B/A dla A>60 występuje w wyniku wzrostu odpychania kulombowskiego protonów, natomiast spadek B/A dla jąder lekkich tłumaczy się rosnącą rolę efektów powierzchniowych, które są istotne dla małych jąder atomowych. == Materia jądrowa (rozkłady gęstości ładunku i masy atomowej) == Jądra są obiektami fizycznymi związane ze sobą siłami jądrowymi o skończonym zasięgu, które są niezależne od rodzaju nukleonu. Można więc przypuszczać, że jądra atomowe są układami o skończonym zasięgu, a jego brzeg jest niezbyt rozmyty. Energia przypadająca na jednej nukleon w jądrze nie zależy od rodzaju nukleonu i jest niemal stała i wynosi około 8MeV, co świadczy, że siły jądrowe mają właściwość wysycania, czyli każdy przeciętny nukleon jest związany z jego najbliższymi nukleonami. W ciężkich jądrach stosunek B/A jest taki sam w jak cząstce &alpha; i wynosi B{{Sub|&alpha;}}=28,39MeV, w której na każdy nukleon przypadają trzy wiązania, stąd można przepuszczać, że na jeden nukleon przypada najwięcej trzy wiązania jakie tworzy. Można policzyć, że przy wiązaniu 1 kg helu (&alpha;) ({{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}) jest wytwarzana energia równa przy spalaniu 2500 ton węgla. Następstwem wysycania sił jądrowych, w których występuje niezależność ich od rodzaju nukleonu i zakazu Pauliego, jest prawie stała objętość przypadająca na jeden nukleon, co z {{linkWzór|1.10}} wynika {{Formuła|<MATH>V\sim A\;</MATH>}} i zachodzi {{LinkWzór|1.25}} oraz można przypuszczać, że rozkłady materii wewnątrz jądra są takie same. Wysycanie sił jądrowych w jądrze atomowym pozwala mówić, że w oddziaływaniach n-n o silnie odpychającym rdzeniu, które nie pozwalają się zbliżyć na dowolnie małe odległości nukleonom, ograniczając w ten sposób liczbę najbliższych sąsiadów. Powolny spadek wartości B/A w ciężkich jądrach dla A>60 tłumaczy się w wyniku wzrostu odpychania kolumbowskiego, natomiast stosunek B/A w jądrach lekkich tłumaczy się jako fakt rosnących efektów powierzchniowych. == Energię separacji (wiązania) nukleonu == Dobrą ilustracją wpływu liczb magicznych nukleonów neutronów i protonów jest tzw. energia separacji, czyli znając masy jądra początkowego {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} oraz masę jądra {{Formuła|<MATH>{}^{A-1}_ZX\;</MATH>}} lub {{Formuła|<math> {}^{A-1}_{Z-1}X\;</MATH>}} otrzymanego z {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} przez odłączenie jednego protonu lub neutronu, wtedy te energie, czyli energię separacji neutronu lub protonu możemy wyrazić przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=M(A-1,Z)+M_n-M(A,Z)\;</MATH>|1.14}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=M(A-1,Z-1)+M_p-M(A,Z)\;</MATH>|1.15}} }} Energia ta osiąga maksimum dla magicznych liczb dla protonu lub neutronu. Energii separacji protonu lub neutronu wykazuje przy pewnych liczbach atomowych lokalne skoki odpowiadające zamkniętym powłokom nukleonowych, analogicznie do energii jonizacji dla zamkniętych powłok elektronowych. Sugerowanie analogi powłok elektronowych do powłok nukleonowych sugeruje powstawanie liczb magicznych, że umieszczenie nukleonu poza zamkniętą powłoką sugerowałoby zmniejszenie energii separacji, bo słabsze byłyby wiązania pomiędzy nukleonami. Analogicznie do {{LinkWzór|1.14}} i {{LinkWzór|1.15}} energię wiązania neutronu dla jądra atomowego definiujemy przy pomocy energii wiązań jako różnicę energii wiązania dla ściśle określonego Z, ale po dodaniu do jądra jednego neutronu, wtedy z jądra z A powstaje jądro o liczbie masowej A-1, czyli jest to energia potrzebna do wyrwania energii z jądra atomowego wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z-1)M_n-B(A-1,Z)+M_n-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z)\;</MATH>|1.16}} Energia potrzebna do wyrwania jednego protonu wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=(Z-1)M({}^1_1H)+(A-Z)M_n-B(A-1,Z-1)+M_p-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1)\;</MATH>|1.17}} Energie separacji neutronu lub protony wykazują silne fluktuacje, które nazywamy efektami powłokowymi, a przykłady tychże energii: * {{Formuła|<MATH>S_n({}^2_1\hbox{H})=S_p({}^2_1\hbox{H})=2,2 MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_n({}^{13}_7\hbox{N})= 20,3MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_p({}^{13}_{7}N)=1,9MeV\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_p({}^{14}_{6}C)=20,8MeV\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję neutronu, są to jądra, dla których energia separacji neutronu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_n\leq 0\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję protonu, są to jądra, dla których energia separacji protonu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_p\leq 0\;</MATH>}}. Doświadczalnie wykazano, że istnieje związek dla energii separacji (dwójkowania, pairing) neutronu (n) lub protonu (p), które to piszemy następująco dla N i Z parzystego: {{CentrujWzór | {{ElastycznyWiersz |1=<MATH>\begin{cases} S_n(N,Z)>S_n(N\pm 1,Z)\\ S_p(Z,N)>S_p(Z\pm 1, N) \end{cases}\;</MATH> | 2 = {{Tekst|&nbsp;gdy&nbsp;&nbsp;}} | 3 = {{ElastycznaKolumna | 1 = {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} | 2 = {{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} }} }} |1.18}} Nukleony w jądrze atomowym są powiązane w pary (p-p), (n,n), ale nie w parę (n,p), których to moment pędu każdej pary wynosi zero, a więc też spin takiego układu jest równy zero, tzn. {{Formuła|<MATH>0^+\;</MATH>}}. == Energie oddziaływania pairing (parowania nukleonów w jądrze atomowym) == Energia parowania w jądrach atomowym jest to energia tylko oddziaływań silnych i jest to oddziaływanie łączące nukleony w pary pp i nn o przeciwnych spinach, są to krótkozasięgowe oddziaływania wysycające się na najbliższym sąsiedzie tego samego rodzaju, dążą by gęstość jądra atomowego dążyła do izotropowego rozkładu materii. Jest to oddziaływanie resztkowe w jądrach. Energie parowania neutronu i protonu są takie same P{{Sub|pp}}&asymp;P{{Sub|nn}}, mieszczą się one w zakresie od 2 do 8 MeV, a wzór na energię parowania w zależności od liczby masowej "A" przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>P={{24}\over{\sqrt{A}}}\mbox{MeV}\;</MATH>|1.19}} Jeśli jądro potraktujemy jako pewien układ, to energię wiązania możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,N)=\underbrace{B_c+B_{sp}(Z,N-1)}_{B(Z,N-1)}+B_{sp}(Z,N)+P_{nn}\;</MATH>|1.20}} Energia parowania nukleonu sparowanego, który definiujemy jako średnią energię dwóch sąsiednich energii separacji względem danego nuklidu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>B_{sp}(Z,N)]={{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.21}} Jeśli wykorzystamy wzór na energie separacji neutronu {{linkWzór|1.16}}, ten wzór wykorzystamy do {{linkWzór|1.20}}, stąd wyprowadzamy energię parowania neutronów: {{CentrujWzór|<math>P_{nn}(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1)-B_{sp}(Z,N)=S_n(A,Z)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.22}} Analogicznie do poprzedniego wzoru możemy wykorzystać wzór na energie separacji protonu {{linkWzór|1.17}} do podobnego wzoru do {{linkWzór|1.20}} (tylko zmienia się Z zamiast N), wtedy w ten sposób definiujemy energię parowania protonów: {{CentrujWzór|<MATH>P_{pp}(Z,N)=S_p(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z-1,N)+S_n(Z+1,N)\right]\;</MATH>|1.23}} Energia wiązania każdego nukleonu połączonej w pary, która jest taka sama w przybliżeniu dla neutronu i protonu, wyraża się: {{CentrujWzór|<math>\Delta_n={{P_{nn}}\over{2}}\simeq\Delta_p={{P_{pp}}\over{2}}\;</MATH>|1.24}} Nazywamy tą energię energią przerwy energetycznej neutronowej &Delta;{{Sub|n}} i protonowej &Delta;{{Sub|p}}, dla którego jak powiedzieliśmy powyżej są w przybliżeniu sobie równe. == Modele jąder atomowych == === Model kroplowy === Model kroplowy jest to inaczej zwany modelem Weizsäcke'a i Bethe'go, która mówi: * gęstość nukleonów w materii jądrowej nie zależy od liczby masowej A, dla którego promień jądra w zależności od liczby masowej i promienia {{Formuła|<MATH>r_0\simeq 1,2\cdot 10^{-13}cm\;</MATH>}} jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>R=r_0A^{{{1}\over{3}}}\;</MATH>|1.25}} Gęstość nukleonów możemy przestawić jako &rho;=0,17 nukl/fm{{Sup|3}}, średni promień jądra atomowego jest wyrażony przez {{Formuła|<MATH>\langle r^2\rangle_{nukl}=0,5fm\;</MATH>}}. * zależność natężenia sił jądrowej jest bardzo podobna do zależności oddziaływania Van der Waalsa działającej w cieczy, * oddziaływania jądrowe wysycają się tak jak wiązania chemiczne, za wyjątkiem jąder lekkich mamy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j\sim A\Rightarrow {{B_j}\over{A}}=\operatorname{const}.\;</MATH>|1.26}} Jądro atomowe opisujemy jako naładowana cząstka o ładunku Q=Ze, która jest nieściśliwą cieczą. Według modelu kroplowego całkowita energia wiązania jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=B_{obj}(A)+B_{pow}(A)+B_{cul}(Z,A)+\underbrace{B_{as}(N,Z)+B_{pairing}}_{\mbox{czlony jądrowe}}\;</math>|1.27}} Model kroplowy opisuje średnie właściwości jąder atomowych i nie uwzględnia jego struktury subtelnej. Ten model należy stosować dla jąder o {{Formuła|<MATH>A\geq30\;</MATH>}}. Dla jąder stabilnych {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} obliczone wartości B(A,Z) zgadzają się z doświadczeniem z błędem ok 2%. ==== Model kroplowy według Weizsöcke'a i Bethe'go ==== Energię wiązania jądra atomowego o liczbie atomowej Z i liczbie masowej A przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,A)=a_{\nu}A-a_{s}A^{{{2}\over{3}}}-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\pm\delta\;</MATH>|1.28}} * człon {{Formuła|<MATH>a_{\nu}A\;</MATH>}} jest to człon objętościowy pochodzący od przyciągania pochodzącymi od oddziaływania między nukleonami, wartość tej stałej stojąca przy liczbie masowej jest równa a{{Sub|&nu;}}=15,85 MeV, ten współczynnik jest miarą średniego wkładu do energii wiązania (stąd znak minus). * człon {{Formuła|<MATH>a_{s}A^{{{2}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon powierzchniowy, nukleony na brzegu mają mniejszą liczbę przyciągających parterów niż nukleony wewnątrz jądra atomowego, liczba nukleonów występujących na powierzchni kuli jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni kuli, stała występująca w tym wzorze jest równa a{{Sub|s}}=18,34 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon kulombowski pochodzących od odpychania miedzy nukleonami, wartość stałej występującej przy tym członie jest równa a{{Sub|c}}=0,71 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\;</MATH>}} jest członem asymetrycznym odzwierciedlających tendencje do ścieżki stabilności N+Z=A=2Z, a stała występująca tutaj jest równa a{{Sub|as}}=92,86 MeV. * człon &delta; człon charakteryzujący stabilność jąder parzysto-parzystych, mniejszą dla jąder parzysto-nieparzystych i nieparzysto-parzystych i jeszcze mniejszą dla jąder nieparzysto-nieparzystych, ten człon jest wyrażony: {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=+&Delta; dla jąder parzysto-parzystych{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=0 dla jądrem A nieparzystych {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=-&Delta; dla jąder nieparzysto-nieparzystych (A parzyste).{{Br}}W powyższych rozważaniach przyjęliśmy, że {{Formuła|<MATH>\Delta=11,46A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy według Myers'a i Świąteckiego ==== Energię wiązania jądra atomowego w tym modelu analogicznie opisujemy jak we wzorze opisujący model kroplowy Weizsöcke'a i Bethe'go. Jak widzimy, energia wiązania jest pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=15,68A-18,56 A^{{{2}\over{3}}}-0,717 Z^2A^{-{{1}\over{3}}}\left(1-1,69A^{-{{2}\over{3}}}\right)-28,1(N-Z)^2A^{-1}\left(1-1,18A^{-{{1}\over{3}}}\right)\pm\delta\mbox{ [MeV]}\;</MATH>|1.29}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>\delta_p=11\cdot A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy- dalsze rozważania ==== Ja widzimy patrząc na wzór {{linkWzór|1.28}} lub na wzór {{linkWzór|1.29}}, które są energiami wiązania nukleonów w jądrze, wyraża się pewną funkcją kwadratową, którą piszemy dla pewnych wyrazów a, b, c: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z)=B(Z,A=\operatorname{const})=aZ^2+bZ+c\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;ale&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;parzystego&nbsp;}}<MATH>c=c_1\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;p-p&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>c=c_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;n-n}}|2.30}} * gdzie: p-p to oznacza parzysto-parzyste, a n-n to nieparzysto-nieparzyste. Model kroplowy opisuje średnie własności jader atomowych, ale nie opisuje jej struktury. Nasz model należy stosować dla jąder atomowych {{Formuła|<MATH>A\geq 30\;</MATH>}}, a dla jąder {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} opisuje je z dokładnością do 2%. === Model gazu Fermiego === Protony i neutrony są to cząstki niezależne, które poruszają się niezależnie wewnątrz kuli o promieniu R=r{{Sub|0}}A{{Sup|1/2}} (patrz: {{LinkWzór|1.25}}), co stanowi, że pomiędzy tymi nukleonami nie ma wzajemnych oddziaływań. Nukleony są to fermiony zajmujące stan najniższy jak tylko możliwe ze względu na zakaz Pauliego bez dostarczania energii zewnątrz, co oznacza, że nukleony nie mogą się zderzać wzajemnie. Nukleony znajdują się w studni potencjału, a na każdym jego stopniu mogą znajdować się co najwyżej dwa nukleony. Energia najniższego poziomu jest to energia Fermiego, co rachunki pokazują, że średnia energia kinetyczna na tym poziomie jest E{{Sub|k}}=30 MeV, czemu odpowiada średni pęd &lt;p&gt;=240 MeV/c, który zwany jest pędem Fermiego. Potwierdzenie pędu Fermiego pokazuje, że zderzenie jego z pociskiem z nukleonami w jądrze atomowym mówi, że pędy nukleonów są rozłożone izotropowo w nim, dlatego ten model jądra atomowego tak jest zwany. === Model powłokowy === Jądra, które nie można opisać za pomocą modelu kroplowego lub modelu gazu Fermiego wskazują, że jeśli kwanty powstałe w wyniku przejścia z jednego poziomu do drugiego są widmami dyskretnymi (liniowymi), co wskazuje na to, że stany w jakim znajdują się protony i neutrony nie są stanami ciągłymi, tylko dyskretnymi. Badanie pewnych jąder wskazują, że w przyrodzie występują nuklidy o pewnych liczbach protonów lub neutronów. Dalsza analiza B/A wskazuje na pewne maksima przy pewnych liczbach protonów i neutronów zwanych liczbami magicznymi. == Energia wiązania jąder atomowych a jego stabilność == {{Rysunek|Isotopes and half-life.svg|ssdwilwwp|Ścieżka stabilności dla wszystkich izotopów znanych lub występujących w przyrodzie. Linia pozioma to oś Z, a pionowa oś N}} Dla jąder izobarycznych najsilniej związane są jądra o najmniejszej masie, izobary te są stabilne ze względu na rozpad &beta; ale mogą być niestabilne ze względu rozpad &alpha;, sf. Nuklidy występująca nad linią Z=N są niestabilne ze względu na rozpad &beta;{{Sup|-}}, a nuklidy znajdujące pod ścieżką stabilności są to nuklidy ze względu na rozpad &beta;{{Sup|+}}. Najcięższe znajdujące się nuklidy są to nuklidy, które podamy w tabelce poniżej w raz czasami ich rozpadu, które są jądrami niestabilnymi ze względu na rozpad &alpha; i samoistnie rozszczepienie: {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego rozpadu'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Skład procentowy występowania danego nuklidu w skład danego pierwiastka w przyrodzie.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{232}_{90}\hbox{Th}</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1,4\cdot 10^{10}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|100%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{234}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>2,5\cdot 10^5\mbox{ lat}\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,005%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>7,0\cdot 10^{8}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,72%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|99,27%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jądra {{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} są używane w energetyce jądrowej. Najcięższym nuklidem stabilnym znanym przez człowieka jest {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}\hbox{Pb}_{126}\;</MATH>}}, których jest w 52,4% wchodzących w skład pierwiastka ołowiu, a także {{Formuła|<MATH>{}^{209}_{83}\hbox{Bi}_{126}\;</maTH>}}, w których jest 100% wchodzących w skład pierwiastka bizmutu. Łącznie odkryto ponad 3000 nuklidów, co większości jąder są jądrami niestabilnymi. === Nuklidy stabilne i niestabilne === Przestawimy teraz tabelkę przedstawiający liczbę jąder stabilnych przy pewnej liczbie protonów i neutronów w jądrze w zależności od ich parzystości lub nieparzystości, dla jąder których czas połowicznego rozpadu jest większy od czasu życia ziemi, dla której czas trwania ziemi jest większy od {{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{lat}\;</MATH>}}: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jadra o nieparzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jądra o parzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Razem'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o nieparzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|54}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o parzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|165}}<!-- -->{{Komórka|220}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Razem'''}}<!-- -->{{Komórka|59}}<!-- -->{{Komórka|215}}<!-- -->{{Komórka|274}}<!-- -->}}<!-- -->}} Najcięższe nuklidy występujące na Ziemi w warunkach naturalnych są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i sf. Jądra stabilne lekkie to są dla {{Formuła|<MATH>N\simeq Z\;</MATH>}}, a ciężkie {{Formuła|<MATH>N\simeq 1,5Z\;</MATH>}}. Znanymi nuklidami nieparzysto-nieparzystych są to nuklidy:{{Formuła|<MATH>{}^2_{1}D_{1}\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^6_3Li_3\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{10}_8B</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N\;</MATH>}}. Teraz podamy tabelkę superciężkich nuklidów wytwarzanych w laboratorium wraz z niektórymi reakcjami syntezy tychże jąder. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Rok odkrycia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego życia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Reakcja uzyskania danego nuklidu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1996 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{269}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|170&mu;s}}<!-- -->{{Komórka||}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{271}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,1 ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{272}111\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,5&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1998/99 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{277}{112}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,24ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{283}112\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|81s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{289}114\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|30s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{48}_{20}Ca+{}^{244}_{94}Pu\rightarrow {}^{289}114+3n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|1999rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{289}116\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,2s}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{293}118\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|250&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{86}_{36}Kr+{}^{208}_{82}Pb\rightarrow{}^{293}118+n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Reguła Mattaucha (z doświadczenia) === Jeśli energie wiązania jądra atomowego {{linkWzór|1.6}} (w której występuje wielkość niedoboru masy {{LinkWzór|1.5}}) przedstawimy jako funkcję zmiennej Z dla jąder izobarycznych, ale dla A nieparzystego energię wiązania jądra atomowego układają się w parabolę, w której wystepuje jeden izotop (izobar) stabilny. Gdy natomiast A jest parzyste, to energia wiązania układa się w dwie parabole odpowiadające izobarom p-p, n-n, w tym przypadku może być więcej niż jeden izobar stabilny, a tych izobarów niestabilnych może być aż trzy. Pozostałe izobary (niestabilne) są niestabilne ze względu na rozpady &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC. {{ElastycznyWiersz | styl = width:auto;float:right;margin-left:10px | 1 = {{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_102.png|mjoulma|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;102|pozycja=center}} | 2 = {{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_135.png|mjoulm135b|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;135|pozycja=center}} }} Dla rysunków podano masy jąder atomowych w MeV w zależności od liczby atomowej jako przykład dla jądra o A parzystego, w której występują dwie gałęzie paraboli, a także podano następny przykład dla jądra A nieparzystego, w której występuje jedna gałąź paraboli. Liczbę Z{{Sub|0}} dla której funkcja B(Z,A=const) osiąga maksimum względem Z, podobnie przy M(Z,A=const) osiąga minimum względem Z, możemy obliczyć z: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial B(Z,A)}\over{\partial Z}}\right)_{A=\operatorname{const}}=0\;</MATH>|1.23a}} i zgodnie ze wzorem Weizsäcker'a, gdy funkcja B(Z,A) jest przestawiona wzorem {{linkWzór|1.20}}, to maksimum funkcji energii wiązania jądra atomowego jest określona dla liczby atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z_0={{A}\over{1,98+0,015A^{{{2}\over{3}} }}}\;</MATH>|1.31}} Widzimy, że maksimum funkcji B(Z,A=const) jest zależne tylko od liczby masowej A. Możemy napisać dla ścieżki stabilności ze względu na rozpad &beta; wzór empiryczny Greena: {{CentrujWzór|<MATH>(N-Z)_{\beta\operatorname{ stabilne}}={{0,4A^2}\over{A+200}}</MATH>|1.23b}} == Rozpraszania wysokoenergetycznych cząstek e, p, n i innych cząstek na jądrze atomowym == Cząstki e, p, n te są traktowane jako sondy wynikające do wnętrza jąder. Ich kąt rozproszenia &theta; będzie uwarunkowany rozkładem gęstości centrów rozpraszających w jądrze, który uwarunkowany jest rozkładem masy i ładunków w naszym badanym obiekcie. Do badania rozkładu ładunku elektrycznego najlepiej do tego służą elektrony, ponieważ one kulombowsko oddziaływają z protonami, a więc daje ta metoda czystą informację o rozkładzie ładunku elektrycznego w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r). Relacje rozpraszania neutronów na jądrach atomowych dostarczają o rozkładzie masy w jądrze &rho;{{Sub|m}}(r). Realizacja tego projektu jest bardzo kłopotliwa ze względu na trudności z uzyskania wysokoenergetycznych neutronów. Relacje rozpraszanie protonów p są najtrudniejsze do interpretacji wyników doświadczalnych, gdyż oddziaływają one z jądrem atomowym ze względu na to, że ten obiekt posiada ładunek elektryczny, czyli oddziałuje kulombowsko odpychająco z jądrem atomowym i też za pomocą sił jądrowych i takie rozpraszanie dostarcza zarówno informacje o rozkładzie masy i ładunku wewnątrz jądra. {{Rysunek|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy).png|rcnprlm|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy)}} Aby cząstka mogła wniknąć do jądra atomowego, to powinna mieć długość fali de Broglie'a odpowiednio małą do rozmiarów badanego jądra. Przelicznik długości fali w zależności od jej energii padającej na jądro atomowe wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_e={{200}\over{E_e(MeV)}}fm\;</MATH>|1.32}} * dla {{Formuła|<MATH>E_e=500MeV\;</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>\lambda_e=0,4fm\;</MATH>}}. Jeśli ładunek byłby skupiony w jednym punkcie, to różniczkowy przekrój czynny dla cząstek o energii E na jądrach o liczbie atomowej Z jest napisany wzorem Motta: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}\right)_M=\left({{Ze^2}\over{2E_e}}\right)^2{{\cos^2{{\theta}\over{2}}}\over{\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+{{2E_e}\over{m_ec^2}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\right)\;</MATH>|1.33}} Jeśli uwzględnimy rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego w rzeczywistym jądrze atomowym, to według przybliżenia Borna pierwszego rzędu (mały ładunek jądra atomowego) piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}=\left({{d\sigma(E_c)}\over{d\Omega}}\right)_M|F(q)|^2\;</MATH>|1.34}} Tzn. wzór Motta ulega modyfikacji przy udziale czynnika kształtującego, który zależy od gęstości ładunku w tymże obiekcie wiedząc, że q jest pędem przekazywanym jądru (w jednostkach {{Formuła|<MATH>\hbar\;</MATH>}}) w wyniku zderzeń: {{CentrujWzór|<MATH>F(q)={{4\pi}\over{Zeq}}\int_0^{\infty}\rho_e(r)\sin(qr)rdr\;</MATH>|1.35}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 98hrh5372zfyeauvvrtph7joduapap6 0 21972 558601 513566 2026-10-04T19:43:01Z Persino 2851 558601 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Multipolowe momenty elektryczne jąder == Multipolowe momenty elektryczne jąder atomowych dzielimy na: * '''wewnętrzne''' {{Formuła|<MATH>Q_{\lambda}\;</MATH>}} określonych w układzie współrzędnych związanych z jądrem atomowym, * '''spektroskopowe''' {{Formuła|<MATH>Q^s_{\lambda}\;</MATH>}} określone w układzie laboratoryjnym, których wartości mogą być wyznaczone bezpośrednio w pomiarach dla każdego stanu dyskretnego jądra. === Momenty wewnętrzne === Momenty wewnętrzne określamy zgodnie z klasyfikacją dla dyskretnych ładunków dyskretnych o współrzędnych (x{{Sub|I}},y{{Sub|i}},z{{Sub|i}}). ==== Moment monopolowy ==== Moment monopolowy elektryczny jest to całkowity ładunek jądra atomowego oznaczonej poniżej, czyli jest to sumowanie po ładunkach należący do jądra atomowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_0=\sum_{i=1}^Ze_i=Ze\;</MATH>|2.1}} ==== Moment elektryczny dipolowy ==== Moment elektryczny dipolowy, którego współrzędne są sumami iloczynów i-tej współrzędnej położenia x{{Sub|i}} i i-tego ładunku dyskretnego znajdujący się w jądrze atomowym, jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Q}_1=(Q_x,Q_y,Q_z)\mbox{ gdzie: }Q_x=\sum_{i=1}^Zx_ie_i,Q_y=\sum_{i=1}^Zy_ie_i\mbox{, }Q_z=\sum_{i=1}^Zz_ie_i\mbox{ itd.}\;</MATH>|2.2}} ==== Moment kwadrupolowy ==== Momentem elektrycznym kwadrupolowym nazywamy obiekt w postaci macierzy, którego poszczególne elementy są sumami iloczynów po ładunku dyskretnym e{{Sub|i}} przez położenie iloczynu dwóch współrzędnej dla i-tej cząstki (mogą być dwa te same współrzędne charakteryzujące daną cząstkę): {{CentrujWzór|<MATH>\hat{Q}_2=\begin{pmatrix} Q_{xx}&Q_{xy}&Q_{xz}\\ Q_{yx}&Q_{yy}&Q_{yz}\\ Q_{zx}&Q_{zy}&Q_{zz}\end{pmatrix}\mbox{, gdzie: }Q_{xx}=\sum_{i=1}^Ze_ix_i^2\mbox{, }Q_{xy}=\sum_{i=1}^Ze_ix_iy_i\;</MATH>|2.3}} ==== Układy o symetrii osiowej ==== Dla układów o symetrii osiowej (sferycznej) mamy {{Formuła|<MATH>|\vec{Q}_1|=Q_z\;</MATH>}}, gdyż Q{{Sub|x}}=Q{{Sub|y}}=0. Upraszcza sie również moment elektryczny kwadrupolowy, bo {{Formuła|<MATH>Q_2\rightarrow Q_{20}\;</MATH>}}, gdyż jego elementy Q{{Sub|xy}}=Q{{Sub|yz}}=Q{{Sub|zx}}=0, a także zachodzi Q{{Sub|xx}}=Q{{Sub|yy}}. Policzmy moment elektryczny Q{{Sub|20}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{20}=2(Q_{zz}-Q_{xx})=\sum_{i=1}^Ze_i(2z_i^2-2x_i^2)=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-(x_i^2+y_i^2+z_i^2))=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-r_i^2)\;</MATH>|2.4}} Dla ciągłych rozkładów ładunków dla przypadków osiowosymetrycznych człon monopolowy i dipolowy (który jest zawsze równy zero dla naszego przypadku) przestawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Q_0=\int_V\rho_e(\vec{r})dV=Ze\;</MATH>|2.4a}} |2={{CentrujWzór|<MATH>Q_{10}=\int_Vx\rho_e(\vec{r})dV=0\;</MATH>|2.5}} }} Człon kwadrupolowy przestawiamy jako odpowiednik dla przypadku dyskretnego {{LinkWzór|2.4}}, czyli jej postać ciągła powstaje po zastąpieniu ładunku e{{Sub|i}} przez iloczyn gęstości ładunku w danym punkcie i nieskończenie małej objętości, a sumowanie całką po całej objętości jądra, w której zawarty jest ten ładunek, przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{20}=\int_V\rho_e(\vec{r})(3z^2-r^2)dV=\int_V\rho_e(r) r^2(3\cos^2\phi-1)dV=\sqrt{{16\pi}\over{5}}\int_V\rho_e(r)r^2\sqrt{{{5}\over{16\pi}}}(3\cos^2\phi-1)dV=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sqrt{{16\pi}\over{2\cdot 2+1}}\int_V\rho(r)r^2Y_{20}dV\;</MATH>|2.6}} Gęstość ładunku elektronowego zawarta w równaniach {{LinkWzór|2.4}}, {{LinkWzór|2.5}} i {{LinkWzór|2.6}} przestawiamy mając funkcję &psi;{{Sub|i}}(r), której kwadrat modułu jest prawdopodobieństwem znalezienia protonu i neutronu w danym punkcie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_e(r)=e\sum_{i=1}^Z\psi_i(r)\cdot\psi_i^*(r)\;</MATH>|2.7}} Człon dipolowy przy definicji gęstości elektrycznej ładunku {{LinkWzór|2.7}} dla przypadku osiowosymetrycznego przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=e\int z\sum_{i=1}^Z|\psi_i(r)|^2dV=0\;</MATH>|2.8}} Momenty elektryczne o wymiarze nieparzystym &lambda; w symetrii osiowosymetrycznym są tożsamościowo równe zero, co wynika że całka z funkcji nieparzystej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\lambda\mbox{=nieparzyste}}\equiv 0\;</MATH>|2.9}} Jeśli wprowadzimy funkcje kuliste przy definicji momentu elektrycznego rzędu &lambda;, która jest operatorem wewnętrznego momentu elektrycznego dla dowolnego rozkładu: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{Q}^0_{\lambda\mu}=\sqrt{{{16\pi}\over{2\lambda+1}}}\int_V\rho_e(r,\theta,\phi)r^{\lambda}Y_{\lambda\mu}(\theta,\phi)dV</MATH>|2.10}} Dla rozkładu osiowosymetrycznych definicja operatora momentu elektrycznego {{LinkWzór|2.10}} dla &mu;=0, piszemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{Q}_{\lambda 0}=\sqrt{{{16\pi}\over{2\lambda+1}}}\int_V\rho_e(r,\phi)r^{\lambda}Y_{\lambda 0}(\phi)dV\;</MATH>|2.11}} Widzimy, że moment elektryczny kwadrupolowy Q{{Sub|20}} {{LinkWzór|2.6}} również wynika z definicji {{LinkWzór|2.11}}. Jeśli zechcemy policzyć Q{{Sub|&lambda;0}} musimy znać rozkład gęstości ładunku w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r,&theta;), a także znać kształt jądra R(&theta;) przy zdefiniowanych parametrach deformacji &beta;{{Sub|2}}, &beta;{{Sub|4}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>R(\theta)=R_0(1+\beta_2Y_{20}(\phi)+\beta_4Y_{40}(\phi)+...)\;</MATH>|2.12}} Współczynnik &beta;{{Sub|&alpha;}} nazywamy współczynnikami deformacji, a R{{Sub|0}} nazywamy promień jądra w przypadku braku deformacji. Mając odwrotnie policzone momenty elektryczne Q{{Sub|20}},Q{{Sub|40}},(Q{{Sub|60}}) można coś wywnioskować o parametrach deformacji &beta;{{Sub|2}}, &beta;{{Sub|4}}, (&beta;{{Sub|6}}). {{Rysunek|Elipsoida obrotowa.png|eo|Elipsoida obrotowa}} Mając parametr deformacji &beta;{{Sub|2}} oraz R{{Sub|0}} obliczmy moment kwadrupolowy Q{{Sub|20}} jądra o kształcie elipsoidy obrotowej o ładunku Ze, mając na uwadze jądro o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego &rho;(r)=&rho;{{Sub|0}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\beta_2=4\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{a+2b}}={{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\;</MATH>|2.13}} |2={{CentrujWzór|<MATH>R_0={{a+2b}\over{3}}\;</MATH>|2.14}} }} Moment elektryczny kwadrupolowy przedstawiamy w zależności od &beta;{{Sub|2}}, a na samym końcu od półosi "a" i "b" elipsoidy obrotowej: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{20}={{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze\beta_2\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}\beta_2\right)= {{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze{{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}{{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{6R_0+a-b}\over{6R_0}}={{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{2a+4b+a-b}\over{6R_0}}={{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{3(a+b)}\over{6R_0}}={{2}\over{5}}Ze(a^2-b^2)\;</MATH>|2.15}} === Jądra o dowolnym kształcie === Dla jąder o dowolnym kształcie deformację R(&theta;&phi;) wyrazimy w bazie funkcji kulistych Y{{Sub|lm}}(&theta;,&phi;) względem jego współczynników: {{CentrujWzór|<MATH>R(\theta\phi)=R_0\left(1+\sum_{\alpha\beta}\alpha_{\alpha\beta}Y_{\alpha\beta}(\theta,\phi)\right)\;</MATH>|2.16}} {{Rysunek|Jądra odpowiednio zdeformowane.png|joz|Jądra odpowiednio zdeformowane}} Jeśli funkcje &alpha;{{Sub|&alpha;&beta;}} są to współczynniki dynamiczne, to one zależą od czasu, jeśli natomiast są niezależne od czasu są to współczynniki statystyczne. W przypadku deformacji osiosymetrycznej wzór {{LinkWzór|2.16}} przechodzi w {{LinkWzór|2.12}}. Dla tej deformacji, gdy jeśli &beta;{{Sub|&lambda;}}>0, to nazywamy deformacją dodatnią, a jeśli &beta;{{Sub|&alpha;}} <0, to jest to deformacja ujemna. Jako dolny wskaźnik występuje przy parametrze &beta; pewien parametr naturalny z zerem &lambda;, co ten parametr dla: * &lambda;=0 nazywamy deformacja monopolową, * &lambda;=1 deformacją dipolową, * &lambda;=2 deformacją kwadrupolową, * &lambda;=3 deformacją oktupolowa, * &lambda;=4 deformacją heksakwadrupolowa. == Elektryczne momenty spektroskopowe == Elektryczne momenty spektroskopowe są określane w doświadczeniu, więc są określone w laboratoryjnym układzie współrzędnych. Transformacje operatorów {{Formuła|<MATH>\hat{Q}_{\lambda\mu}\;</MATH>}} zdefiniowanego w układzie związanym z jądrem do układu laboratoryjnego o dowolnej orientacji można rozłożyć na trzy kąty dookoła odpowiednich osi współrzędnych, któremu odpowiadają trzy kąty Eulera. Elementy macierzowe obrotu z układu związanego z jądrem do układu laboratoryjnego możemy napisać, jeśli zdefiniujemy uogólnione funkcje kuliste {{Formuła|<MATH>D^I_{nn^'}(\omega)\;</MATH>}}. Jeśli układ laboratoryjny i wewnętrzny mają ten sam początek, to transformacja momentu elektrycznego wewnętrznego {{Formuła|<MATH>\hat{Q}^0_{\lambda\mu}\;</math>}} z układu związanego z jądrem na układ laboratoryjny jest: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{Q}_{\lambda0}^s=\sum_nD_{0n}^I(\omega)\hat{Q}_{\lambda\mu}^0\;</MATH>|2.17}} {{Rysunek|Obracające się jądro atomowe.png|osja|Obracające się jądro atomowe}} * Jądro pokazane według rysunku obok obraca się wokół osi k, a oś k obraca się wokoło osi I, a ono wokół osi M. ** gdzie I oznacza całkowity moment pędu układu jako jądra atomowego, a M oznacza jego całkowitą magnetyczną liczbę kwantową. Określmy stany, które są opisane funkcjami stanu |I,M=I,k>, wtedy spektroskopowy moment elektryczny jest rzędu &lambda;, tzn. we wzorze na deformacje jądra atomowego {{LinkWzór|2.12}} największy parametr deformacji jest &beta;{{Sub|&lambda;}}, tzn. gdy jest o największym wskaźniku &lambda;, określamy go przy pomocy {{LinkWzór|2.11}} pisząc go jako: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\lambda}^s(M=I,k)=\langle Ik|\hat{Q}_{\lambda\mu}|Ik\rangle\;</MATH>|2.18}} Najważniejsze są elementy spektroskopowe wewnętrzne kwadrupolowe z definiowane na podstawie {{LinkWzór|2.18}} są zdefiniowane przy pomocy momentu wewnętrznego Q{{Sub|20}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_2^s(Ik)=\langle Ik|\hat{Q}_{20}|Ik\rangle={{3k^2-I(I+1)}\over{(3+2I)(1+I)}}Q_{20}\;</MATH>|2.19}} Gdy parametr I=k, wtedy moment elektryczny spektroskopowy określamy przy pomocy momentu wewnętrznego Q{{Sub|20}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_2^s(I=k)={{3I^2-I^2-I}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}={{2I^2-I}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}={{I(2I-1)}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}\;</MATH>|2.20}} {{Rysunek|Jądra prolate i oblate.png|ajpbjo|a) Jądra prolate, b) jądra oblate.}} Widzimy, że moment elektryczny spektroskopowy {{Formuła|<MATH>Q_2^s\;</MATH>}} {{LinkWzór|2.20}} jest równy zero, gdy I=0, lub I=1/2, który zachodzi nawet, gdy Q{{Sub|20}} jest nie równe zero. * Jądra sferyczne mają moment wewnętrzny Q{{Sub|&lambda;}}=0, a dla jąder zdeformowanych ten sam moment Q{{Sub|20}} jest nie równy zero. Gdy moment elektryczny wewnętrznym spełnia warunek Q{{Sub|20}}>0 dla jąder dla których zachodzi &beta;{{Sub|2}}>0, nazywamy jądrami z deformacją dodatnią (przykład a) ("PROLATE"), a jądra o momencie elektrycznym wewnętrznym Q{{Sub|20}}<0 (przykład b), dla których parametr deformacji jest &beta;{{Sub|2}}<0, nazywamy jądra z deformacją ujemną ("OBLATE"). {{Rysunek|Jądra zdeformowane a liczby magiczne.png|jzalm|Jądra zdeformowane a liczby magiczne.}} Granice obszarów jąder zdeformowanych określają liczby magiczne. Znaczna część jąder atomowych ma kształt "PROLOLATE", tj.&beta;{{Sub|2}}>0, a jądra o &beta;{{Sub|2}} ("OBLATE") można znaleźć je obszarze dla A&asymp;130 i dla A&asymp;200. W stanie podstawowym jądra zdeformowane mają parametr deformacji, które są równe |&beta;{{Sub|2}}|&le;0,3, dla którego momenty elektryczne kwadrupolowe są równe: |Q{{Sub|20}}|&le;5eb oraz Q{{Sub|40}}&le;0,7eb{{Sup|2}}. Deformacja zwana superdeformacją nazywamy takie stany jąder wzbudzonych jąder, które są o wysokich energiach i spinie, który pierwszy jego parametr deformacji jest równy &beta;{{Sub|2}}&asymp;0,6, a można je spotkać w jądrach o N&asymp;82 i o Z&asymp;64. == Moment magnetyczny jąder atomowych == {{Rysunek|Moment_dipolowy.png|mdkp|Moment dipolowy krążącego protonu}} {{Rysunek|Procesja_nukleonu.png|pn|Procesja nukleonu}} Ruchem nukleonów można powiązać pewien prąd elektryczny, które są opisywane przez momenty magnetyczne różnych rzędów. Istotny tutaj jest moment magnetyczny rzędu najniższego zwanego momentem dipolowym. Moment elektryczny dla elektronów został już wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|18.1|Doświadczenie_Sterna-Gerlacha_i_efekt_Zeemana|Mechanika_kwantowa|MK}}, ale my ten wynik przepiszemy zamieniając masę elektronu na masę protonu, wtedy moment magnetyczny w zależności od momentu pędu neutronu przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}={{e}\over{2m_p}}\vec{l}\;</MATH>|2.21}} Jeśli wprowadzimy współczynnik giromagnetyczny g do wzoru {{LinkWzór|2.21}}, bo moment dipolowy może być w przybliżeniu opisany przy pomocy powyższej formuły w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}=g{{e}\over{2m_p}}\vec{I}=g{{\mu_N}\over{\hbar}}\vec{I}\;</MATH>|2.22}} Jeśli wprowadzimy liczby kwantowe całkowitego momentu pędu, to długość momentu dipolowego {{LinkWzór|2.22}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>|\vec{\mu}|=g{{e\hbar}\over{2m_p}}\sqrt{I(I+1)} \;</MATH>|2.23}} Składową zetową momentu dipolowego możemy napisać z jej definicji przy pomocy długości całkowitego momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_z=|\vec{\mu}|\cos\beta=|\vec{\mu}|{{m\hbar}\over{|\vec{I}|}}=g{{e\hbar}\over{2m_p}}\sqrt{I(I+1)}{{m\hbar}\over{\hbar\sqrt{I(I+1)}}}=g{{e\hbar m}\over{2m_p}}=g\mu_N m\;</MATH>|2.24}} Zwykle oznaczamy, dla maksymalnego rzutu spinu: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_z^{max}=g{{e\hbar}\over{2m_p}}I\;</MATH>|2.24a}} * gdzie wielkość {{Formuła|<MATH>{{e\hbar}\over{2m_p}}=\mu_N\;</MATH>}} nazywamy magnetonem jądrowym podobnie jak magneton Bohra, który określamy tylko dla elektronu. Całkowity moment pędu nukleonu jest sumą jej pędu orbitalnego i spinowego i wyraża się on: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;</MATH>|2.25}} Podobnie zachodzi dla momentu magnetycznego, że jest ona sumą momentu dipolowego pochodzący od jej ruchu orbitalnego i spinowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}_j=\vec{\mu}_l+\vec{\mu}_s\;</MATH>|2.30}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>\vec\mu_j\;</math>}} jest magnetonem całkowitego momentu pędu. : {{Formuła|<MATH>\vec \mu_l\;</MATH>}} to moment magnetyczny orbitalny. : {{formuła|<MATH>\vec\mu_s\;</MATH>}} jest momentem magnetycznym spinowym. Zauważmy, że kierunek {{Formuła|<MATH>\vec \mu_l\;</MATH>}} nie musi się pokrywać z {{Formuła|<MATH>\vec j\;</MATH>}}. Podamy w tabelce wartości współczynników giromagnetycznych dla ruchu orbitalnego i spinowego: {{Tabelka|opcje=width=auto|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|{{Strong|Współczynniki giromagnetyczne dla protonu, neutronu i elektronu spinowy i orbitalny}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|g}}<!-- -->{{Komórka|p}}<!-- -->{{Komórka|n}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|g{{Sub|s}}}}<!-- -->{{Komórka|+5,5858}}<!-- -->{{Komórka|-3,8261}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|g{{Sub|l}}}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rozpatrzmy teraz jądro o wielu nukleonach, które posiadają moment magnetyczny, które sprzęgają się ze sobą w całkowity moment magnetyczny jądra {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}_I=\sum_{i=1}^Z\vec{\mu}_i^p+\sum_{i=1}^N\vec{\mu}_i^n\mbox{ gdzie:}\vec{\mu}_{i}=(\vec{\mu}_{orb}+\vec{\mu}_{spin})_i\;</MATH>|2.31}} Widzimy, że całkowity moment magnetyczny dipolowy jest zależny od momentów magnetycznych protonów i neutronów, czyli od nukleonów wchodzących w skład jądra atomowego. A poszczególne momenty magnetyczne dla pojedynczego nukleonu są sumą jej momentu magnetycznego orbitalnego i spinowego. W mechanice kwantowej całkowity moment dipolowy definiuje się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}=\langle I,M=I|\hat{\vec{\mu}}|I,M=I\rangle\;</MATH>|2.32}} Całkowity moment dipolowy {{LinkWzór|2.32}} jest napisany dla stanu M=M{{Sub|max}}=I. Dla pojedynczego nukleonu jego całkowity moment pędu jest określany przez {{Formuła|<MATH>\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;</MATH>}}, wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|2.22}}, wtedy całkowity moment magnetyczny nukleonu określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\vec{\mu}}=\hat{\vec{\mu}}_j=\hat{\vec{\mu}}_l+\hat{\vec{\mu}}_s={{\mu_N}\over{\hbar}}(g_l\hat{\vec{l}}+g_s\hat{\vec{s}})\;</MATH>|2.33}} Wartość momentu magnetycznego, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\langle j,j|\mu_x|j,j\rangle=\langle j,j|\mu_y|j,j\rangle=0\;</MATH>}}, określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=\langle j,m=j|\hat{\vec{\mu}}_j|j,m=j\rangle=\langle j,j|\hat{\mu}_z|j,j|\rangle\;</MATH>|2.35}} === Model jednocząstkowy sferyczny === {{Rysunek|The total angular momentum and magnetic moment as the sum of the moment the spin and orbital.png|cmpimm|Całkowity moment pędu i moment magnetyczny}} Stan nieparzystego jądra w tym modelu określa stan nukleonu walencyjnego, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{I}_{sp}=\vec{j}\;</MATH>}}, co i także zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{\mu}_{sp}=\vec{\mu}_j\;</MATH>}}. Wyliczmy teraz moment magnetyczny dla całego jądra nieparzystego, który jest momentem magnetyczny tylko jednego nukleonu walencyjnego. Patrząc na wzór {{LinkWzór|2.33}} można powiedzieć, że kierunki {{Formuła|<MATH>\vec{j}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\mu}_j\;</MATH>}} nie pokrywają się ze sobą. Wartość średnią operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{A}}\;</MATH>}} w układzie zamkniętym, w którym obowiązuje funkcja falowa {{Formuła|<MATH>|j,m\rangle\;</MATH>}}, którego rzut wektora momentu pędu na oś zetową, czyli jest {{Formuła|<MATH>\hat{j}_z\;</MATH>}} określana przez {{Formuła|<MATH>j_z=m\hbar\;</MATH>}}, określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\langle j,m|\hat{\vec{A}}|j,m\rangle=\langle j,m|\hat{j}_z|j,m\rangle{{\langle j,m|\hat{\vec{A}}\hat{\vec{j}}|j,m\rangle }\over{\langle j,m|\hat{j}^2|j,m\rangle}}\;</MATH>|2.36}} Będziemy korzystać ze wzorów określonych na operatorach momentu spinowego, orbitalnego i całkowitego momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\vec{s}}^2=(\hat{\vec{j}}-\hat{\vec{l}})^2=\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{l}}^2-2\hat{\vec{j}}\hat{\vec{l}}\Rightarrow \hat{\vec{j}}\hat{\vec{l}}={{1}\over{2}}\left(\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{l}}^2-\hat{\vec{s}}^2\right)\;</MATH>|2.37}} {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\vec{l}}^2=(\hat{\vec{j}}-\hat{\vec{s}})^2=\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{s}}^2-2\hat{\vec{j}}\hat{\vec{s}}\Rightarrow \hat{\vec{j}}\hat{\vec{s}}={{1}\over{2}}\left(\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{s}}^2-\hat{\vec{l}}^2\right)\;</MATH>|2.38}} Wyznaczmy moment dipolowy dla m=j dla jednego nukleonu walencyjnego wykorzystując przy tym {{LinkWzór|2.36}} na średnią wartość operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{A}}\;</MATH>}}, a także z udowodnionych tożsamości {{LinkWzór|2.37}} i {{LinkWzór|2.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}=\langle jj|\hat{j}_z|jj\rangle{{\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle}\over{\langle jj|\hat{j}^2|jj\rangle}}=j\hbar{{\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle}\over{j(j+1)\hbar}}={{1}\over{(j+1)\hbar}}\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle= {{\mu_N}\over{(j+1)\hbar^2}}\langle jj|g_l\hat{\vec{l}}\cdot\hat{\vec{j}}+g_s\hat{\vec{s}}\cdot\hat{\vec{j}}|jj\rangle =\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\mu_N}\over{2(j+1)\hbar^2}}\langle jj|g_l(\hat{j}^2+\hat{l}^2-\hat{s}^2)+g_s(\hat{j}^2+\hat{s}^2-\hat{l}^2)|jj\rangle=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left\{g_l\left[j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)\right]+g_s\left[j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)\right]\right\}</MATH>|2.39}} Rozpatrzmy teraz dwa przypadki, tzn. dla j=l+1/2 i j=l-1/2, wtedy końcowy wzór {{LinkWzór|2.39}} dla tego pierwszego rozpisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg\{g_l\left[j(j+1)+\left(j-{{1}\over{2}}\right)\left(j-{{1}\over{2}}\right)-{{3}\over{4}}\right]+g_s\left[j(j+1)-\left(j-{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{1}\over{2}}\right)+{{1}\over{4}}\right]\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(j^2+j+j^2-{{1}\over{4}}-{{3}\over{4}}\right)+g_s\left(j^2+j-j^2+{{1}\over{4}}+{{3}\over{4}}\right)\right]= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(2j^2+j-1\right)+g_s\left(j+1\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l[2j(j+1)-j(j+1)]+g_s(j+1)\right]=\mu_N\left[g_l\left(j-{{1}\over{2}}\right)+{{1}\over{2}}g_s\right]</MATH>|2.40}} I dalej rozpatrzmy drugi przypadek, tzn. j=l-1/2: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg\{g_l\left[j(j+1)+\left(j+{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{3}\over{2}}\right)-{{3}\over{4}}\right]+g_s\left[j(j+1)-\left(j+{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{3}\over{2}}\right)+{{3}\over{4}}\right]\Bigg\}\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg[g_l\left(j^2+j+j^2+{{3}\over{2}}j+{{1}\over{2}}j+{{3}\over{4}}-{{3}\over{4}}\right)+g_s\left(j^2+j-j^2-{{3}\over{2}}j-{{1}\over{2}}j-{{3}\over{4}}+{{3}\over{4}}\right)\Bigg]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(2j^2+3j\right)-jg_s\right]={{j}\over{j+1}}\mu_N\left[\left(j+{{3}\over{2}}\right)g_l-{{1}\over{2}}g_s\right]</MATH>|2.41}} Biorąc kolejno współczynniki współczynniki giromagnetyczne podane powyżej w tabelce, to momenty magnetyczne możemy je policzyć dla protonu kolejno dla {{Formuła|<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, ale w jednostkach &mu;{{Sub|N}}: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}=I+2,293\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.42}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}=I-1,293{{I}\over{I+1}}\;,</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.43}} }} A także policzmy momenty magnetyczne dla neutronów dla przypadków I=l+1/2 i I=l-/12 kolejno, ale w tych samych jednostkach co poprzednio: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>\mu_{sp}=-1,913\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.44}}|2={{CentrujWzór|<math>\mu_{sp}={{I}\over{I+1}}1,913\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.45}}}} == Funkcja gęstości materii jądrowej == {{Rysunek|Gęstość jąder w zależności od promienia.png|gjwzop|Gęstość jąder w zależności od promienia}} Funkcje rozkładu gęstości masy i ładunku w jądrach atomowych są bardzo do siebie podobne. Protony p i neutrony n są bardzo wymieszane ze sobą dokładnie &rho;{{Sub|e}}(r)=&rho;{{Sub|m}}(r)=&rho;(r). Dobrym przybliżeniem rzeczywistego rozkładu &rho;(r) jest rozkład Fermiego: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(r)={{\rho(r)}\over{1+e^{{r-R_{1/2} }\over{a}} } }\;</MATH>|2.46}} * gdzie &rho;(0) i R{{Sub|1/2}} i " a"są to parametry dobierane w wyniku doświadczenia. Odkryto doświadczalnie, że ta stała &rho;(0) ma wartość &rho;(0)=0,17 nukleonów/fm{{Sup|3}}. Gęstość jądra słabo zależy od A&ge;20 i może nieco malec w środku jądra. Obszar stałej gęstości &rho;(r) znika dla jąder lekkich Z<6. Wartość promienia połówkowego zależy od liczby masowej A i jest wyrażona przez R{{Sub|1/2}}=(1,18A{{Sup|1/3}}-0,48)fm</strong>, a grubość warstwy połówkowej piszemy przez t=4,39a, które wolno zmienia się (rośnie) wraz ze wzrostem A, i dla A>20, to t=2,4fm, a gdy A<20, to t=2,0fm. Warstwa powierzchniowa nie znika nawet dla jąder bardzo lekkich. Przyjmuje, że parametr rozkładu jest a&asymp;0,55fm. Wyznaczmy parametr t i udowodnijmy, że t=4a ln 3, jako różnicy pomiędzy promieniami od środka jądra dla gęstości jadra 0,1&rho;(0) i 0,9&rho;(0), wtedy ze wzoru {{LinkWzór|2.46}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH>1+e^{{{r-R_{1/2}}\over{a}}}={{\rho(0)}\over{\rho(r)}}\Rightarrow e^{{{r-R_{1/2}}\over{a}}}={{\rho(0)}\over{\rho(r)}}-1\Rightarrow r-R_{1/2}=a\ln\left({{\rho(0)}\over{\rho(r)}}-1\right) \Rightarrow t=a\ln{{{{\rho(0)}\over{0,1\rho(0)}}-1}\over{{{\rho(0)}\over{0,9\rho(0)}}-1}}=a\ln{{0,9}\over{0,1}}{{0,9}\over{0,1}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= a\ln 9^2=a\ln 3^4=4a\ln 3\Rightarrow t=4a\ln 3</MATH>|2.47}} W niektórych jądrach silnie neutrononadmiarowych występuje tzw. aureola (hallo), którą jest grupą słabo związanych neutronów oddalonych od innych. * Rozpatrzmy jądro litu {{Formuła|<MATH>{}^{11}_3Li_8\;</MATH>}}, który ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^{11}Li)=5fm\;</MATH>}}, a sam jego rdzeń bez neutronów aureoli ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^9Li)=3fm</MATH>}}, czyli na aureole składają się na dwa neutrony. To jądro wraz neutronami aureoli rozpada się samorzutnie na jądro Be w czasie połowicznego rozpadu 9 ms. {{Formuła|<math>{}^{11}_{3}Li_8\xrightarrow{9ms}{}^{11}_4 Be_7\;</MATH>}}. Energia wiązania dwóch neutronów jest S{{Sub|2n}}=250 keV. * Samo jądro {{Formuła|<MATH>{}^{11}Be\;</MATH>}} z jednym neutronem aureoli ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^{11}Be)=7fm\;</MATH>}}, energia wiązania tego neutronu jest S{{Sub|n}}=500 keV. == Poziomy energetyczne jąder atomowych == Jądra atomowe są to układy związane przy pomocy sił jądrowych, taki układ może znajdować się w stanach przyjmujących zarówno wartości dyskretne jak i ciągłe. * Stany dyskretne odpowiadają ruchom, nukleonów w ograniczonej przestrzeni, tj. w studni jądrowego potencjału V(r). * Stany o widmie ciągłym odpowiadają ruchom w nieograniczonej przestrzeni, gdy przynajmniej jeden nukleon opuszcza jądro, co wtedy zachodzi, gdy energia wzbudzenia E{{Sub|wz}} jest większa od energii separacji. Własności każdego stanu opisuje funkcja falowa &psi;{{Sub|E}}(q,t), który spełnia równanie falowe Schrödingera: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\hat{H}\psi\;</MATH>|2.48}} Dla stanów dyskretnych energie E{{Sub|n}} odpowiadają równaniu falowemu: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n\;</math>|2.49}} Mając tak przestawione równanie falowe o stanie E{{Sub|n}}, to rozwiązaniem równania falowego zależnego od czasu {{LinkWzór|2.48}} są funkcje falowe: {{CentrujWzór|<math>\psi_n(E_n,q,t)=e^{-{{iE_n t}\over{\hbar}}}\varphi_n(q)\;</MATH>|2.50}} Funkcje &phi;(q) są to funkcje niezależne od czasu "t", ale zależne od zmiennych q opisujących stan nukleonów w danym stanie energetycznym E{{Sub|n}}. Dla takich stanów gęstość prawdopodobieństwa rozkładu nukleonu w jądrze nie zależy od czasu patrząc na {{LinkWzór|2.50}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_n(t,q)|^2=|\varphi_n(q)|^2\;</MATH>|2.51}} Stany spełniające warunek {{LinkWzór|2.51}} nazywamy stanem stacjonarnym, a stany o najniższej energii to są stany podstawowe, a pozostałe stany są stanami wzbudzonymi. Ogólnie można powiedzieć, że nukleon może się znajdować się w stanie dyskretnym z energią E{{Sub|n}}, jak i w stanach ciągłych, co opisuje taki stan nukleonu w jądrze funkcja falowa: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\sum_na_n\psi_n+\int a_E\psi_EdE\;</MATH>|2.52}} * Funkcje &psi;{{Sub|n}} i &psi;{{Sub|E}} są to funkcje falowe stanów stacjonarnych o widmie dyskretnym i ciągłym, których |a{{Sub|n}}|{{Sup|2}} i |a{{Sub|E}}|{{Sup|2}} jest to prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa znalezienia jądra o stanie energii E{{Sub|n}} lub o energii (E,E+dE). Stany jądra atomowego odzwierciadlająca własności jąder obserwowanego w doświadczeniu mówimy, że określa strukturę jądra atomowego. Stany wzbudzone, a także jądra niestabilne, które nie spełniają warunków stacjonarności ulegają spontanicznym przemianom z emisją kwantu &gamma; lub też innych cząstek, przy czym zmienia się stan ruchu poszczególnych nukleonów znajdujących się w jądrze atomowym. Tym stanom formalnie nie można przyporządkować ścisłe określonej energii E{{Sub|n}}, lecz średnią energię {{Formuła|<MATH>\langle E\rangle=E_0\;</MATH>}}, której odpowiada funkcja falowa {{Formuła|<MATH>\psi_{E_{0}}(q,t)=\int_Ea_E\psi_EdE\;</MATH>}}. {{Rysunek|Prawdopodobieństwo stanu quasistacjonarnego.png|rlzdds|Rozkład Lorentza z dokładnością do stałej}} Znając średni czas życia &tau; związanym z nietrwałym poziomem o średniej energii E{{Sub|0}}, a także o szerokości połówkowej poziomu &Gamma;, to nieoznaczoność czasu i energii powiążemy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\cdot\tau=\hbar\;</MATH>|2.53}} Stany układów kwantowych o energii E{{Sub|0}}>>&Gamma; nazywamy quasistacjonarnymi. To prawdopodobieństwo znalezienia stanu o energii E określa rozkład Lorentza: {{CentrujWzór|<MATH>|a_E|^2\sim{{{{1}\over{4}}\Gamma^2}\over{(E-E_0)^2+\left({{\Gamma}\over{2}}\right)^2}}\;</MATH>|2.54}} {{Rysunek|Stany ciągłe i dyskretne jąder atomowych.png|scidja|Stany ciągłe i dyskretne jąder atomowych}} Z doświadczenia wiadomo, że stany wzbudzone o energiach E{{Sub|wzb}}&lt;S nukleonu (nukleonów) charakteryzują się czasem życia {{Formuła|<MATH>\tau>>\hbar/E_0</MATH>}}, czyli dla czasu życia &tau;&ge; 10{{Sup|-14}} wynika, że &Gamma;&le;0,1eV. Stany o wyjątkowo dużym czasie życia maja małą szerokość połówkową &Gamma;&le;10{{Sup|-15}}eV, te stany nazywamy stanami meta-stabilnymi. W praktyce stany o bardzo małej szerokości połówkowej traktuje się je jak stany dyskretne. Układ stanów dyskretnych jądra liczone względem stanu podstawowego E'{{Sub|s}}=E{{Sub|s}}-E{{Sub|qs}} nazywamy schematem stanów wzbudzonych jądra atomowego. W widmie ciągłym występują poziomy dla E{{Sub|wzb}}&ge;S{{Sub|N}}, które mogą być traktowane jako poziomy o charakterze dyskretnym. Przy E{{Sub|wzb}}>>S{{Sub|N}} gęstość stanów jest na tyle duża, że widmo dyskretne staje się prawie nierozróżnialne od widma ciągłego, dlatego te stany są traktowane jako stany o charakterze ciągłym, bo te stany pokrywają się się swoimi szerokościami. Nie możemy obliczyć stanów energetycznych jąder atomowych teoretycznie, ponieważ nie znamy potencjału V(r) oddziaływania na siebie nukleonów, ponieważ jest to problem wielu mas, który dla nas jest problem nierozwiązywalnym jak dotychczas. == Spin stanów jąder atomowych == Spin jąder atomowych określa całkowity moment pędu jądra, jest to wielkość fizyczna, która jest na równi z energią. Nukleony są w ciągłym ruchu, którym całkowity moment pędu danego nukleonu jest określony na podstawie {{LinkWzór|2.25}}, co dla i-tego nukleonu mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{j}_i=\vec{l}_i+\hat{s}_i\;</MATH>|2.55}} Całkowity moment pędu jądra atomowego, przy wykorzystaniu definicji całkowitego momentu pędu dla danego nukleonu {{LinkWzór|2.55}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}=\sum_{i=1}^A\vec{j}_i\;</MATH>|2.56}} W mechanice kwantowej operator momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{I}}=(\hat{I}_x,\hat{I}_y,\hat{I}_z)\;</MATH>}} definiujemy przy pomocy współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\hat{I}_x=-i\hbar\left(y{{\partial }\over{\partial z}}-z{{\partial }\over{\partial y}}\right)\;</MATH>|2.57}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\hat{I}_y=-i\hbar\left(z{{\partial }\over{\partial x}}-x{{\partial }\over{\partial z}}\right)\;</MATH>|2.58}} |3={{CentrujWzór|<MATH>\hat{I}_x=-i\hbar\left(x{{\partial }\over{\partial y}}-y{{\partial }\over{\partial z}}\right)\;</MATH>|2.59}} }} Funkcje {{Formuła|<MATH>\hat{I}^2\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} mają takie same funkcje własne. Wartościami własnymi kwadratu operatora momentu pędu, operatora zetowego momentu pędu są funkcje własne: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>|\hat{\vec{I}}|^2=I(I+1)\hbar^2\;</MATH>|2.60}} |2={{CentrujWzór|<MATH>I_z=M\hbar;\;</MATH>|2.61}} }} * Dla jądra atomowego liczbę kwantową I=M{{Sup|max}} nazywamy spinem jądra. Operatory hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} zawsze spełniają warunki komutacji, tzn. jest możliwy jednoczesny pomiar energii układu i wartości własnej całkowitego momentu pędu. Z definicji spinu jądra mamy maksymalny rzut całkowitego momentu pędu na oś zetową i ją określamy przez {{Formuła|<MATH>I_z^{max}=M^{max}\hbar=I\hbar\;</MATH>}}. W mechanice kwantowej często {{Formuła|<MATH>I\hbar\;</MATH>}} nazywamy spinem o długości wektora {{Formuła|<MATH>\vec{I}</MATH>}} dla maksymalnego rzutu wektora momentu pędu na oś zetową określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>I\hbar=\langle I,M=I|\hat{I}_z|I,M=I\rangle\;</MATH>|2.62}} == Określenie spinów stanów podstawowych jąder atomowych == === Jądra parzyste === Dla jąder parzysto-parzystych całkowity moment pędu i o parzystości (definicja w {{LinkWzór|2.67}}) określamy przez {{Formuła|<MATH>I^{\pi}_{gs}=0^+\;</MATH>}}, co oznacza, że całkowity momentu pędu układów nukleonów sparowanych jest{{Formuła|<MATH>|\vec{I}_{pary}|=0\;</MATH>}}. W stanie kolektywnym najczęściej występuje pierwszy poziom wzbudzony o wartości całkowitego momentu pędu i parzystości jądra I{{Sup|&pi;}}=2{{Sup|+}}. === Jądra nieparzyste === Dla jąder nieparzystych całkowity moment pędu jądra jest sumą całkowitego momentu pędu dla ściśle określonego nukleonu, która z kolei jest sumą orbitalnego i spinowego momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}=\sum_{i=1}^A\vec{j}_i=\sum_{i=1}^A\left(\vec{l}_i+\vec{s}_i\right)\;</MATH>|2.63}} Można powiedzieć, że dla jądra nieparzystego jądro składa się z sferycznego rdzenia i jednego elektronu walencyjnego, według teorii modelu jednocząstkowego, którego moment pędu jest {{Formuła|<MATH>\hat{I}_{rdzenia}\;</math>}}, a moment nukleonu walencyjnego jest {{Formuła|<math>\vec{j}_{wal}\;</MATH>}}, zatem całkowity moment jądra atomowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}=\vec{I}_{rdzenia}+\vec{j}_{wal}\;</MATH>|2.64}} W '''modelu jednocząstkowym''' będziemy rozpatrywać jądro jako układ złożony z sferycznego rdzenia p-p i jednego nukleonu walencyjnego, to w stanie podstawowym moment pędu rdzenia {{Formuła|<MATH>\vec{I}_{rdzenia}\;</MATH>}} jest równy zero, wtedy całkowity moment pędu {{LinkWzór|2.64}} określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}=\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;</MATH>|2.65}} Operując zamiast na wektorach będziemy operować na liczbach kwantowego całkowitego momentu pędu oraz jej orbitalnego i spinowego momentu pędu, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>I=j=l\pm s\;</MATH>|2.66}} We wzorze {{LinkWzór|2.66}} mamy orbitalną liczbę kwantową określoną przez l=0,1,2,3,..., które są równoważne poziomom według nazw zamiast liczb, tzn. s,p,d,f,g., a także mamy spinowy moment pędu określanej przez s=1/2. W stanach wzbudzonych kwantowa ogólnie liczba całkowitego momentu pędu może mieć dużą wartość nawet dochodzącej do I=50 i większe. Obserwowany w doświadczeniu całkowity moment pędu stanu podstawowego dla jądra atomowego z nukleonami walencyjnymi jak wykazano w doświadczeniu, że jest on równy w zakresie {{Formuła|<MATH>I_{gs}^{\pi}=1/2\mbox{ do }11/2\;</MATH>}}. Zdefiniujmy teraz parzystość, którą określamy poprzez orbitalną liczbę kwantową: {{CentrujWzór|<MATH>\pi=(-1)^l\;</MATH>|2.67}} Widzimy, że ona jest zależna od orbitalnej liczby kwantowej l. == Momenty elektryczne i magnetyczne == Jądro atomowe jest to układ ładunków elektrycznych będącego w ciągłym ruchu określonych nukleonów, które składnikami są "p" i "n". Rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego można z dobrym przybliżeniem opisać przy pomocy funkcji Fermiego podobnym do wzoru {{LinkWzór|2.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(r,\theta,\phi)={{\rho_0}\over{1+e^{{{r-R(\theta,\phi)}\over{a}} }}}\;</MATH>|2.68}} Z bardzo dobrym przybliżeniem rozkład gęstości jądra atomowego spełnia dobrze rozkład jednorodny: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(r)=\begin{cases}\rho_0&\mbox{ gdy }r\leq R\\0&\mbox{ gdy }r>R\end{cases}\;</MATH>|2.69}} Z ruchem nukleonów w jądrze należy powiązać pewne prądy elektryczne, które wytwarzają odpowiednio pole elektryczne i magnetyczne. Oddziaływaniem tychże pól z innymi polami np. ładunkami i prądami, np. z elektronami w atomach prowadzi do tzn. struktury nadsubtelnej w widmie optycznym, gdzie tam postępuje się z zasadami elektrodynamiki klasycznej rozkładając te pola w szeregi multipolowe mając kolejno wyrazy {{Formuła|<MATH>\sim 1/R^n\;</MATH>}}, gdzie n = 1, 2, 3,..., które są określone przez momenty elektryczne lub magnetyczne. W praktyce uwzględnia się momenty najniższych rzędów, tzn. dla momentów elektrycznych rzędu &lambda; = 0, 2, 4, (6), a w przypadku oddziaływania magnetycznego momenty rzędu &lambda;=1. Pozostałe momenty magnetyczne szybko maleją ze wzrostem &lambda;, więc ich się nie uwzględnia. Należy pamiętać, że te momenty multipolowe piszemy przy rozkładzie przestrzennym ładunku &rho;(r,&theta;,&phi;) {{LinkWzór|2.68}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> d7ukj2n3o9t69mvrr4di3h5nhpuaixo 0 21973 558602 513565 2026-10-04T19:53:03Z Persino 2851 558602 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Ogólny schemat rozpadów == Procesy zachodzące spontanicznie z powodów określonych oddziaływań pomiędzy nukleonami, w wyniku której jądro znajduje się w stanie quasistacjonarnym, to jądro przechodzi do stanu niższego energetycznie, ewentualnie emitując cząstkę unoszącą energię rozpadu. W końcowym etapie w wyniku czego jądro przechodzi w stan stacjonarny, które jest jądrem stabilnym w stanie podstawowym. Rozpad: {{CentrujWzór|<MATH>X\rightarrow Y+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.1}} jest dozwolony, jeśli spełnione są warunki opisane poniżej: === Warunek energetyczny === Wynika on z praw zachowania energii, dla jąder X i Y i cząstki a{{Sub|i}} będących w stanach podstawowych, to z tej zasady dla problemu mas wynika wniosek, że suma mas substratów w przemianie jądrowej powinna być większa niż suma mas produktów: {{CentrujWzór|<math>M_j(X)\geq M_j(Y)+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.2}} lub gdy jądra są w stanie wzbudzonym, wtedy dla problemu mas zachodzi suma masy substratów (jądra X) i jej energii wzbudzenia powinna być większa niż suma mas produktów Y, a{{Sub|i}} i energii wzbudzenia jądra Y: {{CentrujWzór|<MATH>M_j(X)+E_{wzb}(X)\geq M_j(Y)+E_{wzb}(Y)+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.3}} Powyżej wyraziliśmy masę i energię w tych samych jednostkach, tzn. przy definicji prędkości światła równej jeden c=1. Energią rozpadu nazywamy wyrażenie, które jest różnicą masy jądra X przed rozpadem, i sumą masy jądra Y po rozpadzie i masy cząstek wyemitowanych: {{CentrujWzór|<MATH>M(X)-\left[M(Y)+\sum_im_{a_i}\right]=Q\;</MATH>|3.4}} * gdzie: M(X), M((Y) są masami odpowiednich nuklidów, które unoszą energię w postaci energii kinetycznej, tzn. energia rozpadu jest sumą energii kinetycznej jądra Y i cząstek a{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\sum_i E_{a_i}^{(k)}+E^{(k)}_{odrzutu}(Y)\;</MATH>|3.5}} Jeśli emitowana jest jedna cząstka, to ma określoną energię (widmo energii jest liniowe), a energia odrzutu jest w przybliżeniu zerowa, bo m{{Sub|a}}<<M(Y). === Reguły wyboru === Prawa zachowania momentów pędów przestawiamy jako sumę momentów pędu substratów, która jest równa sumie momentów pędu produktów w rozpadzie jądrowej, tzn. moment pędu jądra X przed rozpadem jest równy sumie momentów pędów cząstek a{{Sub|i}} i jądra Y: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}_i(X)=\vec{I}_f(Y)+\sum_i \vec{j}_{a_i}\;</MATH>|3.6}} Zasadę zachowania parzystości w naszym rozpadzie, oraz wartość momentu pędu cząstek a{{Sub|i}} możemy napisać, gdy suma momentów pędu naszych cząstek jest większa niż wartość bezwzględna różnicy momentów pędu jąder X i Y oraz mniejsza niż wartość sumy momentów pędów, a parzystość cząstki X przed rozpadem jest równa iloczynowi parzystości jądra Y i cząstek a{{Sub|i}} dla wszystkich „i”: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq \sum_i j_{a_i}\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\pi_i(X)=\pi_f(Y)\cdot\pi(\sum_ia_i)\;</MATH>|3.8}} }} === Prawo zachowania ładunku elektrycznego, ładunku barionowego i innych liczb kwantowych === Prawo zachowania ładunku elektrycznego i barionowego, taki że ładunek elektryczny lub barionowy przed i po rozpadzie zachowuje swoją wartość licząc względem wszystkich cząstek przed i po reakcji, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Z_i=Z_f+\sum_i Z_{a_i}\;</MATH>|3.9}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A_i=A_f+\sum_iA_{a_i}\;</MATH>|3·10}} }} == Klasyfikacja rozpadów == === Ze względu na emitowane cząstki === ==== Rozpad &alpha; ==== W tym rozpadzie cząstka {{Formuła|<MATH>{}_Z^AX\;</MATH>}} emituje cząstkę {{Formuła|<MATH>{}^4_2\alpha\;</MATH>}} jednocześnie przechodząc w cząstkę {{Formuła|<MATH>{}^{A-4}_{Z-2}Y\;</MATH>}}: {{Wzór|<MATH>{}_Z^AX\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^4_2\alpha\;</MATH>|3.11}} ==== Rozpady &beta; ==== w tym rozpad &beta;{{Sup|-}} w którym powstaje jądro o liczbie atomowej zwiększonej o jeden, a także elektron (cząstka &beta;{{Sup|-}}) wraz antyneutrinem elektronowym: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow {}^A_{Z+1}Y+{}_{-1}\beta^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.12}} w tym rozpad &beta;{{Sup|+}}, w którym powstaje jądro o liczbie atomowej zmniejszonej o jeden, a także pozyton (cząstka &beta;{{Sup|+}}, elektron o ładunku dodatnim) wraz z neutrinem elektronowym: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+{}_1\beta^++\nu_e\;</MATH>|3.13}} ==== Rozpady nukleonowe p i n ==== * rozszczepienie spontaniczne sf w wyniku czego powstają dwa jądra atomowe wraz z pewną liczbą neutronów: {{Wzór|<MATH>X\rightarrow Y_1+Y_2+kn\;</MATH>|3.14}} ==== Przejścia &gamma; ==== Rozpad, w którym jądro wzbudzone przechodzi do stanu podstawowego ze stanu wzbudzonego z emisją kwantu &gamma;: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX^*\rightarrow {}^A_ZX+\gamma\;</MATH>|3.15}} ==== Konwersja wewnętrzna (KW) ==== === Ze względu na oddziaływania prowadzące do rozpadu === * przejścia elektromagnetyczne (EM): &gamma;, KW, KP (deekscytacja jądra, jest to przejście jądra, ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, przy czym jest zachowana liczba masowa A i atomowa Z jądra atomowego) * przejścia (rozpady) słabe (beta): &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}}, EC * przejścia (rozpady) z udziałem oddziaływania silnego (jądrowego): &alpha;, p, n, sf. == Prawdopodobieństwo rozpadu (przejścia) ze stanu początkowego |i> == {{Rysunek|Przejścia (rozpady) jądrowe.png|3.1|Przejścia (rozpady) jądrowe}} Wedle przypadku ogólnego stan quasistacjonarny może przejść w wyniku różnych procesów (rozpady jąder na końcowe jądra korzystne energetycznie). Stała rozpadu całego procesu jest sumą poszczególnych rozpadów, dla oddziaływań elektromagnetycznych &lambda;{{Sub|em}}, słabego &lambda;{{Sub|sl}}, i silnego &lambda;{{Sub|s}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_i=\lambda_{em}+\lambda_{sl}+\lambda_s\;</MATH>|3.16}} Poszczególne stałe rozpadu definiujemy wedle schematów poniżej przy pomocy stałej zaniku przejścia elektromagnetycznego, która jest sumą rozpadów &gamma;, konwersji wewnętrznej KW i deekscytacji jądra, ta stała jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}+\lambda_{KP}\;</MATH>|3.17}} Stała zaniku przejścia zachodzących w wyniku oddziaływań słabych jest sumą rozpadów &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{sl}=\lambda_{\beta^-}+\lambda_{\beta^{+}}+\lambda_{EC}+...\;</MATH>|3.18}} Stała zaniku przejścia zachodzących w wyniku oddziaływań silnych jest sumą stałych zaniku rozpadu &alpha;, rozczepienia spontanicznego sf i przejść nukleonowych p i n. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{s}=\lambda_{\alpha}+\lambda_{sf}+\lambda_p+\lambda_n+...\;</MATH>|3.19}} Średni czas życia danego rozpadu lub wszystkich rozpadów {{LinkWzór|3.16}} definiujemy jako odwrotność stałej zaniku danego rozpadu lub wszystkich rozpadów: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\lambda_j}}=\tau_i\;</MATH>|3.20}} Czas życia, danego rozpadu ze względu na dany typ rozpadu, w którym cząstka ze stanu |i> przechodzi w stan |f>, jest określany: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\lambda_{if}}}=\tau_{if}\;</MATH>|3.21}} Stała rozpadu, nie zależy od warunków zewnętrznych, historii rozpadu, jest to wielkość stała charakteryzująca dany proces. W kwantowej teorii zaburzeń stała rozpadu przejścia ze stanu „i” do „f”, znając gęstość stanów &rho;{{Sub|f}}(E), w której zawarta jest zależność stałej rozpadu od energii emitowanych cząstek E, a także hamiltonian H{{Sub|if}}, który jest odpowiedzialny za przejście od stanu „i” do stanu „f”, które jest traktowane jest jako zaburzenie, jest zapisana: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{if}={{2\pi}\over{\hbar}}\left|\left\langle f|\hat H_{if}|i\right\rangle\right|^2\rho_f(E)\;</MATH>|3.22}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>\rho_f(E)\;</MATH>}} – gęstość stanów końcowych w jednym przedziale dozwolonym energetycznym. : {{Formuła|<MATH>\hat H_{if}\;</MATH>}} – ta część hamiltonianu oddziaływania, który jest odpowiedzialny za dane przejście, traktujemy go jako zaburzenie. To samo prawo stosujemy do cząstek elementarnych, stanów wzbudzonych atomów, itp., tzn. do rozpadów kwazistacjonarnych, które są układami kwantowymi. === Prawo rozpadu === {{Rysunek|Wykres_ilustrujący_prawo_rozpadu.png|3.2|Wykres ilustrujący prawo rozpadu|rozmiar=200px}} Prawdopodobieństwo rozpadu, czyli iloraz liczby cząstek rozpadających się dN i liczby cząstek nierozpadniętych N, jest wprost proporcjonalne do czasu, w którym ten rozpad jest dokonywany, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>{{-dN}\over{N}}=\lambda dt\rightarrow N(t)=N(0)e^{-\lambda t}\;</MATH>|3.23}} Wyznaczmy teraz czas, w którym liczba cząstek zmniejsza się „e” razy względem jej liczby w czasie równym zero (N(0)), czyli: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{e}}N(0)=N(0)e^{-\lambda \tau}\Rightarrow -\ln e=-\lambda\tau\Rightarrow\tau={{1}\over{\lambda}}\;</MATH>|3.24}} Wyznaczmy średni czas rozpadu z definicji wartości średniej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{t}={{\int_0^{\infty}te^{-\lambda t}dt}\over{\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt}}={{-{{1}\over{\lambda}}te^{-\lambda t }\Bigg|_0^{\infty}+{{1}\over{\lambda}}\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt}\over{-{{1}\over{\lambda}}e^{-\lambda t}\Bigg|_0^{\infty}}}=-\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt=-{{1}\over{\lambda}}e^{-\lambda t}\Bigg|_0^{\infty}={{1}\over{\lambda}}=\tau\;</MATH>|3.25}} Udowodniliśmy, że średni czas zaniku jest odwrotnością stałej zaniku &lambda;, czyli jest równy czasowi &tau;, po którym liczba cząstek maleje e razy. Wyznaczmy teraz czas połowicznego zaniku (półokres rozpadu), w którym liczba cząstek zmniejsza się o połowę względem czasu podstawowego N(0), patrząc na wynik {{LinkWzór|3.24}} i {{LinkWzór|3.25}}, otrzymujemy, że czas połowicznego zaniku jest równy czasowi, której liczba cząstek zmniejsza się '''e''' razy względem N(0) pomnożonej przez logarytm naturalny liczby dwa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}N(0)=N(0)e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow -\ln 2=-\lambda T_{1/2}\Rightarrow T_{1/2}={{1}\over{\lambda}}\ln 2\Rightarrow T_{12}=\tau\ln 2\simeq\tau\cdot 0,693\;</MATH>|3.26}} Rozkład sukcesywny nazywamy proces: {{CentrujWzór|<MATH>X\xrightarrow{\lambda_1} Y\xrightarrow{\lambda_2} Z\xrightarrow{\lambda_3} ...\;</MATH>|Y}} == Mechanizm rozpadu (przemiany) &alpha; == {{Rysunek|Alpha Decay.svg|3.3|Rozpad &alpha;|rozmiar=300px}} Wyniku rozpadu jądra X o liczbie masowej A i atomowej Z z jądra wylatuje w wyniku zjawiska tunelowania cząstka {{Formuła|<MATH>{}^4_2\alpha_2\;</MATH>}}, zmniejszając jego liczbę masową o cztery, a liczbę atomową o dwa: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2}+{}^4_2\alpha_2\;</MATH>|3.27}} Energia pomiędzy stanami podstawowymi jąder {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX_N\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2}\;</MATH>}} i cząstką &alpha; przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\alpha}=M(A,Z)-\left[M(A-4,Z-2)+M(\alpha)\right]\;</MATH>|3.28}} Warunkiem koniecznym zaistnienia rozpadu {{LinkWzór|3.27}} jest warunek konieczny Q{{Sub|&alpha;}}>0. Warunek {{LinkWzór|3.28}} jest spełniony dla jąder, dla której stosunek B/A=f(A) leży w opadającej części wykresu, tzn. dla jąder ciężkich o A&ge;150, które znajdują się w stanach podstawowych. Energia rozpadu Q{{Sub|&alpha;}} jest unoszona w postaci energii kinetycznej jądra Y i energii kinetycznej cząstki &alpha;. Widmo energetyczne cząstki &alpha; jest liniowe i jego energia mieści się w zakresie 4MeV&le;E{{Sub|&alpha;}}&le;9MeV. Wartość momentu pędu cząstki &alpha; jest większa od wartości bezwzględnej różnicy jądra X i Y i jest mniejsza niż suma wartości momentów pędu cząstki X i Y: {{CentrujWzór|<MATH>|I_X-I_Y|\leq I_{\alpha}\leq I_X+I_Y\;</MATH>|3.29}} Parzystość cząstki &alpha;, jest iloczynem parzystości jądra X i jądra Y, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_X\pi_Y=(-1)^{l_{\alpha}}\;</MATH>|3.30}} {{Rysunek|Przejście tunelowe cząstki alpha.png|3.4|Przejście tunelowe cząstki alpha|rozmiar=300px}} Rozpad &alpha; jest uwarunkowany oddziaływaniem silnym, i cząstka &alpha; by pokonać barierę potencjału, dla którego zachodzi E{{Sub|&alpha;}}<E{{Sub|bariery potencjału}} ulega zjawisku tunelowania, co jest zgodne z mechaniką kwantową, w wyniku czego jądra helu wydostaje się z jądra X z pewną energią E{{Sub|&alpha;}}. Potencjał V(r) jądra atomowego wyrażamy przez sumę energii związanych z energią kulombowską i energią związaną z momentem pędu wynikających z równania własnego operatora energii, jest ona równa pisząc je ogólnie dla {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i dla bariery potencjału, którą cząstka &alpha; musi przekroczyć, tzn. dla odległości od środka jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_zX_N\;</MATH>}}, tzn.: {{Formuła|<MATH>r=R_j\;</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>V(r)=V_C(r)+V_l(r)\underbrace{=}_{r>R_j}{{Z_{\alpha}Z_je^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}+{{l(l+1)\hbar}\over{2m_{\alpha} r^2}}\;</MATH>|3.31}} === Współczynnik przenikalności bariery potencjału jądra X === Współczynnik przenikalności bariery wyrażamy przy pomocy potencjału oddziaływania kulombowskiego V{{Sub|C}} i potencjału związanego z momentem pędu V{{Sub|l}} i piszemy go: {{CentrujWzór|<MATH>D=e^{-{{2}\over{\hbar}}\int_{R_j}^{r_{\alpha}}\sqrt{2m\left(V_C+V_l-E_{\alpha}\right)}dr}\;</MATH>|3.32}} === Prawdopodobieństwo rozpadu &alpha; === Stała rozpadu jest iloczynem prawdopodobieństwa utworzenia cząstki &alpha; w stanie quasistacjonarnym P{{Sub|&alpha;}}, który aby obliczyć należy znać strukturę jądra atomowego, ono nie zmienia się silnie od jądra do jądra, przez częstość &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>\nu={{1}\over{t}}={{v_x}\over{2R_j}}\;</MATH>|3.33}} * gdzie „t” czas, w którym cząstka &alpha; przebiega jądro, i przez współczynnik przenikalności bariery D {{LinkWzór|3.32}}, stała rozpadu &alpha;, czyli &lambda;{{Sub|&alpha;}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\alpha}=P_{\alpha}\cdot\nu\cdot D\;</MATH>|3.34}} Zwykle przyjmuje się k=P{{Sub|&alpha;}}&nu;&asymp;10{{Sup|20}}, to stała rozpadu {{LinkWzór|3.34}} ma wzór &lambda;{{Sub|&alpha;}}=k&sdot;D. === Prawo Geigera-Nutalla === Jest to zależność pomiędzy czasem T{{Sub|1/2}} połowicznego rozpadu jądra X, co wyniku tego ono emituje cząstkę &alpha;, a energią cząstek &alpha; E{{Sub|&alpha;}}, wyrażona przy pomocy stałych C(Z) i D(Z) zależnej od liczby atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{log}_{10}T_{1/2}=C(Z)+{{D(Z)}\over{\sqrt{E_{\alpha}}}}\;</MATH>|3.35}} Zależność stałej C i D od liczby atomowej przedstawia tabela: {{Center|<!-- -->{{Tabelka|opcje=width=50%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Z}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|C}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|D}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Z}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|C}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|D}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|84}}<!-- -->{{Komórka|-50,15}}<!-- -->{{Komórka|128,8}}<!-- -->{{Komórka|92}}<!-- -->{{Komórka|-52,55}}<!-- -->{{Komórka|143,1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|86}}<!-- -->{{Komórka|-50,94}}<!-- -->{{Komórka|132,7}}<!-- -->{{Komórka|94}}<!-- -->{{Komórka|-53,35}}<!-- -->{{Komórka|147,4}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|88}}<!-- -->{{Komórka|-51,51}}<!-- -->{{Komórka|136,2}}<!-- -->{{Komórka|96}}<!-- -->{{Komórka|-53,97}}<!-- -->{{Komórka|151,3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|90}}<!-- -->{{Komórka|-51,94}}<!-- -->{{Komórka|139,4}}<!-- -->{{Komórka|98}}<!-- -->{{Komórka|-54,40}}<!-- -->{{Komórka|154,7}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} Prawidłowość {{LinkWzór|3.35}} ustalili doświadczalnie w latach 1911–1912 uczeni H. Geiger i J. Nutall, a następnie w 1928 uzyskali ją opierając się na kwantowym opisie procesu rozpadu &alpha;. Ten wzór opisuje proces rozpadu &alpha;. Wzór najdokładniej opisuje rozpady jąder dla jąder parzysto-parzystych. Stałe C i D zależą nieznacznie od liczby atomowej, co ilustruje powyższa tabelka. == Rozpady nukleonowe == * Rozpad neutronowy, w którym jądro o liczbie masowej A i atomowej Z wysyła jeden neutron, w ten sposób zmniejsza on liczbę masową o jeden przy takiej samej liczbie atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-1}_ZY_{N-1}+n\;</MATH>|3.36}} * Rozpad protonowy, w którym jądro o liczbie masowej A i atomowej Z wysyła jeden proton, w ten sposób zmniejsza on liczbę masową A i atomową Z o jeden: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-1}_{Z-1}Y_N+p\;</MATH>|3.37}} === Warunek energetyczny (energia rozpadu)(N od n lub p) === {{Rysunek|Rozpad stanu podstawowego w rozpadzie nukleonowych.png|3.5|Rozpad stanu podstawowego w rozpadzie nukleonowych|rozmiar=200px}} * Jeśli oba jądra X i Y w {{LinkWzór|3.36}} i {{LinkWzór|3.37}} są w stanie podstawowym, wtedy energia rozpadu jądra unoszona przez neutrony jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)-[M_j(Y)+m_N]\geq 0\;</MATH>|3.38}} {{Rysunek|Rozpad nukleonowy jądra wzbudzonego.png|3.6|Rozpad nukleonowy jądra wzbudzonego|rozmiar=185px}} * Gdy jądro X rozpada się ze stanu wzbudzonego na jądro Y, to energia rozpadu, która jest zawsze większa niż zero, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)+E_{wzb}-[M_j(Y)+m_N]\;</MATH>|3.39}} * Gdy jądro X ze stanu wzbudzonego rozpada się na jądro w stanie wzbudzonym Y, dla której energia rozpadu jest zawsze większa niż zero, to ciepło rozpadu jest: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)+E_{wzb}(X)-[M_j(Y)+m_N+E_{wzb}(Y)]\;</MATH>|3.40}} Przy rozpadzie ze stanów wysokoenergetycznych składa się on z bardzo wielu linii (wierzchołków), zauważmy jednak, że zachodzi: * rozpadu nukleonowe są wynikiem oddziaływań silnych, * jeśli jest spełniony warunek energetyczny {{LinkWzór|3.40}}, to jądro jest wzbudzone ze względu na jego spin i parzystość, i rozpad jego następuje z czasem połowicznego zaniku równej &tau;&asymp;10{{Sup|-22}}s, * rozpad protonowy może być zahamowany przez barierę kulombowską, * jeśli energią protonu jest mniejsza niż wysokość bariery, to protony z takiego jądra wychodzą na zewnątrz niego poprzez proces tunelowania, tak jak w rozpadzie &alpha;, * rozpady protonowe konkurują z rozpadami &beta;{{Sup|+}}, EC,&alpha;, a rozpady neutronowe zachodzą z konkurencją &beta;{{Sup|-}}. Pierwszy i drugi rozkład konkuruje z rozpadem elektromagnetycznym EM dla jąder X wzbudzonych. Rozpady nukleonowe obserwuje się w jądrach neutrononadmiarowych (rozpad n) i w jądrach neutronodeficydowych (rozpad p). Rozpady nukleonowe obserwuje się jako rozczepienia w ciężkich jądrach wysoko-wzbudzonych neutrononadmiarowych oraz w wyniku rozpadu jąder dalekich od ścieżki jąder stabilnych. Rozpady nukleonowe konkurują z rozpadami elektromagnetycznymi, &gamma;, i KP (deeskcytacją jądra atomowego). == Przemiana (rozpad) &beta; == {{Rysunek|Beta-minus Decay.svg|3.7|Rozpad &beta;{{Sup|-}}|rozmiar=190px}} Neutron w jądrze rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe, a proton w jądrze rozpada się na neutron, pozyton i neutrino elektronowe, te dwie przemiany piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>{}^1_0n^+\rightarrow {}^1_1p^++{}^0_{-1}e^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{}^1_1p^+\rightarrow {}^1_0n^0+{}^0_1e^++\nu_e\;</MATH>|3.42}}}} Jeśli w jądrze atomowym zachodzi przemiana {{LinkWzór|3.41}}, to liczba masowa jądra się nie zmienia, a liczba atomowa Z zwiększa się o jeden, tą przemianę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z+1}Y+{}^0_{-1}\beta^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.43}} Jeśli w jądrze atomowym zachodzi przemiana {{LinkWzór|3.42}}, to liczba masowa jądra się nie zmienia, ale za to liczba atomowa zmniejsza się o jeden, tę przemianę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+{}^0_1\beta^++\nu_e\;</MATH>|3.44}} * '''Warunki energetyczne rozpadu &beta;{{Sup|-}}''' Patrząc na rozpad {{LinkWzór|3.43}} warunek na energię rozpadu, która jest większa lub równa zero, i jest wyrażona jako różnicę masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i sumy mas jadro po rozpadzie {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z+1}Y\;</MATH>}} i masy elektronu ujemnego (cząstki &beta;{{Sup|-}}) i energii antyneutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=M(A,Z)-[M(A,Z+1)+m_e+m_{\tilde{\nu}_e}]\;</MATH>|3.45}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.13|Nukleony a budowa jądra atomowego}} na mass excess dostajemy wzór na ciepło rozpadu &beta;{{Sup|-}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=ME(A,Z)-ME(A,Z+1)\;</MATH>|3.45a}} * '''Warunki energetyczne rozpadu &beta;{{Sup|+}}''' Patrząc na rozpad {{LinkWzór|3.44}} warunek na energię rozpadu, która jest większa lub równa zero, jest wyrażona jako różnica masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i sumy mas jądra po rozpadzie {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z-1}Y\;</MATH>}} i masy pozytonu oraz energii neutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^+}=M(A,Z)-[M(A,Z-1)+m_e+m_{\nu_e}]\;</MATH>|3.46}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.13|Nukleony a budowa jądra atomowego}} na mass excess dostajemy wzór na ciepło rozpadu &beta;{{Sup|+}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=ME(A,Z)-ME(A,Z-1)\;</MATH>|3.46a}} * '''Przemiana EC''' Te przemiany powstają po wychwycie elektronu lub pozytonu przez jądro i odpowiednio liczba masowa A nie zmienia się, a liczba atomowa Z maleje o jeden po wychwycie elektronu: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX+e^-\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+\nu_e\;</MATH>|3.47}} Energia rozpadu jest różnicą sumy masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i masy elektronu, oraz sumy masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z-1}Y\;</MATH>}} i energii neutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{EC}=M(A,Z)+m_e-[M(A,Z-1)+m_{\nu_e}]\;</MATH>|3.48}} Rozpad &beta;{{Sup|-}} i EC z wychwytem elektronu to są procesy konkurencyjne. Najbardziej prawdopodobny jest wychwyt elektronu z powłoki elektronowej K. Stała zaniku tejże przemiany jest sumą stałej zaniku powstałej z wychwytem elektronu z powłoki elektronowej K, który dominuje i z dalszych powłok elektronowych, nazwijmy je L{{Sub|I}} i L{{Sub|II}}, itd.: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EC}=\lambda_{EC}(K)+\lambda_{EC}(L_{I})+\lambda_{EC}(L_{II})+...\;</MATH>|3.49}} : W Jądrach lekkich stała zaniku przemiany EC &lambda;{{Sub|EC}} z wychwytem elektronu jest mniejsza lub równa stałej rozpadu przemiany &beta;{{Sup|+}} (&lambda;{{Sub|EC}}&le;&lambda;{{Sub|&beta;{{Sup|+}}}}), w jądrach ciężkich stała zaniku &lambda;{{Sub|EC}} jest większa niż stała zaniku przemiany &beta;{{Sup|+}}, (&lambda;{{Sub|EC}}>&lambda;{{Sub|&beta;{{Sup|+}}}}). Iloraz stałej zaniku przemiany EC przez stałą zaniku &beta;{{Sup|+}} jest wyrażony, w zależności od energii przemiany Q{{Sub|EC}} {{LinkWzór|3.54}} i liczby atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda_{EC}}\over{\lambda_{\beta^+}}}\sim\left({{Z}\over{Q_{EC}/m_ec^2}}\right)^3\;</MATH>|3.50}} * '''Anihilacja elektronu i pozytonu''' W wyniku zderzenia elektronu i pozytonu obie te cząstki znikają i pojawiają się dwa kwanty &gamma; pędzące w przeciwnych kierunkach, gdzie energia pojedynczego kwantu jest E{{Sub|&gamma;}}=511keV. {{CentrujWzór|<MATH>e^++e^-\rightarrow 2\gamma</MATH>|3.53a}} Rozpadowi &beta;{{Sup|+}} towarzyszy emisja promieniowania anihilacyjnego &gamma;. Procesowi EC z wychwytem elektronu towarzyszy emisja antyneutrinów elektronowych {{Formuła|<MATH>\tilde{\nu}_e\;</MATH>}} oraz promieniowanie &gamma; lub '''elektronów Augera''' (czyli elektronów, które w wyniku przejścia elektromagnetycznego elektron jest wybijany z powłoki elektronowej, najsilniejsze zjawisko to się obserwuje, gdy elektron wybijamy jest najniższych powłok, to zachodzi gdy funkcje falowe elektronów na powłokach elektronowych pokrywają się z funkcjami falowymi nukleonów w jądrze atomowym). {{Rysunek|Widmo energetyczne w rozpadzie beta.png|3.8|Widmo energetyczne w rozpadzie beta|rozmiar=400px}} {{Rysunek|Wizualizacja rozpadu beta minus.png|3.9|Wizualizacja rozpadu &beta;{{Sup|-}}|rozmiar=200px}} Energia wydzielana w rozpadzie &beta; jest to energia wyrażona wzorem {{LinkWzór|3.45}} (rozpad &beta;{{Sup|-}}) lub {{LinkWzór|3.46}} (rozpad &beta;{{Sup|+}}), energia ta może być pomniejszona, gdy powstałe jądro po przemianie przejdzie w stan wzbudzony, wtedy {{Formuła|<MATH>E_{\beta}^{max}\;</MATH>}} jest równe: {{CentrujWzór|<math>E_{\beta}^{max}=Q_{\beta}-E_{wzb}(Y)\;</MATH>|3.52}} Rysunek {{LinkRysunek|3.8}} przedstawia widmo w rozpadzie beta, gdy nie uwzględnimy bariery potencjału. Widmo energetyczne rozpadających cząstek jest ciągłe (powstają dwie cząstki). W rozkładzie &beta;{{Sup|+}} rzeczywiście nie ma pozytonów o zerowej energii, ponieważ w tym rozpadzie powstający elektron musi przebyć barierę energetyczną, w wyniku czego cząstka &beta;{{Sup|+}} zostaje rozpędzona do pewnej prędkości, co jest wynikiem odpychania kulombowskiego, widmo energii {{LinkRysunek|3.8}} jest przesunięte w lewo, a w przepadku rozpadu &beta;{{Sup|-}} widmo jest przesunięte w prawo, a więc w tym ostatnim nie ma cząstek o energii zerowej, ponieważ cząstka zostaje zwolniona przez barierę potencjału. Pomiary energii maksymalnej cząstki beta, czyli {{Formuła|<MATH>E_{\beta}^{max}\;</MATH>}} dają informację o różnicy mas między jądrem przed i po rozpadzie. Badania prowadzone nad rozpadem &beta; wykazały, że cząstki &nu;{{Sub|e}} bardzo słabo oddziaływają z materią, jego przekrój czynny jest &sigma;=11&sdot;10{{Sup|-44}}m, jeśli już ta cząstka oddziałuje z materią to z protonem daje w wyniku tego produkty neutron i pozyton: {{CentrujWzór|<MATH>p+\tilde{\nu}_e\rightarrow n+e^+\;</MATH>|3.53}} * '''Prawdopodobieństwo przejść''' Zgodnie z elektrodynamiką kwantową prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu pomiędzy stanami <nowiki><i|</nowiki> a <nowiki><f|</nowiki> z emisją cząstki o energii (E,E+dE), który tutaj używając E{{Sub|0}}=E{{Sub|e}}+E{{Sub|&nu;}}=Q{{Sub|&beta;}}, czyli &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}) oznacza gęstość stanów końcowych e i &nu;, napiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{2\pi}\over{\hbar}}|\langle f|\hat{H}_{oddz}|i\rangle|^2\rho_f(E_0)dE_e\;</MATH>|3.54}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\hat{H}_{oddz}=\hat{h}_{\beta}\;</MATH>}} jest to hamiltonian opisujący mechanizm oddziaływań słabych. Wygodnie jest liczyć prawdopodobieństwo przemiany &beta; w przedziale (p,p+dp) i mając na uwadze {{LinkWzór|3.54}}, to z niego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(p)dp={{2\pi}\over{\hbar}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}| i\rangle|^2f_f(E_0)dp\;</MATH>|3.55}} wtedy wzór na gęstość stanów końcowych jest równa {{Formuła|<MATH>\rho_f(E_0)={{dN_f}\over{V^2dE_0}}\;</math>}}, gdzie dN{{Sub|f}}=dN{{Sub|e}}dN{{Sub|&nu;}}. Mając na uwadze dN jako liczba stanów końcowych dostępnym w przedziale pędów (p,p+dp) w objętości przestrzennej V, która jest to objętość pudła w prowadzona do celu normalizacyjnych, zatem wzór na dN jest: {{CentrujWzór|<MATH>dN={{d^3\vec{p}V}\over{h^3}}={{4\pi p^2dpV}\over{(2\pi \hbar)^3}}\;</MATH>|3.56}} Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>dp_{\nu}={{dE_{\nu}}\over{c}}\;</MATH>}}, wtedy gęstość stanów końcowych &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}), wiedząc, że dla m{{Sub|&nu;}}, to wtedy zachodzi {{Formuła|<MATH>E_0=E^{max}\;</MATH>}}, przedstawiamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_f(E_0)={{4\pi p_e^2dp_e V\cdot 4\pi p_{\nu}^2dp_{\nu}V}\over{V^2(2\pi\hbar)^6dE_0}}={{1}\over{4\pi^4\hbar^7c^3}}p_e^2(E_0-E_e)^2dp_e\;</MATH>|3.57}} Mając wzór na przelicznik pędu cząstki na jej energię całkowitą {{Formuła|<MATH>E_c^2=p_e^2c^2+m_e^2c^4\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy obustronnie i podzielimy przez dwa otrzymując {{Formuła|<MATH>E_edE_e=c^2p_edp_e\;</MATH>}}, także mając na uwadze {{LinkWzór|3.55}} jako prawdopodobieństwo zajścia przemiany &beta;, że układ będzie miał energię z przedziału (E{{Sub|e}},E{{Sub|e}}+dE{{Sub|e}}), co do niego podstawiamy wzór {{LinkWzór|3.57}}, który przedstawia gęstość stanów końcowych, to w końcowych perypetiach otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE_e(E_0-E_e)^2dE_e\;</MATH>|3.58}} Jeśli dodatkowo będziemy pamiętać, że masa neutrina może być różna od zera, tzn. m{{Sub|&nu;}}&ne;0, wtedy energia prawdopodobieństwa stanów przejścia, przeliczając znów gęstość prawdopodobieństwa stanów końcowych &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}) dla tego przypadku, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE_e(E_0-E_e)\sqrt{(E_0-E_e)^2-m_{\nu}^2c^4}dE_e\;</MATH>|3.59}} We wzorze {{LinkWzór|3.59}} zauważmy, że zachodzi {{Formuła|<MATH>E_0=E^{max}+m_{\nu}c^2\;</MATH>}}. * '''Wpływ masy spoczynkowej lub jej brak dla (anty)neutrina na widmo elektronów w rozpadzie &beta;''' {{Rysunek|Widmo wartości pędów elektronów w rozpadzie beta a masa spoczynkowa neutrina.png|3.10|Widmo wartości pędów elektronów w rozpadzie beta a masa spoczynkowa neutrina|rozmiar=400px}} Należy porównać wzory na &lambda;(E)dE z uwzględnieniem masy spoczynkowej neutrina i przy zerowej jego masie. W widmie elektronów istnieją różnice występujące na jego samym końcu, przy masie spoczynkowej neutrina różnej od zera, koniec widma jest prostopadły do osi E{{Sub|e}}, a gdy masa neutrina jest równa zero, to koniec widma dąży stycznie do tej osi. Na podstawie widma można wyznaczyć masę spoczynkową neutrina m{{Sub|&nu;}}. Wynik rozpadu &beta;{{Sup|-}} na jądrze {{Sup|3}}He, którego energia rozpadu jest Q{{Sub|&beta;}}=18,6keV i o czasie połowicznego rozpadu T{{Sub|1/2}}=12,3 lat wykazały, że masa spoczynkowa neutrina jest mniejsza niż 35eV (m{{Sub|&nu;}}&le;35eV). * '''Wpływ pola elektrycznego jądra na stałą zaniku rozpadu &beta; &lambda;{{Sub|&beta;}} i na widmo &beta;''' Pole elektryczne wpływa na wynik stałej zaniku w rozpadzie &beta;, dlatego wprowadza się czynnik korekcyjny Fermiego, który jest ilorazem kwadratów modułów funkcji falowej fali płaskiej pod wpływem pola elektrycznego i cząstki swobodnej: {{CentrujWzór|<MATH>F(E,Z)={{|\psi_e(0)_{culomb}|^2}\over{|\psi_e(0)_{swob}|^2}}\;</MATH>|3.60}} W przybliżeniu nierelatywistycznym czynnik korekcyjny Fermiego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH>F(E,Z)={{X}\over{1-e^{-X}}}\mbox{ gdzie:}X=\pm{{Ze^2c}\over{2\epsilon_0\hbar v_er}}\mbox{ dla }r>>R_0\;</MATH>|3.61}} * gdzie we wzorze na X {{LinkWzór|3.61}} wybieramy znak plus dla rozpadu &beta;{{Sup|-}}, a dla rozpadu &beta;{{Sup|+}} znak minus. Jeżeli m{{Sub|&nu;}}=0, to prawdopodobieństwo {{LinkWzór|3.58}} przy uwzględnieniu czynnika korekcyjnego Fermiego: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(E)dE={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE(E_0-E)^2F(E_0,Z)dE\;</MATH>|3.61a}} Często E{{Sub|e}} wyraża się jednostkach m{{Sub|e}}c{{Sup|2}}, czyli przy podstawieniu {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}={{E}\over{m_ec^2}}\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(\mathcal{E})d\mathcal{E}={{(m_ec^2)^5}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}| i\rangle|^2\mathcal{E}\sqrt{\mathcal{E}^2-1}(\mathcal{E}_0-\mathcal{E})^2F(\mathcal{E},Z)d\mathcal{E}\;</MATH>|3.62}} Ale F(E,Z) można obliczyć jeszcze dokładniej uwzględniając efekty relatywistyczne, a także uwzględniając pole elektryczne powłok elektronowych. F(E,Z) posiada wartości zebrane w tablicach fizycznych. * '''Całkowite prawdopodobieństwo przejścia''' Wzory &lambda;{{Sub|&beta;}}(E) opisywały prawdopodobieństwo przejścia &beta; między stanami {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} z emisją elektronu o energii (E,E+dE). Biorąc całkę po prawdopodobieństwa przejścia od energii zerowej do E{{Sub|0}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{E_0}\lambda_{\beta}(E,Z)_{i\rightarrow f}dE=\lambda_{\beta}(E_0,Z)_{i\rightarrow f}\;</MATH>|3.63}} które jest prawdopodobieństwem całkowitego przejścia i→f. Dla przejść dozwolonych zakładając przy tym, że {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle\;</MATH>}} słabo zależy od E{{Sub|e}}, który można napisać dla masy spoczynkowej neutrina równej zero (m{{Sub|&nu;}}=0): {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(E_0,Z)_{i\rightarrow f}\equiv\operatorname{const}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2\underbrace{\int_0^{E_0}F(E,Z)p_eE(E_0-E)^2dE}_{f(E_0,Z)}\;</MATH>|3.64}} Z drugiej jednak strony według {{LinkWzór|3.25}} stała rozpadu jest odwrotnością średniego czasu rozpadu i odwrotnością czasu połowicznego rozpadu pomnożonej przez logarytm naturalny z dwójki: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(i\rightarrow f)={{1}\over{\tau_{(if)}}}={{\ln 2}\over{T_{1/2(if)}}}\;</MATH>|3.65}} Wzory {{LinkWzór|3.65}} (na stałą zaniku w zależności od czasu połowicznego rozpadu) możemy połączyć ze wzorem {{LinkWzór|3.64}} (na definicję stałej zaniku z teorii rozpadu &beta;), w ten sposób otrzymując: {{CentrujWzór|<MATH>f(E_0,Z)_{(if)}\cdot T_{1/2(if)}={{\operatorname{const}}\over{|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2}}\equiv ft_{(f)}\;</MATH>|3.66}} Wartości ft są bardzo duże, więc przyjęto się podawać jego logarytm log ft, praktycznie ono mieści się w przedziale 3&le;log ft&le;22, co odpowiada czasom połowicznego zaniku &sim;10{{Sup|-3}}s&le;T{{Sub|1/2}}&le;&sim;10{{Sup|14}}lat {{Tabelka|opcje=width=auto|klasa=wikitable|styl=margin-left:auto;margin-right:auto;|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Numer n'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''przejcia &beta;'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''log ft'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Uwagi'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|0}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|dozwolone}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 3&divide;6}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|Zmiana momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\Delta I=0,1\;</MATH>}}, i parzystości: {{Formuła|<MATH>\Delta\pi=\pm 1\;</MATH>}}.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 7&divide;9}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=rowspan=4|styl=max-width:350px;|{{Center|Jeżeli {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} to stopień wzbronienia, wtedy zmiana parzystości: {{Formuła|<MATH>\Delta\pi=(-1)^n\;</MATH>}}, i momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\Delta I=\pm n\;</MATH>}} (nieunikalne) lub {{Formuła|<MATH>\Delta I=\pm(n+1)\;</MATH>}} (unikalne).}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 9&divide;13}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 13&divide;18}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|4}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 18&divide;22}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Elementy macierzowe hamiltonianu w rozpadzie &beta; względem stanu krańcowych (elementy teorii rozpadu &beta;) === Teorię rozpadu &beta; opracował E. Fermi w roku 1934 r., według której ten rozpad jest wynikiem oddziaływań słabych nukleonu z polem elektronowo-neutrinowym w jądrze atomowym. W tym modelu wprowadzono, że oddziaływanie słabe jest superpozycją pięciu oddziaływań cząstkowych, w tym: oddziaływania skalarnego (S), wektorowego (V), tensorowego (T), pseudowektorowego (A) i pola pseudoskalarnego (P). Każdej postaci oddziaływania odpowiada określona postać hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}_k\;</MATH>}}, inna dla oddziaływania zachowującego parzystość ({{Formuła|<MATH>\hat{H}_k^{'}\;</MATH>}}), dla oddziaływania niezachowującego parzystości ({{Formuła|<MATH>\hat{H}_k^{''}\;</MATH>}}). Jeśli wprowadzimy stałe {{Formuła|<MATH>C_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_k^{'}</MATH>}}, które są w ogólności liczbami zespolonymi, to dla każdego oddziaływania mamy w sumie 20 parametrów, tzn. dla oddziaływań k=S,V,T,A,P, a hamiltonian oddziaływania słabego jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}_{\beta}=\sum_k(C_k\hat{H}_k^{'}+C_k^{'}\hat{H}_k^{''})\;</MATH>|3.67}} Funkcje falowe {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} mają w ogólności postać czterowskaźnikową, które są niezbędne do obliczeń elementów macierzowych {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle\rightarrow\hat{H}_{if}\;</MATH>}}. * W uproszonym modelu przyjmuje się, że te funkcje są jednoskładnikowe i dla e i &nu; funkcje falowe opisujące je są funkcjami typu fali płaskiej: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(r)=ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r})}\;</MATH>|3.68}} * parzystość jest zachowywana, gdy {{Formuła|<MATH>C_k^'\;</MATH>}}, jest równe zero, * operator zaburzenia dla wszystkich oddziaływań jest wielkością stałą {{Formuła|<MATH>\hat{H}^'_k=g\hat{\Omega}\;</MATH>}}, gdzie g charakteryzuje natężenie (ładunek) oddziaływania słabego. Na podstawie powyższych uproszczeń mamy kwadrat elementu macierzowego operatora {{LinkWzór|3.67}}: {{CentrujWzór|<MATH>H_{if}^2=g^2|\Psi_e\Psi_{\nu}|^2=|\langle f|\hat{\Omega}|i\rangle|^2=\operatorname{const}\cdot g^2|M_{if}|^2\;</MATH>|3.69}} * Element macierzowy M{{Sub|if}} nazywamy jądrowym elementem macierzowym. Wzór {{LinkWzór|3.69}} określa prawdopodobieństwo kreacji pary (e,&nu;) w jądrze. Funkcja {{LinkWzór|3.68}} słabo zależy od r dla r&le;R{{Sub|j}}, więc możemy przyjąć: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_{e(\nu)}(r)|^2\simeq|\Psi_{e(\nu)}(r=0)|^2=a^2=\operatorname{const}\;</MATH>|3.70}} Wartość M{{Sub|if}} zależy od stopnia pokrycia się fal stanów końcowych {{Formuła|<MATH>i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} stanów przekształcających się nukleonów. Jeśli te stany są bardzo podobne lub identyczne, to zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>|M_{if}|^2=\Omega^2\;</MATH>|3.71}} Taką sytuację mamy w jądrach lekkich (Z=N) i w jądrach zwierciadłowych. W jądrach tychże prawdopodobieństwo przejścia &beta; zachodzi z dużym prawdopodobieństwem (logft&sim; od 3 do 3,5, co je nazywamy przejściami ponaddozwolonymi) i |H{{Sub|if}}|{{Sup|2}} nie zależy od energii cząstek &beta; E{{Sub|&beta;}}. * Ogólnie |H{{Sub|if}}|{{Sup|2}}, a więc i &lambda;{{Sub|i→f}}, a zarazem log ft zależą od {{Formuła|<MATH>|\sum_kg_k^2|M_k|^2_{if}\;</MATH>}} (plus człony mieszane), a więc od rodzaju oddziaływania (k) i od struktury stanów jądrowych {{Formuła|<MATH>i\rangle\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}}. Z porównania wyników doświadczalnych (wykresów Fermiego-Kurie,lopgft, itp.) z obliczeniami teoretycznymi (wg. Fermiego) wynika, że: * Oddziaływania S i V jest oddziaływaniem kreującym parę leptonów (elektronu i neutrino) w stanie singletowym (o przeciwnych spinach), stąd wynika, że zachowana jest orientacja spinu nukleonu biorącego udział w przemianie &beta;, stąd regułami wyboru są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|=0\;</MATH>|3.72}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=1\;</MATH>|3.73}} }} : Przejścia opisane wzorami {{LinkWzór|3.72}} i {{LinkWzór|3.73}} nazywamy przejściami Fermiego. * Oddziaływania T (tensorowe) i A (pseudowektorowe), czyli inaczej zwane oddziaływaniem Gamowa-Tellera, kreują parę e i &nu; w stanie tripletowym (spiny e i &nu; są ze sobą zgodne), wtedy zmienia się orientacja spinu nukleonu na przeciwny. Regułami wyboru w tym przypadku są przedstawione poniżej za wyjątkiem przejścia 0&rArr;0, który jest niedozwolony: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|=0\mbox{ lub }1\;</MATH>|3.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=1\;</MATH>|3.75}} }} : Przejścia opisane wzorami {{LinkWzór|3.74}} i {{LinkWzór|3.75}} są to przejścia GT. * Za rozpady &beta; są odpowiedzialne oddziaływania typu V i A, tzn. kwadrat elementy macierzowego jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2=|H_{\beta}|^2_{if}=g_V^2|M_F|^2_{if}+g_A^2|M_{GT}|^2_{if}+\mbox{wyrazy mieszane}\;</MATH>|3.76}} Stosunek stałej g{{Sub|A}} przez stałą g{{Sub|v}} jest równy: {{Formuła|<MATH>{{g_A}\over{g_V}}\simeq-1,253(7)\;</MATH>}}, a także g{{Sub|V}}&asymp;0,88&sdot;10{{Sup|-4}}MeV&sdot;fm{{Sup|3}}. Jeśli wprowadzimy stałe oddziaływania g{{Sub|k}}, to hamiltonian przejścia rozpadu &beta; jest: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}_{\beta}=\sum_{k}g_k\hat{H}_k\mbox{ gdzie: }k=S,V,T,A,(P)\;</MATH>|3.77}} Stałą g{{Sub|k}} można wyznaczyć znając wartość log ft ze wzoru {{LinkWzór|3.66}}, a stąd wyznaczamy {{Formuła|<MATH>|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|\;</MATH>}}. === Niezachowywanie parzystości w rozpadzie &beta; === Funkcję nazywamy parzystą, gdy po zamianie w niej wektora położenia na minus, otrzymamy ten sam wektor, a wartość funkcji nie zmienia się. Funkcję nazywamy nieparzystą, gdy wartość funkcji zmienia się na przeciwną, całą teorię funkcji parzystych i nieparzystych podano w książce: {{lg|Mechanika kwantowa/Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej#Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości|Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości}}. Dotychczas uważano, że zasada zachowania parzystości jest spełniona zawsze i jest na równi z zasadą zachowania energii, ale T.D Lee i L.N. Yang (1956 r.) wykazali, że można zbudować teorię rozpadu &beta;, w której nie jest spełniona zasada zachowania parzystości. Sugerowali, że ewentualne niezachowanie parzystości można wykryć badając jądra spolaryzowane w rozpadzie &beta;, która jest domeną oddziaływań słabych. * '''Doświadczenie C.B. Wu ze współpracownikami''' W tym doświadczeniu badano emisję cząstek &beta; ze spolaryzowanych jąder {{Sup|60}}Co, w celu wyznaczenie wartości średniej pseudoskalara {{Formuła|<MATH>\vec{I}\cdot\vec{p}\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}} jest momentem pędu jądra {{Sup|60}}Co, a {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} jest momentem pędu elektronów &beta;{{Sup|-}}. Aby stwierdzić, czy jest spełniona zasada zachowania parzystości, należy sprawdzić natężenie N{{Sub|&beta;}} dla kątów pomiędzy wektorami momentu pędu i pędu, tzn. dla 0{{Sup|o}} i 180{{Sup|o}}. Aby potwierdzić zachowanie parzystości należy stwierdzić, że w doświadczeniu zajdzie N{{Sub|&beta;}}(0{{Sup|O}})=N{{Sub|&beta;}}(180{{Sup|O}}), a gdy parzystość nie jest zachowana należy stwierdzić {{Sub|&beta;}}(0{{Sup|O}})&ne;N{{Sub|&beta;}}(180{{Sup|O}}). W doświadczeniu pani Wu kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}} określał kierunek pola magnetycznego polaryzującego jądra {{Sup|60}}Co, co zachodzi w wyniku polaryzacji tego jądra z jego momentem magnetycznym. Kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} określała oś licznika, który rejestrował rozpad {{Sup|60}}Co. Aby uzyskać polaryzację jądra i aby było można pomnąc ruchy termiczne, to musi zachodzić &mu;B>k{{Sub|B}}T, gdzie &mu; to moment magnetyczny jądra {{Sup|60}}Co, co wymaga B&ge;10T i T&le;10{{Sup|-2}}K. {{Rysunek|Ilustracja doświadczenie C. B. Wu.png|3.11|Rozpad &beta;{{Sup|-}} dla {{Sup|60}}Co w doświadczeniu C.B. Wu|rozmiar=200px}} W tym doświadczeniu temperaturę T&asymp;10{{Sup|-3}} uzyskano metodą adiabatycznego rozmagnesowania paramagnetyka, uprzednio ochłodzonego do temperatury 1K, tzn. do temperatury ciekłego He pod zmniejszonym ciśnieniem. Pole B=10T uzyskano dzięki wykorzystaniu wewnętrznych pól magnetycznych paramagnetyków (azotanu cezowo-magnezowego), które polaryzowano małym polem zewnętrznym. Moment magnetyczny {{Sup|60}}Co jest &mu;&asymp;3,8&mu;{{Sub|N}}. W doświadczeniu uzyskano więcej emitowanych elektronów &beta;{{Sup|-}} w kierunku przeciwnym do orientacji spinu {{Sup|60}}Co, stąd wynika, że parzystość nie jest zachowana. Funkcja kątowa rozkładu &beta;{{Sup|-}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>f(\theta)=A(1+a\cos\theta)\;</MATH>|3.78}} Wzór {{LinkWzór|3.78}} wyjaśnia anizotropowy rozkład kątowy cząstek &beta;{{Sup|-}}. === Skrętność leptonów === {{Rysunek|Skrętność dodatnia i ujemna leptonów.png|3.12|Skrętność dodatnia a) i ujemna b) leptonów}} Następna grupa pomiarów dotyczyła pomiaru polaryzacji elektronów i neutrin w celu określenia polaryzacji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} i jego momentów pędu spinowego {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}. Wykazano, że leptony ze skrętnością dodatnią mają wektor spinu i pędu zwrócone w tą samą stronę (H=+1), a w polaryzacji ujemnej moment pędu spinowy jest zwrócony w stronę przeciwną niż pęd (H=-1). Skrętność leptonów określamy ze wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>H={{\vec{p}\cdot\vec{s}}\over{|\vec{p}||\vec{s}|}}\;</MATH>|3.79}} Elektrony z rozpadu &beta; są spolaryzowane podłużnie. Skrętność &nu;{{Sub|e}} wyznaczono w doświadczeniu Goldhabera, ustalono, że skrętność elektronu jest H{{Sub|e{{Sup|-}}}}=-1, dla pozytonu H{{Sub|e{{Sup|+}}}}=+1, dla neutrina elektronowego H{{Sub|&nu;{{Sub|e}}}}=-1 i antyneutrina elektronowego {{Formuła|<MATH>H_{\tilde{\nu}_e}=+1\;</MATH>}} przy polaryzacji stuprocentowej P{{Sub|&nu;}}=1. To doświadczenie potwierdziło niezachowanie parzystości, wektorowo-pseudowektorowy (V-A) charakter oddziaływań &beta;, znikomą masę &nu;{{Sub|e}}. == Przejścia elektromagnetyczne (emisyjne) == Przejścia elektromagnetyczne dzielimy na: {{Rysunek|Przejścia elektromagnetyczne.png|3.13|Przejścia elektromagnetyczne|rozmiar=200px}} * przejścia &gamma;, emitowany jest kwant &gamma;, jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|&gamma;}}. * przejścia konwersyjne (KW) emitowany jest elektron e{{Sup|-}}, jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|KW}}. * przejścia konwersyjne z zachowaniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} (KP), jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|KP}}. Całkowita stała zaniku przejść elektromagnetycznych jest sumą stałych zaniku wcześniej wymienionych trzech przejść, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}+\lambda_{KP}=\lambda_{\gamma}\left(1+{{\lambda_{KW}}\over{\lambda_{\gamma}}}+{{\lambda_{KP}}\over{\lambda_{\gamma}}}\right)\;</MATH>|3.80}} Wprowadźmy nowe oznaczenia, tzn. * {{Formuła|<MATH>{{\lambda_{KW}}\over{\lambda_{\gamma}}}=\alpha_t\;</MATH>}} jako całkowity współczynnik konwersji wewnętrznego danego przejścia. * {{Formuła|<MATH>{{\lambda_{KP}}\over{\lambda_{\gamma}}}=\alpha_{KP}\;</MATH>}} jako współczynnik konwersji z utworzeniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} Wzór {{LinkWzór|3.86}} na podstawie wcześniejszych oznaczeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}(i\rightarrow f)=\lambda_{\gamma}(i\rightarrow f)\left[1+\alpha_t(i\rightarrow f)+\alpha_{KP}(i\rightarrow f)\right]\;</MATH>|3.81}} Promieniowanie towarzyszące poszczególnym przejściom unosi energię E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}, moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec{I}_i-\vec{I}_f\;</MATH>}} i parzystość &pi;{{Sub|i}}&sdot;&pi;{{Sub|f}}. === Przejścia &gamma; === {{Rysunek|Przejścia gamma.png|3.14|Przejścia gamma}} Dzięki energii przejścia emitowany jest kwant &gamma; o energii E{{Sub|&gamma;}} i częstości &nu;, czyli E{{Sub|&gamma;}}=h&nu;=E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}-E{{Sub|od}}, gdzie energia odrzutu {{Formuła|<MATH>E_{od}={{(h\nu)^2}\over{2M_jc^2}}\;</MATH>}}, jest ona mała i liczona jest w elektronowoltach. W doświadczeniu przyjmuje się, że energia przejścia jest opisana wzorem E{{Sub|&gamma;}}=E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}. Widmo promieniowania &gamma; jest dyskretne, ale liniowe. Według elektrodynamiki Maxwella źródłem fal elektromagnetycznych są zmienne pola elektromagnetyczne pochodzące od drgających multipoli elektrycznych i magnetycznych, które są rzędu l=1(dipol), 2(kwadrupol), 3(oktupol), itd. Rozwiązania równań w bazie funkcji własnych operatora momentu pędu, możemy rozłożyć na funkcje falowe, które są rozłożone w bazie funkcji kulistych Y{{Sub|lm}}(&theta;,&phi;). l odpowiada polu promieniowania drgającego pola klasycznego elektrycznego i magnetycznego, a 2{{Sup|l}} jest to rząd pól. Współczynniki rozwinięcia odpowiadają amplitudom rozpatrywanego promieniowania elektromagnetycznego. Możemy dokonać kwantyzacji pola według elektrodynamiki kwantowej i stwierdzamy, że kwant &gamma; o multipolowości rzędu l dla promieniowania elektrycznego lub magnetycznego unosi ze sobą: * moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec{L}\;</MATH>}} o wartości jego kwadratu momentu pędu {{Formuła|<MATH>|\vec{L}|^2=l(l+1)\hbar^2\;</MATH>}}. * parzystość &pi;{{Sub|E}}=(-1){{Sup|l}} w przypadku pola elektrycznego, lub &pi;{{Sub|M}}=(-1){{Sup|l+1}} w przypadku pola magnetycznego. : Rodzaj pola (&sigma;&equiv;E lub M) i rząd polowości (l) promieniowania określa się wspólnym mianem multipolowością (&sigma;l), co bardziej ogólniej można powiedzieć, że multipolowość jest parametrem każdego przejścia EM wynikający z reguł wyboru i własności pola EM jądra. * '''Reguły wyboru przejścia elektromagnetycznego''' Moment pędu promieniowania elektromagnetycznego jest większy od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie), dalej ona jest natomiast mniejsza od sumy krańcowych momentów pędu jąder: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.82}} Parzystość unoszona przez kwant &gamma; jest: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\cdot\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla EL}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla Ml}\end{cases}\;</MATH>|3.83}} Ponieważ nie ma promieniowania monopolowego l=0 przejścia typu I{{Sub|i}}=0→I{{Sub|f}}=0 są wzbronione. * '''Szereg multipolowy''' Szereg multipolowy promieniowania &gamma; jest zawsze szybkobieżny ze względu na l, bo stosunek stałej zaniku dla ściśle określonego promieniowania dla l i l+1 jest równy 10{{Sup|5}}, a także stosunek stałej zaniku promieniowania elektrycznego i stałej zaniku w promieniowaniu magnetycznemu jest równy od 10 do 100, czyli liczbie masowej podniesionej do kwadratu i spierwiastkowanej o stopniu trzy, te dwa wzory przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda(\sigma,l)}\over{\lambda(\sigma,l+1)}}=10^5\;</MATH>|3.84}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda(EL)}\over{\lambda(ML)}}=A^{2/3}= \mbox{od 10 do 100}\;</MATH>|3.85}} }} Promieniowanie Ml może być zmieszane z promieniowaniem z El+1 i procentowemu udziałowi wyższej polowości promieniowania elektrycznego lub magnetycznego określa współczynnik określony w procentach: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\gamma}={{\lambda(\sigma^',l+1)}\over{\lambda(\sigma,l)+\lambda(\sigma^',l+1)}}\cdot 100\%\;</MATH>|3.86}} Na przykład promieniowanie M1 może być zmieszane z 10% promieniowania E2 lub inny przykład E1+0,01%M2, to stopień zmieszania określa się przez współczynnik zmieszania danego przejścia jako: {{CentrujWzór|<MATH>\delta^2_{\gamma}\equiv{{\lambda(\sigma^',l+1)}\over{\lambda(\sigma,l)}}={{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}}\;</MATH>|3.87}} * '''Prawdopodobieństwo przejścia''' Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu końcowego o stałej zaniku &lambda;(&sigma;l,i→f) określamy znając energię przejścia E{{Sub|&gamma;}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda(\sigma l,i\rightarrow f)={{8\pi}\over{\hbar}}{{l+1}\over{l[2l+1]!!]^2}}\left({{E_{\gamma}}\over{\hbar c}}\right)^{2l+1}B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</MATH>|3.88}} * gdzie zredukowane prawdopodobieństwo przejścia {{Formuła|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</MATH>}} dla ściśle określonego danego rodzaju promieniowania elektromagnetycznego jest zapisane: {{CentrujWzór|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)={{1}\over{2I_i+1}}\sum_{l,m}|\langle f|\hat{M}^{\sigma}_{lm}|i\rangle|^2\;</MATH>|3.89}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{M}^{\sigma}_{lm}|i \rangle\;</MATH>}} jest to zredukowany element macierzowy multipolowego operatora {{Formuła|<MATH>\hat{M}^{\sigma}_{lm}\;</MATH>}} przejścia o multipolowości &sigma;l. === Konwersja wewnętrzna (KW) === Przejście elektromagnetyczne, w którym energia przejścia E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}} zostaje przekazana elektronowi z powłoki n o energii wwiązania B{{Sub|e}}<E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}, W wyniku czego elektron wylatuje z energią kinetyczną równą: {{CentrujWzór|<MATH>E_{EKW}(n)=(E_i-E_f)-B_e(n)\;</MATH>|3.90}} Konwersja wewnętrzna jest możliwa, gdy funkcje falowe powłoki elektronowej o numerze „n” i funkcje falowe jądra pokrywają się częściowo. Przykrycie to maleje ze wzrostem liczby powłoki „n”, a stąd powinno zachodzić: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}(K)>\lambda_{KW}(L)>\lambda_{KW}(M)>...\;</MATH>|3.91}} Prawdopodobieństwo danej całkowitej konwersji wewnętrznej podczas przejścia i→f przy wybiciu odpowiednich elektronów z powłok elektronowych (K,L,M,...) jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}^{tot}=\lambda_{KW}(K)+\lambda_{KW}(L)+\lambda_{KW}(M)+....\;</MATH>|3.92}} KW towarzyszy emisja EKW oraz promieniowania X lub elektronów Augera. Widmo energii wybijanych elektronów jest dyskretne. * '''Reguły wybory''' Moment pędu promieniowania elektromagnetycznego jest większa od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie) i jest natomiast mniejsza od sumy momentów pędu jąder krańcowych, dalej przedstawiamy tą zależność jako: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.93}} Cząstki unoszą parzystość równą iloczynowi parzystości poziomów krańcowych „i” i „f” równą: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\cdot\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla przejść El}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla przejść Ml}\\ \end{cases}\;</MATH>|3.94}} Dozwolone są przejścia {{Formuła|<MATH>0^+\xrightarrow{E0}0^+\;</MATH>}} z l=0. Współczynnik WKW przejść EM o multipolowości &sigma;l pomiędzy stanami {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} jest przedstawiany jako: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_n(\sigma l)_{if}={{\lambda_{KW}(n,\sigma l)_{if}}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)_{if}}}\;</MATH>|3.95}} Współczynnik kowersji wewnętrznej jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_{KW}^{tot}(\sigma l)_{if}=\alpha_{KW}(K)+\alpha_{KW}(L)+\alpha_{KW}(M)+...\;</MATH>|3.96}} Wartości poszczególnych konwersji wewnętrznych dla powłoki elektronowej n przedstawiamy ogólnym wzorem &alpha;{{Sub|n}}(&sigma;l){{Sub|if}}=f(n,Z,E{{Sub|&gamma;}},&sigma;l). Dla przypadków przejść mieszanych &sigma;l+&sigma;{{Sup|'}}l+1 dla dowolnej powłoki elektronowej, z której elektron jest wybijany, stałą zaniku określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}(n\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{KW}(n,\sigma l)+\lambda_{KW}(n,\sigma^'l+1)\;</MATH>|3.97}} Współczynnik konwersji wewnętrznej WKW na podstawie stałej zaniku {{LinkWzór|3.96}} przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)={{\lambda_{KW}(\sigma l)+\lambda_{KW}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)+\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}}={{ {{\lambda_{KW}(\sigma l)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}}+{{\lambda_{KW}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}} }\over{ {{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}}+{{\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda(\sigma l)}} }}={{ \alpha(\sigma l)+\alpha(\sigma'l+1){{\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}} }\over{1+\delta_{\gamma}^2}}={{\alpha(\sigma l)+\delta^2_{\gamma}\alpha(\sigma^'l+1)}\over{1+\delta_{\gamma}^2}}\;</MATH>|3.98}} Jeśli wykorzystamy definicję współczynnika zmieszania {{Formuła|<MATH>\delta^2_{\gamma}\;</MATH>}} {{LinkWzór|3.87}}, wtedy jak łatwo pokazać, że {{LinkWzór|3.98}} możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha(\sigma l+\sigma^'l+1)={{\alpha(\sigma l)+{{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}}\alpha(\sigma^'l+1)}\over{1+{{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}} }}=(1-Q_{\gamma})\alpha(\sigma l)+Q_{\gamma}\alpha(\sigma^' l+1)\;</MATH>|3.99}} Widać, że współczynniki WKW, że względu na powłokę, której zostaje przekazana energia elektronowi tam się znajdującej spełnia następującą relację: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_K(\sigma l+\sigma^'l+1):\alpha_{L_I}(\sigma l+\sigma^'l+1):\alpha_{L_{II}}(\sigma l+\sigma^'l+1):...=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= [\alpha_K(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_K(\sigma^'+1)]:[\alpha_{L_I}(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_{L_I}(\sigma^'+1)]:[\alpha_{L_{II}}(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_{L_{II}}(\sigma^'+1)]:...\;</MATH>|3.100}} ==== Ogólne zasady pomiarów parametrów przejść elektromagnetycznych jąder atomowych ==== Energia przejścia E{{Sub|if}}, współczynnik WKW przejść elektromagnetycznych, promieniowanie elektromagnetyczne zmieszane &sigma;l+&sigma;'l', parametr zmieszania przejść &gamma; &delta;{{Sup|2}}, a także zredukowany element macierzowy przejścia B(&sigma;l), wtedy zając te parametry można poznać strukturę jąder atomowych. ===== Energie przejść &gamma; ===== Badania przejść elektromagnetycznych polega na badaniu: * pomiaru widm promieniowania &gamma;, tzn.: E{{Sub|if}}, E{{Sub|&gamma;}}(-E{{Sub|odrzutu}}), * pomiaru widm EKW (konwersji wewnętrznej, tzn.:E=E{{Sub|EKW}}(n)+B{{Sub|e}}(n). Aparaturę widm &gamma; dzielimy na spektrometry &gamma; (licznikowe i krystaliczne), spektrometry EKW (licznikowe i magnetyczne). ===== Multipolowość (&sigma;l+&sigma;'l',&delta;{{Sup|2}}) ===== Multipolowość dla przejść &gamma;(&sigma;l+&sigma;'l',&delta;{{Sup|2}}) określa się na w sposób: * na podstawie reguł wyboru, gdy określone są spiny i parzystość jąder {{Formuła|<MATH>I_i^{\pi},I^{\pi}_f\;</MATH>}}, gdy są określone warunki zmieszania promieniowania elektromagnetycznego &sigma;l+&sigma;l+1. * a także z pomiarów bezwzględnych wartości WKW {{LinkWzór|3.95}} i porównanie jej z doświadczeniem, ten współczynnik jest funkcją multipolowości i parametru zmieszania {{LinkWzór|3.87}}, wartość bezwzględna tego współczynnika jest stosunkiem ilości jąder ulegająca przemianie, tzn. konwersji wewnętrznej przez liczbę kwantów &gamma; wydzielanych na przejściu z danego poziomu w jądrze na niższy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha^{exp}(n)={{N_{EKW}(n)}\over{N_{\gamma}}}\;</MATH>|3.101}} * z pomiarów stosunków liczby cząstek ulegające konwersji wewnętrznej, które są według definicji przechwycenia przez jądro elektronu z powłoki L{{Sub|I}}, L{{Sub|II}},L{{Sub|III}}, tzn. N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|I}})/N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|II}})/N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|III}}), które są silną funkcją &sigma; i &delta;{{Sup|2}} dla przejść elektromagnetycznych. Określmy parametr zmieszania, który określa się przy pomocy współczynników konwersji wewnętrznej dla przejść pomiędzy L{{Sub|I}} i L{{Sub|II}}, czyli dla M1+E2 w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\delta^2={{\alpha_{L_{I}}^{teor}(M1)-{{N(L_{I})}\over{N(L_{III})}}\alpha^{teor}_{L_{III}} (M1)}\over{\alpha_{L_{I}}^{teor}(E2)-{{N(L_{I})}\over{N(L_{III})}}\alpha^{teor}_{L_{III}} (E2)}}\;</MATH>|3.102}} Podobne wzory otrzymujemy dla przejść L{{Sub|II}} i L{{Sub|I}}. Stosunki N(n)/N(n') określa się na podstawie widm EKW. Stosunki &lambda;{{Sub|L{{Sub|I}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|II}}}},&lambda;{{Sub|L{{Sub|I}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|III}}}},&lambda;{{Sub|L{{Sub|II}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|III}}}} silnie zależą od multipolowości &sigma;l i energii E przejścia. Pomiary tychże stosunków EKW na podpowłokach L{{Sub|I}}, L{{Sub|II}}, L{{Sub|III}}, itd. pozwala wyznaczyć współczynniki Q{{Sub|&gamma;}} i &delta;{{Sup|2}}. ===== Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia ===== Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia możemy określić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.88}}. B(&sigma;l) możemy wyznaczyć z pomiarów &lambda;{{Sub|&gamma;}}(&sigma;l). Dla rozważań nad zjawiskiem KP i przejściami &gamma;, to całkowita stała zaniku określamy jako sumą stałej zaniku przejścia &gamma; i przejścia konwersji wewnętrznej, czyli przejścia KP. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}=\lambda_{\gamma}\left(1+\alpha_{KW}\right)\;</MATH>|3.103}} Wiedząc, że stała zaniku dla przejścia elektromagnetycznego &lambda;'{{Sub|EM}} jest odwrotnością średniego czasu życia rozpadu elektromagnetycznego, to stałą zaniku przejścia &gamma; piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}={{\lambda_{EM}}\over{1+\alpha_{KW}}}={{1}\over{\tau(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.104}} Skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|3.88}}, który przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma l,i\rightarrow f)=f(E_{\gamma},l)B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</math>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<math>f(E_{\gamma},l)={{8\pi}\over{\hbar}}{{l+1}\over{l[2l+1]!!]^2}}\left({{E_{\gamma}}\over{\hbar c}}\right)^{2l+1}\;,</MATH>|3.105}} Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia według wzoru {{LinkWzór|3.105}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)={{1}\over{\tau(1+\alpha_{KW})f(E_{\gamma},l)}}\;</MATH>|3.106}} Ale dla przypadku przejść zmieszanych &sigma;l+&sigma;'l+1 stałą zaniku promieniowania elektromagnetycznego dla multipolowości zmieszanych &sigma;l+&sigma;'l+1 określamy jako sumę stałej zaniku promieniowania &gamma; o tej multipolowości i stałej zaniku konwersji wewnętrznej też o tych samych zmieszanych multipolowościach, tutaj będziemy korzystać ze wzoru {{LinkWzór|3.105}} i definicji stałej konwersji wewnętrznej &alpha;{{Sub|KW}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}(\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{\gamma}(\sigma l+\sigma^'l+1)+\lambda_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{\gamma}(\sigma l+\sigma^'l+1)\left[1+\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \left(\lambda_{\gamma}(\sigma l)+\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)\right)\left[1+\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)\right]=\lambda_{\gamma}(\sigma l)[1+\delta^2_{\gamma}][1+\alpha_{KW}]={{1}\over{\tau}}\;</MATH>|3.107}} Jeśli wykorzystamy definicję średniego czasu rozpadu promieniowania elektromagnetycznego jako odwrotność jego stałej rozpadu, wtedy dla multipolowości &sigma;l mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma l)={{1}\over{\tau(1+\delta^2)(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.108}} Stała zaniku dla promieniowania o multipolowości &sigma;l+1 określamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.87}} wiedząc, że mamy stałą zaniku dla multipolowości &sigma;l {{LinkWzór|3.108}}. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)=\delta^2_{\gamma}\lambda_{\gamma}(\sigma l)={{\delta^2_{\gamma}}\over{\tau(1+\delta^2_{\gamma})(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.109}} Biorąc zredukowane prawdopodobieństwo rozpadu według wzoru {{LinkWzór|3.105}}, to wtedy możemy obliczyć B(&sigma;l) i B(&sigma;l+1) dla składowych o multipolowościach &sigma;l i &sigma;'l+1, które noszą nazwę zredukowanych parcjalnych prawdopodobieństw przejść &gamma; dla składowych &sigma;l i &sigma;'l+1. === Konwersja wewnętrzna par e{{Sup|-}}e{{Sup|+}}(KWP) === {{Rysunek|Współczynnik KWP od energii przejścia.png|3.15|Współczynnik KWP od energii przejścia}} Poznaliśmy już {{sr|#Przejścia &gamma;|przejścia elektromagnetyczne|b=tak}} i {{sr|#Konwersja wewnętrzna (KW)|konwersję wewnętrzną (KW)|b=tak}}, które maleją wraz ze wzrostem energii przejścia i rosną ze wzrostem Z jądra, one zachodzą dla energii przejścia ok. 1MeV, współczynnik WKW jest 10{{Sup|-3}}. Gdy E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}&ge;2m{{Sub|e}}c{{Sup|2}}=1,022MeV przejście dodatkowo może zachodzić z utworzeniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}. Para elektron-pozyton unosi energię równą: {{CentrujWzór|<MATH>(E_i-E_f)-2m_ec^2=E^{(k)}_{e^+}+E^{(k)}_{e^-}+E_{odrzutu j.}\;</MATH>|3.110}} Moment pędu pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} jest większy od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie) i jest natomiast mniejsza od sumy jąder momentów pędu jąder krańcowych, tą zależność piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l_{pary}\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.111}} Parzystość unoszoną przez parę jest natomiast równa: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla El}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla Ml}\\\end{cases}\;</MATH>|3.112}} Widmo energii e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}} jest ciągłe, tzn. energia pary jest od E=0 do E{{Sup|max}}=(E_i-E_f)&sim; 1,022MeV. Pozytony utworzone w wyniku tego rozpadu anihilują z elektronami ośrodka najczęściej według przemiany poniżej w wyniku czego powstaje kwant &gamma; o energii E{{Sub|&gamma;}}=511keV: {{CentrujWzór|<MATH>e^++e^-\rightarrow 2\gamma\;</MATH>|3.113}} Proces KWP nie jest powiązany żadną powłoka elektronową, więc prawdopodobieństwo słabo zależy od liczby atomowej jądra Z (maleje ze wzrostem Z). Zdefiniujmy współczynnik KWP, który jest stosunkiem stałej zaniku z utworzeniem pary i stałej zaniku promieniowania &gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_p={{\lambda_{KWP}}\over{\lambda_{\gamma}}}\;</MATH>|3.114}} * rośnie ze wzrostem E przejścia dla E równą od 1,5 do 5MeV &alpha;{{Sub|p}} jest od 10{{Sup|-4}} do 10&sdot;10{{Sup|-4}}. * jest funkcją przejścia, tzn. &sigma;{{Sub|P}}(&sigma;l)>&alpha;{{Sub|P}}(&sigma;l+1) i &sigma;{{Sub|P}}(El)>&alpha;{{Sub|P}}(Ml). * prawdopodobieństwo KWP silnie zależy od kąta &theta; między kierunkami wylotu e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}}. Pomiary &alpha;{{Sub|p}} i korelacja kierunków wylotu e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}} wykorzystuje się do określenia &sigma;l o E{{Sub|&gamma;}}&ge;5MeV. Obliczenie teoretyczne &alpha;{{Sub|l}} są trudne do wykonania, ponieważ to wymaga znajomości funkcji falowej jądra i pary e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}}. == Rozczepienie spontaniczne (spontanic fission(sf)) == {{Rysunek|Energia wiązania jąder podzielonej przez liczbę masową.png|3.16|Energia wiązania jąder podzielonej przez liczbę masową}} {{Rysunek|Fission product-pl.svg|3.17|Rozczepienie jądra atomowego na dwa jego fragmenty|rozmiar=200px}} W tym rozkładzie ciężkie jądro dzieli się spontanicznie na dwa fragmenty z emisją kilku neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\xrightarrow{sf}{}^{A_1}_{Z_1}F_1+{}^{A_2}_{Z_2}F_2+\nu n\mbox{, }\nu=\mbox{1,5 do 3}\;</MATH>|3.115}} Energia rozszczepienia jest różnica masy jądra przed rozszczepieniem i sumy mas jąder po rozszczepieniu i masy &nu; neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(A,Z)=[M_j(A,Z)-(M_j(A,Z_1)+M_j(A_2,Z_2)+\nu m_n)]\;</MATH>|3.117}} Aby rozszczepienie nastąpiło, to energia Q{{Sub|sf}} powinna być większe niż zero, co jest spełnione tylko dla jąder ciężkich na opadającej części wykresu B/A. Jeśli dodatkowo założymy, że B{{Sub|j}}=E(A,Z)&sdot;A, to otrzymamy inny ale równoważny do {{LinkWzór|3.115}} używając tylko energii wiązań przypadającej na jeden nukleon. {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(A,Z)=A\left(\overline{E}_{12}-E(A,Z)\right)</MATH>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>\overline{E}_{12}={{E_1A_1+E_2A_2}\over{A_1+A_2}}\;</MATH>|3.118}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|3.118}}, aby zachodził warunek Q{{Sub|sf}}(A,Z)>0, to musi być spełniony {{Formuła|<MATH>\overline{E}_{12}\geq E\;</MATH>}}. Energię rozszczepienia Q{{Sub|sf}} unoszą produkty unoszenia, którą możemy rozpisać do: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}=E_k(F_1)+E_k(F_2)+E_{wzb}(F_1)+E_{wzb}(F_2)+E_k(\nu n)\;</MATH>|3.119}} Fragmemty rozszczepienia, czyli jądra wzbudzone z nadmiarem n ulegają * rozpadowi &beta;{{Sup|-}} * deeskcytacji stanów F{{Sup|*}} w wyniku przejść EM(&gamma;) lub emisję neutronów przez jądro. Widmo fragmentów jądra rozszczepiającego się w wyniku rozpadu {{LinkWzór|3.115}} jest dwugarbne, jeśli jądro rozpada się bez emisji neutronów, tzn. spełnione są warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{A_1}\over{A_2}}\simeq{{2}\over{3}}\;</MATH>|3.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_1+A_2=A\;</MATH>|3.121}}}} === Mechanizm sf === {{Rysunek|Energy from the nucleus deformation.png|3.18|Energia jądra w zależności od deformacji}} {{Rysunek|Energia jądra bez bariery energetycznej.png|3.19|Energia jądra bez bariery energetycznej}} {{Rysunek|Przejście_tunelowe_z_barierą_energetyczną_zależnej_od_deformacji.png|3.20|Przejście tunelowe z barierą energetyczną}} {{Rysunek|Radioactive decay by fission.png|3.21|Dwa maksima a rozczepienie jądra}} Rozpatrzmy mechanizm rozszczepienia sf bez emisji neutronów na dwa fragmenty, dla którego zachodzą warunki {{LinkWzór|3.120}} i {{LinkWzór|3.121}}, wtedy rozszczepienie wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^{A_1}_{Z_1}F_1+{}^{A_2}_{Z_2}F_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>A_1={{2}\over{5}}A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>A_2={{3}\over{5}}A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;oraz&nbsp;}}<MATH>Z_1={{3}\over{5}}Z\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>Z_2={{2}\over{5}}Z\;</MATH>|3.122}} Energię jądra będziemy określać według modelu kroplowego {{LinkWzór|1.28|Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}}. Załóżmy, że podział jądra zachodzi przez podział jądra na dwa sferyczne fragmenty, wtedy energia wydzielająca się w wyniku rozczepienia jest: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(X)=[E_s(X)+E_C(x)]-[\underbrace{E_s(F_1)+E_s(F_2)}_{1,25E_S(X)}+\underbrace{E_C(F_1(F_1)+F_C(F_2)}_{0,64E_C(X)}]\;</MATH>|3.123}} We wzorze {{LinkWzór|3.112}} energię oznaczoną przez wskaźnik S oznacza efekty powierzchniowe, które pozwalają utrzymać kształt sferyczny jądra, a przez wskaźnik C będziemy oznaczać jako oddziaływanie kulombowskie, które starają się rozerwać jądro. W mechanizmie sf istotną rolę odgrywają energie E{{Sub|C}} i E{{Sub|S}}. stąd energię jądra {{LinkWzór|3.112}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(X)=0,36E_C(X)-0,25E_S(X)\;</MATH>|3.124}} Można pokazać wykorzystując relację na energię wiązania w modelu kroplowym, że dla Q{{Sub|sf}}(X)>0, gdy Z{{Sup|2}}/A>17. Jądra spełniające ten warunek mogą ulec natychmiastowego rozszczepieniu z czasem połowicznego zaniku T{{Sub|1/2}}&asymp;10{{Sup|-22}}s. Dla A=2Z otrzymamy natychmiast Z>34, czyli dla tych jąder następuje rozszczepienie. Doświadczalnie stwierdzono, że sf występuje tylko w jądrach ciężkich dla Z&ge;90 i zachodzi z bardzo małym prawdopodobieństwem, bo np. czas połowicznego rozpadu dla tego jądra uranu 238 jest {{Formuła|<MATH>T_{1/2}({}^{238}_{92}U)=6\cdot 10^{15}lat\;</MATH>}}. Lepszą zgodność z doświadczeniem występuje z założenia, że lepszą drogę do rozszczepienia jest poprzez deformację jądra. Deformację określa się przez parametr deformacji &beta;{{Sub|2}}. Warunek na rozszczepienie również będzie wyglądał poprzez wzajemną relację parametrów E{{Sub|s}}(A,Z,&beta;{{Sub|2}}) i E{{Sub|C}}(A,Z,&beta;{{Sub|2}}). Dla małych jąder E{{Sub|s}} (&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją rosnącą, a E{{Sub|C}}(&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją malejącą. Tak więc całkowita energia jądra zapisujemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>E_{LD}(Z,A,\beta)=E_S(Z,A,\beta_2)+E_C(Z,A,\beta_2)\;</MATH>|3.125}} Funkcja {{LinkWzór|3.118}} rośnie przy wzroście &beta;{{Sub|2}}, więc to pełni rolę bariery energetycznej &Delta;E{{Sub|sf}} przy podziale jądra. Dla małych &beta;{{Sub|2}} przy energii jądra niezdeformowanego E{{Sub|LD}}(Z,A,0) energię jądra zdeformowanego piszemy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>E_{LD}(Z,A,\beta_2)\simeq E_{LD}(Z,A,0)+{{\beta_2^2}\over{5}}\left(2E_S(A,Z,0)-E_C(Z,A,0)\right)\;</MATH>|3.126}} Jeśli (2E{{Sub|s}}-E{{Sub|C}}<0, to E{{Sub|LD}}(&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją malejącą, wtedy nie ma bariery na rozczepienie. Warunek ten jest spełniony dla Z{{Sup|2}}/A&ge;49, gdy Z&ge;120, wtedy rozpad sf jądra jest natychmiastowy, wtedy czas połowicznego zaniku jest rzędu 10{{Sup|-22}}s. Jeżeli (2E{{Sub|s}}-E{{Sub|C}})>0 bariera występuje, a jej wysokość maleje w miarę zmniejszania się parametru Z{{Sup|2}}/A&le;49, wtedy sf zachodzi tylko w wyniku przejść tunelowych, i czas połowicznego zaniku silnie zależy od Z{{Sup|2}}/A. Przy większej deformacji prowadzącej do rozszczepienia jądra atomowego poprawki powłokowe zakładające gładką zależność bariery na rozczepienie mogą prowadzić do pojawienia się drugiego minimum. Tłumaczy to zjawisko izometrii rozszczepieniowej. Ze względu na rozczepienie bariery połowiczny czas życia stanu podstawowego jest większy lub równy czasowi stanu izomerycznego, tzn.T{{Sub|1/2}}(sf){{Sub|st. podst.}}&ge;T{{Sub|1/2}}(sf){{Sub|st. izomer.}}, dla jądra {{Sup|238}}U mamy czas zycia poziomu podstawowego T{{Sub|1/2}}&asymp;6&sdot;10{{Sup|15}}lat, a czas życia poziomu izomerycznego jest T{{Sub|1/2}}&asymp;195&sdot;10{{Sup|-9}}s. Uwzględnienie &delta;E{{Sub|shell}}+&delta;E{{Sub|paring}}, czyli energię uwzględniające strukturę powłokową jądra i energię parowania, pozwalają dokładnie opisać wysokość bariery na rozszczepienie w poszczególnych jądrach oraz obserwowaną doświadczalnie silną zależność sf od struktury jądra atomowego, i pozwalają zrozumieć dwugarbny charakterystyczny rozkład mas w wyniku rozczepienia jądra atomowego w rozczepieniu asymetrycznym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fpn68esf6kud2wqwt0o5hv7v7a6ra8q 558603 558602 2026-10-04T19:55:11Z Persino 2851 558603 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Ogólny schemat rozpadów == Procesy zachodzące spontanicznie z powodów określonych oddziaływań pomiędzy nukleonami, w wyniku której jądro znajduje się w stanie quasistacjonarnym, to jądro przechodzi do stanu niższego energetycznie, ewentualnie emitując cząstkę unoszącą energię rozpadu. W końcowym etapie w wyniku czego jądro przechodzi w stan stacjonarny, które jest jądrem stabilnym w stanie podstawowym. Rozpad: {{CentrujWzór|<MATH>X\rightarrow Y+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.1}} jest dozwolony, jeśli spełnione są warunki opisane poniżej: === Warunek energetyczny === Wynika on z praw zachowania energii, dla jąder X i Y i cząstki a{{Sub|i}} będących w stanach podstawowych, to z tej zasady dla problemu mas wynika wniosek, że suma mas substratów w przemianie jądrowej powinna być większa niż suma mas produktów: {{CentrujWzór|<math>M_j(X)\geq M_j(Y)+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.2}} lub gdy jądra są w stanie wzbudzonym, wtedy dla problemu mas zachodzi suma masy substratów (jądra X) i jej energii wzbudzenia powinna być większa niż suma mas produktów Y, a{{Sub|i}} i energii wzbudzenia jądra Y: {{CentrujWzór|<MATH>M_j(X)+E_{wzb}(X)\geq M_j(Y)+E_{wzb}(Y)+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.3}} Powyżej wyraziliśmy masę i energię w tych samych jednostkach, tzn. przy definicji prędkości światła równej jeden c=1. Energią rozpadu nazywamy wyrażenie, które jest różnicą masy jądra X przed rozpadem, i sumą masy jądra Y po rozpadzie i masy cząstek wyemitowanych: {{CentrujWzór|<MATH>M(X)-\left[M(Y)+\sum_im_{a_i}\right]=Q\;</MATH>|3.4}} * gdzie: M(X), M((Y) są masami odpowiednich nuklidów, które unoszą energię w postaci energii kinetycznej, tzn. energia rozpadu jest sumą energii kinetycznej jądra Y i cząstek a{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\sum_i E_{a_i}^{(k)}+E^{(k)}_{odrzutu}(Y)\;</MATH>|3.5}} Jeśli emitowana jest jedna cząstka, to ma określoną energię (widmo energii jest liniowe), a energia odrzutu jest w przybliżeniu zerowa, bo m{{Sub|a}}<<M(Y). === Reguły wyboru === Prawa zachowania momentów pędów przestawiamy jako sumę momentów pędu substratów, która jest równa sumie momentów pędu produktów w rozpadzie jądrowej, tzn. moment pędu jądra X przed rozpadem jest równy sumie momentów pędów cząstek a{{Sub|i}} i jądra Y: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}_i(X)=\vec{I}_f(Y)+\sum_i \vec{j}_{a_i}\;</MATH>|3.6}} Zasadę zachowania parzystości w naszym rozpadzie, oraz wartość momentu pędu cząstek a{{Sub|i}} możemy napisać, gdy suma momentów pędu naszych cząstek jest większa niż wartość bezwzględna różnicy momentów pędu jąder X i Y oraz mniejsza niż wartość sumy momentów pędów, a parzystość cząstki X przed rozpadem jest równa iloczynowi parzystości jądra Y i cząstek a{{Sub|i}} dla wszystkich „i”: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq \sum_i j_{a_i}\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.7}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\pi_i(X)=\pi_f(Y)\cdot\pi(\sum_ia_i)\;</MATH>|3.8}} }} === Prawo zachowania ładunku elektrycznego, ładunku barionowego i innych liczb kwantowych === Prawo zachowania ładunku elektrycznego i barionowego, taki że ładunek elektryczny lub barionowy przed i po rozpadzie zachowuje swoją wartość licząc względem wszystkich cząstek przed i po reakcji, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>Z_i=Z_f+\sum_i Z_{a_i}\;</MATH>|3.9}} |2={{CentrujWzór|<MATH>A_i=A_f+\sum_iA_{a_i}\;</MATH>|3·10}} }} == Klasyfikacja rozpadów == === Ze względu na emitowane cząstki === ==== Rozpad &alpha; ==== W tym rozpadzie cząstka {{Formuła|<MATH>{}_Z^AX\;</MATH>}} emituje cząstkę {{Formuła|<MATH>{}^4_2\alpha\;</MATH>}} jednocześnie przechodząc w cząstkę {{Formuła|<MATH>{}^{A-4}_{Z-2}Y\;</MATH>}}: {{Wzór|<MATH>{}_Z^AX\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^4_2\alpha\;</MATH>|3.11}} ==== Rozpady &beta; ==== w tym rozpad &beta;{{Sup|-}} w którym powstaje jądro o liczbie atomowej zwiększonej o jeden, a także elektron (cząstka &beta;{{Sup|-}}) wraz antyneutrinem elektronowym: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow {}^A_{Z+1}Y+{}_{-1}\beta^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.12}} w tym rozpad &beta;{{Sup|+}}, w którym powstaje jądro o liczbie atomowej zmniejszonej o jeden, a także pozyton (cząstka &beta;{{Sup|+}}, elektron o ładunku dodatnim) wraz z neutrinem elektronowym: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+{}_1\beta^++\nu_e\;</MATH>|3.13}} ==== Rozpady nukleonowe p i n ==== * rozszczepienie spontaniczne sf w wyniku czego powstają dwa jądra atomowe wraz z pewną liczbą neutronów: {{Wzór|<MATH>X\rightarrow Y_1+Y_2+kn\;</MATH>|3.14}} ==== Przejścia &gamma; ==== Rozpad, w którym jądro wzbudzone przechodzi do stanu podstawowego ze stanu wzbudzonego z emisją kwantu &gamma;: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX^*\rightarrow {}^A_ZX+\gamma\;</MATH>|3.15}} ==== Konwersja wewnętrzna (KW) ==== === Ze względu na oddziaływania prowadzące do rozpadu === * przejścia elektromagnetyczne (EM): &gamma;, KW, KP (deekscytacja jądra, jest to przejście jądra, ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, przy czym jest zachowana liczba masowa A i atomowa Z jądra atomowego) * przejścia (rozpady) słabe (beta): &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}}, EC * przejścia (rozpady) z udziałem oddziaływania silnego (jądrowego): &alpha;, p, n, sf. == Prawdopodobieństwo rozpadu (przejścia) ze stanu początkowego |i> == {{Rysunek|Przejścia (rozpady) jądrowe.png|3.1|Przejścia (rozpady) jądrowe}} Wedle przypadku ogólnego stan quasistacjonarny może przejść w wyniku różnych procesów (rozpady jąder na końcowe jądra korzystne energetycznie). Stała rozpadu całego procesu jest sumą poszczególnych rozpadów, dla oddziaływań elektromagnetycznych &lambda;{{Sub|em}}, słabego &lambda;{{Sub|sl}}, i silnego &lambda;{{Sub|s}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_i=\lambda_{em}+\lambda_{sl}+\lambda_s\;</MATH>|3.16}} Poszczególne stałe rozpadu definiujemy wedle schematów poniżej przy pomocy stałej zaniku przejścia elektromagnetycznego, która jest sumą rozpadów &gamma;, konwersji wewnętrznej KW i deekscytacji jądra, ta stała jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}+\lambda_{KP}\;</MATH>|3.17}} Stała zaniku przejścia zachodzących w wyniku oddziaływań słabych jest sumą rozpadów &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{sl}=\lambda_{\beta^-}+\lambda_{\beta^{+}}+\lambda_{EC}+...\;</MATH>|3.18}} Stała zaniku przejścia zachodzących w wyniku oddziaływań silnych jest sumą stałych zaniku rozpadu &alpha;, rozczepienia spontanicznego sf i przejść nukleonowych p i n. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{s}=\lambda_{\alpha}+\lambda_{sf}+\lambda_p+\lambda_n+...\;</MATH>|3.19}} Średni czas życia danego rozpadu lub wszystkich rozpadów {{LinkWzór|3.16}} definiujemy jako odwrotność stałej zaniku danego rozpadu lub wszystkich rozpadów: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\lambda_j}}=\tau_i\;</MATH>|3.20}} Czas życia, danego rozpadu ze względu na dany typ rozpadu, w którym cząstka ze stanu |i> przechodzi w stan |f>, jest określany: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\lambda_{if}}}=\tau_{if}\;</MATH>|3.21}} Stała rozpadu, nie zależy od warunków zewnętrznych, historii rozpadu, jest to wielkość stała charakteryzująca dany proces. W kwantowej teorii zaburzeń stała rozpadu przejścia ze stanu „i” do „f”, znając gęstość stanów &rho;{{Sub|f}}(E), w której zawarta jest zależność stałej rozpadu od energii emitowanych cząstek E, a także hamiltonian H{{Sub|if}}, który jest odpowiedzialny za przejście od stanu „i” do stanu „f”, które jest traktowane jest jako zaburzenie, jest zapisana: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{if}={{2\pi}\over{\hbar}}\left|\left\langle f|\hat H_{if}|i\right\rangle\right|^2\rho_f(E)\;</MATH>|3.22}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>\rho_f(E)\;</MATH>}} – gęstość stanów końcowych w jednym przedziale dozwolonym energetycznym. : {{Formuła|<MATH>\hat H_{if}\;</MATH>}} – ta część hamiltonianu oddziaływania, który jest odpowiedzialny za dane przejście, traktujemy go jako zaburzenie. To samo prawo stosujemy do cząstek elementarnych, stanów wzbudzonych atomów, itp., tzn. do rozpadów kwazistacjonarnych, które są układami kwantowymi. === Prawo rozpadu === {{Rysunek|Wykres_ilustrujący_prawo_rozpadu.png|3.2|Wykres ilustrujący prawo rozpadu|rozmiar=200px}} Prawdopodobieństwo rozpadu, czyli iloraz liczby cząstek rozpadających się dN i liczby cząstek nierozpadniętych N, jest wprost proporcjonalne do czasu, w którym ten rozpad jest dokonywany, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>{{-dN}\over{N}}=\lambda dt\rightarrow N(t)=N(0)e^{-\lambda t}\;</MATH>|3.23}} Wyznaczmy teraz czas, w którym liczba cząstek zmniejsza się „e” razy względem jej liczby w czasie równym zero (N(0)), czyli: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{e}}N(0)=N(0)e^{-\lambda \tau}\Rightarrow -\ln e=-\lambda\tau\Rightarrow\tau={{1}\over{\lambda}}\;</MATH>|3.24}} Wyznaczmy średni czas rozpadu z definicji wartości średniej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{t}={{\int_0^{\infty}te^{-\lambda t}dt}\over{\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt}}={{-{{1}\over{\lambda}}te^{-\lambda t }\Bigg|_0^{\infty}+{{1}\over{\lambda}}\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt}\over{-{{1}\over{\lambda}}e^{-\lambda t}\Bigg|_0^{\infty}}}=-\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt=-{{1}\over{\lambda}}e^{-\lambda t}\Bigg|_0^{\infty}={{1}\over{\lambda}}=\tau\;</MATH>|3.25}} Udowodniliśmy, że średni czas zaniku jest odwrotnością stałej zaniku &lambda;, czyli jest równy czasowi &tau;, po którym liczba cząstek maleje e razy. Wyznaczmy teraz czas połowicznego zaniku (półokres rozpadu), w którym liczba cząstek zmniejsza się o połowę względem czasu podstawowego N(0), patrząc na wynik {{LinkWzór|3.24}} i {{LinkWzór|3.25}}, otrzymujemy, że czas połowicznego zaniku jest równy czasowi, której liczba cząstek zmniejsza się '''e''' razy względem N(0) pomnożonej przez logarytm naturalny liczby dwa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}N(0)=N(0)e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow -\ln 2=-\lambda T_{1/2}\Rightarrow T_{1/2}={{1}\over{\lambda}}\ln 2\Rightarrow T_{12}=\tau\ln 2\simeq\tau\cdot 0,693\;</MATH>|3.26}} Rozkład sukcesywny nazywamy proces: {{CentrujWzór|<MATH>X\xrightarrow{\lambda_1} Y\xrightarrow{\lambda_2} Z\xrightarrow{\lambda_3} ...\;</MATH>|Y}} == Mechanizm rozpadu (przemiany) &alpha; == {{Rysunek|Alpha Decay.svg|3.3|Rozpad &alpha;|rozmiar=300px}} Wyniku rozpadu jądra X o liczbie masowej A i atomowej Z z jądra wylatuje w wyniku zjawiska tunelowania cząstka {{Formuła|<MATH>{}^4_2\alpha_2\;</MATH>}}, zmniejszając jego liczbę masową o cztery, a liczbę atomową o dwa: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2}+{}^4_2\alpha_2\;</MATH>|3.27}} Energia pomiędzy stanami podstawowymi jąder {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX_N\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2}\;</MATH>}} i cząstką &alpha; przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\alpha}=M(A,Z)-\left[M(A-4,Z-2)+M(\alpha)\right]\;</MATH>|3.28}} Warunkiem koniecznym zaistnienia rozpadu {{LinkWzór|3.27}} jest warunek konieczny Q{{Sub|&alpha;}}>0. Warunek {{LinkWzór|3.28}} jest spełniony dla jąder, dla której stosunek B/A=f(A) leży w opadającej części wykresu, tzn. dla jąder ciężkich o A&ge;150, które znajdują się w stanach podstawowych. Energia rozpadu Q{{Sub|&alpha;}} jest unoszona w postaci energii kinetycznej jądra Y i energii kinetycznej cząstki &alpha;. Widmo energetyczne cząstki &alpha; jest liniowe i jego energia mieści się w zakresie 4MeV&le;E{{Sub|&alpha;}}&le;9MeV. Wartość momentu pędu cząstki &alpha; jest większa od wartości bezwzględnej różnicy jądra X i Y i jest mniejsza niż suma wartości momentów pędu cząstki X i Y: {{CentrujWzór|<MATH>|I_X-I_Y|\leq I_{\alpha}\leq I_X+I_Y\;</MATH>|3.29}} Parzystość cząstki &alpha;, jest iloczynem parzystości jądra X i jądra Y, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_X\pi_Y=(-1)^{l_{\alpha}}\;</MATH>|3.30}} {{Rysunek|Przejście tunelowe cząstki alpha.png|3.4|Przejście tunelowe cząstki alpha|rozmiar=300px}} Rozpad &alpha; jest uwarunkowany oddziaływaniem silnym, i cząstka &alpha; by pokonać barierę potencjału, dla którego zachodzi E{{Sub|&alpha;}}<E{{Sub|bariery potencjału}} ulega zjawisku tunelowania, co jest zgodne z mechaniką kwantową, w wyniku czego jądra helu wydostaje się z jądra X z pewną energią E{{Sub|&alpha;}}. Potencjał V(r) jądra atomowego wyrażamy przez sumę energii związanych z energią kulombowską i energią związaną z momentem pędu wynikających z równania własnego operatora energii, jest ona równa pisząc je ogólnie dla {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i dla bariery potencjału, którą cząstka &alpha; musi przekroczyć, tzn. dla odległości od środka jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_zX_N\;</MATH>}}, tzn.: {{Formuła|<MATH>r=R_j\;</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>V(r)=V_C(r)+V_l(r)\underbrace{=}_{r>R_j}{{Z_{\alpha}Z_je^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}+{{l(l+1)\hbar}\over{2m_{\alpha} r^2}}\;</MATH>|3.31}} === Współczynnik przenikalności bariery potencjału jądra X === Współczynnik przenikalności bariery wyrażamy przy pomocy potencjału oddziaływania kulombowskiego V{{Sub|C}} i potencjału związanego z momentem pędu V{{Sub|l}} i piszemy go: {{CentrujWzór|<MATH>D=e^{-{{2}\over{\hbar}}\int_{R_j}^{r_{\alpha}}\sqrt{2m\left(V_C+V_l-E_{\alpha}\right)}dr}\;</MATH>|3.32}} === Prawdopodobieństwo rozpadu &alpha; === Stała rozpadu jest iloczynem prawdopodobieństwa utworzenia cząstki &alpha; w stanie quasistacjonarnym P{{Sub|&alpha;}}, który aby obliczyć należy znać strukturę jądra atomowego, ono nie zmienia się silnie od jądra do jądra, przez częstość &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>\nu={{1}\over{t}}={{v_x}\over{2R_j}}\;</MATH>|3.33}} * gdzie „t” czas, w którym cząstka &alpha; przebiega jądro, i przez współczynnik przenikalności bariery D {{LinkWzór|3.32}}, stała rozpadu &alpha;, czyli &lambda;{{Sub|&alpha;}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\alpha}=P_{\alpha}\cdot\nu\cdot D\;</MATH>|3.34}} Zwykle przyjmuje się k=P{{Sub|&alpha;}}&nu;&asymp;10{{Sup|20}}, to stała rozpadu {{LinkWzór|3.34}} ma wzór &lambda;{{Sub|&alpha;}}=k&sdot;D. === Prawo Geigera-Nutalla === Jest to zależność pomiędzy czasem T{{Sub|1/2}} połowicznego rozpadu jądra X, co wyniku tego ono emituje cząstkę &alpha;, a energią cząstek &alpha; E{{Sub|&alpha;}}, wyrażona przy pomocy stałych C(Z) i D(Z) zależnej od liczby atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{log}_{10}T_{1/2}=C(Z)+{{D(Z)}\over{\sqrt{E_{\alpha}}}}\;</MATH>|3.35}} Zależność stałej C i D od liczby atomowej przedstawia tabela: {{Center|<!-- -->{{Tabelka|opcje=width=50%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Z}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|C}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|D}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Z}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|C}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|D}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|84}}<!-- -->{{Komórka|-50,15}}<!-- -->{{Komórka|128,8}}<!-- -->{{Komórka|92}}<!-- -->{{Komórka|-52,55}}<!-- -->{{Komórka|143,1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|86}}<!-- -->{{Komórka|-50,94}}<!-- -->{{Komórka|132,7}}<!-- -->{{Komórka|94}}<!-- -->{{Komórka|-53,35}}<!-- -->{{Komórka|147,4}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|88}}<!-- -->{{Komórka|-51,51}}<!-- -->{{Komórka|136,2}}<!-- -->{{Komórka|96}}<!-- -->{{Komórka|-53,97}}<!-- -->{{Komórka|151,3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|90}}<!-- -->{{Komórka|-51,94}}<!-- -->{{Komórka|139,4}}<!-- -->{{Komórka|98}}<!-- -->{{Komórka|-54,40}}<!-- -->{{Komórka|154,7}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} Prawidłowość {{LinkWzór|3.35}} ustalili doświadczalnie w latach 1911–1912 uczeni H. Geiger i J. Nutall, a następnie w 1928 uzyskali ją opierając się na kwantowym opisie procesu rozpadu &alpha;. Ten wzór opisuje proces rozpadu &alpha;. Wzór najdokładniej opisuje rozpady jąder dla jąder parzysto-parzystych. Stałe C i D zależą nieznacznie od liczby atomowej, co ilustruje powyższa tabelka. == Rozpady nukleonowe == * Rozpad neutronowy, w którym jądro o liczbie masowej A i atomowej Z wysyła jeden neutron, w ten sposób zmniejsza on liczbę masową o jeden przy takiej samej liczbie atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-1}_ZY_{N-1}+n\;</MATH>|3.36}} * Rozpad protonowy, w którym jądro o liczbie masowej A i atomowej Z wysyła jeden proton, w ten sposób zmniejsza on liczbę masową A i atomową Z o jeden: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-1}_{Z-1}Y_N+p\;</MATH>|3.37}} === Warunek energetyczny (energia rozpadu)(N od n lub p) === {{Rysunek|Rozpad stanu podstawowego w rozpadzie nukleonowych.png|3.5|Rozpad stanu podstawowego w rozpadzie nukleonowych|rozmiar=200px}} * Jeśli oba jądra X i Y w {{LinkWzór|3.36}} i {{LinkWzór|3.37}} są w stanie podstawowym, wtedy energia rozpadu jądra unoszona przez neutrony jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)-[M_j(Y)+m_N]\geq 0\;</MATH>|3.38}} {{Rysunek|Rozpad nukleonowy jądra wzbudzonego.png|3.6|Rozpad nukleonowy jądra wzbudzonego|rozmiar=185px}} * Gdy jądro X rozpada się ze stanu wzbudzonego na jądro Y, to energia rozpadu, która jest zawsze większa niż zero, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)+E_{wzb}-[M_j(Y)+m_N]\;</MATH>|3.39}} * Gdy jądro X ze stanu wzbudzonego rozpada się na jądro w stanie wzbudzonym Y, dla której energia rozpadu jest zawsze większa niż zero, to ciepło rozpadu jest: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)+E_{wzb}(X)-[M_j(Y)+m_N+E_{wzb}(Y)]\;</MATH>|3.40}} Przy rozpadzie ze stanów wysokoenergetycznych składa się on z bardzo wielu linii (wierzchołków), zauważmy jednak, że zachodzi: * rozpadu nukleonowe są wynikiem oddziaływań silnych, * jeśli jest spełniony warunek energetyczny {{LinkWzór|3.40}}, to jądro jest wzbudzone ze względu na jego spin i parzystość, i rozpad jego następuje z czasem połowicznego zaniku równej &tau;&asymp;10{{Sup|-22}}s, * rozpad protonowy może być zahamowany przez barierę kulombowską, * jeśli energią protonu jest mniejsza niż wysokość bariery, to protony z takiego jądra wychodzą na zewnątrz niego poprzez proces tunelowania, tak jak w rozpadzie &alpha;, * rozpady protonowe konkurują z rozpadami &beta;{{Sup|+}}, EC,&alpha;, a rozpady neutronowe zachodzą z konkurencją &beta;{{Sup|-}}. Pierwszy i drugi rozkład konkuruje z rozpadem elektromagnetycznym EM dla jąder X wzbudzonych. Rozpady nukleonowe obserwuje się w jądrach neutrononadmiarowych (rozpad n) i w jądrach neutronodeficydowych (rozpad p). Rozpady nukleonowe obserwuje się jako rozczepienia w ciężkich jądrach wysoko-wzbudzonych neutrononadmiarowych oraz w wyniku rozpadu jąder dalekich od ścieżki jąder stabilnych. Rozpady nukleonowe konkurują z rozpadami elektromagnetycznymi, &gamma;, i KP (deeskcytacją jądra atomowego). == Przemiana (rozpad) &beta; == {{Rysunek|Beta-minus Decay.svg|3.7|Rozpad &beta;{{Sup|-}}|rozmiar=190px}} Neutron w jądrze rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe, a proton w jądrze rozpada się na neutron, pozyton i neutrino elektronowe, te dwie przemiany piszemy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<math>{}^1_0n^+\rightarrow {}^1_1p^++{}^0_{-1}e^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.41}}|2={{CentrujWzór|<MATH>{}^1_1p^+\rightarrow {}^1_0n^0+{}^0_1e^++\nu_e\;</MATH>|3.42}}}} Jeśli w jądrze atomowym zachodzi przemiana {{LinkWzór|3.41}}, to liczba masowa jądra się nie zmienia, a liczba atomowa Z zwiększa się o jeden, tą przemianę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z+1}Y+{}^0_{-1}\beta^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.43}} Jeśli w jądrze atomowym zachodzi przemiana {{LinkWzór|3.42}}, to liczba masowa jądra się nie zmienia, ale za to liczba atomowa zmniejsza się o jeden, tę przemianę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+{}^0_1\beta^++\nu_e\;</MATH>|3.44}} * '''Warunki energetyczne rozpadu &beta;{{Sup|-}}''' Patrząc na rozpad {{LinkWzór|3.43}} warunek na energię rozpadu, która jest większa lub równa zero, i jest wyrażona jako różnicę masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i sumy mas jadro po rozpadzie {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z+1}Y\;</MATH>}} i masy elektronu ujemnego (cząstki &beta;{{Sup|-}}) i energii antyneutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=M(A,Z)-[M(A,Z+1)+m_e+m_{\tilde{\nu}_e}]\;</MATH>|3.45}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.13|Nukleony a budowa jądra atomowego}} na mass excess dostajemy wzór na ciepło rozpadu &beta;{{Sup|-}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=ME(A,Z)-ME(A,Z+1)\;</MATH>|3.45a}} * '''Warunki energetyczne rozpadu &beta;{{Sup|+}}''' Patrząc na rozpad {{LinkWzór|3.44}} warunek na energię rozpadu, która jest większa lub równa zero, jest wyrażona jako różnica masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i sumy mas jądra po rozpadzie {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z-1}Y\;</MATH>}} i masy pozytonu oraz energii neutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^+}=M(A,Z)-[M(A,Z-1)+m_e+m_{\nu_e}]\;</MATH>|3.46}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.13|Nukleony a budowa jądra atomowego}} na mass excess dostajemy wzór na ciepło rozpadu &beta;{{Sup|+}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=ME(A,Z)-ME(A,Z-1)\;</MATH>|3.46a}} * '''Przemiana EC''' Te przemiany powstają po wychwycie elektronu lub pozytonu przez jądro i odpowiednio liczba masowa A nie zmienia się, a liczba atomowa Z maleje o jeden po wychwycie elektronu: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX+e^-\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+\nu_e\;</MATH>|3.47}} Energia rozpadu jest różnicą sumy masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i masy elektronu, oraz sumy masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z-1}Y\;</MATH>}} i energii neutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{EC}=M(A,Z)+m_e-[M(A,Z-1)+m_{\nu_e}]\;</MATH>|3.48}} Rozpad &beta;{{Sup|-}} i EC z wychwytem elektronu to są procesy konkurencyjne. Najbardziej prawdopodobny jest wychwyt elektronu z powłoki elektronowej K. Stała zaniku tejże przemiany jest sumą stałej zaniku powstałej z wychwytem elektronu z powłoki elektronowej K, który dominuje i z dalszych powłok elektronowych, nazwijmy je L{{Sub|I}} i L{{Sub|II}}, itd.: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EC}=\lambda_{EC}(K)+\lambda_{EC}(L_{I})+\lambda_{EC}(L_{II})+...\;</MATH>|3.49}} : W Jądrach lekkich stała zaniku przemiany EC &lambda;{{Sub|EC}} z wychwytem elektronu jest mniejsza lub równa stałej rozpadu przemiany &beta;{{Sup|+}} (&lambda;{{Sub|EC}}&le;&lambda;{{Sub|&beta;{{Sup|+}}}}), w jądrach ciężkich stała zaniku &lambda;{{Sub|EC}} jest większa niż stała zaniku przemiany &beta;{{Sup|+}}, (&lambda;{{Sub|EC}}>&lambda;{{Sub|&beta;{{Sup|+}}}}). Iloraz stałej zaniku przemiany EC przez stałą zaniku &beta;{{Sup|+}} jest wyrażony, w zależności od energii przemiany Q{{Sub|EC}} {{LinkWzór|3.54}} i liczby atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda_{EC}}\over{\lambda_{\beta^+}}}\sim\left({{Z}\over{Q_{EC}/m_ec^2}}\right)^3\;</MATH>|3.50}} * '''Anihilacja elektronu i pozytonu''' W wyniku zderzenia elektronu i pozytonu obie te cząstki znikają i pojawiają się dwa kwanty &gamma; pędzące w przeciwnych kierunkach, gdzie energia pojedynczego kwantu jest E{{Sub|&gamma;}}=511keV. {{CentrujWzór|<MATH>e^++e^-\rightarrow 2\gamma</MATH>|3.53a}} Rozpadowi &beta;{{Sup|+}} towarzyszy emisja promieniowania anihilacyjnego &gamma;. Procesowi EC z wychwytem elektronu towarzyszy emisja antyneutrinów elektronowych {{Formuła|<MATH>\tilde{\nu}_e\;</MATH>}} oraz promieniowanie &gamma; lub '''elektronów Augera''' (czyli elektronów, które w wyniku przejścia elektromagnetycznego elektron jest wybijany z powłoki elektronowej, najsilniejsze zjawisko to się obserwuje, gdy elektron wybijamy jest najniższych powłok, to zachodzi gdy funkcje falowe elektronów na powłokach elektronowych pokrywają się z funkcjami falowymi nukleonów w jądrze atomowym). {{Rysunek|Widmo energetyczne w rozpadzie beta.png|3.8|Widmo energetyczne w rozpadzie beta|rozmiar=400px}} {{Rysunek|Wizualizacja rozpadu beta minus.png|3.9|Wizualizacja rozpadu &beta;{{Sup|-}}|rozmiar=200px}} Energia wydzielana w rozpadzie &beta; jest to energia wyrażona wzorem {{LinkWzór|3.45}} (rozpad &beta;{{Sup|-}}) lub {{LinkWzór|3.46}} (rozpad &beta;{{Sup|+}}), energia ta może być pomniejszona, gdy powstałe jądro po przemianie przejdzie w stan wzbudzony, wtedy {{Formuła|<MATH>E_{\beta}^{max}\;</MATH>}} jest równe: {{CentrujWzór|<math>E_{\beta}^{max}=Q_{\beta}-E_{wzb}(Y)\;</MATH>|3.52}} Rysunek {{LinkRysunek|3.8}} przedstawia widmo w rozpadzie beta, gdy nie uwzględnimy bariery potencjału. Widmo energetyczne rozpadających cząstek jest ciągłe (powstają dwie cząstki). W rozkładzie &beta;{{Sup|+}} rzeczywiście nie ma pozytonów o zerowej energii, ponieważ w tym rozpadzie powstający elektron musi przebyć barierę energetyczną, w wyniku czego cząstka &beta;{{Sup|+}} zostaje rozpędzona do pewnej prędkości, co jest wynikiem odpychania kulombowskiego, widmo energii {{LinkRysunek|3.8}} jest przesunięte w lewo, a w przepadku rozpadu &beta;{{Sup|-}} widmo jest przesunięte w prawo, a więc w tym ostatnim nie ma cząstek o energii zerowej, ponieważ cząstka zostaje zwolniona przez barierę potencjału. Pomiary energii maksymalnej cząstki beta, czyli {{Formuła|<MATH>E_{\beta}^{max}\;</MATH>}} dają informację o różnicy mas między jądrem przed i po rozpadzie. Badania prowadzone nad rozpadem &beta; wykazały, że cząstki &nu;{{Sub|e}} bardzo słabo oddziaływają z materią, jego przekrój czynny jest &sigma;=11&sdot;10{{Sup|-44}}m, jeśli już ta cząstka oddziałuje z materią to z protonem daje w wyniku tego produkty neutron i pozyton: {{CentrujWzór|<MATH>p+\tilde{\nu}_e\rightarrow n+e^+\;</MATH>|3.53}} * '''Prawdopodobieństwo przejść''' Zgodnie z elektrodynamiką kwantową prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu pomiędzy stanami <nowiki><i|</nowiki> a <nowiki><f|</nowiki> z emisją cząstki o energii (E,E+dE), który tutaj używając E{{Sub|0}}=E{{Sub|e}}+E{{Sub|&nu;}}=Q{{Sub|&beta;}}, czyli &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}) oznacza gęstość stanów końcowych e i &nu;, napiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{2\pi}\over{\hbar}}|\langle f|\hat{H}_{oddz}|i\rangle|^2\rho_f(E_0)dE_e\;</MATH>|3.54}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\hat{H}_{oddz}=\hat{h}_{\beta}\;</MATH>}} jest to hamiltonian opisujący mechanizm oddziaływań słabych. Wygodnie jest liczyć prawdopodobieństwo przemiany &beta; w przedziale (p,p+dp) i mając na uwadze {{LinkWzór|3.54}}, to z niego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(p)dp={{2\pi}\over{\hbar}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}| i\rangle|^2f_f(E_0)dp\;</MATH>|3.55}} wtedy wzór na gęstość stanów końcowych jest równa {{Formuła|<MATH>\rho_f(E_0)={{dN_f}\over{V^2dE_0}}\;</math>}}, gdzie dN{{Sub|f}}=dN{{Sub|e}}dN{{Sub|&nu;}}. Mając na uwadze dN jako liczba stanów końcowych dostępnym w przedziale pędów (p,p+dp) w objętości przestrzennej V, która jest to objętość pudła w prowadzona do celu normalizacyjnych, zatem wzór na dN jest: {{CentrujWzór|<MATH>dN={{d^3\vec{p}V}\over{h^3}}={{4\pi p^2dpV}\over{(2\pi \hbar)^3}}\;</MATH>|3.56}} Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>dp_{\nu}={{dE_{\nu}}\over{c}}\;</MATH>}}, wtedy gęstość stanów końcowych &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}), wiedząc, że dla m{{Sub|&nu;}}, to wtedy zachodzi {{Formuła|<MATH>E_0=E^{max}\;</MATH>}}, przedstawiamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_f(E_0)={{4\pi p_e^2dp_e V\cdot 4\pi p_{\nu}^2dp_{\nu}V}\over{V^2(2\pi\hbar)^6dE_0}}={{1}\over{4\pi^4\hbar^7c^3}}p_e^2(E_0-E_e)^2dp_e\;</MATH>|3.57}} Mając wzór na przelicznik pędu cząstki na jej energię całkowitą {{Formuła|<MATH>E_c^2=p_e^2c^2+m_e^2c^4\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy obustronnie i podzielimy przez dwa otrzymując {{Formuła|<MATH>E_edE_e=c^2p_edp_e\;</MATH>}}, także mając na uwadze {{LinkWzór|3.55}} jako prawdopodobieństwo zajścia przemiany &beta;, że układ będzie miał energię z przedziału (E{{Sub|e}},E{{Sub|e}}+dE{{Sub|e}}), co do niego podstawiamy wzór {{LinkWzór|3.57}}, który przedstawia gęstość stanów końcowych, to w końcowych perypetiach otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE_e(E_0-E_e)^2dE_e\;</MATH>|3.58}} Jeśli dodatkowo będziemy pamiętać, że masa neutrina może być różna od zera, tzn. m{{Sub|&nu;}}&ne;0, wtedy energia prawdopodobieństwa stanów przejścia, przeliczając znów gęstość prawdopodobieństwa stanów końcowych &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}) dla tego przypadku, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE_e(E_0-E_e)\sqrt{(E_0-E_e)^2-m_{\nu}^2c^4}dE_e\;</MATH>|3.59}} We wzorze {{LinkWzór|3.59}} zauważmy, że zachodzi {{Formuła|<MATH>E_0=E^{max}+m_{\nu}c^2\;</MATH>}}. * '''Wpływ masy spoczynkowej lub jej brak dla (anty)neutrina na widmo elektronów w rozpadzie &beta;''' {{Rysunek|Widmo wartości pędów elektronów w rozpadzie beta a masa spoczynkowa neutrina.png|3.10|Widmo wartości pędów elektronów w rozpadzie beta a masa spoczynkowa neutrina|rozmiar=400px}} Należy porównać wzory na &lambda;(E)dE z uwzględnieniem masy spoczynkowej neutrina i przy zerowej jego masie. W widmie elektronów istnieją różnice występujące na jego samym końcu, przy masie spoczynkowej neutrina różnej od zera, koniec widma jest prostopadły do osi E{{Sub|e}}, a gdy masa neutrina jest równa zero, to koniec widma dąży stycznie do tej osi. Na podstawie widma można wyznaczyć masę spoczynkową neutrina m{{Sub|&nu;}}. Wynik rozpadu &beta;{{Sup|-}} na jądrze {{Sup|3}}He, którego energia rozpadu jest Q{{Sub|&beta;}}=18,6keV i o czasie połowicznego rozpadu T{{Sub|1/2}}=12,3 lat wykazały, że masa spoczynkowa neutrina jest mniejsza niż 35eV (m{{Sub|&nu;}}&le;35eV). * '''Wpływ pola elektrycznego jądra na stałą zaniku rozpadu &beta; &lambda;{{Sub|&beta;}} i na widmo &beta;''' Pole elektryczne wpływa na wynik stałej zaniku w rozpadzie &beta;, dlatego wprowadza się czynnik korekcyjny Fermiego, który jest ilorazem kwadratów modułów funkcji falowej fali płaskiej pod wpływem pola elektrycznego i cząstki swobodnej: {{CentrujWzór|<MATH>F(E,Z)={{|\psi_e(0)_{culomb}|^2}\over{|\psi_e(0)_{swob}|^2}}\;</MATH>|3.60}} W przybliżeniu nierelatywistycznym czynnik korekcyjny Fermiego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH>F(E,Z)={{X}\over{1-e^{-X}}}\mbox{ gdzie:}X=\pm{{Ze^2c}\over{2\epsilon_0\hbar v_er}}\mbox{ dla }r>>R_0\;</MATH>|3.61}} * gdzie we wzorze na X {{LinkWzór|3.61}} wybieramy znak plus dla rozpadu &beta;{{Sup|-}}, a dla rozpadu &beta;{{Sup|+}} znak minus. Jeżeli m{{Sub|&nu;}}=0, to prawdopodobieństwo {{LinkWzór|3.58}} przy uwzględnieniu czynnika korekcyjnego Fermiego: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(E)dE={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE(E_0-E)^2F(E_0,Z)dE\;</MATH>|3.61a}} Często E{{Sub|e}} wyraża się jednostkach m{{Sub|e}}c{{Sup|2}}, czyli przy podstawieniu {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}={{E}\over{m_ec^2}}\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(\mathcal{E})d\mathcal{E}={{(m_ec^2)^5}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}| i\rangle|^2\mathcal{E}\sqrt{\mathcal{E}^2-1}(\mathcal{E}_0-\mathcal{E})^2F(\mathcal{E},Z)d\mathcal{E}\;</MATH>|3.62}} Ale F(E,Z) można obliczyć jeszcze dokładniej uwzględniając efekty relatywistyczne, a także uwzględniając pole elektryczne powłok elektronowych. F(E,Z) posiada wartości zebrane w tablicach fizycznych. * '''Całkowite prawdopodobieństwo przejścia''' Wzory &lambda;{{Sub|&beta;}}(E) opisywały prawdopodobieństwo przejścia &beta; między stanami {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} z emisją elektronu o energii (E,E+dE). Biorąc całkę po prawdopodobieństwa przejścia od energii zerowej do E{{Sub|0}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{E_0}\lambda_{\beta}(E,Z)_{i\rightarrow f}dE=\lambda_{\beta}(E_0,Z)_{i\rightarrow f}\;</MATH>|3.63}} które jest prawdopodobieństwem całkowitego przejścia i→f. Dla przejść dozwolonych zakładając przy tym, że {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle\;</MATH>}} słabo zależy od E{{Sub|e}}, który można napisać dla masy spoczynkowej neutrina równej zero (m{{Sub|&nu;}}=0): {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(E_0,Z)_{i\rightarrow f}\equiv\operatorname{const}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2\underbrace{\int_0^{E_0}F(E,Z)p_eE(E_0-E)^2dE}_{f(E_0,Z)}\;</MATH>|3.64}} Z drugiej jednak strony według {{LinkWzór|3.25}} stała rozpadu jest odwrotnością średniego czasu rozpadu i odwrotnością czasu połowicznego rozpadu pomnożonej przez logarytm naturalny z dwójki: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(i\rightarrow f)={{1}\over{\tau_{(if)}}}={{\ln 2}\over{T_{1/2(if)}}}\;</MATH>|3.65}} Wzory {{LinkWzór|3.65}} (na stałą zaniku w zależności od czasu połowicznego rozpadu) możemy połączyć ze wzorem {{LinkWzór|3.64}} (na definicję stałej zaniku z teorii rozpadu &beta;), w ten sposób otrzymując: {{CentrujWzór|<MATH>f(E_0,Z)_{(if)}\cdot T_{1/2(if)}={{\operatorname{const}}\over{|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2}}\equiv ft_{(f)}\;</MATH>|3.66}} Wartości ft są bardzo duże, więc przyjęto się podawać jego logarytm log ft, praktycznie ono mieści się w przedziale 3&le;log ft&le;22, co odpowiada czasom połowicznego zaniku &sim;10{{Sup|-3}}s&le;T{{Sub|1/2}}&le;&sim;10{{Sup|14}}lat {{Tabelka|opcje=width=auto|klasa=wikitable|styl=margin-left:auto;margin-right:auto;|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Numer n'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''przejcia &beta;'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''log ft'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Uwagi'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|0}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|dozwolone}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 3&divide;6}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|Zmiana momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\Delta I=0,1\;</MATH>}}, i parzystości: {{Formuła|<MATH>\Delta\pi=\pm 1\;</MATH>}}.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 7&divide;9}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=rowspan=4|styl=max-width:350px;|{{Center|Jeżeli {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} to stopień wzbronienia, wtedy zmiana parzystości: {{Formuła|<MATH>\Delta\pi=(-1)^n\;</MATH>}}, i momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\Delta I=\pm n\;</MATH>}} (nieunikalne) lub {{Formuła|<MATH>\Delta I=\pm(n+1)\;</MATH>}} (unikalne).}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 9&divide;13}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 13&divide;18}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|4}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 18&divide;22}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Elementy macierzowe hamiltonianu w rozpadzie &beta; względem stanu krańcowych (elementy teorii rozpadu &beta;) === Teorię rozpadu &beta; opracował E. Fermi w roku 1934 r., według której ten rozpad jest wynikiem oddziaływań słabych nukleonu z polem elektronowo-neutrinowym w jądrze atomowym. W tym modelu wprowadzono, że oddziaływanie słabe jest superpozycją pięciu oddziaływań cząstkowych, w tym: oddziaływania skalarnego (S), wektorowego (V), tensorowego (T), pseudowektorowego (A) i pola pseudoskalarnego (P). Każdej postaci oddziaływania odpowiada określona postać hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}_k\;</MATH>}}, inna dla oddziaływania zachowującego parzystość ({{Formuła|<MATH>\hat{H}_k^{'}\;</MATH>}}), dla oddziaływania niezachowującego parzystości ({{Formuła|<MATH>\hat{H}_k^{''}\;</MATH>}}). Jeśli wprowadzimy stałe {{Formuła|<MATH>C_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_k^{'}</MATH>}}, które są w ogólności liczbami zespolonymi, to dla każdego oddziaływania mamy w sumie 20 parametrów, tzn. dla oddziaływań k=S,V,T,A,P, a hamiltonian oddziaływania słabego jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}_{\beta}=\sum_k(C_k\hat{H}_k^{'}+C_k^{'}\hat{H}_k^{''})\;</MATH>|3.67}} Funkcje falowe {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} mają w ogólności postać czterowskaźnikową, które są niezbędne do obliczeń elementów macierzowych {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle\rightarrow\hat{H}_{if}\;</MATH>}}. * W uproszonym modelu przyjmuje się, że te funkcje są jednoskładnikowe i dla e i &nu; funkcje falowe opisujące je są funkcjami typu fali płaskiej: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(r)=ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r})}\;</MATH>|3.68}} * parzystość jest zachowywana, gdy {{Formuła|<MATH>C_k^'\;</MATH>}}, jest równe zero, * operator zaburzenia dla wszystkich oddziaływań jest wielkością stałą {{Formuła|<MATH>\hat{H}^'_k=g\hat{\Omega}\;</MATH>}}, gdzie g charakteryzuje natężenie (ładunek) oddziaływania słabego. Na podstawie powyższych uproszczeń mamy kwadrat elementu macierzowego operatora {{LinkWzór|3.67}}: {{CentrujWzór|<MATH>H_{if}^2=g^2|\Psi_e\Psi_{\nu}|^2=|\langle f|\hat{\Omega}|i\rangle|^2=\operatorname{const}\cdot g^2|M_{if}|^2\;</MATH>|3.69}} * Element macierzowy M{{Sub|if}} nazywamy jądrowym elementem macierzowym. Wzór {{LinkWzór|3.69}} określa prawdopodobieństwo kreacji pary (e,&nu;) w jądrze. Funkcja {{LinkWzór|3.68}} słabo zależy od r dla r&le;R{{Sub|j}}, więc możemy przyjąć: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_{e(\nu)}(r)|^2\simeq|\Psi_{e(\nu)}(r=0)|^2=a^2=\operatorname{const}\;</MATH>|3.70}} Wartość M{{Sub|if}} zależy od stopnia pokrycia się fal stanów końcowych {{Formuła|<MATH>i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} stanów przekształcających się nukleonów. Jeśli te stany są bardzo podobne lub identyczne, to zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>|M_{if}|^2=\Omega^2\;</MATH>|3.71}} Taką sytuację mamy w jądrach lekkich (Z=N) i w jądrach zwierciadłowych. W jądrach tychże prawdopodobieństwo przejścia &beta; zachodzi z dużym prawdopodobieństwem (logft&sim; od 3 do 3,5, co je nazywamy przejściami ponaddozwolonymi) i |H{{Sub|if}}|{{Sup|2}} nie zależy od energii cząstek &beta; E{{Sub|&beta;}}. * Ogólnie |H{{Sub|if}}|{{Sup|2}}, a więc i &lambda;{{Sub|i→f}}, a zarazem log ft zależą od {{Formuła|<MATH>|\sum_kg_k^2|M_k|^2_{if}\;</MATH>}} (plus człony mieszane), a więc od rodzaju oddziaływania (k) i od struktury stanów jądrowych {{Formuła|<MATH>i\rangle\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}}. Z porównania wyników doświadczalnych (wykresów Fermiego-Kurie,lopgft, itp.) z obliczeniami teoretycznymi (wg. Fermiego) wynika, że: * Oddziaływania S i V jest oddziaływaniem kreującym parę leptonów (elektronu i neutrino) w stanie singletowym (o przeciwnych spinach), stąd wynika, że zachowana jest orientacja spinu nukleonu biorącego udział w przemianie &beta;, stąd regułami wyboru są: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|=0\;</MATH>|3.72}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=1\;</MATH>|3.73}} }} : Przejścia opisane wzorami {{LinkWzór|3.72}} i {{LinkWzór|3.73}} nazywamy przejściami Fermiego. * Oddziaływania T (tensorowe) i A (pseudowektorowe), czyli inaczej zwane oddziaływaniem Gamowa-Tellera, kreują parę e i &nu; w stanie tripletowym (spiny e i &nu; są ze sobą zgodne), wtedy zmienia się orientacja spinu nukleonu na przeciwny. Regułami wyboru w tym przypadku są przedstawione poniżej za wyjątkiem przejścia 0&rArr;0, który jest niedozwolony: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|=0\mbox{ lub }1\;</MATH>|3.74}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=1\;</MATH>|3.75}} }} : Przejścia opisane wzorami {{LinkWzór|3.74}} i {{LinkWzór|3.75}} są to przejścia GT. * Za rozpady &beta; są odpowiedzialne oddziaływania typu V i A, tzn. kwadrat elementy macierzowego jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2=|H_{\beta}|^2_{if}=g_V^2|M_F|^2_{if}+g_A^2|M_{GT}|^2_{if}+\mbox{wyrazy mieszane}\;</MATH>|3.76}} Stosunek stałej g{{Sub|A}} przez stałą g{{Sub|v}} jest równy: {{Formuła|<MATH>{{g_A}\over{g_V}}\simeq-1,253(7)\;</MATH>}}, a także g{{Sub|V}}&asymp;0,88&sdot;10{{Sup|-4}}MeV&sdot;fm{{Sup|3}}. Jeśli wprowadzimy stałe oddziaływania g{{Sub|k}}, to hamiltonian przejścia rozpadu &beta; jest: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}_{\beta}=\sum_{k}g_k\hat{H}_k\mbox{ gdzie: }k=S,V,T,A,(P)\;</MATH>|3.77}} Stałą g{{Sub|k}} można wyznaczyć znając wartość log ft ze wzoru {{LinkWzór|3.66}}, a stąd wyznaczamy {{Formuła|<MATH>|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|\;</MATH>}}. === Niezachowywanie parzystości w rozpadzie &beta; === Funkcję nazywamy parzystą, gdy po zamianie w niej wektora położenia na minus, otrzymamy ten sam wektor, a wartość funkcji nie zmienia się. Funkcję nazywamy nieparzystą, gdy wartość funkcji zmienia się na przeciwną, całą teorię funkcji parzystych i nieparzystych podano w książce: {{lg|Mechanika kwantowa/Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej#Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości|Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości}}. Dotychczas uważano, że zasada zachowania parzystości jest spełniona zawsze i jest na równi z zasadą zachowania energii, ale T.D Lee i L.N. Yang (1956 r.) wykazali, że można zbudować teorię rozpadu &beta;, w której nie jest spełniona zasada zachowania parzystości. Sugerowali, że ewentualne niezachowanie parzystości można wykryć badając jądra spolaryzowane w rozpadzie &beta;, która jest domeną oddziaływań słabych. * '''Doświadczenie C.B. Wu ze współpracownikami''' W tym doświadczeniu badano emisję cząstek &beta; ze spolaryzowanych jąder {{Sup|60}}Co, w celu wyznaczenie wartości średniej pseudoskalara {{Formuła|<MATH>\vec{I}\cdot\vec{p}\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}} jest momentem pędu jądra {{Sup|60}}Co, a {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} jest momentem pędu elektronów &beta;{{Sup|-}}. Aby stwierdzić, czy jest spełniona zasada zachowania parzystości, należy sprawdzić natężenie N{{Sub|&beta;}} dla kątów pomiędzy wektorami momentu pędu i pędu, tzn. dla 0{{Sup|o}} i 180{{Sup|o}}. Aby potwierdzić zachowanie parzystości należy stwierdzić, że w doświadczeniu zajdzie N{{Sub|&beta;}}(0{{Sup|O}})=N{{Sub|&beta;}}(180{{Sup|O}}), a gdy parzystość nie jest zachowana należy stwierdzić {{Sub|&beta;}}(0{{Sup|O}})&ne;N{{Sub|&beta;}}(180{{Sup|O}}). W doświadczeniu pani Wu kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}} określał kierunek pola magnetycznego polaryzującego jądra {{Sup|60}}Co, co zachodzi w wyniku polaryzacji tego jądra z jego momentem magnetycznym. Kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} określała oś licznika, który rejestrował rozpad {{Sup|60}}Co. Aby uzyskać polaryzację jądra i aby było można pomnąc ruchy termiczne, to musi zachodzić &mu;B>k{{Sub|B}}T, gdzie &mu; to moment magnetyczny jądra {{Sup|60}}Co, co wymaga B&ge;10T i T&le;10{{Sup|-2}}K. {{Rysunek|Ilustracja doświadczenie C. B. Wu.png|3.11|Rozpad &beta;{{Sup|-}} dla {{Sup|60}}Co w doświadczeniu C.B. Wu|rozmiar=200px}} W tym doświadczeniu temperaturę T&asymp;10{{Sup|-3}} uzyskano metodą adiabatycznego rozmagnesowania paramagnetyka, uprzednio ochłodzonego do temperatury 1K, tzn. do temperatury ciekłego He pod zmniejszonym ciśnieniem. Pole B=10T uzyskano dzięki wykorzystaniu wewnętrznych pól magnetycznych paramagnetyków (azotanu cezowo-magnezowego), które polaryzowano małym polem zewnętrznym. Moment magnetyczny {{Sup|60}}Co jest &mu;&asymp;3,8&mu;{{Sub|N}}. W doświadczeniu uzyskano więcej emitowanych elektronów &beta;{{Sup|-}} w kierunku przeciwnym do orientacji spinu {{Sup|60}}Co, stąd wynika, że parzystość nie jest zachowana. Funkcja kątowa rozkładu &beta;{{Sup|-}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>f(\theta)=A(1+a\cos\theta)\;</MATH>|3.78}} Wzór {{LinkWzór|3.78}} wyjaśnia anizotropowy rozkład kątowy cząstek &beta;{{Sup|-}}. === Skrętność leptonów === {{Rysunek|Skrętność dodatnia i ujemna leptonów.png|3.12|Skrętność dodatnia a) i ujemna b) leptonów}} Następna grupa pomiarów dotyczyła pomiaru polaryzacji elektronów i neutrin w celu określenia polaryzacji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} i jego momentów pędu spinowego {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}. Wykazano, że leptony ze skrętnością dodatnią mają wektor spinu i pędu zwrócone w tą samą stronę (H=+1), a w polaryzacji ujemnej moment pędu spinowy jest zwrócony w stronę przeciwną niż pęd (H=-1). Skrętność leptonów określamy ze wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>H={{\vec{p}\cdot\vec{s}}\over{|\vec{p}||\vec{s}|}}\;</MATH>|3.79}} Elektrony z rozpadu &beta; są spolaryzowane podłużnie. Skrętność &nu;{{Sub|e}} wyznaczono w doświadczeniu Goldhabera, ustalono, że skrętność elektronu jest H{{Sub|e{{Sup|-}}}}=-1, dla pozytonu H{{Sub|e{{Sup|+}}}}=+1, dla neutrina elektronowego H{{Sub|&nu;{{Sub|e}}}}=-1 i antyneutrina elektronowego {{Formuła|<MATH>H_{\tilde{\nu}_e}=+1\;</MATH>}} przy polaryzacji stuprocentowej P{{Sub|&nu;}}=1. To doświadczenie potwierdziło niezachowanie parzystości, wektorowo-pseudowektorowy (V-A) charakter oddziaływań &beta;, znikomą masę &nu;{{Sub|e}}. == Przejścia elektromagnetyczne (emisyjne) == Przejścia elektromagnetyczne dzielimy na: {{Rysunek|Przejścia elektromagnetyczne.png|3.13|Przejścia elektromagnetyczne|rozmiar=200px}} * przejścia &gamma;, emitowany jest kwant &gamma;, jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|&gamma;}}. * przejścia konwersyjne (KW) emitowany jest elektron e{{Sup|-}}, jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|KW}}. * przejścia konwersyjne z zachowaniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} (KP), jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|KP}}. Całkowita stała zaniku przejść elektromagnetycznych jest sumą stałych zaniku wcześniej wymienionych trzech przejść, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}+\lambda_{KP}=\lambda_{\gamma}\left(1+{{\lambda_{KW}}\over{\lambda_{\gamma}}}+{{\lambda_{KP}}\over{\lambda_{\gamma}}}\right)\;</MATH>|3.80}} Wprowadźmy nowe oznaczenia, tzn. * {{Formuła|<MATH>{{\lambda_{KW}}\over{\lambda_{\gamma}}}=\alpha_t\;</MATH>}} jako całkowity współczynnik konwersji wewnętrznego danego przejścia. * {{Formuła|<MATH>{{\lambda_{KP}}\over{\lambda_{\gamma}}}=\alpha_{KP}\;</MATH>}} jako współczynnik konwersji z utworzeniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} Wzór {{LinkWzór|3.86}} na podstawie wcześniejszych oznaczeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}(i\rightarrow f)=\lambda_{\gamma}(i\rightarrow f)\left[1+\alpha_t(i\rightarrow f)+\alpha_{KP}(i\rightarrow f)\right]\;</MATH>|3.81}} Promieniowanie towarzyszące poszczególnym przejściom unosi energię E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}, moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec{I}_i-\vec{I}_f\;</MATH>}} i parzystość &pi;{{Sub|i}}&sdot;&pi;{{Sub|f}}. === Przejścia &gamma; === {{Rysunek|Przejścia gamma.png|3.14|Przejścia gamma}} Dzięki energii przejścia emitowany jest kwant &gamma; o energii E{{Sub|&gamma;}} i częstości &nu;, czyli E{{Sub|&gamma;}}=h&nu;=E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}-E{{Sub|od}}, gdzie energia odrzutu {{Formuła|<MATH>E_{od}={{(h\nu)^2}\over{2M_jc^2}}\;</MATH>}}, jest ona mała i liczona jest w elektronowoltach. W doświadczeniu przyjmuje się, że energia przejścia jest opisana wzorem E{{Sub|&gamma;}}=E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}. Widmo promieniowania &gamma; jest dyskretne, ale liniowe. Według elektrodynamiki Maxwella źródłem fal elektromagnetycznych są zmienne pola elektromagnetyczne pochodzące od drgających multipoli elektrycznych i magnetycznych, które są rzędu l=1(dipol), 2(kwadrupol), 3(oktupol), itd. Rozwiązania równań w bazie funkcji własnych operatora momentu pędu, możemy rozłożyć na funkcje falowe, które są rozłożone w bazie funkcji kulistych Y{{Sub|lm}}(&theta;,&phi;). l odpowiada polu promieniowania drgającego pola klasycznego elektrycznego i magnetycznego, a 2{{Sup|l}} jest to rząd pól. Współczynniki rozwinięcia odpowiadają amplitudom rozpatrywanego promieniowania elektromagnetycznego. Możemy dokonać kwantyzacji pola według elektrodynamiki kwantowej i stwierdzamy, że kwant &gamma; o multipolowości rzędu l dla promieniowania elektrycznego lub magnetycznego unosi ze sobą: * moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec{L}\;</MATH>}} o wartości jego kwadratu momentu pędu {{Formuła|<MATH>|\vec{L}|^2=l(l+1)\hbar^2\;</MATH>}}. * parzystość &pi;{{Sub|E}}=(-1){{Sup|l}} w przypadku pola elektrycznego, lub &pi;{{Sub|M}}=(-1){{Sup|l+1}} w przypadku pola magnetycznego. : Rodzaj pola (&sigma;&equiv;E lub M) i rząd polowości (l) promieniowania określa się wspólnym mianem multipolowością (&sigma;l), co bardziej ogólniej można powiedzieć, że multipolowość jest parametrem każdego przejścia EM wynikający z reguł wyboru i własności pola EM jądra. * '''Reguły wyboru przejścia elektromagnetycznego''' Moment pędu promieniowania elektromagnetycznego jest większy od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie), dalej ona jest natomiast mniejsza od sumy krańcowych momentów pędu jąder: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.82}} Parzystość unoszona przez kwant &gamma; jest: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\cdot\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla EL}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla Ml}\end{cases}\;</MATH>|3.83}} Ponieważ nie ma promieniowania monopolowego l=0 przejścia typu I{{Sub|i}}=0→I{{Sub|f}}=0 są wzbronione. * '''Szereg multipolowy''' Szereg multipolowy promieniowania &gamma; jest zawsze szybkobieżny ze względu na l, bo stosunek stałej zaniku dla ściśle określonego promieniowania dla l i l+1 jest równy 10{{Sup|5}}, a także stosunek stałej zaniku promieniowania elektrycznego i stałej zaniku w promieniowaniu magnetycznemu jest równy od 10 do 100, czyli liczbie masowej podniesionej do kwadratu i spierwiastkowanej o stopniu trzy, te dwa wzory przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda(\sigma,l)}\over{\lambda(\sigma,l+1)}}=10^5\;</MATH>|3.84}} |2={{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda(EL)}\over{\lambda(ML)}}=A^{2/3}= \mbox{od 10 do 100}\;</MATH>|3.85}} }} Promieniowanie Ml może być zmieszane z promieniowaniem z El+1 i procentowemu udziałowi wyższej polowości promieniowania elektrycznego lub magnetycznego określa współczynnik określony w procentach: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\gamma}={{\lambda(\sigma^',l+1)}\over{\lambda(\sigma,l)+\lambda(\sigma^',l+1)}}\cdot 100\%\;</MATH>|3.86}} Na przykład promieniowanie M1 może być zmieszane z 10% promieniowania E2 lub inny przykład E1+0,01%M2, to stopień zmieszania określa się przez współczynnik zmieszania danego przejścia jako: {{CentrujWzór|<MATH>\delta^2_{\gamma}\equiv{{\lambda(\sigma^',l+1)}\over{\lambda(\sigma,l)}}={{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}}\;</MATH>|3.87}} * '''Prawdopodobieństwo przejścia''' Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu końcowego o stałej zaniku &lambda;(&sigma;l,i→f) określamy znając energię przejścia E{{Sub|&gamma;}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda(\sigma l,i\rightarrow f)={{8\pi}\over{\hbar}}{{l+1}\over{l[2l+1]!!]^2}}\left({{E_{\gamma}}\over{\hbar c}}\right)^{2l+1}B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</MATH>|3.88}} * gdzie zredukowane prawdopodobieństwo przejścia {{Formuła|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</MATH>}} dla ściśle określonego danego rodzaju promieniowania elektromagnetycznego jest zapisane: {{CentrujWzór|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)={{1}\over{2I_i+1}}\sum_{l,m}|\langle f|\hat{M}^{\sigma}_{lm}|i\rangle|^2\;</MATH>|3.89}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{M}^{\sigma}_{lm}|i \rangle\;</MATH>}} jest to zredukowany element macierzowy multipolowego operatora {{Formuła|<MATH>\hat{M}^{\sigma}_{lm}\;</MATH>}} przejścia o multipolowości &sigma;l. === Konwersja wewnętrzna (KW) === Przejście elektromagnetyczne, w którym energia przejścia E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}} zostaje przekazana elektronowi z powłoki n o energii wwiązania B{{Sub|e}}<E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}, W wyniku czego elektron wylatuje z energią kinetyczną równą: {{CentrujWzór|<MATH>E_{EKW}(n)=(E_i-E_f)-B_e(n)\;</MATH>|3.90}} Konwersja wewnętrzna jest możliwa, gdy funkcje falowe powłoki elektronowej o numerze „n” i funkcje falowe jądra pokrywają się częściowo. Przykrycie to maleje ze wzrostem liczby powłoki „n”, a stąd powinno zachodzić: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}(K)>\lambda_{KW}(L)>\lambda_{KW}(M)>...\;</MATH>|3.91}} Prawdopodobieństwo danej całkowitej konwersji wewnętrznej podczas przejścia i→f przy wybiciu odpowiednich elektronów z powłok elektronowych (K,L,M,...) jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}^{tot}=\lambda_{KW}(K)+\lambda_{KW}(L)+\lambda_{KW}(M)+....\;</MATH>|3.92}} KW towarzyszy emisja EKW oraz promieniowania X lub elektronów Augera. Widmo energii wybijanych elektronów jest dyskretne. * '''Reguły wybory''' Moment pędu promieniowania elektromagnetycznego jest większa od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie) i jest natomiast mniejsza od sumy momentów pędu jąder krańcowych, dalej przedstawiamy tą zależność jako: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.93}} Cząstki unoszą parzystość równą iloczynowi parzystości poziomów krańcowych „i” i „f” równą: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\cdot\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla przejść El}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla przejść Ml}\\ \end{cases}\;</MATH>|3.94}} Dozwolone są przejścia {{Formuła|<MATH>0^+\xrightarrow{E0}0^+\;</MATH>}} z l=0. Współczynnik WKW przejść EM o multipolowości &sigma;l pomiędzy stanami {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} jest przedstawiany jako: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_n(\sigma l)_{if}={{\lambda_{KW}(n,\sigma l)_{if}}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)_{if}}}\;</MATH>|3.95}} Współczynnik kowersji wewnętrznej jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_{KW}^{tot}(\sigma l)_{if}=\alpha_{KW}(K)+\alpha_{KW}(L)+\alpha_{KW}(M)+...\;</MATH>|3.96}} Wartości poszczególnych konwersji wewnętrznych dla powłoki elektronowej n przedstawiamy ogólnym wzorem &alpha;{{Sub|n}}(&sigma;l){{Sub|if}}=f(n,Z,E{{Sub|&gamma;}},&sigma;l). Dla przypadków przejść mieszanych &sigma;l+&sigma;{{Sup|'}}l+1 dla dowolnej powłoki elektronowej, z której elektron jest wybijany, stałą zaniku określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}(n\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{KW}(n,\sigma l)+\lambda_{KW}(n,\sigma^'l+1)\;</MATH>|3.97}} Współczynnik konwersji wewnętrznej WKW na podstawie stałej zaniku {{LinkWzór|3.96}} przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)={{\lambda_{KW}(\sigma l)+\lambda_{KW}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)+\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}}={{ {{\lambda_{KW}(\sigma l)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}}+{{\lambda_{KW}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}} }\over{ {{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}}+{{\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda(\sigma l)}} }}={{ \alpha(\sigma l)+\alpha(\sigma'l+1){{\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}} }\over{1+\delta_{\gamma}^2}}={{\alpha(\sigma l)+\delta^2_{\gamma}\alpha(\sigma^'l+1)}\over{1+\delta_{\gamma}^2}}\;</MATH>|3.98}} Jeśli wykorzystamy definicję współczynnika zmieszania {{Formuła|<MATH>\delta^2_{\gamma}\;</MATH>}} {{LinkWzór|3.87}}, wtedy jak łatwo pokazać, że {{LinkWzór|3.98}} możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha(\sigma l+\sigma^'l+1)={{\alpha(\sigma l)+{{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}}\alpha(\sigma^'l+1)}\over{1+{{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}} }}=(1-Q_{\gamma})\alpha(\sigma l)+Q_{\gamma}\alpha(\sigma^' l+1)\;</MATH>|3.99}} Widać, że współczynniki WKW, że względu na powłokę, której zostaje przekazana energia elektronowi tam się znajdującej spełnia następującą relację: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_K(\sigma l+\sigma^'l+1):\alpha_{L_I}(\sigma l+\sigma^'l+1):\alpha_{L_{II}}(\sigma l+\sigma^'l+1):...=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= [\alpha_K(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_K(\sigma^'+1)]:[\alpha_{L_I}(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_{L_I}(\sigma^'+1)]:[\alpha_{L_{II}}(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_{L_{II}}(\sigma^'+1)]:...\;</MATH>|3.100}} ==== Ogólne zasady pomiarów parametrów przejść elektromagnetycznych jąder atomowych ==== Energia przejścia E{{Sub|if}}, współczynnik WKW przejść elektromagnetycznych, promieniowanie elektromagnetyczne zmieszane &sigma;l+&sigma;'l', parametr zmieszania przejść &gamma; &delta;{{Sup|2}}, a także zredukowany element macierzowy przejścia B(&sigma;l), wtedy zając te parametry można poznać strukturę jąder atomowych. ===== Energie przejść &gamma; ===== Badania przejść elektromagnetycznych polega na badaniu: * pomiaru widm promieniowania &gamma;, tzn.: E{{Sub|if}}, E{{Sub|&gamma;}}(-E{{Sub|odrzutu}}), * pomiaru widm EKW (konwersji wewnętrznej, tzn.:E=E{{Sub|EKW}}(n)+B{{Sub|e}}(n). Aparaturę widm &gamma; dzielimy na spektrometry &gamma; (licznikowe i krystaliczne), spektrometry EKW (licznikowe i magnetyczne). ===== Multipolowość (&sigma;l+&sigma;'l',&delta;{{Sup|2}}) ===== Multipolowość dla przejść &gamma;(&sigma;l+&sigma;'l',&delta;{{Sup|2}}) określa się na w sposób: * na podstawie reguł wyboru, gdy określone są spiny i parzystość jąder {{Formuła|<MATH>I_i^{\pi},I^{\pi}_f\;</MATH>}}, gdy są określone warunki zmieszania promieniowania elektromagnetycznego &sigma;l+&sigma;l+1. * a także z pomiarów bezwzględnych wartości WKW {{LinkWzór|3.95}} i porównanie jej z doświadczeniem, ten współczynnik jest funkcją multipolowości i parametru zmieszania {{LinkWzór|3.87}}, wartość bezwzględna tego współczynnika jest stosunkiem ilości jąder ulegająca przemianie, tzn. konwersji wewnętrznej przez liczbę kwantów &gamma; wydzielanych na przejściu z danego poziomu w jądrze na niższy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha^{exp}(n)={{N_{EKW}(n)}\over{N_{\gamma}}}\;</MATH>|3.101}} * z pomiarów stosunków liczby cząstek ulegające konwersji wewnętrznej, które są według definicji przechwycenia przez jądro elektronu z powłoki L{{Sub|I}}, L{{Sub|II}},L{{Sub|III}}, tzn. N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|I}})/N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|II}})/N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|III}}), które są silną funkcją &sigma; i &delta;{{Sup|2}} dla przejść elektromagnetycznych. Określmy parametr zmieszania, który określa się przy pomocy współczynników konwersji wewnętrznej dla przejść pomiędzy L{{Sub|I}} i L{{Sub|II}}, czyli dla M1+E2 w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\delta^2={{\alpha_{L_{I}}^{teor}(M1)-{{N(L_{I})}\over{N(L_{III})}}\alpha^{teor}_{L_{III}} (M1)}\over{\alpha_{L_{I}}^{teor}(E2)-{{N(L_{I})}\over{N(L_{III})}}\alpha^{teor}_{L_{III}} (E2)}}\;</MATH>|3.102}} Podobne wzory otrzymujemy dla przejść L{{Sub|II}} i L{{Sub|I}}. Stosunki N(n)/N(n') określa się na podstawie widm EKW. Stosunki &lambda;{{Sub|L{{Sub|I}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|II}}}},&lambda;{{Sub|L{{Sub|I}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|III}}}},&lambda;{{Sub|L{{Sub|II}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|III}}}} silnie zależą od multipolowości &sigma;l i energii E przejścia. Pomiary tychże stosunków EKW na podpowłokach L{{Sub|I}}, L{{Sub|II}}, L{{Sub|III}}, itd. pozwala wyznaczyć współczynniki Q{{Sub|&gamma;}} i &delta;{{Sup|2}}. ===== Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia ===== Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia możemy określić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.88}}. B(&sigma;l) możemy wyznaczyć z pomiarów &lambda;{{Sub|&gamma;}}(&sigma;l). Dla rozważań nad zjawiskiem KP i przejściami &gamma;, to całkowita stała zaniku określamy jako sumą stałej zaniku przejścia &gamma; i przejścia konwersji wewnętrznej, czyli przejścia KP. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}=\lambda_{\gamma}\left(1+\alpha_{KW}\right)\;</MATH>|3.103}} Wiedząc, że stała zaniku dla przejścia elektromagnetycznego &lambda;'{{Sub|EM}} jest odwrotnością średniego czasu życia rozpadu elektromagnetycznego, to stałą zaniku przejścia &gamma; piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}={{\lambda_{EM}}\over{1+\alpha_{KW}}}={{1}\over{\tau(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.104}} Skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|3.88}}, który przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma l,i\rightarrow f)=f(E_{\gamma},l)B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</math>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<math>f(E_{\gamma},l)={{8\pi}\over{\hbar}}{{l+1}\over{l[2l+1]!!]^2}}\left({{E_{\gamma}}\over{\hbar c}}\right)^{2l+1}\;,</MATH>|3.105}} Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia według wzoru {{LinkWzór|3.105}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)={{1}\over{\tau(1+\alpha_{KW})f(E_{\gamma},l)}}\;</MATH>|3.106}} Ale dla przypadku przejść zmieszanych &sigma;l+&sigma;'l+1 stałą zaniku promieniowania elektromagnetycznego dla multipolowości zmieszanych &sigma;l+&sigma;'l+1 określamy jako sumę stałej zaniku promieniowania &gamma; o tej multipolowości i stałej zaniku konwersji wewnętrznej też o tych samych zmieszanych multipolowościach, tutaj będziemy korzystać ze wzoru {{LinkWzór|3.105}} i definicji stałej konwersji wewnętrznej &alpha;{{Sub|KW}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}(\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{\gamma}(\sigma l+\sigma^'l+1)+\lambda_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{\gamma}(\sigma l+\sigma^'l+1)\left[1+\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \left(\lambda_{\gamma}(\sigma l)+\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)\right)\left[1+\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)\right]=\lambda_{\gamma}(\sigma l)[1+\delta^2_{\gamma}][1+\alpha_{KW}]={{1}\over{\tau}}\;</MATH>|3.107}} Jeśli wykorzystamy definicję średniego czasu rozpadu promieniowania elektromagnetycznego jako odwrotność jego stałej rozpadu, wtedy dla multipolowości &sigma;l mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma l)={{1}\over{\tau(1+\delta^2)(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.108}} Stała zaniku dla promieniowania o multipolowości &sigma;l+1 określamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.87}} wiedząc, że mamy stałą zaniku dla multipolowości &sigma;l {{LinkWzór|3.108}}. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)=\delta^2_{\gamma}\lambda_{\gamma}(\sigma l)={{\delta^2_{\gamma}}\over{\tau(1+\delta^2_{\gamma})(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.109}} Biorąc zredukowane prawdopodobieństwo rozpadu według wzoru {{LinkWzór|3.105}}, to wtedy możemy obliczyć B(&sigma;l) i B(&sigma;l+1) dla składowych o multipolowościach &sigma;l i &sigma;'l+1, które noszą nazwę zredukowanych parcjalnych prawdopodobieństw przejść &gamma; dla składowych &sigma;l i &sigma;'l+1. === Konwersja wewnętrzna par e{{Sup|-}}e{{Sup|+}}(KWP) === {{Rysunek|Współczynnik KWP od energii przejścia.png|3.15|Współczynnik KWP od energii przejścia}} Poznaliśmy już {{sr|#Przejścia &gamma;|przejścia elektromagnetyczne|b=tak}} i {{sr|#Konwersja wewnętrzna (KW)|konwersję wewnętrzną (KW)|b=tak}}, które maleją wraz ze wzrostem energii przejścia i rosną ze wzrostem Z jądra, one zachodzą dla energii przejścia ok. 1MeV, współczynnik WKW jest 10{{Sup|-3}}. Gdy E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}&ge;2m{{Sub|e}}c{{Sup|2}}=1,022MeV przejście dodatkowo może zachodzić z utworzeniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}. Para elektron-pozyton unosi energię równą: {{CentrujWzór|<MATH>(E_i-E_f)-2m_ec^2=E^{(k)}_{e^+}+E^{(k)}_{e^-}+E_{odrzutu j.}\;</MATH>|3.110}} Moment pędu pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} jest większy od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie) i jest natomiast mniejsza od sumy jąder momentów pędu jąder krańcowych, tą zależność piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l_{pary}\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.111}} Parzystość unoszoną przez parę jest natomiast równa: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla El}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla Ml}\\\end{cases}\;</MATH>|3.112}} Widmo energii e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}} jest ciągłe, tzn. energia pary jest od E=0 do E{{Sup|max}}=(E_i-E_f)&sim; 1,022MeV. Pozytony utworzone w wyniku tego rozpadu anihilują z elektronami ośrodka najczęściej według przemiany poniżej w wyniku czego powstaje kwant &gamma; o energii E{{Sub|&gamma;}}=511keV: {{CentrujWzór|<MATH>e^++e^-\rightarrow 2\gamma\;</MATH>|3.113}} Proces KWP nie jest powiązany żadną powłoka elektronową, więc prawdopodobieństwo słabo zależy od liczby atomowej jądra Z (maleje ze wzrostem Z). Zdefiniujmy współczynnik KWP, który jest stosunkiem stałej zaniku z utworzeniem pary i stałej zaniku promieniowania &gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_p={{\lambda_{KWP}}\over{\lambda_{\gamma}}}\;</MATH>|3.114}} * rośnie ze wzrostem E przejścia dla E równą od 1,5 do 5MeV &alpha;{{Sub|p}} jest od 10{{Sup|-4}} do 10&sdot;10{{Sup|-4}}. * jest funkcją przejścia, tzn. &sigma;{{Sub|P}}(&sigma;l)>&alpha;{{Sub|P}}(&sigma;l+1) i &sigma;{{Sub|P}}(El)>&alpha;{{Sub|P}}(Ml). * prawdopodobieństwo KWP silnie zależy od kąta &theta; między kierunkami wylotu e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}}. Pomiary &alpha;{{Sub|p}} i korelacja kierunków wylotu e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}} wykorzystuje się do określenia &sigma;l o E{{Sub|&gamma;}}&ge;5MeV. Obliczenie teoretyczne &alpha;{{Sub|l}} są trudne do wykonania, ponieważ to wymaga znajomości funkcji falowej jądra i pary e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}}. == Rozczepienie spontaniczne (spontanic fission(sf)) == {{Rysunek|Energia wiązania jąder podzielonej przez liczbę masową.png|3.16|Energia wiązania jąder podzielonej przez liczbę masową}} {{Rysunek|Fission product-pl.svg|3.17|Rozczepienie jądra atomowego na dwa jego fragmenty|rozmiar=200px}} W tym rozkładzie ciężkie jądro dzieli się spontanicznie na dwa fragmenty z emisją kilku neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\xrightarrow{sf}{}^{A_1}_{Z_1}F_1+{}^{A_2}_{Z_2}F_2+\nu n\mbox{, }\nu=\mbox{1,5 do 3}\;</MATH>|3.115}} Energia rozszczepienia jest różnica masy jądra przed rozszczepieniem i sumy mas jąder po rozszczepieniu i masy &nu; neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(A,Z)=[M_j(A,Z)-(M_j(A,Z_1)+M_j(A_2,Z_2)+\nu m_n)]\;</MATH>|3.117}} Aby rozszczepienie nastąpiło, to energia Q{{Sub|sf}} powinna być większe niż zero, co jest spełnione tylko dla jąder ciężkich na opadającej części wykresu B/A. Jeśli dodatkowo założymy, że B{{Sub|j}}=E(A,Z)&sdot;A, to otrzymamy inny ale równoważny do {{LinkWzór|3.115}} używając tylko energii wiązań przypadającej na jeden nukleon. {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(A,Z)=A\left(\overline{E}_{12}-E(A,Z)\right)</MATH>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>\overline{E}_{12}={{E_1A_1+E_2A_2}\over{A_1+A_2}}\;</MATH>|3.118}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|3.118}}, aby zachodził warunek Q{{Sub|sf}}(A,Z)>0, to musi być spełniony {{Formuła|<MATH>\overline{E}_{12}\geq E\;</MATH>}}. Energię rozszczepienia Q{{Sub|sf}} unoszą produkty unoszenia, którą możemy rozpisać do: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}=E_k(F_1)+E_k(F_2)+E_{wzb}(F_1)+E_{wzb}(F_2)+E_k(\nu n)\;</MATH>|3.119}} Fragmemty rozszczepienia, czyli jądra wzbudzone z nadmiarem n ulegają * rozpadowi &beta;{{Sup|-}} * deeskcytacji stanów F{{Sup|*}} w wyniku przejść EM(&gamma;) lub emisję neutronów przez jądro. Widmo fragmentów jądra rozszczepiającego się w wyniku rozpadu {{LinkWzór|3.115}} jest dwugarbne, jeśli jądro rozpada się bez emisji neutronów, tzn. spełnione są warunki: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>{{A_1}\over{A_2}}\simeq{{2}\over{3}}\;</MATH>|3.120}}|2={{CentrujWzór|<MATH>A_1+A_2=A\;</MATH>|3.121}}}} === Mechanizm sf === {{Rysunek|Energy from the nucleus deformation.png|3.18|Energia jądra w zależności od deformacji}} {{Rysunek|Energia jądra bez bariery energetycznej.png|3.19|Energia jądra bez bariery energetycznej}} {{Rysunek|Przejście_tunelowe_z_barierą_energetyczną_zależnej_od_deformacji.png|3.20|Przejście tunelowe z barierą energetyczną}} {{Rysunek|Radioactive decay by fission.png|3.21|Dwa maksima a rozczepienie jądra}} Rozpatrzmy mechanizm rozszczepienia sf bez emisji neutronów na dwa fragmenty, dla którego zachodzą warunki {{LinkWzór|3.120}} i {{LinkWzór|3.121}}, wtedy rozszczepienie wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^{A_1}_{Z_1}F_1+{}^{A_2}_{Z_2}F_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>A_1={{2}\over{5}}A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>A_2={{3}\over{5}}A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;oraz&nbsp;}}<MATH>Z_1={{3}\over{5}}Z\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>Z_2={{2}\over{5}}Z\;</MATH>|3.122}} Energię jądra będziemy określać według modelu kroplowego {{LinkWzór|1.28|Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}}. Załóżmy, że podział jądra zachodzi przez podział jądra na dwa sferyczne fragmenty, wtedy energia wydzielająca się w wyniku rozczepienia jest: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(X)=[E_s(X)+E_C(x)]-[\underbrace{E_s(F_1)+E_s(F_2)}_{1,25E_S(X)}+\underbrace{E_C(F_1(F_1)+F_C(F_2)}_{0,64E_C(X)}]\;</MATH>|3.123}} We wzorze {{LinkWzór|3.112}} energię oznaczoną przez wskaźnik S oznacza efekty powierzchniowe, które pozwalają utrzymać kształt sferyczny jądra, a przez wskaźnik C będziemy oznaczać jako oddziaływanie kulombowskie, które starają się rozerwać jądro. W mechanizmie sf istotną rolę odgrywają energie E{{Sub|C}} i E{{Sub|S}}. stąd energię jądra {{LinkWzór|3.112}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(X)=0,36E_C(X)-0,25E_S(X)\;</MATH>|3.124}} Można pokazać wykorzystując relację na energię wiązania w modelu kroplowym, że dla Q{{Sub|sf}}(X)>0, gdy Z{{Sup|2}}/A>17. Jądra spełniające ten warunek mogą ulec natychmiastowego rozszczepieniu z czasem połowicznego zaniku T{{Sub|1/2}}&asymp;10{{Sup|-22}}s. Dla A=2Z otrzymamy natychmiast Z>34, czyli dla tych jąder następuje rozszczepienie. Doświadczalnie stwierdzono, że sf występuje tylko w jądrach ciężkich dla Z&ge;90 i zachodzi z bardzo małym prawdopodobieństwem, bo np. czas połowicznego rozpadu dla tego jądra uranu 238 jest {{Formuła|<MATH>T_{1/2}({}^{238}_{92}U)=6\cdot 10^{15}lat\;</MATH>}}. Lepszą zgodność z doświadczeniem występuje z założenia, że lepszą drogę do rozszczepienia jest poprzez deformację jądra. Deformację określa się przez parametr deformacji &beta;{{Sub|2}}. Warunek na rozszczepienie również będzie wyglądał poprzez wzajemną relację parametrów E{{Sub|s}}(A,Z,&beta;{{Sub|2}}) i E{{Sub|C}}(A,Z,&beta;{{Sub|2}}). Dla małych jąder E{{Sub|s}} (&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją rosnącą, a E{{Sub|C}}(&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją malejącą. Tak więc całkowita energia jądra zapisujemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>E_{LD}(Z,A,\beta)=E_S(Z,A,\beta_2)+E_C(Z,A,\beta_2)\;</MATH>|3.125}} Funkcja {{LinkWzór|3.118}} rośnie przy wzroście &beta;{{Sub|2}}, więc to pełni rolę bariery energetycznej &Delta;E{{Sub|sf}} przy podziale jądra. Dla małych &beta;{{Sub|2}} przy energii jądra niezdeformowanego E{{Sub|LD}}(Z,A,0) energię jądra zdeformowanego piszemy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>E_{LD}(Z,A,\beta_2)\simeq E_{LD}(Z,A,0)+{{\beta_2^2}\over{5}}\left(2E_S(A,Z,0)-E_C(Z,A,0)\right)\;</MATH>|3.126}} Jeśli (2E{{Sub|s}}-E{{Sub|C}}<0, to E{{Sub|LD}}(&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją malejącą, wtedy nie ma bariery na rozczepienie. Warunek ten jest spełniony dla Z{{Sup|2}}/A&ge;49, gdy Z&ge;120, wtedy rozpad sf jądra jest natychmiastowy, wtedy czas połowicznego zaniku jest rzędu 10{{Sup|-22}}s. Jeżeli (2E{{Sub|s}}-E{{Sub|C}})>0 bariera występuje, a jej wysokość maleje w miarę zmniejszania się parametru Z{{Sup|2}}/A&le;49, wtedy sf zachodzi tylko w wyniku przejść tunelowych, i czas połowicznego zaniku silnie zależy od Z{{Sup|2}}/A. Przy większej deformacji prowadzącej do rozszczepienia jądra atomowego poprawki powłokowe zakładające gładką zależność bariery na rozczepienie mogą prowadzić do pojawienia się drugiego minimum. Tłumaczy to zjawisko izometrii rozszczepieniowej. Ze względu na rozczepienie bariery połowiczny czas życia stanu podstawowego jest większy lub równy czasowi stanu izomerycznego, tzn.T{{Sub|1/2}}(sf){{Sub|st. podst.}}&ge;T{{Sub|1/2}}(sf){{Sub|st. izomer.}}, dla jądra {{Sup|238}}U mamy czas zycia poziomu podstawowego T{{Sub|1/2}}&asymp;6&sdot;10{{Sup|15}}lat, a czas życia poziomu izomerycznego jest T{{Sub|1/2}}&asymp;195&sdot;10{{Sup|-9}}s. Uwzględnienie &delta;E{{Sub|shell}}+&delta;E{{Sub|paring}}, czyli energię uwzględniające strukturę powłokową jądra i energię parowania, pozwalają dokładnie opisać wysokość bariery na rozszczepienie w poszczególnych jądrach oraz obserwowaną doświadczalnie silną zależność sf od struktury jądra atomowego, i pozwalają zrozumieć dwugarbny charakterystyczny rozkład mas w wyniku rozczepienia jądra atomowego w rozczepieniu asymetrycznym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3myfzswm11ipn5b5dbfeznhwfog8f68 0 22172 558640 479164 2026-10-04T23:46:03Z Persino 2851 558640 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W tym rozdziale zapoznamy się z przybliżonym obliczanie całek znając tylko funkcje podcałkową. Często obliczenie funkcji pierwotnej jest uciążliwe, a nawet niemożliwe, bo podana jest za pomocą tablicy wartości funkcji podcałkowej, wtedy definicja funkcji pierwotnej traci sens. Mając tablicę funkcji można napisać wielomian interpolacyjny, który łączy te punkty, i napisać całkowanie tego wielomianu. Niech mamy wielomian interpolacyjny Lagrange'a określony wzorem {{LinkWzór|1.7|Interpolacja}} (gdzie y{{Sub|k}} jest to właśnie funkcja F(x{{Sub|k}})) przy definicji &Phi;{{Sub|j}}(x) {{LinkWzór|1.11|Interpolacja}}, wtedy możemy napisać przybliżoną równość pomiędzy całką dokładną, a przybliżoną, którą piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\int_a^bF(x)dx\simeq\int_a^b\varphi(x)dx=\int_a^b\sum_{k=1}^{n}\Phi_k(x)F(x_k)=\sum_{k=1}^{n}A_kF(x_k)\mbox{ gdzie: }A_k=\int_a^b\Phi_k(x)dx\;</MATH>|4.1}} Błąd bezwzględny pomiędzy wartością funkcji, a jej wartością przybliżoną, możemy przepisać przy pomocy schematu: {{CentrujWzór|<MATH>|F(x)-\varphi(x)|<\epsilon\mbox{, dla }x\in\langle a,b\rangle\;</MATH>|4.2}} to wtedy wykorzystując {{LinkWzór|4.2}} i biorąc za funkcję &phi;(x) wielomian interpolacyjny, wtedy otrzymujemy otrzymujemy oszacowanie błędu popełnionego przy liczenia całki, który jest jakoby przybliżoną wartością funkcji interpolowanej: {{CentrujWzór|<MATH>\left|\int_a^b\left[F(x)-\varphi(x)\right]dx\right|=\left|\int_a^bF(x)dx-\sum_{k=0}^nA_kF(x_k)\right|\leq\epsilon(b-a)\;</MATH>|4.3}} Za pomocą funkcji interpolowanej możemy policzyć całkę funkcji interpolowanej przy pomocy wielomianu interpolacyjnej Lagrange'a z dowolną dokładnością. Niech funkcja F(x) posiada pewne osobliwości, która utrudnia dobre przybliżenie jej przy pomocy funkcji interpolowanej, więc podzielmy ten wielomian na iloczyn dwóch funkcji, tzn. funkcji p(x) i f(x), gdzie f(x) jest funkcją, którą dobrze jest przybliżyć, a p(x) zawiera wszelkie osobliwości funkcji osobliwej F(x). Niech &phi;(x) będzie wielomianem interpolacyjnym funkcji f(x), wtedy przybliżenie funkcji interpolowanej f(x) funkcją interpolowaną &phi;(x) daje w wyniku czego: {{CentrujWzór|<MATH>\int_a^bF(x)dx=\int_a^bp(x)f(x)dx\simeq\int_a^bp(x)\varphi(x)dx=\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)\;</MATH>|4.4}} Współczynniki A{{Sub|k}} określonego na przedziale <a,b> przy pomocy funkcji &Phi;{{Sub|k}}(x) jako całka przy normie p(x) piszemy: {{CentrujWzór|<math>A_k=\int_a^bp(x)\Phi_k(x)dx\;</MATH>|4.4a}} Ten sposób można wykorzystać do obliczania całek nieskończonych, wtedy współczynnik p(x) określa szybkość malenia funkcji F(x) dla x→&plusmn;&infin;. == Wprowadzenie do wzorów całkowania numerycznego == W tym rozdziale będziemy przybliżać obliczanie całek, którego funkcją podcałkową jest f(x), a całka jest wykonywana przy wadze p(x), i ją przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>I(f)=\int_a^bp(x)f(x)dx\;</MATH>|4.5}} i będziemy je przybliżać w pewnym przedziale <a,b>, gdy obierzemy punkty x{{Sub|k}} i będziemy je stosowali do funkcji f(x) przy stałych A{{Sub|k}} podobnie zdefiniowanej jak w punkcie {{LinkWzór|4.4a}}, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>S(f)=\sum_{k=1}^nA_kf(x_k)\mbox{ dla }x_k\in\langle a,b\rangle\;</MATH>|4.6}} Punkty x{{Sub|K}} nazywamy węzłami kwadratury, a wzór {{LinkWzór|4.6}} kwadraturą. Wzory te będziemy stosowali też do obliczania całek, które mają pewne osobliwości określone przez wagę p(x), zakładamy, że waga jest funkcją zależną od zmiennej "x" i przyjmuje wartości nieujemną. Błąd przybliżenia całki określonej przez funkcję interpolacyjną, a interpolowaną określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|4.5}} i {{LinkWzór|4.6}} przy definicji błędu wzoru funkcji interpolującej {{LinkWzór|1.24|Interpolacja}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)=I(f)-S(f)={{f^{(n+1)}(\xi)}\over{(n+1)!}}\int_a^bp(x)\omega_n(x)dx\;</MATH>|4.7}} Jako kryterium dokładności kwadratury będziemy pisali S(W) i I(W), gdy W jest pewnym wielomianem. Kwadratura {{LinkWzór|4.6}} nazywamy kwadraturą rzędu "r", jeśli I(W)=S(W), gdy wielomian W(x) jest stopnia mniejszego niż "r", a jeśli I(W)&ne;S(W), gdy wielomian W(x) jest stopnia r&ge;1. {{Twierdzenie|tekst= Kwadratura, która określimy przez {{LinkWzór|4.6}} jest zbieżna do dowolnej funkcji f&isin;C(<a,b>), to wtedy warunek konieczny i dostateczny jest taki, że ona jest zbieżna do dowolnego wielomianu i istnieje liczba M dla współczynników {{Formuła|<MATH>A_k^n\;</MATH>}} niezależna od ilości węzłów "n": {{CentrujWzór|<MATH>B_n=\sum_{k=0}^n\left|A_k^n\right|\leq M\mbox{ dla }n=1,2,...\;</MATH>|4.8}} }} == Całkowanie wielomianu interpolacyjnego z ustalonymi punktami == Będziemy tutaj rozpatrywali, że mamy ustalone węzły, tzn. x{{Sub|k}} dla k=0,1,2,..,n. Poniżej będziemy liczyli współczynniki A{{Sub|k}}, by wyznaczyć wartość całki wielomianu interpolującego jako przybliżenie całki funkcji interpolowanej w przedziale (a,b). === Metoda całkowa wielomianu interpolacyjnego Newtona-Cotesa === Będziemy się tutaj zajmowali kwadraturą Newtona-Cotesa określoną przez wzór początkowy {{LinkWzór|4.6}}, w którym zdefiniujemy A{{Sub|K}} sposobem {{LinkWzór|4.1}}, a wielomian &Psi;{{Sub|k}}(x) jest zdefiniowany przez {{LinkWzór|1.11|Interpolacja}}, w którym błąd kwadratury jest zdefiniowaliśmy poprzez wzór {{LinkWzór|1.24|Interpolacja}}. Całkowanie wielomianu &Phi;{{Sub|k}}(x) w przedziale (a,b) jest napisane jako definicję A{{Sub|k}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_k=\int_a^b\Phi_k(x)dx=h{{(-1)^{n-k}}\over{k!(n-k)!}}\int_0^n{{t(t-1)...(t-n)}\over{t-k}}\mbox{ gdzie: }h={{b-a}\over{n}}\mbox{, }f_k=f(a+kh)\;</MATH>|4.9}} {{Twierdzenie|tekst= Warunkiem dostatecznym i koniecznym dla kwadratury {{LinkWzór|4.6}} jest jego rząd minimum n+1. }} {{Dowód|czego=powyższego twierdzenia|tekst= Niech wielomian f(x) będzie stopnia "n" i mamy "n" węzłów, wtedy f(x)=L{{Sub|n}}(x) i I(f)=I(L{{Sub|n}})=S(f), wtedy rząd kwadratury wynosi n+1. Załóżmy, że rząd kwadratury wynosi co najmniej n+1, wtedy jest ona dokładna dla wielomianów stopnia mniejszego niż n+1, co stąd wynika, że jest dokładna dla wielomianów f(x), czyli kwadraturę określamy poprzez wzór {{LinkWzór|4.6}}. }} Aby policzyć różne współczynniki A{{Sub|k}} należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|4.9}}, wtedy poszczególne wspomniane współczynniki dla n=1 liczymy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A_0=-h\int_0^1(t-1)={{1}\over{2}}h\;</MATH>|4.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_1=h\int_0^1tdt={{1}\over{2}}h\;</MATH>|4.11}} }} Wtedy kwadraturę {{LinkWzór|4.5}} przy pomocy współczynników {{LinkWzór|4.10}} i {{LinkWzór|4.11}} piszemy przy pomocy wartości funkcji f{{Sub|1}} i f{{Sub|2}} wyznaczonych w punktach "a" i "b": {{CentrujWzór|<MATH>S(f)={{1}\over{2}}(f_0+f_1)\;</MATH>|4.12}} Błąd kwadratury {{LinkWzór|4.8}} liczymy przy pomocy wzoru napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.13|Interpolacja}}, dla n=1 możemy napisać wzór poniżej, do którego będziemy wykorzystali metodę całkowania przez części przy liczeniu błędu kwadratury {{LinkWzór|4.12}} i twierdzenie o wartości średniej przy wykorzystaniu definicji odstępu h=b-a: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)={{1}\over{2}}\int_a^b(x-a)(x-b)f^{(2)}(\tilde{\xi})dx={{1}\over{2}}f^{(2)}(\xi)\int_a^b(x-a)(x-b)dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2}}f^{(2)}(\xi)\left[{{1}\over{2}}(x-a)^2(x-b)\right]_a^b-{{1}\over{2}}\int_a^b(x-a)^2dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{1}\over{4}}{{1}\over{3}}f^{(2)}(\xi)\left[(x-a)^3\right]_a^b=-{{1}\over{12}}h^3f^{(2)}(\xi)\;</MATH>|4.13}} Zajmiemy się teraz wielomianami stopnia drugiego n=2, wtedy możemy zapisać {{LinkWzór|4.9}} licząc współczynniki A{{Sub|k}} po kolei: {{CentrujWzór|<MATH>A_0=h{{1}\over{2!}}\int_0^2{{t(t-1)(t-2)}\over{t}}dt={{1}\over{2}}h\int_0^2(t-1)(t-2)dt={{1}\over{2}}h\int_0^2(t^2-2t-t+2)dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}h\left({{1}\over{3}}t^3-{{3}\over{2}}t^2+2t\right)_0^2={{1}\over{2}}h\left({{8}\over{3}}-6+4\right)=h\left({{4}\over{3}}-1\right)={{1}\over{3}}h\;</MATH>|4.14}} {{CentrujWzór|<MATH>A_1=-h\int_0^2{{t(t-1)(t-2)}\over{t-1}}dt=-h\int_0^2t(t-2)dt=-h\left(\left[{{1}\over{2}}t^2(t-2)\right]_0^2-\int_0^2{{1}\over{2}}t^2dt\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=h{{1}\over{2\cdot 3}}8={{4}\over{3}}h\;</MATH>|4.15}} {{CentrujWzór|<MATH>A_2=h{{1}\over{2}}\int_0^2{{t(t-1)(t-2)}\over{t-2}}dt=h{{1}\over{2}}\int_0^2t(t-1)dt={{1}\over{2}}h\int_0^2(t^2-t)={{1}\over{2}}h\left({{1}\over{3}}t^3-{{1}\over{2}}t^2\right)_0^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}h\left({{8}\over{3}}-2\right)=h\left({{4}\over{3}}-1\right)={{1}\over{3}}h\;</MATH>|4.16}} Kwadratura {{LinkWzór|4.6}} przy obliczeniach na A{{Sub|0}} {{LinkWzór|4.13}}, A{{Sub|1}} {{LinkWzór|4.14}} i A{{Sub|2}} {{LinkWzór|4.15}} można zapisać wzorem Simpsona przedstawioną: {{CentrujWzór|<MATH>S(f)={{1}\over{3}}h(f_0+4f_1+f_2)\;</MATH>|4.17}} Obierzmy sobie teraz punkty a, (a+b)/2,b, x{{Sub|4}}, takie, że x{{Sub|4}}→(a+b)/2, wtedy okazuje się słuszny wzór Simsona {{LinkWzór|4.15}} dla wielomianów trzeciego stopnia, wtedy błąd kwadratury po zastosowaniu twierdzenia o wartości średniej przy założeniu <MATH>_{h={{a+b}\over{2}}}\;</MATH> rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)={{1}\over{4!}}\int_a^b(x-a)\left(x-{{a+b}\over{2}}\right)^2(x-b)f^{(4)}(\tilde{\xi})dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{24}}f^{(4)}(\xi)\left[{{1}\over{3}}\left(x-{{a+b}\over{2}}\right)^3(x-a)(x-b)\Bigg|_a^b-{{1}\over{3}}\int_a^b\left(x-{{a+b}\over{2}}\right)^3(x-a+x-b)dx\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{1}\over{36}}f^{(4)}(\xi)\int_a^b\left(x-{{a+b}\over{2}}\right)^4dx=-{{1}\over{90}}f^{(4)}(\xi)h^5\;</MATH>|4.18}} === Złożone metody całkowania wielomianu interpolującego Newtona-Cotesa === Do całkowania zwykle nie używa się w praktyce wielomianów wyższych niż stopnia dwa, dlatego kwadratury używa się w taki sposób, że przedział (a,b) dzieli się na m równych części, dla każdej z tych przedziałów stosuje sie metodę trapezów {{LinkWzór|4.12}} lub metodę Simpsona {{LinkWzór|4.17}}. Weźmy sobie kwadratrurę: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)=C_rf^{(r)}(\xi)\;</MATH>|4.17a}} To przy zmniejszaniu przedziału na p równych cząści (a-b) C{{Sub|r}} zmniejszy się p{{Sup|r}} razy, a błąd zmniejszy się p{{Sup|r-1}} razy. W metodze trapezów mamy h=(b-a)/m, która jest długością każdego z tychże przedziałów, w ten sposób piszemy kwadraturę przy zastosowaniu wzorów trapezów: {{CentrujWzór|<MATH>S(f)=\sum_{k=0}^{m-1}{{1}\over{2}}h(f_k+f_{k+1})=h\left({{1}\over{2}}f_0+f_1+..+f_{m-1}+{{1}\over{2}}f_m\right)\mbox{ gdzie: }f_k=f(a+kh)\;</MATH>|4.20}} Weźmy funkcję f określonej na przedziale <a,b> określonej na zbiorze liczb zespolonych, wtedy błąd popełniony przy liczeniu metodą trapezów po podziale naszego przedziału na równe cząści piszemy wedle wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)=-{{h^3}\over{12}}\sum_{k=0}^{m-1}f^{(2)}(\xi_k)=-{{(b-a)^3}\over{12m^2}}{{1}\over{m}}\sum_{k=0}^{m-1}f^{(2)}(\xi_k)=-{{(b-a)^3}\over{12m^2}}f^{(2)}(\xi)\;</MATH>|4.21}} Powyżej zastosowaliśmy, że liczby &xi;{{Sub|k}} leżą w przedziale <a,b>, ale oczywiste jest, że wartość średnia jest powyżej minimum funkcji i poniżej maksimum funkcji, więc &xi; mieści się pomiędzy nimi, zatem &xi;&isin;<a,b>. Zastosujmy teraz metodę Simsona przy podziale na m/2 części przedział <a,b>, wtedy długość każdego przedziału jest h liczoną wedle h=(b-a)/m, wtedy każde z tych przedziałów ma się jako <a,a+2h>,...,<a+m-2)h,b>, wtedy każde z tych przedziałów ma długość 2h, co po zastosowaniu wzoru {{LinkWzór|4.17}} dla każdego z tychże przedziałów możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>S(f)={{h}\over{3}}\sum_{k=1}^{m/2}(f_{2k-2}+4f_{2k-1}+f_{2k})=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{h}\over{3}}\left[f_0+f_m+2(f_2+f_4+..+f_{m-2})+4(f_1+f_3+...+f_{m-1})\right]\;</MATH>|4.22}} Błąd złożony z parabol, możemy przepisać jako suma kwadrapul złożonych z m/2 części, których każda ma długość 2h, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)=-{{h^5}\over{90m^5}}\sum_{k=1}^{m/2}f^{(4)}(\xi_k)={{(b-a)^5}\over{180m^4}}{{2}\over{m}}\sum_{k=0}^{m/2}f^{(4)}(\xi_k)={{(b-a)^5}\over{180m^4}}f^{(4)}(\xi)\;</MATH>|4.23}} === Metoda całkowania wielomianu interpolacyjnego Romberga === Niech mamy przedział <a,b> i podzielmy go na 2{{Sup|i}} równych części, wtedy długość każdego z przedziału, a także wzór na węzeł zależnego od "i" i "k" i wzór na wartość funkcji przedstawiamy je w jednej linijce jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>h_i={{b-a}\over{2^i}}\;</MATH>|4.24}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>x_{i,k}=a+kh_i\;</MATH>|4.25}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>f_{i,k}=f(x_{i,k})\;</MATH>|4.26}} }} Wykorzystamy tutaj kwadraturę złożoną Newtona-Cotesa {{LinkWzór|4.20}}, który przepiszemy w postaci zależnego od "i" i od punktów "a" i "b", w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>T_{0,i}=h_i\left(\sum_{k=0}^{2^i}f_{i,k}-{{1}\over{2}}\left(f(a)+f(b)\right)\right)\;</MATH>|4.27}} Napiszmy teraz błąd kwadratury {{LinkWzór|4.27}} zakładając, że wzór na ten błąd jest funkcją parzystą, gdy rozszerzyć go na przedział nieskończony, i pamiętając, że dla h{{Sub|i}}→0 bład kwadratury powninien dążyć do zera: {{CentrujWzór|<MATH>I(f)-T_{0,i}=\sum_{j=1}^{\infty}C_{0,j}h_i^{2j}\;</MATH>|4.28}} Określmy teraz T{{Sub|1,i}} w zależności od T{{Sub|0,i}} i T{{Sub|1,i+1}} w sposób zależny od wskaźnika i-tego: {{CentrujWzór|<MATH>T_{1,i}=T_{0,j+1}+{{T_{0,j+1}-T_{0,j}}\over{2^2-1}}\;</MATH>|4.29}} Mając wzór na T{{Sub|1,i}} {{LinkWzór|4.29}} a także błąd bezwzględny {{LinkWzór|4.28}} na kwadraturę {{LinkWzór|4.27}}, to błąd T{{Sub|1,i}} względem I(f), wykorzystując, że C{{Sub|1,1}}=0, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>I(f)-T_{1,i}=I(f)- T_{0,j+1}+{{T_{0,j+1}-T_{0,j}}\over{2^2-1}}=I(f)-{{3T(0,j+1)+T_{0,i+1}-T_{0,j}}\over{3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=I(f)-{{4T_{0,j+1}-T_{0,j}}\over{3}}= {{1}\over{3}}\left(3I(f)-4T_{0,j+1}+T_{0,j}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{3}}\left[4\left(I(f)-T_{0,j+1}\right)-\left(I(f)-T_{0,j}\right)\right]={{1}\over{3}}\sum_{j=0}^{\infty}C_{0,j}\left(2^2h_{i+1}^{2j}-h_i^{2j}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{3}}\sum_{j=1}^{\infty} C_{0,j}h_i^{2j}\left({{2^2h^{2j}_{i+1}}\over{h_i^{2j}}}-1\right)=\sum_{j=1}^{\infty} C_{0,j}h_i^{2j}\underbrace{{{1}\over{3}}\left({{2^2}\over{2^{2j}}}-1\right)}_{C_{1,j}}=\sum_{j=2}^{\infty}C_{1,j}h_i^{2j}</MATH>|4.30}} Główny czynnik w wyrażeniu {{LinkWzór|4.30}} jest 2{{Sup|4}}. Napiszemy teraz wzór na T{{Sub|1,i}}, i dowiemy się, że jest on wzorem złożony z parabol określonym w przedziale <a,b> podzielonego na 2{{Sup|i}} równych części i określonych dla m=2{{Sup|i+1}} wzorem {{LinkWzór|4.22}}: {{CentrujWzór|<MATH>T_{1,i}={{1}\over{3}}\left(4T_{0,i+1}-T_{0,i}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{1}\over{3}}\left[4h_{i+1}\left(\sum_{k=0}^{2^{i+1}}f_{i+1,k}-{{1}\over{2}}\left(f(a)+f(b)\right)\right)-h_i\left(\sum_{k=0}^{2^i}f_{i,k}-{{1}\over{2}}\left(f(a)+f(b)\right)\right)\right]=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{3}}h_{i+1}\left[-(f(a)+f(b))+4\left(\sum_{k=0}^{2^i}f_{i+1,2k}+\sum_{k=1}^{2^i}f_{i+1,2k-1}\right)-2\sum_{k=0}^{2^i}f_{i+1,2k}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{3}}h_{i+1}\left[-(f(a)+f(b))+4\sum_{k=1}^{2^i}f_{i+1,2k-1}+2\sum_{k=0}^{2^i}f_{i+1,2k}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{3}}h_{i+1}\left(f(a)+f(b)+2\sum_{k=1}^{2^i-1}f_{i+1,2k}+4\sum_{k=1}^{2^i}f_{i+1,2k-1}\right)</MATH>|4.31}} Uogólnimy wzór {{LinkWzór|4.29}} dla dowolnego "m" i "i", w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>T_{m,i}=T_{m-1,i+1}+{{T_{m-1,i+1}-T_{m-1,i}}\over{2^{2m}-1}}\;</MATH>|4.32}} Wtedy napiszmy błąd kwadratury T{{Sub|2,i}} znając błąd kwadratury {{LinkWzór|4.30}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>I(f)-T_{2,i}=I(f)=I(f)-\left(T_{1,i+1}+{{T_{1,i+1}-T_{1,i}}\over{2^{4}-1}}\right)={{1}\over{15}}\left(15I(f)-16T_{1,i+1}+T_{1,i}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{15}}\left[16\left(I(f)-T_{1,i+1}\right)-\left(I(f)-T_{1,i}\right)\right]={{1}\over{15}}\left[2^4\sum_{j=2}^{\infty}C_{1,j}h^{2j}_{i+1}-\sum_{j=2}^{\infty}C_{1,j}h^{2j}_i\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{15}}\left[\sum_{j=2}^{\infty}h^{2j}_i\left({{2^4h^{2j}_{i+1}}\over{h^{2j}_{i}}}-1\right)\right]=\sum_{j=2}^{\infty}h^{2j}_i\underbrace{{{1}\over{15}}\left({{2^4}\over{2^{2j}}}-1\right)}_{C_{2,j}}=\sum_{j=3}^{\infty}C_{2,i}h^{2j}_i</MATH>|4.33}} Główny czynnik występujący w {{LinkWzór|4.33}} jest h{{Sup|6}}. Widzimy, że we wzorach {{LinkWzór|4.27}} i {{LinkWzór|4.31}} czynniki stojące przy funkcjach f(a+kh{{Sub|I}}) są współczynnikami dodatnimi, zatem napiszmy kwadraturę T{{Sub|m,i}} w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>T_{m,i}=h\sum_{j=0}^{2^{m+i}}d_{m,j}f(a+jh_i)\;</MATH>|4.34}} I udowodnimy, że dla {{LinkWzór|4.34}} współczynniki d{{Sub|m,j}} są współczynnikami dodatnimi metodą indukcji matematycznej. Dla m=0,1 zostało to udowodnione, więc udowodnimy to, że jeśli dla m współczynniki d{{Sub|m,j}} są dodatnie to dla m+1 współczynniki d{{Sub|m+1,j}} są też współczynnikami dodatnimi, zatem przejdźmy do sedna dowodu: {{CentrujWzór|<MaTH>T_{m+1,i}=T_{m,i+1}+{{T_{m,i+1}-T_{m,i}}\over{2^{2m}-1}}={{1}\over{2^{2m}-1}}\left(2^{2m}T_{m,i+1}-T_{m,i}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2^{2m}-1}}\left[2^{2m}\sum_{j=0}^{2^{m+i+1}}d_{m,j}f(a+jh_{i+1})-\sum_{j=0}^{2^{m+i}}d_{m,j}f(a+jh_i)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2^{2m}-1}}\Bigg[2^{2m}\left(\sum_{j=0}^{2^{m+i}}d_{m,2j}f(a+2jh_{i+1})+\sum_{j=1}^{2^{m+i}}d_{m,2j-1}f(a+(2j-1)h_{i+1})\right)-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum_{j=0}^{2^{m+i}}d_{m,2j}f(a+2jh_{i+1})\Bigg]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2^{2m}-1}}\left[(2^{2m}-1)\sum_{j=0}^{2^{m+i}}d_{m,2j}f(a+2jh_{i+1})+2^{2m}\sum_{j=1}^{2^{m+i}}d_{m,2j-1}f(a+(2j-1)h_{i+1})\right]=\;</math>{{Br}}<math>=\sum_{j=0}^{2^{m+i}}\underbrace{d_{m,2j}}_{d_{m+1,2j}}f(a+2jh_{i+1})+\sum_{j=1}^{2^{m+i}}\underbrace{{{2^{2m}d_{m,2j-1}}\over{2^{2m}-1}}}_{d_{m+1,2j-1}}f(a+(2j-1)h_{i+1})</MATH>|4.35}} Zatem na podstawie dowodu {{LinkWzór|4.35}} wszystkie współczynniki d{{Sub|m,j}} są współczynnikami nieujemnymi. Błąd kwadratury {{LinkWzór|4.34}} możemy przedstawić w zależności od "m" i "h" w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I(f)-T_{m,i}=Ch_{m+i}^{2m+2}f^{(2m+2)}(\xi)\;</MATH>|4.36}} Dla m=0 kwadratura {{LinkWzór|4.34}} przechodzi w kwadraturę {{LinkWzór|4.27}} i wzór {{LinkWzór|4.36}} dla tej kwadratury przechodzi w {{LinkWzór|4.21}} dla zdefiniowanego h{{Sub|i}}=(b-a)/2{{Sup|i}} dla m=2{{Sup|i}}, zatem dla tego m powyższy wzór jest poprawny. Udowodnijmy metodą indukcji matematycznej twierdzenie {{LinkWzór|4.36}}, gdy ona jest spełnione dla m, to powinno być spełnione dla m+1 przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|4.32}} i definicji <MATH>_{h_{m+i}={{b-a}\over{2^{m+i}}}}\;</MATH>, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>I(f)-T_{m+1,i}=I(f)-T_{m,i+1}-{{T_{m,i+1}-T_{m,i}}\over{2^{2(m+1)}-1}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2^{2m+2}-1}}\left[2^{2m+2}\left(I(f)-T_{m,i+1}\right)-(I(f)-T_{m,i})\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2^{2m+2}-1}}\left[2^{2m+2}Ch_{m+(i+1)}^{2m+2}f^{(2m+2)}(\xi_2)-C2^{2m+2}h^{2m+2}_{(m+1)+i}f^{2m+2}(\xi_1)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{2^{2m+2}}\over{2^{2m+2}-1}}h_{(m+1)+i}^{2m+2}C\left[f^{(2m+2)}(\xi_2)-f^{(2m+2)}(\xi_2)\right]=C_2h_{(m+1)+i}^{2m+2}h_{(m+1)+i}^2f^{2(m+1)+2}(\xi)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= C_2h_{(m+1)+i}^{2(m+1)+2}f^{(2(m+1)+2)}(\xi)</MATH>|4.37}} W powyższym dowodzie przyjęto, że pochodna {{Formuła|<MATH>f^{(2m+3)}(\xi)={{f^{(2m+2)}(\xi_2)-f^{(2m+2)}(\xi_1)}\over{(\xi_2-\xi_1)}}\;</MATH>}} jest równa zero, bo wartości pochodnych f{{Sup|(2m+2)}}(&xi;) w punktach &xi;{{Sub|i}} i &xi;{{Sub|2}} są sobie równe, bo błąd kwadratury {{LinkWzór|4.34}} jest zależny od głównego czynnika {{Formuła|<MATH>h^{2(m+1)+2}_i\;</MATH>}}, zatem na podstawie tego i twierdzenia Lagrange'a pochodna f{{Sup|(2(m+1)+1)}} jest równa zero, zatem tylko pochodna f{{Sup|(2(m+1)+2)}}(&xi;) jest nie równa zero w tym naszym przypadku. Co kończy dowód twierdzenia {{LinkWzór|4.36}} na podstawie dowodu {{LinkWzór|4.37}}. == Całkowanie wielomianu interpolacyjnego Gaussa == Dotychczas rozpatrywaliśmy wielomiany interpolacyjnego, których kwadratury są określone przez wzór {{LinkWzór|4.6}} przy definicji A{{Sub|k}} {{LinkWzór|4.4}}. Były to kwadratury rzędu co najmniej N+1. Rozpatrzmy przy liczbie N, aby rząd kwadratury był najwyższy i wynosił 2(N+1). Taką kwadraturę nazywamy kwadraturą Gaussa, wtedy mamy do wyznaczenia 2(N+1) stałych do wyznaczenia. Tak więc problem sprowadza się do odpowiedniego wyboru węzłów w kwadraturze. Rozpatrzmy teraz wielomiany ortogonalne, czyli rozpatrzmy ciąg wielomianów {P{{Sub|n}}(x)}=P{{Sub|0}}(x), P{{Sub|1}}(x),...,P{{Sub|n}}(x), w którym n oznacza najwyższy numer wielomanu ortogonalnego. Wielomiany ortogonalne spełniają warunek ortogonalności przy wadze p(x), który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>(P_r,P_s)=\int_a^bp(x)P_r(x)P_s(x)dx\mbox{ dla }r\neq s\;</MATH>|4.38}} Rozpatrzmy twierdzenie mówiące o liczbie pierwiastków wielomianów ortogonalnych: {{Twierdzenie|tekst= Wielomiany ortogonalne P{{Sub|s}}(x) mają jednokrotne pierwiastki rzeczywiste należące do przedziału (a,b). }} {{Dowód|tekst= Niech pierwiastkami wielomianu P{{Sub|s}}(x) są pierwiastkami nieparzystej niejednokrotności, i oznaczmy te pierwiastki symbolami &xi;{{Sub|1}}, &xi;{{Sub|2}},..,&xi;{{Sub|n}}, i niech m<k, wtedy możemy zbudować wielomian W(x)=(x-&xi;{{Sub|1}})...(x-&xi;{{Sub|n}}), który możemy rozłożyć w bazie funkcji ortogonalnych P{{Sub|0}}(x),.., P{{Sub|m}}(x) wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>W(x)=a_0P_0(x)+...+a_mP_m(x)\;</MATH>|4.39}} Wtedy możemy napisać iloczyn skalarny, który z definicji wielomianów ortogonalnych {{LinkWzór|4.38}} jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>(W,P_k)=\sum_{i=0}^ma_i(P_i,P_k)=0\;</MATH>|4.40}} Z drugiej jednak strony wyrazenie {{LinkWzór|4.40}} jest większe od zera, bo P{{Sub|k}} posiada pierwiastki o nieparzystej krotności, także i W(x), zatem wyrażenie W(x)P{{Sub|k}}(x) posiada potęgi parzyste przy (x-&xi;{{Sub|i}}), wtedy powinno być (W,P{{Sub|k}})>0, zatem dochodzimy do sprzeczności, stąd wynika, że wielomian P{{Sub|k}}(x) posiada k pierwiastków jednokrotnych. }} {{Twierdzenie|tekst=&nbsp; * 1) Nie istnieje wielomian rzędu wyższego niż 2(N+1). * 2) Kwadratura określona wzorem {{LinkWzór|4.6}} poprzez współczynniki A{{Sub|k}} jest rzędu 2(N+1), gdy x{{Sub|k}} są pierwiastkami wielomianu P{{Sub|N+1}} dla ciągu wielomianów ortogonalnych {P{{Sub|n}}(x)}. }} {{Dowód|tekst= 1)Weźmy sobie wielomian <MATH>W(x)=\omega_{N+1}^2(x)\;</MATH>, który jest stopnia 2(N+1), który jest zdefiniowany o wielomian &omega;{{Sub|N+1}}=(x-{{Sub|0}})..(x-x{{Sub|N}}), wtedy możemy powiedzieć: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>I(W)=\int_a^bp(x)W(x)dx>0\;</MATH>|4.41}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>S(W)=\sum_{k=0}^NA_kW(x_k)=0\;</MATH>|4.42}} }} To {{LinkWzór|4.42}} jest równe zero dla &omega;{{Sub|n+1}} liczona w punktach x{{Sub|k}}, które są jego pierwiastkami tego wielomianu, dla którego kwadratura jest równa zero. Zatem mamy wielomian rzędu 2(N+1), dla których kwadratura {{LinkWzór|4.6}} jest niedokładna, stąd z definicji rzędu kwadratury jest ona rzędu 2(N+1). 2)Weźmy sobie wielomian W(x) stopnia niższego niż N+1, dalej rozłóżmy wielomian &omega;{{Sub|N+1}} w bazie funkcji ortogonalnych {P{{Sub|n}}(x)} dla a{{Sub|N+1}}&ne;0, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{N+1}(x)=a_0P_0(x)+...+a_{N+1}P_{N+1}(x)\;</MATH>|4.43}} A wielomian W(x) możemy rozłożyć w bazie funkcji ortogonalnych dla wielomianów co najwyżej rzędu N+1: {{CentrujWzór|<MATH>W(x)=a_0P_0(x)+..+a_NP_N(x)\;</MATH>|4.44}} Wtedy możemy napisać kwadraturę w postaci wzoru, dla której kwadratura jest dokładnie równa zero w punktach pierwiastków &omega;{{Sub|N+1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_a^bp(x)W(x)\omega_{N+1}dx=\sum_{k=0}^NA_kR(x_k)\;</MATH>|4.45}} Wtedy iloczyn skalarny wielomianu W(x) {{LinkWzór|4.44}} z wielomianem &omega;{{Sub|N+1}} {{LinkWzór|4.43}} w punktach pierwiastków rzeczywistych jednokrotnych wielomianu P{{Sub|k}}(x) jest równy zera, stąd mamy: {{CentrujWzór|<MATH>(W,\omega_{N+1})=(a_0P_0(x)+..+a_NP_N(x),a_0P_0(x)+...+a_{N+1}P_{N+1}(x))=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=a_0(P_0,P_0)+...+a_N(P_N,P_N)=0\;</MATH>|4.46}} Aby powyższe wyrażenie było zawsze równe zero, to współczynniki a{{Sub|k}} powinny być równe zero dla i=0,1,..,N, stąd wniosek, że funkcja {{LinkWzór|4.43}} powinna być równa: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{N+1}(x)=a_{N+1}P_{N+1}(x)\;</MATH>|4.47}} }} {{Twierdzenie|tekst= Współczynniki A{{Sub|k}} w kwadraturach są zawsze dodatnie. }} {{Dowód|tekst= Weźmy sobie wielomian stopnia 2N, który zawsze przyjmuje wartości nieujemne, a jego definicja jest dla i=0,1,..,N: {{CentrujWzór|<MATH>R(x)=\left[(x-x_0)^2...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_N)\right]^2\;</MATH>|4.48}} Na podstawie definicji kwadratury i nieujemności {{LinkWzór|4.48}} współczynniki A{{Sub|k}} są zawsze dodatnie, co pokazuje dowód: {{CentrujWzór|<MATH>0<\int_a^bp(x)R_i(x)dx=\sum_{k=0}^NA_kR_i(x_k)=A_iR_i(x_i)\;</math>|4.49}} Ponieważ R{{Sub|i}}(x{{Sub|i}}) jest zawsze nieujemne na mocy {{LinkWzór|4.48}}, to A{{Sub|i}} wedle {{LinkWzór|4.49}} jest dodatnie. }} Weźmy sobie punkty {{Formuła|<MATH>x_0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>x_1\;</MATH>}},..,{{Formuła|<MATH>x_N\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\tilde{x}_0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\tilde{x}_1\;</MATH>}},...,{{Formuła|<MATH>\tilde{x}_N\;</MATH>}}, takie że: {{Formuła|<MATH>x_k\neq\tilde{x}_k\;</math>}}, ale by zachodziło {{Formuła|<MATH>x_k\rightarrow\tilde{x}_k\;</MATH>}}, wtedy błąd interpolacyjny funkcji interpolującej względem funkcji interpolowanej wyrażamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|1.24|Interpolacja}}, zatem piszemy ją: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)-W_{2N+1}={{1}\over{(2N+2)!}}f^{(2N+2)}(\tilde{\xi})\omega^2_{N+1}(x)\;</MATH>|4.50}} Błąd kwadratury {{LinkWzór|4.6}}, przy pomocy wagi p(x), piszemy podobnym wzorem do {{LinkWzór|4.7}} dla wielomianu {{Formuła|<MATH>\omega_{N+1}^2(x)\;</MATH>}}, który jest rzędu 2N+2: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)={{1}\over{(2N+2)!}}f^{(2N+2)}(\xi)\int_a^bp(x)\omega^2_{N+1}(x)dx\;</MATH>|4.51}} === Wprowadzenie do kwadratur określonych w przedziale skończonym, a kwadratura Gaussa-Legendre'a === Będziemy tutaj określać kwadraturę przy wadze p(x)=1, którą nazywamy kwadraturą Gaussa-Legendre'a. Określamy teraz ciąg wielomianów Legendre'a jako: {{CentrujWzór|<MATH>P_n(x)={{1}\over{2^nn!}}{{d^n}\over{dx^n}}(x^2-1)^n\;</MATH>|4.52}} Wtedy współczynniki A{{Sub|n}} {{LinkWzór|4.4}} i błąd kwadratury Gaussa-Legendre'a określać będziemy wzorami dla -1<&xi;<1: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A_k={{2}\over{(N+1)P_{N+2}(x_k)P^'_{N+1}(x_k)}}\;</MATH>|4.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E(f)={{2^{2N+3}((N+1)!)^4}\over{(2N+3)((2N+2)!)^3}}f^{(2N+2)}(\xi)\;</MATH>|4.54}} }} Określmy teraz nową zmienną t, którą określamy względem przedziału <a,b>, którą określamy względem punktów "a" i "b" i zmiennej x określonej na przedziale <-1,1>: {{CentrujWzór|<MATH>t={{a+b}\over{2}}+{{b-a}\over{2}}x\;</MATH>|4.55}} Wtedy korzystając z definicji &omega;{{Sub|N+1}}, a także definicji całki na funkcję błędu E(f) określonych na przedziale <-1,1>, możemy poszerzyć funkcję błędu E(f) {{LinkWzór|4.54}} na przedziale <a,b> wychodząc od wzoru {{LinkWzór|4.54}}, co jest błędem kwadratury dla tego przedziału, wykorzystując przy tym fakt {{Formuła|<MATH>t_k={{a+b}\over{2}}+{{b-a}\over{2}}x_k</MATH>}} wynikającą z {{LinkWzór|4.55}}: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)={{1}\over{(2N+2)!}}f^{(2N+2)}(\xi)\int_a^b\omega_{N+1}^2(x)dx={{2^{2N+3}((N+1)!)^4}\over{(2N+3)((2N+2)!)^3}}f^{(2N+2)}(\xi)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{(2N+2)!}}f^{(2N+2)}(\xi)\int_{-1}^1\left[\left({{b-a}\over{2}}\right)^{N+1}\omega_{N+1}(t)\right]^2d{{b-a}\over{2}}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left({{b-a}\over{2}}\right)^{2N+3}{{1}\over{(2N+2)!}}f^{(2N+2)}(\xi)\int_{-1}^1\omega^2_{N+1}(x)dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left({{b-a}\over{2}}\right)^{2N+3}{{2^{2N+3}((N+1)!)^4}\over{(2N+3)((2N+2)!)^3}}f^{(2N+2)}(\xi)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{(b-a)^{2N+3}((N+1)!)^4}\over{(2N+3)((2N+2)!)^3}}f^{(2N+2)}(\xi)\mbox{ dla }a<\xi<b\;</MATH>|4.56}} === Całkowanie interpolacyjne dla przedziału skończonego, a kwadratura Gaussa-Jacobiego === Rozpatrzmy teraz kwadraturę Gauussa-Jacobiego przy normie z definiowanej p(x)=(1-x){{Sup|&alpha;}}(1+x){{Sup|&beta;}}, w którem parametry &alpha; i &beta; są większe niż minus jeden, wtedy możemy zdefiniować funkcję (wielomian) Gaussa-Jacobiego, które są wielomianami ortogonalnymi z powyższą wagą: {{CentrujWzór|<MATH>J_n(x,\alpha,\beta)={{(-1)^n}\over{2^nn!}}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}{{d^n}\over{dx^n}}\left[(1-x)^{\alpha+n}(1+x)^{\beta+n}\right]\;</MATH>|4.57}} Wtedy możemy zdefiniować współczynniki A{{Sub|k}} {{LinkWzór|4.4a}} kwadratury Gaussa-Jacobiego zależnego od N, &alpha;,&beta;: {{CentrujWzór|<MATH>A_k=-{{(2N+\alpha+\beta+4)\Gamma(N+\alpha+2)\Gamma(N+\beta+2)\cdot 2^{\alpha+\beta}}\over{(N+\alpha+\beta+2)\Gamma(N+\alpha+\beta+2)J_{N+1}(x_k,\alpha,\beta)J_{N+2}(x_k,\alpha,\beta)(N+2)}}\;</MATH>|4.58}} Funkcja błędu dla kwadratury Gaussa-Jacobiego przy normie p(x) wyżej podanej przedstawiamy w zależności od funkcji interpolowanej f(x): {{CentrujWzór|<MATH>E(f)={{\Gamma(N+\alpha+2)\Gamma(N+\beta+2)\Gamma(N+\alpha+\beta+2)(N+1)!2^{2N+\alpha+\beta+3}}\over{(2N+\alpha+\beta+3)[\Gamma(2N+\alpha+\beta+3)]^2(2N+2)!}}f^{(2N+2)}(\xi)\;</MATH>|4.59}} Powyższe wzory są słuszne dla &alpha;,&beta;>-1, ale dla &alpha;=&beta;=0 przechodzą one we wzory Gaussa-Legendre'a, bo wtedy norma p(x) jest równa jedności, przyjmują zaś one konkretne wartości uwzględniające osobliwości normy p(x) podanej powyżej. === Całkowanie interpolacyjne dla przedziału skończonego, a kwadratura Gaussa-Czybyszewa === W powyższych wzorach przyjmijmy &alpha;=&beta;=-1/2, wtedy powyżej zdefiniowana norma przechodzi w p(x)=(1-x{{Sup|2}}){{Sup|-1/2}}. Kwadratury z tak określoną wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa. Ciąg wielomianów ortogonalnych określamy przez {{LinkWzór|1.27|Interpolacja}}, wtedy węzły x{{Sub|k}} i współczynniki A{{Sub|k}} określamy przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x_k=\cos{{(2k+1)\pi}\over{2N+2}}\;</MATH>|4.60}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_k={{\pi}\over{N+1}}\;</MATH>|4.61}} }} === Całkowanie interpolacyjne dla przedziału nieskończonego === Omówimy tutaj zastosowanie całek Gaussa dla przedziału nieskończonego, czyli jednostronnie nieskończonego lub obustronnie. Rozpatrzmy tutaj normę p(x)=e{{Sup|-x}}, wtedy możemy zdefiniować wzory na wielomiany Laguerre'a, które określamy przy pomocy współczynnika n dla pierwszego rozważanego przypadku, czyli dla przedziału od zera do nieskończoności: {{CentrujWzór|<MATH>L_n(x)=(-1)^ne^x{{d^n}\over{dx^n}}\left(x^ne^{-x}\right)\;</MATH>|4.62}} Wtedy powyższa waga przy zbieżności całki <MATH>\int_0^{\infty}p(x)W(x)dx\;</MATH>, gdzie W(x) jest wielomianem dowolnego stopnia, wynika że całka określająca współczynniki A{{Sub|k}} jest zbieżna, wtedy możemy określić współczynniki A{{Sub|k}} i funkcję błędu zależnego od N i funkcji f: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A_k={{((N+1)!)^2}\over{L_{N+1}(x_k)L_{N+1}(x_k)}}\;</MATH>|4.63}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E(f)={{(N+1)!)^2}\over{(2N+2)!}}f^{(2N+2)}(\eta)\;</MATH>|4.64}} }} Omówimy tutaj kwadraturę dla przedziału obustronnie nieskończonego przy normie p(x)=e{{Sup|-x{{Sup|2}}}}, dla której zdefiniujemy ciąg wielomianów ortogonalnych zwanych wzorami Hermite'a: {{CentrujWzór|<MATH>H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}{{d^n}\over{dx^n}}e^{-x^2}\;</MATH>|4.65}} i przy których zdefiniujemy współczynniki A{{Sub|k}} i błąd dla kwadratury określonych przy pomocy wielomianów Hermite'a: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A_k={{2^{N+2}(N+1)!}\over{H^'_{N+1}(x_k)H_{N+2}(x_k)}}\;</MATH>|4.66}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E(f)={{(N+1)!\sqrt{\pi}}\over{2^{n+1}(2n+2)!}}f^{2N+2}(\eta)\mbox{ dla }\eta\in(-\infty,\infty)\;</MATH>|4.67}} }} ==Złożone metody całkowania interpolacyjnego Gaussa== Będziemy tutaj stosowali kwadratury Gaussa-Legendre'a, którego błąd kwadratury dla przedziału {{Formuła|<MATH>h={{b-a}\over{n}}\;</MATH>}}, który określamy na podstawie wzoru {{LinkWzór|4.56}}, pisaną: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)=n\left({{b-a}\over{n}}\right)^{2N+3}{{((N+1)!)^4}\over{(2N+3)((2N+2)!)^3}}{{1}\over{n}}\sum_{k=1}^nf^{(2N+2)}(\xi_k)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n\left({{b-a}\over{n}}\right)^{2N+3}{{((N+1)!)^4}\over{(2N+3)((2N+2)!)^3}}f^{(2N+2)}(\xi)\;</MATH>|4.68}} We wzorze {{LinkWzór|4.67}} przyjmijmy, że N=1 i n=m/2, gdy m parzyste, wtedy całkę funkcji f(x) w przedziale <a,b> po podziale na n części określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_a^bf(x)dx=\sum_{j=0}^{{{m}\over{2}}-1}\int_{a+2hj}^{a+2h(j+1)}f(x)dx\;</MATH>|4.69}} Wyznaczmy teraz pierwiastki wielomianu P{{Sub|N+1}}(x), który określamy poprzez wzór {{LinkWzór|4.52}}, wtedy jego pierwiastki wynoszą według obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>0=P_2(x)={{1}\over{4\cdot 2}}{{d^2}\over{dx^2}}(x^2-1)^2={{1}\over{4\cdot 2}}{{d^2}\over{dx^2}}(x^4-2x^2+1)={{1}\over{8}}{{d}\over{dx}}\left(4x^3-4x\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}\left(3x^2-1\right)\Rightarrow x=\pm{{1}\over{\sqrt{3}}}\;</MATH>|4.70}} Wyznaczmy czemu odpowiadają węzły w przedziale <a+2hj,a+2h(j+1)> na podstawie {{LinkWzór|4.55}} wiedząc, że węzły w przedziale <-1,1> są określone przez {{LinkWzór|4.70}}: {{CentrujWzór|<MATH>t_k={{a+2h(j+1)+a+2hj}\over{2}}+{{a+2h(j+1)-a-2hj}\over{2}}x_k={{2a+4hj+2h}\over{2}}+{{2h}\over{2}}x_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=a+2hj+h+hx_k=a+h(1+x_k+2j)\;</MATH>|4.71}} Wtedy kwadraturę złozoną Gaussa, gdy węzły w przedziale wyżej określone są według wzoru {{LinkWzór|4.71}}, piszemy na podstawie {{LinkWzór|4.69}}: {{CentrujWzór|<MATH>S(f)=h\sum_{j=0}^{{{m}\over{2}}-1}\left[f\left(a+h\left(1-1/\sqrt{3}+2j\right)\right)+f\left(a+h\left(1+1/\sqrt{3}+2j\right)\right)\right]\;</MATH>|4.72}} Wyznaczmy teraz błąd złożonej kwadratury Gaussa wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|4.68}} dla N=1 i n=m/2, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>E(f)=m/2\left({{b-a}\over{m/2}}\right)^{5}{{2^4}\over{5\cdot 24^3}}f^{(4)}(\xi)={{(b-a)^5}\over{270m^4}}f^{(4)}(\xi)\mbox{ dla }\xi\in(a,b)\;</MATH>|4.73}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0wbpoi9xasp23az1s8dophuv9jdu3gh 0 22215 558641 514211 2026-10-05T00:05:58Z Persino 2851 558641 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmowali rozwiązaniem algebraicznych układów równań, które możemy przedstawić w postaci macierzowej {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} jest macierzą o m wierszach i n kolumnach, a {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} jest wektorem o n-niewiadomych, i {{Formuła|<MATH>\mathbf{b}\;</MATH>}} jest wektorem o n wyrazach wolnych. Jeśli z tego równania macierzowego wyznaczymy wektor niewiadomych, to możemy wyznaczyć ten wektor znając macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} i macierz wyrazów wolnych. Jest to ścisły sposób wyznaczania wektora niewiadomych. Istnieją też numeryczne metody takiego wyznaczania wektora niewiadomych, które poniżej przedstawimy. == Wprowadzenie do pojęcia normy == Weźmy sobie przestrzeń {{Formuła|<MATH>\mathbf{R}^n\;</MATH>}}, którego elementami są wektory pionowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}=[x_1,x_2,..,x_n]^T\;</MATH>}}, wtedy możemy wprowadzić poszczególne normy inaczej zdefiniowane stosowanych w obliczeniach numerycznych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{x}||_1=|x_1|+|x_2|+..+|x_n|\;</MATH>|5.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{x}||_2=\left(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\right)^{1/2}\;</MATH>|5.2}} }} {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{x}||_{\infty}=\max\{|x_1|,|x_2|,..,|x_n|\}\;</MATH>|5.3}} Normy {{LinkWzór|5.1}}, {{LinkWzór|5.2}} i {{LinkWzór|5.3}} spełniają warunki poniżej dla dowolnego wektora należącego do n-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej, które to piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{x}||_{\infty}\leq ||\mathbf{x}||_2\leq ||\mathbf{x}||_1\leq\sqrt{n}||\mathbf{x}||_2\leq n||\mathbf{x}||_{\infty}\;</MATH>|5.4}} Określmy teraz macierz o m wierszach i n kolumnach, która może być traktowana jako operator przekształcający wektor należącej do n-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej na m-wymiarową przestrzeń rzeczywistą, wtedy możemy określić normę tej naszej omawianej macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}||_{pq}=\max_{\overset{x\in\mathbf{R}^n}{\underset{x\neq 0}{}}}{{||\mathbf{A}\mathbf{x}||_q}\over{||\mathbf{x}||_p}}\;</MATH>|5.5}} Symbole "p" i "q" oznaczają normy przedstawione w punktach {{LinkWzór|5.1}}, {{LinkWzór|5.2}} i {{LinkWzór|5.3}}, dla którego definicja normy macierzy jest przedstawiona w punkcie {{LinkWzór|5.5}}. Zdefiniujmy teraz trzy kolejne normy macierzy, podobne do definicji norm wektora {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} {{LinkWzór|5.1}}, {{LinkWzór|5.2}} i {{LinkWzór|5.3}}, tylko że ich definicje wyglądają: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}||_1=\max_{j=1,2,..,n}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|\;</MATH>|5.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}||_{\infty}=\max_{i=1,2,..,m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|\;</MATH>|5.7}} }} {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}||_{1\infty}=\max_{ij}|a_{ij}|\;</MATH>|5.8}} A także zdefiniujmy {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}||_2\;</MATH>}} jako największa wartość własną macierzy {{Formuła|<MATH>(\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{1/2}\;</MATH>}}. Wszystkie powyższe normy operatora {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} możemy obliczyć łatwo numerycznie, tylko {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}||_2\;</MATH>}} jest trudne do obliczenia. Przestrzeń z normą ||&sdot;||{{Sub|2}} używa sie go w eulkidesowej normy macierzy, które często są zwane normami Schura lub normami Frobeniusza, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}||_E=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}^2}\;</MATH>|5.9}} Wtedy możemy napisać warunek zgodności dla n-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej, do których należą elementy <MATH>\mathbf{x}\;</MATH>, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}\mathbf{x}||_2\leq ||\mathbf{A}||_E||\mathbf{x}||_2\;</MATH>|5.10}} Dla dowolnej macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} możemy powiedzieć, że zachodzi warunek, który jest zawsze prawdziwy: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}||_2\leq||A||_E\leq\sqrt{n}||A||_2\;</MATH>|5.11}} Dla dowolnych dwóch macierzy i dla dowolnej definicji normy możemy napisać twierdzenie dla dowolnych indeksów p,q,r, która jest również słuszna dla dowolnej normy: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}\mathbf{B}||_{pq}=\max_{\overset{x\in\mathbf{R}^n}{\underset{x\neq 0}{}}}{{||\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}||_{q}}\over{||\mathbf{x}||_{p}}}= \max_{\overset{x\in\mathbf{R}^n}{\underset{x\neq 0}{}}}{{||\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}||_{q}}\over{||\mathbf{B}\mathbf{x}||_{r}}}{{||\mathbf{B}\mathbf{x}||_{r}}\over{||\mathbf{x}||_{p}}}\leq \max_{\overset{x\in\mathbf{R}^n}{\underset{x\neq 0}{}}}{{||\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}||_{q}}\over{||\mathbf{B}\mathbf{x}||_{r}}} \max_{\overset{x\in\mathbf{R}^n}{\underset{x\neq 0}{}}}{{||\mathbf{B}\mathbf{r}||_{q}}\over{||\mathbf{x}||_{p}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=||\mathbf{A}||_{rq}||\mathbf{B}||_{pr}\Rightarrow ||\mathbf{A}\mathbf{B}||_{pq}\leq ||\mathbf{A}||_{rq}||\mathbf{B}||_{pr}\;</MATH>|5.12}} Również możemy powiedzieć {{Formuła|<MATH>||A||_{pr}\leq||A^'||_{pr}\;</MATH>}} z definicji macierzy podobnych, że normy macierzy podobnych mają równe wartości. Można też udowodnić, że jeśli &lambda;{{Sub|i}} jest jedną z wartości własnych macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, która może być również wartością zespoloną przy zdefiniowanej macierzy kwadratowej z pewną normą wektora nałożoną na macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, to możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}\mathbf{x}||=|\lambda_i|||\mathbf{x}||_p\Rightarrow ||\mathbf{A}||_{pr}||x||\geq|\lambda_i||x||_p\Rightarrow|\lambda_i|\leq||\mathbf{A}||_{pr}\;</MATH>|5.13}} Wykorzystując definicję normy {{Formuła|<MATH>||\cdot||_2\;</MATH>}}, możemy napisać wniosek przy pomocy normy zdefiniowanej na macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, wykorzystując twierdzenia {{LinkWzór|5.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}||_2^2\leq||\mathbf{A}^T\mathbf{A}|| _{\infty}\leq||\mathbf{A}^T||_{\infty}||\mathbf{A}||_{\infty}=||\mathbf{A}||_1||\mathbf{A}||_{\infty}\;</MATH>|5.14}} Zdefiniujemy teraz dwa lematy, który są dla nas ważne wykorzystując niektóre dowodu napisane powyżej: {{Lemat|jakie=pierwszy|tekst=J eśli norma macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{M}\;</MATH>}} spełnia warunek {{Formuła|<MATH>||\mathbf{M}_{n\times n}||< 1\;</MATH>}}, to macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{I}+\mathbf{M}\;</MATH>}} jest macierzą nieosobliwą spełniającej warunek dla p=1,2,&infin; przy {{Formuła|<MATH>\mathbf{I}\;</MATH>}} jako macierzy jednostkowej: {{CentrujWzór|<MATH>||(\mathbf{I}+\mathbf{M})^{-1}||_p\leq{{1}\over{1-||\mathbf{M}||_p}}\;</MATH>|5.15}} }} {{Dowód|tekst= Jeśli macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{I}+\mathbf{M}\;</MATH>}} byłaby macierzą osobliwą, to wtedy dla niezerowego {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} powinno być spełnione {{Formuła|<MATH>(\mathbf{I}+\mathbf{M})\mathbf{x}=0\;</MATH>}}, to wtedy z definicji normy powinien być spełniony warunek: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{x}||_p=||-\mathbf{M}\mathbf{x}||_p\leq||\mathbf{M}||_p||\mathbf{x}||_p\;</MATH>|5.16}} stąd dla dowolnej macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{M}\;</MATH>}} warunek {{LinkWzór|5.18}} z warunkiem lematu {{Formuła|<MATH>||\mathbf{M}||_p<1\;</MATH>}} nie jest spełniony, stąd otrzymaliśmy sprzeczność. Z definicji elementu odwrotnego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{I}+\mathbf{M})^{-1}(\mathbf{I}+\mathbf{M})=\mathbf{I}\Rightarrow (\mathbf{I}+\mathbf{M})^{-1}+(\mathbf{I}+\mathbf{M})^{-1}\mathbf{M}=\mathbf{I}\;</MATH>|5.17}} Z obliczeń napisanej w punkcie {{LinkWzór|5.17}} możemy napisać następujący wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>1=||\mathbf{I}||_p\geq||(\mathbf{I}+\mathbf{M})^{-1}||_p-||(\mathbf{I}+\mathbf{M})^{-1}||_p||\mathbf{M}||_p\Rightarrow||(\mathbf{I}+\mathbf{M})^{-1}||_p\leq{{1}\over{1-||\mathbf{M}||_p}}\;</MATH>|5.18}} }} Maksymalna wartość wartości własnej nazywamy promieniem spektralnym macierzy A i na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.15}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(A)\leq||\mathbf{A}||_p\mbox{ dla }p=1,2,\infty,E\;</MATH>|5.19}} {{Lemat|jakie=drugi|tekst= Dla każdej macierzy i dla liczby &epsilon; istnieje indukowana norma {{Formuła|<MATH>||\cdot||_p\;</MATH>}}, dla której zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{A}||_p\leq\rho(\mathbf{A})+\epsilon\;</MATH>|5.20}} }} {{Dowód|tekst= Niech &lambda; będzie jedną z największej wartości własnej, wtedy z definicji norm podanej powyżej dla macierzy zdiagonalizowanej, ta norma jej jest równa wartości własnej największej rozważanej macierzy, co stąd jeśli {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}^'||_{pr}\;</MATH>}} jest macierzą diagonalną, to możemy napisać z transformacji macierzy podobnych {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^'=\mathbf{U}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{U}\;</MATH>}}, to możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{U}^{-1}||_{pr}| ||\mathbf{A}||_{pr} ||U||_{pr}\geq||A^'||\Rightarrow k||\mathbf{A}||\geq||\mathbf{A}^'||</MATH>|5.21}} Przeprowadźmy teraz dowód poprzez zaprzeczenie. Załózmy, że {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}||\leq||\mathbf{A}^'||\;</MATH>}}, wtedy da się wybrać takie k, by nierówność {{LinkWzór|5.21}} była niespełniona, zatem {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}||\geq||\mathbf{A}^'||\;</MATH>}}. Analogicznie do {{LinkWzór|5.21}} da się napisać tożsamość przy tym samym k: {{CentrujWzór|<MATH>k||\mathbf{A}^'||\geq||\mathbf{A}||\;</MATH>|5.22}} Co przeprowadzając w dowodzie poprzez zaprzeczenie takie same wywody co dla {{LinkWzór|5.21}} dochodzimy do wniosku {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}^'||\geq||\mathbf{A}||\;</MATH>}}, wtedy łącząc te dwie nierówności otrzymujemy, że normy macierzy podobnych są sobie równe. }} {{Twierdzenie|jakie=drugie|tekst= Ciąg wektorów {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}, \mathbf{A}^2\mathbf{x},...,\mathbf{A}^i\mathbf{x},..</MATH>}} jest zbieżny do zera, wtedy i tylko wtedy gdy promień spektralny macierzy jest mniejszy od jedynki. }} {{Dowód|tekst= Udowodnijmy powyższe twierdzenie poprzez zaprzeczenie, zatem jeśli powyższy ciąg dąży zera, i promień spektralny jest większy lub równy niż zera, to powinno zachodzić na podstawie {{LinkWzór|5.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\lim_{i\rightarrow \infty}||\mathbf{A}^i\mathbf{x}||\leq\lim_{i\rightarrow\infty} ||\mathbf{A}||^i_p||\mathbf{x}||_p\geq\lim_{i\rightarrow\infty}\rho(\mathbf{A})^i||\mathbf{x}||_p\geq||\mathbf{x}||_p\;</MATH>|5.23}} Ponieważ według {{LinkWzór|5.23}} ciąg zależny od "i" dąży do zera i jednocześnie jest większy lub równy {{Formuła|<MATH>||\mathbf{x}||_p\;</MATH>}} dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}}, stad mamy sprzeczność. Udowodnijmy teraz twierdzenie odwrotne, jeśli ciąg jest rozbieżny od zera i promień spektralny jest mniejszy od zera dla dowolnie małego &epsilon;, to na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.20}} powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{i\rightarrow\infty} ||\mathbf{A}^i\mathbf{x}||\leq\lim_{i\rightarrow\infty} ||\mathbf{A}||^i_p||\mathbf{x}||_p\leq\lim_{\overset{i\rightarrow\infty}{\underset{\epsilon\rightarrow 0}{}}}(\rho(\mathbf{A})+\epsilon)^i=0\;</MATH>|5.24}} Stąd jeśli rozważany ciąg jest zbieżny do zera według obliczeń {{LinkWzór|5.24}}, to nie jest jednocześnie rozbieżny, stąd sprzeczność, więc udowodniane twierdzenie jest prawdziwe. }} == Błędy rozwiązań układów równań algebraicznych == '''Przypadek pierwszy''' Weźmy sobie zamiast {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} wielkości {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}+\delta\mathbf{A}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}+\delta\mathbf{x}\;</MATH>}}, wtedy równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}} możemy zapisać przy {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{A}\;</MATH>}} wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}(\mathbf{x}+\delta\mathbf{x})=\mathbf{b}+\delta\mathbf{b}\Rightarrow\delta x=\mathbf{A}^{-1}\delta\mathbf{b}\;</MATH>|5.25}} Dla dowolnej normy wektora zaburzenia zapisany przy pomocy normy macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} dla równania macierzowego {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}} możemy zapisać {{Formuła|<MATH>||\delta\mathbf{x}||_p=||\mathbf{A}^{-1}||_{pq}||\delta\mathbf{b}||_q\;</MATH>}}, wtedy względne zaburzenie wielkości {{Formuła|<MATH>\delta \mathbf{x}\;</MATH>}} możemy zapisać przez względną zmianę wielkości {{Formuła|<MATH>\mathbf{b}\;</MATH>}}, co daje nam w rezultacie przy oznaczeniu wielkości k: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{x}||_p}\over{||\mathbf{x}||_p}}\leq\underbrace{{{||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}||\mathbf{b}||_{q}}\over{||\mathbf{x}||_p}}}_k{{||\delta \mathbf{b}||_q}\over{||\mathbf{b}||_q}}=k{{||\delta \mathbf{b}||_q}\over{||\mathbf{b}||_q}}\;</MATH>|5.26}} Wtedy w {{LinkWzór|5.26}} zachodzi równość tylko dla ściśle określonego {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{b}\;</MATH>}}, a nierówność słaba dla {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{b}\;</MATH>}}, który należy od n-wymiarowej przestrzeni rzeczywistej. Jeśli skorzystamy z rozważanego równania macierzowego, wtedy definicję na czynnik "k" możemy przepisać w formie niezależącego od wektora zmiennych {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} w postaci pewnej nierówności: {{CentrujWzór|<MATH>k={{||\mathbf{A}^{-1}||_{pq}||\mathbf{A}\mathbf{x}||_q}\over{||\mathbf{x}||_p}}\leq||\mathbf{A}^{-1}||_{pq}||\mathbf{A}||_{pq}=K_{pq}\;</MATH>|5.27}} Liczbę K{{Sub|pq}} będziemy nazywać wskaźnikiem uwarunkowania równania macierzowego {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}}, który symbolizuje pewien układ równań. '''Przypadek drugi''' Niech dalej {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{b}=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{A}\neq 0\;</MATH>}}, wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{A}+\delta\mathbf{A})(\mathbf{x}+\delta\mathbf{x})=\mathbf{b}\Rightarrow\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{A}\delta\mathbf{x}+\delta\mathbf{A}\mathbf{x}+\delta\mathbf{A}\delta\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow\mathbf{A}\delta\mathbf{x}+\delta\mathbf{A}\mathbf{x}=0\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\delta\mathbf{x}=-\mathbf{A}^{-1}\delta\mathbf{A}\mathbf{x}\Rightarrow||\delta\mathbf{x}||_p\leq||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}||\delta\mathbf{A}||_{pq}\cdot||\mathbf{x}||_p=\underbrace{||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}\cdot||\mathbf{A}||_{pq}}_k\cdot||\mathbf{x}||_{p}{{||\delta\mathbf{A}||_{pq}}\over{||\mathbf{A}||_{pq}}}\;</MATH>|5.28}} Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|5.28}} dochodzimy do wniosku przy odpowiedniej definicji k, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{x}||_p}\over{||\mathbf{x}||_p}}\leq k{{||\delta\mathbf{A}||_{pq}}\over{||\mathbf{A}||_{pq}}}\;</MATH>|5.29}} Określmy jaka jest graniczna wartość współczynnika wzmocnienia k{{Sub|0}}, jako wielkości granicznej współczynników k określonych we wzorze {{LinkWzór|5.28}} jako czynnik, takiego że zachodzi równość {{LinkWzór|5.29}} dla ściśle określonego {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{A}\;</MATH>}}, która dla każdej tej wielkości zachodzi w ogólności nierówność słaba, takiego że: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{A}||}\over{||\mathbf{A}||}}\leq\delta\;</MATH>|5.30}} * gdy zachodzi &delta;→0. Teraz będziemy wyznaczać oszacowanie wielkości k{{Sub|0}}, które wyznaczymy poniżej Weźmy sobie do rozważenia równość, którą jest tożsamościowo równa zero, i ją zapisujemy sposobem: {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{x},\mathbf{A})=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{b}=0\;</MATH>}}. Weźmy sobie wektor {{Formuła|<MATH>\mathbf{a}\;</MATH>}}, który przepiszemy w postaci: {{Formuła|<MATH>\mathbf{a}=[a_{11},a_{21},...,a_{n1},a_{12},a_{22},...,a_{n2},..,a_{n1},a_{n2},...,a_{nn}]^T\;</MATH>}}. Mając sobie funkcję {{Formuła|<MATH>F(\mathbf{x},\mathbf{a})=0\;</MATH>}}, to wtedy na podstawie różniczki zupełnej tejże funkcji możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial F(\mathbf{x},\mathbf{a})}\over{\partial\mathbf{x}}}\delta\mathbf{x}+{{\partial F(\mathbf{x},\mathbf{a})}\over{\partial\mathbf{a}}}\delta\mathbf{a}=F_x(\mathbf{x},\mathbf{a})d\mathbf{a}+F_a(\mathbf{x},\mathbf{a})\delta\mathbf{a}\Rightarrow{{\delta\mathbf{x}}\over{\delta\mathbf{a}}}=-[F_x(\mathbf{x},\mathbf{a})]^{-1}F_a(\mathbf{x},\mathbf{a})\;</MATH>|5.31}} wtedy możemy napisać wielkość {{Formuła|<MATH>F_x(\mathbf{x},\mathbf{a})=\mathbf{A}\;</MATH>}}, która jest macierzą nieosobliwą, a {{Formuła|<MATH>F_x(\mathbf{x},\mathbf{a})=[x_1\mathbf{I},x_2\mathbf{I},...,x_n\mathbf{I}]\;</MATH>}}, zatem po wykorzystaniu tożsamości na {{Formuła|<MATH>F_a(\mathbf{x},\mathbf{a})\;</MATH>}} i na {{Formuła|<MATH>F_x(\mathbf{x},\mathbf{a})\;</MATH>}}, wtedy różniczkę wielkości {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}} możemy przepisać w następującej formie: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\mathbf{x}=-[x_1\mathbf{A}^{-1},x_2\mathbf{A}^{-1},...,x_n\mathbf{A}^{-1}]\delta\mathbf{a}+O(||\delta\mathbf{a}||)\;</MATH>|5.32}} Z definicji normy możemy napisać oszacowanie czynnika stojącego przy {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{a}\;</MATH>}} występującego we wzorze {{LinkWzór|5.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>||[x_1\mathbf{A}^{-1},x_2\mathbf{A}^{-1},..,x_n\mathbf{A}^{-1} ]||_{1\infty}=\max_{i,j,k}|x_ka_{ijk}^{-1}|=||\mathbf{x}||_{\infty}||\mathbf{A}^{-1}||_{1\infty}\;</MATH>|5.33}} stąd możemy napisać oszacowanie wielkości {{Formuła|<MATH>{{||\delta\mathbf{x}||_{\infty}}\over{||\mathbf{x}||_{\infty}}}\;</MATH>}} poprzez wielkość {{Formuła|<MATH>{{||\delta\mathbf{a}||_{\infty}}\over{||\mathbf{A}||_{1\infty}}}\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{x}||_{\infty}}\over{||\mathbf{x}||_{\infty}}}\leq\underbrace{||\mathbf{A}^{-1}||_{1\infty}||\mathbf{A}||_{1\infty}}_{k_0}{{||\delta\mathbf{a}||_1}\over{||\mathbf{A}||_{1\infty}}}+O(||\delta\mathbf{a}||)\;</MATH>|5.34}} Czynnik stojący przy k{{Sub|0}} możemy wyrazić przy pomocy definicji normy wektora {{LinkWzór|5.1}}, a także normy macierzy {{LinkWzór|5.8}} w sposób {{Formuła|<MATH>{{\delta\mathbf{a}||_1}\over{||\mathbf{A}||_{1\infty}}}={{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|\delta a_{ij}|}\over{\max_{ij}|a_{ij}|}}\;</MATH>}}, a k{{Sub|0}} oblicza się jako iloczyn norm macierzy macierzy A i jego odwrotności przy normie {{LinkWzór|5.8}}, który jest iloczynem maksymalnych wartości modułów elementów macierzowych macierzy A i jego odwrotności. '''Przypadek trzeci''' Weźmy sobie, że różniczki wyrazów wolnych {{Formuła|<MATH>\mathbf{b}\;</MATH>}} i macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, które są nierówne zero, a macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}+\delta\mathbf{A}\;</MATH>}} jest macierzą nieosobliwą, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{A}+\delta\mathbf{A})(\mathbf{x}+\delta\mathbf{x})=\mathbf{b}+\delta\mathbf{b}\Rightarrow(\mathbf{A}+\delta\mathbf{A})\mathbf{x}+(\mathbf{A}+\delta\mathbf{A})\delta\mathbf{x}=\mathbf{b}+\delta\mathbf{b}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\delta\mathbf{A}\mathbf{x}+(\mathbf{A}+\delta\mathbf{A})\delta\mathbf{x}=\delta\mathbf{b}\Rightarrow \delta\mathbf{x}=\left(1+\mathbf{A}^{-1}\delta\mathbf{A}\right)^{-1}\mathbf{A}^{-1}\left(\delta\mathbf{b}-\delta\mathbf{A}\mathbf{x}\right)\;</MATH>|5.35}} Względny błąd wielkości {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{x}\;</MATH>}} możemy napisać po wykorzystaniu równania macierzowego {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}}, którą wykorzystamy do wyliczenia nierówności drugiej poniżej występującego w nawiasie po prawej stronie jako drugi czynnik w pierwszym składniku, które jest zawsze mniejsze od jedynki według dowodu {{Formuła|<MATH>{{||\mathbf{b}||_q}\over{||\mathbf{x}||_p||\mathbf{A}||_{pq}}}={{||\mathbf{A}\mathbf{x}||_{q}}\over{||\mathbf{x}||_p||\mathbf{A}||_{pq}}}\leq 1\;</MATH>}}, a także z małości zaburzenia {{Formuła|<MATH>\delta\mathbf{A}\;</MATH>}} będziemy mogli zapisać {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}^{-1}||\cdot||\delta\mathbf{A}||=\rho<1\;</MATH>}}, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{x}||_p}\over{||\mathbf{x}||_p}}\leq{{1}\over{1-||\mathbf{A}^{-1}\delta\mathbf{A}||_{pq}}}||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}\cdot||\mathbf{A}||_{pq}\left({{||\delta \mathbf{b}||_q}\over{||\mathbf{A}||_{pq}\cdot||\mathbf{x}||_p}}+{{||\delta\mathbf{A}||_{pq}}\over{||\mathbf{A}||_{pq}}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{||\delta\mathbf{x}||_p}\over{||\mathbf{x}||_p}}\leq{{1}\over{1-||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}\cdot||\delta\mathbf{A}||_{pq}}}||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}\cdot||\mathbf{A}||_{pq}\left({{||\delta\mathbf{b}||_q}\over{||\mathbf{b}||_q}}{{||\mathbf{b}||_q}\over{||\mathbf{x}||_p||\mathbf{A}||_{pq}}}+{{||\delta\mathbf{A}||_{pq}}\over{||\mathbf{A}||_{pq}}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{||\delta\mathbf{x}||_p}\over{||\mathbf{x}||_p}}\leq{{1}\over{1-||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}\cdot||\delta\mathbf{A}||_{pq}}}||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}\cdot||\mathbf{A}||_{pq}\left({{||\delta\mathbf{b}||_q}\over{||\mathbf{b}||_q}}+{{||\delta\mathbf{A}||_{pq}}\over{||\mathbf{A}||_{pq}}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{||\delta\mathbf{x}||_p}\over{||\mathbf{x}||_p}}\leq{{1}\over{1-\rho}}||\mathbf{A}^{-1}||_{qp}\cdot||\mathbf{A}||_{pq}\left({{||\delta\mathbf{b}||_q}\over{||\mathbf{b}||_q}}+{{||\delta\mathbf{A}||_{pq}}\over{||\mathbf{A}||_{pq}}}\right)\;</MATH>|5.36}} == Układy równań algebraicznych o trójkątnej macierzy == Weźmy sobie układ równań, w której wszystkie wyrazy na diagonalnej są różne od zera, to możemy wyznaczyć zmienną <MATH>\mathbf{x}\;</MATH> wykonując małą liczbę działań arytmetycznych i dla małych błędów zaokrągleń przy wyznaczaniu poszczególnych elementów wspomnianego wektora, zatem ten nasz układ równań piszemy: {{Wzór|wzór={{DivLinia}} : a{{Sub|11}}x{{Sub|1}}+a{{Sub|12}}x{{Sub|2}}+...+a{{Sub|1n}}x{{Sub|n}}=b{{Sub|1}} : {{Span|styl=color:white|..........}}a{{Sub|22}}x{{Sub|2}}+...+a{{Sub|2n}}x{{Sub|n}}=b{{Sub|2}} : ........................................ : {{Span|styl=color:white|.........................}}a{{Sub|nn}}x{{Sub|n}}=b{{Sub|n}}|uchwyt=5.37}} Poszczególne elementy zmiennych x{{Sub|k}} możemy policzyć z poniższych wzorów: {{Wzór|<MATH>x_n={{b_n}\over{a_{nn}}}\;</MATH>{{Br}} <MATH>x_{n-1}={{b_{n-1}-a_{n-1n}x_n}\over{a_{n-1n-1}}}\;</MATH>{{Br}} <MATH>x_i={{b_i-a_{in}x_n-...-a_{ii+1}x_{i+1}}\over{a_{ii}}}\mbox{ dla }i=n-1,n-2,..,1\;</MATH>|5.38}} Patrząc na powyższy układ równań można powiedzieć, że dla i=n jest wykonywane jedno dzielenie lub mnożenie, a dla i=n-1 jest wykonywane jedno mnożenie i jedno dzielenie, czyli dwa mnożenia i dzielenia, a przy x{{Sub|1}} jest wykonywanych n dzieleń i mnożeń, wtedy ilość dzieleń i mnożeń jest: {{CentrujWzór|<MATH>M=1+2+3+..n={{1+n}\over{2}}n={{1}\over{2}}n^2+{{1}\over{2}}n\;</MATH>|5.39}} Dla układu rozwiązań x{{Sub|i}} {{LinkWzór|5.34}} dla x{{Sub|n}} mamy zero dodawań i odejmowań, dla x{{Sub|n-1}} mamy jedno dodawanie lub odejmowanie, dla x{{Sub|1}} mamy n-1 dodawań lub odejmowań, zatem liczba wszystkich dodawań lub odejmowań jakie należy wykonać jest: {{CentrujWzór|<MATH>D=0+1+2+...+n -1={{0+n-1}\over{2}}n={{1}\over{2}}n^2-{{1}\over{2}}n\;</MATH>|5.40}} Jeśli będziemy wykonywali działania na komputerze, jeśli nie możemy wsadzić w miejsce wektora {{Formuła|<MATH>\mathbf{b}\;</MATH>}} wektora {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}}, to liczba komórek zajętych dla i=n jest 3, dla i=n-1 jest 4, i idać dalej dochodzimy aż do i=1 jest n+2 zajętych komórek pamięci, zatem liczba wszystkich komórek zajętych jest: {{CentrujWzór|<MATH>P=3+4+...n+2={{3+n+2}\over{2}}n={{n+5}\over{2}}n={{1}\over{2}}n^2+{{5}\over{2}}n\;</MATH>|5.41}} Wzory {{LinkWzór|5.38}} możemy napisać z odpowiednim przybliżeniem uwzględniając, że wielkości x{{Sub|i}} i b{{Sub|i}} są napisane z pewnym zaokrągleniem: {{CentrujWzór|<MATH>|\delta a_{ij}|\leq\epsilon\begin{bmatrix} n|a_{11}|&(n+2)|a_{1,2}|&\cdots&4|a_{1,n-1}|&3|a_{1.n}|\\ 0& (n-1)|a_{2,2}|&\cdots&4|a_{1,n-1}|&3|a_{1.n}|\\ \vdots &\vdots &\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&2|a_{n-1,n-1}&3|a_{n-1,n}|\\ 0&0&\cdots&0&1|a_{nn}|\end{bmatrix}\;</MATH>|5.42}} Powyższa macierzowa "nierówność" stanowi układ 1+2+3+..+n=n(n+1)/2 nierówności. Z powyższego oszacowania możemy wyedukować, że dla dowolnej normy p=1,&infin;,E spełniona jest zawsze nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>||\delta\mathbf{A}||_p\leq\epsilon(n+2)||\mathbf{A}||_p\;</MATH>|5.43}} Jeśli wiadomo, że oszacowanie elementów macierzy {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}||\;</MATH>}} z definicji normy ||&sdot;||{{Sub|1&infin;}} od góry jest {{Formuła|<MATH>||\mathbf{A}||_{1\infty}\leq g\;</MATH>}}, wtedy macierz błędu z normą ||&sdot;||{{Sub|1}} i ||&sdot;||{{Sub|&infin;}} możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||\delta\mathbf{A}||_1\leq\epsilon\left({{1}\over{4}}n^2+{{5}\over{2}}n\right)g\;</MATH>|5.44}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\delta\mathbf{A}||_{\infty}\leq\epsilon\left({{1}\over{2}}n^2+{{5}\over{2}}n-2\right)g\;</MATH>|5.45}} }} Wprowadźmy definicję macierzy A diagonalnie dominującej, których moduły elementów na diagonali są większe od sumy elementów macierzy stojącej w danym wierszu bez elementu na diagonali. Jest to macierz spełniającej warunek dla i=1,2,...,n: {{CentrujWzór|<MATH>|a_{ii}|\geq\sum_{\overset{k=1}{\underset{k\neq i}{}}}^n|a_{ik}|\;</MATH>|5.46}} Macierzą silnie diagonalnie dominującą nazywamy taką macierz A o stopniu n, w której w {{LinkWzór|5.46}} występuje nierówność ostra. Macierz (silnie) diagonalnie dominująca kolumnowo nazywamy macierz, dla której A{{Sup|T}} jest (silnie) diagonalnie dominująca, tzn. gdy spełniony jest warunek dla i=1,2,...,n: {{CentrujWzór|<MATH>|a_{ii}|\geq(>)\sum_{\overset{k=1}{\underset{k\neq i}{}}}^n|a_{ki}|\;</MATH>|5.47}} Macierz {{Strong|A}} generowana przez {{LinkWzór|5.37}} nazywamy diagonalnie dominującą, gdy spełniony jest warunek pierwszy poniżej, a także ta macierz jest diagonalnie dominująca kolumnowo, gdy spełniony jest drugi warunek poniżej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||\delta\mathbf{A}^{(z)}||_{\infty}\leq\epsilon(2n+2)g\;</MATH>|5.48}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\delta\mathbf{A}^{(z)}||_1\leq\epsilon(2n+1)g\;</MATH>|5.49}} }} == Rozwiązania równań liniowych metodą eliminacji Gaussa == Będziemy rozwiązywać układ równań liniowych z pełną macierzą {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, i doprowadzać ten układ równań do postaci trójkątnej, czyli przy wykorzystaniu równań {{LinkWzór|5.38}}, by później obliczyć jej poszczególne zmienne. Na sam początek określmy równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}\mathbf{b}=\mathbf{b}^{(1)}\;</MATH>}}, które możemy przepisać w postaci układu równań: {{CentrujWzór|<MATH>a_{11}^{(1)}x_1+a_{12}^{(1)}x_2+...+a_{1n}^{(1)}x_n=b_1^{(1)}\;</MATH>{{Br}} <MATH>a_{21}^{(1)}x_1+a_{22}^{(1)}x_2+...+a_{2n}^{(1)}x_n=b_2^{(1)}\;</MATH>{{Br}} ..........................................................{{Br}} <MATH>a_{n1}^{(1)}x_1+a_{n2}^{(1)}x_2+...+a_{nn}^{(1)}x_n=b_n^{(1)}\;</MATH>|5.50}} Odejmijmy i-te równanie i>1 od pierwszego równania pomnożonego przez <MATH>a_{i1}^{(1)}/a_{11}^{(1)}\;</MATH> układu równań {{LinkWzór|5.46}}, w ten sposób otrzymujemy równanie macierzowe <MATH>\mathbf{A}^{(2)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(2)}\;</MATH>, co po rozpisaniu jego na układ równań, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>a_{11}^{(2)}x_1+a_{12}^{(2)}x_2+...+a_{1n}^{(2)}x_n=b_1^{(2)}\;</MATH>{{Br}} <MATH>a_{22}^{(2)}x_2+...+a_{2n}^{(2)}x_n=b_2^{(2)}\;</MATH>{{Br}} ..........................................................{{Br}} <MATH>a_{n2}^{(2)}x_2+...+a_{nn}^{(2)}x_n=b_n^{(2)}\;</MATH>|5.51}} W powyższych równaniu wyeliminowaliśmy zmienną x{{Sub|1}} dla równania o numerze więcej niż pierwszy. Idąc dalej tym sposobem od równania i>2 odejmujemy od równania drugiego pomnożonej przez {{Formuła|<MATH>a_{i2}^{(2)}/a_{22}^{(1)}\;</MATH>}}, w ten sposób otrzymujemy układ macierzowy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(3)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(2)}\;</MATH>}}. Dokonując tą metodę dalej według schematu podanego powyżej otrzymujemy na samym końcu równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(n)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(n)}\;</MATH>}}, które zapisujemy w postaci układu równań: {{CentrujWzór|<MATH>a_{11}^{(n)}x_1+a_{12}^{(n)}x_2+...+a_{1n}^{(2)}x_n=b_1^{(n)}\;</MATH>{{Br}} <MATH>a_{22}^{(n)}x_2+...+a_{2n}^{(n)}x_n=b_2^{(n)}\;</MATH>{{Br}} ..........................................................{{Br}} <MATH>a_{nn}^{(n)}x_n=b_n^{(n)}\;</MATH>|5.52}} W uzyskanym układzie równań {{LinkWzór|5.52}} rozwiązujemy x{{Sub|i}} metodą {{LinkWzór|5.38}} dla macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} trójkątnej. Liczba mnożeń i dzieleń jakie należy wykonać dla układu równań {{LinkWzór|5.50}}, by uzyskać macierz trójkątna {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} dla układu równań {{LinkWzór|5.48}} jest w ilości kroków: {{CentrujWzór|<MATH>D=\sum_{i=0}^{n-1}(n+1-i)(n-1-i)=\sum_{i=1}^n(i+1)(i-1)=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{i=1}^n 1={{n^3}\over{3}}+{{n^2}\over{2}}+{{n}\over{6}}-n=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{n^3}\over{3}}+{{1}\over{2}}n^2-{{5}\over{6}}n\;</MATH>|5.53}} Powyższy rozwiązanie należy uzyskać, jeśli dla pierwszego kroku należy wykonać dzielenie {{Formuła|<MATH>a_{i1}^{(1)}/a_{11}^{(1)}\;</MATH>}}, które jest jedno, i wymnożenie jej przez n wyrazów pierwszego równania układu równań {{LinkWzór|5.50}} poczynając od drugiego (bo pierwszy składnik chociaż jest wymnażany przez tą liczbę, ale tylko służy do wyzerowania pierwszego składnika w równania drugiego), tych dzieleń i mnożeń w sumie jest n+1, dla i=2,..,n, to aby przejść do układu równań {{LinkWzór|5.51}} należy wykonać dodawań i mnożeń w ilości (n+1)(n-1), aby przejść od układu równań oznaczonej "i" na do i+1 należy wykonać działań (n+1-i)(n-1-i), czyli w sumie mamy takich naszych działań {{LinkWzór|5.53}}. Liczba dodawań i dzieleń jakie układ musi wykonać by układ {{LinkWzór|5.50}} doprowadzić do postaci trójkątnej jest: {{CentrujWzór|<MATH>D=\sum_{i=0}^{n-1}(n-i)(n-1-i)=\sum_{i=1}^ni(i-1)=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{i=1}^n i={{n^3}\over{3}}+{{n^2}\over{2}}+{{n}\over{6}}-{{n}\over{2}}-{{n^2}\over{2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{n^3}\over{3}}-{{1}\over{3}}n\;</MATH>|5.54}} Powyższe rozwiązanie możemy uzyskać, gdy dla pierwszego układu równań przejdziemy do drugiego układu równań, to wtedy należy wykonać n(n-1) działań, to aby przejść z układu równań i-tego do i+1-ego, to należy wykonać (n-i)(n-1-i) dodawań, odejmowań, zatem całkowita ilość dodawań i odejmowań aby układ był w postaci trójkątnej jest uzyskana równaniem {{LinkWzór|5.54}}. Powyższy sposób przeprowadziliśmy bez ujawniania jawnego operacji macierzowych, tylko powiedzieliśmy co dokonaliśmy na poszczególnych równaniach, do tego problemu podejdźmy z innej strony, tzn. za pomocą operacji macierzowych, aby przejść do równoważnych równań macierzowych z {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(1)}\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(2)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(2)}\;</MATH>}}, to pierwsze z tych równań macierzowych należy pomnożyć obustronnie lewostronnie przez macierz: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}^{(1)}=\begin{bmatrix} 1&0&0&\vdots&0\\ -l_{21}&0&0&\vdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -l_{n1}&0&0&\cdots&1\\ \end{bmatrix}\mbox{ dla }l_{i1}={{a_{i1}^{(1)}}\over{a_{11}^{(1)}}}\mbox{, }i=2,3,..n\;</MATH>|5.55}} Przy pomocy macierzy podanej w podpunkcie {{LinkWzór|5.55}} możemy pomnożyć początkowe równanie macierzowe lewostronnie {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(1)}\;</MATH>}}, w ten sposób uzyskując równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}^{(1)}\mathbf{A}^{(1)}\mathbf{x}=\mathbf{L}^{(1)}\mathbf{b}^{(1)}\;</MATH>}}. By otrzymać równość macierzową {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}^{(3)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(3)}\;</MATH>}}, to drugie równanie macierzowe należy pomnożyć obustronnie lewostronnie przez macierz: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}^{(2)}=\begin{bmatrix} 1&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&-l_{32}&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&-l_{n2}&0&\cdots&1 \end{bmatrix}\mbox{ dla }l_{i1}={{a_{i2}^{(1)}}\over{a_{22}^{(1)}}}\mbox{, }i=3,4,..n\;</MATH>|5.56}} Macierz końcową {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(n)}\;</MATH>}}, która jest macierzą trójkątną, to by go otrzymać należy macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}\;</MATH>}} wymnożyć lewostronnie przez macierze {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}^{(i)}\;</MATH>}}, gdzie i=2,3,..n, a także to samo robimy uzyskując wektor wyrazów wolnych {{Formuła|<MATH>\mathbf{b}^{(n)}\;</MATH>}}, co je napiszemy w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(n)}=\mathbf{L}^{(n-1)}\mathbf{L}^{(n-2)}...\mathbf{L}^{(1)}\mathbf{A}^{(1)}\;</MATH>|5.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{b}^{(n)}=\mathbf{L}^{(n-1)}\mathbf{L}^{(n-2)}...\mathbf{L}^{(1)}\mathbf{b}^{(1)}\;</MATH>|5.58}} }} Ponieważ macierze {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}^{i)}\;</MATH>}} są macierzami nieosobliwymi, wtedy możemy równanie {{LinkWzór|5.57}} równoważnie zapisać na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}=(\mathbf{L}^{(1)})^{-1}(\mathbf{L}^{(2)})^{-1}...(\mathbf{L}^{(n-1)})^{-1}\mathbf{A}^{(n)}\;</MATH>|5.59}} Można udowodnić, że odwrotności macierzy {{LinkWzór|5.55}} i {{LinkWzór|5.56}}, czyli macierze {{Formuła|<MATH>(\mathbf{L}^{(1)})^{-1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(\mathbf{L}^{(2)})^{-2}\;</MATH>}}, zapisujemy w formie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{L}^{(1)})^{-1}=\begin{bmatrix} 1&0&0&\vdots&0\\ l_{21}&0&0&\vdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ l_{n1}&0&0&\cdots&1\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|5.60}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{L}^{(2)})^{-1}=\begin{bmatrix} 1&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&l_{32}&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&l_{n2}&0&\cdots&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|5.61}} }} Możemy również powiedzieć, że iloczyn odwrotności macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}^{(i)}\;</MATH>}} dla i=1,...,n-1 możemy zapisać przy pomocy liczb l{{Sub|ij}} w formie: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{L}^{(1)})^{-1}(\mathbf{L}^{(2)})^{-1}...(\mathbf{L}^{(n-1)})^{-1}=\begin{bmatrix} 1&0&0&\cdots&0\\ l_{21}&1&0&\cdots&0\\ l_{31}&l_{32}&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ l_{n1}&l_{n2}&l_{n3}&\cdots&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|5.62}} Oznaczmy macierz oznaczoną {{LinkWzór|5.62}} przez {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}}, a macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(n)}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\;</MATH>}}, wtedy wyrażenie macierzowe {{LinkWzór|5.59}} zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}=\mathbf{L}\mathbf{U}\;</MATH>|5.63}} Macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}} przedstawiona powyżej jest macierzą trójkątną dolną. Równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}} zapisujemy w formie {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{b} \;</MATH>}}, co można zapisać po przekształceniu {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{L}^{-1}\mathbf{b}=\mathbf{b}^{(n)}\;</MATH>}}, co jest równoważne rozwiązaniu układu równań macierzowych {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{b}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}\;</MATH>}}, z których będziemy szukali rozwiązania {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}\;</MATH>}}. Jeśli znamy macierz LU, to ilość mnożeń jakich należy dokonać przy wyznaczeniu wektora "x" jest wyrażona przez {{Formuła|<MATH>M={{1}\over{2}}n(n-1)+{{1}\over{2}}n(n+1)=n^2\;</MATH>}}, a ilość dodawań jakie musimy dokonać jest napisana przez {{Formuła|<MATH>D=n^2-n\;</MATH>}}. === Wyznaczanie macierzy {{Strong|L}} i {{Strong|U}}, a metoda Doolittle'a === Równanie macierzowe {{LinkWzór|5.63}} możemy przepisać w postaci rozwiniętej w takiej postaci, tzn. w której napiszemy zamiast symboli macierzy wchodzących w skład tego równania ich postać rozwiniętą obrazująca poszczególne ich elementy: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0&\cdots&0\\ l_{21}&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ l_{n1}&l_{n2}&\cdots&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\ 0&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&u_{nn}\end{bmatrix} \;</MATH> |5.64}} Jeśli popatrzymy na równość macierzową {{LinkWzór|5.64}} i wykonamy działanie w lewej jego stronie, to otrzymamy równość skalarną na elementy a{{Sub|ij}} w których chcemy wyznaczyć l{{Sub|ij}} i u{{Sub|ij}}: {{CentrujWzór|<MATH>a_{ij}=u_{ij}+\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}u_{kj}\Rightarrow u_{ij}=a_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}u_{kj}\mbox{, dla }j=i,i+1,...,n\;</MATH>|5.65}} Równość {{LinkWzór|5.64}} możemy przetransponować obustronnie, tzn. zamieniając wiersze z kolumnami, co w końcu otrzymujemy równość macierzową: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} u_{11}&0&\cdots&0\\ u_{12}&u_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_{1n}&u_{2n}&\cdots&u_{nn}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1&l_{12}&\cdots&l_{1n}\\ 0&1&\cdots&l_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{bmatrix} \;</MATH>|5.66}} Mając do dyspozycji równość macierzową {{LinkWzór|5.66}} możemy go przepisać ujmując poszczególne jej elementy dla j=i+1,i+2,...,n: {{CentrujWzór|<MATH>a_{ji}=\sum_{k=1}^iu_{ki}l_{jk}\Rightarrow a_{ji}=u_{ii}l_{ji}+\sum_{k=1}^{i-1}l_{jk}u_{ki}\Rightarrow l_{ji}=\left(a_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{jk}u_{ki}\right)/u_{ii}\;</MATH>|5.67}} Ilość mnożeń w równaniach {{LinkWzór|5.65}} i {{LinkWzór|5.67}} jest wyrażona {{Formuła|<MATH>M={{1}\over{3}}n^3-{{1}\over{3}}n\;</MATH>}}, a liczba dodawań w tych samych równaniach co poprzednio jest {{Formuła|<MATH>D={{1}\over{3}}n^3-{{1}\over{2}}n^2+{{1}\over{6}}n\;</MATH>}}. Znając ile należy dokonać działań aby wyznaczyć wektor "x", gdy znamy macierz LU, to dodając te ilości do poprzednich M i D otrzymujemy liczbę dodawań i mnożeń taką samą jak przy metodzie Gaussa, tzn. ostateczną ilość mnożeń jaką musimy dokonać przy wyznaczeniu macierzy L i U, a potem do wyznaczania wektora "x" jest napisana {{Formuła|<MATH>M={{1}\over{3}}n^3+n^2-{{1}\over{3}}n\;</MATH>}}, a liczba dodawań {{Formuła|<MATH>D={{1}\over{3}}n^3+{{1}\over{2}}n^2-{{5}\over{6}}n\;</MATH>}}. Zastosujmy zmodyfikowaną metodę eliminacją zwaną również częściowym wyborem elementu podstawowego. W tej metodzie elementem podstawowym nazywamy taki element macierzy A przy pomocy której eliminujemy zmienną w pozostałych równaniach. Te elementy zwykle przyjmuje się jako elementy diagonalne macierzy podstawowych A{{Sup|(k)}}, gdzie k=1,2,..,n. Te elementy wybieramy w taki sposób by one leżały w k-tek kolumnie w k-tego macierzy, by ten elementem miał największy moduł w stosunku do pozostałych elementów w danym wierszu macierzy A, co można je uzyskać poprzestawiając poszczególne wiersze w macierzy A, by później leżały one na diagonali, oczywiste jest, że również musimy jednocześnie przedstawiać wiersze wektorów {{Strong|x}} i {{Strong|b}}. Ta wersja algorytmu Gaussa z częściowym wyborem elementy częściowego nazywamy metodą Gaussa-Crouta, którą w dalszym ciągu będziemy nazywać metodą GCW. Ta metoda gwarantuje, że proces poszukiwania {{Strong|x}} nie zatrzyma się na dzieleniu przez zero przy założeniu nieosobliwości macierzy A. === Błędy przybliżeń w metodzie Gaussa i Doolittle'a === Obie metody tutaj rozważane są ze sobą równoważne numeryczne o tej samej precyzji, aby wyznaczyć wektor "x" należy wyznaczyć macierz {{Formuła|<MATH>\tilde{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}\;</MATH>}} metodą Gaussa lub metodą Doolittle'a, a następnie znaleźć wektor "y" w równaniu macierzowym {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{b}\;</MATH>}}, i dalej wyznaczyć "x" w równaniu {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}\;</MATH>}}. Ponieważ macierze L i U są napisane z pewnym zaokrągleniem, to błąd zaokrąglenia LU napiszmy przez E, która jest błędem rozkładu i wtedy możemy powiedzieć {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}=\tilde{\mathbf{A}}+\mathbf{E}\;</MATH>}}. Znając błędu rozkładu L i U możemy napisać równości {{Formuła|<MATH>(\mathbf{L}+\delta\mathbf{L})\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(\mathbf{U}+\delta\mathbf{U})\mathbf{x}=\mathbf{y}\;</MATH>}}, co na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{L}+\delta\mathbf{L})(\mathbf{U}+\delta\mathbf{U})\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow\left(\mathbf{L}\mathbf{U}+\mathbf{L}\delta\mathbf{U}+\delta \mathbf{L}\mathbf{U}+\delta\mathbf{L}\delta\mathbf{U}\right)\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>|5.68}} Z równości {{LinkWzór|5.68}} możemy wyznaczyć błąd zaokrągleń macierzy A wiedząc jakie jest błąd zaokrąglenia macierzy E, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\mathbf{A}^{(z)}=\mathbf{E}+\mathbf{L}\delta\mathbf{U}+\delta\mathbf{L}\mathbf{U}+\delta\mathbf{L}\delta\mathbf{U}\;</MATH>|5.69}} Jeśli będziemy przyjmować {{Formuła|<MATH>g_{ij}=\max_{k=1,2,..,n}|a_{ij}^{(k)}|\;</MATH>}}, to oszacowanie błędu macierzy LU dla poszczególnych jego elementów jest |e{{Sub|ij}}|&le;3,01&epsilon;ng{{Sub|ij}}. Normy błędu zaokrągleń macierzy LU w metodzie GCW, pamiętając przy okazji, że g jest to największy moduł elementów macierzy {{Formuła|<MATH>\tilde{\mathbf{A}}=\mathbf{A}^{(1)}, \mathbf{A}^{(2)},...,\mathbf{A}^{(n)}\;</MATH>}}, określamy według: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{E}||_1\leq\epsilon(n^2-n)g\;</MATH>|5.70}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{E}||_{\infty}\leq\epsilon (n^2-n-2)g\;</MATH>|5.71}} }} W przypadku metody GCW wielkość g spełnia nierówność g&le;2{{Sup|n-1}}||{{Strong|A}}||{{Sub|1&infin;}}, ale jak się okazuje, że dobrym ograniczeniem dla g od góry jest nierówność {{Formuła|<MATH>g\leq 8||\tilde{\mathbf{A}}||_{1\infty}\;</MATH>}}, a ponadto zachodzą również warunki {{Formuła|<MATH>||\tilde{\mathbf{A}}||_1\geq||\tilde{\mathbf{A}}||_{1\infty}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>||\tilde{\mathbf{A}}||_{\infty}\geq||\tilde{\mathbf{A}}||_{1\infty}\;</MATH>}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|5.70}} i {{LinkWzór|5.71}} można przejąć względne błędy macierzy A według oszacowań: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{||\mathbf{E}||_1}\over{||\mathbf{A}||_1}}\leq 8\epsilon(n^2-n)\;</MATH>|5.72}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{||\mathbf{E}||_{\infty}}\over{||\mathbf{A}||_{\infty}}}\leq 8\epsilon(n^2+n-2)\;</MATH>|5.73}} }} Jeśli dodatkowo uwzględnimy, że moduł poszczególnych elementów macierzy L jest mniejszy lub równy jeden, wtedy normy błędów macierzy L przepisujemy w formie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||\delta\mathbf{L}||_1\leq\epsilon\left({{1}\over{4}}n^2+{{5}\over{2}}n-1\right)\;</MATH>|5.74}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\delta\mathbf{L}||_{\infty}\leq\epsilon\left({{1}\over{2}}n^2+{{5}\over{2}}n-3\right)\;</MATH>|5.75}} }} A ilorazy błędu U przez jakąś normę A możemy przepisać w formie zależnego od stopnia n macierzy i zmiennej dowolnej &epsilon;: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{U}||_1}\over{||\mathbf{A}||_1}}\leq\left({{1}\over{4}}n^2+{{5}\over{2}}n\right)\;</MATH>|5.76}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{U}||_{\infty}}\over{||\mathbf{A}||_{\infty}}}\leq\epsilon\left({{1}\over{2}}n^2+{{5}\over{2}}n-2\right)\;</MATH>|5.77}} }} Z definicji normy ||&sdot;||{{Sub|1}} i ||&sdot;||{{Sub|&infin;}} możemy napisać oszacowania dla norm macierzy {{Strong|U}} i {{Strong|L}} przy definicji parametru g i stopnia wspomnianych macierzy, które zapisujemy w formie ||{{Strong|U}}||{{Sub|1}}&le;ng, ||{{Strong|U}}||{{Sub|&infin;}}&le;ng, ||{{Strong|L}}||{{Sub|&infin;}}&le;n, wtedy norma błędu bezwzględnego zaokrąglenia macierzy {{Strong|A}} według powyższych uwag przedstawiamy jako: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{A}^{(z)}||_{\infin}}\over{||\mathbf{A}||_{\infin}}}\leq{{||\mathbf{E}||_{\infin}}\over{||\tilde{\mathbf{A}}||_{\infin}}}+||\mathbf{L}||_{\infty}{{||\delta\mathbf{U}||_{\infty}}\over{||\tilde{\mathbf{A}}||_{\infty}}}+||\delta\mathbf{L}||_{\infty}{{||\mathbf{U}||_{\infty}}\over{||\tilde{\mathbf{A}}||_{\infty}}}+o(\epsilon)=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\epsilon\left({{9}\over{2}}n^3+{{61}\over{2}}n^2-18n-16\right)+o(\epsilon)</MATH>|5.78}} Jeśli popatrzymy na wzór {{LinkWzór|5.36}} i oznaczymy {{Formuła|<MATH>K_{\infty}=||\mathbf{A}||_{\infty}\cdot||\mathbf{A}^{-1}||_{\infty}\;</MATH>}}, a także oznaczymy {{Formuła|<MATH>\alpha=\epsilon K_{\infty}O\left({{9}\over{2}}n^3\right)\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>O\left({{9}\over{2}}n^3\right)={{9}\over{2}}n^3+{{61}\over{2}}n^2-18n-16\;</MATH>}}, wtedy błąd względny wektora {{Strong|x}} jest napisany według nierówności: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\delta\mathbf{x}||_{\infty}}\over{||\mathbf{x}||_{\infty}}}\leq{{\alpha}\over{1-\alpha}}\;</MATH>|5.79}} Podamy teraz twierdzenie opisującą eliminację metody GCW. {{Twierdzenie|tekst= Dla macierzy {{Strong|A}}, która jest nieosobliwa i jest diagonalnie dominująca kolumnowo, to w metodzie eliminacji GCW nie musimy przedstawiać wierszy. }} {{Dowód|tekst= Załóżmy, że wyeliminowaliśmy N wierszy, a pozostałe o numerach kolumny N+1,N+2,..,n tworzą macierz diagonalnie dominująco kolumnowo. Dla macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}\;</MATH>}} poszczególne elementy macierzy L możemy napisać jako {{Formuła|<MATH>l_{k1}=a_{ki}^{(1)}/a_{11}^{(1)}\;</MATH>}} dla k=2,3,..,n, przy której z definicji macierzy diagonalnie dolinującej kolumnowo {{LinkWzór|5.47}} możemy napisać warunek {{Formuła|<MATH>\sum_{k=1}^n|l_{k1}|\leq 1\;</MATH>}}. Elementy o numerach w wierszu 2,3,..,n możemy przepisać w formie {{Formuła|<MATH>a_{ki}^{(2)}=a_{ki}^{(1)}-l_{k1}a_{i1}^{(1)}\;</MATH>}} dla numerów kolumn k=2,3,..,n. Dla macierzy {{Strong|A}}{{Sup|(2)}} elementy macierzy spełniają warunek na diagonali {{Formuła|<MATH>|a_{ii}^{(2)}|\geq |a_{ii}^{(1)}|-|l_{i1}|\cdot|a_{1i}^{(1)}|\;</MATH>}}, a elementy leżące poza diagonalą spełniają warunek {{Formuła|<MATH>|a_{ii}^{(2)}|\leq |a_{ii}^{(1)}|+|l_{i1}|\cdot|a_{1i}^{(1)}|\;</MATH>}}. Z definicji macierzy, diagonalnie dominująco kolumnowo {{LinkWzór|5.47}} i powyższych rozważań, możemy napisać nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>|a_{ii}^{(2)}|-\sum_{\overset{k=1}{\underset{k\neq i}{}}}^n|a_{ki}^{(2)}|\geq |a_{ii}^{(1)}|-|a_{1i}^{(1)}|\sum_{\overset{k=1}{\underset{k\neq i}{}}}^n|l_{k1}|-\sum_{\overset{k=1}{\underset{k\neq i}{}}}^n|a_{ki}^{(1)}|-|a_{1i}^{(1)}|\sum_{\overset{k=1}{\underset{k\neq i}{}}}^n|l_{k1}|=|a_{ii}^{(1)}|-\sum_{\overset{k=1}{\underset{k\neq i}{}}}^n|a_{ki}^{(1)}|\geq 0\;</MATH>|5.80}} Z właśności, jeśli macierz {{Strong|A}}{{Sup|(1)}} jest diagonalnie dominująca kolumnowo, to macierz {{Strong|A}}{{Sup|(2)}} jest diagonalnie dominująca kolumnowo, ogólnie rzecz biorąc macierz {{Strong|A}}{{Sup|(k)}} dla k=1,2,..,n jest macierzą diagonalnie dominująca kolumnowo. }} ==Rozwiązania równań liniowych metodą eliminacji Jordana (metodą eliminacji zupełnej)== Weźmy sobie układ równań, który przedstawimy w postaci macierzowej <MATH>\mathbf{A}^{(1)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(1)}\;</MATH>, który możemy rozbić na n równań odpowiadających temu równaniu macierzowemu: {{CentrujWzór|<MATH>a_{11}^{(1)}x_1+a_{12}^{(1)}x_2+...+a_{1n}^{(1)}x_n=b_1^{(1)}\;</MATH>{{Br}} <MATH>a_{21}^{(1)}x_1+a_{22}^{(1)}x_2+...+a_{2n}^{(1)}x_n=b_2^{(1)}\;</MATH>{{Br}} ........................................................{{Br}} <MATH>a_{n1}^{(1)}x_1+a_{n2}^{(1)}x_2+...+a_{nn}^{(1)}x_n=b_n^{(1)}\;</MATH>|5.81}} Pierwsze równanie układu równań {{LinkWzór|5.81}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>a_{11}^{(1)}\;</MATH>}}, a następnie od i-tego wiersza odejmujemy pierwszy wiersz pomnożonej przez {{Formuła|<MATH>a_{i1}^{(1)}\;</MATH>}}, wtedy otrzymujemy następny układ równań, który zapisujemy w formie macierzowym {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}^{(2)}\mathbf{x}=\mathbf{b}^{(2)}\;</MATH>}} rozpisując je w postaci n równań liniowych: {{CentrujWzór|<MATH>x_1+a_{12}^{(2)}x_2+...+a_{1n}^{(2)}x_n=b_1^{(2)}\;</MATH>{{Br}} <MATH>a_{22}^{(2)}x_2+...+a_{2n}^{(2)}x_n=b_1^{(2)}\;</MATH>{{Br}} ...........................................{{Br}} <MATH>a_{n2}^{(2)}x_2+...+a_{nn}^{(2)}x_n=b_n^{(2)}\;</MATH>|5.82}} Po (n-1) dokonanych eliminacjach otrzymujemy n równań algebraicznych linowych równoważnych równaniu {{LinkWzór|5.81}}, z których w sposób bardzo łatwy możemy policzyć niewiadome występujące w poniższym równaniu: {{CentrujWzór|<MATH>x_1+a_{12}^{(n)}x_3+...+a_{1n}^{(n)}x_n=b_1^{(n)}\;</MATH>{{Br}} <MATH>x_2+a_{23}^{(n)}x_3+...+a_{2n}^{(n)}x_n=b_2^{(n)}\;</MATH>{{Br}} .............................................. <MATH>x_n=b_n^{(n)}\;</MATH>|5.83}} Metoda eliminacji Jordana wymaga mnożeń {{Formuła|<MATH>M={{1}\over{2}}n^3+{{1}\over{2}}n^2\;</MATH>}} i dodawań {{Formuła|<MATH>D={{1}\over{2}}n^3-{{1}\over{2}}\;</MATH>}}. Jak widzimy, że metoda eliminacji Jordana wymaga około półtora więcej operacji niż metoda eliminacji Gaussa. Aby w tej metodzie nie nastąpiło dzielenie przez zero należy dokonać odpowiedni wybór elementu podstawowego. == Rozkład macierzy symetrycznej A na LDL{{Sup|T}} i LL{{Sup|T}} == Weźmy sobie macierz kwadratową symetryczną {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, którą rozłożymy na iloczyn dwóch macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}}, która jest macierzą dolną trójkątną z jedynkami na diagonali i macierzy {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{U}}\;</MATH>}}, czyli: {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\overline{\mathbf{U}}\;</MATH>}}, wtedy łatwo uzyskać rozkład macierzy symetrycznej w postaci {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{U}\;</MATH>}}, a macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{D}\;</MATH>}} jest macierzą diagonalną o elementach na diagonali macierzy {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{U}}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\;</MATH>}} jest macierzą górną trójkątną, która jest macierzą na diagonali z jedynkami. Ponieważ {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} jest macierzą symetryczną, to również dobrze można napisać {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{U}=\mathbf{A}\;</MATH>}}, a także {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}^T\mathbf{D}\mathbf{L}^T=\mathbf{A}^T=\mathbf{A}\;</MATH>}}, co stąd oczekujemy, że wyjdzie {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}=\mathbf{L}^T\;</MATH>}}, zatem dla macierzy symetrycznych spełniony jest związek: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T\;</MATH>|5.84}} Z równania {{LinkWzór|5.84}} możemy powiedzieć d{{Sub|1}}=a{{Sub|11}}, a także możemy otrzymać dwa równania na l{{Sub|ij}} i d{{Sub|i}} dla i=2,3,..,n, i j=1,2,..,i-1 przy definicji c{{Sub|ij}}=d{{Sub|j}}l{{Sub|ij}} , takiego że: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>l_{ij}=\left(a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}c_{ik}l_{jk}\right)/d_j\;</MATH>|5.85}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d_i=a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1}c_{ik}l_{ik}\;</MATH>|5.86}} }} W celu wyznaczenia rozkładu {{LinkWzór|5.84}} należy dokonać {{Formuła|<MATH>M={{1}\over{6}}n^3+n^2-{{7}\over{6}}n\;</MATH>}} mnożeń i {{Formuła|<MATH>D={{1}\over{6}}n^3-{{1}\over{6}}n\;</MATH>}} dodawań. Układ równań opisanej przez równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}} przy definicji macierzy {{LinkWzór|5.84}} możemy rozłożyć na układ trzech równań macierzowych: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}^T\mathbf{z}=\mathbf{b}\mbox{, }\mathbf{D}\mathbf{y}=\mathbf{z}\mbox{, }\mathbf{L}\mathbf{x}=\mathbf{y}\;</MATH>|5.87}} Ponieważ macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} jest macierzą symetryczną, znając dolną część macierzy wraz z wyrazami na diagonali zużyje nam {{Formuła|<MATH>{{1}\over{2}}n^2+{{1}\over{2}}n\;</MATH>}} komórek pamięci komputera. Znamy jeszcze inny rozkład macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, która jest zwana rozkładem Banachiewicza, która jest również zwana rozkładem Cholesky'ego: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{L}^T\;</MATH>|5.88}} Zakładamy, że zachodzi tożsamość {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{L}}=-\mathbf{L}\;</MATH>}}, co z oczywistych powodów możemy napisać równoważnie dla {{LinkWzór|5.88}} {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}=\overline{\mathbf{L}}\overline{\mathbf{L}}^T\;</MATH>}}, ale {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}} jest macierzą trójkątną dolną niekoniecznie z jedynkami na diagonali. Wzory na l{{Sub|ii}} i l{{Sub|ij}} dla i=1,2,..,n i dla j=i+1,i+2,..,n piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^il_{ij}^2=a_{ii}\Rightarrow l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{ik}^2}\;</MATH>|5.89}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>l_{ji}=\left(a_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1}l_{jk}l_{ik}\right)/l_{ii}\;</MATH>|5.90}} }} Dla spełnionej pierwszej równości {{LinkWzór|5.89}} liczby l{{Sub|ij}} mają ograniczoną wartość dla ograniczonych elementów a{{Sub|ij}}. Błąd zaokrągleń Banachiewicza rozkładu {{Strong|LL}}{{Sup|T}} dla macierzy {{Strong|A}} piszemy {{Formuła|<MATH>\mathbf{E}=\mathbf{L}\mathbf{L}^T-\mathbf{A}\;</MATH>}}, wtedy błąd ograniczenia na tą wielkość piszemy przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{E}||_2\leq\epsilon n^{{{3}\over{2}}}||\mathbf{A}||_2\;</MATH>|5.91}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{E}||_2\leq\epsilon n^2||\mathbf{A}||_{1\infty}\;</MATH>|5.92}} }} == Równanie macierzowe z macierzą trójdiagonalną == Weźmy sobie równanie {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}}, w którym macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} jest macierzą trójdiagonalną napisaną na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}=\begin{bmatrix} b_1&c_1&&0&\\ a_2&b_2&c_2&&\\ 0&a_3&b_3&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&c_{n-1}\\ &0&&a_n&b_n \end{bmatrix}\;</MATH>|5.93}} Macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} można rozłożyć na iloczyn dwóch macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\;</MATH>}}, czyli na {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}\;</MATH>}}, które mają specyficzny wygląd: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}=\begin{bmatrix} 1&&0&\\ l_2&\ddots&\\ &\ddots&\ddots\\ &0&l_n&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|5.94}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{U}=\begin{bmatrix} u_1&c_1&&0&\\ &\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&c_{n-1}\\ &0&&u_n\\ \end{bmatrix} </MATH>|5.95}} }} Wyznaczmy iloczyn macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}} {{LinkWzór|5.94}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\;</MATH>}} {{LinkWzór|5.95}}, co w rezultacie po krótkich obliczeniach otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}=\begin{bmatrix} 1&&0&\\ l_2&\ddots&\\ &\ddots&\ddots\\ &0&l_n&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1&c_1&&0&\\ &\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&c_{n-1}\\ &0&&u_n\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u_1&c_1&\\ l_2u_1&l_2c_1+u_2&c_2\\ &\ddots&\ddots&c_{n-1}\\ &&l_nu_{n-1}&l_nc_{n-1}+u_n \end{bmatrix}</MATH>|5.96}} Patrząc na obliczenia {{LinkWzór|5.96}} i porównując ten wynik z {{LinkWzór|5.93}}, to możemy podać ogólny wynik na l{{Sub|i}} i u{{Sub|i}}, który podajemy w postaci przepisu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>u_1=b_1\;</MATH>|5.97}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>l_i={{a_i}\over{u_{i-1}}}\;</MATH>|5.98}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>u_i=b_i-l_ic_{i-1}\mbox{ dla }i=2,3,..,n\;</MATH>|5.99}} }} Mamy sobie równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{d}\;</MATH>}}, który po rozkładzie macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} na iloczyn dwóch czynników macierzowych {{LinkWzór|5.94}} i {{LinkWzór|5.95}} zapisując jako równanie {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{d}\;</MATH>}}, który rozbijemy na dwa równania, tzn. na {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{d}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}\;</MATH>}}, z których pierwsze równanie rozpiszemy w postaci równania y{{Sub|i}} jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y_1=d_1\;</MATH>|5.100}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y_i=d_i-l_iy_{i-1}\mbox{ dla }i=2,3,..,n\;</MATH>|5.101}} }} a drugie równanie macierzowe rozpisujemy na element x{{Sub|i}} w zależności od zmiennej y{{Sub|i}} i x{{Sub|i+1}} i u{{Sub|i}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x_n={{y_n}\over{u_n}}\;</MATH>|5.102}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>x_i=(y_i-c_ix_{i+1})/u_i\;</MATH>|5.103}} }} Gdy <MATH>\mathbf{A}\;</MATH> jest macierzą diagonalnie dominująca kolumnowo, tzn. gdy zachodzą warunki: |b{{Sub|1}}|&ge;|a{{Sub|2}}|, |b{{Sub|i}}|&ge;|c{{Sub|i-1}}|+|a{{Sub|i+1}}| dla i=2, 3,..,n-1, |b{{Sub|n}}|&ge;|c{{Sub|n-1}}|, to ten nasz rozkład jest oparty z częściowych wyborem elementu podstawowego, a więc jest metodą niezawodną, tzn. przy niej nie występuje dzielenie przez zero. Natomiast, gdy macierz <MATH>\mathbf{A}\;</MATH> jest macierzą diagonalnie dominująca, tzn. gdy zachodzą nierówności: |b{{Sub|1}}|&ge;|c{{Sub|1}}|, |b{{Sub|i}}|&ge;|a{{Sub|i}}|+|c{{Sub|i}}| dla i=2,3,..,n-1, |b{{Sub|n}}|&ge;|a{{Sub|n}}|, to również metoda eliminacji Gaussa w tym przypadku jest niezawodna. Weźmy sobie inny rozkład macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} na iloczyn dwóch czynników, które te macierze są zdefiniowane w formie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}=\begin{bmatrix} l_1&&0&\\ a_2&l_2\\ &\ddots&\ddots\\ &0&a_n&l_n\end{bmatrix}\;</MATH>|5.104}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{U}=\begin{bmatrix} 1&u_1&&0&\\ &1&u_2\\ &&\ddots&\ddots\\ &&&&u_{n-1}\\ &0&&&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|5.105}} }} Policzmy teraz iloczyn macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}} {{LinkWzór|5.104}} i <MATH>\mathbf{U}\;</MATH> {{LinkWzór|5.105}}, który napiszemy według przepisu: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}=\begin{bmatrix} l_1&&0&\\ a_2&l_2\\ &\ddots&\ddots\\ &0&a_n&l_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&u_1&&0&\\ &1&u_2\\ &&\ddots&\ddots\\ &&&&u_{n-1}\\ &0&&&1 \end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix} l_1\\ a_2&a_2u_1+l_2&l_2u_2\\ \ddots&\ddots&\ddots\\ &&a_{n-1}&a_{n-1}u_{n-2}+l_{n-1}&l_{n-1}u_{n-1}\\ &0&&a_n&a_nu_{n-1}+l_n\\ \end{bmatrix} \;</MATH>|5.106}} Patrząc na obliczenia {{LinkWzór|5.106}} i porównując ten wynik z {{LinkWzór|5.93}}, to możemy podać ogólny wynik na l{{Sub|i}} i u{{Sub|i}}, który podajemy w postaci przepisu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>l_1=b_1\;</MATH>|5.107}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>u_1={{c_i}\over{l_i}}\;</MATH>|5.108}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>l_i=b_i-a_iu_{i-1}\;</MATH>|5.109}} }} Mamy sobie równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{d}\;</MATH>}}, który po rozkładzie macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} na iloczyn dwóch czynników macierzowych {{LinkWzór|5.104}} i {{LinkWzór|5.105}} zapisując jako równanie {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{d}\;</MATH>}}, który rozbijemy na dwa równania, tzn. na {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{d}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}\;</MATH>}}, z których pierwsze równanie rozpiszemy w postaci równania y{{Sub|i}} dla i=1,2,..,n-1 jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y_1={{d_1}\over{l_1}}\;</MATH>|5.110}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y_{i+1}=(d_{i+1}-a_{i+1})/l_{i+1}\;</MATH>|5.111}} }} A drugie równanie macierzowe rozpisujemy na element x{{Sub|i}} w zależności od zmiennej y{{Sub|i}} i x{{Sub|i+1}} i u{{Sub|i}} dla i=n-1,n-2,..,1: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x_n=y_n\;</MATH>|5.112}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>x_i=y_i-u_ix_{i+1}\;</MATH>|5.113}} }} Będziemy szukali błędów zaokrągleń przy liczeniu macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}}, którą liczymy ze wzoru {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U}\;</MATH>}}. Błąd zaokrągleń będziemy liczyli w naszym przypadku ze wzoru <MATH>\mathbf{E}=\mathbf{L}\mathbf{U}-\mathbf{A}\;</MATH>, wtedy dla p=1,&infin; możemy napisać ||{{Strong|E}}||{{Sub|p}}&le;2&epsilon;||{{Strong|T}}||{{Sub|p}}. Jeśli natomiast ({{Strong|L}}+&delta;{{Strong|L}}){{Strong|y}}={{Strong|d}} i ({{Strong|U}}+&delta;{{Strong|U}}){{Strong|x}}={{Strong|y}}, wtedy powiemy: ||&delta;{{Strong|L}}||{{Sub|p}}&le;3&epsilon;, ||{{Strong|L}}||{{Sub|p}}&le;2&epsilon;, a także zachodzą ||&delta;{{Strong|U}}||{{Sub|p}}&le;3&epsilon;||{{Strong|T}}||{{Sub|p}} i ||{{Strong|U}}||{{Sub|p}}&le;2&epsilon;||{{Strong|T}}||{{Sub|p}}. Jeśli oznaczymy ({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}){{Strong|x}}={{Strong|d}}, i ||&delta;{{Strong|T}}||{{Sub|p}}&le;14&epsilon;||{{Strong|T}}||{{Sub|p}} przy definicji ||{{Strong|A}}{{Sup|-1}}||{{Sub|p}}||{{Strong|A}}||{{Sub|p}}=K{{Sub|p}} dla p=1,&infin;, a także wprowadzimy oznaczenie na parametr &alpha;=14&epsilon;K{{Sub|p}}, wtedy wzór {{LinkWzór|5.36}} przyjmuje taki sam wygląd jak wzór {{LinkWzór|5.79}}. == Równanie macierzowe z macierzą podobną do trójdiagonalnej == W matematyce spotykamy się też w równaniach macierzowych {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}} z macierzami {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} podobnej do macierzy trójdiagonalnej {{LinkWzór|5.94}}, której przepis jest: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}=\begin{bmatrix} b_1&c_1&\cdots&\cdots&\cdots&p_1\\ a_2&b_2&c_2&&0&\vdots\\ \vdots&a_3&b_3&\ddots&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&0&&\ddots&\ddots&c_{n-1}\\ q_1&\cdots&\cdots&\cdots&a_n&b_n\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|5.114}} W porównaniu z macierzą trójdiaagonalną macierz powyższa róźni się od poprzedniej tym, że powyżej pojawiają się niezerowe elementy p{{Sub|1}} i q{{Sub|1}}. Rozłóżmy macierz {{LinkWzór|5.114}} na iloczyn {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}\;</MATH>}} stosując metodę Gaussa lub Doolittle'a. Macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}} jest macierzą trójkatną dolną z jedynkami na diagonali, a macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\;</MATH>}} jest macierzą trójkątną górną niekoniecznie z jedynkami na diagonali, które przedstawiamy w formie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}=\begin{bmatrix} 1&\\ l_2&\ddots&&0&&\\ &\ddots&\ddots&\\ &0&l_{n-1}&\ddots&\\ q_2&\cdots&q_{n-1}&q_n&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|5.115}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{U}=\begin{bmatrix} u_1&c_1&\cdots&\cdots&p_1\\ &\ddots&\ddots&0&\vdots\\ &&\ddots&c_{n-1}&p_{n-2}\\ &0&&\ddots&p_{n-1}\\ &&&&u_n\end{bmatrix}</MATH>|5.116}} }} Policzmy teraz iloczyn macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}} {{LinkWzór|5.115}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\;</MATH>}} {{LinkWzór|5.116}} i przyrównamy je do macierzy podobnej do trójdiagonalnej {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} {{LinkWzór|5.114}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}=\begin{bmatrix} 1&\\ l_2&\ddots&&0&&\\ &\ddots&\ddots&\\ &0&l_{n-1}&\ddots&\\ q_2&\cdots&q_{n-1}&q_n&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1&c_1&\cdots&\cdots&p_1\\ &\ddots&\ddots&0&\vdots\\ &&\ddots&c_{n-1}&p_{n-2}\\ &0&&\ddots&p_{n-1}\\ &&&&u_n\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix} u_1&c_1&&&&p_1\\ u_1l_2&l_2c_1+u_2&c_2&&&\vdots\\ \vdots&u_2l_3&l_{3}c_{2}+u_3&\ddots&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&0&&\ddots&\ddots&p_{n-1}+l_{n-1}p_{n-2}\\ u_1q_2&q_2c_1+q_3u_2&q_3c_2+q_4u_3&&&q_2p_1+\dots+p_{n-1}q_n+...+u_n\\ \end{bmatrix}</MATH>|5.117}} Porównując macierz końcową uzyskaną w wyniku obliczeń {{LinkWzór|5.117}} i macierz {{LinkWzór|5.114}}, wtedy możemy napisać tożsamości na parametry p{{Sub|i}}, u{{Sub|i}} i q{{Sub|i}}: {{Twierdzenie|jakie=Wzory na elementy macierzy L i U|tekst= {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>u_i=b_1\;</MATH>}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>l_2=a_2/u_1\;</MATH>}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>q_2=-q_1/u_1\;</MATH>}} }} {{Hr}} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>u_2=b_2-l_2c_1\;</MATH>}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>l_3=a_3/u_2\;</MATH>}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>q_3=-q_2c_1/u_2\;</MATH>}} }} {{Hr}} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>u_{n-2}=b_{n-2}-l_{n-2}c_{n-3}\;</MATH>}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>l_{n-1}=a_{n-1}/u_{n-2}\;</MATH>}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>q_{n-1}=-q_{n-2}c_{n-3}/u_{n-2}\;</MATH>}} }} {{Hr}} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>u_{n-1}=b_{n-1}-l_{n-1}c_{n-2}\;</MATH>}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>q_n=(a_n-q_{n-1}c_{n-2})/u_{n-1}\;</MATH>}} }} {{Hr}} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_2=-l_2p_1\;</MATH>}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_3=-l_3p_2\;</MATH>}} }} {{Hr}} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{n-2}=-l_{n-2}p_{n-3}\;</MATH>}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{n-1}=c_{n-1}-l_{n-1}p_{n-2}\;</MATH>}} |3 = {{CentrujWzór|<MATH>u_n=b_n-p_1q_2-...-p_{n-1}q_n\;</MATH>}} }} }} Mamy sobie równanie macierzowe {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{d}\;</MATH>}}, który po rozkładzie macierzy {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} na iloczyn dwóch czynników macierzowych {{LinkWzór|5.115}} i {{LinkWzór|5.116}} zapisujemy je jako równanie {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{d}\;</MATH>}}, który rozbijemy na dwa równania, tzn. na {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{d}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}\;</MATH>}}, z których pierwsze równanie rozpiszemy w postaci równania y{{Sub|i}}, a drugie x{{Sub|i}} dla i=1,2,..,n: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Wzór|<MATH>y_1=d_1\;</MATH>{{Br}}<MATH>y_2=d_2-l_2y_1\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdots\cdots\cdots\;</MATH>{{Br}}<MATH>y_{n-1}=d_{n-1}-l_{n-1}y_{n-2}\;</MATH>{{Br}}<MATH>y_n=d_n-q_2y_1-...-q_ny_{n-1}\;</MATH>|5.119}} | 2 = {{Wzór|<MATH>x_n=y_n/u_n\;</MATH>{{Br}}<MATH>x_{n-1}=(y_{n-1}-p_{n-1}x_n)/u_{n-1}\;</MATH>{{Br}}<MATH>x_{n-2}=(y_{n-2}-c_{n-2}x_{n-1}-p_{n-2}x_n)/u_{n-2}\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdots\cdots\cdots\;</MATH>{{Br}}<MATH>x_1=(y_1-c_1x_2-p_1x_n)/u_1\;</MATH>|5.120}} }} Podczas zaokrąglania macierzy przy liczeniu iloczynu {{Strong|LU}} powstaje błąd zaokrąglenia {{Strong|E}}={{Strong|LU}}-{{Strong|A}}, wtedy norma błędu jest opisywana przez ||{{Strong|E}}||{{Sub|1}}&le; 2n&epsilon;||{{Strong|A}}||{{Sub|1}}. Jeśli wyniki {{Strong|L}} i {{Strong|U}} są w pewien w sposób zaokrąglone, wtedy możemy napisać rozwiązanie równań macierzowych ({{Strong|L}}+&delta;{{Strong|L}})/{{Strong|y}}={{Strong|d}} i ({{Strong|U}}+&delta;{{Strong|U}})/{{Strong|x}}={{Strong|y}}, wtedy ograniczenia na normy i normy błędów dla macierzy {{Strong|L}} i {{Strong|U}}, przy zaokrągleniu, piszemy ||{{Strong|L}}||{{Sub|1}}&le;2, ||&delta;{{Strong|L}}||{{Sub|1}}&le;&epsilon;||{{Strong|L}}||{{Sub|1}}, a także ||{{Strong|U}}||{{Sub|1}}&le;2||{{Strong|A}}||{{Sub|1}}, ||&delta;{{Strong|U}}||{{Sub|1}}&le;5&epsilon;||{{Strong|U}}||{{Sub|1}}. Norma błędu zaokrąglenia macierzy {{Strong|A}} przedstawiamy w zależności od normy tejże macierzy w sposób: ||&delta;{{Strong|A}}||{{Sub|1}}&le;(6n+20+20n&epsilon;)||{{Strong|A}}||{{Sub|1}}. Patrząc na wynik na normą błędu zaokrąglenia ostatnio napisany w tym rozdziale dowiadujemy się że nastąpiło pogorszenie osaczowania obliczeń dla naszej macierzy {{Strong|A}} w tym rozdziale niż dla macierzy całej {{Strong|A}} według jego normy błędu {{LinkWzór|5.78}}. == Wyznaczanie wartości wyznacznika oraz macierzy odwrotnej == Podczas wyznaczania wyznacznika macierzy należy wykonać n! obliczeń, co jest za dużo dla obecnych maszyn cyfrowych i dlatego stosuje się rozkład macierzy {{Strong|A}} na dwa macierze {{Strong|L}} i {{Strong|U}} do postaci {{Strong|A}}={{Strong|LU}} według metody eliminacji Gaussa, wtedy po tym rozkładzie zastosujmy twierdzenie o wyznaczniku iloczynu dwóch macierzy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{det}(\mathbf{A}+\mathbf{E})=\operatorname{det}\mathbf{L}\operatorname{det}\mathbf{U}=\operatorname{det}\mathbf{U}\;</MATH>|5.121}} Powyżej zastosowaliśmy to , że det{{Strong|L}}=1, oraz że macierz {{Strong|LU}} została policzona z błędem na maszynie cyfrowej z błędem {{Strong|E}}. Przybliżeniu wyznacznik macierzy {{Strong|A}} w przybliżeniu jest równy iloczynowi n elementów na przekątnej macierzy {{Strong|U}}. Oznaczmy przez {{Strong|X}} odwrotność macierzy {{Strong|A}}, wtedy błąd liczenia iloczynu {{Strong|XA}} powinien być w przybliżeniu równy macierzy jednostkowej z błędem określonej {{Strong|E}}={{Strong|I}}-{{Strong|XA}}, wtedy błąd bezwzględny przy wyznaczaniu {{Strong|X}} według normy ||&sdot;||{{Sub|&infin;}} jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\mathbf{E}||_{\infty}}\over{||\mathbf{X}||_{\infty}}}\leq\epsilon g\left(2,005n^2+n^3+{{1}\over{4}}n^4\epsilon\right)\;</MATH>|5.122}} przez g oznaczymy największy element układu macierzy {{Strong|A}}{{Sup|(1)}},{{Strong|A}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|A}}{{Sup|(n)}}={{Strong|U}}, które są otrzymane metodą eliminacji jakie dotychczas poznaliśmy. Wartość g możemy napisać według oszacowania g&le;8||{{Strong|A}}||{{Sub|1&infin;}}. Jeśli mamy oszacowanie odwrotności macierzy {{Strong|A}}, wtedy błąd zmiennej {{Strong|x}} przepisujemy według {{LinkWzór|5.79}}. Oszacowanie błędu {{Strong|E}} według normy ||&sdot;||{{Sub|2}} piszemy {{Formuła|<MATH>||\mathbf{E}||_2\leq\epsilon n^{{{3}\over{2}}}||\mathbf{A}||_2\;</MATH>}}. Jeśli dokonamy rozkładu macierzy {{Strong|A}} według rozkładu Banachiewicza, to oznaczmy wartości własne macierzy {{Strong|A}} przez symbole &lambda;{{Sub|1}},...,&lambda;{{Sub|n}}. a wartości własne macierzy {{Strong|L}}{{Strong|L}}{{Sup|T}} napiszemy przez &gamma;{{Sub|1}},...,&gamma;{{Sub|n}}. Napiszmy przez ||{{Strong|A}}||{{Sub|2}}=&lambda;{{Sub|1}}, ||{{Strong|L}}{{Strong|L}}{{Sup|T}}||{{Sub|2}}=&gamma;{{Sub|1}} jako największe wartości własne wspomnianych wyżej macierzy, wtedy na podstawie wyżej wniosków: {{CentrujWzór|<MATH>-\epsilon n^{{{3}\over{2}}}\lambda_1\leq\lambda_i-\gamma_i\leq\epsilon n^{{{3}\over{2}}}\lambda_1\;</MATH>|5.123}} Z nierówności {{LinkWzór|5.123}} możemy napisać następną dalszą nierówność, który piszemy względem wyznacznika macierzy {{Strong|LL}}{{Sup|T}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\prod_{i=1}^n\left(\lambda_i-\epsilon n^{{{3}\over{2}}}\lambda_1\right)\leq\operatorname{det}(\mathbf{L}\mathbf{L}^T)\leq\prod_{i=1}^n\left(\lambda_i-\epsilon n^{{{3}\over{2}}}\lambda_1\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \prod_{i=1}^n\left(1-\epsilon n^{{{3}\over{2}}}{{\lambda_1}\over{\lambda_i}}\right)\leq{{\operatorname{det}(\mathbf{L}\mathbf{L}^T)}\over{\operatorname{det}\mathbf{A}}}\leq\prod_{i=1}^n\left(1-\epsilon n^{{{3}\over{2}}}{{\lambda_1}\over{\lambda_i}}\right) </MATH>|5.124}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|5.124}} błąd bezwzględny wyznaczania wyznacznika det({{Strong|LL}}{{Sup|T}}) jest opisywany poprzez wyrażenie &epsilon;n{{Sup|3/2}}&lambda;{{Sub|max}}/&lambda;{{Sub|min}}=&epsilon;n{{Sup|3/2}}K{{Sub|2}}. Podobnie postępujemy przy wyznaczaniu błędu bezwzględnego wyznacznika {{Strong|A}}{{Sup|-1}} według normy ||&sdot;||{{Sub|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{||\mathbf{A}^{-1}-(\mathbf{L}^T)^{-1}(\mathbf{L}^{-1})||_2}\over{||\mathbf||\mathbf{A}^{-1}||_2}}\leq \epsilon n^{{{3}\over{2}}}K_2\;</MATH>|5.125}} Przy wyznaczaniu odwrotności macierzy {{Strong|A}}, którą możemy rozłożyć na {{Strong|L}} i {{Strong|U}}, wtedy macierz odwrotną macierzy możemy policzyć ze wzoru {{Strong|LU}}{{Strong|x}}{{Sup|(i)}}={{Strong|e}}{{Sup|(i)}}, gdzie {{Strong|e}}{{Sup|(i)}} jest macierzą kanoniczną, gdzie na i-tym miejscu jest jedynka, a na pozostałych elementach są zera. Element {{Strong|x}}{{Sup|(i)}} jest i-tą kolumną macierzy odwrotnej do {{Strong|LU}}. Przy liczeniu macierzy odwrotnej {{LinkWzór|5.94}} należy skorzystać ze wzoru {{Strong|L}}{{Strong|x}}{{Sup|(i)}}={{Strong|e}}{{Sup|(i)}} dla i=1,2,..,n, wtedy błąd względny przy liczeniu błędu macierzy odwrotnej do {{Strong|L}} przy normie ||&sdot;||{{Sub|1}} opisujemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>{{||\operatorname{fl}(\mathbf{L}^{-1})-\mathbf{L}^{-1}||_1}\over{||\mathbf{L}^{-1}||_1}}\leq\epsilon(n+2)K_1\;</MATH>|5.126}} Odwrotność macierzy diagonalnej do {{LinkWzór|5.94}} jest macierzą trójkątną dolną z jedynkami na diagonali zapisaną: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{L}^{-1}=\begin{bmatrix} 1&&&&0&\\ -l_2&1\\ l_2l_3&-l_3&\ddots\\ \vdots&\ddots&\ddots\\ (-1)^{n-1}l_2...l_n&(-1)^{n-2}l_3...l_n&\cdots&-l_{n-1}l_n&-l_n&1\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|5.127}} Aby wyznaczyć wektor {{Strong|y}}={{Strong|L}}{{Sup|-1}}{{Strong|x}} należy wykonać n(n-1)/2 mnożeń, a przy liczeniu wektora {{Strong|L}}{{Strong|y}}={{Strong|x}} należy wykonać n-1 mnożeń. == Poprawianie rozwiązań układów równań liniowych i wektor reszt == Podczas rozwiązywania układów równań liniowych {{Strong|Ax}}={{Strong|b}} jest na ogół obarczona ściśle określonym pewnym błędem. W celu napisania jaki błąd popełniliśmy należy obliczyć resztę: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{r}=\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x} \;</MATH>|5.128}} przy którym sprawdzimy, czy ona jest równa zeru. Przy metodach dokładnych podczas dokonanych przybliżeń, w tychże metodach ta reszta jest rzeczywiście jest nierówna zero. Dla rozwiązania {{Strong|x}} równania macierzowego liniowego {{Strong|Ax}}={{Strong|b}} potrafimy dokładnie wyznaczyć poprawkę do uzyskanego rozwiązania w wyniku zaokrągleń, wyniku czego dokładne rozwiązanie zapisujemy {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}+\delta\mathbf{x}=\hat{\mathbf{x}}\;</MATH>}}, co dokładną poprawką &delta;{{Strong|x}} jest rozwiązaniem równania {{Strong|A}}&delta;{{Strong|x}}={{Strong|r}}. Dla poszukiwanego rozwiązania metodą GCW uzyskując przedtem macierze {{Strong|L}} i {{Strong|U}} wykonując przy tym n{{Sup|2}} mnożeń i n{{Sup|2}}-n dodawań, ale wtedy uzyskamy przybliżoną wartość błędu &delta;{{Strong|x}}+&delta;(&delta;{{Strong|x}}), zatem dla poprawionego rozwiązania naszego równania macierzowego liniowego {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{x}}=\mathbf{x}+\delta\mathbf{x}+\delta(\delta\mathbf{x})\;</MATH>}} wektor reszt będzie miał normę z oczywistych powodów mniejszą wartość. Sformujemy twierdzenie, który coś mówi o normie ||&sdot;||{{Sub|&infin;}}; reszty z dzielenia względem wielkości &epsilon;: {{Lemat|tekst= Jeśli dla wektora reszty obliczonej dokładnie wyznaczonej według równości {{LinkWzór|5.128}} poprawka do rozwiązania przybliżonego &delta;{{Strong|x}} została wyznaczona metodą GCW, dla której zachodzi nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}||\mathbf{r}||_{\infty}\geq\epsilon||\mathbf{A}||_{\infty}\left({{9}\over{2}}n^3+{{61}\over{2}}n^2-18n-16\right)||\delta\mathbf{x}||_{\infty}+||\mathbf{A}\mathbf{x}||_{\infty}\epsilon\;</MATH>|5.129}} wtedy jest spełniony warunek względem poprawionego rozwiązania {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{x}}\;</MATH>}} i rozwiązania przybliżonego {{Strong|x}}: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{b}-\mathbf{A}\overline{x}||_{\infty}\leq{{1}\over{2}}||\mathbf{b}-\mathbf{A}\mathbf{x}||\;</MATH>|5.130}} }} == Macierzowe algebraiczne liniowe równania iteracyjne == Określmy sobie ciąg wektorów {{Strong|x}}{{Sup|(0)}},{{Strong|x}}{{Sup|(1)}},...,{{Strong|x}}{{Sup|(i)}}, które są określone przez równość iteracyjną elementu o numerze i+1 w zależności od elementu i-tego dla i=0,1,... według przepisu: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{M}\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{w}\;</MATH>|5.131}} {{Twierdzenie|tekst= Jeśli mamy równanie iteracyjne {{LinkWzór|5.131}}, to on jest zbieżny przy &rho;({{Strong|M}})<1. }} {{Dowód|tekst= Według równania iteracyjnego {{LinkWzór|5.131}} napiszemy wzór na i+1-ty element zmiennej {{Strong|x}}{{Sup|(i)}}, wtedy napiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}^{(i)}=\mathbf{M}\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{w}=\mathbf{M}(\mathbf{M}+\mathbf{w})+\mathbf{w}=\mathbf{M}^{(i+1)}\mathbf{x}^{(0)}+\left(\mathbf{M}^{(i)}\mathbf{w}+\mathbf{M}^{(i-1)}\mathbf{w}+...+\mathbf{w}\right)\;</MATH>|5.132}} Ponieważ &rho;({{Strong|M}})<1 i {{Formuła|<MATH>\mathbf{M}^{(i+1)}\mathbf{x}^{(0)}\xrightarrow[i\rightarrow \infty]{}0\;</MATH>}}, wtedy szereg {{Formuła|<MATH>\mathbf{M}^{(i)}\mathbf{w}+\mathbf{M}^{(i-1)}\mathbf{w}+...+\mathbf{w}\;</MATH>}} jest zbieżny do pewnego szeregu, co stąd dla tego określonego {{Strong|M}} szereg generowany przez równanie iteracyjne {{LinkWzór|5.131}} jest szeregiem zbieżnym. }} Według równania {{LinkWzór|5.132}} przy zachodzącym &rho;({{Strong|M}})<1 szereg jest szeregiem zbieżnym do {{Strong|x}}{{Sup|(&infin;)}} przy zachodzącym równaniu {{Strong|x}}{{Sup|(&infin;)}}={{Strong|M}}{{Strong|x}}{{Sup|(&infin;)}}+{{Strong|w}}. Przy zachodzącym rozwiązywaniu równania {{Strong|AX}}={{Strong|b}} należy tak dobrać takie {{Strong|M}} by był spełniony warunek w powyższym twierdzeniu. Ponieważ zachodzi {{Strong|x}}={{Strong|Mx}}+{{Strong|w}}, wtedy wyznaczając {{Strong|x}} z równania liniowego względem wektora zmiennych i podstawiając do granicznego równania uzyskanego z {{LinkWzór|5.131}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}=\mathbf{M}\mathbf{x}+\mathbf{w}\Rightarrow(\mathbf{I}-\mathbf{M})\mathbf{x}=\mathbf{w}\Rightarrow\mathbf{w}=(\mathbf{I}-\mathbf{M})\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\;</MATH>|5.133}} Przyjmijmy tożsamość macierzową {{Strong|M}}={{Strong|I}}-{{Strong|N}}{{Strong|A}}, wtedy tożsamość macierzową {{LinkWzór|5.133}} możemy podstawić do równania iteracyjnego {{LinkWzór|5.131}} otrzymując następną, ale równoważną tożsamość iteracyjną: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=(\mathbf{I}-\mathbf{N}\mathbf{A})\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{N}\mathbf{b}\;</MATH>|5.134}} W każdej iteracji {{Strong|M}}{{Strong|x}}{{Sup|(i)}}+{{Strong|w}} wyliczamy {{Strong|x}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|M}}{{Strong|x}}{{Sup|(i)}}+{{Strong|w}}+&delta;{{Sup|(i)}}, gdzie &delta;{{Sup|(i)}} jest błędem zaokrągleń, która jest wielkością bardzo małą, ale przy większej liczbie iteracji zaczyna odgrywać ogromną rolę: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{M}^{(i+1)}\mathbf{x}^{(0)}+\mathbf{M}^{(i)}\mathbf{w}+...+\mathbf{w}+\delta^{(i)}+\mathbf{M}\delta^{(i-1)}+...+\mathbf{M}^{i}\delta^{(0)}\;</MATH>|5.135}} Błąd zaokrągleń &delta;{{Sup|(i)}}+{{Strong|M}}&delta;{{Sup|(i-1)}}+...+{{Strong|M}}{{Sup|i}}&delta;{{Sup|(0)}} może spowodować generowanie ciągu cyklicznego, który krótko opiszemy jako {{Strong|x}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|x}}{{Sup|(0)}}, który nie jest zbieżny do żadnego rozwiązania, przed którą sytuacją jest trudno ustrzec. == Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Jacobiego == Weźmy sobie macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} układów równań algebraicznych zapisanych w postaci macierzowej {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}}, w której wspomnianą macierz możemy rozłożyć na trzy części {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}=\mathbf{L}+\mathbf{D}+\mathbf{U}\;</MATH>}}, w której macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{L}\;</MATH>}} jest macierzą poddiagonalną, {{Formuła|<MATH>\mathbf{D}\;</MATH>}} jest macierzą diagonalną, a {{Formuła|<MATH>\mathbf{U}\;</MATH>}} macierzą naddiagonalną, i przyjmując jednocześnie w {{LinkWzór|5.134}}, że {{Formuła|<MATH>\mathbf{N}=\mathbf{D}^{-1}\;</MATH>}}, wtedy wspomniane wyrażenie dla i=0,1,2,... możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=\left(\mathbf{I}-\mathbf{D}^{-1}\left(\mathbf{L}+\mathbf{D}+\mathbf{U}\right)\right)\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{b}\Rightarrow\mathbf{D}\mathbf{x}^{(i+1)}=-\left(\mathbf{L}+\mathbf{U}\right)\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{b}\;</MATH>|5.136}} Jeśli chcemy zastosować wzór {{LinkWzór|5.136}}, to równania algebraiczne równania macierzowego <MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH> powinny mieć na diagonali elementy tylko niezerowe, a jeśli są jakieś elementy niezerowe, to wybieramy jakąś kolumnę w której znajduje się największa liczba zer, i tak przedstawiamy wiersze w tym układzie równań by element o maksymalnym module był niezerowy, by on potem po przedstawieniu znajdował się na diagonali, by potem ten wiersz pominąć, tzn. nie rozważać go w dalszych przestawianiach. Czynność tą powtarzamy dla pozostałych kolumn, w ten sposób po tych operacjach otrzymujemy na diagonali tylko niezerowe elementy. Ta metoda jest zawsze niezawodna, ale pracochłonna. Jeśli w każdej kolumnie powyżej rozważanej macierzy znajduje się taka sama liczba zerowych elementów, co mamy doczynienia z macierzami rzadkimi, to wybór elementu podstawowego postępujemy zgodnie z metodą GCW. W powyższej metodzie oczywiście mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}_J=\mathbf{M}=\mathbf{I}-\mathbf{N}\mathbf{A}=\mathbf{I}-\mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{D}+\mathbf{U})=-\mathbf{D}^{-1}\left(\mathbf{L}+\mathbf{U}\right)\;</MATH>|5.137}} Należy zauważyć, że zastosowanie powyższej metody nie gwarantuje zbieżności metody, tzn. &rho;({{Strong|D}}{{Sup|-1}}({{Strong|L}}+{{Strong|U}}))<1, ale gdy macierz {{Strong|A}} jest macierzą silnie diagonalnie dominującą lub silnie diagonalnie dominującą kolumnowo, to metoda Jacobiego jest na pewno zbieżna. == Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Gaussa-Seidla == Podobnie jak w metodzie, dla takiego samego typu macierzy mamy to samo {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}=\mathbf{L}+\mathbf{D}+\mathbf{U}\;</MATH>}}, wtedy dla równania {{LinkWzór|5.134}} możemy przyjąć {{Formuła|<MATH>\mathbf{N}=\left(\mathbf{D}+\mathbf{L}\right)^{-1}\;</MATH>}}, wtedy wspomniane równanie możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}=\left(\mathbf{I}-\left(\mathbf{D}+\mathbf{L}\right)^{-1}\left(\mathbf{L}+\mathbf{D}+\mathbf{U}\right)\right)\mathbf{x}^{(i)}+(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{b}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow(\mathbf{D}+\mathbf{L})\mathbf{x}^{(i+1)}=\left(\mathbf{D}+\mathbf{L}-\left(\mathbf{L}+\mathbf{D}+\mathbf{U}\right)\right)\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{b}\Rightarrow (\mathbf{D}+\mathbf{L})\mathbf{x}^{(i+1)}=-\mathbf{U}\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{b}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\mathbf{D}\mathbf{x}^{(i+1)}=-\mathbf{L}\mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{U}\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{b}</MATH>|5.138}} Przy końcowej równości {{LinkWzór|5.137}} powstaje pytanie w jaki sposób można obliczyć prawą stronę wspomnianej równości nie znając {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}\;</MATH>}}, otóż problem jest taki, gdy chcemy obliczyć {{Formuła|<MATH>x_1^{(i+1)}\;</MATH>}} już nie trzeba znać innych elementów elementów tego typu, już dla {{Formuła|<MATH>x_j^{(i+1)}\;</MATH>}} będziemy mogli wykorzystać już policzone elementy dla numerów składowych {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^{(i+1)}\;</MATH>}} mniejszych niż "j". By móc zastosować metodę Gaussa-Seidla należy pamiętać, by na diagonali znajdowały się niezerowe elementy. W powyższej metodzie oczywiście mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}_{GS}=\mathbf{M}=\mathbf{I}-\mathbf{N}\mathbf{A}=\mathbf{I}-\left(\mathbf{D}+\mathbf{L}\right)^{-1}\left(\mathbf{L}+\mathbf{D}+\mathbf{U}\right)=-\left(\mathbf{D}+\mathbf{L}\right)^{-1}\mathbf{U}\;</MATH>|5.139}} Gdy 0<&rho;({{Strong|M}}{{Sub|j}})<1 metoda Gaussa-Seidla jest bardziej zbieżna niż metoda Jacobiego, bo zachodzi &rho;({{Strong|M}}{{Sub|GS}})<&rho;({{Strong|M}}{{Sub|J}}). Macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\;</MATH>}} jest macierzą symetryczną, to metoda Gaussa-Seidla jest zbieżna, gdy wspomniana macierz jest dodatnio określona. Gdy macierz <MATH>\mathbf{A}\;</MATH> jest macierzą silnie dominująca diagonalnie lub silnie dominująca diagonalnie kolumnowo metoda Gaussa-Seidla jest metodą na pewno zbieżna, ale silniej niż metoda Jacobiego. == Błędy iteracyjne w algebraicznych równaniach macierzowych == Jeśli do wzoru {{LinkWzór|5.135}}, który przedstawia iteracje zmiennej o wskaźniku i-tym, który jest napisany w zależności od błędów zaokrągleń podstawimy wzór {{LinkWzór|5.132}}, który przedstawia wzór w których obliczenia są dokonane bardzo dokładne, co w rezultacie możemy powiedzieć dla j=0,1,2,...,i: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\mathbf{x}}^{(i+1)}-\tilde{\mathbf{x}}^{(i+1)}=\delta^{(i)}+\mathbf{M}\delta^{(i-1)}+...+\mathbf{M}^{(i)}\delta^{(0)}\;</MATH>|5.140}} W powyższy wzór jest napisany dla ciągu wektorów {{Strong|x}}{{Sup|(1)}}, {{Strong|x}}{{Sup|(2)}},..., który jest zbieżny do dokładnego rozwiązania <MATH>\hat{x}\;</MATH>, który jest rozwiązaniem równania macierzowego {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\;</MATH>}}, dalej możemy przyjąć: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}||\tilde{\mathbf{x}}||<||\mathbf{x}^{(i)}||\leq||2\tilde{\mathbf{x}}||\mbox{ dla }\tilde{\mathbf{x}}\neq 0</MATH>|5.141}} wtedy możemy oszacowanie wynikające z {{LinkWzór|5.140}} przy założeniu, że zachodzi ||&delta;{{Sup|(i)}}||<&chi;, napisać według: {{CentrujWzór|<MATH>||\tilde{\mathbf{x}}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i+1)}||\leq \delta^{(i)}+||\mathbf{M}||\delta^{(i-1)}+||\mathbf{M}^{(2)}||\delta^{(i-2)}+...+||\mathbf{M}^{(i)}||\delta^{(0)}\leq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\leq\left(1+||\mathbf{M}||+||\mathbf{M}^{(2)}||+...+||\mathbf{M}^{(i)}||\right)\chi\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{||\tilde{\mathbf{x}}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i+1)}||}\over{||\tilde{\mathbf{x}}^{(i+1)}||}}\leq\left(1+||\mathbf{M}||+||\mathbf{M}^{(2)}||+...+||\mathbf{M}^{(i)}||\right){{2\chi}\over{||\tilde{\mathbf{x}}||}}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{||\tilde{\mathbf{x}}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i+1)}||}\over{||\tilde{\mathbf{x}}^{(i+1)}||}}\leq{{1}\over{1-||\mathbf{M}||}}{{2\chi}\over{||\tilde{\mathbf{x}}||}} </MATH>|5.142}} == Rozwiązanie algebraicznych układów równań metodą Czebyszewa == Mamy sobie metodę iteracyjną {{LinkWzór|5.134}} za pomocą której generujemy ciąg wektorów {{Strong|x}}{{Sup|(1)}},{{Strong|x}}{{Sup|(2)}},..., który jest zbieżny do dokładnego rozwiązania układu równań zapisanych w sposób macierzowy {{Strong|Ax}}={{Strong|b}} przy tak dobranym {{Strong|N}}={{Strong|N}}{{Sub|s}}, w taki sposób by moduł z {{Strong|M}} zapisanej jako &rho;({{Strong|I}}-{{Strong|N}}{{Sub|{{Strong|s}}}}{{Strong|A}})<1. Można tak założyć, że macierz {{Strong|A}} jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną, i można to uzyskać biorąc wielomian macierzowy {{Strong|N}}{{Sub|{{Strong|s}}}}, który powstaje po zastąpieniu w miejsce t macierzy {{Strong|A}}, który jest stopnia s-1 wówczas zbudujmy wielomian {{Strong|M}}{{Sub|s}}, który formujemy według zasady p{{Sub|s}}=1-w(t)t gdzie w miejsce t podstawiamy macierz {{Strong|A}}. Sformułujmy taki wielomian w(t) taki by był spełniony warunek {{Formuła|<MATH>\max_{t\in\langle\alpha,\beta\rangle}\left|1-w(t)t\right|\;</MATH>}}, by było najmniejsze jak tylko możliwe. Wielomian p{{Sub|s}}(t), który przedstawiliśmy powyżej możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>p_s(t)={{T_s\left({{2t-(\beta-\alpha)}\over{\beta-\alpha}}\right)}\over{T_s\left(-{{\beta+\alpha}\over{\beta-\alpha}}\right)}}\;</MATH>|5.143}} Wielomiany Czybyszewa są zdefiniowane wzorem {{LinkWzór|1.27|Interpolacja}}, wtedy dla s=1 wyrażenie {{LinkWzór|5.143}} możemy na podstawie definicji wyżej wspomnianych wielomianów przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>p_1(t)=1-{{2}\over{\beta+\alpha}}t\;</MATH>|5.143a}} wtedy macierz {{Strong|M}} możemy uzyskać podstawiając za "t" macierz {{Strong|A}} w wyrażeniu {{LinkWzór|5.143a}}, a macierz {{Strong|N}} przepisujemy po uzyskanym wyrażeniu p{{Sub|1}}(t) w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{N}={{2}\over{\beta+\alpha}}\mathbf{I}\;</MATH>|5.144}} Wielkość &rho;({{Strong|M}}) możemy w taki sposób przepisać pamiętając przy tym, że |p(t)|<1, która jest napisane dla t&isin;<&alpha;,&beta;>, by jego ograniczenie od góry przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\mathbf{M})=1-{{2}\over{\beta+\alpha}}t\leq 1-{{2}\over{\beta+\alpha}}\alpha={{\beta+\alpha-2\alpha}\over{\beta+\alpha}}={{\beta-\alpha}\over{\beta+\alpha}}\;</MATH>|5.145}} Wyrażenie {{LinkWzór|5.143}} przepiszemy dla s=2, przy którym dla tego s napiszemy odpowiednio wielomiany Czybyszewa {{LinkWzór|1.27|Interpolacja}}, którego wielomian jest napisany w postaci rozwiniętej T{{Sub|2}}(x)=2x{{Sup|2}}-1, które wykorzystamy do wspomnianego wyrażenia, by potem przepisać go w formie: {{CentrujWzór|<MATH>p_2(t)={{T_2\left({{2t-(\beta+\alpha)}\over{\beta-\alpha}}\right)}\over{T_2\left(-{{\beta+\alpha}\over{\beta-\alpha}}\right)}}={{2\left({{2t-(\beta+\alpha)}\over{\beta-\alpha}}\right)^2-1}\over{2\left(-{{\beta+\alpha}\over{\beta-\alpha}}\right)^2-1}}={{2(2t-(\beta+\alpha))^2-(\beta-\alpha)^2}\over{2(\beta+\alpha)^2-(\beta+\alpha)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{8t^2+2(\beta+\alpha)^2-8t(\beta+\alpha)-(\beta-\alpha)^2}\over{2\beta^2+\alpha^2+4\alpha\beta-\beta^2-\alpha^2+2\alpha\beta}}={{8t^2-8t(\beta+\alpha)+\beta^2+\alpha^2+6\beta\alpha}\over{\beta^2+\alpha^2+6\beta\alpha}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-t{{8(\beta+\alpha)}\over{\beta^2+6\beta\alpha+\alpha^2}}+t^2{{8}\over{\beta^2+6\beta\alpha+\alpha^2}}</MATH>|5.146}} Wielkość &rho;({{Strong|M}}) możemy w taki sposób przepisać pamiętając przy tym, że |p(t)|<1 jest napisane dla t&isin;<&alpha;,&beta;>, by jego ograniczenie od góry przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\mathbf{M})=1-t{{8(\beta+\alpha)}\over{\beta^2+6\beta\alpha+\alpha^2}}+t^2{{8}\over{\beta^2+6\beta\alpha+\alpha^2}}\leq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\leq 1-\alpha{{8(\beta+\alpha)}\over{\beta^2+6\beta\alpha+\alpha^2}}+\beta^2{{8}\over{\beta^2+6\beta\alpha+\alpha^2}}={{\beta^2+6\beta\alpha+\alpha^2-8\alpha(\beta+\alpha)+8\beta^2}\over{(\beta+\alpha)^2+4\beta\alpha}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{9\beta^2-7\alpha^2-2\alpha\beta}\over{(\beta+\alpha)^2+4\beta\alpha}}={{(\beta-\alpha)^2+8(\beta^2-\alpha^2)}\over{(\beta+\alpha)^2+4\beta\alpha}}</MATH>|5.147}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|5.146}} dla s=1 i na {{LinkWzór|5.147}} dla s=2 dochodzimy do wniosku, że dla s=1 przy {{Strong|y}}{{Sup|(0)}}={{Strong|x}}{{Sup|(i)}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}^{(1)}=\left(\mathbf{I}-{{2}\over{\beta+\alpha}}\vec{A}\right)\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{b}=\mathbf{x}^{(i)}-{{2}\over{\beta+\alpha}}\left(\mathbf{A}\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{b}\right)\;</MATH>|5.148}} a także dla dowolnego k można powiedzieć dla k=1,2,..,s-1: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}^{(k+1)}=\mathbf{y}^{(k)}+\omega_k\omega_{k-1}(\mathbf{y}^{(k)}-\mathbf{y}^{(k-1)})-{{2}\over{\beta+\alpha}}(1+\omega_k\omega_{k-1})-(\mathbf{A}\mathbf{y}^{(k)}-\mathbf{b})\;</MATH>|5.149}} We wzorach {{LinkWzór|5.148}} i {{LinkWzór|5.149}} możemy zdefiniować liczby &omega;{{Sub|0}}, &omega;{{Sub|1}},... , które wyliczamy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0={{\beta-\alpha}\over{\beta+\alpha}}\;</MATH>|5.150}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{k+1}={{1}\over{2{{\beta+\alpha}\over{\beta-\alpha}}-\omega_k}}\;</MATH>|5.150a}} }} {{Twierdzenie|tekst= Określmy macierz dodatnio określoną i dodatkowo symetryczną, dla której wartości t są określone dla przedziału <&alpha;,&beta;> przy którym &alpha; jest wartością większą niż zero, tak by dla dowolnej wartości początkowej wektora {{Strong|x}}{{Sub|0}} i wektora {{Strong|x}}{{Sup|(1)}},{{Strong|x}}{{Sup|(2)}},..., które są generowane przez ogólny wzór według algorytmu {{LinkWzór|5.149}}, który jest zbieżny do ogólnego rozwiązania {{Strong|A}}{{Strong|x}}={{Strong|b}}. }} {{Dowód|tekst= Algorytm {{LinkWzór|5.149}} wynika z {{LinkWzór|5.143}}, która wynika z p(t)=1-w(t)t, który w miejsce t podstawiamy {{Strong|A}}, wtedy powstaje {{Strong|M}}, to ciąg {{LinkWzór|5.134}} generuje ciąg wektorów zbieżnych do dokładnego rozwiązania {{Strong|A}}{{Strong|x}}={{Strong|b}}. }} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r9pnlzd3jhe2130te88lxour48m90n8 0 22570 558642 479165 2026-10-05T00:18:55Z Persino 2851 558642 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Poznamy tutaj metody obliczania wektorów i wartości własnych dla macierzy o n wierszach i n kolumnach, czyli kwadratowej, a także poznamy metody obliczania wartości własnych dla tej macierzy znając definicję algebry, który można poznać ze standardowego kursu algebry. == Wstęp do obliczania wartości i wektorów własnych dla macierzy kwadratowej == * Wartości i wektory własne dla macierzy kwadratowej o stopniu n, czyli {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}_{n\times n}\;</MATH>}}, oznaczamy kolejno przez {{Strong|x}}, &lambda;, wtedy te wielkości spełniają warunek {{Strong|A}}{{Strong|x}}=&lambda;{{Strong|x}}. * Wartości własne liczymy ze wzoru det({{Strong|A}}-&lambda;{{Strong|I}})=0, który przedstawia wielomian charakterystyczny, który przyrównamy tu do zera. * Gdy rozpatrzymy macierz transponowaną {{Strong|A}}{{Sup|T}}, to jego wektory i wartości własne nazywamy lewostronnymi wartościami i wektorami własnymi. Widmem macierzy {{Formuła|<MATH>A_{n\times n}</MATH>}}, czyli Sp({{Strong|A}}) nazywamy zbiór wartości własnych &lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}. Widma macierzy kwadratowej jego odpowiednika transponowanego są takie same. * Jeśli przez &lambda;{{Sub|L}} oznaczymy wartości własne lewostronne, a przez &lambda;{{Sub|P}} wartości własne macierzy kwadratowej {{Strong|A}}, to wektory własne macierzy {{Strong|A}} i macierz transponowanej {{Strong|A}}{{Sup|T}} są takie, że są do siebie prostopadłe według definicji iloczynu skalarnego, a dowód jego przebiega:<{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|A}}{{Strong|x}}{{Sub|p}}>=&lambda;{{Sub|p}}({{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|x}}{{Sub|P}}), a także zachodzi <{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|A}}{{Strong|x}}{{Sub|p}}>=<{{Strong|A}}{{Sup|T}}{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|x}}{{Sub|P}}=&lambda;{{Sub|L}}<{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|x}}{{Sub|P}}>, stąd odejmując te dwa ostatnie równania otrzymujemy (&lambda;{{Sub|L}}-&lambda;{{Sub|p}})<{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|x}}{{Sub|P}}>=0. * Jeśli wartości własne macierzy {{Strong|A}} są &lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|2}},..,&lambda;{{Sub|n}}, to wartościami własnymi dla wielomianu p(t) przy t={{Strong|A}} są liczby p(&lambda;{{Sub|1}}), p(&lambda;{{Sub|2}}),...,p(&lambda;{{Sub|n}}), to z definicji wspomnianego wielomianu wektory własne macierzy p({{Strong|A}}) są takie same jak wektory własne macierzy {{Strong|A}}. * Gdy &lambda; jest wielomianem charakterystycznym macierzy {{Strong|A}}, który przyrównamy do zera, to {{Strong|A}} musi być macierzą zerową. * Gdy zdefiniujemy macierz {{Strong|P}}, który jest macierzą podobieństwa i zachodzi {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}={{Strong|B}}, to macierze {{Strong|A}} i {{Strong|B}} są do siebie podobne. * Macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{Q}_{m\times n}\;</MATH>}} i m&ge;n jest macierzą ortogonalną, gdy zachodzi warunek {{Formuła|<MATH>\mathbf{Q}^T\mathbf{Q}=I_{n\times n}\;</MATH>}}. * Kolumny i wiersze macierzy ortogonalnej {{Formuła|<MATH>\mathbf{Q}_{n\times n}\;</MATH>}} są wektorami do siebie ortogonalnymi. * Macierz diagonalna {{Strong|D}} jest macierzą podobną do macierzy {{Strong|A}}, gdy istnieje macierz ortogonalna {{Strong|Q}}, która jest macierzą ortogonalnie podobną, taką że zachodzi {{Strong|Q}}{{Sup|T}}{{Strong|A}}{{Strong|Q}}={{Strong|D}}. * Macierze symetryczne {{Strong|A}} mają wektory własne o składowych rzeczywistych i rzeczywiste wartości własne. * Macierz diagonalna {{Strong|D}} jest podobna do macierzy {{Strong|A}} na w sposób {{Strong|D}}={{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}, które są do siebie podobne i mają takie same wartości własne zespolone. * Każda macierz trójkątna, która jest w ogólności macierzą zespoloną, jest macierzą unitarnie podobną do dowolnej macierzy kwadratowej. Zdefiniujmy macierz zwaną macierzą Jordana rzędu k, w której &lambda; jest w ogólności liczbą zespoloną taką, że: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{J}=\begin{bmatrix}\lambda&1&&0\\0&\ddots&\ddots&0\\0&0&\ddots&1\\0&0&&\lambda\end{bmatrix}_{k\times k}\;</MATH>|6.1}} * Jeśli macierze {{Strong|J}}{{Sub|1}},{{Strong|J}}{{Sub|2}},...,{{Strong|J}}{{Sub|r}} będziemy nazywać klatkami Jordana {{LinkWzór|6.1}}, wtedy każdą macierz {{Strong|A}} przy definicji macierzy podobnej {{Strong|P}}, która w ogólności jest macierzą zespoloną, możemy przedstawić w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\begin{bmatrix}\mathbf{J}_1&&&&&&\\&\mathbf{J}_2&&&&0&\\&0&&&&\ddots&\\&&&&&&\mathbf{J}_r\end{bmatrix}\;</MATH>|6.2}} * Kwadrat normy euklidesowej dla normy ||&sdot;||{{Sub|E}} jest większy lub równy sumie kwadratów modułów wartości własnych macierzy {{Strong|A}}. {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2\leq||\mathbf{A}||_E^2\;</MATH>|6.3}} * Widmo macierzy, które jest sumą macierzy {{Strong|A}} i skalaru pomnożonej przez macierz jednostkową jest równa sumie widma wspomnianej macierzy i skalaru c. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Sp}(\mathbf{A}+c\mathbf{I})=\operatorname{Sp}(\mathbf{A})+c\;</MATH>|6.4}} : której powyższe wyrażenie jest zbiorem, którego elementy są sumą liczb &lambda;{{Sub|i}} i stałej "c", czyli &lambda;{{Sub|1}}+c,&lambda;{{Sub|2}}+c,...,&lambda;{{Sub|n}}+c. * Koło domknięte o środku a{{Sub|ii}} i promieniu równej sumie elementów na wierszu bez elementów na diagonali spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{C}_i=\left\{z:|z-a_{ii}|\leq\sum^n_{\overset{j=1}{\underset{j\neq i}{}}}|a_{ij}|\right\}\;</MATH>|6.5}} : to wtedy widmo macierzy A zawiera się sumie zbiorów {{LinkWzór|6.5}} dla wszystkich i od i=1 do n. Jeśli stworzymy zbiór dla k rozłącznych kół określonych według powyższego schematu, to w tak utworzonym zbiorze leży k wartości własnych należącej do macierzy {{Strong|A}}. * Nierówność &rho;({{Strong|A}})&ge;&rho;({{Strong|B}}) zachodzi, gdy moduły elementów macierzy {{Strong|B}} są mniejsze lub równe elementom macierzy {{Strong|A}}. * Jeśli macierz {{Strong|A}} ma wartości własne &lambda;, to macierz {{Strong|B}}={{Strong|A}}-c{{Strong|x}}><{{Strong|x}} ma dokładnie takie same wartości i wektory własne jak macierz {{Strong|A}} dla wektorów własnych różnych od {{Strong|x}}, a dla wektora własnego równego {{Strong|x}} odpowiada jemu wartość własna równa &lambda;-c. == Błędy zaokrągleń dowolnej macierzy wraz z jego wartościami i wektorami własnymi == Będziemy się tutaj zajmować błędami zaokrągleń macierzy {{Strong|A}} i jego wartości własnej, gdy błędy zaokrągleń naszej macierzy dążą do zera, czyli dla <MATH>\overline{\lambda}=\lambda+\delta\lambda\;</MATH> błędy zaokrągleń wartości własnej dążą do zera, czyli dla macierze dokładnej <MATH>\overline{A}=\overline{A}+\delta{A}\;</MATH> przy zanikającym błędach zaokrągleń. Podajmy kilka definicji dotyczącej odległości pomiędzy zbiorami i odległości pomiędzy liczbą a zbiorem. * Odległości pomiędzy widmem macierzy {{Strong|A}} a liczbą "z", czyli zbiorem wartości własnych Sp({{Strong|A}})={&lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}} nazywamy liczbę zdefiniowanej w postaci {{Formuła|<MATH>\min_{i=1,..,n}|z-\lambda_i|\;</MATH>}}, które przedstawimy według oznaczenia dist(z-Sp({{Strong|A}})). * Dla dwóch widm macierzy {{Strong|A}} i macierzy {{Strong|B}}, które są macierzami kwadratowymi, to odległość pomiędzy nimi przy zdefiniowanej wartości własnej dla tychże dwóch wspomnianych macierzy &lambda;{{Sub|i}} i &gamma;{{Sub|i}}{{Sup|p}} jest {{Formuła|<MATH>{\min_p\max_{i=1,...,n}|\lambda_i-\gamma_i^{(p)}|}\;</MATH>}} dla kolejnych wskaźników i=1,2,..,n. *Jeśli błędy zaokrągleń macierzy {{Strong|A}} dążą do zera, to widmo Sp({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}) dąży do widma Sp({{Strong|A}}), wtedy powiemy ||Sp({{Strong|A}})-Sp({{Strong|A}})||{{Sub|&infin;}}→0. * Macierz {{Strong|A}} i macierz diagonalna {{Strong|D}}, jeśli są podobne do siebie, to zachodzi warunek {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}={{Strong|D}}, wtedy odległość wartości własnej macierzy przybliżonej {{Strong|A}} i macierzy dokładnej {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}} jest napisana poprzez oszacowanie dist(&lambda;,Sp({{Strong|A}}))&le;&alpha;, przy której definicję stałej &alpha; jest opisywana poprzez {{Br}}&alpha;=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|P}}||{{Sub|2}}||&delta;{{Strong|A}}||{{Sub|2}}. * Wskaźnik uwarunkowania macierzy {{Strong|A}}, która służy według zadania do wyliczania wartości własnej macierzy {{Strong|A}} podobnej do diagonalnej nazywamy liczbę K{{Sub|2}}=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|P}}||{{Sub|2}}. *Przy macierzy przekształcenia {{Strong|P}} i dowolnej macierzy symetrycznej {{Strong|A}} jest zadaniem dobrze uwarunkowanym, gdy zachodzi K{{Sub|2}}({{Strong|P}})=1. * Przekształcenie jednej macierzy w drugą nazywamy operację matematyczną w postaci formuły {{Strong|B}}={{Strong|R}}{{Strong|A}}{{Strong|R}}{{Sup|-1}}, która to macierz {{Strong|A}} jest macierzą nieosobliwa, co może to pogorszyć lub polepszyć uwarunkowanie wspomnianej macierzy, bo zachodzi K{{Sub|2}}({{Strong|P}})=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|P}}||{{Sub|2}}, a dla macierzy drugiej podobnej do poprzedniej uwarunkowanie macierzy jest równe K{{Sub|2}}=||({{Strong|R}}{{Strong|P}}){{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|R}}{{Strong|P}}||{{Sub|2}}. * Gdy mamy przekształcenie {{Strong|B}}={{Strong|Q}}{{Strong|A}}{{Strong|Q}}{{Sup|T}} przy macierzy ortogonalnej {{Strong|Q}}, to ono nie zmienia uwarunkowana wartości własnych macierzy, tzn. są spełnione warunki ||{{Strong|Q}}{{Strong|P}}||{{Sub|2}}=||{{Strong|P}}{{Sub|2}}|| i ||({{Strong|Q}}{{Strong|P}}){{Sup|-1}}||{{Sub|2}}=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|Q}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}. * Weźmy sobie dwie macierze {{Strong|A}} i {{Strong|D}}, która ta ostatnia macierz jest macierzą diagonalną, a wektory {{Strong|x}}{{Sub|i}} i {{Strong|y}}{{Sub|i}} dla i=1,...,n są odpowiednio wektorami własnymi i wektorami własnymi lewostronnymi wspomnianej macierzy, i oznaczając wartość własną macierzy {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}} przez &gamma;{{Sub|i}}, wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma_i=\lambda_i+\delta^1\lambda_i+\delta^2\lambda_i+o(||\delta\mathbf{A}||^2)\;</MATH>|6.6}} wtedy poszczególne składniki w sumie {{LinkWzór|6.6}} przepisujemy według dwóch schematów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta^1\lambda_i={{\langle\mathbf{y}_i,\delta\mathbf{A}\mathbf{x}_i\rangle}\over{\langle\mathbf{y}_i,\mathbf{x}_i\rangle}}\;</MATH>|6.8}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta^2\lambda_i={{1}\over{\langle\mathbf{y}_i,\mathbf{x}_i\rangle}}\sum^n_{\overset{j=1}{\underset{i\neq i}{}}}{{\langle\mathbf{y}_j,\delta \mathbf{A}\mathbf{x}_i\rangle}\over{\langle\mathbf{y}_i,\mathbf{x}_i\rangle(\lambda_i-\lambda_j)}}\;</MATH>|6.9}} }} Dla dowolnego zaburzenia dla dowolnej macierzy widmo macierzy {{Strong|A}} &gamma;&isin;Sp({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}) przy przekształceniu {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}={{Strong|J}} jest tak napisane, by było spełnione oszacowanie przy definicji &alpha;=K{{Sub|2}}({{Strong|P}})||&delta;{{Strong|A}}||{{Sub|2}}, a także napiszemy wzór dla dostatecznie małych zaburzeń macierzy {{Strong|A}} poprzez oszacowanie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dist}(\gamma,Sp(\mathbf{A}))\leq k\max(\alpha,\sqrt[k]{\alpha})\;</MATH>|6.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dist}(\gamma,Sp(\mathbf{A}))\leq(1+(k-1)\sqrt[k]{\alpha})\sqrt[k]{\alpha}\;</MATH>|6.11}} }} Przejdźmy teraz do dowodu wzoru {{LinkWzór|6.11}}, które przedstawimy przy pomocy macierzy Jordana. Weźmy sobie teraz dowolną macierz {{Strong|A}}, która jest podobna do macierzy Jordana {{Strong|J}} według przekształcenia {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}={{Strong|J}}. Weźmy sobie wartość własną macierzy {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}, czyli &gamma;, którego równanie własne przepisujemy wedle schematu ({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}){{Strong|x}}=&gamma;{{Strong|x}}, wtedy równanie własne macierzy Jordana jest ({{Strong|J}}+{{Strong|P}}{{Sup|-1}}(&delta;{{Strong|A}}{{Strong|P}}){{Strong|y}}=&gamma;{{Strong|y}}, jeśli przyjmować będziemy {{Strong|E}}={{Strong|P}}{{Sup|-1}}(&delta;{{Strong|A}}){{Strong|P}}, wtedy możemy napisać ({{Strong|J}}-&gamma;{{Strong|I}}){{Strong|y}}=-{{Strong|E}}{{Strong|y}}, wtedy lewą stronę ostatnio wspomnianego równania przepisujemy w postaci rozwiniętej: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{J}-\gamma\mathbf{I})=\begin{bmatrix} \mathbf{J}_1-\gamma\mathbf{I}_1&&&\\ &\ddots&\\ &&\mathbf{J}_1-\gamma\mathbf{I}_2&&\\ &&&\ddots&\\ &&&&\mathbf{J}_n-\gamma\mathbf{I}_3&\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.12}} Poszczególne macierze występujące w macierzy {{LinkWzór|6.12}}, czyli {{Strong|J}}{{Sub|m}}-&gamma;{{Strong|I}}{{Sub|m}}, możemy przepisać według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} \lambda_m-\gamma&1\\ 0&\lambda_m-\gamma&1&&0\\ &&\ddots&\ddots&\\ &0&&&\lambda_m-\gamma\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.13}} Macierz odwrotną do macierzy prostej {{Strong|J}}-&gamma;{{Strong|I}} piszemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|6.13}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{J}_m-\gamma\mathbf{I}_m)=\begin{bmatrix} {{1}\over{\lambda_m-\gamma}}&{{1}\over{(\lambda_m-\gamma)^2}}&\cdots&{{(-1)^{k_m-1}}\over{(\lambda_m-\gamma)^{k_m-1}}}\\ 0&{{1}\over{(\lambda_m-\gamma)}}&\cdots&{{(-1)^{k_m-2}}\over{(\lambda_m-\gamma)^{k_m-1}}}\\ &&\ddots&\vdots\\ &0&&{{1}\over{(\lambda_m-\gamma)}}\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.14}} Macierz odwrotną do macierzy {{LinkWzór|6.12}} przy definicji poszczególnych jego kratek {{LinkWzór|6.14}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH> (\mathbf{J}-\gamma\mathbf{I})^{-1}=\begin{bmatrix} (\mathbf{J}_1-\gamma\mathbf{I}_1)^{-1}&\\ 0&\ddots&\\ 0&(\mathbf{J}_2-\gamma\mathbf{I}_2)^{-1}&\\ &0&\ddots\\ &&&(\mathbf{J}_m-\gamma\mathbf{I})^{-1}\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.15}} Ze wzoru powyżej podanego możemy napisać równość {{Strong|y}}=-({{Strong|J}}-&gamma;{{Strong|I}}){{Sup|-1}}{{Strong|E}}{{Strong|y}}, wtedy z definicji normy możemy napisać nierówność, która wynika z ostatniej równości 1&le;||({{Strong|J}}-&gamma;{{Strong|I}}){{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|E}}{{Sub|2}}, wtedy na podstawie tego wyrażenie {{LinkWzór|6.15}} i {{Formuła|<MATH>||\mathbf{M}||_2\leq\sqrt{||\mathbf{M}||_1||\mathbf{M}_{\infty}||}\;</MATH>}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>||(\mathbf{J}-\gamma\mathbf{I})^{-1}||_2\leq{{1}\over{|\lambda-\gamma|}}+{{1}\over{|\lambda-\gamma|^2}}+...+{{1}\over{|\lambda-\gamma|^k}}\;</MATH>|6.16}} Jeśli oznaczymy &rho;=dist(&gamma;,Sp({{Strong|A}})), wtedy wyrażenie {{LinkWzór|6.15}} przepisujemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\rho^k\leq(1+\rho+\rho^2+...+\rho^{k-1})||\mathbf{E}||_2\;</MATH>|6.16a}} Jeśli oznaczymy przez &rho;{{Sup|k}}=k||{{Strong|E}}||{{Sub|2}}, wtedy na pewno dla &rho;&lt;1 powiemy {{Formuła|<MATH>\rho\leq\sqrt[k]{k}\sqrt[k]{||\mathbf{E}||}|_2\leq k\sqrt{\alpha}\;</MATH>}}, a jeśli &rho;>1, wtedy możemy napisać 1+&rho;+..+&rho;{{Sup|k}}&le;k&rho;{{Sup|k-1}}, co za tym idzie &rho;<k&alpha;, wtedy na podstawie tego otrzymujemy ostateczny wzór {{LinkWzór|6.10}}. Gdy &rho; jest dostatecznie małe, tzn. zachodzi warunek &rho;<1, powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>1+\rho+\rho^2+..+\rho^{k-1}\leq 1+(k-1)\rho\leq\left(1+{{(k-1)\rho}\over{k}}\right)^k\;</MATH>|6.17}} Możemy połączyć wzory {{LinkWzór|6.17}} ze wzorem {{LinkWzór|6.16}} i w ostateczności mamy {{LinkWzór|6.11}}. Weźmy sobie wartości własne &lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|m}} dla macierzy {{Strong|A}}, a także mamy wartości własne &gamma;{{Sub|i}} dla macierzy dokładnej {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}. Gdy zaburzenie dąży do zera, to wartości własne macierzy dokładnej i zaokrąglonej dążą do siebie. * Niech wektor własny odpowiadający macierzy zaokrąglonej oznaczymy przez {{Strong|x}}{{Sub|i}}, a wektor własny macierzy dokładnej oznaczmy przez {{Strong|y}}{{Sub|i}}, wtedy minimalna odległość pomiędzy tymi wektorami oznaczymy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_i)=\min_{x\in X_j}||\mathbf{y}_i-\mathbf{x}_i||\;</MATH>|6.18}} Jeśli oznaczymy zbiór wartości własnych przez dim X{{Sub|j}}=1, wtedy iloczyn skalarny pomiędzy nimi określamy poprzez kąt &theta; pomiędzy tymi wektorami, który możemy wyliczyć ze wzoru <{{Strong|y}}{{Sub|i}},{{Strong|x}}{{Sub|i}}>/||{{Strong|x}}{{Sub|i}}||&sdot;||{{Strong|y}}{{Sub|i}}||=sin&theta;. {{Twierdzenie|tekst= Weźmy sobie macierz symetryczną {{Strong|y}}, a także jej wartości własne &lambda;{{Sub|i}}, wtedy odległość pomiędzy wartościami własnymi określamy jako: {{Formuła|<MATH>d=\min_{\overset{j=1,...,n}{\underset{\lambda_j\neq\lambda_i}{}}}\left|\lambda_i-\lambda_j\right|\;</MATH>}}, wtedy dla zaokrągleń wspomnianej macierzy &delta;{{Strong|A}}, dla którego zachodzi &#124;&#124;&delta;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}} dla której to macierzy dokładnej {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}} odpowiadają wartości własne &gamma;{{Sub|i}}, wtedy odległość {{LinkWzór|6.11}} pomiędzy wektorami własnymi macierzy zaokrąglonej i dokładnej jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\mathbf{y}_i,\mathbf{x}_i)\leq{{||\delta\mathbf{A}||}\over{d-||\delta\mathbf{A}||_2}}\;</MATH>|6.19}} }} {{Dowód|tekst= Równanie własne macierzy dokładnej możemy przepisać wedle schematu ({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}){{Strong|y}}{{Sub|i}}=&gamma;{{Sub|i}}{{Strong|y}}{{Sub|i}}, co po przekształceniu mamy: ({{Strong|A}}-&gamma;{{Sub|i}}{{Strong|i}}){{Strong|y}}{{Sub|i}}=-&delta;{{Strong|A}}{{Strong|y}}{{Sub|i}}. Możemy napisać dolne oszacowanie pomiędzy wartościami własnymi macierzy dokładnej i zaokrąglonej &#124;&gamma;{{Sub|i}}-&lambda;{{Sub|i}}&#124;&ge;&#124;&#124;&delta;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}}, wtedy na podstawie tego piszemy &#124;&#124;({{Strong|A}}-&gamma;{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Strong|y}}{{Sup|&perp;}}&#124;&#124;{{Sub|2}}&ge;(d-&#124;&#124;&delta;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}})&#124;&#124;&#124;&#124;{{Strong|y}}{{Sub|i}}{{Sub|i}}{{Sup|&perp;}}&#124;&#124;, co na podstawie tego powiemy: &#124;&#124;{{Strong|y}}{{Sub|i}}&#124;&#124;{{Sub|2}}(d-&#124;&#124;&delta;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}})&ge;&#124;&#124;({{Strong|A}}-&gamma;{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Strong|y}}{{Sup|&perp;}}&#124;&#124;{{Sub|2}}&ge;&#124;&#124;{{Strong|y}}{{Sub|i}}&#124;&#124;{{Sub|2}} &ge;&#124;&#124;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}}). Jeśli oznaczymy przez &rho;({{Strong|y}}{{Sub|i}},{{Strong|x}}{{Sub|i}}), co na podstawie tego możemy napisać {{LinkWzór|6.19}}. }} * Weźmy sobie macierz symetryczną {{Strong|A}}, która jest symetryczna, a także możemy napisać &#124;&#124;{{Strong|r}}&#124;&#124;=&rho;, to wtedy znajduje się co najmniej jedna wartość własna w przedziale {{Formuła|<MATH>\langle\overline{\lambda}-\rho,\overline{\lambda}+\rho\rangle\;</MATH>}}. Dla wartości własnej macierzy, które znajdują się poza tym przedziałem o odległośc co najmniej d>&rho;, wtedy rysujemy {{Formuła|<MATH>\overline{\rho}(\overline{\mathbf{x}},\mathbf{x})\geq{{\rho}\over{d}}\;</MATH>}}, co jest błędem wektora własnego {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{x}}\;</MATH>}} obliczonego zgodnie z {{LinkWzór|6.18}}, przy którym {{Strong|X}}{{Sub|j}}={{Strong|X}} jest podprzestrzenią rozpiętą na wektorach własnych macierzy {{Strong|A}}, które odpowiadają wartością własnym z wyżej podanego przedziału. Korzystając z definicji równania własnego, w którym poszczególne obliczenia są dokonane dokładnie, czyli dla wyrażenia {{Strong|A}}{{Strong|x}}-&lambda;{{Strong|x}}=0, wtedy wektor reszt obliczamy, gdy poszczególne obliczenia w ostatnio wspomnianym równaniu są dokonane w przybliżeniem (zaokrągleniem) sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{fl}(\langle \mathbf{a}^{(i)},\overline{\mathbf{x}}\rangle-\lambda\overline{\mathbf{x}})=a_1^{(i)}x_1(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)(1+\epsilon_3)+a_2^{(i)}x_2(1+\epsilon_4)(1+\epsilon_5)(1+\epsilon_6)+...+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+a_n^{(i)}x_{n}(1+\epsilon_{3n+1})(1+\epsilon_{3n+2})(1+\epsilon_{3n+3})-\lambda\overline{\mathbf{x}}(1+\epsilon_{3n+4})(1+\epsilon_{3n+5})\;</MATH>|6.20}} W obliczeniach {{LinkWzór|6.20}} dokonaliśmy przybliżenia {{Formuła|<MATH>\overline{x}_j=x_j(1+\epsilon_j)\;</MATH>}}. Będziemy przyjmować, że długość słowa binarnego jest bardzo duża, tzn. zachodzi (n+2)&sdot;2{{Sup|-t}}<0,1, wtedy na podstawie tego napiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{r}_i||=\overline{\epsilon}[(n+2)||\mathbf{A}||_{\infty}+3|\lambda|]\leq\overline{\epsilon}(n+5)||\mathbf{A}||_{\infty}\;</MATH>|6.21}} Jeśli będziemy przyjmować {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}=1,06\epsilon\;</MATH>}}, i jeśli będziemy przyjmować, że {{Formuła|<MATH>||\mathbf{r}||_2\leq\sqrt{n}||\mathbf{r}||_{\infty}\;</MATH>}}, wtedy na podstawie rozważań przedstawionym w tym zdaniu i wzoru {{LinkWzór|6.21}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{r}||_2\leq\overline{\epsilon}\left(n^{{{3}\over{2}}}+5n^{{{1}\over{2}}}\right)||\mathbf{A}||_{\infty}\;</MATH>|6.22}} Gdy posiadamy zaokraglone wartości {{Formuła|<MATH>\overline{\lambda}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{x}\;</MATH>}} i obliczenia dokonujemy z użyciem podwójnej precyzji, wtedy dowiadujemy się przy oszacowaniu błędu przy liczeniu wyrażenia {{Strong|Ax}}-&lambda;{{Strong|x}}, że: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{r}||_2\leq\overline{\epsilon}\left(n^{{{1}\over{2}}}||\mathbf{A}||_{\infty}+2n^{{{1}\over{2}}}|\lambda|\right)\leq 3\overline{\epsilon}n^{{{1}\over{2}}}||\mathbf{A}||_{\infty}\;</MATH>|6.23}} == Znajdowanie miejsc zerowych dowolnej macierzy == W przypadku dowolnej macierzy wartości własne leżą w kole {{Strong|C}}{{Sub|i}} o środku w punkcie a{{Sub|ii}} i mającej promień równy promieniowi spektralnemu &rho;({{Strong|A}}). Dla dowolnej macierzy {{Strong|A}} zachodzi &rho;({{Strong|A}})&le;||{{Strong|A}}||{{Sub|p}} przy którym p=1,2,&infin;,E. Wartości własne zatem należą do zbioru {z:|z|&le;||{{Strong|A}}||{{Sub|p}}}. Gdy p=&infin; to oszacowanie wartości własnych piszemy przez |z|&le;||{{Strong|A}}||{{Sub|&infin;}}, ale ponieważ zachodzi Sp({{Strong|A}})=Sp({{Strong|A}}{{Sup|T}}), to również możemy powiedzieć |&lambda;{{Sub|i}}|&le;||{{Strong|A}}||{{Sub|1}}. == Wykorzystanie metod potęgowych przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych i wektorów własnych dla dowolnej macierzy == Metoda potęgowa polega na wyznaczaniu wartości i wektorów własnych dowolnej macierzy {{Strong|A}}. Ta metoda jest bardzo skuteczna. Algorytm ten polega na obraniu dla i=0 dowolnego wektora początkowego {{Strong|x}}{{Sub|i}}, którego norma dla &infin; jest równa jeden, tzn. ||{{Strong|x}}{{Sub|0}}||{{Sub|&infin;}} i dalej ustalamy dalszy krok iteracji. Następnie obliczamy v{{Sub|i+1}}={{Strong|Ax}}{{Sub|i}}, a także m{{Sub|i+1}}=||v{{Sub|i+1}}||{{Sub|&infin;}}. Jesli m{{Sub|i+1}}=0 przerywamy krok iteracji, jeśli nie, to dalszym krokiem iteracji jest: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}_{i+1}={{\mathbf{v}_{i+1}}\over{m_{i+1}}}\;</MATH>|6.24}} Jeśli dalej i+1&ge;ITM, to wtedy algorytm zatrzymujemy, jeśli nie, to przechodzimy do etapu pierwszego liczenia wektora v{{Sub|i+1}}. Okazuje się, że ciąg wektorów {{Strong|x}}{{Sub|0}},{{Strong|x}}{{Sub|2}},...,{{Strong|x}}{{Sub|2j}} jest ciągiem zbieżnym do wektora {{Strong|x}}, który jest wektorem własnym równania własnego macierzy {{Strong|A}}, również ciąg {m{{Sub|i}}} jest zbieżny do pewnej wartości m. Jeśli zachodzi ||{{Strong|x}}{{Sub|j+1}}-{{Strong|x}}{{Sub|j}}||→0, to wtedy mamy {{Strong|Ax}}=m{{Strong|x}}, a jeśli w przeciwnym wypadku ||{{Strong|x}}{{Sub|j+1}}-{{Strong|x}}{{Sub|j}}||{{Sub|&infin;}}→2||{{Strong|x}}||, to wtedy zachodzi {{Strong|Ax}}=-m{{Strong|x}}. Dla tych przypadków &lambda;=m lub &lambda;=-m znajdujemy wektor własny w wyniku powyższych iteracji dla wektora {{Strong|x}}, którego norma jest równa jeden dla p=&infin;. W ogólnym przypadku dla uzyskanego ciągu wektorów własnych {{Strong|x}}{{Sub|2i}} dla macierzy {{Strong|A}}, to może być on rozbieżny. Gdy jednak istnieje przekształcenie {{Strong|P}}, dla której macierz {{Strong|A}} jest podobna do macierzy diagonalnej &lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},..,&lambda;{{Sub|n}}, to wtedy możemy napisać twierdzenie: {{Twierdzenie|tekst= Ogólnie rzecz mówiąc, jeśli mamy wartości własne &lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|2}},..,&lambda;{{Sub|n}}, które są wartościami własnymi macierzy {{Strong|A}}, w których poszczególne elementy są różne, ale mają równe za to moduły, wtedy przy dowolnym wyborze elementu startowego {{Strong|x}}{{Sub|0}} uzyskany ciąg wektorów {{Strong|x}}{{Sub|0}}, {{Strong|x}}{{Sub|2}}, {{Strong|x}}{{Sub|4}},... jest ciągiem zbieżnym do pewnego wektora będącego wektorem własnym macierzy {{Strong|A}}. }} {{Dowód|tekst= Dowód przeprowadźmy dla przypadku macierzy symetrycznej {{Strong|A}}, której wektory własne są wektorami bazy ortogonalnej w przestrzeni {{Strong|R}}{{Sup|n}}, której wektory bazy oznaczymy przez {{Strong|e}}{{Sub|1}}, {{Strong|e}}{{Sub|2}}, {{Strong|e}}{{Sub|3}},...,{{Strong|e}}{{Sub|n}}, której odpowiadają wartości własne &#124;&lambda;{{Sub|1}}&#124;&ge;&#124;&lambda;{{Sub|2}}&#124;&ge;...&ge;&#124;&lambda;{{Sub|n}}&#124;. Oznaczmy wartość początkową wektora iteracji przez {{Strong|x}}{{Sub|0}}=&alpha;{{Sub|1}}{{Strong|e}}{{Sub|1}}+&alpha;{{Sub|2}}{{Strong|e}}{{Sub|2}}+...+&alpha;{{Sub|n}}{{Strong|e}}{{Sub|n}}. Może się zdarzyć, że wszystkie współczynniki liniowości są równe zero oprócz jednej lub wartość własna może być wielokrotna. Weźmy sobie &lambda;=0, wtedy możemy obrać tak {{Strong|x}}{{Sub|0}}, by było można napisać {{Strong|Ax}}{{Sub|0}}=0 dla &#124;&#124;{{Strong|x}}{{Sub|0}}&#124;&#124;=1. Natomiast, gdy &lambda;&ne;0, to wtedy przyjmując oznaczenia {{Strong|a}}=&alpha;{{Sub|i}}{{Strong|e}}{{Sub|i}}+...+&alpha;{{Sub|i+k}}{{Strong|e}}{{Sub|i+k}}, {{Strong|&delta;}}{{Sub|0}}=&alpha;{{Sub|i+k+1}}{{Strong|e}}{{Sub|i+k+1}}+...+&alpha;{{Sub|n}}{{Strong|e}}{{Sub|n}} z powodów oczywistych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0=\mathbf{A}^L(\alpha_i\mathbf{e}_i+....+\alpha_{n}\mathbf{e}_n)=\mathbf{A}(\mathbf{a}+\alpha_{i+k+1}\mathbf{e}_{i+k+1}+...+\alpha_n\mathbf{e}_{i+k+1})=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \lambda^L\mathbf{a}+\lambda_{i+k+1}^L\alpha_{i+k+1}\mathbf{e}_{i+k+1}+...+\lambda_n^L\alpha_n\mathbf{e}_n=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\lambda^L\left(\mathbf{a}+\underbrace{\left({{\lambda_{i+k+1}}\over{\lambda}}\right)^L\alpha_{i+k+1}\mathbf{e}_{i+k+1}+...+\left({{\lambda_{n}}\over{\lambda}}\right)^L\alpha_{n}\mathbf{e}_{n}}_{\mathbf{\delta}_L}\right)\;</MATH>|6.25}} Przyjmując oznaczenia, co do {{Strong|&delta;}}{{Sub|0}}, wówczas możemy napisać z założenia, że wektor {{Strong|&delta;}}{{Sub|0}} dąży do zera, a także że wartości własne macierzy {{Strong|A}} nie rosną wraz z rosnącym wskaźnikiem: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{\delta}_L||_2=\left[\left({{\lambda_{i+k+1}}\over{\lambda}}\right)^{2L}\alpha^2_{i+k+1}+...+\left({{\lambda_n}\over{\lambda}}\right)^{2L}\alpha_n^2\right]^{{{1}\over{2}}}\leq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\leq\left|{{\lambda_{i+k+1}}\over{\lambda}}\right|^{L}\left(\alpha^2_{i+k+1}+...+\alpha_n^2\right)=\left|{{\lambda_{i+k+1}}\over{\lambda}}\right|^{L}||\mathbf{\delta}_0||_2\rightarrow 0\;</MATH>|6.26}} Według obliczeń {{LinkWzór|6.25}} i {{LinkWzór|6.26}} od razu dochodzimy do wniosku, że zachodzą dwie tożsamości, tzn. {{Formuła|<MATH>{{\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0}\over{\lambda^L}}\rightarrow\mathbf{a}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>{{||\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0||_{\infty}}\over{|\lambda|^L}}\rightarrow||\mathbf{a}||_{\infty}\;</MATH>}}, wtedy na podstawie tego powiemy {{Formuła|<MATH>\mathbf{y}_L={{\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0}\over{||\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0||_{\infty}}}(\operatorname{sqn}\lambda)^L\;</MATH>}}, że jest zawsze zbieżny do {{Formuła|<MATH>{{\mathbf{a}}\over{||\mathbf{a}||_{\infty}}}\;</MATH>}}, co jest wektorem własnym macierzy {{Strong|A}} dla wartości własnej &lambda;. Oznaczmy wzór na {{Strong|y}}{{Sub|L}} w postaci {{Strong|y}}{{Sub|L}}={{Strong|x}}{{Sub|L}}(sqn &lambda;), i wtedy mamy dla &lambda;>0, że {{Strong|y}}{{Sub|j}}={{Strong|x}}{{Sub|j}}, i dla &lambda;<0 mamy {{Strong|y}}{{Sub|2j+1}}=-{{Strong|x}}{{Sub|2j+1}}. Dla pierwszego przypadku mamy &#124;&#124;{{Strong|x}}{{Sub|i+1}}-{{Strong|x}}{{Sub|i}}&#124;&#124;→0, a dla drugiego przypadku dostajemy &#124;&#124;{{Strong|x}}{{Sub|i+1}}-{{Strong|x}}{{Sub|i}}&#124;&#124;→2&#124;&#124;{{Strong|x}}&#124;&#124;. }} == Wykorzystanie metod Hessenberga przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych dla dowolnej macierzy == Każdą macierz Hassenberga nazywamy macierz zapisaną w postaci sumy dwóch macierzy, tzn. macierzy trójdiagonalnej {{LinkWzór|5.93|Algebraiczne_sposoby_rozwiązywania_układów_równań_liniowych}} {{Strong|T}} i macierzy trójkątnej górnej {{Strong|U}}, zdefiniowanej według {{Strong|H}}={{Strong|T}}+{{Strong|U}}. Wiadomo jednak h{{Sub|ij}}=0 dla j&lt;i-1. Jeśli jednak potrafimy wyznaczyć wartości własne macierzy {{Strong|H}}, to również potrafimy wyznaczyć wartości własne dowolnej macierzy. Według prostego algorytmy {{Strong|QR}} każdą macierz {{Strong|A}} możemy rozłożyć na iloczyn macierzy ortogonalnej {{Strong|Q}} i macierzy trójkątnej {{Strong|R}}, którą zapisujemy według schematu {{Strong|A}}={{Strong|QR}}. Gdy macierz {{Strong|A}} jest nieosobliwa, to poszczególne kolumnach macierzy {{Strong|Q}} możemy otrzymać dokonując ortogonalizacji macierzy {{Strong|A}} metodą Grama-Schmidta, wtedy kolumny macierzy {{Strong|R}} są zbudowane z współczynników rozwiniecie z ortogonalizowanej macierzy {{Strong|A}}. Zbudujmy teraz iterację, która jest algorytmem {{Strong|QR}}, która opisuje pewien ciąg macierzy {{Strong|H}}={{Strong|H}}{{Sup|(i)}},{{Strong|H}}{{Sup|(i)}},..., która jest zbudowana w postaci dwóch wzorów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i)}=\mathbf{Q}^{(i)}\mathbf{R}^{(i)}\;</MATH>|6.27}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i+1)}=\mathbf{R}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}\;</MATH>|6.28}} }} We wzorach {{LinkWzór|6.27}} i {{LinkWzór|6.28}} wszystkie macierze {{Strong|Q}}{{Sup|(i)}}, a także {{Strong|H}} dla i=1,2,... są na pewno macierzami Hessenerga. Ogólnie rzecz biorąc powyższe dwa wzory możemy połączyć w jedną całość jako: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i+1)}={\mathbf{Q}^{(i)}}^T\mathbf{H}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}\;</MATH>|6.29}} Jeśli mamy wartości własne &lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}, które są parami sprzężone, tzn. mającej równe moduły, wtedy nie wszystkie elementy pod diagonalą dążą do zera. Macierz Hessenberga można otrzymać z ciągu macierzy {{Strong|H}} dla wskaźnika górnego górnego nieskończonego, wtedy otrzymujemy np. macierz: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(\infty)}=\begin{bmatrix} *&*&\cdot&\cdot&\cdot\\ *&*&\cdot&\cdot&\cdot\\ 0&0&*&\cdot&\cdot\\ 0&0&0&*&*\\ 0&0&0&*&*\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.30}} We wzorze {{LinkWzór|6.30}} gwiazdki (*) oznaczają elementy zbieżne, a kropki (&sdot;) oznaczają wartości dążące do ustalonych wartości. Mówiąc ogólnie macierz {{Strong|H}}{{Sup|i}} nie musi mieć ogólnie postaci {{LinkWzór|6.30}}, ale może mieć za to postać: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}=\begin{bmatrix} 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.31}} Mając macierz {{LinkWzór|6.31}} wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|6.29}}, to w wyniku końcowych obliczeń otrzymujemy tożsamości {{Strong|H}}{{Sup|(1)}}={{Strong|H}}{{Sup|2}}=...={{Strong|H}}{{Sup|(i)}} przy macierzy {{Strong|H}} ortogonalnej, to w rozkładzie {{Strong|H}}={{Strong|QR}} macierz {{Strong|R}} występująca w tymże ostatnim wzorze jest macierzą jednostkową. Zbieżność elementów występująca na diagonali w macierzy Hessenberga jest często powolna, aby temu zaradzić możemy dokonać przesunięcia wartości własnych, w ten sposób tworzymy ciąg macierzy {{Strong|H}}{{Sup|(1)}},{{Strong|H}}{{Sup|(2)}},{{Strong|H}}{{Sup|(3)}},..., które definiujemy przy pomocy dwóch wzorów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i)}-k_i\mathbf{I}=\mathbf{Q}^{(i)}\mathbf{R}^{(i)}\;</MATH>|6.32}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i+1)}=\mathbf{R}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}+k_i\mathbf{I}\;</MATH>|6.33}} }} Łącząc wzory {{LinkWzór|6.32}} i {{LinkWzór|6.33}} w jedną całość dostajemy końcowy iteracyjny wzór, który generuje elementy zbieżne do macierzy Hessenberga, którego schemat iteracyjny przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i+1)}={\mathbf{Q}^{(i)}}^T(\mathbf{H}^{(i)}-k_i\mathbf{I})\mathbf{Q}^{(i)}+k_i\mathbf{I}={\mathbf{Q}^{(i)}}^T(\mathbf{H}^{(i)}-k_i\mathbf{I})\mathbf{Q}^{(i)}+{\mathbf{Q}^{(i)}}^Tk_i\mathbf{I}\mathbf{Q}^{(i)}={\mathbf{Q}^{(i)}}^T\mathbf{H}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}\;</MATH>|6.34}} Gdy obierzemy odpowiednio k{{Sub|i}} to otrzymujemy szybszą zbieżność do macierzy Hessenberga {{Strong|H}}{{Sup|(i)}}, współczynniki k{{Sub|i}} dobiera je się w takiej postaci, by one były równe wartością własnym kolejnych elementu ciągu macierzy Hessenberga, tzn. {{Formuła|<MATH>k_i=a_{nn}^{(i)}\;</MATH>}}, gdzie elementy k{{Sub|i}} i k{{Sub|i+1}} są równe kolejnym elementom macierzy kwadratowej dwuwymiarowej usytuowanej w {{Strong|H}}{{Sup|(i)}} w prawym dolnym rogu tejże wspomnianej macierzy. Ale te elementy mogą być również zespolone, wieć rachunki prowadzą do rachunku na macierzach zespolonych, wtedy należy wykonać dwie dalsze iteracje, ale ta metoda zawodzi, gdy mamy doczynienia z macierzami np. {{LinkWzór|6.31}}. == Znajdowanie wartości własnych dowolnej macierzy poprzez doprowadzenie jej do postaci Hessenberga == Istnieje wiele metod sprowadzania dowolnej macierzy {{Strong|A}} do macierzy Hessenberga poprzez wykorzystanie wiadomości o podobieństwie dwóch macierzy przy przekształceniu {{Strong|P}}. Istnieją trzy takie metody, tzn. metoda Householdera, metoda Givensa i na samym końcu metoda eliminacji Gaussa. Pierwsze dwie metody potrzebują {{Formuła|<MATH>{{10}\over{3}}n^3+O(n^2)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{5}\over{3}}n^3+O(n^2)\;</MATH>}} mnożeń w arytmetyce zmiennoprzecinkowej, dzięki której otrzymujemy macierz Hessenberga {{Strong|H}}, której błąd zaokrąglenia jest ||{{Strong|E}}||{{Sub|E}}&le;k{{Sub|2}}&epsilon;n{{Sup|2}}||{{Strong|A}}||{{Sub|E}} dla pierwszej metody oraz ||{{Strong|E}}||{{Sub|E}}&le;k{{Sub|1}}&epsilon;n{{Sup|1/2}}||{{Strong|A}}||{{Sub|E}} dla drugiej metody. Stałe k{{Sub|1}} i k{{Sub|2}} występujące w dwóch ostatnich wzorach są oczywiście rzędu jedynki, które zależą od sposobu zaokrąglania w komputerze, czyli na maszynie cyfrowej. Natomiast liczba mnożeń w metodzie w eliminacji Gaussa jest {{Formuła|<MATH>{{2}\over{3}}n^3+O(n^2)\;</MATH>}}, którego ilość operacji jest istotnie mniejsza niż w poprzednich metodach, i ta metoda jest powszechnie stosowana w obliczeniach numerycznych przy wyznaczaniu wartości własnych dowolnej macierzy {{Strong|A}}. W tej ostatniej metodzie wykonujemy n-2 przekształceń uzyskując macierze {{Strong|A}}={{Strong|A}}{{Sup|(1)}},{{Strong|A}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|A}}{{Sup|(n-1)}}={{Strong|H}}, gdzie ta ostatnia macierz jest macierzą Hessenberga. Macierz {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} w której i-1 początkowych kolumn są również i-1 kolumnami macierzy Hessenberga {{Strong|H}}. Przekształcenie macierzy {{Strong|A}} ze wskaźnika górnego i do wskaźnika górnego i+1 postępujemy w taki sposób, by wybierać element o największym module z elementów {{Formuła|<MATH>a_{i+1,i}^{(i)},a_{i+2,i}^{(i)},...,a_{n,i}^{(i)}\;</MATH>}}, a gdy tychże elementów jest więcej, to wybieramy element pierwszy z nich, a jeśli mamy do czynienia z zerowymi elementami, to powinno być {{Strong|A}}{{Sup|(i)}}={{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}}, dalej wyznaczamy element {{Strong|A}}{{Sup|(i+2)}}. Jeśli element o największym module znajduje się na k-tym wierszu dla k&ge;i, to należy przedstawić k-ty wiersz i i+1-tą kolumną. Dalej liczymy wielkość {{Formuła|<MATH>m_j^{(i)}={{a_{j,i}^{(i)}}\over{a_{i+1,i}^{(i)}}}\;</MATH>}} dla j=i+2,i+3,..,n, które zgodnie z wyborem elementu maksymalnego zachodzi {{Formuła|<MATH>|m_j^{(i)}|\leq 1\;</MATH>}}, co dzięki temu nasza metoda jest numerycznie stabilna. Następnie i+1-ty wiersz odejmujemy od j-tego wiersza pomnożonej przez <MATH>m_j^{(i)}\;</MATH> i j-tą kolumnę dodajemy od i+1-tej kolumny pomnożonej przez {{Formuła|<MATH>m_j^{(i)}\;</MATH>}} dla j=1+2,i+3,..,n, wtedy przy takim postępowaniu uzyskana macierz {{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}} jest podobna do macierzy {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} przy elementach {{Formuła|<MATH>a_{i+2,i}^{(i+1)},a_{i+3,i}^{(i+1)},..,a_{n,i}^{(i+1)}\;</MATH>}}, które przy naszym postępowaniu są równe zero, co oznacza, że i-ta kolumna {{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}} jest taka sama jak i-ta kolumna macierzy Hessenberga {{Strong|H}}. == Przegląd metod wyznaczania wektorów własnych metodą {{Strong|QR}},{{Strong|LR}} i metodą iteracji odwrotnej == Niech macierz {{Strong|P}} jest macierzą przekształcenia, w którym macierz {{Strong|A}} jest podobna do macierzy {{Strong|B}}, jeśli potrafimy wyznaczyć wektory własne według równania {{Strong|Bx}}=&lambda;{{Strong|x}}, to wtedy wektor {{Strong|y}}={{Strong|Bx}} jest wektorem własnym macierzy {{Strong|A}}. Jeśli założymy, że macierz {{Strong|B}} jest macierzą trójkątną górną, ale posiada różne wartości własne, wtedy wartość własna macierzy {{Strong|B}} odpowiada liczba &lambda;{{Sub|i}}=b{{Sub|ii}}, a wektorowi własnemu wektor {{Strong|x}}{{Sup|(i)}}, które te wielkości wyliczamy z formuł: {{CentrujWzór|<MATH>x_j^{(i)}=0\mbox{ dla }j=n,n-2,...,i+1\mbox{ i } x_i^{(i)}=1\mbox{ i }x_j^{(i)}=-{{\left(\sum^i_{k=j+1}b_{jk}x_k^{(i)}\right)}\over{b_{jj}-b_{ii}}}\mbox{ j=i-1,i-2,...,1}\;</MATH>|6.35}} === Wyznaczanie wektorów własnych metodą {{Strong|QR}} === W tej metodzie należy wyznaczyć macierze {{Strong|Q}}{{Sup|(1)}},{{Strong|Q}}{{Sup|(i)}},..., a następnie znając macierz przekształcenia {{Strong|P}} wyznaczyć macierz Hessenberga {{Strong|H}} z macierzy {{Strong|A}} według {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|AP}}={{Strong|H}}. Dalej ze wzorów {{LinkWzór|6.27}} i {{LinkWzór|6.28}} lub ze wzorów {{LinkWzór|6.32}} i {{LinkWzór|6.33}} możemy wyznaczyć macierze {{Strong|H}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|Q}}{{Sup|(i)}}{{Sup|T}}{{Strong|H}}{{Sup|(i)}}{{Strong|Q}}{{Sup|(i)}}, a także wyznaczamy kolejne macierze pomocnicze {{Strong|Z}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|Z}}{{Sup|(i)}}{{Strong|Q}}{{Sup|(i)}} z warunkiem początkowym {{Strong|Z}}{{Sup|(1)}}={{Strong|P}}. Dalej musimy stwierdzić, czy macierz {{Strong|H}}{{Sup|(N)}} ma elementy pod diagonalą dostatecznie bliskie zero, jeśli tak, to możemy przystąpić do wyznaczania wektorów własnych macierzy Hessenberga ze wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}^{(k)}=\mathbf{Z}^{(N)}\mathbf{x}^{(k)}\;</MATH>|6.36}} ===Wyznaczanie wektorów własnych metodą {{Strong|LR}}=== Ta metoda jest bardzo podobna do poprzednio opisywanej metody, tutaj należy wyznaczyć ciąg macierzy {{Strong|A}}={{Strong|A}}{{Sup|(1)}},{{Strong|A}}{{Sup|(2)}},.., które liczymy z formuł dla i=1,2,..., które to {{Strong|L}} i {{Strong|U}} są odpowiednio macierzami trójkątnymi dolnymi i górnymi: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(i)}=\mathbf{L}^{(i)}\mathbf{U}^{(i)}\;</MATH>|6.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(i+1)}=\mathbf{U}^{(i)}\mathbf{L}^{(i)}\;</MATH>|6.38}} }} Kolejne macierze {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} możemy wyznaczyć ze wzoru {{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}}=({{Strong|L}}{{Sup|(i)}}){{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Sup|(i)}}{{Strong|L}}{{Sup|(i)}}m, które są podobne do macierzy {{Strong|}}, który ten wzór wynika ze wzorów {{LinkWzór|6.37}} i {{LinkWzór|6.38}}, gdzie macierze {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} dążą do macierzy trójkątnej. W celu wyznaczenia wektorów własnych dla macierzy {{Strong|A}} trzeba wyznaczyć obiekty {{Strong|Z}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|Z}}{{Sup|(i)}}{{Strong|L}}{{Sup|(i)}} i {{Strong|Z}}{{Sup|(1)}}={{Strong|I}}. Aby otrzymać rozkład {{Strong|A}}{{Sup|(i)}}={{Strong|L}}{{Sup|(i)}}{{Strong|U}}{{Sup|(i)}} należy wykonać {{Formuła|<MATH>{{1}\over{3}}n^3+O(n^2)\;</MATH>}} mnożeń, czyli trzy razy mniej niż przy rozkładzie {{Strong|A}}{{Sup|(i)}}={{Strong|Q}}{{Strong|R}}{{Sup|(i)}}, co sugeruje przewagę tejże metody nad metoda poprzednią, jednak stosując poprzednią metodę wykonujemy mniejszy błąd zaokrągleń, ale natomiast gdy macierz {{Strong|A}} jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną to ta metoda jest stabilna numeryczna i szybsza od poprzednio opisywanej metody. Podobnie jak w poprzedniej metodzie stosuje się tutaj przesunięcie {{Strong|A}}{{Sup|(i)}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}, mając początkowe macierze {{Strong|A}} sprowadzane się je do macierzy Hessenberga, co zmniejsza liczbę obliczeń przy rozkładzie macierzy Hessenberga {{Strong|H}}={{Strong|LU}} przy nakładzie pracy <MATH>_{{{1}\over{2}}n^3+O(n)}\;</MATH>. === Wyznaczanie wektorów własnych metodą iteracji odwrotnej === Metody {{Strong|QR}}, {{Strong|LR}} są bardzo podobne do metody potęgowej, dlatego że w nim następuje znikanie niektórych kolumn macierzy {{Strong|A}} na podstawie jego różnych wartości własnych, ale zbieżność w metodzie potęgowej jest jednak bardzo powolna, ale za to w tychże metodach przy właściwym wyborze przesunięcia k{{Sub|i}}, która jest bliska wartości własnej &lambda;{{Sub|n}}, która jej dobrym przybliżeniem jest element {{Formuła|<MATH>a_{nn}^i\;</MATH>}} następuje zwiększenie zbieżności przy wyznaczaniu wektorów własnych. Szybkość zbieżności jest zależna od {{Formuła|<MATH>{{|\lambda_n-k_i|}\over{|\lambda_{n-1}-k_i}}\;</MATH>}}, następuje wtedy zwiększenie szybkości zbieżności tejże metody. Wartościami własnymi macierzy {{Strong|A}} są zaś liczby &lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|n}}, ...,&lambda;{{Sub|n}} takie, że spełniają nierówności słabe |&lambda;{{Sub|1}}|&ge;|&lambda;{{Sub|2}}|&ge;....&ge;|&lambda;{{Sub|n}}|, to stąd wynika, że wartościami własnymi macierzy odwrotnej do {{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}} są liczby {{Formuła|<MATH>{{1}\over{\lambda_1-k_1}},{{1}\over{\lambda_2-k_1}},..,{{1}\over{\lambda_n-k_1}}\;</MATH>}}, wtedy można tak dobrać k{{Sub|i}}, by uzyskać zbieżność wektorów zależnych od wskaźnika górnego "i" do wektora własnego macierzy {{Strong|A}}, czyli {{Strong|x}} z omówionym powyżej współczynnikiem. Omówmy metodę iteracji potęgowej. Weźmy i=0 i obierzmy taki wektor {{Strong|x}}{{Sub|0}} by był spełniony warunek ||{{Strong|x}}{{Sub|0}}||=1 i ustalamy maksymalną wartość iteracji ITM. Dalej wyznaczamy wektor {{Strong|v}}{{Sub|i+1}}=({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Sup|-1}}{{Strong|x}}{{Sub|i}} i skalar m{{Sub|i+1}}=||{{Strong|v}}{{Sub|i+1}}||{{Sub|&infin;}}, a także również wektor {{Strong|x}}{{Sub|i+1}}={{Strong|v}}{{Sub|i+1}}/m{{Sub|i+1}}. Jeśli i+1&ge;ITM zatrzymujemy algorytm, a jeśli nie, to wtedy poprzedni krok wykonujemy dla i:=i+1. Liczby m{{Sub|1}}, m{{Sub|2}},... są stosowane do wyznaczania wartości własnej &lambda;{{Sub|n}}, tak jak w metodzie potęgowej. Wartość k{{Sub|i}} jest przybliżeniem wartości &lambda;{{Sub|n}}, gdy jednak jest ona dostatecznie bliska do niej, wtedy macierz ({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}) jest oczywiście macierzą źle uwarunkowaną, co prowadzi do dużych błędów numerycznych przy wyznaczaniu wektora {{Strong|v}}{{Sub|i+1}}, a jeśli nasz wektor własny jest dobrze uwarunkowany, wtedy zaokrąglenia przy wyznaczaniu układu równań zapisanej w postaci macierzowej ({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|i}}){{Strong|v}}{{Sub|i+1}}={{Strong|x}}{{Sub|i}} nie będą zbyt duże, bo musimy się zabezpieczyć się by wektor {{Strong|v}}{{Sub|i+1}} był taki by jego norma była dostatecznie duża. Weźmy sobie k{{Sub|i}}=&lambda;{{Sub|n}}+e{{Sub|n}}, by potem można było wyznaczyć wektor {{Strong|v}}{{Sub|i+1}}, w której macierz {{Strong|A}} jest zapisana z pewnym zaokrągleniem, który zapisujemy w postaci układu równań zapisanej w postaci macierzowej ({{Strong|A}}+{{Strong|E}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Strong|v}}{{Sub|i+1}}={{Strong|x}}{{Sub|i}} przy założeniu ||{{Strong|E}}||{{Sub|&infin;}}=e. Napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{A}-\lambda_n\mathbf{I})\mathbf{v}_{i+1}=\left(\mathbf{A}-(k_i-e_n)\mathbf{I}+\mathbf{E}-\mathbf{E}\right)=\left(\mathbf{A}-k_i\mathbf{I}+\mathbf{E}+e_n\mathbf{I}-\mathbf{E}\right)\mathbf{v}_{i+1}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\mathbf{x}_i+(e_n\mathbf{I}-\mathbf{E})\Rightarrow(\mathbf{A}-\lambda_n\mathbf{I}){{\mathbf{v}_{i+1}}\over{||\mathbf{v}_{i+1}||_{\infty}}}=(e_n\mathbf{I}-\mathbf{E}){{\mathbf{v}_{i+1}}\over{||v_{i+1}||_{\infty}}}+{{\mathbf{x}_i}\over{||\mathbf{v}_{i+1}||_{\infty}}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH> \Rightarrow ||(\mathbf{A}-\lambda_n\mathbf{I})\mathbf{x}_{i+1}||_{\infty}\leq(|e_n|+e)+{{1}\over{||\mathbf{v}_{i+1}||_{\infty}}}\;</MATH>|6.39}} Przy opisie {{LinkWzór|6.39}} należy stosować taki układ równań w postaci macierzowej ({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Strong|v}}{{Sub|i+1}}={{Strong|x}}{{Sub|i}}, by norma błędu ||{{Strong|E}}||{{Sub|&infin;}} była mała, ale duży współczynnik uwarunkowania ({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}) nie jest wtedy bardzo groźny, stąd wynika, że wektor reszt ({{Strong|A}}-&lambda;{{Sub|n}}){{Strong|x}}{{Sub|i+1}} jest bardzo mały dla dobrze uwarunkowanego wektora {{Strong|x}}, stąd wynika, że dobrym przybliżeniem jest do niego {{Strong|x}}{{Sub|i+1}}. == Ogólne metody rozkładu dowolnej macierzy na iloczyn macierzy {{Strong|QR}} == Podamy tutaj twierdzenia dotyczące rozkładu macierzy {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|QR}}, a później omówimy metodę rozkładu dowolnej macierzy Grama-Schmidta, Householdera i Givensa. {{Twierdzenie|tekst= Dowolną macierz <MATH>\mathbf{A}_{m\times n}\;</MATH> przy założeniu m&ge;n na k&le;n niezależnych w nim liniowo kolumn, wtedy mamy rozkład {{Strong|A}}={{Strong|QR}}, przy czym macierz <MATH>Q_{m\times k}\;</MATH> jest macierzą ortogonalną, a macierz <MATH>\mathbf{R}_{k\times n}\;</MATH> jest macierzą trapezoidalną górną, tzn. posiadająca elementy zerowe pod diagonalą (r{{Sub|ij}}=0 dla i&le;j), a jeśli mamy doczynienia z macierzą kwadratową {{Strong|A}}, to macierz {{Strong|R}} jest macierzą trójkątną górną. Należy pamiętać, że dowolną macierz <MATH>A_{m\times n}\;</MATH> możemy rozłożyć w sposób jednoznaczny na iloczyn {{Strong|A}}={{Strong|QR}}, to wtedy elementy na diagonali są zawsze dodatnie. }} === Metoda rozkładu dowolnej macierzy {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}} metodą Grama-Schmidta === Poznamy tu rozkład dowolnej macierzy {{Strong|A}} na rozkład macierzy {{Strong|QR}} metodą ortogonalizacji Gramma-Schmidta, które zastosujemy dla naszej macierzy dla kolumn {{Strong|a}}{{Sub|1}}, {{Strong|a}}{{Sub|2}},...,{{Sub|n}}. Obierzmy sobie macierze {{Strong|A}}{{Sup|(1)}}, {{Strong|A}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|A}}{{Sup|(n)}}, które posiadają 1,2,...,.n kolumn macierzy {{Strong|A}}. Jeśli dodatkowo założymy, że pierwsza kolumna naszej macierzy jest niezerowa, to wtedy napiszmy wzory na {{Strong|Q}}{{Sup|(1)}} i na {{Strong|R}}{{Sup|(1)}}, które wykorzystamy do liczenia macierzy {{Strong|A}}{{Sup|(1)}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Q}^{(1)}=\left[{{\mathbf{a}_1}\over{||\mathbf{a}_1||_2}}\right]\;</MATH>|6.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{R}^{(1)}=\left[||\mathbf{a}_1||_2\right]\;</MATH>|6.41}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}=\mathbf{Q}^{(1)}\mathbf{R}^{(1)}\;</MATH>|6.42}} }} Jeśli mamy już macierze początkowe, tzn. {{LinkWzór|6.40}}, {{LinkWzór|6.41}} i {{LinkWzór|6.42}}, to wtedy możemy policzyć następne elementy tychże macierzy, tzn. {{Strong|Q}}{{Sup|(i+1)}}, {{Strong|R}}{{Sup|i+1}}, a na jej podstawie policzyć macierz {{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Q}^{(i+1)}=\left[\mathbf{Q}^{(i)}\mathbf{q}_{i+1}\right]\;</MATH>|6.43}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{R}^{(i+1)}=\begin{bmatrix}\mathbf{R}^{(i)}&\mathbf{r}_{i+1}\\0&\mathbf{s}_{i+1}\end{bmatrix}\;</MATH>|6.44}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(i+1)}=\mathbf{Q}^{(i+1)}\mathbf{R}^{(i+1)}=\left[\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{a}_{i+1}\right]\;</MATH>|6.45}} }} We wzorach {{LinkWzór|6.43}}, {{LinkWzór|6.44}} i {{LinkWzór|6.45}} występują pewne nieznane wielkości, które to wyznaczymy wedle poniższych formuł dla i=1,2,...,n-1: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{r}_{i+1}=\left(\mathbf{Q}^{(i)}\right)^T\mathbf{a}_{i+1}\;</MATH>|6.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{p}_{i+1}=\mathbf{a}_{i+1}-\mathbf{Q}^{(i)}\mathbf{r}_{i+1}\;</MATH>|6.47}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>s_{i+1}=||\mathbf{p}_{i+1}||_2\;</MATH>|6.48}} }} Jeśli s{{Sub|i+1}}=0, to zachodzi równość {{Strong|Q}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|Q}}{{Sup|(i)}}, a jeśli mamy s{{Sub|i+1}}&ne;0, to wtedy możemy napisać {{Strong|q}}{{Sub|i+1}}={{Strong|p}}{{Sub|i+1}}/s{{Sub|i+1}}. Łatwo udowodnić, że macierz {{LinkWzór|6.44}} jest macierzą trapezoidalną, a macierz {{Strong|Q}}{{Sup|(i)}} jest macierzą ortogonalną, a macierz {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} spełnia zależność {{LinkWzór|6.45}}. Wyniku użycia metody Grama-Schmidta jest możliwa utrata ortogonalności macierzy {{Strong|Q}}{{Sup|(i)}} dla i=1,2,..,n w wyniku obliczeń numerycznych, które powstają wyniku zaokrąglenia wyników obliczeń. W tym celu należy przeprowadzić reortogonalizację {{Strong|p}}{{Sub|i+1}}, ale to zwiększa nakład obliczeń numerycznych. Przy rozkładzie macierzy {{Strong|A}}={{Strong|QR}}, która z założenia jest macierzą nieososbliwą należy wykonać <MATH>_{D=n^3-{{1}\over{2}}n^2-{{1}\over{2}}n}\;</MATH> dodawań i <MATH>_{M=n^3+n}\;</MATH> i "n" pierwiastkowań, które wykonujemy bez ponownej reorogonalizacji. === Metoda rozkładu dowolnej macierzy {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}} metodą Householdera === Weźmy sobie macierz kwadratową {{Strong|H}} o k wierszach i k kolumnach przy zdefiniowanym wektorze {{Strong|u}}={{Strong|z}}-&alpha;||{{Strong|z}}||{{Sub|2}}{{Strong|e}}{{Sub|1}} i definicji liczby &tau;=||{{Strong|z}}||{{Sub|2}}{{Sup|2}}-&alpha;({{Strong|z}},{{Strong|e}}{{Sub|1}}): {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}=\mathbf{I}-{{1}\over{\tau}}\mathbf{u}\rangle\langle\mathbf{u}\;</MATH>|6.49}} Macierz zdefiniowana w punkcie {{LinkWzór|6.49}} nazywamy macierzą Householdera. Podziałajmy macierzą {{LinkWzór|6.49}} na wektor {{Strong|z}}=[z{{Sub|1}},z{{Sub|2}},...,z{{Sub|k}}]{{Sup|T}} przy wyżej podanych definicjach {{Strong|u}} i &tau;: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}\mathbf{z}=\mathbf{z}-{{1}\over{\tau}}\mathbf{u}(\mathbf{u},\mathbf{z})=\mathbf{z}-\mathbf{u}{{||\mathbf{z}||_2^2-\alpha(\mathbf{z},\mathbf{e}_1)}\over{||\mathbf{z}||_2^2-\alpha(\mathbf{z},\mathbf{e}_1)}}=\mathbf{z}-\mathbf{u}=\mathbf{z}-(\mathbf{z}-\alpha||\mathbf{z}||_2\mathbf{e}_1)=\alpha||\mathbf{z}||_2\mathbf{e}_1\;</MATH>|6.50}} Aby pominąc błędy zaokrągleń spowodowane dzieleniem, która podowują nadmierny wzrost błędów numerycznych należy tak obrać odpowiednią liczbę &tau;, wtedy wprowadza się definicję stałej &alpha; w postaci: &alpha;=-sqn z{{Sub|1}}, co powoduje &alpha;=-1 dla z{{Sub|1}}&ge;0 i &alpha;=1 dla z{{Sub|1}}<0. Macierz przekształcenia {{Strong|P}}{{Sup|(1)}}={{Strong|H}}{{Sup|(1)}} ustala pierwszą kolumnę <MATH>\mathbf{a}_1^{(1)}\;</MATH> macierzy {{Strong|A}} zapisaną w postaci schematu: <MATH>\alpha^{(1)}||\mathbf{a}_1^{(1)}||_2[1,0,...,0]^T_{1\times n}\;</MATH> do macierzy przekształcenia. Zdefiniujmy sobie macierz powstałej z iloczynu lewostronnego macierzy przekształceń o wskaźnikach i=1,...,n-1 i macierzy {{Strong|A}} wedle definicji {{Strong|P}}{{Sup|(n-1)}}{{Strong|P}}{{Sup|(n-2)}}....{{Strong|P}}{{Sup|(2)}}{{Strong|P}}{{Sup|(1)}}{{Strong|A}}={{Strong|R}}. Zdefiniujmy macierz przekształcenia o wskaźniku górnym dwa jako:<MATH>\mathbf{P}^{(2)}=\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf{H}^{(2)}\end{bmatrix}\;</MATH>, wtedy macierz {{Strong|H}}{{Sup|(2)}} stworzona jest na podstawie wierszy i kolumn macierzy {{Strong|P}}{{Sup|(1)}}{{Strong|A}} o numerach i=2,..,n, w której pierwszą kolumną jest <MATH>\mathbf{a}_1^{(2)}\;</MATH>, którą jeśli podziałamy macierzą {{Strong|H}}, to wtedy mamy <MATH>\mathbf{H}^{(2)}\mathbf{a}_1=\alpha^{(n-1)}||\mathbf{a}_1^{(2)}||_2[1,0,...,0]^T_{1\times n-1}\;</MATH>. Mając <MATH>\mathbf{z}=\mathbf{a}_1^{(1)}\;</MATH>, to możemy podstawić za {{Strong|z}} do równania {{LinkWzór|6.49}} i w ten sposób otrzymać <MATH>\hat{H}^{(2)}\;</MATH>. Idąc dalej: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{P}^{(n-1)}=\begin{bmatrix} 1&&&&\\ 0&\ddots\\ &&1&\\ &&&\mathbf{H}^{(n-1)} \end{bmatrix}\;</MATH>|6.51}} wtedy macierz {{Strong|H}}{{Sup|(n-1)}} stworzona jest na podstawie wierszy i kolumn macierzy {{Strong|P}}{{Sup|(n-2)}}...{{Strong|P}}{{Sup|(2)}}{{Strong|A}} o numerach n-1 i n, w której pierwszą kolumną jest <MATH>\mathbf{z}=\mathbf{a}_1^{(n-1)}\;</MATH>, którą podziałamy macierzą {{Strong|H}}, otrzymujemy <MATH>\hat{H}^{n-1}\mathbf{z}=\alpha^{(n-1)}||\mathbf{a}_1^{(n-1)}||_2[1,0]^T\;</MATH>, mając {{Strong|z}} podstawiamy go do {{LinkWzór|6.49}}, w ten sposób otrzymujemy {{Strong|H}}{{Sup|(n-1)}}. Na podstawie powyższych rozważań możemy rozłożyć macierz {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}}, czyli {{Strong|A}}={{Strong|QR}}, wtedy poszczególne czynniki w tym iloczynie piszemy według jego definicji {{Strong|Q}}={{Strong|P}}{{Sup|(1)}}{{Strong|P}}{{Sup|(2)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|P}}{{Sup|(n-1)}} oraz {{Strong|R}}={{Strong|Q}}{{Sup|T}}{{Strong|A}}. === Metoda rozkładu dowolnej macierzy {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}} metodą Givensa === Metoda Givensa jest bardzo podobna do metody Householdera. Weźmy sobie wektor <MATH>\mathbf{z}=[z_1,z_2,..,z_k]^T\;</MATH>, a wynik działania macierzy Givensa na wektor {{Strong|z}} przedstawiamy &alpha;||{{Strong|z}}||{{Sub|2}}&sdot;[1,0,...,0]{{Sup|T}}, tzn. dla &alpha;=&plusmn;1 mamy {{Strong|Gz}}=&alpha;||{{Strong|z}}||{{Sub|2}}{{Strong|e}}{{Sub|1}}. Macierz Givensa definiujemy sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{G}^{(j)}=\begin{bmatrix} 1&\\ 0&\ddots&&&&0&\\ &&c^{(j)}&s^{(j)}&\\ &&s^{(j)}&-c^{(j)}&\\ &0&&&&\ddots&\\ &&&&&&1\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.52}} W macierzy {{LinkWzór|6.52}} są tak odpowiednio dobrane liczby c{{Sup|(j)}}, s{{Sup|(j)}}, by podczas działania macierzy {{Strong|G}}{{Sup|(j)}} na wektor pionowy <MATH>\mathbf{z}^{(j)}=[z_1^{(j)},...,z_j^{(j)},z_{j+1}^{(j)},...,z_n^{(j)}]^T\;</MATH>, by j+1 współrzędna wyniku działania była równa zero. Opisane tutaj liczby wyznaczamy według schematów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho_1=\sqrt{\left(z_j^{(j)}\right)^2+\left(z_{j+1}^{(j)}\right)^2}\;</MATH>|6.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2=\alpha\rho_1\mbox{ dla }\alpha=\pm 1\;</MATH>|6.54}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}c^{(j)}=z_j^{(j)}/\rho_2\\s^{(j)}=z_{j+1}^{(j)}/\rho_2\end{cases}\mbox{ dla }\rho_1\neq 0\;</MATH>|6.55}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}c^{(j)}=1\\s^{(j)}=0\end{cases}\mbox{ dla }\rho_1=0\;</MATH>|6.56}} }} Napiszmy macierz {{Strong|G}} jako iloczyn macierzy Givensa o wskaźnikach górnych i=2,...,n, którego definicja jest {{Strong|G}}={{Strong|G}}{{Sup|(2)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|G}}{{Sup|(n-1)}}{{Strong|G}}{{Sup|(n)}}. Podczas działania macierzy {{Strong|G}}{{Sup|(n)}} na wektor pionowy {{Strong|n}} wyzerowuje jego element z{{Sub|n}}, i tak idąc dalej do końca macierz {{Strong|G}}{{Sup|(2)}}, który podczas działania na wektor {{Strong|z}} wyzerowuje element z{{Sub|2}} do zera. Utwórzmy sobie macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{G}_1=\mathbf{G}_1^{(2)}\mathbf{G}_1^{(3)}\cdot....\cdot\mathbf{G}_1^{(n)}\;</MATH>}}, który podczas działania na wektor <MATH>\mathbf{a}_1^{(1)}\;</MATH> (jest to pierwsza kolumna macierzy {{Strong|A}}) otrzymujemy wynik {{Formuła|<MATH>\alpha^{(1)}||\mathbf{a}_1^{(2)}||_2[1,0,...,0]^t_{1\times n}\;</MATH>}}. Weźmy sobie macierz {{Strong|G}}{{Sub|2}}, który to działamy na wektor pionowy {{Formuła|<MATH>\mathbf{a}_1^{(2)}\;</MATH>}} (jest to pierwsza kolumna utworzonej macierzy o n-1 wierszach i kolumnach położonej w prawym dolnym rogu macierzy {{Strong|G}}{{Sub|1}}{{Strong|A}}) otrzymujemy wynik {{Formuła|<MATH>\alpha^{(2)}||\mathbf{a}_1^{(2)}||\cdot[1,0,....,0]^T_{1\times(n-1)}\;</MATH>}}. Na samym końcu zbudujmy sobie macierz {{Strong|G}}{{Sub|n-1}} podczas działania na wektor <MATH>\mathbf{a}_1^{(n-1)}\;</MATH>, który jest macierzą o wymiarze 2x2 utworzoną z wierszy i kolumn macierzy {{Strong|G}}{{Sub|n-2}}{{Strong|G}}{{Sub|n-1}}...{{Strong|G}}{{Strong|A}} otrzymujemy wektor {{Formuła|<MATH>\alpha^{(n-1)}||\mathbf{a}_1^{(n-1)}||_2\cdot [1,0]^T\;</MATH>}}. Podczas rozkładu macierzy {{Strong|A}} na iloczyn {{Strong|Q}} i {{Strong|R}} otrzymujemy przy dokonanych obliczeniach przy powyższym schemacie otrzymujemy następujące ich definicje {{Formuła|<MATH>\mathbf{Q}=(\mathbf{G}_1^{(n)}\mathbf{G}_1^{(n-1)}\cdot ....\cdot\mathbf{G}^{2}_1)(\mathbf{G}_2^{(n)}\mathbf{G}_2^{(n-1)}\cdot ....\cdot\mathbf{G}_{2}^{(2)})\cdot ...\cdot \mathbf{G}_{n-1}^{(2)}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\mathbf{R}=\mathbf{Q}^T\mathbf{A}\;</MATH>}}. Liczba operacji potrzebna do wyznaczenia macierzy Givensa i macierzy {{Strong|R}} jest w postaci {{Formuła|<MATH>M={{4}\over{3}}n^3-{{4}\over{3}}n\;</MATH>}} mnożeń i {{Formuła|<MATH>D={{2}\over{3}}n^3-{{1}\over{2}}n^2-{{1}\over{6}}n\;</MATH>}} dodawań i {{Formuła|<MATH>{{1}\over{2}}n^2-{{1}\over{2}}n\;</MATH>}} pierwiastkowań. == Wyznaczenie wartości własnej dla symetrycznej trójdiagonalnej macierzy == Macierz trójdiagonalna jest definiowana wedle schematu {{LinkWzór|5.93|Algebraiczne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych}}, a dodatkowo jeśli jest symetryczna, to jego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{T}=\begin{bmatrix} b_1&a_1&&0&\\ a_2&b_2&a_2&&\\ 0&a_3&b_3&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ &0&&a_n&b_n \end{bmatrix}\;</MATH>|6.57}} Omówimy tutaj dwie metody, tzn. metodę bisekcji i metodę {{Strong|QR}} jako metody wyznaczania odpowiednich wartości własnych. === Wyznaczanie wartości własnych dla trójdiagonalnej macierzy symetrycznej metodą bisekcji === Weźmy sobie dowolną liczbę &lambda;, wtedy możemy napisać wielomian charakterystyczny &omega;(&lambda;)=det({{Strong|A}}-&lambda;{{Strong|I}}). Ponieważ co do założenia macierzy {{Strong|A}} wielomian &omega;(&lambda;) możemy wyznaczyć ze związków rekurencyjnych zapisanej w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0(\lambda)=1\;</MATH>{{Br}}<MATH>\omega_1(\omega)=b_1-\lambda\;</MATH>{{Br}}<MATH>\omega_i(\lambda)=(b_i-\lambda)\omega_{i-1}-a_i^2\omega_{i-2}(\lambda)\mbox{ dla }i=2,3,...,n\;</MATH>{{Br}}<MATH>\omega(\lambda)=\omega_n(\lambda)\;</MATH>|6.58}} * Jeśli wszystkie elementy a{{Sub|2}}, a{{Sub|3}},...,a{{Sub|n}} są niezerowymi wartościami, to macierz {{LinkWzór|6.57}} ma wszystkie wartości własne różne od siebie, a także na podstawie {{LinkWzór|6.57}} można wygenerować ciąg wartości zależnych od &lambda;, tzn. &omega;{{Sub|0}}(&lambda;), &omega;{{Sub|1}}(&lambda;),...,&omega;{{Sub|n}}(&lambda;), które dla &omega;{{Sub|i}}(&lambda;), gdy i<n, spełniają warunki &omega;{{Sub|i-1}}(&lambda;)&omega;{{Sub|i+1}}(&lambda;)<0, lub gdy spełniony jest warunek &omega;{{Sub|n}}(&lambda;)&ne;0, to liczba zmian znaków opisywanego powyżej ciągu, dla i=1,..,n, jest równa liczbie wartości własnych macierzy {{LinkWzór|6.58}}. A ponadto gdy &omega;{{Sub|n}}(&lambda;)=0, to &lambda; jest wartością własną macierzy {{LinkWzór|6.58}}, i tyle jest wartości własnych oczywiście mniejszych niż &lambda;, ile nastąpiło zmian znaków ciągu dla naszego powyżej opisywanego ciągu dla i=0,..,n-1. Powyższa metod chociaż jest metodą stabilną, ale poszczególne elementy ciągu &omega;{{Sub|0}}(&lambda;), &omega;{{Sub|1}}(&lambda;),...,&omega;{{Sub|n}}(&lambda;) mogą osiągać zbyt duże wartości, nawet dla małych liczb naturalnych "n", co następuje, gdy wartość &lambda; odbiega zbytnio od wartości własnych macierzy {{LinkWzór|6.57}}, z tego względu ciąg generowany przez algorytm {{LinkWzór|6.58}} przekształcamy w ciąg p{{Sub|i}}: {{Formuła|<MATH>p_1(\lambda)={{\omega_1(\lambda)}\over{\omega_0(\lambda)}},...p_n(\lambda)={{\omega_n(\lambda)}\over{\omega_{n-1}(\lambda)}}\;</MATH>}}, wtedy jego poszczególne elementy są generowane przez ciąg wynikającego z przekształconego algorytmu {{LinkWzór|6.58}}, jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_1(\lambda)=b_1-\lambda\;</MATH>|6.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_i(\lambda)=(b_i-\lambda)-a_i^2/p_{i-1}(\lambda)\mbox{ dla }i=2,..,n\;</MATH>|6.60}} }} Gdy ciąg generowany {{LinkWzór|6.60}} ma element p{{Sub|i-1}} równy zerowy, to ten nasz algorytm musi ulec modyfikacji. Wyznaczmy dokładną wartość wyrażenia p{{Sub|i}}(&lambda;), który to przepisujemy znając zaokrągloną wartość b{{Sub|i}}, a{{Sub|i}} i p{{Sub|i-1}}, na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{fl}(p_i(\lambda))=b_i(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_3)-\lambda(1+\epsilon_2)(1+\epsilon_3)-{{a_i^2}\over{p_{i-1}(\lambda)}}(1+\epsilon_4)(1+\epsilon_5)(1+\epsilon_6)\;</MATH>|6.61}} Liczba zmian znaków elementu dokładnego fl(p{{Sub|i}}(&lambda;)) jest równa liczbie zmian znaków {{LinkWzór|6.61}} podzielonej przez (1+&epsilon;{{Sub|2}})(1+&epsilon;{{Sub|3}}), bo podzielenie przez to wyrażenie nie zmienia znaku powyższego wyrażenia, co wtedy tak otrzymane wyrażenie, a właściwie jej prawą stronę piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>b_i{{1+\epsilon_1}\over{1+\epsilon_2}}-\lambda-{{a_i^2}\over{p_{i-1}(\lambda)}}{{(1+\epsilon_4)(1+\epsilon_4)(1+\epsilon_6)}\over{(1+\epsilon_2)(1+\epsilon_3)}}\;</MATH>|6.62}} Oszacowania, co do błędów poszczególnych elementów {{LinkWzór|6.57}}, które powstają podczas zaokrąglania, są napisane jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|\delta b_i|<2,04\epsilon|b_i|\;</MATH>|6.63}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|\delta a_i|<2,06\epsilon|a_i|\;</MATH>|6.64}} }} Ze wzorów {{LinkWzór|6.63}} i {{LinkWzór|6.64}} wynika ||&delta;{{Strong|T}}||{{Sub|&infin;}}<2,06&epsilon;||{{Strong|T}}||{{Sub|&infin;}}. Weźmy sobie początkowy przedział {{Formuła|<MATH>\langle\alpha^{(0)},\beta^{(0)}\rangle\;</MATH>}}, który dzielimy pokolei na m części i obierzemy przez wartość t jako środek ostatniego przedziału i mając wartość własną &lambda;{{Sub|k}} możemy napisać jego oszacowanie: {{CentrujWzór|<MATH>|t-\lambda_k|<||\delta\mathbf{T}||_{\infty}+(\beta^{(0)}-\alpha^{(0)})\cdot 2^{-m-1}\;</MATH>|6.65}} Jeśli dodatkowo przyjmować będziemy &beta;{{Sup|(0)}}=||{{Strong|T}}||{{Sub|&infin;}} i &alpha;{{Sup|(0)}}=-||{{Strong|T}}||{{Sub|&infin;}}, to wzór {{LinkWzór|6.65}} na podstawie oszacowania &delta;{{Strong|T}} mamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|t-\lambda_k|<(2,06\epsilon+2^{-m})||\mathbf{T}||_{\infty}\;</MATH>|6.66}} Jeśli wyznaczymy wartości własne opisane metodą powyżej, to możemy przystąpić do liczenia poszczególnych składowych wektora własnego macierzy {{LinkWzór|6.57}} według sposobu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x_1=1\;</MATH>|6.67}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>x_2={{(\lambda-b_1)}\over{a_2}}\;</MATH>|6.68}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>x_{i+1}={{[(\lambda-b_i)x_i-a_ix_{i-1}]}\over{a_{i+1}}}\mbox{ dla } i=2,3...,n-1\;</MATH>|6.69}} }} ===Uzyskiwanie rozkładu macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą {{Strong|QR}}=== Weźmy sobie macierz trójdiagonalną {{Strong|T}} {{LinkWzór|6.57}}, którą będziemy rozkładać na iloczyn dwóch macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}}, wtedy możemy napisać iloczyn macierzy trójdiagonalnej {{Strong|P}}{{Sup|(1)}}, {{Strong|P}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|P}}{{Sup|(n-1)}} i macierzy {{Strong|A}}, który jest macierzą {{Strong|R}}, zapisywanej jako {{Strong|P}}{{Sup|(n-1)}}{{Strong|P}}{{Sup|(n-2)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|P}}{{Sup|(2)}}{{Strong|P}}{{Sup|(1)}}{{Strong|T}}={{Strong|R}}. Jeśli podziałamy macierzą {{Strong|P}}{{Sup|(1)}} na macierz trójdiagonalną {{Strong|T}}, to ona ma za zadanie wyeliminować w macierzy {{Strong|T}} element t{{Sub|21}} do zera. Macierzą {{Strong|P}}{{Sup|(1)}} może być zarówno macierzą Householdera {{Strong|H}}{{Sup|(1)}} {{LinkWzór|6.49}}, jak i macierzą Givensa {{Strong|G}}{{Sup|(2)}}. Wektor {{Strong|u}} jest tak zdefiniowany by miał dwie początkowe składowe. Obie te macierze, tzn. macierz Householdera lub Givensa, możemy zapisać znając elementy "a" i "b" w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} a&b&&&\\ b&-a&&0&\\ &&1\\ &0&&\ddots\\ &&&&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|6.70}} którym składowe element a i b w obu metodach odpowiednio różnią się znakiem. A więc metody Householdera i Givensa są na pewno równoważne w tym przypadku. Dla metody Givensa macierze {{Strong|R}} i {{Strong|Q}} są zapisywane jako: {{Strong|R}}={{Strong|G}}{{Sup|(n)}}{{Strong|G}}{{Sup|(n-1)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|G}}{{Sup|(3)}}{{Strong|T}}={{Strong|R}} i {{Strong|Q}}={{Strong|G}}{{Sup|(2)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|G}}{{Sup|(n)}}, która ta ostatnia macierz jest macierzą Hessenberga. Jeśli wymnożymy wszystkie czynniki przez siebie w macierzy {{Strong|Q}} i w {{Strong|R}}, to w ostateczności otrzymamy macierze w jego pełnych formach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Q}=\begin{bmatrix} p_1\beta_1&p_2\beta_1&\cdots&\cdots&p_n\beta_1\\ s_2&p_2\beta_2&\cdot&\cdots&p_n\beta_2\\ &s_3&\ddots&\\ &0&\ddots&\ddots\\ &&&s_n&p_n\beta_n\\ \end{bmatrix} \;</MATH>|6.71}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{R}=\begin{bmatrix} r_1&p_1&q_1&0&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&q_{n-2}\\ &0&&\ddots&p_{n-1}\\ &&&&r_n \end{bmatrix}\;</MATH>|6.72}} }} Poszczególne elementy pełnej macierzy {{Strong|Q}}, tzn. p{{Sub|i}}, &beta;{{Sub|i}} i s{{Sub|i}} możemy zdefiniować wedle schematu w formie: {{Tabelka|opcje=width=80%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|1)}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>p_1=c_2\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\beta_1=1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\alpha_1=s_2\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\gamma_1=s_2\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|2)}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>p_j=c_{j+1}\alpha_{j-1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\gamma_j=s_{j+1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\beta_j=-c_j/\alpha_{j+1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\alpha_j=s_{j+1}\alpha_{j-1}\;</MATH>}}}}<-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=3|3)}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>p_n=\alpha_{n-1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\beta_n=-c_n p_n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Odwróćmy teraz kolejność mnożenia w przedstawianiu macierzy {{Strong|T}} , wtedy otrzymujemy inną macierz {{Formuła|<MATH>\tilde{\mathbf{T}}=\mathbf{R}\mathbf{Q}\;</MATH>}}, ale ona powinna być podobna ortogonalnie do macierzy {{Strong|T}} {{LinkWzór|6.57}} według schematu {{Strong|RQ}}={{Strong|Q}}{{Sup|T}}{{Strong|TQ}}, wtedy na podstawie tego przedstawienie tej naszej macierzy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\mathbf{T}}=\begin{bmatrix} r_1c_2+p_1s_2&*&\\ r_2s_2&\ddots&*&0&\\ &\ddots&\ddots&*\\ 0&\ddots&\ddots&&*\\ &&r_ns_n&-c_{n-1}r_{n-1}&c_n+p_{n-1}s_n\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.73}} Podczas rozkładu macierzy {{Strong|T}} {{LinkWzór|6.57}} na iloczyn {{Strong|QR}} należy wykonać M=9n-9 mnożeń, D=3n-3 dodawań i n-1 pierwiastkowań. Dodatkowo, aby obliczyć macierz <MATH>\tilde{\mathbf{T}}=\mathbf{R}\mathbf{Q}\;</MATH> wedle jego schematu {{LinkWzór|6.72}} należy wykonać M=4n-1 mnożeń i D=n dodawań. Ilość pamięci jakie są zużywane do wyznaczenia macierzy {{Strong|R}} I {{Strong|g}}{{Sup|(2)}},....,{{Strong|G}}{{Sup|(n)}} jest 4n-3 komórek pamięci maszyny cyfrowej. == Sprowadzanie dowolnej macierzy symetrycznych do postaci trójdiagonalnej == Okazuje się, że można sprowadzić dowolną macierz {{Strong|A}} do postaci trójdiagonalnej symetrycznej, tzn. istnieje taka macierz przekształcenia {{Strong|P}}, dzięki któremu jest to możliwe. === Wyznaczanie macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą Householdera === Obierzmy sobie macierze {{Strong|P}}{{Sup|(1)}}, {{Strong|P}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|P}}{{Sup|(n-2)}}. Pierwszą macierz tego ciągu macierzy przekształceń piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{P}^{(1)}=\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf{H}^{(1)}\end{bmatrix}\;</MATH>|6.74}} Właściwości macierzy {{Strong|H}}{{Sup|(i)}} zostały omówione w rozdziale [[#Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Householdera|Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Householdera]]. Zdefiniujmy macierz {{Strong|M}}{{Sup|(2)}}, który wychodzi z macierzy {{Strong|A}}, którą będziemy doprowadzać do postaci diagonalnej: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}^{(2)}=\mathbf{P}^{(1)}\mathbf{A}\mathbf{P}^{(1)}=\begin{bmatrix} b_1&\begin{matrix}a_1&0&\cdots&0\end{matrix}\\ \begin{matrix}b_1\\a_1\\0\\ \vdots\\0\end{matrix}&\mathbf{A}^{(2)}_{(n-1)\times(n-1)}\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.75}} Obierzmy sobie drugą macierz przekształcenia zapisanej przy pomocy macierzy {{Strong|H}}{{Sup|(2)}} obraną w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{P}^{(2)}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&\mathbf{H}^{(2)}\end{bmatrix}\;</MATH>|6.76}} wtedy możemy obliczyć macierz {{Strong|M}}{{Sup|(3)}} otrzymaną z macierzy {{Strong|M}}{{Sup|(2)}} poprzez macierz przekształcenia {{Strong|P}}{{Sup|(2)}} otrzymywaną na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}^{(3)}=\mathbf{P}^{(2)}\mathbf{M}^{(2)}\mathbf{P}^{(2)}=\begin{bmatrix} \begin{matrix} b_1&a_1&|\\ a_1&b_2&|\\ 0&a_2&|\\ \vdots&0&|\\ \vdots&\vdots&|\\ 0&0&|\\ \end{matrix}&\begin{matrix}\begin{matrix}0&\cdots&\cdots&0\\ a_2&0&\cdots&0\end{matrix}\\ \\ \mathbf{A}^{(3)}_{(n-2)\times(n-2)}\\ \\ \\ \end{matrix} \end{bmatrix}\;</MATH>|6.77}} Gdy wykonamy n-2 przekształceń macierzy {{Strong|A}} otrzymujemy w końcu {{Strong|M}}{{Sup|(n-1)}}={{Strong|T}}, czyli macierz trójdiagonalną symetryczną. Macierze {{Strong|H}}{{Sup|(i)}} są macierzami Householdera zapisnych w postaci macierzy {{LinkWzór|6.49}}. Aby wyznaczyć macierz {{Strong|H}}{{Sup|(i)}}{{Strong|A}}{{Strong|H}}{{Sup|(i)}} należy policzyć wektor <MATH>\mathbf{w}^{(i)}={{1}\over{\tau^{(i)}}}\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{u}^{(i)}\;</MATH>, a także <MATH>\mathbf{v}^{(i)}=\mathbf{w}^{(i)}-{{1}\over{2\tau^{(i)}}}\langle\mathbf{u}^{(i)},\mathbf{w}\rangle\cdot\mathbf{u}^{(i)}\;</MATH>. Wykorzystując definicję macierzy Householdera {{LinkWzór|6.49}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i)}\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{H}^{(i)}=\left(\mathbf{I}-{{1}\over{\tau^{(i)}}}\mathbf{u}^{(i)}\rangle\langle\mathbf{u}^{(i)}\right)\mathbf{A}^{(i)}\left(\mathbf{I}-{{1}\over{\tau^{(i)}}}\mathbf{u}^{(i)}\rangle\langle\mathbf{u}^{(i)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \mathbf{A}^{(i)}-{{1}\over{\tau^{(i)}}}\left(\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{u}^{(i)}\right){\mathbf{u}^{(i)}}^T-{{1}\over{\tau^{(i)}}}({\mathbf{u}^{(i)}})\left({\mathbf{u}^{(i)}}^T\mathbf{A}^{(i)}\right)+{{1}\over{(\tau^{(i)})^2}}\mathbf{u}^{(i)}({\mathbf{u}^{i}}^T\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{u}){\mathbf{u}^{(i)}}^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{w}^{(i)}{\mathbf{u}^{(i)}}^T-\mathbf{u}^{(i)}{\mathbf{w}^{(i)}}^T+{{1}\over{\tau^{(i)}}}\mathbf{u}^{(i)}\left({\mathbf{u}^{(i)}}^T\mathbf{w}^{(i)}\right){\mathbf{u}^{(i)}}^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \mathbf{A}^{(i)}-{\mathbf{u}^{(i)}}\left(\mathbf{w}^{(i)}-{{1}\over{2\tau^{(i)}}}\langle\mathbf{u}^{(i)},\mathbf{w}^{(i)}\rangle\mathbf{u}^{(i)}\right)^T-\left(\mathbf{w}^{(i)}-{{1}\over{2\tau^{(i)}}}\mathbf{u}^{(i)}\langle\mathbf{u}^{(i)},\mathbf{w}^{(i)}\rangle\right){\mathbf{u}^{(i)}}^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{u}^{(i)}\rangle\langle\mathbf{v}^{(i)}-\mathbf{v}^{(i)}\rangle\langle\mathbf{u}^{(i)}</MATH>|6.78}} Obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|6.78}} bardzo są potrzebne do obliczania pokolei macierzy {{Strong|M}}{{Sup|(i)}}. Aby wyznaczyć trójdiagonalną symetryczną macierz należy dokonać {{Formuła|<MATH>M={{2}\over{3}}n^3+O_1(n^2)\;</MATH>}} mnożeń i {{Formuła|<MATH>D={{2}\over{3}}n^3n^3+O_2(n^2)\;</MATH>}} dodawań oraz n-2 pierwiastkowań. Błąd w tej metodzie wyznaczania macierzy dokładnej {{Strong|T}} w jego przybliżonej wersji <MATH>\tilde{\mathbf{T}}\;</MATH> jest: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{T}-\tilde{\mathbf{T}}||_E\leq 2k_1n^2\epsilon\left(1+k_1\epsilon n\right)^{2n}||\mathbf{A}||_E\;</MATH>|6.79}} Stała k{{Sub|1}} we wzorze {{LinkWzór|6.79}} zależy od sposobu zaokrąglania na typowej maszynie cyfrowej i dla typowej maszyny cyfrowej jej wartość jest k{{Sub|1}}=20. === Wyznaczanie macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą Givensa === Przy wyznaczaniu macierzy {{Strong|P}}{{Sup|(i)}}, która jest macierzą przekształcenia, musimy skorzystać z macierzy Givensa opracowanej w punkcie: {{sr|#Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Givensa|b=tak}}, i na jej podstawie mamy macierze przekształcenia, co w rezultacie mamy ciąg {{Strong|M}}{{Sup|(2)}},{{Strong|M}}{{Sup|(3)}},...,{{Strong|M}}{{Sup|(n-1)}}={{Strong|T}}. W tej metodzie dokonaliśmy {{Formuła|<MATH>M={{4}\over{3}}n^3+O_1(n^2)\;</MATH>}} mnożeń i {{Formuła|<MATH>D={{2}\over{3}}n^3+O_2(n^2)\;</MATH>}} dodawań, a także {{Formuła|<MATH>{{1}\over{2}}n(n-1)\;</MATH>}} pierwiastkowań. Błąd w tej metodzie wyznaczania macierzy dokładnej {{Strong|T}} w jego przybliżonej wersji {{Formuła|<MATH>\tilde{\mathbf{T}}\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{T}-\tilde{\mathbf{T}}||_E\leq 12n^{{3}\over{2}}\epsilon\left(1+6\epsilon\right)^{4n-7}||\mathbf{A}||_E\;</MATH>|6.80}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 7sg6anxkip79op3hhncade3skintuaq 0 22757 558643 490970 2026-10-05T00:29:15Z Persino 2851 558643 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się zajmować układem m równań różniczkowych, których rozwiązaniem są funkcje y{{Sub|i}}=y{{Sub|i}}(x) dla i=1,...,m z warunkiem początkowym y{{Sub|i}}(x{{Sub|0}})=y{{Sub|i,0}}, przedstawionych jako: {{CentrujWzór|<MATH>{{dy_i}\over{dx}}=f_i(x,y_1,...,y_m)\;</MATH>|7.1}} Jeśli będziemy dodatkowo przyjmować jeszcze oznaczenia, co do wektora {{Strong|y}}, {{Strong|f}} i {{Strong|y{{Sub|0}}}}, których schemat jest: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}=\begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{bmatrix}\;</MATH>|7.2}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{f}=\begin{bmatrix}f_1\\\vdots\\f_m\end{bmatrix}\;</MATH>|7.3}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}_0=\begin{bmatrix}y_{1,0}\\\vdots\\y_{m,0}\end{bmatrix}\;</MATH>|7.4}} }} Przy oznaczeniach {{LinkWzór|7.2}}, {{LinkWzór|7.3}} i {{LinkWzór|7.4}} układ równań różniczkowych {{LinkWzór|7.1}} zapisujemy w postaci jednego równania różniczkowego: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\mathbf{y}}\over{dx}}=\mathbf{f}(x,\mathbf{y})\;</MATH>|7.5}} Równanie {{LinkWzór|7.5}} dla m=1 przechodzi w równanie skalarne. Przyjmijmy, że funkcja {{Strong|f}}(x,{{Strong|y}}) jest ciągła w zbiorze {{Strong|D}}={(x,{{Strong|y}}):{{Strong|x}}{{Sub|0}}&le;x&le;b,{{Strong|y}}&isin;{{Strong|R}}{{Sup|m}}}. Zakładamy, że funkcja {{Strong|f}}(x,{{Strong|y}}) wcześniej podanym zbiorze spełnia warunek Lipschitza względem zmiennej wektorowej {{Strong|Y}}, których dla dowolnych <MATH>\mathbf{y},\tilde{\mathbf{y}}\in \mathbf{R}^n\;</MATH>, jeśli istnieje takie L dla x&isin;<x{{Sub|0}},b>, że jest spełniony warunek: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{f}(x,\mathbf{y})-\mathbf{f}(x,\tilde{\mathbf{y}})||\leq L||\mathbf{y}-\tilde{\mathbf{y}}||\;</MATH>|7.6}} Można udowodnić, że przy powyższych założeniach istnieje przynajmniej jedno rozwiązanie zagadnienia {{LinkWzór|7.5}}. Rozwiązanie {{Strong|y}}{{Sub|n}} będziemy wyznaczać, jeśli będziemy znali rozwiązania {{Strong|y}}{{Sub|n}}.,{{Strong|y}}{{Sub|n-1}},...,{{Strong|y}}{{Sub|n-k}} dla k&ge;0 przy zdefiniowanych punktach iteracji x{{Sub|i}}=x{{Sub|0}}+ih, w których będziemy wyznaczać funkcję {{Strong|f}}(x,{{Strong|y}}). Fakt takiego wyznaczania wyznaczania naszej funkcji wektorowej piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}_n(h,\mathbf{y}_{n-k},...,\mathbf{y}_n;\mathbf{y}_{n+1})=0\;</MATH>|7.7}} Ponieważ rozwiązania {{Strong|y}}{{Sub|i}} wyznaczaliśmy z pewnym błędem, bo krok h jest skończony, a nie nieskończenie mały, to z prawej stronie w {{LinkWzór|7.7}} powinna być pewna liczba ogólnie niezerowa przy zastąpieniu y{{Sub|i}} przez ciąg wartości dokładnych Y{{Sub|i}}(x). Nazwijmy ten wektor jako {{Strong|T}}{{Sub|n}}, wtedy tą wielkość możemy przepisać do postaci liczby, która jest błędem wyznaczania wspomnianej wcześniej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{T}_n=h^{p+1}\gamma_p+O(h^{p+2})\;</MATH>|7.8}} We wzorze {{LinkWzór|7.8}} wielkość &gamma;{{Sub|n}} jest wielkością stałą niezerową, a liczba "p" jest liczbą zwana rzędem dokładności lub też zwana też jest rzędem metody przybliżonej. == Rozwiązywanie układu równań różniczkowych metodą Eulera == Najbardziej prostą i łatwą metodą jest metoda Eulera, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego wektorowego {{LinkWzór|7.5}}, a jego przedstawienie jest: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+h\mathbf{f}(x_n,\mathbf{y}_n)\mbox{ dla }n\geq 1\;</MATH>|7.9}} Będziemy się zajmować tutaj tą metoda tylko dla przypadku m=1. Weźmy sobie rozwiązanie dokładne rozwiązania {{LinkWzór|7.5}}, który wraz z błędem T{{Sub|n}} przedstawiamy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Y}_{n+1}=\mathbf{Y}_n+hf(x_n,Y_n)+T_n\mbox{ gdzie }T_n={{1}\over{2}}h^2Y^{''}(\xi_n)\mbox{ dla }\xi_n\in(x_n,x_{n+1})\;</MATH>|7.10}} Przyjmując oszacowanie błędu &epsilon;{{Sub|n}}=Y{{Sub|n}}-y{{Sub|n}}, wtedy odejmując równanie {{LinkWzór|7.9}} od {{LinkWzór|7.10}} otrzymujemy równanie, do którego wykorzystamy warunek Lipschitza, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{n+1}=\epsilon_n+h[f(x_n,Y_n)-f(x_n,y_n)]+T_n\leq(1+hL)|\epsilon_n|+|T_n|\mbox{ gdzie }|T_n|\leq{{1}\over{2}}h^2M_2=T\;</MATH>{{Br}}<MATH>\mbox{ przy }M_2=\max_{\langle x_0,b\rangle}|Y^{''}(x)|\;</MATH>|7.11}} Rozwińmy rekurencję {{LinkWzór|7.11}} aż do samego parametru &epsilon;{{Sub|0}}, który jest błędem wyznaczania wartości y{{Sub|0}}, w rezultacie otrzymujemy błąd bezwzględny wartości elementu y{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>|\epsilon_{n}|\leq(1+hL)|\epsilon_{n-1}|+T\leq(1+hL)^2|\epsilon_{n-2}|+T+(1+hl)T\leq\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\leq(1+hL)^n|\epsilon_0|+T+T(1+hL)^2+...+T(1+hL)^{n-1}=T{{(1+hL)^n-1}\over{hL}}+(1+hL)^n|\epsilon_0|\;</MATH>|7.12}} Ponieważ zachodzi 1+u<e{{Sup|u}} dla u>0, to równość {{LinkWzór|7.12}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>|\epsilon_n|\leq {{T}\over{hL}}\left(e^{L(x_n-x_0)}-1\right)+e^{L(x_n-x_0)}|\epsilon_0|\mbox{ dla } nh=x_n-x_0\;</MATH>|7.12a}} Przyjmijmy oszacowanie &epsilon;{{Sub|0}}=0 i wzór na T {{LinkWzór|7.11}}, wtedy wzór na błąd rozwiązania przybliżonego pisujemy w zależności od wskaźnika "n" i wartości początkowej x{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>|\epsilon_n|\leq{{1}\over{2}}{{M_2}\over{L}}h\left(e^{L(x_n-x_0)}-1\right)\;</MATH>|7.13}} Jeśli z oszacowania mamy h→0, to dla ustalonego punktu x (x-x{{Sub|0}}=nh, n→&infin;, h→0) wartość y{{Sub|n}} dąży do wartości dokładnej Y(x), a szybkość jego zbieżności do wartości dokładnej jest O(h). == Wprowadzenie do metod różnicowych == Niech "h" będzie krokiem całkowania, a a{{Sub|i}}, b{{Sub|i}} będą liczbami rzeczywistymi, wtedy możemy zbudować metodę różnicową, w którym za pomocą pewnych poprzednich wartości funkcji y{{Sub|i}} i argumentów x{{Sub|i}} możemy napisać następną wartość funkcji, przy pomocy równania: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=\sum_{i=1}^ka_iy_{n+1-i}+h\sum_{i=1}^kb_if(x_{n+1-i},y_{n+1-i})\mbox{ dla }n\geq k-1\;</MATH>|7.14}} Dla k&ge;1 metodę {{LinkWzór|7.14}} możemy tą metodę zastosować do rozwiązywania wartości równania różniczkowego {{LinkWzór|7.1}}. Powyższą metodę stosujemy, gdy mamy elementy x{{Sub|1}},..,x{{Sub|k-1}}, ale warunek początkowy gwarantuje nam tylko wartość funkcji w punkcie x{{Sub|0}}, zatem aby wyznaczyć te nasze brakujące punkty należy posłużyć się innymi metodami. Gdy b{{Sub|0}}=0, to powyższą metodę nazywamy wzorek ekstrapolacyjnym jawnym. Natomiast jeśli b{{Sub|0}}&ne;0, to powyższy wzór przy pomocy wzoru {{LinkWzór|7.1}} dla dokładnych obliczeń możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>0=Y_{n+1}-\sum_{i=1}^ka_iY_{n+1-i}-h\sum_{i=1}^kb_iY^'_{n+1-i}-T_n\;</MATH>|7.15}} Wyrazy Y{{Sub|n+1-i}} możemy rozłożyć w szereg Tayllora w otoczeniu punktu x{{Sub|n+1-k}}, wtedy współczynniki A{{Sub|i}} przy tych wyrazach przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_0=1-\sum_{i=1}^ka_i\;</MATH>|7.16}} {{CentrujWzór|<MATH>A_s={{((n+1-0)-(n+1-k))^s}\over{s!}}-\sum_{i=1}^k{{((n+1-i)-(n+1-k))^s}\over{s!}}a_i-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum_{i=1}^kb_i{{((n+1-i)-(n+1-k))^{s-1}}\over{(s-1)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{k^s}\over{s!}}-\sum_{i=1}^k{{(k-i)^s}\over{s!}}a_i-\sum_{i=1}^kb_i{{(k-i)^{s-1}}\over{(s-1)!}}\mbox{ dla }s\geq 1\mbox{ i }0^0=1\;</MATH>|7.17}} Jeśli A{{Sub|i}}=0 i=0,1,...p, ale A{{Sub|p+1}}&ne;0, to metoda {{LinkWzór|7.14}} przy współczynnikach {{LinkWzór|7.16}} i {{LinkWzór|7.17}} nazywamy metodą różnicową rzędu p, ponadto błąd metody różnicowej wyznaczamy przy pomocy formuły: {{CentrujWzór|<MATH>T_n=A_{p+1}h^{p+1}Y_{n-1-k}^{(p-1)}+O(h^{p+2})\;</MATH>|7.18}} Metodę różnicową nazywamy zbieżną, gdy dla nh=x-x{{Sub|0}} mamy spełniony warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\overset{h\rightarrow 0}{\underset{n\rightarrow\infty}{}}}y_n=Y(x)\;</MATH>|7.19}} {{Twierdzenie|tekst= Warunkiem koniecznym zbieżności metody różnicowej jest, gdy współczynniki A{{Sub|0}} i A{{Sub|1}} są równe zero. }} === Analiza błędów === Błąd rozwiązania przybliżonego {{Formuła|<MATH>\tilde{y}_n\;</MATH>}} względem rozwiązania dokładnego Y{{Sub|n}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_n=Y_n-\tilde{y}\;</MATH>|7.20}} Równanie iteracyjne określająca wartość dokładną iteracyjną przy błędzie iteracji T{{Sub|n}}, określamy na całym przedziale, w której chcemy wyznaczyć rozwiązanie równania {{LinkWzór|7.1}}, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>Y_{n+1}=\sum_{i=1}^ka_iY_{n+1-i}+h\sum_{i=1}^kb_if(x_{n+1-i},Y_{n+1-i})+T_n\;</MATH>|7.21}} Równanie iteracyjne na ciąg {{Formuła|<MATH>\tilde{y}_n\;</MATH>}} z błędem powstałym w wyniku przybliżeń na maszynie cyfrowej określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{y}_{n+1}=\sum_{i=1}^ka_i\tilde{y}_{n+1-i}+h\sum_{i=1}^kb_if(x_{n+1-i},\tilde{y}_{n+1-i})-\delta_n\;</MATH>|7.22}} Wzory {{LinkWzór|7.21}} i {{LinkWzór|7.22}} odejmujemy je od siebie i wykorzystujemy wzór {{LinkWzór|7.20}} i zakładając, że B{{Sub|n}}=T{{Sub|n}}+&delta;{{Sub|n}}, a także przyjmując oznaczenie {{Formuła|<MATH>\eta_{n+1-i}=f(x_{n+1-i},Y_{n+1-i})-f(x_{n+1-i},\tilde{y}_{n+1-i})\;</MATH>}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{n+1}=\sum_{i=1}^ka_i\epsilon_{n+1-i}+h\sum_{i=0}^kb_i\eta_{n+1-i}+B_n\;</MATH>|7.23}} Będziemy wykorzystywać twierdzenie o wartości średniej, w ten sposób zmienną &eta;{{Sub|n+1-i}} możemy przepisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_{n+1-i}=f(x_{n+1-i},Y_{n+1-i})-f(x_{n+1-i},\tilde{y}_{n+1-i})=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=f_y(x_{n+1-i},\tilde{y}_{n+1-i},\epsilon_{n+1-i},\theta_{n+1-1})\mbox{ dla }\theta_i\in (0,1)\;</math>|7.24}} Biorąc pod uwagę obliczenia {{LinkWzór|7.24}}, a także biorąc pod uwagę obliczenia {{LinkWzór|7.23}} i przenosząc wyraz o wskaźniku i=0 w pierwszej sumie po prawej jego stronie na jej lewą stronę, w ten sposób otrzymujemy schemat dla n&ge;k-1: {{CentrujWzór|<MATH>[I-hb_0f_y(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1},\epsilon_{n+1},\theta_{n+1}]\epsilon_{n+1}=\;</MATH>{{Br}}<math>=\sum_{i=1}^k[a_iI+hb_if_y(x_{n+1-i},\tilde{y}_{n+1-i},\epsilon_{n+1-i},\theta_{n+1-i})]\epsilon_{n+1-i}+B_n\;</MATH>|7.25}} Weźmy sobie, że pochodna funkcji f{{Sub|y}} względem zmiennej y jest równa parametrowi &Lambda; i jest równa pewnej stałej, tzn. {{Strong|&Lambda;}}=f{{Sub|y}}=const, która jest macierzą o stopniu m na m, bo mamy m równań {{LinkWzór|7.1}} i m wartości x{{Sub|i}}, dla i=1,..,m, co to można podstawić tak wytłumaczony wzór do {{LinkWzór|7.25}} i otrzymać bardziej prostą do wyglądu równanie w porównaniu do poprzedniego dla n&ge;k-1: {{CentrujWzór|<MATH>[\mathbf{I}-hb_0\mathbf{\Lambda}]\mathbf{\epsilon}_{n+1}=\sum_{i=1}^k[a_i\mathbf{I}+hb_i\mathbf{\Lambda}]\mathbf{\epsilon}_{n+1-i}+B\;</MATH>|7.26}} Będziemy zakładać, że {{Formuła|<MATH>\left(\sum_{i=0}^kb_i\right)det\Lambda\neq 0\;</MATH>}}, to rozwiązaniem równania {{LinkWzór|7.33}} przy założeniu, że A{{Sub|0}} {{LinkWzór|7.16}} jest równe zero, aby ciąg wartości {{LinkWzór|7.14}} dążył do zera, przy n nieskończonym i malejącej różnicy h pomiędzy punktami x{{Sub|i}}, czyli był zbieżny, co stąd wynika, że równanie {{LinkWzór|7.26}} generuje ciąg &epsilon;{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_n=-{{1}\over{h\sum_{i=0}^kb_i}}\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{B}\;</MATH>|7.27}} Przyjmijmy natomiast &lambda;=&Lambda;, wtedy na podstawie tego równość {{LinkWzór|7.26}} dla przypadku m=1 przyjmuje kształt: {{CentrujWzór|<MATH>(1-h\lambda b_0)\epsilon_{n+1}=\sum_{i=1}^k(a_i+h\lambda b_i)\epsilon_{n+1-i}\;</MATH>|7.28}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|7.28}} jest rozwiązaniem zależne od stałej &mu; i parametru n, i go przedstawiamy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_n=\mu^n\;</MATH>|7.29}} Rozwiązanie {{LinkWzór|7.29}} podstawiamy do równania {{LinkWzór|7.28}} i go obustronnie dzielimy przez &mu;{{Sup|n+1}} i mnożymy przez &mu;{{Sup|k}}, w ten sposób otrzymujemy ostatecznie równanie: {{CentrujWzór|<MATH>(1-h\lambda b_0)\mu^k=\sum_{i=1}^k(a_i+h\lambda b_i)\mu^{k-1}\;</MATH>|7.29a}} Równanie charakterystyczne {{LinkWzór|7.29a}} może mieć k różnych pierwiastków {{Formuła|<MATH>\mu_1^n,...,\mu_k^n\;</MATH>}}, wtedy rozwiązaniem równania {{LinkWzór|7.29a}}, czyli &epsilon;{{Sub|n}} jest rozwiązaniem w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_n^1=c_1\mu_1^n+...+c_k\mu_k^n\;</math>|7.30}} A jeśli równanie {{LinkWzór|7.29}} ma pierwiastki jednokrotne, a także różniące się od siebie, to rozwiązanie &epsilon;{{Sub|n}} równania {{LinkWzór|7.29}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_n=(c_1+c_2n+..+c_sn^{s-1})\mu_0^n+c_{s+1}\mu_{s+1}^n+...+c_k\mu_k^n\;</MATH>|7.31}} Natomiast, jeśli {{LinkWzór|7.29}} zawiera pierwiastki zespolone, to taki pierwiastek tego równania zapiszemy w postaci cosinusów i sinusów jako: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=|\mu|(\cos\theta\pm j\sin\theta)\Rightarrow\mu^n=|\mu|^n(\cos n\theta\pm i\sin n\theta)\;</MATH>|7.32}} To rozwiązaniem równania {{LinkWzór|7.28}}, gdy jego pierwiastki mogą być niektóre zespolone, piszemy przy pomocy obliczeń {{LinkWzór|7.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_n=(c_1\cos n\theta+c_2\sin n\theta)|\mu_1|^n+c_1\mu_3^n+...+\mu_k^n\;</MATH>|7.33}} Zajmijmy się teraz rozwiązaniem równania {{LinkWzór|7.26}}, gdy m&ne;1, wtedy wzór na &epsilon;{{Sub|n}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{\epsilon}_n=\mu^n\mathbf{v}\;</MATH>|7.34}} Wtedy wzór {{LinkWzór|7.34}} możemy podstawić do ostatnio wspomnianego równania, wtedy przy oznaczeniu: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}(\mu)=[\mathbf{I}-hb_0\mathbf{\Lambda}]\mu^k-\sum_{i=1}^k[a_i\mathbf{I}+hb_i\mathbf{\Lambda}]\mu^{k-i} \;</MATH>|7.35}} Wtedy przy powyższym oznaczeniu możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}(\mu)\mathbf{v}=\mathbf{0}\;</MATH>|7.36}} Aby rozwiązanie {{LinkWzór|7.36}} miało niezerowe rozwiązania {{Strong|v}}, to musi zachodzi z wiadomości z algebry: {{CentrujWzór|<MATH>det\mathbf{M}(\mu)=0\;</MATH>|7.37}} Wzór {{LinkWzór|7.34}} jest rozwiązaniem równania jednorodnego {{LinkWzór|7.36}}, przy definicji macierzy {{Strong|M}}(&mu;) {{LinkWzór|7.35}}, której wyznacznik się zeruje i on ma się w postaci funkcji zależnej od "km" i od &mu;{{Sub|s}}, a także zależy od otrzymanej bazy wektorów naszego rozważanego równania jednorodnego, całkowite rozwiązanie jest jego kombinacją liniową: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{\epsilon}_n=\sum_{s=1}^{km}c_s\mu_s^n\mathbf{v}_s\;</math>|7.38}} Dokonajmy przekształcenia macierzy {{LinkWzór|7.35}}, w taki sposób by do niego otrzymać macierz podobną, która jest macierzą trójkątną górną, w której na diagonali występują wartości własne, według {{Formuła|<MATH>\tilde{\mathbf{M}}(\mu)=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{M}(\mu)\mathbf{P}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\mathbf{M}}(\mu)=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{M}(\mu)\mathbf{P}=[(\mathbf{I}-hb_0\tilde{\mathbf{\Lambda}})\mu^k-\sum_{i=1}^n(a_i\mathbf{I}+hb_i\tilde{\mathbf{\Lambda}})\mu^{k-i}]\;</MATH>|7.39}} Rozwiązaniem równania własnego {{LinkWzór|7.36}} przy macierzy {{LinkWzór|7.39}}, gdy wyznacznik z macierzy {{LinkWzór|7.39}} jest równy zero, wtedy równanie, z którego będziemy wyznaczać {{Formuła|<MATH>\mu_i^n\;</MATH>}}, ma kształt dla j=1,...,m: {{CentrujWzór|<MATH>(1-h\lambda_jb_0)\mu^k=\sum_{i=1}^k(a_i+h\lambda_jb_i)\mu^{k-1}\;</MATH>|7.40}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|7.40}} jest bardzo podobne do {{LinkWzór|7.29}}, dlatego go będziemy podobnie rozwiązywać. === Stabilność metody różnicowej i jej zbieżność do granicy === Zbadajmy rozwiązanie dla m=1, i napiszmy pochodną funkcji "y" względem wartości "y", którego to równanie przedstawimy wychodząc od {{LinkWzór|7.1}} przy założeniu, że funkcja "f" jest wprost proporcjonalna do wartości funkcji "y": {{CentrujWzór|<MATH>y^'=\lambda y\;</MATH>|7.41}} Wtedy równość {{LinkWzór|7.41}} możemy podstawić do równania różnicowego {{LinkWzór|7.14}}, co w końcu do niego podstawimy y{{Sub|k}}=&mu;{{Sup|k}} otrzymując z niego wynikające równanie charakterystyczne w drugiej równości: {{CentrujWzór|<MATH>(1-h\lambda b_0)y_{n+1}=\sum_{i=1}^k(a_i+h\lambda b_i)y_{n+1-i}\Rightarrow (1-h\lambda b_0)\mu^k=\sum_{i=1}^k(a_i+h\lambda b_i)\mu^{k-i}\;</MATH>|7.42}} Równanie {{LinkWzór|7.42}} jest bardzo podobne do równania {{LinkWzór|7.28}}, a więc tak samo będziemy rozwiązywać. Jego rozwiązanie jest: {{CentrujWzór|<MATH>y_n=d_1\mu_1^n+...+d_k\mu_k^n\;</MATH>|7.43}} Jeśli metoda różnicowa jest rzędu p, to pierwiastek charakterystyczny, który wynika z równania charakterystycznego wychodzącego od {{LinkWzór|7.42}}, możemy przedstawić w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_1=e^{\lambda h}+O(h^{p+1})\Rightarrow \mu_1^n=(e^{\lambda h}+O(h^{p+1}))^n=e^{n\lambda h}+O(h^{p+1})\;</MATH>|7.44}} Współczynniki d{{Sub|i}} w {{LinkWzór|7.43}} wynikają z "k" warunków początkowych. Wartość y{{Sub|i}} dąży do y{{Sub|0}} przy h dążącym do zera dla i=1,...,k-1. Aby wyznaczyć współczynnik d{{Sub|1}}(h) należy je obliczyć według: {{CentrujWzór|<MATH>d_1=d_1(h)={{\begin{vmatrix}y_0&1&\cdot&1\\y_1&\mu_2&\cdot&\mu_k\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\y_{k-1}&\mu_2^{k-1}&\cdots&\mu_k^{k-1}\end{vmatrix}}\over{\begin{vmatrix}1&1&\cdot&1\\\mu_1&\mu_2&\cdot&\mu_k\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\\mu^{k-1}_1&\mu_2^{k-1}&\cdots&\mu_k^{k-1}\end{vmatrix}}}\;</MATH>|7.45}} Gdy h→0, to współczynnik d{{Sub|i}} powinien dąży do y{{Sub|0}}, a pozostałe współczynnik przy tym samym h powinny dążyć do zera, co te dwa warunki możemy przepisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{h\rightarrow 0}d_i(h)=y_0\;</MATH>|7.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{h\rightarrow 0 }d_i(h)=0\mbox{ dla }j=2,3,..,k\;</MATH>|7.47}} }} Zauważmy, że w rozwiązaniu {{LinkWzór|7.43}} pierwszy wyraz dąży do rozwiązania dokładnego, patrząc na rozwiązanie {{LinkWzór|7.44}}, przedstawionych według Y(x)=y{{Sub|0}}e{{Sup|h(x-x{{Sub|0}})}} z warunkiem początkowym y(x{{Sub|0}})=y{{Sub|0}}. Współczynniki &mu;{{Sub|2}},...,&mu;{{Sub|k}} nazywamy pierwiastkami pasożytniczymi, a wyrazy w {{LinkWzór|7.43}} oprócz pierwszego składnika nazywamy częścią pasożytniczą. Dla &lambda;>0 i h w miarę małych możemy napisać &mu;{{Sub|1}}=&mu;{{Sub|1}}(h)>0, to wtedy błąd &epsilon;{{Sub|n}} patrząc na {{LinkWzór|7.27}} i na {{LinkWzór|7.30}} przepisujemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_n=c_1\mu_1^n+...+c_k\mu_k^n-{{B}\over{h\lambda\sum_{i=0}^kb_i}}\;</MATH>|7.48}} Wielkość ma ściśle ustaloną i określoną wartość h>0, jeśli na pierwiastki równania charakterystycznego {{LinkWzór|7.42}} nałożymy warunek |&mu;{{Sub|i}}|&le;1, to żaden że współczynników c{{Sub|i}}&mu;{{Sub|i}} nie będzie rósł, gdy "n" będzie dążyło do nieskończoności, a jeśli rozwiązanie dokładne będzie wzrastało, to nie należy oczekiwać |&mu;{{Sub|i}}|&le;1., wtedy {{Formuła|<MATH>c_1\mu^n_1\;</MATH>}} będzie wzrastało nieograniczenie. Jeśli położymy warunek |&mu;{{Sub|i}}|&le;|&mu;{{Sub|1}}| gwarantuje by część pasożytnicza w {{LinkWzór|7.43}} nie rosła szybciej niż pierwszy jego wyraz. Metodę różnicową nazywamy stabilną, gdy wartość bezwzględna każdego współczynnika &mu;{{Sub|i}} w {{LinkWzór|7.43}} była mniejsza lub równa jedynce, a gdy wartość bezwzględna &mu;{{Sub|1}} jest mniejsza lub równa wartości bezwzględej &mu;{{Sub|i}}, to tą metodę nazywamy względnie stabilną. Powyższą metodę nazywamy absolutnie stabilną na przedziale (&lambda;&beta;), gdy spełniony jest warunek h&lambda;&isin;(&alpha;&beta;). Metodę względnie stabilną na przedziale podobnie definiujemy. Przyjdźmy teraz dla przypadku m>1 i napiszmy równanie wynikającego z {{LinkWzór|7.1}}, które to przedstawimy w zależności od macierzy {{Strong|&Lambda;}} wychodząc od równania {{LinkWzór|7.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{I}-hb_0\mathbf{\Lambda})\mathbf{y}_{n+1}=\sum_{i=1}^k(a_i\mathbf{I}+hb_i\mathbf{\Lambda})\mathbf{y}_{n+1-i}\;</MATH>|7.49}} Rozwiązaniem dokładnym równania {{LinkWzór|7.49}} nazywamy wzór zależny od "h", który to przepiszemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Y}(x)=c_1e^{\lambda_1(x-x_0)}\mathbf{v}_1+...+c_me^{\lambda_m(x-x_0)}\mathbf{v}_m\;</MATH>|7.50}} Rozwiązaniem napisane dla poszczególnych punktów odległych od siebie o krok h przedstawiamy w zależności od współczynników &mu;{{Sub|ij}}, która jest rozwiązaniem równania charakterystycznego wynikłego z {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}_n=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^md_{ij}\mu_{ij}^n\mathbf{v}_{ij}\;</MATH>|7.51}} Błąd metody różnicowej {{LinkWzór|7.14}} określamy na podstawie wzoru {{LinkWzór|7.26}} przy wykorzystaniu {{LinkWzór|7.27}} wzór na wyznaczanie dokładnego rozwiązania: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{\epsilon}_n=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^mc_{ij}\mu_{ij}^n\mathbf{v}_{ij}-{{1}\over{h\sum_{i=0}^kb_i}}\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{B}\;</MATH>|7.52}} Metodę absolutnie stabilną i względnie stabilną określonych {{Strong|&epsilon;}} na współczynniki błędu określamy podobnie jak dla wyznaczania wartości {{Strong|y}}{{Sub|i}}. {{Twierdzenie|tekst= Aby metoda różnicowa byłaz bieżna względem metody różnicowej {{LinkWzór|7.14}}, to pierwiastki wielomianu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\mu)=\mu^k-\sum_{i=1}^ka_i\mu^{k-1}\;</MATH>|7.53}} których wartość bezwzględna z &mu; powinna być mniejsza lub równa jeden, a jeśli ta wartość bezwzględna jest równa jeden, to wielomian {{LinkWzór|7.53}} ma pierwiastki jednokrotne. Tą metodę spełniająca powyższe warunki nazywamy metodę stabilną w sensie Dahlquista. }} Wyznaczmy teraz błąd rozwiązania dokładnego, która w przedziale <x{{Sub|0}},b> ma ciągłe pochodne, która jest rzędu p i rozwiązanie różnicowe jest zbieżne do rozwiązania dokładnego, wtedy jest prawdziwe oszacowanie: {{CentrujWzór|<MATH>||\tilde{\mathbf{y}}_n-\mathbf{Y}_n||\leq\left\{\tilde{c}_1\theta+\tilde{c}_2(x_n-x_0)\left({{\delta}\over{h}}+\tilde{c}_2||\mathbf{Y}^{(p+1)}||h^p\right)\right\}e^{\tilde{c}_4(x_n-x_0)}\mbox{ dla }n\geq k\;</MATH>|7.54}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\theta=\max_{0\leq i\leq k-1}||\mathbf{y}_i-\mathbf{Y}_i||\;</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>\delta=\max_{n\geq k}||\delta_n||\;</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>||\mathbf{Y}^{(p+1)}||=\max_{x_0\leq x\leq b}||\mathbf{Y}^{(p+1)}(x)||\;</MATH>}}. == Wzory różnicowe Rungego-Kutta == Określmy metodę typu Rungego-Kutta, który jest pewnym wzorem analogicznym do wzoru różnicowego, określany jako: {{CentrujWzór|<math>\mathbf{y}_{n+1}=\mathbf{y}_n+\sum_{i=1}^sw_i\mathbf{K}_i\;</MATH>|7.55}} A wzory na {{Strong|K}}{{Sub|i}} określamy według dwóch wzorów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{K}_1=h\mathbf{f}(x_n,\mathbf{y}_n)\;</MATH>|7.56}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{K}_i=h\mathbf{f}\left(x_n+a_ih,\mathbf{y}_n+\sum_{j=1}^{i-1}b_{ij}\mathbf{K}_j\right)\mbox{ dla }i>1\;</MATH>|7.57}} }} * gdzie stałymi w w metodzie {{LinkWzór|7.55}} i we wzorach {{LinkWzór|7.56}} i {{LinkWzór|7.57}} są w{{Sub|ij}}, a{{Sub|i}}, b{{Sub|ij}}. W przeciwieństwie do metody różnicowej w metodzie Rungego-Kutta wystarczy tylko warunek początkowy brzegowy. W prawej stronie metody {{LinkWzór|7.55}} należy wykonywać liczenie funkcji {{Strong|f}}(x,{{Strong|y}}) s razy. Ale wykazano, że dla rzędu metody p=2,3,4 najmniejsza ich liczba obliczeń jest s=p, a dla p>4 ich liczba jest s>p. Rząd metody {{LinkWzór|7.55}} wyznaczamy podobnie jak rząd metody różnicowej {{LinkWzór|7.14}}. Najbardziej praktyczne znaczenie ma metoda rzędu s=4, ale do wymaga wyczerpujących obliczeń. Bowiem nie wystarcza już porównanie współczynników przy "h", które te współczynniki zależą od f{{Sub|i}}(x,y) i od ich pochodnych cząstkowych. Metoda Ruungego-Kutta dla s=1 i w{{Sub|1}}=1 jest metodą różnicową Eulera {{LinkWzór|7.9}}. Omówmy teraz bardzo prosty przypadek jak tylko możliwe, tzn. dla m=1 i s=2 Stosując twierdzenie Tayllora i rozkładając prawą i lewą stronę równania w naszej metodzie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>Y_n+hY^'_n+{{h^2}\over{2}}Y^{''}_n+O(h^3)=Y_n+h\left[w_1f+w_2\left(f+a_2h{{\partial f}\over{\partial x}}+b_{21}hf{{\partial f}\over{\partial y}}\right)\right]\Bigg|_{(x_n, Y_n)}+O(h^3)\;</MATH>|7.58}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Y^'_n=f|_{(x_n,Y_n)}\;</MATH>}},&nbsp; {{Formuła|<MATH>Y^{''}_n=\left({{\partial f}\over{\partial x}}+f{{\partial f}\over{\partial y}}\right)\Bigg|_{(x_n,Y_n)}\;</MATH>}}. W powyższych obliczeniach korzystano ze wzoru {{LinkWzór|7.1}}. We wzorze możemy porównań współczynniki stojące przy h{{Sup|i}} otrzymujemy stąd dwa wzory: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>w_1+w_2=1\;</MATH>|7.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\left({{\partial f}\over{\partial x}}+f{{\partial f}\over{\partial y}}\right)=w_2a_2+w_2b_{21}f{{\partial f}\over{\partial y}}\;</MATH>|7.60}} }} Chcemy by wzory w {{LinkWzór|7.6}} niezależały od funkcji f(x,y), to należy przyjąć trzy bardzo ważne wzory: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>w_1+w_2=1\;</MATH>|7.61}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>a_2w_2={{1}\over{2}}\;</MATH>|7.62}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>b_{21}=a_2\;</MATH>|7.63}} }} Jeśli będziemy przyjmować {{Formuła|<MATH>Df={{\partial f}\over{\partial x}}+f{{\partial f}\over{\partial y}}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>D^2f={{\partial^2f}\over{\partial x^2}}+2f{{\partial^2 f}\over{\partial x\partial y}}+f^2{{\partial^2f}\over{\partial y^2}}\;</MATH>}}, i będziemy przyjmować oszacowanie |f|&le;M i {{Formuła|<MATH>\left|{{\partial^{i+j}f}\over{\partial x^i\partial y^j}} \right|\leq{{N}\over{M^{i-1}}}\;</MATH>}} dla i+j&le;2, to błąd metody Rundego-Kutty liczymy ze wzoru {{LinkWzór|7.8}}, a więc parametr tam występujący &gamma;{{Sub|2}} przepisujemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma_2=\left({{1}\over{6}}-{{1}\over{2}}a_2^2w_2\right)D^2f\Bigg|_{(x_n, Y_n)}+{{1}\over{6}}f_yDf\Bigg|_{(x_n,Y_n)}\leq\left[4\cdot\left({{1}\over{6}}-{{1}\over{2}}a_2^2w_2\right)+{{1}\over{3}}\right]MN\;</MATH>|7.64}} Przy wyżej poczynionych uwagach metodę Rundego-Kutty przy poczynionych uwagach K{{Sub|1}}=hf(x{{Sub|n}}, y{{Sub|n}}) i K{{Sub|2}}=hf(x{{Sub|n}}+a{{Sub|2}}h,y{{Sub|n}}+a{{Sub|2}}K{{Sub|1}}) przyjmujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=y_n+\left(1-{{1}\over{2a_2}}\right)K_1+{{1}\over{2a_2}}K_2\mbox{ dla }a_2\neq 0\;</MATH>|7.65}} Dla przypadku m>1 metoda Rundego-Kutty prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Y}_n+h\mathbf{Y}^{''}_n+\mathbf{O}(h^2)=\mathbf{Y}_n+h(\underbrace{w_1+w_2+...+w_s}_1)\mathbf{f}(x_n,\mathbf{Y}_n)+\mathbf{O}(h^2)\;</math>|7.66}} === Rozważania na temat stabilności metod Rungego-Kutty i jego rozwiązania === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|7.1}}, które tutaj przedstawimy w postaci y'=&lambda;y, zatem rozwiązanie równania {{LinkWzór|7.55}} dla przypadku m=1 przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=\left(1+h\lambda+O(h^2)\right)y_n\;</MATH>|7.67}} Wtedy rozwiązaniem w metodzie Rundego-Kutty przedstawiamy w zależności od y{{Sub|0}}, wychodząc od rozwiązania równania charakterystycznego, sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=1+h\lambda+O(h^2)\Rightarrow y_n=\mu^n=\left(1=h\lambda+O(h^2)\right)^ny_0=\left(e^{\lambda h}+O(h^2)\right]y_0=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(e^{nh\lambda}+O(h^2)\right)y_0=\left(e^{\lambda(x_n-x_0)}+O(h^2)\right)y_0\;</MATH>|7.68}} Powyższe równanie dla h→0 dąży do równania dokładnego Y(x)=y{{Sub|0}}e{{Sup|&lambda;(x{{Sub|n}}-x{{Sub|0}})}}. Już dla przypadku s=2, gdy rzędem metody jest p=s=2, to rozwiązaniem równania charakterystycznego nazywamy wzór poniżej, z którego możemy wyznaczyć ten sam wzór na rozwiązanie dokładne Y(x) jak uzyskano w postaci wynikania z punktu {{LinkWzór|7.68}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=1+h\lambda+{{1}\over{2}}h^2\lambda^2\;</MATH>|7.69}} Dla równania czwartego rzędu Rundego-Kutty układ jest określony przy pomocy parametrów w{{Sub|i}}, a{{Sub|ij}}, b{{Sub|ij}}, który w sumie zawiera w sumie 13 niewiadomych i 11 równań, czyli nie są one jednoznacznie określone. W tabelce poniżej podano wzory dla metody czwartego rzędu. Przy metodzie Gilla obliczenia mają największą dokładność obliczeń. Wzór Ralstona daje największe osiągalne oszacowanie błędu &gamma;{{Sub|n}}. Rozwiązanie równania charakterystycznego dla metody Rundego-Kutty dla metody czwartego rzędu piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=1+h\lambda+{{1}\over{2}}h^2\lambda^2+{{1}\over{6}}h^3\lambda^3+{{1}\over{24}}h^4\lambda^4\;</MATH>|7.70}} {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|Wzór klasyczny}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|Wzór "trzech ósmych"}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|Wzór "Gilla"}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|Wzór Ralstona}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|w{{Sub|1}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/6}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/8}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/6}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,17476028}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|w{{Sub|2}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3/8}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>(1-1/\sqrt{2})/3\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|-0,55148053}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|w{{Sub|3}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3/8}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>(1+1/\sqrt{2})/3\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,20553547}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|w{{Sub|4}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/6}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/8}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/6}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0.17118478}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{komórka|{{Center|a{{Sub|2}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,4}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|a{{Sub|3}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2/3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,45573726}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|a{{Sub|4}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|b{{Sub|21}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,4}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|b{{Sub|31}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|-1/3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>(\sqrt{2}-1)/2\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,29697760}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|b{{Sub|32}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1/2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>1-1/\sqrt{2}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,15875966}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|b{{Sub|41}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,21810038}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|b{{Sub|42}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|-1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>-1/\sqrt{2}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|-3,0505096470}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|b{{Sub|43}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Formuła|<MATH>1+1/\sqrt{2}\;</MATH>}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,83286432}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Niektóre wzory różnicowe == Przedstawimy tutaj dziesięć wzorów różnicowych, w których wzory od 1-5 są wzorami jawnymi, a wzory 6-10 wzorami uwikłanymi, a oto te wzory: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|Wzory różnicowe}}}}<!-- -->{{komórka|p}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>A_{p+1}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_n+hy_n^'\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{1}\over{2}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_n+{{h}\over{2}}(3y_n^'-y_{n-1}^')\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{{5}\over{12}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_n+{{h}\over{12}}(23y_n^'-16y^'_{n-1}+5y^'_{n-2})\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|3}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{3}\over{8}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_n+{{h}\over{24}}(55y^'_{n}-59y^'_{n-1}+37y^'_{n-2}-9y^'_{n-3})\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{251}\over{720}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_{n-3}+{{4}\over{3}}h(2y^'_n-y^'_{n-1}+2y^'_{n-2})\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{14}\over{45}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_n+hy_{n+1}^'\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{1}\over{2}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_n+(y_{n+1}^'+y_n^')\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{1}\over{12}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_n+{{h}\over{12}}(5y_{n+1}^'+8y_n^'-y_{n-1}^')\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|3}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{1}\over{24}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}=y_n+{{h}\over{24}}(9y_{n+1}^'+19y^'_n-5y^'_{n-1}+y^'_{n-2})\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{19}\over{720}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>y_{n+1}={{1}\over{8}}(9y_n-y_{n-2})+{{3}\over{8}}(y^'_{n+1}+2y_n^'-y_{n-1}^')\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{1}\over{40}}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Wzory 1-4 mają typ Adamsa-Bashfortha, a wzór 5 posiada typ Milne'a, a wzór 6-9 mają typ Adamsa-Moultona, a formuła 10 posiada typ Hamminga. Określmy teraz rząd metody zbieżnej, która wynosi k+2 dla k parzystego i dla k nieparzystego rząd jej wynosi k+1. Rozpatrujmy za Hammingiem wzór różnicowy, który przepisujemy do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=a_1y_n+a_23y_{n-1}+a_2y_{n-2}+h(b_0y^'_{n+1}+b_1y_n^'+b_2y_{n-1}^')\;</MATH>|7.71}} Jeśli zechcemy rozpatrzyć metodę czwartego rzędu równania różnicowego {{LinkWzór|7.71}}, co stąd otrzymamy sześć wzorów na współczynniki a{{Sub|1}}, a{{Sub|2}}, a{{Sub|3}}, b{{Sub|1}}, b{{Sub|2}}, które zapiszemy od współczynnika a{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_1={{1}\over{8}}(9-a_2)\;</MATH>|7.72}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>a_3=-{{1}\over{8}}\left(1-a_2\right)\;</MATH>|7.73}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>b_0={{1}\over{24}}(9-a_2)\;</MATH>|7.74}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>b_1={{1}\over{12}}(9-7a_2)\;</MATH>|7.75}} }} {{CentrujWzór|<MATH>b_2={{1}\over{24}}(-9+17a_2)\;</MATH>|7.76}} Błąd wyznaczania w metodzie różnicowej rozwiązania przybliżonego y{{Sub|n}} względem rozwiązania dokładnego Y{{Sub|n}} określamy metodą w zależności od a{{Sub|2}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>T_n=(-9+5a_2)h^5y^{(5)}(\xi_n)/360\;</MATH>|7.77}} Wykorzystujemy podstawienie y{{Sub|n}}=&mu;{{Sup|n}}, to wzór różnicowy {{LinkWzór|7.71}} po wykorzystaniu tego ostatniego i wzory na pochodną y'{{Sub|n}}=&lambda; y{{Sub|n}}, dochodzimy do wniosku że równanie charakterystyczne, które możemy przepisać w zależności od a{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>(1-h\lambda b_0)\mu^3=(a_1+h\lambda b_1)\mu^2+(a_2+h\lambda b_2)\mu+a_3\;</MATH>|7.78}} Dla <MATH>a_2\in\langle -0,6,1\rangle\;</MATH> warunek stabilności jest spełniony przy h=0, ale już w przeciwnym przypadku musimy wybrać takie a{{Sub|2}} umieszczona w pobliżu środka przedziału, co wtedy wzór będzie stabilny dla tego przypadku, ale Hamming wziął przypadek a{{Sub|2}}=0, wtedy wykorzystując równanie różnicowe {{LinkWzór|7.71}} i wzory {{LinkWzór|7.72}}, {{LinkWzór|7.73}}, {{LinkWzór|7.74}} i {{LinkWzór|7.75}}, to w takim przypadku równanie charakterystyczne {{LinkWzór|7.78}}, w którym przedziałem stabilności przy h&lambda; piszemy (-2,6,0), rysujemy do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{3h\lambda}\over{8}}-1\right)\mu^3=-\mu^2\left({{9}\over{8}}+{{3h\lambda}\over{4}}\right)+\mu{{3h\lambda}\over{8}}+{{1}\over{8}}\;</MATH>|7.79}} Weźmy sobie równanie różnicowe Newtona-Cotesa rozwiązujemy równanie róznicowe y'=f(x,y) przedziale zmienności <x{{Sub|n-1}},x{{Sub|n+2}}>, wtedy rozważane równanie różnicowe przepisujemy do jego właściwej formy: {{CentrujWzór|<MATH>y(x_{n+1})=y(x_{n-1})+\int_{x_{n-1}}^{x_{n}}f(x,y(x))dx\;</MATH>|7.90}} Funkcja podcałkowa występująca w drugim składniku w równaniu różnicowym {{LinkWzór|7.90}}, w której występuje y(x), jest nie znana, więc zbudujmy odpowiedni wielomian L(x), który jest równoważny wielomianowi f(x,y(x)), który piszmy według wyglądu <MATH>_{L(x)=\sum_{i=0}^lf_{n-i}P_i(x)}\;</MATH>, wtedy równość {{LinkWzór|7.90}} przepisujemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=y_{n-1}+\sum_{i=0}^lf_{n-i}\int_{x_{n-1}}^{x_n}P_i(x)dx=y_{n-1}+h\sum_{i=0}b_if_{n-i}\;</MATH>{{Br}}<MATH>\mbox{ gdzie }b_i=\int_{-j}^lP_i(x_n+th)dt\mbox{ dla }t={{x-x_0}\over{h}}\;</MATH>|7.91}} Powyższy wzór nazywamy wzorem jawnym, ale już dla j=0 ten wzór przechodzi w wzór Adamsa-Bashfortha. == Zmienny etap całkowania == Zwykle dokonujemy całkowania przy stałym kroku całkowania, ale na maszynach cyfrowych stosuje zmienny krok całkowania. Na samym początku ustalamy taki krok całkowania, by wielkość błędu była mniejsza niż wielkość &epsilon;, to rozwiązanie równania całkowania powinno być żądaną dokładność w ściśle ustalonym przedziale całkowania, a jeśli błąd metody różnicowej jest większy od ustalonej wielkości, to ustalamy mniejszy krok całkowania. W metodzie różnicowej Rungego-Kutty stosuje tzw. zasadę Rungego, i ustalmy początkowo y{{Sub|n}}=Y(x{{Sub|n}}). Weźmy teraz przybliżone rozwiązanie metody różnicowej {{Formuła|<MATH>y_{n+1}^{(1)}\;</MATH>}}, które stosujemy w punkcie x{{Sub|n+1}}=x{{Sub|n}}+h, dla obliczeń wykonanych dwukrotnie z krokiem h/2. Dla tego podwójnego kroku błąd metody różnicowej wykorzystując wzór {{LinkWzór|7.8}} przepisujemy, gdzie p jest rzędem metody różnicowej, w formie: {{CentrujWzór|<MATH>Y_{n+1}=y_{n+1}^{(1)}\simeq 2\gamma_p\left({{h}\over{2}}\right)^{p+1}\;</MATH>|7.92}} A jeśli wykorzystamy krok całkowania h i będziemy obliczali wartość przybliżoną metody różnicowej <MATH>y_{n+1}^{(2)}\;</MATH> ustalaną w punkcie x{{Sub|n+1}}, wtedy błąd tejże metody jest napisany wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>Y_{n+1}-y_{n+1}^{(2)}\simeq \gamma_p h^{p+1}\;</MATH>|7.93}} Jeśli będziemy odejmować wzory {{LinkWzór|7.92}} i {{LinkWzór|7.93}} od siebie, dalej i będziemy przyjmować fakt <MATH>_{Y_{n+1}-y_{n+1}^{(1)}\simeq\delta}\;</MATH>, wtedy na podstawie tego powiemy przy założeniu <MATH>_{\delta\simeq \gamma_ph^{p+1}{{1}\over{2^{p+1}}}}\;</MATH>: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}^{(1)}-y_{n+1}^{(2)}=\gamma_p h^{p+1}\left(1-{{1}\over{2^{p}}}\right)=\delta \left(2^p-1\right)\Rightarrow\delta={{y_{n+1}^{(1)}-y_{n}^{(2)}}\over{2^p-1}}\;</MATH>|7.94}} == Połączenie wzorów interpolacyjnych i ekstrapolacyjnych w metodach różnicowych == Weźmy sobie metodę różnicową {{LinkWzór|7.14}}. Jeśli w tej metodzie będziemy liczyli współczynniki A{{Sub|p+1}}, to widzimy, że one dla b{{Sub|0}}&ne;0 dla wzorów ektrapolacyjnych są większe niż dla wzorów interpolacyjnych. Dla tych formuł w metodzie ekstrapolacyjnych musimy na każdym etapie całkowania stosować wzory liniowe ze względu na y, podczas gdy we wzorach ekstrapolacji stosowane jest podstawienie do wzorów. Metodę iteracji prostej piszemy w zależności od &omega;{{Sub|n}} w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}^{(j+1)}=hb_0f(x_{n+1},y_{n+1}^{(j)})+\omega_n\;</MATH>|7.95}} a w metodzie Newtona rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}_{n+1}^{j+1}=\mathbf{y}_n^{(j)}+\left[\mathbf{I}-hb_0{{\partial f}\over{\partial \mathbf{y}}}(\mathbf{x}_n,\mathbf{y}_n^{(j)})\right]\left(\mathbf{y}_n^{(j)}-hb_0f(\mathbf{x}_n,\mathbf{y}_n^{(j)})-\omega_n\right)\;</MATH>|7.96}} Wzory na współczynniki &omega;{{Sub|n}} w {{LinkWzór|7.95}} i {{LinkWzór|7.96}} piszemy według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\sum_{i=1}^k\left(a_iy_{n+1-i}+hb_if(x_{n+1-i},y_{n+1-i})\right)\;</MATH>|7.97}} Przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|7.97}} wartość <MATH>\mathbf{y}^{(0)}_{n+1}\;</MATH> należy dobrać w taki sposób by była ona bliska wartości <MATH>\mathbf{y}_{n+1}\;</MATH>, by można było wykonać najmniejszą liczbę iteracji, jak się okazuje, że najlepiej wartość <MATH>\mathbf{y}^{(0)}_{n+1}\;</MATH> dobrać ze wzoru ekstrapolacyjnego, który nazwiemy wzorem wstępnym, a wzór iterpolacyjny, którego poprawiamy rozwiązanie <MATH>\mathbf{y}_{n+1}^{(0)}\;</MATH> nazywamy wzorem korygującym. Jeśli połączymy wzory ekstrapolacyjne i interpolacyjne nazywamy metodą ekstrapolacyjno-interpolacyjną. Przy liczeniu kolejnych iteracji y{{Sub|n}} stosuje się wzór wstępny i korygujący, a oto rozważmy przykład: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)\;</MATH>|7.98}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=y_n+{{h}\over{2}}\left[f(x_{n+1},y_{n+1})+f(x_n,y_n)\right]\;</MATH>|7.99}} }} Z których wzór {{LinkWzór|7.98}} nazywamy wzorem wstępnym, a drugi wzór {{LinkWzór|7.99}} nazywamy wzorem korygującym, co w tych wzorach przedziały stabilności są (-2,0) i (-&infin;,0). Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|7.95}} i {{LinkWzór|7.96}}, w której to metodzie mamy jedną iterację prostą i korygującą, to zapisać będziemy mogli: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y^{(0)}_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)\;</MATH>|7.100}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>y_{n+1}=y_{n+1}^{(1)}=y_n+{{h}\over{2}}\left[f(x_{n+1},y_{n+1}^{(0)})+f(x_n,y_n)\right]\;</MATH>|7.101}} }} Metoda powyższa określona wzorami {{LinkWzór|7.100}} i {{LinkWzór|7.101}} jest metodą Rungego-Kutty drugiego rzędu, przedział stabilności tej metody jest (-2,0). A natomiast dokonamy jedną iterację wstepną i dwie iteracje korygujące, to otrzymamy wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}^{(0)}=y_n+hf(x_n,y_n)\;</MATH>|7.102}} {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}^{(1)}=y_n+{{h}\over{2}}\left[f(x_{n+1},y_{n+1}^{(0)})+f(x_n,y_n)\right]\;</MATH>|7.103}} {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=y_{n+1}^{(2)}=y_n+{{h}\over{2}}\left[f(x_{n+1},y_{n+1}^{(1)})+f(x_n,y_n)\right]\;</MATH>|7.104}} Stabilność absolutna metody określonej trzema powyższymi metodami jest (-2,0). == Zastosowanie metody różnicowej Hamminga == Zastosujmy wzory 5 i 10 w ostatnio podanej tablicy, którego pierwszy jest wzorem wstępnym, a drugi wzorem korygującym, te formuły piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}^{(0)}=y_{n-3}+{{4}\over{3}}\left(2y^'_n-y^'_{n-1}+2y^'_{n-2}\right)\;</MATH>|7.105}} {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}^{(j+1)}={{1}\over{8}}\left(9y_n-y_{n-2}\right)+{{3}\over{8}}h\left((y_{n+1}^{(j)})^'+2y_n^'-y^'_{n-1}\right)\;</MATH>|7.109}} Równania przedstawiające równania na rozwiązania dokładne przy błędach {{Formuła|<MATH>T_n^0\;</MATH>}} dla wzoru wstępnego i przy {{Formuła|<MATH>T_n\;</MATH>}} dla wzory korygującego przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>Y_{n+1}^{(0)}=Y_{n-3}+{{4}\over{3}}\left(2Y^'_n-Y^'_{n-1}+2Y^'_{n-2}\right)+T_n^0\;</MATH>|7.110}} {{CentrujWzór|<MATH>Y_{n+1}^{(j+1)}={{1}\over{8}}\left(9Y_n-Y_{n-2}\right)+{{3}\over{8}}h\left((Y_{n+1}^{(j)})^'+2Y_n^'-Y^'_{n-1}\right)+T_n\;</MATH>|7.111}} Błędy <MATH>T_n^0\;</MATH>, <math>T_n\;</math> przedstawiamy jak nie trudno udowodnić wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T_n^0={{14}\over{45}}h^5Y^{(5)}(\xi_1)\mbox{ dla }\xi_1\in(x_{n-3},x_{n+1})\;</MATH>|7.112}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>T_n=-{{1}\over{40}}h^5Y^{(5)}(\xi_2)\mbox { dla }\xi_2(x_{n-2},x_{n+1})\;</MATH>|7.113}} }} Jeśli wprowadzimy oznaczenia &epsilon;{{Sub|n}}=Y{{Sub|n}}-y{{Sub|n}} i &epsilon;'{{Sub|n}}=Y'{{Sub|n}}-y'{{Sub|n}}, wtedy połączenie wzorów {{LinkWzór|7.105}}, {{LinkWzór|7.109}} oraz {{LinkWzór|7.110}}, {{LinkWzór|7.111}} daje nam w wyniku czego: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}^{(0)}=Y_{n+1}-\epsilon_{n-3}-{{4}\over{3}}h(2\epsilon^'_n-\epsilon^'_{n-1}+2\epsilon_{n-2}^')-T_n^0\;</MATH>|7.114}} {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=Y_{n+1}-{{1}\over{8}}(9\epsilon_n-\epsilon_{n-2})-{{3}\over{8}}(\epsilon^'_{n+1}+2\epsilon^'_n-\epsilon^'_{n-1})-T_n\;</MATH>|7.115}} Jeśli połączymy dwa ostatnie wzory odejmując je od siebie w ostateczności dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}-y_{n+1}^{(0)}=-{{1}\over{8}}\left(9\epsilon_n-\epsilon_{n-2}\right)-h\left({{3}\over{8}}\epsilon^'_{n+1}+{{41}\over{12}}\epsilon^'_n-{{41}\over{24}}\epsilon^'_{n-1}+{{3}\over{8}}\epsilon^'_{n-2}\right)+T^0_n-T_n\;</MATH>|7.116}} Jeśli założymy, że &epsilon;{{Sub|i}} zmienia się wolno przy każdym kroku, a h&epsilon;'{{Sub|i}} jest małe od błędu metody i Y{{Sup|(5)}} praktycznie się nie zmienia od &xi;{{Sub|1}} i &xi;{{Sub|2}}, wtedy wykorzystując wzór {{LinkWzór|7.116}} błędy dla rozwiązania przybliżonego względem dokładnego rozwiązania, tzn. wzory {{LinkWzór|7.112}} i {{LinkWzór|7.113}}, piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T_n^0={{112}\over{121}}(y_{n+1}-y_{n+1}^{(0)})\;</MATH>|7.117}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>T_n=-{{9}\over{121}}(y_{n+1}-y^{(0)}_{n+1})\;</MATH>|7.118}} }} Jeśli dodatkowo założymy, że różnica y{{Sub|n+1}} i {{Formuła|<MATH>y^{(0)}_n\;</MATH>}} jest mała z przejścia do przejścia, wtedy w {{LinkWzór|7.117}} zamieniamy z n+1 na n. {{Formuła|<MATH>T_n^0\;</MATH>}} możemy zastąpić różnicą {{Formuła|<MATH>\overline{y}_{n+1}^{(0)}-y_{n+1}^{(0)}\;</MATH>}}, a w tak powstałym równaniu {{Formuła|<MATH>y^{(0)}_{n+1}\;</MATH>}} wyznaczamy ze wzoru {{LinkWzór|7.105}}, a {{Formuła|<MATH>\overline{y}^{(0)}_{n+1}\;</MATH>}} piszemy ze wzoru z ostatnio powstałego wzoru po zastąpieniu <MATH>T_n^0\;</MATH> przez różnice wcześniej powiedzianego, a {{Formuła|<MATH>\overline{y}^{(0)}_{n+1}\;</MATH>}} korygujemy wzorem korygującym przy pomocy wzoru {{LinkWzór|7.109}} i wzory poniższego, którą nazywamy metodą Hamminga: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_{n+1}^{(0)}=y_{n+1}^{(0)}+{{112}\over{121}}(y_n-y_n^{(0)})\;</MATH>|7.119}} Dla pierwszego przybliżenia {{Formuła|<MATH>y^{(1)}_{n+1}\;</MATH>}} bardzo dobrze przybliża rozwiązanie równania różnicowego y{{Sub|n}} przy pierwszym zastosowaniu wzoru korygującego. To rozwiązanie możemy poprawić, bo potrafimy wyznaczyć błąd T{{Sub|n}}. Na maszynach cyfrowych metodę Hamminga piszemy wedle schematów, w których pierwszy wzór jest wzorem wstępnym {{LinkWzór|7.105}}, a drugi modyfikujący {{LinkWzór|7.119}}, trzeci równanie różniczkowe, którego chcemy rozwiązać {{LinkWzór|7.1}}, w którym y zastępujemy przez {{Formuła|<MATH>\overline{y}^{(0)}_{n+1}\;</MATH>}}, czwarty wzór korygujący zapisany według {{LinkWzór|7.109}} dla j=0, w którym y{{Sub|n+1}} zastępowaliśmy przez {{Formuła|<MATH>\overline{y}_{n+1}\;</MATH>}}, a piąty wzór końcowy jest to: {{CentrujWzór|<MATH>y_{n+1}=\overline{y}_{n+1}-{{9}\over{121}}(\overline{y}_{n+1}-y^{(0)}_{n+1})\;</MATH>|7.120}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dri6asxzkz5nnkqocih7b2fm39gzdfc 0 22774 558644 488044 2026-10-05T00:41:00Z Persino 2851 558644 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmowali równaniami cząstkowymi względem różnych parametrów wraz z warunkami brzegowymi. == Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych == Przykładem równania brzegowego jest: {{CentrujWzór|<MATH>Lu={{\partial u}\over{\partial t}}-{{\partial^2u}\over{\partial x^2}}=f(x,t)\;</MATH>|8.1}} Rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|8.1}} jest u=u(x,t), które jest spełnione wewnątrz prostokąta {{Strong|D}}={(x,t):0&le;x&le;l,0&le;t&le;T}, którego warunkami brzegowymi są u(x,0)=g(x), 0&le;x&le;l, a także u(0,t)=&phi;(t) oraz u(l,t)=&psi;(t) dla 0&le;t&le;T. Opisane powyżej zagadnienia nazywamy zagadnieniami brzegowymi pierwszego rodzaju lub zagadnieniami Dirichleta. == Sprowadzanie pochodnych cząstkowych do zagadnień różnicowych == Weźmy sobie prostokąt o osiach położenia x i czasu t, który podzielimy na malutkie prostokąciki o kroku h względem osi położenia i o kroku k względem osi czasowej: {{CentrujWzór|<MATH>x=ih\mbox{, }t=jk\mbox{, }i,j\in C\;</MATH>|8.2}} Obierzmy sobie operator {{Strong|&Lambda;}}, który w wyniku działania na funkcję u(x,t), otrzymamy pewne wyrażenie różnicowe, które możemy przedstawić względem pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu względem czasu i drugiego rzędu względem położenia. {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{\Lambda}u(x,t)={{u(x+h,t)-2u(x,t)+u(x-h,t)}\over{h^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\partial^2u(x,t)}\over{\partial x^2}}-{{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}+O(h^2+k^2)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}-\left({{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}-{{\partial^2u(x,t)}\over{\partial x^2}}\right)+O(h^2+k^2)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}-{{k}\over{2}}{{\partial^3u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2\partial t}}+O(h^2+k^2)\;</MATH>|8.3}} {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{\Lambda}u(x,t+k)={{u(x+h,t+k)-2u(x,t+k)+u(x-h,t-k)}\over{h^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\partial^2u(x,t+k)}\over{\partial x^2}}-{{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}+O(h^2+k^2)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}+\left({{\partial^2u(x,t+k)}\over{\partial x^2}}-{{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}\right)+O(h^2+k^2)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}+{{k}\over{2}}{{\partial^3u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2\partial t}}+O(h^2+k^2)\;</MATH>|8.4}} Weźmy teraz rodzinę operatorów różnicowych <MATH>L^{\sigma}_{h,k}\;</MATH>, który jest zależny od parametru &sigma; i operatora {{Strong|&Lambda;}} i na samym końcu od funkcji u(x,t), i na podstawie {{LinkWzór|8.3}} i {{LinkWzór|8.4}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>L^{\sigma}_{h,k}u(x,t)={{u(x,t+k)-u(x,t)}\over{k}}-\left(\sigma\mathbf{\Lambda}u(x,t+k)+(1-\sigma)\mathbf{\Lambda}u(x,t)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\partial u(x,t+k/2)}\over{\partial t}}-\Bigg[\sigma\left({{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}+{{k}\over{2}}{{\partial^3u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2\partial t}}\right)-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left(1-\sigma\right)\left( {{\partial^2u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2}}-{{k}\over{2}}{{\partial^3u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2\partial t}}\right)\Bigg]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\partial u(x,t+k/2)}\over{\partial t}}+\left({{1}\over{2}}-\sigma\right)k{{\partial^3u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2\partial t}}+O(h^2+k^2)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= Lu(x,t+k/2)+\left({{1}\over{2}}-\sigma\right)k{{\partial^3u(x,t+k/2)}\over{\partial x^2\partial t}}+O(h^2+k^2)\;</MATH>|8.5}} Oznaczmy teraz przez u(x,t) dokładne rozwiązanie pewnego zagadnienia różnicowego, a v(x,t) rozwiązanie jego odpowiednika różnicowego. Rozpocznijmy rozważania nad warunkami brzegowymi, które to możemy przedstawić jako: v{{Sub|i,0}}=g{{Sub|i}} dla i=1,...,N-1, gdzie g{{Sub|i}}=g(ih). W wezłach (0,j) i (N,j) możemy przedstawić warunki brzegowe v{{Sub|0,j}}=&phi;{{Sub|j}} i v{{Sub|N,j}}=&psi;{{Sub|j}} dla j=0,1,...,M. W węzłach (i,j) podczas działania operatora {{Formuła|<MATH>L^{\sigma}_{h,k}\;</MATH>}} na funkcję v{{Sub|ij}} zapisaną w kolejnych węzłach otrzymujemy równanie zależne od parametru &sigma; oraz od "h", "k", "i" i "j": {{CentrujWzór|<MATH>L^{\sigma}_{h,k}v_{ij}=f_{i,j+1/2}\mbox{ dla }i=1,...,N-1\mbox{ oraz }j\geq 1\;</MATH>|8.6}} We wzorze {{LinkWzór|8.6}} użyto oznaczenia f{{Sub|i,j+1/2}}=f(ih,jk+k/2). Wykorzystując definicję <MATH>L^{\sigma}_{h,k}\;</MATH> zapisaną na początku obliczeń {{LinkWzór|8.5}}, to równanie {{LinkWzór|8.6}}, przy założeniu &alpha;=k/h{{Sup|2}}, możemy przepisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>k^{-1}\left(u_{i,j+1}-u_{i,j}\right)-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[\sigma h^{-2}\left(u_{i+1,j+1}-2u_{i,j+1}+u_{i-1,j+1}\right)+(1-\sigma)h^{-2}\left(u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{u-1,j}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=f_{i,j+1/2}\Rightarrow -\alpha\sigma v_{i+1,j+1}+(1+2\alpha\sigma)v_{i,j+1}-\alpha\sigma v_{i-1,j+1}=\alpha(1-\sigma)v_{i+1,j}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left[1-2\alpha(1-\sigma)\right]v_{i,j}+\alpha(1-\sigma)v_{i-1,j}+kf_{i,j+1/2}</MATH>|8.7}} W równaniu {{LinkWzór|8.7}} należy przyjąć &sigma;&ne;0, wtedy ono wiąże wartości v{{Sub|ij}} w sześciu węzłach, ale już dla &sigma;=0 lub &sigma;=1 wartości v{{Sub|ij}} wiążą w czterech węzłach. Gdy &sigma;=0 równanie {{LinkWzór|8.7}} możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>v_{i,j+1}=\alpha v_{i+1,j}+(1-2\alpha)v_{i,j}+\alpha v_{i-1,j}+f_{i,j+1/2}\;</MATH>|8.8}} Natomiast, gdy &alpha;&ne;0 równanie {{LinkWzór|8.7}} zapisujemy w postaci macierzowej: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}\mathbf{V}_{j+1}=\mathbf{F}_{j+1}\;</MATH>|8.9}} Co rozpisując poszczególne macierze i wektory występujące w równaniu {{LinkWzór|8.9}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}=\begin{bmatrix} (1+2\alpha\sigma)&-\alpha\sigma&\\ -\alpha\sigma&(1+2\alpha\sigma)&-\alpha\sigma&&0&\\ &\ddots&\ddots&\ddots\\ &0&\ddots&\ddots&-\alpha\sigma\\ &&&-\alpha\sigma&(1+2\alpha\sigma) \end{bmatrix}\;</MATH>|8.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{V}_{j+1}=\begin{bmatrix} v_{1,j+1}\\ v_{2,j+1}\\ \vdots\\ v_{N-2,j+1}\\ v_{N-1,j+1} \end{bmatrix}\;</MATH>|8.11}} }} Macierz {{LinkWzór|8.10}} jest macierzą silnie diagonalnie dominującą dla &sigma;>0, zatem układy równań o takich macierzach mają jednoznaczne rozwiązanie. Ale już dla &sigma;<0, macierz {{LinkWzór|8.10}} już nie jest macierzą diagonalnie dominującą. Można udowodnić, że układy o takich macierzach dla pewnej wartości &sigma;<0 macierz {{LinkWzór|8.10}} może być macierzą osobliwą Oznaczmy przez {{Formuła|<MATH>C^m_n(\overline{\mathbf{D}})\;</MATH>}}, która oznacza zbiór funkcji określonych na zbiorze {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{D}}\;</MATH>}}, które ma m ciągłych pochodnych względem x i n ciągłych pochodnych względem t. Patrząc na obliczenia {{LinkWzór|8.5}} dochodzimy do dwóch wniosków jedno dla &sigma;=1/2 (dla {{Formuła|<MATH>u\in C^4_3(\overline{\mathbf{D}})\;</MATH>}}), a drugie dla &sigma;&ne;1/2 (dla {{Formuła|<MATH>u\in C^4_2(\overline{\mathbf{D}})\;</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L^{1/2}_{h,k}u_{ij}=f_{i,j+1/2}+O(h^2+k^2)\;</MATH>|8.12}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L^{\sigma}_{h,k}u_{ij}=f_{i,j+1/2}+O(h^2+k)\;</MATH>|8.13}} }} === Stabilność rozwiązań równań cząstkowych z warunkami brzegowymi i jego zbieżność === Weźmy dwie takie funkcje f(x,t), dwie funkcje g(x), która jest warunkiem brzegowym początkowym dla t=0 dla funkcji v(x,t), i na samym końcu dwie funkcje v. Jedne funkcje oznaczymy bez daszka, a drugie z daszkiem, wtedy możemy napisać oznaczenia: {{Formuła|<MATH>V=v-\tilde{v}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>F=f-\tilde{f}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>G=g-\tilde{g}\;</MATH>}}, wtedy równanie {{LinkWzór|8.7}} możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>-\alpha\sigma V_{i+1,j+1}+(1+2\alpha\sigma)V_{i,j+1}-\alpha\sigma V_{i-1,j+1}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\alpha(1-\sigma)V_{i+1,j}+[1-2\alpha(1-\sigma)]V_{i,j}+\alpha(1-\sigma)V_{i-1,j}+kF_{i,j+1/2}\;</MATH>{{Br}}<MATH> V_{i,0}=G_i\mbox{ dla }i=1,2,..,N-1\;</MATH>{{Br}} <MATH>V_{0,j}=V_{N,j}=0\mbox{ dla }j=0,1,...,M\;</MATH>{{Br}} <MATH>F_{i,j+1/2}=F(ih,jk+k/2)\mbox{, }G_i=G(ih)\;</MATH>|8.14}} Warunki początkowe na równanie {{LinkWzór|8.12}} są bardzo podobne do warunków początkowych {{LinkWzór|8.6}}, i dlatego nie będziemy tutaj rozważać. Warunki brzegowe jakie wchodzą do równania {{LinkWzór|8.14}} zwykle są obarczone pewnymi błędami. Zaburzenia spowodowane funkcjami f,g,&phi;,&psi;, które występują w równaniu {{LinkWzór|8.1}} i w jego warunkach brzegowych powodują, że przy zagęszczaniu siatki powodują, że zmiany w poszczególnych warstwach wzrastają nieograniczenie. Tutaj będziemy dlatego rozważać, że f i g są obarczone pewnymi błędami, a pozostałe funkcje są są wyznaczane dokładnie, tzn. &phi; i &psi;. Jeśli chcemy określić jakie są zmiany w kolejnych warstwach wprowadza się normę ||&sdot;|| w klasie funkcji, którego argumentami jest zmienna x{{Sub|i}}=ih. Weźmy sobie Y=Y(x,t), wtedy przez Y{{Sup|r}} oznaczmy funkcję, dla której dziedziną jest zbiór zmiennych oznaczony przez x{{Sub|i}}, która przyjmuje wartości Y(ih,rk) dla t=rk. Wtedy możemy określić, czy {{LinkWzór|8.12}} jest stabilna względem prawej strony i warunku początkowego, wtedy musimy określić stałe dodatnie, jeśli istnieją takie, że dla dowolnych funkcji G możemy napisać warunek: {{CentrujWzór|<MATH>||V^j||\leq A_1||G||+A_2\cdot\max_{0\leq s\leq s-1}||F^{s+1/2}||\mbox{ dla }j=1,...,M\;</MATH>|8.15}} Jeśli dodatkowo mamy tożsamościowo F=0 lub G=0, to wtedy na podstawie tego dla zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|8.14}} możemy określić metodę, którą nazwiemy stabilną względem warunku początkowego lub stabilną względem prawej strony, która wedle {{LinkWzór|8.13}} możemy zapisać w postaci dwóch nierówności : {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||V^j||\leq A_1||G||\;</MATH>|8.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||V^j||\leq A_2\cdot\max_{0\leq s\leq j-1}||F^{s+1/2}||\mbox{ dla }j=1,...,M\;</MATH>|8.17}} }} Widzimy, że małe zmiany funkcji g(x) dla t=0, a także małe zmiany funkcji f dla t=(j+1/2)k, dla j=0,1,..,M-1 powodują małe zmiany rozwiązania całego funkcji u(x,t). Zdefiniujmy normę: {{CentrujWzór|<MATH>||V||=||V||_c=\max_{0\leq i\leq N}|V(x_i)|\;</MATH>|8.18}} Naszym dalszym celem jest udowodnienie nierówności, którą napiszemy w postaci poniżej zależne od normy ||G|| oraz od ||F{{Sup|j+1/2}}||: {{CentrujWzór|<MATH>||V^j||_c\leq||G||_c+t_j\cdot\max||F^{i+1/2}||\mbox{ dla }j=1,...,M\mbox{, gdy }\sigma\geq 1-{{h^2}\over{2k}}\mbox{ dla }0\leq\sigma\leq 1\;</MATH>|8.19}} Określmy, teraz dwie funkcje y i Y, które są określone na zbiorze x{{Sub|i}} dla i=0,1,..,N, wtedy zdefiniujmy taki operator P, który na działaniu na funkcję y{{Sub|i}} otrzymujemy pewną kombinację liniową y{{Sub|i+1}}, y{{Sub|i}}, y{{Sub|i-1}}: {{CentrujWzór|<MATH>Py_i=\alpha\sigma y_{i+1}-(1+2\alpha\sigma)y_i+\alpha\sigma y_{i-1}\mbox{, }i=1,...,N-1\mbox{, }\alpha\sigma>0\;</MATH>|8.20}} {{Twierdzenie|jakie=pierwsze|tekst= Weźmy sobie ciąg niestałej funkcji y i jeśli zachodzi Py{{Sub|i}}&ge;0 (Py{{Sub|i}}&le;0), to wtedy y{{Sub|i}} nie może mieć wartości największej dodatniej (najmniejszej ujemnej) w punktach x{{Sub|i}} określonych dla i=1,..,N. }} {{Dowód|tekst= Udowodnijmy pierwszą część twierdzenia powyższego, gdy Py{{Sub|i}}&ge;0, to y{{Sub|i}} nie może przyjmować wartości największej dodatniej. Będziemy dowodzili to twierdzenie nie wprost. W tym celu weźmy takie największe y{{Sub|s}}, by by przyjmowało wartość {{Formuła|<MATH>y_s=\max_{0\leq i\leq N}y_i=M>0\;</MATH>}}, wtedy napiszmy prawą stronę {{LinkWzór|8.18}} dla i=s w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>Py_s=\alpha\sigma y_{s+1}-(1+2\alpha\sigma)y_s+\alpha\sigma y_{s-1}<\alpha\sigma M-(1-2\alpha\sigma)M+\alpha\sigma M=-M<0\;</MATH>|8.21}} Otrzymaliśmy w {{LinkWzór|8.21}}, że to wyrażenie Py{{Sub|i}} jest mniejsze od zera, a powinno być większe lub równe niż zero, co otrzymaliśmy sprzeczność, co znaczy, że udowodniliśmy pierwszą część powyższego twierdzenia. Drugą jego część dowodzimy podobnie. }} {{Twierdzenie|jakie=drugie|tekst= Jeśli zachodzi nierówność pierwsza &#124;Py{{Sub|i}}&#124;&le;-PY{{Sub|i}} dla i=1,...,N-1, nierówność druga &#124;y{{Sub|0}}&#124;&le;Y{{Sub|0}} i na ostatku nierówność trzecia &#124;y{{Sub|n}}&#124;&le;Y{{Sub|N}}, to wtedy zachodzi &#124;y{{Sub|i}}&#124;&ge;Y{{Sub|i}} dla i=0,1,..,N. }} {{Dowód|tekst= Z nierówności pierwszej dowodzonego twierdzenia możemy powiedzieć P(Y{{Sub|i}}-y{{Sub|i}})<0 i P(Y{{Sub|i}}+y{{Sub|i}})<0, co z twierdzenia pierwszego wynika, że wartości Y{{Sub|i}}-y{{Sub|i}}, Y{{Sub|i}}+y{{Sub|i}} przyjmują wartości dodatnie, stad biorąc jeszcze drugą i trzecią nierówność dowodzonego twierdzenie udowodniliśmy, że zachodzi &#124;y{{Sub|i}}&#124;&le;Y{{Sub|i}} }} {{Twierdzenie|jakie=trzecie|tekst= Jeśli zachodzi PY{{Sub|i}}=-H dla H&ge;0, a także Y{{Sub|0}}=Y{{Sub|N}}=0, to zachodzi nierówność Y{{Sub|i}}&le;H dla i=0,1,...,N. }} {{Dowód|tekst= Dla i=0 i i=N na pewno zachodzi Y{{Sub|i}}&le;H, By udowodnić nasze twierdzenie dla i=1,..,N-1 weźmy takie Y{{Sub|s}}, dla s=1,..,N-1, by przyjmowało wartość największą równą H, wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>PY_s=\alpha\sigma Y_{s+1}-(1+2\alpha\sigma)Y_s+\alpha\sigma Y_{s-1}=-\alpha\sigma(Y_{s+1}-Y_s)-\alpha\sigma(Y_s-Y_{s-1})-Y_s\leq -Y_s=-H\;</MATH>|8.22}} Stąd dochodzimy do wniosku, że Y{{Sub|i}}&le;H dla i=0,1,..,N. }} Wzór {{LinkWzór|8.12}} możemy zapisać, wiedząc, że istnieje największa wartość V{{Sub|i,j}} i F{{Sub|i,j+1/2}} po prawej stronie naszego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha\sigma V_{i+1,j+1}-(1+2\alpha\sigma)V_{i,j+1}+\alpha\sigma V_{i-1,j+1}=-\max_{0\leq i\leq N}|V_{i,j}|-k\max_{0\leq i N}|F_{i,j+1/2}|=-||V^j||-k||F^{j+1/2}||\;</MATH>|8.23}} Obierzmy sobie ograniczenie na &sigma;, tzn. pierwsze ograniczenie 0&le;&sigma;&le;1, i drugie ograniczenie wykorzystując definicję &alpha;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma\geq 1-{{h^2}\over{2k}}=1-{{1}\over{2\alpha}}\Rightarrow 2\sigma\alpha\geq 2\alpha-1\Rightarrow 1+2\alpha\sigma\geq 2\alpha\;</MATH>|8.24}} Jeśli wybierzemy największą wartość V{{Sub|i,j}} względem "i" i wykorzystując {{LinkWzór|8.22}}, wtedy otrzymujemy {{LinkWzór|8.23}} i pamiętając o ograniczeniu na &sigma;, dalej używając jeszcze twierdzenie drugie i trzecie, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>||V^{j+1}||\leq ||V^j||+k||F^{j+1/2}||\;</MATH>|8.25}} Pierwszy wyraz w {{LinkWzór|8.23}} po jego prawej stronie możemy rozwinąć używając tego samego równania aż do ||V{{Sup|0}}||, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>||V^{j+1}||_c\leq ||V^j||_c+k||F^{j+1/2}||_c\leq ||V^{j-1}||_c+||F^{j-1+1/2}||_c+||F^{j+1/2}||_c\leq\cdots\;</MATH>{{Br}}<MATH>\leq||V^0||_c+k\sum_{s=0}^j||F^{s+1/2}||\leq||G||_c+k(j+1)\max_{0\leq s\leq j}||F^{s+1/2}||\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow||V^j||_c\leq||G||_c+kj\max_{0\leq s\leq j-1}||F^{s+1/2}||=||G||_c+T\max_{0\leq s\leq j-1}||F^{s+1/2}||\;</MATH>|8.26}} Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|8.14}} i do niego podstawmy rozwiązanie zależne od &lambda;{{Sub|s}}, która nie zależy od "i" i "j", które zapisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>V_{ij}^{(s)}=\lambda_s^j\sin{{s\pi i}\over{N}}\mbox{, }s=1,\cdots N-1\;</MATH>|8.27}} Co po podstawieniu {{LinkWzór|8.27}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> -\alpha\sigma\lambda_s\left[\sin{{s\pi(i+1)}\over{N}}-2\sin{{s\pi i}\over{N}}+\sin{{s\pi(i-1)}\over{N}}\right]+\lambda_s\sin{{s\pi}\over{N}}=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=\alpha(1-\sigma)\left[\sin{{s\pi(i+1)}\over{N}}-2\sin{{s\pi i}\over{N}}+\sin{{s\pi(i-1)}\over{N}}\right]+\sin{{s\pi i}\over{N}}\;</MATH>|8.28}} We wzorze {{LinkWzór|8.28}} będziemy wykorzystywać wzory z trygonometrii, co tuż po wykorzystaniu nasze równanie dzielimy przez <MATH>_{\sin{{s\pi i}\over{N}}}\;</MATH>, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>-\alpha\sigma\lambda_s\left[2\cos{{s\pi}\over{N}}-2\right]+\lambda_s=\alpha(1-\sigma)\left[2\cos{{s\pi}\over{N}}-2\right]+1\Rightarrow\lambda_s={{1-\alpha(1-\sigma)4\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}\over{1+4\alpha\sigma\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}}\;</MATH>|8.29}} Rozwiązaniem całego zagadnienia {{LinkWzór|8.12}} jest kombinacją liniową względem wskaźnika "s" {{LinkWzór|8.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>V_{i,j}=\sum_{s=1}^{N-1}a_s\lambda_s^j\sin{{s\pi i}\over{N}}\;</MATH>|8.30}} Funkcja G{{Sub|i}}, czyli funkcja {{LinkWzór|8.30}} zapisana dla j=0, spełnia równanie zapisane bez udziału współczynników &lambda;{{Sub|s}}, ale przy udziale parametru N (która jest ilością punktów na osi iskowej w przedziale zmienności o długości "l" i "i", który jest numerem punktu na osi iksowej): {{CentrujWzór|<MATH>G_i=V_{i,0}=\sum_{s=1}^{N-1}a_s\sin{{s\pi i}\over{N}}\;</MATH>|8.31}} Mnożymy wyrażenie {{LinkWzór|8.29}} przez <MATH>_{\sin{{r\pi i}\over{N}}}\;</MATH> oraz z sumując tak otrzymane równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^{N-1}G_i\sin{{r\pi i}\over{N}}=\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{s=1}^{N-1}a_s\sin{{s\pi i}\over{N}}\sin{{r\pi i}\over{N}}\Rightarrow \sum_{i=1}^{N-1}G_i\sin{{r\pi i}\over{N}}=\sum_{s=1}^{N-1}a_s\sum_{i=1}^{N-1}\sin{{s\pi i}\over{N}}\sin{{r\pi i}\over{N}}\;</MATH>|8.32}} Wyznaczmy teraz sumę, którą wykorzystamy w obliczeniach {{LinkWzór|8.32}}, do którego wykorzystamy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|2.47|Aproksymacja}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=0}^{N-1}\sin{{s\pi i}\over{N}}\sin{{r\pi i}\over{N}}={{1}\over{2}}\sum_{i=0}^{N-1}\left[\cos{{(s-r)\pi i}\over{N}}-\cos{{(s+r)\pi i}\over{N}}\right]={{1}\over{2}}N\delta_{rs}\;</MATH>|8.33}} Wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|8.33}} obliczenia {{LinkWzór|8.32}} możemy dokończyć do końca i przepisać gotowy wynik na współczynnik a{{Sub|s}}: {{CentrujWzór|<MATH>a_s={{2}\over{N}}\sum_{i=1}^{N-1}G_i\sin{{r\pi i}\over{N}}\mbox{ dla }r=1,..,N-1\;</MATH>|8.34}} Funkcja {{LinkWzór|8.28}} jest określona przy pomocy &lambda;{{Sub|s}} {{LinkWzór|8.29}} i przy pomocy współczynników a{{Sub|s}} {{LinkWzór|8.34}}. Zbudujmy iloczyn skalarny oparty o iloczyn funkcji V i W przy kroku h: {{CentrujWzór|<MATH>\langle V,W\rangle=\sum_{i=1}^{N-1}hV(x_i)W(x_i)\;</MATH>|8.35}} Jest ona różnicowym odpowiednikiem {{Formuła|<MATH>\langle V,W\rangle=\sqrt{\int_0^1V(x)W(x)dx}\;</MATH>}}. Weźmy sobie ciąg funkcji zależnych od s, który definiujemy w zależności od "l" przedstawiający długość osi iksowej, dla której jest słuszne rozwiązanie X{{Sup|r}}(x): {{CentrujWzór|<MATH>X^s(x)=\sqrt{{{2}\over{l}}} \sin s\pi x\mbox{ dla }s=1,..,N-1\;</MATH>|8.36}} Ciąg funkcji X{{Sup|1}}(x), X{{Sup|2}}(x),...,X{{Sup|N-1}} jest ortogonalny na zbiorze punktów {{Formuła|<MATH>x_i={{i}\over{N}}\;</MATH>}} dla i=1,...,N-1, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\langle X^n,X^m\rangle=\sum_{i=1}^{N-1}hX^n(x_i)X^m(x_i)={{2h}\over{l}}\sum_{i=1}^{N-1}\sin{{n\pi i}\over{N}}\sin{{m\pi i}\over{N}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2h}\over{l}}{{1}\over{2}}N\delta_{n,m}={{Nh}\over{l}}\delta_{n,m}=\delta_{n,m}\;</MATH>|8.37}} Funkcję {{LinkWzór|8.28}} zapisujemy przy pomocy funkcji {{LinkWzór|8.36}} i względem wskaźników "j" i "i" oraz od długości przedziału zmienności iksów: {{CentrujWzór|<MATH>V_{i,j}=\sum_{s=1}^{N-1}a_s\lambda^j_s\sin{{s\pi i}\over{N}}=\sqrt{{{l}\over{2}}}\sum_{s=1}^{N-1}\lambda^j_s\sqrt{{2}\over{l}}\sin s\pi x_i=\sqrt{{{l}\over{2}}}\sum_{s=1}^{N-1}\lambda^j_sX^s(x_i)\;</MATH>|8.38}} Napiszmy czemu jest równa norma ciągu {{LinkWzór|8.38}}, który napiszemy przy definicji iloczynu skalarnego {{LinkWzór|8.35}}: {{CentrujWzór|<MATH>||V^j||^2_{L_2}=\langle V^j, V^j\rangle={{l}\over{2}}\sum_{s,k=1}^{N-1}a_sa_k\lambda_s^j\lambda_k^j\langle X^i,X^k\rangle={{l}\over{2}}\sum_{s=1}^{N-1}a_s^2\lambda_s^{2j}\;</MATH>|8.39}} Gdy we wzorze {{LinkWzór|8.39}} mamy j=0, to możemy napisać normę funkcji G wychodząc od normy funkcji V{{Sub|i,j}} zależną od kwadratów współczynników a{{Sub|s}} i od długości przedziału zmienności iksów, czyli "l": {{CentrujWzór|<MATH>||G||^2_{L_2}={{l}\over{2}}\sum_{s=1}^{N-1}a_s^2\;</MATH>|8.40}} Natomiast, gdy |&lambda;{{Sub|s}}|&le;1, to normę ||V{{Sup|j}}|| zapisujemy w zależności od współczynników a{{Sub|s}}, jak się przekonamy, że opisywana norma jest zawsze mniejsza od normy ||G|| {{LinkWzór|8.40}}: {{CentrujWzór|<MATH>||V^j||^2_{L_2}\leq{{l}\over{2}}\sum_{i=1}^{N-1}a_s^2=||G||^2_{L_2}\;</MATH>|8.41}} Zbadajmy dla jakich współczynników &sigma;,h,k zachodzi |&lambda;{{Sub|s}}|&le;1, s=1,..,N-1, jeśli definicję &lambda;{{Sub|s}} zapisaliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>-1\leq\lambda\leq 1\Rightarrow -1\leq 1-{{4\alpha\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}\over{1+4\alpha\sigma\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}}\leq 1\Rightarrow -1\leq 1-{{1}\over{{{1}\over{4\alpha\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}}+\sigma}}\leq 1\;</MATH>{{Br}}<MATH> -{{1}\over{4\alpha\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}}-\sigma\leq{{1}\over{4\alpha\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}}+\sigma-1\leq {{1}\over{4\alpha\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}}+\sigma\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 1-{{1}\over{2\alpha\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}}\leq 2\sigma\Rightarrow\sigma\geq{{1}\over{2}}-{{1}\over{4\alpha\sin^2{{s\pi}\over{2N}}}}\;</MATH>|8.42}} Z nierówności {{LinkWzór|8.40}} możemy wywnioskować dla s=1,...,N-1 i z definicji funkcji sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma\geq{{1}\over{2}}-{{1}\over{4\alpha}}={{1}\over{2}}-{{h^2}\over{4k}}\;</MATH>|8.43}} Jeśli natomiast &sigma;<1/2, to na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.43}} ograniczenie na stosunek liczby k przez kwadrat liczby h{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>4\sigma\geq 2-{{1}\over{\alpha}}\Rightarrow {{1}\over{\alpha}}\geq 2(1-2\sigma)\Rightarrow\alpha\leq{{1}\over{2(1-\sigma)}}\Rightarrow{{k}\over{h^2}}\leq{{1}\over{2(1-2\sigma)}}\;</MATH>|8.44}} dla tego &sigma; opisywana metoda jest stabilna względem warunku początkowego. Dla &sigma;=0 okreslenie równania różnicowego jest zadaniem bardzo prostym. Już dla &sigma;&ge;1/2 metoda różnicowa jest słuszna dla dowolnych h i k. Wykażemy, jeśli <MATH>_{\sigma\leq{{1}\over{2}}-{{1}\over{4\alpha}}-\epsilon}\;</MATH> (gdzie &epsilon; jest dowolną stałą dodatnią), to ona jest niestabilna względem normy ||&sdot;||{{Sub|L{{Sub|2}}}}. Obierzmy N na tyle duże, by spełniony warunek s{{Sub|0}}<N, takie by był spełniony warunek |&lambda;{{Sub|s{{Sub|0}}}}|>1+&epsilon;{{Sub|1}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.39}} powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>||(V^{s_0})^j||^2_{L_2}=\lambda_{s_0}^{2j}{{l}\over{2}}\geq{{l}\over{2}}(1+\epsilon_1)^{2j}\rightarrow \infty\;</MATH>|8.45}} Gdy k=0, wtedy "j" jest bardzo duże, i dlatego wyrażenie {{LinkWzór|8.45}} dąży do nieskończoności. Rozpatrzmy przypadek &sigma;=0, wtedy drugą pochodną w równaniu przewodnictwa cieplnego <MATH>_{{{\partial^2u}\over{\partial u^2}}}\;</MATH> możemy przybliżyć wyrażeniem w postaci ilorazu różnicowego przy oznaczeniu U{{Sub|i}}(t)=u(x,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{h^2}}\left[U_{i+1}(t)-2U_i(t)+U_{i-1}(t)\right]\;</MATH>|8.46}} Równanie {{LinkWzór|8.1}} w takim bądź razem zapisujemy przy rozbiciu drugiej pochodnej wielkości U(x,t) względem położenia na wyrazenie różnicowe {{LinkWzór|8.44}}: {{CentrujWzór|<MATH>U_i^'(t)={{1}\over{h^2}}\left[U_{i+1}(t)-2U_i(t)+U_{i-1}(t)\right]\;</MATH>|8.47}} Dla którego mamy warunki brzegowe U{{Sub|0}}(t)=&phi;(t) i U{{Sub|N}}(t)=&psi;(t) dla 0&le;t&le;T i z warunkiem poczatkowym U{{Sub|i}}(0)=G(x{{Sub|I}}) dla i=1,...,N-1. Równanie {{LinkWzór|8.45}} możemy zapisać w postaci macierzowej wzgledem wektora pionowego opisującego wielkość, którego elementami są U{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{U}^'(t)={{1}\over{h^2}}\mathbf{M}\mathbf{U}(t)+\mathbf{F}(t)\;</MATH>|8.48}} z warunkiem początkowym {{Strong|U}}(0)={{Strong|G}}. Macierze występujące w {{LinkWzór|8.48}} są to obiekty zdefiniowane jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}=\begin{bmatrix} -2&1&&&0&\\ 1&-2&1&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots\\ &0&1&-2&1\\ &&&1&-2\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|8.49}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{U}(t)=\begin{bmatrix}U_1(t)\\U_2(t)\\\vdots\\U_{N-1}\end{bmatrix}\;</MATH>|8.50}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{F}(t)=\begin{bmatrix} f(x_1,t)+{{1}\over{h^2}}\phi(t)\\ f(x_2,t)\\ \vdots\\ f(x_{N-2},t)\\ f(x_{N-1},t)+{{1}\over{h^2}}\psi(t)\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|8.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{G}=\begin{bmatrix}g(x_1)\\g(x_2)\\\vdots\\g(x_{N-1})\end{bmatrix}\;</MATH>|8.52}} }} === Równania różnicowe i ich zbieżność względem parametrów siatki względem osi położenia i czasu === Weźmy sobie definicję {{Formuła|<MATH>F_{i,j+1/2}=L^{\sigma}_{k,h}(v_{ij}-u_{ij})\;</MATH>}}, gdy jest spełnione G{{Sub|i}}=0, wtedy możemy odjąć równanie {{LinkWzór|8.12}} i {{LinkWzór|8.13}} od równania {{LinkWzór|8.6}}, w ten sposób możemy otrzymać ograniczenie od góry na |F{{Sub|i,j+1/2}}| dla odpowiednich &sigma; przy użyciu stałych c{{Sub|1}}, c{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>|F_{i,j+1/2}|\leq\left\{\begin{matrix} c_1(h^2+k^2)& \sigma=1/2& u\in C^4_3(\overline{\mathbf{D}})\\ c_2(h^2+k)& \sigma\neq 1/2& u\in C^4_2(\overline{\mathbf{D}}) \end{matrix}\right.\;</MATH>|8.53}} Patrząc na udowodnione twierdzenie {{LinkWzór|8.26}} otrzymane w końcowym wniosku w tym punkcie, a także wykorzystując {{LinkWzór|8.53}}, otrzymujemy bardzo ważny wniosek na oszacowania różnicy v{{Sub|ij}}-u{{Sub|ij}} względem normy ||&sdot;||{{Sub|c}}: {{CentrujWzór|<MATH>\max_{(i,j)\in\hat{\mathbf{\omega}}}|v_{ij}-u_{ij}|=\max_{j}||v^j-u^j||_c\leq T\max_{0\leq s\leq j-1}||F^{s+1/2}||\leq T\max_{(i,j)\in\hat{\mathbf{\omega}}}F_{i,j+1/2}\leq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\leq\left\{\begin{matrix} c_1T(h^2+k^2)& \sigma=1/2& u\in C^4_3(\overline{\mathbf{D}})\\ c_2T(h^2+k)& \sigma\neq 1/2& u\in C^4_2(\overline{\mathbf{D}}) \end{matrix}\right.\;</MATH>|8.54}} Norma błędu <MATH>L^{\sigma}_{h,k}(v_{ij}-u_{ij})\;</MATH>dąży do zera, gdy wielkości "h" i "k" dążą do zera, przy zastąpieniu równania różniczkowego równaniem różnicowym, co na podstawie {{LinkWzór|8.54}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\max_j||v^j-u^j||\xrightarrow[h,k\rightarrow 0]{} 0\;</MATH>|8.55}} === Zbieżność przy nieskończonym zagęszczaniu siatki === Równanie różnicowe {{LinkWzór|8.7}} podobnie się rozwiązuje jak równanie {{LinkWzór|8.14}}, to na podstawie {{LinkWzór|8.30}} i wzoru na &lambda;{{Sub|s}} {{LinkWzór|8.29}} możemy otrzymać wzór na v{{Sub|ij}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>\alpha={{h}\over{h^2}}=\operatorname{const}\;</MATH>}} i &sigma;=0, wiedząc przy tym, że x=ih i t=jk, dalej przechodząc do granicy h→0 i k→0, otrzymujemy ważne dokładne rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH>v_{ij}=\left(1-4\alpha\sin^2{{\pi}\over{2N}}\right)^i\sin{{\pi i}\over{N}}\Rightarrow\lim_{\overset{h\rightarrow 0}{\underset{k\rightarrow 0}{}}}v_{ij}=\lim_{\overset{h\rightarrow 0}{\underset{k\rightarrow 0}{}}}\left(1-4\alpha\sin^2{{\pi\sqrt{k}}\over{2\sqrt{\alpha}}}\right)^{{{t}\over{k}}}\sin\pi x=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\lim_{\overset{h\rightarrow 0}{\underset{k\rightarrow 0}{}}}(1-\pi^2k)^{{{t\pi^2}\over{\pi^2 k}}}\sin\pi x=e^{-\pi^2t}\sin\pi x \;</MATH>|8.56}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|8.1}} przy f(x,t)=0 jest u(x,t)=e{{Sup|-&pi;{{Sup|2}}t}}sin&pi;x. === Rozwiązywanie różnicowego równania według schematu blokowego === Równanie {{LinkWzór|8.7}} dzielimy przez -&alpha;&sigma; i w rezultacie otrzymujemy następne równanie przy definicji {{Formuła|<MATH>s={{h^2}\over{\sigma k}}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_{i+1,j}-(2+s)v_{i,j}+v_{i-1,j}=-r_{i,j}\;</MATH>{{Br}} <MATH>r_{i,j}={{1-\sigma}\over{\sigma}}v_{i+1,j-1}+\left[s-2{{1-\sigma}\over{\sigma}}\right]v_{i,j-1}+{{1-\sigma}\over{\sigma}}v_{i-1,j-1}-{{h^2}\over{\sigma}} f_{i,j-1/2}\;</MATH>{{Br}}<MATH>v_{0j}=\varphi_j\mbox{, }v_{N,j}=\psi_j\;</MATH>|8.57}} Rozwiązanie {{LinkWzór|8.57}} będziemy wyznaczać kolejno warstwami dla t=jk. Dla każdej warstwy mamy do rozwiązania N-1 równań tworzące jeden układ równań. Tutaj będziemy rozważać "j" jako ustalona liczba. Ponieważ równanie {{LinkWzór|8.57}} zapisujemy względem macierzy trójdiagonalnej, który zapisujemy w formie {{LinkWzór|5.93|Algebraiczne_sposoby_rozwiązywania_układów_równań_liniowych}}. Podczas działania macierzy trójdiagonalnej na macierz o elementach v{{Sub|i,j}} (które będziemy wyznaczać) otrzymujemy wektor pionowy o elementach r{{Sub|ij}}. Z tożsamości {{LinkWzór|5.103|Algebraiczne_sposoby_rozwiązywania_układów_równań_liniowych}} otrzymujemy zależność łączącą v{{Sub|i,j}} z v{{Sub|i+1,j}} poprzez parametry p{{Sub|i}} i t{{Sub|i,j}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_{i,j}=p_iv_{i+1,j}+t_{i,j}\mbox{ dla }i=N-1,..,1\;</MATH>|8.58}} wyznaczmy elementy p{{Sub|i}} wykorzystując wzór {{LinkWzór|5.98|Algebraiczne_sposoby_rozwiązywania_układów_równań_liniowych}} oraz {{LinkWzór|5.99|Algebraiczne_sposoby_rozwiązywania_układów_równań_liniowych}}, wtedy możemy napisać związek rekurencyjny p{{Sub|i}} względem p{{Sub|i-1}} w zależności dodatkowo od parametru "s" zdefiniowanego powyżej: {{CentrujWzór|<MATH>p_i=-{{c_i}\over{u_i}}=-{{1}\over{u_i}}=-{{1}\over{-(2+s)-l_ic_{i-1}}}=-{{1}\over{-(2+s)-{{1}\over{u_{i-1}}}}}={{1}\over{2+s-p_{i-1}}}\;</MATH>|8.59}} {{CentrujWzór|<MATH>p_0=0\;</MATH>|8.60}} Dalej jeśli wykorzystamy równanie {{LinkWzór|5.101|Algebraiczne_sposoby_rozwiązywania_układów_równań_liniowych}}, to otrzymamy zależność rekurencyjną t{{Sub|i,j}} w zależności od t{{Sub|i-1,j}} poprzez parametr r{{Sub|i,j}} zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|8.57}} w jego drugiej linijce: {{CentrujWzór|<MATH> t_{i,j}={{y_i}\over{u_i}}=-p_iy_i=-p_i\left(-r_{ij}-{{y_{i-1}}\over{u_{i-1}}}\right)=p_i(t_{i-1,j}+r_{i,j})\;</MATH>|8.61}} Patrząc na {{LinkWzór|8.57}} na trzecią linijkę (pierwszy wzór w tej linijce), a także na wzór {{LinkWzór|8.60}} i {{LinkWzór|8.58}}, dochodzimy natychmiast, że: {{CentrujWzór|<MATH>t_{0,j}=\varphi_j\;</MATH>|8.62}} == Drgająca struna == Równanie struny jednorodnej jako przykład równania hiperbolicznego przedstawimy jako równanie różniczkowe, w której wyznaczaną funkcją jest u(x,t), którą wyznaczamy względem funkcji f(x,t): {{CentrujWzór|<MATH>Lu={{\partial^2u}\over{\partial t^2}}-{{\partial^2u}\over{\partial x^2}}=f(x,t)\;</MATH>|8.63}} Równanie {{LinkWzór|8.63}} jest określone w dziedzinie napisanej wewnątrz prostokąta {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{D}}=\{(x,t):0\leq x\leq l;,0\leq t\leq T\}\;</MATH>}}. Warunkiem początkowym dla rozwiązania struny jednorodnej {{LinkWzór|8.63}} jest u(x,0)=g(x) i {{Formuła|<MATH>{{\partial u(x,0)}\over{\partial t}}=F(x)\;</MATH>}} dla 0&le;x&le;l, a warunkami brzegowymi są u(0,t)=&phi;(t), u(l,t)=&psi;(t) dla 0&le;t&le;T. Zdefiniujmy operator <MATH>L^{\sigma}_{h,k}\;</MATH>, który działa na funkcję v{{Sub|ij}} wedle: {{CentrujWzór|<MATH>L^{\sigma}_{h,k}v_{ij}={{v_{i,j+1}-2v_{i,j}+v_{i,j-1}}\over{k^2}}-\mathbf{\Lambda}\left(\sigma v_{i,j+1}+(1-2\sigma)v_{i,j}+\sigma v_{i,j-1}\right)=f_{i,j}\;</MATH>|8.64}} Zakładamy, że naszymi warunkami brzegowymi są v{{Sub|i,0}}=g{{Sub|i}} dla i=1,...,N-1 i v{{Sub|0,j}}=&phi;{{Sub|j}}, v{{Sub|N,j}}=&psi;{{Sub|j}} dla j=0,1,...,M, gdzie g{{Sub|i}}=g(x{{Sub|i}}), &phi;{{Sub|i}}=&phi;(t{{Sub|j}}) oraz &psi;{{Sub|j}}=&psi;(t{{Sub|j}}). Jeśli obierzemy funkcję {{Formuła|<MATH>u\in C^4_4(\overline{\mathbf{D}})\;</MATH>}} dla dowolnego parametru &sigma;, która nie zależy od parametru podziału siatki, tzn. od h, k, wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>L^{\sigma}_{h,k}u_{i,j}=f_{i,j}+O(h^2+k^2)\;</MATH>|8.65}} Rozważmy przypadek brzegowy dla czasu równego zero, co na tej podstawie równania {{LinkWzór|8.63}} iloraz różnicowy funkcji u(x,t) piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{u_{i,1}-u_{i,0}}\over{k}}={{\partial u_{i,0}}\over{\partial t}}+{{k}\over{2}}{{\partial^2u_{i,0}}\over{\partial t^2}}+O(k^2)={{\partial u_{i,0}}\over{\partial t}}+{{k}\over{2}}\left(f_{i,0}+{{\partial u_{i,0}}\over{\partial x^2}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\partial u_{i,0}}\over{\partial t}}+{{k}\over{2}}\left(f_{i,0}+g^{''}_{i}\right)+O(k^2)=F_i+{{k}\over{2}}\left(f_{i,0}+g^{''}_{i}\right)+O(k^2)\;</MATH>|8.66}} Jeśli będziemy rozpatrywać funkcje v{{Sub|i,j}} dla warunku początkowego, to na podstawie {{LinkWzór|8.66}} możemy napisać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{v_{i,1}-v_{i,0}}\over{k}}={{\partial v_{i,0}}\over{\partial t}}+{{k}\over{2}}\left(f_{i,0}+g^{''}_{i}\right)=F_i+{{k}\over{2}}\left(f_{i,0}+g^{''}_{i}\right)\;</MATH>|8.67}} Równanie {{LinkWzór|8.64}} będziemy rozwiązywać warstwami dla i=1,..,N-1 i go możemy przepisać w postaci dwóch równości przy pewnej definicji r{{Sub|ij}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\left({{1}\over{k^2}}-\sigma\mathbf{\Lambda}\right)v_{i,j+1}=r_{ij}\;</MATH>|8.67a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>r_{ij}=\left({{2}\over{k^2}}+(1-2\sigma)\mathbf{\Lambda}\right)v_{i,j}+\left(-{{1}\over{k^2}}+\sigma\mathbf{\Lambda}\right)v_{i,j-1}+f_{ij}\;</MATH>|8.68}} }} == Rozwiązywanie równań Poissona metodami różnicowymi == Weźmy najprostszy przykład równania Poissona obowiązującego w przestrzeni trójwymiarowej: {{CentrujWzór|<MATH>Lu={{\partial^2u}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2u}\over{\partial y^2}}=f(x,y)\;</MATH>|8.68a}} Funkcja f(x,y) w powyższym równaniu powinna być ciągła na obszarze <MATH>\overline{\mathbf{D}}\;</MATH>. Rozpatrzmy dla równania {{LinkWzór|8.68}} zagadnienie brzegowe pierwszego rodzaju (zagadnienie Dirichleta), który wewnątrz tego obszaru u(x,y) spełnia równanie Poissona, a na brzegu tego obszaru jest spełnione zagadnienie {{Formuła|<MATH>u|_{\mathbf{\Gamma}}=\varphi\;</MATH>}}, gdzie funkcja &phi; jest określona na brzego {{Strong|&Gamma;}}. Rozpatrzmy drugie pochodne na obszarze {{Strong|&Gamma;}}. {{Rysunek|Siatka prostokątna a równanie Poissona.jpeg|sparp|Siatka prostokątna a równanie Poissona}} Rozpatrzmy drugie pochodne w węźle zerowym, tzn. {{Formuła|<MATH>{{\partial^2v}\over{\partial t^2}}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{{\partial^2 v}\over{\partial y^2}}\;</MATH>}}, które zapisujemy sposobem: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2v_0}\over{\partial t^2}}={{v_1-2v_0+v_3}\over{h^2}}\;</MATH>|8.69}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2v_0}\over{\partial y^2}}={{v_2-2v_0+v_4}\over{k^2}}\;</MATH>|8.70}} }} Całe równanie Poissona {{LinkWzór|8.68}} dla węzła zerowego możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>L_{h,k}v_0={{v_1-2v_0+v_3}\over{h^2}}+{{v_2-2v_0+v_4}\over{k^2}}=f_0\;</MATH>|8.71}} Jesli natomiast będziemy rozważać funkcje {{Formuła|<MATH>u\in C^4(\overline{\mathbf{D}})\;</MATH>}}, gdzie: {{Formuła|<MATH>C^m(\overline{\mathbf{D}})\;</MATH>}}, jest klasą funkcji mające ciągłe pochodne do rzęd m-tego włącznie w zbiorze {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{D}}\;</MATH>}}, to możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>L_{h,k}u_0=f_0+O(h^2+k^2)\;</MATH>|8.72}} Użyjmy dziewięć punktów opisane na rysunku obok, dzięki któremu równanie aproksymacyjne, które po odpowiednim przegrupowaniu wyrazów, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{5}\over{3}}\left({{1}\over{h^2}}+{{1}\over{k^2}}\right)v_0={{1}\over{6}}\left({{5}\over{h^2}}-{{1}\over{k^2}}\right)(v_1+v_3)+{{1}\over{6}}\left({{5}\over{k^2}}+{{1}\over{h^2}}\right)(v_2+v_4)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{12}}\left({{1}\over{h^2}}+{{1}\over{k^2}}\right)(v_5+v_6+v_7+v_8)+f_0+{{h^2}\over{12}}(f_1-2f_0+f_3)+{{k^2}\over{12}}\left(f_2-2f_0+f_4\right)\;</MATH>|8.73}} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Rysunek|Siatka trójkątna.jpeg|st|Siatka trójkątna|pozycja=center}} | 2 = {{Rysunek|Siatka trójkątna-wycinek.jpeg|stw|Siatka trójkątna-wycinek|pozycja=center}} }} Rozpatrzmy siatkę trójkątną wyglądającą jak w powyższych rysunkach, wtedy równanie różnicowe symbolizujące równanie Poissona {{LinkWzór|8.68}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{2}\over{3h^2}}(v_1+v_2+v_3+v_4+v_5+v_6-6v_0)=f_0\;</MATH>|8.74}} === Problem Dirichleta w aproksymacji różnicowej === {{Rysunek|Siatka prostokątna w raz z zamkniętą krzywą na płaszczyźnie XY.jpeg|spwrzknp|Krzywa z zaznaczeniem punktów należących do krzywej &Gamma; i punktów wewnętrznych {{Strong|D}}}} Określmy sobie zbiór {{Formuła|<MATH>\mathbf{D}\cup\mathbf{\Gamma}\;</MATH>}} składających się z punktów wewnętrznych {{Strong|D}} i punktów krzywej {{Strong|&Gamma;}}, wtedy możemy poszukiwać rozwiązania zagadnienia Dirichleta, pokrywając płaszczyznę prostokątną siatką prostych: {{CentrujWzór|<MATH>x=a+ih\mbox{, }y=b+jh\;</MATH>|8.75}} Określmy przez {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{\omega}}\;</MATH>}} zbiór węzłów należących do zbioru wyżej określonego, które dzielimy na zbiór węzłów wewnętrznych {{Strong|&omega;}} i na zbiór węzłów brzegowych. Dwa punkty nazywamy sąsiednimi, gdy jest spełniony warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{s=1}^2|i_s-j_s|=1\;</MATH>|8.76}} Węzeł nazywamy wewnętrzny, jeśli każdy jego sąsiad leży w zbiorze {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{\omega}}\;</MATH>}}, a pozostałe węzły nazywamy brzegowymi. Zbiór węzłów brzegowych podzielmy na dwa zbiory, zbiór {{Strong|&gamma;}}{{Sub|1}}, które leżą bezpośrednio na krzywej {{Strong|&Gamma;}}, a pozostałe węzły brzegowe oznaczmy przez {{Strong|&gamma;}}{{Sub|2}}. Przez zamalowane kółeczko na rysunku obok będziemy oznaczać węzły {{Strong|&omega;}}, a przez niezamalowane kółeczko węzły {{Strong|&gamma;}}{{Sub|1}}, a przez niezmalowaną gwiazdkę węzły {{Strong|&gamma;}}{{Sub|2}}. Jeśli punkt <MATH>A\in\mathbf{\gamma}_1\;</MATH>, to na pewno powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>v(A)=\phi(A)\;</MATH>|8.77}} {{Rysunek|Interpolacja wartości.jpeg|iw|Interpolacja wartości}} Dla punktów węzłowych siatki w obszarze {{Strong|D}} równanie różnicowe symbolizujące równanie Poissona piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>L_{h,k}v_{ij}={{v_{i+1,j}-2v_{ij}+v_{i-1,j}}\over{h^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{v_{i,j+1}-2v_{ij}+v_{i,j-1}}\over{k^2}}=f_{ij}\;</MATH>|8.77a}} Dla punktów brzegowych, ale nieleżących na krzywej {{Strong|&Gamma;}}, czyli należącej do obszaru {{Strong|&gamma;}}{{Sub|2}} można w przybliżeniu napisać v{{Sub|ij}}=&phi;(B{{Sub|ij}}). Dla punktów brzegowych można policzyć wartość v{{Sub|ij}} znając wartość funkcji v(x,y) na krzywej {{Strong|&Gamma;}} (punkt B) i znając wartość dla punktów wewnętrznych (punkt C) według interpolacji liniowej jak to podał Colatz z błędem O(h{{Sup|2}}+k{{Sup|2}}) według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>v(A)={{1}\over{h+h_1}}\left(h_1v(C)+h\phi(B)\right)\;</MATH>|8.78}} {{Rysunek|Zastosowanie równania różnicowego dla poszczególnych punktów.jpeg|zrrdpp|Zastosowanie równania różnicowego dla poszczególnych punktów}} Weźmy sobie punkt A, który jest punktem brzegowym należącym do zbioru {{Strong|&gamma;}}{{Sub|2}}. Weźmy dodatkowo cztery punkty, które otaczają ten punkt A, które z tych punktów są albo węzłami, albo punktami przecięcia siatki z krzywą {{Strong|&Gamma;}}, wtedy równanie różnicowe możemy zapisać przez: {{CentrujWzór|<MATH>l_{h,k}v(A)={{1}\over{h}}\left({{v(B)-v(A)}\over{h_1}}-{{v(A)-v(D)}\over{h_2}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{k}}\left({{v(C)-v(A)}\over{k_1}}-{{v(A)-v(E)}\over{k_2}}\right)=f(A)\;</MATH>|8.79}} We wzorze {{LinkWzór|8.79}} w punktach, które pokrywają się z punktami na krzywej {{Strong|&gamma;}} podstawiamy wartości funkcji &phi; w tychże punktach. Równanie {{LinkWzór|8.79}} możemy zapisać w sposób bardziej przekształcony pisząc je: {{CentrujWzór|<MATH>v(A)\left[{{1}\over{h_1h}}+{{1}\over{h_2h}}+{{1}\over{kk_1}}+{{1}\over{kk_2}}\right]-{{1}\over{h_1h}}v(B)-{{1}\over{hh_2}}v(D)-{{1}\over{kk_1}}v(c)-{{1}\over{kk_2}}v(E)=f(A)\;</MATH>|8.80}} == Rozwiązywanie równań różnicowych w wykorzystaniem zbieżności jednostajnej == Jeśli będziemy korzystać z równości {{LinkWzór|8.77}} i v{{Sub|ij}}=&phi;(B{{Sub|ij}}), wtedy oszacowanie maksymalne pomiędzy wartością u{{Sub|ij}}, a v{{Sub|ij}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|u_{ij}-v_{ij}|\leq N_1(h+k)\;</MATH>|8.81}} a jeśli weżniemy pod uwagę {{LinkWzór|8.77}}, {{LinkWzór|8.78}} i {{LinkWzór|8.77}}, {{LinkWzór|8.79}}, wtedy oszacowanie błędu pomiędzy wartościami u{{Sub|ij}} i v{{Sub|ij}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|u_{ij}-v_{ij}|\leq N_2(h^2+k^2)\;</MATH>|8.82}} Dla węzłów, których wartości są v{{Sub|ij}} możemy zbudować twierdzenia, które jest bardzo łatwo udowodnić na podstawie rozdziału {{sr|#Stabilność rozwiązań równań cząstkowych z warunkami brzegowymi i jego zbieżność|b=tak}}, które tutaj przedstawimy bez dowodu: {{Twierdzenie|jakie=pierwsze|tekst= Dla v niestałego wyrażenie L{{Sub|h,k}}&ge;0 (L{{Sub|h,k}}&le;0) funkcja w węzłach wewnętrznych nie może przyjmować wartości największej (najmniejszej). }} {{Twierdzenie|jakie=drugie|tekst= Jeśli są spełnione warunki na węzłów wewnętrznych &#124;L{{Sub|h,k}}v{{Sub|ij}}&#124;&le;-L{{Sub|h,k}}Y{{Sub|ij}} i &#124;v{{Sub|ij}}&#124;&le;Y{{Sub|ij}} dla węzłów brzegowych, to wtedy na pewno dla węzłów brzegowych i wewnętrznych spełniony jest warunek &#124;v{{Sub|ij}}&#124;&le;Y{{Sub|ij}}. }} Równanie {{LinkWzór|8.77}} ma jednoznaczne rozwiązanie w funkcjach v{{Sub|ij}}, w tym celu należy rozwiązać równanie jednorodne: {{CentrujWzór|<MATH>L_{h,k}v_{ij}=0\;</MATH>|8.83}} i stwierdzić czy ono ma tylko rozwiązania v{{Sub|ij}} zerowe, ale przy wykorzystaniu twierdzenia pierwszego stwierdzamy, że nie ma ani rozwiązań dodatnich, ani ujemnych, zatem jedynymi rozwiązaniami są rozwiązania zerowe. Objeżmy sobie funkcję v=z+q, wtedy możemy powiedzieć dla funkcji "z", że L{{Sub|h,k}}z{{Sub|i,j}}=0 dla punktów wewnętrznych i z{{Sub|ij}}=&phi;(B{{Sub|ij}}) dla punktów brzegowych, a także dla funkcji "q" zachodzą dwa warunki L{{Sub|h,k}}q{{Sub|ij}}=f{{Sub|ij}} dla punktów wewnętrznych i q{{Sub|ij}}=0 dla punktów brzegowych. Na podstawie powyższych wniosków możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|z_{ij}|\leq\max_{(i,j)\in\mathbf{\omega}}|z_{ij}|\leq\max_{A\in\mathbf{\Gamma}}\phi(A)\;</MATH>|8.84}} Przyjmijmy teraz funkcję Y(x,y)=K(r{{Sup|2}}-x{{Sup|2}}-y{{Sup|2}}), gdzie przez R będziemy oznaczać promieniem koła, w której zawarty jest obszar {{Strong|D}}, wtedy na podstawie tego napiszemy L{{Sub|h,k}}Y{{Sub|ij}}=-4K. Przyjmijmy oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH>K=\max_{(i,j)\in\mathbf{\omega}}{{|f_{ij}|}\over{4}}\;</MATH>|8.85}} wtedy możemy przyjąć oznaczenie na q{{Sub|ij}} na podstawie twierdzenia drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|q_{ij}|\leq\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|Y_{ij}|\leq R^2\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}{{f_{ij}}\over{4}}={{R^2}\over{4}}\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|f_{ij}|\leq{{R^2}\over{4}}\max_{A\in D}|f(A)|\;</MATH>|8.86}} zatem funkcję v{{Sub|ij}} według definicji samego v podanego powyżej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|v_{ij}|\leq\max_{A\in\mathbf{\Gamma}}|\phi(A)|+{{R^2}\over{4}}\max_{A\in D}|f(A)|\;</MATH>|8.87}} Patrząc na {{LinkWzór|8.86}} udowodniliśmy, że wyrazy v{{Sub|ij}} zależą w sposób ciągły od funkcji f i &phi;. Weźmy sobie funkcję błędu &epsilon;=u-v, wtedy napiszemy L{{Sub|h,k}}&epsilon;{{Sub|ij}}=F{{Sub|ij}} dla punktów wewnętrznych i &epsilon;{{Sub|ij}}=&psi;{{Sub|ij}} dla punktów brzegowych, wtedy oszacowania na funkcje F{{Sub|ij}} i &psi;{{Sub|ij}} możemy napisać przy definicji stałej M{{Sub|s}} równą <MATH>_{M_s=\max\left\{\max_{(x,y)\in \mathbf{D}}\left|{{\partial^su}\over{\partial x^s}}\right|,\max_{(x,y)\in \mathbf{D}}\left|{{\partial^su}\over{\partial y^s}}\right|\right\}}\;</MATH>: {{ElastycznyWiers | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|F_{ij}|\leq{{M_4}\over{12}}(h^2+k^2)\;</MATH>|8.88}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_{ij}|\leq M_1(k+h)\;</MATH>|8.89}} }} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.87}}, a także na podstawie {{LinkWzór|8.88}} i {{LinkWzór|8.89}} możemy napisać na maksymalną wartość bezwzględną różnicy pomiędzy u{{Sub|ij}} i v{{Sub|ij}} według: {{CentrujWzór|<MATH>\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|u_{ij}-v_{ij}|\leq M_1(k+h)+{{R^2}\over{48}}M_4(h^2+k^2)\;</MATH>|8.90}} Jeśli brzeg jest prostokątem, to można tak wybrać brzeg tego prostokąta by on leżał na liniach tworzących naszą prostokątną siatkę, tzn. &psi;{{Sub|ij}}=0, to wtedy dla tego przypadku {{LinkWzór|8.90}} możemy przepisać dla przypadku M{{Sub|1}} równą zero. Niech kolejno <MATH>v,\tilde{v}\;</MATH> będą rozwiązaniami równania różnicowego przy <MATH>f,\phi,\tilde{f},\tilde{\phi}\;</MATH>, wtedy zaburzenie wielkości v{{Sub|ij}} na podstawie {{LinkWzór|8.87}} piszemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\max_{(i,j)\in\overline{\mathbf{\omega}}}|v_{ij}-\tilde{v}_{ij}|\leq\max_{A\in\mathbf{\Gamma}}|\phi(A)-\tilde{\phi}(A)|+{{R^2}\over{4}}\max_{A\in D}|f(A)-f(\tilde{A})|\;</MATH>|8.91}} === Rozwiązywanie równania przewodnictwa cieplnego metodą prostych === Rozpatrzmy równanie przewodnictwa cieplnego, którego rozwiązaniem są funkcje wektorowe {{Strong|u}}={{Strong|u}}(x,t) spełnionego wewnątrz prostokąta {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{D}}=\{(x,t):0\leq x\leq l,0\leq t\leq T\}\;</MATH>}}, zapisaną w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>L\mathbf{u}={{\partial\mathbf{u}}\over{\partial t}}-{{\partial^2\mathbf{u}}\over{\partial x^2}}=f(x,t)\;</MATH>|8.92}} z warunkiem początkowym {{Strong|u}}(x,0)=g{{Sub|1}}(x) dla 0&le;x&le;t i z warunkami brzegowymi {{Strong|u}}(0,t)=&phi;(t) i {{Strong|u}}(l,t)=&psi;(t) dla 0&le;t&le;T. Rozwiązania zagadnienia będziemy poszukiwali metodą prostych x=x{{Sub|i}}=ih przy zdefiniowanym h=l/N, gdzie i=0,1,..,N. Drugą pochodną wielkości {{Strong|u}} względem położenia w równaniu {{LinkWzór|8.92}} zastępujemy wyrażeniem różnicowym przy pomocy prostych x=x{{Sub|i}} dla i=1,...,N-1, wtedy po tej operacji piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>L_{h,k}v_i(t)=v^'(t)-{{1}\over{h^2}}\left[v_{i+1}(t)-2v_i(t)+v_{i-1}(t)\right]=f_i(t)\;</MATH>|8.93}} przy warunkach początkowych v{{Sub|i}}(0)=g{{Sub|1}}(x{{Sub|i}}) i przy warunkach brzegowych v{{Sub|0}}(t)=&phi;(t), v{{Sub|N}}(t)=&psi;(t) dla 0&le;t&le;T. Równanie {{LinkWzór|8.93}} możemy zapisać w postaci wektorowej wraz z warunkiem początkowym: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{V}^'(t)={{1}\over{h^2}}\mathbf{A}\mathbf{V}(t)+\mathbf{F}(t)\mbox{ gdzie }\mathbf{V}(0)=\mathbf{G}_1\;</MATH>|8.94}} Metoda prostych polega na rozwiązaniu zagadnienia rozpisanego powyższym równaniem w postaci składowych {{Strong|V}}(t). Rozwiązanie równania macierzowego {{LinkWzór|8.94}} jest zbieżne do rozwiązania dokładnego z dokładnością O(h{{Sup|2}}) i macierze tam występujące piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}=\begin{bmatrix} -2&1&&0\\ 1&-2&1\\ &\ddots&\ddots&\ddots\\ &&-2&1\\ 0&&1&-2\end{bmatrix}\;</MATH>|8.95}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{V}(t)=\begin{bmatrix}v_1(t)\\v_2(t)\\\vdots\\v_{N-2}(t)\\v_{N-1}(t)\end{bmatrix}\;</MATH>|8.96}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{F}(t)=\begin{bmatrix} f_1(t)+{{1}\over{h^2}}\phi(t)\\ f_2(t)\\ \vdots\\ f_{N-2}(t)\\ f_{N-1}(t)+{{1}\over{h^2}}\psi(t) \end{bmatrix}\;</MATH>|8.97}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{G}_1=\begin{bmatrix}g_1(x_1)\\g_1(x_2)\\\vdots\\g_1(x_{N-2})\\g_1(x_{N-1})\end{bmatrix}\;</MATH>|8.98}} }} Jeśli mamy rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|8.92}} w postaci składowych o elementach u(x{{Sub|i}},t) i rozwiązania równania różnicowego {{LinkWzór|8.94}} o elementach v{{Sub|i}}(t), to wtedy dla {{Formuła|<MATH>\mathbf{u}\in C^4_2(\overline{\mathbf{D}})\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>|u(x_i,t)-v_i(t)|\leq Mh^2\;</MATH>|8.99}} === Rozwiązywanie równania drgania struny metodą prostych === Rozpatrzmy równanie drgań struny, którego rozwiązaniem są funkcje wektorowe {{Strong|u}}={{Strong|u}}(x,t) spełnionego wewnątrz prostokąta <MATH>_{\overline{\mathbf{D}}=\{(x,t):0\leq x\leq l,0\leq t\leq T\}}\;</MATH>, zapisaną w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>L\mathbf{u}={{\partial^2\mathbf{u}}\over{\partial t^2}}-{{\partial^2\mathbf{u}}\over{\partial x^2}}=f(x,y)\;</MATH>|8.100}} z warunkami początkowymi {{Strong|u}}(x,0)=g{{Sub|1}}(x), {{Formuła|<MATH>{{\partial\mathbf{u}(x,0)}\over{\partial t}}=g_2(x)\;</MATH>}} dla 0&le;x&le;l i z warunkami brzegowymi {{Strong|u}}(0,t)=&phi;(t), {{Strong|u}}(l,t)=&phi;(t) dla 0&le;t&le;T. Równanie różniczkowe {{LinkWzór|8.100}} zastępujemy równaniem różnicowym o skoku iksowym h: {{CentrujWzór|<MATH>L_hv_i(t)=v_i^{''}(t)-{{1}\over{h^2}}\left[v_{i+1}(t)-2v_i(t)+v_{i-1}(t)\right]=f_i(t)\;</MATH>|8.101}} przy warunkach brzegowych v{{Sub|i}}(0)=g{{Sub|1}}(x{{Sub|i}}), v'{{Sub|i}}(0)=G{{Sub|2}}(x{{Sub|i}}). Równanie różnicowe {{LinkWzór|8.101}} możemy zastąpić równaniem wektorowym zapisanym w postaci jednego równania: {{CentrujWzór|<MATH>V^{''}(t)={{1}\over{h^2}}\mathbf{A}V(t)+\mathbf{F}(t)\mbox{ przy }\mathbf{V}(0)=\mathbf{G}_1\mbox{ i }\mathbf{V}^'(0)=\mathbf{G}_2\;</MATH>|8.102}} Wektory występujące w równaniu {{LinkWzór|8.102}} piszemy takimi samymi wzorami co w punkcie {{LinkWzór|8.95}}, {{LinkWzór|8.96}}, {{LinkWzór|8.97}} , a wektor {{Strong|G}}{{Sub|2}} podobnie definiujemy jak wektor {{LinkWzór|8.96}}, ale ze wskaźnikiem dwa zamiast jeden. Jeśli mamy rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|8.100}} w postaci składowych o elementach u(x{{Sub|i}},t) i rozwiązania równania różnicowego {{LinkWzór|8.101}} o elementach v{{Sub|i}}(t), to wtedy dla {{Formuła|<MATH>u\in C^4_4(\overline{\mathbf{D}})\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>|u(x_i,t)-v_i(t)|\leq M_1h^2\;</MATH>|8.103}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> jtv3habb1uxwbz251ocffu7g65us5da 0 44990 558698 548265 2026-10-05T03:44:05Z Persino 2851 558698 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Pierwsza i trzecia zasada dynamiki Einsteina == Pierwsza i trzecia zasada dynamiki Einsteina są powtórzeniem pierwszej i trzeciej zasady dynamiki Newtona. == Druga zasada dynamiki Einsteina - wersja wektorowa == Tutaj zajmiemy się drugą zasadą dynamiki Einsteina, wyprowadzeniem jej, także wyprowadzimy wzór na masę relatywistyczną i wzór na przyśpieszenie ciała znając siłę działającą na to ciało i jego prędkość. === Wyprowadzenie drugiej zasady dynamiki Einsteina === Tutaj wyprowadzimy wzór na drugą zasadę dynamiki w szczególnej teorii względności. Biorąc we wzorach {{LinkWzór|1.70|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} i {{LinkWzór|1.71|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} {{Formuła|<MATH>\vec v\rightarrow \vec V\;</MATH>}}, to wtedy możemy otrzymać zależność przyśpieszenia równoległego pomiędzy starym układem odniesienia a nowym, a w przypadku przyśpieszenia prostopadłego jest, gdy ciało porusza się z prędkością dążącą do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, co wtedy w starym układzie ciało porusza się z prędkością prostopadłą dążącą do zera lokalnie czasowo, zatem: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_{||}^'=C_p{{\vec a_{||}}\over{\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)^{3\over 2}}}\;</MATH>|1.101}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_{\perp}^'=C_p{{\vec a_{\perp}}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}\;</MATH>|1.102}} }} Policzmy, czemu jest równa siła w układzie {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, korzystając ze wzoru na {{Formuła|<MATH>\vec{a}^'\;</MATH>}}, oraz zakładając, że siła {{Formuła|<MATH>\vec{F_{||}}\;</MATH>}} po rozłożeniu transformuje się ze współczynnikiem równym 1 do {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{||}^'\;</MATH>}}, oraz do {{Formuła|<MATH>\vec{F}^'_{\perp}\;</MATH>}} transformuje się ze współczynnikiem równym {{Formuła|<MATH>\gamma^{-1}\;</MATH>}} jak dowiedziemy poniżej, zakładając, że oba układy (stary i nowy układ odniesienia) są ogólnie nieprostokątne i ogólnie nierównoległe do siebie. Wprowadzimy tutaj dla prędkości dążących do zera wzór na wielkość tensora siły, z drugiej zasady dynamiki Newtona, którą przedstawimy jako nową siłę {{Formuła|<MATH>{K^'}^{\mu}\;</MATH>}} w układzie {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'={{d\vec \vec p^'}\over{dt^'}}=c{{m_0cd\vec u^'}\over{cdt^'}}=c{{dm_0c\vec u}\over{ds}}=c\vec K'\Rightarrow\vec K^'={{1}\over{c}}\vec F^'\wedge{K^'}^0={{m_0cd{u^'}^0}\over{ds}}=0\Rightarrow {K^'}^{\mu}={{1}\over{c}}\left[0,\vec F^'\right]\;</MATH>|G1a}} Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>{u^'}^{\mu}={{d{x^'}^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>ds=cdt\;</MATH>}} (dla teorii Newtona, która jest spełniona dla prędkości dążącej do zera) i {{Formuła|<MATH>dx^0=cdt\;</MATH>}}. Dalej wiemy, że {{Formuła|<MATH>dx^{\mu}\;</MATH>}} jest tensorem i interwały są niezmiennicze przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego według {{LinkWzór|1.79|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} i {{LinkWzór|1.12|Podstawy teorii względności}}, to wtedy {{Formuła|<MATH>{K^'}^{\mu}\;</MATH>}} jest tensorem, co stąd od tej chwili nową siłę nazwiemy tensorem siły. Możemy napisać wzory na tensor siły na podstawie, że {{Formuła|<MATH>{K}^{\mu}\;</MATH>}} jest tensorem, bo wielkość różniczkowa {{Formuła|<MATH>dx^{\mu}\;</MATH>}} jest tensorem, w układzie, w którym ciało porusza się z dowolną prędkością mniejszą niż {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}} wychodząc od układu {{Formuła|<MATH>\vec v\rightarrow\vec 0\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|G1a}}, stąd w przestrzeni zwykłej dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec K={{d(m_0c \vec u)}\over{ds}}={{\gamma}\over{c}}{{d(m_0\gamma\vec v)}\over{dt}}={{\gamma}\over{c}}{{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|G2a}} Przy wyznaczania elementów przestrzennych tego tensora siły należy pamiętać, że {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} obieramy ze znakiem plus, a nie minus, bo {{Formuła|<MATH>ds>0\;</MATH>}}, zakładając, że siła przedstawia się wzorem w tym układzie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|G3a}} * gdzie masa przedstawia się wzorem {{Formuła|<MATH>m=\gamma m_0\;</MATH>}}, a pęd klasyczny formułą {{Formuła|<MATH>\vec p=m\vec v=m_0c\vec u\;</MATH>}}. To wtedy wzór na wektor tensora siły w przestrzeni zwykłej wychodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec K={{\gamma}\over{c}}\vec F\;</MATH>|G4a}} A także jeśli mamy prędkości dążące do zera punktu materialnego to powinno być {{Formuła|<MATH>\gamma(v\rightarrow 0)\rightarrow 1\;</MATH>}} (co jest prawdą przy definicji {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} z plusem), to wzór na tensor siły dla jej elementów przestrzennych przechodzi w tensor siły o elementach przestrzennych dla prędkości dążącej do zera {{Formuła|<MATH>\vec K^'\;</MATH>}}, czyli w {{LinkWzór|G1a}}, stąd definicja siły relatywistycznej {{Formuła|<MATH>\vec F\;</MATH>}} jest spójna dla prędkości ciała o prędkości mniejszej niż {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}}. Możemy napisać wzór na tensor siły w układzie, w którym ciało porusza się z niezerową prędkością, mając macierz {{Formuła|<MATH>{{M^'}^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} napisaną wzorem {{LinkWzór|1.63b|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, wtedy tensor siły w układzie, w którym prędkość tego ciała dąży do zera, i transformację tej prędkości starego układu odniesienia inercjalnego do nowego też inercjalnego poruszającym się z prędkością względem starego układu odniesienia ogólnie różną zera, a w nowym układzie odniesienia poruszającą się z prędkością {{LinkWzór|1.33a|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>K^{\mu}={{M^'}^{\mu}}_{\nu}{K^'}^{\nu}=\begin{bmatrix} \gamma^'&-\gamma^' {{{\vec{V}^'}^T}\over{c}}A\\ -M_p^'{{\vec{V}^'}\over{c}}&M_p^' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\{{1}\over{c}}\vec F^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\gamma {{1}\over{c^2}}\vec{V^'}^TA^'\vec F'\\{{1}\over{c}}M_p^'\vec F^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\gamma {{1}\over{c^2}}\vec{V^'}^TA^'\vec F^'_{||}\\{{1}\over{c}}M_p^'\vec F'\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}-{{\vec{V^'}^TA^'(\vec F^'_{||}+\gamma^{-1}\vec F^'_{\perp})}\over{c^2}}\gamma\\{{\gamma}\over{c}}\gamma^{-1} M_p^'\vec F'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{\vec{V}^TC_p^TA^'C_pC_p^'(\vec F^'_{||}+\gamma^{-1}\vec F_{\perp})}\over{c^2}}\gamma\\{{\gamma}\over{c}}\gamma^{-1}M_p^'\vec F^'\end{bmatrix}\xrightarrow[\vec v\rightarrow \vec V]{}\begin{bmatrix}{{\vec{v}^TA \vec F}\over{c^2}}\gamma\\{{\gamma}\over{c}}\underbrace{C_p^'\left(\vec F^'_{||}+\gamma^{-1}\vec F_{\perp}^'\right)}_{\vec F}\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\left({{\vec v}\over{c}},C_p^'\left(\vec F^'_{||}+\gamma^{-1}\vec F^'_{\perp}\right)\right)\\C_p^'\left(\vec F^'_{||}+\gamma^{-1}\vec F^'_{\perp}\right)\end{bmatrix}\Rightarrow\vec K={{\gamma}\over{c}} C_p^'\left(\vec F^'_{||}+\gamma^{-1}\vec F^'_{\perp}\right)\Rightarrow\vec F=C_p^'\left(\vec F_{||}^'+\gamma^{-1}\vec F^'_{\perp}\right)=C_p^'(m_0\vec{a}_{||}^'+\gamma^{-1}m_0\vec{a}_{\perp}^')=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{m_0{{{\vec{a_{||}}}\over{\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)}^{3\over 2}}}}+{\gamma^{-1} m_0{{\vec{a_{\perp}}}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}}\;</MATH>|1.103}} Policzmy nieoznaczoną całkę, która będzie nam potrzebna, by wyznaczyć końcową postać siły relatywistycznej występującego w szczególnej teorii względności. {{CentrujWzór|<MATH>\int{{dv}\over{(1-{{v^2}\over{c^2}})}^{3\over 2}}=\begin{Bmatrix} v=c \operatorname{sin}\gamma\\ dv=c \operatorname{cos}\gamma d\gamma \end{Bmatrix} =\int {{c\operatorname{cos} \gamma d\gamma}\over{cos^3\gamma}}=c\int {{1}\over{cos^{2}\gamma}}=c \cdot\operatorname{tg}\gamma+A=c{{\sin \gamma}\over{\sqrt{1-\sin^2 \gamma}}}+A={{v}\over{\sqrt{1-{\left({v\over c}\right)}^2}}}+A \;</MATH>|1.104}} A teraz przejdźmy do wyznaczania siły zapisanej pierwotnie w punkcie {{LinkWzór|1.103}} przy pomocy obliczonej całki {{LinkWzór|1.104}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{e_{||}}{{d}\over{dt}}{{vm_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}-\vec{e_{\perp}}{{m_0\gamma^{-1}}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}{{v^2}\over{r}}={{d m_0\gamma\vec{v}}\over{dt}}+{{\vec{v}^2}\over{r}}m_0\gamma\vec{e}_{\perp}-\vec{e_{\perp}}{{m_0\gamma^{-1}}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}{{u^2}\over{r}}= {{d m_0\gamma\vec{v}}\over{dt}}+{{\vec{v}^2}\over{r}}m_0\vec{e}_{\perp}\left(\gamma-{{\gamma^{-1}}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{dm\vec{v}}\over{dt}}+\vec{a}_{\perp}m_0\left(\gamma-{{\gamma^{-1}}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}\right)</MATH>|1.105}} Aby wzór {{LinkWzór|1.105}} był zgodny z definicją siły, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over{dt}}={{dm\vec v}\over{dt}}\;</MATH>}} (co udowodniliśmy przed chwilą), wynikającą, że tensor siły jest tensorem, to musi zachodzić: {{CentrujWzór|<math>\gamma-{{\gamma^{-1}}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}=0\Rightarrow\gamma^{-2}=\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\Rightarrow\gamma=\pm{{1}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\;</math>|1.106}} Zatem wzór na interwał czasoprzestrzenny {{Formuła|<MATH>ds=cdt\gamma^{-1}\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} jest napisane w {{LinkWzór|1.106}} (wybieramy ze znakiem plus, znak minus jest niefizyczny ze względu dla dodatniej wartości różniczki czasu powinno wynikać dodatnia wartość różniczki interwału czasoprzestrzennego), zgadza się ze wzorem na interwał czasoprzestrzenny z {{LinkWzór|1.77|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} jaką przyjęliśmy wcześniej do definicji wektora tensora siły {{LinkWzór|G4a}} w przestrzeni zwykłej. === Masa relatywistyczna === Pierwszy człon siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}}, musimy przyjąć dla zgodności z mechaniką klasyczną i nazywać w nim pod różniczką w liczniku masą relatywistyczną pamiętając, że wybieramy {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} ze znakiem plus bo powinno zachodzić {{Formuła|<MATH>\gamma\left(v\rightarrow 0\right)\rightarrow 1\;</MATH>}}, zatem wzór na masę relatywistyczną z definicji jej przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>m=m_0\gamma={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|1.107}} ==== Przybliżenie małych prędkości w porównaniu z prędkością światła dla masy relatywistycznej ==== Do wyrażeń matematyczno-fizycznych zastosujmy przybliżenie nierelatywistyczne, tzn.: {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}}, tzn. {{LinkWzór|N8|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}, stosując: {{CentrujWzór|<MATH>(1\pm x)^y\simeq 1\pm y x\;</MATH>|N7}} A {{Formuła|<MATH>y\;</MATH>}} w {{LinkWzór|N7}} jest dowolną liczbą rzeczywistą, a znienna {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}} spełnia warunek {{Formuła|<MATH>-1<x<1\;</MATH>}}. Dla małych prędkości masa relatywistyczna jest równa w przybliżeniu masie spoczynkowej, udowodnijmy to, zatem stosując {{LinkWzór|N7}} (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni {{LinkWzór|N8|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}, co na podstawie transformacji masy spoczynkowej do relatywistycznej {{LinkWzór|1.107}}: {{CentrujWzór|<MATH>m=m_0\gamma={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\simeq m_0\left(1+{{1}\over{2}}{{v^2}\over{c^2}}\right)\simeq m_0\Rightarrow m\simeq m_0\;</MATH>|M33}} === Siła styczna i dośrodkowa === Przy drugim członie w {{LinkWzór|1.105}} przyjmowaliśmy {{LinkWzór|1.106}} ze znakiem plus, czyli ten wzór na {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} zgadza się ze wzorem {{LinkWzór|1.41|Transformacje różniczek czasu i położenia}} (bo {{Formuła|<MATH>\vec v\rightarrow\vec V\;</MATH>}} jak przyjmowaliśmy przy wyprowadzaniu wzoru na siłę wiedząc, że druga zasada dynamiki Newtona jest spełniona dla prędkości dążących do zera) co teoria, którą chcemy wyprowadzić jest spójna, zatem relatywistyczna siła {{LinkWzór|1.105}} na podstawie {{LinkWzór|1.106}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{e_{||}}{{d}\over{dt}}{{vm_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}-\vec{e_{\perp}}{{v^2}\over{r}}{{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}=\vec{e_{||}}{{dp}\over{dt}}-\vec{e}_{\perp}m{{v^2}\over{r}}=\vec{e}_{||}F_{||}+\vec{e}_{\perp}F_{\perp}\;</MATH>|1.108}} *gdzie r to jest promień krzywizny toru ciała poruszającego się po zakrzywionym torze. === Pęd relatywistyczny ciała === Zdefiniujmy pęd relatywistyczny posiadanej przez ciało poprzez iloczyn masy relatywistycznej {{LinkWzór|1.107}} posiadanej przez ciało przez jego prędkość zgodnie co wcześniej podaliśmy wzór na wektor pędu przy założeniu, że prędkości nie muszą być dążące do zera, przy tym wiedząc, że współczynnik &gamma; jest podany w punkcie {{LinkWzór|1.106}} przy wyborze znaku na plus, a dlaczego tak robimy już to zostało udowodnione wcześniej, a więc: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}=m_0\gamma\vec{v}={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\vec{v}\;</MATH>|1.109}} === Ogólny wzór na siłę relatywistyczną działającą na ciało === Siłę relatywistyczną {{LinkWzór|1.105}} wykorzystując {{LinkWzór|1.106}} możemy zapisać w formie skróconej jako pochodną zupełna pędu relatywistycznego względem czasu rzeczywistego w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}={{dm\vec{v}}\over{dt}}={{d}\over{dt}}m_0\gamma\vec v={{d}\over{dt}}{{m_0\vec{v}}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\;</MATH>|1.110}} Czyli ta definicja jest zgodna ze wzorem na siłę {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>}} jaką wcześniej obraliśmy, którą obraliśmy z definicji tensora siły dla jej elementów przestrzennych, zatem jeszcze raz mówiąc teoria cała jest spójna, którą chcemy wyprowadzić. Zgodnie z definicją tensora siły dla jej elementów przestrzennych wynika druga zasada dynamiki Einsteina z definicji tensora siły dla mechaniki Newtona. Znając wzór na pęd {{Formuła|<MATH>\vec p\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.109}} przy założeniu, że znamy {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} wynikające ze wzoru {{LinkWzór|1.77|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}, co stąd możemy napisać wzór na siłę {{LinkWzór|1.110}} z definicji siły dla dowolnych prędkości {{Formuła|<MATH>v<c\;</MATH>}}. Wzór {{LinkWzór|1.110}} jest również w przybliżeniu spełniony dla układów słabozakrzywionych na podstawie definicji tensora siły {{LinkWzór|2.18|Tensory w czasoprzestrzeni}} i zależności pomiędzy wektorem tensora siły a wektorem siły przedstawia się w formie {{LinkWzór|2.20|Tensory w czasoprzestrzeni}}, a także {{LinkWzór|P3c|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, co zachodzi dla układów słabozakrzywionych. === Wzór na przyśpieszenie ciała znając siłę działająca na ciało i jego prędkość === Policzmy czemu jest równe wyrażenie, z którego chcemy otrzymać przyspieszenie ciała, przy czym będziemy korzystać {{LinkWzór|1.110}} i {{LinkWzór|1.108}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{m_0}}\left(\vec F-{{\vec v}\over{c^2}}\left(\vec F,\vec v\right)\right)\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{m_0}}\left({{d}\over{dt}}{{m_0\vec v}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}-{{\vec v}\over{c^2}}\left(\vec{e_{||}}{{dp}\over{dt}}+\vec{e}_{\perp}m_0{{v^2}\over{r}},\vec v\right)\right)\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}=\left({{d}\over{dt}}{{\vec v}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}-{{\vec v}\over{c^2}}v{{d}\over{dt}}{{v}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\right)\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left({{{{d\vec v}\over{dt}}\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}-\vec v{{1}\over{2}}(-2){{v}\over{c^2}}{{dv}\over{dt}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}-{{{{\vec v}\over{c^2}} v\left({{dv}\over{dt}}\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}-v{{1}\over{2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}(-2){{v}\over{c^2}}{{dv}\over{dt}}\right)}\over{1-{{v^2}\over{c^2}}}}\right)\cdot\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\vec a+{{\vec v{{v}\over{c^2}}{{dv}\over{dt}}-{{\vec v}\over{c^2}}v{{dv}\over{dt}}(1-{{v^2}\over{c^2}})-{{\vec v}\over{c^2}}{{v^3}\over{c^2}}{{dv}\over{dt}}}\over{\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}}}\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}=\vec a+{{\vec v{{v}\over{c^2}}{{dv}\over{dt}}-{{\vec v}\over{c^2}}v{{dv}\over{dt}}+{{\vec v}\over{c^2}}{{v^3}\over{c^2}}{{dv}\over{dt}}-{{\vec v}\over{c^2}}{{v^3}\over{c^2}}{{dv}\over{dt}}}\over{\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)}}=\vec a\;</MATH>|1.111}} Stąd na podstawie obliczeń {{LinkWzór|1.111}} dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec a={{1}\over{m_0}}\left(\vec F-{{\vec v}\over{c^2}}\left(\vec F,\vec v\right)\right)\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}={{1}\over{m_0\gamma}}\left(\vec F-{{\vec v}\over{c^2}}\left(\vec F,\vec v\right)\right)={{1}\over{m}}\left(\vec F-{{\vec v}\over{c^2}}\left(\vec F,\vec v\right)\right)</MATH>|1.112a}} Według wzoru {{LinkWzór|1.112a}} przyśpieszenie zależy od siły działającej na ciało, jego prędkości i masy relatywistycznej. === Zasada niezależności działania sił składowych ze sił wypadkowych, gdy każda z sił wypadkowych działa na to samo ciało poruszające się z taką samą prędkością === Jeżeli na ciało materialne będące punktowe działa kilka sił {{Formuła|<MATH>\vec F_i\;</MATH>}}, a siła wypadkowa jest {{Formuła|<MATH>\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>}}, to przyspieszenie wywołanej siłą wypadkową {{Formuła|<MATH>\vec F\;</MATH>}} jest równe sumie przyspieszeń wywołane przez siły składowe {{Formuła|<MATH>\vec F_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec a={{1}\over{m}}\left(\vec F-{{\vec v}\over{c^2}}\left(\vec F,\vec v\right)\right)={{1}\over{m}}\left(\sum_i\vec F_i-{{\vec v}\over{c^2}}\left(\sum_i\vec F_i,\vec v\right)\right)=\sum_i {{1}\over{m}}\left(\vec F_i-{{\vec v}\over{c^2}}\left(\vec F_i,\vec v\right)\right)=\sum_i\vec a_i\Rightarrow \vec a=\sum_i\vec a_i\;</MATH>|1.112b}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mp435incegues0lmu3opd03fdwmkugw 0 44992 558679 548250 2026-10-05T02:59:17Z Persino 2851 558679 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Szczególna teoria względności jest współczesną teorią fizyczną. Teoria ta wraz z mechaniką kwantową stanowią podstawę współczesnej fizyki i techniki. Jest ona formułowana dla układów inercjalnych, dalej transformacje w szczególnej teorii względności dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła przechodzą w transformację Galileusza też dla układów inercjalnych, a dynamika Einsteina przy tych warunkach w dynamikę Newtona. Szczególna teoria względności jest teorią stworzoną do opisu układów słabozakrzywionych fizycznych (transformacje Lorentza i dynamika Einsteina), a nie globalnie (lokalnie) płaskich matematycznych. Będziemy w tej książce badać układy globalnie (lokalnie) płaskie matematyczne i dowiemy się, że tam tensory (prędkości) są o globalnie (lokalnie) stałym kierunku, zwrocie i wartości, a także, że rozmiary wszechświata w tym układzie sa zerowe oraz jego masa, ładunek elektryczny i inne ładunki zachowalne też są zerowe, a także gęstość masy oraz ładunku i prądu elektrycznego oraz innych ładunków zachowalnych są o globalnie (lokalnie) stałej zerowej wartości, a także prędkość światła tam jest zerowa, a w układach słabozakrzywionych (jak udowodnimy to są układy prawie płaskie) jest tak wszystko, jak fizycy stwierdzili doświadczalnie. Z tych układów będziemy przechodzić do układów słabozakrzywionych fizycznych, w których można wyróżnić nowy rodzaj układów lokalnie płaskich (one są fizyczne), względem ogólnej teorii względności, które w rzeczywistości są układami słabozakrzywionymi. == Postulaty szczególnej teorii względności == {{Postulaty|uchwyt=GG|czego=Szczególnej teorii względności|tekst= Są trzy postulaty tej teorii fizycznej, dwa podstawowe i trzeci mówiący o zgodności mechaniki Einsteina z mechaniką Newtona dla małych prędkości w porównaniu z prędkości światła {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}}, one przedstawiają się w postaci: * '''Postulat pierwszy''' - jest uogólnieniem zasady względności Galileusza na dowolne procesy fizyczne, postulat ten zwany jest ''zasadą względności'' lub ''relatywistyczną zasadą względności Einsteina''. Brzmi on: prawa fizyki są spełnione we wszystkich inercjalnych układach współrzędnych, tzn. w takich układach, które poruszają się ze stałą prędkością względem innych układów inercjalnych. * '''Postulat drugi''' - we wszystkich układach współrzędnych prędkość światła jest jednakowa. * '''Postulat trzeci''' - transformacje Lorentza i dynamika Einsteina w szczególnej teorii względności (mechanika relatywistyczna) dla prędkości {{Formuła|<MATH>||\vec v||\ll c\;</MATH>}} przechodzą kolejno w transformacje Galileusza i dynamikę Newtona (trzy zasady dynamiki Newtona) w mechanice Newtona (mechanika klasyczna nierelatywistyczna). }} == Układy współrzędnych i odniesienia oraz we współrzędnych uogólnionych i krzywoliniowych, a także zakrzywione == '''Układy współrzędnych''' są w czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności i ogólnej teorii względności oraz w przestrzeni zwykłej w mechanice Newtona, '''układy odniesienia''' są za to w przestrzeni zwykłej w mechanice Newtona i Einsteina. '''Współrzędne krzywoliniowe''' są definiowane jako ze one oddają bezpośredni sens fizyczny równań mechaniki Newtona i Einsteina, a '''współrzędne uogólnione''' ogólnie takiego sensu nie mają, ale też opisują równania Newtona i Einsteina. '''Współrzędne układu zakrzywionego''' są to takie współrzędne, które w lokalnej płaskości opisywane są przez przestrzeń Minkowskiego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> p7hek73k8wr9bb1grq8s4dnhexdtuon 0 46719 558681 554864 2026-10-05T03:03:41Z Persino 2851 558681 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Formułowanie operatora rzutowego równoległego == Niech mamy wektor w przestrzeni n-wymiarowej, który jest sumą wektorów do siebie prostopadłych względem kierunku wyróżnionego {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>X=X_{||}+X_{\perp}\;</MATH>|T1}} Policzmy iloczyn skalarny wiedząc, że dla składowej równoległej do wektora {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} mamy z definicji {{Formuła|<MATH>X_{||}=\lambda\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec V,X)=(\vec V,X_{||}+X_{\perp})=(\vec V, X_{||})=(\vec V,\lambda \vec V)=\lambda V^2\Rightarrow\lambda ={{(\vec V,X)}\over{V^2}}\;</MATH>|T2}} Stąd dochodzimy do wniosku na podstawie składowej równoległej do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>X_{||}\;</MATH>}}, którą liczymy na podstawie wniosku {{LinkWzór|T2}}: {{CentrujWzór|<MATH>X_{||}=\lambda \vec V=\vec V{{(\vec V,X)}\over{V^2}}=\underbrace{{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A}_{P_{||}} X=P_{||}X\Rightarrow P_{||}={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\;</MATH>|T3}} == Właściwości kwadratu operatora rzutowego równoległego == Policzmy kwadrat operatora rzutowego {{Formuła|<math>P_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}} i dowolne jego potęgi na podstawie tego wiedząc, że zachodzi {{Formuła|<MATH>V^2=(\vec V,\vec V)=\vec V^TA\vec V\;</MATH>}}, co jest spełnione na podstawie definicji iloczynu skalarnego znanego z kursu algebry: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^2=P_{||}P_{||}={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A={{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=P_{||}\Rightarrow P_{||}^n=P_{||}\;</MATH>|T4}} == Formułowanie operatora rzutowego prostopadłego == Z warunku na wektor {{Formuła|<MATH>X\;</MATH>}} {{LinkWzór|T1}} i na wektor {{Formuła|<MATH>X_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}}, wtedy możemy otrzymać wzór na składową prostopadłą {{Formuła|<MATH>X_{\perp}\;</MATH>}} względem wyróżnionego kierunku {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>X_{\perp}=X-X_{||}=X-P_{||}X=(\underbrace{I-P_{||}}_{P_{\perp}})X=P_{\perp}X\Rightarrow P_{\perp}=I-P_{||}\;</MATH>|T5}} == Kwadrat operatora rzutowego prostopadłego == Policzmy kwadrat wektora rzutowego prostopadłego {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T5}} i dowolne jego potęgi na podstawie tego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^2=(1-P_{||})^2=1+P_{||}^2-2P_{||}=1+P_{||}-2P_{||}=1-P_{||}=P_{\perp}\Rightarrow P_{\perp}^n=P_{\perp}\;</MATH>|T6}} == Iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy == Policzmy iloczyn operatora rzutowego prostopadłego przez równoległy, a w przypadku odwrotnym jest podobnie, wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|T5}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}P_{||}=(1-P_{||})P_{||}=P_{||}-P_{||}^2=P_{||}-P_{||}=0\;</MATH>|T7}} Z wiadomych względów według wzoru {{LinkWzór|T5}} zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>I=P_{||}+P_{\perp}\;</MATH>|T8}} == Wektor prędkości kontrawariantny definiowany przez wektor prędkości kowariantny == Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego równoległego {{Formuła|<MATH>P_{||}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T3}} obierając nowy parametr {{Formuła|<MATH>\vec V^+\;</MATH>}} w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V=A^{-1}\vec V^+\;</MATH>|T9}} == Definicja operatora rzutowego równoległego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną == Powiemy z definicji operatora {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} poprzez {{Formuła|<MATH>\vec V^+\;</MATH>}} i macierzy iloczynu skalarnego, tzn. {{LinkWzór|T9}}: {{CentrujWzór|<MATH>P^T_{||}=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^T=A^T{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}=AA^{-1}{{\vec V^+{{\vec V}^{+}}^{T}}\over{{V^+}^2}}A^{-T}={{\vec V^+{{\vec V}^{+}}^{T}}\over{{V^+}^2}}A^{-1}=P^+_{||}\Rightarrow P_{||}^T=P_{||}^+\;</MATH>|T10}} == Definicja operatora rzutowego prostopadłego kontrawariantnego transponowanego przez jej wersję kowariantną == Policzmy macierz transponowaną do macierzy operatora rzutowego prostopadłego {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} {{LinkWzór|T5}}: {{CentrujWzór|<MATH>P^T_{\perp}=(I-P_{||})^T=I^T-P_{||}^T=I-P_{||}^+=P_{\perp}^+\Rightarrow P_{\perp}^T=P_{\perp}^+\;</MATH>|T11}} == Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych równa iloczynowi skalarnemu wektorów kowariantnych == Napiszmy iloczyn skalarny z jego definicji wykorzystując {{LinkWzór|T9}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec V_1,\vec V_2)=\vec V_1^TA\vec V_2={\vec V_1}^{+T}A^{-1}AA^{-1}{\vec V_2}^+={\vec V_1}^{+T}A^{-1}{\vec V_{2}}^+=\left(\vec V_1^+,\vec V_2^+\right)^+\;</MATH>|T12}} == Związek operatora rzutowego równoległego i macierzy iloczynu skalarnego == Można udowodnić dla operatorów rzutowych, jakie zachodzą tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>AP_{||}=A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^TA={P^+}_{||}A=P^T_{||}A\;</MATH>|T13}} == Związek operatora rzutowego prostopadłego i macierzy iloczynu skalarnego == Zachodzi tożsamość na podstawie {{LinkWzór|T11}}: {{CentrujWzór|<MATH>AP_{\perp}=A(I-P_{||})=A-AP_{||}=IA-P_{||}^+A=IA-P_{||}^+A=(I-P_{||}^+)A=P_{\perp}^+A=P_{\perp}^TA\;</MATH>|T14}} == Iloczyn skalarny dwóch operatorów rzutowych równoległych == Udowodnijmy, jakie zachodzą dalsze wnioski na operatorach rzutowych: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^TAP_{||}=\left({{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right)^TA{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A=AP_{||}\Rightarrow P_{||}^TAP_{||}=AP_{||}=P_{||}^TA\;</MATH>|T15}} == Iloczyn skalarny operatorów rzutowych prostopadłych == Wykorzystując wnioski z {{LinkWzór|T15}} i {{LinkWzór|T8}} zachodzące na operatorach rzutowych: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^TAP_{\perp}=(I-P_{||})^TA(I-P_{||})=A-AP_{||}-P_{||}^TA+P_{||}^TAP_{||}=A-AP_{||}-P_{||}^TAP_{||}+P_{||}^TAP_{||}=A(I-P_{||})=AP_{\perp}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow P_{\perp}^TAP_{\perp}=AP_{\perp}=P_{\perp}^TA\;</MATH>|T16}} == Iloczyn skalarny operatorów rzutowych równoległych i prostopadłych == Zachodzi na podstawie związku {{LinkWzór|T15}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^TAP_{\perp}=P_{||}^TA-P_{||}^TAP_{||}=P_{||}^TAP_{||}-P_{||}^TAP_{||}=0\Rightarrow P_{||}^TAP_{\perp}=P_{\perp}^TAP_{||}=0\;</MATH>|T17}} == Analogiczne związki dla operatorów rzutowych kowariantnych i podobieństwa do ich wersji kontrawariantnych == Podobne wnioski jak dla {{LinkWzór|T13}}, {{LinkWzór|T14}}, {{LinkWzór|T15}}, {{LinkWzór|T16}} i {{LinkWzór|T17}} zachodzą, gdy zastąpimy {{Formuła|<MATH>P_{||}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>P_{||}^+\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>P_{\perp}^+\;</MATH>}}, a także zastępując {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>A^{-1}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2b2magbr451b2v21dovsvu2vpc7lrp0 0 46720 558682 554863 2026-10-05T03:08:14Z Persino 2851 558682 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Transformacje iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Galileusza == Tutaj będziemy przeprowadzać dowody dotyczące transformacji Galileusza dla starego i nowego n-wymiarowego układu odniesienia ogólnie nieprostokątnego. Macierz iloczynu skalarnego w starym układzie współrzędnych {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} jest z oczywistych powodów symetryczna i dla każdego układu współrzędnych w zależności od ustawienia osi tego ta macierz jest liczona od nowa względem obserwatora spoczywającego w tym układzie. Dla transformacji Galileusza zachodzą: {{CentrujWzór|<MATH>(X^'_p,X^'_p)=X^{'T}_pA^'X^'_p\wedge X^'_p=C_pX_p\Rightarrow(X^'_p,X^'_p)=X_p^TC_p^TA^'C_pX_p=X_p^TAX_p=(X_p,X_p)\Rightarrow C_p^TA^'C_p=A\;</MATH>|G0}} Własność {{LinkWzór|G0}}, tzn. transformację z {{Formuła|<MATH>A^'\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} jest również spełniona w szczególnej teorii względności, jak udowodnimy. == Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza == A jeżeli {{Formuła|<MATH>A^{'T}=A^'\;</MATH>}} to z oczywistych powodów {{Formuła|<MATH>A^T=A\;</MATH>}} i odwrotnie, zatem macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna, gdzie {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} jest to ta sama macierz co występuje w transformacjach Galileusza: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable| {{Wiersz |{{Komórka|styl=text-align:center;|opcje=colspan=2|nagłówek=tak|'''Transformacje proste'''}} {{Komórka|styl=text-align:center;|opcje=colspan=2|nagłówek=tak|'''Transformacje odwrotne'''}} }} {{Wiersz |{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'=C_p(d\vec r-\vec V dt)\;</MATH>|G1}}}} {{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\vec v^'=C_p(\vec v-\vec V)\;</MATH>|G2}}}} {{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{'}(d\vec r^'-\vec V^' dt)\;</MATH>|G3}}}} {{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\vec v=C_p^{'}(\vec v^'-\vec V^')\;</MATH>|G4}}}} }} }} Wzory {{LinkWzór|G1}}, {{LinkWzór|G2}}, {{LinkWzór|G3}} i {{LinkWzór|G4}} są spełnione w układach odniesienia nieobracających się. Ponieważ macierze {{Formuła|<MATH>C_{p}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p}^'\;</MATH>}} (gdzie {{Formuła|<MATH>C_p=C_p^{'-1}\;</MATH>}}) są nieosobliwe dowolne (one zależą od ustawień osi starego i nowego układu odniesienia), więc transformacje {{LinkWzór|G1}}, {{LinkWzór|G2}}, {{LinkWzór|G3}} i {{LinkWzór|G4}} mają taką samą postać niezależnie z jakiego układu na który coś transformujemy przy pomocy tychże wzorów, zatem spełniają zasadę izotropowości przestrzeni, ale te macierze są stałe ze względu na przesuniecia w czasie i przestrzeni, więc spełniają zasadę jednorodności czasu i przestrzeni. W powyższych wzorach zachodzi tożsamość na podstawie absolutności czasu, tzn.: {{Formuła|<MATH>dt^'=dt\;</MATH>}}. == Macierz transformacji równoległy i prostopadły == Przyjmujemy, że zachodzi wzór na {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} w zależności od {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, które są kolejno macierzami pierwszy równoległym i prostopadłym do {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>C_p=C_{p||}+C_{p\perp}\wedge C_{p||}=C_pP_{||}\wedge C_{p\perp}=C_pP_{\perp}\;</MATH>|G5}} We wzorze {{LinkWzór|G5}} przyjmujemy warunki na macierze {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, czyli zachodzą {{Formuła|<MATH>C_{p||}X_{\perp}=0\wedge C_{p\perp}X_{||}=0\;</MATH>}}. Związki {{LinkWzór|G5}} przyjmujemy również w szczególnej teorii względności. == Transformacja prędkości nowego układu odniesienia względem starego na prędkość starego układu odniesienia względem nowego == Przejrzyjmy się właściwości macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}, którą udowodnimy z transformacji Galileusza. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego w transformacji Galileusza przedstawiamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V^'=C_p(0-\vec V)=-C_p\vec V=-C_{p||}\vec V\;</MATH>|G6}} == Macierz transformacji prosta i odwrotna - związki == Do {{LinkWzór|G3}} podstawmy {{LinkWzór|G1}} i {{LinkWzór|G6}}, co na podstawie tego: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{'}(d\vec r^'-\vec V^' dt)=C_p^{'}(C_p(d\vec r-\vec V dt)+C_p\vec Vdt)=C_p^'C_p(d\vec r-\vec V dt+\vec V dt)=C_p^'C_pd\vec r\Rightarrow I=C_p^'C_p\Rightarrow C_p^{'}=C_p^{-1}\;</MATH>|G7}} == Zestaw transformacji prostych i odwrotnych Galileusza poprzez równoległe i prostopadłe macierze transformacji == Weźmy wektory nieskończenie małych przesunięć równoległe i prostopadłe do prędkości {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} w transformacji prostej i odwrotnej transformacji Galileusza, tzn.: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'_{||}=C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)\;</MATH>|G8}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{||}=C_{p||}^'(d\vec r_{||}^'-\vec V^' dt)\;</MATH>|G9}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^'_{\perp}=C_{p\perp}d\vec r_{\perp}\;</MATH>|G10}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'d\vec r^'_{\perp}\;</MATH>|G11}} }} == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległego i prostopadłego == Zachodzą tożsamości na iloczynach {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<math>C_{p||}^'C_{p\perp}(d\vec r-\vec Vdt)=C_{p||}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p||}^'d\vec r_{\perp}^'=C_p^'P_{||}^'d\vec r_{\perp}^'=0\wedge C_{p\perp}^'C_{p||}(d\vec r-\vec V dt)=C_{p\perp}^'C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)=C_{p\perp}^'d\vec r_{||}^'=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_p^'P^'_{\perp}d\vec r_{||}^'=0\Rightarrow C_{p||}^'C_{p\perp}=C_{p||}C_{p\perp}^'=C_{p\perp}^'C_{p||}=C_{p\perp}C_{p||}^'=0\;</MATH>|G12}} == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji równoległych == Weźmy wzór {{LinkWzór|G9}} i do niego podstawmy {{LinkWzór|G8}} i {{LinkWzór|G6}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{||}=C_{p||}^'(d\vec r_{||}^'-\vec V^' dt)=C_{p||}^'(C_{p||}(d\vec r_{||}-\vec V dt)+C_{p||}\vec V dt)=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r_{||}\Rightarrow d\vec r_{||}=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r_{||}=C_{p}^'P_{||}^'C_p^'P_{||}^'d\vec r_{||}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p}^'(1-P_{\perp}^')C_pd\vec r_{||}=C_{p}^'C_pd\vec r_{||}-C_{p\perp}^'C_{p||}d\vec r_{||}=C_{p}^'C_pd\vec r_{||}=C_p^{-1}C_pd\vec r_{||}=d\vec r_{||}\;</MATH>|G13}} Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości {{LinkWzór|G7}}. == Tożsamość na iloczynach macierzy transformacji prostopadłych == Weźmy wzór {{LinkWzór|G11}} i podstawmy do niego wzór {{LinkWzór|G10}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'d\vec r^'_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}\Rightarrow d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p}^'P_{\perp}^'C_p^'P_{\perp}^'d\vec r_{\perp}=C_{p}^'(1-P_{||}^')C_pd\vec r_{\perp}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p}^'C_pd\vec r_{\perp}-C_{p||}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p}^{-1}C_pd\vec r_{\perp}=d\vec r_{\perp}\;</MATH>|G14}} Powyższy wzór zatem zawsze jest spełniony co udowodniono na podstawie tożsamości {{LinkWzór|G7}}. Własności macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}} pokazane w punkcie {{LinkWzór|G7}}, {{LinkWzór|G12}}, {{LinkWzór|G13}} i {{LinkWzór|G14}} są również spełnione w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. == Prawo Pitagorasa na macierzach transformacji równoległym i prostopadłym == Ale: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r=C_p^{-1}C_pd\vec r=C_p^{'}C_pd\vec r=C_{p||}^'C_{p||}d\vec{r}_{||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec{r}_{\perp}=C_{p||}^'C_{p||}(d\vec r-d\vec r_{\perp})+C_{p\perp}^'C_{p\perp}(d\vec{r}-d\vec{r}_{||})=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r=(C_{p||}^'C_{p||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp})d\vec r\Rightarrow I=C_{p||}^'C_{p||}+C_{p\perp}^'C_{p\perp}\wedge I=C_{p||}C_{p||}^'+C_{p\perp}C_{p\perp}^'\;</MATH>|G15}} Związek {{LinkWzór|G15}} jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy. == Definicja macierzy iloczynu skalarnego poprzez wektor bazy w przestrzeni zwykłej Galileusza == W przestrzeni n-wymiarowej zachodzi również związek: {{CentrujWzór|<MATH>A=B^T_pB_p\;</MATH>|G16}} Gdzie {{Formuła|<MATH>B_p=[\vec e_{p1},\vec e_{p2},...,\vec e_{pi},...,\vec e_{pn}]\;</MATH>}} jest macierzą wersorów w przestrzeni w przestrzeni n-wymiarowej według Galileusza. Zachodzą również związki transformacyjne Galileusza: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_pX_p^'=B_pX_p\Rightarrow B^'_pC_pX_p=B_pX_p\Rightarrow B^'_p=B_pC_p^{-1}\;</MATH>|G17}} Wzór {{LinkWzór|G17}}(ostatni wzór) jest również spełniony w szczególnej teorii względności jak udowodnimy, a {{LinkWzór|G16}} będziemy przyjmować w niej. Na podstawie wzoru możemy wyedytować jako: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_p=B_pC_p^{-1}\Rightarrow B_p=B^'_pC_p\wedge B_p=B^'_p{C_p^'}^{-1}\Rightarrow C_p^'=C_p^{-1}\;</MATH>|G17a}} Wzór {{LinkWzór|G17a}} jest również spełniony w szczególnej teorii względności i jest zgodny z {{LinkWzór|G7}}. Niech mamy {{LinkWzór|G16}} i {{LinkWzór|G17}} i sprawdźmy czy te dwa wzory są zgodne z transformacją iloczynu skalarnego {{LinkWzór|G0}}, zatem przystępujemy do obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>A^'={B^'}^TB^'_p=C_p^{-T}B_p^TBC_p^{-1}=C_p^{-T}AC_{p}^{-1}\;</MATH>|G18}} Po wyznaczeniu macierzy {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} ze wzoru {{LinkWzór|G18}} dostajemy transformacje macierzy iloczynu skalarnego z układu K' do K, czyli {{LinkWzór|G0}}, zatem wzory {{LinkWzór|G16}} i {{LinkWzór|G17}} są poprawne bo otrzymujemy z nich {{LinkWzór|G0}}. Wyznaczmy macierz iloczynu skalarnego transponowaną: {{CentrujWzór|<MATH>A^T=\left(B^T_pB_p\right)^T=B^T_p\left({B^T_p}\right)^T=B^T_pB_p=A\Rightarrow A^T=A\;</MATH>|G19}} == Tranformacje operatorów rzutowych == Na podstawie {{LinkWzór|G6}} i {{LinkWzór|G0}} oraz dla operatorów rzutowych równoległych według {{LinkWzór|T3|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} możemy otrzymać transformacje: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^'={{\vec V^'\vec V^{'T}}\over{V^{'2}}}A^'=C_p{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}C_p^TA^'=C_p{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}AC_p^{-1}=C_pP_{||}C_p^{-1}\;</math>|G20}} Dla operatorów rzutowych prostopadłych na podstawie {{LinkWzór|T5|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} możemy otrzymać transformacje: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^'=I-P_{||}^'=C_pIC_{p}^{-1}-C_pP_{||}C_p^{-1}=C_p(I-P_{||})C_{p}^{-1}=C_pP_{\perp}C_{p}^{-1}\;</MATH>|G21}} == Transformacje dowolnych pochodnych wektora położenia == Na podstawie {{LinkWzór|G1}} możemy napisać transformacje, gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec r^'_0=\vec r_0=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t^'_0=t_0=0\;</MATH>}}, co na tej podstawie możemy napisać transformacje położenia i czasu, a także przyśpieszenia i dowolnej n-pochodnej położenia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec r^'=C_p(\vec r-\vec Vt)\;</MATH>|G22}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec v^'=C_p(\vec v-V)\;</MATH>|G23}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'=C_p(\vec a-\vec A)\;</MATH>|G24}}|4={{CentrujWzór|<MATH>(\vec r^{'})^{(n)}=C_p\left(\vec r^{(n)}-\vec r_0^{(n)}\right)\;</MATH>|G25}} }} == Przechodniość macierzy transformacji, a transformacja tożsamościowa == A także zachodzi z absolutności czasu w teorii transformacji Galileusza {{Formuła|<MATH>t^'=t\;</MATH>}}. Udowodnijmy przechodność transformacji Galileusza, wtedy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^{''}_2=C_{p2}^'(d\vec r^'_2-\vec V^'_2dt')\;</MATH>|G26a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r^{'}_2=C_{p1}(d\vec r_2-\vec V_1dt)\;</MATH>|G26b}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec\vec r_2^{''}=C_{p2}(d\vec r_2-\vec V_2dt)\;</MATH>|G26c}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec V_2^'=C_{p1}(\vec V_2-\vec V_1)\;</MATH>|G26d}} }} Policzmy wyrażenie {{LinkWzór|G26a}} podstawiając do niego wyrażenie {{LinkWzór|G26b}} na transformację położenia względem układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, która jest transformacją do układu {{Formuła|<MATH>K^{'}\;</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|G26d}} transformacje prędkości względem układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, która jest transformacją do układu {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}}, co w końcu otrzymujemy wzór {{LinkWzór|G26c}}, co dalej wykorzystując wspomnianą absolutność czasu, a więc: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r^{''}_2=C_{p2}^'(d\vec r^'_2-\vec V_2^'dt^')=C _{p2}^'\left[C_{p1}(d\vec r_2-\vec V_1dt)-C_{p1}(\vec V_2-\vec V_1)dt\right]=C_{p2}^'C_{p1}\left(d\vec r_2-\vec V_1dt-\vec V_2dt+\vec V_1dt\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p2}(d\vec r_2-\vec V_2dt)\;</MATH>|G27}} Co końcowy wzór {{LinkWzór|G27}} zgadza się ze wzorem {{LinkWzór|G26c}}, te transformacje Galileusza są przechodnie. Z definicji transformacji wynika, że ta transformacja jest tożsamościowa dla {{Formuła|<MATH>C_{p2}=I\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec V_2=0\;</MATH>}}, czyli wtedy {{Formuła|<MATH>d\vec r=C_{p2}(d\vec r-\vec V_2dt)=I(d\vec r-0dt)=d\vec r\;</MATH>}}, co na podstawie tego dla tego przypadku ta sama prędkość transformuje się na to samo. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> npp6uyzva5yg891gyty3w7exkn65o1r 0 46721 558683 548268 2026-10-05T03:09:29Z Persino 2851 558683 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Wydłużenie (czy skrócenie) poprzeczne, a je podłużne == Ułóżmy tak układ odniesienia o wymiarze przestrzeni zwykłej {{Formuła|<MATH>n>2\;</MATH>}}, by oś OX pokrywała się z kierunkiem wektora {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} nowego układu odniesienia względem starego, a pozostałe osie są względem jego i siebie prostopadłe. Według symetrii jest wydłużenie (czy skrócenie) wzdłuż prędkości nowego układu odniesienia {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} względem starego, czyli podłużne, ale sprawdźmy, czy istnieje ono poprzeczne. Według symetrii ono wzdłuż każdej osi współrzędnej układu odniesienia prostopadłego względem osi OX jest takie same, ale wzdłuż innej osi prostopadłego do osi OX niż te one, wygląda na to, że może być większe z definicji długości względem współrzędnych, a powinno być, że jest takie same, bo nie wiadomo, który kierunek prostopadły do osi OX jest wyróżniony, stąd w tych układach nie ma wydłużenia (czy skrócenia) poprzecznego, ale za to ono może występować w takich układach, ale dwuwymiarowych. == Dalsza część dowodu dotycząca szczególnej teorii względności, dowód izotropowości przestrzeni == Wiemy jednak, że przy transformacji współrzędnych przestrzennych wektora ze starego układu odniesienia na nowy układ odniesienia zachodzi {{LinkWzór|1.12|Podstawy teorii względności}}, w nim proponujemy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M_p\;</MATH>}}, którą piszemy w zależności od wyróżnionego kierunku {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, przyjmując, że zachodzi {{LinkWzór|G5|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH>M_p=M_{p||}+M_{p\perp}=C_{p||}\gamma+C_{p\perp}\Rightarrow M_p=C_p(\gamma P_{||}+P_{\perp})\wedge M_{p||}=\gamma C_{p||}=\gamma C_pP_{||}\wedge M_{p\perp}=C_{p\perp}=C_pP_{\perp}\;</MATH>|1.13}} Widzimy, że macierz {{Formuła|<MATH>M_p\;</MATH>}} zależy od macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, a wzór {{LinkWzór|1.12|Podstawy teorii względności}} (ten pierwszy wzór) zależy od {{Formuła|<MATH>M_p\;</MATH>}}, a także zależy od prędkości nowego układu odniesienia względem starego, a zatem postać transformacji z jednego układu współrzędnych do drugiego jest niezależna od ustawień osi starego i nowego układu współrzędnych, a więc one spełniają zasadę izotropowości przestrzeni. Wzór na {{Formuła|<MATH>M_p\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.13}} jest tak napisany, by był wyróżniony kierunek {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, zatem {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} zależy tylko od wartości tej prędkości, a od innych zmiennych nie zależy. Widzimy, że aby szczególna teoria względności zgadzała się w zakresie stosowalności z transformacjami Galileusza (jak można zauważyć po postaci {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} jaką później wyliczymy), to musi zachodzić fizycznie dla prędkości nowego układu odniesienia {{Formuła|<MATH>V\ll c\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma(V\ll c)\simeq 1\Rightarrow M_p(V\ll c)=C_p(\gamma(V\ll c) P_{||}+P_{\perp})\simeq C_p(P_{||}+P_{\perp})=C_p\;</MATH>|1.14}} oraz {{Formuła|<MATH>M_{0x}\simeq 0\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>M_{x0}=-M_p{{\vec V}\over{c}}\simeq -C_p{{\vec V}\over{c}}\;</MATH>}} (na podstawie {{LinkWzór|1.16a|Podstawy teorii względności}} (definicja) i {{LinkWzór|1.14}} (przybliżenie)) i {{Formuła|<MATH>m_{00}\simeq 1\;</MATH>}}. Ale {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} w szczególnej teorii względności jest ta sama macierz co w transformacjach Galileusza. Gdzie {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p\perp}\;</MATH>}} są macierzami transformacji Galileusza występującymi w {{LinkWzór|G5|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Policzmy wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH> X^TM_p^{T}A^'M_pX=X^T\left(\gamma P_{||}+P_{\perp}\right)^TC_p^TA^'C_p \left(\gamma P_{||}+P_{\perp}\right)X=X^T\left(\gamma P_{||}+P_{\perp}\right)^TA \left(\gamma P_{||}+P_{\perp}\right)X=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=X^T\left(\gamma^2 P_{||}^TAP_{||}+P_{\perp}^TAP_{\perp}+\gamma P_{\perp}^TAP_{||}+\gamma P_{||}^TAP_{\perp}\right)X=X^T\left(\gamma^2 P_{||}^T+P_{\perp}^T\right)AX^T=X^TA\left(\gamma ^2 P_{||}+P_{\perp}\right)X^T\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow X^TM_p^{T}A^'M_pX=X^T\left(\gamma ^2 P_{||}^T+P_{\perp}^T\right)AX=X^TA\left(\gamma ^2 P_{||}+P_{\perp}\right)X</MATH>|1.15}} Parametr &gamma; jest to parametr zależny od prędkości nowego układu współrzędnych względem starego. A {{Formuła|<MATH>P_{||}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{\perp}\;</MATH>}} są kolejno operatorami rzutowania równoległym i prostopadłym do prędkości nowego układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6vejl6mxpgkic5l5oaba3dculapshnb 0 46722 558684 548267 2026-10-05T03:10:22Z Persino 2851 558684 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy tutaj udowadniać, czy dowolne układy odniesienia (w szczególności inercjalne) istnieją choćby matematycznie, nad ich postacią transformacyjną z jednego układu odniesienia do drugiego. == Istnienie układów inercjalnych == Przyjmijmy, że {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} jest stałe, co wykażemy, że on determinuje jej inercjalność. Jeśli we wzorze {{LinkWzór|1.11|Podstawy teorii względności}} przyjmiemy, że: {{CentrujWzór|<MATH>\vec R_{p0}=-M_p\left(\vec X_{p0}-\vec V t_0\right)\;</MATH>|1.16c}} wtedy dostaniemy wniosek na ruch ciała odniesienia w starym układzie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>\vec X_u^'=M_{p}\vec X_{pu}-M_p{{\vec V}\over{c}}ct-M_p\left(\vec X_{p0}-\vec V t_0\right)\Rightarrow \vec X_u^'=M_p\left(\vec X_{pu}-\vec V \left(t-t_0\right)-\vec X_{p0}\right)\wedge \vec X_u^'=0\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 0=M_p(\vec X_{pu}-\vec V \left(t-t_0\right)-\vec X_{p0})\Rightarrow\vec X_{pu}=\vec V \left(t-t_0\right)+\vec X_{p0}\;</MATH>|1.17}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\vec X_u^'\;</MATH>}} to jest położenie ciała poruszającego się w nowym układzie odniesienia, a w szczególnym przypadku jest to ciało odniesienia lub ciało poruszające się w tym układzie z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak on. Zatem nowy układ odniesienia porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. == Postać transformacyjna dla dowolnych układów odniesienia == Transformacje {{LinkWzór|1.1|Podstawy teorii względności}} rozszerzamy do układów nieinercjalnych, wtedy jest spełnione twierdzenie {{LinkWzór|1.2|Podstawy teorii względności}}, którego przecałkujmy obie strony względem wielkości wektorów pionowych położenia w starym i nowym układzie odniesienia otrzymując: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec X^'=\int_{\vec X_0}^{\vec X}{{\partial{\vec f}({\vec X})}\over{\partial {\vec X}}}d{\vec X}={{\partial{\vec f}\left(\vec \xi\right)}\over{\partial {\vec X}}}\int_{\vec X_0}^{\vec X}d{\vec X}= {{\partial{\vec f}\left(\vec \xi\right)}\over{\partial {\vec X}}}\left(\vec X-\vec X_0\right)\Rightarrow \Delta\vec X^'={{\partial{\vec f}\left(\vec \xi\right)}\over{\partial {\vec X}}}\Delta\vec X\;</MATH>|1.17a}} Przyjmijmy, że macierz transformacji wektora {{Formuła|<MATH>\Delta\vec X\;</MATH>}} na wektor {{Formuła|<MATH>\Delta\vec X^'</MATH>}} przedstawia się formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial{\vec f}\left(\vec \xi\right)}\over{\partial {\vec X}}}=M\;</MATH>|1.17b}} A we wzorze {{LinkWzór|1.17a}} wektor {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}} leży na drodze pomiędzy {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec X_0\;</MATH>}} poruszania się ciała. Wzór {{LinkWzór|1.17a}} na podstawie {{LinkWzór|1.17b}} możemy przepisać w podobnej postaci do {{LinkWzór|1.12|Podstawy teorii względności}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec X^'=M\Delta\vec X\;</MATH>|1.17n}} zatem są spełnione transformacje {{LinkWzór|1.5|Podstawy teorii względności}}, {{LinkWzór|1.6|Podstawy teorii względności}}, {{LinkWzór|1.7|Podstawy teorii względności}}, {{LinkWzór|1.8|Podstawy teorii względności}},..., {{LinkWzór|1.9|Podstawy teorii względności}}, a tam wielkości {{Formuła|<MATH>\vec X^'_0\;</MATH>}} (z {{Formuła|<MATH>\Delta\vec X^'=\vec X^'-\vec X_0^'\;</MATH>}}) i {{Formuła|<MATH>\vec X_0\;</MATH>}} (z {{Formuła|<MATH>\Delta\vec X=\vec X-\vec X_0\;</MATH>}}) można włożyć do stałej macierzowej jednowskaźnikowej pionowej, a tam elementy {{Formuła|<MATH>{m^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} są elementami macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, czyli chcemy ułożyć transformację {{LinkWzór|1.10|Podstawy teorii względności}} (drugi wzór) lub {{LinkWzór|1.12|Podstawy teorii względności}} (też drugi wzór), ale tam wtedy macierz {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} jest macierzą transformacji ogólnie niestałą, a udowodniliśmy też tam, że jednak jest stałą, stąd układy nieinercjalne płaskie nie istnieją, ale za to istnieją układy nieinercjalne słabozakrzywione. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 5hxk5rsj51d1du94f03in96ps89qr7w 0 46723 558685 548262 2026-10-05T03:12:12Z Persino 2851 558685 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Tutaj będziemy udowodniali niektóre wnioski z transformacji prędkości z układu K do K'. == Wynikające wnioski z transformacji prędkości od układu odniesienia K do K' do obliczeń pierwszego i drugiego rozwiązania m{{Sup|0}}{{Sub|0}} z minusem i plusem, a jednakowość prędkości światła we wszystkich układach odniesienia == Prędkość w układzie K' względem układu K jest liczona jako pochodna zupełna wielkości {{LinkWzór|1.12|Podstawy teorii względności}} względem czasu w nowym układzie współrzędnych {{linkWzór|1.5|Podstawy teorii względności}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'={{M_p(\vec{v}-\vec{V})}\over{{m^{0}}_{0}+{{M_{0x}\vec{v}}\over{c}}}}\;</MATH>|1.18}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>\vec{v}^'\;</MATH>}} - jest to prędkość ciała względem układu K'. : {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} - jest to prędkość ciała w układzie K. : Ale idąc dalej, {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}} jest to prędkość nowego układu współrzędnych względem starego. Macierz iloczynu skalarnego w nowym i starym układzie odniesienia obowiązującego w przestrzeni n-wymiarowej jest macierzą wyrażoną wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>A=[a_{ij}]_{nn}\wedge A^'=[a^'_{ij}]_{nn}\;</MATH>|1.19}} Natomiast długość pewnego wektora w nowym i starym układzie odniesienia w tej przestrzeni wyrażamy za pomocą iloczynu skalarnego, przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH> v^2=\vec{v}^TA\vec{v}\wedge v^{'2}=\vec{v}^{'T}A^'\vec{v}^'\;</MATH>|1.20}} Jeśli wykorzystamy definicję iloczynu skalarnego {{linkWzór|1.20}} i samą transformację {{LinkWzór|1.18}}, wtedy wzór na wartość prędkości w nowym układu odniesienia piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>v'^2={{(\vec{v}-\vec{V})^TM_p^TA^'M_p(\vec{v}-\vec{V})}\over{{\left({{m^{0}}_{0}+{{M_{0x}\vec{v}}\over{c}}}\right)}^2}}\;</MATH>|1.21}} W tożsamości {{LinkWzór|1.21}} możemy pomnożyć obustronnie przez mianownik prawego ułamka w tym obiekcie przy założeniu, że {{Formuła|<MATH>|\vec v|=c\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|\vec v^'|=c\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>c^2\left (({m^{0}}_{0})^2+2{m^{0}}_{0}{{M_{0x}\vec{c}}\over{c}}+\left ({{M_{0x}\vec{c}}\over{c}} \right ) ^2 \right )=\gamma^2(c^2\cos^2\alpha+V^2-2(\vec{c},\vec{V}))+c^2\sin^2\alpha\;</MATH>|1.22}} Weźmy w równości {{LinkWzór|1.22}} zamienienie według schematu {{Formuła|<MATH>\vec{c}\rightarrow -\vec{c}\;</MATH>}}, tak powstały układ równań, którego równości dodajmy i odejmijmy od siebie, wtedy mamy w rezultacie dwa końcowe równania po dokonaniu tejże operacji. Te równania wyglądają: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>c^2\left ({{M_{0x}\vec{c}}\over{c}}\right ){m^{0}}_{0}=-\gamma^2(\vec{c},\vec{V})\;</MATH>|1.23}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>c^2\left[({m^{0}}_{0})^2+\left ({{M_{0x}\vec{c}}\over{c}} \right ) ^2 \right]=\gamma^2\left(c^2\cos^2\alpha+V^2\right)+c^2\sin^2\alpha\;</MATH>|1.24}} }} Weźmy&nbsp;{{Formuła|<MATH>\vec c=(0,0,...,c^j,..,0)\;</MATH>}}, czyli powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>c^2{m^{0}}_{j}c{m^{0}}_{0}=-c\gamma^2 \sum_{i}ca_{ij}V^i\Rightarrow c^2{m^{0}}_{j}{m^{0}}_{0}=-c\gamma^2 \sum_i a_{ij}V^i\;</MATH>|1.25}} Mnożymy obie strony równania {{linkWzór|1.25}} przez prędkość ciała v{{Sup|j}}, i wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>c^2\sum_j {m^{0}}_{j}v^j{m^{0}}_{0}=-c\gamma^2\sum_{ij}V^ia_{ij}v^j\Rightarrow{{\sum_{j}m^{0}_{j}v^j}\over{c}} {m^{0}}_{0}=-\gamma^2{{(\vec{v},\vec{V})}\over {c^2}}\Rightarrow{{\sum_j {m^{0}}_{j}v^j}\over{c}}=-{{\gamma^2}\over{{m^{0}}_{0}}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over {c^2}}\;</MATH>|1.26}} Jeśli dla i-tej współrzędnej mamy v{{Sup|j}}=c, a dla pozostałych współrzędnych oczywiście jest v{{Sup|j}}=0, bo prędkość światła wynosi c wedle wzoru {{Formuła|<MATH>|v|=\sqrt{\sum_{ij}v^ia_{ij}v^j}\;</MATH>}} dla przestrzeni n-wymiarowej: {{CentrujWzór|<MATH>{{{m^{0}}_{j}c^j}\over {c}}=-{{\gamma^2}\over{{m^{0}}_{0}}}{{\sum_i V^i a_{ij}c^j}\over{c^2}}\Rightarrow {m^{0}}_{j}=-{{\gamma^2}\over{{m^{0}}_{0}}}{{\sum_iV^i a_{ij}}\over{c}}=-{{\gamma^2}\over{c{m^{0}}_{0}}}\vec V ^TA\;</MATH>|1.27}} Zajmijmy się teraz równaniem {{LinkWzór|1.24}} podstawiając do niego wyprowadzoną tożsamość {{linkWzór|1.27}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>\vec V || \vec c\;</MATH>}} wtedy {{Formuła|<MATH>\cos^2\alpha=1\wedge \sin^2\alpha=0\;</MATH>}}, w takim przypadku mamy równanie poniżej, w którym pomnożymy obustronnie przez wyrażenie m{{Sup|0}}{{Sub|0}}{{Sup|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>c^2\left[\left({m^{0}}_{0}\right)^2+{{\gamma^4}\over{(m^{0}_{0})^2}}{{V^2}\over{c^2}}\right]=\gamma^2\left(c^2+V^2\right)\Rightarrow c^2\left(({m^{0}}_{0})^4+\gamma^4{{V^2}\over{c^2}}\right)=\gamma^2({m^{0}}_{0})^2\left(c^2+V^2\right)\;</MATH>|1.28}} W równości {{LinkWzór|1.28}} przegrupujmy wyrazy względem m{{Sub|00}}, w taki sposób by otrzymać równanie kwadratowe: {{CentrujWzór|<MAth>c^2({m^{0}}_{0})^4-({m^{0}}_{0})^2\gamma^2\left(c^2+V^2\right)+\gamma^4V^2=0\;</MATh>|1.29}} Jeśli w {{LinkWzór|1.29}} potraktować {{Formuła|<MATH>({m^{0}}_{0})^2=t</MATH>}}, wtedy wyróżnik trójmianu powyższego równania kwadratowego jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=\gamma^4\left(c^2+V^2\right)^2-4c^2\gamma^4V^2=\gamma^4(c^4+V^4+2c^2V^2)-4c^2\gamma V^2=\gamma^4(c^4+V^4-2c^2V^2)=\gamma^4(c^2-V^2)^2\;</MATH>|1.30}} Zatem pierwiastki równania {{LinkWzór|1.29}} są: {{CentrujWzór|<MATH>({m^{0}}_{0})^2={{\gamma^2(c^2+V^2)\pm\gamma^2|c^2-V^2|}\over{2c^2}}=\begin{cases} {{\gamma^2(c^2+V^2)+\gamma^2(c^2-V^2)}\over{2c^2}}={{2\gamma^2c^2}\over{2c^2}}=\gamma^2\Rightarrow {m^{0}}_{0}=\pm\gamma\\ {{\gamma^2(c^2+V^2)-\gamma^2(c^2-V^2)}\over{2c^2}}={{2\gamma^2V^2}\over{2c^2}}=\gamma^2{{V^2}\over{c^2}}\Rightarrow {m^{0}}_{0}=\pm\gamma{{V}\over{c}} \end{cases}\;</MATH>|1.31}} == Wynikające wnioski z transformacji prędkości ze starego układu odniesienia do nowego do obliczeń prędkości starego układu współrzędnych względem nowego w szczególnej teorii względności == Równanie transformacyjne prędkości ciała względem starego układu współrzędnych na nowe jest wyrażone wzorem {{linkWzór|1.18}}, co po podstawieniu do niego tożsamości {{LinkWzór|1.27}} otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'={{M_p(\vec{v}-\vec{V})}\over{{m^{0}}_{0}-{{\gamma^2}\over{{m^{0}}_{0}}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}\;</MATH>|1.32}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.32}} możemy wyprowadzić prędkość starego układu współrzędnych względem nowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V'=-{{M_p \vec V}\over{{m^{0}}_{0}}}\;</MATH>|1.33}} Pierwszego rozwiązania (ze znakiem minus, czyli {{Formuła|<MATH>m_{00}=-\gamma)\;</MATH>}}) i drugiego rozwiązania, w {{LinkWzór|1.31}}, we wzorze {{LinkWzór|1.33}} nie będziemy wykorzystywali, bo jak udowodnimy później jest to rozwiązanie bezsensowne, dlatego że nie otrzymujemy tego, co chcielibyśmy. Prędkość starego układu odniesienia względem nowego, według {{LinkWzór|1.33}} przy rozwiązaniu {{Formuła|<MATH>m_{00}=\gamma</MATH>}}, w zależności od prędkości nowego układu odniesienia względem starego, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V^'=-{{M_{p||}\vec V}\over{\gamma}}=-{{\gamma C_{p||}\vec V}\over{\gamma}}=-C_{p||}\vec V=-C_p\vec V\Rightarrow\vec V^'=-C_p\vec V\;</MATH>|1.33a}} Stąd wzór na prędkość starego układu odniesienia względem nowego {{LinkWzór|1.33a}} w szczególnej teorii względności jest taki sam jak w transformacji Galileusza w mechanice Newtona {{LinkWzór|G6|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Stary układ odniesienia względem nowego porusza się w stronę przeciwną niż nowy układ odniesienia względem starego, co to widać po znaku minus we wzorze {{LinkWzór|1.33a}}. A wartość prędkości starego układu odniesienia względem nowego na podstawie transformacji macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH> V^{'2}=(\vec V^',\vec V^')=\vec V^TC_p^TA^'C_p\vec V=\vec V^TA\vec V=V^2\Rightarrow V^{'2}=V^2\Rightarrow V^'=V\;</MATH>|1.33b}} Zatem prędkość starego układu odniesienia względem nowego i prędkość nowego układu współrzędnych względem starego na podstawie {{LinkWzór|1.33b}} są co do wartości sobie równe. Parametr {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} zależy tylko od wartości prędkości nowego układu odniesienia względem starego i parametr {{Formuła|<MATH>\gamma^'\;</MATH>}} zależy tylko od wartości prędkości starego układu odniesienia względem nowego kolejno w transformacji prostej i transformacji odwrotnej wzdłuż wyróżnionego kierunku tych transformacji, stąd na podstawie zachodzącej równości końcowej {{LinkWzór|1.33b}}: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma^'=\gamma^'(V^')=\gamma^'(V)=\gamma(V)=\gamma\Rightarrow\gamma^'=\gamma\;</MATH>|L}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 9c3ck1p4ni36io3us6vgky9kq0jqwj6 0 46724 558686 548264 2026-10-05T03:14:26Z Persino 2851 558686 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Transformacie współrzędnych przestrzennych i współrzędnej czasowej dla pierwszego i drugiego rozwiązania m{{Sup|0}}{{Sub|0}} z minusem i plusem == Wiadomo, że równania transformacji są niezmiennicze, tzn. nie zmieniają swej postaci w zależności od układu współrzędnych. Poniżej wychodząc z tego faktu udowodnimy ile wynosi parametr &gamma;, co wcześniej w prowadziliśmy tylko jako nieudowodnioną zależność. A teraz przejdźmy do transformacji składowej nieskończenie małej zmiany położenia ciała w nowym układzie odniesienia względem infinitezymalnej zmiany położenia starego układu współrzędnego, wykorzystując przy tym transformację współrzędnych przestrzennych ze starego układu odniesienia do nowego {{LinkWzór|1.12|Podstawy teorii względności}} oraz wykorzystując warunek {{LinkWzór|G5|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, wiedząc że macierz transformacji nie zależy od czasu rzeczywistego t, zatem transformacja różniczki zmiany położenia przestrzennego na nowy układ współrzędnych przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}_{||}^'=M_{p||}(d\vec{r_{||}}-\vec{V} dt)=C_{p||}\gamma(d\vec{r_{||}}-\vec{V} dt)\wedge d{\vec r}^'_{\perp}=M_{p\perp}d{\vec r}_{\perp}=C_{p\perp}d{\vec r}_{\perp}\;</MATH>|1.34}} Można udowodnić podobnie związki w podobny bardzo sposób jak w {{LinkWzór|G12|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>0=C_p^'P_{\perp}^'d\vec r_{||}^'=C_{p\perp}^'d\vec r_{||}^'=M_{p\perp}^'d\vec r_{||}^'=M_{p\perp}^'d\vec{r_{||}'}=M_{p\perp}^'M_{p||}(d\vec{r}_{||}-\vec{V} dt)=M_{p\perp}^'M_{p||}(d\vec{r}-\vec{V} dt)\Rightarrow 0=M_{p\perp}^'M_{p||}=\gamma C_{p\perp}^'C_{p||}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 0=C_{p\perp}^'C_{p||}=C_{p\perp}C_{p||}^'\;</MATH>|1.35a}} Drugą zależność w przedstawieniu {{LinkWzór|1.35a}} można udowodnić, że wielkości bez prima przyjmujemy z primem a z primem to przyjmujemy bez prima. A także możemy dojść do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>0=\gamma C_{p}^'P_{||}^'d\vec r_{\perp}^'=\gamma C_{p||}'d\vec{r_{\perp}'}=M_{p||}^'d\vec{r_{\perp}'}=M_{p||}^'M_{p\perp}d\vec{r_{\perp}}=M_{p||}^'M_{p\perp}d\vec{r}\Rightarrow 0=M_{p||}^'M_{p\perp}=\gamma C_{p||}^'C_{p\perp}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 0=C_{p||}^'C_{p\perp}=C_{p||}C_{p\perp}^'\;</MATH>|1.35b}} Drugą zależność w przedstawieniu {{LinkWzór|1.35b}} można udowodnić w taki sposób, że w wyniku otrzymujemy wielkości bez prima zamienione na z primem a z primem to zamienione zostanie na bez prima. Nieskończenie mała zmiana czasu w nowym układzie współrzędnych można wyrazić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|1.5|Podstawy teorii względności}} przy definicji m{{Sub|00}} napisanej według {{LinkWzór|1.31|Transformacje prędkości - początek rozważań}} jako pierwsze rozwiązanie na ten parametr, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dt'={m^{0}}_{0}\left(dt-{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{c^2}}\right)=\pm\gamma\left(dt-{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|1.36}} We wzorze {{LinkWzór|1.36}} dla prędkości bardzo małych w porównaniu z prędkością światła powinno być {{Formuła|<MATH>dt^'=dt\;</MATH>}}, co stąd {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}(V\ll c)\simeq 1\;</MATH>}} według absolutności czasu według Newtona. Transformację odwrotna do {{LinkWzór|1.34}} oraz do {{LinkWzór|1.36}} jako bardzo małej zmiany wektora wodzącego opisujących ruch danego ciała fizycznego i transformacji bardzo małej zmiany czasu względem nowego układu odniesienia na stary układ odniesienia, wiedząc, że parametr {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} przy transformacji starego układu współrzędnych do nowego i odwrotnie jest cały czas ten sam, bo zachodzi {{LinkWzór|1.33b|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, piszemy wedle: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r_{||}}=M_{p||}^'(d\vec{r_{||}'}-V' dt')=C_{p||}^'\gamma\left(d\vec{r_{||}'}-V^' dt'\right)\wedge d{\vec r}_{\perp}=M_{p\perp}^'d{\vec r}^'_{\perp}=C_{p\perp}^'d{\vec r}^'_{\perp}\;</MATH>|1.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm\gamma\left(dt'-{{(\vec{V'},d\vec{r'})}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|1.38}} }} Ze wzoru {{LinkWzór|1.33a|Transformacje prędkości - początek rozważań}} wyprowadzimy prędkość starego układu odniesienia względem nowego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec {V}=-C_p^'\vec{V}^'=-C_{p||}^'\vec{V}^'\;</MATH>|1.39}} wtedy będzie do transformacji odwrotnej {{LinkWzór|1.38}} możemy podstawić wzory {{LinkWzór|1.34}} i {{LinkWzór|1.36}} i {{LinkWzór|1.39}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dt=\pm\gamma\left(dt'-{{(\vec{V'},d\vec{r'})}\over{c^2}}\right) = \pm\gamma\left (\pm\gamma\left(dt-{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{c^2}}\right)- {{-\vec{V}^T}\over{c^2}}\underbrace{C_p^TA^'C_{p}}_{A}\gamma\left(d\vec{r_{||}}-\vec{V}dt\right) \right)=\gamma^2 dt\left(1\mp{{V^2}\over{c^2}}\right)+\gamma^2\left({{-(\vec{V},\vec{dr})\pm(\vec{V},\vec{dr})}\over{c^2}} \right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow dt=\gamma^2\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)dt\;</MATH>|1.40}} Otrzymana końcowa równość {{LinkWzór|1.40}} (równość przedostatnia), jest tożsamością dla {{Formuła|<MATH>m_{00}=\gamma\;</MATH>}}, jest spełniona dla dowolnie nieskończenie małego czasu, stąd możemy otrzymać związek na {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} wiedząc, że {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}\;</MATH>}} jest rzeczywiste, a na podstawie {{LinkWzór|1.31|Transformacje prędkości - początek rozważań}} {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} jest rzeczywiste: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma^2={{1}\over{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\Rightarrow \left(\gamma=\pm {{1}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\wedge V<c\right)\;</MATH>|1.41}} Pierwsze rozwiązanie dla {{Formuła|<MATH>V<c\;</MATH>}} da się sprowadzić do postaci {{Formuła|<math>V\;</MATH>}} bardzo małych w porównaniu z prędkością światła by było {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}=\pm\gamma(V\ll c)\simeq 1\;</MATH>}} w taki sposób by znak w {{LinkWzór|1.31|Transformacje prędkości - początek rozważań}} w {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}\;</MATH>}} był plus (bo dla {{Formuła|<MATH>\vec V\ll c\;</MATH>}} by była spełniona absolutność czasu). Ale żeby według {{LinkWzór|1.13|Wydłużenie podłużne a poprzeczne}} {{Formuła|<MATH>M_p(V\ll c)\simeq C_p\;</MATH>}}, to należy wybrać znak w {{LinkWzór|1.41}} plus, a więc w takim przypadku {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} jest zawsze dodatnie i tak samo {{Formuła|<MATH>{m^0}_0\;</MATH>}} też. Stąd udowodniliśmy twierdzenie, że parametr {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.41}} zależy tylko od wartości prędkości nowego układu współrzędnych względem starego. Nieskończenie mała zmiana położenia jakiegoś ciała możemy rozłożyć na jej składową równoległą i prostopadłą do prędkości nowego układu współrzędnych wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}=d\vec{r}_{\perp}+d\vec{r}_{||}\;</MATH>|1.42}} Policzmy {{LinkWzór|1.42}} i do niego podstawmy transformacje, tzn. {{LinkWzór|1.37}}, {{LinkWzór|1.38}} i {{LinkWzór|1.39}}, otrzymujemy własność na macierz {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} i wiedząc, że {{Formuła|<MATH>M_p\;</MATH>}}, a więc i {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} nie powinno zależeć od czasu i przyjmijmy w poniższych obliczeniach, że {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}=\gamma\;</MATH>}} (pierwsze rozwiązanie ze znakiem plus), ale jak przyjmiemy {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}=-\gamma\;</MATH>}} (pierwsze rozwiązaniem ze znakiem minus), to otrzymujemy coś zależnego od różniczek czasu tak jak powyżej wyprowadzeniu {{LinkWzór|1.40}}, gdzie w tym wyprowadzeniu otrzymujemy również coś zależnego od różniczek położenia, a nie powinno zależeć, dalej przyjmujemy {{Formuła|<MATH>\gamma^2\;</MATH>}} z takim znakiem, by otrzymać równość {{LinkWzór|G7|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, a więc przyjmujemy ze znakiem plus według wzoru {{LinkWzór|1.41}}, wtedy możemy powiedzieć ogólnie dla pierwszego rozwiązania {{LinkWzór|1.31|Transformacje prędkości - początek rozważań}} ze znakiem plus przy &gamma; (ono jest jedynym sensowym rozwiązaniem jakim należy przyjąć): {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}=d\vec r_{||}+d\vec r_{\perp} = C_{p}^'\gamma\left(d\vec{r'}_{||}-\vec{V}'dt'\right)+C_{p}^'d\vec r^'_{\perp} =C_{p}^' \gamma \left(C_{p}\gamma\left(d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt\right)+ C_{p}\vec{V}{m^{0}}_{0}\left(dt-{{\gamma^2}\over{m_{00}^2}}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{c^2}}\right)\right )+C_{p}^'C_pd\vec r_{\perp}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p}^'C_{p}d\vec{r_{||}}{\left(\gamma^2-{m^{0}}_{0}\gamma{{\gamma^2}\over{m_{00}^2}}{{V^2}\over{c^2}}\right)}+dtC_p^'C_p({m^{0}}_{0}\gamma\vec{V}-\gamma^2\vec{V})+C_p^'C_{p}d\vec r_{\perp}\xrightarrow{{m^{0}}_{0}=\gamma}C_{p}^'C_{p}\gamma^2d\vec{r_{||}}{\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}+dt\gamma^2C_p^'C_p(\vec{V}-\vec{V})+C_p^'C_{p}d\vec r_{\perp}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p}^'C_pd\vec r_{||}+C_p^'C_pd\vec r_{\perp}=C_p^'C_pd\vec r\Rightarrow d\vec r=C_p^'C_pd\vec r\Rightarrow C_p^'C_p=I\Rightarrow C_p^'=C_p^{-1}\;</MATH>|1.43a}} Co jest zgodne ze wzorem {{LinkWzór|G17a|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} z transformacji bazy i {{LinkWzór|G7|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} z transformacji współrzędnych. A więc na podstawie powyższych przemyśleń punkty materialne poruszają się z prędkością mniejszą lub dążącą do prędkości światła. Gdy mamy drugie rozwiązanie {{LinkWzór|1.31|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, to w {{LinkWzór|1.43a}} różniczki czasu wcale się nie skasują i nie wyjdzie tożsamość, a powinna wyjść, czyli to rozwiązanie jest bezsensowne. Wyznaczmy własność na iloczyn macierzy {{Formuła|<MATH>C_{p||}^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_{p||}\;</MATH>}} podstawiając do transformacji {{LinkWzór|1.37}} wzory {{LinkWzór|1.34}}, {{LinkWzór|1.36}} i {{LinkWzór|1.33a|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}_{||} = C_{p||}^'\gamma\left(d\vec{r'}_{||}-\vec{V}'dt'\right)=C_{p||}^' \gamma \left(C_{p||}\gamma\left(d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt\right)+C_{p||}\vec{V}\gamma\left(dt-{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{c^2}}\right)\right )=C_{p||}^'C_{p||}d\vec{r_{||}}{\gamma^2\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}+dt\gamma^2C_{p||}^'C_{p||}(\vec{V}-\vec{V})=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r_{||}=C_{p||}^'C_{p||}d\vec r\Rightarrow d\vec{r}_{||}=C^'_{p||}C_{p||}d\vec r_{||}\;</MATH>|1.43b}} Co otrzymaliśmy zgodny wynik z {{LinkWzór|G13|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Biorąc drugi składnik koniunkcji {{LinkWzór|1.34}} i {{LinkWzór|1.37}} dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'d\vec r^'_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}\Rightarrow d\vec r_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}d\vec r_{\perp}\;</MATH>|1.43c}} co otrzymaliśmy zgodny niesprzeczny wynik z {{LinkWzór|G14|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Związek {{LinkWzór|G15|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} zachodzi na podstawie {{LinkWzór|1.43b}} i {{LinkWzór|1.43c}}, co nie trudno go udowodnić. Nieskończenie mała zmiana położenia ciała a właściwie jej składową równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych, a także jej składową prostopadłą przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r_{||}}=P_{||}d\vec r=\vec{V}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{V^2}}\;</MATH>|1.45}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r_{\perp}}=P_{\perp}d\vec r=(1-P_{||})d\vec r=d\vec{r}-\vec{V}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{V^2}}\;</MATH>|1.46}} }} Wykorzystując definicję parametru &gamma; {{LinkWzór|1.41}} ({{Formuła|<MATH>V<c\;</MATH>}}), a także biorąc różniczkę zupełną położenia, czyli {{Formuła|<MATH>d\vec r^'\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.34}}, i wybierając {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} dodatnie, jak można udowodnić {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} ujemne jest nieodpowiednie, a dodatnie jest odpowiednie, aby były spełnione transformacje Galileusza dla zmian położeń składowych równoległych względem prędkości nowego układu odniesienia, tzn.: {{Formuła|<MATH>d\vec r^'_{||}=C_p(d\vec r_{||}-\vec V dt)\;</MATH>}} (wychodząc od transformacji {{LinkWzór|1.34}} do transformacji Galileusza) przy obraniu prędkości {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}} bardzo małej w porównaniu z prędkością światła, wtedy możemy napisać wzór transformacyjny na nieskończenie małą zmianę położenia ciała wychodząc z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r}^'=C_{p||}{{d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+C_{p\perp}d\vec{r}_{\perp}= C_p\left({{d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)=C_p \left \{{{\vec{V}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{V^2}}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}-\vec{V}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{V^2}}\right \}\;</MATH>|1.47}} Wzór {{LinkWzór|1.47}} jest równaniem transformacyjnym różniczki położenia ze starego układu odniesienia do nowego, a przy prędkościach bardzo małych względem prędkości światła nowego układu odniesienia, to równanie przyjmuje postać {{Formuła|<MATH>d\vec{r}^'=C_p\left(d\vec r- \vec V dt\right)\;</MATH>}}. Ale jak udowodniliśmy wcześniej, że {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}=\gamma\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\gamma>0\;</MATH>}}, a to jest jedynym warunkiem, aby dla prędkości nowego układu odniesienia {{Formuła|<MATH>\vec V\ll c\;</MATH>}} były spełnione transformacje Galileusza przy transformacjach w szczególnej teorii względności dla tych prędkości nowego układu odniesienia. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 136keyggpzvk231z5pwogvd5qtjuuxz 0 46725 558687 548263 2026-10-05T03:17:11Z Persino 2851 558687 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Transformacje prędkości przy pierwszym rozwiązaniu m{{Sup|0}}{{Sub|0}} w szczególnej teorii względności == Transformacja prędkości względem nowego układu współrzędnych do prędkości względem starego układu współrzędnych wygląda tak jak poniżej, do której później podstawialiśmy wzór {{LinkWzór|1.32|Transformacje prędkości - początek rozważań}} i {{LinkWzór|1.33|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, wykorzystując przy tym pierwsze rozwiązania na m{{Sup|0}}{{Sub|0}} {{LinkWzór|1.31|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, wtedy w ten sposób otrzymujemy transformację tej samej prędkości na tą samą w starym układzie współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}={{M_p^'(\vec{v}^'-\vec{V}^')}\over{{m^{0}}_{0}-{{\gamma^2}\over{_{{m^{0}}_{0}}}}{{(\vec{v}^',\vec{V}^')}\over{c^2}}}}={{M_p^' \left ( {{M_p(\vec{v}-\vec{V})}\over{{m^{0}}_{0}-{{\gamma^2}\over{{m^{0}}_{0}}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}-\left({-{{M_pV}\over{{m^{0}}_{0}}}}\right) \right ) }\over{{m^{0}}_{0}-{{\gamma^2}\over{_{{m^{0}}_{0}}}}{{\left ( {{M_p(\vec{v}-\vec{V})}\over{{m^{0}}_{0}-{{\gamma^2}\over{{m^{0}}_{0}}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}},-{{M_pV}\over{{m^{0}}_{0}}}\right ) }\over{c^2}}}}={{{M_p^'M_p \left [ {m^{0}}_{0}(\vec{v}-\vec{V})+V\left ({m^{0}}_{0}-{{\gamma^2}\over{{m^{0}}_{0}}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}\right )\right ] }\over{({m^{0}}_{0})^2\left ( 1-{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}\right ) }} \over{ {m^{0}}_{0}\left (1+{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}} {{\gamma^2\left ((\vec{v},\vec{V})-\vec{V}^2\right ) }\over{c^2({m^{0}}_{0})^2\left (1-{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}\right ) }} \right ) }}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{{{({m^{0}}_{0})^2M_p^'M_p\left (\vec{v}-\vec{V}{{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{V},\vec{v})}\over{c^2}}}\right )}\over{({m^{0}}_{0})^2\left (1-{{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{V},\vec{v})}\over{c^2}}}\right )}}}\over{{{({m^{0}}_{0})^4c^2\left (1-{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}\right )+\gamma^4((\vec{v},\vec{V})-V^2)}\over{c^2 ({m^{0}}_{0})^2\left (1-{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}\right )}}}}={{c^2({m^{0}}_{0})^2M_p^'M_p\left (\vec{v}-\vec{V}{{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{V},\vec{v})}\over{c^2}}}\right )}\over{({m^{0}}_{0})^4c^2\left (1-{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}\right )+\gamma^4\left((\vec{v},\vec{V})-V^2\right)}}\xrightarrow[({m^{0}}_{0})^2=\gamma^2]{}\;</MATH>{{Br}}<MATH>\xrightarrow[({m^{0}}_{0})^2=\gamma^2]{}{{\gamma^2c^2M_p^'M_p\left(\vec{v}-\vec{V}{{{\left(\vec{V},\vec{v}\right)\over c^2}}}\right)}\over{\gamma^4c^2\left(1-{{\left(\vec{v},\vec{V}\right)}\over{c^2}}\right)+\gamma^4\left(\left(\vec{v},\vec{V}\right)-V^2\right)}}={{c^2M_p^'M_p\left(\vec{v}-\vec{V}{{\left({\vec{V},\vec{v}}\right)}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2c^2\left(1-{V^2\over{c^2}}\right)}}={{M_p^'M_p\left(\vec{v}-\vec{u}{{\left({\vec{V},\vec{v}}\right)}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2\left(1-{V^2\over{c^2}}\right)}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\vec{v}={{M_p^'M_p\left(\vec{v}-\vec{V}{{\left({\vec{V},\vec{v}}\right)}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2\left(1-{V^2\over{c^2}}\right)}}\;</MATH>|1.47a}} Mamy sobie wektor {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}}, dalej rozłóżmy sobie go na wektor równoległy i prostopadły do prędkości nowego układu odniesienia {{Formuła|<MATH>\vec{u}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v_{\perp}}+\vec{v_{||}}=\vec{v}\;</MATH>|1.48}} Rozłóżmy prędkość względem nowego układu współrzędnych na część jego prostopadłą i równoległą do prędkości nowego układu odniesienia, wtedy możemy napisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v_{||}}=P_{||}\vec v=\vec{V}{{(\vec{V},\vec v)}\over{V^2}}\;</MATH>|1.49}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec v_{\perp}=P_{\perp}\vec v=(I-P_{||})\vec v=\vec v-\vec{V}{{(\vec{V},\vec v)}\over{V^2}}\;</MATH>|1.50}} }} Macierz {{Formuła|<MATH>M_p^'M_p</MATH>}} możemy rozłożyć na składową równoległą i prostopadłą: {{CentrujWzór|<MATH>M_p=M_{p||}+M_{p\perp}\;</MATH>|1.51}} Ale zachodzi podstawie definicji {{Formuła|<MATH>M_{p}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.13|Wydłużenie podłużne a poprzeczne}} oraz iloczynów macierzy {{LinkWzór|1.35a|Transformacje różniczek czasu i położenia}} i {{LinkWzór|1.35b|Transformacje różniczek czasu i położenia}} stąd: {{CentrujWzór|<MATH>M_p^'M_p=M^'_{p||}M_{p||}+M_{p\perp}^'M_{p\perp}+M_{p\perp}^'M_{p||}+M_{p||}^'M_{p\perp}=M^'_{p||}M_{p||}+M_{p\perp}^'M_{p\perp}\;</MATH>|1.52}} Macierze M{{Sub|p||}}, M{{Sub|p&perp;}} mają takie własności, że spełniają warunki na podstawie wzorów {{LinkWzór|G5|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M_{p||}\vec{v}_{\perp}=\gamma C_{p||}{\vec v}_{\perp}=\gamma C_{p}P_{||}{\vec v}_{\perp}=0\;</MATH>|1.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MaTh>M_{p\perp}\vec{v}_{||}=C_{p\perp}\vec v_{||}=C_pP_{\perp}v_{||}=0\;</MATH>|1.54}} }} Jeśli do wzoru na całkowitą prędkość ciała względem starego układu współrzędnych {{LinkWzór|1.48}} podstawić wyrażenie {{LinkWzór|1.50}}, a na podstawie tego możemy napisać wyrażenie {{LinkWzór|1.48}} opisujące prędkość prostopadłą i równoległą prędkości w starym układzie współrzędnych względem {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}} w jednym równaniu: {{CentrujWzór|<math>\vec{v}_{\perp}+\vec{V}{{(\vec{V},\vec{v}_{||})}\over{V^2}}={{M_p^'M_p\left(\vec{v}_{\perp}+\vec{V}{{(\vec{V},\vec{v}_{||})}\over{V^2}}-\vec{V}{{({\vec{V},\vec{v}_{||}})}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2(1-{V^2\over{c^2}})}}\Rightarrow \vec{v}_{\perp}+\vec{V}{{(\vec{V},\vec{v}_{||})}\over{V^2}}={{M_{p\perp}^'M_{p\perp}\vec{v}_{\perp}+M_{p||}^'M_{p||}\left(\vec{V}{{(\vec{V},\vec{v}_{||})}\over{V^2}}-\vec{V}{{(\vec{V},\vec{v}_{||})}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2(1-{V^2\over{c^2}})}}\;</MATH>|1.55}} Równanie {{LinkWzór|1.55}} możemy rozłożyć na dwa niezależne równania transformujące dla prędkości równoległej, czy to dla prostopadłej prędkości, względem prędkości nowego układu odniesienia w starym układzie odniesienia. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}{{(\vec{V},\vec{v}_{||})}\over{V^2}}={{M_{p||}^'M_{p||}\left(\vec{V}{{(\vec{V},\vec{v}_{||})}\over{V^2}}-\vec{V}{{({\vec{V},\vec{v}_{||}})}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2\left(1-{V^2\over{c^2}}\right)}}\;</MATH>|1.56}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v_{\perp}}={{M_{p\perp}^'M_{p\perp}\vec{v_{\perp}}}\over{\gamma^2\left(1-{V^2\over{c^2}}\right)}}\;</MATH>|1.57}} }} Równość {{LinkWzór|1.56}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>(\vec{V},\vec{v}_{||})\;</math>}}, która jest w ogólności wielkością niezerową: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{V^2}}\vec V={{M_{p||}^'M_{p||}\vec V\left({{1}\over{V^2}}-{{1}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}}\;</MATH>|1.58}} A teraz mnożymy obie strony końcowego równania {{LinkWzór|1.58}} przez kwadrat wartości prędkości nowego układu współrzędnych, czyli przez V{{Sup|2}} i mając {{LinkWzór|G13|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} (tzn., czy ten otrzymany wniosek spełnia transformacje Galileusza dla wartości prędkości {{Formuła|<MATH>v\rightarrow 0\;</MATH>}}), w końcu otrzymamy rozwiązanie wiedząc, że parametr {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} przy transformacji starego układu współrzędnych do nowego i odwrotnie jest cały czas ten sam, ponieważ przy {{Formuła|<MATH>\gamma^'=\gamma\;</MATH>}} poniższe twierdzenie jest prawdziwe: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V={{M^'_{p||}M_{p||}\vec V\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}}=\gamma^{-2}M^'_{p||}M_{p||}\vec V\Rightarrow M_{p||}^'M_{p||}\vec V=\gamma^2 \vec V\Rightarrow M_{p||}^'M_{p||}\vec V=(\gamma C_{p||}^')(\gamma C_{p||})\vec V\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow M_{p||}^'M_{p||}\vec V=(\gamma^' C_{p||}^')(\gamma C_{p||})\vec V\Rightarrow M_{p||}=\gamma C_{p||}\;</MATH> |1.59}} W końcu możemy wykorzystać równość {{LinkWzór|1.57}} i otrzymamy własność na macierz {{Formuła|<MATH>M_{p\perp}\;</MATH>}} wiedząc że zachodzi {{LinkWzór|1.41|Transformacje różniczek czasu i położenia}} (wzór na {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}}) i {{LinkWzór|G14|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} (tzn., czy ten otrzymany wniosek spełnia transformacje Galileusza dla wartości prędkości {{Formuła|<MATH>v\rightarrow 0\;</MATH>}}), a więc tą równość przekształcamy do wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v_{\perp}}={{M_{p\perp}^'M_{p\perp}\vec{v_{\perp}}}\over{\gamma^2(1-{V^2\over{c^2}})}}\Rightarrow M_{p\perp}^'M_{p\perp}\vec v_{\perp}=\vec v_{\perp}\Rightarrow M_{p\perp}^'M_{p\perp}\vec v_{\perp}=C_{p\perp}^'C_{p\perp}\vec v_{\perp}\Rightarrow M_{p\perp}=C_{p\perp}\;</MATH>|1.60}} Ale ponieważ zachodzi {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}}, stąd lemat {{LinkWzór|1.13|Wydłużenie podłużne a poprzeczne}} jest na pewno spełniony i nie jest sprzeczny. Mając już określone M{{Sub|p||}} i M{{Sub|p&perp;}}, możemy transformować prędkość równoległą i prostopadłą względem prędkości nowego układu współrzędnych w starym układzie współrzędnym. Korzystając ze wzoru transformacyjnego prędkości ciała z układu K na K', dla wielkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}^'\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.32|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, możemy napisać wzory dla jego składowych równoległej i prostopadłej w nowym układzie współrzędnych względem prędkości nowego układu współrzędnych K': {{CentrujWzór|<MATH>{\vec{v}_{||}}'={{M_{p||}\left(\vec{v}_{||}-\vec{V}\right)}\over{{m^{0}}_{0}\left(1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}{{\gamma^2}\over{(m^{0}_{0})^2}}\right)}}\xrightarrow{{m^{0}}_{0}=\gamma}{{\gamma C_{p||}\left(\vec{v}_{||}-\vec{V}\right)}\over{\gamma\left(1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}\right)}}={{C_{p||}\left(\vec{v}_{||}-\vec{V}\right)}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}={{C_{p}\left(\vec{v}_{||}-\vec{V}\right)}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}\;</MATH>|1.61a}} {{CentrujWzór|<MATH>{\vec{v}_{\perp}'}={{M_{p\perp}\vec{v}_{\perp}}\over{{m^{0}}_{0}\left(1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}{{\gamma^2}\over{({m^{0}}_{0})^2}}\right)}}={{C_{p\perp}\vec{v}_{\perp}\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{\left(\vec{v},\vec{V}\right)}\over{c^2}}}}={{C_{p}\vec{v}_{\perp}\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}\;</MATH>|1.61b}} Przy {{LinkWzór|1.61b}} przy definicji {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}=\pm\gamma\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.31|Transformacje prędkości - początek rozważań}} obraliśmy ze znakiem plus i {{Formuła|<MATH>\gamma>0\;</MATH>}} dla {{Formuła|<MATH>v<c\;</MATH>}}, bo jak udowodniliśmy wcześniej {{Formuła|<MATH>v>c\;</MATH>}} nie może być, bo gdy było {{Formuła|<MATH>{m^{0}}_{0}<0\;</MATH>}} nie było by spełnione transformacje Galileusza dla prędkości prostopadłej do prędkości nowego układu odniesienia {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} względem starego układu odniesienia {{Formuła|<MATH>\vec{v_{\perp}}'=C_p\vec{v}_{\perp}\;</MATH>}} przy prędkości {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}} bardzo małych w porównaniu z prędkością światła. Ostatecznie można powiedzieć, że transformacja prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{||}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{\vec v}_{\bot}\;</MATH>}} ze starego układu współrzędnych K do nowego K' jest napisana według transformacji {{LinkWzór|1.61a}} i {{LinkWzór|1.61b}}, które to zbierając to wszystko razem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'=\vec{v}_{||}^'+\vec{v}_{\perp}^'={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} \left[ \left(\vec{v}_{||}-\vec{V}\right)+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec{v}_{\perp} \right ]={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} \left[ \left(\vec{V}{{\left(\vec{V},\vec{v}\right)}\over{V^2}}-\vec{V}\right)+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\left ({\vec{v}-\vec{V}{{\left(\vec{V},\vec{v}\right)}\over{V^2}}}\right ) \right ]\;</MATH>|1.61c}} Do tego samego wniosku możemy dojść dzieląc równość obustronnie {{LinkWzór|1.47|Transformacje różniczek czasu i położenia}} przez {{LinkWzór|1.36|Transformacje różniczek czasu i położenia}} licząc {{Formuła|<MATH>\vec v^'={{d\vec r^'}\over{dt^'}}\;</MATH>}}. Gdy {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}} jest małe w porównaniu z prędkością światła, to mamy: {{Formuła|<MATH>\vec{v}^'=C_p(\vec{v}-\vec{V})\;</MATH>}}, czyli przechodzimy do transformacji Galileusza {{LinkWzór|G2|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, czyli {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} jest to macierz transformacji z układu K do K', czyli taką samą jak przy transformacji nierelatywistycznej w przestrzeni ogólnie nieprostokątnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dv05mbz64gcxtosyzd8nfwqrrd69i6o 0 46726 558688 548260 2026-10-05T03:18:55Z Persino 2851 558688 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Transformacje pomiędzy układami słabozakrzywionymi oraz od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego == Weźmy macierz transformujący z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych, w których jest to samo ciało odniesienia, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\overline\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\overline \Lambda_p\end{bmatrix}\;</MATH>|X1}} Macierz {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda\;</MATH>}}, a w nim {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda_p\;</MATH>}}, może być funkcją uogólnioną. Macierzą odwrotną do {{LinkWzór|X1}} jest macierz w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\overline\Lambda^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\overline \Lambda_p\end{bmatrix}}^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda^{-1}&0\\0&\overline \Lambda_p^{-1}\end{bmatrix}\;</MATH>|X1aa}} Weźmy transformacje tensora położenia z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układów słabozakrzywionych: {{CentrujWzór|<MATH>\overline X=\overline{\Lambda}X\;</MATH>|X2}} Sformujmy twierdzenie jak się zmienia czas i wektor przestrzenny przy transformacji {{LinkWzór|X2}} przy definicji macierzy transformacji {{LinkWzór|X1}} z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}c\overline t\\ \vec \overline X_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\overline \Lambda_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ct\\ \vec X_p\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}c\overline t\\ \vec \overline X_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\lambda t\\ \overline \Lambda_p\vec X_p\end{bmatrix}\Rightarrow \overline t=\lambda t\wedge \vec \overline X_p=\overline\Lambda_p \vec X_p \;</MATH>|T1a}} * gdzie: ** {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline X_p\;</MATH>}} to jest kolejno czas i wektor przestrzenny w układzie słabozakrzywionym, a {{Formuła|<MATH> t\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>X_p\;</MATH>}} to jest kolejno czas i wektor przestrzenny w układzie globalnie (lokalnie) płaskim. ** {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}} jest to prędkość światła w układach globalnie (lokalnie) płaskich. W układzie globalnie (lokalnie) płaskim te same wielkości wektorowe charakteryzujce coś, jeżeli są sobie równe w różnych punktach, to one w układach słabozakrzywionych są ogólnie różne, aby przejść w układzie słabozakrzywionym z tą wielkością do pewnego punktu, tzn. z punktu jeden (tam panuje {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda_{p1}\;</MATH>}}) do dwa (tam panuje {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda_{p2}\;</MATH>}}), to na podstawie {{LinkWzór|T1a}} (ostatnie równanie) piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>X_p=X_p\Rightarrow\overline\Lambda_{p1}^{-1}\overline X_{p1}=\overline\Lambda_{p2}^{-1}\overline X_{p2}\Rightarrow \overline X_{p2}=\overline\Lambda_{p2}\overline\Lambda_{p1}^{-1}\overline X_{p1}\;</MATH>|1.73b2f}} Czyli jeśli mamy wielkość {{Formuła|<MATH>X_{p1}\;</MATH>}} w jakimś punkcie układu słabozakrzywionego to mamy tą samą wielkość {{Formuła|<MATH>X_{p2}\;</MATH>}} w drugim punkcie tego samego układu. Weźmy transformację macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego w szczególnej teorii względności {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} i go udowodnijmy dla transformacji od układu słabozakrzywionego do słabozakrzywionego: {{CentrujWzór|<MATH>A=C^T_pA^'C_p\Rightarrow \overline\Lambda^{-T}_pA\overline\Lambda^{-1}_p=\overline\Lambda^{-T}_pC^T_p{\overline\Lambda^'}^T_p{\overline\Lambda^'}^{-T}_pA^'{\overline \Lambda^'}^{-1}_p\overline\Lambda_p^' C_p\overline\Lambda^{-1}_p\Rightarrow\overline C_p=\overline\Lambda_p^' C_p\overline\Lambda^{-1}_p\wedge\overline A=\overline\Lambda^{-T}_pA\overline\Lambda^{-1}_p\wedge\;</MATH>{{Br}}<MATH>\wedge\overline A^'={\overline\Lambda^'}^{-T}_pA^'{\overline\Lambda^'}^{-1}_p\Rightarrow\overline A=\overline C_p^T\overline A^'\overline C_p\;</MATH>|T2a}} Czyli widzimy, że na podstawie {{LinkWzór|T2a}} transformacja macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego jest formalnie taka sama jak transformacja iloczynu skalarnego przestrzennego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Weźmy transformację bazy przestrzennej od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego {{LinkWzór|G17a|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} i sprawdźmy jak wygląda transformacja bazy przestrzennej od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego na podstawie transformacji macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} w {{LinkWzór|T2a}}, co: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_p=B_pC_p^{-1}\Rightarrow B^'_p{\overline\Lambda^'}^{-1}_p=B_p\overline\Lambda^{-1}_p\overline\Lambda_p C_p^{-1}{\overline\Lambda^'}^{-1}_p\Rightarrow \overline B_p^'=B^'_p{\overline\Lambda^'}^{-1}_p\wedge \overline B_p=B_p\overline\Lambda^{-1}_p\Rightarrow\overline B_p^'=\overline B_p\left(\overline\Lambda^'_p C_p\overline\Lambda^{-1}_p\right)^{-1}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\overline B_p^'=\overline B_p\overline C_p^{-1}\Rightarrow\overline B_p^'=\overline B_p\overline C_p^' </MATH>|T2b}} Czyli widzimy, że na podstawie {{LinkWzór|T2b}} transformacja macierzy bazy przestrzennej od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego jest formalnie taka sama jak transformacja macierzy mazy od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego {{LinkWzór|G17a|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Udowodnijmy, czy iloczyn skalarny w układach słabozakrzywionych ma taką wartość, co w u układach globalnie (lokalnie) płaskich wykorzystując ostatnią równość na transformację wektora przestrzennego {{LinkWzór|T1a}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\vec\overline X_1,\vec\overline X_2)=\vec\overline X_1^T\overline A\vec\overline X_2=\vec X_1^T\overline\Lambda^T_p\overline A\overline \Lambda_p\vec X_2=(\vec X_1|\overline\Lambda^T_p\overline A\overline \Lambda_p|\vec X_2)=(\vec X_1|A|\vec X_2)=(\vec X_1|\vec X_2)=(\vec X_1,\vec X_2)\Rightarrow (\vec\overline X_1,\vec\overline X_2)=(\vec X_1,\vec X_2)\;</MATH>|T1b}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|T1b}} iloczyn skalarny jest nieznienniczy przy przejściu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. Udowodnijmy niezmienniczość normy przy przejściu do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego na podstawie dowodu na niemienniczość iloczynu skalarnego {{LinkWzór|T1b}}: {{CentrujWzór|<MATH>||\vec\overline X||^2=(\vec\overline X,\vec\overline X)=(\vec X,\vec X)=||\vec X||^2\Rightarrow ||\vec\overline X||=||\vec X||\;</MATH>|T1c}} Na podstawie ostatniego wzoru w {{LinkWzór|T1c}} udowodnijmy transformację {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} przy jego definicji {{LinkWzór|1.41|Transformacje różniczek czasu i położenia}} (wybierając {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} z plusem) przy przejściu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, że ona jest niezmiennicza: {{CentrujWzór|<MATH>\overline\gamma=\overline\gamma(\overline u)=\overline\gamma(u)=\gamma(u)=\gamma\Rightarrow\overline\gamma=\gamma\;</MATH>|T1d}} Weźmy pod lupę równość na operator rzutowy równoległy {{LinkWzór|T3|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} transformując od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego biorąc wzory z {{LinkWzór|T2a}} i {{LinkWzór|T1c}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline\Lambda_p P_{||}\overline\Lambda_p^{-1}=\overline\Lambda_p{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}\overline\Lambda^T\overline\Lambda^{-T}A\overline\Lambda_p^{-1}= {{\vec\overline V\vec\overline V^T}\over{\overline V^2}}\overline A=\overline P_{||}\Rightarrow \overline P_{||}=\overline\Lambda_p P_{||}\overline\Lambda_p^{-1}</MATH>|T1y}} Weźmy pod lupę równość na operator rzutowy prostopadły {{LinkWzór|T5|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} transformując od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego biorąc wzory z {{LinkWzór|T2a}} i {{LinkWzór|T1c}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline\Lambda_p P_{\perp}\overline\Lambda_p^{-1}=\overline\Lambda_p (I-P_{||})\overline\Lambda_p^{-1}=I-\overline\Lambda_pP_{||}\overline\Lambda_p^{-1}=I-\overline P_{||}=\overline P_{\perp}\Rightarrow \overline P_{\perp}=\overline\Lambda_p P_{\perp}\overline\Lambda_p^{-1}</MATH>|T1y1}} Weźmy pod lupę równość na operator rzutowy równoległy {{LinkWzór|T3|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} i jego wzór transformacyjny {{LinkWzór|G20|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} transformując go od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego biorąc wzory z {{LinkWzór|T2a}} i {{LinkWzór|T1y}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_{||}^'=C_pP_{||}C_p^{-1}\Rightarrow\overline\Lambda_p^'P_{||}^'{\overline\Lambda_p^'}^{-1}=\overline\Lambda_p^'C_p\overline\Lambda^{-1}_p\overline\Lambda_p P_{||}\overline\Lambda_p^{-1}\overline{\Lambda}_p C_p^{-1}{\overline\Lambda^'}_p^{-1}\Rightarrow\overline P_{||}^'=\overline C_p\overline P_{||}\overline C_p^{-1}\;</MATH>|T1e}} Czyli widzimy, że postać transformacyjna operatora rzutowania {{LinkWzór|T1e}} ma taką samą postać co {{LinkWzór|G20|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Weźmy pod lupę równość na operator rzutowy prostopadły {{LinkWzór|T5|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} i jego wzór transformacyjny {{LinkWzór|G21|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} transformując go od układu słabozakrzywionego do układu słabozakrzywionego biorąc wzory z {{LinkWzór|T2a}} i {{LinkWzór|T1y1}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_{\perp}^'=C_pP_{\perp}C_p^{-1}\Rightarrow{\overline\Lambda^'}_pP_{\perp}^'{\overline\Lambda^'}_p^{-1}=\overline\Lambda^'_pC_p\overline\Lambda^{-1}_p\overline\Lambda_p P_{\perp}\overline\Lambda_p^{-1}\overline{\Lambda}_p C_p^{-1}{\overline\Lambda^'}_p^{-1}\Rightarrow\overline P_{\perp}^'=\overline C_p\overline P_{\perp}\overline C_p^{-1}\;</MATH>|T1f}} Czyli widzimy, że postać transformacyjna operatora rzutowania {{LinkWzór|T1f}} ma taką samą postać co {{LinkWzór|G21|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. A więc transformację macierzy transformacji od układu słabozakrzywionego do układ słabozakrzywionego przedstawiamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>X^'=MX\Rightarrow {\overline\Lambda^'}^{-1} \overline{X}^'=M\overline\Lambda^{-1}\overline X\Rightarrow \overline{X}^'=\overline\Lambda^' M{\overline\Lambda}^{-1}\overline X\Rightarrow \overline M=\overline \Lambda^' M\overline{\Lambda}^{-1}\wedge \overline{X}^'=\overline M\overline X\;</MATH>|X3}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> iii6vd51dlg6t94h813mbw4ap9bo2d8 0 46727 558689 548261 2026-10-05T03:22:42Z Persino 2851 558689 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Tutaj będziemy zajmowali się macierzami transformacji w transformacjach Galileusza w mechanice Newtona i transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności. == Nazewnictwo transformacji w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona == Transformacje w teorii fizycznej są to transformacje transformujące współrzędne z jednego układu współrzędnych do drugiego. Transformacje w '''szczególnej teorii względności''' nazywają się '''transformacjami Lorentza''', a transformacje w '''mechanice Newtona''' '''transformacjami Galileusza'''. Transformacje Lorentza dla prędkości {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}} przechodzą w transformacje Galileusza. == Macierz ogólna transformacji prosta i odwrotna == Podamy tutaj macierze transformacji prostą i odwrotną w teorii transformacji Lorenzta (szczególna teoria względności) i Galileusza (mechanika Newtona). === Teoria transformacji Lorentza === Będziemy tutaj liczyli macierze transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych. ==== Układy globalnie (lokalnie) płaskie ==== Spójrzmy na macierz transformacji ze starego układu odniesienia do nowego, wiedząc to co wcześniej wyprowadziliśmy w punktach {{LinkWzór|1.17|Układy inercjalne i nieinercjalne}} i {{LinkWzór|1.27|Transformacje prędkości - początek rozważań}} przy wykorzystaniu pierwszej równości końcowej {{LinkWzór|1.31|Transformacje prędkości - początek rozważań}}: {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix} \gamma&-\gamma{{V^i a_{i1}}\over{c}}&-\gamma{{V^i a_{i2}}\over{c}}&\cdots&-\gamma{{V^i a_{in}}\over{c}}\\ -\sum^n_{i=1}m_{1j}{V^j\over c}&{m^{1}}_{1}&{m^{1}}_{2}&\cdots&{m^{1}}_{n}\\ -\sum^n_{i=1}m_{2j}{V^j\over c}&{m^{2}}_{1}&{m^{2}}_{2}&\cdots&{m^{2}}_{n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\sum^n_{i=1}m_{nj}{V^j\over c}&{m^{n}}_{1}&{m^{n}}_{2}&\cdots&{m^{n}}_{n}\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|1.62}} lub krócej używając macierzy M{{Sub|p}} i wektora prędkości nowego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix} \gamma&-\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\ -M_p{{\vec{V}}\over{c}}&M_p \end{bmatrix}\;</MATH> {{Tekst|gdzie: }}<MATH>M_p=\begin{bmatrix} {m^{1}}_{1}&{m^{1}}_{2}&\cdots&{m^{1}}_{n}\\ {m^{2}}_{1}&{m^{2}}_{2}&\cdots&{m^{2}}_{n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {m^{n}}_{1}&{m^{n}}_{2}&\cdots&{m^{n}}_{n}\\ \end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow M_p=C_p\left(P_{||}\gamma+P_{\perp}\right)=C_p\left[P_{||}(\gamma-1)+I\right]=\left[C_{pik}\left({{V_kV_l}\over{V^2}}a_{lj}(\gamma-1)+\delta_{kj}\right)\right]_{n\times n}\;</MATH>|1.63a}} Macierz odwrotna do {{LinkWzór|1.63a}} piszemy poprzez analogię do niego jako: {{CentrujWzór|<MATH>M^{-1}=M^'=\begin{bmatrix} \gamma^'&-\gamma^' {{\vec{V^'}^{T}}\over{c}}A^'\\ -M_p^'{{\vec{V^'}}\over{c}}&M_p^' \end{bmatrix}\;</MATH>|1.63b}} Policzmy iloczyn macierzy na {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63a}} przez macierz {{Formuła|<MATH>M^{'}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63b}} wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|T7|Przypomnienie o operatorach rzutowych}}, {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, {{LinkWzór|G15|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, {{LinkWzór|1.13|Wydłużenie podłużne a poprzeczne}}, {{LinkWzór|1.33a|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, {{LinkWzór|1.33b|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, {{LinkWzór|L|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, {{LinkWzór|1.35a|Transformacje różniczek czasu i położenia}} i {{LinkWzór|1.35b|Transformacje różniczek czasu i położenia}}, a więc: {{CentrujWzór|<MATH>MM^'=\begin{bmatrix} \gamma&-\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\ -M_p{{\vec{V}}\over{c}}&M_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \gamma^'&-\gamma^' {{\vec{V^'}^{T}}\over{c}}A^'\\ -M_p^'{{\vec{V^'}}\over{c}}&M_p^' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma^2-\gamma^2{{\vec V^T}\over{c}}A{{\vec V}\over{c}}&\gamma^2{{\vec V^T}\over{c}}C_p^TA^'-\gamma^2{{\vec V^T}\over{c}}AC_p^{-1}\\ -M_p{{\vec V}\over{c}}\gamma+M_{p}\gamma C_{p||}^'C_{p||}{{\vec V}\over{c}}&-\gamma M_p{{\vec V\vec V^T}\over{c^2}}C_p^TA^'+M_pM_p^' \end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}1&0\\-M_p{{\vec V}\over{c}}\gamma+\gamma M_{p}{{\vec V}\over{c}}&-\gamma M_pP_{||}C_p^'{{V^2}\over{c^2}}+M_pM_p^'\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0\\0&-\gamma^2 C_{p||}C_{p||}^'{{V^2}\over{c^2}}+\gamma^2C_{p||}C_{p||}^'+C_{p\perp}C_{p\perp}^'\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_{p||}C_{p||}^'+C_{p\perp}C_{p\perp}^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}=I\Rightarrow MM^'=I\Rightarrow M^'=M^{-1}\;</MATH>|1.63c}} Na podstawie {{LinkWzór|1.63c}} macierz {{LinkWzór|1.63b}} jest macierzą odwrotną do {{LinkWzór|1.63a}}. Ale ponieważ powinno zachodzić, że macierz {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63a}} jest odwrotną macierzą do {{LinkWzór|1.63b}}, tzn. {{Formuła|<MATH>MM^'=I\;</MATH>}} to według {{LinkWzór|1.63c}} zachodzi zawsze w szczególnej teorii względności to {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} (tzn. {{Formuła|<MATH>A=C_p^TA^'C_p\;</MATH>}}) bez założenia {{Formuła|<MATH>\gamma^'=\gamma\;</MATH>}} {{LinkWzór|L|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, które w {{LinkWzór|1.63c}} przyjęto, a z takiej transformacji macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej wynika to założenie, ta transformacja jest taka, bo prędkość nowego układu odniesienia w szczególnej teorii względności względem starego jest dowolna, tzn. {{Formuła|<MATH>v<c\;</MATH>}}, co kończy dowód tej zależności. Ten dowód też można pokazać inaczej: {{CentrujWzór|<MATH>MM^'=\begin{bmatrix} \gamma&-\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\ -M_p{{\vec{V}}\over{c}}&M_p \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \gamma^'&-\gamma^' {{\vec{V^'}^{T}}\over{c}}A^'\\ -M_p^'{{\vec{V^'}}\over{c}}&M_p^' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma\gamma^'-\gamma\gamma^'{{\vec V^T}\over{c}}A{{\vec V}\over{c}}&\gamma\gamma^'{{\vec V^T}\over{c}}C_p^TA^'-\gamma\gamma^'{{\vec V^T}\over{c}}AC_p^{-1}\\ -M_p{{\vec V}\over{c}}\gamma^'+ M_{p}\gamma^' C_{p||}^'C_{p||}{{\vec V}\over{c}}&-\gamma^' M_p{{\vec V\vec V^T}\over{c^2}}C_p^TA^'+M_pM_p^' \end{bmatrix}</MATH>|LL1}} Aby wyraz {{Formuła|<MATH>1\times 2\;</MATH>}} w ostatniej macierzy w {{LinkWzór|LL1}} (macierz po ostatniej równości) był dokładnie równy zero przy dowolnym wektorze prędkości {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}} nowego układu odniesienia względem starego to musi zachodzić {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} (wzór, czyli transformacja w tym przypadku, po ostatnim wynikaniu) jak transformacja macierzy iloczynu skalarnego w przestrzeni z czasem absolutnym, ale wtedy zachodzi {{LinkWzór|1.33b|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, co na podstawie tego mamy {{LinkWzór|L|Transformacje prędkości - początek rozważań}}, dalej dowód w {{LinkWzór|LL1}} przebiega tak samo jak w {{LinkWzór|1.63c}}, zatem {{Formuła|<MATH>MM^'=I\Rightarrow M^'=M^{-1}\;</MATH>}}. Co kończy dowód przy innym podejściu czemu jest równa macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M^'\;</MATH>}} (primowana) (przejścia z układu nowego do starego znając macierz transformacji przejścia z układu starego do nowego). Udowodnijmy, czy układy globalnie (lokalnie) płaskie mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu {{LinkWzór|1.63a}}, wtedy dla ciała odniesienia zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec X_{pu}^'=\vec 0\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz {{Formuła|<MATH>\vec X_{pu}\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia w chwili {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}) i {{Formuła|<MATH>\vec X_{p0}\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia dla {{Formuła|<MATH>t=t_0\;</MATH>}}) w starym układzie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>X_u^'=M(X_{u}-X_0)\Rightarrow\begin{bmatrix}ct^'\\\vec 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline\gamma&-\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\-M_p{{\vec{ V}}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c(t-t_0)\\\vec X_{pu}-\vec X_{p0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \gamma\left(c\left(t-t_0\right)-{{\left(\vec V,\vec X_{pu}-\vec X_{p0}\right)}\over{c}}\right)\\ M_p\left(\vec X_{pu}-\vec V(t-t_0)-\vec X_{p0}\right)\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow t^'=\gamma\left((t-t_0)-{{\left(\vec V,\vec X_{pu}-\vec X_{p0}\right)}\over{c^2}}\right)\wedge \vec X_{pu}=\vec V( t- t_0)+\vec X_{p0}\wedge\wedge X^'_p=M_p\left(\vec X_{p}-\vec V(t-t_0)-\vec X_{p0}\right)</MATH>|J11}} * A transformacje położenia w {{LinkWzór|J11}} piszemy, zastępując {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{pu}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec \overline 0\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p}^'\;</MATH>}}. W transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności (kinematyka) w punkcie {{LinkWzór|J11}} według drugiego wzoru istnieją matematycznie układy inercjalne globalnie (lokalnie) płaskie, a według pierwszego wzoru mamy wzór na transformację czasu dla ciała odniesienia w nich. ==== Układy słabozakrzywione ==== Weźmy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63a}} z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych, wtedy do dowodu macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>\overline M\;</MATH>}} stosujemy wzory {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, {{LinkWzór|T2a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, {{LinkWzór|T1y|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, {{LinkWzór|T1y1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i {{LinkWzór|X3|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>\overline M=\begin{bmatrix}\lambda^'&0\\0&\overline \Lambda_p^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\-M_p{{\vec{V}}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\overline \Lambda_p\end{bmatrix}}^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda^'\gamma&-\lambda^'\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\\-\overline\Lambda_p^' M_p{{\vec{V}}\over{c}}&\overline\Lambda_p^'M_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda^{-1}&0\\0&\overline \Lambda_p^{-1}\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}\gamma&-\lambda^'\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}A\overline{\Lambda}^{-1}\\-\lambda^{-1}\overline\Lambda_p^' M_p{{\vec{V}}\over{c}}&\overline\Lambda_p^'M_p\overline{\Lambda}^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}\gamma&-\lambda^'\gamma {{\vec{V}^T}\over{c}}\overline{\Lambda}^T\overline A\\-\lambda^{-1}\overline\Lambda_p^' C_p\overline{\Lambda}_p^{-1}\overline\Lambda_p(\gamma P_{||}+P_{\perp})\overline \Lambda_p^{-1}\overline\Lambda_p{{\vec{V}}\over{c}}&\overline\Lambda_p^'C_p \overline\Lambda_p^{-1}\overline\Lambda_p(\gamma P_{||}+P_{\perp})\overline{\Lambda}^{-1}\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}\overline\gamma&-\lambda^'\lambda\overline\gamma {{\vec{\overline V}^T}\over{c}}\overline A\\-\overline M_p{{\vec{\overline V}}\over{c}}&\overline C_p (\overline \overline\gamma \overline P_{||}+\overline P_{\perp})\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline\lambda^'\lambda^{-1}\gamma&-\lambda^'\lambda\overline\gamma {{\vec{\overline V}^T}\over{c}}\overline A\\-\overline M_p{{\vec{\overline V}}\over{c}}&\overline M_p\end{bmatrix}\Rightarrow \overline M=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}\overline\gamma&-\lambda^'\lambda\overline\gamma {{\vec{\overline V}^T}\over{c}}\overline A\\-\overline M_p{{\vec{\overline V}}\over{c}}&\overline M_p\end{bmatrix}\;</MATH>|X5}} Macierz transformacji {{LinkWzór|X5}} transformujący pomiędzy układami słabozakrzywionymi ma taką samą postać, co pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi {{LinkWzór|1.63a}}. Zachodzi dla macierzy {{Formuła|<MATH>\overline M\;</MATH>}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\overline M\overline M^{-1}=\overline \Lambda^' M\overline\Lambda^{-1}\left(\overline\Lambda^' M\overline\Lambda^{-1}\right)^{-1}=\overline\Lambda^' M\overline\Lambda^{-1}\overline\Lambda M^{-1}{\overline\Lambda^'}^{-1}=\overline\Lambda^' MM^{-1}{\overline\Lambda^'}^{-1}=\overline\Lambda^'{\overline\Lambda^'}^{-1}=I\;</MATH>|C1a}} z właściwości macierzy {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda\;</MATH>}}, tzn. macierzy {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, i macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63a}}. Udowodnijmy, czy układy słabozakrzywione mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu {{LinkWzór|X5}}, wtedy dla ciała odniesienia zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec\overline X_{pu}^'=\vec 0\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{pu}\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia w chwili {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}}) i {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p0}\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia dla {{Formuła|<MATH>\overline t=\overline t_0\;</MATH>}}) w starym układzie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>\overline X_u^'=\overline M(\overline X_{u}-\overline X_0)\Rightarrow\begin{bmatrix}c\overline t^'\\\vec \overline 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}\overline\gamma&-\lambda^'\lambda\overline\gamma {{\vec{\overline V}^T}\over{c}}\overline A\\-\overline M_p{{\vec{\overline V}}\over{c}}&\overline M_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c(\overline t-\overline t_0)\\\vec \overline X_{pu}-\vec \overline X_{p0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \overline\gamma\left(\lambda^'\lambda^{-1} c\left(\overline t-\overline t_0\right)-\lambda^'\lambda{{\left(\vec\overline V,\vec X_{pu}-\vec \overline X_{p0}\right)}\over{c}}\right)\\ \overline M_p\left(\vec \overline X_{pu}-\vec\overline V(\overline t-\overline t_0)-\vec \overline X_{p0}\right)\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \overline t^'=\overline\gamma\left(\lambda^'\lambda^{-1}(\overline t-\overline t_0)-\lambda^'\lambda{{\left(\vec\overline V,\vec\overline X_{pu}-\vec\overline X_{p0}\right)}\over{c^2}}\right)\wedge \vec\overline X_{pu}=\vec\overline V(\overline t-\overline t_0)+\vec\overline X_{p0}\wedge\overline X^'_p=M_p\left(\vec \overline X_{p}-\vec \overline V(\overline t-\overline t_0)-\vec\overline X_{p0}\right) </MATH>|J1}} * A transformacje położenia w {{LinkWzór|J1}} piszemy, zastępując {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{pu}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec \overline 0\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p}^'\;</MATH>}}. W transformacjach Lorentza w szczególnej teorii względności (kinematyka) w punkcie {{LinkWzór|J1}} według drugiego wzoru układy inercjalne słabozakrzywione istnieją fizycznie i czas dla ciała odniesienia w nich transformuje się według wzoru pierwszego. Ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia (drugi wzór) i transformację czasu (pierwszy wzór) w {{LinkWzór|J1}} przedstawiamy na podstawie ich wersji w układach globalnie (lokalnie) płaskich {{LinkWzór|J11}} według transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego {{LinkWzór|X2|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} korzystając z macierzy transformacji {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, co stąd wynikającego wniosku {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}. * Pewne rozważanie: Zdefiniujmy nowy czas w nowym i starym układzie odniesienia w postaci formuł: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline t^'=\lambda^'\overline\overline t^{'}\;</MATH>|HH1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^{-1}\overline t=\overline\overline t\;</MATH>|HH2}} }} czyli mamy ogólną transformację czasów w ukłasach słabozakrzywionych jako: {{CentrujWzór|<MATH> \overline\overline t=\lambda^{-1}\overline t\;</MATH>|HH3}} Czyli po transformacji czasów i prędkości (definicja prędkości zawiera też czas, czyli ta transformacja jest: {{Formuła|<MATH>\vec \overline\overline V=\lambda\vec \overline V\;</MATH>}}) według {{LinkWzór|HH3}} otrzymujemy transformacje czasu i położenia z starego układu odniesienia do układu nowego, jeżeli oba układy są słabozakrzywione, taką samą jak te transformacje pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi dla szczególnej teorii względności, czyli transformacje dla macierzy transformacji {{LinkWzór|1.63a}}. Gdy {{Formuła|<MATH>\lambda^'=\lambda=1\;</MATH>}} w macierzy transformacji {{LinkWzór|X5}} to transformację są takie same jakie wyprowadził je Albert Einstein. * Rozważmy inaczej! Weźmy transformację prędkości światła {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}} z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego wiedząc, że długości wektorów w przestrzeni zwykłej się nie transformują przy takiej transformacji (bo {{LinkWzór|T1c|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}) i mając transformację czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego (pierwszy związek końcowy w {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}), wtedy mamy transformację: {{CentrujWzór|<MATH>\overline c=\lambda^{-1} c\;</MATH>|LKO}} * Na podstawie {{LinkWzór|LKO}} prędkość światła jest inna dla różnych {{Formuła|<MATH>\lambda\;</MATH>}} (ten obiekt jest funkcją będącą liczbą uogólnioną), i dla różnych części naszego wszechświata może być tak, że prędkość światła {{Formuła|<MATH>\overline c\;</MATH>}} jest ogólnie inna, czyli ta prędkość światła nie jest stałą, tylko jest funkcją. Wtedy transformacja czasu z układu jednego inercjalnego do drugiego, słabozakrzywonych na podstawie {{LinkWzór|J1}}, przedstawia się ona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline t^'=\overline\gamma\left(\lambda^'\lambda^{-1}(\overline t-\overline t_0)-\lambda^'\lambda^{-1}{{\left(\vec\overline V,\vec\overline X_{pu}-\vec\overline X_{p0}\right)}\over{\overline c^2}}\right)\;</MATH>|LKO1}} Weźmy zależność {{Formuła|<MATH>\lambda=\lambda^'\;</MATH>}}{{Patrz|LL1}}, w takim razie transformacja {{LinkWzór|LKO1}} przy tym założeniu przedstawia się jak dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego szczególnej teorii względności, i prędkość światła w nowym i starym układzie odniesienia w danym punkcie jest taka sama (bo nasze założenie), a także może zmieniać się z punktu do punktu, ale nie jest taka sama dokładnie we całym wszechświecie (bo {{LinkWzór|LKO}}), a w przybliżeniu w obu układach ma taką samą wartość, a macierz transformacji z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego według naszych obliczeń w {{LinkWzór|J1}} jest w {{LinkWzór|1.63a}}, taka sama jak tam dla wspomnianego układu. === Teoria transformacji Galileusza === Będziemy tutaj wyliczali macierz transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych według transformacji Galileusza. ==== Układy globalnie (lokalnie) płaskie ==== Macierz transformacji w porównaniu w transformacjach Lorentza ze szczególnej teorii względności w transformacjach Galileusza wiedząc jaka jest macierz {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} i prędkość nowego układu odniesienia jest dla prędkości {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}}, co dzięki temu przechodząc z jego wersji relatywistycznej do nierelatywistycznej przedstawia się w formie: {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\end{bmatrix}</MATH>|1.63d}} Działając macierzą {{LinkWzór|1.63d}} na położenie w starym układzie odniesienia otrzymujemy położenie ciała w nowym układzie odniesienia nieobracającym się. {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cdt\\C_p(d\vec r-\vec Vdt)\end{bmatrix}</MATH>|1.63e}} Na podstawie transformacji {{LinkWzór|1.63e}} otrzymujemy, że czas jest absolutny i spełnione są transformacje Galileusza {{LinkWzór|G1|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Odwrotną macierzą transformacji {{Formuła|<MATH>M^'\;</MATH>}} do macierzy transformacji prostej {{LinkWzór|1.63d}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M^'=\begin{bmatrix}1&0\\-C_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&C_p^'\end{bmatrix}</MATH>|1.63f}} Udowodnijmy, że macierz {{Formuła|<MATH>M^'\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63f}} jest macierzą odwrotną do macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63d}} wykorzystując {{LinkWzór|G6|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} i {{LinkWzór|G7|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>MM^'=\begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-C_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&C_p^'\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec V}\over{c}}-C_pC_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&C_pC_p^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}=I</MATH>|1.63g}} Stąd na podstawie {{LinkWzór|1.63g}} macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M^'\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63f}} jest macierzą odwrotną do macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63d}}, zatem zachodzi {{Formuła|<MATH>M^'=M^{-1}\;</MATH>}}. Udowodnijmy, czy układy globalnie (lokalnie) płaskie mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu {{LinkWzór|1.63d}}, wtedy dla ciała odniesienia zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec\overline X_{pu}^'=\vec 0\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{pu}\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia w chwili {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}}) i {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p0}\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia dla {{Formuła|<MATH> \overline t=\overline t_0\;</MATH>}}) w starym układzie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>X^'_u=M(X_u-X_0)\Rightarrow\begin{bmatrix}ct^'\\\vec 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c(t-t_0)\\\vec X_{pu}-\vec X_{p0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c(t-t_0)\\C_p\left(\vec X_{pu}-\vec V(t-t_0)-\vec X_{p0}\right)\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow t^'=t-t_0\wedge \vec X_{pu}=\vec V( t-t_0)+\vec X_{p0}\wedge X^'_p=C_p\left(\vec X_{p}-\vec V(t-t_0)-\vec X_{p0}\right)</MATH>|1.63daf1}} W transformacjach Galileusza w mechanice Newtona (kinematyka) w punkcie {{LinkWzór|1.63daf1}} według drugiego wzoru istnieją matematycznie układy inercjalne globalnie (lokalnie) płaskie, a według pierwszego wzoru mamy wzór na transformację czasu dla ciała odniesienia w nich. Transformację czasu i ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia nowego układu współrzędnych w teorii transformacji Galileusza {{LinkWzór|1.63daf1}} wynika ze wzoru {{LinkWzór|J11}} z teorii transformacji Lorentza dla prędkości {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}}. ==== Układy słabozakrzywione ==== Weźmy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63d}} z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych, wtedy do dowodu macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>\overline M\;</MATH>}} stosujemy wzory {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, {{LinkWzór|T2a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i {{LinkWzór|X3|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>\overline M=\begin{bmatrix}\lambda^'&0\\0&\overline \Lambda_p^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec{V}}\over{c}}&C_p\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\overline \Lambda_p\end{bmatrix}}^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda^'&0\\-\overline\Lambda_p^' C_p{{\vec{V}}\over{c}}&\overline\Lambda_p^'C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda^{-1}&0\\0&\overline \Lambda_p^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}&0\\-\overline\Lambda_p^' C_p\overline \Lambda_p^{-1}\overline{\Lambda}{{\vec{V}}\over{c}}&\overline\Lambda_p^'C_p\overline{\Lambda}^{-1}\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}&0\\-\overline C_p{{\vec{\overline V}}\over{c}}&\overline C_p\end{bmatrix}\Rightarrow\overline M=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}&0\\-\overline C_p{{\vec{\overline V}}\over{c}}&\overline C_p\end{bmatrix}\;</MATH>|X4a}} Macierz transformacji {{LinkWzór|X4a}} transformujący pomiędzy układami słabozakrzywionymi ma taką samą postać, co pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi {{LinkWzór|1.63d}}. Zachodzi dla macierzy {{Formuła|<MATH>\overline M\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|C1a}}, z właściwości macierzy {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda\;</MATH>}}, tzn. macierzy {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, i macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63d}}. Udowodnijmy, czy układy słabozakrzywione mogą być inercjalne na podstawie przedstawienia macierzy dla tego układu {{LinkWzór|X4a}}, wtedy dla ciała odniesienia zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec\overline X_{pu}^'=\vec 0\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia) w nowym układzie odniesienia oraz {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{pu}\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia w chwili {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}}) i {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p0}\;</MATH>}} (położenie ciała odniesienia dla {{Formuła|<MATH>\overline t=\overline t_0\;</MATH>}}) w starym układzie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>\overline X^'_u=\overline M(\overline X-\overline X_0)\Rightarrow\begin{bmatrix}c\overline t^'\\\vec\overline 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda^'\lambda^{-1}&0\\-\overline C_p{{\vec \overline V}\over{c}}&\overline C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c(\overline t-\overline t_0)\\\vec \overline X_{pu}-\vec \overline X_{p0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c\lambda^'\lambda^{-1}(\overline t-\overline t_0)\\\overline C_p\left(\vec \overline X_{pu}-\vec \overline V(\overline t-\overline t_0)-\vec\overline X_{p0}\right)\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\overline t^'=\lambda^'\lambda^{-1}(\overline t-\overline t_0)\wedge \vec\overline X_{pu}=\vec\overline V(\overline t-\overline t_0)+\vec\overline X_{p0}\wedge \overline X^'_p=C_p\left(\vec \overline X_{p}-\vec \overline V(\overline t-\overline t_0)-\vec\overline X_{p0}\right)</MATH>|1.63daf}} * A transformacje położenia w {{LinkWzór|1.63daf}} piszemy, zastępując {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{pu}\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec \overline 0\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>\vec \overline X_{p}^'\;</MATH>}}. Według transformacji Galileusza w mechanice Newtona (kinematyka) w punkcie {{LinkWzór|1.63daf}} według drugiego wzoru układy inercjalne słabozakrzywione istnieją fizycznie i czas dla ciała odniesienia w nich transformuje się według wzoru pierwszego. Transformację czasu i ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia nowego układu współrzędnych w teorii transformacji Galileusza {{LinkWzór|1.63daf}} wynika ze wzoru {{LinkWzór|J1}} z teorii transformacji Lorentza dla prędkości {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}}. Ruch po prostej ciała odniesienia w starym układzie odniesienia (drugi wzór) i transformację czasu (pierwszy wzór) w {{LinkWzór|1.63daf}} przedstawiamy na podstawie ich wersji w układach globalnie (lokalnie) płaskich {{LinkWzór|1.63daf1}} według transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego {{LinkWzór|X2|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} korzystając z macierzy transformacji {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, co stąd wynikającego wniosku {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}. * Pewne rozważanie: Zdefiniujmy nowy czas w nowym i starym układzie odniesienia w postaci formuł: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline t^'=\lambda^'\overline\overline t^{'}\;</MATH>|HH11}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^{-1}\overline t=\overline\overline t\;</MATH>|HH12}} }} czyli mamy ogólną transformację czasów w ukłasach słabozakrzywionych jako: {{CentrujWzór|<MATH> \overline\overline t=\lambda^{-1}\overline t\;</MATH>|HH13}} Czyli po transformacji czasów i prędkości (definicja prędkości zawiera też czas, czyli ta transformacja jest: {{Formuła|<MATH>\vec \overline\overline V=\lambda\vec \overline V\;</MATH>}}) według {{LinkWzór|HH13}} otrzymujemy transformacje czasu i położenia z starego układu odniesienia do układu nowego, jeżeli oba układy są słabozakrzywione, taką samą jak te transformacje pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi dla transformacji Galileusza w mechanice Newtona, czyli transformacje dla macierzy transformacji {{LinkWzór|1.63d}}. Gdy {{Formuła|<MATH>\lambda^'=\lambda=1\;</MATH>}} w macierzy transformacji {{LinkWzór|X4a}} to transformację są takie same jakie wyprowadził je Galileusz. * Rozważmy inaczej! W {{LinkWzór|1.63daf}} weźmy {{Formuła|<MATH>\lambda=\lambda^'\;</MATH>}}{{Patrz|LL}}, wtedy transformacja czasu na podstawie {{LinkWzór|1.63daf}} jest tożsamościowa, czyli czas jest absolutny w mechanice Newtona, a macierz transformacji tam z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego według naszych obliczeń w mechanice Newtona jest w {{LinkWzór|1.63d}}, taka sama jak dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego. === Układy globalnie (lokalnie) płaskie matematyczne, a fizyczne układy słabozakrzywione lokalnie płaskie fizyczne === Transformację w mechanice Newtona i szczególnej teorii względności pomiędzy układami słabozakrzywionymi udowodnialiśmy wychodząc z transformacji pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi matematycznymi, a te układy, które istnieją w ogólnej teorii względności lokalnie płaskie fizyczne są w rzeczywistości układami słabozakrzywionymi, ale innego rodzaju, niż te lokalnie płaskie matematyczne. A jeżeli będziemy pisać prędkość światła {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}} w układach słabozakrzywionych, to będziemy mieli później na myśli prędkość światła {{Formuła|<MATH>\overline c\;</MATH>}} znaną z lekcji fizyki. === Transformacje pomiędzy układami we współrzędnych krzywoliniowych === Transformacja z jednego układu współrzędnych do drugiego macierzy transformacji przedstawia się według wzoru przedstawionego w punkcie {{LinkWzór|X3|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, tak też udowadniamy macierz transformacji dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi wiedząc jaka jest macierz transformacji starego i nowego układu słabozakrzywionego, które uważamy globalnie (lokalnie) płaskie ogólnie nieprostokątne, lub globalnie (lokalnie) płaskiego ogólnie nieprostokątne, do ich odpowiedników będących układami krzywoliniowych, a te dwie ostatnie macierze transformacji są w takiej samej postaci, jak macierz {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, a więc macierz dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi tak samo się udowadnia jak macierz w szczególnej teorii względności {{LinkWzór|X5}} i mechanice Newtona {{LinkWzór|X4a}} pomiędzy układami słabozakrzywionymi, tylko inna jest definicja tych dwóch macierzy dla przypadku pomiędzy układami krzywoliniowymi, niż słabozakrzywionymi, które uważamy za globalnie (lokalnie) płaskiw, ale o takiej samej postaci. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rx56deqlnyjabmw6clewdr2idnf24al 0 46728 558690 548232 2026-10-05T03:24:05Z Persino 2851 558690 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy tutaj udowodniali, że ciała w starym układzie odniesienia mogą się poruszać z dowolnie zmieniającą się prędkością, a w nowym układzie odniesienia jako ciała odniesienia poruszają się tak, że dowolne pochodne n-te wielkości wskaźnikowej położenia są równe zero, to zachodzi przy {{Formuła|<MATH>\vec X^'_u\;</MATH>}} równym zero. Też wykażemy, że istnieją ciała poruszające się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak ciało odsiesienia względem nowego układu współrzędnych. == Układy globalnie (lokalnie) płaskie == W nieskończenie małym przedziale czasu ciało odniesienia porusza się z prędkością średnią {{Formuła|<MATH>\vec v\;</MATH>}}, na podstawie wiadomości z kinematyki, czyli spełniony jest wzór drugi w {{LinkWzór|1.17|Układy inercjalne i nieinercjalne}} dla tego przedziału. A stała tam z lewej w {{LinkWzór|1.17|Układy inercjalne i nieinercjalne}} tego wzoru w tym przedziale czasowym to jest położenie ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia lub stała (położenie) ciała poruszającego się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi jego jak ciało odniesienia. Weźmy wzór {{LinkWzór|1.17|Układy inercjalne i nieinercjalne}} i napiszmy je dla przedziału czasu {{Formuła|<MATH>[t_0,t_1]\;</MATH>}}, a drugie równania dla przedziału czasu {{Formuła|<MATH>[t_1,t_2]\;</MATH>}}, wtedy napiszmy te równania: * Dla przedziału czasu {{Formuła|<MATH>[t_0,t_1]\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{const}=\vec X^'_u(t_0)=M_p(t_0)(\vec X_u(t_1)-\vec X_{p0}(t_0)-\vec V(t_0)(t_1-t_0))\;</MATH>|1.18a}} * A także mamy drugie równanie dla przedziału czasu {{Formuła|<MATH>[t_1,t_2]\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{const}=\vec X^'_u(t_0)=M_p(t_1)(\vec X_u(t_2)-\vec X_{p0}(t_1)-\vec V(t_1)(t_2-t_1))\;</MATH>|1.18b}} Równość {{LinkWzór|1.18a}} odejmujemy od równości {{LinkWzór|1.18b}}, wtedy i w końcowym etapie zakładając, że oba te przedziały dążą do zera i mają taką samą długość, tzn. {{Formuła|<MATH>(t_2-t_1)=(t_1-t_0)=h\rightarrow 0\;</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>0=M_p(t_1)(\vec X_u(t_2)-\vec X_{p0}(t_1)-\vec V(t_1)(t_2-t_1))-M_p(t_0)(\vec X_u(t_1)-\vec X_{p0}(t_0)-\vec V(t_0)(t_1-t_0))=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= M_p(t_1)(\vec X_u(t_2)-\vec X_{p0}(t_1)-\vec V(t_1)(t_2-t_1))+M_p(t_0)(\vec X_u(t_2)-\vec X_{p0}(t_1)-\vec V(t_1)(t_2-t_1))+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-M_p(t_0)(\vec X_u(t_2)-\vec X_{p0}(t_1)-\vec V(t_1)(t_2-t_1))-M_p(t_0)(\vec X_u(t_1)-\vec X_{p0}(t_0)-\vec V(t_0)(t_1-t_0))\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 0={{dM_p}\over{dt}}(t)(\vec X_u(t+dt)-\vec X_{p0}(t)-\vec V(t)dt)+M(t)(\vec V(t+dt)-\vec V(t)-\vec A(t)dt)\;</MATH>|1.18c}} Na podstawie {{LinkWzór|1.18c}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH>0={{dM_p}\over{dt}}(t)(d\vec X_u(t)-\vec V(t)dt)+M(t)(d\vec V(t)-\vec A(t)dt)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 0={1 \choose 1}{{dM_p}\over{dt}}(t)(d\vec X_u(t)-\vec V(t)dt)+{1 \choose 0}M(t)(d\vec V(t)-\vec A(t)dt)\;</MATH>|1.18c1}} Wzór {{LinkWzór|1.18c1}} jest prawdziwy na podstawie definicji ruchu z kinematyki. Zero z lewej w {{LinkWzór|1.18c1}} jest pochodną położenia ciała odniesienia i ciał poruszających się z takimi n-tymi pochodnymi położenia jak ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia względem czasu w starym układzie odniesienia. Udowodniliśmy we wzorze {{LinkWzór|1.18c}}, że prędkość ciała odniesienia w nowym układzie współrzędnym jest równa zero. Policzmy dowolną pochodną położenia ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{i=0}^n{n \choose i}{{dM_p^{(i)}}\over{dt^i}}\left(d\vec X_u^{(n-i)}(t)-\vec X^{(n-i+1)}_u(t)dt\right)\;</MATH>|1.18d}} Zero z lewej strony w {{LinkWzór|1.18d}} to jest n-ta pochodna położenia ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia względem czasu w starym układzie odniesienia. Wzór {{LinkWzór|1.18d}} możemy udowodnić na podstawie indukcji zupełnej i go udowadnia się w drugim kroku jak wzór {{LinkWzór|1.18c1}}. Dla n=1 wzór {{LinkWzór|1.18d}} zgadza się ze wzorem {{LinkWzór|1.18c1}} (pierwsza linijka). Załóżmy, że wzór {{LinkWzór|1.18d}} jest spełniony dla przypadku n, wtedy różniczkując obie strony tego równania względem czasu tak jak się robi otrzymując wzór {{LinkWzór|1.18c1}} (pierwszy wiersz): {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{i=0}^n{n \choose i}{{d^{i+1}M_p}\over{dt^{i+1}}}\left(d\vec X_u^{(n-i)}(t)-\vec X^{(n-i+1)}_u(t)dt\right)+\sum_{i=0}^n{n \choose i}{{d^iM_p}\over{dt^i}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-i)}(t)-\vec X^{((n+1)-i+1)}_u(t)dt\right)</MATH>|aq}} W pierwszym równaniu w {{LinkWzór|aq}} weźmy podstawienie: {{Formuła|<MATH>i^'=i+1\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{i=1}^{n+1}{n \choose {i-1}}{{d^{i}M_p}\over{dt^{i}}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-(i+1))}(t)-\vec X^{((n+1)-(i))}_u(t)dt\right)+\sum_{i=0}^n{n \choose i}{{d^{i}M_p}\over{dt^i}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-i)}(t)-\vec X^{((n+1)-i+1)}_u(t)dt\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d^{n+1}M_p}\over{dt^{n+1}}}\left(d\vec X_u^{(0)}(t)-\vec X^{(1)}_u(t)dt\right)+ \sum_{i=1}^{n}{n \choose {i-1}}{{d^iM_p}\over{dt^{i}}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-i)}(t)-\vec X^{((n+1)-i+1)}_u(t)dt\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\sum_{i=1}^n{n \choose i}{{d^{i}M_p}\over{dt^i}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-i)}(t)-\vec X^{((n+1)-i+1)}_u(t)dt\right)+{{d^0M_p}\over{dt^0}}\left(d\vec X_u^{(n+1)}(t)-\vec X^{((n+1)+1)}_u(t)dt\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d^{n+1}M_p}\over{dt^{n+1}}}\left(d\vec X_u^{(0)}(t)-\vec X^{(1)}_u(t)dt\right)+\sum_{i=1}^{n}\left({n \choose {i-1}}+{n \choose {i}}\right){{d^iM_p}\over{dt^{i}}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-i)}(t)-\vec X^{((n+1)-i+1)}_u(t)dt\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{d^0M_p}\over{dt^0}}\left(d\vec X_u^{(n+1)}(t)-\vec X^{((n+1)+1)}_u(t)dt\right)={{d^{n+1}M_p}\over{dt^{n+1}}}\left(d\vec X_u^{(0)}(t)-\vec X^{(1)}_u(t)dt\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\sum_{i=1}^{n}{n+1 \choose i}{{d^iM_p}\over{dt^{i}}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-i)}(t)-\vec X^{((n+1)-i+1)}_u(t)dt\right)+{{d^0M_p}\over{dt^0}}\left(d\vec X_u^{(n+1)}(t)-\vec X^{((n+1)+1)}_u(t)dt\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}{{d^iM_p}\over{dt^i}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-i)}(t)-\vec X^{((n+1)-i+1)}_u(t)dt\right)\Rightarrow 0=\sum_{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}{{d^iM_p}\over{dt^i}}\left(d\vec X_u^{((n+1)-i)}(t)-\vec X^{((n+1)-i+1)}_u(t)dt\right)</MATH>|aq2}} Na podstawie {{LinkWzór|1.18c1}} (z definicji istnienia układów poruszających się ze stałą prędkością nawet w infinitezymalnym przedziale, nie tylko w skończonym (wtedy układy inercjalne) lub istnienia ciał poruszających się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia), jeśli z {{LinkWzór|1.18d}} (tożsamość dla {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} większe od zera) wynika {{LinkWzór|aq2}} (tożsamość dla {{Formuła|<MATH>n+1\;</MATH>}}) to udowodniliśmy na podstawie zasady indukcji tożsamość {{LinkWzór|1.18d}} (dla dowolnych {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} większych od zera). Na podstawie definicji ruchu z kinematyki wzór {{LinkWzór|1.18d}} jest zawsze prawdziwy, zatem ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia ma prędkość, przyśpieszenia i n-tą pochodną (n dowolne większe od zera) równe zero, czyli to ciało odniesienia lub ciało poruszające się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak ciało odniesienia, w tym układzie odniesienia, wcale się nie porusza, a względem starego układu odniesienia porusza się dowolnie. == Układy słabozakrzywione == Weźmy udowodnioną równość {{LinkWzór|1.18d}} i pomnóżmy go obustronnie przez macierz transformacji, która transformuje z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, tzn. {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, co wstawmy do tego równania jedynkę w postaci {{Formuła|<MATH>I=\overline{\Lambda}_p^{-1}\overline{\Lambda}_p\;</MATH>}}, przy okazji będziemy wykorzystywali przybliżone równości dla układów słabozakrzywionych, tzn. {{LinkWzór|P3c|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} (mechanika Einsteina) i {{LinkWzór|P3ca|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} (mechanika Newtona), co: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{i=0}^n{n \choose i}{{dM_p^{(i)}}\over{dt^i}}\left(d\vec X_u^{(n-i)}(t)-\vec X^{(n-i+1)}_u(t)dt\right)\Rightarrow 0=\sum_{i=0}^n{n \choose i}\overline\Lambda_p^{'}{{dM_p^{(i)}}\over{dt^i}}\overline\Lambda_p^{-1}\overline\Lambda_p\left(d\vec X_u^{(n-i)}(t)-\vec X^{(n-i+1)}_u(t)dt\right)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow 0=\sum_{i=0}^n{n \choose i}{{d\left(\overline\Lambda_p^{'}M_p\overline\Lambda_p^{-1}\right)^{(i)}}\over{d\overline t^i}}\left(d\left(\overline\Lambda_p\vec X_u\right)^{(n-i)}(\overline t)-\left(\Lambda_p\vec X_u\right)^{(n-i+1)}(\overline t)d\overline t\right)\;</MATH>|K1}} W {{LinkWzór|K1}} wykorzystujemy {{Formuła|<MATH>\overline{M}_p=\overline\Lambda_p^{'}M_p\overline\Lambda_p^{-1}\;</MATH>}} wynikający z transformacji macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, tzn. z {{LinkWzór|X5|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} (szczególna teoria względności) i {{LinkWzór|X4a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} (mechanika Newtona, wtedy zachodzi {{Formuła|<math>M_p=C_p\;</MATH>}}), mamy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{i=0}^n{n \choose i}{{d\overline M_p^{(i)}}\over{d\overline t^i}}\left(d\vec \overline X_u^{(n-i)}(\overline t)-\vec \overline X^{(n-i+1)}_u(\overline t)d\overline t\right)\;</MATH>|K2}} Na podstawie definicji ruchu z kinematyki wzór {{LinkWzór|K2}} jest zawsze prawdziwy, zatem ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia słabozakrzywionym ma prędkość, przyśpieszenia i n-tą pochodną (n dowolne większe od zera) równe zero, czyli to ciało odniesienia lub ciało poruszające się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak ciało odniesienia, w tym układzie odniesienia, wcale się nie porusza, a względem starego układu odniesienia też słabozakrzywionego porusza się dowolnie. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 47qvm36lxjfeu9ndmuex9gvylzepatn 0 46729 558691 548254 2026-10-05T03:25:13Z Persino 2851 558691 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Tutaj będziemy się zajmowali przejściem, ze szczególnego przypadku macierzy transformacji do postaci ogólnej w teorii transformacji Galileusza (mechanika Newtona) i Lorentza (szczególna teoria względności). Tym szczególnym przypadkiem macierzy transformacji Galileusza i Lorenzta jest macierz transformacji dla układów o osiach równoległych względem siebie starego i nowego układu odniesienia prostokątnego z prędkością nowego układu odniesienia równoległą do osi OX starego układu odniesienia. == Teoria transformacji Lorentza == Napiszmy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, którą nazwiemy {{Formuła|<MATH>M_s\;</MATH>}}, która przedstawia transformacje z układu odniesienia starego do nowego układu współrzędnych, wiedząc, że nowy układ odniesienia porusza się równoległe wzdłuż osi OX względem starego układu odniesienia, nowy układ odniesienia jest równoległy do starego układu, ale oba układy są prostokątne, wtedy mamy prędkość {{Formuła|<MATH>\vec V_s=[V_s,0,...,0_n]^T\;</MATH>}}, a macierz transformacji piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M_s=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V_s^T}\over{c}}I\\-I\gamma{{\vec V_s}\over{c}}&I(P_{s||}\gamma+P_{s\perp})\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\beta\gamma&0\\-\beta\gamma&\gamma&0\\0&0&I\end{bmatrix}\;</MATH>|1.63h}} Napiszmy macierz transformacji z układu prostokątnego do innego układu odniesienia wiedząc, że oba układy odniesienia ogólnie nie są do siebie równoległe, także wiemy że {{Formuła|<MATH>X=[ct,\vec r]^T\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>X_s=[ct_s,\vec r_s]^T\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>X=M_0X_s=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}X_s\;</MATH>|1.63i}} Postać macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>M_0\;</MATH>}} jest oczywista bo oba układy się nie poruszają się, wtedy {{Formuła|<MATH>t_s=t\;</MATH>}}, a transformacja położeń {{Formuła|<MATH>\vec r_s\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>\vec r\;</MATH>}} jest taka sama jak w teorii transformacji Galileusza. Zatem macierz transformacji z układu starego do nowego przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>M=M_0M_sM_0^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V_s^T}\over{c}}I\\-{{\vec V_s}\over{c}}\gamma&P_{s||}\gamma+P_{s\perp}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V_s^T}\over{c}}I\\-{{\vec V_s}\over{c}}\gamma&P_{s||}\gamma+P_{s\perp}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p^{-1}\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V_s^T}\over{c}}\\-C_p{{\vec V_s}\over{c}}\gamma&C_p\left(P_{s||}\gamma+P_{s\perp}\right)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p^{-1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}C_{p}^{-T}C_{p}^{-1}\\-{{\vec V}\over{c}}\gamma&C_p(P_{s||}\gamma+P_{s\perp})C_{p}^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over {c}}A\\-{{\vec V}\over{c}}\gamma&P_{||}\gamma+P_{\perp}\end{bmatrix}</MATH>|1.63j}} Otrzymaliśmy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, gdy oba układy są równoległe względem siebie, a nowy układ odniesienia nie równolegle się porusza względem osi OX starego układu odniesienia. Policzmy wyznacznik macierzy trasformacji {{LinkWzór|1.63j}}, wtedy na podstawie własności na wyznacznikach: {{CentrujWzór|<MATH>\det M=\det(M_0M_sM_0^{-1})=\det M_0\det M_s(\det M_0)^{-1}=\det M_s=\gamma^2-\beta^2\gamma^2=1\Rightarrow\det M=1\;</MATH>|1.63k}} Napiszmy macierz transformacji, gdy nowy układ odniesienia nie tylko równoległe się nie porusza wzdłuż osi OX starego układu odniesienia, ale oba układy nie są takie same, wtedy możemy napisać ogólną transformację z układu starego do nowego (wiedząc, że {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} w {{LinkWzór|1.63l}} jest inne niż powyżej, tzn. w {{LinkWzór|1.63j}}): {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over {c}}A\\-{{\vec V}\over{c}}\gamma&P_{||}\gamma+P_{\perp}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\-C_{p}\gamma{{\vec V}\over{c}}&C_p(P_{||}\gamma+P_{\perp})\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}\;</MATH>|1.63l}} Wzór na macierz transformacji na {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63l}} jest taki sam jak wzór na taką samą macierz {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}. Zatem postać szczególna macierzy transformacji {{LinkWzór|1.63h}} jest szczególnym przypadkiem macierzy transformacji {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} i szczególny przypadek tej macierzy jest zgodny z jej ogólną postacią na podstawie wcześniejszych obliczeń. Policzmy macierz transcformacji macierzy {{LinkWzór|1.63l}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\det M=\det\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}\cdot 1=\det C_p\Rightarrow \det M=\det C_p\neq 0\;</MATH>|1.63m}} Ale ponieważ wyznacznik macierzy {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} jest równy wyznacznikowi macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, a wyznacznik ten wcale nie jest równy zero, zatem wyznacznik macierzy {{Formuła|<MATH>M_p\;</MATH>}}, a zarazem {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}}, nie są macierzami osobliwymi. == Teoria transformacji Galileusza == Napiszmy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M\;\;</MATH>}}, którą nazwiemy {{Formuła|<MATH>M_s\;,</MATH>}} która przedstawia transformacje z układu odniesienia starego do nowego układu współrzędnych, wiedząc, że nowy układ odniesienia porusza się równoległe wzdłuż osi OX względem starego układu odniesienia, nowy układ odniesienia jest równoległy do starego układu, ale oba układy są prostokątne, wtedy mamy prędkość {{Formuła|<MATH>\vec V_s=[V_s,0,...,0_n]^T\;\;</MATH>}}, a macierz transformacji piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M_s=\begin{bmatrix}1&0\\-{{\vec V_s}\over{c}}&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-{{ V_s}\over{c}}&1&0\\0&0&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-\beta&1&0\\0&0&I\end{bmatrix}\;</MATH>|1.63n}} Macierz transformacji z układu prostokątnego do innego układu odniesienia wiedząc, że oba układy odniesienia ogólnie nie są do siebie równoległe, także wiemy że {{Formuła|<MATH>X=[ct,\vec r]^T\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>X_s=[ct_s,\vec r_s]^T\;</MATH>}}, zatem postać transformacyjna z wektora {{Formuła|<MATH>X_s\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>X\;</MATH>}} przedstawiamy wzorem {{LinkWzór|1.63i}}. Macierz transformacji z jednego układu do drugiego przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>M=M_0M_sM_0^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-{{\vec V_s}\over{c}}&I\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}}^{-1}= \begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-{{\vec V_s}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p^{-1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec V_s}\over{c}}&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p^{-1}\end{bmatrix}=\;</math>{{Br}}<math>=\begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec V_s}\over{c}}&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-{{\vec V}\over{c}}&I\end{bmatrix}\;</MATH>|1.63o}} Wyznacznik macierzy transformacji w teorii transformacji Galileusza jest taki sam jak w teorii transformacji Lorenzta i dowód przebiega podobnie jak {{LinkWzór|1.63k}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>\det M=\det M_0M_sM_0^{-1}=\det M_0\det M_s\det M_0^{-1}=\det M_s=1\;</MATH>|1.63p}} Rozszerzmy wzór na macierz transformacji transformującą jeden dowolny układ odniesienia na drugi dowolny wiedząc, że {{Formuła|<MATH>C_p\;</MATH>}} na górze (tzn.: {{LinkWzór|1.63p}}) jest inne niż na dole (tzn.: {{LinkWzór|1.63r}}), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-{{\vec V}\over{c}}&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-C_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\end{bmatrix}\;</MATH>|1.63r}} Stąd macierz transformacji {{LinkWzór|1.63r}} jest taka sama jak w punkcie {{LinkWzór|1.63d|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} i ta macierz jest przybliżeniem dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła macierzy {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}. Wyznacznik macierzy {{LinkWzór|1.63d|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} liczmy podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|1.63m}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\det M=\det C_p\neq 0\;</MATH>|1.63s}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> m1zfem777tdrc5ltfjszhyvbwv9mfqf 0 46730 558692 548270 2026-10-05T03:26:51Z Persino 2851 558692 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Poniżej przedstawiamy wzory ogólne na transformacie prędkości, czasu, zmiany położenia, przy wielkościach wektorowych prostopadłych i równoległych do prędkości nowego układu odniesienia {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. == Transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich == Podamy tutaj transformacje dla układów globalnie (lokalnie) płaskich transformujące wielkości pomiędzy układami globalnie (lokalnie) płaskimi. === Wzór na transformację prędkości === Transformacja prędkości ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem prędkości jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} \left \{ \vec{V}{{(\vec{V},\vec{v})}\over{V^2}}-\vec{V}+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{v}-\vec{V}{{(\vec{v},\vec{V})}\over{V^2}}}\right ] \right \}={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}}\left[\vec v_{||}-\vec V+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec v_{\perp}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_p\left\{{{\vec{v}_{||}-\vec{V}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} +{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec{v}_{\perp}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} \right\} \;</MATH>|1.64}} Wzór {{LinkWzór|1.64}} jest spełniony tylko dla układu starego i nowego, które są układami ogólnie nieprostokątnymi. === Wzór na transformację różniczki położenia === Transformacje nieskończenie małej zmiany położenia ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem różniczki zmiany położenia i czasu w starym układzie odniesienia wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{r'}=C_p\left \{{{\vec{V}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{V^2}}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}-\vec{V}{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{V^2}}\right \}= C_p\left\{ {{d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp} \right\}\;</MATH>|1.65a}} Równanie {{LinkWzór|1.65a}} jest spełnione dla starego i nowego układu współrzędnych, które są układami ogólnie nieprostokątnymi. === Wzór na transformację położenia w przestrzeni zwykłej === Gdy założymy, że dla {{Formuła|<MATH>t^'=t=0\;</math>}} mamy {{Formuła|<MATH>\vec r^'=\vec r=0\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|1.65a}} przedstawia się w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r'}=C_p\left \{{{\vec{V}{{(\vec{V},\vec{r})}\over{V^2}}-\vec{V}t}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+\vec{r}-\vec{V}{{(\vec{V},\vec{r})}\over{V^2}}\right \}= C_p\left\{ {{\vec{r}_{||}-\vec{V}t}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+\vec{r}_{\perp} \right\}\;</MATH>|1.65b}} === Wzór na transformację różniczki czasu === Transformacja nieskończenie małego upływu czasu ze starego układu współrzędnych do nowego względem zmiany infinitezymalnego czasu i infinitezymalnej zmiany położenia ciała wyrażamy w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>dt'={{dt-{{(\vec{V},d\vec{r})}\over{c^2}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}}\;</MATH>|1.66a}} Równanie {{LinkWzór|1.66a}} jest spełnione dla ogólnie nieprostokątnego układu współrzędnych starego i nowego. === Wzór na transformację czasu === Podobnie jak dla {{LinkWzór|1.65b}} tak samo zakładamy, więc: {{CentrujWzór|<MATH>t'={{t-{{(\vec{V},\vec{r})}\over{c^2}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}}\;</MATH>|1.66b}} === Wzór na transformację kwadratu prędkości === Policzmy kwadrat wyrażenia {{Formuła|<MATH>{v'}^2=\left(\vec v^',\vec v^'\right)={\vec {v}^'}^TA^'{\vec {v}^'}\;</MATH>}} mając wzór na transformacje macierzy iloczynu skalarnego przestrzennego {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} i wzór na transformację prędkości {{LinkWzór|1.64}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{v^'}^2=\vec {v^'}^TA^'\vec {v^'}=\left\{{{\vec{v}_{||}-\vec{V}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} +{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec{v}_{\perp}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} \right\}^T\underbrace{C_p^TA^'C_p}_{A}\left\{{{\vec{v}_{||}-\vec{V}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} +{{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec{v}_{\perp}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{V})}\over{c^2}}}} \right\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{v_{||}^2+V^2+\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)v_{\perp}^2-2(\vec V,\vec v)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}} ={{v^2+V^2-2(\vec V,\vec v)-{{V^2}\over{c^2}}v_{\perp}^2}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}={{v^2+V^2-2(\vec V,\vec v)-{{V^2}\over{c^2}}\left(v^2-v^2_{||}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{v^2+V^2-2(\vec V,\vec v)-{{V^2}\over{c^2}}\left(v^2-{{{(\vec V,\vec \vec v)}^2}\over{V^2}}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}=c^2\left[{{{{v^2}\over{c^2}}+{{V^2}\over{c^2}}-2{{(\vec V,\vec v)}\over{c^2}}-{{V^2}\over{c^4}}v^2+{{\left(\vec V,\vec v\right)^2}\over{c^4}}}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= c^2\left[{{{{v^2}\over{c^2}}+{{V^2}\over{c^2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)-2{{(\vec V,\vec v)}\over{c^2}}+{{\left(\vec V,\vec v\right)^2}\over{c^4}}}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]= c^2\left[{{{{v^2}\over{c^2}}+{{V^2}\over{c^2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)-1+1-2{{(\vec V,\vec v)}\over{c^2}}+{{\left(\vec V,\vec v\right)^2}\over{c^4}}}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= c^2\left[{{{{v^2}\over{c^2}}+{{V^2}\over{c^2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)-1+\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)^2}\over{c^4}}\right)^2}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=c^2\left[1-{{1-{{v^2}\over{c^2}}-{{V^2}\over{c^2}}\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=c^2\left[1-{{\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]\Rightarrow {v^'}^2=c^2\left[1-{{\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}\right)^2}}\right]</MATH>|1.67}} Wzór {{LinkWzór|1.67}} przedstawia transformacje kwadratu prędkości {{Formuła|<MATH>\vec v\;</MATH>}} ze starego układu odniesienia do nowego, a transformacja odwrotna wygląda odwrotnie. Gdy {{Formuła|<MATH>v=c\;</MATH>}} otrzymujemy {{Formuła|<MATH>v^'=c\;</MATH>}} i odwrotnie. === Wzór na transformację przyśpieszenia === Obliczamy różniczkę obustronną równości {{LinkWzór|1.64}}, co na podstawie tego otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec v^'=C_p{{\left(\vec a_{||}+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}a_{\perp}\right)\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)-\left(v_{||}-\vec V+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec v_{\perp}\right)\left(-{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^2}}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =C_p{{\left(\vec a_{||}+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}a_{\perp}\right)\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)+\left(v_{||}-\vec V+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec v_{\perp}\right){{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^2}}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH> = C_p{{\vec a_{||}+\vec a_{\perp}\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}-\vec a_{||}{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}-\vec a_{\perp}\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}+\vec a_{||}{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}-\vec a_{||}{{V^2}\over{c^2}}+\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^2}}dt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= C_p{{\vec a_{||}{\left(\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right)}^2+\left[\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right]\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^2}}dt </MATH>|1.68}} Równość {{LinkWzór|1.68}} podzielmy obustronnie przez {{LinkWzór|1.66a}} przedstawiający transformację różniczki czasu, wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'=C_p{{\left\{\vec a_{||}{\left(\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right)}^2+\left[\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right]\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right\}\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^3}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= C_p{{\vec a_{||}{\left(\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}\right)}^3+\left[\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right]\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^3}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\vec a= C_p\left\{\vec a_{||}\left({{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}}}\right)^3+\left[\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{(\vec a,\vec V)}\over{c^2}}\right]{{1-{{V^2}\over{c^2}}}\over{\left(1-{{(\vec v,\vec V)}\over{c^2}}\right)^3}}\right\}</MATH>|1.69}} Stąd policzmy przyśpieszenie równoległe i prostopadłe do prędkości nowego układu odniesienia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'_{||}=C_p\vec a_{||}\left({{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{\left(\vec V,\vec v\right)}\over{c^2}}}}\right)^3\;</MATH>|1.70}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec a^'_{\perp}=C_p\left[\left(1-{{\left(\vec v,\vec V\right)}\over{c^2}}\right)\vec a_{\perp}+\vec v_{\perp}{{\left(\vec V,\vec a\right)}\over{c^2}}\right]{{1-{{V^2}\over{c^2}}}\over{\left(1-{{\left(\vec v,\vec V\right)}\over{c^2}}\right)^3}}</MATH>|1.71}} }} == Transformacje dla układów słabozakrzywionych == Transformacja {{LinkWzór|1.64}}, {{LinkWzór|1.65a}}, {{LinkWzór|1.65b}}, {{LinkWzór|1.67}} i {{LinkWzór|1.69}} (czyli też {{LinkWzór|1.70}} i {{LinkWzór|1.71}}) są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, do nich są podobne transformacje, tylko że z nadkreśleniami, dla układów słabozakrzywionych transformujące wielkości pomiędzy układami słabozakrzywionymi na podstawie {{LinkWzór|T2a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (transformacji macierzy {{Formuła|<MATH>C_p\;</math>}}, tzn. z układu globalnie (lokalnie) płaskiego, na {{Formuła|<math>\overline C_p\;</MATH>}}, tzn. do układu słabozakrzywionego), {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (transformacji czasu z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego), {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (transformacji wektora wodzącego z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego), {{LinkWzór|T1b|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (niezmienniczości iloczynu skalarnego przestrzenni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozaskrzywionego) i {{LinkWzór|T1c|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (niezmienniczości długości przestrzeni zwykłej z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego). == Równoważność macierzy '''S''' i '''M''' == Macierzowo transformacje n+1 wymiarowego tensora położenia w czasoprzestrzeni {{Formuła|<MATH>dx^{\mu}=[cdt,d\vec r]^T\;</MATH>}} w n+1-wymiarowy wektor {{Formuła|<MATH>d{x^'}^{\mu}=[cdt',d\vec r']^T\;</MATH>}} można napisać na podstawie wzorów: {{LinkWzór|1.65a}} i {{LinkWzór|1.66a}}, w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}cdt'\\d\vec r'\end{bmatrix}=S\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\-\gamma C_p{{\vec V}\over{c}}& C_p \left(\gamma{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A+I-{{\vec V\vec V^T}\over{V^2}}A\right) \end{bmatrix}}_{S}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\ -M_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\left(\gamma P_{||}+\underbrace{I-P_{||}}_{P_{\perp}}\right)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\ -M_p{{\vec V}\over{c}}&C_p\left(\gamma P_{||}+P_{\perp}\right) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\ -M_p{{\vec V}\over{c}}&\gamma C_{p||}+C_{p\perp} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma{{\vec V^T}\over{c}}A\\ -M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p \end{bmatrix}}_{M}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=M\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix} </MATH>|1.72}} Stąd macierz transformacji {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} jest równa macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>S=M\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> i1l2105k2sg90aivviebmhh8so5qnqx 0 46731 558693 548251 2026-10-05T03:31:04Z Persino 2851 558693 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Tutaj będziemy się zajmować przechodniością macierzy transformacji w teorii transformacji Lorenzta i Galileusza. == Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Lorentza == Będziemy tutaj badali przechodniość macierzy transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, jakie są relacje pomiędzy prędkościami w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych. Powiemy też o macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego. A także udowodnimy, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich prędkości cząstek, a więc ich tensory prędkości, są globalnie (lokalnie) stałe, i za przyśpieszenie ciał (cząstek materii) odpowiada zakrzywienie czasoprzestrzeni. === Układy globalnie (lokalnie) płaskie === Przechodniość transformacji piszemy pamiętając, że układy {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}} są układami inercjalnymi oraz {{Formuła|<MATH>M_1\;</MATH>}} jest to macierz transformacji z układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>M_2^'\;</MATH>}} jest to macierz transformacji z układu {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>M_2\;</MATH>}} jest to macierz transformacji z układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}}, policzmy iloczyn macierzy {{Formuła|<MATH> M_2^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>M_1\;</MATH>}} i dowiemy się, że on jest macierzą {{Formuła|<MATH>M_2\;</MATH>}} dla układów odniesienia równolegle się poruszających, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>M_2^'M_1=\begin{bmatrix}\gamma_2^'&-\gamma_2^'{{\vec V^{'T}_2}\over{c}}A_2^'\\-M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}&M_{p2}^'\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\gamma_1&-\gamma_1{{\vec V^T_1}\over{c}}A_1\\-M_{p1}{{\vec V_1}\over{c}}&M_{p1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \gamma_2^'\gamma_1+\gamma_2^'\gamma_1{{\vec V_2^{'T}}\over{c}}A_2^'C_{p1}{{\vec V_1}\over{c}}& -\gamma_2^'\gamma_1{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1-\gamma_2^'{{\vec V_2^{'T}}\over{c}}A_2^'M_{p1}\\ -\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}-M_{p2}^'M_{p1}{{\vec V_1}\over{c}}& \gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1+M_{p2}^'M_{p1}\end{bmatrix} \;</MATH>|1.73}} Teraz policzmy poszczególne wyrazy macierzy końcowej {{LinkWzór|1.73}} wykorzystując {{LinkWzór|1.64|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} i {{LinkWzór|1.67|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}}, a zatem policzmy wyraz 11 macierzy {{Formuła|<MATH>M_2\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma_2^'\gamma_1+\gamma_2^'\gamma_1{{\vec V_2^{'T}}\over{c}}A_2^'C_{p1}{{\vec V_1}\over{c}}=\gamma_2^'\gamma_1\left(1+{{\vec V_2^{'T}}\over{c}}A_2^'C_{p1}{{\vec V_1}\over{c}}\right)= {{1-{{\left(\vec V_1,\vec V_2\right)}\over{c^2}}}\over{\sqrt{\left(1-{{V_1^2}\over{c^2}}\right)\left(1-{{V_2^2}\over{c^2}}\right)}}}\gamma_1\left[1+{{1}\over{c^2}}{{\vec V_2-\vec V_1}\over{1-{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{c^2}}}}A\vec V_1\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \left(1-{{\left(\vec V_1,\vec V_2\right)}\over{c^2}}\right)\gamma_2\gamma_1^2{{c^2-\left(\vec V_2,\vec V_1\right)+(\vec V_2,\vec V_1)-V_1^2}\over{c^2\left(1-{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{c^2}}\right)}}=\gamma_2\gamma_1^2\left(1-{{V_1^2}\over{c^2}}\right)=\gamma_2\gamma_1^2\gamma_1^{-2}=\gamma_2\;</MATH>|1.73a}} A teraz policzmy wyraz 12 macierzy {{Formuła|<MATH>M_2\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>-\gamma_2^'\gamma_1{{\vec V^T_1}\over{c}}A_1-\gamma_2^'{{\vec V_2^'}\over{c}}A_2^'M_{p1}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\left(1-{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{c^2}}\right)\gamma_2\gamma_1^2{{\vec V^T_1}\over{c}}A_1-\left(1-{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{c^2}}\right)\gamma_2\gamma_1{{1}\over{c}}{{\vec V_{2||}-\vec V_1+\gamma^{-1}_1\vec V_{2\perp}}\over{1-{{(\vec V_2,\vec V_1)}\over{c^2}}}}A_1\left(\gamma_1P_{1||}+P_{1\perp}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -\left(1-{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{c^2}}\right)\gamma_2\gamma_1^2{{\vec V^T_1}\over{c}}A_1-\gamma_2\gamma_1^2{{1}\over{c}}\left(\vec V_1{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{V^2_1}}-\vec V_1\right)^TA_1-\gamma_2{{1}\over{c}}\left(\vec V_2-\vec V_1{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{V^2_1}}\right)^TA_1=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -\left(1-{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{c^2}}\right)\gamma_2\gamma_1^2{{\vec V^T_1}\over{c}}A_1+\gamma_2\gamma_1^2\left(1-{{\left(\vec V_1,\vec V_2\right)}\over{V_1^2}}\right){{\vec V_1^T}\over{c}}A_1-\gamma_2{{\vec V_2^T}\over{c}}A_1+\gamma_2{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1{{\left(\vec V_2,V_1\right)}\over{V_1^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\gamma_2\gamma_1^2{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1\left({{\left(\vec V_1,\vec V_2\right)}\over{c^2}}-{{\left(\vec V_1,\vec V_2\right)}\over{V_1^2}}\right)-\gamma_2{{\vec V_2^T}\over{c}}A_1+\gamma_2{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{V_1^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\gamma_2\gamma_1^2{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{V_1^2}}\left(1-{{V_1^2}\over{c^2}}\right)-\gamma_2{{\vec V_2^T}\over{c}}A_1+\gamma_2{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1{{\left(\vec V_2,\vec V_1\right)}\over{V_1^2}}=-\gamma_2{{\vec V_2^T}\over{c}}A_1</MATH>|1.73b}} A teraz policzmy wyraz 21 macierzy {{Formuła|<MATH>M_2\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>-\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}-M_{p2}^'M_{p1}{{\vec V_1}\over{c}}= -{{\gamma_1}\over{c}}M_{p2}^'\left(\vec V_2^'+C_{p1}\vec V_1\right)=-{{\gamma_1}\over{c}}M_{p2}^'\left(\vec V_2^'-\vec V_1^'\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -{{\gamma_1}\over{c}}C_{p2}^'\left(\gamma_2^'\vec V_2^'-\gamma_2^'\vec V_{1||}^'-\vec V_{1\perp}^'\right)=-{{\gamma_1\gamma_2^'}\over{c}}C_{p2}^'\left(\vec V_2^'-\vec V_{1||}^'-\gamma_2^{'-1}\vec V^'_{1\perp}\right)={{\gamma_1\gamma_2^'}\over{c}}C_{p2}^'\left(-\vec V_2^'+\vec V_{1||}^'+\gamma_2^{'-1}\vec V^'_{1\perp}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{\gamma_1\gamma_2^'}\over{c}}\left(1-{{(\vec V_1^',\vec V_2^')}\over{c^2}}\right)C_{p2}\vec V_2=-\left(1-{{(\vec V_1,\vec V_1)}\over{c^2}}\right)\left(1-{{(\vec V_1^',\vec V_2^')}\over{c^2}}\right)\gamma_1^2M_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -\gamma^{2}_1\left(1-{{(\vec V_1,\vec V_1)}\over{c^2}}\right)\left(1+{{\left(C_{p1}\vec V_1,{{C_{p1}}\over{1-{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{c^2}}}}\left(\vec V_{2||}-\vec V_1+\vec V_{2\perp}\gamma_1^{-1}\right)\right)}\over{c^2}}\right)M_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\gamma_1^2\left(1-{{(\vec V_1,\vec V_1)}\over{c^2}}\right){{c^2-(\vec V_1,\vec V_2)+(\vec V_1,\vec V_2)-V^2_1}\over{c^2\left(1-{{(\vec V_1,\vec V_1)}\over{c^2}}\right)}}M_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}=-\gamma_1^2\left(1-{{V_1^2}\over{c^2}}\right)M_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}=-M_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}\;</MATH>|1.73c}} A teraz policzmy wyraz 22 macierzy {{Formuła|<MATH>M_2\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1+M_{p2}^'M_{p1}\right){{\vec V_1}\over{c}}= \gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}{{\vec V_1^2}\over{c^2}}-\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}+M_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}= -\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}\left(1-{{V_1^2}\over{c^2}}\right)+M_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -\gamma_1^{-1}M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}+M_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}= -\gamma_2\left(1-{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{c^2}}\right)C_{p2}^'C_{p1}{{\vec V_{2||}-\vec V_1+\gamma_{1}^{-1}\vec V_{2\perp}}\over{c\left(1-{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{c^2}}\right)}}+\gamma_2C_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\gamma_2C_{p2}{{\vec V_{2}-\vec V_1+(\gamma_1^{-1}-1){\vec V_{2\perp}}}\over{c}}+\gamma_2C_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}=\gamma_2C_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}-\gamma_2(\gamma_1^{-1}-1)C_{p2}{{\vec V_{2\perp}}\over{c}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \gamma_2C_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}-\gamma_2\gamma_1^{-1}(1-\gamma_1)C_{p2}\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}{{\vec V_1}\over{c}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= M_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}+\gamma_2C_{p2}(1-P_{2||}){{\vec V_1}\over{c}}-C_{p2}(1-P_{2||}){{\vec V_1}\over{c}}-\gamma_2\gamma_1^{-1}(1-\gamma_1)C_{p2}\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}{{\vec V_1}\over{c}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= M_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}+\gamma_2C_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}-\gamma_2C_{p2}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}{{\vec V_2}\over{c}}-C_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}+C_{p2}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}{{\vec V_2}\over{c}}-\gamma_2\gamma_1^{-1}(1-\gamma_1)C_{p2}\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}{{\vec V_1}\over{c}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=M_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}+C_{p2}\left[(\gamma_2-1)\left({{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_2}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}\right)+\gamma_2\gamma_1^{-1}(\gamma_1-1)\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}\right)\right]\;</MATH>|1.73d}} Załóżmy, że {{Formuła|<MATH>\vec V_1\perp \vec V_2\;</MATH>}}, wtedy wyraz w nawiasie w {{LinkWzór|1.73d}} pomóżmy przez {{Formuła|<MATH>\Bigg({{\vec V_2}\over{c}}\Bigg|\;</MATH>}}, co dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Bigg({{\vec V_2}\over{c}}\Bigg|(\gamma_2-1)\left({{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_2}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}\right)+\gamma_2\gamma_1^{-1}(\gamma_1-1)\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}\right)\Bigg)=\gamma_2\gamma_1^{-1}(\gamma_1-1){{V_2^2}\over{c^2}}\;</MATH>|1.73e}} Dostajemy na podstawie {{LinkWzór|1.73e}}, który w ogólności nie jest równy zero, to wyraz pod nawiasem w {{LinkWzór|1.73d}} nie jest równy w ogólności zero. Załóżmy następnie, że {{Formuła|<MATH>\vec V_2||\vec V_1\;</MATH>}}, wtedy {{Formuła|<MATH>\vec V_2=\lambda\vec V_1\;</MATH>}}, co wyraz w nawiasie w {{LinkWzór|1.73d}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\gamma_2-1)\left({{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_2}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}\right)+\gamma_2\gamma_1^{-1}(\gamma_1-1)\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}\right)=(\gamma_2-1)\left({{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{V_1^2}\over{V_1^2}}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\gamma_2\gamma_1^{-1}(\gamma_1-1)\lambda\left({{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{V_1^2}\over{V_1^2}}\right)=0\;</MATH>|1.73f}} co stąd dla tego przypadku wyraz w nawiasie {{LinkWzór|1.73d}} jest równy zero. A teraz obierzmy w pierwszym wyrażeniu i drugim następująco: {{Formuła|<MATH>\vec V_1=\alpha_1 \vec V_{2}+\beta_1 \vec Z_{2\perp}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec V_2=\alpha_2 \vec V_{1}+\beta_2 \vec Z_{1\perp}\;</MATH>}}, a także mając założenia {{Formuła|<math>\vec V_1\perp \vec Z_{1\perp}\;</MATH>}} i {{Formuła|<math>\vec V_2\perp \vec Z_{2\perp}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_2}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}={{\alpha_1 \vec V_{2}+\beta_1 \vec Z_{2\perp}}\over{c}}-\alpha_1{{\vec V_2}\over{c}}{{V_2^2}\over{V_2}}=\beta_1{{Z_{2\perp}}\over{c}}\;</MATH>|1.73g}} A teraz poliżmy drugi wyraz: {{CentrujWzór|<MATH>{{\vec V_2}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}={{\alpha_2 \vec V_{1}+\beta_2 \vec Z_{1\perp}}\over{c}}-{{\vec V_{1}}\over{c}}\alpha_2{{V_1^2}\over{V_1^2}}=\beta_2{{Z_{1\perp}}\over{c}}\;</MATH>|1.73h}} Policzone wyrazy {{LinkWzór|1.73g}} i {{LinkWzór|1.73h}} podstawiamy do wyrazu w nawiasie w {{LinkWzór|1.73d}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>(\gamma_2-1)\left({{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_2}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}\right)+\gamma_2\gamma_1^{-1}(\gamma_1-1)\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(\gamma_2-1)\beta_1 {{Z_{2\perp}}\over{c}}+\gamma_2\gamma_1^{-1}(\gamma_1-1)\beta_2{{Z_{1\perp}}\over{c}}=\beta_1 \left[(\gamma_2-1){{Z_{2\perp}}\over{c}}\right]+\beta_2\left[\gamma_2\gamma_1^{-1}(\gamma_1-1){{Z_{1\perp}}\over{c}}\right]\;</MATH>|1.73i}} Gdy {{Formuła|<MATH>\beta_1\neq 0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\beta_2\neq 0\;</MATH>}}, a także wyrażenie {{LinkWzór|1.73i}} by było równe zero, to musi zachodzić {{Formuła|<MATH>Z_{1\perp}||Z_{2\perp}\;</MATH>}}, ale z definicji {{Formuła|<MATH>\vec V_1\;</MATH>}}, że {{Formuła|<MATH>\vec V_2\perp Z_{2\perp}\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\vec V_2\;</MATH>}}, że {{Formuła|<MATH>\vec V_1\perp Z_{1\perp}\;</MATH>}}, a także {{Formuła|<MATH>Z_{1\perp}\neq 0</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z_{2\perp}\neq 0</MATH>}}, stąd {{Formuła|<MATH>Z_{1\perp}\;</MATH>}} nie może być równoległe do {{Formuła|<MATH>Z_{2\perp}\;</MATH>}}, a więc nasze założenia co do {{Formuła|<MATH>\beta_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\beta_2\;</MATH>}} są błędne. Stąd jedynym rozwiązaniem, aby drugi wyraz {{LinkWzór|1.73d}} w nawiasie był równy zero, to musi zachodzić {{Formuła|<MATH>\beta_1=\beta_2=0\;</MATH>}} w {{LinkWzór|1.73h}} gdy dowolne są {{Formuła|<MATH>Z_{1\perp}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z_{2\perp}\;</MATH>}}, ale spełniające nasze założenia, a więc mamy {{Formuła|<MATH>\vec V_1||\vec V_2\;</math>}}. Zatem {{Formuła|<MATH>\vec V_1||\vec V_2\;</MATH>}} jest jedynym rozwiązaniem aby nawias był równy zero w {{LinkWzór|1.73d}} i była spełniona przechodność macierzy transformacji, co stąd na podstawie tego wynika, że układy inercjalne są równolegle się poruszające w tym przypadku. Co stąd na podstawie klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających między sobą na podstawie wniosków z {{LinkWzór|1.73g}}, {{LinkWzór|1.73h}}, {{LinkWzór|1.73i}} i obliczeń {{LinkWzór|1.73d}} i {{LinkWzór|1.73f}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1+M_{p2}^'M_{p1}\right){{\vec V_1}\over{c}}=M_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}\;</MATH>|1.73j}} Policzmy wyrażenie dla klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających między sobą zakładając, że <MATH>\vec Y\;</MATH> jest dowolne, ale jest spełnione założenie {{Formuła|<MATH>\vec Y\perp\vec V_1\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1+M_{p2}^'M_{p1}\right){{\vec Y}\over{c}}=M_{p2}^'M_{p1}{{\vec Y}\over{c}}= C_{p2}^'(\gamma_2^'P_{2||}^'+P_{2\perp}^')C_{p1}(\gamma_1P_{1||}+P_{1\perp}){{\vec Y}\over{c}}=C_{p2}^'C_{p1}(\gamma_2^'P_{1||}+P_{1\perp}){{\vec Y}\over{c}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=C_{p2}{{Y}\over{c}}= C_{p2}\left(\gamma_2P_{2||}+P_{2\perp}\right){{Y}\over{c}}=M_{p2}{{\vec Y}\over{c}}\Rightarrow\left(\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1+M_{p2}^'M_{p1}\right){{\vec Y}\over{c}}=M_{p2}{{\vec Y}\over{c}}</MATH>|1.73k}} Załóżmy, że zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec X=\alpha\vec V_1+\beta \vec Y\;</MATH>}} (gdzie {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}} to są skalary dowolne), wtedy łącząc wzory {{LinkWzór|1.73j}} i {{LinkWzór|1.73k}} wykorzystując nasze założenie na {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}}, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1+M_{p2}^'M_{p1}\right){{\vec X}\over{c}}=M_{p2}{{\vec X}\over{c}}\;</MATH>|1.73l}} co stąd wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec X\;</MATH>}} jest dowolne, wtedy mamy toższamość udowodnioną dla naszych układów odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma_1M_{p2}^'{{\vec V_2^'}\over{c}}{{\vec V_1^T}\over{c}}A_1+M_{p2}^'M_{p1}=M_{p2}\;</MATH>|1.73m}} Zbierając wyniki z {{LinkWzór|1.73a}}, {{LinkWzór|1.73b}}, {{LinkWzór|1.73c}} i {{LinkWzór|1.73m}} mamy udowodnioną tożsamość dla naszej klasy układów odniesienia wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}: {{CentrujWzór|<MATH>M_{2}=M_{2}^'M_{1}\;</MATH>|1.73n}} Czyli macierz {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} jest macierzą transformacji. Jest ona przechodnia dla klasy układów inercjalnych równolegle się poruszających, co jest jedynym rozwiązaniem przechodności macierzy transformacji. Z twierdzenia {{LinkWzór|1.73n}} wynika izotropowość przestrzeni. Co kończy dowód naszego twierdzenia. === Układy słabozakrzywione === Napiszmy dla układów słabozakrzywionych przechodniość macierzy transformacji z nadkreśleniami dla macierzy {{Formuła|<MATH>\overline M\;</MATH>}} {{LinkWzór|X5|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} (gdzie ogólnie: {{Formuła|<MATH>\vec \overline V_1\nparallel\vec \overline V_2\;</MATH>}}) będący odpowiednikiem przechodniości macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich {{LinkWzór|1.73n}} (gdzie: {{Formuła|<MATH>\vec V_1||\vec V_2\;</MATH>}} dla macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}) korzystając z transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego {{LinkWzór|X3|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} sformułowaną i wyprowadzoną wychodząc od wzoru {{LinkWzór|1.73n}} w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>M_{2}=M_{2}^'M_{1}\Rightarrow \overline\Lambda^{''}M_2\overline\Lambda^{-1}=\overline\Lambda^{''}M_2^'{\overline\Lambda^'}^{-1}{\overline\Lambda^'}M_1\overline\Lambda^{-1}\Rightarrow \overline M_{2}=\overline M_{2}^'\overline M_{1}\;</MATH>|1.73b1}} Przechodniość macierzy transformacji {{LinkWzór|1.73b1}} dla układów słabozakrzywionych jest spełniona ogólnie, ponieważ wyraz podobny do wyrazu drugiego w {{LinkWzór|1.73d}}, tylko że z nadkreśleniami, wynikający z przechodniości dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, który podamy w tych układach jest nietożsamościowo równy zero, tzn. z niezmienniczości iloczynu skalarnego i transformacji wektora przestrzennego, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline C_{p2}\left[(\overline\gamma_2-1)\left({{\vec \overline V_1}\over{\overline c}}-{{\vec \overline V_2}\over{\overline c}}{{(\vec \overline V_1,\vec \overline V_2)}\over{\overline V_2^2}}\right)+\overline\gamma_2\overline\gamma_1^{-1}(\overline\gamma_1-1)\left({{\vec \overline V_2}\over{\overline c}}-{{\vec \overline V_1}\over{\overline c}}{{(\vec \overline V_1,\vec \overline V_2)}\over{\overline V_1^2}}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \overline\Lambda_p^' C_{p2}\overline\Lambda^{-1}_p\overline\Lambda_{p}\left[(\overline \gamma_2-1)\left({{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_2}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}\right)+\overline\gamma_2\overline\gamma_1^{-1}(\overline\gamma_1-1)\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\overline\Lambda_p^' C_{p2}\left[(\overline\gamma_2-1)\left({{\vec V_1}\over{c}}-{{\vec V_2}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_2^2}}\right)+\overline\gamma_2\overline\gamma_1^{-1}(\overline\gamma_1-1)\left({{\vec V_2}\over{c}}-{{\vec V_1}\over{c}}{{(\vec V_1,\vec V_2)}\over{V_1^2}}\right)\right]=\overline\Lambda_p^'\cdot 0=0</MATH>|1.73b2}} W układzie słabozakrzywionym prędkości {{Formuła|<MATH>\vec V_{1p}\;</MATH>}} (prędkość pierwszego ciała odniesienia) i {{Formuła|<MATH>\vec V_{2p}\;</MATH>}} (prędkość drugiego ciała odniesienia) są względem siebie równoległe w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, bo one w nim odpowiadają kolejno {{Formuła|<MATH>\vec V_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec V_2\;</MATH>}}, ale nie w układzie słabozakrzywionym, ogólnie je możemy powiązać w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\vec V_1=\alpha\vec V_2\Rightarrow\lambda_{p1}\underbrace{\overline\Lambda_{p1}^{-1}\vec \overline V_{1p}}_{\vec V_1}=\alpha\lambda_{p2}\underbrace{\overline\Lambda_{p2}^{-1}\vec \overline V_{2p}}_{\vec V_2}\;</MATH>|1.73b2g}} Równość napisaną w punkcie w {{LinkWzór|1.73b2f|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} stosujemy zawsze do układów słabozakrzywionych do pierwszej równości w {{LinkWzór|1.73b2}}, aby tam wyszły zera, tzn. prędkości {{Formuła|<MATH>\vec \overline V_{1p}\;</MATH>}} (prędkość pierwszego układu odniesienia, gdzie się znajduje pierwsze ciało odniesienia) i {{Formuła|<MATH>\vec \overline V_{2p}\;</MATH>}} (prędkość drugiego układu odniesienia, gdzie się znajduje drugie ciało odniesienia) transformujemy z ogólnie różnych punktów w układzie słabozakrzywionym, tzn. oznaczone przez mecierze {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda_{p1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda_{p2}\;</MATH>}} na punkt oznaczoną macierzą {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda_{p}\;</MATH>}} w nim, w której liczymy przechodniość macierzy transformacji, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\vec\overline V_{1}=\lambda_{p1}\overline\Lambda_{p}\overline\Lambda^{-1}_{p1}\vec\overline V_{1p}\wedge\vec\overline V_{2}=\lambda_{p2}\overline\Lambda_{p}\overline\Lambda^{-1}_{p2}\vec\overline V_{2p}\;</MATH>|1.17b2o}} Stosując {{LinkWzór|1.17b2o}} do wyrażenia przed pierwszą równością, tzn. w {{LinkWzór|1.73b2}}, a wiemy że wyjdzie tam zero na mocy wniosku {{LinkWzór|1.73b2f|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}. Na podstawie {{LinkWzór|1.73b2g}} i {{LinkWzór|1.17b2o}}, jeżeli tam traktować ciała odniesienia jako ciała w punktach {{Formuła|<MATH>O\;</MATH>}} układów odniesienia jako zwykłe ciała to różne elementy układu w układach słabozakrzywionych mają dowolną prędkość, na które z punktu widzenia kinematyki nie nałożona żadnych warunków. W {{LinkWzór|1.73b2}} wyraz (po {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda^'_p\;</MATH>}} w iloczynie) jest taki sam jak wyraz, który pozostał przy liczeniu wyrazu 2x2 w {{LinkWzór|1.73d}} w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, będący w tych układach zawsze równa zero, a ponieważ w tych układach to jest równa zero, i to zero nie zależy od żadnych zmiennych, po prostu zawsze jest równa zero w tych układach, więc po transformacji tego zero meciarzą transformacji {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda^'_p\;</MATH>}}, która może być funkcją uogólnioną, cały wyraz w punkcie {{LinkWzór|1.73b2}} jest równy zero w układach słabozakrzywionych, stąd {{LinkWzór|1.73b1}} jest dokładnie spełnioną przechodniością macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>\overline M\;</MATH>}} {{LinkWzór|X5|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} dla układów słabozakrzywionych. Dla układów słabozakrzywionych nie można stosować operacji {{LinkWzór|1.73e}} i {{LinkWzór|1.73f}} (one dla układów słabozakrzywionych są niespełnione, a w układach płaskich są za to spełnione, stąd w układach płaskich ciała poruszają się z prędkościami równoległymi względem siebie, aby drugi wyraz w {{LinkWzór|1.73d}} był równy zawsze zero), bo nie można wiązać dwóch różnych punktów w układach zakrzywionych, w tym przypadku słabozakrzywionych, bo w dwóch różnych punktach {{Formuła|<MATH>g^{\mu\nu}\;</MATH>}} jest różne w układach zakrzywionych (czasoprzestrzeń zakrzywiona), w tym przypadku słabozakrzywionych (czasoprzestrzeń słabozakrzywiona), można je tylko wiązać w układach płaskich, bo {{Formuła|<MATH>g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}\;</MATH>}} jest stałe wszędzie w czasoprzestrzeni płaskiej. == Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Galileusza == Będzimy badali turaj przechodniość macierzy transformacji teorii transformacji Galileusza w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakzrywionych. === Układy globalnie (lokalnie) płaskie === Przechodność transformacji piszemy pamiętając, że układy {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}} są układami inercjalnymi oraz {{Formuła|<MATH>M_1\;</MATH>}} jest to macierz transformacji z układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>M_2^'\;</MATH>}} jest to macierz transformacji z układu {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>M_2\;</MATH>}} jest to macierz transformacji z układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}}, jako: {{CentrujWzór|<MATH>M_2=M_2^'M_1=\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p2}^'{{\vec V^'_2}\over{c}}&C_{p2}^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p1}{{\vec V_1}\over{c}}&C_{p1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p2}^'{{\vec V^'_2}\over{c}}-C_{p2}{{\vec V_1}\over{c}}&C_{p2}\end{bmatrix} \;</MATH>|F222}} Do wzoru ostatniego {{LinkWzór|F222}} wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|G4|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH>M_2=\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p2}^'C_{p1}(\vec V_2-\vec V_1)-C_{p2}{{\vec V_1}\over{c}} &C_{p2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p2}{{\vec V_2}\over{c}}&C_{p2}\end{bmatrix} \;</MATH>|Macierz M2}} Macierz {{LinkWzór|Macierz M2}} jest to taka sama macierz jak {{LinkWzór|1.63d|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, zatem w teorii transformacji Galileusza macierz {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} spełnia twierdzenie przechodniości macierzy transformacji, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>M_2=M_2^'M_1\;</MATH>|M3a}} Czyli jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. === Układy słabozakrzywione === Weźmy przechodniość {{LinkWzór|M3a}}, wtedy z definicji transformacji macierzy z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego {{LinkWzór|X3|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} za pomocą macierzy transformacji prostej {{Formuła|<MATH>\Lambda\;</MATH>}} {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i odwrotnej {{Formuła|<MATH>\Lambda^{-1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|X1aa|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>M_{2}=M_{2}^'M_{1}\Rightarrow \overline\Lambda^{''}M_2\overline\Lambda^{-1}=\overline\Lambda^{''}M_2^'{\overline\Lambda^'}^{-1}{\overline\Lambda^'}M_1\overline\Lambda^{-1}\Rightarrow \overline M_{2}=\overline M_{2}^'\overline M_{1}\;</MATH>|1.73b1a}} Czyli jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów słabozakrzywionych. == Dalsze wnioski dotyczące układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych == Będziemy badać jakie wnioski dalsze zachodzą dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych w teorii transformacji Lorentza i Galileusza. === Równoległość prędkości układów odniesienia dla tego samego ciała odniesienia poruszające się wraz z ciałem w chwilach t i t+dt wynikające z twierdzenia przechodniości macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich oraz ogólna nierównoległość w układach słabozakrzywionych === Będziemy badać tutaj wnioski wynikające w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych z transformacji Lorentza i Galileusza dotyczące prędkości różnych ciał oraz związki pomiędzy nimi. ==== Układy globalnie (lokalnie) płaskie ==== Macierz transformacji '''M''' była pisana, a także udowodniana jego przechodniość [[#Przechodniość macierzy transformacji w teorii transformacji Lorentza|z twierdzenia o przechodniości macierzy transformacji]]. Załóżmy, że mamy pewien układ odniesienia, w którym ciało porusza się na samym początku z prędkością chwilową w czasie {{Formuła|<math>t\;</math>}}, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec v(t)\;</MATH>}}, a później w chwili {{Formuła|<MATH>t+dt\;</MATH>}}, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec v(t+dt)\;</MATH>}}. Obierzmy za każdym razem inercjalny układ odniesienia poruszającą się z tym ciałem w tych właśnie podanych wcześniej w chwilach, wtedy przechodniość macierzy transformacji {{LinkWzór|1.73n}} (szczególna teoria względności) i {{LinkWzór|M3a}} (mechanika Newtona) względem układów w czasie {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>M_1(t)\;</MATH>}} z układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}}) oraz {{Formuła|<MATH>t+dt\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>M_2^'(t+dt)\;</MATH>}} z układu {{Formuła|<MATH>K^{'}\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>M_2(t+dt)\;</MATH>}} z układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}}) przedstawia się w formie: {{CentrujWzór|<MATH>M_2(t+dt)=M_2^'(t+dt)M_1(t)\;</MATH>|1.73o}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|1.73o}} i twierdzenia o przechodniości macierzy transformacji w transformacjach Lorentza dochodzimy do wniosku, że {{Formuła|<MATH>\vec v(t+dt)||\vec v(t)\;</MATH>}}, stąd ciało porusza się po linii prostej, w transformacjach Galileusza zachodzi ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec v(t+dt)\not{||}\vec v(t)\;</MATH>}}, ale my zakładamy, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich jak w transformacjach Lorentza zachodzi też podobnie w transformacjach Galileusza (patrz: {{LinkWzór|C1}}). Transformacje {{LinkWzór|1.73o}} w teorii transformacji Lorentza i Galileusza dla układów globalnie (lokalnie) płaskich są spełnione przy zachodzącym w nich {{LinkWzór|C1}}. ==== Układy słabozakrzywione ==== Ale już tak nie wynika (tzn.: {{Formuła|<MATH>\vec v_1||\vec v_2\;</MATH>}}) dla układów słabozakrzywionym w transformacjach Lorentza i już tak nie jest jako założenie w transformacjach Galileusza, wtedy na podstawie {{LinkWzór|1.73b1}} (teoria transformacji Lorentza) i {{LinkWzór|1.73b1a}} (teoria transformacji Galileusza) oraz wynikających z nich wywodów zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline M_2(\overline t+d\overline t)=\overline M_2^'(\overline t+d\overline t)\overline M_1(\overline t)\;</MATH>|1.73o1}} Na podstawie {{LinkWzór|1.73o1}} w układach słabozakrzywionych wynika, że ciała mogą się poruszać w różnych chwilach z dowolnymi prędkościami. === Istnienie słabozakrzywionych układów współrzędnych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie, a także kinematyka w szczególnej teorii względności === Powiemy tutaj o kinematyce (szczególna teoria względności i też mechanika Newtona), a w ramach tego o transformacjach z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do słabozakrzywionych i powiemy, że ta transformacja jest funkcją uogólnioną. Powiemy również jak jest w układzie globalnie (lokalnie) płaskim, a jak w słabozakrzywionym, z wektorem prędkości. ==== Dyskusja o układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych ==== Stąd '''szczególną teorię względności''' i '''mechanikę Newtona''' (na podstawie założenia, że jest co do prędkości podobnie jak w szczególnej teorii względności) da się udowodnić tylko w przybliżeniu, bo one są teoriami tylko przybliżonymi dla układów słabozakrzywionych, a nie globalnie (lokalnie) płaskich, a w układach słabozakrzywionych zachodzi tak, że {{Formuła|<MATH>\vec v(t+dt)\;</MATH>}} jest ogólnie nierównoległe do {{Formuła|<MATH>\vec v(t)\;</MATH>}}, a w układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec v(t+dt)||\vec v(t)\;</MATH>}}, i prędkość pierwszego ciała {{Formuła|<MATH>\vec V_1\;</MATH>}} jest ogólnie nierównoległa do prędkości drugiego ciała {{Formuła|<MATH>\vec V_2\;</MATH>}} w układach słabozakrzywionych , a zawsze te prędkości są równoległe w układach globalnie (lokalnie) płaskich, co wynika z twierdzenia przechodniości transformacji (szczególna teoria względności) albo założenia (mechanika Newtona). Po prostu nasze '''prawa fizyki''' dla układów słabozakrzywionych, nie globalnie (lokalnie) płaskich, są '''przybliżone''', co dlatego tak zachodzi. ==== W przypadku układów globalnie (lokalnie) płaskich wynika z symetrii, że ciała (cząstki materii) poruszają się z globalnie (lokalnie) stałą prędkością, a za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni ==== W układach globalnie (lokalnie) płaskich wynika z symetrii układu, że wszystkie ciała (cząstki materii) poruszają się ze globalnie (lokalnie) stałą prędkością równą {{Formuła|<MATH>v^{i}=0\;</MATH>}}, a gdyby różnie się poruszały, to układ nie byłby symetryczny, a z istnienia dowolnego ciała, które potraktujemy jako ciało odniesienia, poruszającego się ze stałą dowolną prędkością, co jest matematycznie, dochodzimy do wniosku, że one poruszają się ze globalnie (lokalnie) stałą prędkością w układach globalnie (lokalnie) płaskich równą wszędzie globalnie (lokalnie): {{CentrujWzór|<MATH>v^i=\operatorname{const}\Rightarrow u^{\mu}=\operatorname{const}\;</MATH>|C1}} A {{LinkWzór|C1}} zachodzi tylko globalnie (lokalnie) w układach globalnie (lokalnie) płaskich. Czyli na podstawie {{LinkWzór|C1}} wynika, że za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) w układach zakrzywionych jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni w szczególności słabozakrzywione. *Warunek {{LinkWzór|C1}} zachodzi też z innego powodu globalnie (lokalnie) wynikający z istnienia matematycznego układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. ==== Transformacja pomiędzy układem globalnie (lokalnie) płaskim, gdy za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, do układu słabozakrzywionego ==== Transformacja pomiędzy układem globalnie (lokalnie) płaskim zakładając, że za przyśpieszenie ciała jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, a więc wtedy zachodzi w układach globalnie (lokalnie) płaskich {{LinkWzór|W.9d|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}, z którego wynika, że {{LinkWzór|W.9da|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}), czyli pomiędzy układem o lokalnie stałym tensorze prędkości, a słabozakrzywionym, mamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\overline u^{\mu}={\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}u^{\nu}\;</MATH>|B1}} Ta macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}}, może być '''funkcją uogólnioną (dystrybucją)'''. Napiszmy różniczkę prędkości w układzie słabozakrzywionym (tutaj zachodzi {{LinkWzór|P3c|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}) względem różniczki prędkości w ściśle określonym układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} jest funkcją uogólnioną: {{CentrujWzór|<MATH>d\overline u^{\mu}=d\left({\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}u^{\nu}\right)={\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}du^{\nu}+u^{\nu}d{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\simeq {\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}du^{\nu}\Rightarrow\overline K^{\mu}\simeq{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}K^{\nu}\Rightarrow{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\simeq{{1}\over{n}}\overline K^{\mu}\left(P{{1}\over{K^{\nu}}}+c\delta(K^{\nu})\right)\;</MATH>|B2}} * gdzie {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} to wymiar czasoprzestrzeni, {{Formuła|<MATH>\overline K^{\mu}\;</MATH>}} to tensor siły w układzie słabozakrzywionym i {{Formuła|<MATH>K^{\nu}\;</MATH>}} to tensor siły w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości globalnie (tylko lokalnie) równa zero. Ma zachodzić, aby {{LinkWzór|B1}} przy macierzy transformacji {{LinkWzór|B2}} było spełnione przy tym układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\overline u^{\mu}={\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}u^{\nu}\simeq{{1}\over{n}}\overline K^{\mu}\left(P{{1}\over{K^{\nu}}}+c\delta(K^{\nu})\right)u^{\nu}={{\overline K^{\mu}}\over{n}}\left({{1}\over{0}}+c\delta(0)\right)\left(\sum_{\mu} u^{\mu}\right)\Rightarrow 0=\sum_{\mu} u^{\mu}\;</MATH>|B3}} Czyli suma tensorów prędkości {{Formuła|<MATH>u^{\nu}\;</MATH>}} w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości ma być równa zero na podstawie {{LinkWzór|B3}}, aby było spełnione {{LinkWzór|B1}}. Biorąc jeszcze jeszcze inny układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości przechodząc z ostatniego układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli tutaj mamy {{Formuła|<MATH>d{{\Lambda^'}^{\nu}}_{\gamma}=0\;</MATH>}}, stosując to do równości {{LinkWzór|B3}} (wzór na transformację tensora prędkości), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline u^{\mu}\simeq{{1}\over{n}}\overline K^{\mu}\left(P{{1}\over{K^{\nu}}}+c\delta(K^{\nu})\right)u^{\nu}={{1}\over{n}}\overline K^{\mu}\left(P{{1}\over{K^{\nu}}}+c\delta(K^{\nu})\right){{\overline\Lambda^'}^{\nu}}_{\gamma}{u^'}^{\gamma}</MATH>|B4}} We wzorze {{LinkWzór|B3}} tam tensory prędkości piszemy przechodząc od tensorów prędkości układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą transformacji za pomocą funkcji niebędących funkcjami uogólnionymi, czyli przechodząc z {{LinkWzór|B3}} do {{LinkWzór|B4}}. Weźmy jeszcze lepszą postać macierzy transformacji niż przedtem, tzn.: {{LinkWzór|B2}}, transformująca z dowolnego układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu słabozakrzywionego: {{CentrujWzór|<math>{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\gamma}\simeq{{1}\over{n}}\overline K^{\mu}\left(P{{1}\over{K^{\nu}}}+c\delta(K^{\nu})\right){{\overline\Lambda^'}^{\nu}}_{\gamma}\;</MATH>|B5}} * gdzie ta macierz transformacji w {{LinkWzór|B5}} jest macierzą transformacji w {{LinkWzór|B1}}. I z oczywistych powodów musi też zachodzić na podstawie wniosku (ostatni wzór) {{LinkWzór|B3}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{\mu}u^{\mu}=\sum_{\mu\gamma}{{\overline\Lambda^'}^{\mu}}_{\gamma}{u^'}^{\gamma}\;</MATH>|B6}} W przypadku przejścia z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego według macierzy transformacji {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} ją przedstawiamy podobnie jak formułę {{LinkWzór|B5}} cały czas przy tym samym ciele odniesienia w formie: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline{\Lambda}^{i}}_{j}\simeq{{1}\over{n-1}}\overline K^{i}\left(P{{1}\over{K^{k}}}+c\delta(K^{k})\right){{\overline\Lambda^'}^{k}}_{j}\wedge {\overline{\Lambda}^{0}}_{j}={\overline{\Lambda}^{i}}_{0}={{\overline\Lambda^'}^{0}}_{j}={{\overline\Lambda^'}^{k}}_{0}=0\wedge {\overline{\Lambda}^{0}}_{0}={{\overline\Lambda^'}^{0}}_{0}=\lambda</MATH>|B7}} Gdzie {{Formuła|<MATH>n-1\;</MATH>}} to wymiar przestrzeni zwykłej. Ale zachodzi dla {{LinkWzór|B7}} podobnie jak dla {{LinkWzór|B5}} jest {{LinkWzór|B6}} analogiczne równanie: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{kj}{{\overline\Lambda^'}^{k}}_{j}{u^'}^{j}\;</MATH>|B8}} Układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, bo przejście z nich do układów słabozakrzywionych, które istnieją fizycznie, o macierzy transformacji {{LinkWzór|B5}} jest funkcją uogólnioną przy zachodzącym {{LinkWzór|P3c|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} (szczególna teoria względności) i {{LinkWzór|P3ca|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} (mechanika Newtona) spełnione dla układów co najwyżej słabozakrzywionych (co jest definicją tych układów), ale jak nie założymy już, że zachodzi to, to układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jednak istnieją fizycznie, a wtedy macierz transformacji nie jest wtedy w postaci {{LinkWzór|B5}} i nie jest funkcją uogólnioną, w takim razie wtedy nie rozpatrujemy zatem układów ani globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, tylko układy zakrzywione, bo w nich nie zachodzą omawiane warunki dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich dla tych teorii fizycznych rozpatrywanych tutaj. W układach słabozakrzywionych po przejściu od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości macierz transformacji, gdyby nie była funkcją uogólnioną, to wszystkie pochodne wielkości fizycznych byłyby równe w przybliżeniu zero w układach słabozakrzywionych wynikające z globalnie (lokalnie) stałego tensora prędkości w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a tak nie może być, a więc tam macierz jest funkcją uogólnioną, czyli możemy ją przedstawić w postaci {{LinkWzór|B5}}. Macierz odwrotna do macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\gamma}\;</MATH>}} ({{LinkWzór|B5}}), czyli {{Formuła|<MATH>{{\Lambda}^{\mu}}_{\gamma}=\left({\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\gamma}\right)^{-1}\;</MATH>}}, z definicji macierzy odwrotnej jest '''funkcją uogólnioną (dystrybucją)'''. ==== Równoległość prędkości w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości a ogólna nierównoległość w układach słabozakrzywionych ==== Tensor {{Formuła|<MATH>\overline u^{\mu}\;</MATH>}} jest dla układu słabozakrzywionego, a tensor {{Formuła|<MATH>u^{\nu}\;</MATH>}} jest dla układu globalnie (lokalnie) płaskiego, ale w układzie globalnie (lokalnie) płaskim zachodzą dla dwóch dowolnych prędkości {{Formuła|<MATH>\vec u_1||\vec u_2\;</MATH>}}, gdzie na podstawie {{LinkWzór|2.5|Tensory w czasoprzestrzeni}} są: {{Formuła|<MATH>\vec u_1=u_1^{i}={{\gamma}\over{c}}\vec v_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec u_2=u_2^i={{\gamma}\over{c}}\vec v_2\;</MATH>}}, co tutaj jest spełniona przechodniość macierzy transformacji dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a w układzie słabozakrzywionym już {{Formuła|<MATH>\vec \overline u_1\;</MATH>}} ogólnie nie jest równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec\overline u_2\;</MATH>}}, gdzie na podstawie {{LinkWzór|2.5|Tensory w czasoprzestrzeni}} i teorii układów słabozakrzywionych, tzn. {{LinkWzór|1.77|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}, mamy dokładnie: {{Formuła|<MATH>\vec \overline u_1=\overline u_1^{i}= {{\overline\gamma}\over{\overline c}}\vec\overline v_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec \overline u_2=\overline u_2^i={{\overline\gamma}\over{\overline c}}\vec\overline v_2\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0qbd2ezjsz03h8v88huzvd0632yknp4 0 46732 558694 548256 2026-10-05T03:35:06Z Persino 2851 558694 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Tensor metryczny w teorii transformacji Lorentza == Omówimy tutaj wszystko o tensorze metrycznym Minkowskiego szczególnej teorii względności. === Sygnatura dodatnia i ujemna === Sygnaturę dodatnią ma tensor metryczny Minkowskiego, gdy można sprowadzić go do macierzy diagonalnej, a na przekątnych są liczby: (1,-1,-1,-1,...), a sygnaturę ujemną ma ten tensor, gdy na przekątnych macierzy diagonalnej sa elementy: (-1,1,1,1,...). W obliczeniach uwzględniającej sygnaturę pisząc znak: {{Formuła|<MATH>\pm\;</MATH>}} lub {{Formuła|<MATH>\mp\;</MATH>}}, znak na górze oznacza sygnaturę dodatnią, a na dole sygnaturę ujemną, a gdy jest tylko jeden znak, to on jest słuszny w obu sygnaturach. W tej książce będziemy wykonywać obliczenia uwzględniając te dwie sygnatury. === Tensor metryczny Minkowskiego szczególnej teorii względności === Interwał czasoprzestrzenny w szczególnej teorii względności, w której przestrzeń jest euklidesowa, przedstawiamy w układzie nieprostokątnym i prostokątnym w sposób: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^TAd\vec{r}\;</MATH>|1.74a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^TId\vec{r}=c^2dt^2-dx^2_1-dx^2_2-\cdots-dx^2_n\;</MATH>|1.74b}} }} W przypadkach {{LinkWzór|1.74a}} i {{LinkWzór|1.74b}} kwadrat interwału czasoprzestrzennego zapisujemy ogólnie macierzowo: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T(\eta)\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}\;</MATH>|1.74c}} Gdzie we wzorze {{LinkWzór|1.74a}} macierz {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} jest macierzą {{LinkWzór|1.75}}, a wzorze {{LinkWzór|1.74b}} macierz {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} jest macierzą {{LinkWzór|1.76}}. Na podstawie tak zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.74a}} zdefiniujmy macierz tensora metrycznego kowariantnego (wskaźniki na dole) oraz kontrawariantnego (wskaźniki na górze). {{CentrujWzór|<MATH>(\eta)=\eta_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} \pm 1&0\\ 0&\mp A \end{bmatrix}\wedge(\eta)^{-1}=\eta^{\mu\nu}=\begin{bmatrix} \pm 1&0\\ 0&\pm A^{-1} \end{bmatrix}\wedge (\eta)^T=(\eta)\wedge(\eta)^{-T}=(\eta)^{-1}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow (\eta)(\eta)^{-1}=\eta_{\mu\alpha}\eta^{\alpha\nu}=\begin{bmatrix} \pm 1&0\\ 0&\mp A \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \pm 1&0\\ 0&\mp A^{-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&\mp A\left(\mp A^{-1}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}=I={\delta_{\mu}}^{\nu}={\delta^{\mu}}_{\nu}\Rightarrow {\eta_{\mu}}^{\nu}={\delta_{\mu}}^{\nu}\wedge {\eta^{\mu}}_{\nu}={\delta^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>|1.75}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}=(\vec e_{\mu},\vec e_{\nu})\;</MATH>}} dla wersorów czasoprzestrzennych dochodzimy do wniosku, że wersor czasowy ma długość równą {{Formuła|<MATH>\pm\;</MATH>}} jedności i on jest prostopadły do wersorów przestrzennych, bo {{Formuła|<MATH>\eta_{i0}=\eta_{0i}=0\;</MATH>}}. Z wiadomych względów biorąć część przestrzenną macierzy {{LinkWzór|1.75}}, wtedy wiadomo: {{Formuła|<MATH>\mp[\eta_{ij}]_{n\times n}=\mp[\eta_{ji}]_{n\times n}=[a_{ij}]_{n\times n}=[a_{ji}]_{n\times n}=A\;</MATH>}}, a także wiadomo na podstawie definicji {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}}, że zachodzi dla wersorów obserowanych w przestrzeni zwykłej: {{Formuła|<MATH>a_{ij}=(\vec e_i^',\vec e_j^')=(i\vec e_i,i\vec e_j)=-(\vec e_{i},\vec e_{j})=-\eta_{ij}\;</MATH>}} dla sygnatury dodatniej i {{Formuła|<MATH>a_{ij}=(\vec e_i,\vec e_j)=\eta_{ij}\;</MATH>}} dla sygnatury ujemnej, gdzie zależność pomiędzy wersorami obserowanymi w przestrzenni zwykłej, a przestrzennymi jest {{Formuła|<MATH>\vec e_{k}^'=\pm i\vec e_{k}\;</MATH>}} dla {{Formuła|<MATH>k\neq 0\;</MATH>}} dla sygnatury dodatniej, a dla ujemnej {{Formuła|<MATH>\vec e_{k}^'=\pm \vec e_{k}\;</MATH>}}, a wersor czasowy jest: {{Formuła|<MATH>\vec e_0^'=\pm[1,0_{0n}]^T\;</MATH>}} dla sygnatury dodatniej i {{Formuła|<MATH>\vec e_0^'=\pm i[1,0_{0n}]^T\;</MATH>}} dla sygnatury ujemnej. Na podstawie tak zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.74b}} zdefiniujmy macierz tensora metrycznego kowariantnego Minkowskiego (wskaźniki na dole) oraz kontrawariantnego (wskaźniki na górze) dla przestrzeni opisywanej układem prostokątnym. {{CentrujWzór|<MATH>(\eta)=\eta_{\mu\nu}=(\eta)^{-1}=\eta^{\mu\nu}=\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\mp (A^{\pm 1}=I)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \pm 1&0&0&\cdots&0\\ 0&\mp 1&0&\cdots&0\\ 0&0&\mp 1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\mp 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\mp I\end{bmatrix}\wedge \eta^T=\eta\wedge \eta_{\mu\alpha}\eta^{\alpha\nu}=I\;</MATH>|1.76}} Powyżej przyjmujemy, że czas mierzymy w metrach według zależności {{Formuła|<MATH>x^0=ct\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}} mierzymy w sekundach. == Interwał czasoprzestrzenny jako niezmiennik transformacji == Tutaj będziemy się zajmowali interwałem czasoprzestrzennym w teorii transformacji Lorentza i Galileusza. === Interwał czasoprzestrzenny w teorii transformacji Lorentza === Będziemy tutaj badali niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich oraz napiszemy je w zależności od wartości prędkości i różniczki czasu. ==== Interwał czasoprzestrzenny w układach słabozakrzywionych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie ==== Udowodnimy, że interwał czasoprzestrzenny pozostaje zawsze niezmienniczy dla ściśle określonego ciała przy jego definicji bez względu na układ słabozakrzywiony wychodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego korzystając przy okazji {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (niezmienniczości czasu pomiędzy układami słabozakrzywionymi), {{LinkWzór|T1c|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (niezmienniczości modułu długości pomiędzy tymi układami) i {{LinkWzór|LKO|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} (transformacji prędkości światła od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego): {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^{'T}Id\vec{r}^{'}=c^2dt^2-(Bd\vec{r})^{T}IBd\vec{r}=c^2dt^2-d\vec{r}^{T}\underbrace{B^{T}IB}_{A}d\vec{r}=c^2dt^2-d\vec{r}^TAd\vec{r}=c^2dt^2-\vec v^T A\vec v dt^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=c^2\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)dt^2\Rightarrow ds=cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}=\overline cd\overline t\sqrt{1-{{\overline v^2}\over{\overline c^2}}}=d\overline s\Rightarrow ds=d\overline s\;</MATH>|1.77}} Różniczka interwału czasoprzestrzennego musi być tak napisana, by dla różniczki czasu dodatniej różniczka interwału czasoprzestrzennego była dodatnia, a dla różniczki czasu ujemnej była ujemna. Wyrażenie {{LinkWzór|1.77}} na {{Formuła|<MATH>ds\;</MATH>}} przyjmuje zawsze wartość nieujemną, jak udowodniliśmy powyżej, bo prędkość ciała jest niewiększa niż {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}}. Na podstawie tego wyrażenia na różniczkę interwału czasoprzestrzennego ona jest niezmiennicza pomiędzy układami słabozakrzywionymi i ma taką samą wartość i postać, co w układach globalnie (lokalnie) płaskich. ==== Interwał czasoprzestrzenny w układach globalnie (lokalnie) płaskich ==== Przy definicji nieskończenie małej różnicy czasu zapisanej wedle wzoru {{LinkWzór|1.66a|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} i nieskończenie małej zmiany położenia ciała w nowym układzie współrzędnych napisanej w punkcie {{LinkWzór|1.65a|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}}, wtedy wykorzystując te wspomniane wzory możemy napisać interwał czasoprzestrzenny {{LinkWzór|1.74a}} wiedząc, że A jest macierzą iloczynu skalarnego, wtedy możemy zapisać dla układu ogólnie nieprostokątnego: {{CentrujWzór|<MATH>d{s'}^2=c^2dt^2-d\vec{r}^{'T}A^'d\vec{r}^{'}= c^2\left \{{{dt-{{(\vec{V},d\vec{r}_{||})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\right \}^2- \left[C_p\left({{d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)\right]^TA^'\left[C_p\left({{d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =c^2\left \{{{dt-{{(\vec{V},d\vec{r}_{||})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\right \}^2- \left({{d\vec{r_{||}}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)^T \underbrace{C^T_pA^'C_p}_{A} \left({{d\vec{r_{||}}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{c^2dt^2+{{\vec{V}^2d\vec{r}^T_{||}Ad\vec{r}_{||}}\over{c^2}}-2dt\vec{V}^TAd\vec{r}_{||}-d\vec{r}_{||}^TAd\vec{r}_{||}-V^2dt^2+2d\vec{r}_{||}^TA\vec{V}dt}\over{1-{{V^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^TAd\vec{r_{\perp}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{dt^2\left(c^2-V^2\right)-d\vec{r_{||}}^TAd\vec{r_{||}}\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}\over{1-{{V^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^TAd\vec{r_{\perp}}={{\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)\left(c^2dt^2-d\vec{r_{||}}^TAd\vec{r_{||}}\right)}\over{1-{{V^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^TAd\vec{r_{\perp}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> \;=\; c^2dt^2-d\vec{r_{||}}^TAd\vec{r_{||}}-d\vec{r_{\perp}}^TAd\vec{r_{\perp}}=c^2dt^2-d\vec{r}^TAd\vec{r} \;= \; ds^2\;</MATH>|1.78}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|1.78}} dowiadujemy się, że interwał czasoprzestrzenny {{LinkWzór|1.74a}} czy też {{LinkWzór|1.74b}} jest wielkością niezmienniczą i zdefiniowaną powyżej, czyli zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>d{s'}^2=ds^2\Rightarrow ds^'=ds\;</MATH>|1.79}} Do tego samego wniosku możemy dojść macierzowo wykorzystując definicję interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.74a}} i definicje macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.62|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>ds^{'2}=c^2dt^{'2}-d\vec r^{'T}A^'d\vec r^'=\pm{\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}}^T(\eta)\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T {\begin{bmatrix} \gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^'\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix} \gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}= {\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} \gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}M^T\\ -A^T{{\vec V}\over{c}}\gamma&M^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot \begin{bmatrix}\gamma&{{\vec V^T}\over{c}}M_p^TA^'\\-A^T{{\vec V}\over{c}}\gamma&-M_p^TA^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} \gamma^2-{{V^T}\over{c}}M^T_pA^'M_p{{\vec V}\over{c}}&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma^2+{{\vec V^T}\over{c}}M_p^TA^'M_p\\-A^T{{\vec V}\over{c}}\gamma^2+M_p^TA^'M_p{{\vec V}\over{c}}&A^T{{\vec V\vec V^T}\over{c^2}}A\gamma^2-M_p^TA^'M_p\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} \gamma^2-{{V^T}\over{c}}\gamma^2A^T{{\vec V}\over{c}}&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma^2+{{\vec V^T}\over{c}}\gamma^2A\\-A^T{{\vec V}\over{c}}\gamma^2+\gamma^2A^T{{\vec V}\over{c}}&P_{||}^TA{{V^2}\over{c^2}}\gamma^2-P_{||}^TA\gamma^2-P^T_{\perp}A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix} \gamma^2-{{V^2}\over{c^2}}\gamma^2&0\\0&-\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)\gamma^2 P_{||}^TA-P_{\perp}^TA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} 1&0\\0&-(P_{||}+P_{\perp})^TA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} 1&0\\0&-IA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} 1&0\\0&-A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} \pm 1&0\\0&\mp A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T(\eta)\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=c^2dt^2-d\vec r^TAd\vec r=ds^2\Rightarrow d{s^{'}}^2=ds^2\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow ds^'=ds</MATH>|1.80}} Stąd wniosek, interwał czasoprzestrzenny pozostaje stały niezależnie z jaką prędkością porusza się układ współrzędnych K', jeśli znamy jego nieskończenie małą różnice w starym układzie współrzędnych, to je znamy w nowym układzie współrzędnych. ==== Jeszcze raz o interwale czasoprzestrzennym w układach słabozakrzywionych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie ==== Udowodnijmy, czy interwał jest niezmienniczy przechodząc do układów słabozakrzywionych z układów globalnie (lokalnie) płaskich i do układów globalnie (lokalnie) płaskich z układów słabozakrzywionych. {{CentrujWzór|<MATH>d\overline s^{2}=c^2d\overline t^{2}-d\vec \overline r^{T}\overline{A}d\vec \overline r=\pm {\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}}^T(\overline\eta)\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}=\pm {\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\mp\overline A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-\overline A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T{\begin{bmatrix}1&0\\0&\overline{\Lambda}_p\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-\overline A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&\overline{\Lambda}_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}= {\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-\overline\Lambda_p^T\overline A\overline\Lambda_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\mp A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T(\eta)\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=c^2dt^2-d\vec r^TAd\vec r=ds^2\Rightarrow d\overline s^2=ds^2\Rightarrow d\overline s=ds</MATH>|B11}} Czyli na podstawie {{LinkWzór|B11}} (pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim) i {{LinkWzór|1.80}} (niezmienniczością interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich) interwał czasoprzestrzenny pomiędzy układami słabozakrzywionymi jest niezmienniczy. === Interwał czasoprzestrzenny w teorii transformacji Galileusza === W teorii transformacji Galileusza mamy {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}}, wtedy we wzorze na interwał czasoprzestrzenny {{LinkWzór|1.77}} możemy zaniedbać wyraz o wiele mniejszy od jedynki, tzn. wyraz {{CentrujWzór|<MATH>v\ll c\Rightarrow {{v}\over{c}}\ll 1\Rightarrow{{v^2}\over{c^2}}\ll {{v}\over{c}}\ll 1\;</MATH>|N8}} wtedy różniczka interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.77}} może być zapisana stosując {{LinkWzór|N8}} jako: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=c^2dt^2\left(1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\simeq c^2dt^2\Rightarrow ds\simeq cdt\;</MATH>|1.80a}} Różniczka interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.80a}} musi być tak napisana, by dla różniczki czasu dodatniej różniczka interwału czasoprzestrzennego była dodatnia, a dla różniczki czasu ujemnej była ujemna. Jak widzimy w {{LinkWzór|1.80a}} interwał czasoprzestrzenny zależy tylko od różniczki czasu dla prędkości {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}}. Ten interwał w tej teorii transformacji jest niezmienniczy, bo czas w tej teorii jest absolutny. == Transformacje tensora metrycznego &eta; == Zajmiemy się tutaj transformacjami tensora metrycznego w transformacji Lorentza i Galileusza, a także wzorem ogólnym słusznym w obu tych teoriach. === Transformacja tensora metrycznego w teorii transformacji Lorentza === Transformacja tensora metrycznego w szczególnej teorii względności na podstawie {{LinkWzór|1.80}} (tzn.: wzory: {{LinkWzór|1.80b1}} i {{LinkWzór|1.80b}}) i {{LinkWzór|B11}} (tzn.: wzory {{LinkWzór|1.80b2}} i {{LinkWzór|1.80ba}}) oraz połączenie wzorów {{LinkWzór|1.80}} i {{LinkWzór|B11}} (tzn. wzory {{LinkWzór|1.80b1a}} i {{LinkWzór|1.80ba1}}) piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<maTh>\eta^'=M^{'T}\eta M^'\;</MATH>|1.80b1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\eta=M^T\eta^'M\;</MATH>|1.80b}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline\eta=\overline\Lambda^{'T}\eta \overline\Lambda^'\;</MATH>|1.80b2}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\eta=\overline \Lambda^T\overline\eta \overline \Lambda</MATH>|1.80ba}} | 5 = {{CentrujWzór|<maTh>\overline \eta^'=\overline M^{'T}\overline\eta \overline M^'\;</MATH>|1.80b1a}} | 6 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline\eta=\overline M^T\overline\eta^'\overline M\;</MATH>|1.80ba1}} }} gdzie macierz {{Formuła|<MATH>M^'\;</Math>}} ({{Formuła|<MATH>\overline\Lambda^'\;</MATH>}}) jest zdefiniowana wzorem {{LinkWzór|1.63b|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} (macierzą odwrotną do {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, czyli wzorem {{LinkWzór|X1aa|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}), a macierz {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, (macierzą {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}), a także macierz tensora metrycznego {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} przedstawiamy w {{LinkWzór|1.75}}. === Transformacja tensora metrycznego w teorii transformacji Lorentza i Galileusza === Transformacja tensora metrycznego {{LinkWzór|1.75}} czasoprzestrzeni w teorii transformacji Lorentza i Galileusza przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^'=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p^'\end{bmatrix}^T\eta\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p^'\end{bmatrix}\wedge \eta=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}^T\eta^'\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}</MATH>|1.80c}} Ta transformacja dla teorii transformacji Galileusza jest na pewno dokładnie spełniona, bo {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Jak widzimy tożsamość {{LinkWzór|1.80c}} możemy utrzymać w sposób przybliżony ze wzoru {{LinkWzór|1.80b}} biorąc przybliżenie bardzo małych prędkości z porównaniu z prędkością światła, ale otrzymany wzór nie jest przybliżony, tylko dokładny, bo {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, w teorii transformacji Lorentza też on jest spełniony. == Stożek światła == {{Rysunek|szczegolna_teoria_wzglednosci_stozek_swiatla.svg|stozek_swiatla|Stożek światła|rozmiar=160px}} Wiadomo, że z poprzedniego punktu według wzoru {{LinkWzór|1.77}}, ale tym razem będziemy operować różnicami skończonymi, to kwadrat różnicy interwału czasoprzestrzennego definiujemy: {{CentrujWzór|<math>\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2_1-\Delta x^2_2-\Delta x^2_3-...-\Delta x^2_n\;</MATH>|1.81}} Również zachodzi &Delta; s{{Sup|2}}&ge; 0, bo 0 &le; v&le; c, i korzystając z definicji prędkości, to wtedy ten nasz interwał zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s^2=c^2\Delta t^2\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|1.82}} Dochodzimy do wniosku, że na podstawie wzoru {{LinkWzór|1.74b}} i {{LinkWzór|1.82}}, że {{Formuła|<MATH>\Delta s^2\geq 0\;</MATH>}}, bo {{Formuła|<MATH>v\leq c\;</math>}}: {{CentrujWzór|<MATH>c^2\Delta t^2-\Delta x^2_1-\Delta x^2_2-\Delta x^2_3-...-\Delta x^2_n\geq 0\Rightarrow \Delta x^2_1+\Delta x^2_2+\Delta x^2_3+...+\Delta x^2_n\leq(c\Delta t)^2\;</MATH>|1.83}} Gdy założymy punkty początkowe na zero, tzn. {{Formuła|<MATH>x_{10}=x_{20}=x_{30}=...=x_{n0}=ct_0=s_0=0\;</MATH>}}, wtedy mamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>s^2=c^2t^2-x_1^2-x_2^2-...-x_n^2\;</MATH>|1.83a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>x^2_1+x^2_2+x^2_3+...+x_n^2\leq c^2t^2</math>|1.83b}} }} Wzór {{LinkWzór|1.83a}} przedstawia kwadrat długości wektora wodzącego w (n+1) wymiarowej czasoprzestrzeni, gdzie n to liczba współrzędnych przestrzennych plus jedna współrzędna czasowa. Wykresem {{LinkWzór|1.83b}} jest wykres stożka, którego przekrój dla danego t ma promień r=ct, którego węzeł znajduje się w punkcie t=0, którego brzeg jest spełniony dla s{{Sup|2}}=0, a jego wnętrze jest dla s{{Sup|2}}>0, na zewnątrz linii światła żadne ciało nie może się znaleźć. Wykres stożka z liniami światła jest pokazany na rysunku obok. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> sec4fuxrmqumrugkpfnszfescokzuhx 558695 558694 2026-10-05T03:35:21Z Persino 2851 558695 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Tensor metryczny w teorii transformacji Lorentza == Omówimy tutaj wszystko o tensorze metrycznym Minkowskiego szczególnej teorii względności. === Sygnatura dodatnia i ujemna === Sygnaturę dodatnią ma tensor metryczny Minkowskiego, gdy można sprowadzić go do macierzy diagonalnej, a na przekątnych są liczby: (1,-1,-1,-1,...), a sygnaturę ujemną ma ten tensor, gdy na przekątnych macierzy diagonalnej są elementy: (-1,1,1,1,...). W obliczeniach uwzględniającej sygnaturę pisząc znak: {{Formuła|<MATH>\pm\;</MATH>}} lub {{Formuła|<MATH>\mp\;</MATH>}}, znak na górze oznacza sygnaturę dodatnią, a na dole sygnaturę ujemną, a gdy jest tylko jeden znak, to on jest słuszny w obu sygnaturach. W tej książce będziemy wykonywać obliczenia uwzględniając te dwie sygnatury. === Tensor metryczny Minkowskiego szczególnej teorii względności === Interwał czasoprzestrzenny w szczególnej teorii względności, w której przestrzeń jest euklidesowa, przedstawiamy w układzie nieprostokątnym i prostokątnym w sposób: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^TAd\vec{r}\;</MATH>|1.74a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^TId\vec{r}=c^2dt^2-dx^2_1-dx^2_2-\cdots-dx^2_n\;</MATH>|1.74b}} }} W przypadkach {{LinkWzór|1.74a}} i {{LinkWzór|1.74b}} kwadrat interwału czasoprzestrzennego zapisujemy ogólnie macierzowo: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T(\eta)\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}\;</MATH>|1.74c}} Gdzie we wzorze {{LinkWzór|1.74a}} macierz {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} jest macierzą {{LinkWzór|1.75}}, a wzorze {{LinkWzór|1.74b}} macierz {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} jest macierzą {{LinkWzór|1.76}}. Na podstawie tak zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.74a}} zdefiniujmy macierz tensora metrycznego kowariantnego (wskaźniki na dole) oraz kontrawariantnego (wskaźniki na górze). {{CentrujWzór|<MATH>(\eta)=\eta_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} \pm 1&0\\ 0&\mp A \end{bmatrix}\wedge(\eta)^{-1}=\eta^{\mu\nu}=\begin{bmatrix} \pm 1&0\\ 0&\pm A^{-1} \end{bmatrix}\wedge (\eta)^T=(\eta)\wedge(\eta)^{-T}=(\eta)^{-1}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow (\eta)(\eta)^{-1}=\eta_{\mu\alpha}\eta^{\alpha\nu}=\begin{bmatrix} \pm 1&0\\ 0&\mp A \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \pm 1&0\\ 0&\mp A^{-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&\mp A\left(\mp A^{-1}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}=I={\delta_{\mu}}^{\nu}={\delta^{\mu}}_{\nu}\Rightarrow {\eta_{\mu}}^{\nu}={\delta_{\mu}}^{\nu}\wedge {\eta^{\mu}}_{\nu}={\delta^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>|1.75}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}=(\vec e_{\mu},\vec e_{\nu})\;</MATH>}} dla wersorów czasoprzestrzennych dochodzimy do wniosku, że wersor czasowy ma długość równą {{Formuła|<MATH>\pm\;</MATH>}} jedności i on jest prostopadły do wersorów przestrzennych, bo {{Formuła|<MATH>\eta_{i0}=\eta_{0i}=0\;</MATH>}}. Z wiadomych względów biorąć część przestrzenną macierzy {{LinkWzór|1.75}}, wtedy wiadomo: {{Formuła|<MATH>\mp[\eta_{ij}]_{n\times n}=\mp[\eta_{ji}]_{n\times n}=[a_{ij}]_{n\times n}=[a_{ji}]_{n\times n}=A\;</MATH>}}, a także wiadomo na podstawie definicji {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}}, że zachodzi dla wersorów obserowanych w przestrzeni zwykłej: {{Formuła|<MATH>a_{ij}=(\vec e_i^',\vec e_j^')=(i\vec e_i,i\vec e_j)=-(\vec e_{i},\vec e_{j})=-\eta_{ij}\;</MATH>}} dla sygnatury dodatniej i {{Formuła|<MATH>a_{ij}=(\vec e_i,\vec e_j)=\eta_{ij}\;</MATH>}} dla sygnatury ujemnej, gdzie zależność pomiędzy wersorami obserowanymi w przestrzenni zwykłej, a przestrzennymi jest {{Formuła|<MATH>\vec e_{k}^'=\pm i\vec e_{k}\;</MATH>}} dla {{Formuła|<MATH>k\neq 0\;</MATH>}} dla sygnatury dodatniej, a dla ujemnej {{Formuła|<MATH>\vec e_{k}^'=\pm \vec e_{k}\;</MATH>}}, a wersor czasowy jest: {{Formuła|<MATH>\vec e_0^'=\pm[1,0_{0n}]^T\;</MATH>}} dla sygnatury dodatniej i {{Formuła|<MATH>\vec e_0^'=\pm i[1,0_{0n}]^T\;</MATH>}} dla sygnatury ujemnej. Na podstawie tak zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.74b}} zdefiniujmy macierz tensora metrycznego kowariantnego Minkowskiego (wskaźniki na dole) oraz kontrawariantnego (wskaźniki na górze) dla przestrzeni opisywanej układem prostokątnym. {{CentrujWzór|<MATH>(\eta)=\eta_{\mu\nu}=(\eta)^{-1}=\eta^{\mu\nu}=\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\mp (A^{\pm 1}=I)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \pm 1&0&0&\cdots&0\\ 0&\mp 1&0&\cdots&0\\ 0&0&\mp 1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&\mp 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\mp I\end{bmatrix}\wedge \eta^T=\eta\wedge \eta_{\mu\alpha}\eta^{\alpha\nu}=I\;</MATH>|1.76}} Powyżej przyjmujemy, że czas mierzymy w metrach według zależności {{Formuła|<MATH>x^0=ct\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}} mierzymy w sekundach. == Interwał czasoprzestrzenny jako niezmiennik transformacji == Tutaj będziemy się zajmowali interwałem czasoprzestrzennym w teorii transformacji Lorentza i Galileusza. === Interwał czasoprzestrzenny w teorii transformacji Lorentza === Będziemy tutaj badali niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich oraz napiszemy je w zależności od wartości prędkości i różniczki czasu. ==== Interwał czasoprzestrzenny w układach słabozakrzywionych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie ==== Udowodnimy, że interwał czasoprzestrzenny pozostaje zawsze niezmienniczy dla ściśle określonego ciała przy jego definicji bez względu na układ słabozakrzywiony wychodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego korzystając przy okazji {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (niezmienniczości czasu pomiędzy układami słabozakrzywionymi), {{LinkWzór|T1c|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (niezmienniczości modułu długości pomiędzy tymi układami) i {{LinkWzór|LKO|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} (transformacji prędkości światła od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego): {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^{'T}Id\vec{r}^{'}=c^2dt^2-(Bd\vec{r})^{T}IBd\vec{r}=c^2dt^2-d\vec{r}^{T}\underbrace{B^{T}IB}_{A}d\vec{r}=c^2dt^2-d\vec{r}^TAd\vec{r}=c^2dt^2-\vec v^T A\vec v dt^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=c^2\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)dt^2\Rightarrow ds=cdt\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}=\overline cd\overline t\sqrt{1-{{\overline v^2}\over{\overline c^2}}}=d\overline s\Rightarrow ds=d\overline s\;</MATH>|1.77}} Różniczka interwału czasoprzestrzennego musi być tak napisana, by dla różniczki czasu dodatniej różniczka interwału czasoprzestrzennego była dodatnia, a dla różniczki czasu ujemnej była ujemna. Wyrażenie {{LinkWzór|1.77}} na {{Formuła|<MATH>ds\;</MATH>}} przyjmuje zawsze wartość nieujemną, jak udowodniliśmy powyżej, bo prędkość ciała jest niewiększa niż {{Formuła|<MATH>c\;</MATH>}}. Na podstawie tego wyrażenia na różniczkę interwału czasoprzestrzennego ona jest niezmiennicza pomiędzy układami słabozakrzywionymi i ma taką samą wartość i postać, co w układach globalnie (lokalnie) płaskich. ==== Interwał czasoprzestrzenny w układach globalnie (lokalnie) płaskich ==== Przy definicji nieskończenie małej różnicy czasu zapisanej wedle wzoru {{LinkWzór|1.66a|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}} i nieskończenie małej zmiany położenia ciała w nowym układzie współrzędnych napisanej w punkcie {{LinkWzór|1.65a|Zestawienie transformacji w układach płaskich i słabozakrzywionych}}, wtedy wykorzystując te wspomniane wzory możemy napisać interwał czasoprzestrzenny {{LinkWzór|1.74a}} wiedząc, że A jest macierzą iloczynu skalarnego, wtedy możemy zapisać dla układu ogólnie nieprostokątnego: {{CentrujWzór|<MATH>d{s'}^2=c^2dt^2-d\vec{r}^{'T}A^'d\vec{r}^{'}= c^2\left \{{{dt-{{(\vec{V},d\vec{r}_{||})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\right \}^2- \left[C_p\left({{d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)\right]^TA^'\left[C_p\left({{d\vec{r}_{||}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =c^2\left \{{{dt-{{(\vec{V},d\vec{r}_{||})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}\right \}^2- \left({{d\vec{r_{||}}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)^T \underbrace{C^T_pA^'C_p}_{A} \left({{d\vec{r_{||}}-\vec{V}dt}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{c^2dt^2+{{\vec{V}^2d\vec{r}^T_{||}Ad\vec{r}_{||}}\over{c^2}}-2dt\vec{V}^TAd\vec{r}_{||}-d\vec{r}_{||}^TAd\vec{r}_{||}-V^2dt^2+2d\vec{r}_{||}^TA\vec{V}dt}\over{1-{{V^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^TAd\vec{r_{\perp}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{dt^2\left(c^2-V^2\right)-d\vec{r_{||}}^TAd\vec{r_{||}}\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)}\over{1-{{V^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^TAd\vec{r_{\perp}}={{\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)\left(c^2dt^2-d\vec{r_{||}}^TAd\vec{r_{||}}\right)}\over{1-{{V^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^TAd\vec{r_{\perp}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> \;=\; c^2dt^2-d\vec{r_{||}}^TAd\vec{r_{||}}-d\vec{r_{\perp}}^TAd\vec{r_{\perp}}=c^2dt^2-d\vec{r}^TAd\vec{r} \;= \; ds^2\;</MATH>|1.78}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|1.78}} dowiadujemy się, że interwał czasoprzestrzenny {{LinkWzór|1.74a}} czy też {{LinkWzór|1.74b}} jest wielkością niezmienniczą i zdefiniowaną powyżej, czyli zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>d{s'}^2=ds^2\Rightarrow ds^'=ds\;</MATH>|1.79}} Do tego samego wniosku możemy dojść macierzowo wykorzystując definicję interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.74a}} i definicje macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.62|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>ds^{'2}=c^2dt^{'2}-d\vec r^{'T}A^'d\vec r^'=\pm{\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}}^T(\eta)\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt^'\\d\vec r^'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T {\begin{bmatrix} \gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^'\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix} \gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}= {\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} \gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}M^T\\ -A^T{{\vec V}\over{c}}\gamma&M^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot \begin{bmatrix}\gamma&{{\vec V^T}\over{c}}M_p^TA^'\\-A^T{{\vec V}\over{c}}\gamma&-M_p^TA^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma\\-M_p{{\vec V}\over{c}}&M_p\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} \gamma^2-{{V^T}\over{c}}M^T_pA^'M_p{{\vec V}\over{c}}&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma^2+{{\vec V^T}\over{c}}M_p^TA^'M_p\\-A^T{{\vec V}\over{c}}\gamma^2+M_p^TA^'M_p{{\vec V}\over{c}}&A^T{{\vec V\vec V^T}\over{c^2}}A\gamma^2-M_p^TA^'M_p\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} \gamma^2-{{V^T}\over{c}}\gamma^2A^T{{\vec V}\over{c}}&-{{\vec V^T}\over{c}}A\gamma^2+{{\vec V^T}\over{c}}\gamma^2A\\-A^T{{\vec V}\over{c}}\gamma^2+\gamma^2A^T{{\vec V}\over{c}}&P_{||}^TA{{V^2}\over{c^2}}\gamma^2-P_{||}^TA\gamma^2-P^T_{\perp}A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix} \gamma^2-{{V^2}\over{c^2}}\gamma^2&0\\0&-\left(1-{{V^2}\over{c^2}}\right)\gamma^2 P_{||}^TA-P_{\perp}^TA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} 1&0\\0&-(P_{||}+P_{\perp})^TA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} 1&0\\0&-IA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} 1&0\\0&-A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T \begin{bmatrix} \pm 1&0\\0&\mp A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T(\eta)\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=c^2dt^2-d\vec r^TAd\vec r=ds^2\Rightarrow d{s^{'}}^2=ds^2\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow ds^'=ds</MATH>|1.80}} Stąd wniosek, interwał czasoprzestrzenny pozostaje stały niezależnie z jaką prędkością porusza się układ współrzędnych K', jeśli znamy jego nieskończenie małą różnice w starym układzie współrzędnych, to je znamy w nowym układzie współrzędnych. ==== Jeszcze raz o interwale czasoprzestrzennym w układach słabozakrzywionych, a układy globalnie (lokalnie) płaskie ==== Udowodnijmy, czy interwał jest niezmienniczy przechodząc do układów słabozakrzywionych z układów globalnie (lokalnie) płaskich i do układów globalnie (lokalnie) płaskich z układów słabozakrzywionych. {{CentrujWzór|<MATH>d\overline s^{2}=c^2d\overline t^{2}-d\vec \overline r^{T}\overline{A}d\vec \overline r=\pm {\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}}^T(\overline\eta)\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}=\pm {\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\mp\overline A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-\overline A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cd\overline t\\d\vec \overline r\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T{\begin{bmatrix}1&0\\0&\overline{\Lambda}_p\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-\overline A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&\overline{\Lambda}_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}= {\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-\overline\Lambda_p^T\overline A\overline\Lambda_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&-A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}\pm 1&0\\0&\mp A\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=\pm{\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}}^T(\eta)\begin{bmatrix}cdt\\d\vec r\end{bmatrix}=c^2dt^2-d\vec r^TAd\vec r=ds^2\Rightarrow d\overline s^2=ds^2\Rightarrow d\overline s=ds</MATH>|B11}} Czyli na podstawie {{LinkWzór|B11}} (pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim) i {{LinkWzór|1.80}} (niezmienniczością interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich) interwał czasoprzestrzenny pomiędzy układami słabozakrzywionymi jest niezmienniczy. === Interwał czasoprzestrzenny w teorii transformacji Galileusza === W teorii transformacji Galileusza mamy {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}}, wtedy we wzorze na interwał czasoprzestrzenny {{LinkWzór|1.77}} możemy zaniedbać wyraz o wiele mniejszy od jedynki, tzn. wyraz {{CentrujWzór|<MATH>v\ll c\Rightarrow {{v}\over{c}}\ll 1\Rightarrow{{v^2}\over{c^2}}\ll {{v}\over{c}}\ll 1\;</MATH>|N8}} wtedy różniczka interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.77}} może być zapisana stosując {{LinkWzór|N8}} jako: {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=c^2dt^2\left(1+{{v^2}\over{c^2}}\right)\simeq c^2dt^2\Rightarrow ds\simeq cdt\;</MATH>|1.80a}} Różniczka interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.80a}} musi być tak napisana, by dla różniczki czasu dodatniej różniczka interwału czasoprzestrzennego była dodatnia, a dla różniczki czasu ujemnej była ujemna. Jak widzimy w {{LinkWzór|1.80a}} interwał czasoprzestrzenny zależy tylko od różniczki czasu dla prędkości {{Formuła|<MATH>v\ll c\;</MATH>}}. Ten interwał w tej teorii transformacji jest niezmienniczy, bo czas w tej teorii jest absolutny. == Transformacje tensora metrycznego &eta; == Zajmiemy się tutaj transformacjami tensora metrycznego w transformacji Lorentza i Galileusza, a także wzorem ogólnym słusznym w obu tych teoriach. === Transformacja tensora metrycznego w teorii transformacji Lorentza === Transformacja tensora metrycznego w szczególnej teorii względności na podstawie {{LinkWzór|1.80}} (tzn.: wzory: {{LinkWzór|1.80b1}} i {{LinkWzór|1.80b}}) i {{LinkWzór|B11}} (tzn.: wzory {{LinkWzór|1.80b2}} i {{LinkWzór|1.80ba}}) oraz połączenie wzorów {{LinkWzór|1.80}} i {{LinkWzór|B11}} (tzn. wzory {{LinkWzór|1.80b1a}} i {{LinkWzór|1.80ba1}}) piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<maTh>\eta^'=M^{'T}\eta M^'\;</MATH>|1.80b1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\eta=M^T\eta^'M\;</MATH>|1.80b}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline\eta=\overline\Lambda^{'T}\eta \overline\Lambda^'\;</MATH>|1.80b2}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\eta=\overline \Lambda^T\overline\eta \overline \Lambda</MATH>|1.80ba}} | 5 = {{CentrujWzór|<maTh>\overline \eta^'=\overline M^{'T}\overline\eta \overline M^'\;</MATH>|1.80b1a}} | 6 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline\eta=\overline M^T\overline\eta^'\overline M\;</MATH>|1.80ba1}} }} gdzie macierz {{Formuła|<MATH>M^'\;</Math>}} ({{Formuła|<MATH>\overline\Lambda^'\;</MATH>}}) jest zdefiniowana wzorem {{LinkWzór|1.63b|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} (macierzą odwrotną do {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}, czyli wzorem {{LinkWzór|X1aa|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}), a macierz {{Formuła|<MATH>M\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, (macierzą {{Formuła|<MATH>\overline\Lambda\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|X1|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}}), a także macierz tensora metrycznego {{Formuła|<MATH>\eta\;</MATH>}} przedstawiamy w {{LinkWzór|1.75}}. === Transformacja tensora metrycznego w teorii transformacji Lorentza i Galileusza === Transformacja tensora metrycznego {{LinkWzór|1.75}} czasoprzestrzeni w teorii transformacji Lorentza i Galileusza przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^'=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p^'\end{bmatrix}^T\eta\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p^'\end{bmatrix}\wedge \eta=\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}^T\eta^'\begin{bmatrix}1&0\\0&C_p\end{bmatrix}</MATH>|1.80c}} Ta transformacja dla teorii transformacji Galileusza jest na pewno dokładnie spełniona, bo {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}. Jak widzimy tożsamość {{LinkWzór|1.80c}} możemy utrzymać w sposób przybliżony ze wzoru {{LinkWzór|1.80b}} biorąc przybliżenie bardzo małych prędkości z porównaniu z prędkością światła, ale otrzymany wzór nie jest przybliżony, tylko dokładny, bo {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, w teorii transformacji Lorentza też on jest spełniony. == Stożek światła == {{Rysunek|szczegolna_teoria_wzglednosci_stozek_swiatla.svg|stozek_swiatla|Stożek światła|rozmiar=160px}} Wiadomo, że z poprzedniego punktu według wzoru {{LinkWzór|1.77}}, ale tym razem będziemy operować różnicami skończonymi, to kwadrat różnicy interwału czasoprzestrzennego definiujemy: {{CentrujWzór|<math>\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2_1-\Delta x^2_2-\Delta x^2_3-...-\Delta x^2_n\;</MATH>|1.81}} Również zachodzi &Delta; s{{Sup|2}}&ge; 0, bo 0 &le; v&le; c, i korzystając z definicji prędkości, to wtedy ten nasz interwał zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s^2=c^2\Delta t^2\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|1.82}} Dochodzimy do wniosku, że na podstawie wzoru {{LinkWzór|1.74b}} i {{LinkWzór|1.82}}, że {{Formuła|<MATH>\Delta s^2\geq 0\;</MATH>}}, bo {{Formuła|<MATH>v\leq c\;</math>}}: {{CentrujWzór|<MATH>c^2\Delta t^2-\Delta x^2_1-\Delta x^2_2-\Delta x^2_3-...-\Delta x^2_n\geq 0\Rightarrow \Delta x^2_1+\Delta x^2_2+\Delta x^2_3+...+\Delta x^2_n\leq(c\Delta t)^2\;</MATH>|1.83}} Gdy założymy punkty początkowe na zero, tzn. {{Formuła|<MATH>x_{10}=x_{20}=x_{30}=...=x_{n0}=ct_0=s_0=0\;</MATH>}}, wtedy mamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>s^2=c^2t^2-x_1^2-x_2^2-...-x_n^2\;</MATH>|1.83a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>x^2_1+x^2_2+x^2_3+...+x_n^2\leq c^2t^2</math>|1.83b}} }} Wzór {{LinkWzór|1.83a}} przedstawia kwadrat długości wektora wodzącego w (n+1) wymiarowej czasoprzestrzeni, gdzie n to liczba współrzędnych przestrzennych plus jedna współrzędna czasowa. Wykresem {{LinkWzór|1.83b}} jest wykres stożka, którego przekrój dla danego t ma promień r=ct, którego węzeł znajduje się w punkcie t=0, którego brzeg jest spełniony dla s{{Sup|2}}=0, a jego wnętrze jest dla s{{Sup|2}}>0, na zewnątrz linii światła żadne ciało nie może się znaleźć. Wykres stożka z liniami światła jest pokazany na rysunku obok. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> er0y0hxaotjt6q67p650hycvwr5hzir 0 46733 558696 548227 2026-10-05T03:39:41Z Persino 2851 558696 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmowali macierzą bazy w starym i nowym układzie odniesienia w teorii transformacji Lorentza i Galileusza. == Teoria transformacji bazy w transformachach Lorentza == Będziemy tutaj badać transformacje Lorenza dla sygnatury dodatniej i ujemnej. === Sygnatura dodatnia === Napiszmy transformacje macierzy bazy z układu współrzędnych starego do nowego wiedząc, że zachodzi dla wersora czasowego {{Formuła|<MATH>\vec e_0=\pm[1,0_{0n}]^T=[\xi=\pm 1,[0]_{0n}]^T\;</MATH>}}, którego długość musi być równa jeden z definicji tensora Minkowskiego {{LinkWzór|1.75|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}, i biorąc bazę w nowym układzie odniesienia {{Formuła|<MATH>[{\zeta^{s}}_{k}\vec e_{s}]_{nn}=B_p\Zeta\;</MATH>}}, w którym będziemy oznaczać macierz przejścia przez {{Formuła|<MATH>\Zeta=\left[{\zeta^{s}}_{k}\right]\;</MATH>}}, oraz wiedząc, że macierz bazy w przestrzeni absolutnej przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>B=\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_pZ\end{bmatrix}\;</MATH>|1.84}} Z macierzą transformacji zdefiniowaną według {{LinkWzór|1.63b|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} na podstawie {{LinkWzór|1.12|Podstawy teorii względności}} możemy napisać wzór w przestrzeni absolutnej, co z niego otrzymamy transformację macierzy bazy ze starego układu odniesienia do nowego: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_nX^'=BX\Rightarrow B^'_nMX=BX\Rightarrow B^'_nM=B\Rightarrow B^'_n=BM^{-1}\Rightarrow B^'_n=BM^'\;</MATH>|1.85}} Na podstawie {{LinkWzór|1.84}} widzimy, że istnieje dwa rodzaje baz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} ze względu na wersor czasowy, w których każdy ten rodzaj odpowiada nieskończeniu wiele takich baz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}}, przy ściśle określonym {{Formuła|<MATH>B_p\;</MATH>}}, napisane według {{LinkWzór|1.84}}. Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.85}} na transformacje bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego i macierz bazy w starym układzie odniesienia {{LinkWzór|1.84}}, wtedy na podstawie tego możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_n=BM^'=\begin{bmatrix}\xi&0\\0&iB_pZ\end{bmatrix}M^'=\begin{bmatrix}\xi&0\\0& iB_pZ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma^'&-\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\\-M_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&M_p^'\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\xi\gamma^'&-\xi\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\\- iB_pZM_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&iB_pZM^'_p\end{bmatrix}\;</MATH>|1.86}} Na podstawie {{LinkWzór|1.86}} przestrzeń (n-wymiarową przestrzeń bez wymiaru czasowego) w nowym układzie odniesienia nie znajduje się dokładnie w przestrzeni starego układu odniesienia. Ale mamy w nowym układzie odniesienia {{Formuła|<MATH> B^'=[\vec e_0,e_1,..,\vec e_n]\;</MATH>}}, które niech będą współrzędnymi bazy w układzie absolutnym o wersorach ortonormalnych. Przetransformujmy bazę absolutną starą w nową w taki sposób by wybrać nową bazę absolutną o wersorach ortonormalnych, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>B_a^'=B_aT^{-1}\Rightarrow I={B_b^'}^TB_a^'=T^{-T}{B_a}^TB_aT^{-1}=T^{-T}IT^{-1}=T^{-T}T^{-1}\Rightarrow T^{-T}T^{-1}=I\Rightarrow (TT^T) ^{-1}=I\Rightarrow TT^T=I\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow T^T=T^{-1}\Rightarrow T^TT=I\;</MATH>|1.87}} Napiszmy transformację bazy współrzędnych absolutnych starych w nowe wykorzystując tożsamości {{LinkWzór|G16|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} pisząc transformacje do bazy absolutnej podobnej do {{LinkWzór|1.84}} w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>B^'=\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&iB_p^'\Zeta^' \end{bmatrix}=TB^'_n=TBM^'=T\begin{bmatrix}\xi\gamma^'&-\xi\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\\- iB_p\Zeta M^'_p{{\vec V^'}\over{c}}& iB_p\Zeta M^'_p\end{bmatrix}\Rightarrow\underbrace{\begin{bmatrix}c_{00}&c_{0x}\\c_{x0}&C\end{bmatrix}}_{T^{-1}}\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&iB_p^'\Zeta^'\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}\xi\gamma^'&-\xi\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\\-iB_p\Zeta M^'_p{{\vec V^'}\over{c}}& iB_p\Zeta M^'_p\end{bmatrix} \Rightarrow\begin{bmatrix} \xi^'c_{00}& c_{0x}iB_p^'\Zeta^'\\ \xi^'c_{x0}& CiB_p^'\Zeta^' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi\gamma^'&-\xi\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\\- iB_p \Zeta M^'_p{{\vec V^'}\over{c}}&iB_pZM^'_p\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow T^{-1}=\begin{bmatrix} \xi^{'-1}\xi\gamma^'&\xi i\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1}\\ -\xi^{'-1}i\gamma^'B_p\Zeta C_p^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_pZM_p^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \xi^{'-1}\xi\gamma^'&\xi i\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1}B_p^{'-T}Z^{'-T}Z^{'T}B_p^{'T}\\ -\xi^{'-1}i\gamma^'B_p\Zeta C_p^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_pZM_p^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1} \end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix} \xi^{'-1}\xi\gamma^'&\xi i\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'A^{'-1}Z^{'T}B_p^{'T}\\ -\xi^'i\gamma^'B_p\Zeta C_p^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_pZM_p^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \xi^{'-1}\xi\gamma^'&\xi i\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}\Zeta^{'T}B_p^{'T}\\ -\xi^{'-1}i\gamma^'B_p\Zeta C_p^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_pZM_p^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1} \end{bmatrix}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow T^{-1}=\begin{bmatrix} \xi^{'-1}\xi\gamma^'&\xi i\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}\Zeta^{'T}B_p^{'T}\\ -\xi^{'-1}i\gamma^'B_p\Zeta C_p^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_pZM_p^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1} \end{bmatrix}</MATH>|1.88}} Napiszmy macierz na {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} na podstawie macierzy {{Formuła|<MATH>T^{-1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.88}} zamieniając skalary i macierze w wierszach i kolumnach w nim bez primów na primy i odwrotnie, co dalej będziemy przekształcać tą macierz wykorzystując {{LinkWzór|1.33a|Transformacje prędkości - początek rozważań}}: {{CentrujWzór|<MATH>T=\begin{bmatrix} \xi^'\xi^{-1}\gamma&\xi^' i\gamma{{\vec {V}^T}\over{c}}\Zeta^{T}B_p^{T}\\ -\xi^{-1} i\gamma B_p^'\Zeta^' C_p{{\vec {V}}\over{c}}&B_p^'Z^'M_p\Zeta^{-1}B_p^{-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \xi^'\xi^{-1}\gamma^'&-\xi^' i\gamma^'{{\vec {V}^{'T}}\over{c}}C_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T}\\ \xi^{-1} i\gamma^' B_p^'\Zeta^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_p^{'-T}Z^{'-T}M_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T} \end{bmatrix}\;</MATH>|1.89}} bo zachodzi tożsamość na podstawie twierdzeń {{LinkWzór|T11|Przypomnienie o operatorach rzutowych}}, {{LinkWzór|T12|Przypomnienie o operatorach rzutowych}} i {{LinkWzór|G0|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH>B'_p\Zeta^{'}M_p\Zeta^{-1}B_p^{-1}=B_p^'\Zeta^'C_p(P_{||}\gamma+P_{\perp})\Zeta^{-1} B_p^{-1}=B_{p}^'\Zeta^' C_p(P_{||}\gamma+P_{\perp})C_{p}^{-1}C_p\Zeta^{-1}B^{-1}_p= B_p^{'}\Zeta^'(P_{||}^'\gamma^'+P_{\perp}^')C_p\Zeta^{-1}B^{-1}_p=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= B_p^{'-T}Z^{'-T}Z^{'T}B^{'T}B_{p}^{'}\Zeta^{'}(P_{||}^'\gamma^'+P_{\perp}^')C_p\Zeta^{-1} B_{p}^{-1}B^{-T}_p\Zeta^{-T}\Zeta^T B_p^T=B_p^{'-T}Z^{'-T}A^'(P_{||}^'\gamma^'+P_{\perp}^')C_pA^{-1}Z^TB_p^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= B_p^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma^'+P_{\perp}^{'T})A^{'}C_pA^{-1}Z^{T}B_p^T=B_p^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma^'+P_{\perp}^{'T})C_p^{-T}AA^{-1}Z^{T}B_p^T=B_p^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma^'+P_{\perp}^{'T})C_p^{'T}Z^{T}B_p^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=B_p^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'}\gamma^'+P_{\perp}^{'})^TC_p^{'T}Z^TB_p^T=B_p^{'-T}Z^{'-T}M_p^{'T}Z^TB_p^T</MATH>}} Teraz sprawdźmy, czy macierz {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.89}} jest macierzą odwrotną do macierzy {{Formuła|<MATH>T^{-1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.88}} wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|G16|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>T^{-1}T=\begin{bmatrix} \xi^{'-1}\xi\gamma^'&\xi i\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}\Zeta^{'T}B_p^{'T}\\ -\xi^{'-1}i\gamma^'B_p\Zeta C_p^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_pZM_p^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \xi^'\xi^{-1}\gamma^'&-\xi^' i\gamma^'{{\vec {V}^{'T}}\over{c}}C_p^'\Zeta^{T}B_p^{T}\\ \xi^{-1} i\gamma^' B_p^'\Zeta^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_p^{'-T}Z^{'-T}M_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}\\r_{10}&r_{11}\end{bmatrix}=I\;</MATH>{{Br}}{{Tekst|A oto dowód:}}{{Br}}<MATH>r_{00}={\gamma^'}^2-{\gamma^'}^2{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'{{\vec V^'}\over{c}}=1\;</MATH>{{Br}}<MATH>r_{01}=-\xi i{{\vec {V^'}^T}\over{c}}{\gamma^'}^2{C_p^'}^TZ^TB_p^T+\xi i\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}M_p^{'T}Z^TB_p^T=0\;</MATH>{{Br}}<MATH> r_{10}=-\xi^{-1} i{\gamma^'}^2B_p\Zeta C_p^'{{\vec {V^'}}\over{c}}+ \xi^{-1} B_p\Zeta M_p^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1}i\gamma B_p^{'}\Zeta^'{{\vec V^'}\over{c}}=0\;</MATH>{{Br}}<MATH>r_{11}=-\gamma^'B_pZC_p^'{{\vec {V^'}}\over{c}}{{\vec {V^'}^T}\over{c}}\gamma^'{C_p^'}^TZ^TB_p^T+B_pZM_p^'\Zeta^{'-1}B_p^{'-1}B_p^{'-T}Z^{'-T}M_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\gamma^'{{V^{'2}}\over{c^2}}B_p\Zeta C_p^'{P_{||}^{'+}}^TA^{'-1}P_{||}^{'+}\gamma^'{C_p^'}^T\Zeta^TB_p^T+B_p\Zeta M_p^'A^{'-1}M_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\gamma^'{{V^{'2}}\over{c^2}}B_p\Zeta C_p^'{P_{||}^{'+}}^TA^{'-1}P_{||}^{'+}\gamma^'{C_p^'}^T\Zeta^TB_p^T+B_pZC_p^'\left(\gamma^'P_{||}^{'+}+P_{\perp}^{+}\right)^TA^{'-1}\left(\gamma^'P_{||}^{'+}+P_{\perp}^{'+}\right)C_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-\gamma^{'2}{{V^{'2}}\over{c^2}}B_p\Zeta C_p^'{P_{||}^{'+}}^TA^{'-1}P_{||}^{'+}{C_p^'}^TZ^TB_p^T+\gamma^{'2}B_pZC_p^'{P_{||}^{'+}}^TA^{'-1}P_{||}^{'+}C_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T}+B_pZC_p^'{P_{\perp}^{'+}}^TA^{'-1}P_{\perp}^{'+}C_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=B_p\Zeta C_p^'A^{'-1}C_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T}=B_p\Zeta A^{-1}\Zeta^TB_p^T=B_p\Zeta\Zeta^{-1}B_p^{-1}B_p^{-T}\Zeta^{-T}\Zeta^{T}B_p^T=I</MATH>|1.90}} Stąd rzeczywiście macierz {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.89}} jest macierzą odwrotną do macierzy {{Formuła|<MATH>T^{-1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.88}} na podstawie dowodu {{LinkWzór|1.90}}. Ale można zauważyć na podstawie {{LinkWzór|1.88}} i {{LinkWzór|1.89}}, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>T^T=T^{-1}\;</MATH>|1.91}} co na tej podstawie dowiedliśmy, że zachodzi {{LinkWzór|1.87}}. Stąd udowodniliśmy, że twierdzenie {{LinkWzór|G16|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} nie jest wcale sprzeczne ze stwierdzeniem według {{LinkWzór|1.87}}, {{Formuła|<MATH>T^{-1}T=I\;</MATH>}} (bo dowód {{LinkWzór|1.90}}) i {{LinkWzór|1.91}}. Możemy również powiedzieć, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^'=\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^'\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&iB^'_p\Zeta^'\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0& iB^'_p\Zeta^'\end{bmatrix}=M^{'T}{\begin{bmatrix}\xi&0\\0& iB_p\Zeta\end{bmatrix}}^TT^TT\begin{bmatrix}\xi&0\\0& iB_p\Zeta\end{bmatrix}M^'=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= M^{'T}{\begin{bmatrix}\xi&0\\0&iB_p\Zeta\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}\xi&0\\0&iB_p\Zeta\end{bmatrix}M^'=M^{'T}\begin{bmatrix}1&0\\0&-A\end{bmatrix}M^'=M^{'T}\eta M^'\Rightarrow \eta^'=M^{'T}\eta M^'\;</MATH>|1.92}} Stwierdzenie {{LinkWzór|1.92}} jest prawdziwe na podstawie {{LinkWzór|1.80|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}. Dla transformacji Galileusza bazy {{Formuła|<MATH>B_p\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>B_p^'\;</MATH>}}, które również przyjmujemy w szczególnej teorii względności, mamy {{Formuła|<MATH>B^'_pZ^'=B_pZC_p^'\Rightarrow B^{-1}_pB_p^'Z^'=ZC_p^'\Rightarrow C_{pZ=IZ^'=I}^'Z^'=ZC_p^'\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>C_{pZ=IZ^'=I}^'\;</MATH>}} jest to macierz dla {{Formuła|<MATH>Z=I\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z^'=I\;</MATH>}}, co stąd {{Formuła|<MATH>B^'_pZ^'=B_pZC_p^'\Rightarrow B^'_pZ^'=B_pC_{pZ=IZ^'=I}^'Z^'\Rightarrow B^'_p=B_pC_{pZ=IZ^'=I}^{'}\;</MATH>}}, co stąd na tej podstawie otrzymujemy transformacje na wzór {{Formuła|<MATH>B^'_p\;</MATH>}} {{LinkWzór|G17|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, czyli wzór na transformacje Galileusza bazy z jednego układu odniesienia do drugiego dla bazy podstawowej {{Formuła|<MATH>B_p\;</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>V\ll c\;</MATH>}} mamy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} na podstawie wniosków: {{CentrujWzór|<MATH>T=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\0&B_p^{'-T}Z^{'-T}C_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\0&B_p^{'-T}\Zeta^{'-T}\Zeta^{'T}C_{pZ=IZ^'=I}^{'T}B_p^{T} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\0&B_p^{'-T}C_{pZ=IZ^'=I}^{'T}B_p^{T} \end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\0&B_p^{'-T}C_{pZ=IZ^'=I}^{'T}B_p^{T} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\0&B_p^{'-T}B_p^{'T} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\0&I \end{bmatrix}\;</MATH>|1.93}} A także policzmy iloczyn macierzy {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>M^'\;</MATH>}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>TBM^'=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\0&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \xi^{-1}&0\\ 0&iB_pZC_p^' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \xi^'&0\\ 0&iB_pC_{pZ=IZ^'=I}^'Z^' \end{bmatrix}\;</MATH>|1.94}} Stąd na podstawie {{LinkWzór|1.88}} mamy {{Formuła|<MATH>iB_p^'Z^'=iB_pC_{pZ=IZ^'=I}^'Z^'\Rightarrow B_p^'=B_pC_{pZ=IZ^'=I}^'\;</MATH>}}, czyli otrzymujemy taką samą transformację jak przy transformacji bazy Galileusza {{LinkWzór|G17|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}} jak powinno na pewno być. Napiszmy {{LinkWzór|1.88}} wykorzystując własności macierzy: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&iB_p^'Z^'\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}\xi&0\\0&iB_pZ\end{bmatrix}M^'\Rightarrow\underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&Z^'\end{bmatrix}}_{\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&iB_p^'Z^'\end{bmatrix}}=T\underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi&0\\0&Z\end{bmatrix}}_{\begin{bmatrix}\xi&0\\0&iB_pZ\end{bmatrix}}M^'\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi&0\\0&Z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\gamma^'&-\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\\-M_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&M_p^'\end{bmatrix} {\begin{bmatrix}\xi^{'}&0\\0&Z^{'}\end{bmatrix}}^{-1}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi&0\\0&Z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\gamma^'&-\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\\-M_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&M_p^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \xi\gamma^'&-\xi\gamma^'{{\vec {V^'}^T}\over{c}}A^'\\ -ZM_{p}^'{{\vec V^'}\over{c}}&ZM_p^' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \xi\xi^{'-1}\gamma^'&-\xi\gamma^'{{\vec V^{'T}}\over{c}}A^'Z^{'-1}\\ -ZM_p^'{{\vec V^'}\over{c}}\xi^{'-1}&ZM_p^'Z^{'-1} \end{bmatrix} </MATH>|1.95}} Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.84}} dla {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z=I\;</MATH>}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>{{\vec V^{'T}}\over{c}}A^'Z^{'-1}={{\vec V^{'T}}\over{c}}Z^{'T}A^{'}_{Z^'=I}Z^'Z^{'-1}=\xi^'{{ {\vec V^{'T}}_{Z=I\xi=1}}\over{c}}A^{'}_{Z^'=I}=\xi^'{{ {\vec V^{'T}_{Z^'=I\xi=1}}}\over{c}}A^{'}_{Z^'=I}\;</MATH>|1.96a}} {{CentrujWzór|<MATH>ZM_p^'{{\vec V^'}\over{c}}=ZC_p^'(P_{||}^'\gamma^'+P_{\perp}){{\vec V^'}\over{c}}=C_{pZ=IZ^'=I}^'Z^'\left(P_{||}^'\gamma^'+P_{\perp}^'\right)Z^{'-1}{{\vec V^{'}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}\xi^{'}=C_{pZ=IZ^'=I}^'\left(Z^'P_{||}^'Z^{'-1}\gamma^'+Z^'P_{\perp}^'Z^{'-1}\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot{{\vec V^{'}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}\xi^{'}=C_{pZ=IZ^'=I}^'\xi^{'}\left(P_{|| Z^'=I\xi^'=1}^'\gamma^'+P_{\perp Z^'=I\xi^'=1}^'\right){{\vec V^{'}_{Z^'=I\xi^{'}=1}}\over{c}}=\xi^{'}M_{pZ=IZ^'=I}^'{{\vec {V^'}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}=\xi^{'}M_{pZ=IZ^'=I}^'{{\vec {V^'}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}} \;</MATH>|1.96b}} {{CentrujWzór|<MATH> ZM_p^'Z^{'-1}=ZC_p^'(P_{||}^'\gamma+P_{\perp}^')Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^'=I}^'Z^'(P_{||}^'\gamma+P_{\perp}^')Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^'=I}^'\left(Z^'P_{||}^'Z^{'-1}\gamma^'+Z^'P_{\perp}^'Z^{'-1}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= C_{pZ=IZ^'=I}^'(P_{||Z^'=I\xi^'=1}^'\gamma^'+P_{\perp Z^'=I\xi^'=1}^')=M_{pZ=IZ^'=I}^'</MATH>|1.96c}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|1.96a}}, {{LinkWzór|1.96b}} i {{LinkWzór|1.96c}} dla {{LinkWzór|1.95}} dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \xi\xi^{'-1}\gamma^'&-\xi\xi^{'}\gamma^'{{\vec V^'_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}A^'_{Z^'=I}\\ -M_{pZ=IZ^'=I}^'{{\vec V^'_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&M_{pZ=IZ^'=I}^' \end{bmatrix}\;</MATH>|1.97}} A teraz policzmy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.89}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>T=\begin{bmatrix} \xi^'\xi^{-1}\gamma^'&-\xi^' i\gamma^'{{\vec {V}^{'T}}\over{c}}C_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T}\\ \xi^{-1} i\gamma^' B_p^'\Zeta^'{{\vec {V^'}}\over{c}}&B_p^{'-T}Z^{'-T}M_p^{'T}\Zeta^{T}B_p^{T} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \xi^'\xi^{-1}\gamma^'&-i\xi^{'2}\gamma^'{{\vec {V}^{'T}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}M_{pZ=IZ^'=I}^{'T}B_p^{T}\\ \xi^{-1}\xi^{'} i\gamma^' B_p^'{{\vec {V^'}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^'=I}B_p^T\end{bmatrix}\;</MATH>|1.98a}} a także policzmy dla {{Formuła|<MATH>Z=I\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Z^'=I\;</math>}}, {{Formuła|<math>\xi=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi^'=1\;</MATH>}}, co: {{CentrujWzór|<MATH>T_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}=\begin{bmatrix} \gamma^'&-i\gamma^'{{\vec {V}^{'T}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}M_{pZ=IZ^'=I}^{'T}B_p^{T}\\ i\gamma^' B_p^'{{\vec {V^'}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^'=I}B_p^T\end{bmatrix}\;</MATH>|1.98b}} A teraz policzmy {{LinkWzór|1.97}} podstawiając za {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} macierz {{LinkWzór|1.98a}}, wiedząc, że zachodzi {{Formuła|<MATH>\xi=\xi^{-1}=\pm 1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi^'=\xi^{'-1}=\pm 1\;</MATH>}} z definicji wersora czasowego, bo jego długość ma być równa jeden, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \xi^'\xi^{-1}\gamma^'&-i\gamma^'{{\vec {V}^{'T}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}M_{pZ=IZ^'=I}^{'T}B_p^{T}\\ \xi^{-1}\xi^{'} i\gamma^' B_p^'{{\vec {V^'}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^'=I}B_p^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix} \xi\xi^{'-1}\gamma^'&-\xi\xi^{'}\gamma^'{{\vec V^{'T}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}A^'_{Z^'=I}\\ -M_{pZ=IZ^'=I}^'{{\vec V^'_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&M_{pZ=IZ^'=I}^' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \xi^'\xi^{-1}\gamma^'&-i\gamma^'{{\vec {V}^{'T}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}M_{pZ=IZ^'=I}^{'T}B_p^{T}\\ \xi^'\xi^{-1} i\gamma^' B_p^'{{\vec {V}^{'T}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^'=I}B_p^T\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix} \xi\xi^{'-1}\gamma^'&-\xi\xi^{'}\gamma^'{{\vec V^{'T}_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}A^'_{Z^'=I}\\ -iB_pM_{pZ=IZ^'=I}^'{{\vec V^'_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&iB_pM_{pZ=IZ^'=I}^' \end{bmatrix}=T_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^'\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=T_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^'</MATH>|1.99}} Równość {{LinkWzór|1.99}} zachodzi na podstawie {{LinkWzór|1.95}}, bo to przejście da się tylko udowodnić przy założeniu, że jest spełniona zależność {{LinkWzór|G17|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}, co kończy dowód zależności {{Formuła|<MATH>B_p^'=B_pC_p^{-1}\;</MATH>}}. Policzmy transformację macierzy {{Formuła|<MATH>\eta_{Z=I}\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\eta^'_{\Zeta^'=I}\;</MATH>}}, wiedząc, że ogólnie dla macierzy transformacji {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} zachodzi związek {{LinkWzór|1.87}}: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^'_{Z^'=I}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^'_{Z^'=I}\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}}^TT^T_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}T_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^'= M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^' =M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^{'T}\begin{bmatrix}1&0\\0&-A_{Z=I}\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^'=M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^{'T}\eta_{Z=I}M_{pZ=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^'\Rightarrow\eta^'_{Z^'=I}=M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^{'T}\eta_{Z=I}M_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}^'\;</MATH>|1.100}} Dla transformacji bazy {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.84}} w inną bazę podobną do niego według {{LinkWzór|1.88}} tensor metryczny transformuje się według {{LinkWzór|1.92}}, a w bazie {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.84}} w podobną do niego w bazę dla {{Formuła|<MATH>Z=I\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Z^'=I\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi^'=1\;</MATH>}} tensor metryczny transformuje się według {{LinkWzór|1.100}}. === Sygnatura ujemna === Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>B=\begin{bmatrix}i\xi&0\\0&B_pZ\end{bmatrix}\;</MATH>|GGG12}} * Gdzie {{Formuła|<MATH>\xi=\pm 1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z=1\;</MATH>}} jest dowolne. Transformacja z bazy {{LinkWzór|1.84}} ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie przedstawienia transformacji przedstawia się według wzoru {{LinkWzór|1.88}}. Pomnóżmy macierz bazy {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} starego i nowego układu odniesienia, tzn. {{LinkWzór|1.84}} przez jednostkę urojoną {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} we wzorze transformacyjnym tej bazy {{LinkWzór|1.88}}, znając macierz {{Formuła|<MATH>M^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>T^'\;</MATH>}}, które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}}, wtedy zastąpmy w naszym równaniu według {{Formuła|<MATH>Z\rightarrow -Z\;</MATH>}}, a tam minus weźmy pod macierze {{Formuła|<MATH>B_p\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B^'_p\;</MATH>}}, wtedy otrzymamy transformację bazy {{LinkWzór|GGG12}} o takiej samej macierzy {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} jak dla sygnatury dodatniej, tzn. {{LinkWzór|1.89}}. Napiszmy transformację tensora metrycznego ze starego układu odniesienia do nowego przy dowolnym {{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi=\pm 1\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>(\eta^')=\begin{bmatrix}i\xi&0\\0&B_pZ\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}i\xi&0\\0&B_pZ\end{bmatrix}={M^'}^TB^TT^TTBM^'={M^'}^TB^TBM^'={M^'}^T\begin{bmatrix}-1&0\\0&A\end{bmatrix}{M^'}={M^'}^T(\eta)M^'\Rightarrow(\eta^')={M^'}^T(\eta)M^'\;</MATH>|GGG16a}} Weźmy {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z=I\;</MATH>}}, wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest o postaci: {{CentrujWzór|<MATH>B_{\xi=1,Z=I}=\begin{bmatrix}i&0\\0&B_p\end{bmatrix}\;</MATH>|GGG14}} W takim razie transformacja bazy starego układu współrzędnych do nowego układu przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_{\xi^'=1,Z^'=I}=T_{\xi=1,Z=1}B_{\xi=1,Z=I}M^'_{\xi=1,Z=1}\;</MATH>|GGG15}} Wtedy transformacja tensora metrycznego jest: {{CentrujWzór|<MATH>(\eta^')_{Z^'=I}=\begin{bmatrix}i&0\\0&B_p\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}i&0\\0&B_p\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {M^'}_{\xi,Z=1}^TB_{\xi=1,Z=I}^TT_{\xi=1,Z=1}^TT_{\xi=1,Z=1}B_{\xi=1,Z=I}M^'_{\xi=1,Z=1}={M^'}_{\xi=1,Z=1}^TB_{\xi=1,Z=I}^TB_{\xi=1,Z=I}M^'_{\xi=1,Z=1}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={M^'}_{\xi=1,Z=1}^T\begin{bmatrix}-1&0\\0&A_{Z=1,\xi=1}\end{bmatrix}{M^'}_{\xi=1,Z=1}={M^'}_{\xi=1,Z=1}^T(\eta)_{Z=I}M^'_{\xi=1,Z=1}\Rightarrow(\eta^')_{Z^'=I}={M^'}_{\xi=1,Z=1}^T(\eta)_{Z=I}M^'_{\xi=1,Z=1}\;</MATH>|GGG16}} Czyli w {{LinkWzór|GGG16}} udowodniliśmy transformację tensora metrycznego Minkowskiego w sygnaturze ujemnej. == Teoria bazy transformacji Galileusza == Będziemy tutaj badać transformacje Galileusza dla sygnatury dodatniej i ujemnej. === Sygnatura dodatnia === Weźmy sobie bazę taką samą jak w szczególnej teorii względności {{LinkWzór|1.84}}, wtedy jest spełnione {{LinkWzór|1.85}}. Weźmy Galileuszowską macierz transformacji {{Formuła|<MATH>M^'\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.63f|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, wtedy możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>B^'_n=BM^'=\begin{bmatrix}\xi&0\\0&iB_pZ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-C_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&C_p^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi&0\\-iB_pZC_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&iB_pZC_p^'\end{bmatrix}\;</MATH>|1.100a}} Weźmy inną bazę absolutną, której współrzędne przetransformujemy macierzą {{Formuła|<math>T\;</MATH>}}, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>B^'=\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&iB_p^'Z^'\end{bmatrix}=TB^'_n=TBM^'=T\begin{bmatrix}\xi&0\\-iB_pZC_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&iB_pZC_p^'\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}c_{00}&c_{0x}\\c_{x0}&C\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&iB_p^'Z^'\end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix}\xi&0\\-iB_pZC_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&iB_pZC_p^'\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}\xi^'c_{00}&c_{0x}iB_{p}^'Z^'\\\xi^'c_{x0}&iCB_p^'Z^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi&0\\-iB_pZC_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&iB_pZC_p^'\end{bmatrix}</MATH>|1.100b}} Wtedy macierz bazy {{Formuła|<MATH>T^{-1}\;</MATH>}} na podstawie obliczeń macierzowych {{LinkWzór|1.100b}} piszemy wynikającą z tego na podstawie tożsamości transformacji bazy przestrzennej {{LinkWzór|G17|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH>T^{-1}=\begin{bmatrix}\xi\xi^{'-1}&0\\-i\xi^{'-1}B_pZC_{p}^'{{\vec V^'}\over{c}}&B_pZC_p^'Z^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi\xi^{'-1}&0\\i\xi^{'-1}B_pZ{{\vec V}\over{c}}&I\end{bmatrix}\;</MATH>|1.100c}} Na podstawie analogii do macierzy {{Formuła|<MATH>T^{-1}\;</MATH>}} napiszmy macierz odwrotną do niego {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} zastępując wielkości primowane wielkościami bez primów i odwrotnie, dostajemy wzór na macierz {{Formuła|<MATH>T\;</math>}}: {{CentrujWzór|<MATH>T=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{-1}B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}</MATH>|1.100d}} Policzmy czy rzeczywiście macierz <MATH>T\;</MATH> {{LinkWzór|1.100d}} jest macierzą odwrotną do macierzy {{Formuła|<MATH>T^{-1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.100c}}, tzn. czy właściwie obraliśmy tą macierz, wykorzystajmy wtedy wzór na transformacje bazy przestrzennej Galileusza {{LinkWzór|G17|Przypomnienie transformacji Galileusza, właściwości operatorów transformacji}}: {{CentrujWzór|<MATH>TT^{-1}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{-1}B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi\xi^{'-1}&0\\i\xi^{'-1}B_pZ{{\vec V}\over{c}}&I\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0\\i\xi^{'-1}B_p^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}+i\xi^{'-1}B_pZZ^{-1}B_{p}^{-1}B_p^{'}Z^'C_p{{\vec V}\over{c}}&I\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}=I\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow TT^{-1}=I\;</MATH>|1.100e}} Zatem macierz {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} jest macierzą odwrotną do macierzy {{Formuła|<MATH>T^{-1}\;</MATH>}} jak przypuszczaliśmy. Napiszmy jaki wyjdzie wynik z wyrażenia macierzowego dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, zakładając, że {{Formuła|<MATH>\xi=\pm 1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi^'=\pm 1\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>TT^T=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{-1}B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&i\xi^{-1}{{\vec V^{'T}}\over{c}}Z^{'T}B_p^{'T}\\0&I\end{bmatrix}\simeq \begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}=I</MATH>|1.100f}} Dla teorii transformacji Galileusza iloczyn macierzy {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.100d}} przez jego macierz transponowaną daje nam macierz w przybliżeniu jedynkową, czyli baza absolutna w nowym i starym układzie odniesienia jest w przybliżeniu ogólnie ortonormalna. Napiszmy tożsamość macierzową, którą przepiszemy jako transformację bazy {{Formuła|<MATH>n+1\;</MATH>}} wymiarowej ze starego układu współrzędnych do nowego, to wtedy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&iB_p^'Z^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{-1}B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi&0\\0&iB_pZ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-C_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&C_p^'\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi^'&0\\0&Z^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{-1}B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi&0\\0&Z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-C_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&C_p^'\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{-1}B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi&0\\0&Z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\-C_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&C_p^'\end{bmatrix}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\begin{bmatrix}\xi^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{-1}B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi&0\\-ZC_p^'{{\vec V^'}\over{c}}&ZC_{p}^'\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{-1}B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi\xi^{'-1}&0\\-\xi^{'-1}ZC_{p}^'{{\vec V^'}\over{c}}&ZC_{p}^'Z^{'-1}\end{bmatrix}</math>|1.100g}} Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.84}} dla {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z=I\;</MATH>}} wykorzystując {{Formuła|<MATH>C_{pZ=IZ^'=I}^'Z^'=ZC_p^'\;</MATH>}} wynikającego z {{Formuła|<MATH>B_p^'=B_pC_p^'\;</MATH>}} wyprowadzona w poprzednim rozdziale, czyli: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>ZC_{p}^'{{\vec V^'}\over{c}}=\xi^'C_{pZ=IZ^'=I}^'{{\vec V_{Z=I\xi=1}^'}\over{c}}</MATH>|1.100ha}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>ZC_{p}^'Z^{'-1}=C_{pZ=1Z^'=I}Z^{'}Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^'=I}</MATH>|1.100hb}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>B_{p}^'Z^'{{\vec V^'}\over{c}}=\xi^' B_{p}^'{{\vec V_{Z^'=I\xi^'=1}^'}\over{c}}\;</MATH>|1.100hc}} }} Macierz {{Formuła|<MATH>T_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}\;</MATH>}} przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>T_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}=\begin{bmatrix}1&0\\iB_{p}^'{{\vec V_{Z^'=I\xi^'=1}^'}\over{c}}&I\end{bmatrix}\;</MATH>|1.100ia}} Dokończy obliczenia z punktu {{LinkWzór|1.100g}} wyznaczając wzór na transformacje bazy z bazy w starym układzie współrzędnych dla {{Formuła|<MATH>Z=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}} na bazę w nowym układzie współrzędnych dla {{Formuła|<MATH>Z^'=I\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi^'=1\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^'\xi^{-1}B_{p}^'{{\vec V^'_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi\xi^{'-1}&0\\-C_{pZ=IZ^'=I}^'{{\vec V_{Z=I\xi=1}^'}\over{c}}&C_{pZ=IZ^'=I}^'\end{bmatrix}\Rightarrow</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\xi^'\xi^{-1}&0\\i\xi^{'}\xi^{-1}B_{p}^'{{\vec V^'_{Z^'=I\xi^'=1}}\over{c}}&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\xi\xi^{'-1}&0\\-iB_pC_{pZ=IZ^'=I}^'{{\vec V^'_{Z=I\xi=1}}\over{c}}&iB_pC_{pZ=IZ^'=I}^'\end{bmatrix}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p^'\end{bmatrix}=T_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_p\end{bmatrix}M^'_{Z=IZ^'=I\xi=1\xi^'=1}</MATH>|1.100i}} Transformacja bazy {{Formuła|<MATH>n+1\;</MATH>}} wielowymiarowej w teorii transformacji Galileusza, czyli dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, przedstawia się w formie {{LinkWzór|1.100i}} i ona jest podobna bardzo do wzoru {{LinkWzór|1.100b}}, tylko tutaj dokładnie nie da się wyznaczyć transformacji tensora metrycznego {{LinkWzór|1.75|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}}, jak w punkcie {{LinkWzór|1.100}}, opisująca przestrzenie {{Formuła|<MATH>n+1\;</MATH>}} wymiarowe. === Sygnatura ujemna === Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci {{LinkWzór|GGG12}} w transformacji Galileusza, w którym {{Formuła|<MATH>\xi\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}} są dowolne. Transformacja z bazy {{LinkWzór|1.84}} ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie transformacji przedstawia się według wzoru {{LinkWzór|1.100b}}. Pomnóżmy macierz bazy {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} starego i nowego układu odniesienia, tzn. {{LinkWzór|1.84}} przez jednostkę urojoną {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} we wzorze transformacyjnym tej bazy {{LinkWzór|1.100b}} znając macierz {{Formuła|<MATH>M^'\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>T^'\;</MATH>}}, które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}}, wtedy zastąpmy w naszym równaniu według {{Formuła|<MATH>Z\rightarrow -Z\;</MATH>}}, a tam minus weźmy pod macierze {{Formuła|<MATH>B_p\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B^'_p\;</MATH>}}, wtedy otrzymamy transformację bazy {{LinkWzór|GGG12}} o takiej samej macierzy {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}}, jak dla sygnatury dodatniej, tzn. {{LinkWzór|1.100d}}. Weźmy {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Z=I\;</MATH>}}, wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest napisana formułą {{LinkWzór|GGG14}}. W takim razie transformacja jest dla bazy starego i nowego układu odniesienia napisana dla tego przypadku wzorem {{LinkWzór|GGG15}}. == Dlaczego czas nie może płynąć do tyłu == Według tego modułu, gdy {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}}, to czas płynie do przodu, a gdy {{Formuła|<MATH>\xi=-1\;</MATH>}}, to czas płynie do tyłu, lub odwrotnie, w szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, na podstawie przedstawienia ogólnej bazy czasoprzestrzennej {{LinkWzór|1.84}}, to świat według tych dwóch przypadków wygląda tak samo, jak by czas płynął tylko w jednym kierunku, bo przypadek {{Formuła|<MATH>\xi=-1\;</MATH>}} można przetransformować na {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}}, lub odwrotnie. Stąd wniosek, rzucona filiżanka od kawy, która się potłukła, to taki proces nie może zajść w kierunku odwrotnym, czyli ona nie może się złożyć, a więc czas płynie tylko w jednym kierunku, w kierunku dodatnich czasów, gdy założymy, że zachodzi {{Formuła|<MATH>\xi=1\;</MATH>}}, lub w kierunku ujemnych czasów, gdy mamy {{Formuła|<MATH>\xi=-1\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> af1grls6jrupfj7nfdfs1x40mk4sfb2 0 46734 558700 548233 2026-10-05T03:58:08Z Persino 2851 558700 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy tutaj rozważali równania ruchu, a także jak transformują się wielkości tensorowe i wskaźnikowe. == Definicja postaci einsteinowskiej i newtonowskiej == '''Postać einsteinowska''' jest to, co opisuje czasoprzestrzeń, a czas w niej nie jest parametrem, tylko współrzędną. A '''postać newtonowska''' jest to, co opisuje przestrzeń zwykłą, a czas w niej nie jest współrzędną, tylko parametrem. Postać newtonowska jest podzbiorem postaci einsteinowskiej. W postaci newtonowskiej jest spełniona absolutność czasu (tzn. przy przejściu z jednego układu współrzędnych do drugiego czas jest niezmienniczy), a w postaci einsteinowskiej już nie musi tak być. == Jak transformować zmienne kowariantne i kontrawariantne w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona == Powiemy jak transformują się zmienne kowariantne i kontrawariantne bez nadkreślenia i z nadkreśleniem. W następnych dwóch rozdziałach będziemy rozważać jak wygląda macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} działająca na pewne typy zmiennych w rozważanych transformacjach typu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline X^{\mu}={\overline \Lambda^{\mu}}_{\nu}X^{\nu}\wedge \overline X_{\mu}={\Lambda^{\nu}}_{\mu}X_{\nu}\Rightarrow X^{\mu}={ \Lambda^{\mu}}_{\nu}\overline X^{\nu}\wedge X_{\mu}={\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}\overline X_{\nu}\;</MATH>|PP1}} Jak dla transformacji tensorów jednowskaźnikowych kowariantnych i kontrawiantnych, podobnie jest jak w tensorach {{Formuła|<MATH>X^{\nu}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>X_{\nu}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline X^{\nu}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline X_{\nu}\;</MATH>}}, gdy wskaźnik występuje po przecinku w układach globalnie (lokalnie) płaskich lub po średniku w układach zakrzywionych. Podobne są rozważania, gdy transformujemy względem jakiegoś wskaźnika (gdy wskaźników górnych i dolnych są jakieś liczby w zmiennych), jak jest w przemyśleniach w {{LinkWzór|PP1}} dla jednego wskaźnika. === Szczególna teoria względności === Do szczególnej teorii względności będziemy stosowali tylko postać einsteinowską. Do rozważań będziemy stosowali transformację tensorów jednowskaźnikowych kowariantnych i kontrawariantnych {{LinkWzór|PP1}}, którą można uoogólnić dla tensorów o iluś wskaźnikach górnych i dolnych. Dla szczególnej teorii względności macierz transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich dla współrzędnych kontrawariantnych bez nadkreślenia dla macierzy transformacji {{LinkWzór|1.63a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} mamy {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}=M\;</MATH>}} (a z nadkreśleniem {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}=M^{-1}\;</MATH>}}), a dla współrzędnych kowariantnych bez nadkreślenia jest w postaci {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}=M^{-1}\;</MATH>}} (a z nadkreśleniem {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}=M\;</MATH>}}), a dla przestrzeni słabozakrzywionych dla współrzędnych kontrawiariantnych bez nadkreślenia dla macierzy transformacji {{LinkWzór|X5|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}} mamy {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\overline M\;</MATH>}} (a z nadkreśleniem {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\overline M^{-1}\;</MATH>}}), a dla współrzędnych kowariantnych bez nadkreślenia jest w postaci {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\overline M^{-1}\;</MATH>}} (a z nadkreśleniem {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\overline M\;</MATH>}}). === Mechanika Newtona === Do mechaniki Newtona będziemy stosowali postać newtonowską i einsteinowską. Do rozważań będziemy stosowali transformację tensorów jednowskaźnikowych kowariantnych i kontrawariantnych {{LinkWzór|PP1}}, którą można uoogólnić dla tensorów o iluś wskaźnikach górnych i dolnych. W mechanice Newtona, jeśli traktować czas {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}} jako parametr to macierz transformacji jest {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^k}_l\;</MATH>}} (lub {{Formuła|<MATH>{\Lambda^k}_l\;</MATH>}}) to wtedy będziemy stosowali postać newtonowską, a jeśli tam traktować czas jako współrzędną to macierz jest wtedy taka {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} (lub {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}}), zatem wtedy dla mechaniki Newtona będziemy stosować transformację jak w postaci einsteinowskiej, wtedy macierz transformacji w układach globalnie (lokalnie) płaskich dla współrzędnych kontrawariantnych bez nadkreślenia dla macierzy transformacji {{LinkWzór|1.63d|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, mamy {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}=M\;</MATH>}} (a z nadkreśleniem {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}=M^{-1}\;</MATH>}}), a dla współrzędnych kowariantnych bez nadkreślenia jest w postaci {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}=M^{-1}\;</MATH>}} (a z nadkreśleniem {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}=M\;</MATH>}}), a dla przestrzeni słabozakrzywionych dla współrzędnych kontrawariantnych bez nadkreślenia dla macierzy transformacji {{LinkWzór|X4a|Transformacje macierzy transformacji Einsteina i Newtona, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione}}, mamy {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\overline M\;</MATH>}} (a z nadkreśleniem {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\overline M^{-1}\;</MATH>}}), a dla współrzędnych kowariantnych bez nadkreslenia jest w postaci: {{Formuła|<MATH>{\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\overline M^{-1}\;</MATH>}} (a z nadkreśleniem {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\overline M\;</MATH>}}). == Układy globalnie (lokalnie) płaskie globalnie (lokalnie) spoczynkowe i o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości == Z istniejących matematycznie układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, w których zachodzi w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej, tzn. o definicjach zgodnych wynikających też z symetrii {{LinkWzór|C1|Przechodniość macierzy transformacji}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{x}^{\mu}}_{,\nu}=0\wedge \dot{x}^{i}=0\wedge \dot{x}^0=1\;</MATH>|R1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{x}^{s}}_{,\nu}=0\wedge \dot{x}^{s}=0\;</MATH>|R1a}} }} przechodząc do istniejących też matematycznie układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, w których zachodzi w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej, tzn. o definicjach zgodnych wynikających też z symetrii {{LinkWzór|C1|Przechodniość macierzy transformacji}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{x}^{\mu}}_{,\nu}=0\;</MATH>|R11}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{x}^{s}}_{,\nu}=0\;</MATH>|R1a1}} }} wtedy na podstawie definicji tych pierwszych układów, tzn. o definicji {{LinkWzór|R1}} i {{LinkWzór|R1a}}, mamy kolejno dla postaci einsteinowskiej {{LinkWzór|W.9da}} i mechaniki newtonowskiej {{LinkWzór|W.9da1}} definicję układów tych drugich z teorii transformacji tensorów (wektorów), tzn. o definicji {{LinkWzór|R11}} i {{LinkWzór|R1a1}}, czyli te dwa rodzaje układów są ze sobą zgodne z definicji, ale też możemy transformować między sobą układy globalnie (lokalnie) płaskie o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, tzn. o definicji {{LinkWzór|R11}} i {{LinkWzór|R1a1}}, według tych samych wspomnianych kolejno wzorów, a te układy też są między sobą zgodne z definicji, a więc: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{x}^{\mu}}_{,\nu}={\dot{x}^{\mu}}_{;\nu}={{\dot{\overline x}}^{\alpha}}_{;\beta}{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\overline{\Lambda}^{\beta}}_{\nu}={{\dot{\overline x}}^{\alpha}}_{,\beta}{\Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\overline{\Lambda}^{\beta}}_{\nu}=0\;</MATH>|W.9da}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{x}^{k}}_{,\mu}={\dot{x}^{k}}_{;\mu}={\left({\dot{\overline x}}^{s}-\overline V^s\right)}_{;\nu}{\Lambda^{k}}_{s}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\mu}={\left({\dot{\overline x}}^{s}-\overline V^s\right)}_{,\nu}{\Lambda^{k}}_{s}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\mu}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\dot{\overline x}}^{s}}_{,\nu}{\Lambda^{k}}_{s}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\mu}-{\overline{V}^{s}}_{,\nu}{\Lambda^{k}}_{s}{\overline{\Lambda}^{\nu}}_{\mu}=0\;</MATH>|W.9da1}} }} W {{LinkWzór|W.9da1}} zakładaliśmy, że nowy układ odniesienia porusza się względem starego z globalnie (lokalnie) stałą prędkością, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\overline V^s=\overline\operatorname{const}^s\wedge V^s=\operatorname{const}^s\Rightarrow {\overline V^s}_{,\mu}=0\wedge {V^s}_{,\mu}=0\;</MATH>|HG1}} Na podstawie zachodzącej tożsamości globalnej (lokalnej) {{LinkWzór|C1|Przechodniość macierzy transformacji}} uzyskany na podstawie symetrii, mamy kolejno: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>d\dot{x}^{\mu}=0\;</MATH>|W.9d}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d\dot{x}^{k}=0\;</MATH>|W.9d1}} }} Ale też zachodzi na podstawie {{LinkWzór|W.9d}} (postać einsteinowska) i {{LinkWzór|W.9d1}} (postać newtonowska) dla kolejno różniczek tensorów położenia {{Formuła|<math>dx^{\nu}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>dx^l\;</MATH>}} dowolnych nieskończenie małych, z których można wysnuć kolejno wnioski w układach globalnie (lokalnie) płaskich, tzn.: {{LinkWzór|W.9da}} (globalności (lokalności) stałego tensora prędkości) i {{LinkWzór|W.9da1}} (globalności (lokalności) stałego wektora prędkości), według kolejno przedstawień: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>0=d\dot{x}^{\mu}={{\partial \dot{x}^{\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}dx^{\nu}={\dot{x}^{\mu}}_{,\nu}dx^{\nu}\;</MATH>|W.9db}}|2={{CentrujWzór|<MATH>0=d\dot{x}^{k}={{\partial \dot{x}^{k}}\over{\partial x^{\mu}}}dx^{\mu}={\dot{x}^k}_{,\mu}dx^{\mu}={\dot{x}^k}_{,l}dx^{l}+{\dot{x}^k}_{,0}dx^{0}={\dot{x}^k}_{,l}dx^{l}+{\dot{x}^k}_{,0}cdt\;</MATH>|W.9d1b}}}} Z zapisów {{LinkWzór|W.9db}} i {{LinkWzór|W.9d1b}} zachodzą kolejno wnioski {{LinkWzór|W.9da}} i {{LinkWzór|W.9da1}}, a także zachodzą z {{LinkWzór|W.9da}} i {{LinkWzór|W.9da1}} wnioski {{LinkWzór|W.9db}} i {{LinkWzór|W.9d1b}} przy założeniu istnienia matematycznego układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, czyli dowodzi to założenie, że przyśpieszenie jest efektem zakrzywienia czasoprzestrzeni, co jest zgodne z ogólną teorią względności, na podstawie prędkości względem układu odniesienia można wysnuć wniosek, że związek różniczkowy mówiący o zmianie tensora prędkości, wiedząc definicję interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|1.74a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} w szczególnej teorii względności i czasu absolutnego w mechanice Newtona, mamy kolejno: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{x}^{\mu}}_{,\beta}=0\Rightarrow {{d\dot{x}^{\mu}}\over{ds}}=0\;</MATH>|P1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{x}^{k}}_{,l}=0\wedge {\dot{x}^{k}}_{,0}=0\Rightarrow {{d\dot{x}^{k}}\over{dt}}=0\;</MATH>|P11}} }} W układach słabozakrzywionych zachodzi na podstawie {{LinkWzór|P1}} w szczególnej teorii względności i {{LinkWzór|P11}} w mechanice Newtona zastępując przecinek średnikiem, tzn. przechodząc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości do zakrzywionych (w tym przypadku do słabozakrzywionego układu), przy tym ich macierze transformacji kolejno: {{Formuła|<MATH>{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}\;</MATH>}}, mogą być funkcjami uogólnionymi, wtedy mamy kolejno {{LinkWzór|P2}} wychodząc z {{LinkWzór|P1}} (pierwszy wzór) i {{LinkWzór|P22}} wychodząc od równania {{LinkWzór|P11}} (pierwszy wzór). == Równanie geodezyjne ruchu ciała (cząstki materii) w postaci einsteinowskiej == Wyprowadźmy wzór na linię geodezyjną dla zakrzywionej czasoprzestrzeni zaczynając od wzoru {{LinkWzór|P1}} (pierwszy wzór) w postaci einsteinowskiej zamieniając {{Formuła|<MATH>{x}^{\mu}\;</MATH>}} (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na {{Formuła|<MATH>q^{\mu}\;</MATH>}} (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych (tutaj rozważamy układy słabozakrzywione jako układy zakrzywione) zakładając, że macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} może być funkcją uogólnioną (np.: typu {{LinkWzór|B5|Przechodniość macierzy transformacji}}), że przy tej macierzy transformacji podczas transformacji lewej strony tego wzoru następuje zamiana przecinka na średnik, a prawa strona, która jest zerem, nie zależy od żadnych zmiennych, więc po transformacji przyjmuje wartość zero: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{q}^{\mu}}_{;\beta}=0\Rightarrow{{d\dot{q}^{\mu}}\over{ds}}+{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\dot{q}^{\alpha}\dot{q}^{\beta}=0\Rightarrow{{d\dot{q}^{\mu}}\over{ds}}=-{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\dot{q}^{\alpha}\dot{q}^{\beta}\Rightarrow {{dp^{\mu}}\over{ds}}=K^{\mu}\wedge K^{\mu}=-m_0c{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\dot{q}^{\alpha}\dot{q}^{\beta}=-{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\dot{q}^{\alpha}{p}^{\beta}\;</MATH>|P2}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>\dot{q}^{\mu}=u^{\mu}\;</MATH>}} - to jest tensor prędkości na podstawie {{LinkWzór|P3aa|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, jako pochodna wielkości wskaźnikowej położenia względem interwału czasoprzestrzennego. : {{Formuła|<MATH>p^{\mu}=m_0c\dot q^{\mu}=m_0c u^{\mu}\;</MATH>}} - to jest tensor pędu na podstawie {{LinkWzór|P3a|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, ale przy czym {{Formuła|<MATH>m_0\;</MATH>}} jest to masa spoczynkowa ciała. : {{Formuła|<MATH>K^{\mu}\;</MATH>}} - to jest wielkość wskaźnikowa siły, która dla układów słabozakrzywionych na podstawie {{LinkWzór|P3d|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} jest w przybliżeniu tensorem. : {{Formuła|<MATH>{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\;</MATH>}} - to jest symbol Christoffela, który na podstawie {{LinkWzór|GW1}} dla układów słabozakrzywionych jest w przybliżeniu tensorem. Na podstawie pierwszego równania w {{LinkWzór|P2}} wynika, że układy globalnie (lokalnie) płaskie są o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, bo wtedy symbole Christoffela są równe zero. Te symbole Christoffela w układach słabozakrzywionych są małe i należy wiedzieć kiedy z tymi symbolami pewne wyrazy pominąć. == Równanie geodezyjne ruchu ciała (cząstki materii) w postaci newtonowskiej == Wyprowadźmy wzór na linię geodezyjną dla zakrzywionej czasoprzestrzeni zaczynając od wzoru {{LinkWzór|P11}} (pierwszy wzór) w konwencji newtonowskiej zamieniając {{Formuła|<MATH>{x}^{\mu}\;</MATH>}} (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na {{Formuła|<MATH>q^{k}\;</MATH>}} (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości do zakrzywionych (tutaj rozważamy układy słabozakrzywione jako układy zakrzywione) zakładając, że macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline\Lambda^{k}}_{l}\;</MATH>}} może być funkcją uogólnioną (np.: typu {{LinkWzór|B5|Przechodniość macierzy transformacji}}), że przy tej macierzy transformacji podczas transformacji lewej strony tego wzoru następuje zamiana przecinka na średnik, a prawa strona, która jest zerem, nie zależy od żadnych zmiennych, więc po transformacji przyjmuje wartość zero. Napiszmy równanie geodezyjne mając nowy układ współrzędnych poruszający się względem starego z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec V\;</MATH>}}, a więc go tutaj zastosujmy: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot{q}^{q}}_{;\mu}=0\wedge {V^{s}}_{;\mu}=0\Rightarrow(\dot{q}^k-V^k)_{;\mu}=0\Rightarrow(\dot{q}^k-V^k)_{,\mu}+{\Gamma^k}_{\mu s}(\dot{q}^s-V^s)=0\Rightarrow(\dot{q}^k-V^k)_{,\mu}(\dot q^{\mu}-V^{\mu})+{\Gamma^k}_{ls}(\dot{q}^s-V^s)(\dot{q}^l-V^l)=0\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{d}\over{dt}}(\dot{q}^k-V^k)+{\Gamma^k}_{ls}(\dot{q}^s-V^s)(\dot{q}^l-V^l)=0\Rightarrow {{d}\over{dt}}\dot{q}^k=-{\Gamma^k}_{ls}(\dot{q}^s-V^s)(\dot{q}^l-V^l)\Rightarrow F^k=m_0{{d}\over{dt}}\dot{q}^k={{dp^k}\over{dt}}\wedge \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow F^k=-m_0{\Gamma^k}_{ls}(\dot{q}^s-V^s)(\dot{q}^l-V^l)+m_0{{d}\over{dt}}V^k\;</MATH>|P22}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>\dot{q}^{k}=v^k\;</MATH>}} - to jest wielkość wskaźnikowa prędkości na podstawie {{LinkWzór|P3aa1|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, jako pochodna wielkości wskaźnikowej położenia względem czasu absolutnego. : {{Formuła|<MATH>p^{k}=m_0\dot q^{k}=m_0 v^k\;</MATH>}} - to jest wielkość wskaźnikowa pędu na podstawie {{LinkWzór|P3a1|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, ale przy czym {{Formuła|<MATH>m_0\;</MATH>}} jest to masa ciała. : {{Formuła|<MATH>F^{k}\;</MATH>}} - to jest wielkość wskaźnikowa siły, która dla układów słabozakrzywionych na podstawie {{LinkWzór|P3da|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} jest w przybliżeniu tensorem. : {{Formuła|<MATH>{\Gamma^{k}}_{sb}\;</MATH>}} - to jest symbol Christoffela, który na podstawie {{LinkWzór|GW12}} dla układów słabozakrzywionych jest w przybliżeniu tensorem. Na podstawie równania po pierwszym wynikaniu w {{LinkWzór|P22}} wynika, że układy globalnie (lokalnie) płaskie są o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości na podstawie {{LinkWzór|HG1}} (ostatni wzór), bo wtedy symbole Christoffela są równe zero. Te symbole Christoffela w układach słabozakrzywionych są małe i należy wiedzieć kiedy z tymi symbolami pewne wyrazy pominąć. == Paradoks niespełnienia równania geodezyjnego w układach słabozakrzywionych == Weźmy równanie geodezyjne w postaci tensorowej dla czasoprzestrzeni przy konwencji einsteinowskiej w postaci {{LinkWzór|P2}} (pierwsze równanie) i napiszmy go dla układów globalnie (lokalnie) płaskich: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot q^{\mu}_p}_{;\beta}=0\;</MATH>|K11}} Weźmy całkowitą macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} w teorii transformacji Lorentza i Galileusza naszego problemu fizycznego, transformujące od układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów słabozakrzywionych. Układy słabozakrzywione uważane za płaskie we współrzędnych uogólnionych (w szczególnym przypadku krzywoliniowe), i go rozłóżmy na dwie macierze, jedną przedstawiającą transformację od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego uważanego za płaskie ogólnie nieprostokątne {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{s}}_{\nu}\;</MATH>}}, a drugą dla transformacji od układu słabozakrzywionego uważanego za płaskie ogólnie nieprostokątne do układu słabozakrzywionego napisane we współrzędnych uogólnionych {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{u}}_{\nu}\;</MATH>}} (w szczególnym przypadku krzywoliniowych {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_k}_{\nu}\;</MATH>}}) będąca dopełnieniem tego pierwszego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline \Lambda^{\alpha}}_{\beta}={\overline \Lambda^{\alpha}_{kiu}}_{\mu}{\overline \Lambda^{\mu}_{s}}_{\beta}\;</MATH>|K22}} Macierze występujące w problemie {{LinkWzór|K22}}, tzn. {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\alpha}_{s}}_{\mu}\;</MATH>}} jest to macierz {{LinkWzór|CD1}}, a macierz {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{kiu}}_{\beta}\;</MATH>}} jest to macierz {{LinkWzór|CD2}} lub {{LinkWzór|CD3}}, są przedstawione w: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{s}}_{\nu}=\begin{bmatrix}\lambda_s&0\\0&\overline \Lambda_{sp}\end{bmatrix}\;</MATH>|CD1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{k}}_{\nu}=\begin{bmatrix}1&0\\0&\overline \Lambda_{k}\end{bmatrix}\;</MATH>|CD2}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{u}}_{\nu}=\begin{bmatrix}\overline\Lambda_{u11}&\vec\overline\Lambda_{u12}\\\vec \overline\Lambda_{u21}^T&\overline\Lambda_{u22}\end{bmatrix}\;</MATH>|CD3}} }} Zamiast macierzy kolejno {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{k}}_{\nu}\;</MATH>}} w rozważanych problemach fizycznych może być macierz {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{u}}_{\nu}</MATH>}}. Weźmy problem transformacji równania {{LinkWzór|K11}} przy całkowitej macierzy transformacji {{LinkWzór|K22}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot q^{\alpha}_p}_{;\beta}=0\Rightarrow {\overline \Lambda^{\mu}}_{\alpha}{\dot q^{\alpha}_p}_{;\beta}{\Lambda^{\beta}}_{\nu}={\dot\overline q^{\mu}}_{;\nu}=0\Rightarrow {\overline \Lambda^{\mu}_{kiu}}_{\xi}{\overline \Lambda^{\xi}_{s}}_{\alpha}{\dot q^{\alpha}_p}_{;\beta}{\Lambda^{\gamma}_{kiu}}_{\nu}{\Lambda^{\beta}_{s}}_{\gamma}={\dot\overline q^{\mu}}_{;\nu}=0\wedge \dot \overline q^{\mu}=\dot q^{\nu}_p{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}</MATH>|K3}} W teorii transformacji zwykle nie wiemy jaka jest macierz transformacji od układu globalnie (lokalnie) płaskiego do układu słabozakrzywionego uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\xi}_{s}}_{\alpha}\;</MATH>}}, i tylko wiemy jaka jest za to macierz transformacji z układu płaskiego (w tym przypadku słabozakrzywionego uważanego za płaskie ogólnie nieprostokątne) do układu we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych) zanurzonych w układach słabozakrzywionych uważane za płaskie ogólnie nieprostokątne, w takim razie równanie geodezyjne nie jest spełnione, a to wyrażenie zaraz poniżej nie jest ogólnie równe zero, jak pokazano poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{\dot q^{\alpha}_p}_{;\beta}\neq 0\Rightarrow {\overline \Lambda^{\mu}_{kiu}}_{\alpha}{\dot q^{\alpha}_p}_{;\beta}{\Lambda^{\beta}_{kiu}}_{\nu}={\dot \overline q^{\mu}_{kiu}}_{;\nu}\neq 0\wedge \dot \overline q^{\mu}=\dot q^{\nu}_p{\overline{\Lambda}^{\mu}_{kiu}}_{\nu}\;</MATH>|K4}} Gdzie {{Formuła|<MATH>\dot q^{\nu}_p\;</MATH>}} jest współrzędną tensora prędkości w układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, a {{Formuła|<MATH>\dot q^{\nu}\;</MATH>}} jest współrzędną tensora prędkości w układach słabozakrzywionych uważanych za układy we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych). Czyli w układach słabozakrzywionych uważanego za płaskie we współrzęnych nieprostokątnych lub krzywoliniowych (uogólnionych) równanie geodezyjne nie jest spełnione przy założeniu płaskości czasoprzestrzeni, w której jest zanurzony układ krzywoliniowy lub we współrzędnych uogólnionych, ale w rzeczywistości jest spełnione, a dlaczego myślimy, że jest przeciwnie, bo to wynika z nieznajomości macierzy transformacji do układu słabozakrzywionego uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne od układu globalnie (lokalnie) płaskiego {{Formuła|<MATH>{\overline \Lambda^{\mu}_{s}}_{\nu}\;</MATH>}}. == Czy symbole Christoffela są co najwyżej w przybliżeniu tensorami dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich w równaniu geodezyjnym w dwóch postaciach == Będziemy tutaj rozważali przemyślenia dotyczące równań geodezyjnych dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich, tzn. dla nich powiemy, kiedy symbole Christoffela są w przybliżeniu tensorowami, a kiedy dokładnie. === Postać einsteinowska === Na podstawie przedstawienia w postaci einsteinowskiej równania geodezyjnego ruchu {{LinkWzór|P2}} zakładając, że spełniony jest wzór dla macierzy transformacji {{LinkWzór|P3c|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}\ddot{q}^{\mu}+{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\dot{q}^{\alpha}\dot{q}^{\beta}=0\Rightarrow {{d}\over{ds}}\left({\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}\dot{q}^{\mu}\right)+{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}{\Lambda^{\alpha}}_{\gamma}{\Lambda^{\beta}}_{\omega} {\overline\Lambda^{\gamma}}_{\xi}{\overline\Lambda^{\omega}}_{\zeta}\dot q^{\xi}\dot q^{\zeta}\simeq 0\Rightarrow\ddot{\overline q}^{\nu}+{\overline \Gamma^{\nu}}_{\gamma\omega}\dot{\overline q}^{\gamma}\dot{\overline q}^{\omega}=0\wedge\;</MATH>{{Br}}<MATH>\wedge{\overline \Gamma^{\nu}}_{\gamma\omega}\simeq {\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}{\Lambda^{\alpha}}_{\gamma}{\Lambda^{\beta}}_{\omega}\;</MATH>|GW1}} Gdy rozważamy w postaci einsteinowskiej układy globalnie (lokalnie) płaskie, wtedy symbole Christoffela są dokładnie tensorami, a w układach słabozakrzywionych tylko w przybliżeniu są tensorami. === Postać newtonowska z domieszką postaci einsteinowskiej === Wykorzystamy w postaci newtonowskiej równania geodezyjne, ale też równania transformacyjne w postaci newtonowskiej i einsteinowskiej. Na podstawie przedstawienia w postaci newtonowskiej równania geodezyjnego ruchu {{LinkWzór|P22}} zakładając, że spełniony jest wzór dla macierzy transformacji {{LinkWzór|P3ca|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, {{LinkWzór|P3c1a|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} i {{LinkWzór|P9p1|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} dla układów słabozakrzywionych wykorzystając postać transformacyjną tensora prędkości w postaci einsteinowskiej {{LinkWzór|P3aa|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} i tensorowość wielkości {{Formuła|<MATH>v^l-V^l\;</MATH>}}, tzn. {{LinkWzór|H8|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline\Lambda^{m}}_{n}{{d}\over{dt}}\left(\dot q^n-V^n\right)+{\overline\Lambda^{n}}_{n}{\Gamma^{n}}_{kl}{\delta^k}_s{\delta^l}_r(\dot{q}^{s}-V^s)(\dot{q}^{r}-V^r)=0\Rightarrow{{d}\over{ds}}\left({\overline\Lambda^{m}}_{n}(\dot{q}^{n}-V^n)\right)+{\overline\Lambda^{m}}_{n}{\Gamma^{n}}_{kl}{\Lambda^{k}}_{s}{\Lambda^{l}}_{b} {\overline\Lambda^s}_r{\overline\Lambda^b}_{p}(\dot q^{r}-V^r)(\dot q^{p}-V^p)\simeq 0\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{d}\over{dt}}\left(\dot \overline q^m-\overline V^m\right)+{\overline\Gamma^{m}}_{sb}(\dot{\overline q}^{s}-\overline V^s)(\dot{\overline q}^{b}-\overline V^b)=0\wedge {\overline \Gamma^{m}}_{sb}\simeq {\overline\Lambda^{m}}_{n}{\Gamma^{n}}_{kl}{\Lambda^{k}}_{s}{\Lambda^{l}}_{b}\;</MATH>|GW12}} Gdy rozważamy w postaci newtonowskiej układy globalnie (lokalnie) płaskie, wtedy symbole Christoffela są dokładnie tensorami, a w układach słabozakrzywionych tylko w przybliżeniu są tensorami. === Wnioski wynikające z tensorowości nawet przybliżonej symboli Christoffela === Stąd na podstawie transformacji symboli Christoffela pomiędzy układami słabozakrzywionymi {{LinkWzór|GW1}} w postaci einsteinowskiej i {{LinkWzór|GW12}} w postaci newtonowskiej nie ma fizycznych układów globalnie (lokalnie) płaskich (one są o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, bo zachodzi w tych układach {{LinkWzór|C1|Przechodniość macierzy transformacji}} oraz stąd wynikający {{LinkWzór|P1}} (szczególna teoria wzglęności) i {{LinkWzór|P11}} (mechanika Newtona)), ale one są matematycznie, bo wtedy macierze transformacji do układów słabozakrzywionych od układów globalnie (lokalnie) płaskich są wtedy funkcjami uogólnionymi, a gdyby one nie były takie to w każdym układzie współrzędnych symbole Christoffela byłyby równe zero, a ponieważ dałoby się znależć fizycznie układ globalnie (lokalnie) płaski to cała przestrzeń byłaby globalnie płaska o globalnie stałym tensorze prędkości, a wiemy, że tak nie jest, stąd nie da się ich znaleźć fizycznie, ale matematycznie już tak, a więc w rozważanych tutaj teoriach przestrzeń jest tylko słabozakrzywiona. == Procedura uniezerowacyjna (nierówność zer) dla równań ruchu w konwencji einsteinowskiej i newtonowskiej == Procedurę {{LinkProcedura|FG}} stosujemy dla układów czasoprzestrzeni, w szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, słabozakrzywionych, ogólnie dynamicznych, według konwencji einsteinowskiej (tu używamy symbole będące wskaźnikami napisane literami greckimi) oraz dla układów słabozakrzywionych w mechanice Newtona według konwencji newtonowskiej statycznych lokalnie czasowo według prędkości (tu używamy symbole będące wskaźnikami napisane literami łacińskimi). {{Procedura|uchwyt=FG|czego=uniezerowacyjna|jakie=(nierówność zer)|tekst= Układami słabozakrzywionymi będziemy uważać w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona za układy opisywane jako przejście z układów globalnie (lokalnie) płaskich do układów opisywanych przez macierz {{LinkWzór|CD1}}, a układy słabozakrzywione uważamy za płaskie ogólnie nieprostokątne (one są w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne, ale nie dokładnie), tzn. wybieramy, z nich tylko wyrazy niezwiązane z symbolami Christoffer'a, czyli zastępujemy zerowe {{Formuła|<MATH>{u^{\mu}}_{;\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>{u^{i}}_{;j}\;</MATH>}}) (bo równanie geodezyjne {{LinkWzór|P2}} (konwencja einsteinowska) i {{LinkWzór|P22}} (konwencja newtonowska)) przez ogólnie niezerowe {{Formuła|<MATH>{u^{\mu}}_{,\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>{u^{i}}_{,j}\;</MATH>}}), a to w tak przestrzeniach uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne możemy zastąpić {{Formuła|<MATH>{u^{\mu}}_{,\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>{u^{i}}_{,j}\;</MATH>}}) przez nowe ogólnie niezerowe {{Formuła|<MATH>{u^{\mu}}_{;\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>{u^{i}}_{;j}\;</MATH>}}) przy zerowych symbolach Christoffela (bo tą czasoprzestrzeń po tej operacji uważamy za płaską ogólnie nieprostokątną), wtedy to ogólnie niezerowe {{Formuła|<MATH>{u^{\mu}}_{;\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>{u^{i}}_{;j}\;</MATH>}}) transformujemy na układy we współrzędnych uogólnionych (druga zasada Lagrange'a), a w szczególności na układy we współrzędnych krzywoliniowych jako szczególny przypadek zmiennych uogólnionych, jak to jest zawarte wszystko w równaniach Einsteina {{LinkWzór|GG@1|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} i Newtona {{LinkWzór|GG@2|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}. A tą procedurę zastosowaliśmy dla tensora prędkości {{Formuła|<MATH>u^{\mu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>u^{i}\;</MATH>}}), ale też '''ona''' się stosuje dla '''innych wielkości tensorowych'''. W tej procedurze tensor metryczny (macierz iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej) układu słabozakrzywionego (jako układu zakrzywionego, nie płaskiego, ale w przybliżeniu płaskiego) zastępujemy przez tensor metryczny Minkowskiego (macierz iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej przetrzeni płaskiej). }} {{Dowód|uchwyt=FG|czego=procedury uniezerowacyjnej|jakie=(nierówności zer)|tekst= Widzimy, że równanie ruchu (pierwszy sposób) na tensor (wektor) siły dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne (tzn. te układy są w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne) wynikający w tym przypadku z równości na linie geodezyjne w teoriach: mechanika Einsteina i Newtona, w notacji einsteinowskiej {{LinkWzór|P2}} i newtonowskiej {{LinkWzór|P22}} oraz równanie ruchu (drugi sposób) według wzoru na tensor (wektor) siły w tych teoriach kolejno w {{LinkWzór|GG@1|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} i {{LinkWzór|GG@2|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, aby względem tych dwóch sposobów równania ruchu były takie same, wynika, że w tym drugim sposobie należy zastosować {{LinkProcedura|FG}}, tzn. należy zastąpić {{Formuła|<MATH>{u^{\mu}}_{;\nu}=0\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>{u^{i}}_{;j}=0\;</MATH>}}) (bo linie geodezyjne) przez {{Formuła|<MATH>{u^{\mu}}_{,\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>{u^{i}}_{,j}\;</MATH>}}), czyli zamiast tensora metrycznego {{Formuła|<MATH>g_{\mu\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>g_{ij}\;</MATH>}}) wstawiamy tensor metryczny Minkowskiego {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}} (macierz iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej przetrzeni płaskiej {{Formuła|<MATH>a_{ij}\;</MATH>}}). A we wzorach w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina i Newtona zastępowanie dowolnego tensora metrycznego układu słabozakrzywionego tensorem metrycznym Minkowskiego (macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej przetrzeni płaskiej) wynika też z tego, że obie strony zależą od zmiennych niezależnych tensora (wektora) położenia, tensora (wektora) prędkości i tensora metrycznego (macierzy iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej), co jest ważne tutaj, by równania pisać w formie tensorowej (wektorowej). A przed zastosowaniem {{LinkProcedura|FG}} mamy, że obie ich strony są równe zero w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a w układach słabozakrzywionych {{LinkPatrz|GGF|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} ich część kinematyczna jest równa zero, a dynamiczna różna od zera, mimo zastosowania transformacji będących funkcjami uogólnionymi, a po zastosowaniu tej procedury są sobie równe według {{LinkWzór|P2}}. W takim razie, a dlaczego po przetransformowaniu tensora (wektora) siły (część dynamiczna równania drugiej zasady dynamiki) z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego przed zastosowaniem tej procedury nie daje jego wartości ogólnie znów zerowej, tylko ogólnie niezerową, a z naszych rozważań powinna dawać nadal wartość zerową, a po pierwsze funkcja transformacji jest funkcją uogólnioną, a po drugie równania fizyczne zostały pierwotnie przyszykowane dla układów płaskich ogólnie nieprostokątnych, a nie zakrzywionych, a więc równania mechaniki Einsteina i Newtona z tensorem metrycznym Minkowskiego (macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej przetrzeni płaskiej) opisują układ słabozakrzywiony w sposób przybliżony, a nie dokładny, a mechanika Einsteina i Newtona są teoriami tylko przybliżonymi, bo zakłada się, że szczególna teoria względności jest zgodna w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a wiadomo, że układy płaskie globalnie (lokalnie) nie istnieją fizycznie (istnieją tylko matematycznie) w szczególnej teorii względności, a układy według transformacji symboli Christoffer'a z jednego układu słabozakrzywionego do drugiego {{LinkWzór|GW1}} istnieją fizycznie. Gdyby czasoprzestrzeń była globalnie (lokalnie) płaska fizycznie, to cała szczególna teoria względności byłaby w sobie sprzeczna fizycznie, bo według transformacji symboli Christoffer'a cała czasoprzestrzeń byłaby wtedy, nie lokalnie, tylko globalnie płaska. Co kończy dowód tej procedury. }} === Szczególne przypadki zastosowań procedury uniezerowacyjnej === Dla układów globalnie (lokalnie) płaskich z przejściem do układów słabozakrzywionych możemy napisać w {{LinkWzór|GGGS}}, w której zastosujemy tą procedurę dla konwencji einsteinowskiej i newtonowskiej kolejno: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{T^{\mu}}_{,\nu}={T^{\mu}_{x^{\gamma}}}_{,\nu}+{T^{\mu}_{u^{\gamma}}}_{,\gamma}{u^{\gamma}}_{,\nu}\Rightarrow{T^{\mu}}_{;\nu}={T^{\mu}_{x^{\gamma}}}_{;\nu}+{T^{\mu}_{u^{\gamma}}}_{;\alpha}{u^{\alpha}}_{;\nu}\;</MATH>|GGGS}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{T^{i}}_{,j}={T^{i}_{x^{k}}}_{,j}+{T^{i}_{u^{k}}}_{,l}{u^{l}}_{,j}\Rightarrow{T^{i}}_{;j}={T^{i}_{x^{k}}}_{;j}+{T^{i}_{u^{k}}}_{;l}{u^{l}}_{;j}\;</MATH>|GGGS1}} }} Jeżeli stosujemy tą procedurę dla tensora prędkości, to też stosujemy dla innych wielkości tensorowych, tzn. przestrzeń słabozakrzywioną, jeżeli uznajemy za płaską ogólnie nieprostokątną dla tensora prędkości, to też dla innych wielkości tensorowych, stąd to stosujemy dla równości ostatniej {{LinkWzór|GGGS}}, by otrzymać jego pierwotną postać dla układów uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, by otrzymać pierwsze równanie w {{LinkWzór|GGGS}}. Weźmy równanie ruchu ciała w mechanice Einsteina w polu elektromagnetycznym, pisząc wzór na tensor siły pochodzącej od oddziaływania elektromagnetycznego według {{LinkWzór|26.61|Elektrodynamika relatywistyczna|Elektrodynamika klasyczna|EK}}, łącząc go ze wzorem tensorowym drugiej zasady dynamiki Einsteina {{LinkWzór|BV1|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, a to wszystko stosujemy w układach słabozakrzywionych, dalej stosując tą procedurę dla konwencji einsteonowskiej stosując równania Einsteina: {{CentrujWzór|<MATH>m_0c{u^{\mu}}_{;\nu}u^{\nu}=K^{\mu}=-qF^{\mu\nu}u_{\nu}=-qF^{\mu\alpha}g_{\alpha\beta}u^{\beta}\rightarrow m_0c{u^{\mu}}_{,\nu}u^{\nu}=K^{\mu}=-qF^{\mu\nu}u_{\nu}=-qF^{\mu\alpha}\eta_{\alpha\beta}u^{\beta}\;</MATH>|JJJH}} A dalej stosując tą procedurę dla konwencji Newtonowskiej, stosując równania Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>m_0{v^{i}}_{;j}v^{j}=F^{i}\Rightarrow m_0{v^{i}}_{,j}v^{j}=F^{i}\Rightarrow m_0{{dv^i}\over{dt}}=F^i\;</MATH>|JJJH1}} Wiedząc jakie jest równanie geodezyjne szczególnej teorii względności (mechaniki Newtona) według {{LinkWzór|P2}} ({{LinkWzór|P2}}) i wzór na tensor (wektor) siły {{LinkWzór|BV1|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} ({{LinkWzór|BV2|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}), dochodzimy do wniosku, że prawa i lewa strona równości {{LinkWzór|JJJH}} są równe zero w układach globalnie (lokalnie) płaskich ogólnie nieprostokątnych, a po przejściu do układu słabozakrzywionego są sobie nierówne (bo funkcje transformacji są funkcjami uogólnionymi), a układy słabozakrzywione uważamy za płaskie ogólnie nieprostokątne, co potem stosujemy tą procedurę w układach słabozakrzywionych, dalej obie strony zaczynają być sobie równe. === Długość wektora, wartość iloczynu skalarnego i różniczka interwału czasoprzestrzennego przed i po zastosowaniu procedury uniezerowacyjnej === Przed zastosowaniem tej procedury długość danego wektora, wartość danego iloczynu skalarnego i dana różniczka interwału czasoprzestrzennego, w różnych układach słabozakrzywionych i w układach globalnie (lokalnie) płaskich, są takie same na podstawie {{LinkWzór|T1c|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (długość wektora), {{LinkWzór|T1b|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} (iloczyn skalarny) i {{LinkWzór|B11|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} (różniczka interwału czasoprzestrzennego), ale różne po zastosowaniu tej procedury, bo wtedy zmienia się {{Formuła|<MATH>g_{\mu\nu}\;</MATH>}} układu słabozakrzywionego na {{Formuła|<MATH>\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}} (tensor Minkowkiego) układu płaskiego podczas stosowania tej procedury. == Dowód drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina z równania geodezyjnego - wersji tensorowej i wektorowej == Na podstawie {{LinkWzór|P2}} (postać einsteinowska) i {{LinkWzór|P22}} (postać newtonowska) dowodu na wzór na wielkość wskaźnikową siły wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona i Einsteina na podstawie, że wzór na siłę ma taką samą postać dla wszystkich prędkości, są kolejno {{LinkWzór|P3}} i {{LinkWzór|P3a1a}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>K^{\mu}={{dp^{\mu}}\over{ds}}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P3}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>F^{k}={{dp^{k}}\over{dt}}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P3a1a}} }} Jak się przekonamy według {{LinkWzór|P3d|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}} i {{LinkWzór|P3da|Tensorowy charakter różniczki położenia oraz tensora siły w mechanine Einsteina i wektora siły w mechanice Newtona}}, że wzory na wielkość wskaźnikową siły kolejno w {{LinkWzór|P3}} i {{LinkWzór|P3a1a}} są w przybliżeniu tensorami, a nie dokładnie, kolejno w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 2f0u14fcyc4rubygf3hyvj49ufvvc7i 0 46735 558701 548257 2026-10-05T04:04:05Z Persino 2851 558701 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy tutaj rozważali, czy poszczególne wielkości są tensorami, czy tylko wektorami, w postaci einsteinowskiej i newtonowskiej. == Tensorowość wielkości wskaźnikowej prędkości w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiej == Wielkość wskaźnikowa prędkości jest tensorem z definicji różniczki zupełnej dla postaci einsteinowskiej {{LinkWzór|P3aa}} i nie jest tensorem w postaci newtonowskiej według {{LinkWzór|P3aa1}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{u}^{\mu}={{d\overline x^{\mu}}\over{ds}}={{\partial \overline x^{\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}{{dx^{\nu}}\over{ds}}={\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}u^{\nu}\;</MATH>|P3aa}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}^{k}={{d\overline x^{k}}\over{dt}}={{\partial \overline x^{k}}\over{\partial x^{l}}}\left({{dx^{l}}\over{dt}}-V^l\right)={\overline{\Lambda}^{k}}_{l}(v^{l}-V^l)\;</MATH>|P3aa1}} }} Według {{LinkWzór|P3aa}} wielkość wskaźnikowa prędkości jest tensorem nawet dla zakrzywionej, nie tylko dla globalnie (lokalnie) płaskiej i słabozakrzywionej, ale dla czasoprzestrzeni, ale już wektor prędkości, ale dla przestrzeni zwykłej, według {{LinkWzór|P3aa1}} nie jest tensorem, ale jest już tensorem, gdy {{Formuła|<MATH>V^l\;</MATH>}} jest równe zero. Transformacja tensorowa {{LinkWzór|P3aa}} zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie {{LinkWzór|X2|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i jego definicji {{LinkWzór|P3c}} (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w {{LinkWzór|P3aa1}} na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i definicji układów słabozakrzywionych {{LinkWzór|P3ca}} (postać newtonowska) też zachodzi w nim. == Tensorowość wielkości wskaźnikowej pędu w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiej == Ale mamy z definicji tensora pędu jako tensora i jego transformacji z jednego układu współrzędnych do innego na podstawie tensorowości wielkości wskaźnikowej prędkości {{LinkWzór|P3aa}} (postać insteinowska) i {{LinkWzór|P3aa1}} (postać newtonowska) mamy kolejno {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P3a1}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{p}^{\mu}=m_0c\overline u^{\mu}=m_0u^{\nu}c{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}=p^{\nu}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\overline{p}^{\mu}=p^{\nu}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>|P3a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{p}^{k}=m_0\overline v^{k}=m_0\left(v^{l}-V^l\right){\overline{\Lambda}^{k}}_{l}=\left(p^{l}-m_0V^l\right){\overline{\Lambda}^{k}}_{l}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\overline{p}^{k}=\left(p^{l}-m_0V^l\right){\overline{\Lambda}^{k}}_{l}\;</MATH>|P3a1}} }} Według {{LinkWzór|P3a}} wielkość wskaźnikowa pędu jest tensorem nawet dla zakrzywionej, nie tylko dla globalnie (lokalnie) płaskiej i słabozakrzywionej, ale dla czasoprzestrzeni, ale już wektor pędu, ale dla przestrzeni zwykłej, według {{LinkWzór|P3a1}} nie jest tensorem, ale jest już tensorem, gdy {{Formuła|<MATH>V^l\;</MATH>}} jest równe zero. Transformacja tensorowa {{LinkWzór|P3a}} zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie tożsamości dla układów słabozakrzywionych {{LinkWzór|X2|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i jego definicji {{LinkWzór|P3c}} (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w {{LinkWzór|P3a1}} na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i definicji układów słabozakrzywionych {{LinkWzór|P3ca}} (postać newtonowska) też zachodzi w nim. == Tensorowość wielkości wskaźnikowej siły w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich == Będziemy badali tutaj układy słabozakrzywione w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne i płaskie ogólnie nieprostokątne oraz słabozakrzywione i płaskie, ale krzywoliniowe. === Układy słabozakrzywione w przybliżeniu płaskie ogólnie nieprostokątne i globalnie (lokalnie) płaskie ogólnie nieprostokątne === Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|P3|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} (postać einsteinowska) i {{LinkWzór|P3a1a|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} (postać newtonowska) na definicję odpowiednio tensora i wektora siły oraz wzorów na transformację tensora i wektora pędu kolejno {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P3a1}}, a także z niezmienniczości różniczki kolejno interwału czasoprzestrzennego i czasu absolutnego wiedząc, że zachodzi globalna (lokalna) stałość wektora prędkości nowego układu odniesienia względem starego, tzn.: {{LinkWzór|HG1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}, co wtedy kolejno {{LinkWzór|P3b}} i {{LinkWzór|P3b1}} przedstawiają się: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{K}^{\mu}={{d\overline{p}^{\mu}}\over{ds}}={{d}\over{ds}}\left(p^{\nu}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}\right)={{dp^{\nu}}\over{ds}}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}+p^{\nu}{{d}\over{ds}}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=K^{\nu}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}+p^{\nu}{{d{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}}\over{ds}}\;</MATH>|P3b}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F}^{k}={{d\overline{p}^{k}}\over{dt}}={{d}\over{dt}}\left(\left(p^{l}-m_0V^l\right){\overline{\Lambda}^{k}}_{l}\right)={{dp^{l}}\over{dt}}{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left(p^{l}-m_0V^l\right){{d}\over{dt}}{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}=F^{l}{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}+\left(p^{l}-m_0V^l\right){{d{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{dt}}\;</MATH>|P3b1}} }} Do wyprowadzeń w punkcie {{LinkWzór|P3b1}} stosowaliśmy {{LinkWzór|HG1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}, tzn. prędkość układu odniesienia względem innego jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą. Dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich pochodna zupełna macierzy transformacji z jednego układu odniesienia do drugiego względem kolejno interwału czasoprzestrzennego i czasu absolutnego oraz cząstkowa względem wielkości wskaźnikowej położenia w przestrzeni zwykłej i czasu są równe zero w sposób przybliżony w układach słabozakrzywionych, a w układach globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) dokładnie, tzn. dla postaci einsteinowskiej {{LinkWzór|P3c}} i {{LinkWzór|P3c1}} oraz newtonowskiej {{LinkWzór|P3ca}}, {{LinkWzór|P3c1a}} i {{LinkWzór|P9p1}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}}\over{ds}}\simeq 0\Rightarrow {{d{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}}\over{dt}}\simeq 0</MATH>|P3c}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}}\over{\partial x^{\gamma}}}\simeq 0\;</MATH>|P3c1}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{dt}}\simeq 0\;</MATH>|P3ca}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{\partial x^{s}}}\simeq 0\;</MATH>|P3c1a}} | 5 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{\partial t}}\simeq 0\;</MATH>|P9p1}} }} Wzory {{LinkWzór|P3c}} i {{LinkWzór|P3c1}} w postaci einsteinowskiej oraz {{LinkWzór|P3ca}}, {{LinkWzór|P3c1a}} i {{LinkWzór|P9p1}} w postaci newtonowskiej w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości są dokładnie równe zero. Udowodnijmy wzory na pochodną cząstkową macierzy transformacji względem tensora położenia {{LinkWzór|P3c1}} (postać einsteinowska) i {{LinkWzór|P3c1a}} (postać newtonowska) na podstawie pochodnej zupełnej macierzy transformacji względem kolejno interwału czasoprzestrzennego {{LinkWzór|P3c}} i czasu absolutnego {{LinkWzór|P3ca}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>0\simeq{{d{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}}\over{ds}}={{\partial{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}}\over{\partial x^{\gamma}}}u^{\gamma}\Rightarrow {{\partial{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}}\over{\partial x^{\gamma}}}\simeq 0\;</MATH>|P3c2}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>0\simeq{{d{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{dt}}={{\partial{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{\partial x^{s}}}v^{s}+{{\partial{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{\partial t}}\Rightarrow {{\partial{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{\partial x^{s}}}\simeq 0\wedge {{\partial{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}}\over{\partial t}}\simeq 0\;</MATH>|P3c2a}} }} Ale ponieważ w układach słabozakrzywionych {{LinkWzór|P3c}} (postać einsteinowska) i {{LinkWzór|P3ca}} (postać newtonowska) zachodzą w dowolnym kierunku dla dowolnego tensora (wektora) prędkości, stąd spełnione są kolejno wzory {{LinkWzór|P3c1}} oraz {{LinkWzór|P3c1a}} i {{LinkWzór|P9p1}} na podstawie dowodów dla nich kolejno {{LinkWzór|P3c2}} i {{LinkWzór|P3c2a}}. Oczywiste jest, że kolejno z przedstawień {{LinkWzór|P3c1}} oraz {{LinkWzór|P3c1a}} i {{LinkWzór|P9p1}} wynikają kolejno z nich {{LinkWzór|P3c}} i {{LinkWzór|P3ca}} na podstawie formuł kolejno {{LinkWzór|P3c2}} i {{LinkWzór|P3c2a}}. Weźmy układ globalnie (lokalnie) płaski, w którym mamy wielkość wskaźnikową będącą tam tensorem {{Formuła|<MATH>{T^{\alpha}}_{,\beta}\;</MATH>}}, a ponieważ zachodzą związki dla mechaniki Einsteina {{LinkWzór|P3c1}} oraz Newtona {{LinkWzór|P3c1a}} i {{LinkWzór|P9p1}}, zatem możemy powiedzieć, że po transformacji otrzymujemy dwa wzory ze sobą równoważne, pierwszy z wykorzystaniem związków układu słabozakrzywionego, a drugi z wykorzystaniem własności tensorowych, ale {{Formuła|<MATH>{T^{\alpha}}_{,\beta}\simeq{T^{\alpha}}_{;\beta}\;</MATH>}}, co stąd z definicji pochodnej tensorowej wynika, że symbole Christoffela w takich układach są w przybliżeniu równe zero {{Formuła|<MATH>{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\simeq 0\;</MATH>}}, czyli układy słabozakrzywione są w przybliżeniu płaskie. * Tensor siły (pierwsza równość) w {{LinkWzór|P3|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} według równania geodezyjnego {{LinkWzór|P2|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} (notacja einsteinowska) i na podstawie wniosku, wynikającego z {{LinkWzór|P3c1}} (mechanika Einsteina) lub {{LinkWzór|P3c1a}} i {{LinkWzór|P9p1}} (mechanika Newtona), dotyczącego, jakie wartości przyjmują symbole Christoffela, mechanika Einsteina i Newtona są niespełnione dla bardzo dużych sił, bo symbole Christoffela są małe. Co na podstawie kolejno zapisów {{LinkWzór|P3c}} i {{LinkWzór|P3ca}} wzory na transformację wielkości wskaźnikowej siły coś w rodzaju wielkości tensorowych kolejno {{LinkWzór|P3b}} i {{LinkWzór|P3b1}} przybierają postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{K}^{\mu}\simeq K^{\nu}{\overline{\Lambda}^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>|P3d}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F}^{k}\simeq F^{l}{\overline{\Lambda}^{k}}_{l}\;</MATH>|P3da}} }} Stąd wielkości wskaźnikowe siły coś w rodzaju wielkości tensorowych na podstawie przybliżonych transformacji {{LinkWzór|P3d}} (postać einsteinowska) i {{LinkWzór|P3da}} (postać newtonowska) są w przybliżeniu tensorami w układach słabozakrzywionych i dokładnie w układach globalnie (lokalnie) płaskich. Widzimy, że jeśli nie są spełnione {{LinkWzór|P3c}} i {{LinkWzór|P3ca}} to już nie są spełnione kolejno wzory {{LinkWzór|P3d}} i {{LinkWzór|P3da}} to wielkości {{LinkWzór|P3|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} i {{LinkWzór|P3a1a|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} nie są tensorami nawet w przybliżeniu, co jest spełnione dla układów zakrzywionych w czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłej, ale nie globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywiownych. Dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich na podstawie co najwyżej przybliżonej tensorowości w postaci einsteinowskiej {{LinkWzór|P3d}} i newtonowskiej {{LinkWzór|P3da}} prawa fizyki są ogólnie spełnione. === Układy słabozakrzywione jako przestrzenie opisywane przez mechanikę Einsteina i Newtona === Weźmy w szczególnej teorii względności wzór na tensor siły i w mechanice Newtona wzór wektor siły i napiszemy je w postaci tensorowej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>K^{\mu}=m_0c{{du^{\mu}}\over{ds}}\Rightarrow K^{\mu}e_{\mu}=m_0c{{de_{\mu}u^{\mu}}\over{ds}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow K^{\mu}e_{\mu}=m_0c{u^{\mu}}_{;\nu}u^{\nu}e_{\mu}\Rightarrow K^{\mu}=m_0c{u^{\mu}}_{;\nu}u^{\nu}\;</MATH>|BV1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>F^{\mu}=m_0{{dv^{\mu}}\over{dt}}\Rightarrow F^{\mu}e_{\mu}=m_0{{de_{\mu}v^{\mu}}\over{dt}}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow F^{\mu}e_{\mu}=m_0{v^{\mu}}_{;\nu}v^{\nu}e_{\mu}\Rightarrow F^{\mu}=m_0{v^{\mu}}_{;\nu}v^{\nu}\;</MATH>|BV2}} }} Napiszmy równania transformacyjne równań ruchu kolejno {{LinkWzór|BV1}} i {{LinkWzór|BV2}} wiedząc, że w tym pierwszym tensor prędkości jest tensorem, a w tym drugim wielkość wskaźnikowa prędkości jest też tensorem: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline K^{\nu}=K^{\mu}{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}=m_0c{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu} {u^{\mu}}_{;\gamma}{\Lambda^{\gamma}}_{\xi}{\overline\Lambda^{\xi}}_{\zeta}u^{\zeta}\Rightarrow \overline K^{\nu}=m_0c{\overline u^{\nu}}_{;\gamma}\overline u^{\gamma}\;</MATH>|GG@1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline F^{\nu}=F^{\mu}{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu}=m_0{\overline\Lambda^{\nu}}_{\mu} {v^{\mu}}_{;\gamma}{\Lambda^{\gamma}}_{\xi}{\overline\Lambda^{\xi}}_{\zeta}v^{\zeta}\Rightarrow \overline F^{\nu}=m_0{\overline v^{\nu}}_{;\gamma}\overline v^{\gamma}\;</MATH>|GG@2}} }} W układach słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne i we układach o współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) tensory siły w szczególnej teorii względności na podstawie {{LinkWzór|GG@1}} i wielkości wskaźnikowa siły w mechanice Newtona na podstawie {{LinkWzór|GG@2}} są w przybliżeniu tensorami, tzn. transformują się jak tensory. We wzorach {{LinkWzór|BV1}} i {{LinkWzór|BV2}} już nie zachodzi ogólnie {{Formuła|<MATH>{u^{\mu}}_{;\nu}=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{v^{\mu}}_{;\nu}=0\;</MATH>}} według równości na linie geodezyjne na podstawie {{LinkWzór|P2|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} (pierwszy wzór), bo postępujemy według {{LinkProcedura|FG|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}. *Prawą '''część wzorów'''{{Patrz|GGF}} w {{LinkWzór|GG@1}} i {{LinkWzór|GG@2}} nazywamy częścią '''kinematyczną''', a lewą '''dynamiczną'''. == Tensorowość wielkości wskaźnikowej położenia w postaci einsteinowskiej i tylko wektorowość (nietensorowość) w postaci newtonowskiej == Udowodnijmy, że różnica wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni według postaci einsteinowskiej jest tensorem w sposób przybliżony, a różniczka dokładnie, na podstawie tego, że tensor prędkości jest dokładnie tensorem {{LinkWzór|P3aa}}, a różnica wielkości wskaźnikowej położenia w przestrzeni zwykłej według postaci newtonowskiej nie jest tensorem nawet w sposób przybliżony, a jego różniczka też, na podstawie {{LinkWzór|P3aa1}}, co to wszystko kolejno o tym powiemy w przypadku o postaci einsteinowskiej różnica wielkości wskaźnikowej położenia w nowym układzie współrzędnym a starym jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\overline x^{\mu}}\over{ds}}={{\overline\Lambda}^{\mu}}_{\nu}{{dx^{\nu}}\over{ds}}\Rightarrow \int {{d\overline x^{\mu}}\over{ds}}ds=\int{{\overline\Lambda}^{\mu}}_{\nu}{{dx^{\nu}}\over{ds}} ds\Rightarrow\Delta \overline x^{\mu}=\int {{\overline\Lambda}^{\mu}}_{\nu}dx^{\nu}\Rightarrow \Delta \overline x^{\mu}={{\overline\Lambda}^{\mu}}_{\nu}(\xi^{\alpha})\int dx^{\nu}\Rightarrow\Delta \overline x^{\mu}={{\overline\Lambda}^{\mu}}_{\nu}(\xi^{\alpha})\Delta x^{\nu}</MATH>|P3e}} lub w przypadku o postaci newtonowskiej różnica wielkości wskaźnikowej położenia w nowym układzie współrzędnym a starym układem jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\overline x^{k}}\over{dt}}={{\overline\Lambda}^{k}}_{l}\left({{dx^{l}}\over{dt}}-V^l\right)\Rightarrow \int {{d\overline x^{k}}\over{dt}}dt=\int{{\overline\Lambda}^{k}}_{l}\left({{dx^{l}}\over{dt}}-V^l\right) dt\Rightarrow\Delta \overline x^{k}=\int {{\overline\Lambda}^{k}}_{l}\left(dx^{l}-V^ldt\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\Delta \overline x^{k}={{\overline\Lambda}^{k}}_{l}(\xi^{s})\int \left(dx^{l}-V^ldt\right)\Rightarrow\Delta \overline x^{k}={{\overline\Lambda}^{k}}_{l}(\xi^{s})\left(\Delta x^{l}-V^l\Delta t\right)\;</MATH>|P3ea}} Widzimy, że wzór {{LinkWzór|P3e}} dla opisu ruchu w czasoprzestrzeni przyjmując, że {{Formuła|<MATH>M(\vec\xi)={{\overline\Lambda}^{\mu}}_{\nu}(\xi^{\alpha})\;</MATH>}}, zgadza się dla dowolnych układów odniesienia zakrzywionych, słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich ze wzorem {{LinkWzór|1.17n|Układy inercjalne i nieinercjalne}}. Jeśli zachodzi {{LinkWzór|P3e}} (postać einsteinowska) i {{LinkWzór|P3ea}} (postać newtonowska), wtedy różnica wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni jest w przybliżeniu tensorem, gdy macierz transformacji kolejno {{Formuła|<MATH>{{\overline\Lambda}^{\mu}}_{\nu}\;</MATH>}} praktycznie się nie zmienia na drodze od {{Formuła|<MATH>x^{\nu}_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>x^{\nu}_2</MATH>}}, a nie jest tensorem dla przestrzeni zwykłej, nawet gdy macierz transformacji {{Formuła|<MATH>{{\overline\Lambda}^{k}}_{l}</MATH>}} praktycznie się nie zmienia na drodze od {{Formuła|<MATH>x^{l}_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>x^{l}_2</MATH>}} i od {{Formuła|<MATH>t_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>t_2</MATH>}}, ale gdy kolejno {{Formuła|<MATH>x^{\nu}_2\rightarrow x_1^{\nu}\;</MATH>}}, to wtedy różniczka wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni jest tensorem w postaci {{LinkWzór|P3e1}}, a gdy {{Formuła|<MATH>x^{l}_2\rightarrow x_1^{l}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t_2\rightarrow t_2\;</MATH>}} to według {{LinkWzór|P3ea1}} różniczka położenia nie jest tensorem w przestrzeni zwykłej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>d \overline x^{\mu}={{\overline\Lambda}^{\mu}}_{\nu}d x^{\nu}\;</MATH>|P3e1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d \overline x^{k}={{\overline\Lambda}^{k}}_{l}\left(d x^{l}-V^ldt\right)\;</MATH>|P3ea1}} }} Ze wzorów {{LinkWzór|P3e1}} i {{LinkWzór|P3ea1}} kolejno wynikają wzory {{LinkWzór|P3e}} i {{LinkWzór|P3ea}}. Wzory {{LinkWzór|P3e1}} i {{LinkWzór|P3ea1}} kolejno wynikają też bezpośrednio ze wzorów {{LinkWzór|P3aa}} i {{LinkWzór|P3aa1}}. Wzory {{LinkWzór|P3e}} i {{LinkWzór|P3e1}} oraz {{LinkWzór|P3ea}} i {{LinkWzór|P3ea1}} są też spełnione dla układów zakrzywionych kolejno dla czasoprzestrzeni i przestrzeni zwykłej. Transformacja tensorowa {{LinkWzór|P3e1}} zachodzi również w układach słabozakrzywionych na podstawie {{LinkWzór|X2|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i jego definicji {{LinkWzór|P3c}} (postać einsteinowska), a wzór transformacyjny wielkości wskaźnikowych w {{LinkWzór|P3ea1}} na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i definicji układów słabozakrzywionych {{LinkWzór|P3ca}} (postać newtonowska) też zachodzi w nim. == Tensorowość wyrażenia wskaźnikowego: dx{{Sup|s}}-V{{Sup|s}}dt, v{{Sup|s}}-V{{Sup|s}} i p{{Sup|s}}-m{{Sub|0}}V{{Sup|s}}, w postaci newtonowskiej == Rozpatrzmy postać Newtonowską, wtedy z układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}} oraz z układu {{Formuła|<MATH>K^{'}\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}} transformacje piszemy w postaci: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>d {x^{''}}^{k}={{\overline\Lambda}^{k}}_{l}\left(d x^{l}-V^ldt\right)\;</MATH>|H71}}|2={{CentrujWzór|<MATH>d {x^{''}}^{k}={{\overline\Lambda^{'}}^{k}}_{l}\left(d {x^{'}}^{l}-{V^{'}}^ldt\right)\;</MATH>|H72}}}} * gdzie {{Formuła|<MATH>V^l\;</MATH>}} jest współrzędną prędkości układu {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}} względem układu {{Formuła|<MATH>K\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>{V^'}^l\;</MATH>}} jest współrzędną prędkości układu {{Formuła|<MATH>K^{''}\;</MATH>}} względem układu {{Formuła|<MATH>K^'\;</MATH>}}. Łącząc wzory {{LinkWzór|H71}} i {{LinkWzór|H72}} stronami, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\overline\Lambda^{'}}^{k}}_{l}\left(d {x^{'}}^{l}-{V^{'}}^ldt\right)={{\overline\Lambda}^{k}}_{s}\left(d x^{s}-V^sdt\right)\Rightarrow d {x^{'}}^{l}-{V^{'}}^ldt=\left({{\overline\Lambda^{'}}^{l}}_{k}\right)^{-1}{{\overline\Lambda}^{k}}_{s}\left(d x^{s}-V^sdt\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow d {x^{'}}^{l}-{V^'}^ldt={\Lambda^l}_s\left(d x^{s}-V^sdt\right)\wedge {\Lambda^l}_s=\left({{\overline\Lambda^'}^{l}}_{k}\right)^{-1}{{\overline\Lambda}^{k}}_{s}\;</MATH>|H73}} A więc wzór {{LinkWzór|H73}} zapiszmy w postaci lepszej właściwej z nadkreśleniami w układzie {{Formuła|<MATH>K^{'}\;</MATH>}} i pisząc macierz transformacji też z nadkreśleniem, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>d {\overline x}^{l}-{\overline V}^ldt={\overline\Lambda^l}_s\left(d x^{s}-V^sdt\right)\;</MATH>|H74}} Na podstawie {{LinkWzór|H74}} wielkość różniczkowa {{Formuła|<MATH>d x^{s}-V^sdt\;</MATH>}} transformuje się jak tensor i jest tensorem w postaci newtonowskiej. Gdy układy, tzn.: {{Formuła|<MATH>K^{'}=K^{''}\;</MATH>}} (wtedy {{Formuła|<math>{\overline V}^l=0\;</math>}}), to transformacja tensorowa {{LinkWzór|H74}} przechodzi w {{LinkWzór|P3ea1}}. Na podstawie {{LinkWzór|H74}}, która jest dla postaci newtonowskiej, różnica {{Formuła|<MATH>v^l-V^l\;</MATH>}} jest tensorem też w postaci newtonowskiej, to otrzymujemy dzieląc obustronnie ten wzór przez różniczkę czasu absolutnego {{Formuła|<MATH>dt\;</MATH>}}, czyli: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline v}^l-{\overline V}^l={\overline\Lambda^l}_s\left(v^s-V^s\right)</MATH>|H8}} Wzór {{LinkWzór|H8}} przechodzi w {{LinkWzór|P3aa1}}, gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>K^'=K^{''}\;</MATH>}} (wtedy {{Formuła|<MATH>{\overline V}^l=0\;</MATH>}}). Na podstawie {{LinkWzór|H8}} możemy napisać pewne prawo transformacji w postaci newtonowskiej: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline p}^l-m_0{\overline V}^l={\overline\Lambda^l}_s\left(p^s-m_0V^s\right)\;</MATH>|H9}} Wielkość {{Formuła|<MATH>{p}^l-m_0{V}^l\;</MATH>}} jest tensorem w postaci newtonowskiej. Wzór {{LinkWzór|H9}} przechodzi w {{LinkWzór|P3a1}}, gdy zachodzi {{Formuła|<MATH>K^'=K^{''}\;</MATH>}} (wtedy {{Formuła|<MATH>{\overline V}^l=0\;</MATH>}}). Wzory transformacyjne wielkości wskaźnikowych w {{LinkWzór|H74}}, {{LinkWzór|H8}} i {{LinkWzór|H9}} na podstawie transformacji wektorów w przestrzeni zwykłej {{LinkWzór|T1a|Transformacje macierzy transformacji, układy globalnie (lokalnie) płaskie a słabozakrzywione - rozważania ogólne}} i definicji układów słabozakrzywionych {{LinkWzór|P3ca}} (postać newtonowska) też zachodzą w układach słabozakrzywionych. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> thkeoc7jpzrtnuc89ddbdcoaggf8wm4 0 46736 558702 548230 2026-10-05T04:07:09Z Persino 2851 558702 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Dowodu drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina - wersji wektorowej z przejściem do tensorowej == Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_c={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.311}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.311}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być, dla {{Formuła|<MATH>v\leqslant c</MATH>}}, w najprostszej postaci, w tym przedstawieniu mamy pewną macierz {{Formuła|<math>m I</MATH>}} będącą stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało w układach spoczywających, która jest masą relatywistyczną pomnożoną przez macierz jednostkową, a {{Formuła|<MATH>\vec f^'_m(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} jest wektorem prędkości ciała, i {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką czasu, wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły ten dodatkowe człony są związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tych członów, a także pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazwijmy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_{t}(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v+\vec f^'_m(t,\vec r,\vec v)dm\Rightarrow\vec F_c={{d\vec f}\over{dt}}=m{{d\vec v}\over{dt}}+\vec v{{dm}\over{dt}}={{dm\vec v}\over{dt}}={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P111}} W {{LinkWzór|P1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być, czyli ogólnie zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy z definicji wektora siły w {{LinkWzór|P111}} tensor siły: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_c={{d\vec p}\over{dt}}\Rightarrow K^{\mu}_c={{dp^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>|P1a}} Ostatnie przedstawienie prawa na drugą zasadę dynamiki Newtona-Einsteina {{LinkWzór|P1a}} jest w postaci tensorowej. Napiszmy transformację tensorową wektora siły tarcia, wiedząc o niezmienniczości transformacji długości wektorów i transformowalności dowolnych wektorów pomiędzy układami dowolnymi spoczywającymi względem siebie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_T^'=C_p\vec F_T=-\mu NC_p{{\vec v}\over{v}}=-\mu N{{\vec v^'}\over{v^'}}\;</MATH>|P1as2}} A jego tarcie przedstawiamy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_T=\vec f^'_{t}(t,\vec r,\vec v)=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P1as}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P111}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy w postaci wektora siły, zakładając, że wielkość w nim {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest dla układów {{Formuła|<MATH>v<c\;</MATH>}} stałą zależną od masy ciała dla klasy układów odniesienia względem siebie spoczywających: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_o=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'_o=C_p\vec{F}_o=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}_o=-bm\vec{v}=-b\vec p\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\vec F_o=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Końcowe równanie {{LinkWzór|P1a1}} jest również słuszne z definicji transformacji wektora siły z jednego układu odniesienia do drugiego względem siebie spoczywających. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Widzimy, że wektor siły jest transformowalny w układzie spoczywającym dowolnym. Wzory: {{LinkWzór|P1a1}} i {{LinkWzór|P1as}}, stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P111}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}_c=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} === Zasada niezależności działania wektorów sił === Ale siła jest wielkością wektorową i addytywną, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec v_i\;</MATH>}} jest i-tą prędkością z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a dalej rozważmy na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina, a zatem {{Formuła|<MATH>{{\vec g}^'_{\vec v_i}}(t,\vec r_j, \vec v_j,m_j)\;</MATH>}} jest równa masie relatywistycznej rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową, a {{Formuła|<MATH>{\vec g_{m_i}}^'(t,\vec r_j, \vec v_j,m_j)\;</MATH>}} jest równa {{Formuła|<MATH>\vec v_i\;</MATH>}}, stąd dochodzimy do takiego wniosku wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} w wektorze siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona-Einsteina w wersji wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec g=\sum_i\left({\vec g}_{\vec v_i}^'(t,\vec r_j, \vec v_j,m_j)d\vec v_i+\vec g_{m_i}^'(t,\vec r_j,\vec v_j,m_j)dm_i\right)=\sum_i\left( m_{i}{{d\vec v_i}\over{dt}}dt+\vec v_i{{dm_i}\over{dt}}dt\right)\Rightarrow {{d\vec g}\over{dt}}=\sum_i{{dm_{i}\vec v_i}\over{dt}}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\vec F=\sum_i \vec F_i\;</MATH>|P35}} Na podstawie {{LinkWzór|P35}} siła jest wielkością addytywną i siła zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił. == Dowodu drugiej zasady dynamiki Newtona-Einsteina - wersji tensorowej z przejściem do wektorowej == Jeżeli na ciało działa tensor siły niezrównoważony, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym w czasoprzestrzeni względem interwału czasoprzestrzennego, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie w czasoprzestrzeni względem interwału czasoprzestrzennego, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającego tensora siły i odwrotnie proporcjonalna do masy spoczynkowej tego ciała. Wielkość masy spoczynkowej występujący we wzorze Newtona-Einsteina nazywamy masą bezwładnościową spoczynkową. Tą zasadę formujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{K}^{\mu}_c=m_0c{{d u}^{\mu}\over{ds}}\Rightarrow \left(K^{\mu}_c={{dp^{\mu}}\over{ds}}\wedge p^{\mu}=m_0cu^{\mu}\right)\Rightarrow \vec F_c={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P31}} '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|P31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f^{\nu}(s,x^{\alpha},u^{\alpha})\;</MATH>}} względem interwału czasoprzestrzennego, tensora położenia i prędkości wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i interwału czasoprzestrzennego, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona-Einsteina {{LinkWzór|P31}}, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość {{Formuła|<MATH>{{f^{\nu}}^'}_{u^{\mu}}(s,x^{\alpha},u^{\alpha})\;</MATH>}} jest pewną macierzą {{Formuła|<math>M_0</MATH>}}, w najprostszej postaci oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą spoczynkową pomnożoną przez macierz jednostkową, i {{Formuła|<MATH>{{df^{\mu}}\over{ds}}\;</MATH>}} jest tensorem siły, a także postać wzoru na tensor siły nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi, dalej rozkładając tensor {{Formuła|<MATH>df^{\mu}\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką interwału czasoprzestrzennego, tensora położenia i tensora prędkości, wiedząc, że w definicji tensora siły ten dodatkowy człon jest związany z dodatkowym tensorem siły będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na tensor siły napiszemy bez tych członów, a także pochodną tensora {{Formuła|<MATH>f^{\nu}\;</MATH>}} względem interwału czasoprzestrzennego nazwijmy tensorem siły: {{CentrujWzór|<MATH>df^{\nu}={f^{\nu}}^'_{s}(s,x^{\mu},u^{\mu})ds+{f^{\nu}}^'_{x^{\mu}}(s,x^{\mu},u^{\mu})dx^{\mu}+{{f^{\nu}}^'}_{u^{\mu}}(s,x^{\mu},u^{\mu})du^{\mu}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow K^{\nu}={{df^{\nu}}\over{ds}}={f^{\nu}}^'_{t}(s,x^{\mu},u^{\mu})+{f^{\nu}}^'_{x^{\mu}}(s,x^{\mu},u^{\mu})u^{\mu}+{{M_{0}}^{\nu}}_{\mu}{{du^{\mu}}\over{ds}}\Rightarrow\mathbf{K}_c=\mathbf{M}_0{{d\mathbf{u}}\over{ds}}\;</MATH>|P32}} W {{LinkWzór|P32}} drugi wyraz we wzorze na tensor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być, czyli ogólnie zachodzi {{Formuła|<MATH>{f^{\nu}}^'_{x^{\mu}}(x^{\alpha},u^{\beta})\neq 0\;</MATH>}}. Napiszmy transformacje tensorów siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>{\mathbf{K}^'_c}=\mathbf{M}\mathbf{K}_c=\mathbf{M}\mathbf{M}_0{{d\mathbf{u}}\over{ds}}=\mathbf{M}\mathbf{M}_0\mathbf{M}^{-1}\mathbf{M}{{d\mathbf{u}}\over{ds}}=\mathbf{M}\mathbf{M}_0\mathbf{M}^{-1}{{d\mathbf{u}^'}\over{ds}}\Rightarrow \mathbf{M}_0=\mathbf{M}\mathbf{M}_0\mathbf{M}^{-1}\Rightarrow\mathbf{M}_0=m_0c\mathbf{I}\;</MATH>|P33}} Na podstawie {{LinkWzór|P32}} i {{LinkWzór|P33}} mamy drugie prawo Newtona-Einsteina: {{CentrujWzór|<MATH>K^{\mu}_c=m_0c{{du^{\mu}}\over{ds}}\Rightarrow K^{\mu}_c={{dp^{\mu}}\over{ds}}\Rightarrow \vec F_c={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P34}} Wzór {{LinkWzór|P34}} jest spełniony dla wszystkich prędkości. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P34}} jest spełniona druga zasada dynamiki Newtona-Einsteina. Zajmijmy się wzorem na tarcie od ośrodka, robiąc to samo, co dla tensora oporu, przechodząc z {{LinkWzór|P1as}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf K_T={{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\left({{\vec v}\over{c}},\vec F_T\right),\vec F_T\end{bmatrix}^T=-\mu N{{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\Bigg({{\vec v}\over{c}}\Bigg|,\Bigg(\hat 1\Bigg|\end{bmatrix}^T\Bigg|{{\vec v}\over{v}}\Bigg)\;</MATH>|HG3}} * gdzie {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} jest to wartość siły nacisku na podłoże liczącego w układach dla prędkości {{Formuła|<MATH>v\rightarrow 0\;</MATH>}}. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P32}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z definicji wektora siły oporu, przechodząc do postaci tensora siły z definicji tej siły w postaci wektorowej {{LinkWzór|P1a1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{K}_o={{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\left({{\vec v}\over{c}},\vec F_o\right),\vec F_o\end{bmatrix}^T=-b{{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\Bigg({{\vec v}\over{c}}\Bigg|,\Bigg(\hat 1\Bigg|\end{bmatrix}^T\Bigg|\vec p\Bigg)\;</MATH>|P34a}} Wzory na tensor tarcia i oporu, od ośrodka, tzn. {{LinkWzór|HG3}} i {{LinkWzór|P34a}}, są tensorami, bo w układach dla {{Formuła|<MATH>\vec v\rightarrow 0\;</MATH>}} (mechaniki Newtona) są tensorami, na podstawie prawa niezależności działania tensorów sił dla tych samych prędkości, i transformacji obiektów tensorowych. Na podstawie {{LinkWzór|P34a}} tensor siły odpowiedzialny za tarcie {{LinkWzór|HG3}} i oporu {{LinkWzór|P34a}}, od ośrodka wkładamy do równania ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m_0c{{d\mathbf{u}}\over{ds}}={{d\mathbf p}\over{ds}}=\mathbf{K}_c=-\mu N{{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\Bigg({{\vec v}\over{c}}\Bigg|,\Bigg(\hat 1\Bigg|\end{bmatrix}^T\Bigg|{{\vec v}\over{v}}\Bigg)-b{{\gamma}\over{c}}\begin{bmatrix}\Bigg({{\vec v}\over{c}}\Bigg|,\Bigg(\hat 1\Bigg|\end{bmatrix}^T\Bigg|\vec p\Bigg)+\mathbf{K}_z\;</MATH>|P34b}} Jeśli uwzględniać tarcie i opór, od ośrodka, to wzór {{LinkWzór|P34b}} dla spoczywającego ośrodka ruchu ciała dla wszystkich prędkości, nawet tych relatywistycznych, jest spełniony. === Zasada niezależności działania tensorów sił === Ale wielkość wskaźnikowa siły jest wielkością tensorową, bo wielkość wskaźnikowa siły jest tensorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak tensor, zatem tensory siły działające na ciało dodają się jak wielkości tensorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>u^{\mu}_{i}\;</MATH>}} jest i-tym tensorem prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ty tensor sił z tensorów sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>{f^{\mu}_{u^{\alpha}_i}}^'(s,x^{\nu}_j, u_{j}^{\nu}){{ds_i}\over{ds}}={f^{\mu}_{u^{\alpha}_i}}^'(s_i,x^{\nu}_j,u^{\nu}_j)\;</MATH>}} powinna być taka sama niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}} i równa masie spoczynkowej {{Formuła|<MATH>m_0\;</MATH>}} rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych dowolnych tensorów prędkości i wielkości wskaźnikowej położenia, ponieważ gdyby pozostałe tensory sił były by równe zero inne niż i-ty tensor sił, stąd dochodzimy do takiego wniosku wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w {{LinkWzór|P32}} w tensorze siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona-Einsteina w wersji tensorowej, to ona spełnia wzór {{LinkWzór|P31}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d f^{\mu}=\sum_i{f^{\mu}_{u^{\alpha}_i}}^'(s,x^{\nu}_j,u^{\nu}_j)du^{\alpha}_i=\sum_i{f^{\mu}_{u^{\alpha}_i}}^'(s,x^{\nu}_j,u^{\nu}_j){{ds_i}\over{ds}}{{du^{\alpha}_i}\over{ds_i}}ds=\sum_i m_0cI {{du^{\mu}_i}\over{ds_i}}ds\Rightarrow {{df^{\mu}}\over{ds}}=\sum_im_0c{{du^{\mu}_i}\over{ds_i}}=\sum_i K_{i}^{\mu}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow K^{\mu}=\sum_iK^{\mu}_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} wielkość wskaźnikowa siły ogólnie oznaczoną {{Formuła|<MATH>K^{\mu}\;</MATH>}} jest wielkością addytywną i jest tensorem, a także jest spełniona zasada niezależności działania tensorów sił. == Dowód trzeciej zasady dynamiki Newtona-Einsteina == Udowodnimy tutaj trzecią zasadę dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego i obrotowego. === Przypadek ruchu liniowego === Będziemy tutaj udowodniali trzecią zasadę dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego. ==== W przypadku, gdy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego jest spełniona ==== Na podstawie {{LinkWzór|P2|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}} mamy zależność dla '''szczególnej teorii względności''' (postać einsteinowska): {{CentrujWzór|<MATH>{{d u^{\mu}}\over{ds}}+{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}=0\Rightarrow m_0c{{d u^{\mu}}\over{ds}}+m_0c{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}=0\Rightarrow K^{\mu}_1+H^{\mu}_2=0\wedge K^{\mu}_1={{dp^{\mu}}\over{ds}}={{\gamma}\over{c}}{{dp^{\mu}}\over{dt}}={{\gamma}\over{c}}F_1^{\mu}\wedge\;</MATH>{{Br}}<MATH>\wedge H^{\mu}_2=m_0c{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}\Rightarrow{{\gamma}\over{c}}F_1^{\mu}+H_2^{\mu}=0\Rightarrow F_1^{\mu}+\underbrace{{{c}\over{\gamma}} H_2^{\mu}}_{F_2^{\mu}}=0\Rightarrow F_1^{\mu}+F_2^{\mu}=0\Rightarrow\vec F_1+\vec F_2=0\;</MATH>|P4}} * Ale ogólnie: {{Formuła|<MATH>F^{\mu}_2={{c}\over{\gamma}}H_2^{\mu}={{c}\over{\gamma}}m_0c{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}={{c}\over{\gamma}}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}{{\gamma}\over{c}}v^{\alpha}p^{\beta}={\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}v^{\alpha}p^{\beta}\neq 0\;</MATH>}}. * gdzie wskaźnik jeden to dotyczy ciała, a dwa pola. ---- Na podstawie {{LinkWzór|P22|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}, mamy zależność dla '''mechaniki Newtona''' w postaci newtonowskiej: {{CentrujWzór|<MATH>m_0{{d}\over{dt}}\dot{q}^k+\left(m_0{\Gamma^k}_{ls}(\dot{q}^s-V^s)(\dot{q}^l-V^l)-m_0{{d}\over{dt}}V^k-(\dot{q}^k-V^k)_{,\mu}m_0V^{\mu}\right)=0\Rightarrow \vec F_1+\vec F_2=0\;</MATH>|P4v1}} lub rozważając w postaci einsteinowskiej według wzoru {{LinkWzór|P2|Konwencje Newtona i Einsteina - formułowanie drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d u^{\mu}}\over{ds}}+{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}=0\Rightarrow m_0{{d v^{\mu}}\over{dt}}+m_0{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}v^{\alpha}v^{\beta}=0\Rightarrow{{d p^{\mu}}\over{dt}}+{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}v^{\alpha}p^{\beta}=0\Rightarrow F^{\mu}_1+F^{\mu}_2=0\Rightarrow \vec F_1+\vec F_2=0</MATH>|P4v2}} Na podstawie postaci einsteinowskiej {{LinkWzór|P4v1}} i newtonowskiej {{LinkWzór|P4v2}} w mechanice Newtona mamy, że suma sił działającej na ciało i pole jest równa zero, co: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_1+\vec F_2=0\;</MATH>|P4v}} * gdzie wskaźnik jeden to dotyczy ciała, a dwa pola. ---- Zatem względem niezależności działania sił {{LinkWzór|P35}} rozważmy układ jedno pole i ciało, wtedy na tej podstawie suma sił działający na to pole i ciało jest równa zero na podstawie dowodu {{LinkWzór|P4}} (szczególna teoria względności) i {{LinkWzór|P4v}} (mechaniki Newtona). Rozważmy przypadki podzbioru {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}} ciał, tzn.: i=1,2,3,...,k, ze zbioru wszystkich ciał ({{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} ciał) wytwarzających pewne pola działających na ciała j-te dla j=1,2,...,n, wtedy na podstawie końcowego wzoru {{LinkWzór|P4}} (szczególna teoria względności) i {{LinkWzór|P4v}} (mechanika Newtona) sumując obustronnie te wzory dla każdej z teorii sformułowane dla każdego i-tego przyjmując zasadę niezależności działania sił {{LinkWzór|P35}} nawet dla pól (co jest spełnione dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich), czyli przyjmując, że pole od jednego ciała jest niezależne od pól innych ciał: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^k\vec{F}_{1i}+\sum_{i=1}^k\vec{F}_{2i}=0\;</MATH>|P6}} Napiszmy przez {{Formuła|<MATH>\vec F_{mech}=\sum_{i=1}^k\vec{F}_{1i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{pole}=\sum_{i=1}^k\vec{F}_{2i}\;</MATH>}} we formule {{LinkWzór|P6}}, dzięki temu dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{mech}+\vec{F}_{pole}=0\;</MATH>|P6a}} Końcowy wzór {{LinkWzór|P6a}} jest również spełniony w układach globalnie (lokalnie) płaskich, wtedy {{Formuła|<MATH>\vec F_{pole}\;</MATH>}}, to jest siła działająca na pola w układzie wszystkich pól i ciał. Suma sił wtedy w {{LinkWzór|P6a}} jest równa zero jak tam napisano, co wynika z równania geodezyjnego ruchu ciała w układach słabozakrzywionych. Wedle wzoru w {{LinkWzór|P6a}} zakładając, że suma sił działających na pola jest równa zero, bo te pola są wytwarzane przez ciała, jeżeli w ogóle to jest spełnione, tzn.: {{Formuła|<MATH>\vec F_{pole}=0\;</MATH>}} (tzn. przyjmujemy, że pole ma masę relatywistyczną prawie równą zero (co tutaj możemy przyjąć, że dokładnie) i jest natychmiastowe (można tak powiedzieć, bo prędkość światła, z którą rozpowszechnia się pole jest bardzo dużą prędkością, a więc można powiedzieć, że jest prędkością prawie nieskończoną), a to pole na pewno spełnia drugą zasadę dynamiki Newtona i w przybliżeniu Einsteina dla ruchu liniowego), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{mech}=0\;</MATH>|P7}} Wzór {{LinkWzór|P7}} zachodzi dla każdego podzbioru ciał jeżeli przyjmniemy niezależność działania sił, wtedy podzbiór sił działający na ciało nadaje taką zmianę tensora pędu względem czasu opisującą ciało, jak gdy by sił innych niż w tym podzbiorze sił nie było. We wzorze {{LinkWzór|P7}} rozważając podukład dwóch ciał ({{Formuła|<MATH>k=2\;</MATH>}}) z układu {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} ciał: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}+\vec F_{1ji}=0\Rightarrow \vec F_{1ij}=-\vec F_{1ji}\;</MATH>|P8}} Widzimy, że ze wzoru pierwszego {{LinkWzór|P8}} po sumowaniu go obustronnie względem wszystkich "i" i "j", mając na myśli i<j, mamy równanie {{LinkWzór|P7}} dla układu ciał, co powinno zachodzić. Wzór {{LinkWzór|P8}}, który jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego przedstawia, że ciało i-te oddziałuje na ciało j-te z siłą {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}\;</MATH>}}, a ciało j-te na ciało i-te z siłą {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ji}=-\vec F_{1ij}\;</MATH>}}. Ale {{LinkWzór|P8}} jest dokładnie spełniona pomiędzy ciałem (cząstką materii) a polem na podstawie {{LinkWzór|P4}}. ==== Kiedy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu liniowego nie jest spełniona ==== Z oczywistych powodów pole ma masę i rozprzestrzenia się ze skończoną prędkością, co ogólnie zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec F_{pole}\neq 0\;</MATH>}}, więc trzecia zasada dynamiki dla ruchu liniowego ogólnie nie jest spełniona. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qrruzy5si2x09vcxof6f410o3y1as7d 0 46737 558703 548231 2026-10-05T04:08:51Z Persino 2851 558703 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Pierwsza zasada dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego == Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. == Druga zasada dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego == Druga zasada dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Einsteina-Newtona {{LinkWzór|P1a|Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił}}. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia kątowego i czasu, zakładając, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci równą tensorowi bezwładności oraz {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1ab}} i definicji na moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec L=\vec r\times\vec r\;</MATH>}}, a także {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}. Napiszmy wzór na moment pędu tarcia od ośrodka napisany na podstawie pierwszego wyrazu po drugiej równości w {{LinkWzór|P1b1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|LK1}} Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu, przedstawiający moment siły działający od ośrodka, dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1|Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił}} przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} Wzory: {{LinkWzór|LK1}} i {{LinkWzór|P1a1a}}, stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego: * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}, wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momenu siły w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina-Newtona dla ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\sum_i d\vec K_i=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_iN_i\;</MATH>|P1c}} Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v))}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej. == Przypadek ruchu obrotowego == Będziemy tutaj udowodniali trzecią zasadę dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu obrotowego. === W przypadku, gdy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu obrotowego jest spełniona === Na podstawie {{LinkWzór|P4|Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił}} (szczególna teoria względności) i {{LinkWzór|P4v|Formułowanie drugiej i trzeciej zasady dynamiki Einsteina-Newtona, zasada niezależności działania tensorów (wektorów) sił}} (mechanika Newtona) mamy zależność: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_1+\vec F_2=0\Rightarrow \vec r\times \vec F_1+\vec r \times \vec F_2=0\Rightarrow \vec N_1+\vec N_2=0\;</MATH>|1P41}} Rozważmy przypadki podzbioru {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}} ciał, tzn.: i=1,2,3,...,k, ze zbioru wszystkich ciał ({{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} ciał) wytwarzających pewne pola działających na ciała j-te dla j=1,2,...,n, wtedy na podstawie końcowego wzoru {{LinkWzór|1P41}} sumując obustronnie te wzory sformułowane dla każdego i-tego przyjmując zasadę działania niezależności działania momentów sił nawet dla pól (co jest spełnione dla układów prawie płaskich, bo druga zasada dynamiki Newtona-Einsteina, a w niej, bo moment sił jest wektorem) i przyjmując, że pole od jednego ciała jest niezależne od pól innych ciał: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^k\vec{N}_{1i}+\sum_{i=1}^k\vec{N}_{2i}=0\;</MATH>|1P61}} Napiszmy przez {{Formuła|<MATH>\vec N_{mech}=\sum_{i=1}^k\vec{N}_{1i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{N}_{pole}=\sum_{i=1}^k\vec{N}_{2i}\;</MATH>}} we formule {{LinkWzór|1P61}}, dzięki temu dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{mech}+\vec{N}_{pole}=0\;</MATH>|1P6a1}} Końcowy wzór {{LinkWzór|1P6a1}} jest również spełniony w układach globalnie (lokalnie) płaskich, wtedy {{Formuła|<MATH>\vec N_{pole}\;</MATH>}}, to jest moment sił działająca na pola w układzie wszystkich pól i ciał. Suma momentów sił wtedy w {{LinkWzór|1P6a1}} jest równa zero jak tam napisano, co wynika z równania geodezyjnego ruchu ciała w układach słabozakrzywionych. Wedle wzoru w {{LinkWzór|1P6a1}} zakładając, że suma momentów sił działających na pola jest równa zero, bo te pola są wytwarzane przez ciała, jeżeli w ogóle to jest spełnione, tzn.: {{Formuła|<MATH>\vec N_{pole}=0\;</MATH>}} (tzn. przyjmujemy, że pole ma masę relatywistyczną prawie równą zero (co tutaj możemy przyjąć, że dokładnie) i jest natychmiastowe (można tak powiedzieć, bo prędkość światła, z którą rozpowszechnia się pole jest bardzo dużą prędkością, a więc można powiedzieć, że jest prędkością prawie nieskończoną), a to pole na pewno spełnia drugą zasadę dynamiki Newtona i w przybliżeniu Einsteina dla ruchu obrotowego), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_{mech}=0\;</MATH>|1P71}} Wzór {{LinkWzór|1P71}} zachodzi dla każdego podzbioru ciał jeżeli przyjmiemy niezależność działania momentów sił na podstawie {{LinkWzór|P1c|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego|Mechanika teoretyczna|MT}}, wtedy podzbiór momentów sił działający na ciało nadaje taką zmianę momentów pędu względem czasu opisującą ciało, jak gdy by moment sił innych niż w tym podzbiorze momentów sił nie było. We wzorze {{LinkWzór|1P71}} rozważając podukład dwóch ciał, tzn.: {{Formuła|<MATH>k=2\;</MATH>}}, z układu ciał wszystkich ciał, tzn.: {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} ciał: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_{1ij}+\vec N_{1ji}=0\Rightarrow \vec N_{1ij}=-\vec N_{1ji}\;</MATH>|1P81}} Widzimy, że ze wzoru pierwszego {{LinkWzór|1P81}} po sumowaniu go obustronnie względem wszystkich "i" i "j", mając na myśli i<j, mamy równanie {{LinkWzór|1P71}} dla układu ciał, co powinno zachodzić. Wzór {{LinkWzór|1P81}}, który jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu obrotowego przedstawia, że ciało i-te oddziałuje na ciało j-te z momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}\;</MATH>}}, a ciało j-te na ciało i-te z momentem sił {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ji}=-\vec N_{1ij}\;</MATH>}}. Ale {{LinkWzór|1P81}} jest dokładnie spełniona pomiędzy ciałem (cząstką materii) a polem na podstawie {{LinkWzór|1P41}}. === Kiedy trzecia zasada dynamiki Newtona-Einsteina dla ruchu obrotowego nie jest spełniona === Z oczywistych powodów pole ma masę i rozprzestrzenia się ze skończoną prędkością, co ogólnie zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec N_{pole}\neq 0\;</MATH>}}, więc trzecia zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ogólnie nie jest spełniona. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> bu52i6b2z0ojqy5ckpfecjsev6p8dc2 0 46738 558704 548266 2026-10-05T04:10:15Z Persino 2851 558704 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Twierdzenie o środku mas == Jeżeli mamy masy relatywistyczne {{LinkWzór|1.107|Trzy zasady dynamiki Einsteina}} poszczególnych poruszających się cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_i\;</MATH>}} i ich położeniach {{Formuła|<math>\vec r_i\;</MATH>}} to możemy policzyć ich środek mas {{Formuła|<MATH>\vec R\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec R={{\sum_im_i\vec r_i}\over{m_i}}\Rightarrow \sum_i m_i\vec R=\sum_im_i\vec r_i\;</MATH>|1.113}} Zakładamy, że zachodzi dla n-tej pochodnej położenia środka mas względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec R^{(n)}={{\sum m_i\vec r_i^{(n)}}\over{\sum_i m_i}}\Rightarrow \sum_i m_i\vec R^{(n)}=\sum_im_i\vec r_i^{(n)}\;</MATH>|1.114}} Do udowodnienia powyższego wzoru wykorzystajmy zasadę indukcji matematycznej, a więc dla n=0 wzór {{LinkWzór|1.114}} przechodzi w wzór {{LinkWzór|1.113}}, która jest definicją położenia środka mas. Udowodnijmy twierdzenie {{LinkWzór|1.114}} ale dla n+1. Zróżniczkujmy obie strony równości końcowej {{LinkWzór|1.114}} względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m^{(1)}_iR^{(n)}+\sum_im_i\vec R^{(n+1)}=\sum_i m^{(1)}_i\vec r_i^{(n)}+\sum_im_i\vec r_i^{(n+1)}\;</MATH>|1.115}} We wzorze {{LinkWzór|1.115}} po przegrupowaniu i przenoszeniu w nim wyrazów mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m^{(1)}_i\vec R^{(n)}-\sum_i m^{(1)}_ir^{(n)}_i=\sum_im_i\vec r_i^{(n+1)}-\sum_im_i\vec R^{(n+1)}=C\;</MATH>|1.116}} W {{LinkWzór|1.116}} lewa strona jest pisana w zmiennych n-tych pochodnych położeń punktów materialnych oraz pierwszych pochodnych mas względem czasu, a prawa w zmiennych (n+1)-tych pochodnych położeń punktów materialnych i mas punktów materialnych, a więc obie strony tej równości są przedstawione w różnych zmiennych, stąd są równe stałej. Ale gdy {{Formuła|<MATH>\vec r_i^{(n)}=0\;</MATH>}}, to wtedy mamy {{Formuła|<MATH>\vec R^{(n)}=0\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|1.114}}, stąd ta stała w {{LinkWzór|1.116}} jest równa zero, a więc na podstawie tego punktu dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_im_i\vec r_i^{(n+1)}-\sum_im_i\vec R^{(n+1)}\Rightarrow \vec R^{(n+1)}={{\sum_im_i\vec r_i^{(n+1)}}\over{\sum m_i}}\;</MATH>|1.117}} Stąd twierdzenie {{LinkWzór|1.114}} na mocy zasady indukcji matematycznej jest spełnione. === Prędkość i przyśpieszenie, środka układu mas === Z {{LinkWzór|1.114}} mamy wzór na prędkość i przyśpieszenie środka mas: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\vec V={{\sum_im_i\vec v_i}\over{\sum_im_i}}\;</MATH>|1.118}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\vec A={{\sum_im_i\vec a_i}\over{\sum_im_i}}\;</MATH>|1.119}}}} === Pęd środka układu mas === Jeżeli wykorzystamy definicję pędu {{LinkWzór|1.109|Trzy zasady dynamiki Einsteina}}, to wtedy ten środek mas ma pęd wykorzystując wzór na prędkość środka mas {{LinkWzór|1.118}}, co dalej możemy zauważyć, że pęd środka masy jest sumą pędów poszczególnych elementów masowych, na podstawie tego, że założyliśmy, że masa relatywistyczna środka masy jest sumą mas relatywistycznych poszczególnych tych elementów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec P=\sum_i \vec p_i\;</MATH>|1.120}} === Siła środka układu mas === Zatem środek mas ma położenie {{LinkWzór|1.113}}, prędkość {{LinkWzór|1.118}}, przyśpieszenie {{LinkWzór|1.119}} i n-tą pochodną {{Formuła|<MATH>R\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.114}} względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}. Jeżeli wzór {{LinkWzór|1.120}} zróżniczkujemy względem czasu to otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F={{d\vec P}\over{dt}}={{d}\over{dt}}\sum_i \vec p_i=\sum_i{{d\vec p_i}\over{dt}}=\sum_i \vec F_i\;</MATH>|1.121}} Zatem na środek mas działa siła równa sumie sił działające na poszczególne masy. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0msfnegubivmwwudkwzen1n5gjhtt0s 0 46739 558705 548247 2026-10-05T04:12:01Z Persino 2851 558705 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się zajmowali tutaj układami globalnie (lokalnie) płaskimi o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, i powiemy, że w tych układach wielkość ciśnienia jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą. Także też mamy, że dowolna wielkość jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą, nie tylko względem czasu, ale też względem współrzędnych przestrzennych ze względu na specyfikę tych układów współrzędnych. == Pochodne ciśnienia względem wielkości wskaźnikowej położenia x{{Sup|&mu;}}, a różniczka ciśnienia == A także zachodzi ogólny wniosek dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wiedząc, że w nim: {{CentrujWzór|<MATH>dp=0\wedge p_{,0}=p_{,i}=0\Rightarrow p_{,\mu}=0\;</MATH>|L1}} który wynika z tego, że globalnie (lokalnie) w tym wspomnianym układzie tensory (wektory) prędkości są stałe globalnie (lokalnie), więc globalnie (lokalnie) nie ma zderzeń w nim, więc zachodzi {{LinkWzór|L1}} w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona (patrz: {{LinkWzór|C1|Przechodniość macierzy transformacji}}). Oczywiste jest, że w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości mamy: {{Formuła|<MATH>dp=0\;</MATH>}}, a w układach słabozakrzywionych (zakrzywionych) zachodzi ogólnie: {{Formuła|<MATH>dp\neq 0\;</MATH>}}, bo jak udowodnimy później wszechświat w układach globalnie płaskich jest punktem {{LinkPatrz|FGC|Anormalne układy, tylko matematyczne, a nie fizyczne}} i dlatego zachodzi to pierwsze, a w układach słabozakrzywionych (zakrzywionych) wszechświat nie jest punktem, tylko ma rozmiary skończone, a więc zachodzi to drugie, a według transformacji ciśnienia: {{Formuła|<MATH>\overline p=p\;</MATH>}} (według dalszych rozważań), ciśnienie dla poszczególnych części tego punktowego wszechświata w układach płaskich jest takie same w układach globalnie (lokalnie) płaskich, co w układach słabozakrzywionych (zakrzywionych), stąd na tej podstawie zachodzi: {{LinkWzór|L1}}, i wynika dalsze rozważanie: {{CentrujWzór|<MATH>0=dp=p_{,0}dx^0+p_{,i}dx^i\Rightarrow p_{,0}={{\partial p}\over{\partial x^0}}=-{{\partial p}\over{\partial x^i}}{{dx^i}\over{dx^0}}=-{{\partial p}\over{\partial x^i}}{{dx^i}\over{cdt}}=-{{p_{,i}v^i}\over{c}}=\left(-\nabla p,{{\vec v}\over{c}}\right)\Rightarrow p_{,0}=\left(-\nabla p,{{\vec v}\over{c}}\right)\;</MATH>|r6}} To co uzyskaliśmy w punkcie {{LinkWzór|L1}} tak zachodzi w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, a w układach zakrzywionych, w tym słabozakrzywionych, już tak nie musi zachodzić, bo macierz transformacji może być ogólnie funkcją uogólnioną, a te zera, które we wszechświecie, w układach globalnie płaskich, który jest punktem, są nieoznacznościami matematycznymi, bo następuje dzielenie zera przez zero i wychodzi z tego zero, a one w wspomnianym punkcie: {{LinkWzór|L1}}, są częściami zmiennych pochodzącym od ciśnienia tensora siły, a więc pochodne ciśnienia względem wielkości wskaźnikowej położenia {{Formuła|<MATH>x^{\mu}\;</MATH>}} w układzie zakrzywionym po transformacji od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości są w ogólności nierówne zero. == Gęstość spoczynkowa wielkości zachowanej (np. ładunek elektryczny, masa, koncentracja, itp. spełniające lokalne prawa zachowania), jej pochodna zupełna względem interwału czasoprzestrzennego, pochodne cząstkowe względem wielkości wskaźnikowej położenia i różniczka zupełna == Pochodna gęstości spoczynkowej wielkości zachowanej, tzn. np.: masy, czy ładunku elektrycznego, koncentracji, itp. spełniające lokalne prawa zachowania według szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości względem interwału czasoprzestrzennego zdefiniowanych kolejno w {{LinkWzór|1.77|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} i {{LinkWzór|1.80a|Tensor metryczny Minkowskiego i jego niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego, a stożek światła}} pisząc względem zmiennych w układzie globalnie (lokalnie) płaskim globalnie (lokalnie) spoczynkowym, wielkości zachowane oznaczmy ogólnie przez {{Formuła|<MATH>\phi_0\;</MATH>}}, gdzie przez to oznaczamy gęstość spoczynkową masy {{Formuła|<MATH>\rho_{0m}\;</MATH>}}, gęstość spoczynkowa ładunku {{Formuła|<MATH>\rho_{0q}\;</MATH>}}, koncentrację spoczynkową {{Formuła|<MATH>n_0\;</MATH>}}, co z innymi wielkościami zachowanymi jest podobnie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{ds}}\phi_0={{\partial\phi_0}\over{\partial {x}^{\alpha}}}{\dot {x}}^{\alpha}+{{\partial\phi_0}\over{\partial {\dot x}^{\alpha}}}{\ddot {x}}^{\alpha}={{\partial\phi_0}\over{\partial {x}^{0}}}{\dot {x}}^{0}=0\Rightarrow {{d}\over{ds}}\phi_0=0\;</MATH>|4.44ab}} To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych, w której panuje mechanika Newtona i zachodzi w niej na podstawie właściwości tego układu: {{Formuła|<MATH>{\dot x}^{i}=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{\dot x}}^0=1</MATH>}}, ale też z tego samego mamy: {{Formuła|<MATH>{\ddot {x}}^{\alpha}=0\;</math>}}, co też wiadomo też tam, a więc: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \phi_0}\over{\partial t}}+{{\partial}\over{\partial x^i}}\phi_0 v^i=0\Rightarrow {{\partial \phi_0}\over{\partial t}}+v^i{{\partial\phi_0}\over{\partial x^i}}+\phi_0{{\partial v^i}\over{\partial x^i}}=0\Rightarrow {{\partial\phi_0}\over{\partial t}}=0\Rightarrow{{\partial \phi_0}\over{\partial x^0}}=0\;</MATH>|3.16a}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>x^0=ct\;</MATH>}}. Zatem jest spełniona równość {{LinkWzór|4.44ab}}, która z niezmienniczości interwału czasoprzestrzennego {{Formuła|<MATH>s\;</MATH>}} w szczególnej teorii względniości i mechanice Newtona oraz gęstości spoczynkowej {{Formuła|<MATH>\phi_0\;</MATH>}} jest słuszna w dowolnym układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego {{Formuła|<MATH>dx^{\mu}\;</MATH>}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|4.44ab}}: {{CentrujWzór|<MATH>0={{d\phi_0}\over{ds}}ds={{\partial\phi_0(x^{\mu},u^{\nu}(x^{\gamma}))}\over{\partial x^{\alpha}}}dx^{\alpha}\Rightarrow {{\partial\phi_0(x^{\mu},u^{\nu}(x^{\gamma}))}\over{\partial x^{\alpha}}}=0\;</MATH>|4.44abc}} Czyli gęstość spoczynkowa nie zależy od wielkości wskaźnikowej położenia w czasoprzestrzeni globalnie (lokalnie). Wnioski {{LinkWzór|4.44ab}} i {{LinkWzór|4.44abc}} zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały tensor (wektor) prędkości choćby lokalnie, a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi {{Formuła|<MATH>d\phi_0\neq 0\;</MATH>}} (a nie zawsze {{LinkWzór|4.44ab}}) i nie jest spełnione {{LinkWzór|4.44abc}}, bo nie da się przejść do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną. Na podstawie {{LinkWzór|4.44abc}} zachodzi ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>d\phi_0={{\partial\phi_0(x^{\mu},u^{\nu}(x^{\gamma}))}\over{\partial x^{\alpha}}}dx^{\alpha}=0\Rightarrow d\phi_0=0\;</MATH>|N2.1}} W ostatnim równaniu {{LinkWzór|N2.1}} dowolna różniczka gęstości spoczynkowej na podstawie {{LinkWzór|4.44abc}} (pochodnej cząstkowej gęstości spoczynkowej względem wielkości wskaźnikowej położenia) jest równa zero w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 4fkkk4cvx08kn9ksmtq1jnnjhko0y9r 10 56636 558613 506522 2026-10-04T21:10:19Z Persino 2851 558613 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{Div start|styl=position:static;}} {| {{#if:{{{styl|}}}|style="{{{styl}}}"}} {{#if:{{{klasa|}}}|class="{{{klasa}}}"}} {{#if:{{{id|}}}|id="{{{id}}}"}} {{{opcje|{{{2|}}}}}} {{#if:tak|{{{1}}}}} |}{{Div koniec}}</includeonly><noinclude>{{Dokumentacja}}</noinclude> i7rvfw0j776vl2rz0j4idhzbmtir4k0 558614 558613 2026-10-04T21:12:50Z Persino 2851 558614 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{Div start|klasa=tabelka-op}} {| {{#if:{{{styl|}}}|style="{{{styl}}}"}} {{#if:{{{klasa|}}}|class="{{{klasa}}}"}} {{#if:{{{id|}}}|id="{{{id}}}"}} {{{opcje|{{{2|}}}}}} {{#if:tak|{{{1}}}}} |}{{Div koniec}}</includeonly><noinclude>{{Dokumentacja}}</noinclude> 3kn1olfpfr8tusv334a04rp8vz85ht0 558615 558614 2026-10-04T21:13:21Z Persino 2851 558615 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{Div start|klasa=tabelka-op|styl={{{styl|}}}}} {| {{#if:{{{styl|}}}|style="{{{styl}}}"}} {{#if:{{{klasa|}}}|class="{{{klasa}}}"}} {{#if:{{{id|}}}|id="{{{id}}}"}} {{{opcje|{{{2|}}}}}} {{#if:tak|{{{1}}}}} |}{{Div koniec}}</includeonly><noinclude>{{Dokumentacja}}</noinclude> l4n2ff8kd26n53rir9b4lpv399n04ti 828 58954 558526 558428 2026-10-04T13:07:08Z Persino 2851 558526 Scribunto text/plain local p={}; --zamykanie local znak_127=mw.loadData("Module:Html/dane").znak_127; function p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."'\"`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`\"'"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduKodowaniaTekstu(kod,numer) local wikikodnumer=znak_127.."'\"`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`\"'"..znak_127; return wikikodnumer; end; function p.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."&#0*39;&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;&#0*39;"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoEncodeWikiTekstu(kod,numer) local wzor=znak_127.."&#039;&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;&#039;"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaWzoruZakodowanegoWikiTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."'&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;'"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu(kod,numer) local wikikodnumer=znak_127.."'&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;'"..znak_127; return wikikodnumer; end; function p.NormaWzoruZakodowanegoHtmlTekstu(co,numer_szablonu) local wzor="%%7F'&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;'%%7F"; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu(kod,numer) local wikikodnumer="%7F'&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;'%7F"; return wikikodnumer; end; function p.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_poczatek,__FUNKCJA_koniec,__FUNCTION_niedokonczone,__FUNCTION_INCLUDE,__FUNKCJA_PARAMETRY) local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); return szablonowe_potrzebne_modul.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_poczatek,__FUNKCJA_koniec,__FUNCTION_niedokonczone,__FUNCTION_INCLUDE,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; function p.KodujWzoryMatematyczneTekstu(self,tekst_artykulu) local licznik=0; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul={}; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul["MATH"]={}; tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"(<[Mm][Aa][Tt][Hh]>(.-)</[Mm][Aa][Tt][Hh]>)",function(szablon) licznik=licznik+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul["MATH"][licznik]=szablon; return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("MATH",licznik); end) return tekst_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local __max=0; for numer,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])do if(parametry_modul.TypeNumber(numer))then __max=math.max(__max,numer); end; end; return __max+1; end; function p.NumerSzablonuKodowaniaTekstu(self,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=self.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[nazwa_modulu];end; local numer_szablonu={}; local szablonowe_dane_modul=require("Module:Szablonowe/dane"); for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_szablonowe_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_atrybutowe_znacznikowe_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; return numer_szablonu; end; function p.LiczbyParametroweInformacjiBazyKodowaniaWikikodu() local stronicowyparser_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji=stronicowyparser_dane_modul.tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji; return tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji; end; function p.UsuwanieStarychZebranychInformacjiBazyTablicyKodowaniaWikikodu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_usun) local tab_analiza=p.LiczbyParametroweInformacjiBazyKodowaniaWikikodu(); for obiekt,tab_obiekt in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)do for kod,wartosc in pairs(tab_obiekt)do local tablica=getmetatable(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]).tablica(); local tab_wartosc=tablica[kod]; if(tab_wartosc)then if((not tab_usun[obiekt])or(not tab_usun[obiekt][kod]))then if(tab_wartosc[2])then for obiekt_tab,tab_kod in pairs(tab_analiza)do if(obiekt_tab==obiekt)then for _,liczba in ipairs(tab_kod)do local tab_liczba=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba]; if(tab_liczba)then tab_liczba[kod]=nil; tab_wartosc[2]=false; end; end; end; end; end; else tablica[kod]=nil; end; end; end; end; end; function p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4) if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=self.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[nazwa_modulu];end; local czy_jedno=false; ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); ---- local function IteratorMain(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,poziom_iteracji,obiekt,kod,czy_stare) local iter=true;local iter_fun; if((tekst_rozwiniety_calego_artykulu=="")or(czy_stare))then iter_fun=function() local iter=function() return nil; end; return iter; end; else iter_fun=function() if((not obiekt)and(not kod))then local iter=mw.ustring.gmatch(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); return iter; else local wynik=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,obiekt,kod,poziom_iteracji) or nil; local szablon=wynik or (((obiekt)and(kod)) and (tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]))and tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod] or tekst_rozwiniety_calego_artykulu; if((not szablon)or(szablon==""))then local iter=function() return nil; end; return iter; else local iter=mw.ustring.gmatch(szablon,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); return iter; end; end; end; end; local tak=nil; local iter2=nil; poziom_iteracji=poziom_iteracji or 0; local function Iterator() local function IterMain() local obiekt,kod; ---- repeat if((parametry_modul.TypeBoolean(iter))and(iter==true))then iter=iter_fun();end; obiekt,kod=iter(); if((not obiekt)or(not kod))then return nil;end; kod=tonumber(kod); local tak_repeat=false; if((not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]))then tak_repeat=true; end; until (not tak_repeat); ---- local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; szablon=(not __FUNKCJA3) and szablon or (__FUNKCJA3(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or szablon); if(__FUNKCJA2)then repeat local czy_dalej=nil; local jest_naglowek=__FUNKCJA2(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(not jest_naglowek)then --if(poziom_iteracji>0)then -- return nil; --else repeat obiekt,kod=iter(); if((not obiekt)or(not kod))then return nil;end; kod=tonumber(kod); local tak_repeat=false; if((not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]))then tak_repeat=true; end; until (not tak_repeat); ---- szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; czy_dalej=true; --end; end; until (not czy_dalej); end; ---- tak=true; if(__FUNKCJA)then local wynik,tekst=__FUNKCJA(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu); if(not wynik)then czy_jedno=true; return nil; else szablon=wynik; if(tekst)then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=tekst; end; end; end; iter2=IteratorMain(szablon,poziom_iteracji+1,obiekt,kod,(obiekt=="STARE")); return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; end; if(not tak)then local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=IterMain(); if(czy_jedno)then return nil;end; return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; else local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=iter2(); if(czy_jedno)then return nil;end; if((not szablon)or(not kod)or(not obiekt))then tak=nil; local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=IterMain(); if(czy_jedno)then return nil;end; return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; else return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; end; end; end; return Iterator; end; return IteratorMain(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,0,nil,nil,false),tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,__funkcja6,__funkcja7,__funkcja8,__funkcja9,__funkcja10) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local tab_usun={}; local szablon2=nil; local iterator,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,function(tekst_szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji) local __SZABLON=function(obiekt,kod)return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod];end; local tak=((not szablon2)or(not tab_usun)or(not tab_usun[obiekt])or(not tab_usun[obiekt][kod])); local szablon=__funkcja6 and __funkcja6(tekst_szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tak,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or (tak and __SZABLON(obiekt,kod) or szablon2); return szablon; end); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_dane=nil; for szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji in iterator do if((tab_dane)and(poziom_iteracji==0))then tab_dane=nil;end; szablon2=nil;local wynik; if(__funkcja1)then local analiza; szablon2,wynik,analiza=__funkcja1(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if((analiza)and(__funkcja7))then local czy_szablon_funkcyjny=parametry_modul.TypeFunction(szablon2); if(czy_szablon_funkcyjny)then szablon2=szablon2();end; ---- local funkcja_temp;local tak_specjalne=false; if(tab_dane)then ---- local tak=true; local szablon_temp;local obiekt_temp;local kod_temp;local poziom_iteracji_temp; for i=#tab_dane,1,-1 do local tab_pos=tab_dane[i]; local poziom_iteracji_temp=tab_pos[4]; if(poziom_iteracji_temp<poziom_iteracji)then szablon_temp=tab_pos[1];obiekt_temp=tab_pos[2];kod_temp=tab_pos[3]; tak=tak and ((obiekt_temp and kod_temp)and(tab_usun[obiekt_temp]) and (tab_usun[obiekt_temp][kod_temp])); if(not tak)then local Typ=function() return __funkcja7(szablon_temp,obiekt_temp,kod_temp,poziom_iteracji_temp,szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; if(not funkcja_temp)then funkcja_temp=Typ;end; local czy_funkcja_jako_funkcja8=parametry_modul.TypeFunction(__funkcja8); if(czy_funkcja_jako_funkcja8 and __funkcja8(szablon_temp,obiekt_temp,kod_temp,poziom_iteracji_temp,szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) )then tak_specjalne=true; end; break; end; end; end; end; if(tak_specjalne)then wynik=true;end; if(funkcja_temp)then funkcja_temp();end; else local czy_szablon_funkcyjny=parametry_modul.TypeFunction(szablon2); if(czy_szablon_funkcyjny)then szablon2=szablon2();end; end; end; if(not wynik)then szablon=techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](szablon2 or szablon); if((not tab_dane)or(#tab_dane==0))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; else local tak=true;local tab_wolne; for i=#tab_dane,1,-1 do local tab_pos=tab_dane[i]; local poziom_iteracji_temp=tab_pos[4]; if(poziom_iteracji_temp<poziom_iteracji)then local obiekt_temp=tab_pos[2];local kod_temp=tab_pos[3]; tak=tak and ((obiekt_temp and kod_temp)and((tab_usun[obiekt_temp]) and (tab_usun[obiekt_temp][kod_temp]))); if(not tak)then tab_wolne=tab_pos; break; end; end; end; if(tak)then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; else local obiekt_temp=tab_wolne[2];local kod_temp=tab_wolne[3]; local tekst=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_temp][kod_temp]; tekst=mw.ustring.gsub(tekst,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_temp][kod_temp]=tekst; if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; end; end; -- parametry kodow local czy_usun_kod=__funkcja10 and __funkcja10(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or nil; -- bazowanie kodow local tak=__funkcja9 and __funkcja9(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tab_usun) or nil; if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; -- funkcje koncowe local tak=__funkcja2 and __funkcja2(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or nil; if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; end; if(not tab_dane)then tab_dane={};end; if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji,-1 do table.remove(tab_dane); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji)then table.remove(tab_dane); end; table.insert(tab_dane,{szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji}); if(__funkcja2)then local tak=__funkcja2(szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; end; poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji; end; return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; function p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,__funkcja6) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local iterator,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_poziom_obiekt={}; for szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji in iterator do local function ZamienianieKodowe(szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica) local kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=__funkcja(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,((poziom_iteracji>0)and (szablon_rodzica_zmodyfikowany or szablon_rodzica) or tekst_rozwiniety_calego_artykulu),obiekt_rodzica_zmodyfikowany or obiekt_rodzica,kod_rodzica_zmodyfikowany or kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; local function ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka() if(dziecko_zmodyfikowane)then if((obiekt_zmodyfikowany)or(kod_zmodyfikowany))then if(((obiekt_zmodyfikowany)and(obiekt_zmodyfikowany~=obiekt))or((kod_zmodyfikowany)and(kod_zmodyfikowany~=kod)))then local __obiekt_zmodyfikowany=obiekt_zmodyfikowany or obiekt; local __kod_zmodyfikowany=kod_zmodyfikowany or kod; if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany])then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany]={}; end; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany][__kod_zmodyfikowany]=dziecko_zmodyfikowane; local fun1=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,__obiekt_zmodyfikowany,__kod_zmodyfikowany,false) or nil; if(not __tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=nil; local fun2=__funkcja6 and __funkcja6(nil,obiekt,kod,false) or nil; end; else tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=dziecko_zmodyfikowane; local fun3=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,obiekt,kod,false) or nil; end; else tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=dziecko_zmodyfikowane; local fun4=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,obiekt,kod,false) or nil; end; end; end; local function ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany) local __obiekt_rodzica_zmodyfikowany=obiekt_rodzica_zmodyfikowany or obiekt_rodzica; local __kod_rodzica_zmodyfikowany=kod_rodzica_zmodyfikowany or kod_rodzica; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_rodzica_zmodyfikowany][__kod_rodzica_zmodyfikowany]=szablon_rodzica_zmodyfikowany; local fun7=__funkcja6 and __funkcja6(szablon_rodzica_zmodyfikowany,__obiekt_rodzica_zmodyfikowany,__kod_rodzica_zmodyfikowany,true) or nil; if(not __tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then if((obiekt_rodzica_zmodyfikowany)or(kod_rodzica_zmodyfikowany))then if( ((obiekt_rodzica_zmodyfikowany)and(obiekt_rodzica_zmodyfikowany~=obiekt_rodzica)) or((kod_rodzica_zmodyfikowany)and(kod_rodzica_zmodyfikowany~=kod_rodzica)) )then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_rodzica][kod_rodzica]=nil; local fun5=__funkcja6 and __funkcja6(szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,true) or nil; end; end; end; end; if(kod_kodowy_wynik)then if(poziom_iteracji>0)then if(not szablon_rodzica_zmodyfikowany)then if(not parametry_modul.TypeBoolean(kod_kodowy_wynik))then local ile; local szablon_rodzica=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_rodzica][kod_rodzica]; szablon_rodzica,ile=mw.ustring.gsub(szablon_rodzica,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](kod_kodowy_wynik)); if(ile>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica); ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; end; else ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany); ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; else if(not parametry_modul.TypeBoolean(kod_kodowy_wynik))then local ile; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,ile=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](kod_kodowy_wynik)); if(ile>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; end; end; elseif(szablon_rodzica_zmodyfikowany)then if(poziom_iteracji>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany); else tekst_rozwiniety_calego_artykulu=szablon_rodzica_zmodyfikowany; end; ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); else ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; return kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; if(poziom_iteracji==0)then ZamienianieKodowe(nil,nil,nil,nil,nil); else for i=#tab_poziom_obiekt,1,-1 do local tab=tab_poziom_obiekt[i]; local poziom_iteracji_rodzica=tab[4]; if(poziom_iteracji_rodzica<poziom_iteracji)then local szablon_rodzica=tab[1]; local obiekt_rodzica=tab[2]; local kod_rodzica=tab[3]; local szablon_rodzica_zmodyfikowany=tab[5]; local obiekt_rodzica_zmodyfikowany=tab[6]; local kod_rodzica_zmodyfikowany=tab[7]; local kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=ZamienianieKodowe(szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica); if(szablon_rodzica_zmodyfikowany)then tab[5]=szablon_rodzica_zmodyfikowany; tab[6]=obiekt_rodzica_zmodyfikowany; tab[7]=kod_rodzica_zmodyfikowany; end; break; end; end; end; if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji,-1 do table.remove(tab_poziom_obiekt); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji)then table.remove(tab_poziom_obiekt); end; table.insert(tab_poziom_obiekt,{szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,}); poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji; end; return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; local tab_sam; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(poziom_iteracji==0)then tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tab_sam=nil; else if((tab_sam)and(tab_sam[obiekt])and(tab_sam[obiekt][kod]))then return false;end; if((tablica_szablonow_z_naglowkami)and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt])and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt][kod]))then return true;end; end; ---- local wynik,sam_obiekt,sam_kod=__funkcja(szablon,obiekt,kod,0,true,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(wynik)then if(sam_obiekt and sam_kod)then return false; end; end local czy_nie_wyzej_sam=false; local czy_nie_wyzej_poziom=nil; local iterator=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,szablon,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod) if((czy_nie_wyzej_sam)or(czy_nie_wyzej_poziom))then return ""; end; end); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_poziom_obiekt={} if(poziom_iteracji==0)then table.insert(tab_poziom_obiekt,{obiekt,kod});end; for szablon2,obiekt2,kod2,poziom_iteracji2 in iterator do local wynik,sam_obiekt,sam_kod,czy_inne_ustawienia=__funkcja(szablon2,obiekt2,kod2,poziom_iteracji2+1,false,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji2)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji2,-1 do table.remove(tab_poziom_obiekt); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji2)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji2)then table.remove(tab_poziom_obiekt); end; table.insert(tab_poziom_obiekt,{obiekt2,kod2}); poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji2; czy_nie_wyzej_sam=false; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=false; end; else for _,tab in ipairs(tab_poziom_obiekt)do if(not tablica_szablonow_z_naglowkami)then tablica_szablonow_z_naglowkami={};end; if(not tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]])then tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]]={};end; tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]][tab[2]]=true; end; if(sam_obiekt and sam_kod)then if(not tab_sam)then tab_sam={};end; if(not tab_sam[sam_obiekt])then tab_sam[sam_obiekt]={};end; tab_sam[sam_obiekt][sam_kod]=true; czy_nie_wyzej_sam=true; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=false; end; else if(not tablica_szablonow_z_naglowkami)then tablica_szablonow_z_naglowkami={};end; if(not tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2])then tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2]={};end; tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2][kod2]=true; czy_nie_wyzej_sam=false; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=true; end; end; ---poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji2; end; end; if(wynik)then return true;end; if((tab_sam)and(tab_sam[obiekt])and(tab_sam[obiekt][kod]))then return false;end; if((tablica_szablonow_z_naglowkami)and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt])and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt][kod]))then return true;end; return nil; end,__funkcja4,__funkcja5); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuBezPewnychSzablonowychNormZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local wynik=__funkcja(szablon,obiekt,kod,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then return nil;end; return true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstuBezPewnychSzablonowychNormZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,_,obiekt_rodzica,kod_rodzica,szablon_rodzica,_,_,poziom_iteracji_rodzica) return szablon; end, funkcja1,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local wynik=__funkcja(szablon,obiekt,kod,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then return nil;end; return true; end,__funkcja2,funkcja3); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; local function FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local pelna_nazwa_szablonu=techniczne_modul.PrzekierowanieDoStrony(pelna_nazwa_szablonu) or pelna_nazwa_szablonu; local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); local tekst=stronicowyparser_tekst_modul.SpreparowanyWikikodStrony(nil,pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,true,true,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst; end; local function FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,czy_niekodowane,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) if(obiekt=="SZABLON")then return p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if((not tabela_parametrow_szablonu)or(not nazwa_szablonu))then return;end; if(__FUNKCJA)then local wynik=__FUNKCJA(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return;end; end; local pelna_nazwa_szablonu=p["PełnaNazwaStronyNazwySzablonu"](nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(__FUNKCJA2)then local wynik=__FUNKCJA2(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return; end; end; if((czy_niekodowane)and(__FUNKCJA3))then local wynik=__FUNKCJA3(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return wynik; end; end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_nie_brak_parametrow=parametry_modul["CzySąElementyTablicy"](tabela_parametrow_szablonu); local tekst; if((not czy_niekodowane)and(__FUNKCJA3))then tekst=__FUNKCJA3(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(not tekst)then tekst=FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; else tekst=FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; if(not tekst)then return;end; if((czy_niekodowane)and(not czy_nie_brak_parametrow))then return tekst;end; local html_modul=require("Module:Html"); tekst=p:KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(tekst,pelna_nazwa_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) return; end, function(szablon,obiekt,kod,tekst) if(czy_nie_brak_parametrow)then if(obiekt=="ZMIENNA")then local zmienna;local wartosc_domyslna; zmienna=mw.ustring.match(szablon,"^{{{([^{}|]*)}}}$"); if(not zmienna)then zmienna,wartosc_domyslna=mw.ustring.match(szablon,"^{{{([^{}|]*)|([^{}]*)}}}$"); end; zmienna=mw.text.trim(zmienna); local wartosc_zmiennej=tabela_parametrow_szablonu[tonumber(zmienna) or zmienna]; if(not wartosc_zmiennej)then if(wartosc_domyslna)then return wartosc_domyslna;end; local szablon=html_modul["KodyHTMLZnakówWikiCiągu"](szablon); return szablon; end; return wartosc_zmiennej; end; end; end, function() return numer_szablonu; end,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst; end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,function(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) return __PRZEDFUNKCJA(nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) end, function(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,rezultat) return __FUNKCJA0 and __FUNKCJA0(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or nazwa_szablonu; end,false); end; end; function p.TablicaZanalizowanychInformacjiSzablonowychParsowania(self,nazwa_modulu) local tablica_modulu_szablonowe=p.TablicaTransportuSzablonowe(self); tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow=tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow or {}; local tablica_szablonow=tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow; ---- tablica_szablonow[nazwa_modulu]=tablica_szablonow[nazwa_modulu] or {}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tablica_szablonow[nazwa_modulu]; return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; end; function p.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu) local tablica_modulu_bazowe=p.TablicaTransportuSzablonowe(self); tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or {}; local tablica_bazowe=tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; ---- tablica_bazowe[nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca]=tablica_bazowe[nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca] or {}; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_bazowe[nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca]; return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or p.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu); --- local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony or p.TablicaZanalizowanychInformacjiSzablonowychParsowania(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; end; function p.RozwijanieNiezakodowanegoSzablonu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) return; end, function(szablon,obiekt,kod,tekst,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,numer_szablonu) ---- szablon=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or szablon; --- return FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,true,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.RozwijanieZakodowanegoSzablonu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); ---- local tab_usun; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst) if(obiekt=="SZABLON")then local numer_szablonu=p.NumerSzablonuKodowaniaTekstu(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); ---- szablon=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or szablon; ---- local wynik=FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,false,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); if(wynik)then return wynik;end; end; return nil,true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; p["UstalanieNazwyWywołania"]=function(nazwa,czy_ustalanie_szybkie_nazwy,__FUNKCJA,__FUNKCJA2) local czy_kody_w_nazwa; if(czy_ustalanie_szybkie_nazwy)then czy_kody_w_nazwa=mw.ustring.match(nazwa,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); if(not czy_kody_w_nazwa)then local czy_jest_dwukropek=mw.ustring.match(nazwa,"[%:%&%%]"); if(not czy_jest_dwukropek)then return nazwa,nil; end; end; else czy_kody_w_nazwa=true; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa=html_modul.DecodeHtml(nazwa,true); local rezultat=nil; if((__FUNKCJA)and(czy_kody_w_nazwa))then local nazwa_rozwinieta; nazwa_rozwinieta,rezultat=__FUNKCJA(nazwa); nazwa=nazwa_rozwinieta or nazwa; end; local nazwa,modyfikatory,tabela_modyfikatorow=p.WydzielanieOpcjiModyfikatorowych(nazwa); nazwa=((__FUNKCJA2)and(czy_kody_w_nazwa)and(not rezultat)) and (__FUNKCJA2(nazwa,tabela_modyfikatorow) or nazwa) or nazwa; if(not tabela_modyfikatorow)then nazwa=html_modul.EncodeId(nazwa); return nazwa,nil; end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=mw.ustring.match(nazwa,"^[%s_]*[^:]") and nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa) or nil; if(nazwa_przestrzeni)then if(nazwa_przestrzeni=="")then if(tabela_modyfikatorow["#invoke:"])then nazwa="Module:"..nazwa; elseif(tabela_modyfikatorow["int:"])then nazwa="MediaWiki:"..nazwa; end; else local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if((nazwy_np_modul.Module~=nazwa_przestrzeni)and(tabela_modyfikatorow["#invoke:"]))then nazwa="Module:"..nazwa; elseif((nazwy_np_modul.MediaWiki~=nazwa_przestrzeni)and(tabela_modyfikatorow["int:"]))then nazwa="MediaWiki:"..nazwa; end; end; end; nazwa=html_modul.EncodeId(nazwa); return nazwa,tabela_modyfikatorow; end; p["SzablonowaKompletnaNazwaStrony"]=function(czy_szablon,czy_pelna) if(not czy_szablon)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](czy_szablon,tabela_nazw); local nazwa_szablonu; if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then local czy_nie_dwukropek=czy_pelna and mw.ustring.match(czy_szablon,"^%s*[^:]") or nil; if((czy_nie_dwukropek)or(czy_szablon==""))then local czy_szablon=parametry_modul["Odstępy"]{nazwa=czy_szablon,["wewnątrz"]="tak",}; nazwa_szablonu=(tabela_nazw.m) and mw.getContentLanguage():ucfirst(czy_szablon) or czy_szablon; else nazwa_szablonu=":"..nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](czy_szablon,tabela_nazw); end; elseif(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Template)then nazwa_szablonu=nazwy_modul["NAZWASTRONY"]({nazwa=czy_szablon,},tabela_nazw); else nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](czy_szablon,tabela_nazw); end; return nazwa_szablonu; end; p["SzablonowaNazwaStrony"]=function(czy_szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony; end; end; end; local nazwa_szablonu=p["SzablonowaKompletnaNazwaStrony"](czy_szablon,true); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony=nazwa_szablonu; end; return nazwa_szablonu; end; p["PełnaNazwaStronyNazwySzablonu"]=function(frame,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.generalna_nazwa_strony; end; end; end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); ---- local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa_szablonu=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("nazwa"); ---- if(not nazwa_szablonu)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); ---- local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); local pelna_nazwa_szablonu; local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then local czy_nie_dwukropek=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^%s*[^:]"); if(czy_nie_dwukropek)then local nazwa_szablonu=parametry_modul["Odstępy"]{nazwa=nazwa_szablonu,["wewnątrz"]="tak",}; pelna_nazwa_szablonu=((nazwy_np_modul.Template~="")and (nazwy_np_modul.Template..":") or "")..((tabela_nazw.m)and mw.getContentLanguage():ucfirst(nazwa_szablonu) or nazwa_szablonu); else pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); end; else pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); end; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.generalna_nazwa_strony=pelna_nazwa_szablonu; end; return pelna_nazwa_szablonu; end; p["PełnaNazwaStronyWywołańSzablonowych"]=function(nazwa_szablonu,klucz_przestrzeni,klucz_projektu,kod_jezyka,kod_projektu) if(not nazwa_szablonu)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"]({nazwa=nazwa_szablonu,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,},tabela_nazw); local klucz_przestrzeni_niekanoniczna; local wiki_modul=require("Module:Wiki"); local czy_biezaca; if(tabela_nazw.czy_aktualna_wiki==nil)then czy_biezaca=wiki_modul["CzyBieżącaWiki"]{["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod projektu"]=kod_projektu,}; else czy_biezaca=tabela_nazw.czy_aktualna_wiki; end; if(czy_biezaca)then klucz_przestrzeni_niekanoniczna=nazwy_modul.Np{nazwa=klucz_przestrzeni,}; else klucz_przestrzeni_niekanoniczna=nazwy_modul.NpDane{nazwa=klucz_przestrzeni,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,}; end; local pelna_nazwa_szablonu; local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then pelna_nazwa_szablonu=((klucz_przestrzeni~="")and (klucz_przestrzeni..":") or "")..nazwa_szablonu; elseif(((klucz_przestrzeni=="MediaWiki")or(klucz_przestrzeni=="Module"))and(nazwa_przestrzeni_szablonu~=klucz_przestrzeni_niekanoniczna))then pelna_nazwa_szablonu=((klucz_przestrzeni~="")and (klucz_przestrzeni..":") or "")..nazwa_szablonu; else pelna_nazwa_szablonu=nazwa_szablonu; end; local tabela_nazw={}; pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"]({nazwa=pelna_nazwa_szablonu,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,},tabela_nazw); return pelna_nazwa_szablonu; end; p["NazwaSzablonuWywołania"]=function(szablon,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_strony,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_z_parametrami; end; end; end; local czy_z_parametrami; local czy_szablon,zawartosc=mw.ustring.match(szablon,"^{{%s*([^{}|]-)%s*|([^{}]*)}}$"); if(not czy_szablon or not zawartosc)then czy_szablon=mw.ustring.match(szablon,"^{{%s*([^{}|]-)%s*}}$"); if(not czy_szablon)then return;end; czy_z_parametrami=false; else czy_z_parametrami=true; end; --czy_szablon=__FUNKCJA and (__FUNKCJA(czy_szablon) or czy_szablon) or czy_szablon; local czy_szablon,tabela_modyfikatorow=p["UstalanieNazwyWywołania"](czy_szablon,true,__FUNKCJA,__FUNKCJA2); local nazwa_strony=p["SzablonowaNazwaStrony"](czy_szablon); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_strony=nazwa_strony; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=tabela_modyfikatorow; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_z_parametrami=czy_z_parametrami; end; return nazwa_strony,tabela_modyfikatorow,czy_z_parametrami; end; function p.TablicaTransportuSzablonowe(self) return self; end; local function ZbierzParametrSzablonu(tworzona_tabela, kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua) if((not czy_ramka_lua)or(not czy_ramka_lua[1])or((czy_ramka_lua[1])and(czy_ramka_lua[2])))then local czy_parser=czy_ramka_lua and czy_ramka_lua[3]; local kawalek_wywolania_element_nienazwany=mw.ustring.match(kawalek_wywolania,"^([^|"..((not czy_parser) and ("=") or "").."]-)$"); if(kawalek_wywolania_element_nienazwany)then ---- local __metatablica=getmetatable(tworzona_tabela); local len=__metatablica.__len(tworzona_tabela); ---- tworzona_tabela[len+1]={((trimuj_numerowane) and (mw.text.trim(kawalek_wywolania_element_nienazwany)) or kawalek_wywolania_element_nienazwany),true,}; return tworzona_tabela; else --- local kawalek_wywolania_klucz,kawalek_wywolania_wartosc=mw.ustring.match(kawalek_wywolania,"^%s*([^|=]-)%s*=%s*([^|]-)%s*$"); if((kawalek_wywolania_klucz)and(kawalek_wywolania_wartosc))then if(not mw.ustring.match(kawalek_wywolania_klucz,"^%s*[%-]?[1-9]%d*%s*$"))then tworzona_tabela[mw.text.trim(kawalek_wywolania_klucz)]=mw.text.trim(kawalek_wywolania_wartosc); return tworzona_tabela; else tworzona_tabela[tonumber(mw.text.trim(kawalek_wywolania_klucz))]=mw.text.trim(kawalek_wywolania_wartosc); return tworzona_tabela; end; else return nil; end; end; else tworzona_tabela[true]=kawalek_wywolania; czy_ramka_lua[2]=true; return tworzona_tabela; end; return nil; end; local function ParametrySzablonu(parametry_wywolania_szablonu,parametry_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua) local kawalek_wywolania,dalszy_kawalek_wywolania=mw.ustring.match(parametry_wywolania_szablonu,"^([^|]*)|(.*)$"); if(not kawalek_wywolania)then kawalek_wywolania=parametry_wywolania_szablonu; end; if(not dalszy_kawalek_wywolania)then ZbierzParametrSzablonu(parametry_szablonu,kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return parametry_szablonu; end; if(kawalek_wywolania)then ZbierzParametrSzablonu(parametry_szablonu,kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return ParametrySzablonu(dalszy_kawalek_wywolania,parametry_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); end; return nil; end; p["ParsowanieWywołaniaSzablonu"] = function(wywolanie_szablonu,trimuj_numerowane,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) local nazwa_parsowania=nil;local modyfikatory_parsowania=nil; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu)and(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow))then if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow; end; nazwa_parsowania=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu; modyfikatory_parsowania=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow; end; end; end; end; ---- local function NazwaSzablonu(nazwa_szablonu) if((not nazwa_parsowania)or(not modyfikatory_parsowania))then local nazwa_szablonu_ostateczna,tabela_modyfikatorow_ostateczna=p["UstalanieNazwyWywołania"](nazwa_szablonu,true,__FUNKCJA,__FUNKCJA2); nazwa_szablonu_ostateczna=p["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_szablonu_ostateczna); return nazwa_szablonu_ostateczna,tabela_modyfikatorow_ostateczna; else return nazwa_parsowania,modyfikatory_parsowania; end; end; local ParseryTagLua=function(tabela_modyfikatorow) local czy_lua; local czy_parser; if(tabela_modyfikatorow)then czy_lua=tabela_modyfikatorow["#invoke:"]; if(not czy_lua)then for name,value in pairs(tabela_modyfikatorow)do local hash=mw.ustring.sub(name,1,1); if((hash)and(hash=="#"))then czy_parser=true; break; end; end; end; end; local czy_ramka_lua={czy_lua,false,czy_parser,}; return czy_ramka_lua; end; local wywolanie_bez_parametrow=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{[^|]-}}$"); if(not wywolanie_bez_parametrow)then local nazwa_szablonu=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{%s*([^|]-)%s*|.-}}$"); if(nazwa_szablonu)then local nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=NazwaSzablonu(nazwa_szablonu); local parametry_wywolania_szablonu=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{[^|]*|(.*)}}$"); ---- local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local function __FUNKCJA() local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- local czy_ramka_lua=ParseryTagLua(tabela_modyfikatorow); ---- tabela_parametrow_szablonu=ParametrySzablonu(parametry_wywolania_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return tabela_parametrow_szablonu; end; local function __FUNKCJA2() return true; end; local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieObiektowe(__metatablica,{__FUNKCJA,__FUNKCJA2,}); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry=tabela_parametrow_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu=nazwa_parsowania or nazwa_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=modyfikatory_parsowania or tabela_modyfikatorow; end; ---- return tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow; else return nil;end; else local nazwa_szablonu=mw.text.trim(mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{%s*([^|]-)%s*}}$")); if(nazwa_szablonu)then local nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=NazwaSzablonu(nazwa_szablonu); ---- local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry=tabela_parametrow_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu=nazwa_parsowania or nazwa_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=modyfikatory_parsowania or tabela_modyfikatorow; end; ---- return tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow; else return nil;end; end; end; function p.WydzielanieOpcjiModyfikatorowych(pole_nazwy) local szablonowe_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local opis_elementowe_modyfikatory=szablonowe_dane_modul.opis_elementowe_modyfikatory; local modyfikatory=""; local tab_mod=nil; if(not mw.ustring.match(pole_nazwy,opis_elementowe_modyfikatory))then return pole_nazwy,modyfikatory,tab_mod; end; ---- local tab_modyfikatory=szablonowe_dane_modul.tablica_elementowe_modyfikatory_szablonowe; ---- local function PojedynczeModyfikatory(pole,modyfikatory) for modyfikator,tab in pairs(tab_modyfikatory) do local modyfikator_uzyty,pole_dalej=mw.ustring.match(pole,"^("..tab[1]..")(.*)$"); if(modyfikator_uzyty)then if(not tab_mod)then tab_mod={};end; if(not tab_mod[modyfikator])then tab_mod[modyfikator]=true; end; modyfikatory=modyfikatory..modyfikator_uzyty; return PojedynczeModyfikatory(pole_dalej,modyfikatory) end; end; return pole,modyfikatory; end; local pole_ostateczne,modyfikatory_ostateczne=PojedynczeModyfikatory(pole_nazwy,modyfikatory); return pole_ostateczne,modyfikatory_ostateczne,tab_mod; end; function p.CzyModyfikatoryInstrukcjiWarunkowychSzablonowych(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu) if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["#if:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifeq:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexpr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#expr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#iferror:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexist:"]) or(tabela_modyfikatorow["#switch:"]) )then return true; end; end; end; function p.CzyModyfikatoryCharakterystyczneSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu) if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["#property:"]) or(tabela_modyfikatorow["#tag:"]) )then return true; end; end; end; function p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_normalny_szablon; end; end; end; local function RozpatrywanieSzablonowe() if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["int:"]) or(tabela_modyfikatorow["#if:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifeq:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexpr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#expr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#iferror:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexist:"]) or(tabela_modyfikatorow["#tag:"]) or(tabela_modyfikatorow["#switch:"]) or(tabela_modyfikatorow["#property:"]) or(tabela_modyfikatorow["#invoke:"]) or(tabela_modyfikatorow["gender:"]) or (tabela_modyfikatorow["ucfirst:"]) or (tabela_modyfikatorow["lcfirst:"]) or (tabela_modyfikatorow["uc:"]) or (tabela_modyfikatorow["lc:"]) )then return false; end; end; if((nazwa_szablonu)and(nazwa_szablonu~=""))then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((parametry_modul.TypeBoolean(tabela_parametrow_szablonu))and(tabela_parametrow_szablonu))then return true;end; if(tabela_parametrow_szablonu)then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_nie_brak_parametrow=parametry_modul["CzySąElementyTablicy"](tabela_parametrow_szablonu); if(czy_nie_brak_parametrow)then return true;end; end; return ((not mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^[%s_]*#[%s_]*%a+[%s_]*:")) and true or false); end; return true; end; local wynik=RozpatrywanieSzablonowe(); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_normalny_szablon=wynik; end; return wynik; end; function p.KodowanieInaczejZakodowanychNormKodowychTekstuWedleJegoTablicyKodowania(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,nazwa_modulu_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,trimuj_numerowane) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul={}; local tab_grupa={}; local math_numer=0;local licznik_linkz=1; local function TempFuncGrupa(grupa,szablon) tab_grupa[grupa]=(tab_grupa[grupa] or 0)+1; ---- if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa]={};end; if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa][tab_grupa[grupa]])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa][tab_grupa[grupa]]=szablon;end; ---- return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("REF"..grupa,tab_grupa[grupa]); end; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_szablonowa, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if((nazwa_szablonu=="R")or(nazwa_szablonu=="RN")or(nazwa_szablonu=="RNota"))then local grupa=""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="U")or(nazwa_szablonu=="UN")or(nazwa_szablonu=="UNota"))then local grupa="uwaga"; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="O")or(nazwa_szablonu=="Ref"))then local grupa=tabela_parametrow_szablonu[3] or tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif(nazwa_szablonu=="Refn")then local grupa=tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); end; end ,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,trimuj_numerowane); if(wynik)then return wynik;end; elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,tab_atrybuty=p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(nazwa=="ref")then tab_atrybuty=tab_atrybuty or {}; local grupa=tab_atrybuty["group"]; grupa=parametry_modul.TypeString(grupa) and grupa or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); end; elseif(obiekt=="MATH")then math_numer=math_numer+1; ---- if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"]={};end; if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][math_numer])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][math_numer]=szablon;end; ---- return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("POSTMATH",math_numer); end; return nil,true;--szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="LINKZ")then local url=mw.ustring.match(szablon,"^%[(%S+)%s*%]$") if(url)then local szablon="["..url.." &#91;"..licznik_linkz.."&#93;]"; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=szablon; licznik_linkz=licznik_linkz+1; return szablon; end; end; return szablon; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul; end; function p.KodowanieNiezakodowanychNormKodowychReferencjiTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,trimuj_numerowane,__FUNKCJA_INNE_OPERACJE,__FUNKCJA_INNE_OPERACJE2,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE_RODZICA,__FUNKCJA_OPERACJE_CZY_W_LINKU,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_BAZOWE,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE) local parametry_modul=require("Module:parametry"); local tab_grupa={};local licznik_linkz=1; local tab_usun; local TempFuncGrupa=function(grupa,szablon) tab_grupa[grupa]=(tab_grupa[grupa] or 0)+1; ---- return "&#91;"..((grupa~="")and(grupa.." ") or "")..tab_grupa[grupa].."&#93;"; end; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="SZABLON")then return p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if((nazwa_szablonu=="R")or(nazwa_szablonu=="RN")or(nazwa_szablonu=="RNota"))then local grupa=""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="U")or(nazwa_szablonu=="UN")or(nazwa_szablonu=="UNota"))then local grupa="uwaga"; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="O")or(nazwa_szablonu=="Ref"))then local grupa=tabela_parametrow_szablonu[3] or tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif(nazwa_szablonu=="Refn")then local grupa=tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,trimuj_numerowane); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,tab_atrybuty=p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(nazwa=="ref")then tab_atrybuty=tab_atrybuty or {}; local grupa=tab_atrybuty["group"]; grupa=parametry_modul.TypeString(grupa) and grupa or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,nazwa,zawartosc,tab_atrybuty,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,nil,nil,nil,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; return nil,true;--szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="LINKZ")then local url=mw.ustring.match(szablon,"^%[(%S+)%s*%]$") if(url)then local szablon="["..url.." &#91;"..licznik_linkz.."&#93;]"; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=szablon; licznik_linkz=licznik_linkz+1; return szablon; end; end; if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE2)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE2(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; return szablon; end,nil,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE_RODZICA,__FUNKCJA_OPERACJE_CZY_W_LINKU,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_BAZOWE,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; function p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkuProjektowego(linkw) local adres,nazwa=mw.ustring.match(linkw,"^%[%[([^|]-)|(.-)%]%]$") if((adres)and(nazwa))then return adres,nazwa;end; local adres=mw.ustring.match(linkw,"^%[%[([^|]-)%]%]$"); if(adres)then return adres;end; return nil; end; function p.WalidacjaLinkuProjektowego(linkw) local adres,nazwa=p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkuProjektowego(linkw); if(not adres)then return nil;end; local spacje_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[%s_]*$"); if(spacje_adresu)then return nil;end; local adres_w_linii=mw.ustring.match(adres,"\n"); if(adres_w_linii)then return nil;end; local walidacja_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[^|]-[%[%]]+[^|]-$"); if(walidacja_adresu)then return nil;end; if(not nazwa)then return adres,nazwa;end; local walidacja_nazwy=mw.ustring.match(nazwa,"%[%[") or mw.ustring.match(nazwa,"%]%]"); if(walidacja_nazwy)then return nil;end; return adres,nazwa; end; function p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkNieProjektowego(linkz) local adres,nazwa=mw.ustring.match(linkz,"^%[(%S+)%s+(.-)%]$") if((adres)and(nazwa))then return adres,nazwa;end; local adres=mw.ustring.match(linkz,"^%[(.-)%]"); return adres; end; function p.WalidacjaLinkuNieProjektowego(linkz) local adres,nazwa=p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkNieProjektowego(linkz); if(not adres)then return nil;end; local spacje_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[%s_]*$"); if(spacje_adresu)then return nil;end; local adres_w_linii=mw.ustring.match(adres,"\n"); if(adres_w_linii)then return nil;end; local walidacja_adresu=mw.ustring.match(adres,"^%S*[%[%]]%S*$"); if(walidacja_adresu)then return nil;end; if(not nazwa)then return adres,nazwa;end; local nazwa_w_linii=mw.ustring.match(nazwa,"\n"); if(nazwa_w_linii)then return nil;end; local walidacja_nazwy=mw.ustring.match(nazwa,"%]"); if(walidacja_nazwy)then return nil;end; return adres,nazwa; end; function p.OdkodowanieZakodowanychNormKodowychNieschematycznychRzeczy(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local tablica_kodow={};local tak=false; local iterator=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); local szablonowe_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki=szablonowe_dane_modul.tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki; for szablon,obiekt,kod in iterator do if(tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki[obiekt])then local iter=mw.ustring.gmatch(szablon,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); for obiekt,kod in iter do if(not tablica_kodow[obiekt])then tablica_kodow[obiekt]={};end; tablica_kodow[obiekt][kod]=true; tak=true; end; end; end; --if(not tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu;end; local strony_modul=require("Module:Strony"); local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); --local frame=mw.getCurrentFrame(); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon2,obiekt2,kod2) if((tablica_kodow)and(tablica_kodow[obiekt2])and(tablica_kodow[obiekt2][kod2]))then if(mw.ustring.gmatch(szablon2,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()))then szablon2=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); return szablon2; end; elseif(obiekt2=="LINKW")then if(mw.ustring.match(szablon2,"^%[%[[%s:_]*%]%]$"))then return szablon2;end; local szablon_rozwiniete=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(not specjalne_modul["CzyPlik"](szablon_rozwiniete))then --szablon_rozwiniete=frame:preprocess(szablon_rozwiniete); local czy_nie_linkw=not p.WalidacjaLinkuProjektowego(szablon_rozwiniete); if(czy_nie_linkw)then return szablon2; end; end; elseif(obiekt2=="LINKZ")then if(mw.ustring.match(szablon2,"^%[%s*%]$"))then return szablon2;end; local szablon_rozwiniete=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); --szablon_rozwiniete=frame:preprocess(szablon_rozwiniete); local adres,nazwa=p.WalidacjaLinkuNieProjektowego(szablon_rozwiniete); if(adres)then local czy_linkz=strony_modul.SprawdzanieURL(adres); if(not czy_linkz)then return szablon2;end; else return szablon2; end; end; return nil,true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; p["PokazanieWywołaniaSzablonu"]=function(szablon, args) local result = {}; table.insert(result, mw.text.nowiki("{{")); if mw.isSubsting() then table.insert(result, "subst:"); end; table.insert(result, szablon); if args then for k, v in pairs(args) do if (type(k)~="number")then table.insert(result, "|"); table.insert(result, tostring(k)); table.insert(result, "="); table.insert(result, mw.text.nowiki(v)); else table.insert(result, "|"); table.insert(result, mw.text.nowiki(v)); end; end; end; table.insert(result, mw.text.nowiki("}}")); return table.concat(result); end; function p.KodSymbolicznySzablonu(nazwa,args,modyfikatory,jako_szablony) local args=args or {}; local modyfikatory=modyfikatory or {}; ---- local __metatablica=getmetatable(args); local result={}; table.insert(result,((jako_szablony) and "{{((}}" or "{{")); for name,_ in pairs(modyfikatory)do table.insert(result,name); end; table.insert(result,nazwa); if(not __metatablica)then for name,value in pairs(args)do table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); value=mw.ustring.gsub(value,"[=]",((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")); table.insert(result,name..((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")..value); end; else local tabelka_metatable=__metatablica.PobierzGeneralnaTablica(args); local tab_inna_tabelka={}; local funkcja; local juz_jest=nil; for name,value in pairs(tabelka_metatable)do if((juz_jest)or(name~=true))then tab_inna_tabelka[value[2]]={name,value[1],value[3],}; else funkcja=value; juz_jest=true; end; end; if(funkcja)then table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); if(jako_szablony)then funkcja=mw.ustring.gsub(funkcja,"=",function(znak) return "{{=}}"; end); end; table.insert(result,funkcja); end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local __next=parametry_modul.IteratorKluczeTabeliAlfabetycznieSortujDoPrzodu(tab_inna_tabelka,true); for _,value in __next,tab_inna_tabelka,nil do table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); local value_2; if(jako_szablony)then value_2=mw.ustring.gsub(value[2],"[=]","{{=}}");else value_2=value[2];end; table.insert(result,((not value[3])and(value[1]..((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")) or "")..value_2); end; end; table.insert(result,((jako_szablony) and "{{))}}" or "}}")); return table.concat(result,""); end; function p.KodSymbolicznySzablonowejRamkiLuaInstrukcjiWarunkowejLubTagu(szablon) szablon=mw.ustring.gsub(szablon,"^{{(.-)}}$",function(zawartosc) zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"[|=]",function(znak) if(znak=="|")then return "{{!}}";else return "{{=}}";end; end); return "{((}}"..zawartosc.."{{))}}"; end); return szablon; end; function p.NazwaSzablonu(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("nazwa"); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa); local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np") if(nazwa_przestrzeni==nazwy_np_modul.Template)then return nazwy_modul["NAZWASTRONY"](nazwa); elseif(nazwa_przestrzeni==nazwy_np_modul.Main)then return ":"..nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa); else return nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa); end; end; function p.ZnacznikoweTrueFalseSzeregZnakowy(yes) local yes_male=mw.ustring.lower(yes); return ((yes_male=="true") and true or ((yes_male~="false")and yes or false)); end; local function WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,liczba_obiektu) local liczba_obiektu=liczba_obiektu or 100; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika; end; end; end local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul={}; znacznik,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=szablonowe_potrzebne_modul.KodowanieAtrybutoweZnacznikowe(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; local html_modul=require("Module:Html"); znacznik=html_modul.TekstoweZnakiTypowoTagoweParametroweZamienianiaNaKodHtml(znacznik); znacznik=mw.ustring.gsub(znacznik,"(</[%a%d]+)(%s+[^<>]*)(>)%s*$","%1%3"); local nazwa,zawartosc=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s*>(.-)</(%1)%s*>%s*$"); if((nazwa)and(zawartosc))then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=zawartosc; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return mw.ustring.lower(nazwa),zawartosc,nil; end; ---- local nazwa=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s*/?%s*>%s*$"); if(nazwa)then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return mw.ustring.lower(nazwa),nil,nil; end; ---- local nazwa,atrybuty,zawartosc=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s+([^<>]-)%s*>(.-)</([%a%d]+)%s*>%s*$"); ---- if((not nazwa)or(not atrybuty)or(not zawartosc))then nazwa,atrybuty=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s+([^<>]-)%s*/?%s*>%s*$"); if((not nazwa)or(not atrybuty))then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return nil,nil,nil; end; end; ----- local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local function __FUNKCJA() local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tab_atrybuty={}; setmetatable(tab_atrybuty,__metatablica); ---- local tab_atrybuty=szablonowe_potrzebne_modul.AtrybutyZnacznika(atrybuty,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tab_atrybuty); return tab_atrybuty; end; local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieObiektowe(__metatablica,{__FUNKCJA,}); local tab_atrybuty={}; setmetatable(tab_atrybuty,__metatablica); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=zawartosc; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=tab_atrybuty; end; return mw.ustring.lower(nazwa),zawartosc,tab_atrybuty; end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,100); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguMath(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,101); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguPre(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,102); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguSyntaxHighLight(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,103); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguNowiki(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,104); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguGallery(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,105); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguImageMap(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,106); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguInputBox(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,107); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguQuiz(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,108); end; function p.KodSymbolicznyTagu(nazwa,zawartosc,atrybuty,jako_szablony) local tab_str={}; table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Mniejszy}}" or "<"); table.insert(tab_str,nazwa); if(atrybuty)then local __metatablica=getmetatable(atrybuty); if(not __metatablica)then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); for name,value in pairs(atrybuty)do table.insert(tab_str," "); table.insert(tab_str,name); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{=}}","="); if(parametry_modul.TypeString(value))then table.insert(tab_str,"\""..value.."\""); else table.insert(tab_str,tostring(value)); end; end; else local tabelka_metatable=__metatablica.PobierzGeneralnaTablica(atrybuty); local tab_inna_tabelka={}; for name,value in pairs(tabelka_metatable)do tab_inna_tabelka[value[2]]={name,value[1],}; end; for __name,tab_value in ipairs(tab_inna_tabelka)do table.insert(tab_str," "); table.insert(tab_str,tab_value[1]); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{=}}","="); if(parametry_modul.TypeString(tab_value[2]))then table.insert(tab_str,"\""..tab_value[2].."\""); else table.insert(tab_str,tostring(tab_value[2])); end; end; end; end; table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Większy}}" or ">"); table.insert(tab_str,zawartosc or ""); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Mniejszy}}" or "<"); table.insert(tab_str,"/"); table.insert(tab_str,name); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Większy}}" or ">"); return table.concat(tab_str,""); end; function p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA5,__FUNKCJA6,__FUNKCJA7,__FUNKCJA8,__FUNKCJA9,__FUNKCJA_domyslna,__FUNKCJA_begin,__FUNKCJA_parsowania,__FUNKCJA_parametry,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,trimuj_numerowane) ---- local wynik=__FUNKCJA_begin and __FUNKCJA_begin(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa) or nil; if(wynik)then return nil;end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; local tab_pop=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu; --and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry; ---- local tabela_parametrow_szablonu;local nazwa_szablonu;local tabela_modyfikatorow; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not __FUNKCJA_parsowania) or ((__FUNKCJA_parsowania)and(__FUNKCJA_parsowania(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa))))then tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=p["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,trimuj_numerowane,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); else nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=p["NazwaSzablonuWywołania"](szablon,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); tabela_parametrow_szablonu=(not __FUNKCJA_parametry) and true or __FUNKCJA_parametry(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa); end; if(p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod))then ---- if(__FUNKCJA7 and __FUNKCJA7(nazwa_szablonu) or ((not __FUNKCJA7) and true or false))then if(__FUNKCJA1 or __FUNKCJA_domyslna)then local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); if(not tab_pop)then if((kod)and(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[-1]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.adres_strony )then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]=nil; end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony )then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]=nil; end; end; end; nazwa_szablonu=pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa and techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]({[1]=nazwa_szablonu,[2]=pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,},tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) or nazwa_szablonu; nazwa_szablonu=p["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(__FUNKCJA1)then return __FUNKCJA1(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); else return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; else if(__FUNKCJA8)then return __FUNKCJA8(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; elseif(p.CzyModyfikatoryInstrukcjiWarunkowychSzablonowych(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu))then if(__FUNKCJA2)then return __FUNKCJA2(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; elseif(tabela_modyfikatorow)then if(tabela_modyfikatorow["#invoke:"])then if(__FUNKCJA3)then return __FUNKCJA3(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; elseif(tabela_modyfikatorow["#tag:"])then if(__FUNKCJA4)then nazwa_szablonu=mw.getContentLanguage():lc(nazwa_szablonu); return __FUNKCJA4(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; else local czy_sa_takie_funkcje=(__FUNKCJA5 and __FUNKCJA6) and true or nil; if(czy_sa_takie_funkcje)then local function CzyTenSzablonToParser(tabela_modyfikatorow) for name,value in pairs(tabela_modyfikatorow)do if(mw.ustring.match(name,"^#%a+:$"))then return true; end; end; return false; end; if(CzyTenSzablonToParser(tabela_modyfikatorow))then if(__FUNKCJA5)then return __FUNKCJA5(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; else if(__FUNKCJA6)then return __FUNKCJA6(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; else if(__FUNKCJA9)then return __FUNKCJA9(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; end; p["SprawdzanieCzyWystępujeDanySzablonWTekście"]=function(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local tekst=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("tekst"); local pattern=PobierzParametr(2) or PobierzParametr("wzór"); local szablon=PobierzParametr(3) or PobierzParametr("szablon"); local czy_z_parametrami=PobierzParametr(4) or PobierzParametr("z parametrami"); ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); czy_z_parametrami=((parametry_modul.TypeTable(czy_z_parametrami)) and czy_z_parametrami or (((not parametry_modul.TypeString(czy_z_parametrami)) and(not parametry_modul.TypeNil(czy_z_parametrami)) and(not parametry_modul.TypeBoolean(czy_z_parametrami))) and czy_z_parametrami or (parametry_modul.CzyTak(czy_z_parametrami) and true or false) ) ); ---- szablon=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=szablon,[2]="tak",}; szablon=mw.getContentLanguage():ucfirst(szablon); ---- local iter=mw.ustring.gmatch(tekst,pattern); for nazwa_szablonowa in iter do local czy_szablon,tabela_modyfikatorow=p["UstalanieNazwyWywołania"](nazwa_szablonowa,true); local nazwa_szablonu=p["SzablonowaNazwaStrony"](czy_szablon); if(p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,czy_z_parametrami))then if(nazwa_szablonu==szablon)then return "tak"; end; end; end; return nil; end; return p; 0c9krmhveccclslttv0nlucneqb9ned 558528 558526 2026-10-04T13:46:21Z Persino 2851 558528 Scribunto text/plain local p={}; --zamykanie local znak_127=mw.loadData("Module:Html/dane").znak_127; function p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."'\"`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`\"'"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduKodowaniaTekstu(kod,numer) local wikikodnumer=znak_127.."'\"`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`\"'"..znak_127; return wikikodnumer; end; function p.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."&#0*39;&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;&#0*39;"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoEncodeWikiTekstu(kod,numer) local wzor=znak_127.."&#039;&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;&#039;"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaWzoruZakodowanegoWikiTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."'&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;'"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu(kod,numer) local wikikodnumer=znak_127.."'&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;'"..znak_127; return wikikodnumer; end; function p.NormaWzoruZakodowanegoHtmlTekstu(co,numer_szablonu) local wzor="%%7F'&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;'%%7F"; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu(kod,numer) local wikikodnumer="%7F'&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;'%7F"; return wikikodnumer; end; function p.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_poczatek,__FUNKCJA_koniec,__FUNCTION_niedokonczone,__FUNCTION_INCLUDE,__FUNKCJA_PARAMETRY) local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); return szablonowe_potrzebne_modul.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_poczatek,__FUNKCJA_koniec,__FUNCTION_niedokonczone,__FUNCTION_INCLUDE,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; function p.KodujWzoryMatematyczneTekstu(self,tekst_artykulu) local licznik=0; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul={}; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul["MATH"]={}; tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"(<[Mm][Aa][Tt][Hh]>(.-)</[Mm][Aa][Tt][Hh]>)",function(szablon) licznik=licznik+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul["MATH"][licznik]=szablon; return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("MATH",licznik); end) return tekst_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local __max=0; for numer,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])do if(parametry_modul.TypeNumber(numer))then __max=math.max(__max,numer); end; end; return __max+1; end; function p.NumerSzablonuKodowaniaTekstu(self,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=self.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[nazwa_modulu];end; local numer_szablonu={}; local szablonowe_dane_modul=require("Module:Szablonowe/dane"); for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_szablonowe_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_atrybutowe_znacznikowe_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; return numer_szablonu; end; function p.LiczbyParametroweInformacjiBazyKodowaniaWikikodu() local stronicowyparser_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji=stronicowyparser_dane_modul.tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji; return tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji; end; function p.UsuwanieStarychZebranychInformacjiBazyTablicyKodowaniaWikikodu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_usun) local tab_analiza=p.LiczbyParametroweInformacjiBazyKodowaniaWikikodu(); for obiekt,tab_obiekt in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)do for kod,wartosc in pairs(tab_obiekt)do local tablica=getmetatable(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]).tablica(); local tab_wartosc=tablica[kod]; if(tab_wartosc)then if((not tab_usun[obiekt])or(not tab_usun[obiekt][kod]))then if(tab_wartosc[2])then for obiekt_tab,tab_kod in pairs(tab_analiza)do if(obiekt_tab==obiekt)then for _,liczba in ipairs(tab_kod)do local tab_liczba=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba]; if(tab_liczba)then tab_liczba[kod]=nil; tab_wartosc[2]=false; end; end; end; end; end; else tablica[kod]=nil; end; end; end; end; end; function p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4) tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or p.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu); local czy_jedno=false; ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); ---- local function IteratorMain(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,poziom_iteracji,obiekt,kod,czy_stare) local iter=true;local iter_fun; if((tekst_rozwiniety_calego_artykulu=="")or(czy_stare))then iter_fun=function() local iter=function() return nil; end; return iter; end; else iter_fun=function() if((not obiekt)and(not kod))then local iter=mw.ustring.gmatch(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); return iter; else local wynik=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,obiekt,kod,poziom_iteracji) or nil; local szablon=wynik or (((obiekt)and(kod)) and (tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]))and tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod] or tekst_rozwiniety_calego_artykulu; if((not szablon)or(szablon==""))then local iter=function() return nil; end; return iter; else local iter=mw.ustring.gmatch(szablon,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); return iter; end; end; end; end; local tak=nil; local iter2=nil; poziom_iteracji=poziom_iteracji or 0; local function Iterator() local function IterMain() local obiekt,kod; ---- repeat if((parametry_modul.TypeBoolean(iter))and(iter==true))then iter=iter_fun();end; obiekt,kod=iter(); if((not obiekt)or(not kod))then return nil;end; kod=tonumber(kod); local tak_repeat=false; if((not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]))then tak_repeat=true; end; until (not tak_repeat); ---- local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; szablon=(not __FUNKCJA3) and szablon or (__FUNKCJA3(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or szablon); if(__FUNKCJA2)then repeat local czy_dalej=nil; local jest_naglowek=__FUNKCJA2(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(not jest_naglowek)then --if(poziom_iteracji>0)then -- return nil; --else repeat obiekt,kod=iter(); if((not obiekt)or(not kod))then return nil;end; kod=tonumber(kod); local tak_repeat=false; if((not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]))then tak_repeat=true; end; until (not tak_repeat); ---- szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; czy_dalej=true; --end; end; until (not czy_dalej); end; ---- tak=true; if(__FUNKCJA)then local wynik,tekst=__FUNKCJA(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu); if(not wynik)then czy_jedno=true; return nil; else szablon=wynik; if(tekst)then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=tekst; end; end; end; iter2=IteratorMain(szablon,poziom_iteracji+1,obiekt,kod,(obiekt=="STARE")); return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; end; if(not tak)then local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=IterMain(); if(czy_jedno)then return nil;end; return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; else local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=iter2(); if(czy_jedno)then return nil;end; if((not szablon)or(not kod)or(not obiekt))then tak=nil; local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=IterMain(); if(czy_jedno)then return nil;end; return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; else return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; end; end; end; return Iterator; end; return IteratorMain(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,0,nil,nil,false),tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,__funkcja6,__funkcja7,__funkcja8,__funkcja9,__funkcja10) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local tab_usun={}; local szablon2=nil; local iterator,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,function(tekst_szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji) local __SZABLON=function(obiekt,kod)return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod];end; local tak=((not szablon2)or(not tab_usun)or(not tab_usun[obiekt])or(not tab_usun[obiekt][kod])); local szablon=__funkcja6 and __funkcja6(tekst_szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tak,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or (tak and __SZABLON(obiekt,kod) or szablon2); return szablon; end); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_dane=nil; for szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji in iterator do if((tab_dane)and(poziom_iteracji==0))then tab_dane=nil;end; szablon2=nil;local wynik; if(__funkcja1)then local analiza; szablon2,wynik,analiza=__funkcja1(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if((analiza)and(__funkcja7))then local czy_szablon_funkcyjny=parametry_modul.TypeFunction(szablon2); if(czy_szablon_funkcyjny)then szablon2=szablon2();end; ---- local funkcja_temp;local tak_specjalne=false; if(tab_dane)then ---- local tak=true; local szablon_temp;local obiekt_temp;local kod_temp;local poziom_iteracji_temp; for i=#tab_dane,1,-1 do local tab_pos=tab_dane[i]; local poziom_iteracji_temp=tab_pos[4]; if(poziom_iteracji_temp<poziom_iteracji)then szablon_temp=tab_pos[1];obiekt_temp=tab_pos[2];kod_temp=tab_pos[3]; tak=tak and ((obiekt_temp and kod_temp)and(tab_usun[obiekt_temp]) and (tab_usun[obiekt_temp][kod_temp])); if(not tak)then local Typ=function() return __funkcja7(szablon_temp,obiekt_temp,kod_temp,poziom_iteracji_temp,szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; if(not funkcja_temp)then funkcja_temp=Typ;end; local czy_funkcja_jako_funkcja8=parametry_modul.TypeFunction(__funkcja8); if(czy_funkcja_jako_funkcja8 and __funkcja8(szablon_temp,obiekt_temp,kod_temp,poziom_iteracji_temp,szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) )then tak_specjalne=true; end; break; end; end; end; end; if(tak_specjalne)then wynik=true;end; if(funkcja_temp)then funkcja_temp();end; else local czy_szablon_funkcyjny=parametry_modul.TypeFunction(szablon2); if(czy_szablon_funkcyjny)then szablon2=szablon2();end; end; end; if(not wynik)then szablon=techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](szablon2 or szablon); if((not tab_dane)or(#tab_dane==0))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; else local tak=true;local tab_wolne; for i=#tab_dane,1,-1 do local tab_pos=tab_dane[i]; local poziom_iteracji_temp=tab_pos[4]; if(poziom_iteracji_temp<poziom_iteracji)then local obiekt_temp=tab_pos[2];local kod_temp=tab_pos[3]; tak=tak and ((obiekt_temp and kod_temp)and((tab_usun[obiekt_temp]) and (tab_usun[obiekt_temp][kod_temp]))); if(not tak)then tab_wolne=tab_pos; break; end; end; end; if(tak)then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; else local obiekt_temp=tab_wolne[2];local kod_temp=tab_wolne[3]; local tekst=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_temp][kod_temp]; tekst=mw.ustring.gsub(tekst,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_temp][kod_temp]=tekst; if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; end; end; -- parametry kodow local czy_usun_kod=__funkcja10 and __funkcja10(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or nil; -- bazowanie kodow local tak=__funkcja9 and __funkcja9(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tab_usun) or nil; if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; -- funkcje koncowe local tak=__funkcja2 and __funkcja2(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or nil; if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; end; if(not tab_dane)then tab_dane={};end; if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji,-1 do table.remove(tab_dane); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji)then table.remove(tab_dane); end; table.insert(tab_dane,{szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji}); if(__funkcja2)then local tak=__funkcja2(szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; end; poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji; end; return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; function p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,__funkcja6) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local iterator,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_poziom_obiekt={}; for szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji in iterator do local function ZamienianieKodowe(szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica) local kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=__funkcja(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,((poziom_iteracji>0)and (szablon_rodzica_zmodyfikowany or szablon_rodzica) or tekst_rozwiniety_calego_artykulu),obiekt_rodzica_zmodyfikowany or obiekt_rodzica,kod_rodzica_zmodyfikowany or kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; local function ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka() if(dziecko_zmodyfikowane)then if((obiekt_zmodyfikowany)or(kod_zmodyfikowany))then if(((obiekt_zmodyfikowany)and(obiekt_zmodyfikowany~=obiekt))or((kod_zmodyfikowany)and(kod_zmodyfikowany~=kod)))then local __obiekt_zmodyfikowany=obiekt_zmodyfikowany or obiekt; local __kod_zmodyfikowany=kod_zmodyfikowany or kod; if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany])then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany]={}; end; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany][__kod_zmodyfikowany]=dziecko_zmodyfikowane; local fun1=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,__obiekt_zmodyfikowany,__kod_zmodyfikowany,false) or nil; if(not __tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=nil; local fun2=__funkcja6 and __funkcja6(nil,obiekt,kod,false) or nil; end; else tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=dziecko_zmodyfikowane; local fun3=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,obiekt,kod,false) or nil; end; else tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=dziecko_zmodyfikowane; local fun4=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,obiekt,kod,false) or nil; end; end; end; local function ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany) local __obiekt_rodzica_zmodyfikowany=obiekt_rodzica_zmodyfikowany or obiekt_rodzica; local __kod_rodzica_zmodyfikowany=kod_rodzica_zmodyfikowany or kod_rodzica; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_rodzica_zmodyfikowany][__kod_rodzica_zmodyfikowany]=szablon_rodzica_zmodyfikowany; local fun7=__funkcja6 and __funkcja6(szablon_rodzica_zmodyfikowany,__obiekt_rodzica_zmodyfikowany,__kod_rodzica_zmodyfikowany,true) or nil; if(not __tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then if((obiekt_rodzica_zmodyfikowany)or(kod_rodzica_zmodyfikowany))then if( ((obiekt_rodzica_zmodyfikowany)and(obiekt_rodzica_zmodyfikowany~=obiekt_rodzica)) or((kod_rodzica_zmodyfikowany)and(kod_rodzica_zmodyfikowany~=kod_rodzica)) )then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_rodzica][kod_rodzica]=nil; local fun5=__funkcja6 and __funkcja6(szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,true) or nil; end; end; end; end; if(kod_kodowy_wynik)then if(poziom_iteracji>0)then if(not szablon_rodzica_zmodyfikowany)then if(not parametry_modul.TypeBoolean(kod_kodowy_wynik))then local ile; local szablon_rodzica=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_rodzica][kod_rodzica]; szablon_rodzica,ile=mw.ustring.gsub(szablon_rodzica,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](kod_kodowy_wynik)); if(ile>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica); ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; end; else ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany); ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; else if(not parametry_modul.TypeBoolean(kod_kodowy_wynik))then local ile; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,ile=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](kod_kodowy_wynik)); if(ile>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; end; end; elseif(szablon_rodzica_zmodyfikowany)then if(poziom_iteracji>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany); else tekst_rozwiniety_calego_artykulu=szablon_rodzica_zmodyfikowany; end; ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); else ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; return kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; if(poziom_iteracji==0)then ZamienianieKodowe(nil,nil,nil,nil,nil); else for i=#tab_poziom_obiekt,1,-1 do local tab=tab_poziom_obiekt[i]; local poziom_iteracji_rodzica=tab[4]; if(poziom_iteracji_rodzica<poziom_iteracji)then local szablon_rodzica=tab[1]; local obiekt_rodzica=tab[2]; local kod_rodzica=tab[3]; local szablon_rodzica_zmodyfikowany=tab[5]; local obiekt_rodzica_zmodyfikowany=tab[6]; local kod_rodzica_zmodyfikowany=tab[7]; local kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=ZamienianieKodowe(szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica); if(szablon_rodzica_zmodyfikowany)then tab[5]=szablon_rodzica_zmodyfikowany; tab[6]=obiekt_rodzica_zmodyfikowany; tab[7]=kod_rodzica_zmodyfikowany; end; break; end; end; end; if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji,-1 do table.remove(tab_poziom_obiekt); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji)then table.remove(tab_poziom_obiekt); end; table.insert(tab_poziom_obiekt,{szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,}); poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji; end; return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; local tab_sam; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(poziom_iteracji==0)then tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tab_sam=nil; else if((tab_sam)and(tab_sam[obiekt])and(tab_sam[obiekt][kod]))then return false;end; if((tablica_szablonow_z_naglowkami)and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt])and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt][kod]))then return true;end; end; ---- local wynik,sam_obiekt,sam_kod=__funkcja(szablon,obiekt,kod,0,true,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(wynik)then if(sam_obiekt and sam_kod)then return false; end; end local czy_nie_wyzej_sam=false; local czy_nie_wyzej_poziom=nil; local iterator=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,szablon,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod) if((czy_nie_wyzej_sam)or(czy_nie_wyzej_poziom))then return ""; end; end); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_poziom_obiekt={} if(poziom_iteracji==0)then table.insert(tab_poziom_obiekt,{obiekt,kod});end; for szablon2,obiekt2,kod2,poziom_iteracji2 in iterator do local wynik,sam_obiekt,sam_kod,czy_inne_ustawienia=__funkcja(szablon2,obiekt2,kod2,poziom_iteracji2+1,false,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji2)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji2,-1 do table.remove(tab_poziom_obiekt); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji2)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji2)then table.remove(tab_poziom_obiekt); end; table.insert(tab_poziom_obiekt,{obiekt2,kod2}); poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji2; czy_nie_wyzej_sam=false; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=false; end; else for _,tab in ipairs(tab_poziom_obiekt)do if(not tablica_szablonow_z_naglowkami)then tablica_szablonow_z_naglowkami={};end; if(not tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]])then tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]]={};end; tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]][tab[2]]=true; end; if(sam_obiekt and sam_kod)then if(not tab_sam)then tab_sam={};end; if(not tab_sam[sam_obiekt])then tab_sam[sam_obiekt]={};end; tab_sam[sam_obiekt][sam_kod]=true; czy_nie_wyzej_sam=true; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=false; end; else if(not tablica_szablonow_z_naglowkami)then tablica_szablonow_z_naglowkami={};end; if(not tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2])then tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2]={};end; tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2][kod2]=true; czy_nie_wyzej_sam=false; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=true; end; end; ---poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji2; end; end; if(wynik)then return true;end; if((tab_sam)and(tab_sam[obiekt])and(tab_sam[obiekt][kod]))then return false;end; if((tablica_szablonow_z_naglowkami)and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt])and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt][kod]))then return true;end; return nil; end,__funkcja4,__funkcja5); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuBezPewnychSzablonowychNormZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local wynik=__funkcja(szablon,obiekt,kod,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then return nil;end; return true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstuBezPewnychSzablonowychNormZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,_,obiekt_rodzica,kod_rodzica,szablon_rodzica,_,_,poziom_iteracji_rodzica) return szablon; end, funkcja1,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local wynik=__funkcja(szablon,obiekt,kod,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then return nil;end; return true; end,__funkcja2,funkcja3); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; local function FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local pelna_nazwa_szablonu=techniczne_modul.PrzekierowanieDoStrony(pelna_nazwa_szablonu) or pelna_nazwa_szablonu; local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); local tekst=stronicowyparser_tekst_modul.SpreparowanyWikikodStrony(nil,pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,true,true,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst; end; local function FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,czy_niekodowane,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) if(obiekt=="SZABLON")then return p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if((not tabela_parametrow_szablonu)or(not nazwa_szablonu))then return;end; if(__FUNKCJA)then local wynik=__FUNKCJA(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return;end; end; local pelna_nazwa_szablonu=p["PełnaNazwaStronyNazwySzablonu"](nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(__FUNKCJA2)then local wynik=__FUNKCJA2(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return; end; end; if((czy_niekodowane)and(__FUNKCJA3))then local wynik=__FUNKCJA3(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return wynik; end; end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_nie_brak_parametrow=parametry_modul["CzySąElementyTablicy"](tabela_parametrow_szablonu); local tekst; if((not czy_niekodowane)and(__FUNKCJA3))then tekst=__FUNKCJA3(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(not tekst)then tekst=FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; else tekst=FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; if(not tekst)then return;end; if((czy_niekodowane)and(not czy_nie_brak_parametrow))then return tekst;end; local html_modul=require("Module:Html"); tekst=p:KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(tekst,pelna_nazwa_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) return; end, function(szablon,obiekt,kod,tekst) if(czy_nie_brak_parametrow)then if(obiekt=="ZMIENNA")then local zmienna;local wartosc_domyslna; zmienna=mw.ustring.match(szablon,"^{{{([^{}|]*)}}}$"); if(not zmienna)then zmienna,wartosc_domyslna=mw.ustring.match(szablon,"^{{{([^{}|]*)|([^{}]*)}}}$"); end; zmienna=mw.text.trim(zmienna); local wartosc_zmiennej=tabela_parametrow_szablonu[tonumber(zmienna) or zmienna]; if(not wartosc_zmiennej)then if(wartosc_domyslna)then return wartosc_domyslna;end; local szablon=html_modul["KodyHTMLZnakówWikiCiągu"](szablon); return szablon; end; return wartosc_zmiennej; end; end; end, function() return numer_szablonu; end,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst; end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,function(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) return __PRZEDFUNKCJA(nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) end, function(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,rezultat) return __FUNKCJA0 and __FUNKCJA0(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or nazwa_szablonu; end,false); end; end; function p.TablicaZanalizowanychInformacjiSzablonowychParsowania(self,nazwa_modulu) local tablica_modulu_szablonowe=p.TablicaTransportuSzablonowe(self); tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow=tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow or {}; local tablica_szablonow=tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow; ---- tablica_szablonow[nazwa_modulu]=tablica_szablonow[nazwa_modulu] or {}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tablica_szablonow[nazwa_modulu]; return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; end; function p.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu) local tablica_modulu_bazowe=p.TablicaTransportuSzablonowe(self); tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or {}; local tablica_bazowe=tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; ---- tablica_bazowe[nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca]=tablica_bazowe[nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca] or {}; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_bazowe[nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca]; return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or p.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu); --- local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony or p.TablicaZanalizowanychInformacjiSzablonowychParsowania(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; end; function p.RozwijanieNiezakodowanegoSzablonu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) return; end, function(szablon,obiekt,kod,tekst,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,numer_szablonu) ---- szablon=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or szablon; --- return FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,true,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.RozwijanieZakodowanegoSzablonu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); ---- local tab_usun; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst) if(obiekt=="SZABLON")then local numer_szablonu=p.NumerSzablonuKodowaniaTekstu(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); ---- szablon=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or szablon; ---- local wynik=FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,false,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); if(wynik)then return wynik;end; end; return nil,true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; p["UstalanieNazwyWywołania"]=function(nazwa,czy_ustalanie_szybkie_nazwy,__FUNKCJA,__FUNKCJA2) local czy_kody_w_nazwa; if(czy_ustalanie_szybkie_nazwy)then czy_kody_w_nazwa=mw.ustring.match(nazwa,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); if(not czy_kody_w_nazwa)then local czy_jest_dwukropek=mw.ustring.match(nazwa,"[%:%&%%]"); if(not czy_jest_dwukropek)then return nazwa,nil; end; end; else czy_kody_w_nazwa=true; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa=html_modul.DecodeHtml(nazwa,true); local rezultat=nil; if((__FUNKCJA)and(czy_kody_w_nazwa))then local nazwa_rozwinieta; nazwa_rozwinieta,rezultat=__FUNKCJA(nazwa); nazwa=nazwa_rozwinieta or nazwa; end; local nazwa,modyfikatory,tabela_modyfikatorow=p.WydzielanieOpcjiModyfikatorowych(nazwa); nazwa=((__FUNKCJA2)and(czy_kody_w_nazwa)and(not rezultat)) and (__FUNKCJA2(nazwa,tabela_modyfikatorow) or nazwa) or nazwa; if(not tabela_modyfikatorow)then nazwa=html_modul.EncodeId(nazwa); return nazwa,nil; end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=mw.ustring.match(nazwa,"^[%s_]*[^:]") and nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa) or nil; if(nazwa_przestrzeni)then if(nazwa_przestrzeni=="")then if(tabela_modyfikatorow["#invoke:"])then nazwa="Module:"..nazwa; elseif(tabela_modyfikatorow["int:"])then nazwa="MediaWiki:"..nazwa; end; else local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if((nazwy_np_modul.Module~=nazwa_przestrzeni)and(tabela_modyfikatorow["#invoke:"]))then nazwa="Module:"..nazwa; elseif((nazwy_np_modul.MediaWiki~=nazwa_przestrzeni)and(tabela_modyfikatorow["int:"]))then nazwa="MediaWiki:"..nazwa; end; end; end; nazwa=html_modul.EncodeId(nazwa); return nazwa,tabela_modyfikatorow; end; p["SzablonowaKompletnaNazwaStrony"]=function(czy_szablon,czy_pelna) if(not czy_szablon)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](czy_szablon,tabela_nazw); local nazwa_szablonu; if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then local czy_nie_dwukropek=czy_pelna and mw.ustring.match(czy_szablon,"^%s*[^:]") or nil; if((czy_nie_dwukropek)or(czy_szablon==""))then local czy_szablon=parametry_modul["Odstępy"]{nazwa=czy_szablon,["wewnątrz"]="tak",}; nazwa_szablonu=(tabela_nazw.m) and mw.getContentLanguage():ucfirst(czy_szablon) or czy_szablon; else nazwa_szablonu=":"..nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](czy_szablon,tabela_nazw); end; elseif(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Template)then nazwa_szablonu=nazwy_modul["NAZWASTRONY"]({nazwa=czy_szablon,},tabela_nazw); else nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](czy_szablon,tabela_nazw); end; return nazwa_szablonu; end; p["SzablonowaNazwaStrony"]=function(czy_szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony; end; end; end; local nazwa_szablonu=p["SzablonowaKompletnaNazwaStrony"](czy_szablon,true); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony=nazwa_szablonu; end; return nazwa_szablonu; end; p["PełnaNazwaStronyNazwySzablonu"]=function(frame,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.generalna_nazwa_strony; end; end; end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); ---- local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa_szablonu=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("nazwa"); ---- if(not nazwa_szablonu)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); ---- local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); local pelna_nazwa_szablonu; local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then local czy_nie_dwukropek=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^%s*[^:]"); if(czy_nie_dwukropek)then local nazwa_szablonu=parametry_modul["Odstępy"]{nazwa=nazwa_szablonu,["wewnątrz"]="tak",}; pelna_nazwa_szablonu=((nazwy_np_modul.Template~="")and (nazwy_np_modul.Template..":") or "")..((tabela_nazw.m)and mw.getContentLanguage():ucfirst(nazwa_szablonu) or nazwa_szablonu); else pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); end; else pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); end; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.generalna_nazwa_strony=pelna_nazwa_szablonu; end; return pelna_nazwa_szablonu; end; p["PełnaNazwaStronyWywołańSzablonowych"]=function(nazwa_szablonu,klucz_przestrzeni,klucz_projektu,kod_jezyka,kod_projektu) if(not nazwa_szablonu)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"]({nazwa=nazwa_szablonu,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,},tabela_nazw); local klucz_przestrzeni_niekanoniczna; local wiki_modul=require("Module:Wiki"); local czy_biezaca; if(tabela_nazw.czy_aktualna_wiki==nil)then czy_biezaca=wiki_modul["CzyBieżącaWiki"]{["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod projektu"]=kod_projektu,}; else czy_biezaca=tabela_nazw.czy_aktualna_wiki; end; if(czy_biezaca)then klucz_przestrzeni_niekanoniczna=nazwy_modul.Np{nazwa=klucz_przestrzeni,}; else klucz_przestrzeni_niekanoniczna=nazwy_modul.NpDane{nazwa=klucz_przestrzeni,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,}; end; local pelna_nazwa_szablonu; local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then pelna_nazwa_szablonu=((klucz_przestrzeni~="")and (klucz_przestrzeni..":") or "")..nazwa_szablonu; elseif(((klucz_przestrzeni=="MediaWiki")or(klucz_przestrzeni=="Module"))and(nazwa_przestrzeni_szablonu~=klucz_przestrzeni_niekanoniczna))then pelna_nazwa_szablonu=((klucz_przestrzeni~="")and (klucz_przestrzeni..":") or "")..nazwa_szablonu; else pelna_nazwa_szablonu=nazwa_szablonu; end; local tabela_nazw={}; pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"]({nazwa=pelna_nazwa_szablonu,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,},tabela_nazw); return pelna_nazwa_szablonu; end; p["NazwaSzablonuWywołania"]=function(szablon,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_strony,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_z_parametrami; end; end; end; local czy_z_parametrami; local czy_szablon,zawartosc=mw.ustring.match(szablon,"^{{%s*([^{}|]-)%s*|([^{}]*)}}$"); if(not czy_szablon or not zawartosc)then czy_szablon=mw.ustring.match(szablon,"^{{%s*([^{}|]-)%s*}}$"); if(not czy_szablon)then return;end; czy_z_parametrami=false; else czy_z_parametrami=true; end; --czy_szablon=__FUNKCJA and (__FUNKCJA(czy_szablon) or czy_szablon) or czy_szablon; local czy_szablon,tabela_modyfikatorow=p["UstalanieNazwyWywołania"](czy_szablon,true,__FUNKCJA,__FUNKCJA2); local nazwa_strony=p["SzablonowaNazwaStrony"](czy_szablon); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_strony=nazwa_strony; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=tabela_modyfikatorow; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_z_parametrami=czy_z_parametrami; end; return nazwa_strony,tabela_modyfikatorow,czy_z_parametrami; end; function p.TablicaTransportuSzablonowe(self) return self; end; local function ZbierzParametrSzablonu(tworzona_tabela, kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua) if((not czy_ramka_lua)or(not czy_ramka_lua[1])or((czy_ramka_lua[1])and(czy_ramka_lua[2])))then local czy_parser=czy_ramka_lua and czy_ramka_lua[3]; local kawalek_wywolania_element_nienazwany=mw.ustring.match(kawalek_wywolania,"^([^|"..((not czy_parser) and ("=") or "").."]-)$"); if(kawalek_wywolania_element_nienazwany)then ---- local __metatablica=getmetatable(tworzona_tabela); local len=__metatablica.__len(tworzona_tabela); ---- tworzona_tabela[len+1]={((trimuj_numerowane) and (mw.text.trim(kawalek_wywolania_element_nienazwany)) or kawalek_wywolania_element_nienazwany),true,}; return tworzona_tabela; else --- local kawalek_wywolania_klucz,kawalek_wywolania_wartosc=mw.ustring.match(kawalek_wywolania,"^%s*([^|=]-)%s*=%s*([^|]-)%s*$"); if((kawalek_wywolania_klucz)and(kawalek_wywolania_wartosc))then if(not mw.ustring.match(kawalek_wywolania_klucz,"^%s*[%-]?[1-9]%d*%s*$"))then tworzona_tabela[mw.text.trim(kawalek_wywolania_klucz)]=mw.text.trim(kawalek_wywolania_wartosc); return tworzona_tabela; else tworzona_tabela[tonumber(mw.text.trim(kawalek_wywolania_klucz))]=mw.text.trim(kawalek_wywolania_wartosc); return tworzona_tabela; end; else return nil; end; end; else tworzona_tabela[true]=kawalek_wywolania; czy_ramka_lua[2]=true; return tworzona_tabela; end; return nil; end; local function ParametrySzablonu(parametry_wywolania_szablonu,parametry_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua) local kawalek_wywolania,dalszy_kawalek_wywolania=mw.ustring.match(parametry_wywolania_szablonu,"^([^|]*)|(.*)$"); if(not kawalek_wywolania)then kawalek_wywolania=parametry_wywolania_szablonu; end; if(not dalszy_kawalek_wywolania)then ZbierzParametrSzablonu(parametry_szablonu,kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return parametry_szablonu; end; if(kawalek_wywolania)then ZbierzParametrSzablonu(parametry_szablonu,kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return ParametrySzablonu(dalszy_kawalek_wywolania,parametry_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); end; return nil; end; p["ParsowanieWywołaniaSzablonu"] = function(wywolanie_szablonu,trimuj_numerowane,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) local nazwa_parsowania=nil;local modyfikatory_parsowania=nil; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu)and(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow))then if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow; end; nazwa_parsowania=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu; modyfikatory_parsowania=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow; end; end; end; end; ---- local function NazwaSzablonu(nazwa_szablonu) if((not nazwa_parsowania)or(not modyfikatory_parsowania))then local nazwa_szablonu_ostateczna,tabela_modyfikatorow_ostateczna=p["UstalanieNazwyWywołania"](nazwa_szablonu,true,__FUNKCJA,__FUNKCJA2); nazwa_szablonu_ostateczna=p["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_szablonu_ostateczna); return nazwa_szablonu_ostateczna,tabela_modyfikatorow_ostateczna; else return nazwa_parsowania,modyfikatory_parsowania; end; end; local ParseryTagLua=function(tabela_modyfikatorow) local czy_lua; local czy_parser; if(tabela_modyfikatorow)then czy_lua=tabela_modyfikatorow["#invoke:"]; if(not czy_lua)then for name,value in pairs(tabela_modyfikatorow)do local hash=mw.ustring.sub(name,1,1); if((hash)and(hash=="#"))then czy_parser=true; break; end; end; end; end; local czy_ramka_lua={czy_lua,false,czy_parser,}; return czy_ramka_lua; end; local wywolanie_bez_parametrow=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{[^|]-}}$"); if(not wywolanie_bez_parametrow)then local nazwa_szablonu=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{%s*([^|]-)%s*|.-}}$"); if(nazwa_szablonu)then local nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=NazwaSzablonu(nazwa_szablonu); local parametry_wywolania_szablonu=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{[^|]*|(.*)}}$"); ---- local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local function __FUNKCJA() local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- local czy_ramka_lua=ParseryTagLua(tabela_modyfikatorow); ---- tabela_parametrow_szablonu=ParametrySzablonu(parametry_wywolania_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return tabela_parametrow_szablonu; end; local function __FUNKCJA2() return true; end; local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieObiektowe(__metatablica,{__FUNKCJA,__FUNKCJA2,}); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry=tabela_parametrow_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu=nazwa_parsowania or nazwa_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=modyfikatory_parsowania or tabela_modyfikatorow; end; ---- return tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow; else return nil;end; else local nazwa_szablonu=mw.text.trim(mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{%s*([^|]-)%s*}}$")); if(nazwa_szablonu)then local nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=NazwaSzablonu(nazwa_szablonu); ---- local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry=tabela_parametrow_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu=nazwa_parsowania or nazwa_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=modyfikatory_parsowania or tabela_modyfikatorow; end; ---- return tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow; else return nil;end; end; end; function p.WydzielanieOpcjiModyfikatorowych(pole_nazwy) local szablonowe_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local opis_elementowe_modyfikatory=szablonowe_dane_modul.opis_elementowe_modyfikatory; local modyfikatory=""; local tab_mod=nil; if(not mw.ustring.match(pole_nazwy,opis_elementowe_modyfikatory))then return pole_nazwy,modyfikatory,tab_mod; end; ---- local tab_modyfikatory=szablonowe_dane_modul.tablica_elementowe_modyfikatory_szablonowe; ---- local function PojedynczeModyfikatory(pole,modyfikatory) for modyfikator,tab in pairs(tab_modyfikatory) do local modyfikator_uzyty,pole_dalej=mw.ustring.match(pole,"^("..tab[1]..")(.*)$"); if(modyfikator_uzyty)then if(not tab_mod)then tab_mod={};end; if(not tab_mod[modyfikator])then tab_mod[modyfikator]=true; end; modyfikatory=modyfikatory..modyfikator_uzyty; return PojedynczeModyfikatory(pole_dalej,modyfikatory) end; end; return pole,modyfikatory; end; local pole_ostateczne,modyfikatory_ostateczne=PojedynczeModyfikatory(pole_nazwy,modyfikatory); return pole_ostateczne,modyfikatory_ostateczne,tab_mod; end; function p.CzyModyfikatoryInstrukcjiWarunkowychSzablonowych(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu) if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["#if:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifeq:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexpr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#expr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#iferror:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexist:"]) or(tabela_modyfikatorow["#switch:"]) )then return true; end; end; end; function p.CzyModyfikatoryCharakterystyczneSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu) if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["#property:"]) or(tabela_modyfikatorow["#tag:"]) )then return true; end; end; end; function p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_normalny_szablon; end; end; end; local function RozpatrywanieSzablonowe() if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["int:"]) or(tabela_modyfikatorow["#if:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifeq:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexpr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#expr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#iferror:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexist:"]) or(tabela_modyfikatorow["#tag:"]) or(tabela_modyfikatorow["#switch:"]) or(tabela_modyfikatorow["#property:"]) or(tabela_modyfikatorow["#invoke:"]) or(tabela_modyfikatorow["gender:"]) or (tabela_modyfikatorow["ucfirst:"]) or (tabela_modyfikatorow["lcfirst:"]) or (tabela_modyfikatorow["uc:"]) or (tabela_modyfikatorow["lc:"]) )then return false; end; end; if((nazwa_szablonu)and(nazwa_szablonu~=""))then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((parametry_modul.TypeBoolean(tabela_parametrow_szablonu))and(tabela_parametrow_szablonu))then return true;end; if(tabela_parametrow_szablonu)then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_nie_brak_parametrow=parametry_modul["CzySąElementyTablicy"](tabela_parametrow_szablonu); if(czy_nie_brak_parametrow)then return true;end; end; return ((not mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^[%s_]*#[%s_]*%a+[%s_]*:")) and true or false); end; return true; end; local wynik=RozpatrywanieSzablonowe(); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_normalny_szablon=wynik; end; return wynik; end; function p.KodowanieInaczejZakodowanychNormKodowychTekstuWedleJegoTablicyKodowania(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,nazwa_modulu_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,trimuj_numerowane) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul={}; local tab_grupa={}; local math_numer=0;local licznik_linkz=1; local function TempFuncGrupa(grupa,szablon) tab_grupa[grupa]=(tab_grupa[grupa] or 0)+1; ---- if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa]={};end; if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa][tab_grupa[grupa]])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa][tab_grupa[grupa]]=szablon;end; ---- return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("REF"..grupa,tab_grupa[grupa]); end; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_szablonowa, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if((nazwa_szablonu=="R")or(nazwa_szablonu=="RN")or(nazwa_szablonu=="RNota"))then local grupa=""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="U")or(nazwa_szablonu=="UN")or(nazwa_szablonu=="UNota"))then local grupa="uwaga"; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="O")or(nazwa_szablonu=="Ref"))then local grupa=tabela_parametrow_szablonu[3] or tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif(nazwa_szablonu=="Refn")then local grupa=tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); end; end ,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,trimuj_numerowane); if(wynik)then return wynik;end; elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,tab_atrybuty=p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(nazwa=="ref")then tab_atrybuty=tab_atrybuty or {}; local grupa=tab_atrybuty["group"]; grupa=parametry_modul.TypeString(grupa) and grupa or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); end; elseif(obiekt=="MATH")then math_numer=math_numer+1; ---- if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"]={};end; if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][math_numer])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][math_numer]=szablon;end; ---- return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("POSTMATH",math_numer); end; return nil,true;--szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="LINKZ")then local url=mw.ustring.match(szablon,"^%[(%S+)%s*%]$") if(url)then local szablon="["..url.." &#91;"..licznik_linkz.."&#93;]"; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=szablon; licznik_linkz=licznik_linkz+1; return szablon; end; end; return szablon; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul; end; function p.KodowanieNiezakodowanychNormKodowychReferencjiTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,trimuj_numerowane,__FUNKCJA_INNE_OPERACJE,__FUNKCJA_INNE_OPERACJE2,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE_RODZICA,__FUNKCJA_OPERACJE_CZY_W_LINKU,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_BAZOWE,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE) local parametry_modul=require("Module:parametry"); local tab_grupa={};local licznik_linkz=1; local tab_usun; local TempFuncGrupa=function(grupa,szablon) tab_grupa[grupa]=(tab_grupa[grupa] or 0)+1; ---- return "&#91;"..((grupa~="")and(grupa.." ") or "")..tab_grupa[grupa].."&#93;"; end; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="SZABLON")then return p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if((nazwa_szablonu=="R")or(nazwa_szablonu=="RN")or(nazwa_szablonu=="RNota"))then local grupa=""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="U")or(nazwa_szablonu=="UN")or(nazwa_szablonu=="UNota"))then local grupa="uwaga"; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="O")or(nazwa_szablonu=="Ref"))then local grupa=tabela_parametrow_szablonu[3] or tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif(nazwa_szablonu=="Refn")then local grupa=tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,trimuj_numerowane); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,tab_atrybuty=p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(nazwa=="ref")then tab_atrybuty=tab_atrybuty or {}; local grupa=tab_atrybuty["group"]; grupa=parametry_modul.TypeString(grupa) and grupa or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,nazwa,zawartosc,tab_atrybuty,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,nil,nil,nil,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; return nil,true;--szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="LINKZ")then local url=mw.ustring.match(szablon,"^%[(%S+)%s*%]$") if(url)then local szablon="["..url.." &#91;"..licznik_linkz.."&#93;]"; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=szablon; licznik_linkz=licznik_linkz+1; return szablon; end; end; if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE2)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE2(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; return szablon; end,nil,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE_RODZICA,__FUNKCJA_OPERACJE_CZY_W_LINKU,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_BAZOWE,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; function p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkuProjektowego(linkw) local adres,nazwa=mw.ustring.match(linkw,"^%[%[([^|]-)|(.-)%]%]$") if((adres)and(nazwa))then return adres,nazwa;end; local adres=mw.ustring.match(linkw,"^%[%[([^|]-)%]%]$"); if(adres)then return adres;end; return nil; end; function p.WalidacjaLinkuProjektowego(linkw) local adres,nazwa=p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkuProjektowego(linkw); if(not adres)then return nil;end; local spacje_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[%s_]*$"); if(spacje_adresu)then return nil;end; local adres_w_linii=mw.ustring.match(adres,"\n"); if(adres_w_linii)then return nil;end; local walidacja_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[^|]-[%[%]]+[^|]-$"); if(walidacja_adresu)then return nil;end; if(not nazwa)then return adres,nazwa;end; local walidacja_nazwy=mw.ustring.match(nazwa,"%[%[") or mw.ustring.match(nazwa,"%]%]"); if(walidacja_nazwy)then return nil;end; return adres,nazwa; end; function p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkNieProjektowego(linkz) local adres,nazwa=mw.ustring.match(linkz,"^%[(%S+)%s+(.-)%]$") if((adres)and(nazwa))then return adres,nazwa;end; local adres=mw.ustring.match(linkz,"^%[(.-)%]"); return adres; end; function p.WalidacjaLinkuNieProjektowego(linkz) local adres,nazwa=p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkNieProjektowego(linkz); if(not adres)then return nil;end; local spacje_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[%s_]*$"); if(spacje_adresu)then return nil;end; local adres_w_linii=mw.ustring.match(adres,"\n"); if(adres_w_linii)then return nil;end; local walidacja_adresu=mw.ustring.match(adres,"^%S*[%[%]]%S*$"); if(walidacja_adresu)then return nil;end; if(not nazwa)then return adres,nazwa;end; local nazwa_w_linii=mw.ustring.match(nazwa,"\n"); if(nazwa_w_linii)then return nil;end; local walidacja_nazwy=mw.ustring.match(nazwa,"%]"); if(walidacja_nazwy)then return nil;end; return adres,nazwa; end; function p.OdkodowanieZakodowanychNormKodowychNieschematycznychRzeczy(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local tablica_kodow={};local tak=false; local iterator=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); local szablonowe_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki=szablonowe_dane_modul.tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki; for szablon,obiekt,kod in iterator do if(tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki[obiekt])then local iter=mw.ustring.gmatch(szablon,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); for obiekt,kod in iter do if(not tablica_kodow[obiekt])then tablica_kodow[obiekt]={};end; tablica_kodow[obiekt][kod]=true; tak=true; end; end; end; --if(not tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu;end; local strony_modul=require("Module:Strony"); local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); --local frame=mw.getCurrentFrame(); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon2,obiekt2,kod2) if((tablica_kodow)and(tablica_kodow[obiekt2])and(tablica_kodow[obiekt2][kod2]))then if(mw.ustring.gmatch(szablon2,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()))then szablon2=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); return szablon2; end; elseif(obiekt2=="LINKW")then if(mw.ustring.match(szablon2,"^%[%[[%s:_]*%]%]$"))then return szablon2;end; local szablon_rozwiniete=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(not specjalne_modul["CzyPlik"](szablon_rozwiniete))then --szablon_rozwiniete=frame:preprocess(szablon_rozwiniete); local czy_nie_linkw=not p.WalidacjaLinkuProjektowego(szablon_rozwiniete); if(czy_nie_linkw)then return szablon2; end; end; elseif(obiekt2=="LINKZ")then if(mw.ustring.match(szablon2,"^%[%s*%]$"))then return szablon2;end; local szablon_rozwiniete=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); --szablon_rozwiniete=frame:preprocess(szablon_rozwiniete); local adres,nazwa=p.WalidacjaLinkuNieProjektowego(szablon_rozwiniete); if(adres)then local czy_linkz=strony_modul.SprawdzanieURL(adres); if(not czy_linkz)then return szablon2;end; else return szablon2; end; end; return nil,true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; p["PokazanieWywołaniaSzablonu"]=function(szablon, args) local result = {}; table.insert(result, mw.text.nowiki("{{")); if mw.isSubsting() then table.insert(result, "subst:"); end; table.insert(result, szablon); if args then for k, v in pairs(args) do if (type(k)~="number")then table.insert(result, "|"); table.insert(result, tostring(k)); table.insert(result, "="); table.insert(result, mw.text.nowiki(v)); else table.insert(result, "|"); table.insert(result, mw.text.nowiki(v)); end; end; end; table.insert(result, mw.text.nowiki("}}")); return table.concat(result); end; function p.KodSymbolicznySzablonu(nazwa,args,modyfikatory,jako_szablony) local args=args or {}; local modyfikatory=modyfikatory or {}; ---- local __metatablica=getmetatable(args); local result={}; table.insert(result,((jako_szablony) and "{{((}}" or "{{")); for name,_ in pairs(modyfikatory)do table.insert(result,name); end; table.insert(result,nazwa); if(not __metatablica)then for name,value in pairs(args)do table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); value=mw.ustring.gsub(value,"[=]",((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")); table.insert(result,name..((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")..value); end; else local tabelka_metatable=__metatablica.PobierzGeneralnaTablica(args); local tab_inna_tabelka={}; local funkcja; local juz_jest=nil; for name,value in pairs(tabelka_metatable)do if((juz_jest)or(name~=true))then tab_inna_tabelka[value[2]]={name,value[1],value[3],}; else funkcja=value; juz_jest=true; end; end; if(funkcja)then table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); if(jako_szablony)then funkcja=mw.ustring.gsub(funkcja,"=",function(znak) return "{{=}}"; end); end; table.insert(result,funkcja); end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local __next=parametry_modul.IteratorKluczeTabeliAlfabetycznieSortujDoPrzodu(tab_inna_tabelka,true); for _,value in __next,tab_inna_tabelka,nil do table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); local value_2; if(jako_szablony)then value_2=mw.ustring.gsub(value[2],"[=]","{{=}}");else value_2=value[2];end; table.insert(result,((not value[3])and(value[1]..((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")) or "")..value_2); end; end; table.insert(result,((jako_szablony) and "{{))}}" or "}}")); return table.concat(result,""); end; function p.KodSymbolicznySzablonowejRamkiLuaInstrukcjiWarunkowejLubTagu(szablon) szablon=mw.ustring.gsub(szablon,"^{{(.-)}}$",function(zawartosc) zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"[|=]",function(znak) if(znak=="|")then return "{{!}}";else return "{{=}}";end; end); return "{((}}"..zawartosc.."{{))}}"; end); return szablon; end; function p.NazwaSzablonu(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("nazwa"); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa); local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np") if(nazwa_przestrzeni==nazwy_np_modul.Template)then return nazwy_modul["NAZWASTRONY"](nazwa); elseif(nazwa_przestrzeni==nazwy_np_modul.Main)then return ":"..nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa); else return nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa); end; end; function p.ZnacznikoweTrueFalseSzeregZnakowy(yes) local yes_male=mw.ustring.lower(yes); return ((yes_male=="true") and true or ((yes_male~="false")and yes or false)); end; local function WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,liczba_obiektu) local liczba_obiektu=liczba_obiektu or 100; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika; end; end; end local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul={}; znacznik,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=szablonowe_potrzebne_modul.KodowanieAtrybutoweZnacznikowe(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; local html_modul=require("Module:Html"); znacznik=html_modul.TekstoweZnakiTypowoTagoweParametroweZamienianiaNaKodHtml(znacznik); znacznik=mw.ustring.gsub(znacznik,"(</[%a%d]+)(%s+[^<>]*)(>)%s*$","%1%3"); local nazwa,zawartosc=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s*>(.-)</(%1)%s*>%s*$"); if((nazwa)and(zawartosc))then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=zawartosc; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return mw.ustring.lower(nazwa),zawartosc,nil; end; ---- local nazwa=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s*/?%s*>%s*$"); if(nazwa)then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return mw.ustring.lower(nazwa),nil,nil; end; ---- local nazwa,atrybuty,zawartosc=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s+([^<>]-)%s*>(.-)</([%a%d]+)%s*>%s*$"); ---- if((not nazwa)or(not atrybuty)or(not zawartosc))then nazwa,atrybuty=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s+([^<>]-)%s*/?%s*>%s*$"); if((not nazwa)or(not atrybuty))then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return nil,nil,nil; end; end; ----- local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local function __FUNKCJA() local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tab_atrybuty={}; setmetatable(tab_atrybuty,__metatablica); ---- local tab_atrybuty=szablonowe_potrzebne_modul.AtrybutyZnacznika(atrybuty,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tab_atrybuty); return tab_atrybuty; end; local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieObiektowe(__metatablica,{__FUNKCJA,}); local tab_atrybuty={}; setmetatable(tab_atrybuty,__metatablica); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=zawartosc; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=tab_atrybuty; end; return mw.ustring.lower(nazwa),zawartosc,tab_atrybuty; end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,100); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguMath(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,101); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguPre(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,102); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguSyntaxHighLight(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,103); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguNowiki(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,104); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguGallery(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,105); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguImageMap(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,106); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguInputBox(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,107); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguQuiz(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,108); end; function p.KodSymbolicznyTagu(nazwa,zawartosc,atrybuty,jako_szablony) local tab_str={}; table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Mniejszy}}" or "<"); table.insert(tab_str,nazwa); if(atrybuty)then local __metatablica=getmetatable(atrybuty); if(not __metatablica)then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); for name,value in pairs(atrybuty)do table.insert(tab_str," "); table.insert(tab_str,name); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{=}}","="); if(parametry_modul.TypeString(value))then table.insert(tab_str,"\""..value.."\""); else table.insert(tab_str,tostring(value)); end; end; else local tabelka_metatable=__metatablica.PobierzGeneralnaTablica(atrybuty); local tab_inna_tabelka={}; for name,value in pairs(tabelka_metatable)do tab_inna_tabelka[value[2]]={name,value[1],}; end; for __name,tab_value in ipairs(tab_inna_tabelka)do table.insert(tab_str," "); table.insert(tab_str,tab_value[1]); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{=}}","="); if(parametry_modul.TypeString(tab_value[2]))then table.insert(tab_str,"\""..tab_value[2].."\""); else table.insert(tab_str,tostring(tab_value[2])); end; end; end; end; table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Większy}}" or ">"); table.insert(tab_str,zawartosc or ""); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Mniejszy}}" or "<"); table.insert(tab_str,"/"); table.insert(tab_str,name); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Większy}}" or ">"); return table.concat(tab_str,""); end; function p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA5,__FUNKCJA6,__FUNKCJA7,__FUNKCJA8,__FUNKCJA9,__FUNKCJA_domyslna,__FUNKCJA_begin,__FUNKCJA_parsowania,__FUNKCJA_parametry,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,trimuj_numerowane) ---- local wynik=__FUNKCJA_begin and __FUNKCJA_begin(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa) or nil; if(wynik)then return nil;end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; local tab_pop=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu; --and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry; ---- local tabela_parametrow_szablonu;local nazwa_szablonu;local tabela_modyfikatorow; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not __FUNKCJA_parsowania) or ((__FUNKCJA_parsowania)and(__FUNKCJA_parsowania(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa))))then tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=p["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,trimuj_numerowane,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); else nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=p["NazwaSzablonuWywołania"](szablon,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); tabela_parametrow_szablonu=(not __FUNKCJA_parametry) and true or __FUNKCJA_parametry(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa); end; if(p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod))then ---- if(__FUNKCJA7 and __FUNKCJA7(nazwa_szablonu) or ((not __FUNKCJA7) and true or false))then if(__FUNKCJA1 or __FUNKCJA_domyslna)then local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); if(not tab_pop)then if((kod)and(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[-1]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.adres_strony )then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]=nil; end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony )then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]=nil; end; end; end; nazwa_szablonu=pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa and techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]({[1]=nazwa_szablonu,[2]=pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,},tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) or nazwa_szablonu; nazwa_szablonu=p["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(__FUNKCJA1)then return __FUNKCJA1(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); else return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; else if(__FUNKCJA8)then return __FUNKCJA8(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; elseif(p.CzyModyfikatoryInstrukcjiWarunkowychSzablonowych(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu))then if(__FUNKCJA2)then return __FUNKCJA2(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; elseif(tabela_modyfikatorow)then if(tabela_modyfikatorow["#invoke:"])then if(__FUNKCJA3)then return __FUNKCJA3(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; elseif(tabela_modyfikatorow["#tag:"])then if(__FUNKCJA4)then nazwa_szablonu=mw.getContentLanguage():lc(nazwa_szablonu); return __FUNKCJA4(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; else local czy_sa_takie_funkcje=(__FUNKCJA5 and __FUNKCJA6) and true or nil; if(czy_sa_takie_funkcje)then local function CzyTenSzablonToParser(tabela_modyfikatorow) for name,value in pairs(tabela_modyfikatorow)do if(mw.ustring.match(name,"^#%a+:$"))then return true; end; end; return false; end; if(CzyTenSzablonToParser(tabela_modyfikatorow))then if(__FUNKCJA5)then return __FUNKCJA5(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; else if(__FUNKCJA6)then return __FUNKCJA6(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; else if(__FUNKCJA9)then return __FUNKCJA9(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; end; p["SprawdzanieCzyWystępujeDanySzablonWTekście"]=function(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local tekst=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("tekst"); local pattern=PobierzParametr(2) or PobierzParametr("wzór"); local szablon=PobierzParametr(3) or PobierzParametr("szablon"); local czy_z_parametrami=PobierzParametr(4) or PobierzParametr("z parametrami"); ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); czy_z_parametrami=((parametry_modul.TypeTable(czy_z_parametrami)) and czy_z_parametrami or (((not parametry_modul.TypeString(czy_z_parametrami)) and(not parametry_modul.TypeNil(czy_z_parametrami)) and(not parametry_modul.TypeBoolean(czy_z_parametrami))) and czy_z_parametrami or (parametry_modul.CzyTak(czy_z_parametrami) and true or false) ) ); ---- szablon=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=szablon,[2]="tak",}; szablon=mw.getContentLanguage():ucfirst(szablon); ---- local iter=mw.ustring.gmatch(tekst,pattern); for nazwa_szablonowa in iter do local czy_szablon,tabela_modyfikatorow=p["UstalanieNazwyWywołania"](nazwa_szablonowa,true); local nazwa_szablonu=p["SzablonowaNazwaStrony"](czy_szablon); if(p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,czy_z_parametrami))then if(nazwa_szablonu==szablon)then return "tak"; end; end; end; return nil; end; return p; ne2lbl2rlw5mjo9wiqgm6fnbue3bs2e 558610 558528 2026-10-04T21:03:33Z Persino 2851 558610 Scribunto text/plain local p={}; --zamykanie local znak_127=mw.loadData("Module:Html/dane").znak_127; function p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."'\"`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`\"'"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduKodowaniaTekstu(kod,numer) local wikikodnumer=znak_127.."'\"`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`\"'"..znak_127; return wikikodnumer; end; function p.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."&#0*39;&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;&#0*39;"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoEncodeWikiTekstu(kod,numer) local wzor=znak_127.."&#039;&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;&#039;"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaWzoruZakodowanegoWikiTekstu(co,numer_szablonu) local wzor=znak_127.."'&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;'"..znak_127; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoWikiTekstu(kod,numer) local wikikodnumer=znak_127.."'&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;'"..znak_127; return wikikodnumer; end; function p.NormaWzoruZakodowanegoHtmlTekstu(co,numer_szablonu) local wzor="%%7F'&quot;`UNIQ%-%-"..(co or "([%a%d]+)").."%-"..(numer_szablonu or "(%d+)").."%-QINU`&quot;'%%7F"; return wzor; end; function p.NormaKoduZakodowanegoHtmlTekstu(kod,numer) local wikikodnumer="%7F'&quot;`UNIQ--"..kod.."-"..numer.."-QINU`&quot;'%7F"; return wikikodnumer; end; function p.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_poczatek,__FUNKCJA_koniec,__FUNCTION_niedokonczone,__FUNCTION_INCLUDE,__FUNKCJA_PARAMETRY) local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); return szablonowe_potrzebne_modul.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_poczatek,__FUNKCJA_koniec,__FUNCTION_niedokonczone,__FUNCTION_INCLUDE,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; function p.KodujWzoryMatematyczneTekstu(self,tekst_artykulu) local licznik=0; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul={}; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul["MATH"]={}; tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"(<[Mm][Aa][Tt][Hh]>(.-)</[Mm][Aa][Tt][Hh]>)",function(szablon) licznik=licznik+1; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul["MATH"][licznik]=szablon; return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("MATH",licznik); end) return tekst_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local __max=0; for numer,_ in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])do if(parametry_modul.TypeNumber(numer))then __max=math.max(__max,numer); end; end; return __max+1; end; function p.NumerSzablonuKodowaniaTekstu(self,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=self.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[nazwa_modulu];end; local numer_szablonu={}; local szablonowe_dane_modul=require("Module:Szablonowe/dane"); for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_szablonowe_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_atrybutowe_znacznikowe_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=p.NumerSzablonuObiektu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; return numer_szablonu; end; function p.LiczbyParametroweInformacjiBazyKodowaniaWikikodu() local stronicowyparser_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji=stronicowyparser_dane_modul.tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji; return tablica_parametrowa_kodowa_szablonowa_stosowanych_funkcji; end; function p.UsuwanieStarychZebranychInformacjiBazyTablicyKodowaniaWikikodu(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_usun) local tab_analiza=p.LiczbyParametroweInformacjiBazyKodowaniaWikikodu(); for obiekt,tab_obiekt in pairs(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)do for kod,wartosc in pairs(tab_obiekt)do local tablica=getmetatable(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]).tablica(); local tab_wartosc=tablica[kod]; if(tab_wartosc)then if((not tab_usun[obiekt])or(not tab_usun[obiekt][kod]))then if(tab_wartosc[2])then for obiekt_tab,tab_kod in pairs(tab_analiza)do if(obiekt_tab==obiekt)then for _,liczba in ipairs(tab_kod)do local tab_liczba=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba]; if(tab_liczba)then tab_liczba[kod]=nil; tab_wartosc[2]=false; end; end; end; end; end; else tablica[kod]=nil; end; end; end; end; end; function p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4) tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or p.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu); local czy_jedno=false; ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); ---- local function IteratorMain(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,poziom_iteracji,obiekt,kod,czy_stare) local iter=true;local iter_fun; if((tekst_rozwiniety_calego_artykulu=="")or(czy_stare))then iter_fun=function() local iter=function() return nil; end; return iter; end; else iter_fun=function() if((not obiekt)and(not kod))then local iter=mw.ustring.gmatch(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); return iter; else local wynik=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,obiekt,kod,poziom_iteracji) or nil; local szablon=wynik or (((obiekt)and(kod)) and (tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]))and tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod] or tekst_rozwiniety_calego_artykulu; if((not szablon)or(szablon==""))then local iter=function() return nil; end; return iter; else local iter=mw.ustring.gmatch(szablon,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); return iter; end; end; end; end; local tak=nil; local iter2=nil; poziom_iteracji=poziom_iteracji or 0; local function Iterator() local function IterMain() local obiekt,kod; ---- repeat if((parametry_modul.TypeBoolean(iter))and(iter==true))then iter=iter_fun();end; obiekt,kod=iter(); if((not obiekt)or(not kod))then return nil;end; kod=tonumber(kod); local tak_repeat=false; if((not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]))then tak_repeat=true; end; until (not tak_repeat); ---- local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; szablon=(not __FUNKCJA3) and szablon or (__FUNKCJA3(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or szablon); if(__FUNKCJA2)then repeat local czy_dalej=nil; local jest_naglowek=__FUNKCJA2(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(not jest_naglowek)then --if(poziom_iteracji>0)then -- return nil; --else repeat obiekt,kod=iter(); if((not obiekt)or(not kod))then return nil;end; kod=tonumber(kod); local tak_repeat=false; if((not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt])or(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]))then tak_repeat=true; end; until (not tak_repeat); ---- szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; czy_dalej=true; --end; end; until (not czy_dalej); end; ---- tak=true; if(__FUNKCJA)then local wynik,tekst=__FUNKCJA(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu); if(not wynik)then czy_jedno=true; return nil; else szablon=wynik; if(tekst)then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=tekst; end; end; end; iter2=IteratorMain(szablon,poziom_iteracji+1,obiekt,kod,(obiekt=="STARE")); return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; end; if(not tak)then local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=IterMain(); if(czy_jedno)then return nil;end; return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; else local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=iter2(); if(czy_jedno)then return nil;end; if((not szablon)or(not kod)or(not obiekt))then tak=nil; local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=IterMain(); if(czy_jedno)then return nil;end; return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; else return szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji; end; end; end; return Iterator; end; return IteratorMain(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,0,nil,nil,false),tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,__funkcja6,__funkcja7,__funkcja8,__funkcja9,__funkcja10) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local tab_usun={}; local szablon2=nil; local iterator,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,function(tekst_szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji) local __SZABLON=function(obiekt,kod)return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod];end; local tak=((not szablon2)or(not tab_usun)or(not tab_usun[obiekt])or(not tab_usun[obiekt][kod])); local szablon=__funkcja6 and __funkcja6(tekst_szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tak,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or (tak and __SZABLON(obiekt,kod) or szablon2); return szablon; end); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_dane=nil; for szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji in iterator do if((tab_dane)and(poziom_iteracji==0))then tab_dane=nil;end; szablon2=nil;local wynik; if(__funkcja1)then local analiza; szablon2,wynik,analiza=__funkcja1(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if((analiza)and(__funkcja7))then local czy_szablon_funkcyjny=parametry_modul.TypeFunction(szablon2); if(czy_szablon_funkcyjny)then szablon2=szablon2();end; ---- local funkcja_temp;local tak_specjalne=false; if(tab_dane)then ---- local tak=true; local szablon_temp;local obiekt_temp;local kod_temp;local poziom_iteracji_temp; for i=#tab_dane,1,-1 do local tab_pos=tab_dane[i]; local poziom_iteracji_temp=tab_pos[4]; if(poziom_iteracji_temp<poziom_iteracji)then szablon_temp=tab_pos[1];obiekt_temp=tab_pos[2];kod_temp=tab_pos[3]; tak=tak and ((obiekt_temp and kod_temp)and(tab_usun[obiekt_temp]) and (tab_usun[obiekt_temp][kod_temp])); if(not tak)then local Typ=function() return __funkcja7(szablon_temp,obiekt_temp,kod_temp,poziom_iteracji_temp,szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; if(not funkcja_temp)then funkcja_temp=Typ;end; local czy_funkcja_jako_funkcja8=parametry_modul.TypeFunction(__funkcja8); if(czy_funkcja_jako_funkcja8 and __funkcja8(szablon_temp,obiekt_temp,kod_temp,poziom_iteracji_temp,szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) )then tak_specjalne=true; end; break; end; end; end; end; if(tak_specjalne)then wynik=true;end; if(funkcja_temp)then funkcja_temp();end; else local czy_szablon_funkcyjny=parametry_modul.TypeFunction(szablon2); if(czy_szablon_funkcyjny)then szablon2=szablon2();end; end; end; if(not wynik)then szablon=techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](szablon2 or szablon); if((not tab_dane)or(#tab_dane==0))then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; else local tak=true;local tab_wolne; for i=#tab_dane,1,-1 do local tab_pos=tab_dane[i]; local poziom_iteracji_temp=tab_pos[4]; if(poziom_iteracji_temp<poziom_iteracji)then local obiekt_temp=tab_pos[2];local kod_temp=tab_pos[3]; tak=tak and ((obiekt_temp and kod_temp)and((tab_usun[obiekt_temp]) and (tab_usun[obiekt_temp][kod_temp]))); if(not tak)then tab_wolne=tab_pos; break; end; end; end; if(tak)then tekst_rozwiniety_calego_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; else local obiekt_temp=tab_wolne[2];local kod_temp=tab_wolne[3]; local tekst=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_temp][kod_temp]; tekst=mw.ustring.gsub(tekst,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),szablon); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_temp][kod_temp]=tekst; if(not tab_usun[obiekt])then tab_usun[obiekt]={};end;tab_usun[obiekt][kod]=true; end; end; -- parametry kodow local czy_usun_kod=__funkcja10 and __funkcja10(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or nil; -- bazowanie kodow local tak=__funkcja9 and __funkcja9(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tab_usun) or nil; if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; -- funkcje koncowe local tak=__funkcja2 and __funkcja2(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or nil; if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; end; if(not tab_dane)then tab_dane={};end; if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji,-1 do table.remove(tab_dane); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji)then table.remove(tab_dane); end; table.insert(tab_dane,{szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji}); if(__funkcja2)then local tak=__funkcja2(szablon2 or szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun;end; end; poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji; end; return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; function p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5,__funkcja6) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local iterator,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_poziom_obiekt={}; for szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji in iterator do local function ZamienianieKodowe(szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica) local kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=__funkcja(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,((poziom_iteracji>0)and (szablon_rodzica_zmodyfikowany or szablon_rodzica) or tekst_rozwiniety_calego_artykulu),obiekt_rodzica_zmodyfikowany or obiekt_rodzica,kod_rodzica_zmodyfikowany or kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; local function ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka() if(dziecko_zmodyfikowane)then if((obiekt_zmodyfikowany)or(kod_zmodyfikowany))then if(((obiekt_zmodyfikowany)and(obiekt_zmodyfikowany~=obiekt))or((kod_zmodyfikowany)and(kod_zmodyfikowany~=kod)))then local __obiekt_zmodyfikowany=obiekt_zmodyfikowany or obiekt; local __kod_zmodyfikowany=kod_zmodyfikowany or kod; if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany])then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany]={}; end; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_zmodyfikowany][__kod_zmodyfikowany]=dziecko_zmodyfikowane; local fun1=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,__obiekt_zmodyfikowany,__kod_zmodyfikowany,false) or nil; if(not __tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=nil; local fun2=__funkcja6 and __funkcja6(nil,obiekt,kod,false) or nil; end; else tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=dziecko_zmodyfikowane; local fun3=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,obiekt,kod,false) or nil; end; else tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=dziecko_zmodyfikowane; local fun4=__funkcja6 and __funkcja6(dziecko_zmodyfikowane,obiekt,kod,false) or nil; end; end; end; local function ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany) local __obiekt_rodzica_zmodyfikowany=obiekt_rodzica_zmodyfikowany or obiekt_rodzica; local __kod_rodzica_zmodyfikowany=kod_rodzica_zmodyfikowany or kod_rodzica; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[__obiekt_rodzica_zmodyfikowany][__kod_rodzica_zmodyfikowany]=szablon_rodzica_zmodyfikowany; local fun7=__funkcja6 and __funkcja6(szablon_rodzica_zmodyfikowany,__obiekt_rodzica_zmodyfikowany,__kod_rodzica_zmodyfikowany,true) or nil; if(not __tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then if((obiekt_rodzica_zmodyfikowany)or(kod_rodzica_zmodyfikowany))then if( ((obiekt_rodzica_zmodyfikowany)and(obiekt_rodzica_zmodyfikowany~=obiekt_rodzica)) or((kod_rodzica_zmodyfikowany)and(kod_rodzica_zmodyfikowany~=kod_rodzica)) )then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_rodzica][kod_rodzica]=nil; local fun5=__funkcja6 and __funkcja6(szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,true) or nil; end; end; end; end; if(kod_kodowy_wynik)then if(poziom_iteracji>0)then if(not szablon_rodzica_zmodyfikowany)then if(not parametry_modul.TypeBoolean(kod_kodowy_wynik))then local ile; local szablon_rodzica=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt_rodzica][kod_rodzica]; szablon_rodzica,ile=mw.ustring.gsub(szablon_rodzica,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](kod_kodowy_wynik)); if(ile>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica); ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; end; else ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany); ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; else if(not parametry_modul.TypeBoolean(kod_kodowy_wynik))then local ile; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,ile=mw.ustring.gsub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod),techniczne_modul["TekstBezOdwołańDoParametrówWeWzorze"](kod_kodowy_wynik)); if(ile>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; end; end; elseif(szablon_rodzica_zmodyfikowany)then if(poziom_iteracji>0)then ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaRodzica(szablon_rodzica_zmodyfikowany); else tekst_rozwiniety_calego_artykulu=szablon_rodzica_zmodyfikowany; end; ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); else ModyfikacjaBazyKodowoSzablonowaDziecka(); end; return kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; if(poziom_iteracji==0)then ZamienianieKodowe(nil,nil,nil,nil,nil); else for i=#tab_poziom_obiekt,1,-1 do local tab=tab_poziom_obiekt[i]; local poziom_iteracji_rodzica=tab[4]; if(poziom_iteracji_rodzica<poziom_iteracji)then local szablon_rodzica=tab[1]; local obiekt_rodzica=tab[2]; local kod_rodzica=tab[3]; local szablon_rodzica_zmodyfikowany=tab[5]; local obiekt_rodzica_zmodyfikowany=tab[6]; local kod_rodzica_zmodyfikowany=tab[7]; local kod_kodowy_wynik,dziecko_zmodyfikowane,obiekt_zmodyfikowany,kod_zmodyfikowany,szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,__tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=ZamienianieKodowe(szablon_rodzica_zmodyfikowany,obiekt_rodzica_zmodyfikowany,kod_rodzica_zmodyfikowany,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica); if(szablon_rodzica_zmodyfikowany)then tab[5]=szablon_rodzica_zmodyfikowany; tab[6]=obiekt_rodzica_zmodyfikowany; tab[7]=kod_rodzica_zmodyfikowany; end; break; end; end; end; if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji,-1 do table.remove(tab_poziom_obiekt); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji)then table.remove(tab_poziom_obiekt); end; table.insert(tab_poziom_obiekt,{szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,}); poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji; end; return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,__funkcja4,__funkcja5) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; local tab_sam; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(poziom_iteracji==0)then tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tab_sam=nil; else if((tab_sam)and(tab_sam[obiekt])and(tab_sam[obiekt][kod]))then return false;end; if((tablica_szablonow_z_naglowkami)and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt])and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt][kod]))then return true;end; end; ---- local wynik,sam_obiekt,sam_kod=__funkcja(szablon,obiekt,kod,0,true,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(wynik)then if(sam_obiekt and sam_kod)then return false; end; end local czy_nie_wyzej_sam=false; local czy_nie_wyzej_poziom=nil; local iterator=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,szablon,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod) if((czy_nie_wyzej_sam)or(czy_nie_wyzej_poziom))then return ""; end; end); local poziom_iteracji_poprz=-1; local tab_poziom_obiekt={} if(poziom_iteracji==0)then table.insert(tab_poziom_obiekt,{obiekt,kod});end; for szablon2,obiekt2,kod2,poziom_iteracji2 in iterator do local wynik,sam_obiekt,sam_kod,czy_inne_ustawienia=__funkcja(szablon2,obiekt2,kod2,poziom_iteracji2+1,false,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then if(poziom_iteracji_poprz>poziom_iteracji2)then for i=poziom_iteracji_poprz,poziom_iteracji2,-1 do table.remove(tab_poziom_obiekt); end; --elseif(poziom_iteracji_poprz<poziom_iteracji2)then elseif(poziom_iteracji_poprz==poziom_iteracji2)then table.remove(tab_poziom_obiekt); end; table.insert(tab_poziom_obiekt,{obiekt2,kod2}); poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji2; czy_nie_wyzej_sam=false; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=false; end; else for _,tab in ipairs(tab_poziom_obiekt)do if(not tablica_szablonow_z_naglowkami)then tablica_szablonow_z_naglowkami={};end; if(not tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]])then tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]]={};end; tablica_szablonow_z_naglowkami[tab[1]][tab[2]]=true; end; if(sam_obiekt and sam_kod)then if(not tab_sam)then tab_sam={};end; if(not tab_sam[sam_obiekt])then tab_sam[sam_obiekt]={};end; tab_sam[sam_obiekt][sam_kod]=true; czy_nie_wyzej_sam=true; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=false; end; else if(not tablica_szablonow_z_naglowkami)then tablica_szablonow_z_naglowkami={};end; if(not tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2])then tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2]={};end; tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt2][kod2]=true; czy_nie_wyzej_sam=false; if(czy_inne_ustawienia)then czy_nie_wyzej_poziom=true; end; end; ---poziom_iteracji_poprz=poziom_iteracji2; end; end; if(wynik)then return true;end; if((tab_sam)and(tab_sam[obiekt])and(tab_sam[obiekt][kod]))then return false;end; if((tablica_szablonow_z_naglowkami)and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt])and(tablica_szablonow_z_naglowkami[obiekt][kod]))then return true;end; return nil; end,__funkcja4,__funkcja5); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstuBezPewnychSzablonowychNormZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local wynik=__funkcja(szablon,obiekt,kod,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then return nil;end; return true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstuBezPewnychSzablonowychNormZgodnieZJegoSzablonowymiElementami(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__funkcja,__funkcja1,__funkcja2,__funkcja3) local tablica_szablonow_z_naglowkami=nil; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul, function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,_,obiekt_rodzica,kod_rodzica,szablon_rodzica,_,_,poziom_iteracji_rodzica) return szablon; end, funkcja1,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local wynik=__funkcja(szablon,obiekt,kod,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not wynik)then return nil;end; return true; end,__funkcja2,funkcja3); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; local function FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local pelna_nazwa_szablonu=techniczne_modul.PrzekierowanieDoStrony(pelna_nazwa_szablonu) or pelna_nazwa_szablonu; local stronicowyparser_tekst_modul=require("Module:StronicowyParser/Tekst"); local tekst=stronicowyparser_tekst_modul.SpreparowanyWikikodStrony(nil,pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,true,true,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst; end; local function FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,czy_niekodowane,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) if(obiekt=="SZABLON")then return p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if((not tabela_parametrow_szablonu)or(not nazwa_szablonu))then return;end; if(__FUNKCJA)then local wynik=__FUNKCJA(nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return;end; end; local pelna_nazwa_szablonu=p["PełnaNazwaStronyNazwySzablonu"](nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(__FUNKCJA2)then local wynik=__FUNKCJA2(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return; end; end; if((czy_niekodowane)and(__FUNKCJA3))then local wynik=__FUNKCJA3(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(wynik)then return wynik; end; end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_nie_brak_parametrow=parametry_modul["CzySąElementyTablicy"](tabela_parametrow_szablonu); local tekst; if((not czy_niekodowane)and(__FUNKCJA3))then tekst=__FUNKCJA3(pelna_nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tabela_modyfikatorow); if(not tekst)then tekst=FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; else tekst=FunkcjaPobieraniaTekstuSzablonuStrony(pelna_nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end; if(not tekst)then return;end; if((czy_niekodowane)and(not czy_nie_brak_parametrow))then return tekst;end; local html_modul=require("Module:Html"); tekst=p:KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(tekst,pelna_nazwa_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) return; end, function(szablon,obiekt,kod,tekst) if(czy_nie_brak_parametrow)then if(obiekt=="ZMIENNA")then local zmienna;local wartosc_domyslna; zmienna=mw.ustring.match(szablon,"^{{{([^{}|]*)}}}$"); if(not zmienna)then zmienna,wartosc_domyslna=mw.ustring.match(szablon,"^{{{([^{}|]*)|([^{}]*)}}}$"); end; zmienna=mw.text.trim(zmienna); local wartosc_zmiennej=tabela_parametrow_szablonu[tonumber(zmienna) or zmienna]; if(not wartosc_zmiennej)then if(wartosc_domyslna)then return wartosc_domyslna;end; local szablon=html_modul["KodyHTMLZnakówWikiCiągu"](szablon); return szablon; end; return wartosc_zmiennej; end; end; end, function() return numer_szablonu; end,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst; end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,function(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) return __PRZEDFUNKCJA(nazwa_szablonu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) end, function(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,rezultat) return __FUNKCJA0 and __FUNKCJA0(nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or nazwa_szablonu; end,false); end; end; function p.TablicaZanalizowanychInformacjiSzablonowychParsowania(self,nazwa_modulu) local tablica_modulu_szablonowe=p.TablicaTransportuSzablonowe(self); tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow=tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow or {}; local tablica_szablonow=tablica_modulu_szablonowe.tablica_szablonow; ---- tablica_szablonow[nazwa_modulu]=tablica_szablonow[nazwa_modulu] or {}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tablica_szablonow[nazwa_modulu]; return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; end; function p.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu) local tablica_modulu_bazowe=p.TablicaTransportuSzablonowe(self); tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or {}; local tablica_bazowe=tablica_modulu_bazowe.tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; ---- tablica_bazowe[nazwa_modulu]=tablica_bazowe[nazwa_modulu] or {}; local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_bazowe[nazwa_modulu]; return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul; end; function p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul or p.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu); --- local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony or p.TablicaZanalizowanychInformacjiSzablonowychParsowania(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca); return tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony; end; function p.RozwijanieNiezakodowanegoSzablonu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); ---- local tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod) return; end, function(szablon,obiekt,kod,tekst,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,numer_szablonu) ---- szablon=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or szablon; --- return FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,true,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,__FUNKCJA_PARAMETRY); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; function p.RozwijanieZakodowanegoSzablonu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY) local tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony=p.UzyskiwanieTablicyKodowaniaIOpcjiParametrowychSzablonowychDlaStrony(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); ---- local tab_usun; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst) if(obiekt=="SZABLON")then local numer_szablonu=p.NumerSzablonuKodowaniaTekstu(self,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); ---- szablon=__FUNKCJA4 and __FUNKCJA4(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or szablon; ---- local wynik=FunkcjaIterajacaRozwijanegoSzablonu(szablon,obiekt,kod,tekst,numer_szablonu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,false,__PRZEDFUNKCJA,__FUNKCJA0,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA_ANALIZA_SPISOWA,__FUNKCJA_PARAMETRY); if(wynik)then return wynik;end; end; return nil,true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; p["UstalanieNazwyWywołania"]=function(nazwa,czy_ustalanie_szybkie_nazwy,__FUNKCJA,__FUNKCJA2) local czy_kody_w_nazwa; if(czy_ustalanie_szybkie_nazwy)then czy_kody_w_nazwa=mw.ustring.match(nazwa,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); if(not czy_kody_w_nazwa)then local czy_jest_dwukropek=mw.ustring.match(nazwa,"[%:%&%%]"); if(not czy_jest_dwukropek)then return nazwa,nil; end; end; else czy_kody_w_nazwa=true; end; local html_modul=require("Module:Html"); nazwa=html_modul.DecodeHtml(nazwa,true); local rezultat=nil; if((__FUNKCJA)and(czy_kody_w_nazwa))then local nazwa_rozwinieta; nazwa_rozwinieta,rezultat=__FUNKCJA(nazwa); nazwa=nazwa_rozwinieta or nazwa; end; local nazwa,modyfikatory,tabela_modyfikatorow=p.WydzielanieOpcjiModyfikatorowych(nazwa); nazwa=((__FUNKCJA2)and(czy_kody_w_nazwa)and(not rezultat)) and (__FUNKCJA2(nazwa,tabela_modyfikatorow) or nazwa) or nazwa; if(not tabela_modyfikatorow)then nazwa=html_modul.EncodeId(nazwa); return nazwa,nil; end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=mw.ustring.match(nazwa,"^[%s_]*[^:]") and nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa) or nil; if(nazwa_przestrzeni)then if(nazwa_przestrzeni=="")then if(tabela_modyfikatorow["#invoke:"])then nazwa="Module:"..nazwa; elseif(tabela_modyfikatorow["int:"])then nazwa="MediaWiki:"..nazwa; end; else local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if((nazwy_np_modul.Module~=nazwa_przestrzeni)and(tabela_modyfikatorow["#invoke:"]))then nazwa="Module:"..nazwa; elseif((nazwy_np_modul.MediaWiki~=nazwa_przestrzeni)and(tabela_modyfikatorow["int:"]))then nazwa="MediaWiki:"..nazwa; end; end; end; nazwa=html_modul.EncodeId(nazwa); return nazwa,tabela_modyfikatorow; end; p["SzablonowaKompletnaNazwaStrony"]=function(czy_szablon,czy_pelna) if(not czy_szablon)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](czy_szablon,tabela_nazw); local nazwa_szablonu; if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then local czy_nie_dwukropek=czy_pelna and mw.ustring.match(czy_szablon,"^%s*[^:]") or nil; if((czy_nie_dwukropek)or(czy_szablon==""))then local czy_szablon=parametry_modul["Odstępy"]{nazwa=czy_szablon,["wewnątrz"]="tak",}; nazwa_szablonu=(tabela_nazw.m) and mw.getContentLanguage():ucfirst(czy_szablon) or czy_szablon; else nazwa_szablonu=":"..nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](czy_szablon,tabela_nazw); end; elseif(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Template)then nazwa_szablonu=nazwy_modul["NAZWASTRONY"]({nazwa=czy_szablon,},tabela_nazw); else nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](czy_szablon,tabela_nazw); end; return nazwa_szablonu; end; p["SzablonowaNazwaStrony"]=function(czy_szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony; end; end; end; local nazwa_szablonu=p["SzablonowaKompletnaNazwaStrony"](czy_szablon,true); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony=nazwa_szablonu; end; return nazwa_szablonu; end; p["PełnaNazwaStronyNazwySzablonu"]=function(frame,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.generalna_nazwa_strony; end; end; end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); ---- local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa_szablonu=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("nazwa"); ---- if(not nazwa_szablonu)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); ---- local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); local pelna_nazwa_szablonu; local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then local czy_nie_dwukropek=mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^%s*[^:]"); if(czy_nie_dwukropek)then local nazwa_szablonu=parametry_modul["Odstępy"]{nazwa=nazwa_szablonu,["wewnątrz"]="tak",}; pelna_nazwa_szablonu=((nazwy_np_modul.Template~="")and (nazwy_np_modul.Template..":") or "")..((tabela_nazw.m)and mw.getContentLanguage():ucfirst(nazwa_szablonu) or nazwa_szablonu); else pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); end; else pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa_szablonu,tabela_nazw); end; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[5]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.generalna_nazwa_strony=pelna_nazwa_szablonu; end; return pelna_nazwa_szablonu; end; p["PełnaNazwaStronyWywołańSzablonowych"]=function(nazwa_szablonu,klucz_przestrzeni,klucz_projektu,kod_jezyka,kod_projektu) if(not nazwa_szablonu)then return;end; local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local tabela_nazw={}; local nazwa_przestrzeni_szablonu=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"]({nazwa=nazwa_szablonu,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,},tabela_nazw); local klucz_przestrzeni_niekanoniczna; local wiki_modul=require("Module:Wiki"); local czy_biezaca; if(tabela_nazw.czy_aktualna_wiki==nil)then czy_biezaca=wiki_modul["CzyBieżącaWiki"]{["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod projektu"]=kod_projektu,}; else czy_biezaca=tabela_nazw.czy_aktualna_wiki; end; if(czy_biezaca)then klucz_przestrzeni_niekanoniczna=nazwy_modul.Np{nazwa=klucz_przestrzeni,}; else klucz_przestrzeni_niekanoniczna=nazwy_modul.NpDane{nazwa=klucz_przestrzeni,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,}; end; local pelna_nazwa_szablonu; local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np"); if(nazwa_przestrzeni_szablonu==nazwy_np_modul.Main)then pelna_nazwa_szablonu=((klucz_przestrzeni~="")and (klucz_przestrzeni..":") or "")..nazwa_szablonu; elseif(((klucz_przestrzeni=="MediaWiki")or(klucz_przestrzeni=="Module"))and(nazwa_przestrzeni_szablonu~=klucz_przestrzeni_niekanoniczna))then pelna_nazwa_szablonu=((klucz_przestrzeni~="")and (klucz_przestrzeni..":") or "")..nazwa_szablonu; else pelna_nazwa_szablonu=nazwa_szablonu; end; local tabela_nazw={}; pelna_nazwa_szablonu=nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"]({nazwa=pelna_nazwa_szablonu,["klucz projektu"]=klucz_projektu,["kod języka"]=kod_jezyka,["kod_projektu"]=kod_projektu,},tabela_nazw); return pelna_nazwa_szablonu; end; p["NazwaSzablonuWywołania"]=function(szablon,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_strony,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_z_parametrami; end; end; end; local czy_z_parametrami; local czy_szablon,zawartosc=mw.ustring.match(szablon,"^{{%s*([^{}|]-)%s*|([^{}]*)}}$"); if(not czy_szablon or not zawartosc)then czy_szablon=mw.ustring.match(szablon,"^{{%s*([^{}|]-)%s*}}$"); if(not czy_szablon)then return;end; czy_z_parametrami=false; else czy_z_parametrami=true; end; --czy_szablon=__FUNKCJA and (__FUNKCJA(czy_szablon) or czy_szablon) or czy_szablon; local czy_szablon,tabela_modyfikatorow=p["UstalanieNazwyWywołania"](czy_szablon,true,__FUNKCJA,__FUNKCJA2); local nazwa_strony=p["SzablonowaNazwaStrony"](czy_szablon); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[4]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_strony=nazwa_strony; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=tabela_modyfikatorow; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_z_parametrami=czy_z_parametrami; end; return nazwa_strony,tabela_modyfikatorow,czy_z_parametrami; end; function p.TablicaTransportuSzablonowe(self) return self; end; local function ZbierzParametrSzablonu(tworzona_tabela, kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua) if((not czy_ramka_lua)or(not czy_ramka_lua[1])or((czy_ramka_lua[1])and(czy_ramka_lua[2])))then local czy_parser=czy_ramka_lua and czy_ramka_lua[3]; local kawalek_wywolania_element_nienazwany=mw.ustring.match(kawalek_wywolania,"^([^|"..((not czy_parser) and ("=") or "").."]-)$"); if(kawalek_wywolania_element_nienazwany)then ---- local __metatablica=getmetatable(tworzona_tabela); local len=__metatablica.__len(tworzona_tabela); ---- tworzona_tabela[len+1]={((trimuj_numerowane) and (mw.text.trim(kawalek_wywolania_element_nienazwany)) or kawalek_wywolania_element_nienazwany),true,}; return tworzona_tabela; else --- local kawalek_wywolania_klucz,kawalek_wywolania_wartosc=mw.ustring.match(kawalek_wywolania,"^%s*([^|=]-)%s*=%s*([^|]-)%s*$"); if((kawalek_wywolania_klucz)and(kawalek_wywolania_wartosc))then if(not mw.ustring.match(kawalek_wywolania_klucz,"^%s*[%-]?[1-9]%d*%s*$"))then tworzona_tabela[mw.text.trim(kawalek_wywolania_klucz)]=mw.text.trim(kawalek_wywolania_wartosc); return tworzona_tabela; else tworzona_tabela[tonumber(mw.text.trim(kawalek_wywolania_klucz))]=mw.text.trim(kawalek_wywolania_wartosc); return tworzona_tabela; end; else return nil; end; end; else tworzona_tabela[true]=kawalek_wywolania; czy_ramka_lua[2]=true; return tworzona_tabela; end; return nil; end; local function ParametrySzablonu(parametry_wywolania_szablonu,parametry_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua) local kawalek_wywolania,dalszy_kawalek_wywolania=mw.ustring.match(parametry_wywolania_szablonu,"^([^|]*)|(.*)$"); if(not kawalek_wywolania)then kawalek_wywolania=parametry_wywolania_szablonu; end; if(not dalszy_kawalek_wywolania)then ZbierzParametrSzablonu(parametry_szablonu,kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return parametry_szablonu; end; if(kawalek_wywolania)then ZbierzParametrSzablonu(parametry_szablonu,kawalek_wywolania,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return ParametrySzablonu(dalszy_kawalek_wywolania,parametry_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); end; return nil; end; p["ParsowanieWywołaniaSzablonu"] = function(wywolanie_szablonu,trimuj_numerowane,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) local nazwa_parsowania=nil;local modyfikatory_parsowania=nil; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu)and(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow))then if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow; end; nazwa_parsowania=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu; modyfikatory_parsowania=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow; end; end; end; end; ---- local function NazwaSzablonu(nazwa_szablonu) if((not nazwa_parsowania)or(not modyfikatory_parsowania))then local nazwa_szablonu_ostateczna,tabela_modyfikatorow_ostateczna=p["UstalanieNazwyWywołania"](nazwa_szablonu,true,__FUNKCJA,__FUNKCJA2); nazwa_szablonu_ostateczna=p["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_szablonu_ostateczna); return nazwa_szablonu_ostateczna,tabela_modyfikatorow_ostateczna; else return nazwa_parsowania,modyfikatory_parsowania; end; end; local ParseryTagLua=function(tabela_modyfikatorow) local czy_lua; local czy_parser; if(tabela_modyfikatorow)then czy_lua=tabela_modyfikatorow["#invoke:"]; if(not czy_lua)then for name,value in pairs(tabela_modyfikatorow)do local hash=mw.ustring.sub(name,1,1); if((hash)and(hash=="#"))then czy_parser=true; break; end; end; end; end; local czy_ramka_lua={czy_lua,false,czy_parser,}; return czy_ramka_lua; end; local wywolanie_bez_parametrow=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{[^|]-}}$"); if(not wywolanie_bez_parametrow)then local nazwa_szablonu=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{%s*([^|]-)%s*|.-}}$"); if(nazwa_szablonu)then local nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=NazwaSzablonu(nazwa_szablonu); local parametry_wywolania_szablonu=mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{[^|]*|(.*)}}$"); ---- local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local function __FUNKCJA() local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- local czy_ramka_lua=ParseryTagLua(tabela_modyfikatorow); ---- tabela_parametrow_szablonu=ParametrySzablonu(parametry_wywolania_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,trimuj_numerowane,czy_ramka_lua); return tabela_parametrow_szablonu; end; local function __FUNKCJA2() return true; end; local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieObiektowe(__metatablica,{__FUNKCJA,__FUNKCJA2,}); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry=tabela_parametrow_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu=nazwa_parsowania or nazwa_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=modyfikatory_parsowania or tabela_modyfikatorow; end; ---- return tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow; else return nil;end; else local nazwa_szablonu=mw.text.trim(mw.ustring.match(wywolanie_szablonu,"^{{%s*([^|]-)%s*}}$")); if(nazwa_szablonu)then local nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=NazwaSzablonu(nazwa_szablonu); ---- local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tabela_parametrow_szablonu={}; setmetatable(tabela_parametrow_szablonu,__metatablica); ---- if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={}; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry=tabela_parametrow_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu=nazwa_parsowania or nazwa_szablonu; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.tabela_modyfikatorow=modyfikatory_parsowania or tabela_modyfikatorow; end; ---- return tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow; else return nil;end; end; end; function p.WydzielanieOpcjiModyfikatorowych(pole_nazwy) local szablonowe_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local opis_elementowe_modyfikatory=szablonowe_dane_modul.opis_elementowe_modyfikatory; local modyfikatory=""; local tab_mod=nil; if(not mw.ustring.match(pole_nazwy,opis_elementowe_modyfikatory))then return pole_nazwy,modyfikatory,tab_mod; end; ---- local tab_modyfikatory=szablonowe_dane_modul.tablica_elementowe_modyfikatory_szablonowe; ---- local function PojedynczeModyfikatory(pole,modyfikatory) for modyfikator,tab in pairs(tab_modyfikatory) do local modyfikator_uzyty,pole_dalej=mw.ustring.match(pole,"^("..tab[1]..")(.*)$"); if(modyfikator_uzyty)then if(not tab_mod)then tab_mod={};end; if(not tab_mod[modyfikator])then tab_mod[modyfikator]=true; end; modyfikatory=modyfikatory..modyfikator_uzyty; return PojedynczeModyfikatory(pole_dalej,modyfikatory) end; end; return pole,modyfikatory; end; local pole_ostateczne,modyfikatory_ostateczne=PojedynczeModyfikatory(pole_nazwy,modyfikatory); return pole_ostateczne,modyfikatory_ostateczne,tab_mod; end; function p.CzyModyfikatoryInstrukcjiWarunkowychSzablonowych(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu) if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["#if:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifeq:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexpr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#expr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#iferror:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexist:"]) or(tabela_modyfikatorow["#switch:"]) )then return true; end; end; end; function p.CzyModyfikatoryCharakterystyczneSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu) if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["#property:"]) or(tabela_modyfikatorow["#tag:"]) )then return true; end; end; end; function p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_normalny_szablon; end; end; end; local function RozpatrywanieSzablonowe() if(tabela_modyfikatorow)then if((tabela_modyfikatorow["int:"]) or(tabela_modyfikatorow["#if:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifeq:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexpr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#expr:"]) or(tabela_modyfikatorow["#iferror:"]) or(tabela_modyfikatorow["#ifexist:"]) or(tabela_modyfikatorow["#tag:"]) or(tabela_modyfikatorow["#switch:"]) or(tabela_modyfikatorow["#property:"]) or(tabela_modyfikatorow["#invoke:"]) or(tabela_modyfikatorow["gender:"]) or (tabela_modyfikatorow["ucfirst:"]) or (tabela_modyfikatorow["lcfirst:"]) or (tabela_modyfikatorow["uc:"]) or (tabela_modyfikatorow["lc:"]) )then return false; end; end; if((nazwa_szablonu)and(nazwa_szablonu~=""))then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((parametry_modul.TypeBoolean(tabela_parametrow_szablonu))and(tabela_parametrow_szablonu))then return true;end; if(tabela_parametrow_szablonu)then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local czy_nie_brak_parametrow=parametry_modul["CzySąElementyTablicy"](tabela_parametrow_szablonu); if(czy_nie_brak_parametrow)then return true;end; end; return ((not mw.ustring.match(nazwa_szablonu,"^[%s_]*#[%s_]*%a+[%s_]*:")) and true or false); end; return true; end; local wynik=RozpatrywanieSzablonowe(); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[2]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.czy_normalny_szablon=wynik; end; return wynik; end; function p.KodowanieInaczejZakodowanychNormKodowychTekstuWedleJegoTablicyKodowania(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,nazwa_modulu_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,trimuj_numerowane) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul={}; local tab_grupa={}; local math_numer=0;local licznik_linkz=1; local function TempFuncGrupa(grupa,szablon) tab_grupa[grupa]=(tab_grupa[grupa] or 0)+1; ---- if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa]={};end; if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa][tab_grupa[grupa]])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["REF"..grupa][tab_grupa[grupa]]=szablon;end; ---- return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("REF"..grupa,tab_grupa[grupa]); end; tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="SZABLON")then local wynik=p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_szablonowa, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if((nazwa_szablonu=="R")or(nazwa_szablonu=="RN")or(nazwa_szablonu=="RNota"))then local grupa=""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="U")or(nazwa_szablonu=="UN")or(nazwa_szablonu=="UNota"))then local grupa="uwaga"; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="O")or(nazwa_szablonu=="Ref"))then local grupa=tabela_parametrow_szablonu[3] or tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif(nazwa_szablonu=="Refn")then local grupa=tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); end; end ,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,trimuj_numerowane); if(wynik)then return wynik;end; elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,tab_atrybuty=p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(nazwa=="ref")then tab_atrybuty=tab_atrybuty or {}; local grupa=tab_atrybuty["group"]; grupa=parametry_modul.TypeString(grupa) and grupa or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); end; elseif(obiekt=="MATH")then math_numer=math_numer+1; ---- if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"]={};end; if(not tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][math_numer])then tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul["POSTMATH"][math_numer]=szablon;end; ---- return p.NormaKoduKodowaniaTekstu("POSTMATH",math_numer); end; return nil,true;--szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="LINKZ")then local url=mw.ustring.match(szablon,"^%[(%S+)%s*%]$") if(url)then local szablon="["..url.." &#91;"..licznik_linkz.."&#93;]"; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=szablon; licznik_linkz=licznik_linkz+1; return szablon; end; end; return szablon; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_obiektow_strony_danych_kodow_specjalnych_modul; end; function p.KodowanieNiezakodowanychNormKodowychReferencjiTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,trimuj_numerowane,__FUNKCJA_INNE_OPERACJE,__FUNKCJA_INNE_OPERACJE2,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE_RODZICA,__FUNKCJA_OPERACJE_CZY_W_LINKU,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_BAZOWE,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE) local parametry_modul=require("Module:parametry"); local tab_grupa={};local licznik_linkz=1; local tab_usun; local TempFuncGrupa=function(grupa,szablon) tab_grupa[grupa]=(tab_grupa[grupa] or 0)+1; ---- return "&#91;"..((grupa~="")and(grupa.." ") or "")..tab_grupa[grupa].."&#93;"; end; tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="SZABLON")then return p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if((nazwa_szablonu=="R")or(nazwa_szablonu=="RN")or(nazwa_szablonu=="RNota"))then local grupa=""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="U")or(nazwa_szablonu=="UN")or(nazwa_szablonu=="UNota"))then local grupa="uwaga"; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif((nazwa_szablonu=="O")or(nazwa_szablonu=="Ref"))then local grupa=tabela_parametrow_szablonu[3] or tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); elseif(nazwa_szablonu=="Refn")then local grupa=tabela_parametrow_szablonu["grupa"] or tabela_parametrow_szablonu["g"] or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,trimuj_numerowane); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,tab_atrybuty=p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(nazwa=="ref")then tab_atrybuty=tab_atrybuty or {}; local grupa=tab_atrybuty["group"]; grupa=parametry_modul.TypeString(grupa) and grupa or ""; return TempFuncGrupa(grupa,szablon); else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,nazwa,zawartosc,tab_atrybuty,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; else if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE(szablon,obiekt,kod,nil,nil,nil,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; return nil,true;--szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end,nil,nil,nil,function(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="LINKZ")then local url=mw.ustring.match(szablon,"^%[(%S+)%s*%]$") if(url)then local szablon="["..url.." &#91;"..licznik_linkz.."&#93;]"; tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]=szablon; licznik_linkz=licznik_linkz+1; return szablon; end; end; if(__FUNKCJA_INNE_OPERACJE2)then return __FUNKCJA_INNE_OPERACJE2(szablon,obiekt,kod,poziom_numeracji,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; return szablon; end,nil,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE_RODZICA,__FUNKCJA_OPERACJE_CZY_W_LINKU,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_BAZOWE,__FUNKCJA_OPERACJE_USUWANIE_PARAMETROWE); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu,tab_usun; end; function p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkuProjektowego(linkw) local adres,nazwa=mw.ustring.match(linkw,"^%[%[([^|]-)|(.-)%]%]$") if((adres)and(nazwa))then return adres,nazwa;end; local adres=mw.ustring.match(linkw,"^%[%[([^|]-)%]%]$"); if(adres)then return adres;end; return nil; end; function p.WalidacjaLinkuProjektowego(linkw) local adres,nazwa=p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkuProjektowego(linkw); if(not adres)then return nil;end; local spacje_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[%s_]*$"); if(spacje_adresu)then return nil;end; local adres_w_linii=mw.ustring.match(adres,"\n"); if(adres_w_linii)then return nil;end; local walidacja_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[^|]-[%[%]]+[^|]-$"); if(walidacja_adresu)then return nil;end; if(not nazwa)then return adres,nazwa;end; local walidacja_nazwy=mw.ustring.match(nazwa,"%[%[") or mw.ustring.match(nazwa,"%]%]"); if(walidacja_nazwy)then return nil;end; return adres,nazwa; end; function p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkNieProjektowego(linkz) local adres,nazwa=mw.ustring.match(linkz,"^%[(%S+)%s+(.-)%]$") if((adres)and(nazwa))then return adres,nazwa;end; local adres=mw.ustring.match(linkz,"^%[(.-)%]"); return adres; end; function p.WalidacjaLinkuNieProjektowego(linkz) local adres,nazwa=p.WydzielPoleAdresoweNazwoweLinkNieProjektowego(linkz); if(not adres)then return nil;end; local spacje_adresu=mw.ustring.match(adres,"^[%s_]*$"); if(spacje_adresu)then return nil;end; local adres_w_linii=mw.ustring.match(adres,"\n"); if(adres_w_linii)then return nil;end; local walidacja_adresu=mw.ustring.match(adres,"^%S*[%[%]]%S*$"); if(walidacja_adresu)then return nil;end; if(not nazwa)then return adres,nazwa;end; local nazwa_w_linii=mw.ustring.match(nazwa,"\n"); if(nazwa_w_linii)then return nil;end; local walidacja_nazwy=mw.ustring.match(nazwa,"%]"); if(walidacja_nazwy)then return nil;end; return adres,nazwa; end; function p.OdkodowanieZakodowanychNormKodowychNieschematycznychRzeczy(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) local tablica_kodow={};local tak=false; local iterator=p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); local szablonowe_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki=szablonowe_dane_modul.tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki; for szablon,obiekt,kod in iterator do if(tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki[obiekt])then local iter=mw.ustring.gmatch(szablon,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()); for obiekt,kod in iter do if(not tablica_kodow[obiekt])then tablica_kodow[obiekt]={};end; tablica_kodow[obiekt][kod]=true; tak=true; end; end; end; --if(not tak)then return tekst_rozwiniety_calego_artykulu;end; local strony_modul=require("Module:Strony"); local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); --local frame=mw.getCurrentFrame(); tekst_rozwiniety_calego_artykulu=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon2,obiekt2,kod2) if((tablica_kodow)and(tablica_kodow[obiekt2])and(tablica_kodow[obiekt2][kod2]))then if(mw.ustring.gmatch(szablon2,p.NormaWzoruKodowaniaTekstu()))then szablon2=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); return szablon2; end; elseif(obiekt2=="LINKW")then if(mw.ustring.match(szablon2,"^%[%[[%s:_]*%]%]$"))then return szablon2;end; local szablon_rozwiniete=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(not specjalne_modul["CzyPlik"](szablon_rozwiniete))then --szablon_rozwiniete=frame:preprocess(szablon_rozwiniete); local czy_nie_linkw=not p.WalidacjaLinkuProjektowego(szablon_rozwiniete); if(czy_nie_linkw)then return szablon2; end; end; elseif(obiekt2=="LINKZ")then if(mw.ustring.match(szablon2,"^%[%s*%]$"))then return szablon2;end; local szablon_rozwiniete=p.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon2,nazwa_modulu_aktualna_czy_biezaca,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); --szablon_rozwiniete=frame:preprocess(szablon_rozwiniete); local adres,nazwa=p.WalidacjaLinkuNieProjektowego(szablon_rozwiniete); if(adres)then local czy_linkz=strony_modul.SprawdzanieURL(adres); if(not czy_linkz)then return szablon2;end; else return szablon2; end; end; return nil,true; end); return tekst_rozwiniety_calego_artykulu; end; p["PokazanieWywołaniaSzablonu"]=function(szablon, args) local result = {}; table.insert(result, mw.text.nowiki("{{")); if mw.isSubsting() then table.insert(result, "subst:"); end; table.insert(result, szablon); if args then for k, v in pairs(args) do if (type(k)~="number")then table.insert(result, "|"); table.insert(result, tostring(k)); table.insert(result, "="); table.insert(result, mw.text.nowiki(v)); else table.insert(result, "|"); table.insert(result, mw.text.nowiki(v)); end; end; end; table.insert(result, mw.text.nowiki("}}")); return table.concat(result); end; function p.KodSymbolicznySzablonu(nazwa,args,modyfikatory,jako_szablony) local args=args or {}; local modyfikatory=modyfikatory or {}; ---- local __metatablica=getmetatable(args); local result={}; table.insert(result,((jako_szablony) and "{{((}}" or "{{")); for name,_ in pairs(modyfikatory)do table.insert(result,name); end; table.insert(result,nazwa); if(not __metatablica)then for name,value in pairs(args)do table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); value=mw.ustring.gsub(value,"[=]",((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")); table.insert(result,name..((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")..value); end; else local tabelka_metatable=__metatablica.PobierzGeneralnaTablica(args); local tab_inna_tabelka={}; local funkcja; local juz_jest=nil; for name,value in pairs(tabelka_metatable)do if((juz_jest)or(name~=true))then tab_inna_tabelka[value[2]]={name,value[1],value[3],}; else funkcja=value; juz_jest=true; end; end; if(funkcja)then table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); if(jako_szablony)then funkcja=mw.ustring.gsub(funkcja,"=",function(znak) return "{{=}}"; end); end; table.insert(result,funkcja); end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local __next=parametry_modul.IteratorKluczeTabeliAlfabetycznieSortujDoPrzodu(tab_inna_tabelka,true); for _,value in __next,tab_inna_tabelka,nil do table.insert(result,((jako_szablony) and "{{!}}" or "|")); local value_2; if(jako_szablony)then value_2=mw.ustring.gsub(value[2],"[=]","{{=}}");else value_2=value[2];end; table.insert(result,((not value[3])and(value[1]..((jako_szablony) and "{{=}}" or "=")) or "")..value_2); end; end; table.insert(result,((jako_szablony) and "{{))}}" or "}}")); return table.concat(result,""); end; function p.KodSymbolicznySzablonowejRamkiLuaInstrukcjiWarunkowejLubTagu(szablon) szablon=mw.ustring.gsub(szablon,"^{{(.-)}}$",function(zawartosc) zawartosc=mw.ustring.gsub(zawartosc,"[|=]",function(znak) if(znak=="|")then return "{{!}}";else return "{{=}}";end; end); return "{((}}"..zawartosc.."{{))}}"; end); return szablon; end; function p.NazwaSzablonu(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local nazwa=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("nazwa"); local nazwy_modul=require("Module:Nazwy"); local nazwa_przestrzeni=nazwy_modul["NAZWAPRZESTRZENI"](nazwa); local nazwy_np_modul=mw.loadData("Module:Nazwy/Np") if(nazwa_przestrzeni==nazwy_np_modul.Template)then return nazwy_modul["NAZWASTRONY"](nazwa); elseif(nazwa_przestrzeni==nazwy_np_modul.Main)then return ":"..nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa); else return nazwy_modul["PEŁNANAZWASTRONY"](nazwa); end; end; function p.ZnacznikoweTrueFalseSzeregZnakowy(yes) local yes_male=mw.ustring.lower(yes); return ((yes_male=="true") and true or ((yes_male~="false")and yes or false)); end; local function WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,liczba_obiektu) local liczba_obiektu=liczba_obiektu or 100; if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer)then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod)then return tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika; end; end; end local szablonowe_potrzebne_modul=require("Module:Szablonowe/Potrzebne"); if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul={}; znacznik,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=szablonowe_potrzebne_modul.KodowanieAtrybutoweZnacznikowe(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; local html_modul=require("Module:Html"); znacznik=html_modul.TekstoweZnakiTypowoTagoweParametroweZamienianiaNaKodHtml(znacznik); znacznik=mw.ustring.gsub(znacznik,"(</[%a%d]+)(%s+[^<>]*)(>)%s*$","%1%3"); local nazwa,zawartosc=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s*>(.-)</(%1)%s*>%s*$"); if((nazwa)and(zawartosc))then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=zawartosc; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return mw.ustring.lower(nazwa),zawartosc,nil; end; ---- local nazwa=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s*/?%s*>%s*$"); if(nazwa)then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return mw.ustring.lower(nazwa),nil,nil; end; ---- local nazwa,atrybuty,zawartosc=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s+([^<>]-)%s*>(.-)</([%a%d]+)%s*>%s*$"); ---- if((not nazwa)or(not atrybuty)or(not zawartosc))then nazwa,atrybuty=mw.ustring.match(znacznik,"^%s*<([%a%d]+)%s+([^<>]-)%s*/?%s*>%s*$"); if((not nazwa)or(not atrybuty))then if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=nil; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=nil; end; return nil,nil,nil; end; end; ----- local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local szablonowe_metatabelki_modul=require("Module:Szablonowe/Metatabelki"); local function __FUNKCJA() local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieSzablonu(__metatablica); local tab_atrybuty={}; setmetatable(tab_atrybuty,__metatablica); ---- local tab_atrybuty=szablonowe_potrzebne_modul.AtrybutyZnacznika(atrybuty,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tab_atrybuty); return tab_atrybuty; end; local __metatablica={}; szablonowe_metatabelki_modul.MetaTabelkaParsowanieObiektowe(__metatablica,{__FUNKCJA,}); local tab_atrybuty={}; setmetatable(tab_atrybuty,__metatablica); if((tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)and(kod))then if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[liczba_obiektu]; if(not tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod])then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]={};end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_znacznika=nazwa; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.istota_znacznika=zawartosc; tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.atrybuty_znacznika=tab_atrybuty; end; return mw.ustring.lower(nazwa),zawartosc,tab_atrybuty; end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,100); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguMath(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,101); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguPre(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,102); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguSyntaxHighLight(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,103); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguNowiki(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,104); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguGallery(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,105); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguImageMap(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,106); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguInputBox(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,107); end; function p.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeTaguQuiz(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) return WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeFormZnacznikowych(znacznik,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,108); end; function p.KodSymbolicznyTagu(nazwa,zawartosc,atrybuty,jako_szablony) local tab_str={}; table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Mniejszy}}" or "<"); table.insert(tab_str,nazwa); if(atrybuty)then local __metatablica=getmetatable(atrybuty); if(not __metatablica)then local parametry_modul=require("Module:Parametry"); for name,value in pairs(atrybuty)do table.insert(tab_str," "); table.insert(tab_str,name); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{=}}","="); if(parametry_modul.TypeString(value))then table.insert(tab_str,"\""..value.."\""); else table.insert(tab_str,tostring(value)); end; end; else local tabelka_metatable=__metatablica.PobierzGeneralnaTablica(atrybuty); local tab_inna_tabelka={}; for name,value in pairs(tabelka_metatable)do tab_inna_tabelka[value[2]]={name,value[1],}; end; for __name,tab_value in ipairs(tab_inna_tabelka)do table.insert(tab_str," "); table.insert(tab_str,tab_value[1]); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{=}}","="); if(parametry_modul.TypeString(tab_value[2]))then table.insert(tab_str,"\""..tab_value[2].."\""); else table.insert(tab_str,tostring(tab_value[2])); end; end; end; end; table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Większy}}" or ">"); table.insert(tab_str,zawartosc or ""); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Mniejszy}}" or "<"); table.insert(tab_str,"/"); table.insert(tab_str,name); table.insert(tab_str,jako_szablony and "{{Większy}}" or ">"); return table.concat(tab_str,""); end; function p.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA5,__FUNKCJA6,__FUNKCJA7,__FUNKCJA8,__FUNKCJA9,__FUNKCJA_domyslna,__FUNKCJA_begin,__FUNKCJA_parsowania,__FUNKCJA_parametry,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,trimuj_numerowane) ---- local wynik=__FUNKCJA_begin and __FUNKCJA_begin(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa) or nil; if(wynik)then return nil;end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[1]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; local tab_pop=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.nazwa_szablonu; --and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.parametry; ---- local tabela_parametrow_szablonu;local nazwa_szablonu;local tabela_modyfikatorow; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if((not __FUNKCJA_parsowania) or ((__FUNKCJA_parsowania)and(__FUNKCJA_parsowania(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa))))then tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=p["ParsowanieWywołaniaSzablonu"](szablon,trimuj_numerowane,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); else nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow=p["NazwaSzablonuWywołania"](szablon,__FUNKCJA_nazwa1,__FUNKCJA_nazwa2,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); tabela_parametrow_szablonu=(not __FUNKCJA_parametry) and true or __FUNKCJA_parametry(szablon,"SZABLON",kod,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa); end; if(p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod))then ---- if(__FUNKCJA7 and __FUNKCJA7(nazwa_szablonu) or ((not __FUNKCJA7) and true or false))then if(__FUNKCJA1 or __FUNKCJA_domyslna)then local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); if(not tab_pop)then if((kod)and(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony))then local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[-1]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.adres_strony )then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]=nil; end; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony[3]; local tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod=tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]; if(tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod and tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer_kod.szablonowa_nazwa_strony )then tablica_danych_parametrow_szablonu_strony_numer[kod]=nil; end; end; end; nazwa_szablonu=pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa and techniczne_modul["PrzeszkałćAdresWzględnyStronyNaBezwzględny"]({[1]=nazwa_szablonu,[2]=pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,},tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod) or nazwa_szablonu; nazwa_szablonu=p["SzablonowaNazwaStrony"](nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(__FUNKCJA1)then return __FUNKCJA1(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); else return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; else if(__FUNKCJA8)then return __FUNKCJA8(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; elseif(p.CzyModyfikatoryInstrukcjiWarunkowychSzablonowych(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,tabela_parametrow_szablonu))then if(__FUNKCJA2)then return __FUNKCJA2(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; elseif(tabela_modyfikatorow)then if(tabela_modyfikatorow["#invoke:"])then if(__FUNKCJA3)then return __FUNKCJA3(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; elseif(tabela_modyfikatorow["#tag:"])then if(__FUNKCJA4)then nazwa_szablonu=mw.getContentLanguage():lc(nazwa_szablonu); return __FUNKCJA4(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; else local czy_sa_takie_funkcje=(__FUNKCJA5 and __FUNKCJA6) and true or nil; if(czy_sa_takie_funkcje)then local function CzyTenSzablonToParser(tabela_modyfikatorow) for name,value in pairs(tabela_modyfikatorow)do if(mw.ustring.match(name,"^#%a+:$"))then return true; end; end; return false; end; if(CzyTenSzablonToParser(tabela_modyfikatorow))then if(__FUNKCJA5)then return __FUNKCJA5(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; else if(__FUNKCJA6)then return __FUNKCJA6(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; else if(__FUNKCJA9)then return __FUNKCJA9(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); elseif(__FUNKCJA_domyslna)then return __FUNKCJA_domyslna(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,"SZABLON",kod); end; end; end; p["SprawdzanieCzyWystępujeDanySzablonWTekście"]=function(frame) local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local PobierzParametr=parametry_modul.PobierzParametr(frame); local tekst=PobierzParametr(1) or PobierzParametr("tekst"); local pattern=PobierzParametr(2) or PobierzParametr("wzór"); local szablon=PobierzParametr(3) or PobierzParametr("szablon"); local czy_z_parametrami=PobierzParametr(4) or PobierzParametr("z parametrami"); ---- local parametry_modul=require("Module:Parametry"); czy_z_parametrami=((parametry_modul.TypeTable(czy_z_parametrami)) and czy_z_parametrami or (((not parametry_modul.TypeString(czy_z_parametrami)) and(not parametry_modul.TypeNil(czy_z_parametrami)) and(not parametry_modul.TypeBoolean(czy_z_parametrami))) and czy_z_parametrami or (parametry_modul.CzyTak(czy_z_parametrami) and true or false) ) ); ---- szablon=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=szablon,[2]="tak",}; szablon=mw.getContentLanguage():ucfirst(szablon); ---- local iter=mw.ustring.gmatch(tekst,pattern); for nazwa_szablonowa in iter do local czy_szablon,tabela_modyfikatorow=p["UstalanieNazwyWywołania"](nazwa_szablonowa,true); local nazwa_szablonu=p["SzablonowaNazwaStrony"](czy_szablon); if(p.CzyModyfikatoryZElementamiSzablonowymiNormalnymiSzablonowe(tabela_modyfikatorow,nazwa_szablonu,czy_z_parametrami))then if(nazwa_szablonu==szablon)then return "tak"; end; end; end; return nil; end; return p; t12nyckv4q31xhuhfzd49vntrdec1my 828 60145 558527 558495 2026-10-04T13:41:36Z Persino 2851 558527 Scribunto text/plain local p={}; function p.TranslatorProstyTekstDoEncodeWikiTekst(tekst) local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); tekst=mw.ustring.gsub(tekst,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(),function(obiekt,kod) return szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoEncodeWikiTekstu(obiekt,kod); end); return tekst; end; function p.TranslatorOdwrotnyEncodeWikiTekstDoTekst(tekst) local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); tekst=mw.ustring.gsub(tekst,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu(),function(obiekt,kod) return szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end); return tekst; end; function p.AtrybutyZnacznika(atrybuty,nazwa_modulu,tab_element,tab_atrybuty) local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local html_modul=require("Module:Html"); local tab_specjalne; if(tab_element)then atrybuty=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(atrybuty,nazwa_modulu,tab_element,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="UCIECZKI")then return szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoEncodeWikiTekstu(obiekt,kod); end; return szablon; end); else tab_specjalne={};local ile=1; atrybuty=mw.ustring.gsub(atrybuty,"(\\[\"'])",function(wyraz_specjalny) local wyraz=szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoEncodeWikiTekstu("UCIECZKI",ile); tab_specjalne[wyraz]=wyraz_specjalny; ile=ile+1; return wyraz; end); end; atrybuty=" "..atrybuty.." "; local tab_atrybuty=tab_atrybuty or {}; local __metatable=getmetatable(tab_atrybuty); local __tab_atrybuty=__metatable and {} or nil; local __start=1; while(true)do local start,koniec,szablon,name,_,value,_=mw.ustring.match(atrybuty,"(%s+(%a+)%s*=%s*([\"'])(.-)(%3)%s+)",__start); if((not szablon)or(not name)or(not value))then break;end; __start=koniec; local tekst=szablonowe_modul.ZnacznikoweTrueFalseSzeregZnakowy(html_modul.TekstoweKodyHtmlZnacznikoweTypowoTagoweParametroweZamienianiaNaZnak(value)); if(__metatable)then table.insert(__tab_atrybuty,{name,tekst,start,}); else tab_atrybuty[name]=tekst; end; end; __start=1; while(true)do local start,koniec,szablon,name,value=mw.ustring.match(atrybuty,"(%s+(%a+)%s*=%s*([%a%d]+)%s+)",__start); if((not szablon)or(not name)or(not value))then break;end; __start=__metatablekoniec; local tekst=szablonowe_modul.ZnacznikoweTrueFalseSzeregZnakowy(value); if(__metatable)then table.insert(__tab_atrybuty,{name,tekst,start,}); else tab_atrybuty[name]=tekst; end; end; __start=1; while(true)do local start,koniec,szablon,name=mw.ustring.match(atrybuty,"(%s+(%a+)%s+)",__start); if(not name)then break;end; __start=koniec; if(__metatable)then table.insert(__tab_atrybuty,{name,true,start,}); else tab_atrybuty[name]=tekst; end; end; if(__metatable)then table.sort(__tab_atrybuty,function(a,b) return (a[3]<b[3]); end) ; for name,tab_value in ipairs(__tab_atrybuty)do tab_atrybuty[tab_value[1]]=tab_value[2]; end; end; local parametry_modul=require("Module:Parametry"); for name,value in pairs(tab_atrybuty) do if(not parametry_modul.TypeBoolean(value))then local value;local ile; if(tab_element)then value,ile=mw.ustring.gsub(atrybuty,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu("UCIECZKI"),function(obiekt,kod) local szablon=(tab_element[obiekt] or {})[kod]; return szablon; end); else value,ile=mw.ustring.gsub(value,"("..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu("UCIECZKI")..")",function(wyraz) local wynik=tab_specjalne[wyraz]; return wynik; end); end; if(ile>0)then tab_atrybuty[name]=value; end; end; end; return tab_atrybuty; end; function p.UstawianieMetatabelki(tab_co,obiekt,__FUNKCJA_PARAMETRY) local __metatablica=getmetatable(tab_co); local czy_ustawiona_metatabelka=__metatablica and true or false; if(not __metatablica)then __metatablica={}; p.MetaTabelkaSzablonowe(__metatablica); setmetatable(tab_co,__metatablica); end; if((__FUNKCJA_PARAMETRY)and(not czy_ustawiona_metatabelka))then __metatablica.UstawFunkcjaDaneParametry(__FUNKCJA_PARAMETRY,obiekt); end; local tablica_co=__metatablica.tablica(); return tablica_co; end; function p.KodowanieAtrybutoweZnacznikowe(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tab_element,numer_szablonu,__FUNKCJA_PARAMETRY) local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local function ROZWAZANIA_SZABLONOWE_ATRYBUTY(szablon,nazwa,czy_tak) nazwa=nazwa or "ATRYBUTY"; local tab_nazwa;local ile; if(numer_szablonu)then tab_nazwa=p.UstawianieMetatabelki(tab_element[nazwa],obiekt,__FUNKCJA_PARAMETRY); tab_nazwa[numer_szablonu[nazwa]]={szablon,false,}; ile=numer_szablonu[nazwa]; numer_szablonu[nazwa]=numer_szablonu[nazwa]+1; else if(not tab_element[nazwa])then tab_element[nazwa]={}; end; tab_nazwa=tab_element[nazwa]; tab_nazwa[#tab_nazwa+1]=szablon; ile=#tab_nazwa; end; if(not czy_tak)then local szablon_kod=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(nazwa,ile); return szablon_kod; else local szablon_kod=szablonowe_modul.NormaKoduZakodowanegoEncodeWikiTekstu(nazwa,ile); return szablon_kod; end; end; local function ZNAKI_UCIECZKI(tekst_artykulu) tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"(([\\]*)(\\[\"']))",function(szablon,przed,po) local ile=#przed; if(math.mod(ile,2)==0)then szablon=ROZWAZANIA_SZABLONOWE_ATRYBUTY(szablon,"UCIECZKI",true); return szablon; end; return nil; end); return tekst_artykulu; end; local function ATRYBUTY(szablon1,szablon2,szablon3,cudzyslow) local _, ile=mw.ustring.gsub(szablon2,"("..cudzyslow..")",function(s)return nil;end); if(math.mod(ile,2)==0)then szablon2=ROZWAZANIA_SZABLONOWE_ATRYBUTY(szablon2,nil,true); return szablon1..szablon2..szablon3,true; else szablon2=mw.ustring.gsub(szablon2,"("..cudzyslow..".*"..cudzyslow..")(.-"..cudzyslow.."[^"..cudzyslow.."]*)$",function(__szablon1,__szablon2) __szablon1=ROZWAZANIA_SZABLONOWE_ATRYBUTY(__szablon1,nil,true); return __szablon1..__szablon2; end); szablon3=ROZWAZANIA_SZABLONOWE_ATRYBUTY(szablon3,"KOŃCOWE",true); return szablon1..szablon2..szablon3,false; end; end; tekst_artykulu=ZNAKI_UCIECZKI(tekst_artykulu); local KodowaniaZnakoweAtrybutoweNieucieczkowe=function(tekst_artykulu,wzor) repeat local ile_naprawy_znacznikow=nil; local ile_naprawy_znacznikow_odejmnoc=0; tekst_artykulu,ile_naprawy_znacznikow=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,wzor,function(szablon1,szablon2,cudzyslow,szablon3) local szablon,tak=ATRYBUTY(szablon1,szablon2,szablon3,cudzyslow); if(tak)then ile_naprawy_znacznikow_odejmnoc=ile_naprawy_znacznikow_odejmnoc+1;end; return szablon; end); ile_naprawy_znacznikow=ile_naprawy_znacznikow-ile_naprawy_znacznikow_odejmnoc; until(ile_naprawy_znacznikow==0); return tekst_artykulu; end; tekst_artykulu=KodowaniaZnakoweAtrybutoweNieucieczkowe(tekst_artykulu,"(</?[%a%d]+%s+)([^<>]-([\"']).-%3[^<>]-)(/?>)"); local PodmienianieSzablonoweEncodeWikiTestuNaTekstu=function(obiekt,kod,ile) kod=tonumber(kod); local szablon=(tab_element[obiekt] or {})[kod]; if(not szablon)then return nil;end; local szablon_kodowy=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); ile=ile+1; return szablon_kodowy,ile; end; tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu(),function(obiekt,kod) if(obiekt~="UCIECZKI")then local szablon_kodowy,ile=PodmienianieSzablonoweEncodeWikiTestuNaTekstu(obiekt,kod,0); if(not szablon_kodowy)then return nil;end; return szablon_kodowy; end; return nil; end); tekst_artykulu=szablonowe_modul:ModyfikowanieKodowoSzablonoweZakodowanegoTekstu(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tab_element, function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,szablon_rodzica,obiekt_rodzica,kod_rodzica,poziom_iteracji_rodzica) local ile=0; local szablon=mw.ustring.gsub(szablon,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu(),function(obiekt,kod) if(obiekt~="UCIECZKI")then local szablon_kodowy; szablon_kodowy,ile=PodmienianieSzablonoweEncodeWikiTestuNaTekstu(obiekt,kod,ile); if(not szablon_kodowy)then return nil;end; return szablon_kodowy; end; return nil; end); if(ile==0)then return nil;end; return true,szablon,obiekt,kod; end); tekst_artykulu=szablonowe_modul:KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tab_element,function(szablon,obiekt,kod) if(obiekt=="KOŃCOWE")then return szablon; end; return nil,true; end); return tekst_artykulu,tab_element; end; function p.MetaTabelkaSzablonowe(__metatablica) local tablica={};local __FUNKCJA; __metatablica.UstawTablica=function(tablica_inna) return function() return tablica_inna or tablica; end; end; __metatablica.UstawFunkcjaDaneParametry=function(__FUNKCJA_start,obiekt) __FUNKCJA=__FUNKCJA_start(obiekt); end; local fun_tablica=__metatablica.UstawTablica(tablica); __metatablica.tablica=function() return fun_tablica(); end; __metatablica.__len=function(t) return #fun_tablica(); end; __metatablica.__index=function(t,klucz) local tab=fun_tablica()[klucz]; if(tab==nil)then return nil;end; return tab[1]; end; __metatablica.__newindex=function(t,klucz,wartosc) if(wartosc~=nil)then local wartosc_tablicy=fun_tablica()[klucz]; if(wartosc_tablicy~=nil)then wartosc_tablicy[1]=wartosc; wartosc_tablicy[2]=false; if(__FUNKCJA)then __FUNKCJA(fun_tablica(),klucz,wartosc_tablicy,false);end; else local tab={wartosc,true,}; fun_tablica()[klucz]=tab; if(__FUNKCJA)then __FUNKCJA(fun_tablica(),klucz,tab,true);end; end; else fun_tablica()[klucz]=nil; end; end; local function iter_pairs(tablica,klucz) klucz=next(tablica,klucz); local tab = tablica[klucz]; if tab then return klucz, tab[1]; end end; __metatablica.__pairs=function(t) return iter_pairs,fun_tablica(),nil; end; local function iter_ipairs(a,i) i=i+1; local v = a[i]; if v then return i, v; end end; __metatablica.__ipairs=function(t) return iter_ipairs,fun_tablica(),0; end; __metatablica.KopiujMetaTabela=function(value,funkcja,funkcja2) local tabelka_metatable=__metatablica.tablica(); local __metatablica2={}; p.MetaTabelkaSzablonowe(__metatablica2); local value2={}; local iteratorFun=function(value) local klucz=nil; return function() klucz=next(value,klucz); return klucz; end; end; local iterator=iteratorFun(value); for klucz in iterator do rawset(value2,klucz,rawget(value,klucz)); end; setmetatable(value2,__metatablica2); local tabelka_metatable2=__metatablica2.tablica(); funkcja2(tabelka_metatable,tabelka_metatable2); funkcja(value2,false); end; end; function p.KodowanieSzablonowegoTekstuZObiektamiWikikodu(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,__FUNKCJA,__FUNKCJA2,__FUNKCJA3,__FUNKCJA4,__FUNKCJA_poczatek,__FUNKCJA_koniec,__FUNCTION_niedokonczone,__FUNCTION_INCLUDE,__FUNKCJA_PARAMETRY) local numer_szablonu; local strony_modul=require("Module:Strony"); local szeregi_modul=require("Module:Szeregi"); local szablonowe_dane_modul=mw.loadData("Module:Szablonowe/dane"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local specjalne_modul=require("Module:Specjalne"); local tab_wiki_znacznik=szablonowe_dane_modul.tablica_wiki_znaczniki; local tablica_znacznikowa_preprocesora_szablonowego=szablonowe_dane_modul.tablica_znacznikowa_preprocesora_szablonowego; local function InicjujNumeryPoczatkoweObiektowSzablonow() if(not __FUNKCJA3)then numer_szablonu={}; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_szablonowe_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=1; end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=1; end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_atrybutowe_znacznikowe_mediawiki)do numer_szablonu[obiekt]=1; end; else numer_szablonu=__FUNKCJA3(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; local PREWSTAWIAJACA=nil;local NiedokonczoneElementyWikikodu=nil;local czy_wynik=true; local function ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,co) if(__FUNKCJA2)then local wynik=__FUNKCJA2(szablon,co,numer_szablonu[co or "SZABLON"],tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,numer_szablonu); if(wynik)then numer_szablonu[co or "SZABLON"]=numer_szablonu[co or "SZABLON"]+1; wynik=(czy_wynik and PREWSTAWIAJACA) and PREWSTAWIAJACA(wynik) or wynik; return wynik,false; end; end; if(__FUNKCJA)then szablon=__FUNKCJA(szablon,co,numer_szablonu[co or "SZABLON"]) or szablon; end; local kod=szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(co,numer_szablonu[co or "SZABLON"]); --- local tab_co=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[co or "SZABLON"]; local obiekt=co or "SZABLON"; local tablica_co=p.UstawianieMetatabelki(tab_co,obiekt,__FUNKCJA_PARAMETRY); tablica_co[numer_szablonu[obiekt]]={szablon,false,}; --- numer_szablonu[obiekt]=numer_szablonu[obiekt]+1; return kod,true; end; local function AnalizaObiektowSzablonowegoTekstu(tekst_artykulu) local ile_znacznik_niedomykajacy_0;local ile_znacznik_niedomykajacy_1;local ile_znacznik_niedomykajacy_2; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local tab_licznik_poczatek={}; local tab_licznik_koniec={}; local tab_element={}; local ObiektFun=function(nazwa) return szablonowe_dane_modul.tablica_znaczniki_typowo_mechanizmu_mediawiki[nazwa] or (__FUNCTION_INCLUDE and __FUNCTION_INCLUDE(nazwa) and tablica_znacznikowa_preprocesora_szablonowego[nazwa] and "INCLUDE" or nil) or (tab_wiki_znacznik[nazwa] and "ZNACZNIK" or nil); end; local INCLUDE=function(tekst_artykulu) tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"<[^<>]") end; local INNEPRE=function(tekst_artykulu,czy_poczt,czy_szablon) local function INNEPREROZ(poczatek,koniec) repeat local ile;local ile2=0; tekst_artykulu,ile=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,(poczatek and "\n" or "^").."([^%S\n]+)([^\n]*)"..(koniec and "\n" or "$"),function(spacje,kod) if((not czy_szablon)or((czy_szablon)and((not mw.ustring.match(kod,"[|=]"))and((koniec)and true or (not mw.ustring.match(kod,"^[^%S\n]*$"))))))then kod=NiedokonczoneElementyWikikodu(kod); local szablon=spacje..kod; return (poczatek and "\n" or "")..ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"INNEPRE")..(koniec and "\n" or ""); else ile2=ile2+1; end; end); ile=ile-ile2; until (ile==0); end; if(not czy_poczt)then INNEPREROZ(false,true); INNEPREROZ(false,false); end; INNEPREROZ(true,true); INNEPREROZ(true,false); return tekst_artykulu; end; local tab_znaczniki={}; local tab_numerki={}; local function PreprocesorSzablonow(tekst_artykulu) tekst_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=p.KodowanieAtrybutoweZnacznikowe(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,numer_szablonu,__FUNKCJA_PARAMETRY); local function ZnacznikiWiki(tekst_artykulu,czy_zawsze,czy_inne) tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"<(/?)([%a%d]+)(%s*)([^<>]-)(%s*)>",function(koniec,nazwa,odstepy_przed,tekst,odstepy_po) ----- if((odstepy_przed=="")and((tekst~="")and(tekst~="/")))then return;end; if(koniec=="")then local nazwa=mw.ustring.lower(nazwa); table.insert(tab_znaczniki,nazwa); local koniec_samozamykajacy=mw.ustring.match(tekst,"^(.-)%s*(/?)%s*$"); if(koniec_samozamykajacy=="/")then tab_licznik_koniec[nazwa]=(tab_licznik_koniec[nazwa] or 0)+1; end; tab_licznik_poczatek[nazwa]=(tab_licznik_poczatek[nazwa] or 0)+1; if(not tab_numerki[nazwa])then tab_numerki[nazwa]={};end; table.insert(tab_numerki[nazwa],tab_licznik_poczatek[nazwa]); local licznik=tab_licznik_poczatek[nazwa]; local szablon=nazwa..odstepy_przed..tekst..odstepy_po; if(not tab_element)then tab_element={};end; local typ=ObiektFun(nazwa); if(not typ)then return "&lt;"..koniec..nazwa..odstepy_przed..tekst..odstepy_po.."&gt;"; end; --- local czy_znacznik=(typ=="ZNACZNIK"); local czy_include=(typ=="INCLUDE"); local jak=(((czy_zawsze)or(czy_inne))and(not czy_znacznik))and ((not czy_include)and "innebegin" or "incbegin") or (((czy_zawsze)or(not czy_inne))and(czy_znacznik)and "begin" or nil); if(not jak)then return;end; ---- if(not tab_element[nazwa..jak])then tab_element[nazwa..jak]={};end; tab_element[nazwa..jak][licznik]=szablon; return "<"..szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(nazwa..jak,licznik)..">"; else local nazwa=mw.ustring.lower(nazwa); tab_licznik_koniec[nazwa]=(tab_licznik_koniec[nazwa] or 0)+1; local licznik; if(#tab_znaczniki>0)then if(tab_znaczniki[#tab_znaczniki]~=nazwa)then local koniec=0; for i=#tab_znaczniki-1,1,-1 do if(tab_znaczniki[i]==nazwa)then koniec=i; break; end; end; if(koniec>0)then licznik=tab_numerki[nazwa][#tab_numerki[nazwa]]; for i=koniec+1,#tab_znaczniki,1 do tab_licznik_koniec[tab_znaczniki[i]]=(tab_licznik_koniec[tab_znaczniki[i]] or 0)+1; end; for i=koniec,#tab_znaczniki,1 do table.remove(tab_numerki[tab_znaczniki[i]]); end; for i=#tab_znaczniki,koniec,-1 do table.remove(tab_znaczniki); end; else tab_licznik_poczatek[nazwa]=(tab_licznik_poczatek[nazwa] or 0)+1; licznik=tab_licznik_poczatek[nazwa]; end; else licznik=tab_numerki[nazwa][#tab_numerki[nazwa]]; table.remove(tab_numerki[nazwa]); table.remove(tab_znaczniki); end; else tab_licznik_poczatek[nazwa]=(tab_licznik_poczatek[nazwa] or 0)+1; licznik=tab_licznik_koniec[nazwa]; end; local szablon=nazwa..odstepy_przed..tekst..odstepy_po; if(not tab_element)then tab_element={};end; local typ=ObiektFun(nazwa); if(not typ)then return "&lt;"..koniec..nazwa..odstepy_przed..tekst..odstepy_po.."&gt;"; end; --- local czy_znacznik=(typ=="ZNACZNIK"); local czy_include=(typ=="INCLUDE"); local jak=(((czy_zawsze)or(czy_inne))and(not czy_znacznik))and ((not czy_include)and "inneend" or "incend") or (((czy_zawsze)or(not czy_inne))and(czy_znacznik)and "end" or nil); if(not jak)then return;end; --- if(not tab_element[nazwa..jak])then tab_element[nazwa..jak]={};end; tab_element[nazwa..jak][licznik]=szablon; return "</"..szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(nazwa..jak,licznik)..">"; end; end); return tekst_artykulu; end; tekst_artykulu=ZnacznikiWiki(tekst_artykulu,false,true); local function ZnacznikiWikiLinia(tekst_artykulu,wzor1,wzor2) tekst_artykulu=szeregi_modul.ZamianaZnakowaLinii(tekst_artykulu, function(linia) local a;local b; a=mw.ustring.match(linia,wzor1); if(not a)then a,b=mw.ustring.match(linia,wzor2); if(not a)then return nil;end; end; if(b)then b=ZnacznikiWiki(b,false,false); return a..b; else a=ZnacznikiWiki(a,false,false); return a; end; end); return tekst_artykulu; end; ---- tekst_artykulu=ZnacznikiWikiLinia(tekst_artykulu,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$","^([%*#;:]+)([^\n]+)$"); tekst_artykulu=ZnacznikiWiki(tekst_artykulu,false,false); ---- local function AnalizujDomykajace(tekst_artykulu,jak,co) local tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"<(/?)("..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("([%a%d]+)"..jak..co,"(%d+)")..")>",function(poczatek,nazwa_przed_nieodkodowane,obiekt,kod) local nazwa_przed=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,nazwa_przed_nieodkodowane,nil,tab_element); local nazwa,odstepy,atrybuty,koniec=mw.ustring.match(nazwa_przed,"^([%a%d]+)(%s*)(.-)%s*(/?)%s*$"); nazwa=mw.ustring.lower(nazwa); if((koniec=="/")or(nazwa=="br")or(nazwa=="hr")or(nazwa=="templatestyles"))then local szablon="<"..poczatek..nazwa_przed..">"; return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,ObiektFun(nazwa)); end; return nil; end); return tekst_artykulu; end; tekst_artykulu=AnalizujDomykajace(tekst_artykulu,"inne","begin"); tekst_artykulu=AnalizujDomykajace(tekst_artykulu,"","begin"); tekst_artykulu=AnalizujDomykajace(tekst_artykulu,"inne","end"); tekst_artykulu=AnalizujDomykajace(tekst_artykulu,"","end"); ---- return tekst_artykulu; end; tekst_artykulu=PreprocesorSzablonow(tekst_artykulu); local function Kompilacja(tekst_artykulu) ---- local ZamianaLINKWNaLINKZ=function(zawartosc,dalej) local czy_url=strony_modul.SprawdzanieURL(zawartosc); if(czy_url)then local szablon="["..zawartosc.."]"; return "["..ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"LINKZ").."]"..dalej; else if((dalej)and(dalej~=""))then if(specjalne_modul["CzyAdresLinkuWewnętrznego"]{adres=zawartosc,})then local szablon; if(mw.ustring.match(zawartosc,"|"))then szablon="[["..zawartosc..dalej.."]]"; else local nazwa=mw.ustring.gsub(zawartosc,"^[%s_]*:[%s_]*",""); szablon="[["..zawartosc.."|"..nazwa..dalej.."]]"; end; return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"LINKW"); end; end; local szablon="[["..zawartosc.."]]"; return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"LINKW")..dalej; end; end; local PracePrzygotowywujace; NiedokonczoneElementyWikikodu=function(tekst_artykulu,czy_main) local function DomykajaceIOdtwierajace(tekst_artykulu,jak,tablica_znacznikow) repeat local ile_znacznik_niedomykajacy; local ile_znacznik_niedomykajacy_ujemny=0; tekst_artykulu,ile_znacznik_niedomykajacy=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"<("..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("([%a%d]+)"..jak.."begin","(%d+)")..")>(.*)$",function(nazwa_przed_nieodkodowane,obiekt,kod,zawartosc) local nazwa_przed=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,nazwa_przed_nieodkodowane,nil,tab_element); if(tablica_znacznikow)then if(not tablica_znacznikow[nazwa_przed])then ile_znacznik_niedomykajacy_ujemny=ile_znacznik_niedomykajacy_ujemny+1; return nil; end; end; zawartosc=INNEPRE(zawartosc,true); zawartosc=NiedokonczoneElementyWikikodu(zawartosc); zawartosc=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,zawartosc,nil,tab_element); local nazwa,odstepy,atrybuty=mw.ustring.match(nazwa_przed,"^([%a%d]+)(%s*)(.-)%s*$"); local szablon="<"..nazwa_przed..">"..zawartosc..((mw.ustring.match(zawartosc,"\n=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*$") or mw.ustring.match(zawartosc,"\n[%*#:;][^\n]*$") ) and "\n" or "").."</"..nazwa..">"; return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"ZNACZNIK"); end); ile_znacznik_niedomykajacy=ile_znacznik_niedomykajacy-ile_znacznik_niedomykajacy_ujemny; until (ile_znacznik_niedomykajacy==0); repeat local ile_znacznik_nieotwierajacy; local ile_znacznik_nieotwierajacy_ujemny=0; tekst_artykulu,ile_znacznik_nieotwierajacy=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"^(.*)</("..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("([%a%d]+)"..jak.."end","(%d+)")..")>",function(zawartosc,nazwa_po_nieodkodowane,obiekt,kod) local nazwa_po=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,nazwa_po_nieodkodowane,nil,tab_element); if(tablica_znacznikow)then if(not tablica_znacznikow[nazwa_po])then ile_znacznik_nieotwierajacy_ujemny=ile_znacznik_nieotwierajacy_ujemny+1; return nil; end; end; zawartosc=INNEPRE(zawartosc); zawartosc=NiedokonczoneElementyWikikodu(zawartosc); zawartosc=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,zawartosc,nil,tab_element); local nazwa,odstepy,atrybuty=mw.ustring.match(nazwa_po,"^([%a%d]+)(%s*)(.-)%s*$"); local szablon="<"..nazwa..">"..((mw.ustring.match(zawartosc,"^=[^\n]*[^%s=][^\n]*=[^%S\n]*\n") or mw.ustring.match(zawartosc,"^[%*#:;][^\n]*\n") ) and "\n" or "")..zawartosc.."</"..nazwa_po..">"; return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"ZNACZNIK"); end); ile_znacznik_nieotwierajacy=ile_znacznik_nieotwierajacy-ile_znacznik_nieotwierajacy_ujemny; until (ile_znacznik_nieotwierajacy==0); return tekst_artykulu; end; if(__FUNCTION_niedokonczone)then local wynik,gdy_nie,tablica_znacznikow,czy_koniec,__FUNCTION=__FUNCTION_niedokonczone(tekst_artykulu,tab_element); if(gdy_nie)then if(czy_koniec)then return wynik or tekst_artykulu;end; tekst_artykulu=wynik or tekst_artykulu; tekst_artykulu=__FUNCTION and __FUNCTION(tekst_artykulu) or tekst_artykulu; tekst_artykulu=tablica_znacznikow and DomykajaceIOdtwierajace(tekst_artykulu,"",tablica_znacznikow) or tekst_artykulu; return tekst_artykulu; else tekst_artykulu=wynik or tekst_artykulu; end; end; local function DomykajaceIOdtwierajaceWikiTabelka(tekst_artykulu) repeat local ile_wikitabela_1; tekst_artykulu,ile_wikitabela_1=szeregi_modul.ZamianaZnakowaSzeregu(tekst_artykulu,"({|)(.-)$", function(szereg,numer,licznik_wzor,numer_a,numer_b,poczatek,szablon) return mw.ustring.match(szablon,"\n%{%|"),((licznik_wzor==1)and 2 or 3); end, function(licznik_wzor,poczatek,szablon) szablon=INNEPRE(szablon,true); szablon=NiedokonczoneElementyWikikodu(szablon); szablon=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon,nil,tab_element); return (((czy_main)and(licznik_wzor==1)) and "" or "\n")..ZamienObiektSzablonuKodem(self,poczatek..szablon.."\n|}",tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"WIKITABELA"); end, function(wzor,licznik_wzor,czy) if(czy_main)then if(licznik_wzor==1)then return "^"..wzor,true;end; return "\n"..wzor,false; else return "\n"..wzor,false; end; end); until (ile_wikitabela_1==0); repeat local ile_wikitabela_2; tekst_artykulu,ile_wikitabela_2=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"^(.-)(\n|})",function(szablon,koniec) szablon=INNEPRE(szablon); szablon=NiedokonczoneElementyWikikodu(szablon); szablon=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,szablon,nil,tab_element); return ZamienObiektSzablonuKodem(self,"\n{|\n"..szablon..koniec,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"WIKITABELA"); end); until (ile_wikitabela_2==0); return tekst_artykulu; end; local function DomykajaceIOdtwierajaceLinia(tekst_artykulu,wzor_dodatnie,wzor_ujemne) tekst_artykulu=szeregi_modul.ZamianaZnakowaLinii(tekst_artykulu,function(linia) local dodatnie=nil; local a,b,c=mw.ustring.match(linia,wzor_dodatnie); if((not a)or(not b)or(not c))then a,b=mw.ustring.match(linia,wzor_ujemne); if((not a)or(not b))then return nil;end; c=nil; else dodatnie=true; end; if(dodatnie)then b=DomykajaceIOdtwierajace(b,""); return a..b..c; else b=DomykajaceIOdtwierajace(b,""); return a..b; end; end); return tekst_artykulu; end; --- tekst_artykulu=DomykajaceIOdtwierajace(tekst_artykulu,"inne"); ----- local wzor_dodatnie="^(=+[^%S\n]*)([^\n]-[^%s=][^\n]-)([^%S\n]*=+[^%S\n]*)$"; local wzor_ujemne="^([%*#;:]+[^%S\n]*)([^\n]+)$"; tekst_artykulu=DomykajaceIOdtwierajaceLinia(tekst_artykulu,wzor_dodatnie,wzor_ujemne); ----- --- --tekst_artykulu=DomykajaceIOdtwierajace(tekst_artykulu,"inne"); tekst_artykulu=DomykajaceIOdtwierajace(tekst_artykulu,""); tekst_artykulu=DomykajaceIOdtwierajaceWikiTabelka(tekst_artykulu); return tekst_artykulu; end; local function ZNACZNIKI(tekst_artykulu,jak) local ile_odjac_znacznik_niedomykajacy=0; local tekst_artykulu,ile_znacznik_niedomykajacy=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"<("..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("([%a%d]+)"..jak.."begin","(%d+)")..")>(.-)</("..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("(%2)"..jak.."end","(%3)")..")>",function(nazwa_przed_nieodkodowane,obiekt,kod,zawartosc,nazwa_po_nieodkodowane,obiekt2,kod2) local nazwa_przed=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,nazwa_przed_nieodkodowane,nil,tab_element); local nazwa,odstepy,atrybuty=mw.ustring.match(nazwa_przed,"^([%a%d]+)(%s*)(.-)%s*$"); nazwa=mw.ustring.lower(nazwa); local function TenZnacznik() local nazwa_po=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,nazwa_po_nieodkodowane,nil,tab_element); zawartosc=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,zawartosc,nil,tab_element); if(jak=="")then zawartosc=INNEPRE(zawartosc,true); end; local szablon="<"..nazwa_przed..">"..zawartosc.."</"..nazwa_po..">"; return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,ObiektFun(nazwa)); end; local function InneZnacznik() ile_odjac_znacznik_niedomykajacy=ile_odjac_znacznik_niedomykajacy+1; local szablon="<"..nazwa_przed_nieodkodowane..">"..zawartosc.."</"..nazwa_po_nieodkodowane..">"; return szablon; end; if(not mw.ustring.match(atrybuty,"^%s*$"))then if(odstepy~="")then if((jak~="")and(jak~="inc"))then return TenZnacznik(); end; else return InneZnacznik(); end; else if((jak~="")and(jak~="inc"))then return TenZnacznik(); end; end; ---- local ile_zastapione;local ile_pominiete; zawartosc,ile_zastapione,ile_pominiete=ZNACZNIKI(zawartosc,jak); zawartosc=PracePrzygotowywujace(zawartosc); zawartosc=INNEPRE(zawartosc,true); zawartosc=NiedokonczoneElementyWikikodu(zawartosc); return TenZnacznik(); end); return tekst_artykulu,ile_znacznik_niedomykajacy,ile_odjac_znacznik_niedomykajacy; end; ---- PracePrzygotowywujace=function(tekst_artykulu,czy_main) local ile_linkw;local ile_linkz;local ile_var;local ile_template;local ile_wikitabela; local function Szablon(zawartosc,przed,po,obiekt,czy_linkw,dalej) local ile_znacznik_niedomykajacy,ile_odjac_znacznik_niedomykajacy; zawartosc,ile_znacznik_niedomykajacy,ile_odjac_znacznik_niedomykajacy=ZNACZNIKI(zawartosc,""); zawartosc=PracePrzygotowywujace(zawartosc); zawartosc=INNEPRE(zawartosc,true,(obiekt=="SZABLON")); zawartosc=NiedokonczoneElementyWikikodu(zawartosc); zawartosc=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,zawartosc,nil,tab_element); if(czy_linkw)then return ZamianaLINKWNaLINKZ(zawartosc,dalej); else local szablon=przed..zawartosc..po; return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,obiekt); end; end; repeat repeat tekst_artykulu,ile_linkw=szeregi_modul.ZamianaZnakowaSzeregu(tekst_artykulu,"%[%[(.-%[?)%]%](%]?)(%l*)", function(szereg,numer,numer_a,numer_b,szablon,dodatkowe,dalej) local czy_dalej_kwadratowe=mw.ustring.match(szablon,"%[%["); if(czy_dalej_kwadratowe)then return czy_dalej_kwadratowe,2; else return mw.ustring.match(szablon,"^%["),3; end; end, function(szablon,dodatkowe,dalej) if(dodatkowe~="")then local czy_linkz=mw.ustring.match(szablon,"%[[^%[%]]*$"); if(czy_linkz)then szablon=szablon..dodatkowe; return Szablon(szablon,"[[","]]","LINKW",true,dalej); else return Szablon(szablon,"[[","]]","LINKW",true,"")..dodatkowe..dalej; end; else return Szablon(szablon,"[[","]]","LINKW",true,dalej); end; end); until (ile_linkw==0); tekst_artykulu,ile_linkz=szeregi_modul.ZamianaZnakowaSzeregu(tekst_artykulu,"%[(.-)%]", function(szereg,numer,numer_a,numer_b,szablon) return mw.ustring.match(szablon,"%["),1; end, function(szablon) return Szablon(szablon,"[","]","LINKZ"); end); repeat tekst_artykulu,ile_var=szeregi_modul.ZamianaZnakowaSzeregu(tekst_artykulu,"{{{(.-)}}}", function(szereg,numer,numer_a,numer_b,szablon) local czy_dalej_klamerka=mw.ustring.match(szablon,"%{%{%{"); if(czy_dalej_klamerka)then return czy_dalej_klamerka,3; else return mw.ustring.match(szablon,"^%{"),4; end; end, function(szablon) return Szablon(szablon,"{{{","}}}","ZMIENNA"); end); until (ile_var==0); tekst_artykulu,ile_template=szeregi_modul.ZamianaZnakowaSzeregu(tekst_artykulu,"{{(.-)}}", function(szereg,numer,numer_a,numer_b,szablon) local czy_dalej_klamerka=mw.ustring.match(szablon,"%{%{"); if(czy_dalej_klamerka)then return czy_dalej_klamerka,2; else return mw.ustring.match(szablon,"^%{"),3; end; end, function(szablon) return Szablon(szablon,"{{","}}","SZABLON"); end); tekst_artykulu,ile_wikitabela=szeregi_modul.ZamianaZnakowaSzeregu(tekst_artykulu,"{|(.-)\n|}", function(szereg,numer,licznik_wzor,numer_a,numer_b,szablon) return mw.ustring.match(szablon,"\n%{%|"),(czy_main and ((licznik_wzor==1) and 2 or 3) or 3); end, function(licznik_wzor,szablon) if((czy_main)and(licznik_wzor==1))then return Szablon(szablon,"{|","\n|}","WIKITABELA"); else return "\n"..Szablon(szablon,"{|","\n|}","WIKITABELA"); end; end, function(wzor,numer_begin,czy) if(czy_main)then if(numer_begin==1)then return "^"..wzor,true;end; return "\n"..wzor,false; else return "\n"..wzor,false; end; end); until ((ile_linkw==0)and(ile_linkz==0)and(ile_var==0)and(ile_template==0)and(ile_wikitabela==0)); return tekst_artykulu; end; ---- local ile_odjac_znacznik_niedomykajacy_0; if(__FUNCTION_INCLUDE)then tekst_artykulu,ile_znacznik_niedomykajacy_0,ile_odjac_znacznik_niedomykajacy_0=ZNACZNIKI(tekst_artykulu,"inc"); ile_znacznik_niedomykajacy_0=ile_znacznik_niedomykajacy_0-ile_odjac_znacznik_niedomykajacy_0; ---- tekst_artykulu=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,function(szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji,tekst_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) if(obiekt=="INCLUDE")then local nazwa,zawartosc,tab=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); if(__FUNCTION_INCLUDE(nazwa))then local function inc(zawartosc) return (mw.ustring.match(tekst_artykulu,"{{{[^{}|]*"..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod).."%s*}}}") or mw.ustring.match(tekst_artykulu,"{{.-|.-"..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod)..".-}}") )and true or false; end; if(nazwa=="noinclude")then if(poziom_iteracji==0)then return (not inc(zawartosc)) and "" or zawartosc; else return zawartosc; end; elseif(nazwa=="includeonly")then if(poziom_iteracji==0)then return (not inc(zawartosc)) and zawartosc or ""; else return ""; end; end; end; end; return nil,true; end); end; ---- local ile_odjac_znacznik_niedomykajacy_1; tekst_artykulu,ile_znacznik_niedomykajacy_1,ile_odjac_znacznik_niedomykajacy_1=ZNACZNIKI(tekst_artykulu,"inne"); ile_znacznik_niedomykajacy_1=ile_znacznik_niedomykajacy_1-ile_odjac_znacznik_niedomykajacy_1; ---- tekst_artykulu=PracePrzygotowywujace(tekst_artykulu,true); ---- local ile_odjac_znacznik_niedomykajacy_2; tekst_artykulu,ile_znacznik_niedomykajacy_2,ile_odjac_znacznik_niedomykajacy_2=ZNACZNIKI(tekst_artykulu,""); return tekst_artykulu; end; PREWSTAWIAJACA=function(tekst_artykulu) czy_wynik=nil; tekst_artykulu=PreprocesorSzablonow(tekst_artykulu); tekst_artykulu=Kompilacja(tekst_artykulu); czy_wynik=true; return tekst_artykulu; end; tekst_artykulu=Kompilacja(tekst_artykulu) local function PoczatekKoniecTekst(tekst_artykulu) local tekst_poczatek=(__FUNKCJA_poczatek and __FUNKCJA_poczatek(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or nil); local tekst_koniec=(__FUNKCJA_koniec and __FUNKCJA_koniec(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul) or nil); if(((tekst_poczatek)and(not mw.ustring.match(tekst_poczatek,"^%s*$")))or((tekst_koniec)and(not mw.ustring.match(tekst_koniec,"^%s*$"))))then tekst_poczatek=tekst_poczatek and PREWSTAWIAJACA(tekst_poczatek) or tekst_poczatek; tekst_koniec=tekst_koniec and PREWSTAWIAJACA(tekst_koniec) or tekst_koniec; tekst_artykulu=(tekst_poczatek or "")..tekst_artykulu..(tekst_koniec or ""); end; return tekst_artykulu; end; tekst_artykulu=PoczatekKoniecTekst(tekst_artykulu); local function PraceKoncowe(tekst_artykulu) tekst_artykulu=NiedokonczoneElementyWikikodu(tekst_artykulu,true); return tekst_artykulu; end; tekst_artykulu=PraceKoncowe(tekst_artykulu); tekst_artykulu=szablonowe_modul.KompletowanieSzablonoweZakodowanegoTekstu(self,tekst_artykulu,nil,tab_element); tekst_artykulu=INNEPRE(tekst_artykulu); tekst_artykulu=szablonowe_modul.OdkodowanieZakodowanychNormKodowychNieschematycznychRzeczy(self,tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); return tekst_artykulu; end; local function InicjujTabela() if(not __FUNKCJA3)then if(not __FUNKCJA4)then for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_szablonowe_mediawiki)do tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]={}; end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_kodowa_obiektowa_typowo_mechanizmu_mediawiki)do tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]={}; end; for obiekt,_ in pairs(szablonowe_dane_modul.tablica_podstawowe_elementy_atrybutowe_znacznikowe_mediawiki)do tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt]={}; end; else tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=__FUNKCJA4(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; else if(__FUNKCJA4)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=__FUNKCJA4(tekst_artykulu,nazwa_modulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); end; end; end; local function UstawieniaPoczatkoweObiektowSzablonow() if(not tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul)then tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul=szablonowe_modul.TablicaBazyKodowaniaArtykularnegoParsowaniaTekstu(self,nazwa_modulu); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); if(parametry_modul.CzyTak(tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul))then numer_szablonu=self.numer_szablonu; else InicjujNumeryPoczatkoweObiektowSzablonow(); self.numer_szablonu=numer_szablonu; InicjujTabela(); end; else InicjujNumeryPoczatkoweObiektowSzablonow(); InicjujTabela(); end; end; ---- UstawieniaPoczatkoweObiektowSzablonow(); --- local PreProcesorSTARE=function(tekst_artykulu,wzor_kodu,czy_tak) tekst_artykulu=mw.ustring.gsub(tekst_artykulu,"("..wzor_kodu..")",function(szablon,obiekt,kod) if(czy_tak)then local tablica_szablon_obiekt=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul and tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt] or nil; local kod=tablica_szablon_obiekt and tonumber(kod) or nil; if(kod)then local szablon_wynik=tablica_szablon_obiekt and tablica_szablon_obiekt[kod] or nil; if(not szablon_wynik)then return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"STARE"); else local wynik=__FUNKCJA2(szablon_wynik,obiekt,kod,tekst_artykulu,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,numer_szablonu); return wynik; end; else return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"STARE"); end; else return ZamienObiektSzablonuKodem(self,szablon,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,"STARE"); end; end); return tekst_artykulu; end; tekst_artykulu=PreProcesorSTARE(tekst_artykulu,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(),true); tekst_artykulu=PreProcesorSTARE(tekst_artykulu,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaEncodeWikiTekstu(),false); tekst_artykulu=AnalizaObiektowSzablonowegoTekstu(tekst_artykulu); return tekst_artykulu; end; return p; pbugmflbolvr4zjzmmfc3j6pt84fs59 4 63512 558521 558516 2026-10-04T12:12:29Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany}}{{Code|p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany}} */ 558521 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron}}{{Code|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron}} == Szablon do wyszukania linii, a czy w nim jest nagłówek: '''Spis treści''', czy '''Spis rzeczy''', niezależnie jakiej wielkościami liter napisany, niezaleznie jak znormowany. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(linia,spacje_na_poczatku)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|linia}} {{LinkPatrz|linia|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _1 = Linia do sprawdzenia. | 2 = {{Code|spacje_na_poczatku}} {{Patrz|spacje_na_poczatku}} | _2 = Czy na początku linii mogą być odstępy. }} Funkcja używa do swojego działania tabeli {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci={ [1]="[ _\t]*'*[ _\t]*[Ss][Pp][Ii][Ss][ _\t]+[Tt][Rr][Ee][ŚśSs][Cc][Ii][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*", [2]="[ _\t]*'*[ _\t]*[Ss][Pp][Ii][Ss][ _\t]+[Rr][Zz][Ee][Cc][Zz][Yy][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*", }; </syntaxhighlight> * Funkcja usuwa znaki kontrolne: {{Code|<nowiki>%c</nowiki>}}, bez nowej linii: {{Code|<nowiki>\n</nowiki>}} i tabulacji: {{Code|<nowiki>\t</nowiki>}}, * W zależności od ustawień parametrów, które też trzeba włączyć do działania tego szablonu, funkcja wyszukuje odpowiedni napis wprowadzenia tekstu, ** Funkcja ustawia wartość {{Code|true}}, gdy taki nagłówek znalazł. Funkcja do usuwania odpowiednich znaków kontrolnych bez pewnych elementów, do tego celu używa funkcji: {{Code|{{sr|#p.UsuwanieZnakoweKontrolneNiewidzialne|p=Techniczne}}}}, by dalej przejść do omówionego wyszukiwania. == {{Śródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy}}{{Code|p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy}} == Funkcja w tekście wyszkukuje rozdziału ze: '''Spis treści''', czy: '''Spis rzeczy''', niezależnie jakimi wielkościami liter napisany, niezależnie jak znormowany, określone tabelą: {{LinkPatrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci}}. Jest to rozszerzenie funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron}}, który jest dla poszczególnych linii {{Code|linia}} {{LinkPatrz|linia|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, na cały tekst {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}. Na początku nowej linii nie mogą być odstępy. Funkcja przeszukuje tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}, od pozycji: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od}}, do: {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do}}. Szablon szuka od tyłu lub do przodu, w zależności, jaką wartość ma zmienna {{Code|jak}} {{LinkPatrz|jak}}, czyli w pewnych zakresach, tzn. od {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od}} do {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do}}. W wyszukiwaniu do przodu pierwsza liczba jest mniejsza lub równa od drugiej, a do tyłu, pierwsza liczba większa lub równa od drugiej. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,jak)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Przeszukiwany tekst. | 2 = {{Code|liczba_od}} {{Patrz|liczba_od}} | _2 = Początek wyszukiwania. | 3 = {{Code|liczba_do}} {{Patrz|liczba_do}} | _3 = Koniec wyszukiwania. | 4 = {{Code|jak}} {{Patrz|jak}} |_4 = Odpowiadająca wartości: {{Code|true}}, gdy wyszukiwanie do tyłu, a przeciwnie do przodu. }} ; Sprawdzanie, linii wyszukanej, czy to jest{{dk}} {{nobold|spis treści}}, czy{{dk}} {{nobold|spis rzeczy}}{{dk}} * Funkcja wyszukuje kolejnej linie, aż do zakończenia jej zasobów, jak nie znalazł jej odpowiedniej, przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. * Funkcja sprawdza linię przy pomocy procedury, czy wyszukana linia reprezentuje, co szukamy, według tego rozdziału, według: {{LinkŚródtytuł|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron}}. * Jak on to znalazł odpowiednią linię pasującego do wzoru, to zwraca zestaw parametrów: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial; </syntaxhighlight> Parametry zwracane dla wyszukanego rozdziału zwracanego: * {{Code|rozdzial}} - wyszukany rozdział, w tekście: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}, * {{Code|liczba_start_rozdzial}} {{Patrz|liczba_start_rozdzial}} - początek wyszukanej linii z nim, * {{Code|liczba_koniec_rozdzial}} {{Patrz|liczba_koniec_rozdzial}} - koniec wyszukanej linii z nim. W pozostałych przypadkach funkcja nie zwraca żadnej wartości. == {{Śródtytuł|p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany}}{{Code|p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany}} == Funkcja sprawdza, czy wyszukany szablon jest centrowany, tzn. czy jest jednym z szablonów: {{s|Center}}, {{s|Centruj}} lub {{s|Ce}}, a w przypadku znacznika, czy jest według: {{Tag|center}}, czyli też centrowania. {{PobierzŚródtekst|uchwyt=parametry-baza_danych_kodowania_artykułu|nazwa artykułu=StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany(szablon,obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry fukcji: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry złożone|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|szablon}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, w naszej funkcji, sprawdzany element, to szablon, czy znacznik. | 3 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _4 = Obiekt typu: {{Code|SZABLON}}, dla szablonu, lub: {{Code|ZNACZNIK}}, dla znacznika. | 5 = {{Code|kod}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 9 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 10 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _10 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}.. }} Funkcja do sprawdzania, w tym przypadku, szablonów centrowania, używa, do tego celu tabeli: {{Code|{{sr|#p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, o kluczach o nazwach z nimi w {{Patrz|p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy={ ["Ce"]=1, ["Centruj"]=1, ["Center"]=1, }; </syntaxhighlight> Jeżeli znaleziony wskazany szablon, czy znacznik, centrowania ma zawartość, wtedy funkcja zwraca wynik: {{Code|true}}, przeciwnie nie zwraca żadnej wartości. == {{Śródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu}} == Funkcja wyszukuje teksty według wzoru {{Code|wzor}} {{LinkPatrz|wzor}} od {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od}} do {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do}}, od tyłu lub do przodu w zależności od ustalonej zmiennej {{Code|jak}} {{LinkPatrz|jak}}. Wybiera stąd wyszukiwania, które nie są rozdziałami dodatnimi równaniowymi i ujemnymi będących pozycjami listy. Funkcja wyklucza rozdziały będące szablonami centrowania. Funkcja sprawdza, czy wyszukany rozdział jest centrowania, robi to za pomocą zmiennej {{Code|linia}} {{LinkPatrz|linia|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} i tabel baz, tzn.: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, z przetworzonymi danymi z: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Z tego wyszukuje zmienne z iteratora z jego pierwszego wywołania iteracyjnego, i z tylko jednego, bez iterowania w pętli, z pierwszej iteracji są zwykle parametry: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, lub wartości nilowe. Wykluczanie, czy wyszukany ciąg jest szablonem centrowania, robi to za pomocą funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany}}, a jeżeli nie, to trzeba sprawdzić, czy to jest zerowy napis wprowadzenia testu, w tym celu rewidujemy to za pomocą: {{Code|{{sr|#p.CzyZerowyNapisWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/Rozdziały}}}}, jeśli tak, to funkcja zgłasza powodzenie i zwraca wyniki. {{PobierzŚródtekst|uchwyt=parametry-baza_danych_kodowania_artykułu}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor,liczba_od,liczba_do,jak,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}. | 2 = {{Code|wzor}} {{Patrz|wzor}} | _2 = Wzór do przeszukiwania treści od: {{LinkPatrz|liczba_od}}, do: {{LinkPatrz|liczba_do}}, do tyłu, jak i do przodu, w zależności od wyboru w zmiennej {{LinkPatrz|jak}}. | 3 = {{Code|liczba_od}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_od}}. | 4 = {{Code|liczba_do}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_do}}. | 5 = {{Code|jak}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|jak}}. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 9 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 10 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _10 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja przeszukuje tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}, według wzoru: {{Code|wzor}} {{LinkPatrz|wzor}}, w pewnych zakresach: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od}} - {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do}}, od tyłu, czy do przodu, według: {{Code|jak}} {{LinkPatrz|jak}}, używając do tego funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Jeżeli wszystko poszło dobrze, to zwracane są wyniki w postaci {{Patrz|wynimi znajdowania centrowanego}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,linia; </syntaxhighlight> Wyjaśnienie parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start_rozdzial}} {{LinkPatrz|liczba_start_rozdzial}} | _1 = Początek wyszukanej linii. | 2 = {{Code|liczba_koniec_rozdzial}} {{LinkPatrz|liczba_koniec_rozdzial}} | _2 = Koniec wyszukiwanej linii. | 3 = {{Code|linia}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|linia|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, czyli wyszukiwana linia spełniająca pewne kryteria. }} {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> jfh0cjnznml2gmfs1q0kjxh3enxf4ih 558522 558521 2026-10-04T12:13:02Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu}} */ 558522 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron}}{{Code|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron}} == Szablon do wyszukania linii, a czy w nim jest nagłówek: '''Spis treści''', czy '''Spis rzeczy''', niezależnie jakiej wielkościami liter napisany, niezaleznie jak znormowany. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(linia,spacje_na_poczatku)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|linia}} {{LinkPatrz|linia|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _1 = Linia do sprawdzenia. | 2 = {{Code|spacje_na_poczatku}} {{Patrz|spacje_na_poczatku}} | _2 = Czy na początku linii mogą być odstępy. }} Funkcja używa do swojego działania tabeli {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci={ [1]="[ _\t]*'*[ _\t]*[Ss][Pp][Ii][Ss][ _\t]+[Tt][Rr][Ee][ŚśSs][Cc][Ii][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*", [2]="[ _\t]*'*[ _\t]*[Ss][Pp][Ii][Ss][ _\t]+[Rr][Zz][Ee][Cc][Zz][Yy][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*", }; </syntaxhighlight> * Funkcja usuwa znaki kontrolne: {{Code|<nowiki>%c</nowiki>}}, bez nowej linii: {{Code|<nowiki>\n</nowiki>}} i tabulacji: {{Code|<nowiki>\t</nowiki>}}, * W zależności od ustawień parametrów, które też trzeba włączyć do działania tego szablonu, funkcja wyszukuje odpowiedni napis wprowadzenia tekstu, ** Funkcja ustawia wartość {{Code|true}}, gdy taki nagłówek znalazł. Funkcja do usuwania odpowiednich znaków kontrolnych bez pewnych elementów, do tego celu używa funkcji: {{Code|{{sr|#p.UsuwanieZnakoweKontrolneNiewidzialne|p=Techniczne}}}}, by dalej przejść do omówionego wyszukiwania. == {{Śródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy}}{{Code|p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy}} == Funkcja w tekście wyszkukuje rozdziału ze: '''Spis treści''', czy: '''Spis rzeczy''', niezależnie jakimi wielkościami liter napisany, niezależnie jak znormowany, określone tabelą: {{LinkPatrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci}}. Jest to rozszerzenie funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron}}, który jest dla poszczególnych linii {{Code|linia}} {{LinkPatrz|linia|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, na cały tekst {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}. Na początku nowej linii nie mogą być odstępy. Funkcja przeszukuje tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}, od pozycji: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od}}, do: {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do}}. Szablon szuka od tyłu lub do przodu, w zależności, jaką wartość ma zmienna {{Code|jak}} {{LinkPatrz|jak}}, czyli w pewnych zakresach, tzn. od {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od}} do {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do}}. W wyszukiwaniu do przodu pierwsza liczba jest mniejsza lub równa od drugiej, a do tyłu, pierwsza liczba większa lub równa od drugiej. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,jak)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Przeszukiwany tekst. | 2 = {{Code|liczba_od}} {{Patrz|liczba_od}} | _2 = Początek wyszukiwania. | 3 = {{Code|liczba_do}} {{Patrz|liczba_do}} | _3 = Koniec wyszukiwania. | 4 = {{Code|jak}} {{Patrz|jak}} |_4 = Odpowiadająca wartości: {{Code|true}}, gdy wyszukiwanie do tyłu, a przeciwnie do przodu. }} ; Sprawdzanie, linii wyszukanej, czy to jest{{dk}} {{nobold|spis treści}}, czy{{dk}} {{nobold|spis rzeczy}}{{dk}} * Funkcja wyszukuje kolejnej linie, aż do zakończenia jej zasobów, jak nie znalazł jej odpowiedniej, przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. * Funkcja sprawdza linię przy pomocy procedury, czy wyszukana linia reprezentuje, co szukamy, według tego rozdziału, według: {{LinkŚródtytuł|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron}}. * Jak on to znalazł odpowiednią linię pasującego do wzoru, to zwraca zestaw parametrów: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial; </syntaxhighlight> Parametry zwracane dla wyszukanego rozdziału zwracanego: * {{Code|rozdzial}} - wyszukany rozdział, w tekście: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}, * {{Code|liczba_start_rozdzial}} {{Patrz|liczba_start_rozdzial}} - początek wyszukanej linii z nim, * {{Code|liczba_koniec_rozdzial}} {{Patrz|liczba_koniec_rozdzial}} - koniec wyszukanej linii z nim. W pozostałych przypadkach funkcja nie zwraca żadnej wartości. == {{Śródtytuł|p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany}}{{Code|p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany}} == Funkcja sprawdza, czy wyszukany szablon jest centrowany, tzn. czy jest jednym z szablonów: {{s|Center}}, {{s|Centruj}} lub {{s|Ce}}, a w przypadku znacznika, czy jest według: {{Tag|center}}, czyli też centrowania. {{PobierzŚródtekst|uchwyt=parametry-baza_danych_kodowania_artykułu|nazwa artykułu=StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany(szablon,obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry fukcji: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry złożone|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|szablon}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, w naszej funkcji, sprawdzany element, to szablon, czy znacznik. | 3 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _4 = Obiekt typu: {{Code|SZABLON}}, dla szablonu, lub: {{Code|ZNACZNIK}}, dla znacznika. | 5 = {{Code|kod}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 9 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 10 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _10 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}.. }} Funkcja do sprawdzania, w tym przypadku, szablonów centrowania, używa, do tego celu tabeli: {{Code|{{sr|#p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, o kluczach o nazwach z nimi w {{Patrz|p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy={ ["Ce"]=1, ["Centruj"]=1, ["Center"]=1, }; </syntaxhighlight> Jeżeli znaleziony wskazany szablon, czy znacznik, centrowania ma zawartość, wtedy funkcja zwraca wynik: {{Code|true}}, przeciwnie nie zwraca żadnej wartości. == {{Śródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu}} == Funkcja wyszukuje teksty według wzoru {{Code|wzor}} {{LinkPatrz|wzor}} od {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od}} do {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do}}, od tyłu lub do przodu w zależności od ustalonej zmiennej {{Code|jak}} {{LinkPatrz|jak}}. Wybiera stąd wyszukiwania, które nie są rozdziałami dodatnimi równaniowymi i ujemnymi będących pozycjami listy. Funkcja wyklucza rozdziały będące szablonami centrowania. Funkcja sprawdza, czy wyszukany rozdział jest centrowania, robi to za pomocą zmiennej {{Code|linia}} {{LinkPatrz|linia|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} i tabel baz, tzn.: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, z przetworzonymi danymi z: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Z tego wyszukuje zmienne z iteratora z jego pierwszego wywołania iteracyjnego, i z tylko jednego, bez iterowania w pętli, z pierwszej iteracji są zwykle parametry: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, lub wartości nilowe. Wykluczanie, czy wyszukany ciąg jest szablonem centrowania, robi to za pomocą funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany}}, a jeżeli nie, to trzeba sprawdzić, czy to jest zerowy napis wprowadzenia testu, w tym celu rewidujemy to za pomocą: {{Code|{{sr|#p.CzyZerowyNapisWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/Rozdziały}}}}, jeśli tak, to funkcja zgłasza powodzenie i zwraca wyniki. {{PobierzŚródtekst|uchwyt=parametry-baza_danych_kodowania_artykułu|nazwa artykułu=StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor,liczba_od,liczba_do,jak,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}. | 2 = {{Code|wzor}} {{Patrz|wzor}} | _2 = Wzór do przeszukiwania treści od: {{LinkPatrz|liczba_od}}, do: {{LinkPatrz|liczba_do}}, do tyłu, jak i do przodu, w zależności od wyboru w zmiennej {{LinkPatrz|jak}}. | 3 = {{Code|liczba_od}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_od}}. | 4 = {{Code|liczba_do}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_do}}. | 5 = {{Code|jak}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|jak}}. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 9 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 10 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _10 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja przeszukuje tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}}, według wzoru: {{Code|wzor}} {{LinkPatrz|wzor}}, w pewnych zakresach: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od}} - {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do}}, od tyłu, czy do przodu, według: {{Code|jak}} {{LinkPatrz|jak}}, używając do tego funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Jeżeli wszystko poszło dobrze, to zwracane są wyniki w postaci {{Patrz|wynimi znajdowania centrowanego}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,linia; </syntaxhighlight> Wyjaśnienie parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start_rozdzial}} {{LinkPatrz|liczba_start_rozdzial}} | _1 = Początek wyszukanej linii. | 2 = {{Code|liczba_koniec_rozdzial}} {{LinkPatrz|liczba_koniec_rozdzial}} | _2 = Koniec wyszukiwanej linii. | 3 = {{Code|linia}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|linia|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, czyli wyszukiwana linia spełniająca pewne kryteria. }} {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 7ebzeoay39uxeoxa5kr0njxyksd2f3j 4 63919 558517 556272 2026-10-04T12:05:00Z Persino 2851 558517 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}}{{Code|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}} == Funkcja wyszukuje w: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, najbliższy rozdział do przodu lub od tyłu w zależności od podanego parametru: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, w zakresach od: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, do: {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja znajdująca uwzględnia, że tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, może być zakodowany w bazie kodów: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, a części jego bazy mogą być w postaci przeanalizowanej w: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Funkcja przeszukuje kolejne linie przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, linie rodziałów zakodowanych, a dla rozdziału dodatniego równaniowego wykorzystuje natomiast funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja {{ZobaczTeż|rozdziały}} wyszukuje rozdziały: dodatnie równaniowe, centrowane szablonowo lub znacznikowo, i nagłówkowe - poprzez szablony, czy znaczniki nagłówków. * Rozdziały równaniowe, to są rozdziały otoczone wokół stron linii tekstu znakami {{Code|{{=}}}}, przykład: {{Code|<nowiki>== Tekst nagłówka ==</nowiki>}}, * Rozdziały, oczywiście, że dodatnie, nagłówkowe, to te: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{tag|h6}}, ** Lub przez użycie szablonu: {{s|HNumer}}, do generowania sztucznego nagłówka, ta funkcja generuje powyższe nagłówki, przy pomocy zachowania zgodności z rozdziałami dodatnimi rówaniowo, nawet gdy po lewej i poprawej, liczba {{Code|{{=}}}}, jest większa niż: {{Code|6}}, co normalnie jest niedozwolone, w jego pierwszy parametrze, który symbolizuje pewien rozdział dodatni równaniowo, * Centrowane szablonowo, oznaczone są szablonami: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}, * Centrowane znacznikowo, oznaczone są znacznikami: {{Tag|center}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,czy_spis_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Definicja skrótowa funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _1 = Tekst artykułu zakodowanego, w którym wyszukuje się pewne rozdziały, według: {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}. | 2 = {{Code|liczba_od}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 3 = {{Code|liczba_do}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 4 = {{Code|czy_od_tylu}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 5 = {{Code|czy_spis_tresci}} {{Patrz|czy_spis_tresci}} | _5 = Funkcja sprawdza, czy nagłówek spisu, jeśli istnieje, spełnia ściśle określone kryteria, jest to policzony nagłówek z funkcji: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści}}}}, z tego samego nagłówka, przed transformacją, z przechwyconego z elementu, w którym jest właśnie to. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 8 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 9 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} === {{Śródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}{{Code|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === Funkcja ogólna do przeszukiwania kolejnych elementów według wzoru i wskazywania ich pozycji początkowej, czy końcowej, i elementów przechwytywanych. Funkcja została skonstrułowana, by wyszukiwała kolejne rozdziały różnych typów, tzn.: {{Code|SZABLON}}, {{Code|ZNACZNIK}} i trzeciego nieokreślonej żadnym kodem, w postaci trzech konstrukcji szczególnych wykorzystujących tę ogólną funkcję, aby uzyskać pewne zmienne, by później je wykorzystać w: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, do zwracania danych. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu(wzor,czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|wzor}} | _1 = Wzór dla tekstu, który przeszukujemy. | 2 = {{Code|czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni}} | _2 = Czy to jest rozdział dadatni równaniowy, wtedy ona przyjmuje wartość prawdziwą, w przeciwnym wypadku fałszywą, wtedy mamy, to dla nagłówków zapisanych w postaci kodów, jak rozdziały centrowania szablonowe i znacznikowe, sztuczne nagłówki napisu wprowadzenia tekstu, czy znaczniki nagłówków. | 3 = {{Code|__FUNKCJA1}} | _3 = Funkcja do uzyskiwania danych z przechwytywanego ciągu wsadzanych jako parametr, i zwracania ich w postaci, co najwyżej dwóh kolejnych elementów, np. szablon i znumerowany kod danej bazy kodów tekstu zakodowanego, czy też może jako jedyny parametr nagłówek. | 4 = {{Code|__FUNKCJA2}} | _4 = Funkcja do przetwarzania kolejno elementów, i do sterowania pętlą, aby nie zawsze ona się zatrzymywała, te parametry zwracane przez pierwszą funkcję są wsadzane jako parametry do tej funkcji, wraz z trzecim parametrem, funkcją, której wynik zwracamy bezpośrednią z tej funkcji. }} === Tabele użyte do szczególnego użycia funkcji {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === W funkcji sa trzy szczególne wywołania tej funkcji. ; Szablony rozdziałów centrowania{{dk}} * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|HNumer}}. ; Znaczniki rozdziałów{{dk}} * Znaczniki centrowania jak: {{Tag|center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.znaczniki_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, określa znaczniki nagłówków takie jak: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}. ; Rozdziały dadatnie równaniowe{{dk}} * Nie potrzebują żadnej tabeli {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}. === Funkcja zwracająca parametry === Opis funkcji zwracającej parametry, która jest potrzebna właśnie do tego. Do tej funkcji są wykorzystywane dane zwrcócone bezpośrednio z funkcji: {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}, dla trzech różnych prrzypadków nagłówków, tzn. nagłówków zapisanych w postaci szablonów, znaczników i rozdziałów równaniowych, wtedy drugi parametr tej funkcji jest prawdziwy. ==== {{Śródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}{{Code|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}} ==== Funkcja przyjmuje i przygotowuje parametry do zwrócenia. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Początek i koniec danego typu napisu wprowadzenia tekstu. | 2 = {{Code|spis_naglowka_stare}} {{Patrz|spis_naglowka_stare}}| _2 = Spis przed jego analizą, co wtedy z niego powstaje {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}. | 3 = {{Code|spis_naglowka}} {{Patrz|spis_naglowka}} | _3 = Spis {{ZobaczTeż|spis_naglowka}} przeanalizowany przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści/Tom I}}}}, a później przez: {{Code|{{sr|#p["Odstępy"]|p=Parametry}}}}, jeżeli parametr: {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, istnieje, jest to robione poza tą funkcją, możliwe, że ta wartość nie istnieje. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} {{Patrz|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych, dla pozostałych nagłówków nie istnieje. }} Funcja zwraca parametry napisane ogólnie według kodu dla każdego rodzaju napisu wprowadzenia tekstu: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka,spis_naglowka_stare,spis_naglowka_poziom; </syntaxhighlight> Wytłumaczenie parametrów zwracanych przez ten obiekt dla danego rodzaju rozdziału: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Jest to powtórzenie parametrów dwóch pierwszych z parametrów tej funkcji. | 2 = {{Code|spis_naglowka}} | _2 = Ten parametr jest liczony dla nieistniejącego parametru: {{Code|czy_spis_tresci}} {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, są robione podobne operacje, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}, a jeżeli ten wpomniany parametr istnieje, to to nie jest robione w tej funkcji. | 3 = {{Code|spis_naglowka_stare}} | _3 = Spis przed analizą, po którym ten parametr zamienia się w ten powyższy ostatni element, możliwe, że ten parametr nie istnieje, wtedy jest brany z: {{Code|spis_naglowka}} {{LinkPatrz|spis_naglowka}}. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych. }} ==== Dalszy opis funkcji ==== Funkcja w nagłówku zwraca parametry bezpośrednio z: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, w postaci, np. dla rozdziału dodatniego równaniowego: <syntaxhighlight lang="lua"> return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom); </syntaxhighlight> Dla innych typów nagłówków jest zamiast: {{Code|dodatni}}, w zmiennych w powyższym przykładzie jest: {{Code|szablon}} - dla rozdziałów szablonowych, czy {{Code|znacznik}} - znacznikowych. Funkcja wybiera, jakiego typy nagłówków z zakresu wykrytych różnego typu, ma obsłużyć, i wtedy odpowiednio ustawia funkcję parametrów, wskazaną jak w powyższym przykładzie, względem maksymalnych, w wyszukiwaniu do tyłu, lub minimalnych, w wyszukiwanych do przodu, nagłówkach, lewych pozycji wartości uzyskanych ze wszystkich nagłówków, sprawdzając, czy to się zgadza, z którymiś pozycjami lewymi tych nagłówków trzech typów. == {{Śródtytuł|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}} == Funkcja uwzględnia nagłówki według {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}, oprócz nagłówków równaniowych. Zawartością w nagłówkach centrowania, jest to wartość pierwszego parametru, a też w szablonie w sztucznych napisach wprowadzenia tekstu {{s|HNumer}}, jego zawartość to pierwszy jego argument, ale pomiędzy taką samą maksymalną liczbą znaków {{Code|{{=}}}} w nim, i jeszcze w jego wersji strimowanej. ; Uzyskanie elementów parametrów kodu bazy{{dk}} * Funkcja wyszukuje pierwszego dozwolonego linku w tekście, w elemencie całkowitej zawartości: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, którym jest to wywołanie nagłówka, uzyskanego z dwóch elementów, z tablicy wielowymiarowej, czyli: ** {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}} - nagłówki szablonowe centrowania, typu: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}} oraz nagłówki sztucznego rozdziału, takich jak: {{s|HNumer}}, ** lub {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|ZNACZNIK}} - nagłówki znacznikowe centrowania, typu: {{Tag|center}}, oraz znaczniki nagłówków: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}, *: oraz także uzykanego z drugiego numeru w postaci numeru szablonu tego poszczególnego typu w bazie kodów, więc: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. * Wnętrze uzyskujemy z dwóch poprzednich parametrów z: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. ; Wyszukiwane trzy elementy zawartości obiektu{{dk}} * Wyszukuje on w tak uzyskanej zawartości tego elementu, linki różnego typu, tzn. {{Code|LINKW}}, {{Code|LINKZ}} i linki szablonowe, i uzyskuje z tego trzy elementy, w nim, charakteryzujące kod: {{Code|{{m|Szablonowe}}}}, bazy kodów, a także znajduje w nim jego dalszy tekst, w nagłówku, po którym jest do końca jego zawartości, a jeżeli je znalazł, to to zwraca, te trzy zmienne i dalszy tekst, przeciwnie tylko te trzy. * A jeżeli nie znalazł takiego linku, przy pierwszym kodzie, to wyszukuje dalej w tej zawartości, aż skończą się w tym zasoby danych, a jeśli się da, to je zwraca, w tak wytłumaczonej komplecie zmiennych, lub nic nie zrzuca, żadnego kompletu żadnych zmiennych. ; Zrzucane przez funkcje parametry{{dk}} * Tam jakiś pierwszy link musi być zakodowany bezpośrednio w takiej zawartości, aby zwrócił te cztery parametry, przeciwnie zrzuca tylko te trzy, a czwarty przyjmuje wartość nilową, to się dzieje, w przypadku pośredniego zakodowania tego linku. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji {{Patrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|obiekt}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = {{Code|kod}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = Paramtry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek4 = tak | 5 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 7 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Opis parametrów zwracanych dokończające jego dokumentację: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry złożone|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|szablon}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|obiekt}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, mozliwe wartości: {{Code|SZABLON}} (linku szablonowe), {{Code|LINKW}} (linki wewnętrzne) i {{Code|LINKZ}} (linki zewnętrzne). | 5 = {{Code|kod}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = Inne parametry: | nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|dalszy_tekst}} {{Patrz|dalszy_tekst}} | _7 = Dalszy zwracany tekst w napisie wprowadzenia tekstu, po zwracanym jako jego parametry tej funkcji, czyli dalszego tekstu. }} Kod zwracanych parametrów funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; </syntaxhighlight> ; Wykrywane linki różnego typu{{dk}} * Funkcja wyszukuje rozdziały, a w nich pierwsze zarejestrowane linki, którymi są zakodowane linki wewnętrzne lub zewnętrzne, lub linku szablonowe, nawet inteligentne, którego nazwy są zakatologowane w tablicach, te linki są zdefiniowane według: {{Code|{{sr|#p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy={ ["SpisTreści"]=true, ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, ["Link wewnętrzny"]=true, ["Ly"]=true, ["LinkOgólne"]=true, ["Lo"]=true, } </syntaxhighlight> * Inne linki mogące być użyte w rozdziałach zdefiniowane są w punkcie: {{Code|{{sr|#p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, * Jeszcze są wspomniane linki, to tzw. linki inteligentne standardowe, w przeciwieństwie do powyższych, ale nie do końca, można sprawdzić przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny|p=StronicowyParser/Potrzebne}}}} {{Patrz|p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny}}. ; Przykład wywołania fukcji{{dk}} Przykład wywołania funkcji wraz z jego udokumentowanymi parametrami z: {{LinkPatrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}, czyli: <syntaxhighlight lang="lua"> local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 76eueol76lmgg6oxqqlkb1y5xulbds4 558518 558517 2026-10-04T12:07:29Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}}{{Code|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}} */ 558518 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}}{{Code|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}} == Funkcja wyszukuje w: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, najbliższy rozdział do przodu lub od tyłu w zależności od podanego parametru: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, w zakresach od: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, do: {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja znajdująca uwzględnia, że tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, może być zakodowany w bazie kodów: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, a części jego bazy mogą być w postaci przeanalizowanej w: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Funkcja przeszukuje kolejne linie przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, linie rodziałów zakodowanych, a dla rozdziału dodatniego równaniowego wykorzystuje natomiast funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja {{ZobaczTeż|rozdziały}} wyszukuje rozdziały: dodatnie równaniowe, centrowane szablonowo lub znacznikowo, i nagłówkowe - poprzez szablony, czy znaczniki nagłówków. * Rozdziały równaniowe, to są rozdziały otoczone wokół stron linii tekstu znakami {{Code|{{=}}}}, przykład: {{Code|<nowiki>== Tekst nagłówka ==</nowiki>}}, * Rozdziały, oczywiście, że dodatnie, nagłówkowe, to te: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{tag|h6}}, ** Lub przez użycie szablonu: {{s|HNumer}}, do generowania sztucznego nagłówka, ta funkcja generuje powyższe nagłówki, przy pomocy zachowania zgodności z rozdziałami dodatnimi rówaniowo, nawet gdy po lewej i poprawej, liczba {{Code|{{=}}}}, jest większa niż: {{Code|6}}, co normalnie jest niedozwolone, w jego pierwszy parametrze, który symbolizuje pewien rozdział dodatni równaniowo, * Centrowane szablonowo, oznaczone są szablonami: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}, * Centrowane znacznikowo, oznaczone są znacznikami: {{Tag|center}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,czy_spis_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Definicja skrótowa funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _1 = Tekst artykułu zakodowanego, w którym wyszukuje się pewne rozdziały, według: {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}. | 2 = {{Code|liczba_od}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 3 = {{Code|liczba_do}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 4 = {{Code|czy_od_tylu}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 5 = {{Code|czy_spis_tresci}} {{Patrz|czy_spis_tresci}} | _5 = Funkcja sprawdza, czy nagłówek spisu, jeśli istnieje, spełnia ściśle określone kryteria, jest to policzony nagłówek z funkcji: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści}}}}, z tego samego nagłówka, przed transformacją, z przechwyconego z elementu, w którym jest właśnie to. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | 9 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 10 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _10 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} === {{Śródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}{{Code|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === Funkcja ogólna do przeszukiwania kolejnych elementów według wzoru i wskazywania ich pozycji początkowej, czy końcowej, i elementów przechwytywanych. Funkcja została skonstrułowana, by wyszukiwała kolejne rozdziały różnych typów, tzn.: {{Code|SZABLON}}, {{Code|ZNACZNIK}} i trzeciego nieokreślonej żadnym kodem, w postaci trzech konstrukcji szczególnych wykorzystujących tę ogólną funkcję, aby uzyskać pewne zmienne, by później je wykorzystać w: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, do zwracania danych. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu(wzor,czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|wzor}} | _1 = Wzór dla tekstu, który przeszukujemy. | 2 = {{Code|czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni}} | _2 = Czy to jest rozdział dadatni równaniowy, wtedy ona przyjmuje wartość prawdziwą, w przeciwnym wypadku fałszywą, wtedy mamy, to dla nagłówków zapisanych w postaci kodów, jak rozdziały centrowania szablonowe i znacznikowe, sztuczne nagłówki napisu wprowadzenia tekstu, czy znaczniki nagłówków. | 3 = {{Code|__FUNKCJA1}} | _3 = Funkcja do uzyskiwania danych z przechwytywanego ciągu wsadzanych jako parametr, i zwracania ich w postaci, co najwyżej dwóh kolejnych elementów, np. szablon i znumerowany kod danej bazy kodów tekstu zakodowanego, czy też może jako jedyny parametr nagłówek. | 4 = {{Code|__FUNKCJA2}} | _4 = Funkcja do przetwarzania kolejno elementów, i do sterowania pętlą, aby nie zawsze ona się zatrzymywała, te parametry zwracane przez pierwszą funkcję są wsadzane jako parametry do tej funkcji, wraz z trzecim parametrem, funkcją, której wynik zwracamy bezpośrednią z tej funkcji. }} === Tabele użyte do szczególnego użycia funkcji {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === W funkcji sa trzy szczególne wywołania tej funkcji. ; Szablony rozdziałów centrowania{{dk}} * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|HNumer}}. ; Znaczniki rozdziałów{{dk}} * Znaczniki centrowania jak: {{Tag|center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.znaczniki_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, określa znaczniki nagłówków takie jak: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}. ; Rozdziały dadatnie równaniowe{{dk}} * Nie potrzebują żadnej tabeli {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}. === Funkcja zwracająca parametry === Opis funkcji zwracającej parametry, która jest potrzebna właśnie do tego. Do tej funkcji są wykorzystywane dane zwrcócone bezpośrednio z funkcji: {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}, dla trzech różnych prrzypadków nagłówków, tzn. nagłówków zapisanych w postaci szablonów, znaczników i rozdziałów równaniowych, wtedy drugi parametr tej funkcji jest prawdziwy. ==== {{Śródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}{{Code|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}} ==== Funkcja przyjmuje i przygotowuje parametry do zwrócenia. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Początek i koniec danego typu napisu wprowadzenia tekstu. | 2 = {{Code|spis_naglowka_stare}} {{Patrz|spis_naglowka_stare}}| _2 = Spis przed jego analizą, co wtedy z niego powstaje {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}. | 3 = {{Code|spis_naglowka}} {{Patrz|spis_naglowka}} | _3 = Spis {{ZobaczTeż|spis_naglowka}} przeanalizowany przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści/Tom I}}}}, a później przez: {{Code|{{sr|#p["Odstępy"]|p=Parametry}}}}, jeżeli parametr: {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, istnieje, jest to robione poza tą funkcją, możliwe, że ta wartość nie istnieje. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} {{Patrz|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych, dla pozostałych nagłówków nie istnieje. }} Funcja zwraca parametry napisane ogólnie według kodu dla każdego rodzaju napisu wprowadzenia tekstu: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka,spis_naglowka_stare,spis_naglowka_poziom; </syntaxhighlight> Wytłumaczenie parametrów zwracanych przez ten obiekt dla danego rodzaju rozdziału: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Jest to powtórzenie parametrów dwóch pierwszych z parametrów tej funkcji. | 2 = {{Code|spis_naglowka}} | _2 = Ten parametr jest liczony dla nieistniejącego parametru: {{Code|czy_spis_tresci}} {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, są robione podobne operacje, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}, a jeżeli ten wpomniany parametr istnieje, to to nie jest robione w tej funkcji. | 3 = {{Code|spis_naglowka_stare}} | _3 = Spis przed analizą, po którym ten parametr zamienia się w ten powyższy ostatni element, możliwe, że ten parametr nie istnieje, wtedy jest brany z: {{Code|spis_naglowka}} {{LinkPatrz|spis_naglowka}}. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych. }} ==== Dalszy opis funkcji ==== Funkcja w nagłówku zwraca parametry bezpośrednio z: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, w postaci, np. dla rozdziału dodatniego równaniowego: <syntaxhighlight lang="lua"> return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom); </syntaxhighlight> Dla innych typów nagłówków jest zamiast: {{Code|dodatni}}, w zmiennych w powyższym przykładzie jest: {{Code|szablon}} - dla rozdziałów szablonowych, czy {{Code|znacznik}} - znacznikowych. Funkcja wybiera, jakiego typy nagłówków z zakresu wykrytych różnego typu, ma obsłużyć, i wtedy odpowiednio ustawia funkcję parametrów, wskazaną jak w powyższym przykładzie, względem maksymalnych, w wyszukiwaniu do tyłu, lub minimalnych, w wyszukiwanych do przodu, nagłówkach, lewych pozycji wartości uzyskanych ze wszystkich nagłówków, sprawdzając, czy to się zgadza, z którymiś pozycjami lewymi tych nagłówków trzech typów. == {{Śródtytuł|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}} == Funkcja uwzględnia nagłówki według {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}, oprócz nagłówków równaniowych. Zawartością w nagłówkach centrowania, jest to wartość pierwszego parametru, a też w szablonie w sztucznych napisach wprowadzenia tekstu {{s|HNumer}}, jego zawartość to pierwszy jego argument, ale pomiędzy taką samą maksymalną liczbą znaków {{Code|{{=}}}} w nim, i jeszcze w jego wersji strimowanej. ; Uzyskanie elementów parametrów kodu bazy{{dk}} * Funkcja wyszukuje pierwszego dozwolonego linku w tekście, w elemencie całkowitej zawartości: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, którym jest to wywołanie nagłówka, uzyskanego z dwóch elementów, z tablicy wielowymiarowej, czyli: ** {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}} - nagłówki szablonowe centrowania, typu: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}} oraz nagłówki sztucznego rozdziału, takich jak: {{s|HNumer}}, ** lub {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|ZNACZNIK}} - nagłówki znacznikowe centrowania, typu: {{Tag|center}}, oraz znaczniki nagłówków: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}, *: oraz także uzykanego z drugiego numeru w postaci numeru szablonu tego poszczególnego typu w bazie kodów, więc: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. * Wnętrze uzyskujemy z dwóch poprzednich parametrów z: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. ; Wyszukiwane trzy elementy zawartości obiektu{{dk}} * Wyszukuje on w tak uzyskanej zawartości tego elementu, linki różnego typu, tzn. {{Code|LINKW}}, {{Code|LINKZ}} i linki szablonowe, i uzyskuje z tego trzy elementy, w nim, charakteryzujące kod: {{Code|{{m|Szablonowe}}}}, bazy kodów, a także znajduje w nim jego dalszy tekst, w nagłówku, po którym jest do końca jego zawartości, a jeżeli je znalazł, to to zwraca, te trzy zmienne i dalszy tekst, przeciwnie tylko te trzy. * A jeżeli nie znalazł takiego linku, przy pierwszym kodzie, to wyszukuje dalej w tej zawartości, aż skończą się w tym zasoby danych, a jeśli się da, to je zwraca, w tak wytłumaczonej komplecie zmiennych, lub nic nie zrzuca, żadnego kompletu żadnych zmiennych. ; Zrzucane przez funkcje parametry{{dk}} * Tam jakiś pierwszy link musi być zakodowany bezpośrednio w takiej zawartości, aby zwrócił te cztery parametry, przeciwnie zrzuca tylko te trzy, a czwarty przyjmuje wartość nilową, to się dzieje, w przypadku pośredniego zakodowania tego linku. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji {{Patrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|obiekt}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = {{Code|kod}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = Paramtry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek4 = tak | 5 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 7 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Opis parametrów zwracanych dokończające jego dokumentację: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry złożone|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|szablon}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|obiekt}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, mozliwe wartości: {{Code|SZABLON}} (linku szablonowe), {{Code|LINKW}} (linki wewnętrzne) i {{Code|LINKZ}} (linki zewnętrzne). | 5 = {{Code|kod}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = Inne parametry: | nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|dalszy_tekst}} {{Patrz|dalszy_tekst}} | _7 = Dalszy zwracany tekst w napisie wprowadzenia tekstu, po zwracanym jako jego parametry tej funkcji, czyli dalszego tekstu. }} Kod zwracanych parametrów funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; </syntaxhighlight> ; Wykrywane linki różnego typu{{dk}} * Funkcja wyszukuje rozdziały, a w nich pierwsze zarejestrowane linki, którymi są zakodowane linki wewnętrzne lub zewnętrzne, lub linku szablonowe, nawet inteligentne, którego nazwy są zakatologowane w tablicach, te linki są zdefiniowane według: {{Code|{{sr|#p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy={ ["SpisTreści"]=true, ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, ["Link wewnętrzny"]=true, ["Ly"]=true, ["LinkOgólne"]=true, ["Lo"]=true, } </syntaxhighlight> * Inne linki mogące być użyte w rozdziałach zdefiniowane są w punkcie: {{Code|{{sr|#p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, * Jeszcze są wspomniane linki, to tzw. linki inteligentne standardowe, w przeciwieństwie do powyższych, ale nie do końca, można sprawdzić przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny|p=StronicowyParser/Potrzebne}}}} {{Patrz|p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny}}. ; Przykład wywołania fukcji{{dk}} Przykład wywołania funkcji wraz z jego udokumentowanymi parametrami z: {{LinkPatrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}, czyli: <syntaxhighlight lang="lua"> local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> dyzf6v0up5j8k5dyl27jkp06psgc6pq 558519 558518 2026-10-04T12:09:00Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}} */ 558519 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}}{{Code|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}} == Funkcja wyszukuje w: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, najbliższy rozdział do przodu lub od tyłu w zależności od podanego parametru: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, w zakresach od: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, do: {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja znajdująca uwzględnia, że tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, może być zakodowany w bazie kodów: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, a części jego bazy mogą być w postaci przeanalizowanej w: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Funkcja przeszukuje kolejne linie przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, linie rodziałów zakodowanych, a dla rozdziału dodatniego równaniowego wykorzystuje natomiast funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja {{ZobaczTeż|rozdziały}} wyszukuje rozdziały: dodatnie równaniowe, centrowane szablonowo lub znacznikowo, i nagłówkowe - poprzez szablony, czy znaczniki nagłówków. * Rozdziały równaniowe, to są rozdziały otoczone wokół stron linii tekstu znakami {{Code|{{=}}}}, przykład: {{Code|<nowiki>== Tekst nagłówka ==</nowiki>}}, * Rozdziały, oczywiście, że dodatnie, nagłówkowe, to te: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{tag|h6}}, ** Lub przez użycie szablonu: {{s|HNumer}}, do generowania sztucznego nagłówka, ta funkcja generuje powyższe nagłówki, przy pomocy zachowania zgodności z rozdziałami dodatnimi rówaniowo, nawet gdy po lewej i poprawej, liczba {{Code|{{=}}}}, jest większa niż: {{Code|6}}, co normalnie jest niedozwolone, w jego pierwszy parametrze, który symbolizuje pewien rozdział dodatni równaniowo, * Centrowane szablonowo, oznaczone są szablonami: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}, * Centrowane znacznikowo, oznaczone są znacznikami: {{Tag|center}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,czy_spis_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Definicja skrótowa funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _1 = Tekst artykułu zakodowanego, w którym wyszukuje się pewne rozdziały, według: {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}. | 2 = {{Code|liczba_od}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 3 = {{Code|liczba_do}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 4 = {{Code|czy_od_tylu}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 5 = {{Code|czy_spis_tresci}} {{Patrz|czy_spis_tresci}} | _5 = Funkcja sprawdza, czy nagłówek spisu, jeśli istnieje, spełnia ściśle określone kryteria, jest to policzony nagłówek z funkcji: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści}}}}, z tego samego nagłówka, przed transformacją, z przechwyconego z elementu, w którym jest właśnie to. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | 9 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 10 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _10 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} === {{Śródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}{{Code|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === Funkcja ogólna do przeszukiwania kolejnych elementów według wzoru i wskazywania ich pozycji początkowej, czy końcowej, i elementów przechwytywanych. Funkcja została skonstrułowana, by wyszukiwała kolejne rozdziały różnych typów, tzn.: {{Code|SZABLON}}, {{Code|ZNACZNIK}} i trzeciego nieokreślonej żadnym kodem, w postaci trzech konstrukcji szczególnych wykorzystujących tę ogólną funkcję, aby uzyskać pewne zmienne, by później je wykorzystać w: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, do zwracania danych. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu(wzor,czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|wzor}} | _1 = Wzór dla tekstu, który przeszukujemy. | 2 = {{Code|czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni}} | _2 = Czy to jest rozdział dadatni równaniowy, wtedy ona przyjmuje wartość prawdziwą, w przeciwnym wypadku fałszywą, wtedy mamy, to dla nagłówków zapisanych w postaci kodów, jak rozdziały centrowania szablonowe i znacznikowe, sztuczne nagłówki napisu wprowadzenia tekstu, czy znaczniki nagłówków. | 3 = {{Code|__FUNKCJA1}} | _3 = Funkcja do uzyskiwania danych z przechwytywanego ciągu wsadzanych jako parametr, i zwracania ich w postaci, co najwyżej dwóh kolejnych elementów, np. szablon i znumerowany kod danej bazy kodów tekstu zakodowanego, czy też może jako jedyny parametr nagłówek. | 4 = {{Code|__FUNKCJA2}} | _4 = Funkcja do przetwarzania kolejno elementów, i do sterowania pętlą, aby nie zawsze ona się zatrzymywała, te parametry zwracane przez pierwszą funkcję są wsadzane jako parametry do tej funkcji, wraz z trzecim parametrem, funkcją, której wynik zwracamy bezpośrednią z tej funkcji. }} === Tabele użyte do szczególnego użycia funkcji {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === W funkcji sa trzy szczególne wywołania tej funkcji. ; Szablony rozdziałów centrowania{{dk}} * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|HNumer}}. ; Znaczniki rozdziałów{{dk}} * Znaczniki centrowania jak: {{Tag|center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.znaczniki_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, określa znaczniki nagłówków takie jak: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}. ; Rozdziały dadatnie równaniowe{{dk}} * Nie potrzebują żadnej tabeli {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}. === Funkcja zwracająca parametry === Opis funkcji zwracającej parametry, która jest potrzebna właśnie do tego. Do tej funkcji są wykorzystywane dane zwrcócone bezpośrednio z funkcji: {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}, dla trzech różnych prrzypadków nagłówków, tzn. nagłówków zapisanych w postaci szablonów, znaczników i rozdziałów równaniowych, wtedy drugi parametr tej funkcji jest prawdziwy. ==== {{Śródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}{{Code|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}} ==== Funkcja przyjmuje i przygotowuje parametry do zwrócenia. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Początek i koniec danego typu napisu wprowadzenia tekstu. | 2 = {{Code|spis_naglowka_stare}} {{Patrz|spis_naglowka_stare}}| _2 = Spis przed jego analizą, co wtedy z niego powstaje {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}. | 3 = {{Code|spis_naglowka}} {{Patrz|spis_naglowka}} | _3 = Spis {{ZobaczTeż|spis_naglowka}} przeanalizowany przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści/Tom I}}}}, a później przez: {{Code|{{sr|#p["Odstępy"]|p=Parametry}}}}, jeżeli parametr: {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, istnieje, jest to robione poza tą funkcją, możliwe, że ta wartość nie istnieje. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} {{Patrz|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych, dla pozostałych nagłówków nie istnieje. }} Funcja zwraca parametry napisane ogólnie według kodu dla każdego rodzaju napisu wprowadzenia tekstu: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka,spis_naglowka_stare,spis_naglowka_poziom; </syntaxhighlight> Wytłumaczenie parametrów zwracanych przez ten obiekt dla danego rodzaju rozdziału: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Jest to powtórzenie parametrów dwóch pierwszych z parametrów tej funkcji. | 2 = {{Code|spis_naglowka}} | _2 = Ten parametr jest liczony dla nieistniejącego parametru: {{Code|czy_spis_tresci}} {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, są robione podobne operacje, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}, a jeżeli ten wpomniany parametr istnieje, to to nie jest robione w tej funkcji. | 3 = {{Code|spis_naglowka_stare}} | _3 = Spis przed analizą, po którym ten parametr zamienia się w ten powyższy ostatni element, możliwe, że ten parametr nie istnieje, wtedy jest brany z: {{Code|spis_naglowka}} {{LinkPatrz|spis_naglowka}}. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych. }} ==== Dalszy opis funkcji ==== Funkcja w nagłówku zwraca parametry bezpośrednio z: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, w postaci, np. dla rozdziału dodatniego równaniowego: <syntaxhighlight lang="lua"> return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom); </syntaxhighlight> Dla innych typów nagłówków jest zamiast: {{Code|dodatni}}, w zmiennych w powyższym przykładzie jest: {{Code|szablon}} - dla rozdziałów szablonowych, czy {{Code|znacznik}} - znacznikowych. Funkcja wybiera, jakiego typy nagłówków z zakresu wykrytych różnego typu, ma obsłużyć, i wtedy odpowiednio ustawia funkcję parametrów, wskazaną jak w powyższym przykładzie, względem maksymalnych, w wyszukiwaniu do tyłu, lub minimalnych, w wyszukiwanych do przodu, nagłówkach, lewych pozycji wartości uzyskanych ze wszystkich nagłówków, sprawdzając, czy to się zgadza, z którymiś pozycjami lewymi tych nagłówków trzech typów. == {{Śródtytuł|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}} == Funkcja uwzględnia nagłówki według {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}, oprócz nagłówków równaniowych. Zawartością w nagłówkach centrowania, jest to wartość pierwszego parametru, a też w szablonie w sztucznych napisach wprowadzenia tekstu {{s|HNumer}}, jego zawartość to pierwszy jego argument, ale pomiędzy taką samą maksymalną liczbą znaków {{Code|{{=}}}} w nim, i jeszcze w jego wersji strimowanej. ; Uzyskanie elementów parametrów kodu bazy{{dk}} * Funkcja wyszukuje pierwszego dozwolonego linku w tekście, w elemencie całkowitej zawartości: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, którym jest to wywołanie nagłówka, uzyskanego z dwóch elementów, z tablicy wielowymiarowej, czyli: ** {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}} - nagłówki szablonowe centrowania, typu: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}} oraz nagłówki sztucznego rozdziału, takich jak: {{s|HNumer}}, ** lub {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|ZNACZNIK}} - nagłówki znacznikowe centrowania, typu: {{Tag|center}}, oraz znaczniki nagłówków: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}, *: oraz także uzykanego z drugiego numeru w postaci numeru szablonu tego poszczególnego typu w bazie kodów, więc: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. * Wnętrze uzyskujemy z dwóch poprzednich parametrów z: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. ; Wyszukiwane trzy elementy zawartości obiektu{{dk}} * Wyszukuje on w tak uzyskanej zawartości tego elementu, linki różnego typu, tzn. {{Code|LINKW}}, {{Code|LINKZ}} i linki szablonowe, i uzyskuje z tego trzy elementy, w nim, charakteryzujące kod: {{Code|{{m|Szablonowe}}}}, bazy kodów, a także znajduje w nim jego dalszy tekst, w nagłówku, po którym jest do końca jego zawartości, a jeżeli je znalazł, to to zwraca, te trzy zmienne i dalszy tekst, przeciwnie tylko te trzy. * A jeżeli nie znalazł takiego linku, przy pierwszym kodzie, to wyszukuje dalej w tej zawartości, aż skończą się w tym zasoby danych, a jeśli się da, to je zwraca, w tak wytłumaczonej komplecie zmiennych, lub nic nie zrzuca, żadnego kompletu żadnych zmiennych. ; Zrzucane przez funkcje parametry{{dk}} * Tam jakiś pierwszy link musi być zakodowany bezpośrednio w takiej zawartości, aby zwrócił te cztery parametry, przeciwnie zrzuca tylko te trzy, a czwarty przyjmuje wartość nilową, to się dzieje, w przypadku pośredniego zakodowania tego linku. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji {{Patrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|obiekt}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = {{Code|kod}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek4 = tak | 5 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 7 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Opis parametrów zwracanych dokończające jego dokumentację: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry złożone|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|szablon}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|obiekt}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, mozliwe wartości: {{Code|SZABLON}} (linku szablonowe), {{Code|LINKW}} (linki wewnętrzne) i {{Code|LINKZ}} (linki zewnętrzne). | 5 = {{Code|kod}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = Inne parametry: | nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|dalszy_tekst}} {{Patrz|dalszy_tekst}} | _7 = Dalszy zwracany tekst w napisie wprowadzenia tekstu, po zwracanym jako jego parametry tej funkcji, czyli dalszego tekstu. }} Kod zwracanych parametrów funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; </syntaxhighlight> ; Wykrywane linki różnego typu{{dk}} * Funkcja wyszukuje rozdziały, a w nich pierwsze zarejestrowane linki, którymi są zakodowane linki wewnętrzne lub zewnętrzne, lub linku szablonowe, nawet inteligentne, którego nazwy są zakatologowane w tablicach, te linki są zdefiniowane według: {{Code|{{sr|#p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy={ ["SpisTreści"]=true, ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, ["Link wewnętrzny"]=true, ["Ly"]=true, ["LinkOgólne"]=true, ["Lo"]=true, } </syntaxhighlight> * Inne linki mogące być użyte w rozdziałach zdefiniowane są w punkcie: {{Code|{{sr|#p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, * Jeszcze są wspomniane linki, to tzw. linki inteligentne standardowe, w przeciwieństwie do powyższych, ale nie do końca, można sprawdzić przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny|p=StronicowyParser/Potrzebne}}}} {{Patrz|p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny}}. ; Przykład wywołania fukcji{{dk}} Przykład wywołania funkcji wraz z jego udokumentowanymi parametrami z: {{LinkPatrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}, czyli: <syntaxhighlight lang="lua"> local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 8nti7g026th4cvxz0qhk16pmibo1f3f 558523 558519 2026-10-04T12:14:07Z Persino 2851 558523 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}}{{Code|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}} == Funkcja wyszukuje w: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, najbliższy rozdział do przodu lub od tyłu w zależności od podanego parametru: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, w zakresach od: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, do: {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja znajdująca uwzględnia, że tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, może być zakodowany w bazie kodów: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, a części jego bazy mogą być w postaci przeanalizowanej w: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Funkcja przeszukuje kolejne linie przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, linie rodziałów zakodowanych, a dla rozdziału dodatniego równaniowego wykorzystuje natomiast funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja {{ZobaczTeż|rozdziały}} wyszukuje rozdziały: dodatnie równaniowe, centrowane szablonowo lub znacznikowo, i nagłówkowe - poprzez szablony, czy znaczniki nagłówków. * Rozdziały równaniowe, to są rozdziały otoczone wokół stron linii tekstu znakami {{Code|{{=}}}}, przykład: {{Code|<nowiki>== Tekst nagłówka ==</nowiki>}}, * Rozdziały, oczywiście, że dodatnie, nagłówkowe, to te: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{tag|h6}}, ** Lub przez użycie szablonu: {{s|HNumer}}, do generowania sztucznego nagłówka, ta funkcja generuje powyższe nagłówki, przy pomocy zachowania zgodności z rozdziałami dodatnimi rówaniowo, nawet gdy po lewej i poprawej, liczba {{Code|{{=}}}}, jest większa niż: {{Code|6}}, co normalnie jest niedozwolone, w jego pierwszy parametrze, który symbolizuje pewien rozdział dodatni równaniowo, * Centrowane szablonowo, oznaczone są szablonami: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}, * Centrowane znacznikowo, oznaczone są znacznikami: {{Tag|center}}. {{PobierzŚródtekst|uchwyt=parametry-baza_danych_kodowania_artykułu|nazwa artykułu=StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,czy_spis_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Definicja skrótowa funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _1 = Tekst artykułu zakodowanego, w którym wyszukuje się pewne rozdziały, według: {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}. | 2 = {{Code|liczba_od}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 3 = {{Code|liczba_do}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 4 = {{Code|czy_od_tylu}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 5 = {{Code|czy_spis_tresci}} {{Patrz|czy_spis_tresci}} | _5 = Funkcja sprawdza, czy nagłówek spisu, jeśli istnieje, spełnia ściśle określone kryteria, jest to policzony nagłówek z funkcji: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści}}}}, z tego samego nagłówka, przed transformacją, z przechwyconego z elementu, w którym jest właśnie to. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | 9 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 10 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _10 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} === {{Śródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}{{Code|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === Funkcja ogólna do przeszukiwania kolejnych elementów według wzoru i wskazywania ich pozycji początkowej, czy końcowej, i elementów przechwytywanych. Funkcja została skonstrułowana, by wyszukiwała kolejne rozdziały różnych typów, tzn.: {{Code|SZABLON}}, {{Code|ZNACZNIK}} i trzeciego nieokreślonej żadnym kodem, w postaci trzech konstrukcji szczególnych wykorzystujących tę ogólną funkcję, aby uzyskać pewne zmienne, by później je wykorzystać w: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, do zwracania danych. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu(wzor,czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|wzor}} | _1 = Wzór dla tekstu, który przeszukujemy. | 2 = {{Code|czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni}} | _2 = Czy to jest rozdział dadatni równaniowy, wtedy ona przyjmuje wartość prawdziwą, w przeciwnym wypadku fałszywą, wtedy mamy, to dla nagłówków zapisanych w postaci kodów, jak rozdziały centrowania szablonowe i znacznikowe, sztuczne nagłówki napisu wprowadzenia tekstu, czy znaczniki nagłówków. | 3 = {{Code|__FUNKCJA1}} | _3 = Funkcja do uzyskiwania danych z przechwytywanego ciągu wsadzanych jako parametr, i zwracania ich w postaci, co najwyżej dwóh kolejnych elementów, np. szablon i znumerowany kod danej bazy kodów tekstu zakodowanego, czy też może jako jedyny parametr nagłówek. | 4 = {{Code|__FUNKCJA2}} | _4 = Funkcja do przetwarzania kolejno elementów, i do sterowania pętlą, aby nie zawsze ona się zatrzymywała, te parametry zwracane przez pierwszą funkcję są wsadzane jako parametry do tej funkcji, wraz z trzecim parametrem, funkcją, której wynik zwracamy bezpośrednią z tej funkcji. }} === Tabele użyte do szczególnego użycia funkcji {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === W funkcji sa trzy szczególne wywołania tej funkcji. ; Szablony rozdziałów centrowania{{dk}} * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|HNumer}}. ; Znaczniki rozdziałów{{dk}} * Znaczniki centrowania jak: {{Tag|center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.znaczniki_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, określa znaczniki nagłówków takie jak: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}. ; Rozdziały dadatnie równaniowe{{dk}} * Nie potrzebują żadnej tabeli {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}. === Funkcja zwracająca parametry === Opis funkcji zwracającej parametry, która jest potrzebna właśnie do tego. Do tej funkcji są wykorzystywane dane zwrcócone bezpośrednio z funkcji: {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}, dla trzech różnych prrzypadków nagłówków, tzn. nagłówków zapisanych w postaci szablonów, znaczników i rozdziałów równaniowych, wtedy drugi parametr tej funkcji jest prawdziwy. ==== {{Śródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}{{Code|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}} ==== Funkcja przyjmuje i przygotowuje parametry do zwrócenia. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Początek i koniec danego typu napisu wprowadzenia tekstu. | 2 = {{Code|spis_naglowka_stare}} {{Patrz|spis_naglowka_stare}}| _2 = Spis przed jego analizą, co wtedy z niego powstaje {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}. | 3 = {{Code|spis_naglowka}} {{Patrz|spis_naglowka}} | _3 = Spis {{ZobaczTeż|spis_naglowka}} przeanalizowany przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści/Tom I}}}}, a później przez: {{Code|{{sr|#p["Odstępy"]|p=Parametry}}}}, jeżeli parametr: {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, istnieje, jest to robione poza tą funkcją, możliwe, że ta wartość nie istnieje. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} {{Patrz|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych, dla pozostałych nagłówków nie istnieje. }} Funcja zwraca parametry napisane ogólnie według kodu dla każdego rodzaju napisu wprowadzenia tekstu: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka,spis_naglowka_stare,spis_naglowka_poziom; </syntaxhighlight> Wytłumaczenie parametrów zwracanych przez ten obiekt dla danego rodzaju rozdziału: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Jest to powtórzenie parametrów dwóch pierwszych z parametrów tej funkcji. | 2 = {{Code|spis_naglowka}} | _2 = Ten parametr jest liczony dla nieistniejącego parametru: {{Code|czy_spis_tresci}} {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, są robione podobne operacje, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}, a jeżeli ten wpomniany parametr istnieje, to to nie jest robione w tej funkcji. | 3 = {{Code|spis_naglowka_stare}} | _3 = Spis przed analizą, po którym ten parametr zamienia się w ten powyższy ostatni element, możliwe, że ten parametr nie istnieje, wtedy jest brany z: {{Code|spis_naglowka}} {{LinkPatrz|spis_naglowka}}. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych. }} ==== Dalszy opis funkcji ==== Funkcja w nagłówku zwraca parametry bezpośrednio z: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, w postaci, np. dla rozdziału dodatniego równaniowego: <syntaxhighlight lang="lua"> return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom); </syntaxhighlight> Dla innych typów nagłówków jest zamiast: {{Code|dodatni}}, w zmiennych w powyższym przykładzie jest: {{Code|szablon}} - dla rozdziałów szablonowych, czy {{Code|znacznik}} - znacznikowych. Funkcja wybiera, jakiego typy nagłówków z zakresu wykrytych różnego typu, ma obsłużyć, i wtedy odpowiednio ustawia funkcję parametrów, wskazaną jak w powyższym przykładzie, względem maksymalnych, w wyszukiwaniu do tyłu, lub minimalnych, w wyszukiwanych do przodu, nagłówkach, lewych pozycji wartości uzyskanych ze wszystkich nagłówków, sprawdzając, czy to się zgadza, z którymiś pozycjami lewymi tych nagłówków trzech typów. == {{Śródtytuł|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}} == Funkcja uwzględnia nagłówki według {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}, oprócz nagłówków równaniowych. Zawartością w nagłówkach centrowania, jest to wartość pierwszego parametru, a też w szablonie w sztucznych napisach wprowadzenia tekstu {{s|HNumer}}, jego zawartość to pierwszy jego argument, ale pomiędzy taką samą maksymalną liczbą znaków {{Code|{{=}}}} w nim, i jeszcze w jego wersji strimowanej. ; Uzyskanie elementów parametrów kodu bazy{{dk}} * Funkcja wyszukuje pierwszego dozwolonego linku w tekście, w elemencie całkowitej zawartości: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, którym jest to wywołanie nagłówka, uzyskanego z dwóch elementów, z tablicy wielowymiarowej, czyli: ** {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}} - nagłówki szablonowe centrowania, typu: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}} oraz nagłówki sztucznego rozdziału, takich jak: {{s|HNumer}}, ** lub {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|ZNACZNIK}} - nagłówki znacznikowe centrowania, typu: {{Tag|center}}, oraz znaczniki nagłówków: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}, *: oraz także uzykanego z drugiego numeru w postaci numeru szablonu tego poszczególnego typu w bazie kodów, więc: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. * Wnętrze uzyskujemy z dwóch poprzednich parametrów z: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. ; Wyszukiwane trzy elementy zawartości obiektu{{dk}} * Wyszukuje on w tak uzyskanej zawartości tego elementu, linki różnego typu, tzn. {{Code|LINKW}}, {{Code|LINKZ}} i linki szablonowe, i uzyskuje z tego trzy elementy, w nim, charakteryzujące kod: {{Code|{{m|Szablonowe}}}}, bazy kodów, a także znajduje w nim jego dalszy tekst, w nagłówku, po którym jest do końca jego zawartości, a jeżeli je znalazł, to to zwraca, te trzy zmienne i dalszy tekst, przeciwnie tylko te trzy. * A jeżeli nie znalazł takiego linku, przy pierwszym kodzie, to wyszukuje dalej w tej zawartości, aż skończą się w tym zasoby danych, a jeśli się da, to je zwraca, w tak wytłumaczonej komplecie zmiennych, lub nic nie zrzuca, żadnego kompletu żadnych zmiennych. ; Zrzucane przez funkcje parametry{{dk}} * Tam jakiś pierwszy link musi być zakodowany bezpośrednio w takiej zawartości, aby zwrócił te cztery parametry, przeciwnie zrzuca tylko te trzy, a czwarty przyjmuje wartość nilową, to się dzieje, w przypadku pośredniego zakodowania tego linku. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji {{Patrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|obiekt}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = {{Code|kod}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek4 = tak | 5 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 7 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Opis parametrów zwracanych dokończające jego dokumentację: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry złożone|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|szablon}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|obiekt}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, mozliwe wartości: {{Code|SZABLON}} (linku szablonowe), {{Code|LINKW}} (linki wewnętrzne) i {{Code|LINKZ}} (linki zewnętrzne). | 5 = {{Code|kod}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = Inne parametry: | nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|dalszy_tekst}} {{Patrz|dalszy_tekst}} | _7 = Dalszy zwracany tekst w napisie wprowadzenia tekstu, po zwracanym jako jego parametry tej funkcji, czyli dalszego tekstu. }} Kod zwracanych parametrów funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; </syntaxhighlight> ; Wykrywane linki różnego typu{{dk}} * Funkcja wyszukuje rozdziały, a w nich pierwsze zarejestrowane linki, którymi są zakodowane linki wewnętrzne lub zewnętrzne, lub linku szablonowe, nawet inteligentne, którego nazwy są zakatologowane w tablicach, te linki są zdefiniowane według: {{Code|{{sr|#p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy={ ["SpisTreści"]=true, ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, ["Link wewnętrzny"]=true, ["Ly"]=true, ["LinkOgólne"]=true, ["Lo"]=true, } </syntaxhighlight> * Inne linki mogące być użyte w rozdziałach zdefiniowane są w punkcie: {{Code|{{sr|#p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, * Jeszcze są wspomniane linki, to tzw. linki inteligentne standardowe, w przeciwieństwie do powyższych, ale nie do końca, można sprawdzić przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny|p=StronicowyParser/Potrzebne}}}} {{Patrz|p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny}}. ; Przykład wywołania fukcji{{dk}} Przykład wywołania funkcji wraz z jego udokumentowanymi parametrami z: {{LinkPatrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}, czyli: <syntaxhighlight lang="lua"> local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> f532o3k0hfd5eizsnkdwx2v4twruqt5 558524 558523 2026-10-04T12:14:43Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}} */ 558524 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}}{{Code|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie}} == Funkcja wyszukuje w: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, najbliższy rozdział do przodu lub od tyłu w zależności od podanego parametru: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, w zakresach od: {{Code|liczba_od}} {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, do: {{Code|liczba_do}} {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja znajdująca uwzględnia, że tekst: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, może być zakodowany w bazie kodów: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, a części jego bazy mogą być w postaci przeanalizowanej w: {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Funkcja przeszukuje kolejne linie przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, linie rodziałów zakodowanych, a dla rozdziału dodatniego równaniowego wykorzystuje natomiast funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. Funkcja {{ZobaczTeż|rozdziały}} wyszukuje rozdziały: dodatnie równaniowe, centrowane szablonowo lub znacznikowo, i nagłówkowe - poprzez szablony, czy znaczniki nagłówków. * Rozdziały równaniowe, to są rozdziały otoczone wokół stron linii tekstu znakami {{Code|{{=}}}}, przykład: {{Code|<nowiki>== Tekst nagłówka ==</nowiki>}}, * Rozdziały, oczywiście, że dodatnie, nagłówkowe, to te: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{tag|h6}}, ** Lub przez użycie szablonu: {{s|HNumer}}, do generowania sztucznego nagłówka, ta funkcja generuje powyższe nagłówki, przy pomocy zachowania zgodności z rozdziałami dodatnimi rówaniowo, nawet gdy po lewej i poprawej, liczba {{Code|{{=}}}}, jest większa niż: {{Code|6}}, co normalnie jest niedozwolone, w jego pierwszy parametrze, który symbolizuje pewien rozdział dodatni równaniowo, * Centrowane szablonowo, oznaczone są szablonami: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}, * Centrowane znacznikowo, oznaczone są znacznikami: {{Tag|center}}. {{PobierzŚródtekst|uchwyt=parametry-baza_danych_kodowania_artykułu|nazwa artykułu=StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,czy_spis_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Definicja skrótowa funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | _1 = Tekst artykułu zakodowanego, w którym wyszukuje się pewne rozdziały, według: {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}. | 2 = {{Code|liczba_od}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_od|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 3 = {{Code|liczba_do}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_do|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 4 = {{Code|czy_od_tylu}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|czy_od_tylu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. | 5 = {{Code|czy_spis_tresci}} {{Patrz|czy_spis_tresci}} | _5 = Funkcja sprawdza, czy nagłówek spisu, jeśli istnieje, spełnia ściśle określone kryteria, jest to policzony nagłówek z funkcji: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści}}}}, z tego samego nagłówka, przed transformacją, z przechwyconego z elementu, w którym jest właśnie to. | 6 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}:| nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} | 9 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _9 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 10 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _10 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} === {{Śródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}{{Code|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === Funkcja ogólna do przeszukiwania kolejnych elementów według wzoru i wskazywania ich pozycji początkowej, czy końcowej, i elementów przechwytywanych. Funkcja została skonstrułowana, by wyszukiwała kolejne rozdziały różnych typów, tzn.: {{Code|SZABLON}}, {{Code|ZNACZNIK}} i trzeciego nieokreślonej żadnym kodem, w postaci trzech konstrukcji szczególnych wykorzystujących tę ogólną funkcję, aby uzyskać pewne zmienne, by później je wykorzystać w: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, do zwracania danych. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu(wzor,czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|wzor}} | _1 = Wzór dla tekstu, który przeszukujemy. | 2 = {{Code|czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni}} | _2 = Czy to jest rozdział dadatni równaniowy, wtedy ona przyjmuje wartość prawdziwą, w przeciwnym wypadku fałszywą, wtedy mamy, to dla nagłówków zapisanych w postaci kodów, jak rozdziały centrowania szablonowe i znacznikowe, sztuczne nagłówki napisu wprowadzenia tekstu, czy znaczniki nagłówków. | 3 = {{Code|__FUNKCJA1}} | _3 = Funkcja do uzyskiwania danych z przechwytywanego ciągu wsadzanych jako parametr, i zwracania ich w postaci, co najwyżej dwóh kolejnych elementów, np. szablon i znumerowany kod danej bazy kodów tekstu zakodowanego, czy też może jako jedyny parametr nagłówek. | 4 = {{Code|__FUNKCJA2}} | _4 = Funkcja do przetwarzania kolejno elementów, i do sterowania pętlą, aby nie zawsze ona się zatrzymywała, te parametry zwracane przez pierwszą funkcję są wsadzane jako parametry do tej funkcji, wraz z trzecim parametrem, funkcją, której wynik zwracamy bezpośrednią z tej funkcji. }} === Tabele użyte do szczególnego użycia funkcji {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}} === W funkcji sa trzy szczególne wywołania tej funkcji. ; Szablony rozdziałów centrowania{{dk}} * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, tutaj są szablony, jako nazwy kluczy, takie jak: {{s|HNumer}}. ; Znaczniki rozdziałów{{dk}} * Znaczniki centrowania jak: {{Tag|center}}. * Tabela: {{Code|{{sr|#p.znaczniki_wprowadzenia_tekstu|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, określa znaczniki nagłówków takie jak: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}. ; Rozdziały dadatnie równaniowe{{dk}} * Nie potrzebują żadnej tabeli {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}. === Funkcja zwracająca parametry === Opis funkcji zwracającej parametry, która jest potrzebna właśnie do tego. Do tej funkcji są wykorzystywane dane zwrcócone bezpośrednio z funkcji: {{LinkŚródtytuł|RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu}}, dla trzech różnych prrzypadków nagłówków, tzn. nagłówków zapisanych w postaci szablonów, znaczników i rozdziałów równaniowych, wtedy drugi parametr tej funkcji jest prawdziwy. ==== {{Śródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}{{Code|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}} ==== Funkcja przyjmuje i przygotowuje parametry do zwrócenia. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local function ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Początek i koniec danego typu napisu wprowadzenia tekstu. | 2 = {{Code|spis_naglowka_stare}} {{Patrz|spis_naglowka_stare}}| _2 = Spis przed jego analizą, co wtedy z niego powstaje {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}. | 3 = {{Code|spis_naglowka}} {{Patrz|spis_naglowka}} | _3 = Spis {{ZobaczTeż|spis_naglowka}} przeanalizowany przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści/Tom I}}}}, a później przez: {{Code|{{sr|#p["Odstępy"]|p=Parametry}}}}, jeżeli parametr: {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, istnieje, jest to robione poza tą funkcją, możliwe, że ta wartość nie istnieje. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} {{Patrz|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych, dla pozostałych nagłówków nie istnieje. }} Funcja zwraca parametry napisane ogólnie według kodu dla każdego rodzaju napisu wprowadzenia tekstu: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka,spis_naglowka_stare,spis_naglowka_poziom; </syntaxhighlight> Wytłumaczenie parametrów zwracanych przez ten obiekt dla danego rodzaju rozdziału: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start}} i {{Code|liczba_koniec}} | _1 = Jest to powtórzenie parametrów dwóch pierwszych z parametrów tej funkcji. | 2 = {{Code|spis_naglowka}} | _2 = Ten parametr jest liczony dla nieistniejącego parametru: {{Code|czy_spis_tresci}} {{LinkPatrz|czy_spis_tresci}}, są robione podobne operacje, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|spis_naglowka}}, a jeżeli ten wpomniany parametr istnieje, to to nie jest robione w tej funkcji. | 3 = {{Code|spis_naglowka_stare}} | _3 = Spis przed analizą, po którym ten parametr zamienia się w ten powyższy ostatni element, możliwe, że ten parametr nie istnieje, wtedy jest brany z: {{Code|spis_naglowka}} {{LinkPatrz|spis_naglowka}}. | 4 = {{Code|spis_naglowka_poziom}} | _4 = Poziom nagłówka, funkcja dostępna dla rozdziałów dodatnich, szablonu {{s|HNumer}} i znaczników nagłówkowych. }} ==== Dalszy opis funkcji ==== Funkcja w nagłówku zwraca parametry bezpośrednio z: {{LinkŚródtytuł|ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu}}, w postaci, np. dla rozdziału dodatniego równaniowego: <syntaxhighlight lang="lua"> return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom); </syntaxhighlight> Dla innych typów nagłówków jest zamiast: {{Code|dodatni}}, w zmiennych w powyższym przykładzie jest: {{Code|szablon}} - dla rozdziałów szablonowych, czy {{Code|znacznik}} - znacznikowych. Funkcja wybiera, jakiego typy nagłówków z zakresu wykrytych różnego typu, ma obsłużyć, i wtedy odpowiednio ustawia funkcję parametrów, wskazaną jak w powyższym przykładzie, względem maksymalnych, w wyszukiwaniu do tyłu, lub minimalnych, w wyszukiwanych do przodu, nagłówkach, lewych pozycji wartości uzyskanych ze wszystkich nagłówków, sprawdzając, czy to się zgadza, z którymiś pozycjami lewymi tych nagłówków trzech typów. == {{Śródtytuł|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}{{Code|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}} == Funkcja uwzględnia nagłówki według {{LinkZobaczTeż|rozdziały}}, oprócz nagłówków równaniowych. Zawartością w nagłówkach centrowania, jest to wartość pierwszego parametru, a też w szablonie w sztucznych napisach wprowadzenia tekstu {{s|HNumer}}, jego zawartość to pierwszy jego argument, ale pomiędzy taką samą maksymalną liczbą znaków {{Code|{{=}}}} w nim, i jeszcze w jego wersji strimowanej. ; Uzyskanie elementów parametrów kodu bazy{{dk}} * Funkcja wyszukuje pierwszego dozwolonego linku w tekście, w elemencie całkowitej zawartości: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, którym jest to wywołanie nagłówka, uzyskanego z dwóch elementów, z tablicy wielowymiarowej, czyli: ** {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}} - nagłówki szablonowe centrowania, typu: {{s|Ce}}, {{s|Centruj}} i {{s|Center}} oraz nagłówki sztucznego rozdziału, takich jak: {{s|HNumer}}, ** lub {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|ZNACZNIK}} - nagłówki znacznikowe centrowania, typu: {{Tag|center}}, oraz znaczniki nagłówków: {{Tag|h1}}, {{Tag|h2}}, {{Tag|h3}}, {{Tag|h4}}, {{Tag|h5}} i {{Tag|h6}}, *: oraz także uzykanego z drugiego numeru w postaci numeru szablonu tego poszczególnego typu w bazie kodów, więc: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. * Wnętrze uzyskujemy z dwóch poprzednich parametrów z: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. ; Wyszukiwane trzy elementy zawartości obiektu{{dk}} * Wyszukuje on w tak uzyskanej zawartości tego elementu, linki różnego typu, tzn. {{Code|LINKW}}, {{Code|LINKZ}} i linki szablonowe, i uzyskuje z tego trzy elementy, w nim, charakteryzujące kod: {{Code|{{m|Szablonowe}}}}, bazy kodów, a także znajduje w nim jego dalszy tekst, w nagłówku, po którym jest do końca jego zawartości, a jeżeli je znalazł, to to zwraca, te trzy zmienne i dalszy tekst, przeciwnie tylko te trzy. * A jeżeli nie znalazł takiego linku, przy pierwszym kodzie, to wyszukuje dalej w tej zawartości, aż skończą się w tym zasoby danych, a jeśli się da, to je zwraca, w tak wytłumaczonej komplecie zmiennych, lub nic nie zrzuca, żadnego kompletu żadnych zmiennych. ; Zrzucane przez funkcje parametry{{dk}} * Tam jakiś pierwszy link musi być zakodowany bezpośrednio w takiej zawartości, aby zwrócił te cztery parametry, przeciwnie zrzuca tylko te trzy, a czwarty przyjmuje wartość nilową, to się dzieje, w przypadku pośredniego zakodowania tego linku. {{PobierzŚródtekst|uchwyt=parametry-baza_danych_kodowania_artykułu|nazwa artykułu=StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji {{Patrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|obiekt}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = {{Code|kod}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek4 = tak | 5 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 7 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _7 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 8 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _8 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Opis parametrów zwracanych dokończające jego dokumentację: {{OpisParametrów | 1 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry złożone|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|szablon}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 3 = Parametry z sekcji {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|obiekt}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, mozliwe wartości: {{Code|SZABLON}} (linku szablonowe), {{Code|LINKW}} (linki wewnętrzne) i {{Code|LINKZ}} (linki zewnętrzne). | 5 = {{Code|kod}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = Inne parametry: | nagłówek6 = tak | 7 = {{Code|dalszy_tekst}} {{Patrz|dalszy_tekst}} | _7 = Dalszy zwracany tekst w napisie wprowadzenia tekstu, po zwracanym jako jego parametry tej funkcji, czyli dalszego tekstu. }} Kod zwracanych parametrów funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; </syntaxhighlight> ; Wykrywane linki różnego typu{{dk}} * Funkcja wyszukuje rozdziały, a w nich pierwsze zarejestrowane linki, którymi są zakodowane linki wewnętrzne lub zewnętrzne, lub linku szablonowe, nawet inteligentne, którego nazwy są zakatologowane w tablicach, te linki są zdefiniowane według: {{Code|{{sr|#p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{Patrz|p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy={ ["SpisTreści"]=true, ["Sekcja referencyjna"]=true, ["Sr"]=true, ["Link wewnętrzny"]=true, ["Ly"]=true, ["LinkOgólne"]=true, ["Lo"]=true, } </syntaxhighlight> * Inne linki mogące być użyte w rozdziałach zdefiniowane są w punkcie: {{Code|{{sr|#p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, * Jeszcze są wspomniane linki, to tzw. linki inteligentne standardowe, w przeciwieństwie do powyższych, ale nie do końca, można sprawdzić przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny|p=StronicowyParser/Potrzebne}}}} {{Patrz|p.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny}}. ; Przykład wywołania fukcji{{dk}} Przykład wywołania funkcji wraz z jego udokumentowanymi parametrami z: {{LinkPatrz|parametry-SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu}}, czyli: <syntaxhighlight lang="lua"> local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 0ouys4mnj0v26sb63fzp08ntegtx7ew 4 63920 558525 556285 2026-10-04T12:28:19Z Persino 2851 558525 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.AnalizowanieSekcjowe}}{{Code|p.AnalizowanieSekcjowe}} == Jest to funkcja do sprawdzania tekstu zawartości (tekstu rozdziału, bez zawartości nagłówka) napisu wprowadzenia tekstu sekcji, za pomocą funkcji zwracanej, czy ona spełnia pewne określone warunki. Funkcja, gdy co jest nie tak, to zwraca wartość {{Code|true}}, i przy okazji może zerować pewne określone zmienne, jeśli ona przy tym została odpowiednio ustawiona, przeciwnie ona zawsze zwraca wartość {{Code|nil}}, czyli nie zwraca żadnej wartości. Za pomocą tej funkcji można sprawdzić, czy funkcja zawiera niedozwolone znaki wikikodu, i dlatego zwraca tą prawdziwość. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AnalizowanieSekcjowe(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,czy_zeruj,tab_zmienne,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) return function(liczba_koniec_naglowek,liczba_obiekt_start_nowe) ... ---- ciało funkcji zwracanej end; end; </syntaxhighlight> Parametry ogólne funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|czy_zeruj}} {{Patrz|czy_zeruj}} | _2 = Czy ma zerować, ścisle określone zmienne, które mieszczą się w niezerowej tablicy zmiennych składowych, tzn. w: {{Code|tab_zmienne}} {{LinkPatrz|tab_zmienne}}. | 3 = {{Code|tab_zmienne}} {{Patrz|tab_zmienne}} | _3 = Zmienne w nim do zerowania. | 4 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}.| komórka4 = tak }} Parametry funkcji zwracanej dla tekstu rozważanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_naglowek}} {{Patrz|liczba_koniec_naglowek}} | _1 = Numer znaku, po którym coś rozważamy. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_start_nowe}} {{Patrz|liczba_obiekt_start_nowe}} | _2 = Numer znaku, przed którym coś rozważamy. }} ; Sprawdzenie spełnienia warunku, przejście do wnętrza tej instrukcji warunkowej{{dk}} Funkcja zwracana sprawdza, czy zmienne: {{Code|liczba_koniec_naglowek}} {{LinkPatrz|liczba_koniec_naglowek}}, i {{Code|liczba_obiekt_start_nowe}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_nowe}}, istnieją, i te zmienne sugerują punkty znakowe w tekście: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, ale jeżeli te zmienne liczbowe punktów znakowych mają takie wartości, że nie da się znaleźć dla tej zmiennej tekstowej treści pomiędzy nimi, to ta funkcja nie zwraca żadnej wartości, to zachodzi, kiedy nie jest spełniony warunek: <syntaxhighlight lang="lua"> if((liczba_koniec_naglowek)and(liczba_obiekt_start_nowe)and(liczba_koniec_naglowek+1<=liczba_obiekt_start_nowe-1))then </syntaxhighlight> ; Sprawdzenie uzyskanej zmiennej tekstowej, będąca tekstem pomiędzy linkiem, a końcem rozdziału{{dk}} * Liczenie zmiennej tekstowej za pomocą, którą będziemy sprawdzać: : A jeżeli jest jednak tak, tzn. spełniony jest ten warunek, to znajdujemy taki tekst, robi to za pomocą funkcji: {{LzLua|mw.ustring.sub}}, i zapisuje to pod zmienną {{Code|str}} {{Patrz|str}}. * Pierwszy etap analizowania tej zmiennej, czy jest poprawna, tzn. czy nie zwraca żadnej wartości, ale czy się zakańcza: : Ona sprawdza, czy ona jest w cudzysłowach, tzn. czy spełnia warunek: {{Code|<nowiki>^%s*'+(.+)'+%s*$</nowiki>}}, lub czy początek zaczyna się od znaków: {{Code|<nowiki>^[%*#:;<>]+</nowiki>}}, lub czy ten tekst zawiera dozwolone znaki z przedziału: {{Code|<nowiki>^[%s%p%w]*$</nowiki>}} - tzn. czy tekst składa się ze znaków odstępu, interpunkcyjnych, znaków alfanumerycznych lub z dolnym myślników, jeżeli któreś z tych warunków jest spełnione, to funkcja nie zwraca żadnej wartości, ale zatrzymuje się, tzn. zakańcza się, to oznacza, że wszystko jest w porządku. A jeżeli nie spełnione z żadnych z tych warunków, to ona idzie dalej, i robi następne czynności następne, aby sprawdzić dalsze warunki, czy wszystko jest w porządku. ; Sprawdzanie niepustych linii{{dk}} * Sprawdzanie niepustych linii po liniach, ewentualnie składających się ze znaków odstępów: : Funkcja liczy, ile takich linii znalał, zapisuje to pod zmienną {{Code|ile}} {{Patrz|ile}}, jeśli wśród takich linii znalazł linie pasujące do: {{Code|<nowiki>^[%*#;:<>]</nowiki>}}, lub składające się znaków odstępów: {{Code|<nowiki>^%s*$</nowiki>}}, wtedy funkcja to liczy licznikiem: {{Code|ile_punktowanych}} {{Patrz|ile_punktowanych}}. Funkcja w tak wyszukanych liniach, w przeciwnym razie sprawdza, w liniach niepasujących do tych wzorów, czy tam są artykuły (strony) nie z rozważanej danej książki, przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, jeśli są takie elementy, to funkcja dodaje to do licznika: {{Code|ile_punktowanych}} {{LinkPatrz|ile_punktowanych}}, aby dodać jeden do licznika, dla każdej takiej linii funkcja sprawdza, czy przynajmniej jeden taki artykuł się znajduje tam, w każdej takiej wykrytej linii. * Jeśli liczba określona przez zmienną: {{Code|ile_punktowanych}} {{LinkPatrz|ile_punktowanych}}, jeżeli jest, co najmniej równa wyszukanym liniom: {{Code|ile}} {{LinkPatrz|ile}}, to funcja się zatrzymuje, i nie zwraca żadnej wartości, czyli wskazuje na powodzenie. * Gdy liczba tego jest mniejsza niż wykrytych linii, to coś jest nie tak, wtedy funkcja nic nie zwraca, tylko idzie dalej. ; Inne operacje w przypadku niestwierdzenia, jak dotąd niepowodzenia przez funkcję, nie ma jeszcze zwróconej wartości {{nobold|{{Code|nil}}}}{{dk}} * Zerowanie się pewnych wartości: ** Funkcja z tak policzonego: {{Code|str}} {{LinkPatrz|str}}, usuwa formy kodów z obiektami {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}, a jeżeli znalazł w nim same, wtedy znaki odstępów, to ona nie zwraca żadnej wartości, ale się zakańcza, przeciwnie, sprawdza, czy jest zmienna: {{Code|czy_zeruj}} {{LinkPatrz|czy_zeruj}}, prawdziwa, a jeśli tak, to elementy zmiennej: {{Code|tab_zmienne}} {{LinkPatrz|tab_zmienne}} są nilowane. Ale niezależnie od wartości: {{Code|czy_zeruj}} {{LinkPatrz|czy_zeruj}}, funkcja wtedy zwraca zawsze wraca wartość {{Code|true}}, czyli ona zwraca to niepowodzenie. ; Elementy tabeli{{dk}} {{nobold|{{Code|tab_zmienne}}}}, są o kluczach{{dk}} {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_nie_okladka_artykul}} {{Patrz|liczba_nie_okladka_artykul}} | _1 = Liczba pozycji sekcji wskazująca, czy istnieje pierwszy taki artykuł (nie okładka, nie strona niedozwolona) aktualnej książki, lub bezpośrednio taki artykuł, niekoniecznie tej książki, czy znajduje się bezpośrednio w pozycji sekcji, i tylko sam tam się znajduje. | 2 = {{Code|liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul}} {{Patrz|liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul}} | _2 = Liczba pozycji sekcji, która wskazuje na pierwszy taki wykryty artykuł, licząc od przodu, który spełnia pewne ścisle określone kryteria, jaki może być w książce. | 3 = Kryteria określone przez te zmienne powyżej są określone przez funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, tzn. pozycje jakich artykułów zaliczyć do tych zmiennych o tych kluczach. | komórka3 = tak | 4 = {{Code|czy_ten_rozdzial}} {{Patrz|czy_ten_rozdzial}} | _4 = Wartość prawdziwą wskazuje, czy wynilowano zmienne należące do rozważanej tablicy. }} == {{Śródtytuł|p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}{{Code|p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, kolejne rozdziały (napisy wprowadzenia tekstu), którego tekst rozdziału składa się z samych znaków odstępów, lub jest pusty, albo o poziomie wyższym rozdziałowo, nawet gdy jego tekst rozdziału jednak nie jest pusty. Funkcja jest przerywana po najbliższych niespełniających warunkach. Funkcja zwraca parametry, z ostatniego pasującego dopasowana. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_spac_par,czy_dodatni,czy_bez_naglowka,AnalizowanieSekcjowe)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji {{ZobaczTeż|parametry-p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka2 = tak | 3 = {{Code|liczba_start_rozdzial}} {{Patrz|liczba_start_rozdzial}} |_3 = Podczas wyszukiwania od tyłu, do jakiego punktu ma wyszukiwać. | 4 = {{Code|liczba_obiekt_start_nowe}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_nowe}}, wykorzystywane w funkcji: {{Code|AnalizowanieSekcjowe}} {{LinkPatrz|AnalizowanieSekcjowe}}, do sprawdzania pomiędzy znakami: końcem wyszukiwanego nagłówka, wraz ze znakiem nowej linii, a tą zmienną, robimy to do sprawdzania, czy tekst rozdziału spełnia ściśle określone normy określone przez tą funkcję. To jest to pozycja taka, na jaką wskazuje również pozycja jakaś artykularna, prze którym sprawdzamy tą funkcją tekst. | 5 = {{Code|liczba_obiekt_start_spac_par}} {{Patrz|liczba_obiekt_start_spac_par}} | _5 = Numer znaku, od którego ma wyszukiwać od tytułu pewne linie. | 6 = {{Code|czy_dodatni}} {{Patrz|czy_dodatni}} | _6 = Typ wyszukiwania rozdziałów, tzn. {{LinkZobaczTeż|czy_dodatni}}. | 7 = {{Code|czy_bez_naglowka}} {{Patrz|czy_bez_naglowka}} | _7 = Czy ma wyszukiwać do: {{Code|1}}, od tytułu, a nie do: {{Code|liczba_start_rozdzial}} {{LinkPatrz|liczba_start_rozdzial}}. | 8 = {{Code|AnalizowanieSekcjowe}} {{Patrz|AnalizowanieSekcjowe}} | _8 = To nic innego jest, jak funkcja inicjowana przez zwracaną procedurę przez: {{LinkŚródtytuł|p.AnalizowanieSekcjowe}}, która ma w sobie pewne elementy początkowe w sobie wsadzonych jako parametry, które są wykorzystywane prze obiekt przez nią zwracany, która coś robi. }} ; Typy dopasowywania rozdziałów parametru{{dk}} {{nobold|czy_dodatni {{Code|{{=}}}} {{LinkPatrz|czy_dodatni}} {{ZobaczTeż|czy_dodatni}}}}{{dk}} * {{Code|1}} - wyszukuje rozdziały wskazywane przez funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}}, * {{Code|2}} - wyszukuje pozycje list zaczynające się od znaków: {{Code|<nowiki>[%*#:;<>]+</nowiki>}}, jako pewne rozdziały, które trzeba wyszukać, * Inna wartość niż dwie powyższe - wtedy są wyszukiwane rozdziały niezaczynające się od: {{Code|<nowiki>[^%*#:;<>\n]</nowiki>}}, i kończące się na dwukropek. : Dla dwóch ostatnich powyższych punktów są wyszukiwane linie przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}. : Funkcja dla tych dwóch pierwszych sprawdza, tylko raz, czy to jest rozdział spisu treści wskazywaną przez funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, jeżeli parsowanie przeszło niepomyślnie, a funkcja: {{Code|AnalizowanieSekcjowe}} {{LinkPatrz|AnalizowanieSekcjowe}}, zrzuci wartość prawdziwą, wtedy ta cała funkcja z nagłówka zrzuca wartość logiczną fałszywą. Ta funkcja wykorzystuje wartość: {{Code|liczba_obiekt_start_nowe}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_nowe}}, jako drugi parametr, dla którego liczy ona tekst przed, ta zmienna może wskazywać na początek pozycji linii artykularnej (z artykułami), aby ona policzyła swoją wartość. Funkcja działa w pętli do zakończenia zasobu danych lub w inny sposób, ale też do zakończenia. Funkcja wtedy robi operacje zawsze dla: {{Code|czy_dodatni}} {{LinkPatrz|czy_dodatni}} równe {{Code|1}} lub dla tych, gdzie: {{LinkŚródtytuł|p.CzyTamElementyNieSpisoweArtykularne|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, zwraca wartość logiczną prawdziwą, własnie dla tego, jeśli ta operacja zwróci prawdę, to dla tego są dopasowywane elementy zwracane. Wtedy wiadomo, że wyszukane tak pozycje są rozdziałami. Funkcja zwraca wyniku w postaci wartości szegu zwracanych: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek_poczt,naglowek,poziom_naglowka,liczba_start_naglowek_dalej,liczba_koniec_naglowek_dalej,naglowek_dalej,poziom_naglowka_dalej; </syntaxhighlight> Wytłumaczenie tych elementów zrzuconych przez nią dla dopasowań, licząc od tyłu: {{OpisParametrów | 1 = Ostanie dopasowanie nagłówka pasujące, gdy tekst jego rozdziału jest równy znakom odstępu lub jest pusty: | nagłówek1 = tak | 2 = {{Code|liczba_start_naglowek}} | _2 = Początek ostatniego wyszukanego takiego nagłówka. | 3 = {{Code|liczba_koniec_naglowek_poczt}} | _3 = koniec pierwszego wyszukanego nagłówka. | 4 = {{Code|naglowek}} | _4 = Wartość nagłówka dla tego ostatniego dopasowania. | 5 = {{Code|poziom_naglowka}} | _5 = Poziom takiego nagłówka. | 6 = Według wartości zwracanych powyższych w pierwszej kolejności, dla którego tekst rozdziału nie musi być równy znakom odstępu, dla rozdziałów coraz bardziej główniejszych, a dla innych tekst rozdziału musi mieć co najwyżej znaki odstępu. | komórka6 = tak | 7 = Niepasujący nagłówek, wyszukane pierwsze z kolei po pasującym: | nagłówek7 = tak | 8 = {{Code|liczba_start_naglowek_dalej}} | _8 = Początek po pasującym tak nagłówku. | 9 = {{Code|liczba_koniec_naglowek_dalej}} | _9 = A tutaj jego koniec. | 10 = {{Code|naglowek_dalej}} | _10 = Wartość tekstu napisu wprowadzenia tekstu. | 11 = {{Code|poziom_naglowek_dalej}} | _11 = tutaj jego poziom. }} W przypadku nieznalezienia takich nagłówków funkcja nie zwraca niczego. == {{Śródtytuł|p.SzukanieKolejnychSekcji}}{{Code|p.SzukanieKolejnychSekcji}} == Funkcja służy do zaawansowanego szukania, od tyłu, nagłówków w przeciwieństwie do: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}, która służy przede wszystkim do szukania sekcji kolejnych jednego rodzaju, a ta funkcja znajduje się w postaci układu sekcji różnego typu w rozważanym tekście. Funkcja wyszukuje od tyłu, znajduje parametry ostatniego nagłówka i je zwraca, jeżeli je znalazł, a jeśli nie, to nie zwraca żadnej wartości, tylko funkcja się zakańcza. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukanieKolejnychSekcji(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,czy_bez_naglowka,AnalizowanieSekcjowe)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = Funkcja ma takie same parametry, i to samo znaczą, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|parametry-p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}. | komórka1 = tak | 2 = Jedynie funkcja nie ma parametru: {{Code|czy_dodatni}} {{LinkPatrz|czy_dodatni}}, ponieważ ta funkcji nie szuka kolejnych rozdziałów tylko jednego rodzaju, lecz wielu. | komórka2 = tak }} === {{Śródtytuł|str_spacja_lub_zerowy_naglowek}}{{Code|str_spacja_lub_zerowy_naglowek}} === Dla każdej takiej niepustej linii, sprawdzane jest, czy to są linie z odstępami, lub czy nie są elementami listy, ale w sposób rozszerzony, tzn. ten początek nie może składać się z pewnych znaków, czyli: {{Code|<nowiki>^[^%*#:;<>\n]</nowiki>}}. Funkcja sprawdza, czy liczba takich linii, jest taka sama, ile jest niepustych linii, wtedy funkcja zwraca wartość logiczną prawdziwą, przeciwnie wartość nilową. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> local str_spacja_lub_zerowy_naglowek=function(tekst)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} | _1 = Tekst do sprawdzenia. }} === Etapy dopasowania ostatniego dopasowania rozdziałów, jego pozycja w tekście i jego napis wprowadzenia tekstu - Etap ogólny === Funkcja najpierw wyszukuje rozdziały poprzez wskazanie przez funkcję: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}, a jeżeli znalazł artykuł, o niepustych secjach pomiędzy ostatnim wskazanym artykułen (przed artykułem), a rozdziałem, wtedy ta funkcja zwraca wartość logiczną fałszywą i zwraca wartość nilową, czyli nic nie zwraca, i funkcja się zakańcza, i wskazuje, że nie znalazł takiego nagłówka, to się dzieje pod warunkiem, że funkcja: {{Code|AnalizowanieSekcjowe}} {{LinkPatrz|AnalizowanieSekcjowe}}, została podana, w przeciwnym wypadku, to już tak się nie dzieje, a nagłówek z tego wywołania mógł być znaleziony, ale nie musi. === Etapy alternatywy instrukcji warunkowej === W funkcji są trzy etapy instrukcji warunkowej: * '''if(...)then ({{nobold|pierwszy etap}}) elseif(...) ({{nobold|drugi etap}}) else ({{nobold|trzeci etap}}) end;'''. ==== Pierwszy etap ==== ; To dotyczy, że znalazł ostatnie dopasowanie, ale niepasującego nagłówka, przed nim, nie ma. * Wtedy funkcją: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, znajdowane jest dopasowanie w minimalnie podwójnych cudzysłowach. * A jeżeli tego nie znalazł, wtedy przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}, w '''pętli nieskończonej''', najpierw dla parametru: {{Code|czy_dodatni}} {{Code|{{=}}}} {{Code|2}}, a później dla {{Code|3}}, najpierw jest to pierwsze, a później to drugie, jeśli z tego pierwszego zostało wykonana komenda przerwania pętli, to drugie dopasowanie nie zostanie wykonane w danym obiegu jego, normalnie, bez tego są dwa wywołania. * W każdym takim wywołaniu i dopasowaniu kolejno do tyłu, w pierwszym, czy drugim, będzie sprawdzane, czy tego dokonano, czy taki nagłówek znaleziono, a jeśli tak, to sprawdzany jest tekst pomiędzy ostatnim końcem w wykrytym nagłówku, a początkiem tego przedostatniego, lub z etapu ogólnego, funkcją: {{LinkŚródtytuł|str_spacja_lub_zerowy_naglowek}}, jeżeli funkcja zwróciła wartość logiczną odpowiadającej fałszywej, to pętla jest przerywana, w przeciwnym wypadku są inicjowane parametry tego dopasowania, które przygotowuje ona zwrócić do funkcji w nagłówku. ; Ogólnie po drugim taki wywołaniu następuje sprawdzenie parametrów zwróconych{{dk}} * Jeżeli w ostatnim takim wywołaniu w tym funkcja zwraca niedopasowanie, wtedy zwracane jest przerywanie pętli, wtedy mamy parametry ostatniego dopasowania, jeśli istnieją takie. ==== Etap drugi ==== ; To dotyczy, że takiego dopasowania pasującego nie znalazł. * Wtedy funkcją: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, znajdowane jest dopasowanie w minimalnie podwójnych cudzysłowach. * A jeżeli to znalazł, to wyszukany stąd nagłówek jest rozwijany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu|p=StronicowyParser/SpisTreści/Tom I}}}}. * Jeżeli parser funkcji nie wykrył wykrzyknika na końcu takiego nagłówka, wtedy jest sprawdzane przy pomocy iteratora w zakodowanym tekście przy pomocy: {{Code|{{m|Szablonowe}}}}, na podstawie: {{LinkŚródtytuł|p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, czy w nagłówku istnieją artykuły bieżącej książki, i czy to nie jest okładka, czy strona niedozwolona. * Jeżeli wykryto takie artykuły, lub pętla nie została wykonana, bo nie ma takich wykrytym w nagłówku kodów, to funkcja inicjuje parametry zwracanych wartości przez funkcję w nagłówku. ==== Etap trzeci ==== ; To dotyczy pozostałych przypadków, w którym znalazł ostatnie dopasowanie, a niepasujące przed nim też znalazł. * Jest wywoływane wywołanie: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}, najpierw w pierwszym wywołaniu dla: {{Code|czy_dodatni}} {{Code|{{=}}}} {{Code|2}}, a później dla {{Code|3}}. * A w każdym takim wywołaniu jest sprawdzane, czy tekst pomiędzy końcem ostatniego wykrytego nagłówka, a początkiem przedostatniego nagłówka, a nawet artykułu wykrytego, czyli czy taki tekst rozdziału, czy składa się z samych znaków odstępów, a jeśli tak, to inicjowane są parametry zwracane przez funkcję. Dalej przechodzimy z pierwszego do drugiego wywołania, w którym oba wywołania są podobnie zbudowane. === Parametry wychodzące z funkcji === * Oto parametry inicjowane przez funkcję w tych powyższych trzech etapach alternatywnych, które na końcu funkcji w nagłówku są zwracane: Funkcja zwraca wartości określone przez kod: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka; </syntaxhighlight> === Wytłumaczenia parametrów zwracanych === Parametry określają ostatnie dopasowanie nagłówkowe wewnątrz funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_start_naglowek}} | _1 = Początek tego dopasowania, | 2 = {{Code|liczba_koniec_naglowek}} | _2 = Jego koniec, | 3 = {{Code|naglowek}} | _3 = Wartość napisu wprowadzenia tekstu nagłówka, | 4 = {{Code|poziom_naglowka}} | _4 = Poziom tego nagłówka. }} == {{Śródtytuł|p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych}}{{Code|p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych}} == Funkcja służy do wyszukiwania, od tyłu, pozycji artykularnej przed wykrytym ostatnim rozdziałem, lub gdy nie ma rozdziałów, to liczy pozycję tylko artykularną, lub nawet pozycji rozdziałów zerowych spisu treści albo nawet tych z dwukropkiem na końcu danej linii, i szuka od tyłu takie coś, by to uznać za początek spisu treści wyciętej z tekstu zakodowanego spisu, czyli ogólnie mówiąc, funkcja szuka dalej takiego początku dalszego. Funkcja służy też do wydzielania części spisu spełniające powyższe kryteria, aby można było ją parsować przez inne funkcje '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowego parsera}}''', do wydzielania dalszych rozdziałów, a z nich wydzielania nagłówków (napisów wprowadzenia tekstu) i tekstów rozdziałów, poprzez zwrócenie w nim wartości pierwszego parametru. Funkcja pętluje przy wykrytych liniach składających się z odstępów, a się zatrzymuje na normalnych danych lub po zakończeniu zasobów. Główny opis funkcji {{ZobaczTeż|p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych}}: * Funkcja działa w pętli nieskończonej, aż do zakończenia danych, lub do zwrócenia elementów przez nią, * W tej pętli funkcja wyszukuje kolejne linie, które nie są pozycjami listy, z którego jest wyodrębiona linia, analizowane, jeżeli istnieją. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,czy_bez_naglowka,liczba_start,czy_dalej_rozdzial,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = Funkcja ma takie same parametry, i to samo znaczą, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|parametry-p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}. | komórka1 = tak | 2 = Funkcja nie przyjmuje parametrów z listy zmiennych podanych w poprzedniej pozycji listy powyżej: {{Code|liczba_obiekt_start_nowe}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_nowe}}, {{Code|liczba_obiekt_start_spac_par}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_spac_par}}, {{Code|czy_dodatni}} {{LinkPatrz|czy_dodatni}}, i {{Code|AnalizowanieSekcjowe}} {{LinkPatrz|AnalizowanieSekcjowe}}. | komórka2 = tak | 3 = Dodatkowo funkcja przyjmuje parametry: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|liczba_start}} {{Patrz|liczba_start}} | _4 = Od której pozycji od tyłu ma wyszukiwać pozycje artykularne. | 5 = {{Code|czy_dalej_rozdzial}} {{Patrz|czy_dalej_rozdzial}} | _5 = Czy {{ZobaczTeż|czy_dalej_rozdzial}} uznać za pierwszeństwo, w przypadku wykrytego rozdziału dodatniego w linii, lub nie wykrycia takiej linii, która nie jest częścią listy, wtedy jest ważny element (zmienna) {{Code|liczba_start}} {{LinkPatrz|liczba_start}}, przeciwnie jest brane, coś przeciwnego. | 6 = {{Code|liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul}}. }} Parametry {{ZobaczTeż|zwracane-p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych}} zwracane przez funkcję, które są zwracane kolejno w niej na końcu jej działania: {{OpisParametrów | 1 = Ustalony taki punkt, uzyskanym z obliczeń w wyniku pętli (wyjaśnienie w tekście). | komórka1 = tak | 2 = Liczba znaków odstępów wykrytych podczasz wszystkich obiektów pętli (jest to reprezentowane przez: {{Code|liczba_spac}} {{Patrz|liczba_spac}}). | komórka2 = tak | 3 = Czy tak, uzyskana i zwrócona, linia jest rozdziałem spisu treści (jest to reprezentowane przez: {{Code|czy_spis}} {{Patrz|czy_spis}}). | komórka3 = tak }} === Etapy zwracania przez funkcję elementów === * Funkcja przedstawia szereg etapów, jakie ona musi przejść, aby wydzielić nagłówek zerowy przed nim, czy tekst z linkami do artykułów, ale nieokładkowych książki bieżącej. ==== Uzyskanie linii według ogólnego wzoru ==== * Według {{LinkZobaczTeż|p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych}}, tą linią, byłoby takie coś pomiędzy ewentualnie znakami nowych linii, która spełnia wzór: {{Code|<nowiki>([^%*#:;<>\n][^\n]*)</nowiki>}}. To wyszukiwanie jest według funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, wyszukujący w sposób ogólny linie, niezależnie jak są one realizowane w tekście. ==== Początek i koniec uzyskanej linii według powyższego sposobu ==== * Początek i koniec przechwyconej linii, to są pewne liczby, wraz ze znakami nowej linii, jeśli po któreś stronie istnieją, lub nawet gdy to są w tym elementy, początku lub końca, tekstu, wtedy długość tych elementów jest zero. ==== Brak dopasowania linii ==== * A jeżeli dopasowanie tej linii zgłasza niedopasowanie, wtedy przy prawdziwości zmiennej: {{Code|czy_dalej_rozdzial}} {{LinkPatrz|czy_dalej_rozdzial}}, według: {{LinkZobaczTeż|czy_dalej_rozdzial}}, zwracane jest: {{Code|liczba_start}} {{LinkPatrz|liczba_start}}, przeciwnie, wartość minimalną, pomiędzy tą zmienną a inną {{Code|liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul}} {{LinkPatrz|liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul}} (jeśli ta zmienna nie istnieje, to domyślnie ma wartość {{Code|1}}). ==== Rozdział równaniowy ==== * Jeżeli tą linią jest rozdział równaniowy, to zwracane jest, jeżeli wartość {{Code|czy_dalej_rozdzial}} {{LinkPatrz|czy_dalej_rozdzial}}, według {{LinkZobaczTeż|czy_dalej_rozdzial}}, ma wartość fałszywą, wtedy jest to dopasowanie końca tej linii, w pierwszym parametrze zwracanym, wraz z innymi danymi, według {{LinkZobaczTeż|zwracane-p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych}}, a jeżeli ta wartość jest prawdą, to zwracane jest {{Code|liczba_start}} {{LinkPatrz|liczba_start}}, bo w tej funkcji nie ma prawa być takich rozdziałów dopasowywać. Ma dopasowywać tylko normalne linie niebędące pozycjami listy lub rozdziałami równaniowymi. ==== Pierwsze rozgałęzenie specjalne instrukcji warunkowej ==== : Znaki odstępów - linia to białe znaki: * Jeżeli linia istnieje i składa się z samych znaków odstępów, to liczmy długość tych znaków, wraz z nowymi liniami po prawej lub lewej stronie, jeśli istnieją, i wsadzamy to do ogólnego licznika {{Code|liczba_spac}} {{LinkPatrz|liczba_spac}}, która jest zwracana na końcu działania funkcji, jako drugi parametr w: {{LinkZobaczTeż|zwracane-p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych}}. Funkcja wykonuje tych okrążeń pętli tyle, ile jest kolejnych linii składających się z tych znaków. ==== Przypadek istnienia linii nie składającej się ze znaków odstępów ==== : Rozdział spisu treści i rozdział zerowy: * Jeśli linia jest spisem względem {{LinkŚródtytuł|p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, to {{Code|liczba_start}} {{LinkPatrz|liczba_start}}, przyjmuje wartość początkowi takiej ustalonej linii w tekście, a {{Code|czy_spis}} {{LinkPatrz|czy_spis}} przyjmuje wartość prawdziwą. * A jeśli tak nie jest, to sprawdzamy, czy przed tą linią jest rozdział zerowy na podstawie funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}. Jeżeli ona jest tym rozdziałem, to {{Code|liczba_start}} {{LinkPatrz|liczba_start}} ma już nową wartość, przeciwnie, jeśli ta linia ma na końcu dwukropek, to ta wartość nowa jest równa początkowi wyszukania tej linii, a jeśli nie, to końcowi. Zmienna, czy jest rozdział spisu {{Code|czy_spis}} {{LinkPatrz|czy_spis}} ma wartość prawdziwą, gdy ten rozdział zerowy istnieje, a jeśli nie, to fałszywą. ==== Przypadek istnienia, lub nie, rozdziału zerowego ==== ; Gdy znaleziono taki rozdział zerowy{{dk}} * Jeśli znaleziono taki rozdział (zerowy) - w linii niebieżącej, to: {{Code|liczba_start}} {{LinkPatrz|liczba_start}}, nie zmienia wartości. * Przeciwnie, jeśli znaleziono taki spis w bieżącej linii, to: {{nobold|{{Code|liczba_start}} {{LinkPatrz|liczba_start}}}}, ma wartość początkowi takiej linii. ; Przeciwnie, wtedy przypadek sprawdzania linii w wypadku nieistnienia w nim kodów{{dk}} * Jeśli wyszukana linia jest rozdziałem z dwukropkiem na końcu, to początkowi, a jeśli nie, to końcowi. * Wtedy w przypadku istnienia dwukropka na końcu rozdziału, wtedy ustawiamy: {{Code|czy_spis}} {{LinkPatrz|czy_spis}}, jest prawdą, w innym wypadku na fałsz. ; Sytuacja niespełnienia poprzednich warunków{{dk}} * Sprawdzamy, czy linia ma pozycje artykularne, które nie są okładkami lub stronami niedozwolonymi, a jeśli tak jest, na podstawie wywołania funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}, to zwracany jest początek wyszukania takiej linii, przeciwnie powtarzana jest wartość {{Code|liczba_start}} {{LinkPatrz|liczba_start}}. * Wtedy, gdy linia nie ma takich artykułów i rozdział z dwukropkiem na końcu istnieje, wtedy ustalamy zmienną: {{Code|czy_spis}} {{LinkPatrz|czy_spis}}, na prawdę, w innym wypadku na fałsz. ; Zwracane wartości{{dk}} : Na samym końcu zwracane jest to wszystko w postaci parametrów: {{LinkZobaczTeż|zwracane-p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych}}. == {{Śródtytuł|p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie}}{{Code|p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie}} == Funkcja wyszukuje, czy dla obiektu o typie {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} o numerze liczbowym {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} - nie jako łańcuch znakowy, dla ich uzyskiwanego odpowiednika {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, generowanego z: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, są linki w zależności od podanej zmiennej: {{Code|czy_wszystkie_linki}} {{LinkPatrz|czy_wszystkie_linki}}, a jeżeli tam nie ma linków, to przeszukiwany jest: {{Code|dalszy_tekst}} {{LinkPatrz|dalszy_tekst}}, w ich poszukiwaniu, którymi zrządzą prawa w zależności od przyporządkowanej zmiennej: {{Code|czy_nieoddzielone}} {{LinkPatrz|czy_nieoddzielone}}, wartość prawdziwa tej zmiennej, włącza dowolność układu obiektów typu: {{Code|SZABLON}}, {{Code|LINKW}} i {{Code|LINKZ}}. Funkcja sprawdza dany link funkcją: {{LinkŚródtytuł|p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}}. A kolejne obiekty w dalszym tekście: {{Code|dalszy_tekst}} {{LinkPatrz|dalszy_tekst}}, są znajdowane dzięki iteratorowi: {{Code|{{sr|#p.IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu|p=Szablonowe}}}}. === Etapy wykonywania czynności === Funkcja patrzy na: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, i sprawdza, czy to jest link: * Jeśli tak to zwraca wartość pradziwą. * A jeśli nie, to później robimy to według: {{Code|dalszy_tekst}} {{LinkPatrz|dalszy_tekst}}, w celu wyszukania takiego obiektu, którym jest jakiś pierwszy link. Wykryty sprawdzany obiekt, względem tego poprzedniego - te obiekty nie muszą być linkami, musi spełniać pewną relację, jeśli wartość {{Code|czy_nieoddzielone}} {{LinkPatrz|czy_nieoddzielone}}, nie jest prawdziwa, w przeciwnym razie taka relacja nie jest sprawdzana. * Jeśli ta zasada jest nie spełniona, to funkcja zwraca wartość fałszywą. Funkcja zwraca wartość prawdziwą, jeśli wykryto taki pierwszy potwierdzony link, przy spełnionych relacjach, jeśli je trzeba sprawdzić, a jeśli nic nie znalał, to zwraca wartość fałszywą. === Inne elementy dokumentacji === Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_nieoddzielone,czy_wszystkie_linki)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = Funkcja ma takie same parametry, i to samo znaczą, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|parametry-p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}. | komórka1 = tak | 2 = Funkcja nie przyjmuje parametrów z listy zmiennych podanych w poprzedniej pozycji listy powyżej: {{Code|liczba_start_rozdzial}} {{LinkPatrz|liczba_start_rozdzial}}, {{Code|liczba_obiekt_start_nowe}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_nowe}}, {{Code|liczba_obiekt_start_spac_par}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_spac_par}}, {{Code|czy_dodatni}} {{LinkPatrz|czy_dodatni}} i {{Code|AnalizowanieSekcjowe}} {{LinkPatrz|AnalizowanieSekcjowe}}. | komórka2 = tak | 3 = Dodatkowo funkcja przyjmuje dodatkowe wartości jako argumenty: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|czy_nieoddzielone}} {{Patrz|czy_nieoddzielone}} | _4 = Czy linki mają być oddzielone interpunkcją, czy odstępami, w przypadu przeciwnym, jeżeli tak nie jest, to funkcja zwraca wartość fałszywą. | 5 = {{Code|czy_wszystkie_linki}} {{Patrz|czy_wszystkie_linki}} | _5 = Czy uwzględniaj wszystkie linki, czy tylko artykuły, nie okładki, (dozwolone), danej książki. | 6 = {{Code|dalszy_tekst}} {{Patrz|dalszy_tekst}} | _6 = Dalszy tekst, do przeszukiwania linkowego. }} Funkcja zwraca wartość logiczną, według praw linkowych tekstu przyporządkowanych zmiennym: {{Code|czy_nieoddzielone}} {{LinkPatrz|czy_nieoddzielone}} i {{Code|czy_wszystkie_linki}} {{LinkPatrz|czy_wszystkie_linki}}, to jeśli znalazł taki pierwszy link, to zwraca wartość prawdziwą, a jeśli nie, to fałszywą. Jeśli zmienna: {{Code|czy_nieoddzielone}} {{LinkPatrz|czy_nieoddzielone}}, przyjmuje wartość fałszywą, to te rozważane obiekty, muszą być oddzielone pewnymi znakami, tutaj: {{Code|<nowiki>[%p%s%d%.]*</nowiki>}}, a jak nie spełniają tego warunku, to funkcja zwraca wartość fałszywą, w innym wypadku dalej liczy i sprawdza. == {{Śródtytuł|p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach}}{{Code|p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach}} == Funkcja jest rozszerzeniem funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie}} {{Patrz|p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie}}, dla ustalonych dwóch ostatnich zmiennych, które przyjmują wartość {{Code|true}} (prawdziwą), o nazwach: {{Code|czy_nieoddzielone}} {{LinkPatrz|czy_nieoddzielone}} i {{Code|czy_wszystkie_linki}} {{LinkPatrz|czy_wszystkie_linki}}, dla tej funkcji, mamy już zmienne: {{Code|obiekt}} {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, i {{Code|dalszy_tekst}} {{LinkPatrz|dalszy_tekst}}, a funkcja w nagłówku je ustala, w wyniku działania w pętli. Funkcja wyszukuje, od tyłu, w tekście, nabliższej pozycji typu: {{Code|SZABLON}}, {{Code|LINKW}} lub {{Code|LINKZ}}, w danej linii, i zwraca odpowiednio dwie wartości, pozycje wykrytą i wartość logiczną powodzenia, w innym przypadku, pozycję początkową z drugim parametrem fałszem. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,czy_bez_naglowka,liczba_spisowa)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = Funkcja ma takie same parametry, i to samo znaczą, jak w punkcie: {{LinkZobaczTeż|parametry-p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych}}. | komórka1 = tak | 2 = Funkcja nie przyjmuje parametrów z listy zmiennych podanych w poprzedniej pozycji listy powyżej: {{Code|liczba_obiekt_start_nowe}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_nowe}}, {{Code|liczba_obiekt_start_spac_par}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_start_spac_par}}, {{Code|czy_dodatni}} {{LinkPatrz|czy_dodatni}} i {{Code|AnalizowanieSekcjowe}} {{LinkPatrz|AnalizowanieSekcjowe}}. | komórka2 = tak | 3 = Dodatkowo funkcja przyjmuje dodatkowe wartości jako argumenty: | nagłówek3 = tak | 4 = {{Code|liczba_start_rozdzial}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start_rozdzial}}, pozycja wyszukiwania końcowa. | 5 = {{Code|liczba_spisowa}} {{Patrz|liczba_spisowa}} | _5 = pozycja wyszukiwania początkowa. }} Funkcja wyszukuje najbliższą linię od tyłu z obiektami typu: {{Code|SZABLON}}, {{Code|LINKW}} i {{Code|LINKZ}}. === Parametry zwracane === ; Pierwszy parametr{{dk}} * Pozycja, w którym taką pozycję określoną przez funkcję znaleziono, drugi parametr wtedy przyjmuje prawdę, jeśli nie znaleziono takiej pozycji, to ta pozycja przymuje wartość początkową, a drugi parametr staje się fałszem, ; Drugi parametr{{dk}} * Czy elementy są odzielone od siebie pewnymi znakami, i czy to są linki artykułów nieokładkowych, czy dozwolonych, i czy obiekty w linii do pierwszego wykrytego linku, czy spełniają relację, wtedy zwraca w drugim parametrze prawdę, w przeciwnym wypadku, nie wykryto takich odpowiednich linków, według wspomnianej funkcji, wtedy zwracony ten parametr będzie fałszem, * Funkcją dokonuje okrążeń peli aż do wyczerpania zasobów, też odpowiadającej fałszowi, lub do wykrycia tych pewnych danych. === Początkowa kolejność wykonywania kodu === Funkcja wyszukuje kolejne linie przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, wykorzystując, że tekst jest zakodowany, i znajduje one przy pomocy wyrażenia regularnego generowanego przez: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, na podstawie kodu, którego fragment jest napisany tutaj: <syntaxhighlight lang="lua"> local liczba_spisu=liczba_spisowa; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); ---- Ustalenie wzoru kodowania, czyli jest to dowolny kod; local szablon_normy_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu() while(true)do ---- Wyszukuje dowolną linię według wyrażenia regularnego podanego w kodzie, zawartą całkowicie w linii; local liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu,_,przed_tekst,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"[^%S\n]*([^\n]-)[^%S\n]*"..szablon_normy_kodowania_szablonu.."([^\n]*)",liczba_spisu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); </syntaxhighlight> === Sprawdzenie poprzez instrukcję warunkową === Fukcja sprawdza, czy dokonano sprawdzenia, jeśli pozytywnie ono przeszło, to musi istnieć zmienna: {{Code|liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu}} {{Patrz|liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu}}, oraz musi być spełniona alternatywa dwóch warunków: to {{Code|przed_tekst}} {{Patrz|przed_tekst}}, musi być puste lub ma spełniać warunek według wzoru: {{Code|<nowiki>^[%p%s%d%.]*$</nowiki>}}. === Kolejne dalsze kroki === * Jeżeli funkcja nie dopasowała kodu: {{Code|obiekt_szablon}} {{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, do wartości: {{Code|SZABLON}}, {{Code|LINKW}} i {{Code|LINKZ}}, to działa w pętli aż dopasuje je, aż do zakończenia zasobu danych dostępnych w tekście: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jeżeli nie mogła by tego zrobić. * A jeśli je dopasowała, to sprawdza, czy te kody są odpowiednimi obiektami, ewentualnie oddzielonych od siebie znakami {{Code|<nowiki>[%p%s%d%.]*</nowiki>}}, poprzez sprawdzanie funkcją wspomnianą w nagłówku, czyli: {{LinkPatrz|p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie}}. === Zwracane wartości funkcji === Funkcja ma dwa tryby zwracania wartości. Przypadek sukcesu, gdy znaleziono taki link, w innych przypadkach zwracany jest wynik w przypadku niepowidzenia. ==== Przypadek sukcesu ==== Jeśli ta funkcja {{LinkPatrz|p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie}} zwróci wartość prawdziwą, to zwrócone zostaną parametry: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu,true; </syntaxhighlight> ==== Sytuacja niepowodzenia znalezienia takiego linku w linii w tekście ==== W innych przypadkach, jeżeli takiego dopasowania nie znalazła, to zwróci ona szereg wartości: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_spisowa,false; </syntaxhighlight> W tym przypadku wartość {{Code|liczba_spisowa}} {{LinkPatrz|liczba_spisowa}}, to nic innego jak ostatni argument naszej funkcji, czyli w przypadku niepowodzenia dopasowania, zwracana jest wartość ta początkowa, z drugą wartością, że niezaleziono poszukiwanego obiektu. == {{Śródtytuł|p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych}}{{Code|p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych}} == Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,czy_bez_naglowka,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,liczba_przed_rozdzialem,liczba_start_naglowek_przed,czy_znajdz)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> g6zi1q78dpykk7xttkis3gir0b3dgco 4 63921 558529 556288 2026-10-04T14:02:24Z Persino 2851 558529 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Ten kod zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_wzoru; </syntaxhighlight> Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które mieszczą się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tymi, czego dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> ray4n3oihcoq4nienhejcdl3jvpzivo 558530 558529 2026-10-04T14:07:20Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} */ 558530 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Ten kod zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_wzoru; </syntaxhighlight> Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które mieszczą się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tymi, czego dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> obymrujq4cugx6u9r7rnt2f1rgidhw0 4 63922 558531 556260 2026-10-04T14:08:11Z Persino 2851 /* Parametry funkcji */ 558531 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.AnalizaSpisuRzeczy}}{{Code|p.AnalizaSpisuRzeczy}} == Funkcja służy z zakodowanego i z przetworzonego tekstu artykułu danego spisu, wydzielić z niej właściwy fragment, który jest tym odpowiednim spisem treści. Funkcja uwzględnia w swojej budowie, że on ma w sobie zawierać również szablony przypisów: jak: {{s|Przypisy}}, i licencji jak: {{s|Licencja}}, robi to za pomocą odpowiednich funkcji korekcji (korygowania) wydzielonego spisu. === Parametry funkcji === Przedstawimy tutaj fragment definicji tej funkcji, a także opis odnośnikowy jej parametrów. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.AnalizaSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka2 = tak }} === Parametry zwracane === * Funkcja zwraca wydzielony tekst spis treści z tekstu zakodowanego i przetworzonego artykułu (spisu książki - podręcznika). <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Wydzielenie właściwego spisu treści z całej treści zakodowanego artykułu spisu; local tekst=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,liczba_koniec); ---- Korygowanie danych wydzielonego spisu według powyższej metody, korekcja odbywa się po wszystkich możliwościach tabeli; for _,tab_wzor in ipairs(stronicowyparser_obiekty_modul.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe)do ---- Kolejne iteracje korekcji odpowiedniego spisu, kolejnymi krokami według poniższej funkcji; tekst=p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych); end; ---- Zwracanie wydzielonego i skorygowanego spisu treści; return tekst; </syntaxhighlight> === Wydzielanie właściwego spisu treści, liczenie punktów granicznych === Za pomocą tych dwóch liczb granicznych, punktu startowego i końcowego, będziemy wydzielać właściwy tekst spisu treści z całości zakodowanego spisu treści, ale najpierw te dwie liczby musimy wyznaczyć za pomocą pewnych ustalonych procedur. Będziemy to robić za pomocą funkcji w module: {{Code|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}}}. ==== Punkt startowy ==== Będziemy tu znajdować punkt startowy, przed którym tekst zostanie ucięty w wyniku końcowym w wyniku zwracania wartości przez tę funkcję. ===== Znajdowanie pierwszego artykułu książki ===== Pierwszy kod szablonowy według bazy kodów znajdujemy według następującego źródła: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Według bazy kodów, to reprezentuje, to wyrażenie regularne, dowolny kod bazy modułu: Szablonowe; local szablon_normy_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(); ---- Wyrażenie regularne wyszukiwania, względem warunków przechwytywania: ---- lista_szablon, ---- odstepy_poczatku_rozdzialu, ---- przerwa_szablon, ---- obiekt_szablon, ---- kod_szablon, ---- dalszy_tekst; local wzor_szablonu_list="([%*:#;<>]*)([^%S\n]*)([^\n]-)[^%S\n]*[\'\"]*[^%S\n]*"..szablon_normy_kodowania_szablonu.."[^%S\n]*[\'\"]*[^%S\n]*([^\n]-)[^%S\n]*"; ---- Uruchomienie nieskończonej petli wyszukiwania, która wewwnętrznie zostanie zakończona; while(true)do ---- szukanie elementów, według wyrażenia regularnego powyższego, tzn. początku i końca jego wyszukiwania, powyższych elementów przechwyconych przez tę funkcję; local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,lista_szablon,odstepy_poczatku_rozdzialu,przerwa_szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor_szablonu_list,liczba_obiekt_koniec,nil,false); </syntaxhighlight> Szukamy kolejne linie, używając funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, mając wyrażenie regularne powyższe, szukamy, co najmniej pozycji list, a co najwyżej rozdziałów dodatnich, lub nawet zwykłej linii, oczywiście z jakimś kodem. Szukane elementy, numerując je odpowiednio, to są: * {{Code|lista_szablon}} {{Patrz|lista_szablon}} - odpowiednie tą są znaki pozycji listy, lub nie ma ich wcale, * {{Code|odstepy_poczatku_rozdzialu}} {{Patrz|odstepy_poczatku_rozdzialu}} - jest to cią odstępów bez znaku nowej linii {{Code|\n}}, * {{Code|przerwa_szablon}} {{Patrz|przerwa_szablon}} - elementy te i {{LinkPatrz|dalszy_tekst}}, gdzie mogą znajdować się tam elementy rozdziału dodatniego przy pustych wykrytych łańcuchach: {{LinkPatrz|lista_szablon}} i {{LinkPatrz|odstepy_poczatku_rozdzialu}}, to tam również mogą znajdowwać się znaki, typu: {{Code|<}} lub {{Code|>}}, oprócz tego, * {{Code|obiekt_szablon}} {{Patrz|obiekt_szablon}} - jest to typ obiektu, który znajdujemy w kodzie, akceptowalne rodzaje, to {{ZobaczTeż|akceptowalne kody}}: {{Code|LINKW}} - linki wewnętrzne, {{Code|LINKZ}} - linki zewnętrzne, i {{Code|SZABLON}} - kody szablonowe, w tym linki inteligente i inne linki, a nieakceptowalnymi kodami są to różnego rodzaju nagłówki wraz z istniejącymi zawartościami, ale też {{Code|SZABLON}} - inne niż te linki, a może {{Code|ZNACZNIK}}, * {{Code|kod_szablon}} {{Patrz|kod_szablon}} - numer kodu o typie {{LinkPatrz|obiekt_szablon}}, który może być przetłumaczony na liczbę w wyniku transformacji przez funkcję: {{LzLua|tonumber}}, zamieniającą łańcuch znakowy na liczbę naturalną dodatnią; * {{Code|dalszy_tekst}} {{Patrz|dalszy_tekst}} - jest to dalszy kod, za pierwszym takim zauważalnym kodzie, modułu: {{Code|{{m|Szablonowe}}}}. ====== Wyszukiwanie kolejnych możliwości linii z kodami szablonowymi bazy kodów, znając powyższe zmienne ====== Przy możliwych akceptowalnych kodach typu: {{LinkZobaczTeż|akceptowalne kody}}, będziemy znaajdować kolejne możliwości: * Pozycje akceptowalne przez funkcje listy: ** Pozycje dowolnej listy przy niepustym łańcuchu znakowym: {{LinkPatrz|lista_szablon}}, i pustym: {{LinkPatrz|przerwa_szablon}}, co oznacza jego znaki, czyli to, że za nim bezpośrednio znajduje się kod bazy kodowania, np. linku, ale akceptowalnego elementu, ** Pozycje listy, gdzie: {{LinkPatrz|lista_szablon}}, nie zaczyna się od dwukropka {{Code|:}}, ** Dowolna lista dwukropkowa, czyli {{LinkPatrz|lista_szablon}}, zaczyna się na dwukropek, a {{LinkPatrz|przerwa_szablon}}, to mogą znaki jeden z: {{Code|<}} i {{Code|>}}, * Początkowe znaki linii dalszego tekstu {{LinkPatrz|dalszy_tekst}}, tzn: nie jest {{Code|>}}, gdy: {{LinkPatrz|lista_szablon}} i {{LinkPatrz|przerwa_szablon}}, są puste, * Dowolny rozdział równaniowy dodatni, gdy zmienne: {{LinkPatrz|lista_szablon}} i {{LinkPatrz|odstepy_poczatku_rozdzialu}}, są puste, a {{LinkPatrz|przerwa_szablon}}, zaczyna się od równa się, a {{LinkPatrz|dalszy_tekst}}, końcy się też na to. ; Gdy nie znaleziono elementów według powyższych punktów, tzn. szukamy według{{dk}} * Gdy linii nie można było przydzielić, do któryś z powyższych punktów, to badamy, czy {{LinkPatrz|obiekt_szablon}} i {{LinkPatrz|kod_szablon}} - przetłumaczony na numer, czy w nim ewentualnie da się znaleźć kody linków, jeżeli one są szablonami, czy znacznikami, centrowania, lub sztucznymi nagłówkami, a nawet nagłówkami znacznikowymi, * Szukamy w ich zawartości elementów, tzn. bezpośrednio zmiennych kodowych linków {{ZobaczTeż|inne_kody}}: {{Code|szablon}}, {{Code|obiekt_szablon}} {{LinkPatrz|obiekt_szablon}}, {{Code|kod_szablon}} {{LinkPatrz|kod_szablon}} i {{Code|dalszy_tekst}} {{LinkPatrz|dalszy_tekst}}, przy pomocy funkcji: {{LinkŚródtytuł|p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}}. * W ten sposób znaleźliźmy inne kody i dalszy jego tekst w postaci elementów podanych w: {{LinkZobaczTeż|inne_kody}}. ==== Punkt końcowy ==== ==== Wydzielanie spisu właściwego ==== ===== Korekcja uzyskanego wyniku ===== {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> hxgv93kethims3mn4wgr421tpjzsfcj 4 63923 558520 558504 2026-10-04T12:11:21Z Persino 2851 /* Parametry zakodowanego spisu */ 558520 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Funkcje do analizy i wydzielania, ze strony, dowolnego spisu rzeczy należącego do książki w przestrzeni nazw, nawet niby, czyli: '''{{Np|(main)|link=tak}}''', '''{{Np|Wikijunior|link=tak}}''', '''{{lr2|Brudnopis}}/<użytkownik>''' i '''{{Np|User|link=tak}}/<użytkownik>'''. Moduł posiada specjalistyczne funkcje wyszukujące tekst według wzoru od przodu, jak i od tyłu, jak i funkcje znajdujące sciśle określone elementy niezaleznie w jakim porządku, ale kolejność sie liczy, tzn. do przodu lub wsteczna. Funkcja wyszukuje rozdziały, w tym rozdział: '''Spis treści''', czy: '''Spis rzeczy''', niezależnie jak są znormowane, od tyłu, znajdując rozdziały najbliższe przed sobą, nawet wyszukując je kolejne. Niektóre funkcje w tym module: {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}, mają ogólne zastosowanie, a jeszcze inne, żadnego, a te można jedynie stosować w funkcji: {{Code|{{sr|#p.AnalizaSpisuRzeczy|p=StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VII}}}}, tam te mają tylko jedynie one sens. == Argumenty (zmienne) wstawiane do różnych funkcji == === Parametry tekstu === Są to elementy części i całości kodu zakodowanego artykułu {{ZobaczTeż|Podstawowe parametry}}: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|linia}} {{Patrz|linia}} | _1 = Linia do sprawdzenia, umieszczona pomiędzy znakami nowej linii lub elementami końca i początku łańcucha znakowego. | 2 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{Patrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _2 = Przeszukiwany tekst, całości zakodowanego artykułu. }} === Elementy kodowania kodów różnych obiektów === Elementy różnych kodów to {{ZobaczTeż|Parametry kodowania}}, używane w tabeli bazy {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|obiekt}} {{Patrz|obiekt}} | _1 = Rodzaj kodu w bazie danych zakodowanego tekstu. | 2 = {{Code|kod}} {{Patrz|kod}} | _2 = Numer kodu w danego rodzaju. }} === Elementy złożone z rodzaju kodu i jego numeru === Parametry uzyskane {{ZobaczTeż|Parametry złożone}} przy pomocy tabel z innych elementów: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|szablon}} {{Patrz|szablon}} | _1 = Element złożony z elementów: {{LinkZobaczTeż|Parametry kodowania}}, przy użyciu tablicy: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}}. }} === Parametry zakodowanego spisu === Są to elementy parametrów strony zakodowanego spisu {{ZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu}}: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|nazwa_przestrzeni}} {{Patrz|nazwa_przestrzeni}}, {{Code|nazwa_przestrzeni_ksiazki}} {{Patrz|nazwa_przestrzeni_ksiazki}} i {{Code|nazwa_ksiazki}} {{Patrz|nazwa_ksiazki}} | _1 = Kolejno jest to: '''nazwa przestrzeni nazw''', '''nazwa przestrzeni książki''', i '''nazwa książki'''. | 2 = {{Code|nazwa_spisu_tresci}} {{Patrz|nazwa_spisu_tresci}} | _2 = Nazwa artykułu spisu treści w podręcznikiem, jego wartością może być wartość pusta. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} {{Patrz|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Uchwyt do bazy kodowania zakodowanego tekstu, jeśli: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, nie istnieje. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} {{Patrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Nazwa spisu treści w wersji szablonowej, bez przestrzeni nazw {{Np|Template|link=tak}}. Dla przestrzeni nazw: {{Np|(main)|link=tak}}, jest ona z dwukropkiem na początku. Tak jak się pisze wywołania szablonowe, do uruchomienia, dla elementów w różnych przestrzeniach nazw, aby po wywołaniu było to, co chcemy. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{Patrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Tabela bazy danych zakodowanego tekstu, dla różnych obiektów {{LinkPatrz|obiekt}} z róznymi numerami elementów w nim {{LinkPatrz|kod}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} {{Patrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Tablica niektórych, nie wszystkich, przetworzonych elementów z: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}}, w wyniku użycia pewnych funkcji. | 7 = Parametry tabele potrzebne przez funkcję: {{Code|{{sr|#p.AnalizujLinkSzablonyOrazLinki|p=StronicowyParser/Potrzebne}}}} {{Patrz|p.AnalizujLinkSzablonyOrazLinki}}, używane przez nią: | nagłówek7 = tak | 8 = {{Code|tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych}} {{Patrz|tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych}} | _8 = Tablica nazw spisu przekierowaniowego. }} ==== Kiedy stosować tabele bazy i parametrów kodowania zakodowanego tekstu ==== {{Śródtekst|uchwyt=parametry-baza_danych_kodowania_artykułu|tekst= Zmienna: {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jest to uchwyt do bazy danych kodowania tekstu, gdyby nie podano parametru: {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, a argument: {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jest tylko potrzebna do przetłumaczenia na adres względny nazwy szablonu centrowania. }} == Spis treści == Poszczególne moduły opisują, dla przejrzystości podzielone na nie, funkcje w module: {{Code|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}}}, a te strony w poszczególnych tomach, to są dokumentacje ich. {{Hr}} {{Kolumny|2|2= === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}} - Szukania według wzoru === Funkcje do przeszukiwania ciągów znakowych podanych w tekście lub wewnątrz linii, w postaci przechwytywanych ciągów znakowych (ich jest maksymalnie dziewięć), one zwracają początek i koniec ostatniego dopasowania według kryteriów, w postaci pierwszy elementów zwracanych, dalsze elementy, to są przechwytywania, zdefiniowane bezpośrednio we wzorze wyszukiwania w postaci nawiasów okrągłych, tak są zaznaczane takie elementy. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom II}} - Czy dany element obiekt jest linkiem do artykułu danej ksiązki === Funkcje do sprawdzania, czy szablon, obiekt typu: {{Code|SZABLON}}, czy inne: {{Code|LINKW}} i {{Code|LINKZ}}, są obiektami linkowymi spisu treści podręcznika, czy nie, a jeżeli tak, to funkcja zwraca wartość prawdziwości (powodzenia), lub do rewidowania, czy w linii niebędącej pozycją ujemną, czy tam są w ogóle elementy symbolizujące jakiegoś rodzaju linki spisu rzeczy, tam przedstawiane szablony albo to są szablony linków inteligetnych - czyli szablonu spisu, jak i inne linki typowo spisowe, używane tylko w spisach, a nie w treściwych częściach książki. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} - Parsowanie spisu treści, czy rzeczy, rozdziału === Funkcje do wyszukiwania napisów wprowadzenia tekstu, przede wszystkim zerowych, ale też można sprawdzić, czy przypadkiem, to jest rozdział centrowany, aby go czasami wykluczyć z obliczeń. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} - Znajdowanie najbliższego rozdziału === Funkcje wyszukujące rozdziały lub w samym nagłówku, które mają odpowiednie lub nie zawartości, takiego pierwszego, od tyłu, lub do przodu. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}} - Analiza poszczególnych sekcji === Funkcje dotyczące wyszukiwania sekcji na zakodowanym tekście strony, w tym również linkowych, określa warunki znajdowania kolejnych rozdziałów w wikikodzie, jakie nagłówki wyszukiwać, jakie muszą spełniać rozwiązania. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}} - Funkcje korygowania spisu rzeczy === Funkcje do korygowania pozycji końca spisu treści wydzielonej z tekstu zakodowanego treści artykułu (strony), by ona mieściła się wraz z licencją (z szablonem: {{s|Licencja}}), jeśli on istnieje, lub usuwania pewnych elementów z wydzielonego z właściwego spisu treści, co do napisu wprowadzenia tekstu i jego tekstu rozdziału, o nagłówkach: '''Bibliografia''' i '''Literatura''', niezależnie jak są znormowane. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VII}} - Funkcja do wydzielania z tekstu artykułu przetworzonego, właściwej jej części spisu === Funkcje do wydzielania z zakodowanego spisu treści, jego właściwego, aby dało się dalej łatwo go podzielić na nagłówki i ich teksty rozdziałów (bez nagłówka). Robimy to dla każdego spisu danej książki. }} {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> ovrw7xy7y6o9y3yysbz8sy9tq0e51l1 10 64298 558611 556330 2026-10-04T21:05:33Z Persino 2851 558611 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table{ margin-bottom:0.5em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ gy6fjyt8ovy3lzmi5gdl3yeaydviiok 558616 558611 2026-10-04T21:16:31Z Persino 2851 558616 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } .ciało_strona p + tabela-op, .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em; } .ciało_strona tabelka-op, .ciało_strona table{ margin-bottom:0.5em; } .ciało_strona p + tabela-op > table{ margin:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ 9czb8jo428u8orynm0uc6xumww4k7fo 558617 558616 2026-10-04T21:18:20Z Persino 2851 558617 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } .ciało_strona p + tabelka-op, .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em; } .ciało_strona tabelka-op, .ciało_strona table{ margin-bottom:0.5em; } .ciało_strona p + tabelka-op > table{ margin:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ qz9nxdr1fv1wmqbqkov3hexewbbg9ow 558618 558617 2026-10-04T21:19:41Z Persino 2851 558618 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } .ciało_strona p + .tabelka-op, .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em; } .ciało_strona .tabelka-op, .ciało_strona table{ margin-bottom:0.5em; } .ciało_strona p + .tabelka-op > table{ margin:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ 5env9yf3brvb88ratfwyyhrmp1w2x0u 558653 558618 2026-10-05T01:35:24Z Persino 2851 558653 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } .ciało_strona p + div.wikitabela-moduł, .ciało_strona p + .tabelka-op, .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em; } .ciało_strona div.wikitabela-moduł, .ciało_strona .tabelka-op, .ciało_strona table{ margin-bottom:0.5em; } .ciało_strona p + .tabelka-op > table{ margin:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ bhyvns6aza4qri2bj84atux6gpbdcl3 558654 558653 2026-10-05T01:37:17Z Persino 2851 558654 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } .ciało_strona p + div.wikitabela-moduł, .ciało_strona p + .tabelka-op, .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em !important; } .ciało_strona div.wikitabela-moduł, .ciało_strona .tabelka-op, .ciało_strona table{ margin-bottom:0.5em !important; } .ciało_strona p + .tabelka-op > table{ margin:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ bew6z26fzgms0700kqfjfml8suqw7jo 558655 558654 2026-10-05T01:40:17Z Persino 2851 558655 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } .ciało_strona p + div.wikitabela-moduł, .ciało_strona p + .tabelka-op, .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em !important; } .ciało_strona div.wikitabela-moduł, .ciało_strona .tabelka-op, .ciało_strona table{ margin-bottom:0.5em !important; } .ciało_strona p + div.wikitabela-moduł > table, .ciało_strona p + .tabelka-op > table{ margin:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ 8z5c6vo5zs7ezkecw558td7x7w2qzkf 558656 558655 2026-10-05T01:42:27Z Persino 2851 558656 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } .ciało_strona p + div.wikitabela-moduł, .ciało_strona p + .tabelka-op, .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em !important; } .ciało_strona div.wikitabela-moduł, .ciało_strona .tabelka-op, .ciało_strona table:not(:only-child){ margin-bottom:0.5em !important; } .ciało_strona p + div.wikitabela-moduł > table, .ciało_strona p + .tabelka-op > table{ margin:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ h17ch14yc7kra1h10ou24bdk74ekqt6 558657 558656 2026-10-05T01:43:45Z Persino 2851 558657 sanitized-css text/css .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ul, .ciało_strona figure.mw-halign-left[typeof="mw:File"] + ol, .ciało_strona .szablon_plik ~ ul, .ciało_strona .szablon_plik ~ ol{ list-style-position:inside; margin-left:0; margin-inline-start:0; } .ciało_strona div.mw-highlight{ display:flex; flex-direction:column; max-width:100%; overflow-x:auto; overflow-y:hidden; } .ciało_strona div.mw-highlight > pre{ display:block; width:auto !important; min-width:100%; text-align:left; word-wrap:break-word; word-break:break-all; hyphens:none; box-sizing:border-box; white-space:pre-wrap; flex-shrink:0; } .ciało_strona code.zn_ogromne{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-all; } .ciało_strona span.link > a{ hyphens:auto; word-wrap: break-word; word-break: break-word; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a{ word-break: break-all; } .ciało_strona span.link.link-ogromne > a > span.fonty_rodzina_sans, .ciało_strona span.link.link-ogromne > a code{ word-break:unset; } .ciało_strona a code{ color:unset; } .ciało_strona code{ display:inline; font-size:inherit; line-height:1.56; word-wrap:break-word; word-break:break-word; } .ciało_strona p{ margin: 0.4em 0 0.5em 0; font-size: inherit; line-height: 1.3; } .ciało_strona p, .ciało_strona dl{ margin-bottom:0.1em; } .ciało_strona p + p{ margin-top:0.4em; } .ciało_strona p+dl{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona p + ol, .ciało_strona p + ul{ margin-top:0.2em; } .ciało_strona table + dl{ margin-top:1em; } .ciało_strona dl + div.mw-highlight, .ciało_strona p + div.mw-highlight{ margin-top:0.1em; } .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).floatright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tleft + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).tright + p, .ciało_strona > :not(style):not(link):not(p).float-left-or-right + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-left + p, .ciało_strona > figure.mw-halign-right + p{ margin-top:0; } .ciało_strona p + div.wikitabela-moduł, .ciało_strona p + .tabelka-op, .ciało_strona p + table{ margin-top:0.5em !important; } .ciało_strona div.wikitabela-moduł:not(:last-child), .ciało_strona .tabelka-op:not(:last-child), .ciało_strona table:not(:only-child){ margin-bottom:0.5em !important; } .ciało_strona p + div.wikitabela-moduł > table, .ciało_strona p + .tabelka-op > table{ margin:0; } @media print{ .noprint{ display:none; } .print{ display:block; } } .gallerytext, .plainlinks{ text-align:left; } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px), all and (max-device-height: 745px){ figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-left{ float:left !important; margin:4px 4px 4px 0 !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-right{ float:right !important; margin:4px 0 4px 4px !important; } figure[typeof~="mw:File"].mw-halign-center{ margin:0 auto !important; } figure[typeof~="mw:File"]{ display:block; max-width:100%; overflow:auto; } span[typeof~="mw:File"].mw-default-size{ display:inline-block; overflow:auto; max-width:100%; } div.tright{ float:right; margin:0 0 1em 1em; } div.tleft{ float:left; margin:0 1em 1em 0; } } @media all and (max-width:745px), all and (max-device-width: 745px){ div.tright, div.tleft{ margin: 0 auto !important; float:none !important; } } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów/StronaStart}}*/ jjaeoflyq8lm757mk3y5zmngwx88aj2