Wikibooks plwikibooks https://pl.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Strona_g%C5%82%C3%B3wna MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Media Specjalna Dyskusja Wikipedysta Dyskusja wikipedysty Wikibooks Dyskusja Wikibooks Plik Dyskusja pliku MediaWiki Dyskusja MediaWiki Szablon Dyskusja szablonu Pomoc Dyskusja pomocy Kategoria Dyskusja kategorii Wikijunior Dyskusja Wikijuniora TimedText TimedText talk Moduł Dyskusja modułu Wydarzenie Dyskusja wydarzenia 0 14133 559079 558597 2026-10-11T03:02:14Z Persino 2851 559079 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Przedstawimy tutaj podstawowe rozkłady obowiązujące w fizyce statystycznej a w szczególności w fizyce klasycznej, a mianowicie rozkład Bolzmanna, Maxwella a także ich wyprowadzenia. Także przedstawimy podstawowe relację obowiązujące w tychże rozkładach. == Inne ogólne wyprowadzenie ogólnego rozkładu kanonicznego == Wyprowadźmy ogólny rozkład kanoniczny dla jakiegoś układu zakładając, z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}}. Prawdopodobieństwo, że układ ma energię E dla układu o liczbie cząstek N, objętości V i znajduje się w czasie t, wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>P=P(E,N,V,t)\;</MATH>|14.1}} Na podstawie {{LinkWzór|12.25|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} prawdopodobieństwo termodynamiczne jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa, że układ jest o średniej energii {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, objętości zajmowane przez nie {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i znajdującym się średnio w czasie {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, co ona jest równa jako iloraz stałej {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}} (liczba wszystkich zdarzeń, że układ jest w stanie {{Formuła|<MATH>\overline E\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline N\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline V\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline t\;</MATH>}}) przez prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>AP^{-1}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=\Omega\Rightarrow P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)={{A}\over{\Omega}}\Rightarrow\Omega={{A}\over{P(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)}}\;</MATH>|14.2}} Z definicji temperatury statystycznej {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} mamy relację, którego prawa strona jest zależna od temperatury a lewa od energii wewnętrznej układu, średniej liczby cząstek i objętości zajmowanej przez nie: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{k_BT}}={{\partial\ln {{A}\over{P}}}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)\Rightarrow {{\partial\ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)=-{{1}\over{k_BT}}=-\beta\;</MATH>|14.3}} Funkcję prawdopodobieństwa realizacji układu ln P {{LinkWzór|14.1}} możemy rozłożyć w szereg Taylora w otoczeniu punktu średniej energii układu z dokładnością do wyrazów liniowych: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq A+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(E-\overline E)+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(V-\overline V)+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(N-\overline N)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)(t-\overline t)=F+{{\partial \ln P}\over{\partial E}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)E+{{\partial \ln P}\over{\partial V}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)V+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline N}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)N+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\partial \ln P}\over{\partial \overline t}}(\overline E,\overline N,\overline V,\overline t)t=F+BE+CV+DN+Et\;</MATH>|14.4}} Co dalej podstawiając do wzoru na logarytm funkcji P {{LinkWzór|14.4}} wzór {{LinkWzór|14.3}}, mamy {{Formuła|<MATH>B=-\beta\;</MATH>}}, co w ten sposób dostajemy wzór na logarytm funkcji prawdopodobieństwa względem energii wewnętrznej w punkcje E, objętości V zajmowanej przez cząstki, liczby cząstek N i czasu t: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P\simeq F-\beta E+CV+DN+Et\;</MATH>|14.5}} Otrzymana tożsamość {{LinkWzór|14.5}} na logarytm funkcji prawdopodobieństwa, co z której wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa zależnej od &beta;, energii E, objętości V, liczby cząstek N i czasu t w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P=F-\beta E+CV+D N=F-\beta(E+GV+HN+It)\Rightarrow P=e^{F-\beta(E+GV+HN+It)}=e^{F}e^{-\beta (E+GV+HN+It)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=Ce^{-\beta (E+GV+HN+It)}=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\Rightarrow P=Ce^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E+pV-\mu N-\omega t)}\;</MATH>|14.6}} Wzór na stałe G i H w {{LinkWzór|14.6}} wyznaczamy podobnie jak w ogólnym rozkładzie kanonicznym w rozdziale: {{sr|p=Wprowadzenie do fizyki statystycznej|#Ogólne wyprowadzenie rozkładów dyskretnych, czyli ogólny rozkład kanoniczny}}, przy tym samym rozkładzie. Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E, zajmują objętość V, liczba tych cząstek jest N i są w czasie t, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadków pseudociągłych, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. A w przypadku dyskretnym w stanach zdegenerownych wzór {{LinkWzór|14.6}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|14.6u}} Otrzymany wzór na prawdopodobieństwo, że cząstki posiadają energię E{{Sub|i}}, zajmują objętość V{{Sub|i}}, liczba tych cząstek jest N{{Sub|i}} i są w czasie t{{Sub|i}}, nazywamy ogólnym rozkładem kanonicznym dla przypadku dyskretnego, tylko wyprowadzonej innym sposobem niż wspomnianym wcześniej rozdziale. == Rozkład Boltzmanna == A ponieważ energia {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, jako suma energii poszczególnych cząstek {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}} z definicji energii mechanicznej, i objętość jest sumą objętości zajmowanych przez poszczególne cząstki, jest przedstawiana: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E=\sum_iE_{i}\;</MATH>|14.7a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>V=\sum_i V_i\;</MATH>|14.7b}} }} Wtedy wzór na prawdopodobieństwo, że układ jest w stanie o energii E i objętości V przedstawia się jako iloczyn prawdopodobieństw, że cząstki będą miały energię {{Formuła|<MATH>E_{i}\;</MATH>}}, co można udowodnić z zasady zachowania energii mechanicznej {{LinkWzór|14.7a}}, i objętość, co można udowodnić z addywności objętości zajmowanych przez cząstki {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} na podstawie {{LinkWzór|14.7b}}: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=Ce^{-\beta (E+GV+H N)}=Ce^{\beta\sum_i(E_{i}+GV_i+H)}=C\prod_ie^{-\beta (E_{i}+GV_i+H)}=\prod_i Fe^{-\beta (E_i+GV_i+H)}=\prod_i P_i\;</MATH>|14.8}} Stąd na podstawie wywodu {{LinkWzór|14.8}} prawdopodobieństwo, że cząstka będzie posiadała energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i zajmowała objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} jest pisana również w zależności od temperatury T czyli od &beta;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta(E_i+GV_i+H)}\;</MATH>|14.9}} Stałe G i H w {{LinkWzór|14.9}} są takie same jak w rozkładzie dyskretnych w fizyce statystyczne dla poszczególnych rozważanych układów. A oto przykłady rozkładów Boltzmanna {{LinkWzór|14.9}} dla układu zamkniętego o stałej objętości, zamkniętego o niestałej objętości, otwartego o stałej objętości i otwartego o niestałej objętości: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta E_i}\;</MATH>|P1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|P2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i-\mu)}\;</MATH>|P3}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwary o niestałej objętości (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P_i=Fe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|P4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Możemy policzyć stałą F ze wzoru normującego funkcję P(E{{Sub|i}}) do jedynki z definicji funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>1=\sum_iP_i=\sum_iFe^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}=F\sum_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\Rightarrow F={{1}\over{\sum_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}}}\;</MATH>|14.10}} Odwrotność stałej F nazwijmy sumą statystyczną naszego rozważanego problemu, wtedy wzór na prawdopodobieństwo jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}\;</MATH>|14.11}} '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} energia cząstki w stanie {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_i)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}}. Wzór na średnią energię cząstki piszemy z definicji średniej ważonej jako: {{CentrujWzór|<MATH>\overline E_i={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}\;</MATH>|14.12a}} A na średnią objętość zajmowanej przez cząstkę: {{CentrujWzór|<MATH>\overline V_i={{1}\over{Z}}\sum_i V_i e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu)}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i e^{-B E_i-CV_i-D}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial C}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial C}}\;</MATH>|14.12ab}} Jeśli energia i objętość zajmowaną przez cząstkę jest ciągła dla którego liczymy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię i zajmuje jakąś objętość, to wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka jest w tym stanie należy zastąpić gęstością prawdopodobieństwa, wtedy wzór {{LinkWzór|14.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V)=Ce^{-\beta (E+pV-\mu)}\;</MATH>|14.13}} === Układ o stałej objętości i liczbie cząstek === Jeśli w układzie występuje tylko energia mechaniczna, to ona jest sumą jej energii kinetycznej i potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>E=E_k+E_p\;</MATH>|14.14}} Przy pomocy definicji na energię mechaniczną {{LinkWzór|14.14}}, wzór na prawdopodobieństwo, że układ posiada tą energię mechaniczną {{LinkWzór|14.13}} w układzie zamkniętym o stałej objętości zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=Ce^{-\beta E}=Ce^{-\beta(E_k+E_p)}=Ce^{-\beta E_k}e^{-\beta E_p}=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.15}} Zatem wyrażenie {{LinkWzór|14.15}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P(E)=P(E_k)P(E_p)\;</MATH>|14.16|Obramuj}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>E_p\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo uzyskania przez cząstkę energii mechanicznej, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej. Prawdopodobieństwa uzyskania energii kinetycznej {{Formuła|<MATH>P(E_k)\;</MATH>}} i potencjalnej {{Formuła|<MATH>P(E_p)\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, stąd wynika, że rozkład {{Formuła|<MATH>P(E)\;</MATH>}} też jest unormowany do jedynki. Podobnie jak w {{LinkWzór|14.16}} zachodzi podobnie dla przypadku gdy energia E jest wielkością ciągłą. == Rozkład Maxwella == Jeśli mamy gęstość prawdopodobieństwa energii potencjalnej, która nie zależy od punktu, w którym liczymy ową gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada takową energię potencjalną, oraz że poszczególne cząsteczki nie oddziaływują ze sobą, czyli nie mają wzajemnej energii potencjalnej, zatem ta gęstość prawdopodobieństwa jest wielkością stałą i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_p)=\operatorname{const}\;</MATH>|14.17}} Wtedy gęstość uzyskania przez cząstki energii kinetycznej i potencjalnej {{LinkWzór|14.16}} możemy przecałkować po wszystkich punktach należących do danego układu, które cząstki mogą posiadać, wiedząc że gęstość uzyskania przez cząstkę danego punktu nie zależy od niego i nasz rozkład Boltzmanna w części należącej do energii potencjalnej jest unormowany do jedynki po punktach należących do rozważanego układu, wtedy otrzymujemy wzór na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_k)=Ce^{-{{E_k}\over{k_BT}}}</MATH>|14.18}} Jest to gęstość prawdopodobieństwa , że cząstka posiada energię kinetyczną {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}}. Energię kinetyczną cząstki można rozpisać na trzy składniki względem każdej współrzędnej w układzie kartezjańskim wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>E_k={{mv^2}\over{2}}={{m}\over{2}}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)={{mv_x^2}\over{2}}+{{mv_y^2}\over{2}}+{{mv_z^2}\over{2}}=E_{kx}+E_{ky}+E_{kz}</MATH>|14.19}} Mając związek {{LinkWzór|14.19}}, to rozkład na gęstość prawdopodobieństwa można rozpisać jako iloczyn gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka będzie posiadała daną energię względem jakieś ściśle określonej współrzędnej. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=Ce^{-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}-\beta E_{kx}}=Ce^{-\beta E_{kx}}e^{-\beta E_{ky}}e^{-\beta E_{kz}}=\rho( E_{kx})\rho(E_{ky})\rho(E_{kz})=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})</MATH>|14.20}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|14.20}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\;</MATH>|14.21|Obramuj}} '''gdzie:''' {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_{kx})=De^{-\beta E_{ki}}</MATH>|14.22}} Biorąc z mechaniki klasycznej energię cząstki dla jednej współrzędnej {{LinkWzór|14.22}} względem energii posiadanej przez cząstkę względem i-tej osi, wtedy możemy zapisać go względem prędkości cząstki, tzn. {{Formuła|<MATH>\rho(E_{kx})\sim \rho(v_i)\;</MATH>}}, wtedy ta gęstość prędkości, że cząstka będzie będzie miała jakąś współrzędną o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=D e^{-{{mv_i^2}\over{2}}}</MATH>|14.23}} Następnym krokiem jest unormowanie rozkładu {{LinkWzór|14.21}}, a więc z normowania {{LinkWzór|14.21}} względem objętości infinitezymalnej {{Formuła|<MATH>d^3\vec{v}\;</MATH>}}, wynika normowanie funkcji {{LinkWzór|14.23}} względem objętości w przestrzeni jednowymiarowej {{Formuła|<MATH>dv_i\;</MATH>}} dla ściśle określonej współrzędnej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\rho(E_k)d^3\vec{v}=\int_{v_{k1}}\int_{v_{k2}}\int_{v_{k3}}\left(\prod^3_{i=1}\rho(E_{ki})\right)dv_{k1}dv_{k2}dv_{k3}=\prod^3_{i=1}\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}\Rightarrow\int_{v_{ki}}\rho(E_{ki})dv_{ki}=1</MATH>|14.24}} Z warunku normalizacyjnego podczas całkowania po całej objętości przestrzeni jednowymiarowej względem współrzędnej prędkości o numerze i-tej możemy policzyć stałą normalizacyjną występującą w {{LinkWzór|14.23}}. {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_{-\infty}^{\infty}\rho(v_i)dv_i=D\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}= D\sqrt{{{\pi}\over{{{m}\over{2k_BT}}}}}=D\sqrt{{{2\pi k_BT }\over{m}}}\Rightarrow D=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}</MATH>|14.25}} Korzystając z {{LinkWzór|14.25}} dla stałej {{Formuła|<MATH>D\;</MATH>}}, wtedy rozkład {{LinkWzór|14.23}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_i)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.26}} == Rozkład Maxwella-podsumowanie == Gęstość prawdopodbieństwa, że dana cząstka posiada wektor prędkości jest wyrażona przez wzór {{LinkWzór|14.21}} poprzez {{LinkWzór|14.26}}, wtedy prawdopodobieństwo uzyskania prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}} jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\vec{v})={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.27}} Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada element prędkości o wartości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}}, zatem to możemy wyznaczyć w sposób dla pierwszej współrzędnej, dla współrzędnej drugiej i trzeciej wyznaczamy podobnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v_1)dv_1=\int_{v_2=-\infty}^{\infty}\int_{v_3=-\infty}^{\infty}{\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv_1dv_2dv_3={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(\int_{v_2=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_2^2}\over{2k_BT}}}dv_2\right)\left(\int_{v_3=-\infty}^{\infty}e^{-{{mv_3^2}\over{2k_BT}}}dv_3\right)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1={\left({m\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}{{2\pi k_BT}\over{m}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}dv_1\Rightarrow\rho(v_1)=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_1^2}\over{2k_BT}}}</MATH>|14.28}} Uogólniając wniosek {{LinkWzór|14.28}} dla i-tej współrzędnej otrzymujemy wzór {{LinkWzór|14.26}}, który jest gęstością prawdopodobieństwa, że dany element współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} posiada wartość {{Formuła|<MATH>v_i\;</MATH>}} dla danej cząstki, wynikających ze wzoru {{LinkWzór|14.27}}. Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że cząstka posiada daną wartość prędkości jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)dv=\int_{v^2=const}\rho(\vec{v})dv_xdv_ydv_z= \int_{v^2=const}{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }dv_xdv_ydv_z={\left( {{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv\int_0^{2\pi}d\phi\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\int_0^{\pi} \left(\sin\theta d\theta\right)=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}} }v^2dv</MATH>|14.29}} {{Rysunek|Maxwell-Boltzmann distribution 1.png|w1|Rozkład Maxwella-Boltzmanna dla tlenu dla temperatur -100°C,20°C i 600°C.}} Według {{LinkWzór|14.29}} gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(v)=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2</MATH>|14.30}} Ilość cząstek o danej wartości prędkości jest wyrażone przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>dN=N\rho(v)dv=4\pi N{\left( {{m}\over {2\pi k_BT}} \right) }^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv</MATH>|14.31}} === Prędkość najbardziej prawdopodobna === W tym celu skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy można policzyć prędkość {{Formuła|<MATH>u_p</MATH>}} najbardziej prawdopodobną, które osiągana jest w ekstremum według wspomnianego wzoru. Warunek na ekstremum lokalne względem omawianego rozkładu gęstości, że cząstka posiada daną gęstość prawdopodobieństwa, o jej największej wartości jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>0={{{d\rho(v)}\over{dv}}\Bigg|}_{v=u_p}</MATH>|14.32}} Wtedy możemy policzyć nasze ekstremum w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>u_p\;</MATH>}}, zatem wtedy musimy podstawić wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.30}} do równości {{LinkWzór|14.32}}, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>0={{d}\over{dv}}\left({\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}4\pi u_p^2\right)={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}4\pi {{d}\over {dv}}e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}u^2_p={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\left(2 u_p e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}+u_p^2 e^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{{-2mu_p}\over {2k_BT}}\right)=</MATH>{{Br}} <MATH>={\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}2u_pe^{-{{mu_p^2}\over{2k_BT}}}{\left({1-{{u_p^2m}\over{2k_BT}}}\right)}\Rightarrow 1={{u_p^2m}\over{2k_BT}}\Rightarrow u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.33}} === Średnia kwadratowa prędkość === Średnią kwadratowa wartość prędkości jaką posiada dany układ cząstek wyznaczamy z definicji wartości średniej kwadratu wartości prędkości cząstki jako całka iloczynu kwadratu wartości prędkości i prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada daną wartość prędkości, która jest iloczynem infizymalnej zmiany prędkości i gęstości prawdopodobieństwa. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0} v^2 \rho(v)dv</MATH>|14.34}} Do równania {{LinkWzór|14.34}} podstawiamy wzór na gęstość prawdopodobieństwa wartości prędkości napisaną według wzoru {{LinkWzór|14.30}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że średni kwadrat prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v^2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^2\underbrace{4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} v^2e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}}_{\rho(v)} dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}}\int\limits^{\infty}_{0}v^4 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{{3}\over{2}} {{1}\over{2}}{3\over 4}{\left({{2k_BT}\over {m}}\right)}^{5\over 2}\sqrt{\pi}={{3k_BT}\over{m}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.35}} Widzimy, że końcowy wzór {{LinkWzór|14.35}} na omawianą średnią zależy od pierwiastka temperatury bezwzględnej T. === Średnia arytmetyczna prędkość === Średnią arytmetyczną prędkości cząstki możemy policzyć z definicji wartości średniej dla parametru ciągłego względem wartości prędkości, która przyjmuje wartości niezerowe: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0} v\rho(v)</MATH>|14.36}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|14.30}} na gęstość prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości, wtedy można policzyć jej wartość średnią wedle wzoru {{LinkWzór|14.36}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv4\pi=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_{0}v^3 e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}dv</MATH>|14.37}} Ale znamy z analizy matematycznej wynika tożsamość poniżej, z której policzymy pochodną względem parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} obu jego stron: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha^{-1}_{i=1}=\int\limits^{\infty}_{0}v e^{-\alpha v^2}dv\Rightarrow{1\over 2}\alpha^{-2}=\int\limits^{\infty}_{0}v^3e^{-\alpha v^2}</MATH>|14.38}} Wtedy równanie {{LinkWzór|14.37}} według końcowej tożsamości {{LinkWzór|14.38}} przyjmuje wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=4\pi{\left({{m}\over{2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2} {1\over 2}{\left({{2k_BT} \over {m}}\right)}^2=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.39}} == Porównanie średnich w rozkładzie Maxwella == Zestaw prędkości jakie wyznaczyliśmy poprzednio podamy poniżej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Center|'''Prędkość najbardziej prawdopodobna'''}} {{CentrujWzór|<MATH>u_p=\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.40}} | 2 = {{Center|'''Prędkość kwadratowa'''}} {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{{{3k_BT}\over{m}}}</MATH>|14.41}} | 3 = {{Center|'''Prędkość średnia'''}} {{CentrujWzór|<MATH>\overline{v}=\sqrt{{{8k_BT}\over {\pi m}}}</MATH>|14.42}} }} Porównując te trzy średnie, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{\overline{v^2}}>\overline{v}>u_p</MATH>|14.43}} A oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{{{3k_BT}\over { m}}}>\sqrt{{{8k_BT}\over{\pi m}}}>\sqrt{{{2k_BT}\over{m}}}\Rightarrow 3>{{8}\over{\pi}}>2\Rightarrow 3>2,548>2</MATH>|14.44}} Czyli widzimy, ze stałe określające różne rodzaje prędkości dla rozkładu Maxwella nie są jednakowe. == Rozkład prędkości względnych w rozkładzie Maxwella == Napiszmy rozkład, że pierwsza cząstka posiada prędkość: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH>m_1\;</MATH>}}, a druga prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} o masie {{Formuła|<MATH> m_2\;</MATH>}}, który jest iloczynem dwóch gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|14.27}}, każde dla innej cząstki opisującej jego prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v_1},\vec{v}_2)=dw(\vec{v_1})dw(\vec{v}_2)=\left({{m_1m_2}\over{(2\pi k_BT)^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1v_1^2}\over{k_BT}}}e^{-{{m_2v_2^2}\over{k_BT}}}d\vec{v}_1d\vec{v}_2</MATH>|14.45}} Możemy ułożyć układ równań opisujący prędkość środka masy tychże dwóch cząstek {{Formuła|<MATH>\vec{G}\;</MATH>}} (pierwsze równanie), a także ich prędkość względna {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{12}\;</MATH>}} (drugie równanie) w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1+m_2)\vec{G}\\ \vec{v}_1-\vec{v}_2=\vec{v}_{12} \end{cases}</MATH>|14.46}} Policzmy, z układu równań {{LinkWzór|14.46}} prędkości: {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2</MATH>}}. Jeśli znamy prędkość środka masy i prędkość względną, w tym celu rozwiążmy wspomniany układ równań w celu wyznaczenia {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} dla pierwszej cząstki i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} dla drugiej cząstki. W tym celu wyznaczmy wyznacznik powyższego układu: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} m_1&m_2\\ 1&-1 \end{vmatrix}=-m_1-m_2=-M</MATH>|14.47}} Również wyznaczniki dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} pierwszego ciała oraz dla prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} drugiego ciała wyrażają się wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_1}=\begin{vmatrix} M\vec{G}&m_2\\ \vec{v}_{12}&-1 \end{vmatrix}=-M\vec{G}-m_2\vec{v}_{12}</MATH>|14.48}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>W_{\vec{v}_2}=\begin{vmatrix} m_1&M\vec{G}\\ 1&\vec{v}_{12} \end{vmatrix}=m_1\vec{v}_{12}-M\vec{G}</MATH>|14.49}} }} Wyniku ostatecznych obliczeń otrzymujemy prędkości obu cząstek, znają ich prędkość środka masy i prędkość względną {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{W_{\vec{v}_1}}\over{W}}=\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.50}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{W_{\vec{v}_2}}\over{W}}=\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12}</MATH>|14.51}} }} Wyznaczmy wyrażenie poniżej względem prędkości środka masy i prędkości względnej obu badanych cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec{v}_1d\vec{v}_2=|J|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} {{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_1}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ {{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{G}}}&{{\partial\vec{v}_2}\over{\partial\vec{v}_{12}}}\\ \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=\left|\begin{vmatrix} 1&{{m_2}\over{M}}\\ 1&-{{m_1}\over{M}} \end{vmatrix}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}=</MATH>{{Br}}<MATH>=\left|-{{m_1}\over{M}}-{{m_2}\over{M}}\right|d\vec{G}d\vec{v}_{12}={{m_1+m_2}\over{M}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}=d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.52}} A zatem nasz rozkład {{LinkWzór|14.45}} wykorzystując przy tym obliczoną tożsamość {{LinkWzór|14.52}}, w której występują zamiast prędkości dwóch określonych cząstek wielkości, tzn. prędkość środka masy i prędkość względna, wtedy gęstość prawdopodobieństwa, że dwie cząstki będą posiadać prędkość, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_2\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_1\vec{v}_2)=dw(\vec{G},\vec{v}_{12})= \left({{{{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{m_1+m_2}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1\left(\vec{G}+{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\right)^2}\over{2k_BT}}}\cdot e^{-{{m_2(\vec{G}-{{m_1}\over{M}}\vec{v}_{12})^2}\over{2\pi k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.53}} Wprowadźmy nowe parametry, który wstawimy do rozkładu {{LinkWzór|14.53}}, którą nazwiemy masą zredukowaną, wtedy wzór na całkowitą masę dwóch cząstek będący sumą mas pierwszej m{{Sub|1}} i drugiej cząstki m{{Sub|2}} i na masę zredukowaną jest: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\mbox{ lub inaczej }{{1}\over{\mu}}={{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\;</MATH>|14.54}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m_1+m_2=M\;</MATH>|14.55}} }} Można również udowodnić, że wielkość masy zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} {{LinkWzór|14.54}} jest pomiędzy masami obu cząstek, które opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu<m_1\wedge\mu<m_2\;</MATH>|14.56}} Wtedy rozkład {{LinkWzór|14.53}} przy definicjach {{LinkWzór|14.54}} (masa zredukowana) i {{LinkWzór|14.55}} (całkowita masa dwóch cząstek) jest napisany wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{m_1G^2+2m_1{{m_2}\over{M}}\vec{v}_{12}\vec{G}+m_2G^2-2m_2{{m^1}\over{M}}\vec{G}\vec{v}_{12}+m_1{{m_2^2}\over{M^2}}v^2_{12}+m_2{{m_1^2}\over{M^2}}v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}</MATH>{{Br}}<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}} e^{-{{(m_1+m_2)G^2+{{m_1m_2}\over{M^2}}v^2_{12}M}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot e^{-{{MG^2+\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{G}d\vec{v}_{12}\Rightarrow dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.57}} Wzór {{LinkWzór|14.57}} jest iloczynem dwóch rozkładów gęstości prawdopodobieństwa, tzn. gęstości prawdopodobieństwa prędkości środka masy o masie M dwóch cząstek jakie one mogą posiadać i prędkości względnej tych cząstek o masie zredukowanej {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G},\vec{v}_{12})=dw(\vec{G})dw(\vec{v}_{12})</MATH>|14.58}} Ostatecznie otrzymujemy dwa rozkłady, na prędkość względną cząstek i ich prędkość środka masy. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{G})=\left({{M}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{MG^2}\over{2k_BT}}}d\vec{G}</MATH>|14.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>dw(\vec{v}_{12})=\left({{\mu}\over{2\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}e^{-{{\mu v^2_{12}}\over{2k_BT}}}d\vec{v}_{12}</MATH>|14.60}} }} == Rozkład Maxwella energii względem ściśle określonej osi == Energia kinetyczna względem danej osi jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>E_i={{mv_i^2}\over{2}}\Rightarrow v_i=\sqrt{{{2E_i}\over{m}}}\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{m}\over{2E_i}}}{{2}\over{m}}dE_i\Rightarrow dv_i=\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i</MATH>|14.61}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|14.61}} (infinitezymalna zmiana prędkości cząstki w zależności od jej infitezymalnej zmiany energii, ale to wszystko względem jakieś współrzędnej układu kartezjańskiego) i {{LinkWzór|14.26}} (rozkładu gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada wartość prędkości {{Formuła|<MATH>v_i\;</MaTh>}} jakieś współrzędnej o numerze "i"), wtedy nieskończenie małe prawdopodobieństwo, że cząstka posiada tą właśnie prędkość: {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v_i)dv_i=\sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{mv_i^2}\over{2k_BT}}}dv_i= \sqrt{{{m}\over{2\pi k_BT}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2}\over{mE_i}}}dE_i=\underbrace{\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}}_{\rho(E_i)}dE_i</MATH>|14.62}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.62}} rozkład gęstości energii względem danej osi opisujących tą energię jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E_i)=\sqrt{{{1}\over{\pi k_BT E_i}}}e^{-{{E_i}\over{k_BT}}}</MATH>|14.63|Obramuj}} == Rozkład Maxwella całkowitej energii == Z definicji całkowita energia kinetyczna znanej z mechaniki klasycznej Newtona wyznaczmy jego prędkość znając jego energię i na samym końcu wyznaczmy jak się zmienia infinitezymalna wartość prędkość znając jego infinitezymalną zmianę jego energii. Wszystkie te dysputy zapisujemy razem: {{CentrujWzór|<MATH>E={{mv^2}\over{2}}\Rightarrow v=\sqrt{{{2E}\over{m}}}\Rightarrow dv=\sqrt{{{m}\over{2E}}}{{2}\over{m}}dE\Rightarrow dv=\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE\;</MATH>|14.64}} Znając rozkład wartości prędkości według {{LinkWzór|14.30}} i {{LinkWzór|14.64}}, to infinitezymalna prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada całkowitą energię (tutaj energię kinetyczną): {{CentrujWzór|<MATH>dP=\rho(v)dv=4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{mv^2}\over{2k_BT}}}v^2dv= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}{{2E}\over{m}}\sqrt{{{2}\over{mE}}}dE= 4\pi{\left({{m}\over {2\pi k_BT}}\right)}^{3\over 2}e^{-{{E}\over{k_BT}}}\sqrt{{{2^3E}\over{m^3}}}dE=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \underbrace{4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}}_{\rho(E)}dE\;</MATH>|14.65}} Według obliczeń {{LinkWzór|14.65}} rozkład gęstości prawdopodobieństwa, że dana cząstka posiada energię kinetyczną jest przestawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E)=4\pi\left({{1}\over{\pi k_BT}}\right)^{3\over 2}\sqrt{E}e^{-{{E}\over{k_BT}}}</MATH>|14.66|Obramuj}} == Równanie stanu gazu doskonałego == Gaz doskonały posiada cząsteczki o zerowej objętości nieoddziaływujących ze sobą, tzn. gaz ten posiada tylko energię kinetyczną, natomiast nie posiada energii potencjalnej. Zatem całkowita energia (mechaniczna) układu jest to tylko w tym przypadku energia kinetyczna, na którą składają się wszystkie cząstki układu. Wiemy, że statystyka Maxwella dla współrzędnej prędkości {{LinkWzór|14.25}} jest funkcją parzystą, i średnia energia kinetyczna (całkowita) policzona dla każdej osi jest jednakowa dla współrzędnych ({{Formuła|<MATH>\overline{E}_x\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_y\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\overline{E}_z\;</MATH>}}) nie zależy od owych współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_x=\overline{E}_y=\overline{E}_z={{1}\over{3}} \overline{E}\;</MATH>|14.67}} * gdzie: * {{Formuła|<MATH>\overline{E}\;</MATH>}} - średnia energia kinetyczna całego układu. Rozważmy sześcian z gazem doskonałym i ustalmy raz na zawsze oś z, która jest prostopadła do jednej ze ściśle określonej ścianki. Podczas odbicia od rozważanej ścianki prędkość zmienia się z {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-v_z\;</MATH>}}, ponieważ jest to odbicie doskonale sprężyste (energia kinetyczna (całkowita) cząstki się nie zmienia), czyli zmiana pędu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta p=mv_{z}-m(-v_{z})=2mv_z\;</MATH>|14.68}} A więc średnia siła, dzięki której oddziaływuje dana cząstka z rozważaną ścianką według drugiej zasady dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{\Delta p_z}\over{\Delta t}}={{2mv_z}\over {\Delta t}}\;</MATH>|14.69}} W średnim czasie w jakim cząstka jaką potrzebują przebyć cząstka wzdłuż ścianki prostopadłej do rozważanej o długości {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}} z prędkością {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>v_z={{\Delta x}\over{\Delta t}}\Rightarrow \Delta t={{\Delta x}\over{v_z}}\;</MATH>|14.70}} Korzystamy z {{LinkWzór|14.70}}, wtedy równanie {{LinkWzór|14.69}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F(v_z)={{2mv_z}\over{{{\Delta x}\over{v_z}}}}={{2mv_z^2}\over{\Delta x}}\;</MATH>|14.71}} Ale średnia siła działające na ściankę o powierzchni {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MAth>}} działających przez {{Formuła|<MATH>dN\;</MATH>}} cząstek lecących do ścianki o wspomnianej powierzchni o danej prędkości z prędkościami od zera do nieskończoności (cząstki z prędkościami ujemnymi wzdłuż linii prostopadłej do danej ścianki nie lecą w kierunku naszej ściśle określonej ścianki) jest wyrażona wzorem poniżej. Zakładamy że gęstość rozkładu prędkości zetowej jest funkcją parzystą (bo liczba cząstek lecących pod danym kątem bryłowym jest jednakowa, zatem nie zależy od kierunku w którym dana cząstka się porusza, wiedząc że żaden kierunek nie jest wyróżniony), wtedy liczba cząstek posiadająca prędkość zetową {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>dN(v_z)=NdP(v_z)=N{{dP(v_z)}\over{dv_z}}dv_z=N\rho(v_z)dv_z\Rightarrow dN(v_z)=N\rho(v_z)dv_z</MATH>|14.72}} * gdzie: ** {{Formuła|<MATH>dN(v_z)\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie o prędkości zetowej {{Formuła|<MATH>v_z\;</MATH>}}. ** {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} liczba cząstek w układzie. ** {{Formuła|<MATH>dP(v_z)\;</MATH>}} prawdopodobieństwo, że dana cząstka ma rozważaną prędkość zetową. ** {{Formuła|<MATH>\rho(v_z)\;</MATH>}} gęstość prawdopodobieństwo, że dana cząstka posiada rozważaną prędkość zetową. Korzystając z {{LinkWzór|14.72}} i z parzystości funkcji gęstości prawdopodobieństwa względem zmiennej v{{Sub|z}} dla rozkładu {{LinkWzór|14.26}}, wtedy całkowita średnia siła działająca na ściśle określoną ściankę przez wszystkie padające na nią cząstki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta F_c=\sum^{N}_{i=1}\begin{cases}\Delta F(v_{iz})&\mbox{ dla }v_{iz}>0\\0&\mbox{ dla }v_{iz}\leq 0\end{cases}\simeq\int_{v_z=0}^{\infty}dN(v_z)\Delta F(v_z)=\int_0^{\infty}N\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=N\int_0^{\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z=</MATH>{{Br}}<MATH>={{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z)\Delta F(v_z)dv_z</MATH>|14.73}} Ciśnienie działające na ścianki naczynia przy średniej sile wyrażonej według {{LinkWzór|14.73}}, która jest ilorazem tej siły i powierzchni ścianki na którą pada jest wyrażona dla prędkości dodatnich: {{CentrujWzór|<MATH>p={{\Delta F_c}\over{\Delta S}}={{{{N}\over{2}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v)\Delta F(v_z)dv_z}\over{\Delta S}}= {{N}\over{2\Delta S}}\int^{\infty}_{-\infty}\rho(v_z){{2mv_z^2}\over{\Delta x}}dv_z= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}{{mv_z^2}\over{2}}\rho(v_z)dv_z=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{2N}\over{\Delta S\Delta x}}\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z </MATH>|14.74}} Średnia energia jednej cząstki w układzie względem osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}^1_z=\int_{-\infty}^{\infty}E^1_z(v_z)\rho(v_z)dv_z\;</MATH>|14.75}} Objętość układu w której znajduje się {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} cząstek, jeśli nasz rozważany gaz znajduje się prostopadłościanie, którego jedna, ze ścianek ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>\Delta S\;</MATH>}}, a krawędzie boczne mają długość {{Formuła|<MATH>\Delta x\;</MATH>}}, w którym w pewnym czasie wszystkie cząstki przebywają tą właśnie odległość by oddziaływać z tą omawianą ścianką z średnią siłą {{LinkWzór|14.73}},z definicji objętości tej figury piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>V=\Delta S\Delta x\;</MATH>|14.76}} Uwzględniając wzory {{LinkWzór|14.75}} (średnią energię zetową cząstki) i {{LinkWzór|14.76}} (objętość układu), wtedy wzór {{LinkWzór|14.74}} na ciśnienia wywieraną na ściankę przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>p={{2N}\over{V}}\overline{E}^1_z\Rightarrow pV=2N\overline{E}^1_z\;</MATH>|14.77}} Całkowita energia kinetyczną układu wzdłuż jednej osi prostopadłej do rozważanej ścianki jest sumę wszystkich N średnich energii należących do wszystkich cząstek także względem tej osi, a ponieważ te energie są jednakowe, to średnią energię kinetyczną zetową wystarczy pomnożyć przez N i otrzymamy naszą energię średnią układu cząstek względem tej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}_z=N\overline{E}^1_z</MATH>|14.78}} Widząc, że zachodzi {{LinkWzór|14.78}} (średnia energia układu), a także {{LinkWzór|14.77}} (ciśnienie wywierane na jakoś ściankę prostopadłościanu), wtedy możemy napisać pewien wzór w zależności od całkowitej energii kinetycznej cząstek w zależności tylko od osi zetowej. {{CentrujWzór|<MATH>pV=2\overline{E}_z\;</MATH>|14.79}} Uwzględniając warunek {{LinkWzór|14.67}} (zależność energii zetowej kinetycznej w zależności od całkowitej jego energii też kinetycznej), wtedy wzór {{LinkWzór|14.79}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>pV=2{{1}\over{3}}\overline{E}\Rightarrow pV={{2}\over{3}}\overline{E}</MATH>|14.80}} Wyznaczmy średnią energię kinetyczną układu, w którym jest gaz doskonały, korzystając z rozkładu {{LinkWzór|14.31}}, z której wynika kwadrat średniej prędkości kwadratowej {{LinkWzór|14.35}}, wtedy średnia całkowita energia układu w zależności od temperatury układu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\int^{\infty}_{0}E(v)dN(v)=\int^{\infty}_{0}E(v)N\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\int_0^{\infty}v^2\rho(v)dv=N{{m}\over{2}}\overline{v^2}=N{{m}\over{2}}{{3k_BT}\over{m}}={{3}\over{2}}Nk_BT</MATH>|14.81}} Według rozkładu Maxwella całkowita energia układu wedle obliczeń {{LinkWzór|14.81}}, która jest zależna od temperatury układu i liczby cząstek należących do niego, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{3}\over{2}}Nk_BT\;</MATH>|14.82|Obramuj}} Podstawiamy wzór {{LinkWzór|14.82}} na średnią całkowitą energię układu do równania {{LinkWzór|14.80}} do jego prawej strony: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{2}\over{3}}{{3}\over{2}}Nk_BT\Rightarrow pV=Nk_BT\;</MATH>|14.83}} Korzystając z definicji liczby moli w zależności od jego liczby cząsteczek {{LinkWzór|6.2|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} i z definicji na stałą gazową {{LinkWzór|6.5|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, wzór {{LinkWzór|14.83}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>pV=n\underbrace{N_Ak_B}_{R}T\Rightarrow pV=nRT\;</MATH>|14.84}} Końcowe równania {{LinkWzór|14.84}}, {{LinkWzór|14.83}}, gdzie oba te wzory są ze sobą równoważne, są to równania stanu gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> nyyyclev0bv8x0yidgh14bemoy5nmjc 0 14145 559048 558564 2026-10-11T00:45:56Z Persino 2851 559048 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Potencjałami termodynamicznymi, nazywamy takie wielkości fizyczne, które posiadają różniczki zupełne, tzn. ich zmiana zależy od punktu początkowego do końcowego, a nie zależy po jakiej drodze układ podążał między tymi punktami. Różniczkami zupełnymi nazywamy wielkości, jeśli je można zapisać w sposób {{LinkWzór|2.8|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}. == Definicje == Poznamy tutaj wszystkie definicje potencjałów termodynamicznych. === Energia wewnętrzna === Jest to potencjał termodynamiczny, określa miarę do wykonania pracy. Na miarę tej energii składa się energia oddziaływań między molekułami w tym ciele, energia potencjalna elektronów a jądrem, i inne nie wymienione w tym ciele energie. Energia wewnętrzna jest oznaczana przez U. Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}, który jest równaniem stanu, ogólnie rzecz biorąc energia wewnętrzna U posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę energii wewnętrznej można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej podobnie jak w punkcie {{LinkWzór|3.1}} do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\sum_i\left({{\partial U}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.1}} Wzór powyższy na różniczkę energii wewnętrznej jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując przy tym twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę energii wewnętrznej pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać tą energię w tychże punktach. === Entalpia === Entalpia jest to potencjał termodynamiczny z definiowana jako sumę energii wewnętrznej i iloczynu ciśnienia panującego w układzie przez jego objętość i rozważamy ją jako: {{CentrujWzór|<MATH>H=U+pV\;</MATH>|3.2}} * '''gdzie:''' * {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}} - to entalpia. * {{Formuła|<MATH>U\;</MATH>}} - energia wewnętrzna * {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}} - ciśnienie w ciele w równowadze termodynamicznej * {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}} - objętość ciała Entalpia {{Formuła|<MATH>H\;</MATH>}} posiada różniczkę zupełną, ze względu że energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę entalpii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dH=\sum_i\left({{\partial H}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.3}} Wzór {{LinkWzór|3.3}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę entalpii pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać entalpię w tychże punktach. === Entropia === Entropia określa miarę uporządkowania cząstek w danym układzie i wyraża się wzorem względem dwóch parametrów niezależnych z trzech, bo jest spełnione równanie {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}, definicja infinitezymalnej zmiany entropii wyraża się wzorem {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}. Entropia jest wielkością addywną i posiada różniczkę zupełną, czyli różniczkę entropii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\sum_i\left({{\partial S}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.4}} Wzór {{LinkWzór|3.4}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych składników, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę entropii pomiędzy punktami A i B, to wystarczy znać entropię w tychże punktach. === Energia swobodna === Energia swobodna jest potencjał termodynamiczny określanym wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=U-TS\;</MATH>|3.5}} Energia swobodna składa się z różnicy energii wewnętrznej &nbsp;{{Formuła|<MATH>U\;</MATH>}}&nbsp;oraz z energii związanej {{Formuła|<MATH>TS\;</MATH>}} jako iloczyn temperatury układu przez entropie posiadanej przez układ. Energia swobodna posiada różniczkę zupełną, bo energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną czyli różniczkę energii swobodnej można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej: {{CentrujWzór|<MATH>dF=\sum_i\left({{\partial F}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.6}} Wzór {{LinkWzór|3.6}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych wielkości, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę energii swobodnej pomiędzy punktami A,B, to wystarczy znać energię swobodną w tychże punktach. === Gibbsa-entalpia swobodna === Potencjał Gibbsa lub entalpia swobodna, której definicja jest jako różnicę entalpi posiadanej przez ciało i energii związanej, jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>G=H-TS\;</MATH>|3.7}} Potencjał Gibbsa &nbsp;{{Formuła|<MATH>G\;</MAth>}}&nbsp;posiada różniczkę zupełną, ponieważ jak wcześniej udowodniliśmy entalpia posiada różniczkę zupełną, zatem różniczkę entropii można rozłożyć z definicji różniczki zupełnej do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\sum_i\left({{\partial G}\over{\partial x_i}}\right)_{x_{j\neq i}}dx_i</MATH>|3.8}} Wzór {{LinkWzór|3.8}} jest rozłożony w sumę pewnych infinitezymalnych wyrazów, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej, względem parametrów {{Formuła|<MATH>x_i\;</MATH>}}, którymi są niezależne parametry równania stanu rozważanego układu. Jeśli chcemy policzyć zmianę potencjału Gibbsa pomiędzy punktami A i B, to wystarczy znać potencjał Gibbsa w tychże punktach. == Wyprowadzenie związków między potencjałami termodynamicznymi == === Energia wewnętrzna === Różniczkę energii wewnętrznej {{Formuła|<MATH>dU\;</MATH>}} jest określana według pierwszej zasady termodynamiki z definicją infinitezymalnej pracy {{LinkWzór|2.6|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} i infinitezymalnego ciepła dostarczonego do naszego układu {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} uwzględniając definicję różniczki potencjału termodynamicznego energii wewnętrznej, mówiąca ile cząstek wchodzi do układu z otoczenia, co jest też związane ze zmiana energii wewnętrznej układu, oczywiście jest, że: {{CentrujWzór|<MATH>dU=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.9}} Energię wewnętrzna posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą wielkość względem entropii, objętości i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}dS+ \left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,N}dt\;</MATH>|3.10}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.9}} ze wzorem {{LinkWzór|3.10}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisanej za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę energii wewnętrznej, zatem na podstawie porównania wspominanych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.11}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.12}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}</MATH>|3.13}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,t}\;</MATH>|3.13a}} }} === Entalpia === Różniczkę entalpii można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.1}} (definicji etalpi) i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.1}} (definicji różniczki energii wewnętrznej), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej entropii, ciśnienia i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dH=d(U+pV)=dU+Vdp+pdV=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt+Vdp+pdV=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow dH=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.14}} Ze wzoru {{LinkWzór|3.15}} wynika wzór zdefiniowanych na różniczkach: {{CentrujWzór|<MATH>dH=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.15}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dH=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}dS+ \left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}dp+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{S,p,t}dN+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}dt\;</MATH>|3.16}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.16}} ze wzorem {{LinkWzór|3.15}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisane, zdefiniowane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę entalpii, zatem na podstawie porównania wspomnianych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> T=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.17}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> V=\left({{\partial H}\over{dp}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.18}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> \mu =\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{S,p,t}</MATH>|3.19}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}\;</MATH>|3.19a}} }} === Energia swobodna === Różniczkę energii swobodnej można zapisać przy pomocy rozpisanej {{LinkWzór|3.9}} różniczki energii wewnętrznej, zatem: Różniczkę energii swobodnej można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.9}} i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.6}} (definicji różniczki energii wewnętrznej), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej entropii, temperatury i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dF=dU-d(TS)=TdS-pdV+\mu dN+\omega dt-TdS-SdT\;</MATH>|3.20}} Wzór {{LinkWzór|3.17}} można zapisać w sposób: {{CentrujWzór|<MATH> dF=-pdV-SdT+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.21}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dF=\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N}dV+ \left({{\partial F}\over{\partial T}}\right)_{V,N}dT+\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T}dN+\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|3.22}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.22}} ze wzorem {{LinkWzór|3.21}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej napisane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę energii swobodnej, zatem na podstawie porównania wspomnianych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.23}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial F}\over {\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.24}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}</MATH>|3.25}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}\;</MATH>|3.25a}} }} === Potencjał Gibbsa === Różniczkę na potencjał Gibbsa można zapisać, korzystając przy tym {{LinkWzór|3.7}} (definicji potencjału Gibbsa) i podstawiając do niego tożsamość różniczkową {{LinkWzór|3.15}} (definicji różniczki etalpii), można tą naszą różniczkę rozpisać ją, jak się przekonamy względem różniczki zupełnej ciśnienia, temperatury i liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dG=d(H-TS)=TdS+Vdp+\mu dN+\omega dt-TdS-SdT\;</MATH>|3.26}} Ze wzoru {{LinkWzór|3.27}} wynika wzór zdefiniowanych na różniczkach: {{CentrujWzór|<MATH> dG=Vdp-SdT+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.27}} Entalpia posiada różniczkę zupełną, tzn. z definicji różniczki zupełnej, można rozłożyć tą różniczkę względem entropii, ciśnienia i liczby cząstek jaki posiada nasz badany układ: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|3.28}} Porównujemy wzór {{LinkWzór|3.28}} ze wzorem {{LinkWzór|3.27}}, które oznaczają to samo, ale współczynniki przy różniczkach przy drugim wzorze są zupełne inaczej zdefiniowane za pomocą pochodnych cząstkowych niż w pierwszym wzorze na różniczkę potencjału Gibbsa, zatem na podstawie porównania wspominanych tożsamości przyjmujemy wzory na zmienne termodynamiczne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>V=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.29}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.30}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{T,p,t}</MATH>|3.31}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}\;</MATH>|3.31a}} }} == Wzory między potencjałami a parametrami mierzalnymi == Zbierając wszystkie wyniki, to z definicji potencjałów termodynamicznych, tzn. energii wewnętrznej, entalpii, energii swobodnej i potencjału Gibbsa, można wyznaczyć z tychże parametrów ekstensywnych policzyć parametry termodynamiczne ekstensywne (intensywne) wedle sposobu: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Energia wewnętrzna'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>T=\left({{\partial U}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.32}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.33}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{S,V,t}\;</MATH>|3.34}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega =\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{S,V,N}\;</MATH>|3.34a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Entalpia'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> T=\left({{\partial H}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> V=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}</MATH>|3.36}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial H}\over {\partial N}}\right)_{p,S,t}</MATH>|3.37}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega =\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{S,p,N}\;</MATH>|3.37a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Energia swobodna'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.38}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial F}\over {\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|3.39}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}</MATH>|3.40}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}\;</MATH>|3.40a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Potencjał Gibbsa'''}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>V=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.41}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH> S=-\left({{\partial G}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|3.42}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\mu =\left({{\partial G}\over {\partial N}}\right)_{T,p,t}</MATH>|3.43}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\omega=\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}\;</MATH>|3.43a}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Zależność między potencjałem chemicznym &mu; i czasowym &omega;, a potencjałem Gibbsa == Rozpiszemy różniczkę potencjału Gibbsa względem zmiennych {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}}, {{Formuła|<MaTh>T\;</math>}}, {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}, oczywiście jest, że różniczka zupełna funkcji Gibbsa (ten potencjał posiada różniczkę zupełną) można z definicji tejże różniczki zapisać wedle: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial G}\over {\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|3.44}} Jeśli we wzorze {{LinkWzór|3.44}} będziemy rozpatrywać stałe ciśnienie (układ jest w równowadze mechanicznej) i stałą temperaturę w układzie (układ jest w równowadze termodynamicznej), to wtedy dwa pierwsze wyraz znika, a pozostaje tylko trzeci, który jest zależny od potencjału chemicznego i różniczki liczby cząstek jakie posiada układ, i czwarty, który jest zależny od potencjału czasowego i różniczki czasu, zatem wspomniane równanie przechodzi w: {{CentrujWzór|<MATH>dG=\left({{\partial G}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial G}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt=\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.45}} Wzór {{LinkWzór|3.45}} przy postawionych warunkach brzegowych możemy przepisać dla przejrzystości dalszych rozważań w postaci różniczkowej: {{CentrujWzór|<MATH> dG=\mu dN+\omega dt\;</MATH>|3.46}} Całkujemy wzór {{LinkWzór|3.46}} obustronnie z prawej strony względem ilości cząstek przy stałym potencjale chemicznym i czasowym, a z lewej względem potencjału Gibbsa, wtedy dostajemy tożsamość ze stałą bliżej nieokreśloną: {{CentrujWzór|<MATH> G=\mu N+\omega t+const\;</MATH>|3.47}} Przyjmujemy, że stała jest równa zera w równaniu {{LinkWzór|3.47}}, bo potencjał Gibbsa nie ma wartości absolutnej, tylko jest określona z dokładnością do pewnej stałej, czyli możemy wyzerować tą stałą, nie zmniejszając ogólności znaczenia tego potencjału ekstensywengo G, czyli przyjmijmy const=0, która występuje we wzorze {{LinkWzór|3.47}}, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH> G=\mu N+\omega t\;</MATH>|3.48}} Równanie {{LinkWzór|3.48}} jest spełnione w stanie równowagi termodynamicznej, tzn. gdy temperatura i ciśnienie w układzie nie zmieniają się, tylko liczba cząstek i czas mogą się zmieniać zgodnie {{LinkWzór|3.46}}. W końcu w równanie {{LinkWzór|3.48}} na potencjał Gibbsa jest zależny od potencjału chemicznego i ilości cząstek w danej fazie oraz potencjału czasowego i czasu układu statystycznego. == Prawa Maxwella w statystyce fizycznej == Potencjały termodynamiczne posiadają różniczkę zupełną, zatem z definicji różniczki zupełnej powinno zachodzić: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2 F\left(x,y\right)}\over{\partial x\partial y}}={{\partial^2 F\left(x,y\right)}\over{\partial y \partial x}}</MATH>|3.49}} Wzory Maxwella można wyprowadzić korzystając z warunku, by różniczka była różniczką zupełną {{LinkWzór|3.49}} oraz ze wzorów w rozdziale: {{sr|#Wzory między potencjałami a parametrami mierzalnymi|b=tak}}, wtedy możemy napisać związki termodynamiczne, które są nazywane '''związkami (prawami) Maxwella''': {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial T}\over{\partial V}}\right)_{S,N,t}=-\left({{\partial p}\over{\partial S}}\right)_{V,N,t} </MATH>|3.50}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial T}\over{\partial p}}\right)_{S,N,t}=\left({{\partial V}\over{\partial S}}\right)_{p,N,t} </MATH>|3.51}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}=\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} </MATH>|3.52}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH> \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=-\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|3.53}} }} == Łatwy sposób zapamiętania związków między potencjałami termodynamicznymi a także praw Maxwella == {{Rysunek|Thermodynamic potentials.png|lk1|Rysunek pozwala zapamiętać w łatwy sposób związki między potencjałami termodynamicznymi a parametrami nie będące potencjałami termodynamicznymi a także prawa Maxwella w fizyce statystycznej}} Jak zapamiętać związki między potencjałami termodynamicznymi, a mianowicie tak. Mamy cztery potencjały termodynamiczne, tzn. U,H,G,F. Jak widzimy na rysunku z prawej i lewej strony lub góra i dół występują parametry mierzalne p,V,T,S. A więc te wielkości, których potencjał termodynamiczny tworzy pochodną występujący w środku danego boku według naszego rysunku obok, względem wielkości mierzalnej występującym z prawej i z lewej strony. W ten sposób dodarliśmy do zmiennej mierzalnej , jeśli przy tej zmiennej występuje strzałka to ta pochodna cząstkowa ma wartość ujemną, a jego wartość występuje na początku wektora, znak dodatni, gdy dodarliśmy do miejsca, który jest początkiem wektora, a wartość tej pochodnej występuje na końcu tego wektora. Jak zapamiętać prawa Maxwella, a mianowicie tak. Na obrzeżach występują cztery wektory, początek (koniec) tego wektora wskazuje względem jakiej wielkości będziemy różniczkować, a koniec (początek) jaką wielkość różniczkujemy. Jeśli wielkość którą różniczkujemy znajduje się na początku wektora, to wtedy znak naszego wyrażenia jest dodatni, a w przeciwnym wypadku ujemny. To wyrażenie jest równe tak samo nierozpatrywany wyrażeniu dla boku przeciwległego. Widzimy, że za pomocą takiej metody można łatwo wywnioskować znak (minus lub plus) w tożsamości Maxwella. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qbu76793g8z6bwdbsl7xjrylqamgxbk 0 14214 559080 558583 2026-10-11T03:04:09Z Persino 2851 559080 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Kwantowy zespół statystyczny''' - jest to układ termodynamiczny opisywanych według prawideł mechaniki kwantowej, którego stan jest opisywany przez hamiltonian {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}}. == Operator gęstości w statystyce kwantowej == Rozważmy układ termodynamiczny, w którym {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} oznacza stan kwantowy układu. W tym układzie postulujemy istnienie zespołu statystycznego. Ten zespół określa z pośród L kopi danego układu prawdopodobieństwa, że dany układ (kopia) znajduje się w ściśle określonym stanie kwantowym. Będziemy oznaczać wszystkie uogólnione współrzędne wszystkich cząstek wchodzących w skład układu przez literkę x. Niech stanem kwantowym naszego układu określa funkcja kwantowa (falowa) k-ta. W ogólności każda kopia z pośród z L określa inna funkcja falowa oznaczona innym k. Równanie falowe w mechanice kwantowej zależne od czasu jest reprezentowane przez: {{CentrujWzór|<MATH> i\hbar{{\partial \psi^{(k)}(x)}\over{\partial t}}=\hat{H}\psi^{(k)}(x,t)</MATH>|19.1}} Kolejne warunki jakie funkcja falowa powinna spełniać, która jest rozwiązaniem równania falowego {{LinkWzór|19.1}} powinna spełniać warunek ortogonalności i zupełności, a te warunki są podane poniżej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Center|'''ortogonalność'''}} {{CentrujWzór|<MATH>\int dx\psi_n^{*}\psi_m(t)=\delta_{mn}</MATH>|19.2}} | 2 = {{Center|'''zupełność'''}} {{CentrujWzór|<MATH>\sum_n \psi_n^{*}(x)\psi_n(x')=\delta(x-x')</MATH>|19.3}} }} Całkowita funkcja falowa, która jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|19.1}} jest kombinacją liniową (w funkcjach dyskretnej ortogonalnej bazy), którego współczynniki {{Formuła|<MATH>a^{(k)}_p\;</MATH>}} są współczynnikami rozwinięcia całkowitej funkcji falowej rozwiązania wspomnianego równania mających wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\psi^{(k)}(x,t)=\sum_p a^{(k)}_p\psi_p(x)</MATH>|19.4}} gdzie: * "k" jest to numer funkcji falowej opisującej dany stan kwantowy o tym numerze, liczba tych wszystkich układów jest "L", które muszą być opisane w ogólności funkcją {{Formuła|<MATH>\psi^{(k)}(x,t)\;</MATH>}}, którego norma nie musi być jeden. * {{Formuła|<MATH>a^{(k)}</MATH>}} są to aplitudy prawdopodobieństwa, * {{Formuła|<MATH>|a_n^{(k)}|^2</MATH>}},jest to prawdopodobieństwo tego, że układ znajduje się w stanie opisywany przez wektor bazy ortogonalnej rozwiązania równania falowego zależnego od czasu &psi;{{Sub|n}}(x). Wartości średnie operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} możemy w taki sposób napisać, gdy mamy L kopii układu, którego badamy. W liczniku oraz w mianowniku poniższego równania jest dzielenie przez liczbę L i które to wyrażania są pewnymi sumami, w liczniku i mianowniku jest tam w sumie L wyrazów, każde dla innego układu z ogólnej ich liczby L. Każdy składnik w mianowniku po podzieleniu przez L jest jakoby prawdopodobieństwem , że wybierzemy pewny układ z L, a w nim pewny parametr z prawdopodobieństwem {{Formuła|<MATH>\langle\psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle\;</MATH>}}. Ze względu na z ortogonalizowane funkcje własne, które są rozwiązaniami powyższego równania {{LinkWzór|19.1}}, to wyrażenie jest coś w rodzaju wartości średniej, dla pojedynczego układ z L wartości własnej operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa policzonej według {{LinkWzór|19.4}}, a 1/L jest prawdopodobieństwem, że dany układ jako kopie z L istnieje, zatem średnia wartość omawianego operatora dla L układów, z definicji średniej ważonej, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}={{{{1}\over{L}}\sum_k\langle\psi^{(k)}|\hat{O}|\psi^{(k)}\rangle}\over{{{1}\over{L}}\sum_k\langle\psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle}}</MATH>|19.5}} Jest to podwójna gęstość prawdopodobieństwa, jest to średnia średnich, czyli mając średnią danej kopii układu względem omawianego operatora, a później badając L układów, to policzyć możemy średnią dla L kopii układów. Zakładamy, nie pomijając ogólności wykładu, że funkcja {{Formuła|<MATH>\psi^{(k)}</MATH>}} jest unormowana do jedynki, w każdym bodź razie możemy tak zrobić, tzn.:{{Formuła|<MATH>\langle\psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle=1</MATH>}}, co według tego możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}\langle\psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}1={{1}\over{L}}L=1\;</MATH>|19.6}} Równanie {{LinkWzór|19.5}} na wartość średnią naszego operatora na podstawie warunku z unormowania operatorów funkcji własnych rozwiązania równania własnego, wtedy jest spełnione {{LinkWzór|19.6}}, zatem nasze wspomniane wyrażenie przy tych dysputach przyjmuje kształt: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}={{1}\over{L}}\sum_k\langle\psi^{(k)}|\hat{O}|\psi^{(k)}\rangle</MATH>|19.7}} Rozwijamy funkcję {{Formuła|<MATH>\psi^{k}\;</MATH>}} w szereg w funkcjach bazy naszego zespołu według {{LinkWzór|19.4}}, wtedy równanie {{LinkWzór|19.7}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}\langle \sum_n a^{(k)}_n\psi_m(x)|\sum_n a^{(k)}_n\psi_m(x)\rangle= {{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}\sum_n\sum_m {a_n^{(k)}}^{*}{a_m^{(k)}}\langle\psi_n|\hat{O}|\psi_m\rangle</MATH>|19.8}} Oznaczmy, że elementami macierzowymi operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} względem funkcji własnych bazy ortogonalnej o numerach n i m są w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>O_{nm}=\langle\psi_n|\hat{O}|\psi_m\rangle=\int dx\psi_n^{*}(x)\hat{O}\psi_m(x)</MATH>|19.9}} Przyjmijmy, że elementy macierzowe operatora gęstości są zdefiniowane: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{mn}={{1}\over{L}}\sum_{k=1}^L {a_n^{(k)}}^{*}{a_m^{(k)}}</MATH>|19.10}} Korzystając ze wzoru na elementy macierzowe operatora gęstości {{LinkWzór|19.10}} i też ze wzoru na średnią wartość operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} {{LinkWzór|19.8}} względem jego elementów macierzowych {{LinkWzór|19.9}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}=\sum_m\sum_n \rho_{mn}O_{nm}</MATH>|19.11}} Z równania {{LinkWzór|19.11}} dostajemy równanie na średnią wartość operatora {{Formuła|<MaTh>\hat{O}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}=\sum{(\hat{\rho}\hat{O})}_{mm}=Tr(\hat{\rho}\hat{O})</MATH>|19.12}} Tożsamość na średnią wartość operatora {{Formuła|<MAtH>\hat{O}\;</MATH>}} jest napisana poprawnie, gdy ślad operatora gęstości jest równy jeden. Udowodnijmy czemu jest równy mianownik w tożsamości {{LinkWzór|19.5}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{L}}\sum_k\langle \psi^{(k)}|\psi^{(k)}\rangle={{1}\over{L}}\sum_k\langle\sum_pa_p^{(k)}\psi_p|\sum_sa_s^{(k)}\psi_s\rangle={{1}\over{L}}\sum_k\sum_p\sum_s{a_p^{(k)}}^*a_s^{(k)}\langle\psi_p|\psi_s\rangle={{1}\over{L}}\sum_k\sum_p\sum_s{a_p^{(k)}}^*a_s^{(k)}\delta_{ps}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_k{{1}\over{L}}\sum_p|a_p^{(k)}|^2=\sum_p{{1}\over{L}}\sum_k|a_p^{(k)}|^2=\sum_p\rho_{pp}=Tr(\hat{\rho})\;</MATH>|19.13}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|19.13}} udowodniliśmy, że ślad operatora gęstości jest równe mianownikowi wyrażenia {{LinkWzór|19.5}} i jeśli zachodzi {{LinkWzór|19.6}}, to ten ślad jest równy jeden. Uogólniając wniosek, mówimy że średnia operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} analogicznie do równania {{LinkWzór|19.12}} przy dowodzie {{LinkWzór|19.13}}, gdy funkcja {{Formuła|<MATH>\psi^{(k)}(x)\;</MATH>}} nie jest unormowana do jedynki, wtedy to równanie przyjmuje bardziej ogólną postać do równania poprzednio wspomnianego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{O}}={{Tr(\hat{\rho}\hat{O})}\over{Tr(\hat{\rho})}}</MATH>|19.14}} Gdy zachodzi {{LinkWzór|19.14}}, wtedy nieprawdą jest, że ślad operatora gęstości jest równy jeden. Operator, dla którego elementy macierzowe operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\rho}\;</MATH>}} są przedstawione wedle wzoru, tzn.:{{Formuła|<MATH>\rho_{mn}</MATH>}} {{LinkWzór|19.10}}, to ten operator można zapisać wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}(t)=\sum_{mn}{{1}\over{L}}\sum_{k} {a_n^{(k)}}^{*}(t)a_m^{(k)}(t)|\psi_m\rangle\langle\psi_n|=\sum_{mn}\rho_{mn}|\psi_m\rangle\langle\psi_n|</MATH>|19.15}} Widząc definicję na {{Formuła|<MATH>\rho_{mn}</MATH>}} {{LinkWzór|19.14}}, wtedy możemy policzyć jej pochodną cząstkową względem czasu pomnożonej przez iloczyn stałej kreślonej Plancka przez jednostkę urojoną: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial \rho_{mn}}\over{\partial t}}={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}\left[i\hbar{{\partial a_n^{(k)*}(t)}\over{\partial t}}a_m^{(k)}(t)+a_n^{(k)*}(t)i\hbar{{\partial a_m^{(k)}}\over{\partial t}}\right]</MATH>|19.16}} Stosując rozwiązanie równania falowego rozwiniętego w funkcjach ortogonalnej bazy {{LinkWzór|19.4}} do równania zależnego od czasu mechaniki kwantowej {{LinkWzór|19.1}}, to dochodzimy wtedy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>i \hbar{{\partial}\over{\partial t}}\sum_p a_p^{(k)}(t)\psi_p(x)=\hat{H}\sum_p a_p^{(k)}(t)\psi_p(x)</MATH>|19.17}} Teraz mnożymy obie strony tożsamości {{LinkWzór|19.17}} przez funkcję falową ortogonalnej bazy o numerze m, czyli przez funkcją &psi;{{Sub|m}}(x): {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial a_m^{(k)}(t)}\over{\partial t}}=\sum_{p}\langle\psi_m|\hat{H}|\psi_{p}\rangle a_{p}^{(k)}(t)=\sum_{p}H_{mp}a_{p}^{(k)}</MATH>|19.18}} Z tożsamości udowodnionej przy pomocy obliczeń w punkcie {{LinkWzór|19.18}} możemy przepisać jego skrajne wyrazy, by potem przeprowadzać kolejne wnioski. {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial a_m^{(k)}(t)}\over{\partial t}}=\sum_{p}H_{mp}a_{p}^{(k)}</MATH>|19.19}} Z definicji elementów macierzowych i definicji iloczynu skalarnego sprzężenie zespolone elementu macierzowego hamiltonianu o numerach "m" i "p" jest równe elementowi macierzowemu, ale z odwróconą jego numeracją, tzn. "p" a później" m": {{CentrujWzór|<MATH>H_{mp}^{*}=H_{mp}</MATH>|19.20}} Zatem policzmy sprzężenie równiania {{LinkWzór|19.19}} wykorzystując przy tym udowodniony warunek {{LinkWzór|19.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\hbar{{\partial a_m^{(k)*}(t)}\over{\partial t}}=\sum_{p}H_{pm}a_{p}^{(k)*}</MATH>|19.21}} Stosując równanie {{LinkWzór|19.21}} i {{LinkWzór|19.19}} i to wszystko podstawiając do równania opisującego propagację elementu macierzowego operatora gęstości {{LinkWzór|19.16}}, oczywiste jest: {{CentrujWzór|<MATH> i \hbar{{\partial \rho_{nm}}\over{\partial t}}=\sum_k\left[\sum_pH_{mp}a_n^{(k)}{a_p^{(k)}}^{*}-\sum_p a_p^{(k)}{a_m^{(k)}}^{*}H_{pn}\right]\Rightarrow i \hbar{{\partial \rho_{nm}}\over{\partial t}}=\sum_p{({H_{mp}\rho_{pn}-\rho_{mp}H_{pn}})}</MATH>|19.22}} Napiszmy teraz równanie {{LinkWzór|19.22}}, który jest wersji macierzowej w jego wersję operatorową przy pomocy definicji operatora komutacji: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial \hat{\rho}(t)}\over{\partial t}}=[\hat{H},\hat{\rho}(t)]</MATH>|19.23}} Niech operator gęstości będzie napisany wedle sposobu poniżej, który jest zależny od operatora całkowitej energii układu i od czasu, ale też od operatora gęstości w czasie zerowym {{Formuła|<MATH>\hat{\rho}(t=0)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}(t)=e^{-i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}\hat{\rho}(0)e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}=\hat S\hat{\rho}(0)\hat S^{-1}</MATH>|19.24}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</math>}} jest to operator ewolucji {{LinkWzór|10.35|Postulat_czwarty_mechaniki_kwantowej|Mechanika_kwantowa|MK}}. Sprawdźmy, czy operator gęstości z definiowanej według {{LinkWzór|19.24}} zależy od czasu, w tym celu obliczmy jego pochodną cząstkową względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\hat{\rho}(t)}\over{\partial t}}=i\hbar\left[-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}e^{-{{\hat{H}t}\over{\hbar}}}\hat{\rho}(0)e^{{i\hat{H}t}\over{\hbar}}+e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}}\hat{\rho}(0)e^{{i\hat{H}t}\over{\hbar}}{{i\hat{H}}\over{\hbar}}\right]=\hat{H}\hat{\rho}-\hat{\rho}\hat{H}=[\hat{H},\hat{\rho}(t)]</MATH>|19.25}} W {{LinkWzór|19.25}} skorzystaliśmy, że operator {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} komutuje z innymi operatorami zależnymi tylko od niego samego {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}}, zatem jeśli będziemy przyjmować, że operator gęstości zależy tylko od operatora całkowitej energii układu wedle sposobu {{Formuła|<MATH>\hat{\rho}=\hat{\rho}(\hat{H})\;</MATH>}}, to operator gęstości wedle tej definicji nie zależy w ogóle od czasu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\hat{\rho}(t)}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|19.26}} Jeśli wszystkie kopie badanego układu zespołu statystycznego są w tym samym stanie co oznacza {{Formuła|<MATH>\psi(x)=\psi^{(k)}\;</MATH>}}, to równość na element macierzowy operatora gęstości zapisujemy według {{LinkWzór|19.10}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{mn}={{1}\over{L}}\sum_k {a^*_n}^{(k)}a_m^{(k)}={{1}\over{L}}\sum_k{a^*_n}a_m={a^*_n}a_m</MATH>|19.27}} Wyznaczmy kwadrat operatora gęstości zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|19.27}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{\rho}^2)_{mn}=\rho_{ml}\rho_{ln}=\sum_l a_m a_l^* a_la^*_n=a_ma^*_n\underbrace{\sum_l a_l^* a_l}_{1}=a_ma^*_n=a_ma^*_n=\rho_{mn}</MATH>|19.28}} Na podstawie {{LinkWzór|19.28}} dochodzimy do wniosku, że operator {{Formuła|<MATH>\hat{\rho}\;</MATH>}} jest operatorem rzutowym (idempotentny). A więc jego wartości własne to są 0 i 1. Napiszmy jeszcze raz dla {{LinkWzór|19.22}} przy definicji operatora gęstości zależnego od hamiltonianu, jeśli zachodzi {{LinkWzór|19.26}} i jednocześnie &psi;{{Sub|n}}(x) są stanami własnymi operatora energii, bo ono jest rozwiązaniem równania własnego operatora niezależnego od czasu całkowitej energii, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>0=i\hbar{{\partial\rho_{mn}}\over{\partial t}}=\sum_p\left( H_{mp}\rho_{pn}-\rho_{mp}H_{pn}\right)=\sum_p\left(\langle\phi_m|H|\phi_p\rangle\rho_{pn}-\rho_{mp}\langle \phi_p|H|\phi_n\rangle\right)=\sum_p\left(E_m\delta_{mp}\rho_{pn}-E_n\delta_{pn}\rho_{mp}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(E_m-E_n)\rho_{mn}\;</MATH>|19.29}} Dochodzimy do wniosku, jeśli elementy macierzowe operatora gęstości nie zależą od czasu, to musi zachodzić na pewno m=n. Na podstawie {{LinkWzór|19.29}}, gdy zachodzi warunek na operator gęstości {{LinkWzór|19.26}}, to elementy macierzowe operatora gęstości posiadają nieznikające elementy diagonalne, tzn. występują tylko na jego przekątnej, a pozostałe elementy są oczywiście równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{mn}=\rho_n\delta_{mn}\;</MATH>|19.30}} Na podstawie wzoru na elementy macierzowe operatora gęstości {{LinkWzór|19.10}} i zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|19.30}}, możemy napisać elementy macierzowe operator gęstości wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{nn}=\rho_{n}={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}|a_n^{(k)}|^2</MATH>|19.31}} Jeśli zachodzi {{Formuła|<MATH>|a_n^{(k)}|^2\leq 1\;</MATH>}}, który jest prawdopodobieństwem, że stan n jest realizowany dla k-tej kopi układu z L, zatem diagonalne jego elementy macierzy gęstości są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq \rho_{nn}=\rho_{n}={{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}|a_n^{(k)}|^2\leq{{1}\over{L}}\sum^L_{k=1}1={{1}\over{L}}L=1\;</MATH>|19.32}} Z obliczeń na diagonalnych elementach macierzowych operatora gęstości {{LinkWzór|19.32}} wynika warunek: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq\rho_n\leq 1\;</MATH>|19.33}} Dochodzimy do wniosku, że elementy diagonalne tegoż operatora mają sens prawdpodobieństwa. Gdy operator gęstości jest zdefiniowany wedle wzoru {{LinkWzór|19.15}}, to wtedy jest spełniony na pewno warunek na ten operator {{LinkWzór|19.23}}. Tylko istnieje jeden problem, nie znamy operatora gęstości dla czasu t=0, i z tego względu musimy postulować wygląd tego operatora w czasie początkowym. == Zespół mikrokanoniczny == Zespół mikrokanoniczny jest definiowany podobnie jak zespole klasycznej, jego odpowiednika. Przyjmujemy, że jest to układ izolowany, tzn. nie może być wymiany energii, ani masy, ale także liczby cząstek, a objętość jest stała. Kwantowa interpretacja tego rozkładu dla współczynników {{Formuła|<MATH>a_n\;</MATH>}} występująca w definicji elementu macierzowego operatora gęstości jest: {{CentrujWzór|<MATH>|a_n|^2=\begin{cases}\displaystyle \mbox{ 1 dla }E<E_n<E+\Delta \\ \displaystyle \mbox{ 0 w innych przypadkach}\end{cases}</MATH>|19.34}} Operator gęstości {{LinkWzór|19.10}} w zespole mikrokanonicznym przyjmuje wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}=\sum_{E<E_n<E+\Delta} |\psi_n\rangle\langle\psi_n|</MATH>|19.35}} Można udowodnić, że elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.35}} są elementy diagonalne równe jeden. A oto dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{rp}=\langle\psi_r|\sum_{E<E_n<E+\Delta} |\psi_n\rangle\langle\psi_n||\psi_p\rangle= \sum_{E<E_n<E+\Delta}\langle\psi_r|\psi_n\rangle\langle \psi_n|\psi_p\rangle=\sum_{E<E_n<E+\Delta}\delta_{rn}\delta_{np}=1\;</MATH>|19.36}} A ślad operatora {{LinkWzór|19.35}} jest napisany wedle sposobu poniżej, jak się przekonamy jest ona równa prawdopodobieństwu termodynamicznemu z jakim istnieje pewien układ statystyczny: {{CentrujWzór|<MATH>Tr(\hat{\rho})=\sum_n\langle\psi_n|\hat{\rho}|\psi_n\rangle=\sum_{E<E_n<E+\Delta}\sum_n|\langle\psi_n|\psi_n\rangle|^2=\Gamma(E)</MATH>|19.37}} Termodynamikę określamy definiując entropię według wzoru w zależności od prawdopodobieństwa termodynamicznego {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, która nadal jest słuszna (tak jak w mechanice klasycznej) w mechanice kwantowej, która jest w pewnym stopniu mechaniką dyskretną. == Zespół kanoniczny (T,V,N,t) == Jest to układ zamknięty, w którym temperatura ,objętość, liczba cząstek i czas są stałe. Natomiast układ może wymieniać energię między otoczeniem a układem. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki , a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Z}}e^{-\beta\hat{H}}={{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta E_n}\langle\psi_n|</MATH>|19.38}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.38}} są z definicji elementami macierzowymi dowolnego operatora o nieznikających diagonalnych elementach, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta E_n}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta E_n}\langle\psi_n|\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_p\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta E_n}={{1}\over{Z}}e^{-\beta E_p}\delta_{pr}\;</math>|19.39}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. == Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ,t) == Jest to układ, w którym temperatura, objętość, czas, potencjał chemiczny i czas są stałe, natomiast liczba cząstek jest wielkością nie stałą. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Q}}e^{-\beta (\hat{H}-\mu\hat{N})}={{1}\over{Q}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta(E_n-\mu N_n)}\langle\psi_n|</MATH>|19.40}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.40}} są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}} i liczbę cząstek N{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Q}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta (E_n-\mu N_n)}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Q}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta( E_n-\mu N_n)}\langle\psi_n|\psi_r\rangle={{1}\over{Q}}\sum_n\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta( E_n-\mu N_n)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Q}}e^{-\beta(E_p-\mu N_p)}\delta_{pr}\;</math>|19.41}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. == Zespół kanoniczny (T,p,N,t) == Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie i liczba cząstek i czas są stałe, natomiast objętość jest wielkością niestałą. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (\hat{H}+p\hat V)}={{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta(E_n+p V_n)}\langle\psi_n|</MATH>|19.40a}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.40a}} są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}} i objętość V{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta (E_n+pV_n)}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta( E_n+pV_n)}\langle\psi_n|\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta( E_n+pV_n)}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Z}}e^{-\beta(E_p+pV_p)}\delta_{pr}\;</math>|19.41a}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. == Zespół kanoniczny (T,p,μ,t) == Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie, potencjał chemiczny i czas są stałe, natomiast objętość i liczba cząstek są wielkościami nie stałymi. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (\hat{H}+p\hat V-\mu\hat{N})}={{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta(E_n+pV-\mu N_n)}\langle\psi_n|</MATH>|19.40b}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.40b}} są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}}, objętość V{{Sub|p}} i liczbę cząstek N{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta (E_n+pV_n-\mu N_n)}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta( E_n+pV_n-\mu N_n)}\langle\psi_n|\psi_r\rangle=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Z}}\sum_n\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta( E_n+pV_n-\mu N_n)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta(E_p+pV_p-\mu N_p)}\delta_{pr}\;</math>|19.41b}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. == Zespół kanoniczny (T,p,μ,&omega;) == Jest to układ, w którym temperatura, ciśnienie oraz potencjał chemiczny i czasowy są stałe, natomiast objętość, liczba cząstek i czas są wielkościami nie stałymi. Poszczególne poziomy są opisywane przez funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\psi_i\;</MATH>}} są unormowane do jedynki, a także wzór na operator gęstości, którego elementy macierzowe są diagonalne, które są zdefiniowane wedle {{LinkWzór|19.31}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\rho}={{1}\over{Z}}e^{-\beta (\hat{H}+p\hat V-\mu\hat{N}-\omega \hat t)}={{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta(E_n+pV-\mu N_n-\omega t_n)}\langle\psi_n|</MATH>|19.40ba}} Elementami macierzowymi operatora gęstości {{LinkWzór|19.40ba}} są z definicji elementów macierzowych dowolnego operatora, które są prawdopodobieństwami, że układ statystyczny będzie posiadał energię o wartości E{{Sub|p}}, objętość V{{Sub|p}} i liczbę cząstek N{{Sub|p}} oraz był w czasie t{{Sub|n}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{pr}=\langle\psi_p|\hat{\rho}|\psi_r\rangle=\langle\psi_p|{{1}\over{Z}}\sum_n|\psi_n\rangle e^{-\beta (E_n+pV_n-\mu N_n-\omega t_n)}\langle\psi_n||\psi_r\rangle={{1}\over{Z}}\sum_n\langle\psi_p|\psi_n\rangle e^{-\beta( E_n+pV_n-\mu N_n-\omega t_n)}\langle\psi_n|\psi_r\rangle=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{Z}}\sum_n\delta_{pn}\delta_{nr}e^{-\beta( E_n+pV_n-\mu N_n-\omega t_n)}={{1}\over{Z}}e^{-\beta(E_p+pV_p-\mu N_p-\omega t_n)}\delta_{pr}\;</math>|19.41ba}} Tutaj elementy macierzowe operatora gęstości są unormowane do jedynki jak bardzo łatwo można wykazać. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> svturze9kxxnd4y738xhwrwrt1dedcu 0 14215 559081 558589 2026-10-11T03:05:54Z Persino 2851 559081 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Promieniowanie ciała doskonale czarnego-gaz fotonowy == Ciało doskonale czarne, możemy sobie wyobrazić jako pewną wnękę z bardzo małą dziurką, przez którą mogą przedostawać się fotony. Fotony to są kwanty promieniowania, które są bozonami o spinie równej {{Formuła|<MATH>\hbar\;</math>}}, mają masę spoczynkową równą zero, pęd obliczamy z równania de Broglie'a, czyli dla fotonu w zależności od wektora falowego, jest równy: {{Formuła|<MATH>\vec{p}=\hbar\vec{k}\;</MATH>}}. Charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji &epsilon; i podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Mówimy, że układ znajduje się w stanie w równowagi termodynamicznej, jeśli taka sama ilość fotonów przedostaje się przez tą dziurkę na zewnątrz, jak też do wewnątrz tej komory, tak więc uczynimy. Ilość fotonów w takiej komorze jest stała, tzn. potencjał chemiczny wynosi 0, a potencjał czasowy też jest równy zero, bo w układzie nie zachodzą reakcję jądrowe, czy chemiczne, czy nawet procesy mieszania się składników, z którym jest związane wydzielanie lub pochłonięcie energii, zatem wzory na potencjał chemiczny i czasowy, znając energię swobodną układu napisanych wedle wzoru {{LinkWzór|3.40|Potencjały_termodynamiczne}}, są zapisane: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{\left({{\partial F}\over{\partial N}}\right)}_{V,T,t}=\mu=0</MATH>|24.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{\left({{\partial F}\over{\partial t}}\right)}_{V,T,N}=\omega=0</MATH>|24.1a}} }} Ze wzoru {{LinkWzór|24.1}} i {{LinkWzór|24.1a}} energia swobodna {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}} z definicji ekstremum osiąga wartość ekstremalną, tzn. osiąga minimum albo maksimum w zależności od znaku wyższych pochodnych energii swobodnej względem liczby fotonów znajdujących się w układzie. Wzór Plancka na energie kwantu fotonu, który zależy od częstotliwości lub częstotliwości kołowej fotonów, jest: {{CentrujWzór|<MATH> E=\hbar\omega</MATH>|24.2}} Wiemy jednak, że całkowita energia układu fotonów w układzie (w wnęce, wewnątrz ciała doskonale czarnego) jest określona jako suma energii wszystkich korpuskułów zwanych fotonami, czyli inaczej mówiąc, jest to suma iloczynu liczby cząstek o danej energii {{LinkWzór|24.2}} pomnożonej przez tą właśnie energię: {{CentrujWzór|<MATH>E(\{n_{\vec{k}},{\epsilon}\})=\sum_{\vec{k}} n_{\vec{k},\epsilon}\hbar\omega_{\vec{k}}</MATH>|24.3}} Możemy policzyć sumę statystyczną, na podstawie wzoru na średnią energię całkowitą układu {{LinkWzór|24.3}} w kwantowym zespole kanonicznym, jako: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\prod_{\vec{k}_{\epsilon}}\sum^{\infty}_{n_{\vec{k}}=0} e^{n_{kr}\beta\hbar\omega_k}=\prod_{\vec{k}_{\epsilon}}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}=\left(\prod_{k}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}\right)^2</MATH>|24.4}} Dwójka jako wykładnik potęgi w sumie statystycznej {{LinkWzór|24.4}} pojawia się, bo fotony charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji. Wykorzystamy równanie {{LinkWzór|24.4}} do obliczenia energii swobodnej, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, ale dla układu statystycznego w zespole kanonicznym kwantowym, zależy ona ogólnie od sumy statystycznej, której definicja jest napisany w punkcie {{LinkWzór|16.3|Zespół kanoniczny (T,V,N,t)}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=-k_BT \ln Z=-2k_BT\ln\prod_{k}{1\over{{1-e^{-\beta\hbar\omega_k}}}}=-2k_BT\sum_k \ln (1-e^{-\beta\hbar\omega_k})</MATH>|24.5}} Promieniowanie we wnętrze podlega klasycznemu równaniu falowemu wynikającego elektrodynamiki klasycznej Maxwella, jego równanie jest przedstawione: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\phi(\vec{r},t)-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi(\vec{r},t)}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|24.6}} Rozwiązaniem równania falowego {{LinkWzór|24.6}} jest rozwiązanie we funkcjach falowych o częstotliwości drgań &omega; i o licznie falowej "k": {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{r},t)=u e^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}</MATH>|24.7}} Wstawiamy przypuszczalne rozwiązanie równania falowego {{LinkWzór|24.7}} do równania falowego {{LinkWzór|24.6}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(k^2-{{\omega^2}\over{c^2}}\right)ue^{i(\vec{k}\vec{r}-\omega t)}=0</MATH>|24.8}} Ponieważ wartość funkcja eksponens jest zawsze różna od zera z definicji tejże funkcji, zatem z równania {{LinkWzór|24.8}} dostajemy zależność między częstością kołową &omega; fali fotonów znajdujących się we wnęce w zależności od jego liczby falowej k, który jest ilorazem liczby 2&pi; przez długość tejże opisywanej tutaj fali &lambda;, ten opis jest wedle wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>k^2-{{\omega^2}\over{c^2}}=0\Rightarrow\omega=ck\;</MATH>|24.9}} Funkcja {{LinkWzór|24.7}} powinna być periodyczna, tzn. wartość funkcji na ściankach we wnęce sześciennego układu powinna być wszędzie stała i powinna spełniać warunek, że wychylenia drgań fali reprezentujący fotony na ściankach tego układu powinno być wszędzie takie same. {{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{x}+\vec{L})=\psi(\vec{x})\;</MATH>|24.10}} Z rozwiązania funkcji falowej {{LinkWzór|24.7}} i warunku brzegowego na tą poprzednio wspomnianą funkcję, czyli {{LinkWzór|24.10}} wynika zależność, która wynika z periodyczności funkcji falowej zakładając przy tym {{Formuła|<MATH>L_x=L_y=L_z=L=V^{{{1}\over{2}}}</MATH>}} (mamy sześcian): {{CentrujWzór|<MATH>i\vec{k}\vec{L}=i2\pi\vec{l}\Rightarrow k_i={{2\pi}\over{L}}l_i</MATH>|24.11}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}} współrzędne wektora falowego o numerze "i" wektora falowego. * {{Formuła|<MATH>l_i=0,\pm 1,\pm 2,...</MATH>}} są to pewne stałe całkowite (niedodatnie i nieujemne) Dochodzimy do wniosku, że liczba falowa jest wielkością skwantowaną i napisaną wedle równania końcowego {{LinkWzór|24.11}}. Elementarna objętość zajmowana przez numerowane wektory falowe, którego współrzędne są napisane wedle {{LinkWzór|24.11}} w przestrzeni wektorów falowych {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}}, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>|\Delta k|=\Delta k_x\Delta k_y\Delta k_z={{(2\pi)^3}\over{L^3}}={({2\pi})^3\over V}</MATH>|24.12}} Liczba stanów w objętości elementarnej {{Formuła|<MATH>4\pi k^2dk</MATH>}} jest stosunkiem tejże właśnie liczby przez objętość elementarną wyrażoną wzorem {{LinkWzór|24.12}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{4\pi k^2dk}\over{|\Delta k|}}={{4\pi k^2 dk}\over{ {{{(2\pi)}^3}\over{V}} }}={{V}\over{2\pi^2}}k^2 dk</MATH>|24.13}} Częstotliwość kołowa fali elektromagnetycznej, pojedyńczego fotonu z warunku {{LinkWzór|24.9}} oraz z definicji skwantowanego wektora falowego {{LinkWzór|24.11}}, jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=c|\vec{k}|=c{{2\pi}\over{V^{1\over 3}}}{|\vec{l}|}</MATH>|24.14}} Ciśnienie gazu fotonowego można policzyć ze wzoru z fizyki fenomenologicznej {{LinkWzór|3.38|Potencjały_termodynamiczne}} i korzystając z już policzonej sumy statystycznej {{LinkWzór|24.5}}, wtedy to oczekiwane ciśnienie gazu fotonowego panujące we wnęce jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>p=-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{TN}=-2k_BT\sum_k{{\beta \hbar}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}{{\partial \omega_k}\over{\partial V}}</MATH>|24.15}} Pochodna cząstkowa częstotliwości kołowej względem objętości można policzyć wychodząc tylko ze wzoru {{LinkWzór|24.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\omega_k}\over{\partial V}}=-{{1}\over{3}}c{{2\pi}\over{V^{{{4}\over{3}}}}}|\vec{l}|=-{{1}\over{3}}c{{2\pi}\over{V^{{{1}\over{3}}}}}|\vec{l}|{{1}\over{V}}=-{{1\over 3}}{{\omega_k}\over{V}}</MATH>|24.16}} Po podstawieniu wzoru {{LinkWzór|24.16}} do równania na ciśnienie gazu fotonowego {{LinkWzór|24.15}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że ta wielkość jest: {{CentrujWzór|<MATH>p=-2k_BT\sum_k{{\beta \hbar}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}\left(-{{1\over 3}}{{\omega_k}\over{V}}\right)={{2} \over {3}}k_BT\sum_{\vec{l}}{{\beta\hbar}\over{e^{\beta \hbar\omega_k}-1}}{{\omega_k}\over{V}}</MATH>|24.17}} Po dalszych przekształceniach wyrażenia {{LinkWzór|24.17}}, Wyznaczamy iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętości (objętości wnęki), to: {{CentrujWzór|<MATH>pV={2\over{3}}k_BT\sum_{\vec{l}}{{\beta\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}={2\over 3}\sum_{\vec{l}}{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}</MATH>|24.18}} Wyznaczmy energię wewnętrzną gazu fotonowego (gazu we wnęce) korzystając ze statystyki Bosego-Einsteina dla bozonów {{LinkWzór|20.10|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}} i falowej natury fotonów (mają pewną częstość fali) oraz że fotony są kwantami według Plancka, a także skorzystamy, że fonony występują w dwóch polaryzacjach, zatem energia całkowita układu fotonów ma się wedle: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}=\sum_{\vec{k}\epsilon}n_{\vec{k},\epsilon}\hbar\omega_k= 2\sum_k\overline{n}_{k}\hbar\omega_k=2\sum_{\vec{k}}{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}</MATH>|24.19}} We wzorze {{LinkWzór|24.18}} możemy wyznaczyć pewien czynnik, zwany energią układu opisany przy pomocy wzoru {{LinkWzór|24.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{1}\over{3}}U</MATH>|24.20}} Wyznaczmy całkowitą energię wewnętrzną gazu wypromieniowania przez gaz o wszystkich częstościach, korzystając ze wzoru na energię układu fotonów napisanego wcześniej {{LinkWzór|24.19}} oraz ze wzoru na gęstość stanów {{LinkWzór|24.13}}, która powstaje podczas zamieniania zwykłej sumy na całkę jako czynnik w tejże całce. {{CentrujWzór|<MATH>U=2\sum_k{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}=2{{V}\over{2{\pi}^2}}\int\limits^{4\pi}_0{{\hbar\omega_k}\over{e^{\beta\hbar\omega_k}-1}}k^2dk</MATH>|24.21}} Wzór {{LinkWzór|24.9}} podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|24.21}} za częstość kołową fotonów, jeśli traktować je jako falę. {{CentrujWzór|<MATH>U={{V\hbar c}\over{\pi^2}}\int^{\infty}_0{{k^3}\over{e^{\beta\hbar ck}-1}}dk={{V\hbar c}\over{\pi^2{({\beta\hbar c})}^4}}\int^{\infty}_0 {{x^3}\over{e^x-1}}dx={{\hbar}\over{c^3\pi^2}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4V\int^{\infty}_{0}{{x^3}\over{e^x-1}}dx</MATH>|24.22}} Korzystamy z całki przystępnej znanej i policzonej z analizy matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0{{x^3}\over{e^x-1}}dx={{\pi^4}\over{15}}</MATH>|24.23}} Korzystamy z już policzonej całki {{LinkWzór|24.23}} i wykorzystujemy tą całkę do wyliczenia całki we wzorze {{LinkWzór|24.22}}, wtedy otrzymujemy zwarte równanie na energię wewnętrzną układów fotonów we wnętrze: {{CentrujWzór|<MATH>U={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4V</MATH>|24.24}} A energia całkowita wypromieniowana fotonów z cała doskonale czarnego dla wszystkich częstości na jednostkę objętości można policzyć, korzystając ze wzoru {{LinkWzór|24.24}} na energię wewnętrzną dzieląc tą właśnie wielkość przez objętość tego rozważanego ciała. {{CentrujWzór|<MATH>u={{U}\over{V}}={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^4={{8\pi^5k_B^4}\over{15c^3h^3}}T^4</MATH>|24.25}} Ciepło właściwe pod stałą objętością gazu doskonałego dostajemy, biorąc pochodną cząstkową wyrażenia {{LinkWzór|24.25}} względem temperatury bezwzględnej pod stałą objętością, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>C_v={{\hbar\pi^2}\over{c^3 15}}\left({{k_BT}\over{\hbar}}\right)^3 4{{k_B}\over{\hbar}}={{4k_B\pi^2}\over{15}}\left({{k_BT}\over{\hbar c}}\right)^3</MATH>|24.26}} Prawo przedstawione wzorem {{LinkWzór|24.26}} przedstawiające ciepło właściwe w zależności od temperatury nosi nazwę '''prawa Stefana-Boltzmanna'''. == Właściwości termodynamiczne idealnego gazu fermionowego == Wiemy, że fermiony nie mogą znajdować się w stanie kwantowym w liczbie większym niż 1, nie tak jak cząstki zwane bozonami. Liczba fermionów znajdujących się wstanie A może znajdować się co najwyżej jeden fermion, czyli zero lub jeden. Licząc wielką sumę statystyczną skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|20.5|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}} pamiętając, że mamy do czynienia z fotonami, a potencjał czasowy jest równy zero, ze względu, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, i procesy wydzielania lub pochłonięcia się energii wyniku mieszania się składników, tam nie zachodzą, ale za to fermiony od zewnątrz mogą dochodzić. {{CentrujWzór|<MATH>Q=\prod^{\infty}_{N=0}\sum_{n_k}e^{-\beta{(\epsilon_k-\mu)N}}=\prod_{k}\sum_{n_k=0,1}\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.27}} Po wstawieniu za wielką sumę statystyczną wyliczoną w punkcie {{LinkWzór|24.27}} do wzoru łączące potencjał termodynamiczny z iloczynem ciśnienia punującego w gazie fermionowym przez jego objętość jaką ten gaz zajmuje, ta opisywana formuła jest napisana wzorem {{LinkWzór|17.38|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}}, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BT\ln Q(\alpha,\beta)\Rightarrow pV=k_BT\sum_k\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.28}} Będziemy korzystać tutaj ze wzoru, znanego z mechaniki klasycznej na energię kinetyczną cząstki napisanej w zależności od jego pędu klasycznego według Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>E= {{p^2}\over{2m}}</MATH>|24.29}} Wzór znanego z teorii o falach de Broglie'a, który stanowi jakoby przelicznik długości fali na pęd posiadanej przez ciało, a jeśli mamy pęd, to mamy jego całkowitą posiadaną energię przez ściśle określoną cząstkę, a wiec pęd naszego ciała w zależności od jego długości fali, jeśli te cząstki traktować jako fale, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>p= {h\over \lambda}</MATH>|24.30}} Oczywiście jest, że z definicji liczby falowej zdefiniowaną przez długość fali mamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{h\over{\lambda}}}={{\hbar 2\pi}\over{\lambda}}=\hbar k</MATH>|24.31}} Możemy wyznaczyć pęd cząstki, znając jego liczbę falową, tzn. podstawiając wzór {{LinkWzór|24.31}} do wzoru na pęd cząstki {{LinkWzór|24.30}}, wtedy dochodzimy do zależności pędu cząstki w zależności od jego liczby falowej posiadanej przez falę stowarzyszoną z tą cząstką. {{CentrujWzór|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>|24.32}} Aby otrzymać wzór na energię kinetyczną cząstki należy wzór na pęd {{LinkWzór|24.32}} podstawić do wzoru na energię cząstki kwantowej {{LinkWzór|24.29}}, ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_k=E={{\hbar^2k^2}\over {2m}}\;</MATH>|24.33}} Pamiętając, że wyrażenie {{LinkWzór|24.12}} stanowi elementarną objętość w przestrzeni fazowej, zatem liczba stanów w elementarnej przestrzeni fazowej jest napisana poprzez wzór {{LinkWzór|24.13}}: {{CentrujWzór|<MATH> D(\epsilon_k)d\epsilon_k={{V}\over {(2\pi)^3}}d^3\vec{k}= {{V}\over{(2\pi)^3}}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}d\phi\sin\phi k^2dk={{V}\over{(2\pi)^3}}4\pi k^2dk={{V}\over{2\pi^2}}k^2dk</MATH>|24.34}} Ze wzoru {{LinkWzór|24.33}} wyznaczmy kwadrat wektora falowego, oczywiście jest, że wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>k^2={{2m\epsilon_k}\over{\hbar^2}}</MATH>|24.35}} Zróżniczkujmy obie strony tożsamości {{LinkWzór|24.35}}, tzn. prawą i lewą stronę tegoż wspomnianego równania, to otrzymane równanie dzielimy przez liczbę dwa, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>2kdk=2{m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k\Rightarrow kdk={m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k</MATH>|24.36}} Z równania {{LinkWzór|24.35}} wyznaczmy wartość wektora falowego w zależności od energii pojedynczej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>k=\sqrt{{{2m\epsilon_k}\over{\hbar^2}}}= \left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}</MATH>|24.37}} Mając wzór {{LinkWzór|24.37}} i końcowy wzór {{LinkWzór|24.36}}, wtedy za pomocą tychże tożsamości możemy policzyć wyrażenie pomocnicze, które nam będzie potrzebne w dalszych rachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>k^2dk=k kdk=\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}{m\over{\hbar^2}}d\epsilon_k={{1}\over{2}} \left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.38}} Wyznaczmy liczbę stanów opisywanych przez wzór {{LinkWzór|24.34}} wykorzystując obliczoną tożsamość {{LinkWzór|24.38}}, zatem dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>D(\epsilon_k)d\epsilon_k={{V}\over{2\pi^2}}k^2dk= {{V}\over{4\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.39}} Uwzględniając sumę po spinach fermionu, tzn zgodną lub niezgodnie z kierunkiem ruchu fermionu, czyli nasz czynnik wynosi 2. Wyznaczmy sumę występującą wyrażeniu {{LinkWzór|24.28}}, w tym celu policzmy wyrażenie pomocnicze: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{\vec{k}}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)= 2\int_0^{\infty}D(\epsilon_k)d\epsilon_k\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)=2{{V}\over{4\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\int_0^{\infty} \ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{V}\over{2\pi^2}}\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)^{{{3}\over{2}}}\int_0^{\infty} \ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k</MATH>|24.40}} Wzór {{LinkWzór|24.40}} możemy podstawić do prawej części wzoru za sumę {{LinkWzór|24.28}}, jednocześnie tą równość dzielimy obustronnie przez iloczyn stałej Boltzmanna i temperatury bezwzględnej, stąd mamy równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over{k_BT}}={{V}\over{2\pi^2}}{({{2m}\over{\hbar^2}})}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 d\epsilon_k\sqrt{\epsilon_k}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)</MATH>|24.41}} A teraz całkujemy przez części całkę występującą po prawej stronie równości {{LinkWzór|24.41}}, względem zmiennej &epsilon;{{Sub|k}}; pamiętając, że otrzymane wyrażenie niecałkowe występujące w wyrażeniu poniżej jest zawsze równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over{k_BT}}={{V}\over{2\pi^2}} {\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\left\{{ {2\over 3}{|\epsilon^{3\over 2}\ln(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)})|^{\infty}_0}}+{{2}\over{3k_BT}}\int\limits^{\infty}_0{{\epsilon^{3\over 2}}\over{e^{\beta(e_k-\mu)}+1}}\right\}={{V}\over{2\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}{{2}\over{3k_BT}} \int\limits^{\infty}_0{{\epsilon^{3\over 2}}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}</MATH>|24.42}} A teraz napiszmy, czemu jest równa średnia energia wszystkich cząstek (fermionów) w układzie, w tym celu napiszmy przekształcenia ogólne na cząstkach zwanych fermionami: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=U={{1}\over{Q}}\sum^{\infty}_{N=0}\sum_k \epsilon_k e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}={{1}\over Q}\sum^{\infty}_{N=0}\sum_i\left(\left(\epsilon_k-\mu N\right)+\mu N\right)e^{-\beta(\epsilon_i-\mu N)}=-\left({{\partial\ln Q}\over{\partial \beta}}\right)_{pV}+\mu \overline{N}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{\partial}\over{\partial \beta}}\sum_{\vec{k}}\ln\left(1+e^{-\beta(\epsilon_k-\mu)}\right)+\mu\sum_{\vec{k}}n(\epsilon_k)=\sum_{\vec{k}}{{\epsilon_k-\mu}\over{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1}}+\mu \sum_{\vec{k}}n(\epsilon_k)=\sum_{\vec{k}}\left[{{\epsilon_k-\mu}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}} +{{\mu}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}\right]</MATH>|24.43}} Z przekształceń {{LinkWzór|24.43}} dostajemy, że energia wewnętrzna układu fermionów jest równa sumie iloczynu liczby cząstek n(&epsilon;{{Sub|k}}) o energii &epsilon;{{Sub|k}} przez tą właśnie energię sumując po wszystkich parametrach "k" jakie może przyjmować układ kwantowy badanego zespołu fermionów. {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_{\vec{k}}\epsilon_k n(\epsilon_k)</MATH>|24.44}} Wyznaczmy sumę {{LinkWzór|24.44}} na energię układu fermionów, wtedy należy uwzględnić sumowanie po spinach (zgodną i odwrotną z kierunkiem ruchu fermionu), tak jak w obliczeniach {{LinkWzór|24.40}}, zatem ta energia jest: { {CentrujWzór|<MATH>U=2\int_0^{\infty}D(\epsilon_k){{\epsilon_kd\epsilon_k}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}={{V}\over{2\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\int^{\infty}_{0} {{\epsilon_k^{3\over 2}}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}+1}}d\epsilon_k</MATH>|24.45}} Równanie na energię wewnętrzną U {{LinkWzór|24.45}} wstawiamy do wzoru {{LinkWzór|24.42}}, wtedy dostajemy równanie wiążące ciśnienie, objętość gazy fermionowego z jego energią wewnętrzną (energią układu fermionów): {{CentrujWzór|<MATH>pV={{2}\over{3}}U</MATH>|24.46|Obramuj}} == Kondensacja Bosego-Einsteina == Rozważmy idealny nierelatywistyczny gaz bozonowy o liczbie cząstek N. Masa pojedynczej cząstki wynosi m. W gazie idealnym zakładamy, że nie ma oddziaływania między pojedynczymi atomami (cząsteczkami). Energia pojedynczego atomu jest równa według wyrażenia zależnego od liczby falowej "k" jeśli traktować je jako fale według teorii korpuskularno-falowej {{LinkWzór|24.33}}. Średnia liczba wszystkich cząstek znajdujących się w naszym badanym układzie kwantowym jest wyrażona przez sumę liczby cząstek znajdujących się na poszczególnych poziomach o energiach tychże poziomów równych &epsilon;{{Sub|k}} określonych wedle wzoru {{LinkWzór|20.10|Statystyki_w_fizyce_kwantowej}}. {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k \overline{n}_k\;</MATH>|24.47}} Wiemy, że zawsze bozony podlegają statystyce Bosego-Einsteina, więc średnią liczbę cząstek, pamiętając, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, tam nie zachodzą, wtedy {{Formuła|<MATH>\omega=0\;</MATH>}}, czyli możemy zapisać wedle schematu liczbę cząstek bozonów: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k{{1}\over{e^{\beta(\epsilon_k-\mu)}-1}}</MATH>|24.48}} Rozważmy, liczbę cząstek N{{Sub|0}} znajdujących się w stanie, gdy energia tego poziomu &epsilon;{{Sub|k}} jest równa zero, która jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>N_0={{1}\over{e^{-\beta\mu}-1}}</MATH>|24.49}} Jeśli przyjmiemy oznaczenia zmiennej z w zależności od potencjału chemicznego panującego w układzie wymieniającego cząstki z otoczeniem i względem parametry &beta;, która jest zależna od temperatury bezwzględnej, zatem to oznaczenie w końcu zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> e^{\beta\mu}={{1}\over{z}}</MATH>|24.50}} Aby N{{Sub|0}}, była istotnie większa od zera, to musi zachodzić N{{Sub|0}}>0, to zgodnie z naszym założeniem liczba "z" powinna być z zakresu od zera do jedynki w przedziale obustronnie otwartym. Dla tych "z" funkcja {{LinkWzór|24.49}} przyjmuje wartość istotnie dodatnią, i tylko wtedy występuje kondensacja Bosego-Einsteina. Wzór na średnią liczbę cząstek znajdujących się w układzie wedle wyrażenia {{LinkWzór|24.48}}, zamieniając w nim sumowanie na całkę wprowadzając w tej całce po tej zamianie gęstość stanów D(&epsilon;{{Sub|k}}), jest: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_k{{1}\over{z^{-1}e^{\beta\epsilon_k}-1}}=\int\limits_0^{\infty}D(\epsilon_k)d\epsilon_k{{1}\over{z^{-1}e^{\beta\epsilon_k}-1}}</MATH>|24.51}} Podstawiając za gęstość stanów D(&epsilon;{{Sub|k}})d&epsilon;{{Sub|k}} wyrażenie wyprowadzone wcześniej, które jest słuszne na klasycznych cząstek kwantowych, a więc dla cząstek uczestniczących w kondensacji Bosego-Einsteina, określonych wedle wzoru {{LinkWzór|24.39}}, wtedy tą liczbę N przedstawiamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>N={{V}\over{4\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0{{\sqrt{\epsilon_k}d\epsilon_k}\over{{{1}\over{z}}e^{\beta\epsilon_k}-1}}={{V}\over{4\pi^2}}{\left({{2m}\over{\hbar^2\beta}}\right)}^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0{{\sqrt{\epsilon_k\beta}d(\beta\epsilon_k)}\over{{{1}\over{z}}e^{\beta\epsilon_k}-1}}={{V}\over{4\pi^2}}\left({{{2mk_BT}\over{\hbar^2}}}\right)^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}</MATH>|24.52}} Zauważmy, że bezmyślnie zamiana sumowania na całkowanie, prowadzi do błędu, gdyż gubimy wszystkie bozony obsadzająca stan zerowy, tzn. dla stanu dla którego jego energia &epsilon;{{Sub|k}} jest równa zero, gdyż ta funkcja podcałkowa nie uwzględnia tego opisywanego w tychże dysputach stanu cząstek o tej energii. W tym celu prowadźmy oznaczenia liczby cząstek na jednostkę objętości V z ogólnej liczby cząstek i liczby cząstek na jednostkę objętości n{{Sub|0}} ulegająca kondensacji Bosego-Einsteina. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>n={{N}\over{V}}</MATH>|24.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> n_0={{N_0}\over{V}}</MATH>|24.54}} }} I dlatego wzór {{LinkWzór|24.52}} napisanych przy pomocy wzoru na n {{LinkWzór|24.53}} (całkowita liczba bozonów znajdująca się w układzie) i n{{Sub|0}} {{LinkWzór|24.54}} (liczba bozonów ulegająca omawianej kondensacji przy energii cząstek dla tego poziomu dla kondensatu jest równa zero) wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{{V}\over{4\pi^2}}\left({{{2mk_BT}\over{\hbar^2}}}\right)^{3\over 2}\int\limits^{\infty}_0 dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}</MATH>|24.55}} Wyznaczmy całkę pomocniczą znajdująca się we równaniu {{LinkWzór|24.55}} po prawej jego stronie wspomnianego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}} =\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}}\over{{{1}\over{z}}e^x-1}}{{ze^{-x}}\over{ze^{-x}}} =\int\limits^{\infty}_0dx{{\sqrt{x}ze^{-x}}\over{1-ze^{-x}}} =\int\limits^{\infty}_0 dx z e^{-x}\sqrt{x}\sum^{\infty}_{l=0}z^l e^{-lx}=\sum^{\infty}_0z^{l+1}\int\limits^{\infty}_0\sqrt{x}e^{-(l+1)x}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum^{\infty}_{l=1} z^l\int\limits^{\infty}_0 dx\sqrt{x}e^{-lx}</MATH>|24.56}} Następnie dokonajmy podstawienia wedle schematu u=lx w obliczeniach pomocniczych {{LinkWzór|24.56}}, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}\int\limits^{\infty}_0 du u^{1\over 2}e^{-u}</MATH>|24.57}} Całka przystępna znana w analizie matematycznej podajemy poniżej, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach: {{CentrujWzór|<MATH>\int\limits^{\infty}_0 du u^{1\over 2}e^{-u}={{1}\over{2}}\sqrt{\pi}</MATH>|24.58}} Obliczoną całkę {{LinkWzór|24.58}} wsadzamy do {{LinkWzór|24.57}}, a to z kolei wsadzamy do wzoru {{LinkWzór|24.56}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{{1}\over{2}}{{\sqrt{\pi}}\over{4\pi^2}}\left({{2mk_BT}\over{\hbar^2}}\right)^{3\over 2}\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}</MATH>|24.59}} Oznaczmy wyrażenie stojące z prawej strony wzoru {{LinkWzór|24.59}} zależne od parametru "z" zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}} jako funkcję g{{Sub|3/2}}(z): {{CentrujWzór|<MATH>\sum^{\infty}_{l=1}{{z^l}\over{l^{3\over 2}}}=g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.60}} Równość {{LinkWzór|24.59}}, na podstawie podstawienia do niego wzoru {{LinkWzór|24.60}}, wtedy dostajemy wzór na "n" w zależności od n{{Sub|0}} i liczby "z" zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+\left({{mk_BT}\over{2\hbar^2\pi}}\right)^{3\over 2}g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.61}} Liczba bozonów o pędzie zerowym na jednostkę objętości zależne z oczywistych powodów od parametru z zdefiniowanej wedle {{LinkWzór|24.50}}, jakie zajmują te bozony jest oczywiście wyrażona przez: {{CentrujWzór|<MATH>n_0={{1}\over{V}}{{1}\over{{1\over z}-1}}</MATH>|24.62}} Oznaczmy jako parametr &lambda;, który jest zdefiniowany wedle schematu poniżej, zależnej od masy tychże bozonów i temperatury układów bozonów: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={1\over{\sqrt{{{mk_BT}\over{2\hbar^2\pi}}}}}\Rightarrow \lambda=\sqrt{{2\hbar^2\pi}\over{mk_BT}}</MATH>|24.63}} Wyrażenie {{LinkWzór|24.61}} na podstawie oznaczenia przez parametr &lambda; {{LinkWzór|24.63}} jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+{1\over {{\lambda^3}}}g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.64}} Po przekształceniu wyrażenie {{LinkWzór|24.64}} tak by ten obiekt pomnożyć przez stałą &lambda;{{Sup|3}}, wtedy dochodzimy do wyrażenia równoważnego do poprzedniego: {{CentrujWzór|<MATH>n_0\lambda^3=n\lambda^3-g_{3\over 2}(z)</MATH>|24.65}} Temperatura przy której n{{Sub|0}} jest istotnie różna od zera, to dla z&rarr; 1. Wiemy, że funkcja g{{Sub|3/2}} jest funkcją rosnącą według jego definicji {{LinkWzór|24.60}}, ponieważ funkcje potęgowe w nim występujące są funkcjami potęgowymi rosnącymi, i wartość maksymalną przyjmuje dla parametru "z" jest dla z równej jeden dla wcześniej określonego przedziału zmienności zmiennej "z". Kondensacja występuje przy spełnionym warunku z&rarr; 1, wtedy n{{Sub|0}} jest równe zero, zatem wzór {{LinkWzór|24.65}} przy tych warunkach przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>n\lambda_{kr}^3=g_{3\over 2}(1)</MATH>|24.66}} A zatem przy pomocy wzoru dla oznaczenia &lambda; {{LinkWzór|24.63}} wzór {{LinkWzór|24.66}} można zapisać w takowej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>n\left({{2\hbar^2\pi}\over{mk_BT_{kr}}}\right)^{3\over 2}=g_{3\over 2}(1)\Rightarrow \left({{2\hbar^2\pi}\over{mk_B}}\right)^{3\over 2}={{g_{3\over 2}(1)T_{kr}^{{{3}\over{2}}}}\over{n}}</MATH>|24.67}} Temperaturę krytyczną T{{Sub|kr}} na podstawie równania {{LinkWzór|24.67}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>T_{kr}={{n^{2\over 3}2\hbar^2\pi}\over{mk_B g^{2\over 3}_{3\over 2}(1)}}</MATH>|24.68}} Wiadomo, że w kondensacie Bosego-Einsteina, jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|24.66}} dla temperatury krytycznej, w której zaczyna się tworzyć kondensat Bosego-Einsteina, wtedy n{{Sub|0}}=0, a liczba cząstek "n" w zależności od temperatury krytycznej jest zapisana: {{CentrujWzór|<MATH>n={{g_{{3}\over{2}}(1)}\over{\lambda_{kr}^3}}\Rightarrow n=\left({{mk_BT_{kr}}\over{2\hbar^2\pi}}\right)^{3\over 2} g_{3\over 2}(1)</MATH>|24.69}} Wzór {{LinkWzór|24.61}} zapisanej na ogólną liczbę cząstek bozonów w badanym układzie na podstawie {{LinkWzór|24.69}} przyjmuje inną równoważną do poprzedniego postać: {{CentrujWzór|<MATH>n=n_0+n\left({{T}\over{T_{kr}}}\right)^{3\over 2}{{g_{3\over 2}(z)}\over{g_{3\over 2}(1)}}</MATH>|24.70}} Wyznaczamy wielkość n{{Sub|0}} we wzorze na całkowitą liczbę cząstek znajdujących się w układzie bozonów w zależności od liczby cząstek ulegających kondensacji {{LinkWzór|24.70}}, zatem dochodzimy do wniosku, że liczba cząstek ulegająca kondensacji spełnia tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>n_0=n\left\{1-\left({{T}\over{T_{kr}}}\right)^{3\over 2}{{g_{3\over 2}(z)}\over{g_{3\over 2}(1)}}\right\}</MATH>|24.71}} W bezpośrednim otoczeniu {{Formuła|<MATH>T_{kr}</MATH>}}, przyjmujemy zgodnie dyskusją wcześniejszą, że parametr "z" jest równy jeden, wtedy wzór {{LinkWzór|24.71}} po wzajemnym skróceniu funkcji g{{Sub|3/2}}(1) dostajemy przepis na liczbę cząstek ulegająca kondensacji w otoczeniu wspomnianego punktu: {{CentrujWzór|<MATH>{{n_0}\over{n}}={{N_0}\over{N}}=\begin{cases} 0&\mbox{ dla }T>T_{kr}\\ 1-{\left({T\over T_{kr}}\right)}^{3\over 2}&\mbox{ dla }T<T_{kr} \end{cases}</MATH>|24.72}} Podkreślmy na zakończenie, że bozony dla temperatury bezwzględnej T>T{{Sub|kr}} tworzą osobną fazę niż dla temperatury bezwzględnej T<T{{Sub|kr}}, wtedy tą ostatnią fazę nazywamy kondensatem Bosego-Einsteina. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0czvs4y3r4pgwlyx68vgjue48yn6km4 0 14230 559082 558590 2026-10-11T03:06:55Z Persino 2851 559082 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się zajmować fluktuacjami energii (zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny) i fluktuacją ilości cząstek w układzie (wielki zespół kanoniczny). == Definicja fluktuacji bezwzględnej == Fluktuacją nazywamy wartość średnią kwadratową odchylenia wielkości x od jej wartości średniej i będziemy je oznaczać: {{Formuła|<MATH>\overline{\delta x}</MATH>}}, zatem z definicji średniego odchylenia możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\delta x}^2=\overline{(x-\overline{x})^2}=\overline{x^2}-{\overline{2x}\overline{x}}+\overline{\overline{x}^2}=(\overline{x^2})-2(\overline{x})^2+(\overline{x})^2=(\overline{x^2})-(\overline{x})^2</MATH>|25.1}} Zatem ze wzoru {{LinkWzór|25.1}} dostajemy równoważne do poprzedniego wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\delta x}=\sqrt{\overline{x^2}-\overline{x}^2}</MATH>|25.2|Obramuj}} Na podstawie {{LinkWzór|25.2}} widzimy, że fluktuacja zależy od średniej kwadratu wielkości x i od średniej tegoż wyrażenia, ten wzór {{LinkWzór|25.2}} jest alternatywnym zgodnym wzorem z początkową definicją fluktuacji średniej dla badanego układu. == Definicja fluktuacji względnej == Fluktuacją względną nazywamy wielkość zddefiniowanej za pomocą ilorazu fluktuacji bezwzględnej zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|25.2}} przez wartość statystyczną średnią danego układu, i oznaczmy ją literką "k", omawiana wielkość jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>k={\sqrt{\overline{{(\delta x)}^2}}\over{\overline{x}}}={{\sqrt{\overline{x^2}-\overline{x}^2}}\over{\overline{x}}}</MATH>|25.3}} == Fluktuacje w zespole kanonicznym (T,V,N,t) == Średnia energia układu według zespołu kanonicznego, którego wyprowadzenie napisaliśmy w punkcie {{LinkWzór|16.4|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}} jest ona równoważna do wspomnianego wzoru na tą średnią wzorowi wyrażone poprzez sumę statystyczną "Z", ale nie używają logarytmu naturalnego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={1\over{Z}}\sum_i E_i e^{-\beta E_i}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial \beta}}</MATH>|25.4}} A średnia kwadratu energii układu wyrazimy przez sumę statystyczną naszego zespołu kanonicznego, i którą policzymy z definicji wartości średniej kwadratu energii jakie układ statystyczny może przyjmować: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E^2}={{1}\over{Z}}\sum_i E_i^2e^{-\beta E_i}={{1}\over{Z}}{{\partial^2 Z}\over{\partial \beta^2}}</MATH>|25.5}} Średni kwadrat fluktuacji bezwzględnej energii cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym, która jak wyprowadzimy jest zależna liniowo od kwadratu temperatury bezwzględnej układu oraz liniowo od ciepła właściwego pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta E)^2}=\overline{E^2}-\left(\overline{E}\right)^2={1\over Z}{{\partial^2 Z}\over{\partial \beta^2}}-{1\over Z^2}{\left({{\partial Z}\over{\partial \beta^2}}\right)^2}={{\partial}\over{\partial \beta}}\left({{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial \beta}}\right)=-{{\partial \overline{E}}\over{\partial \beta}}=k_BT^2 C_V</MATH>|25.6}} W rezultacie na podstawie wzoru {{LinkWzór|25.6}} wzór na kwadrat odchylenia kwadratowego piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta E)^2}=k_BT^2 C_V</MATH>|25.7|Obramuj}} === Rząd fluktuacji energii === Jeśli energia wewnętrzna na podstawie gazu doskonałego klasycznego jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|16.11|Zespół_kanoniczny_(T,V,N,t)}} w układzie zamkniętym, którą dla porządku dziennego powtórzymy jego zapis poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>U=E={{3}\over{2}}Nk_BT</MATH>|25.8}} Ciepło właściwe gazu doskonałego o energii wewnętrznej U, zdefiniowanej przy pomocy wzoru {{LinkWzór|25.8}}, dla nieoddziaływających klasycznych cząstek jest wielkością niezależna od temperatury, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>C_V=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}={{3}\over{2}}Nk_B</MATH>|25.9}} Względna fluktuacja energii wewnętrznej układu zamkniętego {{LinkWzór|25.3}} przy definicji ciepła właściwego dla tego gazu w tym układzie {{LinkWzór|25.9}} przy wykorzystaniu wzoru na bezwzględną fluktuację energii {{LinkWzór|25.7}}, wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>k={\sqrt{\overline{(\delta E)^2}}\over \overline{E}}={\sqrt{k_BT^2 {3\over 2}Nk_B }\over{{3\over 2} Nk_BT}}=\sqrt{{2}\over{3}}{{1}\over{\sqrt{N}}}</MATH>|25.10}} Oczywiste jest, że według {{LinkWzór|25.10}}, mamy końcowy wzór na względna fluktuację liczby cząstek znajdującej się w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>k=\sqrt{{2}\over{3}}{{1}\over{\sqrt{N}}}</MATH>|25.11|Obramuj}} Na podstawie wzoru na względną fluktuację względną {{LinkWzór|25.11}} otrzymamy, że czym większa jest liczba cząstek, to względna fluktuacja energii w danym układzie jest czym mniejsza. Dla liczby cząstek N dążących do nieskończoności względna fluktuacja wynosi zero, czyli nie ma względnych fluktuacji energii. == Fluktuacje w wielkim zespole kanonicznym (T,V,μ,t) == === Fluktuacja energii wewnętrznej === Średnia energia układu w wielkim zespołu kanonicznym udowodnionych w punkcie {{LinkWzór|17.4|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}} jest równa wzorowi wyrażone poprzez wielką sumę statystyczną "Q": {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={1\over{Q}}\sum_i E_i e^{-\beta E_i+\alpha\mu N_i}=-{{1}\over{Q}}{{\partial Q}\over{\partial \beta}}</MATH>|25.12}} A średnia kwadratu energii układu wyrazimy także przez sumę statystyczną jak w przypadku {{LinkWzór|25.12}} dla naszego wielkiego zespołu kanonicznego jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E^2}={{1}\over{Q}}{{\partial^2 Q}\over{\partial \beta^2}}</MATH>|25.13}} Średnia kwadrat fluktuacja energii cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym jak się przekonamy, jest ona proporcjonalna liniowo do kwadratu temperatury bezwzględnej i liniowo do ciepła właściwego pod stałym parametrem równym objętości układu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta E)^2}=\overline{E^2}-\left(\overline{E}\right)^2={1\over Q}{{\partial^2 Q}\over{\partial \beta^2}}-{1\over Q^2}{\left({{\partial Q}\over{\partial \beta}}\right)^2}={{\partial}\over{\partial \beta}}\left({{1}\over{Q}}{{\partial Q}\over{\partial \beta}}\right)=-{{\partial \overline{E}}\over{\partial \beta}}=k_BT^2 C_V</MATH>|25.14}} W rezultacie mamy na podstawie {{LinkWzór|25.14}} równość, którą przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta E)^2}=k_BT^2 C_V</MATH>|25.15|Obramuj}} === Rząd fluktuacji energii === Jeśli energia wewnętrzna dla wielkiego zespołu kanonicznego dla gazu doskonałego klasycznego jest napisana wedle wzoru {{LinkWzór|17.43|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}} w układzie zamkniętym oraz pamiętając, że ciepło właściwe pod stałą objętością jest takie jak we wzorze {{LinkWzór|25.9}}. Korzystając ze wzoru na energię średnią układu (energia wewnętrzna układu cząstek układu statystycznego), to względna fluktuacja energii jest napisana przez wzór zależnych od średniej liczby cząstek znajdujących się w układzie wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>k=\sqrt{{2}\over{3}}{{1}\over{\sqrt{\overline{N}}}}</MATH>|25.16|Obramuj}} Na podstawie {{LinkWzór|25.16}}, czym większa jest średnia liczba cząstek, to względne fluktuacje energii w danym układzie są czym mniejsze. Dla średniej liczby cząstek układu dążących do nieskończoności nie ma względnych fluktuacji energii. === Fluktuacja liczby cząstek === Średnia liczba cząstek w układzie według wielkiego zespołu kanonicznego, którego wyprowadzenie napisaliśmy w punkcie {{LinkWzór|17.5|Wielki_zespół_kanoniczny_(T,V,μ,t)}} jest ona równoważna do wspomnianego wzoru na tą średnią wyrażonej poprzez sumę statystyczną "Z", ale nie używają logarytmu naturalnego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{1}\over{Q}}{{\partial Q}\over{\partial \gamma}}</MATH>|25.17}} A średnia kwadratu ilości cząstek w układzie wyrazimy przez sumę statystyczną naszego zespołu kanonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N^2}={{1}\over{Q}}{{\partial^2 Q}\over{\partial \gamma^2}}</MATH>|25.18}} A średnia kwadratu liczby cząstek układu wyrazimy przez sumę statystyczna naszego zespołu kanonicznego, i którą policzymy z definicji wartości średniej kwadratu liczby cząstek {{LinkWzór|25.18}} i średniej liczby cząstek {{LinkWzór|25.17}}, jakie układ statystyczny może przyjmować: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(\delta N)^2}=\overline{N^2}-(\overline{N})^2={1\over{Q}}{{\partial^2 Q}\over{\partial \gamma^2}}-{{1}\over{Q^2}}\left({{\partial Q}\over{\partial \gamma}}\right)^2={{1}\over{\partial \gamma}}\left({{1}\over{Q}}{{\partial Q}\over{\partial \gamma}}\right)={{\partial\overline{N}}\over{\partial \gamma}}=-{{k_BT^2}\over{\mu}}{{\partial \overline{N}}\over{\partial T}}</MATH>|25.19}} Średni kwadrat fluktuacji bezwzględnej ilości cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym, które jak wyprowadziliśmy jest zależna liniowo od kwadratu temperatury bezwzględnej układu oraz liniowo od pochodnej cząstkowej średniej liczby cząstek względem temperatury bezwzględnej T panujących w naszym układzie. jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\delta N}^2=-{{k_BT^2}\over{\mu}}{{\partial \overline{N}}\over{\partial T}}</MATh>|25.20}} == Opis ruchów Browna przez Einsteina == Weźmy sobie ruchy Browna, którą będziemy obserwowali w jednym wymiarze, dla której znamy rozkład prawdopodobieństwo. Załóżmy, że w przedziale czasowym (t,t+&tau;) cząstka zmienia swoje położenie x do x+&Delta;. Niech mamy N cząstek w układzie, dla których dN cząstek przemieściło się z &Delta; +&Delta;+d&Delta; w przedziale czasowym (t, t+&tau;). Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że takie przesunięcie nastąpiło jest wyrażone poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>f_{\tau}(\Delta)d\Delta={{dN}\over{N}}\;</MATH>|25.21}} Prawdopodobieństwow względem małego przemieszczenia jest funkcją parzystą i spełnia warunek f{{Sub|&tau;}}(&Delta;)=f{{Sub|&tau;}}(-&Delta;) Całkowite prawdopodobieństwo określoną względem dowolnego przemieszczenia jest równe jedności i jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta f_{\tau}(\Delta)=1\;</MATH>|25.22}} Liczba cząstek, które w przedziale czasowym &tau; wyszły z przedziału dx piszemy według następującego przestawienia: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\int_{-\infty}^{-dx}+\int_{dx}^{\infty}\right)d\Delta f_{\tau}(\Delta)n(x+\Delta,t)dx\;</MATH>|24.23}} Gdy przerwa dx w powyższym wyrażeniu {{LinkWzór|24.23}} dąży do zera, zatem granica całki prawdopodobieństwa staje się zaniedbywalnie mała, wtedy praktycznie 100% cząstek ucieka z przedziału dx. Liczba cząstek znalezione w dx w chwili t+&tau;, które były tam w przedziale czasowym &tau; jest zapisane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>n(x,t+\tau)dx=\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta f_{\tau}(\Delta)n(x+\Delta,t)dx\;</MATH>|24.24}} Rozłóżmy sobie w szereg Taylora prawą stronę względem &Delta;, a jego lewą stronę względem &tau; i w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>n(x,t)+\tau{{\partial n(x,t)}\over{\partial t}}+...=\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta f_{\tau}(\Delta)\left[ n(x,t)+\Delta{{\partial n(x,t)}\over{\partial x}}+{{\Delta^2}\over{2}}{{\partial^2n(x,t)}\over{\partial x^2}}+...\right]\;</MATH>|24.25}} Pierwszy wyraz po prawej stronie jest równa jedności, a dla drugiego wyrazu ze względu na parzystość funkcji gęstości prawdopodobieństwa znika ona, i tylko pozostaje nam trzeci wyraz, bo dalsze wyrazy gwałtowanie maleją do zera dla {{Formuła|<MATH>\tau\rightarrow 0\;</MATH>}}, zatem w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>\tau{{\partial n(x,t)}\over{\partial t}}={{\partial^2n(x,t)}\over{\partial x^2}}{{1}\over{2}}\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta \Delta^2f_{\tau}(\Delta)\;</MATH>|24.26}} Stałą występujące we wzorze {{LinkWzór|24.26}}, którą oznaczymy przez D, i określimy ją względem wielkości infinitezymalnej wielkości &tau;, którą możemy przepisać według: {{CentrujWzór|<math>D=\lim_{\tau\rightarrow 0}{{1}\over{2\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}d\Delta\Delta^2f_{\tau}(\Delta)\;</MATH>|24.27}} Przy definicji stałej D {{LinkWzór|24.27}} dla równości {{LinkWzór|24.25}} otrzymujemy stąd wniosek, która jest związkiem łączącym pierwszą pochodną koncentracji cząstek względem czasu z drugą pochodną koncentracji względem współrzędnej iksowej, który jest opisem ruchów Browna dany przez Einsteina: {{CentrujWzór|<math>{{\partial n(x,t)}\over{\partial t}}=D{{\partial^2n(x,t)}\over{\partial x^2}}\;</MATH>|24.28}} Równanie {{LinkWzór|24.28}} możemy uogólnić z jednego do trzech wymiarach zastępując w powyższych x przez {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, a całka pojedynczą przez całkę potrójną, i w ten sposób równość {{LinkWzór|24.24}} po dokonaniu pewnych operacji według wcześniejszych wspomnień rozkładając go w szereg Taylora otrzymamy równość: {{CentrujWzór|<MATH> n(x,t)+\tau{{\partial n(x,t)}\over{\partial t}}+...=\iiint d\vec{\Delta} f_{\tau}(\vec{\Delta})\Bigg[n(x,t)+\vec{\Delta}\nabla n(\vec{r},t)+{{(\Delta_x)^2}\over{2}}{{\partial^2n(\vec{r},t)}\over{\partial x^2}}+{{(\Delta_y)^2}\over{2}}{{\partial^2n(\vec{r},t)}\over{\partial y^2}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{(\Delta_z)^2}\over{2}}{{\partial^2n(\vec{r},t)}\over{\partial z^2}}+...\Bigg]\;</MATH>|24.29}} Pierwsza całka występująca po jego prawej stronie jest równa jedności pomnożonej przez n(x,t), druga całka jest równa zero ze względu na parzystość funkcji gęstości prawdopodobieństwa, zatem dla &Delta;{{Sub|x}}=&Delta;{{Sub|y}}=&Delta;{{Sub|z}}=&Delta; da nam w ostatecznych rozrachunkach: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial n(\vec{r},t)}\over{\partial t}}=\nabla^2n(\vec{r},t){{1}\over{2\tau}}\iiint d\vec{\Delta}\Delta^2 f_{\tau}(\vec{\Delta})\;</MATH>|24.30}} Wtedy definicja parametru D dla trzech wymiarów możemy przepisać go na podstawie {{LinkWzór|24.30}} przy pomocy definicji definicji gęstości prawdopodobieństwa napisanej dla trzech wymiarów: {{CentrujWzór|<MATH>D=\lim_{\tau\rightarrow 0}{{1}\over{2\tau}}\iiint d\vec{\Delta}\Delta^2 f_{\tau}(\vec{\Delta})\;</MATH>|24.31}} Równanie opisujące w trzech wymiarach możemy przestawić, czyli {{LinkWzór|24.30}}, przy definicji parametru D {{LinkWzór|24.31}}, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial n(\vec{r},t)}\over{\partial t}}=D\nabla^2n(\vec{r},t)\;</MATH>|24.32}} == Związek współczynnika dyfuzji z temperaturą bezwzględną == Równanie ciągłości napisane w trzech wymiarach napisanej dla koncentracji cząstek powiązane z gęstością prądu piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\vec{j}+{{\partial n}\over{\partial t}}=0\;</MATH>|24.33}} Pochodną czasową koncentracji cząstek piszemy przy pomocy równania {{LinkWzór|24.32}}, które podstawiamy do tożsamości różniczkowej {{LinkWzór|24.33}} i w ten sposób możemy otrzymać tożsamość na gęstość prądu: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\left(\vec{j}+D\nabla n\right)=0\Rightarrow\vec{j}=-D\nabla n\;</MATH>|24.34}} Cząstka poruszająca się w płynie osiąga stacjonarną gęstość dryfu proporcjonalne do działającej siły zewnętrznej, który tutaj przestawiamy poprzez współczynnik proporcjonalności &eta; zwanej współczynnikiem ruchliwości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}=\eta\vec{F}_{zew}\;</MATH>|24.35}} Gęstość dryfu {{Formuła|<MATH>\vec{j}\;</MATH>}} musi kompensować z gęstością dryfu {{Formuła|<MATH>n\vec{u}\;</MATH>}}, który prowadzi do gradientu gęstości n, czyli te prądy muszą być w równowadze, co możemy napisać równość na tą równowagę wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{j}+n\vec{u}=0\;</MATH>|24.36}} Jeśli do wzoru {{LinkWzór|24.36}} podstawimy wzór na gęstość prądu płynu {{LinkWzór|24.34}} i wzór na prędkość stacjonarnego dryfu {{LinkWzór|24.35}} i wykorzystując do tego ostatniego wyrażenie siły poprzez gradient potencjału: {{CentrujWzór|<MATH>-D\nabla n-\eta n\nabla U=0\;</MATH>|24.37}} Z drugiej jednak strony gęstość cząstek o energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>U(\vec{r})\;</MATH>}} możemy wyrazić poprzez tą energię i wyrazić jego gradient, który podstawimy je do tożsamości {{LinkWzór|24.37}}, koncentrację w zależności od energii potencjalnej cząstek i jego gradient możemy przestawić je w jednej linijce, które są wyrażone w zależności od położenia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>n(\vec{r})=n(0)e^{-{{U(\vec{r})}\over{k_BT}}}\;</MATH>|24.38}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\nabla n=-{{n}\over{k_BT}}\nabla U(\vec{r})\;</MATH>|24.39}} }} Wzór {{LinkWzór|24.39}} podstawiamy do tożsamości {{LinkWzór|24.37}} i w ten sposób otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{Dn\nabla{U}}\over{k_BT}}-\eta n\nabla U=0\;</MATH>|24.40}} Współczynnik dyfuzji D występujący w prawie {{LinkWzór|24.32}}, która jest równaniem dyfuzji wyprowadzonego przez Einsteina, przestawiamy w zależności od temperatury T i współczynnika ruchliwości &eta;: {{CentrujWzór|<MATH>D=k_BT\eta\;</MATH>|24.41}} == Szumy Nyquista i wyprowadzenie wzoru Nyquista == Termiczny ruch w metalach powoduje tzw. szumy Nyquista, tzn. są to fluktuację od średnich napięcia i natężenia płynącego prądu w metalach, i dla opornika możemy napisać średnią kwadratu odchylenia napięcia od kwadratu wartości średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V^2}=4Rk_BT\Delta\nu\;</MATH>|24.42}} Wynik {{LinkWzór|24.41}} wiąże fluktuację napięcia z oporem i jest przykładem twierdzenia flutuacyjno-dyssypacyjnego. Weźmy sobie opornik o długości L i oporze R. Na końcach tego przewodnika jest umieszczony opornik R. W tym przewodniku rozchodzą się fale biegnące w przewodniku R, które są pochodzenia termicznego, które są absorbowane całkowicie bez odbić na obu jego końcach. Częstotliwość modu podstawowego, a także częstotliwość o modzie n, dla rozważanego przewodnika o długości L, przestawiamy je w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\nu_0={{c}\over{2L}}\;</MATH>|24.43}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\nu_n=n\nu_0\;</MATH>|24.44}} }} Wiedząc, że częstotliwość kołowa &omega;{{Sub|n}} jest związana z częstością &nu;{{Sub|n}} poprzez wzór &omega;{{Sub|n}}=2&pi;&nu;{{Sub|n}}, wtedy energię modu o numerze n możemy określić według rozkładu Bosego-Einsteina sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>E_n={{\hbar\omega_n}\over{e^{{{\hbar\omega_n}\over{k_BT}}}-1}}\;</MATH>|24.45}} Tutaj będziemy stosowali warunki na częstości kołowe {{Formuła|<MATH>{{\hbar\omega_n}\over{k_BT}}<<1</MATH>}} dla rozkładu {{LinkWzór|24.45}}, dla którego stosując ten warunek, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>E_n\simeq k_BT\;</MATH>|24.46}} {{Rysunek|Schemat elektryczny obwodu elektrycznego służący do wyprowadzenia prawa Nyquista.jpeg|lk1|Schemat elektryczny obwodu elektrycznego służący do wyprowadzenia prawa Nyquista}} Widzimy, że energia E{{Sub|n}} nie zależy od numeru modu, zatem jeśli w szerokości &Delta;&nu; na podstawie {{LinkWzór|24.44}} istnieje &Delta;&nu;/&nu;{{Sub|0}} modów, wtedy całkowita energia w naszym pasmie jest iloczynem liczby modów przez k{{Sub|B}}T, i jeśli jednocześnie zastosujemy wzór {{LinkWzór|24.43}} do wzoru na całkowitą energię, wtedy tą wielkość określamy: {{CentrujWzór|<MATH>E=k_BT{{\Delta\nu}\over{\nu_0}}={{2k_BTL}\over{c}}\Delta\nu\;</math>|24.47}} W przewodniku rozchodzą się dwie fale biegnące w przeciwnych kierunkach normalna i odbita, wtedy całkowity czas z jakim jedną z tych fal biegnących przebyła odległość L, czyli przez jeden przewodnik, możemy obliczyć z definicji prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>c={{L}\over{t}}\Rightarrow t={{L}\over{c}}\;</MATH>|24.48}} Całkowita energia absorbowana przez jeden oporniki R, pochodząca od jednej fali biegnących w jednostce czasu określamy jako stosunek {{LinkWzór|24.47}} przez podwojoną prędkość czasu {{LinkWzór|24.48}}, jest ona wyrażona jako: {{CentrujWzór|<MATH>P={{E}\over{2t}}={{{{2k_BTL}\over{c}}\Delta\nu}\over{2{{L}\over{c}}}}=k_BT\Delta\nu\;</MATH>|24.49}} We wzorze {{LinkWzór|24.49}} rozpatrywaliśmy tylko jedną falę biegnącą w jednym kierunku. Z definicji energii traconej przez opornik w jednostce czasu określamy przez iloczyn kwadratu natężenia prądu i oporności odbiornika, co stosując jego definicję do {{LinkWzór|24.49}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{I^2}R=k_BT\Delta\nu\;</MATH>|24.50}} Według rysunku obok napięcie mierzone na obu opornikach R jest wyrażone poprzez U=2IR, co stąd wynika, że I=U/2R, wtedy całkowita moc wydzielana przez oporność jest przepisana poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>I^2R={{U^2}\over{4R}}\;</MATH>|24.51}} Wzór {{LinkWzór|24.51}} możemy podstawić do tożsamości {{LinkWzór|24.50}}, i na samym końcu otrzymujemy wzór {{LinkWzór|24.42}}, który jest wzorem Nyquista. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> a4epb4m40mwutxe49oj7v0h2g8f2c6c 0 14234 559049 558571 2026-10-11T00:49:50Z Persino 2851 559049 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Fenomenologiczna teoria przejść fazowych''' - w układzie mamy N faz, każda z tych faz znajduje się w równowadze z pozostałymi fazami. Układ znajduje się w fazie równowagi, gdy molowe potencjały Gibbsa poszczególnych faz są jednakowe. Jeśli molowe potencjały Gibbsa są sobie równe, to wynika z tego, że potencjały chemiczne są sobie też równe, jak udowodnimy poniżej. Zauważmy, że mamy fazy i-tą i j-tą fazę, to zachodzą między nimi warunki: {{CentrujWzór|<MATH>\mu^i\left(p,T,N,t\right)=\mu^j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.1}} Same potencjały będziemy oznaczać dużymi literkami jak w rozdziale: {{sr|Potencjały termodynamiczne}}, a ich odpowiedniki, które powstają po podzieleniu ich przez liczbę moli, będziemy oznaczać je małymi literami. == Stan równowagi termodynamicznej == Udowodnijmy, że stanem równowagi chemicznej, musi istnieć równość miedzy potencjałami chemicznymi, dla danej substancji, między fazami, należącej do układu. Zauważmy, że mamy układ zamknięty f-fazami i s-substancjami. Każda substancja w tym układzie posiada pewną ilość cząstek, która nie może się zmieniać w przypadku braku reakcji chemicznych i jądrowych, ale nie może się zmieniać też w przypadku, gdy one mogą występować, w układzie mogą być reakcje chemiczne miedzy substancjami lub reakcje jądrowe pomiędzy jądrami, ale one występują w równowadze, ale nie ma procesów wydzielania energii w wyniku mieszania się składników (wtedy by doprowadzało do zmiany innych różniczek), wtedy ilość cząstek należącej do substancji i-tej jest: {{CentrujWzór|<MATH>N_i=\sum_{k=1}^f N_i^k\;</MATH>|9.2}} Z równania {{LinkWzór|9.2}} wynika, że całkowita liczba cząstek musi być ona stała, zatem dochodzimy do wniosku, że zmiana wszystkich liczb cząstek znajdujących się w układzie we wszystkich substancjach i fazach wziętych razem, przy założeniu, że w układzie nie mogą zachodzić reakcje chemiczne i jądrowe lub mogą one zachodzić, ale w równowadze, jest równa zero. {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k \delta N_i^k=0\;</MATH>|9.3}} Potencjał Gibbsa dla całego układu jest ogólnie niestały i ogólnie zmienia się, przyjmuje wartość najmniejszą z możliwych, wykorzystując {{LinkWzór|3.48|Potencjały_termodynamiczne}} dla ścisłej określonej substancji i jednocześnie fazy, uwzględniając ten warunek dla kilku faz i substancji, którego potencjał Gibbsa jest wielkością addytywną, przedstawia się. {{CentrujWzór|<MATH>G=\sum^f_{k=1}\left(\sum^s_{i=1} \mu_i^kN^k_i+\omega_i^kt^k_i\right)\;</MATH>|9.4}} A w stanie równowagi potencjał Gibbsa ma najmniejszą postać, aby wyznaczyć to ekstremum, by wyznaczyć potencjały chemiczne i czasowe dla poszczególnych faz i substancji, to różniczka {{LinkWzór|9.4}} przyjmuje wartość zero, podobnie jak dla wyznaczania ekstremum dla funkcji jednej zmiennej, przy tym wykorzystując, że potencjały chemiczne i czasowe, dla poszczególnych faz nie zmieniają się, bo układ występuje w stanie równowagi. {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum^f_{k=1}\left(\sum_{i=1}^s \mu^k_i dN^k_i+\omega_i^kdt^k_i\right)\;</MATH>|9.5}} Ale z równości {{LinkWzór|9.5}} nic pożytecznego nie otrzymamy bez mnożników Lagrange'a. Wykorzystujemy mnożniki Lagrange'a mając {{LinkWzór|9.3}}, że liczba indywiduów danej substancji nie zmienia się, oczywiście jest, że {{LinkWzór|9.5}} zachodzi, odejmując to od równości {{LinkWzór|9.4}} wyraz, który jest równy zero z definicji wiedząc, że {{Formuła|<MATH>t^k_i=\overline t=t\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline {\gamma^k_i}=\gamma\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>f(N^k_i,t^k_i)=\left(s\overline{\lambda_iN_i}-\sum^s_{i=1}\lambda_i N_i\right)+\left(sf\overline{\gamma^k_i t^k_i}-\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\gamma^k_i t^k_i\right)=\left(s\overline{\lambda_iN_i}-\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\lambda_i N^k_i\right)+\left(sf\overline{\gamma^k_i}\overline t-\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\gamma^k_i t^k_i\right)</MATH>|9.5a}} A z definicji funkcji {{Formuła|<MATH>f(N^k_i,t^k_i)\;</MATH>}} w {{LinkWzór|9.5a}} wynika, że ona jest równa zero. Zatem różniczka funkcjonału powstałego z definicji funkcji Gibbsa {{LinkWzór|9.4}} i wyrażenia równego dokładnie zero {{LinkWzór|9.5a}} (ten funkcjonał przedstawia się {{Formuła|<MATH>\phi=G+f(N^k_i,t^k_i)\;</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta \phi=\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\left(\sum_{i=1}^s \mu^k_i dN^k_i+\omega_i^kdt^k_i\right)-\sum^s_{i=1}\lambda_i \sum_k^f dN_i^k-\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\gamma dt^k_i \;</MATH>|9.7}} Odwracamy sumę w wyrażeniu {{LinkWzór|9.7}} w odjemniku, tak by najpierw było sumowanie po wszystkich fazach, a potem po substancjach, tak jak zachodzi w odjemnej w tym samym wspomnianym wyrażeniu: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\left(\mu_i^k dN^k_i+\omega_i^kdt^k_i\right)-\sum_k^f\sum^s_{i=1}\lambda_idN_i^k-\sum_k^f\sum^s_{i=1}\gamma dt^k_i \;</MATH>|9.8}} Po wykorzystaniu przemienności sumowania w równości {{LinkWzór|9.8}} napiszmy wszystkie wyrazy pod jedną sumą po fazach, a potem po substancjach: {{CentrujWzór|<MATH>0=\delta \phi=\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\left(\mu_i^k-\lambda_i\right)dN_i^k+\sum^f_{k=1}\sum^s_{i=1}\left(\omega_i^k-\gamma\right)dt_i^k\;</MATH>|9.9}} Z równania {{LinkWzór|9.9}} wynika, że aby było ono spełnione zawsze dla dowolnych infinitezymalnych zmian ilości cząsteczek należących do danej fazy i substancji {{Formuła|<MATH>dN_i^k\;</MATH>}}, tak aby całe wyrażenie było równe zero, musimy napisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i^k=\lambda_i\;</MATH>|9.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_i^k=\gamma\;</MATH>|9.10a}} }} Przedstawiając to bardziej obrazowo dla wszystkich możliwych faz danej substancji o numerze "i" potencjał chemiczny jest wielkością niezależną od numeru fazy, w której ta faza należy do danej substancji. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i^1=\mu_i^2=\mu_i^3=...=\mu_i^f=\mu_i\;</MATH>|9.11}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_i^1=\omega_i^2=\omega_i^3=...=\omega_i^f=\gamma\;</MATH>|9.11a}} }} Czyli dla danej substancji istnieje stałość pomiędzy potencjałami chemicznymi w stanie równowagi termodynamicznej dla poszczególnych faz. == Klasyfikacja Ehrenfesta przejść fazowych == Podobnie jak w poprzednio określiliśmy, molowe potencjały Gibbsa (jest to iloraz potencjału Gibbsa przez liczbę moli zajmowanej przez tę substancji (fazę) w układzie) są ciągłe dla wszystkich faz. Ale zaś jej pochodne nie są ciągłe, tzn. entropia i objętość molowa. Molowy odpowiednik entropii (jest to iloraz entropii przez liczbę moli substancji w układzie danej fazy o entropii {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}) jest zdefiniowane odpowiednio jak w {{LinkWzór|3.42|Potencjały_termodynamiczne}}, jest wyrażona według: {{CentrujWzór|<MATH>s_i=-\left({{\partial g^i}\over{\partial T}}\right)_{p,t}\;</MATH>|9.12}} Objętość molowa (iloraz objętości zajmowanej przed daną fazę przez liczbę moli substancji tejże fazy o objętości {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}}) jest zdefiniowana według {{LinkWzór|3.41|Potencjały_termodynamiczne}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_i=\left({{\partial g^i}\over{\partial p}}\right)_{T,t}\;</MATH>|9.13}} Można wyznaczyć wyższe pochodne molowych potencjałów Gibbsa, korzystając z {{LinkWzór|9.12}} i z molowego odpowiednika {{LinkWzór|5.19|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, wtedy druga pochodna molowego potencjału Gibbsa jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial^2 g}\over{\partial T^2}}\right)_{p,t}= \left({{\partial}\over{\partial T}}{{\partial g}\over{\partial T}}\right)_{p,t}=-\left({{\partial s}\over{\partial T}}\right)_{p,t}=-\left({{{\partial_p Q}\over{nT}}\over{\partial T}}\right)_{p,t}=-{{C_p}\over{nT}}=-{{c_p}\over{T}}\;</MATH>|9.14}} Według Ehrenfesta przejście pomiędzy fazą i-tą oraz j-tą jest przejściem n-tego rodzaju, jeśli molowa funkcja Gibbsa i jej pochodne do rzędu "n" są ciągłe w punktach współistnienia faz. Dla przejścia pierwszego rodzaju zachodzi: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>g^i\left(p,T,N,t\right)=g_j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.15}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>s_i\left(p,T,N,t\right)\not{=}s_j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.16}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>v_i\left(p,T,N,t\right)\not{=}v_j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.17}} }} == Równanie Clapeyrona-Clausiusa == Przejście według Clapeyrona-Clausiusa są to przejścia fazowe pierwszego rodzaju. Dla obu faz powinien zachodzi warunek {{LinkWzór|9.15}}. Funkcja g jest funkcją ciągłą przy przejściu z jednej fazy do drugiej, tzn. zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>g^i\left(p,T,N,t\right)=g^j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.18a}} {{CentrujWzór|<MATH>g^i\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)=g^j\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)\;</MATH>|9.18}} Prawą i zarówno lewą stronę równania {{LinkWzór|9.18}} można rozłożyć wykorzystując szereg Taylora dla dwóch zmiennych zaniedbując wyrazy rzędu drugiego i wyższych, ponieważ wyrazy drugiego i dalsze są względnie nieskończenie małe względem wyrazów pierwszego rzędu: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial g^i}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t} dp^{ij}+\left({{\partial g^i}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t} dT+\left({{\partial g^i}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial g^i}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N} dt=\left({{\partial g^j}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t} dp^{ij}+\left({{\partial g^j}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t} dT+\left({{\partial g^j}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t} dN+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial g^j}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N} dt\;</MATH>|9.19}} Ostatnie dwa wyrazy po lewej i prawej stronie w {{LinkWzór|9.19}} są takie same na pomocy twierdzenia {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.10a}}, a dwa pozostałe inne, stąd możemy je usunąć z tej równości wskaźnikowej by powstałe równanie było równoważne poprzedniemu. We wzorze {{LinkWzór|9.19}} wykorzystujemy wzory {{LinkWzór|9.12}} i {{LinkWzór|9.13}} dla prawej i lewej strony równania {{LinkWzór|9.19}} na granicy dwóch faz i-tej i j-tej, wtedy dostajemy, że: {{CentrujWzór|<MATH>v^i dp^{ij}-s^i dT=v^j dp^{ij}-s^j dT\;</MATH>|9.20}} Po przeniesieniu pewnych wyrazów w równaniu {{LinkWzór|9.20}} na jej przeciwną stronę, czyli grupując wyrazy względem tych samych różniczek, tak by różniczki różnych parametrów znajdowały się po ich przeciwnych stronach, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(v^i-v^j\right)dp^{ij}=\left(s^i-s^j\right)dT\;</MATH>|9.21}} Z równania różniczkowego liniowego {{LinkWzór|9.21}} wyznaczmy pochodną ciśnienia względem temperatury na lini przejść fazowych między oba rozważanymi fazami, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{s^i-s^j}\over{v_i-v_j}}\Rightarrow {{dp^{ij}}\over{dT}}={{\Delta s^{ij}}\over{\Delta v^{ij}}}\;</MATH>|9.22}} Jeśli zachodzi równowaga termodynamiczna, tzn.: {{Formuła|<MATH>T=const\;</MATH>}}, to wtedy różnica molowych entropii, korzystając przy tym z definicji infinitezymalnej entropii {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, jest wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s^{ij}=s^i-s^j=\int\limits^j_i{{dQ}\over{Tn}}={{Q}\over{Tn}}={{\Delta q^{ij}}\over{T}}\;</MATH>|9.23}} Wykorzystując {{LinkWzór|9.23}} na zmianę molowych entropii między oba fazami, który jest ilorazem ciepła molowego przejść między rozważanymi fazami przez temperaturę tychże faz, wtedy wzór {{LinkWzór|9.22}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{\Delta q^{ij}}\over{T \Delta v^{ij}}}\;</MATH>|9.24|Obramuj}} Równanie {{LinkWzór|9.24}} jest równanie przejść fenomenologicznych pierwszego rodzaju, tzn. przejścia, w którym molowy potencjał Gibbsa jest wielkością ciągłą między oba fazami. == Równania Ehrenfesta == Równania Ehrenfesta są to równania opisujące przejścia fazowe II drugiego rodzaju, tzn.: że dodatkowo entropia i objętość molowa muszą być ciągłe na granicy dwóch faz, tzn muszą być spełnione warunki: : '''Z ciągłości molowej entropii:''' {{CentrujWzór|<MATH>s^i\left(p,T,N,t\right)=s^j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.25}} {{CentrujWzór|<MATH>s^i\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)=s^j\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)\;</MATH>|9.26}} : '''Z ciągłości molowej objętości:''' {{CentrujWzór|<MATH>v^i\left(p,T,N,t\right)=v^j\left(p,T,N,t\right)\;</MATH>|9.27}} {{CentrujWzór|<MATH>v^i\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)=v^j\left(p+dp^{ij},T+dT,N+dN,t+dt\right)\;</MATH>|9.28}} Równanie {{LinkWzór|9.26}} rozkładamy w szereg Taylora względem wyrazów liniowych, ponieważ wyrazy wyższego rzędu są nieskończenie małe względem wyrazów liniowych, a także korzystając z {{LinkWzór|9.25}}, wtedy wyrazy wolne dla ściśle określonych p, N i T po obu stronach naszego rozwinięcia {{LinkWzór|9.26}} znikają, stąd wynika, że: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial s^i}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t} dp^{ij}+\left({{\partial s^i}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t} dT+\left({{\partial s^i}\over{\partial T}}\right)_{p,T,t} dN+\left({{\partial s^i}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N} dt=\left({{\partial s^j}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t} dp^{ij}+\left({{\partial s^j}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t} dT+\left({{\partial s^j}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t} dN+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial s^j}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N} dt\;</MATH>|9.29}} Ostatnie dwa wyrazy w {{LinkWzór|9.29}} dwóch stron są takie same, bo twierdzenie {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.10a}}, a więc możemy usunąć te wyrazy z równości, by potem następne równanie po tej operacji było równoważne poprzedniemu. Przy pomocy {{LinkWzór|5.19|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, to pochodna molowej entropii względem temperatury pod stałym ciśnieniem jest równa ilorazowi ciepła właściwego molowego przez temperaturę naszego badanego układu: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial s\left(p,T,t\right)}\over{\partial T}}\right)_{p,t}={{{{\partial_{p,t} q}\over{T}}}\over{\partial_{p,t} T}}={{1}\over{T}}{{\partial_{p,t} q}\over{\partial_{p,t} T}}={{1}\over{T}}\left({{\partial q}\over{\partial T}}\right)_{p,t}={{c_p}\over{T}}\;</MATH>|9.30}} Wykorzystując wzór na rozszerzalność termiczną {{LinkWzór|5.8|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, a także wzór Maxwella w termodynamice {{LinkWzór|3.53|Potencjały_termodynamiczne}}, to wtedy pochodna cząstkowa entropii molowej względem ciśnienia panującego w układzie pod stałą temperaturą, jak udowodnimy poniżej, jest ona równa z minusem iloczynowi objętości molowej i współczynnika rozszerzalności termicznej, można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial s\left(p,T,t\right)}\over{\partial p}}\right)_{T,t}=-\left({{\partial v}\over{\partial T}}\right)_{p,t}=-v\alpha\;</MATH>|9.31}} Wykorzystując związki {{LinkWzór|9.30}} (pochodna entropii molowych dwóch faz względem temperatury dwóch faz) i {{LinkWzór|9.31}}, to równanie {{LinkWzór|9.29}} (pochodna entropi molowej dwóch faz względem ciśnienia wywieranego prze układ na ścianki naczynia rozważanego układu) przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>-v\alpha^idp^{ij}+{{c_p^i}\over{T}}dT=-v\alpha^Jdp^{ij}+{{c_p^j}\over{T}}dT\;</MATH>|9.32}} Grupować będziemy wyrazy w {{LinkWzór|9.32}} względem odpowiednich różniczek, czyli względem różniczek ciśnienia i temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{T}}\left(c_p^i-c_p^j\right)=vdp^{ij}\left(\alpha^i-\alpha^j\right)\;</MATH>|9.33}} Równanie {{LinkWzór|9.33}} można zapisać jako pochodna ciśnienia względem temperatury na granicy obu faz w zależności od ilorazu różnicy ciepeł właściwych molowych przez różnice współczynników rozszerzalności termicznej obu faz znajdujących się w równowadze termodynamicznej, a także przez iloczyn temperatury całego układu i objętości molowych obu substancji, jeśli przyjąć tak jak powiedzieliśmy wcześniej, że objętość molowa jest w naszym przypadku wielkością ciągłą. {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{c_p^j-c_p^i}\over{Tv\left(\alpha^j-\alpha^j\right)}}\;</MATH>|9.34|Obramuj}} A teraz będziemy rozpatrywać wzory związane na objętość molową, czyli {{LinkWzór|9.28}}, które możemy rozłożyć w szereg Taylora pomijając wyrazy drugiego i wyższych rzędów, bo one są nieskończenie małe względem wyrazów liniowych, dalej redukujemy wyrazy wolne znajdujące się po obu stronach rozważanego równania dla dwóch faz na granicy ich współistnienia {{LinkWzór|9.27}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial v^i}\over{\partial p}}\right)_{T,t}dp^{ij}+\left({{\partial v^i}\over{\partial T}}\right)_{p,t}dT=\left({{\partial v^j}\over{\partial p}}\right)_{,t}Tdp^{ij}+\left({{\partial v^j}\over{\partial T}}\right)_{p,t}dT\;</MATH>|9.35}} Z równania {{LinkWzór|5.8|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} na współczynnik rozszerzalności termicznej, otrzymujemy jej molowy odpowiednik, który jest pochodną cząstkową molowej objętości względem temperatury układu pod stałym ciśnieniem, który jest równy iloczynowi objętości molowej i współczynnikowi rozszerzalności termicznej &alpha;: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial v^i}\over{\partial T}}\right)_p=v\alpha\;</MATH>|9.36}} Również z równania {{LinkWzór|5.10|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} na współczynnik ściśliwości, to jej molowy odpowiednik jest pochodną cząstkową objętości molowej względem ciśnienia panujące w gazie pod stałą temperaturą, jest ona równa z minusem iloczynowi objętości molowej i współczynnika prężności &kappa;: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial v^i}\over{\partial p}}\right)_T=-v\kappa\;</MATH>|9.37}} Wykorzystując związki {{LinkWzór|9.36}} (wzór związany z rozszerzalnością termiczną) oraz {{LinkWzór|9.37}} (wzór związany ze ściśliwością), wtedy równanie {{LinkWzór|9.35}} ma się w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>-v\kappa^idp^{ij}+v\alpha^idT=-v\kappa^jdp^{ij}+v\alpha^jdT\;</MATH>|9.38}} W równaniu {{LinkWzór|9.38}} grupując wokół odpowiednich różniczek, czyli względem różniczek ciśnienia i temperatury na granicy współistnienia dwóch faz, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>vdT\left(\alpha^i-\alpha^j\right)=vdp^{ij}\left(\kappa^i-\kappa^j\right)\;</MATH>|9.39}} Równanie {{LinkWzór|9.39}}, jeśli wyliczyć czemu jest równa pochodna zupełna ciśnienia względem temperatury w zależności od ilorazu różnicy współczynnika ściśliwości termicznej przez różnicę prężności dla obu faz będących w równowadze termodynamicznej, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{v \left(\alpha^i-\alpha^j\right)}\over{v\left(\kappa^i-\kappa^j\right)}}\;</MATH>|9.40}} Ostatecznie równanie {{LinkWzór|9.40}} wyznaczając pochodną ciśnienia względem temperatury, czyli przechodzi w prawo: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}={{\alpha^i-\alpha^j}\over{\kappa^i-\kappa^j}}\;</MATH>|9.41|Obramuj}} Równania {{LinkWzór|9.34}} i {{LinkWzór|9.41}} na {{Formuła|<MATH>{{dp^{ij}}\over{dT}}\;</MATH>}} są nazywane równaniami Ehrenfesta przemian fazowych II rodzaju, one obrazują jak zmienia się ciśnienie względem temperatury mając objętość molową, ciepła molowe i rozszerzalność termiczną i temperaturę układu, a w drugim przypadku znając rozszerzalność termiczną i ściśliwość substancji dwóch faz. == Równanie Gibbsa-Duhema z potencjałem chemicznym i czasowym == W naszych rozumowaniach "k" jest to numer fazy, a "i" numer substancji w układzie. Z drugiej strony potencjał Gibbsa według {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} a także z definicji entalpii {{LinkWzór|3.2|Potencjały_termodynamiczne}}, jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>G^k=H^k-T^kS^k=U^k+p^kV^k-T^kS^k\;</MATH>|9.42}} Różniczka równania {{LinkWzór|9.42}} po wykorzystaniu wzoru na pierwszą zasadę termodynamiki {{LinkWzór|2.9|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>dG^k=T^kdS^k-p^kdV^k+p^kdV^k+V^kdp^k-T^kdS^k-S^kdT^k\;</MATH>|9.43}} Po zredukowaniu pewnych wyrazów w {{LinkWzór|9.43}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dG^k=-S^kdT^k+V^kdp^k\;</MATH>|9.44}} Uwzględniając potencjał chemiczny i czasowy, w {{LinkWzór|9.44}}, dla różnych faz w układzie, czyli uwzględniając potencjały chemiczne wszystkich faz we wszystkich substancjach(<MATH>\mu^k_i\;</MATH>) i wymianę cząsteczek w tychże fazach cząsteczek należących do jakieś fazy, a także potencjał czasowy, i wymianę cząstek pomiędzy czasami, wtedy równanie {{LinkWzór|9.44}} z tą poprawką przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>dG^k=-S^kdT^k+V^kdp^k+\sum_{i=1}^s\mu^k_i dN^k_i+\sum_i^s\omega^k_i dt^i\;</MATH>|9.45}} Wykorzystując definicję potencjału Gibbsa według {{LinkWzór|3.48|Potencjały_termodynamiczne}}, która jest zdefiniowana dla jednej fazy, ale ponieważ potencjał Gibbsa jest wielkością ciągłą, czyli sumując po wszystkich fazach i substancja, to wtedy różniczka całkowitego potencjału Gibbsa jest: {{CentrujWzór|<MATH>dG^k=d\left[\sum^s_{i=1}\left(\mu^k_iN^k_i+\omega^k_it^k_i\right)\right]=\sum_{i=1}^s\left( \mu^k_i dN^k_i+d\mu^k_iN^k_i+\omega^k_idt+d\omega^k_iN^k_i\right)\;</MATH>|9.46}} Wykorzystując {{LinkWzór|9.45}} i {{LinkWzór|9.46}} oraz odejmując je od siebie, bo różniczka zupełna potencjału Gibbsa w obu tych równaniach jest tą samą wielkością i są sobie równe, ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>-S^kdT^k+V^kdp^k+\sum_{i=1}^s\mu^k_i dN^k_i-\sum_{i=1}^s\left( \mu^k_i dN^k_i+d\mu^k_iN^k_i+\omega^k_idt+d\omega^k_iN^k_i\right)=0\;</MATH>|9.47}} Z równania {{LinkWzór|9.47}} dostajemy równanie po z redukowaniu pewnych wyrazów: {{CentrujWzór|<MATH>-S^kdT^k+V^kdp^k-\sum^s_{i=1}\left(N^k_id\mu^k_i+t^k_id\omega^k_i\right)=0</MATH>|9.48}} Ponieważ, mamy stan równowagi chemicznej, to z równości potencjałów dla danej substancji napisanej wedle wzoru {{LinkWzór|9.11}}, wtedy otrzymujemy równanie Gibbsa-Dehema, tzn. równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>-S^kdT^k+V^kdp^k-\sum^s_{i=1}\left(N^k_id\mu_i+t^k_id\omega^k_i\right)=0\;</MATH>|9.49|Obramuj}} == Reguła faz Gibbsa dla układu fenomenologicznego w czasoprzestrzeni == Do opisy układu wieloskładnikowego i wielofazowego potrzebny jest zestaw parametrów, tzn. temperatury ciśnienia i liczby cząstek należących do danej fazy(temperatura {{Formuła|<MATH>T^k\;</MATH>}}, ciśnienie {{Formuła|<MATH>p^k\;</MATH>}}) oraz fazy, substancji ({{Formuła|<MATH>N_i^k\;</MATH>}}) i czasu, w których znajduje się cząstka ({{Formuła|<MATH>N_i^k\;</MATH>}}), czyli mając zestawy parametrów dla każdych z faz i substancji: {{CentrujWzór|<MATH>\left(T^k,p^k,N_i^k,t_i^k\right)\;</MATH>|9.50}} Tych parametrów określonych zestawem dla każdej fazy i substancji {{LinkWzór|9.50}} jest w postaci liczby: {{CentrujWzór|<MATH>f+f+sf+sf=2f\left(s+1\right)\;</MATH> {{Tekst|parametrów}}|9.51}} W stanie równowagi zachodzą warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T^1=T^2=...=T^f\;</MATH>|9.52a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p^1=p^2=...=p^f\;</MATH>|9.52b}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i^1=\mu_i^2=...=\mu_i^f\;</MATH>|9.52c}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_i^1=\omega_i^2=...=\omega_i^f\;</MATH>|9.52d}} }} W równaniach: {{LinkWzór|9.52a}}, {{LinkWzór|9.52b}}, {{LinkWzór|9.52c}} i {{LinkWzór|9.52d}}, każda faza ma taką samą temperaturę, czyli ilość stopni swobody jest pomniejszona od {{LinkWzór|9.51}} o liczbę {{Formuła|<MATH>f-1\;</MATH>}}, podobnie jest w przypadku ciśnienia, który pomniejsza o następne {{Formuła|<MATH>f-1\;</MATH>}} stopni swobody, a ponieważ mamy s substancji, to w przypadku potencjału chemicznego pomniejszana kolejno ilość stopni swobody o {{Formuła|<MATH>f-1\;</MATH>}} pomnożonej przez s (ilość substancji), wtedy całkowita ilość stopni swobody jaką posiada układ jest wyrażona według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>f-1+f-1+2s\left(f-1\right)=2f-2+2s\left(f-1\right)=2\left(f-1\right)+2s\left(f-1\right)=2\left(s+1\right)\left(f-1\right)\; </MATH>| 8.53}} Ale także istnieje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} równań Gibbsa-Duhema zdefiniowanego według {{LinkWzór|9.49}}. Na podstawie powyższych rozważań ilość zmiennych niezależnych stopni swobody wszystkich faz i substancji jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>2\left(s+1\right)f-2\left(s+1\right)\left(f-1\right)-f=2\left(s+1\right)\left(f-f+1\right)-f=2s+2-f\;</MATH>|9.54}} Ale też również {{Formuła|<MATH>\omega_i^f>0\;</MATH>}} (ponieważ wszystkie cząstki w czasie przesuwają się równo do przodu w czasie (tak samo) i np. nie mogą przesuwać się niektóre, czy wszystkie, do dołu w czasie, a więc dla każdej fazy i substancji ta wartość jest taka sama - na podstawie twierdzenia {{LinkWzór|9.10a}}), a tych równań jest {{Formuła|<MATH>s\;</MATH>}}, a więc równość {{LinkWzór|9.54}} napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>2s+2-f-s=s+2-f\;</MATH>|9.54a}} Ilość stopni swobody jaką posiada układ według {{LinkWzór|9.54a}} jest zawsze większa lub równa zero z definicji liczby stopni swobody, a więc zależność pomiędzy liczbą substancji a faz przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>s+2-f\geq 0\;</MATH>|9.55}} Przenosimy pewne parametry zwązane z "f" (ilość faz) i "s" (ilość substancji) w taki sposób w {{LinkWzór|9.55}}, by te parametry znajdowały się po przeciwnych stronach wspomnianej nierówności. {{CentrujWzór|<MATH>f\leq s+2\;</MATH>|9.56|Obramuj}} Jeśli ilość substancji jest równa jeden, to w stanie równowagi termodynamicznej są co najwyżej trzy fazy, czyli mogą współistnieć w punkcie potrójnym trzy fazy, a w lini przemiany dwa, a gdzie indziej jeden tak jak w przypadku wody w przypadku stałym, ciekłym i gazowym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r8j9g6uuxi0vv4fnwq1gxf5szaj4knd 0 14236 559083 558567 2026-10-11T03:08:42Z Persino 2851 559083 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wyprowadzimy tu związki wynikające z równania stanu jakieś substancji oraz związki wynikające, że poszczególne potencjały termodynamiczne posiadają różniczkę zupełną. A także wprowadzimy pewne związki charakteryzujące pewne cechy danej substancji. Wprowadzimy również definicję ciepła właściwego pod stałym parametrem x, a w szczególności pod stałym ciśnieniem lub objętością oraz związki między nimi. == Różniczkowa tożsamość łącząca parametry stanu == Wiemy, że równanie stanu zależy od trzech parametrów, wystarczy znać, je dwie, a trzeci wyliczyć z równania uwikłanego {{LinkWzór|1.4|Fizyka_fenomenologiczna}}. Jeśli mamy dwa niezależne parametry, tzn.: p, V, to parametr T można policzyć względem parametrów p i V i tak cyklicznie dla parametrów p,V,T. Z twierdzenia o różniczce zupełnej mamy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> dp=\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t} dT+\left({{\partial p}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t} dN+\left({{\partial p}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N} dt</MATH>|5.1}} Równanie {{LinkWzór|5.1}} jest również spełnione, nawet pod stałym ciśnieniem, wtedy lewa strona równania jest równa zero, a w prawej jego stronie zamiast różniczek zupełnych występują różniczki pod stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>0=\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}{\partial_{p,N,t}} V+\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t} {\partial_{p,N,t}} T+\left({{\partial p}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t} {\partial_{p,N,t}} N+\left({{\partial p}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}{\partial_{p,N,t}} t</MATH>|5.2}} Po przeniesieniu pierwszego składnika sumy {{LinkWzór|5.2}} z prawej strony na jego lewą, wtedy dostajemy inne ale równoważne równanie do poprzedniego: {{CentrujWzór|<MATH>-\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}{\partial_{p,N,t}} V=\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t} {\partial_{p,N,t}}T</MATH>|5.3}} Podzielimy obie strony {{LinkWzór|5.3}} przez niezerową różniczkę pod stałym ciśnieniem {{Formuła|<MATH>\partial_{p,t} T\;</MATH>}}, według omówień powyżej: {{CentrujWzór|<MATH>-\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.4}} Można odwrócić pochodną cząstkową występująca po prawej stronie równania {{LinkWzór|5.4}} i biorąc jego odwrotność, tzn. liczyć pochodną cząstkową ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością, to zamiast niej należy wziąć odwrotność pochodnej cząstkowej wielkości temperatury względem ciśnienia pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}={{1}\over{\left({{\partial T}\over{\partial p}}\right)_{V,N,t}}}</MATH>|5.5}} Korzystając z wzoru tożsamościowego {{LinkWzór|5.5}}, wtedy równanie {{LinkWzór|5.4}} przechodzi w wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}\left({{\partial T}\over{\partial p}}\right)_{V,N,t}=-1</MATH>|5.6|Obramuj}} Związek {{LinkWzór|5.6}} jest to związek łączący parametry stanu układu, tzn. {{Formuła|<MATH>p,V,T\;</MATH>}}, w której znajduje się liczba {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} cząsteczek substancji w rozważanym układzie. == Fenomenologiczna definicja entropii == Entropia układu jest wielkością addytywną, tzn. jeśli układ podzielić na bardzo dużą ilość fragmentów praktycznie, a teoretycznie liczba tych fragmentów jest nieskończenie duża, to wtedy całkowita entropia układu jest sumą infitezymalnych entropii obowiązujących w danym punkcie, mówiący o uporządkowaniu tychże fragmentów, należących do badanego ciała, dla którego liczymy tą właśnie entropię: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int\limits_VdS(\vec{r})</MATH>|5.7}} * '''gdzie:''' : {{Formuła|<MATH>dS(\vec{r})\;</MATH>}} - jest różniczką entropii, która jest entropią bardzo małej części układu w przeciwieństwie {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, która oznacza entropię małego fragmentu ciała w dany czasie, co oznacza oznacza wzór na infitezymalną zmianę entropii naszego ciała po dokonaniu przemian między dwoma punktami A i B w pewnym bardzo długim czasie w porównaniu z czasem relaksacji układu w stanach pośrednich należących na krzywej linii przemian między naszymi opisywanymi punktami. == Różniczkowe parametry stanu charakteryzujące układ == Z definiujemy pewne parametry charakteryzujące pewien układ, tzn.rozszerzalność termiczna, prężność termiczną, '''współczynnik ściśliwości termicznej'''. Współczynnik rozszerzalności termicznej definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha={{1}\over{V}}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|5.8|Obramuj}} Jest to iloraz pochodnej objętości układu względem jej temperatury pod stałym ciśnieniem przez objętość gazu zajmowanego przez układ. Wzór {{LinkWzór|5.8}} obrazuje jak zmienia się objętość układu w zależności od zmiany jego temperatury. '''Współczynnik prężności termicznej''' substancji: {{CentrujWzór|<MATH>\beta={{1}\over{p}}\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.9|Obramuj}} Jest to iloraz pochodnej ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością przez ciśnienie gazu wywierane na ścianki układu. Wzór {{LinkWzór|5.9}} przedstawia jak zmienia się ciśnienia działające na ścianki układu w zależności od zmiany jego temperatury. '''Współczynnik prężności''': {{CentrujWzór|<MATH>\kappa=-{{1}\over{V}}\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}</MATH>|5.10|Obramuj}} Jest to iloraz pochodnej objętości zajmowanej przez układ względem ciśnienia pod stałą temperaturą przez objętość rozważanego układu. Wzór {{LinkWzór|5.10}} mówi, jeśli zmieni się ciśnienie działające na ścianki układu, to jak zmienia się jego objętość, oczywiste jest, że gdy czym większe ciśnienia działające na układ, to zmniejsza się jego objętość, stąd minus we wzorze {{LinkWzór|5.10}}. Wstawiamy wzory {{LinkWzór|5.8}}, {{LinkWzór|5.9}} i {{LinkWzór|5.10}} do związku {{LinkWzór|5.6}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{1\over{-\kappa V}}{\alpha V}{{1}\over{\beta p}}=-1\;</MATH>|5.11}} Po krótkich przekształceniach z {{LinkWzór|5.11}} dostajemy ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=p\beta\kappa\;</MATH>|5.12|Obramuj}} We wzorze {{LinkWzór|5.12}} rozszerzalność termiczna {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} układu zależy od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}} działające na ścianki rozważanego układu przez prężność termiczną gazu {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}, a także od współczynnika ściśliwości {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}. == Termodynamiczne funkcje stanu a pojęcie entropii == Mamy dwie funkcje {{Formuła|<MATH>U=U\left(V,T,N,t\right)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S=S\left(V,T,N,t\right)\;</MATH>}}, które są funkcjami {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}} i czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}. Z definicji różniczki zupełnej energii wewnętrznej rozłóżmy ową różniczkę względem zmiennych objętości i temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t} dV+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t} dT+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t} dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N} dt</MATH>|5.13}} oraz z definicji różniczki zupełnej entropii rozłóżmy ową różniczkę względem tych samych zmiennych jak w przypadku różniczki energii wewnętrznej: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt</MATH>|5.14}} Ale korzystając z {{LinkWzór|2.2|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} (pierwsza zasada termodynamiki) i do niego podstawiamy wzór na zmianę ciepła wynikającego ze wzoru {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} (zmiana entropii poprzez stosunek zmiany ciepła wymienianego między układem a otoczeniem), a także korzystając ze związków wynikającego z definicji różniczki zupełnej tychże wielkości, tzn.{{LinkWzór|5.13}} i {{LinkWzór|5.14}}, wtedy dostajemy związek: {{CentrujWzór|<MATH>\left[p+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}\right]dV+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{T,N,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N} dt=T\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,T,t}dT+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+T\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt</MATH>|5.15}} Porównujemy obie strony {{LinkWzór|5.15}} względem tych samych różniczek zupełnych, tzn. dla dowolnych różniczek objętości i temperatury, wtedy dostajemy dwa ostateczne równania wiążące entropię z energią wewnętrzną: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=p+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}</MATH>|5.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}=T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.17}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}=T\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\;</MATH>|5.17a}} }} {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}=T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}\;</MATH>|5.17b}} == Ciepło właściwe pod stałym parametrem == Policzymy ciepła właściwe przemiany pod stałym parametrem x, wykorzystując definicję ciepła właściwego poprzez jego temperaturę i różniczkę entropii pod stałym rozważanym parametrem: {{CentrujWzór|<MATH>C_x={{({\delta Q})_x}\over{dT}}={{{(TdS)}_x}\over{dT}}=T\left({{({{\partial S}\over{\partial T}})_xdT+({{\partial S}\over{\partial x}})_Tdx}\over{dT}}\right)_x</MATH>|5.18}} Ze wzoru {{LinkWzór|5.18}} wynika, że ciepło właściwe procesu zachodzący pod stałym parametrem x jest iloczynem temperatury i pochodnej entropii względem temperatury pod stałym parametrem x: {{CentrujWzór|<MATH>C_x=T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_x</MATH>|5.19|Obramuj}} == Termodynamiczne funkcje stanu a pojęcie entalpii == Będziemy korzystali z definicji ciepła właściwego poprzez różniczkę zupełną entropii {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} i definicji etalpii {{LinkWzór|3.2|Potencjały_termodynamiczne}}, za pomocą tych dwóch wspomnianych wzorów dostajemy zależność różniczkową: {{CentrujWzór|<MATH>TdS=dU+pdV=dH-dpV+pdV=dH-pdV-Vdp+pdV=dH-Vdp\;</MATH>|5.20}} W równaniu {{LinkWzór|5.20}} jest powiedziane, że energia wymieniana na w sposób ciepła (iloczyn temperatury ciała i różniczki entropii), można zapisać jako różniczkę entalpi i iloczynu objętości układu i infnitezymalnej zmiany ciśnienia, którego ta wspomniana tożsamość przepiszemy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>TdS=dH-Vdp\;</MATH>|5.21}} Z definicji różniczki zupełnej entropii, rozkładając przy okazji ją względem parametrów stanu ciśnienia i temperatury, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>dS=\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|5.22}} Z definicji różniczki zupełnej entalpii rozkładając ją względem tych samych parametrów co różniczkę entropii, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dH=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial H}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt\;</MATH>|5.23}} Wstawiamy do równania {{LinkWzór|5.21}} tożsamości na różniczkę entropii {{LinkWzór|5.22}} i na różniczkę etalpii {{LinkWzór|5.23}}, wtedy dostajemy związek łączący prawą i lewą stronę naszego równania: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,T,t}dN+T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+\left({{\partial H}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt-Vdp</MATH>|5.24}} Równanie {{LinkWzór|5.24}} możemy przekształcić grupując w nim wyrazy z prawej względem różniczek temperatury i ciśnienia, czyli względem obranych dwóch zmiennych niezależnych: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}dp+T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+T\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}dt=\left[\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}-V\right]dp+\left({{\partial H}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}dT+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}dN+\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{p,T}dt</MATH>|5.25}} Porównujemy obie strony równania {{LinkWzór|5.25}} względem tych samych różniczek zmiennych niezależnych o których powiedzialiśmy wcześniej, które mogą przyjmować wartości infinitezymalne ale dowolne, zatem dostajemy dwa ostateczne wynikowe równania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}-V</MATH>|5.26}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=\left({{\partial H}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}</MATH>|5.27}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}=\left({{\partial H}\over{\partial N}}\right)_{p,T,t}\;</MATH>|5.27a}} }} {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial S}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}=\left({{\partial H}\over{\partial t}}\right)_{p,T,N}\;</MATH>|5.27b}} Korzystamy z '''tożsamości Maxwella''' {{LinkWzór|3.53|Potencjały_termodynamiczne}}, który jest jeden z czterech równań Maxwella, i wstawiamy to do równania {{LinkWzór|5.26}} do wyrażenia z lewej strony owego wzoru, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>-T\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}=\left({{\partial H}\over{\partial p}}\right)_{T,N,t}-V</MATH>|5.28}} == Związek między ciepłem właściwym, pod stałym ciśnieniem a stałą objętością, w układach zamkniętych == Definicja ciepła właściwego pod stałym parametrem "x", jako wzoru ogólnego, który przedstawia się jako różniczkę ciepła wymienianego między układem, a otoczeniem na w sposób ciepła względem temperatury, tak by parametr x przyjmował wartość możliwie stałą wartość: {{CentrujWzór|<MATH>C_x=\left({{\delta Q}\over{dT}}\right)_{x,t}\;</MATH>|5.29}} Różniczka zupełna energii wewnętrznej z definicji tegoż obiektu przedstawiając ją względem różniczki zupełnej temperatury i objętości, i ta nieskończenia mała zmiana tego obiektu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|5.30}} Wykorzystywać będziemy z {{LinkWzór|2.10|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} (pierwsza zasada termodynamiki) i wstawiając do niej wyrażenie na różniczkę zmiany energii wewnętrznej{{LinkWzór|5.30}}, która jest przedstawiona względem różniczek temperatury i objętości, dostajemy różniczkę ciepła wymienianą między układem a otoczeniem, że: {{CentrujWzór|<MATH> \delta Q=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt+pdV\;</MATH>|5.31}} W równaniu {{LinkWzór|5.31}} grupujemy wyrazy względem różniczek zupełnych temperatury (dT) i objętości (dV), czyli otrzymujemy wyrażenie zależne od pochodnych cząstkowych względem energii wewnętrznej: {{CentrujWzór|<MATH> \delta Q=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}+p\right)dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|5.32}} Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, które jest potrzebne do wyznaczenia drugiego wyrazu w {{LinkWzór|5.32}}, by je wyrazić przez parametry stanu układu termodynamicznego, które można policzyć, znając równanie stanu danej substancji: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}+p= \left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T-\left({{\partial F}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=\left({{\partial(U-F)}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=\left({{\partial (TS)}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=T\left({{\partial S}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.33}} Przy wyprowadzeniu równania {{LinkWzór|5.33}} korzystaliśmy z {{LinkWzór|3.52|Potencjały_termodynamiczne}}. Po podstawieniu ostatniego wzoru do drugiego wyrazu pod różniczką objętości do wzoru na różniczkę ciepła {{LinkWzór|5.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}dt\;</MATH>|5.34}} Jeśli będziemy uwzględniać stałą objętość, to wtedy równanie {{LinkWzór|5.34}} przedstawiamy w zależności od infinitezymalnej zmiany temperatury i ciepła właściwego pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT\;</MATH>|5.35}} Co wynika z {{LinkWzór|5.35}} dzieląc obustronnie wspomniane równanie przez różniczkę temperatury, wtedy mamy wzór na ciepło właściwe pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_v=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}</MATH>|5.36}} Ze związku {{LinkWzór|5.36}} wzór {{LinkWzór|5.34}} można przedstawić jako równanie zależne od ciepła właściwego pod stałą objętością i od parametrów stanu w równaniu opisującego dany układ: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=C_vdT+T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T,N}dt\;</MATH>|5.37}} Uwzględniać będziemy wzór {{LinkWzór|5.29}}, który mówi o wymianie energii na w sposób ciepła &delta;Q pod stałym parametrem x, wtedy wychodząc z początkowego wzoru {{LinkWzór|5.37}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>C_x\partial_x T=C_v\partial _x T+\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\partial_x V+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\partial_x N+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}\partial_x t\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow C_x-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\left({{\partial N}\over{\partial T}}\right)_x+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}\left({{\partial t}\over{\partial T}}\right)_x\;</MATH>|5.38}} Z obliczeń {{LinkWzór|5.38}} a właściwie jego ostatnia wynikowa tożsamość, z której wynika wzór poniżej na różnice ciepeł właściwych pod stałym parametrem x i stałą objętością, które przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>C_x-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\left({{\partial N}\over{\partial T}}\right)_x+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}\left({{\partial t}\over{\partial T}}\right)_x\;</MATH>|5.39}} Dla układów o energii wewnętrznej niezależnych od liczby cząstek w nim, i czasu, co na podstawie tego napiszmy równość {{LinkWzór|5.39}}, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>C_x-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\;</MATH>|5.39a}} Jeśli uwzględnimy, że: {{Formuła|<MATH>x=p\;</MATh>}}, to wtedy wzór {{LinkWzór|5.39}} na różnice ciepła właściwe pod stałym ciśnieniem i objętością przy tym ostatnim ograniczeniu na parametr "x" przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{V,T,t}\left({{\partial N}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{V,T}\left({{\partial t}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}\;</MATH>|5.40aa}} Dla tych samych przypadków, co równanie {{LinkWzór|5.39a}}, tylko dla {{Formuła|<MATH>x=p\;</MATH>}}, wynikające też z {{LinkWzór|5.40aa}}, piszmy: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_{p,N,t}\;</MATH>|5.40}} == Związek między ciepłami właściwymi pod stałym parametrem i ciśnieniem oraz objętością dla przypadków energii wewnętrznej niezależnej od liczby cząstek i czasu == Podzielmy równanie {{LinkWzór|5.39}} przez równanie {{LinkWzór|5.40}}, wtedy dostajemy wzór na iloraz różnicy ciepeł, w którym to w liczniku jest różnica ciepeł właściwych pod stały parametrem i objętością, a w mianowniku jest to różnica ciepeł właściwym pod stałym ciśnieniem i objętością. {{CentrujWzór|<MATH>{{C_x-C_v}\over{C_p-C_v}}={{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x}\over{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p}}</MATH>|5.41}} Rozpiszmy pochodną objętości względem temperatury pod stałym ciśnieniem używając do tego celu wyznaczników funkcyjnych w sposób jak pokazano poniżej podczas liczenia tej pochodnej cząstkowej. {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p={{D\left(V,p\right)}\over{D\left(T,p\right)}}={{D\left(V,p\right)}\over{D\left(x,T\right)}}{{D\left(x,T\right)}\over{D\left(T,p\right)}}= \begin{vmatrix} \left({{\partial V}\over{\partial x}}\right)_T&\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\\ \left({{\partial p}\over{\partial x}}\right)_T&\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_x \end{vmatrix}\left(-{{\partial x}\over{\partial p}}\right)_T=-\left({{\partial x}\over{\partial p}}\right)_T\Bigg[\left({{\partial V}\over{\partial x}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_x-\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot\left({{\partial p}\over{\partial x}}\right)_T\Bigg]=\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x-\left({{\partial V}\over{\partial x}}\right)_T\left({{\partial x}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_x=\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_x= \left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\left[1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x\right] </MATH>|5.42}} Wzór {{LinkWzór|5.42}} można przepisać dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p=\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\left[1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x\right]</MATH>|5.43}} Równanie {{LinkWzór|5.43}} można podstawić do mianownika z prawej strony równania w {{LinkWzór|5.41}}, widzimy w powyższej tożsamości, że w nim lewa strona nie zależy od parametru iksowego, a jego prawa strona owszem zależy od parametru iksowego i je liczymy względem określonych pochodnych względem pewnych stałych parametrów, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{C_x-C_v}\over{C_p-C_v}}={{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x}\over{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p}}={{\left({{\partial V}\over{\partial t}}\right)_x}\over{\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_x\left(1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x\right)}}= {{1}\over{1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x}}</MATH>|5.44}} Po odwróceniu wzoru {{LinkWzór|5.44}}, dostajemy bardzo proste równanie łączące różne ciepła właściwe z parametrami stanu opisujących przez równania stanu danej opisywanej substancji: {{CentrujWzór|<MATH>{{C_p-C_v}\over{C_x-C_v}}=1-\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x</MATH>|5.45}} Korzystamy z własności, że pochodną pod stałym parametrem możemy odwrócić (zamienić licznik i mianownik miejscami), przy tym biorąc jego odwrotność: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial p}}\right)_T={{1}\over{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_T}}</MATH>|5.46}} Do wzoru {{LinkWzór|5.45}}, którego lewa strona jest ilorazem różnicy ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością przez różnicę ciepła właściwego pod stałym parametrem x i ciepła właściwego pod stałą objętością i do jej prawej strony podstawiamy tożsamość {{LinkWzór|5.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{C_p-C_v}\over{C_x-C_v}}=1-{{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_x}\over{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_T}}</MATH>|5.47}} Gdy będziemy się posługiwać procesami adiabatycznymi, to wtedy dla tego procesu ciepło właściwe jest równe zero, zatem dla tego procesu mamy: {{CentrujWzór|<MATH>C_{adiabata}=0\;</MATH>|5.48}} Bo w przemianie adiabatycznej nie ma wymiany energii w postaci ciepła między układem a otoczeniem, tylko jest wymiana na w sposób pracy. Według {{LinkWzór|5.48}} (proces adiabatyczny) wzór {{LinkWzór|5.47}} przyjmuje postać dla procesu powyżej omawianego omawianego: {{CentrujWzór|<MATH>1-{{C_p}\over{C_v}}=1-{{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{adiabata}}\over{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_T}}</MATH>|5.49}} Redukując obie jedynki po obu stronach tożsamości {{LinkWzór|5.49}} i mnożąc obustronnie przez minus jeden, wtedy ostatecznie otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{C_p}\over{C_v}}={{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{adiabata}}\over{\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_T}}</MATH>|5.50}} Ze wzoru {{LinkWzór|5.50}} wiemy, że jeśli znamy stosunek {{Formuła|<MATH>{{\partial p}\over{\partial V}}\;</MATH>}} dla izotermy i adiabaty, to możemy policzyć stosunek: {{Formuła|<MATH>{{C_p}\over{C_v}}\;</MATH>}} dla dowolnych substancji, czyli współczynnik {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}, który występuje w równaniu na adiabatę. == Infinitezymalna zmiana energii wewnętrznej a równanie stanu == Będziemy brać pod lupę równanie na różniczkę energii wewnętrznej, w tym celu rozłóżmy różniczkę energii wewnętrznej względem temperatury, objętości, liczby cząstek i czasu, wykorzystując jednocześnie równanie {{LinkWzór|5.33}} z pierwszego na ostatni krok: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}dT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{T,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{T,V}dt= C_VdT+\left[\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_{T,N,t}+p-p\right]dV+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{T,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{T,V,N}dt=C_{V,t}dT+\left[T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,t}-p\right]dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{T,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{T,V}dt</MATH>|5.51}} Zatem z powyższego równania dostajemy, że nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej danego układu jest zależna od ciepła właściwego C{{Sub|V}} i od parametrów termodynamicznych: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_VdT+\left[T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}-p\right]dV+\left({{\partial U}\over{\partial N}}\right)_{T,V,t}dN+\left({{\partial U}\over{\partial t}}\right)_{T,V,N}dt\;</MATH>|5.52a}} Równanie {{LinkWzór|5.52a}} przedstawia infinitezymalną zmianę energii wewnętrznej danej substancji w zależności od infinitezymalnej zmiany temperatury, objętości, liczby cząstek i czasu, co można je wyznaczyć znając równanie stanu danej substancji np. gazu i ciepło właściwe pod stałą objętością. Dla przypadku stałej liczby cząstek w układzie i stałego czasu (lub w przypadku małego potencjału czasowego) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_VdT+\left[T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}-p\right]dV\;</MATH>|5.52}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rklv663fhwkx7afe8tfgo4s1337uvkn 0 14248 559050 558575 2026-10-11T00:51:27Z Persino 2851 559050 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zajmować będziemy się wyprowadzeniem praw mechaniki statystycznej, które zostały podane w termodynamice fenomenologicznej. == Pierwsza zasada termodynamiki == Udowodnimy {{sr|p=Zasady termodynamiki fenomenologicznej|#Pierwsza_zasada_termodynamiki|pierwszą zasadę termodynamiki}} zasadę sformułowaną czysto statystycznie dla tej samej zasady sformułowaną czysto fenomenologicznie. Z mechaniki klasycznej mamy wzór na siłę działających na cząstki względem gradientu energii ze znakiem minus: {{CentrujWzór|<MATH>F=\vec F\vec n=-\operatorname{grad}E\vec n=-\left({{\partial E}\over{\partial l_{\vec n}}}\vec n\right)\vec n=-{{\partial E}\over{\partial l}}=pS\;</MATH>|13.1}} Siła {{LinkWzór|13.1}} jest siłą prostopadłą do pewnej ścianki naczynia działającą na niego przez cząstki układu o energii E. Jeśli tą siłę podzielimy przez powierzchnię tejże ścianki, to otrzymamy ciśnienie z jaką cząstki wywierają na tą ściankę. {{CentrujWzór|<MATH>p={{\partial F}\over{\partial S}}={{-\partial{{\partial E}\over{\partial l}}}\over{\partial S}}=-{{\partial^2 E}\over{\partial S\partial l}}=-{{\partial E}\over{\partial V}}\;</MATH>|13.2}} A potencjał chemiczny jest pochodnej cząstkowej energii wewnętrznej względem liczby cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>\mu={{\partial E}\over{\partial N}}\;</MATH>|13.3}} Rozpatrując człon na ciśnienie chwilowe, bo układ może być z pewnym prawdopodobieństwie, że będzie napierał na tą ściankę z ciśnieniem {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}, wtedy średnie ciśnienie jakie panuje na ściśle określonej ściance tego naczynia jest wyrażone przez poniżej, a średni potencjał chemiczny, średnia liczba cząstek i średnia objętość: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k P_kp_k=p\;\;</MATH>|13.4a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_kP_k\mu_k=\mu\;</MATH>|13.4b}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k N_kp_k=N\;\;</MATH>|13.4c}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_kP_kV_k=V\;</MATH>|13.4d}} | 5 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_kt_k\omega_k=t\;</MATH>|13.4e}} }} Powyższe rozważania będziemy wykorzystywali poniżej. Wzór na średnią energię wszystkich cząstek jest sumą iloczynów jednej z możliwości występowania danej energii danego układu {{Formuła|<MATH>E_k\;</MATH>}} przez prawdopodobieństwo jego występowania {{Formuła|<MATH>P_k\;</MATH>}}, że dana energia układu istnieje, zatem średnia energia układu jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}=\sum_k E_kP_k\;</MATH>|13.5}} Różniczka obu stron równania na energię wewnętrzną układu {{LinkWzór|13.5}} z twierdzenia różniczki iloczynu piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=d\overline{E}=\sum_kE_k dP_k+\sum_k P_kd E_k=\sum_kE_k dP_k+\sum_kP_k{{\partial E_k}\over{\partial V_k}}dV_k+\sum_kP_k{{\partial E_k}\over{\partial N_k}}dN_k+\sum_kP_k{{\partial E_k}\over{\partial t_k}}dt_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_kE_kdP_k-\sum_kP_kp_kdV_k+\sum_kP_k\mu_kdN_k+\sum_kP_k\omega_kdt_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_k(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-\sum_k(pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-\sum_kP_kp_kdV_k+\sum_kP_k\mu_kdN_k+\sum_kP_k\omega_kdt_k=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_k(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-\sum_k\left(pd(P_kV_k)-pP_kdV_k-\mu d(P_kN_k)+\mu P_kdN_k-\omega d(P_kt_k)+\omega P_kdt_k\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum_kP_kp_kdV_k+\sum_kP_k\mu_kdN_k+\sum_kP_k\omega_kdt_k=\sum_k(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-pdV+\mu dN+\omega dt+\sum_k(p-p_k)P_kdV_k+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum_k(\mu-\mu_k)P_kdN_k-\sum_k(\omega-\omega_k)P_kdt_k=\sum_k(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k)dP_k-pdV+\mu dN+\omega dt</MATH>|13.6}} W powyższych obliczeniach przyjęliśmy, że przy przejściu na całkę pojawiają się zamiast: {{Formuła|<MATH>dV_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>dN_k\;</MATH>}}, kolejno elementy {{Formuła|<MATH>d\overline V_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>d\overline N_k\;</MATH>}}, takie by całkowita wartość wyrażenia nie zmieniała wartości, a więc pierwsza suma: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k(p-p_k)P_kdV_k=\int (p-p(k))P(k)dV(k)=d\overline V_k\sum_k(p-p_k)P_k=0\;</MATH>|13.7a}} a także druga: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k(\mu-\mu_k)P_kdN_k=\int(\mu-\mu(k))P(k)dN(k)=d\overline N_k\sum_k(\mu-\mu_k)P_k=0\;</MATH>|13.7b}} I ostatecznie trzecia: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_k(\omega-\omega_k)P_kdt_k=\int(\omega-\omega(k))P(k)dt(k)=d\overline t_k\sum_k(\omega-\omega_k)P_k=0\;</MATH>|13.7c}} W obliczeniach przyjęliśmy, że P(k), p(k) i &mu;(k) dla k będącą liczbą nienaturalną są równe zero, a dla k naturalnych mamy P(k)=P{{Sub|k}}, p(k)=p{{Sub|k}} i &mu;(k)=&mu;{{Sub|k}}. W {{LinkWzór|13.6}} drugi człon przedstawia różniczkę pracy, trzeci ze zmianą energii związanej z wymianą cząstek, a pierwszy można potraktować jako energię wymienianą na sposób ciepła: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_k\left(E_k+pV_k-\mu N_k-\omega t_k\right)dP_k=\delta Q\;\;</MATH>|13.8}} Wyrażenie na infinitezymalną zmianę energii wewnętrznej układu wyrażona wedle wzoru {{LinkWzór|13.6}} przy pomocy energii przekazywanej na w sposób pracy, energii przekazywanej od otoczenia przez wymianę cząstek i energii wymienianej na w sposób ciepła przez układ może być zapisywana wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\delta Q-pdV+\mu dN+\omega dt\;</MATH>|13.9}} Otrzymaliśmy takie same równanie jak w równaniu na pierwszą zasadę termodynamiki {{LinkWzór|2.10|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, zatem udowodniliśmy tą zasadę w sposób czysto statystyczny. == Druga zasada termodynamiki == Korzystamy z równania na entropię pojedynczego układu {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, jeśli z korzystamy z definicji różniczki iloczynu funkcji podobnie jak przy pochodnych iloczynu funkcji, tylko zamiast pochodnych występują pewne różniczki tychże funkcji, wtedy różniczka entropii: {{CentrujWzór|<MATH>dS=-k_Bd\sum^l_{i=1}P_i\ln P_i=-k_B\sum^l_{i=1}dP_i\ln P_i-k_B\sum^l_{i=1}P_i d\ln P_i=</MATH><MATH>-k_B\sum^l_{i=1}dP_i\ln P_i-k_B \sum^l_{i=1} dP_i\;</MATH>|13.10}} Wykorzystując unormowanie prawdopodobieństwa {{Formuła|<MATH>P_i\;</Math>}} do jedynki, który jest prawdopodobieństwem uzyskania przez układ energii o wartości {{Formuła|<math>E_i\;</Math>}}, a prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe jeden, więc jego różniczka jest równa zero, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|13.10}} zapisywać będziemy: {{CentrujWzór|<MATH>dS=-k_B\sum^l_{i=1}dP_i\ln P_i-k_B d\sum^l_{i=1}P_i=-k_B\sum^l_{i=1}dP_i\ln P_i-k_b d 1=-k_B\sum^l_{i=1}\ln P_i dP_i\;</MATH>|13.11}} Statystycznie prawdopodobieństwo występowania danej energii układu o wartości {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}}, w układzie kanonicznym w danej temperaturze bezwzględnej T i o danej sumie statystycznej charakteryzującej dany układ statystyczny jest przestawione w danej właściwości w danej degeneracji (wtedy znika g{{Sub|i}}) uzyskania energii E{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}}e^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega dt_i)}\;</MATH>|13.12}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|13.12}} na prawdopodobieństwo, że dany układ będzie miał pewne wartości dyskretne, wtedy możemy napisać wyrażenie {{LinkWzór|13.11}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>dS=-k_B\sum^l_{i=1} \left[-\ln Z-\beta (E_i+ pV_i-\mu N_i-\omega dt_i)\right] dP_i=k_B\ln Zd \sum^l_{i=1} P_i-k_B \sum^l_{i=1}(-1)\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega dt_i) dP_i\;</MATH>|13.13}} Wykorzystując jeszcze raz warunek unormowania funkcji w {{LinkWzór|13.13}} dochodzimy, że pierwszy wyraz w ostatnim wzorze znika na podstawie tego że różniczka stałej a mianowicie jedynki jest równa zero. Dochodzimy w ostateczności do wyrażenia charakteryzującego, że infinitezymalna zmiana entropii układu jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>dS=k_B\sum^l_{i=1}\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega dt_i) dP_i={{1}\over{T}}\sum^l_{i=1}(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega dt_i) dP_i\;</MATH>|13.14}} W {{LinkWzór|13.14}} wykorzystaliśmy definicję na parametr {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}, która jest zależna od odwrotności iloczynu temperatury bezwzględnej przez stałą Boltzmanna, wtedy iloczyn parametru &beta; i stałej k{{Sub|B}} jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>k_B\beta=k_B{{1}\over{k_BT}}={{1}\over{T}}\;</MATH>}} I to powyższe wyrażenie wykorzystaliśmy we wzorze {{LinkWzór|13.14}}. By dojść do dalszych etapów myśleniowych {{LinkWzór|13.14}} wykorzystamy wzór {{LinkWzór|13.8}}, czyli wzór na definicję różniczki ciepła, jako suma po stanach charakteryzującej układ, którego dany stan układu jest charakteryzowany przez energię stanu i różniczką prawdopodobieństwa dyskretnego, że dany stan o pewnej energii wystąpi, wtedy nasz wzór przechodzi w fenomenologiczną definicję różniczki zupełnej entropii: {{CentrujWzór|<MATH>dS={{\delta Q}\over{T}}\;</MATH>|13.15}} Równanie {{LinkWzór|13.15}} możemy też przedstawić jako różniczkę ciepła w zależności od jego temperatury i zmiany różniczki zupełnej entropii w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=TdS\;</MATH>|13.16}} Równanie {{LinkWzór|13.15}} jest fenomenologiczną definicją różniczki entropii. Związek tej części energii wewnętrznej układu, która dokonuje się na sposób ciepła, która zależy od temperatury i różniczki zupełnej entropii jest treścią drugiej zasady termodynamiki. == Trzecia zasada termodynamiki == Ta zasada wyraża się, że entropia układu w temperaturze T=0 jest równa zero. Aby dokonać interpretacji tej zasady rozważmy substancję czystą w kontakcie z termostatem. Stan układu jest opisany przez równanie określającą prawdopodobieństwo dyskretne w danej właściwości uzyskania danej energii {{Formuła|<MaTH>E_i\;</math>}} w danej temperaturze bezwzględnej: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{1}\over{Z}} g_ie^{-\beta\left( E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i\right)}\;</MATH>|13.17}} Stan przy {{Formuła|<MATH>T\rightarrow 0\;</MATH>}} jest stanem skwantowanym, więc poziomy energii {{Formuła|<MATH>E_i(N,V,t)\;</MATH>}} trzeba numerować liczbami całkowitymi, zatem suma statystyczna rozkładu kanonicznego jest: {{CentrujWzór|<MATH>Z=g_0 e^{-\beta (E_0+pV_0-\mu N_0-\omega t_0)}+g_1 e^{-\beta (E_1+pV_1-\mu N_1-\omega t_1)}+...\simeq g_0 e^{-\beta (E_0+pV_0-\mu N_0-\omega t_0)}\;</MATH>|13.18}} A więc jego energia swobodna z jej definicji w zależności od sumy statystycznej {{LinkWzór|13.18}} jest równa na podstawie {{LinkWzór|18.25|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}}: {{CentrujWzór|<MATH>F=-pV_0+\mu N_0+\omega t_0-k_BT \ln Z=-pV_0+\mu N_0+\omega t_0-k_BT \ln g_0+k_BT\beta (E_0+pV_0-\mu N_0-\omega t_0)\;</MATH>|13.19}} Wzór {{LinkWzór|13.19}} można zapisać równoważnie po skorzystaniu z definicji {{Formuła|<MaTh>\beta\;</MATH>}} w innej równoważnej postaci do wspomnianego wyrażenia: {{CentrujWzór|<MATH>F=-pV_0+\mu N_0+\omega t_0-k_BT \ln g_0+E_0+pV_0-\mu N_0-\omega t_0=-k_BT\ln g_0\;</MATH>|13.20}} Jego entropia jest wyrażona według wzoru {{LinkWzór|3.39|Potencjały_termodynamiczne}}, która jest pochodną energii swobodnej (tutaj {{LinkWzór|13.20}}) względem temperatury przy stałej objętości: {{CentrujWzór|<MATH> S_0=S\left(T=0\right)=-\lim_{T\rightarrow 0}\left({{\partial F}\over{\partial T}}\right)_{V,N}=k_B \ln g_0\;</MATH>|13.21}} Wyrażenie {{LinkWzór|13.21}} można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>S_0=k_B\ln g_0\;</MATH>|13.22}} Stan o temperaturze T=0 jest stanem nie zdegenerowanym, tzn. {{Formuła|<MATH>g_0=1\;</MATH>}}, a także występuje tylko jeden stan o energii {{Formuła|<matH>E_0\;</Math>}}, i jest jak powiedzieliśmy powyżej jest on jedynym stanem: {{CentrujWzór|<MATH>S_0=k_B \ln g_0=k_B \ln 1=k_B 0=0\;</MATH>|13.23}} Otrzymujemy z ostatnich dysput, że entropia w temperaturze dążącej do zera bezwzględnego wedle wzoru {{LinkWzór|13.22}} przy ciągłości entropii, dąży do wartości zero, co możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>0=\lim_{T\rightarrow 0}S\;</MATH>|13.24}} Wzór {{LinkWzór|13.24}} jest tzw. '''twierdzeniem Nernsta-Plancka'''. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gihsu84jzx5t2h837d0st991lgb4s3q 0 14252 559051 558594 2026-10-11T00:53:07Z Persino 2851 559051 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Gazem doskonałym''' jest opisywany przez równanie gazu doskonałego, jest to równanie opisujące tylko gaz, gdy on posiada dużą temperaturę, objętość molową lub nawet gdy jest rozrzedzony, tzn. gdy gaz posiada względnie małą liczbę cząsteczek. Gaz doskonały spełnia * '''prawo Boyle'a-Mariotte'a''' (równanie izotermiczne), czyli procesy zachodzące pod stałą temperaturą, w których iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętość jest wielkością stałą: {{CentrujWzór|<MATH>pV=\operatorname{const}\;</MATH>|7.1}} * '''prawo Charles'a''' (równanie izobaryczne), czyli procesy zachodzące pod stałym ciśnieniem, w którym objętość gazu jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej panującej w gazie: {{CentrujWzór|<MATH>V\sim T\;</MATH>|7.2}} * '''prawo Gay-Lussaca''' (równanie izochoryczne), czyli procesy zachodzące pod stałą objętością, w którym ciśnienie panujące w gazie jest wprost proporcjonalne do temperatury naszego badanego gazu: {{CentrujWzór|<MATH>p\sim T\;</MATH>|7.3}} Biorąc warunki {{LinkWzór|7.1}} (parwo Boyle'a-Mariotte'a), {{LinkWzór|7.2}} (prawo Charles'a), {{LinkWzór|7.3}} (prawo Gay-Lussaca), dostajemy bardziej ogólne równanie stanu gazu doskonałego w postaci dla jednego mola gazu: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV_{mol}}\over{T}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.4}} Stałą występująca w {{LinkWzór|7.4}} nazwijmy stałą gazową i oznaczmy literką {{Formuła|<MATH>R\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV_{mol}}\over{T}}=R\;</MATH>|7.5}} Mając definicję objętości molowej zdefiniowanej w równaniu jako iloraz objętości gazu przez liczbę moli cząstek jaką posiada gaz doskonały według {{LinkWzór|6.3|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, to równanie {{LinkWzór|7.5}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{p{{V}\over{n}}}\over{T}}=R\Rightarrow{{pV}\over{nT}}=R\Rightarrow pV=nRT\;</MATH>|7.6}} Ogólne równanie stanu gazu doskonałego (Calpeyrona) na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.6}} jest zapisywane jako: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\;</MATH>|7.7|Obramuj}} Zatem na podstawie {{LinkWzór|7.7}} iloczyn ciśnienia gazu jakie działa na ścianki naczynia przez objętość tego naczynia jest wprost proporcjonalna do temperatury jaką posiada nasz gaz. Udowodniliśmy, że z prawa Charles'a, prawa Gay-Lussaca i prawa Boyle'a-Mariotte'a wynika ogólne równanie stanu gazu doskonałego i udowodnimy, czy z równania gazu doskonałego wynikają te właśnie cząstkowe równania. Wprowadzimy inny sposób wyprowadzania równania Calpeyrona wykorzystując definicję różniczki zupełnej wiedząc, że jednych z parametrów zależy od dwóch pozostałych parametrów, więc możemy napisać różniczkę ciśnienia w zależności od różniczki temperatury i objętości: {{CentrujWzór|<MATH>dp={{\partial p}\over{\partial T}}dT+{{\partial p}\over{\partial V_{mol}}}dV_{mol}\;</MATH>|7.8}} Możemy rozważyć dwa sposoby rozpatrywania różniczki {{LinkWzór|7.8}}, tzn. przy stałej temperaturze T i objetości V, ale najpierw rozpatrzmy stałą objętość wykorzystując {{LinkWzór|7.3}}, wtedy {{Formuła|<MATH>{{\partial p}\over{\partial T}}=k\wedge k={{p}\over{T}}\;</MATH>}}, a następnie rozpatrzmy przypadek stałej temperatury wykorzystując {{LinkWzór|7.1}}, wtedy {{Formuła|<MATH>{{\partial p}\over{\partial V_{mol}}}=-{{a}\over{V^2_{mol}}}\wedge a=pV_{mol}\;</MATH>}}, co na podstawie tego wzór {{LinkWzór|7.8}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>dp={{p}\over{T}}dT-{{p}\over{V_{mol}}}dV_{mol}\Rightarrow {{dp}\over{p}}={{dT}\over{T}}-{{dV_{mol}}\over{V_{mol}}}\Rightarrow \ln p=\ln T-\ln V_{mol}+\ln R\Rightarrow pV_{mol}=RT\;</MATH>|7.9}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.9}} wyprowadziliśmy równanie stanu gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} dla jednego mola gazu. == Wirialne równanie stanu dla gazu doskonałego == Wirialne równanie stanu {{LinkWzór|6.7|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} przechodzi w równanie gazu doskonałego, gdy A(T)=0, B(T)=0, C(T)=0 i dalej lub gdy objętość molowa zajmowanej przez gaz jest bardzo duża w porównaniu z owymi współczynnikami. Wirialne równanie stanu tak zostało sformułowane, by dla dużych objętości molowych przechodziło w równanie stanu gazu doskonałego. == Związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem i pod stałą objętością == Policzymy związek między ciepłem właściwym dla stałej objętości, a pod stałym ciśnieniem, dla układów zamkniętych w równowadze termodynamicznej. Jeśli z równania gazu doskonałego wyznaczymy ciśnienie względem temperatury i objętości, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow p={{nRT}\over{V}}\;</MATH>|7.10}} Korzystając ze wzoru na ciśnienie w zależności od pozostałych parametrów gazu {{LinkWzór|7.10}}, to pochodna cząstkowa ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością dla tego gazu jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V={{nR}\over{V}}\;</MATH>|7.11}} Wyznaczmy z równania gazu doskonałego objętość względem temperatury i ciśnienia panującego w gazie znajdującym się w równowadze termodynamicznej i mechanicznej: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow V={{nRT}\over {p}}\;</MATH>|7.12}} To pochodna cząstkowa objętości względem temperatury bezwzględnej pod stałym ciśnieniem, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12}}, jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p={{nR}\over{p}}\;</MATH>|7.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|5.40|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} i do tego wzoru podstawić pochodne cząstkowe {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.13}}, wtedy otrzymujemy ostatecznie wzór na różnicę ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V\left({{\partial V}\over{\partial T}}\right)_p=T{{nR}\over{V}}{{nR}\over{p}}=T{{nRnR}\over{pV}}={{nRT \cdot nR}\over{nRT}}=nR\;\;</MATH>|7.14}} Z obliczeń w punkcie {{LinkWzór|7.14}} otrzymujemy ogólny związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem a objętością dla gazu doskonałego, który jest wprost proporcjonalny do ilości moli cząsteczek jaką posiada nasz rozważany gaz. {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=nR\;\;</MATH>|7.15}} Przyjmujemy jako definicję ciepła molowego pod stałym ciśnieniem i objętością jako iloraz ciepeł właściwych przez liczność materii jako posiada dany gaz: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_p={{C_p}\over{n}}\;</MATH>|7.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_v={{C_v}\over{n}}\;\;</MATH>|7.17}} }} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.16}} (ciepło właściwe molowe pod stałym ciśnieniem) i {{LinkWzór|7.17}} (ciepło właściwe molowe pod stałą objętością) podstawiając to wszystko do równania {{LinkWzór|7.15}}, wtedy końcowe równanie przyjmuje równoważną do poprzedniego postać: {{CentrujWzór|<MATH>C^{mol}_p-C^{mol}_v=R\;\;</MATH>|7.18}} Dochodzimy do wniosku, że dla gazu doskonałego różnica między ciepłem właściwym molowym pod stałym ciśnieniem i pod stałą objętością jest wielkością stałą i nie zależy od rodzaju i liczności gazu i jest ona równa stałej gazowej. == Infinitezymalna zmiana energii wewnętrznej dla gazu doskonałego == Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam bardzo potrzebne w późniejszych obliczeniach w przypadku gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V-p= T{{nR}\over{V}}-p={{nRT}\over{V}}-p={{pV}\over{V}}-p=0\;\;</MATH>|7.19}} Dla gazu doskonałego zachodzi również wzór w postaci ogólnej {{LinkWzór|5.52|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.19}} drugi wyraz znika z różniczką objętości i pozostaje tylko wyraz z różniczką temperatury, zatem dochodzimy do wniosku, że energia wewnętrzna gazu nie zależy od objętości tego gazu, co zachodzi tylko dla gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T=0\;\;</MATH>|7.20}} Zmiana energii wewnętrznej nie zależy od objętości dla gazu doskonałego i według {{LinkWzór|7.19}} równanie {{LinkWzór|5.52|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} przyjmuje bardzo prostą postać: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_vdT=nC_v^{mol}dT\;\;</MATH>|7.21}} Widzimy, że nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej gazu zależy od ciepła właściwego molowego pod stałą objętością i ilości moli cząsteczek jaką posiada gaz względem infinitezymalnej zmiany temperatury. == Równanie izotermiczne – prawo Boyle'a-Mariotte'a == {{Rysunek|Isotherms.png|lk1|Wykres przemiany izotermicznej, linia niebieska jest dla temperatury T{{Sub|1}}, zielona dla T{{Sub|2}} i czerwona dla T{{Sub|1}}. Zachodzi T{{Sub|1}}<T{{Sub|2}}<T{{Sub|3}}}} Jest to równanie stanu gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w którym temperatura jest stała dla układu zamkniętego: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT=const\;\;</MATH>|7.22}} Z równania {{LinkWzór|7.22}} wynika, że iloczyn ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia i objętości zajmowanej przez gaz jest wielkością niezmienniczą, dla stałej temperatury gazu wynika równanie. {{CentrujWzór|<MATH>pV=const\;\;</MATH>|7.23}} == Równanie izobaryczne – prawo Charles'a == {{Rysunek|Charles's law graph.png|lk2|Wykres przemiany izobarycznej dla tej samej liczności gazu. Górny wykres jest dla mniejszego ciśnienia niż dolny. Jak widzimy oba wykresy mają punkt wspólny w temperaturze zero Kelwina}} Jest to równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w której ciśnienie jest wielkością stałą: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow{{p}\over{nR}}={{T}\over{V}}=const\;\;</MATH>|7.24}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.22}} wynika, że iloraz temperatury gazy przez objętość zajmowaną przez gaz jest wielkością stałą dla stałego ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia: {{CentrujWzór|<MATH>{{T}\over{V}}=const\;\;</MATH>|7.25}} Stała po prawej stronie równania {{LinkWzór|7.25}} jest zależna liniowo od ciśnienia gazu działających na ścianki naczynia i odwrotnie proporcjonalna do liczności gazu. Równanie Charles'a przy pomocy temperatury Celsjusza można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>V=V_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)</MATH>|7.25a}} * {{Formuła|<MATH>V_0\;</MATH>}} – jest to objętość gazu w temperaturze zera stopni Celsjusza. Równanie {{LinkWzór|7.25a}} jest równoważna z równaniem {{LinkWzór|7.25}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>V=V_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)={{V_0}\over{273,16}}(t+273,16)={{V_0}\over{273,16}}T\;</MATH>|7.25b}} Zatem udowodniliśmy równoważność obu równań z temperaturą Kelwina i Celsjusza. == Równanie izochoryczne – prawo Gay-Lussaca == {{Rysunek|Gay-Lussac's_law_graph.png|lk4|Wykres przemiany izochorycznej dla tej samej liczności gazu. Górny wykres jest dla mniejszej objętości niż dolny. Jak widzimy oba wykresy mają punkt wspólny w temperaturze zero Kelwina}} Jest to równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, w którym objętość pozostaje stała, oczywiście: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\Rightarrow{{V}\over{nR}}={{T}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.26}} Z równania {{LinkWzór|7.26}} wynika, że iloraz temperatury gazu przez ciśnienie wywieranego przez gaz na ścianki naczynia, w którym znajduje się gaz jest wielkością stałą przy stałej objętości gazu. {{CentrujWzór|<MATH>{{T}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.27}} Stała po prawej stronie wzoru {{LinkWzór|7.27}} jest w liniowym związku z objętością gazu i odwrotnie proporcjonalna do jego liczności. Prawo Gay-Lussaca można też zapisać w zależności od temperatury Celsjusza w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)</MATH>|7.27a}} * {{Formuła|<MATH>p_0\;</MATH>}} – jest to ciśnienie gazu w temperaturze zera stopni Celsjusza. Udowodnijmy, że równanie {{LinkWzór|7.27a}} jest równoważne z {{LinkWzór|7.27}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0\left(1+{{t}\over{273,16}}\right)=p_0{{273,16+t}\over{273,16}}={{p_0}\over{273,16}}T\;</MATH>|7.27b}} Zatem udowodniliśmy równoważność obu równań z temperaturą Kelwina i Celsjusza. == Równanie adiabaty – równania Poissona == Równanie adiabaty lub równoważnie równanie Poissona, w którym układzie zamkniętym nie ma wymiany ciepła między otoczeniem a układem, liczba cząstek jest stała, a równanie stanu gazu doskonałego, a według niego energia wewnętrzna jego z oczywistych powodów nie zależy od czasu, oczywiście: {{CentrujWzór|<MATH>\delta Q=0\;\;</MATH>|7.28}} Z {{sr|p=Zasady termodynamiki fenomenologicznej|#Pierwsza zasada termodynamiki|pierwszej zasady termodynamiki}}, wynika, że równanie {{LinkWzór|2.2|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}}, biorąc jeszcze {{LinkWzór|7.28}} (przemiana adiabatyczna), to oczywiście jest, że mamy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=-pdV\;\;</MATH>|7.29}} Dochodzimy do wniosku, że w przemianie adiabatycznym wymiana energii miedzy układem a otoczeniem odbywa się na w sposób pracy objętościowej. Dla gazu doskonałego łącząc równania {{LinkWzór|7.21}} i {{LinkWzór|7.29}}, bo oznaczają to samo, dostajemy, że: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT=-pdV\;\;</MATH>|7.30}} Z równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy ciśnienie, wtedy wykorzystujemy to otrzymane równanie stanu gazu doskonałego z wyznaczonym powiedzianym parametrem do {{LinkWzór|7.30}} dokonując w nim odpowiednich mnożeń tak układamy tam wyrazy, by wyrazy jednej zmiennej znajdował się na jednej stronie, a wyrazy drugiej zmiennej znajdowały się na drugiej stronie, by potem można by je scałkować w sposób nieoznaczony: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT=-{{nRT}\over{V}}dV\Rightarrow C_v{{dT}\over{T}}=-{nR}{{dV}\over V}\Rightarrow\ln T^{C_v}=-\ln V^{nR}+C\Rightarrow T^{C_v}V^{nR}=C=const\;</MATH>|7.31}} Równanie {{LinkWzór|7.31}} pierwiastkujemy obustronnie względem C{{Sub|v}}, zatem otrzymujemy ważny wniosek, jako równanie stanu adiabaty względem zmiennych temperatury i objętości gazu doskonałego: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{{{nR}\over{C_v}}}=const\;</MATH>|7.32}} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|7.15}} na różnicę ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i stałą objętością, wtedy z równania {{LinkWzór|7.32}} otrzymujemy równoważne równanie: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{{{C_p-C_v}\over{C_v}}}=const\Rightarrow TV^{{{C_p}\over{C_v}}-1}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.33}} Definiujemy nowy parametr, jako iloraz ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem przez ciepło właściwe pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}\;\;</MATH>|7.34}} Wykorzystując definicję stałej &kappa; wedle definicji {{LinkWzór|7.34}}, to wtedy równanie {{LinkWzór|7.33}} przyjmuje wynikową ostateczną uproszczoną postać: {{CentrujWzór|<MATH>TV^{\kappa-1}=const\;\;</MATH>|7.35}} Równanie {{LinkWzór|7.35}} zależy od stałej &kappa; i jest w zmiennych T, V, można je przedstawić w zmiennych (p,V), w tym celu wykorzystujemy jeszcze raz równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}}, z niego wyprowadzając temperaturę bezwzględną, zatem wykorzystując owe wyrażenie do wspomnianego równania, wtedy rozważane równanie przyjmowało będzie wygląd: {{CentrujWzór|<MATH>{{pV}\over {nR}}V^{\kappa-1}=const\Rightarrow pV^{\kappa}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.36}} Napiszmy inną postać równań Poissona, jeśli mamy {{LinkWzór|7.35}},to z równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczmy objętość podstawiając ją do równania stanu gazu adiabaty napisanego wedle ostatniego równania, wtedy dostajemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH> T (nR)^{\kappa-1}{{T^{\kappa-1}}\over{p^{\kappa-1}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.37}} Z {{LinkWzór|7.37}} grupując czynniki w zmiennych względem temperatury "T" i ciśnienia "p" po lewej stronie ostatniego równania, a stałe po prawej stronie tegoż równania, więc ostatecznie otrzymujemy równanie w tychże zmiennych. {{CentrujWzór|<MATH>{{T^{{{\kappa}}\over{\kappa-1}}}\over{p}}=const\;</MATH>|7.38}} === Zestawienie równań Poissona === Przedstawimy tutaj cały zestaw równań Poissona w zmiennych ciśnienie-objętość (p,V), temperatura-objętość, (T,V), temperatura-ciśnienie (T,p). {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>pV^{\kappa}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.39|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>TV^{\kappa-1}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.40|Obramuj}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>{T^{{{\kappa}}\over{\kappa-1}}\over{p}}=\operatorname{const}\;\;</MATH>|7.41|Obramuj}} }} == Porównanie wykresów p-V dla adiabaty i izotermy gazu doskonałego == {{Rysunek|Sample adiabatic curve.png|w1|Krzywa czerwona i zielona – [[w:izoterma|izotermy]] ([[w:przemiana izotermiczna|przemiana izotermiczna]]), niebieska – adiabata}} Równanie izotermy, dla określonej temperatury T jest określone według {{LinkWzór|7.23}}. A równanie adiabaty jest określone według {{LinkWzór|7.39}} Wyznaczmy stałą {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} występujące we wzorze adiabaty. {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}</MATH>|7.42}} Wiadomo dla gazu jednoatomowego korzystając przy tym z zasady ekwipartycji energii {{LinkWzór|6.10|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, że jego ciepło właściwie jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>C_v={{3}\over{2}}nR</MATH>|7.43}} Różnica ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=nR \Rightarrow C_p=nR+C_v</MATH>|7.44}} Z równania {{LinkWzór|7.44}} wyznaczamy ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>C_p=nR+{{3}\over{2}}nR={{5}\over{2}}nR</MATH>.|7.45}} Korzystając przy tym z definicji na ciepło właściwe pod stałą objętością {{LinkWzór|7.43}} i ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem {{LinkWzór|7.45}}, wtedy dostajemy, że dla gazu doskonałego jednoatomowego parametr &kappa; jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{C_p}\over{C_v}}={{{{5}\over{2}}nR}\over{{{3}\over{2}}nR}}={{5}\over{3}}\simeq 1,667 </MATH>|7.46}} == Równania politropy == Jest to równanie, w której podczas takiej przemiany ciepło właściwe pozostaje stałe, które jest stałe przy stałym parametrze x. Korzystając z równania {{LinkWzór|2.10|Zasady termodynamiki fenomenologicznej}} przyjmując stałą liczbę cząstek w układzie i o energii wewnętrznej niezależnej od czasu, wtedy napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH> dU=\delta Q-pdV\Rightarrow dU=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.47}} Energia wewnętrzna nie zależy od drogi w zmiennych (p,V) po jakich przebywał układ w sposób quasistatyczny, zatem rozłóżmy różniczkę energii wewnętrznej względem dwóch zmiennych niezależnych względem temperatury i objętości posiadanej przez dany gaz: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_VdT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T dV\;</MATH>|7.48}} Po przyrównaniu równań na różniczkę zupełną energii wewnętrznej {{LinkWzór|7.48}} i równania {{LinkWzór|7.47}}, bo one oznaczają to samo, to dostajemy inne wynikowe równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial T}}\right)_VdT+\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T dV=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.49}} Mamy wzór na ciepło właściwe gazu pod stałą objętością zdefiniowaną wedle wzoru {{LinkWzór|5.36|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} i podstawiając tą definicję do równania {{LinkWzór|7.49}}, mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>C_vdT+{\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)}_TdV=C_xdT-pdV\;</MATH>|7.50}} W równaniu {{LinkWzór|7.50}} grupując wyrazy względem tych samych różniczek, tzn. względem różniczek temperatury i objętości, tak by znajdowały się po różnych obu stronach naszego rozważanego równania: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT=\left(\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T+p\right)dV\;\;</MATH>|7.51}} W równaniu {{LinkWzór|7.51}} mamy w nim występującą energię wewnętrzną, zatem na razie owe równanie jest bezużyteczne, dopóki nie wykorzystamy wzoru {{LinkWzór|5.33|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} podstawiając go do równania {{LinkWzór|7.51}}, wtedy tak rozważane równanie możemy przedstawić w zmiennych równania stanu: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_VdV\;\;</MATH>|7.52}} Rozpatrując gaz doskonały, to z równania {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy ciśnienie podstawiając uzyskane równanie do {{LinkWzór|7.52}}, wtedy ono przechodzi w równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)dT= T{{nR}\over{V}}dV\;</MATH>|7.53}} W równaniu {{LinkWzór|7.53}} tak wykonujemy obustronne mnożenia, by zmienne jednej zmiennej były po tej samej stronie, a zmienne drugiej zmiennej po drugiej jej stronie, by potem można by je scałkować w sposób oznaczony jako funkcje jednej zmiennej. {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right){{dT}\over{T}}={{nR}\over{V}}dV\;</MATH>|7.54}} Po scałkowaniu nieoznaczonym obustronnym równania {{LinkWzór|7.54}} otrzymujemy ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\left(C_x-C_v\right)\ln T=\left(C_p-C_v\right)\ln V +\ln D\Rightarrow\ln T^{C_x-C_v}=\ln V^{C_p-C_v}+\ln D\Rightarrow{{T^{C_x-C_v}}\over{V^{C_p-C_v}}}=D\;</MATH>|7.55}} Widzimy, że nasze równanie politropy zależy od stałej D. Aby przedstawić równanie {{LinkWzór|7.55}} względem zmiennych p i V, to wtedy biorąc kolejne przekształcenia równania gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7}} wyznaczamy z tego równania tym razem temperaturę: {{CentrujWzór|<MATH>{{p^{C_x-C_v}V^{C_x-C_v}}\over{V^{C_p-C_v}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.56}} Z równania {{LinkWzór|7.56}} po niezbyt wyczerpujących działaniach na potęgach objętości V, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>p^{C_x-C_v}V^{C_x-C_p}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.57}} Co z kolei w równaniu {{LinkWzór|7.57}} dokonujemy pierwiastkowania względem różnicy ciepła właściwego pod stałym parametrem "x" i ciepła właściwego pod stałą objętością, czyli C{{Sub|x}}-C{{Sub|v}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV^{{{C_x-C_p}\over{C_x-C_v}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.58|Obramuj}} Równanie {{LinkWzór|7.58}} jest równaniem politropy dla gazu doskonałego, który zachodzi pod stałym parametrem "x", wtedy owe ciepło właściwe jest równe C{{Sub|x}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> pwh3b1n4v8a47wr7gypib3yb3cx8n9v 0 14276 559084 558584 2026-10-11T03:10:34Z Persino 2851 559084 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Statystyka w fizyce kwantowej dla cząstek''' - Każda cząstka podlega pewnemu rozkładowi statystycznemu, tak samo jak '''fermiony''' i '''bozony'''. Dla fermionów w jednym stanie kwantowym może znajdować się conaj wyżej tylko jedna cząstka. Dla bozonów liczba tych cząstek może być bardzo duża. == Obliczanie sumy statystycznej == Całkowita energia układu cząstek, ich liczba cząstek i objętość jest napisana w zależności od energii danej cząstki i ich liczby jakie mogą się one znajdować na poziomie "i"-tej. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_{\alpha}=\sum^l_{k=1} n_k\epsilon_k\;</MATH>|20.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>V=\sum^l_{k=1} n_kV_k\;</MATH>|20.2}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum^l_{k=1}n_k\;</MATH>|20.3}} }} Obliczmy teraz w sposób ogólną sumę statystyczną dla zespołu kanonicznego (T,p,μ) według {{LinkWzór|17.3|Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ,t)}} (dla zespoły dyskretnego suma za wzorem na prawdopodobieństwo dyskretne) w fizyce kwantowej, gdy mamy skwantowane poziomy energii i w danej objętości może się znajdować się różna ilość cząstek, a także mamy różną objętość, tą sumę liczymy według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{\alpha}e^{(\alpha E_{\alpha}+\gamma V_{\alpha}+\omega N)}=\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{\{n_{k_i}\}}e^{-\sum_{n_{k_i}}(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)n_{k_i}} =\sum^{\infty}_{N=0}\sum_{N=\sum k_i}\prod_{k_i}e^{(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)n_{k_i}}=</MATH>{{Br}} <MATH>=\sum_{n_{k_1}}\sum_{n_{k_2}}...\sum_{n_{k_i}}e^{(\alpha\epsilon_{k_1}+\gamma V_{k_1}+\omega)n_{k_1}}e^{(\alpha\epsilon_{k_2}+\gamma V_{k_2}+\omega)n_{k_2}}\cdot...\cdot e^{(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)n_{k_i}}= \prod_{k_i}\sum_{n_{k_i}}[e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}]^{n_{k_i}}</MATH>|20.4}} Doszliśmy do wniosku, z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|20.4}}, że wielka suma statystyczna jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\prod_{k_i}\sum_{n_{k_i}}[e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}]^{n_{k_i}}</MATH>|20.5}} == Suma statystyczna dla fermionów i bozonów == Korzystając z wniosku z przedostatniego rozdziału ze wzoru na sumę statystyczną zespołu kanonicznego wedle wzoru {{LinkWzór|20.5}}, przy czym musimy pamiętać, że dla fermionów {{Formuła|<MATH>n_{k_i}</MATH>}} liczba cząstek jakie mogą przebiegać dla danego poziomu może przebiegać od zera do jedynki, a dla bozonów ta sama liczba przebiega od zera do nieskończoności, możemy ją napisać dla fermionów i bozonów w ogólności pamiętając, że dla bozonów zachodzi warunek {{Formuła|<MATH>\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega<0\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\begin{cases} \prod_{k_i}\left(1+e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)\mbox{ fermiony}\\ \prod_{k_i}{\left(1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)}^{-1}\mbox{ bozony} \end{cases}</MATH>|20.6}} Wyrażenie na potencjał termodynamiczny napisanej wedle {{LinkWzór|17.8|Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ,t)}} przy definicji wielkiej sumy statystycznych dla fermionów i bozonów {{LinkWzór|20.6}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>\ln Z=\pm\sum_{k_i}\ln\left(1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)</MATH> |20.7}} We wzorze {{LinkWzór|20.7}} oczywiście górne znaki są dla fermionów a dolne dla bozonów. == Funkcje Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina == {{Rysunek|Fermi dirac distr.svg|lk1|Statystyki Fermiego-Diraca}} {{Rysunek|Porównanie statystyk kwantowych.png|lk2|Porównanie statystyk kwantowych}} Ogólnie dla fermionów i bozonów możemy policzyć liczbę cząstek wchodzących w skład układu według {{LinkWzór|18.22|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\left({{\partial \ln Z}\over{\partial \omega}}\right)_{T,V}=\sum_{k_i}{{e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}}=\sum_{k_i}{{ e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}} {{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\gamma}}}=</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_{k_i}{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}\pm 1}}=\sum_i \overline{n}_{k_i}</MATH>|20.8}} W powyższych obliczeniach dla wzoru {{LinkWzór|20.8}} wyznaczaliśmy całkowitą średnią liczbę cząstek występujących na wszystkich stanach na jakich te cząstki mogą występować. Następnie wyznaczmy całkowitą średnią energię układu jako suma energii wszystkich cząstek występujących we wszystkich stanach, zatem musimy wykorzystać wzór na średnią energię układu {{LinkWzór|18.20|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}} do wyznaczenia tej energii i wyznaczmy całkowitą średnią objętość układu jako suma objętości zajmowane przez wszystkie cząstki występujące we wszystkich stanach, zatem musimy wykorzystać wzór na średnią liczbę cząstek układu {{LinkWzór|18.21|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}} do wyznaczenia tej objętości. I dojdziemy do wniosku, że przy rozkładzie Bosego Einsteina i Fermiego-Diraca otrzymamy takie same wzory na rozkłady liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline{n}_{k_i}\;</MATH>}}, jak przy liczeniu całkowitej średniej liczby cząstek znajdujących się w układzie, w którym podana jest średnia liczba cząstek przy energii {{Formuła|<MATH>\epsilon_{k_i}\;</MATH>}}, i tych w trzech sposobach wyznaczania omawianych rozkładów wyjdą te same rozkłady o których wspomnieliśmy. Przy czym zakładamy, że stałe stojące przy rozkładzie nazwijmy je {{Formuła|<math>\alpha=\beta\;</Math>}}, {{Formuła|<MATH>\gamma=\beta p\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MaTH>\omega=\beta\mu\;</MATH>}}, co skorzystamy przy wyznaczaniu średniej energii i objętości układu w powyższym wyprowadzeniu przy wyznaczaniu wielkiej sumy statystycznej {{Formuła|<MATH>Q\;</MATH>}} wedle wzoru {{LinkWzór|20.6}}, by potem znów skorzystać z tego poniżej, i napisać nasze średnie ilości cząstek w rozkładzie o danej energii i zajmujących dane objętości, które otrzymamy poniżej. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}={{\partial}\over{\partial \alpha}}\ln Z=\pm{{\partial}\over{\partial \alpha}}\sum_i\ln\left(1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)=\sum_i{{\epsilon_{k_i} e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega }}}=\sum_i{{\epsilon_{k_i} e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega }}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i\epsilon_{k_i}{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}\pm 1}}=\sum_i \epsilon_{k_i}\overline{n}_{k_i}\;</Math>|20.9}} A teraz policzmy średnią objętość układu bozonów lub fermionów według: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\partial}\over{\partial \gamma}}\ln Z=\pm{{\partial}\over{\partial \gamma}}\sum_i\ln\left(1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}\right)=\sum_i{{V_{k_i} e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega }}}=\sum_i{{V_{k_i} e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1\pm e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega }}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i V_{k_i}{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}\pm 1}}=\sum_i V_{k_i}\overline{n}_{k_i}\;</Math>|20.10}} Ogólnie ilość fermionów lub bozonów znajdujących się w stanach o energiach {{Formuła|<MATH>\epsilon_{k_i}\;</MATH>}} i zajmujących objętości {{Formuła|<MATH>V_{k_i}\;</MATH>}} można wyedukować ze wzorów {{LinkWzór|20.8}}, {{LinkWzór|20.9}} i {{LinkWzór|20.10}}, ten rozkład liczby cząstek o danej energii jest: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} {{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1}}\mbox{ fermiony}&\mbox{ (a)}\\ {{1}\over{e^{-\gamma\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}\mbox{ bozony}&\mbox{ (b)}\\ \end{cases}</MATH>|20.11}} A oto przykłady rozkładów wynikających z {{LinkWzór|20.11}}: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Fermiego-Diraca}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Bosego-Einsteina}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta\epsilon_i}+1}}</MATH>|M1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta\epsilon_i}-1}}</MATH>|M2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}+1}}</MATH>|M3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}-1}}</MATH>|M4}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}+1}}</MATH>|M5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}-1}}</MATH>|M6}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}+1}}</MATH>|M7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}-1}}</MATH>|M8}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Parastatystyki == Wiemy, że statystyki Fermiego-Diraca, która jest w przypadku fermionów opisujących, że w danym stanie może przebywać tylko najwyżej jedna cząstka, a dla bozonów w jednym stanie może przebywać nieskończenie wielka ilość cząstek. Uogólniając to przyjmijmy, że w danym stanie może przebywać najwięcej "p" cząstek. Suma statystyczna policzona ogólnie (dla wszystkich przypadków) według {{LinkWzór|20.5}} przebiera postać w zależności od liczby "p" wedle: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\prod_{k_i}\sum^p_{n=0}[e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}]^n</MATH>|20.12}} Korzystając z twierdzenia o sumie ciągu geometrycznego występującego pod iloczynem dla sumy statystycznej {{LinkWzór|20.12}}, którego n przebiega od n=0 do n=p, a tych wszystkich składników jest ich p+1 wyrazów w tejże sumie. {{CentrujWzór|<MATH>Q=\prod_{k_i}{{1-e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}}\over{1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}} </MATH>|20.13}} Potencjał termodynamiczny napisanej w przypadku sumy statystycznej {{LinkWzór|20.12}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\ln Q=\sum_{k_i}\ln{{1-e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}}\over{1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}}=\sum_{k_i}\ln({1-e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}})-\ln(1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega})</MATH>|20.14}} Policzmy teraz średnią liczbę cząstek {{Formuła|<MATH>\overline{N}</MATH>}} znajdujących się w tym układzie statystycznym według zespołu kanonicznego wykorzystując wzór {{LinkWzór|18.19|Przykłady innych zespołów statystycznych kanonicznych w fizyce klasycznej}}, zatem ta średnia liczba cząstek we wszystkich stanach: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\sum_{k_i}\left[-{{(p+1) e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}}\over{{1-e^{(p+1)(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)}}}}+{{e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}\over{1-e^{\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega}}}\right]</MATH>|20.15}} Korzystamy tutaj z definicji &beta;, który jest napisany w punkcie {{LinkWzór|12.32|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} we wzorze {{LinkWzór|20.14}}, wtedy średnia liczba cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\sum_{k_i}\left\{{{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)(-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega)}-1}}\right\}</MATH>|20.16}} Ze wzoru {{LinkWzór|20.16}} otrzymujemy, że średnia liczba cząsteczek znajdująca się w stanie o energii {{Formuła|<MATH>\epsilon_{k_i}\;</MATH>}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\gamma)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)(-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega)}-1}}</MATH>|20.17}} A oto przykłady poszczególnych rozkładów wynikających z {{LinkWzór|20.17}}: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta\epsilon_{k_i}}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta\epsilon_{k_i}}-1}}</MATH>|N1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}-\mu)}-1}}</MATH>|N2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}+p V_{k_i})}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}+pV_{k_i})}-1}}</MATH>|N3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{\beta(\epsilon_{k_i}+p V_{k_i}-\mu)}-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)\beta(\epsilon_{k_i}+p V_{k_i}-\mu)}-1}}</MATH>|N4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Gdy liczba "p" dąży do nieskończoności, wtedy mamy do czynienia z bozonami, to wzór {{LinkWzór|20.16}} przy znanych &alpha;, &beta;, &gamma; przy tym warunku przechodzi w bardzo znany rozkład przy poszczególnych rozkładach dla {{Formuła|<MATH>-(\alpha\epsilon_{k_i}+\gamma V_{k_i}+\omega)>0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}</MATH>|20.18}} Zatem otrzymaliśmy '''statystykę Bosego-Einsteina''' napisaną wzorem {{LinkWzór|20.18}}, który jest podobny dla rozkładów bozonów {{LinkWzór|20.11}}. Gdy maksymalna liczba cząstek jakie mogą obsadzać stan o pewnej energii wynosi jeden, czyli p=1, to wyrażenie {{LinkWzór|20.16}} przy znanych &alpha;, &beta;, &gamma; po krótkich przekształceniach też przechodzi w bardzo znany rozkład: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{n_{k_i}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_k-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}-{{2}\over{e^{-2(-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\gamma)}-1}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_k-\gamma V_{k_i}-\omega}-1}}\left(1-{{2}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_k-\gamma V_{k_i}-\beta}-1}}{{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1-2}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1}}={{1}\over{e^{-\alpha\epsilon_{k_i}-\gamma V_{k_i}-\omega}+1}}</MATH>|20.19}} Otrzymaliśmy '''rozkład Fermiego-Diraca''' we wzorze końcowym {{LinkWzór|20.19}}, który jest podobny do rozkładów fermionów {{LinkWzór|20.11}}. Dokonajmy podstawienia tak by nowy parametr mógł być równy zero, którego definicja, we wzorze {{LinkWzór|20.17}}: {{CentrujWzór|<MATH>x=-(\alpha\epsilon_q+\gamma V_q+\omega)\;</MATH>|20.20}} We wzorze na średnią liczbą cząstek w stanie o energii {{Formuła|<MATH>\epsilon_p\;</MATH>}} i objętości przez nie zajmowanych {{Formuła|<MATH>V_p\;</MATH>}} napisaną wedle wzoru {{LinkWzór|20.16}} przejdźmy w nim do granicy, gdy zmienna zdefiniowana w punkcie {{LinkWzór|20.19}} dąży do wartości zerowej, czyli pisząc to dla wspomnianego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{x\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\lim_{x\rightarrow 0}({{1}\over{e^x-1}}-{{p+1}\over{e^{(p+1)x}-1}})=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-(p+1)(e^x-1)}\over{(e^x-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-p e^x+p-e^x+1}\over{(e^x-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=</MATH>{{Br}} <MATH>=\lim_{x\rightarrow 0}{{e^{x(p+1)}-pe^x+p-e^x}\over{e^{x(p+2)}-e^x-e^{x(p+1)}+1}}</MATH>|20.21}} Teraz stosujemy twierdzenie de l'Hospitala dla powyższego wyrażenia: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{x\rightarrow 0}{{(p+1)e^{x(p+1)}-pe^x-e^x}\over{(p+2)e^{x(p+2)}-e^x-(p+1)e^{x(p+1)}}}</MATH>|20.22}} I jeszcze raz stosujemy twierdzenie de-Hospitala. {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{x\rightarrow 0}{{(p+1)^2e^{x(p+1)}-pe^x-e^x}\over{(p+2)^2e^{x(p+2)}-e^x-(p+1)^2e^{x(p+1)}}}={{p^2+2p+1-p-1}\over{p^2+4p+4-1-p^2-2p-1}}={{p^2+p}\over{2(p+1)}}={{p(p+1)}\over{2(p+1)}}={{p}\over{2}}</MATH>|20.23}} Oznacza to podobnie jak przy bozonach, że kondensacja cząstek przy energii równej potencjałowi chemicznemu przy którym według dowodu przeprowadzonego powyżej jest równa połowie liczby "p", czyli równy {{Formuła|<MATH>{{p}\over{2}}</MATH>}}. Rozpatrzmy statystykę {{LinkWzór|20.16}} dla temperatury bezwzględnej dążącej do zera, wtedy ten wspomniany rozkład przechodzi w wtedy w funkcję schodkową, przy którym schodek zniża się z "p" do zera dla {{Formuła|<MATH>x\rightarrow 0\;</MATH>}}. {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,V,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q<0\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q>0 \end{cases}</MATH>|L1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q<\mu\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q>\mu \end{cases}</MATH>|L2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,N)'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkład kanoniczny (T,p,μ)'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q+pV_q<0\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q+pV_q>0 \end{cases}</MATH>|L3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\lim_{T\rightarrow 0}\overline{n_{k_i}}=\begin{cases} p \mbox{ dla }\epsilon_q+pV_q<\mu\\ 0 \mbox{ dla }\epsilon_q+pV_q>\mu \end{cases}</MATH>|L4}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Cząstki o tej statystyce zachowują się jak fermiony, dla T=0 funkcja ta przypomina funkcję schodkową o wysokości p. A przypadku fermionów wysokość schodka jest równa 1. Substancja zachowująca się według tego rozkładu w zależności od parametru p raz zachowuje się jak kondensat Bosego-Einsteina, a za innym razem jak cząstki zwane fermionami. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> apyfb9q7dq8yrsk6j04n9jfava52a3n 0 14513 559085 558592 2026-10-11T03:18:32Z Persino 2851 559085 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Przestrzeń nieeuklidesowa''' - przestrzeń, która nie jest przestrzenią euklidesową, tzn. nie jest spełniony piąty postulat geometrii euklidesowej o prostych równoległych. == Konwencja Einsteina == W standardowej konwencji sumacyjnej, dla przypadku tensorowego przy sumowaniu iloczynów tensora kontrawariantnego T{{Sup|n}} i kowariantnego S{{Sub|n}}, których wskaźnikiem niemym jest n, tę sumę możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>P=\sum_pT^pS_p\;</MATH>|2.1}} A jeśli użyjemy konwencji sumacyjnej Einsteina, to przykład {{LinkWzór|2.1}} zapisujemy w prostszej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P=T^pS_p\;</MATH>|2.2}} Widzimy, że obie konwencje oznaczają to samo, ale wygodniejsza jest konwencja Einsteina, bo zapis wyrażenia P jest o wiele prostszy i zawsze będziemy stosować konwencję Einsteina (chyba że zostanie napisane inaczej). == Tensor kowariantny == Tensorem kowariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych, których liczba wynosi ''m'', na nowe o takiej samej liczbie zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH>\widehat{B}_{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,..,\widehat{q}_m)= \sum_{k_i}\left[\prod^{n}_{i=1}{{\partial q^{k_i}}\over{\partial \widehat{q}^{p_i}}}\right]B_{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.3}} Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach dolnych ze współrzędnych starych na nowe, dla dwóch zmiennych zapisanych w konwencji Einsteina. {{CentrujWzór|<MATH> \widehat{B}_{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2)={{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}{{\partial q^{k_2}}\over{\partial\widehat{q}^{p_2}}}B_{k_1k_2}(q_1,q_2)\;</math>|2.4}} A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach dolnych dla m zmiennych ze starych współrzędnych na nowe zapisaną w konwencji Einsteina przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> \widehat{B}_{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_1,...,\widehat{q}_m)={{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}{{\partial q^{k_2}}\over{\partial\widehat{q}^{p_2}}}B_{k_1k_2}(q_1,q_1,..,q_m)\;</math>|2.5}} == Tensor kontrawariantny == Tensorem kontrawariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych na nowe według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)=\sum_{k_i}\left[\prod^n_{i=1}{{\partial\widehat{q}^{p_i}}\over{\partial q^{k_i}}}\right]A^{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.6}} Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach górnych dla dwóch zmiennych zapisanej ze starych na nowe w konwencji Einsteina: {{CentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2)={{\partial\widehat{q}^{p_1}}\over{\partial q^{k_1}}}{{\partial\widehat{q}^{p_2}}\over{\partial q^{k_2}}}\widehat{A}^{k_1k_2}(q_1,q_2)\;</MATH>|2.7}} A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach górnych dla m zmiennych zapisanych q starych współrzędnych na nowe w konwencji Einsteina piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)={{\partial\widehat{q}^{p_1}}\over{\partial q^{k_1}}}{{\partial\widehat{q}^{p_2}}\over{\partial q^{k_2}}}A^{k_1k_2}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.8}} == Definicja prostego tensora metrycznego == Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, przy zastosowaniu twierdzenia o różniczce zupełnej zależnej od n zmiennych, używając przy tym definicji delty Kroneckera, możemy przedstawić infinitezymalną długość według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>ds=\sqrt{ dx^i dx^{i}}=\sqrt{\delta_{ij}dx^idx^j}=\sqrt{\delta_{ij} {{\partial x^i}\over{\partial p^k}} {{\partial x^j}\over{\partial p^r}}dp^kdp^r}=\sqrt{g_{kr}dp^kdp^r}\;</MATH>|2.9}} W obliczeniach {{LinkWzór|2.9}} wprowadziliśmy tensor g{{Sub|kr}}, mając zmienne x{{Sup|i}} przedstawione w zależności od współrzędnych w układzie krzywoliniowym: {{CentrujWzór|<MATH>g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{ \partial p^r}}\;</MATH>|2.10}} Mając powyższy wzór {{LinkWzór|2.10}} tensor metryczny w układzie kartezjańskim przedstawiany jest jako delta Kroneckera, który jest tensorem symetrycznym z definicji. Teraz udowodnimy, że tensor metryczny jest tensorem symetrycznym, korzystając z definicji tensora Kroneckera, który jest symetryczny, wtedy możemy dojść do wniosku, że: {{CentrujWzór|<MATH>g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}} ={{1}\over{2}}\left(\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ \delta_{ji}{{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right) ={{1}\over{2}}\delta_{ij}\left({{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ {{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right) \;</MATH>|2.11}} W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami ''k'' na ''r'' i odwrotnie, mamy g{{Sub|kr}}=g{{Sub|rk}}, czyli tensor metryczny jest symetryczny, co oznacza, że dla macierzy ''g'' tensora metrycznego mamy: g=g{{Sup|T}}, bo {{Formuła|<MATH>g=[g_{ij}]_{nxn}\;</MATH>}}. == Definicja odwrotnego tensora metrycznego == Tensor odwrotny do tensora metrycznego g{{Sub|kr}} definiujemy w analogii do tensora metrycznego prostego, przestawionego w punkcie {{LinkWzór|2.10}}, wedle wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}</MATH>|2.12}} Oczywiste jest, że tensor metryczny odwrotny {{LinkWzór|2.12}} jest tensorem symetrycznym (korzystać tutaj będziemy z symetryczności delty Kroneckera), czego dowód jest przedstawiony poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}={{1}\over{2}}\left(\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+\delta^{ji}{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)= {{1}\over{2}}\delta^{ij}\left({{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)</MATH>|2.13}} W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami ''k'' na ''r'' i odwrotnie, mamy g{{Sup|kr}}=g{{Sup|rk}}, zatem możemy dojść do wniosku, że odwrotny tensor metryczny przestawionej w punkcie {{LinkWzór|2.12}} jest tensorem symetrycznym ze względu na zmianę wskaźników ''k'' i ''r'' między sobą. == Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach == Aby zamienić zwykły tensor lub tensor metryczny z jego wersji kowariantnej do kontrawariantnej lub odwrotnie, postępujemy wedle schematów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A^p=A_sg^{sp}\;</MATH>|2.14}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_p=A^sg_{sp}\;</MATH>|2.15}} }} Jeśli zwykły tensor ma kilka wskaźników, składających się ze wskaźników dolnych lub górnych albo składających się ze wskaźników jednocześnie górnych i dolnych, to możemy je przenosić z góry na dół lub odwrotnie, wykorzystując podobne przedstawienia do {{LinkWzór|2.14}} lub {{LinkWzór|2.15}}. == Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego == Sprawdźmy, czy tensor metryczny kowariantno-kotrawarianty jest tensorem jednostkowym, ale korzystając z definicji tensora metrycznego prostego {{LinkWzór|2.10}} i odwrotnego {{LinkWzór|2.12}} oraz podobnych przekształceń do {{LinkWzór|2.14}} i {{LinkWzór|2.15}}, kolejno postępując: {{CentrujWzór|<MATH>{g^m}_k={g_k}^{m}=g_{kr}g^{rm}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{\partial p^r}}\delta^{pq}{{\partial p^r}\over{\partial x^p}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={\delta^j}_p\delta_{ij}\delta^{pq}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^i}}= {{\partial p^m}\over{\partial p^k}}={\delta^m}_{k}={\delta_k}^m</MATH>|2.16}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.16}} dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{g_k}^{m}={\delta_k}^m</MATH>|2.17}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{g^m}_k={\delta^m}_k</MATH>|2.18}} }} Macierz g{{Sup|m}}{{Sub|k}} jest macierzą diagonalną i jednostkową, a także tensor jako macierz g{{Sub|ij}} jest macierzą odwrotną do macierzy (tensora) g{{Sup|ij}} wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|2.16}}. == Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny == W układzie krzywoliniowym wektor wodzący można przedstawić w układzie Euklidesa, w którym zanurzony jest układ krzywoliniowy, a zapisać go możemy przy pomocy wzoru zależnego od współrzędnych kartezjańskich i współrzędnych krzywoliniowych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{k}_i x^i(q^j)\;</MATH>|2.19}} Zdefiniujmy wektor, który jest zapisywany jako pochodna cząstkowa wektora wodzącego {{LinkWzór|2.19}} względem współrzędnej krzywoliniowej q{{Sup|m}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_m={{\partial \vec{r}}\over{\partial q^m}}={{\partial \left(\vec{k}_i x^i\right)}\over{\partial q^m}}=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}\;</MATH>|2.20}} Wyznaczmy iloczyn wektorów zdefiniowanych w {{LinkWzór|2.20}} o wskaźnikach ''m'' i ''n'', wtedy możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik jest tensorem metrycznym prostym {{LinkWzór|2.10}}, co wynika z definicji wektora kowariantnego {{LinkWzór|2.20}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_m\vec{e}_n=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}} \vec{k}_j{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=g_{mn}\;</MATH>|2.21}} Jeszcze raz przepiszmy wynik końcowy obliczeń w punkcie {{LinkWzór|2.21}}, który jest analogiczną definicją do {{LinkWzór|2.10}}. Stąd wynika, że iloczyn dwóch wektorów kowariantnych jest równy podwójnie kowariantnemu tensorowi metrycznemu: {{CentrujWzór|<MATH>g_{mn}=\vec{e}_m\vec{e}_n\;</MATH>|2.22}} Podnieśmy wskaźnik ''m'' do góry we wzorze {{LinkWzór|2.22}}, który jest wektorem {{LinkWzór|2.20}} i jednocześnie tensorem, a zatem ostatecznie możemy napisać iloczyn m-tego kontrawariantnego wektora bazy ''przez'' n-ty kowariantny wektor, który jak się można przekonać jest tensorem metrycznym o wskaźniku górnym m i dolnym n: {{CentrujWzór|<MATH>{g^{m}}_{n}=\vec{e}^m\vec{e}_n\;</MATH>|2.23}} == Definicja symboli Christoffela == Pochodną danego wektora bazy po współrzędnej krzywoliniowej (np. pochodną {{Formuła|<MATH>e_l</MATH>}} po {{Formuła|<MATH>q^l</MATH>}}) można wyrazić przez kombinacje liniowe wektorów bazy {{Formuła|<MATH>e_j</MATH>}} - współczynniki kombinacji nazywa się symbolami Christofela dla wektorów bazy {{Formuła|<MATH>e_j</MATH>}}: {{CentrujWzór|<math>\nabla_le_j \equiv \frac{\partial e_j}{\partial q^l} = {\Gamma^k}_{l j}e_k.\;</MATH>|2.24}} '''Twierdzenie:''' Dla wektorów kobazy {{Formuła|<MATH>e^j</MATH>}} zachodzą związki {{CentrujWzór|<MATH>\nabla_le^j\equiv \frac{\partial e^j}{\partial q^l} = -{\Gamma^j}_{l k}e^k\;</MATH>|2.25}} '''Dowód:''' Pomnóżmy wzór {{LinkWzór|2.24}} przez {{Formuła|<MATH>e_r</MATH>}} i wykorzystajmy zależność {{Formuła|<MATH>e_k e_r = g_{kr}</MATH>}} (por. {{LinkWzór|2.22}}): {{CentrujWzór|<MATH>\nabla_le_j e_r={\Gamma^k}_{lj}g_{kr}\;</MATH>|2.26}} Pomnóżmy {{LinkWzór|2.26}} przez tensor metryczny {{Formuła|<MATH>g^{kr}</MATH>}} i wykorzystajmy tożsamość {{LinkWzór|2.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\nabla_le_j)e_rg^{kr}={\Gamma^k}_{lj}\; </MATH>|2.27}} Pomnóżmy obustronnie {{LinkWzór|2.27}} przez {{Formuła|<MATH>e^{j}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e_rg^{kr}e^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.28}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>e_r g^{k r} = e^k</MATH>}} (por. {{LinkWzór|2.20}}), oraz {{CentrujWzór|<MATH>e^ie_k=e^i g_{sk}e^s=g_{sk}e^ie^s=g_{sk}g^{is}={g^i}_k={\delta^i}_k\;</MATH>|2.29}} To równanie {{LinkWzór|2.28}} można przekształcić do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e^ke^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow\nabla_l (e_je^ke^j)-(\nabla_l e^k) e_je^j-(\nabla_l e^j)e_je^k={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow(\nabla_le^k{g^{j}}_j)-(\nabla_l e^k) {g^j}_j-(\nabla_l e^j){g^k}_j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.30}} Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|2.18}} w {{LinkWzór|2.30}} otrzymamy {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla_l e^k){g^{j}}_j-(\nabla_le^k){g^{j}}_j-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.31}} Pierwsze dwa wyrazy w {{LinkWzór|2.31}} redukują się, tzn. mamy {{CentrujWzór|<MATH>-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow(\nabla_le^k)=-{\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.32}} - otrzymaliśmy wzór {{LinkWzór|2.25}} , cnd. == Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej == W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną wektora o współrzędnych kowariantnych. Dowolny wektor A można rozłożyć na składowe kontrawariantne A{{Sup|i}} względem wersorów e{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>A=A^ie_i\;\;</MATH>|2.33}} Policzmy różniczkę wektora A wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej z iloczynu dwóch wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>dA=dA^i e_i+A^i de_i\;\;</MATH>|2.34}} Wykorzystać tożsamość {{LinkWzór|2.24}} obliczamy różniczkę wektora e{{Sub|i}} {{CentrujWzór|<MATH>de_i={{\partial e_i}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_i dx^l={\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.35}} Wzór {{LinkWzór|2.35}} wstawiamy do {{LinkWzór|2.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^i}\over{\partial x^l}}dx^le_i+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.36}} Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze {{LinkWzór|2.36}} otrzymujemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}dx^le_k+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.37}} Obie strony {{LinkWzór|2.37}} dzielmy przez różniczkę ''du'' - po przekształceniu otrzymujemy pochodną zupełną wielkości x{{Sup|l}} względem zmiennej ''u'' pomnożonej przez wektor e{{Sub|k}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li} \right){{dx^l}\over{du}}e_k\;</MATH>|2.38}} Wyrażenie w nawiasie wzoru {{LinkWzór|2.38}} definiuje pochodną kowariantną: oprócz zwykłej pochodnej cząstkowej mamy tu składnik zawierający sumę iloczynów współrzędnych wektora A i symbolu Christoffela: {{CentrujWzór|<MATH>{A^k}_{;l}={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li}\;</MATH>|2.39|Obramuj}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.38}} nazywamy pochodna absolutną, a {{LinkWzór|2.39}} jest '''pochodną kowariantną wielkości kontrawariantnej'''. == Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej == W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną o współrzędnych kowariantnych, w tym celu napiszmy wektor A, który można rozłożyć na składowe B{{Sub|i}} względem wektorów kontrawiantnych e{{Sup|i}}, wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>B=B_je^j\;\;</MATH>|2.40}} A teraz policzmy różniczkę wielkości wektorowej B zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|2.40}} wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej iloczynu dwóch wielkości. Na samym końcu nasza różniczka ''dB'' wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>dB=dB_je^j+Bde^j\;\;</MATH>|2.41}} Możemy również, wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|2.25}} i używając jej we wzorze na różniczkę wersora e{{Sub|i}}, napisać tożsamość na różniczkę zupełną wielkości wektora kontrawariantnego o wskaźniku i-tym: {{CentrujWzór|<MATH>de^j={{\partial e^j}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e^jdx^l=-{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.42}} Tożsamości na różniczkę wektora wielkości kontrawiariantnej {{LinkWzór|2.42}} możemy użyć we wzorze na różniczkę zupełną wielkość B {{LinkWzór|2.41}}, którą można przy pomocy tensora Christoffela zapisać wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>dB={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}e^jdx^l+B_j\nabla_le^jdx^l={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}dx^le^j-B_j{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.43}} Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze {{LinkWzór|2.43}} możemy przepisać wspomniany wzór na różniczkę zupełną wielkości B jako różniczkę absolutną: {{CentrujWzór|<MATH>{{dB}\over{du}}=\left({{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k=\left( {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k\;</MATH>|2.44}} A zatem zdefiniujmy na podstawie wzoru {{LinkWzór|2.44}} pochodną tensorową, która mieści się w nawiasie w wspomnianym wyrażeniu. Zapisujemy ją jako wielkość kowariantną, w której występuje zwykła pochodna cząstkowa i wyraz będący iloczynem współrzędnej wielkości B i symbolu Christoffela: {{CentrujWzór|<MATH>B_{k;l}= {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\;</MATH>|2.45|Obramuj}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.44}} nazywamy pochodną absolutną, natomiast wzór {{LinkWzór|2.45}} nazywamy '''pochodną kowariantną wielkości kowariantnej'''. == Pochodna tensorowa iloczynu tensorów == Wyznaczymy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, najpierw podając pełną jej postać: {{CentrujWzór|<MATH>(A^iB^j)_{;k}={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;</MATH>|2.46}} Wyznaczmy lewą stronę równania {{LinkWzór|2.46}}, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej {{LinkWzór|2.39}}, po czym przejdziemy do jej prawej strony, zatem przekształcając jednocześnie możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>(A^iB^j)_{;k}={C^{ij}}_{;k}={C^{ij}}_{,k}+{\Gamma^{i}}_{ks}C^{sj}+ {\Gamma^{j}}_{ks}C^{is}={(A^iB^j)}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^sB^j+{\Gamma^j}_{ks}A^iB^s=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={A^i}_{,k}B^j+A^i{B^j}_{,k}+({\Gamma^i}_{ls}A^s)B^j+({\Gamma^j}_{ks}B^s)A^i=B^j({A^i}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^s)+A^i({B^j}_{,k}+\Gamma^j_{ks}B^s)={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;</MATH>|2.47}} ''Co kończy dowód''. Wyznaczmy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, w tym celu najpierw podamy, jak ta zależność jest napisana w pełnej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(A_iB_j)_{;k}={A_i}_{;k}B_j+A_i{B_j}_{;k}\;</MATH>|2.48}} Wyznaczmy lewą stronę równania {{LinkWzór|2.48}}, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej {{LinkWzór|2.45}}, i przejdziemy do jej prawej strony, przekształcając jednocześnie obie strony: {{CentrujWzór|<MATH>(A_iB_i)_{;k}=C_{ij;k}=C_{ij,k}-{\Gamma^s}_{ik} C_{sj}-{\Gamma^s}_{jk}C^{is}=(A_iB_i)_{,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}A_iB_s=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=A_iB_{j,k}+A_{i,k}B_j-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}B_sA_i=A_i(B_{j,k}-{\Gamma^s}_{jk}B_s)+(A_{i,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_s)B_j=A_iB_{j;k}+A_{i;k}B_j\;</MATH>|2.49}} ''Co kończy dowód.'' == Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela == Weźmy pochodną cząstkową pewnego skalaru, który nazwiemy &phi; napisaną względem wielkości &alpha; i &beta;, co wyrazimy: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,i,j}={{\partial}\over{\partial x^{i}}}{{\partial}\over{\partial x^{j}}}\phi\;</MATH>|2.50}} Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{;i;j}=\phi_{;j;i}\;</MATH>|2.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,i}=\phi_{;i}\wedge \phi_{,j}=\phi_{;j}\;</MATH>|2.52}} }} Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,i,j}-\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ij}=\phi_{,j,i}-\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.53}} Pochodna cząstkowa względem parametru x{{Sup|&alpha;}}, a potem od parametru x{{Sup|&alpha;}} jest taka sama, gdybyśmy różniczkowali od odwrotnej strony, zatem wiadomo z analizy matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,j,i}=\phi_{,i,j}\;</MATH>|2.54}} W takim bądź razie wyrażenie {{LinkWzór|2.53}}, przy pomocy tożsamości {{LinkWzór|2.54}} wynikającej z przemienności różniczkowania cząstkowego, możemy zapisać w uproszczonej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ij}=\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.55}} Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej &phi; i z przemienności różniczkowania cząstkowego funkcji &phi; {{LinkWzór|2.54}}, tensor Christoffela jest zapisywany wzorem poniżej, w którym widać że tensor ten jest przemienny ze względu na kolejność dolnych wskaźników: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^{k}}_{ij}={\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.56}} Udowodnijmy następną tożsamość ze względu na przemienność pierwszego z drugim lub pierwszego i z trzecim wskaźnika symboli Christoffela, a to prawo na wstępie zapiszmy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma_{kij}=\Gamma_{ikj}=\Gamma_{jik}\;</MATH>|2.56a}} Weźmy wzór {{LinkWzór|2.24}} i pomnóżmy go obustronnie przez wektor {{Formuła|<MATH>e_l\;</MATH>}} pamiętając, że {{Formuła|<MATH>e_ke^l=e_le^k={\delta_k}^l={\delta_l}^k\;</MATH>}}, co będziemy wyznaczać będziemy przemienność wskaźnika pierwszego z drugim w symbolach Christoffela, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e^l={\Gamma^k}_{l j}e_ke^l\Rightarrow(\nabla_le_j)e^l={\Gamma^l}_{k j}e_ke^l\Rightarrow (\nabla_le_j)e^l={\Gamma^l}_{k j}e^ke_l\Rightarrow (\nabla_le_j)e^l={{{\Gamma_l}^k}_j}e_ke^l\Rightarrow \left((\nabla_le_j)-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\right)e^l=0</MATH>|2.56b}} A ponieważ wektor {{Formuła|<MATH>e^l\;</MATH>}} może być dowolny, wtedy z {{LinkWzór|2.56b}}: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla_le_j-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k=0\Rightarrow\nabla_le_j={{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\;</MATH>|2.56c}} Porównajmy dwa wzory końcowy {{LinkWzór|2.56c}} z {{LinkWzór|2.24}}, wtedy otrzymujemy w przypadku dowolnego {{Formuła|<MATH>e_k\;</MATH>}} przemienność pierwszego wskaźnika z drugim: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{l j}={{{\Gamma_l}^k}_j}\;</MATH>|2.56d}} Zatem właściwość symboli Christoffela przemienności wskaźnika pierwszego z trzecim wychodząc od {{LinkWzór|2.56d}} możemy napisać w inny sposób sprowadząjąc wskaźniki górne na dolne, wtedy wykorzystując {{LinkWzór|2.56}} (sprowadzając wskaźniki na dół), potem na podstawie tego dochodzimy do wniosku sprowadzając wskaźnik k do góry, co: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{l j}={\Gamma_{jl}}^k\;</MATH>|2.56e}} Zatem przemienność pierwszego z drugim (na podstawie {{LinkWzór|2.56d}}) i pierwszego z trzecim {{LinkWzór|2.56e}} wskaźnika symboli Christoffela, czyli mamy właściwość po sprowadzeniu wskaźników górnych na dolne, czyli wtedy zachodzi {{LinkWzór|2.56a}}, co później dzięki właściwości tensora metrycznego ta właściwość też jest spełniona przy sprowadzeniu jakiś wskaźników z dołu do góry. == Uogólnienie tensora absolutnego == Weźmy tensor o dowolnych wskaźnikach dolnych i górnych, wówczas wielkość A zapisujemy jako zależność od wektorów (tensorów) e{{Sub|k{{Sub|i}}}}: {{CentrujWzór|<MATH>A=A^{k_1,k_2,..,k_r}_{r_1,r_2,...,r_m}e_{k_1}e_{k_2}\cdot ...\cdot e_{k_r} e^{r_1}e^{r_2}\cdot ... \cdot e^{r_m}\;\;</MATH>|2.60}} Stosując konwencje sumacyjną Einsteina, wtedy {{LinkWzór|2.60}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>A=A^{k_1,k_2,..,k_r}_{r_1,r_2,...,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;</MATH>|2.61}} Szczególnymi przypadkami powyższej definicji są schematy zapisane wedle wzorów {{LinkWzór|2.33}} i {{LinkWzór|2.40}}. == Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych == Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu {{LinkWzór|2.61}}, dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez: {{CentrujWzór|<MATH>dA=d\left[\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)\right]=d\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\right)\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\left(\sum^r_{q=1}A^{...,k_{q-1},k_q,k_{q+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}de_{k_q}\prod^r_{i=1,i\neq q}e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left(\sum^m_{q=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{q-1},r_q,r_{q+1},...}de^{r_q}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1,i\neq q}e^{r^i}\right)\;</MATH>|2.62}} Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów {{LinkWzór|2.24}} i {{LinkWzór|2.25}}, aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>de_q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_q dx^l={\Gamma^k}_{lq}e_kdx^l\;</MATH>|2.63}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>de^q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_le^qdx^l=-{\Gamma^q}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.64}} }} A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru {{LinkWzór|2.62}} do którego podstawiamy dwie tożsamości {{LinkWzór|2.63}} i {{LinkWzór|2.64}}, wtedy dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}dx^l\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\sum^r_{i=1} A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}dx^l\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^{q}}_{lr_i}\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}dx^l\right)\;</MATH>|2.65}} Jeśli wzór {{LinkWzór|2.65}} podzielimy przez wielkość ''du'', dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości x{{Sup|l}} względem wielkości ''u'' i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\right){{dx^l}\over{du}}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;</MATH>|2.66}} A więc pochodna tensorowa wielkości A nazwijmy wyrażenie w nawiasie {{LinkWzór|2.66}} względem wielkości x{{Sup|l}}, którą piszemy wedle sposobu poniżej przedstawionej ją za pomocą tensorów Christoffela: {{CentrujWzór|<MATH>A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m;l}={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_q,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1}...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\;</MATH>|2.67}} Dla tensorów dwu-wskaźnikowych górnych lub dolnych podamy ogólny wzór określony według wzoru {{LinkWzór|2.67}}, dla przykładów poniżej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{A^{ij}}_{;l}={{\partial A^{ij}}\over{\partial x^l}}+A^{qj}{\Gamma^i}_{lq}+A^{iq}{\Gamma^j}_{lq}\;</MATH>|2.68}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{ij;l}={{\partial A_{ij}}\over{\partial x^l}}-A_{kj}{\Gamma^k}_{li}-A_{ik}{\Gamma^k}_{lj}\;</MATH>|2.69}} }} Dla tensora dwuwskaźnikowego górno-dolnego podamy ogólny wzór według wzoru {{LinkWzór|2.67}}, które zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{A^i}_{j;l}={{\partial {A^i}_j}\over{\partial x^l}}+{A^{m}}_j{\Gamma^i}_{lm}-{A^{i}}_m{\Gamma^{m}}_{lj}\;</MATH>|2.70}} == Własności tensora metrycznego == Możemy przekształcić tensor kontrawariantny na tensor kowariantny z własności tensora metrycznego prostego, które możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>V_{i}=g_{ik} V^{k}\;\;</MATH>|2.71}} Także możemy zróżniczkować tensorowo obustronnie dane równanie {{LinkWzór|2.71}} wykorzystując przy okazji wzór na pochodną tensorową iloczynu wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>V_{i;j}=g_{ik;j}V^{k}+g_{ik}{V^{k}}_{;j}\;\;</MATH>|2.72}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że powinno zachodzić z własności tensora metrycznego przy niemym wskaźniku &mu;, przy operacjach na wskaźnikach: {{CentrujWzór|<MATH>g_{ik}{V^{k}}_{;j}=V_{i;j}\;\;</MATH>|2.73}} Równość {{LinkWzór|2.72}} do której zastosujemy tożsamość tensorową {{LinkWzór|2.73}}, którą zapisujemy z własności tensora metrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>V_{i;j}=g_{ik;j}V^{k}+V_{i;j}\;\;</MATH>|2.74}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|2.74}} i aby ona była tożsamością, to powinno na pewno zachodzić wyrażenie poniżej, czyli dowolna pochodna kowariantna tensora metrycznego podwójnie kowariantnego byłaby zapisywana według tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>g_{ik;j}=0\;\;</MATH>|2.75}} == Wyznaczanie symboli Christoffela == Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi {{LinkWzór|2.75}}, to wykorzystując przy okazji wzór {{LinkWzór|2.69}}, możemy powiedzieć, że: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Strong|(j,r,l)->}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}-{\Gamma^k}_{lj}g_{kr}-{\Gamma^k}_{lr}g_{jk}=0\;\;</MATH>|2.76}} }} Poprzez permutację wskaźników we wzorze {{LinkWzór|2.76}} otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Strong|(r,l,j)->}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{\Gamma^k}_{jr}g_{kl}-{\Gamma^k}_{jl}g_{rk}=0\;\;</MATH>|2.77}}|_1=width:auto; }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Strong|(l,j,r)->}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-{\Gamma^k}_{rl}g_{kj}-{\Gamma^k}_{rj}g_{lk}=0\;\;</MATH>|2.78}}|_1=width:auto; }} Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-2{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}=0\;\;</MATH>|2.79}} Dzieląc przez dwa oraz mnożąc przez g{{Sup|kr}} tożsamość otrzymaną w punkcie {{LinkWzór|2.79}} przechodzimy do tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}g^{kr}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;</MATH>|2.80}} Po przekształceniach w punkcie {{LinkWzór|2.80}} wykorzystując własności tensora metrycznego, oraz że zachodzi dla tensora metrycznego kontrawiariantno-kowariantnego {{LinkWzór|2.18}}, co ono jest równo delcie Kroneckera, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^p}_{lj}{\delta^k}_p={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\Rightarrow{\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;</MATH>|2.81}} Końcowy wynik zapisany w punkcie {{LinkWzór|2.81}} jest zależny od pierwszych pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, a także zależy od tensora metrycznego podwójnie kontrawariantnego tego samego tensora co wcześniej. Dlatego piszemy go wedle sposobności: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{jr,l}+g_{rl,j}-g_{lj,r}\right)\;</MATH>|2.82|Obramuj}} == Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych == Teraz udowodnimy, że pochodne kowariantne mieszane w przestrzeni nieeuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania: {{CentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}\;</MATH>|2.83}} Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu {{LinkWzór|2.39}}, to możemy również zapisać przy innych oznaczeniach podobnie, ale oznaczające to samo: {{CentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l}={{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\;</MATH>|2.84}} Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową {{LinkWzór|2.84}}, to wyrażenie {{LinkWzór|2.83}} możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego: {{CentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}=({a^k}_{;l})_{;n}-({a^k}_{;n})_{;l}=\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{;n}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{;l}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{,n}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^r}_{lm}\right){\Gamma^k}_{nr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{,l}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^r}_{nm}\right){\Gamma^k}_{lr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(a^k_{,l,n}-a^k_{,n,l}\right)+a^m\left({\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)+a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)\;</MATH> |2.85}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.83}} wedle obliczeń {{LinkWzór|2.85}} zapisujemy wedle wzoru poniżej wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny: {{CentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}={R^k}_{mnl}a^m\;</MATH>|2.86}} * gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;</MATH>|2.87|Obramuj}} == Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych == Teraz udowodnimy, że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania: {{CentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}\;\;</MATH>|2.88}} Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu {{LinkWzór|2.45}}, może zostać zapisać podobnie z użyciem innych oznaczeń, ale oznaczających to samo: {{CentrujWzór|<MATH>a_{k;l}= {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_j{\Gamma^j}_{lk}\;</MATH>|2.89}} Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową {{LinkWzór|2.89}}, to wyrażenie {{LinkWzór|2.88}} możemy zapisać poniżej jako różnicę pochodnych kowariantnych wspomnianego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=\left({{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{;n} -\left({{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{;l}=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{,n}-\left( {{\partial a_r}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lr} \right){\Gamma^r}_{nk}-\left({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}+a_m{\Gamma^m}_{sk}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;</MATH>{{Br}} <MATH>-\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{,l}- \left({{\partial a_r}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nr}\right){\Gamma^r}_{lk}-\left({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}-a_m{\Gamma^m}_{sk}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=\left(a_{k,l,n}-a_{k,n,l}\right)+a_m\left({{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}\right)+a_m\left({\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}\right)\;</MATH>|2.90}} Wyrażenie {{LinkWzór|2.88}} wedle obliczeń {{LinkWzór|2.90}} zapisujemy wedle wzoru poniżej, wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny: {{CentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=-{{R^{m}}}_{knl}a_m\;\;</MATH>|2.91}} * gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela, które zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{R^{m}}}_{kln}={{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}+{\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}=-{R^m}_{knl}\;</MATH>|2.92|Obramuj}} == Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych == Do wzoru na czterowskaźnikowy tensor krzywizny {{LinkWzór|2.87}} wstawiamy za tensory Christoffela zdefiniowane wedle wzoru {{LinkWzór|2.82}}, w końcu otrzymujemy następujący wzór zależny tylko od drugich pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, co wykażemy później: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{mr,l,n}+g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{mr,n,l}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,n}\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+\;</math>{{Br}}<math>-{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,l}\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;</MATH>|2.93}} Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero według schematu {{LinkWzór|2.75}}, to wyznaczając z niego pochodną cząstkową stojącą po lewej stronie tensora metrycznego, a pozostałe po prawej jego stronie, otrzymujemy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>0={g^{kr}}_{;n}={g^{kr}}_{,n}+{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\Rightarrow{g^{kr}}_{,n}=-{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}-{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\;</MATH>|2.94}} Czterowskaźnikowy tensor krzwywizny {{LinkWzór|2.93}} po zastosowaniu do niego tożsamości wynikowej {{LinkWzór|2.94}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\right)\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+ {{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ls}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}\right)\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\Rightarrow\;</math>{{Br}}<math>\Rightarrow{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ns}{\Gamma^s}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ls}{\Gamma^s}_{nm}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}+{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}\;</MATH>|2.95}} Następnie wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje według wzoru {{LinkWzór|2.25}}, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}={\Gamma_{pn}}^k{\Gamma^p}_{lm}= {{\Gamma_p}^k}_n{\Gamma^p}_{lm}={\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}\;</MATH>|2.96}} Dalej wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje {{LinkWzór|2.25}}, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}={\Gamma_{pl}}^k{\Gamma^p}_{nm}={\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;</MATH>|2.97}} Mając wzór {{LinkWzór|2.95}}, a także tożsamości {{LinkWzór|2.96}} i {{LinkWzór|2.97}}, wspomniany czterowskaźnikowy tensor krzywizny możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+ {{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;</MATH>|2.98}} Przepisując jeszcze raz końcowy wynik {{LinkWzór|2.98}}, wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny z tylko pierwszym wskaźnikiem górnym zapisujemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;</MATH>|2.99}} Inny równoważny do {{LinkWzór|2.99}} czterowskaźnikowy tensor krzywizny, z wykorzystaniem własności tensora metrycznego, otrzymujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}=g_{ik}{R^k}_{mnl}=g_{ik}{{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;</MATH>|2.100}} Czterowskaźnikowy tensor krzywizny o wszystkich wskaźnikach dolnych na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.100}} piszemy natomiast wedle wyobrażeń: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,m,n}-g_{lm,i,n}-g_{in,m,l}+g_{nm,i,l}\right)\;</MATH>|2.101|Obramuj}} == Tensorowy charakter tensora krzywizny == Z definicji pochodnej tensorowej {{LinkWzór|2.67}} możemy napisać pochodne tensorowe tensora Christoffela w takiej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{lm;n}={\Gamma^k}_{lm,n}+{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}- {\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^{k}}_{sm}-{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}\;</MATH>|2.102}} Tożsamość {{LinkWzór|2.102}} wstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.86}} na tensor czterowskaźnikowy krzywizny i otrzymujemy równość, którą zapisujemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}+{\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}- {\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^k}_{sl}{\Gamma^s}_{mn}-{\Gamma^s}_{ml}{\Gamma^k}_{ns}-{\Gamma^s}_{nl}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;</MATH>|2.103}} Jak udowodniliśmy czterowskaźnikowy tensor krzywizny {{LinkWzór|2.103}} jest zwykłym tensorem, ponieważ występują w nim same tensory, ale w nich nie ma pochodnych cząstkowych, co pierwotnie ten sam tensor zawierał w zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|2.92}}. Można więc na podstawie wspomnianych tychże obliczeń powiedzieć, iż: {{CentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}\;</MATH>|2.104|Obramuj}} == Właściwości tensora krzywizny == Ze względu na przestawienie wskaźników w pierwszej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny w takim działaniu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= -{{1}\over{2}}\left(g_{ml,in}-g_{lm,mn}-g_{mn,il}+g_{ni,ml}\right)=-R_{minl}\;\;</MATH>|2.105}} Ze względu na przestawienie wskaźników w drugiej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny takim działaniu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= -{{1}\over{2}}\left(g_{in,ml}-g_{nm,il}-g_{il,mn}+g_{lm,in}\right)=-R_{imln}\;\;</MATH>|2.106}} Zaś ze względu na przestawienie pierwszej pary wskaźników z drugą parą wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje symetryczność takiego działania: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= {{1}\over{2}}\left(g_{nm,li}-g_{ml,ni}-g_{ni,lm}+g_{il,lm}\right)=R_{nlim}\;\;</MATH>|2.107}} Stwierdziliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.105}} przy przestawianiu pierwszej pary wskaźników, {{LinkWzór|2.106}} przy przedstawianiu drugiej pary wskaźników i ostatecznie {{LinkWzór|2.107}} przy przedstawieniu pierwszej pary wskaźników z drugą parą otrzymujemy, co następuje: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}=-R_{minl}=-R_{imln}=R_{nlim}\;\;</MATH>|2.108}} Przejdźmy teraz do następnej tożsamości, korzystając ze wzoru {{LinkWzór|2.101}}. Dochodzimy zatem do wniosku, że ta tożsamość jest równa zero, na co dowód przeprowadzamy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)+{{1}\over{2}}\left(g_{in,lm}-g_{nl,im}-g_{im,ln}+g_{ml,in}\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{2}}\left(g_{im,nl}-g_{mn,il}-g_{il,nm}+g_{ln,im}\right)=0\;\;</MATH>|2.109}} Na podstawie obliczeń wykonanych w punkcie {{LinkWzór|2.109}} przepisując jeszcze raz wynik końcowy, co do czego doszliśmy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}=0\;\;</MATH>|2.110|Obramuj}} == Tożsamość Bianchiego == Pochodna zwykła cząstkowa tensora krzywizny zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.101}} przyjmuje takową postać w wyglądzie tensorowym: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)\;\;</MATH>|2.111}} Policzmy teraz tożsamość poniżej korzystając przy tym z definicji pochodnej cząstkowej czterowskaźnikowego tensora krzywizny, który jest napisana wzorem {{LinkWzór|2.111}}. {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}= {{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)+\;\;</MATH>{{Br}} <MATH>+{{1}\over{2}}\left(g_{in,mpl}-g_{nm,ipl}-g_{ip,mnl}+g_{pm,inl}\right)+ {{1}\over{2}}\left(g_{ip,mln}-g_{pm,iln}-g_{il,mpn}+g_{lm,ipn}\right)=0\;\;</MATH>|2.112}} Powyższą tożsamość jest spełniona, ponieważ różniczkowanie jest przemienne i przepisując nasz wniosek w postaci twierdzenia o tensorach, udowadniamy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}=0\;\;</MATH>|2.113|Obramuj}} Zdefiniujmy nowy dwuwskaźnikowy tensor, który jest kombinacją czterowskaźnikowego tensora krzywizny i tensora metrycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl}=g^{im}R_{imnl}\;\;</MATH>|2.114}} Można udowodnić, że zachodzi na pewno tożsamość podana poniżej; polegająca na tym, że tensor {{LinkWzór|2.114}} jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zmianie wskaźników miejscami przed tensorem pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl}=-K_{ln}\;\;</MATH>.|2.115}} A dowód {{LinkWzór|2.115}} przeprowadzamy wykorzystując definicję pewnego tensora zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.114}} i korzystając przy tym z własności {{LinkWzór|2.106}}, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl}=g^{im}R_{imnl}=g^{im}(-R_{imln})=-g^{im}R_{imln}=-K_{ln}\;\;</MATH>|2.116}} Udowodniliśmy, że tensor K{{Sub|nl}} {{LinkWzór|2.114}}, jest tensorem antysymetrycznym, tak jak powiedziane zostało wcześniej z własności tensora czterowskaźnikowego krzywizny. Pochodna tensorowa tensora K{{Sub|nl}} zapisanego w punkcie {{LinkWzór|2.114}}, przedstawia się wzorem wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}\;\;</MATH>|2.117}} Następnym naszym krokiem jest policzenie wyrażenia poniżej z wykorzystaniem przy tym tożsamości {{LinkWzór|2.117}}. Dzięki temu wiemy, że; {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}+K_{pn,l}-{\Gamma^k}_{pl}K_{kn}-{\Gamma^k}_{nl}K_{pk}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{ln}K_{kp}-{\Gamma^k}_{pn}K_{lk}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{lp}(K_{nk}+K_{kn})-{\Gamma^k}_{np}(K_{kl}+K_{lk})-{\Gamma^k}_{ln}(K_{kp}+K_{pk})=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.118}} Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.118}} zachodzi tożsamość, którą udowodniliśmy we wspomnianych obliczeniach: {{CentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.119|Obramuj}} Teraz skorzystamy z definicji K{{Sub|nl}} {{LinkWzór|2.114}} i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero wedle punktu {{LinkWzór|2.75}}, a wtedy lewa strona {{LinkWzór|2.119}} jest zapisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>L=K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=(R_{imnl}g^{im})_{;p}+(R_{impn}g^{im})_{;l}+(R_{imlp}g^{im})_{;n}=g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})\;\;</MATH>|2.120}} A także prawą stronę równości {{LinkWzór|2.119}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;</MATH>|2.121}} Dochodzimy do wniosku, że jeśli {{Formuła|<MATH>L=P\;</MATH>}}, czyli wyrażenia {{LinkWzór|2.120}} i {{LinkWzór|2.121}} są sobie równe, bo punkt {{LinkWzór|2.119}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;</MATH>|2.122}} Poniżej traktujemy jako zmienne g{{Sub|im}} i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych, co wtedy można udowodnić, że na pewno zachodzą własności powiedziana poniżej, bo tensor czterowskaźnikowy krzywizny {{LinkWzór|2.101}} i jego pochodna zawierają w sobie kolejno drugie i trzecie pochodne podwójnie kowariantnego tensora metrycznego względem współrzędnych, co z definicji pochodnej złożonej znana ze szkoły średniej przedstawiamy te własności jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial R_{imnl}}\over{\partial g^{im}}}=0\;</MATH>|2.123a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial R_{imnl,p}}\over{\partial g^{im}}}=0\;</MATH>|2.123b}} }} Poniżej traktujemy jako zmienne g{{Sup|im}} i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych. Z wiadomości pochodzących z analizy matematycznej możemy napisać tożsamość matematyczną, która będą przydatne do dalszych obliczeń w celu maksymalnego uproszczenia tożsamości {{LinkWzór|2.122}} wykorzystując udowodnioną tożsamość {{LinkWzór|2.123a}} i {{LinkWzór|2.123b}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial (R_{imnl}g^{im})_{,p}}\over{\partial g^{im}}}={{\partial (R_{imnl,p}g^{im}+R_{imnl}{g^{im}}_{,p})}\over{\partial g^{im}}}=R_{imnl,p}\;</MATH>|2.124}} Zróżniczkujmy obie strony równania tensorowego {{LinkWzór|2.122}} względem g{{Sup|im}}, wtedy otrzymujemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}\;\;</MATH>|2.125}} Wcześniej udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość {{LinkWzór|2.113}}. Zatem '''tożsamość Bianchiego''' po zastosowaniu wspomnianej tożsamości do {{LinkWzór|2.125}} pozwala na wyciągnięcie końcowego wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=0\;\;</MATH>|2.126|Obramuj}} == Tensor Ricciego == Definicja tensora Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny o pierwszym wskaźniku górnym {{LinkWzór|2.87}} piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ml}={R^k}_{mkl}=R_{lm}\;</MATH>|2.127}} Powyższe skrajne równości są sobie równe w {{LinkWzór|2.127}}. Na tej podstawie możemy udowodnić, korzystając z czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ml}={R^k}_{mkl}= {{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,mk}-g_{lm,rk}-g_{rk,ml}+g_{km,rl}\right)={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{km,rl}-g_{rk,ml}-g_{lm,rk}+g_{rl,mk}\right)=R_{lm}\;</MATH>|2.128}} '' Co kończy dowód. '' Tensor Ricciego {{LinkWzór|2.127}} zdefiniowany poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny, w której sumowanie następuje po dwóch wskaźnikach niemych, tzn. pierwszym i trzecim, pozwala na narysowanie definicji tego tensora: {{CentrujWzór|<MATH>R_{ln}=g^{km}R_{klmn}={R^m}_{lmn}\;</MATH>|2.129}} == Skalar Ricciego == A skalar Ricciego można zdefiniować poprzez tensor Ricciego {{LinkWzór|2.129}} wedle sposobu podanego poniżej lub inaczej, wyrażając w tym samym wzorze tensor Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny: {{CentrujWzór|<MATH>R=g^{ln}R_{ln}=g^{ln}g^{km}R_{klmn}\;</MATH>|2.130}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ckzznle61r9bkqzajban4bmizyga234 0 15115 559086 558619 2026-10-11T03:23:04Z Persino 2851 559086 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zajmować się będziemy obrotem punktu wokół początku układu współrzędnych, a także obrotem układu współrzędnego płaskiego o ściśle określony kąt, a także obrotem układu współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej o ściśle określone kąty Eulera. == Obrót punktu wokół osi z == Spróbujmy napisać transformacje obrotu punktu (x,y) dla przestrzeni dwuwymiarowej przy obrocie odwrotnym niż ruch wskazówek zegara o kąt &alpha; do punktu (x',y'), wiedząc że transformacje współrzędnych z układu cylindrycznego na kartezjański można napisać w postaci wzorów x=rcos&alpha; i y=rsin&alpha;: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x'=r\cos(\alpha+\phi)=r\cos\alpha\cos\phi-r\sin\alpha\sin\phi=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=x\cos\phi-y\sin\phi\;</MATH>|4.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y'=r\sin(\alpha+\phi)=r\sin\alpha\cos\phi+r\cos\alpha\sin\phi=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=x\sin\phi+y\cos\phi\;</MATH>|4.2}} }} Otrzymujemy w ten sposób dwa równania przedstawiające obrót wokół osi z o kąt &phi; mając stare współrzędne kartezjańskie "x" i "y" w płaskim układzie współrzędnych: * '''Obrót dwuwymiarowy punktu, wokół osi z:''' {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x'=x\cos\phi-y\sin\phi\;</MATH>|4.3}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y'=x\sin\phi+y\cos\phi\;</MATH>|4.4}} }} Macierzowo, macierz obrotu punktu w układzie kartezjańskim wokół osi z o kąt &phi; piszemy na podstawie wzorów {{LinkWzór|4.3}} i {{LinkWzór|4.4}} według: {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix} \cos\phi&-\sin\phi\\ \sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}</MATH>|4.5}} Ogólnie macierzowo związek {{LinkWzór|4.3}} i {{LinkWzór|4.4}} piszemy ogólnie przy definicji macierzy obrotu {{LinkWzór|4.5}} wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>X'=MX\;</MATH>|4.6}} Po podstawieniu za M określone wzorem {{LinkWzór|4.5}} do {{LinkWzór|4.6}} możemy macierzowo opisać transformacje obrotu punktu (x,y) wokół punktu (0,0) wedle wzoru określonego poniżej. {{Twierdzenie|tekst=Pełny zapis transformacji wraz z macierzą obrotu punktu w przestrzeni dwuwymiarowej dla transformacji prostej: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi&-\sin\phi\\ \sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}</MATH>|4.7}} }} {{Twierdzenie|tekst=Pełny zapis transformacji wraz z macierzą obrotu punktu w przestrzeni dwuwymiarowej dla transformacji odwrotnej: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi\\ -\sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}</MATH>|4.8}} }} == Obrót układu współrzędnych wokół osi z == Z poprzedniego rozdziału wiemy, że macierz transformacji określająca obrót punktu wokół początku układu współrzędnej jest napisana wzorem {{LinkWzór|4.7}}. Teraz niech punkt pozostaje w spoczynku, a układ współrzędnych porusza się odwrotnie ze wskazówkami współrzędnych, wtedy w macierzy transformacji trzeba zastąpić według podstawienia {{Formuła|<MATH>\alpha\rightarrow-\alpha\;</MATH>}}, stąd: {{CentrujWzór|<MATH>M=\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi\\ -\sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}</MATH>|4.9}} Zaś sama transformacja wygląda : {{Twierdzenie|tekst=Pełny zapis transformacji wraz z macierzą transformacji dla obracającego się układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi\\ -\sin\phi&\cos\phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}</MATH>|4.10}} }} == Kąty Eulera == Kąty Eulera (od nazwiska szwajcarskiego matematyka [[w:Leonhard Euler|Leonharda Eulera]]), to układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. === Definicja === {{Rysunek|Kąty Eulera.svg|gg1|Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych}} Dokonajmy obrotu układu współrzędnych xyz do x'y'z', według opisu: *obrotu wokół osi z, takiego aby oś x pokryła się z linią węzłów w *obrotu wokół osi x ( = w), takiego aby oś z pokryła się z osią z' *obrotu wokół osi z ( = z'), takiego aby oś x pokryła się z osią x' (wówczas również oś y pokryje się z osią y'). Przy czym zakładamy, że obrót wokół np. osi x uważamy za dodatni, gdy odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara. Obrót układu współrzędnych można opisać przez trójkę kątów: : {{Formuła|<MATH>\varphi,\psi,\theta=[0,2\pi),[0,2\pi),[0,\pi)</MATH>}}. Określmy: * {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} — kąt mierzony od osi x do osi węzłów w w kierunku wyznaczonym osią z jest to kąt obrotu 1. * {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} — kąt mierzony od osi węzłów w do osi x' w kierunku wyznaczonym osią z' jest to kąt obrotu 2. * {{Formuła|<math>\psi</MATH>}} — kąt mierzony od osi z do z' w kierunku wyznaczonym osią węzłów w jest to kąt obrotu 3. Macierze obrotu A₁, A₂ i A₃, którego symbolizują obroty układu współrzędnych, z charakteryzowane powyżej wynoszą: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math> A_1 = \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\qquad</MATH>|4.11}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\qquad</MATH>|4.12}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> A_3 = \begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0\\ -\sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>|4.13}} }} Macierz obrotu {{LinkWzór|4.11}}(przy pierwszym obrocie) i {{LinkWzór|4.13}}(przy trzecim obrocie) są w kierunku wyznaczonym przez trzecią oś, a {{LinkWzór|4.12}}(przy drugim obrocie) jest w kierunku wyznaczonym przez pierwszą oś. Macierz obrotu w trzech kierunkach na podstawie macierzy poszczególnych obrotów {{LinkWzór|4.11}}, {{LinkWzór|4.12}} i {{LinkWzór|4.13}} jest przedstawiona wzorem A=A₃A₂A₁), co po podstawieniu do tej formuły macierze obrotów, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>A=A_3A_2A_1=\begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0\\ -\sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix} \cos\psi&\sin\psi\cos\theta&\sin\psi\sin\theta\\ -\sin\psi&\cos\psi\cos\theta&\cos\psi\sin\theta\\ 0&-\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </MATH>|4.14}} Macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, określająca obroty ze starego położenia do nowego układu współrzędnych, przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>A=A_3A_2A_1=\begin{bmatrix} \cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi &\cos\psi\sin\varphi+\sin\psi\cos\theta\cos\varphi &\sin\psi\sin\theta\\ -\sin\psi\cos\varphi-\cos\psi\cos\theta\sin\varphi &-\sin\psi\sin\varphi+\cos\psi\cos\theta\cos\varphi &\cos\psi\sin\theta\\ \sin\theta\sin\varphi &-\sin\theta\cos\varphi &\cos\theta \end{bmatrix}</MATH>|4.15}} Natomiast odwrotna macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, przekształcająca obroty z nowego położenia układu współrzędnych do starego, jest napisana w sposób następujący: {{CentrujWzór|<MATH>A^{-1}=A^{-1}_1A^{-1}_2A^{-1}_3=A^{T}_1A^{T}_2A^{T}_3=(A_3A_2A_1)^T=A^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\begin{bmatrix} \cos\psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi &-\sin\psi\cos\varphi-\cos\psi\cos\theta\sin\varphi &\sin\theta\sin\varphi\\ \cos\psi\sin\varphi+\sin\psi\cos\theta\cos\varphi &-\sin\psi\sin\varphi+\cos\psi\cos\theta\cos\varphi &-\sin\theta\cos\varphi\\ \sin\psi\sin\theta &\cos\psi\sin\theta &\cos\theta \end{bmatrix}</MATH>|4.16}} Odwrotną macierz obrotu {{LinkWzór|4.16}} można również otrzymać z {{LinkWzór|4.15}} zamieniając jednocześnie według {{Formuła|<MATH>\psi\rightarrow\varphi\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\varphi\rightarrow\psi\;</MATH>}}, a potem wszystkie kąty zmieniając na przeciwne. Podobnie jak dla wzoru {{LinkWzór|4.10}} możemy napisać podobny wzory ale dla transformacji Eulera dla każdego kąta z osobna: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}=A_1\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\;</MATH>|4.17}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} x^{''}\\ y^{''}\\ z^{''} \end{bmatrix}=A_2\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'} \end{bmatrix}\;</MATH>|4.18}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'} \end{bmatrix}=A_3\begin{bmatrix} x^{''}\\ y^{''}\\ z^{''} \end{bmatrix}\;</MATH>|4.19}} }} Co można napisać łącząc te trzy transformacje w transformacje Eulera wykorzystując, że całkowita macierz obrotu <MATH>A\;</MATH> jest iloczynem poszczególnych macierzy obrotów wykorzystywanych w transformacjach {{LinkWzór|4.17}}, {{LinkWzór|4.18}} i {{LinkWzór|4.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'} \end{bmatrix}=A_3A_2A_1\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'} \end{bmatrix}=A\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\;</MATH>|4.20}} Można udowodnić, że transformacja {{LinkWzór|4.20}} zachowuje długość w przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej, w której mamy układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny), bo: {{CentrujWzór|<MATH>{\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}}^TA^TA\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}}^TA^{-1}A\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\Rightarrow{\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} x^'\\ y^'\\ z^' \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}}^T\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\;</MATH>|4.21}} co dowód tego został ukończony. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> nvcx9t9vwadrzdz75lixg04juqf2gd9 0 15120 559087 558593 2026-10-11T03:24:33Z Persino 2851 559087 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Omówimy tutaj trzy rodzaje układów współrzędnych, tzn. układ kartezjański, cylindryczny i sferyczny. == Układ kartezjański == {{Rysunek|Cartesian-coordinate-system.svg|u1|Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich}} Układem współrzędnych kartezjańskich, nazywamy taki układ współrzędnych, w których zadany jest punkt zwany początkiem układu współrzędnych. W punkcie tym wszystkie wspòłrzędne są równe zero. === Współrzędne === W układzie współrzędnych kartezjańskich trzy pierwsze osie, nazywamy: * oś x: odcięta * oś y: rzędna * oś z: kota Prostokątny układ współrzędny jest to układ, której współrzędne danego punktu powstają poprzez prostokątny rzut jego na poszczególne osie układu. === Podział płaszczyzny === {{Rysunek|Cartesian coordinates 2D PL.svg|U2|Podział przestrzenny płaszczyzny na ćwiartki}} Kartezjański układ współrzędnych {{Formuła|<math>(x,y)\;</math>}} w dwóch wymiarach dzieli płaszczyznę na cztery części tzw. '''ćwiartki''': * '''I ćwiartka''' – {{Formuła|<math>\left\{(x,\; y): x>0, \; y>0\right\}</math>}}, * '''II ćwiartka''' – {{Formuła|<math>\left\{(x,\; y): x<0, \; y>0\right\}</math>}}, * '''III ćwiartka''' – {{Formuła|<math>\left\{(x,\; y): x<0, \; y<0\right\}</math>}}, * '''IV ćwiartka''' – {{Formuła|<math>\left\{(x,\; y): x>0, \; y<0\right\}</math>}}. === Skrętność trójwymiarowego układu współrzędnych === Każdy układ kartezjański w przestrzeni trójwymiarowej może być lewoskrętny lub prawoskrętny. Według reguły prawej dłoni, jeśli obracamy prawą dłoń od OX do OY, to taki układ nazywamy prawoskrętny. == Układ cylindryczny == {{Rysunek|Cylindrical_coordinates.png|u21|Walcowy układ współrzędnych}} Walcowym (cylindrycznym) układem współrzędnych jest to układ współrzędnych w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Każdy punkt w przestrzeni zapisuje się za pomocą trójki współrzędnych {{Formuła|<MATH>(\rho,\phi,z)\;</MATH>}}, gdzie poszczególne współrzędne wyrażają się w postaci: : {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}: jest to odległość układ współrzędnych od jego początku. : {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} jest to kąt rzutu jaki tworzy rzut wektora wodzącego z osią OX. : {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} jest to odległość rzutu punktu na oś OZ od początku układu współrzędnych. === Przejście do układu współrzędnych kartezjańskiego === Wzory transformujące współrzędne &phi; i &rho; i z{{Sup|'}} w układzie współrzędnych kartezjańskich walcowatych przedstawiamy wedle sposobu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x=\rho\cos\phi\;</MATH>|3.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y=\rho\sin\phi\;</MATH>|3.2}}|3={{CentrujWzór|<MATH>z=z'\;</MATH>|3.3}} }} ==== Jakobian przejścia ==== Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańskich do walcowatych: {{CentrujWzór|<MATH>{{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,z')}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z'}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z'}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z'}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\ \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\phi&-\rho\sin\phi\\ \sin\phi&\rho\cos\phi \end{vmatrix}=\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;</MATH>|3.4}} Przepiszmy końcowy wynik {{LinkWzór|3.4}}, który właśnie wyznaczyliśmy: {{CentrujWzór|<MATH> {{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,z')}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z'}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z'}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z'}} \end{vmatrix}=\rho</MATH>|3.5}} == Układ sferyczny == {{Rysunek|Spherical Coordinates.svg|ui25|Wspólrzędne punktu w "matematycznym" systemie współrzędnych sferycznych}} Dowolnemu punktowi można przepisać trójkę współrzędnych {{Formuła|<MATH>(\rho,\theta,\phi)</MATH>}}: * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} - promień wodzący, gdzie {{Formuła|<MATH>\rho\geq 0</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} - długość azymutalna ,gdzie {{Formuła|<MATH>0\leq \theta\leq 2\pi</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} - odległość zenitalna, gdzie {{Formuła|<MATH>0\leq \phi\le\pi</MATH>}} === Przejście do układu współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowej === Wzory transformujące współrzędne kuliste &rho; i &theta; i &phi; w układzie współrzędnych kartezjańskich sferycznych do współrzędnych kartezjańskich przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x=\rho\sin\phi\cos\theta\;</MATH>|3.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y=\rho\sin\phi\sin\theta\;</MATH>|3.7}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>z=\rho\cos\phi\;</MATH>|3.8}} }} === Jakobian przejścia === Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańkich do sferycznych według: {{CentrujWzór|<MATH>{{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,\theta)}}=\begin{vmatrix} {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial \theta}}\\ {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial \theta}}\\ {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial \theta}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi&-\rho\sin\phi&0 \end{vmatrix}=\cos\phi\begin{vmatrix} \rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta \end{vmatrix}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\rho\sin\phi\begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta \end{vmatrix} =\rho^2\cos\phi(\cos^2\theta\sin\phi\cos\phi+\sin\phi\cos\phi\sin^2\theta)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\rho^2\sin\phi(\sin^2\phi\cos^2\phi+\sin^2\phi\sin^2\theta)=\rho^2\cos\phi\sin\phi\cos\phi+\rho^2\sin\phi\sin\phi^2=\rho^2\sin\phi(\cos^2\phi+\sin^2 \phi)=\rho^2\sin\phi \;</MATH>|3.9}} Przepiszmy końcowy wynik {{linkWzór|3.9}}, który właśnie wyznaczyliśmy: {{CentrujWzór|<MATH>{{D(x,y,z)}\over{D(\rho,\phi,\theta)}}=\rho^2\sin\phi</MATH>|3.10}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> cou0o045qch80233o0p9ixu64x4lxoa 0 15972 559088 558582 2026-10-11T03:29:54Z Persino 2851 559088 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zespół kanoniczny (T,p,N,t) == Jest to rozkład, w którym temperatura, ciśnienie i liczba cząstek jest stała, a potencjał chemiczny {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} jest równy zero. Ten rozkład można przedstawić przy pomocy rozkładu {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} przy powyższych wprowadzeniach: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+pV_i)}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp; <MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta(E_i+pV_i)}</MATH>|18.1}} Powyższy wzór przedstawia prawdopodobieństwo w układzie dyskretnym, że układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}}. Jeśli rozważamy przybliżenie klasyczne, w których pędy i położenia są wielkościami ciągłymi, to nasz rozkład statystyczny {{LinkWzór|18.1}} w którym prawdopodobieństwo zostaje zastąpione gęstością prawdopodobieństwem, że układ będzie miał energię E i objętość V, gdy w układzie panuje stałe ciśnienie p, jest. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V)={{e^{-\beta(E+pV)}}\over{Z}}</MATH>|18.2}} Rozkład gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|18.2}}, który powinien być rozkładem unormowanym, w którym wielka suma statystyczna na podstawie tego ma definicję: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\int^{V}_{v=0} dv\int_{\underset{\vec{q}\in v(R^{3N})}{\overset{\vec{p}\in R^{3N}}{}}}e^{-\beta(E(\vec{p},\vec{q})+pv)}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})</MATH>|18.3}} Gdzie {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MATH>}} jest zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|15.35|Zespół_mikrokanoniczny}}. W dalszych rozważaniach przyjmijmy dyskretny wariant naszego rozkładu (T,p,N), a wnioski są również słuszne dla rozkłady ciągłego. Przestawmy nasz rozkład {{LinkWzór|18.1}} w postaci poniżej wraz z sumą statystyczną, i z tego wyglądu tego rozkładu prawdopodobieństwa będziemy korzystać w dalszych rozważaniach dla wygody: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i)={{g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp; <MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}</MATH>|18.4}} Średnią energię układy w tymże zespole wyznaczymy z definicji wartości średniej energii układu, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej Z względem parametru {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_{i=1}^n E_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z}}= {{\partial\sum_{i=1}^ng_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial Z}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}</MATH>|18.5}} Wyznaczmy średnią objętość układu w tymże zespole kanonicznym, korzystając z definicji wartości średniej objętości układu, i jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej Z względem parametru {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\sum_{i=1}^n V_i g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z}}= {{\partial \sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i}}\over{Z\partial \gamma}}={{\partial Z}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}</MATH>|18.6}} Przedstawmy dwa wzory na wartości średnie energii i objętości jakie może przyjmować układ w układzie. w którym są stałe parametry (T,p,N), które przepisujemy dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}\;</MATH>|18.7}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}\;</MATH>|18.8}} }} === Związek między energią swobodną a sumą statystyczną === Korzystając z definicji entropii dla naszego układu musimy z korzystać ze wzoru na entropię układu według rozkładu dyskretnego {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|18.1}}, przy czym wyrażając w {{LinkWzór|18.4}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum_{i=1}^l Z^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i)}\ln {{e^{-\beta(E_i+pV_i)}}\over{Z}}=-k_BZ^{-1}\sum_{i=1}^l e^{-\beta(E_i+pV_i)}(-\beta(E_i+pV_i)-\ln Z)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-k_BZ^{-1}(-\beta)\sum_{i=1}^l e^{-\beta(E_i+pV_i)}(E_i+pV_i)+k_BZ^{-1}\sum_{i=1}^l e^{-\beta(E_i+pV_i)}\ln Z=T^{-1}(\overline{E}+p\overline{V})+k_B\ln Z\;</MATH>|18.9}} Wzór otrzymany na entropię w końcowych obliczeniach w {{LinkWzór|18.9}} należy pomnożyć obustronnie przez temperaturę bezwzględną T dostając następne równoważne wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>ST=\overline{E}+p\overline{V}+k_BT\ln Z\;</MATH>|18.10}} Wykorzystajmy definicję energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy tą wielkość przy pomocy energii związanej układu {{LinkWzór|18.10}} można zapisać wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>F=\overline{E}-ST=-p\overline{V}-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.11}} Widzimy, że energia swobodna układu jest zależna od średniej objętości układu i sumy statystycznej i pozostałych parametrów, które tutaj się nie zmieniają. === Związek między energią Gibbsa, a sumą statystyczną === Energia Gibbsa {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} w tymże zespole według wzoru na energię swobodną układu {{LinkWzór|18.11}} przedstawiamy prowadząc kolejno obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>G=U+p\overline{V}-TS=F+p\overline{V}=-p\overline{V}-k_BT\ln Z+p\overline{V}=-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.12}} Widzimy, że potencjał Gibbsa jest zależny od sumy statystycznej układu policzonego według {{LinkWzór|18.3}} (suma statystyczna jest podana za wzorem) dla układu dyskretnego {{LinkWzór|18.1}} lub według {{LinkWzór|18.2}} dla rozkładu ciągłego. == Zespół kanoniczny (T,p,μ,t) == Jest to rozkład, w którym temperatura, ciśnienie i potencjał chemiczny są wielkościami stałymi. Ten rozkład możemy przedstawić przy pomocy rozkładu {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} dla przypadku dyskretnego przy powyższych wprowadzeniach: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_i e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}</MATH>|18.13}} Powyższy wzór przedstawia prawdopodobieństwo w układzie dyskretnym, że układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} i liczbę cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}}. Jeśli rozważamy przybliżenie klasyczne, w których pędy i położenia są wielkościami ciągłymi, to nasz rozkład statystyczny {{LinkWzór|18.13}}, w którym prawdopodobieństwo zostaje zastąpione gęstością prawdopodobieństwem, że układ będzie miał energię E, objętość V i liczbę cząstek, gdy w układzie panuje stałe ciśnienie p. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V,N)={{e^{-\beta(E+pV-\mu N)}}\over{Z}}</MATH>|18.14}} Dla rozkładu gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|18.14}}, który powinien być rozkładem unormowanym, suma statystyczna ma definicję: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\int^V_{v=0}dv\sum^N_{n=0}\int_{\underset{\vec{q}\in v(R^{3n})}{\overset{\vec{p}\in R^{3n}}{}}} e^{-\beta(E(\vec{p},\vec{q})+pv-\mu n)}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})</MATH>|18.15}} Gdzie {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MatH>}} jest zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|15.35|Zespół_mikrokanoniczny}}. W dalszych rozważaniach przyjmijmy dyskretny wariant naszego rozkładu (T,p,&mu;), a wnioski są również słuszne dla rozkłady ciągłego. Przestawmy nasz rozkład {{LinkWzór|18.13}} w postaci poniżej wraz z sumą statystyczną, z którego przedstawienia rozkładu prawdopodobieństwa będziemy korzystać w dalszych rozważaniach dla naszej wygody: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)={{g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}</MATH>|18.16}} Wyznaczmy średnią energię układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru {{Formuła|<math>\alpha\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_{i=1}^nE_i g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial Z}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}</MATH>|18.17}} Wyznaczmy średnią objętość układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &gamma;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\sum_{i=1}^n V_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial Z}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}</MATH>|18.18}} Wyznaczmy średnie ilości cząstek w układzie, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &omega;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\sum_{i=1}^n N_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i}}\over{Z\partial\omega}}={{\partial Z}\over{Z\partial\omega}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\omega}}</MATH>|18.19}} Przedstawmy dwa wzory na wartości średnie energii i objętości jako może przyjmować układ w układzie, w którym są stałe parametry (T,p,&mu;), które przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}\;</MATH>|18.20}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}\;</MAth>|18.21}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\partial\ln Z}\over{\partial\omega}}\;</MATH>|18.22}} }} === Związek między energią swobodną, a sumą statystyczną === Korzystając z definicji entropii dla naszego układu musimy z korzystać ze wzoru na entropię układu {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} dla rozkładu dyskretnego zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|18.13a}}, przy czym uwzględniając w {{LinkWzór|18.16a}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum_{i=1}^lP_i\ln P_i=-k_B\sum_{i=1}^lZ^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}\ln\left[ Z^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-k_B\sum_{i=1}^lZ^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}(-\ln Z-\beta E_i-\beta pV_i+\beta\mu N_i)=k_B\ln Z+k_B\beta(\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N})\;</MATH>|18.23a}} Wzór otrzymany na entropię w końcowych obliczeniach w {{LinkWzór|18.23a}} należy pomnożyć obustronnie przez temperaturę bezwzględną T dostając następne równoważne wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>ST=k_BT\ln Z+(\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N})\;</MATH>|18.24a}} Wykorzystajmy definicję energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy tą wielkość przy pomocy energii związanej układu {{LinkWzór|18.24}} można zapisać wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>F=\overline{E}-TS=-p\overline{V}+\mu\overline{N}-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.25a}} Widzimy, że energia swobodna układu jest zależna od średniej objętości układu, średniej liczby cząstek w układzie i od sumy statystycznej i od pozostałych parametrów, które tutaj wcale się tutaj nie zmieniają. === Związek między energią Gibbsa, a sumą statystyczną === Energia Gibbsa {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} w tymże zespole podstawiamy do wzoru na energię swobodną układu {{LinkWzór|18.25a}}, w ostateczności otrzymujemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>G=\overline{E}-TS+p\overline{V}=F+p\overline{V}=\mu\overline{N}-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.26}} Widzimy, że potencjał Gibbsa jest zależny od sumy statystycznej układu policzonego według {{LinkWzór|18.15}} (suma statystyczna jest podana za wzorem) dla układu dyskretnego {{LinkWzór|18.13}} lub według {{LinkWzór|18.16}} dla rozkładu ciągłego. == Zespół kanoniczny (T,p,μ,&omega;) == Jest to rozkład, w którym temperatura, ciśnienie i potencjał chemiczny są wielkościami stałymi. Ten rozkład możemy przedstawić przy pomocy rozkładu {{LinkWzór|12.38|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} dla przypadku dyskretnego przy powyższych wprowadzeniach: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_i e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}</MATH>|18.13a}} Powyższy wzór przedstawia prawdopodobieństwo w układzie dyskretnym, że układ będzie posiadał energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} i objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} i liczbę cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}}. Jeśli rozważamy przybliżenie klasyczne, w których pędy i położenia są wielkościami ciągłymi, to nasz rozkład statystyczny {{LinkWzór|18.13a}}, w którym prawdopodobieństwo zostaje zastąpione gęstością prawdopodobieństwem, że układ będzie miał energię E, objętość V i liczbę cząstek, gdy w układzie panuje stałe ciśnienie p. {{CentrujWzór|<MATH>\rho(E,V,N)={{e^{-\beta(E+pV-\mu N-\omega t_i)}}\over{Z}}</MATH>|18.14a}} Dla rozkładu gęstości prawdopodobieństwa {{LinkWzór|18.14a}}, który powinien być rozkładem unormowanym, suma statystyczna ma definicję: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\int_0^tdt\int^V_{v=0}dv\sum^N_{n=0}\int_{\underset{\vec{q}\in v(R^{3n})}{\overset{\vec{p}\in R^{3n}}{}}} e^{-\beta(E(\vec{p},\vec{q})+pv-\mu n-\omega t)}d\Gamma(\vec{p},\vec{q})</MATH>|18.15a}} Gdzie {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MatH>}} jest zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|15.35|Zespół_mikrokanoniczny}}. W dalszych rozważaniach przyjmijmy dyskretny wariant naszego rozkładu (T,p,&mu;), a wnioski są również słuszne dla rozkłady ciągłego. Przestawmy nasz rozkład {{LinkWzór|18.13a}} w postaci poniżej wraz z sumą statystyczną, z którego przedstawienia rozkładu prawdopodobieństwa będziemy korzystać w dalszych rozważaniach dla naszej wygody: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)={{g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+zeta t_i}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}</MATH>|18.16a}} Wyznaczmy średnią energię układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru {{Formuła|<math>\alpha\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_{i=1}^nE_i g_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial Z}\over{Z\partial\alpha}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}</MATH>|18.17a}} Wyznaczmy średnią objętość układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &gamma;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\sum_{i=1}^n V_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial Z}\over{Z\partial\gamma}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}</MATH>|18.18a}} Wyznaczmy średnie ilości cząstek w układzie, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &omega;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\sum_{i=1}^n N_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z\partial\omega}}={{\partial Z}\over{Z\partial\omega}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\omega}}</MATH>|18.19a}} Wyznaczmy średni czas układu, korzystając z definicji wartości średniej tejże wielkości, jak się przekonamy jest ona równa pochodnej cząstkowej logarytmu naturalnego sumy statystycznej względem parametru &zeta;. {{CentrujWzór|<MATH>\overline{t}={{\sum_{i=1}^n N_ig_ie^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z}}={{\partial\sum_{i=1}^ng_i e^{\alpha E_i+\gamma V_i+\omega N_i+\zeta t_i}}\over{Z\partial\zeta}}={{\partial Z}\over{Z\partial\zeta}}={{\partial\ln Z}\over{\partial\zeta}}</MATH>|18.19aa}} Przedstawmy dwa wzory na wartości średnie energii i objętości jako może przyjmować układ w układzie, w którym są stałe parametry (T,p,&mu;,&omega;), które przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\partial\ln Z}\over{\partial\alpha}}\;</MATH>|18.20a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}={{\partial\ln Z}\over{\partial\gamma}}\;</MAth>|18.21a}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\partial\ln Z}\over{\partial\omega}}\;</MATH>|18.22a}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}={{\partial\ln Z}\over{\partial\zeta}}\;</MATH>|18.22aa}} }} === Związek między energią swobodną, a sumą statystyczną === Korzystając z definicji entropii dla naszego układu musimy z korzystać ze wzoru na entropię układu {{LinkWzór|12.66|Wprowadzenie do fizyki statystycznej}} dla rozkładu dyskretnego zdefiniowanego według wzoru {{LinkWzór|18.13}}, przy czym uwzględniając w {{LinkWzór|18.16}} sumowanie po właściwościach i degeneracjach układu (wtedy znika g{{Sub|i}}): {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum_{i=1}^lP_i\ln P_i=-k_B\sum_{i=1}^lZ^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\ln\left[ Z^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-k_B\sum_{i=1}^lZ^{-1}e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}(-\ln Z-\beta E_i-\beta pV_i+\beta\mu N_i+\beta \omega t_i)=k_B\ln Z+k_B\beta(\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N}-\omega \overline {t})\;</MATH>|18.23}} Wzór otrzymany na entropię w końcowych obliczeniach w {{LinkWzór|18.23}} należy pomnożyć obustronnie przez temperaturę bezwzględną T dostając następne równoważne wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>ST=k_BT\ln Z+(\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N}-\omega\overline t)\;</MATH>|18.24}} Wykorzystajmy definicję energii swobodnej {{LinkWzór|3.5|Potencjały_termodynamiczne}}, wtedy tą wielkość przy pomocy energii związanej układu {{LinkWzór|18.24}} można zapisać wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>F=\overline{E}-TS=-p\overline{V}+\mu\overline{N}+\omega \overline t-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.25}} Widzimy, że energia swobodna układu jest zależna od średniej objętości układu, średniej liczby cząstek w układzie i od sumy statystycznej i od pozostałych parametrów, które tutaj wcale się tutaj nie zmieniają. === Związek między energią Gibbsa, a sumą statystyczną === Energia Gibbsa {{LinkWzór|3.7|Potencjały_termodynamiczne}} w tymże zespole według wzoru na energię swobodną układu {{LinkWzór|18.25}} przedstawiamy prowadząc kolejno obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>G=U+p\overline{V}-TS=F+p\overline{V}=-p\overline V+\mu\overline{N}+\omega \overline t-k_BT\ln Z+p\overline{V}=\mu\overline{N}+\omega \overline t-k_BT\ln Z\;</MATH>|18.12a}} Widzimy, że potencjał Gibbsa jest zależny od sumy statystycznej układu policzonego według {{LinkWzór|18.15a}} (suma statystyczna jest podana za wzorem) dla układu dyskretnego {{LinkWzór|18.13a}} lub według {{LinkWzór|18.15a}} dla rozkładu ciągłego. === Unormowana suma statystyczna === Jak się przekonaliśmy, parametrami stałymi są ciśnienie i temperatura, a więc to jest rozkład statystyczny kanoniczny (T,p,&mu;,&omega;), zatem do wzoru na potencjał Gibbsa policzonej w wcześniej w punkcie {{LinkWzór|18.12a}} możemy podstawić inny wzór {{LinkWzór|3.48|Potencjały_termodynamiczne}} policzonej z rachunku o różniczce zupełnej (te dwa wzory oznaczają tą sam potencjał Gibbsa) dostając tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>G=F+p\overline V=\mu \overline{N}+\omega\overline t-k_BT\ln Z\Rightarrow \mu \overline{N}+\omega\overline t=\mu \overline{N}+\omega\overline t-k_BT\ln Z\Rightarrow \ln Z=0\Rightarrow Z=1\;</MATH>|18.27a}} Z powyższej tożsamości możemy zredukować te same wyrazy związane z średnią ilością cząstek w układzie i w ten sposób otrzymujemy, że suma statystyczna w tym rozkładzie ma wartość jeden, ale nie tożsamościowo: {{CentrujWzór|<MATH>\ln Z=0\Rightarrow Z=1\;</MATH>|18.28a}} Zatem nasz rozkład {{LinkWzór|18.13a}}, przy unormowanym sumie statystycznym, która zawsze dąży do jedności, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)=e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|18.29a}} Jest to rozkład kanoniczny (T,p,&mu;&omega;) mówiący jakie jest prawdopodobieństwo, że układ będzie posiadał energię E{{Sub|i}}, objętość V{{Sub|i}}, liczbę cząstek N{{Sub|i}} będących w czasie t{{Sub|i}} znajdujących się w naszym rozważanym układzie. Rozkład ciągły (T,p,&mu;&omega;) jest prawie taki sam jak w {{LinkWzór|18.29a}}, tylko w tym rozkładzie należy zastąpić wedle schematu E{{Sub|i}}&rarr; E,V{{Sub|i}}&rarr; V,N{{Sub|i}}&rarr; N i t{{Sub|i}}&rarr; t, a prawdopodobieństwo przez P(E{{Sub|i}},V{{Sub|i}},N{{Sub|i}}) należy zastąpić gęstością prawdopodobieństwa &rho;(E,V,N), że układ będzie miał wartości E, V, N i t przy stałych pozostałych parametrach. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> b0w3iipoz2n3aq3j5nlndgzgd5x1d4i 0 16020 559052 558573 2026-10-11T00:55:55Z Persino 2851 559052 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Obiegami termodynamicznymi nazywamy szereg dowolnych przemian termodynamicznych, któremu podlega czynnik termodynamiczny,np.: ciśnienie, objętość, temperatura, entropia. Stan czynnika termodynamicznego na końcu pokrywa się ze stanem czynnika na początku. == Sprawność cyklu == {{Rysunek|CarnotCycle3.png|lk0|Obieg termodynamiczny w układzie T-S. Biały obszar przedstawia pracę cyklu, czerwony obszar odpowiada ciepłu wymienionemu z chłodnicą}} Sprawność cyklu jest to stosunek wartości bezwzględnej pracy wykonanej nad układem przez ciepło oddane cyklowi i wyraża się on: {{CentrujWzór|<MATH>\eta={{|\Delta W|}\over{Q}}\;</MATH>|11.1}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q\;</MATH>}} jest to energia oddana cyklowi w postaci ciepła * {{Formuła|<MATH>\Delta W</MATH>}}-praca wykonana przez cykl. Zachodzi również z {{sr|p=Zasady termodynamiki fenomenologicznej|#Pierwsza_zasada_termodynamiki|pierwszej zasady termodynamiki}} z równania {{LinkWzór|2.2|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} wynika, że zmiana energii wewnętrznej dla cyklu jest równa zero, bo energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną. {{CentrujWzór|<MATH>0=\Delta U=\Delta Q+\Delta W\;</MATH>|11.2}} Z równania {{LinkWzór|11.2}} wynika, że energia wymieniana między układem, a otoczeniem jest równa z minusem pracy wykonanej przez układ. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\;</math>|11.3}} Pracę możemy wyliczyć przy pomocy wzoru {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} i jest to pole na wykresie (p,V) ograniczonej przez cykl wziętej z minusem, gdy cykl odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara lub z plusem gdy odwrotnie. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint dW=-\oint p dV</MATH>|11.4}} A energia przekazywaną między układem a otoczeniem w postaci ciepła w cyklu możemy wyrazić w zmiennych (T,S) jako pole ograniczone przez cykl na wykresie i jest ona równa pracy wykonanej nad cyklem wziętej razem z minusem, co wynika ze wzoru {{LinkWzór|11.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=\oint TdS=\oint p dV=-\Delta W</MATH>|11.5}} === Prosty cykl === Jest to cykl, którego odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara, to całkowita energia oddana lub przejęta przez cykl jest większa lub równa zero, a praca wykonana nad cyklem jest zawsze nie większa niż zero, czyli w tym cyklu prostym zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\geqslant 0\;</math>|11.6}} Dla cyklu określmy całkowitą energię wymienianą między układem a otoczeniem na w sposób ciepła, czyli energię oddaną, przyjętą przez cykl przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_1+Q_2\;</math>|11.7}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q=Q_1\;</math>|11.8}}}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q_1\geqslant 0\;</math>}} jest to energia oddawana cyklowi przez grzejnik, * {{Formuła|<MATH>Q_2\leqslant 0\;</math>}} jest to energia oddawana przez cykl do chłodnicy, i dlatego ma wartość ujemną. A zatem sprawność cyklu prostego, korzystając przy tym {{LinkWzór|11.7}} (całkowita energia w postaci ciepła wymieniana między układem a otoczeniem), {{LinkWzór|11.8}} (ciepło oddane cyklowi), a także {{LinkWzór|11.6}} (związek między całkowitym ciepłem wymienianym między układem i otoczeniem z pracą wykonaną nad cyklem), to wzór {{LinkWzór|11.1}} (sprawność cyklu) przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P={{|\Delta W|}\over{Q}}={{-\Delta W}\over{Q_1}}={{Q_1+Q_2}\over{Q_1}}=1+{{Q_2}\over{Q_1}}=1-{{|Q_2|}\over{Q_1}}\leqslant 1\;</math>|11.9}} W cyklu prostym sprawność cyklu jest zawsze mniejsza niż jeden i większa niż zero, bo na pewno zachodzi warunek: {{Formuła|<MATH>Q_1-|Q_2|\geqslant 0\;</math>}}. === Odwrotny cykl === Jest to cykl, który odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara, to całkowita energia oddana lub przyjęta przez cykl jest mniejsza lub równa zero, a praca wykonana nad cyklem jest zawsze nie mniejsza niż zero, czyli w tym cyklu odwrotnym zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\leqslant 0\;</MATH>|11.10}} Dla cyklu określmy całkowitą energię wymienianą między układem a otoczeniem na w sposób ciepła i energię oddaną cyklowi wedle: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_1+Q_2\;</MATH>|11.11}}|2={{CentrujWzór|<MATH>Q=Q_2\;</MAth>|11.12}}}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q_1\leqslant 0\;</MATH>}} jest to energia zabierana cyklowi przez grzejnik * {{Formuła|<MATH>Q_2\geqslant 0\;</MATH>}} jest to energia oddawana układowi przez chłodnicę. Zatem sprawność cyklu odwrotnego, korzystając z {{LinkWzór|11.11}} (całkowita energia wymieniane między układem a otoczeniem na w sposób ciepła), {{LinkWzór|11.12}} (energia na w sposób ciepła oddana cyklowi), a także {{LinkWzór|11.10}} (związek między całkowitym ciepłem wymienianym między układem a otoczeniem a pracą wykonaną nad cyklem) , to wzór {{LinkWzór|11.1}} (sprawność cyklu) przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O={{|\Delta W|}\over{Q}}={{\Delta W}\over{Q_2}}={{-\Delta Q}\over{Q_2}}=-{{Q_1+Q_2}\over{Q_2}}=-{{-|Q_1|+Q_2}\over{Q_2}}={{|Q_1|}\over{Q_2}}-1\geqslant 0\;</math>|11.13}} W cyklu odwrotnym sprawność jest większa niż zero, bo zachodzi zawsze warunek {{Formuła|<MATH>|Q_1|-Q_2\geqslant 0</math>}}. == Cykle Carnota == Cyklem Carnota nazywamy obieg termodynamiczny składający się z dwóch przemian adiabatycznych i dwóch izotermicznych. Prostym cyklem Carnota nazywamy gdy obieg odbywa się zgodnie z kierunkiem ruchu zegara, odwrotnym cyklem Carnota nazywamy, gdy obieg odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara. === Prosty cykl Carnota === {{Rysunek|Carnot_pv.jpg|lk1|Cykl Carnota, gdzie: isotherm-izoterma, isentrop-adiabata}} {{Rysunek|CarnotCycle1.png|lk2|Cykl Carnota, w zmiennych T-S}} Cykl Carnota polega na dwóch przemianach izotermicznych oraz dwóch przemianach adiabatycznych. : Proces 1-2 jest to przemiana izotermiczna polegająca sprężaniu izotermicznym, w którym jest oddawana część energia w postaci ciepła do chłodnicy, która jest częścią energii zabieranej z grzejnika, przy czym nie zmienia się jego temperatura, a także jest oddawana do cyklu energia na sposób pracy. Zakładamy że pojemność cieplna chłodnicy jest nieskończenie duża, podobnie jest z grzejnikiem. : Przemiana 2-3 jest to przemiana polegająca na sprężaniu adiabatycznym, w którym jest dawana do cyklu energia na w sposób pracy, ale wcale na w sposób ciepła, bo w tym procesie ciepło właściwe jest równe zero, tzn.:{{Formuła|<math>C_{adiabata}=0</MATH>}}. : A także procesie 3-4, w którym jest dawana energia na sposób ciepłą z grzejnika, oraz zabierana jest energia na w sposób pracy, którego pojemność jest nieskończenie duża, tak by jego temperatura nie zmieniała w tym procesie izotermicznego rozprężania się gazu. : Proces 4-1 polega na adiabatycznym rozprężania, z którego jest zabierana energia na sposób pracy, ale nie na w sposób ciepła. W cyklu Carnota temperatura grzejnika {{Formuła|<MATH>T_1</MATH>}}, jest większa od temperatury chłodnicy {{Formuła|<MATH>T_2</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>T_1>T_2</MATH>}}. === Odwrotny Cykl Carnota === Jest to odwrotny cykl termodynamiczny, polegających na dwóch przemianach izotermicznych i na dwóch przemianach adiabatycznych. : Na drodze 2-1 ciepło zabierane jest z chłodnicy, w której występuje izotermiczne rozprężanie. : Na 1-4 jest to adiabata w którym występuje adiabatyczne sprężanie gazu bez wymiany ciepła z otoczeniem, tylko energia jest oddawana cyklowi w postaci wykonanej pracy. : Na 4-3 występuje izotermiczne sprężanie gazu w którym energia wewnętrzna gazu nie zmienia się, tylko ciepło jest oddawane przez cykl do grzejnika kosztem wykonanej pracy przez cykl. : Na 3-2 występuje adiabatyczne rozprężanie gazu. A więc w sumie energia dostarczona do cyklu na w sposób energii i energia na w sposób ciepła dostarczona z chłodnicy jest oddawana do grzejnika dla naszego cyklu odwrotnego, przy czym {{Formuła|<MATH>|Q_1|\geqslant |Q_2|</MATH>}}, czyli: {{Formuła|<MATH>-\Delta W=\Delta Q=Q_1+Q_2\leqslant 0</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\Delta W\geqslant 0</MATH>}}. === Sprawność prostego i odwrotnego cyklu Carnota === Niech w prostym cyklu Carnota określonym krancom od 1 do 4 odpowiadają określone współrzędne (p,V,T),a zatem mamy:{{Formuła|<MATH>1-(p_1,V_1,T_2),2-(p_2,V_2,T_2),3-(p_3,V_3,T_1),4-(p_4,V_4,T_1)\;</MATH>}} Policzmy dla poszczególnych przedziałach krańców odpowiednie prace wykonane przez gaz doskonały. Równanie gazu doskonałego przedstawia się jako {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}} . Będziemy również korzystać z równań adiabaty względem ściśle określonych dwóch parametrów termodynamicznych. Wyznaczmy prace wykonywaną przez gaz doskonały pomiędzy stanami, na które wskazują wskaźniki z prawej strony na dole. Praca wykonana między punktami 1-2 podczas przemiany izotermicznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>W_{12}=-\int^2_1 pdV=-nRT_2\int^2_1V^{-1}dV=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.14}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 2-3 podczas przemiany adiabatycznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>W_{23}=-\int^3_2pdV=-C_{23}\int^3_2V^{-\kappa}dV=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left[V^{-\kappa+1}\right]_2^3=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{\kappa}\right)</MATH>|11.15}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 3-4 podczas przemiany adiabatycznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_4\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>W_{34}=-\int^4_3pdV=-nRT_1\int^4_3V^{-1}dV=-nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}</math>|11.16}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 4-1 podczas przemiany izotermicznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_4\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>W_{41}=-\int^1_4pdV=-C_{23}\int^1_4V^{-\kappa}dV=-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left[V^{-\kappa+1}\right]_4^1=</MATH> <MATH>=-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{\kappa}\right)</MATH>|11.17}} W poniższym równaniu wykorzystujemy równanie adiabaty {{LinkWzór|7.39|Gazy_doskonałe}}, zatem określmy {{Formuła|<MATH>W_A\;</MATH>}} jako sumę prac między punktami 2-3 oraz 4-1: {{CentrujWzór|<MATH>W_A=W_{23}+W_{41}=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{-\kappa+1}\right)+-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{\kappa-1}\right)=</MATH>{{Br}} <MATH>=-{{T_1V_3^{\kappa-1}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{-\kappa+1}\right)+-{{T_1V_4^{\kappa-1}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{-\kappa+1}\right)=-{{T_1}\over{1-\kappa}}+{{T_1V_3^{\kappa-1}V_2^{-\kappa}}\over{1-\kappa}}-{{T_1V_4^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}+{{T_1}\over{1-\kappa}}=</MATH>{{Br}} <MATH>={{T_1V_3^{\kappa-1}V_2^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}-{{T_1V_4^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}} </MATH>|11.18}} Z równania adiabaty w zmiennych temperatura-objętość napisanych wedle wzoru {{LinkWzór|7.40|Gazy doskonałe}} można połączyć punkt 2 z punktem 3: {{CentrujWzór|<MATH>T_2V_2^{\kappa-1}=T_1V_3^{\kappa-1}</MATH>|11.19}} Również też dla tego samego równania adiabaty, ale dla innej linii w cyklu Carnota można połączyć punkt 4 z punktem 1. {{CentrujWzór|<MATH>T_2V_1^{\kappa-1}=T_1V_4^{\kappa-1}</MATH>|11.20}} Wykorzystujemy równania {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}, wtedy równanie {{LinkWzór|11.18}} przyjmuje postać poniżej i jak się przekonamy, to wyrażenie jest równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>W_A={{T_2V_2^{\kappa-1}V_2^{-\kappa+1}-T_2V_1^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}= {{T_2-T_2}\over{1-\kappa}}=0</MATH>|11.21}} Dochodzimy, że praca wykonana między punktami 2-3 i 4-1 nic nie wnosi do cyklu Carnota. Wyznaczmy prace w cyklu w sumie dla punktów 1-2 i dla 3-4, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>W_T=W_{12}+W_{34}=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}-nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}</MATH>|11.22}} Z równania adiabaty w zmiennych T,V dla cyklu Carnota mamy wzory można połączyć punkty 1-4 i 2-3, wtedy otrzymujemy dwie poniższe tożsamości łączące wspomniane punkty: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>T_2V_4^{\kappa-1}=T_1V_1^{\kappa-1}</MATH>|11.23}}|2={{CentrujWzór|<MATH>T_2V_3^{\kappa-1}=T_1V_2^{\kappa-1}</MAtH>|11.24}}}} Podzielmy stronami równania {{LinkWzór|11.23}} i {{LinkWzór|11.24}} przez siebie, wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MatH>{{V_3}\over{V_4}}={{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.25}} Zależność {{LinkWzór|11.25}} mówiący, że stosunek objętości w punktach 3-4 jest taki sam jak stosunek objętości w punktach 2-1, i ten stosunek wykorzystujemy w równaniu {{LinkWzór|11.22}}, tzn. podstawiając do niego, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>W_T=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}+nRT_1\ln {{V_2}\over{V_1}}=nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.26}} Policzmy sprawność cyklu prostego Carnota: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P_C={{-W_T-W_A}\over{-W_{34}}}={{-nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}}\over{nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}}}= {{-nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}}\over{-nRT_1\ln {{V_2}\over{V_1}}}}={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.27}} Sprawność cyklu prostego Carnota przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_C^P={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.28|Obramuj}} Wyznaczmy sprawność cyklu odwrotnego Carnota, ale przedtem policzmy prace: {{Formuła|<MATH>W^O_T</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>W^O_A</MAtH>}}, tak ja poprzednio {{LinkWzór|11.21}}, {{LinkWzór|11.26}} dla cyklu prostego, poprzez zamianę 1 na 2 i 2 na 1, wtedy otrzymujemy naszą sprawność: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O_C={{W^0_T+W^0_A}\over{-W_{12}}}={{nR(T_1-T_2)\ln {{V_1}\over{V_2}}}\over{nRT_2\ln{{V_1}\over{V_2}}}}={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.29}} Sprawność cyklu odwrotnego Carnota przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MaTH>\eta_C^O={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.30|Obramuj}} Udowodniliśmy powyżej, że praca wykonana przez obie przemiany adiabatyczne, tzn.:2-3 oraz 4-1 jest sumarycznie równa zero. A zatem praca i ciepło czy to dostarczone do układu czy oddawane jest tylko wynikiem dwóch przemian izotermicznych. Widzimy, że sprawności cyklu Carnota jak i prostego i odwrotnego jest zależna zarówno od temperatury grzejnika T{{Sub|1}}, jak i od temperatury chłodnicy T{{Sub|2}}. === Sprawność prostego dowolnego cyklu względem prostego cyklu Carnota === Dla dowolnej przemiany odwracalnej, czy to dla cyklu prostego lub odwrotnego zmiana entropii jest równa zero, ponieważ entropia posiada różniczkę zupełną: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_C=0\;</MATH>|11.31}} A także cykl Carnota jest cyklem odwracalnym. Zmiana entropii dla grzejnika i chłodnicy, gdzie {{Formuła|<MATH>\Delta S_{GC}</MATH>}}, to zmiana entropii grzejnika i chłodnicy, razem z cyklem wyraża się według: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_C+\Delta S_{GC}\geqslant 0\Rightarrow\Delta S_{GC}\geqslant 0</MATH>|11.32}} Zmiana entropii w dowolnym układzie termodynamicznym jest zawsze większa lub równa zero, z drugiej zasady termodynamiki całkowita zmiana entropii w cyklu jest sumą zmian entropii grzejnika i chłodnicy. Ciepło dostarczone do cyklu przez grzejnik Q{{Sub|1}} dla grzejnika jest to ciepło oddane, wiec jest przyjęte w nim ze znakiem minus, podobnie jest dla chłodnicy, cykl oddaje ciepło do chłodnicy, więc ono ma znak ujemny, ale ponieważ dla chłodnicy jest to ciepło przyjęte , to określamy je ze znakiem minus, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{-Q_1}\over{T_1}}+{{-Q_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.33}} Z {{LinkWzór|11.33}}, które otrzymaliśmy z drugiej zasady termodynamiki, to wtedy możemy napisać, iloraz energii ciepła oddawanego do chłodnicy Q{{Sub|2}} przez cykl, przez ciepło oddawane do cyklu Q{{Sub|1}} przez grzejnik: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_2}\over{Q_1}}\leqslant -{{T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.34}} Na podstawie wzoru na sprawność cyklu prostego {{LinkWzór|11.9}} i nierówności {{LinkWzór|11.34}} możemy napisać sprawność dowolnego cyklu: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=1+{{Q_2}\over{Q_1}}\leqslant 1-{{T_2}\over{T_1}}={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.35}} Ostatecznie z {{LinkWzór|11.35}} sprawność tego samego cyklu względem sprawności w cyklu Carnota {{LinkWzór|11.28}} jest wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P\leqslant {{T_1-T_2}\over{T_1}}> 0</MATH>{{Tekst|, bo }}<MATH>T_1> T_2\;</MATH>|11.36|Obramuj}} Sprawność dowolnego prostego cyklu {{LinkWzór|11.36}} jest zawsze mniejsza lub równa od sprawności cyklu Carnota. === Sprawność odwrotnego dowolnego cyklu względem odwrotnego cyklu Carnota === Zmiana entropii cyklu Carnota jest równa zero {{Formuła|<MATH>\Delta S_C=0\;</MATH>}}, bo jest cyklem odwracalnym i entropia posiada różniczkę zupełną. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy jest zawsze większa od zera lub jej równa zgodnie z drugą zasadą termodynamiki. Jeśli weźmiemy energie oddawane do grzejnika i zabierane od chłodnicy, i te energię oznaczać będziemy odpowiednim znakiem. A energie {{Formuła|<MATH>Q_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Q_2\;</MATH>}} mają odpowiednie znaki względem czy energia jest oddawana lub dodawana do naszego badanego cyklu. Energia jest oddawana do grzejnika od cyklu, więc ona posiada wartość ujemną względem cyklu, zatem przed {{Formuła|<MATH>Q_1\;</MATH>}} musi postawić dodatkowy znak minus, jeśli przedstawić względem grzejnika (bo dla grzejnika ciepło -Q{{Sub|1}} ma wartość dodatnią), a od chłodnicy do cyklu jest oddawana energia w postaci ciepła, więc znak tej energii względem cyklu jest dodatni, zatem przez {{Formuła|<MATH>Q_2\;</MATH>}} musi występować znak minus by mięć tą energię względem chłodnicy (bo dla chłodnicy to ciepło jest od niego zabierane, więc -Q{{Sub|2}} ma wartość ujemną), zatem całkowita zmiana entropii jest sumą zmian entropii grzejnika i chłodnicy i z drugiej zasady termodynamiki jest zawsze nie mniejsza niż zero. {{CentrujWzór|<MATH>{{-Q_1}\over{T_1}}+{{-Q_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.37}} Po pomnożeniu przez {{Formuła|<MATH>-1</MATH>}} i po przegrupowaniu wyrazów w nierówności {{LinkWzór|11.37}}, tak by energia w postaci ciepła oddawana grzejnikowi Q{{Sub|1}} znajdowała się na jego lewej stronie, a energia w postaci ciepła zabierana z chłodnicy Q{{Sub|2}} była po prawej stronie, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_1}\over{T_1}}\leqslant -{{Q_2}\over{T_2}}</MATH>|11.38}} Po podzieleniu przez {{Formuła|<MATH>Q_2>0\;</math>}}, która dla cyklu odwrotnego ma wartość dodatnią i pomnożeniu przez wartość zawsze dodatnią,tzn. {{Formuła|<MATH>T_1\;</MATH>}} obu stron równania {{LinkWzór|11.38}}, wtedy dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_1}\over{Q_2}}\leqslant -{{T_1}\over{T_2}}</MATH>|11.39}} Jeśli skorzystamy z nierówności {{LinkWzór|11.39}} możemy otrzymać sprawności dowolnego cyklu odwrotnego względem sprawności odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=-{{Q_1+Q_2}\over{Q_2}}=-{{Q_1}\over{Q_2}}-1\geqslant{{T_1}\over{T_2}}-1={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.40}} Ostatecznie z dysput {{LinkWzór|11.40}} wynika, że sprawność dowolnego cyklu jest zawsze nie mnieJsza niż sprawność odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}. {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O\geqslant{{T_1-T_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.51|Obramuj}} Sprawność dowolnego odwrotnego cyklu Carnota jest zawsze większa lub równa sprawności odwrotnego cyklu Carnota. == Silnik cieplny == {{Rysunek|Carnot heat engine 2.svg|lk3|'''Schemat energetyczny silnika cieplnego'''}} Jest to urządzenie, która zamienia energię w postaci ciepła częściowo w energię mechaniczną. Silniki cieplne pobierają energię z grzejnika i oddają część tej energii do chłodnicy, a reszta energii jest zamieniana na pracę. Ilość energii jaki zyskuje silnik jest zawsze większa od zera, a praca jest wykonywana przez silnik. Relacja między pracą, a energią cieplną jaką zyskuje silnik spełnia relację: {{CentrujWzór|<MATH>0\leqslant \Delta Q=-\Delta W\;</MATH>|11.52}} Silniki cieplne działają w oparciu o prosty cykl, którego sprawność jest mniejsza od cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}. Jeśli oznaczymy {{Formuła|<MATH>T_1</MATH>}} jako temperatura grzejnika, a {{Formuła|<MATH>T_2</MATh>}} temperatura chłodnicy, to całkowita sprawność silnika spełnia warunek: {{CentrujWzór|<math>\eta^P={{W}\over{Q_H}}={{Q_H-Q_C}\over{Q_H}}\leqslant{{T_H-T_C}\over{T_H}}</MATH>|11.53}} gdzie * {{Formuła|<MATH>Q_H</MATH>}} - jest to ciepło oddane z grzejnika do silnika cieplnego, * {{Formuła|<MATH>Q_C</MATH>}} - jest to ciepło oddane z silnika do chłodnicy, * {{Formuła|<MATH>T_H</MATH>}} - to temperatura grzejnika, {{Formuła|<maTh>T_C</MATH>}}-temperatura chłodnicy. Zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>Q_H-Q_C=|W|\geqslant 0</MATH>|11.54}}. Maksymalną sprawność jaką uzyskuje silnik w którym sumaryczna zmiana entropii grzejnika i chłodnicy uzyskuje wartość zero i wtedy silnik ma sprawność cyklu Carnota. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy spełnia wtedy warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_{H}=-\Delta S_{C}\;</MATH>|11.55}} == Pompa ciepła == {{Rysunek|Heatpump.svg|lk5|Schemat prostej sprężarkowej pompy ciepła 1) skraplacz, 2) zawór dławiący (lub kapilara), 3) parownik, 4) sprężarka.}} Jest to obieg termodynamiczny przebiegającej odwrotnie ze wskazówkami zegara, polega na przekazywaniu energii od chłodnicy kosztem wykonanej pracy, która jest dodatnia i dalej ona jest przekazywana do grzejnika wraz z tym ciepłem pochodzących z chłodnicy. Ilość energii przezywana do grzejnika w postaci ciepła jest większa niż ciepło odbierane od chłodnicy. Tak to się dzieje, bo trzeba uwzględnić energii wykonaną w postaci pracy, która jest przekazywana do cyklu. Relacja między pracą, a energią cieplną jaką zyskuje silnik spełnia relację: {{CentrujWzór|<MATH>0\leqslant \Delta W=-\Delta Q</MATH>|11.56}} gdzie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_H+Q_C\;</MATH>|11.57}} Sprawność pomp cieplnych jest większa lub równa niż sprawność odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.28}} i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O={{W}\over{Q_C}}={{|Q_H|-Q_C}\over{Q_C}}\geqslant{{T_H-T_C}\over{T_C}}</MATH>|11.58}} Minimalną sprawność jaką uzyskuje silnik w którym sumaryczna zmiana entropii grzejnika i chłodnicy uzyskuje wartość zero i wtedy silnik ma sprawność odwrotnego cyklu Carnota. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy spełnia wtedy warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_{H}=-\Delta S_C\;</MATH>|11.59}} == Cykl Diesla == {{Rysunek|CyklDiesla_pV.png|l2|Cykl Diesla w układzie p-V}} Cyklem Diesla (obieg Diesla) nazywamy prosty (prawozbieżny) obieg termodynamiczny, w którym występują dwa cykle adiabatyczne, jedna izochora i izobara. Cykl Diesla jest obiegiem porównawczym silnika wysokoprężnego (silnika Diesla). : 1 - jest to przemiana polegająca na rozprężaniu izobarycznym gazu przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} od objętości:{{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, przy czym tutaj występuje ochładzanie gazu : 2 - jest to przemiana polegająca na rozprężaniu adiabatycznym gazy od objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} i ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} do objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} i ciśnienia {{Formuła|<math>p_2\;</MATH>}}. : 3 - jest to przemiana polegająca izochorycznym chłodzeniu gazu przy objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} : 4 - jest to przemiana polegająca na adiabatycznym sprężaniu gazu od objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} i ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} i ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}. === Sprawność cyklu Diesla === Będziemy przeprowadzać obliczenia dla cyklu Diesla w celu wyznaczenia jego sprawności. Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 1 jest równe, na którym ciśnienie pozostaje stałe i jest równe {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=C_pn\int^{V_2}_{V_1}dT=C_pn\int^{V_2}_{V_1}d{{pV}\over{nR}}= {{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)>0\;</MATH>|11.60}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 2 na odcinku adiabatycznym jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_2=0\;</MATH>|11.61}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 3 na którym objętość jest stała i wynosi {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} a ciśnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_2\;</maTh>}} do {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}, zatem ta energia jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Q_3=C_Vn\int^{p_1}_{p_2}dT=C_Vn\int^{p_1}_{p_2}d{{pV}\over{nR}}= {{C_vV_3}\over{R}}(p_1-p_2)<0\;</MATH>|11.62}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 4, który jest odcinkiem adiabatycznym jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_4=0\;</MATH>|11.63}} Współczynnik sprawności prostego cyklu Diesla, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|11.9}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MAth>\eta={{Q_3+Q_1}\over{Q_1}}={{{{C_vV_3}\over{R}}(p_1-p_2)+{{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)}\over{{{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)}}=1-{{C_v}\over{C_p}}{{{{p_2}\over{p_3}}-{{p_1}\over{p_3}}}\over{{{V_2}\over{V_3}}-{{V_1}\over{V_3}}}}\;</MATH>|11.64}} Z równań adiabaty zachodzą łączące punkty krańcowe na odcinku 2 oraz 4 można napisać dwa brzegowe warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_3V_2^{\kappa}=p_2V_3^{\kappa}\Rightarrow {{p_2}\over{p_3}}=\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa}\;</MATH>|11.65}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_1V_3^{\kappa}=p_3V_1^{\kappa}\Rightarrow{{p_1}\over{p_3}}=\left({{V_1}\over{V_3}}\right)^{\kappa}\;</MATH>|11.66}} }} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|11.65}} i {{LinkWzór|11.66}}, zatem sprawność cyklu prostego Diesla {{LinkWzór|11.64}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<maTH>\eta=1-{{C_v}\over{C_p}}{{\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa}-\left({{V_1}\over{V_3}}\right)^{\kappa}}\over{{{V_2}\over{V_3}}-{{V_1}\over{V_3}}}}= 1-{{C_v}\over{C_p}}\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa-1}{{1-\left({{V_1}\over{V_2}}\right)^{\kappa}}\over{1-{{V_1}\over{V_2}}}}\;</MATH>|11.67}} Sprawność cyklu Diesla według {{LinkWzór|11.67}} wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=1-{{C_v}\over{C_p}}\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa-1}{{1-\left({{V_1}\over{V_2}}\right)^{\kappa}}\over{1-{{V_1}\over{V_2}}}}\;</MATH>|11.68|Obramuj}} '''gdzie''': * {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} dla gazu doskonałego zachodzi {{LinkWzór|7.40|Gazy doskonałe}}. == Cykl Otta == {{Rysunek|Cykl_Otta.png|l1|Cykl Otta w układzie p-V}} Cykl Otta - odwracalny cykl termodynamiczny w którym występują cztery z procesów elementarnych: : '''0''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izobarycznym przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} od objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} : '''1''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izochorycznym, przy objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}. : '''2''' - przemiana polegająca na sprężaniu adiabatycznym (na wykresie 3), od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} i objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} i objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}. : '''3''' - przemiana polegająca na chłodzeniu izochorycznym przy objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}, od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} : '''4''' - rozprężaniu adiabatycznym od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} przy objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} przy objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}. : '''5''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izobarycznym przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} od objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} === Sprawność cyklu Otta === Będziemy przeprowadzać obliczenia dla cyklu Otta w celu wyznaczenia sprawności tegoż obiegu. Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 4 i 2 na tych odcinkach adiabatycznych jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_4=Q_2=0\;\;</MATH>|11.69}} Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 1, w którym objętość się nie zmienia i wynosi {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, a ciśnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} i ta energia jest zatem równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=C_vn\int dT=C_vn\int d\left({{pV}\over{nR}}\right)={{C_v}\over{R}}V_2(p_3-p_1)>0\;\;</MATH>|11.70}} Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 3, w którym objętość się nie zmienia i wynosi {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} a cisnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}}, ta energia jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_3=C_vn\int dT=C_vn\int d\left({{pV}\over{nR}}\right)={{C_v}\over{R}}V_1(p_2-p_4)<0\;\;</MATH>|11.71}} Sprawność cyklu Otta, który jest cyklem odwrotnym na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.13}} i na podstawie wcześniejszych obliczeń wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>\eta={{-Q_1-Q_3}\over{Q_1}}=-1-{{Q_3}\over{Q_1}}=-1-{{{{C_v}\over{R}}V_1(p_2-p_4)}\over{{{C_v}\over{R}}V_2(p_3-p_1)}}=-1-{{V_1}\over{V_2}}{{(p_2-p_4)}\over{p_3-p_1}} \;\;</MATH>|11.72}} Z równań adiabaty łączące krańcowe punkty na przemianach 2 oraz 4 zachodzą warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_4V_1^{\kappa}=p_3V_2^{\kappa}</MATH>|11.73}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_2V_1^{\kappa}=p_1V_2^{\kappa}</MATH>|11.74}} }} Z równań {{LinkWzór|11.73}} (przemiana 2) i {{LinkWzór|11.74}} (przemiana 4) wynika równanie: {{CentrujWzór|<math>(p_2-p_4)V_1^{\kappa}=(p_1-p_3)V_2^{\kappa}\Rightarrow {{p_2-p_4}\over{p_3-p_1}}=-\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa}\;\;</MATH>|11.75}} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|11.75}} i podstawiając to równanie do wzoru sprawność cyklu {{LinkWzór|11.72}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=-1-{{V_1}\over{V_2}}{{p_2-p_4}\over{p_3-p_1}}=-1+{{V_1}\over{V_2}}\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa}=-1+\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa-1}\;\;</MATH>|11.76}} Stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.40|Gazy_doskonałe}}. Ostatecznie sprawność cyklu Otta według {{LinkWzór|11.76}} przedstawia się ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa-1}-1\;\;</MATH>|11.77|Obramuj}} Sprawność cyklu Otta jest zależna od objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MatH>V_2\;</Math>}} i od współczynnika {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}, który dla gazu doskonałego jest większa niż jeden według wzoru {{LinkWzór|7.40|Gazy_doskonałe}} i związku {{LinkWzór|7.42|Gazy_doskonałe}}, zatem sprawność cyklu Otta jest zawsze większa niż zero, tak jak powinno. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qneps4y0h2br8ftgujmtnv5xojzjbuh 559089 559052 2026-10-11T03:31:23Z Persino 2851 559089 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Obiegami termodynamicznymi nazywamy szereg dowolnych przemian termodynamicznych, któremu podlega czynnik termodynamiczny,np.: ciśnienie, objętość, temperatura, entropia. Stan czynnika termodynamicznego na końcu pokrywa się ze stanem czynnika na początku. == Sprawność cyklu == {{Rysunek|CarnotCycle3.png|lk0|Obieg termodynamiczny w układzie T-S. Biały obszar przedstawia pracę cyklu, czerwony obszar odpowiada ciepłu wymienionemu z chłodnicą}} Sprawność cyklu jest to stosunek wartości bezwzględnej pracy wykonanej nad układem przez ciepło oddane cyklowi i wyraża się on: {{CentrujWzór|<MATH>\eta={{|\Delta W|}\over{Q}}\;</MATH>|11.1}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q\;</MATH>}} jest to energia oddana cyklowi w postaci ciepła * {{Formuła|<MATH>\Delta W</MATH>}}-praca wykonana przez cykl. Zachodzi również z {{sr|p=Zasady termodynamiki fenomenologicznej|#Pierwsza_zasada_termodynamiki|pierwszej zasady termodynamiki}} z równania {{LinkWzór|2.2|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} wynika, że zmiana energii wewnętrznej dla cyklu jest równa zero, bo energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną. {{CentrujWzór|<MATH>0=\Delta U=\Delta Q+\Delta W\;</MATH>|11.2}} Z równania {{LinkWzór|11.2}} wynika, że energia wymieniana między układem, a otoczeniem jest równa z minusem pracy wykonanej przez układ. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\;</math>|11.3}} Pracę możemy wyliczyć przy pomocy wzoru {{LinkWzór|2.7|Zasady_termodynamiki_fenomenologicznej}} i jest to pole na wykresie (p,V) ograniczonej przez cykl wziętej z minusem, gdy cykl odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara lub z plusem gdy odwrotnie. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\oint dW=-\oint p dV</MATH>|11.4}} A energia przekazywaną między układem a otoczeniem w postaci ciepła w cyklu możemy wyrazić w zmiennych (T,S) jako pole ograniczone przez cykl na wykresie i jest ona równa pracy wykonanej nad cyklem wziętej razem z minusem, co wynika ze wzoru {{LinkWzór|11.3}}. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=\oint TdS=\oint p dV=-\Delta W</MATH>|11.5}} === Prosty cykl === Jest to cykl, którego odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara, to całkowita energia oddana lub przejęta przez cykl jest większa lub równa zero, a praca wykonana nad cyklem jest zawsze nie większa niż zero, czyli w tym cyklu prostym zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\geqslant 0\;</math>|11.6}} Dla cyklu określmy całkowitą energię wymienianą między układem a otoczeniem na w sposób ciepła, czyli energię oddaną, przyjętą przez cykl przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_1+Q_2\;</math>|11.7}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>Q=Q_1\;</math>|11.8}} }} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q_1\geqslant 0\;</math>}} jest to energia oddawana cyklowi przez grzejnik, * {{Formuła|<MATH>Q_2\leqslant 0\;</math>}} jest to energia oddawana przez cykl do chłodnicy, i dlatego ma wartość ujemną. A zatem sprawność cyklu prostego, korzystając przy tym {{LinkWzór|11.7}} (całkowita energia w postaci ciepła wymieniana między układem a otoczeniem), {{LinkWzór|11.8}} (ciepło oddane cyklowi), a także {{LinkWzór|11.6}} (związek między całkowitym ciepłem wymienianym między układem i otoczeniem z pracą wykonaną nad cyklem), to wzór {{LinkWzór|11.1}} (sprawność cyklu) przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P={{|\Delta W|}\over{Q}}={{-\Delta W}\over{Q_1}}={{Q_1+Q_2}\over{Q_1}}=1+{{Q_2}\over{Q_1}}=1-{{|Q_2|}\over{Q_1}}\leqslant 1\;</math>|11.9}} W cyklu prostym sprawność cyklu jest zawsze mniejsza niż jeden i większa niż zero, bo na pewno zachodzi warunek: {{Formuła|<MATH>Q_1-|Q_2|\geqslant 0\;</math>}}. === Odwrotny cykl === Jest to cykl, który odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara, to całkowita energia oddana lub przyjęta przez cykl jest mniejsza lub równa zero, a praca wykonana nad cyklem jest zawsze nie mniejsza niż zero, czyli w tym cyklu odwrotnym zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=-\Delta W\leqslant 0\;</MATH>|11.10}} Dla cyklu określmy całkowitą energię wymienianą między układem a otoczeniem na w sposób ciepła i energię oddaną cyklowi wedle: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_1+Q_2\;</MATH>|11.11}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>Q=Q_2\;</MAth>|11.12}} }} gdzie: * {{Formuła|<MATH>Q_1\leqslant 0\;</MATH>}} jest to energia zabierana cyklowi przez grzejnik * {{Formuła|<MATH>Q_2\geqslant 0\;</MATH>}} jest to energia oddawana układowi przez chłodnicę. Zatem sprawność cyklu odwrotnego, korzystając z {{LinkWzór|11.11}} (całkowita energia wymieniane między układem a otoczeniem na w sposób ciepła), {{LinkWzór|11.12}} (energia na w sposób ciepła oddana cyklowi), a także {{LinkWzór|11.10}} (związek między całkowitym ciepłem wymienianym między układem a otoczeniem a pracą wykonaną nad cyklem) , to wzór {{LinkWzór|11.1}} (sprawność cyklu) przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O={{|\Delta W|}\over{Q}}={{\Delta W}\over{Q_2}}={{-\Delta Q}\over{Q_2}}=-{{Q_1+Q_2}\over{Q_2}}=-{{-|Q_1|+Q_2}\over{Q_2}}={{|Q_1|}\over{Q_2}}-1\geqslant 0\;</math>|11.13}} W cyklu odwrotnym sprawność jest większa niż zero, bo zachodzi zawsze warunek {{Formuła|<MATH>|Q_1|-Q_2\geqslant 0</math>}}. == Cykle Carnota == Cyklem Carnota nazywamy obieg termodynamiczny składający się z dwóch przemian adiabatycznych i dwóch izotermicznych. Prostym cyklem Carnota nazywamy gdy obieg odbywa się zgodnie z kierunkiem ruchu zegara, odwrotnym cyklem Carnota nazywamy, gdy obieg odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara. === Prosty cykl Carnota === {{Rysunek|Carnot_pv.jpg|lk1|Cykl Carnota, gdzie: isotherm-izoterma, isentrop-adiabata}} {{Rysunek|CarnotCycle1.png|lk2|Cykl Carnota, w zmiennych T-S}} Cykl Carnota polega na dwóch przemianach izotermicznych oraz dwóch przemianach adiabatycznych. : Proces 1-2 jest to przemiana izotermiczna polegająca sprężaniu izotermicznym, w którym jest oddawana część energia w postaci ciepła do chłodnicy, która jest częścią energii zabieranej z grzejnika, przy czym nie zmienia się jego temperatura, a także jest oddawana do cyklu energia na sposób pracy. Zakładamy że pojemność cieplna chłodnicy jest nieskończenie duża, podobnie jest z grzejnikiem. : Przemiana 2-3 jest to przemiana polegająca na sprężaniu adiabatycznym, w którym jest dawana do cyklu energia na w sposób pracy, ale wcale na w sposób ciepła, bo w tym procesie ciepło właściwe jest równe zero, tzn.:{{Formuła|<math>C_{adiabata}=0</MATH>}}. : A także procesie 3-4, w którym jest dawana energia na sposób ciepłą z grzejnika, oraz zabierana jest energia na w sposób pracy, którego pojemność jest nieskończenie duża, tak by jego temperatura nie zmieniała w tym procesie izotermicznego rozprężania się gazu. : Proces 4-1 polega na adiabatycznym rozprężania, z którego jest zabierana energia na sposób pracy, ale nie na w sposób ciepła. W cyklu Carnota temperatura grzejnika {{Formuła|<MATH>T_1</MATH>}}, jest większa od temperatury chłodnicy {{Formuła|<MATH>T_2</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>T_1>T_2</MATH>}}. === Odwrotny Cykl Carnota === Jest to odwrotny cykl termodynamiczny, polegających na dwóch przemianach izotermicznych i na dwóch przemianach adiabatycznych. : Na drodze 2-1 ciepło zabierane jest z chłodnicy, w której występuje izotermiczne rozprężanie. : Na 1-4 jest to adiabata w którym występuje adiabatyczne sprężanie gazu bez wymiany ciepła z otoczeniem, tylko energia jest oddawana cyklowi w postaci wykonanej pracy. : Na 4-3 występuje izotermiczne sprężanie gazu w którym energia wewnętrzna gazu nie zmienia się, tylko ciepło jest oddawane przez cykl do grzejnika kosztem wykonanej pracy przez cykl. : Na 3-2 występuje adiabatyczne rozprężanie gazu. A więc w sumie energia dostarczona do cyklu na w sposób energii i energia na w sposób ciepła dostarczona z chłodnicy jest oddawana do grzejnika dla naszego cyklu odwrotnego, przy czym {{Formuła|<MATH>|Q_1|\geqslant |Q_2|</MATH>}}, czyli: {{Formuła|<MATH>-\Delta W=\Delta Q=Q_1+Q_2\leqslant 0</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\Delta W\geqslant 0</MATH>}}. === Sprawność prostego i odwrotnego cyklu Carnota === Niech w prostym cyklu Carnota określonym krancom od 1 do 4 odpowiadają określone współrzędne (p,V,T),a zatem mamy:{{Formuła|<MATH>1-(p_1,V_1,T_2),2-(p_2,V_2,T_2),3-(p_3,V_3,T_1),4-(p_4,V_4,T_1)\;</MATH>}} Policzmy dla poszczególnych przedziałach krańców odpowiednie prace wykonane przez gaz doskonały. Równanie gazu doskonałego przedstawia się jako {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}} . Będziemy również korzystać z równań adiabaty względem ściśle określonych dwóch parametrów termodynamicznych. Wyznaczmy prace wykonywaną przez gaz doskonały pomiędzy stanami, na które wskazują wskaźniki z prawej strony na dole. Praca wykonana między punktami 1-2 podczas przemiany izotermicznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>W_{12}=-\int^2_1 pdV=-nRT_2\int^2_1V^{-1}dV=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.14}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 2-3 podczas przemiany adiabatycznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>W_{23}=-\int^3_2pdV=-C_{23}\int^3_2V^{-\kappa}dV=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left[V^{-\kappa+1}\right]_2^3=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{\kappa}\right)</MATH>|11.15}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 3-4 podczas przemiany adiabatycznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_4\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>W_{34}=-\int^4_3pdV=-nRT_1\int^4_3V^{-1}dV=-nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}</math>|11.16}} Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 4-1 podczas przemiany izotermicznej przy zmianie jego objętości od {{Formuła|<MATH>V_4\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>W_{41}=-\int^1_4pdV=-C_{23}\int^1_4V^{-\kappa}dV=-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left[V^{-\kappa+1}\right]_4^1=</MATH> <MATH>=-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{\kappa}\right)</MATH>|11.17}} W poniższym równaniu wykorzystujemy równanie adiabaty {{LinkWzór|7.39|Gazy_doskonałe}}, zatem określmy {{Formuła|<MATH>W_A\;</MATH>}} jako sumę prac między punktami 2-3 oraz 4-1: {{CentrujWzór|<MATH>W_A=W_{23}+W_{41}=-{{C_{23}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{-\kappa+1}\right)+-{{C_{41}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{\kappa-1}\right)=</MATH>{{Br}} <MATH>=-{{T_1V_3^{\kappa-1}}\over{1-\kappa}}\left(V_3^{-\kappa+1}-V_2^{-\kappa+1}\right)+-{{T_1V_4^{\kappa-1}}\over{1-\kappa}}\left(V_1^{-\kappa+1}-V_4^{-\kappa+1}\right)=-{{T_1}\over{1-\kappa}}+{{T_1V_3^{\kappa-1}V_2^{-\kappa}}\over{1-\kappa}}-{{T_1V_4^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}+{{T_1}\over{1-\kappa}}=</MATH>{{Br}} <MATH>={{T_1V_3^{\kappa-1}V_2^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}-{{T_1V_4^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}} </MATH>|11.18}} Z równania adiabaty w zmiennych temperatura-objętość napisanych wedle wzoru {{LinkWzór|7.40|Gazy doskonałe}} można połączyć punkt 2 z punktem 3: {{CentrujWzór|<MATH>T_2V_2^{\kappa-1}=T_1V_3^{\kappa-1}</MATH>|11.19}} Również też dla tego samego równania adiabaty, ale dla innej linii w cyklu Carnota można połączyć punkt 4 z punktem 1. {{CentrujWzór|<MATH>T_2V_1^{\kappa-1}=T_1V_4^{\kappa-1}</MATH>|11.20}} Wykorzystujemy równania {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}, wtedy równanie {{LinkWzór|11.18}} przyjmuje postać poniżej i jak się przekonamy, to wyrażenie jest równe zero: {{CentrujWzór|<MATH>W_A={{T_2V_2^{\kappa-1}V_2^{-\kappa+1}-T_2V_1^{\kappa-1}V_1^{-\kappa+1}}\over{1-\kappa}}= {{T_2-T_2}\over{1-\kappa}}=0</MATH>|11.21}} Dochodzimy, że praca wykonana między punktami 2-3 i 4-1 nic nie wnosi do cyklu Carnota. Wyznaczmy prace w cyklu w sumie dla punktów 1-2 i dla 3-4, wtedy {{CentrujWzór|<MATH>W_T=W_{12}+W_{34}=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}-nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}</MATH>|11.22}} Z równania adiabaty w zmiennych T,V dla cyklu Carnota mamy wzory można połączyć punkty 1-4 i 2-3, wtedy otrzymujemy dwie poniższe tożsamości łączące wspomniane punkty: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T_2V_4^{\kappa-1}=T_1V_1^{\kappa-1}</MATH>|11.23}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>T_2V_3^{\kappa-1}=T_1V_2^{\kappa-1}</MAtH>|11.24}} }} Podzielmy stronami równania {{LinkWzór|11.23}} i {{LinkWzór|11.24}} przez siebie, wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MatH>{{V_3}\over{V_4}}={{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.25}} Zależność {{LinkWzór|11.25}} mówiący, że stosunek objętości w punktach 3-4 jest taki sam jak stosunek objętości w punktach 2-1, i ten stosunek wykorzystujemy w równaniu {{LinkWzór|11.22}}, tzn. podstawiając do niego, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>W_T=-nRT_2\ln{{V_2}\over{V_1}}+nRT_1\ln {{V_2}\over{V_1}}=nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}</MATH>|11.26}} Policzmy sprawność cyklu prostego Carnota: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P_C={{-W_T-W_A}\over{-W_{34}}}={{-nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}}\over{nRT_1\ln {{V_4}\over{V_3}}}}= {{-nR(T_1-T_2)\ln {{V_2}\over{V_1}}}\over{-nRT_1\ln {{V_2}\over{V_1}}}}={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.27}} Sprawność cyklu prostego Carnota przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_C^P={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.28|Obramuj}} Wyznaczmy sprawność cyklu odwrotnego Carnota, ale przedtem policzmy prace: {{Formuła|<MATH>W^O_T</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>W^O_A</MAtH>}}, tak ja poprzednio {{LinkWzór|11.21}}, {{LinkWzór|11.26}} dla cyklu prostego, poprzez zamianę 1 na 2 i 2 na 1, wtedy otrzymujemy naszą sprawność: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O_C={{W^0_T+W^0_A}\over{-W_{12}}}={{nR(T_1-T_2)\ln {{V_1}\over{V_2}}}\over{nRT_2\ln{{V_1}\over{V_2}}}}={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.29}} Sprawność cyklu odwrotnego Carnota przedstawia się jako: {{CentrujWzór|<MaTH>\eta_C^O={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.30|Obramuj}} Udowodniliśmy powyżej, że praca wykonana przez obie przemiany adiabatyczne, tzn.:2-3 oraz 4-1 jest sumarycznie równa zero. A zatem praca i ciepło czy to dostarczone do układu czy oddawane jest tylko wynikiem dwóch przemian izotermicznych. Widzimy, że sprawności cyklu Carnota jak i prostego i odwrotnego jest zależna zarówno od temperatury grzejnika T{{Sub|1}}, jak i od temperatury chłodnicy T{{Sub|2}}. === Sprawność prostego dowolnego cyklu względem prostego cyklu Carnota === Dla dowolnej przemiany odwracalnej, czy to dla cyklu prostego lub odwrotnego zmiana entropii jest równa zero, ponieważ entropia posiada różniczkę zupełną: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_C=0\;</MATH>|11.31}} A także cykl Carnota jest cyklem odwracalnym. Zmiana entropii dla grzejnika i chłodnicy, gdzie {{Formuła|<MATH>\Delta S_{GC}</MATH>}}, to zmiana entropii grzejnika i chłodnicy, razem z cyklem wyraża się według: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_C+\Delta S_{GC}\geqslant 0\Rightarrow\Delta S_{GC}\geqslant 0</MATH>|11.32}} Zmiana entropii w dowolnym układzie termodynamicznym jest zawsze większa lub równa zero, z drugiej zasady termodynamiki całkowita zmiana entropii w cyklu jest sumą zmian entropii grzejnika i chłodnicy. Ciepło dostarczone do cyklu przez grzejnik Q{{Sub|1}} dla grzejnika jest to ciepło oddane, wiec jest przyjęte w nim ze znakiem minus, podobnie jest dla chłodnicy, cykl oddaje ciepło do chłodnicy, więc ono ma znak ujemny, ale ponieważ dla chłodnicy jest to ciepło przyjęte , to określamy je ze znakiem minus, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{-Q_1}\over{T_1}}+{{-Q_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.33}} Z {{LinkWzór|11.33}}, które otrzymaliśmy z drugiej zasady termodynamiki, to wtedy możemy napisać, iloraz energii ciepła oddawanego do chłodnicy Q{{Sub|2}} przez cykl, przez ciepło oddawane do cyklu Q{{Sub|1}} przez grzejnik: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_2}\over{Q_1}}\leqslant -{{T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.34}} Na podstawie wzoru na sprawność cyklu prostego {{LinkWzór|11.9}} i nierówności {{LinkWzór|11.34}} możemy napisać sprawność dowolnego cyklu: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=1+{{Q_2}\over{Q_1}}\leqslant 1-{{T_2}\over{T_1}}={{T_1-T_2}\over{T_1}}</MATH>|11.35}} Ostatecznie z {{LinkWzór|11.35}} sprawność tego samego cyklu względem sprawności w cyklu Carnota {{LinkWzór|11.28}} jest wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^P\leqslant {{T_1-T_2}\over{T_1}}> 0</MATH>{{Tekst|, bo }}<MATH>T_1> T_2\;</MATH>|11.36|Obramuj}} Sprawność dowolnego prostego cyklu {{LinkWzór|11.36}} jest zawsze mniejsza lub równa od sprawności cyklu Carnota. === Sprawność odwrotnego dowolnego cyklu względem odwrotnego cyklu Carnota === Zmiana entropii cyklu Carnota jest równa zero {{Formuła|<MATH>\Delta S_C=0\;</MATH>}}, bo jest cyklem odwracalnym i entropia posiada różniczkę zupełną. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy jest zawsze większa od zera lub jej równa zgodnie z drugą zasadą termodynamiki. Jeśli weźmiemy energie oddawane do grzejnika i zabierane od chłodnicy, i te energię oznaczać będziemy odpowiednim znakiem. A energie {{Formuła|<MATH>Q_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>Q_2\;</MATH>}} mają odpowiednie znaki względem czy energia jest oddawana lub dodawana do naszego badanego cyklu. Energia jest oddawana do grzejnika od cyklu, więc ona posiada wartość ujemną względem cyklu, zatem przed {{Formuła|<MATH>Q_1\;</MATH>}} musi postawić dodatkowy znak minus, jeśli przedstawić względem grzejnika (bo dla grzejnika ciepło -Q{{Sub|1}} ma wartość dodatnią), a od chłodnicy do cyklu jest oddawana energia w postaci ciepła, więc znak tej energii względem cyklu jest dodatni, zatem przez {{Formuła|<MATH>Q_2\;</MATH>}} musi występować znak minus by mięć tą energię względem chłodnicy (bo dla chłodnicy to ciepło jest od niego zabierane, więc -Q{{Sub|2}} ma wartość ujemną), zatem całkowita zmiana entropii jest sumą zmian entropii grzejnika i chłodnicy i z drugiej zasady termodynamiki jest zawsze nie mniejsza niż zero. {{CentrujWzór|<MATH>{{-Q_1}\over{T_1}}+{{-Q_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.37}} Po pomnożeniu przez {{Formuła|<MATH>-1</MATH>}} i po przegrupowaniu wyrazów w nierówności {{LinkWzór|11.37}}, tak by energia w postaci ciepła oddawana grzejnikowi Q{{Sub|1}} znajdowała się na jego lewej stronie, a energia w postaci ciepła zabierana z chłodnicy Q{{Sub|2}} była po prawej stronie, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_1}\over{T_1}}\leqslant -{{Q_2}\over{T_2}}</MATH>|11.38}} Po podzieleniu przez {{Formuła|<MATH>Q_2>0\;</math>}}, która dla cyklu odwrotnego ma wartość dodatnią i pomnożeniu przez wartość zawsze dodatnią,tzn. {{Formuła|<MATH>T_1\;</MATH>}} obu stron równania {{LinkWzór|11.38}}, wtedy dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{Q_1}\over{Q_2}}\leqslant -{{T_1}\over{T_2}}</MATH>|11.39}} Jeśli skorzystamy z nierówności {{LinkWzór|11.39}} możemy otrzymać sprawności dowolnego cyklu odwrotnego względem sprawności odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=-{{Q_1+Q_2}\over{Q_2}}=-{{Q_1}\over{Q_2}}-1\geqslant{{T_1}\over{T_2}}-1={{T_1-T_2}\over{T_2}}</MATH>|11.40}} Ostatecznie z dysput {{LinkWzór|11.40}} wynika, że sprawność dowolnego cyklu jest zawsze nie mnieJsza niż sprawność odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}. {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O\geqslant{{T_1-T_2}\over{T_2}}\geqslant 0</MATH>|11.51|Obramuj}} Sprawność dowolnego odwrotnego cyklu Carnota jest zawsze większa lub równa sprawności odwrotnego cyklu Carnota. == Silnik cieplny == {{Rysunek|Carnot heat engine 2.svg|lk3|'''Schemat energetyczny silnika cieplnego'''}} Jest to urządzenie, która zamienia energię w postaci ciepła częściowo w energię mechaniczną. Silniki cieplne pobierają energię z grzejnika i oddają część tej energii do chłodnicy, a reszta energii jest zamieniana na pracę. Ilość energii jaki zyskuje silnik jest zawsze większa od zera, a praca jest wykonywana przez silnik. Relacja między pracą, a energią cieplną jaką zyskuje silnik spełnia relację: {{CentrujWzór|<MATH>0\leqslant \Delta Q=-\Delta W\;</MATH>|11.52}} Silniki cieplne działają w oparciu o prosty cykl, którego sprawność jest mniejsza od cyklu Carnota {{LinkWzór|11.30}}. Jeśli oznaczymy {{Formuła|<MATH>T_1</MATH>}} jako temperatura grzejnika, a {{Formuła|<MATH>T_2</MATh>}} temperatura chłodnicy, to całkowita sprawność silnika spełnia warunek: {{CentrujWzór|<math>\eta^P={{W}\over{Q_H}}={{Q_H-Q_C}\over{Q_H}}\leqslant{{T_H-T_C}\over{T_H}}</MATH>|11.53}} gdzie * {{Formuła|<MATH>Q_H</MATH>}} - jest to ciepło oddane z grzejnika do silnika cieplnego, * {{Formuła|<MATH>Q_C</MATH>}} - jest to ciepło oddane z silnika do chłodnicy, * {{Formuła|<MATH>T_H</MATH>}} - to temperatura grzejnika, {{Formuła|<maTh>T_C</MATH>}}-temperatura chłodnicy. Zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>Q_H-Q_C=|W|\geqslant 0</MATH>|11.54}}. Maksymalną sprawność jaką uzyskuje silnik w którym sumaryczna zmiana entropii grzejnika i chłodnicy uzyskuje wartość zero i wtedy silnik ma sprawność cyklu Carnota. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy spełnia wtedy warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_{H}=-\Delta S_{C}\;</MATH>|11.55}} == Pompa ciepła == {{Rysunek|Heatpump.svg|lk5|Schemat prostej sprężarkowej pompy ciepła 1) skraplacz, 2) zawór dławiący (lub kapilara), 3) parownik, 4) sprężarka.}} Jest to obieg termodynamiczny przebiegającej odwrotnie ze wskazówkami zegara, polega na przekazywaniu energii od chłodnicy kosztem wykonanej pracy, która jest dodatnia i dalej ona jest przekazywana do grzejnika wraz z tym ciepłem pochodzących z chłodnicy. Ilość energii przezywana do grzejnika w postaci ciepła jest większa niż ciepło odbierane od chłodnicy. Tak to się dzieje, bo trzeba uwzględnić energii wykonaną w postaci pracy, która jest przekazywana do cyklu. Relacja między pracą, a energią cieplną jaką zyskuje silnik spełnia relację: {{CentrujWzór|<MATH>0\leqslant \Delta W=-\Delta Q</MATH>|11.56}} gdzie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta Q=Q_H+Q_C\;</MATH>|11.57}} Sprawność pomp cieplnych jest większa lub równa niż sprawność odwrotnego cyklu Carnota {{LinkWzór|11.28}} i wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\eta^O={{W}\over{Q_C}}={{|Q_H|-Q_C}\over{Q_C}}\geqslant{{T_H-T_C}\over{T_C}}</MATH>|11.58}} Minimalną sprawność jaką uzyskuje silnik w którym sumaryczna zmiana entropii grzejnika i chłodnicy uzyskuje wartość zero i wtedy silnik ma sprawność odwrotnego cyklu Carnota. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy spełnia wtedy warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S_{H}=-\Delta S_C\;</MATH>|11.59}} == Cykl Diesla == {{Rysunek|CyklDiesla_pV.png|l2|Cykl Diesla w układzie p-V}} Cyklem Diesla (obieg Diesla) nazywamy prosty (prawozbieżny) obieg termodynamiczny, w którym występują dwa cykle adiabatyczne, jedna izochora i izobara. Cykl Diesla jest obiegiem porównawczym silnika wysokoprężnego (silnika Diesla). : 1 - jest to przemiana polegająca na rozprężaniu izobarycznym gazu przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} od objętości:{{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, przy czym tutaj występuje ochładzanie gazu : 2 - jest to przemiana polegająca na rozprężaniu adiabatycznym gazy od objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} i ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} do objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} i ciśnienia {{Formuła|<math>p_2\;</MATH>}}. : 3 - jest to przemiana polegająca izochorycznym chłodzeniu gazu przy objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} : 4 - jest to przemiana polegająca na adiabatycznym sprężaniu gazu od objętości {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} i ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} i ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}. === Sprawność cyklu Diesla === Będziemy przeprowadzać obliczenia dla cyklu Diesla w celu wyznaczenia jego sprawności. Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 1 jest równe, na którym ciśnienie pozostaje stałe i jest równe {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=C_pn\int^{V_2}_{V_1}dT=C_pn\int^{V_2}_{V_1}d{{pV}\over{nR}}= {{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)>0\;</MATH>|11.60}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 2 na odcinku adiabatycznym jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_2=0\;</MATH>|11.61}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 3 na którym objętość jest stała i wynosi {{Formuła|<MATH>V_3\;</MATH>}} a ciśnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_2\;</maTh>}} do {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}}, zatem ta energia jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Q_3=C_Vn\int^{p_1}_{p_2}dT=C_Vn\int^{p_1}_{p_2}d{{pV}\over{nR}}= {{C_vV_3}\over{R}}(p_1-p_2)<0\;</MATH>|11.62}} Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 4, który jest odcinkiem adiabatycznym jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_4=0\;</MATH>|11.63}} Współczynnik sprawności prostego cyklu Diesla, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|11.9}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MAth>\eta={{Q_3+Q_1}\over{Q_1}}={{{{C_vV_3}\over{R}}(p_1-p_2)+{{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)}\over{{{C_pp_3}\over{R}}(V_2-V_1)}}=1-{{C_v}\over{C_p}}{{{{p_2}\over{p_3}}-{{p_1}\over{p_3}}}\over{{{V_2}\over{V_3}}-{{V_1}\over{V_3}}}}\;</MATH>|11.64}} Z równań adiabaty zachodzą łączące punkty krańcowe na odcinku 2 oraz 4 można napisać dwa brzegowe warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_3V_2^{\kappa}=p_2V_3^{\kappa}\Rightarrow {{p_2}\over{p_3}}=\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa}\;</MATH>|11.65}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_1V_3^{\kappa}=p_3V_1^{\kappa}\Rightarrow{{p_1}\over{p_3}}=\left({{V_1}\over{V_3}}\right)^{\kappa}\;</MATH>|11.66}} }} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|11.65}} i {{LinkWzór|11.66}}, zatem sprawność cyklu prostego Diesla {{LinkWzór|11.64}} jest wyrażona: {{CentrujWzór|<maTH>\eta=1-{{C_v}\over{C_p}}{{\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa}-\left({{V_1}\over{V_3}}\right)^{\kappa}}\over{{{V_2}\over{V_3}}-{{V_1}\over{V_3}}}}= 1-{{C_v}\over{C_p}}\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa-1}{{1-\left({{V_1}\over{V_2}}\right)^{\kappa}}\over{1-{{V_1}\over{V_2}}}}\;</MATH>|11.67}} Sprawność cyklu Diesla według {{LinkWzór|11.67}} wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=1-{{C_v}\over{C_p}}\left({{V_2}\over{V_3}}\right)^{\kappa-1}{{1-\left({{V_1}\over{V_2}}\right)^{\kappa}}\over{1-{{V_1}\over{V_2}}}}\;</MATH>|11.68|Obramuj}} '''gdzie''': * {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} dla gazu doskonałego zachodzi {{LinkWzór|7.40|Gazy doskonałe}}. == Cykl Otta == {{Rysunek|Cykl_Otta.png|l1|Cykl Otta w układzie p-V}} Cykl Otta - odwracalny cykl termodynamiczny w którym występują cztery z procesów elementarnych: : '''0''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izobarycznym przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} od objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} : '''1''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izochorycznym, przy objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}}. : '''2''' - przemiana polegająca na sprężaniu adiabatycznym (na wykresie 3), od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} i objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} i objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}. : '''3''' - przemiana polegająca na chłodzeniu izochorycznym przy objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}}, od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} : '''4''' - rozprężaniu adiabatycznym od ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}} przy objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} do ciśnienia {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} przy objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}. : '''5''' - przemiana polegająca na ogrzewaniu izobarycznym przy ciśnieniu {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} od objętości {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} === Sprawność cyklu Otta === Będziemy przeprowadzać obliczenia dla cyklu Otta w celu wyznaczenia sprawności tegoż obiegu. Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 4 i 2 na tych odcinkach adiabatycznych jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_4=Q_2=0\;\;</MATH>|11.69}} Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 1, w którym objętość się nie zmienia i wynosi {{Formuła|<MATH>V_2\;</MATH>}}, a ciśnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_1\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_3\;</MATH>}} i ta energia jest zatem równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=C_vn\int dT=C_vn\int d\left({{pV}\over{nR}}\right)={{C_v}\over{R}}V_2(p_3-p_1)>0\;\;</MATH>|11.70}} Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 3, w którym objętość się nie zmienia i wynosi {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} a cisnienie zmienia się od {{Formuła|<MATH>p_4\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_2\;</MATH>}}, ta energia jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>Q_3=C_vn\int dT=C_vn\int d\left({{pV}\over{nR}}\right)={{C_v}\over{R}}V_1(p_2-p_4)<0\;\;</MATH>|11.71}} Sprawność cyklu Otta, który jest cyklem odwrotnym na podstawie wzoru {{LinkWzór|11.13}} i na podstawie wcześniejszych obliczeń wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>\eta={{-Q_1-Q_3}\over{Q_1}}=-1-{{Q_3}\over{Q_1}}=-1-{{{{C_v}\over{R}}V_1(p_2-p_4)}\over{{{C_v}\over{R}}V_2(p_3-p_1)}}=-1-{{V_1}\over{V_2}}{{(p_2-p_4)}\over{p_3-p_1}} \;\;</MATH>|11.72}} Z równań adiabaty łączące krańcowe punkty na przemianach 2 oraz 4 zachodzą warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_4V_1^{\kappa}=p_3V_2^{\kappa}</MATH>|11.73}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_2V_1^{\kappa}=p_1V_2^{\kappa}</MATH>|11.74}} }} Z równań {{LinkWzór|11.73}} (przemiana 2) i {{LinkWzór|11.74}} (przemiana 4) wynika równanie: {{CentrujWzór|<math>(p_2-p_4)V_1^{\kappa}=(p_1-p_3)V_2^{\kappa}\Rightarrow {{p_2-p_4}\over{p_3-p_1}}=-\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa}\;\;</MATH>|11.75}} Wykorzystujemy równanie {{LinkWzór|11.75}} i podstawiając to równanie do wzoru sprawność cyklu {{LinkWzór|11.72}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=-1-{{V_1}\over{V_2}}{{p_2-p_4}\over{p_3-p_1}}=-1+{{V_1}\over{V_2}}\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa}=-1+\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa-1}\;\;</MATH>|11.76}} Stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.40|Gazy_doskonałe}}. Ostatecznie sprawność cyklu Otta według {{LinkWzór|11.76}} przedstawia się ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>\eta=\left({{V_2}\over{V_1}}\right)^{\kappa-1}-1\;\;</MATH>|11.77|Obramuj}} Sprawność cyklu Otta jest zależna od objętości {{Formuła|<MATH>V_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MatH>V_2\;</Math>}} i od współczynnika {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}}, który dla gazu doskonałego jest większa niż jeden według wzoru {{LinkWzór|7.40|Gazy_doskonałe}} i związku {{LinkWzór|7.42|Gazy_doskonałe}}, zatem sprawność cyklu Otta jest zawsze większa niż zero, tak jak powinno. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> s6002ae0qnrzwu4pmpr7682qqrkwobz 0 16041 559053 558666 2026-10-11T00:56:39Z Persino 2851 559053 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Metoda najmniejszej wiarygodności zajmuje się gęstością uzyskania danego pomiaru w zależności od estymowanego parametru, a także zajmuje się ilorazem wiarygodności, czy nawet funkcją wiarygodności zależącą od parametru estymowanego {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}</MATH>}}. == Iloraz wiarygodności, funkcje i logarytmiczne funkcje wiarygodności == Niech estymowanym parametrem będzie n-wymiarowy wektor, to wartość oczekiwana estymatora S(x{{Sub|1}},x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}) {{LinkWzór|6.1|Pobieranie_próby}}, którego elementy można przedstawić w postaci ogólnej &lambda;{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\lambda}=(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</MATH>|7.1}} A także niech mamy też macierz o "n" kolumnach, który każdy wiersz przedstawia "n" wyników uzyskanych w wyniku doświadczenia, który każdy taki pomiar charakteryzuje inną wielkość fizyczną, a tych serii jednoczesnych pomiarów różnych wielkości fizycznych jest "m": {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}=(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,...,\mathbf{x}_n)=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{21}&\cdots&x_{n1}\\ x_{12}&x_{22}&\cdots&x_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{1m}&x_{2m}&\cdots&x_{nm} \end{bmatrix}</MATH>|7.2}} Niech mamy gęstość prawdopodobieństwa, że w pomiarze uzyskamy ściśle określony macierz pomiarów (<strong>x</strong>{{Sub|1}},<strong>x</strong>{{Sub|2}},...,<strong>x</strong>{{Sub|n}}) {{LinkWzór|7.2}} w zależności od estymowanego wektora (&lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}) napisanych w punkcie {{LinkWzór|7.1}}, zatem nasz rozważany obiekt statystyczny można napisać ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=f(\mathbf{x},\vec{\lambda})</MATH>|7.3}} Infinitezymalne prawdopodobieństwo uzyskania jednocześnie macierzy pomiarów dla macierzy o "n" kolumnach różnych "n" wielkości fizycznych {{LinkWzór|7.2}} w kolejnych seriach jest: {{CentrujWzór|<MATH>dP=f(\mathbf{x},\vec{\lambda})d\mathbf{x}</MATH>|7.4}} Jeśli nasze doświadczenie jest przeprowadzone w n-próbach, to nasze infinitezymalne prawdopodobieństwo, w analogii do wzoru {{LinkWzór|7.4}} uzyskania różnych wielkości fizycznych wyników pomiarów w danej próbie w zależności od numeru próby "i" i wektora parametrów estymowanych {{LinkWzór|7.1}} jest napisana według wyrażenia zależnego od wspomnianego wskaźnika: {{CentrujWzór|<MATH>dP^{i}=f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.5}} Wektor uzyskania wyników n różnych pomiarów uzyskanych w danej próbie o numerze "i" jest przestawiona symbolem {{Formuła|<MATH>\mathbf{x}^i</MATH>}}, która jest wielkością statystyczną napisanej w punkcie {{LinkWzór|7.5}}. Ilorazem wiarygodności nazywamy iloraz iloczynu N funkcji gęstości prawdopodobieństwa, których każda zależy od wektora n-wymiarowego pomiarów różnych wielkości fizycznych {{LinkWzór|7.2}} uzyskanych w danej próbie, dla którego ta gęstość prawdopodobieństwa dotyczy. Natomiast wszystkie te gęstości prawdopodobieństwa zależą od tego samego wektora estymowanych parametrów {{LinkWzór|7.1}}. Należy pamiętać, że w ilorazie wiarygodności w mianowniku występuje ten sam wyraz co w liczniku, ale dla innego wektora estymowanych parametrów estymowanych {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}_2\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q={{\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda}_1)}\over{\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda}_2)}}</MATH>|7.6}} Funkcją wiarygodności nazywamy funkcję zdefiniowanej w postaci iloczynu funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych prób "i" przy danym wektorze parametru estymowanego, których jak powiedziano wcześniej, każda taka gęstość prawdopodobieństwa zależy od wektora pomiarów {{LinkWzór|7.1}} wykonanych w danej próbie o numerze "i" {{CentrujWzór|<MATH>L=\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.7}} Logarytmiczną funkcją wiarygodności nazywamy logarytm naturalny funkcji wiarygodności L zdefiniowanych w punkcie {{LinkWzór|7.7}}, która jak można udowodnić, można ją przedstawić jako suma logarytmów gęstości prawdopodobieństwa dla poszczególnych prób: {{CentrujWzór|<MATH>l=\ln L=\ln\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})=\sum^N_{i=1}\ln f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})</MATH>|7.8}} Pochodną logarytmiczną gęstości prawdopodobieństwa dla próby i-tej nazywamy funkcję, która jest pochodną kierunkową funkcji logarytmicznej {{LinkWzór|7.8}} względem parametru estymowanego&nbsp;{{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}&nbsp; i jak można udowodnić, że jest to iloraz pochodnej kierunkowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa policzonej przy parametrze {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}} podzielonej przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa "f": {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})={{d\ln f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}\over{d\vec{\lambda}}}={{1}\over{f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}}{{d f(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})}\over{d\vec{\lambda}}}={{f^'_{\vec{\lambda}}}\over{f}}={{\nabla\cdot f}\over{f}}</MATH>|7.9}} W rozważanym wzorze przyjmowaliśmy, że: {{Formuła|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda});</MATH>}} jest to pochodna logarytmiczna gęstości prawdopodobieństwa względem parametru estymowanego {{LinkWzór|7.1}} dla próby i-tej. Wielkość statystyczna {{Formuła|<MATH>\varphi(\mathbf{x}^i,\vec{\lambda})\;</MATH>}} jest wektorem n-wymiarowym, i posiada elementów tyle co ilość estymowanych elementów wektora {{LinkWzór|7.1}}. Zatem pochodna funkcji logarytmicznej {{LinkWzór|7.8}} nazywamy funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>l^'_{\vec{\lambda}}=\sum^N_{i=1}\varphi(\vec{x^i},\vec{\lambda})=\sum^N_{i=1}{{f^'_{\vec{\lambda}}}\over{f}}</MATH>|7.10}} Gdy rozważamy logarytmiczną funkcją wiarygodności {{LinkWzór|7.8}}, to możemy wyznaczyć najlepsze parametry estymowane {{LinkWzór|7.1}}, w tym celu należy wyznaczyć pochodną cząstkową względem parametru {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}}, jeśli parametrów estymowanych jest jeden, dla danego elementu jednowymiarowego wektora estymowanego, dla której logarytmiczna funkcja wiarygodności przejmuje wartość ekstremalną (w tym przypadku maksymalną), dla której pochodna funkcji logarytmicznej funkcji warygodności przyjmuje wartość zero. W ogólnym przypadku, gdy wektor estymowanych parametrów nie jest jednowymiarowy, tylko ma n-parametrów, to pochodna kierunkowa funkcji {{LinkWzór|7.8}} względem wektora parametrów estymowanych {{LinkWzór|7.1}}, który jest jak w matematyce napisana z definicji, jest równy n-wymiarowemu wektorowi, która każdy taki element przedstawia pochodną cząstkową funkcji "l" względem innej współrzędnej {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial l}\over{\partial\vec{\lambda}}}=\vec{0}\Rightarrow{{\partial l}\over{\partial \lambda_i}}=0\mbox{ dla i=1,2,...,n}</MATH>|7.11}} Jeśli chcemy wyznaczyć najbardziej prawdopodobne parametry estymowane, to każdą taką pochodną cząstkową w n-wymiarowym wektorze należy przyrównać do zera i mając n równań możemy wyznaczyć te parametry. == Estymatory o minimalnym obciążeniu względem parametru λ == Estymator S {{LinkWzór|6.1|Pobieranie_próby}} nazywamy nieobciążonym, jeśli jego wartość oczekiwana jest równa wartości estymowanego parametru. Wariancja estymowanego parametru zgodnie {{LinkWzór|6.3|Pobieranie_próby}} wynosi zero, jeśli ten estymator jest zgodny. Ale my tym razem przyjmijmy, że tak nie jest, ale weźmy tym razem, że funkcja B(&lambda;) (definicja poniżej) jest liczbą możliwie najmniejszą (nie musi być równa zero), wtedy jego pochodna zupełna względem tego parametru estymowanego przyjmowała wartość zero (ale tym razem parametr estymowany {{LinkWzór|7.1}} jest wektorem jednoelementowym, niż w poprzednim podrozdziale). Funkcję B(&lambda;) definiujemy jako różnicę wartości estymatora S i wartości estymowanej &lambda;. {{CentrujWzór|<MATH>B(\lambda)=E(S)-\lambda\;</MATH>|7.12}} Powyższe stwierdzenia są niewystarczający by stwierdzić, by S był dobrym estymatorem, należało by także zażądać, by wariancja estymowanego parametru {{Formuła|<MATH>\sigma(S)\;</MATH>}} przyjmowała wartość najmniejszą, a w szczególnym przypadku ma przyjmować wartość według wzoru napisanego {{LinkWzór|6.3|Pobieranie_próby}}. Aby wyznaczyć funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa w N próbach przy pomocy cząstkowych funkcji rozkładu w poszczególnych próbach gęstości prawdopodobieństwa, których każda zależy od wektora pomiarów w danej próbie i od jednakowego jednowymiarowego parametru estymowanego: {{CentrujWzór|<MATH>f(\mathbf{x}^1,\mathbf{x}^2,...,\mathbf{x}^N,\lambda)=f(\mathbf{x}^1,\lambda)f(\mathbf{x}^2,\lambda)\cdot...\cdot f(\mathbf{x}^N,\lambda)=\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)\;</MATH>|7.13}} Wartość oczekiwania naszego estymatora S, która jest napisana względem N wektorów pomiarów napisanej dla każdej próby, względem funkcji prawdopodobieństwa zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.13}} i ta wielkość statystyczna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E(S)=\int S(\mathbf{x}^1,...,\mathbf{x}^N)\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i\;</MATH>|7.14}} Po zróżniczkowaniu wartości oczekiwanej {{LinkWzór|7.14}} w względem parametru estymowanego &lambda; i wykorzystując przy tym tożsamość {{LinkWzór|7.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>E^'_{\lambda}(S)=1+B^'(\lambda)=\int\left(S\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^',\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i= E\left\{S\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right\}=E\left\{S\sum^N_{i=1}\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\right\} \;</MATH>|7.15}} Korzystając z definicji {{LinkWzór|7.10}} na pochodną logarytmiczną gęstości funkcji prawdopodobieństwa obowiązującego w N próbach razem, który napiszemy dla jednej wartości estymowanej &lambda;, czyli funkcja l{{Sup|'}}, wtedy wzór {{LinkWzór|7.15}} przechodzi w równoważne równanie: {{CentrujWzór|<MATH>1+B^'(\lambda)=E\left\{Sl^'\right\}\;</MATH>|7.16}} Całkowita gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jakikolwiek wyniku dla ściśle określonej próby jest ściśle określona i jest równa 1, co powinno być zrozumiałe zgodnie definicją gęstości funkcji prawdopodobieństwa: {{CentrujWzór|<MATH>\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=1\;</MATH>|7.17}} Znając własność {{LinkWzór|7.17}}, to całkowita gęstość prawdopodobieństwa uzyskania jakikolwiek wyniku w n-próbach, jak można udowodnić dla całej całej przestrzeni też jest równe jeden. {{CentrujWzór|<MATH>\int \prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\prod^N_{i=1}\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\prod^N_{i=1} 1=1\;</MATH>|7.18}} Według tożsamości wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.18}} jesteśmy pewni przepisując nasz wniosek, że jest spełniony wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\int \prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=1\;</MATH>|7.19}} Różniczkując za pomocą pochodnej cząstkowej tożsamość udowodnioną wcześniej i przedstawionej w punkcie {{LinkWzór|7.19}} względem parametru &lambda;, który jest estymowanym parametrem, wtedy dostajemy inną równoważną tożsamość, jeśli przy tym wykorzystamy wzór {{LinkWzór|7.10}} i policzymy jego wartość oczekiwaną, którą jak udowodnimy w naszym przypadku jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\int\sum^N_{i=1}{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\prod^N_{i=1}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=E(l^')=0\;</MATH>|7.20}} Doszliśmy do wniosku, że wartość oczekiwana funkcji l{{Sup|'}} jest równa na pewno zero. Zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.16}} i tożsamości udowodnionej {{LinkWzór|7.20}}, która jest równa zero, co wykorzystamy poniżej, zatem dochodzimy do wniosku, że zachodzi inna tożsamość, ale wynikającego z poprzednich rozważań: {{CentrujWzór|<MATH>1+B^'(\lambda)=E\{Sl^'\}=E\{Sl^'\}-E(S)E(l^')=E\{Sl^'\}-E\{E(S)l^'\}=E\{Sl^'-E(S)l^'\}=E\{(S-E(S))l^'\}\;\;</MATH>|7.21}} Napiszmy pomocnicze wyrażenie poniżej, które trywialnie można udowodnić. Jak wiemy lewa strona równości na podstawie, że (ax+y){{Sup|2}} jest zawsze dodatnia. Z dodatniości gęstości prawdopodobieństwa wynika, że wartość oczekiwana E[(ax+y){{Sup|2}}] jest wielkością zawsze dodatnią dla każdego parametru "a": {{CentrujWzór|<MATH>0\leq E[(ax+y)^2]=a^2E(x^2)+2aE(xy)+E(y^2)\;</MATH>|7.22}} Z powyższych oczekiwań wartość oczekiwana {{LinkWzór|7.22}} ma wartość zawsze nieujemną, tzn. powyższe równanie można potraktować jako dwumian kwadratowy względem parametru "a", którego &Delta; jest zawsze niedodatnia przy parametrze a&ge; 0, wtedy równanie kwadratowe {{LinkWzór|7.22}} przyjmuje wartości nieujemne: {{CentrujWzór|<MATH>0\geq \Delta=4E^2(xy)-4E(x^2)E(y^2)\;</MATH>|7.23}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.23}} dochodzimy do wniosku, że spełnione jest równanie wynikające ze wspomnianej nierówności: {{CentrujWzór|<MATH>E^2(xy)\leq E(x^2)E(y^2)\;</MATH>|7.24}} Nierówność {{LinkWzór|7.24}} jest nazywana '''nierównością Cauchy-Schwarza'''. Korzystając z nierówności {{LinkWzór|7.24}} dochodzimy do wniosku, że według wzoru {{LinkWzór|7.21}} można wywnioskować pewną nierówność: {{CentrujWzór|<MATH>[1+B^'(\lambda)]^2=E^2[(S-E(S))l^']\leq E[(S-E(S))^2]E({l^'}^2)\;</MATH>|7.25}} Policzmy wartość oczekiwaną kwadratu wartości funkcji {{LinkWzór|7.10}}, z oczywistych powodów możemy napisać przekształcając to właśnie wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\left(\sum^N_{i=1}\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\right)^2\right\}= E\left\{\sum^N_{i=1}\varphi^2(\mathbf{x}^i,\lambda)\right\}+2E\left\{\sum_{i\neq j}\varphi(\vec{x^i},\lambda)\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)\right\}\;</MATH>|7.26}} Policzmy drugi wyraz równości w końcowych obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|7.26}}, który jak się przekonamy jest równa zero. Oczywiście wartość oczekiwana funkcji &phi; dla różnych prób jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych dla każdej z prób z osobna. Dlatego tak się dzieje, ponieważ wartości oczekiwane są liczone względem n-wymiarowego wektora pomiarów, dla każdej niezależnej próby pomiarów, zatem na podstawie wzoru {{LinkWzór|5.9|Momenty statystyczne w działaniu}} można tak zrobić. {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)]=E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)]E[\varphi(\mathbf{x}^j,\lambda)]\;</MATH>|7.27}} Dla każdego czynnika wyrażenia występującego w równaniu {{LinkWzór|7.27}}, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.9}} i normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla i-tej próby {{LinkWzór|7.17}}, dochodzimy więc do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^,\lambda)]=\int{{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i=\int f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i={{d}\over{d\lambda}}\int f(\mathbf{x}^i,\lambda)d\mathbf{x}^i={{d}\over{d\lambda}}1=0\;</MATH>|7.28}} Ostatecznie wyrażenie {{LinkWzór|7.26}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.27}}, a potem {{LinkWzór|7.28}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\sum^N_{i=1}\varphi^2(\mathbf{x}^i,\lambda) \right\}=E\left\{\sum^N_{i=1}\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)^2\right\}\;</MATH>|7.29}} Wiadomo, jednak ze wzoru {{LinkWzór|7.9}} i jeśli z niego policzymy wartość oczekiwaną i na podstawie oczywistej tożsamości {{LinkWzór|7.17}} można oczywiście udowodnić, że ta tożsamość jest zapisywana: {{CentrujWzór|<MATH>E[\varphi(\mathbf{x}^i,\lambda)]=E\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda}}\right)=\int {{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}f(x^i,\lambda)dx^i=0\;</MATH>|7.30}} Wyznaczmy tożsamość napisana poniżej, która będzie nam bardzo potrzebna w poniższych obliczeniach, zatem korzystając z wiadomości z rachunku na pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH>0=\int {{d}\over{d\lambda}}\left[\left({{f^'}\over{f}}\right)f\right]= \int {{{f^'}^2}\over{f}}+f({{f^'}\over{f}})^'=\int \left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2+\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\}fdx=E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2\right\}+E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\} \Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^2\right\}=-E\left\{\left({{f^'}\over{f}}\right)^'\right\}\;</MATH>|7.31}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|7.31}} wyrażenie {{LinkWzór|7.29}} możemy zapisać w innej równoważnej postaci do niego: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=E\left\{\sum_{i=1}^N\left({{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}\right)^2\right\}=-E\left\{\left({{f^'(x^i,\lambda)}\over{f(x^i,\lambda)}}\right)^'\right\}=-E(l^{''})\;</MATH>|7.32}} Zdefiniujmy podstawienie jako funkcję I(&lambda;) zależącej od wartości oczekiwanej funkcji l{{Sup|'}}{{Sup|2}} zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|7.32}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>I(\lambda)=E({l^'}^2)\;</MATH>|7.33}} Wariancji estymatora S zdefiniowana jako wartość oczekiwana kwadratu odchylenia (S-E(S)){{Sup|2}} względem gęstości prawdopodobieństwa n-prób {{LinkWzór|7.13}} piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>E\left[(S-E(S))^2\right]=\sigma^2(S)\;</MATH>|7.34}} oraz z {{LinkWzór|7.33}}, dostajemy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\left\{1+B^'(\lambda)\right\}^2\leq E\left[(S-E(S))^2\right]E({l^'}^2)=\sigma^2(S)I(\lambda)\;</MATH>|7.35}} Jeśli wykorzystamy udowodnioną nierówność {{LinkWzór|7.25}} a potem z definicji wariancji estymatora S i oznaczenia {{LinkWzór|7.33}}, dochodzimy wtedy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)\geq{{(1+B^'(\lambda))^2}\over{I(\lambda)}}\;</MATH>|7.36}} Powyższą nierówność nazywamy '''nierównością informacyjną'''. Jeśli B(&lambda;) jest zdefiniowana według wzoru {{LinkWzór|7.12}} i przyjmuje wartość najmniejszą, wtedy mamy najlepsze dopasowanie parametru estymowanego &lambda; z warunkiem ekstremum B{{Sup|'}}(&lambda;)=0, to wzór {{LinkWzór|7.36}} ze znikającą pierwszą pochodną funkcji B(&lambda;) jest zapisywany: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)\geq {{1}\over{I(\lambda)}}\;</MATH>|7.37}} Zapytajmy siebie, jaka jest najmniejsze ograniczenie na B{{Sup|'}}(&lambda;), co zachodzi to wtedy, gdy &sigma;(S) zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|7.34}} przyjmuje wartość najmniejszą, czyli według wzoru {{LinkWzór|7.25}}, którego nierówność należy zastąpić równością, wtedy wyróżnik trójmianu {{LinkWzór|7.23}} przyjmuje wartość równą zero. Na podstawie wiadomości z algebry dostajemy, że wartość oczekiwana wyrażenia (a+y){{Sup|2}} jest równa zero, tzn. zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>E[(ax+y)^2]=0\;</MATH>|7.38}} W którym położono na podstawie wcześniejszych rozważań, że x=S-E(S) oraz y=l{{Sup|'}}, to ze wzoru {{LinkWzór|7.38}} można powiedzieć na pewno z nieujemności gęstości prawdopodobieństwa, dzięki której liczymy wartość oczekiwaną, otrzymujemy że wyrażenie z której liczymy wartość oczekiwaną jest równa zero. {{CentrujWzór|<MATH>E\left[\left(a(S-E(S))+l^'\right)^2\right]=0\Rightarrow\left(a(S-E(S))+l^'\right)^2=0\Rightarrow l^'+(-A(\lambda))(S-E(S))=0\;</MATH>|7.39}} To wtedy z tożsamości końcowej {{LinkWzór|7.39}} możemy wyznaczyć wyrażenie na l{{Sup|'}}, które możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> l^'=A(\lambda))(S-E(S))\;</MATH>|7.40}} Wyrażenie {{LinkWzór|7.40}} możemy przecałkować obustronnie względem parametru estymowanego &lambda;, otrzymując końcowe wyrażenie zależne od estymatora S i stałych zależnych lub niezależnych od parametru &lambda;, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>l=\int l^'d\lambda=C(\lambda)S+D(\lambda)+D\;</MATH>|7.41}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.8}} oraz z wyprowadzonego wyrażenia {{LinkWzór|7.41}} możemy napisać funkcję L, którą zapiszemy poniżej, która jest gęstością prawdopodobieństwa uzyskania pewnych pomiarów w N próbach, wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>L=e^l=de^{C(\lambda)S+D(\lambda)}\;</MATH>|7.42}} Korzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.40}}, wtedy wartość oczekiwana tego wyrażenia względem gęstości prawdopodobieństwa N prób jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>E({l^'}^2)=A^2(\lambda)E[(S-E(S))^2]\;</MATH>|7.43}} Jeśli wyrażenie na wartość oczekiwaną l{{Sup|'}}{{Sup|2}} podstawimy do nierówności {{LinkWzór|7.37}}, która staje się nierównością dla najmniejszego z możliwych dla wariacji &sigma;(S) i biorąc definicję funkcji I(&lambda;) {{LinkWzór|7.33}}, wtedy dostajemy nierówność na to obciążenie estymatora S: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)={{1}\over{I(\lambda)}}={{1}\over{E({l^'}^2)}}={{1}\over{A^2(\lambda)E[(S-E(S))^2]}}={{1}\over{A^2(\lambda)\sigma^2(S)}}\;</MATH>|7.44}} Mnożąc obustronnie przez &sigma;{{Sup|2}}(S) równość {{LinkWzór|7.44}}, wtedy dostajemy równoważny wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^4(S)={{1}\over{A^2(\lambda)}}\;</MATH>|7.45}} Co pierwiastkując obustronnie pierwiastkiem drugiego stopnia równość {{LinkWzór|7.45}}, wtedy dostajemy że najmniejsza wariancja estymatora S spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^2(S)={{1}\over{|A(\lambda)|}}\;</MATH>|7.46}} Czyli najmniejsza wartość dla wariancji estymatora S dla której zachodzi warunek {{LinkWzór|7.46}} zależy od parametru &lambda; wartości estymowanej. == Estymacja dla jednego estymowanego parametru == Niech pochodna funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} w punkcje parametru estymatora &lambda;{{Sub|0}} jest równa zero, a która jest pochodną funkcją gęstości prawdopodobieństwa dla N-prób {{LinkWzór|7.7}} w tym punkcie, bo mamy doczynienia z parametrem &lambda; najbardziej prawdopodobnym, czyli dla tej wartości funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla N-prób {{LinkWzór|7.7}} przyjmuje wartość maksymalną z wiadomości o ekstremum z analizy matematycznej. {{CentrujWzór|<MATH>l^'(\lambda_0)=\sum_{i=1}^N\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x}^i,\lambda)}}\right)_{\lambda_0}=0</MATH>|7.47}} Drugą pochodną "l" względem najbardziej prawdopodobnego parametru &lambda;{{Sub|0}}można wyrazić w innej postaci, jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|7.32}} i potem po wyrażeniu jej w końcu przy pomocy wyrażenia {{LinkWzór|7.33}} w wspomnianym punkcie, co ta wielkość jest wielkością stałą, zatem możemy ją wyrazić względem parametru b{{Sup|-2}}. {{CentrujWzór|<MATH>l^{''}(\lambda_0)=E\left\{\left({{f^'(\mathbf{x}^i,\lambda)}\over{f(\mathbf{x},\lambda)}}\right)^2\right\}=E(l^{''})=-E({l^'}^2)=-I(\lambda_0)=-b^{-2}</MATH>|7.48}} Rozłóżmy pochodną logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.8}} w szereg Taylora korzystając wtedy z obliczeń {{LinkWzór|7.48}}, dostajemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>l^{'}(\lambda)=l^'(\lambda_0)+l^{''}(\lambda_0)(\lambda-\lambda_0)+...=-{{(\lambda-\lambda_0)}\over{b^2}}</MATH>|7.49}} We wzorze {{LinkWzór|7.49}} z korzystaliśmy, ze pierwsza pochodna {{LinkWzór|7.47}} przyjmuje wartość zerową dla punktu &lambda;, a także korzystaliśmy ze wzoru {{LinkWzór|7.48}}, która jest wyznaczona dla punktu &lambda;{{Sub|0}}, zatem logarytmiczna funkcja wiarygodności na podstawie obliczeń {{LinkWzór|7.49}}, dla której policzymy całkę wspomnianego wyrażenia względem parametru &lambda;, przedstawia się ona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>l(\lambda)=\int l^'d\lambda=-\int {{(\lambda-\lambda_0)}\over{b^2}}=-{{(\lambda -\lambda_0)^2}\over{2b^2}}</MATH>|7.50}} Funkcja wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} wychodząc ze wzoru {{LinkWzór|7.50}} przyjmuje kształt: {{CentrujWzór|<MATH>L(\lambda)=Ae^{-{{(\lambda-\lambda)^2}\over{2b^2}}}</MATH>|7.51}} Wzór {{LinkWzór|7.51}} nazywamy '''rozkładem normalnym (Gaussa)'''. == Estymacja dla kilku estymowanych parametrów == Funkcje wiarygodności można potraktować również jako funkcję n-wielowymiarowego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}} parametrów estymowanych, które są podane w punkcie poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\lambda}=(\lambda_1,...,\lambda_n)</MATH>|7.52}} Rozłóżmy funkcje wiarygodności {{LinkWzór|7.8}} w szereg Taylora dla wielu zmiennych względem &lambda;{{Sub|i}}, dostając: {{CentrujWzór|<MATH>l(\vec{\lambda}_0)=l(\vec{\lambda}_0)+\sum^n_{i=1}\left({{\partial l}\over{\partial\lambda_i}}\right)_{\vec{\lambda}_0}\left(\lambda_i-(\lambda_0)_i\right)+{{1}\over{2}}\sum^n_{i,j=1} \left({{\partial^2 l}\over{\partial\lambda_i\partial\lambda_j}}\right)_{\vec{\lambda}_0}\left[\lambda_i-(\lambda_0)_i\right]\left[\lambda_j-(\lambda_0)_j\right]+...</MATH><br>|7.53}} Pierwsze pochodne przyjmują wartość zerową, ponieważ parametry &lambda;{{Sub|0i}} są najbardziej prawdopodobne zgodnie {{LinkWzór|7.11}}, czyli są tak dobrane, by funkcja wiarygodności osiągała wartość maksymalną. Można udowodnić, że funkcja logarytmiczna wiarygodności wynikających z obliczeń {{LinkWzór|7.53}} przyjmuje ową postać: {{CentrujWzór|<MATH>l(\vec{\lambda})=l(\vec{\lambda}_0)-{{1}\over{2}}(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^TB(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)+...</MATH>|7.54}} W logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.54}} obrywamy wszystkie wyrazy, które są pochodnymi większego rzędu niż dwa, zatem funkcja wiarygodności {{LinkWzór|7.7}} w tym przypadku przyjmuje takową postać: {{CentrujWzór|<MATH>L=Ae^{-{{1}\over{2}}(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^TB(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)}</MATH>|7.54a}} Macierz B we wzorze na funkcję wiarygodności {{LinkWzór|7.54a}} jest zależna od drugich pochodnych logarytmicznej funkcji wiarygodności {{LinkWzór|7.8}}, która ta macierz jest wzięta z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>B=-\begin{pmatrix} {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1^2}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1\partial\lambda_2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_1\partial\lambda_n}}\\ {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2\partial_1}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2^2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_2\partial\lambda_n}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_1}}&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_2}}&\cdots&{{\partial^2l}\over{\partial\lambda_n\partial\lambda_n}} \end{pmatrix}</MATH>|7.55}} Można udowodnić, że odwrotność macierzy {{LinkWzór|7.55}} przyjmuje wygląd podanych według wzoru poniżej, który jakoby jest wartością oczekiwaną z pewnej funkcji macierzowej, która jest definicją kowariancji wedle jej definicji {{LinkWzór|4.34|Momenty_statystyczne_dla_funkcji_złożonej}}: {{CentrujWzór|<MATH>B^{-1}=E((\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)^T(\vec{\lambda}-\vec{\lambda}_0)=C</MATH>|7.56}} * Co powyższe twierdzenie jest udowodnione w rozdziale o: {{sr|Twierdzenie o rozkładzie normalnym wielowymiarowym|wielowymiarowym twierdzeniu normalnym}}, którego końcowy wynik jest podany w punkcie {{LinkWzór|12.21|Twierdzenie_o_rozkładzie_normalnym_wielowymiarowym}} oraz że wartością oczekiwaną rozkładu {{LinkWzór|7.54a}} jest wektor wartości dokładnych {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}_0\;</MATH>}} zmiennej wektorowej {{Formuła|<MATH>\vec{\lambda}\;</MATH>}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> p5qe4davhsticled3wkgaiuevybqtes 0 16167 559119 558858 2026-10-11T10:58:40Z Persino 2851 /* Równania grawitacji Einsteina-Hilberta */ 559119 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Ogólna teoria względności według Hilberta''' polega na całce działania Eulera-Lagrange, która przyjmuje najmniejszą wartość i w oparciu o rachunek wariacyjny wyprowadzimy równania grawitacji Einsteina-Hilberta. Również wyprowadzimy wedle tej samej zasady lokalną zasadę zachowania energii, a także wyprowadzimy równanie linii geodezyjnej z odpowiedniej definicji funkcji Langrange'a. == Równania grawitacji Einsteina-Hilberta == Całka działania w przestrzeni Minkowskiego jest to całka, w której funkcją podcałkową jest gęstość Lagrangianu {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}\;</MATH>}} liczoną względem infinitezymalnej objętości w przestrzeni czterowymiarowej. {{CentrujWzór|<MATH>S=\int \mathfrak{L}d{x^'}^4\;</MATH>|4.1}} Możemy uwzględnić policzoną na liczbach ogólnych objętość elementarną w lokalnie płaskim układzie współrzędnym względem tej samej objętości w krzywoliniowym układzie współrzędnej wedle sposobu {{LinkWzór|3.9|Właściwości_skalaru_tensora_metrycznego}} podstawiając go do całki Lagrange'a {{LinkWzór|4.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int\underbrace{\sqrt{-g}\mathfrak{L}}_{\mathfrak{L}^'}dx^4\;</MATH>|4.2}} Aby powyższa całka przyjmowała najmniejszą wartość, to należy napisać równanie Eulera-Lagranga, którego postać względem parametru &phi; i &part;{{Sub|&mu;}}&phi; jest. {{CentrujWzór|<MATH>\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}^'}\over{\partial(\partial_{\mu}\varphi)}}-{{\partial\mathfrak{L}^'}\over{\partial\varphi}}=0\;</MATH>|4.3}} Gęstość lagrangianu można rozpisać jako sumę na dwie jego części, tzn.: na część przestrzenną i masową jako sumę tychże wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}=\mathfrak{L}_g+\mathfrak{L}_m\;</MATH>|4.4}} Rozważmy teraz część przestrzenną Lagrangianu {{LinkWzór|4.4}} rozwijając go w szereg Taylora względem skalaru krzywizny, co można go przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}_g=a+bR+cR^2+...\;</MATH>|4.5}} Wprowadźmy wstępne oznaczenia na stałe "a" i "b" poprzez stałą kosmologiczną &Lambda; i przez stałą &kappa; występującego w prawie grawitacji Einsteina {{LinkWzór|1.51|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a=-{{\Lambda}\over{\pm \kappa}}\;</MATH>|4.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b={{1}\over{\pm 2\kappa}}\;</MATH>|4.7}} }} * Znak w {{LinkWzór|4.6}} i {{LinkWzór|4.7}} jest dla znaku na górze dla przyciągania grawitacyjnego, a ujemna na dole dla odpychania grawitacyjnego. Tzn. gdy chcermy opisywać przyciąganie grawitacyjne, to stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} jest dodatnia, a jeśli odpychanie, to zamiast {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} wstawiamy {{Formuła|<MATH>-\kappa\;</MATH>}}, a ta stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} w nim jest dodatnia, a więc tak mozna przejść od przyciągania do odpychania we stałych {{LinkWzór|4.6}} i {{LinkWzór|4.7}}, tzn. zamieniając w nich {{Formuła|<MATH>+\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-\;</MATH>}}, i dlatego tam piszemy dla obu rodzajów oddziaływań grawitacyjnych {{Formuła|<MATH>\pm\;</MATH>}}. Część przestrzenna Lagrangianu {{LinkWzór|4.5}} wedle oznaczeń {{LinkWzór|4.6}} i {{LinkWzór|4.7}} po dokonanych podstawieniach za "a" i "b", przy którym dalsze współczynniki przyjmujemy za równe zero, przyjmuje postać. {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}_g={{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)\;</MATH>|4.8}} Można udowodnić, że dla czasoprzestrzeni zakrzywionej mamy g<0, a zatem całkę działania {{LinkWzór|4.2}}, wykorzystując przy tym wzór na całkowity Lagrangian {{LinkWzór|4.4}}, która jest sumą Lagrangianu przestrzennego {{LinkWzór|4.8}} i masowego, jest napisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int d^4x\sqrt{-g}\left\{{{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right\}\;</MATH>|4.9}} * gdzie:{{Formuła|<MATH>g=-\operatorname{\det}(g_{\alpha\beta})\;</MATH>}} Ale {{Formuła|<MATH>\sqrt{-g}\;</MATH>}} jest to Jakobian, który pozwala przejść do układu krzywoliniowej w ogólnej teorii względności z układu lokalnie płaskiego Minkowskiego. Nowa gęstość lagrangianu zdefiniowana na podstawie punktu {{LinkWzór|4.9}} w stosunku do {{LinkWzór|4.4}} jest zdefiniowana: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}^'=\sqrt{-g}\mathfrak{L}=\sqrt{-g}\left\{{{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right\}\;</MATH>|4.10}} Równanie Eulera Einsteina {{LinkWzór|4.3}} względem nowego Lagrangianu {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}^'\;</MATH>}}, jest iloczynem gęstości Lagrangianu tego starego {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}\;</MATH>}} przez pierwiastek z wyznacznika macierzy metrycznej wziętej z minusem, zatem jeśli przyjmować będziemy {{Formuła|<MATH>\varphi=g^{\alpha\beta}\;</MATH>}} przy {{LinkWzór|4.3}}, to równanie Eulera-Lagrange przyjmuje wtedy postać: {{CentrujWzór|<MATH>\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial(\partial_{\mu}g^{\alpha\beta})}}-{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\;</MATH>|4.11}} Jeśli Lagrangian nie zależy od pochodnych elementów tensora metrycznych względem współrzędnych x{{Sup|&mu;}} w przestrzeni nieuklidesowej, to pierwszy wyraz w {{LinkWzór|4.11}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial(\partial_{\mu}g^{\alpha\beta})}}=0\;</MATH>|4.12}} A zatem równanie Eulera Einsteina po uwzględnieniu powyższej tożsamości {{LinkWzór|4.12}}, czyli pierwszy wyraz w {{LinkWzór|4.11}} znika, zatem dostajemy z omawianego równania: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left(\sqrt{-g}\mathfrak{L}\right)=0\;</MATH>|4.13}} Jeśli skorzystamy z twierdzenia o pochodnej iloczynu względem jakieś zmiennej ściśle określonej oraz wykorzystujemy wzór {{LinkWzór|3.18|Właściwości_skalaru_tensora_metrycznego}}, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{-g}{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+\mathfrak{L}{{\partial\sqrt{-g}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\Rightarrow \sqrt{-g}{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+\mathfrak{L}{{gg_{\alpha\beta}}\over{2\sqrt{-g} }}=0\;</MATH>|4.14}} Całkowity Lagrangian po podstawieniu {{LinkWzór|4.8}} do {{LinkWzór|4.4}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\;</MATH>|4.15}} Ostatnie równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian {{LinkWzór|4.14}} ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu {{LinkWzór|4.15}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{-g}{{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left({{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right)+ \left({{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right){{1}\over{2\sqrt{-g}}}gg_{\alpha\beta}=0\;</MATH>|4.16}} Po podzieleniu obustronnie równości {{LinkWzór|4.16}} przez pierwiastek wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli&nbsp;{{Formuła|<MATH>\sqrt{-g}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{1}\over{\pm 4\kappa}}g_{\alpha\beta}(R-2\Lambda)-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m+ {{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left({{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right)=0\;</MATH>|4.17}} Jeśli wiadomo,że zachodzi wzór na skalar Ricciego {{Formuła|<MATH>R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}\;</MATH>}}, i tensor Ricciego {{Formuła|<MATH>{{\partial R}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=R_{\alpha\beta}\;</MATH>}}, a także na podstawie powyższej równości {{LinkWzór|4.17}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH>-{{1}\over{\pm 4\kappa}}g_{\alpha\beta}(R-2\Lambda)-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m+{{1}\over{\pm 2\kappa}}R_{\alpha\beta}+{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\Rightarrow{{1}\over{\pm 2\kappa}}\left[\left(R_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}R\right)+g_{\alpha\beta}\Lambda\right]= -{{1}\over{2}}\left(2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}-g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\right)\;</MATH>|4.18}} Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie {{LinkWzór|4.18}}, przez {{Formuła|<MATH>-{{1}\over{2\kappa}}\;</MATH>}}, otrzymujemy dla sygnatury dodatniej: {{CentrujWzór|<MATH>R_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}R+g_{\alpha\beta}\Lambda=\pm \kappa\left(-2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\right)\;</MATH>|4.19}} * Powyższe równanie jest dla sygnatury dodatniej. Ponieważ przyjęliśmy że definicja tensora Einsteina jest wedle {{LinkWzór|1.37|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, a rozszerzony tensor Einsteina jest w postaci {{LinkWzór|1.40|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, a tensor gęstości energii-pędu przyjmuje postać według naszych rozważań według {{LinkWzór|4.19}} dla sygnatury dodatniej (dla sygnatury ujemnej tensor gęstości energii-pędu różni się od tego samego dla sygnatury dodatniej minusem, bo zamieniamy w tym tensorze {{Formuła|<MATH>g^{\mu\nu}\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-g^{\mu\nu}\;</MATH>}}, tzn. formalnie, by dla obu sygnator względem siebie ten tensor miał przeciwną, tylko formalnie, postać), pierwsza dla sygnatury dodatniej, a druga dla ujemnej, przechodząc z sygnatury dodatniej do ujemnej, a te tensory kolejno mamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T_{\alpha\beta}=-2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\;</MATH>|4.20}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>T_{\alpha\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}-g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\;</MATH>|4.20S}} }} Pisząc dla obu sygnatur tensora Minkowskiego, to ostatecznie równanie grawitacji wyprowadzonej przez Hilberta z zasady wariacyjnej, ze stałą kosmologiczną, są kolejno przedstawione dla obu typu oddziaływań, tzn. odpychania i przyciągania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>G_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}\Lambda=\kappa T_{\alpha\beta}\;</MATH>|4.21}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>G_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}\Lambda=-\kappa T_{\alpha\beta}\;</MATH>|4.2122}} }} Wyprowadzając równanie {{LinkWzór|4.19}} (przy stałej proporcjalności przy {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} z plusem) mając gęstość lagrangianu przestrzennego {{LinkWzór|4.8}}, biorąc przy nim {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} z tylko z jednym znakiem, tzn. z plusem, - a więc trochę inaczej - to wtedy wychodzą wzory {{LinkWzór|4.20}} (który jest dla przyciągania grawitacyjnego - sygnatura dodatnia) i {{LinkWzór|4.20S}} (który jest dla odpychania grawitacyjnego - sygnatura ujemna), a ten pierwszy wzór jest dla sygnatury dodatniej, a drugi dla ujemnej, co na tej podstawie wychodząc wzory: {{LinkWzór|4.21}} i {{LinkWzór|4.2122}}, a teraz weźmy znak przy tej stałej z minusem w {{LinkWzór|4.19}}, wtedy otrzymujemy równanie o takiej samej postaci co {{LinkWzór|4.21}}, a tam tensor gęstości energii-pędu jest wtedy o sygnaturze ujemnej, a dla drugiej sygnatury otrzymujemy równanie {{LinkWzór|4.2122}}, a tam tensor gęstości energii-pędu jest dla sygnatury dodatniej, a teraz znak przy {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} przyjmijmy taki: {{Formuła|<MATH>\mp\;</MATH>}}, to wtedy dla jej znaku minus w równaniu {{LinkWzór|4.19}}, to wtedy tensor gęstości energii-pędu jest dla sygnatury ujemnej w równaniu o postaci {{LinkWzór|4.21}}, a dla jej znaku dodatniego też dla sygnatury ujemnej w równaniu {{LinkWzór|4.20S}}. Sygnaturę tensora gęstości energii-pędu: {{LinkWzór|4.20}} i {{LinkWzór|4.20S}} można zmienić na przeciwną, jeżeli dokonamy podstawienia w tym tensorze według: {{Formuła|<MATH>g^{\mu\nu}\rightarrow-g^{\mu\nu}\;</MATH>}}. Do powyższych tych wniosków dośliśmy z dokładnością, co do znaku przy stałej kosmologicznej {{Formuła|<MATH>\Lambda\;</MATH>}}. Ten same tensory gęstości energii-pędu, co przedstawiony w punktach: {{LinkWzór|4.20}} i {{LinkWzór|4.20S}}, ale później udowodnimy go z zasady wariacyjnej, ale jeszcze dodatkowo wspomniemy o własności lokalnej zasady zachowania tensora gęstości energii-pędu dla układu lokalnie płaskiego, tzn.: T{{Sup|&mu;&nu;}}{{Sub|,&nu;}}=0, mając {{LinkWzór|1.49|Wprowadzenie_do_ogólnej_teorii_względności}}, co później można udowodnić lokalną zasadę zachowania tensora gęstości energii-pędu ogólnie dla układu zakrzywionego {{LinkWzór|1.50|Wprowadzenie_do_ogólnej_teorii_względności}} na podstawie {{LinkWzór|2.27|Tensor gęstości energii-pędu}} z rachunku tensorowego, nie wariacyjnego (według zasady wariacyjnej to samo wychodzi, co z rachunku tensorowego, tzn. lokalną zachowawczość gęstości tensora energii-pędu). == Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu == Będziemy tutaj wyprowadzać lokalną zachowawczość dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych. ==== Lokalna zachowawczość (przypadek ogólny) ==== Określmy gęstość lagranianu w czasoprzestrzeni lokalnie płaskiej, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i ich pierwszych pochodnych względem współrzędnych czasoprzestrzennych x{{Sup|&alpha;}}, i jego miano jest takie J/m{{Sup|3}}, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni trójwymiarowej, wtedy możemy określić jego całkę działania, wiedząc, że dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych {{Formuła|<MATH>g_{\mu\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} tylko zależy od zmiennych {{Formuła|<MATH>g_{\mu\nu}\;</MATH>}}), {{Formuła|<MATH>{x^{\mu}}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{x^{\mu}}_{,\alpha}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q^{\alpha}\;</MATH>}} są zmiennymi niezależnymi względem siebie, zapisaną wedle sposobu w układzie lokalnie płaskim: {{CentrujWzór|<MATH>S=c\int^{t_2}_{t_1}dt\int \mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha},q^{\alpha}) dV=\int \mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha},q^{\alpha})dVd(ct)</MATH>|4.22}} * Oznaczając przy tym d&tau;=dVd(ct)=dx{{Sup|0}}dx{{Sup|1}}dx{{Sup|2}}dx{{Sup|3}} jako elementarna gęstość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) * gdzie dx{{Sup|0}}=cdt jest to różniczka współrzędnej czasowej liczonych w metrach, który jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, który jest mierzony w sekundach, * x{{Sup|i}} to są współrzędne przestrzenne liczone są w tylko metrach. Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości, wtedy całkę działania {{LinkWzór|4.22}} można przedstawić wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>S=c\int\mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha}, q^{\alpha})dVdt=\int\mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha}, q^{\alpha})d\tau=\int\sqrt{-g}\mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha}, q^{\alpha})d^4q^{\alpha}</MATH>|4.23}} W powyższym wzorze oznaczeniem q{{Sup|&mu;}} oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ zanurzony w kartezjańskim układzie współrzędnych. Znając całkę działania {{LinkWzór|4.23}} możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie, wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}{{\partial \sqrt{-g}\mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}-{{\partial \sqrt{-g}\mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}}}=0\Rightarrow {{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}-{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}}}=0</MATH>|4.24}} Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej q{{Sup|&beta;}} w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej x{{Sup|&mu;}} i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej q{{Sup|&alpha;}}, czyli x{{Sup|&mu;}}{{Sub|,&alpha;}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\beta}}}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}}}{x^{\mu}}_{,\beta}+{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\alpha,\beta}</MATH>|4.25}} Z zasady wariacyjnej {{LinkWzór|4.24}} można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}</MATH>|4.26}} Podstawiamy równanie {{LinkWzór|4.26}} do pierwszego wyrazu z prawej strony równania {{LinkWzór|4.25}} i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\beta}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}+{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\alpha,\beta}\Rightarrow{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\beta}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}\right)</MATH>|4.27}} Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej q{{Sup|&beta;}} troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\beta}}}={\delta^{\alpha}}_{\beta}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\alpha}}}</MATH>|4.28}} Równanie {{LinkWzór|4.27}} możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości {{LinkWzór|4.28}}, wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem x{{Sup|&alpha;}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}-{\delta^{\alpha}}_{\beta}\mathfrak{L}\right)</MATH>|4.29}} Równanie {{LinkWzór|4.29}} mnożymy przez g;{{Sup|&beta;&gamma;}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}g^{\gamma\beta}-g^{\gamma\alpha}\mathfrak{L}\right)\;</MATH>|4.30}} Udowodnijmy tensor gęstości energii-pędu {{LinkWzór|4.20}} wychodząc z przedstawienia {{LinkWzór|4.30}} pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w {{LinkWzór|4.30}} wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako g{{Sup|&epsilon;&xi;}}=q{{Sup|&epsilon;,&nu;}}q{{Sup|&xi;}}{{Sub|,&nu;}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}g^{\gamma\beta}={{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\epsilon\xi}}}{{\partial g_{\epsilon\xi}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}} {x^{\mu}}_{,\beta} g^{\gamma\beta} = {{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\epsilon\xi}}}{{\partial \left(x^{\nu}_{,\epsilon}x_{\nu,\xi}\right)}\over{{\partial x^{\mu}}_{,\alpha} }} {x^{\mu}}_{,\beta} g^{\gamma\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\xi}}}{x_{\mu,\xi}}{x^{\mu}}_{,\beta} g^{\gamma\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\xi}}}g_{\xi\beta} g^{\gamma\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\xi}}}{\delta^{\gamma}}_{\xi}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\gamma}}}\;</MATH>|4.35}} A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość {{LinkWzór|4.35}} podstawiamy to wzoru {{LinkWzór|4.30}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left(2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\gamma}}}-g^{\alpha\gamma}\mathfrak{L}\right)\;</MATH>|4.35a}} Równanie {{LinkWzór|4.35a}} jest słuszne dla układów lokalnie płaskich i układów zakrzywionych. ==== Przypadek układów lokalnie płaskich z gęstością lagrangianu masowego oraz przypadek układów zakrzywionych z gęstością całkowitego lagrangianu ==== Dla tych układów na podstawie {{LinkWzór|4.35a}} tensor gęstości energii podwójnie kowariantny możemy przedstawić względem lagrangianu oraz tensora metrycznego prostego i odwrotnego dla sygnatury tensora metrycznego Minkowskiego dodatniej i ujemnej, mamy koleno: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T^{\gamma\omega}=-2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\gamma\omega}}}+g^{\gamma\omega}\mathfrak{L}\;</MATH>|4.36|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>T^{\gamma\omega}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\gamma\omega}}}-g^{\gamma\omega}\mathfrak{L}\;</MATH>|4.3611|Obramuj}} }} Wtedy zachowawczość w układach lokalnie płaskich jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}T^{\gamma\omega}=0\Rightarrow{T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}=0\;</MATH>|4.35ba}} ==== Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach zakrzywionych ==== Dla układów zakrzywionych równość {{LinkWzór|4.35a}} przedstawimy wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|4.4}} i wzór na gęstość lagrangianu przestrzennego {{LinkWzór|4.8}}, i znając wzór na tensor gęstości energii-pędu dla układów zakrzywionych {{LinkWzór|4.20}} (sygnatura dodatnia) i {{LinkWzór|4.20S}} (sygnatura ujemna), a więc dla postaci równania dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego oraz uwzględniając znaki przy stałej {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} (ono jest dodatnie), są cztery ogólne możliwości, weźmy sygnaturę dodatnią tego tensora, wtedy znak przy {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} w równaniu Hilberta-Einsteina przjmujemy wtedy z plusem, a dla sygnatury ujemnej jest wtedy znak przy tej stałej z minusem w tym samym równaniu, czyli dla sygnatury dodatniej jest wtedy przyciąganie grawitacyjne opisane tensorowym równaniem {{LinkWzór|4.21}} przy definicji tensora gęstości energii-pędu {{LinkWzór|4.20}}, a dla jej, ale ujemnej, równaniem {{LinkWzór|4.2122}} przy tym tensorze, ale według {{LinkWzór|4.20S}}, jest wtedy odpychanie grawitacyjne. A to wszystko można udowodnić w obliczeniach: {{CentrujWzór|<MATH>0={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}+{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\left(\mp 2{{\partial\mathfrak{L}_g}\over{\partial g_{\gamma\omega}}}\pm g^{\gamma\omega}\mathfrak{L}_g\right)={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}+{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\left(\mp 2{{1}\over{2\kappa}}R^{\gamma\omega}\pm g^{\gamma\omega}{{R}\over{2\kappa}}\mp g^{\gamma\omega}{{2\Lambda}\over{2\kappa}}\right)={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}\mp{{1}\over{\kappa}}{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\Big(R^{\gamma\omega}-{{1}\over{2}}g^{\gamma\omega}R+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+ g^{\gamma\omega}\Lambda\Big)={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}\mp{{1}\over{\kappa}}{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}O^{\gamma\omega}={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}\mp{{1}\over{\kappa}}\left({O^{\gamma\omega}}_{;\gamma}- O^{\gamma\mu}{\Gamma^{\omega}}_{\mu\gamma}- O^{\mu\omega}{\Gamma^{\gamma}}_{\mu\gamma}\right)={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}+T^{\gamma\mu}{\Gamma^{\omega}}_{\mu\gamma}+T^{\mu\omega}{\Gamma^{\gamma}}_{\mu\gamma}={T^{\gamma\omega}}_{;\gamma} \;</MATH>|4.36a}} Powyżej udowodniliśmy, że dla sygnatury dodatniej i ujemnej są kolejno: przyciąganie i odpychanie grawitacyjne, weźmy w obliczeniach {{LinkWzór|4.36a}} zamiast {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} (ta stała jest dodatnia) inną stałą proporcjalności, tzn.: {{Formuła|<MATH>-\kappa\;</MATH>}} (stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} w nim jest dodatnia, a z minusem ujemna), co wtedy udowodnimy, że dla sygnatury dodatniej i ujemnej są kolejno: odpychanie i przyciąganie grawitacyjne. Czyli dwoma sygnaturami są opisane dwa rodzaje oddziaływań grawitacyjnych. Zachowawczość tensora gęstości energii T{{Sup|&gamma;&omega;}} przy jego definicji: {{LinkWzór|4.20}} i {{LinkWzór|4.20S}}, na podstawie tożsamości różniczkowej {{LinkWzór|4.36a}}, przedstawia się dla obu sygnatur: {{CentrujWzór|<MATH>{T^{\gamma\omega}}_{;\gamma}=0\;</MATH>|4.6b}} Równanie {{LinkWzór|4.6b}} dla sygnatury ujemnej jest takie samo jak on dla sygnatury dodatniej, co do postaci, tylko jest troszkę inna definicja tensora gęstości energii-pędu, tzn.: {{LinkWzór|4.20}} - sygnatura dodatnia, i {{LinkWzór|4.20S}} - sygnatura ujemna. Równanie {{LinkWzór|4.6b}} wyprowadziliśmy z równości {{LinkWzór|4.35ba}} korzystając z definicji gęstości całkowitego lagrangianu {{LinkWzór|4.15}} będącej sumą gęstości lagrangianu masowego i przestrzennego {{LinkWzór|4.8}}, czyli otrzymaliśmy lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu, gdzie definicja tego tensora jest napisana w punkcie {{LinkWzór|1.48|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} dla sygnatury dodatniej i {{LinkWzór|1.48|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} dla sygnatury ujemnej. Lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu z przecinkiem otrzymaliśmy ze szczególnej teorii względności napisaną w punkcie {{LinkWzór|3.19aa11|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}} i {{LinkWzór|4.35ba11|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}}, pisząc je dla obu sygnatur, z gęstością tensora siły zewnętrznej dla tego pierwszego równej zero, by te oba równania były równoważne, co dla układów zakrzywionych po transformacji do nich przecinek zastępujemy średnikiem i otrzymujemy równość {{LinkWzór|4.6b}}. == Lokalna zasada zachowania energii-pędu == Lokalną zasadę zachowania możemy napisać wychodząc ze szczególnej teorii względności z uwzględnieniem gęstości lagrangianu masowego z równania {{LinkWzór|g43|Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}} patrząc na równość {{LinkWzór|JH3|Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi}}, tylko zamiast tensora gęstości energii-pędu kinematycznego jest tensor gęstości energii-pędu masowy: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma\sqrt{-g}\left(\rho v^{\mu}\right)_{;0}=-{{\gamma}\over{c}}\sqrt{-g}{T^{\mu j}}_{;j}+{{dK^{\mu}_z}\over{dV}}\;</MATH>|JHG12}} Gdzie w {{LinkWzór|JHG12}} jest w nim tensor gęstości energii-pędu zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|4.36}} dla sygnatury dodatniej lub {{LinkWzór|4.3611}} dla sygnatury ujemnej. == Dowód równania Hilberta-Einsteina grawitacji nie z teorii lagrangianowej == Równania Hilberta-Einsteina grawitacji {{LinkWzór|4.21}} - przyciąganie grawitacyjne, {{LinkWzór|4.2122}} - odpychanie grawitacyjne, wykorzystując wzór na lokalną zachowawczość gęstości tensora energii-pędu {{LinkWzór|4.6b}} wymnażając obie strony przez stałą {{Formuła|<MATH>\pm\kappa\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{-g}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline e_{\omega}\;</MATH>}}, która w układach lokalnie płaskich jest wersorem lokalnie stałym, oraz całkując obustronnie względem całki objętościowej w czasoprzestrzeni zakrzywionej wykorzystując, że zachodzi własność dla rozszerzonego tensora Einsteina {{Formuła|<MATH>O^{\mu\nu}\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|1.41|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, i doprowadzając obustronnie całkę z układów zakrzywionych do lokalnie płaskich, co później wykorzystując [[w:Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa|twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa]] otrzymując w tym układzie całkę powierzchniową w układzie lokalnie płaskim, dalej z twierdzenia transformacji doprowadzamy całkę powierzchniową do układów zakrzywionych, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline T^{\omega\gamma}}_{;\gamma}=0\Rightarrow \pm\kappa {\overline T^{\omega\gamma}}_{;\gamma}=0\Rightarrow \pm\kappa\int_{\tau}\sqrt{-g}\overline e_{\omega}{\overline T^{\omega\gamma}}_{;\gamma}d\tau=\int_{\tau}\sqrt{-g}\overline e_{\omega}\cdot 0\cdot d\tau\Rightarrow \pm\kappa\int_{\tau}\sqrt{-g}\overline e_{\omega}{\overline T^{\omega\gamma}}_{;\gamma}d\tau=\int_{\tau}\sqrt{-g}\overline e_{\omega}{\overline O^{\omega\gamma}}_{;\gamma}d\tau\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \pm\kappa\int_{\tau^'}e_{\omega^'}{T^{\omega^'\gamma^'}}_{,\gamma^'}d\tau^'=\int_{\tau^'}e_{\omega^'}{O^{\omega^'\gamma^'}}_{,\gamma^'}d\tau^' \Rightarrow\pm\kappa\oint_{\Sigma}e_{\omega^'}T^{\omega^'\gamma^'}d\Sigma_{\gamma^'}=\oint_{\Sigma}e_{\omega^'}O^{\omega^'\gamma^'}d\Sigma_{\gamma^'}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\pm\kappa\oint_{\overline \Sigma}\overline e_{\omega}\overline T^{\omega\gamma}d\overline \Sigma_{\gamma}=\oint_{\overline \Sigma}\overline e_{\omega}\overline O^{\omega\gamma}d\overline \Sigma_{\gamma}\Rightarrow\oint_{\overline \Sigma}\overline e_{\omega}\left(\pm\kappa \overline T^{\omega\gamma}-\overline O^{\omega\gamma}\right)d\overline \Sigma_{\gamma}=0\;</MATH>|HH}} Równanie ostatnie w {{LinkWzór|HH}} jest spełnione dla dowolnych powierzchni zamkniętych {{Formuła|<MATH>\overline \Sigma\;</MATH>}} i wersorów {{Formuła|<MATH>\overline e_{\omega}\;</MATH>}} w bazie, wtedy z tego równania dochodzimy do równości tensorowej, którym jest równaniem, które chcemy otrzymać, pisząc bez nadkreśleń: {{CentrujWzór|<MATH>\pm\kappa T^{\omega\gamma}-O^{\omega\gamma}=0\Rightarrow O^{\omega\gamma}=\pm\kappa T^{\omega\gamma}\Rightarrow G^{\omega\gamma}+\Lambda g^{\omega\gamma}=\pm\kappa T^{\omega\gamma}</MATH>|HH1}} Końcowe równanie w {{LinkWzór|HH1}} wyprowadzone jest z zachowawczości tensora gęstości energii-pędu {{LinkWzór|4.6b}}, jeżeli od zewnątrz nie działają na układ żadne siły zewnętrzne. == Szczególne postacie gęstości Lagrangianu == Wiedząc jaka jest gęstość lagrangianu przedstawionego w punkcie {{LinkWzór|1.122a1|Teoria funkcji lagrangianu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}} w zerowym polu elektromagnetycznym, wtedy przepisując to dla tego przypadku i dokonując przekształceń, wtedy otrzymamy wzór taki sam jak w punkcie {{LinkWzór|4.360b|Lagrangian masowy kinematyczny w mechanice Einsteina i Newtona|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}} dla sygnatury dodatniej i ujemnej (pojawia się tutaj dodatkowy minus) tensora metrycznego Minkowskiego przedstawiamy kolejno dla pierwszej sygnatury: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}=-\rho_0c^2=-\rho_0c^2u^{\dot \mu}u_{\dot\mu}=-\left[{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\dot\mu}\eta_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)\eta^{\alpha\dot\mu}\eta_{\dot\mu\alpha}\right]\;</MATH>|4.360b}} Dla drugiej (zamiast {{Formuła|<MATH>\eta^{\mu\nu}\;</MATH>}} wstawiamy tensor {{Formuła|<MATH>-\eta^{\mu\nu}\;</MATH>}} do gęstości lagrangianu kinematycznego {{LinkWzór|4.360b}}): {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}=-\rho_0c^2=\rho_0c^2u^{\dot \mu}u_{\dot\mu}=-\left[-{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\dot\mu}\eta_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)\eta^{\alpha\dot\mu}\eta_{\dot\mu\alpha}\right]\;</MATH>|4.360b111}} We wzorze {{LinkWzór|4.360b}} sumowanie jest tylko po {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu\;</MATH>}}, a względem {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} już nie. W przypadku wzoru na gęstości lagrangianu: {{LinkWzór|4.360b}} i {{LinkWzór|4.360b111}} zakładamy, że jest on również słuszny dla układów zakrzywionych, wtedy możemy napisać lagrangian masowy na podstawie {{LinkWzór|3.9|Właściwości skalaru tensora metrycznego}} w układach ogólnie zakrzywionych, biorąc gęstość lagrangianu z punktu {{LinkWzór|4.360b}}, nazywając ją według procedury {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}\rightarrow \mathfrak{L}_m\;</MATH>}}, a także pisząc {{Formuła|<MATH>L\rightarrow L_m\;</MATH>}}, wtedy też piszemy inne zastąpienie {{Formuła|<MATH>\eta^{\mu\nu}\rightarrow g^{\mu\nu}\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>L_m=\int\mathfrak{L}_mdV^'=\int\sqrt{-g}\mathfrak{L}_mdV\;</MATH>|4.360b1}} Widzimy, że we wzorze {{LinkWzór|4.360b1}} gęstość lagrangianu masowego przechodzi w formułę {{LinkWzór|4.360b}} i {{LinkWzór|4.360b111}}, (w gęstość lagrangianu), dla {{Formuła|<MATH>g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}}. == Najważniejsze wnioski w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałymi jakimiś wielkościami == Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie spoczynkowych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}=0\wedge u^{i}\rightarrow 0\wedge u^0=1\;</MATH>|qw20}} Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie stałym tensorze prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}=0\;</MATH>|qw201}} Jest spełniona równość dla odpowiednich klasach układów z lokalnie stałą gęstością spoczynkową: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\rho_0}\over{\partial x^{\mu}}}=0\;</MATH>|qw2}} Jest również spełniona równość dla ciśnienia w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x^{\mu}}}=0\;</MATH>|qw3}} Wniosek {{LinkWzór|1.42|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, {{LinkWzór|qw20}}, {{LinkWzór|qw2}} i {{LinkWzór|qw3}} są spełnione ogólnie dla układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych z lokalną stałością tensorów prędkości, gęstości masy spoczynkowej i ciśnienia, co taką klasę układów można użyć też do częściowego udowodnienia ogólnej teorii względności, np. do dowodu lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu, jak w szczególnej teorii względności w {{LinkWzór|3.20|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}}, lub mając ten sam układ biorąc zamiast {{LinkWzór|qw20}} warunek lokalności {{LinkWzór|qw201}}, wtedy mamy taką samą klasę układów współrzędnych z różnicą, że te układy nie są lokalnie spoczynkowymi, tylko lokalnie ze stałym tensorem prędkości, które można wykorzystać też do takiej samej teorii, ale dla układów lokalnie płaskich. == Tensor gęstości energii-pędu dla układów ogólnie zakrzywionych == Wykorzystajmy gęstość langrangianu masowego {{LinkWzór|4.360b}} (ostatnia równość) dla układów lokalnie płaskich zamieniając w nim według formuły: {{Formuła|<MATH>\eta^{\mu\nu}\rightarrow g^{\mu\nu}\;</MATH>}}, co wynika z definicji transformacji tensorów, wtedy otrzymamy gęstość lagrangianu masowego dla układów zakrzywionych dla sygnatury dodatniej tensora metrycznego Minkowskiego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}_m=-\rho_0c^2=-\rho_0c^2u^{\dot \mu}u_{\dot\mu}=-\rho_0c^2u^{\dot \mu}g_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}=-\left[{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\dot\mu}g_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\dot\mu}g_{\dot\mu\alpha}\right]\;</MATH>|4.360b11}} Dla drugiej (tutaj widzimy, że się pojawia dodatkowy minus przy gęstości lagrangianu masowego i minus przy tensorze metrycznym - drugie przedstawienie jego, przedstawienie względem {{LinkWzór|4.360b11}}): {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}_m=-\rho_0c^2=\rho_0c^2u^{\dot \mu}u_{\dot\mu}=-\left[-{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\dot\mu}g_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\dot\mu}g_{\dot\mu\alpha}\right]\;</MATH>|4.360b112}} W takiem razie tensor gęstości energii-pędu z jego definicji {{LinkWzór|4.20}} za pomocą lagrangianu masowego {{LinkWzór|4.360b11}} jest ona napisana dokładnie dla pierwszej sygnatury: {{CentrujWzór|<MATH>T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}+(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)g^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\beta}\Rightarrow T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}-pg^{\alpha\beta}</MATH>|4.36b}} Dla drugiej (tutaj widzimy, że pojawia się minus przy tensorze metrycznym układu zakrzywionego) względem {{LinkWzór|4.36b}}: {{CentrujWzór|<MATH>T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}-(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\beta}+{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)g^{\alpha\beta}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\beta}\Rightarrow T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}+pg^{\alpha\beta}</MATH>|4.36b2}} Co otrzymaliśmy taki sam tensor gęstości energii-pędu w {{LinkWzór|4.36b}} - sygnatura dodatnia, i {{LinkWzór|4.36b2}} - sygnatura ujemna, co kolejno w punktach {{LinkWzór|1.44|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} i {{LinkWzór|1.45|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}. Są to tensory gęstości energii-pędu, które możemy wykorzystać w lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu {{LinkWzór|4.6b}} i w równaniu Hilberta-Einsteina w {{LinkWzór|4.21}} dla sygnatury dodatniej i {{LinkWzór|4.2122}} dla sygnatury ujemnej. A jeżeli zastosujemy silną zasadę równoważności, to równości: {{LinkWzór|4.36b}} i {{LinkWzór|4.36b2}}, powinny być równoważne z tym tensorem, w szczególnej teorii względności, jako: {{LinkWzór|1.44|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} i {{LinkWzór|1.45|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, które otrzymujemy z analogicznych sposobów jak kolejno z {{LinkWzór|4.360b11}} i {{LinkWzór|4.360b112}} do {{LinkWzór|4.36b}} i {{LinkWzór|4.36b2}}, a dla szczególnej teorii względności mamy kolejno z {{LinkWzór|4.360b}} i {{LinkWzór|4.360b111}} do {{LinkWzór|1.44|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} i {{LinkWzór|1.45|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, tylko zamiast tensora metrycznego Minkowskiego jest tensor metryczny układu ogólnie zakrzywionego, dla obu kolejno sygnatur. == Linie geodezyjne, a zasady równoważności == Wyprowadzimy tutaj równania geodezyjne dla układów punktowych i rozciągłych, a także z równań dla układów rozciągłych udowodnimy równanie dla układów punktowych, że sa one co do siebie równoważne, a także udowodnimy słabą i silną zasadę równoważności. === Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w pierwszym sposobie wyprowadzania, a silna zasada równoważności (dowód) === Wyprowadzimy tutaj z drugiej zasady Lagrange'a prawa ruchu ogólnej teorii względności dla układów punktowych i rozciągłych. ==== Układy punktowe ==== Weźmy lagrangian układu zakrzywionego, pisząc go dla obu sugnatur korzystając z definicji jedynki z {{LinkWzór|1.9|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, co na tej podstawie możemy lagrangian kinematyczny tensorowy przekształcić do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>L_k=-{{1}\over{2}}m_0c^2=\mp{{1}\over{2}}m_0c^2\dot q^{\mu}g_{\mu\nu}\dot q^{\nu}\;</MATH>|JJ1}} Całkę działania dla lagrangianu kinematycznego dla układu zakrzywionego piszemy jako całkę po interwale czasoprzestrzennym z lagrangianu kinematycznego: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_s L_kds\;</MATH>|JJ2}} Napiszmy równanie na drugą zasad Lagrange'a mając lagrangian i ogólniony tensor siły, wiedząc, że całka działania {{LinkWzór|JJ2}} wtedy przyjmuje wartość najmniejszą: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{ds}}{{\partial L_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}-{{\partial L_k}\over{\partial q^{\alpha}}}=Q_k</MATH>|JJ3}} Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w wyrażeniu Lagrange'a {{LinkWzór|JJ3}}, ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu, czyli policzmy wyrażenie z dokładnością z dokładnością do czynników stałych jako pochodną cząstkową lagrangianu kinematycznego względem uogólnionego położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{m_0c^2}}{{\partial L_k}\over{\partial q^{\alpha}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{1}\over{2}}g_{\mu\nu}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}\right)={{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}</MATH>|JJ4}} Wyraz występujący pod pochodną zupełną po interwale czasoprzetrzennym pochodnej różniczkowej względem prędkości uogólnionej, który występuje w równaniu Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|JJ3}}, możemy przekształcić z dokładnością do czynników stałych do: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{m_0c^2}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}={{1}\over{2}}\left(g_{\mu\nu}{\delta^{\nu}}_{\alpha}\dot{q}^{\mu}+\rho_0g_{\mu\nu}{\delta^{\mu}}_{\alpha}\dot{q}^{\nu}\right)={{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+g_{\alpha\nu}\dot{q}^{\nu} \right)={{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+g_{\mu\alpha}\dot{q}^{\mu} \right)={{1}\over{2}}\left(2g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}\right)=g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}</MATH>|JJ5}} Wyznaczmy pochodną zupełną względem interwału czasoprzestrzennego wuyrażenia obliczonego {{LinkWzór|JJ5}}, dzięki któremu napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{m_0c^2}}{{d}\over{ds}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}={{d}\over{ds}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu} \right)=g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+{{dg_{\alpha\mu}}\over{ds}}\dot{q}^{\mu}=g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+ {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}</MATH>|JJ6}} Połączmy wyrażenia {{LinkWzór|JJ5}} i {{LinkWzór|JJ6}}, oraz podstawmy je odpowiednio do wzoru {{LinkWzór|JJ3}}, w takim przypadku napiszmy równość do przekształcenia matematycznego: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+ {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}=\mp{{1}\over{m_0c^2}}Q^{\mu}\;</MATH>|JJ7}} Ale mamy z definicji tensora metrycznego prostego i odwrotnego mamy dwie tożsamości, które przestawimy poniżej w postaci dwóch tożsamości, które wynikają z własności ogólnie tensora metrycznego. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}={\delta^{\beta}}_{\mu}</MATH>|4.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}=\delta^{\beta}_k\ddot{q}^{\mu}=\ddot{q}^{\beta}</MATH>|4.47}} }} Z przemienności wskaźników tensora metrycznego wynikającego z jego definicji, tzn. drugi wyraz w tożsamości {{LinkWzór|4.45}}, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>g^{\beta\alpha}{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial \dot{q}^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}={{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left({{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial q^{\mu}}}\right)\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}</MATH>|4.48}} Symbole Christoffela możemy przedstawić wedle jej definicji występującego w równaniu tensorowym {{LinkWzór|4.49}}: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^{\beta}}_{\mu\nu}={{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left( {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial q^{\mu}}}-{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\right)</MATH>|4.50}} Pomnóżmy równość {{LinkWzór|JJ7}} przez element {{Formuła|<MATH>g^{\beta\alpha}\;</MATH>}}, dalej wykorzystajmy obliczenia na liczbach ogólnych {{LinkWzór|4.47}} i {{LinkWzór|4.48}} i wykorzystując definicję symboli Christoffela {{LinkWzór|4.50}} z rachunku tensorowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{q}^{\beta}+{\Gamma^{\beta}}_{\mu\nu}\dot{q}^{\nu}\dot{q}^{\mu}=\mp{{1}\over{m_0c^2}}Q^{\beta}\Rightarrow{\dot q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=\mp{{1}\over{m_0c^2}}Q^{\beta}\;</MATH>|JJ8}} Ale definicja uogólnionego tensora siły jest w drugiej zasadzie Lagrange'a dla układów punktowych dla obu sygnatur taka: {{CentrujWzór|<MATH>Q^{\beta}=\mp c K^{\beta}\;</MATH>|JJ9}} Wykorzystajmy definicję {{LinkWzór|JJ9}} na definicję uogólnionego tensora siły do równości {{LinkWzór|JJ8}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_0c{\dot q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=K^{\beta}\;</MATH>|JJ10}} Równość {{LinkWzór|JJ10}} dla układów lokalnie płaskich możemy przepisać z rachunku tensorowego z praw transformacji tensorowej: {{CentrujWzór|<MATH>m_0c{\dot q^{\beta}}_{,\alpha}\dot q^{\alpha}=K^{\beta}\Rightarrow m_0c{{du^{\beta}}\over{ds}}=K^{\beta}\;</MATH>|JJ11}} Końcowe równanie jest takie same jak równość na '''drugą zasadę dynamiki Einsteina''', czyli '''silna zasada równoważności''' dla układów punktowych jest spełniona. ==== Układy rozciągłe ==== Będziemy tutaj wyprowadzać linie geodezyjne dla wszystkich rodzajów układów rozciągłych i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych. Napiszmy lagrangian w układach rozciągłych płaskich i zakrzywionych, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>q^{\alpha}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\dot{q}^{\alpha}\;</MATH>}} są zmiennymi niezależnymi względem siebie, wtedy w układzie zakrzywionym napiszmy całkowity lagrangian, z którego wyznaczymy gęstość lagrangianu kinematycznego tensorowego dla obu sygnatur tensora metrycznego, wychodząc od układu lokalnie płaskiego (opisywana przez szczególną teorię względności) do układu współrzędnych opisującego przestrzeń zakrzywioną (opisywaną przez ogólną teorię względności): {{CentrujWzór|<MATH>L_k=-{{1}\over{2}}m_0c^2=\mp{{1}\over{2}}c^2\int_V\rho_0dV_0=-{{1}\over{2}}c^2\int_V\rho_0\gamma\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}dV_0=-{{1}\over{2}}c^2\int_V\rho_0\gamma dV\Rightarrow\mathfrak{L}=-{{1}\over{2}}\rho_0\gamma c^2=\mp{{1}\over{2}}\rho_0\gamma c^2\dot q^{\mu}g_{\mu\nu}\dot q^{\nu}</MATH>|4.37}} * We wzorze {{LinkWzór|4.37}} znak u góry to sygnatura dodatnia, a u dołu ujemna, tensora metrycznego. Zakładamy, że mamy pewną metrykę z definiowaną przez tensory metryczne g{{Sub|&alpha;&nu;}} i obliczamy jaka jest najmniejsza linia między punktami A i B w czasoprzestrzeni Einsteina (ogólnie w n-wymiarowej czasoprzestrzeni, nie musi być cztery tak jak w czasoprzestrzeni Einsteina), po której cząstka ma się poruszać, czyli policzmy wariację wyrażenia Lagrangianu {{LinkWzór|4.37}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_s\int_{V_p}\mathfrak{L}_kdV_pds=\int_s\int_V\sqrt{-g}\mathfrak{L}_kdVds</MATH>|4.39}} * Gdzie: {{Formuła|<MATH>V_p\;</MATH>}} jest to obiętość ukłądów płaskich, a {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}} zakrzywionych. Napiszmy wzór na drugą zasadę Lagrange'a dla układów zakrzywionych mając gęstość lagrangianu kinematycznego {{LinkWzór|4.37}} i gęstość uogólnionego tensora siły w układzie zaskrzywionym: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{ds}}{{\partial \sqrt{-g}\mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}-{{\partial \sqrt{-g}\mathfrak{L}_k}\over{\partial q^{\alpha}}}={{dQ_{\alpha}}\over{dV}}</MATH>|4.40a}} Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w równaniu Lagrange'a {{LinkWzór|4.40a}}, ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{c^2}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial q^{\alpha}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{1}\over{2}}\rho_0\gamma g_{\mu\nu}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}\right)={{1}\over{2}}\rho_0\gamma{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\rho_0\gamma</MATH>|4.41}} Wyraz występujący pod pochodną zupełną czasową, który występuje wyrażeniu Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|4.40a}}, możemy przekształcić do: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{c^2}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}={{1}\over{2}}\rho_0\gamma\left(g_{\mu\nu}{\delta^{\nu}}_{\alpha}\dot{q}^{\mu}+\rho_0g_{\mu\nu}{\delta^{\mu}}_{\alpha}\dot{q}^{\nu}\right)+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma= {{1}\over{2}}\rho_0\gamma\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+g_{\alpha\nu}\dot{q}^{\nu} \right)+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma={{1}\over{2}}\rho_0\gamma\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+g_{\mu\alpha}\dot{q}^{\mu} \right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma={{1}\over{2}}\rho_0\gamma\left(2g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}\right)+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0=\rho_0\gamma g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma</MATH>|4.42}} Następnie wyznaczmy pochodną wyrażenia {{LinkWzór|4.42}} względem pewnego parametru {{Formuła|<MATH>s\;</MATH>}} (interwał czasoprzestrzenny), czyli pierwszy wyraz w {{LinkWzór|4.40a}}, który jest liczony względem s, który jest dla nas długością linii światła, czyli musimy policzyć pochodną zupełną policzonego wyrażenia {{LinkWzór|4.42}}. {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{c^2}}{{d}\over{ds}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}={{d}\over{ds}}\left(\rho_0\gamma g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu} \right)+{{1}\over{2}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma=\rho_0\gamma g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma+\rho_0\gamma{{dg_{\alpha\mu}}\over{ds}}\dot{q}^{\mu}+{{1}\over{2}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\rho_0\gamma g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma+ \rho_0\gamma{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}+{{1}\over{2}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma</MATH>|4.43}} A więc nasze równanie Lagrangianu {{LinkWzór|4.40a}}, której części są przedstawione i policzone w punktach {{LinkWzór|4.41}} i {{LinkWzór|4.43}}, czyli równanie Eulera-Lagrange'a dla naszego przypadku przy zdefiniowanym gęstości lagrangianu {{LinkWzór|4.37}}, przedstawia się po podzieleniu przez {{Formuła|<MATH>\sqrt{-g}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} obustronnie: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\sqrt{-g}}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}+{{1}\over{2\sqrt{-g}\rho_0\gamma}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma+g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma+{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\rho_0\gamma-{{1}\over{2\sqrt{-g}}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\sqrt{-g}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}</MATH>|4.44a}} Podzielmy na dwie grupy wyrazów w {{LinkWzór|4.44a}}, jednej z lewej strony równania, a drugie z prawej, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}\pm{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}=-g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\sqrt{-g}}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}-{{1}\over{2\sqrt{-g}\rho_0\gamma}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma-{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma+{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\rho_0\gamma+{{1}\over{2\sqrt{-g}}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\sqrt{-g}\;</MATH>|4.44ba}} Obierzmy cechowanie zerując prawą stronę równości {{LinkWzór|4.44ba}}, bo ona w układzie lokalnie płaskim o lokalnie stałych parametrach jest równa zero, by na podstawie jej otrzymać poprawne równanie ruchu (geodezyjne): {{CentrujWzór|<MATH>-g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\sqrt{-g}}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}-{{1}\over{2\sqrt{-g}\rho_0\gamma}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma-g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma-{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma+{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\rho_0\gamma+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{2\sqrt{-g}}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\sqrt{-g}=0\;</MATH>|4.44ab}} Przy cechowaniu {{LinkWzór|4.44ab}} wzór na linie geodezyjne {{LinkWzór|4.44ba}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0c^2}}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}\;</MATH>|4.44b}} Pomnóżmy teraz równanie {{LinkWzór|4.44b}} przez jakiś element tensora metrycznego w czasoprzestrzeni Einsteina, czyli przez element {{Formuła|<MATH>g^{\beta\alpha}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+g^{\beta\alpha}{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-g^{\beta\alpha}{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}g^{\beta\alpha}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}</MATH>|4.45}} Wykorzystajmy obliczenia w punktach {{LinkWzór|4.46}}, {{LinkWzór|4.47}} i {{LinkWzór|4.48}}, napiszmy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{q}^{\beta}+{{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left( {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial q^{\mu}}}-{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\right)\dot{q}^{\nu}\dot{q}^{\mu}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0c^2}}g^{\beta\alpha}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}</MATH>|4.49}} Wykorzystajmy dfinicję symboli Christoffela, a zatem nasze równanie {{LinkWzór|4.49}}, na podstawie definicji symboli Christoffela {{LinkWzór|4.50}}, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{q}^{\beta}+{\Gamma^{\beta}}_{\mu\nu}\dot{q}^{\nu}\dot{q}^{\mu}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}g^{\beta\alpha}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}\Rightarrow {\dot q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}{{dQ^{\beta}}\over{dV}}</MATH>|4.51}} Udowodniliśmy w ten sposób że równanie {{LinkWzór|1.74|Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi}} wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak z twierdzenia Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|4.51}} policzonego za pomocą rachunku wariacyjnego, gdy siły zewnętrzne niegrawitacyjne się zerują. Przedstawmy równanie końcowe {{LinkWzór|4.51}} w układzie zakrzywionym, mając definicję ogólnionego tensora siły {{LinkWzór|JJ9}}, ale tym razem dla różniczek, a nie dla wielkości skończonych, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}{{dQ^{\beta}}\over{dV}}\Rightarrow\sqrt{-g}\rho_0c^2{q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=c{{dK^{\beta}}\over{dV}}\Rightarrow \sqrt{-g}\rho_0\gamma c{q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}={{dK^{\beta}}\over{dV}}\;</MATH>|4.52}} To równanie, tzn. {{LinkWzór|4.52}} przypiszmy w postaci, przekształcając je do układów lokalnie płaskich zamieniając je na układy lokalnie płaskie, w których panuje teoria dla układów płaskich: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{-g}\rho_0\gamma c{q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}={{dK^{\beta}}\over{dV}}\Rightarrow \rho_0c{{du^{\beta}}\over{ds}}={{dK^{\beta}}\over{dV_0}}\;</MATH>|4.54}} Na podstawie otrzymanej równości {{LinkWzór|4.54}} można udowodnić '''silną zasadę równoważności''' dla układów rozciągłych, tzn. prawa w układzie lokalnie płaskim, wtedy tam jest spełniona szczególna teoria względności, mając je dla układów zakrzywionych, mają taką samą postać, co dla układów lokalnie płaskich, tylko zamiast tensora metrycznego Minkowskiego jest tensor metryczny czasoprzestrzeni zakrzywionej, a zamiast przecinka jest średnik. === Słaba zasada równoważności (dowód) === W układach inercjalnych rozciągłych panują prawa szczególnej teorii względności {{LinkWzór|4.54}} (z którego możemy policzyć tensor siły działający na rozciągłe ciało), a jeśli mamy obserwatora w poruszającej się w windzie, w inercjalnym układzie odniesienia (układ lokalnie płaski), poruszający się z przyśpieszeniem {{Formuła|<MATH>\vec a=\vec g\;</MATH>}}, to on porusza się wraz z windą, a on sam odczuwa siłę bezwładności do dołu windy w układzie nieinercjalnym poruszający się wraz z windą względem tego układu ostatniego, rozważając inaczej, weźmy inercjalny układ odniesienia poruszający się wraz z windą, wtedy pojawiają się tensory metryczne, które są jakimiś funkcjami, nierówne tensorowi metrycznemu Minkowskiego, i pojawia się wtedy tensor siły grawitacji pochodzący od tego układu opisany w równaniu dla układu dyskretnego {{LinkWzór|1.77ca11|Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi}} (z którego możemy policzyć tensor siły działający na ciało) lub rozciągłego {{LinkWzór|LLL2|Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi}} (z którego możemy policzyć gęstość tensora siły grawitacji), stąd obserwator nie może rozróżnić tego układu inercjalnego od nieinercjalnego, bo opisywać można też ten sam ruch tak samo w układzie inercjalnym i nieinercjalnym, stąd prawa sformułowane tensorowo w układzie inercjalnym w szczególnej teorii względności są słuszne również w układzie nieinercjalnym po zamienieniu w układzie inercjalnym tensora metrycznego Minkowskiego tensorem metrycznym tego układu nieinercjalnego, a przecinki średnikami, co wtedy otrzymujemy prawa ruchu dla układów nieinercjalnych, co można też to udowodnić z teorii transformacji przechodząc z układu inercjalnego do nieinercjalnego. A więc to dowodzi '''słabą zasadę równoważności''' Alberta Einsteina. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fky88fm7wzsbhc93ydgwjgm403pe361 559120 559119 2026-10-11T10:59:42Z Persino 2851 /* Równania grawitacji Einsteina-Hilberta */ 559120 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Ogólna teoria względności według Hilberta''' polega na całce działania Eulera-Lagrange, która przyjmuje najmniejszą wartość i w oparciu o rachunek wariacyjny wyprowadzimy równania grawitacji Einsteina-Hilberta. Również wyprowadzimy wedle tej samej zasady lokalną zasadę zachowania energii, a także wyprowadzimy równanie linii geodezyjnej z odpowiedniej definicji funkcji Langrange'a. == Równania grawitacji Einsteina-Hilberta == Całka działania w przestrzeni Minkowskiego jest to całka, w której funkcją podcałkową jest gęstość Lagrangianu {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}\;</MATH>}} liczoną względem infinitezymalnej objętości w przestrzeni czterowymiarowej. {{CentrujWzór|<MATH>S=\int \mathfrak{L}d{x^'}^4\;</MATH>|4.1}} Możemy uwzględnić policzoną na liczbach ogólnych objętość elementarną w lokalnie płaskim układzie współrzędnym względem tej samej objętości w krzywoliniowym układzie współrzędnej wedle sposobu {{LinkWzór|3.9|Właściwości_skalaru_tensora_metrycznego}} podstawiając go do całki Lagrange'a {{LinkWzór|4.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int\underbrace{\sqrt{-g}\mathfrak{L}}_{\mathfrak{L}^'}dx^4\;</MATH>|4.2}} Aby powyższa całka przyjmowała najmniejszą wartość, to należy napisać równanie Eulera-Lagranga, którego postać względem parametru &phi; i &part;{{Sub|&mu;}}&phi; jest. {{CentrujWzór|<MATH>\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}^'}\over{\partial(\partial_{\mu}\varphi)}}-{{\partial\mathfrak{L}^'}\over{\partial\varphi}}=0\;</MATH>|4.3}} Gęstość lagrangianu można rozpisać jako sumę na dwie jego części, tzn.: na część przestrzenną i masową jako sumę tychże wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}=\mathfrak{L}_g+\mathfrak{L}_m\;</MATH>|4.4}} Rozważmy teraz część przestrzenną Lagrangianu {{LinkWzór|4.4}} rozwijając go w szereg Taylora względem skalaru krzywizny, co można go przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}_g=a+bR+cR^2+...\;</MATH>|4.5}} Wprowadźmy wstępne oznaczenia na stałe "a" i "b" poprzez stałą kosmologiczną &Lambda; i przez stałą &kappa; występującego w prawie grawitacji Einsteina {{LinkWzór|1.51|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a=-{{\Lambda}\over{\pm \kappa}}\;</MATH>|4.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b={{1}\over{\pm 2\kappa}}\;</MATH>|4.7}} }} * Znak w {{LinkWzór|4.6}} i {{LinkWzór|4.7}} jest dla znaku na górze dla przyciągania grawitacyjnego, a ujemna na dole dla odpychania grawitacyjnego. Tzn. gdy chcermy opisywać przyciąganie grawitacyjne, to stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} jest dodatnia, a jeśli odpychanie, to zamiast {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} wstawiamy {{Formuła|<MATH>-\kappa\;</MATH>}}, a ta stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} w nim jest dodatnia, a więc tak mozna przejść od przyciągania do odpychania we stałych {{LinkWzór|4.6}} i {{LinkWzór|4.7}}, tzn. zamieniając w nich {{Formuła|<MATH>+\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-\;</MATH>}}, i dlatego tam piszemy dla obu rodzajów oddziaływań grawitacyjnych {{Formuła|<MATH>\pm\;</MATH>}}. Część przestrzenna Lagrangianu {{LinkWzór|4.5}} wedle oznaczeń {{LinkWzór|4.6}} i {{LinkWzór|4.7}} po dokonanych podstawieniach za "a" i "b", przy którym dalsze współczynniki przyjmujemy za równe zero, przyjmuje postać. {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}_g={{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)\;</MATH>|4.8}} Można udowodnić, że dla czasoprzestrzeni zakrzywionej mamy g<0, a zatem całkę działania {{LinkWzór|4.2}}, wykorzystując przy tym wzór na całkowity Lagrangian {{LinkWzór|4.4}}, która jest sumą Lagrangianu przestrzennego {{LinkWzór|4.8}} i masowego, jest napisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int d^4x\sqrt{-g}\left\{{{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right\}\;</MATH>|4.9}} * gdzie:{{Formuła|<MATH>g=-\operatorname{\det}(g_{\alpha\beta})\;</MATH>}} Ale {{Formuła|<MATH>\sqrt{-g}\;</MATH>}} jest to Jakobian, który pozwala przejść do układu krzywoliniowej w ogólnej teorii względności z układu lokalnie płaskiego Minkowskiego. Nowa gęstość lagrangianu zdefiniowana na podstawie punktu {{LinkWzór|4.9}} w stosunku do {{LinkWzór|4.4}} jest zdefiniowana: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}^'=\sqrt{-g}\mathfrak{L}=\sqrt{-g}\left\{{{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right\}\;</MATH>|4.10}} Równanie Eulera Einsteina {{LinkWzór|4.3}} względem nowego Lagrangianu {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}^'\;</MATH>}}, jest iloczynem gęstości Lagrangianu tego starego {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}\;</MATH>}} przez pierwiastek z wyznacznika macierzy metrycznej wziętej z minusem, zatem jeśli przyjmować będziemy {{Formuła|<MATH>\varphi=g^{\alpha\beta}\;</MATH>}} przy {{LinkWzór|4.3}}, to równanie Eulera-Lagrange przyjmuje wtedy postać: {{CentrujWzór|<MATH>\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial(\partial_{\mu}g^{\alpha\beta})}}-{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\;</MATH>|4.11}} Jeśli Lagrangian nie zależy od pochodnych elementów tensora metrycznych względem współrzędnych x{{Sup|&mu;}} w przestrzeni nieuklidesowej, to pierwszy wyraz w {{LinkWzór|4.11}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\partial_{\mu}{{\partial \mathfrak{L}\sqrt{-g}}\over{\partial(\partial_{\mu}g^{\alpha\beta})}}=0\;</MATH>|4.12}} A zatem równanie Eulera Einsteina po uwzględnieniu powyższej tożsamości {{LinkWzór|4.12}}, czyli pierwszy wyraz w {{LinkWzór|4.11}} znika, zatem dostajemy z omawianego równania: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left(\sqrt{-g}\mathfrak{L}\right)=0\;</MATH>|4.13}} Jeśli skorzystamy z twierdzenia o pochodnej iloczynu względem jakieś zmiennej ściśle określonej oraz wykorzystujemy wzór {{LinkWzór|3.18|Właściwości_skalaru_tensora_metrycznego}}, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{-g}{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+\mathfrak{L}{{\partial\sqrt{-g}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\Rightarrow \sqrt{-g}{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+\mathfrak{L}{{gg_{\alpha\beta}}\over{2\sqrt{-g} }}=0\;</MATH>|4.14}} Całkowity Lagrangian po podstawieniu {{LinkWzór|4.8}} do {{LinkWzór|4.4}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\;</MATH>|4.15}} Ostatnie równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian {{LinkWzór|4.14}} ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu {{LinkWzór|4.15}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{-g}{{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left({{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right)+ \left({{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right){{1}\over{2\sqrt{-g}}}gg_{\alpha\beta}=0\;</MATH>|4.16}} Po podzieleniu obustronnie równości {{LinkWzór|4.16}} przez pierwiastek wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli&nbsp;{{Formuła|<MATH>\sqrt{-g}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>-{{1}\over{\pm 4\kappa}}g_{\alpha\beta}(R-2\Lambda)-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m+ {{\partial}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}\left({{1}\over{\pm 2\kappa}}(R-2\Lambda)+\mathfrak{L}_m\right)=0\;</MATH>|4.17}} Jeśli wiadomo,że zachodzi wzór na skalar Ricciego {{Formuła|<MATH>R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}\;</MATH>}}, i tensor Ricciego {{Formuła|<MATH>{{\partial R}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=R_{\alpha\beta}\;</MATH>}}, a także na podstawie powyższej równości {{LinkWzór|4.17}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH>-{{1}\over{\pm 4\kappa}}g_{\alpha\beta}(R-2\Lambda)-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m+{{1}\over{\pm 2\kappa}}R_{\alpha\beta}+{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}=0\Rightarrow{{1}\over{\pm 2\kappa}}\left[\left(R_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}R\right)+g_{\alpha\beta}\Lambda\right]= -{{1}\over{2}}\left(2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}-g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\right)\;</MATH>|4.18}} Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie {{LinkWzór|4.18}}, przez {{Formuła|<MATH>-{{1}\over{2\kappa}}\;</MATH>}}, otrzymujemy dla sygnatury dodatniej: {{CentrujWzór|<MATH>R_{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}g_{\alpha\beta}R+g_{\alpha\beta}\Lambda=\pm \kappa\left(-2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\right)\;</MATH>|4.19}} * Powyższe równanie jest dla sygnatury dodatniej. Ponieważ przyjęliśmy że definicja tensora Einsteina jest wedle {{LinkWzór|1.37|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, a rozszerzony tensor Einsteina jest w postaci {{LinkWzór|1.40|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, a tensor gęstości energii-pędu przyjmuje postać według naszych rozważań według {{LinkWzór|4.19}} dla sygnatury dodatniej (dla sygnatury ujemnej tensor gęstości energii-pędu różni się od tego samego dla sygnatury dodatniej minusem, bo zamieniamy w tym tensorze {{Formuła|<MATH>g^{\mu\nu}\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>-g^{\mu\nu}\;</MATH>}}, tzn. formalnie, by dla obu sygnator względem siebie ten tensor miał przeciwną, tylko formalnie, postać), pierwsza dla sygnatury dodatniej, a druga dla ujemnej, przechodząc z sygnatury dodatniej do ujemnej, a te tensory kolejno mamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T_{\alpha\beta}=-2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}+g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\;</MATH>|4.20}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>T_{\alpha\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}_m}\over{\partial g^{\alpha\beta}}}-g_{\alpha\beta}\mathfrak{L}_m\;</MATH>|4.20S}} }} Pisząc dla obu sygnatur tensora Minkowskiego, to ostatecznie równanie grawitacji wyprowadzonej przez Hilberta z zasady wariacyjnej, ze stałą kosmologiczną, są kolejno przedstawione dla obu typu oddziaływań, tzn. przyciągania i odpychania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>G_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}\Lambda=\kappa T_{\alpha\beta}\;</MATH>|4.21}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>G_{\alpha\beta}+g_{\alpha\beta}\Lambda=-\kappa T_{\alpha\beta}\;</MATH>|4.2122}} }} Wyprowadzając równanie {{LinkWzór|4.19}} (przy stałej proporcjalności przy {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} z plusem) mając gęstość lagrangianu przestrzennego {{LinkWzór|4.8}}, biorąc przy nim {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} z tylko z jednym znakiem, tzn. z plusem, - a więc trochę inaczej - to wtedy wychodzą wzory {{LinkWzór|4.20}} (który jest dla przyciągania grawitacyjnego - sygnatura dodatnia) i {{LinkWzór|4.20S}} (który jest dla odpychania grawitacyjnego - sygnatura ujemna), a ten pierwszy wzór jest dla sygnatury dodatniej, a drugi dla ujemnej, co na tej podstawie wychodząc wzory: {{LinkWzór|4.21}} i {{LinkWzór|4.2122}}, a teraz weźmy znak przy tej stałej z minusem w {{LinkWzór|4.19}}, wtedy otrzymujemy równanie o takiej samej postaci co {{LinkWzór|4.21}}, a tam tensor gęstości energii-pędu jest wtedy o sygnaturze ujemnej, a dla drugiej sygnatury otrzymujemy równanie {{LinkWzór|4.2122}}, a tam tensor gęstości energii-pędu jest dla sygnatury dodatniej, a teraz znak przy {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} przyjmijmy taki: {{Formuła|<MATH>\mp\;</MATH>}}, to wtedy dla jej znaku minus w równaniu {{LinkWzór|4.19}}, to wtedy tensor gęstości energii-pędu jest dla sygnatury ujemnej w równaniu o postaci {{LinkWzór|4.21}}, a dla jej znaku dodatniego też dla sygnatury ujemnej w równaniu {{LinkWzór|4.20S}}. Sygnaturę tensora gęstości energii-pędu: {{LinkWzór|4.20}} i {{LinkWzór|4.20S}} można zmienić na przeciwną, jeżeli dokonamy podstawienia w tym tensorze według: {{Formuła|<MATH>g^{\mu\nu}\rightarrow-g^{\mu\nu}\;</MATH>}}. Do powyższych tych wniosków dośliśmy z dokładnością, co do znaku przy stałej kosmologicznej {{Formuła|<MATH>\Lambda\;</MATH>}}. Ten same tensory gęstości energii-pędu, co przedstawiony w punktach: {{LinkWzór|4.20}} i {{LinkWzór|4.20S}}, ale później udowodnimy go z zasady wariacyjnej, ale jeszcze dodatkowo wspomniemy o własności lokalnej zasady zachowania tensora gęstości energii-pędu dla układu lokalnie płaskiego, tzn.: T{{Sup|&mu;&nu;}}{{Sub|,&nu;}}=0, mając {{LinkWzór|1.49|Wprowadzenie_do_ogólnej_teorii_względności}}, co później można udowodnić lokalną zasadę zachowania tensora gęstości energii-pędu ogólnie dla układu zakrzywionego {{LinkWzór|1.50|Wprowadzenie_do_ogólnej_teorii_względności}} na podstawie {{LinkWzór|2.27|Tensor gęstości energii-pędu}} z rachunku tensorowego, nie wariacyjnego (według zasady wariacyjnej to samo wychodzi, co z rachunku tensorowego, tzn. lokalną zachowawczość gęstości tensora energii-pędu). == Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu == Będziemy tutaj wyprowadzać lokalną zachowawczość dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych. ==== Lokalna zachowawczość (przypadek ogólny) ==== Określmy gęstość lagranianu w czasoprzestrzeni lokalnie płaskiej, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i ich pierwszych pochodnych względem współrzędnych czasoprzestrzennych x{{Sup|&alpha;}}, i jego miano jest takie J/m{{Sup|3}}, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni trójwymiarowej, wtedy możemy określić jego całkę działania, wiedząc, że dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych {{Formuła|<MATH>g_{\mu\nu}\;</MATH>}} ({{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} tylko zależy od zmiennych {{Formuła|<MATH>g_{\mu\nu}\;</MATH>}}), {{Formuła|<MATH>{x^{\mu}}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{x^{\mu}}_{,\alpha}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q^{\alpha}\;</MATH>}} są zmiennymi niezależnymi względem siebie, zapisaną wedle sposobu w układzie lokalnie płaskim: {{CentrujWzór|<MATH>S=c\int^{t_2}_{t_1}dt\int \mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha},q^{\alpha}) dV=\int \mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha},q^{\alpha})dVd(ct)</MATH>|4.22}} * Oznaczając przy tym d&tau;=dVd(ct)=dx{{Sup|0}}dx{{Sup|1}}dx{{Sup|2}}dx{{Sup|3}} jako elementarna gęstość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) * gdzie dx{{Sup|0}}=cdt jest to różniczka współrzędnej czasowej liczonych w metrach, który jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, który jest mierzony w sekundach, * x{{Sup|i}} to są współrzędne przestrzenne liczone są w tylko metrach. Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości, wtedy całkę działania {{LinkWzór|4.22}} można przedstawić wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>S=c\int\mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha}, q^{\alpha})dVdt=\int\mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha}, q^{\alpha})d\tau=\int\sqrt{-g}\mathfrak{L}({x^{\mu}},{x^{\mu}}_{,\alpha}, q^{\alpha})d^4q^{\alpha}</MATH>|4.23}} W powyższym wzorze oznaczeniem q{{Sup|&mu;}} oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ zanurzony w kartezjańskim układzie współrzędnych. Znając całkę działania {{LinkWzór|4.23}} możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie, wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}{{\partial \sqrt{-g}\mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}-{{\partial \sqrt{-g}\mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}}}=0\Rightarrow {{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}-{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}}}=0</MATH>|4.24}} Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej q{{Sup|&beta;}} w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej x{{Sup|&mu;}} i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej q{{Sup|&alpha;}}, czyli x{{Sup|&mu;}}{{Sub|,&alpha;}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\beta}}}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}}}{x^{\mu}}_{,\beta}+{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\alpha,\beta}</MATH>|4.25}} Z zasady wariacyjnej {{LinkWzór|4.24}} można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}</MATH>|4.26}} Podstawiamy równanie {{LinkWzór|4.26}} do pierwszego wyrazu z prawej strony równania {{LinkWzór|4.25}} i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\beta}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}+{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\alpha,\beta}\Rightarrow{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\beta}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}\right)</MATH>|4.27}} Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej q{{Sup|&beta;}} troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\beta}}}={\delta^{\alpha}}_{\beta}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial q^{\alpha}}}</MATH>|4.28}} Równanie {{LinkWzór|4.27}} możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości {{LinkWzór|4.28}}, wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem x{{Sup|&alpha;}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}-{\delta^{\alpha}}_{\beta}\mathfrak{L}\right)</MATH>|4.29}} Równanie {{LinkWzór|4.29}} mnożymy przez g;{{Sup|&beta;&gamma;}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}g^{\gamma\beta}-g^{\gamma\alpha}\mathfrak{L}\right)\;</MATH>|4.30}} Udowodnijmy tensor gęstości energii-pędu {{LinkWzór|4.20}} wychodząc z przedstawienia {{LinkWzór|4.30}} pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w {{LinkWzór|4.30}} wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako g{{Sup|&epsilon;&xi;}}=q{{Sup|&epsilon;,&nu;}}q{{Sup|&xi;}}{{Sub|,&nu;}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}}{x^{\mu}}_{,\beta}g^{\gamma\beta}={{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\epsilon\xi}}}{{\partial g_{\epsilon\xi}}\over{\partial {x^{\mu}}_{,\alpha}}} {x^{\mu}}_{,\beta} g^{\gamma\beta} = {{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\epsilon\xi}}}{{\partial \left(x^{\nu}_{,\epsilon}x_{\nu,\xi}\right)}\over{{\partial x^{\mu}}_{,\alpha} }} {x^{\mu}}_{,\beta} g^{\gamma\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\xi}}}{x_{\mu,\xi}}{x^{\mu}}_{,\beta} g^{\gamma\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\xi}}}g_{\xi\beta} g^{\gamma\beta}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\xi}}}{\delta^{\gamma}}_{\xi}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\gamma}}}\;</MATH>|4.35}} A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość {{LinkWzór|4.35}} podstawiamy to wzoru {{LinkWzór|4.30}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left(2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\alpha\gamma}}}-g^{\alpha\gamma}\mathfrak{L}\right)\;</MATH>|4.35a}} Równanie {{LinkWzór|4.35a}} jest słuszne dla układów lokalnie płaskich i układów zakrzywionych. ==== Przypadek układów lokalnie płaskich z gęstością lagrangianu masowego oraz przypadek układów zakrzywionych z gęstością całkowitego lagrangianu ==== Dla tych układów na podstawie {{LinkWzór|4.35a}} tensor gęstości energii podwójnie kowariantny możemy przedstawić względem lagrangianu oraz tensora metrycznego prostego i odwrotnego dla sygnatury tensora metrycznego Minkowskiego dodatniej i ujemnej, mamy koleno: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T^{\gamma\omega}=-2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\gamma\omega}}}+g^{\gamma\omega}\mathfrak{L}\;</MATH>|4.36|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>T^{\gamma\omega}=2{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial g_{\gamma\omega}}}-g^{\gamma\omega}\mathfrak{L}\;</MATH>|4.3611|Obramuj}} }} Wtedy zachowawczość w układach lokalnie płaskich jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}T^{\gamma\omega}=0\Rightarrow{T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}=0\;</MATH>|4.35ba}} ==== Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach zakrzywionych ==== Dla układów zakrzywionych równość {{LinkWzór|4.35a}} przedstawimy wiedząc, że zachodzi {{LinkWzór|4.4}} i wzór na gęstość lagrangianu przestrzennego {{LinkWzór|4.8}}, i znając wzór na tensor gęstości energii-pędu dla układów zakrzywionych {{LinkWzór|4.20}} (sygnatura dodatnia) i {{LinkWzór|4.20S}} (sygnatura ujemna), a więc dla postaci równania dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego oraz uwzględniając znaki przy stałej {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} (ono jest dodatnie), są cztery ogólne możliwości, weźmy sygnaturę dodatnią tego tensora, wtedy znak przy {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} w równaniu Hilberta-Einsteina przjmujemy wtedy z plusem, a dla sygnatury ujemnej jest wtedy znak przy tej stałej z minusem w tym samym równaniu, czyli dla sygnatury dodatniej jest wtedy przyciąganie grawitacyjne opisane tensorowym równaniem {{LinkWzór|4.21}} przy definicji tensora gęstości energii-pędu {{LinkWzór|4.20}}, a dla jej, ale ujemnej, równaniem {{LinkWzór|4.2122}} przy tym tensorze, ale według {{LinkWzór|4.20S}}, jest wtedy odpychanie grawitacyjne. A to wszystko można udowodnić w obliczeniach: {{CentrujWzór|<MATH>0={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}+{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\left(\mp 2{{\partial\mathfrak{L}_g}\over{\partial g_{\gamma\omega}}}\pm g^{\gamma\omega}\mathfrak{L}_g\right)={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}+{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\left(\mp 2{{1}\over{2\kappa}}R^{\gamma\omega}\pm g^{\gamma\omega}{{R}\over{2\kappa}}\mp g^{\gamma\omega}{{2\Lambda}\over{2\kappa}}\right)={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}\mp{{1}\over{\kappa}}{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}\Big(R^{\gamma\omega}-{{1}\over{2}}g^{\gamma\omega}R+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+ g^{\gamma\omega}\Lambda\Big)={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}\mp{{1}\over{\kappa}}{{\partial}\over{\partial q^{\gamma}}}O^{\gamma\omega}={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}\mp{{1}\over{\kappa}}\left({O^{\gamma\omega}}_{;\gamma}- O^{\gamma\mu}{\Gamma^{\omega}}_{\mu\gamma}- O^{\mu\omega}{\Gamma^{\gamma}}_{\mu\gamma}\right)={T^{\gamma\omega}}_{,\gamma}+T^{\gamma\mu}{\Gamma^{\omega}}_{\mu\gamma}+T^{\mu\omega}{\Gamma^{\gamma}}_{\mu\gamma}={T^{\gamma\omega}}_{;\gamma} \;</MATH>|4.36a}} Powyżej udowodniliśmy, że dla sygnatury dodatniej i ujemnej są kolejno: przyciąganie i odpychanie grawitacyjne, weźmy w obliczeniach {{LinkWzór|4.36a}} zamiast {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} (ta stała jest dodatnia) inną stałą proporcjalności, tzn.: {{Formuła|<MATH>-\kappa\;</MATH>}} (stała {{Formuła|<MATH>\kappa\;</MATH>}} w nim jest dodatnia, a z minusem ujemna), co wtedy udowodnimy, że dla sygnatury dodatniej i ujemnej są kolejno: odpychanie i przyciąganie grawitacyjne. Czyli dwoma sygnaturami są opisane dwa rodzaje oddziaływań grawitacyjnych. Zachowawczość tensora gęstości energii T{{Sup|&gamma;&omega;}} przy jego definicji: {{LinkWzór|4.20}} i {{LinkWzór|4.20S}}, na podstawie tożsamości różniczkowej {{LinkWzór|4.36a}}, przedstawia się dla obu sygnatur: {{CentrujWzór|<MATH>{T^{\gamma\omega}}_{;\gamma}=0\;</MATH>|4.6b}} Równanie {{LinkWzór|4.6b}} dla sygnatury ujemnej jest takie samo jak on dla sygnatury dodatniej, co do postaci, tylko jest troszkę inna definicja tensora gęstości energii-pędu, tzn.: {{LinkWzór|4.20}} - sygnatura dodatnia, i {{LinkWzór|4.20S}} - sygnatura ujemna. Równanie {{LinkWzór|4.6b}} wyprowadziliśmy z równości {{LinkWzór|4.35ba}} korzystając z definicji gęstości całkowitego lagrangianu {{LinkWzór|4.15}} będącej sumą gęstości lagrangianu masowego i przestrzennego {{LinkWzór|4.8}}, czyli otrzymaliśmy lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu, gdzie definicja tego tensora jest napisana w punkcie {{LinkWzór|1.48|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} dla sygnatury dodatniej i {{LinkWzór|1.48|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} dla sygnatury ujemnej. Lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu z przecinkiem otrzymaliśmy ze szczególnej teorii względności napisaną w punkcie {{LinkWzór|3.19aa11|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}} i {{LinkWzór|4.35ba11|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}}, pisząc je dla obu sygnatur, z gęstością tensora siły zewnętrznej dla tego pierwszego równej zero, by te oba równania były równoważne, co dla układów zakrzywionych po transformacji do nich przecinek zastępujemy średnikiem i otrzymujemy równość {{LinkWzór|4.6b}}. == Lokalna zasada zachowania energii-pędu == Lokalną zasadę zachowania możemy napisać wychodząc ze szczególnej teorii względności z uwzględnieniem gęstości lagrangianu masowego z równania {{LinkWzór|g43|Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}} patrząc na równość {{LinkWzór|JH3|Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi}}, tylko zamiast tensora gęstości energii-pędu kinematycznego jest tensor gęstości energii-pędu masowy: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma\sqrt{-g}\left(\rho v^{\mu}\right)_{;0}=-{{\gamma}\over{c}}\sqrt{-g}{T^{\mu j}}_{;j}+{{dK^{\mu}_z}\over{dV}}\;</MATH>|JHG12}} Gdzie w {{LinkWzór|JHG12}} jest w nim tensor gęstości energii-pędu zdefiniowany wzorem {{LinkWzór|4.36}} dla sygnatury dodatniej lub {{LinkWzór|4.3611}} dla sygnatury ujemnej. == Dowód równania Hilberta-Einsteina grawitacji nie z teorii lagrangianowej == Równania Hilberta-Einsteina grawitacji {{LinkWzór|4.21}} - przyciąganie grawitacyjne, {{LinkWzór|4.2122}} - odpychanie grawitacyjne, wykorzystując wzór na lokalną zachowawczość gęstości tensora energii-pędu {{LinkWzór|4.6b}} wymnażając obie strony przez stałą {{Formuła|<MATH>\pm\kappa\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{-g}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline e_{\omega}\;</MATH>}}, która w układach lokalnie płaskich jest wersorem lokalnie stałym, oraz całkując obustronnie względem całki objętościowej w czasoprzestrzeni zakrzywionej wykorzystując, że zachodzi własność dla rozszerzonego tensora Einsteina {{Formuła|<MATH>O^{\mu\nu}\;</MATH>}}, tzn.: {{LinkWzór|1.41|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, i doprowadzając obustronnie całkę z układów zakrzywionych do lokalnie płaskich, co później wykorzystując [[w:Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa|twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa]] otrzymując w tym układzie całkę powierzchniową w układzie lokalnie płaskim, dalej z twierdzenia transformacji doprowadzamy całkę powierzchniową do układów zakrzywionych, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{\overline T^{\omega\gamma}}_{;\gamma}=0\Rightarrow \pm\kappa {\overline T^{\omega\gamma}}_{;\gamma}=0\Rightarrow \pm\kappa\int_{\tau}\sqrt{-g}\overline e_{\omega}{\overline T^{\omega\gamma}}_{;\gamma}d\tau=\int_{\tau}\sqrt{-g}\overline e_{\omega}\cdot 0\cdot d\tau\Rightarrow \pm\kappa\int_{\tau}\sqrt{-g}\overline e_{\omega}{\overline T^{\omega\gamma}}_{;\gamma}d\tau=\int_{\tau}\sqrt{-g}\overline e_{\omega}{\overline O^{\omega\gamma}}_{;\gamma}d\tau\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \pm\kappa\int_{\tau^'}e_{\omega^'}{T^{\omega^'\gamma^'}}_{,\gamma^'}d\tau^'=\int_{\tau^'}e_{\omega^'}{O^{\omega^'\gamma^'}}_{,\gamma^'}d\tau^' \Rightarrow\pm\kappa\oint_{\Sigma}e_{\omega^'}T^{\omega^'\gamma^'}d\Sigma_{\gamma^'}=\oint_{\Sigma}e_{\omega^'}O^{\omega^'\gamma^'}d\Sigma_{\gamma^'}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\pm\kappa\oint_{\overline \Sigma}\overline e_{\omega}\overline T^{\omega\gamma}d\overline \Sigma_{\gamma}=\oint_{\overline \Sigma}\overline e_{\omega}\overline O^{\omega\gamma}d\overline \Sigma_{\gamma}\Rightarrow\oint_{\overline \Sigma}\overline e_{\omega}\left(\pm\kappa \overline T^{\omega\gamma}-\overline O^{\omega\gamma}\right)d\overline \Sigma_{\gamma}=0\;</MATH>|HH}} Równanie ostatnie w {{LinkWzór|HH}} jest spełnione dla dowolnych powierzchni zamkniętych {{Formuła|<MATH>\overline \Sigma\;</MATH>}} i wersorów {{Formuła|<MATH>\overline e_{\omega}\;</MATH>}} w bazie, wtedy z tego równania dochodzimy do równości tensorowej, którym jest równaniem, które chcemy otrzymać, pisząc bez nadkreśleń: {{CentrujWzór|<MATH>\pm\kappa T^{\omega\gamma}-O^{\omega\gamma}=0\Rightarrow O^{\omega\gamma}=\pm\kappa T^{\omega\gamma}\Rightarrow G^{\omega\gamma}+\Lambda g^{\omega\gamma}=\pm\kappa T^{\omega\gamma}</MATH>|HH1}} Końcowe równanie w {{LinkWzór|HH1}} wyprowadzone jest z zachowawczości tensora gęstości energii-pędu {{LinkWzór|4.6b}}, jeżeli od zewnątrz nie działają na układ żadne siły zewnętrzne. == Szczególne postacie gęstości Lagrangianu == Wiedząc jaka jest gęstość lagrangianu przedstawionego w punkcie {{LinkWzór|1.122a1|Teoria funkcji lagrangianu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}} w zerowym polu elektromagnetycznym, wtedy przepisując to dla tego przypadku i dokonując przekształceń, wtedy otrzymamy wzór taki sam jak w punkcie {{LinkWzór|4.360b|Lagrangian masowy kinematyczny w mechanice Einsteina i Newtona|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}} dla sygnatury dodatniej i ujemnej (pojawia się tutaj dodatkowy minus) tensora metrycznego Minkowskiego przedstawiamy kolejno dla pierwszej sygnatury: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}=-\rho_0c^2=-\rho_0c^2u^{\dot \mu}u_{\dot\mu}=-\left[{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\dot\mu}\eta_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)\eta^{\alpha\dot\mu}\eta_{\dot\mu\alpha}\right]\;</MATH>|4.360b}} Dla drugiej (zamiast {{Formuła|<MATH>\eta^{\mu\nu}\;</MATH>}} wstawiamy tensor {{Formuła|<MATH>-\eta^{\mu\nu}\;</MATH>}} do gęstości lagrangianu kinematycznego {{LinkWzór|4.360b}}): {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}=-\rho_0c^2=\rho_0c^2u^{\dot \mu}u_{\dot\mu}=-\left[-{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\dot\mu}\eta_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)\eta^{\alpha\dot\mu}\eta_{\dot\mu\alpha}\right]\;</MATH>|4.360b111}} We wzorze {{LinkWzór|4.360b}} sumowanie jest tylko po {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu\;</MATH>}}, a względem {{Formuła|<MATH>\alpha\;</MATH>}} już nie. W przypadku wzoru na gęstości lagrangianu: {{LinkWzór|4.360b}} i {{LinkWzór|4.360b111}} zakładamy, że jest on również słuszny dla układów zakrzywionych, wtedy możemy napisać lagrangian masowy na podstawie {{LinkWzór|3.9|Właściwości skalaru tensora metrycznego}} w układach ogólnie zakrzywionych, biorąc gęstość lagrangianu z punktu {{LinkWzór|4.360b}}, nazywając ją według procedury {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}\rightarrow \mathfrak{L}_m\;</MATH>}}, a także pisząc {{Formuła|<MATH>L\rightarrow L_m\;</MATH>}}, wtedy też piszemy inne zastąpienie {{Formuła|<MATH>\eta^{\mu\nu}\rightarrow g^{\mu\nu}\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>L_m=\int\mathfrak{L}_mdV^'=\int\sqrt{-g}\mathfrak{L}_mdV\;</MATH>|4.360b1}} Widzimy, że we wzorze {{LinkWzór|4.360b1}} gęstość lagrangianu masowego przechodzi w formułę {{LinkWzór|4.360b}} i {{LinkWzór|4.360b111}}, (w gęstość lagrangianu), dla {{Formuła|<MATH>g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}\;</MATH>}}. == Najważniejsze wnioski w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałymi jakimiś wielkościami == Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie spoczynkowych: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}=0\wedge u^{i}\rightarrow 0\wedge u^0=1\;</MATH>|qw20}} Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie stałym tensorze prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{\nu}}}=0\;</MATH>|qw201}} Jest spełniona równość dla odpowiednich klasach układów z lokalnie stałą gęstością spoczynkową: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\rho_0}\over{\partial x^{\mu}}}=0\;</MATH>|qw2}} Jest również spełniona równość dla ciśnienia w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial p}\over{\partial x^{\mu}}}=0\;</MATH>|qw3}} Wniosek {{LinkWzór|1.42|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, {{LinkWzór|qw20}}, {{LinkWzór|qw2}} i {{LinkWzór|qw3}} są spełnione ogólnie dla układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych z lokalną stałością tensorów prędkości, gęstości masy spoczynkowej i ciśnienia, co taką klasę układów można użyć też do częściowego udowodnienia ogólnej teorii względności, np. do dowodu lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu, jak w szczególnej teorii względności w {{LinkWzór|3.20|Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu|Wyprowadzenie i próba podważenia, praw: szczególnej i ogólnej teorii względności|WPTW}}, lub mając ten sam układ biorąc zamiast {{LinkWzór|qw20}} warunek lokalności {{LinkWzór|qw201}}, wtedy mamy taką samą klasę układów współrzędnych z różnicą, że te układy nie są lokalnie spoczynkowymi, tylko lokalnie ze stałym tensorem prędkości, które można wykorzystać też do takiej samej teorii, ale dla układów lokalnie płaskich. == Tensor gęstości energii-pędu dla układów ogólnie zakrzywionych == Wykorzystajmy gęstość langrangianu masowego {{LinkWzór|4.360b}} (ostatnia równość) dla układów lokalnie płaskich zamieniając w nim według formuły: {{Formuła|<MATH>\eta^{\mu\nu}\rightarrow g^{\mu\nu}\;</MATH>}}, co wynika z definicji transformacji tensorów, wtedy otrzymamy gęstość lagrangianu masowego dla układów zakrzywionych dla sygnatury dodatniej tensora metrycznego Minkowskiego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}_m=-\rho_0c^2=-\rho_0c^2u^{\dot \mu}u_{\dot\mu}=-\rho_0c^2u^{\dot \mu}g_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}=-\left[{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\dot\mu}g_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\dot\mu}g_{\dot\mu\alpha}\right]\;</MATH>|4.360b11}} Dla drugiej (tutaj widzimy, że się pojawia dodatkowy minus przy gęstości lagrangianu masowego i minus przy tensorze metrycznym - drugie przedstawienie jego, przedstawienie względem {{LinkWzór|4.360b11}}): {{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}_m=-\rho_0c^2=\rho_0c^2u^{\dot \mu}u_{\dot\mu}=-\left[-{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\dot\mu}g_{\dot\mu\dot\nu}u^{\dot\nu}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\dot\mu}g_{\dot\mu\alpha}\right]\;</MATH>|4.360b112}} W takiem razie tensor gęstości energii-pędu z jego definicji {{LinkWzór|4.20}} za pomocą lagrangianu masowego {{LinkWzór|4.360b11}} jest ona napisana dokładnie dla pierwszej sygnatury: {{CentrujWzór|<MATH>T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}+(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)g^{\alpha\beta}-{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\beta}\Rightarrow T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}-pg^{\alpha\beta}</MATH>|4.36b}} Dla drugiej (tutaj widzimy, że pojawia się minus przy tensorze metrycznym układu zakrzywionego) względem {{LinkWzór|4.36b}}: {{CentrujWzór|<MATH>T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}-(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\beta}+{{1}\over{2}}\left(\rho_0 c^2+p\right)g^{\alpha\beta}+{{1}\over{2}}(\rho_0c^2-p)g^{\alpha\beta}\Rightarrow T^{\alpha\beta}=\left(\rho_0 c^2+p\right)u^{\alpha}u^{\beta}+pg^{\alpha\beta}</MATH>|4.36b2}} Co otrzymaliśmy taki sam tensor gęstości energii-pędu w {{LinkWzór|4.36b}} - sygnatura dodatnia, i {{LinkWzór|4.36b2}} - sygnatura ujemna, co kolejno w punktach {{LinkWzór|1.44|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} i {{LinkWzór|1.45|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}. Są to tensory gęstości energii-pędu, które możemy wykorzystać w lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu {{LinkWzór|4.6b}} i w równaniu Hilberta-Einsteina w {{LinkWzór|4.21}} dla sygnatury dodatniej i {{LinkWzór|4.2122}} dla sygnatury ujemnej. A jeżeli zastosujemy silną zasadę równoważności, to równości: {{LinkWzór|4.36b}} i {{LinkWzór|4.36b2}}, powinny być równoważne z tym tensorem, w szczególnej teorii względności, jako: {{LinkWzór|1.44|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} i {{LinkWzór|1.45|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, które otrzymujemy z analogicznych sposobów jak kolejno z {{LinkWzór|4.360b11}} i {{LinkWzór|4.360b112}} do {{LinkWzór|4.36b}} i {{LinkWzór|4.36b2}}, a dla szczególnej teorii względności mamy kolejno z {{LinkWzór|4.360b}} i {{LinkWzór|4.360b111}} do {{LinkWzór|1.44|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}} i {{LinkWzór|1.45|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, tylko zamiast tensora metrycznego Minkowskiego jest tensor metryczny układu ogólnie zakrzywionego, dla obu kolejno sygnatur. == Linie geodezyjne, a zasady równoważności == Wyprowadzimy tutaj równania geodezyjne dla układów punktowych i rozciągłych, a także z równań dla układów rozciągłych udowodnimy równanie dla układów punktowych, że sa one co do siebie równoważne, a także udowodnimy słabą i silną zasadę równoważności. === Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w pierwszym sposobie wyprowadzania, a silna zasada równoważności (dowód) === Wyprowadzimy tutaj z drugiej zasady Lagrange'a prawa ruchu ogólnej teorii względności dla układów punktowych i rozciągłych. ==== Układy punktowe ==== Weźmy lagrangian układu zakrzywionego, pisząc go dla obu sugnatur korzystając z definicji jedynki z {{LinkWzór|1.9|Wprowadzenie do ogólnej teorii względności}}, co na tej podstawie możemy lagrangian kinematyczny tensorowy przekształcić do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>L_k=-{{1}\over{2}}m_0c^2=\mp{{1}\over{2}}m_0c^2\dot q^{\mu}g_{\mu\nu}\dot q^{\nu}\;</MATH>|JJ1}} Całkę działania dla lagrangianu kinematycznego dla układu zakrzywionego piszemy jako całkę po interwale czasoprzestrzennym z lagrangianu kinematycznego: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_s L_kds\;</MATH>|JJ2}} Napiszmy równanie na drugą zasad Lagrange'a mając lagrangian i ogólniony tensor siły, wiedząc, że całka działania {{LinkWzór|JJ2}} wtedy przyjmuje wartość najmniejszą: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{ds}}{{\partial L_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}-{{\partial L_k}\over{\partial q^{\alpha}}}=Q_k</MATH>|JJ3}} Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w wyrażeniu Lagrange'a {{LinkWzór|JJ3}}, ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu, czyli policzmy wyrażenie z dokładnością z dokładnością do czynników stałych jako pochodną cząstkową lagrangianu kinematycznego względem uogólnionego położenia: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{m_0c^2}}{{\partial L_k}\over{\partial q^{\alpha}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{1}\over{2}}g_{\mu\nu}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}\right)={{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}</MATH>|JJ4}} Wyraz występujący pod pochodną zupełną po interwale czasoprzetrzennym pochodnej różniczkowej względem prędkości uogólnionej, który występuje w równaniu Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|JJ3}}, możemy przekształcić z dokładnością do czynników stałych do: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{m_0c^2}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}={{1}\over{2}}\left(g_{\mu\nu}{\delta^{\nu}}_{\alpha}\dot{q}^{\mu}+\rho_0g_{\mu\nu}{\delta^{\mu}}_{\alpha}\dot{q}^{\nu}\right)={{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+g_{\alpha\nu}\dot{q}^{\nu} \right)={{1}\over{2}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+g_{\mu\alpha}\dot{q}^{\mu} \right)={{1}\over{2}}\left(2g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}\right)=g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}</MATH>|JJ5}} Wyznaczmy pochodną zupełną względem interwału czasoprzestrzennego wuyrażenia obliczonego {{LinkWzór|JJ5}}, dzięki któremu napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{m_0c^2}}{{d}\over{ds}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}={{d}\over{ds}}\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu} \right)=g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+{{dg_{\alpha\mu}}\over{ds}}\dot{q}^{\mu}=g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+ {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}</MATH>|JJ6}} Połączmy wyrażenia {{LinkWzór|JJ5}} i {{LinkWzór|JJ6}}, oraz podstawmy je odpowiednio do wzoru {{LinkWzór|JJ3}}, w takim przypadku napiszmy równość do przekształcenia matematycznego: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+ {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}=\mp{{1}\over{m_0c^2}}Q^{\mu}\;</MATH>|JJ7}} Ale mamy z definicji tensora metrycznego prostego i odwrotnego mamy dwie tożsamości, które przestawimy poniżej w postaci dwóch tożsamości, które wynikają z własności ogólnie tensora metrycznego. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}={\delta^{\beta}}_{\mu}</MATH>|4.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}=\delta^{\beta}_k\ddot{q}^{\mu}=\ddot{q}^{\beta}</MATH>|4.47}} }} Z przemienności wskaźników tensora metrycznego wynikającego z jego definicji, tzn. drugi wyraz w tożsamości {{LinkWzór|4.45}}, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>g^{\beta\alpha}{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial \dot{q}^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}={{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left({{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial q^{\mu}}}\right)\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}</MATH>|4.48}} Symbole Christoffela możemy przedstawić wedle jej definicji występującego w równaniu tensorowym {{LinkWzór|4.49}}: {{CentrujWzór|<MATH>{\Gamma^{\beta}}_{\mu\nu}={{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left( {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial q^{\mu}}}-{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\right)</MATH>|4.50}} Pomnóżmy równość {{LinkWzór|JJ7}} przez element {{Formuła|<MATH>g^{\beta\alpha}\;</MATH>}}, dalej wykorzystajmy obliczenia na liczbach ogólnych {{LinkWzór|4.47}} i {{LinkWzór|4.48}} i wykorzystując definicję symboli Christoffela {{LinkWzór|4.50}} z rachunku tensorowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{q}^{\beta}+{\Gamma^{\beta}}_{\mu\nu}\dot{q}^{\nu}\dot{q}^{\mu}=\mp{{1}\over{m_0c^2}}Q^{\beta}\Rightarrow{\dot q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=\mp{{1}\over{m_0c^2}}Q^{\beta}\;</MATH>|JJ8}} Ale definicja uogólnionego tensora siły jest w drugiej zasadzie Lagrange'a dla układów punktowych dla obu sygnatur taka: {{CentrujWzór|<MATH>Q^{\beta}=\mp c K^{\beta}\;</MATH>|JJ9}} Wykorzystajmy definicję {{LinkWzór|JJ9}} na definicję uogólnionego tensora siły do równości {{LinkWzór|JJ8}}: {{CentrujWzór|<MATH>m_0c{\dot q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=K^{\beta}\;</MATH>|JJ10}} Równość {{LinkWzór|JJ10}} dla układów lokalnie płaskich możemy przepisać z rachunku tensorowego z praw transformacji tensorowej: {{CentrujWzór|<MATH>m_0c{\dot q^{\beta}}_{,\alpha}\dot q^{\alpha}=K^{\beta}\Rightarrow m_0c{{du^{\beta}}\over{ds}}=K^{\beta}\;</MATH>|JJ11}} Końcowe równanie jest takie same jak równość na '''drugą zasadę dynamiki Einsteina''', czyli '''silna zasada równoważności''' dla układów punktowych jest spełniona. ==== Układy rozciągłe ==== Będziemy tutaj wyprowadzać linie geodezyjne dla wszystkich rodzajów układów rozciągłych i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych. Napiszmy lagrangian w układach rozciągłych płaskich i zakrzywionych, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>q^{\alpha}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\dot{q}^{\alpha}\;</MATH>}} są zmiennymi niezależnymi względem siebie, wtedy w układzie zakrzywionym napiszmy całkowity lagrangian, z którego wyznaczymy gęstość lagrangianu kinematycznego tensorowego dla obu sygnatur tensora metrycznego, wychodząc od układu lokalnie płaskiego (opisywana przez szczególną teorię względności) do układu współrzędnych opisującego przestrzeń zakrzywioną (opisywaną przez ogólną teorię względności): {{CentrujWzór|<MATH>L_k=-{{1}\over{2}}m_0c^2=\mp{{1}\over{2}}c^2\int_V\rho_0dV_0=-{{1}\over{2}}c^2\int_V\rho_0\gamma\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}dV_0=-{{1}\over{2}}c^2\int_V\rho_0\gamma dV\Rightarrow\mathfrak{L}=-{{1}\over{2}}\rho_0\gamma c^2=\mp{{1}\over{2}}\rho_0\gamma c^2\dot q^{\mu}g_{\mu\nu}\dot q^{\nu}</MATH>|4.37}} * We wzorze {{LinkWzór|4.37}} znak u góry to sygnatura dodatnia, a u dołu ujemna, tensora metrycznego. Zakładamy, że mamy pewną metrykę z definiowaną przez tensory metryczne g{{Sub|&alpha;&nu;}} i obliczamy jaka jest najmniejsza linia między punktami A i B w czasoprzestrzeni Einsteina (ogólnie w n-wymiarowej czasoprzestrzeni, nie musi być cztery tak jak w czasoprzestrzeni Einsteina), po której cząstka ma się poruszać, czyli policzmy wariację wyrażenia Lagrangianu {{LinkWzór|4.37}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=\int_s\int_{V_p}\mathfrak{L}_kdV_pds=\int_s\int_V\sqrt{-g}\mathfrak{L}_kdVds</MATH>|4.39}} * Gdzie: {{Formuła|<MATH>V_p\;</MATH>}} jest to obiętość ukłądów płaskich, a {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}} zakrzywionych. Napiszmy wzór na drugą zasadę Lagrange'a dla układów zakrzywionych mając gęstość lagrangianu kinematycznego {{LinkWzór|4.37}} i gęstość uogólnionego tensora siły w układzie zaskrzywionym: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{ds}}{{\partial \sqrt{-g}\mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}-{{\partial \sqrt{-g}\mathfrak{L}_k}\over{\partial q^{\alpha}}}={{dQ_{\alpha}}\over{dV}}</MATH>|4.40a}} Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w równaniu Lagrange'a {{LinkWzór|4.40a}}, ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{c^2}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial q^{\alpha}}}={{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\left({{1}\over{2}}\rho_0\gamma g_{\mu\nu}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}\right)={{1}\over{2}}\rho_0\gamma{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\rho_0\gamma</MATH>|4.41}} Wyraz występujący pod pochodną zupełną czasową, który występuje wyrażeniu Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|4.40a}}, możemy przekształcić do: {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{c^2}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}={{1}\over{2}}\rho_0\gamma\left(g_{\mu\nu}{\delta^{\nu}}_{\alpha}\dot{q}^{\mu}+\rho_0g_{\mu\nu}{\delta^{\mu}}_{\alpha}\dot{q}^{\nu}\right)+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma= {{1}\over{2}}\rho_0\gamma\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+g_{\alpha\nu}\dot{q}^{\nu} \right)+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma={{1}\over{2}}\rho_0\gamma\left(g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+g_{\mu\alpha}\dot{q}^{\mu} \right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma={{1}\over{2}}\rho_0\gamma\left(2g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}\right)+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0=\rho_0\gamma g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}+{{1}\over{2}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma</MATH>|4.42}} Następnie wyznaczmy pochodną wyrażenia {{LinkWzór|4.42}} względem pewnego parametru {{Formuła|<MATH>s\;</MATH>}} (interwał czasoprzestrzenny), czyli pierwszy wyraz w {{LinkWzór|4.40a}}, który jest liczony względem s, który jest dla nas długością linii światła, czyli musimy policzyć pochodną zupełną policzonego wyrażenia {{LinkWzór|4.42}}. {{CentrujWzór|<MATH>\mp{{1}\over{c^2}}{{d}\over{ds}}{{\partial \mathfrak{L}_k}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}={{d}\over{ds}}\left(\rho_0\gamma g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu} \right)+{{1}\over{2}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma=\rho_0\gamma g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma+\rho_0\gamma{{dg_{\alpha\mu}}\over{ds}}\dot{q}^{\mu}+{{1}\over{2}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\rho_0\gamma g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma+ \rho_0\gamma{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}+{{1}\over{2}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma</MATH>|4.43}} A więc nasze równanie Lagrangianu {{LinkWzór|4.40a}}, której części są przedstawione i policzone w punktach {{LinkWzór|4.41}} i {{LinkWzór|4.43}}, czyli równanie Eulera-Lagrange'a dla naszego przypadku przy zdefiniowanym gęstości lagrangianu {{LinkWzór|4.37}}, przedstawia się po podzieleniu przez {{Formuła|<MATH>\sqrt{-g}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho_0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\gamma\;</MATH>}} obustronnie: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\sqrt{-g}}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}+{{1}\over{2\sqrt{-g}\rho_0\gamma}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma+g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma+{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\rho_0\gamma-{{1}\over{2\sqrt{-g}}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\sqrt{-g}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}</MATH>|4.44a}} Podzielmy na dwie grupy wyrazów w {{LinkWzór|4.44a}}, jednej z lewej strony równania, a drugie z prawej, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}\pm{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}=-g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\sqrt{-g}}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}-{{1}\over{2\sqrt{-g}\rho_0\gamma}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma-{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma+{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\rho_0\gamma+{{1}\over{2\sqrt{-g}}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\sqrt{-g}\;</MATH>|4.44ba}} Obierzmy cechowanie zerując prawą stronę równości {{LinkWzór|4.44ba}}, bo ona w układzie lokalnie płaskim o lokalnie stałych parametrach jest równa zero, by na podstawie jej otrzymać poprawne równanie ruchu (geodezyjne): {{CentrujWzór|<MATH>-g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\sqrt{-g}}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}-{{1}\over{2\sqrt{-g}\rho_0\gamma}}{{d\sqrt{-g}}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma-g_{\alpha\mu}\dot{q}^{\mu}{{1}\over{\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}\rho_0\gamma-{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{d}\over{ds}}{{\partial}\over{\partial \dot{q}^{\alpha}}}\rho_0\gamma+{{1}\over{2\rho_0\gamma}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\rho_0\gamma+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{1}\over{2\sqrt{-g}}}{{\partial}\over{\partial q^{\alpha}}}\sqrt{-g}=0\;</MATH>|4.44ab}} Przy cechowaniu {{LinkWzór|4.44ab}} wzór na linie geodezyjne {{LinkWzór|4.44ba}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0c^2}}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}\;</MATH>|4.44b}} Pomnóżmy teraz równanie {{LinkWzór|4.44b}} przez jakiś element tensora metrycznego w czasoprzestrzeni Einsteina, czyli przez element {{Formuła|<MATH>g^{\beta\alpha}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>g^{\beta\alpha}g_{\alpha\mu}\ddot{q}^{\mu}+g^{\beta\alpha}{{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}-g^{\beta\alpha}{{1}\over{2}}{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\dot{q}^{\mu}\dot{q}^{\nu}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}g^{\beta\alpha}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}</MATH>|4.45}} Wykorzystajmy obliczenia w punktach {{LinkWzór|4.46}}, {{LinkWzór|4.47}} i {{LinkWzór|4.48}}, napiszmy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{q}^{\beta}+{{1}\over{2}}g^{\beta\alpha}\left( {{\partial g_{\alpha\mu}}\over{\partial q^{\nu}}}+{{\partial g_{\alpha\nu}}\over{\partial q^{\mu}}}-{{\partial g_{\mu\nu}}\over{\partial q^{\alpha}}}\right)\dot{q}^{\nu}\dot{q}^{\mu}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0c^2}}g^{\beta\alpha}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}</MATH>|4.49}} Wykorzystajmy dfinicję symboli Christoffela, a zatem nasze równanie {{LinkWzór|4.49}}, na podstawie definicji symboli Christoffela {{LinkWzór|4.50}}, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{q}^{\beta}+{\Gamma^{\beta}}_{\mu\nu}\dot{q}^{\nu}\dot{q}^{\mu}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}g^{\beta\alpha}{{dQ_{\alpha}}\over{dV}}\Rightarrow {\dot q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}{{dQ^{\beta}}\over{dV}}</MATH>|4.51}} Udowodniliśmy w ten sposób że równanie {{LinkWzór|1.74|Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi}} wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak z twierdzenia Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|4.51}} policzonego za pomocą rachunku wariacyjnego, gdy siły zewnętrzne niegrawitacyjne się zerują. Przedstawmy równanie końcowe {{LinkWzór|4.51}} w układzie zakrzywionym, mając definicję ogólnionego tensora siły {{LinkWzór|JJ9}}, ale tym razem dla różniczek, a nie dla wielkości skończonych, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=\mp{{1}\over{\sqrt{-g}\rho_0\gamma c^2}}{{dQ^{\beta}}\over{dV}}\Rightarrow\sqrt{-g}\rho_0c^2{q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}=c{{dK^{\beta}}\over{dV}}\Rightarrow \sqrt{-g}\rho_0\gamma c{q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}={{dK^{\beta}}\over{dV}}\;</MATH>|4.52}} To równanie, tzn. {{LinkWzór|4.52}} przypiszmy w postaci, przekształcając je do układów lokalnie płaskich zamieniając je na układy lokalnie płaskie, w których panuje teoria dla układów płaskich: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{-g}\rho_0\gamma c{q^{\beta}}_{;\alpha}\dot q^{\alpha}={{dK^{\beta}}\over{dV}}\Rightarrow \rho_0c{{du^{\beta}}\over{ds}}={{dK^{\beta}}\over{dV_0}}\;</MATH>|4.54}} Na podstawie otrzymanej równości {{LinkWzór|4.54}} można udowodnić '''silną zasadę równoważności''' dla układów rozciągłych, tzn. prawa w układzie lokalnie płaskim, wtedy tam jest spełniona szczególna teoria względności, mając je dla układów zakrzywionych, mają taką samą postać, co dla układów lokalnie płaskich, tylko zamiast tensora metrycznego Minkowskiego jest tensor metryczny czasoprzestrzeni zakrzywionej, a zamiast przecinka jest średnik. === Słaba zasada równoważności (dowód) === W układach inercjalnych rozciągłych panują prawa szczególnej teorii względności {{LinkWzór|4.54}} (z którego możemy policzyć tensor siły działający na rozciągłe ciało), a jeśli mamy obserwatora w poruszającej się w windzie, w inercjalnym układzie odniesienia (układ lokalnie płaski), poruszający się z przyśpieszeniem {{Formuła|<MATH>\vec a=\vec g\;</MATH>}}, to on porusza się wraz z windą, a on sam odczuwa siłę bezwładności do dołu windy w układzie nieinercjalnym poruszający się wraz z windą względem tego układu ostatniego, rozważając inaczej, weźmy inercjalny układ odniesienia poruszający się wraz z windą, wtedy pojawiają się tensory metryczne, które są jakimiś funkcjami, nierówne tensorowi metrycznemu Minkowskiego, i pojawia się wtedy tensor siły grawitacji pochodzący od tego układu opisany w równaniu dla układu dyskretnego {{LinkWzór|1.77ca11|Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi}} (z którego możemy policzyć tensor siły działający na ciało) lub rozciągłego {{LinkWzór|LLL2|Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi}} (z którego możemy policzyć gęstość tensora siły grawitacji), stąd obserwator nie może rozróżnić tego układu inercjalnego od nieinercjalnego, bo opisywać można też ten sam ruch tak samo w układzie inercjalnym i nieinercjalnym, stąd prawa sformułowane tensorowo w układzie inercjalnym w szczególnej teorii względności są słuszne również w układzie nieinercjalnym po zamienieniu w układzie inercjalnym tensora metrycznego Minkowskiego tensorem metrycznym tego układu nieinercjalnego, a przecinki średnikami, co wtedy otrzymujemy prawa ruchu dla układów nieinercjalnych, co można też to udowodnić z teorii transformacji przechodząc z układu inercjalnego do nieinercjalnego. A więc to dowodzi '''słabą zasadę równoważności''' Alberta Einsteina. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 7npko127gicon1h76juk4th0u4errvl 0 17444 559090 558561 2026-10-11T03:32:18Z Persino 2851 559090 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Fizyka fenomenologiczna''' - jest to dział fizyki zajmującej się opisem pewnych układów, nie wnikając w przyczyny zjawisk, jakie zachodzą ("dlaczego tak się dzieje"), tylko opisując układ szeregiem równań. Zajmuje się opisem makroskopowym, w których używa się łatwo mierzalnych wielkości termodynamicznych, takich jak p- ciśnienie, T- temperatura, V -objętość, S- entropia. == Termodynamika == W fizyce, obserwatorzy mierzą świat używając różnych skal, mierząc czas i przestrzeń. Codziennie spotykamy świat makroskopowy mierzony w sekundach i metrach. Zmniejszając świat o dziesięć wielkości, mamy świat atomów i cząsteczek. Gdy świat zmniejszymy o kolejne dziesięć, to wtedy mamy świat kwarków. Gdy skalę będziemy zwiększać w odwrotnym kierunku, to wtedy będziemy opisywać kosmologię. Prawa fizyczne w skali najmniejszej są najbardziej fundamentalne. W skali jądra atomowego wiedza na temat kwarków nić nam nie mówi o budowie i na temat oddziaływania w jądrze atomowym. W zasadzie każdą skalę możemy opisywać fenomenologicznie, tzn. empirycznie. :Według doświadczenia każde ciało makroskopowe relaksuje się do stanu stacjonarnego. Ten stan nazywamy stanem równowagi termodynamicznej. Po zmianie warunków zewnętrznych układ się zmienia i relaksuje się do nowego stanu równowagi (stanu stacjonarnego). Każde z ciał przebywa większość swojego czasu w stanie równowagi, przerywanym przez niemal natychmiastowe przejścia z jednego stanu do drugiego. Analizę zjawisk makroskopowych możemy podzielić na: * ''Termodynamika'' - jest to nauka o fenomenologicznej teorii stanów równowagi i przejść pomiędzy nimi. * ''Mechanika statystyczna'' - jest to wyprowadzenie zasad makroskopowych, z ich mikroskopowej analizy. * ''Teoria kinetyczna'' - jest to mikroskopowy opis pomiędzy stanami równowagi. == Parametry termodynamiczne == W fizyce fenomenologicznej wprowadza się zespół parametrów, które opisując badany układ, dzieli się na: * '''wielkości ekstensywne''', które są wprost proporcjonalne do ilości materii w układzie * '''wielkości intensywne''' są niezależne od ilości materii w układzie Typowy rozmiar ciał makroskopowych to: {{Formuła|<MATH>L\simeq 1\mbox{ }m\;</MATH>}}, a zasięg sił atomowych jest przedstawiany przy pomocy: {{Formuła|<MATH>r_0=10^{-10}\mbox{ }m\;</MATH>}}, a stosunek pomiędzy nimi: {{Formuła|<MATH>{{L}\over{r_0}}=10^{10}\;</MATH>}}. Właściwości ekstensywne są odzwierciedleniem jakie atom czuje zasięg sił atomowych, tak daleko, jak daleko one są dostępne. A intensywność oznacza, że atom nie czuje powierzchni, czyli kształtu i charakteru powierzchni. Podział na wielkości intensywne i ekstensywne pojawia się, gdy: * układ jest mały * układ posiada niejednorodny potencjał zewnętrzny * występują długo-zasięgowe oddziaływania – odpychanie Coulomba między cząstkami posiadających ładunki jednoimienne lub nawet przyciąganie grawitacyjne * geometria układu jest taka, że efekty powierzchniowe wpływają na własności całego układu == Granica termodynamiczna == Fizyka fenomenologiczna opisuje ciała makroskopowe, które w sposób wyidealizowany spełniają warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>N\rightarrow\infty\;</MATH>|1.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{N}\over{V}}=\operatorname{const}</MATH>|1.2}} }} A w doświadczeniu liczba cząstek znajdujących się w układzie jest bardzo ogromna, prawie nieskończona wedle naszych wyobrażeń. Stan układu jest określony przez wiele parametrów termodynamicznych, jak na przykład przez wielkości ekstensywne: N - ilość cząstek, V - objętość układu, a także przez wielkości intensywne: p - ciśnienie układu wywierane na ścianki układu i T - temperatura ciała w stanie równowagi termodynamicznej, a także objętość molowa układu, która nie zależy od ilości cząstek w układzie. W układzie, gdy nie ma zewnętrznych potencjałów, rozkład ciśnienia jest jednorodny. Ciśnienie mierzy się w jednostkach ciśnienia atmosferycznego: {{CentrujWzór|<MATH>1\mbox{ }\operatorname{atm}=1,013\cdot 10^{5}\mbox{ }\operatorname{Pa}\;</MaTh>|1.3}} == Procesy termodynamiczne == Parametry stanu układu są opisane przez równanie poniżej, w której dwa dowolne parametry stanu są wielkościami niezależnymi, a pozostały zależy od poprzednich. Te trzy parametry można powiązać równaniem stanu w sposób uwikłany: {{CentrujWzór|<MATH>f(p,V,T)=0\;</MATH>|1.4}} Zmiana jednego parametru powoduje zmianę pozostałych. W fizyce fenomenologicznej zakłada się, że procesy fenomenologiczne przebiegając bardzo powoli, tzn. są to procesy quasistatyczne. Takie procesy są odwracalne, tzn. gdy by przebiegał on w odwrotnym kierunku, jeśli zewnętrzne warunki zostaną odwrócone, to układ powróci do stanu początkowego. W termodynamice posługujemy się innymi jednostkami energii niż &nbsp;{{Formuła|<MATH>\operatorname{J}\;</MATH>}}&nbsp;, a np. kalorie z definiowane: jest to ciepło jaką należy dostarczyć jednemu gramowi wody, by jego temperaturę podnieść z {{C|14,5}} do {{C|15,5}}, na podstawie tych rozważań dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>1\mbox{ }\operatorname{cal}\equiv 4,184\mbox{ }\operatorname{J}\;</MATH>|1.5}} W krajach anglosaskich używa się innej jednostki ciepła: {{CentrujWzór|<MATH>1\mbox{ }\operatorname{Btu}\equiv 1055\mbox{ }\operatorname{J}\;</MATH>|1.6}} Procesów nieodwracalnych nie da się przedstawić za pomocą żadnej linii w przestrzeni fazowej. Procesem nieodwracalnym jest na przykład nagłe rozprężanie gazu po usunięcia ścianki w pojemniku. W takim rozprężeniu ciepło nie jest wymieniane bo &Delta; Q=0, tylko energia na w sposób pracy, tzn. energia od układu jest dostarczana do otoczenia w postaci pracy objętościowej: {{CentrujWzór|<MATH>\delta W=-pdV\;</MATH>|1.7}} To praca wykonana przez układ jest całką z wyrażenia różniczkowego {{LinkWzór|1.7}} na ściśle określonej drodze w przestrzeni fazowej od punktu A do B. {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W=\int^B_A \delta W=-\int^B_A pdV\;</MATH>|1.8}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ggt40ert3aa875vnvvf47fiy8jux0pm 0 17455 559091 558570 2026-10-11T03:34:37Z Persino 2851 559091 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Gazem van der Waalsa''' nazywamy gaz, którego poszczególne cząsteczki oddziaływują ze sobą, zwane oddziaływaniem van der Waalsa mających pewną objętość w przeciwnie do gazu doskonałego, którego cząsteczki mają zerową objętość i nie oddziaływują ze sobą. Stąd wynika, że gaz van der Waalsa ma energię kinetyczną i potencjalną, a gaz doskonały ma tylko energię kinetyczną. == Równanie gazu van der Waalsa == Równanie gazu van der Waalsa, które jest zależne od oddziaływania między cząsteczkami tego gazu i jego objętości własnej zajmowanej przez jego jeden mol gazu, przedstawiamy w postaci równania stanu: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p+{{an^2}\over{V^2}}\right)(V-nb)=nRT\;</MATH>|8.1|Obramuj}} Gdy {{Formuła|<MATH>a=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>b=0\;</MATH>}}, to wtedy równanie {{LinkWzór|8.1}} przechodzi w równanie gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}} lub objętość zajmowaną przez gaz van der Waalsa jest bardzo duża, czyli gdy nasz gaz jest bardzo rozrzedzony, to nasze równanie w przybliżeniu staje się równaniem stanu gazu doskonałego. Wykorzystując definicję objętości molowej, czyli: {{Formuła|<MATH>V=nV_{mol}\;</MATH>}}, równanie {{LinkWzór|8.1}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p+{{an^2}\over{V_{mol}^2n^2}}\right)(V_{mol}n-nb)=nRT\Rightarrow\left(p+{{a}\over{V_{mol}^2}}\right)n(V_{mol}-b)=nRT</MATH>|8.2}} Według {{LinkWzór|8.2}} równania stanu gazu van der Waalsa dla jednego mola gazu, po podzieleniu wspomnianego wzoru przez liczność gazu "n", otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p+{{a}\over{V^2_{mol}}}\right)(V_{mol}-b)=RT</MATH>|8.3|Obramuj}} == Zachowanie się gazu van der Waalsa == {{Rysunek|Fazovy diagram vyparovani.svg|w1|Izotermy gazu rzeczywistego dla gazu van der Waalsa}} {{Rysunek|Fazovy diagram kriticky stav.svg|w2|Zbiór faz gazie doskonałym}} Izotermą gazu rzeczywistego nazywamy zależność objętości molowej gazu od ciśnienia. Izotermą gazu rzeczywistego w T=T{{Sub|kr}} nazywamy izotermą krytyczną. W tym punkcję punkty 1 i 2 zlewają się w jeden punkt K. Parametry stanu w punkcie to: V{{Sub|kr}},p{{Sub|kr}},T{{Sub|kr}} nazywamy parametrami krytycznymi. W punkcie K styczna do izotermy w tym punkcje jest równoległa do osi OV. Dowolną izotermą leżącą poniżej punktu krytycznego (T<T{{Sub|kr}}) jest krzywą ciągłego przejścia substancji ze stanu gazowego do stanu ciekłego. Składa się ona z trzech odcinków e,2,g,f,1 c. Na odcinku e-2 substancja znajduję się w stanie gazowym. Odcinek 2-1 odpowiada przechodzeniu substancji ze stany gazowego do ciekłego. Punkty 2 i 1 poziomej izotermy odpowiadają początkowi i końcowi kondensacji w procesie izotermicznego sprężania gazu rzeczywistego. Punkt 2 odpowiada stanowi wrzącej cieczy, a dalej przed punktem 2 odpowiada suchej pary nasyconej. Mieszaninę wrzącej i suchej pary nasyconej jaka istnieje w dowolnym punkcje M na odcinku 1-2 nazywamy parą wilgotną. W termodynamice fazą nazywamy zbiór wszystkich części układu mający jednakowy skład chemiczny i znajdujący się w jednakowym stanie. Wilgotna faza jest układem dwufazowym. Na rysunku widzimy, że '''zbiór faz gazu doskonałego''', na którym krzywe K-1 i 2-K powstają przez połączenie punktów 1 i 2 dla różnych temperatur. Krzywe 1-K i 2-K schodzą się w punkcie K. Krzywa wrzenia 1-K oddziela jednakowy obszar A cieczy od obszaru dwuskładnikowego. Krzywa 1-K jest krzywą początku przejścia fazowego C rodzaju ze stany ciekłego w stan gazowy B. Krzywa graniczna 2-K oddziela obszar dwufazowy C od jednofazowego obszaru B stanu gazowego. Na rysunku opisujący pierwszy '''wykres równania van der Waalsa''', na których krzywe odcinki 1-f odpowiada cieczy przegrzanej, który można otrzymać przez opóźnienie wrzenia w punkcie 1. Odcinek g-2 odpowiada parze przechłodzonej, który powstaje poprzez przechłodzenie cieczy obszaru C. Jeśli wprowadzimy centra kondensacji do pary przesyconej, to wtedy nastąpi szybka kondensacja pary nasyconej. Odcinek g-f nie odpowiada żadnemu stanowi w rzeczywistym gazie. Aby równanie bardziej opisywała gaz rzeczywisty, to trzeba krzywe 1-g i f-2 należy zastąpić odcinkiem, którym pole nad tym odcinkiem jest takie same jak pod odcinkiem, czyli trzeba zastosować regułę Maxwella. == Parametry krytyczne == Aby otrzymać parametry krytyczna: {{Formuła|<MATH>p_{kr},V_{kr},p_{kr}</MATH>}}, należy zastosować warunki na punkt przegięcia izotermy van der Waalsa na punkt K, czyli pierwsza i druga pochodna cząstkowa ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia względem objętości zajmowanej przez gaz dla punktu krytycznego jest równa zero: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{p_{kr}}=0</MATH>|8.4}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial^2 p}\over{\partial V^2}}\right)_{p_{kr}}=0</MATH>|8.5}} }} A zależność p{{Sub|kr}}=p(V{{Sub|kr}},T{{Sub|kr}}) przedstawia się dla jednego mola substancji gazu van der Waalsa, z którego możemy wyznaczyć ciśnienie krytyczne w zależności od pozostałych parametrów krytycznych: {{CentrujWzór|<MATH>\left(p_{kr}+{{an^2}\over{V_{kr}^2}}\right)\left(V_{kr}-nb\right)= nRT_{kr}\Rightarrow p_{kr}={{nRT_{kr}}\over{V_{kr}-nb}}-{{an^2}\over{V_{kr}^2}}</MATH>|8.6}} gdzie * a-stała charakteryzująca oddziaływanie między atomami gazu rzeczywistego. * b-objętość jednego mola atomów. Warunek pierwszy na warunki krytyczne w gazie van der Waalsa, tj. pierwsza pochodna ciśnienia względem objętości w warunkach krytycznych jest równa zero i przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>0=\left({{\partial p}\over{\partial V}}\right)_{p_{kr}}=-{{nRT_{kr}}\over{\left(V_{kr}-nb\right)^2}}+2{{an^2}\over{V_{kr}^3}}\Rightarrow 2{{an^2}\over{V_{kr}^3}}={{nRT_{kr}}\over{\left(V_{kr}-nb\right)^2}}</MATH>|8.7}} Bierzemy drugą pochodną wyrażenia ciśnienia krytycznego względem objętości {{LinkWzór|8.6}} w warunkach krytycznych, czyli pierwszą pochodną prawej strony wyrażenia {{LinkWzór|8.7}} i przyrównując ją do zera: {{CentrujWzór|<MATH>0=\left({{\partial^2 p}\over{\partial V^2}}\right)_{p_{kr}}=2{{nRT_{kr}}\over{\left(V_{kr}-nb\right)^3}}-6{{an^2}\over{V_{kr}^4}}\Rightarrow 6{{an^2}\over{V_{kr}^4}}=2{{nRT_{kr}}\over{\left(V_{kr}-nb\right)^3}}</MATH>|8.8}} Dzielimy przez siebie obie strony wynikowego końcowego równania {{LinkWzór|8.7}} przez równanie {{LinkWzór|8.8}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{3}}V_{kr}={{1}\over{2}}\left(V_{kr}-nb\right)\Rightarrow V_{kr}=3nb\;</MATH>|8.9|Obramuj}} Następnie policzmy temperaturę krytyczna T{{Sub|kr}} z równania {{LinkWzór|8.7}} podstawiając do niego wzór na objętość krytyczną {{LinkWzór|8.9}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{nRT_{kr}}\over{4n^2b^2}}=2{{an^2}\over{27n^3b^3}}\Rightarrow T_{kr}={8\over{27}}{{a}\over{bR}}</MATH>|8.10|Obramuj}} A teraz policzmy p{{Sub|kr}} przy pomocy równania {{LinkWzór|8.9}} (wzór na objętość krytyczną) i {{LinkWzór|8.10}} (wzór na temperaturę krytyczną), oczywiście jest: {{CentrujWzór|<MATH>p_{kr}={{nRT_{kr}}\over{V_{kr}-nb}}-{{an^2}\over{V^2_{kr}}}={{nR}\over{2nb}}{{8}\over{27}}{{a}\over{bR}}-{{a}\over{9b^2}}={{4a}\over{27b^2}}-{{3a}\over{27b^2}}</MATH>|8.11}} A więc ostatecznie z równania {{LinkWzór|8.11}} dostajemy wzór na ciśnienie krytyczne panujące w warunkach krytycznych: {{CentrujWzór|<MATH>p_{kr}={{1}\over{27}}{{a}\over{b^2}}</MATH>|8.12|Obramuj}} == Parametry krytyczne dla równania van der Waalsa == Warunki krytyczne to są warunki, w których nie ma różnicy między fazą ciekłą i gazową. Oto wzory na parametry krytyczne objętości, ciśnienia i temperatury opisujące ten właśnie stan wspomniany powyżej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Center|'''Objętość krytyczna'''}} {{CentrujWzór|<MATH>V_{kr}=3nb\;</MATH>|8.13}} | 2 = {{Center|'''Ciśnienie krytyczne'''}} {{CentrujWzór|<MATH>p_{kr}={{1}\over{27}}{{a}\over{b^2}}</MATH>|8.14}} | 3 = {{Center|'''Temperatura krytyczna'''}} {{CentrujWzór|<MATH>T_{kr}={8\over{27}}{{a}\over{bR}}</MATH>|8.15}} }} == Zredukowane równanie stanu gazu van der Waalsa == Zdefiniujmy parametry zredukowane dla zmiennych (p,V,T), względem ich parametrów krytycznych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\tau={{T}\over{T_{kr}}}</MATH>|8.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi={{V}\over{V_{kr}}}</MATH>|8.17}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\pi={{p}\over{p_{kr}}}</MATH>|8.18}} }} Napiszmy równanie van der Waalsa, korzystając z {{LinkWzór|8.16}} (temperatura zredukowana), {{LinkWzór|8.17}} (objętość zredukowana), {{LinkWzór|8.18}} (ciśnienie zredukowane), a także z definicji parametrów krytycznych: {{LinkWzór|8.13}} (objętość krytyczna), {{LinkWzór|8.14}} (ciśnienie krytyczne), {{LinkWzór|8.15}} (temperatura krytyczna), wtedy nasze równanie stanu gazu van der Waasla {{LinkWzór|8.1}} po dokonaniu nim dalszych podstawień i przekształceń, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\pi {{a}\over{27b^2}}+{{a}\over{9b^2\psi^2}}\right)\left(3b \psi-b\right)=R {{8a}\over{27bR}}\tau\Rightarrow\left(\pi {{a}\over{27b}}+{{a}\over{9b\psi^2}}\right)\left(3\psi-1\right)={{8a\tau}\over{27b}}</MATH>|8.19}} Teraz mnożymy obustronnie końcowe równanie {{LinkWzór|8.19}} przez wyrażenie będące pewną stałą charakteryzujący gaz van der Waalsa {{Formuła|<MATH>{{27b}\over{a}}</MATH>}}, wtedy dochodzimy do wniosku, że równanie zredukowane van der Waasla jest: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\pi+{{3}\over{\psi^2}}\right)\left(3\psi-1\right)=8\tau</MATH>|8.20|Obramuj}} Otrzymane równanie nie zależy od właściwości fizycznych badanego gazu rzeczywistego i jest to tzw. '''równanie van der Waalsa zredukowane'''. == Infitezymalna zmiana energii wewnętrznej a równania gazu van der Waalsa == W celu policzeniu tej zmiany w tym celu przedstawmy równanie {{LinkWzór|8.1}} po wyznaczeniu z niego ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH>p={{nRT}\over{V-nb}}-{{an^2}\over{V^2}}\;</MATH>|8.21}} Wtedy pochodna energii wewnętrznej gazu względem objętości zajmowanej przez gaz van der Waalsa pod stałą temperaturą po końcowych przekształceniach jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu objętości zajmowanej przez gaz i proporcjonalna do kwadratu liczności materii tegoż gazu przy stałej proporcjonalności równej "a", która zależy od oddziaływania między cząsteczkami, natomiast ona nie zależy od objętości własnej cząsteczek. {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial U}\over{\partial V}}\right)_T=T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V-p= T{{nR}\over{V-nb}}-p={{nRT}\over{V-b}}-{{nRT}\over{V-b}}+{{an^2}\over{V^2}}={{an^2}\over{V^2}}</MATH>|8.22}} Znając {{LinkWzór|8.22}}, wtedy równanie {{LinkWzór|5.52|Związki_fizyki_fenomenologicznej}} można zapisać przy tych warunkach: {{CentrujWzór|<MATH>dU=C_VdT+{{an^2}\over{V^2}}dV\;</MATH>|8.23}} Widzimy, gdy a=0, to równanie {{LinkWzór|8.23}} przechodzi w równanie {{LinkWzór|7.21|Gazy_doskonałe}}, czyli takie same jak dla gazu doskonałego, nawet gdy b&ge;0. Widzimy, że nie jest prawdą w ogólnym przypadku równanie {{LinkWzór|7.19|Gazy_doskonałe}}. == Wirialne równanie stanu gazu Van der Waalsa == Równane '''Van der Waalsa''' wyraża się wzorem {{LinkWzór|8.1}}. Ciśnienie w równaniu van der Wallsa możemy wyznaczyć według {{LinkWzór|8.6}}, wtedy iloczyn pV dla gazu van der Waalsa jest według {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV={{nRT}\over{1-{{nb}\over{V}}}}-{{n^2a}\over{V}}</MATH>|8.24}} Z analizy matematycznej wiadomo, że lewą stronę poniższego równania rozwijamy w szereg Taylora: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{1-x}}=1+x+x^2+x^3+...\;</MATH>|8.24a}} Napiszmy równanie wirialne opisujące gaz '''Van der Waalsa''' według ogólnego wzoru {{LinkWzór|6.7|Wstęp do fenomenologicznych równań stanu}} rozwijając w szereg Taylora pierwszy składnik równania stanu {{LinkWzór|8.24}}, tak jak wyrażenie {{LinkWzór|8.24a}}: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT(1+{{nb}\over{V}}+{{n^2b^2}\over{V^2}}+...)-{{n^2a}\over{V}}\;</MATH>|8.25}} Po grupowaniu wyrazów podobnych w równaniu {{LinkWzór|8.25}}, w którym w pierwszym składniku w iloczynie występuje nieskończony szereg potęgowy: {{CentrujWzór|<MATH>pV_{mol}=RT+{{bRT-a}\over{V_{mol}}}+{{b^2RT}\over{V_{mol}^2}}+{{b^3RT}\over{V_{mol}^3}}+...\;</MATH>|8.26|Obramuj}} * gdzie stałe występujące w równaniu wirialnym gazu {{LinkWzór|6.7|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}} są: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A(T)=(bRT-a))\;</MATH>|8.27}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B(T)=b^2RT\;</MATH>|8.28}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>C(T)=b^3RT\;</MATH>|8.29}} }} Oczywiście w równości {{LinkWzór|8.26}} występują dalsze wyrazy w szeregu w tym omawianym równania, tzn. oprócz stałych zależnych od temperatury A(T), B(T), C(T). == Związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem a stałą objętością == Wyznaczmy różnice ciepeł właściwych, tzn. ciepła pod stałą objętością i pod stałym ciśnieniem, które będzie można wykorzystać do równania {{LinkWzór|5.40|Związki_fizyki_fenomenologicznej}}: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v=T{{\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V}\over{\left({{\partial T}\over{\partial V}}\right)_p}}</MATH>|8.30}} Będziemy korzystać z równania van der Waalsa opisanego równaniem {{LinkWzór|8.1}}, zatem wtedy możemy policzyć wyrażenie związane z pochodną cząstkową temperatury względem objętości pod stałym ciśnieniem: {{CentrujWzór|<MATH>nR\left({{\partial T}\over{\partial V}}\right)_p=\left({{\partial nRT}\over{\partial V}}\right)_p=p+{{n^2a}\over{V^2}}+(V-nb)\left(-2{{an^2}\over{V^3}}\right)={{nRT}\over{V-nb}}-2(V-nb){{an^2}\over{V^3}}</MATH>|8.31}} Następnym krokiem jest z tego samego równania stanu gazu co wcześniej policzyć wyrażenie związane z pochodną cząstkową ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością: {{CentrujWzór|<MATH>T\left({{\partial p}\over{\partial T}}\right)_V={{nRT}\over{V-nb}}</MATH>|8.32}} Ostatnim krokiem jest policzenie {{LinkWzór|8.30}}, korzystając z pochodnej temperatury względem objętości pod stałym ciśnieniem {{LinkWzór|8.31}} podzielonej przez wyrażenie nR i też pochodnej ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością {{LinkWzór|8.32}}, wtedy dochodzimy, że różnica ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością jest równa pewnemu wyrażeniu, które dla dużych objętości tego gazu jest równa w przybliżeniu wielkości nR: {{CentrujWzór|<MATH>C_p-C_v={{ {{nRT}\over{V-nb}} }\over{ {{T}\over{V-nb}}-2(V-nb){{an}\over{RV^3}} }}={{nR}\over{ 1-{{2(V-nb)^2an}\over{RV^3T}} }}</MATH>|8.33}} Widzimy gdy nie ma oddziaływania między atomami (a=0), to wtedy równanie {{LinkWzór|8.33}} przechodzi również w równanie {{LinkWzór|7.13|Gazy_doskonałe}}, które jest słuszne dla gazu doskonałego. Widzimy, że w ogólnym przypadku, różnica ciepeł właściwych jest zależna od temperatury i objętości gazu van der Waalsa. Widzimy, że także dla temperatury bardzo wysokiej gazu van der Waalsa wyrażenie {{LinkWzór|8.33}} jest takie same jak dla gazu doskonałego. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0zn85rxlt8pwd5bfx98u4dmiae6c6rj 0 17470 559092 558574 2026-10-11T03:36:20Z Persino 2851 559092 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> '''Fizyka statystyczna''' - zajmuje się mikroskopowym opisem danego układu, zastępując p- ciśnienie, T -temperaturę, objętość, jej statystycznymi definicjami bez przyjmowania jej na oko. Pytania na które odpowiada fizyka statystyczna jest dlaczego takie jest równanie stanu, a nie inne, i dlaczego. '''Dyskretne zespoły statystyczne''' - wyprowadzone tutaj związki dla rozkładów statystycznych dotyczą tylko pędów i położeń przyjmujące wartości dyskretne. Nie należy ich stosować do fizyki klasycznej dla całego zestawu temperatur, ale z powodzeniem należy je stosować dla temperatur bliskich pokojowej z przybliżeniem ciągłości poziomów energii i położeń w układzie, tylko wtedy w tym przybliżeniu można stosować prawa mechaniki klasycznej (pęd i położenia są ciągłe), ale w żadnym przypadku dla temperatur bardzo niskich z prawami fizyki klasycznej. Ale tutaj szczególnie dla temperatur niskich należy stosować teorię z dyskretnymi stanami omawianych parametrów. Będziemy stosować wzór na różne średnie statystyczne na różne rozkłady kanoniczne po-cichu z przybliżeniem ciągłości pędu i położenia. Ale mając na myśli temperatury bliskie pokojowemu, wtedy sumę po dyskretnych pędach i położeniach możemy zastąpić całką po całej przestrzeni fazowej dostępnej dla danego rozkładu w przybliżeniu klasycznym całkując względem funkcji gęstości prawdopodobieństwa i pewnego parametru statystycznego, dla której chcemy wyznaczyć średnią, a dla zmieniającej się liczby cząstek, to jeszcze do tego dochodzi sumowanie po liczbach cząstek jakie układ może przyjmować i całką po wszystkich objętościach układu, jeśli objętość układu jest zmienna. == Statystyczna definicja temperatury == W danej równowadze termodynamicznej układ może sie realizować w &Omega; możliwościach zwanej prawdopodobieństwem termodynamicznym, wtedy ma sens definicja temperatury zwaną temperaturą statystyczną: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\ln \Omega}\over{\partial \overline E}}={{1}\over{k_BT}}</MATH>|12.5|Obramuj}} Równanie {{LinkWzór|12.5}} jest to statystyczna definicja temperatury bezwzględnej w kelwinach. == Ogólne wyprowadzenie rozkładów dyskretnych, czyli ogólny rozkład kanoniczny == Tutaj będziemy wyznaczać czysto statystycznie rozkład dyskretny występujący w fizyce statystycznej. ==== Liczba wszystkich możliwości w stanie o energii E{{Sub|i}}, objętości V{{Sub|i}} i liczby cząstek N{{Sub|i}}, w czasie t{{Sub|i}} ==== Załóżmy, że cząstki w układzie mogą się znajdować się przy skwantowanych energiach {{Formuła|<MATH>{E}_{ij}\;</MATH>}}&nbsp;i objętościach &nbsp;{{Formuła|<MATH>{V}_{ij}\;</MATH>}} zajmowanych przez jedną cząstkę. Liczba tych wszystkich możliwości obsadzeń określona przez równanie zależne od energii, objętości, liczby cząstek i czasu w stanie i-tym jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>W_{i}=W_i(E_i,V_i,N_i,t_i)</MATH>|12.6}} Na podstawie {{LinkWzór|12.6}} energia, objętość, liczba cząstek i czas układu mogą przyjmować tylko wartości dyskretne. ==== Wyznaczanie prawdopodobieństwa uzyskania danej energii, objętości zajmowane przez te cząstki i liczby cząstek, w układzie ==== Układ w danym przedziale czasie (w szczególności w danym czasie) realizuje tylko jedną realizację w jednej właściwości, zatem prawdopodobieństwo uzyskania tylko jednej realizacji w jednej właściwości jest równa odwrotności wyrażenia {{Formuła|<MATH>W_i\;</MATH>}} wyliczonej idąc od wzoru {{LinkWzór|12.6}}, a tych sposobów realizacji jest {{Formuła|<MATH>W_i\;</MATH>}}, a także musimy skorzystać z prawdopodobieństwa warunkowego w taki sposób, że prawdopodobieństwo uzyskania właściwości i-tej jest p. Jeżeli układ jest g{{Sub|i}} zdegenerowany w stanie i-tym (generacja występuje w liczbie g{{Sub|i}}), wtedy piszemy prawdopodobieństwo dla jednej realizacji układu uzyskania właściwości i-tej: {{CentrujWzór|<MATH>P_i=pg_i{{1}\over{W_i}}=pg_ie^{\ln {{1}\over{W_i}}}\;</MATH>|12.7}} ===== Wyznaczanie z definicji szeregu Taylora logarytmu odwrotności liczby możliwości uzyskania energii E{{Sub|i}}, objętości V{{Sub|i}} i liczby cząstek N{{Sub|i}} ===== Załóżmy, że badamy układ, który się składa się {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}} cząstek, badając dany układ, możemy rozłożyć w szereg Taylora wyrażenie {{Formuła|<MATH>\ln {{1}\over{W_i}}\;</MATH>}} względem energii {{Formuła|<MATH>{E}_{i}\;</MATH>}} i objętości {{Formuła|<MATH>{V}_{i}\;</MATH>}} zajmowanej przez {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}} i czasu {{Formuła|<MATH>t_i\;</MATH>}} cząstek w i-tej realizacji układu ("i"-numer możliwej realizacji układu (przyjmujemy liczenie od jedynki)): {{CentrujWzór|<MATH>\ln {{1}\over{W_i}}=-A-B({E}_{i}-{E}_{0})-C({V}_{i}-{V}_{0})-D(N_i-N_{0})-E(t_i-t_0)...\;</MATH>|12.8}} Wtedy w wyrażeniu {{LinkWzór|12.8}} możemy pozostawić tylko wyrazy stałe i liniowe, w której występują wyrazy liniowe względem energii, objętości, liczby cząstek i w czasu w i-tej właściwości układu, jakie dane cząstki mogą się znajdować, a dalsze wyrazy nieliniowe odrzucamy, wtedy równanie {{LinkWzór|12.8}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\ln {{1}\over{W_i}}\simeq -A-B({E}_{i}-{E}_{0})-C({V}_{i}-{V}_{0})-D(N_i-N_0)-E(t_i-t_0)= -K-B {E}_{i}-C {V}_{i}-DN_i-Et_i\;</MATH>|12.9}} ===== Prawdopodobieństwo obsadzeń stanu i-tego ===== Korzystać będziemy ze wzoru {{LinkWzór|12.9}}, który jest rozwinięciem w szereg Taylora względem energii, liczby cząstek, objętości i czasu, jakie cząstki mogą posiadać w "i"-tej realizacji układu, z dokładnością do wyrazów liniowych, to podstawiamy go do równości {{LinkWzór|12.7}}, wtedy można powiedzieć, że prawdopodobieństwo uzyskania energii układu {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} dla liczby cząstek {{Formuła|<MATH>N_i\;</MATH>}} zajmowanej przez nie objętość {{Formuła|<MATH>V_i\;</MATH>}} w czasie {{Formuła|<MATH>t_i\;</MATH>}} jest równa wedle wyrażenia poniżej przy stałych bliżej nieokreślonych "B","C","D", "E" i "F", które mamy zamiar możliwie wyprowadzić: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)=pg_ie^{\ln{{1}\over{W_i}}}\simeq pg_ie^{-K-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}=pg_ie^{-K}e^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}=Fg_ie^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}</MATH>|12.10}} Rozkład {{LinkWzór|12.10}} unormujemy do jedynki, wedle teorii prawdopodobieństwa, że zdarzenie pewne ma prawdopodobieństwo równe jeden, wtedy możemy napisać sumę statystyczną zdefiniowaną: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-B E_i-CV_i-DN_i-Et_i}\;</MATH>|12.11}} Wtedy rozkład prawdopodobieństwa {{LinkWzór|12.10}} zdefiniowany przy pomocy sumy statystycznej {{LinkWzór|12.11}} i na podstawie, że stała F jest odwrotnością sumy statystycznej, można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}}\over{Z}}\;</MATH>|12.12}} Przepiszmy wtrącenie uwzględniając w eksponsie wyłączając przez nawias stałą B w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-B\left(E_i+{{C}\over{B}}V_i+{{D}\over{B}}N_i+{{E}\over{B}}t_i\right)}}\over{Z}}={{g_ie^{-B\left(E_i+GV_i+HN_i+It_i\right)}}\over{Z}}\;</MATH>|12.13}} ==== Wyprowadzenie proporcjonalności pomiędzy sumą statystyczną a prawdopodobieństwem termodynamicznym ==== Udowodnijmy, że suma statystyczna jest wprost proporcjonalna do prawdopodobieństwa termodynamicznego, co można udowodnić z rozkładu dyskretnego przy nieokreślnych stałych G, H i I. {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-B(E_i+GV_i+HN_i+It_i)}}\over{Z}}={{k}\over{\Omega}}={{k A}\over{\Omega A}}\;</MATH>|12.14}} We wzorze {{LinkWzór|12.14}} dobieramy tak stałą {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}}, by zachodziła równość {{Formuła|<MATH>Z=A\Omega\;</MATH>}}, co stąd na tej podstawie udowodniliśmy, co chcieliśmy udowodnić, co jest oczywiste nie tylko na podstawie dowodu: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega\sim Z\;</MATH>|12.15}} ==== Wyprowadzenie odwrotnej proporcjonalności pomiędzy sumą statystyczną albo prawdopodobieństwem termodynamicznym a prawdopodobieństwem, że układ przyjmuje średnią energię, liczbę cząstek i objętość zajmowane przez nie ==== Wyprowadzimy związek prawdopodobieństwa uzyskania wartości średnich z prawdopodobieństwem termodynamicznym według rozkładu {{LinkWzór|12.13}}. Wzór na prawdopodobieństwo, ogólnie dla układów otwartych (nie izolowanych) w zespole termodynamicznym, o ściśle określonej energii średniej i ilości cząstek piszemy ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>P\left(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t\right)=Fge^{-B\left(\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t \right)}\;</MATH>|12.16}} Wzór na uzyskanie średniej wartości {{Formuła|<MATH>\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}\;</MATH>}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}\;</MATH>|12.17}} Udowodnimy, że prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}} jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa {{LinkWzór|12.16}}, że dany układ będzie miał średnią energię, objętość i liczbę cząstek. Rozwijając sumę statystyczną w szereg Taylora względem punktu {{Formuła|<MATH>T_0\;</MATH>}}, zamieniając przy okazji {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} (wtedy rozważanej funkcji nie się rozłożyć w szereg Taylora) na jej odwrotność (wtedy ją się da), co jest uwidocznione w poniższych obliczeniach, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\ln Z(T)=\ln Z(T_0)+{{\partial\ln Z(T_0)}\over{\partial T}}(T_0)(T-T_0)+...\Rightarrow\ln Z(T)\simeq \ln \operatorname{const}+{{\partial\ln Z}\over{\partial T}}(T_0)T-{{\partial\ln Z}\over{\partial T}}(T_0)T_0\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \ln Z(T)\simeq \operatorname {const}-{{\partial\ln Z}\over{\partial B}}{{\partial B}\over{\partial T}}T\Rightarrow {{\partial\ln Z}\over{\partial B}}{{\partial B}\over{\partial T}}T\simeq Z(T)-\operatorname{const}\Rightarrow {{\partial\ln Z}\over{\partial B}}B\simeq (\ln Z(T)-\ln A)T^{-1}B{{\partial T}\over{\partial B}}</MATH>|12.18}} Napiszmy wzór na logarytm prawdopodobieństwa uzyskania średniej energii, liczby cząstek i objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\ln P(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t)=\ln Fe^{-B\left(\overline{E}+H\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t \right)}=\ln F-B\left(\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t\right)=\ln F+B\left({{\partial\ln Z}\over{\partial B}}\right)=\ln F+B{{\partial\ln Z}\over{\partial B}}\simeq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\simeq\ln F+(\ln Z(T)-\ln A)B{{\partial T}\over{\partial B}}T^{-1}=\ln \left\{F\left[\left( {{Z(T)}\over{A}}\right)^{B{{\partial T}\over{\partial B}}T^{-1}}\right]\right\}\Rightarrow P(\overline{E},\overline{V},\overline{N})=F\left({{Z(T)}\over{A}}\right)^{B{{\partial T}\over{\partial B}}T^{-1}}\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow Z(T)\simeq A\left(F^{-1}P(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t)\right)^{{{T}\over{B}}{{\partial B}\over{\partial T}}}</MATH>|12.19}} Stąd na podstawie {{LinkWzór|12.19}} i {{LinkWzór|12.15}} mamy zależność pomiędzy prawdopodobieństwem termodynamicznym a prawdopodobieństwem uzyskania wartości średniej energii, objetości zajmowanej przez cząstki i liczby cząstek. {{CentrujWzór|<MATH>\Omega\simeq R\left(F^{-1}P(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t)\right)^{{{T}\over{B}}{{\partial B}\over{\partial T}}}\;</MATH>|12.20}} Policzmy pochodną logarytmu sumy statystycznej względem średniej energii wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|12.19}} i {{LinkWzór|12.16}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \ln Z}\over{\partial E}}={{T}\over{B}}{{\partial B}\over{\partial T}}(-B)=-T{{\partial B}\over{\partial T}}\Rightarrow {{\partial \ln Z}\over{\partial E}}=-T{{\partial B}\over{\partial T}}\;</MATH>|12.21}} Zdefiniujmy zmienną &beta; w zależności od temperatury bezwzględnej T: {{CentrujWzór|<MATH>\beta={{1}\over{k_BT}}\;</MATH>|12.21a}} Różłóżmy stałą B w szereg Taylora względem zmiennej &beta; {{LinkWzór|12.21a}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\Bigg(B=B_0+{{\partial B}\over{\partial \beta}}(\beta_0)(\beta-\beta_0)+...\Rightarrow {{\partial B}\over{\partial \beta}}\beta=B+\operatorname{const}\wedge {{\partial B}\over{\partial T}}T={{\partial B}\over{\partial \beta}}{{\partial\beta}\over{\partial T}}T=-{{\partial B}\over{\partial \beta}}{{1}\over{k_BT^2}}T\Rightarrow {{\partial B}\over{\partial T}}T=-{{\partial B}\over{\partial \beta}}\beta\Bigg)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{\partial B}\over{\partial T}}T=-B+\operatorname{const}\;</MATH>|12.22}} Wykorzystujemy wzór {{LinkWzór|12.22}} i podstawiamy go do {{LinkWzór|12.21}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \ln Z}\over{\partial \overline E}}=B+\operatorname{const}\;</MATH>|12.23}} Widzimy, że pochodna logarytmu sumy statystycznej względem średniej energii jest wielkością względną, aby uniezależnić się od tej stałej tam występującej musimy przyjąć {{Formuła|<MATH>\operatorname{const}=0\;</MATH>}}, co na tej podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \ln Z}\over{\partial \overline E}}=B\;</MATH>|12.24}} Na podstawie, że we wzorze {{LinkWzór|12.24}} na podstawie naszych rozważań stała tam występująca przyjmuje wartość zerową, a więc stała ta również we wzorze {{LinkWzór|12.20}} przyjmuje wartość zerową, stąd istnieje odwrotna proporcjonalność pomiędzy prawdopodobieństwem termodynamicznym albo sumą statystyczną a prawdopodobieństwem uzyskania przez układ średniej energii, liczby cząstek i zajmowanej przez nie objętości: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega\sim Z\sim\left(P(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t)\right)^{-1}\;</MATH>|12.25}} ==== Wyprowadzenie stałej B z definicji średniej energii(energia wewnętrzna), definicji temperatury bezwzględnej i proporcjalności pomiędzy sumą statystyczną a prawdopodobieństwem termodynamicznym ==== Energię wewnętrzną (energię średnią), wedle definicji wartości średniej względem parametru {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} należącej do układu można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>U=\overline{E}={{\sum_i E_ig_ie^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}}\over{Z}}=-{{{{\partial Z}\over{\partial B}}} \over{Z}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial \overline{E}}}{{\partial \overline{E}}\over{\partial B}}=-{{\partial \ln Z}\over{\partial \overline{E}}}{{\partial\overline{E}}\over{\partial T}}{{\partial T}\over{\partial B}}\;</MATH>|12.26}} Z korzystajmy z pochodnej logarytmu sumy statystycznej według {{LinkWzór|12.23}}, to równanie {{LinkWzór|12.26}} wtedy dostajemy wzór na średnią energię w zależności od stałej B, co to wspomniane równanie przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=-B{{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}{{\partial T}\over{\partial B}}</MATH>|12.27}} Mamy sobie średnią energię, rozłóżmy go wokół małego odchylenia od temperatury {{Formuła|<MATH>T_0\;</MATH>}}, objętości {{Formuła|<math>V_0\;</mATH>}}, liczby cząstek {{Formuła|<MATH>N_0\;</MATH>}} i czasu {{Formuła|<MATH>t_0\;</MATH>}} w szereg Taylora i pomijając wyrazy kwadratowe i wyższe. Wszystkie stałe niezależące od temperatury T, objętości V i liczby cząstek N należącej do układu wtaczamy do stałej {{Formuła|<MATH>E_0\;</MATH>}} i w ten sposób po dokonaniu wszystkich przekształceń, co tutaj będziemy robili, wtedy piszemy ją wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=E_0+{{\partial\overline{E}}\over{\partial T}}(T_0,V_0,N_0,t_0)(T-T_0)+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{V}}}(T_0,V_0,N_0,t_0)(\overline{V}-V_0)+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{N}}}(T_0,V_0,N_0,t_0)(\overline{N}-N_0)+{{\partial\overline{E}}\over{\partial t}}(T_0,V_0,N_0,t_0)\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot(\overline{t}-t_0)={\widetilde E}_0+{{\partial\overline{E}}\over{\partial T}}(T_0,V_0,N_0,t_0)T+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{V}}}(T_0,V_0,N_0,t_0)\overline{V}+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{N}}}(T_0,V_0,N_0, t_0)\overline{N}+{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{t}}}(T_0,V_0,N_0, t_0)\overline{t}</MATH>|12.28}} Z równania {{LinkWzór|12.28}} pochodna średniej energii układu względem temperatury w punkcie {{Formuła|<MATH>T,V,N,t\;</MATH>}} jest równa tej samej pochodnej względem temperatury liczonej w punkcie {{Formuła|<MATH>T_0, V_0, N_0,t_0\;</math>}}, gdy odchylenia T,V,N,t od tych parametrów są bardzo małe. Podstawmy wzór {{LinkWzór|12.28}} do wyrażenia {{LinkWzór|12.27}}, wtedy dostajemy równanie po dokonywanych przekształceniach, idąc po kolei otrzymamy wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>{\widetilde E}_0+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}T+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{V}}}\overline{V}+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{N}}}\overline{N}+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{t}}}\overline{t}=-B{{\partial \overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot{{\partial T}\over{\partial B}}\Rightarrow {\widetilde E}_0+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{V}}}\overline{V}+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial \overline{N}}}\overline{N}+{{\partial\overline{E}(T_0,V_0,N_0, t_0)}\over{\partial \overline{t}}}\overline{t}={{\partial \overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}\left(-T-B{{\partial T}\over{\partial B}}\right)\;</MATH>|12.29}} Ponieważ lewa strona {{LinkWzór|12.29}} nie zależy od temperatury bezwzględnej, a prawa zależy tylko od temperatury, i wykorzystują własność wspomnianego równania, można policzyć pochodną cząstkową względem temperatury dla obu jego stron naszego równania: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial \overline{E}(T_0,N_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}\left(-2-B{{{\partial ^2T}\over{\partial T\partial B}}}\right)</MATH>|12.30}} W ogólności stała w {{LinkWzór|12.30}}, czyli {{Formuła|<MATH>{{\partial \overline{E}(T_0,V_0,N_0,t_0)}\over{\partial T}}\;</MATH>}} jest na ogół różna od zera, zatem dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=-2-B{{{\partial ^2T}\over{\partial T\partial B}}}</MATH>|12.31}} We wzorze {{LinkWzór|12.31}} ponieważ stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} zależy od temperatury {{Formuła|<MATH>T\;</MATH>}} to aby ten wzór był tożsamościowo równy zero, to musi być spełnione wyrażenie następujące: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{k_BT}}=\beta</MATH>&nbsp;bo&nbsp; <MATH>\partial B=-{{1}\over{k_BT^2}}\partial T\;</MATH>|12.32}} Stąd stała B {{LinkWzór|12.32}} jest równa wzorowi na &beta; {{LinkWzór|12.21a}}. ==== Wykorzystanie definicji stałej B do definicji rozkładu kanonicznego ==== Następnym krokiem jest policzenie następnych stałych, ale najpierw przepisując nasz rozkład {{LinkWzór|12.13}} do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+GV_i+H N_i+It_i)}}\over{Z}}</MATH>|12.33}} ==== Wyprowadzenie statystycznej definicji temperatury ==== Na podstawie, że prawdopodobieństwo termodynamiczne jest wprost proporcjonalne do sumy statystycznej {{LinkWzór|12.15}}, a także zachodzi zależność {{LinkWzór|12.24}}, a także udowodniliśmy, że stała B {{LinkWzór|12.32}} jest to po prostu &beta;, która jest zależna od temperatury, wtedy na tej podstawie mamy udowodnioną statystyczną definicję temperatury {{LinkWzór|12.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \ln \Omega}\over{\partial \overline E}}={{\partial \ln Z}\over{\partial \overline E}}=B=\beta={{1}\over{k_BT}}\Rightarrow {{\partial \ln \Omega}\over{\partial \overline E}}={{1}\over{k_BT}}\;</MATH>|12.34}} ==== Wyliczanie stałych z tożsamości różniczkowych na potencjałach termodynamicznych ==== Napiszmy pewną średnią przy pomocy średniej energii, objętości i ilości cząstek jakie posiada układ. Ta złożona stała jest tak zdefiniowana, że zależy tylko od temperatury bezwzględnej układu, bo stała {{Formuła|<MATH>B=\beta\;</MATH>}} jest zależna tylko od temperatury T według tożsamości {{LinkWzór|12.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}+G\overline{V}+H\overline{N}+I\overline t={{\sum_{i=1}^n(E_i+GV_i+HN_i+It_i)g_ie^{-\beta(E_i+GV_i+HN_i+It_i)}}\over{Z}}=A(T)\;</MATH>|12.35}} Zmienne {{Formuła|<MATH>\overline{V}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}} są to zmienne niezależne od siebie. Zróżniczkujmy obie strony równania {{LinkWzór|12.35}} cząstkowo względem średniej objętości układu {{Formuła|<MATH>\overline{V}\;</MATH>}}, korzystając przy tym z tożsamości {{LinkWzór|3.33|Potencjały_termodynamiczne}}, zatem otrzymujemy wyrażenie, z którego wyznaczymy stałą G: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\overline{E}}\over{\partial\overline{V}}}+G=0\Rightarrow G=-{{\partial\overline{E}}\over{\partial\overline{V}}}=-(-p)=p\;</MATH>|12.36}} Następnie, aby otrzymać następną stałą zróżniczkujmy obie strony równania {{LinkWzór|12.35}} cząstkowo względem średniej liczby cząstek {{Formuła|<MATH>\overline{N}\;</MATH>}}, korzystając z tożsamości {{LinkWzór|3.34|Potencjały_termodynamiczne}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{N}}}+H=0\Rightarrow H=-{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline{N}}}\Rightarrow H=-\mu\;</MATH>|12.37}} A teraz policzmy czemu jest równa stała {{Formuła|<MATH>I\;</MATH>}}. Dalej zróżniczkujmy równość {{LinkWzór|12.35}} względem czasu, i wyznaczmy czemu jest równy nasza stała, co przekonamy się, że jest równa potencjałowi chemicznemu, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline t}}+I=0\Rightarrow I=-{{\partial\overline{E}}\over{\partial \overline t}}=-\omega\Rightarrow I=-\omega\;</MATH>|12.37a}} Gdzie w naszych obliczeniach: * {{Formuła|<MATH>\mu\;</MATH>}} jest to potencjał chemiczny, * {{Formuła|<MATH>\omega\;</MATH>}} jest to potencjał czasowy, * {{Formuła|<MATH>p\;</MATH>}} jest to ciśnienie panujące w układzie. ==== Ogólny wzór na prawdopodobieństwo uzyskania energii E{{Sub|i}}, V{{Sub|i}} i N{{Sub|i}} w poszczególnych stanach zdegenerowanych w i-tej właściwości ==== Udowodniliśmy, że rozkład {{LinkWzór|12.33}}, przy definicji &beta; {{LinkWzór|12.32}} i definicji pozostałych stałych, tzn. {{LinkWzór|12.36}} (definicja stałej G) i {{LinkWzór|12.37}} (definicja stałej H), można zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}}\over{Z}}\;</MATH> &nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum^n_{i=1}g_i e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}</MATH>|12.38|Obramuj}} Mamy do czynienia z różnymi układami, w którym V{{Sub|i}} pozostaje stałe lub N{{Sub|i}}, albo już wcale, wtedy rozkład {{LinkWzór|12.42}} redukuje się do rozkładów pokazanych jako przykłady w różnych układach wraz z ich sumami statystycznymi dla rozkładów dyskretnych dla czasu w danym punkcie: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=3|{{Center|'''Rozkłady statystyczne dla czasów {{Formuła|<MATH>t\in\{t_1,t_2,t_3,...,t_n\}\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>t_{i+1}>t_i\;</MATH>}}'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Układy statystyczne'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkłady'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Sumy statystyczne'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N,t)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,t_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D1a}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta (E_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D2a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N,t)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,t_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D3a}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D4a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ,t)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,N_i,t_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D5a}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta (E_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D6a}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o niestałej objętości (T,p,μ,t)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D7a}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}\;</MATH>|D8a}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} A dla danego czasu w przestrzeni mamy: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=3|{{Center|'''Rozkłady statystyczne dla danego czasu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Układy statystyczne'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Rozkłady'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Sumy statystyczne'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o stałej objętości (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta E_i}\;</MATH>|D1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta E_i}\;</MATH>|D2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ zamknięty o niestałej objętości (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|D3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta (E_i+pV_i)}\;</MATH>|D4}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o stałej objętości (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,N_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i-\mu N_i)}\;</MATH>|D5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta (E_i-\mu N_i)}\;</MATH>|D6}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Układ otwarty o niestałej objętości (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i)={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i)}\;</MATH>|D7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>Z=\sum_{i=1}^ng_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i)}\;</MATH>|D8}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} ==== Ogólny wzór na prawdopodobieństwo uzyskania energii E{{Sub|i}}, V{{Sub|i}} i N{{Sub|i}} w poszczególnych stanach niezdegenerowanych w i-tej właściwości ==== Na podstawie {{LinkWzór|12.38}} wzór unormujmy się do jedynki względem w k-tej właściwości według tylko jednej realizacji układu (gdzie sumowanie po i-tym wskaźniku jest to sumowanie po właściwościach i-tych i degeneracjach układu, którego łącznie oznaczymy przez l): {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i,V_i,N_i,t_i)={{e^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)}}\over{Z}}\;</MATH> &nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^le^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)}</MATH>|12.39|Obramuj}} ==== Wyliczanie średniej z rozkładu dyskretnego ==== Wyznaczmy średnią {{Formuła|<MATH>\overline{E+pV-\mu N+It}\;</MATH>}} według wyznaczonego wcześniej rozkładu {{LinkWzór|12.38}} ze wszystkimi jego stałymi, wtedy tą średnią zapisujemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N}+I\overline t=\overline{E+pV-\mu N+It}={{\sum_{i=1}^n(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)}}\over{Z}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{1}\over{Z}}{{\partial}\over{\partial\beta}}\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i+It_i)}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial\beta}}=-{{\partial\ln Z}\over{\partial\beta}}</MATH>|12.40a}} Ta nasza średnia jest równa z minusem pochodnej logarytmu naturalnego sumy statystycznej Z {{LinkWzór|12.38}} (podana po prawej stronie wzoru) względem parametru &beta; {{LinkWzór|12.32}}. A dla danego czasu {{Formuła|<MATH>t_i=t\;</MATH>}}, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}+p\overline{V}-\mu\overline{N}=\overline{E+pV-\mu N}={{\sum_{i=1}^n(E_i+pV_i-\mu N_i)g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}}\over{Z}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{1}\over{Z}}{{\partial}\over{\partial\beta}}\sum_{i=1}^n g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i)}=-{{1}\over{Z}}{{\partial Z}\over{\partial\beta}}=-{{\partial\ln Z}\over{\partial\beta}}</MATH>|12.40}} == Hipoteza ergodyczna (dowód) == Niech będzię dowolny układ statystyczny, i popatrzmy na pewną cząstkę w jakimś przedziale czasowym: {{CentrujWzór|<MATH>t\in\langle 0,T_0\rangle\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>T_0>0\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;w przypadku pseudociągłym, a dyskretnym:&nbsp;}}<MATH>t\in\{t_1,t_2,t_3,...,t_n\}\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>t_{i+1}>t_i\;</MATH>{{Tekst|.}}|12.1}} Obliczmy jakąś średnią jakiegoś parametru w naszym powyższym przedziale czasowym, dochodzimy, więc do wniosku, że średnia badanego parametru jakieś cząstki w czasie {{LinkWzór|12.1}} należących do badanego układu jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>(\overline{p})_T={{1}\over{T_0}}\int\limits^{T_0}_0 p(t)dt\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;w przypadku pseudociągłym, a dyskretnym:&nbsp;}}<MATH>(\overline{p})_T={{1}\over{n}}\sum_{i=1}^np(t_i)\;</MATH>|12.2}} Idąc inną drogą można policzyć średnią arytmetyczną tego samego parametru co powyżej, ale liczymy średnią jakiegoś parametru, które posiadają wszystkie cząstki, idąc po wszystkich cząstkach należących do badanego układu: {{CentrujWzór|<MATH>(\overline{p})_Z={{1}\over{N}}\sum^N_{i=1}p_i\;</MATH>|12.3}} W hipotezie ergodycznej, zakładamy, że zachodzi równość pomiędzy {{LinkWzór|12.2}} a {{LinkWzór|12.3}}, tzn. średnia jakiegoś parametru należących do cząstki względem dużego czasu jest równa średniej tego samego parametru, licząc po wszystkich cząstkach należących do układu w danym czasie: {{CentrujWzór|<MATH>(\overline{p})_T=(\overline{p})_Z\;</MATH>|12.4}} Weźmy dowolny układ dla przypadku dyskretnego czasu, wychodząc {{LinkWzór|12.38}}, wtedy napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i)=\sum_j P(E_i,V_j,N_j,t_j)=\sum_jg_i{{e^{-\beta(E_i+pV_j-\mu N_j-\omega t_j)}}\over{\sum_i \sum_jg_ie^{-\beta (E_i+pV_j-\mu N_j-\omega t_j)}}}=g_i{{e^{-\beta E_i}}\over{\sum_ig_ie^{-\beta E_i}}}={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta E_i}\;</MATH>|FR5}} A w przypadku pseudociągłego czasu, wychodząc {{LinkWzór|12.38}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>P(E_i)=\int_0^T P_i(E_i,V_j,N_j,t)dt=\int_0^{T_0}\sum_jg_i{{e^{-\beta(E_i+pV_j-\mu N_j-\omega t)}}\over{\int_0^{T_0}dt\sum_i\sum_jg_ie^{-\beta (E_i+pV_j-\mu N_j-\omega t)}}}dt=g_i{{e^{-\beta E_i}}\over{\sum_ig_i e^{-\beta E_i}}}={{1}\over{Z}}g_ie^{-\beta E_i}\;</MATH>|FR5a}} Dla przypadku pseudociągłej energii i objętości we wzorach {{LinkWzór|FR5}} i {{LinkWzór|FR5a}} zastępujemy {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>V_j\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>V\;</MATH>}}, sumę przez całkę po przestrzeni fazowej, dodając element {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|15.35|Zespół mikrokanoniczny}}, do tej całki, i usuwamy tam element {{Formuła|<MATH>g_i\;</MATH>}}. Na podstawie wzoru {{LinkWzór|D1a}} otrzymujemy, że w przedziale czasowym lub zbiorze czasowym, w {{LinkWzór|12.1}}, cząstki w układzie mają energię {{Formuła|<MATH>E_i\;</MATH>}} w przypadku dyskretnym ({{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}} w przypadku pseudociągłym) z prawdopodobieństwem określonym końcowym wzorem {{LinkWzór|FR5}} ({{LinkWzór|FR5a}}). Rozkład {{LinkWzór|FR5}} ({{LinkWzór|FR5a}}) jest to ten sam rozkład, co dla danego czasu w przestrzeni w układzie statystycznym {{LinkWzór|D1}}. Oba wzory można napisać dla jednej cząstki w obu układach statystycznych, wtedy otrzymamy rozkład Maxwella {{LinkWzór|14.30|Rozkłady klasyczne w fizyce}} dla przypadku mechaniki Newtona lub rozkład dyskretny dla mechaniki kwantowej, a je dla w przypadku dyskretnego udowadnia się tak: {{CentrujWzór|<MATH>P(\epsilon_{sl})={{\prod_{i, i\neq l}\sum_jg_{ij} e^{-\beta \epsilon_{ij}}g_{sl}e^{-\beta \epsilon_{sl}}}\over{\prod_i\sum_j g_{ij}e^{-\beta \epsilon_{ij}}}}={{g_{sl}e^{-\beta \epsilon_l}}\over{\sum_l g_{sl}e^{-\beta \epsilon_{sl}}}}\Rightarrow P(\epsilon_{sl})={{g_{sl}e^{-\beta \epsilon_{sl}}}\over{\sum_l g_{sl}e^{-\beta \epsilon_{sl}}}}={{1}\over{Z}}g_{sl}e^{-\beta\epsilon_{sl}}\;</MATH>|FR6}} A dla przypadku pseudociągłej energii udowadnia się tak: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\epsilon_l)={{\prod_{i, i\neq l}\int d\Gamma_i e^{-\beta \epsilon_{i}}e^{-\beta \epsilon_{l}}}\over{\prod_i\int d\Gamma_i e^{-\beta \epsilon_{i}}}}={{e^{-\beta \epsilon_l}}\over{\int d\Gamma_i e^{-\beta \epsilon_{l}}}}\Rightarrow P(\epsilon_{l})={{e^{-\beta \epsilon_{l}}}\over{\int d\Gamma_i e^{-\beta \epsilon_{sl}}}}={{1}\over{Z}}e^{-\beta\epsilon_{l}}\;</MATH>|FR6a}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>d\Gamma\;</MATH>}} w przestrzeni fazowej to jest różniczka według {{LinkWzór|15.35|Zespół mikrokanoniczny}}, a {{Formuła|<MATH>\rho(\epsilon_l)\;</MATH>}} jest to pseudogęstość {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}}-tej cząstki w układzie. Rozkład {{LinkWzór|FR6}} w przypadku dyskretnym ({{LinkWzór|FR6a}} w przypadku pseudociągłym) jest udowodniony dla danej cząstki w czasie w przedziale czasowym lub w zbiorze czasowym, według {{LinkWzór|12.1}}, a rozkład dla jednej cząstki w danym czasie w przestrzeni też według {{LinkWzór|FR6}} ({{LinkWzór|FR6a}}), też wychodząc od {{LinkWzór|FR5}} ({{LinkWzór|FR5a}}), ale dla stałego tam danego czasu, a ponieważ względem tych dwóch prawdopodobieństw średnie liczymy tak samo, stąd wzór {{LinkWzór|12.2}} ma taką samą wartość, co {{LinkWzór|12.3}}, a więc prawo {{LinkWzór|12.4}} jest ogólnie spełnione, zatem hipoteza ergodyczna jest udowodnionym twierdzeniem. == Wyprowadzenie statystycznej definicji entropii == Wyprowadzimy związek entropii z prawdopodobieństwem termodynamicznym według rozkładu {{LinkWzór|12.38}}. Wyznaczmy wyrażenie, który jest logarytmem naturalnym prawdopodobieństwa termodynamicznego, która jest odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobienstwa, na podstawie udowodnionej proporcjonalności {{LinkWzór|12.25}}, że układ będzie miał pewne wartości średnie, tzn. średnią energię, objętość i liczbę cząstek. Podstawiając za to prawdopodobieństwo P określonych według wzoru {{LinkWzór|12.38}} zależące od średniej energii, objętości i liczby cząstek, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\ln\Omega=\ln\left(A\cdot P^{-1}\left(\overline{E},\overline{V},\overline{N}, \overline t\right)\right)=\ln A+\ln P^{-1}\left(\overline{E},\overline{V},\overline{N},\overline t\right)=\ln A+\ln \left({{1}\over{Z}} ge^{-\beta\left(\overline{E}+p\overline{V}-\overline{N}\mu -\omega\overline t\right)}\right)^{-1}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\ln{{AZ}\over{g}}+\beta\left(\overline{E}+p\overline{V}-\overline{N}\mu-\omega\overline t \right)\;</MATH>|12.41}} Z równania {{LinkWzór|12.41}} dostajemy, że mamy tożsamość na logarytm prawdopodobieństwa termodynamicznego wyrażony względem pewnych stałych i średniej energii, objętości i liczby cząstek układu, które zależą od parametru {{Formuła|<MAtH>\beta\;</MATH>}}, która natomiast zależy od temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>\ln \Omega= \operatorname{const}+\beta\left(\overline{E}+p\overline{V}-\overline{N}\mu-\omega\overline t \right)\;</MATH>|12.42}} Wzór {{LinkWzór|12.42}} możemy zapisać rozwijając go do jego pełnej definicji oznaczenia {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}} {{LinkWzór|12.32}}: {{CentrujWzór|<MATH>\ln\Omega=\operatorname{const}+{{\overline{E}+p\overline{V}-\overline{N}\mu-\omega\overline t }\over {k_BT}}\;</MATH>|12.43}} Skorzystajmy z równań {{LinkWzór|3.33|Potencjały_termodynamiczne}} (wzór na wielkość ciśnienia w pochodnej cząstkowej energii wewnętrznej układu względem jego objętości pod stałą entropią, liczbą cząstek i czasem) i ze wzoru {{LinkWzór|3.34|Potencjały_termodynamiczne}} (wzór na wielkość potencjału chemicznego w zależności od pochodnej energii wewnętrznej układu względem liczby cząstek pod stałą entropią układu, objętością i czasem) oraz na podstawie wypisanej tożsamości średniej energii w szereg Taylora {{LinkWzór|12.28}} można zapisać wzór na średnią energię układu na podstawie wniosku {{LinkWzór|12.40a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=D+\left({{{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}}\right)_{V,N,t}T-p\overline{V}+\mu \overline{N}+\omega\overline t\;</MATH>|12.44}} Stałą D we wzorze {{LinkWzór|12.44}} przyjmujemy za równą zero, ponieważ prawdopodobieństwo termodynamiczne {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}} musi mieć wartość skończoną na podstawie {{LinkWzór|12.43}} i średnia energia jest wielkością względną, wtedy według wzoru {{LinkWzór|12.44}} równanie na logarytm naturalny prawdopodobieństwa termodynamicznego {{LinkWzór|12.43}} można zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \ln \Omega=\operatorname{const}+{{ {\left|\left({{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}\right| }T}\over {k_BT}}\;</MATH>|12.45}} Po uwzględnieniu powyższego szczegółu, zatem równanie {{LinkWzór|12.45}} dokonując w drugim kroku skracania temperatur bezwzględnych i mnożenia obustronnego przez stałą Boltzmanna {{Formuła|<MATH>k_B\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\ln \Omega=\operatorname{const}+{{ \left({{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}T}\over {k_BT}}\Rightarrow k_B\ln \Omega=\operatorname{const}+{\left({{\partial \overline{E}}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}\;</MATH>|12.46}} Wykorzystując wzór na energię swobodną {{LinkWzór|3.5|Potencjały termodynamiczne}} a także tożsamość {{LinkWzór|3.39|Potencjały termodynamiczne}}, wtedy równość {{LinkWzór|12.46}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>k_B\ln \Omega=\operatorname{const}+{\left({{\partial F}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}+S+T{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}\Rightarrow k_B\ln \Omega=\operatorname{const}-S+S+T{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow k_B\ln \Omega=\operatorname{const}+T{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}\;</MATH>|12.47}} Ale z szeregu Taylora można napisać równość z dokładnością do wyrazów liniowych, wtedy rozkładamy dalej {{Formuła|<MATH>S(T)\;</MATH>}} względem punktu {{Formuła|<MATH>T_0\;</MATH>}}, co wtedy otrzymamy zależność, która jest równa entropii w temperaturze T z dokładnością do stałej, w zależności od pierwszej pochodnej entropii względem temperatury pod stałą objętością, liczbą cząstek i temperaturą: {{CentrujWzór|<MATH>S(T)=S(T_0)+{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T_0)(T-T_0)+...\Rightarrow S(T)\simeq S(T_0)+{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T_0)T-{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T_0)T_0\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow S(T)-\operatorname{const}\simeq{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T)T\Rightarrow S(T)-\operatorname{const}\simeq{\left({{\partial S}\over{\partial T}}\right)_{V,N,t}}(T)T\;</MATH>|12.48}} Uwzględniając wnioski z równości przybliżonej {{LinkWzór|12.48}} (wzór na różnicę entropi w temperaturze T) do tożsamości {{LinkWzór|12.47}} co tam podstawiając tam za iloczyn pochodnej entropii względem temperatury pod stałą objętością i liczbą cząstek przez temperaturę, co możemy udowodnić: {{CentrujWzór|<MATH>k_B \ln\Omega=\operatorname{const}+S\;</MATH>|12.49}} Przenosimy stałą w {{LinkWzór|12.49}} na lewą stronę tego równania i odwracając stronami: {{CentrujWzór|<MATH>S=\operatorname{const}+k_B\ln \Omega\;</MATH>|12.50}} Entropia zależy od stałej {{Formuła|<MATH>\operatorname{const}\;</MATH>}}, a także jest to wielkość względna bo posiada różniczkę zupełną, a więc przyjmijmy {{Formuła|<MATH>\operatorname{const}=0\;</MATH>}}, stąd po tej operacji: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\ln\Omega\;</MATH>|12.51|Obramuj}} === Podział układu na dowolną liczbę podukładów, a entropia statystyczna === Podzielmy układ na ileś tam podukładów nieizolowanych wtedy prawdopodobieństwo termodynamiczne pojedynczego układu wyraża się jako {{Formuła|<MATH>\Omega_i\;</MATH>}} wtedy prawdopodobieństwo termodynamiczne całego układu podzielonego jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega=\prod_i\Omega_i\;</MATH>|12.52}} Z logarytmujmy obie strony równości, dalej wykorzystajmy twierdzenie o logarytmie iloczynu dla jego prawej strony, co pomnóżmy to wyrażenie obustronnie przez k{{Sub|B}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>k_B\ln \Omega=k_B\ln\prod_i\Omega_i=\sum_i k_B\ln\Omega_i\;</MATH>|12.53}} Entropia pojedyńczego podukładu, który powstaje po podzieleniu całego układu, a także całego układu jest równa na podstawie definicji entropii {{LinkWzór|12.53}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>S_i=k_B\ln\Omega_i\;</MATH>|12.54}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\ln\Omega\;</MATH>|12.55}} }} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|12.55}} (entropia całego układu) i {{LinkWzór|12.54}} (entropia pojedynczego układu) tożsamość {{LinkWzór|12.53}} piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>S=\sum_iS_i\;</MATH>|12.56}} Na podstawie tożsamości na pewno spełnionej {{LinkWzór|12.52}} otrzymujemy tożsamość {{LinkWzór|12.56}}, co stąd dostajemy, że entropia jest wielkością addytywną. Zatem udowodniliśmy, że wyrażenie {{LinkWzór|12.56}} jest też słuszne dla układów izolowanych, czyli do wszystkich rodzajów układów (izolowanych, zamkniętych-stała objętość lub nie, otwartych-stała objętość lub nie). === Dowód addytywności entropii === Prawdopodobieństwo termodynamiczne stanu końcowego jest oznaczana tak: {{Formuła|<MATH>\Omega={{\Omega}\over{\Omega_1\Omega_2}}\Omega_1\Omega_2\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\Omega=N!\;</MATH>}}, a poszczególnych dwóch mniejszych po podzieleniu układu na dwa: {{Formuła|<MATH>\Omega_1=N_1!\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\Omega_2=N_2!\;</MATH>}}, ale z oczywistych sposobów zachodzi {{Formuła|<MATH>N=N_1+N_2\;</MATH>}}, zatem błąd względny obliczeń przy liczeniu entropii względem entropii dwóch razem układów jest, wiedząc, że zachodzi dla skończonych podukładów statystycznych większego układu statystycznego {{Formuła|<MATH>{{N_1}\over{N}}\rightarrow\operatorname{const}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{N_2}\over{N}}\rightarrow\operatorname{const}\;</MATH>}} i też zachodzi {{Formuła|<MATH>N_1,N_2\rightarrow\infty\;</MATH>}}, co na podstawie tych wniosków napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>k={{S-S_1-S_2}\over{S}}={{\ln\Omega-\ln\Omega_1\Omega_2}\over{\ln \Omega}}={{\ln\Omega-\ln\Omega_1-\ln \Omega_2}\over{\ln \Omega}}={{N\ln N-N-N_1\ln N_1+N_1-N_2\ln N_2+N_2}\over{N\ln N-N}}\rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\rightarrow{{N\ln N-N_1\ln N_1-N_2\ln N_2}\over{N\ln N}}=-{{N_1\ln {{N_1}\over{N}}+N_2\ln {{N_2}\over{N}}}\over{N\ln N}}=-{{{{N_1}\over{N}}\ln {{N_1}\over{N}}+{{N_2}\over{N}}\ln {{N_2}\over{N}}}\over{\ln N}}=-{{ {{N_1}\over{N}} }\over{\ln N}}\ln {{N_1}\over{N}}-{{ {{N_1}\over{N}} }\over{\ln N}}\ln {{N_2}\over{N}}\rightarrow 0\;</MATH>|12.55s}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|12.55s}}, że błąd względny jaki popełniamy, biorąc addytywność entropii, jest nieskończenie mały, a praktycznie doświadczalnie mały, zatem entropia układu jest równa entropii dwóch osobnych podukładów, co można rozszerzyć na podstawie indukcji matematycznej do dowolnej liczby podukładów. Zatem twierdzenie {{LinkWzór|12.56}} jest spełnione z bardzo bardzo małym błędem obliczeń względnym, praktycznie dążącym do zera, stąd na podstawie tego wzór {{LinkWzór|12.52}} jest wtedy też spełniony. == Entropia, a prawdopodobieństwa stanu układów == Załóżmy, że badamy L ponumerowanych kopii danego układu, w którym wykryto, że układ wystepuje {{Formuła|<MATH>l\;</MATH>}} stanach, a ilość wszystkich możliwych obsadzeń, która jest jednocześnie prawdopodobieństwem termodynamicznym układu dla {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} kopii układów włącznie dla tychże układów statystycznych jest wyrażona według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\Omega}={{L!}\over{k_1!k_2!...k_l!}}</MATH>|12.57}} gdzie suma wszystkich możliwych {{Formuła|<MATH>k_i\;</mATH>}} przy l poziomach jakie może przyjmować układ jest równa L kopii wedle {{LinkWzór|12.57}} jakie układ może przyjmować stany, nawet tychże zgenerowanych stanów włącznie: {{CentrujWzór|<MATH>L=\sum^l_{i=1}k_i\;</MATH>|12.58}} Wykryto z L kopii , że i-tej(z l) stanie tych badanych układów jest {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}}, to można policzyć entropię wychodząc z równości {{LinkWzór|12.51}}, i jest ona przedstawiona poniżej, co wykorzystując przy tym wzór Stirlinga, możemy tą entropię zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{S}=k_B\ln\hat{\Omega}=k_B\ln {{L!}\over{k_1!k_2!...k_l!}}= k_B\left[L\ln L-L-\sum^l_{i=1}\left(k_i\ln k_i-k_i\right)\right]=k_B\left[L\ln L-\sum^l_{i=1}k_i-\sum^l_{i=1}k_i\ln k_i+\sum^k_{i=1}k_i\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\left( L\ln L-\sum^l_{i}k_i\ln k_i\right)=k_B\left(\sum^l_{i=1}{k_i}\ln L-\sum^l_{i=1}k_i\ln k_i\right)=-k_B\left(\sum^l_{i=1}k_i\ln{{k_i}\over{L}}\right)</MATH>|12.59}} Ponieważ rozpatrujemy L kopii układów, w która każda znajduje się w innym stanie kwantowym, prawdopodobieństwo termodynamiczne &Omega;{{Sub|i}} dla każdego takiego układu z osobna jest jednakowe i wynosi &Omega;, co można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega=\Omega_i\;</MATH>|12.60}} Według prawa statystycznego Boltzmanna entropii {{LinkWzór|12.51}} entropia pojedynczego układu S=S{{Sub|i}} w zależności od jego prawdopodobieństwa termodynamicznego &Omega;{{Sub|i}}, które jest takie same dla każdej kopii tych wszystkich układów z L, jest według {{LinkWzór|12.60}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=S_i=k_B\ln \Omega_i\;</MATH>|12.61}} Gdy dodamy do siebie {{Formuła|<MATH>S_i\;</MATH>}} opisujące i-te kopie naszego układu, to wtedy entropia L układów włącznie, przy czym korzystając z warunku {{LinkWzór|12.56}}, jest przedstawiona: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{S}=\sum^L_{i=1}S_i=k_B\sum^L_{i=1}\ln\Omega_i= k_B\ln\prod^L_{i=1}\Omega_i=k_B\ln\Omega^L=Lk_B\ln\Omega=L S\;</MATH>|12.62}} Z równości {{LinkWzór|12.62}} możemy wyznaczyć entropię S pojedynczego układu w zależności od entropii L układów {{Formuła|<MATH>\hat{S}\;</MATH>}} dzieląc tą ostatnią wielkość przez stałą L: {{CentrujWzór|<MATH>S={{\hat{S}}\over{L}}\;</MATH>|12.63}} Wyznaczymy entropię przypadająca na jeden układ, a nie na {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}}, zatem ta entropia, jest to średnia z entropii wyrażona wedle wzoru {{LinkWzór|12.59}}, czyli ona jest wyrażona przy pomocy wzoru {{LinkWzór|12.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>S={{\hat{S}}\over{L}}={{1}\over{L}}k_B\left(-\sum^l_{i=1}k_i\ln{{k_i}\over{L}}\right)= -k_B\sum^l_{i=1}{{k_i}\over{L}}\ln{{k_i}\over{L}}</MATH>|12.64}} Oznaczmy we wzorze {{LinkWzór|12.64}} jako stosunek {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}}, że tyle jest układów identycznych z L kopii danego układu i ten stosunek nazywamy prawdopodobieństwem, że dany układ będzie posiadał identyczny stan. {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{k_i}\over{L}}</MATH>|12.65}} Wzór {{LinkWzór|12.65}} podstawiamy do wzoru na entropię układu {{LinkWzór|12.64}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>S=-k_B\sum^l_{i=1} P_i\ln P_i=-k_B\overline{\ln P_i}</MATH>|12.66|Obramuj}} Entropia przypadająca na jeden układ, jest to średnia z logarytmu prawdopodobieństwa w rozkładzie dyskretnym, że uzyskamy właściwość o numerze "i" pomnożonej przez stałą Boltzmanna i to wszystko wzięte z minusem. == Rozkład statystyczny a ekstremum entropii układu == Średnia liczba cząstek, objętość i energię możemy napisać poniżej. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\sum^l_{i=1} E_iP_i\Rightarrow\overline{E}L=\sum^l_{i=1} E_ik_i\;</MATH>|12.68}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}=\sum^l_{i=1} V_iP_i\Rightarrow\overline{V}L=\sum^l_{i=1} V_ik_i\;</MATH>|12.69}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{N}=\sum^l_{i=1} N_iP_i\Rightarrow L\overline{E}=\sum^l_{i=1} N_ik_i\;</MATH>|12.70}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{t}=\sum^l_{i=1} t_iP_i\Rightarrow L\overline{t}=\sum^l_{i=1} t_ik_i\;</MATH>|12.70a}} }} Napiszmy funkcjonał za pomocą mnożników nieoznaczonych Lagrange'a, który jest równy z definicji entropii układu, bo te wprowadzone współczynniki nic nie zmieniają: {{CentrujWzór|<MATH>\phi(P_i(E_i,V_i,N_i))=\hat{S}+k_B B(\overline{E}L-\sum^l_{i=1} E_ik_i)+k_BC(\overline{V}L-\sum^l_{i=1} V_ik_i)+k_BD(\overline{N}L-\sum^l_{i=1} N_ik_i)+k_BA(L-\sum^l_{i=1}k_i)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+k_bE(\overline t L -\sum_i t_i k_i)\;</MATH>|12.71}} Wyznaczmy pochodną cząstkową S, czyli wyrażenia {{LinkWzór|12.71}} względem liczby cząstek przebywających w stanie "i", czyli {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \hat{S}}\over{\partial k_i}}=-k_B\left(\ln k_i+1\right)\simeq -k_B\ln k_i</MATH>|12.72}} Mając już policzoną pochodną entropii dla L kopii danego układu względem {{Formuła|<MATH>k_i\;</MATH>}} występowania tej samej kopii w L kopiach, zatem możemy wyznaczyć ekstremum wyrażenia {{LinkWzór|12.71}} wiedząc, że jednocześnie, że on wynika z ekstremum entropii, a mnożniki Lagrange'a co do tego ekstremum tego dla funkcjonału również nic nie zmieniają: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial\phi}\over{\partial k_i}}=-k_B\ln k_i-k_BB E_i-k_BCV_i-k_BDN_i-k_BA-k_bEt_i</MATH>|12.73}} Z równania {{LinkWzór|12.73}} wynika równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\ln k_i=-A-B E_i-CV_i-DN_i\Rightarrow k_i=e^{-A}e^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}</MATH>|12.74}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|12.74}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{k_i}\over{L}}=F g_ie^{-BE_i-CV_i-DN_i-Et_i}</MATH>|12.75}} Parametry we wzorze {{LinkWzór|12.75}}, tzn. B,C,D wyznaczamy podobnie jak dla równania {{LinkWzór|12.13}}, a także podobnie wyznaczamy współczynnik normalizacyjny F, zatem rozważane równanie możemy napisać w przypadku dyskretnym: {{CentrujWzór|<MATH>P_i={{g_ie^{-\beta (E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}}\over{Z}}</MATH>&nbsp;gdzie:&nbsp;<MATH>Z=\sum_{i=1}^l g_ie^{-\beta(E_i+pV_i-\mu N_i-\omega t_i)}</MATH>|12.76}} Wyznaczmy drugą pochodną funkcjonału {{LinkWzór|12.71}}, czyli pierwszą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|12.73}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\phi}\over{\partial k_i^2}}={{\partial}\over{\partial k_i}}{{\partial\phi}\over{\partial k_i}}= {{\partial}\over{\partial k_i}}\left[-k_B\ln k_i-k_BB E_i-k_BCV_i-k_BDN_i-k_BA\right]=-k_B{{1}\over{k_i}}<0</MATH>|12.77}} Równanie {{LinkWzór|12.76}} jest identyczne z {{LinkWzór|12.38}}, które wyprowadziliśmy z czysto statystycznych przesłanek, jak udowodniliśmy na podstawie {{LinkWzór|12.73}}, entropia dla L kopii danego układu przyjmuje wartość maksymalną, co doszliśmy do wniosku według {{LinkWzór|12.77}} dla pojedynczego naszego układu, co kończy nasze rozważania. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 25uz74suqu17zj16o9u3ucaoxt7ba9x 0 17511 559093 558578 2026-10-11T03:37:56Z Persino 2851 559093 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Jest to zespół opisujący układ izolowany, w którym nie ma wymiany energii i cząstek między układem a otoczeniem. == Prawdopodobieństwo termodynamiczne == Zespół mikrokanoniczny opisuje układy izolowane, w których nie ma wymiany z otoczeniem ani energii czy masy. Rozpatrzmy przestrzeń fazową w celu wyznaczenia prawdopodobieństwa termodynamicznego badanego układu, co liczymy go według: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}{{1}\over{h^{3N}}}\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int\limits_{E\leq H(\vec{p},\vec{q})\leq E+\Delta }d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}=\lim_{\Delta\rightarrow 0}{{1}\over{h^{3N}}}\underbrace{\int\int...\int}_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\underbrace{\int\int...\int}_{E\leq H(\vec{p},\vec{q})\leq E+\Delta } dq_1 dq_2 \cdot...\cdot dq_{3N}dp_1 dp_2\cdot...\cdot dp_{3N}\;</MATH>|15.1}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\Omega(E)\;</MATH>}} jest to prawdopodobieństwo termodynamiczne badanego układu o liczbie stopni swobody {{Formuła|<MATH> {3N\cdot}\;</MATH>}} i takim samym wymiarze w przestrzeni fazowej. Każdy wynik {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec{q}\;</MATH>}} jest tak samo prawdopodobny. tzn. każda składowa {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}}, a także {{Formuła|<MATH>\vec{q}\;</MATH>}} mają takie same prawdopodobieństwo. Mając {{Formuła|<MATH>\Omega\;</MATH>}} można obliczyć entropię posiadane przez ciało według wzoru {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} i energię w rozważanym układzie z przybliżeniem klasycznym (według praw mechaniki klasycznej). Wyznaczenie prawdopodobieństwa termodynamicznego według wzoru {{LinkWzór|15.1}} jest bardzo niewygodne. Wyrażenie {{LinkWzór|15.1}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E,N,V)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}{{1}\over{h^{3N}}}\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\left(\int_{E\leq H+\Delta}-\int_{H\leq E}\right)d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}= \lim_{\Delta\rightarrow 0}{{1}\over{h^{3N}}}\Bigg(\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int_{E\leq H+\Delta}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\int_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int_{H\geq E}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}\Bigg)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\left(\Sigma(E+\Delta)-\Sigma(E)\right)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\Sigma(E+\Delta)\left(1-{{\Sigma(E,N,V)}\over{\Sigma(E+\Delta,N,V)}}\right)</MATH>|15.2}} Funkcja {{Formuła|<MATH>\Sigma(E)\;</MATH>}} opisuje pewną kulę, a właściwie jej objętość, którego promień jest rosnącą funkcją E w przestrzeni pędowej, jeśli na energię E przypada tylko energia kinetyczna, lub gdy w przypadku energii potencjalnej jeśli ją cząstki posiadają, w przypadku oscylatora harmonicznego, jeśli poszczególne cząstki są połączone sprężynkami, wtedy ta nasza figura w przestrzeni fazowej nie jest kulą, ale w każdym bądź razem można tak przeskalować zmienne należącym do przestrzeni fazowej by ona była kulą. Liczba stopni swobody badanego układu jest rosnącą funkcją liczby cząstek i rośnie do nieskończoności, gdy liczba cząstek dąży do nieskończoności. Objętość kuli o promieniu R w przestrzeni s-wymiarowej wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>V_s(R)={{\pi^{{{s}\over{2}}}}\over{\Gamma({{s}\over{2}}+2)}}R^s\;</MATH>|15.3}} Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|15.3}} na objętość w przestrzeni fazowej, tuż po przeskalowaniu zmiennych tak by otrzymać dla zmiennych przeskalowanych kulę, wtedy możemy napisać przybliżoną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Sigma(E,N,V)}\over{\Sigma(E+\Delta,N,V)}}= {{{{\pi^{{{s}\over{2}}}}\over{\Gamma({{s}\over{2}}+2)}}R^s(E,N,V)}\over{{{\pi^{{{s}\over{2}}}}\over{\Gamma({{s}\over{2}}+2)}}R^s(E+\Delta,N,V)}}=\left({{R(E,N,V)}\over{R(E+\Delta,N,V)}}\right)^s\;</MATH>|15.4}} Wielkość w {{LinkWzór|15.4}} pod potęgą jest mniejszą niż jeden, a ponieważ liczba cząstek jest liczbą bardzo ogromną (prawie nieskończoność w naszych wyobrażeniach), więc s też jest ogromne, zatem nasze wyrażenie jest w przybliżeniu równe zero. Korzystając z tego faktu, to {{LinkWzór|15.2}} możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E,N,V)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\Sigma(E+\Delta)\left(1-{{\Sigma(E,N,V)}\over{\Sigma(E+\Delta,N,V)}}\right)\simeq \lim_{\Delta\rightarrow 0}\Sigma(E+\Delta)\left(1-0\right)=\lim_{\Delta\rightarrow 0}\Sigma(E+\Delta)=\Sigma(E)\;</MATH>|15.5}} Dochodzimy do wniosku, że zachodzi dla ogromnej liczby cząstek, która wynika z obliczeń {{LinkWzór|15.5}}, wiedząc, że ona jest przybliżoną tożsamością: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E,N,V)\simeq \Sigma(E,N,V)\;</MATH>|15.6}} Na podstawie {{LinkWzór|15.6}} i {{LinkWzór|15.1}} możemy napisać, że: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega(E,N,V)\simeq\Sigma(E,N,V)={{1}\over{h^{3N}}}\int\limits_{\vec{q}\in V(R^{3N})}\int\limits_{H(\vec{p},\vec{q})\leq E}d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}</MATH>|15.7}} Na podstawie {{LinkWzór|15.6}} dla bardzo dużej liczby cząstek objętość kuli jest zawarta w wąskiej warstwie przy jej powierzchni. == Przypadek gazu doskonałego w zespole mikrokanonicznym == Rozpatrzmy prosty przypadek gazu doskonałego, o energii całkowitej równej E, która jest sumą energii poszczególnych cząstek o stałej ilości cząstek N w układzie: {{CentrujWzór|<MATH>E=\sum^N_{i=1}E_i=\sum^{3N}_{i=1}{{p^2_i}\over{2m}}\;</MATH>|15.8}} We wzorze {{LinkWzór|15.8}} braliśmy sumowanie po energiach względem poszczególnych współrzędnych dla każdej cząstki. W tym samym wzorze co poprzednio mnożymy obustronnie to równanie przez wyrażenie {{Formuła|<MATH>2m\;</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum^{3N}_{i=1}p^2_i=2mE\;</MATH>|15.9}} Całkę {{LinkWzór|15.1}} (prawdopodobieństwo termodynamiczne) możemy przedstawić używając {{LinkWzór|15.9}}, ale ponieważ dla dużej ilości cząstek całka w wąskiej warstwie przy jej powierzchni jest równa całce po kuli o tym samym rozważanym samym promieniu, wtedy tą objętość kuli (prawdopodobieństwo termodynamiczne) liczymy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|15.7}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Sigma(E)={{V^N}\over{h^{3N}}}\int\limits_{\sum_{3N}p^2_i\leq 2mE}dp_1dp_2\cdot...\cdot dp_{3N}\;</MATH>|15.10}} Cząstki o energii {{Formuła|<MATH>E\;</MATH>}} są w przestrzeni fazowej o grubości {{Formuła|<MATH>dR\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>R\;</MATH>}} jest wyrażone według {{LinkWzór|15.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>R=\sqrt{2mE}\;</MATH>|15.11}} Objętość kuli o promieniu R jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|15.3}}, zatem równanie {{LinkWzór|15.10}} przedstawiamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\Sigma(E)={{V^N{\left(2mE\right)}^{3N\over 2}\pi^{{3N\over 2}}}\over{h^{3N}\Gamma\left({{{3N}\over{2}}+1}\right)}}\Rightarrow\Sigma(E)={V^N{\left({{2m\pi E}\over{h^2}}\right)}^{{3N}\over 2}}\cdot{{1}\over{\Gamma\left({{3N}\over{2}}+1\right)}}\;</MATH>|15.12}} Wzór {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}}, która przedstawia entropię układu, zależąca od prawdopodobieństwa termodynamicznego wyrażone przez równanie {{LinkWzór|15.12}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>S(E,V)=k_B\ln\Sigma(E)=N k_B\ln\left[{V{\left({{2m\pi E}\over{h^2}}\right)}^{3\over 2}}\right]-k_B\ln\Gamma\left({{3N}\over{2}}+1\right)\;</MATH>|15.13}} Korzystajmy ze wzoru Stirlinga ln n!=n ln n-n, wtedy funkcję &Gamma; oraz korzystając, że dla x całkowitych zachodzi &Gamma;(x)=x!, to tą funkcję we wzorze {{LinkWzór|15.7}} możemy rozpisać: {{CentrujWzór|<MATH>\ln\Gamma\left({{{3N}\over{2}}+1}\right)={{3N}\over 2}\ln {3N\over 2}-{{3N}\over{2}}=\ln{{\left({{3N\over 2}}\right)}^{{3\over 2}N}}-{{3N}\over{2}}\;</MATH>|15.14}} Korzystając z rozwinięcie funkcji {{Formuła|<MATH>\Gamma\;</MATH>}} {{LinkWzór|15.14}}, to wzór {{LinkWzór|15.13}} na entropię możemy napisać w przybliżonej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>S(E,V)=Nk_B\ln\left[{V{\left({{4m\pi E}\over{3h^2}}\right)}^{3\over 2}}\right]+{{{3}\over{2}}}Nk_B\;</MATH>|15.15}} Ale korzystając ze wzoru {{LinkWzór|3.32|Potencjały_termodynamiczne}}, ale w jego wersji w postaci odwróconej (licznik i mianownik w tej pochodnej zmieniają się miejscami) i po podstawieniu do niego za wielkość, którą jest entropia {{LinkWzór|15.15}}, wtedy dochodzimy do: {{CentrujWzór|<MATH>{1\over{T}}=\left({{\partial S}\over{\partial E}}\right)_V={3\over 2}Nk_B{1\over E}\;</MATH>|15.16}} Biorąc równość wedle {{LinkWzór|15.16}} na odwrotność temperatury, to energię cząstek w układzie izolowanym możemy napisać jako równanie wynikającego z ostatniej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>E={{3}\over 2}Nk_BT\;</MATH>|15.17}} Widzimy, że energia cząstek zależy od temperatury i ilości cząstek. Zróżniczkujemy obie strony równania {{LinkWzór|15.15}} korzystając z {{LinkWzór|3.33|Potencjały_termodynamiczne}} (wzoru który pozwala policzyć ciśnienie panujące w gazie znając jego energię całkowitą przy stałej wartości entropii) przy stałej entropii, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial S(E,V)}\over{\partial V}}\right)_S=0=Nk_B{1\over V}-Nk_B {{{{3}\over{2}}E^{1\over 2}}\over{E^{3\over 2}}}p \;</MATH>|15.18}} Po krótkich przekształceniach wzór {{LinkWzór|15.18}} możemy napisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{1\over V}={{3p}\over{2E}}\Rightarrow E={{3}\over {2}}pV\;</MATH>|15.19}} Według powyższego wzoru energia wszystkich cząstek w rozważanym układzie zależy od ciśnienia panującego w układzie i od objętości zajmowanej przez układ. Przyrównując równania {{LinkWzór|15.19}} i {{LinkWzór|15.17}} na energię do siebie, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{3}\over{2}}Nk_BT={{3}\over{2}}pV\;</MATH>|15.20}} Po skróceniu, względem stałych czynników po obu stronach wzoru {{LinkWzór|15.20}} otrzymujemy równanie stanu gazu doskonałego w zależności od ilości cząstek N jakie gaz posiada w układzie, w którym się znajduje. {{CentrujWzór|<MATH>pV=k_BNT\;</MATH>|15.21}} I jeśli {{Formuła|<MATH>N=N_A n\;</MATH>}}, które przedstawia liczbę cząstek znając liczbę moli cząstek w badanym układzie, które możemy wyprowadzić {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}}, Idąc dalej mamy: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nN_A k_B T\;</MATH>|15.22}} Ale zachodzi równanie {{LinkWzór|6.5|Wstęp_do_fenomenologicznych_równań_stanu}}, wtedy równanie {{LinkWzór|15.22}} przyjmuje postać po zastąpieniu czynnika {{Formuła|<MATH>N N_Ak_B\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>nR\;</MATH>}}, po tych podstawieniach otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH>pV=nRT\;</MATH>|15.23}} Jest to znany wzór dotyczącej stanu gazu doskonałego {{LinkWzór|7.7|Gazy_doskonałe}}, tzn. wzór Clapeyrona. == Paradoks Gibbsa w gazie doskonałym == Energia gazu w układzie izolowanym w zależności od jego temperatury jest napisana zależnością {{LinkWzór|15.17}}, wtedy jego entropia korzystając ze wzoru {{LinkWzór|15.15}} jest napisana w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>S(E,V)=Nk_BT\ln V+Nk_B \ln {\left({{2\pi mk_BT}\over{h^2}}\right)}^{3\over 2}+{3\over 2}Nk_B=Nk_BT\ln V+NS_0(T)\;</MATH>|15.24}} Jeśli mamy dwa jednakowe gazy i przyjmować będziemy addytywność liczby cząstek (bo nie ma w nich reakcji chemicznych i jądrowych) i objętości, to całkowita liczba cząstek i objętość wyznaczamy wedle: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>N=N_1+N_2\;</MATH>|15.25}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>V=V_1+V_2\;</MATH>|15.26}} }} Całkowita entropia tychże gazów po zmieszaniu wedle {{LinkWzór|15.25}} (liczba cząstek dwóch gazów po zmieszaniu) i {{LinkWzór|15.26}} (objętość całkowita dwóch gazów po zmieszaniu) można napisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>S(E,V)=(N_1+N_2)k_B\ln(V_1+V_2)+(N_1+N_2)S_0(T)\;</MATH>|15.27}} Rozpatrzmy dwa gazy przed zmieszaniem, zatem ich entropie są wyrażone przez wzory: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>S_1=N_1k_BT\ln V+N_1S_0(T)\;</MATH>|15.28}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>S_1=N_2k_BT\ln V+N_2S_0(T)\;</MATH>|15.29}} }} Zmiana entropii dwóch gazów przed i po zmieszaniu w zależności od objętości całkowitej dwóch gazów przed zmieszaniem i od liczby cząstek i objętości tychże dwóch gazów po zmieszaniem jest wyrażenie przez: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S=S_{12}-(S_1+S_2)=k_B(N_1+N_2)\ln V-k_B N_1\ln V_1-k_B N_2 \ln V_2=k_BN_1 \ln{{V}\over{V_1}}+k_BN_2 \ln {{V}\over{V_2}}\;</MATH>|15.30}} Widzimy, że zmiana entropii jest różna niż zero, co jest nie do przyjęcia dla dwóch jednakowych gazów, w każdym bodź razem gaz można rozdzielić na dwie części choćby myślowo badając je, to nie powinno być żadnej różnicy na entropii. Zatem przyjmijmy propozycję Gibbsa, wykorzystując {{LinkWzór|15.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B \ln {\Sigma\over N!}=k_B\ln\Sigma-k_B\ln N!\simeq k_B\ln \Sigma-Nk_B\ln N+Nk_B=N k_B\ln {{V}\over{N}}+NS_0(T)\;</MATH>|15.31}} To entropia ogólnie dwóch różnych gazów wziętych razem (po zmieszaniu dwóch części jednakowego gazu) jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>S=(N_1+N_2) k_B\ln{{V_1+V_2}\over{N_1+N_2}}+NS_0(T)\;</MATH>|15.32}} Różnica entropii jest równa po rozpatrzeniu tych dwóch gazów całkowitej entropii po i entropii przed zmieszaniu przy założeniu, że entropia posiada własność addywną, tzn. entropia dwóch części gazów jest równa sumie entropii tychże składników: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta S=k_B N_1\ln {{{V}\over{N}}\over{{V_1}\over{N_1}}}+k_B N_2\ln {{{V}\over{N}}\over{{V_2}\over{N_2}}}\;</MATH>|15.33}} Ale dla dwóch jednakowych gazów, mając na uwadze, że objętości molowe dwóch części przez zmieszaniem, a także tego samego gazu po zmieszaniu są jednakowe, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{V_1}\over{N_1}}={{V_2}\over{N_2}}={{V}\over{N}}={{V}\over{nN_A}}={{V_{mol}}\over{N_A}}\;</MATH>|15.34}} To zmiana entropii w {{LinkWzór|15.33}} jest równa zero, co jest do przyjęcia. A wiec trzeba przyjąć taka zasadę, że należy postępować przy liczeniu infinizymalnej objętości w przestrzeni fazowej na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>d\Gamma={{d^{3N}\vec{q}d^{3N}\vec{p}}\over{h^{3N}N!}}\;</MATH>|15.35|Obramuj}} Jest to wzór na elementarną objętość w przestrzeni fazowej, ten nowy sposób obliczania elementarnej objętości fazowej nazywa się "poprawnym boltzmannowskim zliczaniem". W fizyce dyskretnej układ jest nierozróżnialny, gdy zamienimy cząstki miejscami w sumowaniu, a rozróżnialny w fizyce klasycznej gdy występuje ten sam rozkład pędów w zależności w dwóch różnych położeniach w danym układzie dla dwóch różnych cząstek, w tym pierwszym gdy zamienimy sumę na całkę, wtedy dana możliwość jest liczona {{Formuła|<math>N!\;</MATH>}} razy, czyli prawdopodobieństwo termodynamiczne liczone według drugiego wzoru należy podzielić przez tą właśnie wspomnianą liczbę, a przy sumowaniu dyskretnym dana możliwość jest powtarzana conaj wyżej raz w danym nierozróżnialnym układzie. Jak widzimy, że właściwości kwantowe dały sobie znać w statystyce klasycznej, tzn. do nierozróżnialności cząstek. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 160w6llghe7qql2bfuxv4381i3k3x36 0 17549 559094 558585 2026-10-11T03:38:39Z Persino 2851 559094 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wyprowadzimy statystykę Bolztmanna bezpośrednio z przesłanek czysto statystycznych, statystyki Fermiego i Diraca wyprowadzone poprzez kombinację bez powtórzeń (statystyka Fermiego) lub przez kombinację z powtórzeniami (statystyka Bosego), korzystając że pochodna entropii przyjmuje wartość maksymalną, czyli pierwsza pochodna wspomnianej funkcji termodynamicznej przyjmuje w tym punkcie wartość zero. == Funkcjonał entropii == Załóżmy, że energie są skwantowane i istnieje l poziomów o energiach {{Formuła|<MATH>\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_l\;</MATH>}}. Średnia energia znajdujących się w układzie cząstek piszemy w zależności o energii poszczególnych poziomów jakie zajmują cząstki obsadzając stany pomnożone przez liczbę cząstek n{{Sub|i}} o numerze "i", a liczba cząstek jest sumą tych wszystkich cząstek znajdujących się w tych stanach. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\sum_{i=1}^ln_i\epsilon_i</MATH>|21.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{V}=\sum^l_{i=1}n_iV_i</MATH>|21.2}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline {N}=\sum^l_{i=1}n_i\;</MATH>|21.3}} }} Napiszmy funkcjonał oparty i uzupełniony o współczynniki Lagrange'a, który spełnia te same właściwości co entropia S. {{CentrujWzór|<MATH>\phi\{n_i\}=S+k_BB(\overline{E}-\sum_{i=1}^ln_i\epsilon_i)+k_BC(\overline{V}-\sum_{i=1}^ln_iV_i)+k_BD(\overline{N}-\sum^l_{i=1}n_i)</MATH>|21.4}} == Rozkład Boltzmanna == Załóżmy, że istnieje N cząstek w l przegrodach, to wtedy możliwości obsadzeń jest: {{CentrujWzór|<MATH>W={{\overline N!}\over{n_1!n_2!...n_l!}}\Rightarrow \ln W=\overline N\ln \overline N-\overline N-\sum_i n_i \ln n_i+\sum_i n_i\Rightarrow \ln W=\overline N\ln \overline N-\sum_in_i\ln n_i\Rightarrow S=k_B\ln W=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\overline N\ln \overline N-k_B\sum_in_i\ln n_i=-k_B\sum_in_i\ln {{n_i}\over{\overline N}}</MATH>|21.5}} Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki {{LinkWzór|21.1}}, {{LinkWzór|21.2}}) i {{LinkWzór|21.3}}), którego definicja S jest dana tutaj wzorem {{LinkWzór|21.5}}, ma pochodną cząstkową względem n{{Sub|i}} równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, A mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, co na podstawie {{LinkWzór|21.3}} zamiast D możemy napisać {{Formuła|<MATH>D-\overline N\;</MATH>}} w {{LinkWzór|21.4}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial \phi}\over{\partial n_i}}=-k_B\left(\overline N+\ln {{n_i}\over{\overline N}}\right)-k_BBE_i-k_BCV_i-k_B(D-\overline N)\Rightarrow -k_B\left(\overline N+\ln {{n_i}\over{\overline N}}\right)-k_BBE_i-k_BCV_i+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-k_B(D-\overline N)\Rightarrow k_B\ln {{n_i}\over{\overline N}}= -k_B(BE_i+CV_i+D)\Rightarrow n_i=\overline Ne^{-(BE_i+CV_i+D)}\;</MATH>|21.6}} Jak łatwo można sprawdzić, że druga pochodna funkcjonału {{LinkWzór|21.5}} przyjmuje wartość ujemną, co spełnia właściwości maksymalizacji entropii bo wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2 \phi}\over{\partial n_i^2}}=-k_B{{\overline N}\over{n_i}}<0\;</MATH>}} Końcowy wzór na liczbę cząstek n{{Sub|i}} {{LinkWzór|21.6}} jest to rozkład Boltzmanna. == Statystyka Fermiego == W każdych obsadzanych poziomów istnieje {{Formuła|<MATh>g_j\;</math>}} stanów, które można obsadzać w przeróżny sposób przez n{{Sub|i}} cząstek, w których w każdej z przegródek (poziomów) może się znajdować conaj wyżej jedna cząstka, liczymy je jako kombinację bez powtórzeń: {{CentrujWzór|<MATH>W_i={g_i\choose n_i}={{g_i!}\over{n_i!(g_i-n_i)!}}</MATH>|21.7}} Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych W{{Sub|i}} dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l: {{CentrujWzór|<MATH>W\{n_i\}=\prod^l_{i=1}W_i=\prod^l_{i=1}{{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}</MATH>|21.8}} Jeśli podstawić do wzoru na entropię {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} wyrażenie {{LinkWzór|21.8}}, która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga {{LinkWzór|5.37|Całki_i_funkcje_Eulera|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\ln W\{n_i\}=k_B\ln \prod^l_{i=1}{{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}= k_B\sum^l_{i=1}\ln {{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=k_B\sum^l_{i=1}\left[g_i\ln g_i-g_i-n_j\ln n_j+n_j-(g_j-n_j)\ln (g_j-n_j)+(g_j-n_j)\right]</MATH>|21.9}} Wyznaczmy pochodną cząstkową entropii {{LinkWzór|21.9}} względem n{{Sub|i}}, która jest ilością cząstek w stanie "i": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial n_j}}=k_B\left[-\ln n_j-1+1+\ln (g_j-n_j)+1-1\right]=k_B\left[-\ln n_j+\ln(g_j-n_j)\right]</MATH>|21.10}} Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki {{LinkWzór|21.1}}, {{LinkWzór|21.2}} i {{LinkWzór|21.3}}), którego definicja S jest dana tutaj wzorem {{LinkWzór|21.9}}, ma pochodną cząstkową równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają. Jeśli w naszym funkcjonale na S {{LinkWzór|21.9}} dobierzemy współczynniki Lagrange'a co dostając wzór {{LinkWzór|21.4}} wtedy pochodna funkcjonału po przyrównaniu go do zera przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial\phi}\over{\partial n_i}}=k_B\left[-\ln n_j+\ln(g_j-n_j)\right]-k_BB\epsilon_i-k_BCV_i-k_BD\Rightarrow \ln\left({{g_j}\over{n_j}}-1\right)=B\epsilon_i+CV_i+D</MATH>|21.11}} Z równości {{LinkWzór|21.11}} z pewnością możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{g_j}\over{n_j}}-1=e^{B\epsilon_i+CV_i+D}\Rightarrow {{g_j}\over{n_j}}=e^{A\epsilon_i+CV_i+D}+1</MATH>|21.12}} Ostatecznie z tożsamości końcowej wyznaczonej w punkcie {{LinkWzór|21.12}} otrzymujemy liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i" o energii &epsilon;{{Sub|i}}, gdy w tym wstanie istnieje g{{Sub|i}} przegród. {{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}+1}}</MATH>|21.13}} Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Fermiego druga pochodna funkcjonału {{LinkWzór|21.5}} ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii, bo wtedy {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\phi}\over{\partial n_i^2}}=k_B\left(-{{1}\over{n_j}}-{{1}\over{g_j-n_j}}\right)<0</MATH>}} Równanie {{LinkWzór|21.13}} przedstawia rozkład Fermiego (liczby cząstek zajmującej dany poziom o energii {{Formuła|<MATH>\epsilon_i\;</MATH>}}) w zależności od energii &epsilon;{{Sub|i}} danego poziomu. == Statystyka Bosego == Załóżmy, że poziomy są skwantowane, które są podzielona na l poziomów. W każdym poziomie znajduje się {{Formuła|<MATH>g_i\;</MATH>}} stanów. Każdy stan może być wybierany więcej niż jeden raz. Liczba możliwych obsadzeń danego stanu jest kombinacją z powtórzeniami. Liczba tych sposobów jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>W_i=C^{n_i}_{g_i}={ n_i+g_j-1\choose n_i}={{(n_j+g_j-1)!}\over{n_i!(g_j-1)!}}</MATH>|21.14}} Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych W{{Sub|i}} dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l: {{CentrujWzór|<MATH>W\{n_i\}=\prod_{i=1}^l {{(n_i+g_i-1)!}\over{n_i!(g_i-1)!}}</MATH>|21.15}} Jeśli podstawić do wzoru na entropię {{LinkWzór|12.51|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} wyrażenie {{LinkWzór|21.15}}, która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga {{LinkWzór|5.37|Całki_i_funkcje_Eulera|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH>S=k_B\ln W\{n_i\}=k_B\sum^l_{i=1}\left[(n_i+g_i-1)\ln(n_i+g_i-1)-(n_i+g_i-1)-n_i\ln n_i+n_i-(g_i-1)\ln(g_i-1)+(g_i-1)\right]</MATH>|21.16}} Pochodna cząstkowa entropii {{LinkWzór|21.16}} względem liczby cząstek obsadzających dany poziom o numerze i, czyli względem n{{Sub|i}}, jest wyrażona przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial S}\over{\partial n_i}}=k_B\left[\ln(n_i+g_i-1)+1-1-\ln n_i-1+1\right]=k_B\left[\ln(n_i+g_i-1)-\ln n_i\right]=k_B\ln\left[1+{{g_i-1}\over{n_i}}\right]\simeq k_B\ln\left[1+{{g_i}\over{n_i}}\right]</MATH>|21.17}} Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a, którą definiujemy wzorem {{LinkWzór|21.4}}, w którym wykorzystamy definicję entropii zapisaną według {{LinkWzór|21.16}}, ma pochodną cząstkową względem n{{Sub|i}} równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, zatem mając wzór {{LinkWzór|21.15}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>0={{\partial\phi}\over{\partial n_i}}=k_B\ln\left[1+{{g_i}\over{n_i}}\right]-k_BB\epsilon_i-k_BCV_i-k_BD</MATH>|21.18}} W równaniu {{LinkWzór|21.16}} dokonując prostych przekształceń, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>1+{{g_i}\over{n_i}}=e^{B\epsilon_i+CV_i+D}\Rightarrow {{g_i}\over{n_i}}=e^{B\epsilon_i+C}-1</MATH>|21.19}} Z równości {{LinkWzór|21.19}} dostajemy wzór na rozkład cząstek zwanych bozonami, które obsadzają dany poziom o energii &epsilon;{{Sub|i}}, gdzie w tym poziomie liczba stanów jest równa g{{Sub|i}}. {{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}-1}}</MaTH>|21.20}} Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Bosego druga pochodna funkcjonału {{LinkWzór|21.5}} ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii bo wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\phi}\over{\partial n_i^2}}=-k_B{{1}\over{1+{{g_i}\over{n_i}}}}{{g_i}\over{n_i^2}}<0\;</MATH>}} Równanie {{LinkWzór|21.20}} jest wzorem na rozkład Bosego. == Wyznaczanie parametrów B i C w rozkładach Boltzmanna, Fermiego i Bosego == Funkcjonał napisanej w punckie {{LinkWzór|21.4}} możemy zapisać względem średniej energii i liczby cząstek należących do układu, tak by po tych przekształceniach otrzymać wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\phi\{n_i\}=\ln A(T)+B\overline{E}+C\overline{V}+D\overline{N}=\ln\Omega</MATH>|21.21}} Z równania {{LinkWzór|21.21}} możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo termodynamiczne układu statystycznego, jeśli średnia energia i liczba cząstek jest jakaś tam: {{CentrujWzór|<MATH>\Omega=A(T)e^{B\overline{E}+C\overline V+D\overline{N}}</MATH>|21.22}} Z definicji temperatury statystycznej napisanej wedle wzoru {{LinkWzór|12.5|Wprowadzenie_do_fizyki_statystycznej}} dla definicji prawdopodobieństwa termodynamicznego dla rozkładu Fermiego lub Bosego wyrażających się wzorem {{LinkWzór|21.22}}, wtedy możemy wyznaczyć stałą "B" występujących we wzorze {{LinkWzór|21.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>B={{1}\over{k_BT}}=\beta\;</MATH>|21.23}} Również można napisać korzystając z definicji stałej B {{LinkWzór|21.23}} średnią wartość, która jest zależna tylko od temperatury: {{CentrujWzór|<MATH>\beta\overline{E}+C\overline V+D\overline{N}=\operatorname{const}</MATH>|21.24}} Gdy C i D są równe zero mamy zespół kanoniczny, gdy tylko C jest równe zero to mamy wielki zespół kanoniczny, gdy D jest równe zero mamy statystykę (T,P,N) a gdy C i D są nierówne zero to mamy statystykę (T,p,μ). Jeśli przyjmiemy, że stała C jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania {{LinkWzór|21.24}} cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą C, która jest wyrażona w zależności od parametru &beta; i ciśnienia p. {{CentrujWzór|<MATH>\beta{{\partial \overline E}\over{\partial \overline V}}+C=0\Rightarrow -\beta p+C=0\Rightarrow C=\beta p\;</MATH>|21.25}} Jeśli przyjmiemy, że stała D jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania {{LinkWzór|21.24}} cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą D, która jest wyrażona w zależności od parametru &beta; i potencjału chemicznego &mu;. {{CentrujWzór|<MATH>\beta{{\partial\overline{E}}\over{\partial\overline{N}}}+D=0\Rightarrow D=-\beta\mu\;</MATH>|21.26}} Rozkład Boltzmanna zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|21.6}}, rozkład Fermiego zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|21.13}} i Bosego zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|21.20}} możemy zapisać po uzupełnienia w nich za definicję stałej "B" wzór {{LinkWzór|21.21}}, stałej "C" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór {{LinkWzór|21.23}} i stałej "D" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór {{LinkWzór|21.24}}, to wtedy: {{Tabelka|opcje=width="100%"|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Boltzmanna}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Fermiego}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Rozkład Bosego}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,V,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i=Ne^{-\beta\epsilon_i}</MATH>|B1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta\epsilon_i}+1}}</MATH>|B2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta\epsilon_i}-1}}</MATH>|B3}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i=\overline Ne^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}</MATH>|B4}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}+1}}</MATH>|B5}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}-1}}</MATH>|B6}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,p,N)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i=Ne^{-\beta(\epsilon_i+pV_i)}</MATH>|B7}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}+1}}</MATH>|B8}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}-1}}</MATH>|B9}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Zespół kanoniczny (T,p,μ)}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i=\overline Ne^{-\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}</MATH>|B10}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}+1}}</MATH>|B11}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}-1}}</MATH>|B12}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 4jougamxuf4rkpx6kge1ym03q8etscn 0 19838 559117 558620 2026-10-11T04:55:02Z Persino 2851 559117 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Poznamy tutaj całki, które są nam w fizyce bardzo potrzebne do przeprowadzania różnych obliczeń. == Całka Eulera pierwszego rodzaju == Całką Eulera pierwszego rodzaju nazywamy całkę mówiąc za Legendre całkę zapisaną za pomocą schematu poniżej, który jest funkcją argumentów a i b, które są liczbami rzeczywistymi. Ta nasza funkcja Eulera jest całką całkowalną przy granicach od zera do jedynki z pewnego wyrażenia ściśle określonego: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)=\int^1_{0}x^{a-1}\left(1-x\right)^{b-1}dx\;</MATH>|5.1}} Można udowodnić, że ze względu na przestawianie argumentów w całce {{LinkWzór|5.1}} jest działaniem przemiennym ze względu na kolejność parametrów a i b, co można udowodnić zmieniając zmienną x na x=1-t: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)=\int^1_{-1}x^{a-1}\left(1-x\right)^{b-1}dx=\int^{-1}_{1}\left(1-t\right)^{a-1}\left(1-\left(1-t\right)\right)^{b-1}d(1-t)=\int^1_{-1}\left(1-t\right)^{a-1}t^{b-1}dt=B(b,a)\;</MATH>|5.2}} Można również udowodnić tożsamość rekurencyjną, która jest zależna od argumentów a i b oraz która jest zależnością rekurencyjną po argumencie b, przedstawiamy tą rekurencję: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)={{b-1}\over{a+b-1}}B(a,b-1)\;</MATH>|5.3}} Tożsamość {{LinkWzór|5.3}} udowodniamy przez całkowanie przez części dla b>1, korzystając z definicji całki Eulera {{LinkWzór|5.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)=\int_0^1(1-x)^{b-1}x^{a-1}dx=\int_{0}^1(1-x)^{b-1}d{{x^{a}}\over{a}}={{x^{a}(1-x)^{b-1}}\over{a}}\Bigg|^{1}_0+{{b-1}\over{a}}\int_0^1x^a(1-x)^{b-2}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{b-1}\over{a}}\int^1_0x^a(1-x)^{b-1-1}dx={{b-1}\over{a}}\int^1_0{{x^{a-1}(x-1+1)(1-x)^{b-1}}\over{1-x}}dx=-{{b-1}\over{a}}\int^1_0x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{b-1}\over{a}}\int^1_0x^{a-1}(1-x)^{b-2}dx=-{{b-1}\over{a}}B(a,b)+{{b-1}\over{a}}B(a,b-1)</MATH>|5.4}} Korzystając z końcowego wniosku w przeprowadzonych obliczeniach w punkcie {{LinkWzór|5.4}} dochodzimy do wniosku, że B(a,b) można zapisać w zależności od B(a,b-1), co dowód tej zależności przeprowadzimy poniżej w taki sposób, że pierwszy wyraz po prawej stronie w wspomnianym wyprowadzeniu przenosimy na jej lewą stronę: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)+{{b-1}\over{a}}B(a,b)={{b-1}\over{a}}B(a,b-1)\Rightarrow B(a,b)\left(1+{{b-1}\over{a}}\right)={{b-1}\over{a}}B(a,b-1)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow B(a,b){{a+b-1}\over{a}}={{b-1}\over{a}}B(a,b-1)\Rightarrow B(a,b)={{b-1}\over{a+b-1}}B(a,b-1) </MATH>|5.5}} Wzór {{LinkWzór|5.5}} przestawia zależność rekurencyjną jaką oczekiwaliśmy otrzymać z obliczeń. Niech mamy już obliczone całki Eulera B(a,1), w ten sposób na podstawie zależności rekurencyjnej końcowego wywodu {{LinkWzór|5.5}} piszemy wedle schematu wzór na wielkość B(a,n), którego pierwszym argumentem jest dowolna liczba rzeczywista, a drugim argumentem jest liczba naturalna znana z analizy matematycznej ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,n)={{n-1}\over{a+n-1}}\cdot{{n-2}\over{a+n-2}}\cdots\cdot{{1}\over{a+1}}B(a,1)\;</MATH>|5.6}} Następnym krokiem jest wyznaczenie całki Eulera {{LinkWzór|5.1}} dla argumentu b=1, czyli całkę Eulera pierwszego rodzaju B(a,1), gdy drugim jego argumentem jest liczba całkowita równa jeden, zatem w takim przypadku mamy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,1)=\int_0^1x^{a-1}dx={{1}\over{a}}\;</MATH>|5.7}} Zatem wyrażenie {{LinkWzór|5.6}} przy obliczonej całce Eulera B(a,1) {{LinkWzór|5.7}}, czyli w tym ostatnim w drugim argumentem w całce Eulera pierwszego rodzaju jest liczba jeden, zatem możemy wyznaczyć ogólny wzór na opisywaną tutaj całkę. {{CentrujWzór|<MATH>B(a,n)=B(n,a)={{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot (n-1)}\over{a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1)}}\;</MATH>|5.8}} Wzór {{LinkWzór|5.8}} jest słuszny, gdy a jest rzeczywiste, określmy teraz przypadek, gdy a jest liczbą naturalną oznaczonej przez m, wtedy ze wspomnianego wzoru dostajemy wzór zapisujemy za pomocą silni: {{CentrujWzór|<MATH>B(m,n)={{(n-1)!(m-1)!}\over{(m+n-1)!}}\;</MATH>|5.9}} == Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b) == W całce Eulera {{LinkWzór|5.1}} dokonajmy podstawienia określonego wzorem {{Formuła|<MATH>x={{y}\over{1+y}}\;</MATH>}}, gdzie argument x jest ilorazem liczby y przez y+1, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,b)=\int^{\infty}_{0}{{y^{a-1}}\over{(1+y)^{a-1}}}\left(1-{{y}\over{1+y}}\right)^{b-1}d{{y}\over{1+y}}= \int_0^{\infty}{{y^{a-1}}\over{(1+y)^{a-1}}}{{1}\over{(1+y)^{b-1}}}{{1+y-y}\over{(1+y)^2}}dy=\int_0^{\infty}{{y^{a-1}}\over{(1+y)^{a+b}}}dy\;</MATH>|5.10}} W całce Eulera {{LinkWzór|5.1}} określoną wzorem {{LinkWzór|5.10}} po dokonaniu w nim podstawienia za b=1-a, 0<a<1 , dostajemy wniosek na całkę Eulera B(1-a,a): {{CentrujWzór|<MATH>B(a,1-a)=\int_0^{\infty}{{y^{a-1}}\over{1+y}^{a+1-a}}dy=\int_0^{\infty}{{y^{a-1}}\over{1+y}}dy\;</MATH>|5.11}} Całka Eulera {{LinkWzór|5.10}} można przepisać bez dowodu, którego to dowód można znaleźć w analizie matematycznej, a my tutaj napiszemy gotowe jego rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH>B(a,1-a)={{\pi}\over{\sin a\pi}}\;</MATH>|5.12}} == Całka Eulera drugiego rodzaju == Całką Eulera drugiego rodzaju nazywamy całkę zapisaną wedle schematu poniżej, która jest funkcją jednego argumentu a, całkowana w granicach od zera do nieskończoności. {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\int_0^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx\;</MATH>|5.13}} Dokonajmy podstawienia określonego wzorem {{Formuła|<MATH>x=\ln{{1}\over{z}}\;</MATH>}}, którego jest logarytmem z odwrotności liczby z i którą tą całkę {{LinkWzór|5.13}} zapisujemy po dokonaniu tego podstawienia do ostatnio wspomnianej całki: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\int^0_{\infty}\left(\ln{{1}\over{z}}\right)^{a-1}{{1}\over{e^{\ln {{1}\over{z}}} }}d\ln {{1}\over{z}}=\int_0^{\infty}\left(\ln{{1}\over{z}}\right)^{a-1}z z{{1}\over{z^2}}dz=\int_0^{\infty}\left(\ln{{1}\over{z}}\right)^{a-1}dz\;</MATH>|5.14}} Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość, z której wyjdziemy jest tożsamość {{Formuła|<MATH>\lim_{\alpha\rightarrow \infty}{{a^{\alpha}-1}\over{\alpha}}=\ln a\;</MATH>}}, w tej tożsamości należy dokonać podstawienia rozpatrzonego według schematu {{Formuła|<MATH>\alpha\rightarrow{{1}\over{n}}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\ln {{1}\over{z}}=\lim_{n\rightarrow}n\left(1-z^{{1}\over{n}}\right)\;</MATH>|5.15}} Całkę {{LinkWzór|5.14}} możemy zapisać przy pomocy udowodnionej tożsamości {{LinkWzór|5.15}} w tym tekście, którą zapisujemy przy pomocy granicy n dążącą do nieskończoności: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{\alpha-1}\int_0^1\left(1-z^{{1}\over{n}}\right)^{a-1}dz\;</MATH>|5.16}} Do tożsamości {{LinkWzór|5.16}} podstawimy podstawienie wedle schematu z=yⁿ, zatem ten nasz wspomniany wzór przyjmuje postać bardzo podobną do całki Eulera pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{a-1}\left(1-\left(y^n\right)^{{{1}\over{n}}}\right)^{a-1}dy^n=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{a}\int_0^1y^{n-1}(1-y)^{a-1}dy\;</MATH>|5.17}} Całka występująca we wzorze {{LinkWzór|5.17}} jest całką Eulera pierwszego rodzaju, zatem możemy napisać ostatnio wspomniany wzór wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{a}B(a,n)\;</MATH>|5.18}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|5.8}}, to można napisać całkę Eulera drugiego rodzaju {{LinkWzór|5.18}} zapisaną przy pomocy granicy z liczby całkowitej n dążącej do nieskończoności: {{CentrujWzór|<math>\Gamma(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^a\cdot{{1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot(n-1)}\over{a(a+1)(a+2)\cdot...\cdot(a+n-1)}}\;</MATH>|5.19}} == Ciągłość funkcji &Gamma;'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju == Całkę Eulera {{LinkWzór|5.13}} zróżniczkujmy względem argumentu "a", a potem jeszcze raz względem argumentu a, i w ten sposób otrzymamy pierwszą i drugą pochodną funkcji &Gamma;(a), to dochodzimy do postaci tych dwóch pochodnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma^'(a)=\int_0^{\infty}x^{a-1}\ln x e^{-x}dx\;</MATH>|5.20}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma^{''}(a)=\int_0^{\infty}x^{a-1}(\ln x)^2e^{-x}dx\;</MATH>|5.21}} }} n-ta pochodna funkcji &Gamma;(x) {{LinkWzór|5.13}} zapisujemy analogicznie do wzorów {{LinkWzór|5.20}} (Pierwsza pochodna funkcji &Gamma;(a) {{LinkWzór|5.13}}) i {{LinkWzór|5.21}} (Druga pochodna funkcji &Gamma;(a) {{LinkWzór|5.13}}), zatem ogólna forma tej n-tej pochodnej jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma^{(n)}(x)=\int_0^{\infty}x^{a-1}\left(\ln x\right)^ne^{-x}dx\;</MATH>|5.22}} == Postać rekurencyjna funkcji &Gamma;(x) == Przecałkujmy przez części funkcję napisaną poniżej wedle praw analizy matematycznej, z której wykorzystamy definicję funkcji &Gamma;(a) zapisaną wzorem w punkcie {{LinkWzór|5.13}}. {{CentrujWzór|<MATH>a\int_0^{\infty}x^{a-1}e^{-x}dx=x^ae^{-x}\Bigg|^{\infty}_0+\int_0^{\infty}x^{a}e^{-x}dx\;</MATH>|5.23}} Jeśli skorzystamy z definicji całki Eulera {{LinkWzór|5.13}}, to tożsamość {{LinkWzór|5.23}}, którą zapiszemy przy pomocy definicji całki Eulera &Gamma;(a) jako: {{CentrujWzór|<MATH>a\Gamma(a)=\Gamma(a+1)\;</MATH>|5.24}} Wyznaczmy całkę Eulera &Gamma;(1), wtedy funkcja potęgowa występująca we wspomnianej funkcji {{linkWzór|5.13}} (pierwszy czynnik) jest równa jeden dla a=1, ze względu na zerowanie się wykładnika potęgi (bo a-1=0) dla pierwszego czynnika w całce, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(1)=-\int_0^{\infty}e^{-x}d(-x)=-\int_0^{-\infty}e^{-x}dx=-\int_0^{-\infty}e^{x}dx=e^{x}\Bigg|_0^{-\infty}=1\;</MATH>|5.25}} Postać rekurencyjna {{LinkWzór|5.24}} dla a naturalnego, którą oznaczymy przez "n" i z własności {{LinkWzór|5.25}} możemy napisać, że: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)=(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)=(n-1)(n-2)\cdot...\cdot 1=(n-1)!\;</MATH>|5.26}} == Granica górna funkcji &Gamma;(a) dla a nieskończonego == Obierzmy takie n by było liczbą naturalną nie większą niż a, by było a>n+1, zatem mamy &Gamma;(a)>n!, jeśli dodatkowo zauważymy, że {{Formuła|<MATH>{{n}\over{a}}\rightarrow 1\;</MATH>}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)={{\Gamma(a+1)}\over{a}}>{{n!}\over{a}}={{(n-1)!n}\over{a}}=(n-1)!{{n}\over{a}}\rightarrow (n-1)!\rightarrow\infty\;</MATH>|5.27}} Widzimy, że granicą dla "a" nieskończonego jest &Gamma;(a) nieskończone, zatem największą wartością &Gamma;(a) jakie może przyjmować jest wartość nieskończona. == Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i &Gamma;(a) == Do całki {{LinkWzór|5.13}} dokonujemy podstawienia opisane przez schemat x=ty, które to x jest iloczynem liczby t i liczby y, zatem przy założeniu t>0, nasza wspomniana całka jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)=\int_0^{\infty}t^{a-1}y^{a-1}e^{-ty}d(ty)=t^a\int_0^{\infty}y^{a-1}e^{-ty}dy\Rightarrow {{\Gamma(a)}\over{t^a}}=\int_0^{\infty}y^{a-1}e^{ty}dy\;</MATH>|5.28}} We wzorze {{LinkWzór|5.28}} piszemy zamiast a wyrażenie a+b (będące sumą liczb a i b) oraz 1+t (będące sumą jedynki i liczby b) zamiast t, zatem w ten sposób dostajemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Gamma(a+b)}\over{(1+t)^{a+b}}}=\int_0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy\;</MATH>|5.29}} Tożsamość {{LinkWzór|5.29}} mnożymy przez funkcję potęgową t^a-1 czyli funkcję z liczby t o wykładniku a-1 i obie strony tak otrzymanego równania całkujemy względem zmiennej t: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a+b)\int_0^{\infty}{{t^{a-1}}\over{(1+t)^{a+b}}}dt=\int_0^{\infty}t^{a-1}dt\int_0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy\;</MATH>|5.30}} Całka występująca po lewej stronie jest funkcją B(a,b), czyli ona jest taka sama, jak całka zapisana w punkcie {{LinkWzór|5.10}}. Zatem całkę występująca po prawej stronie równości {{LinkWzór|5.30}}, przy wykorzystaniu z definicji drugiej całki Eulera (pierwszego rodzaju) {{LinkWzór|5.13}}, możemy napisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a+b)B(a,b)=\int_0^{\infty}t^{a-1}dt\int_0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-(1+t)y}dy=\int_0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-y}dy\int_0^{\infty}t^{a-1}e^{-ty}dt=\int _0^{\infty}y^{a+b-1}e^{-y}{{\Gamma(a)}\over{y^a}}dy=\;</math>{{Br}}<math>=\Gamma(a)\int_0^{\infty}y^{b-1}e^{-x}dy=\Gamma(a)\Gamma(b)\;</math>|5.31}} Tożsamość wynikająca z obliczeń przedstawionych w punkcie {{LinkWzór|5.31}} jest napisana poniżej (pierwszy wzór wynikowy), stąd możemy wyznaczyć B(a,b), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a+b)B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)\Rightarrow B(a,b)={{\Gamma(a)\Gamma(b)}\over{\Gamma(a+b)}}\;</MATH>|5.32}} == Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy &Gamma;(a) i &Gamma;(1-a), a B(a,1-a) == We wzorze {{LinkWzór|5.31}} dokonajmy podstawienia b=1-a (którego to b jest różnicą liczby 1 i liczby b), w którym wiadomo, że "a" należy do do przedziału 0<a<1, ale też później korzystając z tożsamości na funkcję B(a,1-a) napisaną w punkcie {{LinkWzór|5.12}}, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(a)\Gamma(1-a)=B(a,1-a)\Rightarrow \Gamma(a)\Gamma(1-a)={{\pi}\over{\sin a\pi}}\;</MATH>|5.33}} Korzystając z tożsamości {{LinkWzór|5.33}}, to tożsamość {{Formuła|<MATH>\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)\;</MATH>}} jest napisana wzorem wynikowym wynikających z powyższych obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)\Gamma\left(1-{{1}\over{2}}\right)={{\pi}\over{\sin {{1}\over{2}}\pi}}\Rightarrow \Gamma\left({{1}\over{2}}\right)=\sqrt{\pi}\;</MATH>|5.34}} == Wzór Stirlinga == Napiszmy funkcję &Gamma;(x+1), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju z argumentu x powiększonej o jeden, w którym dokonamy od razu podstawienia w postaci wzoru zależnej od liczby x i od parametru u, czyli podstawienia {{Formuła|<MATH>t=x+u\sqrt{x}\;</MATH>}}, wiedząc, że dla t równego zero (t=0) według wspomnianego podstawienia mamy {{Formuła|<MATH>u=-\sqrt{x}\;</MATH>}}, co wykorzystamy w całce poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(x+1)=\int_0^{\infty}t^{x}e^{-t}dt=\int_{-\sqrt{x}}^{\infty}e^{-x-u\sqrt{y}}(x+u\sqrt{x})^xdu\sqrt{x}=\int_{-\sqrt{x}}^{\infty}\sqrt{x}e^{-x-u\sqrt{x}}e^{x\ln(x+u\sqrt{x})}du=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sqrt{x}e^{-x}\int_{-\sqrt{x}}^{\infty}e^{-u\sqrt{x}+x\ln\left[x\left(1+u{{1}\over{\sqrt{x}}}\right)\right]}du= x^x\sqrt{x}e^{-x}\int^{\infty}_{-\sqrt{x}}e^{-u\sqrt{x}+x\ln\left(1+{{u}\over{\sqrt{x}}}\right)}du</MATH>|5.35}} Ponieważ posługujemy wartościami x, które są liczbami bardzo dużymi, zatem możemy powiedzieć, że posługujemy się wartościami nieskończenie dużymi, to logarytm naturalny z liczby n! możemy przybliżyć wyrażeniem {{Formuła|<MATH>\ln(1+a)\simeq a-{{a^2}\over{2}}\;</MATH>}} dla a bardzo małego bliskiego zeru, wtedy końcową całkę {{LinkWzór|5.35}} można przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma(x+1)\simeq x^x\sqrt{x}e^{-x}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u\sqrt{x}+x\left({{u}\over{\sqrt{x}}}-{{1}\over{2}}{{u^2}\over{x}}\right)}du=x^x\sqrt{x}e^{-x}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{u^2}\over{2}}}du=x^x\sqrt{x}e^{-x}\sqrt{2\pi}=\sqrt{2\pi}x^{x+{{1}\over{2}}}e^{-x}\;</MATH>|5.36}} Jeśli skorzystamy z udowodnionej tożsamości {{LinkWzór|5.36}} i za miejsce x wstawimy wartość n, to przybliżona tożsamość {{LinkWzór|5.36}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>n!\simeq\sqrt{2\pi}n^{n+{{1}\over{2}}}e^{-n}\;</MATH>|5.37}} Po zlogarytmowaniu wyrażenia {{LinkWzór|5.37}} logarytmem naturalnym ze względu na n bardzo duże w końcowych obliczeniach pomijamy składnik z liczby {{Formuła|<MATH>\ln\sqrt{2\pi}</MATH>}}, bo jest mały z porównaniu z innymi składnikami sumy: {{CentrujWzór|<MATH>\ln n!\simeq\ln\sqrt{2\pi}+\left(n+{{1}\over{2}}\right)\ln n-n\simeq n\ln n-n\;</MATH>|5.38}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 41p3iwoa2grqezn06ed0s4vo0pttbq9 0 19906 559095 558625 2026-10-11T03:40:18Z Persino 2851 559095 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W tym rozdziale zapoznamy się z wielomianami, którego definicja jest przestawiana wzorem poniżej, jest ona kombinacją liniową funkcji potęgowych x{{Sup|n}} ze współczynnikami a{{Sub|n}} i b{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n(x)=a_n x^n+b_nx^{n-1}+...\;</MATH>|9.1}} Będziemy się również zajmować wielomianami Legendre'a P{{Sub|n}}, Hermite'a H{{Sub|n}} i Laguerre'a L{{Sub|n}} i na samym końcu Czebyszewa T{{Sub|n}}. Każdy z tych wielomianów ma swoją dziedzinę zapisanych w przedziałach dla każdego wielomianu z osobna, podamy też dla tych wielomianów funkcje czemu są równe: {{Formuła|<MATH>\rho\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>A\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}}. * {{Formuła|<MATH>\begin{matrix} P_n(x):&\rho=1&A=0&B=1-x^2&x\in (-1,1)\\ H_n(x):&\rho=e^{-x^2}&A=-2x&B=1&x\in(-\infty,+\infty)\\ L_n(x):&\rho=x^{\lambda}e^{-x}&A=\lambda-x&B=x&x\in(0,\infty)\\ T_n(x):&\rho={{1}\over{\sqrt{1-x^2}}}&A=x&B=1-x^2&x\in(-1,1)\\ \end{matrix}\;</MATH>}} == Definicje ortogonalności wielomianów Q{{Sub|n}} == Zdefiniujmy iloczyn skalarny dwóch funcji jednej zmiennej f(x) i g(x), w przedziale (&alpha;,&beta;). {{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\int_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)dx\;</MATH>|9.2}} Funkcje f(x) i g(x) są ortogonalne, jeśli zachodzi warunek (f,g)=0. Wprowadzając do wzoru {{LinkWzór|9.2}} wagę &rho;(x), możemy zdefiniować iloczyn skalarny dwóch wielomianów jako: {{CentrujWzór|<MATH>(Q_n,Q_m)=\int_{\alpha}^{\beta}Q_n(x)Q_m(x)\rho(x)dx\;</MATH>|9.3}}. Wielomiany (9.1) są z definicji ortogonalne, tzn. zachodzi związek (Q{{Sub|n}},Q{{Sub|m}})=&delta;{{Sub|nm}} == Wstęp do własności wielomianów ortogonalnych == Każdą potęgę x{{Sup|k}} możemy przestawić jako kombinację liniową wielomianów ortogonalnych Q{{Sub|0}}, Q{{Sub|1}},Q{{Sub|2}},Q{{Sub|3}},...,Q{{Sub|k}}, wtedy na podstawie tej własności funkcja potęgowa dla k<n jest ortogonalna z wielomianem Q{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>(x^k,Q_n)=0\mbox{ dla }k=0,1,2,3,...,n-1\;</MATH>|9.4}} Funkcja ortogonalna Q{{Sub|n}} ma n pierwiastków, bo to wynika z tego, że ona jest iloczynem n czynników (x-x{{Sub|j}}), zatem nasz wspomniany wielomian piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot ...\cdot(x-x_n)\;</MATH>|9.5}} Aby przeprowadzić dowód przedstawienia funkcji Q{{Sub|n}} w postaci iloczynów pewnych czynników {{LinkWzór|9.5}} musimy przeprowadzić dowód nie wprost, zatem załóżmy, że nasz wielomian ma m<n pierwiastków, wtedy wielomian Q{{Sub|n}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n=(x-x_1)(x-x_2)\cdot ...\cdot(x-x_m)W_{n-m}(x)\;</MATH>|9.6}} Iloczyn skalarny wielomianu ortogonalnego Q{{Sub|n}}(x) {{linkWzór|9.6}} i wielomianu zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|9.5}} na mocy twierdzenia {{LinkWzór|9.4}} jest równy zero, na podstawie definicji iloczynu skalarnego {{LinkWzór|9.3}}, zatem iloczyn skalarny napisany tuż niżej dla m<n jest po prostu równy zero: {{CentrujWzór|<MATH>I=(Q_n,(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot ...\cdot(x-x_m)=\int_{\alpha}^{\beta}Q_n(x)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot ...\cdot(x-x_m))\rho(x)dx\;</MATH>|9.7}} Ale z drugiej jednak strony ten sam wielomian {{LinkWzór|9.5}} możemy przepisać w postaci wielomianów o ustalonych znakach, zatem iloczyn skalarny {{LinkWzór|9.7}}, dla obranej odpowiedniej funkcji Q{{Sub|n}} wyżej zdefiniowaną, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>I=\int_{\alpha}^{\beta}(x-x_1)^2(x-x_2)^2...(x-x_m)^2W_{n-m}(x)\rho(x)dx\;</MATH>|9.8}} Przeprowadźmy dowód nie wprost i załóżmy, że wielomian ma mniej pierwiastów niż n, tzn. ma ich m, a W{{Sub|n-m}} nie ma pierwiastków rzeczywistych. Na podstawie wzoru {{LinkWzór|9.7}} całka jest równa zero, bo zachodzi m<n, a całka {{LinkWzór|9.8}}, w której występują czynniki podniesione do kwadratu, które są ustalonego znaku, ale 0<n-m<n, jest nie równa zero, bo wielomian W{{Sub|n-m}} jest ustalonego znaku, zatem ten sam wynik {{LinkWzór|9.7}} i {{LinkWzór|9.8}} przyjmuje raz wynik równy zero, a za drugim razem jest nierówny zero, wtedy mamy sprzeczność, ale gdy m=n bo (m<n), to wtedy też jest sprzeczność, stąd wielomian Q{{Sub|n}} ma n pierwiastków. A więc dostajemy, że wielomian ortogonalny Q{{Sub|n}} ma n pierwiastków i da się przedstawić wzorem {{linkWzór|9.5}}. == Wielomiany ortogonalne jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych == Tutaj będziemy rozpatrywać wielomiany ortogonalne spełniających warunki ortogonalności. Aby przeprowadzić dalsze obliczenia napiszmy wielomian wymierny napisaną wedle schematu poniżej, który to jest ilorazem pochodnej zmiennej &rho;, która jest wagą przy całkowaniu przy iloczynie skalarnym {{LinkWzór|9.3}}, przez tą samą wagę, które to wyrażenie jest ilorazem wielomianu A przez B, zatem w takim przypadku ten iloraz spełnia tożsamość (pierwszy wzór), a także napiszmy warunek na równość w punktach brzegowych x=&alpha;,&beta;, który to jest iloczynem wagi &rho;(x) i wielomianu B(x), który jest równy zero w tymże punktach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{{\rho^'}\over{\rho}}={{A}\over{B}}}\;</MATH>|9.9}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho(x)B(x)=0\mbox{ dla } x=\alpha,\beta\;</MATH>|9.10}} }} Wyznaczmy funkcję V, która będzie nam bardzo potrzebna w toku dalszych obliczeń przy wyznaczeniu odpowiedniego typu równań różniczkowych, w tym celu należy skorzystać z równości {{LinkWzór|9.9}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>V={{1}\over{\rho}}\left(\rho BQ^'_n\right)^'={{1}\over{\rho}}\left[\rho^' BQ_n^'+\rho B^'Q_n^'+\rho BQ_n^{''}\right]={{\rho^'}\over{\rho}}BQ_n^'+B ^'Q_n^'+ BQ_n^{''}={{A}\over{B}}BQ_n^'+B^'Q_n^'+BQ_n^{''}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(A+B^'\right)Q^'_n+BQ_n^{''}\;</MATH>|9.11}} Zbadajmy ortogonalność wielomianów V z funkcją potęgową x{{Sup|k}} dla k<n, wtedy obliczmy najpierw iloczyn skalarny funkcji V z funkcją potęgową, i sprawdzimy później czy te tutaj wspomniane wielomiany są do siebie ortogonalne, ale najpierw całkując w tak otrzymanym iloczynie skalarnym przez części, dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>(V,x^k)=\int_{\alpha}^{\beta}x^k(\rho BQ_n^')^'dx=x^k\rho BQ_n^'\Bigg|_{\alpha}^{\beta}-k\int_{\alpha}^{\beta}x^{k-1}\rho(x)B(x)Q_n^'(x)dx\;</MATH>|9.12}} Zakładamy, że iloczyn &rho;(x)B(x) w punktach &alpha; i &beta; jest równy zero, czyli zachodzi wzór {{LinkWzór|9.10}}, zatem pierwszy składnik we wzorze {{LinkWzór|9.12}} znika, zatem pozostaje nam tylko drugi składnik, którego całkujemy przez części. {{CentrujWzór|<MATH>(V,x^k)=k\int_{\alpha}^{\beta}\left(x^{k-1}\rho(x)B(x))\right)^'Q_{n}(x)dx=k\int_{\alpha}^{\beta}\left[(k-1)x^{k-2}\rho(x)B(x)+x^{k-1}\left(\rho(x)B(x)\right)^{'}\right]Q_n(x)dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =k\int_{\alpha}^{\beta}\left[(k-1)x^{k-2}B(x)+x^{k-1}{{1}\over{\rho}}\left(\rho^'(x)B+\rho B^'\right)\right]Q_n(x)\rho(x) dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= k\int_{\alpha}^{\beta}\left[(k-1)x^{k-2}B(x)+x^{k-1}\left(A+ B^'\right)\right]Q_n(x)\rho(x) dx</MATH>|9.13}} Ponieważ wyrażenia x{{Sup|k}} i x{{Sup|k-1}} są wielomianami, dla których zachodzi k<n, zatem wielomian Q_n jest prostopadły do funkcji potęgowej, stąd wynika, że wyrażenie {{LinkWzór|9.13}} jest równe zero, zatem wielomian V zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|9.11}} jest wielomianem prostopadłym do funkcji potęgowej x{{Sup|k}}, zatem w takim przypadku możemy napisać, że wielomian V jest wyrażamy wzorem V=&gamma; Q{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left(A+B^'\right)Q^'_n+BQ_n^{''}=\gamma Q_n\;</MATH>|9.14}} Współczynnik &gamma; wyznaczamy w równaniu różniczkowym {{LinkWzór|9.14}} w taki sposób by porównać w nim wyrazy stojące przy x{{Sup|n}}, to w takim razie dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=n\left[A_1+(n+1)B_2\right]\;</MATH>|9.15}} Mając równanie różniczkowe {{LinkWzór|9.14}} na wielomian ortogonalny Q{{Sub|n}} zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|9.1}}, zatem możemy napisać wzory różniczkowe na wielomiany Legendre'a P{{Sub|n}}, Hermite'a H{{Sub|n}},Laguerre'a L{{Sub|n}} i Czybyszewa T{{Sub|n}} podstawiając za A i B pewne ściśle określone wielomiany: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Wielomian Legendre'a P{{Sub|n}}'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Wielomian Hermite'a H{{Sub|n}}'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1-x^2)P_n^{''}-2xP^'_n+n(n+1)P_n=0</MATH>|9.16}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>H_n^{''}-2xH^'_n+2n H_n=0\;</MATH>|9.17}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Wielomian Laguerre'a L{{Sub|n}}'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Wielomian Czebyszewa T{{Sub|n}}'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>xL_n^{''}+(\lambda+1-x)L_n^'+nL_n=0\;</MATH>|9.18}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>(1-x^2)T^{''}_n-xT^'_n+n^2T_n=0\;</MATH>|9.19}}}}<!-- -->}}}} == Wzór Rodrigues'a == Można wykazać, że wielomiany ortogonalne można zapisać nade wszystko w prostej postaci. Wielomiany {{Formuła|<MATH>Q_n(x);</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\tilde{Q}_n\;</MATH>}} są to wielomiany różniące się tylko stałym czynnikiem, wtedy wzór Rodrigues'a wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_n-\tilde{Q}_n={{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^{(n)}\;</MATH>|9.20}} Znając wzór {{LinkWzór|9.20}} nie jesteśmy pewni, czy wielomian {{Formuła|<MATH>\tilde{Q}_n(x)\;</MATH>}} jest w ogóle wielomianem, zatem zapiszmy wielomian poniżej i sprawdźmy czemu jest równy wielomian określony: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^k\;</MATH>|9.21}} Wyznaczmy wyrażenie {{LinkWzór|9.21}} dla k=0, czyli dla pochodnej zerowego rzędu, zatem dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^{(0)}=B^n\;</MATH>|9.22}} Teraz wyznaczmy wyrażenie {{LinkWzór|9.21}} dla k=1, czyli dla pochodnej pierwszego rzędu, wtedy będziemy musieli wykorzystać wzór {{LinkWzór|9.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^1={{1}\over{\rho}}\left(\rho^' B^n+\rho nB^{n-1}B^'\right)={{\rho^'}\over{\rho}}B^n+nB^{n-1}B^'={{A}\over{B}}B^n+nB^{n-1}B^'=AB^n+B^{n-1}B^'=B^{n-1}\left(A+nB^'\right)\;</MATH>|9.23}} Patrząc na dwa wnioski, czyli {{LinkWzór|9.22}} (przypadek zerowej pochodnej) i {{LinkWzór|9.23}} (przypadek pierwszej pochodnej), możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik {{LinkWzór|9.21}} jest iloczynem wielomianu B{{Sup|n-k}} i wielomianu W{{Sub|k}}, zatem w takim przypadku dochodzimy do wniosku, że spełniona jest prawdopodobnie tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^{(k)}=B^{n-k}W_k\;</MATH>|9.24}} Aby udowodnić tożsamość {{LinkWzór|9.24}} należy skorzystać z metody indukcji zupełnej. Przypadek k=0,1, czyli przypadki {{LinkWzór|9.22}} i {{LinkWzór|9.23}} zostały już udowodnione, zatem w takim przypadku wykażmy, czy z zdania n wynika zdanie n+1, zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho}}\left(\rho B^n\right)^{(k+1)}={{1}\over{\rho}}\left[(\rho B^n)^{(k)}\right]^'={{1}\over{\rho}}\left[\rho B^{n-k}W_k\right]^' ={{1}\over{\rho}}\left[\rho^' B^{n-k}W_k+\rho \left(B^{n-k}\right)^'W_k+\rho B^{n-k}W_k^'\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=AB^{n-k-1}W_k+(n-k)B^{n-k-1}W_k+B^{n-k}W_k^'=B^{n-k-1}\left(AW_k+(n-k)W_k+BW_k^'\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=B^{n-k-1}\left(W_k(A+n-k)+BW_k^'\right)\;</MATH>|9.25}} Jeśli porównamy wynik końcowy wynikowy {{LinkWzór|9.25}} i wzór {{LinkWzór|9.24}}, wtedy mamy tożsamość iteracyjną: {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=BW_k^'+(A+(n-k)B^')W_k\;</MATH>|9.26}} Jest to równanie różniczkowo-róznicowe na wielkość W{{Sub|n}}, któremu odpowiada wartość początkowa iteracji: {{CentrujWzór|<MATH>W_0=1\;</MATH>|9.27}} Gdy mamy n=k, przypadek wielomianu W{{Sub|n}} zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|9.20}} pokrywa się z wielomianem {{Formuła|<MATH>\tilde{Q}_n\;</MATH>}}, zatem problem znalezienia wielomianów ortogonalnych sprowadza się do problemu znalezienia wielomianu W{{Sub|n}}. Ten wielomian będziemy zapisywali go podobnie jak we wzorze {{LinkWzór|9.1}} dla wielomianu Q{{Sub|n}}, czyli określmy nasz wielomian W_n jako: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=w_nx^m+v_nx^{m-1}+...\;</MATH>|9.28}} == Wielomiany Legendre'a == Wielomiany Legendre'a są opisywane przez równanie różniczkowe opisane przez wzór {{LinkWzór|9.16}}, gdzie B=1-x^2 i A=0, wtedy równanie iteracyjne {{LinkWzór|9.26}} przyjmuje postać iteracyjną: {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=(1-x^2)W_k^'-2x(n-k) W_k\;</MATH>|9.29}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k+1}} w {{LinkWzór|9.29}}, zatem możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k: {{CentrujWzór|<MATH>w_{k+1}=-w_kk-2(n-k)w_k\Rightarrow w_{k+1}=-2w_k(n-k)-k=-w_k(2n-2k+k)w_k=-(2n-k)w_k\Rightarrow w_{k+1}=-(2n-k)w_k\;</MATH>|9.30}} Napiszmy w sposób zwarty współczynniki w{{Sub|n}} dla wielomianu W{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>w_n=(n-1-2n)(n-2-2n)(n-3-2n)\cdot...(0-2n)=(-n-1)(-n-2)(-n-3)\cdot...\cdot(-2n)=(-1)^n{{(2n)!}\over{n!}}\;</MATH>|9.31}} Jeśli będziemy porównywać współczynnikami stojące przy potędze x{{Sup|k}} w {{linkWzór|9.42}} dostajemy tożsamość iteracyjną: {{CentrujWzór|<MATH>v_{k+1}=-(k-1)v_k+(2k-2n)v_{k}=(k+1-2n)v_k\;</MATH>|9.32}} Gdy zadamy warunek brzegowy v{{Sub|0}}=0, wtedy na podstawie warunku {{linkWzór|9.32}} dostajemy wniosek, że v{{Sub|n}}=0. {{Rysunek|Legendre Polynomials for n&#61;0 to 5.jpeg|kw1|Wielomiany Legendre'a P{{Sub|n}}(x) dla n&#61;0,...,5|rozmiar=300px}} Wielomiany Legrendre'a jako rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|9.16}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_n={{(-1)^n}\over{2^nn!}}\tilde{P}_n={{(-1)^n}\over{2^nn!}}\left[\left(1-x^2\right)^n\right]^{(n)}\;</MATH>|9.33}} Czynniki stojące przy dwóch ostatnich wyrazach dla wielomianów Legendre'a {{LinkWzór|9.33}} są równe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_n={{(2n)!}\over{2^n(n!)^2}}\;</MATH>|9.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_n=0\;</MATH>|9.35}} }} == Wielomiany Hermite'a == {{Rysunek|Hermite_polynomial.svg|w1|Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite'a|rozmiar=300px}} Rozpatrzmy równanie iteracyjne dla wielomianów iteracyjnych W{{Sub|k}}, który jest odpowiednikiem równania różniczkowego Hermite'a {{LinkWzór|9.17}}. {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=W_k^'-2xW_k\;</MATH>|9.36}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k}} i x{{Sup|k-1}}, i przyjmując odpowiednie warunki brzegowe, tzn. w{{Sub|0}}=1 i v{{Sub|0}}=0, wtedy dostajemy wnioski iteracyjne dla tych dwóch najwyższych współczynników. Jak się przekonamy współczynnik v{{Sub|n}} jest równy zawsze zero, bo współczynnik v₀ jest równy zero. Współczynniki w{{Sub|n}} i v{{Sub|n}} na współczynników {{Formuła|<MATH>w_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>v_k\;</MATH>}}, z których otrzymamy ich wersje, ale z {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}}, z postaci iteracyjnej na postać zwartą, są przedstawione wzorami w sposób: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>w_{k+1}=-2w_k\wedge w_0=1\Rightarrow w_n=(-2)^n\;</MATH>|9.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>v_{k+1}=-2v_k\wedge v_0=0\Rightarrow v_n=0\;</MATH>|9.38}} }} Wielomiany Hermite'a nazywamy wielomianami napisane jako: {{CentrujWzór|<MATH>H_n=(-1)^n\tilde{H}_n=(-1)^ne^{x^2}\left(e^{-x^2}\right)^{(n)}\;</MATH>|9.39}} Czynniki stojący w ostatnich wyrazach we wzorze na wielomiany Legendre'a H_n {{LinkWzór|9.39}} są równe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_n=2^n\;</MATH>|9.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_n=0\;</MATH>|9.41}} }} == Wielomiany Laguerre'a == {{Rysunek|Laguerre_polynomials-four.png|w2|Wykresy pierwszych czterech wielomianów Laguerre'a|rozmiar=300px}} Równaniem iteracyjnym równania różniczkowego Hermitte'a nazywamy wielomian, który jest odpowiednikiem równania różniczkowego {{LinkWzór|9.18}}, który wyrażamy wzorem iteracyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=xW_k^'+(\lambda-x+n-k)W_k\;</MATH>|9.42}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k+1}} w {{LinkWzór|9.42}} możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w{{Sub|k}}, stąd z warunkiem brzegowym w₀=1 otrzymujemy w{{sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>w_{k+1}=-w_k\Rightarrow w_k=(-1)^k\Rightarrow w_n=(-1)^n\;</MATH>|9.43}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k}} w {{LinkWzór|9.42}} możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika v{{Sub|k}}, stąd z warunkiem brzegowym v{{Sub|0}}=0 otrzymujemy v{{sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_{k+1}=kw_k+(\lambda+n-k)w_k-v_{k}=(\lambda+n)w_k-v_k=(\lambda+n)(-1)^k-v_k\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow v_n=(-1)^{n-1}(\lambda+n)n\;</MATH>|9.44}} Wielomianem Laguerre'a nazywamy wielomianem ortogonalnym, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>L_n=\tilde{L}_n=x^{-1}e^x\left(x^{\lambda+n}e^{-x}\right)^{(n)}\;</MATH>|9.45}} Najwyższe dwa współczynniki stojące przy wielomianie Laguerre'a L{{Sub|n}} są to współczynniki opisujące wielomian: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_n=(-1)^n\;</MATH>|9.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_n=(-1)^{n-1}n(n+\lambda)\;</MATH>|9.46a}} }} == Wielomian Czebyszewa == Równaniem iteracyjnym równania różniczkowego Hermitte'a nazywamy wielomian, który jest odpowiednikiem {{linkWzór|9.19}}, który wyrażamy wzorem iteracyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>W_{k+1}=(1-x^2)W^'_k+\left[x-2(n-k)x\right]W_k\;</MATH>|9.47}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k+1}} w {{LinkWzór|9.47}} możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k, stąd z warunkiem brzegowym w{{Sub|0}}=1 otrzymujemy w{{sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>w_{k+1}=-kw_k-(2n-2k-1)w_k=-w_k\left(2n-k-1\right)]\Rightarrow w_{k}=-w_{k-1}(2n-k)\Rightarrow w_n=(-1)^n{{(2n-1)!}\over{(n-1)!}}\;</MATH>|9.48}} Porównując współczynniki stojące przy potędze x{{Sup|k}} w {{LinkWzór|9.47}} możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika v{{Sub|k}}, stąd z warunkiem brzegowym v{{Sub|0}}=0 otrzymujemy v{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>v_{k+1}=-v_k(k-1)+[1-2(n-k)]v_k=(1-2n+2k-k+1)v_k=(2-2n+k)v_k\Rightarrow v_n=0\;</MATH>|9.49}} {{Rysunek|Czebyszew polynomials for n&#61;0 to 5.jpeg|lk2|Wykresy wielomianu Czebyszewa dla n&#61;0 do n&#61;5|rozmiar=300px}} Wielomianem Czebyszewa nazywamy wielomianem, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego Czebyszewa {{LinkWzór|9.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>T_n=(-1)^n{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\tilde{T}_n=(-1)^n{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\sqrt{1-x^2}\left[(1-x^2)^{n-{{1}\over{2}}}\right]^{(n)}\;</MATH>|9.50}} Przy wielomianach Czebyszewa T_n współczynniki stojące przy dwóch najwyższych jego potęgach są to współczynniki wyrażone wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a_n=1\;</MATH>|9.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b_n=0\;</MATH>|9.52}} }} == Definicja normy wielomianów ortogonalnych == Wielomiany ortogonalne nie stanowią zwykle bazy ortogonalnej, ponieważ ich normy są nierówne jeden, zatem normą wielomianu ortonormalnego nazywamy normą zapisywanej wzorem przy korzystaniu z definicji iloczynu skalarnego dla dwóch wielomianów ortonormalnych {{LinkWzór|9.3}}: {{CentrujWzór|<MATH>||Q_n||^2=(Q_n,Q_n)=(a_nx^n+b_nx^{n-1}+...,Q_n)\;</MATH>|9.53}} Wiadomo, że wielomian x{{Sup|k}} jest ortonormalny do wielomianu Q{{Sub|n}} dla k<n, wtedy norma wielomianu ortogonalnego dla ściśle określonego n w {{LinkWzór|9.53}} sprowadza się do postaci poniżej, wprowadzając jeszcze współczynnik f{{Sub|n}}, który jest wprost proporcjonalności pomiędzy {{Formuła|<MATH>Q_n\;</MATH>}} a {{Formuła|<MATH>\hat{Q}_n\;</MATH>}}, i całkując tak otrzymaną całkę n razy przez części, dostajemy stąd wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>||Q_n||^2=a_n(x^n,Q_n)=a_n(x^n,Q_n)=a_nf_n\int_{\alpha}^{\beta}x^n{{1}\over{\rho}}(\rho B^n)^{(n)}\rho dx=(-1)^nn!a_nf_n\int_{\alpha}^{\beta}\rho B^ndx\;</MATH>|9.54}} Napiszmy teraz normy dla poszczególnych rozważanych tutaj wielomianów ortonormalnych w tymże module. === Norma dla wielomianu Legendre'a === Przy liczeniu normy wielomianu Legendre'a {{LinkWzór|9.33}}, korzystamy z definicji normy wielomianu Q{{Sub|n}} {{LinkWzór|9.54}}, i z definicji wagi równą &rho;=1 oraz ʙ=1-x{{Sup|2}} i A=0: {{CentrujWzór|<MATH>||P_n||^2=(-1)^n n!\underbrace{{{(2n)!}\over{2^n(n!)^2}}}_{a_n}\underbrace{{{(-1)^n}\over{2^n n!}}}_{f_n}\int^1_{-1}(1-x^2)^ndx\;</MATH>|9.55}} Obliczmy tę całkę dokonując podstawienia t=(x+1)/2, czyli x=2t-1, w ten sposób możemy piszemy {{LinkWzór|9.55}}: {{CentrujWzór|<MATH>||P_n||^2={{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}\int_{0}^1\left(1-\left(2t-1\right)^2\right)^n2dt={{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}\int_0^1\left(1-4t^2+4t-1\right)2dt= {{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}\int_0^1\left(-4t^2+4t\right)^ndt=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}2^{2n+1}\int_0^1t^n(1-t)^ndt= {{(2n)!}\over{2^{2n}(n!)^2}}2^{2n+1}B(n+1,n+1)=2{{(2n)!}\over{(n!)^2}}{{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1)}\over{\Gamma(2n+2)}}=2{{(2n)!}\over{(n!)^2}}{{n!n!}\over{(2n+1)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2}\over{2n+1}}\;</MATH>|9.56}} === Norma dla wielomianu Hermite'a === Przy liczeniu normy wielomianu Hermite'a {{LinkWzór|9.39}}, korzystamy z definicji normy wielomianu Q{{Sub|n}} {{LinkWzór|9.54}}, zatem ta nasza rozważaną normę piszemy wedle schematu poniżej przy definicji &rho;=e{{Sup|-x{{Sup|2}}}} oraz B=1 i A=-2x, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>||H_n||^2=(-1)^n n! 2^n(-1)^n\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx=2^nn!\sqrt{\pi}\;</MATH>|9.57}} === Norma dla wielomianu Laguerre'a === Przy liczeniu normy wielomianu Hermite'a {{LinkWzór|9.39}}, korzystamy z definicji normy wielomianu Q{{Sub|n}} {{LinkWzór|9.54}}, to ta nasza rozważaną normę piszemy wedle przepisu poniżej przy definicjach {{Formuła|<MATH>\rho=x^{\lambda} e^{-x}\;</MATH>}} oraz B=x i A=&lambda;-x gdzie &lambda;>-1, korzystając przy tym z definicji funkcji &Gamma; Eulera drugiego rodzaju {{LinkWzór|5.13|Całki i funkcje Eulera}}: {{CentrujWzór|<MATH>||L_n||^2=(-1)^nn!(-1)^n\int_0^{\infty}x^{\lambda+n}e^{-x}dx=n!\Gamma(\lambda+n+1)\;</MATH>|9.58}} === Norma dla wielomianu Czebyszewa === Przy liczeniu normy wielomianu Czebyszewa {{LinkWzór|9.50}}, korzystamy z definicji normy wielomianu Q{{Sub|n}} {{LinkWzór|9.54}}, zatem ta nasza rozważaną normę piszemy wedle schematu poniżej przy definicji {{Formuła|<MATH>\rho={{1}\over{\sqrt{1-x^2}}}\;</MATH>}} oraz B=1-x{{Sup|2}} i A=x korzystając przy tym z definicji funkcji &Gamma; Eulera drugiego rodzaju {{LinkWzór|5.13|Całki i funkcje Eulera}}: {{CentrujWzór|<MATH>||T_n||^2=(-1)^nn! (-1)^n{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\int_{-1}^1(1-x^2)^{n-{{1}\over{2}}}dx=n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\int_{0}^1\left[1-\left(2t-1\right)^2\right]^{n-{{1}\over{2}}}dx=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\int_{0}^1\left(1-4t^2-1+4t\right)^{n-{{1}\over{2}}}dt= =n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}2^{2n}\int_{-1}^1t^{n-{{1}\over{2}} }(1-t)^{n-{{1}\over{2}}}dt= n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}2^{2n}B\left(n+{{1}\over{2}},n+{{1}\over{2}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}2^{2n}{{\Gamma(n+{{1}\over{2}})\Gamma(n+{{1}\over{2}})}\over{\Gamma(2n+1)}}= =n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}2^{2n} {{\left(n-{{1}\over{2}}\right)^2\left(n-{{3}\over{2}}\right)^2\cdot...\cdot\left({{3}\over{2}}\right)^2\left({{1}\over{2}}\right)^2\Gamma\left({{1}\over{2}}\right)^2}\over{(2n)!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n!{{(n-1)!}\over{(2n-1)!}}\pi{{\left((2n-1)!!\right)^2}\over{(2n)!}}= {{n!(n-1)!}\over{(2n-2)!!}}\pi{{(2n-1)!!(2n)!!}\over{(2n)!(2n)!!}}= {{n!(n-1)!}\over{(2n-2)!!}}\pi{{(2n)!}\over{(2n)!(2n)!!}}={{n!(n-1)!}\over{(2n-2)!!}}\pi{{1}\over{(2n)!!}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= ={{n!(n-1)!2n}\over{(2n)!!^2}}\pi={{n!(n-1)!2n}\over{2^{2n}(n!)^2}}\pi={{n!n!2n}\over{n2^{2n}(n!)^2}}\pi={{1}\over{2^{2n-1}}}\pi={{\pi} \over{2^{n-1}}}\;</MATH>|9.60}} Następnym krokiem jest wyznaczenie normy wielomianu Czebyszewa T{{Sub|n}} dla n=0, korzystając z definicji normy dowolnego wielomianu {{LinkWzór|9.54}} dla tego n, zatem możemy policzyć tą wielkość wedle poniższego sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>||T_0||^2=\int^{1}_{-1}\left(1-x^2\right)^{-{{1}\over{2}}}dx=\int_0^{1}\left[1-\left(2t-1\right)^2\right]^{-{{1}\over{2}}}=\int_0^{1}t^{-{{1}\over{2}}}(1-t)^{-{{1}\over{2}}}={{\Gamma^2\left({{1}\over{2}}\right)}\over{\Gamma(1)}}=\left(\sqrt{\pi}\right)^2=\pi\;</MATH>|9.61}} == Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych == Przestawmy wielomian xQ{{Sub|n}} w postaci rekurencyjnej, który jest jakoby wielomianem n+1 stopnia, który jest kombinacją wielomianów Q{{Sub|0}}, Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}},...,Q{{Sub|n+1}}: {{CentrujWzór|<MATH>xQ_n=\sum_{j=0}^{n+1}c_jQ_j\;</MATH>|9.62}} Na wielomian xQ{{Sub|n}}{{LinkWzór|9.62}} podziałajmy iloczynem skalarnym zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|9.2}} względem wielomianu Q{{Sub|j}}, zatem w takim przypadku możemy napisać, że współczynnik c{{Sub|i}} jest iloczynem skalarnym członu xQ{{Sub|n}} przez człon Q{{Sub|i}} podzielonej przez kwadrat modułu wielomianu Q{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>(xQ_n,Q_i)=\left(\sum_{j=0}^{n+1}c_jQ_j,Q_i\right)=\sum_{j=0}^{n+1}c_j(Q_j,Q_i)=c_i||Q_i||\Rightarrow c_i={{(xQ_n, Q_i)}\over{||Q_i||^2}} ={{\int_{\alpha}^{\beta}xQ_nQ_idx}\over{||Q_i||^2}}={{\int_{\alpha}^{\beta}xQ_iQ_n\rho dx}\over{||Q_i||^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(xQ_i,Q_n\right){{1}\over{||Q_i||^2}}\;</MATH>|9.63}} Na podstawie definicji współczynnika c{{Sub|i}} możemy powiedzieć, że wielomian xQ{{Sub|n}} jest kombinacją wielomianów Q{{Sub|n+1}}, Q{{Sub|n}} i Q{{Sub|n-1}}, czyli w ten w sposób określamy współczynniki c{{Sub|n+1}}, c{{Sub|n}} i c{{Sub|n-1}}, a pozostałe współczynniki c{{Sub|i}} na podstawie związku {{LinkWzór|9.63}} są równe zero, zatem wielomian {{LinkWzór|9.62}} jest równy wyrażeniu: {{CentrujWzór|<MATH>xQ_n=c_{n+1}Q_{n+1}+c_nQ_n+c_{n-1}Q_{n-1}\;</MATH>|9.64}} W wielomianie {{LinkWzór|9.64}} zapisaną w sposób rekurencyjny, w którym porównując współczynniki stojące przy potęgach x{{Sup|n+1}} dostajemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>a_n=c_{n+1}a_{n+1}\Rightarrow c_{n+1}={{a_n}\over{a_{n+1}}}\;</MATH>|9.65}} Następnym krokiem jest porównanie współczynników stojących przy x{{Sup|n}}, w takim wypadku: {{CentrujWzór|<MATH>b_n=a_nc_n+b_{n+1}c_{n+1}\;</MATH>|9.66}} Przy liczeniu współczynnika c{{Sub|n}}, który wynika ze związku {{linkWzór|9.66}} wykorzystamy definicję współczynnika c{{Sub|n+1}} {{LinkWzór|9.65}}, co wyniku czego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>c_n={{b_n}\over{c_n}}-{{b_{n+1}c_{n+1}}\over{a_n}}={{b_n}\over{c_n}}-{{b_{n+1}a_n}\over{a_n a_{n+1}}}={{b_n}\over{c_n}}-{{b_{n+1}}\over{a_{n+1}}}\;</MATH>|9.67}} Jeśli skorzystamy ze wzoru końcowego wynikowego {{LinkWzór|9.63}} dochodzimy do związku na współczynnik c_n-1 rozpisując go korzystając z {{LinkWzór|9.65}}. {{CentrujWzór|<MATH>c_{n-1}=(xQ_n,Q_{n-1}){{1}\over{||Q_{n-1}||^2}}={{\int_{\alpha}^{\beta}xQ_nQ_{n-1}}\over{||Q_{n-1}||^2}}={{\int_{\alpha}^{\beta}xQ_{n-1}Q_n}\over{||Q_{n-1}||^2}}= {{(xQ_{n-1},Q_n)}\over{||Q_{n-1}||^2}}={{(xQ_{n-1},Q_n)}\over{||Q_n||^2}}{{||Q_n||^2}\over{||Q_{n-1||^2}}}={a_{n-1}{}\over{a_n}}{{||Q_n||^2}\over{||Q_{n-1||^2}}}\;</MATH>|9.68}} == Wielomiany ortogonalne, a jego funkcje tworzące == Funkcjami tworzącymi nazywamy funkcje dwóch zmiennych, które po rozłożeniu w szereg potęgowy względem jednej zmiennej, przy którym w każdym składniku występuje pewien ściśle określony wielomian ortogonalny. Teraz napiszmy funkcję tworzącą &Psi; dla wielomianów {{Formuła|<MATH>\tilde{Q}_n\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)=\sum_{n=0}^{\infty}{{\tilde{Q}_n(x)}\over{n!}}w^n\;</MATH>|9.69}} Jeśli skorzystamy ze wzoru całkowego Cauchy'ego {{LinkWzór|9.17}}, wtedy wzór zapisany w punkcie {{LinkWzór|9.69}} można zapisać w troszeczkę w innej postaci, ale równoważnej do poprzedniego: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}{{1}\over{\rho(x)}}{{d^n}\over{dx^n}}\left[\rho(x) B^n(x)\right]={{1}\over{\rho(x)}}\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}{{d^n}\over{dx^n}}\left[\rho(x)B^n(x)\right]\;</MATH>|9.70}} Jeśli wykorzystamy wzór całkowy Cachy'ego {{LinkWzór|8.17|Wprowadzenie do funkcji zespolonej}}, wtedy możemy napisać tożsamość całkową: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(x)B^n(x)={{1}\over{2\pi i}}\oint_C{{\rho(z)B^n(z)}\over{z-x}}dz\;</MATH>|9.71}} Wzór {{LinkWzór|9.70}} na podstawie własności {{LinkWzór|9.71}}, która jest całką Cachy'ego w pewnym sensie, przekształcamy do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}{{d^n}\over{dx^n}}\oint_Cdz{{\rho(z)B^n(z)}\over{z-x}}= {{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}\oint_Cdz \rho(z)B^n(z){{n!}\over{(z-x)^{n+1}}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint_C{{\rho(z)dz}\over{z-x}}\sum_{n=0}^{\infty}{{w^nB^n(z)}\over{(z-x)^n}}</math>|9.72}} W wyrażeniu na &Psi;(z,w) pod sumą mamy szereg geometryczny o ilorazie {{Formuła|<MATH>q={{wB}\over{(z-x)}}\;</MATH>}}, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|9.72}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Psi(x,w)={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint_C{{\rho(z)dz}\over{z-x}}{{1}\over{1-{{wB(z)}\over{(z-x)}}}}={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint_C{{\rho(z)dz}\over{z-x}}{{(z-x)}\over{z-x-wB(z)}}={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint_C{{\rho(z)dz}\over{z-x-wB(z)}}dz</MATH>|9.73}} Funkcję &Psi;(x,w) {{LinkWzór|9.73}} z zasadami liczenia residuum wyznaczamy względem puntu osobliwego z₁ wynikający z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>z_1-x-wB(z_1)=0\;</MATH>|9.74}} Wokół punktu z{{Sub|1}} w całce {{LinkWzór|9.73}} mianownik dąży do zera, zatem możemy skorzystać z reguły de l'Hospitala, wtedy tą naszą całkę piszemy wedle schematu poniżej. Nasza całka przebiega po linii zamkniętej w przestrzeni zespolonej o promieniu dążącej do zera (można udowodnić, że ten sam wynik wyjdzie, gdy policzymy całkę {{linkWzór|9.73}} po dowolnej linii zamkniętej w płaszczyźnie zespolonej okalający ten właśnie punkt, punkt osobliwy), a także w tych samych przekształceniach wykorzystamy metodę liczenia residuum {{LinkWzór|8.32|Wprowadzenie do funkcji zespolonej}}. {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}\oint{{\rho^'(z)dz}\over{1-wB^'(z)}}={{1}\over{2\pi i\rho(x)}}{{1}\over{1-wB^'(z_1)}}\oint\rho^'(z)dz= {{1}\over{2\pi i\rho(x)}}{{1}\over{1-wB^'(z_1)}}2\pi i \rho(z_1)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{\rho(x)}}{{\rho(z_1)}\over{1-wB^'(z_1)}}\;</MATH>|9.75}} === Funkcje tworzące dla wielomianów Legendre'a === Równanie {{LinkWzór|9.74}} dla wielomianu Legendre'a {{LinkWzór|9.33}}, dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>B(x)=1-x^2\;</MATH>}} i &rho;=1, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>z_1-x-w(1-z_1^2)=0\Rightarrow 0=z_1-x-w+wz_1^2\Rightarrow wz_1^2+z_1-x-(x+w)=0\Rightarrow z_1={{-1\pm\sqrt{1+4w(x+w)}}\over{2w}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{-1\pm{{\sqrt{1+4wx+4w^2}}}\over{2w}}}</MATH>|9.76}} Rozwiązanie {{LinkWzór|9.76}} z minusem odrzucamy, ponieważ z{{Sub|1}} jest poza przedziałem zmienności wielomianu Legendre'a, natomiast rozwiązanie z plusem przyjmujemy, bo jest w granicach przedziału zmienności naszego wielomianu, zatem funkcję tworzącą {{linkWzór|9.75}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)={{1}\over{1+2wz_1}}={{1}\over{1+2w{{-1+\sqrt{1+4wx+4w^2}}\over{2w}}}}={{1}\over{\sqrt{1+4wx+4w^2}}}=\sum_{n=0}^n{{w^n}\over{n!}}\tilde{P}_n(x)\;</MATH>|9.77}} Jeśli dodatkowo we wniosku {{LinkWzór|9.77}} napiszemy {{Formuła|<MATH>w=-{{\nu}\over{2}}\;</MATH>}}, to dojdziemy do następującej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\sqrt{1-2x\nu+\nu^2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n{{\nu^n}\over{2^nn!}}\tilde{P}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n{{\nu^n}\over{2^nn!}}{{2^nn!}\over{(-1)^n}}P_n(x)\Rightarrow{{1}\over{\sqrt{1-2x\nu+\nu^2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\nu^nP_n(x)\;</MATH>|9.78}} === Funkcje tworzące dla wielomianów Hermite'a === Równanie {{LinkWzór|9.74}} dla wielomianów Hermite'a {{LinkWzór|9.39}}, dla którego mamy B(x)=1, {{Formuła|<MATH>\rho(x)=e^{-x^2}\;</MATH>}}, jest napisane: {{CentrujWzór|<MATH>z_1-x-w=0\;</MATH>|9.79}} Funkcja tworząca {{LinkWzór|9.75}} dla wielomianów Hermite'a, po wykorzystaniu residuum policzonego w {{LinkWzór|9.79}}, piszemy w postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(x,w)={{1}\over{e^{-x^2}}}{{e^{-\left(x+w\right)^2}}\over{1-w\cdot 0}}=e^{x^2}e^{-x^2-w^2-2xw}=e^{-w^2-2xw}\;</MATH>|9.80}} Zatem możemy napisać {{linkWzór|9.80}}, korzystając przy tym z {{LinkWzór|9.69}}, w postaci rozwinięcia: {{CentrujWzór|<MATH>e^{-w^2-2xw}=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^2}\over{n!}}\tilde{H}_n(x)\;</MATH>|9.81}} Jeśli przyjmować będziemy w=-v w tożsamości {{LinkWzór|9.81}}, wtedy na podstawie definicji wielomianów Hermite'a H(x) przy pomocy {{Formuła|<MATH>\tilde{H}(x)\;</MATH>}} {{LinkWzór|9.39}} funkcję tworzącą wielomianu H{{Sub|n}} możemy napisać w postaci rozwinięcia: {{CentrujWzór|<MATH>e^{-\nu^2+2x\nu}=\sum_{n=0}^{\infty}{{\nu^n}\over{n!}}(-1)^n\tilde{H}_n(x)\Rightarrow e^{-\nu^2+2x\nu}=\sum_{n=0}^{\infty}{{\nu^n}\over{n!}}H_n(x)\;</MATH>|9.82}} === Funkcje tworzące dla wielomianu Laguerre'a === Równanie {{LinkWzór|9.74}} dla wielomianu Laguerre'a {{LinkWzór|9.45}}, dla którego zachodzi B(x)=x, {{Formuła|<MATH>\rho(x)=x^{\lambda}e^{-x}\;</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>z_1-x-wz_1=0\Rightarrow z_1(1-w)=x\Rightarrow z_1={{x}\over{1-w}}\;</MATH>|9.83}} Funkcja tworząca {{LinkWzór|9.75}} dla wielomianów Laguerre'a, po wykorzystaniu residuum policzonego w {{linkWzór|9.83}}, piszemy w postaci rozwinięcia: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x^{\lambda}e^{-x}}}{{{{x^{\lambda}}\over{(1-w)^{\lambda}}}e^{-{{x}\over{1-w}}}}\over{1-w}}=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}L_n(x)\Rightarrow {{e^{-{{x}\over{1-w}}+{{x(1-w)}\over{(1-w)}}}}\over{(1-w)^{\lambda+1}}}=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}L_n(x)\Rightarrow{{e^{-{{xw}\over{1-w}}}}\over{(1-w)^{\lambda+1}}}=\sum_{n=0}^{\infty}{{w^n}\over{n!}}L_n(x) </MATH>|9.84}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> q3f4dvdh68nusbblwe5t8b1xyej4i0s 0 19957 559096 558630 2026-10-11T03:42:12Z Persino 2851 559096 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Transformaty Fouriera są to transformaty pozwalające na rozkład pewnej funkcji na funkcje harmoniczne. W praktyce bardzo często jest potrzebne określenie transformaty z funkcji, lub z funkcji do transformaty, w takim razie rozważane transformaty są bardzo potrzebne w fizyce i matematyce. == Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji == Transformatę funkcji {{Formuła|<MATH>{\phi}</MATH>}} będziemy oznaczać symbolem {{Formuła|<MATH>\tilde{\phi}\;</MATH>}}, tzn. wzoru na transformatę prostą, a także określmy drugi wzór na transformatę, tzn. na transformatę odwrotną: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx\;</MATH>|14.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\phi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\tilde{\phi}(k)dk\;</MATH>|14.2}} }} W celu przeprowadzenia dowodu, że transformacja {{LinkWzór|14.2}} jest transformatą odwrotną do transformaty prostej {{LinkWzór|14.1}}, napiszmy co się stanie, gdy dokonamy podwójnej transformaty funkcji &phi;(x), w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)={{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ixy}\phi(y)dy\right)dx\;</MATH>|14.3}} Aby umożliwić zamianę kolejności całkowania wprowadźmy funkcję wykładniczą {{Formuła|<MATH>e^{-\epsilon^2x^2}\;</MATH>}}, która jest funkcją wolnozmienną i przy granicy &epsilon; dążącej do zera dąży do jedynki, czyli powinno być: {{CentrujWzór|<MATH>1=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{-\epsilon^2x^2}\;</MATH>|14.4}} Wtedy na podstawie granicy {{LinkWzór|14.4}} tożsamość {{LinkWzór|14.3}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\int_{-\infty}^{\infty}dx e^{-\epsilon^2\left(x^2+{{ix(k+y)}\over{\epsilon^2}}\right)}\;</MATH>|14.5}} Funkcję wykładniczą występującą w całce w równości {{LinkWzór|14.5}} możemy przestawić wedle tożsamości napisanej poniżej, którą to udowodnimy, jak się przekonamy, to są rachunki elementarne przy dowodzie poniższego lematu: {{CentrujWzór|<MATH>e^{-\epsilon^2\left(x^2+ix{{k+y}\over{\epsilon^2}}\right)}=e^{-\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.6}} Następnym krokiem jest udowodnienie tożsamości zapisanej w punkcie {{LinkWzór|14.6}} i jej rozpisanie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2+{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}=\epsilon^2\left(x^2-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^4}}+2i{{x(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)+{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}\;</MATH>|14.7}} Zatem tożsamość {{LinkWzór|14.6}} została udowodniona przy pomocy obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.7}}. Następnym krokiem jest obliczenie całki oznaczonej podanej poniżej, dzięki której przeprowadzimy dalszy krok obliczeń {{LinkWzór|14.5}} wykorzystując fakt {{LinkWzór|14.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-z)^2}dx=\sqrt{{{\pi}\over{a}}}\;</MATH>|14.8}} Dzięki tej całce możemy przejść do dalszego kroku obliczeń wyrażenia {{LinkWzór|14.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{\sqrt{\pi}}\over{4\pi^2\epsilon}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.9}} Mamy tutaj funkcję deltopodobną, która spełnia wszystkie warunki ciągu deltopodobnego, którą określamy wedle wzoru poniżej zależnej od zmiennej y i k: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}(y)={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.10}} Funkcja {{LinkWzór|14.10}} która jest funkcją deltopodobną spełnia całkę {{LinkWzór|12.1|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla &epsilon; dążącego do zera funkcja dla y nierównego -k, przyjmuje wartość zero, tylko dla y=-k wykładnik potęgi jest równy zero, dla której ta funkcja jest równa nieskończoność dla &epsilon; dążącego do zera, zatem ta nasza funkcja deltopodobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia deltopodobną wielkością. Ponieważ funkcja {{LinkWzór|14.10}} jest funkcją deltopodobną, to funkcję zapisaną w punkcie {{LinkWzór|14.9}} możemy przestawić wedle schematu poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)={{1}\over{2\pi}}\phi(-k)\;</MATH>|14.11}} Równanie {{LinkWzór|14.11}} jest bardzo ważnym wynikiem mówiącym, że dwukrotna transformacja Fouriera tej samej funkcji przechodzi w funkcję wyjściową, ale argumentem jest argument przeciwny do k, czyli -k. Ponadto cały wynik jest podzielony przez liczbę 2&pi;. Stąd wniosek, że transformatę odwrotną zapisujemy wedle wzoru {{LinkWzór|14.2}}. == n-te pochodne transformaty Fouriera == Mając wzór {{LinkWzór|14.1}} możemy napisać n-tą pochodną transformacji Fouriera, którą piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\left[{\phi}^{(n)}(k)\right]^T=(-i)^n{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ikx}\phi(x)dx=(-i)^n\left(x^n\phi(x)\right)^T\;</MATH>|14.12}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|14.12}} należy skorzystać, z twierdzenia o indukcji zupełnej. Zatem twierdzenie {{LinkWzór|14.12}} jest spełniona dla n=1, na mocy {{LinkWzór|14.1}}, zatem jeśli twierdzenie {{LinkWzór|14.12}} jest spełnione dla przypadku n, to powinno być spełnione dla przypadku n+1, co można udowodnić różniczkując stronami obie strony równana {{LinkWzór|14.12}}, co otrzymamy twierdzenie, ale dla przypadku n+1. Co kończy dowód naszego twierdzenia. == Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych == Weźmy sobie n-tą pochodną transformacji funkcji &phi;, która jest określona względem zmiennej k, jest ona napisana podobnym wzorem do {{LinkWzór|14.1}}, której to całkę całkujemy przez części n-razy pamiętając, że za każdym razem powstające niecałkowe wyrazy w granicy w nieskończoności są równe zero ze względu na znikanie funkcji próbnych {{Formuła|<MATH>\phi^{(n)}(x)\;</MATH>}} w nieskończonościach: {{CentrujWzór|<MATH>\left[\phi^{(n)}\right]^{T}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi^{(n)}(x)dx=(ik)^n{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx=(ik)^n\tilde{\phi}(k)\;</MATH>|14.13}} Aby zapoznać się z transformatami pochodnej, należy rozwiązać pewien przykład obrazujący prawo {{LinkWzór|14.13}}, zatem napiszmy równanie, od którego będziemy wyznaczać funkcję f poniżej, z której policzymy transformatę Fouriera obu jego stron, w takim razie weźmy przykład: {{CentrujWzór|<MATH>f^{''}+f^{'}+f=g\Rightarrow \tilde{f^{''}}+\tilde{f^{'}}+\tilde{f}=\tilde{g}\;</MATH>|14.14}} Następnym krokiem jest wykorzystanie wzoru {{LinkWzór|14.13}} na n-tą pochodną transformaty funkcji f, z którego wyprowadzimy wzór na transformatę funkcji f, czyli {{Formuła|<MATH>\tilde{f}\;</MATH>}}, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>-k^2\tilde{f}+ik\tilde{f}+\tilde{f}=\tilde{g}\Rightarrow\tilde{f}={{\tilde{g}}\over{-k^2+ik+1}}\;</MATH>|14.15}} Jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|14.2}} i znając transformatę funkcji g, zatem otrzymujemy wzór na funkcję f, którego zamiar mieliśmy wyznaczyć z pierwszego równania {{LinkWzór|14.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}{{\tilde{g}(k)}\over{-k^2+ik+1}}dk\;</MATH>|14.16}} == Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji == Przy liczeniu transformaty iloczynu dwóch funkcji skorzystamy tutaj z podobnego triku podobnego do {{LinkWzór|14.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi_1(x)\phi_2(x)dx= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2-ikx}\phi_1(x)\phi_2(x)dx\;</MATH>|14.17}} Do wzoru {{LinkWzór|14.17}} wstawiamy wzory na transformatę odwrotną przez wzór {{LinkWzór|14.2}}, otrzymując poniższy wzór. W tych obliczeniach zastosujemy również wzór {{LinkWzór|14.6}}, tylko tutaj zamiast k+y występuje -k+k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2-ikx}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik_1x}\tilde{\phi}(k_1)dk_1\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik_2x}\tilde{\phi}(k_2)dk_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2+ix(-k+k_1+k_2)}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2\left(x+i{{\left(-k+k_1+k_2\right)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(-k+k_1+k_2)^2}\over{4\epsilon^2}}}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}}\sqrt{{{\pi}\over{\epsilon^2}}} ={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}} </MATH>|14.18}} W obliczeniach {{LinkWzór|14.18}} występuje funkcja deltopodobna o postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.19}} Funkcja {{LinkWzór|14.19}} spełnia całkę {{LinkWzór|12.1|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla ε dążącego do zera funkcja dla k nierównego k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}}, rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla k=k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}} wykładnik potęgi jest równy zero. Należy jeszcze uwzględnić ε stojący w czynniku przed eksponensem w mianowniku, zatem przy ε dążącym do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, a więc spełnia wszystkie warunki do pretendowania do bycia funkcją deltopodobną. W takim razie możemy napisać {{LinkWzór|14.18}}, korzystając przy tym z {{LinkWzór|12.38|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} na splot funkcji uogólnionych: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1dk_2\tilde{\phi}_1(k_1)\tilde{\phi}_2(k_2)\delta(k-k_1-k_2)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\tilde{\phi}_2(k-k_1)=[\tilde{\phi}_1*\tilde{\phi}_2](k)\;</MATH>|14.20}} Na podstawie tychże przeprowadzonych obliczeń transformata iloczynu dwóch funkcji jest równa splotowi transformaty tychże funkcji. == Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji == Splot dwóch funkcji napisanej wedle jego definicji {{LinkWzór|12.39|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} piszemy wedle schematu poniżej i jak się przekonamy jest ona równa z dokładnością do stałego czynnika iloczynowi transformat funkcji &phi;{{Sub|1}}(k) i &phi;{{Sub|2}}(k): {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1*\phi_2]^{T}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-ikx}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi_1(x-y)\phi_2(y) ={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\phi_2(y)dy\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(x-y)}\phi_1(x-y)d(x-y)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=2\pi\tilde{\phi}_1(k)\tilde{\phi}_2(k)\;</MATH>|14.21}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|14.21}} udowodniliśmy, że transformata splotu funkcji &phi;{{Sub|1}} i funkcji &phi;{{Sub|2}} jest równa iloczynowi transformat z każdej funkcji z osobna omawianych pomnożonej przez liczbę 2&pi;. == Transformata Fouriera iloczynu skalarnego == Z definicji iloczynu skalarnego dwóch transformat i z definicji transformaty funkcji &phi; zapisanej wedle {{LinkWzór|14.1}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\tilde{\phi}}_1(k)\tilde{\phi}_2(k)dk={{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{ikx}\overline{\phi}_1(x)\int_{-\infty}^{\infty}dye^{-iky}\phi_2(y)\;</MATH>|14.22}} Następnym krokiem jest wykorzystanie granicy, którego schemat jest tutaj {{Formuła|<MATH>1=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{-\epsilon^2k^2}\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|14.21}} możemy przekształcić do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{4\pi^2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int^{\infty}_{-\infty}dkdxdye^{-\epsilon^2\left(k^2-{{ik(x-y)}\over{\epsilon^2}}\right)}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(y)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{4\pi^2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int^{\infty}_{-\infty}dkdxdye^{-{{(x-y)^2}\over{4\epsilon^2}}}e^{-\epsilon^2\left(k+i{{x-y}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(y) </MATH>|14.23}} We wzorze {{LinkWzór|14.23}} wykorzystujemy tożsamość całkową {{LinkWzór|14.8}}, wtedy nasz wspomniany wzór przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{4\epsilon\pi\sqrt{\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdte^{-{{t^2}\over{4\epsilon^2}}}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x+t)\;</MATH>|14.24}} Funkcją deltopodobną występującą w obliczeniach {{LinkWzór|14.24}} jest to funkcja zapisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{t^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.25}} Funkcja {{LinkWzór|14.25}} spełnia całkę {{LinkWzór|12.2|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla ε dążącego do zera funkcja dla t nierównego 0, ta nasza rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla t=0 wykładnik potęgi jest równy zero, zatem należy wliczyć ε stojący w czynniku w jego mianowniku przed eksponensem, zatem przy naszym ε dążącej do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, zatem ta nasza funkcja delto-podobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia delto-podobną wielkością. Wtedy obliczenia {{LinkWzór|14.23}} można dokończyć w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdt\delta(t)\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x+t)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x)={{1}\over{2\pi}}(\phi_1,\phi_2)\;</MATH>|14.26}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.26}} i powyżej w tym rozdziale stwierdzamy, że iloczyn skalarny transformaty funkcji &phi;{{Sub|1}} i funkcji &phi;{{Sub|2}} jest równy iloczynowi skalarnemu samych dwóch funkcji tutaj omawianych podzielonej przez liczbę 2&pi;. == Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej == Napiszmy czemu jest równa transformata funkcji przesuniętej &phi;{{Sub|a}}=&phi;(x-a), w takim przypadku z definicji transformaty mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}_a(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\psi_a(a)={{1}\over{2\pi}}e^{-ika}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(x-a)}\psi(x-a)=e^{-ika}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikt}\psi(t)dt=e^{-ika}\tilde{\psi}(x)\;</MATH>|14.27}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.27}} możemy powiedzieć, że transformata funkcji przesuniętej o odcinek „a” wzdłuż osi iksowej jest równa transformacie samej nieprzesuniętej funkcji pomnożonej przez czynnik e{{Sup|-ika}}. == Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej == Ogólnie funkcję parzystą i nieparzystą oznaczamy, gdy ona spełnia własność ogólnie (wybieramy plus gdy mamy do czynienia z funkcją parzystą, a znak minus, gdy mamy do czynienia z funkcją nieparzystą): {{CentrujWzór|<MATH>\phi(-x)=\pm \phi(x)\;</MATH>|14.28}} Wyznaczmy jakie własności spełnia transformata funkcji parzystej i nieparzystej, czyli wykorzystując własności dla tych funkcji {{LinkWzór|14.28}}, w takim wypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(-k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(-k)x}\psi(x)dx=\begin{Bmatrix}y=-x\end{Bmatrix}= -{{1}\over{2\pi}}\int_{\infty}^{-\infty}e^{-iky}\psi(-y)dy={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\psi(-y)dy=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\pm {{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\psi(y)dy=\pm\tilde{\phi}(k)\Rightarrow\tilde{\phi}(-k)= \pm\tilde{\phi}(k)\;</MATH>|14.29}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|14.29}} transformata funkcji parzystej (nieparzystej) jest transformatą parzystą (nieparzystą). == Transformata Fouriera dla dystrybucji == Transformatą Fouriera dystrybucji T nazywamy dystrybucję opisywaną przez własność {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T,\tilde{\phi}\rangle=\langle \tilde{T},\phi\rangle\;</MATH>|14.30}} Jeśli dystrybucja T jest funkcją, to możemy napisać {{CentrujWzór|<MATH>\langle f,\tilde{\phi}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}dxf(x){{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dye^{-ixy}\phi(y)= \int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y){{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-iyx}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\tilde{f}(y)=\langle \tilde{f},\phi\rangle\;</MATH>|14.31}} == Transformata Fouriera delty Diraca == Dowód naszej własności przeprowadzamy na podstawie definicji {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \tilde{\delta},\phi\rangle=\langle \delta,\tilde{\phi}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\tilde{\phi}(x)dx=\tilde{\phi}(0)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\phi(x)dx={{1}\over{2\pi}}\langle 1,\phi\rangle\;</MATH>|14.32}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|14.32}} przedstawiamy transformatę Fouriera delty Diraca jako: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}={{1}\over{2\pi}}\;</MATH>|14.33}} Wynik {{LinkWzór|14.33}} możemy udowodnić przeprowadzając obliczenia tradycyjną metodą przeprowadzoną wedle wzoru {{LinkWzór|14.1}}, w takim przypadku możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\delta(x)dx={{1}\over{2\pi}}e^{ik\cdot 0}={{1}\over{2\pi}}\;</MATH>|14.34}} Transformatę delty Diraca przesuniętej o odcinek „a” wzdłuż osi x przestawiamy na podstawie twierdzenia {{LinkWzór|14.27}}. Wyniku obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.32}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}_a(k)=e^{-ika}\tilde{\delta}(k)\;</MATH>|14.35}} == Transformata Fouriera funkcji stałej == Korzystając z twierdzenia {{LinkWzór|14.11}} możemy powiedzieć, że podwójna transformata delty Diraca jest równa tej samej delcie, ale podzielonej przez 2&pi;, w takim razie, ze względu na parzystość delty Diraca: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\delta}}={{1}\over{2\pi}}\delta(-x)={{1}\over{2\pi}}\delta(x)\;</MATH>|14.36}} Z drugiej strony ten sam dowód możemy przeprowadzić jeszcze raz licząc transformatę obu jego stron według wzoru {{LinkWzór|14.34}}, wtedy na podstawie tego dostajemy własność: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\delta}}={{1}\over{2\pi}}\tilde{1}\;</MATH>|14.37}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|14.36}} i {{LinkWzór|14.37}} dostając bardzo ważną właściwość, że transformata jedynki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{1}=\delta\;</MATH>|14.38}} Na podstawie własności {{LinkWzór|14.38}} możemy powiedzieć, że transformata Fouriera stałej jest równa delcie Diraca. W fizyce często stosuje się umowną wersję definicji delty Diraca, którą zapisujemy wedle sposobów, które są ze sobą równoważne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dk\;</MATH>|14.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}dk\;</MATH>|14.40}} }} Należy pamiętać, że funkcje podcałkowe we wzorach {{LinkWzór|14.39}} i {{LinkWzór|14.40}} nie są zbieżne wedle definicji całki Riemanna. == Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej == Dystrybucją przesunięcia o wartość o „a” nazywamy taka dystrybucją, którą wynikiem działania na funkcję &phi;(x), ale też przesuniętą o „a”, daje nam działanie samej dystrybucji na tą samą funkcji &phi;(x), co zapisujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T(x-a),\phi(x-a)\rangle=\langle T(x),\phi(x)\rangle\;</MATH>|14.41}} Transformatę dystrybucji możemy policzyć wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T_a(k),\phi(k)\rangle=\langle T(x-a),\tilde{\phi}(x)\rangle=\langle T(x),\tilde{\phi}(x+a)\rangle\;</MATH>|14.42}} Następnym krokiem jest napisać transformatę funkcji &phi; przesuniętej o wartość „a”, co w tym przypadku napiszmy transformatę funkcji przesuniętej wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(y+a)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\phi(x+a)dx={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(y+a)}\phi(x)dy={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}\left(e^{-iax}\phi(x)\right)dx=\left[e^{-iax}\phi(x)\right]^{T}(y)\;</MATH>|14.43}} Jeśli wykorzystamy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|14.43}}, wtedy możemy przeprowadzić do końca nasze obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \tilde{T}_a(k),\tilde{\phi}(k+a)\rangle=\langle T(x-a),\tilde{\phi}(x)\rangle=\langle T(x),\tilde{\phi}(x+a)\rangle=\langle T(k),[e^{-iak}\tilde{\phi}(k)]^{T}(y)\rangle =\langle \tilde{T}(k),e^{-iak}\tilde{\phi}(k)\rangle=\langle e^{-ika}\tilde{T}(k),\phi(k)\rangle </MATH>|14.44}} Porównując prawą i lewą stronę obliczeń {{LinkWzór|14.44}} dostajemy stąd bardzo ważny wniosek co do przesunięcia transformaty dystrybuanty T(x), czyli w takim przypadku możemy napisać końcowy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{T}_a(k)=e^{-ika}\tilde{T}(k)\;</math>|14.45}} Porównując wzór {{LinkWzór|14.45}} ze wzorem {{LinkWzór|14.27}} dochodzimy do wniosku, że transformata przesunięcia zwykłej funkcji i przesunięcia transformaty dystrybuanty są to definicje formalnie identyczne. == Transformata Fouriera dla potęgi == Określmy transformatę funkcji potęgowej określonej przez wzór T=x{{Sup|n}}, wykorzystując przy tym definicję transformaty dystrybuanty {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[x^n]^{T},\phi\rangle=\langle x^n,\tilde{\phi}\rangle=\langle 1,x^n\tilde{\phi}\rangle\;</MATH>|14.46}} Następnym krokiem jest wykorzystanie twierdzenia o transformacie n-tej pochodnej, przy tym wykorzystując wzór {{LinkWzór|14.13}}, wtedy możemy otrzymać tożsamość biorąc za k=x: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi^{(n)}]^{T}=(ix)^n\tilde{\phi}\Rightarrow x^n\tilde{\phi}=(-i)^n\phi^{(n)}\;</MATH>|14.47}} Na podstawie przestawionych obliczeń {{LinkWzór|14.47}} możemy dokończyć obliczenia, które przerwaliśmy w punkcie {{LinkWzór|14.46}}, zatem biorąc tożsamość {{LinkWzór|14.38}} i w wyniku końcowych obliczeń dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[x^n]^{T},\phi\rangle=(-i)^n\langle1,[\phi^{(n)}]^{T}\rangle=(-i)^n\langle\tilde{1},\phi^{(n)}\rangle =(-i)^n\langle\delta,\phi^{(n)}\rangle=(-i)^n\langle(-1)^n\delta^{(n)},\phi\rangle=\langle i^n\delta^{(n)},\phi\rangle</MATH>|14.48}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.48}} możemy powiedzieć zdanie: {{CentrujWzór|<MATH>[x^n]^{T}=i^n\delta^{(n)}\;</MATH>|14.49}} Wzór {{LinkWzór|14.49}} otrzymujemy również poprzez n-krotnie różniczkowanie obustronne wzoru {{LinkWzór|14.39}}. == Transformata Fouriera funkcji sinus == Przed dalszym krokiem wyznaczenia transformaty funkcji sinus należy przeprowadzić nasz ciąg obliczeń przy okazji korzystając ze wzoru {{LinkWzór|14.30}} i rozkładając wzór na sinus poprzez funkcje eksponencjalne, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\sin x]^{T}\phi\rangle=\langle \sin x,\tilde{\phi}\rangle={{1}\over{2i}}\left(\langle e^{ix},\tilde{\phi}\rangle-\langle e^{-ix},\tilde{\phi}\rangle\right)\;</MATH>|14.50}} Następnie określmy przesunięcie transformaty funkcji &phi;, wtedy możemy powiedzieć że zachodzą dwa poniższe wzory w zależności od znaku wykładniku potęgi stojącej przy funkcji {{Formuła|<MATH>\tilde{\phi}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>e^{ik}\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k-1)x}\phi(x)dx=\tilde{\phi}(k-1)\;</MATH>|14.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>e^{-ik}\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k+1)x}\phi(x)dx=\tilde{\phi}(k+1)\;</MATH>|14.52}} }} Zatem na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|14.51}} i {{LinkWzór|14.52}} i korzystając z własności {{LinkWzór|14.41}} możemy dokończyć obliczenia przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.50}}. {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\sin x]^T,\phi\rangle={{1}\over{2i}}\left(\langle 1,\tilde{\phi}(k+1)\rangle-\langle 1,\tilde{\phi}(k-1)\rangle\right)={{1}\over{2i}}\left(\langle\tilde{1},\phi(k+1)\rangle-\langle\tilde{1},\phi(k-1)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{1}\over{2i}}\left( \langle \delta(k),\phi(k+1)\rangle-\langle\delta(k),\phi(k-1)\rangle \right)={{1}\over{2i}}\left(\langle\delta(k-1),\phi(k)\rangle-\langle \delta(k+1),\phi(k)\rangle\right) ={{1}\over{2i}}\left(\langle \delta(k-1)-\delta(k+1),\phi(k)\rangle\right)</MATH>|14.53}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.53}} możemy powiedzieć, że porównując skrajne równości we wspomnianych obliczeniach, zatem na podstawie tego dostajemy, że transformata funkcji sin x wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>[\sin x]^T={{1}\over{2i}}\left[\delta(k-1)-\delta(k+1)\right]\;</MATH>|14.54}} == Transformata Fouriera funkcji schodkowej == Funkcję schodkową Heaviside'a &theta;(x) można wyrazić poprzez funkcję znakową wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta(x)={{1}\over{2}}\left(1+\operatorname{sqn} x\right)\;</MATH>|14.55}} Na podstawie przestawienia funkcji schodkowej poprzez funkcję znakową transformata funkcji schodkowej sprowadza się do obliczenia transformaty funkcji znakowej. Wyznaczmy transformatę funkcji znakowej, którą możemy wyznaczyć przy pomocy przy poniższych obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle=\langle \operatorname{sqn},\tilde{\phi}\rangle=\lim_{A\rightarrow \infty}\left[-\int_{-A}^0\tilde{\phi}(k)dk+\int_0^A\tilde{\phi}dk\right]=\lim_{A\rightarrow \infty}\left[\left(-\int_{-A}^{0}+\int_0^A\right)dk{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx\right]\;</MATH>|14.56}} W całce występującej w punkcie {{LinkWzór|14.56}} jest dozwolona zmiana kolejności całkowania, zatem na podstawie tych wspomnień możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle={{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx\phi(x) \left(-\int_{-A}^{0}+\int_0^A\right)e^{-ikx}dk ={{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{-ix}}\left(-2+e^{ixA}+e^{-ixA}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{-ix}}\left(-2+2\cos(xA)\right)</MATH>|14.57}} Dalszym naszym krokiem jest obliczenie całki poniżej, którą jak wykażemy jest równa zero, w takim razie możemy powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)\cos kA}\over{x}}=\begin{Bmatrix}y=xA\end{Bmatrix}= \lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}{{dy}\over{A}}{{A}\over{y}}\phi\left({{y}\over{A}}\right)\cos ydy =\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi\left({{y}\over{A}}\right){{\cos y}\over{y}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\phi(0)\int_{-\infty}^{\infty}dy{{\cos y}\over{y}}=0\;</MATH>|14.58}} Ostatnia całka w obliczeniach {{LinkWzór|14.58}} jest równa zero, dlatego, że funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą. Na podstawie wspomnianych obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.58}}, to obliczenia {{LinkWzór|14.57}} możemy dokończyć do: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle={{1}\over{i\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{x}}=\left\langle{{1}\over{i\pi}}{{1}\over{k}},\phi\right\rangle\;</MATH>|14.59}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.59}} możemy powiedzieć, że zachodzi transformata funkcji znakowej: {{CentrujWzór|<MATH>[\operatorname{sqn}]^T={{1}\over{i\pi k}}\;</MATH>|14.60}} Wedle przestawienia funkcji schodkowej Heaviside'a {{LinkWzór|14.55}} i transformaty funkcji znakowej {{LinkWzór|14.60}} i przestawienia, że transformata jedynki jest zapisana według {{LinkWzór|14.38}}, wtedy powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\theta}(k)={{1}\over{2}}\left[\tilde{1}+[\operatorname{sqn}]^T\right]={{1}\over{2}}\delta(k)-{{i}\over{2\pi k}}\;</MATH>|14.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> q1rywj7cbintyh3g6gjl848xn7gkug8 559118 559096 2026-10-11T04:57:09Z Persino 2851 /* Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji */ 559118 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Transformaty Fouriera są to transformaty pozwalające na rozkład pewnej funkcji na funkcje harmoniczne. W praktyce bardzo często jest potrzebne określenie transformaty z funkcji, lub z funkcji do transformaty, w takim razie rozważane transformaty są bardzo potrzebne w fizyce i matematyce. == Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji == Transformatę funkcji {{Formuła|<MATH>{\phi}</MATH>}} będziemy oznaczać symbolem {{Formuła|<MATH>\tilde{\phi}\;</MATH>}}, tzn. wzoru na transformatę prostą, a także określmy drugi wzór na transformatę, tzn. na transformatę odwrotną: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx\;</MATH>|14.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\phi(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\tilde{\phi}(k)dk\;</MATH>|14.2}} }} W celu przeprowadzenia dowodu, że transformacja {{LinkWzór|14.2}} jest transformatą odwrotną do transformaty prostej {{LinkWzór|14.1}}, napiszmy, co się stanie, gdy dokonamy podwójnej transformaty funkcji &phi;(x), w takim przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)={{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ixy}\phi(y)dy\right)dx\;</MATH>|14.3}} Aby umożliwić zamianę kolejności całkowania wprowadźmy funkcję wykładniczą {{Formuła|<MATH>e^{-\epsilon^2x^2}\;</MATH>}}, która jest funkcją wolnozmienną i przy granicy &epsilon; dążącej do zera dąży do jedynki, czyli powinno być: {{CentrujWzór|<MATH>1=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{-\epsilon^2x^2}\;</MATH>|14.4}} Wtedy na podstawie granicy {{LinkWzór|14.4}} tożsamość {{LinkWzór|14.3}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\int_{-\infty}^{\infty}dx e^{-\epsilon^2\left(x^2+{{ix(k+y)}\over{\epsilon^2}}\right)}\;</MATH>|14.5}} Funkcję wykładniczą występującą w całce w równości {{LinkWzór|14.5}} możemy przestawić wedle tożsamości napisanej poniżej, którą to udowodnimy, jak się przekonamy, to są rachunki elementarne przy dowodzie poniższego lematu: {{CentrujWzór|<MATH>e^{-\epsilon^2\left(x^2+ix{{k+y}\over{\epsilon^2}}\right)}=e^{-\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.6}} Następnym krokiem jest udowodnienie tożsamości zapisanej w punkcie {{LinkWzór|14.6}} i jej rozpisanie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2+{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}=\epsilon^2\left(x^2-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^4}}+2i{{x(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)+{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}\;</MATH>|14.7}} Zatem tożsamość {{LinkWzór|14.6}} została udowodniona przy pomocy obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.7}}. Następnym krokiem jest obliczenie całki oznaczonej podanej poniżej, dzięki której przeprowadzimy dalszy krok obliczeń {{LinkWzór|14.5}} wykorzystując fakt {{LinkWzór|14.6}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-z)^2}dx=\sqrt{{{\pi}\over{a}}}\;</MATH>|14.8}} Dzięki tej całce możemy przejść do dalszego kroku obliczeń wyrażenia {{LinkWzór|14.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-\epsilon^2\left(x+i{{(k+y)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{\sqrt{\pi}}\over{4\pi^2\epsilon}}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.9}} Mamy tutaj funkcję deltopodobną, która spełnia wszystkie warunki ciągu deltopodobnego, którą określamy wedle wzoru poniżej zależnej od zmiennej y i k: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}(y)={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{(k+y)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.10}} Funkcja {{LinkWzór|14.10}} która jest funkcją deltopodobną spełnia całkę {{LinkWzór|12.1|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla &epsilon; dążącego do zera funkcja dla y nierównego -k, przyjmuje wartość zero, tylko dla y=-k wykładnik potęgi jest równy zero, dla której ta funkcja jest równa nieskończoność dla &epsilon; dążącego do zera, zatem ta nasza funkcja deltopodobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia deltopodobną wielkością. Ponieważ funkcja {{LinkWzór|14.10}} jest funkcją deltopodobną, to funkcję zapisaną w punkcie {{LinkWzór|14.9}} możemy przestawić wedle schematu poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\phi}}(k)={{1}\over{2\pi}}\phi(-k)\;</MATH>|14.11}} Równanie {{LinkWzór|14.11}} jest bardzo ważnym wynikiem mówiącym, że dwukrotna transformacja Fouriera tej samej funkcji przechodzi w funkcję wyjściową, ale argumentem jest argument przeciwny do k, czyli -k. Ponadto cały wynik jest podzielony przez liczbę 2&pi;. Stąd wniosek, że transformatę odwrotną zapisujemy wedle wzoru {{LinkWzór|14.2}}. == n-te pochodne transformaty Fouriera == Mając wzór {{LinkWzór|14.1}} możemy napisać n-tą pochodną transformacji Fouriera, którą piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\left[{\phi}^{(n)}(k)\right]^T=(-i)^n{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ikx}\phi(x)dx=(-i)^n\left(x^n\phi(x)\right)^T\;</MATH>|14.12}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|14.12}} należy skorzystać, z twierdzenia o indukcji zupełnej. Zatem twierdzenie {{LinkWzór|14.12}} jest spełniona dla n=1, na mocy {{LinkWzór|14.1}}, zatem jeśli twierdzenie {{LinkWzór|14.12}} jest spełnione dla przypadku n, to powinno być spełnione dla przypadku n+1, co można udowodnić różniczkując stronami obie strony równana {{LinkWzór|14.12}}, co otrzymamy twierdzenie, ale dla przypadku n+1. Co kończy dowód naszego twierdzenia. == Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych == Weźmy sobie n-tą pochodną transformacji funkcji &phi;, która jest określona względem zmiennej k, jest ona napisana podobnym wzorem do {{LinkWzór|14.1}}, której to całkę całkujemy przez części n-razy pamiętając, że za każdym razem powstające niecałkowe wyrazy w granicy w nieskończoności są równe zero ze względu na znikanie funkcji próbnych {{Formuła|<MATH>\phi^{(n)}(x)\;</MATH>}} w nieskończonościach: {{CentrujWzór|<MATH>\left[\phi^{(n)}\right]^{T}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi^{(n)}(x)dx=(ik)^n{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx=(ik)^n\tilde{\phi}(k)\;</MATH>|14.13}} Aby zapoznać się z transformatami pochodnej, należy rozwiązać pewien przykład obrazujący prawo {{LinkWzór|14.13}}, zatem napiszmy równanie, od którego będziemy wyznaczać funkcję f poniżej, z której policzymy transformatę Fouriera obu jego stron, w takim razie weźmy przykład: {{CentrujWzór|<MATH>f^{''}+f^{'}+f=g\Rightarrow \tilde{f^{''}}+\tilde{f^{'}}+\tilde{f}=\tilde{g}\;</MATH>|14.14}} Następnym krokiem jest wykorzystanie wzoru {{LinkWzór|14.13}} na n-tą pochodną transformaty funkcji f, z którego wyprowadzimy wzór na transformatę funkcji f, czyli {{Formuła|<MATH>\tilde{f}\;</MATH>}}, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>-k^2\tilde{f}+ik\tilde{f}+\tilde{f}=\tilde{g}\Rightarrow\tilde{f}={{\tilde{g}}\over{-k^2+ik+1}}\;</MATH>|14.15}} Jeśli skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|14.2}} i znając transformatę funkcji g, zatem otrzymujemy wzór na funkcję f, którego zamiar mieliśmy wyznaczyć z pierwszego równania {{LinkWzór|14.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}{{\tilde{g}(k)}\over{-k^2+ik+1}}dk\;</MATH>|14.16}} == Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji == Przy liczeniu transformaty iloczynu dwóch funkcji skorzystamy tutaj z podobnego triku podobnego do {{LinkWzór|14.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi_1(x)\phi_2(x)dx= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2-ikx}\phi_1(x)\phi_2(x)dx\;</MATH>|14.17}} Do wzoru {{LinkWzór|14.17}} wstawiamy wzory na transformatę odwrotną przez wzór {{LinkWzór|14.2}}, otrzymując poniższy wzór. W tych obliczeniach zastosujemy również wzór {{LinkWzór|14.6}}, tylko tutaj zamiast k+y występuje -k+k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2-ikx}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik_1x}\tilde{\phi}(k_1)dk_1\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik_2x}\tilde{\phi}(k_2)dk_2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2x^2+ix(-k+k_1+k_2)}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\epsilon^2\left(x+i{{\left(-k+k_1+k_2\right)}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}e^{-{{(-k+k_1+k_2)^2}\over{4\epsilon^2}}}dx=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}}\sqrt{{{\pi}\over{\epsilon^2}}} ={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\int_{-\infty}^{\infty}dk_2\tilde{\phi}_2(k_2)e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}} </MATH>|14.18}} W obliczeniach {{LinkWzór|14.18}} występuje funkcja deltopodobna o postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{\left(-k+k_1+k_2\right)^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.19}} Funkcja {{LinkWzór|14.19}} spełnia całkę {{LinkWzór|12.1|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla ε dążącego do zera funkcja dla k nierównego k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}}, rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla k=k{{Sub|1}}+k{{Sub|2}} wykładnik potęgi jest równy zero. Należy jeszcze uwzględnić ε stojący w czynniku przed eksponensem w mianowniku, zatem przy ε dążącym do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, a więc spełnia wszystkie warunki do pretendowania do bycia funkcją deltopodobną. W takim razie możemy napisać {{LinkWzór|14.18}}, korzystając przy tym z {{LinkWzór|12.38|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} na splot funkcji uogólnionych: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1\cdot\phi_2]^{T}{(k)}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1dk_2\tilde{\phi}_1(k_1)\tilde{\phi}_2(k_2)\delta(k-k_1-k_2)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk_1\tilde{\phi}_1(k_1)\tilde{\phi}_2(k-k_1)=[\tilde{\phi}_1*\tilde{\phi}_2](k)\;</MATH>|14.20}} Na podstawie tychże przeprowadzonych obliczeń transformata iloczynu dwóch funkcji jest równa splotowi transformaty tychże funkcji. == Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji == Splot dwóch funkcji napisanej wedle jego definicji {{LinkWzór|12.39|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} piszemy wedle schematu poniżej i jak się przekonamy jest ona równa z dokładnością do stałego czynnika iloczynowi transformat funkcji &phi;{{Sub|1}}(k) i &phi;{{Sub|2}}(k): {{CentrujWzór|<MATH>[\phi_1*\phi_2]^{T}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-ikx}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi_1(x-y)\phi_2(y) ={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\phi_2(y)dy\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(x-y)}\phi_1(x-y)d(x-y)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=2\pi\tilde{\phi}_1(k)\tilde{\phi}_2(k)\;</MATH>|14.21}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|14.21}} udowodniliśmy, że transformata splotu funkcji &phi;{{Sub|1}} i funkcji &phi;{{Sub|2}} jest równa iloczynowi transformat z każdej funkcji z osobna omawianych pomnożonej przez liczbę 2&pi;. == Transformata Fouriera iloczynu skalarnego == Z definicji iloczynu skalarnego dwóch transformat i z definicji transformaty funkcji &phi; zapisanej wedle {{LinkWzór|14.1}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\tilde{\phi}}_1(k)\tilde{\phi}_2(k)dk={{1}\over{4\pi^2}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{ikx}\overline{\phi}_1(x)\int_{-\infty}^{\infty}dye^{-iky}\phi_2(y)\;</MATH>|14.22}} Następnym krokiem jest wykorzystanie granicy, którego schemat jest tutaj {{Formuła|<MATH>1=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}e^{-\epsilon^2k^2}\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|14.21}} możemy przekształcić do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{4\pi^2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int^{\infty}_{-\infty}dkdxdye^{-\epsilon^2\left(k^2-{{ik(x-y)}\over{\epsilon^2}}\right)}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(y)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{4\pi^2}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int^{\infty}_{-\infty}dkdxdye^{-{{(x-y)^2}\over{4\epsilon^2}}}e^{-\epsilon^2\left(k+i{{x-y}\over{2\epsilon^2}}\right)^2}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(y) </MATH>|14.23}} We wzorze {{LinkWzór|14.23}} wykorzystujemy tożsamość całkową {{LinkWzór|14.8}}, wtedy nasz wspomniany wzór przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{4\epsilon\pi\sqrt{\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdte^{-{{t^2}\over{4\epsilon^2}}}\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x+t)\;</MATH>|14.24}} Funkcją deltopodobną występującą w obliczeniach {{LinkWzór|14.24}} jest to funkcja zapisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\delta_{\epsilon}={{1}\over{2\epsilon\sqrt{\pi}}}e^{-{{t^2}\over{4\epsilon^2}}}\;</MATH>|14.25}} Funkcja {{LinkWzór|14.25}} spełnia całkę {{LinkWzór|12.2|Dystrybucje_jako_funkcje_uogólnione}} i dla ε dążącego do zera funkcja dla t nierównego 0, ta nasza rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla t=0 wykładnik potęgi jest równy zero, zatem należy wliczyć ε stojący w czynniku w jego mianowniku przed eksponensem, zatem przy naszym ε dążącej do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, zatem ta nasza funkcja delto-podobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia delto-podobną wielkością. Wtedy obliczenia {{LinkWzór|14.23}} można dokończyć w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>(\tilde{\phi}_1,\tilde{\phi}_2)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdt\delta(t)\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x+t)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\overline{\phi}_1(x)\phi_2(x)={{1}\over{2\pi}}(\phi_1,\phi_2)\;</MATH>|14.26}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.26}} i powyżej w tym rozdziale stwierdzamy, że iloczyn skalarny transformaty funkcji &phi;{{Sub|1}} i funkcji &phi;{{Sub|2}} jest równy iloczynowi skalarnemu samych dwóch funkcji tutaj omawianych podzielonej przez liczbę 2&pi;. == Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej == Napiszmy czemu jest równa transformata funkcji przesuniętej &phi;{{Sub|a}}=&phi;(x-a), w takim przypadku z definicji transformaty mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}_a(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\psi_a(a)={{1}\over{2\pi}}e^{-ika}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(x-a)}\psi(x-a)=e^{-ika}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikt}\psi(t)dt=e^{-ika}\tilde{\psi}(x)\;</MATH>|14.27}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.27}} możemy powiedzieć, że transformata funkcji przesuniętej o odcinek „a” wzdłuż osi iksowej jest równa transformacie samej nieprzesuniętej funkcji pomnożonej przez czynnik e{{Sup|-ika}}. == Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej == Ogólnie funkcję parzystą i nieparzystą oznaczamy, gdy ona spełnia własność ogólnie (wybieramy plus gdy mamy do czynienia z funkcją parzystą, a znak minus, gdy mamy do czynienia z funkcją nieparzystą): {{CentrujWzór|<MATH>\phi(-x)=\pm \phi(x)\;</MATH>|14.28}} Wyznaczmy jakie własności spełnia transformata funkcji parzystej i nieparzystej, czyli wykorzystując własności dla tych funkcji {{LinkWzór|14.28}}, w takim wypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(-k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(-k)x}\psi(x)dx=\begin{Bmatrix}y=-x\end{Bmatrix}= -{{1}\over{2\pi}}\int_{\infty}^{-\infty}e^{-iky}\psi(-y)dy={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\psi(-y)dy=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\pm {{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\psi(y)dy=\pm\tilde{\phi}(k)\Rightarrow\tilde{\phi}(-k)= \pm\tilde{\phi}(k)\;</MATH>|14.29}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|14.29}} transformata funkcji parzystej (nieparzystej) jest transformatą parzystą (nieparzystą). == Transformata Fouriera dla dystrybucji == Transformatą Fouriera dystrybucji T nazywamy dystrybucję opisywaną przez własność {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T,\tilde{\phi}\rangle=\langle \tilde{T},\phi\rangle\;</MATH>|14.30}} Jeśli dystrybucja T jest funkcją, to możemy napisać {{CentrujWzór|<MATH>\langle f,\tilde{\phi}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}dxf(x){{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dye^{-ixy}\phi(y)= \int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y){{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-iyx}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi(y)\tilde{f}(y)=\langle \tilde{f},\phi\rangle\;</MATH>|14.31}} == Transformata Fouriera delty Diraca == Dowód naszej własności przeprowadzamy na podstawie definicji {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \tilde{\delta},\phi\rangle=\langle \delta,\tilde{\phi}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\tilde{\phi}(x)dx=\tilde{\phi}(0)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\phi(x)dx={{1}\over{2\pi}}\langle 1,\phi\rangle\;</MATH>|14.32}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie {{LinkWzór|14.32}} przedstawiamy transformatę Fouriera delty Diraca jako: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}={{1}\over{2\pi}}\;</MATH>|14.33}} Wynik {{LinkWzór|14.33}} możemy udowodnić przeprowadzając obliczenia tradycyjną metodą przeprowadzoną wedle wzoru {{LinkWzór|14.1}}, w takim przypadku możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\delta(x)dx={{1}\over{2\pi}}e^{ik\cdot 0}={{1}\over{2\pi}}\;</MATH>|14.34}} Transformatę delty Diraca przesuniętej o odcinek „a” wzdłuż osi x przestawiamy na podstawie twierdzenia {{LinkWzór|14.27}}. Wyniku obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.32}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\delta}_a(k)=e^{-ika}\tilde{\delta}(k)\;</MATH>|14.35}} == Transformata Fouriera funkcji stałej == Korzystając z twierdzenia {{LinkWzór|14.11}} możemy powiedzieć, że podwójna transformata delty Diraca jest równa tej samej delcie, ale podzielonej przez 2&pi;, w takim razie, ze względu na parzystość delty Diraca: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\delta}}={{1}\over{2\pi}}\delta(-x)={{1}\over{2\pi}}\delta(x)\;</MATH>|14.36}} Z drugiej strony ten sam dowód możemy przeprowadzić jeszcze raz licząc transformatę obu jego stron według wzoru {{LinkWzór|14.34}}, wtedy na podstawie tego dostajemy własność: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\tilde{\delta}}={{1}\over{2\pi}}\tilde{1}\;</MATH>|14.37}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|14.36}} i {{LinkWzór|14.37}} dostając bardzo ważną właściwość, że transformata jedynki jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{1}=\delta\;</MATH>|14.38}} Na podstawie własności {{LinkWzór|14.38}} możemy powiedzieć, że transformata Fouriera stałej jest równa delcie Diraca. W fizyce często stosuje się umowną wersję definicji delty Diraca, którą zapisujemy wedle sposobów, które są ze sobą równoważne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dk\;</MATH>|14.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta(x)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}dk\;</MATH>|14.40}} }} Należy pamiętać, że funkcje podcałkowe we wzorach {{LinkWzór|14.39}} i {{LinkWzór|14.40}} nie są zbieżne wedle definicji całki Riemanna. == Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej == Dystrybucją przesunięcia o wartość o „a” nazywamy taka dystrybucją, którą wynikiem działania na funkcję &phi;(x), ale też przesuniętą o „a”, daje nam działanie samej dystrybucji na tą samą funkcji &phi;(x), co zapisujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T(x-a),\phi(x-a)\rangle=\langle T(x),\phi(x)\rangle\;</MATH>|14.41}} Transformatę dystrybucji możemy policzyć wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\langle T_a(k),\phi(k)\rangle=\langle T(x-a),\tilde{\phi}(x)\rangle=\langle T(x),\tilde{\phi}(x+a)\rangle\;</MATH>|14.42}} Następnym krokiem jest napisać transformatę funkcji &phi; przesuniętej o wartość „a”, co w tym przypadku napiszmy transformatę funkcji przesuniętej wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\phi}(y+a)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iky}\phi(x+a)dx={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik(y+a)}\phi(x)dy={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}\left(e^{-iax}\phi(x)\right)dx=\left[e^{-iax}\phi(x)\right]^{T}(y)\;</MATH>|14.43}} Jeśli wykorzystamy obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|14.43}}, wtedy możemy przeprowadzić do końca nasze obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \tilde{T}_a(k),\tilde{\phi}(k+a)\rangle=\langle T(x-a),\tilde{\phi}(x)\rangle=\langle T(x),\tilde{\phi}(x+a)\rangle=\langle T(k),[e^{-iak}\tilde{\phi}(k)]^{T}(y)\rangle =\langle \tilde{T}(k),e^{-iak}\tilde{\phi}(k)\rangle=\langle e^{-ika}\tilde{T}(k),\phi(k)\rangle </MATH>|14.44}} Porównując prawą i lewą stronę obliczeń {{LinkWzór|14.44}} dostajemy stąd bardzo ważny wniosek co do przesunięcia transformaty dystrybuanty T(x), czyli w takim przypadku możemy napisać końcowy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{T}_a(k)=e^{-ika}\tilde{T}(k)\;</math>|14.45}} Porównując wzór {{LinkWzór|14.45}} ze wzorem {{LinkWzór|14.27}} dochodzimy do wniosku, że transformata przesunięcia zwykłej funkcji i przesunięcia transformaty dystrybuanty są to definicje formalnie identyczne. == Transformata Fouriera dla potęgi == Określmy transformatę funkcji potęgowej określonej przez wzór T=x{{Sup|n}}, wykorzystując przy tym definicję transformaty dystrybuanty {{LinkWzór|14.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[x^n]^{T},\phi\rangle=\langle x^n,\tilde{\phi}\rangle=\langle 1,x^n\tilde{\phi}\rangle\;</MATH>|14.46}} Następnym krokiem jest wykorzystanie twierdzenia o transformacie n-tej pochodnej, przy tym wykorzystując wzór {{LinkWzór|14.13}}, wtedy możemy otrzymać tożsamość biorąc za k=x: {{CentrujWzór|<MATH>[\phi^{(n)}]^{T}=(ix)^n\tilde{\phi}\Rightarrow x^n\tilde{\phi}=(-i)^n\phi^{(n)}\;</MATH>|14.47}} Na podstawie przestawionych obliczeń {{LinkWzór|14.47}} możemy dokończyć obliczenia, które przerwaliśmy w punkcie {{LinkWzór|14.46}}, zatem biorąc tożsamość {{LinkWzór|14.38}} i w wyniku końcowych obliczeń dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[x^n]^{T},\phi\rangle=(-i)^n\langle1,[\phi^{(n)}]^{T}\rangle=(-i)^n\langle\tilde{1},\phi^{(n)}\rangle =(-i)^n\langle\delta,\phi^{(n)}\rangle=(-i)^n\langle(-1)^n\delta^{(n)},\phi\rangle=\langle i^n\delta^{(n)},\phi\rangle</MATH>|14.48}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.48}} możemy powiedzieć zdanie: {{CentrujWzór|<MATH>[x^n]^{T}=i^n\delta^{(n)}\;</MATH>|14.49}} Wzór {{LinkWzór|14.49}} otrzymujemy również poprzez n-krotnie różniczkowanie obustronne wzoru {{LinkWzór|14.39}}. == Transformata Fouriera funkcji sinus == Przed dalszym krokiem wyznaczenia transformaty funkcji sinus należy przeprowadzić nasz ciąg obliczeń przy okazji korzystając ze wzoru {{LinkWzór|14.30}} i rozkładając wzór na sinus poprzez funkcje eksponencjalne, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\sin x]^{T}\phi\rangle=\langle \sin x,\tilde{\phi}\rangle={{1}\over{2i}}\left(\langle e^{ix},\tilde{\phi}\rangle-\langle e^{-ix},\tilde{\phi}\rangle\right)\;</MATH>|14.50}} Następnie określmy przesunięcie transformaty funkcji &phi;, wtedy możemy powiedzieć że zachodzą dwa poniższe wzory w zależności od znaku wykładniku potęgi stojącej przy funkcji {{Formuła|<MATH>\tilde{\phi}\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>e^{ik}\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k-1)x}\phi(x)dx=\tilde{\phi}(k-1)\;</MATH>|14.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>e^{-ik}\tilde{\phi}(k)={{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(k+1)x}\phi(x)dx=\tilde{\phi}(k+1)\;</MATH>|14.52}} }} Zatem na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|14.51}} i {{LinkWzór|14.52}} i korzystając z własności {{LinkWzór|14.41}} możemy dokończyć obliczenia przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.50}}. {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\sin x]^T,\phi\rangle={{1}\over{2i}}\left(\langle 1,\tilde{\phi}(k+1)\rangle-\langle 1,\tilde{\phi}(k-1)\rangle\right)={{1}\over{2i}}\left(\langle\tilde{1},\phi(k+1)\rangle-\langle\tilde{1},\phi(k-1)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{1}\over{2i}}\left( \langle \delta(k),\phi(k+1)\rangle-\langle\delta(k),\phi(k-1)\rangle \right)={{1}\over{2i}}\left(\langle\delta(k-1),\phi(k)\rangle-\langle \delta(k+1),\phi(k)\rangle\right) ={{1}\over{2i}}\left(\langle \delta(k-1)-\delta(k+1),\phi(k)\rangle\right)</MATH>|14.53}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.53}} możemy powiedzieć, że porównując skrajne równości we wspomnianych obliczeniach, zatem na podstawie tego dostajemy, że transformata funkcji sin x wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>[\sin x]^T={{1}\over{2i}}\left[\delta(k-1)-\delta(k+1)\right]\;</MATH>|14.54}} == Transformata Fouriera funkcji schodkowej == Funkcję schodkową Heaviside'a &theta;(x) można wyrazić poprzez funkcję znakową wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\theta(x)={{1}\over{2}}\left(1+\operatorname{sqn} x\right)\;</MATH>|14.55}} Na podstawie przestawienia funkcji schodkowej poprzez funkcję znakową transformata funkcji schodkowej sprowadza się do obliczenia transformaty funkcji znakowej. Wyznaczmy transformatę funkcji znakowej, którą możemy wyznaczyć przy pomocy przy poniższych obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle=\langle \operatorname{sqn},\tilde{\phi}\rangle=\lim_{A\rightarrow \infty}\left[-\int_{-A}^0\tilde{\phi}(k)dk+\int_0^A\tilde{\phi}dk\right]=\lim_{A\rightarrow \infty}\left[\left(-\int_{-A}^{0}+\int_0^A\right)dk{{1}\over{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\phi(x)dx\right]\;</MATH>|14.56}} W całce występującej w punkcie {{LinkWzór|14.56}} jest dozwolona zmiana kolejności całkowania, zatem na podstawie tych wspomnień możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle={{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx\phi(x) \left(-\int_{-A}^{0}+\int_0^A\right)e^{-ikx}dk ={{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{-ix}}\left(-2+e^{ixA}+e^{-ixA}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{1}\over{2\pi}}\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{-ix}}\left(-2+2\cos(xA)\right)</MATH>|14.57}} Dalszym naszym krokiem jest obliczenie całki poniżej, którą jak wykażemy jest równa zero, w takim razie możemy powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)\cos kA}\over{x}}=\begin{Bmatrix}y=xA\end{Bmatrix}= \lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}{{dy}\over{A}}{{A}\over{y}}\phi\left({{y}\over{A}}\right)\cos ydy =\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}dy\phi\left({{y}\over{A}}\right){{\cos y}\over{y}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\phi(0)\int_{-\infty}^{\infty}dy{{\cos y}\over{y}}=0\;</MATH>|14.58}} Ostatnia całka w obliczeniach {{LinkWzór|14.58}} jest równa zero, dlatego, że funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą. Na podstawie wspomnianych obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.58}}, to obliczenia {{LinkWzór|14.57}} możemy dokończyć do: {{CentrujWzór|<MATH>\langle[\operatorname{sqn}]^T,\phi\rangle={{1}\over{i\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx{{\phi(x)}\over{x}}=\left\langle{{1}\over{i\pi}}{{1}\over{k}},\phi\right\rangle\;</MATH>|14.59}} Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|14.59}} możemy powiedzieć, że zachodzi transformata funkcji znakowej: {{CentrujWzór|<MATH>[\operatorname{sqn}]^T={{1}\over{i\pi k}}\;</MATH>|14.60}} Wedle przestawienia funkcji schodkowej Heaviside'a {{LinkWzór|14.55}} i transformaty funkcji znakowej {{LinkWzór|14.60}} i przestawienia, że transformata jedynki jest zapisana według {{LinkWzór|14.38}}, wtedy powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\theta}(k)={{1}\over{2}}\left[\tilde{1}+[\operatorname{sqn}]^T\right]={{1}\over{2}}\delta(k)-{{i}\over{2\pi k}}\;</MATH>|14.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qzho7i0m74no8r57rhaltgj1cn7rra4 0 19969 559097 558631 2026-10-11T03:43:08Z Persino 2851 559097 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Tutaj tylko podamy wstęp do teorii operatorów liniowych, które są bardzo potrzebne w analizie funkcjonalnej, ale najpierw zapoznamy się z definicją iloczynu skalarnego, ten obiekt powinien spełniać własności : {{CentrujWzór|<MATH>(f,f)\geq 0\;</MATH>|15.1}} Wzór {{LinkWzór|15.1}} mówi nam, jakie warunki powinien spełniać iloczyn skalarny dwóch funkcji skalarnych lub wektorowych ale ogólnie zespolonych, jeśli ten iloczyn jest równy zero, to możemy dojść do wniosku, że funkcja f jest równa zero. Następnym bardzo ważnym postulatem jest, że zamienienie dwóch funkcji miejscami w iloczynie skalarnym, to ten nowy wynik jest sprzężonym zespolono z starym wynikiem przed przestawieniem, w takim przypadku drugi postulat: {{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\overline{(g,f)}\;</MATH>|15.2}} Ostatnim warunkiem jest liniowość, że względu na drugi czynnik w tymże obiekcie, co zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>(f,ag+bh)=(a(f,g)+b(f,h)\;</MATH>|15.3}} Jeśli zastosujemy wzór na liniowość drugiego czynnika {{LinkWzór|15.3}} i postulat {{LinkWzór|15.2}}, wtedy dostajemy, że istnieje anty-liniowość ze względu na pierwszy czynnik, co obrazujemy: {{CentrujWzór|<MATH>(af+bh,g)=\overline{a}(f,g)+\overline{b}(h,g)\;</MATH>|15.4}} Gdy mamy iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni kartezjańskiej, to definicja takiego iloczynu jest napisana przez definicję poszczególnych składowych: {{CentrujWzór|<MATH>(A,B)=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z\;</MATH>|15.5}} W przestrzeni funkcyjnej często przyjmuje się jako definicję iloczynu skalarnego dla dwóch funkcji zapisanych w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>(f,g)=\int_a^b\overline{f(x)}g(x)dx\;</MATH>|15.6}} Kwadrat normy wektora f zapisujemy wedle nastepującej definicji: {{CentrujWzór|<MATH>||f||^2={(f,f)}\;</MATH>|15.7}} Kwadrat definicji normy funkcji f {{LinkWzór|15.7}}, wynikającego z definicji iloczynu skalarnego {{LinkWzór|15.6}}, określamy dla przestrzeni jednowymiarowej i trójwymiarowej jako normę wektora: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>||f||^2=\int^a_b|f(x)|^2dx\;</MATH>|15.8}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>||f||^2=\int_{R^3}|f(\vec{r})|^2d^3\vec{r}\;</MATH>|15.9}} }} Odległość dwóch funkcji f i g definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>d(f,g)=||f-g||\;</MATH>|15.10}} Przestrzeń nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg pewnych funkcji ma granicę w tej omawianej przestrzeni, w której określamy daną funkcję. == Iloczyn operatorowy == Iloczynem dwóch operatorów {{Formuła|<MATH>A\cdot Bw</MATH>}} nazywamy operację, której najpierw operator B działa na funkcję w, a potem w ten sposób otrzymanego obiektu wsadzamy do działania operatora A, co ten wynik zapisujmy: {{CentrujWzór|<MATH>(AB)w=A(Bw)\;</MATH>|15.11}} Jeśli n-ta potęga operatora A działa na funkcję w, wtedy jego działanie jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A^nw=A(A...(A(Aw))...)\;</MATH>|15.12}} == Funkcja, w której argumentem jest pewien operator == Załóżmy, że mamy pewną funkcję, w której argumentem nie jest pewna liczba, tylko pewnego rodzaju operator. Przykładem takiej funkcji, w której występuje pewien operator: {{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})={{1}\over{1-\hat{A}}}\;</MATH>|15.13}} Ponieważ jest to funkcja gładka, możemy rozpatrzyć szereg Taylora {{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})=f(0)\hat{1}+f^{'}(0)\hat{A}+{{1}\over{2!}}f^{''}(0)\hat{A}^2+...\;</MATH>|15.14}} Zbieżność szeregu {{LinkWzór|15.14}} nie jest automatyczna, aby był szeregiem zbieżnym należy określić normę naszego operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} należy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>||A||=\operatorname{sup}||\hat{A}f||\mbox{, gdy zachodzi }||f||=1\;</MATH>|15.15}} Funkcję {{LinkWzór|15.14}} możemy liczyć wedle sposobu poniżej, tak się to dzieje, gdy dokonamy rozwinięcia funkcji f(x)=(1-x){{Sup|-1}} w szereg Taylora i do tego operatora wstawiamy operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}}, zatem na podstawie tychże rozważań możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>f(\hat{A})=(1-\hat{A})^{-1}=\hat{1}+\hat{A}+\hat{A}^2+\hat{A}^3+...\;</MATH>|15.16}} A eksponens pewnego operatora liczymy podobnie jak w przykładzie {{LinkWzór|15.16}}, ale tym razem mamy do czynienia z funkcją, której jest eksonens, której to naszą funkcję e{{Sup|ax}} rozkładamy w szereg Tayllora, a później do niego podstawiamy operator {{Formuła|<MATH>a\hat{A}\;</MATH>}}, co możemy pisać: {{CentrujWzór|<MATH>f(a\hat{A})=e^{a\hat{A}}=\hat{I}+a\hat{A}+{{1}\over{2!}}a^2\hat{A}^2+{ {1}\over{3!}}a^3\hat{A}^3+...\;</MATH>|15.17}} == Wprowadzenie do teorii komutacji i antykomutacji dwóch operatorów == Ogólnie dwa operatory nie są przemiennymi operatorami, tzn. nie zachodzi w ogólności działanie {{Formuła|<MATH>\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}\;</MATH>}}, zatem wprowadźmy definicję komutatora, w których dla dwóch operatorów nazywamy definicję: {{CentrujWzór|<MATH>[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\;</MATH>|15.18}} Dla przykładu policzmy komutator określony dla dwóch operatorów, tzn. operatora mnożenia przez liczbę i operatora różniczkowania, którego obliczenia przeprowadzimy poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\left[x,{{d}\over{dx}}\right]=x{{d}\over{dx}}-{{d}\over{dx}}(x)=x{{d}\over{dx}}-x{{d}\over{dx}}-\hat{1}=-\hat{1}\;</MATH>|15.19}} Naszym następnym krokiem jest udowodnienie twierdzenia, której przestawienie jest wedle poniższego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}\;</MATH>|15.20}} Dowód tożsamości {{LinkWzór|15.20}} przestawimy wedle toku obliczeń poniżej, z którego to udowodnimy, że wychodząc z prawej strony obliczeń wspomnianego wzoru przechodzimy do jego lewej strony: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{A}\hat{C}\hat{B}+\hat{A}\hat{C}\hat{B}-\hat{C}\hat{A}\hat{B}=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{C}\hat{A}\hat{B}=[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]\;</MATH>|15.21}} == Definicja operatora sprzężonego == Operatorem sprzężonym {{Formuła|<MATH>\hat{A}^*\;</MATH>}} do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taki operator, którego definicja jest przestawiana przy pomocy pewnych wektorów u i v, w takim razie: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u,v)=(u,\hat{A}^*v)\;</MATH>|15.22}} Następnym krokiem bardzo znanym fizyce, gdy operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest pewną macierzą, a u i v są pewnego rodzaju wektorami pionowymi, jest: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u,v)=\sum_{i,j=1}^n\overline{A}_{ij}\hat{u}_iv_j=\sum_{i,j=1}^n\overline{u}_j\overline{A}^T_{ji}v_i=(u,\overline{A}^Tv)\;</MATH>|15.23}} Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|15.23}} możemy napisać wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\overline{\hat{A}}^T\;</MATH>|15.24}} == Iloczyn operatora i pewnego parametru, a tego sprzężenie == Wykorzystując definicję operatora sprzężonego {{LinkWzór|15.24}} możemy obliczyć wyrażenie {{Formuła|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)\;</MATH>}} dwoma różnymi sposobami, by potem można by je przyrównać łatwo: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)=(u,(\lambda\hat{A})^*v)\;</MATH>|15.25}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A}u,v)=\overline{\lambda}(\hat{A}u,v)=\overline{\lambda}(u,\hat{A}v)=(u,\overline{\lambda}\hat{A}v)\;</math>|15.26}} }} Możemy przyrównać oba powyższe wzory do siebie, bo one oznaczają to samo, stąd wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>(\lambda\hat{A})^*=\overline{\lambda}\hat{A}^*\;</MATH>|15.27}} == Definicja operatora hermitowskiego, czyli operatora samo-sprzężonego == Operatorem samosprzężonym do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</math>}} nazywamy taki operator, który jest równy samemu opisywanemu operatorowi: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\hat{A}\;</MATH>|15.28}} Gdy dany operatorem jest zwykłą macierzą, to warunek {{LinkWzór|15.24}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{\hat{A}}^T=\hat{A}\;</MATH>|15.29}} == Definicja operatora odwrotnego == Definicją operatora odwrotnego {{Formuła|<MATH>\hat{A}^{-1}\;</MATH>}} do operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taki operator spełniający warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\hat{A}=\hat{I}\;</MATH>|15.30}} Jeśli operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest zwykłą macierzą, to operator odwrotny tegoż operatora (tutaj macierzy) nazywamy macierzą odwrotną znaną z klasycznego kursu algebry. == Definicja operatora unitarnego == Operatorem unitarnym {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy takim operatorem, który po prowadzeniu do iloczynu skalarnego nie zmienia długości norm, wtedy jego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}w,\hat{A}v)=(w,v)\;</MATH>|15.31}} Jeśli wykorzystamy definicję operatora sprzężonego unitarnego określona wedle wzoru {{LinkWzór|15.22}}, wtedy wzór {{LinkWzór|15.31}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}w,\hat{A}\hat{v})=(w,\hat{A}^*\hat{A}v)\;</MATH>|15.32}} Ze wzoru {{LinkWzór|15.31}} i {{LinkWzór|15.32}} wynika, że operator sprzężony od {{Formuła|<math>\hat{A}\;</MATH>}} jest równy operatorowi odwrotnemu, co przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^*=\hat{A}^{-1}\;</MATH>|15.33}} == Elementy macierzowe operatora == Załóżmy, że mamy bazę ortogonalną zdefiniowanej wedle określenia e{{Sub|i}}, w takim przypadku elementami macierzowymi operatora w naszej bazie nazywamy elementy: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ij}=(e_i,\hat{A}e_j)\;</MATH>|15.34}} Transformacją wektorów bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego przy określeniu, przy definicji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}}, określamy jako: {{CentrujWzór|<MATH>e_j^'=\sum_iU_{ij} e_i\Rightarrow B^'=\hat{U}^T\hat{B}\;</MATH>|15.35}} A dowód unitarności operatora {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}} przeprowadzamy w sposób : {{CentrujWzór|<MATH>I=(B^',B^')=(\hat{U}^TB,\hat{U}^TB)=(B,(\hat{U}^*)^T\hat{U}^TB)\;</MATH>|15.36}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|15.36}} możemy napisać, że operator sprzężony, który mówi coś o przejściu z jednego układu do drugiego jest równy operatorowi odwrotnemu do {{Formuła|<MATH>\hat{U}\;</MATH>}}, co zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{U}^*=\hat{U}^{-1}\;</MATH>|15.37}} Określmy elementy macierzowe operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} w nowej bazie względem elementów tego samego operatora w starej bazie: {{CentrujWzór|<math>A_{mn}^'=(e_m^',\hat{A}e_n^')=\sum_{i,j}\overline{U}_{im}U_{jn}(e_i,\hat{A}e_j)=\sum_{i,j}\overline{U}_{im}U_{jn}A_{ij}=\sum_{i,j}\overline{U}_{mi}^TU_{jm}A_{ij}\;</MATH>|15.38}} Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|15.38}} możemy powiedzieć, że transformacja operatora z jednego układu współrzędnych do drugiego i po jego odwróceniu, określamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}^'=\hat{U}^+\hat{A}\hat{U}\;</MATH>|15.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}=\hat{U}\hat{A}^'\hat{U}^{-1}\;</MATH>|15.40}} }} == Definicja śladu operatora == Śladem operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} nazywamy taką liczbą, która jest sumą jego elementów diagonalnych elementów macierzowych operatora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Tr}\hat{A}=\sum_i\hat{A}_{ii}\;</MATH>|15.41}} Wykażemy, że ślad operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest niezmienny od wyboru bazy, w której liczymy elementy macierzowe naszego operatora, możemy to stwierdzenie udowodnić: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Tr}\hat{A}^'=\sum_{m}A^'_{mm}=\sum_{i}\overline{U}^T_{ij}A_{jk}U_{ki}=\sum_{i}U_{ki}\overline{U}^{T}_{ij}A_{jk}=\sum_i\delta_{kj}A_{jk}=\sum_jA_{jj}=\operatorname{Tr}\hat{A}\;</MATH>|15.42}} == Równanie własne, wektory i wartości własne operatora == Równaniem własnym operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} przy oznaczeniach dla wartości własnych &lambda; i wektorów własnych u nazywamy obiekt: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u=\lambda u\;</MATH>|15.43}} == Operatory hermitowskie w zagadnieniu własnym == *W artości własne operatora hermitowskiego mając wartości własne rzeczywiste, co możemy udowodnić pisząc dowód tej własności wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=(u,\lambda u)=(u,\hat{A}u)=(\hat{A}^*u,u)=(\hat{A}u,u)=(\lambda u,u)=\overline{\lambda}\;</MATH>|15.44}} Wedle dowodu przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|15.44}} udowodniliśmy tezę naszego twierdzenia. * Wektory własne są do siebie ortogonalne równania własnego {{LinkWzór|15.44}} dla operatora {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}}, wtedy napiszmy dwa równania własne dla różnych wartości własnych naszego tutaj rozważanego operatora. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u_1=\lambda_1u\;</MATH>|15.45}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{A}u_2=\lambda_2u\;</MATH>|15.46}} }} Równanie {{LinkWzór|15.41}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>u_2^*\;</MATH>}} lewostronnie, a zaś równanie {{LinkWzór|15.42}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>u_1\;</MATH>}} prawostronnie, w takim razie te operacje zapisujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(u_2,\hat{A}u_1)=\lambda_1(u_2,u_1)\;</MATH>|15.47}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(\hat{A}u_2,u_1)=\lambda_2(u_2,u_1)\;</MATH>|15.48}} }} Ponieważ operator {{Formuła|<MATH>\hat{A}\;</MATH>}} jest operatorem hermitowskim, i korzystając własności {{LinkWzór|15.22}} możemy powiedzieć, że lewe strony równań {{LinkWzór|15.47}} i {{LinkWzór|15.48}} są sobie równe, wtedy możemy odejmując oba te równania od siebie: {{CentrujWzór|<MATH>0=(u_2,u_1)(\lambda_1-\lambda_2)\;</MATH>|15.49}} Dla różnych wartości własnych równania własnego {{LinkWzór|15.43}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>(u_2,u_1)=0\;</MATH>|15.50}} Warunek {{LinkWzór|15.50}} wskazuje, że wektory własne równania {{LinkWzór|15.43}} są do siebie ortogonalne. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> meqjf3knihi7zhlcw8z3vw1nlm0xrd1 0 19974 559098 558632 2026-10-11T03:44:10Z Persino 2851 559098 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W fizyce z reguły każdy układ ma pewne wartości symetrii, które określamy po dokonaniu tejże symetrii układ pozostaje bez zmian. Wpływem działania grup symetrii na pewne układy zajmuje się tutaj dziedzina matematyki zwaną teorią grup i ich reprezentacji. == Warunki jakie musi spełniać para (G,&sdot;), by być grupą == Wybierzmy sobie zbiór G, w którym istnieje działanie, które w wyniku działania dwóch elementów tychże elementów należącej do tego zbioru powstaje element należącej do tej naszej grupy G. * Dla każdych elementów {{Formuła|<MATH>a,b\in G\;</MATH>}} istnieje trzeci element {{Formuła|<MATH>c\in G\;</MATH>}}, które takie działanie dwóch elementów, których w wyniku powstaje trzeci element, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>c=a\cdot b\;</MATH>|16.1}} * W zbiorze G istnieje pewien element neutralny, które w wyniku pomnożenie przez dany element należącej do zbioru G lewostronnie czy prawostronnie powstaje ten sam element, co określamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a\cdot e=a\;</MATH>|16.2}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>e\cdot a=a\;</MATH>|16.3}} }} * Dla każdego elementu a należącego do zbioru G istnieje element odwrotny a{{Sup|-1}}, który przy znajomości elementu neutralnego w zbiorze G określamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>a\cdot a^{-1}=a^{-1}a=e\;</MATH>|16.4}} * Działanie określone w zbiorze G dla grupy jest działaniem łącznym, co jest określane: {{CentrujWzór|<MATH>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\;</MATH>|16.5}} == Grupy permutacji == Jest to grupa przekształceń skończonych, który w wyniku działania na l elementów otrzymujemy spermutowany wynik, który w zależności od argumentów wrzuconych do funkcji, różni się kolejnością elementów, lub w szczególności może nie być zmiany kolejności, co mamy do czynienia z permutacją tożsamościową. Określmy permutacja P określoną wedle wzoru na zbiorze n-elementowym należącej do zbioru X, co określamy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>P:X\rightarrow X\mbox{, czyli }P(x_1,x_2,x_3,...x_n)=(x_{j_1},x_{j_2},...,x_{j_n})\;</MATH>|16.6}} Odwzorowanie {{LinkWzór|16.6}} jest działaniem wzajemnie jednoznacznym, zatem istnieje też operacja odwrotna do P. Działaniem grupowym dwóch permutacji określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>(P_1\cdot P_2)(x)=P_1(P_2(x))\;</MATH>|16.7}} Elementem jednostkowym nazywamy permutacją identycznościową, która wyniku operacji {{LinkWzór|16.6}} nie zmienia kolejności wyrazów. Liczba elementów permutacji skończonej jest równa liczbie n! == Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej == Załóżmy, że mamy oś obrotu wyznaczony przez jednostkowy wektor {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}}, i obracamy cały układ współrzędnych o kąt &alpha;, w ten sposób otrzymujemy wzór określający nowe współrzędne po obrocie dla danego punktu względem starych współrzędnych przed obrotem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}^'=C_{\vec{k}}(\alpha)\vec{r}=(1-\cos\alpha)(\vec{k}\vec{r})\vec{k}+\vec{r}\cos\alpha+(\vec{k}\times\vec{r})\sin\alpha\;</MATH>|16.8}} Inny sposobem obrotu naszego układu współrzędnych jest podanie trzech współrzędnych (&theta;,&phi;,&psi;), które tworzą grupę obrotów określanych jako C(&theta;,&phi;,&psi;). Popatrzmy na wzory {{LinkWzór|4.11|Obrót_układu_współrzędnych}}, {{LinkWzór|4.12|Obrót_układu_współrzędnych}} i {{LinkWzór|4.13|Obrót_układu_współrzędnych}}, a później oznaczmy je po kolei C{{Sub|3}}(&phi;), C{{Sub|1}}(&theta;), C{{Sub|3}}(&psi;). {{CentrujWzór|<MATH>C(\psi,\theta,\phi)=C_3(\psi)C_1(\theta)C_1(\phi)\;</MATH>|16.9}} Jeśli zatem po pewnych omówieniach wstawimy za obroty występujące w punkcie {{LinkWzór|16.9}} odpowiednie macierze, to otrzymamy macierz określoną przez wzór {{LinkWzór|4.15|Obrót_układu_współrzędnych}}. == Translacje, inwersje i odbicia == Translacją jest to operacja polegająca na sztywnym przesunięciu całej przestrzeni o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{t}\;</MATH>}}, co obrazujemy: {{CentrujWzór|<MATH>T:\vec{r}\rightarrow\vec{r}+\vec{t}\;</MATH>|16.10}} Inwersją względem danego punktu nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, w której następuje zmiana znaku naszego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, które to określamy związkiem: {{CentrujWzór|<MATH>I:\vec{r}\rightarrow-\vec{r}\;</MATH>|16.11}} Aby otrzymać macierz inwersji, który działa na wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, to musimy ją napisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>I=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.12}} Odbiciem względem płaszczyzny prostopadłej do wektora {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}} oznaczamy zwykle symbolem &sigma;{{Sub|k}}. Odbicie względem płaszczyzny prostopadłej do osi iksowej oznaczamy przez &sigma;{{Sub|1}}, a odbicie dla osi igrekowej oznaczamy odbicie względem osi prostopadłej do osi igrekowej, podobnie ma się to do osi zetowej, zatem wszystkie te trzy macierze odbicia dla osi iksowej, igrekowej i zetowej określamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_1=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.13}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.14}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.15}} }} == Definicje grupy cyklicznych, a także definicje podgrup i klas == * Grupa cykliczna jest to grupa, której elementy są potęgami pierwszego elementu nieneutralnego wchodzącej w skład grupy, to zbiór, który jest grupą, określamy: {{CentrujWzór|<MATH>G=\{e, a,a^2,a^3,a^4,...,a^n\}\;</MATH>|16.16}} Przykładem grupy obrotów cyklicznych jest grupa obrotów wokół ustalonej osi o kąty będącego wielokrotnością liczby 2&pi;/n. * Podgrupą nazywamy taki podzbiór H grupy G, którego działania dla poszczególnych elementów tejże grupy nie wychodzą poza granice tejże podgrupy. * Klasa jest to zbiór K elementów danej grupy, który powstaje z jednego elementu b&isin;G, jest to zbiór określony; {{CentrujWzór|<MATH>K=K_a=\{b\cdot a\cdot b^{-1}\in G, b\in G\}\;</MATH>|16.17}} == Grupy symetrii na podstawie molekuły wody == {{Rysunek|Water molecule.svg|swg1|Molekuła wody}} Tutaj zbudujemy pewne działania na grupach symetrii dotyczącej molekuły wody (tlenku wodoru). Struktura przestrzenna cząsteczki wody jest pokazana na rysunku z prawej strony tego rozdziału. Grupy symetrii opisywanej tutaj cząsteczki wody przestawiamy wedle opisów: * e - przekształcenie, które działa w sposób neutralny na dany obiekt i w rezultacie otrzymujemy ten sam obiekt wyjściowy do wejściowego, czyli jest to przekształcenie identycznościowe. * C{{Sub|2}} - jest to przekształcenie, która obraca dany obiekt o 180{{Sup|o}} względem osi pionowej. * &sigma;{{Sub|1}} - jest to przekształcenie, które powoduje odbicie względem płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny rysunku. * &sigma;{{Sub|2}} - jest to przekształcenie powodujące odbicie rysunku względem płaszczyzny w której jest zapisany ten rysunek. Napiszemy w tabeli elementy działające na symetriach e, C{{Sub|2}}, &sigma;{{Sub|1}}, &sigma;{{Sub|2}}, ale działań przeprowadzonych w tabelce nie będziemy udowadniać. {{Tabelka|opcje=width=100%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=5 width=50%|}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|G}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|e}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|C{{Sub|2}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|&sigma;{{Sub|1}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|{{Div|styl=width:80px|&sigma;{{Sub|2}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=5 width=50% align=right|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|e}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|C{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|C{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|C{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor="grey"|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|C{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Podziały grup na klasy == Każda grupę można podzielić na podzbiory, których zbiory nie pokrywają się ze sobą i działania obsługujące taką grupę nie wychodzą poza zakres tej naszej struktury, którą jest podgrupa. Wybierzmy teraz klasy (opisuje je schemat {{LinkWzór|16.17}}) generowane przez dwa różne elementy a i b, wtedy jeśli te dwie klasy mają wspólne elementy, to powinno zachodzić na pewno {{Formuła|<MATH>gag^{-1}=hbh^{-1}\;</MATH>}}. Z tego wzoru możemy wyznaczyć element b w postaci {{Formuła|<MATH>b=h^{-1}gag^{-1}h</MATH>}}. Stąd widzimy, że mając element "a" możemy wyznaczyć element "b", zatem elementy a i b należą do tej samej grupy, a więc dwa zbiory, które mają elementy wspólne muszą się pokrywać. Rozpatrzmy sobie cząsteczkę amoniaku, która zawiera przekształcenie identycznościowe E, trzy odbicia względem pionowych płaszczyzn przechodzące oczywiście przez oś główną naszej rozważanej cząsteczki i dwusieczną katów w podstawie (&sigma;{{Sub|1}},&sigma;{{Sub|2}},&sigma;{{Sub|3}}), a także zawiera dwa obroty, tzn. pierwszy obrót o 120{{Sup|o}} (C{{Sup|+}}), a także obrót o 240{{Sup|o}} (C{{Sup|-}}). Ta grupa posiada elementy: {{CentrujWzór|<MATH>G=C_{3\nu}=\{E,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,C^+,C^-\}\;</MATH>|16.19}} W naszym rozważaniach w przypadku grupy {{LinkWzór|16.19}} licząc jej elementy odwrotne, co piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_m^{-1}=\sigma_m\mbox{, m=1,2,3}\;</MATH>|16.20}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>(C^+)^{-1}=C^{-1}\;</MATH>|16.21}}|3={{CentrujWzór|<MATH>(C^{-})^{-1}=C^+\;</MATH>|16.22}} }} Można udowodnić, że grupa G {{LinkWzór|16.19}} dzieli się na trzy rozłączne klasy, których to klasy piszemy wedle przestawień: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>K_1=\{E\}\;</MATH>|16.23}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>K_2=\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}\;</MATH>|16.24}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>K_3=\{C^+,C^-\}\;</MATH>|16.25}} }} == Reprezentacji struktur, które są grupami == Własności opisywanych symetrii mają swój swoisty sposób, które są zapisywane w przestrzeni położeń R{{Sup|3}} lub pośrednio określone na funkcjach w tej przestrzeni, operacje te zwykle przedstawiamy w macierzowej postaci i nazywać je będziemy reprezentacjami. '''Reprezentacją''' D grupy G jest to zbiór obiektów, które są macierzami kwadratowymi, które są homomorficzne z rozważaną grupą i spełniające podobne własności jak i rozważana grupa. Zgodnie z naszym postulatem możemy powiedzieć: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>D(e)=\{\delta_{ij}\}\;</MATH>|16.26}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>D(a\cdot b)=D(a)D(b)\;</MATH>|16.27}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>D(a^{-1})=D^{-1}(a)\;</math>|16.28}} }} Warunki {{LinkWzór|16.26}}, {{LinkWzór|16.27}} i {{LinkWzór|16.28}} sugerują, że reprezentacje też są grupami. === Grupa symetrii wody === Symetrię molekuły wody już rozważaliśmy w rozdziale {{LinkUstęp|#Grupy symetrii na podstawie molekuły wody}}, tylko tutaj podamy je w macierzowej wersji w rachunku reprezentacji, które są elementami odbicia, w takim razie ich odpowiednikami są macierze: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_1=\begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.29}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_2=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|16.30}} }} === Grupa symetrii amoniaku === {{Rysunek|Group symmetry of ammonia.svg|swg2|Symetrie cząsteczki amoniaku}} Symetrie cząsteczki amoniaku sprowadzają się do symetrii przekształceń trójkąta równobocznego. Ograniczmy się teraz do płaszczyzny, czyli do dwuwymiarowego układu współrzędnych, a środek umieszczać będziemy w środku geometrycznym trójkąta. Przekształceniami rządzącymi naszym trójkątem równobocznym są to transformacje typu C{{Sub|3&nu;}}, czyli są to transformacje, których omawiana grupa zawiera elementy zapisanej w punkcie {{LinkWzór|16.19}}, zatem w rachunku reprezentacji mamy macierze D(E), D(&sigma;{{Sub|1}}), D(&sigma;{{Sub|2}}), D(&sigma;{{Sub|3}}), D(C;{{Sup|+}}), D(C;{{Sup|-}}): {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>D(E)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.31}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>D(\sigma_1)=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.32}}|3={{CentrujWzór|<MATH>D(\sigma_2)=\begin{bmatrix} {{1}\over{2}}&-{{\sqrt{3}}\over{2}}&0\\ -{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.33}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>D(\sigma_3)\begin{bmatrix} {{1}\over{2}}&{{\sqrt{3}}\over{2}}&0\\ {{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>D(C^+)=\begin{bmatrix} -{{1}\over{2}}&{{\sqrt{3}}\over{2}}&0\\ -{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.35}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>D(C^-)=\begin{bmatrix} -{{1}\over{2}}&-{{\sqrt{3}}\over{2}}&0\\ {{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\;</MATH>|16.36}} }} == Wstęp do reprezentacji równoważnej == Dwie reprezentacje D i D{{Sup|<nowiki>'</nowiki>}} nazywamy równoważnymi, jeśli istnieje taka macierz A, dla a&isin;G, dla której macierz A jest taka sama dla wszystkich elementów grupy, zatem przekształcenie między reprezentacjami równoważnymi przestawiamy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>D^'(a)=AD(a)A^{-1}\;</MATH>|16.37}} == Wstęp do reprezentacji przywiedlnych == Reprezentacja jest reprezentacją przywiedlną, jeśli istnieje ściśle określona macierz S, w której to reprezentacji D(a) tą całą macierz możemy przekształcić do postaci klatkowej za pomocą transformacji równoważnej {{LinkWzór|16.37}}, gdzie a&isin; G, a jeśli nie da się tego zrobić, to reprezentację nazywamy nieprzywiedlną. {{CentrujWzór|<MATH>D^'(a)=S^{-1}D(a)S=\begin{bmatrix} D_1(a)&0&0&\cdots&0\\ 0&D_2(a)&0&\cdots&0\\ 0&0&D_3(a)&\cdots&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&D_m(a)\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|16.38}} Rozkład reprezentacji na reprezentacje nieprzywiedlne nazywamy sumą prostą tychże reprezentacji i zapisujemy go: {{CentrujWzór|<MATH>D(a)=D_1\oplus D_2\oplus...\oplus D_m(a)\;</MATH>|16.39}} Dla przykładu symetrii molekuły amoniaku określamy przez dwie macierze nieprzywiedlne D{{Sub|1}}(a) i D{{Sub|2}}(a), dla każdego elementu grupy G, czyli dla elementów składających się na tą grupę, wiedząc że zachodzi {{LinkWzór|16.31}}, {{LinkWzór|16.32}}, {{LinkWzór|16.33}}, {{LinkWzór|16.34}}, {{LinkWzór|16.35}} i macierzy {{LinkWzór|16.36}}, zatem na podstawie tego: {{Tabelka|opcje=width=100%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|E}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|&sigma;{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|&sigma;{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|&sigma;{{Sub|3}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|C{{Sup|+}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|C{{Sup|-}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|D{{Sub|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=bgcolor=grey|D{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}{{1}\over{2}}&-{{\sqrt{3}}\over{2}}\\-{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}{{1}\over{2}}&{{\sqrt{3}}\over{2}}\\{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}-{{1}\over{2}}&{{\sqrt{3}}\over{2}}\\-{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\begin{bmatrix}-{{1}\over{2}}&-{{\sqrt{3}}\over{2}}\\{{\sqrt{3}}\over{2}}&-{{1}\over{2}}\end{bmatrix}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} == Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej == Jeśli reprezentacja D(a) nieprzywiedlna komutuje z pewną macierzą A, to ta macierz jest prost proporcjonalna do macierzy jednostkowej, co powiemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>[A,D(a)]\Rightarrow AD=DA\;</MATH>|16.39a}} Załóżmy, że macierz A ma wartości własne i jednej wartości własnej odpowiada kilka wektorów własnych, zatem to równanie własne zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>Au=\lambda u\;</MATH>|16.40}} Na podstawie własności {{LinkWzór|16.40}} (równanie własne operatora A) i {{LinkWzór|16.39}} (komutacji macierzy A z reprezentacji D(a)) możemy w takim razie napisać obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>A[D(a)u]=D(a)[Au]=D(a)[\lambda u]=\lambda[D(a)u]\Rightarrow A=\lambda E\;</MATH>|16.41}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|16.41}} możemy napisać własność dla macierzy A, dla której zachodzi A=&lambda;E, i która jest pokazana we wspomnianych obliczeniach. == Dowód lematu Schura == Niech mamy dwie reprezentanty D{{Sup|1}} i D{{Sup|2}}, które są reprezentantami nierównoważnymi i nieprzywiedlnymi grupy G, działający oczywiście w przestrzeniach L{{Sub|1}} i L{{Sub|2}}. Operator liniowy odwzorowuje przestrzeń L{{Sub|2}} w przestrzeń L{{Sub|1}} spełnia własność: {{CentrujWzór|<MATH>D^{1}(a)A=AD^{2}(a)\mbox{, }a\in G\;</MATH>|16.42}} To macierz A jest macierzą zerową. W celu dowodu powyższego lematu, załóżmy, że wymiar przestrzeni L{{Sub|1}} jest większy od wymiaru przestrzeni L{{Sub|2}}, zatem oznaczmy przez M obraz powstały wyniku działania macierzy A na przestrzeń L{{Sub|2}}, wtedy jest oczywiste, żeby tak zachodziło musi być M&isin;L{{Sub|1}}. Zbiór ten M jest przestrzenią niezmienniczą względem operatora D{{Sub|1}}. Jeśli wykorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|16.42}}, to możemy napisać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>D^1M=D^1AL_2=AD^2L_2\subset M\;</MATH>|16.43}} Zatem przestrzeń M pokrywa się w przestrzenią L{{Sub|1}}, co przeczy twierdzeniu o wymiarach, bo zakładaliśmy, że wymiar przestrzeni L{{Sub|1}} jest większy od wymiary przestrzeni L{{Sub|2}}, zatem dochodzimy do wniosku, że macierz A jest macierzą zerową (A=0). == Pełne przedstawienie twierdzenia o ortogonalności == Weźmy dwie nieprzywiedlne reprezentacje, które będziemy oznaczać wskaźnikami &alpha; i &beta;, wybierzmy dla naszych dwóch reprezentacji odpowiednie macierze reprezentujące, tzn. macierze D{{Sup|&alpha;}}{{Sub|ij}} oraz D{{Sup|&beta;}}{{Sub|ij}}, to rozważmy iloczyn skalarny dwóch reprezentacji zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>(D_{ij}^{\alpha},D_{ml}^{\beta})=\sum_{a\in G}D_{ij}^{\alpha}(a){D}_{ml}^{\beta}(a)\;</MATH>|16.44}} Okazuje się, że tak zdefiniowany iloczyn skalarny na reprezentacjach jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\left(D_{ij}^{\alpha},D^{\beta}_{ml}\right)={{n}\over{d_{\alpha}}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{im}\delta_{jl}\;</MATH>|16.45}} * gdzie: * n - to ilość elementów grupy, którą reprezentuje reprezentanta. * d{{Sub|&alpha;}} -to wymiar przestrzeni grupy, którą reprezentuje dana reprezentanta. '''Dowód faktu''' {{LinkWzór|16.45}} przestawiamy poniżej w tym rozdziale. Załóżmy, że przestrzenie, której wymiar wskazuje reprezentacja ze wskaźnikiem &alpha; od reprezentacją ze wskaźnikiem &beta; ma większy wymiar (d{{Sub|&alpha;}}>d{{Sub|&beta;}}), zatem na podstawie tego zbudujmy macierz A wedle schematu poniżej i zapisując jednocześnie bardziej szczegółowo wskazując na jego elementy A{{Sub|im}}: {{CentrujWzór|<MATH>A=\sum_{b\in G}D^{\alpha}(b)BD^{\beta}(b^{-1})\Rightarrow A_{im}=\sum_{b\in G}\sum_{p,q}D_{ip}^{\alpha}(b)B_{pq}D^{\beta}_{qm}(b^{-1})\;</MATH>|16.46}} Aby udowodnić, czy spełnione jest twierdzenie Schura {{LinkWzór|16.42}} dla dwóch różnych reprezentacji, takich że macierz B jest przekształceniem przestrzeni L{{Sub|&beta;}} w przestrzeń L{{Sub|&alpha;}}, co udowodnimy, że zachodzi A=0, zatem musimy udowodnić, czy zachodzi ogólnie {{LinkWzór|16.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>D^{\alpha}(a)A=\sum_{b\in G}D^{\alpha}(a)D^{\alpha}(b)BD^{\beta}(b^{-1})=\sum_{b\in G}D^{\alpha}(ab)BD^{\beta}((ab)^{-1}a)= \left(\sum_{b\in G}D^{\alpha}(ab)BD^{\beta}((ab)^{-1})\right)D^{\beta}(a)=AD^{\beta}(a)\;</MATH>|16.47}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|16.47}} udowodniliśmy, że macierz A spełnia warunek {{LinkWzór|16.42}}, zatem macierz A jest równa zero. Jeśli obierzemy macierz, którego elementy macierzy B można zapisać wedle: {{CentrujWzór|<MATH>B_{pq}=\delta_{jp}\delta_{lq}\;</MATH>|16.48}} Na podstawie definicji elementów macierzy B, czyli według {{LinkWzór|16.48}}, że macierz A jest zerowa dla innego &alpha; i &beta;, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>0=\sum_{b\in G}D^{\alpha}_{ij}D^{\beta}_{lm}(b^{-1})\;</MATH>|16.49}} Następną częścią dowodu jest założenie, że obie reprezentacje są jednakowe, tzn. &alpha;=&beta;, również też zachodzi dowód dla tego przypadku {{LinkWzór|16.47}}, które to udowodniliśmy, nie wiedząc jakie wartości przyjmuje &alpha; i &beta;, więc gdy obie te liczby są równe, to nie wiemy jakie wartości przyjmuje macierz A, zatem korzystając z twierdzenia udowodnionego w tym module w rozdziale {{sr|#Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej|b=tak}}, a w nim {{LinkWzór|16.39}}, zatem należy powiedzieć, jak udowodniono tam, że macierz A jest macierzą jednostkową pomnożonej przez stałą według {{LinkWzór|16.41}}, wtedy macierz: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ii}=d\lambda=\sum_{b\in G}\sum_{p,q}D_{ip}(b)B_{pq}D^{-1}_{qi}(b)=\sum_{b\in G}\sum_{p,q}B_{pq}(D^{-1}(b)D(b))_{qp}= \sum_{b\in G}\sum_{p,q}B_{pq}\delta_{qp}=\sum_{b\in G}\sum_p B_{pp}=\sum_p\sum_{b\in G}B_{pp}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=n\sum_p B_{pp}\;</MATH>|16.50}} Elementy macierzy B przestawimy w takiej postaci jak w punkcie {{LinkWzór|16.48}}, co na podstawie tego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_pB_{pp}=\sum_{p}\delta_{jp}\delta_{lp}=\delta_{jl}\;</MATH>|16.51}} Wtedy do wzoru {{LinkWzór|16.50}} podstawiając do niego otrzymaną tożsamość {{LinkWzór|16.51}}, wtedy dostajemy związek: {{CentrujWzór|<MATH>d\lambda=\sum_{b\in G}\sum_{p,q}D_{ip}(b)B_{pq}D^{-1}_{qi}(b)=n\delta_{jl}\Rightarrow \lambda={{n}\over{d}}\delta_{jl}\;</MATH>|16.52}} Ale ponieważ macierz A jest macierzą jednostkową pomnożonej przez stałą &lambda;, wtedy dochodzimy po wstawieniu do niej definicji macierzy A{{Sub|im}} poprzez definicję parametru &lambda; określonego w punkcie {{LinkWzór|16.52}}, wtedy elementy macierzy A są w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_{im}=\lambda \delta_{im}={{n}\over{d}}\delta_{jl}\delta_{im}\;</MATH>|16.53}} Elementy macierzy A zapisane wedle wzoru {{LinkWzór|16.46}} przy definicji macierzy B {{LinkWzór|16.48}} i po wykorzystaniu warunku {{LinkWzór|16.49}} dla &alpha; nierównego &beta; i wzoru {{LinkWzór|16.53}} dla &alpha;=&beta;, wtedy dla dowolnego &alpha; i &beta; możemy zapisać wzór łączące oba te dwa przypadki: {{CentrujWzór|<MATH>A_{im}\rightarrow\sum_{b\in G}D^{\alpha}_{ij}(b)D^{\beta}_{lm}(b^{-1})={{n}\over{d}}\delta_{\alpha\beta}\delta_{jl}\delta_{im}\;</MATH>|16.53a}} Zwykle mamy do czynienia z reprezentacjami unitarnymi, zatem macierz D{{Sup|-1}}(b) można zastąpić macierzą transponowaną, i która jest sprzężona jeszcze sensie zespolonym. mając wzór {{LinkWzór|16.53a}} po wykorzystaniu naszych wniosków wcześniej ostatnio powiedzianych, otrzymujemy {{LinkWzór|16.45}}. == Reprezentacje i jego charaktery == Charakter oznaczamy przez symbol &chi; i jego definicja jest taka, że jest to ślad reprezentacji D(a): {{CentrujWzór|<MATH>\chi(a)=\operatorname{Tr} D(a)=\sum_{ll}D_{ll}(a)\;</MATH>|16.54}} Na podstawie twierdzenia {{LinkWzór|15.37|Wprowadzenie_do_teorii_operatorów_liniowych}} charaktery nie zależą od bazy, którego reprezentacje są liczone. Zbiór charakterów opisanych wzorem {{LinkWzór|16.54}}, których liczba jest taka sama jak i elementów grupy G, zatem zbiór charakterów tworzy n-wymiarowy wektor, którego to zapis: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=(\chi(a_1),\chi(a_2),...,\chi(a_n))\;</MATH>|16.55}} Jeśli będziemy rozpatrywać grupę symetrii amoniaku, którego to macierze zapisane są w punkcie [[#Wstęp do reprezentacji przywiedlnych|Wstęp do reprezentacji przywiedlnych]], biorąc reprezentację D{{Sub|1}} jako jednowymiarowy wektor, wtedy według tej samej tabelki charakter jest zawsze równy jeden, co zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^1(g)=1\;</MATH>|16.56}} Następnie biorąc reprezentację dwuwymiarową D{{Sub|2}} grupy symetrii amoniaku, wtedy na podstawie tego charaktery dla tej reprezentacji są przestawione wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2(E)=2\;</MATH>|16.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2(\sigma_m)=0\mbox{ (m=0,1,2,3)}\;</MATH>|16.57a}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2(C^{\pm})=-1\;</MATH>|16.58}} }} == Ortogonalna właściwość charakterów == Udowodnimy, że iloczyn skalarny dwóch charakterów charakteryzujące dwie różne reprezentacji przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>(\chi^{\alpha},\chi^{\beta})=\sum_{a\in G}\chi^{\alpha}(a)\chi^{\beta}(a)=\sum_{i,l}\sum_{a\in G}D^{\alpha}_{ii}(a)D_{ll}^{\beta}(a)=0\;</MATH>|16.59}} Iloczyn charakterów zapisanych wedle wzoru {{LinkWzór|16.59}} na podstawie wielkiego twierdzenia ortogonalności na reprezentantach, czyli według wzoru {{LinkWzór|16.45}} jest równy zero, dla &alpha; różnego &beta;. Wyznaczmy normę reprezentacji &chi;{{Sub|&alpha;}}, i wykorzystując wzór {{LinkWzór|16.45}}, wtedy mamy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>||\chi^{\alpha}||^2=\sum_{i,l}{{n}\over{d_{\alpha}}}\delta_{il}\delta_{il}={{n}\over{d_{\alpha}}}\sum_{il}\delta_{il}\delta_{il}= {{n}\over{d_{\alpha}}}d_{\alpha}=n\;</MATH>|16.60}} == Reprezentacje przywiedlne i jego charaktery == Wiadomo, że na podstawie {{LinkWzór|16.38}} reprezentację przywiedlną można przestawić jako sumę prostą reprezentacji nieprzywiedlnych, w której dana reprezentacja może się powtarzać m{{Sub|&alpha;}}, to charakter całej reprezentacji przywiedlnej, po rozkładzie jej na reprezentacje nieprzywiedlne jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(a)=\sum_{\alpha}m_{\alpha}\chi^{\alpha}(a)\;</MATH>|16.61}} == Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji == Grupowy kwadrat charakteru danej reprezentacji jest równy modułowi charakterowi całej reprezentacji przywiedlnej, czy według wzorowi określonego wzorem {{LinkWzór|16.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>||\chi||^2=\left(\sum_{\alpha}m_{\alpha}\chi^{\alpha},\sum_{\beta}m_{\beta}\chi^{\beta}\right)=\sum_{\alpha,\beta}m_{\alpha}m_{\beta}(\chi^{\alpha}, \chi^{\beta})=\sum_{\alpha,\beta}m_{\alpha}m_{\beta}n\delta_{\alpha\beta}=n\sum_{\alpha}m_{\alpha}^2\;</MATH>|16.62}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|16.62}} kwadrat charakteru reprezentacji przywiedlnej dla określonego "a" jest równy sumie kwadratów współczynników m{{Sub|&alpha;}}, który to wskazuje na ilość powtarzającej się danej reprezentacji nieprzywiedlnej w rozkładzie reprezentacji przywiedlnej na sumą prostą reprezentacji nieprzywiedlnych, pomnożone przez liczbę n. Na podstawie tychże rozważań dochodzimy, że jeśli dana reprezentacja jest przywiedlna, to kwadrat skalarny jej charakteru jest większy niż n. == Charaktery grup przemiennych i jego reprezentacje == Przykładami grup przemiennych są to obroty wokół pewnej osi i translację przestrzenne. Reprezentacje takich grup są reprezentacjami przemiennymi, które ta przemienność jest napisana przez poniższą równość: {{CentrujWzór|<MATH>D(a)D(b)=D(ab)=D(ba)=D(b)D(a)\;</MATH>|16.63}} Na podstawie twierdzenia udowodnionego w rozdziale [[#Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej|Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej]] i z wniosku {{LinkWzór|16.63}} możemy wnioskować, że wszystkie operatory reprezentacji nieprzywiedlnych są operatorami jednostkowymi pomnożonej przez pewną stałą &lambda;, znaczy to, że wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze są to przestrzenie jednowymiarowe, jeśli będziemy rozpatrywać reprezentację unitarne, możemy wtedy tą stałą napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda=e^{i\alpha}\;</MATH>|16.64}} Gdy mamy doczynienia z translakcjami, to parametr &alpha; jest iloczynem liczby k i translacji x, czyli &alpha;=kx, zatem nasz charakter naszej reprezentacji przesunięcia dla reprezentacji nieprzywiedlnych piszemy wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^k(x)=e^{ikx}\;</MATH>|16.65}} Dla grup obrotów C{{Sub|n}} liczba &alpha; jest tak zdefiniowana by była wielokrotnością liczby 2&pi;/n, w takim przypadku parametr &alpha; definiujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha={{2\pi}\over{n}}m\mbox{ (m=0,1,2,3,.,,n-1)}\;</MATH>|16.66}} Oczywiste jest, że taki wybór parametru &alpha; {{LinkWzór|16.66}} zapewnia jednoznaczność dla obrotu o kąt pełny. Ale w obrębie jednej reprezentacji możemy dokonywać obroty będące krotnością l-tą kąta 2&pi;/n, w takim przypadku charakterem m-tym nazywamy liczbę przestawioną: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^{m}(l)=e^{i2\pi lm/n}\mbox{ (l,m=01,2,3,..,n-1)}\;</MATH>|16.67}} Jeśli mamy grupę C{{Sub|&infin;}}, dopuszczalne są obroty o dowolny kąt, wtedy charakter danej reprezentacji nieprzywiedlnych piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^m(\phi)=e^{im\phi} \mbox{ (}m\in C\mbox{)}\;</MATH>|16.68}} Ostatni wzór jest wzorem do reprezentacji grup obrotów sfery. Wzór {{LinkWzór|16.67}} przechodzi we wzór {{LinkWzór|16.68}}, gdy m/n zastąpimy liczbą rzeczywistą. == Definicja iloczynu reprezentacji == Często w fizyce dwa układy opisujemy różnymi wzorami, np. powłoki elektronowe i jadra, które są opisywane różnymi zmiennymi. Łączna grupa symetrii takiego naszego układu jest iloczynem albo kartezjańskim lub prostym, czyli dwóch symetrii związanych z określanymi podukładami jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>G=G_1\times G_2=\{(g_1,g_2):g_1\in C_1, g_2\in C_2\}\;</MATH>|16.69}} Ten sam zapis stosujemy stosujemy dla każdej reprezentacji naszej rozważanej grupy: {{CentrujWzór|<MATH>D(g)=D_1(g_1)\times D_2(g_2)\;</MATH>|16.70}} Mnożyć oczywiście możemy niekoniecznie różne reprezentacje tej naszej grupy wedle symetrii danego układu. Charakter reprezentacji {{LinkWzór|16.70}} nazywamy iloczynem ogólnie dwóch charakterów reprezentacji danych dwóch grup: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(g)=\chi_1(g_1)\chi_2(g_2)\;</MATH>|16.70a}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> sdcuv6bwkaa8wzf971e1s38eqbgw2ma 0 20280 559066 555139 2026-10-11T01:31:19Z Persino 2851 559066 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Środek masy układu mas == Położenie środka masy układu mas nazywamy taki wektor, która jest związana z masami i położeniami poszczególnych ciał wchodzące w skład układu mas: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}={{\sum_i m_i \vec{r}_i}\over{\sum_i m_i}}={{\sum_i m_i \vec{r}_i}\over{M}}\;</MATH>|3.1}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec R</MATH>}} opisany wzorem {{LinkWzór|3.1}} jest średnią ważoną położeń wszystkich cząstek układu, gdzie wagami są ich masy. Oznacza to, że cząstki o większej masie mają większy wpływ na położenie środka masy niż cząstki lżejsze. Środek masy jest więc punktem, który w pewnym sensie „reprezentuje” cały układ, ponieważ jego położenie zależy od rozkładu masy i położeń wszystkich elementów układu. Weźmy teraz sobie drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, którego na każdy element masowy w ogólności działa pewna siła o wektorze {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}, wtedy zasada dynamiki dla pojedynczego punktu: {{CentrujWzór|<MATH>m_i\ddot{\vec r}_i=\vec{F}_i\;</MATH>|3.2}} Równanie {{LinkWzór|3.2}} opisuje ruch i-tej cząstki układu pod wpływem siły {{Formuła|<MATH>\vec F_i</MATH>}}. Każda cząstka ma własną masę {{Formuła|<MATH>m_i</MATH>}} i własne przyspieszenie {{Formuła|<MATH>\ddot{\vec r}_i</MATH>}}, a siły działające na poszczególne cząstki mogą być bardzo złożone. Jednakże, jeśli zsumujemy równania ruchu dla wszystkich cząstek, otrzymamy równanie opisujące ruch całego układu. Przy sumowaniu równań {{LinkWzór|3.2}} stronami dla każdej cząstki z osobna i wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|3.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i\ddot{\vec{r}}_i=\sum_i\vec{F}_i\Rightarrow \sum_i{{d\left(m_i\vec{r}_i\right)}\over{dt}}=\vec {F}\Rightarrow M\dot{\vec{R}}=\vec{F}\;</MATH>|3.3}} Wzór {{LinkWzór|3.3}} jest jednym z najważniejszych wyników w mechanice klasycznej. Pokazuje on, że środek masy układu porusza się tak, jak pojedynczy punkt materialny o masie równej całkowitej masie układu {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}, na który działa całkowita siła zewnętrzna {{Formuła|<MATH>\vec F</MATH>}} będąca sumą sił działających na wszystkie cząstki. Siły wewnętrzne, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, znoszą się parami i nie wpływają na ruch środka masy. Dzięki temu ruch środka masy jest zależny wyłącznie od sił zewnętrznych. Na podstawie obliczeń przeprowadzanych w punkcie {{LinkWzór|3.3}} środek masy opisany wzorem {{LinkWzór|3.1}} porusza się tak samo jak pokazuje druga zasada dynamiki Newtona wyprowadzona w punkcie powyżej, jest określona przez siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} działające na poszczególne punkty masowe, którą nazywać będziemy siłą działającą na środek masy. Oznacza to, że możemy traktować cały układ tak, jakby jego masa była skupiona w jednym punkcie — w środku masy — i na ten punkt działała całkowita siła zewnętrzna. === Transformacja energii z jednego układu odniesienia do drugiego === Wyznaczmy jak zmienia się energia układu z jednego układu odniesienia do drugiego, wykorzystując wzór transformacyjny {{LinkWzór|1.171|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}} według transformacji Galileusza: {{CentrujWzór|<MATH>E'={{1}\over{2}}\sum_a m_a {v_a^'}^2={{1}\over{2}}\sum_a m_a(\vec{v}-\vec{V})^2={{1}\over{2}}\sum_a m_a v_a^2+{{1}\over{2}}\sum_a m_a V^2-\sum_a m_a\vec{V}\vec{v}=E+{{1\over 2}}MV^2-\vec{V}\vec{P}\;</MATH>|3.4}} Wzór {{LinkWzór|3.4}} opisuje, jak zmienia się energia układu przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego poruszającego się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec V</MATH>}} względem pierwszego. Energia {{Formuła|<MATH>E'</MATH>}} w nowym układzie odniesienia jest równa energii {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} w starym układzie plus energia ruchu środka masy {{Formuła|<MATH>{1\over 2}MV^2</MATH>}} minus iloczyn skalarny prędkości nowego układu odniesienia przez całkowity pęd układu {{Formuła|<MATH>\vec P</MATH>}} względem starego układu. Zapis ten pokazuje, że energia układu zależy od wyboru układu odniesienia, lecz różnice energii mają prostą i przejrzystą postać. Widzimy, że energia ciał względem nowego układu odniesienia jest równa energii ciał względem starego układu minus iloczyn prędkości nowego układu odniesienia przez pęd całego układu względem starego układu odniesienia plus energia układu środka masy. W szczególności, jeśli przejdziemy do układu środka masy, w którym całkowity pęd układu jest równy zero, to człon {{Formuła|<MATH>\vec V\vec P</MATH>}} znika, a energia w układzie środka masy jest minimalna. Dlatego układ środka masy jest tak ważny w analizie zderzeń i rozpadów, ponieważ pozwala w naturalny sposób rozdzielić energię ruchu całego układu od energii ruchu względnego jego składników. == Problem dwóch ciał w mechanice nieba == Będziemy tutaj rozważać problem dwóch ciał w mechanice nieba, którego obliczenia będziemy przeprowadzać w układzie środka mas. Układ ten jest szczególnie wygodny, ponieważ pozwala sprowadzić ruch dwóch oddziałujących ze sobą ciał do ruchu jednego punktu materialnego o masie zredukowanej w polu centralnym. Korzystamy z definicji środka mas {{LinkWzór|3.1}}, a następnie wybieramy taki układ odniesienia, w którym środek mas spoczywa. Oznacza to, że jego położenie jest równe zeru i znajduje się w punkcie przecięcia osi układu współrzędnych. W takim przypadku położenia obu ciał spełniają zależność: {{CentrujWzór|<MATH>m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2=0\;</MATH>|3.5}} Równanie {{LinkWzór|3.5}} jest geometrycznym wyrazem faktu, że środek mas układu znajduje się w punkcie zerowym. Oznacza to, że wektory położeń obu ciał są zawsze tak dobrane, aby ich ważona suma masowa była równa zeru. W praktyce oznacza to, że ciało cięższe znajduje się bliżej środka mas niż ciało lżejsze. Jeśli rozważymy ruch dwóch oddziaływających siłami grawitacji {{LinkWzór|1.172|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, to ich równania ruchu są: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{r}_1=-Gm_1m_2{{\vec{r}_1-\vec{r}_2}\over{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}}\;</MATH>|3.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{r}_2=-Gm_1m_2{{\vec{r}_2-\vec{r}_1}\over{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3}}\;</MATH>|3.7}} }} Równania {{LinkWzór|3.6}} i {{LinkWzór|3.7}} opisują ruch każdego z ciał pod wpływem siły grawitacji drugiego ciała. Siły te są zgodne z trzecią zasadą dynamiki Newtona: mają taką samą wartość, lecz przeciwny zwrot. Widać również, że siła grawitacji jest zawsze skierowana wzdłuż prostej łączącej oba ciała, co oznacza, że mamy do czynienia z ruchem w polu centralnym. Możemy podzielić równanie {{LinkWzór|3.6}} przez m{{Sub|1}} i podzielić równanie {{LinkWzór|3.7}} przez m{{Sub|2}}, aby uzyskać równania przyspieszeń. Następnie definiujemy położenie względne obu mas: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_1-\vec{r}_2=\vec{r}\;</MATH>|3.8}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec r</MATH>}} opisuje odległość między ciałami oraz kierunek od jednego ciała do drugiego. Jest to kluczowa wielkość, ponieważ pozwala sprowadzić problem dwóch ciał do jednego równania ruchu dla wektora względnego. Odejmując równania {{LinkWzór|3.6}} i {{LinkWzór|3.7}} stronami, przy wykorzystaniu definicji położenia względnego {{LinkWzór|3.8}}, otrzymujemy równanie ruchu dla wektora względnego: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{r}}=G(m_1+m_2){{\vec{r}}\over{r^3}}\Rightarrow\ddot{\vec{r}}=\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)Gm_1m_2{{\vec{r}}\over{r}}\;</MATH>|3.9}} Równanie {{LinkWzór|3.9}} jest fundamentalnym równaniem problemu dwóch ciał. Pokazuje ono, że ruch względny dwóch ciał można opisać jako ruch pojedynczego punktu materialnego w polu centralnym o masie równej sumie mas obu ciał. Oznacza to, że problem dwóch ciał sprowadza się do jednego równania różniczkowego drugiego rzędu, co jest ogromnym uproszczeniem. Masą zredukowaną nazywamy wielkość, która zależy od dwóch mas składowych, tzn. m{{Sub|1}} i m{{Sub|2}}, jest ona określona jako: {{CentrujWzór|<MATH>\mu={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\;</MATH>|3.10}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} jest masą zredukowaną układu. Jest to efektywna masa, która pojawia się w równaniu ruchu względnego i pozwala traktować problem dwóch ciał tak, jakby jedno ciało o masie {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} poruszało się w polu centralnym o masie {{Formuła|<MATH>m_1+m_2</MATH>}}. Masa zredukowana jest kluczowa w analizie orbit Keplerowskich, ruchu planet, satelitów oraz układów podwójnych gwiazd. Mając już rozwiązanie w wektorach {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, wtedy na podstawie równania {{LinkWzór|3.5}} i {{LinkWzór|3.8}} dostajemy dwa równania na {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1\;</MATH>}} i na {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_1={{m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;</MATH>|3.11}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_2=-{{m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{r}\;</MATH>|3.12}} }} Wzory {{LinkWzór|3.11}} i {{LinkWzór|3.12}} pokazują, jak odtworzyć położenia poszczególnych ciał na podstawie rozwiązania równania względnego {{LinkWzór|3.9}}. Ciało cięższe znajduje się bliżej środka mas, natomiast ciało lżejsze dalej. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec r</MATH>}} opisuje odległość między ciałami, a współczynniki masowe określają, jak ta odległość rozkłada się na położenia poszczególnych ciał. W ten sposób cały problem dwóch ciał sprowadza się do jednego równania ruchu dla wektora względnego oraz prostych zależności geometrycznych pozwalających odtworzyć położenia obu ciał. Jest to klasyczne rozwiązanie problemu Keplerowskiego, które stanowi fundament mechaniki nieba. == Twierdzenie o wiriale == Ważmy wzór obrazujący drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, które to równanie mnożymy przez wektor wodzący ciała wchodzących w skład układu mas {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i\;</MATH>}}. Operacja ta ma głębokie znaczenie fizyczne: pozwala powiązać dynamikę układu z jego strukturą geometryczną oraz energią potencjalną. Po przemnożeniu równania ruchu przez wektor położenia otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_im_i\ddot{\vec{r}}_i\vec{r}_i=\sum_i\vec{F}_i\vec{r}_i\;</MATH>|3.13}} Równanie {{LinkWzór|3.13}} jest punktem wyjścia do twierdzenia o wiriale. Lewa strona opisuje „bezwładnościowy” wkład układu, natomiast prawa strona jest sumą iloczynów sił i położeń, czyli tzw. wiriałem sił. Dla sił konserwatywnych możemy przekształcić równanie {{LinkWzór|3.13}} wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej. Wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i{{d}\over{dt}}\left(m_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_i\right)-\sum_im_i\dot{\vec{r}}_i^2= -\sum_i\operatorname{grad}_iU\vec{r}_i\;</MATH>|3.14}} Pierwszy człon równania {{LinkWzór|3.14}} jest pochodną całki wiriałowej. Drugi człon jest sumą energii kinetycznych poszczególnych cząstek. Prawa strona jest wiriałem sił wynikających z energii potencjalnej. Aby przejść do twierdzenia o wiriale, musimy uśrednić równanie w czasie. Średnią pewnej funkcji f(t) będziemy określać poprzez wzór określą w pewnym przedziale czasowym od zera do &tau;: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{f}={{1}\over{\tau}}\int_0^{\tau}f(t)dt\;</MATH>|3.15}} Uśrednianie jest kluczowe, ponieważ twierdzenie o wiriale dotyczy układów, które pozostają związane przez długi czas — np. układów planetarnych, oscylatorów, układów gwiazdowych. Dla takich układów pochodna całki wiriałowej zanika przy uśrednianiu w nieskończonym czasie: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{{{d}\over{dt}}\sum_im_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_i}={{1}\over{\tau}}\int_0^{\tau}\sum_im_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}_idt={{1}\over{\tau}}\left(\sum_i\vec{r}_i\dot{\vec{r}}\right) \xrightarrow[\tau\rightarrow\infty]{}=0\;</MATH>|3.16}} Wynik {{LinkWzór|3.16}} oznacza, że średnia pochodna całki wiriałowej jest równa zero. Jest to fundament twierdzenia o wiriale. Wstawiając ten wynik do równania {{LinkWzór|3.14}}, otrzymujemy zależność między średnią energią kinetyczną a wiriałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{T}={{1}\over{2}}\overline{\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}U}\;</MATH>|3.17}} Powyższa równość określa średnią energię kinetyczną, która jest równa połowie wiriału systemu z energii potencjalnej. Jest to ogólna postać twierdzenia o wiriale. === Układ oscylatorów fizycznych === Określmy teraz energię potencjalną układu ciał sprężystych, którego całkowita potencjalna energia układu jest równa sumie energii potencjalnej poszczególnych oscylatorów, co możemy ująć: {{CentrujWzór|<MATH>U=\sum_i{{k}\over{2}}\vec{r}_i\;</MATH>|3.18}} Dla oscylatorów sprężystych siła jest proporcjonalna do położenia, a gradient energii potencjalnej jest proporcjonalny do wektora położenia. Wstawiając to do wiriału otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}_iU=\sum k \vec{r}_i^2=2U\;</MATH>|3.19}} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|3.19}} wzór {{LinkWzór|3.17}} pokazuje, że średnia energia potencjalna układu oscylatorów jest równa średniej energii kinetycznej układu. Jest to klasyczny wynik dla oscylatorów harmonicznych: energia kinetyczna i potencjalna są równe w średnim czasie. === Mechanika nieba === Energia potencjalna układu punktów krążących w pewnym polu grawitacyjnym określamy jako sumę energii potencjalnych {{LinkWzór|1.148|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawo powszechnego ciążenia}} dla poszczególnych ciał należącej do układu: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i\vec{r}_i\operatorname{grad}_iU=\sum_i\vec{r}_i{{GMm}\over{r^2}}\vec{r}_i=\sum_i{{GM}\over{r_i}}=-U\;</MATH>|3.20}} W przypadku grawitacji wiriał energii potencjalnej jest równy minus energii potencjalnej. Wstawiając to do równania wirialnego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>2\overline{T}=-\overline{U}\;</MATH>|3.21}} Jest to klasyczny wynik mechaniki nieba: średnia energia kinetyczna układu jest równa połowie modułu średniej energii potencjalnej. Całkowita energia średnia układu punktów masowych krążących wokół pewnego punktu masowego określamy według {{LinkWzór|3.21}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{E}=\overline{T}+\overline{U}=\overline{T}-2\overline{T}=-\overline{T}\;</MATH>|3.22}} Wynik {{LinkWzór|3.22}} oznacza, że całkowita energia średnia układu związanego grawitacyjnie jest ujemna. Jest to fundamentalna własność układów grawitacyjnych: aby układ był związany, jego energia całkowita musi być mniejsza od zera. == Ruch ciała o zmieniających się masie == Określmy teraz pędy ciał układu w chwili t i w chwili t+dt. W przypadku ciała o zmieniającej się masie pęd nie zależy wyłącznie od prędkości, lecz również od tego, jaka masa została przyjęta lub odrzucona w czasie dt. Dlatego pęd ciała przed dotarciem infinitezymalnej masy oraz pęd po jej dotarciu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}(t)=m\vec{v}(t)+\dot{m}dt\vec{v_1}\;</MATH>|3.23}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}(t+dt)=(m+\dot{m}dt)\vec{v}(t+dt)\;</MATH>|3.24}} }} Wzór {{LinkWzór|3.23}} opisuje pęd ciała w chwili t, uwzględniając dodatkowy pęd niesiony przez masę dopływającą lub odpływającą z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_1</MATH>}} względem układu odniesienia. Wzór {{LinkWzór|3.24}} opisuje pęd ciała po czasie dt, kiedy masa zmieniła się o wartość {{Formuła|<MATH>\dot{m}dt</MATH>}} i prędkość ciała zmieniła się na {{Formuła|<MATH>\vec{v}(t+dt)</MATH>}}. Możemy teraz wykorzystać drugą zasadę dynamiki Newtona, którego zapis jest napisany w punkcie {{LinkWzór|1.63|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Zgodnie z definicją siły: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}={{1}\over{dt}}\left((m+\dot{m}dt)\vec{v}(t+dt)-m\vec{v}(t)-\dot{m}dt\vec{v_1}\right)=m{{d\vec{v}}\over{dt}}+{{dm}\over{dt}}\left(\vec{v}-\vec{v}_1\right)\;</MATH>|3.25}} Równanie {{LinkWzór|3.25}} jest fundamentalnym równaniem ruchu dla ciała o zmiennej masie. Pokazuje ono, że oprócz klasycznego członu {{Formuła|<MATH>m\frac{d\vec{v}}{dt}</MATH>}}, pojawia się dodatkowy człon związany ze zmianą masy. Ten człon zależy od różnicy prędkości między ciałem a masą dopływającą lub odpływającą. Oznacza to, że zmiana masy sama w sobie generuje dodatkową „siłę efektywną”, która wpływa na ruch ciała. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|3.25}} drugą zasadę dynamiki Newtona dla zmiennej masy ciała możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> m{{d\vec{v}}\over{dt}}=\vec{F}+{{dm}\over{dt}}(\vec{v}_1-\vec{v})\Rightarrow m{{d\vec{v}}\over{dt}}=\vec{F}+{{dm}\over{dt}}\vec{u}\;</MATH>|3.26|Obramuj}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{u}=\vec{v}_1-\vec{v}</MATH>}} jest prędkością względną masy opuszczającej lub dopływającej do ciała. Równanie {{LinkWzór|3.26}} jest klasycznym równaniem ruchu rakiety i innych układów o zmiennej masie. Pokazuje ono, że zmiana masy generuje dodatkowy człon napędowy lub hamujący, zależnie od kierunku przepływu masy. === Przykład rakiety o zmiennej masie z wylatującymi spalinami === Zajmijmy się teraz przykładem, z którego to z rakiety wypływa masa z prędkością względem rakiety {{Formuła|<math>\vec{u}=[0,0,-u]\;</MATH>}}, i na którą na rakietę działa siła grawitacji. Wtedy równanie {{LinkWzór|3.26}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>m\dot{v}=-mg-\dot{m}u\;</MATH>|3.27}} Równanie {{LinkWzór|3.27}} jest klasycznym równaniem ruchu rakiety w jednowymiarowym polu grawitacyjnym. Człon {{Formuła|<MATH>-mg</MATH>}} opisuje wpływ grawitacji, natomiast człon {{Formuła|<MATH>-\dot{m}u</MATH>}} jest siłą ciągu wynikającą z wyrzucania spalin z prędkością u. Równość {{LinkWzór|3.27}} możemy podzielić przez masę i scałkować względem czasu, ostatecznie: {{CentrujWzór|<MATH>dv=gdt-{{dm}\over{m}}u\Rightarrow \int dv=-g\int dt-u\int{{dm}\over{m}}\Rightarrow v=-gt-u\ln{{m}\over{m_0}}\;</MATH>|3.28}} W równaniu {{LinkWzór|3.28}} oznaczyliśmy przez m{{Sub|0}} masę początkową rakiety, a przez "m" masę rakiety w czasie "t". Otrzymana zależność jest klasycznym równaniem rakietowym, które pokazuje, że prędkość rakiety zależy logarytmicznie od stosunku mas początkowej do masy aktualnej. Jest to fundamentalny wynik w mechanice lotu rakietowego: aby zwiększyć prędkość, rakieta musi wyrzucić znaczną część swojej masy. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> rhio6k566eu1gq832yzs7guwm38x0zb 0 20285 559067 555154 2026-10-11T01:35:52Z Persino 2851 559067 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Na każde ciało możemy nałożyć pewne ograniczenia, które nazywamy '''więzami''', czyli rozwiązanie ruchu dla naszego punktu masowego powinno spełniać równanie powierzchni: {{CentrujWzór|<MATH>g(x,y,z,t)=0\;</MATH>|4.1}} Zaś jeśli punkt ma poruszać się po pewnej krzywej powstałej z przecięcia dwóch powierzchni, to równanie ruchu cząstki powinno spełniać równania płaszczyzn: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>g_1(x,y,z,t)=0\;</MATH>|4.2}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>g_2(x,y,z,t)=0\;</MATH>|4.3}} }} Warunki uboczne zależne od czasu, które są jednocześnie więzami będziemy nazywać '''reonomicznymi''', a niezależne od czasu '''skleronomicznymi'''. Ruch swobodny jest opisywany przez trzy współrzędne, których każdy warunek na więzy zmniejsza liczbę stopni swobody o jeden. Więzy które są zależne od położenia, prędkości i czasu są: {{CentrujWzór|<MATH>g(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)=\sum_{i=1}^3 f_i(\vec{r},t)\dot{\vec{r}}_i + f_0(\vec{r},t)\;</MATH>|4.4}} Jeśli natomiast istnieje taka funkcja G, która spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>dG(\vec{r},t)=\left\{\sum_i{{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial \vec{r}_i}}\dot{\vec{r}}_i + {{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial t}}\right\}dt\;</MATH>|4.5}} I dalej, patrząc na wzory {{LinkWzór|4.4}} i {{LinkWzór|4.5}}, to: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>f_i(\vec{r},t)={{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial \vec{r}_i}}\;</MATH>|4.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>f_0(\vec{r},t)={{\partial G(\vec{r},t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.7}} }} Wtedy więzy spełniające warunek {{LinkWzór|4.5}} na podstawie {{LinkWzór|4.4}} nazywamy więzami holonomicznymi i można z nich wyrugować prędkość. Więzy, których nie da się sprowadzić do funkcji G, by mieć {{LinkWzór|4.5}}, nazywamy więzami anholonomicznymi. == Zasada d'Alemberta == Wykorzystując drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, dla układu ograniczonego więzami, gdzie przez siłę {{Formuła|<MATH>\vec{Z}</MATH>}} będziemy oznaczać siłę pochodzącą od więzów, zatem możemy sformułować tą naszą zasadę d'Alemberta: * Siła reakcji więzów przy wirtualnych przemieszczeniach nie wykonuje pracy, co: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}\,\delta\vec{r}=(m\ddot{\vec{r}}-\vec{F})\delta\vec{r}=0\;</MATH>|4.8}} Zasada d'Alemberta jest zgodna z drugą zasadą dynamiki Newtona, gdyż na poruszające się ciało nie działa żadna siła reakcji, wtedy w zasadzie {{LinkWzór|4.8}} dla dowolnego przesunięcia wirtualnego {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}</MATH>}}, czyli przy dowolnych δx, δy i δz, ta zasada sprowadza się do trzech równań Newtona rozpisując je jako trzy równania w postaci skalarnej, na podstawie tego mamy trzy równania, które są równaniami Newtona dla współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=F_x\;</MATH>|4.9}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{y}=F_y\;</MATH>|4.10}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{z}=F_z\;</MATH>|4.11}} }} == Równania Lagrange'a pierwszego rodzaju == Załóżmy, że ciało ma ograniczonych swobodę ruchów, tzn. jego ruch odbywa się po krzywej spełniającej dwa równania więzów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>g_1(\vec{r},t)=0\;</MATH>|4.12}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>g_2(\vec{r},t)=0\;</MATH>|4.13}} }} Mając na uwadze równania więzów {{LinkWzór|4.12}} i {{LinkWzór|4.13}} możemy napisać je przy pomocy wirtualnych przesunięć: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g_1\cdot\delta\vec{r}=0\;</MATH>|4.14}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g_2\cdot\delta\vec{r}=0\;</MATH>|4.15}} }} Możemy wykorzystać tożsamości {{LinkWzór|4.14}} i {{LinkWzór|4.15}} i pomnożyć je przez współczynniki λ₁ i λ₂, wtedy tak otrzymane wzory możemy wstawić do równości obrazującej zasadę d'Alemberta {{LinkWzór|4.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\left(m\ddot{r}-\vec{F}-\lambda_1\operatorname{grad}g_1-\lambda_2\operatorname{grad}g_2\right)\delta\vec{r}=0\;</MATH>|4.16}} Siłę reakcji więzów we wzorze {{LinkWzór|4.16}} możemy wyrazić przy pomocy współczynników Lagrange'a λ₁ i λ₂: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}=\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2\;</MATH>|4.17}} Zatem równanie {{LinkWzór|4.16}} przy dowolnych przesunięciach wirtualnych daje: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{r}=\vec{F}+\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2\;</MATH>|4.18}} Równanie {{LinkWzór|4.18}} nazywamy równaniem Lagrange'a pierwszego rodzaju, które wraz z więzami {{LinkWzór|4.12}} i {{LinkWzór|4.13}} stanowią układ równań, z którego możemy wyznaczyć parametry λ₁ i λ₂. == Problem zasad zachowania pędu, momentu pędu i energii == Będziemy się zajmowali tutaj zasadami zachowania pędu, momentu pędu, a także i energii. === Zasada zachowania pędu === Drugie prawo Newtona przy pomocy sił normalnych {{LinkWzór|4.17}} do powierzchni, na której poruszało się ciało: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}m\dot{\vec{r}}=\vec{F}+\vec{Z}\;</MATH>|4.19}} Jeśli natomiast zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{F}+\vec{Z}=0</MATH>}}, to ciało poruszające się po danej powierzchni ma pęd stały i niezależny od czasu, to pęd jest całką ruchu. === Zasada zachowania momentu pędu === Równanie na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, gdy na to działa nań siła o wartości {{Formuła|<MATH>\vec{F}+\vec{Z}</MATH>}} dla ciała znajdującego się w punkcie {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{r}\times\left(\vec{F}+\vec{Z}\right)\;</MATH>|4.20}} Jeśli moment sił działającej na ciało {{Formuła|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times(\vec{F}+\vec{Z})</MATH>}} jest równy zeru, to na podstawie tego moment pędu jest wielkością zachowalną. === Zasada zachowania energii === Zasada zachowania energii dla przypadku z więzami, którego to równanie Lagrange'a pierwszego rodzaju {{LinkWzór|4.18}} pomnożymy obustronnie przez prędkość ciała, jest: {{CentrujWzór|<MATH>m\vec{v}\dot{\vec{v}}=\vec{F}\vec{v}+(\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2){{d \vec{r}}\over{d t}}\;</MATH>|4.21}} Z definicji różniczki zupełnej równań więzów {{LinkWzór|4.2}} i {{LinkWzór|4.3}}, mamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>0=dg_1=\operatorname{grad}g_1\,d\vec{r}+{{\partial g_1}\over{dt}}dt\;</MATH>|4.22}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>0=dg_2=\operatorname{grad}g_2\,d\vec{r}+{{\partial g_2}\over{dt}}dt\;</MATH>|4.23}} }} Z równań {{LinkWzór|4.22}} i {{LinkWzór|4.23}} wyznaczamy gradienty funkcji {{LinkWzór|4.2}} i {{LinkWzór|4.3}}, stosując je do wzoru {{LinkWzór|4.21}}, i wykorzystując definicję energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d(T+U)}\over{dt}}=-\lambda_1{{\partial g_1}\over{\partial t}}-\lambda_2{{\partial g_2}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.24}} == Metodyka układów z więzami według równania Lagrange'a == {{Rysunek|Równia_pochyła.jpg|lk1|Ciało na równi pochyłej}} Z rysunku obok możemy napisać tożsamość, która jest więzem opisującym położenia ciała na równi pochyłej: {{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}=\operatorname{tg}\alpha\Rightarrow x\sin\alpha-y\cos\alpha=0\;</MATH>|4.25}} Drugie równanie więzów, gdy współrzędna zetowa kulki na równi jest zawsze równa zero, stąd ona nie zmienia się nigdy i przestawiamy ją: {{CentrujWzór|<MATH>g_2(\vec{r})=z=0\;</MATH>|4.26}} Możemy wyznaczyć gradient dla więzu {{LinkWzór|4.25}}, którego to przestawiamy w postaci wektora: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[\sin\alpha,-\cos\alpha,0]\;</MATH>|4.27}} Następnym naszym krokiem jest wyznaczenie równań ruchu wykorzystując równania Lagrange'a pierwszego rodzaju dla dwóch więzów {{LinkWzór|4.18}}, zatem napiszmy trzy równania opisujące ruch ciała w przestrzeni trójwymiarowej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=\lambda_1\sin\alpha\;</MATH>|4.28}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{y}=-\lambda_1\cos\alpha-mg\;</MATH>|4.29}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{z}=\lambda_2\;</MATH>|4.30}} }} Zróżniczkujmy równania więzów, tzn. {{LinkWzór|4.25}} i {{LinkWzór|4.26}}, to po dokonaniu tychże operacji otrzymujemy dwie tożsamości: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}\sin\alpha-\ddot{y}\cos\alpha=0\;</MATH>|4.31}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\ddot{z}=0\;</MATH>|4.32}} }} Równania {{LinkWzór|4.28}}, {{LinkWzór|4.29}} i {{LinkWzór|4.30}} możemy przepisać w innej równoważnej postaci wedle schematów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}=\lambda_1{{\sin\alpha}\over{m}}\;</MATH>|4.33}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{y}=-\lambda_1{{\cos\alpha}\over{m}}-g\;</MATH>|4.34}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{z}={{\lambda_2}\over{m}}\;</MATH>|4.35}} }} Następnie wyznaczmy parametr λ₁ i parametr λ₂, podstawiając wzory {{LinkWzór|4.33}} i {{LinkWzór|4.34}} do równań wynikłych z pierwszego równania więzów {{LinkWzór|4.31}} i też równanie {{LinkWzór|4.35}} do równania wynikłego z drugiego równania więzów {{LinkWzór|4.32}}, wtedy otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_1{{\sin^2\alpha}\over{m}}+\lambda_1{{\cos^2\alpha}\over{m}}+\cos\alpha g=0\Rightarrow\lambda_1=-mg\cos\alpha\;</MATH>|4.36}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_2=0\;</MATH>|4.37}} }} Mając już wyliczone parametry λ₁ {{LinkWzór|4.36}} i λ₂ {{LinkWzór|4.37}}, to możemy teraz wyznaczyć równania ruchu naszego ciała: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\sin\alpha\cos\alpha\;</MATH>|4.38}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{y}=-mg\sin^2\alpha\;</MATH>|4.39}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{z}=0\;</MATH>|4.40}} }} Wprowadźmy teraz nową zmienną, którego definicja jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>s=-{{y}\over{\sin\alpha}}=-{{x}\over{\cos\alpha}}\;</MATH>|4.41}} Biorąc tożsamość {{LinkWzór|4.41}} i podstawiając go do równania {{LinkWzór|4.38}} i {{LinkWzór|4.39}}, w ten sposób dostajemy jedną równość z tych dwóch, która opisuje zmienną s, która wraz ze zmienną zetową opisuje ruch naszej kulki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{s}=g\sin\alpha\;</MATH>|4.42}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{z}=0\;</MATH>|4.43}} }} Zatem z końcowych równań, tzn. z {{LinkWzór|4.42}} i {{LinkWzór|4.43}}, z którego to wyznaczymy zmienne "s" i "z" w zależności od czasu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>s=g\sin\alpha{{t^2}\over{2}}+v_0t+s_0\;</MATH>|4.44}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>z=0\;</MATH>|4.45}} }} Napiszmy teraz czemu jest równa siła reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}</MATH>}}, na którą to z powierzchni działa na rozważane tutaj ciało poruszające się na równi. Znając wartości parametrów λ₁ {{LinkWzór|4.36}} i λ₂ {{LinkWzór|4.37}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}=\lambda_1\operatorname{grad}g_1+\lambda_2\operatorname{grad}g_2= (-mg\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha,-\cos\alpha,0)=(-mg\sin\alpha\cos\alpha,mg\cos^2\alpha,0)\;</MATH>|4.46}} == Przykładowe zastosowania równań Lagrange'a pierwszego rodzaju == === Statyka === Wiemy z równości, że całkowita siła działająca na ciało spoczywające się na pewnej linii lub powierzchni zachodzi, gdy siła {{Formuła|<MATH>\vec F</MATH>}} i siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}</MATH>}} są sobie równe: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\vec{Z}\;</MATH>|4.47}} Jeśli ciało porusza się po pewnej elipsoidzie, to równanie więzów możemy przedstawić wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>g(x,y,z)={{x^2}\over{a^2}}+{{y^2}\over{b^2}}+{{z^2}\over{c^2}}-1=0\;</MATH>|4.48}} Siłę reakcji więzów wedle definicji {{LinkWzór|4.17}}, który jest wprowadzony dla dwóch więzów, a tutaj mamy jedno równanie więzów, możemy określić pochodzącą od więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}=\lambda\operatorname{grad}g=2\lambda\left({{x}\over{a^2}},{{y}\over{b^2}},{{z}\over{c^2}}\right)\;</MATH>|4.49}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|4.37}} może być spełnione jedynie, gdy x=y=0, i z=\pm c. Jeśli siła reakcji więzów posiada potencjał U, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>dU=\operatorname{grad}U\,d\vec{r}=\vec{Z}\,d\vec{r}\Rightarrow \operatorname{grad}U=\lambda\operatorname{grad} g\;</MATH>|4.49a}} === Poruszanie się powierzchni sfery ciała bez udziału sił === Równanie więzów określać będziemy teraz jako równanie kuli w przestrzeni trójwymiarowej wedle: {{CentrujWzór|<MATH>g=x^2+y^2+z^2-R^2=0\;</MATH>|4.50}} Wtedy równanie na siłę więzów {{LinkWzór|4.17}} określimy dla jednego więzu, zamiast dla dwóch, jak pierwotnie wyprowadzone zostało w tym module, to wzór na siłę reakcji więzów zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}=\lambda\operatorname{grad}g=2\lambda\vec{r}\;</MATH>|4.51}} Moment sił {{LinkWzór|1.66|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} działający ze strony więzów {{LinkWzór|4.51}}, który jest opisany tutaj dla sił pochodzących od więzów wzorem {{LinkWzór|4.51}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{Z}=2\lambda\vec{r}\times\vec{r}=0\;</MATH>|4.52}} Z zerowania się momentu sił {{LinkWzór|4.52}} możemy napisać, że moment pędu opisujących nasze ciało poruszające się wewnątrz kuli jest wielkością zachowawczą. === Ruch ciała po obracającej się linijce === {{Rysunek|Ruch ciała po obracającej się linijce.png|lk2|Ruch ciała po obracającej się linijce.}} Określmy teraz dwa równania więzów dla ciała poruszającego po pewnej linijce obracającej się z prędkością kątową ω: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>g_1=z=0\;</MATH>|4.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\theta-\omega t=0\;</MATH>|4.54}} }} Wykorzystując definicję operatora ∇ we współrzędnych cylindrycznych {{LinkWzór|7.19|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, to możemy opisać gradienty funkcji {{LinkWzór|4.53}} i {{LinkWzór|4.54}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g_1=\vec{e}_z\;</MATH>|4.55}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g_2=\left(\vec{e}_{\rho}{{\partial}\over{\partial\rho}}+\vec{e}_{\theta}{{1}\over{\rho}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+\vec{e}_z{{\partial}\over{\partial z}}\right)g_2={{1}\over{\rho}}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|4.56}} }} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.23|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} możemy napisać trzy równania więzów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{\rho}-m\rho\dot{\theta}^2=0\;</MATH>|4.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m\rho\ddot{\theta}+2m\dot{\rho}\dot{\theta}={{\lambda_2}\over{\rho}}\;</MATH>|4.58}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{z}=\lambda_1\;</MATH>|4.59}} }} Z wyżej napisanych tożsamości, które obrazują pierwsze równanie Lagrange'a, wykorzystując rachunek więzów {{LinkWzór|4.53}} i {{LinkWzór|4.54}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{\rho}-m\rho\omega^2=0\;</MATH>|4.60}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>2m\dot{\rho}\omega={{\lambda_2}\over{\rho}}\Rightarrow\lambda_2=2m\rho\dot{\rho}\omega\;</MATH>|4.61}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_1=0\;</MATH>|4.62}} }} Równanie {{LinkWzór|4.60}}, które jest równaniem zależnym od drugiej pochodnej zmiennej ρ, rozwiązaniem jest równanie zależne od częstotliwości kołowej ω z jaką prędkością porusza się ciało na linijce i tym samym linijka: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t}\;</MATH>|4.63}} Z warunków początkowych dla t=0 mamy {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_0</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\dot{\rho}_0=0</MATH>}}, zatem na podstawie tego możemy napisać równości brzegowe, by wyznaczyć stałe A i B występujące w równaniu {{LinkWzór|4.63}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A+B=\rho_0\;</MATH>|4.64}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A\omega-\omega B=0\Rightarrow A=B\;</MATH>|4.65}} }} Z równości {{LinkWzór|4.64}} i {{LinkWzór|4.65}} możemy napisać warunki na stałe A i B występujące we wzorze na ρ {{LinkWzór|4.63}}: {{CentrujWzór|<MATH>A=B={{\rho_0}\over{2}}\;</MATH>|4.66}} W uwagach końcowych napiszmy jak się zmieniają współrzędne w układzie cylindrycznym dla poruszającego się ciała po linijce: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho={{1}\over{2}}\rho_0\left(e^{\omega t}+e^{-\omega t}\right)\;</MATH>|4.67}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\theta=\omega t\;</MATH>|4.68}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>z=0\;</MATH>|4.69}} }} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r42r8safz8fvcs04dn0rwkner90gfdt 0 20298 559068 555405 2026-10-11T01:38:36Z Persino 2851 559068 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez zbiór trójek {{Formuła|<MATH>(x_i, y_i, z_i)\;</MATH>}}. Będziemy je oznaczać przez {{Formuła|<MATH>\chi_{\alpha}\;</MATH>}}, gdzie indeks α numerujemy liczbami od α = 1, 2, 3, …, 3N. Oznacza to, że każdemu punktowi masowemu odpowiadają trzy współrzędne, a cały układ ma łącznie 3N współrzędnych uogólnionych. Wtedy równanie więzów, zależne od tych trójek, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> g_{\beta}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_N, t) = g_{\beta}(\chi_{\alpha}, t) = 0 </MATH>|5.1}} * gdzie β = 1, 2, …, r. Układ opisywany powyżej ma f = 3N − r stopni swobody, ponieważ każdy więz redukuje liczbę niezależnych współrzędnych o jeden. Jeśli funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} nie zależy od czasu, to taki więz nazywamy '''skleronomicznym'''. Oznacza to, że więz jest czysto geometryczny i nie zmienia się w czasie. Jeśli natomiast funkcja {{Formuła|<MATH>g_{\beta}</MATH>}} zależy od czasu, to więz jest '''reonomicznym''', czyli zmienia się w czasie — na przykład gdy punkt musi poruszać się po krzywej, której położenie zmienia się w czasie. Nie wszystkie więzy dają się zapisać równaniem {{LinkWzór|5.1}} w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu. Istnieje jednak grupa więzów, które można zapisać w postaci liniowej względem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} g_{\alpha}(\chi_{b}, t) \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + g_0(x_b, t) = 0 </MATH>|5.2}} Więzy opisane powyższym równaniem nie dają się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G spełniająca równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dG}{dt} = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial G}{\partial \chi_{\alpha}} \frac{d\chi_{\alpha}}{dt} + \frac{\partial G}{\partial t} = 0 </MATH>|5.3a}} Jeśli więzy opisane równaniem {{LinkWzór|5.2}} '''nie pozwalają''' na znalezienie funkcji G spełniającej równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to takie więzy nazywamy '''więzami anholonomicznymi'''. Są to więzy, które nie mogą być sprowadzone do zależności wyłącznie między współrzędnymi — zależą od prędkości i nie mają potencjału geometrycznego. Jeśli natomiast istnieje funkcja G spełniająca równanie {{LinkWzór|5.3a}}, to więzy są '''holonomiczne'''. Oznacza to, że więz można zapisać w postaci algebraicznej zależnej wyłącznie od współrzędnych i czasu, bez udziału prędkości. Dodatkowo więzy dzielimy na: * '''więzy doskonałe''' — więzy, dla których siły reakcji mają tylko składową prostopadłą do kierunku wirtualnych przesunięć; nie wykonują pracy przy wirtualnych ruchach, * '''więzy niedoskonałe''' — więzy, dla których istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne, przez co siły więzów mogą wykonywać pracę. Podział ten jest fundamentalny dla analizy układów z więzami, ponieważ określa, czy siły więzów wpływają na bilans energetyczny układu. == Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta == Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona. Siła działająca na punkt masowy składa się z siły rzeczywistej {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}} oraz siły reakcji więzów {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}. Zatem równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \vec{F}_i + \vec{Z}_i \Rightarrow \vec{Z}_i = m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i </MATH>|5.3}} Wyrażenie to pozwala wyznaczyć siłę reakcji więzów jako różnicę między przyspieszeniem punktu masowego pomnożonym przez jego masę a siłą rzeczywistą działającą na ten punkt. Każde równanie {{LinkWzór|5.3}} mnożymy przez wirtualne przesunięcie {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}_i</MATH>}}, ponieważ siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy. Sumując tak otrzymane równania dla wszystkich punktów układu, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i \,\delta\vec{r}_i = \sum_{i=1}^N \left( m_i\ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta\vec{r}_i = 0 </MATH>|5.4}} Równość ta jest matematycznym zapisem zasady d’Alemberta: suma prac wirtualnych sił bezwładności i sił rzeczywistych jest równa zero. Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach. Wirtualne przesunięcia są wykonywane przy założeniu, że czas nie ulega zmianie, czyli {{Formuła|<MATH>\delta t = 0</MATH>}}. Wtedy różniczka więzu gₐ ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta g_{\alpha} = \sum_{i=1}^N \operatorname{grad}_i g_{\alpha} \cdot \delta\vec{r}_i = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \chi_{\alpha}} \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.5}} Równość ta oznacza, że wirtualne przesunięcia nie naruszają więzów — są zgodne z geometrią układu. Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange’a. Mnożymy równanie {{LinkWzór|5.5}} przez mnożniki {{Formuła|<MATH>\lambda_{\beta}</MATH>}} i dodajemy je do równania {{LinkWzór|5.4}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha=1}^{3N} \left( m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} - F_{\alpha} - \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \right) \delta\chi_{\alpha} = 0 </MATH>|5.6}} Ponieważ równanie {{LinkWzór|5.6}} jest spełnione dla dowolnych wirtualnych przesunięć {{Formuła|<MATH>\delta\chi_{\alpha}</MATH>}}, wyrażenie w nawiasie musi być równe zero. Otrzymujemy równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} </MATH>|5.7}} Równanie to opisuje ruch układu z więzami holonomicznymi. Siły reakcji więzów są wyrażone przez mnożniki Lagrange’a oraz gradienty więzów. Porównując równanie {{LinkWzór|5.7}} z równaniem wektorowym {{LinkWzór|5.3}}, możemy zapisać siłę reakcji więzów działającą na dany punkt masowy: {{CentrujWzór|<MATH> Z_{\alpha} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} = \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \operatorname{grad}_{\alpha} g_{\beta} </MATH>|5.8}} Siła reakcji więzów jest więc liniową kombinacją gradientów więzów, ważoną mnożnikami Lagrange’a. Jest to pełna, ogólna postać siły więzów w mechanice klasycznej. == Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii == === Twierdzenie o środku mas === Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na który działają różne rodzaje sił. Są to siły odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowymi {{Formuła|<MATH>\vec{F}_{ij}</MATH>}}, siły więzów wewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_{ij}</MATH>}}, siły więzów zewnętrznych {{Formuła|<MATH>\vec{Z}_i</MATH>}}, a także siły zewnętrzne {{Formuła|<MATH>\vec{F}_i</MATH>}}. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona równanie ruchu punktu masowego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\ddot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{F}_{ij} + \sum_{j=1,\,j\neq i}^N \vec{Z}_{ij} + \vec{F}_i + \vec{Z}_i </MATH>|5.9}} Pierwsze dwa człony po prawej stronie opisują oddziaływania wewnętrzne — siły między punktami masowymi oraz siły więzów wewnętrznych. Ostatnie dwa człony opisują siły zewnętrzne i więzy zewnętrzne, które mogą wpływać na ruch całego układu. Z trzeciej zasady dynamiki Newtona wynika, że siły wewnętrzne znoszą się parami. Oznacza to, że dla każdej pary punktów masowych siły wzajemnego oddziaływania są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}</MATH>|5.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_{ij}=-\vec{Z}_{ji}</MATH>|5.11}} }} Wynika z tego, że sumaryczny wpływ sił wewnętrznych na ruch całego układu jest równy zero. Oddziaływania wewnętrzne mogą zmieniać ruch poszczególnych punktów, ale nie zmieniają ruchu środka masy. Dodajmy teraz wszystkie równania ruchu {{LinkWzór|5.9}} dla i = 1, …, N. Dzięki zależnościom {{LinkWzór|5.10}} i {{LinkWzór|5.11}} wszystkie siły wewnętrzne znikają, ponieważ sumują się do zera. Otrzymujemy równanie różniczkowe wektorowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{i=1}^N m_i \ddot{\vec{r}}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.12}} Lewa strona jest równoważna pochodnej drugiej położenia środka masy pomnożonej przez całkowitą masę układu. Jeśli wykorzystamy definicję położenia środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} i zastosujemy ją do równania {{LinkWzór|5.12}}, otrzymujemy równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH> M\ddot{\vec{R}} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i + \sum_{i=1}^N \vec{Z}_i </MATH>|5.13}} Widzimy, że środek masy porusza się tak, jakby miał masę równą sumie mas wszystkich punktów masowych i jakby działały na niego wszystkie siły zewnętrzne oraz siły więzów zewnętrznych. Oddziaływania wewnętrzne — zarówno siły między punktami masowymi, jak i więzy wewnętrzne — nie wpływają na ruch środka masy, gdyż zgodnie z trzecią zasadą dynamiki znoszą się parami. Twierdzenie o środku masy jest jednym z fundamentalnych twierdzeń mechaniki klasycznej: ruch środka masy układu jest niezależny od oddziaływań wewnętrznych i zależy wyłącznie od sił zewnętrznych. === Twierdzenie o momencie pędu === Całkowity moment pędu układu definiujemy jako sumę momentów pędu wszystkich punktów masowych wchodzących w skład układu. Każdy punkt masowy ma swój wektor położenia oraz wektor prędkości, a moment pędu jest iloczynem wektorowym tych dwóch wielkości pomnożonym przez masę punktu. Analogicznie całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na każdy punkt układu — zarówno sił rzeczywistych, jak i sił reakcji więzów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m_i \dot{\vec{r}}_i </MATH>|5.14}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N} = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times (\vec{F}_i + \vec{Z}_i) </MATH>|5.15}} }} Pierwszy wzór {{LinkWzór|5.14}} przedstawia całkowity moment pędu układu jako sumę momentów pędu poszczególnych punktów masowych. Każdy punkt wnosi do momentu pędu wkład zależny od jego położenia względem początku układu odniesienia oraz od jego prędkości. Drugi wzór {{LinkWzór|5.15}} przedstawia całkowity moment sił działających na układ — jest to suma momentów sił rzeczywistych oraz sił reakcji więzów. Zasada łącząca moment pędu {{LinkWzór|5.14}} z momentem sił {{LinkWzór|5.15}} jest identyczna z zasadą przedstawioną w punkcie {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Jest to fundamentalne prawo dynamiki ruchu obrotowego. Pochodna czasowa momentu pędu całego układu jest równa sumie momentów sił działających na układ. Oznacza to, że zmiana momentu pędu w czasie jest spowodowana wyłącznie działaniem sił zewnętrznych. Siły reakcji więzów, mimo że mogą być niezerowe, nie wpływają na zmianę momentu pędu, ponieważ ich moment względem punktów układu jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{K}}{dt} = \vec{N} </MATH>}} Prawo to jest sformułowane dla całego układu jako całość i stanowi podstawę analizy ruchów obrotowych w mechanice klasycznej. Jeśli suma momentów sił zewnętrznych jest równa zero, moment pędu układu pozostaje stały w czasie, co jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu. === Twierdzenie o energii === Mamy sobie równanie {{LinkWzór|5.7}}, które jest równaniem Eulera–Lagrange’a dla układu z więzami. Aby otrzymać zależność energetyczną, mnożymy to równanie stronami przez prędkość uogólnioną {{Formuła|<MATH>\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy od równań ruchu do równań opisujących zmiany energii: {{CentrujWzór|<MATH> m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta}\dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.16}} Lewą stronę równania możemy interpretować jako pochodną energii kinetycznej cząstki α, ponieważ wyrażenie {{Formuła|<MATH>m_{\alpha}\ddot{\chi}_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}</MATH>}} jest równoważne pochodnej czasowej {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2\right)</MATH>}}. Prawa strona zawiera moc sił rzeczywistych oraz moc sił reakcji więzów. Jeśli równania {{LinkWzór|5.16}} pododajemy obustronnie dla wszystkich cząstek układu, otrzymujemy równanie opisujące zmianę całkowitej energii kinetycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 = \sum_{\alpha=1}^{3N} F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} + \sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \sum_{\alpha=1}^{3N} \dot{\chi}_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \;</MATH>|5.17}} Pierwszy człon po prawej stronie jest sumą mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste. Drugi człon jest mocą sił więzów, które mogą wykonywać pracę tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Pochodną energii potencjalnej względem czasu definiujemy jako sumę mocy wykonywanych przez siły rzeczywiste, wziętą z minusem: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{\alpha}F_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha} = -\frac{dU}{dt} \;</MATH>|5.18}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> dg_{\beta} = \sum_{\alpha} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial \chi_{\alpha}} \dot{\chi}_{\alpha} + \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.19}} |3={{CentrujWzór|<MATH> T = \sum_{\alpha=1}^{3N} \frac{1}{2}m_{\alpha}\dot{\chi}_{\alpha}^2 \;</MATH>|5.20}} }} Równanie {{LinkWzór|5.19}} jest różniczką zupełną więzu. Zawiera człon zależny od prędkości uogólnionych oraz człon zależny od czasu — ten drugi jest odpowiedzialny za możliwość wykonywania pracy przez więzy. Na podstawie wzorów {{LinkWzór|5.18}}, {{LinkWzór|5.19}} i {{LinkWzór|5.20}} możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}(T+U) = -\sum_{\beta=1}^r \lambda_{\beta} \frac{\partial g_{\beta}}{\partial t} \;</MATH>|5.21}} Ostateczne równanie pokazuje, że energia całkowita układu zmienia się tylko wtedy, gdy więzy zależą od czasu. Jeśli więzy są stałe w czasie, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial g_{\beta}}{\partial t}=0</MATH>}}, to prawa strona równania znika i otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}(T+U)=0</MATH>}}. co oznacza, że energia całkowita układu jest zachowana. Twierdzenie o energii jest więc bezpośrednim wynikiem równań Lagrange’a i struktury więzów układu. == Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a == === Ruchomy bloczek === {{Rysunek|Bloczek ruchomy.png|rh1|Ruchomy bloczek}} Długość nici, na którą jest owinięty bloczek, jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów. Oznacza ono, że suma przesunięć obu mas wzdłuż osi ruchu jest niezmienna i równa długości L. Jest to więz holonomiczny, liniowy, który wiąże współrzędne x₁ i x₂: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_1+x_2-L=0</MATH>|5.22}} Gradient funkcji g jest wektorem normalnym do powierzchni więzów. Ponieważ więz jest liniowy, jego gradient jest stały i równy wektorowi (1,1). Wskazuje to, że zmiana którejkolwiek współrzędnej wpływa na więz w sposób identyczny: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{grad}g=[1,1]</MATH>|5.23}} Równanie Eulera–Lagrange’a dla każdej z mas m₁ i m₂ w dwuwymiarowej przestrzeni sprowadza się do równań ruchu z dodatkowym członem λ, który jest mnożnikiem Lagrange’a. Ten mnożnik reprezentuje siłę reakcji więzów działającą na każdą masę: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=m_1 g+\lambda</MATH>|5.24}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=m_2 g+\lambda</MATH>|5.25}} }} Równanie więzów możemy dwukrotnie zróżniczkować, ponieważ długość nici jest stała. Otrzymujemy tożsamość wiążącą przyspieszenia obu mas. Oznacza ona, że przyspieszenia są sobie przeciwne — gdy jedna masa przyspiesza w dół, druga musi przyspieszać w górę: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}_1+\ddot{x}_2=0</MATH>|5.26}} Następnie dzielimy równanie {{LinkWzór|5.24}} przez m₁, a równanie {{LinkWzór|5.25}} przez m₂. Wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|5.26}}, otrzymujemy równanie, które pozwala wyznaczyć mnożnik Lagrange’a λ. Jest to siła napięcia nici działająca na bloczek: {{CentrujWzór|<MATH> 0=g+\frac{\lambda}{m_1}+g+\frac{\lambda}{m_2} \Rightarrow 2g=-\lambda\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \Rightarrow \lambda=-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} </MATH>|5.27}} Podstawiamy obliczony parametr λ do równania ruchu masy m₁. Otrzymujemy przyspieszenie tej masy w zależności od różnicy mas. Wynik jest klasyczny: jeśli m₁ > m₂, masa m₁ przyspiesza w dół, a jeśli m₂ > m₁, masa m₁ przyspiesza w górę. Przyspieszenie jest proporcjonalne do różnicy mas i odwrotnie proporcjonalne do ich sumy: {{CentrujWzór|<MATH> m_1\ddot{x}_1 =m_1 g-2g\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g-2g\frac{m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1 =g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \Rightarrow \ddot{x}_1(m_1+m_2)=(m_1-m_2)g </MATH>|5.28}} Ostateczne równanie pokazuje, że przyspieszenie układu bloczkowego zależy wyłącznie od różnicy mas oraz od grawitacji. Bloczek jedynie przekazuje siły, nie zmieniając dynamiki układu. === Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0 === {{Rysunek|Handla na tafli lodowej.png|lk2|Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z{{=}}0}} Napiszmy równanie więzów opisujące stałą odległość między dwiema masami tworzącymi hantlę. Odległość ta jest niezmienna, co oznacza, że punkty masowe poruszają się w płaszczyźnie, zachowując stałą długość pręta łączącego je: {{CentrujWzór|<MATH>g=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2-l^2=0</MATH>|5.29}} Równanie to oznacza, że odległość między punktami o współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x_1,y_1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>(x_2,y_2)</MATH>}} jest równa stałej długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}. Jest to więz holonomiczny, który ogranicza ruch obu mas do torów zgodnych z geometryczną strukturą hantli. Mając równanie więzów dla hantli {{LinkWzór|5.29}}, możemy napisać równania ruchu dla masy m₁: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{x}_1=2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.30}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m_1\ddot{y}_1=2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.31}} }} Siły działające na masę m₁ są siłami reakcji więzów. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a, który określa wielkość siły wymuszającej zachowanie stałej odległości między masami. Składowe siły są proporcjonalne do różnic współrzędnych, co oznacza, że siła działa wzdłuż pręta łączącego masy. Analogicznie równania ruchu dla masy m₂: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{x}_2=-2\lambda(x_1-x_2)</MATH>|5.32}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>m_2\ddot{y}_2=-2\lambda(y_1-y_2)</MATH>|5.33}} }} Siły działające na masę m₂ mają przeciwny zwrot niż siły działające na masę m₁, co wynika z zasady akcji i reakcji. Obie masy są połączone więzem, więc siły więzów są równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Wykorzystując definicję środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}, możemy na podstawie równań {{LinkWzór|5.30}} i {{LinkWzór|5.32}}, a także {{LinkWzór|5.31}} i {{LinkWzór|5.33}}, napisać równanie ruchu środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{\vec{R}}=0</MATH>|5.34}} Ponieważ siły więzów działają wewnętrznie, ich suma jest równa zero. Oznacza to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, niezależnie od ruchu obrotowego hantli. Zgodnie z równaniem {{LinkWzór|5.34}}, równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=\vec{v}t+\vec{R}_0</MATH>|5.35}} Środek masy porusza się z prędkością stałą {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, a jego położenie jest liniową funkcją czasu. Ruch obrotowy hantli nie wpływa na ruch środka masy. Jeśli założymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, to prędkości względem środka masy poszczególnych mas należących do hantli wyrażamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_1'=\vec{\omega}\times\vec{r}_1'</MATH>|5.36}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}_2'=\vec{\omega}\times\vec{r}_2'</MATH>|5.37}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są położeniami mas względem środka masy. Iloczyn wektorowy opisuje prędkość punktu w ruchu obrotowym. Prędkości te są prostopadłe do wektorów położenia, co jest charakterystyczne dla ruchu obrotowego. Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należących do hantli (kulek) w układzie środka masy, wiedząc, że wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_1'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{r}_2'</MATH>}} są prostopadłe do wektora prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} = \sum_{i=1}^2\vec{r}_i'\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i') = \sum_{i=1}^2m_i\left(\vec{\omega}\,r_i'^2-\vec{r}_i'(\vec{r}_i'\vec{\omega})\right) = \vec{\omega}\left(m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2\right) </MATH>|5.38}} Ponieważ wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'</MATH>}} są prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}, iloczyn skalarny {{Formuła|<MATH>(\vec{r}_i'\vec{\omega})</MATH>}} jest równy zero. Wtedy moment pędu sprowadza się do prostego wyrażenia: {{Formuła|<MATH>\vec{K}=J\vec{\omega}</MATH>}} gdzie moment bezwładności hantli względem środka masy wynosi: {{Formuła|<MATH>J=m_1 r_1'^2+m_2 r_2'^2</MATH>}}. Wynik ten jest klasycznym wyrażeniem momentu pędu dla układu dwóch punktów masowych połączonych sztywnym prętem. == Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową == {{Rysunek|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.png|lk3|Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątową.}} Ponieważ rozpatrujemy bryłę sztywną, której więzy nie zależą od czasu, na podstawie zasady zachowania energii {{LinkWzór|5.21}} energia całkowita bryły sztywnej pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>T+U=E</MATH>|5.39}} Wyrażenie to jest fundamentalne dla ruchu obrotowego: energia kinetyczna zależy od prędkości kątowej, a energia potencjalna od kąta obrotu {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Stałość energii pozwala wyprowadzić równania ruchu. Wyznaczamy teraz prędkość punktu bryły jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej i położenia punktu. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prostopadły do wektora położenia {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, co prowadzi do: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>|5.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|\dot{\vec{r}}|=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\,\omega</MATH>|5.41}} }} Pierwszy wzór jest definicją prędkości punktu w ruchu obrotowym. Drugi wzór przedstawia moduł prędkości: zależy on od odległości punktu od osi obrotu, czyli od promienia {{Formuła|<MATH>\sqrt{x_i^2+y_i^2}</MATH>}}. Energia kinetyczna całkowita bryły sztywnej, na podstawie {{LinkWzór|5.41}}, prowadzi do definicji momentu bezwładności: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>T=\frac12\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\omega^2=\frac12 J\omega^2</MATH>|5.42}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.43}} }} Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} jest sumą mas punktów pomnożonych przez kwadrat ich odległości od osi obrotu. Jest to miara „oporu” bryły wobec zmiany prędkości kątowej. W przypadku bryły sztywnej moment bezwładności w postaci ciągłej: {{CentrujWzór|<MATH>J=\int\rho(x,y,z)(x^2+y^2)\,dV</MATH>|5.44}} Zależność ta jest uogólnieniem poprzedniej sumy na przypadek ciągłego rozkładu masy. Gęstość {{Formuła|<MATH>\rho(x,y,z)</MATH>}} określa masę w każdym punkcie bryły. Energia całkowita {{LinkWzór|5.39}} w ruchu obrotowym: {{CentrujWzór|<MATH>E=T+U=\frac12 J\omega^2+U(\theta)=\frac12 J\dot{\theta}^2+U(\theta)</MATH>|5.45}} Wyrażenie to pokazuje, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} jest bezpośrednio związana z energią kinetyczną. Energia potencjalna zależy od kąta obrotu. Ze wzoru {{LinkWzór|5.45}} wyznaczamy równanie na czas: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\theta}^2=\frac{2}{J}(E-U(\theta)) \Rightarrow dt=\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} \Rightarrow t-t_0=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2}{J}(E-U(\theta))}} </MATH>|5.46}} Równanie to opisuje czas potrzebny na zmianę kąta obrotu od {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Jest to analogiczne do ruchu punktu materialnego w jednowymiarowym potencjale. Więzy bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH>g=x_i^2+y_i^2+z_i^2-l_i^2=0</MATH>|5.47}} Wyrażenie to oznacza, że odległość punktu od środka bryły jest stała. Jest to matematyczna definicja bryły sztywnej: odległości między punktami nie zmieniają się. Siły reakcji więzów na podstawie {{LinkWzór|5.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Z}_i=2\lambda_i(x_i,y_i,z_i)=\lambda_i\vec{r}_i</MATH>|5.48}} Siła reakcji więzów jest proporcjonalna do wektora położenia punktu. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\lambda_i</MATH>}} jest mnożnikiem Lagrange’a związanym z więzem. Moment sił reakcji więzów: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}_{\vec{Z}_i}=\vec{r}_i\times\vec{Z}_i=\lambda_i\,\vec{r}_i\times\vec{r}_i=0</MATH>|5.49}} Moment siły reakcji więzów jest równy zero, ponieważ iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest zawsze zerowy. Oznacza to, że więzy nie wpływają na moment pędu bryły. Zatem jedynymi momentami sił działającymi na bryłę są momenty sił zewnętrznych. Całkowity moment pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K} =\sum_i m_i\vec{r}_i\times\dot{\vec{r}}_i =\sum_i m_i\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)\vec{\omega} =J\vec{\omega} </MATH>|5.50}} Moment pędu jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej. Jest to fundamentalna zależność w dynamice bryły sztywnej. Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną (pochodzący wyłącznie od sił zewnętrznych): {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d(J\omega)}{dt}=J\dot{\omega}=\sum_i(\vec{r}_i\times\vec{F}_i)</MATH>|5.51}} Równanie to jest odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: zmiana momentu pędu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych. == Wahadło fizyczne == {{Rysunek|Wahadło fizyczne.png|lk5|Rysunek obrazujący wahadło fizyczne}} Siłą zewnętrzną działającą na wahadło fizyczne jest siła grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{Q}=(mg,0,0)</MATH>|5.52}} Wektor siły grawitacji jest skierowany pionowo w dół i ma wartość {{Formuła|<MATH>mg</MATH>}}. W zapisie przyjęto układ współrzędnych, w którym siła działa wzdłuż osi x. Siła ta jest jedyną siłą powodującą moment względem osi obrotu wahadła. Wektorem wodzącym punktu środka masy {{Formuła|<MATH>\vec{R}</MATH>}} naszego ciała jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{R}=(R\cos\theta,\;R\sin\theta)</MATH>|5.53}} Wektor ten opisuje położenie środka masy względem osi obrotu. Kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest kątem wychylenia wahadła od pionu. Współrzędne {{Formuła|<MATH>R\cos\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>R\sin\theta</MATH>}} określają rzut środka masy na osie układu. Moment siły środka masy możemy określić na podstawie siły grawitacji działającej na ciało obracające się wokół osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}_z = (\vec{R}\times\vec{F})_z = -\sum_i m_i g y_i = -MgR_y = -MgR\sin\theta </MATH>|5.54}} Moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu położenia środka masy i siły grawitacji. Składowa z momentu jest ujemna, co oznacza, że siła grawitacji działa tak, aby przywrócić wahadło do położenia równowagi. Wartość {{Formuła|<MATH>MgR\sin\theta</MATH>}} jest klasycznym wyrażeniem momentu siły dla wahadła fizycznego. Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną oznaczaną przez l, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> J\ddot{\theta} = -MgR\sin\theta \Rightarrow \underbrace{\frac{J}{MR}}_{l}\ddot{\theta} = -g\sin\theta \Rightarrow l\ddot{\theta} = -g\sin\theta </MATH>|5.55}} Równanie to jest fundamentalnym równaniem ruchu wahadła fizycznego. Moment bezwładności {{Formuła|<MATH>J</MATH>}} oraz odległość środka masy {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} tworzą długość zredukowaną {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, która pełni rolę efektywnej długości wahadła. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>l\ddot{\theta}=-g\sin\theta</MATH>}} jest analogiczne do równania wahadła matematycznego, lecz z długością zastąpioną przez wielkość zależną od geometrii i rozkładu masy bryły. == Twierdzenie Steinera == Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przedstawić wedle: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>J=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)</MATH>|5.56}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=\sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2)</MATH>|5.57}} }} Pierwszy wzór przedstawia moment masy względem osi przechodzącej przez środek masy lub inną wybraną oś. Drugi wzór przedstawia moment masy względem osi przesuniętej. Różnica między nimi wynika wyłącznie z przesunięcia współrzędnych punktów masy. Współrzędne nowej osi względem starej osi, przesuniętej o wektor [a,b], są: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{x}_i=x_i-a</MATH>|5.58}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{y}_i=y_i-b</MATH>|5.59}} }} Wzory te opisują translację układu współrzędnych: każdy punkt masy zostaje przesunięty o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}. Przesunięcie osi powoduje zmianę współrzędnych, lecz nie zmienia fizycznego położenia punktów w przestrzeni. Moment masy względem nowej osi {{LinkWzór|5.57}}, po podstawieniu {{LinkWzór|5.58}} i {{LinkWzór|5.59}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{J} = \sum_i m_i(\overline{x}_i^2+\overline{y}_i^2) = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) + \sum_i m_i(a^2+b^2) - 2a\sum_i m_i x_i - 2b\sum_i m_i y_i </MATH>|5.60}} Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy cztery składniki: * pierwszy — moment względem starej osi, * drugi — moment wynikający z przesunięcia osi o wektor {{Formuła|<MATH>(a,b)</MATH>}}, * trzeci i czwarty — składniki liniowe zależne od sum masowych współrzędnych punktów. Jeśli stara oś przechodzi przez środek masy układu, to trzeci i czwarty składnik znikają na podstawie definicji środka masy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_i m_i x_i = 0,\qquad \sum_i m_i y_i = 0</MATH>}} Zatem moment masy ciała względem osi nieprzechodzącej przez środek masy jest równy momentowi masy względem osi przechodzącej przez środek masy {{LinkWzór|5.56}} oraz momentowi środka masy względem nowej osi: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{J}=J_s+Ms^2</MATH>|5.61}} Wzór ten jest klasycznym twierdzeniem Steinera (zwanym również twierdzeniem o równoległych osiach). Moment bezwładności względem osi przesuniętej o odległość {{Formuła|<MATH>s</MATH>}} jest równy momentowi względem osi przechodzącej przez środek masy plus iloczyn masy całkowitej i kwadratu przesunięcia osi. Twierdzenie to jest fundamentalne w mechanice bryły sztywnej, ponieważ pozwala obliczać momenty bezwładności dla dowolnych osi na podstawie momentu względem osi centralnej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 1nyjblocqy6a20zlija5qxltjrgnij4 0 20309 559069 555211 2026-10-11T01:43:19Z Persino 2851 559069 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zajmować będziemy się tutaj równania Lagrange'a drugiego rodzaju, a także zasadą Hamiltona. == Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione == Wprowadźmy teraz układ, w którym istnieją więzy określone równaniami: {{CentrujWzór|<MATH>g_{\alpha}(\chi_a,t)=0\mbox{ }\alpha=1,2,\dots,r,\;a=1,2,\dots,3N\;</MATH>|6.1}} Zatem mając równania więzów {{LinkWzór|6.1}} możemy napisać przesunięcia wirtualne, a także pochodną czasową prędkości w układzie prostokątnym, wychodząc z definicji różniczki zupełnej rozpisanej poprzez pochodne cząstkowe względem jego argumentów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta\chi_a=\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\delta q_k\;</MATH>|6.2}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}_a=\sum_{k=1}^f {{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k+{{\partial \chi_a}\over{\partial t}}\;</MATH>|6.3}} }} Wyznaczmy pochodną wielkości {{LinkWzór|6.3}} względem prędkości uogólnionej: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial \dot{\chi}_a}\over{\partial \dot{q}_k}}={{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.4}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|6.2}} zasadę d'Alemberta {{LinkWzór|4.8|Ruch_ciał_ograniczonych_więzami}} dla „f” stopni swobody zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}(m_a\ddot{\chi}_a-F_a)\delta\chi_a=\sum_{a=1}^{3N}(m_a\ddot{\chi}_a-F_a)\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\delta q_k=0\;</MATH>|6.5}} Energię kinetyczną w układzie współrzędnych kartezjańskich możemy wyznaczyć jako sumę energii kinetycznych dla każdej osi z osobna, opisujących daną cząstkę, i sumując względem wszystkich cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>T(q_k,\dot{q}_k,t)=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\dot{\chi}_a^2\;</MATH>|6.6}} Dalej należy policzyć pochodne cząstkowe całkowitej energii kinetycznej {{LinkWzór|6.6}} względem k-tego stopnia swobody współrzędnej uogólnionej oraz względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial q_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.7}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial \dot{q}_k}}\;</MATH>|6.8}} }} Do dalszego przestawienia wzoru {{LinkWzór|6.8}} należy wykorzystać udowodnioną tożsamość z punktu {{LinkWzór|6.4}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.9}} Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną wyrażenia {{LinkWzór|6.9}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\ddot{\chi}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}m_a\dot{\chi}_a{{\partial\dot{\chi}_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.10}} Ostatni wyraz po prawej stronie {{LinkWzór|6.10}} jest członem występującym w {{LinkWzór|6.7}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\ddot{\chi}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+{{\partial T}\over{\partial q_k}}\Rightarrow{{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=\sum_{a=1}^{3N}m_a\ddot{\chi}_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.11}} Końcowy wzór {{LinkWzór|6.11}} podstawiamy do wzoru wynikłego z zasady d'Alemberta: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^f\left({{d}\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}-\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial \chi_a}\over{\partial q_k}}\right)\delta q_k=0\;</MATH>|6.12}} Wprowadźmy teraz wielkość, którą nazywamy siłą uogólnioną, zapisaną jako sumę względem wskaźnika „a” iloczynu siły Fₐ przez pochodną χₐ względem współrzędnej qₖ: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=Q_k\;</MATH>|6.13}} W {{LinkWzór|6.13}} wielkość {{Formuła|<MATH>\sum_{a=1}^{3}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\vec{k}_a={{\partial\vec{r}}\over{\partial q_k}}=\vec{e}_k\left|\left|{{\partial\vec{r}}\over{\partial q_k}}\right|\right|=\vec{e}_k g_k\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k</MATH>}} jest wersorem w układzie ogólnie krzywoliniowym o bazie ortonormalnej, a {{Formuła|<MATH>g_k=\left|\left|{{\partial\vec{r}}\over{\partial q_k}}\right|\right|\;</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{a=1}^{3N}F_a{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i=1}^N\vec{F}_i\cdot\vec{e}_{ik}g_{ik}=\sum_{i=1}^Ng_{ik}\left(\vec{F}_i,\vec{e}_{ik}\right)=\sum_{i=1}^NQ_{ik}=Q_k</MATH>|F2}} Stąd wielkość {{Formuła|<MATH>Q_k</MATH>}} jest k-tym stopniem swobody wektora siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym. Widzimy, że siła uogólniona {{Formuła|<MATH>Q_k</MATH>}}, ponieważ zachodzi {{LinkWzór|F2}}, jest addytywna i jest sumą sił uogólnionych od poszczególnych ciał w układzie z więzami. Udowodnijmy addytywność sił uogólnionych, jeżeli na dane ciało działa pewna liczba sił zwykłych: {{CentrujWzór|<MATH>F_{k}=\sum_{i}F_{ik}\Rightarrow Q_{k}=\sum_{a=1}^{3N}\sum_{i}F_{ia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i}\sum_{a=1}^{3N}F_{ia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_i Q_{ik}\Rightarrow Q_k=\sum_iQ_{ik}\;</MATH>|F3}} A więc k-ty stopień swobody siły uogólnionej działającej na układ jest sumą wszystkich k-tych stopni swobody sił uogólnionych, nawet tych działających na jedno ciało w liczbie większej niż jeden, w układzie ogólnie krzywoliniowym. Równanie {{LinkWzór|6.12}} jest spełnione dla dowolnego przesunięcia wirtualnego współrzędnej uogólnionej qₖ przy definicji siły uogólnionej {{LinkWzór|6.13}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d }\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}=Q_k\;</MATH>|6.14}} Równanie {{LinkWzór|6.14}} nosi nazwę równania Lagrange'a drugiego rodzaju. Następnie, na podstawie obliczeń przedstawionych w punkcie {{LinkWzór|1.78|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, możemy napisać, że składowa siły w układzie kartezjańskim jest równa pochodnej energii potencjalnej względem współrzędnej kartezjańskiej, z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>F_a=-{{\partial U}\over{\partial \chi_a}}+F_{za}\;</MATH>|6.15}} Na podstawie wzoru na siłę Fₐ {{LinkWzór|6.15}} wzór na siłę uogólnioną {{LinkWzór|6.13}} w zależności od siły potencjalnej i zewnętrznej: {{CentrujWzór|<MATH>Q_k=\sum_{a=1}^{3N}F_{pa}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=-\sum_{a=1}^{3N}{{\partial U}\over{\partial\chi_a}}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}+Q_{zk}=-{{\partial U}\over{\partial q_k}}+Q_{zk}\;</MATH>|6.16}} Dla siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}</MATH>}} w {{LinkWzór|6.16}} też zachodzi związek {{LinkWzór|F3}}, jak dla siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_k</MATH>}} {{LinkWzór|6.13}}, bo na podstawie {{LinkWzór|F3}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_k=Q_{zk}+Q_{pk}\;</MATH>|F4}} Wzór {{LinkWzór|6.16}} spełnia zasadę rozpisu {{LinkWzór|F4}}. Wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną na podstawie {{LinkWzór|6.16}} i definicji siły uogólnionej {{LinkWzór|F2}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_{i=1}^Ng_{ik}(\vec{F}_i,\vec{e}_{ik})</MATH>|F6}} Ponieważ zachodzi addytywność siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_k</MATH>}} {{LinkWzór|F3}}, to na podstawie {{LinkWzór|F4}} zachodzi addytywność siły uogólnionej zewnętrznej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}</MATH>}}. Można to sprawdzić bezpośrednio z definicji {{LinkWzór|F6}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=\sum_{a=1}^{3N}\sum_iF_{zia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_i\sum_{a=1}^{3N}F_{zia}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}=\sum_iQ_{zik}\Rightarrow Q_{zk}=\sum_iQ_{zik}\;</MATH>|F5}} Wzór na siłę uogólnioną {{LinkWzór|6.16}} możemy wstawić do równania Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.14}}, pamiętając jednocześnie, że energia potencjalna nie zależy od czasu ani od prędkości uogólnionej: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial(T-U)}\over{\partial \dot{q}_k}}-{{\partial (T-U)}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.17}} Wprowadźmy teraz funkcję Lagrange'a, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> L=T-U\;</MATH>|6.18}} Równość {{LinkWzór|6.17}} na podstawie definicji funkcji Lagrange'a {{LinkWzór|6.18}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.19}} Układ równań {{LinkWzór|6.19}} jest układem f=3N−r równań różnicowych drugiego rzędu, z którego wyznaczamy współrzędne qₖ jako funkcje czasu. Równanie {{LinkWzór|6.19}} stosuje się tak samo dla układów z więzami, jak i bez więzów, o ile więzy są holonomiczne, a siły — konserwatywne. Równanie Eulera–Lagrange'a {{LinkWzór|6.19}} możemy zapisać w postaci wektorowej w przestrzeni kartezjańskiej, opisującej daną cząstkę o numerze „a”, w analogii do {{LinkWzór|6.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\vec{v}_a}}-{{\partial L}\over{\partial\vec{r}_a}}=\vec{Q}_z\;</MATH>|6.20}} == Funkcja Lagrange'a a zasady zachowania == === Zasada zachowania energii i translacja w czasie === Napiszmy teraz różniczkę zupełną funkcji Lagrange'a, zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|6.18}}, względem czasu, do której będziemy stosować drugie równanie Lagrange'a {{LinkWzór|6.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dL}{dt} = \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k + \frac{\partial L}{\partial t} = \sum_k \dot{q}_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) - \sum_k Q_{zk}\dot{q}_k + \sum_k \ddot{q}_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} + \frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k Q_{zk}\dot{q}_k </MATH>|6.21}} Wyrazy w {{LinkWzór|6.21}}, które są pochodnymi zupełnymi i cząstkowymi funkcji względem czasu, umieszczamy po jednej stronie (prawej), a pozostałe wyrazy po stronie lewej: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_kQ_{zk}\dot{q}_k ={{d\over{dt}}\left( \sum_k\dot{q}_k{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-L\right)} +{{\partial L}\over{\partial t}} \Rightarrow P_z={{d\over{dt}}\left( \sum_k\dot{q}_k{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}-L\right)} +{{\partial L}\over{\partial t}} \;</MATH>|6.22}} Wykażemy, że prawa strona równości pod pochodną czasową jest równa całkowitej energii wziętej z minusem. Mamy: {{CentrujWzór|<MATH> T=\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\dot{\chi}_a^2 =\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\left(\sum_{k=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k\right)^2 \;</MATH>|6.23}} Dalej wyznaczmy wyrażenie, które będzie nam dalej potrzebne, pamiętając, że całkowita energia potencjalna układu nie zależy od pochodnych współrzędnych uogólnionych: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k=1}^f{{\partial T}\over{\partial\dot{q}_k}}\dot{q}_k =\sum_{k=1}^f\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}2\left(\sum_{s=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_s}}\dot{q}_s\right){{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}}\dot{q}_k =2\sum_{a=1}^{3N}{{m_a}\over{2}}\left(\sum_{s=1}^f{{\partial\chi_a}\over{\partial q_s}}\dot{q}_s\right)^2 =2T \;</MATH>|6.24}} Na samym końcu policzmy wyrażenie występujące z prawej strony wzoru {{LinkWzór|6.22}} pod pochodną względem czasu, wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|6.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_k{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}\dot{q}_k-L =2T-T+U =T+U =E \;</MATH>|6.25}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punktach {{LinkWzór|6.22}} i {{LinkWzór|6.25}} wykazaliśmy, że jeśli Lagrangian nie zależy od czasu oraz siły uogólnione zewnętrzne są równe zero, to całkowita energia układu w czasie się nie zmienia. === Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a === Całkowity Lagrangian układu jest sumą wszystkich energii kinetycznych i potencjalnych dla cząstek wchodzących w skład układu mechanicznego: {{CentrujWzór|<MATH> L=\sum_{i=1}^N{{m_i\dot{\vec{r}}_i^{\,2}}\over{2}} -\sum_{i,j}V(|\vec{r}_i-\vec{r}_j|) \;</MATH>|6.26}} Dokonajmy teraz translacji przestrzennej o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}=[a_1,a_2,a_3]\;</MATH>}} wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}_i'=\vec{r}_i+\vec{a}\;</MATH>|6.27}} Zmiana Lagrangianu przy przesunięciu o wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} wyraża się przez zależność od współrzędnych, które są wyrażone przez współrzędne wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i'\;</MATH>}} oraz przez współrzędne wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}_i\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.27}}: {{CentrujWzór|<MATH> \delta L = L(\vec{r}_i',\dot{\vec{r}}_i,t)- L(\vec{r}_i,\dot{\vec{r}}_i,t) =a_1\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial x_k}} +a_2\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial y_k}} +a_3\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial z_k}} \;</MATH>|6.28}} Jeśli nasz Lagrangian nie zmienia się podczas dowolnej translacji w przestrzeni, to dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} musi zachodzić {{Formuła|<MATH>\delta L=0\;</MATH>}}, co prowadzi do warunków: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial x_k}} =\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial y_k}} =\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial z_k}} =0 \;</MATH>|6.29}} Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|6.19}} na drugie równanie Lagrange'a i podstawimy go do trzech tożsamości {{LinkWzór|6.29}}, to otrzymamy: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{x}_k}}\right) ={{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{y}_k}}\right) ={{d}\over{dt}}\left(\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial \dot{z}_k}}\right) =0 \;</MATH>|6.30}} Na tej podstawie możemy napisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{x}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.31}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{y}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.32}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{k=1}^N{{\partial L}\over{\partial\dot{z}_k}}=\operatorname{const}\;</MATH>|6.33}} }} Można wykazać, że pochodna {{Formuła|<MATH>{{\partial L}\over{\partial\dot{x}_k}}\;</MATH>}} jest pędem iksowym cząstki poruszającej się w układzie, który ulega translacji; analogicznie {{Formuła|<MATH>{{\partial L}\over{\partial\dot{y}_k}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{\partial L}\over{\partial\dot{z}_k}}\;</MATH>}} są odpowiednio pędami igrekowymi i zetowymi. Zatem prawa {{LinkWzór|6.31}}, {{LinkWzór|6.32}} i {{LinkWzór|6.33}} obrazują, że podczas translacji układu o pewien wektor całkowity pęd układu pozostaje zachowany, jeśli Lagrangian {{LinkWzór|6.26}} jest niezmienniczy względem takich translacji. W takim przypadku całkowity pęd układu cząstek jest wielkością zachowaną. === Zasada zachowania momentu pędu === Prędkość w ruchu obrotowym w układzie kulistym wyprowadziliśmy w punkcie {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}}, zatem całkowity Lagrangian, który jest funkcją energii kinetycznej i potencjalnej, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> L=T-U={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\sin^2\phi+r^2\dot{\phi}^2\right)-U(r) \;</MATH>|6.34}} Z powyższego wnioskujemy, że Lagrangian nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu {{LinkWzór|6.34}} względem {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> 0={{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}}} ={{d}\over{dt}}\left(mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi\right) \;</MATH>|6.35}} Jeśli dodatkowo zauważymy, że zachodzi tożsamość na moment pędu zetowy: {{CentrujWzór|<MATH> L_z=m(\vec{r}\times\dot{\vec{r}})_z =m(x\dot{y}-y\dot{x}) \;</MATH>{{Br}}<MATH> =m\left( r\cos\theta\sin\phi\left(\dot{r}\sin\theta\sin\phi+r\dot{\theta}\sin\phi\cos\theta+r\dot{\phi}\sin\theta\cos\phi\right) -r\sin\theta\sin\phi\left(\dot{r}\cos\theta\sin\phi+r\dot{\theta}\sin\phi(-\sin\theta)+r\dot{\phi}\cos\theta\cos\phi\right) \right) </MATH>{{Br}}<MATH> =mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta) =mr^2\dot{\theta}\sin^2\phi \;</MATH>|6.36}} Na podstawie {{LinkWzór|6.35}} oraz {{LinkWzór|6.36}} widzimy, że pod pochodną czasową występuje dokładnie zetowa składowa momentu pędu. Oznacza to, że moment pędu względem osi \(z\) jest wielkością zachowaną — wynika to z faktu, że współrzędna {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} jest '''cykliczna'''. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli Lagrangian {{Formuła|<MATH>L</MATH>}} nie zależy od współrzędnej uogólnionej {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}}, to spełniona jest zasada zachowania: {{CentrujWzór|<MATH> {{d}\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial \dot{q}_k}}=0 \;</MATH>|6.37}} Współrzędną {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}}, dla której zachodzi {{LinkWzór|6.37}}, nazywamy '''współrzędną cykliczną'''. Jej istnienie oznacza istnienie wielkości zachowanej — w tym przypadku jest to moment pędu. == Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie współrzędnych == Załóżmy, że mamy do czynienia z ortogonalnym układem współrzędnych, w którym obowiązują wersory o długości jeden oznaczone przez {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k\;</MATH>}}, gdzie przyrost położenia: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec{r}=\sum_k g_k(q_i)\,dq_k\,\vec{e}_k \;</MATH>|6.38}} Na podstawie {{LinkWzór|6.38}} opis zależy od wersorów oraz od różniczek współrzędnych uogólnionych, zatem prędkość danej cząstki w tym układzie: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}={{d\vec{r}}\over{dt}} =\sum_k g_k(q_i)\dot{q}_k\,\vec{e}_k \;</MATH>|6.39}} Parametry {{Formuła|<MATH>g_k(q_i)\;</MATH>}} są np. w kulistym układzie współrzędnych tak dobrane, aby po porównaniu ze wzorem na prędkość w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} można było napisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>g_1=1\;</MATH>|6.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>g_2=r\sin\phi\;</MATH>|6.41}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>g_3=r\;</MATH>|6.42}} }} Wektory {{Formuła|<MATH>\vec{e}_k\;</MATH>}} tworzą układ wersorów jednostkowych i ortogonalnych: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{e}_k\cdot\vec{e}_i=\delta_{ki} \;</MATH>|6.43}} Biorąc pod uwagę definicję prędkości {{LinkWzór|6.39}} oraz własność ortogonalności wersorów {{LinkWzór|6.43}}, możemy wzór na całkowitą energię kinetyczną napisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> T={{1}\over{2}}m\vec{v}^{\,2} ={{1}\over{2}}m\sum_k g_k^2\dot{q}_k^{\,2} \;</MATH>|6.44}} Rozpatrzmy teraz dla jednego ciała drugie równanie Lagrange'a {{LinkWzór|6.14}}, zapisane za pomocą energii kinetycznej i siły uogólnionej. Wzór na siłę uogólnioną według {{LinkWzór|F2}}, a także druga zasada dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, dają w układzie ogólnie krzywoliniowym: {{CentrujWzór|<MATH> {{d\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial T}\over{\partial q_k}} =m{{d\over{dt}}(g_k^2\dot{q}_k)} -m\sum_i g_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^{\,2} </MATH>{{Br}}<MATH> =mg_k^2\ddot{q}_k +2m g_k{{dg_k}\over{dt}}\dot{q}_k -m\sum_i g_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^{\,2} </MATH>{{Br}}<MATH> =mg_k^2\ddot{q}_k +2m g_k\sum_i{{\partial g_k}\over{\partial q_i}}\dot{q}_i\dot{q}_k -m\sum_i g_i{{\partial g_i}\over{\partial q_k}}\dot{q}_i^{\,2} =g_kF_k=g_kma_k \;</MATH>|6.45}} Z drugiej strony wzór na przyspieszenie dowolnej cząstki możemy otrzymać ze wzoru fizycznego, słusznego w dowolnym układzie ogólnie krzywoliniowym. Z {{LinkWzór|6.39}}, licząc pochodną zupełną względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{a} ={{d\vec{v}}\over{dt}} =\sum_k g_k\ddot{q}_k\,\vec{e}_k +\sum_k\dot{q}_k{{d\over{dt}}\left(g_k\vec{e}_k\right)} \;</MATH>|6.46}} Ostatni człon jest trudny do obliczenia bezpośrednio, ale możemy wyznaczyć jego współczynniki, porównując współczynniki stojące przy {{Formuła|<MATH>\ddot{q}_k\;</MATH>}} we wzorze {{LinkWzór|6.46}} i w równaniu {{LinkWzór|6.45}}. Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec a =\sum_k\vec e_k{{1}\over{mg_k}}\left({{d\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right) \Rightarrow \sum_k a_k\vec e_k =\sum_k\vec e_k{{1}\over{mg_k}}\left({{d\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right) \Rightarrow a_k={{1}\over{m g_k}}\left({{d\over{dt}}{{\partial T}\over{\partial \dot{q}_k}}}-{{\partial T}\over{\partial q_k}}\right) \;</MATH>|6.47}} Równość {{LinkWzór|6.47}} zachodzi, bo {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} jest k-tą współrzędną siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym, a z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_k a_k\vec e_k=\vec a \;</MATH>|6.47a}} Podstawiając {{LinkWzór|6.47a}} do pierwszego równania {{LinkWzór|6.47}} oraz korzystając z ortonormalności wersorów {{LinkWzór|6.43}}, otrzymujemy końcowy wzór na k-tą współrzędną przyspieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym. Energia kinetyczna w układzie kulistym dla ciała jest określona na podstawie wzoru {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}}: {{CentrujWzór|<MATH> T={{m}\over{2}}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+r^2\sin^2\phi\,\dot{\theta}^2\right) \;</MATH>|6.48}} Jeśli podstawimy wzór {{LinkWzór|6.48}} do wzoru {{LinkWzór|6.47}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|6.40}}, {{LinkWzór|6.41}} i {{LinkWzór|6.42}}, otrzymujemy wzór na przyspieszenie w układzie kulistym dla danego ciała, zgodny z wynikiem podanym we wzorze {{LinkWzór|1.30|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}}. == Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a == Weźmy sobie całkę działania, którą określamy za pomocą wzoru, w której funkcją podcałkową jest funkcja Lagrange'a zdefiniowana w punkcie {{LinkWzór|6.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> S=\int_{t_1}^{t_2} L(q_k,\dot{q}_k,t)\,dt \;</MATH>|6.49}} Całkę działania {{LinkWzór|6.49}} będziemy tak formułować, by wariacja funkcjonału S była równa zero, czyli przyjmujemy '''zasadę Hamiltona''' ('''zasadę najmniejszego działania'''). Na podstawie obliczeń przeprowadzonych dla funkcji Lagrange'a w {{lg|Metody matematyczne fizyki|Metod matematycznych fizyki}} otrzymujemy, że wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem Lagrangian występujący w {{LinkWzór|6.49}} spełnia wniosek {{LinkWzór|17.13|Rachunek_wariacyjny|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, w którym występuje funkcja F, którą tutaj zastąpimy przez L. W końcowych perypetiach otrzymujemy wzór skalarny {{LinkWzór|6.19}} lub wzór wektorowy {{LinkWzór|6.20}} dla przestrzeni kartezjańskiej, a więc to udowodnijmy: {{CentrujWzór|<MATH> 0=\delta S =\int_{t_1}^{t_2}\left({{\partial L}\over{\partial q_k}}-{{d\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}}\right)\delta q_k\,dt \Rightarrow {{\partial L}\over{\partial q_k}}-{{d\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}}=0 \;</MATH>|6.49a}} Przyjmijmy, że Lagrangian jest sumą lagrangianu „normalnego” {{Formuła|<MATH>L=T-U\;</MATH>}} i części odpowiedzialnej za siły zewnętrzne (w szczególnym przypadku także siły oddziaływań). Wtedy w {{LinkWzór|6.49a}} zastępujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L\rightarrow L+L_{z} \;</MATH>|6.49ab}} Na podstawie zasady wariacyjnej {{LinkWzór|6.49a}} i zastąpienia {{LinkWzór|6.49ab}} oraz zakładając, że {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}} zależy od prędkości i położenia ciał, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> {{d\over{dt}}{{\partial (L+L_{z})}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial (L+L_{z})}\over{\partial q_k}}=0 \Rightarrow {{d\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L}\over{\partial q_k}} =-\left({{d\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right) \;</MATH>|6.49b}} Ponieważ zachodzi z teorii ruchu {{LinkWzór|6.19}} oraz z teorii lagrangianu {{LinkWzór|6.49b}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> Q_{zk} =-\left({{d\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right) ={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}} -{{d\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}} \;</MATH>|6.49c}} Wzór {{LinkWzór|6.49c}} jest przepisem jak liczyć k-ty stopień swobody sił uogólnionych w układzie ogólnie krzywoliniowym, znając lagrangian sił oddziaływań oraz sił zewnętrznych {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}}, zależny od prędkości i położenia. Gdy {{Formuła|<MATH>L_{z}\;</MATH>}} nie zależy od prędkości, tylko od położenia, wzór {{LinkWzór|6.49c}} przyjmuje prostszą formę: {{CentrujWzór|<MATH> Q_{zk}={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}} \;</MATH>|6.49d}} Na podstawie wzoru na siłę uogólnioną {{Formuła|<MATH>Q_k\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.49c}} równanie {{LinkWzór|6.49b}} przyjmuje formę o wyglądzie {{LinkWzór|6.19}}, którą dla jasności przepisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> {{d\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L}\over{\partial q_k}} =Q_{zk} \;</MATH>|6.19a}} Udowodnijmy addytywność siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} z teorii lagrangianu, wiedząc, że zachodzi z teorii ruchu {{LinkWzór|F5}}. Gdy na dane ciało działa pewna liczba takich sił: {{CentrujWzór|<MATH> Q_{zk} =\left({{\partial}\over{\partial q_k}} -{{d\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}}\right)\sum_{i}L_{zi} =\sum_i\left({{\partial}\over{\partial q_k}} -{{d\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}}\right)L_{zi} =\sum_iQ_{zik} \Rightarrow Q_{zk}=\sum_iQ_{zik} \;</MATH>|G1}} Na podstawie {{LinkWzór|G1}} siła uogólniona zewnętrzna jest addytywna, co występuje we wzorze {{LinkWzór|6.19a}}. Wzory {{LinkWzór|6.19a}}, {{LinkWzór|6.49c}}, {{LinkWzór|6.49d}} oraz {{LinkWzór|G1}} są słuszne, gdy {{Formuła|<MATH>L=T-U\;</MATH>}}, ale także dla innych postaci {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}}. Na tej podstawie również wzór {{LinkWzór|6.49a}} przed zamianą według {{LinkWzór|6.49ab}} pozostaje prawdziwy. Zastąpmy w definicji siły uogólnionej w {{LinkWzór|6.49c}} w równaniu {{LinkWzór|6.19a}}: {{CentrujWzór|<MATH> L_{z}\rightarrow L_{oiz}+L_{z} \;</MATH>|6.49d1}} Wtedy na podstawie {{LinkWzór|6.49d1}} wzór końcowy w {{LinkWzór|6.49b}} przyjmuje formę: {{CentrujWzór|<MATH> {{d\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L}\over{\partial q_k}} =-\left({{d\over{dt}}{{\partial}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial\over{\partial q_k}}}\right)(L_{oiz}+L_z) \Rightarrow </MATH>{{Br}}<MATH> \Rightarrow {{d\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L}\over{\partial q_k}} =-\left({{d\over{dt}}{{\partial L_{oiz}}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L_{oiz}}\over{\partial q_k}}\right) -\left({{d\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right) \Rightarrow </MATH>{{Br}}<MATH> \Rightarrow {{d\over{dt}}{{\partial (L+L_{oiz})}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial (L+L_{oiz})}\over{\partial q_k}} =-\left({{d\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right) \;</MATH>|6.49d2}} W {{LinkWzór|6.49d2}} (końcowa tożsamość) zastąpmy według procedury {{Formuła|<MATH>L+L_{oiz}\rightarrow L\;</MATH>}}. Dla jasności wykładu napiszmy równanie, które jest słuszne dla dowolnej postaci lagrangianu; nazwiemy je drugą uogólnioną zasadą Lagrange'a wynikającą z zasady wariacyjnej. Jest ono w postaci {{LinkWzór|6.49d231}} (podobne do {{LinkWzór|6.19}} i {{LinkWzór|6.19a}}), a wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną przepiszmy jako {{LinkWzór|6.49d232}} (podobny do {{LinkWzór|6.49c}}), zależny od lagrangianu siły zewnętrznej {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}. Gdy lagrangian siły zewnętrznej nie zależy od prędkości, wtedy siłę uogólnioną przedstawiamy jako {{LinkWzór|6.49d233}} (podobny do {{LinkWzór|6.49d}}), a lagrangian całkowity {{Formuła|<MATH>L_c\;</MATH>}} {{LinkWzór|6.49d234}} jest sumą lagrangianu {{Formuła|<MATH>L\;</MATH>}} i lagrangianu siły zewnętrznej {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d\over{dt}}{{\partial L}\over{\partial\dot{q}_k}}}-{{\partial L}\over{\partial q_k}}=Q_{zk}\;</MATH>|6.49d231}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}=-\left({{d\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}}-{{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\right)={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}-{{d\over{dt}}{{\partial L_{z}}\over{\partial\dot{q}_k}}}\;</MATH>|6.49d232}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_{zk}={{\partial L_{z}}\over{\partial q_k}}\;</MATH>|6.49d233}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>L_c=L+L_z\;</MATH>|6.49d234}} }} Określmy postać wzoru na siłę uogólnioną zewnętrzną dla {{LinkWzór|6.49d232}} i {{LinkWzór|6.49d233}}, analogiczną do {{LinkWzór|6.49c}} i {{LinkWzór|6.49d}}, oraz podobną do {{LinkWzór|F6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}} =\sum_{i=1}^{N}g_{ik}(\vec F_{zi}, \vec e_{ik}) =\sum_{i=1}^NQ_{ik} =Q_{zk} \;</MATH>|6.13a}} Czyli jak we wzorze {{LinkWzór|F6}} k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym siły uogólnionej zewnętrznej jest dany przez {{LinkWzór|6.13a}}. Na podstawie {{LinkWzór|6.49d1}} stara siła uogólniona zewnętrzna (stare {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}) wynikająca ze starego {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}} jest sumą siły uogólnionej {{Formuła|<MATH>Q_{oizk}\;</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>L_{oiz}\;</MATH>}} i nowej siły uogólnionej zewnętrznej (nowe {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}) z nowego {{Formuła|<MATH>L_z\;</MATH>}}, co uwidaczniamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q_{zk}\rightarrow\sum_{a=1}^{3N}(F_{oiza}+F_{za}){{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}} =\sum_{a=1}^{3N}F_{oiza}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}} +\sum_{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial\chi_a}\over{\partial q_k}} =Q_{oizk}+Q_{zk} \Rightarrow Q_{zk}\rightarrow Q_{oizk}+Q_{zk} \;</MATH>|6.13b}} Stąd z {{LinkWzór|6.13b}} mamy {{LinkWzór|6.13a}} dla nowego {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}}, a na podstawie {{LinkWzór|F5}} k-ty stopień swobody tej nowej siły uogólnionej zewnętrznej {{Formuła|<MATH>Q_{zk}\;</MATH>}} jest addytywny. To można także udowodnić z teorii lagrangianu: {{CentrujWzór|<MATH> Q_{zk} =-\left({{d\over{dt}}{{\partial (L_{oiz}+L_z)}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial (L_{oiz}+L_z)}\over{\partial q_k}}\right) =-\left({{d\over{dt}}{{\partial L_{oiz}}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L_{oiz}}\over{\partial q_k}}\right) -\left({{d\over{dt}}{{\partial L_z}\over{\partial\dot{q}_k}}} -{{\partial L_z}\over{\partial q_k}}\right) =Q_{oizk}+Q_{zk} \Rightarrow Q_{zk}\rightarrow Q_{oizk}+Q_{zk} \;</MATH>|6.13c}} W {{LinkWzór|6.13c}} z teorii lagrangianu wychodzi ten sam wniosek co z {{LinkWzór|6.13b}} z teorii ruchu. Stąd definitywnie siła uogólniona zewnętrzna w {{LinkWzór|6.49d232}} i {{LinkWzór|6.49d233}} spełnia zasadę addytywności, na podstawie wniosku addytywności starej siły uogólnionej zewnętrznej wynikającej z rachunku {{LinkWzór|G1}} (teoria lagrangianu) oraz {{LinkWzór|F5}} (teoria ruchu). == Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście == {{Rysunek|Przesunięcie_wektora_o_pewien_odcinek_względem_pewnego_kąta.png|lk1|Obrót wektora o pewien odcinek względem kąta &delta;&phi;}} By wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu z zasad czysto wariacyjnych, należy z rysunku obok napisać pewne tożsamości. Wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość skalarna na nieskończenie małe przesunięcie, które jest iloczynem promienia r, sinusa kąta &theta; i wariacji kąta &phi;: {{CentrujWzór|<MATH> |\delta\vec{r}|=r\sin\theta\,\delta\phi \;</MATH>|6.50}} Wektor {{Formuła|<MATH>\delta\vec{r}\;</MATH>}} jest prostopadły do płaszczyzny określonej przez wektory {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\phi}\;</MATH>}}, wtedy wzór {{LinkWzór|6.50}} możemy zapisać w formie iloczynu wektorowego wariacji kąta {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\phi}\;</MATH>}} i wektora promienia {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \delta\vec{r}=\delta\vec{\phi}\times\vec{r} \;</MATH>|6.51}} Równość {{LinkWzór|6.51}} możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i otrzymać wariację prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta\vec{v}=\delta\vec{\phi}\times\vec{v} \;</MATH>|6.52}} Będziemy teraz wyprowadzać zasadę zachowania momentu pędu z warunku, że wariacja lagrangianu jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \delta L=\sum_a\left( {{\partial L}\over{\partial\vec{r}_a}}\delta\vec{r}_a + {{\partial L}\over{\partial\vec{v}_a}}\delta\vec{v}_a \right) \;</MATH>|6.53}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|6.20}}, definicję pędu uogólnionego oraz wzory na wariację położenia {{LinkWzór|6.51}} i prędkości {{LinkWzór|6.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_a\left( \dot{\vec{p}}_a\times(\delta\vec{\phi}\times\vec{r}_a) + \vec{p}_a(\delta\vec{\phi}\times\vec{v}_a) \right)=0 \;</MATH>|6.54}} Dokonując cyklicznej zmiany czynników w iloczynach mieszanych i korzystając z równoległości wektora prędkości i pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \delta\vec{\phi}\cdot\sum_a(\vec{r}_a\times\dot{\vec{p}}_a+\vec{v}_a\times\vec{p}_a) =\delta\vec{\phi}\cdot{{d\over{dt}}\sum_a(\vec{r}_a\times\vec{p}_a)} =0 \;</MATH>|6.55}} Patrząc na równość {{LinkWzór|6.55}} dowiadujemy się, że dla układu odosobnionego pozostaje stała wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}=\sum_a(\vec{r}_a\times\vec{p}_a) \;</MATH>|6.56}} ---- * Transformacje momentu pędu między układami odniesienia Moment pędu w nowym nieporuszającym się układzie odniesienia względem starego, gdy zmieniamy początek układu: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}'=\sum_a(\vec{r}_a'\times\vec{p}_a') =\sum_a(\vec{r}_a-\vec{a})\times\vec{p}_a =\vec{N}-\vec{a}\times\vec{P} \;</MATH>|6.57}} Moment pędu w nowym poruszającym się układzie odniesienia względem starego, gdy początek jest ten sam, ale prędkości są różne: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}'=\sum_am_a(\vec{r}_a\times\vec{v}_a') =\vec{N}-\left(\sum_am_a\vec{r}_a\right)\times\vec{V} \;</MATH>|6.58}} Korzystając z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{N}'=\vec{N}-M\vec{R}\times\vec{V} \;</MATH>|6.59}} ---- * Moment pędu zetowy i lagrangian Moment pędu zetowy w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> N_z=\sum_am_a(x_a\dot{y}_a-y_a\dot{x}_a) =\sum_am_ar_a^2\dot{\theta}_a \;</MATH>|6.60}} Lagrangian w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> L={{1\over2}}\sum_am_a(\dot{r}_a^2+r_a^2\dot{\theta}_a^2+\dot{z}_a^2)-U \;</MATH>|6.61}} Z definicji pędu uogólnionego: {{CentrujWzór|<MATH> N_z=\sum_a{{\partial L}\over{\partial\dot{\theta}_a}} \;</MATH>|6.62}} ---- W ten sposób wykazaliśmy, że '''moment pędu jest wielkością zachowaną''', gdy lagrangian jest niezmienniczy względem obrotów — czyli gdy współrzędna kątowa jest współrzędną cykliczną. To podejście wariacyjne jest równoważne klasycznemu dowodowi z równań Lagrange’a i stanowi czystą manifestację symetrii obrotowej układu. == Masa zredukowana układu dwóch cząstek == Lagrangian układu dwóch mas znajdujących się we wzajemnym polu potencjalnym określamy jako różnicę energii kinetycznej obu mas i energii potencjalnej zależnej wyłącznie od ich wzajemnego położenia: {{CentrujWzór|<MATH> L=\frac12 m_1\dot{\vec r}_1^{\,2}+\frac12 m_2\dot{\vec r}_2^{\,2}-U(|\vec r_1-\vec r_2|) \;</MATH>|6.63}} Zakładamy, że '''środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych''', zatem położenie względne masy pierwszej względem drugiej oraz warunek środka masy dają dwa równania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec r=\vec r_1-\vec r_2\;</MATH>|6.64}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>0=m_1\vec r_1+m_2\vec r_2\;</MATH>|6.65}} }} Z równań {{LinkWzór|6.64}} i {{LinkWzór|6.65}} możemy wyznaczyć położenia obu mas względem środka masy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec r_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec r\;</MATH>|6.66}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec r_2=-\frac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec r\;</MATH>|6.67}} }} Podstawiamy te wyrażenia do Lagrangianu {{LinkWzór|6.63}}: {{CentrujWzór|<MATH> L=\frac12 m_1\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)^2\dot{\vec r}^{\,2} +\frac12 m_2\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)^2\dot{\vec r}^{\,2} -U(r) \;</MATH>}} Po uproszczeniu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,\dot{\vec r}^{\,2}-U(r) =\frac12 m\,\dot{\vec r}^{\,2}-U(r) \;</MATH>|6.68}} Wprowadziliśmy tutaj '''masę zredukowaną''': {{CentrujWzór|<MATH> m=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \;</MATH>|6.69}} ---- * Interpretacja fizyczna Widzimy, że wprowadzając pojęcie masy zredukowanej możemy formalnie opisywać ruch '''pojedynczej cząstki o masie m''' w polu zewnętrznym {{Formuła|<MATH>U(r)\;</MATH>}}, mimo że w rzeczywistości mamy układ dwóch oddziałujących ze sobą mas. Ruch względny dwóch ciał sprowadza się więc do ruchu jednej „efektywnej” cząstki w potencjale zależnym od odległości między nimi. To podejście jest fundamentem analizy: * ruchu planet (problem dwóch ciał), * oscylatora dwóch mas połączonych sprężyną, * oddziaływań w fizyce atomowej (np. elektron–jądro), * zderzeń w mechanice klasycznej i kwantowej. Współrzędna środka masy opisuje ruch całego układu jako całości, natomiast masa zredukowana opisuje '''ruch względny'''. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 6f6fwya761gwczfq92btin8zrkuz7ud 0 20312 559070 555403 2026-10-11T01:53:08Z Persino 2851 559070 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- ; Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\;</MATH>|7.14|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\;</MATH>|7.15|Obramuj}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'}\;</MATH>|7.32|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'}\;</MATH>|7.33|Obramuj}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'}\;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta+C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta=\alpha</MATH>|7.71}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}}=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)=\beta</MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} | 5 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} | 6 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne pomocnicze, które pozwalają sprowadzić równania ruchu bąka asymetrycznego do postaci równań eliptycznych. Zmienne te są tak dobrane, aby równanie różniczkowe opisujące ewolucję współrzędnej q(t) przyjęło postać kanoniczną równania funkcji Jacobiego. Pierwszą zmienną jest przeskalowany czas: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = t \sqrt{ \frac{(C - B)(K^{2} - 2EA)}{ABC} } </MATH>|7.103}} Zmienna τ jest czasem „eliptycznym”, czyli czasem przeskalowanym tak, aby równanie ruchu miało postać standardową dla funkcji Jacobiego. Drugą zmienną jest przeskalowana współrzędna q: {{CentrujWzór|<MATH> s = q \sqrt{ \frac{B(C - B)}{2EC - K^{2}} } </MATH>|7.104}} Zmienna s jest bezwymiarową zmienną eliptyczną, która przyjmuje wartości w przedziale od −1 do 1. Dzięki temu równanie ruchu sprowadza się do równania funkcji sn(τ). Wprowadzamy również parametr eliptyczny k², który określa „kształt” funkcji Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{ (B - A)(2EC - K^{2}) }{ (C - B)(K^{2} - 2EA) } </MATH>|7.105}} Parametr k² decyduje o okresie funkcji Jacobiego oraz o charakterze oscylacji. Dla k² bliskiego 0 funkcje Jacobiego zachowują się jak funkcje trygonometryczne, natomiast dla k² bliskiego 1 zachowują się jak funkcje hiperboliczne. Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{ (1 - s^{2}) (1 - k^{2}s^{2}) } </MATH>|7.106}} Jest to klasyczne równanie różniczkowe funkcji eliptycznych Jacobiego. Zawiera dwa czynniki: pierwszy odpowiada oscylacjom sinusoidalnym, drugi — oscylacjom eliptycznym zależnym od parametru k². Całkując równanie {{LinkWzór|7.106}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s} \frac{ds}{ \sqrt{ (1 - s^{2}) (1 - k^{2}s^{2}) } } </MATH>|7.107}} Całka ta jest standardową postacią całki eliptycznej pierwszego rodzaju. Jej rozwiązaniem jest funkcja Jacobiego sn(τ): {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego definiujemy analogicznie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{cn}\tau = \sqrt{ 1 - \operatorname{sn}^{2}\tau } </MATH>|7.108}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{dn}\tau = \sqrt{ 1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau } </MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny. Funkcja sn(τ) opisuje oscylacje q(t), funkcja cn(τ) opisuje oscylacje p(t), a funkcja dn(τ) opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy. Funkcje Jacobiego stanowią więc naturalny język matematyczny do opisu ruchu bąka asymetrycznego, ponieważ uwzględniają zarówno oscylacje sinusoidalne, jak i eliptyczne, wynikające z asymetrii momentów bezwładności. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} }} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu bąka asymetrycznego wyrażają się równaniami zależnymi od kątów Eulera oraz od składowych prędkości kątowych p, q, r. Zależności te wynikają z definicji momentu pędu w układzie związanym z bryłą oraz z transformacji między układem laboratoryjnym a układem własnym bryły: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Pierwsze dwa równania wiążą składowe momentu pędu w płaszczyźnie prostopadłej do osi trzeciej, natomiast trzecie równanie wiąże składową wzdłuż osi trzeciej z prędkością kątową r. Zależności te są podstawą do wyznaczenia kątów Eulera w funkcji czasu. Z trzeciego równania {{LinkWzór|7.115}} otrzymujemy zależność na cosinus kąta nutacji θ: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{ \frac{C(K^{2} - 2EA)}{K^{2}(C - A)} } \operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{ \frac{A(C - B)}{B(C - A)} } \frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Pierwsza zależność {{LinkWzór|7.116}} pokazuje, że kąt nutacji θ(t) jest funkcją eliptyczną typu dn(τ). Oznacza to, że oś bryły wykonuje oscylacje o amplitudzie zależnej od parametrów A, B, C oraz od energii E i momentu pędu K. Druga zależność {{LinkWzór|7.117}} pokazuje, że kąt precesji własnej ψ(t) jest funkcją ilorazu cn(τ)/sn(τ), czyli funkcją eliptyczną typu cotangensowego. Oznacza to, że precesja własna jest modulowana przez oscylacje nutacji. Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}} </MATH>|7.118}} Wyrażenie to jest równaniem różniczkowym dla kąta φ(t). Po scałkowaniu względem czasu otrzymujemy funkcję φ(t), która jest funkcją eliptyczną zależną od τ(t), a więc od czasu. Całka ta jest złożona, ponieważ zawiera funkcje Jacobiego sn(τ), cn(τ), dn(τ), które modulują prędkość precesji. W rezultacie ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy: kąt nutacji θ(t) oscyluje z okresem zależnym od parametru eliptycznego k², kąt ψ(t) wykonuje oscylacje modulowane przez funkcje Jacobiego, a kąt φ(t) rośnie w sposób eliptyczny, z prędkością zależną od energii i momentu pędu. Jest to pełny opis ruchu bąka asymetrycznego w języku funkcji eliptycznych Jacobiego. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. cd84pffia004vv8r68ie7h3xsbb5hhc 559071 559070 2026-10-11T01:54:18Z Persino 2851 559071 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Kinematyka ciała doskonale sztywnego == Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest '''wektor kąta obrotu''' prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego '''prędkość kątowa''' również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: * jeśli bryła obraca się '''przeciwnie do ruchu wskazówek zegara''', to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”, * jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny. Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i\;</MATH>|7.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec v'_i=\vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r'_i\;</MATH>|7.2}} }} Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec r'_i=\vec r_i+\vec a \;</MATH>|7.3}} Ponieważ wektory prędkości {{LinkWzór|7.1}} i {{LinkWzór|7.2}} opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i = \vec v'_T+\vec\omega'\times(\vec r_i+\vec a) = \vec v'_T+\vec\omega'\times\vec r_i+\vec\omega'\times\vec a \;</MATH>|7.4}} Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze {{Formuła|<MATH>\vec r_i\;</MATH>}}, otrzymujemy fundamentalny wniosek: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega'=\vec\omega \;</MATH>|7.5}} Prędkość kątowa ciała sztywnego jest '''niezależna od wyboru osi odniesienia''' — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych. Podstawiając {{LinkWzór|7.5}} do {{LinkWzór|7.4}}, otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_T=\vec v'_T+\vec\omega\times\vec a \;</MATH>|7.6}} Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi. ---- * Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów: * pierwszy obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_1\;</MATH>}}, * drugi obrót z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\;</MATH>}}. Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_1=(\vec\omega_1\times\vec r)\,dt \;</MATH>|7.7}} Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r_2=\vec\omega_2\times(\vec r+d\vec r_1)\,dt \;</MATH>|7.8}} Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu {{Formuła|<MATH>\vec\omega_2\times d\vec r_1\;</MATH>}}, które są rzędu {{Formuła|<MATH>dt^2\;</MATH>}}), otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\vec r=d\vec r_1+d\vec r_2 =(\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec r\,dt \;</MATH>|7.9}} ---- ; Wniosek fundamentalny * Prędkości kątowe dodają się wektorowo. Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=\vec\omega_1+\vec\omega_2 \;</MATH>}} To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego: * '''obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne''', w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne. == Kąty Eulera == {{Rysunek|Kąty_Eulera.svg|lk1|Kąty Eulera}} Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą '''kątów Eulera''' {{Formuła|<MATH>(\varphi,\theta,\psi)\;</MATH>}}, które pozwalają przejść z układu {{Formuła|<MATH>(x,y,z)\;</MATH>}} do nowego układu {{Formuła|<MATH>(x',y',z')\;</MATH>}}. Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą. ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}} Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>z=0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z'=0\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>w\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\theta)=\dot{\theta}\,\vec e_k =\dot{\theta}(\cos\psi\,\vec e_{x'}-\sin\psi\,\vec e_{y'}) \;</MATH>|7.10}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}} Drugi obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\varphi)=\dot{\varphi}\left( \sin\theta\sin\psi\,\vec e_{x'} +\sin\theta\cos\psi\,\vec e_{y'} +\cos\theta\,\vec e_{z'} \right) \;</MATH>|7.11}} ---- * Obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}} wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}} Trzeci obrót wykonujemy wokół osi {{Formuła|<MATH>z'\;</MATH>}}. Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}(\psi)=\dot{\psi}\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.12}} ---- * Całkowita prędkość kątowa Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega}=p\,\vec e_{x'}+q\,\vec e_{y'}+r\,\vec e_{z'} \;</MATH>|7.13}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} wyznaczamy z równań {{LinkWzór|7.10}}, {{LinkWzór|7.11}} i {{LinkWzór|7.12}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\;</MATH>|7.14|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>q=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\;</MATH>|7.15|Obramuj}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>r=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi}\;</MATH>|7.16|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} i {{LinkWzór|7.16}} nazywamy '''kinematycznymi równaniami Eulera'''. == Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej == Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|7.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec v_i=\vec v_T+\vec\omega\times\vec r_i \;</MATH>}} Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością {{Formuła|<MATH>\vec v_T\;</MATH>}}, ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T=\sum_i m_i v_i^2 =\sum_i m_i v_T^2 +\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 +2\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)\cdot\vec v_T \;</MATH>|7.16a}} Ostatni wyraz w {{LinkWzór|7.16a}} jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}}. W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH> T=\frac12 M v_T^2+\frac12\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =T_{\text{trasl}}+T_{\text{rot}} \;</MATH>|7.17}} ---- * Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej {{LinkWzór|1.19|Działania_na_wektorach|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\vec\omega^{\,2}\,\vec r_i^{\,2} -(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\sum_i m_i(\vec\omega\times\vec r_i)^2 =\sum_i m_i\vec\omega^{\,2}\vec r_i^{\,2} -\sum_i m_i(\vec\omega\cdot\vec r_i)^2 \;</MATH>}} Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} =\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.18}} ---- * Moment pędu bryły sztywnej Moment pędu definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\sum_i m_i\vec r_i\times\vec v_i =\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec\omega\times\vec r_i) \;</MATH>}} Po rozwinięciu iloczynu potrójnego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.19}} ---- * Energia rotacyjna w postaci macierzowej Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}} =\frac12\vec\omega^{\,T}\vec K =\frac12\vec K^{\,T}\vec\omega =\frac12\vec\omega^{\,T}\hat I\,\vec\omega \;</MATH>|7.20}} ---- * Tensor momentu bezwładności Macierz {{Formuła|<MATH>\hat I\;</MATH>}} jest zdefiniowana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i\\ -\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i(x_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i\\ -\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2) \end{bmatrix} \;</MATH>|7.21}} Tensor {{LinkWzór|7.21}} nazywamy '''tensorowym momentem bezwładności''' bryły sztywnej. == Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a == Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju {{LinkWzór|6.19|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}} możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} - \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} =0 \;</MATH>|7.22}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej {{LinkWzór|7.20}} i energii potencjalnej bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> L = T_{\text{rot}} - U \;</MATH>}} Energia kinetyczna rotacyjna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> T_{\text{rot}}=\frac12\,\vec{\omega}^{\,T}\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\omega_i\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial L}{\partial\omega_i} = \frac12 I_{ik}\omega_k + \frac12 I_{ki}\omega_k = I_{ik}\omega_k \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial\vec{\omega}} = \hat I\,\vec{\omega} = \vec K \;</MATH>|7.23}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=\hat I\,\vec{\omega} \;</MATH>}} ---- * Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu {{Formuła|<MATH>\delta\vec{\theta}\;</MATH>}} zmienia się zgodnie z: {{CentrujWzór|<MATH> \delta U = -\sum\vec F\cdot\delta\vec r = -\sum\vec F\cdot(\delta\vec{\theta}\times\vec r) = -\delta\vec{\theta}\cdot\sum(\vec r\times\vec F) = -\vec N\cdot\delta\vec{\theta} \;</MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = -\frac{\partial U}{\partial\vec{\theta}} = \frac{\partial L}{\partial\vec{\theta}} \;</MATH>|7.24}} Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu. ---- * Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Podstawiając wyniki {{LinkWzór|7.23}} i {{LinkWzór|7.24}} do równania Lagrange’a {{LinkWzór|7.22}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec K}{dt}=\vec N \;</MATH>|7.25}} ---- * Wniosek Równanie {{LinkWzór|7.25}} jest '''drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego''', wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a: * '''moment siły''' jest równy * '''pochodnej czasowej momentu pędu'''. To jest obrotowy odpowiednik równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec p}{dt}=\vec F \;</MATH>}} dla ruchu postępowego. W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. == Diagonalizacja tensora momentu bezwładności == Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.20}}, który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec n=\frac{\vec\omega}{|\vec\omega|} \;</MATH>}} Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2T_{\text{rot}}}{\omega^2} =\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \;</MATH>|7.26}} Momentem bezwładności ciała względem kierunku {{Formuła|<MATH>\vec n\;</MATH>}} nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie: {{CentrujWzór|<MATH> x_k=\frac{n_k}{I} \;</MATH>}} otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności: {{CentrujWzór|<MATH> I=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,n_k n_m \quad\Rightarrow\quad 1=\sum_{k,m=1}^3 I_{km}\,x_k x_m \;</MATH>|7.27}} Równość {{LinkWzór|7.27}} przedstawia '''elipsoidę bezwładności''' w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ({{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\psi\;</MATH>}}), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny. W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \hat I= \begin{bmatrix} A & 0 & 0\\ 0 & B & 0\\ 0 & 0 & C \end{bmatrix} \;</MATH>|7.28}} ---- * Energia rotacyjna w układzie własnym W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> 2T_{\text{rot}} = A\,\omega_{x'}^{\,2} + B\,\omega_{y'}^{\,2} + C\,\omega_{z'}^{\,2} \;</MATH>|7.29}} Wielkości {{Formuła|<MATH>A,B,C\;</MATH>}} nazywamy '''głównymi momentami bezwładności ciała'''. ---- * Moment pędu w układzie własnym bryły W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K = (A\,\omega_{x'},\;B\,\omega_{y'},\;C\,\omega_{z'}) = (Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>|7.30}} * gdzie {{Formuła|<MATH>(p,q,r)\;</MATH>}} są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}. ---- * Wniosek Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — '''głównych momentów bezwładności''' — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie: * tensor bezwładności jest diagonalny, * energia rotacyjna ma najprostszą postać, * moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych. To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności. == Dynamiczne równania Eulera == Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem {{LinkWzór|1.187|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne}}, otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec K}+\vec\omega\times\vec K=\vec N \;</MATH>|7.31}} Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec\omega=(p,q,r) \;</MATH>}} W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny {{LinkWzór|7.28}}. Moment pędu w tym układzie ma postać {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec K=(Ap,\;Bq,\;Cr) \;</MATH>}} Podstawiając to do równania {{LinkWzór|7.31}} i rozpisując składowe, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A\dot p + (C-B)\,q r = N_{x'}\;</MATH>|7.32|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B\dot q + (A-C)\,r p = N_{y'}\;</MATH>|7.33|Obramuj}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>C\dot r + (B-A)\,p q = N_{z'}\;</MATH>|7.34|Obramuj}} }} Równania {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}} i {{LinkWzór|7.34}} nazywamy '''dynamicznymi równaniami Eulera'''. Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności: * jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej, * jeśli nie działa moment sił {{Formuła|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}}, równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej. To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera. == Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi == Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą '''nie działają żadne momenty sił''', czyli: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N=0 \;</MATH>}} Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie: {{CentrujWzór|<MATH> \dot p=\dot q=\dot r=0 \;</MATH>}} Wtedy dynamiczne równania Eulera {{LinkWzór|7.32}}, {{LinkWzór|7.33}}, {{LinkWzór|7.34}} przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> (C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0 \;</MATH>|7.35}} Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być '''co najmniej dwa równe zero''', co oznacza, że tylko '''jedna''' składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej. ---- * Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym: * prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_0=\text{const}\;</MATH>}} * składowe q i r są bardzo małe, * nadal nie działa moment sił: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N=0\;</MATH>}} Dynamiczne równania Eulera redukują się do: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A\dot p+(C-B)qr=0\;</MATH>|7.36}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B\dot q+(A-C)rp_0=0\;</MATH>|7.37}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>C\dot r+(B-A)qp_0=0\;</MATH>|7.38}} }} Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie {{LinkWzór|7.36}} jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r. ---- * Wyprowadzenie równań dla q i r Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.37}} i podstawiamy do {{LinkWzór|7.38}}. Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot q=-H\,q\;</MATH>|7.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot r=-H\,r\;</MATH>|7.40}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>H=\frac{A-C}{B}\,\frac{A-B}{C}\,p_0^2\;</MATH>|7.41}} }} ---- * Rozwiązania równań {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>q=q_0 e^{bt}\;</MATH>|7.42}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>r=r_0 e^{bt}\;</MATH>|7.43}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>b^2=-H\;</MATH>|7.44}} }} ---- * Interpretacja fizyczna * '''Przypadek stabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H>0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H>0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A>B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A<B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H<0 \Rightarrow b=\pm i\sqrt{H} \;</MATH>}} Rozwiązania są oscylacyjne: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0\cos(\sqrt{H}\,t),\qquad r=r_0\cos(\sqrt{H}\,t) \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''stabilne oscylacje''' wokół osi głównej. ---- * '''Przypadek niestabilny''' — gdy {{Formuła|<MATH>H<0\;</MATH>}} Warunek: {{CentrujWzór|<MATH> H<0 \;\Rightarrow\; (A>C \text{ i } A<B)\quad\text{lub}\quad(A<C \text{ i } A>B) \;</MATH>}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> b^2=-H>0 \Rightarrow b=\pm\sqrt{-H} \;</MATH>}} Rozwiązania są wykładnicze: {{CentrujWzór|<MATH> q=q_0 e^{\sqrt{-H}\,t},\qquad r=r_0 e^{\sqrt{-H}\,t} \;</MATH>}} Bryła wykonuje '''niestabilny ruch''', w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna '''niestabilność obrotu wokół osi pośredniej''' (tzw. ''efekt Dziewięciu Palców'', znany z akrobacji kosmicznych). ---- * Wniosek końcowy * Obrót wokół '''największego''' lub '''najmniejszego''' głównego momentu bezwładności jest '''stabilny'''. * Obrót wokół '''pośredniego''' momentu bezwładności jest '''niestabilny'''. To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej. == Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego == Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś {{Formuła|<MATH>x'</MATH>}}. W takim przypadku zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH> A = B </MATH>}} oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej. W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest '''podparty dokładnie w swoim środku masy'''. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia. Z definicji środka masy {{LinkWzór|3.1|Dynamika_punktów_masowych}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec N = \sum_i \vec r_i \times (m_i \vec g) = \left(\sum_i m_i \vec r_i\right)\times \vec g = 0, </MATH>|7.45}} co oznacza, że '''moment siły ciężkości jest równy zero'''. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne. === Równania ruchu giroskopu symetrycznego === Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A\dot p=(C-A)\,q r=0</MATH>|7.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A\dot q+(A-C)\,r p=0</MATH>|7.47}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>C\dot r=0</MATH>|7.48}} }} Z równania {{LinkWzór|7.48}} natychmiast wynika: {{CentrujWzór|<MATH> r = r_0 = \text{const}. </MATH>}} Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny. Pozostałe równania upraszczają się do: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot p - R q = 0</MATH>|7.49}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot q + R p = 0</MATH>|7.50}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>R=\frac{A-C}{A}\,r_0</MATH>|7.51}} }} Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. ''częstość precesji swobodnej''. === Równania drugiego rzędu === Różniczkujemy równanie {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p - R\dot q = 0. </MATH>}} Podstawiamy z {{LinkWzór|7.50}}: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot p + R^2 p = 0. </MATH>|7.52}} Analogicznie: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot q + R^2 q = 0. </MATH>|7.53}} Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R. === Rozwiązania === {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p=a\sin(Rt+\phi)</MATH>|7.54}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>q=a\cos(Rt+\phi)</MATH>|7.55}} }} Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y'). Prędkość kątowa giroskopu: {{CentrujWzór|<MATH> \omega^{2} = p^{2}+q^{2}+r^{2} = a^{2}+r_0^{2} = \text{const}. </MATH>|7.56}} Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka. Kąt rozwarcia stożka: {{CentrujWzór|<MATH> \gamma=\operatorname{arctg}\frac{a}{r_0}. </MATH>|7.57}} {{Rysunek|Giroskop symetryczny.png|lk2|Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.}} === Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera === Korzystamy z równań {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}}, {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} p=a\sin(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos\psi\\ q=a\cos(Rt+\phi)=\dot{\varphi}\sin\theta\cos\psi-\dot{\theta}\sin\psi\\ r_0=\dot{\varphi}\cos\theta+\dot{\psi} \end{cases} </MATH>|7.58}} Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera. === Wektor momentu pędu równoległy do osi z' === Współrzędne momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.59}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.30}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x'}=Ap=K\sin\theta\sin\psi,\\ K_{y'}=Aq=K\sin\theta\cos\psi,\\ K_{z'}=Cr_0=K\cos\theta. \end{cases} </MATH>|7.60}} Z ostatniego równania wynika: {{Formuła|<MATH>\theta=\theta_0=\text{const}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot\varphi=\text{const}</MATH>}}. Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia. === Ostateczne równania ruchu === Z układu {{LinkWzór|7.58}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.62}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}</MATH>|7.63}} }} Integracja: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0. </MATH>|7.64}} Z równania na r₀: {{CentrujWzór|<MATH> (r_0-R)\tan\theta_0=a \Rightarrow \tan\theta_0=\frac{aA}{r_0 C}. </MATH>|7.65}} === Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego === {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi=Rt+\phi</MATH>|7.66}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\varphi=\frac{a}{\sin\theta_0}\,t+\varphi_0</MATH>|7.67}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\theta_0=\operatorname{arctg}\frac{aA}{r_0 C}</MATH>|7.68}} }} === Interpretacja fizyczna === Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu: * porusza się z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wokół osi z', * jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową {{Formuła|<MATH>\dot\varphi</MATH>}}, * a kąt nachylenia osi obrotu {{Formuła|<MATH>\theta_0</MATH>}} pozostaje stały. Jest to klasyczny opis '''precesji swobodnej giroskopu symetrycznego''', znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy. == Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym == Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera. Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową. Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|7.20}}, natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} oraz {{LinkWzór|7.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = T - U = \frac{A}{2}\omega_{x'}^{2} + \frac{B}{2}\omega_{y'}^{2} + \frac{C}{2}\omega_{z'}^{2} - U. </MATH>|7.69}} Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\dot{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\dot{\psi}</MATH>}}. Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu. Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona {{LinkWzór|6.22|Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona}}, energia całkowita układu pozostaje stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{A}{2}(\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\theta + \dot{\theta}^{2}) + \frac{C}{2}(\dot{\varphi}\cos\theta + \dot{\psi})^{2} + Mgs\cos\theta. </MATH>|7.70}} Współrzędne {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=A\dot{\varphi}\sin^{2}\theta+C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)\cos\theta=\alpha</MATH>|7.71}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial\dot{\psi}}=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta)=\beta</MATH>|7.72}} }} Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu. Podstawiając równanie {{LinkWzór|7.72}} do {{LinkWzór|7.71}}, otrzymujemy zależność na prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{\alpha - \beta\cos\theta}{A\sin^{2}\theta}. </MATH>|7.73}} Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\theta}^{2} + \frac{(\alpha - \beta\cos\theta)^{2}}{2A\sin^{2}\theta} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\cos\theta = E. </MATH>|7.74}} Warunki początkowe przyjmujemy w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\theta(0)=\frac{\pi}{2}</MATH>|7.75}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=0</MATH>|7.76}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0)=0</MATH>|7.77}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\theta}(0)=0</MATH>|7.78}} | 5 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\varphi}(0)=0</MATH>|7.79}} | 6 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\psi}(0)=\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.80}} }} Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=0</MATH>|7.81}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\beta=C\dot{\psi}_{0}</MATH>|7.82}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>E=\frac{C}{2}\dot{\psi}_{0}^{2}</MATH>|7.83}} }} Wprowadzamy podstawienie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta=\frac{\pi}{2}-\chi, </MATH>|7.84}} co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{A}{2}\dot{\chi}^{2} + \frac{\beta^{2}}{2A}\chi^{2} + \frac{\beta^{2}}{2C} + Mgs\chi = E. </MATH>|7.85}} Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> A\ddot{\chi}+\frac{\beta^{2}}{A}\chi+Mgs=0. </MATH>|7.86}} Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \chi(t) = c_{1}\cos\left(\frac{\beta}{A}t+c_{2}\right) - \frac{MgsA}{\beta^{2}}. </MATH>|7.87}} Warunki początkowe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi(0)=0</MATH>|7.88}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\chi}(0)=0</MATH>|7.89}} }} pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> \theta(t) = \frac{\pi}{2} + \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.90}} Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta {{Formuła|<MATH>\theta=\frac{\pi}{2}</MATH>}}, a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β². Dla małych odchyleń: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta\simeq 1</MATH>|7.91}} oraz: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta \simeq \frac{MgsA}{\beta^{2}} \left(1-\cos\frac{\beta}{A}t\right). </MATH>|7.92}} Sprzężone pędy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \alpha \simeq A\dot{\varphi}+\beta\cos\theta = 0 </MATH>|7.93}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \beta=C(\dot{\psi}+\dot{\varphi}\cos\theta) </MATH>|7.94}} }} Prędkość precesji: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = -\frac{\beta}{A}\cos\theta \Rightarrow \varphi(t) = \frac{Mgs}{\beta} \left[ t - \frac{A}{\beta}\sin\left(\frac{\beta}{A}t\right) \right]. </MATH>|7.95}} Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: {{Formuła|<MATH>\dot{\varphi}=\frac{Mgs}{\beta}</MATH>}}, co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami. Na koniec: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\psi} = \frac{\beta}{C} = \dot{\psi}_{0}. </MATH>|7.96}} == Bąk całkowicie asymetryczny == Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: {{Formuła|<MATH>A > B > C</MATH>}}, co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego. W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne. === Energia i moment pędu bąka asymetrycznego === Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.97}} Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2}. \end{cases} </MATH>|7.98}} Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EA}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EB}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\sqrt{2EC}</MATH>}}. Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego. === Ograniczenia na wartość K² === Z równań {{LinkWzór|7.98}} otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K_{x}^{2}\frac{C}{A} + K_{y}^{2}\frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2EC \Rightarrow K^{2} < 2EC, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2}\frac{A}{B} + K_{z}^{2}\frac{A}{C} = 2EA \Rightarrow K^{2} > 2EA. \end{cases} </MATH>|7.99}} Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: {{Formuła|<MATH>2EA < K^{2} < 2EC</MATH>}}. Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności. === Eliminacja p² i r² === Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu {{LinkWzór|7.97}}. Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (AC - A^{2})p^{2} + (BC - B^{2})q^{2} = 2EC - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A(C-A)}\left[(2EC - K^{2}) - B(C-B)q^{2}\right]. </MATH>|7.100}} Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego: {{CentrujWzór|<MATH> (BA - B^{2})q^{2} + (CA - C^{2})r^{2} = 2EA - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C(C-A)}\left[(K^{2}-2EA) - B(B-A)q^{2}\right]. </MATH>|7.101}} Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego. === Równanie różniczkowe dla q(t) === Korzystając z równania Eulera: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{C-A}{B}pr, </MATH>|7.102}} i podstawiając do niego zależności {{LinkWzór|7.100}} oraz {{LinkWzór|7.101}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q} = \frac{1}{B\sqrt{AC}} \sqrt{(2EC - K^{2} - B(C-B)q^{2})} \sqrt{(K^{2}-2EA - B(B-A)q^{2})}. </MATH>|7.102a}} Jest to równanie typu: {{Formuła|<MATH>\dot{q} = \sqrt{(a - bq^{2})(c - dq^{2})}</MATH>}}, które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne. === Wprowadzenie zmiennych eliptycznych === Wprowadzamy zmienne pomocnicze, które pozwalają sprowadzić równania ruchu bąka asymetrycznego do postaci równań eliptycznych. Zmienne te są tak dobrane, aby równanie różniczkowe opisujące ewolucję współrzędnej q(t) przyjęło postać kanoniczną równania funkcji Jacobiego. Pierwszą zmienną jest przeskalowany czas: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = t \sqrt{ \frac{(C - B)(K^{2} - 2EA)}{ABC} } </MATH>|7.103}} Zmienna τ jest czasem „eliptycznym”, czyli czasem przeskalowanym tak, aby równanie ruchu miało postać standardową dla funkcji Jacobiego. Drugą zmienną jest przeskalowana współrzędna q: {{CentrujWzór|<MATH> s = q \sqrt{ \frac{B(C - B)}{2EC - K^{2}} } </MATH>|7.104}} Zmienna s jest bezwymiarową zmienną eliptyczną, która przyjmuje wartości w przedziale od −1 do 1. Dzięki temu równanie ruchu sprowadza się do równania funkcji sn(τ). Wprowadzamy również parametr eliptyczny k², który określa „kształt” funkcji Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> k^{2} = \frac{ (B - A)(2EC - K^{2}) }{ (C - B)(K^{2} - 2EA) } </MATH>|7.105}} Parametr k² decyduje o okresie funkcji Jacobiego oraz o charakterze oscylacji. Dla k² bliskiego 0 funkcje Jacobiego zachowują się jak funkcje trygonometryczne, natomiast dla k² bliskiego 1 zachowują się jak funkcje hiperboliczne. Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{ds}{d\tau} = \sqrt{ (1 - s^{2}) (1 - k^{2}s^{2}) } </MATH>|7.106}} Jest to klasyczne równanie różniczkowe funkcji eliptycznych Jacobiego. Zawiera dwa czynniki: pierwszy odpowiada oscylacjom sinusoidalnym, drugi — oscylacjom eliptycznym zależnym od parametru k². Całkując równanie {{LinkWzór|7.106}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \tau = \int_{0}^{s} \frac{ds}{ \sqrt{ (1 - s^{2}) (1 - k^{2}s^{2}) } } </MATH>|7.107}} Całka ta jest standardową postacią całki eliptycznej pierwszego rodzaju. Jej rozwiązaniem jest funkcja Jacobiego sn(τ): {{CentrujWzór|<MATH> s = \operatorname{sn}\tau </MATH>|7.107a}} Pozostałe funkcje Jacobiego definiujemy analogicznie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{cn}\tau = \sqrt{ 1 - \operatorname{sn}^{2}\tau } </MATH>|7.108}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{dn}\tau = \sqrt{ 1 - k^{2}\operatorname{sn}^{2}\tau } </MATH>|7.109}} }} Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny. Funkcja sn(τ) opisuje oscylacje q(t), funkcja cn(τ) opisuje oscylacje p(t), a funkcja dn(τ) opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy. Funkcje Jacobiego stanowią więc naturalny język matematyczny do opisu ruchu bąka asymetrycznego, ponieważ uwzględniają zarówno oscylacje sinusoidalne, jak i eliptyczne, wynikające z asymetrii momentów bezwładności. === Prędkości kątowe === Prędkości kątowe wyrażają się następująco: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> q = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{B(C-B)}}\operatorname{sn}\tau, </MATH>|7.110}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> p = \sqrt{\frac{2EC-K^{2}}{A(C-A)}}\operatorname{cn}\tau, </MATH>|7.113}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{\frac{K^{2}-2EA}{C(C-A)}}\operatorname{dn}\tau. </MATH>|7.114}} }} W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C. === Składowe momentu pędu === Składowe momentu pędu bąka asymetrycznego wyrażają się równaniami zależnymi od kątów Eulera oraz od składowych prędkości kątowych p, q, r. Zależności te wynikają z definicji momentu pędu w układzie związanym z bryłą oraz z transformacji między układem laboratoryjnym a układem własnym bryły: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} K\sin\theta\sin\psi = Ap, \\ K\sin\theta\cos\psi = Bq, \\ K\cos\theta = Cr. \end{cases} </MATH>|7.115}} Pierwsze dwa równania wiążą składowe momentu pędu w płaszczyźnie prostopadłej do osi trzeciej, natomiast trzecie równanie wiąże składową wzdłuż osi trzeciej z prędkością kątową r. Zależności te są podstawą do wyznaczenia kątów Eulera w funkcji czasu. Z trzeciego równania {{LinkWzór|7.115}} otrzymujemy zależność na cosinus kąta nutacji θ: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{Cr}{K} = \sqrt{ \frac{C(K^{2} - 2EA)}{K^{2}(C - A)} } \operatorname{dn}\tau </MATH>|7.116}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \tan\psi = \frac{Ap}{Bq} = \sqrt{ \frac{A(C - B)}{B(C - A)} } \frac{\operatorname{cn}\tau}{\operatorname{sn}\tau} </MATH>|7.117}} }} Pierwsza zależność {{LinkWzór|7.116}} pokazuje, że kąt nutacji θ(t) jest funkcją eliptyczną typu dn(τ). Oznacza to, że oś bryły wykonuje oscylacje o amplitudzie zależnej od parametrów A, B, C oraz od energii E i momentu pędu K. Druga zależność {{LinkWzór|7.117}} pokazuje, że kąt precesji własnej ψ(t) jest funkcją ilorazu cn(τ)/sn(τ), czyli funkcją eliptyczną typu cotangensowego. Oznacza to, że precesja własna jest modulowana przez oscylacje nutacji. Kąt φ wyznaczamy z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\varphi} = \frac{p\sin\psi + q\cos\psi}{\sin\theta} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{K^{2} - C^{2}r^{2}} = K\frac{Ap^{2} + Bq^{2}}{A^{2}p^{2} + B^{2}q^{2}} </MATH>|7.118}} Wyrażenie to jest równaniem różniczkowym dla kąta φ(t). Po scałkowaniu względem czasu otrzymujemy funkcję φ(t), która jest funkcją eliptyczną zależną od τ(t), a więc od czasu. Całka ta jest złożona, ponieważ zawiera funkcje Jacobiego sn(τ), cn(τ), dn(τ), które modulują prędkość precesji. W rezultacie ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy: kąt nutacji θ(t) oscyluje z okresem zależnym od parametru eliptycznego k², kąt ψ(t) wykonuje oscylacje modulowane przez funkcje Jacobiego, a kąt φ(t) rośnie w sposób eliptyczny, z prędkością zależną od energii i momentu pędu. Jest to pełny opis ruchu bąka asymetrycznego w języku funkcji eliptycznych Jacobiego. === Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego === Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną. Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy. W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> hwcjqdhcdxi2qdl2o3flbuhts0pwkig 0 20318 559072 555543 2026-10-11T02:00:56Z Persino 2851 559072 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej. == Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje == W poprzednich rozdziałach, zwłaszcza w punkcie {{LinkWzór|6.18|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}, wprowadziliśmy Lagrangian jako podstawowy obiekt mechaniki analitycznej. Lagrangian jest funkcją współrzędnych uogólnionych, ich pochodnych oraz czasu, i stanowi matematyczne ujęcie, która mówi, że rzeczywista trajektoria układu jest tą, dla której działanie przyjmuje wartość ekstremalną. Formalizm Lagrange’a jest bardzo silny, lecz w wielu zastosowaniach — zwłaszcza w fizyce teoretycznej, mechanice kwantowej, teorii pól, dynamice układów z wieloma stopniami swobody — wygodniejsze okazuje się przejście do formalizmu Hamiltona. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie pędu uogólnionego. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem klasycznego pędu liniowego, który w mechanice Newtonowskiej jest pochodną energii kinetycznej względem prędkości. W mechanice analitycznej pęd uogólniony jest pochodną Lagrangianu względem prędkości uogólnionej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </MATH>|8.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p}_a = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} </MATH>|8.2}} }} Warto podkreślić, że pęd uogólniony nie musi być równy klasycznemu pędowi fizycznemu. W obecności pól elektromagnetycznych pęd uogólniony zawiera dodatkowe składniki, które nie mają interpretacji czysto mechanicznej. Jest to konsekwencja faktu, że Lagrangian jest obiektem bardziej ogólnym niż energia kinetyczna — opisuje pełną dynamikę układu, a nie tylko jego ruch w przestrzeni. Zakładamy teraz, że prędkość uogólniona może być wyrażona jako funkcja współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego oraz czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_k = \dot{q}_k(q_k, p_k, t) </MATH>|8.3}} Założenie to jest technicznie istotne, ponieważ pozwala odwrócić zależność między pędem a prędkością i przejść do formalizmu Hamiltona, w którym pęd jest traktowany jako niezależna zmienna. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do, która jest znacznie bogatsza strukturalnie i posiada naturalną strukturę symplektyczną. ---- * Funkcja Hamiltona Wprowadzamy teraz funkcję zwaną '''Hamiltonianem'''. Jest to transformacja, Legendre’a Lagrangianu, względem prędkości uogólnionych. Hamiltonian jest zdefiniowany jako: {{CentrujWzór|<MATH> H = \sum_k \dot{q}_k p_k - L </MATH>|8.4}} Transformacja Legendre’a „zamienia” zmienne {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k\;</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>p_k\;</MATH>}}. W ten sposób przechodzimy z przestrzeni konfiguracji do przestrzeni fazowej, w której każda współrzędna ma swój sprzężony pęd. W przestrzeni fazowej dynamika układu jest opisana przez Hamiltona. Dla krótkich zależności używamy szablonu: {{Formuła|<MATH>H = \dot{\vec{q}}\cdot\vec{p} - L</MATH>}}. Hamiltonian jest więc funkcją współrzędnych uogólnionych, pędów uogólnionych oraz czasu: {{Formuła|<MATH>H = H(q_k, p_k, t)</MATH>}}. ---- * Pochodne Hamiltonianu Aby otrzymać równania kanoniczne, obliczamy pochodne Hamiltonianu względem współrzędnych, pędów oraz czasu. * Pochodna względem współrzędnej uogólnionej {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) + Q_z = -\dot{p}_k + Q_z </MATH>|8.5}} Widzimy, że otrzymujemy pierwsze równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} + Q_z</MATH>}} To równanie jest odpowiednikiem równania Eulera-Lagrange’a, lecz zapisanym w języku Hamiltona. W formalizmie Hamiltonowskim pęd uogólniony jest traktowany jako zmienna podstawowa, a jego zmiana w czasie jest określona przez pochodną Hamiltonianu względem współrzędnej. ---- * Pochodna względem pędu uogólnionego {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial p_k} = \sum_i \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial p_k} p_i + \dot{q}_k - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial \dot{q}_k}{\partial p_k} = \dot{q}_k </MATH>|8.6}} Otrzymujemy drugie równanie kanoniczne: {{Formuła|<MATH>\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}</MATH>}}. To równanie mówi, że prędkość uogólniona jest pochodną Hamiltonianu względem pędu. Jest to analogia do klasycznej relacji: {{Formuła|<MATH>v = \frac{\partial H}{\partial p}</MATH>}}, która w mechanice kwantowej staje się operatorem. ---- * Pochodna względem czasu {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} </MATH>|8.7}} Jeśli Lagrangian nie zależy od czasu, to Hamiltonian również nie zależy od czasu. Jest to kluczowy warunek zachowania energii. ---- * Całkowita pochodna Hamiltonianu Korzystając z definicji Hamiltonianu oraz równania Lagrange’a, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sum_k \dot{q}_k p_k - L\right) = \left( \sum_k \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\dot{q}_k + \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k - \frac{\partial L}{\partial t} - \sum_k \frac{\partial L}{\partial q_k}\dot{q}_k - \sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\ddot{q}_k \right) </MATH>{{Br}}<MATH> = -\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.8}} Tożsamość ta jest fundamentalna: całkowita pochodna Hamiltonianu jest równa jego pochodnej cząstkowej względem czasu. Oznacza to, że jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to jest on wielkością zachowaną — energią całkowitą układu. ---- * Hamiltonian jako energia całkowita Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu, to: {{CentrujWzór|<MATH> H = E = T + U </MATH>|8.9}} czyli Hamiltonian jest energią całkowitą układu. Jest to jedna z najważniejszych interpretacji Hamiltonianu w mechanice klasycznej. ---- * Zmienna cykliczna Z równania: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial H}{\partial q_k} = -\frac{\partial L}{\partial q_k} </MATH>|8.10}} wynika, że jeśli współrzędna uogólniona {{Formuła|<MATH>q_k\;</MATH>}} jest zmienną cykliczną, to Hamiltonian nie zależy od tej zmiennej. Oznacza to, że pęd sprzężony z tą współrzędną jest zachowany — jest to bezpośrednia konsekwencja, która mówi, że każdej symetrii odpowiada wielkość zachowana. {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\Rightarrow p_k=\text{const}</MATH>|8.12a}} === Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej === ==== Ciało umieszczone na sprężynie ==== Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi. {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}x^2 </MATH>|8.11}} Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu {{LinkWzór|8.11}} liczymy ze wzorów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \dot{p} = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = -kx </MATH>|8.12}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} </MATH>|8.13}} }} ==== Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych ==== Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym {{LinkWzór|1.28|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}} i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\phi}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\phi\right) + \frac{GMm}{r} </MATH>|8.14}} Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|8.1}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m\dot{r} </MATH>|8.15}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mr^{2}\dot{\theta}\sin^{2}\phi </MATH>|8.16}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> p_{\phi} = mr^{2}\dot{\phi} </MATH>|8.17}} }} Hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}} {{LinkWzór|8.4}} możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany {{LinkWzór|8.14}}, którą tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach {{LinkWzór|8.15}}, {{LinkWzór|8.16}} i {{LinkWzór|8.17}}: {{CentrujWzór|<MATH> H = T + U = \frac{1}{2m}\left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} \right) </MATH>|8.18}} ==== Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym ==== Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki. Gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z klasycznym opisem. Natomiast gdy potencjał wektorowy nie jest równy zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m}{2}v^{2} + q\,\vec{A}\cdot\vec{v} - qU </MATH>|8.19}} Wektor pędu uogólnionego na podstawie jej definicji dla współrzędnych {{LinkWzór|8.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = m\vec{v} + q\vec{A} </MATH>|8.20}} Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.20}} jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^{2}}{2m} + qU </MATH>|8.21}} == Nawiasy Poissona == Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F i G w mechanice klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,G\right\}_{P} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial G}{\partial q_{i}} \right) </MATH>|8.22}} Wyznaczmy, czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją jest F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} są niezależne od siebie. Na podstawie tego możemy powiedzieć, że nawias Poissona położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego {{Formuła<MATH>p_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial q_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = \frac{\partial F}{\partial p_{i}} </MATH>|8.23}} A także możemy powiedzieć, że nawias Poissona pędu uogólnionego {{Formuła|<MATH>p_{i}\;</MATH>}} i funkcji F jest równy minus pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego {{Formuła|<MATH>q_{i}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},F\right\}_{P} = \sum_{j=1}^{f} \left( \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial F}{\partial p_{j}} - \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{j}}\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \right) = -\,\frac{\partial F}{\partial q_{i}} </MATH>|8.24}} Również bardzo łatwo wyznacza się nawiasy Poissona, korzystając z obliczeń wynikłych {{LinkWzór|8.23}} i {{LinkWzór|8.24}}. Wtedy mówimy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.25}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.26}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> \left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P} = \delta_{ij} </MATH>|8.27}} }} Wyznaczmy, czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc, że zachodzą tożsamości Hamiltona {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dF}{dt} = \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i} + \sum_{i=1}^{f}\frac{\partial F}{\partial p_{i}}\dot{p}_{i} + \frac{\partial F}{\partial t} = \sum_{i=1}^{f} \left( \frac{\partial F}{\partial q_{i}}\frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}}\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right) = \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} </MATH>|8.28}} Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie {{LinkWzór|8.28}} i wiedząc, że funkcja F jest raz współrzędną położenia uogólnionego, a innym razem współrzędną pędu uogólnionego, powiemy, że obowiązują tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \dot{q}_{i} = \left\{q_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.29}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \dot{p}_{i} = \left\{p_{i},H\right\}_{P} </MATH>|8.30}} }} Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tej wielkości nie zależy od czasu. Zatem na podstawie tożsamości {{LinkWzór|8.28}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{F,H\right\}_{P} + \frac{\partial F}{\partial t} = 0 </MATH>|8.31}} Gdy za funkcję F wstawimy we wzorze {{LinkWzór|8.28}} hamiltonian {{Formuła|<MATH>H</MATH>}}, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, którą udowodniliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.8}}. Tutaj, wykorzystując nawiasy Poissona, mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dH}{dt} = \left\{H,H\right\}_{P} + \frac{\partial H}{\partial t} \Rightarrow \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} </MATH>|8.32}} === Ważne elementarne tożsamości === Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przedstawimy razem w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,g\right\}_{P} = -\,\left\{g,f\right\}_{P} </MATH>|8.33}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,c\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.34}} }} Tożsamością polegającą na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.22}} względem czasu „t” jest: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}\left\{f,g\right\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} </MATH>|8.35}} === Tożsamość Jacobiego === Tożsamością Jacobiego względem funkcji {{Formuła|<MATH>>f,g,h\;</MATH>}} nazywamy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = 0 </MATH>|8.36}} W celu dowodu tożsamości {{LinkWzór|8.36}} należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową. Jeśli wyrażenie {{Formuła|<MATH>\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;</MATH>}} jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}}, to po lewej stronie dowodzonej tożsamości pojawia się jednorodna funkcja drugich pochodnych. Wprowadźmy operatory {{Formuła|<MATH>D_{1}(\varphi)=\{g,\varphi\}_{P}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>D_{2}(\varphi)=\{h,\varphi\}_{P}\;</MATH>}}. Wtedy należy policzyć wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH> \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} + \left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P} = \left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P} - \left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P} = D_{1}(D_{2}(\varphi)) - D_{2}(D_{1}(\varphi)) </MATH>|8.37}} Wprowadźmy teraz definicję operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, które nie mogą zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> D_{1} = \sum_{k}\xi_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.38}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> D_{2} = \sum_{k}\eta_{k}\,\frac{\partial}{\partial x_{k}} </MATH>|8.39}} }} Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.38}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.39}} na dwa sposoby: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} = \sum_{k l}\xi_{k}\eta_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\xi_{k}\, \frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> D_{2}D_{1} = \sum_{k l}\eta_{k}\xi_{l}\, \frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}\partial x_{l}} + \sum_{k l}\eta_{k}\, \frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}}\, \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.41}} }} A różnicę złożeń operatorów {{Formuła|<MATH>D_{1}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>D_{2}\;</MATH>}}, czyli {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}}, możemy przedstawić poprzez: {{CentrujWzór|<MATH> D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1} = \sum_{k l} \left( \xi_{k}\frac{\partial \eta_{l}}{\partial x_{k}} - \eta_{k}\frac{\partial \xi_{l}}{\partial x_{k}} \right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} </MATH>|8.42}} Widzimy, że w lewej stronie tożsamości {{LinkWzór|8.37}} upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji \(f\) (to samo dotyczy funkcji \(g\) i \(h\)). Dla funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}}, dla której działanie {{Formuła|<MATH>-\,(D_{1}D_{2} - D_{2}D_{1})\;</MATH>}} jest nawiasem Poissona. {{CentrujWzór|<MATH> \{f,\{g,h\}_{P}\}_{P} </MATH>}} który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} (analogicznie dla {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>h\;</MATH>}}, cała lewa strona tożsamości {{LinkWzór|8.36}} jest tożsamościowo równa zero. === Twierdzenie Poissona === Jeśli funkcje {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> \{f,g\}_{P} = \operatorname{const} </MATH>|8.43}} Dowód tego twierdzenia, gdy {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.22}} pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona {{Formuła|<MATH>\{f,H\}_{P}</MATH>}}), mając to na uwadze, podstawiamy do tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}, gdzie {{Formuła|<MATH>h = H\;</MATH>}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = 0 </MATH>|8.44}} Z tożsamości {{LinkWzór|8.44}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\{H,f\}_{P} = 0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\{H,g\}_{P} = 0</MATH>}} (czyli pochodne zupełne funkcji {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} są równe zero), to również {{Formuła|<MATH>\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} = 0</MATH>}} jest równe zero. Zatem na podstawie {{LinkWzór|8.44}} zachodzi {{LinkWzór|8.43}}. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>f\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>g\;</MATH>}} zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie {{LinkWzór|8.28}} zachodzi tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \frac{\partial}{\partial t}\{f,g\}_{P} - \{H,\{f,g\}_{P}\}_{P} </MATH>|8.45}} Do wzoru {{LinkWzór|8.45}} wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona {{LinkWzór|8.35}}, a także wynikłe z tożsamości Jacobiego {{LinkWzór|8.36}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} \right\}_{P} + \{f,\{g,H\}_{P}\}_{P} + \{g,\{H,f\}_{P}\}_{P} = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}_{P},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{\partial g}{\partial t} + \{g,H\}_{P} \right\}_{P} </MATH>|8.46}} Do obliczeń {{LinkWzór|8.46}} wykorzystujemy tożsamość {{LinkWzór|8.28}} dla pochodnej zupełnej funkcji. Wtedy twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\{f,g\}_{P} = \left\{ \frac{df}{dt},\,g \right\}_{P} + \left\{ f,\,\frac{dg}{dt} \right\}_{P} </MATH>|8.47}} == Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne == Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasu, których to razem jest {{Formuła|<MATH>2f\;</MATH>}} współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_{i} = Q_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.48}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>P_{i} = P_{i}(q_{k},p_{k},t)</MATH>|8.49}} }} W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji te współrzędne spełniają równania Hamiltona: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{Q}_{k} = \frac{\partial H}{\partial P_{k}}</MATH>|8.50}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{P}_{k} = -\,\frac{\partial H}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.51}} }} Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której wariacja tych lagrangianów jest równa zero, prowadzi do zależności: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L = L' + \frac{dR_{1}}{dt}</MATH>|8.52}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\int_{t_{0}}^{t_{1}} L = \int_{t_{0}}^{t_{1}} L' + R_{1}\Big|_{t_{0}}^{t_{1}}</MATH>|8.53}} }} Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian {{LinkWzór|8.4}} i napiszemy Lagrangian, a następnie użyjemy tożsamości {{LinkWzór|8.52}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{dR_{1}}{dt} \Rightarrow dR_{1} = \sum_{k} p_{k}\,dq_{k} - \sum_{k} P_{k}\,dQ_{k} + (H' - H)\,dt </MATH>|8.54}} Z drugiej strony różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} możemy rozpisać względem współrzędnych {{Formuła|<MATH>q_{k}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i czasu: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}\,dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}\,dQ_{k} + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}\,dt </MATH>|8.55}} Porównując {{LinkWzór|8.54}} i {{LinkWzór|8.55}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{1}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.56}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{1}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.57}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{1}}{\partial t}</MATH>|8.58}} }} Wzory {{LinkWzór|8.56}}, {{LinkWzór|8.57}} i {{LinkWzór|8.58}} stanowią przepis na transformacje kanoniczne. Funkcja {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} jest funkcją tworzącą. Wybierzmy funkcję tworzącą: {{Formuła|<MATH>R_{1} = \sum_{k} q_{k}Q_{k}</MATH>}}. Wtedy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = Q_{k}</MATH>|8.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,q_{k}</MATH>|8.60}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>H'(Q_{k},P_{k},t) = H(q_{k},P_{k},t) = H(-P_{k},Q_{k},t)</MATH>|8.61}} }} Omawiana transformacja zamienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym: {{CentrujWzór|<MATH> H' = \frac{Q^{2}}{2m} + \frac{k}{2}P^{2} </MATH>|8.62}} Korzystając z równania {{LinkWzór|8.58}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - H = \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} - H' + \frac{\partial R_{1}}{\partial t} </MATH>|8.63}} Możemy podać funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>R_{1}\;</MATH>}} poprzez transformacje Legendre’a: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{2}(q_{k},P_{k},t) - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.64}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{3}(p_{k},Q_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k}</MATH>|8.65}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>R_{1} = R_{4}(p_{k},P_{k},t) + \sum_{k} p_{k}q_{k} - \sum_{k} P_{k}Q_{k}</MATH>|8.66}} }} Różniczki zupełne: {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}dq_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}dt </MATH>|8.67}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}dQ_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}dt </MATH>|8.68}} {{CentrujWzór|<MATH> dR_{1} = \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}dp_{k} + \sum_{k}\frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}dP_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}dt </MATH>|8.69}} Specjalna postać równania {{LinkWzór|8.54}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{array}{l} \sum_{k} p_{k}dq_{k} + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) - \sum_{k} P_{k}dQ_{k} + (H - H)dt\\ -\sum_{k} q_{k}dp_{k} + \sum_{k} d(p_{k}q_{k}) + \sum_{k} Q_{k}dP_{k} - \sum_{k} d(P_{k}Q_{k}) + (H' - H)dt \end{array} </MATH>|8.70}} Porównując {{LinkWzór|8.67}}, {{LinkWzór|8.68}}, {{LinkWzór|8.69}} z {{LinkWzór|8.70}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial q_{k}}</MATH>|8.71}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{2}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.72}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{2}}{\partial t}</MATH>|8.73}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>P_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial Q_{k}}</MATH>|8.74}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = -\,\frac{\partial R_{3}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.75}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{3}}{\partial t}</MATH>|8.76}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial P_{k}}</MATH>|8.77}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>q_{k} = \frac{\partial R_{4}}{\partial p_{k}}</MATH>|8.78}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>H' = H + \frac{\partial R_{4}}{\partial t}</MATH>|8.79}} }} Przykładem funkcji tworzącej jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{i} q_{i}P_{i}</MATH>}}. Wtedy: * {{Formuła|<MATH>p_{k} = P_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = q_{k}\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>H' = H\;</MATH>}} Jest to funkcja tworząca tożsamościowa. Innym przykładem jest: {{Formuła|<MATH>R_{2} = \sum_{k} f(q_{k},t)P_{k}</MATH>}}. dla której: * {{Formuła|<MATH>Q_{k} = f(q_{k},t)\;</MATH>}} co jest dowolną funkcją współrzędnych położenia uogólnionego i czasu. == Równania Hamiltona-Jacobiego == Gdy hamiltonian {{Formuła|<MATH>H'</MATH>}} będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>Q_{k} = \text{const}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>P_{k} = \text{const}\;</MATH>}}. Załóżmy, że istnieje pewna funkcja tworząca {{Formuła|<MATH>R_{2} = S(q_{k},P_{k},t)\;</MATH>}}. Wtedy wzory {{LinkWzór|8.71}} i {{LinkWzór|8.72}} przyjmują postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}</MATH>|8.80}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_{k} = \frac{\partial S}{\partial P_{k}}</MATH>|8.81}} }} Wtedy patrząc na wzór {{LinkWzór|8.73}}, który przedstawia równanie Hamiltona–Jacobiego przy warunku {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i wykorzystując {{LinkWzór|8.80}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> H\!\left(q_{k},\,\frac{\partial S}{\partial q_{k}},\,t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.82|Obramuj}} Pochodną wielkości {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} można wykorzystać w postaci wynikającej z {{LinkWzór|8.64}}, w której wiadomo, że {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} to jest {{Formuła|<MATH>R_{2}\;</MATH>}}. Wyznaczając pochodną zupełną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \frac{dR_{1}}{dt} + \frac{d}{dt}\sum_{k} P_{k}Q_{k} </MATH>|8.83}} Dalej wykorzystajmy wzór {{LinkWzór|8.54}} i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu {{Formuła|<MATH>t\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{k} p_{k}\dot{q}_{k} - \sum_{k} P_{k}\dot{Q}_{k} + H' - H </MATH>|8.84}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.84}} do {{LinkWzór|8.83}} przy założeniu {{Formuła|<MATH>H' = 0</MATH>}}, i pamiętając, że pochodne zupełne {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>P_{k}\;</MATH>}} względem czasu są równe zero. Wtedy pochodna zupełna {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} względem czasu jest określona wzorem {{LinkWzór|8.80}}. Korzystając z definicji Hamiltonianu {{LinkWzór|8.3}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt} = \sum_{i} p_{i}\dot{q}_{i} - H = L </MATH>|8.85}} Na podstawie {{LinkWzór|8.85}}, całkując obie strony względem czasu, otrzymujemy wzór na funkcję tworzącą {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{0}^{t} L(q_{k},\dot{q}_{k},t)\,dt </MATH>|8.86}} === Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny) === Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m}\left(p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}\right) </MATH>|8.87}} Jeśli wykorzystamy równość {{LinkWzór|8.82}}, która jest równaniem Hamiltona–Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość zapisaną we wzorze {{LinkWzór|8.80}}, to możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} \right] + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.88}} Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję {{Formuła|<MATH>S(x,y,z,t)\;</MATH>}} jako sumę czterech składników zależnych od różnych zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> S = S_{1}(x) + S_{2}(y) + S_{3}(z) + S_{4}(t) </MATH>|8.89}} Układ opisywany hamiltonianem {{LinkWzór|8.87}} jest konserwatywny, więc energia całkowita jest stała: {{CentrujWzór|<MATH> E = H = -\,\frac{\partial S}{\partial t} </MATH>|8.90}} Wtedy równanie {{LinkWzór|8.88}}, na podstawie {{LinkWzór|8.89}} i {{LinkWzór|8.90}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{\partial S_{1}}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{2}}{\partial y}\right)^{2} + \left(\frac{\partial S_{3}}{\partial z}\right)^{2} \right] + E = 0 </MATH>|8.91}} Ponieważ każdy wyraz zależy od innej zmiennej, możemy napisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>S_{1} = P_{1}x</MATH>|8.92}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>S_{2} = P_{2}y</MATH>|8.93}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>S_{3} = P_{3}z</MATH>|8.94}} }} Mając rozwiązania {{LinkWzór|8.92}}, {{LinkWzór|8.93}}, {{LinkWzór|8.94}}, które są rozwiązaniem równania {{LinkWzór|8.91}}, i wykorzystując definicję pędu uogólnionego {{LinkWzór|8.80}}, energia układu wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right) = E </MATH>|8.95}} Wykorzystując równość na energię {{LinkWzór|8.95}}, a także równość na funkcję {{Formuła<MATH>S\;</MATH>}} {{LinkWzór|8.90}}, otrzymujemy całkowite rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = P_{1}x + P_{2}y + P_{3}z - \frac{1}{2m}\left(P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}\right)t </MATH>|8.96}} Wyznaczmy teraz wielkości {{Formuła|<MATH>Q_{k}\;</MATH>}} wedle wzoru {{LinkWzór|8.81}}. W takim przypadku: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{1}} = x - \frac{P_{1}}{m}t = Q_{1} = \operatorname{const} </MATH>|8.97}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{2}} = y - \frac{P_{2}}{m}t = Q_{2} = \operatorname{const} </MATH>|8.98}} |3={{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial S}{\partial P_{3}} = z - \frac{P_{3}}{m}t = Q_{3} = \operatorname{const} </MATH>|8.99}} }} Wedle równości {{LinkWzór|8.97}}, {{LinkWzór|8.98}}, {{LinkWzór|8.99}} możemy napisać równania ruchu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> x = \frac{P_{1}}{m}t + Q_{1} </MATH>|8.100}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> y = \frac{P_{2}}{m}t + Q_{2} </MATH>|8.101}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> z = \frac{P_{3}}{m}t + Q_{3} </MATH>|8.102}} }} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych === Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian {{LinkWzór|8.18}} bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m} \left( p_{r}^{2} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}\sin^{2}\phi} \right) + U(r,\theta,\phi) </MATH>|8.103}} Teraz przedstawmy potencjał {{Formuła|<MATH>U(r,\theta,\phi)\;</MATH>}} w postaci zależnej od funkcji {{Formuła|<MATH>a(r)\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>b(\phi)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c(\theta)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\theta,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} + \frac{c(\theta)}{r^{2}\sin\phi} </MATH>|8.104}} Ostatni wyraz ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc pomijamy go i piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> U(r,\phi) = a(r) + \frac{b(\phi)}{r^{2}} </MATH>|8.105}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.105}} do {{LinkWzór|8.103}}, wykorzystując teorię Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}} oraz wzór na pęd uogólniony {{LinkWzór|8.80}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + a(r) + \frac{1}{2mr^{2}} \left[ \left(\frac{\partial S}{\partial\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) \right] + \frac{1}{2mr^{2}\sin^{2}\phi} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.106}} Zmienna {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} jest cykliczna, więc szukamy rozwiązania w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + S_{1}(r) + S_{2}(\phi) </MATH>|8.107}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.107}} do {{LinkWzór|8.106}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy dwa równania z parametrem {{Formuła|<MATH>\beta\;</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \left(\frac{dS_{2}}{d\phi}\right)^{2} + 2m\,b(\phi) + \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} = \beta </MATH>|8.108}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2m} \left(\frac{dS_{1}}{dr}\right)^{2} + a(r) + \frac{\beta}{2mr^{2}} = E </MATH>|8.109}} }} Końcowe rozwiązanie funkcji {{Formuła|<MATH>S\;</MATH>}} zapisujemy jako sumę dwóch całek: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\,\theta + \int \sqrt{ \beta - 2m\,b(\phi) - \frac{p_{\theta}^{2}}{\sin^{2}\phi} }\,d\phi + \int \sqrt{ 2m\left(E - a(r)\right) - \frac{\beta}{r^{2}} }\,dr </MATH>|8.110}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych === Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>z = \frac{1}{2}(\xi - \eta)</MATH>|8.111}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho = \sqrt{\xi\eta}</MATH>|8.112}} }} Wzór na promień otrzymujemy z twierdzenia Pitagorasa, podstawiając do jego definicji współrzędną {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} {{LinkWzór|8.111}} i współrzędną radialną {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} {{LinkWzór|8.112}}: {{CentrujWzór|<MATH> r = \sqrt{z^{2} + \rho^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}(\xi^{2} - 2\xi\eta + \eta^{2}) + \xi\eta} = \frac{1}{2}\sqrt{(\xi + \eta)^{2}} = \frac{1}{2}(\xi + \eta) </MATH>|8.113}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|8.113}} i {{LinkWzór|8.111}}, otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\xi = r + z</MATH>|8.114}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\eta = r - z</MATH>|8.115}} }} Wzory {{LinkWzór|8.111}} i {{LinkWzór|8.112}} podstawiamy do definicji Lagrangianu: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^{2} + \rho^{2}\dot{\theta}^{2} + \dot{z}^{2}) - U(\rho,\theta,z) = \frac{m}{8}(\xi + \eta) \left( \frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi} + \frac{\dot{\eta}^{2}}{\eta} \right) + \frac{m}{2}\xi\eta\dot{\theta}^{2} - U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.116}} Wyznaczamy pędy uogólnione: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi} = \frac{m}{4\xi}(\xi + \eta)\dot{\xi}</MATH>|8.117}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta} = \frac{m}{4\eta}(\xi + \eta)\dot{\eta}</MATH>|8.118}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta} = m\xi\eta\dot{\theta}</MATH>|8.119}} }} Hamiltonian: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{2}{m} \frac{\xi p_{\xi}^{2} + \eta p_{\eta}^{2}}{\xi + \eta} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\xi\eta} + U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.120}} Potencjał pola w współrzędnych parabolicznych: {{CentrujWzór|<MATH> U = \frac{a(\xi) + b(\eta)}{\xi + \eta} = \frac{a(r+z) + b(r-z)}{2r} </MATH>|8.121}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.121}} do {{LinkWzór|8.120}}, korzystając z równania Hamiltona–Jacobiego {{LinkWzór|8.82}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{2}{m(\xi + \eta)} \left[ \xi\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + \eta\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} \right] + \frac{1}{2m\xi\eta} \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + \frac{a(\xi) + b(\eta)}{\xi + \eta} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 </MATH>|8.122}} Mnożymy równanie przez {{Formuła|<MATH>m(\xi+\eta)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\xi\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + ma(\xi) + m\xi\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\xi} + 2\eta\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} + mb(\eta) + m\eta\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\eta} = 0 </MATH>|8.123}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest zmienną cykliczną, funkcję {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + S_{1}(\xi) + S_{2}(\eta) </MATH>|8.124}} Podstawiamy do {{LinkWzór|8.123}} i metodą separacji zmiennych otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> 2\xi\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} + ma(\xi) - mE\xi + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\xi} = \beta </MATH>|8.125}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> 2\eta\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} + mb(\eta) - mE\eta + \frac{p_{\theta}^{2}}{2\eta} = -\beta </MATH>|8.126}} }} Końcowe rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + \int \sqrt{ \frac{mE}{2} + \frac{\beta}{2\xi} - \frac{ma(\xi)}{2\xi} - \frac{p_{\theta}^{2}}{4\xi^{2}} }\,d\xi + \int \sqrt{ \frac{mE}{2} - \frac{\beta}{2\eta} - \frac{mb(\eta)}{2\eta} - \frac{p_{\theta}^{2}}{4\eta^{2}} }\,d\eta </MATH>|8.127}} === Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych === Wprowadźmy teraz współrzędne {{Formuła|<MATH>(\xi,\eta,\theta)\;</MATH>}}, które definiujemy poprzez współrzędne cylindryczne {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho = \sigma\sqrt{(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})}</MATH>|8.128}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>z = \sigma\xi\eta</MATH>|8.129}} }} Współrzędne eliptyczne definiuje się tak, że {{Formuła|<MATH>\xi\in[1,\infty)</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\eta\in[-1,1]</MATH>}}. Zdefiniujmy odległości: * {{Formuła|<MATH>r_{1}=\sqrt{(z-\sigma)^{2}+\rho^{2}}</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>r_{2}=\sqrt{(z+\sigma)^{2}+\rho^{2}}</MATH>}} Podstawiamy {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}}: {{CentrujWzór|<MATH> r_{1} = \sigma(\xi-\eta) </MATH>|8.130}} {{CentrujWzór|<MATH> r_{2} = \sigma(\xi+\eta) </MATH>|8.131}} Zatem: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\xi = \frac{r_{2}+r_{1}}{2\sigma}</MATH>|8.132}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\eta = \frac{r_{2}-r_{1}}{2\sigma}</MATH>|8.133}} }} Podstawiamy {{LinkWzór|8.128}} i {{LinkWzór|8.129}} do lagrangianu w cylindrycznych: {{CentrujWzór|<MATH> L = \frac{m\sigma^{2}}{2}(\xi^{2}-\eta^{2}) \left( \frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi^{2}-1} + \frac{\dot{\eta}^{2}}{1-\eta^{2}} \right) + \frac{m\sigma^{2}}{2}(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})\dot{\theta}^{2} - U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.134}} Wyznaczamy pędy uogólnione: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{\xi} = m\sigma^{2}\frac{\xi^{2}-\eta^{2}}{\xi^{2}-1}\dot{\xi}</MATH>|8.135}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{\eta} = m\sigma^{2}\frac{\xi^{2}-\eta^{2}}{1-\eta^{2}}\dot{\eta}</MATH>|8.136}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>p_{\theta} = m\sigma^{2}(\xi^{2}-1)(1-\eta^{2})\dot{\theta}</MATH>|8.137}} }} Hamiltonian: {{CentrujWzór|<MATH> H = \frac{1}{2m\sigma^{2}(\xi^{2}-\eta^{2})} \left[ (\xi^{2}-1)p_{\xi}^{2} + (1-\eta^{2})p_{\eta}^{2} + \left( \frac{1}{\xi^{2}-1} + \frac{1}{1-\eta^{2}} \right)p_{\theta}^{2} \right] + U(\xi,\eta,\theta) </MATH>|8.138}} Potencjał pola: {{CentrujWzór|<MATH> U = \frac{a(\xi)+b(\eta)}{\xi^{2}-\eta^{2}} = \frac{\sigma^{2}}{r_{1}r_{2}} \left[ a\!\left(\frac{r_{2}+r_{1}}{2\sigma}\right) + b\!\left(\frac{r_{2}-r_{1}}{2\sigma}\right) \right] </MATH>|8.139}} Równanie Hamiltona–Jacobiego: {{CentrujWzór|<MATH> -2m\sigma^{2}\frac{\partial S}{\partial t} = \frac{1}{\xi^{2}-\eta^{2}} \Bigg[ (\xi^{2}-1)\left(\frac{\partial S}{\partial\xi}\right)^{2} + (1-\eta^{2})\left(\frac{\partial S}{\partial\eta}\right)^{2} + \left( \frac{1}{\xi^{2}-1} + \frac{1}{1-\eta^{2}} \right) \left(\frac{\partial S}{\partial\theta}\right)^{2} + 2m\sigma^{2}a(\xi) + 2m\sigma^{2}b(\eta) \Bigg] </MATH>|8.140}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} jest zmienną cykliczną: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + S_{1}(\xi) + S_{2}(\eta) </MATH>|8.141}} Podstawiamy do {{LinkWzór|8.140}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(\xi^{2}-1) - (\xi^{2}-1)\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{\xi^{2}-1} - 2m\sigma^{2}a(\xi) + 2m\sigma^{2}E(1-\eta^{2}) - (1-\eta^{2})\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{1-\eta^{2}} - 2m\sigma^{2}b(\eta) = 0 </MATH>|8.142}} Separacja zmiennych: {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(\xi^{2}-1) - (\xi^{2}-1)\left(\frac{dS_{1}}{d\xi}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{\xi^{2}-1} - 2m\sigma^{2}a(\xi) = -\beta </MATH>|8.143}} {{CentrujWzór|<MATH> 2m\sigma^{2}E(1-\eta^{2}) - (1-\eta^{2})\left(\frac{dS_{2}}{d\eta}\right)^{2} - \frac{p_{\theta}^{2}}{1-\eta^{2}} - 2m\sigma^{2}b(\eta) = \beta </MATH>|8.144}} Końcowe rozwiązanie: {{CentrujWzór|<MATH> S = - Et + p_{\theta}\theta + \int \sqrt{ 2m\sigma^{2}E + \frac{\beta - 2m\sigma^{2}a(\xi)}{\xi^{2}-1} - \frac{p_{\theta}^{2}}{(\xi^{2}-1)^{2}} }\,d\xi + \int \sqrt{ 2m\sigma^{2}E - \frac{\beta + 2m\sigma^{2}b(\eta)}{1-\eta^{2}} - \frac{p_{\theta}^{2}}{(1-\eta^{2})^{2}} }\,d\eta </MATH>|8.145}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> johb2l31qql7tlwpss7kvi68t1r75ca 0 20331 559073 555364 2026-10-11T02:03:36Z Persino 2851 559073 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}. One oznaczają współrzędne ciała w chwili {{Formuła|<MATH>t=0</MATH>}}; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> x_{i} = x_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.1}} Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje {{Formuła|<MATH>a_{j}</MATH>}}. Tę wielkość liczymy względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \frac{\partial x_{i}(a_{j},t)}{\partial t} = v_{i}(a_{j},t) </MATH>|9.2}} Opis prędkości dany wzorem {{LinkWzór|9.2}} nazywamy '''opisem według Lagrange’a'''. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = v_{i}(x_{l},t) </MATH>|9.3}} Opis dany wzorem {{LinkWzór|9.3}} nazywamy '''opisem Eulera'''. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej '''trajektorii''', czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast '''linią prądu''' nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1} : dx_{2} : dx_{3} = v_{1} : v_{2} : v_{3} </MATH>|9.4}} Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości {{LinkWzór|9.2}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i} = \frac{\partial v_{i}(a_{l},t)}{\partial t} = b_{i}(a_{l},t) </MATH>|9.5}} Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH> b_{i}(x_{l},t) = \frac{dv_{i}(x_{l},t)}{dt} = \sum_{r=1}^{3} \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial x_{r}} \frac{\partial x_{r}(a_{j},t)}{\partial t} + \frac{\partial v_{i}(x_{l},t)}{\partial t} </MATH>|9.6}} Wektorowo związek {{LinkWzór|9.6}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{b} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\,\vec{v} </MATH>|9.7}} Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie {{LinkWzór|9.7}} jest słuszna dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}}, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się '''pochodną substancjalną'''. == Definicja źródeł i wirów == Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(\vec{r},t)</MATH>}}, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Wielkość tę definiujemy jako '''strumień pola prędkości''': {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.8}} Infinitezymalny wektor {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta. Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{div}\vec{v}=0 </MATH>|9.9}} Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} \neq 0 </MATH>|9.10}} Jeśli {{Formuła|<MATH>Q>0</MATH>}}, ciecz '''wypływa''' z powierzchni; jeśli {{Formuła|<MATH>Q<0</MATH>}}, ciecz '''wpływa''' do wnętrza. Wielkość {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} nazywamy '''wydajnością źródła'''. Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int_{V} q\, dV </MATH>|9.11}} Porównując {{LinkWzór|9.10}} i {{LinkWzór|9.11}}, korzystając z twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{\Sigma}\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; \int_{V}\operatorname{div}\vec{v}\,dV = \int_{V} q\, dV \;\Rightarrow\; q = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.12}} ---- Wprowadzamy teraz wielkość opisującą '''wirowość pola prędkości'''. Definiujemy ją poprzez '''cyrkulację''': {{CentrujWzór|<MATH> \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{r} = \int_{S}\operatorname{rot}\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.13}} Cyrkulacja {{Formuła|<MATH>\Gamma</MATH>}} jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} </MATH>|9.14}} nazywamy '''wirami''' lub '''wirowością'''. Aby udowodnić {{LinkWzór|9.14}}, korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|9.15}} Prędkość kątową zapisujemy jako {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}=(\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z})</MATH>}} i obliczamy rotację: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}(\vec{\omega}\times\vec{r}) = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\nabla_{j}\omega_{l}x_{m} = \frac{1}{2}(3\omega_{i}-\omega_{i}) = \omega_{i} = \vec{\omega} </MATH>|9.16}} Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy '''ruch wirowy''', czyli: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\neq 0</MATH>}}. Strumień wirów definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{S}\vec{\omega}\cdot d\vec{S} </MATH>|9.17}} == Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej == Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|9.18}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{v}=0</MATH>|9.19}} }} Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, który definiujemy jako gradient: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \operatorname{grad}\Phi </MATH>|9.20}} Widzimy, że równanie {{LinkWzór|9.20}} jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości {{LinkWzór|9.19}} była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v} = \operatorname{rot}\operatorname{grad}\Phi = \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k}\Phi = \frac{1}{2} \left[ \epsilon_{ijk}\nabla_{j}\nabla_{k} + \epsilon_{ikj}\nabla_{k}\nabla_{j} \right]\Phi = 0 </MATH>|9.21}} Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>y</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = (v_{x}(x,y),\,v_{y}(x,y)) </MATH>|9.22}} Wprowadzamy funkcję prądu {{Formuła|<MATH>\Psi(x,y)</MATH>}}, definiując: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>v_{x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.23}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>v_{y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.24}} }} Definicje {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}} są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_{y}}{\partial y} = \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial y\partial x} = 0 </MATH>|9.25}} Wprowadźmy teraz wektor: {{Formuła|<MATH>\vec{A} = (0,\,0,\,\Psi)</MATH>}}. Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{A} = \left( \frac{\partial\Psi}{\partial y}, - \frac{\partial\Psi}{\partial x}, 0 \right) = \vec{v} </MATH>|9.26}} Łącząc definicję potencjału prędkości {{LinkWzór|9.20}} z definicją funkcji prądu, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \frac{\partial\Psi}{\partial y}</MATH>|9.27}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial\Psi}{\partial x}</MATH>|9.28}} }} Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną: {{CentrujWzór|<MATH> W(z) = \Phi(x,y) + i\,\Psi(x,y) </MATH>|9.29}} Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH> w = \frac{dW}{dz} = \frac{\partial(\Phi+i\Psi)}{\partial x} = v_{x} - i\,v_{y} </MATH>|9.30}} Zespolona prędkość sprzężona: {{CentrujWzór|<MATH> w^{*} = \left(\frac{dW}{dz}\right)^{*} = v_{x} + i\,v_{y} </MATH>|9.31}} Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial x}dx + \frac{\partial\Psi}{\partial y}dy = -\,\frac{\partial\Phi}{\partial y}dx + \frac{\partial\Phi}{\partial x}dy = -\,v_{y}dx + v_{x}dy </MATH>|9.32}} Na linii prądu zachodzi: {{Formuła|<MATH>dx : dy = v_{x} : v_{y}</MATH>}} Podstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH> d\Psi = -\,v_{y}\frac{v_{x}}{v_{y}}dy + v_{x}dy = -\,v_{x}dy + v_{x}dy = 0 </MATH>|9.32a}} Wniosek: * Wzdłuż linii prądu funkcja {{Formuła|<MATH>\Psi</MATH>}} jest stała. == Wprowadzenie tensora deformacji == Nowe położenie cząstki {{Formuła|<MATH>x_{i}</MATH>}} jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x_{i} = a_{i} + s_{i}</MATH>|9.33}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>dx_{i} = da_{i} + ds_{i}</MATH>|9.34}} }} Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie {{LinkWzór|9.34}} w zależności od różniczki {{Formuła|<MATH>da_{i}</MATH>}}. Pole {{Formuła|<MATH>s_{i}</MATH>}} jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych {{Formuła|<MATH>a_{i}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{j} = da_{j} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}}\,da_{i} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right)da_{i} </MATH>|9.35}} Tensor {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{j}}</MATH>}} nazywamy '''tensorem dystorsji''' lub '''tensorem przesunięć'''. Wyrażenie {{LinkWzór|9.35}} zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{j}dx_{j} - da_{j}da_{j} = \left( \delta_{ji} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \right) da_{i} \left( \delta_{jk} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{k} - da_{j}da_{j} </MATH>{{Br}}<MATH> = \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) da_{i}da_{k} = 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} </MATH>|9.36}} Wprowadzamy '''tensor deformacji''' {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}}, który jest symetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{i}} \frac{\partial s_{j}}{\partial a_{k}} \right) </MATH>|9.37}} ---- Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych: {{CentrujWzór|<MATH> da_{i} = dx_{i} - ds_{i} = \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right)dx_{k} </MATH>|9.38}} Różnica kwadratów odległości: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} - dl^{2} = dx_{i}dx_{i} - \left( \delta_{ij} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} \right) dx_{j} \left( \delta_{ik} - \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \right) dx_{k} = 2\overline{\epsilon}_{ik} </MATH>|9.39}} Tensor deformacji w układzie końcowym: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{i}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{k}} \right) </MATH>|9.40}} ---- Jeśli deformacje są małe {{Formuła|<MATH>\frac{\partial s_{l}}{\partial a_{i}} \ll 1</MATH>}}, możemy pominąć wyrazy kwadratowe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}}\right)</MATH>|9.41}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}}\right)</MATH>|9.42}} }} Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} - \frac{\partial s_{k}}{\partial a_{i}} \right) = \epsilon_{ik} + D_{ik} </MATH>|9.43}} Tensor asymetryczny {{Formuła|<MATH>D_{ik}</MATH>}} ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor: {{CentrujWzór|<MATH> D_{l} = \frac{1}{2}\epsilon_{lik}D_{ik} = -\frac{1}{2}\epsilon_{lki} \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}} </MATH>|9.44}} W postaci zwartej: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{D} = -\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s} </MATH>|9.45}} Tensor asymetryczny: {{CentrujWzór|<MATH> D_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & D_{12} & D_{13} \\ -D_{12} & 0 & D_{23} \\ -D_{13} & -D_{23} & 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & D_{3} & -D_{2} \\ -D_{3} & 0 & D_{1} \\ D_{2} & -D_{1} & 0 \end{bmatrix} </MATH>|9.46}} Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wokół osi równoległej do {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> ds_{i} = D_{ik}da_{k} = -\epsilon_{ijk}D_{l}a_{k} \;\Rightarrow\; d\vec{s} = -\vec{D}\times d\vec{a} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{s}\times d\vec{a} </MATH>|9.47}} == Tensor deformacji i jego sens fizyczny == Tensor deformacji {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}\;</MATH>}} opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić: * '''wydłużenia liniowe''' (odkształcenia normalne), * '''skręcenia i zmiany kątowe''' (odkształcenia postaciowe), * '''rozszerzalność objętościową''' (zmianę objętości elementu materiału). === Wydłużenie liniowe ciał fizycznych === Wydłużenie liniowe {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} ciał fizycznych nazywamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}-dl}{dl} </MATH>|9.48}} Z równania {{LinkWzór|9.36}} możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez {{Formuła|<MATH>dl^{2}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l}^{2} = dl^{2} + 2\epsilon_{ik}\,da_{i}da_{k} \;\Rightarrow\; \left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)^{2} = 1 + 2\epsilon_{ik} \frac{da_{i}}{dl} \frac{da_{k}}{dl} = 1 + 2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.49}} * gdzie {{Formuła|<MATH>e_{i}</MATH>}} są składowymi wektora jednostkowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}, określającego kierunek odkształcenia. W takim razie wielkość {{LinkWzór|9.48}} możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{d\tilde{l}}{dl} - 1 = \sqrt{1+2\epsilon_{ik}e_{i}e_{k}} - 1 = \epsilon_{ik}e_{i}e_{k} </MATH>|9.50}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{e}</MATH>}}. Tensor {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \begin{bmatrix} \epsilon_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \epsilon_{3} \end{bmatrix} </MATH>|9.51}} Wielkości {{Formuła|<MATH>\epsilon_{i}</MATH>}} występujące na przekątnej macierzy {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} są '''wartościami własnymi tensora deformacji''' i nazywamy je '''głównymi dylatacjami'''. === Skręcenia === {{Rysunek|Skręcenie_ciała_w_wyniku_deformacji.png|lk1|Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.}} Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{1} = \frac{d\vec{a}_{1}}{dl_{1}}</MATH>|9.52}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_{2} = \frac{d\vec{a}_{2}}{dl_{2}}</MATH>|9.53}} }} Określmy teraz kąt {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, którego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{\pi}{2} - \phi </MATH>|9.54}} Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}\,dx_{2i} = d\tilde{l}_{1}\,d\tilde{l}_{2}\cos\theta </MATH>|9.55}} gdzie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{1} = \sqrt{dx_{1i}dx_{1i}}</MATH>|9.56}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d\tilde{l}_{2} = \sqrt{dx_{2i}dx_{2i}}</MATH>|9.57}} }} Iloczyn {{Formuła|<MATH>dx_{1i}dx_{2i}</MATH>}} zapisujemy korzystając z {{LinkWzór|9.35}} oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe: {{CentrujWzór|<MATH> dx_{1i}dx_{2i} = \left(\delta_{ik} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{k}}\right)da_{1k} \left(\delta_{il} + \frac{\partial s_{i}}{\partial a_{l}}\right)da_{2l} = 2\epsilon_{kl}\,da_{1k}da_{2l} </MATH>|9.58}} Z definicji wydłużenia liniowego: {{CentrujWzór|<MATH> d\tilde{l} = (1+\epsilon)\,dl </MATH>|9.59}} Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Korzystając z {{LinkWzór|9.55}}, {{LinkWzór|9.58}} oraz {{LinkWzór|9.59}}: {{CentrujWzór|<MATH> \cos\theta = \frac{2\epsilon_{ik}\,\frac{da_{1i}}{dl_{1}}\frac{da_{2k}}{dl_{2}}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} = \frac{2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k}}{(1+\epsilon_{1})(1+\epsilon_{2})} \simeq 2\epsilon_{ik}e_{1i}e_{2k} </MATH>|9.60}} Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{1} = (1,0,0)</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{2} = (0,1,0)</MATH>}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos\theta = 2\epsilon_{12} = \gamma </MATH>|9.61}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}} nazywamy '''skręceniem'''. Dla małych skręceń (małych wartości kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}): {{CentrujWzór|<MATH> \sin\phi \simeq \phi = \gamma </MATH>|9.62}} === Przypadek rozszerzalności objętościowej === Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \frac{d\tilde{V}-dV}{dV} = \frac{d\tilde{V}}{dV} - 1 = \frac{dx_{1}}{da_{1}} \frac{dx_{2}}{da_{2}} \frac{dx_{3}}{da_{3}} - 1 </MATH>|9.63}} Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w {{LinkWzór|9.59}}, lecz tym razem korzystamy z zależności: {{Formuła|<MATH>dx_{i} = (1+\epsilon_{ii})\,da_{i}</MATH>}}. Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji {{LinkWzór|9.41}}): {{CentrujWzór|<MATH> \theta = (1+\epsilon_{11})(1+\epsilon_{22})(1+\epsilon_{33}) - 1 \simeq \epsilon_{11} + \epsilon_{22} + \epsilon_{33} = \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{k}} = \operatorname{div}\vec{s} </MATH>|9.64}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\theta\;</MATH>}} nazywamy '''dylatacją objętościową''' lub '''rozszerzalnością objętościową'''. Jest ona równa '''śladzie tensora deformacji''', czyli sumie jego elementów diagonalnych. === Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą === Tensor deformacji możemy rozłożyć na dwie części: * część '''niezmieniającą objętości''' (o zerowym śladzie), * część '''zmieniającą objętość''' (izotropową). Rozkład ten zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ik} = \tilde{\epsilon}_{ik} + \frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik} </MATH>|9.65}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} — część deviatorowa (bezśladowa), * {{Formuła|<MATH>\theta = \epsilon_{ll}</MATH>}} — dylatacja objętościowa (ślad tensora deformacji). ---- Możemy zauważyć, że tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} ma '''zerowy ślad'''. Dowód: {{CentrujWzór|<MATH> \tilde{\epsilon}_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\,\delta_{ll} = \epsilon_{ll} - \frac{1}{3}\epsilon_{ll}\cdot 3 = 0 </MATH>|9.66}} Zatem: * tensor {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} opisuje '''deformacje niezmieniające objętości''' (czyste odkształcenia postaciowe), * człon {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} opisuje '''zmiany objętości''' — rozciąganie lub kurczenie ciała. ---- Wniosek: * '''Deviator tensora deformacji''' {{Formuła|<MATH>\tilde{\epsilon}_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę kształtu przy zachowaniu objętości, * '''część kulista''' {{Formuła|<MATH>\frac{1}{3}\theta\,\delta_{ik}</MATH>}} odpowiada za zmianę objętości ciała. Rozkład ten jest fundamentalny w mechanice ośrodków ciągłych, ponieważ pozwala oddzielić efekty geometryczne deformacji od efektów związanych z rozszerzalnością materiału. == Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji == Mamy tensor prędkości przesunięć {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{k}}</MATH>}}, który możemy rozłożyć na część '''symetryczną''' i '''asymetryczną''': {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.67}} Pierwszy człon jest '''symetryczny''' (nie zmienia się przy zamianie indeksów), drugi — '''antysymetryczny''' (zmienia znak przy zamianie indeksów). === Tensor prędkości deformacji === Symetryczną część tensora prędkości przesunięć nazywamy '''tensorem prędkości deformacji''': {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ik} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) </MATH>|9.68}} Ślad tego tensora: {{CentrujWzór|<MATH> \Nu_{ll} = \frac{\partial v_{l}}{\partial x_{l}} = \operatorname{div}\vec{v} </MATH>|9.69}} opisuje '''szybkość zmiany objętości''' elementu materiału. === Związek tensora prędkości deformacji z tensorem deformacji === W przybliżeniu liniowym prędkość przesunięcia jest pochodną czasową pola przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i} = \dot{s}_{i} = \frac{\partial s_{i}(a_{i},t)}{\partial t} \simeq \frac{\partial s_{i}(x_{i},t)}{\partial t} </MATH>|s2}} Wyraz konwekcyjny {{Formuła|<MATH>(v_{r}\nabla_{r})s_{i}</MATH>}} pomijamy jako bardzo mały. Pochodna czasowa tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\epsilon_{ik}}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial s_{k}}{\partial x_{i}} \right) \simeq \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) = \Nu_{ik} </MATH>|9.70}} Wniosek: * Tensor prędkości deformacji jest czasową pochodną tensora deformacji. === Część asymetryczna — prędkość obrotu elementu materiału === Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} - \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} \right) \right] = \frac{1}{2}\epsilon_{lik} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec{v} = \vec{\omega} </MATH>|9.71}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\epsilon_{lik}</MATH>}} — symbol Levi-Civita, * {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} — '''wektor prędkości kątowej''' elementu materiału. Wniosek: * Część antysymetryczna tensora prędkości przesunięć opisuje lokalny obrót elementu materiału i jest równa połowie rotacji pola prędkości. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> nrzpi7a44y03nggv2aumgm8rix5qq2k 0 20354 559074 555429 2026-10-11T02:06:04Z Persino 2851 559074 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> W mechanice ośrodków ciągłych podstawowe równania ruchu wynikają z trzech globalnych zasad: * zachowania masy, * zachowania pędu, * zachowania momentu pędu. W tej sekcji wyprowadzimy ich '''lokalne postacie''', które są równaniami różniczkowymi obowiązującymi w każdym punkcie ośrodka. == Lokalna zasada zachowania masy == Będziemy liczyli ilość wypływającej masy w jednostce czasu. Ilość masy opuszczającej daną objętość przedstawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} oraz wektora prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, które określają strumień masy przez powierzchnię zamkniętą: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{dm}{dt} = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} </MATH>|10.1}} Znak minus oznacza, że masa '''ubywa''' z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Całkowita masa znajdująca się w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m = \int_{V} \rho\, dV </MATH>|10.2}} Podstawiamy {{LinkWzór|10.2}} do {{LinkWzór|10.1}} i korzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{d}{dt} \int_{V} \rho\, dV = \oint_{\Sigma} \rho\,\vec{v}\cdot d\vec{S} \Rightarrow \int_{V} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) \right] dV = 0 </MATH>|10.3}} Ponieważ całkowanie odbywa się po '''dowolnej''' objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}}, jedyną możliwością jest, że funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = 0 </MATH>|10.4}} Równość {{LinkWzór|10.4}} nazywamy '''lokalną zasadą zachowania masy''' lub '''równaniem ciągłości'''. == Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów == Wprowadzimy wektor naprężeń, który pojawia się w drugiej zasadzie dynamiki Newtona jako siła powierzchniowa działająca na element materiału: {{CentrujWzór|<MATH> P_{i} = \sigma_{ij}\,n_{j} </MATH>|10.5}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} — tensor naprężeń Cauchy’ego, * {{Formuła|<MATH>n_{j}</MATH>}} — składowe wersora normalnego do powierzchni. === Całkowita siła powierzchniowa === Całkowita siła działająca na ciało w objętości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wynika z całkowania naprężeń po powierzchni. Wektor siły powierzchniowej {{Formuła|<MATH>P_i</MATH>}} jest zdefiniowany jako rzut tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} na kierunek normalny {{Formuła|<MATH>n_j</MATH>}} do powierzchni. Wykorzystujemy infinitezymalny wektor powierzchni {{Formuła|<MATH>dS_j = n_j\, dS</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} P_{i}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij} n_{j}\, dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\, dS_{j} = \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>|10.6}} W ostatnim przejściu zastosowaliśmy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, które pozwala zamienić całkę powierzchniową na objętościową. Równość {{LinkWzór|10.6}} jest kluczowa w wyprowadzeniu lokalnej postaci, ponieważ pokazuje, że całkowita siła powierzchniowa działająca na objętość może być wyrażona przez dywergencję tensora naprężeń w każdym punkcie ośrodka. === Siły masowe === Siły działające na całą objętość opisujemy przez wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}}. Wektor ten określa siłę przypadającą na jednostkę masy, dlatego całkowitą siłę działającą na element objętościowy wyrażamy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f} = \frac{d\vec{F}}{dV\,\rho} \;\Rightarrow\; d\vec{F} = \rho\,\vec{f}\, dV \;\Rightarrow\; \vec{F} = \int_{V} \rho\,\vec{f}\, dV </MATH>|10.7}} W polu grawitacyjnym wektor sił masowych {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} jest po prostu przyspieszeniem ziemskim, czyli {{Formuła|<MATH>\vec{f} = \vec{g}</MATH>}}. Wynik {{LinkWzór|10.7}} jest kluczowy przy formułowaniu, ponieważ pokazuje, że siły masowe działają na każdy punkt ośrodka proporcjonalnie do jego gęstości. === Druga zasada dynamiki dla elementu materiału === Masa infinitezymalnego elementu materiału wynosi: {{Formuła|<MATH>dm = \rho\, dV</MATH>}}. Druga zasada dynamiki Newtona dla tego elementu przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\, dV\,\frac{dv_{i}}{dt} = dF^{(c)}_{i} \;\Rightarrow\; \int_{V} \rho\,\frac{dv_{i}}{dt}\, dV = F^{(c)}_{i} </MATH>|10.8}} Siła całkowita działająca na objętość składa się z sił masowych oraz sił powierzchniowych, które wcześniej zapisaliśmy jako dywergencję tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> F^{(c)}_{i} = \int_{V} \rho f_{i}\, dV + \int_{V} \sigma_{ij,j}\, dV </MATH>}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.8}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{V} \left( \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} \right) dV = 0 </MATH>|10.9}} Ponieważ całka jest po '''dowolnej''' objętości, funkcja podcałkowa musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} - \rho f_{i} - \sigma_{ij,j} = 0 </MATH>|10.10}} Równość {{LinkWzór|10.10}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla ośrodków ciągłych i stanowi podstawę lokalnej zasady zachowania pędu. === Przekształcenie pochodnej substancjalnej === Pochodną substancjalną rozwijamy według definicji pochodnej zupełnej wzdłuż trajektorii cząstki płynu: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + \rho\,\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}\,v_{j} </MATH>}} Po przekształceniach, wykorzystując równanie ciągłości oraz własności operatora dywergencji, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}}(\rho v_{i}v_{j}) </MATH>|10.11}} Podstawiamy to do równania {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho v_{i}v_{j} - \sigma_{ij} \right] = \rho f_{i} </MATH>|10.12}} Równość {{LinkWzór|10.12}} jest lokalną postacią i stanowi fundament hydrodynamiki oraz mechaniki ośrodków ciągłych. === Rozkład tensora naprężeń === Tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} rozkładamy na część izotropową (ciśnienie) oraz część deviatorową (odpowiedzialną za tarcie wewnętrzne). Część izotropowa jest proporcjonalna do delty Kroneckera, natomiast część deviatorowa opisuje odkształcenia postaciowe: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = -\,p\,\delta_{ij} + R_{ij} </MATH>|10.13}} Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, czyli {{Formuła|<MATH>R_{ij} = 0</MATH>}}, tensor naprężeń jest czysto izotropowy i sprowadza się do ciśnienia. W takim przypadku równanie ruchu przyjmuje postać równania Eulera dla płynu idealnego: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\,\frac{d\vec{v}}{dt} = \rho\,\vec{f} - \operatorname{grad}p </MATH>|10.14}} Równość {{LinkWzór|10.14}} jest lokalną postacią drugiej zasady dynamiki Newtona dla płynu idealnego i stanowi podstawę równania Eulera. == Moment sił w dynamice materiałów == Wzór {{LinkWzór|10.12}}, zapisany dla współrzędnej {{Formuła|<MATH>i</MATH>}}, charakteryzuje pewien wektor o trzech składowych. Mnożymy ten wektor lewostronnie przez wektor wodzący {{Formuła|<MATH>x_{k}</MATH>}} danego punktu w przestrzeni, z użyciem symbolu Leviego–Civity: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki}x_{k} \left[ \frac{\partial}{\partial t}(\rho v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = \epsilon_{lki}x_{k}\rho f_{i} </MATH>|10.15}} Korzystając z definicji momentu sił {{Formuła|<MATH>M_{l}</MATH>}} oraz prawa o pochodnej iloczynu, przekształcamy {{LinkWzór|10.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] + \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l} </MATH>|10.16}} Rozważmy teraz trzeci wyraz, korzystając z własności symbolu Leviego–Civity i symetrii tensora naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{lki} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \epsilon_{lji} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] </MATH>}} {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) + \epsilon_{lij}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = \frac{1}{2} \Big[ \epsilon_{lji}\left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) - \epsilon_{lji}\left(\rho v_{j}v_{i}-\sigma_{ji}\right) \Big] = 0 </MATH>|10.17}} Wyrażenie {{LinkWzór|10.17}} jest tożsamościowo równe zero, ponieważ tensor {{Formuła|<MATH>\sigma_{ij}</MATH>}} jest symetryczny. Wobec tego równanie {{LinkWzór|10.16}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_{lki}x_{k}\rho v_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \epsilon_{lki}x_{k} \left(\rho v_{i}v_{j}-\sigma_{ij}\right) \right] = M_{l} </MATH>|10.18}} Równość {{LinkWzór|10.18}} jest lokalną postacią '''zasady zachowania momentu pędu''' w mechanice ośrodków ciągłych zasada zachowania momentu pędu. == Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów == W dynamice ośrodków ciągłych jednym z najważniejszych zagadnień jest bilans energii mechanicznej. Pozwala on zrozumieć, jak energia kinetyczna, potencjalna oraz energia sprężysta zmieniają się w czasie w wyniku działania sił masowych, naprężeń oraz deformacji. Punktem wyjścia jest równanie ruchu {{LinkWzór|10.10}}, które mnożymy przez współrzędną prędkości {{Formuła|<MATH>v_{i}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie wejściowe: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\,\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.19}} Równanie to jest podstawą do wyprowadzenia pełnego bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu kinetycznego === Korzystamy z równania ciągłości {{LinkWzór|10.4}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu. Po podstawieniu definicji pochodnej całkowitej otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho\frac{dv_{i}}{dt} = v_{i}\rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \right) = \frac{1}{2}\rho\frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v_{j}\frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Z twierdzenia o pochodnej iloczynu oraz równania ciągłości otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> = \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2}v_{j})}{\partial x_{j}} </MATH>|10.20}} co oznacza, że człon kinetyczny można zapisać jako sumę zmiany energii kinetycznej oraz jej strumienia. Równość {{LinkWzór|10.20}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej. === Przekształcenie członu naprężeniowego === Z twierdzenia o pochodnej iloczynu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial\!\left(v_{i}\sigma_{ij}\right)}{\partial x_{j}} - \sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.21}} Pierwszy człon jest strumieniem pracy naprężeń, drugi — pracą wewnętrzną wykonywaną przez naprężenia. Równość {{LinkWzór|10.21}} jest kluczowa przy wyprowadzaniu bilansu energii mechanicznej, ponieważ oddziela część transportową energii od części odpowiedzialnej za jej konwersję na energię sprężystą lub cieplną. === Złożenie wyników === Podstawiamy {{LinkWzór|10.20}} i {{LinkWzór|10.21}} do {{LinkWzór|10.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\frac{\partial(\rho v^{2})}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \frac{\rho}{2}v^{2}v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.22}} Wektor pod znakiem dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\rho v^{2}v_{i} - \sigma_{ij}v_{i} </MATH>|10.23}} nazywamy '''wektorem Poyntinga''', który opisuje strumień energii mechanicznej. Wynik {{LinkWzór|10.22}} jest kluczowym krokiem w wyprowadzaniu pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ łączy część kinetyczną i naprężeniową w jedną spójną strukturę bilansową. === Siły potencjalne === Siłę masową zapisujemy przez potencjał objętościowy: {{CentrujWzór|<MATH> f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}} </MATH>|10.24}} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\rho f_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho U v_{i}) - \frac{\partial(\rho U)}{\partial t} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.25}} Podstawiamy do {{LinkWzór|10.22}} i grupujemy wyrazy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho U \right)v_{j} - \sigma_{ij}v_{i} \right] = -\sigma_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + \rho\frac{\partial U}{\partial t} </MATH>|10.26}} Równość {{LinkWzór|10.26}} jest kluczowym krokiem w budowie pełnego równania energii mechanicznej, ponieważ wprowadza energię potencjalną pola sił do bilansu energii ośrodka ciągłego. === Praca sił naprężeń === Przesunięcie: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta s_{i} = s_{i} - s'_{i} </MATH>|10.27}} Praca sił naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \oint_{S} P_{i}\Delta s_{i}\,dS = \oint_{S} \sigma_{ij}\Delta s_{i}\,dS_{j} </MATH>|10.28}} Korzystając z symetrii tensora naprężeń i definicji tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> (\sigma_{ij}s_{i})_{,j} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} </MATH>|10.29}} Praca: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta W = \int_{V} \sigma_{ij}\Delta\epsilon_{ij}\, dV </MATH>|10.30}} Równość {{LinkWzór|10.30}} jest podstawą do wprowadzenia funkcji energii odkształcenia, która pozwala zapisać pracę naprężeń w postaci zmiany energii sprężystej ośrodka. === Funkcja energii odkształcenia === Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial t} = \sigma_{ij} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.31}} Podstawiamy do równania energii: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\sigma_{ij}\dot{s}_{i}) = - \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \dot{s}_{i}\rho f_{i} </MATH>|10.32}} Po uproszczeniach (małe deformacje): {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\dot{s}_{j} - \sigma_{ij}\dot{s}_{i} \right) = 0 </MATH>|10.33}} Całkujemy po objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt} \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} + \Phi - \rho f_{i}s_{i} \right)dV = 0 </MATH>|10.34}} === Energia kinetyczna i potencjalna === {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{1}{2} \int_{V} \rho\,\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}\, dV </MATH>|10.35}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> U = \int_{V} (\Phi-\rho f_{i}s_{i})\, dV </MATH>|10.36}} }} Całkowita energia: {{CentrujWzór|<MATH> E = T + U = \operatorname{const} </MATH>|10.37}} === Funkcja ciśnienia === {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P} = \int\frac{dp}{\rho(p)} </MATH>|10.38}} {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\mathcal{P}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{j}} </MATH>|10.39}} Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać część ciśnieniową tensora naprężeń w formie zgodnej z równaniem ciągłości. Dzięki temu człon {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} może zostać zastąpiony wyrażeniem bilansowym, zawierającym zarówno strumień energii, jak i jej lokalną zmianę. To przekształcenie jest niezbędne przy budowie ostatecznego równania energii mechanicznej. === Związek z równaniem ciągłości === {{CentrujWzór|<MATH> -\,\frac{\partial p}{\partial x_{i}}v_{i} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} </MATH>|10.40}} {{CentrujWzór|<MATH> \rho\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.41}} Równości {{LinkWzór|10.40}}–{{LinkWzór|10.41}} pokazują, że część ciśnieniowa tensora naprężeń może zostać przepisana w formie zgodnej z równaniem ciągłości {{LinkWzór|10.4}}. Wprowadzenie funkcji ciśnienia {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala na zamianę członu {{Formuła|<MATH>-\partial p/\partial x_{i}\,v_{i}</MATH>}} na wyrażenie, które ma strukturę bilansową — z członem strumieniowym oraz członem lokalnej zmiany energii. To przekształcenie jest niezbędne, aby otrzymać spójną postać ostatecznego równania energii mechanicznej. === Część ciśnieniowa tensora naprężeń === {{CentrujWzór|<MATH> v_{i}\frac{\partial\sigma^{(p)}_{ij}}{\partial x_{j}} = -\,\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\rho\mathcal{P}v_{i}) - \frac{\partial(\rho\mathcal{P})}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial t} </MATH>|10.42}} Równość {{LinkWzór|10.42}} przedstawia wkład izotropowej części tensora naprężeń — tej związanej z ciśnieniem — do bilansu energii mechanicznej. Wprowadzenie funkcji {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}</MATH>}} pozwala przepisać człon ciśnieniowy w formie zgodnej z równaniem ciągłości, co jest kluczowe przy budowie równania energii mechanicznej. === Ostateczne równanie energii mechanicznej === {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\rho}{2}v^{2} + \rho\mathcal{P} - p + \rho U \right) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} \left[ \rho\left( \frac{v^{2}}{2} + \mathcal{P} + U \right)v_{j} - R_{ij}v_{j} \right] = -\,R_{ij}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} </MATH>|10.43}} Lewa strona opisuje '''zmianę energii mechanicznej''', prawa — '''dyssypację energii na ciepło'''. Równanie {{LinkWzór|10.43}} jest pełnym bilansem energii mechanicznej w mechanice ośrodków ciągłych i stanowi fundament równania Naviera–Stokesa. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> e5bo0vqnf3l80k4elccui285pignlmn 0 20361 559075 556091 2026-10-11T02:07:11Z Persino 2851 559075 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Wprowadzenie do równań materiałowych == {{Rysunek|Prawo Hookea.svg|lk1|Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a}} W tym rozdziale zajmiemy się '''równaniami materiałowymi''', które opisują zależność między naprężeniami a odkształceniami w ciałach fizycznych. Równania te określają, jak materiał reaguje na działające na niego siły — czy zachowuje się sprężyście, plastycznie, czy ulega zniszczeniu. Rysunek obok przedstawia zależność odkształceń od naprężeń oraz zakres stosowalności '''prawa Hooke’a'''. Widzimy na nim cztery charakterystyczne obszary: * '''zakres obowiązywania prawa Hooke’a''' — odkształcenia są proporcjonalne do naprężeń, materiał zachowuje się sprężyście, * '''nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych''' — zależność naprężenie–odkształcenie przestaje być liniowa, ale materiał wraca do pierwotnego kształtu, * '''zakres odkształceń plastycznych''' — po usunięciu naprężenia materiał nie wraca do pierwotnego kształtu, pojawia się trwała deformacja, * '''zakres zerwania próbki''' — naprężenie przekracza wytrzymałość materiału i dochodzi do jego zniszczenia. W kolejnych podrozdziałach: * wprowadzimy '''równania sprężystości liniowej''', * pokażemy zależność tensora naprężeń od temperatury w przybliżeniu liniowym, * a na końcu przedstawimy '''twierdzenie o tarciu wewnętrznym''' i jego wpływ na tensor naprężeń. Całość stanowi fundament '''mechaniki materiałów''', pozwalając opisać zachowanie ciał pod obciążeniem w sposób lokalny i tensorowy. == Prawo Hooke'a == W zakresie sprężystym tensor naprężeń jest proporcjonalny do tensora deformacji: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = c_{ijkl}\,\epsilon_{kl} </MATH>|11.1}} Współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} nazywamy '''modułami sprężystymi'''. Ponieważ zarówno tensor naprężeń, jak i tensor deformacji są symetryczne, otrzymujemy warunki symetrii: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{jikl} = c_{ijlk} = c_{jilk} </MATH>|11.2}} === Inne parametry materiałowe === ==== Funkcja energii odkształcenia ==== Wprowadzamy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, analogicznie jak w {{LinkWzór|10.31|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{ij}} = \sigma_{ij} = c_{ijkl}\epsilon_{kl} </MATH>|11.3}} Różniczkujemy ponownie względem {{Formuła|<MATH>\epsilon_{kl}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{ij}\partial\epsilon_{kl}} = c_{ijkl} \qquad\wedge\qquad \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\epsilon_{kl}\partial\epsilon_{ij}} = c_{klij} </MATH>|11.4}} Z przemienności pochodnych: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = c_{klij} </MATH>|11.4a}} ==== Postać energii sprężystej ==== Funkcja energii sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}\, c_{ijkl}\, \epsilon_{ij}\epsilon_{kl} </MATH>|11.5b}} Sprawdzamy zgodność z {{LinkWzór|11.3}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\Phi}{\partial\epsilon_{sm}} = \frac{1}{2}c_{ijsm}\epsilon_{ij} + \frac{1}{2}c_{smkl}\epsilon_{kl} = c_{smij}\epsilon_{ij} </MATH>|11.5c}} co potwierdza poprawność definicji. ==== Izotropowy tensor sprężystości ==== Dla materiałów izotropowych tensor {{Formuła|<MATH>c_{ijkl}</MATH>}} musi być zbudowany z delt Kroneckera: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\,\delta_{il}\delta_{jk} </MATH>|11.5}} Z warunków symetrii {{LinkWzór|11.2}} i {{LinkWzór|11.4a}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \nu=\mu </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> c_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + 2\mu\,\delta_{ik}\delta_{jl} </MATH>|11.5a}} ==== Tensor naprężeń dla materiału izotropowego ==== Podstawiamy {{LinkWzór|11.5a}} do prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.1}}: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} </MATH>|11.6}} Ślad tensora naprężeń: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{ll} = \frac{\sigma_{ll}}{2\mu+3\lambda} </MATH>|11.7}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.6}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}\, \delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.8}} ==== Postać z nowymi współczynnikami ==== Wprowadzamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu'=\frac{1}{4\mu}</MATH>|11.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda'=-\frac{\lambda}{2\mu(2\mu+3\lambda)}</MATH>|11.11}} }} Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ij} = 2\mu'\,\sigma_{ij} + \lambda'\,\delta_{ij}\sigma_{ll} </MATH>|11.9}} === Wydłużenie liniowe === {{Rysunek|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.png|lk0|Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.}} Ponieważ według rysunku jedynym naprężeniem działającym na ciało jest naprężenie {{Formuła|<MATH>P</MATH>}}, to z definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} jedynym niezerowym elementem tensora naprężeń jest: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{11}=P </MATH>}} Na podstawie wzoru Hooke’a w postaci {{LinkWzór|11.9}} tensory deformacji przyjmują postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{x}=\epsilon_{11}=(2\mu' + \lambda')\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{y}=\epsilon_{22}=\lambda'\,\sigma_{11} \\ \epsilon_{z}=\epsilon_{33}=\lambda'\,\sigma_{11} \end{cases} </MATH>|11.12}} ==== Moduł Younga ==== Definicja modułu Younga: {{CentrujWzór|<MATH> P=\sigma_{11}=E\,\epsilon_{x} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma_{11}}{\epsilon_{x}} = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.13}} ==== Iloraz Poissona ==== Iloraz Poissona definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \nu = - \frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{x}} = - \frac{\lambda'}{2\mu' + \lambda'} </MATH>|11.14}} ==== Wyznaczenie {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>\lambda'</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu'</MATH>}} ==== Korzystamy z definicji: {{LinkWzór|11.10}} i {{LinkWzór|11.11}}, podstawiamy do {{LinkWzór|11.13}} i {{LinkWzór|11.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> E = \frac{1}{2\mu' + \lambda'} = \frac{\mu(2\mu+3\lambda)}{\lambda+\mu} </MATH>|11.15}} {{CentrujWzór|<MATH> \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} </MATH>|11.16}} ==== Wyznaczenie parametrów Lamego {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} z {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} ==== Z {{LinkWzór|11.15}}: {{CentrujWzór|<MATH> E(\lambda+\mu) = \mu(2\mu+3\lambda) \Rightarrow \lambda = \frac{2\mu^{2}-E\mu}{E-3\mu} </MATH>|11.17}} Z {{LinkWzór|11.16}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu(\lambda+\mu)=\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2\nu\mu}{1-2\nu} </MATH>|11.18}} Porównując {{LinkWzór|11.17}} i {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> 2\nu\mu( E - 3\mu ) = (1-2\nu)(2\mu^{2}-E\mu) </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.19}} Podstawiamy do {{LinkWzór|11.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lambda = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} </MATH>|11.20}} === Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa === Wzory na parametry {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} {{LinkWzór|11.19}} oraz {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} {{LinkWzór|11.20}} są końcowymi zależnościami pozwalającymi wyznaczyć parametry Lamego na podstawie modułu Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} {{LinkWzór|11.13}} oraz ilorazu Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}} {{LinkWzór|11.14}}. Dla tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} możemy wyrazić jego ślad, korzystając z postaci tensora naprężeń dla materiałów izotropowych {{LinkWzór|11.7}} oraz zależności na współczynnik rozszerzalności objętościowej {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} {{LinkWzór|9.64|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, przy założeniu braku tarcia wewnętrznego: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ll} = -3p = (2\mu+3\lambda)\epsilon_{ll} = (2\mu+3\lambda)\theta </MATH>}} Stąd: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{2\mu+3\lambda}{3}\,\theta </MATH>}} Podstawiamy zależności {{LinkWzór|11.19}} i {{LinkWzór|11.20}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = \left( \frac{2}{3}\frac{E}{2(1+\nu)} + \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \right)\theta </MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH> p = \frac{E}{3(1-2\nu)}\,\theta </MATH>|11.21}} ==== Moduł kompresji ==== Wprowadzamy '''moduł kompresji''' {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, definiowany jako stosunek ciśnienia do względnej zmiany objętości: {{CentrujWzór|<MATH> \kappa = \frac{p}{\theta} = \frac{E}{3(1-2\nu)} </MATH>|11.23}} Moduł kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest więc w pełni określony przez moduł Younga {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} oraz iloraz Poissona {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}. === Skręcenia === {{Rysunek|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.png|lk2|Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.}} Niech mamy tensor naprężeń {{Formuła|<MATH>\sigma_{12}</MATH>}}. Z definicji naprężeń dla materiału izotropowego {{LinkWzór|11.6}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{12} = 2\mu\,\epsilon_{12} </MATH>|11.24}} Wzór końcowy na skręcenie (kąt odkształcenia postaciowego) {{LinkWzór|9.61|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} możemy wstawić do {{LinkWzór|11.24}}: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{12} = \mu\,\gamma </MATH>|11.25}} Współczynnik sprężystości postaciowej {{Formuła|<MATH>G</MATH>}} jest równy parametrowi Lamego {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. Zależność tę możemy wyrazić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|11.19}}: {{CentrujWzór|<MATH> \mu = G = \frac{E}{2(1+\nu)} </MATH>|11.26}} == Rozszerzalność temperaturowa == Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę. Dlatego do tensora naprężeń {{LinkWzór|11.6}} należy dodać dodatkowy człon związany z rozszerzalnością cieplną. Całkowity tensor naprężeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\,\epsilon_{ij} + \lambda\,\delta_{ij}\epsilon_{ll} - \alpha\,\kappa\,\delta_{ij}(T - T_{0}) </MATH>|11.27}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}} — współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej, * {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} — moduł kompresji {{LinkWzór|11.23}}, * {{Formuła|<MATH>T</MATH>}} — aktualna temperatura, * {{Formuła|<MATH>T_{0}</MATH>}} — temperatura odniesienia. === Względna zmiana objętości wywołana temperaturą === Wprowadzamy wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \theta = \alpha\,(T - T_{0}) </MATH>|11.28}} która opisuje '''względną zmianę objętości''' wywołaną zmianą temperatury. Wtedy człon temperaturowy w tensorze naprężeń można interpretować jako: * naprężenie hydrostatyczne wywołane rozszerzalnością cieplną, * proporcjonalne do modułu kompresji {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, * działające izotropowo (bo zawiera {{Formuła|<MATH>\delta_{ij}</MATH>}}). == Tensorowa postać prawa tarcia == Niech tensor tarcia {{Formuła|<MATH>R_{ij}</MATH>}} będzie zapisany przy pomocy tensora prędkości {{Formuła|<MATH>\Nu_{jl}</MATH>}} za pomocą współczynników {{Formuła|<MATH>a_{ikjl}</MATH>}}, które zachowują się analogicznie jak współczynniki {{Formuła|<MATH>c_{ikjl}</MATH>}} w prawie Hooke’a. Prawo tarcia zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = a_{ikjl}\,\Nu_{jl} </MATH>|11.29}} Tensor tarcia można również zdefiniować w postaci zależnej od tensora prędkości {{Formuła|<MATH>\Nu_{jl}</MATH>}} oraz współczynników lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = 2\eta\,\Nu_{ik} + \xi\,\delta_{ik}\,\Nu_{ll} </MATH>|11.30}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} — lepkość dynamiczna (lepkość ścinania), * {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} — lepkość objętościowa (lepkość druga). === Ślad tensora tarcia === Załóżmy, że tensor tarcia ma postać hydrostatyczną: {{CentrujWzór|<MATH> R_{ik} = -\,\delta_{ik}\,p' </MATH>}} Wtedy ślad tensora tarcia z {{LinkWzór|11.30}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> -3p' = (2\eta + 3\xi)\,\Nu_{kk} </MATH>|11.31}} === Warunek Stokesa === Na ogół przyjmuje się, że ślad tensora tarcia jest równy zero. Warunek ten prowadzi — zgodnie ze Stokesem — do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości: {{CentrujWzór|<MATH> \xi = -\frac{2}{3}\,\eta </MATH>|11.32}} === Interpretacja ciśnienia lepkościowego === Wielkość {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}}, zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> p' = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right)\Nu_{kk} = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right) \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{k}} = -\left( \frac{2}{3}\eta + \xi \right)\operatorname{div}\vec{v} </MATH>|11.33}} Widzimy więc, że: * dla warunku Stokesa {{LinkWzór|11.32}} mamy {{Formuła|<MATH>p'=0</MATH>}}, * dla płynu '''nieściśliwego''' ({{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}}) również {{Formuła|<MATH>p'=0</MATH>}}. Oznacza to, że ciśnienie lepkościowe pojawia się wyłącznie w płynach '''ściśliwych''' lub w sytuacjach, gdy warunek Stokesa nie jest spełniony. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> c1d4igcjjifb2chjsemvex3cm9tr4bn 0 20370 559076 555358 2026-10-11T02:09:09Z Persino 2851 559076 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równania równowagi sprężystej (równania Lamego) == Rozpatrzmy teraz równość {{LinkWzór|10.12|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}, pomijając w niej wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości (drugi wyraz pod pochodną cząstkową względem współrzędnej) oraz zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i oznaczamy ją przez {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}. Otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.1}} Korzystamy z definicji tensora naprężeń z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor_napięć_a_w_tym_tensor_tarcia,_a_prawo_Hooke'a}} oraz z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane_ciała_i_ich_opis_kinematyczny}}. Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH> \sigma_{ij} = 2\mu\cdot\frac{1}{2} \left( \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}} \right) + \lambda\,\delta_{ij}\frac{\partial s_{l}}{\partial x_{l}} </MATH>}} do {{LinkWzór|12.1}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial t^{2}} - \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} - (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = \rho_{0} f_{i} </MATH>|12.2}} Równość {{LinkWzór|12.2}}, określoną przy pomocy wektora deformacji {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}}, zapisujemy w postaci wektorowej, używając operatorów gradientu i dywergencji: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\,\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} - \mu\,\Delta\vec{s} - (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} = \rho_{0}\,\vec{f} </MATH>|12.3}} Jeśli ograniczymy się do problemów statycznych (całkowicie niezależnych od czasu), to z {{LinkWzór|12.3}} otrzymujemy równanie równowagi sprężystej: {{CentrujWzór|<MATH> \mu\,\Delta\vec{s} + (\mu+\lambda)\,\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\vec{s} + \rho_{0}\,\vec{f} = 0 </MATH>|12.4}} == Wałek skręceń w teorii sprężystości == {{Rysunek|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.png|lk1|Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.}} Rozpatrujemy klasyczny problem skręcania pręta kołowego, który jest jednym z fundamentalnych zagadnień teorii sprężystości. Pręt (wałek) jest zamocowany na jednej podstawie, natomiast na drugiej podstawie wymuszamy obrót o zadany kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}. Pole przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}</MATH>}} opisuje deformację materiału w każdym punkcie wałka. Na dolnej podstawie wałka skręceń (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) z powodów geometrycznych mamy: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i}=0 </MATH>}} co oznacza, że podstawa jest całkowicie unieruchomiona. Na górnej podstawie wektor przesunięcia jest zadany przez obrót o kąt {{Formuła|<MATH>\varphi_{0}</MATH>}}. Przemieszczenie punktu o położeniu {{Formuła|<MATH>\vec{r}=(x_{1},x_{2},x_{3})</MATH>}} wynika z iloczynu wektorowego: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{\varphi}_{0}\times\vec{r} = (-\varphi_{0}x_{2},\;\varphi_{0}x_{1},\;0) </MATH>|12.5}} co jest klasycznym opisem skręcenia ciała sztywnego. === Równanie statyczne wałka skręceń === W stanie statycznym obowiązuje równanie równowagi naprężeń {{LinkWzór|12.4}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_{j}} = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; \mu\,\frac{\partial^{2}s_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} + (\mu+\lambda)\,\frac{\partial^{2}s_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = 0 </MATH>|12.6}} Zdeformowanie wałka opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>\varphi(x_{3})</MATH>}}, która określa lokalny kąt skręcenia: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} s_{1}=-\varphi(x_{3})\,x_{2} \\ s_{2}=\varphi(x_{3})\,x_{1} \\ s_{3}=0 \end{cases} </MATH>|12.7}} === Tensor deformacji === Z definicji tensora deformacji {{LinkWzór|9.41|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=\epsilon_{33}=0 \\ \epsilon_{12}=0 \\ \epsilon_{13}=-\frac{1}{2}x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \epsilon_{23}=\frac{1}{2}x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.8}} co oznacza, że jedynymi niezerowymi odkształceniami są odkształcenia postaciowe związane z gradientem kąta skręcenia. === Tensor naprężeń === Z prawa Hooke’a {{LinkWzór|11.6|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=\sigma_{12}=0 \\ \sigma_{13}=-\mu\,x_{2}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \\ \sigma_{23}=\mu\,x_{1}\frac{d\varphi}{dx_{3}} \end{cases} </MATH>|12.9}} Są to naprężenia styczne, które powstają wskutek skręcania wałka. Warunek statyczności {{LinkWzór|12.6}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} 0=\frac{\partial\sigma_{13}}{\partial x_{3}}=-\mu x_{2}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \\ 0=\frac{\partial\sigma_{23}}{\partial x_{3}}=\mu x_{1}\frac{d^{2}\varphi}{dx_{3}^{2}} \end{cases} </MATH>|12.10}} co oznacza, że: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3})=a x_{3}+b </MATH>|12.11}} Warunki brzegowe: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(0)=b=0</MATH>|12.12}} |2={{CentrujWzór|<MATH>\varphi(l)=al=\varphi_{0}</MATH>|12.13}} }} Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi(x_{3}) = \frac{\varphi_{0}}{l}\,x_{3} </MATH>|12.14}} co oznacza liniowy rozkład kąta skręcenia wzdłuż długości wałka. === Naprężenia na górnej podstawie === Dla {{Formuła|<MATH>\vec{n}=(0,0,1)</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{13}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.19}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{23}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l}</MATH>|12.20}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>P_{3}=0</MATH>|12.21}} }} Siły są prostopadłe do osi {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> [P_{1},P_{2},P_{3}]\cdot[x_{1},x_{2},0] = -\mu x_{2}x_{1}\frac{\varphi_{0}}{l} + \mu x_{1}x_{2}\frac{\varphi_{0}}{l} = 0 </MATH>|12.22}} co oznacza, że siły styczne nie wykonują pracy względem osi wałka. === Moment skręcający === Moment skręcający jest równy: {{CentrujWzór|<MATH> M_{s} = \int (x_{1}P_{2}-x_{2}P_{1})\,ds = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \int r^{2}\,r\,dr\,d\varphi = \mu\frac{\varphi_{0}}{l} \left( 2\pi\frac{R^{4}}{4} \right) = \mu\frac{\pi R^{4}}{2l}\varphi_{0} </MATH>|12.23}} co jest klasycznym wynikiem dla skręcania pręta kołowego. === Kąt skręcenia wałka === Zależność odwrotna: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi_{0} = \frac{2l\,M_{3}}{\mu\pi R^{4}} </MATH>|12.24}} wiąże moment skręcający z kątem skręcenia. Jest to podstawowa zależność w teorii skręcania prętów kołowych. == Matematyczny opis fal sprężystych == Równanie opisujące przesunięcie danego punktu materiału względem położenia równowagi jest dane równaniem Lamego {{LinkWzór|12.2}}, które wynika z liniowej teorii sprężystości. Równanie to jest równaniem falowym dla pola przemieszczeń {{Formuła|<MATH>\vec{s}(\vec{r},t)</MATH>}}, a jego ogólne rozwiązania mają postać fal biegnących w ośrodku sprężystym. Najbardziej ogólna fala sprężysta może być zapisana jako funkcja jednej zmiennej — argumentu fali: {{CentrujWzór|<MATH> s_{i} = f(\vec{n}\cdot\vec{r}-ct) </MATH>|12.25}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}} jest kierunkiem propagacji, {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} prędkością fali, a {{Formuła|<MATH>f</MATH>}} dowolną funkcją opisującą kształt zaburzenia. W praktyce, aby analizować fale sprężyste, stosujemy analizę Fouriera, która pozwala rozłożyć dowolne rozwiązanie na składowe harmoniczne. Każda składowa harmoniczna ma postać fali płaskiej o określonym wektorze falowym. Zakładamy wektor falowy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{k}=(k,0,0) </MATH>}} co oznacza, że fala rozchodzi się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}. Wtedy rozwiązanie harmoniczne ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = \vec{A}\,e^{i(kx-\omega t)} </MATH>|12.26}} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} jest wektorem amplitudy, {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} częstością kołową, a {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} liczbą falową. Podstawiamy to rozwiązanie do równania Lamego {{LinkWzór|12.2}}, otrzymując równanie algebraiczne dla amplitudy: {{CentrujWzór|<MATH> -\rho_{0}\omega^{2}A_{i} + \mu k^{2}A_{i} + (\mu+\lambda)k^{2}\delta_{i1}A_{i} = 0 </MATH>|12.27}} Równanie to jest układem trzech równań liniowych dla składowych amplitudy {{Formuła|<MATH>(A_{1},A_{2},A_{3})</MATH>}}. Aby rozwiązanie było niezerowe, wyznacznik układu musi być równy zero: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{vmatrix} (2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 & 0 \\ 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2} \end{vmatrix} = 0 </MATH>|12.28}} Stąd otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{CentrujWzór|<MATH> [(2\mu+\lambda)k^{2}-\rho_{0}\omega^{2}]\, (\mu k^{2}-\rho_{0}\omega^{2})^{2} = 0 </MATH>|12.29}} co oznacza, że istnieją '''dwie różne liczby falowe''', a więc dwie różne fale sprężyste: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>k_{1}^{2}=\frac{\rho_{0}}{2\mu+\lambda}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}</MATH>|12.30}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>k_{2}^{2}=\frac{\rho_{0}}{\mu}\,\omega^{2}=\frac{\omega^{2}}{c_{2}^{2}}</MATH>|12.31}} }} Odpowiadają im amplitudy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(1)}=(A_{1},0,0)</MATH>|12.32}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{A}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})</MATH>|12.33}} }} Pierwsza fala jest '''podłużna''' — jej amplituda jest równoległa do kierunku propagacji. Druga fala jest '''poprzeczna''' — jej amplituda jest prostopadła do kierunku propagacji. Prędkości fal: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>c_{1}=\sqrt{\frac{2\mu+\lambda}{\rho_{0}}}</MATH>|12.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>c_{2}=\sqrt{\frac{\mu}{\rho_{0}}}</MATH>|12.35}} }} Fala podłużna jest szybsza, ponieważ zależy od kombinacji {{Formuła|<MATH>2\mu+\lambda</MATH>}}, natomiast fala poprzeczna zależy tylko od modułu Kirchhoffa {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}. === Superpozycja fal sprężystych === Ogólne rozwiązanie jest sumą obu fal: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} = \vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)} + \vec{A}_{2}e^{i(\vec{k}_{2}\cdot\vec{r}-\omega t)} </MATH>|12.36}} co oznacza, że w ośrodku sprężystym zawsze propagują się jednocześnie fale podłużne i poprzeczne. === Rotacja i dywergencja fal === Dla fali podłużnej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{1}=0</MATH>|12.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{1}\neq 0</MATH>|12.38}} }} Dla fali poprzecznej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{s}_{2}=0</MATH>|12.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{s}_{2}\neq 0</MATH>|12.40}} }} To rozróżnienie jest fundamentalne: fala podłużna jest falą '''dywergencyjną''', fala poprzeczna — '''wirową'''. === Tożsamość wektorowa === Korzystamy z klasycznej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} - \Delta\vec{s} </MATH>|12.41}} Równanie Lamego {{LinkWzór|12.3}} można przepisać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial^{2}\vec{s}}{\partial t^{2}} = \mu\,\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{s} - (2\mu+\lambda)\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{s} </MATH>|12.42}} Podstawiając superpozycję fal: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\left( \frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}} + \frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}} \right) = (2\mu+\lambda)\Delta\vec{s}_{1} + \mu\Delta\vec{s}_{2} </MATH>|12.43}} === Dwa równania falowe === Ostatecznie otrzymujemy dwa niezależne równania falowe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{1}-\frac{1}{c_{1}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{1}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\vec{s}_{2}-\frac{1}{c_{2}^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{s}_{2}}{\partial t^{2}}=0</MATH>|12.44a}} }} Pierwsze równanie opisuje fale podłużne, drugie — fale poprzeczne. === Rotacja fali podłużnej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{s}_{1} = \operatorname{rot}(\vec{A}_{1}e^{i(\vec{k}_{1}\cdot\vec{r}-\omega t)}) = i\,\vec{k}_{1}\times\vec{s}_{1} = 0 </MATH>|12.45}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{1}</MATH>}} jest falą '''podłużną'''. === Dywergencja fali poprzecznej === {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{s}_{2} = i\,\vec{k}_{2}\cdot\vec{s}_{2} = 0 </MATH>|12.46}} Zatem {{Formuła|<MATH>\vec{s}_{2}</MATH>}} jest falą '''poprzeczną'''. == Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała == W mechanice ośrodków ciągłych jednym z najbardziej fundamentalnych i eleganckich sposobów wyprowadzenia równań ruchu jest metoda wariacyjna. Polega ona na tym, że zamiast analizować równania równowagi bezpośrednio, konstruujemy funkcjonał działania, który opisuje całkowitą historię energetyczną układu w czasie. Rzeczywisty ruch ciała jest taki, że działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. W ten sposób otrzymujemy równania Eulera–Lagrange’a dla ośrodka sprężystego, które są równoważne klasycznym równaniom równowagi, lecz wyprowadzone w sposób bardziej ogólny i strukturalny. Energię kinetyczną i potencjalną ciała zdeformowanego definiujemy wzorami {{LinkWzór|10.35|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} i {{LinkWzór|10.36|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}. Pole przemieszczeń opisujemy funkcją {{Formuła|<MATH>s_{i}(x,t)</MATH>}}, która określa, jak każdy punkt materiału zmienia swoje położenie w czasie. Lagrangian całego układu (objętość + powierzchnia) zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> L = \int_{V} \left( \frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i} - \Phi + \rho f_{i}s_{i} \right)dV + \oint_{S}\overline{f}_{i}s_{i}\,dS </MATH>|12.47}} W tym wyrażeniu: * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\dot{s}_{i}\dot{s}_{i}</MATH>}} jest energią kinetyczną jednostki objętości, * {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} jest gęstością energii sprężystej, zależną od tensora odkształceń, * {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił masowych, * {{Formuła|<MATH>\overline{f}_{i}s_{i}</MATH>}} opisuje pracę sił powierzchniowych na brzegu {{Formuła|<MATH>S</MATH>}}. Lagrangian jest więc sumą energii kinetycznej, potencjalnej sprężystej oraz energii związanej z siłami zewnętrznymi. Jego całka po czasie definiuje funkcjonał działania: {{CentrujWzór|<MATH> S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt, \qquad \delta S = 0 </MATH>|12.48}} Warunek {{Formuła|<MATH>\delta S = 0</MATH>}} oznacza, że rzeczywisty ruch ciała jest taki, iż działanie jest stacjonarne względem wszystkich dopuszczalnych wariacji przemieszczeń. Wariacje te muszą jednak spełniać warunek brzegowy w czasie — na końcach przedziału czasowego przemieszczenia nie mogą się zmieniać: {{CentrujWzór|<MATH> \delta s_{i}(t_{1}) = \delta s_{i}(t_{2}) = 0 </MATH>|12.49}} === Energia sprężysta === Energia sprężysta jest zdefiniowana przez tensor odkształceń oraz tensor sprężystości. Z definicji {{LinkWzór|11.5b|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz tensora deformacji {{LinkWzór|9.42|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}: {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = \frac{1}{2}c_{iklm}\epsilon_{ik}\epsilon_{lm} = \frac{1}{2}c_{iklm} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{k}} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} </MATH>|12.50}} Tensor sprężystości {{Formuła|<MATH>c_{iklm}</MATH>}} określa własności materiału, a tensor odkształceń {{Formuła|<MATH>\epsilon_{ik}</MATH>}} opisuje lokalną deformację. Energia sprężysta jest więc kwadratową formą tensora odkształceń. === Wariacja działania === Wariacja działania polega na obliczeniu {{Formuła|<MATH>\delta S</MATH>}} dla dowolnych dopuszczalnych wariacji {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}. Po podstawieniu definicji Lagrangianu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i} - c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i}\delta s_{i} \right]dV\,dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \overline{f}_{i}\delta s_{i}\,dS\,dt </MATH>|12.51}} === Część kinetyczna === Wariacja części kinetycznej wymaga całkowania przez części: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\dot{s}_{i}\delta\dot{s}_{i}\,dt = -\int_{t_{1}}^{t_{2}} \rho\ddot{s}_{i}\delta s_{i}\,dt </MATH>|12.52}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}(t_{1})=\delta s_{i}(t_{2})=0</MATH>}}, wyraz brzegowy znika. === Część sprężysta === Wariacja części sprężystej wymaga zastosowania twierdzenia Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{t_{1}}^{t_{2}} c_{iklm} \frac{\partial s_{l}}{\partial x_{m}} \frac{\partial\delta s_{i}}{\partial x_{k}} \,dV\,dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[ \sigma_{ik}\delta s_{i}\,dS_{k} - \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}\delta s_{i}\,dV \right]dt </MATH>|12.53}} === Złożenie wyników === Po zsumowaniu części kinetycznej, sprężystej i sił zewnętrznych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{V} \left[ -\rho\ddot{s}_{i} + \frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}} + \rho f_{i} \right] \delta s_{i}\,dV\,dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \oint_{S} \left[ \sigma_{ik}n_{k} - \overline{f}_{i} \right] \delta s_{i}\,dS\,dt = 0 </MATH>|12.54b}} Ponieważ równość ma obowiązywać dla dowolnego {{Formuła|<MATH>\delta s_{i}</MATH>}}, otrzymujemy równania ruchu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho\ddot{s}_{i}=\frac{\partial\sigma_{ik}}{\partial x_{k}}+\rho f_{i}</MATH>|12.55}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{ik}n_{k}=\overline{f}_{i}</MATH>|12.56}} }} Równość {{LinkWzór|12.55}} jest równaniem ruchu dla punktów masowych w ciele zdeformowanym (por. {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). Równość {{LinkWzór|12.56}} jest warunkiem brzegowym równowagi naprężeń (por. {{LinkWzór|10.5|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qpvxhgmdm4m6p1t5u0wnwlbih5ckf4s 0 20379 559077 555354 2026-10-11T02:12:25Z Persino 2851 559077 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Równanie Naviera–Stokesa == Korzystamy z ogólnego równania hydrodynamiki {{LinkWzór|10.10|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, definicji tensora naprężeń {{LinkWzór|10.13|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}, prawa tarcia {{LinkWzór|11.30|Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a}} oraz definicji tensora prędkości {{LinkWzór|9.68|Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny}}. Dodatkowo używamy zależności pomiędzy współczynnikami lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\xi</MATH>}} (warunek Stokesa). W wyniku tych przekształceń otrzymujemy równanie Naviera–Stokesa w postaci skalarnej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \eta\,\frac{\partial^{2}v_{i}}{\partial x_{l}\partial x_{l}} + \frac{1}{3}\eta\,\frac{\partial^{2}v_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}} + \rho f_{i} </MATH>|13.1}} W postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{\vec{v}} + (\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \right) = -\operatorname{grad}p + \eta\,\Delta\vec{v} + \frac{1}{3}\eta\,\operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{v} + \rho\vec{f} </MATH>|13.2}} === Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego === Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}} jest równa zero. Oznacza to, że w cieczy nie występują naprężenia lepkościowe, a więc jedynymi siłami działającymi na element cieczy są siły ciśnienia oraz siły objętościowe. W takim przypadku równanie Naviera–Stokesa {{LinkWzór|13.1}} upraszcza się do postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\left( \dot{v}_{i} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.3}} Po lewej stronie równania mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon lokalny {{Formuła|<MATH>\dot{v}_{i}</MATH>}} oraz człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}}, który opisuje zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki w przestrzeni. Po prawej stronie występuje gradient ciśnienia oraz siły objętościowe {{Formuła|<MATH>f_{i}</MATH>}}. Na brzegach naczynia, w którym płynie ciecz, prędkość przy powierzchni jest równa zero — jest to warunek przylegania cieczy do ścian (brak poślizgu): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}\cdot\vec{n}=0 </MATH>}} Warunek ten oznacza, że składowa prędkości normalna do powierzchni jest równa zero, a więc ciecz nie przenika przez ściany naczynia. W dalszych przekształceniach będzie on kluczowy przy wyznaczaniu profilu prędkości oraz rozwiązań analitycznych dla przepływu idealnego. === Przekształcenie członu konwekcyjnego === Rozpisujemy drugi wyraz z {{LinkWzór|13.3}}, czyli człon konwekcyjny opisujący zmianę prędkości wynikającą z przemieszczania się cząstki cieczy w przestrzeni. Jego algebraiczne przekształcenie pozwala oddzielić część gradientową od części wirowej. {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} - v_{l}\frac{\partial v_{l}}{\partial x_{i}} + v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - (\delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj}) v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>}} Pierwszy człon po prawej stronie jest gradientem energii kinetycznej jednostki masy: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}v_{l}v_{l}</MATH>}}. Drugi człon zawiera kombinację delty Kroneckera, którą teraz upraszczamy. Korzystamy z tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH> \delta_{ij}\delta_{lk}-\delta_{ik}\delta_{lj} = \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać wyrażenie w formie związanej z wirami prędkości. Podstawiamy ją do poprzedniego równania i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{l}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{l}} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(v_{l}v_{l}) - \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} </MATH>|13.4}} To równanie jest kluczowe, ponieważ oddziela część gradientową od części wirowej członu konwekcyjnego. W następnym kroku zostanie ono podstawione do równania ruchu, co doprowadzi do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej. === Podstawienie do równania ruchu === Po wykonaniu przekształcenia członu konwekcyjnego, otrzymane wyrażenie podstawiamy do równania ruchu cieczy idealnej. W ten sposób oddzielamy część gradientową (pochodzącą od energii kinetycznej) od części wirowej (związanej z rotacją prędkości). Całość prowadzi do następującej postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{v}_{i} + \frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}} - \rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \rho f_{i} </MATH>|13.5}} Po lewej stronie równania widzimy trzy składniki: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{v}_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{1}{2}\frac{\partial (v_{l}v_{l})}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient energii kinetycznej jednostki masy, * {{Formuła|<MATH>-\rho\epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk}v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}}</MATH>}} — człon wirowy, który pojawia się wyłącznie wtedy, gdy przepływ nie jest bezwirowy. Po prawej stronie równania mamy: * gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}</MATH>}}, * siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\rho f_{i}</MATH>}}. Równość {{LinkWzór|13.5}} jest kluczowym krokiem prowadzącym do postaci wektorowej równania hydrodynamiki idealnej, w której pojawia się charakterystyczny człon wirowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}}. === Postać wektorowa === W poprzednim kroku otrzymaliśmy człon konwekcyjny w postaci z tożsamością tensora Levi-Civity. Teraz wykorzystujemy kluczową tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon_{ilr}\epsilon_{rjk} v_{l}\frac{\partial v_{k}}{\partial x_{j}} = (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})_{i} </MATH>}} Tożsamość ta pozwala przepisać człon wirowy w formie wektorowej, jako iloczyn wektorowy prędkości i rotacji prędkości. Dzięki temu równanie ruchu przyjmuje znacznie bardziej przejrzystą postać. Podstawiamy tę tożsamość do równania {{LinkWzór|13.5}} i otrzymujemy równanie ruchu cieczy idealnej w pełnej postaci wektorowej: {{CentrujWzór|<MATH> \rho\dot{\vec{v}} + \frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) - \rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \rho\vec{f} </MATH>|13.6}} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\rho\dot{\vec{v}}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne cząstki cieczy, * {{Formuła|<MATH>\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2})</MATH>}} — gradient energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>-\rho\,\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v}</MATH>}} — człon wirowy, który opisuje wpływ rotacji prędkości na ruch cieczy, * {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} — siły wynikające z ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho\vec{f}</MATH>}} — siły objętościowe. Równość {{LinkWzór|13.6}} jest fundamentalnym równaniem hydrodynamiki idealnej: łączy lokalne przyspieszenie, energię kinetyczną, rotację prędkości, ciśnienie oraz siły zewnętrzne w jedną spójną strukturę. === Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów === Rozpatrujemy ciecz spoczywającą, czyli taką, dla której przed zaburzeniem wszystkie wielkości są stałe w czasie i jednorodne w przestrzeni. Stan początkowy opisujemy trzema równaniami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=0</MATH>|13.7}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>|13.8}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}</MATH>|13.9}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}=0</MATH>}} — ciecz spoczywa, brak ruchu, * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — gęstość jest stała, * {{Formuła|<MATH>p=p_{0}</MATH>}} — ciśnienie jest jednorodne. Po zaburzeniu wszystkie wielkości zmieniają się o małe przyrosty (primy). Stan po zaburzeniu zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\vec{v}'</MATH>|13.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{0}+p'</MATH>|13.11}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho=\rho_{0}+\rho'</MATH>|13.12}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}} — niewielka prędkość zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} — niewielka zmiana ciśnienia, * {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} — niewielka zmiana gęstości. Linearyzacja polega na tym, że '''zachowujemy tylko człony pierwszego rzędu''', a wszystkie iloczyny typu {{Formuła|<MATH>v'^{2}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>p'\rho'</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\rho'v'</MATH>}} pomijamy jako małe drugiego rzędu. Ten krok jest fundamentem wyprowadzenia równania falowego i akustyki liniowej, ponieważ pozwala sprowadzić pełne równania hydrodynamiki do prostych równań liniowych. === Linearyzacja równania ciągłości === Równanie ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} opisuje lokalne zachowanie masy w przepływie. Dla cieczy spoczywającej, po wprowadzeniu niewielkich zaburzeń gęstości i prędkości, równanie to przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial t}(\rho_{0}+\rho') + \operatorname{div}\left[(\rho_{0}+\rho')\vec{v}'\right] = 0 </MATH>|13.13}} Pierwszy człon opisuje zmianę gęstości w czasie, drugi — strumień masy wynikający z zaburzonej prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}'</MATH>}}. Ponieważ analizujemy '''małe zaburzenia''', pomijamy wszystkie iloczyny wielkości zaburzonych, takie jak {{Formuła|<MATH>\rho'\vec{v}'</MATH>}}, które są rzędu drugiego. Po zaniedbaniu członów kwadratowych otrzymujemy równanie liniowe: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.14}} To równanie jest kluczowe: wiąże '''zmianę gęstości''' z '''dywergencją prędkości zaburzenia'''. W następnym kroku zostanie ono połączone z równaniem ruchu, co doprowadzi do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia. === Linearyzacja równania ruchu === Korzystamy teraz z równania Naviera–Stokesa bez lepkości i bez sił objętościowych, czyli z równania {{LinkWzór|13.5}}. Wprowadzamy do niego zaburzenia prędkości, ciśnienia i gęstości, zgodnie z wcześniejszymi definicjami. Po podstawieniu wielkości zaburzonych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\rho_{0}+\rho') \left( \dot{v}'_{i} + v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}} \right) = - \frac{\partial(p_{0}+p')}{\partial x_{i}} </MATH>|13.15}} Po lewej stronie równania mamy: * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}\dot{v}'_{i}</MATH>}} — przyspieszenie lokalne zaburzenia, * {{Formuła|<MATH>\rho'\dot{v}'_{i}</MATH>}} — człon drugiego rzędu, który pomijamy, * {{Formuła|<MATH>\rho_{0}v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — konwekcja zaburzenia, również pomijana jako rząd drugi, * {{Formuła|<MATH>\rho'v'_{l}\frac{\partial v'_{i}}{\partial x_{l}}</MATH>}} — człon rzędu trzeciego, całkowicie pomijalny. Po prawej stronie: * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p_{0}}{\partial x_{i}}</MATH>}} — znika, bo {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} jest stałe, * {{Formuła|<MATH>-\frac{\partial p'}{\partial x_{i}}</MATH>}} — gradient zaburzenia ciśnienia. Po zaniedbaniu wszystkich członów kwadratowych i wyższych otrzymujemy równanie liniowe: {{LinkWzór|13.16}}. To równanie jest kluczowe: wiąże '''przyspieszenie zaburzenia prędkości''' z '''gradientem zaburzenia ciśnienia'''. W połączeniu z równaniem ciągłości prowadzi bezpośrednio do równania falowego dla zaburzeń ciśnienia, czyli do podstaw akustyki liniowej. === Linearyzacja równania stanu === Aby powiązać zaburzenia ciśnienia z zaburzeniami gęstości, korzystamy z równania stanu. Wprowadzamy niewielkie przyrosty gęstości i ciśnienia, a następnie rozwijamy równanie stanu w szereg Taylora wokół punktu równowagi {{Formuła|<MATH>\rho_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} + \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} (\rho-\rho_{0}) +\ldots </MATH>|13.17}} W tym rozwinięciu: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} — ciśnienie w stanie równowagi, * {{Formuła|<MATH>\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}</MATH>}} — pochodna ciśnienia względem gęstości, obliczona w stanie równowagi, * człony wyższego rzędu (oznaczone wielokropkiem) pomijamy w linearyzacji. Z definicji zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'=p-p_{0}</MATH>}} oraz zaburzenia gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'=\rho-\rho_{0}</MATH>}} otrzymujemy zależność liniową: {{CentrujWzór|<MATH> p' = c^{2}\rho', \qquad c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} </MATH>|13.18}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest '''prędkością dźwięku''' w ośrodku — wynika bezpośrednio z równania stanu. Zależność {{LinkWzór|13.18}} jest kluczowa: pozwala zastąpić zaburzenia gęstości zaburzeniami ciśnienia, co umożliwia połączenie równania ciągłości z równaniem ruchu i otrzymanie równania falowego. W kolejnych krokach ta zależność zostanie podstawiona do równań liniowych hydrodynamiki, prowadząc do równania falowego {{LinkWzór|13.21}}. === Połączenie równań === Aby otrzymać równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia, łączymy teraz trzy wcześniej zlinearyzowane równania: równanie ciągłości {{LinkWzór|13.14}}, równanie ruchu {{LinkWzór|13.16}} oraz równanie stanu {{LinkWzór|13.18}}. Najpierw podstawiamy zależność między zaburzeniem ciśnienia i gęstości z równania stanu {{LinkWzór|13.18}} do równania ciągłości {{LinkWzór|13.14}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial p'}{\partial t} + \rho_{0}\operatorname{div}\vec{v}' = 0 </MATH>|13.19}} W ten sposób eliminujemy zaburzenie gęstości {{Formuła|<MATH>\rho'</MATH>}} i otrzymujemy równanie wiążące zaburzenie ciśnienia z dywergencją prędkości zaburzenia. Następnie różniczkujemy równanie {{LinkWzór|13.19}} względem czasu i korzystamy z równania ruchu {{LinkWzór|13.16}}, które wiąże przyspieszenie zaburzenia prędkości z gradientem zaburzenia ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{0}\frac{\partial\vec{v}'}{\partial t} = -\operatorname{grad}p' </MATH>|13.16}} Podstawiamy tę zależność do pochodnej czasowej dywergencji w równaniu {{LinkWzór|13.19}}. W wyniku otrzymujemy równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}p'}{\partial t^{2}} + \Delta p' = 0 </MATH>|13.21}} Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w cieczy lub gazie w stanie spoczynku. Prędkość fazowa fali jest równa {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, zgodnie z definicją z równania stanu {{LinkWzór|13.18}}. To równanie jest fundamentem akustyki liniowej: pokazuje, że niewielkie zaburzenia ciśnienia rozchodzą się w ośrodku jako fale o prędkości zależnej wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. === Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia === Równość {{LinkWzór|13.21}} jest klasycznym równaniem falowym opisującym propagację fali akustycznej w nieruchomej cieczy lub gazie. Pokazuje ono, że niewielkie zaburzenia ciśnienia {{Formuła|<MATH>p'</MATH>}} rozchodzą się w ośrodku jako fale, których prędkość zależy wyłącznie od własności termodynamicznych ośrodka. Prędkość fazowa fali akustycznej jest równa: {{CentrujWzór|<MATH> c = \sqrt{\left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}}} </MATH>}} Wielkość {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} jest prędkością dźwięku — wynika bezpośrednio z równania stanu i określa, jak szybko zaburzenia ciśnienia przemieszczają się w ośrodku. W połączeniu z równaniem falowym {{LinkWzór|13.21}} opisuje pełną dynamikę liniowych fal akustycznych. === Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego) === Aby wyznaczyć prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym, korzystamy z równania adiabaty opisującego przemianę bezwymienną. Dla gazu doskonałego obowiązuje zależność: {{CentrujWzór|<MATH> pV^{\kappa} = \operatorname{const} \quad\Rightarrow\quad p = \operatorname{const}\,\rho^{\kappa} </MATH>|13.22}} Zależność ta wiąże ciśnienie z gęstością poprzez wykładnik adiabatyczny {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}}, który dla gazów jednoatomowych wynosi {{Formuła|<MATH>\frac{5}{3}</MATH>}}, a dla dwuatomowych około {{Formuła|<MATH>1.4</MATH>}}. Różniczkujemy równanie adiabaty i korzystamy z definicji prędkości dźwięku {{Formuła|<MATH>c</MATH>}}, aby otrzymać: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \kappa\frac{p_{0}}{\rho_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{\frac{\kappa p_{0}}{\rho_{0}}} </MATH>|13.23}} Równość {{LinkWzór|13.23}} opisuje prędkość fali akustycznej w gazie doskonałym przy przemianie adiabatycznej. Wynika z niej, że prędkość dźwięku zależy wyłącznie od ciśnienia, gęstości i wykładnika adiabatycznego — a więc od własności termodynamicznych ośrodka. Dla dużych amplitud zaburzeń równanie falowe {{LinkWzór|13.21}} nie linearyzuje się. W takim przypadku pojawia się '''fala uderzeniowa (fala Riemanna)''', w której front fali staje się stromy, a prędkość propagacji zależy od nieliniowych efektów sprężystości gazu. To zjawisko jest podstawą teorii fal uderzeniowych i dynamiki gazów w przepływach nadźwiękowych. == Wyprowadzenie równania Bernoulliego == Rozpatrujemy ruchy '''bezwirowe''' cieczy, czyli takie, dla których rotacja pola prędkości jest równa zero. Warunek bezwirowości zapisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{v}=0 </MATH>}} Bezwirowość pola prędkości oznacza, że prędkość cieczy nie posiada składowej wirowej, a więc może być wyrażona jako gradient pewnego potencjału. To założenie pozwala uprościć równanie ruchu cieczy idealnej. W takim przypadku równanie ruchu cieczy idealnej {{LinkWzór|13.6}}, po podzieleniu przez gęstość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\vec{v}} + \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}^{2}) = -\operatorname{grad}p + \vec{f} </MATH>|13.24}} Po lewej stronie mamy przyspieszenie cząstki cieczy: człon materialny oraz gradient energii kinetycznej. Po prawej stronie: siły wynikające z gradientu ciśnienia oraz siły objętościowe. === Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych === Dla pola bezwirowego istnieje '''potencjał prędkości''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}}, taki że: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}=\operatorname{grad}\Phi </MATH>}} To oznacza, że prędkość jest polem gradientowym — jej linie prądu są krzywymi poziomicowymi potencjału. Siły objętościowe {{Formuła|<MATH>\vec{f}</MATH>}} są gradientem potencjału {{Formuła|<MATH>U</MATH>}} z minusem, zgodnie z {{LinkWzór|10.24|Zasady zachowania w mechanice materiałów}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{f}=-\operatorname{grad}U </MATH>}} Wprowadzamy także wielkość: {{CentrujWzór|<MATH> \mathcal{P}=\frac{p}{\rho} </MATH>}} czyli ciśnienie podzielone przez gęstość — wielkość ta pojawia się naturalnie w równaniach energii. Z zależności {{LinkWzór|10.41|Zasady zachowania w mechanice materiałów}} otrzymujemy równanie: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial}{\partial x_{i}} \left[ \dot{\Phi} + \frac{1}{2} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} \frac{\partial\Phi}{\partial x_{k}} + \mathcal{P} + U \right] = 0 </MATH>|13.25}} Wyrażenie pod nawiasem nie zależy od współrzędnych przestrzennych, więc musi być równe pewnej funkcji czasu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\Phi} + \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C(t) </MATH>|13.26}} To jest uogólniona postać równania Bernoulliego dla przepływów niekoniecznie stacjonarnych. === Przepływ stacjonarny === Dla przepływów stacjonarnych: * {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}=0</MATH>}}, * {{Formuła|<MATH>C(t)=C</MATH>}} — stała. W takim przypadku równanie upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U = C </MATH>|13.27}} To jest postać Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego cieczy idealnej. === Interpretacja geometryczna (linie prądu) === Dla przepływu stacjonarnego możemy rozpatrywać całkę wzdłuż linii prądu: {{CentrujWzór|<MATH> \int\left[ \operatorname{grad} \left( \frac{1}{2}\vec{v}^{2} + \mathcal{P} + U \right) - \vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v} \right]\cdot d\vec{r} = 0 </MATH>|13.28}} Ponieważ linie prądu są równoległe do {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> (\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})\cdot d\vec{r}=0 </MATH>}} Dla przepływu bezwirowego drugi człon znika, co prowadzi do klasycznej postaci równania Bernoulliego. === Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: * {{Formuła|<MATH>\rho=\rho_{0}</MATH>}} — stała, * {{Formuła|<MATH>\mathcal{P}=p/\rho_{0}</MATH>}}, * przepływ stacjonarny: {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{v}}=0</MATH>}}. Wstawiamy te zależności do równania Bernoulliego i otrzymujemy klasyczną postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\rho_{0}}{2}v^{2} + p + \rho_{0}U = C </MATH>|13.29}} Równość {{LinkWzór|13.29}} jest '''równaniem Bernoulliego''' — opisuje zachowanie energii mechanicznej wzdłuż linii prądu dla cieczy idealnej, nieściśliwej i bezwirowej. == Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju == {{Rysunek|Betz tube.jpg|A|pozycja=right|rozmiar=250px|opis=Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju}} Rozpatrujemy przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju, korzystając z prawa ciągłości {{LinkWzór|10.4|Zasady_zachowania_w_mechanice_materiałów}}. Zakładamy, że gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, dlatego równanie ciągłości ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}(\rho\vec{v})=0 </MATH>|12.30}} To równanie oznacza, że strumień masy jest zachowany w każdym miejscu rurki — nie pojawiają się żadne źródła ani leje masy. Wykorzystujemy twierdzenie Ostrogradskiego–Gaussa, aby przekształcić całkę objętościową w powierzchniową. Z równania {{LinkWzór|12.30}} otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = \int_{V}\operatorname{div}(\rho\vec{v})\,dV = \oint_{S}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S} = \int_{S_{2}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{2} - \int_{S_{1}}\rho\vec{v}\cdot d\vec{S}_{1} </MATH>|13.30}} Ponieważ na bocznej powierzchni rurki składowa normalna prędkości jest równa zero (ciecz nie przenika przez ścianki), całka powierzchniowa redukuje się do dwóch przekrojów: wejściowego {{Formuła|<MATH>S_{1}</MATH>}} i wyjściowego {{Formuła|<MATH>S_{2}</MATH>}}. Strumień masy jest zatem stały: {{CentrujWzór|<MATH> \rho_{2}S_{2}v_{2} = \rho_{1}S_{1}v_{1} = \operatorname{const} </MATH>|13.31}} To jest matematyczne wyrażenie zasady ciągłości: jeśli przekrój maleje, prędkość rośnie; jeśli przekrój rośnie, prędkość maleje. === Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia === Dla przepływu stacjonarnego korzystamy z równania Bernoulliego {{LinkWzór|13.27}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{2}v^{2} = -\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp}{\rho} </MATH>}} Różniczkujemy obie strony równania Bernoulliego: {{CentrujWzór|<MATH> v\,dv = -\frac{dp}{\rho} \quad\Rightarrow\quad dv = \frac{dp}{\rho v} </MATH>|13.32}} Ponieważ iloczyn {{Formuła|<MATH>\rho Sv</MATH>}} jest stały, bierzemy logarytm i różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dS}{S} + \frac{dv}{v} = 0 </MATH>|13.33}} Podstawiamy zależność {{LinkWzór|13.32}} do równania {{LinkWzór|13.33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = -\frac{d\rho}{\rho} + \frac{dp}{\rho v^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} \left( 1 - v^{2}\frac{d\rho}{dp} \right) </MATH>|13.34}} === Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota === Z definicji prędkości dźwięku {{LinkWzór|13.18}}: {{CentrujWzór|<MATH> c^{2} = \left(\frac{dp}{d\rho}\right)_{\rho=\rho_{0}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\rho}{dp} = \frac{1}{c^{2}} </MATH>}} Podstawiamy tę zależność do {{LinkWzór|13.34}} i ponownie korzystamy z {{LinkWzór|13.32}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \quad\Rightarrow\quad \frac{dS}{S} = \frac{dv}{v} \left( -1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) </MATH>|13.35}} Równość {{LinkWzór|13.35}} jest '''równaniem Hugoniota''' — opisuje zachowanie przepływu w cieczy ściśliwej, uwzględniając prędkość dźwięku. Stosunek prędkości przepływu do prędkości dźwięku nazywamy '''liczbą Macha''': {{CentrujWzór|<MATH> m = \frac{v}{c} </MATH>|13.36}} === Przypadek cieczy nieściśliwej === Dla cieczy nieściśliwej: {{CentrujWzór|<MATH> d\rho=0 </MATH>}} Z {{LinkWzór|13.18}} wynika, że w takim przypadku {{Formuła|<MATH>c\to\infty</MATH>}}, a równanie {{LinkWzór|13.35}} upraszcza się do: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{S} = \frac{dp}{\rho v^{2}} = -\frac{dv}{v} </MATH>|13.37}} Równość {{LinkWzór|13.37}} opisuje związek pomiędzy zmianą przekroju rurki, prędkością przepływu i ciśnieniem dla nieściśliwej cieczy w rurce o zmiennym przekroju. == Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością == W tym podrozdziale opisujemy szczegółowo każdy krok wyprowadzenia zależności ciśnienia od wysokości w atmosferze izotermicznej. Wykorzystujemy twierdzenie Bernoulliego oraz związek między ciśnieniem a gęstością gazu w procesie izotermicznym. Zaczynamy od twierdzenia Bernoulliego dla punktów cieczy będących w spoczynku. W takim przypadku człon kinetyczny zanika, a równanie sprowadza się do zależności między ciśnieniem a wysokością: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{\rho}+gh=0 </MATH>|BA-01}} To równanie mówi, że zmiana ciśnienia między poziomem odniesienia a wysokością {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} równoważy się z pracą przeciwko sile ciężkości. Zakładamy teraz, że atmosfera ma stałą temperaturę. W takiej atmosferze zachodzą zmiany izotermiczne, a dla gazu doskonałego zależność między ciśnieniem a gęstością ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p}{\rho} = \frac{p_0}{\rho_0} \quad\Rightarrow\quad \rho = p\,\frac{\rho_0}{p_0} </MATH>|BA-02}} To jest kluczowy krok: gęstość gazu jest proporcjonalna do ciśnienia, ponieważ temperatura jest stała. Podstawiamy zależność {{LinkWzór|BA-02}} do równania Bernoulliego {{LinkWzór|BA-01}}. Wstawiamy {{Formuła|<MATH>\rho=p\frac{\rho_0}{p_0}</MATH>}} do całki i całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{p_0}{\rho_0} \int_{p_0}^{p}\frac{dp}{p} + gh = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{\rho_0}\ln\frac{p}{p_0} = -gh </MATH>|BA-03}} Otrzymujemy zależność logarytmiczną między ciśnieniem a wysokością. Teraz rozwiązujemy równanie względem {{Formuła|<MATH>p</MATH>}}. Przenosimy człony i potęgujemy obie strony równania: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_0\exp\left( -\frac{\rho_0 g}{p_0}\,h \right) </MATH>|BA-04}} To jest '''barometryczna zależność ciśnienia w atmosferze izotermicznej''': ciśnienie maleje wykładniczo wraz z wysokością, a szybkość zaniku zależy od gęstości przy poziomie odniesienia oraz od temperatury (ukrytej w {{Formuła|<MATH>p_0/\rho_0</MATH>}}). == Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie fizyczne i geometryczne''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania (profil prędkości, ciśnienie, natężenie przepływu, średnia prędkość i siła). Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w których nie ma źródeł, zatem warunek nieściśliwości i bezźródłowości pola prędkości jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>|HP-01}} To równanie oznacza, że dywergencja wektora prędkości jest równa zero. Fizycznie: gęstość cieczy jest stała, a w żadnym punkcie przestrzeni nie pojawia się ani nie znika masa cieczy. Matematycznie: całkowity strumień wchodzący do dowolnej objętości jest równy strumieniowi wychodzącemu. Ten warunek będziemy później wykorzystywać, podstawiając konkretną postać prędkości do wyrażenia na dywergencję, aby wyznaczyć zależność prędkości od współrzędnych. Siły objętościowe są równe zero, a prędkość cząstki w danym punkcie nie zmienia się w czasie. Brak sił objętościowych oznacza, że w równaniu ruchu nie uwzględniamy np. grawitacji w rozpatrywanym kierunku przepływu. Stacjonarność przepływu oznacza, że wszystkie wielkości (prędkość, ciśnienie) zależą tylko od współrzędnych przestrzennych, a nie od czasu, czyli {{Formuła|<MATH>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0</MATH>}}. Równanie Naviera–Stokesa po uwzględnieniu tych założeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-02}} Po lewej stronie mamy człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}}, opisujący przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni. Po prawej stronie mamy dwa człony: gradient ciśnienia {{Formuła|<MATH>-\operatorname{grad}p</MATH>}} oraz lepkościowy laplasjan prędkości {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. To równanie jest punktem wyjścia do dalszych uproszczeń, w których wykorzystamy symetrię rury oraz założenie dużej lepkości. === Warunki brzegowe i symetria przepływu === Rozpatrujemy prostą rurę o stałym promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Oś rury przyjmujemy wzdłuż współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Na jej końcach narzucamy warunki brzegowe na ciśnienie: na wejściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}}, a na wyjściu rury (dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}}) ciśnienie jest równe {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{1}\quad\text{dla }x_{3}=0</MATH>|HP-03}} {{CentrujWzór|<MATH>p=p_{2}\quad\text{dla }x_{3}=l</MATH>|HP-04}} Te warunki brzegowe będą później podstawione do rozwiązania równania na ciśnienie, aby wyznaczyć stałą {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} oraz pełną postać funkcji {{Formuła|<MATH>p(x_{3})</MATH>}}. Zobaczymy, że ciśnienie zmienia się liniowo wzdłuż osi rury. Symetria rury narzuca, że przepływ jest osiowo symetryczny i prostoliniowy. Przyjmujemy, że prędkość ma tylko składową wzdłuż osi rury, a składowe poprzeczne są równe zero: {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}\neq 0</MATH>}}. To założenie odzwierciedla fakt, że ciecz płynie wzdłuż rury, a nie w poprzek jej przekroju. Teraz wykorzystujemy warunek nieściśliwości {{LinkWzór|HP-01}}. Dywergencja wektora prędkości w układzie kartezjańskim ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}}, więc pochodne {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{2}}</MATH>}} są równe zero. Pozostaje tylko pochodna składowej wzdłuż osi: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}=0 </MATH>|HP-05}} To równanie wynika bezpośrednio z warunku {{Formuła|<MATH>\operatorname{div}\vec{v}=0</MATH>}} po podstawieniu postaci prędkości. Mówi ono, że prędkość wzdłuż osi rury nie zależy od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} – profil prędkości jest taki sam w każdym przekroju poprzecznym. Zatem możemy zapisać prędkość jako funkcję tylko współrzędnych poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r) </MATH>|HP-06}} Ponieważ układ jest osiowo symetryczny, wprowadzamy promień {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</MATH>}}. Zapisujemy prędkość jako funkcję promienia: {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. To założenie będzie kluczowe przy przejściu do układu cylindrycznego i przy obliczaniu laplasjanu prędkości. === Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego === Przechodzimy teraz do uproszczenia równania ruchu na podstawie założenia o dużej lepkości cieczy. Zakładamy, że lepkość dominuje nad bezwładnością, czyli człon konwekcyjny {{Formuła|<MATH>\rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v}</MATH>}} jest pomijalnie mały w porównaniu z lepkościowym {{Formuła|<MATH>\eta\Delta\vec{v}</MATH>}}. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\operatorname{grad})\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-07}} Na tej podstawie upraszczamy równanie {{LinkWzór|HP-02}}. Przyjmujemy, że lewa strona równania jest zaniedbywalna, czyli człon konwekcyjny można pominąć. W efekcie otrzymujemy równanie równowagi między gradientem ciśnienia a lepkościowym laplasjanem prędkości: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\operatorname{grad}p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|HP-08}} To jest liniowe równanie wiążące gradient ciśnienia z laplasjanem prędkości. Dzięki liniowości możemy szukać rozwiązań analitycznych dla prędkości i ciśnienia w rurze. Rozpisujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-08}} na składowe, wykorzystując postać prędkości {{Formuła|<MATH>v_{1}=v_{2}=0</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>v_{3}=v_{3}(r)</MATH>}}. Gradient ciśnienia ma postać {{Formuła|<MATH>\operatorname{grad}p=\left(\frac{\partial p}{\partial x_{1}},\frac{\partial p}{\partial x_{2}},\frac{\partial p}{\partial x_{3}}\right)</MATH>}}. Laplasjan prędkości ma postać {{Formuła|<MATH>\Delta\vec{v}=(0,0,\Delta v_{3})</MATH>}}. Ponieważ {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} nie zależy od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}, laplasjan {{Formuła|<MATH>v_{3}</MATH>}} jest równy sumie drugich pochodnych po {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} \frac{\partial p}{\partial x_{1}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{2}}=0\\ \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) \end{cases} </MATH>|HP-09}} Pierwsze dwa równania mówią, że ciśnienie nie zależy od współrzędnych poprzecznych {{Formuła|<MATH>x_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>x_{2}</MATH>}}, czyli {{Formuła|<MATH>p=p(x_{3})</MATH>}}. Trzecie równanie wiąże pochodną ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}} z laplasjanem prędkości w przekroju poprzecznym rury. Zatem możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial p}{\partial x_{3}} = C = \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) </MATH>|HP-10}} Wprowadzamy oznaczenie {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} dla stałej pochodnej ciśnienia po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Z pierwszych dwóch równań w {{LinkWzór|HP-09}} wiemy, że ciśnienie zależy tylko od {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}. Trzecie równanie mówi, że {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}</MATH>}} jest stałe w przestrzeni, dlatego oznaczamy je jako {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}. Jednocześnie ta sama stała {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} jest równa lepkości razy laplasjan prędkości w przekroju poprzecznym. Teraz rozwiązujemy równanie na ciśnienie. Z równania {{Formuła|<MATH>\frac{\partial p}{\partial x_{3}}=C</MATH>}} całkujemy po {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p = Cx_{3}+\text{const} </MATH>|HP-11}} Następnie wykorzystujemy warunki brzegowe {{LinkWzór|HP-03}} i {{LinkWzór|HP-04}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=0</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(0)=p_{1}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{1}=\text{const}</MATH>}}. Dla {{Formuła|<MATH>x_{3}=l</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>p(l)=p_{2}</MATH>}}, co daje {{Formuła|<MATH>p_{2}=Cl+p_{1}</MATH>}}. Rozwiązujemy to równanie względem {{Formuła|<MATH>C</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>C=\frac{p_{2}-p_{1}}{l}</MATH>}}. Zwykle zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>C=-\frac{p_{1}-p_{2}}{l}</MATH>}}. Podstawiamy tę wartość {{Formuła|<MATH>C</MATH>}} do wyrażenia na ciśnienie: {{CentrujWzór|<MATH> p = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l}x_{3}+p_{1}, \qquad C = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-12}} Otrzymujemy liniową zależność ciśnienia od współrzędnej {{Formuła|<MATH>x_{3}</MATH>}}: ciśnienie maleje liniowo od {{Formuła|<MATH>p_{1}</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>p_{2}</MATH>}} wzdłuż długości rury. === Laplasjan w układzie cylindrycznym === Przechodzimy teraz do równania na prędkość w układzie cylindrycznym. Z równania {{LinkWzór|HP-10}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> \eta\left( \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} \right) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{l} </MATH>|HP-13}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}v_{3}}{\partial x_{2}^{2}} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} </MATH>|HP-14}} Teraz przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Korzystamy z wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} w układzie cylindrycznym: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta v_{3}(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-15}} Podstawiamy tę postać laplasjanu do równania {{LinkWzór|HP-14}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left( r\frac{dv_{3}}{dr} \right) </MATH>|HP-16}} To jest równanie różniczkowe dla funkcji {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}. Po lewej stronie mamy stałą związaną z różnicą ciśnień, lepkością i długością rury, po prawej stronie radialny laplasjan prędkości. Całkujemy teraz równanie {{LinkWzór|HP-16}} po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}. Najpierw mnożymy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\frac{p_{1}-p_{2}}{\eta l}r = \frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_{3}}{dr}\right) </MATH>|HP-17}} Całkujemy po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r\frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r^{2} + c_{2} </MATH>|HP-18}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dv_{3}}{dr} = -\frac{p_{1}-p_{2}}{2\eta l}r + \frac{c_{2}}{r} </MATH>|HP-19}} Całkujemy ponownie po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{2}\ln r + c_{1} </MATH>|HP-20}} Otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|HP-16}} z dwoma stałymi całkowania {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}</MATH>}}. Teraz narzucamy warunki fizyczne na prędkość. Pierwszy warunek dotyczy osi rury ({{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}). Wymagamy, aby prędkość na osi była skończona. Składnik {{Formuła|<MATH>c_{2}\ln r</MATH>}} byłby nieskończony dla {{Formuła|<MATH>r\to 0</MATH>}}, ponieważ {{Formuła|<MATH>\ln r\to -\infty</MATH>}}. Aby uniknąć nieskończoności prędkości na osi, narzucamy warunek {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania {{LinkWzór|HP-20}}. Otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}r^{2} + c_{1} </MATH>|HP-21}} Drugi warunek dotyczy ścianki rury ({{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). Zakładamy, że ciecz przylega do ścianki rury bez poślizgu, czyli prędkość na ściance jest równa zero: {{Formuła|<MATH>v_{3}(R)=0</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do równania na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} + c_{1} </MATH>|HP-22}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> c_{1} = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-23}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>c_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>c_{2}=0</MATH>}} do równania na prędkość: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-24}} Często zapisujemy różnicę ciśnień jako {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}</MATH>}}, dlatego wprowadzamy minus: {{Formuła|<MATH>p_{2}-p_{1}=-(p_{1}-p_{2})</MATH>}}. Podstawiamy to do wyrażenia na {{Formuła|<MATH>v_{3}(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(r) = -\frac{p_{2}-p_{1}}{4\eta l}(R^{2}-r^{2}) </MATH>|HP-25}} Otrzymujemy paraboliczny profil prędkości: prędkość jest maksymalna w osi rury (dla {{Formuła|<MATH>r=0</MATH>}}) i maleje do zera na ściance (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}). === Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a === Definiujemy natężenie przepływu {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} przez przekrój rury jako całkę z gęstości razy prędkość po powierzchni przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \int\rho v_{3}\,dS </MATH>|HP-26}} Przechodzimy do współrzędnych cylindrycznych {{Formuła|<MATH>(r,\theta)</MATH>}}. Element powierzchni w tych współrzędnych ma postać {{Formuła|<MATH>dS=r\,dr\,d\theta</MATH>}}. Podstawiamy profil prędkości {{LinkWzór|HP-25}} do definicji {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta </MATH>|HP-27}} Najpierw całkujemy po {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>2\pi</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi</MATH>}}. Pozostaje całka po {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr </MATH>|HP-28}} Całka z {{Formuła|<MATH>R^{2}r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}R^{2}r\,dr = \frac{R^{4}}{2} </MATH>|HP-29}} Całka z {{Formuła|<MATH>r^{3}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-30}} Odejmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})\,dr = \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} = \frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-31}} Podstawiamy wynik całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \rho\frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} </MATH>|HP-32}} Upraszczamy: {{CentrujWzór|<MATH> Q = \frac{\pi R^{4}\rho}{8\eta l}(p_{1}-p_{2}) </MATH>|HP-33}} To jest klasyczny wzór Hagena–Poiseuille’a na natężenie przepływu cieczy lepkiej przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}, długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}}, przy różnicy ciśnień {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}. === Średnia prędkość przepływu === Definiujemy średnią prędkość przepływu przez przekrój rury jako natężenie przepływu podzielone przez pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{Q}{\pi R^{2}} </MATH>|HP-34}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>Q</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-33}}: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l} </MATH>|HP-35}} Teraz porównujemy średnią prędkość z prędkością w osi rury. Z profilu prędkości {{LinkWzór|HP-25}} mamy: {{CentrujWzór|<MATH> v_{3}(0) = \frac{p_{1}-p_{2}}{4\eta l}R^{2} </MATH>|HP-36}} Porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \overline{v}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}(0) </MATH>|HP-37}} Otrzymujemy ważną interpretację fizyczną: średnia prędkość przepływu przez przekrój rury jest równa połowie maksymalnej prędkości w osi rury. === Różnica ciśnień === Teraz odwracamy zależność {{LinkWzór|HP-35}}, aby wyrazić różnicę ciśnień przez średnią prędkość przepływu. Z równania {{Formuła|<MATH>\overline{v}_{3}=\frac{R^{2}(p_{1}-p_{2})}{8\eta l}</MATH>}} rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> p_{1}-p_{2} = \frac{8\eta l}{R^{2}}\overline{v}_{3} </MATH>|HP-38}} To równanie mówi, jaka różnica ciśnień jest potrzebna, aby uzyskać zadaną średnią prędkość przepływu przez rurę o promieniu {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} i długości {{Formuła|<MATH>l</MATH>}} dla cieczy o lepkości {{Formuła|<MATH>\eta</MATH>}}. === Siła działająca na rurkę === Na koniec obliczamy siłę działającą na rurkę wzdłuż jej osi. Siła ta wynika z różnicy ciśnień na końcach rury. Definiujemy siłę {{Formuła|<MATH>F_{3}</MATH>}} jako różnicę ciśnień razy pole przekroju: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = (p_{1}-p_{2})\pi R^{2} </MATH>|HP-39}} Podstawiamy wyrażenie na {{Formuła|<MATH>p_{1}-p_{2}</MATH>}} z {{LinkWzór|HP-38}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{3} = 8\pi\eta l\,\overline{v}_{3} </MATH>|HP-40}} Otrzymujemy związek między siłą działającą na rurę, lepkością cieczy, długością rury i średnią prędkością przepływu. Jest to końcowy rezultat wyprowadzenia: od warunku nieściśliwości, przez równanie Naviera–Stokesa, symetrię rury, duże znaczenie lepkości, aż do profilu prędkości, natężenia przepływu, średniej prędkości, różnicy ciśnień i siły. == Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością == W tym podrozdziale '''krok po kroku''' opisujemy, co dokładnie robimy na każdym etapie: jakie '''założenie''' wprowadzamy, '''do którego równania''' je podstawiamy, co z tego wynika i '''dlaczego''' pojawia się dana postać rozwiązania. Rozpatrujemy kulkę poruszającą się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}}. Przechodzimy do układu odniesienia związanego z kulką, w którym kulka spoczywa, a ciecz opływa ją z prędkością {{Formuła|<MATH>v_{0}</MATH>}} w nieskończoności. To przejście do układu związanego z kulką oznacza, że '''kulka jest nieruchoma''', a '''daleko od niej''' ciecz płynie z ustaloną prędkością {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}. Ciecz jest nieściśliwa (brak źródeł i lejów, czyli dywergencja prędkości jest równa zero) oraz stacjonarna, dlatego równanie Naviera–Stokesa przyjmuje postać (podstawiamy: brak zależności od czasu, brak sił objętościowych): {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla p + \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.59}} Tutaj: * po lewej stronie mamy '''człon konwekcyjny''' (przyspieszenie wynikające ze zmiany prędkości w przestrzeni), * po prawej stronie: '''gradient ciśnienia''' oraz '''lepkościowy laplasjan prędkości'''. W przypadku dużej lepkości człon konwekcyjny jest pomijalnie mały względem członu lepkościowego. To jest '''założenie fizyczne''': lepkość dominuje nad bezwładnością. Formalnie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} \ll \eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.60}} Na tej podstawie '''upraszczamy''' równanie {{LinkWzór|13.59}}, czyli '''podstawiamy''', że lewa strona jest zaniedbywalna, i zostawiamy tylko równowagę między ciśnieniem a lepkością: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61a}} To jest kluczowe uproszczenie: zamiast pełnego Naviera–Stokesa mamy '''liniowe równanie''' wiążące ciśnienie z laplasjanem prędkości. ---- Następnie działamy rotacją na obie strony równania {{LinkWzór|13.61a}}. Wykorzystujemy fakt, że '''rotacja gradientu dowolnej funkcji jest równa zero''' (to jest tożsamość wektorowa): {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\times\nabla p = \eta\nabla\times\Delta\vec{v} \Rightarrow 0=\eta\nabla\times\Delta\vec{v} </MATH>|13.62}} Po lewej stronie: * {{Formuła|<MATH>\nabla\times\nabla p=0</MATH>}} z definicji (rotacja gradientu jest zawsze zerowa). Po prawej stronie: * zostaje {{Formuła|<MATH>\eta\nabla\times\Delta\vec{v}</MATH>}}, więc z równania wynika, że: {{Formuła|<MATH>\nabla\times\Delta\vec{v}=0</MATH>}}. To oznacza, że '''laplasjan prędkości jest bezwirowy'''. Z tego wnioskujemy, że '''sama prędkość''' może być rozłożona na część bezwirową (pochodzącą od potencjału) i część harmoniczną. ---- Z równania {{LinkWzór|13.62}} wynika, że prędkość musi być sumą części bezwirowej i harmonicznej. Formalnie zapisujemy: Część harmoniczna spełnia jednorodne równanie Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\vec{v}_{2}=0 </MATH>|13.63}} Część bezwirowa jest gradientem potencjału (definicja pola bezwirowego): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1}=\nabla\Phi </MATH>|13.64}} Zatem całkowita prędkość jest sumą tych dwóch części (to jest '''dekompozycja''' prędkości): {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{2} </MATH>|13.65}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}} – część bezwirowa, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} – część harmoniczna (spełnia Laplace’a). ---- Ponieważ w nieskończoności prędkość cieczy jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, narzucamy '''warunek brzegowy w nieskończoności''' na część harmoniczną. Zakładamy, że ta część ma kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} i zależy tylko od odległości od środka kulki {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}g(r) </MATH>|13.66}} To jest '''postać próbna''': * kierunek prędkości jest stały (jak w nieskończoności), * moduł zależy od r przez skalarną funkcję {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}}. Funkcja {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} spełnia równanie Laplace’a (bo {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} spełnia {{LinkWzór|13.63}}): {{CentrujWzór|<MATH> \Delta g(r)=0 </MATH>|13.67}} ---- Teraz korzystamy z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, czyli ze wzoru na laplasjan funkcji zależnej tylko od r w układzie sferycznym / radialnym. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)</MATH>}} do laplasjanu radialnego: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0 \Rightarrow g(r)=\frac{a}{r}+b </MATH>|13.68}} Tutaj: * równanie różniczkowe {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r}\frac{d^{2}}{dr^{2}}(rg)=0</MATH>}} pochodzi z {{LinkWzór|7.36|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, * rozwiązanie ogólne ma postać {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}+b</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>a,b</MATH>}} są stałymi. Teraz narzucamy warunek w nieskończoności: {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}} – część harmoniczna ma zanikający wkład w nieskończoności (nie może rosnąć). Podstawiamy ten warunek do {{LinkWzór|13.68}}: {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}} Bo gdy {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}, składnik {{Formuła|<MATH>a/r</MATH>}} zanika, a {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} pozostałby stały. Aby {{Formuła|<MATH>g(\infty)=0</MATH>}}, musi być {{Formuła|<MATH>b=0</MATH>}}. Zatem podstawiamy {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do równania na prędkość całkowitą {{LinkWzór|13.65}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \nabla\Phi + \vec{v}_{0}\frac{a}{r} </MATH>|13.69}} ---- Ciecz jest nieściśliwa i bezźródłowa, więc dywergencja prędkości musi być równa zero. To jest '''warunek nieściśliwości''': {{CentrujWzór|<MATH> \nabla\cdot\vec{v}=0 </MATH>|13.70}} Teraz '''podstawiamy''' prędkość {{LinkWzór|13.69}} do warunku {{LinkWzór|13.70}}. Dywergencja sumy jest sumą dywergencji, więc: * dywergencja {{Formuła|<MATH>\nabla\Phi</MATH>}} daje {{Formuła|<MATH>\Delta\Phi</MATH>}}, * dywergencja {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}} daje człon proporcjonalny do {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}}</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy równanie na laplasjan potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.71}} To jest '''równanie dla potencjału''' {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} wynikające z nieściśliwości i przyjętej postaci prędkości. ---- Szukamy rozwiązania potencjału w postaci zależnej od odległości od środka kulki i kierunku prędkości. Ponieważ w problemie wyróżniony jest kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, naturalnie przyjmujemy '''ansatz''': {{CentrujWzór|<MATH> \Phi = (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r) </MATH>|13.72}} Czyli: * część kierunkowa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}} (iloczyn skalarny), * część radialna {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}. Teraz '''podstawiamy''' tę postać {{LinkWzór|13.72}} do laplasjanu {{LinkWzór|13.71}}. Obliczamy laplasjan {{Formuła|<MATH>\Phi</MATH>}} dla funkcji postaci {{Formuła|<MATH>(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}}. Po wykonaniu rachunków (korzystając z operatorów w układzie sferycznym) otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta\Phi = \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) </MATH>|13.73}} ---- Teraz '''porównujemy''' {{LinkWzór|13.73}} z {{LinkWzór|13.71}}. Obie strony są proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}</MATH>}}, więc możemy porównać współczynniki przy tym iloczynie skalarnym. Formalnie: podstawiamy prawą stronę równania {{LinkWzór|13.71}} do {{LinkWzór|13.73}} i porównujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r} \left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} \right) = a\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>}} Dzielimy obie strony przez {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r}</MATH>}} (dla {{Formuła|<MATH>r\neq 0</MATH>}}), otrzymując równanie różniczkowe dla {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d^{2}}{dr^{2}}(rf) + 2\frac{df}{dr} = \frac{a}{r^{2}} </MATH>|13.74}} ---- Rozwiązanie równania {{LinkWzór|13.74}} ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> f(r) = A + \frac{B}{r^{3}} - \frac{a}{2r} </MATH>|13.75}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} są stałymi całkowania, * człon {{Formuła|<MATH>-\frac{a}{2r}</MATH>}} pochodzi z rozwiązania szczególnego równania z prawą stroną {{Formuła|<MATH>\frac{a}{r^{2}}</MATH>}}. ---- Teraz wracamy do definicji prędkości bezwirowej {{LinkWzór|13.64}} i postaci potencjału {{LinkWzór|13.72}}. Prędkość bezwirowa jest gradientem potencjału, więc '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>\Phi=(\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f(r)</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}=\nabla\Phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \nabla\Phi = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|13.76}} Interpretacja: * pierwszy człon {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}f(r)</MATH>}} – część równoległa do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}, * drugi człon – część zależna od kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}. ---- Całkowita prędkość cieczy jest sumą części bezwirowej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i harmonicznej {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}=\vec{v}_{0}\frac{a}{r}</MATH>}}. Podstawiamy {{LinkWzór|13.76}} oraz {{Formuła|<MATH>g(r)=\frac{a}{r}</MATH>}} do {{LinkWzór|13.69}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v} = \vec{v}_{0}f(r) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r})f'(r)\frac{\vec{r}}{r} + a\frac{\vec{v}_{0}}{r} </MATH>|13.77}} To jest '''pełna postać prędkości''' w funkcji {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} i stałej {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}. ---- Teraz narzucamy '''warunek daleki''': w nieskończoności prędkość cieczy ma przechodzić w jednorodny przepływ {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r\to\infty}\vec{v}(r)=\vec{v}_{0} </MATH>|13.78}} Podstawiamy {{LinkWzór|13.77}} do {{LinkWzór|13.78}}. Rozpatrujemy granicę dla {{Formuła|<MATH>r\to\infty</MATH>}}: * człon {{Formuła|<MATH>a\frac{\vec{v}_{0}}{r}</MATH>}} zanika (bo {{Formuła|<MATH>1/r\to 0</MATH>}}), * człon z {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} musi zanikać szybciej niż {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}, aby nie wnosić wkładu. Z tego otrzymujemy dwa warunki na {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}f(r)=1</MATH>|13.79}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{r\to\infty}rf'(r)=0</MATH>|13.80}} }} Pierwszy warunek mówi, że '''daleko od kulki''' prędkość jest równa {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}). Drugi warunek zapewnia, że dodatkowy człon z gradientu potencjału nie wnosi wkładu w nieskończoności. ---- Teraz narzucamy '''warunki brzegowe na powierzchni kulki''' (dla {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}}): {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>|13.81}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>f'(R)=0</MATH>|13.82}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} – warunek przylegania cieczy do powierzchni kulki (brak poślizgu), * {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}} – warunek gładkości profilu prędkości na powierzchni. Teraz '''podstawiamy''' {{Formuła|<MATH>f(r)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do {{LinkWzór|13.81}} i {{LinkWzór|13.82}}. Najpierw liczymy pochodną: {{CentrujWzór|<MATH> f'(r) = -\frac{3B}{r^{4}} + \frac{a}{2r^{2}} </MATH>}} Podstawiamy {{Formuła|<MATH>r=R</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>f'(r)</MATH>}} i narzucamy {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 0 = -\frac{3B}{R^{4}} + \frac{a}{2R^{2}} \Rightarrow B=\frac{1}{6}aR^{2} </MATH>|13.84}} To jest równanie {{LinkWzór|13.84}} – wynik podstawienia {{Formuła|<MATH>f'(R)=0</MATH>}}. Teraz podstawiamy {{Formuła|<MATH>f(R)</MATH>}} z {{LinkWzór|13.75}} do warunku {{LinkWzór|13.81}}: {{CentrujWzór|<MATH> f(R) = A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} </MATH>}} Warunek {{Formuła|<MATH>f(R)+\frac{a}{R}=0</MATH>}} daje: {{CentrujWzór|<MATH> A + \frac{B}{R^{3}} - \frac{a}{2R} + \frac{a}{R} = 0 \Rightarrow A+\frac{B}{R^{3}}+\frac{a}{2R}=0 </MATH>|13.83}} To jest równanie {{LinkWzór|13.83}}. ---- Teraz '''podstawiamy''' {{LinkWzór|13.84}} do {{LinkWzór|13.83}}. Zakładamy też, że w nieskończoności {{Formuła|<MATH>f(r)\to 1</MATH>}}, więc {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}. Podstawiamy {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>B=\frac{1}{6}aR^{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{1}{6}aR^{2}\cdot\frac{1}{R^{3}}+\frac{a}{2R} = 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R} = 0 </MATH>}} Rozwiązujemy względem {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> 1+\frac{a}{6R}+\frac{a}{2R}=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}R </MATH>|13.85}} Następnie podstawiamy {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}} do {{LinkWzór|13.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> B=\frac{1}{6}aR^{2} = \frac{1}{6}\left(-\frac{3}{2}R\right)R^{2} = -\frac{1}{4}R^{3} </MATH>|13.86}} ---- Teraz mamy już wszystkie stałe: {{Formuła|<MATH>A=1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>a=-\frac{3}{2}R</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>B=-\frac{1}{4}R^{3}</MATH>}}. Podstawiamy je do wyrażenia na prędkość bezwirową {{LinkWzór|13.76}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}_{1} = \vec{v}_{0} \left( 1 - \frac{1}{4}\frac{R^{3}}{r^{3}} + \frac{3}{4}\frac{R}{r} \right) + (\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}) \frac{\vec{r}}{r^{3}} \frac{3}{4}R \left( \frac{R^{2}}{r^{2}} - 1 \right) </MATH>|13.87}} To jest '''jawna postać''' prędkości bezwirowej w całej przestrzeni. ---- Na koniec wyznaczamy ciśnienie w cieczy. Wracamy do równania {{LinkWzór|13.61a}}: {{CentrujWzór|<MATH> \nabla p=\eta\Delta\vec{v} </MATH>|13.61b}} Ponieważ znamy postać prędkości, możemy obliczyć jej laplasjan i '''podstawić''' do {{LinkWzór|13.61b}}. Po wykonaniu rachunków otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> p = p_{0} - \frac{3}{2}\eta R\frac{\vec{v}_{0}\cdot\vec{r}}{r^{3}} </MATH>|13.89}} Tutaj: * {{Formuła|<MATH>p_{0}</MATH>}} – ciśnienie w nieskończoności, * drugi człon – zaburzenie ciśnienia wywołane obecnością kulki. Na końcu obliczamy siłę oporu działającą na kulkę. Siła ta jest wynikiem całkowania ciśnienia po powierzchni kulki (z odpowiednim znakiem i kierunkiem). Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} z {{LinkWzór|13.89}} do całki po powierzchni otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -6\pi\eta R\vec{v}_{0} </MATH>|13.90}} To jest '''klasyczny wzór Stokesa''' na siłę oporu lepkościowego działającą na kulkę poruszającą się w cieczy lepkiej o dużej lepkości. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 539xld5tx9950kr6ctge1vfdreypcib 0 20411 559099 558637 2026-10-11T03:46:00Z Persino 2851 559099 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zagadnienie interpolacji == Załóżmy, że mamy n+1 punktów x{{Sub|0}},x{{Sub|1}},...,x{{Sub|n}}, co nazywamy węzłami interpolacji, w którym dla każdego x{{Sub|i}} jest przyporządkowana pewna wartość, która jest pewną wartością funkcji, czyli y{{Sub|i}}, co ogólnie możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_0)=y_0, f(x_1)=y_1,..,f(x_n)=y_n\;</MATH>|1.1}} Przeprowadźmy pewną krzywą przechodzącej przez punkty {{LinkWzór|1.1}}, co nazywamy interpolacją, czyli znając te nasze punkty możemy policzyć wartość funkcji pomiędzy tymi punktami. == Zagadnienie interpolacji przy pomocy wielomianów == Będziemy szukali zagadnienia interpolacyjnego w postaci wielomianu przechodzącego poprzez te punkty, co ten wielomian jest stopnia n-tego, który to piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\;</MATH>|1.2}} Zakładamy, że węzły znajdują się w dowolnym miejscu w przedziale <a,b>. Jeśli wykorzystamy wzór {{LinkWzór|1.1}}, wtedy możemy napisać n+1 równań, które to zapisane są w postaci układów równań, z którego będziemy wyznaczać parametry a{{Sub|0}},a{{Sub|1}},...,a{{Sub|n}}. {{CentrujWzór|<MATH>\left\{\begin{matrix} a_0+a_1x_0+a_2x_0^2+...+a_nx_0^n=y_0\\ a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+...+a_nx_1^n=y_1\\ -----------\\ a_0+a_1x_n+a_2x_n^2+...+a_nx_n^n=y_n \end{matrix}\right.\;</MATH>|1.3}} Możemy wyznaczyć wyznacznik główny układu równań {{LinkWzór|1.3}}, który jest wyznacznikiem Vandermonde'a pisanych w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W=\begin{vmatrix} 1&x_0&x_0^2&x_0^3&\cdots&x_0^n\\ 1&x_1&x_1^2&x_1^3&\cdots&x_1^n\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&&\cdots\\ 1&x_n&x_n^2&x_n^3&\cdots&x_n^n \end{vmatrix}=\prod_{0\leq j<i\leq n}(x_i-x_j)\neq 0\;</math>|1.4}} Układ równań {{LinkWzór|1.3}} nazywamy układem Cramera, których to współczynniki a{{Sub|i}} wyliczamy ze wzoru Cramera w następującej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>a_i={{1}\over{D}}\sum_{i=1}^n y_jD_{ij}\mbox{ gdzie: }j=0,1,2,..,n\;</MATH>|1.5}} Z twierdzenia Cramera istnieje taki wielomian {{LinkWzór|1.2}} spełniający warunki {{LinkWzór|1.1}}. == Interpolacja według Lagrange'a == Jeśli wzór na a{{Sub|i}} {{LinkWzór|1.5}} podstawimy do wzoru na wielomian n-tego stopnia, w których poszczególne wielomiany bazowe są co najwyżej n-tego stopnia {{LinkWzór|1.2}}, otrzymujemy wtedy wzór na wielomian W{{Sub|n}}(x): {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=y_0\Phi_0(x)+y_1\Phi_1(x)+...+y_n\Phi_n(x)\;</MATH>|1.6}} * gdzie wielomiany &Phi;{{Sub|0}}, &Phi;{{Sub|1}},...,&Phi;{{Sub|n}} są wielomianami co najwyżej n-tego stopnia. Jeśli założymy, że węzły są rozłożone w dowolny sposób w danym ściśle określonym przedziale, to dla argumentu x=x{{Sub|i}} funkcję {{LinkWzór|1.6}} możemy napisać też w postaci zwartej i przy pomocy oznaczenia y{{Sub|i}}=F(x{{Sub|i}}), gdzie ta ostatnia jest funkcją interpolowaną w punktach x{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x_i)=y_0\Phi_0(x_i)+y_1\Phi_1(x_i)+...+y_n\Phi_n(x_i)=\sum_{k=0}^ny_k\Phi_k(x_i)=\sum_{k=0}^nF(x_k)\Phi_k(x_i)\;</MATH>|1.7}} Z równania {{LinkWzór|1.7}} wynika następująca własność, którą piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi_j(x_i)=\begin{cases} 0& \mbox{ gdy }j\neq i\\ 1& \mbox{ gdy }j=i\end{cases}\;</MATH>|1.8}} Teraz skonstruujmy wielomian &Phi;{{Sub|j}}(x), który w punktach x{{Sub|0}},x{{Sub|1}},...,x{{Sub|j-1}},x{{Sub|j+1}},..,x{{Sub|n}} jest określony według {{LinkWzór|1.8}} dla wspomnianych węzłów jako: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi_j(x)=\lambda(x-x_0)(x-x_1)\cdot...\cdot(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdot....\cdot(x-x_n)\;</MATH>|1.9}} Równość {{LinkWzór|1.9}}, która przestawia funkcję &Phi;{{Sub|j}}(x), w której możemy policzyć parametr &lambda;, która zależy od węzłów przestawionych powyżej, z własności funkcji &Phi;(x) przestawionych w punkcie {{LinkWzór|1.8}} możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>1=\lambda(x_j-x_0)(x_j-x_i)\cdot...\cdot(x-x_{j-1})(x_j-x_{j=1})\cdot...\cdot (x_j-x_n)\;</MATH>|1.10}} Z wartości &lambda; otrzymanego z tożsamości {{LinkWzór|1.10}} jako odwrotności jedynki i wyrażenia zależnego od różnic pewnych węzłów i podstawieniu jego do równania {{LinkWzór|1.9}}, wtedy otrzymujemy równość na funkcję &Phi;{{Sub|j}}: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi_j(x)={{(x-x_0)(x-x_i)\cdot ...\cdot(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdot...\cdot(x-x_n)}\over{(x_j-x_0)(x_j-x_i)\cdot...\cdot(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdot ...\cdot(x_j-x_n)}}\;</math>|1.11}} Zatem całkowity wielomian interpolacyjny W{{Sub|n}}(x) przestawionego w punkcie {{LinkWzór|1.6}}, na podstawie wyliczonej funkcji &Phi;{{Sub|j}}(x) napisaną w punkcie {{LinkWzór|1.11}}, piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=y_0{{(x-x_1)(x-x_2)\cdot...\cdot(x-x_n)}\over{(x_0-x_1)...(x_0-x_n)}}+y_1{{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}\over{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)}}+...+\;</MATH>{{Br}} <MATH>+y_n{{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})}\over{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_{n-1})}}=\;</MATH>{{Br}} <MATH>=\sum_{j=0}^ny_j{{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})...(x-x_n)}\over{(x_{j}-x_0)(x_{j}-x_1)...(x_{j}-x_{j-1})(x_{j}-x_{j+1})...(x-x_n)}}\;</MATH> |1.12}} Oznaczmy przez oznaczenie &omega;(x), który zależy od iloczynów różnic argumentu x i j-tego węzła w problemie interpolacyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)\;</MATH>|1.13}} Zatem wielomian W{{Sub|n}}(x) {{LinkWzór|1.12}} według przestawienia &omega;{{Sub|n}} {{LinkWzór|1.13}} jako wielomianu n+1-tego stopnia przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=\sum_{j=0}^ny_j{{w_n(x)}\over{(x-x_j)\left\{{{\omega_n(x)}\over{(x-x_j)}}\right\}_{x=x_j}}}=\sum_{j=0}^ny_i{{\omega_n(x)}\over{(x-x_j)\omega^'_n(x_j)}}\;</MATH>|1.14}} * gdzie &omega;'{{Sub|n}} jest wielomian pochodzący od &omega;{{Sub|n}}(x) w punkcie x=x{{Sub|j}}, który jest zapisany bez użycia czynnika (x-x{{Sub|j}}), która jest miejscem zerowym funkcji &omega;{{Sub|n}}. Otrzymany wzór {{LinkWzór|1.12}} spełnia wszystkie warunki interpolacji i nazywamy go wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a. == Metoda interpolacyjna Aitkena == Zbudujmy teraz wielomian stopnia pierwszego w postaci wyznacznika, które w punktach x{{Sub|i}}, x{{Sub|j}} przyjmuje wartości y{{Sub|i}} i y{{Sub|j}}, którego definicja jest przestawiona dla dwóch węzłów interpolacyjnych: {{CentrujWzór|<MATH>W_{i,j}(x)={{\begin{vmatrix} y_i&x_i-x\\ y_j&x_j-x \end{vmatrix}}\over{x_j-x_i}}\;</MATH>|1.15}} W oparciu o wielomian pierwszego stopnia {{LinkWzór|1.15}}, który zbudujemy jako wielomian drugiego stopnia, który w punktach x{{Sub|i}}, x{{Sub|j}},x{{Sub|k}} <MATH>(1\neq j\neq k)\;</MATH> przyjmuje wartości y{{Sub|i}}, y{{Sub|j}}, y{{Sub|k}}, który jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W_{i,j,k}(x)={{\begin{vmatrix} W_{i,j}(x)&x_j-x\\ W_{i,k}&x_k-x \end{vmatrix}}\over{x_k-x_j}}\;</MATH>|1.16}} Ogólnie rzecz można powiedzieć, że wielomian n-tego stopnia przyjmujący dla argumentów x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},...,x{{Sub|n}}, określony koleino dla odpowiednich węzłów, której odpowiadają określone wartości y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}},...,,y{{Sub|n}}, że jest to wielomian interpolacyjny przestawionych następującym wzorem interpolacyjnym dla wspomnianych węzłów: {{CentrujWzór|<MATH>W_{1,2,..,k,m}={{\begin{vmatrix}W_{1,2,..k-1,k}(x)&x_k-x\\W_{1,2,...,k-1,m}(x)&x_m-x\end{vmatrix}}\over{x_m-x_k}}\;</MATH>|1.17}} Wielomian otrzymany wychodząc od {{LinkWzór|1.15}} i {{LinkWzór|1.16}} piszemy jako wielomian {{LinkWzór|1.17}} o stopniu n, który spełnia wszystkie warunki interpolacyjne dla węzłów interpolacyjnych oznaczonej ogólnie x{{Sub|i}}. == Oszacowanie błędu dla problemu interpretacyjnego Lagrange'a == Zdefiniujmy sobie wielomian na przedziale <a,b>, który jest określony wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon(x)=f(x)-W_n(x)\;</MATH>|1.18}} Musimy dalej określić funkcję &epsilon;(x) mając na uwadze, że pochodna f(x) ma pochodne do rzędu n+1 włącznie, zatem teraz wprowadzamy funkcje pomocniczą z pewną stałą K: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(u)=f(u)-W_n(u)-K(u-x_0)(u-x_1)....(u-x_n)\;</MATH>|1.19}} Z powodów oczywistych przy definicji &phi;(u) funkcja dla punktów x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}},..,x{{Sub|n}}, które są węzłami w omawianym problemie interpolacyjnym, przyjmuje wartość zerową w tychże punktach. Współczynnik K bywa tak zwykle dobierany, by funkcja &phi;(u) miała również pierwiastek w punkcie <MATH>\overline{x}\;</MATH>, zatem tożsamość {{LinkWzór|1.19}}, z której wyliczymy K, jest wyrażana: {{CentrujWzór|<MATH>K={{f(\overline{x})-W_n(\overline{x})}\over{(\overline{x}-x_0)(\overline{x}-x_1)...(\overline{x}-x_n)}}={{f(\overline{x})-W_n(\overline{x})}\over{\omega_n(\overline{x})}}\;</MATH>|1.20}} Mianownik w równości {{LinkWzór|1.19}} jest zawsze nierówny zero, dla {{Formuła|<MATH>\overline{x}\neq x_i\;</MATH>}}, tzn. {{Formuła|<MATH>(x_0<x_i<...x_n)\;</MATH>}}. Funkcja &phi;(u) ma n+2 miejsc zerowych w przedziale <a,b> dla punktów {{Formuła|<MATH>x_0,x_1,x_2,...,x_n,\overline{x}\;</MATH>}}. Jeśli skorzystamy z twierdzenia Rolle'a możemy powiedzieć, że pierwsza pochodna funkcji {{LinkWzór|1.20}} ma n+1 miejsc zerowych funkcji, każda pochodna pierwszego rzędu równa zero należy do odpowiednich przedziałów, w których każdy taki przedział posiada jedną pochodną równą zero. W każdym tak opisanej w przedziale, jeśli nań go na małe odcinki podzielimy między punktami interpolacyjnymi, w ten sposób otrzymujemy, że druga pochodna według naszego wcześniej wspomnianego wzoru przyjmuje wartość zerową w pewnym punkcie wewnątrz tego przedziału, a tych miejsc zerowych w całym omawianym przedziale jest n, wtedy dochodzimy do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\psi^{''}(\xi_0^{(2)})=\psi^{''}(\xi_1^{(2)})=....=\psi^{''}(\xi_{n-1}^{(2)})=0\;</MATH>|1.21}} Jeśli będziemy kontynuować nasze rozważania dochodzimy do wniosku, ze mamy conaj mniej jeden taki punkt, który mieści się w przedziale (min(x,x{{Sub|0,}}),max(x,x{{Sub|n}})), dla którego zachodzi {{Formuła|<MATH>\varphi^{(n+1)}(\xi)=0\;</MATH>}}, natomiast jeśli mamy {{Formuła|<MATH>W_n^{n+1}(x)=0\;</MATH>}}, ale i też n+1 pochodna funkcji &omega;, którą to piszemy wzorem {{Formuła|<MATH>\omega^{(n+1)}_n(x)]=(n+1)!\;</MATH>}}, zatem n+1-ta pochodna funkcji {{LinkWzór|1.16}}, która na tej podstawie i wcześniejszych rozważań, zapisujemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi^{(n+1)}(u)=f^{(n+1)}(u)-K(n+1)!\;</MATH>|1.22}} I jeśli weźmiemy miejsce zerowe funkcji &phi;(u), które jest w punkcie &xi; dla {{Sup|(n+1)}} według wcześniejszych określeń jest równa zero, to wtedy z tożsamości {{LinkWzór|1.22}} wynika wzór na parametr K dla ściśle określonych węzłów: {{CentrujWzór|<MATH>K={{f^{(n+1)}(\xi)}\over{(n+1)!}}\;</MATH>|1.23}} Jako ostatni krok należy wykorzystać równość {{LinkWzór|1.20}} i wyliczoną stałą K przestawioną w punkcie {{LinkWzór|1.23}}, wtedy mamy następujący wzór na różnicę funkcji, z którego chcemy napisać interpolację W{{Sub|n}}(x) i funkcji, którą chcemy interpolować, tzn.: f(x), wtedy możemy napisać tożsamość używając tutaj zamiast <MATH>\overline{x}\;</MATH> symbol x: {{CentrujWzór|<MATH>f(x)-W_n(x)={{f^{(n+1)}(\xi)}\over{(n+1)!}}\omega_n(x)\;</MATH>|1.24}} Przyjmijmy teraz jako maksimum funkcji f{{Sup|(n+1)}} w przedziale <a,b>, jeśli w ogóle w tym przedziale istnieje jego maksimum, które oznaczmy je przez M{{Sub|n+1}}, tą wartość funkcji oznaczamy jako: {{CentrujWzór|<MATH>M_{n+1}=\sup_{x\in\langle a,b\rangle }|f^{(n+1)}(x)|\;</MATH>|1.25}} Bezwzględny błąd opisywania funkcji f(x) w postaci wielomianów W{{Sub|n}}(x) jest to wzór napisanych na podstawie {{LinkWzór|1.25}} i {{LinkWzór|1.24}}, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>|f(x)-W_n(x)|\leq{{M_{n+1}}\over{(n+1)!}}|\omega_n(x)|\;</MATH>|1.26}} == Problem najlepszego wyboru węzłów interpolacji == Problem najlepszego wyboru wezłów interpolacji po raz pierwszy przestawił Czybyszew, który to wielomiany Czybyszewa przestawiamy wedle wzoru na przedziale <-1,1>: {{CentrujWzór|<MATH>T_n=\cos(n\operatorname{arccos} (x))\;</MATH>|1.27}} Jak sie okazuje, że wielomiany Czybyszewa dla pierwszych jego wyrazów przestawiamy: * {{Formuła|<MATH>T_0=\cos(0\cdot\operatorname{arccos}(x))=\cos(0)=1\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>T_1(x)=\cos(\operatorname{\arccos}(x))=x\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>T_2(x)=\cos(2\cdot\operatorname{arccos}(x))=2\cos^2(\operatorname{arccos}(x))-1=2x^2-1\;</MATH>}} .... A jego kolejne wyrazy są przestawione wzorem na wielomian Czybyszewa, który to związek iteracyjny przestawiony jest w zależności od liczby naturalnej n jako wskaźnika i od argumentu x: {{CentrujWzór|<math>T_n(x)=2xT_{n-1}-T_{n-2}\mbox{ n=2,3,4,...}\;</MATH>|1.28}} Wielomian Czybyszewa {{LinkWzór|1.27}} jak można wykazać ma pierwiastki w punktach x{{Sub|n}}, które to są zależne od liczby naturalnej m i n, które to pierwiastki po podstawieniu wzoru poniższego do {{LinkWzór|1.27}} daje nam wartość zerową funkcji T{{Sub|n}}(x), zatem: {{CentrujWzór|<MATH>x_n=\cos\left({{2m+1}\over{2n}}\pi\right)\;</MATH>|1.29}} A dowodem tego, że liczby {{LinkWzór|1.29}} są pierwiastkami równania {{LinkWzór|1.27}} jest dokonanie do niego podstawienia wspomnianych liczb, tzn. x{{Sub|n}}, co po dokonaniu obliczeń otrzymujemy zero: {{CentrujWzór|<MATH>T_n=\cos\left(n\cdot\operatorname{arccos}(x_n)\right)= \cos\left(n\cdot\operatorname{arccos}\left(\cos\left({{2m+1}\over{2n}}\pi\right)\right)\right)=\cos\left(n{{2m+1}\over{2n}}\pi\right)=\cos\left(m+{{1}\over{2}}\right)=0\;</MATH>|1.30}} Parząc na kolejne wyrazy przedstawione w punkcie {{LinkWzór|1.28}}, to one mają przy najwyższej potędze wartość 2{{Sup|n-1}}, zatem szukamy wielomianu, który przy najwyższej potędze będzie miał wartość jeden, zatem na podstawie tego możemy napisać wielomian, który to {{LinkWzór|1.27}} ma pierwiastki w punktach {{LinkWzór|1.29}}, zatem na podstawie tego możemy napisać równość po podzieleniu wielomianu T{{Sub|n}}(x) przez liczbę 2{{Sup|n}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>T^*_{n+1}(x)={{1}\over{2^n}}T_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdot...\cdot (x-x_n)\;</MATH>|1.31}} Zatem wielomian <MATH>\omega_n(x)\;</MATH> na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.31}}, który to w punktach {{LinkWzór|1.29}} ma pierwiastki, możemy przestawić według następującego sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n(x)={{1}\over{2^n}}T_{n+1}(x)\;</MATH>|1.32}} Co wówczas na podstawie, że wielomian Czybyszewa {{LinkWzór|1.27}}, który ma ograniczoną wartość leżącą między wartościami <-1,1>, co możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\sup_{x\in(-1,1)}|\omega_n(x)|={{1}\over{2^n}}\;</MATH>|1.33}} Ograniczenia przedziału błędów między szukanym wielomianem W{{Sub|n}}(x), a funkcją interpolowaną f(x) {{LinkWzór|1.26}}, możemy przedstawić wykorzystując fakt ograniczenia wielomianu &omega;{{Sub|n}}(x), zatem ten nasz błąd bezwzględny przy liczeniu wartości funkcji przy pomocy funkcji interpolującej względem samej funkcji interpolowanej możemy przestawić według: {{CentrujWzór|<MATH>|f(x)-W_n|\leq{{M_{n+1}}\over{2^n(n+1)!}}\;</MATH>|1.34}} == Wzór interpolacyjny Newtona dla dowolnych odstępu argumentu == Określmy teraz funkcję f(x), określone dla tablicy x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}},..,x{{Sub|n}}, które są węzłami interpolacji, a natomiast punkty odpowiadająca tym węzłom są to wartości f(x{{Sub|0}}), f(x{{Sub|1}}), f(x{{Sub|2}}),.. f(x{{Sub|n}}), zatem zdefiniujmy teraz ilorazy różnicowe: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_{i-1};x_i)={{f(x_{i})-f(x_{i-1})}\over{x_i-x_{i-1}}}\;</MATH>|1.35}} Iloraz różnicowy drugiego rzędu, który to piszemy przy pomocy ilorazów różnicowych pierwszego rzędu, wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_{i};x_{i+1};x_{i+2})={{f(x_{i+1};x_{i+2})-f(x_i;x_{i+1})}\over{x_{i+2}-x_i}}\;</MATH>|1.36}} Dla dowolnego ilorazu różnicowego n-tego rzędu, który to piszemy przy pomocy ilorazów różnicowych n-1 rzędu, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i;x_{i+1};x_{i+2};..;x_{i+n})={{f(x_1;x_2;...x_{i+n})-f(x_1;x_2;...,x_{i+n-1})}\over{x_{i+n}-x_i}}\;</MATH>|1.37}} Napiszmy teraz wielomian interpolacyjny W{{Sub|n}}, który to spełnia następujący warunek interpolacyjny poniżej, czyli wartość funkcji f w punkcie x{{Sub|i}} jest równa funkcji, której jest funkcją interpolacyjną W{{Sub|n}}, też w tym samym punkcie, którą to piszemy wedle schematu ogólnie: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x_i)=f(x_i),\mbox{ dla }i=0,1,2,...,n\;,</MATH>|1.38}} Zapiszmy teraz wielomian interpolacyjny W{{Sub|n}}(x) rozpisując ją jako tożsamość, która jest sumą różnic wielomianu W{{Sub|i}}(x) i W{{Sub|i-1}}(x), co do całego wielomianu dodamy funkcję W{{Sub|0}}(x), wtedy taki przebieg rozważań sugeruje, że ona jest funkcją W{{Sub|n}}(x), którą to możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=W_0(x)+[W_{1}(x)-W_0(x)]+[W_2(x)-W_1(x)]+...+[W_n-W_{n-1}]\;</MATH>|1.39}} Oczywiste jest, że wielomian W{{Sub|k}}-W{{Sub|k-1}}(x) jest różnicą rozważanych wielomianów, który jest iloczynem stałej A przez iloczyn różnić argumentu x i argumentu x{{Sub|i}} dla całej gamy węzłów od i=0 do i=k-1, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>W_k(x)-W_{k-1}(x)=A(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{k-1})\;</MATH>|1.40}} * gdzie A jest pewna stałą, aby je obliczyć należy wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.38}} i podstawić x{{Sub|k}} do {{LinkWzór|1.40}} wykorzystując fakt {{LinkWzór|1.14}} na wielomian interpolacyjny Lagrange'a, wtedy na podstawie tego możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>A={{f(x_k)}\over{(x_k-x_0)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})}}-{{\sum_{i=0}^{k-1}f(x_i){{\omega_{k-1}(x_k)}\over{(x_k-x_i)\omega^'_{k-1}(x_i)}} }\over{(x_k-x_0)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})}}\;</MATH>|1.41}} Wzór {{LinkWzór|1.41}} z oczywistych powodów na podstawie tożsamości na wielomian &omega;{{Sub|k}}, według wzoru {{LinkWzór|1.13}}, przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>A={{f(x_k)}\over{\omega_{k-1}(x_k)}}+\sum_{i=0}^{k-1}{{f(x_i)}\over{(x_k-x_i)\omega^'_{k-1}(x_i)}}=\sum_{i=0}^k{{f(x_i)}\over{\omega_k(x_i)}}\;</MATH>|1.42}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.42}} różnica wielomianów dla k i k-1, czyli według wzoru {{LinkWzór|1.40}}, jest zapisana dla dowolnego argumentu x tejże funkcji: {{CentrujWzór|<MATH>W_k(x)-W_{k-1}(x)=\left(\sum_{i=0}^k{{f(x_i)}\over{\omega_k(x_i)}}\right)\omega_{k-1}(x)\;</MATH>|1.43}} Jeśli chcemy zapisać {{LinkWzór|1.37}} w postaci dogodnej używając ilorazów różnicowych, to iloraz różnicowy rzędu n przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i;x_{i+1};...;x_{i+n})={{f(x_i)}\over{(x_i-x_{i+1})(x_i-x_{i+2})...(x_i-x_{i+n})}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH> {{f(x_{i})}\over{(x_{i+1}-x_i)(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+n})}}+...+\;</MATH>{{Br}}<MATH> {{f(x_{i+n})}\over{(x_{i+n}-x_i)(x_{i+n}-x_{i+1})...(x_{i+n}-x_{i+n-1})}}</MATH>|1.44}} Wzór {{LinkWzór|1.34}} możemy udowodnić metodą indukcji zupełnej, którego dla n=1 ten etap dowodu piszemy w postaci poniżej, jak się przekonamy, że wspomniany wzór pokrywa się ze wzorem powyżej dla przypadku n=1, zatem na podstawionych tych wypowiedzeń mamy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i;x_{i+1})={{f(x_{i+1})-f(x_i)}\over{x_{i+1}-x_i}}={{f(x_{i})}\over{x_i-x_{i+1}}}+{{f(x_{i+1})}\over{x_{i+1}-x_i}}\;</MATH>|1.45}} Teraz dokonajmy następnej części dowodu i sprawdźmy, czy z części dowodu dla n=k-1 wynika dowód n=k, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_i;x_{i+1};x_{i+2};..x_{n+k})={{f(x_{i+1};x_{i+2};...x_{i+k})-f(x_i;x_{i+1};...;x_{i+k-1})}\over{x_{i+k}-x_i}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{(x_{i+k}-x_i)}}\Bigg\{\Bigg[ {{f(x_{i+1})}\over{(x_{i+1}-x_{i+2})(x_{i+1}-x_{i+3})...(x_{i+1}-x_{i+k})}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH> +{{f(x_{i+2}}\over{(x_{i+2}-x_{i+1})(x_{i+2}-x_{i+3})...(x_{i+k}-x_{i+k-1})}}+...+\;</MATH>{{Br}} <MATH>+{{f(x_{i+k})}\over{(x_{i+k}-x_{i+1})(x_{i+k}-x_{i+2})...(x_{i+k}-x_{i+k-1})}}\Bigg]-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\Bigg[ {{f(x_k)}\over{(x_{i}-x_{i+1})(x_i-x_{i+2})...(x_i-x_{i+k-1})}}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+ {{f(x_i)}\over{(x_{i+1}-x_i)(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+k-1}) }}+\;</MATH>{{Br}}<MATH> +{{f(x_{i+1})}\over{(x_{i+1}-x_i)(x_{i+1}-x_{i+2})...(x_{i+1}-x_{i+k-1})}}+...+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+ {{f(x_{i+k-1})}\over{(x_{i+k-1}-x_k)(x_{i+k-1}-x_{i+1})...(x_{i+k-1}-x_{i+k-1})}}\Bigg]\Bigg\}</MATH>|1.46}} W przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|1.46}} możemy uzyskać taką prawidłowość, że wyrazy stojące przy f(x{{Sub|i}}) oraz f(x{{Sub|i+k}}) występują tylko jeden raz, Natomiast składniki zawierające czynnik f(x{{Sub|i}}) dla j=i+1,i+2,..,i+k-1 występują parami, zatem rozpisując te pary, możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{(x_{i+k}-x_i)}}\Bigg[{{f(x_i)}\over{(x_j-x_{i+1})(x_j-x_{i+2})...(x_j-x_{j-1})...(x_j-x_{i+k})}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH> -{{f(x_i)}\over{(x_j-x_i)(x_j-x_{i+12})..(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})...(x_i-x_{j+k-1})}}\Bigg]=</MATH>{{Br}}<MATH>= {{f(x_i)}\over{(x_j-x_{i})...(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})..(x_j-x_{j+k-1})}}\cdot\;</MATH>{{Br}}<MATH>\cdot{{1}\over{(x_{i+k}-x_i)}}\left[{{1}\over{x_j-x_{i+k}}}-{{1}\over{x_j-x_i}}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{f(x_j)}\over{(x_j-x_i)(x_i-x_{i+})...(x_j-x_{i+1})(x_j-x_{j+1})...(x_j-x_{i+k})}}\;</MATH>|1.47}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.47}} i {{LinkWzór|1.46}} udowodniliśmy za pomocą indukcji matematycznej, że wyrazy pod sumą w {{LinkWzór|1.43}} możemy przestawić je jako ilorazy różnicowe do następującej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>f(x_1;x_2;...;x_{i+k})=\sum_{j=1}^{j=i+k}{{f(x_j)}\over{(x_j-x_i)(x_j-x_{i+1})...(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})..(x_j-x_{i+k})}}\;</MATH>|1.48}} Przy dalszych rozważaniach skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|1.43}}, i {{LinkWzór|1.48}} dla przypadku i=0 , a także z W{{Sub|0}}(x{{Sub|0}})=f(x{{Sub|0}}), co według przedstawienia {{LinkWzór|1.14}} można zapisać wielomian W{{Sub|n}}(x): {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=f(x_0)+f(x_0;x_1)\omega_0(x)+f(x_0;x_1;x_2)\omega_1(x)+...f(x_0;x_1;...x_n)\omega_{n-1}(x)\;</MATH>|1.49}} Wzór interpolacyjny {{LinkWzór|1.49}} możemy zapisać w postaci interpolacyjnej, który ma nazwę wzoru interpolacyjnego Netwona dla dowolnych odstępów dla węzłów lub wzoru interpolacyjnego Newtona z ilorazem różnicowym. == Różnice progresywne i wsteczne == Wezły w sieci w poprzednich rozważaniach mogły być całkowicie dowolne, tzn. węzły: x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}}, ...,x{{Sub|n}}. Tym razem wybierzemy węzły, które są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>x_1=x_0+h\mbox{, }x_2=x_0+2h\mbox{,...}x_n=x_0+nh\;</MATH>|1.50}} === Różnice progresywne === Niech będą określone wartości funkcji f(x) w punktach x{{Sub|0}},x{{Sub|1}},...,x{{Sub|n}} określone wzorami według punktu {{LinkWzór|1.50}}, zatem różnica progresywną pierwszego rodzaju piszemy według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta f=f(x+h)-f(x)\;</MATH>|1.52}} Aby zdefiniować różnice progresywne wyższych rzędów należy określić tożsamość, która jest zdefiniowana przy pomocy kilku operatorów różnic: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^n f=\Delta(\Delta^{n-1}f)\;</MATH>|1.53}} Przykładem różnicy drugiego rzędu nazywamy różnicę przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|1.53}} określoną wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^2f=\Delta(\Delta f)=\Delta[f(x+h)-f(x)]=[f(x_2h)-f(x+h)]-f(x+h)-f(x)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\;</MATH>|1.54}} Ogólnie rzecz biorąc możemy obrać wartości y{{Sub|0}}, y{{Sub|1}},..,y{{Sub|n}}, wtedy n-ta różnica elementu ciągu y{{Sub|i}} określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^ny_i={n \choose 0}y_{i+n}-{n\choose 1}y_{i+n-1}+{ n\choose 2}y_{i+n+2}-...-(-1)^n{n\choose n-1} y_{i+1}+...+(-1)^n{ n\choose n}y_i\;</MATH>|1.55}} Co wyrażenie {{LinkWzór|1.55}} możemy napisać w formie bardzo uproszczonej, używając definicji sumy, w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^n y_{i}=\sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n-j}\;</MATH>|1.56}} Teraz wzór {{LinkWzór|1.55}} udowodnimy przy pomocy indukcji matematycznej, co dla n=1 powyższy wzór przechodzi w tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^1y_i=\Delta y_i=(-1)^0{1\choose 0}y_{i+1}+(-1)^{1}{1 \choose 1}y_i=y_{i+1}-y_i\;</MATH>|1.57}} Co wzór {{LinkWzór|1.55}} na podstawie jej szczególnego przypadku {{LinkWzór|1.56}}, czyli dla n=1, czyli on się pokrywa ze wzorem {{LinkWzór|1.52}}. Teraz udowodnijmy wzór {{LinkWzór|1.56}}, ze jeśli ten nasz wzór jeśli jest prawdziwy dla n, to jest prawdziwy dla n+1, wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta^{n+1}y_i=\Delta\Delta^n y_i=\Delta\left(\sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n-j}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n-j+1}-\sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n-j}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{j=0}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n+1-j}+\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j}{n\choose j-1}y_{i+n+1-j}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{j=1}^n(-1)^j{ n\choose j}y_{i+n+1-j}+\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j}{n\choose j-1}y_{i+n+1-j}+{n\choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n\choose n}y_i=\;</MATH>{{Br}}<MATH>\sum_{j=1}^n(-1)^j\left[{n\choose j}+{ n\choose j-1}\right]y_{i+n+1-j}+{n+1\choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n+1\choose n+1}y_{i}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\sum_{j=1}^n(-1)^{j}{n+1\choose j}y_{i+n+1-j}+{n+1\choose 0}y_{i+n+1}+(-1)^{n+1}{n+1\choose n+1}y_i=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{j=0}^{n+1}(-1)^{j}{n+1\choose j} y_{i+n+1-j}</maTH>|1.58}} Co kończy dowód twierdzenia {{LinkWzór|1.55}} na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.58}} i {{LinkWzór|1.57}}. Następny bardzo ważnym twierdzeniem jest twierdzenie podane przy pomocy wzoru na element y{{Sub|k}} przy pomocy k-tych rzędów różnic progresywnych: {{CentrujWzór|<MATH>y_k=y_0+{k \choose 1}\Delta y_0+{k \choose 2}\Delta^2y_0+...+{k\choose k}\Delta^k y_0=\sum_{i=0}^k{k\choose i}\Delta^i y_0\;</MATH>|1.59}} Aby udowodnić wzór {{LinkWzór|1.59}} należy wykorzystać twierdzenie o indukcji matematycznej. Wedle twierdzenia od indukcji zupełnej sprawdźmy dla k=0, zatem dla tego nasz wzór wspomniany przechodzi w wzór, który jest zwykłą tożsamością. Sprawdźmy, czy jeśli nasz wzór {{LinkWzór|1.59}} jest prawdziwy dla k, to czy z niego wynika prawdziwość dla k+1, w tym celu napiszmy do niego wyrażenie: {{CentrujWzór|<math>y_{k+1}=y_k+\Delta y_k=\sum_{i=0}^k{k\choose i}\Delta^i y_0+\sum_{i=0}^k{k\choose i}\Delta^{i+1} y_0=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \sum_{i=0}^{k}{k\choose i}\Delta^ky_0+\sum_{i=1}^{k+1}{k\choose i-1}\Delta^ky_0=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_{i=1}^{k}\left[{k\choose i}+{k\choose i-1}\right]\Delta ^i y_0+{k+1\choose 0}\Delta y_0+{k+1\choose k+1}\Delta^{k+1}y_0=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum^k_{i=1}{k+1\choose i}\Delta^iy_0+{k+1\choose 0}\Delta y_0+{k+1\choose k+1}\Delta^{k+1}y_0=\sum_{i=0}^{k+1}{k+1\choose i}\Delta^iy_0</MATH>|1.60}} ==== Pewne dowody ważnych twierdzeń na różnicach progresywnych ==== Najpierw podamy pewne trzy twierdzenia bez dowodu, których to dowody są trywialne, oto twierdzenia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta(g_k\pm f_k)=\Delta g_k\pm\Delta f_k\;</MATH>|1.61}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta(af_k)=a\Delta f_k\;</MATH>|1.62}}|3={{CentrujWzór|<MATH>\Delta^m(\Delta^n f_k)=\Delta^{m+n}f_k\;</MATH>|1.63}} }} Teraz podamy następne twierdzenia, którego dowód w cale nie jest trywialny, zatem to pierwsze twierdzenie piszemy wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta[f_k\cdot g_k]=f_{k+1}\Delta g_k+g_{k+1}\Delta f_k\;</MATH>|1.64|Obramuj}} A jego dowód przeprowadzamy w sposób następujący: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta[f_k\cdot g_k]=f_{k+1}g_{k+1}-f_kg_k=f_{k+1}g_{k+1}-f_kg_k+f_{k+1}g_{k}-f_{k+1}g_{k}=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =f_{k+1}(g_{k+1}-g_k)+g_k(f_{k+1}-f_k)=f_{k+1}\Delta g_k+g_{k+1}\Delta f_k\;</MATH>|1.65}} Teraz podamy następne twierdzenia, którego dowód w cale nie jest trywialny, zatem to pierwsze twierdzenie piszemy wedle następującego schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta{{f_k}\over{g_k}}={{\Delta f_{k}g_k-f_k\Delta g_{k+1}}\over{g_{k+1}g_k}}\;</MATH>|1.66|Obramuj}} A jego dowód, który przeprowadzamy w sposób następujący: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta{{f_k}\over{g_k}}={{f_{k+1}}\over{g_{k+1}}}-{{f_k}\over{g_k}}={{f_{k+1}g_k-f_kg_{k+1}}\over{g_{k+1}g_k}}= {{f_{k+1}g_k-f_kg_k+f_kg_k-f_kg_{k+1}}\over{g_{k+1}g_k}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{(f_{k+1}-f_k)g_k-f_k(g_{k+1}-g_k))}\over{g_{k+1}g_k}}={{\Delta f_k g_k-f_k\Delta g_k}\over{g_{k+1}g_k}}\;</MATH>|1.67}} === Różnice wsteczne === Różnice wsteczne przyjęło się oznaczać jako pierwszą różnice progresywną w punkcie x{{Sub|i-1}}, którego zapis tejże rozważanej różnicy piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla f_i=f_{i}-f_{i-1}\;</MATH>|1.68}} Katą różnicę wsteczną przyjęło się rozważać jaką różnicę według {{LinkWzór|1.68}}, którą piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^ky_i=\nabla^{k-1}y_i-\nabla^{k-1}y_{i-1}\;</MATH>|1.69}} Twierdzenie, które będziemy podawać i udowodniać poniżej jest to twierdzenie: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^ky_i=\Delta^ky_{i-k}\;</MATH>|1.70}} Twierdzenie {{LinkWzór|1.70}} udowadniamy przy pomocy indukcji zupełnej, zatem dla k=0 wspomniane twierdzenie można udowodnić, co jest trywialne, zatem nasze twierdzenie dla tego k jest prawdziwe. Załóżmy teraz, że nasze twierdzenie {{LinkWzór|1.70}} jest prawdziwe dla k i udowodnimy, że jest ono słuszne dla k+1, zatem wtedy możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^{k+1}y_i=\nabla\nabla^k y_i=\nabla\Delta^k_{i-k}y_i=\Delta^k_{i-k}y_i-\Delta^k_{i-(k+1)}y_i=\Delta^{k+1}y_{i-(k+1)}\;</MATH>|1.71}} == Równanie interpolacyjne Newtona dla jednakowych różnic argumentów == W punkcie {{LinkWzór|1.49}} napisaliśmy wzór interpolacyjnego Newtona, w której występują pewne wielkości {{LinkWzór|1.39}}, dla węzłów ogólnie o różnych odstępach, które tutaj będziemy pisali ten wzór dla jednakowych ostępów dla punktów x{{Sub|i}}=x{{Sub|0}}+ih, gdzie i=0,1,2,..,n. Na podstawie tego napiszemy teraz ilorazy różnicowe, które to są dla naszego przypadku: {{Wzór|<math> f(x_0)=a_0=y_0\;</MATH>{{Br}} <MATH>f(x_0;x_1)=a_1={{y_1-y_0}\over{h}}\;</MATH>{{Br}} <MATH>f(x_0;x_1;x_2)=a_2={{{{y_2-y_1}\over{h}}-{{y_1-y_0}\over{h}}}\over{2h}}={{y_1-2y_i+y_0}\over{2h^2}}\;</MATH>{{Br}} <MATH>\mbox{----------------}</MATH>{{Br}} <MATH>f(x_0;...;x_n)={{y_n-ny_{n-1}+{n\choose 2}y_{n-2}-...+(-1)^ny_n}\over{n!h^n}}\;</MATH>|1.72}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.72}} ilorazy różnicowe o numerze "k" definiujemy jako iloraz różnicy k-tej zmiennej y{{Sub|0}} przez iloczyn k silni i k-tej potęgi stałej: {{CentrujWzór|<MATH>a_k={{\Delta^ky_0}\over{k!h^k}}\;</MATH>|1.73}} Wzór {{LinkWzór|1.72}} udowadniamy przy pomocy twierdzenia o indukcji zupełnej, zatem dla k=0 wzór {{LinkWzór|1.73}} przyjmuje postać, którą jest wartość funkcji y{{Sub|0}}, zatem wtedy <MATH>a_0={{\Delta^0y_0}\over{0!h^0}}=y_0\;</MATH>. Następnym krokiem jest stwierdzenie, że wzór {{LinkWzór|1.73}} jest prawdziwy, i udowodniamy tą równość dla k+1, zatem do dzieła. {{CentrujWzór|<MATH>a_{k+1}={{{{\Delta^ky_1}\over{h^kk!}}-{{\Delta^ky_0}\over{h^kk!}}}\over{h(k+1)}}={{\Delta^k y_1-\Delta^k y_0}\over{h^{k}(k+1)!}}={{\Delta^{k+1}y_0}\over{h^k(n+1)}}\;</MATH>|1.74}} Jeśli podstawimy wzór {{LinkWzór|1.73}}, który jest ilorazem różnicowym, do równości {{LinkWzór|1.49}}. który jest ilorazem różnicowym, w ten sposób otrzymujemy następującą tożsamość na wzór interpolacyjny Newtona wykorzystując definicję różnicy dowolnego rzędu i wiedząc, że różnica między dowolnymi a sąsiednimi wyrazami jest równa h: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=y_0+{{\Delta y_0}\over{h}}(x-x_0)+{{\Delta^2y_0}\over{2!h^2}}(x-x_0)(x-x_1)+...+{{\Delta^ny_0}\over{n!h^n}}(x-x_0)(x-x_1)..(x-x_{n-1})\;</MATH>|1.75}} Wprowadźmy teraz nową zmienną q, którą to definiujemy jako iloraz różnicy x i x{{Sub|0}} przez liczbę h, który jest odległością między punktami sąsiednimi, to zmienną q piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>q={{x-x_0}\over{h}}\;</MATH>|1.76}} Ale też zachodzą następujące tożsamości {{LinkWzór|1.76}}, które są ilorazami różnicy zmiennej x i węzła o numerze i-tym przez stałą odległość pomiędzy punktami, które to piszemy: {{Wzór| <MATH>{{x-x_1}\over{h}}={{x-(x_0+h)}\over{h}}=q-1\;</math>{{Br}} <MATH>{{x-x_2}\over{h}}={{x-(x_0+2h)}\over{h}}=q-1\;</MATH>{{Br}} <MATH>...................\;</MATH>{{Br}} <MATH>{{x-x_{n-1}}\over{h}}={{x-[x_0+(n-1)h]}\over{h}}=q-(n-1)\;</MATH>|1.77}} Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, który to wynika z definicji zmiennej q zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|1.76}}, wtedy możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.75}}: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x_q)=W_n(x_0+qh)=y_0+{{q}\over{1!}}\Delta y_0+{{q(q-1)}\over{2!}}\Delta^2y_0+...+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{q(q-1)}\over{2!}}\Delta^2y_0+...+{{q(q-1)...(q-n+1)}\over{n!}}\Delta^ny_0\;</MATH>|1.78}} Jeśli znów skorzystamy ze wzoru {{LinkWzór|1.75}} i wzoru na różnice wsteczna w zależności od różnic progresywnych {{LinkWzór|1.70}} i zmieniając numeracje z x{{Sub|i}} na x{{Sub|i-n}} bo interesuje nas zachowanie funkcji w końcowej części przedziału, tzn. że na pewno numerujemy argumenty w taki sposób by ich numeracja była od tyłu, możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>W_n(x)=y_0+{{\nabla y_0}\over{h}}(x-x_0)+{{\nabla^2y_0}\over{2!h^2}}(x-x_0)(x-x_{-1})+..+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+{{\nabla^ny_0}\over{n!h^n}}(x-x_0)(x-x_{-1})...(x-x_{-n+1})\;</MATH>|1.79}} Jeśli przyjmować będziemy x{{Sub|i}}=x{{Sub|0}}+ih, dla i=0,-1,-2,..-n, a także przyjmować będziemy, że zmienna q jest ilorazem różnicy węzła zerowego i zmiennej x przez stałą odległość pomiędzy punktami: {{CentrujWzór|<MATH>q={{x_0-x}\over{h}}\;</MATH>|1.80}} To wtedy wykonując podobne obliczenia jak w punkcie {{LinkWzór|1.77}}, to wtedy wzór {{LinkWzór|1.79}}, na podstawie definicji zmiennej q {{LinkWzór|1.80}}, piszemy w następującej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>W_{n}(x)=y_0-q\nabla y_0+{{q(q-1)}\over{2}}\nabla^2y_0-...+(-1)^n{{q(q-1)(q-2)...(q-n+1)}\over{n!}}\nabla^ny_0\;</MATH>|1.81}} Wzór {{LinkWzór|1.81}} nazywamy drugim wzorem interpolacyjnym Newtona na interpolację wstecz. == Interpolacja przy pomocy funkcji sklejanych == === Wstęp do funkcji sklejanych === Określmy sobie teraz n+1 punktów x{{Sub|0}}, x{{Sub|1}}, x{{Sub|2}},..x{{Sub|n}} dla której zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b\;</math>|1.82}} Funkcję s(x) będziemy określać jako funkcję sklejaną stopnia (<MATH>m\geq 1</MATH>), jeżeli w każdym z tych przedziałów funkcja jest stopnia m, a także wartości tychże funkcji należą do wartości liczb zespolonych. Na każdym z tych przedziałów (x{{Sub|i}},x{{Sub|i+1}}) i=0,1,2,..,n-1 określmy teraz funkcję sklejaną w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>s(x)=c_{im}x^m+c_{im-1}x^{m-1}+...+c_{i1}x+c_{i0}\;</MATH>|1.83}} Ponieważ współczynników c{{Sub|im}} dla ściśle określonego jest m+1, a ponieważ tych naszych przedziałów jest n określonych według {{LinkWzór|1.82}}, zatem liczba wszystkich współczynników c{{Sub|ik}} jest n(m+1). Jeśli teraz określimy pochodną funkcji s(x), to liczba współczynników określonej przez "i" jest ich m, bo stała c{{Sub|i0}} w tej pierwszej pochodnej znika, a w każdym węźle x{{Sub|i}} dla i=1,2,..,n określamy według m(n-1) warunków brzegowych, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć, że funkcja s(x) zależy od n(m+1)-m(n-1)=nm+n-mn+m=n+m zmiennych . Określmy teraz funkcję s(x) jako funkcję potęgową, dla której z oczywistych powodów zachodzi x{{Sub|i}}=x{{Sub|0}}+ih dla i=-1,0,1,..,n,n+1, określmy dodatkowo i=-3,-2,-1,n,n+1,n+2,n+3. Zatem na podstawie tego możemy zbudować pewną funkcję sklejaną, który to przepisujemy wzorami: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi_i^3(x)={{1}\over{h^3}}\begin{cases} (x-x_{i-2})^2&\mbox{ dla } x\in\langle x-x_{i-1}\rangle\\ h^3+3h^2(x-x_{i-1})+3h(x-x_{i-1})^2-3(x-x_{i-1})^3&\mbox{ dla }x\in\langle x_{i-1};x_i\rangle\\ h^3+3h^2(x_{i+1}-x)+3h(x_{i+1}-x)^2-3(x_{i+1}-x)^3&\mbox{ dla }x\in\langle x_i;x_{i+1}\rangle\\ (x_{i+2}-x)^3&\mbox{ dla }x\in\langle x_{i+i};x_{i+2}\rangle \\ 0&\mbox{ dla pozostałych }x\in R \end{cases}\;</math>|1.84}} {{Rysunek|Splot funkcji.png|sf|Splot funkcji &Phi;{{Sub|3}}{{Sup|i}}(x)}} Wykresem ogólnym funkcji {{LinkWzór|1.84}} jest funkcja podana obok na prawej jego stronie tego modułu. Teraz określmy funkcję {{Formuła|<MATH>\Phi_i^3(x)\;</MATH>}} w punktach x{{Sub|j-2}}, x{{Sub|j-1}},x{{Sub|i}}, x{{Sub|i+1}},x{{Sub|i+2}} i wartości tej funkcji {{LinkWzór|1.84}} w tymże punktach określamy przy pomocy tabelki poniżej. {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i-2}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i-1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i+1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>x_{i+2}\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\Phi^3_i(x)\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>(\Phi_i^3(x))^'\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{3}\over{h}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{3}\over{h}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>(\Phi^3_i(x))^{''}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{6}\over{h^2}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>-{{12}\over{h^2}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{{6}\over{h^2}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}<!-- -->}} Każdą funkcję s(x) należącej do pewnego zbioru możemy przestawić w bazie funkcji {{Formuła|<MATH>\Phi_i^3(x)\;</MATH>}}, którą to wspomniana funkcja jest w postaci kombinacji liniowej funkcji bazy, co ten zapis piszemy w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>s(x)=\sum_{i=-1}^{n+1}c_i\Phi_i^3(x) \mbox{ gdzie: }a\leq x\leq b\;</MATH>|1.85}} === Interpolacja funkcji interpolowanej przy pomocy funkcji sklejanej stopnia trzeciego === Obierzmy sobie teraz funkcję interpolacyjną należącej do zbioru funkcji sklejanych stopnia trzeciego, które dla węzłów sieci x{{Sub|i}} wartość funkcji i funkcji interpolującej dla tego argumentu wynosi f(x{{Sub|i}}) piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>s(x_i)=f(x_i)=y_i\;</MATH>|1.86}} Jak wiemy, że funkcja trzeciego stopnia, której to przestawiamy wzorem {{LinkWzór|1.83}} dla m=3 ma n+3 niezależnych parametrów, w tym wliczając {{LinkWzór|1.86}}, w ten sposób otrzymujemy dwa parametry swobodne, dodatkowe warunki jakie funkcja powinna spełniać są dwa warunki nałożone na pierwszą pochodną, którą to możemy określić jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>s^{'}(a+0)=\alpha_1\;</MATH>|1.87}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>s^'(b-0)=\beta_1\;</MATH>|1.88}} }} Lub dwa warunki określone przez wzory na drugich pochodnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>s^{''}(a+0)=\alpha_2\;</MATH>|1.89}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>s^{''}(b-0)=\beta_2\;</MATH>|1.90}} }} Na funkcję s(x) możemy określić też przez inne warunki, tzn. warunki określoności funkcji f(x), o okresie b-a, którą to tak składamy by za pomocą funkcji sklejanych tak by było można je sprowadzić na przedział jednowymiarowy nieskończony , tzn. warunki określoności możemy napisać dla i-tej pochodnej funkcji s(x) w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>s^{(i)}(a+0)=s^{(i)}(b-0)\;</math>|1.91}} Określmy teraz funkcję s<nowiki>''</nowiki>(x), która w punkcie x{{Sub|j}} przyjmuje wartość stałą funkcji równą M{{Sub|j}}: {{CentrujWzór|<MATH>M_j=s^{''}(x_j)\mbox{ gdzie:}j=0,1,2,..n\;</MATH>|1.92}} Zgodnie z określeniem drugiej pochodnej funkcji s(x) w punkcie x{{Sub|j}} {{LinkWzór|1.92}}, to określmy drugą pochodną funkcji x dla dowolnego argumentu należącego do <x{{Sub|j-1}},x{{Sub|j}}> w postaci: {{CentrujWzór|<math>s^{''}(x)=M_{j-1}{{x_j-x}\over{h_j}}+M_j{{x-x_{j-1}}\over{h_j}}\mbox{ gdzie: }x\in\langle x_{i-1}, x_j\rangle\mbox{ i }h_j=x_j-x_{j-1}\;</MATH>|1.93}} Możemy z całkować funkcję {{LinkWzór|1.93}} względem argumentu x, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, którą to piszemy wzorem poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>s^{'}(x)=-M_{j-1}{{(x_j-x)^2}\over{2h_j}}+M_j{{(x-x_{j-1})^2}\over{2h_j}}+A_j\;</MATH>|1.94}} Zatem na ostatnim wniosku możemy otrzymamy funkcje s(x), która wynika z całkowania funkcji {{LinkWzór|1.94}} w naszym wyżej określonym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>s(x)=M_{j-1}{{(x_j-x)^3}\over{6h_j^2}}+M_j{{(x-x_{j-1})^3}\over{6h_j}}+A_j(x-x_{j-1})+B_j\;</MATH>|1.95}} Na funkcję s(x) {{LinkWzór|1.95}} możemy nałożyć warunki interpolacji {{LinkWzór|1.86}}, w ten sposób wzór {{LinkWzór|1.95}} dla tych węzłów możemy napisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>s(x_{j-1})=M_{j-1}{{h_j^ 2}\over{6}}+B_j=y_{j-1}\;</MATH>|1.96}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>s(x_j)=M_j{{h_j^2}\over{6}}+A_jh_j+B_j=y_j\;</MATH>|1.97}} }} Z warunku {{LinkWzór|1.96}} wyznaczamy stałą B{{Sub|j}}, którą schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j=y_{j-1}-M_{j-1}{{h_j^2}\over{6}}\;</MATH>|1.98}} Z warunku {{LinkWzór|1.97}} możemy wyznaczyć wzór na stałą A{{Sub|j}}, którą to piszemy po podstawieniu do niego wzoru na stałą B{{Sub|j}} {{LinkWzór|1.98}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>A_j={{y_j}\over{h_j}}-{{B_j}\over{h_j}}-{{M_jh_j}\over{6}}={{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}-{{h_j}\over{6}}\left(M_j-M_{j-1}\right)\;</MATH>|1.99}} Piszemy teraz warunek, która mówi, że s{{Sup|<nowiki>'</nowiki>}}(x) jest funkcja ciągłą na przedziale obustronnie zamkniętym <a,b>, zatem w tym celu należy obliczyć granicę jednostronne w punktach x{{Sub|j}}+0, x{{Sub|j}}-0. Możemy policzyć te pochodne przy wykorzystaniu tożsamości na pewne stałe, czyli stałe zdefiniowane według wzoru A{{Sub|j}} {{LinkWzór|1.99}}, ale najpierw przedstawmy pochodną s(x) w punkcie x{{Sub|j}}-0: {{CentrujWzór|<MATH>s^{'}(x_j-0)=M_j{{h_j}\over{2}}+{{y_j-y_{i-1}}\over{h_j}}-{{h_j}\over{6}}(M_j-M_{j-1})+{{y_j-y_{i-1}}\over{h_j}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{h_j}\over{6}}M_{j-1}+{{h_j}\over{3}}M_j+{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}\;</MATH>|1.100}} i pochodną funkcji s(x) w punkcie x{{Sub|j}}+0: {{CentrujWzór|<MATH>s^'(x_j+0)=-M_j{{h_{j+1}}\over{2}}+{{y_{j+1}-y_{j}}\over{h_{j+1}}}-{{h_{j+1}}\over{6}}\left(M_{j+1}-M_{j}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{h_{j+1}}\over{3}}M_{j}-{{h_{j+1}}\over{6}}M_{j+1}+{{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}</MATH>|1.101}} I zażądamy by funkcja sklejana s(x) była funkcją ciągłą w punkcie x{{Sub|j}}, tzn, pochodna lewostronna {{LinkWzór|1.100}} tej funkcji jest równa pochodnej prawostronnej tej samej funkcji {{LinkWzór|1.101}}, tzn. by spełniała warunek: {{CentrujWzór|<MATH>s^{'}(x_j-0)=s^'(x_j+0)\;</MATH>|1.102}} Dalej wykorzystamy warunek {{LinkWzór|1.102}}, który przedstawia ciągłość funkcji s'(x) w punkcie x{{Sub|j}}, następnie do tego wzoru podstawiamy formułę na pochodną lewostronną {{LinkWzór|1.100}} i prawostronną {{LinkWzór|1.101}}, zatem takim razie możemy otrzymać warunek, który będziemy dalej przekształcać w tym samym punkcie: {{CentrujWzór|<MATH>{{h_j}\over{6}}M_{j-1}+{{h_j}\over{3}}M_j+{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}=-{{h_{j+1}}\over{3}}M_{j}-{{h_{j+1}}\over{6}}M_{j+1}+{{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow {{h_j}\over{6}}M_{j-1}+{{h_j+h_{j+1}}\over{3}}M_j+{{h_{j+1}}\over{6}}M_{j+1}={{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}-{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}\;</MATH>|1.103}} Wzór {{LinkWzór|1.103}} mnożymy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>{{6}\over{h_j+h_{j+1}}}\;</MATH>}}, w ten sposób możemy dojść do następnego celu: {{CentrujWzór|<MATH>(1-{{h_{j+1}}\over{h_i+h_{j+1}}})M_{j-1}+2M_j+{{h_{j+1}}\over{h_j+h_{j+1}}}M_{j+1}={{6}\over{h_j+h_{j+1}}}\left({{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}-{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}\right)\;</MATH>|1.104}} Wprowadźmy teraz oznaczenia, które będą nam potrzebne do dalszego kroku obliczeń: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_j={{h_{j+1}}\over{h_j+h_{j+1}}}\;</MATH>|1.105}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_i=1-\lambda_i\;</MATH>|1.106}} }} {{CentrujWzór|<MATH>d_i={{6}\over{h_j+h_{j+1}}}\left({{y_{j+1}-y_j}\over{h_{j+1}}}-{{y_j-y_{j-1}}\over{h_j}}\right)=6f(x_{j-1};x_j;x_{j+1})\;</MATH>|1.107}} Na podstawie oznaczeń {{LinkWzór|1.105}}, {{LinkWzór|1.106}}, {{LinkWzór|1.107}} równanie {{LinkWzór|1.104}} piszemy wedle przepisu: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_j M_{j-1}+2M_j+\lambda_jM_{j+1}=d_j\;</MATH>|1.108}} Warunek {{LinkWzór|1.87}} możemy przedstawić podstawiając w funcji s(x) {{LinkWzór|1.101}} taki argument by było "x" dążące do x{{Sub|0}} prawostronnie: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_1=-{{h_{1}}\over{3}}M_{0}-{{h_{1}}\over{6}}M_{1}+{{y_{1}-y_0}\over{h_{1}}}\Rightarrow {{h_{1}}\over{3}}M_{0}+{{h_{1}}\over{6}}M_{1}={{y_{1}-y_0}\over{h_{1}}}-\alpha_1\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH> 2M_0+M_1={{6}\over{h_1}}\left({{y_{1}-y_0}\over{h_{1}}}-\alpha\right)</MATH>|1.109}} Ze wzoru {{LinkWzór|1.109}} otrzymujemy dwie bardzo ważne tożsamości na d{{Sub|0}}, które zapisujemy w zależności od współczynników M{{Sub|0}} i M{{Sub|1}} dla pierwszej tożsamości i w zalezności od y{{Sub|0}}, y{{Sub|1}} i h{{Sub|1}} w drugiej tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>2M_0+M_1=d_0\;</MATH>|1.110}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d_0={{6}\over{h_1}}\left({{y_1-y_0}\over{h_1}}-\alpha_1\right)\;</MATH>|1.111}} }} Warunek {{LinkWzór|1.88}} możemy przedstawić podstawiając za funkcję s(x) {{LinkWzór|1.101}} dla i=n-1 i dla "x" dążącego lewostronnie do x{{Sub|n}}:, {{CentrujWzór|<MATH>\beta_1={{h_n}\over{6}}M_{n-1}+{{h_n}\over{3}}M_n+{{y_n-y_{n-1}}\over{h_n}}\Rightarrow \beta_1-{{y_{n}-y_{n-1}}\over{h_{n}}}={{h_{n}}\over{6}}M_{n-1}+{{h_{n}}\over{3}}M_{n}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow M_{n-1}+2M_n={{6}\over{h_n}}\left(\beta_1-{{y_{n}-y_{n-1}}\over{h_{n}}}\right) </MATH>|1.112}} Z tożsamości {{LinkWzór|1.112}} otrzymujemy dwie bardzo ważne tozsamości na d{{Sub|n}}, które zapisujemy w zależności od współczynników M{{Sub|n}} i M{{Sub|n-1}} dla pierwszej tożsamości i w zależności od y{{Sub|n}}, y{{Sub|n-1}} i h{{Sub|n}} w drugiej tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M_{n-1}+2M_n=d_n\;</MATH>|1.113}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d_n={{6}\over{h_n}}\left(\beta_1-{{y_n-y_{n-1}}\over{h_n}}\right)\;</MATH>|1.114}} }} Na podstawie tożsamości {{LinkWzór|1.108}} , {{LinkWzór|1.110}} i {{LinkWzór|1.113}} możemy napisać równanie macierzowe jako: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} 2&1&0&\cdots&0\\ \mu_1&2&\lambda_1&\cdots&0\\ 0&\mu_1&2&\cdots&0\\ \vdots&&&&\vdots\\ 0&\cdots&\cdots&2&\lambda_{n-1}\\ 0&\cdots&\cdots&1&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M_0\\M_1\\\vdots\\M_{n-1}\\M_n\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_0\\d_1\\ \vdots\\d_{n-1}\\d_n\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|1.115}} Jeśli będziemy przyjmować funkcje okresową s(x) o okresie b-a, to wtedy na podstawie {{LinkWzór|1.91}} możemy powiedzieć, że wielkość o wskaźniku n+1 jest to wielkość o wskaźniku 1, a wielkość o wskaźniku n jest to wielkość o wskaźniku 0. Zatem na podstawie tego i wcześniejszych rozważań tożsamość {{LinkWzór|1.108}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_nM_1+\mu_nM_{n-1}+2M_n=\tilde{d}_n\;</MATH>|1.116}} Wzory na &lambda;{{Sub|n}} według {{LinkWzór|1.105}}, &mu;{{Sub|n}} według {{LinkWzór|1.106}} i {{Formuła|<MATH>\tilde{d}_n\;</MATH>}} według {{LinkWzór|1.107}} piszemy tutaj na podstawie określoności funkcji s(x) wedle schematów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_n={{h_1}\over{h_1+h_{n}}}\;</MATH>|1.117}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_n=1-\lambda_n\;</MATH>|1.118}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{d}_n={{6}\over{h_1+h_n}}\left({{y_1-y_0}\over{h_1}}-{{y_n-y_{n-1}}\over{h_n}}\right)\;</MATH>|1.119}} }} Na podstawie równania {{LinkWzór|1.108}} i {{LinkWzór|1.116}} możemy napisać tożsamość macierzową wynikającej z przyjęcia okresowości funkcji s(x) rugując stałą M{{Sub|0}} (M{{Sub|0}}=M{{Sub|n}}): {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} 2&\lambda_1&0&\cdots&\mu_1\\ \mu_1&2&\lambda_1&\cdots&0\\ 0&\mu_1&2&\cdots&0\\ \vdots&&&&\vdots\\ 0&\cdots&\cdots&2&\lambda_{n-1}\\ \lambda_n&\cdots&\cdots&\mu_n&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M_1\\M_2\\\vdots\\M_{n-1}\\M_n\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_1\\d_2\\ \vdots\\d_{n-1}\\\tilde{d}_n\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|1.120}} Można obliczyć stałe M{{Sub|i}} z warunku macierzowego {{LinkWzór|1.115}} dla funkcji nieokresowej s(x) lub dla funkcji okresowej s(x) według warunku macierzowego {{LinkWzór|1.120}}, zatem przy pomocy obliczonych współczynników M{{Sub|i}} możemy policzyć wartość s(x) w punkcie "x" ze wzoru {{LinkWzór|1.95}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mel0e2wc47yiwbdpvsamkspz2e3pws5 0 20874 559100 558551 2026-10-11T03:58:43Z Persino 2851 559100 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Ruchem drgającym harmonicznym nazywamy drgania, które zależą od częstotliwości kołowej drgań własnych &omega; i przesunięcia fazowego &phi;. Drgania te opisujemy względem czasu "t" wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.1}} Ruch pokazany przy pomocy równości {{LinkWzór|1.1}}, są to ruchy o jednym stopniu swobody. Okresem drgań harmonicznych nazywamy odwrotność częstości &nu;, którą możemy przepisać przy pomocy definicji częstotliwości kołowej: {{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{\nu}}={{2\pi}\over{\omega}}\;</MATH>|1.2}} == Siła kierujące i bezwładność ciała dla drgań o jednym stopniu swobody == Ruch harmoniczny {{LinkWzór|1.1}} jest rezultatem działania dwóch przeciwstawnych czynników, tzn. siły kierującej i bezwładności. Siła kierująca w ruchu harmonicznym usiłuje przywrócić układ do stanu równowagi, a bezwładność jest cechą układu, która przeciwstawia się zmianom ruchu układu. == Drgania tłumione == Ruch harmoniczny opisywany wzorem {{LinkWzór|1.1}} nie jest ruchem tłumionym, bo jego amplituda nie zmienia się w miarę upływu czasu. W ruchu tłumionym, amplituda drgań maleje z czasem. Przykładem drgań gasnących są drgania opisane równością: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.3}} == Wahadło matematyczne == {{Rysunek|Wahadło matematyczne.jpeg|lk1|Wahadło matematyczne}} Wahadłem matematycznym nazywamy układ, w którym ciało o masie M jest zawieszone na nieważkiej nici lub pręcie o długości l. Siłą kierującą w ruchu wahadła jest składowa siły grawitacji prostopadła do nici, jej wartość określa wzór F=Mg sin&psi;, to z drugiej zasady dynamiki Newtona w tym przypadku wynika: {{CentrujWzór|<MATH>Ml{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-Mg\sin\psi\;</MATH>|1.4}} Funkcję sinus możemy rozłożyć w szereg Taylora, którego zapis dla naszej funkcji jest następujący: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\psi=\psi-{{\psi^3}\over{3!}}+{{\psi^5}\over{5!}}-...\;</MATH>|1.5}} Dla małych kątów &psi;, można pominąć wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszym, wówczas równość {{LinkWzór|1.4}} możemy przestawić {{LinkWzór|1.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-{{g}\over{l}}\psi\rightarrow {{d^2\psi}\over{dt^2}}=-\omega^2\psi\mbox{ gdzie: }\omega^2={{g}\over{l}}\;</math>|1.6}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.6}} są funkcje harmoniczne w postaci {{LinkWzór|1.1}} (co udowodnimy poniżej), dla której druga pochodna tego właśnie przypuszczalnego rozwiązania naszej funkcji jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.7}} Jeśli funkcję {{LinkWzór|1.7}} wraz {{LinkWzór|1.1}} podstawimy do wzoru {{LinkWzór|1.6}}, w ten sposób otrzymamy tożsamość, co dowodzi o harmoniczności ruchu masy M w wahadle matematycznym. == Ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch sprężynek == {{Rysunek|Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi.jpeg|wk1|Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi}} {{Rysunek|Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi.jpeg|wk2|Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi}} Rozważmy dwie sprężynki przyczepione do ścianek i połączone ze sobą poprzez masę M. Sprężynki mają znikomą masę. Całkowita siła działająca na masę M jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>F_z=-K(z-a_0)+K(2a-z-a)=-2K(z-a)\;</MATH>|1.8}} Ruch ciężarka możemy opisać drugim prawem dynamiki Newtona, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2z}\over{dt^2}}=F_z\Rightarrow M{{d^2z}\over{dt^2}}=-2K(z-a)\;</MATH>|1.9}} Ruch ciała M będziemy opisywać funkcją &psi;(t), którą definiujemy jako starą funkcję z(t) minus stałą "a", zatem w {{LinkWzór|1.9}} możemy dokonać zamiany zmiennych według: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=z(t)-a\;</MATH>|1.10}} Równanie {{LinkWzór|1.9}} przy pomocy podstawienia {{LinkWzór|1.10}}, którym występuje poszukiwana funkcja &psi;(t) jest zależna od czasu, dla równania, która jest równaniem oscylatora harmonicznego, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-{{2K}\over{M}}\psi(t)\;</MATH>|1.11}} Kwadrat częstości kołowej ruchu harmonicznego ciała, a także rozwiązanie ruchu {{LinkWzór|1.9}} na podstawie {{LinkWzór|1.11}} i {{LinkWzór|1.10}}, przestawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>\omega^2={{2K}\over{M}}\;</MATH>|1.12}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>z(t)=\psi(t)+a=a+A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.13}} }} == Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn == {{Rysunek|Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn.jpeg|lk2|Drgania podłużne. Dolny rysunek układ w stanie równowagi, a górny układ w stanie drgań poprzecznych.}} Rozważmy ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch nieważkich sprężyn. Współczynnik sprężystości sprężyn wynosi K. W położeniu równowagi każda ze sprężyn zostaje napięta do długości a. Opisywany układ może wykonywać dwa rodzaje drgań poprzecznych i jedno drganie podłużne. W stanie równowagi siła działająca na ciało z jednej ze sprężyn jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>T_0=K(a-a_0)\;</MATH>|1.14}} Opisu drgań podłużnych nie będziemy powtarzać, ponieważ jest zamieszczony w poprzednim rozdziale. W drganiach poprzecznych siła, z jaką pojedyncza sprężyna działa na ciężarek M, jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>T=K(l-a_0)\;</math>|1.15}} Z drugiej zasady dynamiki Newtona ruch opisujący drgania poprzeczne jest opisywany przez równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=F_x=-2T\sin\theta=-2K(l-a_0){{x}\over{l}}\Rightarrow M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2Kx\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)\;</MATH>|1.16}} Należy zauważyć, że długość l występująca po prawej stronie wzoru końcowego {{LinkWzór|1.16}} jest funkcją w ogólności od zmiennej x. == Mała długość swobodna sprężyny jako pierwsze przybliżenie == Równanie ruchu ciała o masie M {{LinkWzór|1.16}} w przybliżeniu małej długości sprężyny, tzn. stosunek długości sprężyny swobodnej a{{Sub|0}} przez długość sprężyny l jest w naszym przypadku tutaj rozważanym wielkością pomijalną. Równanie ruchu {{LinkWzór|1.16}} przybliżeniu tutaj omawianym jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;</MATH>|1.17}} Wzór {{LinkWzór|1.17}} uzyskaliśmy na podstawie dokładnego rozwiązania {{LinkWzór|1.16}}, w której definicja kwadratu częstotliwości kołowej dla przybliżenia małej długości sprężyny przy zachodzącym {{LinkWzór|1.14}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2K}\over{M}}={{2T_0}\over{Ma}}\mbox{ (dla }a_0=0\mbox{)}\;</MATH>|1.18}} Rozwiązaniem równania ruchu {{LinkWzór|1.17}} jest to równanie zależne od częstotliwości kołowej &omega;, które jest opisane wzorem {{LinkWzór|1.1}}. Widzimy, ze zgodnie ze wzorami {{LinkWzór|1.18}} i {{LinkWzór|1.12}}, że częstość drgań poprzecznych w naszym przybliżeniu jest równa częstości drgań podłużnych w ruchu drgającym ciała o masie M. == Przybliżenie małych drgań == Aby rozwiązać równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.16}} stosowaliśmy przybliżenia małej długości swobodnej sprężyny, wtedy stosunek długości swobodnej sprężyny a{{Sub|0}} do długości aktualnej sprężyny jest względnie mały, których stosunek w takiej sytuacji możemy pominąć. Jeśli tego stosunku nie można pominąć, to możemy powiedzieć, że dla małego &epsilon;, względem którego będziemy rozkładali odwrotność długości chwilowej sprężyny w szereg Taylora, który to podstawimy do równania różniczkowego {{LinkWzór|1.16}}, i pominiemy wyrazy wyższe niż liniowe, w ten sposób dojdziemy do równania różniczkowego, które jest równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego, to co chcieliśmy otrzymać. Zatem napiszmy teraz definicję kwadratu chwilowej długości sprężyny "l" i kwadratu wielkości &epsilon;: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>l^2=a^2+x^2\;</math>|1.19}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2={{x^2}\over{a^2}}\;</mAth>|1.20}} }} Odwrotność długości sprężyny liczymy, rozkładając ją w szereg Taylora względem zmiennej x, która jest położeniem ciała o masie M: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{l}}={{1}\over{a}}\left(1+\epsilon\right)^{-{{1}\over{2}}}={{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq{{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\;</MATH>|1.21}} Wzór {{LinkWzór|1.21}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.16}} do odjemnika w nawiasie, w ten sposób możemy otrzymać równość zależną od zmiennej x, którego to równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq-{{2Kx}\over{M}}\left[1-{{a_0}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\right]\;</MATH>|1.22}} Równanie ruchu {{LinkWzór|1.22}} możemy przepisać, dokonując odpowiednich przekształceń w nawiasie w końcowej wspomnianej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x^2}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{Ma}}(a-a_0)+{{K}\over{M}}a_0\left({{x}\over{a}}\right)^3+...\;</MATH>|1.23}} W równaniu ruchu masy M zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.23}} możemy pominąć wyższe wyrazy niż liniowe przy przybliżeniu małych drgań, by potem wykorzystać wzór {{LinkWzór|1.14}}: {{CentrujWzór|<math>{{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2K}\over{Ma}}(a-a_0)x\Rightarrow {{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2T_0}\over{Ma}}x\;</MATH>|1.24}} Kwadrat częstotliwości kołowej ruchu drgającego drgań poprzecznych wynika z równania różniczkowego {{LinkWzór|1.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2T_0}\over{Ma}}\;</MATH>|1.25}} Rozwiązanie równania ruchu {{LinkWzór|1.24}} przy definicji kwadratu częstotliwości kołowej {{LinkWzór|1.25}} jest równaniem zapisane w punkcie {{LinkWzór|1.1}}. Możemy wyznaczyć iloraz częstotliwość drgań podłużnych {{LinkWzór|1.12}} przez częstotliwość kołową drgań poprzecznych {{LinkWzór|1.25}} przy oznaczeniu {{LinkWzór|1.14}} w następującej postaci: {{CentrujWzór|<math>{{\omega_{pod}}\over{\omega_{poprz}}}={{1}\over{\left(1-{{a_0}\over{a}}\right)^{{{1}\over{2}}}}}\;</MATH>|1.26}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.26}}, gdy długość własna sprężyny a{{Sub|0}} jest względnie mała w porównaniu z długością sprężyny w stanie równowagi "a", to częstotliwości kołowe drgań podłużnych i poprzecznych są sobie w przybliżeniu równe. == Obwód LC, czyli solenoid z dwoma kondensatorami == {{Rysunek|Układ LC.jpeg|wk3|Szeregowy układ LC dwóch kondensatorów o pojemności elektrycznej C i solenoidu o długości własnej L}} Równanie opisujących układ LC z dwoma kondensatorami o pojemności C i z cewką od indukcji elektrycznej L przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>-L{{dI}\over{dt}}-{{Q_2}\over{C}}-{{Q_1}\over{C}}=0\;</MATH>|1.27}} Ładunek Q{{Sub|1}} jest powiązany z ładunkiem Q{{Sub|2}}, a także ten drugi ładunek jest powiązany z natężeniem prądu elektrycznego płynącego w obwodzie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=Q_2\;</MATH>|1.28}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>{{dQ_2}\over{dt}}=I\;</MATH>|1.29}} }} Równanie {{LinkWzór|1.27}} możemy tak napisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|1.28}}, które to możemy dalej zróżniczkować obustronnie względem czasu przy wykorzystaniu {{LinkWzór|1.29}}, wtedy otrzymamy równość różniczkową drugiego stopnia: {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI}\over{dt}}+2{{Q_2}\over{C}}=0\Rightarrow L{{d^2I}\over{dt^2}}=2{{I}\over{C}}=0\Rightarrow {{d^2I}\over{dt^2}}=-{{2}\over{LC}}I\;</math>|1.30}} Końcowe równanie {{LinkWzór|1.30}} jest równaniem oscylatora harmonicznego, którego kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2}\over{LC}}\;</MATH>|1.31}} Natężenie prądu elektrycznego, który jest rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.30}} przestawiamy podobnym wzorem do {{LinkWzór|1.1}}, jest to równanie w postaci: {{CentrujWzór|<math>I(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.32}} == Zasada superpozycji i liniowość równań ruchu == Omawiane tutaj były przypadki, w których siła kierunkowa była wprost proporcjonalna do &psi;(t), natomiast niezależała od wyższych potęg &psi;, tzn. &psi;{{Sup|2}},&psi;{{Sup|3}},.... Równanie niezawierające wyższych potęg &psi; niż pierwszego stopnia nazywamy równaniem liniowym. Gdy w naszym równaniu występują wyższe potęgi niż pierwszego stopnia, tak powstałe równanie nazywamy nieliniowym. Natomiast, gdy równanie nie zawiera wyrazów z niezależnych od &psi; nazywamy równaniem jednorodnym. === Wprowadzenie do równań liniowych jednorodnych === Równania liniowe i jednorodne różniczkowe mają tę właściwość, że suma dwóch rozwiązań równania liniowego i jednorodnego też spełnia równanie liniowe i jednorodne, co jest wiadomo. Udowodnimy czy też jest dla równań różniczkowych nieliniowych, że jeśli mamy dwa rozwiązania poniższego równania różniczkowego, to suma ich ma spełniać też to równanie, jak wykażemy co jest jedynie możliwe, gdy mamy równanie różniczkowe liniowe. A oto mamy równość różniczkową w ogólności zależną od wyższych potęg niż pierwszego stopnia: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi+\alpha\psi^2+\beta\psi^3+\gamma\psi^4+..\;</MATH>|1.33}} Weźmy dwa rozwiązania &psi;{{Sub|1}} i &psi;{{Sub|2}}, które spełniają równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.33}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_1(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_1+\alpha\psi_1^2+\beta\psi_1^3+..\;</MATH>|1.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_2(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_2+\alpha\psi^2_2+\beta\psi^3_2+..\;</MATH>|1.35}} }} Sumę rozwiązań &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} też spełnia równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.33}} jak i składowe tejże sumy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}=-C(\psi_1+\psi_2)+\alpha(\psi_1+\psi_2)^2+\beta(\psi_1+\psi_2)^3+...\;</MATH>|1.36}} Równanie {{LinkWzór|1.34}} możemy dodać do {{LinkWzór|1.35}} do siebie i porównać ze wzorem {{LinkWzór|1.36}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{dt^2}}+{{d^2\psi}\over{dt^2}}={{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}\;</MATH>|1.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>-C\psi_1-C\psi_2=-C(\psi_1+\psi_2)\;</MATH>|1.38}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\alpha\psi_1^2+\alpha\psi_2^2=\alpha(\psi_1+\psi_2)^2\;</MATH>|1.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\beta\psi^3_1+\beta\psi_2^3=\beta(\psi_1+\psi_2)^3\;</MATH>|1.40}} }} Równanie {{LinkWzór|1.37}} i {{LinkWzór|1.38}} są tożsamościami, tzn. które są zawsze spełnione, a równości {{LinkWzór|1.39}} i {{LinkWzór|1.40}} są zawsze spełnione tylko dla &alpha;=0 i &beta;=0, zatem co zachodzi tylko dla rozwiązania liniowego przy postawionych warunkach powyżej, to superpozycja rozwiązań równania różniczkowego liniowego jest też rozwiązaniem tego samego równania różniczkowego. Co kończy dowód. === Warunki początkowe a superpozycja rozwiązań === Załóżmy, że mamy dwa rozwiązania jako szczególne rozwiązania w chwilach szczególnych &psi;{{Sub|1}}(0) i &psi;{{Sub|2}}(0), które odpowiadają warunkom brzegowym rozwiązań &psi;{{Sub|1}}(t) i &psi;{{Sub|2}}(t), a rozwiązania równania będące superpozycją naszych rozwiązań, czyli &psi;{{Sub|1}}(t)+&psi;{{Sub|2}}(t), odpowiadają warunki brzegowe w postaci: &psi;{{Sub|1}}(0)+&psi;{{Sub|2}}(0). === Niejednorodne równanie liniowe === Wprowadźmy do równania liniowego siłę wymuszającą F(t) zależną od czasu, wtedy po tej operacji otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi(t)+F(t) \;</MATH>|1.41}} Załóżmy, że mamy dwa równania różniczkowe {{LinkWzór|1.41}}, każde odpowiada innej sile wymuszającej, to superpozycja dwóch rozwiązań spełnia równanie różniczkowe odpowiadające sumie dwóch sił wymuszających w równaniu {{LinkWzór|1.41}}, tzn. F{{Sub|1}}(t)+F{{Sub|2}}(t). === Wahadło sferyczne === W celu zilustrowania zasady superpozycji rozpatrzmy wahadło sferyczne zawieszone na nieważkiej nici, która posiada możliwość ruchu w dowolnym kierunku. Położenie równowagi znajduje się w punkcie x=0 i y=0, co równania ruchu takiego wahadła piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}x\;</MATH>|1.42}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2y}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}y\;</MATH>|1.43}} }} Powyższe dwa równania są rozdzielone, tzn. każde równanie zależy od innych zmiennych i ich rozwiązania są niezależne i są opisywane wzorami tylko od zmiennej t i są to dwa rozwiązania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.44}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y(t)=A_2\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|1.45}} }} Kwadrat częstotliwości kołowej występujących w rozwiązaniach {{LinkWzór|1.44}} i {{LinkWzór|1.45}} wynikających z równań {{LinkWzór|1.42}} i {{LinkWzór|1.43}} zapisujemy wzorem {{LinkWzór|1.6}}. == Układy o dwóch stopniach swobody i jego drgania swobodne == Opis układów w ogólnej konfiguracji wymaga znajomości dwóch zmiennych, tzn. &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}}, co oznacza np. ruch wahadła wokół płaszczyzn wzajemnie prostopadłych kierunkach w płaszczyźnie drgań, a w przypadku układów LC, co oznacza, że &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} oznaczają ładunki na dwóch kondensatorach lub też natężenia prądów elektrycznych. Najbardziej ogólny ruch harmoniczny jest superpozycja dwóch drgań harmonicznych, których jak wiemy też jest w pewnym senie ruchem harmonicznych. Składowe tych rozważanych drgań harmonicznych nazywamy drganiami normalnymi lub drganiami własnymi. Można tak dobrać warunki początkowe, by układ wykonywał jedno lub drugie drganie harmoniczne. Załóżmy, że układ wykonuje drgania z częstotliwościami kołowymi &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}. Przesunięcia fazowe dla obu drgań normalnych są sobie równe. Dla obu tychże drgań wychylenia od stanu równowagi są opisywane przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\;</MATH>|1.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi)={{B_1}\over{A_1}}\psi_a\;</MATH>|1.47}} }} Dla drugiej postaci drgań normalnych, zachodzą podobne związki jak w punktach {{LinkWzór|1.46}} I {{LinkWzór|1.47}}, tylko jedynkę zamieniamy na dwójkę. W ogólnej konfiguracji wychylenia od położenia równowagi dla &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} zapisujemy jako superpozycja drgań harmonicznych o częstotliwościach &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.48}} a dla drugiej zmiennej, tzn. &psi;{{Sub|b}} drgania opisujemy: {{CentrujWzór|<math>\psi_b(t)=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.48a}} === Wahadło sferyczne jako układ drgający o dwóch stopniach swobody === Dla wahadła sferycznego na podstawie równań różniczkowy opisujący te nasze drgania , tzn. równań {{LinkWzór|1.42}} i {{LinkWzór|1.43}} dla dwóch niezależnych drgań, tzn. w niezależnych zmiennych, dla którego kwadrat częstotliwości kołowej jest opisywany wzorem {{LinkWzór|1.6}}, których to wychylenia od stanu równowagi dla tych rozważanych zmiennych są przestawione jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x(t)\equiv \psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1t+\varphi)\;</MATH>|1.49}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y(t)\equiv\psi_b(t)=\cos(\omega_2t+\varphi)\;</math>|1.50}} }} === Przybliżenie harmoniczne dla dwuwymiarowego układu współrzędnych === {{Rysunek|Dwuwymiarowy_oscylator_harmoniczny_w_stanie_równowagi.jpeg|wk5|Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w stanie równowagi}} {{Rysunek|Dwuwymiarowy_oscylator_harmoniczny_w_ogólnej_konfiguracji.jpeg|wk6|Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w ogólnej konfiguracji}} Rysunek obok przestawia ruch ciała o masie M przyczepionych do czterech sprężyn o stałych proporcjonalnych K{{Sub|1}} i K{{Sub|2}}, które są przyczepione do odpowiednich ścianek. Masy sprężynek są w przybliżeniu zerowe w porównaniu z masą kulki M. Kulka może wykonywać dwa niezależne drgania wzdłuż osi iksowej i igrekowej lub w postaci złożenia tychże drgań. We wzorach opisujących ruch masy M pomijamy człony x{{Sup|2}}/a{{Sup|2}}, y{{Sup|2}}/a{{Sup|2}} i xy/a{{Sup|2}}. W ten sposób możemy napisać przybliżenie klasyczne małych drgań. Jeśli dokonamy odpowiedniego małego przesunięcia ciała M w kierunku osi iksowej, to wtedy z dokładnością do wyrazów wyżej podanych otrzymamy wzór na siłę iksową i igrekową w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-2K_1x\;</MATH>|1.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>F_y=0\;</math>|1.52}} }} Podobnie postępujemy, gdy dokonamy małego przesunięcia wzdłuż osi igrekowej. Ogólne równania ruchu opisujące drgania masy M są to równania ruchu zapisane w przybliżeniu małej długości sprężyny, które możemy napisać je jako dwa równania opisujące ruch ciała M na płaszczyźnie xy, których rozwiązania są superpozycją drgań wzdłuż osi iksowej i igrekowej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2K_1x\;</math>|1.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2y}\over{dt^2}}=-2K_2y\;</MATH>|1.54}} }} Rozwiązania równania {{LinkWzór|1.53}}, a także kwadrat częstotliwości kołowej możemy zapisać w postaci poniższych tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x=A_2\cos(\omega_1 t+\varphi)\;</MATH>|1.55}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_1={{2K_1}\over{M}}\;</MATH>|1.56}} }} Wychylenie od punktu początkowego względem osi igrekowej jako rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|1.54}} i kwadrat jej częstotliwości kołowej piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y=B_2\cos(\omega_2 t+\varphi)\;</MATH>|1.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{2K_2}\over{M}}\;</MATH>|1.58}} }} === Współrzędne normalne w układzie obróconym o pewien kąt === {{Rysunek|Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych.jpeg|wk7|Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych}} Albowiem równania {{LinkWzór|1.53}} i {{LinkWzór|1.54}} opisują ruchy harmoniczne, ale w ogólności to ma ogólnych rozwiązań w postaci rozwiązań {{LinkWzór|1.48}} i {{LinkWzór|1.48a}}. W naszym przypadku opisujące ruch harmoniczny. Aby łatwiej można było opisywać ruch harmoniczny kulki wprowadza się współrzędne x'. y', które są obliczone względem starych współrzędnych obrócone o kąt &alpha;, których są kombinacjami liniowymi współrzędnych starych x i y. Są to współrzędne, których równania ruchu masy M opisywane są względem jednej współrzędnej, a każde równanie różniczkowe zależy od innej zmiennej. W ogólnym przypadku wybór współrzędnych normalnych nie jest taki łatwy. Zazwyczaj jest tak, że równania ruchu zawierają współrzędne x i y wziętej razem. W ogólnym przypadku prosta transformacja nie wystarcza i należy dokonać ogólnej transformacji liniowej w układzie równań różniczkowych opisujących nasze ruchy, by w ten sposób każde równanie było opisywane we współrzędnych normalnych, tzn. każde równanie zależało tylko od jednej zmiennej. === Rozwiązywanie równań różniczkowych ruchu === Załóżmy, że mamy układ fizyczny, która drga, który jest opisywany przy pomocy równań różniczkowych zapisane we współrzędnych x i y w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=a_{11}x-a_{12}y\;</math>|1.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2y}\over{dt^2}}=-a_{21}x-a_{22}y\;</MATH>|1.60}} }} Przyjmijmy, że rozwiązaniami równań ruchu {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} są to rozwiązania w postaci funkcji x i y, które są opisywane w postaci funkcji zależnych od czasu i są zależne od takiego samego przesunięcia fazowego. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.61}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y=B\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.62}} }} Jeśli układ wykonuje drgania normalne wzdłuż jednej osi, to wtedy równania {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} są opisywane równaniami dla każdego ruchu z osobna: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;</MATH>|1.63}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2y}\over{dt^2}}=-\omega^2y\;</MATH>|1.64}} }} W ogólnym przypadku, gdy nie mamy doczynienia ze współrzędnymi normalnymi, to wtedy należy rozwiązania {{LinkWzór|1.61}} i {{LinkWzór|1.62}} podstawić do {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.64}}, w ten sposób otrzymać następujący układ równań: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(a_{11}-\omega^2)x+a_{12}y=0\;</MATH>|1.65}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>a_{21}x+(a_{22}-\omega^2)y=0\;</MATH>|1.66}} }} Z równań {{LinkWzór|1.62}} i {{LinkWzór|1.66}} możemy wyznaczyć stosunek x/y wedle następujących sposobów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y/x=(\omega^2-a_{11})/a_{12} \;</MATH>|1.67}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>y/x=a_{21}/(\omega^2-a_{22})\;</MATH>|1.68}} }} Warunkiem koniecznym by rozwiązać równania różniczkowe ruchu {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}}, jest równość obu stron {{LinkWzór|1.67}} i {{LinkWzór|1.68}}, co prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>(a_{11}-\omega^2)(a_{22}-\omega^2)-a_{21}a_{12} = 0\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} jest równaniem kwadratowym względem zmiennych &omega;{{Sup|2}}, którego rozwiązaniem są dwa kwadraty częstotliwości &omega;{{Sub|1}}{{Sup|2}} i &omega;{{Sub|2}}{{Sup|2}}. Stosunek y/z względem równości {{LinkWzór|1.67}} dla jednej i drugiej postaci drgań normalnych nazywamy stosunkiem w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}={{B_1}\over{A_1}}={{\omega_1^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;</MATH>|1.70}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}={{B_2}\over{A_2}}={{\omega_2^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;</MATH>|1.71}} }} Rozwiązaniami równania różniczkowego falowego {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} dla współrzędnej x jest superpozycją rozwiązań równania falowego dla częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, co jest to rozwiązaniem w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.72}} A rozwiązaniami y(y) według {{LinkWzór|1.71}} są to rozwiązania przestawione w postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH>y(t)={{B_1}\over{A_1}}A_1\cos(\omega_1t+\varphi)+{{B_2}\over{A_2}}A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)=B_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.73}} === Drgania podłużne, układ sprężynek i ciężarków === {{Rysunek|Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne.jpeg|wk9|Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne}} Rozpatrzmy układ trzech sprężynek o masie zaniedbywanej, w których dwie sprężynki są połączone ze ściankami, a sprężynka środkowa jest połączona z ciężarkami o masie M. Rozważmy sytuację, gdy dwa ciężarki są przesunięte o to samo przesunięcie, wtedy sprężynka środkowa nie jest napięta, Siła z jaką sprężynka działa na pierwsze ciało jest określona wzorem F{{Sub|1}}=-K&psi;{{Sub|a}}, a na drugie ciało wzorem F{{Sub|2}}=-K&psi;{{Sub|b}}, przy założeniu &psi;{{Sub|a}}=&psi;{{Sub|b}}, i pamiętając że sprężynka środkowa nie oddziaływuje w takim przypadku z ciężarkami, równanie ruchu jest opisane: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a\;</MATH>|1.74}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K\psi_b\;</MATH>|1.75}} }} Kwadrat częstotliwości kołowej z jaką drga ten układ dwóch mas jest określony przez wzór: {{CentrujWzór|<math>\omega^2_1={{K}\over{M}}\;</MATH>|1.76}} Rozważmy teraz sytuację, gdy &psi;{{Sub|a}}=-&psi;{{Sub|b}}, wtedy siła działająca na pierwszy ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, której kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: {{CentrujWzór|<MATH>F_1=-K\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)=-K\psi_a-2K\psi_a=-3K\psi_a\;</MATH>|1.77}} A całkowita siła działająca na drugi ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: {{CentrujWzór|<MATH>F_2=-K\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)=-K\psi_b-2K\psi_b=-3K\psi_a\;</MATH>|1.78}} Równania ruchu dla ciężarka pierwszego i drugiego są określone przez wzory wynikających z drugiego prawa Newtona: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\psi_a\;</math>|1.79}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-3K\psi_b\;</math>|1.80}} }} Kwadrat częstotliwości drgań swobodnych drgań normalnych, który dla drgań dwóch ciężarków opisywanych przez równania różniczkowe {{LinkWzór|1.79}} i {{LinkWzór|1.80}}, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{3K}\over{M}}\;</MATH>|1.81}} Na podstawie przypadków szczególnych jakie dokonaliśmy w powyższych rozważaniach dowiadujemy się, że układ może drgać na dwa sposoby, której kwadrat częstotliwości jest opisany wzorem {{LinkWzór|1.76}} lub {{LinkWzór|1.81}}. Rozważmy teraz przypadek ogólny, w którym opisywać będziemy ruch dwóch tych ciężarków, które są opisywane równaniami wynikających z drugiego prawa Newtona: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.82}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K(\psi_b-\psi_a)-k\psi_b\;</MATH>|1.83}} }} Równania {{LinkWzór|1.82}} i {{LinkWzór|1.83}} możemy do siebie dodać i je odjąć, w ten sposób otrzymać następne dwa równania zależne od zmiennych &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}} i &psi;{{Sub|a}}-&psi;{{Sub|b}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-K(\psi_a+\psi_b)\;</MATH>|1.84}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-3K(\psi_a-\psi_b)\;</MATH>|1.85}} }} Na podstawie równości {{LinkWzór|1.84}} otrzymujemy pierwsze równanie na kwadrat częstotliwości kołowej drgań {{LinkWzór|1.76}}, a także z równania {{LinkWzór|1.85}} wynika drugi kwadrat częstotliwości kołowej drgań normalnych {{LinkWzór|1.81}}. Z równań {{LinkWzór|1.84}} i {{LinkWzór|1.85}} wnioskujemy, że można napisać następujące dwa równania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a+\psi_b=2A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)\;</MATH>|1.86}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a-\psi_b=2A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.87}} }} Całkowite rozwiązanie ruchu opisujące przez równanie {{LinkWzór|1.86}} i równanie {{LinkWzór|1.87}} są opisywane dla &Psi;{{Sub|a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.88}} A także rozwiązanie opisujące ruch ciała drugiego jest opisywane: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)-A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</math>|1.89}} === Drgania poprzeczne, układ sprężynek i ciężarków === {{Rysunek|Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek.jpeg|wk10|Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek}} Rozważmy teraz sobie konfigurację sprężynek wykonujących drgania poprzeczne. Rozpatrzmy teraz konfigurację, w którym środkowa sprężynka nie jest wcale naprężona, wtedy równanie ruchu pierwszej masy przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K(l-a){{\psi_a}\over{l}}\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;</MATH>|1.90}} Równanie ruchu drugiego ciała jest bardzo podobne do {{LinkWzór|1.90}}. To równanie rozwiązuje się tak samo jak {{LinkWzór|1.16}}, pamiętając przy tym o {{LinkWzór|1.15}}, zatem kwadrat częstotliwości kołowej opisujący pierwsze drganie normalne dla &psi;{{Sub|a}}=&psi;{{Sub|b}} liczymy według: {{CentrujWzór|<math>\omega^2={{T_0}\over{Ma}}\;</math>|1.91}} Następną postacią drgań normalnych jest to drganie, którego dla tego ruchu zachodzi &psi;{{Sub|A}}=-&psi;{{Sub|b}}, kąt pomiędzy sprężynką pierwszą a poziomem jest dwukrotnie mniejszy niż kąt pomiędzy sprężynką drugą a poziomem, co będziemy korzystali w wyprowadzeniu równania ruchu dla drugiej postaci drgań normalnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta-T\sin2\theta\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}\simeq -3T\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;</MATH>|1.92}} Równanie ruchu dla drugiej sprężynki jest bardzo podobne do {{LinkWzór|1.92}}. Równanie {{LinkWzór|1.92}} rozwiązuje się bardzo podobnie jak równanie {{LinkWzór|1.16}} pamiętając przy okazji o {{LinkWzór|1.15}}, zatem kwadrat częstotliwości drgań normalnych możemy przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{3T_0}\over{Ma}}\;</MATH>|1.93}} === Dwa sprzężone ze sobą obwody LC === {{Rysunek|Dwa_obwody_sprżężone_ze_sobą_LC.jpeg|wk11|Dwa obwody sprżężone ze sob LC}} Układ dwóch sprzężonych ze sobą obwodów LC nazywamy układ składający się z trzech kondensatorów o pojemności C równoległych względem siebie i dwóch cewek o indukcyjności własnej L też równoległych wobec siebie. Napiszmy teraz równania różniczkowe według drugiego prawa Kirchhoffa, które rządzą dwoma oczkami z osobna, które to powiązane są ze sobą względem prądów płynących przez cewki I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}}, i przy pomocy ładunków znajdujących się na poszczególnych kondensatorach Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}} i Q{{Sub|3}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_a}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_1-{{1}\over{C}}Q_2\;</MATH>|1.94}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_2-{{1}\over{C}}Q_3\;</MATH>|1.95}} }} Możemy z różniczkować równania {{LinkWzór|1.94}} i {{LinkWzór|1.95}} względem czasu i w ten sposób otrzymujemy stąd dwie dalsze tożsamości zawierające prądy I{{Sub|a}}, I{{Sub|b}}, a także pochodnych ładunków znajdujących się na kondensatorach Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}} policzonych względem czasu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_a}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}{{dQ_1}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}\;</MATH>|1.96}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_3}\over{dt}}\;</MATH>|1.97}} }} Z pierwszego prawa Kirchhoffa możemy otrzymać trzy tożsamości, które wiążą ładunki na kondensatorach z natężeniami prądów płynących w poszczególnych obwodach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_1}\over{dt}}=-I_a\;</MATH>|1.98}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_2}\over{dt}}=I_a-I_b\;</MATH>|1.99}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_3}\over{dt}}=I_b\;</MATH>|1.100}} }} Tożsamości {{LinkWzór|1.98}}, {{LinkWzór|1.99}} i {{LinkWzór|1.100}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|1.96}} i {{LinkWzór|1.97}}, w ten sposób otrzymujemy dwie równości różniczkowe zależne od zmiennych I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}} i od pozostałych parametrów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_a}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}I_a+{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)\;</MATH>|1.101}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_b}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)-{{1}\over{C}}I_b\;</MATH>|1.102}} }} Równania {{LinkWzór|1.101}} i {{LinkWzór|1.102}} możemy do siebie dodać i odjąć, w ten sposób otrzymać dwa równania zależne od zmiennych I{{Sub|a}}+I{{Sub|b}} oraz od I{{Sub|a}}-I{{Sub|b}} z osobna, z których możemy wyznaczyć te wielkości w postaci ich drgań z pewnymi częstotliwościami kołowymi określonych kolejno przez &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, zatem te dwa równania piszemy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2(I_a+I_b)}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_a+I_b)\;</MATH>|1.103}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2(I_a-I_b)}\over{dt^2}}=-{{3}\over{C}}(I_a-I_b)\;</MATH>|1.104}} }} Z równań {{LinkWzór|1.103}} i {{LinkWzór|1.104}} możemy otrzymać dwie wspomniane wcześniej częstotliwości kołowe drgań normalnych, której to kwadraty: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2={{1}\over{LC}}\;</MATH>|1.105}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{3}\over{LC}}\;</MATH>|1.106}} }} Układ drga z jedną częstotliwości kołowych, którego kwadraty są opisywane wzorami {{LinkWzór|1.105}}, {{LinkWzór|1.106}}, gdy dla pierwszej mamy I{{Sub|a}}=I{{Sub|b}}, a dla drugiej I{{Sub|a}}=-I{{Sub|B}}. Ogólne rozwiązania na natężenia prądów I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}} są zapisane jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>I_a=A\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.107}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>I_b=A\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-B\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.108}} }} == Dudnienia == Jest wiele przykładów układów drgających z dwiema częstotliwościami podstawowymi &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, przykładem takich drgań mogą być drgania o dwóch stopniach swobody. Przykładem układów o dwóch stopniach swobody są drgania spowodowane przez dwie siły wymuszające drgających z dwoma częstotliwościami. Aby zobaczyć co to są dudnienia, rozpatrzmy dwa drania o takich samych amplitudach i różnych częstotliwościach podstawowych, które są opisane przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_1=A\cos\omega_1 t\;</MATH>|1.109}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_2=A\cos\omega_2 t\;</MATH>|1.110}} }} Całkowite wychylenie od położenia równowagi określamy jako sumę wychyleń {{LinkWzór|1.109}} i {{LinkWzór|1.110}} i są one zależne od częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_a+\psi_b=A\cos\omega_1t+B\cos\omega_2 t\;</MATH>|1.111}} === Modulacje === Średnią częstotliwość kołową &omega;{{Sub|śr}}, która jest sumą częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} podzielonych przez dwa, oraz częstotliwość kołową modulacji &omega;{{Sub|mod}}, która jest różnicą dwóch częstotliwości kołowych podanych wcześniej i podzielonych przez dwa: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;</math>|1.112}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;</MATH>|1.113}} }} Częstotliwości drgań kołowych drgań normalnych możemy napisać w zależności od częstotliwości drgań średnich i częstotliwości drgań modulacji: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_1=\omega_{sr}+\omega_{mod}\;</MATH>|1.114}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{2}=\omega_{sr}-\omega_{mod}\;</MATH>|1.115}} }} Jeszcze raz, patrząc na wzór {{LinkWzór|1.111}} przy takich samych amplitudach A i B, które tutaj oznaczymy przez A, a także na wzory {{LinkWzór|1.114}} i {{LinkWzór|1.115}}, wtedy możemy dojść do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t=A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|1.116}} * gdzie amplituda modulacyjna określamy według wzoru {{LinkWzór|1.116}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t)\;</MATH>|1.117}} Wzór {{LinkWzór|1.116}} jest wzorem ogólnym, ale największe korzyści daje nam, gdy częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są do siebie zbliżone, to wtedy mamy na pewno &omega;{{Sub|1}}&asymp;&omega;{{Sub|2}} i &omega;{{Sub|mod}}<<&omega;{{Sub|sr}}, a więc amplituda praktycznie się nie zmienia i wtedy układ wykonuje drania prawie harmoniczne o częstości &omega;{{Sub|sr}}. Natomiast gdy &omega;{{Sub|mod}}=0, to wtedy mamy &omega;{{Sub|sr}}=&omega;{{Sub|1}}=&omega;{{Sub|2}}, jeśli te częstotliwości kołowe różnią się niewiele, to taki ruch nazywamy prawie harmonicznym lub prawie monochromatycznym o częstotliwości &omega;{{Sub|sr}} i o amplitudzie prawie się nie zmieniającej. === Dudnienia wywołane przez dwa kamertony === Rozważmy dwa kamertony, które wywołują fale dźwiękowe, które powodują zmiany ciśnienia w pobliżu błony bębenkowej, której jako &psi; jest różnicą ciśnień błony bębenkowej pomiędzy jej warstwą zewnętrzną a wewnętrzną. Jeśli mamy dwa kamertony, to ta różnica na naszej błonie jest równa sumie różnic ciśnień &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}}, czyli jest superpozycją dwóch fal pochodzących od kamertonów. Gdy różnica częstotliwości &nu; różnią się o więcej niż 6%, to nasz mózg, wolą opis drgań opisany wzorem {{LinkWzór|1.111}}. Oznacza to, że fale o dwóch częstotliwościach są słyszane jako dwa odrębne dźwięki. Jeśli natomiast mamy {{Formuła|<MATH>\nu_2={{5}\over{4}}\nu_1\;</MATH>}}, to słyszane dwa dźwięki oddzielona są wielką tercją. Jeśli natomiast {{Formuła|<math>\nu_2=1,06\nu_1\;</MATH>}}, wtedy dźwięk &nu;{{Sub|2}} słyszany jest jako półtonu wyższy od &nu;{{Sub|1}}. Jeśli natomiast dźwięki różnią o mniej niż 10Hz, to nasze ucho ma kłopoty z rozróżnianiem ich jako odrębne tony. W tym wypadku dźwięki są słyszane jako dźwięk o częstotliwości &nu;{{Sub|sr}} o wolno zmiennej amplitudzie, który jest napisany zależnością {{LinkWzór|1.117}} dla różnicy ciśnień &psi;(t) danym wzorem {{LinkWzór|1.116}}. === Detektor mocy superpozycji fali dźwiękowej === Według wzoru {{LinkWzór|1.117}} amplituda fali dźwiękowej oscyluje z częstością kołową modulacji &omega;{{Sub|mod}}, co za każdym razem &omega;{{Sub|mod}}t zwiększa się o 2&pi;, w której amplituda modulacji A{{Sub|mod}} wykonuje pełny cykl modulacji (mamy tu na myśl powolne zmiany zmiany z częstotliwością modulacji &omega;{{Sub|mod}}). W tym czasie amplituda A{{Sub|mod}} dwa razy przyjmuje wartość równą zero, w której ludzkie ucho nic nie słyszy, a także przyjmuje dwa razy wartość bezwzględną równą wartości maksymalnej, tzn. raz maksymalną wartość wziętej z minusem, a za drugim razem z plusem, czyli w tym czasie amplituda przyjmuje dwa różne znaki o takiej samej wartości bezwzględnej amplitudy. Ludzkie ucho nie rozróżnia z jakim znakiem amplitudy mamy do czynienia, ale rozróżnia jedynie kwadrat amplitudy fali dźwiękowej, który ma dwa maksima w jednym trakcie okresu. {{Rysunek|Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, amplituda modulacji, kwadrat amplitudy modulacji, cykl modulacyjny i dudnienia.jpg|wk131|Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, amplituda modulacji, kwadrat amplitudy modulacji, cykl modulacyjny i dudnienia, przyjęto A&#61;1m,&omega;{{Sub|1}}&#61;0,3Hz i &omega;{{Sub|2}}&#61;0,37Hz.}} Częstością dudnień nazywamy częstość powtarzania się maksymalnego kwadratu amplitudy fali modulowanej, jest ona pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{dud}=2\omega_{mod}=\omega_1-\omega_2 \,</MATH>|1.118}} Aby przekonać się o tym, że kwadrat amplitudy modulowanej, czyli kwadrat z {{LinkWzór|1.117}} drga z częstotliwością kołową {{LinkWzór|1.118}}, to napiszmy następujące przekształcenia, wykorzystując znane związki z trygonometrii, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>A^2_{mod}(t)=4A^2\cos^2\omega_{mod} t=4A^2{{1}\over{2}}\left(1+\cos 2\omega_{mod}t\right)=2A^2\left(1+\cos 2\omega_{mod}t\right)\;</MATH>|1.119}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|1.119}}, że kwadrat amplitudy oscyluje z podwojoną częstotliwością modulowaną {{LinkWzór|1.118}}, co było do wykazania. === Dudnienia słabo sprzężonych ze sobą wahadeł === {{Rysunek|Sprzężone identyczne wahadła matematyczne.jpeg|wk13|Dwa wahadła matematyczne sprzężone ze sobą.}} Weźmy układ dwóch wahadeł słabo sprzężone ze sobą, czyli dwie masy M zawieszone na nieważkich niciach, oraz połączone ze sobą przy pomocy sprężynki o stałej sprężystości K. Rozwiązując równania ruchu dla tych mas M, dowiemy się, że układ może drgać z dwiema częstotliwościami kołowymi, które są opisywane w zależności od stałej sprężystości K, przyspieszenia grawitacyjnego g i masy M. Mając równania ruchu możemy określić częstotliwości dudnień lub częstotliwość modulowaną, a także częstotliwość średnią. Napiszmy teraz równania ruchu obu kulek w sposób: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.120}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.121}} }} Różniczkowe równania ruchu dla obu kulek M, tzn. {{LinkWzór|1.120}} I {{LinkWzór|1.121}} możemy dodać i odjąć od siebie, w ten sposób otrzymać wnioski zależne od zmiennych &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}} (pierwsza równość) i od &psi;{{Sub|a}}-&psi;{{Sub|b}} (druga równość), by z tych równań wyznaczyć wzory na wspomniane zmienne przy pomocy definicji częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)\;</MATH>|1.123}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a-\psi_b)-2K(\psi_a-\psi_b)\;</MATH>|1.124}} }} Patrząc na wzory {{LinkWzór|1.123}} i {{LinkWzór|1.124}}, w ten sposób otrzymujemy formuły na kwadraty wspomnianych częstotliwości kołowych drgań harmonicznych, których przedstawienie jest zależne od przyspieszenia ziemskiego "g", długości wahadła matematycznego "l" i stałej sprężystości K i masy obu kulek M: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|1.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\;</MATH>|1.125a}}}} W celu określenia jak wyglądają dudnienia napiszmy, czemu są równe &psi;{{Sub|a}} I &psi;{{Sub|b}} dla osobnych drgań harmonicznych, to napiszmy równania na przemieszczenie ciała "a" dla &psi;{{Sub|a}} i ciała "b" dla &psi;{{Sub|b}} przy definicji częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, w takim wypadku piszemy je: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=\psi_1+\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.126}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=\psi_1-\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.127}} {{Rysunek|Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi.jpeg|wk15|Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi}} Najsilniejszy efekt obserwuje się, gdy obie amplitudy są jednakowego znaku, tzn. A{{Sub|1}}=A{{Sub|2}}=A. Jeśli któraś z amplitud jest równe zero lub w przybliżeniu równe zero, to mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi z drgających z jedną częstotliwością kołową, tzn. &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}. Drgania dwóch mas przy jednakowych amplitudach możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t\;</MATH>|1.128}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A\cos\omega_1-A\cos\omega_2t\;</math>|1.129}} }} Wykorzystamy wzory {{LinkWzór|1.114}} i {{LinkWzór|1.115}}, by potem je użyć do {{LinkWzór|1.128}} {{LinkWzór|1.129}}, by dalej przeprowadzić końcowe obliczenia na drgania obu mas. Dla pierwszej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "a", czyli &psi;{{Sub|a}} {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t\equiv A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|1.129a}} Dla drugiej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "b", czyli &psi;{{Sub|b}} {{LinkWzór|1.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t-A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=-2A\sin\omega_{mod}t\sin\omega_{sr}t\equiv -B_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;</MATH>|1.129b}} Energię kulki pierwszej określamy w zależności od częstotliwości modulacyjnej &omega;{{Sub|mod}} i &omega;{{Sub|sr}}, które określamy względem częstotliwości drgań podstawowych, którego piszemy przy pomocy kwadratu funkcji kosinus z iloczynu częstotliwości modulowanej i czasu, i częstotliwości średniej: {{CentrujWzór|<MATH>E_a={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2A_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t\;</MATH>|1.130}} A energię drugiej kulki podobnie jak dla pierwszej kulki określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>E_b={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2B_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t\;</MATH>|1.131}} Określmy teraz wielkość zwaną E, która jest sumą całkowitych energii kulki pierwszej {{LinkWzór|1.130}} i drugiej {{LinkWzór|1.131}}, którego ta energia jest wielkością stałą jak można udowodnić, tzn. tylko zależy od częstotliwości średniej obu drgań podstawowych: {{CentrujWzór|<MATH>E_a+E_b=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t+2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t=2MA^2\omega_{sr}^2=E\;</MATH>|1.132}} Całkowite energie kulki pierwszej {{LinkWzór|1.130}} i drugiej {{LinkWzór|1.131}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.132}}, są napisane jako z definicji kwadratu sinusa i kosinusa kąta połówkowego: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_a={{1}\over{2}}E\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|1.133}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E_b={{1}\over{2}}E\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|1.134}} }} A różnica energii obu kulek, tzn. E{{Sub|a}} i E{{Sub|b}} na podstawie {{LinkWzór|1.133}} i {{LinkWzór|1.134}} przestawiamy jako funkcję wprost proporcjonalną do kosinusa z argumentu (&omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}})t, i wyrażamy ją: {{CentrujWzór|<MATH>E_a-E_b=E\cos(\omega_1-\omega_2)t\;</MATH>|1.135}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> jj5l3orb3kx185sg74saejzkadmkbiw 559101 559100 2026-10-11T03:59:27Z Persino 2851 559101 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Ruchem drgającym harmonicznym nazywamy drgania, które zależą od częstotliwości kołowej drgań własnych &omega; i przesunięcia fazowego &phi;. Drgania te opisujemy względem czasu "t" wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.1}} Ruch pokazany przy pomocy równości {{LinkWzór|1.1}}, są to ruchy o jednym stopniu swobody. Okresem drgań harmonicznych nazywamy odwrotność częstości &nu;, którą możemy przepisać przy pomocy definicji częstotliwości kołowej: {{CentrujWzór|<MATH>T={{1}\over{\nu}}={{2\pi}\over{\omega}}\;</MATH>|1.2}} == Siła kierujące i bezwładność ciała dla drgań o jednym stopniu swobody == Ruch harmoniczny {{LinkWzór|1.1}} jest rezultatem działania dwóch przeciwstawnych czynników, tzn. siły kierującej i bezwładności. Siła kierująca w ruchu harmonicznym usiłuje przywrócić układ do stanu równowagi, a bezwładność jest cechą układu, która przeciwstawia się zmianom ruchu układu. == Drgania tłumione == Ruch harmoniczny opisywany wzorem {{LinkWzór|1.1}} nie jest ruchem tłumionym, bo jego amplituda nie zmienia się w miarę upływu czasu. W ruchu tłumionym, amplituda drgań maleje z czasem. Przykładem drgań gasnących są drgania opisane równością: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.3}} == Wahadło matematyczne == {{Rysunek|Wahadło matematyczne.jpeg|lk1|Wahadło matematyczne}} Wahadłem matematycznym nazywamy układ, w którym ciało o masie M jest zawieszone na nieważkiej nici lub pręcie o długości l. Siłą kierującą w ruchu wahadła jest składowa siły grawitacji prostopadła do nici, jej wartość określa wzór F=Mg sin&psi;, to z drugiej zasady dynamiki Newtona w tym przypadku wynika: {{CentrujWzór|<MATH>Ml{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-Mg\sin\psi\;</MATH>|1.4}} Funkcję sinus możemy rozłożyć w szereg Taylora, którego zapis dla naszej funkcji jest następujący: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\psi=\psi-{{\psi^3}\over{3!}}+{{\psi^5}\over{5!}}-...\;</MATH>|1.5}} Dla małych kątów &psi;, można pominąć wszystkie wyrazy szeregu poza pierwszym, wówczas równość {{LinkWzór|1.4}} możemy przestawić {{LinkWzór|1.5}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{dt^2}}=-{{g}\over{l}}\psi\rightarrow {{d^2\psi}\over{dt^2}}=-\omega^2\psi\mbox{ gdzie: }\omega^2={{g}\over{l}}\;</math>|1.6}} Rozwiązaniem równania {{LinkWzór|1.6}} są funkcje harmoniczne w postaci {{LinkWzór|1.1}} (co udowodnimy poniżej), dla której druga pochodna tego właśnie przypuszczalnego rozwiązania naszej funkcji jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.7}} Jeśli funkcję {{LinkWzór|1.7}} wraz {{LinkWzór|1.1}} podstawimy do wzoru {{LinkWzór|1.6}}, w ten sposób otrzymamy tożsamość, co dowodzi o harmoniczności ruchu masy M w wahadle matematycznym. == Ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch sprężynek == {{Rysunek|Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi.jpeg|wk1|Układ sprężynek i ciała w położeniu równowagi}} {{Rysunek|Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi.jpeg|wk2|Układ sprężynek i ciała w stanie wychylenia od stanu równowagi}} Rozważmy dwie sprężynki przyczepione do ścianek i połączone ze sobą poprzez masę M. Sprężynki mają znikomą masę. Całkowita siła działająca na masę M jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>F_z=-K(z-a_0)+K(2a-z-a)=-2K(z-a)\;</MATH>|1.8}} Ruch ciężarka możemy opisać drugim prawem dynamiki Newtona, który piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2z}\over{dt^2}}=F_z\Rightarrow M{{d^2z}\over{dt^2}}=-2K(z-a)\;</MATH>|1.9}} Ruch ciała M będziemy opisywać funkcją &psi;(t), którą definiujemy jako starą funkcję z(t) minus stałą "a", zatem w {{LinkWzór|1.9}} możemy dokonać zamiany zmiennych według: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=z(t)-a\;</MATH>|1.10}} Równanie {{LinkWzór|1.9}} przy pomocy podstawienia {{LinkWzór|1.10}}, którym występuje poszukiwana funkcja &psi;(t) jest zależna od czasu, dla równania, która jest równaniem oscylatora harmonicznego, możemy zapisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-{{2K}\over{M}}\psi(t)\;</MATH>|1.11}} Kwadrat częstości kołowej ruchu harmonicznego ciała, a także rozwiązanie ruchu {{LinkWzór|1.9}} na podstawie {{LinkWzór|1.11}} i {{LinkWzór|1.10}}, przestawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2K}\over{M}}\;</MATH>|1.12}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>z(t)=\psi(t)+a=a+A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.13}} }} == Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn == {{Rysunek|Drgania poprzeczne ciężarka przyczepionego do sprężyn.jpeg|lk2|Drgania podłużne. Dolny rysunek układ w stanie równowagi, a górny układ w stanie drgań poprzecznych.}} Rozważmy ciężarek o masie M przyczepiony do dwóch nieważkich sprężyn. Współczynnik sprężystości sprężyn wynosi K. W położeniu równowagi każda ze sprężyn zostaje napięta do długości a. Opisywany układ może wykonywać dwa rodzaje drgań poprzecznych i jedno drganie podłużne. W stanie równowagi siła działająca na ciało z jednej ze sprężyn jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>T_0=K(a-a_0)\;</MATH>|1.14}} Opisu drgań podłużnych nie będziemy powtarzać, ponieważ jest zamieszczony w poprzednim rozdziale. W drganiach poprzecznych siła, z jaką pojedyncza sprężyna działa na ciężarek M, jest opisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>T=K(l-a_0)\;</math>|1.15}} Z drugiej zasady dynamiki Newtona ruch opisujący drgania poprzeczne jest opisywany przez równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=F_x=-2T\sin\theta=-2K(l-a_0){{x}\over{l}}\Rightarrow M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2Kx\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)\;</MATH>|1.16}} Należy zauważyć, że długość l występująca po prawej stronie wzoru końcowego {{LinkWzór|1.16}} jest funkcją w ogólności od zmiennej x. == Mała długość swobodna sprężyny jako pierwsze przybliżenie == Równanie ruchu ciała o masie M {{LinkWzór|1.16}} w przybliżeniu małej długości sprężyny, tzn. stosunek długości sprężyny swobodnej a{{Sub|0}} przez długość sprężyny l jest w naszym przypadku tutaj rozważanym wielkością pomijalną. Równanie ruchu {{LinkWzór|1.16}} przybliżeniu tutaj omawianym jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;</MATH>|1.17}} Wzór {{LinkWzór|1.17}} uzyskaliśmy na podstawie dokładnego rozwiązania {{LinkWzór|1.16}}, w której definicja kwadratu częstotliwości kołowej dla przybliżenia małej długości sprężyny przy zachodzącym {{LinkWzór|1.14}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2K}\over{M}}={{2T_0}\over{Ma}}\mbox{ (dla }a_0=0\mbox{)}\;</MATH>|1.18}} Rozwiązaniem równania ruchu {{LinkWzór|1.17}} jest to równanie zależne od częstotliwości kołowej &omega;, które jest opisane wzorem {{LinkWzór|1.1}}. Widzimy, ze zgodnie ze wzorami {{LinkWzór|1.18}} i {{LinkWzór|1.12}}, że częstość drgań poprzecznych w naszym przybliżeniu jest równa częstości drgań podłużnych w ruchu drgającym ciała o masie M. == Przybliżenie małych drgań == Aby rozwiązać równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.16}} stosowaliśmy przybliżenia małej długości swobodnej sprężyny, wtedy stosunek długości swobodnej sprężyny a{{Sub|0}} do długości aktualnej sprężyny jest względnie mały, których stosunek w takiej sytuacji możemy pominąć. Jeśli tego stosunku nie można pominąć, to możemy powiedzieć, że dla małego &epsilon;, względem którego będziemy rozkładali odwrotność długości chwilowej sprężyny w szereg Taylora, który to podstawimy do równania różniczkowego {{LinkWzór|1.16}}, i pominiemy wyrazy wyższe niż liniowe, w ten sposób dojdziemy do równania różniczkowego, które jest równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego, to co chcieliśmy otrzymać. Zatem napiszmy teraz definicję kwadratu chwilowej długości sprężyny "l" i kwadratu wielkości &epsilon;: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>l^2=a^2+x^2\;</math>|1.19}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon^2={{x^2}\over{a^2}}\;</mAth>|1.20}} }} Odwrotność długości sprężyny liczymy, rozkładając ją w szereg Taylora względem zmiennej x, która jest położeniem ciała o masie M: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{l}}={{1}\over{a}}\left(1+\epsilon\right)^{-{{1}\over{2}}}={{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq{{1}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\;</MATH>|1.21}} Wzór {{LinkWzór|1.21}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.16}} do odjemnika w nawiasie, w ten sposób możemy otrzymać równość zależną od zmiennej x, którego to równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{a_0}\over{l}}\right)=-{{2Kx}\over{M}}\left(1-{{1}\over{2}}\epsilon+{{3}\over{8}}\epsilon^2-...\right)\simeq-{{2Kx}\over{M}}\left[1-{{a_0}\over{a}}\left(1-{{1}\over{2}}{{x^2}\over{a^2}}+...\right)\right]\;</MATH>|1.22}} Równanie ruchu {{LinkWzór|1.22}} możemy przepisać, dokonując odpowiednich przekształceń w nawiasie w końcowej wspomnianej tożsamości: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x^2}\over{dt^2}}=-{{2Kx}\over{Ma}}(a-a_0)+{{K}\over{M}}a_0\left({{x}\over{a}}\right)^3+...\;</MATH>|1.23}} W równaniu ruchu masy M zapisaną w punkcie {{LinkWzór|1.23}} możemy pominąć wyższe wyrazy niż liniowe przy przybliżeniu małych drgań, by potem wykorzystać wzór {{LinkWzór|1.14}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2K}\over{Ma}}(a-a_0)x\Rightarrow {{d^2x}\over{dt^2}}\simeq-{{2T_0}\over{Ma}}x\;</MATH>|1.24}} Kwadrat częstotliwości kołowej ruchu drgającego drgań poprzecznych wynika z równania różniczkowego {{LinkWzór|1.24}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2T_0}\over{Ma}}\;</MATH>|1.25}} Rozwiązanie równania ruchu {{LinkWzór|1.24}} przy definicji kwadratu częstotliwości kołowej {{LinkWzór|1.25}} jest równaniem zapisane w punkcie {{LinkWzór|1.1}}. Możemy wyznaczyć iloraz częstotliwość drgań podłużnych {{LinkWzór|1.12}} przez częstotliwość kołową drgań poprzecznych {{LinkWzór|1.25}} przy oznaczeniu {{LinkWzór|1.14}} w następującej postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\omega_{pod}}\over{\omega_{poprz}}}={{1}\over{\left(1-{{a_0}\over{a}}\right)^{{{1}\over{2}}}}}\;</MATH>|1.26}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.26}}, gdy długość własna sprężyny a{{Sub|0}} jest względnie mała w porównaniu z długością sprężyny w stanie równowagi "a", to częstotliwości kołowe drgań podłużnych i poprzecznych są sobie w przybliżeniu równe. == Obwód LC, czyli solenoid z dwoma kondensatorami == {{Rysunek|Układ LC.jpeg|wk3|Szeregowy układ LC dwóch kondensatorów o pojemności elektrycznej C i solenoidu o długości własnej L}} Równanie opisujących układ LC z dwoma kondensatorami o pojemności C i z cewką od indukcji elektrycznej L przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>-L{{dI}\over{dt}}-{{Q_2}\over{C}}-{{Q_1}\over{C}}=0\;</MATH>|1.27}} Ładunek Q{{Sub|1}} jest powiązany z ładunkiem Q{{Sub|2}}, a także ten drugi ładunek jest powiązany z natężeniem prądu elektrycznego płynącego w obwodzie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=Q_2\;</MATH>|1.28}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_2}\over{dt}}=I\;</MATH>|1.29}} }} Równanie {{LinkWzór|1.27}} możemy tak napisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|1.28}}, które to możemy dalej zróżniczkować obustronnie względem czasu przy wykorzystaniu {{LinkWzór|1.29}}, wtedy otrzymamy równość różniczkową drugiego stopnia: {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI}\over{dt}}+2{{Q_2}\over{C}}=0\Rightarrow L{{d^2I}\over{dt^2}}=2{{I}\over{C}}=0\Rightarrow {{d^2I}\over{dt^2}}=-{{2}\over{LC}}I\;</math>|1.30}} Końcowe równanie {{LinkWzór|1.30}} jest równaniem oscylatora harmonicznego, którego kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{2}\over{LC}}\;</MATH>|1.31}} Natężenie prądu elektrycznego, który jest rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|1.30}} przestawiamy podobnym wzorem do {{LinkWzór|1.1}}, jest to równanie w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.32}} == Zasada superpozycji i liniowość równań ruchu == Omawiane tutaj były przypadki, w których siła kierunkowa była wprost proporcjonalna do &psi;(t), natomiast niezależała od wyższych potęg &psi;, tzn. &psi;{{Sup|2}},&psi;{{Sup|3}},.... Równanie niezawierające wyższych potęg &psi; niż pierwszego stopnia nazywamy równaniem liniowym. Gdy w naszym równaniu występują wyższe potęgi niż pierwszego stopnia, tak powstałe równanie nazywamy nieliniowym. Natomiast, gdy równanie nie zawiera wyrazów z niezależnych od &psi; nazywamy równaniem jednorodnym. === Wprowadzenie do równań liniowych jednorodnych === Równania liniowe i jednorodne różniczkowe mają tę właściwość, że suma dwóch rozwiązań równania liniowego i jednorodnego też spełnia równanie liniowe i jednorodne, co jest wiadomo. Udowodnimy czy też jest dla równań różniczkowych nieliniowych, że jeśli mamy dwa rozwiązania poniższego równania różniczkowego, to suma ich ma spełniać też to równanie, jak wykażemy co jest jedynie możliwe, gdy mamy równanie różniczkowe liniowe. A oto mamy równość różniczkową w ogólności zależną od wyższych potęg niż pierwszego stopnia: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi+\alpha\psi^2+\beta\psi^3+\gamma\psi^4+..\;</MATH>|1.33}} Weźmy dwa rozwiązania &psi;{{Sub|1}} i &psi;{{Sub|2}}, które spełniają równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.33}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_1(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_1+\alpha\psi_1^2+\beta\psi_1^3+..\;</MATH>|1.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_2(t)}\over{dt^2}}=-C\psi_2+\alpha\psi^2_2+\beta\psi^3_2+..\;</MATH>|1.35}} }} Sumę rozwiązań &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} też spełnia równanie różniczkowe {{LinkWzór|1.33}} jak i składowe tejże sumy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}=-C(\psi_1+\psi_2)+\alpha(\psi_1+\psi_2)^2+\beta(\psi_1+\psi_2)^3+...\;</MATH>|1.36}} Równanie {{LinkWzór|1.34}} możemy dodać do {{LinkWzór|1.35}} do siebie i porównać ze wzorem {{LinkWzór|1.36}}, w ten sposób otrzymujemy tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{dt^2}}+{{d^2\psi}\over{dt^2}}={{d^2(\psi_1+\psi_2)}\over{dt^2}}\;</MATH>|1.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>-C\psi_1-C\psi_2=-C(\psi_1+\psi_2)\;</MATH>|1.38}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\alpha\psi_1^2+\alpha\psi_2^2=\alpha(\psi_1+\psi_2)^2\;</MATH>|1.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\beta\psi^3_1+\beta\psi_2^3=\beta(\psi_1+\psi_2)^3\;</MATH>|1.40}} }} Równanie {{LinkWzór|1.37}} i {{LinkWzór|1.38}} są tożsamościami, tzn. które są zawsze spełnione, a równości {{LinkWzór|1.39}} i {{LinkWzór|1.40}} są zawsze spełnione tylko dla &alpha;=0 i &beta;=0, zatem co zachodzi tylko dla rozwiązania liniowego przy postawionych warunkach powyżej, to superpozycja rozwiązań równania różniczkowego liniowego jest też rozwiązaniem tego samego równania różniczkowego. Co kończy dowód. === Warunki początkowe a superpozycja rozwiązań === Załóżmy, że mamy dwa rozwiązania jako szczególne rozwiązania w chwilach szczególnych &psi;{{Sub|1}}(0) i &psi;{{Sub|2}}(0), które odpowiadają warunkom brzegowym rozwiązań &psi;{{Sub|1}}(t) i &psi;{{Sub|2}}(t), a rozwiązania równania będące superpozycją naszych rozwiązań, czyli &psi;{{Sub|1}}(t)+&psi;{{Sub|2}}(t), odpowiadają warunki brzegowe w postaci: &psi;{{Sub|1}}(0)+&psi;{{Sub|2}}(0). === Niejednorodne równanie liniowe === Wprowadźmy do równania liniowego siłę wymuszającą F(t) zależną od czasu, wtedy po tej operacji otrzymujemy równanie różniczkowe: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi(t)}\over{dt^2}}=-C\psi(t)+F(t) \;</MATH>|1.41}} Załóżmy, że mamy dwa równania różniczkowe {{LinkWzór|1.41}}, każde odpowiada innej sile wymuszającej, to superpozycja dwóch rozwiązań spełnia równanie różniczkowe odpowiadające sumie dwóch sił wymuszających w równaniu {{LinkWzór|1.41}}, tzn. F{{Sub|1}}(t)+F{{Sub|2}}(t). === Wahadło sferyczne === W celu zilustrowania zasady superpozycji rozpatrzmy wahadło sferyczne zawieszone na nieważkiej nici, która posiada możliwość ruchu w dowolnym kierunku. Położenie równowagi znajduje się w punkcie x=0 i y=0, co równania ruchu takiego wahadła piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}x\;</MATH>|1.42}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2y}\over{dt^2}}=-{{Mg}\over{l}}y\;</MATH>|1.43}} }} Powyższe dwa równania są rozdzielone, tzn. każde równanie zależy od innych zmiennych i ich rozwiązania są niezależne i są opisywane wzorami tylko od zmiennej t i są to dwa rozwiązania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.44}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y(t)=A_2\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|1.45}} }} Kwadrat częstotliwości kołowej występujących w rozwiązaniach {{LinkWzór|1.44}} i {{LinkWzór|1.45}} wynikających z równań {{LinkWzór|1.42}} i {{LinkWzór|1.43}} zapisujemy wzorem {{LinkWzór|1.6}}. == Układy o dwóch stopniach swobody i jego drgania swobodne == Opis układów w ogólnej konfiguracji wymaga znajomości dwóch zmiennych, tzn. &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}}, co oznacza np. ruch wahadła wokół płaszczyzn wzajemnie prostopadłych kierunkach w płaszczyźnie drgań, a w przypadku układów LC, co oznacza, że &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} oznaczają ładunki na dwóch kondensatorach lub też natężenia prądów elektrycznych. Najbardziej ogólny ruch harmoniczny jest superpozycja dwóch drgań harmonicznych, których jak wiemy też jest w pewnym senie ruchem harmonicznych. Składowe tych rozważanych drgań harmonicznych nazywamy drganiami normalnymi lub drganiami własnymi. Można tak dobrać warunki początkowe, by układ wykonywał jedno lub drugie drganie harmoniczne. Załóżmy, że układ wykonuje drgania z częstotliwościami kołowymi &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}. Przesunięcia fazowe dla obu drgań normalnych są sobie równe. Dla obu tychże drgań wychylenia od stanu równowagi są opisywane przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\;</MATH>|1.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi)={{B_1}\over{A_1}}\psi_a\;</MATH>|1.47}} }} Dla drugiej postaci drgań normalnych, zachodzą podobne związki jak w punktach {{LinkWzór|1.46}} I {{LinkWzór|1.47}}, tylko jedynkę zamieniamy na dwójkę. W ogólnej konfiguracji wychylenia od położenia równowagi dla &psi;{{Sub|a}} i &psi;{{Sub|b}} zapisujemy jako superpozycja drgań harmonicznych o częstotliwościach &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.48}} a dla drugiej zmiennej, tzn. &psi;{{Sub|b}} drgania opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b(t)=B_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.48a}} === Wahadło sferyczne jako układ drgający o dwóch stopniach swobody === Dla wahadła sferycznego na podstawie równań różniczkowy opisujący te nasze drgania , tzn. równań {{LinkWzór|1.42}} i {{LinkWzór|1.43}} dla dwóch niezależnych drgań, tzn. w niezależnych zmiennych, dla którego kwadrat częstotliwości kołowej jest opisywany wzorem {{LinkWzór|1.6}}, których to wychylenia od stanu równowagi dla tych rozważanych zmiennych są przestawione jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x(t)\equiv \psi_a(t)=A_1\cos(\omega_1t+\varphi)\;</MATH>|1.49}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y(t)\equiv\psi_b(t)=\cos(\omega_2t+\varphi)\;</math>|1.50}} }} === Przybliżenie harmoniczne dla dwuwymiarowego układu współrzędnych === {{Rysunek|Dwuwymiarowy_oscylator_harmoniczny_w_stanie_równowagi.jpeg|wk5|Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w stanie równowagi}} {{Rysunek|Dwuwymiarowy_oscylator_harmoniczny_w_ogólnej_konfiguracji.jpeg|wk6|Dwuwymiarowy oscylator harmoniczny w ogólnej konfiguracji}} Rysunek obok przestawia ruch ciała o masie M przyczepionych do czterech sprężyn o stałych proporcjonalnych K{{Sub|1}} i K{{Sub|2}}, które są przyczepione do odpowiednich ścianek. Masy sprężynek są w przybliżeniu zerowe w porównaniu z masą kulki M. Kulka może wykonywać dwa niezależne drgania wzdłuż osi iksowej i igrekowej lub w postaci złożenia tychże drgań. We wzorach opisujących ruch masy M pomijamy człony x{{Sup|2}}/a{{Sup|2}}, y{{Sup|2}}/a{{Sup|2}} i xy/a{{Sup|2}}. W ten sposób możemy napisać przybliżenie klasyczne małych drgań. Jeśli dokonamy odpowiedniego małego przesunięcia ciała M w kierunku osi iksowej, to wtedy z dokładnością do wyrazów wyżej podanych otrzymamy wzór na siłę iksową i igrekową w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-2K_1x\;</MATH>|1.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>F_y=0\;</math>|1.52}} }} Podobnie postępujemy, gdy dokonamy małego przesunięcia wzdłuż osi igrekowej. Ogólne równania ruchu opisujące drgania masy M są to równania ruchu zapisane w przybliżeniu małej długości sprężyny, które możemy napisać je jako dwa równania opisujące ruch ciała M na płaszczyźnie xy, których rozwiązania są superpozycją drgań wzdłuż osi iksowej i igrekowej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2x}\over{dt^2}}=-2K_1x\;</math>|1.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2y}\over{dt^2}}=-2K_2y\;</MATH>|1.54}} }} Rozwiązania równania {{LinkWzór|1.53}}, a także kwadrat częstotliwości kołowej możemy zapisać w postaci poniższych tożsamości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x=A_2\cos(\omega_1 t+\varphi)\;</MATH>|1.55}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_1={{2K_1}\over{M}}\;</MATH>|1.56}} }} Wychylenie od punktu początkowego względem osi igrekowej jako rozwiązanie równania różniczkowego {{LinkWzór|1.54}} i kwadrat jej częstotliwości kołowej piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y=B_2\cos(\omega_2 t+\varphi)\;</MATH>|1.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{2K_2}\over{M}}\;</MATH>|1.58}} }} === Współrzędne normalne w układzie obróconym o pewien kąt === {{Rysunek|Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych.jpeg|wk7|Współrzędne normalne a obrót układu współrzędnych}} Albowiem równania {{LinkWzór|1.53}} i {{LinkWzór|1.54}} opisują ruchy harmoniczne, ale w ogólności to ma ogólnych rozwiązań w postaci rozwiązań {{LinkWzór|1.48}} i {{LinkWzór|1.48a}}. W naszym przypadku opisujące ruch harmoniczny. Aby łatwiej można było opisywać ruch harmoniczny kulki wprowadza się współrzędne x'. y', które są obliczone względem starych współrzędnych obrócone o kąt &alpha;, których są kombinacjami liniowymi współrzędnych starych x i y. Są to współrzędne, których równania ruchu masy M opisywane są względem jednej współrzędnej, a każde równanie różniczkowe zależy od innej zmiennej. W ogólnym przypadku wybór współrzędnych normalnych nie jest taki łatwy. Zazwyczaj jest tak, że równania ruchu zawierają współrzędne x i y wziętej razem. W ogólnym przypadku prosta transformacja nie wystarcza i należy dokonać ogólnej transformacji liniowej w układzie równań różniczkowych opisujących nasze ruchy, by w ten sposób każde równanie było opisywane we współrzędnych normalnych, tzn. każde równanie zależało tylko od jednej zmiennej. === Rozwiązywanie równań różniczkowych ruchu === Załóżmy, że mamy układ fizyczny, która drga, który jest opisywany przy pomocy równań różniczkowych zapisane we współrzędnych x i y w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=a_{11}x-a_{12}y\;</math>|1.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2y}\over{dt^2}}=-a_{21}x-a_{22}y\;</MATH>|1.60}} }} Przyjmijmy, że rozwiązaniami równań ruchu {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} są to rozwiązania w postaci funkcji x i y, które są opisywane w postaci funkcji zależnych od czasu i są zależne od takiego samego przesunięcia fazowego. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.61}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y=B\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|1.62}} }} Jeśli układ wykonuje drgania normalne wzdłuż jednej osi, to wtedy równania {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} są opisywane równaniami dla każdego ruchu z osobna: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2x}\over{dt^2}}=-\omega^2x\;</MATH>|1.63}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2y}\over{dt^2}}=-\omega^2y\;</MATH>|1.64}} }} W ogólnym przypadku, gdy nie mamy doczynienia ze współrzędnymi normalnymi, to wtedy należy rozwiązania {{LinkWzór|1.61}} i {{LinkWzór|1.62}} podstawić do {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.64}}, w ten sposób otrzymać następujący układ równań: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>(a_{11}-\omega^2)x+a_{12}y=0\;</MATH>|1.65}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>a_{21}x+(a_{22}-\omega^2)y=0\;</MATH>|1.66}} }} Z równań {{LinkWzór|1.62}} i {{LinkWzór|1.66}} możemy wyznaczyć stosunek x/y wedle następujących sposobów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>y/x=(\omega^2-a_{11})/a_{12} \;</MATH>|1.67}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>y/x=a_{21}/(\omega^2-a_{22})\;</MATH>|1.68}} }} Warunkiem koniecznym by rozwiązać równania różniczkowe ruchu {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}}, jest równość obu stron {{LinkWzór|1.67}} i {{LinkWzór|1.68}}, co prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>(a_{11}-\omega^2)(a_{22}-\omega^2)-a_{21}a_{12} = 0\;</MATH>|1.69}} Równanie {{LinkWzór|1.69}} jest równaniem kwadratowym względem zmiennych &omega;{{Sup|2}}, którego rozwiązaniem są dwa kwadraty częstotliwości &omega;{{Sub|1}}{{Sup|2}} i &omega;{{Sub|2}}{{Sup|2}}. Stosunek y/z względem równości {{LinkWzór|1.67}} dla jednej i drugiej postaci drgań normalnych nazywamy stosunkiem w postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}={{B_1}\over{A_1}}={{\omega_1^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;</MATH>|1.70}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{y}\over{x}}={{B_2}\over{A_2}}={{\omega_2^2-a_{11}}\over{a_{12}}}\;</MATH>|1.71}} }} Rozwiązaniami równania różniczkowego falowego {{LinkWzór|1.59}} i {{LinkWzór|1.60}} dla współrzędnej x jest superpozycją rozwiązań równania falowego dla częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, co jest to rozwiązaniem w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.72}} A rozwiązaniami y(y) według {{LinkWzór|1.71}} są to rozwiązania przestawione w postaci równania: {{CentrujWzór|<MATH>y(t)={{B_1}\over{A_1}}A_1\cos(\omega_1t+\varphi)+{{B_2}\over{A_2}}A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)=B_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.73}} === Drgania podłużne, układ sprężynek i ciężarków === {{Rysunek|Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne.jpeg|wk9|Ciężarki i sprężynki ich drgania podłużne}} Rozpatrzmy układ trzech sprężynek o masie zaniedbywanej, w których dwie sprężynki są połączone ze ściankami, a sprężynka środkowa jest połączona z ciężarkami o masie M. Rozważmy sytuację, gdy dwa ciężarki są przesunięte o to samo przesunięcie, wtedy sprężynka środkowa nie jest napięta, Siła z jaką sprężynka działa na pierwsze ciało jest określona wzorem F{{Sub|1}}=-K&psi;{{Sub|a}}, a na drugie ciało wzorem F{{Sub|2}}=-K&psi;{{Sub|b}}, przy założeniu &psi;{{Sub|a}}=&psi;{{Sub|b}}, i pamiętając że sprężynka środkowa nie oddziaływuje w takim przypadku z ciężarkami, równanie ruchu jest opisane: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a\;</MATH>|1.74}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K\psi_b\;</MATH>|1.75}} }} Kwadrat częstotliwości kołowej z jaką drga ten układ dwóch mas jest określony przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_1={{K}\over{M}}\;</MATH>|1.76}} Rozważmy teraz sytuację, gdy &psi;{{Sub|a}}=-&psi;{{Sub|b}}, wtedy siła działająca na pierwszy ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, której kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: {{CentrujWzór|<MATH>F_1=-K\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)=-K\psi_a-2K\psi_a=-3K\psi_a\;</MATH>|1.77}} A całkowita siła działająca na drugi ciężarek, której wartość jest równa potrojonej wartości współczynnika sprężystości i przesunięcia od stanu równowagi ciężarka pierwszego, kierunek tej siły jest przeciwny niż kierunek osi zet: {{CentrujWzór|<MATH>F_2=-K\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)=-K\psi_b-2K\psi_b=-3K\psi_a\;</MATH>|1.78}} Równania ruchu dla ciężarka pierwszego i drugiego są określone przez wzory wynikających z drugiego prawa Newtona: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\psi_a\;</math>|1.79}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-3K\psi_b\;</math>|1.80}} }} Kwadrat częstotliwości drgań swobodnych drgań normalnych, który dla drgań dwóch ciężarków opisywanych przez równania różniczkowe {{LinkWzór|1.79}} i {{LinkWzór|1.80}}, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{3K}\over{M}}\;</MATH>|1.81}} Na podstawie przypadków szczególnych jakie dokonaliśmy w powyższych rozważaniach dowiadujemy się, że układ może drgać na dwa sposoby, której kwadrat częstotliwości jest opisany wzorem {{LinkWzór|1.76}} lub {{LinkWzór|1.81}}. Rozważmy teraz przypadek ogólny, w którym opisywać będziemy ruch dwóch tych ciężarków, które są opisywane równaniami wynikających z drugiego prawa Newtona: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.82}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-K(\psi_b-\psi_a)-k\psi_b\;</MATH>|1.83}} }} Równania {{LinkWzór|1.82}} i {{LinkWzór|1.83}} możemy do siebie dodać i je odjąć, w ten sposób otrzymać następne dwa równania zależne od zmiennych &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}} i &psi;{{Sub|a}}-&psi;{{Sub|b}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-K(\psi_a+\psi_b)\;</MATH>|1.84}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-3K(\psi_a-\psi_b)\;</MATH>|1.85}} }} Na podstawie równości {{LinkWzór|1.84}} otrzymujemy pierwsze równanie na kwadrat częstotliwości kołowej drgań {{LinkWzór|1.76}}, a także z równania {{LinkWzór|1.85}} wynika drugi kwadrat częstotliwości kołowej drgań normalnych {{LinkWzór|1.81}}. Z równań {{LinkWzór|1.84}} i {{LinkWzór|1.85}} wnioskujemy, że można napisać następujące dwa równania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a+\psi_b=2A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)\;</MATH>|1.86}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a-\psi_b=2A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.87}} }} Całkowite rozwiązanie ruchu opisujące przez równanie {{LinkWzór|1.86}} i równanie {{LinkWzór|1.87}} są opisywane dla &Psi;{{Sub|a}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.88}} A także rozwiązanie opisujące ruch ciała drugiego jest opisywane: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)-A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</math>|1.89}} === Drgania poprzeczne, układ sprężynek i ciężarków === {{Rysunek|Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek.jpeg|wk10|Drgania poprzeczne układu ciężarków i sprężynek}} Rozważmy teraz sobie konfigurację sprężynek wykonujących drgania poprzeczne. Rozpatrzmy teraz konfigurację, w którym środkowa sprężynka nie jest wcale naprężona, wtedy równanie ruchu pierwszej masy przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K(l-a){{\psi_a}\over{l}}\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;</MATH>|1.90}} Równanie ruchu drugiego ciała jest bardzo podobne do {{LinkWzór|1.90}}. To równanie rozwiązuje się tak samo jak {{LinkWzór|1.16}}, pamiętając przy tym o {{LinkWzór|1.15}}, zatem kwadrat częstotliwości kołowej opisujący pierwsze drganie normalne dla &psi;{{Sub|a}}=&psi;{{Sub|b}} liczymy według: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{T_0}\over{Ma}}\;</math>|1.91}} Następną postacią drgań normalnych jest to drganie, którego dla tego ruchu zachodzi &psi;{{Sub|A}}=-&psi;{{Sub|b}}, kąt pomiędzy sprężynką pierwszą a poziomem jest dwukrotnie mniejszy niż kąt pomiędzy sprężynką drugą a poziomem, co będziemy korzystali w wyprowadzeniu równania ruchu dla drugiej postaci drgań normalnych: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-T\sin\theta-T\sin2\theta\Rightarrow {{d^2\psi_a}\over{dt^2}}\simeq -3T\theta\Rightarrow{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-3K\left(1-{{a}\over{l}}\right)\psi_a\;</MATH>|1.92}} Równanie ruchu dla drugiej sprężynki jest bardzo podobne do {{LinkWzór|1.92}}. Równanie {{LinkWzór|1.92}} rozwiązuje się bardzo podobnie jak równanie {{LinkWzór|1.16}} pamiętając przy okazji o {{LinkWzór|1.15}}, zatem kwadrat częstotliwości drgań normalnych możemy przestawić: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{3T_0}\over{Ma}}\;</MATH>|1.93}} === Dwa sprzężone ze sobą obwody LC === {{Rysunek|Dwa_obwody_sprżężone_ze_sobą_LC.jpeg|wk11|Dwa obwody sprżężone ze sob LC}} Układ dwóch sprzężonych ze sobą obwodów LC nazywamy układ składający się z trzech kondensatorów o pojemności C równoległych względem siebie i dwóch cewek o indukcyjności własnej L też równoległych wobec siebie. Napiszmy teraz równania różniczkowe według drugiego prawa Kirchhoffa, które rządzą dwoma oczkami z osobna, które to powiązane są ze sobą względem prądów płynących przez cewki I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}}, i przy pomocy ładunków znajdujących się na poszczególnych kondensatorach Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}} i Q{{Sub|3}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_a}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_1-{{1}\over{C}}Q_2\;</MATH>|1.94}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}Q_2-{{1}\over{C}}Q_3\;</MATH>|1.95}} }} Możemy z różniczkować równania {{LinkWzór|1.94}} i {{LinkWzór|1.95}} względem czasu i w ten sposób otrzymujemy stąd dwie dalsze tożsamości zawierające prądy I{{Sub|a}}, I{{Sub|b}}, a także pochodnych ładunków znajdujących się na kondensatorach Q{{Sub|1}}, Q{{Sub|2}}, Q{{Sub|3}} policzonych względem czasu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_a}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}{{dQ_1}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}\;</MATH>|1.96}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_b}\over{dt}}={{1}\over{C}}{{dQ_2}\over{dt}}-{{1}\over{C}}{{dQ_3}\over{dt}}\;</MATH>|1.97}} }} Z pierwszego prawa Kirchhoffa możemy otrzymać trzy tożsamości, które wiążą ładunki na kondensatorach z natężeniami prądów płynących w poszczególnych obwodach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_1}\over{dt}}=-I_a\;</MATH>|1.98}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_2}\over{dt}}=I_a-I_b\;</MATH>|1.99}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>{{dQ_3}\over{dt}}=I_b\;</MATH>|1.100}} }} Tożsamości {{LinkWzór|1.98}}, {{LinkWzór|1.99}} i {{LinkWzór|1.100}} możemy podstawić do wzorów {{LinkWzór|1.96}} i {{LinkWzór|1.97}}, w ten sposób otrzymujemy dwie równości różniczkowe zależne od zmiennych I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}} i od pozostałych parametrów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_a}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}I_a+{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)\;</MATH>|1.101}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_b}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}\left(I_b-I_a\right)-{{1}\over{C}}I_b\;</MATH>|1.102}} }} Równania {{LinkWzór|1.101}} i {{LinkWzór|1.102}} możemy do siebie dodać i odjąć, w ten sposób otrzymać dwa równania zależne od zmiennych I{{Sub|a}}+I{{Sub|b}} oraz od I{{Sub|a}}-I{{Sub|b}} z osobna, z których możemy wyznaczyć te wielkości w postaci ich drgań z pewnymi częstotliwościami kołowymi określonych kolejno przez &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, zatem te dwa równania piszemy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2(I_a+I_b)}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_a+I_b)\;</MATH>|1.103}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2(I_a-I_b)}\over{dt^2}}=-{{3}\over{C}}(I_a-I_b)\;</MATH>|1.104}} }} Z równań {{LinkWzór|1.103}} i {{LinkWzór|1.104}} możemy otrzymać dwie wspomniane wcześniej częstotliwości kołowe drgań normalnych, której to kwadraty: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2={{1}\over{LC}}\;</MATH>|1.105}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_2^2={{3}\over{LC}}\;</MATH>|1.106}} }} Układ drga z jedną częstotliwości kołowych, którego kwadraty są opisywane wzorami {{LinkWzór|1.105}}, {{LinkWzór|1.106}}, gdy dla pierwszej mamy I{{Sub|a}}=I{{Sub|b}}, a dla drugiej I{{Sub|a}}=-I{{Sub|B}}. Ogólne rozwiązania na natężenia prądów I{{Sub|a}} i I{{Sub|b}} są zapisane jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>I_a=A\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+B\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.107}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>I_b=A\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-B\cos(\omega_2t+\varphi_2)\;</MATH>|1.108}} }} == Dudnienia == Jest wiele przykładów układów drgających z dwiema częstotliwościami podstawowymi &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, przykładem takich drgań mogą być drgania o dwóch stopniach swobody. Przykładem układów o dwóch stopniach swobody są drgania spowodowane przez dwie siły wymuszające drgających z dwoma częstotliwościami. Aby zobaczyć co to są dudnienia, rozpatrzmy dwa drania o takich samych amplitudach i różnych częstotliwościach podstawowych, które są opisane przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_1=A\cos\omega_1 t\;</MATH>|1.109}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_2=A\cos\omega_2 t\;</MATH>|1.110}} }} Całkowite wychylenie od położenia równowagi określamy jako sumę wychyleń {{LinkWzór|1.109}} i {{LinkWzór|1.110}} i są one zależne od częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_a+\psi_b=A\cos\omega_1t+B\cos\omega_2 t\;</MATH>|1.111}} === Modulacje === Średnią częstotliwość kołową &omega;{{Sub|śr}}, która jest sumą częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} podzielonych przez dwa, oraz częstotliwość kołową modulacji &omega;{{Sub|mod}}, która jest różnicą dwóch częstotliwości kołowych podanych wcześniej i podzielonych przez dwa: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;</math>|1.112}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;</MATH>|1.113}} }} Częstotliwości drgań kołowych drgań normalnych możemy napisać w zależności od częstotliwości drgań średnich i częstotliwości drgań modulacji: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_1=\omega_{sr}+\omega_{mod}\;</MATH>|1.114}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{2}=\omega_{sr}-\omega_{mod}\;</MATH>|1.115}} }} Jeszcze raz, patrząc na wzór {{LinkWzór|1.111}} przy takich samych amplitudach A i B, które tutaj oznaczymy przez A, a także na wzory {{LinkWzór|1.114}} i {{LinkWzór|1.115}}, wtedy możemy dojść do wniosku: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t=A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|1.116}} * gdzie amplituda modulacyjna określamy według wzoru {{LinkWzór|1.116}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t)\;</MATH>|1.117}} Wzór {{LinkWzór|1.116}} jest wzorem ogólnym, ale największe korzyści daje nam, gdy częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są do siebie zbliżone, to wtedy mamy na pewno &omega;{{Sub|1}}&asymp;&omega;{{Sub|2}} i &omega;{{Sub|mod}}<<&omega;{{Sub|sr}}, a więc amplituda praktycznie się nie zmienia i wtedy układ wykonuje drania prawie harmoniczne o częstości &omega;{{Sub|sr}}. Natomiast gdy &omega;{{Sub|mod}}=0, to wtedy mamy &omega;{{Sub|sr}}=&omega;{{Sub|1}}=&omega;{{Sub|2}}, jeśli te częstotliwości kołowe różnią się niewiele, to taki ruch nazywamy prawie harmonicznym lub prawie monochromatycznym o częstotliwości &omega;{{Sub|sr}} i o amplitudzie prawie się nie zmieniającej. === Dudnienia wywołane przez dwa kamertony === Rozważmy dwa kamertony, które wywołują fale dźwiękowe, które powodują zmiany ciśnienia w pobliżu błony bębenkowej, której jako &psi; jest różnicą ciśnień błony bębenkowej pomiędzy jej warstwą zewnętrzną a wewnętrzną. Jeśli mamy dwa kamertony, to ta różnica na naszej błonie jest równa sumie różnic ciśnień &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}}, czyli jest superpozycją dwóch fal pochodzących od kamertonów. Gdy różnica częstotliwości &nu; różnią się o więcej niż 6%, to nasz mózg, wolą opis drgań opisany wzorem {{LinkWzór|1.111}}. Oznacza to, że fale o dwóch częstotliwościach są słyszane jako dwa odrębne dźwięki. Jeśli natomiast mamy {{Formuła|<MATH>\nu_2={{5}\over{4}}\nu_1\;</MATH>}}, to słyszane dwa dźwięki oddzielona są wielką tercją. Jeśli natomiast {{Formuła|<MATH>\nu_2=1,06\nu_1\;</MATH>}}, wtedy dźwięk &nu;{{Sub|2}} słyszany jest jako półtonu wyższy od &nu;{{Sub|1}}. Jeśli natomiast dźwięki różnią o mniej niż 10Hz, to nasze ucho ma kłopoty z rozróżnianiem ich jako odrębne tony. W tym wypadku dźwięki są słyszane jako dźwięk o częstotliwości &nu;{{Sub|sr}} o wolno zmiennej amplitudzie, który jest napisany zależnością {{LinkWzór|1.117}} dla różnicy ciśnień &psi;(t) danym wzorem {{LinkWzór|1.116}}. === Detektor mocy superpozycji fali dźwiękowej === Według wzoru {{LinkWzór|1.117}} amplituda fali dźwiękowej oscyluje z częstością kołową modulacji &omega;{{Sub|mod}}, co za każdym razem &omega;{{Sub|mod}}t zwiększa się o 2&pi;, w której amplituda modulacji A{{Sub|mod}} wykonuje pełny cykl modulacji (mamy tu na myśl powolne zmiany zmiany z częstotliwością modulacji &omega;{{Sub|mod}}). W tym czasie amplituda A{{Sub|mod}} dwa razy przyjmuje wartość równą zero, w której ludzkie ucho nic nie słyszy, a także przyjmuje dwa razy wartość bezwzględną równą wartości maksymalnej, tzn. raz maksymalną wartość wziętej z minusem, a za drugim razem z plusem, czyli w tym czasie amplituda przyjmuje dwa różne znaki o takiej samej wartości bezwzględnej amplitudy. Ludzkie ucho nie rozróżnia z jakim znakiem amplitudy mamy do czynienia, ale rozróżnia jedynie kwadrat amplitudy fali dźwiękowej, który ma dwa maksima w jednym trakcie okresu. {{Rysunek|Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, amplituda modulacji, kwadrat amplitudy modulacji, cykl modulacyjny i dudnienia.jpg|wk131|Fale harmoniczne, złożenie fal harmonicznych, amplituda modulacji, kwadrat amplitudy modulacji, cykl modulacyjny i dudnienia, przyjęto A&#61;1m,&omega;{{Sub|1}}&#61;0,3Hz i &omega;{{Sub|2}}&#61;0,37Hz.}} Częstością dudnień nazywamy częstość powtarzania się maksymalnego kwadratu amplitudy fali modulowanej, jest ona pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{dud}=2\omega_{mod}=\omega_1-\omega_2 \,</MATH>|1.118}} Aby przekonać się o tym, że kwadrat amplitudy modulowanej, czyli kwadrat z {{LinkWzór|1.117}} drga z częstotliwością kołową {{LinkWzór|1.118}}, to napiszmy następujące przekształcenia, wykorzystując znane związki z trygonometrii, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>A^2_{mod}(t)=4A^2\cos^2\omega_{mod} t=4A^2{{1}\over{2}}\left(1+\cos 2\omega_{mod}t\right)=2A^2\left(1+\cos 2\omega_{mod}t\right)\;</MATH>|1.119}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|1.119}}, że kwadrat amplitudy oscyluje z podwojoną częstotliwością modulowaną {{LinkWzór|1.118}}, co było do wykazania. === Dudnienia słabo sprzężonych ze sobą wahadeł === {{Rysunek|Sprzężone identyczne wahadła matematyczne.jpeg|wk13|Dwa wahadła matematyczne sprzężone ze sobą.}} Weźmy układ dwóch wahadeł słabo sprzężone ze sobą, czyli dwie masy M zawieszone na nieważkich niciach, oraz połączone ze sobą przy pomocy sprężynki o stałej sprężystości K. Rozwiązując równania ruchu dla tych mas M, dowiemy się, że układ może drgać z dwiema częstotliwościami kołowymi, które są opisywane w zależności od stałej sprężystości K, przyspieszenia grawitacyjnego g i masy M. Mając równania ruchu możemy określić częstotliwości dudnień lub częstotliwość modulowaną, a także częstotliwość średnią. Napiszmy teraz równania ruchu obu kulek w sposób: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.120}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_b}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}\psi_b-K(\psi_b-\psi_a)\;</MATH>|1.121}} }} Różniczkowe równania ruchu dla obu kulek M, tzn. {{LinkWzór|1.120}} I {{LinkWzór|1.121}} możemy dodać i odjąć od siebie, w ten sposób otrzymać wnioski zależne od zmiennych &psi;{{Sub|a}}+&psi;{{Sub|b}} (pierwsza równość) i od &psi;{{Sub|a}}-&psi;{{Sub|b}} (druga równość), by z tych równań wyznaczyć wzory na wspomniane zmienne przy pomocy definicji częstotliwości &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a+\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)\;</MATH>|1.123}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2(\psi_a-\psi_b)}\over{dt^2}}=-M{{g}\over{l}}(\psi_a-\psi_b)-2K(\psi_a-\psi_b)\;</MATH>|1.124}} }} Patrząc na wzory {{LinkWzór|1.123}} i {{LinkWzór|1.124}}, w ten sposób otrzymujemy formuły na kwadraty wspomnianych częstotliwości kołowych drgań harmonicznych, których przedstawienie jest zależne od przyspieszenia ziemskiego "g", długości wahadła matematycznego "l" i stałej sprężystości K i masy obu kulek M: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|1.125}}|2={{CentrujWzór|<MATH>\omega^2_2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\;</MATH>|1.125a}}}} W celu określenia jak wyglądają dudnienia napiszmy, czemu są równe &psi;{{Sub|a}} I &psi;{{Sub|b}} dla osobnych drgań harmonicznych, to napiszmy równania na przemieszczenie ciała "a" dla &psi;{{Sub|a}} i ciała "b" dla &psi;{{Sub|b}} przy definicji częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}, w takim wypadku piszemy je: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=\psi_1+\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.126}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=\psi_1-\psi_2=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_2)-A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2)\;</MATH>|1.127}} {{Rysunek|Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi.jpeg|wk15|Przekaz energii pomiędzy słabo sprzężonymi wahadłami matematycznymi}} Najsilniejszy efekt obserwuje się, gdy obie amplitudy są jednakowego znaku, tzn. A{{Sub|1}}=A{{Sub|2}}=A. Jeśli któraś z amplitud jest równe zero lub w przybliżeniu równe zero, to mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi z drgających z jedną częstotliwością kołową, tzn. &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}}. Drgania dwóch mas przy jednakowych amplitudach możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t\;</MATH>|1.128}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A\cos\omega_1-A\cos\omega_2t\;</math>|1.129}} }} Wykorzystamy wzory {{LinkWzór|1.114}} i {{LinkWzór|1.115}}, by potem je użyć do {{LinkWzór|1.128}} {{LinkWzór|1.129}}, by dalej przeprowadzić końcowe obliczenia na drgania obu mas. Dla pierwszej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "a", czyli &psi;{{Sub|a}} {{LinkWzór|1.128}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t+A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=2A\cos\omega_{mod}t\cos\omega_{sr}t\equiv A_{mod}(t)\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|1.129a}} Dla drugiej masy mamy według wzoru na przemieszczenia ciała "b", czyli &psi;{{Sub|b}} {{LinkWzór|1.129}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_b=A\cos(\omega_{sr}+\omega_{mod})t-A\cos(\omega_{sr}-\omega_{mod})t=-2A\sin\omega_{mod}t\sin\omega_{sr}t\equiv -B_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;</MATH>|1.129b}} Energię kulki pierwszej określamy w zależności od częstotliwości modulacyjnej &omega;{{Sub|mod}} i &omega;{{Sub|sr}}, które określamy względem częstotliwości drgań podstawowych, którego piszemy przy pomocy kwadratu funkcji kosinus z iloczynu częstotliwości modulowanej i czasu, i częstotliwości średniej: {{CentrujWzór|<MATH>E_a={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2A_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t\;</MATH>|1.130}} A energię drugiej kulki podobnie jak dla pierwszej kulki określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>E_b={{1}\over{2}}M\omega_{sr}^2B_{mod}^2=2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t\;</MATH>|1.131}} Określmy teraz wielkość zwaną E, która jest sumą całkowitych energii kulki pierwszej {{LinkWzór|1.130}} i drugiej {{LinkWzór|1.131}}, którego ta energia jest wielkością stałą jak można udowodnić, tzn. tylko zależy od częstotliwości średniej obu drgań podstawowych: {{CentrujWzór|<MATH>E_a+E_b=2MA^2\omega_{sr}^2\cos^2\omega_{mod}t+2MA^2\omega_{sr}^2\sin^2\omega_{mod}t=2MA^2\omega_{sr}^2=E\;</MATH>|1.132}} Całkowite energie kulki pierwszej {{LinkWzór|1.130}} i drugiej {{LinkWzór|1.131}}, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|1.132}}, są napisane jako z definicji kwadratu sinusa i kosinusa kąta połówkowego: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_a={{1}\over{2}}E\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|1.133}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E_b={{1}\over{2}}E\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|1.134}} }} A różnica energii obu kulek, tzn. E{{Sub|a}} i E{{Sub|b}} na podstawie {{LinkWzór|1.133}} i {{LinkWzór|1.134}} przestawiamy jako funkcję wprost proporcjonalną do kosinusa z argumentu (&omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}})t, i wyrażamy ją: {{CentrujWzór|<MATH>E_a-E_b=E\cos(\omega_1-\omega_2)t\;</MATH>|1.135}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> kvaauwmfenxgu4iag9d80f8dhmvuypw 0 20975 559102 558552 2026-10-11T04:02:56Z Persino 2851 559102 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Rozważmy układ o N stopniach swobody, której N może być nieskończone. Przy N skończonym układ ma n częstotliwości drgań normalnych, dla całego układu istnieje jednakowe przesunięcie kątowe. Dla przykładu weźmy stosunek amplitud o następujących stosunkach: {{CentrujWzór|<MATH>A:B:C:D=1:0,-3,-8\;</math>}} To stosunek przesunięć drgań od położenia równowagi względem drgań podstawowych piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_a=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi)\mbox{, }\psi_b=0\mbox{, }\psi_c=-3\psi_a\mbox{, }\psi_d=-8\psi_a\;</MATH>}} Jeśli układ fizyczny ma dużo elementów, to odległość pomiędzy nimi powinna być bardzo mała, praktycznie można powiedzieć, że ich odległość dąży do zera przy liczbie elementów dążących do nieskończoności, wtedy układ zachowuje się jak układ ciągły. Przesunięcia od położenia równowagi zapisujemy jako funkcja położenia (x,y,z) i czasu "t", którego zapis matematyczny jest &psi;(x,y,z,t), która zastępuje przemieszczenia &psi;{{Sub|a}}(t), &psi;{{Sub|b}}(t), &psi;{{Sub|c}}(t),,.., itd. dla osobnych elementów układu. Takie zachowanie się funkcji &psi; nazywamy falami. == Drgania poprzeczne struny dyskretnej == Weźmy sobie ciała od 1 do N połączonych sprężynkami o znikomych masach, które spełniają prawo Hooka. {{Rysunek|Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy.jpeg|wk1|Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy|rozmiar=300px}} Wraz rosnącymi numerami drgań postaci drgań swobodnych rośnie częstość kołowa drgań, a także rośnie siła kierująca powodująca te drgania. Dla postaci N=2 drgań swobodnych ma jeden węzeł. Na rysunku powyżej zaznaczono układy od jednego stopnia swobody do N-tego stopnia swobody. Dla N stopni swobody mamy N-1 węzłów. Kształt sprężymy ma charakter zygzakowaty dla największej postaci drgań, dla której każdy odcinek łączący masy przecina oś równowagi. == Drgania poprzeczne struny ciągłej == Załóżmy, że mamy N ciężarków połączonych ze sobą sprężynkami, których liczba N jest bardzo duża, powiedźmy, że wynosi N=1000000, których każdy z ciężarków wykonują drgania &psi;{{Sub|a}}, &psi;{{Sub|b}}, &psi;{{Sub|c}}, itd.. , wtedy układ zachowuje się prawie jak ciągły. Zatem całkowite wychylenie od stanu równowagi w zależności od położenia ciężarków, a także od czasu, jest wyrażone: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(x,y,z,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,z,t)+\hat{y}\psi_y(x,y,z,t)+\hat{z}_z\psi_z(x,y,z,t)\;</MATH>|2.1}} === Drgania podłużne i poprzeczne dla płaszczyźnie === Wybierzmy sobie drgania jednomiarowej struny dla drgań poprzecznych, której przemieszczenie dla naszego przypadku określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_x(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)+\hat{z}\psi_z(z,t)\;</MATH>|2.2}} Drgania podłużne są wykonywane wzdłuż osi zetowej, a nas interesują drgania poprzeczne, co na podstawie wzoru {{linkWzór|2.2}} możemy przepisać wzór na postać tychże drgań: {{CentrujWzór|<math>\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)\;</MATH>|2.3}} === Polaryzacja struny ciągłej === Dokonajmy dalszych uproszczeń, i powiedźmy, że drania są wykonywane wzdłuż osi iksowej. Gęstość takiej struny jest równa &rho;. A masa na odcinku &Delta;x wyrażamy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M=\rho_0\Delta z\;</MATH>|2.4}} {{Rysunek|Poprzeczne drgania struny ciągłej.jpeg|wk2|Poprzeczne drgania struny ciągłej}} Całkowita siła działająca na wycinek struny przy pomocy siły kierującej T wyrażamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1\;</MATH>|2.5}} Chcemy wyrazić siłę F{{Sub|x}} poprzez pochodne cząstkową wychylenia od stanu równowagi względem położenia zetowego małego odcinka struny przy działających siłach na jej prawy i lewy koniec argumenty, który zapis nachylenia w tymże punkcie jest: * {{Formuła|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\;</math>}}, który jest równy tangensowi nachylenia struny względem osi z dla chwili t dla wycinka struny o położeniu z. Siłę {{linkWzór|2.5}} możemy przestawić przy pomocy wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T_2\sin\theta_2-T_1\sin\theta_1=T_2\cos\theta_2\operatorname{tg}\theta_2-T_1\cos\theta_1\operatorname{tg}\theta_1=T_0\operatorname{tg}\theta_2-T_0\operatorname{tg}\theta_1=</MATH>{{Br}}<MATH>= T_0\left({{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)_2-T_0\left({{\partial\psi}\over{\partial z}}\right)_1</MATH>|2.6}} Zdefiniujmy funkcję f(z) zależną od z jako pochodną cząstkową wielkości &psi;(z,t) względem położenia z, którego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)={{\partial \psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</math>|2.7}} Rozłóżmy funkcję {{linkWzór|2.7}} względem położenia wokół punktu z{{Sub|1}}, wykorzystując szereg Taylora, by potem wyciąć z niego wyrazy więcej niż liniowe: {{CentrujWzór|<MATH>f(z_2)=f(z_1)+(z_2-z_1)\left({{df}\over{dz}}\right)_1+{{1}\over{2}}(z_2-z_1)^2\left({{d^2f}\over{dx^2}}\right)_1+...\;</MATH>|2.8}} Biorąc &Delta;z=z{{Sub|2}}-z{{Sub|1}}, możemy napisać różnice funkcji f(z) w puntach z{{Sub|2}} i z{{Sub|1}}, którego różnica jest wprost proporcjonalna do drugiej pochodnej funkcji &psi; względem położenia przy stałej proporcjonalności równej &Delta;z: {{CentrujWzór|<MATH>f(z_2)-f(z_1)=\Delta z\left({{\partial f}\over{\partial z}}\right)_1=\Delta z{{d}\over{dz}}\left({{\partial\psi_z}\over{\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial \psi}\over{\partial z}}\left({{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right)=\Delta z{{\partial^2 \psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|2.9}} Wniosek wypływający z tożsamości {{LinkWzór|2.9}} i wzoru {{linkWzór|2.6}} na definicję siły F{{Sub|x}} jest taki: {{CentrujWzór|<MATH>F_z=T_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|2.10}} Zastosujmy teraz drugie prawo Newtona dla wycinka drgającej struny przy definicji siły F{{Sub|x}} {{linkWzór|2.10}}, który po skróceniu przez &Delta;z otrzymujemy tożsamość, robiąc te czynności po kolei: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=T_0\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}={{T_0}\over{\rho_0}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}} \;</MATH>|2.11}} === Fale stojące drgającej struny === Załóżmy, że struna drga z jedną częstością kołową, wtedy mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi normalnymi. Równanie wychylenia struny od położenia równowagi określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|2.12}} Druga pochodna cząstkowa wyrażenia {{linkWzór|2.12}} względem czasu określamy jako wielkość wprost proporcjonalną do kwadratu częstotliwości kołowej drgań i do funkcji A(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi=-\omega^2A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.13}} A druga pochodna funkcji &Psi;(z,t) {{linkWzór|2.12}} względem położenia z wycinka struny ciągłej piszemy przez wzór poniżej, która jest zależna od drugiej pochodnej zupełnej wielkości A(z) względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}={{\partial(A(z)\cos(\omega t+\varphi))}\over{\partial z^2}}=\cos(\omega t+\varphi){{d^2 A(z)}\over{dz^2}}\;</MATH>|2.14}} Biorąc równanie różniczkowe falowe {{linkWzór|2.11}} i po podstawieniu do niego wzoru {{LinkWzór|2.13}} i {{linkWzór|2.14}} i skróceniu przez kosinus, którego argumentami są te same określone wyrażenia, co uzasadnia takie działanie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=\omega^2{{\rho_0}\over{T_0}}A(z)\;</MATH>|2.15}} Rozwiązując równanie {{linkWzór|2.15}} dla oscylatora harmonicznego, których ogólna postać tych oscylacji jest kombinacją funkcji sinus i cosinus względem wyrażenia 2&pi;z/&lambda;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=A\sin\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)+B\cos\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)\;</MATH>|2.16}} A także możemy napisać wniosek wynikający z {{LinkWzór|2.16}}, którą to możemy napisać jako druga pochodna zupełna względem położenia "z", która jest wprost proporcjonalna do funkcji A(z) i do odwrotności kwadratu długości fali kreślonej i to wszystko wziętej razem z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}} =-\left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2A(z)\;</MATH>|2.17}} Możemy porównać obie strony wzorów {{linkWzór|2.15}} z {{LinkWzór|2.17}}, a właściwie jej prawe strony, a lewe strony są takie same, do siebie, w ten sposób mamy tożsamość na prędkość fali, który jest pierwiastkiem z ilorazu siły kierującej T{{Sub|0}} i gęstości liniowej masy dla tej opisywanej tutaj struny: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2=\omega^2{{\rho_0}\over{T_0}}\Rightarrow \left({{2\pi}\over{\lambda}}\right)^2=(2\pi\nu)^2{{\rho_0}\over{T_0}}\Rightarrow \lambda\nu=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\equiv v_0=\operatorname{const}\;</MATH>|2.18}} === Fale stojące === Całkowita funkcja falowa opisujące fale jest funkcją przedstawiona na podstawie wzorów {{linkWzór|2.12}} i {{linkWzór|2.16}}, jest tutaj przedstawiona w jego pełnej postaci dla fali stojącej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,t)=\cos\left(\omega t+\varphi\right)\left[A\sin\left(2\pi {{z}\over{\lambda}}\right)+B\cos\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)\right]\;</MATH>|2.19}} === Warunki brzegowe === Rozwiązanie na funkcje stojące {{linkWzór|2.19}} nie zawiera w sobie warunków brzegowych, bo ono jest ogólnym rozwiązaniem, w taki sposób, by dla z=0 był jeden koniec strony a drugi koniec znajduje się dla z=L, wtedy drugi współczynnik zetowy stojący w nawiasie {{linkWzór|2.19}} jest równy zero dla zerowego wychylenia lewego końca, bo ten koniec jest zaczepiony, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t)=\cos(\omega t+\varphi)[0+B]=0\;</MATH>|2.20}} Patrząc na tożsamość {{linkWzór|2.20}} dowiadujemy się, że stała B jest zawsze równa zero, co było udowodnienia. Równanie fali stojącej {{LinkWzór|2.19}} możemy zapisać, na podstawie dowodu {{linkWzór|2.20}}, że stała B=0, jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\sin{{2\pi z}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.21}} Aby dla prawego końca struny wychylenie dla fali stojącej {{linkWzór|2.20}} jest równe zero, czyli dla z=L, wtedy funkcja sinus powinna być równa zero, co matematycznie: {{CentrujWzór|<MATH>\sin{{2\pi L}\over{\lambda}}=0\;</MATH>|2.22}} Wykorzystując z własności funkcji sinus we równaniu {{linkWzór|2.22}}, w ten sposób otrzymujemy, że L powinno być całkowitą wielokrotnością z liczby &lambda;/2, co można udowodnić, przeprowadzając odpowiednie obliczenia: {{CentrujWzór|<MATH>{{2\pi L}\over{\lambda}}=\pi k\Rightarrow L={{\lambda}\over{2}}k\mbox{ dla }k=\pm 1,\pm 2,...\;</MATH>|2.23}} W obliczeniach {{linkWzór|2.23}} pominęliśmy przypadek k=0, ponieważ wymagało to by zerową długość struny, lub gdy długość fali drgań była nieskończona. Dla k=1 warunek brzegowy wygląda {{Formuła|<MATH>\lambda_1=2L\;</MATH>}}, a z warunku {{linkWzór|2.23}} i z definicji na stałą &lambda;{{Sub|1}} dalsze wzory na długość fali &lambda;{{Sub|k}} w zależności od k>1 zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_k={{1}\over{k}}\lambda_1\;</MATH>|2.24}} === Stosunki częstotliwości kołowych w drganiach harmonicznych === {{Rysunek|Drgania struny o jej nieruchomych końcach.jpeg|wk3|Drgania struny o jej nieruchomych końcach}} Częstotliwości &nu; poszczególnych drgań możemy napisać w zależności częstotliwości podstawowej &nu;{{Sub|1}} względem {{linkWzór|2.24}} w postaci wzorów: {{CentrujWzór|<MATH>\nu_1={{v_0}\over{\lambda_1}}\mbox{, }\nu_2=2\nu_1\mbox{, }\nu_3=3\nu_1\mbox{, }\nu_4=4\nu_4,\mbox{...}\;</MATH>|2.25}} === Kątowa liczba falowa === Liczbę falowa nazywamy liczbę falową &sigma;, która jest odwrotnością długości fali, a kątową liczbę falową nazywamy obiekt, która powstaje po pomnożeniu jego przez liczbę 2&pi;, wtedy; {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma={{1}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.26}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>k=2\pi\sigma={{2\pi}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.27}} }} Równanie fali {{linkWzór|2.20}} możemy przestawić przy pomocy {{LinkWzór|2.26}} lub {{linkWzór|2.27}} na kilka równoważnych sposobów: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\sin\left(2\pi{{t}\over{T}}\right)\sin\left(2\pi{{z}\over{\lambda}}\right)=A\sin2\pi\nu t\sin\left(2\pi\sigma z\right)=A\sin\omega t\sin kz</math>|2.28}} Patrząc na wzór {{linkWzór|2.28}}, który przestawia drgania struny z obiema końcami nieruchomymi, tzn. dla z=0 dla naszej funkcji warunek nieruchomego lewego końca jest automatycznie spełnione, a także dla z=L warunek prawego nieruchomego końca jest spełnione, gdy kątowa liczba falowa drgań spełnia warunki: {{CentrujWzór|<MATH>k_1L=\pi\mbox{, }k_2L=2\pi\mbox{, }k_3L=\pi\mbox{,...}\;</MATH>|2.29}} lub w przestawieniu liczby falowej &sigma;: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_1L={{1}\over{2}}\mbox{, }\sigma_2L=1\mbox{, }\sigma_3L={{3}\over{2}}\mbox{,...}\;</MATH>|2.30}} === Związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością === Patrząc na wzór {{linkWzór|2.17}} otrzymujemy wzór na związek dyspersyjny liczby falowej i częstotliwości &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>\nu=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}{{1}\over{\lambda}}=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\sigma\;</MATH>|2.31}} Równość {{linkWzór|2.31}} mnożymy obustronnie przez liczbę 2&pi; i po wykorzystaniu definicji częstotliwości kołowej i kątowej liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}k\;</MATH>|2.32}} === Struny fortepianowe i jego związek dyspersyjny === Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej, czyli związku {{Formuła|<math>{{\omega^2}\over{k^2}}\;</MATH>}} w zależności od liczby kątowej przestawiamy: {{CentrujWzór|<math>{{\omega^2}\over{k^2}}={{T_0}\over{\rho_0}}+\alpha k^2\;</MATH>|2.33}} Związek {{linkWzór|2.33}} jest bardzo podobny do związku {{linkWzór|2.32}}, tylko jest ta różnica, że jeśli struna jest idealnie giętka, to wtedy stała &alpha; jest w rzeczywistości jest równa zero, ale struna nie jest taka tak naprawdę, tzn. dla której w ogólności dla struny nie idealnie giętkiej nie zachodzą już zależności &lambda;{{Sub|1}}=2L, &lambda;{{Sub|2}}=1/2&lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|3}}=1/3&lambda;{{Sub|1}}, itd. Częstości dla naszej struny nie tworzą tutaj ciągu harmonicznego &nu;{{Sub|2}}=2&nu;{{Sub|1}}, &nu;{{Sub|3}}=3&nu;{{Sub|1}}, itd., ponieważ powyższy związek dyspersyjny nie daje takiej zależności, ten ciąg otrzymujemy w granicy &alpha; dążącego do zera, tzn., wtedy gdy zachodzi związek &lambda;&nu;=const. == Analiza Fouriera ogólnych drgań struny ciągłej == Ogólne wychylenie wycinka ciągłej struny przestawiamy jako sumę drgań prostych harmonicznych: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A_1\sin k_1z\cos(\omega_1t+\varphi_1)+A_2\sin k_2z\cos(\omega_2t+\varphi_2)+...\;</MATH>|2.34}} === Analiza Fouriera struny drgań jako złożenie drgań harmonicznych === Każdą funkcję F(z) możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem zmiennej, znając współczynniki A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} naszego szeregu dla naszej funkcji, której postać tego szeregu jest: {{CentrujWzór|<MATH>F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[A_n\sin n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z+B_n\cos n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z\right]=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z+\sum_{n=0}^{\infty}B_n\cos n{{2\pi}\over{\lambda_1}}z=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin nk_1z+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\cos nk_1z</math>|2.35}} Następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników Fouriera B{{Sub|0}} i B{{Sub|n}}, a także A{{Sub|n}}, które wyznaczymy, pamiętając przy tym, że zachodzi z{{Sub|2}}=z{{Sub|1}}+&lambda;: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>\int_{z_1}^{z_2}\sin nk_1zdz=0\;</math>|2.36}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}\cos nk_1zdz=0\;</MATH>|2.37}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sin k_1z\sin mk_1z={{1}\over{2}}\cos(n-m)k_1z-{{1}\over{2}}\cos(n+m)k_1z\;</MATH>|2.38}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\cos k_1z\sin mk_1 z={{1}\over{2}}\sin(n+m)k_1 z+{{1}\over{2}}\sin(n-m)k_1z\;</MATH>|2.39}} }} Funkcję F(z) możemy obustronnie przecałkować względem zmiennej w przedziale (z{{Sub|1}},z{{Sub|2}}), wykorzystując przy tym związek {{linkWzór|2.36}} oraz {{linkWzór|2.37}}, w ten sposób otrzymać związek zawierający w sobie stałą B{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}B_0dz=B_0(z_2-z_1)=B_0\lambda_1\;</MATH>|2.40}} Wykorzystując fakty {{linkWzór|2.38}} i {{linkWzór|2.39}}, a także fakty w postaci całek {{linkWzór|2.36}} i {{linkWzór|2.37}}, wtedy możemy napisać całki, napisane w przedziale (z{{Sub|1}},z{{Sub|2}}), w których funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji F(z) i funkcji sinus lub kosinus z argumentu mk{{Sub|1}}z, całkowalną względem zmiennej "z", którego to przepisy w postaci już policzonych całek zapisujemy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)\sin mk_1zdz={{1}\over{2}}A_n\lambda_1\;</MATH>|2.41}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\int_{z_1}^{z_2}F(z)\cos mk_1zdz={{1}\over{2}}\lambda_1B_m\;</math>|2.42}} }} ==== Współczynniki Fouriera ==== Patrząc na wzory {{linkWzór|2.40}} i {{linkWzór|2.41}} oraz {{linkWzór|2.42}}, wtedy możemy napisać wzory na współczynniki szeregu Fouriera {{linkWzór|2.35}} dla funkcji F(z), tzn. wzory na współczynniki A{{Sub|m}}, B{{Sub|n}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)dz\;</MATH>|2.43}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\sin mk_1zdz\;</MATH>|2.44}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>B_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\cos mk_1zdz\;</MATH>|2.45}} }} === Fala prostokątna i jego analiza Fouriera === {{Rysunek|Fala prostokątna.jpeg|wk4|Rysunek przestawia impuls periodycznej fali prostokątny|rozmiar=300px}} Rozpatrzmy teraz falę prostokątną, która jest falą periodyczną, i patrząc na rysunek obok dowiadujemy się, że ona jest nieciągła dla z=0 i z=L. Wiec nie należy oczekiwać, że szereg Fouriera w pewnym przybliżeniu przestawi w miarę dokładnie falę prostokątna. Korzystając z {{linkWzór|2.41}} dowiadujemy się, że współczynniki B{{Sub|m}} są równe zero, a współczynniki A{{Sub|m}} istnieją tylko dla nieparzystych m. Aby to wykazać policzymy kolejno współczynniki na nasze współczynniki szeregu Fouriera, zatem wyznaczmy czemu jest równy na współczynnik B{{Sub|0}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.41}}: {{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda}F(z)dz={{1}\over{\lambda_1}}\left(\int_{0}^L1dz+\int_L^{2L}(-1)dz\right)=0\;</MATH>|2.46}} i dalej policzymy współczynniki B{{Sub|m}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.43}}: {{CentrujWzór|<MATH>B_m={{2}\over{\lambda_1}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\cos mk_1z dz={{2}\over{\lambda_1}}\left(\int_{0}^L\cos mk_1z-\int_L^{2L}\cos mk_1z\right)={{2}\over{\lambda_1}}\int_0^L\left(\cos mk_1z-\cos(mk_1(z+L))\right)dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2}\over{\lambda_1}}(2)\int_0^L\left[\sin \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\right]={{4}\over{\lambda_1}}\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\int_0^L\sin {{1}\over{2}}mk_1(2z+L)dz=</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{4}\over{\lambda_1}}\sin\left({{1}\over{2}}m{{2\pi}\over{2L}}L\right){{1}\over{mk_1}}\left[\cos \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\right]_0^L=-{{2}\over{\pi m}}\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\left[\cos(m{{3}\over{2}}\pi)-\cos(m{{1}\over{2}}\pi)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{4}\over{\pi m}}\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\sin \left(m\pi\right)\sin\left(m{{\pi}\over{2}}\right)=0\;</MATH>|2.47}} i dalej policzymy współczynniki A{{Sub|m}}, którego definicja jest w punkcie {{linkWzór|2.44}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_m={{2}\over{\lambda}}\int_{z_1}^{z_1+\lambda_1}F(z)\sin mk_1z dz={{2}\over{\lambda_1}}\left[\int_{0}^L\left(\sin mk_1z-\sin mk_1(z+L)\right)dz\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -{{4}\over{\lambda_1}}\left[\int_0^L\cos \left({{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right)\sin\left({{1}\over{2}}mk_1L\right)\right]=-{{4}\over{\lambda_1}}\sin ({{1}\over{2}}mk_1L){{1}\over{mk_1}}\left[\sin {{1}\over{2}}mk_1(2z+L)\right]_0^L=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{2}\over{m\pi}}\sin m{{\pi}\over{2}}\left(\sin 3m{{\pi}\over{2}}-\sin m{{\pi}\over{2}}\right)=-{{4}\over{m\pi}}\sin\left( m{{\pi}\over{2}}\right)\left[\cos\left(m\pi\right)\sin \left(m{{\pi}\over{2}}\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-{{4}\over{m\pi}}\sin^2\left(m{{\pi}\over{2}}\right)\cos\left(m\pi\right)= \begin{cases} {{4}\over{m\pi}}&\mbox{m nieparzyste}\\ 0&\mbox{m parzyste}\end{cases}\;</MATH>|2.48}} Jak widzimy, że współczynniki A{{Sub|m}} {{linkWzór|2.48}}, B{{Sub|0}} {{linkWzór|2.46}}, B{{Sub|m}} {{linkWzór|2.47}} są takie jak przypuszczaliśmy. Analiza Fouriera pokazuje, że impuls prostokątny możemy rozłożyć na fale harmoniczne, wykorzystując przy tym wzór na współczynnik B{{Sub|0}} {{linkWzór|2.46}}, na współczynnik B{{Sub|m}} {{linkWzór|2.47}} i na samym końcu na współczynnik A{{Sub|m}} {{linkWzór|2.48}}, wtedy zapisujemy nasz impuls w postaci szeregu Fouriera: {{CentrujWzór|<MATH>F(z)=B_0+\sum_{m=1}^{\infty}B_m\cos mk_1z+\sum_{n=1}A_m\sin mk_1z={{4}\over{\pi}}\left[\sin k_1z+{{1}\over{3}}\sin 3k_1z+{{1}\over{5}}\sin 5k_1z+...\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\underbrace{\underbrace{1,273\sin {{\pi z}\over{L}}}_{f_1}+\underbrace{0,424\sin {{3\pi z}\over{L}}}_{f_3}+\underbrace{0,255\sin {{5\pi z}\over{L}}}_{f_5}}_{f_{1+3+5}}+...</MATH>|2.49}} {{Rysunek|Analiza fourierowska impulsu prostokątnego.jpeg|wk5|Analiza fourierowska impulsu prostokątnego|rozmiar=300px}} === Fourierowska analiza okresowej funkcji zależnej od czasu === Funkcje okresowa zależna od czasu spełnia taki warunek, że dodanie do funkcji dla argumentu t{{Sub|1}} okresu T{{Sub|1}}, otrzymujemy tą samą funkcję bez tej dokonanej operacji, co matematycznie zapisujemy: {{CentrujWzór|<math>f(T+t_1)=f(t_1)\mbox{ dla } t\in R\;</MATH>|2.50}} Funkcję zależną od czasu możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem czasu "t" do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\cos n\omega_1t+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega_1t\;</MATH>|2.51}} Mając funkcję okresową F(t) możemy rozłożyć tą funkcję w szereg Fouriera, mając definicję współczynników Fouriera o postaciach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+t_1}F(t)dt\;</MATH>|2.52}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+T_1}F(t)\cos n\omega_1 t dt\;</MATH>|2.53}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_1}^{t_1+T_1}F(t)\sin n\omega_1 t dt\;</MATH>|2.54}} }} === Drgania struny niejednorodnej === Zakładamy, że siła T{{Sub|0}} działa w stanie równowagi, która jest zależna od zmiennej zetowej, którą piszemy wzorem {{linkWzór|2.6}}. Obierzmy sobie funkcję f(z), którego postać jest w zależności od tej siły i pierwszej pochodnej wychylenia od stanu równowagi dla drgań poprzecznych: {{CentrujWzór|<MATH>f(z)=T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</math>|2.55}} Funkcję możemy rozłożyć w szereg Taylora {{linkWzór|2.8}} funkcję f(z) {{linkWzór|2.55}}, w ten sposób otrzymujemy, że siła F{{Sub|x}} działająca na na bardzo mały wycinek struny niejednorodnej jest: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=\Delta z{{\partial}\over{\partial z}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\;</MATH>|2.56}} Drugie prawo dynamiki Newtona dla naszego przypadku niejednorodnej struny, który piszemy wzorem poniżej, którą dzielimy przez długość małego wycinka struny &Delta;z i przez gęstość tegoż wycinka &rho;(z), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(z)\Delta z{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}=\Delta z{{\partial}\over{\partial z}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\Rightarrow {{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}={{1}\over{\rho(z)}}\left[T_0(z){{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]\;</MATH>|2.57}} Niech fala będzie opisywana wzorem zależnym od amplitudy A(z) i części periodycznej cos(&omega;t+&phi;), piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.58}} Dla drgań normalnych struny możemy napisać zależności jako drugą pochodną przemieszczenie względem czasu i pierwszą pochodną tego samego przemieszczenia względem położenia "z", która jak się okazuje jest wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej zupełnej funkcji A(z) względem położenia małego wycinka struny względem położenia, zatem te wielkości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A(z)\cos(\omega t+\varphi)\;</math>|2.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=\cos(\omega t+\varphi){{dA(z)}\over{dz}}\;</MATH>|2.60}} }} Mając fakty {{linkWzór|2.59}} i {{linkWzór|2.60}}, co one możemy podstawić do wzoru {{linkWzór|2.57}}, w ten sposób otrzymać równość różniczkową z pochodnymi zupełnymi zależnych od współrzędnej zetowej: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\rho(z)}}{{d}\over{dz}}\left[T_0(z){{dA(z)}\over{dz}}\right]=-\omega^2A(z)\;</MATH>|2.61}} == Drgania układu dyskretnego o N stopniach swobody == {{Rysunek|Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi.jpeg|wk6|Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi}} Rozpatrzmy układ w stanie równowagi składający się z N kulek o masach M połączonych sprężynkami napiętej w taki sposób, w których każda taka sprężynka działa na każdą kulkę z osobną z siłą T{{Sub|0}}, układ składający się z sprężynek o pewnej stałej sprężystości i kulek o masach M ma długość L=(N+1)a. === Równanie ruchu struny dyskretnej === {{Rysunek|Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych.jpeg|wk7|Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych}} Wzór na siłę działająca na układ dyskretnym piszemy podobnie jak według wzoru {{linkWzór|2.6}}, tylko tam zamiast pochodnej występują różnice, zatem równanie ruchu w naszym przypadku piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_a}\over{dt^2}}=T_0{{\psi_{n+1}(t)-\psi_n(t)}\over{a}}-T_0{{\psi_n(t)-\psi_{n-1}}\over{a}}\;</MATH>|2.62}} Obierzmy sobie ogólną postać wychylenia n-tej cząstki od położenia równowagi w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.63}} Druga pochodna zupełna wyrażenia {{linkWzór|2.63}} względem czasu, która jest wprost proporcjonalna do amplitudy A{{Sub|n}} i do kwadratu częstotliwości kołowej, i dalej, mówiąc od funkcji kosinus, to wszystko wziętej z minusem, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2\psi_n(t)}\over{dt}}=-\omega^2\psi_n(t)=-\omega^2A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|2.64}} Równanie {{linkWzór|2.62}} możemy w taki sposób napisać po wykorzystaniu {{linkWzór|2.63}} i {{linkWzór|2.64}}, które to piszemy w zależności częstotliwości kołowej drgań, a także od amplitud zależnych od n, n+1 i n-1, który to końcowy rozważany wzór piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>-M\omega^2A_n={{T_0}\over{a}}\left(A_{n+1}-2A_n+A_{n-1}\right)\Rightarrow A_{n+1}+A_{n-1}=A_n\left(2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2\right)\;</MATH>|2.65}} Rozpatrzmy tak jak w przypadku struny ciągłej, którego to dla struny na obu jego końcach naszej struny nie ma wychylenia od stanu równowagi, zatem amplitudę A{{Sub|n}} możemy napisać w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n}=A\sin kna\;</math>|2.66}} Zatem dzięki definicji amplitudy A{{Sub|n}} według {{linkWzór|2.66}} wówczas możemy napisać następujące wzory na amplitudy A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, co na samym końcu możemy policzyć różnicę amplitud dla n+1 i n-1, wtedy według wspomnianego wzoru możemy napisać trzy dalsze wzory: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}=A\sin k(n+1)a=A\sin(kna+ka)=A(\sin kna\cos ka+cos kna\sin ka\;</MATH>|2.67}} {{CentrujWzór|<MATH>A_{n-1}=A\sin k(n-1)a=A\sin (kna-ka)=A(\sin kna\cos ka-\cos kna\sin ka)\;</MATH>|2.68}} {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}-A_{n-1}=2A\sin kna\cos ka=2A_n\cos ka\;</MATH>|2.69}} Możemy wykorzystać końcowy związek {{linkWzór|2.69}} do {{linkWzór|2.65}}, w ten sposób otrzymać wzór w ogólności dla niezerowego w A{{Sub|n}}, który jest zależny od częstotliwości kołowej drgań i innych parametrów: {{CentrujWzór|<MATH>2A_n\cos ka=A_n(2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2)\;</MATH>|2.70}} We związku {{linkWzór|2.70}} możemy wyznaczyć kwadrat częstotliwości kołowej i w ten sposób otrzymać zależność od kątowej liczby falowej "k" lub też w zależności do liczby falowej &lambda;: {{CentrujWzór|<MATH>2\cos ka=2-{{Ma}\over{T_0}}\omega^2\Rightarrow \omega^2={{2T_0}\over{Ma}}(1-\cos ka)\Rightarrow\omega^2={{4T_0}\over{Ma}}\sin^2 {{ka}\over{2}}={{4T_0}\over{Ma}}\sin^2{{\pi a}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.71}} ==== Ogólna postać drgań i warunki brzegowe ==== {{Rysunek|Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach.jpeg|wk8|Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach|rozmiar=300px}} {{Rysunek|Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy.jpeg|wk9|Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy. Pięć zaznaczonych punktów na wykresie odpowiada pięciu częstotliwościom struny z pięcioma z ciężarkami.}} Ogólną postać drgań A{{Sub|n}} możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus z argumentu kna: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=A\sin kna+B\cos kna\;</MATH>|2.72}} Na lewym końcu wychylenie z położenia równowagi jest zerowe, i wykorzystując fakt {{linkWzór|2.72}}, dowiadujemy się, że B=0, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=A\sin kna\;</MATH>|2.73}} Aby prawy koniec struny dyskretnej miał wychylenie dyskretne zerowe, to powinien zachodzić związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\;</math>|2.74}} Na rysunku obok zaznaczono zależność częstotliwości &omega;(k) od kątowej liczby falowej, którą tą zależność piszemy na podstawie {{linkWzór|2.71}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{T_0}\over{Ma}}}\sin {{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.75}} ==== Przejścia układu dyskretnego do granicy fal długich ==== Weźmy sobie fale o długości fali o wiele mniejszych niż zetowa odległość pomiędzy ciężarkami, tzn. a<<&lambda;, co jest równoważne 2&pi;a/&lambda;<<1, wtedy możemy rozłożyć funkcję sinus w szereg Taylora w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\sin x=x-{{1}\over{6}}x^3+...\;</MATH>|2.76}} Do wzoru {{linkWzór|2.75}} możemy wykorzystać rozwinięcie funkcji sin {{linkWzór|2.76}}, by w ten sposób napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{T_0}\over{Ma}}}\left[{{1}\over{2}}ka-{{1}\over{48}}(ka)^3+....\right]=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}k\left[1-{{1}\over{48}}(ka)^2+....\right]\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\omega(k)\simeq\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}k\;</MATH>|2.77}} === Drgania podłużne układu mas połączonych ze sobą sprężynkami === {{Rysunek|Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami.jpeg|wk10|Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami|rozmiar=300px}} Równanie ruchu dla masy ściśle określonej zapisujemy względem wychylenia od stanu równowagi poszczególnych sprężynek &psi;{{Sub|n}}, którego to przepis: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n}\over{dt^2}}=K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|2.78}} Równanie tego typu {{linkWzór|2.78}} było już rozwiązywane, zatem podajmy związek dyspersyjny łączący częstotliwość kołową z kątową liczbą falową, którego postać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(t)=2\sqrt{{{K}\over{M}}}\sin{{ka}\over{2}}=2\sqrt{{K}\over{M}}\sin{{\pi a}\over{\lambda}}\;</MATH>|2.79}} Wychylenia poszczególnych mas dla drgań podłużnych możemy zapisać pod postacią funkcji: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=A\sin nka\cos(\omega(k) t+\varphi)\;</math>|2.80}} === Układ LC wzajemnie sprzężonych ze sobą cewek i kondensatorów === {{Rysunek|Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów.jpeg|wk11|Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów}} Patrząc na rysunek b) obok możemy napisać drugie prawo Kirchhoffa w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>L{{dI_a}\over{dt}}=-{{Q^'}\over{C}}+{{Q}\over{C}}\;</MATH>|2.81}} Równanie {{linkWzór|2.81}} możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i wykorzystywać będziemy pierwsze prawo Kirchhoffa: {{CentrujWzór|<MATH>L{{d^2I_n}\over{dt^2}}=-{{1}\over{C}}(I_n-I_{n+1})+{{1}\over{C}}\left(I_{n-1}-I_n\right)\;</math>|2.82}} Co {{linkWzór|2.82}} możemy zapisać równoważnie w postaci: {{CentrujWzór|<MATH> L{{d^2I_n}\over{dt^2}}={{1}\over{C}}(I_{n+1}-I_{n})-{{1}\over{C}}\left(I_{n}-I_{n-1}\right) </MATH>|2.82a}} Równanie {{linkWzór|2.82a}} jest równaniem, którego typ poznaliśmy wcześniej, którego związek dyspersyjny częstotliwości kołowej względem kątowej liczby falowej określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega(k)=2\sqrt{{{1}\over{LC}}}\sin {{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.83}} Równanie na natężenie prądu elektrycznego płynącego w obwodzie LC w poszczególnym oczku w cewce określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>I_n(t)=(A\sin nka+B\cos nka)\cos \left(\omega(k)t+\varphi\right)\;</MATH>|2.84}} === Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek === Równanie ruchu n-tej masy dla układu sprzężonych ze sobą wahadeł matematycznych za pomocą sprężynek opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n(t)}\over{dt^2}}=-Mg{{\psi_n}\over{l}}+K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|2.85}} {{Rysunek|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek.jpeg|wk13|Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek}} Równanie {{LinkWzór|2.85}} jest równaniem, którego typ jest już znany, czyli stąd możemy wyliczyć częstotliwość kołową drgań w zależności od liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)={{g}\over{l}}+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.86}} Jeśli w prowadzimy częstotliwość drgań wahadła matematycznego, którego kwadrat jest napisany w punkcie {{linkWzór|1.6|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}, i je oznaczymy przez <MATH>\omega_0^2\;</MATH>, wtedy nasz związek dyspersyjny {{linkWzór|2.86}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}=\omega^2_0+\omega_1^2\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|2.87}} Widzimy, że związek {{linkWzór|2.87}} zależy od częstotliwości kołowej drgań podstawowych wahadła matematycznego &omega;{{Sub|0}}, a także zależy od stałej sprężystości, masy kulek, a także od kątowej liczby falowej "k". Jeśli przyjmować będziemy <MATH>_{v_0^2={{\omega_1^2a^2}\over{4}}}\;</MATH>, wtedy związek dyspersyjny {{linkWzór|2.87}}, przy założeniu ka<<1, zapisujemy w postaci przybliżonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)=\omega_0^2+v_0^2k^2\;</MATH>|2.88}} === Związek dyspersyjny dla plazmy === Wyprowadzimy tutaj związek dyspersyjny dotyczącej plazmy, który możemy przestawić jak się przekonamy od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|p}}, a także od długości światła. Wiemy, że kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy w postaci wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2(k)=c^2(k_x^2+\underbrace{k_y^2+k_z^2}_{k^2})=\underbrace{c^2k_x^2}_{\omega_0^2}+c^2k^2=\omega^2_p+c^2k^2\;</MATH>|2.89}} Widzimy, że pozostało na wyliczyć kwadrat częstotliwości podstawowej, tj. {{Formuła|<MATH>\omega^2_p\;</MATH>}}, który wyprowadzimy w dalszych rozważaniach. Elektryczna obojętna plazma składa się z większości cząsteczek obojętnych i pewnej liczby cząsteczek zjonizowanych. Jonosfera ziemi składa się się z dużej ilości cząsteczek obojętnych N{{Sub|2}} i O{{Sub|2}}. Proces jonizacji tego gazu powodowany jest poprzez pochłoniecie promieniowania pochodzącego od słońca. Największą gęstość jonów zjonizowanych występuje przy odległości 200km do 400km nad powierzchnią ziemi. Przy niższych wysokościach proces jonizacji nie zachodzi ze względu na pochłonięcie promieniowania przez wyższe warstwy atmosfery, i dlatego na tej wysokości gęstość jonów i elektronów maleje do zera. Plazma jest elektrycznie obojętna i nie stanowi źródła pola elektrycznego, ale istnieją w niej warstwy zjonizowane na wskutek działania pola elektrycznego zewnętrznego, że dodatnie jony są przyspieszane w jedną stronę, a elektrony w drugą stronę. W skutek nadmiaru ładunku zostaje zlikwidowane do zera ładunek w wyniku ich przyciągania do siebie, czyli jony i elektrony. A bezwładność odciąga je od stanu równowagi, powodując nowy nadmiar ładunku, a także niedobór ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego wyznaczamy z prawa Gausa, pamiętając przy okazji ze pole na zewnątrz takiego układu jest równe zero, przestawiamy je w zależności od powierzchni rozważanych okładek A: {{Rysunek|Oscylacje plazmy.jpeg|wk15|Oscylacje plazmy pomiędzy okładkami}} {{CentrujWzór|<MATH>-\epsilon_0E_xA=Q\Rightarrow E_x=-{{Q}\over{\epsilon_0 A}}\;</MATH>|2.90}} Całkowity ładunek znajdujących się w grubości x plazmy przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i grubości warstwy przy pomocy wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>Q=NeAx\;</MATH>|2.91}} Równanie ruchu plazmy możemy przestawić w zależności od pola działającego ze strony pola w wewnątrz tej plazmy według mechaniki klasycznej: {{CentrujWzór|<MATH>m{{d^2x}\over{dt}}=eE_x\;</MATH>|2.92}} Wzór na natężenie pola iksowego elektrycznego E{{Sub|x}} {{linkWzór|2.90}} i wzór na łądunek znajdujących się w plazmie {{linkWzór|2.91}} podstawiamy do wzoru {{linkWzór|2.92}} opisującą drugą zasadę dynamiki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>{{m}\over{NeA}}{{d^2Q}\over{dt^2}}=-e{{Q}\over{\epsilon_0A}}\Rightarrow{{d^2Q}\over{dt^2}}={{e^2N}\over{\epsilon_0m}}Q\;</MATH>|2.93}} Końcowe równanie {{linkWzór|2.92}} jest równaniem oscylatora harmonicznego, w której kwadrat częstotliwości kołowej drgań, która jest jednocześnie kwadratem częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|p}}, który to przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i ich masy, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{e^2N}\over{\epsilon_0m}}=\omega_p^2\;</MATH>|2.94}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> n79nq9b32pk9hd1ypn4tr0mxi7m33hr 0 21006 559103 558553 2026-10-11T04:06:54Z Persino 2851 559103 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Oscylator tłumiony w przedstawieniu jednowymiarowym == Wyobraźmy sobie oscylator harmoniczny, który doznaje siły kierującej {{Formuła|<MATH>-M\omega_0^2x(t)\;</math>}} pochodzącej od sprężyny o stałej sprężystości {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}, dla której układ doznaje siły oporu {{Formuła|<MATH>-M\Gamma\dot{x}(t)\;</MATH>}}, którym występuje stała &Gamma;, która jest współczynnikiem tłumienia na jednostkę masy, lub po prostu jest zwana współczynnikiem tłumienia. Na układ też działa siły wymuszająca układ do ruchu F(t). Biorąc wszystkie te uwagi możemy napisać z drugiej zasady dynamiki Newtona równość różniczkową: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}(t)=-M\omega_0^2x(t)-M\Gamma\dot{x}(t)+F(t)\;</MATH>|3.1}} === Tłumienie oscylacji harmonicznych bez udziału siły wymuszającej === Równanie {{LinkWzór|3.1}} można napisać przy założeniu, że nie mamy siły wymuszającej F(t), wtedy tak otrzymane równanie możemy podzielić przez masę M, i wszystkie wyrazy przenosząc na jedną stronę, w takim wypadku: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}(t)+\Gamma\dot{x}(t)+\omega_0^2x(t)=0\;</MATH>|3.2}} Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego liniowego {{LinkWzór|3.2}} jest rozwiązaniem oscylatora tłumionego zależne od stałej &tau; i częstotliwości kołowej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)\;</MATH>|3.3}} Dalszym krokiem jest policzenie pierwszej i drugiej pochodnej zupełnej położenia względem czasu masy M oscylatora tłumionego {{LinkWzór|3.3}}, jego pierwsza pochodna jest: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=-{{1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1\sin(\omega_1 t+\theta)</MATH>|3.4}} Wyznaczmy teraz drugą pochodną zupełnej wyrażenia {{LinkWzór|3.3}} względem czasu, czyli pierwszą pochodną pierwszej pochodnej wyrażenia {{LinkWzór|3.4}} względem czasu, zatem do dzieła: {{CentrujWzór|<math>\ddot{x}={{1}\over{4\tau^2}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{2\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4\tau^2}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{\tau}}Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-Ae^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)</math>|3.5}} Ogólne rozwiązanie {{LinkWzór|3.3}}, pierwszą pochodną funkcji x(t) {{LinkWzór|3.4}}, a także drugą pochodną funkcji x(t) {{LinkWzór|3.5}} podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|3.2}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{4\tau^2}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)+{{\omega_1}\over{\tau}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\sin(\omega_1 t+\theta)-e^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1^2\cos(\omega_1 t+\theta)+\Gamma\left(-{{1}\over{2\tau}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)-e^{-{{t}\over{2\tau}}}\omega_1\sin(\omega_1 t+\theta)\right)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\omega_0^2e^{-{{t}\over{2\tau}}}\cos(\omega_1 t+\theta)=0</MATH>|3.6}} Tożsamość {{LinkWzór|3.6}} dzielimy obustronnie przez {{Formuła|<MATH>e^{-{{t}\over{2\tau}}}\;</MATH>}}, bo ono jest zawsze niezerowe, w ten sposób otrzymujemy tożsamość, w którym grupujemy wyrazy względem sin&omega;t i cos&omega;t: {{CentrujWzór|<MATH>\cos(\omega_1 t+\theta)\left[{{1}\over{4\tau^2}}-\omega_1^2-{{\Gamma}\over{2\tau}}+\omega_0^2\right]+\sin(\omega_1 t+\theta)\left[ {{\omega_1}\over{\tau}}-\Gamma\omega_1\right]=0</MATH>|3.7}} Równość {{LinkWzór|3.7}} jest słuszna dla każdego czasu, stąd wynika, że czynniki stojące przy sin(&omega;t+&theta;) i cos(&omega;t+&theta;) powinny być zawsze równe zero, w ten sposób dostajemy układ dwóch równań: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} {{1}\over{4\tau^2}}-\omega_1^2-{{\Gamma}\over{2\tau}}+\omega_0^2=0\Rightarrow {{\Gamma^2}\over{4}}-\omega_1^2-{{\Gamma^2}\over{2}}+\omega_0^2=0\Rightarrow-{{1}\over{4}}\Gamma^2-\omega_1^2+\omega_0^2=0\\ {{\omega_1}\over{\tau}}-\Gamma\omega_1=0\Rightarrow \tau={{1}\over{\Gamma}} \end{cases} </MATH>|3.8}} Na podstawie układu równań {{LinkWzór|3.8}} otrzymujemy następujące tożsamości na &tau; i &omega;{{Sup|2}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\tau={{1}\over{\Gamma}}\;</MATH>|3.9}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_1^2=\omega_0^2-{{1}\over{4}}\Gamma^2\;</MATH>|3.10}} }} Rozwiązanie {{LinkWzór|3.3}} równania różniczkowego jednorodnego {{LinkWzór|3.2}} możemy przestawić w postaci równoważnej przy pomocy funkcji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus jako ich kombinację liniową pomnożoną przez funkcję eksponencjalną malejącą wraz z czasem do zero dla "t" nieskończonego: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}(A\sin\omega_1 t+B\cos\omega_1 t)\;</MATH>|3.11}} Możemy wyznaczyć pierwszą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|3.11}}, w ten sposób mamy wzór na prędkość ciała w chwili "t": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=-{{\Gamma}\over{2}}e^{-{{t}\over{2\tau}}}(A\sin\omega_1 t+B\cos\omega_1 t)+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}(A\omega_1\cos\omega_1 t-B\sin\omega_1 t)\;</MATH>|3.12}} Wyznaczmy warunki początkowe dla t=0, tj. dla równania {{LinkWzór|3.11}},która jest położeniem masy w czasie "t", dla równania {{LinkWzór|3.12}}, który jest prędkością ciała o masie M w czasie "t", by potem wyznaczyć stałe A i B w zależności od warunków początkowych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x(0)=B\;</MATH>|3.13}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(0)=-{{\Gamma}\over{2}}B+A\omega_1\;</MATH>|3.14}} }} Wykorzystując fakty, tzn. (zależność na położenie ciała w czasie t=0) {{LinkWzór|3.13}} i (zależność prędkości ciała w chwili zerowej){{LinkWzór|3.14}}, w ten sposób ogólne rozwiązanie oscylatora harmonicznego tłumionego {{LinkWzór|3.11}} piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}t\Gamma}\left[x(0)\cos\omega_1 t+\left(\dot{x}(0)+{{1}\over{2}}\Gamma x(0)\right){{\sin\omega_1 t}\over{\omega_1}}\right]\;</MATH>|3.15}} Jeśli natomiast <MATH>\omega_0^2<{{1}\over{4}}\Gamma^2\;</math>, i wiedząc coś o liczbach zespolonych, które są wprowadzone w algebrze, możemy powiedzieć na podstawie {{LinkWzór|3.10}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_1=\pm i|\omega_1|\;</MATH>|3.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|\omega_1|=\sqrt{{{1}\over{4}}\Gamma^2-\omega_0^2}\;</MATH>|3.17}} }} Zatem równość {{LinkWzór|3.15}} możemy napisać na podstawie tożsamości {{LinkWzór|3.16}} i {{LinkWzór|3.17}}, w którym &omega; jest liczbą zespoloną, a także wykorzystując fakty o związkach pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami hiperbolicznymi: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=e^{-{{1}\over{2}}t\Gamma}\left[x(0)\cosh|\omega_1| t+\left(\dot{x}(0)+{{1}\over{2}}\Gamma x(0)\right){{\sinh|\omega_1| t}\over{|\omega_1|}}\right]</MATH>|3.18}} Wyznaczmy teraz energię całkowitą zmieniającą się wraz z czasem, która jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości, którego zapis jest przy wykorzystaniu wzoru {{LinkWzór|3.3}}, który jest wzorem na położenie ciała w chwili "t", i biorąc przykład słabego tłumienia, wtedy wyraz z &Gamma; jako czynnik w {{LinkWzór|3.12}} możemy pominąć, bo ono jest bardzo małe, zatem w takim wypadku średnia energia całkowita jest: {{CentrujWzór|<MATH>\langle E(t)\rangle={{1}\over{2}}M\langle\dot{x}^2\rangle+{{1}\over{2}}\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle={{1}\over{2}}Me^{-\Gamma t}\left[\omega_1^2\langle(A\cos\omega_1 t-B\sin\omega_1 t)^2\rangle+\omega_0^2\langle(A\sin\omega_1 t+\cos\omega_1 t)^2\rangle\right]=</MATH>{{Br}}<MATH>=\underbrace{ {{1}\over{2}}M(\omega_1^2+\omega_0^2)\left({{1}\over{2}}A^2+{{1}\over{2}}B^2\right)}_{E_0} e^{-t\Gamma}=E_0e^{-t\Gamma}=E_0e^{-{{t}\over{\tau}}}</math>|3.19}} === Drgania stacjonarne podczas działania siły harmonicznej siły wymuszającej === Każdą siłę wymuszającą okresową możemy rozłożyć w szereg Fouriera, których każdy wyraz jest funkcją kosinus o przesunięciu fazowym &phi;(&omega;) o amplitudzie F(&omega;), która ta całkowita siła jest przestawiona: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=\sum_{\omega}F(\omega)\cos[\omega t+\varphi(\omega)]\;</MATH>|3.20}} W szeregu {{LinkWzór|3.20}} weźmy tylko jeden wyraz, tak by funkcja kosinus nie zawierała wcale przesunięcia fazowego, wtedy tą siłę przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.21}} Całkowite równanie ruchu masy M dla drgań harmonicznych, gdy istnieją w nim straty energii spowodowane niezerowym współczynnikiem tłumienia, na którą to masę działa siła harmoniczna drgająca z częstością &omega;, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}(t)+M\Gamma \dot{x}(t)+M\omega_0^2x(t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.22}} Drgania wykonywane przez oscylator opisywany przez równanie {{LinkWzór|3.22}} jest napisana jako kombinacja funkcji sinus i kosinus: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A\sin\omega t+B\cos\omega t\;</MATH>|3.23}} Wzór {{LinkWzór|3.23}} podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|3.22}}, otrzymując tożsamość: {{CentrujWzór|<math>-M\omega^2\left(A\sin\omega t+Bcos\omega t\right)+M\Gamma\omega(A\cos\omega t-B\sin\omega t)+M\omega_0^2(A\sin\omega t+B\cos\omega t)=F_0\cos\omega t\;</MATH>|3.24}} Równanie {{LinkWzór|3.24}} możemy pogrupować względem funkcji sinus i kosinus, w ten sposób otrzymać dalsze przekształcenie tej równości: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\omega t\left(-AM\omega^2-BM\Gamma\omega+AM\omega_0^2\right)+\cos\omega t\left(-MB\omega^2+MA\Gamma\omega+M\omega_0^2B-F_0\right)=0\;</MATH>|3.25}} Równanie {{LinkWzór|3.25}} jest spełnione dla każdego czasu "t", wtedy współczynniki stojące przy kosinusach i sinusach są równe zero, wtedy mamy układ równań, które będziemy rozwiązywać ze względu na współczynniki A i B: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} -AM\omega^2-BM\Gamma\omega+AM\omega_0^2=0\\ -MB\omega^2+MA\Gamma\omega+M\omega_0^2B-F_0=0 \end{cases}\;</MATH>|3.26}} Z pierwszego równania {{LinkWzór|3.26}} możemy wyznaczyć stałą B zależną od stałej A, częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, częstotliwości drgań siły wymuszającej i współczynnika tłumienia &Gamma;, którego równanie jest: {{CentrujWzór|<MATH>B=A{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|3.27}} Tożsamość {{LinkWzór|3.27}} możemy podstawić do drugiego równania układu równań {{LinkWzór|3.26}}, z którego w dalszych rozumowaniach otrzymamy wzór na stałą A: {{CentrujWzór|<MATH>M(\omega_0^2-\omega_0^2)A{{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}+MA\Gamma\omega-F_0=0\;</MATH>|3.28}} Z tożsamości {{LinkWzór|3.28}} możemy wyznaczyć stałą A, którego wzór jest napisany przy pomocy częstotliwości kołowej drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i drgań wymuszonych &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>A={{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.29}} Równanie przestawione wzorem {{LinkWzór|3.29}} jest to wzór na '''amplitudę absorpcyjną'''. Wzór na A {{LinkWzór|3.29}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.27}}, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>B={{F_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.30}} Równanie na stałą B {{LinkWzór|3.30}} nazywamy równaniem na '''amplitudę elastyczną'''. Wkład energii spowodowanej przez amplitudę elastyczną po uśrednianiu w ciągu całego okresu jest równy zero, bo straty energii są równe sile F{{Sub|0}}cos&omega;t pomnożonej przez {{Formuła|<MATH>\dot{x}(t)\;</MATH>}} i dlatego ta amplituda w ogólności nie powoduje strat energii. Można udowodnić, że całkowita strata energii spowodowana przez amplitudę absorpcyjną spowodowaną po uśrednianiu jego w ciągu jednego okresu jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>P={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}\;</MATH>|3.31}} A dowód jego polega na uśrednianiu strat energii w czasie t w ciągu jednego okresu, jak widzimy poniżej straty energii są zależne od amplitudy absorpcyjnej, częstotliwości drgań siły wymuszającej i na samym końcu od amplitudy F{{Sub|0}} drgań harmonicznej siły zewnętrznej działającej na nasz układ drgający: {{CentrujWzór|<MATH>P=F_0\langle\cos\omega t(\omega A_{abs}\cos\omega t+\omega-A_{el}\sin\omega t)\rangle=F_0\omega\left[A_{abs}\langle\cos^2\omega t\rangle+A_{el}\langle\cos\omega t\sin\omega t\rangle\right]={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}\;</MATH>|3.32}} Całkowita średnia energia tracona uśrednianą w ciągu jednego okresu jest wyrażona przy pomocy amplitudy elastycznej A{{Sub|el}}, absorpcyjnej A{{Sub|ab}}, współczynnika &Gamma; i masy drgającej M: {{CentrujWzór|<MATH>P_t=M\Gamma\langle \dot{x}_s^2\rangle={{1}\over{2}}M\Gamma\omega^2\left[A_{ab}^2+A_{el}^2\right]\;</MATH>|3.33}} Można udowodnić, że wzór {{LinkWzór|3.33}} za pomocą prostych przekształceń, jest równy wzorowi {{LinkWzór|3.31}}. Całkowita energia zmagazynowana w oscylatorze tłumionym podtrzymywanym siłą wymuszającą jest wyrażona po uśrednianiu jej w ciągu jednego okresu: {{CentrujWzór|<math>E={{1}\over{2}}M\langle\dot{x}^2\rangle+{{1}\over{2}}M\omega_0^2\langle x_s^2\rangle+{{1}\over{2}}M\omega_0^2={{1}\over{2}}M\left(\omega^2+\omega_0^2\right)\left[{{1}\over{2}}A_{ab}^2+ {{1}\over{2}}A_{el}^2\right]\;</MATH>|3.34}} === Rezonans === Wzór {{LinkWzór|3.31}} możemy przepisać w postaci równania na moc traconą podczas oporów ruchów, która jest tak skonstruowana, by dla &omega;=&omega;{{Sub|0}}, by było P(&omega;{{Sub|0}})=P{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P=P_0{{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.35}} Stała proporcjonalności P{{Sub|0}} została tak dobrana, by dla &omega;=&omega;{{Sub|0}}, całkowita moc promieniowania była równa P{{Sub|0}}. Wartość P równej połowie maksymalnej rezonansowej jest napisana w takiej formie, by było spełnione: {{CentrujWzór|<MATH>(\omega_0^2-\omega)^2=\Gamma^2\omega^2\Rightarrow\omega_0^2-\omega=\pm \Gamma\omega\Rightarrow\omega^2\pm\Gamma\omega-\omega_0^2=0\;</MATH>|3.36}} Z równości podanej w punkcie {{LinkWzór|3.36}} możemy wyznaczyć częstotliwość &omega; w zależności od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}} i współczynnika tłumienia, którego postać naszej tożsamości na tą wspomnianą częstotliwość jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega={{\pm\Gamma\pm\sqrt{\Gamma^2+4\omega^2}}\over{2}}\Rightarrow\omega=\pm\sqrt{\omega_0^2+{{1}\over{4}}\Gamma^2}\pm{{1}\over{2}}\Gamma </MATH>|3.37}} Ponieważ częstotliwość kołowa drgań kołowych jest wielkością nieujemną, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|3.37}} możemy tak napisać, w którym drugi składnik jest połową współczynnika tłumienia wziętej z minusem lub plusem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\sqrt{\omega_0^2+{{1}\over{4}}\Gamma^2}\pm{{1}\over{2}}\Gamma\;</math>|3.38}} Wyrażenie z plusem {{LinkWzór|3.38}} możemy odjąć od wyrażenia wziętego z minusem, w ten sposób otrzymujemy tożsamość na szerokość połówkową: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta \omega={{1}\over{2}}\Gamma+{{1}\over{2}}\Gamma\Rightarrow \Delta\omega=\Gamma\Rightarrow(\Delta\omega)_{rez}\tau_{swob}=1\;</MATH>|3.39}} === Amplituda elastyczna i jego zależność od częstości === {{Rysunek|Rezonans dla oscylatora wymuszonego.jpeg|wk1|Rezonans dla oscylatora wymuszonego, kiedy oscylator harmoniczny jest poddawany sile wymuszającej F(t){{=}}F{{Sub|0}}cos&omega;t}} Amplituda elastyczna jest dana wzorem {{LinkWzór|3.29}}, a jego stosunek do amplitudy absorpcyjnej piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{A_{el}}\over{A_{ab}}}={{\omega_0^2-\omega^2}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|3.40}} Gdy częstotliwość siły wymuszającej jest o wiele mniejsza od drgań podstawowych układu, wtedy absorpcja energii jest zbyt mała w porównaniu z absorpcją energii w rezonansie przez układ. Dla drgającego układu daleko od rezonansu masy możemy napisać tożsamość, która jest spełniona w przybliżeniu: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)\simeq A_{el}\cos\omega t\simeq{{F_0\cos\omega t}\over{M(\omega_0^2-\omega^2)}}\;</MATH>|3.41}} === Krzywe rezonansowe === Dla oscylatora harmonicznego drgania wymuszone możemy opisywać za pomocą kilku wielkości zależne od częstotliwości kołowych, ale napiszmy najpierw wzór na amplitudę absorpcyjną: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}(\omega)=A_{ab}(\omega_0){{\Gamma^2\omega_0\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.42}} Teraz wyznaczmy kwadrat modułu amplitudy, która jest sumą kwadratów amplitudy elastycznej {{LinkWzór|3.30}} i absorpcyjnej {{LinkWzór|3.29}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>|A(\omega)|^2={{\Gamma^2\omega^2}\over{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2]^2}}+ {{(\omega_0^2-\omega^2)^2}\over{[(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2]^2}}={{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}=|A(\omega_0)|^2{{\Gamma^2\omega_0^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.43}} Energię oscylacji określamy według wzoru {{LinkWzór|3.31}}, która jest definicją mocy traconej przez układ, znając definicję amplitudy absorpcyjnej {{LinkWzór|3.30}}, piszemy ją: {{CentrujWzór|<MATH>P(\omega)={{1}\over{2}}F_0\omega A_{ab}={{1}\over{2}}F_0\omega{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}= {{F_0}\over{2\Gamma}}{{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}=P(\omega_0){{\Gamma^2\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.44}} Całkowita energia zmagazynowana przez układ określamy jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej posiadanej przez układ, którą piszemy w postaci wzoru {{LinkWzór|3.34}}, do której wykorzystamy wzór {{LinkWzór|3.43}}, w ten sposób otrzymamy końcową tożsamość opisującą tą naszą wielkość: {{CentrujWzór|<MATH>E(\omega)=E(\omega_0){{ {{1}\over{2}}\Gamma^2\left(\omega^2+\omega_0^2\right)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.45}} W powyższych wielkościach mianownik jest określony poprzez częstotliwość drgań podstawowych i częstotliwość drgań wymuszonych: {{CentrujWzór|<MATH>D=(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2=(\omega_0-\omega)^2(\omega_0+\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\;</MATH>|3.46}} Definicja D napiszmy, gdy częstotliwość &omega; jest bliska &omega;{{Sub|0}}, dla stanu słabego tłumienia, tzn. dla którego zachodzi &Gamma;<<&omega;{{Sub|0}}, przy pomocy tychże dysput sumę &omega;{{Sub|0}}+&omega; możemy przestawić w przybliżeniu w postaci 2&omega;{{Sub|0}}, wtedy D opisujemy wzorem przybliżonym na podstawie jej ścisłej definicji {{LinkWzór|3.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>D\simeq4\omega_0^2\left[(\omega_0-\omega)^2+{{\Gamma^2}\over{4}}\right]\;</MATH>|3.47}} Wtedy możemy wprowadzić współczynnik R(&omega;), który jest tak dobrany by dla &omega;{{Sub|0}} był równy jeden, czyli zachodziło R(&omega;{{Sub|0}})=1: {{CentrujWzór|<MATH>R(\omega)={{\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}\over{(\omega_0-\omega)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}\;</MATH>|3.48}} Funkcja {{LinkWzór|3.48}} jest funkcją parzystą ze względu na &omega;{{Sub|0}}-&omega;, następnie udowodnimy, aby wspomniana funkcja była równa połowie jedynki, czyli wtedy powinno zachodzić {{Formuła|<math>\omega_0-\omega=\mp{{1}\over{2}}\Gamma\;</MATH>}}, co z tego możemy wywnioskować {{Formuła|<MATH>\omega=\omega_0\pm{{1}\over{2}}\Gamma\;</MATH>}}, co dalej można łatwo udowodnić, że szerokość połówkowa naszej funkcji jest równa &Gamma;. Funkcja R(&omega;) w optyce jest nazywana często rozkładem lorentzowskim, a w fizyce jądrowej jest nazywana krzywą rezonansową Breita-Wignera, dla którego zamiast &omega; i &omega;{{Sub|0}} są zastępowane tam kolejno przez {{Formuła|<math>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>E_0=\hbar\omega_0\;</MATH>}}. === Niestacjonarne drgania harmoniczne tłumione === Niestacjonarne drgania harmoniczne, która jest rozwiązaniem równania {{LinkWzór|3.23}}, która jest szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|3.22}}, a dla równania jednorodnego {{LinkWzór|3.2}}, którego rozwiązaniem jest {{LinkWzór|3.11}}, to suma tych rozwiązań tutaj rozważanych piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{ab}\sin\omega t+A_{el}\cos\omega t+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\left(A_1\sin\omega_1 t+B_1\cos\omega_1 t\right)\;</MATH>|3.49}} Częstotliwość &omega;{{Sub|1}} we wzorze {{LinkWzór|3.49}} jest to wielkość opisana wzorem {{LinkWzór|3.10}}. === Układ drgający niestacjonarny spoczywający w stanie początkowym === Aby układ w stanie początkowym t=0 miał położenie zerowe, wtedy musi zachodzić B{{Sub|1}}=A{{Sub|el}}. Dalej będziemy mieli na myśli słabe tłumienie, tzn. czynnik exp(-&Gamma; t) praktycznie się wcale nie zmienia w chwili w ciągu jednego okresu, zatem dla chwili początkowej mamy {{Formuła|<MATH>\dot{x}(0)=\omega A_{ab}+\omega_1A_1\;</math>}}, ponieważ interesują nas częstotliwości rezonansowe niezbyt odległe od częstotliwości podstawowej, czyli kładziemy A{{Sub|1}}=-A{{Sub|ab}}, czyli powinno chodzić: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(0)=(\omega-\omega_1)A_{ab}\;</MATH>|3.50}} Co prędkość drgań początkowych jest równa zero, gdy zachodzi w przybliżeniu &omega;=&omega;{{Sub|1}}, lub gdy A{{Sub|ab}}=0, co implikuje &Gamma;=0. Na podstawie tychże omawianych wniosków dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{ab}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)+A_{el}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)\;</MATH>|3.51}} Gdy częstość wymuszająca drgania jest równa częstotliwości drgań tłumionych, czyli &omega;=&omega;{{Sub|1}}, wtedy na podstawie {{LinkWzór|3.49}} możemy powiedzieć, że zachodzi własność: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=\left[1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]\left(A_{ab}\sin\omega t+A_{el}\cos\omega t\right)=\left[1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]x_s(t)\;</MATH>|3.52}} === Oscylator niestacjonarny przy braku tłumienia === Tutaj kładziemy &Gamma;=0, wtedy amplituda absorpcyjna A{{Sub|ab}} jest równa zero, wtedy wzór na amplitudę elastyczną {{LinkWzór|3.29}} jest wyrażona przy pomocy częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości drgań wymuszonych &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{F_0}\over{M}}{{1}\over{\omega_0-\omega^2}}\;</MATH>|3.53}} Wtedy położenie masy M {{LinkWzór|3.51}}, przy powyżej kładzionych warunkach, i wzoru na amplitudę ellastyczną {{LinkWzór|3.53}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)={{F_0}\over{M}}{{\cos\omega t-\cos\omega_0 t}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|3.53a}} Jeśli wprowadzimy związki na częstotliwość średnią {{Formuła|<MATH>\omega_{sr}={{1}\over{2}}(\omega_0+\omega)\;</MATH>}} i wolnozmienną amplitudę oscylacji harmonicznych z niską częstością modulacji napisaną {{Formuła|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)\;</MATH>}}, wtedy położenie ciała w zależności od amplitudy modulacyjnej i amplitudę drgań przestawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{mod}(t)\sin\omega_{sr}t\;,</MATH>|3.54}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}={{F_0}\over{M}}{{2\sin{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|3.55}} }} Energia modulacji jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy modulacji określoną w punkcie {{LinkWzór|3.55}} jest określona w zależności od czasu i częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości drgań wymuszonych: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=E_0\sin^2{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t={{1}\over{2}}E_0\left[1-\cos(\omega_0-\omega)t\right]\;</MATH>|3.56}} Gdy częstotliwość &omega; jest równa częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, to wtedy położenie ciała {{LinkWzór|3.53}} możemy napisać, korzystając z wiadomości o granicach na funkcjach trygonometrycznych znanych z analizy matematycznej: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)={{F_0 t}\over{M}}\sin\omega_0 t\lim_{\omega\rightarrow\omega_0}{{\sin{{1}\over{2}}(\omega_0-\omega)t}\over{{{1}\over{2}}\left(\omega_0-\omega\right)t(\omega_0+\omega)}}={{1}\over{2}}{{F_0t}\over{M\omega_0}}\sin\omega_0t\;</MATH>|3.57}} === Drgania niestacjonarne nietrwałe i jego dudnienie === Będziemy liczyli energię drgań niestacjonarnych od czasu w przypadku słabego tłumienia, zatem w takim wypadku czynnik eksponencjalny występujący we wzorze {{LinkWzór|3.51}} w ciągu jednego okresu niewiele się zmienia, wtedy możemy rozważmy przypadek, gdy częstotliwość wymuszająca i drgań tłumionych są bardzo bliskie częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, zatem prędkość masy M liczymy jako pochodna wspomnianego wzoru w postaci przybliżonego wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\left(\omega\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\omega_1\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\omega\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\omega_1\sin\omega_1 t\right)\simeq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\simeq\omega_0\left[A_{ab}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)\right]\;</MATH>|3.58}} Całkowita energia układu mechanicznego dla słabego tłumienia, piszemy przy pomocy prędkości drgań masy w zależności od czasu {{LinkWzór|3.58}} i położenia drgań tej samej masy w zależności do czasu {{LinkWzór|3.51}}: {{CentrujWzór|<math>E(t)={{1}\over{2}}M\dot{x}+{{1}\over{2}}M\omega_0^2x^2={{1}\over{2}}M\omega_0^2\Bigg\{\left[A_{ab}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)-A_{el}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)\right]^2+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\left[A_{ab}\left(\sin\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1 t\right)+A_{el}\left(\cos\omega t-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\right)\right]^2\Bigg\}={{1}\over{2}}M\omega_0^2\Bigg( A_{ab}^2\cos^2\omega t+A_{ab}^2e^{-\Gamma t}\cos^2\omega_1 t+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+A_{el}^2\sin^2\omega t +A_{el}^2e^{-\Gamma t}\sin^2\omega_1 t-2A_{ab}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\cos\omega_1 t-2A_{ab}A_{el}\cos\omega t\sin\omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\sin\omega_1 t+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1 t\sin\omega t-2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\cos\omega_1t\sin\omega_1 t+2A_{el}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega t\sin\omega_1 t+</MATH>{{Br}}<MATH>+A_{ab}^2\sin^2\omega t+A_{ab}^2e^{-\Gamma t}\sin^2\omega_1 t+A_{el}^2\cos^2\omega t+A_{el}^2e^{-\Gamma t}\cos^2\omega_1 t- 2A_{ab}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}\sin\omega t\sin\omega_1t+2A_{ab}A_{el}\sin\omega t\cos\omega t+</MATH>{{Br}}<MATH>-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega t\cos\omega_1 t-2A_{ab}A_{el}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\sin\omega_1t\cos\omega t+2A_{ab}A_{el}e^{-\Gamma t}\sin\omega_1t\cos\omega_1t-2A_{el}^2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega t\cos\omega_1 t \Bigg)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{2}}M\omega_0^2\left[A_{ab}^2+A_{el}^2+(A_{ab}^2+A_{el}^2)e^{-\Gamma t}- 2(A_{ab}^2+A_{el}^2)e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos(\omega-\omega_1)t\right]=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos(\omega-\omega_1)t\right]\;</MATH>|3.59}} Funkcja kosinus mieści się w zakresie wartości od minus jedynki do jedynki, zatem kres dolny rozwiązania {{LinkWzór|3.59}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}-2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]=E\left(1-e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right)^2\;</MATH>|3.60}} Kres górny rozwiązania {{LinkWzór|3.56}} na podstawie własności funkcji kosinus rozważanej powyżej przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<math>E(t)=E\left[1+e^{-\Gamma t}+2e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right]=E\left(1+e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\right)^2\;</MATH>|3.61}} {{Rysunek|Energia oscylacji drgań niestacjonarnych.jpeg|wk5|Energia oscylacji rośnie od zera i wykonuje przejściowe dudnienia, tzn. energia oscyluje pomiędzy drganiami wymuszającymi, a drganiami swobodnymi, by na samym końcu osiągnąć energię E odpowiadającego drganiom stacjonarnym.}} Według rysunku obok, gdy by nie było tłumienia, oscylacje były by draniami oscylatora harmonicznego i takie dudnienia zachodziły by bez końca. Przy istnieniu dudnienia układ swoją fazę oscylacji ustala do siły wymuszającej, by ostatecznie osiągnąć częstotliwość drgań oscylacji równą &omega;, a względna faza pomiędzy oscylatorem a siłą wymuszającą zostaje ustalona w taki sposób, by ilość energii dostarczonej do układu była równa energii traconej przez sam oscylator przez siłę oporu spowodowanej w równaniu {{LinkWzór|3.22}} przy współczynniku tłumienia &Gamma;. == Rezonans o dwóch stopniach swobody == === Drgania wymuszone dwóch wahadeł wymuszonych === {{Rysunek|Oscylacje wymuszone wahadeł sprzężonych.jpeg|wk3|Oscylacje wymuszone wahadeł sprzężonych a) stan równowagin B) układ w stanie drgań}} Równania ruchu drgań pierwszego i drugiego wahadła matematycznego, które są sprzężone ze sobą za pomocą sprężyny, do drugiej sprężyny jest podłączona siła, która zmienia się kosinusoidalnie z siłą F{{Sub|0}}cos&omega;t, to równania ruchu takiego układu są przestawione: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} M\ddot{\psi}_a=-{{Mg}\over{l}}\psi_a-K(\psi_a-\psi_b)-M\Gamma\dot{\psi}_a+F_0\cos\omega t\\ M\ddot{\psi}_b=-{{Mg}\over{l}}\psi_b+K(\psi_a-\psi_b)-M\Gamma\dot{\psi}_b \end{cases}\;</MATH>|3.62}} Możemy dodać i odjąć powyższe równanie układu równań, w ten sposób otrzymać układ następny równoważny do poprzedniego układu równań: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases} M(\dot{\psi}_a+\dot{\psi}_b)=-{{Mg}\over{l}}(\psi_a+\psi_b)+F_0\cos\omega t\\ M(\ddot{\psi}_a-\ddot{\psi}_b)=-M\left({{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\right)(\psi_a-\psi_b)+F_0\cos\omega t\\ \end{cases}\;</MATH>|3.63}} Nasz układ posiada dwie częstotliwości podstawowe, które są przestawione w punkcie {{LinkWzór|1.125|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i {{LinkWzór|1.126|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. {{Rysunek|Amplituda elastyczna i absorpcyjna dwóch wahadeł sprężonych ze sobą, których drgania są uruchamiane przy pomocy siły wymuszającej.jpeg|wk7|Amplituda elastyczna i absorpcyjna dwóch wahadeł sprężonych ze sobą, których drgania są uruchamiane przy pomocy siły wymuszającej.}} Podamy teraz wzory na amplitudę elastyczną i absorpcyjną, wykorzystując przy okazji wzór {{LinkWzór|3.23}}, którego amplituda A jest sumą dwóch amplitud absorpcyjnych podanych dla obu częstotliwości podstawowych {{LinkWzór|3.29}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_{01}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+{{F_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_{02}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.64}} A amplituda elastyczna dla naszego układu zapisujemy podobnie jak przy amplitudzie absorpcyjnej podanej w punkcie {{LinkWzór|3.64}}, która ta amplituda B jest sumą amplitud elastycznych dla obu drgań amplitud elastycznych podanych w punkcie {{LinkWzór|3.30}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{F_0}\over{M}}{{\omega_{01}^2-\omega^2}\over{(\omega_{01}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+{{F_0}\over{M}}{{\omega^2_{02}-\omega^2}\over{(\omega_{02}^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|3.65}} == Drgania wymuszone układów izolowanych o wielu stopniach swobody == === Wahadła sprzężone ze sobą w przybliżeniu ciągłości === Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek opisujemy przy pomocy równania {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, które dla porządku dziennego jeszcze raz powtórzymy. {{CentrujWzór|<MATH>M{{d^2\psi_n(t)}\over{dt^2}}=-Mg{{\psi_n}\over{l}}+K(\psi_{n+1}-\psi_n)-K(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|3.66}} Załóżmy, że funkcja &psi;{{Sub|n}} jest wolno-zmienną funkcją n. Co wynika z tego, że wszystkie ciężarki znajdujące niemal blisko siebie wykonują w przybliżeniu te same drgania, zatem napiszmy teraz funkcją &psi; dla n, n+1 i n-1: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n(t)=\psi(z,t)\;</MATH>|3.67}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}(t)=\psi(z+a,t)+\psi(z,t)+a{{1}\over{2}}{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}+...\;</MATH>|3.68}} {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n-1}(t)=\psi(z-a,t)+\psi(z,t)-a{{1}\over{2}}{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}+...\;</MATH>|3.69}} Na podstawie {{LinkWzór|3.67}}, {{LinkWzór|3.68}} i {{LinkWzór|3.69}} można otrzymać dwie następujące tożsamości, która ta pierwsza jest różnicą funkcji wychylenia od stanu równowagi dla n+1 i dla n, a ta druga różnica jest różnicą funkcji zależnej od n dla n i n-1: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}-\psi_n=a{{\partial\psi}\over{\partial z}}+{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.70}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n}-\psi_{n-1}=a{{\partial\psi}\over{\partial z}}-{{1}\over{2}}a^2{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.71}} }} Równości {{LinkWzór|3.70}} i {{LinkWzór|3.71}} możemy podstawić do równania różniczkowo-różnicowego {{LinkWzór|3.66}}, w ten sposób otrzymać tożsamość różniczkową drugiego stopnia, z której możemy wyznaczyć funkcję &psi;, która jest rozwiązaniem równania opisującej ruch drgający: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega_0^2\psi(z,t)+{{Ka^2}\over{M}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|3.72}} === Równanie Kliena-Gordona === Jeśli sobie obierzemy funkcję zależną od z i t, którą jest funkcja harmoniczna zależna od czasu, pomnożonej przez amplitudę zależną od z, to jego definicja: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\cos(\omega t+\varphi)A(z)\;</MATH>|3.73}} A jej drugie pochodne cząstkowe liczone względem czasu i położenia, których pierwsza jest wprost proporcjonalna do A(z), a druga do drugiej pochodnej zupełnej względem położenia kulki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\cos(\omega t+\varphi)A(z)\;</MATH>|3.74}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=\cos(\omega t+\varphi){{d^2A(z)}\over{dz^2}}\;</MATH>|3.75}} }} Wykorzystując tożsamości {{LinkWzór|3.74}} i {{LinkWzór|3.75}}, i podstawiając to wszystko do równości różniczkowej {{LinkWzór|3.72}}, wtedy możemy napisać końcowe równanie na A(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dt^2}}={{M}\over{Ka^2}}(\omega_0^2-\omega^2)A(z)\;</MATH>|3.76}} ==== Fale sinusoidalne ==== Fale sinusoidalne możemy opisać równaniem {{LinkWzór|3.76}} dla której definicja stałej k{{Sup|2}}, która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej drgań wymuszonej &omega; i częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|0}}, podajemy w tej samej linijce oba równania, co równanie falowe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=-k^2A(z)\;</MATH>|3.77}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>k^2=(\omega^2-\omega_0^2){{M}\over{Ka^2}}\;</MATH>|3.78}} }} Wtedy A(z) jest kombinacją funkcji sinus i kosinus, których argumentem jest funkcja kz, którą piszemy przy pomocy stałej A i B: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=A\sin k z+B\cos kz\;</MATH>|3.79}} Stałe A i B występujące w równaniu {{LinkWzór|3.79}} są to stałe opisywane przez warunki brzegowe. ==== Fale eksponencjalne ==== Są to fale opisywane na podstawie {{LinkWzór|3.76}}, dla którego definicję stałej &chi;{{Sup|2}}, która jest wprost proporcjonalna do różnicy kwadratów częstotliwości kołowej podstawowej drgań &omega;{{Sub|0}} i częstotliwości wymuszonej &omega;, które te związki podajemy w jednej i tej samej linijce co równanie różniczkowe drgań tejże opisywanej fali: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2A(z)}\over{dz^2}}=\chi ^2A(z)\;</MATH>|3.80}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2=(\omega_0^2-\omega^2){{M}\over{Ka^2}}\;</MATH>|3.81}} }} Rozwiązanie A(z), które jest rozwiązaniem {{LinkWzór|3.80}} piszemy jako kombinacja funkcji eksponencjalnych, których pierwsza jest funkcja malejącą do zera, a druga rosnąca do nieskończoności dla "z" coraz większego: {{CentrujWzór|<MATH>A(z)=Ae^{-\chi z}+Be^{\chi z}\;</MATH>|3.82}} Stałe A i B występujące w równaniu {{LinkWzór|3.82}} są stałe opisywane przez warunki brzegowe. === Związki dyspersyjne === Związki {{LinkWzór|3.78}} i {{LinkWzór|3.81}} możemy zapisać na częstotliwość kołową drgań w zależności od częstotliwości kołowej drgań zależnych od czasu i stałej liczbie falowej "k" lub "&chi;", które te związki piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;</MATH>|3.83}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{Ka^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|3.84}} }} '''Ośrodkiem dyspersyjnym''' nazywamy ośrodek w którym rozchodzą się fale sinusoidalne, a '''ośrodkiem reaktywnym''' nazywamy taki ośrodek, w którym rozchodzą się fale eksponencjalne. Ten sam ośrodek może być jednocześnie ośrodkiem dyspercyjnym lub reaktywnym dla różnych zakresów częstotliwości kołowej. === Wahadła matematycznych sprzężonych ze sobą przy pomocy jednakowych sprężynek === Równanie rózniczkowe różnicowe {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} możemy zapisać, wprowadzając częstość kołową drgań podstawowych wahadła matematycznego &omega;{{Sub|0}}, którym to w tym równaniu grupujemy wyrazy względem wyrazów z tym samym wskaźnikiem n: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}_n=-\omega_0^2\psi_n+{{K}\over{M}}\left(\psi_{n+1}-2\psi_n+\psi_{n-1}\right)\;</MATH>|3.85}} Wprowadźmy definicję wychylenia od stanu równowagi od czasu, która zależy od czasu, którą przestawiamy przy pomocy funkcji kosinus z argumentu &omega;t+&phi;, którą jest suma iloczynu częstotliwości kołowej przez czas "t" i przesunięcia fazowego &phi;, co ta funkcja trygonometryczna pomnożona jest przez amplitudę A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n=A_n\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|3.86}} Wzór na wychylenia od stanu równowagi {{LinkWzór|3.86}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.85}}, w ten sposób mamy równość na związek dyspersyjny na &omega;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>-\omega^2A_n=-\omega_0^2-{{2K}\over{M}}A_n+{{2K}\over{M}}{{A_{n+1}+A_{n-1}}\over{2A_n}}\Rightarrow\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1-{{A_{n+1}+A_{n-1}}\over{2A_m}}\right)\;</MATH>|3.87}} ==== Zakres dyspersyjny częstości ==== Amplituda A{{Sub|n}} możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus względem argumentu kna, której definicja: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n}=A\sin kna+B\cos kna\;</MATH>|3.88}} Definicja amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, na podstawie definicji A{{Sub|n}} {{LinkWzór|3.88}} (tylko we wzorze tym zamiast n podstawiamy kolejno n+1 i n-1), wykorzystując z twierdzenia o rozdzielności mnożenia względem dodawania, by później było można zastosować twierdzenie od kosinusie sumy i kosinusie różnicy dla tych amplitud: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}=A\sin(kna+ka)+B\cos(kna +ka)\;</MATH>|3.89}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{n-1}=A\sin(kna-ka)+B\cos(kna -ka)\;</MATH>|3.90}} }} Zapiszmy sumę amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}}, możemy je zapisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.89}} i {{LinkWzór|3.90}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=2A\sin ka\cos kna+2B\cos kna\cos ka=2\cos ka\left(A\sin kna+B\cos kna\right)=2A\cos ka A_n\;</MATH>|3.91}} Obliczenia {{LinkWzór|3.91}} podstawiamy do {{LinkWzór|3.88}} przy wykorzystaniu tożsamości trygonometrycznych na kątach połówkowych, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2+\omega_0^2+{{2K}\over{M}}(1-\cos ka)\Rightarrow\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|3.92}} ==== Dolny zakresy reaktywny częstości ==== Amplitudę A{{Sub|n}} dla zakresu reaktywnego możemy przestawić jako kombinację funkcji eksponencjalnych z argumentów różniących się znakiem w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=Ae^{-\chi na}+Be^{\chi na}\;</MATH>|3.93}} Wtedy suma amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}} możemy opisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.93}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=Ae^{\chi a}e^{\chi na}+Be^{-\chi a}e^{-\chi na}+Ae^{-\chi a}e^{\chi na}+Be^{\chi a}e^{-\chi na} =Ae^{\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)+Be^{-\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)=\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)A_n\;</math>|3.94}} Obliczenia {{LinkWzór|3.94}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|3.87}}, w ten sposób otrzymać tożsamość matematyczną, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left[1-{{1}\over{2}}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\right]=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1-\cosh \chi a\right)\;</MATH>|3.95}} Wzór {{LinkWzór|3.94}} możemy zapisać w formie podobnej do {{LinkWzór|3.92}} przy wykorzystaniu tożsamości na funkcjach hiperbolicznych, którego zapis w formie bardziej uproszczonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{4K}\over{M}}\sinh^2\left({{\chi a}\over{2}}\right)\;</MATH>|3.96}} ==== Górny zakres reaktywny ==== Przyjmijmy, że amplituda jest opisywana przez zygzakowatą (przemienną) falę eksponencjalną, której definicja: {{CentrujWzór|<MATH>A_n=(-1)^n\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)\;</MATH>|3.97}} Wtedy suma amplitud A{{Sub|n+1}} i A{{Sub|n-1}} możemy zapisać przy wykorzystaniu tożsamości {{LinkWzór|3.97}}, by końcowy wzór na tą sumę przestawić w zależności od amplitudy A{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{n+1}+A_{n-1}=-A(-1)^ne^{\chi a}e^{\chi na}-(-1)^nBe^{-\chi a}e^{-\chi na}-(-1)^nAe^{-\chi a}e^{\chi na}+(-1)^nBe^{\chi a}e^{-\chi na} =\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-A(-1)^ne^{\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)-(-1)^nBe^{-\chi na}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)=-\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)(-1)^n\left(Ae^{\chi na}+Be^{-\chi na}\right)=-\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)A_n\;</math>|3.98}} Obliczenia {{LinkWzór|3.98}} możemy podstawić do równości {{LinkWzór|3.87}}, w ten sposób otrzymać tożsamość, do którego wykorzystamy definicję funkcji hiperbolicznych z znanej analizy matematycznej, doprowadzając końcowe równanie do postaci bardziej uproszczonej: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left[1+{{1}\over{2}}\left(e^{\chi a}+e^{-\chi a}\right)\right]=\omega_0^2+{{2K}\over{M}}\left(1+\cosh ka\right)=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\cosh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|3.99}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ccqrdpktsgyns0s0yty017cjq17ygyw 0 21025 559104 558554 2026-10-11T04:11:16Z Persino 2851 559104 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Fale biegnące w układach otwartych i zamkniętych — rozwinięcie maksymalnie komplikujące opis fizyczny i matematyczny == Będziemy rozpatrywali tutaj układy otwarte, tzn. nie mające zewnętrznych granic w sensie fizycznym i geometrycznym, co oznacza, że obszar, w którym rozchodzi się fala, nie jest ograniczony przez powierzchnie odbijające, a energia falowa może swobodnie „uciekać” w nieskończoność, bez powrotu do źródła. Powietrze na dworze dla rozchodzących się fal dźwiękowych zachowuje się jak układ otwarty, przy czym w tym idealizowanym opisie pomijamy wszelkie efekty powstałe w wyniku odbić fal dźwiękowych od budynków, drzew, przeszkód terenowych, a także od warstw atmosfery o zmiennej gęstości. W praktyce oznacza to, że traktujemy przestrzeń jako jednorodny, izotropowy ośrodek akustyczny, w którym fala dźwiękowa rozchodzi się bez odbić i bez rozpraszania, a jedynym istotnym parametrem jest prędkość propagacji fali oraz jej częstotliwość. Rozchodzące się fale dźwiękowe w zamkniętym pomieszczeniu zachowują się natomiast jak układ zamknięty, w którym istnieją wyraźnie zdefiniowane granice — ściany, sufit, podłoga — pełniące rolę powierzchni odbijających. W takim układzie energia falowa nie może swobodnie opuścić obszaru, lecz wielokrotnie odbija się od granic, prowadząc do zjawisk interferencji, powstawania fal stojących, rezonansów własnych pomieszczenia oraz złożonych rozkładów pola akustycznego. Jeśli ścianki tego pomieszczenia pokryjemy materiałem całkowicie pochłaniającym fale dźwiękowe, to wtedy taki układ zachowuje się jak układ otwarty w sensie energetycznym: energia fali jest pochłaniana na granicach, nie wraca do wnętrza, a fala nie tworzy trwałych struktur stojących. W celu zbudowania matematycznego opisu fal biegnących, rozpatrzmy tutaj fale, których wychylenia od stanu równowagi piszemy w punkcie odniesienia {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}}, przy czym wychylenie jest funkcją czasu i ma postać klasycznych drgań harmonicznych: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t)=A\cos\omega t\;</MATH>|4.1}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\psi(0,t)</MATH>}} może reprezentować dowolną wielkość falową: wychylenie cząstki ośrodka, nadciśnienie akustyczne, prędkość cząstki, bądź inną skalarną lub wektorową składową pola falowego, sprowadzoną do jednej współrzędnej. Amplituda {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} jest stała w czasie (dla idealnych drgań harmonicznych), a częstotliwość kołowa {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} określa szybkość zmian fazy w czasie. Rozpatrzmy teraz układ, który zachowuje się tak, jak w punkcie {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}} w czasie {{Formuła|<MATH>t'</MATH>}}, przy czym czas {{Formuła|<MATH>t'</MATH>}} piszemy w zależności od czasu laboratoryjnego {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} oraz położenia {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}, w którym rozchodzi się fala z prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Idea jest następująca: fala, która w chwili {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} ma pewną fazę w punkcie {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}}, pojawi się w punkcie o współrzędnej {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} dopiero po czasie równym {{Formuła|<MATH>z/v_{f}</MATH>}}. Zatem czas „lokalny” w punkcie {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} jest opóźniony względem czasu w punkcie odniesienia: {{CentrujWzór|<MATH>t'=t-\frac{z}{v_{f}}\;</MATH>|4.2}} Równość {{LinkWzór|4.2}} jest kluczowa, ponieważ wyraża fundamentalną własność fal: przesunięcie w przestrzeni jest równoważne przesunięciu w czasie, przy czym współczynnikiem proporcjonalności jest prędkość fazowa {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Możemy teraz podstawić wzór {{LinkWzór|4.2}} do wzoru {{LinkWzór|4.1}}, w ten sposób otrzymać równość zależną od czasu {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} i położenia zetowego {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}, w której znajduje się fala biegnąca: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\psi(0,t')=A\cos\omega t'=A\cos\omega\left(t-\frac{z}{v_{f}}\right)=A\cos\left(\omega t-\frac{\omega z}{v_{f}}\right)\; </MATH>|4.3}} Równość {{LinkWzór|4.3}} jest już pełnym opisem fali biegnącej w jednowymiarowym ośrodku, w którym fala propaguje się wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} z prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Widzimy, że faza drgań zależy zarówno od czasu, jak i od położenia, a przesunięcie fazy w przestrzeni jest proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} i odwrotnie proporcjonalne do {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Dla fal biegnących, które są funkcją kosinus, zapisaną w zależności od liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} i częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}, przedstawiamy standardowy wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|4.4}} Wzór {{LinkWzór|4.4}} jest kanoniczną postacią fali harmonicznej biegnącej wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}. Liczba falowa {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} określa, jak szybko faza zmienia się w przestrzeni: im większe {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, tym krótsza długość fali i tym szybciej zmienia się faza w funkcji położenia. Możemy teraz porównać wzór {{LinkWzór|4.4}} ze wzorem {{LinkWzór|4.3}}, które oznaczają to samo, w ten sposób dostajemy wniosek, że liczba falowa jest stosunkiem częstotliwości kołowej drgań harmonicznych i prędkości fazowej drgań: {{CentrujWzór|<MATH>k=\frac{\omega}{v_{f}}\;</MATH>|4.5}} Równość {{LinkWzór|4.5}} jest pierwszą fundamentalną relacją między parametrami fali: częstotliwością kołową {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}, liczbą falową {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} i prędkością fazową {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}}. Z tej relacji możemy natychmiast napisać definicję prędkości fazowej w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej, która jest ich stosunkiem. W tej samej linijce napiszmy dwa następne wzory określające prędkość fazową, która za pierwszym razem jest iloczynem długości falowej {{Formuła|<MATH>\lambda</MATH>}} i częstotliwości {{Formuła|<MATH>\nu</MATH>}}, a za drugim razem jest stosunkiem długości falowej przez okres drgań {{Formuła|<MATH>T</MATH>}} fal biegnących: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>v_{f}=\frac{\omega}{k}\;</MATH>|4.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>v_{f}=\lambda\nu\;</MATH>|4.7}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>v_{f}=\frac{\lambda}{T}\;</MATH>|4.8}} }} Równości {{LinkWzór|4.6}}–{{LinkWzór|4.8}} są różnymi, lecz równoważnymi definicjami prędkości fazowej. Wzór {{LinkWzór|4.6}} wiąże prędkość fazową bezpośrednio z parametrami falowymi {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, wzór {{LinkWzór|4.7}} jest klasyczną definicją prędkości fali jako iloczynu długości fali i częstotliwości, natomiast {{LinkWzór|4.8}} wyraża prędkość jako stosunek długości fali do okresu drgań. Aby jeszcze bardziej skomplikować i uściślić opis fazy fali, zdefiniujemy funkcję fazową, która jest zdefiniowana w zależności od częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}, a także od zmiennych czasu {{Formuła|<MATH>t</MATH>}} i położenia {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(z,t)=\omega t-kz\;</MATH>|4.9}} Funkcja {{Formuła|<MATH>\varphi(z,t)</MATH>}} opisuje lokalną fazę drgań w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili czasu. Linie stałej fazy {{Formuła|<MATH>\varphi=\operatorname{const}</MATH>}} reprezentują powierzchnie (w jednowymiarowym przypadku — punkty) o identycznym stanie drgań, co jest kluczowe przy analizie prędkości propagacji fali. Podamy teraz inną metodę wyprowadzenia wzoru na prędkość fazową. Na podstawie definicji funkcji fazowej {{LinkWzór|4.9}}, której różniczka jest napisana z definicji różniczki zupełnej, wyrażamy ją w zależności od częstotliwości kołowej {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}} i liczby falowej {{Formuła|<MATH>k</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>d\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial t}dt+\frac{\partial\varphi}{\partial z}dz=\omega dt-kdz\;</MATH>|4.10}} Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy różniczka funkcji fazowej jest równa dokładnie zero, tzn. {{Formuła|<MATH>d\varphi=0</MATH>}}. Oznacza to, że poruszamy się wzdłuż linii stałej fazy, czyli śledzimy ruch punktu, w którym faza drgań nie zmienia się w czasie. W ten sposób dostajemy równość z definicji prędkości znaną z kinematyki klasycznej, którą nazwiemy prędkością fazową: {{CentrujWzór|<MATH>v_{f}=\left(\frac{dz}{dt}\right)_{\varphi=\operatorname{const}}=\frac{\omega}{k}\;</MATH>|4.11}} Równość {{LinkWzór|4.11}} jest niezwykle istotna, ponieważ pokazuje, że prędkość fazowa jest prędkością, z jaką przesuwa się w przestrzeni punkt o stałej fazie drgań. Jest to definicja czysto kinematyczna, wynikająca z geometrii funkcji fazowej w przestrzeni {{Formuła|<MATH>(z,t)</MATH>}}. W połączeniu z wcześniejszymi definicjami {{LinkWzór|4.6}}–{{LinkWzór|4.8}} tworzy ona spójną strukturę pojęciową, w której prędkość fazowa jest jednocześnie parametrem falowym, wielkością kinematyczną oraz elementem łączącym opis czasowy i przestrzenny fali. Cały powyższy opis — od rozróżnienia układów otwartych i zamkniętych, poprzez konstrukcję funkcji {{Formuła|<MATH>\psi(z,t)</MATH>}}, aż po definicję funkcji fazowej {{Formuła|<MATH>\varphi(z,t)</MATH>}} i prędkości fazowej {{Formuła|<MATH>v_{f}</MATH>}} — stanowi fundament pełnej teorii fal biegnących w jednowymiarowych ośrodkach, zarówno ciągłych, jak i dyskretnych. W dalszych częściach można tę strukturę komplikować jeszcze bardziej, wprowadzając prędkość grupową, dyspersję, złożone widma częstotliwościowe oraz przejście do opisów w przestrzeni Fouriera. == Związek dyspersyjny dla wahadeł matematycznych sprzężonych przy pomocy sprężynek == Równanie różnicowo-różniczkowe możemy napisać wzorem {{LinkWzór|2.85|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, które dla porządku dziennego tutaj przepisujemy: {{CentrujWzór|<math>\ddot{\psi}_n=-{{g}\over{l}}\psi_n+{{K}\over{M}}\left(\psi_{n+1}-\psi_n\right)-{{K}\over{M}}(\psi_n-\psi_{n-1})\;</MATH>|4.12}} Dla fal biegnących, którego wychylenie od stanu równowagi jest opisane w punkcie {{LinkWzór|4.4}}, dla której drugą pochodną cząstkową względem czasu piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\psi}_n=-\omega^2\psi_n\;</MATH>|4.13}} Równanie {{LinkWzór|4.12}} możemy zapisać, przy pomocy zachodzącej tożsamości dla fal biegnących {{LinkWzór|4.13}}, która jest drugą pochodną cząstkową wychylenia podłużnego względem czasu, która jest iloczynem wychylenia od stanu równowagi &psi;{{Sub|n}} przez kwadrat częstotliwości kołowej drgań i to wszystko wzięte z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{g}\over{l}}+{{2K}\over{M}}\left(1-{{\psi_{n+1}+\psi_{n-1}}\over{2\psi_n}}\right)\;</MATH>|4.13a}} === Harmoniczne fale biegnące === Dla fal sinusoidalnych fal biegnących wychylenie od stanu równowagi możemy przepisać w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej w zależności od zmiennej czasowej i położenia z=na: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_n=A\cos(\omega t+\varphi-kz)\;</MATH>|4.14}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.14}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=A\cos(\omega t+\varphi+kna+ka)+A\cos(\omega t+\varphi+kna-ka)=2\psi_n\cos ka\;</MATH>|4.15}} Związek {{LinkWzór|4.15}} możemy podstawić do {{LinkWzór|4.13}}, w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej w zależności od liczby falowej w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{g}\over{l}}-{{2K}\over{M}}\sin^2{{ka}\over{2}}\;</MATH>|4.16}} === Eksponencjalne fale biegnące w układzie otwartym === Dla fal eksponencjalnych biegnących w układzie otwartym wychylenie od stanu równowagi dla z=na zależnego od częstotliwości kołowej i stałej zaniku fal &chi;, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Ae^{-\chi z}\cos\omega t\;</MATH>|4.17}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.17}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=Ae^{-\chi kna}e^{-\chi ka}\cos \omega t+Ae^{\chi ka}e^{\chi na}\cos\omega t=Ae^{-\chi kna}\cos\omega t\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)=\psi_n\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)\;</MATH>|4.18}} Tożsamość napisana w punkcie {{LinkWzór|4.18}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.13}}, przy wykorzystaniu definicji funkcji hiperbolicznych, w ten sposób mamy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej względem wielkości stałej zaniku dla rozchodzących się fal biegnących eksponencjalnych: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{4K}\over{M}}\sinh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|4.19}} === Przemienne eksponencjalne fale biegnące w układzie otwartym === Dla fal eksponencjalnych biegnących w układzie otwartym wychylenie od stanu równowagi, dla z=na zależnego od częstotliwości kołowej i stałej zaniku fal &chi;, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A(-1)^ne^{-\chi z}\cos\omega t\;</MATH>|4.20}} Suma wychyleń {{LinkWzór|4.20}} dla n+1 i n-1 piszemy przy pomocy wychylenia od stanu równowagi dla n: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{n+1}+\psi_{n-1}=-A(-1)^ne^{-\chi kna}e^{-\chi ka}\cos \omega t-Ae^{\chi ka}(-1)^ne^{\chi na}\cos\omega t=-Ae^{-\chi kna}(-1)^n\cos\omega t\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)=-\psi_n\left(e^{\chi ka}+e^{-\chi ka}\right)\;</MATH>|4.21}} Tożsamość napisana w punkcie {{LinkWzór|4.21}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.13}}, przy wykorzystaniu definicji funkcji hiperbolicznych, w ten sposób mamy związek dyspersyjny na kwadrat częstotliwości kołowej w zależności od stałej zaniku &chi; dla rozchodzących się fal biegnących: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{4K}\over{M}}\cosh^2{{\chi a}\over{2}}\;</MATH>|4.22}} === Prędkość fazowa fal poprzecznych rozchodzącej się w strunie obciążonymi ciężarkami === Prędkość fazowa rozchodzenia się fal w strunie obciążonej sprężynkami możemy napisać, patrząc na definicję kwadratu częstotliwości kołowej {{LinkWzór|2.71|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, z którego wyznaczymy samą częstotliwość, co po podzieleniu jego obustronnie przez liczbę falową "k" otrzymamy prędkość fazową: {{CentrujWzór|<MATH>v_f={{\omega}\over{k}}=2\sqrt{{T_0}\over{Ma}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{k}}\;</MATH>|4.23}} Biorąc przypadek dla małej liczby falowej "k", wtedy obliczenia dla wzoru {{LinkWzór|4.23}} przeprowadzamy tak jak w punkcie {{LinkWzór|2.77|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, w ten sposób możemy otrzymać wzór na prędkość fazową w przybliżeniu małej liczby falowej, wykorzystując przy tym definicję masowej gęstości liniowej, zatem dokonajmy tychże obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>v_f=\sqrt{{T_0a}\over{M}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{{{ka}\over{2}}}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}{{{{ka}\over{2}}-{{1}\over{6}}\left({{ka}\over{2}}\right)^3+...}\over{{{ka}\over{2}}}}=\sqrt{{{T_0a}\over{M}}}\left(1-{{1}\over{24}}(ka)^2+...\right)\simeq\sqrt{{T_0a}\over{M}}=\sqrt{{{T_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.24}} === Prędkość fazowa fal podłużnych rozchodzącej się w strunie obciążonymi ciężarkami === Prędkość rozchodzenia się fal w zależności liczby falowej możemy przestawić, wykorzystując wzór na kwadrat częstotliwości kołowej {{LinkWzór|2.79|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} z którego wyznaczymy samą częstotliwość, co po podzieleniu jego przez liczbę falową "k", w ten sposób dostajemy wzór na prędkość fazową rozchodzenia się fal: {{CentrujWzór|<MATH>v_f={{\omega}\over{k}}=2\sqrt{{{K}\over{M}}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{k}}\;</MATH>|4.25}} Dokonując podobnych obliczeń jak w punkcie {{LinkWzór|4.24}} dla k bardzo małego, w ten sposób, wykorzystując definicję gęstości liniowej, by otrzymać później tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>v_f=\sqrt{{Ka^2}\over{M}}{{\sin{{ka}\over{2}}}\over{{{ka}\over{2}}}}\simeq\sqrt{{Ka^2}\over{M}}=\sqrt{{Ka}\over{\rho_0}}=\sqrt{{{K_LL}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.26}} bo zachodzi K{{Sub|L}}L=Ka, w którym każda sprężyna ma współczynnik sprężystości równej K, sprężynki wszystkie razem wzięte mają współczynnik sprężystości K{{Sub|L}} i dlatego tak powinniśmy napisać. == Prędkość rozchodzenia się dźwięku w naczyniu == Będziemy tutaj wyprowadzać równanie rządzącego przy rozchodzącego się dźwięku w danym ośrodku, znając pochodną zupełną ciśnienia względem objętości w stanie równowagi danego ośrodka, tutaj będziemy się zajmować powietrzem, ale związek , który tutaj otrzymamy jest zgodny dla innych ośrodków sprężystych a także dla powietrza. Powietrze znajdujące się w naczyniu zachowuje się jak sprężynka o stałej sprężystości K{{Sub|L}}, którego długość jest L{{Sub|1}}, która zostaje ściśnięta do długości L, a siła wywierana na ścianki naczynia jest wyrażona wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=-K_L(L-L_1)\;</MATH>|4.27}} Możemy zróżniczkować tożsamość {{LinkWzór|4.27}}, w ten sposób otrzymać równość różniczkową: {{CentrujWzór|<math>dF=-K_LdL\;</MATH>|4.28}} Z drugiej jednak strony powiedźmy, gdy nastąpi zmiana długości sprężyny dL towarzyszy zmiana ciśnienia dp i zmiana siły wywieranej dF, zatem tą siłę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dF=Adp=A\left({{dp}\over{dV}}\right)_0A dL=A^2\left({{dp}\over{dV}}\right)dL\;</MATH>|4.29}} Porównując wzory {{LinkWzór|4.29}} z {{LinkWzór|4.28}} możemy napisać tożsamość na współczynnik sprężystości powietrza: {{CentrujWzór|<MATH>K_L=-A^2{{dp}\over{dV}}\;</MATH>|4.30}} Gęstość liniową masy możemy powiązać z gęstością objętościową, która jak udowodnimy gęstość liniowa masy jest równa iloczynowi gęstości objętościowej pomnożonej przez powierzchnię przekroju ośrodka, w której dźwięk rozchodzi się względem linii prostopadłej względem tego przekroju, według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_{0L}L_0=\rho_{0V}AL_0\Rightarrow \rho_{0L}=\rho_{0V}A\;</MATH>|4.31}} Wzory {{LinkWzór|4.30}} i {{LinkWzór|4.31}} możemy podstawić do wzoru końcowego {{LinkWzór|4.24}}, w ten sposób otrzymujemy końcową równość na kwadrat prędkości rozchodzenia się dźwięku: {{CentrujWzór|<MATH>v^2={{K_LL}\over{\rho_{0L}}}=\left({{-A^2{{dp}\over{dV}}L}\over{\rho_{0V}A}}\right)=-{{-AL\left({{dp}\over{dV}}\right)_0}\over{\rho_{0V}}}=-{{V_0}\over{\rho_0}}\left({{dp}\over{dV}}\right)_0\;</MATH>|4.32}} === Prędkość rozchodzenia się fal w powietrzu === Biorąc równanie stanu gazu doskonałego dla izotermy, czyli pod stałą temperaturą, wyznaczać z niego będziemy ciśnienie panujące w panujące gazie w zależności od jej objętości: {{CentrujWzór|<MATH>pV=p_0V_0\Rightarrow p={{p_0 V_0}\over{V}}\;</MATH>|4.33}} Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną ciśnienia {{LinkWzór|4.33}} względem objętości V, i kładąc V=V{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp}\over{dV}}=-{{p_0V_0}\over{V^2}}\Rightarrow V_0\left({{dp}\over{dV}}\right)_0=-p_0\;</MATH>|4.34}} Wzór {{LinkWzór|4.34}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.32}}, w ten sposób dostajemy równość, którą wyrażamy w zależności od ciśnienia gazu i jego gęstości objętościowej: {{CentrujWzór|<MATH>v=\sqrt{{{p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.35}} === Poprawka do modelu dotyczącego prędkości rozchodzenia się dźwięku === Model opisujący prędkość dźwięku w gazie opisaną w punkcie {{LinkWzór|4.35}} jest modelem tylko dobrym, tylko jest jedyna różnica, że w tym modelu prędkość dźwięku jest napisana z błędem 15% w porównaniem z prędkością dźwięku policzonego z doświadczenia, zatem ten model zawiera pewne błędy, który świadczy, że zastosowaliśmy model gazu doskonałego dla stałej temperatury układu. Lepszym modelem jest równanie adiabaty. W porównaniu modelu Boyla i adiabaty przy sprężaniu gazu ciśnienie jest nieco większe a przy rozprężaniu jest nieco mniejsze. Podczas rozprężaniu i sprężenia gazu temperatura gazu nie jest w rzeczywiści stała w danym punkcie przestrzeni. Biorąc równanie stanu gazu doskonałego dla adiabaty, czyli układu nie wymieniającego się energii z otoczeniem, wyznaczać z niego będziemy ciśnienie panujące w gazie w zależności od jej objętości: {{CentrujWzór|<math>pV^{\kappa}=p_0V^{\kappa}_0\Rightarrow p=p_0V_0^{\kappa}V^{-\kappa}\;</MATH>|4.36}} Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną ciśnienia {{LinkWzór|4.37}} względem objętości V, i kładąc V=V{{Sub|0}}, by w ten sposób otrzymać równość: {{CentrujWzór|<MATH>{{dp}\over{dv}}=-\kappa p_0V^{\kappa}_0V^{-\kappa-1}\Rightarrow V_0\left({{dp}\over{dV}}\right)_0=-\kappa p_0\;</MATH>|4.37}} Wzór {{LinkWzór|4.37}} podstawiamy do {{LinkWzór|4.32}}, w ten sposób otrzymać równość na prędkość fazową rozchodzenia się fal dźwiękowych, którą wyrażamy w zależności od ciśnienia gazu i jego gęstości objętościowej, która panuje w stanie równowagi: {{CentrujWzór|<MATH>v=\sqrt{{{\kappa p_0}\over{\rho_0}}}\;</MATH>|4.38}} === Prędkość fazowa w linii przesyłowym === Częstotliwość fazową linii przesyłowej możemy przestawić poprzez wzór {{LinkWzór|2.83|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, który możemy przestawić w granicy małych liczb falowych w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{4}\over{LC}}\sin^2 {{ka}\over{2}}\simeq {{4}\over{LC}}{{k^2a^2}\over{4}}={{a^2k^2}\over{LC}}\;</MATH>|4.39}} Kwadrat prędkości fazowej przestawiamy z jego definicji {{LinkWzór|4.11}} dla małych liczb falowych, która jest przestawiona jako odwrotność iloczynu ilorazu indukcji własnej przez przez długość linii przez iloraz pojemności linii przez jej długość: {{CentrujWzór|<MATH>v_f^2={{\omega^2}\over{k^2}}={{{{a^2k^2}\over{LC}}}\over{k^2}}={{a^2}\over{LC}}={{1}\over{{{L}\over{a}}{{C}\over{a}}}}\;</MATH>|4.40}} === Dolnoprzepustowa linia przesyłowa === {{Rysunek|Dolno przepustowa linia cylindryczna.jpeg|wk2|Dolno przepustowa linia cylindryczna}} Z prawa Gaussa dla elektrostatyki, w zależności od ładunku znajdującego się wewnętrznej powierzchni możemy opisać z tego prawa wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>-E\epsilon_0 2\pi r a=Q\Rightarrow E=-{{Q}\over{2\pi \epsilon_0r a}}\;</MATH>|4.41}} Wyznaczmy teraz różnicę potencjału między dolną częścią a jej górną częścią kondensatora, którą możemy przestawić według obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>-{{d\varphi}\over{dr}}=-{{Q}\over{2\pi\epsilon_0 r a}}\Rightarrow d\varphi={{Q}\over{2\pi\epsilon_0 r a}}dr\Rightarrow U={{Q}\over{2\pi\epsilon_0a}}\ln{{r+D}\over{r}}\;</MATH>|4.42}} Całkowita pojemność kondensatora {{LinkWzór|4.40}} jest przestawiana z jego definicji jako iloraz ładunku na okładkach kondensatora cylindrycznego przez jego różnicę potencjałów pomiędzy cylindrycznymi okładkami: {{CentrujWzór|<MATH>C={{Q}\over{U}}={{2\pi\epsilon_0 a}\over{\ln{{r+D}\over{r}}}}\;</MATH>|4.43}} Wyznaczmy indukcję magnetyczną pola magnetycznego znajdującego się w kondensatorze pomiędzy jego okładkami: {{CentrujWzór|<MATH>B2\pi r=\mu_0I\Rightarrow B={{\mu_0I}\over{2\pi r}}\;</MATH>|4.44}} Policzmy strumień indukcji pola magnetycznego z jego formalnej definicji, a później indukcję własną: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi=\int_r^{r+D} B dr a=a\int_r^{r+D} {{\mu_0I}\over{2\pi r}}dr={{\mu_0aI}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}\Rightarrow L={{\mu_0a}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}\;</MATH>|4.45}} Napiszmy teraz iloczyn pojemności elektrycznej kondensatora C i indukcyjności z jej definicji, tzn. {{LinkWzór|4.41}} i {{LinkWzór|4.42}}: {{CentrujWzór|<MATH>LC={{2\pi\epsilon_0 a}\over{\ln{{r+D}\over{r}}}}{{\mu_0a}\over{2\pi}}\ln{{r+D}\over{r}}= \mu_0\epsilon_0 a^2\Rightarrow {{C}\over{a}}{{L}\over{a}}={{1}\over{c^2}}\;</MATH>|4.46}} Jeśli popatrzymy na wzór na kwadrat prędkości fazowej {{LinkWzór|4.40}} i na wzór {{LinkWzór|4.46}} dowiadujemy się, że prędkość fazowa jest równa prędkości światła w dolnoprzepustowej linii przesyłowej. === Linia przesyłowa zrobiona przy pomocy dwóch równoległych pasków przewodzących === {{Rysunek|Linia przesyłowa składająca się z dwóch pasków.jpeg|wk1|Linia przesyłowa zbudowana przy pomocy równoległych pasków przewodzących}} Różnica potencjałów między paskami określamy z jego definicji, a także natężenie pola elektrycznego określamy z prawa Gaussa, piszemy je związkami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>U=gE_x\;</MATH>|4.47}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x={{Q}\over{\epsilon_0wa}}\;</MATH>|4.48}} }} Pojemność elektryczna, która jest ilorazem ładunku znajdującego na kondensatorze przez różnicę potencjału znajdującego się na okładkach, wyraża się: {{CentrujWzór|<MATH>C={{Q}\over{U}}={{Q}\over{gE_x}}={{Q}\over{g{{Q}\over{\epsilon_0wa}}}}\Rightarrow{{C}\over{a}}={{w\epsilon_0}\over{g}}\;</MATH>|4.49}} Strumień indukcji pola magnetycznego względem powierzchni bocznej możemy określić jako iloczyn igrekowej współrzędnej indukcji pola magnetycznego przez powierzchnię o wartości ga: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi=B_yga\;</MATH>|4.50}} Z prawa Stokesa możemy również powiedzieć, że iloczyn współrzędnej igrekowej pola magnetycznego i długości bocznej kondensatora jest równa iloczynowi przenikalności magnetycznej ośrodka, w którym jest próżnia, przez natężenie prądu elektrycznego płynącego w linii: {{CentrujWzór|<MATH>wB_y=\mu_0I\Rightarrow B_y=\mu_0{{I}\over{w}}\;</MATH>|4.51}} Wzór na indukcję pola magnetycznego a właściwie na jej współrzędną igrekową podstawiamy do {{LinkWzór|4.50}}, wykorzystując definicję indukcyjności własnej, możemy pisać: {{CentrujWzór|<MATH>\Phi= LI=\mu_0{{Iga}\over{w}}\Rightarrow {{L}\over{a}}={{\mu_0g}\over{w}}\;</MATH>|4.52}} Mnożymy wzory {{LinkWzór|4.49}} i {{LinkWzór|4.52}}, w ten sposób otrzymujemy odwrotność na kwadrat prędkości światła w próżni: {{CentrujWzór|<MATH>{{C}\over{a}}{{L}\over{a}}= {{w\epsilon_0}\over{g}}{{\mu_0g}\over{w}}=\mu_0\epsilon_0={{1}\over{c^2}}\;</MATH>|4.53}} Patrząc wzór na kwadrat prędkości fazowej {{LinkWzór|4.40}} i definicję iloczynu ilorazu pojemności linii przesyłowej przez "a" i przez iloraz indukcji pola magnetycznego przez "a". dowiadujemy się, że prędkość fazową linii przesyłowej jest równa prędkości światła w próżni "c". == Zjawisko załamania światła i dyspersja == {{Rysunek|Załamanie promieni świetlnych przechodzącej z ośrodka pierwszego do drugiego.png|wk3|Zjawisko załamania promieni świetlnych}} Z rysunku obok otrzymujemy natychmiast, następujące dwa równania, które wynikają z rysunku obok: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{v_1t}\over{d}}=\sin\theta_1\;</MATH>|4.54}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{v_2t}\over{d}}=\sin\theta_2\;</MATH>|4.55}} }} Dzielimy wzory {{LinkWzór|4.54}} i {{LinkWzór|4.55}} względem siebie, dostajemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{v_1}\over{v_2}}={{\sin\theta_1}\over{\sin\theta_2}}\Rightarrow{{c}\over{v_1}}\sin\theta_1={{c}\over{v_2}}\sin\theta\;</MATH>|4.56}} Teraz wykorzystamy definicję współczynnika załamania n=c/v dla rozważanego ośrodka pierwszego i drugiego, to na podstawie tego równość {{LinkWzór|4.56}} przepisujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\;</MATH>|4.57}} === Wyprowadzenie wzoru na współczynnik załamania promieni świetlnych === Względna przenikalność elektryczną możemy przepisać według następującego schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\;</MATH>|4.58}} Dalszym krokiem jest wyprowadzenie wzoru na współczynnik przenikalność elektryczną względną, wiedząc że <MATH>_{\vec{P}=\chi\epsilon_0\vec{E}}\;</MATH>, którego przestawienie jest: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r\epsilon_0\vec{E}=\epsilon_0\vec{E}+\epsilon_0\chi\vec{E}\Rightarrow\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|4.59}} Na podstawie alternatywnej definicji polaryzacji elektrycznej P=Nqx(t) przenikalność względna elektryczna możemy przepisać do: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+{{Nqx(t)}\over{\epsilon_0E(t)}}\;</MATH>|4.60}} Napiszmy teraz równanie ruchu ładunku elektrycznego, który napiszemy za pomocą częstotliwości drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}}, współczynnika tłumienia &Gamma;, i przy pomocy natężenia pola elektrycznego zmieniającego się według funkcji kosinus E(t)=E{{Sub|0}}cos&omega;t, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2-M\Gamma\dot{x}+qE(t)\;</MATH>|4.61}} Położenie ciała o masie M możemy zapisać jako rozwiązanie równania {{LinkWzór|4.61}} przy pomocy amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} według: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos\omega t+A_{ab}\cos\omega t\;</MATH>|4.62}} Rozważmy sobie ośrodek przezroczysty, takich jak szkło, woda, są one przezroczyste i nie następuje wtedy absorpcja promieni świetlnych. Dla ośrodków barwnych, nastepuje absorpcja wszystkich częstości oprócz jednej, i interesują nam te częstości, które są daleko od częstości rezonansowych, wtedy amplituda absorpcyjna według {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} jest w przybliżeniu równa zero, zatem istnieje tylko amplituda elastyczna, która jest równa dla naszego przypadku według {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}= {{c^2}\over{{{c^2}\over{\mu_r\epsilon_r}}}}=\mu_r\epsilon_r\simeq \epsilon_r=1+{{Nqx(t)}\over{\epsilon_0E(t)}}=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{\omega_0^2-\omega^2}} \;</MATH>|4.63}} Powyżej skorzystano z definicji współczynnika załamania, a także z definicji prędkości światła w ośrodku materialnym, dla którego względna przenikalność magnetyczna jest w przybliżeniu równa jeden. Jeśli powiązać kwadrat współczynnika załamania z liczbą falową, z częstotliwością kołową i z prędkością światła w próżni, to wtedy wzór {{LinkWzór|4.63}} jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{c^2k^2}\over{\omega^2}}=n^2=\epsilon_r=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{\omega_0^2-\omega^2}}\;</MATH>|4.64}} Związek {{LinkWzór|4.64}} jest związkiem liczby falowej z częstotliwością kołową, który jest związkiem dyspersyjnych dla światła widzialnego. == Strumień energii i impedancja == Prędkość fazową rozchodzenia się fal w strunie obciążonych punktowymi ciężarkami określamy jako pierwiastek z stosunku siły napięcia działająca na strunę T{{Sub|0}} i gęstości liniowej struny &rho;{{Sub|0}}, a impedancję charakterystyczną nazywamy pierwiastek z iloczynu gęstości liniowej struny i siły napięcia, których definicje tychże wielkości określamy poprzez wzory: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>v_f=\sqrt{{T_0}\over{\rho_0}}\;</MATH>|4.65}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>Z=\sqrt{\rho_o T_0}\;</MATH>|4.66}} }} Poniżej podamy również wzór na impedancję w tej samej strunie, ale dla drgań poprzecznych. === Fale poprzeczne biegnące w strunie ciągłej === Całkowita siła iksowa działająca na ciągłą strunę wywołująca jego ruch falowy w postaci fal biegnących określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=T\sin\theta=T\cos\theta{{\sin\theta}\over{\cos\theta}}=T_{0}\operatorname{tg}\theta=T_0{{\partial \psi}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.67}} === Wprowadzenie do definicji impedancji charakterystycznej === Każdy element struny ciągłej wykonuje ruch harmoniczny określanych jako funkcja, dla której jest ona wprost proporcjonalna do kosinusa z argument różnicy iloczynu częstotliwości kołowej przez czas i iloczynu liczby falowej przez położenie danego elementu struny, co jego definicja tejże funkcji piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|4.68}} Pierwsza pochodna wychylenia od stanu równowagi &psi;(z,t) względem położenia z i czasu t struny piszemy przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=kA\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|4.69}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|4.70}} }} {{Rysunek|Emisja poprzeczna fali biegnącej.jpeg|wk6|Wytwarzanie fal biegnących. a) równowaga, b)ogólna konfiguracja}} Patrząc na wzory {{LinkWzór|4.69}} i {{LinkWzór|4.70}} możemy napisać wzór łączący pochodną cząstkową wychylenia od stanu równowagi {{LinkWzór|4.42}} względem położenia z i pochodnej cząstkową wychylenia względem czasu w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi}\over{\partial z}}=-{{1}\over{v_f}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.71}} Całkowita siła działająca na strunę ze strony generatora {{LinkWzór|4.65}} możemy napisać, wykorzystując wniosek {{LinkWzór|4.71}}, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-{{T_0}\over{v_f}}{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.72}} Wprowadźmy teraz impedancję, jest ona stosunkiem siły T{{Sub|0}} i prędkości fazowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z={{T_0}\over{v_f}}={{T_0}\over{\sqrt{{T_0}\over{\rho_0}}}}=\sqrt{T_0\rho_0}\;</MATH>|4.73}} Przy definicji impedancji {{LinkWzór|4.73}} wzór na siłę iksowa działającą na strunę ciągłą określamy jako iloczyn pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi &psi; względem czasu "t" przez impedancję Z, to razem wszystko wzięte z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-Z{{\partial\psi}\over{\partial t}}\;</MATH>|4.74}} === Moc wytwarzana przez generator drgań struny === Całkowita wytwarzana moc w czasie "t" jest iloczynem siły F{{Sub|x}} zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|4.74}} i prędkości wychylenia od stanu równowagi, która jest pochodną cząstkową wychylenia &psi; względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>P(t)=F_x{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\left(Z{{\partial\psi}\over{\partial t}}\right){{\partial\psi}\over{\partial t}}=Z\left({{\partial\psi}\over{\partial t}}\right)^2\;</MATH>|4.75}} Innym sposobem wyprowadzenie mocy wytwarzanej przez generator jest opisany przez wzór w zależności od pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia względem położenia: {{CentrujWzór|<MATH>P(t)=F_x{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]{{\partial\psi}\over{\partial t}}= \left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]\left[-v_f{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]={{v_f}\over{T_0}}\left[-T_0{{\partial \psi}\over{\partial z}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-T_0{{\partial\psi}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.76}} === Promieniowanie wytarzane przez układ sprężynek i mas === {{Rysunek|Emisja promieniowania fal podłużnych przez generator.jpeg|wk7|Emisja promieniowania fal podłużnych przez generator. a)Równowaga. b) układ w ruchu.}} Niech mamy układ sprężynek, które łączą jednakowe masy, wtedy wielkość odpowiadająca wielkości napięcia w strunie T{{Sub|0}} jest wielkość Ka, wtedy impedancję możemy określić jako pierwiastek z wielkości Ka i gęstości masowej liniowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z={{Ka}\over{\sqrt{{{Ka}\over{\rho_0}}}}}=\sqrt{Ka\rho_0}\;</MATH>|4.77}} Całkowita moc wytwarzana przez generator podczas wytwarzania fal podłużnych w układzie sprężynek w zależności od czasu "t" lub położenia jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>P(z,t)=Z\left[{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-Ka{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.78}} Całkowita siła działająca na układ mas sprężynek przy założeniu, że w stanie równowagi sprężynki pozostają napięte z siłą F{{Sub|0}}, która nie wpływa na ruch drgający układów kulek, jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=F_0-Ka{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.79}} === Fale głosowe === Prędkość fazowa fal dźwiękowej jest określana przez wzór {{LinkWzór|4.38}}, porównując ten wzór z {{LinkWzór|4.26}} (w tym drugim mamy gęstość liniową, a w tym pierwszym gęstość objętościową), dochodzimy do wniosku, że rolę napięcia sprężyny spełnia &kappa;p{{Sub|0}}, wtedy impedancję piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>Z=\sqrt{\kappa p_0\rho_0}\;</MATH>|4.80}} Natężenia fali dźwiękowej można napisać na podstawie tożsamości {{LinkWzór|4.76}} określoną względem pochodnej wychylenia podłużnego &psi;(z,t) względem czasu "t" lub położenia "z": {{CentrujWzór|<MATH>I(z,t)=Z\left[{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}\right]^2={{1}\over{Z}}\left[-\kappa p_0{{\partial \psi(z,t)}\over{\partial z}}\right]^2\;</MATH>|4.81}} Siłą działająca na jednostkę powierzchni określamy względem stałego ciśnienia panującego w ośrodku p{{Sub|0}}, która to fala dźwiękowa zaburza stałe nasze ciśnienie atmosferyczne przy pomocy członu harmonicznego, który powoduje, że mamy raz ciśnienie wyższe, a za drugim niższe od naszego rozważanego ciśnienia p{{Sub|0}}. {{CentrujWzór|<math>{{F_x}\over{A}}=p_0-\kappa p_0{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|4.82}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> kh2san70q3ti65d5g3bfci7o6jt0znv 0 21029 559105 558555 2026-10-11T04:13:09Z Persino 2851 559105 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Całkowita siła działająca na falę by je wytworzyć jest wyrażona jako wielkość wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej cząstkowej wychylenia od stanu równowagi i impedancji Z, którą wyrazimy wzorem {{LinkWzór|4.48|Opis_fal_biegnących}}. Falę padającą możemy wyrazić przez {{LinkWzór|4.4|Opis_fal_biegnących}}, którą tutaj przepiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|5.1}} W punkcie z=0 fala padająca jest opisana wzorem {{LinkWzór|5.1}}, którą możemy zapisać formułą: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}(0,t)=A\cos\omega t\;</MATH>|5.2}} == Współczynnik odbicia == Oznaczmy ostatni punkt struny przez L, a amortyzator przez P, wtedy siła działająca ze strony amortyzatora na falę padającą i odbitą jest zapisana: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>F_{pad}(P\mbox{ na }L)=-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.3}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>F_{odb}(P\mbox{ na }L)=Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.4}} }} A więc całkowita siła działająca jednocześnie na falę odbitą i padającą jest sumą sił {{LinkWzór|5.3}} i {{LinkWzór|5.4}}, i po prostu jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>F_{pad}(P\mbox{ na }L)=-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.5}} Fala odbita &psi;{{Sub|odb}} i padająca &psi;{{Sub|pad}}, której superpozycją jest fala &psi;, której będziemy liczyli pochodną cząstkową względem czasu, można ją rozłożyć na sumę pochodnych cząstkowych względem czasu fali padającej i odbitej: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(0,t)}\over{\partial t}}={{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;,</MATH>|5.6}} Z drugiej jednak całkowita siła działająca ze strony oporu amortyzatora równa jest sile oporu amortyzatora na strunę, wtedy całkowita siła działająca na "falę" &psi;,, dla którego impedancja jest wyrażona przez Z{{Sub|2}}, jest wyrysowana: {{CentrujWzór|<MATH>F(P\mbox{ na }L)=-Z_2{{\partial\psi(0,t)}\over{\partial t}}=-Z_2\left({{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\right)=-Z_2{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}-Z_2{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.7}} Siła {{LinkWzór|5.5}} jest równa sile wyrażona troszeczkę w innej postaci {{LinkWzór|5.7}}, wtedy, przyrównując do siebie te siły, bo one oznaczają to samo, dostajemy wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>-Z_1{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}+Z_1{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}=-Z_2{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}-Z_2{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}\;</math>|5.8}} Wzór {{LinkWzór|5.8}} możemy napisać troszeczkę w innej postaci, grupując wyrazy w nim występujące, by po lewej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenie od stanu równowagi fali odbitej względem czasu, a po prawej stronie znajdowała się pochodna cząstkowa wychylenia fali padającej od stanu równowagi względem czasu, co to wszystko możemy wyrazić przez wzór: {{CentrujWzór|<math>{{\partial\psi_{odb}(0,t)}\over{\partial t}}=\left[{{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}\right]{{\partial\psi_{pad}(0,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|5.9}} == Fale padająca i odbita, superpozycja tychże fal == W równanie ruchu {{LinkWzór|5.9}} możemy przecałkować obie jego strony, w ten sposób otrzymamy wychylenie od stanu równowagi fali odbitej w zależności od amplitudy fali padającej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}(0,t)=R_{12}\psi_{pad}(0,t)=R_{12}A\cos\omega t\;</MATH>|5.10}} Współczynnik odbicia występującej we wzorze {{LinkWzór|5.8}} nazywamy wielkość określaną: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{Z_1-Z_2}\over{Z_1+Z_2}}\;</MATH>|5.11}} Fala odbita jest falą biegnącą w kierunku -z, której jej podstać dla z<0 otrzymujemy na podstawie jej związku dla z=0, zastępując zmienne z=0 i "t" zmiennymi "z", t+z/v{{Sub|f}}, dla której v{{Sub|f}} jest prędkością fazową fali. Wzór na falę odbitą piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}(z,t)=R_{12}A\cos\left[\omega\left(t+{{z}\over{v_f}}\right)\right]=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.12}} Całkowite przemieszenie poszczególnych części fali jest sumą fali padającej i odbitej wyrażony związkiem {{LinkWzór|5.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)+R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.13}} == Przemieszczenia fali odbitej i padającej, a siła kierująca == Ogólnie siłą kierująca możemy wyrazić przez wzór zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|4.41|Opis_fal_biegnących}}, która jak wiemy jest zależna od pierwszej pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia "z", która jest równa sile kierującej działającej ze strony sprężyny znajdującej się na lewo od punktu "z" na sprężynę ze strony prawej od tego punktu. Jak można udowodnić współczynnik odbicia pierwszej pochodnej przemieszczenia względem czasu dla tych fal jest taki sam jak dla samych przemieszczeń, a współczynnik odbicia dla pochodnej przemieszczeń względem położenia jest równy minus współczynnika odbicia przemieszczeń, który wyrażamy przy pomocy poprzednich rozważań równej {{LinkWzór|5.11}}. Aby to wszystko udowodnić napiszmy poniższe rozważania. Przemieszczenia fali padającej i odbitej wyrażamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|5.12}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{pad}=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|5.14}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_{odb}=R_{12}A\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|5.15}} }} Porównując wzory {{LinkWzór|5.14}} i {{LinkWzór|5.15}} dochodzimy do wniosku, że współczynnik proporcjonalności jest R{{Sub|12}}. Wtedy możemy policzyć pochodne cząstkowe wychyleń względem czasu fali padającej {{LinkWzór|5.14}} i odbitej {{LinkWzór|5.15}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{pad}}\over{\partial t}}=-\omega A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|5.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{odb}}\over{\partial t}}=-R_{12}\omega A\sin(\omega t+kz)\;</MATH>|5.17}} }} Współczynnik proporcjonalności prędkości przemieszczeń między falą odbita i padającą jest to współczynnik napisany jako R{{Sub|12}}. Pochodne cząstkowe przemieszczeń względem położenia danego elementu układu drgającego możemy napisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{pad}}\over{\partial z}}=k A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|5.18}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi_{odb}}\over{\partial z}}=-R_{12}k A\sin(\omega t+kz)\;</MATH>|5.19}} }} Porównując tożsamość {{LinkWzór|5.18}} z {{LinkWzór|5.19}} możemy dojść do wniosku, że współczynnik odbicia dla pochodnej cząstkowej przemieszczenia względem położenia określamy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>R_{{\partial\psi}\over{\partial z}}=-R_{12}\;</MATH>|5.20}} == Ciągłość parametrów fali na granicy dwóch ośrodków == Na granicy między dwoma ośrodkami prędkość, czyli pierwsza pochodna przemieszczenia względem czasu, a także siła kierująca (definicja {{LinkWzór|4.41|Opis_fal_biegnących}}) są wielkościami ciągłymi na granicy dwóch ośrodków. Siła działająca na falę padająca i przechodzącą na tej granicy wziętej razem dwóch ośrodków jest wyrażana przez: {{CentrujWzór|<MATH>-T_1{{\partial\psi_1}\over{\partial z}}+T_2{{\partial\psi_1}\over{\partial z}}=0\mbox{ dla }z=0\;</MATH>|5.21}} Skokowi siły napinającej struny według {{LinkWzór|5.21}} towarzyszy kant struny i w rezultacie nachylenie struny nie jest wielkością ciągłą. natomiast wielkością ciągłą jest iloczyn nachylenia struny i siły napinającej. == Współczynnik transmisji == Napiszmy teraz wzór, który określimy przy pomocy współczynnika odbicia R, która jest superpozycją fali padającej i odbitej dla ośrodka pierwszego, którą piszemy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_1(z,t)=\varphi_0\cos(\omega t-k_1z)+R\varphi_0\cos(\omega t+k_1z)\;</MATH>|5.22}} Wzór {{LinkWzór|5.21}} określa wielkości falowe, którymi mogą być przemieszczenie, prędkość, lub nawet siła kierująca, który nasz wspomniany wzór piszemy przy pomocy współczynnika odbicia R, który dla przemieszczeń i prędkości są wyrażane przez R{{Sub|12}}. Fala rozchodząca się w ośrodku drugim z ośrodka pierwszego jest określana przy pomocy współczynnika transmisji T: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_2=T\varphi_0\cos(\omega t-k_2z)\;</MATH>|5.23}} Współczynnik transmisji możemy wyznaczyć dla z=0, wtedy następująca równość wielkości {{LinkWzór|5.23}} z wielkością {{LinkWzór|5.22}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi_2(0,t)=\varphi_1(0,t)\;</MATH>|5.24}} Do wzoru {{LinkWzór|5.24}} możemy podstawić wzory {{LinkWzór|5.22}} i {{LinkWzór|5.23}}, by w ten sposób otrzymać tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>T\varphi_0\cos\omega t=\varphi_0(1+R)\cos\omega t\;</MATH>|5.25}} Z równości {{LinkWzór|5.25}} możemy otrzymać wzór na współczynnik transmisji, który jest sumą jedynki i współczynnika odbicia: {{CentrujWzór|<MATH>T=1+R\;</MATH>|5.26}} We wzorze {{LinkWzór|5.26}} R jest równe R{{Sub|12}}, gdy &phi;{{Sub|0}} jest to przemieszczenie &phi; lub prędkością &part;&psi;/&part; t, natomiast gdy jest równa -R{{Sub|12}}, co wtedy mamy do czynienia z siła kierującą -T&part;&psi;/&part; z. (Uwaga: Symbol T jest używany zarówno do oznaczenia napięcia struny, jak i dla współczynnika transmisji). <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mk0iiyofyn8jeedn38s4svpmsn2aqui 0 21033 559106 558556 2026-10-11T04:15:58Z Persino 2851 559106 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Dotychczas rozważaliśmy drgania, które były drganiami harmonicznymi o jednej tylko częstości &omega;. Dowiedzieliśmy, że superpozycja fal o jednakowych amplitudach, ale o prawie jednakowych częstościach kołowych prowadzi do zjawiska dudnień. Omówimy tutaj zjawisko dudnień powstałych z nakładania się wielu fal o zbliżonych amplitudach. Jak się okazuje, że fale mogą rozchodzić się z prędkością grupową, niosąc ze sobą energię z tą właśnie prędkością. == Prędkość grupowa == Sumę dwóch drgań harmonicznych o jednakowych amplitudach, ale dla różnych liczb falowych i częstotliwości kołowych, piszemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega_1 t-k_1z)+A\cos(\omega_2 t-k_2z)\;</MATH>|6.1}} Definicję częstotliwości modulowanej i liczby falowej modulowanej, a także ich odpowiedniki średnie rysujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{mod}={{1}\over{2}}\left(\omega_1-\omega_2\right)\;</MATH>|6.2}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>k_{mod}={{1}\over{2}}\left(k_1-k_2\right)\;</MATH>|6.3}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{sr}={{1}\over{2}}\left(\omega_1+\omega_2\right)\;</MATH>|6.4}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>k_{sr}={{1}\over{2}}\left(k_1+k_2\right)\;</MATH>|6.5}} }} Wykorzystując powyższe definicję średniej częstotliwości kołowej i średniej liczby dwóch fal o zbliżonych częstościach, możemy określić jako sumę {{LinkWzór|6.1}} w postaci zwartej z wyodrębnionymi amplitudami modulowanymi zależnych od częstotliwości i liczb falowych modulowanych, a także z wyodrębnioną częścią harmoniczną, która zależy od średniej częstotliwości i średniej liczby falowej, co te wszystkie wnioski określimy przez dwa poniższe wzory: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A_{mod}(z,t)\cos(\omega_{sr}t+k_{sr})\;</MATH>|6.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{mod}=2A\cos(\omega_{mod}t-k_{mod}z)\;</MATH>|6.7}} }} Funkcję fazową amplitudy {{LinkWzór|6.7}} można napisać w takiej postaci, która po zróżniczkowaniu obu jego stron dla tej funkcji stałej, w ten sposób otrzymujemy wzór, z którego możemy wyznaczyć prędkość rozchodzenia się modulacji: {{CentrujWzór|<MATH>0=\omega_{mod}dt-k_{mod}dz\Rightarrow {{dz}\over{dt}}=v_{mod}={{\omega_{mod}}\over{k_{mod}}}={{\omega_1-\omega_2}\over{k_2-k_1}}\;</MATH>|6.8}} Prędkość modulacji możemy rozłożyć w szereg Taylora, w ten sposób dowiadujemy się, że prędkość rozchodzenia się modulacji, która jest ilorazem różnicowym częstotliwości kołowej i liczby falowej k, jest ona w przybliżeniu równa pochodnej zupełnej częstotliwości kołowej względem liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>v_{mod}={{\omega_2-\omega_1}\over{k_2-k_1}}={{d\omega}\over{dk}}+...\;</MATH>|6.9}} Na podstawie tożsamości {{LinkWzór|6.9}} możemy określić prędkość grupową, którą nazywamy pochodną zupełną częstotliwości kołowej względem liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}\;</MATH>|6.10}} == Składanie się fal o prostokątnym rozkładzie widmowym == Superpozycja N fal, których amplitudy są jednakowe, ale o częstościach kołowych równomiernie rozłożonych pomiędzy częstościami &omega;{{Sub|1}}, a &omega;{{Sub|2}}, których ta całkowita fala &psi;(t) jest zdefiniowana: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos\omega_1t=A\cos(\omega_1t+\delta \omega)+A\cos(\omega_1t+2\delta\omega)+...+A\cos\omega_2t\;</MATH>|6.11}} Wielkość &delta;&omega; jest tak zdefiniowana w taki sposób jako iloraz różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|2}} i &omega;{{Sub|1}} podzielonej przez N-1, co matematycznie: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\omega={{\omega_2-\omega_1}\over{N-1}}={{\Delta \omega}\over{N-1}}\;</MATH>|6.12}} Najlepszym sposobem jest przestawienie sumy drgań harmonicznych {{LinkWzór|6.11}} przy pomocy funkcji eksponencjalnych, których częścią rzeczywistą jest ta nasza rozważana suma drgań harmonicznych {{LinkWzór|6.11}}, którego przestawienie jest: {{CentrujWzór|<MATH>f(t)=e^{-i\omega_1t}+e^{-i(\omega_1t+2\delta\omega)}+...+e^{-i(\omega_1t+2\Delta\omega)}\;</math>|6.13}} Funkcja {{LinkWzór|6.13}} jest szeregiem geometrycznym o ilorazie exp(-&delta;&omega;t), wtedy zapisujemy go w postaci zwartej: {{CentrujWzór|<math>f(t)=e^{-i\omega_1 t}{{1-e^{-iN\delta\omega t}}\over{1-e^{-i\delta\omega t}}}={{e^{-{{1}\over{2}}N\delta\omega t}}\over{e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}{{e^{{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}iN\delta\omega t}}\over{e^{{{1}\over{2}}i\delta\omega t}-e^{-{{1}\over{2}}i\delta\omega t}}}=e^{-i\omega_1 t}e^{-{{1}\over{2}}i(N-1)\delta\omega}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=e^{-i(\omega_1+{{1}\over{2}}\Delta\omega)}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=e^{-i\omega_{sr}t}{{\sin{{1}\over{2}}N\delta \omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta \omega t}}\;</MATH>|6.14}} Całkowita funkcja falowa zapisana w postaci zwartej {{LinkWzór|6.11}} jest częścią rzeczywistą obliczeń napisaną w punkcie {{LinkWzór|6.14}}, którą rysujemy w postaci funkcji zależnej od czasu "t", częstotliwości średniej drgań &omega;{{Sub|śr}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A\cos\omega_{sr}t{{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.15}} Amplituda fali &psi;(t), występująca we wzorze {{LinkWzór|6.15}} jest zależna od czasu i jest napisana przy pomocy funkcji sinus, która występuje w mianowniku i liczniku, której licznik jest zależny od liczby przegród, jest wykreślona: {{CentrujWzór|<MATH>A(t)={{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.16}} Gdy N=2, wtedy równość na funkcję &psi;(t) {{LinkWzór|6.15}}, którą definiujemy, zamieniając 1/2&omega;t przez zmienną x, wtedy mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=A{{\sin 2x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}t=A{{2\sin x\cos x}\over{\sin x}}\cos\omega_{sr}=2A\cos x=2A\cos\omega_{mod} t\cos\omega_{sr}t\;</MATH>|6.17}} Wzór na funkcję &psi;(t) dla N=2 otrzymaliśmy jak w punkcie {{LinkWzór|1.116|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}, co jest zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Przy liczeniu funkcji {{LinkWzór|6.16}} dla t=0 należy się dokładnie przyjrzeć, bo licznik i mianownik tego wyrażenia jest równy zero, wtedy należy dokonać zamiany zmiennych według <MATH>_{\theta={{1}\over{2}}\delta\omega t}\;</MATH>, i obliczyć granicę, wykorzystując wiadomości o granicach z analizy matematycznej. {{CentrujWzór|<MATH>\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{\theta}}=N\lim_{\theta\rightarrow 0}{{\sin N\theta}\over{N\theta}}=N\;</MATH>|6.18}} Amplitudę {{LinkWzór|6.16}} możemy przestawić jako funkcję A(t) przy A=A(0)/N, dla którego tą wielkość piszemy: {{CentrujWzór|<math>A(t)=A(0){{\sin{{1}\over{2}}N\delta\omega}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega t}}\;</MATH>|6.19}} Przejdźmy teraz do granicy, dla którego N jest bardzo duże, wtedy odstępy pomiędzy składowymi drgań harmonicznych &delta;&omega; są na tyle małe, że ich doświadczalnie nie możemy rozróżnić, wtedy mamy doczynienia z fizyką, a nie z matematyką. Amplitudę {{LinkWzór|6.16}} możemy napisać dla warunku &delta;&omega; bardzo małego i przy zachodzącej tożsamości {{LinkWzór|6.12}}: {{CentrujWzór|<MATH>A(t)=A(0){{\sin {{1}\over{2}}N\delta\omega t}\over{N\sin{{1}\over{2}}\delta\omega}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta\omega t}\over{N{{1}\over{2}}\delta\omega t}}=A(0){{\sin{{1}\over{2}}\Delta \omega t}\over{{{1}\over{2}}\Delta\omega}}\;</MATH>|6.20}} Wychylenie od stanu równowagi {{LinkWzór|6.11}} jako superpozycja N fal harmonicznych, przy wykorzystaniu {{LinkWzór|6.12}}, piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\left[\delta\omega\cos\omega_1 t+\delta\omega\cos(\omega_1+\delta\omega)t+...+\delta\omega\cos\omega_2 t\right]\;</MATH>|6.21}} Równość {{LinkWzór|6.21}} możemy zapisać w postaci całkowej, przy założeniu, że &delta;&omega; jest bardzo małe, praktycznie zerowe, jako całkę od &omega;=&omega;{{Sub|1}}, aż do &omega;=&omega;{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)={{A(0)}\over{\Delta\omega}}\int_{\omega_1}^{\omega_2}\cos\omega td\omega\;</MATH>|6.22}} == Szereg Fouriera liczona względem czasu == Szeregiem Fouriera nazywamy takie wyrażenie, której każdą funkcję F(t) możemy rozłożyć ten nasz szereg, którego postać jest zależna od współczynników B{{Sub|0}} i współczynników zależnych od n, czyli od A{{Sub|n}} i od B{{Sub|n}}: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=B_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin n\omega t+\sum_{n=1}^{\infty} B_n \cos\omega_1 t\;</MATH>|6.23}} Wówczas jak możemy udowodnić, że współczynniki A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} możemy napisać przy pomocy funkcji F(t), jak to robiliśmy też dla szeregu Fouriera zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.35|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}, tylko tam była definicja względem liczby falowej, a tutaj względem częstotliwości kołowej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>B_0={{1}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)dt\;</MATH>|6.24}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\cos n\omega_ tdt\;</MATH>|6.25}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>A_n={{2}\over{T_1}}\int_{t_0}^{t_0+T_1}F(t)\sin n\omega_ tdt\;</MATH>|6.26}} }} == Przejście od szeregu Fouriera w jej postać całkową == Rozważmy kilka pierwszych wyrazów w szeregu Fouriera, tzn. A{{Sub|1}}sin&omega;{{Sub|1}}t+B{{Sub|1}}cos&omega;{{Sub|1}}t, A{{Sub|1}}sin&omega;{{Sub|1}}t+B{{Sub|1}}cos&omega;{{Sub|1}}t. Pierwsze wyrazy są tak małe w podanych wyrazach, że można je zaniedbać. Widzimy, że T{{Sub|1}}, która jest okresem. Sztucznie utworzona funkcja zależy od naszego okresu, więc ten okres możemy zwiększać o dowolną wielokrotność, zatem okres T{{Sub|1}} jest dowolny, to częstotliwość kołową &omega;{{Sub|1}}=2&pi;/T{{Sub|1}} możemy dowolnie zmniejszać. W gruncie rzeczy T{{Sub|1}} możemy wziąć na tyle duże by wyrazy A{{Sub|n}} i B{{Sub|n}} można było zaniedbać. Rozważmy n na tyle duże by nie można było zaniedbać współczynników A{{Sub|n}} , B{{Sub|n}}, wtedy szereg {{LinkWzór|6.23}} możemy zapisać, biorąc jak na razie dla uproszczenia wyrazy z sinusami: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=...+A_n\sin n\omega_1 t+A_{n+1}\sin(n\omega_1+\omega_1)t+...\;</MATH>|6.27}} Obierzmy sobie teraz funkcję &omega; zmiennej n i &omega;{{Sub|1}}, która jest iloczynem liczby n i częstotliwości &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=n\omega_1\;</MATH>|6.28}} Niech przyrost &delta;&omega; będzie taki, że różniczka z n jest ilorazem z delty częstotliwości kołowej &omega; przez częstotliwość &omega;{{Sub|1}}: {{CentrujWzór|<MATH>\delta\omega=\omega_1\delta n\Rightarrow \delta n={{\delta\omega}\over{\omega_1}}\;</MATH>|6.29}} Załóżmy, że w pasmie n do n+&delta; n wszystkie współczynniki A{{Sub|n}} są sobie równe, wtedy wszystkie te wyrazy możemy przegrupować względem tychże współczynników, by później było można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=....+\delta nA_n\sin n\omega_1 t+...=...+\delta\omega{{A_n}\over{\omega_1}}\sin\omega t+..\equiv...+\delta\omega A(\omega)\sin\omega t+..=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega t d\omega\;</math>|6.30}} W końcu na podstawie obliczeń {{LinkWzór|6.30}} możemy napisać całkę Fouriera, którego postać piszemy względem współczynników A(&omega;) i B(&omega;) (powyżej było przyjęte, że B(&omega;)=0, a poniżej jest dla różnego od zera dla ogólności), której ogólna postać naszej całki: {{CentrujWzór|<MATH>F(t)=\int_0^{\infty}A(\omega)\sin\omega td\omega+\int_0^{\infty}B(\omega)\cos\omega t d\omega\;</MATH>|6.31}} Na podstawie definicji współczynnika A{{Sub|n}} {{LinkWzór|6.26}} i B{{Sub|n}}{{LinkWzór|6.25}}, a także z własności &omega;{{Sub|1}}T{{Sub|1}}=2&pi;, a także będziemy przyjmować t{{Sub|0}}=-&infin;, a T{{Sub|0}}=&infin;, wtedy możemy napisać definicję współczynników A(&omega;) i B(&omega;) przy wcześniejszych poczynionych uwagach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A(\omega)={{A_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega tdt\;</MATH>|6.32}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B(\omega)={{B_n}\over{\omega_1}}={{1}\over{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega tdt\;</MATH>|6.33}} }} == Całki Fouriera dla tłumionego oscylatora tłumionego == Wychylenie od stanu równowagi dla tłumionego oscylatora od stanu równowagi przy zerowym przesunięciu fazowym przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(t)=e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}\cos\omega_1t\;</MATH>|6.34}} Wtedy, patrząc na tożsamość {{LinkWzór|3.10|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, możemy napisać tożsamość wiążąca częstotliwość drgań tłumionych &omega;{{Sub|1}} względem drgań harmonicznych podstawowych i współczynnika tłumionego, z którego skorzystamy w dalszym kroku obliczeń. Policzmy tutaj dwie całki poniższe, które będą nam bardzo potrzebne w dalszych rozważaniach: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bxdx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}+{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx=-{{b}\over{a^2}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx dx={{b}\over{b^2+a^2}}\;</MATH>|6.35}} Dalej policzmy drugą z kolei całkę: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx=-{{1}\over{a}}e^{-ax}\cos bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin bx= {{1}\over{a}}+e^{-ax}\sin bx\Bigg|_0^{\infty}-{{b^2}\over{a^2}}\int e^{ax}\cos bx\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow\int_0^{\infty}e^{-ax}\cos bx dx={{a}\over{b^2+a^2}}\;</MATH>|6.36}} Policzmy teraz współczynnik A(&omega;) według wzoru {{LinkWzór|6.32}} występującego jako współczynnik we wzorze {{LinkWzór|6.31}}, korzystując przy tym z tożsamości fizycznej {{LinkWzór|6.36}}: {{CentrujWzór|<MATH>2\pi A(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\sin\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}[\sin(\omega+\omega_1)t+\sin(\omega-\omega_1)t]dt=\;</MATH>{{Br}}<math>= {{\omega+\omega_1}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{\omega-\omega_1}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{\omega+\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{\omega-\omega_1}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;</math>{{Br}}<math>={{(\omega+\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+(\omega-\omega_1)(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}={{2\omega(\omega^2+\omega_0^2)-4\omega_1^2\omega}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}</math>|6.37}} Dalszym krokiem jest policzenie B(&omega;) według wzoru {{LinkWzór|6.33}} występujące jako współczynnik we {{LinkWzór|6.31}}, wykorzystując przy tym z tożsamości fizycznej {{LinkWzór|6.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>2\pi B(\omega)=2\int_{\infty}^{\infty}\psi(t)\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma t}2\cos\omega_1 t\cos\omega t dt=\int_0^{\infty}e^{-{{1}\over{2}}\Gamma}[\cos(\omega+\omega_1)t+\cos(\omega-\omega_1)t]dt=\;</MATH>{{Br}}<math>= {{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega+\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{(\omega-\omega_1)^2+\left({{1}\over{2}}\Gamma\right)^2}}={{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1}}+{{{{1}\over{2}}\Gamma}\over{\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1}}=\;</math>{{Br}}<math>={{{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2-2\omega\omega_1)+{{1}\over{2}}\Gamma(\omega^2+\omega_0^2+2\omega\omega_1)}\over{\omega^4+\omega^2\omega_0^2-2\omega^3\omega_1+\omega^2\omega^2_0+\omega^4_0-2\omega\omega_1\omega_0^2+2\omega^3\omega_1+2\omega_0^2\omega\omega_1-4\omega^2\omega_1^2}}={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{\omega^4+2\omega_0^2\omega^2-4\omega^2\omega_0^2+\omega_0^4+\Gamma^2\omega^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}</math>|6.38}} Wyznaczmy wielkość I(&omega;), która jest sumą kwadratów wielkości 2&pi;A(&omega;){{LinkWzór|6.38}} i 2&pi;B(&omega;){{LinkWzór|6.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>I(\omega)=[2\pi A(\omega)]^2+[2\pi B(\omega)]^2=\left({{2\omega(\omega^2-\omega_0^2)+\omega\Gamma^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2+\left({{\Gamma(\omega^2+\omega_0^2)}\over{(\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2}}\right)^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH> ={{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^2\Gamma^2(\omega^2-\omega_0^2)+\Gamma^2(\omega^2+\omega_0^2)^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{4\omega^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\Gamma^4+4\omega^4\Gamma^2-4\omega^2\omega_0^2\Gamma^2+\Gamma^2\omega^4+\Gamma^2\omega_0^4+2\Gamma^2\omega^2\omega_0^2}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{4\omega^2\left[(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2\right]+\Gamma^2\left[\omega^2\Gamma^2+(\omega^2-\omega_0^2)^2\right]}\over{\left((\omega_0^2-\omega)^2+\Gamma^2\omega^2\right)^2}}={{4\omega^2+\Gamma^2}\over{(\omega^2-\omega^2_0)^2+\Gamma^2\omega^2}} </MATH>|6.39}} == Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym == Całka Fouriera dla fal biegnących w ośrodku dyspersyjnym jednorodnym dla fal dyspersyjnych dla z=0 piszemy w postaci zależnej od częstotliwości kołowej: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega t+B(\omega)\cos\omega t\right]d\omega\;</MATH>|6.40}} Dla k&ne;0 całkę Fouriera możemy przestawić w zależności od liczby falowej, która z kolei zależy od liczby falowej dla fal biegnących, co można uzyskać, zamieniając zmienną "t" na primowane, i podstawiając dalej za t' w tożsamości {{LinkWzór|6.40}} wyrażenie t-z/v i pamiętając, że &psi;(0,t')=&psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin\omega \left(t-{{z}\over{v}}\right)+B(\omega)\cos\omega\left(t-{{z}\over{v}}\right)\right]d\omega\;</MATH>|6.41}} Wykorzystajmy definicję prędkości fazowej, którego definicja jest podana w punkcie {{LinkWzór|4.11|Opis fal biegnących}}, wtedy równość {{LinkWzór|6.41}} dla liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej możemy przepisać do: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\int_{0}^{\infty}\left[A(\omega)\sin(\omega t-k(\omega)z)+B(\omega)\cos(\omega t-k(\omega)z)\right]d\omega\;</MATH>|6.42}} == Klasyczne równanie falowe a fale ulegające dyspersji == Załóżmy, że mamy wychylenie od stanu równowagi, którego równanie piszemy przy pomocy częstotliwości drgań &omega;, liczby falowej zależnej od częstotliwości kołowej k(&omega;): {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</math>|6.43}} Równanie falowe różniczkowe, którego rozwiązaniem jest {{LinkWzór|6.43}}, jest w postaci zależnej od prędkości fazowej, którego z kolei zależy od częstotliwości kołowej, możemy otrzymać, licząc drugie pochodne wychylenia naszego przemieszczenia względem czasu i położenia: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</MATH>|6.44}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2A\cos[\omega t-k(\omega)z]\;</MATH>|6.45}} }} Równości {{LinkWzór|6.44}} i {{LinkWzór|6.45}} porównujemy je względem siebie, w ten sposób otrzymujemy wzór na równanie falowe zależne od drugich pochodnych przemieszczenia &psi; względem czasu i położenia "z": {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|6.46}} Do równości {{LinkWzór|6.46}} wykorzystamy definicję prędkości fazowej {{LinkWzór|4.11|Opis fal biegnących}}, w ten sposób otrzymujemy równanie różniczkowe, które jest zależne od prędkości fazowej, a która z kolei zależy od częstotliwości kołowej, lub mówiąc równoważnie od liczby falowej, bo we związku dyspersyjnym częstotliwość jest zależna od liczby falowej: {{CentrujWzór|<math>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=v^2(\omega){{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|6.47}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> lcu2qladz8anicsx09oeogtg3k7o9jp 0 21037 559107 558557 2026-10-11T04:22:46Z Persino 2851 559107 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Dotychczas rozważaliśmy fale, opisując je w jednym kierunku. Wprowadzimy fale biegnące trójwymiarowe, opisując je jako fale płaskie odpowiednio, obracając układ współrzędnych. Przekonamy się, że przejście do trzech wymiarów daje nam coś więcej niż zwykła zamianę zmiennych dla fal płaskich rozchodzącej się względem starego układu wzdłuż osi "z", na podstawie tego otrzymujemy dodatkowe stopnie swobody. Dla trzech wymiarów możemy mieć falę elektromagnetyczną, którą dla jednego kierunku mamy czystą falę biegnącą. == Wektor propagacji dla płaskich fal harmonicznych == Fala płaska rozchodząca się w jednym wymiarze, która jest falą harmoniczną dla z=0, jest funkcją o stałej amplitudzie A i częstotliwości kołowej &omega;, którego równanie fali dla tego "z" piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(0,t^')=A\cos\omega t^'\;</MATH>|7.1}} Gdy we wzorze {{LinkWzór|7.1}} podstawimy t'=t-z/v, wtedy otrzymamy fale płaską określoną w płaszczyźnie z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.2}} Iloczyn liczby falowej i położenia z, czyli kz, możemy napisać dla układu obróconego względem tego układu o pewien kąt: {{CentrujWzór|<MATH>kz^'=k(\vec{z}^'\cdot\vec{r})=(k\vec{z}^')\vec{r}=\vec{k}\vec{r}\;</MATH>|7.3}} W ogólnym przypadku iloczyn wektora propagacji i wektora położenia możemy zapisać względem jego współrzędnych w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;</MATH>|7.4}} Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w trójwymiarowej przestrzeni, nazywamy wychylenie od stanu równowagi, wykorzystując przy tym fakt {{LinkWzór|7.3}}, jest określane przez: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+kz^')=A\cos(\omega t-k_xx-k_yy-k_zz)=A\cos(\omega t-\vec{k}\vec{r})\;</MATH>|7.5}} === Prędkość fazowa === Funkcję fazową napisaną dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{k}\;</MATH>}} nazywamy funkcję zależną od częstotliwości kołowej i liczby falowej: {{CentrujWzór|<MATH>\varphi(t,\vec{r})=\omega t-\vec{k}\vec{r}\;</MATH>|7.6}} Będziemy się tutaj zajmować przypadkiem, gdy &phi; jest funkcją stałą: {{CentrujWzór|<MATH>0=\omega dt-\vec{k}d\vec{r}\;</MATH>|7.7}} Interesuje nasz przypadek, gdy {{Formuła|<MATH>\vec{k}||d\vec{r}\;</MATH>}}, bo fala rozchodzi się zgodnie z kierunkiem wektora propagacji, zatem w takim przypadku prędkość fazową definiujemy jako stosunek częstotliwości kołowej &omega; i liczby falowej k, która jest długością wektora propagacji. {{CentrujWzór|<MATH>v={{\omega}\over{k}}\;</MATH>|7.8}} === Przykłady fal biegnących w trójwymiarze === Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w przestrzeni, której częstość kołowa jest zależna od składowych wektora propagacji, posiada związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k^2=c^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;</MATH>|7.9}} Dla fal rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym z prędkością "v", w którym możemy zapisać jako stosunek prędkości światła i stałej załamania, w którym to możemy zastąpić w {{LinkWzór|7.8}} "c" przez prędkość "v", wtedy mamy związek dyspersyjny dla tej rozważanej prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{c^2}\over{n^2}}k^2={{c^2}\over{n^2}}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\;</MATH>|7.10}} Rozchodząca się fala w jonosferze, która ma częstość podstawową równą &omega;{{Sub|pl}}, dla którego częstość kołowa jest zależna od tej częstości i od wektora propagacji, ma związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<math>\omega^2=\omega_{pl}^2+c^2k^2=\omega_{pl}^2+c^2\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)\;</MATH>|7.11}} === Fale stojące === Fale biegnące w dwóch osobnych kierunkach i mające takie same amplitudy i częstotliwości kołowe, w wyniku nakładania się takich fal, otrzymamy związek: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(\vec{k}\vec{r}+\alpha)\;</MATH>|7.12}} Pamiętając, że {{Formuła|<MATH>\vec{k}\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz\;</MATH>}}, to stosując odpowiednie przekształcenia trygonometryczne możemy napisać na podstawie {{LinkWzór|7.12}} związek: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(x,y,z,t)=A\cos(\omega t+\varphi)\cos(k_xx+\alpha_1)\cos(k_yz+\alpha_2)\cos(k_z+\alpha_3)\;</MATH>|7.13}} === Trójwymiarowe równanie falowe według klasycznego równania fali === Wyznaczmy teraz drugą pochodną cząstkową równania fali {{LinkWzór|7.5}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi\;</MATH>|7.14}} A teraz policzmy drugie pochodne wspomnianego równania fali względem położeń w trzech możliwych sposobach, tzn. względem trzech możliwych współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}=-k_x^2\psi\;</MATH>|7.15}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}=-k_y^2\psi\;</MATH>|7.16}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}=-k_z^2\psi\;</MATH>|7.17}} }} Całkowite równanie falowe na podstawie związku {{LinkWzór|7.14}}, {{LinkWzór|7.15}} ,{{LinkWzór|7.16}} i {{LinkWzór|7.17}}, przy wykorzystaniu definicji długości wektora propagacji, którego długość jest liczbą falową, przy definicji prędkości falowej {{LinkWzór|7.8}}, i definicji laplasjanu, czyli operatora &Delta;, jest napisane według: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\left({{\omega}\over{k}}\right)^2\left({{\partial^2\psi}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial y^2}}+{{\partial^2\psi}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=v^2\Delta\psi\;</MATH>|7.18}} === Przykłady równań fali === Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, przy założeniu, że prędkość fazowa fali jest równa prędkości światła w próżni równej "c", jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta\psi\;</MATH>|7.19}} Dla fal elektromagnetycznych rozchodzących się w ośrodku dyspersyjnym należy w równaniu falowym, wprowadzić prędkość rozchodzącej się fali równą c/n. Wtedy równanie różniczkowe falowe zapisujemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=({{c}\over{n(\omega)}})^2\Delta\psi\;</MATH>|7.20}} Dla fal rozchodzących się w jonosferze równanie falowe jest natomiast zależne dodatkowo od częstotliwości podstawowej &omega;{{Sub|pl}}, która jest przedstawiona w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=-\omega^2_{pl}+c^2\Delta\psi\;</MATH>|7.21}} === Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w falowodzie === {{Rysunek|Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w prostokątnym falowodzie.jpeg|kw1|Prostokątny falowód, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne z przewodzącymi paskami bocznymi}} Równanie falowe dla przestrzeni dwuwymiarowej, w której rozchodzą się fale elektromagnetyczne {{LinkWzór|7.19}} określanych względem współrzędnych igrekowej i zetowej, jest napisane według: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=c^2\left({{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\right)\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow-\omega^2\psi=c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial y^2}}+c^2{{\partial\psi^2}\over{\partial z^2}}\;</MATH>|7.22}} Całkowite równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w falowodzie, określamy jako funkcję y i z, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos(k_zz-\omega t)\;</math>|7.23}} Związek {{LinkWzór|7.23}} na podstawie {{LinkWzór|7.22}} zachodzi, gdy mamy związek dyspersyjny: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k_y^2+c^2k_z^2\;</MATH>|7.24}} Funkcja fali {{LinkWzór|7.23}} na obu końcach naszego falowodu jest tak skonstruowane by w tych punktach była równa zero, co dla y=0 zachodzi automatycznie, ale znów dla y=b już nie, aby to zachodziło musi być spełniony warunek: {{CentrujWzór|<MATH>k_yb=m\pi\mbox{ dla }k=1,2,3,..\;</math>|7.25}} Będziemy teraz rozpatrywać częstość progową, czyli tzn. dla której zachodzi m=1, wtedy warunek dyspersyjny {{LinkWzór|7.24}} dla której zachodzi wniosek na k{{Sub|y}}, zapisujemy na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2={{c^2\pi^2}\over{b^2}}+c^2k_z^2\;</MATH>|7.26}} Widzimy, że związek dyspersyjny {{LinkWzór|7.26}} ma kształt podobny do związku dyspersyjnego w jonosferze {{LinkWzór|7.11}} albo do związku dyspersyjnego dla wahadeł sprzężonych ze sobą {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} dla małych k: {{CentrujWzór|<math>\omega^2={{g}\over{l}}+{{Ka^2}\over{M}}k^2\;</math>|7.27}} Dla częstości kołowej poniżej częstości &pi;c/b równanie fali przestawiamy w zależności od stałej zaniku &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(y,z,t)=A\sin k_y y\cos\omega te^{-\chi z}\;</MATH>|7.28}} Związek dyspersyjny dla równania fali {{LinkWzór|7.28}}, który można otrzymać, podstawiając go do {{LinkWzór|7.19}}, otrzymujemy wtedy inny wzór do {{LinkWzór|7.26}}, który jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=c^2k_y-c^2\chi^2_z={{c^2\pi^2}\over{b^2}}-c^2\chi^2_z\;</MATH>|7.29}} === Fale biegnące krzyżujące się nawzajem === Równanie fali {{LinkWzór|7.23}} możemy zapisać jako superpozycja fal biegnących o takich samych częstotliwościach, ale różnych liczbach falowych, którego schemat krzyżowania się tychże fal przestawiana jest jako: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=A\sin k_yy\cos(k_zz-\omega t)={{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_1\vec{r}-\omega t)-{{1}\over{2}}A\sin(\vec{k}_2\vec{r}-\omega t)\;</MATH>|7.30}} Dla której we wzorze {{LinkWzór|7.30}} mamy związek dla wektorów propagacji: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{k}_1+\hat{z}k_z+\hat{y}k_y\mbox{, }\vec{k}_z=\hat{z} k_z-\hat{y}k_y\;</MATH>|7.31}} Krzyżowanie się fal wynika z tego, że {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;,</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{k}_2\;</MATH>}} dla związków {{LinkWzór|7.31}} mają przeciwne skierowane składowe igrekowe tychże omawianych wektorów propagacji. === Prędkość fazowa i grupowa fal rozchodzących się fal falowodzie === {{Rysunek|Ilustracja prędkości fazowej i grupowej.jpeg|kw2|Ilustracja prędkości fazowej i grupowej dla fali krzyżujących się w falowodzie}} Ilustracja dla fal biegnących w falowodzie pozwala na ustalić związek pomiędzy prędkością grupową a fazową w wyniku nakładania się dwóch fal krzyżujących się ze sobą. Odpowiednik {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;</math>}} znosi składową igrekową z {{Formuła|<MATH>\vec{k}_1\;</MATH>}} z tą sama składową, ale oba te wektory propagacji mają tą sama składową zetową. Podczas gdy promień przebywa odległość ct, w tym czasie czoło fali przebyło odległość równą: {{CentrujWzór|<MATH>{{ct}\over{v_ft}}=\cos\theta\Rightarrow v_f={{c}\over{\cos\theta}}\;</MATH>|7.32}} Podobnie mówimy dla prędkości grupowej, uzmysławiając sobie, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>{{v_gt}\over{ct}}=\cos\theta\Rightarrow v_g=c\cos\theta\;</MATH>|7.33}} Wyznaczmy teraz iloczyn prędkości fazowej i grupowej, który jest równy kwadratowi prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>v_gv_f={{\omega}\over{k_z}}{{d\omega}\over{dk_z}}={{c}\over{\cos\theta}}c\cos\theta=c^2\;</MATH>|7.34}} Drugi bardzo ważny związek wynika skorzystania z udowodnionego związku {{LinkWzór|7.34}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\omega^2}\over{dk^2_z}}=c^2\Rightarrow d\omega^2=c^2dk^2_z\Rightarrow \omega^2=c^2k_z^2+\operatorname{const}\;</MATH>|7.35}} Jeśli do związku {{LinkWzór|7.24}} podstawimy związek {{LinkWzór|7.25}}, w ten sposób otrzymujemy związek dyspersyjny w zależności do liczby dyskretnej dodatniej całkowitej m i współrzędnej zetowej wektora propagacji: {{CentrujWzór|<math>\omega^2=c^2k^2_z+{{c^2\pi^2m^2}\over{b^2}}\;</MATH>|7.36}} Co potwierdza zgodność {{LinkWzór|7.35}} z {{LinkWzór|7.36}}. === Odbijanie światła i jego przepuszczanie padającego ze szkła do powietrza === {{Rysunek|Odbicie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza.jpeg|kw3|Odbijanie i załamanie promienia padającego ze szkła do powietrza}} Określmy teraz dwa ośrodki, którym pierwszym jest powietrze a drugim szkło, szkło rozciąga się z minus nieskończoności do zera, a druga część przestrzeni stanowi próżnia. Wartości wektorów propagacji określamy z definicji prędkości fazowej dla próżni dla światła w sposób: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>k_2={{\omega}\over{c}}\;</MATH>|7.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>k_1=n{{\omega}\over{c}}\;</MATH>|7.38}} }} Współrzędne igrekowe wektorów propagacji są sobie równe w próżni i w szkle, i je zapisujemy na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>k_{2y}=k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;</MATH>|7.39}} Związek otrzymany w punkcie {{LinkWzór|7.39}} podstawiamy do związku na całkowitą wartość wektora propagacji dla przestrzeni dwuwymiarowej, z którego możemy otrzymać wzór na kwadrat współrzędnej zetowej wektora propagacji: {{CentrujWzór|<MATH>{{\omega^2}\over{c^2}}=k_{2y}^2+k_{2z}^2={{n^2\omega^2}\over{c^2}}\sin^2\theta_1+k_{2z}^2\Rightarrow k_{2z}^2={{\omega^2}\over{c^2}}(1-n^2\sin^2\theta_1)\;</MATH>|7.40}} Gdy promienia załamanego nie ma, wtedy kwadrat współrzędnej zetowej wektora falowego dla fali w próżni jest równy zero. Ten kąt przy którym to pojawia się jest zwany kątem granicznym padania całkowitego odbicia wewnętrznego i przejawia się on według {{LinkWzór|7.40}}: {{CentrujWzór|<MATH>n\sin\theta_g=1\;</MATH>|7.41}} === Wyprowadzenie prawa Snelliusa === Weźmy sobie dwa dowolne ośrodki, w którym pierwszy jest ośrodek o współczynniku załamania n{{Sub|2}}, a drugi o współczynniku załamania n{{Sub|1}}. Mając na myśli, że igrekowe współrzędne promienia przed i po załamaniu w zależności od całkowitej długości liczby falowej przestawiamy jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>k_{2y}=k_2\sin\theta_2=n_2{{\omega}\over{c}}\sin\theta_2\;</MATH>|7.42}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>k_{1y}=k_1\sin\theta_1=n_1{{\omega}\over{c}}\sin\theta_1\;</MATH>|7.43}} }} Porównując te dwie wielkości na współrzędne igrekowe dla ośrodka pierwszego jak i drugiego, które się nie zmieniają, to możemy określić pewien związek pomiędzy kątami padania i załamania: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_1\;</MATH>|7.44}} === Całkowite wewnętrzne odbicie === Rozważmy przypadek, gdy we wzorze {{LinkWzór|7.40}} wyrażenie to przyjmuje wartość ujemną dla pewnych katów większych od kąta granicznego, zatem weźmy sobie na tyle duży kąt by stała {{Formuła|<math>k_{2x}^2\;</MATH>}} miała wartość ujemną, wtedy należy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>-\chi^2_{2z}=-\chi^2=k_{2z}^2\;</MATH>|7.45}} Wtedy związek {{LinkWzór|7.40}}, który jest napisany w zależności od kąta padania na granicy dwóch ośrodków &theta;{{Sub|1}}, na postawie {{LinkWzór|7.45}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\chi^2={{\omega^2}\over{c^2}}(n^2\sin^2\theta_1-1)\;</MATH>|7.46}} Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni jest fala zanikającą, która opisywana jest przy pomocy funkcji proporcjonalnej do funkcji wykładniczej: {{CentrujWzór|<math>\psi(y,z,t)=A\cos(\omega t-k_y t)e^{-\chi z}\;</MATH>|7.47}} Widzimy, że wtedy funkcja falowa jest falą biegnącą wzdłuż osi igrekowej, a falą wykładniczą wzdłuż osi zetowej. Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.47}}, to średnia gęstość energii jest wprost proporcjonalna do jego średniej czasowej kwadratu funkcji falowej. == Teoretyczny opis fal na wodzie == Zawsze nas interesowały fale na wodzie. Pominiemy niektóre właściwości rzeczywistej wody, miedzy innymi jej lepkość, dla której Prof. Richard Feynman określa je mianem suchej wody. Przemieszczenie na wodzie poszczególnych punktów, które będziemy opisywać jej jako położenie poszczególnych elementów wody zależne od położenia i czasu, określamy je przez: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(x,y,t)=\hat{x}\psi_x(x,y,t)+\hat{y}\psi_y(x,y,t)\;</MATH>|7.48}} Chwilowa prędkość wody o współrzędnych x, y w stanie równowagi, która jest określana jako pochodna cząstkowa przemieszczenia {{LinkWzór|7.48}}, jest pisana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(x,y,t)={{\partial\vec{\psi}(x,y,t)}\over{\partial t}}=\hat{x}{{\partial\psi_x}\over{\partial t}}+\hat{y}{{\partial\psi_y}\over{\partial t}} \;</MATH>|7.49}} Lokalne prawo zachowania masy mówi, że suma dywergencji iloczynu prędkości przez gęstość i pochodnej cząstkowej gęstości cząstkowej względem czasu jest równa zero, a my będziemy rozpatrywać, gdy gęstość wody nie zmienia się w czasie i też w przestrzeni, wtedy dywergencja wektora prędkości powinna być równa zero, co do tak uzyskanego prawa podstawiamy {{LinkWzór|7.49}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\cdot\vec{v}=\nabla\cdot{{\partial\vec{\psi}}\over{\partial t}}={{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot\vec{\psi}\Rightarrow \nabla\cdot\vec{\psi}=\operatorname{const}\;</MATH>|7.50}} Warunek braku pęcherzyków we wzorze {{LinkWzór|7.50}} indukuje, że dywergencja wektora przemieszczenia poszczególnych elementów wody indukuje natomiast fakt: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{\psi}={{\partial\psi_x}\over{\partial x}}+{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=0\;</MATH>|7.51}} Brak wirów w wodzie indukuje wskazuje, że rotacja wektora prędkości {{LinkWzór|7.49}} pokazuje, a co za tym idzie, że rotacja przemieszczenia jest wielkością stałą i równą zero, tzn. że powinno zachodzić przy braku pęcherzyków : {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\times\vec{v}=\nabla\times{{\partial\psi}\over{\partial\psi}}={{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\psi)\Rightarrow\nabla\times\vec{\psi}=0\Rightarrow 0={{\partial\psi_y}\over{\partial x}}-{{\partial\psi_x}\over{\partial y}}=0\;</MATH>|7.52}} Przyjmijmy, że funkcje &psi;{{Sub|x}} i &psi;{{Sub|y}}, które są przemieszczeniami w zależnymi od czasu i położenia iksowego, która względem tych argumentów zmieniają się w sposób sinusoidalny lub kosinusoidalny, przedstawiają się: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_y(x,y,t)=\cos\omega t\sin kx f(y)\;</MATH>|7.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_x(x,y,t)=\cos\omega t\cos kx g(y)\;</MATH>|7.54}} }} === Zależności pomiędzy ruchem poziomym a pionowym === Wzory {{LinkWzór|7.53}} i {{LinkWzór|7.54}} możemy podstawić do {{LinkWzór|7.51}} i {{LinkWzór|7.52}}, w ten sposób otrzymujemy warunki w postaci dwóch równań różniczkowych względem dwóch nieznanych funkcji, które chcemy wyznaczyć: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>-kg(y)+{{df(y)}\over{dy}}=0\;</MATH>|7.55}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{dg(y)}\over{dy}}-kf(y)=0\;</MATH>|7.56}} }} Równanie {{LinkWzór|7.55}} różniczkujemy obustronnie względem "y" i wykorzystujemy do niego równość {{LinkWzór|7.56}}, otrzymujemy równanie drugiego rzędu, którego rozwiązanie podamy w jednej linijce: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f}\over{dy^2}}=k^2f=0\Rightarrow f(y)=Ae^{ky}+Be^{-ky}\;</MATH>|7.57}} Końcowe rozwiązanie f(y) podane w punkcie {{LinkWzór|7.57}} podstawiamy do wzoru różniczkowego za f(y) {{LinkWzór|7.55}}, w ten sposób otrzymujemy równość na rozwiązanie g(y): {{CentrujWzór|<MATH>g(y)=Ae^{ky}-Be^{-ky}\;</MATH>|7.58}} === Warunki brzegowe na dnie zbiornika wodnego === Na dnie zbiornika wodnego nie ma ruchu pionowego wody, zatem powinno zachodzić dla y=-h warunek &psi;{{Sub|y}}(-h)=0, co indukuje od razu warunek brzegowy zależności stałej B od stałej A, który piszemy wzorem {{Formuła|<MATH>B=-Ae^{-2kh}\;</MATH>}}, co daje nam równania na przemieszczenia względem osi iksowej i igrekowej, co je piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos\omega t\sin kx\left(e^{ky}-e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;</MATH>|7.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\cos\omega t\cos kx\left(e^{ky}+e^{-2kh}e^{-ky}\right)\;</MATH>|7.60}} }} Gdy mamy do czynienia z głęboką wodą, wtedy przemieszczenia {{LinkWzór|7.59}} i {{LinkWzór|7.60}} możemy napisać po pominięciu wyrazu z e{{Sup|-2kh}}, w ten sposób otrzymujemy wzory na &psi;{{Sub|y}} i na &psi;{{Sub|x}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos\omega t\sin kxe^{ky}\;</MATH>|7.61}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\cos\omega t\cos kxe^{ky}\;</MATH>|7.62}} }} Gdy mamy doczynienia z wodą płytką, wtedy należy pominąć wyrazy z dokładnością do wyrazów liniowych względem przestawienia {{Formuła|<MATH>e^x\simeq 1+x\;</MATH>}}, w ten sposób dostajemy wniosek: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>\psi_y=2A\cos\omega t\sin kx[k(y+h)]\;</MATH>|7.63}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=2A\cos\omega t\cos kx\;</MATH>|7.64}} }} === Związek dyspersyjny dla fal grawitacyjnych rozchodzącej się w wodzie === {{Rysunek|Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej.jpeg|kw4|Ilustracja grawitacyjnej siły kierującej}} Całkowita siła, działając na nieskończenie mały element objętości wody o masie &Delta;m, która działa na powierzchni piszemy z definicji siły pochodzącej od ciśnienia, jest: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=-L\Delta y[p(x+\Delta x)-p(x)]=-L\Delta y\rho g\left[\psi_y(x+\delta x)-\psi_y(x)\right]=L\delta y\Delta x\rho g{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=-(\Delta M)g\left[{{\partial\psi_y}\over{\partial y}}\right]_{y=0}\;</MATH>|7.65}} Druga zasada dynamiki Newtona dla naszego elementu wody o masie &Delta;M dla niezrównoważonej siły F{{Sub|x}} wprost proporcjonalnej do drugiej pochodnej igrekowego przemieszczenia względem czasu jest określana według: {{CentrujWzór|<MATH>F_x=(\Delta M)\left[{{\partial^2\psi_y}\over{\partial t^2}}\right]_{y=0}\;,</MATH>|7.66}} Jeśli połączymy związki {{LinkWzór|7.65}} i {{LinkWzór|7.66}} przy istniejących funkcjach jako przemieszczenia iksowego {{LinkWzór|7.60}} i przemieszczenia igrekowego {{LinkWzór|7.59}}, w ten sposób dostajemy związek dyspersyjny kwadratu częstotliwości kołowej względem liczby falowej i głębokości wody: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk{{1-e^{-2kh}}\over{1+e^{-2kh}}}\;</MATH>|7.67}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|7.67}} możemy napisać wzory na związki dyspersyjne na kwadrat częstotliwości kołowych dla wody głębokiej i płytkiej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{Center|'''głęboka woda'''}} {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk\Rightarrow v_f=\sqrt{g\not{\lambda}}\;</MATH>|7.68}} | 2 = {{Center|'''płytka woda'''}} {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=gk^2h\Rightarrow v_f=\sqrt{gh}\;</MATH>|7.69}} }} === Fale biegnące na wodzie === Rozważmy teraz fale na wodzie, które przestawiamy względem funkcji sinus i kosinus przy argumencie &omega;t-kx, których definicja przemieszczenia igrekowego i iksowego przestawiamy koleino: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_y=A\cos(\omega t-kx)f(y)\;</MATH>|7.70}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_x=A\sin(\omega t-kx)g(y)\;</MATH>|7.71}} }} Związki na f(y) i g(y) dla &psi;{{Sub|y}} {{LinkWzór|7.70}} i &psi;{{Sub|x}} {{LinkWzór|7.71}} są {{LinkWzór|7.55}} i {{LinkWzór|7.56}}, zatem dalsze obliczenia co do fal rozchodzących się po wodzie są takie same jak dla fal stojących, więc nie należy ich powtarzać. == Fale elektromagnetyczne w próżni == Zestaw równań obowiązujących w próżni, dla którego gęstość objętościowa ładunku i gęstość objętościowa prądu elektrycznego jest równa zero, określamy wedle: {{Tabelka|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella dla gęstości i prądu objętościowych równych zero:'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}=0</MATH>|7.72}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|7.73}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|7.74}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}={{1}\over{c^2}}{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|7.75}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rozpatrzmy teraz równanie fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w próżni, dostajemy gdy równość {{LinkWzór|7.75}} zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu, i do niego, podstawiając wzór {{LinkWzór|7.74}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}={{\partial}\over{\partial t}}\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\times{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}=c^2\nabla\times(\nabla\times\vec{E})\;</math>|7.76}} Tutaj skorzystamy z tożsamości różniczkowej, które tutaj nie będziemy udowodniać i ją przestawiamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{E})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|7.77}} Równość {{LinkWzór|7.76}} możemy napisać na podstawie zachodzącej tożsamości różniczkowej {{LinkWzór|7.77}} i pierwszego równania różniczkowego Maxwella {{LinkWzór|7.72}} w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=c^2\nabla^2\vec{E}(x,y,z,t)\;</MATH>|7.78}} Równanie {{LinkWzór|7.78}} jest równoważne trzem równaniom różniczkowym, które przepisujemy trzema związkami, które są równaniami falowymi: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_x}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_x\;</math>|7.79}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_y}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_y\;</math>|7.80}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2E_z}\over{\partial t^2}}=c^2\Delta E_z\;</math>|7.81}} }} Równania {{LinkWzór|7.79}}, {{LinkWzór|7.80}} i {{LinkWzór|7.81}} są to klasyczne równania falowe dla każdej współrzędnej z osobna. Podobne związki możemy otrzymać, gdy mamy doczynienia z falami magnetycznymi, które też otrzymujemy w postaci trzech związków. Całkowity wektor fali elektrycznej i magnetycznej, gdy mamy poszczególne współrzędne, które są równaniami falowymi, przestawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>\vec{E}=\hat{x}E_x(z,t)+\hat{y}E_y(z,t)+\hat{z}E_z(z,t)\;</MATH>|7.82}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>\vec{B}=\hat{x}B_x(z,t)+\hat{y}B_y(z,t)+\hat{z}B_z(z,t)\;</MATH>|7.83}} }} Z warunku {{LinkWzór|7.72}} wynika, że składowa zetowa natężenia pola elektrycznego nie zależy od współrzędnej zetowej, czyli stąd wynika, że mamy doczynienia z falami poprzecznymi, napiszemy teraz dowód, wykorzystując, że fala {{LinkWzór|7.82}} nie zależy od współrzędnej iksowej i igrekowej, która mówi o poprzeczności fali elektrycznej, co matematycznie zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>0=\nabla\vec{E}={{\partial E_z(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.84}} Z {{LinkWzór|7.84}} wynika, co chcieliśmy wykazać. Następnie wykażmy czy pole magnetyczne jest polem poprzecznym, w tym celu należy wykorzystać drugie prawo Maxwella {{LinkWzór|7.73}} i z zależności współrzędnych wektora wektora indukcji magnetycznej {{LinkWzór|7.82}}, z której wynika od razu poprzeczność naszej fali magnetycznej. Wykażemy teraz, że zetowa współrzędna fali elektromagnetycznej nie zależy od czasu dla pola elektrycznego, w tym celu należy wykorzystać tożsamość {{LinkWzór|7.75}} dla fali magnetycznej zapisaną w punkcie {{LinkWzór|7.82}} w postaci pewnego wektora, stąd wnioskujemy, że współrzędna zetowa fali elektrycznej nie zależy od czasu, a matematyczny zapis tego dowodu jest: {{CentrujWzór|<MATH>(\nabla\times\vec{B})_z=\left(\begin{vmatrix} \hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\ {{\partial}\over{\partial x}}&{{\partial}\over{\partial y}}&{{\partial}\over{\partial z}}\\ B_x&B_y&B_z\\ \end{vmatrix}\right)_z=\hat{z}\left({{\partial B_y}\over{\partial x}}-{{\partial B_x}\over{\partial y}}\right)=0\;,</MATH>|7.85}} Co z czwartego różniczkowego prawa Maxwella wynika nasz upragniony dowód o niezależności współrzędnej zetowej pola elektrycznego od czasu. Podobnie wykazujemy, że współrzędna zetowa pola magnetycznego też nie zależy od czasu, w tym celu należy skorzystać ze wzoru {{LinkWzór|7.74}}, co tutaj dowodzimy jak w punkcie {{LinkWzór|7.85}}. === Polaryzacja liniowa i eliptyczna pola elektromagnetycznego === Współrzędne pola elektrycznego nie są sprzężone równaniami różniczkowymi Maxwella E{{Sub|x}} i E{{Sub|y}}, one są niezależne od siebie, tzn. możemy wytworzyć je w taki sposób by E{{Sub|x}} było zawsze różne od zera, a składowa E{{Sub|y}} było zawsze równe zero, mówimy wtedy, że fala elektryczna jest spolaryzowana w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}}. Układ jest spolaryzowany kołowo, gdy natężenia współrzędnych fali elektrycznej spełniają zależności: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos\omega t\;</math>|7.86}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E_y=E_0\sin\omega t\;</MATH>|7.87}} }} Widzimy, że według przestawienia współrzędnych iksowej {{LinkWzór|7.86}} i igrekowej {{LinkWzór|7.87}} pola elektrycznego zmieniają się z częstością kołową &omega;, co takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją kołową, to te współrzędne pola możemy powiązać równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>E_x^2+E_y^2=E_0^2\;</MATH>|7.88}} Natomiast, gdy pole jest związane zależnościami dla drgających składowych fali pola elektrycznego z częstością kołową &omega;: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_{0x}\cos\omega t\;</math>|7.89}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E_y=E_{0y}\sin\omega t\;</MATH>|7.90}} }} Wtedy na podstawie zależności współrzędnej iksowej {{LinkWzór|7.89}} i igrekowej {{LinkWzór|7.90}} pola elektrycznego, to takie przestawienie składowych pola elektrycznego nazywamy polaryzacją eliptyczną, możemy je powiązać równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>{{E_x^2}\over{E_{0x}^2}}+{{E_y^2}\over{E_{0y}^2}}=1\;</math>|7.91}} Widzimy, że polaryzacja kołowa przestawiona wzorem {{LinkWzór|7.88}} jest szczególnym przypadkiem polaryzacji eliptycznej {{LinkWzór|7.91}} dla E{{Sub|0x}}=E{{Sub|0y}}=E{{Sub|0}}. === Biegnące Fale elektromagnetycznego harmoniczne === Przyjmijmy, że mamy falę biegnącą harmoniczną przestawiającą drgania pola elektrycznego w czasie drgającą z częstością kołową &omega; i posiadającej liczbę falową równą "k" przestawianą przy założeniu, że ta fala jest fala liniową. {{CentrujWzór|<MATH>E_x=A\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.92}} Biorąc warunki koleino {{LinkWzór|7.75}} i {{LinkWzór|7.76}}, wtedy przy pomocy równania fali {{LinkWzór|7.92}} przestawiających falę elektryczną biegnącą harmoniczną, które możemy wykorzystać do przestawienia poniższych równości: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-{{1}\over{c^2}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}={{k^2}\over{\omega^2}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{k}\over{\omega}}kA\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|7.93}} {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}=-kA\sin(\omega t-kz)=-{{k}\over{\omega}}\omega A\sin(\omega t-kz)={{1}\over{c}}{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|7.94}} Widzimy na podstawie wzorów {{LinkWzór|7.93}} i {{LinkWzór|7.94}}, że pochodna B{{Sub|y}} względem czasu "t" i położenia "z" jest wprost proporcjonalna do odpowiednich pochodnych fali elektrycznej E{{Sub|x}}, zatem wnioski stąd wynikające: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|\vec{E}(z,t)|=c|\vec{B}(z,t)|\;</MATH>|7.95}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\cdot\vec{B}=0\;</MATH>|7.96}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{E}\times\hat{B}=\hat{v}\;</MATH>|7.97}} }} W powyższych rozważaniach pola elektryczne i magnetyczne biegły w zgodnych kierunkach zgodnie z osią "z", którego równania dla składowej pola magnetycznego igrekowego powstaje po podzieleniu E{{Sub|x}} przez prędkość światła, co {{LinkWzór|7.92}} dla pola elektrycznego razem z równania fali pola indukcji magnetycznej napisaną poniżej jest zgodne z równaniami Maxwella: {{CentrujWzór|<MATH>B_y={{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.98}} Ale również możemy rozpatrywać falę B{{Sub|y}}, dla której ta fala biegnie w kierunku przeciwnym do osi "z", którego równanie fali jest ze znakiem przeciwnym niż u {{LinkWzór|7.92}} i to równanie fali wyrażamy według: {{CentrujWzór|<MATH>B_y=-{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)\;</MATH>|7.99}} To równanie razem z {{LinkWzór|7.92}} również jest zgodne z równaniami Maxwella. Oba te kierunki są uwzględnione od razu w równaniach {{LinkWzór|7.95}}, {{LinkWzór|7.96}} i {{LinkWzór|7.97}}. === Stojąca fala elektromagnetyczna === Zajmijmy się teraz falami elektromagnetycznymi, zatem w nim występująca fala elektryczna może się rozchodzić w dwóch przeciwstawnym kierunkach, tzn. z kierunkiem +z i kierunkiem -z, wtedy suma amplitud tejże fali, dla której wykorzystamy wiadomości z trygonometrii, jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)={{1}\over{2}}A\cos(\omega t-kx)+{{1}\over{2}}A\cos(\omega t+kx)=A\cos\omega t \cos kx\;</MATH>|7.100}} Wektor indukcji magnetycznej jest napisany w zależności od natężenia pola elektrycznego, którą piszemy w postaci iloczynu wektorowego wektora jednostkowego w kierunku propagacji fali przez natężenie pola elektrycznego i ta całość podzielona przez prędkość światła w próżni "c". {{CentrujWzór|<MATH>\vec{B}={{1}\over{c}}\hat{r}\times\vec{E}\;</MATH>|7.101}} Dla fali magnetycznej w zależnej od fali elektrycznej biegnącej zgodnie lub niezgodnie z osią zetową, to ich superpozycja jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{B}(z,t)={{1}\over{c}}\hat{r}\times(\vec{E}^+(z,t)-\vec{E}^-(z,t))\;</MATH>|7.102}} Jeśli, patrząc na wzór {{LinkWzór|7.102}}, to można powiedzieć, że współrzędne igrekowe fali magnetycznej lecącą w kierunku +z odpowiadające fali elektrycznej iksowej lecącą w kierunku +z, a także odpowiadające współrzędne fali magnetycznej igrekowej lecącą do -z, która odpowiadają iksowej fali elektrycznej lecącą zgodnie -z, jeśli te dwie składowej pola magnetycznego lecącego zgodnie i odwrotnie do zwrotu osi zetowej dodamy je do siebie, w ten sposób otrzymujemy stojącą fale magnetyczną w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t-kz)-{{1}\over{2}}{{A}\over{c}}\cos(\omega t+kz)={{A}\over{c}}\sin\omega t\sin kz={{1}\over{c}}E_x\left[z-{{1}\over{4}}\lambda,t-{{1}\over{4}}T\right] \;</MATH>|7.103}} === Strumień rozchodzenia się energii fali płaskiej przez pewną powierzchnię === Gęstość energii występujących w danym punkcie nieskończenie małym w próżni jest wyrażona w zależności od natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}\epsilon_0 E^2+{{1}\over{2\mu_0}}B^2={{1}\over{2}}\epsilon_0\left(E^2+c^2B\right)\;</MATH>|7.104}} Spróbujmy wyrazić energię występującym w nieskończenie małym elemencie powierzchni prostopadłej do osi z i grubości nieskończenie małej &Delta;z, wtedy ta wielkość jest wyrażona przez: {{CentrujWzór|<MATH>W(z,t)={{1}\over{2}}\epsilon_0A\Delta z\left(E^2+c^2B^2\right)\;</MATH>|7.105}} Wielkość {{LinkWzór|7.105}} zróżniczkujmy obustronnie względem czasu, wykorzystując definicję o pochodnej iloczynu dwóch funkcji, w ten sposób otrzymujemy wyrażenie mówiące ile jest energii dostarczanej do objetości nieskończenie małej w &Delta;zA w jednostce czasu. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=\epsilon_0A\Delta z\left(E_x{{\partial E_x}\over{\partial t}}+c^2B_y{{\partial B_y}\over{\partial t}}\right)\;</MATH>|7.106}} Teraz wykorzystajmy tożsamości {{LinkWzór|7.93}} i {{LinkWzór|7.94}}, by wyliczyć wartość energii wpływającej do powierzchni A o grubości &Delta;z. {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial W(z,t)}\over{\partial t}}=-\epsilon_0A\Delta z\left(c^2Ex{{\partial B_y}\over{\partial z}}+c^2B_y{{\partial E_x}\over{\partial z}}\right)=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{\partial E_xB_y}\over{\partial z}}=-\epsilon_0c^2A\Delta z{{E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)}\over{\Delta z}}=\; </MAth>{{Br}}<math>=-A{{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(x+\Delta z)B_y(z+\Delta z)-E_x(z)B_y(z)\right)=-A\left(S_z(z+\Delta z)-S_z(z)\right) \;</MATH>|7.107}} Współrzędna zetowa ilości przekazywanej energii przez powierzchnię A w jednostce czasu i jednostce powierzchni jest to iloczyn wektorowy wektora natężenia fali elektrycznej przez wektor natężenia fali magnetycznej, jest wyrażona na podstawie {{LinkWzór|7.107}} jako: {{CentrujWzór|<MATH>S_z={{1}\over{\mu_0}}E_x(z,t)B_y(z,t)={{1}\over{\mu_0}}\left(E_x(z,t)B_y(z,t)-E_y(z,t)B_x(z,t)\right)={{1}\over{\mu_0}}(\vec{E}\times\vec{B})_z=(\vec{E}\times\vec{H})_z\;</MATH>|7.108}} '''Wektorem Poyntinga''' nazywamy wektor, którego wartość jest ilością energii przekazywanej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni, a kierunek jest prostopadły do tej powierzchni, a zwrot jest na zewnątrz jej. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}\;</MATH>|7.109}} Jeśli wyrazić współrzędną iksową natężenia pola elektrycznego i igrekową współrzędną indukcji pola magnetycznego przy pomocy funkcji kosinus, w ten sposób mamy dwa równania: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.110}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B_y={{E_0}\over{c}}\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|7.111}} }} Gęstość energii {{LinkWzór|7.104}}, u której występuje wektor natężenia pola elektrycznego, który ma tylko składową niezerową iksową, a dla pola magnetycznego posiada tylko składową igrekową, jest: {{CentrujWzór|<MATH>u={{1}\over{2}}\epsilon_0(E_x^2+c^2B_y^2)=\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t-kz)\;</MATH>|7.112}} Ilość energii całkowitej wypływającej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni jest narysowana przez: {{CentrujWzór|<MATH>S_z={{1}\over{\mu_0}}E_xB_y={{E_0^2}\over{\mu_0c}}\cos^2(\omega t-kz)\;</MATH>|7.113}} === Gęstość i strumień energii dla elektromagnetycznej stojącej === Mając wzory dla fali stojącej pola elektrycznego {{LinkWzór|7.100}} i pola magnetycznego {{LinkWzór|7.103}}, to wtedy gęstość energii pola elektrycznego i gęstość energii pola magnetycznego mają maksima w odstępach 1/4 okresy i w odstępach położenia równej 1/4 długości fali. Energia pola elektrycznego oscyluje z częstością kołową równej 2&omega; od zera do podwojonej wartości średniej, podobnie dzieje się z energią pola magnetycznego, a wiec energia oscyluje z tematu, w którym mamy czystą energią pola elektrycznego do tematu w którym mamy czystą energię magnetyczną, z maksimami odległymi od siebie równej 1/4&lambda;. Przypomina to energie oscylatora harmonicznego, w której w jednej chwili mamy czystą energię potencjalną do chwili, gdy mamy czystą energię kinetyczną. === Ciśnienie promieniowania === Foton, który zostaje pochłonięty przez daną jednostkę powierzchni przekazuje jej pewien pęd równą pędowi cząstki, a jeśli foton całkowicie zostanie odbity od powierzchni przekazuje jej podwójny pęd równy zmianie pędu fotonu po odbiciu i przed odbiciem. Aby wyznaczyć zależność ciśnienia promieniowania promieniowania w zależności od energii danego fotonu musimy napisać siłę Lorentza w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=\vec{E}q+q\vec{v}\times\vec{B}=\hat{x}qE_x+q\hat{z}q\dot{x}B_y-\hat{x}q\dot{z}B_y\;</MATH>|7.114}} Weźmy sobie średnią czasową wyrażenia {{LinkWzór|7.114}}. Wyraz {{Formuła|<MATH>\hat{x}qE_x\;</MATH>}} ma średnią wartość równą zero, także ostatnio wyraz rozważanego wyrażenia jest równy zero, dzieje się to tak dlatego, że przyrost prędkości w kierunku osi z można zaniedbać. Pozostaje nam jeden wyraz, dla którego będziemy liczyli średnią powyższego wyrażenia, co możemy przepisać go w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\langle\vec{F}\rangle=\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}q\langle \dot{x}B_y\rangle</MATH>|7.115}} Z drugiej jednak strony moc wykonywana nad przesunięciem ładunku jest iloczynem siły {{LinkWzór|7.114}} i prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>{{dW}\over{dt}}=\vec{v}\vec{E}=q\vec{v}\vec{E}=q\dot{x}E_x\;</MATH>|7.116}} Ponieważ cB{{Sub|y}}=E{{Sub|x}}, wtedy możemy połączyć równości {{LinkWzór|7.115}} z {{LinkWzór|7.116}}, w ten sposób otrzymać związek między przekazywanym pędem a mocą wykonywaną nad ładunkiem: {{CentrujWzór|<MATH>\left\langle{{d\vec{P}}\over{dt}}\right\rangle=\hat{z}{{1}\over{c}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;</MATH>|7.117}} Ze wzoru {{LinkWzór|7.117}} możemy wyznaczyć pęd fotonu w zależności od jego energii, który to pęd jest ilorazem energii fotonu W przez prędkość światła "c", lub inaczej energii fali W odpowiada pęd fali {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{P}={{W}\over{c}}\hat{z}\;</MATH>|7.118}} Energia W możemy również wyznaczyć z poniższego wzoru, która jest to energia policzona ze związku między energią a pędem ze szczególnej teorii względności dla masy jego spoczynkowej równy zero (jeśli tam podstawić M=0), co w rezultacie otrzymujemy w wyniku końcowych perypetiach równość {{LinkWzór|7.118}}. {{CentrujWzór|<MATH>W=\sqrt{c^2P^2+M^2c^4}\;</MATH>|7.119}} === Moment pędu przekazywanej przez fale biegnącą fali płaskiej === {{Rysunek|Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego.jpeg|kw5|Światło spolaryzowane kołowo pobudza ładunki do ruchu kołowego}} Fala elektromagnetyczna posiada nie tylko energię i pęd liniowy, ale również moment pędu. Będziemy rozpatrywać fale elektryczne, które wprawiają w ruch obrotowy ładunek q, co jest niemożliwe przy polu spolaryzowanym liniowo. Rozważmy falę elektryczną o stałym natężeniu obracającego się z pewną prędkością kołową, w którym pole magnetyczne w zależności od pola magnetycznego piszemy poprzez wzór {{Formuła|<MATH>c\vec{B}=\hat{z}\times\vec{E}\;</MATH>}}. Pole elektryczne rozpędza ładunek q, a pole magnetyczne zakrzywia jego tor ruchu naszej cząstki. Moment skręcający {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}\;</MATH>}} oddziałujący na ładunek q z siłą, która wynosi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times\vec{F}\;</MATH>}}, której ta wspomnianą wielkość piszemy pomnożoną przez częstotliwość kołową &omega;, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\omega\vec{\tau}=\omega\vec{r}\times\vec{F}=\omega q\vec{r}\times\vec{E}+\omega\vec{r}\times q(\vec{v}\times\vec{B})\;</MATH>|7.120}} Iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>}} ma kierunek zgodny z {{Formuła|<MATH>\hat{z}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times(\vec{v}\times{B})\;</MATH>}} ma kierunek {{Formuła|<MATH>-\vec{v}\;</MATH>}}. A ponieważ średnia czasowa prędkości w ciągu jednego okresu jest równe zero, to momentu całkowity pochodzący od pola magnetycznego nic nie wnosi do całkowitego momentu skręcającego, ale do niego wnosi tylko pole elektryczne: {{CentrujWzór|<MATH>\omega\vec{r}\times\vec{E}=\hat{z}\vec{v}\vec{E}\;,</MATH>|7.121}} Wtedy średnia czasowa momentu skręcającego w ciągu jednego okresu jest wyrażona przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\langle \vec{\tau}\rangle=\left\langle{{d\vec{J}}\over{dt}}\right\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\langle q\vec{v}\times\vec{E}\rangle={{\hat{z}}\over{\omega}}\left\langle{{dW}\over{dt}}\right\rangle\;</MATH>|7.122}} Moment pędu fali elektromagnetycznej spolaryzowanej kołowo możemy wyrazić od energii fali W na podstawie {{LinkWzór|7.122}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{J}=\hat{z}{{W}\over{\omega}}\;</MATH>|7.123}} === Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodku jednorodnym liniowym === Prędkość światła w zależności od prędkości światła w próżni i względem stałych przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka liniowego wyrażamy wzorem: {{CentrujWzór|<math>v^2={{1}\over{\epsilon\mu}}={{1}\over{\epsilon_0\mu_0\epsilon_r\mu_r}}={{c}\over{\epsilon_r\mu_r}}\;</MATH>|7.124}} Wtedy kwadrat liczby falowej jest równy stosunkowi kwadratów częstotliwości kołowych drgań przez kwadrat prędkości światła pomnożonej przez iloczyn względnych przenikalności elektrycznej &epsilon;{{Sub|r}} i magnetycznej &mu;{{Sub|r}} ośrodka liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>k^2={{\omega^2}\over{v^2}}={{\omega^2}\over{c^2}}\epsilon_r\mu_r\;</MATH>|7.125}} == Promieniowanie pochodzące od przyspieszającego ładunku == Załóżmy, że ładunek q znajduje się w chwili początkowej w spoczynku od czasu t=-&infin; do t=0, wtedy pole elektryczne tego ładunku jest to pole opisywane przez prawo Coulumba. W chwili t=0 cząstka doznaje chwilowego przyspieszenia przez króŧki czas &Delta;t, a później porusza się ze stała prędkością v=a&Delta;t. W chwili t=0 pole elektryczne dane jest przez prawo Coulumba: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=q{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{\hat{r}}\over{r^2}}\;</MATH>|7.126}} Określmy teraz czas t długi w porównaniu z czasem &Delta;t. Gdy odległość r jest mniejsza niż c(t-&Delta;t) od ładunku q załamanie już mineło i pole elektryczne jest wtedy wywoływane przez ładunek poruszających się z prędkością v, jest określone jest przez wzór w zależności od kąta &theta;, w którym jest to kąt pomiędzy wektorem wodzącym punktu, w którym następuje obserwacja, którego początek ma w punkcie położenia chwilowego ładunku q, względem prędkości źródła pola elektrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E={{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}{{1-\beta^2}\over{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{{{3}\over{2}}}}}\;</MATH>|7.127}} {{Rysunek|Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku punktowego.jpeg|kw6|Promieniowanie pochodzące od przyspieszanego ładunku punktowego, przy czym zakładamy, że t>>&Delta;t i przy założeniu v{{=}}(a&Delta;t)<<c. Składowe prędkości prostopadła i równoległa do punktu obserwacji jest równa v{{Sub|&perp;}} i v{{Sub|&#166;&#166;}}.}} Gdy prędkość ładunku jest o wiele mniejsza niż prędkość ładunku, czyli v<<c, wtedy pole elektryczne jest opisywane przez {{LinkWzór|7.126}}. Oznaczmy przez {{Formuła|<MATH>E_{\bot}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>E_{||}\;</MATH>}}, które są to wartości bezwzględne składowych {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} koleino prostopadłej i równoległej do kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\hat{r}\;</MATH>}}, które jest polem zajętym przez załamanie, pochodzących od ładunku, który poruszał się z przyspieszeniem. Prawo zachowania strumienia linii sił pola elektrycznego pociąga ze sobą oczywiście ciągłość linii sił i dlatego stosunek poprzecznej składowej pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>E_{\bot}\;</MATH>}} do składowej równoległej (podłużnych) da się przestawić jako stosunek odległości {{Formuła|<MATH>v_{\bot} t\;</MATH>}} przez {{Formuła|<MATH>c\Delta t\;</MATH>}}, który piszemy poprzez: {{CentrujWzór|<math>{{E_{\bot}}\over{E_{||}}}={{v_{\bot}t}\over{c\Delta t}}={{\overbrace{a_{\bot}\Delta t}^{v_{\bot}} \overbrace{{{r}\over{c}}}^t}\over{c\Delta t}}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}\;</MATH>|7.128}} Ponieważ pole elektryczne jest opisywane przez równanie {{LinkWzór|7.126}}, również przez ten sam wzór jest opisujemy składową równoległą (radialna) pola elektrycznego, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_{||}=E_r={{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{q}\over{r^2}}\;</MATH>|7.129}} Możemy połączyć równanie {{LinkWzór|7.128}} z równaniem na składową radialną pola elektrycznego {{LinkWzór|7.129}}, w ten sposób otrzymujemy równość na składową prostopadłą pola elektrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>E_{\bot}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}E_{||}=a_{\bot}{{r}\over{c^2}}{{q}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}={{qa_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\;</MATH>|7.130}} Całkowity wektor natężenia pola elektrycznego promieniowania określamy w zależności od wektora {{Formuła|<MATH>\vec{a}_{\bot}\;</MATH>}} jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_{prom}(r,t)=-{{q\vec{a}_{\bot}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}\mbox{ dla }t^'=t-{{r}\over{c}}\;</MATH>|7.131}} === Energia promieniowania wysyłana przez ładunek punktowy === Wiemy, że natężenia pola elektrycznego jest prostopadłe do wektora jednostkowego propagacji fali elektrycznej {{Formuła|<MATH>\hat{r}\;</MATH>}}, i wykorzystując definicję wektora Poyntinga, który jest natężeniem wysyłanym przez ładunek punktowy w danym punkcie na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, to wtedy możemy napisać wzór na ten wektor: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{S}(\vec{r},t)={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\vec{B}={{1}\over{\mu_0}} \vec{E}\times\left(\hat{r}\times\vec{E}\right)={{1}\over{\mu_0c}}E^2\hat{r}={{1}\over{\mu_0}}\left[-{{q\vec{a}_{\bot}}\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}} \right]^2\hat{r}={{\mu_0q^2\vec{a}_{\bot}^2}\over{16\pi^2cr^2}}\hat{r} </MATH>|7.132}} Kwadrat przyspieszenia prostopadłego jest wyrażona od całkowitego przyspieszenia z definicji trójkąta prostokątnego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}_{\bot}^2(t^')=\vec{a}^2(t^')\sin^2\phi\;</MATH>|7.133}} Tożsamość {{LinkWzór|7.133}} możemy podstawić do {{LinkWzór|7.132}}, w ten sposób mamy wzór na różniczkę mocy przekazywaną w jednostce czasu przez powierzchnię dS poprzez promieniowanie: {{CentrujWzór|<MATH>dP(\vec{r},t)={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}dS={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^2\phi}\over{16\pi^2cr^2}}r^2\sin\phi d\phi d\theta={{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi d\theta\;</MATH>|7.133a}} Całkowita moc przekazywana w jednostce czasu przez powierzchnię zamkniętą wyrażamy poprzez całkę po całym przebiegu zmienności &theta; i &phi;, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi}{{\mu_0q^2\vec{a}^2\sin^3\phi}\over{16\pi^2c}}d\phi={{\mu_0q^2\vec{a}^2}\over{8\pi c}}\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi={{\mu_0q^2a^2}\over{6\pi c}}\;</MATH>|7.134}} === Całkowite promieniowanie dipola elektrycznego === Załóżmy, że ładunek q porusza się ruchem harmonicznym, którego funkcję położenia i przyspieszenia podamy w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x(t')=x_0\cos\omega t^\;</MATH>|7.135}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}(t^')=\hat{x}\ddot{x}(t^')=-\omega^2\hat{x}x(t^')\;</MATH>|7.136}} }} Całkowita moc promieniowania dipola elektrycznego P, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań, która jest wysyłana do nieskończoności, wyliczamy go, podstawiając {{LinkWzór|7.136}} do {{LinkWzór|7.134}}, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>P={{\mu_0q^2\omega^4}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;</MATH>|7.137}} === Szerokość naturalna promieniowania linii atomu dla światła === Zależność całkowitej średniej energii w zależności do czasu wyrażamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.19|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, zatem możemy udowodnić tożsamość, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem i po podzieleniu przez energie układu równa jest odwrotności współczynnika zaniku drgań &tau;, czyli współczynnikowi tłumienia &Gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{E}}\left[-{{dE}\over{dt}}\right]={{1}\over{\tau}}\;</MATH>|7.138}} Całkowita energia średnia oscylatora harmonicznego tłumionego dla słabego tłumienia zależnego od czasu (wtedy &omega;&asymp;&omega;{{Sub|0}}) możemy napisać poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\langle\dot{x}^2\rangle={{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle+{{1}\over{2}}m\omega_0^2\langle x^2(t)\rangle=m\omega_0^2\langle x^2\rangle\;</MATH>|7.139}} Całkowita moc promieniowania wysyłana przez pewną powierzchnię zamkniętą określamy przez wzór {{LinkWzór|7.137}} i na podstawie tego możemy powiedzieć, że pochodna zupełna energii układu względem czasu wziętej z minusem wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>-{{dE}\over{dt}}=P={{\mu_0q^2\omega^4_0}\over{6\pi c}}\langle x^2(t^')\rangle\;</MATH>|7.140}} Do wzoru {{LinkWzór|7.138}} postawiamy wzory {{LinkWzór|7.140}} i {{LinkWzór|7.139}}, w ten sposób otrzymujemy wzór na naturalną szerokość połówkową linii światła: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\omega={{1}\over{\tau}}={{P}\over{E}}={{\mu_0q^2\omega^2_0}\over{6\pi c m}}\;</MATH>|7.141}} === Prawo Rayleigha === Weźmy sobie teraz elektron występujący w cząsteczce molekuły, który drga pod wpływem harmonicznego natężenia pola fali elektrycznej, którego współrzędna iksowa jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos\omega t\;</MATH>|7.142}} Niech ładunek q będzie związany z w cząsteczką za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości {{Formuła|<MATH>K=m\omega_0^2\;</MATH>}}, który porusza się ruchem drgającym, wtedy równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki jest: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-m\omega_0^2x+qE_x\;</MATH>|7.143}} Ale ponieważ zachodzi {{Formuła|<MATH>\ddot{x}(t)=-\omega^2x(t)\;</MATH>}}, co jest słuszne dla ruchu drgającego harmonicznego, wtedy równość {{LinkWzór|7.143}} możemy przepisać, po zastąpieniu iksowego przyspieszenia przez iloczyn kwadratu częstotliwości kołowej drgań i położenia tej cząstki względem osi iksowej, wtedy równanie ruchu elektronu przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>-m\omega^2x(t)=-m\omega_0^2(t)+qE_x\Rightarrow x(t)={{qE_x(t)}\over{m(\omega_0^2-\omega^2)}}\;</MATH>|7.144}} Do wzoru {{LinkWzór|7.137}} na całkowitą moc wypromieniowanej do nieskończoności podstawiamy do tożsamości {{LinkWzór|7.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>P={{\mu_0\omega^4q^2}\over{6\pi c}}{{q^2}\over{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2}}\langle E_x^2(t)\rangle\;</MATH>|7.145}} W omawianym przypadku, gdy częstość kołową drgań podstawowych &omega;{{Sub|0}} jest o wiele większa niż częstość drgań harmonicznego pola elektrycznego, czyli &omega;{{Sub|0}}>>&omega;, co można przy pomocy tychże dysput powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>P\sim\omega^4\sim{{1}\over{\lambda^4}}\;</MATH>|7.146}} Wzór {{LinkWzór|7.146}} jest tzw. '''prawem Rayleigha''', która jest odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali promieniowania wysyłany przez ładunek. === Czemu niebo jest niebieskawe === Światło w zależności od długości fali jest rozpraszane w taki sposób, że światło o większej długości fali promieniowania elektromagnetycznego jest rozpraszane słabiej niż światło o mniejszej długości, to rozpraszanie jest dane przez prawo Rayleigha, którego to prawo obowiązuje dla równości {{LinkWzór|7.146}}, widzimy że światło niebieskie o długości fali 440-490nm jest lepiej rozpraszane niż światło czerwone, którego długość fali jest 630-780nm, i dlatego w dzień widzimy niebo niebieskawe, a wieczorem niebo czerwonawe. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fbaglv5zgqc0smt31bl5j9d4beukxxp 0 21054 559108 558558 2026-10-11T04:26:11Z Persino 2851 559108 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Wstęp do opisu polaryzacji == Dla wszystkich ruchów falowych badaliśmy przemieszczenie, które określamy przy pomocy pewnej funkcji względem położenia równowagi. W ogólnym przypadku przemieszczenie określamy jako funkcje z "x","y","z", czyli {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}(x,y,z)\;</MATH>}}. Zwykle badamy fale płaskie, które określamy jako funkcje &psi;(z,t), gdzie z jest liczone wzdłuż rozchodzenia się fali płaskiej, często interesującymi wielkościami są {{Formuła|<MATH>{{\partial\vec{\psi}(z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{\partial\vec{\psi}(z,t)}\over{\partial z}}\;</MATH>}}. Dla fal płaskich przemieszczenie będziemy określać przez wektor przemieszczenia w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)+\hat{z}\psi_z(z,t)\;</MATH>|8.1}} W przypadku fal poprzecznych wektor przemieszczenia {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}(z,t)\;</MATH>}} ma tylko składowe x i y. O takich falach mówimy, że one mają polaryzacje poprzeczną. Fala dźwiękowa jest to fala mająca przemieszczenie wzdłuż osi zetowej. Nie ma poprzecznych fal dźwiękowych, chociaż możemy je sobie wyobrazić jako fale odbijające, które są jako fale podłużne odbijające się od ścianek wewnętrznych rury, i w rezultacie dla fali rozchodzącej się wzdłuż rury fala dźwiękowa oprócz składowych podłużnych mają składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna, czyli suma fal elektrycznych i magnetycznych, ma tylko składowe poprzeczne. Fala elektromagnetyczna ma też składowe podłużne, jeśli ona rozchodzi się w falowodzie. Falą poprzeczną nazywamy falę, dla której składowa zetowa przemieszczenia nigdy nie występuje, zatem drgania poprzeczne w analogii do {{LinkWzór|8.1}} są napisane: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(z,t)=\hat{x}\psi_x(z,t)+\hat{y}\psi_y(z,t)\;</math>|8.2}} == Promieniowanie ładunku punktowego == Innym przykładem fali płaskiej są drgania wyemitowane w początku układu współrzędnych, które daleko od punktu emisji obserwujemy jako fale płaskie, których przemieszczenie ładunku q jako źródła fal opisujemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}=\hat{x}x(t)+\hat{y}y(t)=\hat{x}x_0\cos(\omega t+\varphi_1)+\hat{y}y_0\cos(\omega t+\varphi_2)\;</MATH>|8.3}} Natężenie pola elektrycznego fali {{LinkWzór|7.134|Fale_dwu-_i_trójwymiarowe_rozchodzące_się_w_przestrzeni}} dla odległości r=z od początku układu współrzędnych wytworzone przez ładunek poruszający się z pewnym przyspieszeniem na podstawie {{LinkWzór|8.3}} piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}(z,t)=-{{q\vec{a}_{\bot}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0rc^2}}=-{{q\ddot{\vec{\psi}}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0zc^2}}={{q\omega^2\vec{\psi}(t^')}\over{4\pi\epsilon_0 zc^2}}={{q\omega^2\vec{\psi}(t-{{z}\over{c}})}\over{4\pi\epsilon_0 zc^2}}\;</MATH>|8.4}} Biorąc współczynnik proporcjonalności {{Formuła|<MATH>{{q\omega^2}\over{4\pi\epsilon_0zc^2}}\;</MATH>}}, wtedy przemieszczenie fali może być uważane za natężenie pola elektrycznego w czasie przedwczesnym {{Formuła|<MATH>t^'=t-{{z}\over{c}}\;</MATH>}}. == Polaryzacja liniowa == W przypadku drgań poprzecznych, którego drgania są tam i z powrotem, to te drgania można opisywać w dwóch niezależnych kierunkach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}=\hat{x}A_1\cos\omega t\;</MATH>|8.5}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}=\hat{y}A_2\cos\omega t\;</MATH>|8.6}} }} Superpozycją drgań {{LinkWzór|8.5}} i {{LinkWzór|8.6}} w dwóch osobnych kierunkach nazywamy falę: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos\omega t+\hat{y}A_2\cos\omega t=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\cos\omega t\;</MATH>|8.7}} Całkowita długość drgań amplitudy opisywanej wzorem {{LinkWzór|8.7}} piszemy jako pierwiastek sumy kwadratów amplitud drgających w dwóch prostopadłych kierunkach: {{CentrujWzór|<MATH>A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}\;</MATH>|8.8}} Kierunkiem polaryzacji, patrząc na wzory {{LinkWzór|8.7}} i {{LinkWzór|8.8}}, nazywamy kierunek, którego wektor jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}={{A_1}\over{A}}\hat{x}+{{A_2}\over{A}}\hat{y}\;</MATH>|8.9}} Łatwo sprawdzić, że wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e}\;</MATH>}} jest wektorem jednostkowym, co wynika z prostopadłości wektorów {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}}, które z kolei są wektorami jednostkowymi. === Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą === Liniowo spolaryzowaną falę biegnącą nazywamy falę przy ustalonych płaszczyźnie drgań biegnącego w kierunku +z: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(z,t)=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\cos(\omega t-kz)\;</MATH>|8.10}} === Liniowo spolaryzowana fala stojąca === Załóżmy, że mamy dwie fale biegnące w kierunku +z, a druga w kierunku -z, to superpozycja tychże fal możemy opisać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(z,t)={{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin(\omega t- kz)+{{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin(\omega t+kz)= {{1}\over{2}}(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\left(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=(\hat{x}A_1+\hat{y}A_2)\sin \omega t\cos kz \;</MATH>|8.101}} == Polaryzacja kołowa == {{Rysunek|Polaryzacja_kołowa_fali.jpeg|wk1|Polaryzacja kołowa_fali przemieszczenia}} Tutaj przemieszczenie fali poprzecznej ulega ruchowi kołowemu. Równanie tejże fali opisujemy przy pomocy funkcji sinus i kosinus z ''&omega;t'', których drganie w kierunku {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} wyprzedza drganie w kierunku {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}} o kąt 90{{Sup|o}}; {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\sin\omega t\;</MATH>|8.12}} Podobnie, gdy fala drgań w kierunku {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} wyprzedza o kąt 90{{Sup|o}}, to fala spolaryzowana kołowo jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\cos\left(\omega t+{{\pi}\over{2}}\right)=\hat{x}A\cos\omega t-\hat{y}A\sin\omega t\;</MATH>|8.13}} === Spolaryzowana kołowo fala biegnąca === Spolaryzowana kołowo fala biegnącą nazywamy falę biegnącą w kierunku osi zetowej (+z), którego przepis jest zależny od częstotliwości kołowej &omega; i liczby falowej "k" : {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}-kz\right)=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|8.14}} === Spolaryzowana kołowo fala stojąca === Kołowo spolaryzowaną falę stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|8.12}} i {{LinkWzór|8.13}}, którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\left[\hat{x}A\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A\sin(\omega t-kz)\right]+\left[\hat{x}A\cos(\omega t+kz)+A\sin\left(\omega t+kz\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left[\hat{x}A(\cos(\omega t-kz)+\cos(\omega t+kz))+\hat{y}A(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right]=\left[\hat{x}A\cos\omega t+\hat{y}A\sin\omega t\right]\cos kz\;</MATH>|8.15}} == Polaryzacja eliptyczna == Falę spolaryzowaną eliptycznie nazywamy falę, których amplitudy drgań w kierunkach {{Formuła|<MATH>\hat{x}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{y}\;</MATH>}} mają różne wartości amplitudy i wzory na fale stojącą dla której superpozycja dwóch fali biegnących w tych samych kierunkach, ale w innych płaszczyznach, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\cos\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}-kz\right)=\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\sin(\omega t-kz)\;</MATH>|8.16}} Eliptycznie spolaryzowana fale stojącą nazywamy dwie fale biegnące zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|8.16}}, którego biegną kierunkach +z(pierwsza fala) i w kierunku -z (druga fala), to wyniku superpozycji tychże fal otrzymujemy falę tzn. stojącą, który wyjdzie nam z obliczeń w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\left[\hat{x}A_1\cos(\omega t-kz)+\hat{y}A_2\sin(\omega t-kz)\right]+\left[\hat{x}A_1\cos(\omega t+kz)+A_2\sin\left(\omega t+kz\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\left[\hat{x}A_1(\cos(\omega t-kz)+\cos(\omega t+kz))+\hat{y}A_2(\sin(\omega t-kz)+\sin(\omega t+kz)\right]=\left[\hat{x}A_1\cos\omega t+\hat{y}A_2\sin\omega t\right]\cos kz\;</MATH>|8.15a}} == Superpozycja dwóch fal o niejednakowych amplitudach == Weźmy sobie dwie fale o jednakowej częstotliwości kołowej &omega; i o niejednakowych amplitudach, których superpozycja jest opisywana: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}(t)=\hat{x}A_1\cos(\omega t+\phi_1)+\hat{y}A_2\cos(\omega t+\phi_2)\;</math>|8.18}} Opiszmy falę biegnącą opisywaną według {{LinkWzór|8.18}}, którego będziemy rysowali na wykresach poniżej, których współrzędną iksową jest jedna z tych fali, a osią igrekową jest druga z tychże fali, dla różnych ich przesunięć fazowych: {{Rysunek|Polaryzacja jako superpozycja dwóch fal.jpeg|wk2|Polaryzacja jako superpozycja dwóch fal ogólnie o niejednakowych amplitudach i przesunięciach fazowych|rozmiar=600px|pozycja=center}} == Liczby zespolone w opisie fal == Zastosowanie liczb zespolonych z ilustrujmy na przykładzie fali elektromagnetycznej, a właściwie dla fali pola elektrycznego, którego superpozycja fal biegnących w dwóch prostopadłych płaszczyznach jest w postaci wektora natężenia fali pola elektrycznego, gdy te dwie fale są przesunięte względem siebie o pewne przesunięcie fazowe &phi;{{Sub|1}}-&phi;{{Sub|2}}, to ich superpozycja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}(z,t)=\hat{x}E_x(z,t)+\hat{y}E_y(z,t)=\hat{x}E_1\cos(\omega t-kz+\varphi_1)+\hat{y}\cos(\omega t-kz+\varphi_2)\;</MATH>|8.19}} Równanie {{LinkWzór|8.19}} możemy przestawić w postaci zespolonej, którego częścią rzeczywistą jest równanie {{LinkWzór|8.19}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_c=e^{-i(\omega t-kz)}\left(\hat{x}E_1e^{-i\phi_1}+\hat{y}E_2e^{-i\phi_2}\right)\;</MATH>|8.20}} Zespolone natężenie funkcji falowej możemy napisać jak superpozycja dwóch fal o funkcjach falowych {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_1(z,t)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_2(z,t)\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_c(z,t)=A_1\vec{\psi}_1(z,t)+A_1\vec{\psi}_1(z,t)\;,</MATH>|8.21}} Funkcje falowe {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_1(z,t)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_2(z,t)\;</MATH>}} są to funkcje, których definicje są wyrysowane w zależności od częstotliwości kołowej i liczby falowej zapisane są przy pomocy funkcji eksponencjalnej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1(z,t)=\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.22}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_2(z,t)=\hat{y}e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.23}} }} Amplitudy występujące w równaniu są to amplitudy zależne od przesunięć fazowych &phi;{{Sub|1}} i &phi;{{Sub|2}} zapisane pod funkcją eksponencjalną, jak widzimy, te amplitudy są wielkościami zespolonymi: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A_1=E_1e^{-i\varphi_1}\;</MATH>|8.24}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_2=E_2e^{-i\varphi}\;</MATH>|8.25}} }} == Superpozycja funkcji ortonormalnych == Funkcję, które opisywaliśmy w punkcie {{LinkWzór|8.22}} i {{LinkWzór|8.23}} są to funkcje ortonormalne i tworzą zupełną bazę ortonormalną zupełną bazowych funkcji falowych, które przestawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_2=\vec{\psi}_2^*\vec{\psi}_2=1\;</MATH>|8.26}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_1=\vec{\psi}_2^*\vec{\psi}_1=0\;</MATH>|8.27}} }} Aby sprawdzić, czy funkcję {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_1\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\psi}_2\;</MATH>}} zdefiniowane w poprzednim rozdziale tworzą zupełny układ bazowy należy na tych funkcjach wykonać następujące działania, które są opisywane wzorami {{LinkWzór|8.26}} i {{LinkWzór|8.27}}, zatem do dzieła: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_1=\hat{x}e^{i(\omega t-kz)}\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}=\hat{x}\hat{x}=1\;</MATH>|8.28}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1^*\vec{\psi}_2=\hat{x}e^{i(\omega t-kz)}\hat{y}e^{-i(\omega t-kz)}=\hat{x}\hat{y}=0\;</MATH>|8.29}} }} Ponieważ nasze rozważane funkcje bazowe są funkcjami ortonormalnymi, zatem zdefiniujmy moduł funkcji natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}_c\;</MATH>}} zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|8.21}}: {{CentrujWzór|<MATH>|\vec{E}_c|^2=\vec{E}_c^*\vec{E}_c=\left(A_1\vec{\psi}_1^*(z,t)+A_1\vec{\psi}_1^*(z,t)\right)\left(A_1\vec{\psi}_1(z,t)+A_1\vec{\psi}_1(z,t)\right)=|A_1|^2+|A_2|^2=E_1^2+E_2^2\;</MATH>|8.30}} == Inne postacie ortonormalnych funkcji bazowych == Aby napisać wektor natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|8.21}} w innych bazach niż tutaj obranego pierwotnie, których z oczywistych powodów jest ich nieskończenie wiele, które można tak obrać przez obrót pierwotnego układu współrzędnych o pewien kąt &phi;, których nowe wersory naszej bazy są napisane względem odpowiedników starej bazy w sposób: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{e}_1=\hat{x}\cos\varphi+\hat{y}\sin\varphi\;</MATH>|8.31}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{e}_1=\hat{x}\sin\varphi+\hat{y}\cos\varphi\;</MATH>|8.32}} }} Na podstawie przestawienia wersorów w {{LinkWzór|8.31}} {{LinkWzór|8.32}} dowiadujemy się, że one są do siebie ortonormalne, wtedy ich funkcje falowe są ortonormalne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_1=\hat{e}_1e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.33}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_2=\hat{e}_2e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.34}} }} == Przestawienie polaryzacji fali płaskiej == Falę biegnącą fali płaskiej, która jest spolaryzowana kołowo, którą możemy przedstawić w zależności od częstości kołowej i liczby falowej w postaci poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=\hat{x}A\cos(\omega t-kz)={{A}\over{2}}\left\{\hat{x}\cos(\omega t-kz)+\hat{y}\cos\left[\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)-kz\right]\right\}+{{A}\over{2}}\left\{\hat{x}\cos(\omega t-kz)-\hat{y}\cos\left[\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\right]\right\}\;</MATH>|8.35}} Końcowy wynik {{LinkWzór|8.35}} możemy przestawić w postaci zespolonej za pomocą funkcji eksponencjalnych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=A\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}={{A}\over{2}}\left[\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}+\hat{y}e^{-i(\omega t-kz-{{\pi}\over{2}})}\right]+ {{A}\over{2}}\left[\hat{x}e^{-i(\omega t-kz)}-\hat{y}e^{-i(\omega t-kz-{{\pi}\over{2}})}\right]\;</MATH>|8.36}} Wykorzystamy tutaj pewne tożsamości na liczbach zespolonych, która wynika z definicji e{{Sup|ix}} jako liczby zespolonej zapisaną w postaci eksponencjalnej, które te tożsamości piszemy wzorami przy rozwinięciu jego do postaci trygonometrycznej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>e^{i{{\pi}\over{2}}}=\cos{{\pi}\over{2}}+i\sin {{\pi}\over{2}}=i\;</MATH>|8.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>e^{-i{{\pi}\over{2}}}=\cos{{\pi}\over{2}}-i\sin {{\pi}\over{2}}=-i\;</MATH>|8.38}} }} Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|8.37}} i {{LinkWzór|8.38}} wzór {{LinkWzór|8.36}} możemy przepisać po odpowiednich jego przekształceniach do wzoru, z którego będzie jasne jak wybierzemy funkcję ortogonalne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}={{A}\over{2}}\left(\hat{x}-\hat{y}\right)e^{-i(\omega t-kz)}+{{A}\over{2}}\left(\hat{x}+\hat{y}\right)e^{-i(\omega t-kz)}\;</MATH>|8.39}} Wybierzmy sobie teraz funkcję ortonormalne spełniające warunki {{LinkWzór|8.26}} i {{LinkWzór|8.27}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_+={{\hat{x}+i\hat{y}}\over{\sqrt{2}}}e^{-i(\omega t-kz)}\;</math>|8.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\psi}_-={{\hat{x}-i\hat{y}}\over{\sqrt{2}}}e^{-i(\omega t-kz)}\;</math>|8.41}} }} Jeśli dodatkowo weźmiemy, że liczby A{{Sub|+}} i A{{Sub|-}}, których definicje są takie by przy wektorach ortonormalnych {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} była spełniona tożsamość {{LinkWzór|8.39}}: {{CentrujWzór|<MATH>A_{+}=A_{-}={{A}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|8.42}} Na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.36}} i przedstawienia bazy ortogonalnej, tzn. {{LinkWzór|8.40}} i {{LinkWzór|8.41}} przy definicji jego współczynników {{LinkWzór|8.42}} równanie na natężenie fali elektromagnetycznej piszemy w postaci formalnej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}_c=A_+\vec{\psi}_++A_-\vec{\psi}_-\;</MATH>|8.43}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> n6bkd93nsflsabg0fd1jfiv8koccu7j 0 21093 559109 558559 2026-10-11T04:29:11Z Persino 2851 559109 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować zjawiskiem interferencji lub dyfrakcji. Zjawiskiem dyfrakcji nazywamy takie nakładanie się fal w wyniku superpozycji, która powstaje na detektorze w przypadku dojścia tam fali wytworzonych przez dwa źródła lub dwie szczeliny, które natomiast są pobudzone do wytwarzania tychże fal przez pewne prawdziwe źródło fal, jakie może być na przykład żarówka. == Superpozycja nakładania się dwóch lub więcej źródeł fal spójnych == Źródłami spójnymi w przypadku dwóch źródeł wytwarzających dwie fale, nazywamy falę, gdy różnica faz jest wielkością niezależną od czasu, co jest jedyne możliwe, gdy mamy doczynienia z falami o jednakowych częstotliwościach kołowych. Interferencją konstruktywną nazywamy falę wyniku nakładania się maksimów lub minimum tychże fal. A wynik interferencji dekonstruktywnej nazywamy takie nakładanie się dwóch fal, które powstaje wyniku nakładania się doliny pierwszej fali z grzbietem drugiej fali. Obraz interferencyjny nazywamy obraz, który powstaje w wyniku obszarów maksimum i minimum, który powstaje na detektorze. Jeśli będziemy rozpatrywać nakładanie się dwóch fal pochodzących od dalekich źródeł, wtedy mówimy, że detektor jest w dalekim polu źródeł. {{Rysunek|Far field sources.jpeg|lk1|Dalekie pole dwóch źródeł, gdy odległość L{{Sub|1p}} przekracza znacznie mniej niż jedną długość fali|rozmiar=300px}} Z rysunku obok wynika z definicji trójkąta prostokątnego: {{CentrujWzór|<MATH>L_{2p}^2=L_{1P}^2+d^2\;</MATH>|9.1}} Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia znanego z algebry dla różnicy kwadratów, co można napisać wzór wynikający z {{LinkWzór|9.1}}: {{CentrujWzór|<MATH>L_{2P}^2-L_{1P}^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})=d^2\;</MATH>|9.2}} Interesuje nas przypadek, gdy L{{Sub|2P}} i L{{Sub|1P}} są prawie równe, ale ich różnica nie przekracza {{Formuła|<math>{{1}\over{2}}\lambda\;</MATH>}}, wtedy obliczenia {{LinkWzór|9.2}} można dokończyć przy naszych dysputach według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>d^2=(L_{2p}-L_{1P})(L_{2P}+L_{1P})={{1}\over{2}}\lambda(L_0+L_0)\;</math>|9.3}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|9.3}} można napisać, że przybliżenie dalekiego pola mamy, gdy iloczyn odległości do detektora od źródła fal przez długość fali światła jest równa w przybliżeniu kwadratowi odległości między dwoma źródłami, co piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>L_0\lambda\simeq d^2\;</math>|9.4}} === Źródło pola elektromagnetycznego fali podłużnej === Gdy fala jest wytwarzana przez oscylujący ładunek, która jak wiadomo porusza się z przyspieszeniem zależnych od czasu w postaci drgań harmonicznych tego ładunku, to fala elektromagnetyczna pola elektrycznego, wykorzystując wzór {{LinkWzór|7.131|Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni}} jest napisana w zależności od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=-{{q\ddot{y}(t^')}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}={{q\omega^2\cos(\omega t^'+\varphi)}\over{4\pi \epsilon_0 rc^2}}\;</MATH>|9.5}} Widzimy na podstawie {{LinkWzór|9.5}} dla fali pola elektrycznego, która jest falą z pewną amplitudą, jest: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E(t)=A(r)\cos(\omega t^'+\varphi)=A(r)\cos\omega(t-{{r}\over{c}})\;</MATH>|9.6}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A(r)={{\omega^2}qy_0\over{4\pi\epsilon_0 rc^2}}\;</MATH>|9.7}} }} Jeśli mamy N źródeł, to koleino oznaczamy natężenie fali pola elektrycznego przy pomocy wskaźnika jeden lub dwa, aż do N. === Różnica faz spowodowana różnicą dróg optycznych === {{Rysunek|Interference as a result we put the two sources.jpeg|lk2|Interferencja w wyniku nakładamy się dwóch źródeł}} Widzimy, że według rysunku obok różnica między promieniem r{{Sub|2}}, a r{{Sub|1}} jest równa &Delta;s, i jest wyrażona względem odległości dwóch szczelin i kąta pomiędzy poziomem, a promieniem pierwszym lub drugim, bo ten kąt dla promienia pierwszego i drugiego jest jednakowy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s=d\sin\theta\;</MATH>|9.8}} Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, zapisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Delta\phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow \Delta\phi=\Delta s{{2\pi}\over{\lambda}}=2\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;</MATH>|9.9}} === Równanie interferencyjne dla dwóch szczelin === Weźmy sobie teraz sobie falę płaską wytwarzaną przez źródło pierwsze jak i drugie, która jest falą pola elektrycznego, przy założeniu, że te dwie fale wytwarzane są przez dwa źródła o takiej samej częstotliwości i przesunięciu fazowym, dodajmy te dwie fale do siebie w wyniku superpozycji tychże fal daleko od źródła fal, otrzymujemy stąd wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>E(r,\theta,t)=E_1+E_2=A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi)+A(r)\cos(\omega t-kr+\varphi-\Delta\phi)=2A(r)\cos(\omega t+\varphi-\Delta\phi)\cos \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}\;</MATH>|9.10}} Aby wystąpiły maksima fali w wyniku interferencji dwóch fal i w wyniku tego drugi czynnik musi być równy plus jeden lub minus jeden, co jest możliwe gdy: {{CentrujWzór|<MATH>\pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}=m\pi\Rightarrow d\sin\theta=n\lambda\;</MATH>|9.11}} Fala napisana wzorem {{LinkWzór|9.10}}, aby przyjmowała wartość zero, czyli wtedy natężenie pola elektrycznego jest równe zero, to musi być spełnione: {{CentrujWzór|<math> \pi{{d\sin\theta}\over{\lambda}}={{\pi}\over{2}}\left(2m+1\right)\Rightarrow d\sin\theta=\left(m+{{1}\over{2}}\right)\lambda\;</MATH>|9.12}} === Warunek spójności dwóch źródeł === {{Rysunek|Consistency multiple sources.jpeg|lk3|Spójność wielu źródeł|rozmiar=300px}} Wykażemy tutaj, że jeśli mamy źródła fal a,b,c, to wtedy działa ono jako efektywne punktowe źródło światła, jeśli jest spełniony pewien warunek, który mamy zamiar wyprowadzić. Według rysunku obok możemy powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta={{D}\over{L}}\;</MATH>|9.13}} Wzór {{LinkWzór|9.13}} podstawiamy do {{LinkWzór|9.11}} dla n=1, w ten sposób otrzymujemy tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>d{{D}\over{L}}=\lambda\Rightarrow dD=\lambda L\;</math>|9.14}} W rzeczywistości d możemy być on wiele mniejsze niż to wynika z równania końcowego {{LinkWzór|9.14}}, zatem nasz warunek na spójność wielu źródeł piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>dD<<\lambda L\;</MATH>|9.15}} === Obraz pojedynczej szczeliny w obrazie dyfrakcyjnym === {{Rysunek|N antennas or N narrow slits, which oscillate in phase loads.jpeg|lk4|N anten Huygensa lub N wąskich szczelin, których ładunki oscylują z odpowiednią częstością kołową}} Posłużmy się teraz konstrukcją Huygensa, którą zastępujemy falę od odległego źródła falą płaską, która pada na N szczelin, w których mamy oscylujące ładunki, które wytwarzają fale kuliste, którego natężenie fali jest opisane w przestrzeni rzeczywistej, mamy: {{CentrujWzór|<math>E=A(r)\cos(\omega t-kr_1)+A(r)\cos\omega t-kr_2)+...+A(r)\cos(\omega t-kr_N)\;</MATH>|9.16}} Superpozycję fali zapisaną w punkcie {{LinkWzór|9.16}} możemy również zapisać w postaci zespolonej w przestrzeni zespolonej przy pomocy eksponentów, którego odpowiednik wspomnianego równania jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(r)=A(r)e^{-i\omega t}\left(e^{ikr_1}+e^{ikr_2}+...+e^{ikr_N}\right)\;</MATH>|9.17}} Poszczególne odległości r{{Sub|1}}, r{{Sub|2}},..,r{{Sub|N}} piszemy w zależności od ilości N szczelin, kąta padania &theta; i odległości między szczelinami: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix} r_2=r_1+d\sin\theta\\ r_3=r_1+2d\sin\theta\\ \cdots\\ r_N=r_1+(N-1)d\sin\theta\end{matrix}\;</MATH>|9.18}} Wzory {{LinkWzór|9.18}} wsadzamy do tożsamości {{LinkWzór|9.17}}, stąd w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy; {{CentrujWzór|<MATH>E_c=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{ik(r_2-r_1)}+e^{ik(r_3-r_1)}+...+e^{ik(r_{N-1}-r_1)}\right)=A(r)e^{i(\omega t-kr_1)}\left(1+e^{d\sin\theta}+e^{2d\sin\theta}+...+e^{(N-1)d\sin\theta}\right)</MATH>|9.19}} Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzoru na zwartą sumę szeregu geometrycznego, który ma iloraz {{Formuła|<MATH>q=e^{d\sin\theta}\;</math>}}, w ten sposób {{LinkWzór|9.19}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>E_c=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{iNkd\sin\theta}-1}\over{e^{idk\sin\theta}-1}}=A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}{{e^{i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}Ndk\sin\theta}}\over{e^{i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}-e^{-i{{1}\over{2}}dk\sin\theta}}}\;</MATH>{{Br}}<MATH>= A(r)e^{-i(\omega t-kr_1)}e^{i{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}= A(r)e^{-i(\omega t-kr_1-{{1}\over{2}}k(N-1)d\sin\theta)}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}\;</MATH>|9.20}} === Przykład ciągły nieskończenie wielu szczelin na odległości D === Weźmy sobie N szczelin, których liczba jest nieskończona przy stałym D przy d dążących do zero, zatem w takim przypadku mamy prawo powiedzieć na podstawie wzoru {{LinkWzór|9.17}}, że wypadkową amplitudę piszemy jako: {{CentrujWzór|<MATH>A(r,\theta)=A(r)\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin k{{1}\over{2}}Nd\sin\theta}\over{\sin k{{1}\over{2}}d\sin\theta}}= A(r)N\lim_{d\rightarrow 0}{{\sin {{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}kNd\sin \theta}}=A(r,0){{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.21}} {{Rysunek|The amplitude of vibration and amplitude of the wave intensity.jpeg|lk5|Amplituda drgań i amplituda natężenia fali|rozmiar=300px}} Całkowite przemieszczenie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|9.21}} i na podstawie definicji naszego przemieszczenia {{LinkWzór|9.17}} jest określone: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(r,\theta)=A(r,0)e^{-i(\omega t-kr-{{1}\over{2}}kD\sin\theta)}{{\sin{{1}\over{2}}kD\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.22}} Według obliczeń {{LinkWzór|9.22}} możemy obliczyć średni strumień energii, która tutaj po uśrednieniu po czasie mamy: {{CentrujWzór|<MATH>I(r,\theta)=I_{max}{{\sin^2{{1}\over{2}}D\sin\theta}\over{{{1}\over{2}}D\sin\theta}}\;</MATH>|9.23}} === Nieoznaczoność liczby falowej i położenia i dyfrakcyjna kątowa szerokość wiązki === Patrząc na rysunek powyżej szerokość połówkowa wiązki nazywamy przedział, który rozciąga się od {{Formuła|<math>\theta=-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\;</MATH>}} do {{Formuła|<math>\theta={{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\;</MATH>}} i jego wartość określona jest przez: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\theta=\left({{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)-\left(-{{1}\over{2}}{{\lambda}\over{D}}\right)={{\lambda}\over{D}}\;</MATH>|9.24}} Całkowita wartość liczby falowej jest tak określona, by jego kwadrat był {{Formuła|<math>k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2\;</MATH>}}, zdefiniujmy w nim współrzędne iksowe k{{Sub|x}}=k cos&theta;, a k{{Sub|z}}=kcos&theta; i na samym końcu k{{Sub|y}}, która jest równa zero, zatem stosując przybliżenie małych kątów, wtedy kosinus zastąpimy przez jedynkę, a sinus kąta przez sam kąt, wtedy współrzędną iksową liczby falowej możemy zapisać w przybliżeniu wedle sposobu: {{CentrujWzór|<MATH>k_x=k\sin\theta\simeq k\theta\;</MATH>|9.25}} Zatem nieoznaczoność liczby falowej i położenia w ostatecznych rozrachunkach, przy wykorzystaniu wzorów {{LinkWzór|9.23}} i {{LinkWzór|9.24}}, zastępując D przez &Delta;x, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_x\simeq d\Delta \theta\simeq k{{\lambda}\over{D}}={{2\pi}\over{D}}\Rightarrow \Delta k_xD\simeq 2\pi\Rightarrow\Delta k_x\Delta x\simeq 2\pi\;</MATH>|9.26}} Można również udowodnić podobnie jak powyżej, że nieoznaczoności zachodzą również dla współrzędnej igrekowej i zetowej, a także dla częstotliwości kołowej, które możemy napisać jako związki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_x\Delta x\geq 2\pi\;</math>|9.27}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_y\Delta y\geq 2\pi\;</math>|9.28}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta k_z\Delta z\geq 2\pi\;</math>|9.29}} | 4 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\omega\Delta t\geq 2\pi\;</MATH>|9.30}} }} == Optyka geometryczna == === Odbicie od płaszczyzny fali płaskiej === {{Rysunek|The_reflection_of_light.jpg|lk7|Obicie fali płaskiej od płaszczyzny|rozmiar=300px}} Odległość dróg fazowych dwóch promieni padającej pierwszej względem promienia drugiego według rysunku obok możemy zapisać według: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta s=d\sin\alpha-d\sin\beta=d(\sin\alpha-\sin\beta)\;</MATH>|9.31}} Różnica dróg fazowych między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>{{\Delta \phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda}}(\sin\alpha-\sin\beta)\;</MATH>|9.32}} Równanie fal materii pierwszego i drugiego promienia, uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu, pisząc je wedle: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_1=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}\;</MAth>|9.33}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\psi_2=Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\;</MaTH>|9.34}} }} Według zasady Huygensa musimy dodać fale {{LinkWzór|9.33}} do {{LinkWzór|9.34}}, które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0\right)}+e^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi\right)}\right)= Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\left(e^{i\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)}+e^{i\left(-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= 2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)=2Ae^{-i\left(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}}\right)}\cos \left[{{\pi}\over{\lambda}}d\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)\right]\;</MATH>|9.35}} W wyrażeniu {{LinkWzór|9.58}} kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest {{Formuła|<MaTH>m\pi\;</MATH>}}, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{\pi}\over{\lambda}}d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\pi\Rightarrow d(\sin\alpha-\sin\beta)=m\lambda\Rightarrow\sin\alpha-\sin\beta=m{{\lambda}\over{d}}\;</MATH>|9.36}} Przyjmujemy, że &lambda;>d, wtedy {{Formuła|<MATH>m{{\lambda}\over{d}}>1\;</MATH>}}, ale ponieważ lewa strona równania jest zawsze mniejsza niż jeden, a prawa strona jest większa niż jeden dla m>0, co stąd wynika, że jedyną możliwością jest m=0, co na podstawie {{LinkWzór|9.36}} dostajemy &alpha;=&beta;. Otrzymujemy, ze promień odbicia jest równy promieniowi padania. === Załamanie fali płaskiej === Odległość AB i DC możemy policzyć przy pomocy właściwości trójkąta równobocznego, które tutaj piszemy wzorami: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>AB=d\sin\alpha\;</MATH>|9.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>DC=d\sin\beta\;</MATH>|9.38}} }} Różnica dróg między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<math>\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\alpha-{{2\pi}\over{\lambda_1}}d\sin\beta=\omega\left({{1}\over{v_1}}d\sin\alpha-{{1}\over{v_2}}d\sin\beta\right)={{\omega d}\over{c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)</MATH>|9.39}} {{Rysunek|The phenomenon of refraction of light rays through a transparent isotropic incidence at the center.jpeg|lk8|Zjawisko załamania fali płaskiej|rozmiar=250px}} Funkcje falowe występujące w zjawisku załamania mają taki sam wygląd jak w zjawisku odbicia, czyli funkcje {{LinkWzór|9.33}} i {{LinkWzór|9.34}}, zatem złożenie tychże funkcji piszemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{-i(\omega t-ks+\delta_0)}+e^{-i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\left(e^{i({{\Delta\phi}\over{2}})}+e^{i(-{{\Delta\phi}\over{2}})}\right)= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= 2Ae^{-i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left[{{\omega d}\over{2c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)\right]\;</MATH>|9.40}} W wyrażeniu {{LinkWzór|9.37}} kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy wyrażeniu pod kosinusem jest {{Formuła|<MaTH>m\pi\;</MATH>}}, wtedy moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność: {{CentrujWzór|<MATH>{{\omega d}\over{2c}}\left(n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta\right)=m\pi\Rightarrow n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=m\pi{{2c}\over{\omega d}}\;</MATH>|9.41}} Dla dowolnie małego d występujące w tożsamości {{LinkWzór|9.41}} prawa jego strona jest dowolnie duża dla m>0, a lewa skończona jest skończona, zatem jedyną możliwością jest m=0, zatem co wynika ze wspomnianego równania wniosek: {{CentrujWzór|<MATH>n_1\sin\alpha-n_2\sin\beta=0\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;</MATH>|9.42}} Prawo opisane wzorem {{LinkWzór|9.40}} nazywamy prawem załamania Snelliusa. === Zasada Fermata a prawo odbicia === {{Rysunek|Fermat's principle and the law of reflection.jpeg|lk9|Zasada Fermata prawo odbicia}} Całkowity czas jaki promień leci na powierzchnię graniczną z punktu A, który pada na powierzchnię i odbija się od punktu B i leci do punktu C, jest wyrażona przy stałych parametrach y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>t={{1}\over{c}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{c}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;</math>|9.43}} Zróżniczkujmy obie strony równości {{LinkWzór|9.43}} i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, by otrzymać później prawo odbicia, wiedząc jednocześnie, że x{{Sub|1}}=L-x{{Sub|2}}. {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;</MATH>|9.44}} Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego możemy otrzymać wnioski: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;</MATH>|9.45}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;</MATH>|9.46}} }} Wykorzystując tożsamości trygonometryczne {{LinkWzór|9.45}} i {{LinkWzór|9.46}}, które podstawiamy do {{LinkWzór|9.44}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>-\sin\alpha dx_2+\sin\beta dx_2=0\Rightarrow \sin\alpha=\sin\beta\;</MATH>|9.47}} W końcowym wniosku w zasadzie Fermata {{LinkWzór|9.47}} wnioskujemy równość kątów &alpha; i &beta;, co jest treścią ostateczną zasady Fermata dla zjawiska odbicia. === Prawo załamania fali a zasada Fermata === {{Rysunek|The law of refraction and the wave of Fermat's principle.jpeg|lk10|Prawo załamania fali a zasada Fermata|rozmiar=150px}} Całkowity czas jaki promień leci w pierwszym ośrodku o współczynniku załamania n{{Sub|1}} padający na powierzchnię graniczną pomiędzy dwoma ośrodkami z punktu A, który załamuje się w punkcie punkcie B i leci do punktu C w drugim ośrodku o współczynniku załamania n{{Sub|2}}, jest wyrażony przy pomocy stałych y{{Sub|1}}, y{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>t={{1}\over{v_1}}\sqrt{y_1^2+x_1^2}+{{1}\over{v_2}}\sqrt{y_2^2+x_2^2}\;</math>|9.48}} Zróżniczkujmy obie strony równości {{LinkWzór|9.48}} i przyrównajmy różniczkę czasu do zera, wtedy możemy otrzymać prawo załamania w dalszych niż poniżej dysputach, wiedząc jednocześnie, że x{{Sub|1}}=L-x{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{1}\over{v_1}}{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}dx_2+{{1}\over{v_1}}{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}dx_2\;</MATH>|9.49}} Ale ponieważ z definicji sinusów znanej z trygonometrii dla trójkąta prostokątnego mamy wnioski: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{x_1}\over{\sqrt{y_1^2+x_1^2}}}=\sin\alpha\;</MATH>|9.50}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{x_2}\over{\sqrt{y_2^2+x_2^2}}}=\sin\beta\;</MATH>|9.51}} }} Wykorzystując tożsamości trygonometryczne {{LinkWzór|9.50}} i {{LinkWzór|9.51}}, które podstawiamy do {{LinkWzór|9.49}}, w ten sposób otrzymujemy równość: {{CentrujWzór|<MATH>0=-{{1}\over{v_1}}\sin\alpha+{{1}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow {{c}\over{v_1}}\sin\alpha={{c}\over{v_2}}\sin\beta\Rightarrow n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta\;</math>|9.52}} Wzór końcowy wynikający z obliczeń {{LinkWzór|9.52}} jest tzw. prawem Snelliusa dla zjawiska załamania. === Zwierciadło wklęsłe === {{Rysunek|Concave mirror into which fall the rays from the object.jpeg|lk11|Zwierciadło wklęsłe na który padają promienie od przedmiotu|rozmiar=300px}} Rozważmy sobie teraz zwierciadło wklęsłe, zbadajmy jaki jest obraz danego przedmiotu występującego przed tym obiektem. Wysokość obrazu jest h i znajduje się w odległości od zwierciadła o x. Od przedmiotu promień świetlny leci do zwierciadła względem poziomu pod kątem &alpha;, i do zwierciadła dociera ono na wysokość równą wysokości h{{Sub|x}} przedmiotu minus długość względem pionu na jaką promień się obniżył, która jest iloczynem odległości przedmiotu od zwierciadła pomnożonej przez kąt z jakim leci nasz promień względem poziomu: {{CentrujWzór|<MATH>h_1=h_x-\alpha x\;</MATH>|9.53}} Kąt &gamma; według rysunku obok określamy jako iloraz wysokości h{{Sub|1}} napisaną wzorem {{LinkWzór|9.15}} przez promień krzywizny zwierciadła R. {{CentrujWzór|<MATH>{{h_1}\over{R}}=\gamma\Rightarrow\gamma={{h_x-\alpha x}\over{R}}\;</MATH>|9.54}} Całkowity kąt &beta; jest równy sumie kata &alpha; i &gamma;, który jest kątem pomiędzy odcinkiem łączący R z promieniem świetlnym w punkcie granicznym zwierciadła, który się odbija od zwierciadła w tymże punkcie: {{CentrujWzór|<MATH>\beta=\alpha+\gamma=\alpha+{{h-\alpha x}\over{R}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}\;</MATH>|9.55}} Nachylenie promienia odbitego od zwierciadła względem poziomu określamy jako sumę katów &beta; i &gamma;, który jest jednocześnie ilorazem sumy wysokości powstałego obrazu i wysokości nad osią główną zwierciadła, od której to wysokości odbija się promień świetlny wychodzący od przedmiotu: {{CentrujWzór|<MATH>{{h_y+h_1}\over{y}}=\beta+\gamma\Rightarrow {{h_y+h_x-\alpha x}\over{y}}={{h_x+(R-x)\alpha}\over{R}}+{{h_x-\alpha x}\over{R}}\;</MATH>|9.56}} Załóżmy, że mamy dwa wzory {{LinkWzór|9.56}}, dla różnych &alpha;, tzn. dla &alpha;{{Sub|1}} i &alpha;{{Sub|2}} i odejmijmy od siebie te wzory i tak otrzymane równanie podzielmy przez &alpha;{{Sub|1}}-&alpha;{{Sub|2}}, otrzymując w ten sposób tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH>-{{x}\over{y}}={{R-x}\over{R}}-{{x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}={{R-2x}\over{R}}\Rightarrow -{{x}\over{y}}=1-{{2x}\over{R}}\Rightarrow{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{2}\over{R}}\;</MATH>|9.57}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych powyżej wzór na odległość ogniska od zwierciadła jest równa połowie promienia krzywizny zwierciadła, a także wzory na zwierciadło są w takim razie opisywane przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;</MATH>|9.58|Obramuj}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>f={{R}\over{2}}\;</MATH>|9.59|Obramuj}} }} Wzór {{LinkWzór|9.58}} podstawiamy do {{LinkWzór|9.56}}, w ten sposób otrzymujemy następną tożsamość, z której napiszemy jak zmienia się wysokość obrazów względem ich odległości od zwierciadła, czyli wzór na powiększenie obrazu względem przedmiotu, który jest stosunkiem odległości obrazu i przedmiotu: {{CentrujWzór|<math>\left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+{{2}\over{R}}\left(h_x-\alpha x\right)\Rightarrow \left(h_{y}+h_x-\alpha x\right){{1}\over{y}}=\alpha+\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\left(h_x-\alpha x\right) \Rightarrow{{h_y}\over{y}}=\alpha+{{1}\over{x}}(h_x-\alpha x)\Rightarrow \;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow{{h_y}\over{y}}={{h_x}\over{x}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}} </MATH>|9.60}} === Soczewka dwuwypukła === Narysujmy soczewkę dwuwypukłą o promieniach krzywizny R{{Sub|1}} i R{{Sub|2}}, i przedmiot będący po jego lewej stronie, a przedmiot po jego prawej strony, ale ten obiekt jest po przeciwnej stronie niż przedmiot. Na podstawie rysunku obok wyprowadzimy wzór soczewki i soczewkowy, a także wzór na powiększenie obrazu względem wielkości przedmiotu. {{Rysunek|Biconvex lens, the image and its inverted image.jpeg|lk12|Soczewka wypukła,przedmiot i jego obraz. Powyższą soczewkę oznaczyliśmy jako grubą, by było tam łatwiej zaznaczyć kąty, ale mając na myśli w rzeczywistości jako soczewkę cienką.|rozmiar=600px|pozycja=center}} W poniższych obliczeniach skorzystaliśmy z małości kątów, tzn. dla których zachodzi tg&alpha;&asymp;sin&alpha;&asymp;&alpha;, a także z warunku ze soczewka jest cienka ze wzoru h{{Sub|1}}&asymp;h{{Sub|3}}. Wysokość na jaką pada promień pochodzący od przedmiotu z wysokości h{{Sub|x}}. który leci na soczewkę jest sumą wysokości przedmiotu i długości jaką światło leciało pod kątem do góry. {{CentrujWzór|<MATH>h_1=h_x+h_2=h_x+x\alpha\;</MATH>|9.61}} Wyznaczmy teraz kąt z jaką promień pochodzący z przedmiotu pada na soczewkę z jego lewej strony względem R{{Sub|1}}, który przedstawiamy jako sumę kąta promienia lecącego z przedmiotu względem poziomu i nachylenia promienia krzywizny względem poziomu: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=\alpha+\beta=\alpha+{{h_1}\over{R_1}}=\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\;</MATH>|9.62}} Kąt pod jakim promień świetlny wszedł do wnętrza w soczewce względem promienia krzywizny R{{Sub|1}} jest określany za pomocą prawa Snelliusa dla małych kątów padania i odbicia: {{CentrujWzór|<MATH>\omega n_2=\gamma n_1\Rightarrow \omega={{n_1}\over{n_2}}\gamma={{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)\;</MATH>|9.63}} Kąt pod jakim pada promień z wnętrza na granicę soczewki względem R{{Sub|2}}, która chce wylecieć na zewnątrz jej jest określana z definicji dowolnego trójkąta, że suma kątów jest równa 180 stopni: {{CentrujWzór|<MATH>\pi=\omega+\psi+\theta\Rightarrow\psi=\pi-\omega-\theta\Rightarrow\psi=\pi-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)-\pi+\beta+\eta=-{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{h_2}\over{R_1}}+{{h_1}\over{R_2}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= -{{n_1}\over{n_2}}\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.64}} Kąt pod jakim wyszedł promień świetlny z soczewki względem R{{Sub|2}} jest opisany przez wzór wynikający z prawa załamania {{LinkWzór|9.49}} dla małych katów padania i załamania: {{CentrujWzór|<MATH>\tau n_1=n_2\psi\rightarrow \tau={{n_2}\over{n_1}}\psi=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.65}} Kąt pod jakim promień wyszedł z soczewki względem poziomu z oczywistych powodów piszemy przez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\phi=\tau-\nu=\tau-{{h_3}\over{R_1}}=\tau-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}=-\left(\alpha+{{h_x+x\alpha}\over{R_2}}\right)+{{n_2}\over{n_1}}(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)-{{h_x+x\alpha}\over{R_1}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH>\Rightarrow \phi=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.66}} Kąt pomiędzy promienień wchodzący w obraz a poziomem jest wyrażony poprzez iloraz wysokości jakiej promień musi przebyć do obrazu pod kątem przez odległość obrazu od soczewki: {{CentrujWzór|<MATH>{{h_3+h_y}\over{y}}=\phi\Rightarrow {{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.67}} Weźmy sobie dwa promienie, które wylatują z przedmiotu na wysokości h{{Sub|x}} pod kątami: &alpha;{{Sub|1}} i &alpha;{{Sub|2}}, tworzymy w ten sposób dwa równania {{LinkWzór|9.67}}, które odejmiemy je od siebie, i dzieląc tak powstały wzór przez &alpha;{{Sub|1}}-&alpha;{{Sub|2}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>{{x}\over{y}}=-1+x\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</MATH>|9.68}} Z obliczeń {{LinkWzór|9.68}} otrzymujemy równanie soczewki i równanie soczewkowe, czyli które przepisujemy przy pomocy dwóch wzorów, oznaczając przez "f" długość ogniskowej soczewki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}={{1}\over{f}}\;</MATH>|9.69}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{f}}=\left({{n_2}\over{n_1}}-1\right)\left({{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}\right)\;</math>|9.70}} }} Tożsamość {{LinkWzór|9.69}} podstawiamy w miejsce {{LinkWzór|9.70}} we wzorze {{LinkWzór|9.67}}, bo one oznaczają to samo, w ten sposób możemy otrzymać równość, z którego wynika, że powiększenie obrazu jest stosunkiem położenia obrazu "y" i położenia przedmiotu "x" względem soczewki: {{CentrujWzór|<math>{{h_x+x\alpha+h_y}\over{y}}=-\alpha+(h_x+x\alpha)\left({{1}\over{x}}+{{1}\over{y}}\right)\Rightarrow {{h_x+x\alpha}\over{y}}+{{h_y}\over{y}}=-\alpha+{{h_x}\over{x}}+\alpha+{{h_x+\alpha x}\over{y}}\Rightarrow{{h_y}\over{h_x}}={{y}\over{x}}\;</MATH>|9.70a}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dcwqg51heqonunfzrspxmhtw96cjkk8 0 21127 559054 558560 2026-10-11T01:05:14Z Persino 2851 559054 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}} }} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}} }} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} === Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej === Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz|1={{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}}|2={{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}}}} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw, licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw, licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci, wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z", i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z", także wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e, oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy, dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}} }} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}} }} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale: {{sr|p=Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni|#Czemu niebo jest niebieskawe}}, rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz, mówiąc, oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}} }} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}} }} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}} }} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}} }} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}} }} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} Wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}} }} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}} }} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} Wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}} }} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} Dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}} }} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}} }} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}} }} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}} }} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}} }} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}} }} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać, dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony, rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}} }} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}} }} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} Wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową, wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić, korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}} }} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} Wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> kzzf3chhj0sjiu3k22p3xqoh7y2t10h 559110 559054 2026-10-11T04:30:34Z Persino 2851 559110 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykład cząsteczki amoniaki jako układ drgający w mechanice kwantowej == Rozważmy sobie cząsteczkę, w którym atomy wodoru H tworzą trójkąt równoboczny. Dla azotu N mamy dwa możliwe drgania, w których może on drgać na dwa sposoby odpowiadające dwom wahadłom a i b sprzężonym ze sobą. Jedno drganie jest po pierwszej stronie płaszczyzny H{{Sub|3}}, nazwijmy je przez "a", a drugie po drugiej stronie i nazwijmy je przez b. W mechanice klasycznej te położenia są położeniami równowagi trwałej, więc nie możliwe jest przejście z jednego stanu do drugiego. W mechanice kwantowej wprowadza się sprzężenie pomiędzy tymi stanami pozwalający na przenikanie płaszczyzny bariery potencjału. Załóżmy, że cząstka początkowo znajdowała się w stanie "a" w chwili t=0, wtedy zachodziło by |&psi;{{Sub|a}}|{{Sup|2}}=1, |&psi;{{Sub|b}}|{{Sup|2}}=0, znaczy to, że prawdopodobieństwo, że cząstka drga w stanie "a" jest równe pewności, ale N nie drga w stanie "b" w tymże czasie. Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, w stanie "a" lub "b", możemy przestawić przez dwa równania poprzez czas "t": {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_a|^2={{1}\over{2}}\left[1+\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_b|^2={{1}\over{2}}\left[1-\cos(\omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.2}} }} * gdzie &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} są częstościami postaci drgań normalnych. Równania {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}} są kolejno bardzo podobne do {{LinkWzór|1.133|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}} i do {{LinkWzór|1.134|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_swobodne}}. Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w stanie "a" lub "b" jest oczywiście równe jedności. Załóżmy, że cząstka w stanie 2 drga z nieco większą częstością &omega;{{Sub|2}}>&omega;{{Sub|1}} niż w stanie jeden, atom N znajdujący się w tym stanie, który jest stanem nietrwałym i wyniku promieniowania elektromagnetycznego przechodzi ze stanu 2 zwany stanem wzbudzonym do stanu 1 zwany stanem stanem podstawowym. To promieniowanie można wykryć w wyniku jego częstości dudnień &nu;{{Sub|2}}-&nu;{{Sub|1}}, która ma wartość {{Formuła|<MATH>\nu_{mod}=\nu_2-\nu_1\simeq 2\cdot 10^{10}Hz\;</MATH>}}, co odpowiada to długości fali równą około 1,5 cm, która jest w stanie radarowym lub mikrofalowym. Jeśli przez cząsteczki amoniaku będziemy przepuszczać o tej częstości promieniowanie, to okazuje się, że niektóre z atomów azotu N przejdzie ze stanu podstawowego do wzbudzonego. == Przykład układu sprzężonych ze sobą obojętnych mezonów == Bardzo interesującym przykładem jest układ sprzężonych ze sobą układu dwóch mezonów: {{Formuła|<MATH>K^0\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{K}^0\;</MATH>}}, które zachowują się jak układ sprzężonych ze sobą wahadeł, które jako sprężynki spełniają rolę piony &pi;, które każdy drogą słabego oddziaływania może oddziaływać z dwoma mezonami. Mamy tutaj dwa drgania proste zwanych mezonami {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>K^0_1\;</MATH>}}. W przypadku, gdy te dwie postacie drgań prostych nie rozpadają się na cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w jednych tych stanów z dwóch jest określone przez wzory: {{LinkWzór|10.1}} i {{LinkWzór|10.2}}. Jeśli weźmiemy przykład tłumienia drgań dla tych dwóch cząstek, co jest równoważne rozkładowi tych mezonów na inne cząstki, to prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w pierwszym lub drugim stanie, jest określane przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}+2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.3}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>|\psi(K^0_1)|^2=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{1}\over{4}}\left[e^{-{{t}\over{\tau_1}}}+e^{-{{t}\over{\tau_2}}}-2e^{-{{1}\over{2}}\left({{t}\over{\tau_1}}+{{t}\over{\tau_2}}\right)}\cos( \omega_1-\omega_2)t\right]\;</MATH>|10.4}} }} == Wyprowadzenie związku dyspersyjnego dla fal de Broglie'a == Funkcja falowa drgań harmonicznych o częstości &omega; przestawiamy jako funkcję eksponencjalną, której amplituda jest zależna od położenia z: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=Af(z)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.5}} Jeśli ten związek podstawimy do równania mechaniki kwantowej zależnego od czasu, w ten sposób uzyskamy zależność różniczkową na funkcję f(z): {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.6}} Ze związku {{LinkWzór|10.6}} otrzymujemy natychmiast funkcję f(z), która jest kombinacją liniową funkcji sinus i kosinus, którym argumentem jest iloczyn liczby falowej i położenia cząstki kwantowej, wtedy całą funkcję falową &psi;(z,t) {{LinkWzór|10.5}} możemy określić: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[A\sin kz+B\cos kz\right]e^{i\omega t}\;</MATH>|10.7}} Jeśli jeszcze raz podstawimy {{LinkWzór|10.7}} do równania zależnego od czasu, wtedy otrzymujemy związek dyspersyjny częstotliwości kołowej &omega; w zależności od liczby falowej k: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega={{\hbar^2k^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.8}} === Fale stojące na kwantowej strunie skrzypcowej === Mając związek w postaci funkcji falowej {{LinkWzór|10.7}}, która na jej dwóch końcach ta funkcja nie przedstawia żadnych drgań, wtedy dla jednego końca z=0, otrzymujemy natychmiast B=0, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}A\sin kx\;</MATH>|10.9}} Ponieważ długość sprężynki jest skończona i wynosi L, to aby dla prawego końca funkcja {{LinkWzór|10.9}} była równa zero, to musi być na pewno spełniony związek: {{CentrujWzór|<MATH>kL=n\pi\Rightarrow k=n{{\pi}\over{L}}\;</MATH>|10.10}} Unormujmy funkcję {{LinkWzór|10.9}} do jedynki, licząc całkę z kwadratu modułu {{LinkWzór|10.9}}, wykorzystując warunki brzegowe {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>1=\int_0^L|\psi|^2dz=A^2\int_0^L\sin^2kz dz={{1}\over{2}}A^2\int_0^L\left[1-\cos 2kz\right]={{1}\over{2}}A^2\left[1-{{1}\over{2k}}\cos2kz\Bigg|_0^{n{{\pi}\over{L}}}\right]={{1}\over{2}}A^2L\;</MATH>|10.11}} Ostateczną funkcję falową {{LinkWzór|10.9}} na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.11}} jest funkcja zależna od "z" przy warunkach brzegowych {{LinkWzór|10.10}}: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\sqrt{{{2}\over{L}}}e^{i\omega t}\sin kz\;</MATH>|10.12}} Związek dyspersyjny jaki rządzi równaniem {{LinkWzór|10.12}}, który wynika z {{LinkWzór|10.8}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_n=\omega_0+{{\hbar k_n^2}\over{2m}}=\omega_0+{{\hbar\left(n\pi/L\right)^2}\over{2m}}\mbox{ dla } n=1,2,3,...,\mbox{ przy }\omega_0={{V}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.13}} === Kwantowy i klasyczny ośrodek niejednorodny === Rozważmy kwantowy ośrodek, w którym panuje niejednorodny potencjał zależny od z, czyli V(z), wtedy możemy napisać w analogii do {{LinkWzór|10.6}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}={{2m}\over{\hbar^2}}\left[V(z)-\hbar\omega\right]f(z)\;</MATH>|10.14}} W mechanice klasycznej dla niejednorodnej struny {{LinkWzór|2.57|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}} równanie, w której w strunie wszędzie panuje takie same naprężenie równe T{{Sub|0}}(z)=T{{Sub|0}}, powstałe po podstawieniu funkcji falowej {{LinkWzór|10.5}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>{{d^2f(z)}\over{dz^2}}=-{{\omega^2\rho(z)}\over{T_0}}f(z)\;</MATH>|10.15}} == Obszar zakazany w sensie klasycznym i przenikanie do niego cząstki kwantowej i klasycznej == Energia klasyczna całkowita cząstki krążącej pomiędzy barierami potencjału, która ta cząstka przez nie może jej przeniknąć jest określona przez: {{CentrujWzór|<MATH>E={{p^2}\over{2m}}+V\;</MATH>|10.16}} Jeśli ona porusza się w przedziale o zerowym potencjale klasycznym i chce się przedostać do nieskończonego potencjału klasycznego, to cząstka w nim przebywająca ma energię kinetyczną ujemną, co jest pozbawione sensu fizycznego w mechanice fizycznej, ale nie w mechanice kwantowej. W fizyce klasycznej cząstka uderzająca w barierę potencjału zmienia swój pęd na przeciwny. Związek dyspersyjny rządzący pomiędzy częstością kołową drgań cząstki kwantowej, a liczbą falową uzyskujemy, podstawiając do {{LinkWzór|10.16}} zależności {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)+{{\hbar k^2}\over{2m}}\mbox{ dla }\omega>\omega_0\mbox{, gdzie: }\omega_0(z)={{V(z)}\over{\hbar}}\;</MATH>|10.17}} === Przechodzenie przez barierę potencjału a analogia z sprzężonymi wahadłami w mechanice klasycznej === W mechanice klasycznej istnieje związek dyspersyjny dla małych liczb falowych dla nieciągłej struny {{LinkWzór|2.86|Układy_fizyczne,_a_jego_drgania_o_wielu_stopniach_swobody}}: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2+{{K^2a^2}\over{M}}k^2\mbox{ dla }\omega^2>\omega_0^2\mbox{, gdzie }\omega_0^2={{g}\over{l}}\;</MATH>|10.18}} Inny związek dla częstości reaktywnych, który jest przestawiony związkiem {{LinkWzór|3.96|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} dla małych współczynników wygaszania, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\omega^2=\omega_0^2-{{K^2a^2}\over{M}}\chi^2\;</MATH>|10.19}} W mechanice kwantowej związek dyspersyjny dla fal eksponencjalnych możemy przedstawić przy pomocy związku zapisanego przy pomocy współczynnika wygaszania &chi;: {{CentrujWzór|<MATH>\omega=\omega_0(z)-{{\hbar\chi^2}\over{2m}}\mbox{, dla }\omega<\omega_0\;</MATH>|10.20}} == Prędkość fazowa i grupowa według mechaniki klasycznej i szczególnej teorii względności == Biorąc związek słuszny w mechanice kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.17}}, to policzmy jego prędkość fazową i grupową poruszającej się cząstki w mechanice kwantowej falowej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>v_f(k)={{\omega}\over{k}}={{\hbar k}\over{2m}}+{{V}\over{\hbar k}}={{1}\over{2}}p+{{V}\over{p}}\;</MATH>|10.21}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;</MATH>|10.22}} }} Biorąc związek znany ze szczególnej teorii względności możemy zapisać związek pomiędzy energią a pędem cząstki, to zależność dyspersyjna, pomiędzy częstotliwością a liczbą falową, przestawiamy według związku: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar^2\omega^2=(mc^2)^2+(\hbar ck)^2\;</MATH>|10.23}} Prędkość grupową cząstki według mechaniki kwantowej relatywistycznej możemy przedstawić jako pochodna częstotliwości kołowej wynikającej z równania {{LinkWzór|10.23}} względem liczby falowej, to wszystko określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>v_g={{d\omega}\over{dk}}={{c^2k}\over{\omega}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2mv}\over{mc^2}}=v\;</MATH>|10.24}} Widzimy, że według mechaniki kwantowej klasycznej {{LinkWzór|10.22}} i według mechaniki relatywistycznej {{LinkWzór|10.24}} prędkość grupowa jest równa prędkości cząstki. == Wyprowadzenie równań falowych fal de Broglie'a według hamiltonianu klasycznego i relatywistycznego == Funkcję falową określmy dla fali o częstości kołowej &omega; i liczbie falowej "k" jako fale biegnące w kierunku zgodnym z osią "z" i niezgodnym z tą osią, przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)\;</MATH>|10.25}} Policzmy teraz drugą pochodną wyrażenia {{LinkWzór|10.25}} względem czasu, najpierw, licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu częstotliwości kołowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-i\omega e^{i\omega t}\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)=-i\omega\psi(z,t)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=-\omega^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.26}} A teraz policzmy drugą pochodną funkcji falowej {{LinkWzór|10.26}}, ale najpierw, licząc jego pierwszą pochodną, dla której dowiemy się, że ona jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby falowej wziętej z minusem i do funkcji falowej &psi;(z,t): {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=e^{i\omega t}\left(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz}\right)\Rightarrow{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}=-k^2\psi(z,t)\;</MATH>|10.27}} Będziemy tutaj korzystać ze wzoru na całkowitą energie układu składającą się z jednej cząstki {{LinkWzór|10.16}} i podstawimy do niego wzór na energię równą {{Formuła|<MATH>E=\hbar\omega\;</MATH>}} i na pęd {{Formuła|<MATH>p=\hbar k\;</MATH>}}, wtedy po podstawieniu do niego wzoru na częstotliwość kołową wynikającego z {{LinkWzór|10.26}} i kwadrat liczby falowej wynikającego z {{LinkWzór|10.27}}, w ten sposób otrzymujemy równanie falowe mechaniki kwantowej klasycznej, wychodząc z zasady zachowania energii dla mechaniki Newtona: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi(z,t)}\over{\partial t}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t}}+V\psi(z,t)\;</MATH>|10.28}} Powyższe równanie mechaniki falowej klasycznej jest spełnione dla V stałego, ale można go uogólnić dla pewnej niestałej funkcji potencjału zależną od z. To równanie tak uogólnione zwane jest jednowymiarowym równaniem Schrödingera. Mając wzór {{LinkWzór|10.23}}, który można go tak rozpisać w troszeczkę w innej postaci, wykonując potęgowanie w jego drugim wyrazie, w ten sposób otrzymujemy równość mechaniki relatywistycznej kwantowej Kliena-Gordona: {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial^2\psi(z,t)}\over{\partial t^2}}=c^2{{\psi^2\psi(z,t)}\over{\partial z^2}}-{{m^2c^4}\over{\hbar^2}}\psi(z,t)\;</MATH>|10.29}} Równanie falowe {{LinkWzór|10.28}} dla m=0 jest równaniem falowym opisujących fotony dla fal nieulegających dyspersji pędzących z prędkością równą "c". == Promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez jednowymiarowy atom w mechanice falowej == Weźmy sobie teraz elektron krążący w studni potencjału, którego funkcja falowa jest superpozycją dwóch stanów pierwszego podstawowego i pierwszego wzbudzonego: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\underbrace{A_1e^{-i\omega_1 t}\cos k_1 z}_{\psi_1(z,t)}+\underbrace{A_1e^{-i\omega_2 t}\sin k_2 z}_{\psi_2(z,t)}\mbox{, dla }k_1L=\pi\mbox{ i }k_2L=2\pi\;</MATH>|10.30}} Wyznaczmy teraz kwadrat modułu wyrażenia {{LinkWzór|10.30}}, którego definicja znana jest z algebry, przedstawiony w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi(z,t)|^2=A_1^2\cos^2k_1z+A_2^2\sin^2k_2z+2A_1A_2\cos k_1z\sin k_2z\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.31}} Policzmy teraz całkę kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.29}}, czyli funkcji {{LinkWzór|10.30}}, wykorzystując wzór na sinus i kosinusa podwojonego kąta, co według powyższych rozważań tą naszą całkę przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}|\psi|^2dz=(A_1^2+A_1^2){{L}\over{2}}\;</MATH>|10.32}} Wyznaczmy teraz całkę z iloczynu funkcji "z" i kwadratu modułu funkcji falowej {{LinkWzór|10.31}}, którą możemy przecałkować względem "z", i wyłączając przed nawias funkcję niezależną od "z", także wykorzystując wzór na sumę sinusów znanego ze szkoły średniej: {{CentrujWzór|<MATH>\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z|\psi|^2dz=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\int_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}z\left[\sin(k_2+k_1)z+\sin(k_2-k_1)z\right]dz=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =-A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\Bigg\{\left[z{{1}\over{k_1+k_2}}\cos(k_2+k_1)z+z{{1}\over{k_1-k_2}}\cos(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}-\;</MATH>{{Br}}<MATH>-\left[{{1}\over{(k_1+k_2)^2}}\sin(k_2+k_1)z+{{1}\over{(k_2-k_1)^2}}\sin(k_2-k_1)z\right]_{-{{L}\over{2}}}^{{{L}\over{2}}}\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[-{{2L^2}\over{9\pi^2}}+{{2L^2}\over{\pi^2}}\right]=A_1A_2\cos(\omega_2-\omega_1)t\left[{{-2L^2+18L^2}\over{9\pi^2}}\right]= {{16L^2}\over{9\pi^2}}A_1A_2\cos(\omega_1-\omega_2)t </MATH>|10.33}} Całkowita średnia prędkość cząstki określamy przy pomocy wzorów {{LinkWzór|10.30}} i {{LinkWzór|10.31}}, która jak się przekonamy zależy od czasu "t" i różnicy częstotliwości kołowych &omega;{{Sub|1}} i &omega;{{Sub|2}} i amplitud A{{Sub|1}} i A{{Sub|2}}: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{z}={{\int z|\psi|^2dz}\over{\int|\psi|^2dz}}={{32L^2}\over{9\pi^2}}{{A_1A_2}\over{A_1^2+A_2^2}}\cos(\omega_2-\omega_1)t\;</MATH>|10.34}} Położenie elektronu krążącego, który ma ładunek q=-e, oscyluje według wzoru {{LinkWzór|10.34}} z częstością dudnień &omega;{{Sub|2}}-&omega;{{Sub|1}}, który to wysyła promieniowanie w postaci lecących fotonów ze wspomnianą częstością kołową. == Źródła spójne w czasie przy częstości dudnień optycznych == Zapiszmy teraz w postaci zespolonej całkowite zespolone natężenie fali, w której pierwsza fala jest napisana przy częstości kołowej &omega;{{Sub|1}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|1}}, a druga fala jest o częstości &omega;{{Sub|2}} i o przesunięciu fazowym &phi;{{Sub|2}}, które razem to przepisujemy, dokonując superpozycję tychże fal: {{CentrujWzór|<MATH>E_c(t)=E_1e^{i(\omega_1 t-\varphi_1)}+E_2e^{i(\omega_2 t-\varphi_2)}\;</MATH>|10.35}} Każdą liczbę zespoloną możemy rozłożyć jako wektor w płaszczyźnie zespolonej, zatem długość wektora jako liczby zespolonej {{LinkWzór|10.35}} możemy przedstawić jako moduł z tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>|E_c(t)|^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\left[(\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2)\right]\;</MATH>|10.36}} Średnią energię przedstawiamy jako wielkość uśrednianą w ciągu jednego okresu wielkości {{LinkWzór|10.36}} dla zespolonego natężenia fali {{LinkWzór|10.35}}, jak widzimy w tak otrzymanym wzorze na strumień energii występuje częstość dudnień równą &omega;{{Sub|1}}-&omega;{{Sub|2}}, która powinna przyjmować stosunkowo niską wartość. Czas koherencji, który jest odwrotnością szerokości pierwszej fali dla zmieniającej się stałej fazowej w ciągu jednego okresu, której również amplitudy tychże drgań też się zmieniają w sposób przypadkowy, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>t_{1}(\mbox{koh})\simeq (\Delta \nu_1)^{-1}\;</MATH>|10.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>t_2(\mbox{koh})\simeq(\Delta\nu_2)^{-1}\;</MATH>|10.38}} }} Aby można było zaobserwować dudnienia zapisane według &nu;{{Sub|1}}-&nu;{{Sub|2}}, to czasy (okresy) koherencji powinny być duże w porównaniu w porównaniu ze wspomnianą częstością dudnień, zatem aby eksperyment obserwacji tychże fal udał się, to czasy dudnień powinny spełniać następujące dwa warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_1<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.39}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\nu_2<|\nu_1-\nu_2|\;</MATH>|10.40}} }} == Czemu niebo jest jasne == W rozdziale: {{sr|p=Fale dwu- i trójwymiarowe rozchodzące się w przestrzeni|#Czemu niebo jest niebieskawe}}, rozpatrywaliśmy czemu niebo w dzień jest niebieskie, a wieczorem czerwone. A teraz rozpatrzmy czemu niebo jest jasne. Rozpatrzymy teraz rozumowanie, które mówi dlaczego niebo powinno być niewidzialne. Rozpatrzmy elektron znajdujący w cząsteczce, który wysyła promieniowanie we wszystkich kierunkach znajdujący się pierwszym atomie, a teraz weźmy sobie drugi atom, który jest w pół długości fali dalej od obserwatora, oba te cząsteczki są pobudzane tymi samymi przesunięciami fazowymi, i tymi samymi amplitudami, co w wyniku nakładania się tych dwóch fali daje nam zero w położeniu obserwatora. Dla rozpraszania pod kątem 90{{Sup|0}} możemy spełnić te żądania dla fazy i amplitudy tak by cząsteczce pierwszej odpowiadała cząsteczka druga. Dla rozpraszania bliskiego mimo, że cząsteczki znajdujące od obserwatora są pobudzane o pół okresu wcześniej i są oddalone o półokresu dalej od obserwatora, ale one nie powodują one interferencji dekonstruktywnej. Biorąc pod uwagę, że sześcian zawiera {{Formuła|<MATH>4\cdot 10^6\;</MATH>}} cząsteczek, gęstość powietrza maleje wykładniczo wraz z wysokością, co powinno wystarczyć do zaistnienia interferencji dekonstruktywnej, ale to nie wystarcza, dlaczego? Powyższe przewidywania przeczą doświadczeniu, bo natężenie jest niemal takie jakie są wyniki rozpraszania na N cząsteczkach i napisane jest w postaci sumy natężeniem rozpraszania przez te cząsteczki, które są przyczynkami do tego natężenia. I nie wiadomo nadal dlaczego interferencja dekonstruktywna nie następuje. Jeśli obierzemy wodę zamiast powietrza interferencja dekonstruktywna następuje dla rozpraszania 90{{Sup|0}}. Wiązka z latarki przechodzi przez czystą wodę przy nieznacznej stracie natężenia, jeśli pominąć nieznaczne rozszerzenia wiązki spowodowanej przez dyfrakcję. Rozproszenie przy 90{{Sup|0}} przy przejściu 10 m jest małe w porównaniu z powietrzem przy takiej samej wysokości. Przy tym rozproszeniu w wodzie dodaje się do siebie amplitudy fali rozproszeniowej, a w przypadku powietrza ich natężenia, dlatego w wodzie występuje interferencja dekonstruktywna. Tajemnicza kryje się w tym, że cząsteczki wody są rozłożone równomierne i znajdzie się zawsze cząsteczka wody numer dwa, wyniku której przewidziana interferencja jest dekonstruktywna, a w powietrzu na pierwszą cząsteczkę powietrza przypada średnio jedna ale druga cząsteczka powietrza, czasem w cale, zatem to wyjaśnia dlaczego w powietrzu sumują się natężenia, a wodzie amplitudy. Weźmy sobie teraz obszar pierwszy i drugi znajdujący w tej samej odległości od słońca w przybliżeniu, ale obszar drugi znajduje się pół okresu dalej, a każdy z tych obszarów jest mały w porównaniu z długością fali światła monochromatycznego tutaj rozpatrywanego. Weźmy wszystkie cząsteczki znajdujące się w obszarze pierwszym, w którym każda cząsteczka wnosi przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze dwa przyczynek {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2\;</MATH>}}, czyli całkowite natężenie pola w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>n_1\vec{E}_1\;</MATH>}}, a w obszarze drugim jest {{Formuła|<MATH>n_2\vec{E}_2\;</MATH>}}, jeśli przyjmować będziemy falę biegnącą, który drugi obszar jest pół okresu dalej niż pierwszy, czyli powinno wtedy zachodzić {{Formuła|<MATH>\vec{E}_2=-\vec{E}_1\;</MATH>}}, zatem całkowite natężenie fali docierające do obserwatora jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}=n_1\vec{E}_1+n_2\vec{E}_2=(n_1-n_2)\vec{E}_1\;</MATH>|10.41}} Pole wytwarzane przez jedną pobudzoną cząsteczkę jest opisywane przez funkcję: {{CentrujWzór|<MATH>E_1=A_1\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.42}} A całkowite natężenie fali wytarzanej przez cząsteczki w obszarze pierwszym i drugim jest opisywane poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>E=A\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.43}} Biorąc natężenie fali wytwarzanej prze pojedynczą cząsteczkę {{LinkWzór|10.41}} i przez cząsteczki znajdujące się obszarze drugim {{LinkWzór|10.43}}, wstawiając to wszystko do wzoru na całkowite natężenie fali w punkcie obserwatora, po tak otrzymanej tożsamości i podzieleniu przez kosinus, otrzymujemy zależność pomiędzy amplitudami: {{CentrujWzór|<MATH>A=(n_1-n_2)A_1\;</MATH>|10.44}} We wzorze n{{Sub|1}} jest raz mniejsze, a za drugim większe od n{{Sub|2}}, a średnio rzecz, mówiąc, oba te wielkości średnio są sobie równe, wtedy średnio powinna występować interferencja dekonstruktywna pod kątem 90{{Sup|0}}. Całkowite natężenie fali obserwowanego przez naszego obserwatora jest wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1\;</MATH>|10.45}} Weźmy sobie, że liczba cząsteczek znajdujących się w pierwszym obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a w drugim obszarze jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy pierwszy czynnik występujący po prawej stronie pod średnią możemy przepisać wiedząc, że średnia wartość wartości n{{Sub|1}} jest {{Formuła|<MATH>\overline{n}_1\;</MATH>}}, a także średnia liczba cząsteczek n{{Sub|2}} jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{n}_2\;</MATH>}}, wtedy można napisać: {{CentrujWzór|<MATH>(n_1-n_2)^2=[(n_1-\overline{n}_1)-(n_2-\overline{n}_2)]^2=(n_1-\overline{n}_2)^2+(n_2-\overline{n}_2)^2-2(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)\;</MATH>|10.46}} Policzmy teraz średnią wartość trzeciego wyrażenia występującego w punkcie {{LinkWzór|10.46}}, która jak się przekonamy jest równa zero, a oto jego dowód: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)(n_2-\overline{n}_2)}=\overline{(n_1-\overline{n}_1)}\overline{(n_2-\overline{n_2})}=(\overline{n}_1-\overline{n}_1)(\overline{n}_2-\overline{n}_2)=0\;</MATH>|10.47}} Biorąc rozkład Poissona, w którym wartość oczekiwana jest równa wariancji, zatem na podstawie tego możemy napisać dwa wnioski wynikające z tego rozkładu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.48}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}=\overline{n}_1\;</MATH>|10.49}} }} Biorąc wnioski {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, a także wniosek {{LinkWzór|10.46}} i {{LinkWzór|10.47}}, wtedy {{LinkWzór|10.45}} możemy zapisać do postaci: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1=\overline{(n_1-\overline{n}_2)^2}+\overline{(n_2-\overline{n}_2)^2}+0=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_1=\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.50}} Dla wody warunki {{LinkWzór|10.48}} i {{LinkWzór|10.49}}, które są dla powietrza, odpowiadają warunkom: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_1-\overline{n}_1)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.51}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\overline{(n_2-\overline{n}_2)}<<\overline{n}_1\;</MATH>|10.52}} }} Patrząc na warunek {{LinkWzór|10.50}}, który odpowiada ośrodkowi, który jest powietrzem opisanym na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.51}} i {{LinkWzór|10.52}}, natomiast dla wody odpowiada warunek: {{CentrujWzór|<MATH>I=\overline{(n_1-n_2)^2}I_1<<\overline{n}_1I_1+\overline{n}_2I_2\;</MATH>|10.53}} == Fale elektromagnetyczne rozchodzące się w ośrodkach materialnych == === Równania Maxwella === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Różniczkowe prawa Maxwella dla materii''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{sw}</MATH>|10.54}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.55}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.56}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_{sw}+{{\partial\vec{D}}\over{\partial t}}</MATH>|10.57}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Definicja pewnych wektorów w prowadzonych dla dowolnego ośrodka'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor indukcji elektrycznej'''}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|'''Wektor natężenia pola magnetycznego'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}</MATH>|10.58}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{CentrujWzór|<MATH>\vec{H}={{1}\over{\mu_0}}\vec{B}-\vec{M}</MATH>|10.59}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Wprowadzenie do teorii o ośrodkach liniowo-izotropowych === Siła działający na ładunek q określamy poprzez wzór napisany przy pomocy natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\;</MATH>|10.60}} Siły działająca na ładunki znajdujące się w ośrodku pochodzą od natężenia pola elektrycznego {{Formuła|<MATH>\vec{E}\;</MATH>}} i indukcji pola magnetycznego {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Ośrodek nazywamy izotropowym, jeśli polaryzacja {{Formuła|<MATH>\vec{P}\;</MATH>}} ma kierunek wzdłuż wektora <math>\vec{E}\;</MATH>, a magnetyzacja ma kierunek zgodny z wektorem indukcji magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}}. Z powyższych warunków możemy wywnioskować wnioski, że jeśli polaryzacja jest równa zero, to natężenie pola też jest równe zero, a także jeśli magnetyzacja jest równa zero, to wektor indukcji jest równy zero. Ośrodek izotropowy jest taki, że jeśli iksowa składowa polaryzacji zależy tylko od iksowej składowej iksowej pola elektrycznego, a nie od igrekowego, ten związek tej zależności jest: {{CentrujWzór|<MATH>P_x=\epsilon_0\chi E_x+\alpha E_x^2+\beta E_x^3+...\;</MATH>|10.61}} Przy dostatecznie małych natężeniach pola elektrycznego w wyrażeniu {{LinkWzór|10.61}} możemy zaniedbać wyrazy wyższe niż liniowe. Polaryzację i magnetyzację liniową możemy przedstawić jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,y,z)=\epsilon_0\chi(z,y,z)E_x(x,y,z)\;</MATH>|10.62}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>M_x(z,y,z)=\chi_m(x,y,z)B_x(x,y,z)\;</MATH>|10.63}} }} Przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane poprzez wzory {{LinkWzór|10.58}} i {{LinkWzór|10.59}} są napisane: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon E_x=\epsilon_0E_x+\epsilon_0\chi E_x\Rightarrow\epsilon=\epsilon_0(1+\chi)\;</MATH>|10.64}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\mu}}B_x={{1}\over{\mu_0}}B_x-\chi_mB_x\Rightarrow \mu=(1+\chi_m)\mu_0\;</MATH>|10.65}} }} Względne przenikalności elektryczne i magnetyczne zdefiniowane są na podstawie wzorów {{LinkWzór|10.64}} i {{LinkWzór|10.65}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi\;</MATH>|10.66}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_r=1+\chi_m\;</MATH>|10.67}} }} Uogólnienie wniosku {{LinkWzór|10.62}} dla pól zależnych od czasu, w którym polaryzacja jest równoległa do natężenia pola elektrycznego dla pól rozprzestrzeniających się w czasie prowadzi do fałszywych wniosków, że powinno zachodzić dla częstości drgań fali elektrycznej &omega;: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(z,y,z,\omega t)=\epsilon_0\chi(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)\;</MATH>|10.68}} W tym celu należy wprowadzić podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną, dzięki któremu możemy wprowadzić polaryzację iksową, którego definicja jest sumą iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elastyczną i przez E{{Sub|x}} i iloczynu przenikalności elektrycznej w próżni przez podatność elektryczną absorpcyjną i przez natężenia fali pola elektrycznego przesuniętego w fazie o 90{{Sup|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(x,t,z,\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t)+\epsilon_0\chi_{ab}(z,y,z,\omega)E_x(x,y,z,\omega t-{{1}\over{2}}\pi)\;</MATH>|10.69}} Natężenie fali elektromagnetycznej zmienia się według funkcji proporcjonalnej do kosinusa, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.70}} Wtedy polaryzację wyrażoną wzorem {{LinkWzór|10.69}} przy definicji natężenia iksowego fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.70}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi_{el}E_0\cos(\omega t+\varphi)+\epsilon_0\chi_{ab}E_0\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.71}} === Prosty model ośrodka izotropowego liniowego i wyznaczanie podatności elastycznej i magnetycznej === Rozważmy prosty model ośrodka liniowego i izotropowego, w której jądra są znacznie cięższe od rozważanego ładunku, który jest połączony z jądrem sprężyście o stałej sprężystości równą {{Formuła|<MATH>M\omega_0^2\;</MATH>}}. Ruch jądra jest pomijalny, wiec nie mamy magnetyzacji. Na ten ładunek działa siła tłumiąca jego ruch o stałej tłumienia równą {{Formuła|<MATH>M\Gamma\;</MATH>}}, zatem równanie ruchu ładunku q, na którą działa pole elektryczne o przebiegu kosinusoidalnej, jest: {{CentrujWzór|<MATH>M\ddot{x}=-M\omega_0^2x-M\Gamma\dot{x}+qE_x\;</MATH>|10.72}} Natężenie fali pola elektrycznego, w zależności od częstotliwości występujące w równaniu {{LinkWzór|10.72}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>E_x(\omega t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.73}} Równanie ruchu położenia cząstki, który określamy poprzez amplitudę elastyczną E{{Sub|el}} i amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_{el}\cos(\omega t+\varphi)+A_{ab}\sin(\omega t+\varphi)\;</MATH>|10.74}} Amplitudę absorpcyjną A{{Sub|ab}} i elastyczną A{{Sub|el}}, które już określaliśmy dla F{{Sub|0}}=qE{{Sub|0}} w punktach {{LinkWzór|3.29|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}} i {{LinkWzór|3.30|Drgania_wymuszone_układów_harmonicznych}}, które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{el}={{qE_0}\over{M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.75}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.76}} }} Ponieważ polaryzację definiujemy jako iloczyn koncentracji N, ładunku q i położenia tegoż ładunku {{LinkWzór|10.74}} przy definicji natężenia fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(t)=Nqx(t)=NqA_{el}\cos(\omega t+\varphi)+NqA_{ab}\sin(\omega t+\varphi)={{NqA_{el}}\over{E_0}}E_x(\omega t)+{{NqA_{ab}}\over{E_0}}E_x\left(\omega t-{{1}\over{2}}\pi\right)\;</MATH>|10.77}} Możemy porównać wzory {{LinkWzór|10.71}} z {{LinkWzór|10.77}} na polaryzację iksową, wtedy dostajemy wzory na podatność elektryczną elastyczną i absorpcyjną: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi_{el}={{Nq A_{el}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.78}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi_{ab}={{Nq A_{ab}}\over{\epsilon_0E_0}}={{Nq}\over{M\epsilon_0}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.79}} }} === Liczby zespolone w równaniach elektrodynamiki klasycznej i prowadzenie definicji podatności zespolonej === Równania elektrodynamiki klasycznej Maxwella nie zawierają w sobie liczb zespolonej, ale też jego rozwiązania, ale możemy prowadzić podatność elektryczną jako wielkość zespoloną jako: {{CentrujWzór|<MATH>\chi=\chi_{el}+i\chi_{ab}\;</MATH>|10.80}} Polaryzację zespoloną możemy przedstawić w zależności od natężenia pola elektrycznego zespolonego dla fali elektrycznej o częstotliwości kołowej &omega; wedle: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=\epsilon_0\chi E_x(\omega t)\;</MATH>|10.81}} Jeśli przedstawimy natężenie zespolone pola elektromagnetycznego w postaci wzoru zależnego od częstotliwości kołowej zapisywaną w konwencji używanej w mechanice kwantowej: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}\;</MATH>|10.82}} Wtedy zapis polaryzacji zespolonej {{LinkWzór|10.81}} przy zastosowaniu definicji podatności elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} i wzoru na natężenie fali pola elektrycznego {{LinkWzór|10.82}} prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH>P_x(\omega t)=(\chi_{el}+i\chi_{ab})E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_0e^{-i(\omega t+\varphi)}+\chi_{ab}e^{-i{{\pi}\over{2}}}e^{-i(\omega t+\varphi)}=\chi_{el}E_{x}(\omega t)+\chi_{ab}E_{x}\left(\omega t-{{\pi}\over{2}}\right)\;</MATH>|10.83}} Część rzeczywista równania na polaryzację zespoloną {{LinkWzór|10.83}} jest w naszym przypadku polaryzacją elektryczną ośrodka, która jest taka sama jak wzór {{LinkWzór|10.71}}, wtedy definicja podatności zespolonej elektrycznej {{LinkWzór|10.80}} jest definicją poprawną i zgadza się z naszymi rozważaniami. === Prosty model ośrodka liniowego izotropowego i jego zespolona stała dielektryczna === Względną zespoloną stałą dielektryczną możemy liczyć z bardzo podobnej definicji do {{LinkWzór|10.66}}, przy definicji podatności elektrycznej równą {{LinkWzór|10.80}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=1+\chi=1+{{Nq}\over{\epsilon_0M}}{{\omega_0^2-\omega^2}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}+i{{Nq}\over{\epsilon_0 M}}{{\Gamma\omega}\over{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\Gamma^2\omega^2}}\;</MATH>|10.84}} === Rozwiązywanie ruchu ładunku q w ośrodku tłumionym o wymuszonym pod działaniem konsinosidalnej siły elektrycznej przy wprowadzeniu liczb zespolonych === Równanie ruchu danego ładunku w ośrodku przestawiamy analogicznie do {{LinkWzór|10.73}}, który jest przedstawiony w przestrzeni rzeczywistej, a tutaj przedstawimy je w przestrzeni zespolonej: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+\omega_0^2x={{q}\over{M}}E_0e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.85}} Będziemy tutaj rozpatrywać ruch ładunków ośrodka, którego rozwiązanie przepuszczalne jest dla x=x{{Sub|0}}e{{Sup|-i&omega;t}}, wtedy podstawiając to do {{LinkWzór|10.85}} i pamiętając przy tym {{Formuła|<MATH>\dot{x}=-i\omega x\;</MATH>}}, i {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=-\omega^2x\;</MATH>}}, wtedy powyższe równanie ruchu cząstki obdarzonej ładunkiem q w ośrodku jest: {{CentrujWzór|<MATH>(-\omega^2-i\omega\Gamma+\omega^2_0) x={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow x(\omega t)={{q}\over{M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega)-i\omega\Gamma}}E_x(\omega t)\;</MATH>|10.86}} Równanie {{LinkWzór|10.86}}, a właściwie jej część rzeczywista jest równoważna z rozwiązaniem {{LinkWzór|10.74}} przy definicji amplitudy elastycznej A{{Sub|el}} {{LinkWzór|10.75}} i absorpcyjnej A{{Sub|ab}} {{LinkWzór|10.86}}. Stałą podatność piszemy w postaci wzoru wynikającą z {{LinkWzór|10.81}}, w której wykorzystamy definicję polaryzacji elektrycznej {{LinkWzór|10.77}} do zapisania tej wielkości: {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{P_x}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nqx}\over{\epsilon_0E_x}}={{Nq^2}\over{\epsilon_0E_x}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.87}} Zespoloną względna przenikalność elektryczną liczmy ze wzoru {{LinkWzór|10.87}}, w ten sposób otrzymujemy analogiczny do {{LinkWzór|10.84}} wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon_r=1+\chi=1+{{Nq^2}\over{\epsilon_0M}}{{1}\over{(\omega_0^2-\omega^2)-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.88}} Jak można wykazać, wzór {{LinkWzór|10.88}} jest równoważny ze wzorem {{LinkWzór|10.84}}, co tutaj nie będziemy wykazywali, co jest trywialne. === Równania elektrodynamiki klasycznej dla ośrodka liniowego izotropowego === {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|'''Prawa Maxwella dla ośrodka liniowego''':}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Pierwsze prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Drugie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Trzecie prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Czwarte prawo Maxwella'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{E}={{1}\over{\epsilon}}\rho_{sw}</MATH>|10.89}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\cdot\vec{B}=0</MATH>|10.90}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{E}=-{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}</MATH>|10.91}}}}<!-- -->{{Komórka|{{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{sw}+\epsilon\mu{{\partial\vec{E}}\over{\partial t}}</MATH>|10.92}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Będziemy tutaj rozpatrywali, gdy gęstość objętościowa i prąd objętościowy ładunku swobodnych są te wielkości równe zero, jeśli będziemy rozpatrywali fale elektromagnetyczne. === Równanie falowe === Mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.92}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.91}}, w ostateczności otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{B})=\epsilon\mu{{\partial}\over{\partial t}}(\nabla\times\vec{E})=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.93}} Podobne mnożymy obustronnie lewostronnie przez {{Formuła|<MATH>\nabla\times\;</MATH>}} wzór {{LinkWzór|10.91}}, dalej po skorzystaniu ze wzoru {{LinkWzór|10.92}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\times\vec{B}=-\mu\epsilon{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.94}} Będziemy tutaj wykorzystywali tożsamość, którą przepiszemy jako bez dowodu, którego przeprowadzenie jest bardzo łatwe. {{CentrujWzór|<MATH>\nabla\times(\nabla\vec{C})=\nabla(\nabla\vec{C})-\nabla^2\vec{C}\;</MATH>|10.95}} Jeśli skorzystamy z tożsamości {{LinkWzór|10.95}} do {{LinkWzór|10.93}} i {{LinkWzór|10.94}}, to w ten sposób otrzymujemy dwa równania falowe na natężenia pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{E}=-\epsilon\mu{{\partial^2\vec{E}}\over{\partial t^2}}=0\;</MATH>|10.96}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\vec{B}=-\epsilon\mu{{\partial\vec{B}}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.97}} }} Równania {{LinkWzór|10.96}} i {{LinkWzór|10.97}} są to równania fali, których jest trzy dla fali pola elektrycznego i trzy dla fali pola magnetycznego, których razem mamy sześć równań dla fali pola elektromagnetycznego, które w ogólnym przypadku zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\nabla^2\psi(x,y,z,t)-\epsilon\mu{{\partial^2\psi(x,y,z,t)}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.98}} Dla którego kwadrat liczby falowej przepisujemy do postaci zależnej od względnej przenikalności dielektrycznej i względnej przenikalności magnetycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k_x^2+k_y^2+k_z^2={{\omega^2}\over{k^2}}\mu_r\epsilon_r\;</MATH>|10.99}} Dla przenikalności elektrycznej względnej i przenikalność magnetycznej, które te dwie wielkości są zespolone, wtedy {{LinkWzór|10.99}} możemy zapisać w postaci kwadratu zespolonej liczby falowej dla rzeczywistej częstotliwości kołowej jako: {{CentrujWzór|<math>\tilde{k}^2=\tilde{\mu}_r\tilde{\epsilon}_r{{\omega^2}\over{c^2}}\;</MATH>|10.100}} Każdą falę możemy przedstawić w postaci zespolonej według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\psi(z,t)=\left[Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right]e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.101}} Dla fal elektromagnetycznych zachodzi bardzo podobny związek do {{LinkWzór|10.101}}, który tutaj dla naszego przypadku nie będziemy przepisywać dla zwięzłości wykładu. === Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego i magnetycznego dla fali płaskiej elektromagnetycznej === Związek pomiędzy falami magnetycznymi i elektrycznymi na podstawie {{LinkWzór|10.91}} i {{LinkWzór|10.92}} dla iksowego pola elektrycznego i igrekowego pola magnetycznego przepisujemy w postaci dwóch równań: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial z}}=-\epsilon\mu{{\partial E_x}\over{\partial t}}\;</MATH>|10.102}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\partial B_y}\over{\partial t}}=-{{\partial E_x}\over{\partial z}}\;</MATH>|10.103}} }} Napiszmy teraz natężenie iksowe pola elektrycznego i magnetycznego w postaci równań fali biegnącej w kierunku osi z, jest ona superpozycją fali biegnącej w kierunku +z i w kierunku -z: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x(z,t)=\left(Ae^{ikz}+Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.104}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B_y(z,t)={{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.105}} }} Równania {{LinkWzór|10.104}} i {{LinkWzór|10.105}} podstawiamy do {{LinkWzór|10.102}}, w ten sposób mamy tożsamość, którego postać po obu stronach jest jednakowa: {{CentrujWzór|<MATH>{{n}\over{c}}(ikAe^{ikz}+ikBe^{-ikz})e^{-i\omega t}=-{{-\omega i}\over{v^2}}(Ae^{ikz}+Be^{-ikz})e^{-i\omega t}\;</MATH>|10.106}} Powyższą równość jest tożsamością, jak można było udowodnić przy definicji współczynnika załamania n=c/v, następnie przejdźmy do dowodu równości {{LinkWzór|10.103}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega {{n}\over{c}}\left(Ae^{ikz}-Be^{-ikz}\right)e^{-i\omega t}=-(ikAe^{ikz}-ikBe^{-ikz})e^{-\omega t}\;</MATH>|10.107}} Powyższa równość staje się tożsamością przy definicji współczynnika załamania n=c/v. === Współczynnik transmisji i odbicia === Natężenie pola elektrycznego padająca na granicę dwóch ośrodków, na której tej granicy fala padająca jest odbijana przy współczynniku odbicia R{{Sub|12}}, a także część tej fali przechodzi do drugiego ośrodka, którego to równania fali dla natężenia fali elektrycznej padającej i odbitej przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x^{pad}=Ae^{i(k_1z-\omega t)}+AR_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.108}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E_x^{odb}=AT_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.109}} }} Dla pola magnetycznego zachodzą bardzo podobne związki do {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}} przy definicji współczynnika odbicia i transmisji: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>B_y^{pad}=n_2Ae^{i(k_1z-\omega t)}+An_2R_{12}e^{-(ik_1z-\omega t)}\;</MATH>|10.110}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>B_y^{odb}=An_2T_{12}e^{i(k_z-\omega t)}\;</MATH>|10.111}} }} Ciągłość w punkcie z=0, daje nam, że suma współczynnika odbicia R{{Sub|12}} i jedynki jest równa współczynnikowi transmisji dla równań {{LinkWzór|10.108}} i {{LinkWzór|10.109}}. A także w wyniku tożsamości {{Formuła|<MATH>H_y={{B_y}\over{\mu}}\;</MATH>}}, której natężenie pola magnetycznego jest wielkością ciągłą dla równań {{LinkWzór|10.101}} i {{LinkWzór|10.111}} dla tego samego "z", możemy zapisać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>1+R_{12}=T_{12}\;</MATH>|10.112}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{n_1}\over{\mu_1}}(1-R_{12})={{n_2}\over{\mu_2}}T_{12}\;</MATH>|10.113}} }} Zdefiniujemy teraz impedancję charakterystyczną, która jest w zależności od przenikalności elektrycznej i magnetycznej ośrodka, którego początkowa definicja jest ilorazem przenikalności magnetycznej ośrodka przez współczynnik załamania: {{CentrujWzór|<math>Z={{\mu}\over{n}}={{\mu v}\over{c}}={{\mu}\over{c}}\sqrt{{{1}\over{\mu\epsilon}}}={{1}\over{c}}\sqrt{{{\mu}\over{\epsilon}}}\;</MATH>|10.114}} Jeśli wykorzystamy definicje impedancji {{LinkWzór|10.114}}, a także wykorzystamy do tego celu tożsamości {{LinkWzór|10.112}} i {{LinkWzór|10.113}}, w ten sposób możemy wyznaczyć wzór na współczynnik odbicia, dalej przepiszemy jego postać dla przenikalności magnetycznej równą jeden: {{CentrujWzór|<MATH>Z_1^{-1}(1-R_{12})=Z_2^{-1}(1+R_{12})\Rightarrow Z_1^{-1}-Z_2^{-1}=(Z_2^{-1}+Z_1^{-1})R_{12}\Rightarrow R_{12}={{Z_2-Z_1}\over{Z_1+Z_2}}={{n_1-n_2}\over{n_ 1+n_2}}\;</MATH>|10.115}} Jeśli współczynnik załamania ośrodka pierwszego jest równy jedności, tzn. n{{Sub|1}}=1, wtedy współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.115}}, przy definicji impedancji {{LinkWzór|10.114}}, jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}\;</MATH>|10.116}} Jeśli w współczynniku odbicia R{{Sub|12}}podstawimy współczynnik załamania przez n=n{{Sub|R}}+in{{Sub|l}} dla współczynnika załamania n{{Sub|1}} równy jeden i dla współczynnika załamania n{{Sub|2}} równą po prostu n. Wtedy można przedstawić R{{Sub|12}} i jego kwadrat modułu w jednej linijce: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R_{12}={{1-n}\over{1+n}}={{(1-n_R)-in_I}\over{(1+n_R)+in_I}}=|R_{12}|e^{i\varphi}\;</MATH>|10.117}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(1-n_R)^2+n_I^2}\over{(1+n_R)^2+n_I^2}}\;</MATH>|10.118}} }} === Uproszczony prosty model przewodnika dyspersyjnego w przypadku stałego pola elektrycznego iksowego === Weźmy sobie uproszczony model przewodnika, w którym każdy elektron już nie oddziaływuje z jądrem na w sposób sprężysty, na te ładunki w przewodniku działa siła pochodząca od pola elektrycznego, jego równanie ruchu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.119}} Weźmy teraz stacjonarne pola elektryczne, to {{LinkWzór|10.119}} możemy rozwiązać, dokonując w nim podstawienia {{Formuła|<MATH>\dot{x}=s\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{s}+\Gamma s={{q}\over{M}}E_x\Rightarrow {{d}\over{dt}}\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)+\Gamma\left(s-{{qE_x}\over{M\Gamma}}\right)=0\Rightarrow s={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\Rightarrow\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\left(1-e^{-\Gamma t}\right)\;</MATH>|10.120}} Jeśli przyjmować będziemy przykład dużego tłumienia w przewodniku, wtedy wyrażenie {{LinkWzór|10.120}} możemy przepisać w sposób przybliżony: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{\Gamma M}}\;</MATH>|10.121}} === Absorpcyjny oporowy obszar częstości, przenikalność i przewodność elektryczna === Wyobraźmy sobie elektron, który oddziałuje z polem o charakterze fali, dla &Gamma;>>&omega;, wtedy na podstawie tego współczynnik elastyczny A{{Sub|el}} jest równy zero, wtedy współczynnik absorpcyjny przybiera postać: {{CentrujWzór|<MATH>A_{ab}={{qE_0}\over{M}}{{\Gamma\omega}\over{\Gamma^2\omega^2}}={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\;</MATH>|10.122}} Pochodna cząstkowa położenia ładunku q określimy jako pochodna zupełna położenia elektronu {{LinkWzór|10.73}}: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}(t)=A_{ab}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M}}{{1}\over{\Gamma\omega}}\omega\cos(\omega t+\varphi)={{qE_0}\over{M\Gamma}}\cos(\omega t+\varphi)={{qE_x}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.123}} Gęstość prądu elektrycznego, z którego wyprowadzimy różniczkowe prawo Ohma, definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq {{qE_x}\over{M\Gamma}}=\sigma E_x\mbox{ gdzie: }\sigma={{Nq^2}\over{\Gamma M}}\mbox{, dla } \omega<<\Gamma\;</MATH>|10.124}} Do tego problemu podejdźmy teraz z innej strony, rozpatrując, że pole elektryczne drga i zapiszemy go w postaci eksponencjalnej, wtedy gęstość prądu elektrycznego możemy przepisać w formie: {{CentrujWzór|<MATH>J_x=Nq\dot{x}=Nq(-i\omega x)=-i\omega(Nqx)=-i\omega P_x=-i\omega \chi \epsilon_0 E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.125}} Z posługiwania się tożsamością {{LinkWzór|10.125}} możemy wywnioskować, że przewodność elektryczną definiujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}(\omega)=-i\omega\chi\epsilon_0=-i\omega\epsilon_0(\chi_{el}+i\chi_{ab})=\omega\epsilon_0\chi_{ab}-i\omega\epsilon_0\chi_{el}\;</MATH>|10.126}} Zamiast posługiwania się powyższym wzorem na przewodność elektryczną, tzn. jej częścią rzeczywistą i urojoną, można się posługiwać zespolonymi wielkościami, dla których zespoloną podatność elektryczną i zespoloną przewodność elektryczną dla zerowania się częstotliwości drgań podstawowych piszemy przy wykorzystaniu {{LinkWzór|10.87}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi(\omega)={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{-\omega^2-i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.127}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)={{Nq^2}\over{M}}{{i\omega}\over{\omega^2+i\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.128}} }} Gdy wybierzemy przykład &omega;<<&Gamma;, wtedy zespoloną podatność elektryczną {{LinkWzór|10.127}} i zespoloną przewodność elektryczną {{LinkWzór|10.128}} piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\chi=i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.129}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\sigma}={{Nq^2}\over{M\Gamma}}\;</MATH>|10.130}} }} Wyznaczmy teraz współczynnik załamania światła, który możemy przedstawić z zależności od podatności elektrycznej, gdy współczynnik przenikalności magnetycznej względny wynosi jeden: {{CentrujWzór|<MATH>n^2={{c^2}\over{v^2}}=c\mu\epsilon=c^2\mu_r\mu_0\epsilon_0\epsilon_r=\mu_r\epsilon_r\simeq 1+\chi=1+i{{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}{{1}\over{\omega\Gamma}}=1+i{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}\mbox{, gdzie:}\omega^2_{pl}={{Nq^2}\over{\epsilon_0 M}}\;</MATH>|10.131}} ==== Rozrzedzony ośrodek oporowy ==== Dla rozrzedzonego ośrodka oporowego, zachodzą warunki, z których będziemy skorzystać: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_{pl}<<\Gamma\mbox{, }{{\omega_{pl}^2}\over{\Gamma}}<<\omega<<\Gamma\;</MATH>|10.132}} Wtedy współczynnik załamania światła {{LinkWzór|10.131}} jest napisany: {{CentrujWzór|<MATH>n=\sqrt{1+i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}}\simeq 1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\;</MATH>|10.133}} Przy liczeniu współczynnika załamania pomijaliśmy wyrazy wyższego rzędu. Policzmy zespoloną liczbę falową, wykorzystując {{LinkWzór|10.133}} przy użyciu definicji kwadratu &omega;{{Sub|pl}} i definicji przewodności elektrycznej &sigma; {{LinkWzór|10.124}}: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}={{\omega}\over{c}}\left(1+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)={{\omega}\over{c}}+i{{\omega}\over{2c}}{{\omega^2_{pl}}\over{\omega\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+{{1}\over{2}}i{{\omega_{pl}^2}\over{c\Gamma}}={{\omega}\over{c}}+i{{1}\over{2}}{{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.134}} Część urojona liczby falowej {{LinkWzór|10.134}} powoduje, że fala zanika wraz zwiększającą odległością zetową "z", ta część funkcji falowej dana jest przez e{{Sup|-Im(k)z}}, natężanie opisywanej fali jest wprost proporcjonalne do kwadratu tej części wspomnianej, czyli do e{{Sup|-2Im(k)z}}. Odległość zaniku natężenia fali elektromagnetycznej, określamy przez d=(2Im(k)){{Sup|-1}}, gdzie {{Formuła|<MATH>d\;</MATH>}} jest takie, że funkcja indukcji pola magnetycznego i natężenia pola elektrycznego zmiejsza się {{Formuła|<MATH>e\;</MATH>}} razy względem zmiennej {{Formuła|<MATH>z\;</MATH>}}, piszemy przy pomocy współczynnika przewodności: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2\operatorname{Im}(k)={{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0c}}\Rightarrow {{\rho_{res}}\over{d}}={{1}\over{\epsilon_0c}}\;</MATH>|10.135}} Mając współczynnik załamania zapisanego wzorem {{LinkWzór|10.133}}, wtedy kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_I^2}\over{2^2+n_I^2}}\simeq {{n_I^2}\over{4}}<<1\;</MATH>|10.136}} Do końcowego wzoru na współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.136}} podstawiamy cześć zespoloną wyrażenia {{LinkWzór|10.133}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{1}\over{16}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^2={{1}\over{16}}\left({{\sigma_{ps}}\over{\epsilon_0\omega}}\right)^2= {{1}\over{16}}\left({{c}\over{d\omega}}\right)^2=\left({{\not{\lambda}}\over{4d}}\right)^2<<1\;</MATH>|10.137}} ==== Gęsty ośrodek oporowy ==== W przypadku gęstego ośrodka oporowego zachodzą warunki, z których będziemy korzystali: {{CentrujWzór|<MATH>\omega<<\Gamma\mbox{, }\omega<<\omega_{pl}\mbox{, }\omega\Gamma<<\omega_{pl}^2\;</MATH>|10.138}} Biorąc wzór na współczynnik załamania n {{LinkWzór|10.133}} skorzystamy tutaj z tożsamości, którą można udowodnić, korzystając z wiadomości z algebry, tj. {{Formuła|<MATH>\left(e^{i{{1}\over{2}}\pi}\right)^{{{1}\over{2}}}=e^{i{{1}\over{4}}\pi}\;</MATH>}}, co odpowiada {{Formuła|<MATH>2^{-{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>}}, by potem było można oczywiście powiedzieć: {{CentrujWzór|<MATH>n=\left(i{{\omega_{pl}^2}\over{\omega\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\left({{\omega_{pl}^2}\over{2\omega \Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=|n|{{1+i}\over{\sqrt{2}}}\;</MATH>|10.139}} Zespoloną liczbę falową, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.139}} i przy skorzystaniu {{LinkWzór|10.131}}, możemy przedstawić w postaci zależnej od współczynnika przewodności elektrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}(1+i)=\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\sigma_{ps}}\over{2\epsilon_0c}}\right)^{{{1}\over{2}}}(i+1)\;</MATH>|10.140}} Mając zdefiniowany zespolony współczynnik załamania {{LinkWzór|10.139}} możemy policzyć kwadrat modułu współczynnika odbicia {{LinkWzór|10.118}}: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{n_R^2+1-2n_R+n_I^2}\over{n_R^2+1+2n_R+n_I^2}}\simeq{{|n|^2-2n_R}\over{|n|^2+2n_R}}={{|n|^2-\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}={{|n|^2+\sqrt{2}|n|-2\sqrt{2}|n|}\over{|n|^2+\sqrt{2}|n|}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|+\sqrt{2}}}\simeq 1-{{2\sqrt{2}}\over{|n|}}=1-2\sqrt{2}\left({{\omega\Gamma}\over{\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.141}} Ponieważ energia fali padającej do ośrodka jest wprost proporcjonalna do kwadratu funkcji falowej, zatem współczynnik "d" przedstawiający zanik natężenia fali wkraczający w ośrodek jest opisywany poprzez wzór w przedstawieniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{d}}=2k_I=2\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{\omega_{pl}^2}\over{2c\Gamma}}\right)^{{{1}\over{2}}}\Rightarrow d=\sqrt{{{c}\over{\omega}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega^2_{pl}}}\right)^{{{1}\over{2}}}= \not{\lambda}\sqrt{{{\omega}\over{c}}}\left({{c\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}\right)^{{{1}\over{2}}}=\not{\lambda}\sqrt{{{\omega\Gamma}\over{2\omega_{pl}^2}}}<<\not{\lambda}\;</MATH>|10.142}} Jak widzimy z powyższych rozważań środek oporowy rozrzedzony jest w zasadzie czarnym, co daje niemal zupełną absorpcję docierającego do niego światła. A przeciwnie ośrodek oporowy gesty zachowuje się jak dyskretny skupiony opór falowy, który daje niemal stukrotne odbicie. === Całkowicie elastyczny obszar częstości === Weźmy sobie równanie {{LinkWzór|10.114}} przy definicji położenia danego przez funkcję eksponencjalną e{{Sup|-i&omega;t}}: {{CentrujWzór|<MATH>-i\omega\dot{x}+\Gamma\dot{x}={{q}\over{M}}E_x\;</MATH>|10.143}} Rozwiązanie równania {{LinkWzór|10.119}} w postaci funkcji prędkości dla &omega;>>&Gamma; jest funkcją zależną od E{{Sub|x}}, częstotliwości kołowej &omega;, masy ładunku i ładunku o wartości "q": {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}={{qE_x}\over{M(-i\omega+\Gamma)}}\simeq {{q}\over{-i\omega M}}E_x={{iq}\over{\omega M}}E_x\;</MATH>|10.144}} Jak widzimy cząstki, dla której prędkość względem siły jest przesunięta o &plusmn;90{{Sup|0}}, wtedy praca wykonywana nad ładunkiem jest równa zero. Gęstość prądu elektrycznego określamy przy pomocy definicji prędkości zdefiniowaną w punkcie {{LinkWzór|10.144}}: {{CentrujWzór|<MATH>J=Nq\dot{x}=i{{Nq^2}\over{\omega M}}E_x=\sigma(\omega)E_x\;</MATH>|10.145}} Przestawimy teraz w jednej linijce jaka jest definicja przewodności elektrycznej według {{LinkWzór|10.145}} (która jest liczbą zespoloną) i kwadrat współczynnika załamania, patrząc na równanie {{LinkWzór|10.126}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\omega)=i{{Nq^2}\over{\omega M}}\;</MATH>|10.146}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>n^2=1+\chi=1+{{\sigma(\omega)}\over{-i\omega\epsilon_0}}=1-{{Nq^2}\over{\epsilon_0\omega^2M}}=1-{{\omega^2_{pl}}\over{\omega^2}}\;</MATH>|10.147}} }} ==== Przedział dla częstości dyspersyjnych ==== Obszar częstości dyspersyjnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma <<\omega_0\leq\omega\;</MATH>|10.148}} Na podstawie warunku dyspersyjnego dla kwadratu współczynnika załamania {{LinkWzór|10.147}} można powiedzieć, że ona mieści się w przedziale od zera do jedynki, stąd wynika, że sam współczynnik załamania też leży w tym samym przedziale: {{CentrujWzór|<MATH>0\leq n^2\leq 1\Rightarrow 0\leq n\leq 1\;</MATH>|10.149}} Widzimy na podstawie obliczeń {{LinkWzór|10.149}}, że współczynnik n jest rzeczywisty. Ten ośrodek spełniającej {{LinkWzór|10.149}} jest ośrodkiem przezroczystym, który nie ma wcale absorpcji, a względne natężenie światła jest opisywane poprzez współczynnik odbicia {{LinkWzór|10.118}}. ==== Przedział dla częstości reaktywnych ==== Obszar częstości reaktywnej możemy zdefiniować warunkami: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma<<\omega\leq\omega_{pl}\;</MATH>|10.150}} Wtedy na podstawie {{LinkWzór|10.147}} i {{LinkWzór|10.150}} zachodzi warunek: {{CentrujWzór|<MATH>-{{{\omega_{pl}}^2}\over{\Gamma^2}}<<n^2\leq 0\;</MATH>|10.151}} Współczynnik załamania dla częstości kołowych reaktywnych na podstawie {{LinkWzór|10.151}} możemy przepisać, ale nie tym razem dla kwadratu, ale dla samego współczynnika załamania, w zależności od częstotliwości kołowej fali: {{CentrujWzór|<MATH>n=i|n|=i\left({{\omega_{pl}^2}\over{\omega^2}}-1\right)^{{{1}\over{2}}}\;</MATH>|10.152}} Policzmy czemu jest równa zespolona liczba falowa, której przedstawienie w zależności od współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}} podamy w postaci urojonej w zależności od częstotliwości kołowej, modułu współczynnika załamania i prędkości światła: {{CentrujWzór|<MATH>k=n{{\omega}\over{c}}=i|n|{{\omega}\over{c}}=i|k|\;</MATH>|10.153}} Patrząc na {{LinkWzór|10.153}}, to całkowite natężenie fali w ośrodku reaktywnym jest przestawiane przy pomocy funkcji eksponencjalnych oraz względem sinusa i kosinus (bo eksponens z liczby urojonej możemy rozłożyć na jej część rzeczywistą przy pomocy kosinusa i na część urojoną przy pomocy sinusa) przy pomocy czasu: {{CentrujWzór|<MATH>E_x=\left(Ae^{-|k|x}+Be^{|k|x}\right)e^{-i\omega t}\;</math>|10.154}} Policzmy teraz kwadrat modułu współczynnik odbicia przy pomocy współczynnika załamania {{LinkWzór|10.152}}, która jest ona wyrażona przy pomocy liczby stojącej przy jednostce urojonej i bez części rzeczywistej: {{CentrujWzór|<MATH>|R_{12}|^2={{(n_R-1)^2+n_I^2}\over{(n_R+1)^2+n_I^2}}={{1+n^2_I}\over{1+n^2_I}}=1\;</MATH>|10.155}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 8wwk184tshnrjwc2ri8mseemvcbq2qo 0 21224 559065 555385 2026-10-11T01:29:10Z Persino 2851 559065 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> === Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek === W tym rozdziale będziemy analizowali kilka fundamentalnych procesów mechaniki klasycznej i relatywistycznej związanych z ruchem cząstek: * '''rozpad cząstki spoczywającej''' na dwie cząstki o pędach równych co do wartości, lecz przeciwnych co do zwrotu, * '''zderzenie doskonale sprężyste''' dwóch cząstek, * '''rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym''', * '''wyprowadzenie wzoru Rutherforda''' opisującego klasyczne rozpraszanie na potencjale Coulomba, * a na końcu - '''opis rozpraszania pod małym kątem''', istotny w wielu zastosowaniach fizyki jądrowej i cząstek. W kolejnych podrozdziałach przeprowadzimy szczegółowe wyprowadzenia, korzystając z zasad zachowania energii, pędu oraz momentu pędu, a także z geometrii ruchu w polu centralnym. Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek stanowi fundament całej fizyki cząstek oraz mechaniki nieba. Zjawiska te pojawiają się zarówno w skali mikroskopowej — w fizyce jądrowej, fizyce wysokich energii, spektroskopii, jak i w skali makroskopowej — w dynamice planet, komet, gwiazd czy układów podwójnych. W każdym z tych przypadków kluczową rolę odgrywają prawa zachowania, które pozwalają sprowadzić złożone procesy do prostych zależności geometrycznych i algebraicznych. Rozpad cząstki spoczywającej jest jednym z najprostszych procesów, ponieważ odbywa się w układzie środka masy. Dzięki temu pędy produktów rozpadu są zawsze równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. Analiza rozpadu pozwala zrozumieć, jak energia wewnętrzna cząstki zamienia się na energię kinetyczną produktów oraz jak zależą od siebie masy, pędy i energie cząstek powstających w procesie rozpadu. Zderzenie doskonale sprężyste jest klasycznym przykładem procesu, w którym energia kinetyczna i pęd są zachowane. W takim zderzeniu nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne, a cząstki po zderzeniu poruszają się zgodnie z zasadami dynamiki Newtona. Analiza zderzeń sprężystych pozwala wyznaczyć prędkości i pędy cząstek po zderzeniu zarówno w układzie laboratoryjnym, jak i w układzie środka masy, co jest kluczowe w eksperymentach fizycznych. Rozpraszanie cząstek na potencjale centralnym jest jednym z najważniejszych zagadnień mechaniki klasycznej. W takim przypadku cząstka porusza się w polu centralnym, którego potencjał zależy wyłącznie od odległości od centrum. Analiza rozpraszania pozwala wyznaczyć kąt odchylenia toru cząstki oraz zależność między parametrem zderzenia a kątem rozpraszania. Zjawisko to jest podstawą klasycznego wzoru Rutherforda, który opisuje rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba. Wyprowadzenie wzoru Rutherforda jest jednym z najważniejszych wyników w fizyce klasycznej. Wzór ten opisuje przekrój czynny na rozpraszanie cząstek na potencjale Coulomba i pozwala wyznaczyć, jak często cząstki będą rozpraszane pod określonym kątem. Wzór Rutherforda jest podstawą analizy wielu eksperymentów fizycznych, w tym słynnego eksperymentu Rutherforda, który doprowadził do odkrycia jądra atomowego. Na końcu rozdziału zajmiemy się rozpraszaniem pod małym kątem, które jest szczególnie istotne w fizyce jądrowej i cząstek. W przypadku dużych parametrów zderzenia kąt rozproszenia jest mały, a tor cząstki jest prawie prostoliniowy. Analiza takich zderzeń pozwala wyznaczyć przyrost pędu poprzecznego oraz zależność między kątem rozproszenia a potencjałem oddziaływania. Wszystkie te zagadnienia łączy wspólna idea: ruch cząstek w polu oddziaływania można opisać za pomocą praw zachowania oraz geometrii toru. Dzięki temu nawet bardzo złożone procesy fizyczne można sprowadzić do prostych zależności matematycznych, które pozwalają przewidywać wyniki zderzeń i rozpadów oraz analizować strukturę materii w skali mikro i makro. == Wstęp do opisu rozpadu cząstek == {{Rysunek|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy.jpeg|ul|Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy}} Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy. W takim układzie całkowity pęd cząstki macierzystej jest równy zero, co oznacza, że po rozpadzie powstałe cząstki muszą mieć pędy równe co do wartości, lecz przeciwne co do zwrotu. Wartość tego pędu oznaczamy przez p{{Sub|0}}. Jest to podstawowa konsekwencja zasady zachowania pędu: skoro przed rozpadem pęd całkowity wynosi zero, to po rozpadzie suma pędów również musi być równa zero. Po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką samą wartość pędu równą p{{Sub|0}}. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E{{Sub|w}}, a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E{{Sub|1w}}, E{{Sub|2w}}, wtedy energetyczne prawo rozpadu: {{CentrujWzór|<MATH>E_w=E_{1w}+{{p_0^2}\over{2m_1}}+E_{2w}+{{p_0^2}\over{2m_2}}\;</MATH>|2.1}} Wzór {{LinkWzór|2.1}} jest równaniem bilansu energetycznego procesu rozpadu. Energia całkowita cząstki macierzystej rozdziela się na energie wewnętrzne produktów oraz ich energie kinetyczne. Człony z p{{Sub|0}} opisują energię kinetyczną ruchu produktów w układzie środka masy. Widzimy więc, że energia rozpadu jest „przenoszona” na ruch cząstek powstałych w wyniku rozpadu. Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon=E_w-E_{1w}-E_{2w}\;</MATH>|2.2}} Wielkość {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} jest energią „uwolnioną” w procesie rozpadu, która zamienia się na energię kinetyczną powstałych cząstek. Im większa energia rozpadu, tym większe prędkości produktów. Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p{{Sub|0}}, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej {{LinkWzór|6.69|Równania_Lagrange'a_drugiego_rodzaju_i_zasada_Hamiltona}}: {{CentrujWzór|<MATH>\epsilon={{p_0^2}\over{2}}\left({{1}\over{m_1}}+{{1}\over{m_2}}\right)={{p_0^2}\over{2m}}\;</MATH>|2.3}} Wzór {{LinkWzór|2.3}} pokazuje, że energia rozpadu zależy wyłącznie od pędu produktów i ich mas. Masa zredukowana m jest naturalną wielkością w problemach dwóch ciał i pozwala sprowadzić ruch dwóch cząstek do ruchu jednej „efektywnej” cząstki. Z równości {{LinkWzór|2.2}} możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v{{Sub|01}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|1}}, v{{Sub|02}}=p{{Sub|0}}/m{{Sub|2}}. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie {{Formuła|<MATH>\vec{V}\;</MATH>}}. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_0\;</MATH>}}. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}_0\;</MATH>}}, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2+V^2-2vV\cos\theta=v_0^2\;</MATH>|2.4}} Wzór {{LinkWzór|2.4}} jest geometryczną zależnością między prędkościami w dwóch układach odniesienia. Kąt θ jest kątem między kierunkiem ruchu cząstki macierzystej a kierunkiem ruchu produktu rozpadu w układzie laboratoryjnym. Zależność ta pozwala określić, jak zmienia się kierunek emisji cząstki przy przejściu z układu środka masy do układu laboratoryjnego. Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v{{Sub|0}} i dla V>v{{Sub|0}}. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ{{Sub|max}}, którego sinus: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{max}={{v_0}\over{V}}\;</MATH>|2.5}} Wynik ten ma istotne znaczenie w eksperymentach fizycznych: jeśli cząstka macierzysta porusza się szybciej niż produkty w układzie środka masy, to produkty nie mogą wylecieć pod dowolnym kątem, lecz tylko w pewnym ograniczonym stożku. Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ{{Sub|0}} liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta={{v_0\sin\theta_0}\over{v_0\sin\theta_0+V}}\;</MATH>|2.6}} Wzór {{LinkWzór|2.6}} jest podstawową transformacją kątów między układami odniesienia. Pokazuje on, że kąt w układzie laboratoryjnym zależy nie tylko od kąta w układzie środka masy, lecz również od prędkości cząstki macierzystej. Równość {{LinkWzór|2.6}} możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}^2\theta(v_0^2\cos^2\theta_0+V^2+2v_0V\cos\theta_0)=v_0^2(1-\cos^2\theta_0)\;</MATH>|2.7}} Wyrazy występujące w równaniu {{LinkWzór|2.7}} grupujemy po lewej stronie tejże równości: {{CentrujWzór|<MATH>v_0^2\cos^2\theta_0\left(\operatorname{tg}^2\theta+1\right)+\cos\theta_0 2Vv_0\operatorname{tg}^2\theta+V^2\operatorname{tg}^2\theta-v_0^2=0\;</MATH>|2.8}} Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ{{Sub|0}}, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego): {{CentrujWzór|<MATH>\Delta=4v_0^4\left({{1}\over{\cos^2\theta}}-{{V^2}\over{v_0^2}} \operatorname{tg}^2\theta\right)={{4v_0^4}\over{\cos^2\theta}}\left(1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta\right)\;</MATH>|2.9}} Całkowite rozwiązanie na cosθ{{Sub|0}}, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu {{LinkWzór|2.9}}: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta_0=-{{V}\over{v_0}}\sin^2\theta\pm\cos\theta\sqrt{1-{{V^2}\over{v_0^2}}\sin^2\theta}\;</MATH>|2.10}} Jak widać według rysunku obok dla V<v{{Sub|0}} we wzorze {{LinkWzór|2.10}} musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ{{Sub|0}}. Dla V>v{{Sub|0}} rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ{{Sub|0}} dla jednego θ. Jest to efekt geometryczny wynikający z ruchu układu odniesienia. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ{{Sub|0}}/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ{{Sub|0}}, to mamy dσ{{Sub|0}}=2πsinθ{{Sub|0}}dθ{{Sub|0}}, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}\sin\theta_0d\theta_0\;</MATH>|2.11}} W układzie laboratoryjnym można napisać związek, wychodząc od {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{V}\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=v_0^2+V^2+2v_0V\cos\theta_0\Rightarrow d\cos\theta_0={{dv^2}\over{2v_0V}}\;</MATH>|2.12}} Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv{{Sup|2}}/2, która mieści się w przedziale od T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}-V){{Sup|2}}/2 do T{{Sub|min}}=m(v{{Sub|0}}+V){{Sup|2}}/2, wtedy nasz wzór na rozkład {{LinkWzór|2.11}} ze względu na energię T: {{CentrujWzór|<MATH>{{dT}\over{2mv_0V}}\;</MATH>|2.13}} Możemy wykorzystać wzór {{LinkWzór|2.3}}, który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej: {{CentrujWzór|<MATH>T_{10}={{p_0^2}\over{2m_1}}={{2m_1m_2}\over{2m_1(m_1+m_2)}}\epsilon={{m_2}\over{m_1+m_2}}\epsilon={{M-m_1}\over{M}}\epsilon\;</MATH>|2.14}} == Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek == Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie zachodzą żadne przemiany wewnętrzne w cząstkach, a więc cała energia kinetyczna układu przed zderzeniem jest zachowana po zderzeniu. W całym rozdziale wykonujemy kolejne operacje matematyczne, każdą z nich opisując szczegółowo: dlaczego jest wykonywana, jaki ma sens fizyczny, geometryczny i matematyczny oraz jak prowadzi do kolejnych zależności. Prędkość środka masy układu dwóch cząstek o masach {{Formuła|<MATH>m_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>m_{2}</MATH>}} oraz prędkościach {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{1}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{2}</MATH>}} przed zderzeniem wyrażamy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{V}={{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.15}} Wyrażenie to jest średnią ważoną prędkości cząstek. Przejście do układu środka masy upraszcza analizę zderzenia, ponieważ w tym układzie całkowity pęd układu jest równy {{Formuła|<MATH>0</MATH>}}, co oznacza, że pędy cząstek są przeciwne i leżą na jednej prostej. Przechodzimy do układu środka masy, wprowadzając względną prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}=\vec{v}_1-\vec{v}_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{10}={{m_2\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.16}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_{20}=-{{m_1\vec{v}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.17}} }} Prędkości w układzie środka masy są proporcjonalne do mas cząstek, co zapewnia równanie równowagi pędu {{Formuła|<MATH>m_1\vec{v}_{10}+m_2\vec{v}_{20}=0</MATH>}}. Oznacza to, że środek masy jest nieruchomy, a cząstki poruszają się względem niego w przeciwnych kierunkach. Pędy cząstek w tym układzie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{10}=m\vec{v}</MATH>|2.18}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{20}=-m\vec{v}</MATH>|2.19}} }} Z definicji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}</MATH>}} otrzymujemy pędy równe co do wartości i przeciwne co do kierunku. Jest to fundamentalna własność układu środka masy: całkowity pęd układu wynosi zero, a wektory pędu są współliniowe. Z zasady zachowania energii: {{CentrujWzór|<MATH>E={{ {p^'}^2_{10}}\over{2m_1}}+{{{p^'}^2_{20}}\over{2m_2}}=\cdots={{{p^'}_0}^2\over{2m}}</MATH>|2.20}} Energia kinetyczna układu w układzie środka masy zależy wyłącznie od wartości pędu. Przekształcenie pokazuje, że pęd po zderzeniu ma tę samą wartość co przed zderzeniem, co jest charakterystyczne dla zderzenia doskonale sprężystego. {{CentrujWzór|<MATH>2Em=p_0^2</MATH>|2.21}} Wynik ten potwierdza, że wartość pędu nie zmienia się podczas zderzenia — zmienia się jedynie jego kierunek. Jest to fundament konstrukcji geometrycznej zderzenia. Wektor kierunku rozproszenia {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^{'}_{10}={{mv}\over{m_1}}\vec{n}</MATH>|2.22}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_{20}=-{{mv}\over{m_2}}\vec{n}</MATH>|2.23}} }} Zmiana kierunku pędu jest opisana przez wektor jednostkowy {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}. Wartość pędu pozostaje niezmieniona, co oznacza, że zderzenie jest czysto geometrycznym obrotem wektora pędu. Prędkości w układzie laboratoryjnym: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_1={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.24}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}^'_2={{mv}\over{m_1}}\vec{n}+\vec{V}</MATH>|2.25}} }} Dodanie prędkości środka masy jest odwrotną transformacją Galileusza. W ten sposób otrzymujemy prędkości w układzie laboratoryjnym, czyli takie, jakie obserwuje eksperymentator. Pędy po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_1=mv\vec{n}+{{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.26}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}^'_2=-mv\vec{n}+{{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.27}} }} Pęd po zderzeniu składa się z części wspólnej (pochodzącej od ruchu środka masy) oraz części rozproszonej (pochodzącej od zmiany kierunku pędu). Geometrycznie jest to dodawanie wektorów w przestrzeni pędu. {{Rysunek|Doskonale sprężyste zderzenie.jpeg|dsz|Doskonale sprężyste zderzenie}} Wektory konstrukcyjne: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OC}=mv\vec{n}</MATH>|2.28}} Wektor OC reprezentuje czystą zmianę kierunku pędu wynikającą z rozproszenia. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{AO}={{m_1}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.29}} Wektor AO jest częścią pędu wspólną dla obu cząstek, wynikającą z ruchu środka masy. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{OB}={{m_2}\over{m_1+m_2}}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)</MATH>|2.30}} Analogicznie OB jest częścią pędu wspólną dla cząstki drugiej. Stosunek długości: {{CentrujWzór|<MATH>{{AO}\over{OB}}={{m_1}\over{m_2}}</MATH>|2.31}} Stosunek długości odcinków AO i OB jest równy stosunkowi mas cząstek, co jest geometryczną interpretacją równania pędu. Tangens kąta rozproszenia pierwszej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{m_2\sin\chi}\over{m_1+m_2\cos\chi}}</MATH>|2.32}} Kąt rozproszenia pierwszej cząstki wynika z konstrukcji geometrycznej trójkąta pędów. Tangens kąta drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_2={{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}</MATH>|2.33}} Druga cząstka ma prostszą zależność, ponieważ początkowo jej pęd jest równy zero. Wprowadzamy kąt pomocniczy: {{CentrujWzór|<MATH>\kappa={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>}} Kąt pomocniczy upraszcza zależności trygonometryczne. Tożsamość trygonometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1-\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.34}} Przekształcenie upraszcza zależność kąta rozproszenia. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_2={{\pi-\chi}\over{2}}</MATH>|2.35}} Kąt rozproszenia drugiej cząstki jest połową kąta odbicia w układzie środka masy. Prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v_1^'={{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos\chi}}\over{m_1+m_2}}</MATH>|2.36}} Wartość prędkości wynika z twierdzenia cosinusów w trójkącie pędów. Prędkość cząstki drugiej: {{CentrujWzór|<MATH>v_2^'={{2m_1v}\over{m_1+m_2}}\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.37}} Zależność wynika z geometrii połowy kąta zderzenia. Dla zderzenia centralnego {{Formuła|<MATH>\chi=\pi</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_1={{m_1-m_2}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.38}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}_2={{2m_1}\over{m_1+m_2}}\vec{v}</MATH>|2.39}} }} W przypadku zderzenia centralnego cząstki odbijają się wzdłuż jednej prostej, co upraszcza zależności. Energia maksymalna drugiej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>E_{2max}={{4m_1m_2}\over{(m_1+m_2)^2}}E_1</MATH>|2.40}} Maksimum energii przekazywanej drugiej cząstce występuje dla równych mas. Maksymalny kąt: {{CentrujWzór|<MATH>\sin\theta_{1max}={{m_2}\over{m_1}}</MATH>|2.41}} Zależność ta wynika z ograniczeń geometrycznych trójkąta pędów. {{Rysunek|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek.jpeg|zds|Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek}} Dla {{Formuła|<MATH>m_{1}=m_{2}</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{tg}\theta_1={{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}</MATH>|2.42}} Zależność upraszcza się dla równych mas. Po podstawieniu {{Formuła|<MATH>\chi=2\kappa</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sin\chi}\over{1+\cos\chi}}=\operatorname{tg}\kappa</MATH>|2.43}} Przekształcenie trygonometryczne upraszcza zależność kąta. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\theta_1={{\chi}\over{2}}</MATH>|2.44}} Kąt rozproszenia jest połową kąta zderzenia. Prędkości po zderzeniu: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>v_1^'=v\cos{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.45}} |2={{CentrujWzór|<MATH>v_2^'=v\sin{{\chi}\over{2}}</MATH>|2.46}} }} Składowe prędkości rozdzielają się zgodnie z funkcjami trygonometrycznymi połowy kąta zderzenia, co jest klasycznym wynikiem dla zderzenia dwóch kul o równych masach. == Rozpraszanie cząstek na potencjale == {{Rysunek|Rozproszenie_ciała_na_źródle_potencjału_oddziaływania.svg|rznp|Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności}} Tożsamość całkową {{LinkWzór|1.90|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} przepisujemy w formie wygodnej do analizy ruchu rozpraszającego. Ponieważ rozpatrujemy malejące położenia radialne (cząstka zbliża się do centrum potencjału), w całce pojawia się znak minus: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = -\int_{\infty}^{r_{\min}} \frac{L\,dr/r^{2}} {\sqrt{2m(E-U(r)) - L^{2}/r^{2}}} </MATH>|2.47}} Wyrażenie to opisuje zmianę kąta polarnego cząstki podczas jej ruchu w polu centralnym. W liczniku pojawia się moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej {{Formuła|<MATH>2m(E-U(r))</MATH>}} pomniejszonej o część odśrodkową {{Formuła|<MATH>L^{2}/r^{2}</MATH>}}. Całka biegnie od nieskończoności do minimalnej odległości {{Formuła|<MATH>r_{\min}</MATH>}}, co odpowiada fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum potencjału. ---- * Parametry ruchu nieskończonego Dla ruchu rozpraszającego wygodnie jest zastąpić energię {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i moment pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}} parametrami asymptotycznymi: * {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}} – prędkość cząstki w nieskończoności, * {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} – parametr zderzenia (impact parameter). Definicje: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>E=\frac12 mv_{\infty}^2</MATH>|2.48}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>L=m\rho v_{\infty}</MATH>|2.49}} }} Energia w nieskończoności jest czysto kinetyczna, ponieważ potencjał {{Formuła|<MATH>U(\infty)=0</MATH>}}. Moment pędu jest iloczynem masy, prędkości asymptotycznej i parametru zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, który geometrycznie jest odległością asymptoty toru od centrum pola. Po podstawieniu do {{LinkWzór|2.47}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_0 = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{\rho\,dr/r^{2}} {\sqrt{ 1 - \frac{\rho^{2}}{r^{2}} - \frac{2U(r)}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>|2.50}} Wyrażenie to pokazuje, że kąt odchylenia zależy od stosunku {{Formuła|<MATH>\rho/r</MATH>}} oraz od znormalizowanego potencjału {{Formuła|<MATH>U(r)/(mv_{\infty}^{2})</MATH>}}. Całka jest dodatnia, ponieważ kierunek całkowania został odwrócony względem poprzedniego wzoru. ---- * Przekrój czynny na rozpraszanie Niech {{Formuła|<MATH>dN</MATH>}} będzie liczbą cząstek rozproszonych w przedziale od {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\chi+d\chi</MATH>}}. Wprowadzamy przekrój czynny: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\frac{dN}{n}</MATH>|2.51}} gdzie {{Formuła|<MATH>n</MATH>}} jest strumieniem cząstek. Przekrój czynny ma wymiar powierzchni i określa efektywną „powierzchnię” oddziaływania potencjału. Zakładamy jednoznaczny związek między {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi\rho\,d\rho = 2\pi\rho(\chi) \left|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\right| d\chi </MATH>|2.52}} Pierwsza równość {{Formuła|<MATH>d\sigma=2\pi\rho\,d\rho</MATH>}} wynika z geometrii: pierścień o promieniu {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i grubości {{Formuła|<MATH>d\rho</MATH>}} ma powierzchnię {{Formuła|<MATH>2\pi\rho\,d\rho</MATH>}}. Druga równość przekształca zmienną z {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} na kąt rozproszenia {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}, co pozwala wyrazić przekrój czynny jako funkcję kąta. ---- * Przekrój czynny względem kąta bryłowego {{Formuła|<MATH>d\Omega = 2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}} Element kąta bryłowego dla rozpraszania osiowo symetrycznego ma postać {{Formuła|<MATH>d\Omega=2\pi\sin\chi\,d\chi</MATH>}}. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \frac{\rho(\chi)}{\sin\chi} \left|\frac{d\rho}{d\chi}\right| d\Omega </MATH>|2.53}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem kąta bryłowego. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)/\sin\chi</MATH>}} jest geometryczną korektą wynikającą z przejścia między zmiennymi {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. ---- * Związek z kątami w układzie środka masy W układzie środka masy kąt rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} jest równy: * {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}} – dla cząstek padających, * {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}} – dla cząstek spoczywających. Zależności wynikają z: * {{LinkWzór|2.32}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_1</MATH>}}, * {{LinkWzór|2.35}} – dla {{Formuła|<MATH>\theta_2</MATH>}}. W ten sposób przekrój czynny można wyrazić przez kąty rozpraszania w układzie środka masy. Zależności te są kluczowe w fizyce zderzeń, ponieważ pozwalają przejść od opisu laboratoryjnego do opisu w układzie środka masy, gdzie geometria zderzenia jest najprostsza. == Wyprowadzenie wzoru Rutherforda == Weźmy pod uwagę wzór {{LinkWzór|2.50}} i dokonajmy podstawienia {{Formuła|<MATH>u = 1/r</MATH>}}. Rozpatrujemy potencjał kulistosymetryczny: {{Formuła|<MATH>U(r) = \frac{\alpha}{r} = \alpha u</MATH>}}. Podstawienie zmiennej {{Formuła|<MATH>u</MATH>}} upraszcza całkę, ponieważ przekształca wyrażenia odśrodkowe i potencjałowe do postaci liniowej w {{Formuła|<MATH>u</MATH>}}, co pozwala na zamianę całki z funkcją pierwiastkową na całkę elementarną. {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = -\int_{0}^{1/r_{\min}} \frac{\rho\,du} {\sqrt{ 1 - \rho^{2}u^{2} - \frac{2\alpha u}{mv_{\infty}^{2}} }} </MATH>}} Całka opisuje zmianę kąta polarnego cząstki w polu centralnym. W liczniku pojawia się parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, a mianownik zawiera pierwiastek z energii kinetycznej radialnej zredukowanej o część odśrodkową oraz o część potencjałową. Granice całkowania od {{Formuła|<MATH>u=0</MATH>}} (nieskończoność) do {{Formuła|<MATH>u=1/r_{\min}</MATH>}} odpowiadają fizycznemu zbliżaniu się cząstki do centrum pola. Po przekształceniach podcałkowych: {{CentrujWzór|<MATH> \phi_0 = \arccos \frac{ \frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho} }{ \sqrt{ 1 + \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}\rho}\right)^{2} } } </MATH>|2.54}} Wyrażenie to jest wynikiem całkowania funkcji wymiernej w {{Formuła|<MATH>u</MATH>}}. Otrzymana postać arccos wynika z faktu, że całka sprowadza się do standardowej formy całki typu {{Formuła|<MATH>\int du/\sqrt{a - bu - cu^{2}}</MATH>}}, która prowadzi do funkcji trygonometrycznych odwróconych. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\alpha/(mv_{\infty}^{2}\rho)</MATH>}} jest miarą siły oddziaływania potencjału względem energii kinetycznej cząstki. ---- * Zależność między kątem rozpraszania a parametrem zderzenia Z obliczeń {{LinkWzór|2.54}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH> \cot^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}\rho^{2}} \Rightarrow \rho^{2} = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \tan^{2}\theta_0 = \frac{\alpha^{2}}{m^{2}v_{\infty}^{4}} \cot^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.55}} Zależność ta jest kluczowa: łączy parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} z kątem rozpraszania {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}}. Wynika ona z geometrii toru cząstki w polu centralnym — im większy parametr zderzenia, tym mniejsze odchylenie toru. Zależność {{Formuła|<MATH>\cot(\chi/2)</MATH>}} jest charakterystyczna dla potencjału typu Coulomba. Różniczkujemy względem {{Formuła|<MATH>\chi</MATH>}} i podstawiamy do {{LinkWzór|2.52}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\cos(\chi/2)}{\sin^{3}(\chi/2)}\,d\chi </MATH>|2.56}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{2mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega}{\sin^{4}(\chi/2)} </MATH>|2.57}} }} Pierwsza postać {{Formuła|<MATH>d\sigma</MATH>}} wyrażona względem {{Formuła|<MATH>d\chi</MATH>}} wynika z różniczkowania zależności {{Formuła|<MATH>\rho(\chi)</MATH>}}. Druga postać, {{LinkWzór|2.57}}, jest klasycznym wzorem Rutherforda — pokazuje, że przekrój czynny maleje jak {{Formuła|<MATH>1/\sin^{4}(\chi/2)</MATH>}}, co jest charakterystyczne dla oddziaływania długozasięgowego typu Coulomba. ---- * Przejście do układu laboratoryjnego Korzystamy z zależności {{LinkWzór|2.35}}: {{Formuła|<MATH>\chi = \pi - 2\theta_2</MATH>}}. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_2 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{\sin\theta_2}{\cos^{3}\theta_2}\,d\theta_2 = \left(\frac{\alpha}{mv_{\infty}^{2}}\right)^{2} \frac{d\Omega_2}{\cos^{3}\theta_2} </MATH>|2.58}} Zależność ta jest użyteczna, gdy jedna z cząstek początkowo spoczywa. Wtedy kąt rozpraszania w układzie laboratoryjnym jest inny niż w układzie środka masy, a przekrój czynny wymaga odpowiedniej transformacji. ---- * Szczególne przypadki 1. Masa cząstki rozpraszającej dużo większa niż masa cząstki padającej Z {{LinkWzór|2.32}}: {{Formuła|<MATH>\chi \approx \theta_1</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>m \approx m_1</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = \left(\frac{\alpha}{4E_1}\right)^{2} \frac{d\Omega_1}{\sin^{4}(\theta_1/2)} </MATH>|2.59}} W tym przypadku cząstka ciężka praktycznie nie zmienia kierunku ruchu, a cząstka lekka zachowuje geometrię rozpraszania Rutherforda. Energia {{Formuła|<MATH>E_1</MATH>}} zastępuje asymptotyczną energię kinetyczną. ---- * Masy jednakowe {{Formuła|<MATH>m_1 = m_2</MATH>}} Z {{LinkWzór|2.44}}: {{Formuła|<MATH>\theta_1 = \chi/2</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma_1 = 2\pi\left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{3}\theta_1}\,d\theta_1 = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \frac{\cos\theta_1}{\sin^{4}\theta_1}\,d\Omega_1 </MATH>|2.60}} Dla mas jednakowych rozpraszanie jest bardziej symetryczne. Zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1=\chi/2</MATH>}} upraszcza przekrój czynny i prowadzi do charakterystycznej postaci z funkcją {{Formuła|<MATH>\cos\theta_1</MATH>}} w liczniku. ---- 2. Cząstki nierozróżnialne {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left(\frac{\alpha}{E_1}\right)^{2} \left( \frac{1}{\sin^{4}\theta} + \frac{1}{\cos^{4}\theta} \right) \cos\theta\,d\Omega </MATH>|2.61}} Dla cząstek nierozróżnialnych należy uwzględnić oba kanały rozpraszania: * '''kanał przedni''' ({{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}) oraz '''kanał tylny''' ({{Formuła|<MATH>\pi/2-\theta</MATH>}}). Stąd pojawia się suma dwóch członów. ---- * Przekrój czynny względem energii cząstki rozproszonej Z ogólnego wzoru {{LinkWzór|2.56}} i prędkości cząstki drugiej po zderzeniu ({{LinkWzór|2.37}}): {{CentrujWzór|<MATH> v'_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{\infty} \sin\frac{\chi}{2} </MATH>|2.62}} Prędkość cząstki drugiej zależy od połowy kąta rozpraszania i od stosunku mas. Im większy kąt rozproszenia, tym większa energia przekazana cząstce drugiej. Energia cząstki drugiej: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \epsilon = \frac{m_2{v'_2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2}\sin^{2}\frac{\chi}{2} </MATH>|2.63}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> d\epsilon = \frac{2m^{2}}{m_2}v_{\infty}^{2} \sin\frac{\chi}{2}\cos\frac{\chi}{2}\,d\chi </MATH>|2.64}} }} Energia {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}} rośnie jak {{Formuła|<MATH>\sin^{2}(\chi/2)</MATH>}}, co jest charakterystyczne dla zderzeń sprężystych. Różniczka energii pozwala przejść z opisu kątowego do opisu energetycznego. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.56}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = 2\pi \frac{\alpha^{2}}{m_2 v_{\infty}^{2}} \frac{d\epsilon}{\epsilon^{2}} </MATH>|2.65}} Otrzymujemy przekrój czynny wyrażony względem energii cząstki rozproszonej. Zależność {{Formuła|<MATH>d\sigma\propto d\epsilon/\epsilon^{2}</MATH>}} jest charakterystyczna dla oddziaływania Coulombowskiego i pokazuje, że małe energie są znacznie bardziej prawdopodobne niż duże. == Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów == Rozpatrujemy zderzenia charakteryzujące się '''dużym parametrem zderzenia''' {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}. Duża wartość {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} oznacza, że cząstka przechodzi daleko od centrum potencjału, a więc oddziaływanie jest słabe i kąt rozproszenia niewielki. W takim przypadku tor cząstki jest prawie prostoliniowy, a odchylenie wynika jedynie z niewielkiej składowej poprzecznej pędu. {{CentrujWzór|<MATH> \sin\theta_1 = \frac{p'_{1y}}{p'_1} </MATH>|2.66}} Zależność ta wynika z definicji kąta między wektorem pędu po zderzeniu a kierunkiem osiowym. Składowa poprzeczna {{Formuła|<MATH>p'_{1y}</MATH>}} jest odpowiedzialna za odchylenie toru, natomiast {{Formuła|<MATH>p'_1</MATH>}} jest wartością pędu po zderzeniu. Dla małych kątów zależność ta jest szczególnie prosta, ponieważ sinus kąta jest równy stosunkowi składowej poprzecznej do całkowitej. Cząstka początkowo miała pęd {{Formuła|<MATH>p_1</MATH>}}. W wyniku oddziaływania z polem nabywa składową poprzeczną {{Formuła|<MATH>p'_{1y}</MATH>}}. W tym podrozdziale analizujemy '''małe kąty rozproszenia w układzie laboratoryjnym'''. Dla małych kątów: {{Formuła|<MATH>\sin\theta_1 \simeq \theta_1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>p'_1 \simeq m_1 v_{\infty}</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 \simeq \frac{p'_{1y}}{m_1 v_{\infty}} </MATH>|2.67}} Wartość {{Formuła|<MATH>p'_1</MATH>}} jest przybliżona przez asymptotyczny pęd {{Formuła|<MATH>m_1 v_{\infty}</MATH>}}, ponieważ oddziaływanie jest słabe. Kąt rozproszenia jest więc proporcjonalny do składowej poprzecznej pędu i odwrotnie proporcjonalny do asymptotycznej prędkości cząstki. Ponieważ {{Formuła|<MATH>\dot{p}_y = F_y</MATH>}}, całkowity przyrost pędu poprzecznego wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = \int_{-\infty}^{\infty} F_y\,dt </MATH>|2.68}} Całka ta opisuje sumaryczny wpływ siły poprzecznej na cząstkę podczas jej przejścia przez obszar oddziaływania. Granice od {{Formuła|<MATH>t=-\infty</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>t=\infty</MATH>}} odpowiadają ruchowi cząstki od nieskończoności do nieskończoności. ---- * Siła poprzeczna Siła poprzeczna wynika z zależności: {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{dU}{dr}\frac{y}{r} </MATH>|2.69}} Wyrażenie to wynika z faktu, że potencjał zależy tylko od odległości {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}, a więc siła jest skierowana radialnie. Składowa poprzeczna jest proporcjonalna do {{Formuła|<MATH>y/r</MATH>}}, czyli do stosunku odległości poprzecznej do promienia. Przy małych kątach tor cząstki jest prawie prostoliniowy, więc: {{Formuła|<MATH>y = \rho</MATH>}}. Ponadto: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> F_y = -\frac{dU}{dr}\frac{\rho}{r} </MATH>|2.70}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> dt = \frac{dx}{v_{\infty}} </MATH>|2.71}} }} Pierwsza zależność zastępuje {{Formuła|<MATH>y</MATH>}} przez parametr zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}. Druga zależność wynika z faktu, że dla małych kątów ruch odbywa się praktycznie wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}, a prędkość jest stała i równa {{Formuła|<MATH>v_{\infty}</MATH>}}. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.68}}: {{CentrujWzór|<MATH> p'_{1y} = -\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dU}{dr}\frac{dx}{r} </MATH>|2.72}} Wyrażenie to pokazuje, że przyrost pędu poprzecznego zależy od całki z siły radialnej przeskalowanej przez czynnik geometryczny {{Formuła|<MATH>1/r</MATH>}}. ---- * Zależność między {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} Z definicji: {{CentrujWzór|<MATH> r^{2} = x^{2} + \rho^{2} \Rightarrow x = \sqrt{r^{2} - \rho^{2}} \Rightarrow dx = \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.73}} Zależność ta wynika z geometrii toru cząstki: odległość od centrum pola jest dana przez twierdzenie Pitagorasa. Różniczka {{Formuła|<MATH>dx</MATH>}} pozwala na zamianę zmiennej całkowania z {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} na {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}, co upraszcza całkę. Podstawiamy do {{LinkWzór|2.72}} i następnie do {{LinkWzór|2.67}}: {{CentrujWzór|<MATH> \theta_1 = -\frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^{2}} \int_{\rho}^{\infty} \frac{dU}{dr} \frac{dr}{\sqrt{r^{2} - \rho^{2}}} </MATH>|2.74}} Otrzymujemy ogólny wzór na kąt rozproszenia w przybliżeniu małych kątów. Całka ta zależy wyłącznie od potencjału {{Formuła|<MATH>U(r)</MATH>}} oraz od parametru zderzenia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}. Im większy {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, tym mniejszy wpływ potencjału i mniejszy kąt rozproszenia. ---- * Przekrój czynny dla małych kątów Znając potencjał {{Formuła|<MATH>U(r)</MATH>}}, możemy wyznaczyć zależność {{Formuła|<MATH>\theta_1(\rho)</MATH>}}. Następnie odwracamy ją, aby otrzymać {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)</MATH>}}. Podstawiamy do wzoru {{LinkWzór|2.53}}. Dla małych kątów: {{CentrujWzór|<MATH> d\sigma = \left| \frac{d\rho}{d\theta_1} \right| \frac{\rho(\theta_1)}{\theta_1} \,d\Omega_1 </MATH>|2.75}} Wyrażenie to jest ogólnym wzorem na przekrój czynny w przybliżeniu małych kątów rozproszenia. Zależność {{Formuła|<MATH>\rho(\theta_1)</MATH>}} określa, jak zmienia się parametr zderzenia w funkcji kąta, a czynnik {{Formuła|<MATH>\rho/\theta_1</MATH>}} jest korektą geometryczną wynikającą z osiowej symetrii rozpraszania. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 3j0wu8xtn0snptnkki7omz95nx1yv9e 0 21870 559111 558606 2026-10-11T04:31:36Z Persino 2851 559111 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Reakcje jądrowe są to procesy zachodzące w wyniku oddziaływania jądrowego przy zderzeniu cząstki szybkiej "a" z jądrem tarczy X prowadzącej do zmiany kierunku ruchu lub energii stanu cząstki i jądra tarczy, lub też utworzenia nowego jądra i cząstki (cząstek b). '''Reakcją rozpraszania''' nazywamy taką reakcję, którego szybka cząstka zderza się z jądrem tarczy X, w ten sposób jądro zostaje wzbudzone, a cząstka "a" zmienia swój kierunek z inną energią kinetyczną niż poprzednio: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow X^*+a^'\;</MATH>|6.1}} '''Reakcją właściwą''' nazywamy taką reakcję, w której szybka cząstka w wyniku zderzenia z jądrem X powstaje jadro Y i cząstka b: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow Y+b\;</math>|6.2}} Jądra a i X nazywamy kanałem wejściowym, a końcowe produkty reakcji nazywamy kanałem wyjściowym, przykładem reakcji właściwej {{LinkWzór|6.2}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>{}^4_2He+{}^{14}_7N\rightarrow {}^{17}_8O+{}^1_1p\;</MATH>|6.3}} Reakcję {{LinkWzór|6.1}} i {{LinkWzór|6.2}} nazywamy reakcję, którą możemy zapisać krótkim zapisem X(a,b)Y lub (a,b), czy też (a,a'), co dla reakcji {{LinkWzór|6.3}} możemy powiedzieć {{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N({}^4_2He,p){}^{17}_8O\;</MATH>}}. Proces oddziaływania cząstki "a" z jądrem zwykle nie jest jednoznaczny, tzn. jednemu kanałowi wejściowemu może odpowiadać wiele kanałów wyjściowych. Każdej takiej reakcji jako możliwości zajścia przepisujemy przekrój czynny &sigma;{{Sub|f}}. Reakcją rozpraszania elastycznym nazywamy reakcję (a,a), w której jądro X w kanale wyjściowym nie jest wcale zbudzone, a w przypadku rozpraszania nieelastycznego, czyli (a,a'), stąd jądro X zaczyna być jądrem wzbudzonym. Reakcja dwuciałowa (a,b) jest gdy produktami reakcji są dwa produkty reakcji, reakcjami wielociałowymi, gdy produktami reakcji są więcej niż dwa produkty reakcji. == Klasyfikacja reakcji jądrowych == : '''Według energii parającej cząstki''' * reakcje niskiej energii E{{Sub|a}}&le;1MeV. * Reakcje średniej energii E{{Sub|a}} od 1 do 100MeV. * Reakcje wysokiej energii E{{Sub|a}}&ge;100MeV. W literaturze można spotkać inny poddział reakcji, tzn. poniżej i powyżej progu mezonowego, które w wyniku reakcji z jądrem mogą się tworzyć mezony &pi;. Masa spoczynkowa mezonów jest 273m{{Sub|e}}=130MeV. : '''Według rodzaju cząstki lub cząstek inicjujących daną reakcję lub cząstki stanowiącej jej produkty''' * reakcje neutronowe,np. (n,n'),(n,p),(n,&alpha;), (n,f), itp. * reakcje protonowe, np. (p,p'),(p,n),(p,&alpha;),(p,&gamma;), itp. * reakcje fotojądrowe, np. (&gamma;,n),&gamma;,p),(&gamma;,f), itp. * reakcje z ciężkimi jonami(HI), np. ({{Sup|11}}B,{{Sup|10}}B), ({{Sup|12}}C,{{Sup|13}}N),(HI,n), itp; : '''Według rodzaju reakcji''' * reakcje rozszczepieniowe: (a,f) * reakcje syntezy: X{{Sub|1}}+X{{Sub|2}}→Y+b. * reakcje wychwytu radiacyjnego: (a,&gamma;) * reakcje kruszenia(spalacji):A+X→Y{{Sub|1}}+Y{{Sub|2}}+Y{{Sub|3}}+...+b{{Sub|1}}+b{{Sub|2}}+... : '''Reakcje według schematu wewnętrznego, tzn. według mechanizmu reakcji''' * reakcja wprost (direct), są to reakcje dwuciałowe zachodzące w czasie średnim &tau;&asymp;10{{Sup|-22}} * reakcje złożone (compound), są to reakcje powolne z utworzeniem jądra pośredniego a+X→C{{Sup|*}}→Y+b+.... Jest to reakcja dwustopniowa dwuetapowa, z czasem średnim: &tau;=1{{Sup|-14}}&divide;10{{Sup|-16}}, w tej reakcji można wyróżnić dwa etapy, w którym powstaje jadro pośrednie, najczęściej wzbudzone, wtedy to jądro rozpada się na dalsze produkty reakcji. * reakcje o mechanizmie pośrednim, wtedy kiedy nie można określić jaka to reakcja. == Zasady zachowania w reakcjach jądrowych (reguły wyboru) == Są to prawa zachowania opisującego substraty i produktu reakcji, ogólne reguły wyboru są: * ładunku elektrycznego, czyli ładunek reakcji przed i po reakcji zostaje zachowany {{Formuła|<MATH>\sum_iZ_i=\sum_fZ_f\;</MATH>}}. * liczby nukleonów lub ogólniej w reakcjach, w której zostaje zachowana liczba nukleonów {{Formuła|<MATH>\sum_iA_i=\sum_fA_f\;</MATH>}}. * liczby barionowej, która jest zachowana podczas reakcji. * energii i pędu, tzn. pęd (energia) przed reakcją jest równa pędowi (energii) po reakcji. Prawo zachowania pędu jest {{Formuła|<MATH>\sum_i\vec{p}_i=\sum_f\vec{p}_f\;</MATH>}}, a energii {{Formuła|<MATH>\sum_iE_i=\sum_f E_f\;</MATH>}}. * liczby leptonów, która jest zachowana podczas reakcji. Jeśli będziemy rozpatrywać bilans energetyczny energii substratów i produktów, wtedy energia substratów jest równa energii produktów: {{CentrujWzór|<MATH>\sum_im_{0i}c^2+\sum_iT_i=\sum_im_{0f}c^2+\sum_fT_f\;</MATH>|6.4}} Oznaczenie T w bilansie energetycznym {{LinkWzór|6.4}} jest to energia kinetyczna cząstek, wtedy energia wydzielana w wyniku reakcji Q (co wynika z ostatniego wzoru) piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\left(\sum_im_{0i}-\sum_{f}m_{0f}\right)c^2=\sum_fT_f-\sum_iT_i\;</MATH>|6.5}} Gdy Q>0, to taką reakcję nazywamy egzoenergetyczną, tzn. część energii spoczynkowej przechodzi w energię kinetyczną produktów. Reakcja nie ma progu, gdy zachodzi Q<0, to jest to reakcja endoenergetyczna, zachodzi kosztem energii kinetycznej substratów, ta reakcja zachodzi, gdy {{Formuła|<MATH>\sum_iT_i\geq;T_f\;</MATH>}}. Gdy Q=0 jest to reakcja rozpraszania elastycznego, dla której zachodzi {{Formuła|<MATH>\sum_iT_i=\sum_fT_f\;</MATH>}}. Dokładniejsze związki możemy określić, gdy zdefiniujemy układ odniesienia, tzn. układ laboratoryjny i układ związany z układem laboratoryjnym (CM). Załóżmy, że mamy reakcję a+X→Y+b. {{Rysunek|Zderzenie cząstek w układzie laboratoryjnym.png|6.1|Zderzenie cząstek w układzie laboratoryjnym}} W układzie laboratoryjnym w odróżnieniu od układu środka masy suma pędów w cale nie musi być równa zero, wtedy zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_a=\vec{p}_b+\vec{p}_Y\;</MATH>|6.6}} bo suma pędów substratów przed reakcją jest równa sumie pędów po reakcji. Energia progu reakcji, który musi pokonać cząstka "a", by zaszła reakcja, wykorzystując definicję energii wydzielanej z reakcji, jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>E_{prog}={{m_a+M_X}\over{M_X}}|Q|\;</MATH>|6.7}} {{Rysunek|Zderzenie cząstek w układzie środka masy.png|6.2|Zderzenie cząstek w układzie środka masy}} W układzie środka masy (CM) suma pędów substratów i produktów jest równa zero, tzn zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}_{a}+\vec{p}_X=0=\vec{p}_b+\vec{p}_Y\;</MATH>|6.8}} Energia progowa jaką musi pokonać cząstka "a", by zaszła reakcja jest równa wartości bezwzględnej energii wydzielanej (pochłanianej) w wyniku reakcji: {{CentrujWzór|<MATH>E_{prog}=|Q|\;</MATH>|6.9}} W obu układach, gdy Q>0 reakcja jest egzoenergetyczna, Q<0 reakcja endoenergetyczna, Q=0 reakcja rozpraszania sprężystego. == Reakcje bez pośredniego rozpraszania (reakcje wprost) == {{Rysunek|Rozkład kątowy w reakcji wprost (d,p) teoretycznie i doświadczalnie.png|6.3|Rozkład kątowy w reakcji wprost (d,p)|rozmiar=400px}} Reakcje wprost dzielimy na reakcje: '''Rozpraszanie elastyczne''' '''Rozpraszania nieelastyczne''' * Są to reakcje, które przebiegają według schematu X(a,a{{Sup|'}})X{{Sup|*}} kosztem energii cząstki bombardującej występuje wzbudzenie jądra tarczy w wyniku oddziaływania jądrowego. * Deekscytacji jąder tarczy towarzyszy emisja &gamma; lub EKW, pomiar widm &gamma; lub EKW pozwala wyznaczyć energię stanów wzbudzonych w tych jądrach. Zderzenie "a" z X jest procesem szybkim i jednostopniowym z udziałem jednego lub kilku zewnętrznych nuklidów. W jądrach nieparzystych występują preferowane stany jednocząstkowe, a w p-p występują wzbudzenia kolektywne, tzn. rotacje i oscylacje niskoenergetyczne. * Pomiary rozkładów kątowych dają informacje o kształcie jądra tarczy (potencjału rozpraszającego), a także informacje o spinie cząstki I, te rozkłady posiadają strukturę dyfrakcyjną. * Jeżeli energia cząstki naładowanej dodatnio E{{Sub|&alpha;}} jest mniejsza od bariery kulombowskiej jądra, to wzbudzenie jądra atomowego następuje w wyniku oddziaływania kulombowskiego. Taki proces nazywamy wzbudzeniem kulombowskim jądra. '''Reakcje transferu''' Jest to przekaz jednego lub więcej nukleonów do jądra tarczy z cząstki bombardującej. * Strippingu (zdarcia) jest to przekaz nukleonu(ów) z cząstki bombardującej do jądra tarczy, np.: : (d,n),(d,p),({{Sup|3}}He,d) -stripping jednego nukleonu : ({{Sup|3}}H,d),({{Sup|3}}H,n),({{Sup|16}}O,{{Sup|14}}N)- stripping dwóch nukleonów. '''Pick-up (przechwytu)''' jest to przekaz nukleonów z jądra tarczy do cząstki bombardującej, np. (n,d),(p,d),(d,{{Sup|3}}He), itp.. '''kuac-out (wymiany)''' dołączenie do jądra tarczy cząstki bombardującej i wyrwanie z niej innej cząstki: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow Y+b\;</MATH>|6.10}} === Cechy charakterystyczne reakcji wprost === * uprzywilejowanie małych kątów wylotu cząstki w reakcji, brak symetrii względem kąta 90{{Sup|o}} (charakterystycznej dla reakcji przez jądro złożone). Dla większych kątów występuje struktura dyfrakcyjna. * rozkłady kątowe zależą od momentu pędu przekazanej jądru. * stosunkowo słaba zależność przekroju czynnego od energii cząstki bombardującej (zwykle jest funkcją rosnącą). * brak ostrych rezonansów na krzywej wzbudzenia * występowanie korelacji kątowej pomiędzy cząstką bombardującą, a fotonem &gamma;, który wylatuje ze wzbudzonego jądra tarczy. * Reakcja zachodzi w czasie t&le;10{{Sup|-22}}s jako proces jednostopniowy. * w reakcji jest zaangażowana mała liczba nukleonów dla jądra tarczy. * całkowy przekrój czynny jest zależny od kąta &theta;, która jest kątem pomiędzy cząstką bombardującą a cząstką wychodzącą z jądra tarczy, jest ona napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(\theta)=S_{lj}\cdot\sigma_{lj}(\theta)\;</MATH>|6.11}} gdzie &sigma;{{Sub|lj}} jest to czynnik kinematyczny, a S{{Sub|lj}} czynnik spektroskopowy zależnej od funkcji falowej charakteryzującej jądro atomowe. a "l" i "j" jest to orbitalny i całkowity moment pędu przekazywanej jądru. Czynnik kinematyczny oznacza przekrój czynny na otrzymanie przez jądro tarczy orbitalnego momentu pędu "l" i całkowitego momentu pędu "j". == Reakcje przez jądro złożone == * W tej reakcji mamy dwie cząstki jądra pocisk, który zderza się z jądrem tarczą, wyniku czego powstaje jądro złożone, które jest wzbudzone do pewnego stanu: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow C^*\;</MATH>|6.12}} Jądro C{{Sup|*}} rozpada się na wiele sposobów. Energia wzbudzenia odpowiada stanom widma ciągłego. * energia wzbudzenia jądra rozkłada się statystycznie na wszystkie cząstki, lub na większość z nich należącej do wspomnianego jądra, co jest inaczej zwane '''wzbudzeniem kolektywnym''', jest ono napisane: {{CentrujWzór|<MATH>E_{wzb}(C)=S_a(C)+E_a^{kin}\;</MATH>|kp}} * istnieje wiele kanałów wyjściowych rozpadu jadra złożonego, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow C^*\rightarrow \begin{cases} C+\gamma\\ Y+b_f\\ F_1+F_2+\nu n \end{cases}\;</MATH>|6.13}} Pierwsza reakcja w {{LinkWzór|6.13}} jest to wychwyt radioaktywny. W przypadku drugiej reakcji cząstka b{{Sub|f}} oznacza (n,p,&alpha;), a ostatnia reakcja to reakcja rozpraszania, ale: * przekrój czynny jest iloczynem prawdopodobieństwa na utworzenie jądra wzbudzonego C{{Sup|*}} i prawdopodobieństwa rozpadu tego jądra z emisją według ściśle określonych produktów, tzn. Y{{Sub|f}}+b{{Sub|f}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma(a,b_f)=\sigma(C)\cdot\lambda(b_f)\;</MATH>|6.14}} * prawdopodobieństwo utworzenia jądra złożonego, a prawdopodobieństwa rozpadu tego jądra na ściśle określone produkty są niezależne od siebie. Jądra złożone zapomina jak powstało i z jakiego kierunku nadleciał pocisk, zatem emisja cząstek b{{Sub|f}} jest izotropowa, {{Rysunek|Różniczkowy przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania.png|6.4|Różniczkowy przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania}} * rozkłady kątowe cząstek "b" wykazują symetrię według kata &theta;=90{{Sup|o}}, a także zależą od wartości spinu C{{Sup|*}}, a odstępstwo od tej zasady jest posiadanie przez jądro złożone wzbudzone wysokiej wartości momentu pędu powstałej w wyniku zderzenia z cząstką "a". Siła odśrodkowa rotacji jądra atomowego ułatwia emisję w kierunku prostopadłym do osi rotacji i posiada minimum przy kącie &theta;=90{{Sup|o}}, takie jądro wykazuje symetrię wobec tego kąta, * krzywe wzbudzenia reakcji wykazują ostre maksima, które świadczą o wychwycie przez jądro cząstki bombardującej przez jądro tarczy, gdy energia cząstki "a" E{{Sub|a}} zbliża się do energii rezonansowej określonej jako poziom wzbudzenia. Kształt krzywej rezonansowej dla przekroju czynnego &sigma;(E{{Sub|a}},E{{Sub|wzb}},&Gamma;) opisujemy rozkładem Brieita-Wignera (Lorentza) {{LinkWzór|2.54|Najważniejsze_parametry_jądra_atomowego}} Prawdopodobieństwo wychwytu jądra poza rezonansem maleje ze wzrostem (maleniem) energii cząstki bombardującej E{{Sub|a}}. Szerokość rezonansu określa poziom wzbudzenia jądra złożonego C{{Sup|*}}. Jego czas życia jest określony przez równanie {{Formuła|<MATH>\Gamma\cdot\tau=\hbar\;</MATH>}}. * przejścia C{{Sup|*}}→Y{{Sub|f}} do stanów wysokowzbudzonych jądra Y, odpowiadają szerokością energetycznym, które nawzajem się nakładają. Emisja niskoenergetycznych naładowanych cząstek maleje wraz energią cząstek emitowanych, ponieważ ich zdolność przenikania przez barierę sił kulombowską maleje, * Widmo energetyczne cząstek emitowanych zależy od energii cząstek emitowanych, a także od energii jądra wzbudzonego C{{Sup|*}}, rodzaju cząstki emitowanej b, od schematu pomiarów w jądrze atomowym. Najszybsze cząstki odpowiadają przejściu jądra ze stanu wzbudzonego C{{Sup|*}} do stanu podstawowego z widmem dyskretnym, wolniejsze do dyskretnych stanów podstawowych (liniowa część widma), bo w części niskoenergetycznej widmo jest ciągłe. Można tak powiedzieć, bo przy małych energiach poziomy w widmie dyskretne są tak gęsto poukładane, więc je można uważać za ciągłe, * czas trwania reakcji jest stosunkowo długi i wynosi 10{{Sup|-16}}s, * W reakcjach nad ciężkimi jądrami uzyskuje się stany wzbudzone jądra C{{Sup|*}} o najwyższych spinach I=100. Jeśli bombardujemy jądro ciężkimi jonami, to moment pędu unoszony do jądra jest bardzo duży (obszar wysokich energii wzbudzenia jądra), czyli poprzez cząstkę bombardującą uzyskuje się duży moment pędu C{{Sup|*}} jądra złożonego i przez to uzyskujemy duży jego spin. == Reakcje rozszczepieniowe (Fission), czyli reakcje przez jądro złożone == Reakcje rozszczepienia odkrył Fermi w 1934 roku. Jest to reakcja przez jądro złożone, których cząstka a i jądro X łączą się ze sobą i w wyniku czego powstaje jądro wzbudzone złożone C{{Sup|*}}, który rozszczepia się na kilka jąder z emisją kilku neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>a+X\rightarrow C^*\rightarrow F_1+F_2+\nu n\mbox{ gdzie: }\nu=\mbox{od 1 do 3}\;</MATH>|6.15}} Przykładem reakcji rozszczepieniowej jest: {{CentrujWzór|<MATH>{}^1_0n+{}^{235}_{82}U\rightarrow {}^{236}_{92}U^*\rightarrow {}^{92}_{36}Kr+{}^{142}_{56}Ba+2{}^1_0n\;</MATH>|6.16}} Całkowita energia wzbudzenia jądra wzbudzonego C, czyli E{{Sub|wzb}} jest sumą energii wydzielanej podczas bombardowania cząstką "a" S{{Sub|a}}(C) i energii kinetyczna kinetycznej cząstki "a" minus energia bariery kulombowskiej E{{Sub|bar. kul.}} jaką cząstka "a" musi pokonać by zaszła reakcja: {{CentrujWzór|<MATH>E_{wzb}(C)=S_a(C)+\Delta E_a^{kin}-E_{par. kul.}(X,a)\;</MATH>|6.17}} Pociskiem może być dowolna cząstka o odpowiedniej energii, takiej by energia wzbudzenia jądra C była większa niż bariera na rozszczepienie. Ciepło reakcji możemy przedstawić jako różnicę energii cząstek przed i po rozczepieniu: {{CentrujWzór|<math>Q_{fc}=[M_j(C)+E_{wzb}]-\left\{[M_j(F_1)+E_{wzb}(F_1)]+[M_j(F_2)+E_{wzb}(F_2)]+\nu m_n\right\}\;</MATH>|6.18}} Masa jądra wzbudzonego jest sumą mas tarczy X i pocisku "a", oraz aby zaszła reakcja to energia wzbudzenia jądra C powinna być większa niż bariera potencjału jak powiedzieliśmy wcześniej, tzn. według drugiego wzoru poniżej, bo wtedy ma prawo zajść reakcja rozszczepieniowa wiedząc, że &Delta;W{{Sub|f}}(C) jest barierą na rozszczepienie, które muszą pokonać produkty reakcji, aby wyjść na zewnątrz, czyli aby udała się reakcja: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>M_j(C)=M_j(X)+m_a\;</MATH>|6.19}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E^'_{wzb}(C)=E_{wzb}(C)-\Delta W_f(C)\geq 0\;</MATH>|6.20}} }} Reakcje (n,f), w których pociskami są neutronu, są zawsze egzoenergetyczne dla jader X ciężkich. Energia reakcji jest unoszona przez produkty reakcji, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>Q_f=\sum_lE^{(k)}(F_l)+\sum_{\nu}E^{(k)}_{\nu}(n)+\sum_kE_{\gamma_k}+\mbox{promieniowanie}\;</MATH>|6.22}} Promieniowanie wydzielane podczas reakcji {{LinkWzór|6.15}} może być to promieniowanie &beta;{{Sup|-}} i {{Formuła|<math>\tilde{\nu}\;</MATH>}}, która jest wydzielana w procesie rozpadu neutronu (która jest jednych z produktów rozważanej reakcji) zachodzącej według {{LinkWzór|3.41|Rozpady_(przejścia,_przemiany)_jądrowe}} i promieniowania &gamma;, która jest wydzielana w procesie deekscytacji jądra F{{Sub|i}}. Wiemy, że jeśli energia neutronów jako substratów reakcji jest E{{Sub|n}}=0,025eV, a energia wzbudzenia jądra złożonego jest {{Formuła|<MATH>{}^{235}U\;</MATH>}} w wyniku reakcji {{LinkWzór|6.20}} jest 6,5MeV, to w tym przypadku ciepło reakcji jest 200MeV, to jądra F{{Sub|i}} unoszą energię 165MeV, neutrony 5MeV, a fotony &gamma; energię 7MeV, a pozostałe produkty reakcji w wyniku promieniowania energię 23MeV, czyli ponad 80% energii przejmują fragmenty rozczepienia. === Mechanizm reakcji rozszczepienia === Cząstka bombardująca jądro wnika do jądra, i wyniku oddziaływań jądrowych tworzy się jądro złożone a+X→C o stanie energetycznym {{LinkWzór|6.17}}. W obszarze widm ciągłych powoduje to oscylacje kształtu (deformacje) jądra C, co przy energii wzbudzenia mniejszych niż bariera potencjału powoduje deekscytacje jądra z emisją kwantu &gamma; lub innej cząstki "b" różnej od cząstki bombardującej, a przy energii większej od bariery potencjału po czasie 10{{Sup|-14}}s od utworzenia jądra złożonego po podziale jądra na fragmenty, które są zwykle silnie wzbudzone, następuje silna emisja kwantów &gamma; w czasie 10{{Sup|-12}}s. Przy rozczepieniu fragmenty naszego jądra mogą mieć nadmiar neutronów, więc ulegają rozpadowi &beta;{{Sup|-}} do kolejnych jąder wzbudzonych lub jest emisja neutronów, co następuje w czasie 10{{Sup|-10}}s. === Energia neutronów pierwotnych === {{Rysunek|Kaliforn.png|6.5|Widmo neutronów emitowanych przez Cf-252|rozmiar=250px}} Widmo energii neutronów pierwotnych natychmiastowych (neutronów wychodzących z reakcji jako substraty reakcji, dzięki którego ma się prawo utworzyć jądro złożone C) jest zawsze ciągłe i średnia ich energia jest równa {{Formuła|<MATH>\overline{E}_n=2\mbox{MeV}\;</MATH>}} w reakcji {{Formuła|<MATH>{}^{235}U(n,f)\;</MATH>}}. === Deformacja kropli jądrowej w procesie rozczepienia === Załóżmy, że jądro przyjmuje kształt kropli jądrowej, który jest elipsoidą obrotową wyrysowaną przy odpowiednich półosiach "a" i "b" wyrażonej przy pomocy mimośrodu elipsy i przy pomocy promienia jądra po deformacji R równych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>a=R(1+\epsilon)\;</MATH>|6.23}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>b=R(1+\epsilon)^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>|6.24}} }} Zakładamy, że przy deformacji jadra nie zmienia się jego objętość, tzn. gdy początkowo, gdy jądro przyjmowało kształŧ kuli, to jego objętość jest taka sama po deformacji, która przyjmuje wtedy wygląd elipsoidy obrotowej: {{CentrujWzór|<MATH>V_{kuli}(Z,A)\equiv V_{elipsoidy}(Z,A)\Rightarrow{{4\pi R^3}\over{3}}\equiv 4\pi ab^2/3\;</MATH>|6.25}} Pole powierzchni elipsoidy obrotowej można wyznaczyć przy pomocy powierzchni kuli o promieniu R i mimośrodu elipsoidy obrotowej: {{CentrujWzór|<MATH>S_{el.obrot}(\epsilon)=4\pi R^2\left(1+{{2}\over{5}}\epsilon^2+...\right)\;</MATH>|6.26}} Energia powierzchniowa elipsoidy możemy napisać przy pomocy powierzchni {{LinkWzór|6.26}} dla energii powierzchniowej elipsoidy obrotowej w zależności od energii powierzchniowej kuli: {{CentrujWzór|<MATH>W_{pow}(A,Z,\epsilon)=W_{pow}(A,Z)_{kuli}\left(1+{{2}\over{5}}\epsilon^2+...\right)\;</MATH>|6.26a}} Objętość zdeformowanego jądra możemy przedstawić podobnie jak powierzchnia zdeformowanego jądra, zatem energia kulombowska elipsoidy obrotowej (ta energia jest energia objętościową) możemy napisać w zależności od energii kulombowskiej kuli, przy pomocy mimośrodu elipsoidy obrotowej jądra zdeformowanego: {{CentrujWzór|<MATH>W_{cul}(A,Z,\epsilon)=\underbrace{W_{cul}(A,Z)_{kuli}}_{a_C{{Z^2}\over{A^{{{1}\over{3}}}}}}\left(1-{{1}\over{5}}\epsilon^2+..\right)\;</MATH>|6.27}} Całkowita energia jądra zdeformowanego jest sumą jej energii powierzchniowej W{{Sub|swob}}(A,Z,&epsilon;) i energii objętościowej W{{Sub|cul}}(A,Z,&epsilon;): {{CentrujWzór|<MATH>W(A,Z,\epsilon)=W_{cul}(A,Z,\epsilon)+W_{pow}(A,Z,\epsilon)=\left(W_{pow}(A,Z)+W_{cul}\right)_{kuli}+\epsilon^2{{2W_{pow}(A,Z)_{kuli}-W_{cul}(A,Z)_{kuli}}\over{5}}\;</MATH>|6.28}} {{Rysunek|The energy of the atomic nucleus (elispoidy rotation), depending on its eccentricity.png|6.6|Energia jądra w zależności od mimośródu jądra atomowego jako elipsoidy obrotowej|rozmiar=300px}} Jeśli przedstawimy całą energię jądra zdeformowanego przy pomocy energii stanu wzbudzonego przy przejściu jądra od kształtu kuli do kształtu elipsoidy obrotowej, którą przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>W(A,Z,\epsilon)=W(A,Z,\epsilon=0)+\Delta W_f(A,Z,\epsilon)\;</MATH>|6.29}} * gdzie bariera potencjału jądra zdeformowanego przedstawiamy w zależności od jego energii powierzchniowej i objętościowej, gdy by była kulą i od mimośrodu elipsoidy obrotowej, przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta W_f(A,Z,\epsilon)=\epsilon^2{{2W_{pow}(A,Z)_{kuli}-W_{cul}(A,Z)_{kuli}}\over{5}}\;</MATH>|6.30}} ==== Bariera energetyczna równa wartości &Delta;W{{Sub|f}} większej od zera ==== {{Rysunek|Przejście tunelowe z barierą energetyczną.png|6.7|Przejście tunelowe z barierą energetyczną}} Rozważmy teraz przypadek &Delta;W{{Sub|f}}>0 {{LinkRysunek|6.6}}, wtedy jądro jest stabilne ze względu na oscylacje kształtu. Dla zrealizowania rozczepienia należy dostarczyć z zewnątrz energie E{{Sub|wzb}}>&Delta;W{{Sub|f}}. Rozszczepienie spontaniczne może być zrealizowane w wyniku przejść tunelowych i jego prawdopodobieństwo silnie zależy od Z{{Sup|2}}/A. Podamy teraz tabelkę dla poszczególnych jąder złożonych C{{Sup|*}} stosunek Z{{Sup|2}}/A i jego wysokość bariery &Delta;W{{Sub|f}}[MeV], a także energie separacji (wiązania) neutronu dla tych jąder: {{Tabelka|opcje=width=570px|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Jądro C{{Sup|*}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Z{{Sup|2}}/A}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|&Delta;W{{Sub|f}}[MeV]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|S{{Sub|n}}[MeV]}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{233}_{90}Th\;</MATH>}}}}<!-- -->{{komórka|34,8}}<!-- -->{{Komórka|6,5}}<!-- -->{{Komórka|5,0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{236}_{92}U\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|35,9}}<!-- -->{{Komórka|5,8}}<!-- -->{{Komórka|6,5}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{239}_{92}U\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|35,5}}<!-- -->{{Komórka|6,3}}<!-- -->{{Komórka|4,8}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{237}_{93}Np\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|36,5}}<!-- -->{{Komórka|5,6}}<!-- -->{{Komórka|6,7}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{240}_{94}Pu\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|36,8}}<!-- -->{{Komórka|4,8}}<!-- -->{{Komórka|6,5}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{92}Pb\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|32,3}}<!-- -->{{Komórka|35}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{197}_{79}Au\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|31,7}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}<!-- -->}} Te jądra po przechwyceniu neutronu dla którego zachodzi S{{Sub|n}}>&Delta;W{{Sub|f}} następuje potem rozszczepienie. Energie wzbudzenia jadra atomowego dla przypadku Z{{Sup|2}}/A<49; nazywamy sumę energii separacji neutronu jądra złożonego "C" i energii kinetycznej neutronu przez zderzeniem z jądrem tarczą, wtedy czas połowicznego rozpadu {{Formuła|<MATH>T_{1/2}=6\cdot 10^{15}lat\;</MATH>}}. {{CentrujWzór|<MATH>E_{wzb}(C)=S_n(C)+\Delta E_n^{kin}\;</MATH>|6.31}} ==== Bariera energetyczna równa wartości &Delta;W{{Sub|f}} nie większej niż zero ==== {{Rysunek|Energia jądra bez bariery energetycznej w rozczepieniu.png|6.8|Energia jądra bez bariery energetycznej}} Układ jest niestabilny ze względu na deformacje, ulega natychmiastowej fragmentacji, wtedy W{{Sub|cul}}(&epsilon;=0)&ge;2W{{Sub|pow}}(&epsilon;=0). Warunek ten zachodzi dla {{Formuła|<MATH>{{Z^2}\over{A}}\ge 49\;</MATH>}}, tzn dla jąder, dla których zachodzi Z&ge;120, tzn. dla jąder ciężkich o liczbie neutronów w zależności od liczby protonów we jądrze N=1,5Z. Dla tego przypadku czas połowicznego rozpadu wynosi {{Formuła|<MATH>T_{1/2}(sf)\simeq 10^{-22}s\;</MATH>}}. Te jądra są niestabilne ze względu na natychmiastowe rozszczepienie === Masy fragmentów rozczepienia jądra C* === Widmo mas fragmentów reakcji rozczepienia zależy od energii wzbudzenia jądra złożonego oraz od jego struktury powłokowej. Dla jąder ciężkich, tzn. dla liczb masowych mieszczących się w przedziale 230&divide;240 przy małej energii wzbudzenia rozszczepienie jest asymetryczne. Wyraźne dwa maksima występują przy A&asymp;95 i A&asymp;140;, wtedy stosunek liczb masowych tych dwóch maksimów występuje, gdy spełniony jest stosunek A{{Sub|1}}/A{{Sub|2}}&asymp;2/3. Asymetria ta maleje przy rosnącej energii wzbudzenia i rozczepienia, wtedy fragmentacja jąder przechodzi w widmo symetryczne, tzn. dla której zachodzi warunek A{{Sub|1}}&asymp;A{{Sub|2}}&asymp;A/2. Dla tych liczb masowych logarytm przekroju całkowego na rozszczepienie jest napisany w zależności od liczby masowej dla różnych energii wzbudzenia E{{Sub|wzb}} jądra złożonego C: {{Rysunek|Rozszczepienie na fragmenty jądra początkowego atomowego (rozszczepienie symetryczne i asymetryczne).jpeg|6.9|Rozszczepienie na fragmenty jądra atomowego (rozszczepienie symetryczne i asymetryczne)|rozmiar=700px|pozycja=center}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mdcvsvecjvbh3wtao54gh63m9hy19io 0 21871 559112 558608 2026-10-11T04:32:18Z Persino 2851 559112 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Zapoznamy się tutaj z reakcją łańcuchową, warunkami na rozszczepienie łańcuchowe, reakcjami syntezy i termosyntezy, bombą rozszczepieniową, bombą termojądrową. == Łańcuchowe reakcje rozszczepienia == Proces zapoczątkowany przez neutrony pierwotne jest źródłem neutronów wtórnych, tzn. natychmiastowych (wysyłanych od razu po fragmentacji jądra C i wtórnych powstałych przez wysyłanie neutronów przez produkty reakcji, te neutrony mogą wywoływać reakcje rozszczepienia dalszych jąder prowadzących do reakcji łańcuchowych. Warunkiem aby zaszła reakcja łańcuchowa w {{LinkWzór|6.13|Reakcje_jądrowe}} jest by &nu;>1, co jest spełnione dla jąder ciężkich, dla energii neutronów termicznych tzn. dla {{Sup|233}}U, to &nu;=2,58(6), dla {{Sup|235}}U, to &nu;=2,47(3), dla {{Sup|239}}Pu, to &nu;=3,05(8), które zachodzą przy energii progowej E{{Sub|prog}}&lt;S{{Sub|N}}. &nu; rośnie ze wzrostem E{{Sub|n}} neutronów pierwotnych, tzn. dla {{Sup|239}}Pu, gdy E{{Sub|n}}=14MeV, to &nu;=5. '''Oddziaływanie neutronu z jądrem atomowym może prowadzić do:''' * rozpraszania elastycznego prowadzi do obniżenia energii kinetycznej i zmiany kierunku rozpraszania n, która jest bardziej efektywna dla jąder lekkich H,D,{{Sup|12}}C, itp., zapisz tego zjawiska jest: {{CentrujWzór|<math>n+X\rightarrow X+n\;</MATH>|7.1}} * rozpraszanie nieelastyczne prowadzi do obniżenia energii neutronu i wzbudzenia jądra X{{Sup|*}}, co zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>n+X\rightarrow X^*+n^'\;</MATH>|7.2}} {{Rysunek|Zależność od energii neutronów przekroju czynnego kadmu i indu na wychwyt neutronów.jpeg|7.1|Zależność od energii neutronów przekroju czynnego kadmu i indu na pochłanianie neutronów|rozmiar=400px}} * wychwyt radiacyjny prowadzi do straty neutronu, w którym jądro atomowe X zamienia się wzbudzone jądro C, który w wyniku deekscytacji jądra wysyła kwant &gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>n+{}^AX\rightarrow {}^{A+1}C^*\rightarrow C+\gamma\;</math>|7.3}} Wychwyt neutronu przez jądro ma charakter rezonansowy, tzn. to jest najbardziej prawdopodobne dla energii neutronu, taki że spełnia związek: {{CentrujWzór|<MATH>E_n^{rez}+S_n(C)=E_{wzb}(C)\;</MATH>|7.4}} Dla energii neutronu {{Formuła|<MATH>E_n<E_n^{rez}\;</MATH>}} przekrój czynny na wychwyt neutronu jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{wych}\sim{{1}\over{\sqrt{E}}}\;</MATH>|7.5}} Energie rezonansowe zwykle mieszczą się w przedziale 0,1eV do 10keV, co jest spełnione dla neutronów powolnych. Dla jąder {{Sup|113}}Cd 12,3% reakcji zachodzi przy wychwycie rezonansowym przy rezonansowej energii neutronów E{{Sub|rez}}&asymp;0,176eV, wtedy przekrój czynny na wychwyt neutronu według rysunku {{LinkRysunek|7.1}} jest &sigma;{{Sub|wych}}=6&sdot;10{{Sup|2}}b, a przy energii neutronów E{{Sub|n}}<E{{Sub|rez}} przekrój czynny na wychwyt neutronu jest &sigma;{{Sub|wych}}=3&sdot;10{{Sup|3}}b. Jądra {{Sup|113}}Cd mają bardzo wysoką barierę na rozszczepienie. Wychwyt neutronów termicznych (jądra o energii 0,025MeV w warunkach temperatury pokojowej) przez te jądra prowadzi do (n,n{{Sup|'}}), i do (n,&gamma;), ale nie ma reakcji na rozszczepienie (n,f). Bardzo dużą wartość przekroju czynnego &sigma;{{Sub|wych}} mają jądra {{Sup|135}}Xe wynoszącą na neutronów termicznych &sigma;{{Sub|wych}}=3,5&sdot;10{{Sup|6}}b. Jądra {{Sup|135}}Xe powstają w wyniku reakcji (n,f) na jądrach {{Sup|235}}U. Powstawanie tych jąder wyniku reakcji rozszczepienia powoduje tzw. zatrucie rezonansowe reakcji. Dla jąder uranu naturalnego (99,38%{{Sup|238}}U ({{Formuła|<MATH>T_{1/2}\simeq 7,0\cdot 10^8lat\;</math>}})+0,72%{{Sup|235}}U ({{Formuła|<MATH>T_{1/2}=4,5\cdot 10^9 lat\;</MATH>}})) zachodzące reakcje (n,&gamma;) i (n,f) mają układ rezonansów bardzo skomplikowany. Dla jądra {{Sup|235}}U przechwyt neutronu jest możliwy, bo energia separacji neutronu w jądrze {{Sup|236}}U jest większa niż jego bariera potencjału, dlatego może w nim zachodzić rozszczepienie na lżejsze jądra. Przekrój czynny na rozszczepienie na tym jądrze bardzo szybko rośnie wraz ze zmniejszaniem się energii neutronów, dla E{{Sub|n}}&ge;1 keV, omawiany przekrój czynny jest mniejszy niż 10b, a natomiast dla energii E{{Sub|n}}=0,025eV jest równy 580b. By zwiększyć przekrój czynny reakcji na rozszczepienie stosuje się moderator, który nie może być on np. w stanie gazowym, by miał dostateczną dużą gęstość, a jego przekrój czynny na pochłanianie neutronów był możliwie mały. Zadaniem modelatora jest zmniejszanie prędkości neutronów szybkich, najlepiej, by modelator składał się z atomów możliwie lekkich, wtedy straty energii neutronów na modelatorze były możliwie duże. W reaktorach jądrowych stosuje się D{{Sub|2}}0 i grafit. Reakcje (n,f) na jądrze {{Sup|238}}U zachodzą, gdy energia neutronów jest E{{Sub|n}}&ge;1,5MeV, czyli w tym przypadku mamy do czynienia z neutronami szybkimi. W przedziale energii neutronów wynoszącej od 1,5 do 20MeV przekrój czynny na rozszczepienie jest &sigma;{{Sub|f}}<1,5b. A przy tych energiach procentowo ilość reakcji na rozszczepienie względem rozpraszania nieelastycznego neutronu jest równa stosunkowi: {{CentrujWzór|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{\gamma}+\sigma_f}}\simeq 0,25\;</MATH>|7.6}} W wyniku rozpraszania elastycznego i nieelastycznego neutron bardzo szybko traci energię przechodząc poniżej progu 1,5MeV, zatem nie możliwe jest zrealizowanie łańcuchowej reakcji w wyniku rozszczepienia na jądrze {{Sup|238}}U. === Warunki na zajście reakcji łańcuchowej === Nie każdy neutron wytworzony w wyniku reakcji rozszczepienia prowadzi do reakcji rozszczepienia, więc warunek &nu;>0 nie jest wystarczający. Stosunek liczby neutronów dla dowolnej generacji do liczby neutronów aby następował ich wychwyt do reakcji rozszczepienia jest zwany stosunkiem mnożenia neutronów lub stosunkiem powielania neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>k={{N_f}\over{N_{wychw}}}=\nu{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\;</MATH>|7.7}} Przekrój czynny na wychwyt neutronów jest sumą na przekroje czynne na rozszczepienie i produkcji promieniowania &gamma; poprzez wychwyt neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{wychw}=\sigma_f+\sigma_{\gamma}\;</MATH>|7.8}} Jeśli czas średni życia jednej generacji wynosi &tau;, to przyrost neutronów w jednostce czasu dt w zależności od liczby neutronów i w zależności od zmiennej k przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>{{dN}\over{dt}}={{N(k-1)}\over{\tau}}\Rightarrow N(t)=N_0e^{{{k-1}\over{\tau}}t}\;</MATH>|7.9}} Liczba neutronów reakcji łańcuchowych w kolejnych generacjach jest uzależniona od liczby k, który może przyjmować następujące wartości: * k<1 - reakcja łańcuchowa nie rozwija się, jest to stan podkrytyczny. * k=1 - reakcja łańcuchowa przebiega ze stałą mocą, jest to stan krytyczny. * k>1 - reakcja łańcuchową rozwija się, może doprowadzić do wybuchu, jest to stan nadkrytyczny. Na przykład dla k=1,05, gdy &tau;&asymp;10{{Sup|-3}}s po jednej sekundzie liczba neutronów wzrasta 10{{Sup|22}} razy. Sytuacja k>1 ma miejsce w bombie atomowej. Jeśli mamy masę krytyczną, wtedy jest to stan krytyczny k=1. Napiszmy stałą k {{LinkWzór|7.7}} zależną od neutronów powstających N{{Sub|powst}} i uciekających N{{Sub|uc}}, bo neutrony mogą uciekać z objętości zajmowanej przez reakcję łańcuchową, wtedy: {{CentrujWzór|<math>k=k_{\infty}{{N_{powst}-N_{uc}}\over{N_{powst}}}=k_{\infty}\left(1-{{N_{uc}}\over{N_{powst}}}\right)\;</MATH>|7.10}} Stała k{{Sub|&infin;}} jest zależna od definicji stałej k {{LinkWzór|7.7}} i stosunek liczby neutronów uciekających do powstających są równe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>k_{\infty}=\nu{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\;</MATH>|7.11}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{N_{uc}}\over{N_{powst}}}\sim{{S}\over{V}}\;</MATH>|7.12}} }} Widzimy, że k{{Sub|&infin;}} jest zależna od stosunku przekroju czynnego na rozszczepienie &sigma;{{Sub|f}} i przekroju czynnego na wychwyt neutronów i jest zależna od liczby neutronów &nu; powstających w wyniku reakcji łańcuchowej. Czym większy jest stosunek liczby neutronów uciekających do neutronów powstających, to im większy jest stosunek powierzchni czynnej masy (podkrytycznej, krytycznej lub nadkrytycznej) do objętości tejże masy, to czym mniejsza jest liczba "k". W przypadku czystego {{Sup|238}}U mamy k{{Sub|&infin;}}<1, bo gdyż {{Formuła|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\simeq 0,25\;</MATH>}} oraz &nu;&asymp;2,5, więc dla tego przypadku nie można zrealizować masy krytycznej. Dla {{Sup|235}}U dla neutronów termicznych mamy {{Formuła|<MATH>{{\sigma_f}\over{\sigma_{wychw}}}\simeq{{580b}\over{690b}}\simeq 0,854\;</MATH>}} i &nu;&asymp;2,5, więc {{LinkWzór|7.11}} k{{Sub|&infin;}}>1. Podobnie można uzyskać k{{Sub|&infin;}}&ge;2 dla {{Sup|233}}U i dla {{Sup|239}}Pu. Masa krytyczna zależy od {{Formuła|<MATH>{{S}\over{V}}\;</MATH>}} i od reflektora neutronów (jest to warstwa materiału o właściwościach odbijających uciekających neutronów z powrotem do rdzenia reaktora). Stan krytyczny można uzyskać na uranie naturalnym stosując moderator D{{Sub|2}}0 w reaktorach jądrowych. W reaktorach jądrowych stosuje się paliwo wzbogacone w {{Sup|235}}U ({{Sup|233}}U lub {{Sup|239}}Pu). w bombach jądrowych najczęściej stosuje się czysty {{Sup|235}}U lub {{Sup|239}}Pu dla zmniejszenia jego rozmiarów. == Reaktory jądrowe == {{Rysunek|Wwer-1000-scheme.png|7.2|Schemat rosyjskiego reaktora typu WWER-1000. 1 - pręty sterujące; 2 - osłona reaktora; 3 - obudowa reaktora; 4 - wlot i wylot wody; 5 - powłoka; 6 - obszar aktywny reaktora; 7 - pręty paliwowe}} {{Rysunek|Nuclear power plant-pressurized water reactor-PWR.png|7.3|Schemat elektrowni z reaktorem wodnym ciśnieniowym. 1. Blok reaktora 2. Komin chłodzący 3. Reaktor 4. Pręty kontrolne 5. Zbiornik wyrównawczy ciśnienia 6. Generator pary 7. Zbiornik paliwa 8. Turbina 9. Prądnica 10. Transformator 11. Skraplacz 12. Stan gazowy 13. Stan ciekły 14. Powietrze 15. Wilgotne powietrze 16. Rzeka 17. Układ chłodzenia 18. I obieg 19. II obieg 20. Para wodna 21. Pompa}} {{Rysunek|PressurizedWaterReactor.gif|7.4}} {{Rysunek|Crocus-p1020491.jpg|7.5|Rdzeń reaktora jądrowego}} Urządzenia, w których przeprowadza się ze stałą prędkością reakcje rozszczepienia jądrowego. Reakcje rozszczepienia mają zwykle przebieg lawinowy, tzn. jedna reakcja może zapoczątkować kilka następnych reakcji. W celu kontroli ile reakcji zapoczątkować ma reakcja łańcuchowa wprowadza się substancje pochłaniające neutrony, są to przede wszystkim bar i kadm. Substancje te są umieszczone w prętach regulacyjnych. Modelator wprowadza się w celu zmniejszania prędkości neutronów w wynika zderzenia neutronów z cząstkami modelatora. '''Reaktory dzieli się ze względu na szybkość neutronów:''' * neutrony termiczne, których modelatorem jest H{{Sub|2}}, D{{Sub|2}}O i grafit, * neutrony szybkie a reaktory o nie oparte są reaktorami powielającymi, paliwem jest {{Sup|238}}U lub {{Sup|232}}Th wzbogacony o {{Sup|235}}U, {{Sup|233}}U lub{{Sup|239}}Pu, reaktory o nie oparte są bez modelatora. Reakcje oparte na uranie {{Sup|238}}U są: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{238}U(n,\gamma)\rightarrow {}^{239}U\xrightarrow{\beta^-}{}^{239}Np\xrightarrow{\beta^-}{}^{239}Pu(f,n)\;</math>|7.13|Obramuj}} Reakcje oparte na torze {{Sup|232}}Th są: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{232}Th(n,\gamma)\rightarrow{}^{233}Th\xrightarrow{\beta^-}{}^{233}Pa\xrightarrow{\beta^-}{}^{233}U(f,n)\;</MATH>|7.14|Obramuj}} Energia uzyskana z 1g {{Sup|239}}U jest równa energii uzyskanej z 2,7 t {{Sup|12}}C. '''Podział według rodzaju reakcji jądrowej''', które dzielimy na: * rozszczepienie jądra atomowego-wszystkie reaktory w tym wszystkie komercyjne są oparte na rozszczepieniu reakcji jądrowych, której paliwem jest uran, ale trwają prace nad wykorzystaniem toru, * Kontrolowana synteza termojądrowa jest wykorzystana w reaktorach wykorzystujących termosyntezę jądrową, którego paliwem jest najczęściej wodór. Jak dotąd ilość energii włożonej jest większa niż energia uzyskana z termosyntezy, * Rozpad promieniotwórczy. '''Podział według chłodziwa:''' * reaktory wodne i ciśnieniowe tzw. PWR i WWER, której chłodziwem i modelatorem jest zwykła woda. która jest pod wysokim ciśnieniem tak by woda nieodparowywana podczas normalnej pracy reaktora, * reaktory wodne, wrzące (BWR), której chłodziwem i modelatorem jest zwykła wrząca woda: ** wyjątkowymi reaktorami wodnymi, wrzącymi są reaktory RBMK (między innymi w Czarnobylu tego typu reaktory zostały użyte w Czarnobylu oraz na terenie byłego ZSRR w innych reaktorach), wodą wrzącą w kanałach paliwowych są chłodzone, a moderowanie reaktorów grafitem. Jest uznawany za jeden z najniebezpieczniejszych ten rodzaj reaktora (elektrownia w Czarnobylu posiadała cztery reaktory typu RBMK), * reaktory wodne i basenowe, gdzie pręty paliwowe są zanurzone w wodzie, która jest modelatorem, a zarazem chłodziwem. Warstwa wody znajdująca się na reaktorem powinna mieć odpowiednią grubość by ekranować promieniowanie radiacyjne, by personel mógł pracować nad reaktorem, * reaktory gazowe (GCR, AGR, HTGR), której chłodziwem jest zwykły gaz, tzn. dwutlenek węgla lub hel, * reaktory prędkie (LMFR na szybkich neutronach) chłodziwem są stopione metale, tzn. sód lub ołów, pozbawionej modelatora, * reaktory solne (MSR), której chłodziwem są sole w stanie ciekłym, często fluoru. '''Podział według generacji:''' * Pierwszej generacji - prototypowe pierwsze reaktory jądrowe, * Drugiej generacji - pierwsze reaktory w celach przemysłowych, * Trzeciej generacji - reaktory nowszych konstrukcji reaktorów przemysłowych, * Czwartej generacji - najnowsze, ale w fazie projektów. '''Podział według przeznaczenia:''' energetyczne, * napędowe (głównie użyte do okrętów podwodnych i innych dużych okrętów nawodnych), * militarne (do broni jądrowej wytwarzanej do tego celu materiał rozszczepialny), * badawcze. {{Center| '''Podstawowe typy reaktorów energetycznych''' {{Tabelka|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Grupa}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Typ reaktora}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Chłodziwo|Chłodziwo]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|rodzaj}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Moderator|Moderator]]}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|[[w:Paliwo jądrowe|Paliwo jądrowe]]}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|Grafitowo - gazowe [[w:GCR (reaktor jądrowy)|GCR]]}}<!-- -->{{Komórka|AGR}}<!-- -->{{Komórka|[[w:Dwutlenek węgla|CO{{Sub|2}}]], [[w:gaz|gaz]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | [[w:grafit|grafit]]}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| [[w:Magnox|Magnox]]}}<!-- -->{{Komórka| gaz, CO{{Sub|2}}}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|U Naturalny}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| HTR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:He|He]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}}, UC{{Sub|2}}, ThO{{Sub|2}}, ... ({{Sup|235}}U, {{Sup|233}}U, Pu)}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Ciężkowodne}}<!-- -->{{Komórka| PHWR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:ciężka woda|ciężka woda]]}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->{{Komórka| ciężka woda}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} naturalny lub wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | Lekkowodne LWR}}<!-- -->{{Komórka| BWR}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3 | UO{{Sub|2}} wzbogacony lub UO{{Sub|2}} wzbogacony i MOX}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| PWR}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| WWER}}<!-- -->{{Komórka| ciśnieniowy}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | Wodno - grafitowe}}<!-- -->{{Komórka| [[w:RBMK|RBMK]]}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2 | grafit}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|GLWR}}<!-- -->{{Komórka|ciśnieniowy}}<!-- -->{{Komórka| U naturalny lub wzbogacony}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Lekko - ciężkowodne}}<!-- -->{{Komórka| HWLWR}}<!-- -->{{Komórka| lekka woda}}<!-- -->{{Komórka| wrzący}}<!-- -->{{Komórka| ciężka woda}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony - PuO{{Sub|2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka| Prędkie}}<!-- -->{{Komórka| FBR}}<!-- -->{{Komórka| [[w:sód|sód]]}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka|-}}<!-- -->{{Komórka| UO{{Sub|2}} wzbogacony - PuO{{Sub|2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|styl=text-align:left|{{DivLinia}} * GCR - Gas Cooled Reactor * LWR - Light Water Reactor * AGR - Advanced Gas-cooled Reactor * Magnox - nazwa pochodzi od stopu magnezowego koszulek paliwowych * HTR - High Temperature (Gas-cooled) Reactor * VHTR - Very High Temperature Reactor * PHWR - Pressurized Heavy Water Reactor * BWR - Boiling Water Reactor (ABWR - Advanced Boiling Water Reactor) * PWR - Pressurized Water Reactor * WWER - Wodno Wodianoj Energeticzeskij Reaktor * RBMK - Reaktor Bolszoj Moszcznosti Kanalnyj * GLWR - Graphite Light Water Reactor * HWLWR - Heavy Water - Light Water Reactor * FBR - Fast Breeder Reactor<!-- -->}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} {{Rysunek|Pulstar2.jpg|7.6|Reaktor badawczy PULSAR, o mocy 1MW}} === Wodny reaktor ciśnieniowy === Reaktor wodny ciśnieniowy {{LinkRysunek|7.2}} jest inaczej zwany PWR od ang. Pressurized Water Reactor. Jest to reaktor jądrowy w którym modelatorem (zmniejszającej prędkość neutronów) jest zwykła lekka woda pod zastosowanym ciśnieniem 15MPa. Woda spełnia też rolę czynnika chłodzącego reaktor, który jest chłodziwem rdzenia reaktora. Produkowana wodę gorącą jest przez reaktor PWR , która później idzie do wytwornicy pary (WP), która oddaje wodzie ciepło pod niższym ciśnieniem, która zamienia się w parę wodną o temperaturę 275{{Sup|o}}C i o ciśnieniu 6MPa. Dwa czynniki robocze stosuje się w tym reaktorze, która zmniejsza ryzyko wycieku do otoczenia substancji radioaktywnych. Regulowana jest moc reaktora poprzez zmianę stężenia boru w postaci kwasu borowego w wodzie w obiegu pierwotnym. Stosowane podczas rozruchu reaktora i jego wyłączania są pręty grafitowe regulacyjne. Bardzo bezpiecznymi konstrukcjami są reaktory PWR, odnotowano tylko jeden przypadek jego awarii na sztucznej wyspie Three Mile Island. Zmniejszyła wyciek do otoczenia substancji radioaktywnych zastosowana obudowa, której reaktor był firmy Babcock & Wilcox. === Реактор Большой Мощности Канальный (Reaktor Bolszoj Moszcznosti Kanalnyj, Reaktor Kanałowy Wielkiej Mocy) (RBMK) === {{Rysunek|RBMK reactor schematic pl.svg|7.7|Schemat reaktora RBMK}} {{Rysunek|RBMK German.PNG|7.9|Powiększenie struktur reaktora}} {{Rysunek|RBMK reactor from Ignalina ArM.jpg|7.10|Powierzchnia reaktora w Ignalinie pozbawiona głowic elementów paliwowych}} Reaktor w którym modelatorem jest grafit, chłodziwem jest wrząca woda. Użycie modelatora grafitowego teoretycznie umożliwia użycie naturalnego uranu. Jest to jedna z najbardziej ekonomicznych konstrukcja reaktora, ale bardziej podatny na różnego rodzaju awarie, co było główną przyczyną awarii reaktora w Czarnobylu. {{Tabelka|klasa=wikitable|styl=font-size:85%|<!-- -->{{Tytuł|Parametry pracujących i projektowanych reaktorów typu RBMK}}<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Parametr}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-1000}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-1500}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|RBMK-2000}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Moc cieplna}}<!-- -->{{Komórka|3200 MW}}<!-- -->{{Komórka|4800 MW}}<!-- -->{{Komórka|5400 MW}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Moc elektryczna}}<!-- -->{{Komórka|1000 MW}}<!-- -->{{Komórka|1500 MW}}<!-- -->{{Komórka|2000 MW}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Sprawność bloku}}<!-- -->{{Komórka|31,3%}}<!-- -->{{Komórka|31,3%}}<!-- -->{{Komórka|37%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Temperatura pary przed turbiną}}<!-- -->{{Komórka|280 °C}}<!-- -->{{Komórka|280 °C}}<!-- -->{{Komórka|450 °C}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Masa uranu w rdzeniu}}<!-- -->{{Komórka|192 t}}<!-- -->{{Komórka|189 t}}<!-- -->{{Komórka|226 t}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Kanałów odparowujących}}<!-- -->{{Komórka|1693}}<!-- -->{{Komórka|1661}}<!-- -->{{Komórka|1744}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Kanałów przegrzewających}}<!-- -->{{Komórka|styl=text-align:center|—}}<!-- -->{{Komórka|styl=text-align:center|—}}<!-- -->{{Komórka|872}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Wzbogacenie uranu}}<!-- -->{{Komórka|1,8%}}<!-- -->{{Komórka|1,8%}}<!-- -->{{Komórka|1,8-2,2%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rdzeń reaktora nie jest zamknięty w zbiorniku ciśnieniowym, ciśnienie panuje jedynie w rurach w których znajdują się pręty paliwowe i przepływa woda chłodząca. W betonowej studni jest umieszczony reaktor o wymiarach na 21,6 na 25,5 m. To 1661 sześciennych bloków grafitowych o krawędzi równej 250 mm stanowi rdzeń reaktora, gdzie kanałach występują pionowe otwory paliwowe. W celu chłodzenia, około 5% energii wydziela się w blokach grafitowych, i zapobieżenia zapłonu rozgrzanego grafitu przestrzeń pomiędzy blokami grafitowymi a kanałami paliwowymi wypełniono mieszaniną helu i azotu. Rdzeń reaktora jest otoczony warstwą grafitu o grubości 500-800 mm, która spełnia rolę pierwszej bariery ochronnej i reflektora neutronów. Reaktor jest otoczony lekką wodą o grubości 1,2 metra i dwumetrową ściana betonową. Z góry i z dołu reaktora jest on otoczony płytami stalowymi o grubości 200-250 mm. Kanały paliwowe stanowiące rury o średnicy 88 mm przechodzą przez rury chłodzące są wykonane ze stali nierdzewnej a w części głównej są wykonane ze stopu niobu i cyrkonu. Chłodzący indywidualnie wrzącą wodą jest każdy kanał o temperaturze wody lekkiej równej 290{{Sup|o}}C. Zestawy paliwowe o wysokości 3650 mm po 18 prętów każdy jest wewnątrz zestawu kanału paliwowego. Rurki (koszulki) cyrkonowo-niobowa o średnicy 13,6 mm i grubości 0,9 mm stanowią pojedyncze pręty paliwowe, pastylkami paliwowymi zapełniona o grubości 15 mm z dwutlenku uranu, minimalnie wzbogaconego do 1,8% uranem-235. Całkowita masa paliwa paliwa w reaktorze wynosi 190 t. Czas używania jednego pręta w reaktorze wynosi około 3 lata, a ich zmiana na nowe pręty może przebiegać podczas normalnej pracy reaktora. Ciepło odbierają z reaktora dwa jednoobiegowe układem chłodzenia. Woda pod ciśnieniem w kanałach paliwowych odbiera większość ciepła wydzielonego w trakcie reakcji rozszczepienia. Para wodna po opuszczeniu reaktora zawiera kropelki wody, w separatorach pary następuje oddzielenie wody z mieszaniny parowo-wodnej. Para o temperaturze 284 °C i ciśnieniu 6,5 MPa jest uzyskana w ilości średnio 5780 t na godzinę, która jest doprowadzana do dwóch turbogeneratorów o mocy 500 MW każdy z tych urządzeń. Po opuszczeniu turbogeneratora para jest skraplana w kondensatorze i kierowana do reaktora. Sprawność elektrowni jądrowej wynosi 31 %. Układ awaryjnego chłodzenia reaktora jest wyposażony w rdzeń, uruchamiany jeśli zostaje poważnie zaburzony obieg chłodziwa. W wieloblokowych elektrowniach, po 2-6 bloków pracują sobie reaktory. Zbudowano także udoskonalony reaktor jądrowy RBMK-1500, o mocy zwiększonej do 1500 MW, który pracuje w Ignalinie. Przygotowano także projekt udoskonalonego reaktora jądrowego RBMK-2000, w który wytwarza parę wodną o temperaturze 450 °C, używa się w nim uranu wzbogaconego do 2,2% uraniu-235. == Bomba jądrowa == {{Rysunek|Fission bomb assembly methods-PL.svg|7.11|Schemat dwóch metod detonowania ładunku jądrowego}} Bomba jądrowa czerpie energię z ciężkich jąder atomowych (uranu lub plutonu) w wyniku reakcji rozszczepienia pod wpływem bombardowania neutronami. Rozpadające jądra emitują neutrony zapoczątkowując inne rozszczepienia wywołując reakcję łańcuchową. Zasadą działania bomby jądrowej jest przekroczenie w najkrótszym czasie masy krytycznej ładunku jądrowego. Uzyskanie tego jest możliwe na dwa sposoby; poprzez zbliżenie kilku porcji materiału rozszczepialnego lub zapadnięcie materiału uformowanego w powłokę. Musi odbyć się to tak szybko by reakcja łańcuchowa nie została przerwana w wyniku rozproszenia materiałów rozszczepialnych energią rozszczepienia, dlatego używa się do tego celu ładunku konwencjonalnego, wtedy reakcja łańcuchowa dostarcza ogromną ilość energii. Wysoka temperatura i wysoka energia powodują szybki rozproszenie się materiału rozszczepialnego i przerwanie reakcji jądrowej. Jako ładunku nuklearnego używa się materiału rozszczepialnego uran-235 lub plutonu-239. Z jednego kilograma U-235 można uzyskać do 82TJ energii. Typowy czas trwania reakcji łańcuchowej jest 1&mu;s, stąd moc wynosi 82 EW/kg. == Reakcje syntezy i termosyntezy == Przedstawiamy ogólny schematyczny opis reakcji syntezy wraz z omówieniem rodziny reakcji p-p i CNO, a także przedstawimy wybrane reakcje syntezy wraz z energią wydzieloną w wyniku ich reakcji. === Ogólny opis reakcji syntezy === Są to reakcje jądrowe łączenia się dwóch jąder w jedno jądro cięższe i emitowania jednej lub kilku cząstek takich jak: n,p,&gamma;,&alpha;: {{CentrujWzór|<math>{}^{A_1}X_1+{}^{A_2}X_2\rightarrow {}^AY+b\;</MATH>|7.15}} W reakcjach przeprowadzonych w laboratoriach, by taka reakcja zaszła, energia cząstki zderzającej musi być taka by przekroczyła energię bariery kulombowskiej: {{CentrujWzór|<MATH>E_{X_1}^{kin}>E_{b. kul}\;</MATH>|7.16}} Wielkość bariery kulombowskiej dla jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MaTH>}} można oszacować dla protonu wykorzystując wzór na promień jądra atomowego {{LinkWzór|1.25|Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}} według modelu kroplowego: {{CentrujWzór|<MATH>E^{kin}_{b.kul}={{e^2Z}\over{4\pi\epsilon_0R}}={{e^2Z}\over{4\pi\epsilon_0r_0\sqrt[3]{A}}}={{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r_0}}{{Z}\over{\sqrt[3]{A}}}\;</MATH>|7.17}} W przypadku lżejszych atomów wartość energii protonu wynosi około 1 MeV. A więc aby zrealizować reakcję syntezy należy zrealizować tak by energia nie przekraczała kilku MeV na jeden nukleon. {{Rysunek|Synthesis of heavy nuclei and fission of heavy nuclei.svg|7.12|Synteza jąder lekkich i rozszczepienie ciężkich jąder atomowych}} Przy syntezie ciężkich jąder zawsze powstaje jądro atomowe zawsze bardziej stabilne niż jądra zderzające. Reakcje syntezy są zawsze egzoenergetyczne i wydziela się w nim ciepło reakcji: {{CentrujWzór|<MATH>Q_S=[M_j(X_1)+M_j(X_2)]-[M_j(Y)+m_b]\;</MATH>|7.18}} Do wzoru {{LinkWzór|7.18}} wykorzystujemy wzór M{{Sub|j}}(A,Z)=Zm{{Sub|p}}+Nm{{Sub|n}}-B(A,Z) i wykorzystując B(A,Z)=AE{{Sub|A}}, dostajemy natychmiast: {{CentrujWzór|<math>Q_S=A(\mathcal{E}-\mathcal{E}_{1,2})\mbox{ gdzie: } \mathcal{E}_{12}={{\mathcal{E}_1A_1+\mathcal{E}_2A_2}\over{A_1+A_2}}\;</MATH>|7.19}} Które przy syntezie jąder lekkich przy wznoszącej się krzywej E(A) zawsze ciepło reakcji Q{{Sub|S}} jest większe niż zero. Syntezy jąder lekkich nie zachodzą w przyrodzie z powodu barier potencjału. Energia jąder lekkich jest w przedziale od 1,5 do 2,2 MeV, co po przeliczeniu na jeden nukleon produktu reakcji daje nam od 0,8 do 3,5 MeV. Dla jądra uranu daje nam 0,8MeV/nukleon (Q{{Sub|f}}=195MeV, co daje nam Q{{Sub|f}}/A=0,8MeV/nukleon, czyli mniej niż dla jąder lekkich. * Metodą syntezy ciężkich jąder (jądro HI jest o energii kilku MeV na nukleon) uzyskuje się jądra superciężkie, które zachodzą według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>HI+HN\rightarrow SHN+\nu n\;</MATH>|7.20}} gdzie HI -to jest superciężki jon wielokrotnie zjonizowany, HN -to ciężkie jądro, SHN -to superciężkie jądro, w wyniku reakcji wydziela się &nu; nukleonów równej od 1 do 3. Jądro pocisku i tarczy są tak dobrane by powstałe jądro nie ulegało natychmiastowemu rozszczepieniu z czasem średnim &tau;=10{{Sup|-22}}s. Przekrój czynny na reakcje syntezy jest rzędu nanobarnów, a więc jest niezwykle bardzo mały, np. dla reakcji: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{48}Ca+{}^{238}U\rightarrow{}^{283}112+3n\;</MATH>|7.21}} dla której przekrój czynny na reakcje syntezy jest &sigma;=5 nb. Pamiętajmy, że jądra superciężkie są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i spontaniczne rozszczepienie. ==== Wybrane reakcje syntezy ==== Przedstawiamy poniżej wybrane reakcje syntezy wraz z ilością wydzielanej energii w nim wraz energią na jednostkę masy atomowej. {{Center|<!-- -->{{Tabelka|klasa=wikitable|opcje=width=70%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''Reakcja'''}}}}}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''Wydzielana energia całkowita'''}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''w MeV'''}}}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|{{Span|styl=color:blue|'''w MeV/j.m.at.'''}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^1_1H\rightarrow{}^2_1H+{}^0_{+1}e^++\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,44}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,72}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^2_1H\rightarrow{}^3_2He+\gamma\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|5,49}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,82}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^1_1H+{}^7_3Li\rightarrow{}^4_2He+{}^4_2He\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|17,35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2.16}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^2_1H\rightarrow{}^3_2He+{}^1_0n\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,27}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,81}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^2H_1\rightarrow{}^3_2He+{}^1_1H\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|4,03}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,00}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^2_1H+{}^3_1H\rightarrow{}^4_2He+{}^1_0n\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|17,59}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,50}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^2_1H+{}^3_2He\rightarrow{}^4_2He+{}^1_1H\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|18,35}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|3,75}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^2_1H+{}^6_3Li\rightarrow{}^4_2He+{}^4_2He\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|22,37}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2,78}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^3_1H+{}^3_1H\rightarrow{}^4_2He+{}^1_0n+{}^1_0n\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|11,33}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|1,88}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^3_2He+{}^3_2He\rightarrow{}^4_2He+{}^1_1H+{}^1_1H\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|12,86}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|2,13}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}U+{}^1_0n\rightarrow \mbox{rozszczepienie}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|195}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|0,83}}}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} === Reakcje termosyntezy === Są to reakcje syntezy zachodzące samoczynnie w układzie o bardzo dużej gęstości, złożone z lekkich jąder ogrzanych do bardzo wysokiej temperatury. Zderzenie jąder jest wynikiem jej ruchu termicznego. Średnia temperatura w ruchu we wnętrzu gwiazd jest około T&asymp;10{{Sup|8}}K (k{{Sub|bm}}t&asymp;8keV). Na przekroczenie bariery kulombowskiej w atomie wodoru wymagana jest średnia energia równa 700keV. W reakcji przekroczenie bariery kulombowskiej może zachodzić przy mniejszej energii niż ostatnio podaną w wyniku przejść tunelowych. Prawdopodobieństwo takich przejść jest bardzo małe i silnie zależy od energii cząstki bombardującej i wysokości bariery potencjału, a więc od iloczynu Z{{Sub|a}}&sdot;Z{{Sub|X}}. Natężenie reakcji termosyntezy zależy i silnie wzrasta od temperatury i gęstości materii jądrowej. Po przekroczeniu określonej temperatury staje się reakcją syntezy samopodtrzymującą i stale wydziela się energia o określonej mocy lub lawinowy jej wzrost, w którym następuje wybuch (bomba termojądrowa). Pierwsza sytuacja powiedziana jest w gwiazdach, gdzie spala się wodór w temperaturze od 15 do 18 pomnożone przez 10{{Sup|6}}K i gęstości 100g/cm{{Sup|3}} w cyklu p-n i CNO. Każda z tych cykli ma gałąź główną i dwa poboczne. Końcowym produktem tej reakcji jest {{Sup|4}}He w cyklu p-n i {{Sup|4}}He+{{Sup|12}}C w cyklu CNO. Przedstawmy cykl p-p, który daje 95% energii na Słońcu. {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix}{}^1H+{}^1H\rightarrow {}^2H+e^++\nu_e\\{}^2H+{}^1H\rightarrow {}^3He+\gamma\\{}^3He+{}^3He\rightarrow {}^4He+2{}^1H\end{matrix}\;</MATH>{{Br}}{{Tekst|co w sumie daje nam}}{{Br}}<MATH>4{}^1H\rightarrow{}^4He+2e^++2\nu_e+2\gamma\;</math>|7.22}} A także podamy gałąź główną CNO, który daje nam kilka procent energii na słońcu. W gwiazdach masywnych w cyklu CNO wytwarza się więcej energii niż w cyklu p-p, bo tam jest wyższa temperatura i gęstość: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix}{}^{12}C+{}^1H\rightarrow {13}N+\gamma\\{}^{13}N\rightarrow{}^{13}C+e^++\nu_e\\{}^{13}C+{}^1H\rightarrow{}^{14}N+\gamma\\{}^{14}N+{}^1H\rightarrow{}^{15}O+\gamma\\{}^{15}O\rightarrow{}^{15}N+e^++\nu_e\\{}^{15}N+{}^1H\rightarrow{}^{12}C+{}^4He\end{matrix}\;</math>|7.23}} Po wypaleniu się wodoru w gwieździe maleje jego ciśnienie w jej wnętrzu. Wtedy to powoduje kontrakcja Słońca w wyniku zapadania się grawitacyjnego, co powoduje wzrost jego temperatury w jego wnętrzu do ok. 10{{Sup|8}}K i gęstości 10{{Sup|5}}g/cm{{Sup|3}}. W tych warunkach następuje termosynteza jąder {{Sup|4}}He, a następnie {{Sup|12}}C,{{Sup|16}}O i Si. Trwają prace nad stworzeniem reaktora termojądrowego od 50lat, który by wykorzystywał reakcje syntezy w lekkich jądrach. Najbardziej obiecujące są reakcje deuteru lub trytu w jądrach helu-3 lub helu-4. Posiada ono najniższą z możliwych barier kulombowskiej i stosunkowo mały przekrój czynny na reakcje syntezy, tzn. {{CentrujWzór|<MATH>\begin{matrix} {}^2H+{}^2H\rightarrow{}^3He+n&Q_S=3,3\mbox{MeV}\\ {}^2H+{}^2H\rightarrow{}^3H+p&Q_S=4,4\mbox{MeV}\\ {}^2H+{}^3H\rightarrow{}^4He+n&Q_S=17,6\mbox{MeV}\end{matrix}\;</MATH>|7.24}} Powyższe trzy charakteryzujące się reakcje jądrowe mają duże wartości Q{{Sub|S}}/A, a szczególnie trzecia z nich w {{LinkWzór|7.24}}. Zapasy ziemskie deuteronu są praktycznie niewyczerpalne - jest ich w wodzie morskiej ok. 0,015%. W warunkach ziemskich reakcje termosyntezy mogą przebiegać w znacznie mniejszej objętości i mniejszej gęstości niż na słońcu i dlatego straty energii w wyniku przewodnictwa cieplnego, promieniowania, liczby neutronów w tych warunkach będą zawsze duże. Oznacza to, że aby otrzymać samopodtrzymującą się reakcje termosyntezy należy podgrzać plazmę do bardzo wysokiej temperatury, wyższa niż temperatura na Słońcu. Określa się, że minimalna temperatura i gęstość plazmy deuterowo-trytowej może być n&tau;=10{{Sup|14}}cząstek&sdot;s/cm{{Sup|3}} i o określonej temperaturze 10{{Sup|8}}K, gdzie &tau; jest to czas utrzymywania określonych wartości koncentracji "n" i temperatury "T" plazmy. Ten problem próbuje się rozwiązać dwoma metodami: * Ogrzewanie całej objętości do temperatury 10{{Sup|8}}K plazmy o gęstości n&ge;10{{Sup|14}}cząstek/cm{{Sup|3}} w czasie stosunkowo długim &tau;&ge;0,1s. W celu niedostania się plazmy do ścianek obudowy stosuje się bardzo silne pole magnetyczne efektywne, które to pole magnetyczne jest wytwarzane przez powłoki w kształcie toroidu. W tym polu elektrony i jony poruszają się po spiralach nawiniętych na linie pola magnetycznego. Przy odpowiedniej konfiguracji toroidu poruszającą się plazmę można zagęścić w środku toroidu i ograniczyć jego kontakt ze ściankami komory. W procesie zagęszczania powstaje duża temperatura. Toroidy oparte na tej zasadzie nazywamy '''tokamakami'''. W roku 1963 w objętości kilkudziesięciu litrów uzyskano n&tau;=3&sdot;10{{Sup|11}}s&sdot;cząstek/cm{{Sup|3}} i temperaturę T=3&sdot;10{{Sup|6}}K. W reakcji termosyntezy po raz pierwszy uzyskano neutrony pochodzące z reakcji termosyntezy deuterony i trytu, ale ogólny bilans energii był ujemny. Trudności praktyczne z uzyskaniem praktycznego tokamaka wynikają głównie z niestabilności plazmy. * Nagrzewanie bardzo szybkie &tau;=10{{Sup|-9}}s poprzez impulsowe nagrzewanie małych objętości ze wszystkich stron do bardzo wysokiej temperatury, w taki sposób aby plazma nie mogła przeniknąć do ścianek, przy pomocy laserów lub wiązek elektronowych o bardzo dużej mocy. Mieszanina deuteronu i trytu w takich wiązkach może być w stanie stałym o bardzo dużej gęstości bez zagęszczania. == Bomba termojądrowa == {{Rysunek|Teller-ulam-multilang.png|7.13|Schemat budowy ładunku termojądrowego A - Faza rozszczepienia (ładunek główny) B - Faza fuzji (ładunek dodatkowy) 1 - Chemiczny materiał wybuchowy 2 - Osłona uranu-238 3 - Próżnia 4 - Pluton lub uran zawierający tryt w stanie gazowym 5 - Forma z polistyrenu 6 - Osłona uranu-238 7 - Deuterek litu-6 (paliwo fuzji) 8 - Pluton 9 - Osłona odbijająca promieniowanie X w kierunku ładunku dodatkowego}} W bombie termojądrowej występują reakcje syntezy lekkich atomów pierwiastków w wyniku czemu powstają ciężkie atomy pierwiastków o większej energii wiązania. Warunkiem koniecznym uzyskania syntezy jąder jest wysoka temperatura i wysoka gęstość cząstek reagujących. Mając na uwadze, że wybuch rozrzuca materiały reagujące powinno stosować się materiały reagujące w jak najniższej temperaturze. Pierwsze bomby termojądrowe były zbudowane w oparciu o deuter i tryt, w której nie jest on zbyt trwały, a czas jego połowicznego zaniku jest 12,26 lat, więc tak powstałej bomby nie należy zbytnio przechowywać. Rozwiązaniem tego problemu jest wytwarzanie trytu podczas wybuchu. Tryt jest otrzymywany z litu podczas bombardowania jego jąder neutronami powstałych z rozszczepienia ładunku inicjującego, którym jest uranowo-plutonowa bomba jądrowa o stosunkowo niewielkiej mocy. Zastosowanie deuteru i trytu w postaci związków w stanie stałym bez udziału chłodzenia znacznie upraszcza konstrukcję. Reakcje zachodzące podczas wybuchu bomby jądrowej są: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{matrix} {}^6Li+n\rightarrow {}^4He+{}^3T+\mbox{4,18MeV}\\ {}^3T+{}^2D\rightarrow {}^4He+n+\mbox{17,6MeV}\\ {}^2D+{}^2D\rightarrow {}^3T+p+\mbox{4MeV}\\ {}^2D+{}^2D\rightarrow {}^3He+n+\mbox{3,3MeV}\\ \end{matrix} </MATH>|17.25}} Zasadniczo mają najważniejszy wpływ dwie pierwsze reakcje {{LinkWzór|17.25}}, które tworzą samopodtrzymujący się cykl. Pierwsza dostarcza tryt do drugiej reakcji, a druga reakcja neutronów do pierwszej. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> r0kzwbo736f21ugy1s46im3yhlnf633 0 21967 559113 558609 2026-10-11T04:34:12Z Persino 2851 559113 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Będziemy się tutaj zajmować oddziaływaniami różnego rodzaju promieniowania z materią, w tym cząstek ciężkich (w porównaniu z elektronami), elektronów, czy też promieniowania &gamma;. Także zajmować się będziemy promieniowaniem Czerenkowa, metodami detekcji cząstek naładowanych i promieniowania &gamma;, detektorami przejścia, które dzielimy na gazowe, scyntylacyjne i półprzewodnikowe. Zajmować się będziemy także spektrometrami promieniowania jądrowego, a także parametrami spektrometrów licznikowych i magnetycznych. == Oddziaływanie różnego rodzaju promieniowania z materią == Będziemy rozpatrywać metody oddziaływania promieniowania jądrowego z materią, w tym promieniowania, które są to zbiorem cząstek ciężki, także przedstawimy metody oddziaływania elektronów, a także promieniowania γ z materią. === Metody oddziaływania cząstek ciężkich z materią === Cząstki ciężkie będziemy rozumieć cząstki cięższe od elektronów, te cząstki przechodząc przez ciała materialne oddziaływują przez swoje pole elektryczne z elektronami odczepiając je od danych atomów tracąc przy tym energię. Jeśli cząstka poruszająca się w ośrodku ma pewną energię, oddziaływuje z elektronami i jądrami atomów ośrodka, w którym się porusza, dla energii kinetycznych cząstek poruszających się w ośrodku, która jest mniejsza niż energia pokonania bariery kulombowskiej jądra dla cząstek poruszających się w ośrodku, czyli E{{Sub|cz}}<E{{Sub|bariera kul}}, dla przypadku cząstki naładowanej lub gdy mamy do czynienia z promieniowaniem elektromagnetycznym bariera kulombowska nie gra roli, to oddziaływanie cząstek z materią prowadzi do: * wzbudzenia i jonizacji atomów, straty energii cząstek jonizacyjnych przy jonizacji atomów ośrodka, przez które przechodzi, można opisać przy pomocy wzoru Bethego-Blocha dla małych prędkości takich, że energia cząstki powinna być o wiele mniejsza niż wielkość (m{{Sup|2}}/2m{{Sub|e}})c{{Sup|2}}, przy którym "m" jest masą cząstki oddziałującej z ośrodkiem, a m{{Sub|e}} jest masą elektronów, c prędkość światła, zatem straty energii na jednostkę długości określamy według wzoru: {{Rysunek|StoppingHinAlBethe.png|8.1|Siła hamowania w aluminium dla protonu pędzących z pewną energią, a wzór Bethego-Blocha}} {{CentrujWzór|<MATH>-\frac{dE}{dx}=z^2n_e\varphi(v,I)={{4\pi e^4z^2n}\over{m_ev^2}}Z\ln{{2m_ev^2}\over{I}}</math>|8.1}} : gdzie v jest to prędkość cząstek jonizacyjnych, a I jest to średnia energia jonizacji ośrodka, i dalej n{{Sub|e}} jest to gęstość elektronów w ośrodku. Wielkość I jest wprost proporcjonalne do liczby atomowej Z ośrodka, przez którą przelatuje dana cząstka. Wzór empiryczny na tą wielkość określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>I=9,1Z\left(1+{{1,9}\over{Z^{{2}\over{3}}}}\right)eV\;</MATH>|8.2}} Gdy uwzględnimy cząstki o dużych energiach uwzględniające kontrakcję pola kulombowskiego, wtedy wzór {{LinkWzór|8.1}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>-{{dE}\over{dx}}={{4\pi e^4z^2n}\over{m_ev^2}}\left(\ln{{2m_ev^2}\over{I\left(1-\beta^2\right)}}-\beta^2\right)\;</MATH>|8.3}} * gdzie współczynnik &beta; jest to stosunek prędkości cząstki do prędkości światła. Dla bardzo małych energii cząstek wzór {{LinkWzór|8.1}} przestaje być słuszny, bo nieuwzględniania procesów przechwytywania przez cząstkę elektronów i dalszego jego oddawania. Ale ponieważ dla małych prędkości cząstek dominującym czynnikiem w {{LinkWzór|8.1}} jest 1/v{{Sup|2}}, zatem czym mniejsza prędkość, to straty energii cząstki jonizującej ośrodek mogą być naprawdę wysokie: * rozproszenia sprężystego na jądrach według Rutherforda dla mas cząstek jonizacyjnych m{{Sub|a}} mniejszych od masy jądra (m{{Sub|cz}}<M{{Sub|j}}), lub według Motta, gdy masa cząstki jonizującej m{{Sub|cz}} jest porównywalna z masą jądra atomowego. * promieniowania hamowania, który powstaje podczas hamowania cząstki w polu jądra atomowego, * promieniowania Czerenkowa, która powstaje, gdy prędkość cząstki jest większa niż prędkość światła w danym ośrodku materialnym, * wybijania elektronów w procesie jonizacji z powłok elektronowych z k-tej powłoki, gdy mamy do czynienia z energią cząstek promieniowania jonizacyjnego większą niż energia wiązania elektronu na k-tej powłoce. Wiedząc jakie są straty energii (patrz {{LinkWzór|8.1}} lub {{LinkWzór|8.2}}), wtedy możemy obliczyć zasięg cząstki w danym ośrodku, w którym znajduje się dana cząstka, i wiedząc, że zachodzi dE=mvdv, wtedy zasięg jego wyznaczamy ze wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>R=\int_0^{E_0}\left(-{{dE}\over{dx}}\right)^{-1}dE=z^{-2}\int_0^{E_0}f(v)dE=mz^{-2}\int_0^{v_0}f(v)vdv=mz^{-2}F(v_0)\;</MATH>|8.4}} Jeśli znamy zasięg liczony dla protonów możemy policzyć zasięgi dla innych cząstek mając wzór: {{CentrujWzór|<MATH>R_i(E_i)={{1}\over{z_i^2}}\left({{m_i}\over{m_p}}\right)R_p(E_p)T_i\;</MATH>|8.5}} * Przy czym R{{Sub|i}}(E{{Sub|i}}) oznacza się zasięg cząstki o liczbie masowej z{{Sub|i}} i masie m{{Sub|i}} i energii E{{Sub|i}}, a T{{Sub|i}} jest to czynnik nieznacznie odbiegający od jedynki, a zasięg protonów R{{Sub|p}}(E{{Sub|p}}) jest dla energii E{{Sub|p}}=m{{Sub|p}}E{{Sub|i}}/m{{Sub|i}}. Przy procesach w których mamy ciężkie jądra takie jak fragmenty rozszczepienia zaczynają brać pod uwagę zderzenia z jądrami niż zderzenia z elektronami. Możemy stosować formułę Bragga-Kleemanna, w których mamy doczynienia stosując je dla różnych ośrodków przez które przechodzi dana przelatująca cząstka, przy tym oznaczając ρ jako gęstość ośrodka, a A liczba masowa ośrodka: {{CentrujWzór|<MATH>{{R\rho}\over{\sqrt{A}}}=\operatorname{const}\;</MATH>|8.6}} Jeśli zachodzi {{Formuła|<MATH>\sqrt{A_{pow}}=3,81\;</MATH>}}, a &rho;{{Sub|pow}}=1,226mg/cm{{Sup|3}}, wtedy zasięg danej cząstki w danym ośrodku o liczbie masowej A względem zasięgu w powietrzu, co wtedy otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>R_A=3,2\cdot 10^{-4}{{\sqrt{A}}\over{\rho_A}}R_{pow}\;</MATH>|8.7}} Jeśli mamy doczynienia z mieszaniną różnych pierwiastków lub jest związkiem w absorbencie o liczbach atomowych A{{Sub|1}},A{{Sub|2}},A{{Sub|3}},..., które są z częstościami &delta;{{Sub|1}},&delta;{{Sub|2}},&delta;{{Sub|3}},... wtedy we wzorze {{LinkWzór|8.6}} za pierwiastek wielkości A należy podstawić: {{CentrujWzór|<MATH>\sqrt{A}=\delta_1\sqrt{A_1}+\delta_2\sqrt{A_2}+\delta_3\sqrt{A_3}+\cdots\;</MATH>|8.8}} === Metody oddziaływania elektronów z materią === Kwestia oddziaływania elektronów z materią jest zagadnieniem bardziej skomplikowanym niż oddziaływanie elektronów z materią, czyli należy w liczyć w ten proces liczenia większą liczbę procesów oddziaływania, w to wliczamy jonizację, elastyczne zderzenia z jądrami i elektronami, w którym elektron może zmieniać energię i kierunek ruchu, nieelastyczne zderzenia, w której elektron traci część energii na promieniowanie hamowanie. Prawdopodobieństwo zajścia takiego procesu opisywany jest przez przekrój czynny i ma wymiar cm{{Sup|2}}, wtedy zmiana koncentracji elektronów dn w ośrodku liczymy według wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>dn=-\sigma nNdx\;</MATH>|6.9}} Przekrój czynny na promieniowanie definiujemy jako pochodna energii względem osi prostopadłej do absorbenta podzielonej przez iloczyn koncentracji elektronów i jego energię: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma={{1}\over{nE}}{{dE}\over{dx}}\;</MATH>|6.10}} Gdy możliwa jest organizacja wielu procesów o przekrojach czynnych cząstkowych &sigma;{{Sub|1}},&sigma;{{Sub|2}},..., wtedy całkowity przekrój czynny badanego procesu rozpraszania promieniowania &gamma; jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3+\cdots\;</MATH>|6.11}} Różniczkowy przekrój czynny określa prawdopodobieństwo, że w danym koncie bryłowym d&Omega; lub gdy cząstka będzie miała energię (E,E+dE), to wtedy zachodzi: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\sigma(\theta,\phi)d\Omega\;</MATH>|6.12}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma=\sigma(E)dE\;</MATH>|6.13}} }} Przekroje czynne spotykane w fizyce mają bardzo małe wartości i dlatego wprowadzono jednostkę 1 barn, którego definicja 1b(barn)=10{{Sup|-24}}cm{{Sup|2}}. ==== Przekroje czynne przy przejściu promieniowania jonizującego ośrodek ==== Rozpatrzmy teraz przekroje czynne na jonizacje ośrodka w wyniku przechodzącego promieniowania elektronowego, którą przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_f=8\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{cm^2/atom}=2\cdot \underbrace{4\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2}_{1b}{{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{cm^2/atom}=2{{Z}\over{\beta^4}}\ln{{E\sqrt{2}}\over{I}}\operatorname{b/atom}\;</MATH>|6.14}} ==== Przekroje czynne na rozpraszanie sprężyste na elektronach, czyli w procesach, w których zachodzi zasada zachowania energii ==== Przekrój czynny na rozproszenia sprężyste na elektronach, które to występuje w obszarze kątów {{Formuła|<MATH>0^o-90^o\;</MATH>}}, charakteryzujemy prawdopodobieństwem tego processu pod kątami {{Formuła|<MATH>\theta \geqslant 45^o</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{res}=8\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{Z}\over{\beta^4}}\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}\simeq 2{{Z}\over{\beta^4}}\operatorname{b/atom}\;</MATH>|6.15}} ==== Przekroje czynne na rozproszenia sprężyste na jądrach ==== To rozpraszanie charakteryzuje się różnymi kątami i tą wielkość podamy dla kątów {{Formuła|<MATH>\theta\ge 90^{o}\;</MATH>}}, i przekrój czynny jego dla przedziału prędkości dla których zachodzi &beta;<<1, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{rs}=\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2Z^2{{1-\beta^2}\over{\beta^4}}cm^2/atom\simeq {{1}\over{4}}{{Z^2}\over{\beta^4}}b/atom\;</MATH>|FG}} ==== Przekroje czynne na emisję promieniowania występującego przy zmianie pędu cząstki w ośrodku ==== A na przekrój czynny na emisję promieniowania podamy poniżej, w którym promieniowanie hamowania występuje, gdy następuje zmiana pędu danej cząstki, czyli zmiana kierunku lub prędkości danej cząstki. Energia danej cząstki zmienia się wtedy w przedziale (h&nu;,h&nu;+d(h&nu;)) przy zmianie kierunku toru pod wpływem pola magnetycznego: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_p={{1}\over{137}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2Z^2{{E+m_0c^2}\over{E}}{{d(\hbar\omega)}\over{\hbar\omega}}B=\sigma(\hbar\omega)d(\hbar\omega)\;</MATH>|6.16}} * gdzie {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest słabo zależącą funkcją od zmiennych od E (energii cząstki) i Z (liczby atomowej). Straty energii elektronów podczas oddziaływania z materią są równe: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{dE}\over{dx}}\right)_p=n\int_0^E\hbar\omega\sigma(E,\hbar\omega)d(\hbar\omega)\;</MATH>|6.17}} Wykorzystując wzór na straty energii {{LinkWzór|6.17}} i wzór na przekrój czynny {{LinkWzór|6.10}}, wtedy wzór na przekrój czynny na emisję promieniowania hamowania jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_f={{1}\over{n}}{{1}\over{E}}{{dE}\over{dx}}={{16}\over{3}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{Z^2}\over{137}}{{E+m_0c^2}\over{E}}\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}={{8}\over{3\pi}}{{1}\over{137}}{{Z^2}\over{\beta^2}}\operatorname{b}/\operatorname{atom}\;</MATH>|6.18}} === Metody oddziaływanie promieniowania γ z materią === Kwanty &gamma; w ośrodkach oddziaływają z materią siłami elektromagnetycznymi: * z elektronami atomów lub cząsteczek, * z nukleonami jądra, * a także z polami elektromagnetycznymi jąder i elektronów na powłokach elektronowych. Następstwem tychże oddziaływań jest: * absorpcja kwantu &gamma;, * rozproszenie koherentne (sprężyste), tzn. energia kwantu &gamma; nie zmienia się, * rozproszenie niekoherentne (niesprężyste). Powyższe procesy są procesami, których prawdopodobieństwo jest funkcją zależną od energii kwantu: &gamma;, i liczby atomowej ośrodka Z. ---- * Rozpatrzmy teraz trzy przypadki, zatem najpierw pierwszy mówiący coś o oddziaływaniu z '''elektronami związanymi na powłokach elektronowych''' omawiany poniżej. Zjawisko '''absorpcji''' zachodzi wyniku fotoefektu, co zachodzi w wyniku zderzenie kwantu &gamma; z atomem i wyniku czego elektron zostaje uwolniony z atomu, co schemat tego zdarzenia opisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma+e_n+X\rightarrow X^*+e_{sw}\;</MATH>|8.19}} To zjawisko następuje, gdy energia fotonu jest większa niż energia wiązania elektronu na danej powłoce elektronowej, czyli zachodzi {{Formuła|<MATH>h\nu\geq B_e(n)\;</MATH>}}. Energia wybitego elektronu jest równa: {{Formuła|<MATH>E_{fe}=h\nu-B_e(n)\;</MATH>}}. Jeśli energia fotonu spełnia warunek h&nu;<big>&#187;</big>B{{Sub|e}}(k), wtedy atom może być obdarty z elektronu, który znajduje się na n-tej powłoce elektronowej, który zostaje wydarty, jeśli energia fotonu jest odpowiednia. Przekrój czynny na zajście tego zdarzenia dla małych energii fotonu dla obu tych przypadków piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_f\sim{{Z^5}\over{h\nu}}\mbox{ dla }h\nu\ll B_e(K)\;</MATH>|8.20}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{\sigma\sim{{Z^5}\over{(h\nu)^{7/2}}}}\mbox{ dla }h\nu\geq B_e(K)\;</MATH>|8.21}} }} Zjawisko '''zderzenia koherentnego''' w rozpraszanie Rayleigh'a, zachodzi, gdy kąt między rozproszeniem kwantu &gamma; przed i po zderzeniu jest mniejsze niż 20{{Sup|o}} dla glinu (Al) i 4{{Sup|o}} dla ołowiu (Pb). Przekrój czynny na to rozpraszanie rośnie wraz z liczbą atomową jądra Z i maleje wraz z energią kwantu &gamma; h&nu;. Jego przekrój jest bardzo mały, obserwuje się to dla przypadku energii kwantu h&nu;&le;1MeV. Dla '''zderzenia niekoherentnego''' dzielimy rozpraszanie na Comptona, i Thomsona, z których to pierwsze jest oddziaływaniem z elektronami swobodnymi słabo związanymi z jądrem atomowym, tzn. dla którego zachodzi h&nu;>>B_e(n). Energia kwantu rozproszonego jest mniejsza niż przed zdarzeniem. Przekrój czynny na rozpraszanie Comptona dla małych energii fotonu, ale na tyle dużych by zachodził wcześniej podany efekt, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_C\sim{{Z}\over{h\nu}}\;</MATH>|8.22}} Rozpatrzmy rozpraszanie, dla której energia kwantu &gamma; jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa elektronu (rozpraszanie Thomsona). Jest to rozproszenie zachodzące według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>{\gamma+e_n\rightarrow X^*+\gamma^'}\;</MATH>|8.23}} Przekrój czynny na to zjawisko jest bardzo mały i maleje wraz z energią kwantu, a nie zależy od energii przejścia E{{Sub|&gamma;}}. * rozważmy teraz przypadek '''oddziaływania z jądrami lub nukleonami jadra atomowego'''. '''Absorpcja''' zachodzi wyniku fotoreakcji, gdy w wyniku zderzenia z jądrem kwantu &gamma; i wyniku czego wybijana jest cząstka "a" lub jądro rozszczepia się na mniejsze fragmenty. W przypadku pierwszym zachodzi gdy energia kwantu jest większa niż energia wiązania cząstki "a" w jądrze, a przypadku drugim, gdy energia kwantu jest większa niż energia bariery potencjału, tzn. zachodzi, gdy h&nu;&ge;10MeV. A przypadku '''rozpraszania koherentnego''' rezonansowego, które zachodzi, gdy wyniku pochłonięcia kwantu &gamma; jądro przechodzi w stan wzbudzony i później emituje inny foton o tej energii co przed pochłonięciem jego przed zderzeniem z jądrem, co zachodzi w zjawisku Mösbauera. Zjawisko to zachodzi według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma+{}^AX\rightarrow {}^AX^*_j\rightarrow {}^AX^*+\gamma\;</MATH>|8.24}} Dla zjawiska Tomsona które zachodzi, gdy rozpraszanie jest o kącie bardzo małym, zaledwie kilku stopni. Przekrój czynny na to rozpraszanie jest wtedy bardzo mały. '''A w przypadku zderzenia niekoherentnego''' Wzbudzenie jądra zachodzi według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma+X_j\rightarrow X^*_j+\gamma^'\;</math>|8.25}} Energia kwantu powinna być taka by była większa niż pierwszy stan wzbudzony jądra atomowego. Przekrój czynny na to zjawisko jest bardzo mały. * Rozważmy jako ostatni przypadek '''zderzenia z polem kulombowskim jądra lub z polem elektronów''', wtedy dla '''zjawiska absorpcji''' tworzy się para (e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}), dla zjawiska zachodzącego w polu jądra atomowego może to zachodzić, gdy energia fotonu jest większa od podwojonej energii spoczynkowej elektronu, jego przekrój czynny dla dużych energii fotonów jest pisany: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_{pj}\sim Z^2\left(3\ln {{2h\nu}\over{m_ec^2}}-8\right)\sim Z^2\ln 2h\nu\;</MATH>|8.26}} lub w polu elektronu, wtedy energia fotonu jest taka by była większa niż czterokrotna wartość energii spoczynkowej elektronu. Udowodniono, że przekrój czynny na zajście tego zjawiska w polu elektronu jest o wiele mniejsze niż przekrój czynny na zajście tego zjawisko w polu jądra atomowego (&sigma;{{Sub|pe}}<<&sigma;{{Sub|pj}}). Dla zjawiska Delbruka '''zderzenia koherentnego''' w polu jądra atomowego tworzy się para (e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}) i ta para w wyniku anihilacji tworzy znów jeden foton, przy czym w tym zjawisku energia fotonu przed zajściem tworzenia pary i po anihilacji tej pary jest taka sama, to zjawisko zachodzi wedle schematu: {{CentrujWzór|<MATH>{h\nu\rightarrow e^+e^-\rightarrow h\nu}\;</math>|8.27}} dalej oczywiste jest, że energia fotonu jest większa lub równa podwojonej energii spoczynkowa elektronu h&nu;&ge;2m{{Sub|e}}c{{Sup|2}}. {{Rysunek|Zależność przekroju czynnego absorpcji kwantu gamma od energii kwantu gamma przez materię.jpeg|8.3|Zależność przekroju czynnego absorpcji kwantu gamma od energii kwantu gamma}} Całkowity przekrój czynny na rozpraszanie kwantu &gamma; na atomie jest równa sumie przekroju czynnemu na fotoefekt, zjawisko Comptona i zjawiska na utworzenie pary elektron-pozyton, tj. e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}), co matematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma^{tot}=\sigma_f+\sigma_c+\sigma_p\;</MATH>|8.28}} Rozpraszanie cząstek obojętnych z ośrodku materialnym może prowadzić do: * rozpraszania sprężystego i niesprężyste na jądrach atomowych * reakcji jądrowych właściwych: ** wychwytu radiacyjnego cząstki "a", co daje w wyniku jądro złożone, które to jądro wyniku przejściu na niższy poziom energetyczny wysyła kwant &gamma;. ** rozszczepienia jądra ** z utworzeniem nowego jadra Y z jądra X i wysłanie na zewnątrz tego jądra cząstki "b", co zachodzi według schematu a+X→Y+b, którą cząstka "b" jest cząstką naładowaną, i wtedy część energii, która wydziela się w wyniku reakcji przyjmuje cząstka "b". ==== Zjawisko fotoelektryczne ==== Kwant energii dawany jest elektronowi w materii, a ta energia dodatkowa elektronu jest potrzebna do pokonania bariery potencjału w niej i stworzenia energii kinetycznej elektronu w atomie, co możemy przedstawić wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\hbar\omega=E+E_B\;</MATH>|8.29}} Przekrój czynny w tym zjawisku jest określany w zależności od częstotliwości padającego na elektron fotonu: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_f\sim{{Z^h}\over{(\hbar\omega)^k}}\;</MATH>|8.30}} przy którym wykładniki h i k zależą od energii kwantu &gamma; i zmieniają się od wartości h=4,0 i k=3,5 dla niskich energii w porównaniu z energią spoczynkową elektronu do wartości h=4,6 i k=1 dla energii bardzo wysokich w porównaniu z masa spoczynkową elektronu. ==== Zjawisko Comptona ==== Przedstawmy sobie foton o częstotliwości &omega;, który zderza się ze spoczywającym elektronem, w wyniku której ten foton zostaje rozproszony pod pewnym kątem względem pierwotnego biegu kierunku fotonu przez zderzeniem pod kątem &theta;, a elektron też zostaje rozproszony pod kątem &phi; względem pierwotnego kierunku biegu naszego fotonu. Energia fotonów &gamma; przedstawiamy wzorem {{Formuła|<MATH>E_{\gamma}=\hbar \omega\;</MATH>}}, a także jego pęd {{Formuła|<MATH>p_f={{\hbar \omega}\over{c}}\;</MATH>}}, wtedy z prawa zachowania energii i pędu otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\hbar \omega=\hbar \omega^'+E\;</MATH>|8.31}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\hbar \omega}\over{c}}={{\hbar \omega^'}\over{c}}\cos\theta+p\cos\phi\;</MATH>|8.32}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>0={{\hbar \omega^'}\over{c}}\sin\theta-p\sin\phi\;</MATH>|8.33}} }} Wtedy wzory na energię rozproszonego fotonu i energię odrzutu elektronu przedstawiamy w zależności od kąta &theta; lub &phi;: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>\hbar \omega^'={{hbar\omega}\over{1+\alpha(1-\cos\theta)}}\;</MATH>|8.34}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>E=\hbar \omega{{2\alpha\cos^2\phi}\over{(1+\alpha)^2-\alpha^2\cos^2\phi}}=\hbar \omega{{\alpha(1-\cos\theta)}\over{1+\alpha(1-\cos\theta)}}\;</MATH>|8.35}} }} * gdzie {{Formuła|<MATH>\alpha={{\hbar\omega}\over{m_0c^2}}\;</MATH>}}. Jeżeli obierzemy zjawisko Comptona, dla którego kwanty promieniowania &gamma; zderzają się z elektronami, wtedy możemy powiedzieć, że różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie pod kątem d&Omega; w kierunku kąta &theta; i &phi; dla spolaryzowanego kwantu &gamma; określamy przy pomocy kątów układu kulistego przez wzór (pierwszy wzór), co sumując go po wszystkich polaryzacjach kwantu rozproszonego, czyli tutaj dwóch prostopadłych kierunkach, (drugi wzór), mamy: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_C^{(1)}={{1}\over{4}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-2+4\cos^2\theta\right)d\Omega\rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\rightarrow d\sigma_C^{(2)}={{1}\over{2}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-2\sin^2\theta\cos^2\phi\right)d\Omega\;</MATH>|8.36}} Wzór {{LinkWzór|8.36}} wykazuje maksimum przy kącie &phi;=90{{Sup|o}}, tzn. rozproszenie w kierunku polaryzacji wektora falowego, wtedy ono przyjmuje kształt po całym kącie bryłowym. Różniczkowy przekrój czynny uśredniamy na podstawie dwóch kierunków polaryzacji, wtedy mamy różniczkowy przekrój czynny kwantu niespolaryzowanego (pierwszy wzór) i go całkując mamy (drugi wzór), wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\sigma_C={{1}\over{2}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left({{\omega^'}\over{\omega}}\right)^2\left({{\omega}\over{\omega^'}}+{{\omega^'}\over{\omega}}-\sin^2\theta\right)d\Omega\rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\rightarrow \sigma_C=\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{1}\over{\alpha}}\left\{\left[1-{{2(\alpha+1)}\over{\alpha^2}}\right]\ln(2\alpha+1)+{{1}\over{2}}+{{4}\over{\alpha}}-{{1}\over{2(2\alpha+1)^2}}\right\}\;</MATH>|8.37}} Dla przypadków &alpha; o wiele mniejszych niż jeden, wtedy {{LinkWzór|8.37}} przedstawia się przez wyrażenie: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_C\simeq {{8\pi}\over{3}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2\left(1-2\alpha\right)\operatorname{cm}^2/\operatorname{elektron}\simeq{{2}\over{3}}(1-2\alpha)\operatorname{b/elektron}\;</MATH>|8.38}} Natomiast dla przypadków &alpha; bardzo dużych, wtedy {{LinkWzór|8.37}} rysujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_C\simeq\pi\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)^2{{1}\over{\alpha}}\left(\ln 2\alpha+{{1}\over{2}}\right)\operatorname{cm}^2\operatorname{/elektron}\simeq{{1}\over{4\alpha}}\left(\ln 2\alpha+{{1}\over{2}}\right)\operatorname{b}/\operatorname{elektron}\;</MATH>|8.39}} ==== Zjawisko tworzenia par elektronów ==== Kwant może być zamieniony w parę elektron-pozyton, wtedy, gdy jego energia jest większa niż podwojona energia spoczynkowa energia spoczynkowa elektronu, czyli {{Formuła|<MATH>\hbar\omega>2m_ec^2=2\cdot 0,51=1,02 MeV\;</MATH>}}. Ponieważ do tworzenia pary elektron-pozyton z jednego fotonu &gamma; potrzebne jest spełnienie zasady zachowania energii i pędu, to w tym pierwszym zachowanie tejże wielkości jest spełnione natychmiastowe, a w tym drugim spełnienie zasady zachowania pędu jest spełnienie przy obecności innego jądra lub elektronu, w tym drugim energia fotonu musi być olbrzymia, a przekrój czyny bardzo mały, by była spełniona zasada zachowania pędu. Elektrony po stworzeniu pary elektron-pozyton mają energię: {{CentrujWzór|<MATH>E=\hbar\omega-2m_ec^2\;</MATH>|8.40}} Podobnie anihilacja pozytonu o energii E z negatonem energia wytworzonych kwantów &gamma; wynosi poniżej, czyli przy tym dla E=0 energia kwantu &gamma; po anihilacji jest m{{Sub|o}}c{{Sup|2}}=0,51 MeV: {{CentrujWzór|<math>\hbar\omega=E+2m_ec^2\;</MATH>|8.41}} Aby wytworzyć parę elektron-pozyton, to przekrój czynny na przetworzenie tego procesu, który zachodzi w pobliżu jądra Z przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_p={{1}\over{137}}\left({{e^2}\over{m_0c^2}}\right)Z^2f(\hbar\omega)\operatorname{cm}^2/\operatorname{atom}={{Z^2}\over{1720}}f(\hbar\omega)\operatorname{b/atom}\;</MATH>|8.42}} Funkcja {{Formuła|<MATH>f(\hbar\omega)\;</MATH>}} jest funkcją zależną od energii kwantu &gamma;, której zależność jest logarytmiczna na samym początku, a potem dąży do energii, którego wartość jest wielkością stałą niezależną od energii, i jest ona zależna od liczby atomowej jądra, w pobliżu której zachodzi tworzenie pary pozyton-negaton: {{CentrujWzór|<MATH>f={{28}\over{9}}\ln {{183}\over{Z^{{{1}\over{3}}}}}-{{2}\over{27}}\;</MATH>|8.43}} Całkowity przekrój czynny z użyciem promieniowania &gamma; jest określany przez {{LinkWzór|8.28}}. === Współczynnik absorpcji promieniowania jądrowego === Róźniczka natężenia promieniowania jądrowego przy przejściu przez ośrodek przez grubość dx jest określana przez wzór poniżej, przy którym &mu; jest to współczynnik absorpcji: {{CentrujWzór|<MATH>-dI=\mu Idx\mu\rightarrow I=I_0e^{-\mu x}\;</MATH>|8.44}} Można napisać, że współczynnik absorpcji jest równy iloczynowi współczynnika koncentracji atomów ośrodka i przekroju czynnego na zajście danego zjawiska i zgodnie ze wzorem {{LinkWzór|6.9}}, że: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=n\sigma\;</MATH>|8.45}} Cały współczynnik absorpcji jest sumą współczynnika absorpcji na zjawisko fotoelektryczne &mu;{{Sub|f}}, na efekt Comptona &mu;{{Sub|C}}, tworzenia pary elektron-pozyton &mu;{{Sub|p}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=\mu_f+\mu_C+\mu_p\;</MATH>|8.46}} Można wprowadzić współczynnik absorpcji &mu;/&rho;, gdzie &rho; oznacza gęstość ośrodka, przez który przechodzi dane promieniowanie, ale nie ma w niej zależności od stanu danego ośrodka, wiedząc, że masa ośrodka atomowa jednego nukleonu jest w przybliżeniu równa jeden unit, wtedy współczynnik masowy &mu;/&rho; określamy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>n=N_A{{\rho}\over{A}}\Rightarrow {{\mu}\over{\rho}}=\sigma{{N_A}\over{A}}\;</MATH>|8.47}} Jeśli rozpatrzymy &sigma;{{Sub|e}} jako przekrój czynny na zjawisko Comptona na jeden elektron, wtedy przekrój na Z elektronów w atomie wyrażamy poprzez wzór &sigma;{{Sub|C}}=Z&sigma;{{Sub|e}}, wtedy wzór {{LinkWzór|8.47}} na zjawisko Comptona przyjmuje sposobność: {{CentrujWzór|<MATH>{{\mu_C}\over{\rho}}=\sigma_eN_A{{Z}\over{A}}\;</MATH>|8.48}} == Promieniowanie Czerenkowa == Jeśli w ośrodku przezroczystym n>1 porusza się naładowana cząstka, z prędkością większą niż prędkość światła w tym ośrodku, to jemu ruchowi towarzyszy promieniowanie elektromagnetyczne korelowane z kierunkiem ruchu cząstki. Promieniowanie to odkrył w 1934 Czerenkow, stąd jego nazwa. {{Rysunek|Cherenkov.svg|8.2|Schemat składania prędkości dla promieniowania Czerenkowa}} Przez cząstkę emitowana jest fala kulista, w każdej jego punkcie toru, co w wyniku czego tworzy się czoło fali o kącie rozwarcia względem prędkości cząstki v równej &theta;, która ta cząstka tą falę emituje. Jeśli cząstka przebyła od pewnego punktu początkowego odległość vt=&beta;ct, a fala emitowana, z opisywanej cząstki, z tego punktu początkowego wskazanego wcześniej przebyła dotąd odległość r=ct/n, wtedy kąt jaki tworzy czoło fali z kierunkiem ruchu cząstki pędzącej z prędkością v jest zatem wyrażona poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{c/nt}\over{\beta ct}}={{c/n}\over{\beta c}}={{1}\over{n\beta}}\;</MATH>|8.49}} Promieniowanie Czerenkowa jest emitowane dookoła ruchu cząstki w stożku 2θ, która jest zależna od prędkości cząstki umieszczonej w ośrodku, której prędkość jest większa niż prędkość światła. Jeśli cosθ≤1, co stąd wynika nβ≥1, tzn. musi zachodzić v≥c/n, czyli prędkość fazowa cząstki wywołująca efekt Cerenkowa jest większa od prędkości fazowej światła w danym ośrodku. Kąt graniczny jaki tworzy czoło fali z prędkością cząstki wyrażamy według wzoru {{LinkWzór|8.4}} dla v=c i przedstawiamy ten kąt w postaci formuły: {{CentrujWzór|<MATH>\cos\theta={{1}\over{n}}\;</MATH>|8.50}} Oczywiste jest, gdy v{{Sub|cz}}<c/n cząstka nie ma prawa emitować tego promieniowania. * '''Wyjaśnienie efektu działania promieniowania Czerenkowa''' {{Rysunek|Układ dipoli w prędkościami mniejszymi lub większymi niż prędkość światła w ośrodku.png|8.4|Układ dipoli dla prędkości cząstki mniejszej niż prędkość światła lub większych q danym ośrodku, a promieniowanie Czerenkowa}} Cząstka naładowana powoduje polaryzację ośrodka wzdłuż toru, a powrót ośrodka do stanu równowagi powoduje emisję promieniowania koherentnego. Dla prędkości pędzących cząstek naładowanych mniejszych od prędkości światła w ośrodku, w tym przypadku dipole w nim są rozmieszczone symetrycznie wzdłuż naładowanej pędzącej cząstki. Gdy prędkość cząstki jest większa od prędkości światła, to w wyniku czego układ dipoli spolaryzowane ośrodka ma wyraźny wyróżniony kierunek w stronę pędzącej naszej cząstki. W tym przypadku powoduje to wzmacnianie promieniowania cząstki w kierunku określonym przez {{LinkWzór|8.51}}. Najmniejszą energię progową jaką dana cząstka może posiadać w ośrodku aby pojawiło się promieniowanie Czerenkowa jest nazywana energią progową cząstki w danym ośrodku. Dla radiatora ze szkła organicznego przy współczynniku załamania równą 1,5, gdy cząstką wywołującej promieniowanie jest elektron, to jego energia progowa jest 0,173MeV, a gdy proton to 322MeV. Liczba fotonów emitowanych przez radiator o długości l w jednostce czasu, gdy liczbę atomową cząstki oznaczymy przez Z, jest przedstawiana: {{CentrujWzór|<MATH>N(\nu)d\nu\sim Z^2l\sin^2\theta d\nu\;</MATH>|8.51}} Energia progowa dla której powyżej następuje promieniowanie Czerenkowa w szkle organicznym dla którego współczynnik załamania jest n=1,5 dla elektronów jest 0,173 MeV, dla mezonów 49 MeV i dla protonów 322 MeV. == Metody detekcji cząstek naładowanych i cząstek &gamma; == Detektorami cząstek nazywamy układy pozwalające z identyfikować cząstki i określić ich energię, lokalizację, tor, moment pędu. Detektory cząstek dzielimy na: * detektory przejścia (licznikowe) * detektory śladowe. * magnetyczne spektroskopy Parametrami detektorów jest: * wydajność liczoną jako iloraz liczby cząstek zarejestrowanych i liczby cząstek padających na detektor, zwykle liczy się go w procentach: {{CentrujWzór|<MATH>w={{N_{zareje}}\over{N_{padaj}}}\cdot 100\%\;</MATH>|8.52}} * energetyczna zdolność rozdzielcza, która jest ilorazem szerokości energetycznej połówkowego piku spowodowaną przez cząstkę docierającą do piku, do całkowitej energii tej linii: {{CentrujWzór|<MATH>R_E={{\Delta E}\over{E}}\;</MATH>|8.53}} * pędowa zdolność rozdzielczą, która jest ilorazem szerokości pędowej połówkowego piku spowodowaną przez cząstkę docierającą do piku, do całkowitego pędu tej linii: {{CentrujWzór|<MATH>R_p={{\Delta p}\over{p}}\;</MATH>|8.54}} * czasowa zdolność rozdzielcza [s], jest czasem istnienia piku, od punktu, w której jej wartość była połowie maksymalnej wartości sygnału reprezentowanego przez pik, do drugiej wartości połówkowej istnienia tego naszego pojedynczego piku, * dokładność lokalizacji toru, * przeznaczenie (&gamma;, cząstki naładowane, cząstki nienaładowane). Jeśli skorzystamy z zależności pomiędzy energią kinetyczną a pędem {{Formuła|<MATH>E=\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}-m_0c^2\;</MATH>}} możemy napisać zdolność rozdzielczość energetyczną w zależności od zdolności rozdzielczej pędowej w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>R_E={{\Delta E}\over{E}}={{2pc^2\Delta p}\over{2E\sqrt{(pc)^2+(m_0c^2)^2}}}={{\Delta p}\over{p}}{{p^2c^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=R_p{{(E+m_0c^2)^2-(m_0c^2)^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=\;</MATH><BR><MATH>+R_p{{E^2+(m_0c^2)^2+2Em_0c^2-(m_0c^2)^2}\over{E(E+m_0c^2)}}=R_p{{E(E+2m_0c^2)}\over{E(E+m_0c^2)}}={{E+2m_0c^2}\over{E+m_0c^2}}R_p\;</MATH>|8.55}} Podział ze względu na konstrukcję i zasadę działania: * gazowe-komory jonizacyjne, licznik proporcjonalny, licznik Geigera-Müllera, * scyntylacyjne- dzieli się ze względu na rodzaj scyntylatora, tzn. jako nieorganiczny związek, organiczny związek. plastykowe. Ogólnie można je podzielić na stałe, ciekłe, rzadko gazowe, * półprzewodnikowe- powierzchniowe (rejestracja cząstki, których zasięg jest mały), objętościowe (koaksjalne). Ze względu na rodzaj półprzewodnika dzielimy je detektory na germanowe (Ge) i krzemowe (Si). == Detektory przejścia == {{Rysunek|Chambre d'ionisation.svg|8.5|Schemat licznika gazowego}} === Jonizacja === Rozpatrzmy najpierw co to jest jonizacja gazu by przejść do następnych problemów. Ono może się odbywać na kilka sposobów, które może się odbywać na poziomie atomowym, które tutaj omówimy: * zderzeniem cząstki o wysokiej energii z protonem, elektronem lub cząstką &alpha;, * wzajemnych zderzeniach cząstek o wysokiej energii, czyli atomy te ulegają jonizacji wzajemnej, * przez wybicie elektronu z powłoki atomu, * po wychwycie elektronu przez atom. === Liczniki gazowe (jonizacyjne) === {{Rysunek|Obszary pracy komory jonizacyjnej.png|8.6|Zależność amplitudy sygnału od napięcia anodowego, B obszar pracy komory jonizacyjnej, C-obszar pracy licznika proporcjonalnego, D-obszar pracy licznika-Geigera-Müllera, za obszarem Geigera-Müllera znajduje się obszar wyładowań nie zaznaczonej na rysunku}} {{Rysunek|Wykres przedstawiający obszary pracy licznika jonizacyjnego.jpg|8.7|Wykres przedstawiający obszary pracy licznika jonizacyjnego.}} Całkowite natężenie prądu płynącego w obwodzie {{LinkRysunek|8.3}} w jakim pracuje licznik gazowy jest równe sumie natężeń ładunków ujemnych i dodatnich: {{CentrujWzór|<MATH>I=I^++I^-\;</MATH>|8.54a}} Detektory jonizacyjne jest to pomiar uwolnionego ładunku wywołanej procesem jonizacji ośrodka przez przejście naładowanej cząstki. Aby liczba zarejestrowanych cząstek była wprost proporcjonalna do ilości energii straconej przez cząstkę i zdeponowanej w detektorze, w materiale detektora nie powinna zachodzić wzajemna rekombinacja cząstek, ani też napięcie na elektrodach nie powinno być duże by nie występowało lawinowe powielanie ładunku. Aby cząstki ze sobą nie rekombinowały stosuje się pole elektryczne o odpowiednio dużym natężeniu, która zapewnia ruch ładunku do odpowiednich elektrod, w ten sposób zmniejsza się prawdopodobieństwo rekombinacji. Przy niewielkiej energii jonizacja gazu, zanim elektrony dojdą do anody nastąpi rekombinacja elektronów z jonami, i nie wszystkie wtedy elektrody dojdą do elektrody. Przy większym napięciu pomiędzy elektrodami, już nie występuje niemal rekombinacja jonów z elektronami i prawie wszystkie elektrony i jony dojdą do odpowiednich elektrod, a sygnał odpowiada wytworzonej jonizacji, jest to obszar jonizacji. Przy dalszym wzroście może dojść do wtórnej jonizacji powodującej zwiększenie liczby jonów dotartych do elektrod, a więc zwiększenie prądu płynącego prądu od komory jonizacyjnej. Ten obszar nazywamy obszarem proporcjonalności komory jonizacyjnej. W tym obszarze elektrony pierwotne uzyskują dostateczną energię by wywołać dalszą jonizację na swej drodze, dzięki tej jonizacji zwiększa się wytworzony ładunek. Uzyskuje się wzmocnienie sygnału sięgającego 10{{Sup|2}} do 10{{Sup|4}}. Przy niezbyt wysokich napięciach wzmocnienie jest stałe i jego natężenie zależy od liczby wytworzonych jonów, a zatem od energii. Wytworzone napięcie sygnału zależy silnie od przyłożonego napięcia do elektrod i dlatego napięcie należy stabilizować. Dla uzyskania wtórnej jonizacji elektron musi być przyspieszony do dużych prędkości na stosunkowo małej drodze, to istnieje pewne graniczne pola elektrycznego poniżej, której wtórna jonizacja nie następuje. Np. dla argonu krytyczne napięcie jest 10kV/cm. Gdy natężenie pola elektrycznego przekracza wartość krytyczną elektrony są zdolne do wytworzenia wtórnej jonizacji. Impuls powstaje w obszarze dużego spadku napięcia w pobliżu anody. Ponieważ impuls zależy od ruchu jonów w pobliżu anody, więc natężenie nie zależy od anody, a więc wysokość jego nie zależy od miejsca, w którym powstała jonizacja pierwotna. W obszarze ograniczonej proporcjonalności występującym w liczniku wzmocnienie gazowe nie jest stałe i zależy od energii cząstek. Dla obszaru Geigera-Müllera, stosuje się detektory dla pomiaru cząstek naładowanych jak i promieniowania &gamma; lub promieniowania rentgenowskiego. W obszarze wyładowania ciągłego zachodzącym przy bardzo dużym napięciu licznik przestaje działać i może ulec zniszczeniu, wtedy w tym obszarze stosuje się liczniki iskrowe, dla tych liczników traci się informacje o energii cząstki. Ogólnie, gdy mamy dwa sygnały powstające w komorze blisko siebie w przedziale czasowym, to nie potrafimy odróżnić ich od siebie. === Komora jonizacyjna === {{Rysunek|Schemat obwodu z komorą jonizacyjną.png|8.8|Schemat obwodu z komorą jonizacyjną}} Liczba liczby jonów docierających do anody elektronów wyrażamy poprzez stosunek szerokości połówkowej piku energii sygnału, w której energie cząstek są w pewnym zakresie, przez energię jednej jonizacji wyrażonych przez: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta n_{jon}={{\Delta E}\over{E_0}}\;</MATH>|8.56}} Całkowita zmiana natężenia sygnału wyrażamy poprzez pierwszy z lewej wzór poniżej, a także napiszemy w tej samej linijce zmiany szerokości połówkowej napięcia anodowego, którą liczymy z {{LinkWzór|8.56}} podzielonej przez pojemność kondensatora "C" pod wpływem zewnętrznego sygnału, co w rezultacie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta J\sim\Delta n_je={{e}\over{E_0}}\Delta E\;</MATH>|8.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\Delta U\sim{{e}\over{E_0C}}\Delta E\;</MATH>|8.58}} }} W powyższych rozważaniach należy rozważyć czasy relaksacji układu {{LinkRysunek|8.7}} dla którego zachodzi RC>&tau;. Komora jonizacyjna pozwala: * określić straty energii jonizacyjnej cząstki w komorze, np. dla cząstki &alpha; straty energii są {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}={{\Delta E}\over{E}}=0,5\%\;</MATH>}} dla energii cząstki jonizacyjnej E=5MeV. * rejestrować moment przejścia cząstki przez komorę 2&tau;{{Sub|0}}&sim;10{{Sup|-6}}s, * możemy rejestrować średnie natężenie prądu jonizacji spowodowanego przez strumień cząstek, * impulsy pochodzącej od poszczególnych cząstek. Będziemy się tylko interesowali tylko impulsami powodowanymi przez poszczególne cząstki. Urządzeniem tutaj rejestrującym jest kondesator przyłożonej do okładki komory jonizacyjnej. Gdy cząstka przejdzie przez okładki kondensatora, to spowoduje to przepływ prądu elektrycznego, który jest w postaci impulsu elektrycznego, który za kondensatorem może być wzmocniony i zarejestrowany. Podczas jonizacji gazów występujących w komorze jonizacyjnej na elektrony i jony dodatnie impuls jest to przejście ładunku do jednych z elektrod. {{Rysunek|Kształt impulsu jonizacyjnego w komorze jonizacyjnej przy bardzo dużej stałej czasowej (linia ciągła wykresu), i przy bardzo małej stałej impulsu (krzywa przerywana wykresu).png|8.9|Kształt impulsu jonizacyjnego w komorze jonizacyjnej przy bardzo dużej stałej czasowej (linia ciągła wykresu), i przy bardzo małej stałej impulsu (krzywa przerywana wykresu)}} Elektrody ze względu na bardzo małą masę są o wiele szybsze niż dodatnie jony, czyli nasz impuls będzie składał się z dwóch części: * szybko narastającej, która jest związana z przejściem elektronów, * powoli narastającej, która odpowiada za przejście jonów. W komorze jonizacyjnej energia tracona przez cząstkę jest wprost prostopadła do liczby zjonizowanych jonów. Jeżeli wszystkie zbierzemy na elektrodach, to wtedy w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy impuls o energii wprost proporcjonalnej do jego wysokości. Nachylenie części podstawowej wykresu rysunku obok jest wprost proporcjonalne do liczby pierwotnych jonów, ona nie zależy od którejkolwiek punktów w komorze jonizacyjnej. Można zróżniczkować impuls na rysunku obok. wtedy otrzymujemy impuls proporcjonalny do nachylenia krzywej bez różniczkowania. Wykres zróżnicowany jest wprost proporcjonalny do energii cząstek w komorze. === Liczniki proporcjonalne i wielodrutowe liczniki proporcjonalne === {{Rysunek|Wieludrutowy licznik proporcjonalny i struktura pola elekstrycznego w nim.jpeg|8.10|Wieludrutowy licznik proporcjonalny i struktura pola elektrycznego w nim}} Liczniki proporcjonalne pracują zwykle przy natężeniach 10{{Sup|4}} V/cm, wtedy wzmocnienie sygnału pochodzącego od cząstek naładowanych trafiającego do komory licznika jest 10{{Sup|4}}. Osiąga się to biorąc druty anodowe o średnicy 10-50 &mu;m. W tych licznikach stosuje się druty anodowe położone w odległości od siebie o 2 mm. Płaszczyznę anodową umieszcza się pomiędzy dwiema foliami lub też siatkami metalowymi. Te siatki lub folie umieszcza się od tych drutów o mniej niż 1cm. Podczas przechodzenia cząstki naładowanej przez komorę licznika, wtedy gaz się jonizuje i do anod trafiają elektrony i jednocześnie na katodzie indukuje się sygnał. Numer drutu, przy którym nastąpiło oddziaływania cząstki z gazu pozwala określić położenie cząstki w przestrzeni jednowymiarowej. Zastosowanie dwuwymiarowej lub nawet trójwymiarowej konfiguracji szeregu anod pozwala określić położenie cząstki w przestrzeni dwuwymiarowej lub trójwymiarowej przestrzeni. Poprzez druty anodowe można określić położenie cząstki w odrębnie pola magnetycznego i bez pola. W ten sposób pozwala określić tor zakrzywiony w polu magnetycznym i linie prostą w przestrzeni bez pola magnetycznego. {{Rysunek|Schemat elektrycznego prostego licznika proporcjonalnego.png|8.11|Schemat elektryczny prostego licznika proporcjonalnego}} Zajmijmy się teraz licznikiem proporcjonalnym zbudowanym według schematu {{LinkRysunek|8.11}}. Przy zwiększaniu napięcia pracy licznika zwiększa się energia jonów powstałych przy jonizacji przy przejściu cząstki naładowanej, wtedy liczba jonów wzrasta lawinowo wyniku lawinowej jonizacji gazu. Oznaczmy przez n{{Sub|a}} liczbę jonów pierwotnych. Emisja fotonów przez cząstki gazu w komorze jonizacyjnej jest powodowana w wyniku zderzeń z jonami i elektronami, wtedy atom gazu zostaje wzbudzony do bardzo wysokiego poziomu energetycznego, aby on przeszedł do stanu niższego potrzebna jest emisja fotonu. W pierwszym etapie jonizacji zostaje wytworzonych jonów i elektronów n{{Sub|1}}=n{{Sub|0}}k{{Sub|0}} w wyniku zderzeń z cząstką jonizującą z cząstkami gazu znajdującej się komorze gazowym, wtedy zostają z nich wybite n{{Sub|1}} elektronów, w drugim akcie w wyniku zderzeń z fotonami (powstałych w wyniku jego emisji przez wzbudzone atomy powstałych w wyniku zderzeń z jonami i elektronami), wtedy elektron zostaje wybity ze swojej powłoki elektronowej, w której się znajdował, wtedy w wyniku zderzeń z &omega;{{Sub|&gamma;}} fotonami powstaje n{{Sub|2}}=n{{Sub|0}}k{{Sub|0}}k{{Sub|0}}&omega;{{Sub|&gamma;}} elektronów, a w i-etapie zostaje wytworzonych elektronów (w wyniku zderzeń z fotonami wytworzonych we wcześniejszych aktach jonizacji): {{CentrujWzór|<MATH>n_i=n_0k_0^i\omega^{i-1}_{\gamma}\;</MATH>|8.59}} Całkowita liczba jonów wytworzonych w "i" etapach liczymy jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, co wyliczamy wykorzystując wzór na liczbę elektronów w i-tej fazie jonizacji {{LinkWzór|8.59}}, i wiedząc że k{{Sub|0}}&omega;{{Sub|&gamma;}}<1, co jest potrzebne, aby szereg był zbieżny: {{CentrujWzór|<MATH>k={{\sum_in_i}\over{n_0}}={{{{k_0n_0}\over{1-k_0\omega_{\gamma}}}}\over{n_0}}={{k_0}\over{1-k_0\omega_{\gamma}}}\;</MATH>|8.60}} W liczniku popłynie wtedy prąd o natężeniu napisanej poniżej i do niego proporcjonalnej szerokości połówkowej piku energii cząstki w liczniku &Delta;T: {{CentrujWzór|<MATH>J=kn_0e\sim\Delta T\;</MATH>|8.61}} Wiadomo jednak, że szerokość połówkowa napięcia, natężenie prądu i szerokość połówkowa energii impulsu są do siebie wprost proporcjonalne, tzn.: &Delta;U&sim;J&sim;&Delta;T. Liczniki proporcjonalne zastosowane są: * przy pomiarze niskoenergetycznych cząstek, np. dla promieniowania &gamma; o energii kwantu 50keV zdolność rozdzielcza licznika jest od 1 do 5%, * określają moment przejścia cząstki przez licznik w czasie 2&tau;{{Sub|0}}&sim;10{{Sup|-7}}. W licznikach stosuje się gaz szlachetny z dodatkiem par cząsteczek wieloatomowych. === Licznik Geigera-Müllera === {{Rysunek|Geiger.png|8.12|Schemat działania licznika Geigera-Müllera}} Jonizacja w tym liczniku nie zachodzi nie tylko pod wpływem promieniowania &alpha;, ale też mierzy też inne promieniowanie jonizujące, a więc licznik mierzy całkowite promieniowanie jonizacyjne. Przy pomocy fotodiody można stwierdzić ile pada fotonów do licznika, ale nie można zmierzyć ilości neutronów. Istnieje rozwiązanie pomijające ten problem, należy licznik wypełnić wodorem, wtedy neutrony zderzają się z protonami. Albo otacza się folią kadmową, wtedy neutrony pochłonięte przez kadm wywołują w nim reakcję jądrową, wyniku czego są emitowane fotony (promieniowanie &gamma;), w ten sposób można wykryć promieniowanie w postaci neutronów. Jedynym warunkiem zaistnienia reakcji jest spowolnienie neutronów do energii otoczenia, w tym celu licznik umieszcza się w bloku parafinowym, teflonowym. ==== Budowa licznika ==== Licznik jest zbudowany z komory stanowiącej katodę (elektrodę ujemną), przez oś symetrii wprowadza się drut miedziowy lub aluminiowy, który stanowi anodę (elektrodę dodatnią). Cylinder szklany jest wypełniony 90% argonu lub innym gazem szlachetnym i 10% parami alkoholu. Ciśnienie panujące w komorze jest rzędu kilkadziesiąt hektopaskali, zatem o wiele mniej niż przypadku ciśnienia atmosferycznego. ==== Działanie licznika ==== Kształt taki licznika pozwala na uzyskanie dużej wartości napięcia pomiędzy katodą, a anodą. Dla promieniowania jądrowego dostający się do komory gazowej licznika, to elektrony powstające w wyniku jonizacji gazu uzyskują na tyle dużą energię by wywołać dalsze akty jonizacji gazu i wzbudzenia gazu. Dzięki czemu powstaje jonizacja lawinowa gazu i wyniku czego do anody podąża coraz więcej elektronów. Poruszające się jony do katody poruszają się znacznie wolniej niż elektrody do anody, w obszarze pomiędzy elektrodami tworzy się ładunek przestrzenny. Ładunek przestrzenny zmniejsza natężenie pola elektrycznego. I wyniku czego wyładowanie powoli znika. Jony, które dodarły do katody wybijają z niej elektrony. Gdy cały ładunek jonów zostaje odprowadzony do katody lawiny elektronowe zaczynają się od nowa rozwijać. W ten sposób wyładowanie jest ciągle podtrzymywane i licznik nie może rejestrować następnych cząstek. Aby podtrzymywać wyładowanie ciągłe w obwód licznika włącza się duży opór rzędu 10{{Sup|9}} omów. Pozwala to na szybkie zebranie ładunku ujemnego z anody, czyli obniży się potencjał pomiędzy katodą i anodą , aż do chwili gdy jony dodatnie zostaną zebrane na katodzie. Co wystarcza by nowe elektrony wybite nie wywoływały nowych lawin, co prowadzi do wygaśnięcia wyładowania. Z anody zostaje odprowadzony ładunek po około setnej części sekundy i licznik jest zdolny do rejestrowania następnych cząstek. Innym sposobem wygaszania polega na wprowadzeniu pomiędzy elektrodami gazu szlachetnego z domieszkami gazu wieloatomowego, które przy odpowiedniej proporcji domieszki wyładowanie zostaje wygaszone. To się dzieje dlatego, że cząsteczki wieloatomowe pochłaniają silnie promieniowanie ultrafioletowe, oraz że te cząsteczki nie wybijają z katody elektronów. Jeśli układ domieszek jest tak dobrany, ze energia jonizacji gazu wieloatomowego jest mniejsza niż jednoatomowego, to przy zderzeniu jonów gazu podstawowego z cząsteczkami gazu wieloatomowego jonizują te cząsteczki, a te jony po dotarciu do katody nie wybijają z niej elektronów, tylko tworzą ładunek przestrzenny obniżając natężenie pola elektrycznego pomiędzy elektrodami. Licznik z domieszkami gazu wieloatomowego nosi nazwę samo-gasnącego. Na wskutek wtórnej jonizacji, która nie zależy od energii traconej przez cząstkę jonizującą gaz, a więc ten licznik, nie służy do pomiaru energii, tylko do pomiaru ilości cząstek zarejestrowanych. Licznik charakteryzuje się czasem martwym, który występuje stąd, że powłoka jonów przy katodzie obniża napięcie efektywne poniżej napięcia krytycznego. W tym czasie licznik nie jest zdolny do wykrywania nowych cząstek. === Liczniki iskrowe === {{Rysunek|Schemat_komory_iskrowej.png|8.13|Schemat komory iskrowej}} Przy dużych napięciach zasilania impulsami prostokątnymi o napięciu szczytu U&ge;10kV o czasie trwania impulsu 10{{Sup|-5}}÷10{{Sup|-7}}s generowanej przez generator WN i w czasie gdy przez licznik przejdzie cząstka naładowana lub cząstka &gamma; następuje wtedy lawinowa jonizacja gazu i następuje przeskok iskry elektrycznej z katody do anody. W tym liczniku nie występują wyładowania ciągłe, ponieważ to by spowodowało zniszczenie licznika, i dlatego licznik jest zasilany impulsami prostokątnymi. Rejestracja momentu przejścia cząstki jest możliwa dla najmniejszej szerokości połówkowego czasu trwania impulsu 2&tau;{{Sub|0}}&sim;10{{Sup|-8}}s. Jeśli liczniki rozłożone są jedna po drugim, wtedy tworzą tzw. komorę iskrową, w której można rejestrować tor cząstki jonizacyjnej na podstawie świecenia iskry. Opornik R musi być duży w miarę duży, by wygaszanie impulsu następowało szybko. W komorze gazowej występuje gaz szlachetny plus pary gazów wieloatomowych i to wszystko pod ciśnieniem 1 atm. {{Rysunek|Specyfika czułości komory iskrowej od opóźnienia impulsu napięcia przy chwili przejścia cząstki dla różnych napięć oczyszczających.png|8.14|Specyfika czułości komory iskrowej od opóźnienia impulsu napięcia przy chwili przejścia cząstki dla różnych napięć oczyszczających}} Na rysunku {{LinkRysunek|8.14}} przedstawiamy współczynnik wydajności komory od nałożonego na nią napięcia przy momencie przejścia cząstki a także względem wysokości napięcia oczyszczającego. Można stwierdzić, że przy pewnej wartości napięcia oczyszczającego następuje przy bardzo krótkim czasie czułość komory obniża się do zera. Ilość czasu, która jest potrzebna do powrotu komory do warunków początkowych jest 10ms. Normalnie stosuje się geometrię, której lokalizacja śladu jest opisana z dokładnością 0,2-1 nm. Aby uzyskać informacje o pędzie danej cząstki umieszcza się je w polu magnetycznym. === Detektory scyntylacyjne === Detektory (komory) scyntylacyjne, czyli detektory z elektronowym przetwornikiem obrazu jest to pewna odmiana licznika scyntylacyjnego mające na celu nie tylko za zadanie zarejestrowanie cząstki w postaci błysku światła spowodowana przez cząstkę w scyntylatorze, a także obserwację i fotografowanie jej śladu. Najważniejszym elementem komory scyntylacyjnej jest elektronowy przetwornik obrazu. {{Rysunek|Budowa i schemat działania komory scyntylacyjnej z elektronowym przetwornikiem obrazu.png|8.15|Budowa i schemat działania komory scyntylacyjnej z elektronowym przetwornikiem obrazu}} Mając układ optyczny, mamy obraz toru cząstki pędzącej w scyntylatorze, możemy uzyskać na fotokatodzie przetwornika obrazu obraz właściwy toru cząstki w scyntylatorze optycznym. Po wchłonięciu pewnej dawki fotonów na fotokatodzie następuje emisja elektronów (wtórna emisja elektronów), które za pomocą odpowiednich pól elektrycznych i magnetycznych są ogniskowanie na wyjściu komory scyntylacyjnej z zachowaniem stosunków geometrycznych obrazu. Elektrody w komorze są zbudowane z folii, które emitują elektrody pod wpływem zderzenia się z nią pewnej liczby elektronów. Elektrody są wykonywane warstwowo, w taki sposób, że przy pierwszej warstwie następuje pod wpływem zderzenia się z elektronami następuje błysk światła, który przy następnej warstwie powoduje emisję elektronów. Przy przejściu przez kilka elektrod liczba elektronów powiększa się w taki sposób by spowodować świecenie ekranu umieszczonego na końcu lampy. Jeżeli użyjemy pięciostopniowego przetwornika obrazu, to wzmocnienie elektronowe jest w przybliżeniu 3000 razy, co dalej przetwarzając je na światło uzyskujemy 10{{Sup|5}} do 10{{Sup|6}} razy, wtedy na ekranie uzyskujemy obrazy dostatecznie jasne do fotografowania. Scyntylatory buduje się z bloków złożonych z włókien sztucznych o średnicy (0,5-1)nm. Te włókna działają zarazem ja prowadnice, które przeciągają światło z głębi bloku do jego powierzchni. Mając skrzyżowane włókna scyntylacyjne, które te włókna są nałożone na siebie, otrzymujemy obraz przestrzenny. === Detektory śladowe === Detektory śladowe są zbudowane z ciała stałego, których działanie jest oparte na fakcie, cząstki naładowane powodują ślady w izolatorach, są to między innymi kryształy nioeorganiczne, szkła lub tworzywa sztuczne. Przejście cząstki naładowane powoduje powstanie śladu zakłóconego o średnicy 50 angstremów, który biegnie wedle toru cząstki, w którym ona przebyła. Można je oglądać pod bardzo dużym powiększeniem pod mikroskopem elektronowym, mogą one też doprowadzać do obszarów widocznych pod mikroskopem optycznym, gdy zastosujemy odpowiednią obróbkę chemiczną. Aby cząstki były rejestrowane przez różne substancje przezroczyste muszą mieć odpowiednie czułości, które pozwalają na rejestrację istnienia w danym punkcie o pewnych liczbach masowych i pewnych stratach energii przekraczająca daną wartość progową. Jeżeli mamy cząstkę o pewnej liczbie masowej i właściwych stratach energii przekraczające wartości progowe mogą być rejestrowane z wydajnością 100%, min. za pomocą labradorytu można zarejestrować cząstki o masach atomowych cięższych od jąder wapnia, który wykazuje straty energii większych od 19 MeV(mg&sdot;cm{{Sup|-2}}). Tą substancję wytrawia się w 48% procentowym roztworze kwasu fluorowodorowego w temperaturze 23{{Sup|o}}C przez około 40 minut. Najlepszym detektorem jest octan celulozy, który bada obecność cząstek α i azotan celulozy, który bada obecność protonów. === Licznik scyntylacyjny === {{Rysunek|Photomultipliertube-pl.svg|8.16|Schemat budowy licznika scyntylacyjnego zbudowanego z komory scyntylacyjnej i fotopowielacza}} Działanie licznika scyntylacyjnego polega na detekcji promieniowania gamma lub innego promieniowania. Cząstka &gamma; lub inne promieniowanie przelatując przez substancje powoduje jego wzbudzenie atomów, ale też i jonizację, które potem przechodząc do stanów podstawowych emitują fotony o długości światła widzialnego w postaci błysków światła widzialnego w postaci proporcjonalnej do fotonu gamma, te substancje o takich właściwościach nazywamy scyntylatorami. Licznik scyntylacyjny składa się z elementów: *scyntylatora - który emituje kwanty o długości fali światła widzialnego lub bliskiej widzialnego pod wpływem promieniowania jonizującego. Świecenie takie scyntylatora nazywamy luminescencją. Scyntylator jest substancją przezroczystą, która konwertuje promieniowanie jonizujące, które powoduje jonizacje na błyski świetlne. Jest on możliwie o największej licznie atomowej Z. Scyntylator jest umieszczony w obudowie wykonanej z aluminium, co skutecznie blokuje wzbudzanie scyntalotora światłem widzialnym. Okienko przez które jest wyprowadzone światło emitowane przez scyntylator wykonane jest z pleksi lub kwarcu. Światłoszczelność zewnętrznej części detektora scyntylatora pozwala na obserwację światła wysyłanego przez scyntylator. Szczelne osłonięcie scyntylatora warstwą metalu pozwala na obserwacje rozbłysków luminescencyjnych, których natężenie jest kilka rzędu mniejsze od natężenia światła dziennego. Światło uzyskane ze scyntylatora jest światłem o bardzo małym natężeniu leżącym w obszarze światła ultrafioletowego i skraju światła niebieskiego od 200nm do 450nm. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=6|{{Center|{{Strong|Charakterystyka wybranych scyntylatorów}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|Rodzaj scyntylatora}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|&lambda;{{Sub|max}}[nm]}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|&tau;[ms]}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|&epsilon;[%]}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|&rho;[g/cm{{Sup|3}}]}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Strong|Zastosowanie}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|{{Center|{{Strong|Kryształy nieorganiczne}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|NaI(Tl) monokryształ}}<!-- -->{{Komórka|410}}<!-- -->{{Komórka|0,175}}<!-- -->{{Komórka|8}}<!-- -->{{Komórka|3,67}}<!-- -->{{Komórka|promieniowanie &gamma;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|CaI(Tl) monokryształ}}<!-- -->{{Komórka|500}}<!-- -->{{Komórka|0,77}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|4,51}}<!-- -->{{Komórka|promieniowanie &gamma;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|ZnS(Ag)}}<!-- -->{{Komórka|450}}<!-- -->{{Komórka|7}}<!-- -->{{Komórka|28}}<!-- -->{{Komórka|4,09}}<!-- -->{{Komórka|cząstki &alpha;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|{{Center|{{Strong|Kryształy organiczne}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Antracen}}<!-- -->{{Komórka|440}}<!-- -->{{Komórka|0,022}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|1,25}}<!-- -->{{Komórka|cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Stilbet}}<!-- -->{{Komórka|410}}<!-- -->{{Komórka|0,004}}<!-- -->{{Komórka|3}}<!-- -->{{Komórka|1,16}}<!-- -->{{Komórka|cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Antracen}}<!-- -->{{Komórka|400}}<!-- -->{{Komórka|0,004}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|1,23}}<!-- -->{{Komórka|cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|{{Center|{{Strong|Scyntylatory ciekłe}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Roztwór 5g p-terfenylu w dm{{Sup|3}} toluenu}}<!-- -->{{Komórka|355}}<!-- -->{{Komórka|0,0015}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|niskoenergetyczne cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Roztwór 3g 2,5-difenylooksazolu w dm{{Sup|3}} toluenu}}<!-- -->{{Komórka|382}}<!-- -->{{Komórka|0,0021}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->{{Komórka|niskoenergetyczne cząstki &beta;}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=6|&lambda;{{Sub|max}} - długość fali w maksimum widma emisji,&tau; - okres półtrwania cząsteczki w stanie wzbudzonym, &epsilon; - wydajność promieniowania jonizującego w promieniowanie widzialne lub bliskie nadfioletu, &rho; - gęstość.}}<!-- -->}}<!-- -->}} * fotopowielacza- który jest czułą lampą elektronową na światło. Fotopowielacze stosuje się zwykle dla promieniowania ultrafioletowego próżniowego do widzialnego, ultrafiolet do widzialnego, widzialny bez podczerwieni, widzialny do podczerwieni. Na wewnętrznej części fotopowielacza jest naparowana fotokatoda, jest to kilkuatomowa warstwa półrzewodnika, lub z metali alkalicznych, które uwalnia elektrony w wyniku zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego. Kolejną częścią fotopowielacza jest soczewka elektromagnetyczna mająca na celu z ogniskowanie fotoelektronów, która ukierunkuje strumień na pierwszą dynodę. Fotony trafiające tam ze scyntylatora w postaci błysków światła trafiają na fotokatodę, który emituje elektron, który trafia do fotopowielacza. Elektrony odbijające się od dynod trafiające od fotokatody wybijają z niej następne elektrony wtórne. Dynody są podłączone do odpowiedniego napięcia, dzięki, któremu elektrony mogą zostać przyspieszane, i te elektrony dzięki temu mogą zostać wybijane. Na samym końcu elektrony trafiają do anody zamieniając ilość trafiających tam elektronów na sygnał elektryczny. Dzięki fotopowielaczowi uzyskuje się wzmocnienie powielania elektronów sięgającego od trzech do czterech, a ilość stopni powielających wynosi od kilku do kilkunastu. Powielanie elektronów na dynodach daje nam wzmocnienie praktycznie bezszumowe. Uzyskuje się tam lepszy stosunek szumu do sygnału niż fotodiodzie o takim samym wzmocnieniu. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Typ fotopowielacza}}<!-- -->{{komórka|nagłówek=tak|Długość mm}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Średnica katody}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Typ katody}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Czułość katody μA/m}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Współczynnik wzmocnienia}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Liczba stopni}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Napięcie V}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Prąd ciemny}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Φɜ-19 (ZSRR)}}<!-- -->{{Komórka|195}}<!-- -->{{Komórka|48}}<!-- -->{{Komórka|SbCs}}<!-- -->{{Komórka|35}}<!-- -->{{Komórka|2,5&sdot;10{{Sup|6}}}}<!-- -->{{Komórka|13}}<!-- -->{{Komórka|1500}}<!-- -->{{Komórka|3 &sdot;10{{Sup|-2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|RCA 6217}}<!-- -->{{Komórka|148}}<!-- -->{{Komórka|43}}<!-- -->{{Komórka|SbCs}}<!-- -->{{Komórka|40}}<!-- -->{{Komórka|2,8&sdot;10{{Sup|6}}}}<!-- -->{{Komórka|10}}<!-- -->{{Komórka|1200}}<!-- -->{{Komórka|5&sdot;10{{Sup|-2}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|EMI 6097 (Wielka Brytania)}}<!-- -->{{Komórka|112}}<!-- -->{{Komórka|44}}<!-- -->{{Komórka|SbCs}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|7&sdot;10{{Sup|6}}}}<!-- -->{{Komórka|11}}<!-- -->{{Komórka|1200-1800}}<!-- -->{{Komórka|10&sdot;{{Sup|-1}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rozbłyski światła w scyntylatorze w scyntylatorze nazywamy '''luminenscencją''', który dzielimy na dwa typy: * fluorescencja, co ono występuje przy czasach wyświecania 10{{Sup|-8}}-10{{Sup|-9}}s, * fosforescencja powstaje wtedy, gdy stan wzbudzony następuje przez proces oddziaływania promieniowania ze stanem metatrwałym, czas wyświecania występuje z pewnym opóźnieniem w stosunku z czasem powstania tego stanu, ono nie nadaje się do budowy liczników scyntylacyjnych. Aby '''scyntylator''' był dobry to wymagamy następujących parametrów: * musi być silna scyntylacja, która powstaje pod wpływem padającego na scyntylator promieniowania, * musi być czas powstania i wyświecania impulsu bardzo krótki, * spektralna czułość fotopowielacza musi odpowiadać widmu scyntylacji. Scyntylatory dzielimy na: {{Rysunek|Poziomy w krysztale jonowym.png|pwkj|Poziomy w krysztale jonowym}} * '''scyntylatory nieorganiczne''' jodku sodu lub cezu aktywowanej talem NaI(Tl) i CsI(Tl) lub ZnS(Ag), w takich substancjach, które są substancjami jonowymi elektrony znajdują się w pewnych pasmach elektronowych, w stanie podstawowym elektrony znajdują się w stanie o najniższej energii, tzn. w pasmie podstawowym. Jeśli podziałamy promieniowaniem, to elektrony z pasma podstawowego mogą zostać przesunięte to pasma wzbudzonego. Jeśli kryształ jest domieszkowany, to stan podstawowy, a także stan wzbudzony dzielą się na podstany podstawowe lub wzbudzone. Przejście może nastąpić bezpośrednio ze stanu wzbudzonego do podstawowego poprzez kwant o dużej energii, a także między stanami wzbudzonymi wzbronionymi, które są powodowane przez domieszki (poprzez aktywowanie) {{Rysunek|Proces wzbudzenia elektronów w konwerterze poprzez promieniowanie.jpeg|pwewkpp|Proces wzbudzenia elektronów w konwerterze poprzez promieniowanie}} Licznik scyntylacyjny składa się z scyntylatora, detektora światła (fotodiody fotodiody lawinowej), a także układu analizująco zliczającego. Opiszmy działanie scyntylatora. Proces konwersji promieniowania na błyski świetlne nie zachodzi z stu procentową wydajnością. Cześć promieniowania nie dochodzi do konwertera, cześć cząstek promieniowania posiada na tyle dużą energię, że nie oddziaływuje z materiałem konwertera przechodząc przez nie, są też cząstki mającej na tyle odpowiednią energię, że energią promieniowania jest zużywana na podniesienie elektronu z poziomu niższego na wyższy, tzn. elektrony zostają przeniesione ze stanu podstawowego S{{Sub|0}} do wzbudzonego S{{Sub|1}}. Ten proces nazywamy absorpcją promieniowania dochodzącego do scyntylatora. Elektrony w stanie wzbudzonym nie mogą w tym w stanie przebywać w nieskończoność, ten poziom ulega rozpadowi w wyniku fluoroscencji, konwersji bezpromienistej, fluoroscencji opóźnionej. Jeśli poziomy wzbudzone S{{Sub|1}} mają wyraźnie rozdzielone orbitale od poziomu S{{Sub|0}}, zjawisko rozpadu stanu wzbudzonego zachodzi w wyniku fluoroscencji. {{Rysunek|Proces rozpraszania energii wzbudzenia elektronu w fluoroscencji.jpeg|pwewwf|Proces rozpraszania energii wzbudzenia w fluoroscencji}} * '''scyntylatory organiczne''', czyli antracen, naftalen, stilben, a także scyntylatory z tworzywa sztucznego, które są w stanie stałym roztworami w takim tworzywie, są substancje scyntylacyjne jak terfenyl, antracen: Elektron w stanie wzbudzonym w wyniku rozpadu w nim kolejnych poziomów przechodzi przez kolejne jego stany, aż dochodząc do stanu minimalnej energii stanu wzbudzonego. Energia z tychże przejść jest rozpraszana w postaci ciepła. Dalej przechodzi do stanu podstawowego ze stanu minimalnej energii stanu wzbudzonego przez emisję promieniowania świetlnego wychodzącego ze scyntylatora do fotodiody. W stanie podstawowym elektron przechodzi przez kolejne coraz niższe poziomy przechodząc do stanu równowagi termicznej, a energia wydzielana w wyniku przejścia jest w postaci ciepła, raz przeskakując raz w górę i dół w wyniku fluktuacji termicznej konwertera i otoczenia, czyli wędrówka elektronu nigdy się nie kończy. tzn. elektron nie osiąga nigdy stanu o najniższej energii. Część energii wzbudzenia elektronu jest marnowana na energię cieplną, a pozostała część na energię promieniowania promienistego. Długość fali promieniowania fluoroscencyjnego jest większa niż długość promieniowania rozpoczynającego cały cykl zachodzących w konwerterze, w której następuje wzbudzenie elektronu do stanu wzbudzonego. * '''scyntylatory gazowe''', czyli świecenie drobiny poprzez fluorescencję następuje poprzez wzbudzenie i jonizację atomów lub cząsteczek gazu dzięki przechodzącej przez nią cząstki naładowanej. Błysk tutaj generowany jest w obszarze nadfioletu, to zwykle stosuje się na ściankach zbiornika substancje wysyłające promieniowanie widzialne pod wpływem promieniowania nadfioletowego, jak np. kwaterfenyl lub difenylostilben. {{Rysunek|Proces rozpraszania wzbudzonego elektronu bezpromieniście.jpeg|pwwebp|Proces rozpraszania wzbudzonego elektronu bez promieniście}} Gdy poziomy stanu S{{Sub|0}} i S{{Sub|1}} częściowo się pokrywają, wtedy zmienia się energia rozpraszania wzbudzonego elektronu. Elektron przechodzący przez kolejne stany wzbudzone poziomu S{{Sub|1}} i S{{Sub|0}} rozprasza małe porcje energii doprowadzając siebie do stanu równowagi termicznej układu i otoczenia. Jeśli konwerter posiada dodatkowy stan zwany trypletowy, który powstaje przez wprowadzenie domieszki lub zanieczyścienia, to zmienia się mechanizm rozpraszania energii wzbudzenia elektronu. Elektron rozprasza się oddając małe porcje energii w postaci ciepła, gdy energia elektronu obniży się do energii najwyższego stanu trypletowego następuje przeniesienie interkombinacyjne elektronu (S{{Sub|1}})→(T). Elektron może się poruszać po kolejnych stanach trypletowych oddając energię przechodząc do stanu najniższej energii, który w wyniku zakazu Paulliego nie może przejść elektron do stanu S{{Sub|0}}. Powstały stan jest w stanie niezrównoważenia energetycznego, w który elektron może przejść w wyniku pochłaniania energii ze stanu trypletowego do stanu S{{Sub|1}}, z którego jest możliwe promieniowanie promieniste ze stanu S{{Sub|1}} do stanu S{{Sub|0}}, co później następuje rozpraszanie energii na w sposób ciepła doprowadzając układ do stanu równowagi termicznej. Mechanizm z wykorzystaniem stanu trypletowego wykorzystuje się w monokryształach, które na podstawie hodowli monokryształów wprowadza się aktywatory, które wywołują pojawienie się w nich stanu trypletowego nieobecnego w czystym krysztale. Przykładem monokryształu jest jodek sodu NaI z wykorzystaniem aktywatora, którym jest Tal (Tl). Taki scyntylator krystaliczny piszemy wzorem NaI(Tl). === Liczniki półprzewodnikowe === Liczniki półprzewodnikowe wypierają inne detektory, tzn. komory, liczniki i liczniki jonizacyjne, a nawet liczniki scyntylacyjne. One stanowią najnowszy, a zarazem obiecujący system wykrywania promieniowania jądrowego. Aby te liczniki zrozumieć należy umieć pewne wiadomości na temat elektronowej budowy ciała stałego. W tych ciałach poziomy o najmniejszej energii to jest pasmo podstawowe (S), a poziom na najwyższej energii to jest pasmo przewodnictwa (P). {{Rysunek|Budowa poziomów energetycznych w ciele stałem.png|bpewcs|Budowa poziomów energetycznych w ciele stałem. a)izolator. b) i c) przewodnik, d)półprzewodnik.}} Rozważmy przypadek, gdy poziom przewodnictwa jest niezapełniony i jest daleko od poziomu podstawowego, taki obiekt może się zachowywać jak izolator, następnie rozważmy, gdy pasmo podstawowe jest niecałkowicie zapełnione, a nawet rozważmy przypadek, gdy poziom przewodnictwa ma punkty wspólne z pasem podstawowym, wtedy po przyłożeniu prądu następuje zmiana prędkości elektronu znajdujących się w takim ciele. {{Rysunek|Struktura poziomów energetycznych elektronów w półprzewodniku.png|speewp|Struktura poziomów energetycznych elektronów w półprzewodniku. a) półprzewodnik typu n, b)półprzewodnik typu p.}} {{Rysunek|Warstwa zaporowa na złączu dla półprzewodnika typu n i typu p.png|wznzdp|Warstwa zaporowa na złączu dla półprzewodnika typu n i typu p. a) rozkład ładunku elektrycznego na złączu, b)zmiana potencjału na złączu.}} {{Rysunek|Prostownicze właściwości warstwy zaporowej.png|wzijdp|Warstwa zaporowa i jego działanie prostownicze.}} Jeśli podstawowe pasmo podstawowe i przewodnictwa leżą koło siebie, wtedy mamy doczynienia z półprzewodnikami. Zdarza się, że w pobliżu pasma przewodnictwa lub pasma podstawowego pojawiają się dodatkowe poziomy energetyczne. Spowodowane to jest defektami sieci krystalicznej, które występują np. zanieczyszczeń w sieci krystalicznej. Na rysunku obok półrzewodniki pokazane na rysunku a) są to półprzewodniki nadmiarowe oznaczone typu n, które mają dodatkowe poziomy nie daleko poziomu przewodnictwa. A zanieczyszczenia powodujące te dodatkowe poziomy nazywamy donorami. Są to atomy V grupy, którego przykładem jest fosfor, którym zastępujemy atomy krzemu atomami fosforu w sieci ciała krystalicznego ciała stałego. Ponieważ istnieje mała odległość poziomów spowodowanego przez donory, to pewna ilość elekronów przechodzi z tego pasma do pasma przewodnictwa, co przewodnictwo jest spowodowane ruchem elektronów, które mają ładunek elektryczny. Rozważmy sobie półprzewodniki typu p jako półprzewodniki niedomiarowe. Spowodowane są zastąpieniem atomów krzemu atomami III, np. borem, które nazwiemy akceptorami. Ze względu na małą odległość poziomów dodatkowych w pobliżu pasma przewodnictwa do stanu podstawowego może przejść elektron z tego poziomu dodatkowego, i wyniku czego dodatkowy poziom zachowuje się jak dziura. Dla tych przewodników następuje ruch ładunku dodatniego związane z dziurami. Weźmy sobie dwa półprzewodniki typu n i typu p złączone ze sobą, wyniku czego tworzy się styk, na którym powstaje zmiana potencjału zmieniająca się w sposób ciągły. Elektronu znajdujące się w półprzewodniku typu n mają wyższe energię niż elektrony w półprzewodniku, dlatego elektrony będą dyfundować do z n do p, a natomiast dziury będą dyfundować do półprzewodnika typu n, i one będą rekombinować z elektronami. Półprzewodnik typu n będzie ładował się w takim razie ujemnie. Powstaje w ten sposób podwójna warstwa zaporowa i powstanie pomiędzy półprzewodnikami różnica potencjału elektrycznego. Ta bariera będzie niższa, gdy przyłożymy do takiego układu napięcie w kierunku przeciwnym do powstałej różnicy potencjału, wtedy półprzewodnik n będzie ładowany ujemnie, a półprzewodnik p będzie ładowany dodatnio, to napięcie podwyższy się, gdy przyłożymy napięcie w kierunku zgodnym z różnicą potencjału bez przyłożenia potencjału, wtedy prąd płynący przez takie złącze przestanie płynąć. Złącze opisywane tutaj ma więc właściwości prostownicze, który przepuszcza prąd w jednym kierunku. Półprzewodniki p i n złączone ze sobą są bardzo podobny do komory jonizującej, w którym istnieje pewne pole elektryczne, w którym cząstka jonizująca gaz tworzy dwie cząstki elektron i dziura (jon dodatni). Podobnie jak w układzie półprzewodników w komorze jonizującej powstaje napięcie proporcjonalne do wytworzonego ładunku, czyli proporcjonalnej do energii traconej przez cząstkę jonizującą gaz w tej komorze. W półprzewodniku do wytworzenie pary dziura-elektron do tego energia jest dziesięć razy mniejsza niż energia do wytworzenia tej samej pary w komorze jonizacyjnej. Np. dla krzemu ona wynosi 3eV. Wielkość wytworzonego ładunku będzie o 10 razy większa niż w przypadku komory jonizacyjnej. Dalszą zaletą jest szybkość narastania impulsu w połprzewodniku niż przypadku komory jonizacyjnej i ona wynosi rzędu 10{{Sup|-8}}s. Ten czas narastania jest związany ze znaczną ruchliwością nośników ładunku elektrycznego. Zasięg cząstek w półprzewodniku jest bardzo mały w porównaniu z komorą jonizacyjną, dzięki temu rozmiary licznika półprzewodnikowego są małe. Detektory półprzewodnikowe dzielimy na: * detektory z barierą powierzchniową, na której powierzchni krzemu typu n wytwarza się bardzo cienką warstwę półprzewodnika typu p poprzez powierzchniowe utlenianie. Kontakty elektryczne z powierzchnią półprzewodnika uzyskuje się poprzez napylanie cienkiej warstwy metalu na powierzchni półprzewodnika, w taki sposób by nie usuwałby tlenu z powierzchni krzemu w wyniku reakcji chemicznych. Tym metalem jest często złoto, który rozpylamy na powierzchni krzemu o grubości ~30&mu;g/cm{{Sup|2}}. Następnie do takiej powierzchni złota przyłącza się przy pomocy specjalnych klejów druciki, które doprowadzają napięcie elektryczne, * detektory typu dyfuzyjnego. Poprzez dyfundowanie do krzemu, który jest typu p atomów do półprzewodnika typu p krzemu. W ten sposób tworzymy warstwę zaporową. Tą operację przeprowadzamy w temperaturze 700{{Sup|o}}-900{{Sup|o}}. Do tak powstałej warstwy możemy przyłączyć druciki. Tym półprzewodnikiem typu p jest np. gal, * detektory "Li-drifted". W tym obiektach atomy litu, które są donorami, wewnątrz krzemu one poruszają się w wyniku przyłożonego napięciu. Krzem typu p ma niewielki opór właściwy rzędu 100 do 300 &Omega;&sdot;cm. Lit dyfundowany do krzemu ma grubość kilkuset &mu;m, w ten sposób tworzymy sobie złącze typu p-n. Jeśli natomiast w temperaturze 150{{Sup|o}}c przyłączymy napięcie kilkuset woltów, wtedy jony litu będą wnikać do krzemu typu p, co w wyniki czego dostajemy obszar czuły o grubości kilku nm. === Detektory neutronów === Neutrony nie posiadają ładunku elektrycznego i dlatego słabo oddziałują z elektronami, które mają ładunek elektryczny ujemny. Do wykrywania neutronów musimy się posłużyć pewnymi zjawiskami, które posłużą do wykrywania neutronów. Tymi zjawiskami są zjawiska wytwarzanych przez neutrony promieniowania jonizującego, są nimi: * reakcję jądrowe wywołane przez neutrony z emisją pewnych cząstek, które są wydzielane przez np. reakcje (n,p), (n,&alpha;). * reakcje rozpraszania neutronów na protonach w wyniku czego do protonów jest dostarczana pewna energia, które te cząstki można wykryć, bo on stanowi jakoby promieniowanie jonizujące o ładunku dodatnim. * neutrony wywołują wzbudzenie atomów, które później takie obiekty emitują kwanty energii zwanych fotonami. Ze względu na energię neutronów, zatem od nich będzie zależało wybór metody detekcji neutronów poprzez promieniowanie jonizujące, ze względu na energie elektronów metody detekcji dzielimy na: * neutrony mające małą energią, tzn. neutrony powolne posiadające energię 0<E<1000 eV, ten podział dzielimy jeszcze na dalsze podgrupy: ** neutrony posiadające energie 0,001 eV, które nazwiemy neutronami zimnymi. Według zależności E=k{{Sub|B}}T te cząstki posiadają temperaturę T=11,6{{Sup|o}}K. ** neutrony posiadające energię 0,0025 eV, które są neutronami termicznymi, którym odpowiada w przybliżeniu temperatura T=~20{{Sup|o}}C. ** neutrony posiadające energię 1 do 1000 eV, które są neutronami rezonansowymi, nazwa ta pochodzi z stąd, że pewnych określonych podanych wcześniej energiach następuje gwałtowny wzrost przekroju czynnego na reakcję jądrową. * na neutrony mających energie pośrednie 1keV<E<500 keV * na neutrony prędkie posiadające energie E>50 MeV * na neutrony posiadające energie wysokie E>50 MeV Neutrony możemy wykryć poprzez reakcję jądrową, w której wydzielają się promieniowanie &alpha;: {{CentrujWzór|<MATH>{}^{10}_5B+{}^1_0n\rightarrow{}^7_3Li+{}^4_2\alpha+Q\;</MATH>|8.62}} Jeśli w reakcji wydziela się energia (Q>0), to taką reakcję nazywamy reakcją egzoenergetyczną, ale gdy zachodzi Q<0, to reakcję nazywamy endoenergetyczną. W przypadku w reakcji {{LinkWzór|8.62}} wydziela się energia Q=+2,3MeV, która będzie zachodziła dla bardzo powolnych neutronów. Przekrój czynny na zachodzenie powyższej reakcji jest bardzo duży i wynosi około 3500b. W tej reakcji przekrój czynny maleje wraz z rosnącą energią neutronów odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka energii neutronów. {{Sup|20}}B jest 10% w zawartości pierwiastka w naturalnym borze, ale można ten pierwiastek wzbogacić aż do 90% w ten izotop. Aby wykryć cząstki &alpha; należy posłużyć się emulsjami jądrowymi, którym jednych ze składników jest {{Sup|10}}B, który występuje w postaci związku BF{{Sub|3}} lub występująca w postaci stałej na elektrodach. Weźmy teraz reakcję jądrową: {{CentrujWzór|<MATH>{}^6_3Li+{}^1_0n\rightarrow{}^3_1H+{}^4_2\alpha+Q\;</MATH>|8.63}} Reakcja {{LinkWzór|8.63}} jest reakcją egzoenergetyczną z wydzielającą się energią Q=+4,78 MeV. Przekrój tej reakcji jest rzędu 1000b dla neutronów termicznych. Lit w podobnie jak w poprzedniej reakcji B możemy wprowadzić do emulsji jądrowej lub też do liczników proporcjonalnych, lub do liczników scyntylacyjnych, do których wprowadzamy sctyntylatory liniowe LiI(Tl). Wydajność tak zbudowanych liczników jest bardzo duża i wynosi kilkudziesięciu procent. Te liczniki mogą się posłużyć do wykryweania tzw. neutronów prędkich z spowolnionych przez protony, tak by się stały neutronami termicznymi. Neutrony można też wykryć poprzez reakcje rozszczepienia, w których wydziela się produkty rozpadu i m neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX+{}^1_0n\rightarrow {}^{A_1}_{Z_1}Y+{}^{A_2}_{Z_2}W+m{}^1_0n\;</MATH>|8.64}} W powyższej reakcji powinien być spełniona zasada zachowania liczby masowej i ładunku elektrycznego, tzn. powinno zachodzić A{{Sub|1}}+A{{Sub|2}}=A, Z{{Sub|1}}+Z{{Sub|2}}=Z. Energia wydzielana w tychże reakcjach jest w postaci energii kinetycznej produktów i wynosić może nawet 200 MeV. Jądra {{Sup|235}}, {{Sup|239}}Pu ulegają reakcji rozszczepienia popd wpływem nuetronów termicznych, jeśli one posiadają energię wyższą od energii progowej, dzięki któremu już reakcja może zajść. Przedstawmy kilka energii progowych dla poszczególnych pierwiastków, dla {{Sup|238}}U to E{{Sub|p}}=1,49 MeV, dla {{Sup|232}}Pa to E{{Sub|p}}=0,5 MeV, dla {{Sup|237}}Np to E{{Sub|p}}=0,75 MeV, dla {{Sup|209}}Bi to E{{Sub|p}}=50 MeV, dla {{Sup|232}}Th to E{{Sub|p}}=1,75 MeV. Teraz opiszemy rozpraszanie neutronów na protonach, wtedy neutron jemu przekazuje część swojej energii, tak by on mógł by być zarejestrowany. Metoda ta jest bardzo pomocna do detekcji neutronów prędkich. Gdy energia protonów dochodzi do 10 MeV, wtedy jego przekrój czynny w zależności od kierunku rozpraszania jest izotropowy w układzie środka masy neutron-proton. Jeśli będziemy zakładać równe masy protonów i neutronów, bo one sa takie same w przybliżeniu. Energia, której uzyskuje proton po roszczepieniu zależy od jego kąta rozproszenia względem prędkości neutronów. Możemy je wyznaczyć również oprócz zasady zachowania pędu, z zasady zachowania energii. Z praw zachowania w mechanice klasycznej powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Bigg\{\begin{matrix}v_0=v_p\cos\theta+v_n\cos\phi\Rightarrow v_n\cos\phi=v_0-v_p\cos\theta\\ 0=v_p\sin\theta+v_n\sin\phi\Rightarrow v_n\sin\phi=-v_p\sin\theta \end{matrix}\;</MATH>|8.65}} Możemy podnieść obie strony równości w układzie równań {{LinkWzór|8.29}} i dodając je do siebie i wiedząc v{{Sup|2}}=2E/m, w ten sposób: {{CentrujWzór|<MATH>v_n^2=v_0^2+v_p^2-2v_0v_p\cos\theta \Rightarrow E_n=E_0+E_p-2\sqrt{E_pE_0}\cos\theta\;</MATH>|8.66}} Z prawa zachowania energii E{{Sub|n}}=E{{Sub|0}}-E{{Sub|p}}, wtedy {{LinkWzór|8.65}} przepisujemy w formie: {{CentrujWzór|<MATH>E_0+E_p-2\sqrt{E_0E_p}\cos\theta=E_0-E_p\Rightarrow E_p=E_0\cos^2\theta\;</MATH>|8.67}} Do detekcji neutronów możemy posłużyć się gazem, którym jest wodór-1 lub inny gaz zawierający wodór, który wypełnia licznik gazowy. Do wykrywania neutronów możemy również posłużyć się substancjami stałymi, takimi jak parafina lub polistyren. Aby rejestrować protony możemy się posłużyć scyntylatorami organicznymi (np. scyntylator Hornyaka zawierający w składzie ZnS(Ag)) lub stycznymi tworzywami. Do detekcji neutronów również posługujemy się licznikami półprzewodnikowymi z wewnętrznym radiatorem, na którą padają neutrony zderzając się protonami, których ma wykryć wcześniej wymieniony licznik. Neutrony możemy również wykryć przy pomocy helu, ale ta metoda może się posłużyć do wykrywania neutronów prędkich, czyli o wysokich energiach. Aby wykryć neutrony możemy się posłużyć się metodą aktywacyjną, polega ona na obserwowaniu promieniotwórczości wywołanej przez neutrony poprzez schwytanie przez pewne materiały. Materiał, który wydziela promieniowanie naświetlamy neutronami przez pewien czas, i dalej obserwujemy wydzielające się cząstki z tego materiału jakimś licznikiem do detekcji promieniotwórczości. Niech strumień neutronów aktywujący pewien materiał jest n, a przekrój czynny na wywołanie reakcji jest &sigma;(E), to liczba atomów, które są już promieniotwórcze tuż po naświetlaniu w sekundzie przez strumień neutronów &Phi;(E)dE jest: {{CentrujWzór|<MATH>dR=\sigma(R)n\Phi(E)dE\;</MATH>|8.68}} Jeśli będziemy rozpatrywać różne energie neutronów obejmujących energie od 0 do E{{Sub|max}} jest napisana jako całka wyrażenia {{LinkWzór|8.68}} po tych określonych energiach: {{CentrujWzór|<MATH>R=\int_0^{E_{max}}\sigma(E)n\Phi(E)dE\;</MATH>|8.69}} Mając liczbę impulsów C w liczniku w przedziale (t{{Sub|1}},t{{Sub|2}}), to liczba atomów promieniotwórczych określonych na podstawie wzoru {{LinkWzór|8.33}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>R={{\lambda C}\over{\epsilon(1-e^{-\lambda t_0})(e^{-\lambda t_1}-e^{-\lambda t_2})}}\;</MATH>|8.70}} Oznaczenia występujące we wzorze {{LinkWzór|8.70}} są: * t{{Sub|0}} - czas aktywacji dla strumienia neutronów, * &lambda; - stała rozpadu atomu promieniotwórczego poprzez wzbudzenie przez aktywacje tego atomu przez neutrony, * &epsilon; - stała zależna od wydajności licznika i geometrii układu pomiarowego. == Spektrometry promieniowania jądrowego == Spektrometry służą do pomiaru widm promieniowania jądrowego. Nazwa spektrometru pomiarowego pochodzi zwykle od nazwy promieniowania, które badają, i z tego względu te spektrometry dzielimy na: * licznikowe - na wejściu mamy liczniki wraz z detektorami, które rejestrują promieniowanie &gamma;, &alpha;, &beta;, * magnetyczne - przeprowadza analizę energii cząstek, a szczegółowo bada wartości pędów rejetsrowanych naładowanych cząstek, tzn. cząstek &beta;, &alpha;. === Spektrometry licznikowe === {{Rysunek|Schemat blokowy spektrometru licznikowego.png|sbsl|Schemat blokowy spektrometru licznikowego.}} Spektrometry licznikowe dzielimy na spektrometry gazowe, które badają parametry cząstek &alpha;,&beta;, scyntylacyjne, które służą do rejestracji cząstek &alpha;,&beta;,&gamma;,..., a także na detektory półprzewodnikowe. Każdy detektor licznikowy składa się z elementów takich jak: detektora, przedwzmacniacza, wielokanałowego analizatora amplitudy impulsów, który na wejściu znajduje się przetwornik ADC, na którym w zależności od rodzaju detektora napięcie może sięgać nawet kilku tysięcy woltów. Detektor D działamy promieniowaniem ściśle określonym, wtedy na tym detektorze pojawia się impuls elektrycznym na wyjściu o wartości impulsu &Delta;U~&Delta;E, który ma krótki czas narastania, ale długi czas opadania, który po przejściu przez wzmacniacz zostaje ten impuls wzmocniony, który dalej przechodzi przez wzmacniacz spektroskopowy zostaje jeszcze raz wzmocniony i tam formuje się impuls, który ma kształt impulsów gausowskich. Przedwzmacniacz wstępnie wzmacnia, który potrafi przetransformować sygnał uzyskując wzmocnienie natężenia prądu sygnału do bardzo wysokiego, co również można powiedzieć, że ten obiekt transformuje opór rzędu 10{{Sup|5}}&Omega; na mały opór, bo musimy wzmacniacz ładunek, a nie napięcie. {{Rysunek|Sygnał w zależności od liczby kanałów.png|swzolkwp|Sygnał w zależności od liczby kanałów wielokanałowego przetwornika amplitudy ADC}} Najprostszy ze wzmacniaczy jest wtórnik emiterowy. Każdy wzmacniacz jest dostosowywany do ściśle określonego detektora promieniowania jądrowego. Dla detektorów półprzewodnikowych energia impulsów jest wprost proporcjonalna do ładunku przepływającego w tym detektorze i napięcie impulsów jest równa stosunkowi przepływającego ładunku przez jego pojemność, a pojemność jego zależy od napięcia panującego na elektrodach w detektorze. Przedwzmacniacz wzmacnia impuls ładunkowy i zamienia go na impuls napięciowy, który jest potrzebny by detektor zadziałał. Za wzmacniaczem spektroskopowym jest wielokanałowy analizator amplitudy, który służy do rejestracji i pomiaru amplitudy, który jest zbudowany z przetwornika ADC i za nim urządzenia elektronicznego położonych za przetwornikiem. To urządzenie w zależności od liczby kanałów dzielimy na analizatory proste i złożone. Przetwornik ADC przekształca impuls gaussowski na formę cyfrową. Elektronika za przetwornikiem jest odpowiedzialna za zapisanie sygnału w postaci cyfrowej do odpowiednich komórek pamięci np. w komputerze. ==== Wielokanałowy przetwornik amplitudy ADC ==== Wielokanałowy przetwornik amplitudy ADC jest to układ, który zamienia sygnał analogowy na reprezentację cyfrową. Możliwe jest dzięki temu przetwarzanie w urządzeniach cyfrowych przetworzonego sygnału na reprezentację zerowo-jedynkową i gromadzenie tychże danych na nośnikach pamięci. Przemiana sygnału analogowego polega na kwantyzacji sygnału analogowego zmieniającego się płynnie na wartości skokowe, ale w granicach odwzorowania skali. Przetwarzanie tego sygnału polega na trzech etapach , tzn. próbkowanie, kwantyzacja i na samym końcu kodowanie. A jeśli chcemy przetworzyć sygnał cyfrowy na analogowy, to taki przetwornik nazywamy przetwornikiem cyfrowo-analogowym C/A. Rozdzielczość przetwornika nazywamy ile dyskretnych wartości może przetworzyć i wyrażamy je często w bitach. Np. przetwornik ADC potrafi przetworzyć sygnał na jednej z 256 wartości liczbowych. Rozdzielczość możemy również wyrazić w woltach. Rozdzielczość wtedy możemy wyrazić jako stosunek całkowitej skalę pomiaru przez ilość stopni kwantyzacji. * '''Klasyfikacja przetworników ADC ze względu na rodzaj parametru:''' ** ładunkowe - Mierzy całkowity ładunek przepływający w czasie otwarcia bramki, ponieważ ładunek w wielu przypadkach jest wprost proporcjonalny do strat energii cząstki na detektorze. ** napięciowe - mierzone jako chwilową wartość na wejściu. ** "peak-sensing" - mierzy amplitudę impulsu, czyli największą wartość napięcia w czasie otwarcia bramki. Przetworniki ADC działają na zasadzie pomiaru czasu ładowania lub rozładowania kondensatorów prądem stałym. {{Rysunek|Przetwornik amplitudy ADC.png|sbpadc|Schemat blokowy przetwornika ADC}} {{Rysunek|Charakterystyka napięciowa przetwornika ADC od czasu.png|cnpadcod|Charakterystyka napięciowa przetwornika ADC od czasu.}} Uzyskanie pomiaru przy pomocy przetwornika daje dużą dokładność, ale istnieje duży czas pomiędzy bramką a uzyskanym wynikiem sięgających nawet kilkunasty &mu;s, jest to czas martwy, w którym nie należy mierzyć (badać) żadnego impulsu. Są takie przetworniki, które mają wejście clear, na którym podanie impulsu powoduje przerwanie procesu konwersji i rozpoczęcie gotowości przyjęcia dalszego impulsu. Parametrami przetworników ADC są: * zakres wejściowy z jakim należy mierzyć największe dopuszczalne napięcie. Również impuls możemy dostosować przy pomocy wzmacniaczy lub tłumików do przetwornika ADC, * następnym parametrem jest rozdzielczość mówiąca ile wartości napięcia można mierzyć w pewnym zakresie. Jest to liczba bitów mierzonych w pewnym zakresie. Jest ona podawana w zakresie od 8 do 12 bitów, * Czas konwersji sygnału z bramki a uzyskaniem wyniku, ** Liniowość całkowita jest to odchylenia maksymalne charakterystyki przetwornika od prostej, ** różniczkowa przedstawiająca na ile zachodzi równość szerokości kanałów, * stabilność jak kalibracja zmienia się w czasie i pewnej temperaturze. === Spektrometry magnetyczne === Siła Lorentza działająca na daną cząstkę piszemy jako suma siły elektrycznej i magnetycznej {{Formuła|<MATH>\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}\right)\;</MATH>}}, jeśli nie będziemy uwzględniać sił pola elektrycznego, i jeśli mamy prędkość ruchu cząstki prostopadłą do {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{\bot}\;</MATH>}}, wtedy z drugiej zasady dynamiki Newtona i z dynamiki ruchu obrotowego mamy: {{CentrujWzór|<MATH>m{{v^2_{\bot}}\over{r}}=qv_{\bot}B\Rightarrow m{{v_{\bot}}\over{r}}=qB\Rightarrow r={{mv_{\bot}}\over{qB}}\;</MATH>|8.71}} Jeśli prędkość {{Formuła|<MATH>\vec{v}\;</MATH>}} nie jest prostopadła do wektora indukcji pola magnetycznego, ale kąt pomiędzy wektorami prędkości a indukcji pola magnetycznego jest &alpha;, wtedy piszemy {{Formuła|<MATH>v_{\bot}=v\sin\alpha\;</MATH>}}, to cząstka będzie się poruszała z po pętli śrubowej, a jeśli &alpha;=90{{Sup|0}}, to ruch cząstki jest po okręgu. Jeśli weżniemy płaszczyznę prostopadłą do {{Formuła|<MATH>\vec{B}\;</MATH>}} i będziemy rzutować tor cząstki na tą płaszczyznę, wtedy jedno okrążenie następuje w czasie: {{CentrujWzór|<math>v_{\bot}={{2\pi r}\over{T}}\Rightarrow T={{2\pi r}\over{v_{\bot}}}={{2\pi }\over{v_{\bot}}}{{mv_{\bot}}\over{qB}}\Rightarrow T={{2\pi m}\over{q B}}\;</MATH>|8.72}} Jeśli kąt pomiędzy prędkością cząstki a wektorem indukcji nie jest prosty, wtedy skok linii śrubowej określamy poprzez wzór: {{CentrujWzór|<MATH>h=v_{||}T=v\sin\alpha {{2\pi m}\over{qB}}={{2\pi m v\sin\alpha}\over{qB}}\;</MATH>|8.73}} {{Rysunek|Massaspectrometer.GIF|smm|Spektrometr masowy magnetyczny}} Weźmy teraz spektrometr magnetyczny do określania mas cząstek, aby cząstką wyszła z komory, tak gdzie panuje pole elektryczne i magnetyczne muszą siły pola magnetycznego równoważyć siły pola elektrycznego: {{CentrujWzór|<MATH>Eq=qvB\Rightarrow E=vB\;</MATH>|8.74}} Występuje właśnie taka zależność pomiędzy polem elektrycznym, a magnetycznym, gdy z komory ma wyjść cząstką o prędkości v. Możemy regulować wartościami pola elektrycznego lub magnetycznego, jeśli chcemy by wyszła cząstka o pewnej prędkości. Gdy cząstka wyjdzie z komory trafia na drugą komorą w której panuje tylko pole magnetyczne, która zakrzywia ruch cząstki naładowanej, a jego tor jest wtedy częścią półokręgu o promieniu r, na której na samym końcu drogi cząstka pada na kliszę fotograficzną, z której możemy wyznaczyć stosunek q/m, a jeśli znamy ładunek cząstki, to możemy policzyć jego masę. == Parametry spektrometrów licznikowych i magnetycznych == === Energetyczna zdolność rozdzielcza spektrometru === {{Rysunek|Parametry spektrometrów licznikowych i magnetycznych.png|pslim|Parametry spektrometrów licznikowych i magnetycznych}} Energetyczna zdolność rozdzielcza jest to parametr spektrometru (detektora) mające na wejściu do niego monochromatyczne promieniowanie określonego przez δ(E-E{{Sub|0}}). A po wyjściu z spektrometru mamy widmo rozmyte N(E), który na połowie jego wysokości ma szerokość ΔE{{Sub|1/2}}(E{{Sub|0}}) oznaczonej przez FWHM (FULL WIDTH AT HALF MAXIMUM), a na jego 1/10 wysokości ma szerokość oznaczonej przez FWTM (FULL WIDTH AT ONE TENTH MAXIMUM). Wielkość FWHM piszemy w jednostkach energii keV, którą nazywamy bezwzględną energetyczną zdolnością rozdzielczą spektrometru (detektora), a stosunek FWHM/E{{Sub|0}} wyrażamy w % nazywamy względną energetyczną zdolnością rozdzielczą przy określonej energii E{{Sub|0}} posiadającej przez zarejestrowane cząstki. Powstawanie rozkładu rozmytego N(E) są statystyczne fluktuacje powstałe podczas rejestracji cząstki przechodzącej przez detektor, do tego też się wniosą sumy detektora, a także fluktuacje przy wzmocnieniu fluktuacji i szumy w układach elektronicznych, z których jest zbudowanych sam spektrometr. W detekcji promieniowania przyjmuje się zdolność spektrometru jest wypadkową zdolnością rozdzielczą detektora, a także w nim pracujących układów elektronicznych, tzn.: przedwzmacniacza, wzmacniacza spektrometru magnetycznego, a także przetwornika ADC, itp.: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{FWHM}^2=\operatorname{FWHM}_D^2+\operatorname{FWHM}^2_{EL}\;</MATH>|8.75}} === Energetyczna zdolność rozdzielcza detektora === Źródłem fluktuacji amplitudy dla sygnałów wyjściowych, które wychodzą od detektora są statystyczne fluktuację liczby rodników prądu w, które są w detektorze powstałe przy rejestracji cząstki, które posiadają energię E. Te fluktuację możemy napisać czysto-statystycznie przez rozkład normalny Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH>P(n)={{1}\over{\sigma_n\sqrt{2\pi}}}e^{-{{(n-\langle n\rangle)^2}\over{2\sigma_n^2}}}\;</MATH>|8.76}} Odchylenie sygnału od wartości statystycznej równa połowie szerokości sygnału P(n) jest na wysokości {{Formuła|<MATH>1/\sqrt{e}\;</MATH>}}, wtedy zachodziło by {{Formuła|<math>\sigma_n=\sqrt{\langle n^2\rangle}\;</MATH>}}. W detektorach liniowych liczba rodników prądu możemy napisać przez {{Formuła|<MATH>n={{E}\over{\overline{\mathbf{E}}}}\;</MATH>}}, przy którym {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{E}}\;</MATH>}} jest energią potrzebną do wytworzenia pewnych nośników w detektorze, tzn. e{{Sup|-}} i dziury w półprzewodnikach oraz jonu dodatniego i e{{Sup|-}} w gazach itp., wtedy odchylenia od wartości statystycznej w rozważanych rozkładach statystycznych N(E) i P(E) piszemy przez: {{Formuła|<MATH>\sigma_E=\overline{\mathbf{E}}\sigma_n=\overline{\mathbf{E}}\sqrt{{{{\langle E\rangle}^2}\over{\langle\mathbf{E}^2\rangle}}}=\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;</MATH>}}. Teraz policzmy wartość FWHM, której wartośc jest równa połowie maksymalnej wartości: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}(E=\langle E\rangle)={{1}\over{2}}{{1}\over{\sigma_E\sqrt{2\pi}}}={{1}\over{2}}{{1}\over{\sigma_E\sqrt{2\pi}}}e^{-{{\left({{1}\over{2}}FWHM\right)^2\over{2\sigma^2_E}}}}\Rightarrow FWHM_D=2\sqrt{2\ln 2}\sigma_E=2\sqrt{2\ln 2}\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}=2,35\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow FWHM_D=2,35\sqrt{\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;</MATH>|8.77}} Wyliczone wartości stałych FWHM{{Sub|D}}, które są wyznaczone dla detektorów gazowych i półprzewodnikowych dla różnych energii E{{Sub|o}} okazały się dużo mniejszy od wartości wyznaczonej statystycznie, co okazuje się, że fluktuacje pierwotnych nośników prądu nie podlegają statystyce Gaussa, wtedy można wprowadzić czynnik poprawkowy F<1, który jest nazywamy czynnikiem FANO i przyjmuje wartości: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_n=\sqrt{F\cdot \langle n^2\rangle}\;</MATH>|8.78}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\sigma_E=\sqrt{F\cdot\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}\;</MATH>|8.79}} }} wtedy wyrażenie FWHM{{Sub|D}} przy uwzględnieniu współczynnika Fano (współczynnika korekcji) jest napisane jako: {{CentrujWzór|<MATH>FWHM_D=2,35\sqrt{F\overline{\mathbf{E}}\langle E\rangle}=2,35\sqrt{F\overline{\mathbf{E}}E_0}\;</MATH>|8.80}} Obserwowana szerokość N(E) z detektora jest uwarunkowana fluktuacjami statystycznymi i jest mniejsza zgodność dla dużych energii, pogarsza się z wielkością {{Formuła|<MATH>\sqrt{E}_0\;</MATH>}} dla rejestrowanych cząstek i dlatego jest ona wprost proporcjonalna do {{Formuła|<MATH>\sqrt{\overline{\mathbf{E}}}\;</MATH>}}. Przedstawimy teraz listę wartości {{Formuła|<MATH>\overline{E}\;</MATH>}} i F dla detektorów półprzewodnikowych, gazowych i scyntylacyjnych. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=rowspan=2|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan="2"|Detektory półprzewodnikowe}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=rowspan=2|Detektory gazowe}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan="2"|Detektory scyntylacyjne}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|Ge}}<!-- -->{{Komórka|Si}}<!-- -->{{Komórka|Argon}}<!-- -->{{Komórka|Metan}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{E}}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|2,96 2,62 3,71}}<!-- -->{{Komórka|77keV 77keV 300keV}}<!-- -->{{Komórka|około 300}}<!-- -->{{Komórka|26,4}}<!-- -->{{Komórka|29,2}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|F}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|około 0,005 do 0,1}}<!-- -->{{Komórka|około 1}}<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=2|od 0,17 do 0,25}}<!-- -->}}<!-- -->}} To jakie są wartości współczynnika korekcji F decydują mechanizmy wytwarzania nośników prądów, a także rodzaj nośnika, a także koreakcje pomiędzy tego typu procesami. Fotony w zjawisku luminescencji nie wykazują tego typu korelacji, a więc współczynnik korekcji dla scyntylatorów wynosi {{Formuła|<MATH>F\simeq 1\;</MATH>}}. Bardzo małe wartości współczynnika korekcji F i średniej energii obserwuje się przy germanie, i dlatego spektrometry w GeHP przy dużych wartościach energii wykazują rekordowo duże zdolności rozdzielcze promieniowania E{{Sub|γ}}=1,33MeV i FWHM=1,7keV. W porównaniu z najlepszymi scyntylatorami NaJ(Tl), FWHM=60keV są one 30-35 krotnie lepsze. Bardzo ważnym czynnikiem w detekcji promieniowania jądrowego jest zdolność rozdzielcza detektorów, która jest zależna od energii badanych cząstek, są to szumy wynikające z fluktuacji termicznych są tzw. prądy zerowe, które płyną przez spolaryzowany detektor, dot. termicznej kreacji par e{{Sup|-}}e{{Sup|+}}, a także obecność domieszek, a także występowanie prądu ciemnego w detektorach w fotopowielacza, itp. a także prądów płynących po powierzchni detektorów i po izolacji, które dochodzą często rzędu 10{{Sup|3}}V. Szumy te przedostają się do fluktuacji statystycznych, które zależą od energii poprzerzając w ten sposób pasmo FWHM{{Sub|D}} znacząco, co decydujący znak jest przy niskich energiach, przy których to maleje proporcjonalnie do {{Formuła|<MATH>\sqrt{E}\;</MATH>}}. Z powodów dużych szumów termicznych, niektóre urządzenia muszą pracować w temperaturze ciekłego helu 77K dla detektorów wykonanych z Ge. === Zdolność rozdzielcza elektroniki spektrometru (FWHM{{Sub|EL}}) === One charakteryzują się wszelkimi fluktuacjami i prądami oraz wzmacniaczami układów wzmacniających impulsy z detektora i przetwornika ADC wielokanałowego analizatora amplitudy. Szumy rejestrowanych cząstek zależą od energii rejestrowanych cząstek, czyli od amplitudy przetwarzanych impulsów, a także zależy od temperatury i jakości elementów elektronicznych z których są zbudowane spektrometry promieniowania jądrowego. Największy wpływ mają przedwzmacniacze ładunkowe we detektorach zbudowanych z półprzewodników, które są zbudowany z niskoszumowych tranzystorów polowych. Traktując szumy układów elektronicznych i detektora razem, czyli {{Formuła|<MATH>\sigma_{AP}^2=\sigma_{szum D}^2+\sigma^2_{EL}\;</MATH>}}, co jest sumą kwadratów szum detektora i układu elektronicznego, ta wielkość jest niezależna od rejestrowanego promieniowania. Zdolność energetyczna spektrometru określać w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>FWHM(E)=\sqrt{(2,35)^2F\overline{\mathbf{E}}E+FWHM^2_{AP}}\;</MATH>|8.81}} Z rozważań {{LinkWzór|8.79}} zależność zależność FWHM{{Sup|2}} dla spektrometrów liniowych powinna być zależność liniowa od E, ale ją dla E=0 określać będziemy jako FWHM{{Sub|AP}}. Jest to metoda określania wielkości FWHM{{Sub|AP}}. === Wydajności detektorów i spektrometrów === Są to parametry charakteryzujące się względnymi lub absolutnymi zarejestrowanymi przez detektor ściśle określonego typu promieniowania. Wydajność detektora określa ilość zarejestrowanych cząstek w zależności od cząstek padających: {{CentrujWzór|<MATH>\eta(E)={{N_{zar}}\over{N_{pad}}}\;</MATH>|8.82}} {{Rysunek|Obliczanie ilości cząstek padających.png|oicp|Obliczanie ilości cząstek padających}} Jest to wydajność (właściwa) detektora zarejestrowanych w dowolnym czasie &Delta;t. Dla cząstek naładowanych &alpha; i &beta; wydajność ta jest bliska 100%. Jej obniżenie może spowodować pochłonięcie pewnych ilości cząstek w okienku detektora. Wydajność detektora promieniowania &gamma; znacznie zależy od energii kwantów, a także od rodzaju detektora. Ale już dla ≤50keV zależy również od obserwowanych cząstek. Jeśli mamy źródło promieniowania &gamma; o aktywności A i kącie bryłowym detektora równym &Omega;, to w czasie t liczba padających cząstek jest: {{CentrujWzór|<MATH>N_{pad}(E_0)=A_{zr}{{I(E_0)}\over{\sum_i I_i(E)}}\Omega t=A_{zr}I_{zr}\Omega t\;</MATH>|8.83}} === Zdolność rozdzielcza η{{Sub|w}}(E) detektora (spektrometru) promieniowania jądrowego === Zdolność właściwa, którą liczymy względem wydajności dla danej energii określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_W(E)={{\eta(E)}\over{\eta(E_0)}}\;</MATH>|8.84}} Jest ona zależna od energii rejestrowanych cząstek. Mając definicję wydajności względnej dla zarejestrowanych cząstek o energii E, która jest ona stosunkiem {{LinkWzór|8.81}} dla energii E przez energię E{{Sub|0}}: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_W(E)={{\eta(E)}\over{\eta(E_0)}}={{N_{pad}(E)}\over{N_{pad}(E_0)}}{{N_{zar}(E_0)}\over{N_{zar}(E)}}\;</MATH>|8.85}} Iloraz I(E)/I(E{{Sub|0}}) jest określana na podstawie tablic wzorcowych, a natomiast N{{Sub|zar}}(E{{Sub|0}})/N{{Sub|zar}}(E) określa się według widma energetycznego o energii E. === Zdolność rozdzielcza absolutna detektora w spektrometrze promieniowania jądrowego === Zdolność rozdzielcza spektrometru określa prawdopodobieństwo wykrycia cząstki, która posiada energię E{{Sub|0}} wylatującej ze źródła, która jest w odległości r od detektora: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_b(E)={{N_{zar}(E)}\over{N_{wylzr}}}={{N_{pad}(E)\eta(E)}\over{4\pi A_{zr}I_{zr}(E)t}}={{A_{zr}I_{zr}(E)\eta(E)\Omega t}\over{4\pi A_{zr}I_{zr}(E)t}}={{\Omega}\over{4\pi}}\eta(E)\;</MATH>|8.86}} Znajomość tej wydajności absolutnej spektrometru jest bardzo nam potrzebna do zbadania aktywności badanych przez nas źródeł. Wydajność spektrometru HPGe określa się na podstawie kwantów energii &gamma;, które są wydzielane przez {{Sup|60}}Co, gdzie tam są wysyłane kwanty o energii 1332 keV. Wydajność względna będziemy określać na podstawie scyntylatora NaI, której wydajność jest 1,2&sdot;10{{Sup|-3}}: {{CentrujWzór|<MATH>\eta_{wa}(Ge)_{\gamma}={{\eta(1332keV)}\over{\eta(NaI(TL);1332keV)}}={{\eta(1332keV)}\over{1,2\cdot 10^{-3}}}\;</MATH>|8.87}} === Transmisja spektrometru magnetycznego === Jest to wielkość określająca prawdopodobieństwa wykrycia cząstki przez detektor o rozmiarze kątowym &Omega;, do którego doleciała ta cząstka z odległości r ze źródła do kolektora: {{CentrujWzór|<MATH>T={{\Omega}\over{4\pi}}\;</MATH>|8.88}} === Świetliwość spektrometru magnetycznego === Świetliwość spektrometru magnetycznego określamy poprzez iloczyn transmisji spektrometru magnetycznego T {{LinkWzór|8.88}} i powierzchni źródła S{{Sup|max}} dla której jeszcze jest dobra zdolność rozdzielcza spektrometru jądrowego: {{CentrujWzór|<MATH>L=T\cdot S^{max}\;</MATH>|8.89}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 0dxczqi65ql2g6pzw1xkstp43x3m54h 0 21971 559114 558647 2026-10-11T04:35:23Z Persino 2851 559114 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Etap współczesny == Według stanu obecnego fizykę dzielimy na działy: '''jądra atomowego''', '''cząstek elementarnych''' i '''kosmosu''' (chodzi tutaj o strukturę i teorię powstania wszechświata). W wyniku rozwoju techniki eksperymentalnej, tzn. akceleratorów, detektorów, elektroniki i komputerów, badano własności jąder atomowych i strukturę materii w wysokoenergetycznych wiązkach akceleratorowych p, e{{Sup|-}} i e{{Sup|+}} i innych cząstek, i w promieniowaniu kosmicznym. Nuklidami nazywamy jądra o ściśle określonej liczbie atomowej Z i masowej A. Odkryto ponad 3000 nuklidów (Z=od 1 do 118), 150 obiektów (cząstek) początkowo traktowanych jako cząstki elementarne. W 1964 r. Badano strukturę hadronów. M. Gell-Mann i G. Zweig postulowali, że te właśnie cząstki są złożone z trzech kwarków i jest to model kwarkowy hadronów. W latach siedemdziesiątych trzy kwarki już nie wystarczają do opisu nowych hadronów, rozwija się teoria oddziaływań silnych QCD. Odkryto sześć leptonów i sześć kwarków wraz z ich antycząstkami, które różnią się ''zapachem'' i ''kolorem'', w sumie tworzą trzy generacje. Cząstki złożone z trzech kwarków są bezbarwne. Każdy kwark występuje w trzech kolorach (w stanach kolorowych), charakteryzujących się elektrycznym ładunkiem ujemnym (-1/3)e lub ładunkiem dodatnim (2/3)e. Kwarki oddziałują ze sobą przy pomocy gluonów, które są bozonami o masie spoczynkowej równej zero i ładunku zerowym, ale mają ładunek kolorowy, ale występujących w ośmiu kolorach. Kwarki i gluony są uwięzione w hadronach, z których na przykład proton składa się z trzech kwarków (u,u,d): (2/3+2/3-1/3)e=e. Podobnie neutron składa z trzech kwarków (ddu): (-1/3-1/3+2/3)e=0. Mezony natomiast składają się z dwóch kwarków (kwark + antykwark). == Model standardowy materii == Cząstki fundamentalne składają się z sześciu leptonów i sześciu kwarków wraz z ich antycząstkami. Kwantową teorię pola elektromagnetycznego oraz słabego możemy połączyć w oddziaływanie elektrosłabe, model oddziaływania silnego i elektrosłabego możemy połączyć w model standardowy. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Podstawowe cząstki elementarne w fizyce cząstek elementarnych'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_e\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino elektronowe}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH><7\cdot 10^{-9}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->{{Komórka|Elektron}}<!-- -->{{Komórka|0,0005111}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\mu}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino mionowe}}<!-- -->{{Komórka|<0,0003}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\mu^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Mion}}<!-- -->{{Komórka|0,106}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\nu_{\tau}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Neutrino taonowe}}<!-- -->{{Komórka|<0.03}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\tau^{-}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|Taon}}<!-- -->{{Komórka|1.7771}}<!-- -->{{Komórka|-1}}<!-- -->}}<!-- -->}} W poniższej tabelce pokazaliśmy powierzchowne informacje o kwarkach, których jest sześć i których ładunki są ułamkowe, tzn. ich ładunki są oznaczane przez (+2/3)e i przez (-1/3)e. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=colspan=4|{{Center|'''Kwarki w modelu standardowym '''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Cząstka'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Nazwa cząstki'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Masa (GeV/c{{Sup|2}})'''}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|'''Ładunek'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|&mu;}}<!-- -->{{Komórka|górny}}<!-- -->{{Komórka|0,005}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|d}}<!-- -->{{Komórka|dolny}}<!-- -->{{Komórka|0,01}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|c}}<!-- -->{{Komórka|powabny}}<!-- -->{{Komórka|1.5}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|s}}<!-- -->{{Komórka|dziwny}}<!-- -->{{Komórka|0,2}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|t}}<!-- -->{{Komórka|szczytowy, wysoki, prawdziwy}}<!-- -->{{Komórka|180}}<!-- -->{{Komórka|+2/3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|b}}<!-- -->{{Komórka|piękny, niski}}<!-- -->{{Komórka|4,7}}<!-- -->{{Komórka|-1/3}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jeśli traktować, że 1 (jedynka) to jest 10{{Sup|-18}}m, to elektron ma wielkość mniejszą od jedynki, kwark o rozmiarach 10{{Sup|-18}}m ma rząd równy jedynce, proton ma wielkość równą 1000 (on ma rozmiary w metrach 10{{Sup|-15}}m), jądro ma wielkość 10000 o rozmiarach 10{{Sup|-14}}m, a atom ma wielkość 100000000 o rozmiarach 10{{Sup|-10}}m. Atomy, jądra i nukleony nie są kulami to jest tylko rząd wielkości. Elektron ma rozmiary bardzo małe i dlatego nie mówi się o rozmiarach elektronów. == Jądra atomowe == Jądra składają się z protonów i neutronów, gdzie liczba protonów wynosi Z (liczba porządkowa atomu), liczba neutronów N, a liczbę masową oznaczamy przez A, która jest równa licznie neutronów N i liczbie atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>A=N+Z\;</MATH>|1.1}} Ogólnie symbol pierwiastka oznaczamy jak poniżej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_Z\hbox{X}_N\;</MATH>|1.2}} Przykładem jąder atomowych są: * {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}U\;</MATH>}}. Jądra atomowe dzielimy ze względu na liczbę atomową (liczbę protonów) Z, masową A i liczbę neutronów w jądrze N. * '''Izotopy''', których liczba atomowa Z jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^1_1H\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>{}^2_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}}. * '''Izotony''', których liczba neutronów N w jądrze jest wielkością stałą, np. {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}. * '''Izobary''', których liczba protonów i neutronów razem wziętych jest wielkością stałą, {{Formuła|<MATH>{}^3_1H\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^3_2He\;</MATH>}}. Jądra dzielimy też ze względu na liczbę nukleonów w jądrze na: * '''Jądra parzyste''', w których A jest parzyste, ale Z i N też są liczbami parzystymi. * '''Jądra nieparzyste''', w których liczba masowa A jest liczbą nieparzystą. Ze względu na stabilność dzielimy je na: * '''jądra stabilne''', których znamy 274 w tym 215 jąder typu p-p (parzysto-parzyste) i 4 typu n-n (nieparzysto-nieparzyste). * '''jądra niestabilne''', są to jądra promieniotwórcze ze względu na rozpad &alpha;,&beta;, sf i emisję nukleonów. == Nuklid == Jest to atom o określonej liczbie atomowej (A,Z). Przykładem są nuklidy pierwiastka wodoru {{Formuła|<MATH>H, \mbox{ czyli }{}_1^1H, {}_1^2H,{}_1^3H.\;</MATH>}}. == Siły jądrowe == {{Rysunek|SMFc1.JPG|csj|Charakter sił jądrowych}} Nukleony w jądrze są związane siłami jądrowymi, które są wynikiem sił oddziaływania silnego, mającego krótki zasięg {{Formuła|<MATH>(\leq 2\cdot 10^{-15}m)\;</MATH>}}. Te siły nie zależą od rodzaju nukleonów, z którymi mamy doczynienia. Potencjał omawianego tutaj oddziaływania zależy od współrzędnej radialnej, jeśli przedstawić oddziaływanie silne w układzie współrzędnych kulistym V=V(r). Stała sprzężenia oddziaływania silnego wynosi {{Formuła|<MATH>\alpha_s\simeq 1\;</MATH>}}. Oddziaływania te ulegają wysycaniu. Przykłady stałej sprzężenia dla innych oddziaływań są: * pole grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\alpha\simeq 5.6\cdot 10^{-39}\;</MATH>}}, * oddziaływanie słabe {{Formuła|<MATH>\alpha_{sl}\simeq 1\cdot 10^{-5}\;</MATH>}}, * oddziaływanie elektromagnetyczne {{Formuła|<MATH>\alpha={{1}\over{137}}\;</MATH>}}. == Masa i energia wiązania jąder atomowych i nuklidów == Masę atomową nuklidów wyrażamy w jednostkach masy atomowej, która według definicji jest równa 1/12 masy atomu węgla {{Formuła|<MATH>{}^{12}_6C\;</MATH>}}, co schematycznie możemy przedstawić: {{CentrujWzór|<MATH>1u={{1}\over{12}}M({}^{12}_6C)=1,66\cdot 10^{-24}g=931,5016(3)MeV/c^2\;</MATH>|1.3}} Masę protonu, neutronu, a także elektronów piszemy w jednostkach masy atomowej, które to przeliczamy na energię (będąca równoważna z masą): * {{Formuła|<MATH>m_p=1,007276470(11)u=938,2796(27)MeV/c^2\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_n=1,008665012(37)u=939,5731(27)MeV\;</MATH>}} * {{Formuła|<MATH>m_e=5,4858026(21)\cdot 10^{-4}u=0,5110034(14)MeV/C^2\;</MATH>}} Różnica masy neutrony i protonu jest równa dwa i pół masy elektronu, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>m_n-m_p\simeq 1.29MeV\simeq 2.5m_e\;</MATH>|1.4a}} Neutron swobodny jest cząstką nietrwałą o czasie połowicznego zaniku równym T{{Sub|1/2}}=10,6m i on rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe wedle: {{CentrujWzór|<MATH>n\rightarrow p+e^-+\tilde{\nu}_e (\mbox{rozpad }\beta^-)\;</MATH>|1.4}} == Budowa jądra atomowego i jego energia wiązania == Znając masy protonu, neutronu, elektronu i atomów można by oczekiwać, że po zsumowaniu mas Z protonów, N neutronów i Z elektronów ich suma będzie równa masie atomu. Rzeczywistość jest jednak inna, masa atomu jądra atomowego jest mniejsza niż oczekiwana. Niedobór masy można napisać według jego definicji: {{CentrujWzór|<MATH>Zm_p+(A-Z)m_n+Zm_e-M_a=\Delta M\;</MATH>|1.5}} Przy łączeniu cząstek wchodzących w skład atomu wydziela się pewna energia, którą można opisać z równoważności masy i energii: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=\Delta Mc^2\;</MATH>|1.6}} Do rozkładu jądra na składniki należy dostarczyć jądru energię równą {{LinkWzór|1.6}}, którą tutaj oznaczymy przez B(A,Z). Każdy atom składa się z jądra i elektronów, a jądro atomowe składa się z neutronów i protonów. Masa jądra nie jest sumą mas jego składników, tzn. protonów i neutronów. Energia wiązania jądra atomowego, w takim przypadku nazywamy różnicę sumy mas poszczególnych składników wchodzących w skład jądra atomowego i masy jądra, jest ona równa: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.7}} Masa elektronu jest bardzo mała, można więc masę protonu zastąpić przez masę atomu wodoru, wtedy wzór {{LinkWzór|1.5}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta M(A,Z)=Zm_H+(A-Z)m_n-M_a\;</MATH>|1.8}} * gdzie M{{Sub|a}} jest masą jądra atomowego, już po połączeniu nukleonów w skład jądra atomowego. Znając defekt masy jądra atomowego w unitach możemy policzyć masę jądra przedstawionych w MeV: {{CentrujWzór|<MATH>E_W=B(A,Z)=\Delta M\cdot 931{{MeV}\over{u}}\;</MATH>|1.9}} Energia wiązania jądra w przypadku atomu helu wynosi: B(A,Z)=28,39 MeV. Wyzwalana jest w trakcie powstawania jądra atomowego helu z czterech nukleonów (dwa neutrony i dwa protony). Można policzyć, że podczas powstawania 1 kg helu zostaje wyzwolona energia równa spaleniu 25 000 ton węgla. Znając energię wiązania B(A,Z) {{linkWzór|1.9}} możemy policzyć średnią energię przypadająca na jedno wiązanie, która jest ilorazem energii wiązania przez liczbę masową A, i wynosi ona: {{CentrujWzór|<MATH>\mathcal{E}(A,Z)={{B(A,Z)}\over{A}}\;</MATH>|1.10}} Im większa jest energia średnia wiązania atomu, tym bardziej jądro jest trwalsze, tzn. należy dostarczyć więcej energii by rozłożyć atom na składniki. === Masa jądra atomowego === Masę jądra atomowego możemy wyliczyć znając masę neutronu i protonu, a także energię wiązania nukleonów jądra atomowego na podstawie wzoru {{linkWzór|1.8}}: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.11}} W tablicach są podane masy nuklidów (M(A,Z) (lub energie wiązania jądra z elektronami), które możemy wyrazić: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=M_j(A,Z)+Zm_e-B(elektr.)\;</MATH>|1.11a}} Energia wiązania jądra z elektronami wyrażamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(elektr.)\simeq (0,01Z)^{2,5}MeV\;</MATH>|1.11b}} Energia wiązania dla jądra elektronu z jądrem wodoru wyrażamy wzorem {{Formuła|<MATH>B(elektr.)=B({}^1_1H)=({}^1_1H)=({}^1_1H)=13,6eV\;</MATH>}}, a według wzoru {{LinkWzór|1.11b}} wynosi {{Formuła|<MATH>B({}^1_1H)=({}^1_1H)\simeq 10eV\;</MATH>}}. Ponieważ masa jądra atomu praktycznie się nie różni od masy całego atomu (jądra z krążącymi wokół elektronami), zatem masę protonu możemy zastąpić przez masę wodoru {{Formuła|<MATH>{}^1_1\hbox{H}\;</MATH>}}, co schematycznie piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>M(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z)m_n-B(A,Z)\;</MATH>|1.12}} * gdzie B(A,Z) jest to energia wiązania nuklidów. Dla jąder izobarycznych jądrami najbardziej stabilnymi są te o największej energii wiązania i są one stabilne ze względu na rozpady &beta;, podczas gdy mogą one być niestabilne ze względu na rozpad &alpha;, sf. === Odchylenie masy (mass excess) === Odchyleniem masy nazywamy różnicę masy jądra atomowego {{linkWzór|1.11}} w unitach i liczby masowej pomnożonej przez unity: {{CentrujWzór|<MATH>ME(A,Z)=\left({{M(A,Z)}\over{u}}-A\right)u\;</MATH>|1.13}} Co wzór {{linkWzór|1.13}} możemy wyrazić nie tylko w w unitach, czyli w jednostkach masy atomowej, ale też ją zwykle wyrażamy w jednostkach energii MeV korzystając z przelicznika {{LinkWzór|1.9}}. Energia wiązania B(A,Z) decyduje o stabilności w zależności na naturalne rozpady &beta; &alpha;, sf, itp. W zbiorze jąder izobarycznych o danym A jądra o największej energii wiązania są stabilne ze względu na rozpady &beta;, te jądra mogą być również ze względu na rozpad &alpha;, sf. == Średnia energia wiązania nukleonów == {{Rysunek|Binding energy curve - common isotopes-pl.svg|sew|Średnia energia wiązania}} Jak można zauważyć według rysunku obok, że średnia energia wiązania jąder atomowych {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}\;</MATH>}} {{LinkWzór|1.4}} rośnie w obszarze jąder lekkich wykazując lokalne maksima przy A=4,8,12,16,.... * W pobliżu A=60 uzyskuje płaskie maksimum E{{Sup|max}}=8.8MeV. * Powoli maleje dla dużych A>60 osiągając w końcu energię E{{Sup|ciężkie}}=7.6MeV * Wykazuje lokalne wzrosty dla liczby Z lub '''N=2,8,20,(28),50,(64),82,126''', które to nazywamy liczbami magicznymi. Jadrami podwójnie magicznymi są to jądra opisane jako: * {{Formuła|<MATH>{}^4_2He_2\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{16}_8 O_8\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{40}_{20}Ca_{20}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{132}_{50}Sn_{82}\;</MATH>}}, &nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{146}_{(64)}Gd_{82}\;</MATH>}},&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}Pb_{126}\;</MATH>}}. Wysycanie sił jądrowych powodowane jest przez istnienie oddziaływań n-n silnie odpychającego rdzenia, które nie pozwalają zbliżyć nukleonom na dowolnie bliskie odległości, co jest powodem ograniczania liczbę sąsiadów danego nukleonu. Powolny spadek B/A dla A>60 występuje w wyniku wzrostu odpychania kulombowskiego protonów, natomiast spadek B/A dla jąder lekkich tłumaczy się rosnącą rolę efektów powierzchniowych, które są istotne dla małych jąder atomowych. == Materia jądrowa (rozkłady gęstości ładunku i masy atomowej) == Jądra są obiektami fizycznymi związane ze sobą siłami jądrowymi o skończonym zasięgu, które są niezależne od rodzaju nukleonu. Można więc przypuszczać, że jądra atomowe są układami o skończonym zasięgu, a jego brzeg jest niezbyt rozmyty. Energia przypadająca na jednej nukleon w jądrze nie zależy od rodzaju nukleonu i jest niemal stała i wynosi około 8MeV, co świadczy, że siły jądrowe mają właściwość wysycania, czyli każdy przeciętny nukleon jest związany z jego najbliższymi nukleonami. W ciężkich jądrach stosunek B/A jest taki sam w jak cząstce &alpha; i wynosi B{{Sub|&alpha;}}=28,39MeV, w której na każdy nukleon przypadają trzy wiązania, stąd można przepuszczać, że na jeden nukleon przypada najwięcej trzy wiązania jakie tworzy. Można policzyć, że przy wiązaniu 1 kg helu (&alpha;) ({{Formuła|<MATH>{}^4_2He\;</MATH>}}) jest wytwarzana energia równa przy spalaniu 2500 ton węgla. Następstwem wysycania sił jądrowych, w których występuje niezależność ich od rodzaju nukleonu i zakazu Pauliego, jest prawie stała objętość przypadająca na jeden nukleon, co z {{linkWzór|1.10}} wynika {{Formuła|<MATH>V\sim A\;</MATH>}} i zachodzi {{LinkWzór|1.25}} oraz można przypuszczać, że rozkłady materii wewnątrz jądra są takie same. Wysycanie sił jądrowych w jądrze atomowym pozwala mówić, że w oddziaływaniach n-n o silnie odpychającym rdzeniu, które nie pozwalają się zbliżyć na dowolnie małe odległości nukleonom, ograniczając w ten sposób liczbę najbliższych sąsiadów. Powolny spadek wartości B/A w ciężkich jądrach dla A>60 tłumaczy się w wyniku wzrostu odpychania kolumbowskiego, natomiast stosunek B/A w jądrach lekkich tłumaczy się jako fakt rosnących efektów powierzchniowych. == Energię separacji (wiązania) nukleonu == Dobrą ilustracją wpływu liczb magicznych nukleonów neutronów i protonów jest tzw. energia separacji, czyli znając masy jądra początkowego {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} oraz masę jądra {{Formuła|<MATH>{}^{A-1}_ZX\;</MATH>}} lub {{Formuła|<math> {}^{A-1}_{Z-1}X\;</MATH>}} otrzymanego z {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} przez odłączenie jednego protonu lub neutronu, wtedy te energie, czyli energię separacji neutronu lub protonu możemy wyrazić przez: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=M(A-1,Z)+M_n-M(A,Z)\;</MATH>|1.14}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=M(A-1,Z-1)+M_p-M(A,Z)\;</MATH>|1.15}} }} Energia ta osiąga maksimum dla magicznych liczb dla protonu lub neutronu. Energii separacji protonu lub neutronu wykazuje przy pewnych liczbach atomowych lokalne skoki odpowiadające zamkniętym powłokom nukleonowych, analogicznie do energii jonizacji dla zamkniętych powłok elektronowych. Sugerowanie analogi powłok elektronowych do powłok nukleonowych sugeruje powstawanie liczb magicznych, że umieszczenie nukleonu poza zamkniętą powłoką sugerowałoby zmniejszenie energii separacji, bo słabsze byłyby wiązania pomiędzy nukleonami. Analogicznie do {{LinkWzór|1.14}} i {{LinkWzór|1.15}} energię wiązania neutronu dla jądra atomowego definiujemy przy pomocy energii wiązań jako różnicę energii wiązania dla ściśle określonego Z, ale po dodaniu do jądra jednego neutronu, wtedy z jądra z A powstaje jądro o liczbie masowej A-1, czyli jest to energia potrzebna do wyrwania energii z jądra atomowego wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_n(A,Z)=ZM({}^1_1H)+(A-Z-1)M_n-B(A-1,Z)+M_n-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_n(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z)\;</MATH>|1.16}} Energia potrzebna do wyrwania jednego protonu wykorzystując {{LinkWzór|1.12}} wychodząc z {{LinkWzór|1.14}} możemy udowodnić, że zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>S_p(A,Z)=(Z-1)M({}^1_1H)+(A-Z)M_n-B(A-1,Z-1)+M_p-ZM({}^1_1H)-(A-Z)M_n-B(A,Z)=B(A,Z)+\;</MATH>{{Br}}<MATH>-B(A-1,Z)\Rightarrow S_p(A,Z)=B(A,Z)-B(A-1,Z-1)\;</MATH>|1.17}} Energie separacji neutronu lub protony wykazują silne fluktuacje, które nazywamy efektami powłokowymi, a przykłady tychże energii: * {{Formuła|<MATH>S_n({}^2_1\hbox{H})=S_p({}^2_1\hbox{H})=2,2 MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_n({}^{13}_7\hbox{N})= 20,3MeV\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>S_p({}^{13}_{7}N)=1,9MeV\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>S_p({}^{14}_{6}C)=20,8MeV\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję neutronu, są to jądra, dla których energia separacji neutronu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_n\leq 0\;</MATH>}}. Jądra, które są jądrami niestabilnymi ze względu na emisję protonu, są to jądra, dla których energia separacji protonu jest mniejsza lub równa zero, czyli {{Formuła|<MATH>S_p\leq 0\;</MATH>}}. Doświadczalnie wykazano, że istnieje związek dla energii separacji (dwójkowania, pairing) neutronu (n) lub protonu (p), które to piszemy następująco dla N i Z parzystego: {{CentrujWzór | {{ElastycznyWiersz | 1 = <MATH>\begin{cases} S_n(N,Z)>S_n(N\pm 1,Z)\\ S_p(Z,N)>S_p(Z\pm 1, N) \end{cases}\;</MATH> | 2 = {{Tekst|&nbsp;gdy&nbsp;&nbsp;}} | 3 = {{ElastycznaKolumna | 1 = {{Formuła|<MATH>N\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} | 2 = {{Formuła|<MATH>Z\;</MATH>}}{{Tekst|&nbsp;-&nbsp;parzyste}} }} }} |1.18}} Nukleony w jądrze atomowym są powiązane w pary (p-p), (n,n), ale nie w parę (n,p), których to moment pędu każdej pary wynosi zero, a więc też spin takiego układu jest równy zero, tzn. {{Formuła|<MATH>0^+\;</MATH>}}. == Energie oddziaływania pairing (parowania nukleonów w jądrze atomowym) == Energia parowania w jądrach atomowym jest to energia tylko oddziaływań silnych i jest to oddziaływanie łączące nukleony w pary pp i nn o przeciwnych spinach, są to krótkozasięgowe oddziaływania wysycające się na najbliższym sąsiedzie tego samego rodzaju, dążą by gęstość jądra atomowego dążyła do izotropowego rozkładu materii. Jest to oddziaływanie resztkowe w jądrach. Energie parowania neutronu i protonu są takie same P{{Sub|pp}}&asymp;P{{Sub|nn}}, mieszczą się one w zakresie od 2 do 8 MeV, a wzór na energię parowania w zależności od liczby masowej "A" przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>P={{24}\over{\sqrt{A}}}\mbox{MeV}\;</MATH>|1.19}} Jeśli jądro potraktujemy jako pewien układ, to energię wiązania możemy przepisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,N)=\underbrace{B_c+B_{sp}(Z,N-1)}_{B(Z,N-1)}+B_{sp}(Z,N)+P_{nn}\;</MATH>|1.20}} Energia parowania nukleonu sparowanego, który definiujemy jako średnią energię dwóch sąsiednich energii separacji względem danego nuklidu, jest: {{CentrujWzór|<MATH>B_{sp}(Z,N)]={{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.21}} Jeśli wykorzystamy wzór na energie separacji neutronu {{linkWzór|1.16}}, ten wzór wykorzystamy do {{linkWzór|1.20}}, stąd wyprowadzamy energię parowania neutronów: {{CentrujWzór|<math>P_{nn}(Z,N)=B(Z,N)-B(Z,N-1)-B_{sp}(Z,N)=S_n(A,Z)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z,N-1)+S_n(Z,N+1)\right]\;</MATH>|1.22}} Analogicznie do poprzedniego wzoru możemy wykorzystać wzór na energie separacji protonu {{linkWzór|1.17}} do podobnego wzoru do {{linkWzór|1.20}} (tylko zmienia się Z zamiast N), wtedy w ten sposób definiujemy energię parowania protonów: {{CentrujWzór|<MATH>P_{pp}(Z,N)=S_p(Z,N)-{{1}\over{2}}\left[S_n(Z-1,N)+S_n(Z+1,N)\right]\;</MATH>|1.23}} Energia wiązania każdego nukleonu połączonej w pary, która jest taka sama w przybliżeniu dla neutronu i protonu, wyraża się: {{CentrujWzór|<math>\Delta_n={{P_{nn}}\over{2}}\simeq\Delta_p={{P_{pp}}\over{2}}\;</MATH>|1.24}} Nazywamy tą energię energią przerwy energetycznej neutronowej &Delta;{{Sub|n}} i protonowej &Delta;{{Sub|p}}, dla którego jak powiedzieliśmy powyżej są w przybliżeniu sobie równe. == Modele jąder atomowych == === Model kroplowy === Model kroplowy jest to inaczej zwany modelem Weizsäcke'a i Bethe'go, która mówi: * gęstość nukleonów w materii jądrowej nie zależy od liczby masowej A, dla którego promień jądra w zależności od liczby masowej i promienia {{Formuła|<MATH>r_0\simeq 1,2\cdot 10^{-13}cm\;</MATH>}} jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>R=r_0A^{{{1}\over{3}}}\;</MATH>|1.25}} Gęstość nukleonów możemy przestawić jako &rho;=0,17 nukl/fm{{Sup|3}}, średni promień jądra atomowego jest wyrażony przez {{Formuła|<MATH>\langle r^2\rangle_{nukl}=0,5fm\;</MATH>}}. * zależność natężenia sił jądrowej jest bardzo podobna do zależności oddziaływania Van der Waalsa działającej w cieczy, * oddziaływania jądrowe wysycają się tak jak wiązania chemiczne, za wyjątkiem jąder lekkich mamy: {{CentrujWzór|<MATH>B_j\sim A\Rightarrow {{B_j}\over{A}}=\operatorname{const}.\;</MATH>|1.26}} Jądro atomowe opisujemy jako naładowana cząstka o ładunku Q=Ze, która jest nieściśliwą cieczą. Według modelu kroplowego całkowita energia wiązania jest określona: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=B_{obj}(A)+B_{pow}(A)+B_{cul}(Z,A)+\underbrace{B_{as}(N,Z)+B_{pairing}}_{\mbox{czlony jądrowe}}\;</math>|1.27}} Model kroplowy opisuje średnie właściwości jąder atomowych i nie uwzględnia jego struktury subtelnej. Ten model należy stosować dla jąder o {{Formuła|<MATH>A\geq30\;</MATH>}}. Dla jąder stabilnych {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} obliczone wartości B(A,Z) zgadzają się z doświadczeniem z błędem ok 2%. ==== Model kroplowy według Weizsöcke'a i Bethe'go ==== Energię wiązania jądra atomowego o liczbie atomowej Z i liczbie masowej A przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z,A)=a_{\nu}A-a_{s}A^{{{2}\over{3}}}-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\pm\delta\;</MATH>|1.28}} * człon {{Formuła|<MATH>a_{\nu}A\;</MATH>}} jest to człon objętościowy pochodzący od przyciągania pochodzącymi od oddziaływania między nukleonami, wartość tej stałej stojąca przy liczbie masowej jest równa a{{Sub|&nu;}}=15,85 MeV, ten współczynnik jest miarą średniego wkładu do energii wiązania (stąd znak minus). * człon {{Formuła|<MATH>a_{s}A^{{{2}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon powierzchniowy, nukleony na brzegu mają mniejszą liczbę przyciągających parterów niż nukleony wewnątrz jądra atomowego, liczba nukleonów występujących na powierzchni kuli jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni kuli, stała występująca w tym wzorze jest równa a{{Sub|s}}=18,34 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_cZ^2A^{-{{1}\over{3}}}\;</MATH>}} jest to człon kulombowski pochodzących od odpychania miedzy nukleonami, wartość stałej występującej przy tym członie jest równa a{{Sub|c}}=0,71 MeV. * człon {{Formuła|<MATH>-a_{as}\left(Z-{{A}\over{2}}\right)^2A^{-1}\;</MATH>}} jest członem asymetrycznym odzwierciedlających tendencje do ścieżki stabilności N+Z=A=2Z, a stała występująca tutaj jest równa a{{Sub|as}}=92,86 MeV. * człon &delta; człon charakteryzujący stabilność jąder parzysto-parzystych, mniejszą dla jąder parzysto-nieparzystych i nieparzysto-parzystych i jeszcze mniejszą dla jąder nieparzysto-nieparzystych, ten człon jest wyrażony: {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=+&Delta; dla jąder parzysto-parzystych{{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=0 dla jądrem A nieparzystych {{Br}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&delta;=-&Delta; dla jąder nieparzysto-nieparzystych (A parzyste).{{Br}}W powyższych rozważaniach przyjęliśmy, że {{Formuła|<MATH>\Delta=11,46A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy według Myers'a i Świąteckiego ==== Energię wiązania jądra atomowego w tym modelu analogicznie opisujemy jak we wzorze opisujący model kroplowy Weizsöcke'a i Bethe'go. Jak widzimy, energia wiązania jest pisana wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>B(A,Z)=15,68A-18,56 A^{{{2}\over{3}}}-0,717 Z^2A^{-{{1}\over{3}}}\left(1-1,69A^{-{{2}\over{3}}}\right)-28,1(N-Z)^2A^{-1}\left(1-1,18A^{-{{1}\over{3}}}\right)\pm\delta\mbox{ [MeV]}\;</MATH>|1.29}} * gdzie: {{Formuła|<MATH>\delta_p=11\cdot A^{-{{1}\over{2}}}\;</MATH>}}. ==== Model kroplowy- dalsze rozważania ==== Ja widzimy patrząc na wzór {{linkWzór|1.28}} lub na wzór {{linkWzór|1.29}}, które są energiami wiązania nukleonów w jądrze, wyraża się pewną funkcją kwadratową, którą piszemy dla pewnych wyrazów a, b, c: {{CentrujWzór|<MATH>B(Z)=B(Z,A=\operatorname{const})=aZ^2+bZ+c\;</MATH>{{Tekst|,&nbsp;ale&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;parzystego&nbsp;}}<MATH>c=c_1\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;p-p&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>c=c_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;n-n}}|2.30}} * gdzie: p-p to oznacza parzysto-parzyste, a n-n to nieparzysto-nieparzyste. Model kroplowy opisuje średnie własności jader atomowych, ale nie opisuje jej struktury. Nasz model należy stosować dla jąder atomowych {{Formuła|<MATH>A\geq 30\;</MATH>}}, a dla jąder {{Formuła|<MATH>A\geq 40\;</MATH>}} opisuje je z dokładnością do 2%. === Model gazu Fermiego === Protony i neutrony są to cząstki niezależne, które poruszają się niezależnie wewnątrz kuli o promieniu R=r{{Sub|0}}A{{Sup|1/2}} (patrz: {{LinkWzór|1.25}}), co stanowi, że pomiędzy tymi nukleonami nie ma wzajemnych oddziaływań. Nukleony są to fermiony zajmujące stan najniższy jak tylko możliwe ze względu na zakaz Pauliego bez dostarczania energii zewnątrz, co oznacza, że nukleony nie mogą się zderzać wzajemnie. Nukleony znajdują się w studni potencjału, a na każdym jego stopniu mogą znajdować się co najwyżej dwa nukleony. Energia najniższego poziomu jest to energia Fermiego, co rachunki pokazują, że średnia energia kinetyczna na tym poziomie jest E{{Sub|k}}=30 MeV, czemu odpowiada średni pęd &lt;p&gt;=240 MeV/c, który zwany jest pędem Fermiego. Potwierdzenie pędu Fermiego pokazuje, że zderzenie jego z pociskiem z nukleonami w jądrze atomowym mówi, że pędy nukleonów są rozłożone izotropowo w nim, dlatego ten model jądra atomowego tak jest zwany. === Model powłokowy === Jądra, które nie można opisać za pomocą modelu kroplowego lub modelu gazu Fermiego wskazują, że jeśli kwanty powstałe w wyniku przejścia z jednego poziomu do drugiego są widmami dyskretnymi (liniowymi), co wskazuje na to, że stany w jakim znajdują się protony i neutrony nie są stanami ciągłymi, tylko dyskretnymi. Badanie pewnych jąder wskazują, że w przyrodzie występują nuklidy o pewnych liczbach protonów lub neutronów. Dalsza analiza B/A wskazuje na pewne maksima przy pewnych liczbach protonów i neutronów zwanych liczbami magicznymi. == Energia wiązania jąder atomowych a jego stabilność == {{Rysunek|Isotopes and half-life.svg|ssdwilwwp|Ścieżka stabilności dla wszystkich izotopów znanych lub występujących w przyrodzie. Linia pozioma to oś Z, a pionowa oś N}} Dla jąder izobarycznych najsilniej związane są jądra o najmniejszej masie, izobary te są stabilne ze względu na rozpad &beta; ale mogą być niestabilne ze względu rozpad &alpha;, sf. Nuklidy występująca nad linią Z=N są niestabilne ze względu na rozpad &beta;{{Sup|-}}, a nuklidy znajdujące pod ścieżką stabilności są to nuklidy ze względu na rozpad &beta;{{Sup|+}}. Najcięższe znajdujące się nuklidy są to nuklidy, które podamy w tabelce poniżej w raz czasami ich rozpadu, które są jądrami niestabilnymi ze względu na rozpad &alpha; i samoistnie rozszczepienie: {{Tabelka|opcje=width=57%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego rozpadu'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Skład procentowy występowania danego nuklidu w skład danego pierwiastka w przyrodzie.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{232}_{90}\hbox{Th}</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>1,4\cdot 10^{10}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|100%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{234}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>2,5\cdot 10^5\mbox{ lat}\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,005%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>7,0\cdot 10^{8}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,72%}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{ lat}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|99,27%}}<!-- -->}}<!-- -->}} Jądra {{Formuła|<math>{}^{235}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{238}_{92}\hbox{U}\;</MATH>}} są używane w energetyce jądrowej. Najcięższym nuklidem stabilnym znanym przez człowieka jest {{Formuła|<MATH>{}^{208}_{82}\hbox{Pb}_{126}\;</MATH>}}, których jest w 52,4% wchodzących w skład pierwiastka ołowiu, a także {{Formuła|<MATH>{}^{209}_{83}\hbox{Bi}_{126}\;</maTH>}}, w których jest 100% wchodzących w skład pierwiastka bizmutu. Łącznie odkryto ponad 3000 nuklidów, co większości jąder są jądrami niestabilnymi. === Nuklidy stabilne i niestabilne === Przestawimy teraz tabelkę przedstawiający liczbę jąder stabilnych przy pewnej liczbie protonów i neutronów w jądrze w zależności od ich parzystości lub nieparzystości, dla jąder których czas połowicznego rozpadu jest większy od czasu życia ziemi, dla której czas trwania ziemi jest większy od {{Formuła|<MATH>4,5\cdot 10^{9}\mbox{lat}\;</MATH>}}: {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jadra o nieparzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Jądra o parzystej liczbie neutronów'''}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|'''Razem'''}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o nieparzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|4}}<!-- -->{{Komórka|50}}<!-- -->{{Komórka|54}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Jądra o parzystej liczbie protonów'''}}<!-- -->{{Komórka|55}}<!-- -->{{Komórka|165}}<!-- -->{{Komórka|220}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|'''Razem'''}}<!-- -->{{Komórka|59}}<!-- -->{{Komórka|215}}<!-- -->{{Komórka|274}}<!-- -->}}<!-- -->}} Najcięższe nuklidy występujące na Ziemi w warunkach naturalnych są niestabilne ze względu na rozpad &alpha; i sf. Jądra stabilne lekkie to są dla {{Formuła|<MATH>N\simeq Z\;</MATH>}}, a ciężkie {{Formuła|<MATH>N\simeq 1,5Z\;</MATH>}}. Znanymi nuklidami nieparzysto-nieparzystych są to nuklidy:{{Formuła|<MATH>{}^2_{1}D_{1}\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^6_3Li_3\;</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{10}_8B</MATH>}},&nbsp;&nbsp;{{Formuła|<MATH>{}^{14}_7N\;</MATH>}}. Teraz podamy tabelkę superciężkich nuklidów wytwarzanych w laboratorium wraz z niektórymi reakcjami syntezy tychże jąder. {{Tabelka|opcje=width=100%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Rok odkrycia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Nuklid'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Czas połowicznego życia'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Reakcja uzyskania danego nuklidu'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1996 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{269}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|170&mu;s}}<!-- -->{{Komórka||}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{271}110\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,1 ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{272}111\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,5&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=3|1998/99 rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{277}{112}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|0,24ms}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{283}112\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|81s}}<!-- -->{{Komórka|}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{289}114\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|30s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{48}_{20}Ca+{}^{244}_{94}Pu\rightarrow {}^{289}114+3n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=rowspan=2|1999rok}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<math>{}^{289}116\;</math>}}}}<!-- -->{{Komórka|1,2s}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{293}118\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|250&mu;s}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>{}^{86}_{36}Kr+{}^{208}_{82}Pb\rightarrow{}^{293}118+n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Reguła Mattaucha (z doświadczenia) === Jeśli energie wiązania jądra atomowego {{linkWzór|1.6}} (w której występuje wielkość niedoboru masy {{LinkWzór|1.5}}) przedstawimy jako funkcję zmiennej Z dla jąder izobarycznych, ale dla A nieparzystego energię wiązania jądra atomowego układają się w parabolę, w której wystepuje jeden izotop (izobar) stabilny. Gdy natomiast A jest parzyste, to energia wiązania układa się w dwie parabole odpowiadające izobarom p-p, n-n, w tym przypadku może być więcej niż jeden izobar stabilny, a tych izobarów niestabilnych może być aż trzy. Pozostałe izobary (niestabilne) są niestabilne ze względu na rozpady &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC. {{ElastycznyWiersz | styl = width:auto;float:right;margin-left:10px | 1 = {{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_102.png|mjoulma|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;102|pozycja=center}} | 2 = {{Rysunek|Masy jąder o ustalonych liczbie masowej A_135.png|mjoulm135b|Masy jąder w MeV o ustalonych liczbie masowej A&#61;135|pozycja=center}} }} Dla rysunków podano masy jąder atomowych w MeV w zależności od liczby atomowej jako przykład dla jądra o A parzystego, w której występują dwie gałęzie paraboli, a także podano następny przykład dla jądra A nieparzystego, w której występuje jedna gałąź paraboli. Liczbę Z{{Sub|0}} dla której funkcja B(Z,A=const) osiąga maksimum względem Z, podobnie przy M(Z,A=const) osiąga minimum względem Z, możemy obliczyć z: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{\partial B(Z,A)}\over{\partial Z}}\right)_{A=\operatorname{const}}=0\;</MATH>|1.23a}} i zgodnie ze wzorem Weizsäcker'a, gdy funkcja B(Z,A) jest przestawiona wzorem {{linkWzór|1.20}}, to maksimum funkcji energii wiązania jądra atomowego jest określona dla liczby atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>Z_0={{A}\over{1,98+0,015A^{{{2}\over{3}} }}}\;</MATH>|1.31}} Widzimy, że maksimum funkcji B(Z,A=const) jest zależne tylko od liczby masowej A. Możemy napisać dla ścieżki stabilności ze względu na rozpad &beta; wzór empiryczny Greena: {{CentrujWzór|<MATH>(N-Z)_{\beta\operatorname{ stabilne}}={{0,4A^2}\over{A+200}}</MATH>|1.23b}} == Rozpraszania wysokoenergetycznych cząstek e, p, n i innych cząstek na jądrze atomowym == Cząstki e, p, n te są traktowane jako sondy wynikające do wnętrza jąder. Ich kąt rozproszenia &theta; będzie uwarunkowany rozkładem gęstości centrów rozpraszających w jądrze, który uwarunkowany jest rozkładem masy i ładunków w naszym badanym obiekcie. Do badania rozkładu ładunku elektrycznego najlepiej do tego służą elektrony, ponieważ one kulombowsko oddziaływają z protonami, a więc daje ta metoda czystą informację o rozkładzie ładunku elektrycznego w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r). Relacje rozpraszania neutronów na jądrach atomowych dostarczają o rozkładzie masy w jądrze &rho;{{Sub|m}}(r). Realizacja tego projektu jest bardzo kłopotliwa ze względu na trudności z uzyskania wysokoenergetycznych neutronów. Relacje rozpraszanie protonów p są najtrudniejsze do interpretacji wyników doświadczalnych, gdyż oddziaływają one z jądrem atomowym ze względu na to, że ten obiekt posiada ładunek elektryczny, czyli oddziałuje kulombowsko odpychająco z jądrem atomowym i też za pomocą sił jądrowych i takie rozpraszanie dostarcza zarówno informacje o rozkładzie masy i ładunku wewnątrz jądra. {{Rysunek|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy).png|rcnprlm|Rozpraszanie cząstki na przestrzennym rozkładzie ładunku (masy)}} Aby cząstka mogła wniknąć do jądra atomowego, to powinna mieć długość fali de Broglie'a odpowiednio małą do rozmiarów badanego jądra. Przelicznik długości fali w zależności od jej energii padającej na jądro atomowe wyraża się wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_e={{200}\over{E_e(MeV)}}fm\;</MATH>|1.32}} * dla {{Formuła|<MATH>E_e=500MeV\;</MATH>}} mamy {{Formuła|<MATH>\lambda_e=0,4fm\;</MATH>}}. Jeśli ładunek byłby skupiony w jednym punkcie, to różniczkowy przekrój czynny dla cząstek o energii E na jądrach o liczbie atomowej Z jest napisany wzorem Motta: {{CentrujWzór|<MATH>\left({{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}\right)_M=\left({{Ze^2}\over{2E_e}}\right)^2{{\cos^2{{\theta}\over{2}}}\over{\sin^4{{\theta}\over{2}}}}\left(1+{{2E_e}\over{m_ec^2}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\right)\;</MATH>|1.33}} Jeśli uwzględnimy rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego w rzeczywistym jądrze atomowym, to według przybliżenia Borna pierwszego rzędu (mały ładunek jądra atomowego) piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\sigma(E_e)}\over{d\Omega}}=\left({{d\sigma(E_c)}\over{d\Omega}}\right)_M|F(q)|^2\;</MATH>|1.34}} Tzn. wzór Motta ulega modyfikacji przy udziale czynnika kształtującego, który zależy od gęstości ładunku w tymże obiekcie wiedząc, że q jest pędem przekazywanym jądru (w jednostkach {{Formuła|<MATH>\hbar\;</MATH>}}) w wyniku zderzeń: {{CentrujWzór|<MATH>F(q)={{4\pi}\over{Zeq}}\int_0^{\infty}\rho_e(r)\sin(qr)rdr\;</MATH>|1.35}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ag3fxpcu4ybv5uy75607bp8prhnydf2 0 21972 559115 558601 2026-10-11T04:37:17Z Persino 2851 559115 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Multipolowe momenty elektryczne jąder == Multipolowe momenty elektryczne jąder atomowych dzielimy na: * '''wewnętrzne''' {{Formuła|<MATH>Q_{\lambda}\;</MATH>}} określonych w układzie współrzędnych związanych z jądrem atomowym, * '''spektroskopowe''' {{Formuła|<MATH>Q^s_{\lambda}\;</MATH>}} określone w układzie laboratoryjnym, których wartości mogą być wyznaczone bezpośrednio w pomiarach dla każdego stanu dyskretnego jądra. === Momenty wewnętrzne === Momenty wewnętrzne określamy zgodnie z klasyfikacją dla dyskretnych ładunków dyskretnych o współrzędnych (x{{Sub|I}},y{{Sub|i}},z{{Sub|i}}). ==== Moment monopolowy ==== Moment monopolowy elektryczny jest to całkowity ładunek jądra atomowego oznaczonej poniżej, czyli jest to sumowanie po ładunkach należący do jądra atomowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_0=\sum_{i=1}^Ze_i=Ze\;</MATH>|2.1}} ==== Moment elektryczny dipolowy ==== Moment elektryczny dipolowy, którego współrzędne są sumami iloczynów i-tej współrzędnej położenia x{{Sub|i}} i i-tego ładunku dyskretnego znajdujący się w jądrze atomowym, jest wyrażony: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{Q}_1=(Q_x,Q_y,Q_z)\mbox{ gdzie: }Q_x=\sum_{i=1}^Zx_ie_i,Q_y=\sum_{i=1}^Zy_ie_i\mbox{, }Q_z=\sum_{i=1}^Zz_ie_i\mbox{ itd.}\;</MATH>|2.2}} ==== Moment kwadrupolowy ==== Momentem elektrycznym kwadrupolowym nazywamy obiekt w postaci macierzy, którego poszczególne elementy są sumami iloczynów po ładunku dyskretnym e{{Sub|i}} przez położenie iloczynu dwóch współrzędnej dla i-tej cząstki (mogą być dwa te same współrzędne charakteryzujące daną cząstkę): {{CentrujWzór|<MATH>\hat{Q}_2=\begin{pmatrix} Q_{xx}&Q_{xy}&Q_{xz}\\ Q_{yx}&Q_{yy}&Q_{yz}\\ Q_{zx}&Q_{zy}&Q_{zz}\end{pmatrix}\mbox{, gdzie: }Q_{xx}=\sum_{i=1}^Ze_ix_i^2\mbox{, }Q_{xy}=\sum_{i=1}^Ze_ix_iy_i\;</MATH>|2.3}} ==== Układy o symetrii osiowej ==== Dla układów o symetrii osiowej (sferycznej) mamy {{Formuła|<MATH>|\vec{Q}_1|=Q_z\;</MATH>}}, gdyż Q{{Sub|x}}=Q{{Sub|y}}=0. Upraszcza sie również moment elektryczny kwadrupolowy, bo {{Formuła|<MATH>Q_2\rightarrow Q_{20}\;</MATH>}}, gdyż jego elementy Q{{Sub|xy}}=Q{{Sub|yz}}=Q{{Sub|zx}}=0, a także zachodzi Q{{Sub|xx}}=Q{{Sub|yy}}. Policzmy moment elektryczny Q{{Sub|20}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{20}=2(Q_{zz}-Q_{xx})=\sum_{i=1}^Ze_i(2z_i^2-2x_i^2)=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-(x_i^2+y_i^2+z_i^2))=\sum_{i=1}^Ze_i(3z_i^2-r_i^2)\;</MATH>|2.4}} Dla ciągłych rozkładów ładunków dla przypadków osiowosymetrycznych człon monopolowy i dipolowy (który jest zawsze równy zero dla naszego przypadku) przestawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_0=\int_V\rho_e(\vec{r})dV=Ze\;</MATH>|2.4a}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>Q_{10}=\int_Vx\rho_e(\vec{r})dV=0\;</MATH>|2.5}} }} Człon kwadrupolowy przestawiamy jako odpowiednik dla przypadku dyskretnego {{LinkWzór|2.4}}, czyli jej postać ciągła powstaje po zastąpieniu ładunku e{{Sub|i}} przez iloczyn gęstości ładunku w danym punkcie i nieskończenie małej objętości, a sumowanie całką po całej objętości jądra, w której zawarty jest ten ładunek, przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{20}=\int_V\rho_e(\vec{r})(3z^2-r^2)dV=\int_V\rho_e(r) r^2(3\cos^2\phi-1)dV=\sqrt{{16\pi}\over{5}}\int_V\rho_e(r)r^2\sqrt{{{5}\over{16\pi}}}(3\cos^2\phi-1)dV=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sqrt{{16\pi}\over{2\cdot 2+1}}\int_V\rho(r)r^2Y_{20}dV\;</MATH>|2.6}} Gęstość ładunku elektronowego zawarta w równaniach {{LinkWzór|2.4}}, {{LinkWzór|2.5}} i {{LinkWzór|2.6}} przestawiamy mając funkcję &psi;{{Sub|i}}(r), której kwadrat modułu jest prawdopodobieństwem znalezienia protonu i neutronu w danym punkcie: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_e(r)=e\sum_{i=1}^Z\psi_i(r)\cdot\psi_i^*(r)\;</MATH>|2.7}} Człon dipolowy przy definicji gęstości elektrycznej ładunku {{LinkWzór|2.7}} dla przypadku osiowosymetrycznego przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_1=e\int z\sum_{i=1}^Z|\psi_i(r)|^2dV=0\;</MATH>|2.8}} Momenty elektryczne o wymiarze nieparzystym &lambda; w symetrii osiowosymetrycznym są tożsamościowo równe zero, co wynika że całka z funkcji nieparzystej jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\lambda\mbox{=nieparzyste}}\equiv 0\;</MATH>|2.9}} Jeśli wprowadzimy funkcje kuliste przy definicji momentu elektrycznego rzędu &lambda;, która jest operatorem wewnętrznego momentu elektrycznego dla dowolnego rozkładu: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{Q}^0_{\lambda\mu}=\sqrt{{{16\pi}\over{2\lambda+1}}}\int_V\rho_e(r,\theta,\phi)r^{\lambda}Y_{\lambda\mu}(\theta,\phi)dV</MATH>|2.10}} Dla rozkładu osiowosymetrycznych definicja operatora momentu elektrycznego {{LinkWzór|2.10}} dla &mu;=0, piszemy schematem: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{Q}_{\lambda 0}=\sqrt{{{16\pi}\over{2\lambda+1}}}\int_V\rho_e(r,\phi)r^{\lambda}Y_{\lambda 0}(\phi)dV\;</MATH>|2.11}} Widzimy, że moment elektryczny kwadrupolowy Q{{Sub|20}} {{LinkWzór|2.6}} również wynika z definicji {{LinkWzór|2.11}}. Jeśli zechcemy policzyć Q{{Sub|&lambda;0}} musimy znać rozkład gęstości ładunku w jądrze &rho;{{Sub|e}}(r,&theta;), a także znać kształt jądra R(&theta;) przy zdefiniowanych parametrach deformacji &beta;{{Sub|2}}, &beta;{{Sub|4}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>R(\theta)=R_0(1+\beta_2Y_{20}(\phi)+\beta_4Y_{40}(\phi)+...)\;</MATH>|2.12}} Współczynnik &beta;{{Sub|&alpha;}} nazywamy współczynnikami deformacji, a R{{Sub|0}} nazywamy promień jądra w przypadku braku deformacji. Mając odwrotnie policzone momenty elektryczne Q{{Sub|20}},Q{{Sub|40}},(Q{{Sub|60}}) można coś wywnioskować o parametrach deformacji &beta;{{Sub|2}}, &beta;{{Sub|4}}, (&beta;{{Sub|6}}). {{Rysunek|Elipsoida obrotowa.png|eo|Elipsoida obrotowa}} Mając parametr deformacji &beta;{{Sub|2}} oraz R{{Sub|0}} obliczmy moment kwadrupolowy Q{{Sub|20}} jądra o kształcie elipsoidy obrotowej o ładunku Ze, mając na uwadze jądro o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego &rho;(r)=&rho;{{Sub|0}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\beta_2=4\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{a+2b}}={{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\;</MATH>|2.13}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>R_0={{a+2b}\over{3}}\;</MATH>|2.14}} }} Moment elektryczny kwadrupolowy przedstawiamy w zależności od &beta;{{Sub|2}}, a na samym końcu od półosi "a" i "b" elipsoidy obrotowej: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{20}={{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze\beta_2\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}\beta_2\right)= {{3}\over{\sqrt{5\pi}}}R_0^2Ze{{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\left(1+{{1}\over{8}}\sqrt{{{5}\over{\pi}}}{{4}\over{3}}\sqrt{{{\pi}\over{5}}}{{a-b}\over{R_0}}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{6R_0+a-b}\over{6R_0}}={{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{2a+4b+a-b}\over{6R_0}}={{4R_0Ze(a-b)}\over{5}}{{3(a+b)}\over{6R_0}}={{2}\over{5}}Ze(a^2-b^2)\;</MATH>|2.15}} === Jądra o dowolnym kształcie === Dla jąder o dowolnym kształcie deformację R(&theta;&phi;) wyrazimy w bazie funkcji kulistych Y{{Sub|lm}}(&theta;,&phi;) względem jego współczynników: {{CentrujWzór|<MATH>R(\theta\phi)=R_0\left(1+\sum_{\alpha\beta}\alpha_{\alpha\beta}Y_{\alpha\beta}(\theta,\phi)\right)\;</MATH>|2.16}} {{Rysunek|Jądra odpowiednio zdeformowane.png|joz|Jądra odpowiednio zdeformowane}} Jeśli funkcje &alpha;{{Sub|&alpha;&beta;}} są to współczynniki dynamiczne, to one zależą od czasu, jeśli natomiast są niezależne od czasu są to współczynniki statystyczne. W przypadku deformacji osiosymetrycznej wzór {{LinkWzór|2.16}} przechodzi w {{LinkWzór|2.12}}. Dla tej deformacji, gdy jeśli &beta;{{Sub|&lambda;}}>0, to nazywamy deformacją dodatnią, a jeśli &beta;{{Sub|&alpha;}} <0, to jest to deformacja ujemna. Jako dolny wskaźnik występuje przy parametrze &beta; pewien parametr naturalny z zerem &lambda;, co ten parametr dla: * &lambda;=0 nazywamy deformacja monopolową, * &lambda;=1 deformacją dipolową, * &lambda;=2 deformacją kwadrupolową, * &lambda;=3 deformacją oktupolowa, * &lambda;=4 deformacją heksakwadrupolowa. == Elektryczne momenty spektroskopowe == Elektryczne momenty spektroskopowe są określane w doświadczeniu, więc są określone w laboratoryjnym układzie współrzędnych. Transformacje operatorów {{Formuła|<MATH>\hat{Q}_{\lambda\mu}\;</MATH>}} zdefiniowanego w układzie związanym z jądrem do układu laboratoryjnego o dowolnej orientacji można rozłożyć na trzy kąty dookoła odpowiednich osi współrzędnych, któremu odpowiadają trzy kąty Eulera. Elementy macierzowe obrotu z układu związanego z jądrem do układu laboratoryjnego możemy napisać, jeśli zdefiniujemy uogólnione funkcje kuliste {{Formuła|<MATH>D^I_{nn^'}(\omega)\;</MATH>}}. Jeśli układ laboratoryjny i wewnętrzny mają ten sam początek, to transformacja momentu elektrycznego wewnętrznego {{Formuła|<MATH>\hat{Q}^0_{\lambda\mu}\;</math>}} z układu związanego z jądrem na układ laboratoryjny jest: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{Q}_{\lambda0}^s=\sum_nD_{0n}^I(\omega)\hat{Q}_{\lambda\mu}^0\;</MATH>|2.17}} {{Rysunek|Obracające się jądro atomowe.png|osja|Obracające się jądro atomowe}} * Jądro pokazane według rysunku obok obraca się wokół osi k, a oś k obraca się wokoło osi I, a ono wokół osi M. ** gdzie I oznacza całkowity moment pędu układu jako jądra atomowego, a M oznacza jego całkowitą magnetyczną liczbę kwantową. Określmy stany, które są opisane funkcjami stanu |I,M=I,k>, wtedy spektroskopowy moment elektryczny jest rzędu &lambda;, tzn. we wzorze na deformacje jądra atomowego {{LinkWzór|2.12}} największy parametr deformacji jest &beta;{{Sub|&lambda;}}, tzn. gdy jest o największym wskaźniku &lambda;, określamy go przy pomocy {{LinkWzór|2.11}} pisząc go jako: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\lambda}^s(M=I,k)=\langle Ik|\hat{Q}_{\lambda\mu}|Ik\rangle\;</MATH>|2.18}} Najważniejsze są elementy spektroskopowe wewnętrzne kwadrupolowe z definiowane na podstawie {{LinkWzór|2.18}} są zdefiniowane przy pomocy momentu wewnętrznego Q{{Sub|20}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_2^s(Ik)=\langle Ik|\hat{Q}_{20}|Ik\rangle={{3k^2-I(I+1)}\over{(3+2I)(1+I)}}Q_{20}\;</MATH>|2.19}} Gdy parametr I=k, wtedy moment elektryczny spektroskopowy określamy przy pomocy momentu wewnętrznego Q{{Sub|20}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_2^s(I=k)={{3I^2-I^2-I}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}={{2I^2-I}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}={{I(2I-1)}\over{(I+1)(3+2I)}}Q_{20}\;</MATH>|2.20}} {{Rysunek|Jądra prolate i oblate.png|ajpbjo|a) Jądra prolate, b) jądra oblate.}} Widzimy, że moment elektryczny spektroskopowy {{Formuła|<MATH>Q_2^s\;</MATH>}} {{LinkWzór|2.20}} jest równy zero, gdy I=0, lub I=1/2, który zachodzi nawet, gdy Q{{Sub|20}} jest nie równe zero. * Jądra sferyczne mają moment wewnętrzny Q{{Sub|&lambda;}}=0, a dla jąder zdeformowanych ten sam moment Q{{Sub|20}} jest nie równy zero. Gdy moment elektryczny wewnętrznym spełnia warunek Q{{Sub|20}}>0 dla jąder dla których zachodzi &beta;{{Sub|2}}>0, nazywamy jądrami z deformacją dodatnią (przykład a) ("PROLATE"), a jądra o momencie elektrycznym wewnętrznym Q{{Sub|20}}<0 (przykład b), dla których parametr deformacji jest &beta;{{Sub|2}}<0, nazywamy jądra z deformacją ujemną ("OBLATE"). {{Rysunek|Jądra zdeformowane a liczby magiczne.png|jzalm|Jądra zdeformowane a liczby magiczne.}} Granice obszarów jąder zdeformowanych określają liczby magiczne. Znaczna część jąder atomowych ma kształt "PROLOLATE", tj.&beta;{{Sub|2}}>0, a jądra o &beta;{{Sub|2}} ("OBLATE") można znaleźć je obszarze dla A&asymp;130 i dla A&asymp;200. W stanie podstawowym jądra zdeformowane mają parametr deformacji, które są równe |&beta;{{Sub|2}}|&le;0,3, dla którego momenty elektryczne kwadrupolowe są równe: |Q{{Sub|20}}|&le;5eb oraz Q{{Sub|40}}&le;0,7eb{{Sup|2}}. Deformacja zwana superdeformacją nazywamy takie stany jąder wzbudzonych jąder, które są o wysokich energiach i spinie, który pierwszy jego parametr deformacji jest równy &beta;{{Sub|2}}&asymp;0,6, a można je spotkać w jądrach o N&asymp;82 i o Z&asymp;64. == Moment magnetyczny jąder atomowych == {{Rysunek|Moment_dipolowy.png|mdkp|Moment dipolowy krążącego protonu}} {{Rysunek|Procesja_nukleonu.png|pn|Procesja nukleonu}} Ruchem nukleonów można powiązać pewien prąd elektryczny, które są opisywane przez momenty magnetyczne różnych rzędów. Istotny tutaj jest moment magnetyczny rzędu najniższego zwanego momentem dipolowym. Moment elektryczny dla elektronów został już wyprowadzony w punkcie {{LinkWzór|18.1|Doświadczenie_Sterna-Gerlacha_i_efekt_Zeemana|Mechanika_kwantowa|MK}}, ale my ten wynik przepiszemy zamieniając masę elektronu na masę protonu, wtedy moment magnetyczny w zależności od momentu pędu neutronu przestawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}={{e}\over{2m_p}}\vec{l}\;</MATH>|2.21}} Jeśli wprowadzimy współczynnik giromagnetyczny g do wzoru {{LinkWzór|2.21}}, bo moment dipolowy może być w przybliżeniu opisany przy pomocy powyższej formuły w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}=g{{e}\over{2m_p}}\vec{I}=g{{\mu_N}\over{\hbar}}\vec{I}\;</MATH>|2.22}} Jeśli wprowadzimy liczby kwantowe całkowitego momentu pędu, to długość momentu dipolowego {{LinkWzór|2.22}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>|\vec{\mu}|=g{{e\hbar}\over{2m_p}}\sqrt{I(I+1)} \;</MATH>|2.23}} Składową zetową momentu dipolowego możemy napisać z jej definicji przy pomocy długości całkowitego momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_z=|\vec{\mu}|\cos\beta=|\vec{\mu}|{{m\hbar}\over{|\vec{I}|}}=g{{e\hbar}\over{2m_p}}\sqrt{I(I+1)}{{m\hbar}\over{\hbar\sqrt{I(I+1)}}}=g{{e\hbar m}\over{2m_p}}=g\mu_N m\;</MATH>|2.24}} Zwykle oznaczamy, dla maksymalnego rzutu spinu: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_z^{max}=g{{e\hbar}\over{2m_p}}I\;</MATH>|2.24a}} * gdzie wielkość {{Formuła|<MATH>{{e\hbar}\over{2m_p}}=\mu_N\;</MATH>}} nazywamy magnetonem jądrowym podobnie jak magneton Bohra, który określamy tylko dla elektronu. Całkowity moment pędu nukleonu jest sumą jej pędu orbitalnego i spinowego i wyraża się on: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;</MATH>|2.25}} Podobnie zachodzi dla momentu magnetycznego, że jest ona sumą momentu dipolowego pochodzący od jej ruchu orbitalnego i spinowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}_j=\vec{\mu}_l+\vec{\mu}_s\;</MATH>|2.30}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>\vec\mu_j\;</math>}} jest magnetonem całkowitego momentu pędu. : {{Formuła|<MATH>\vec \mu_l\;</MATH>}} to moment magnetyczny orbitalny. : {{formuła|<MATH>\vec\mu_s\;</MATH>}} jest momentem magnetycznym spinowym. Zauważmy, że kierunek {{Formuła|<MATH>\vec \mu_l\;</MATH>}} nie musi się pokrywać z {{Formuła|<MATH>\vec j\;</MATH>}}. Podamy w tabelce wartości współczynników giromagnetycznych dla ruchu orbitalnego i spinowego: {{Tabelka|opcje=width=auto|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=4|{{Center|{{Strong|Współczynniki giromagnetyczne dla protonu, neutronu i elektronu spinowy i orbitalny}}}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|g}}<!-- -->{{Komórka|p}}<!-- -->{{Komórka|n}}<!-- -->{{Komórka|e}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|g{{Sub|s}}}}<!-- -->{{Komórka|+5,5858}}<!-- -->{{Komórka|-3,8261}}<!-- -->{{Komórka|2}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|g{{Sub|l}}}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->{{Komórka|0}}<!-- -->{{Komórka|1}}<!-- -->}}<!-- -->}} Rozpatrzmy teraz jądro o wielu nukleonach, które posiadają moment magnetyczny, które sprzęgają się ze sobą w całkowity moment magnetyczny jądra {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}_I=\sum_{i=1}^Z\vec{\mu}_i^p+\sum_{i=1}^N\vec{\mu}_i^n\mbox{ gdzie:}\vec{\mu}_{i}=(\vec{\mu}_{orb}+\vec{\mu}_{spin})_i\;</MATH>|2.31}} Widzimy, że całkowity moment magnetyczny dipolowy jest zależny od momentów magnetycznych protonów i neutronów, czyli od nukleonów wchodzących w skład jądra atomowego. A poszczególne momenty magnetyczne dla pojedynczego nukleonu są sumą jej momentu magnetycznego orbitalnego i spinowego. W mechanice kwantowej całkowity moment dipolowy definiuje się jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{\mu}=\langle I,M=I|\hat{\vec{\mu}}|I,M=I\rangle\;</MATH>|2.32}} Całkowity moment dipolowy {{LinkWzór|2.32}} jest napisany dla stanu M=M{{Sub|max}}=I. Dla pojedynczego nukleonu jego całkowity moment pędu jest określany przez {{Formuła|<MATH>\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;</MATH>}}, wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|2.22}}, wtedy całkowity moment magnetyczny nukleonu określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\vec{\mu}}=\hat{\vec{\mu}}_j=\hat{\vec{\mu}}_l+\hat{\vec{\mu}}_s={{\mu_N}\over{\hbar}}(g_l\hat{\vec{l}}+g_s\hat{\vec{s}})\;</MATH>|2.33}} Wartość momentu magnetycznego, wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\langle j,j|\mu_x|j,j\rangle=\langle j,j|\mu_y|j,j\rangle=0\;</MATH>}}, określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\mu=\langle j,m=j|\hat{\vec{\mu}}_j|j,m=j\rangle=\langle j,j|\hat{\mu}_z|j,j|\rangle\;</MATH>|2.35}} === Model jednocząstkowy sferyczny === {{Rysunek|The total angular momentum and magnetic moment as the sum of the moment the spin and orbital.png|cmpimm|Całkowity moment pędu i moment magnetyczny}} Stan nieparzystego jądra w tym modelu określa stan nukleonu walencyjnego, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{I}_{sp}=\vec{j}\;</MATH>}}, co i także zachodzi {{Formuła|<MATH>\vec{\mu}_{sp}=\vec{\mu}_j\;</MATH>}}. Wyliczmy teraz moment magnetyczny dla całego jądra nieparzystego, który jest momentem magnetyczny tylko jednego nukleonu walencyjnego. Patrząc na wzór {{LinkWzór|2.33}} można powiedzieć, że kierunki {{Formuła|<MATH>\vec{j}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{\mu}_j\;</MATH>}} nie pokrywają się ze sobą. Wartość średnią operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{A}}\;</MATH>}} w układzie zamkniętym, w którym obowiązuje funkcja falowa {{Formuła|<MATH>|j,m\rangle\;</MATH>}}, którego rzut wektora momentu pędu na oś zetową, czyli jest {{Formuła|<MATH>\hat{j}_z\;</MATH>}} określana przez {{Formuła|<MATH>j_z=m\hbar\;</MATH>}}, określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\langle j,m|\hat{\vec{A}}|j,m\rangle=\langle j,m|\hat{j}_z|j,m\rangle{{\langle j,m|\hat{\vec{A}}\hat{\vec{j}}|j,m\rangle }\over{\langle j,m|\hat{j}^2|j,m\rangle}}\;</MATH>|2.36}} Będziemy korzystać ze wzorów określonych na operatorach momentu spinowego, orbitalnego i całkowitego momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\vec{s}}^2=(\hat{\vec{j}}-\hat{\vec{l}})^2=\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{l}}^2-2\hat{\vec{j}}\hat{\vec{l}}\Rightarrow \hat{\vec{j}}\hat{\vec{l}}={{1}\over{2}}\left(\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{l}}^2-\hat{\vec{s}}^2\right)\;</MATH>|2.37}} {{CentrujWzór|<MATH>\hat{\vec{l}}^2=(\hat{\vec{j}}-\hat{\vec{s}})^2=\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{s}}^2-2\hat{\vec{j}}\hat{\vec{s}}\Rightarrow \hat{\vec{j}}\hat{\vec{s}}={{1}\over{2}}\left(\hat{\vec{j}}^2+\hat{\vec{s}}^2-\hat{\vec{l}}^2\right)\;</MATH>|2.38}} Wyznaczmy moment dipolowy dla m=j dla jednego nukleonu walencyjnego wykorzystując przy tym {{LinkWzór|2.36}} na średnią wartość operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{A}}\;</MATH>}}, a także z udowodnionych tożsamości {{LinkWzór|2.37}} i {{LinkWzór|2.38}}: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}=\langle jj|\hat{j}_z|jj\rangle{{\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle}\over{\langle jj|\hat{j}^2|jj\rangle}}=j\hbar{{\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle}\over{j(j+1)\hbar}}={{1}\over{(j+1)\hbar}}\langle jj|\hat{\vec{\mu}}_j\hat{\vec{j}}|jj\rangle= {{\mu_N}\over{(j+1)\hbar^2}}\langle jj|g_l\hat{\vec{l}}\cdot\hat{\vec{j}}+g_s\hat{\vec{s}}\cdot\hat{\vec{j}}|jj\rangle =\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\mu_N}\over{2(j+1)\hbar^2}}\langle jj|g_l(\hat{j}^2+\hat{l}^2-\hat{s}^2)+g_s(\hat{j}^2+\hat{s}^2-\hat{l}^2)|jj\rangle=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left\{g_l\left[j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)\right]+g_s\left[j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)\right]\right\}</MATH>|2.39}} Rozpatrzmy teraz dwa przypadki, tzn. dla j=l+1/2 i j=l-1/2, wtedy końcowy wzór {{LinkWzór|2.39}} dla tego pierwszego rozpisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg\{g_l\left[j(j+1)+\left(j-{{1}\over{2}}\right)\left(j-{{1}\over{2}}\right)-{{3}\over{4}}\right]+g_s\left[j(j+1)-\left(j-{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{1}\over{2}}\right)+{{1}\over{4}}\right]\Bigg\}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(j^2+j+j^2-{{1}\over{4}}-{{3}\over{4}}\right)+g_s\left(j^2+j-j^2+{{1}\over{4}}+{{3}\over{4}}\right)\right]= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(2j^2+j-1\right)+g_s\left(j+1\right)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l[2j(j+1)-j(j+1)]+g_s(j+1)\right]=\mu_N\left[g_l\left(j-{{1}\over{2}}\right)+{{1}\over{2}}g_s\right]</MATH>|2.40}} I dalej rozpatrzmy drugi przypadek, tzn. j=l-1/2: {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}={{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg\{g_l\left[j(j+1)+\left(j+{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{3}\over{2}}\right)-{{3}\over{4}}\right]+g_s\left[j(j+1)-\left(j+{{1}\over{2}}\right)\left(j+{{3}\over{2}}\right)+{{3}\over{4}}\right]\Bigg\}\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\Bigg[g_l\left(j^2+j+j^2+{{3}\over{2}}j+{{1}\over{2}}j+{{3}\over{4}}-{{3}\over{4}}\right)+g_s\left(j^2+j-j^2-{{3}\over{2}}j-{{1}\over{2}}j-{{3}\over{4}}+{{3}\over{4}}\right)\Bigg]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= {{\mu_N}\over{2(j+1)}}\left[g_l\left(2j^2+3j\right)-jg_s\right]={{j}\over{j+1}}\mu_N\left[\left(j+{{3}\over{2}}\right)g_l-{{1}\over{2}}g_s\right]</MATH>|2.41}} Biorąc kolejno współczynniki współczynniki giromagnetyczne podane powyżej w tabelce, to momenty magnetyczne możemy je policzyć dla protonu kolejno dla {{Formuła|<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>}}, ale w jednostkach &mu;{{Sub|N}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}=I+2,293\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.42}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mu_{sp}=I-1,293{{I}\over{I+1}}\;,</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.43}} }} A także policzmy momenty magnetyczne dla neutronów dla przypadków I=l+1/2 i I=l-/12 kolejno, ale w tych samych jednostkach co poprzednio: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>\mu_{sp}=-1,913\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>I=l+{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.44}} | 2 = {{CentrujWzór|<math>\mu_{sp}={{I}\over{I+1}}1,913\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;dla&nbsp;}}<MATH>I=l-{{1}\over{2}}\;</MATH>|2.45}} }} == Funkcja gęstości materii jądrowej == {{Rysunek|Gęstość jąder w zależności od promienia.png|gjwzop|Gęstość jąder w zależności od promienia}} Funkcje rozkładu gęstości masy i ładunku w jądrach atomowych są bardzo do siebie podobne. Protony p i neutrony n są bardzo wymieszane ze sobą dokładnie &rho;{{Sub|e}}(r)=&rho;{{Sub|m}}(r)=&rho;(r). Dobrym przybliżeniem rzeczywistego rozkładu &rho;(r) jest rozkład Fermiego: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(r)={{\rho(r)}\over{1+e^{{r-R_{1/2} }\over{a}} } }\;</MATH>|2.46}} * gdzie &rho;(0) i R{{Sub|1/2}} i " a"są to parametry dobierane w wyniku doświadczenia. Odkryto doświadczalnie, że ta stała &rho;(0) ma wartość &rho;(0)=0,17 nukleonów/fm{{Sup|3}}. Gęstość jądra słabo zależy od A&ge;20 i może nieco malec w środku jądra. Obszar stałej gęstości &rho;(r) znika dla jąder lekkich Z<6. Wartość promienia połówkowego zależy od liczby masowej A i jest wyrażona przez R{{Sub|1/2}}=(1,18A{{Sup|1/3}}-0,48)fm</strong>, a grubość warstwy połówkowej piszemy przez t=4,39a, które wolno zmienia się (rośnie) wraz ze wzrostem A, i dla A>20, to t=2,4fm, a gdy A<20, to t=2,0fm. Warstwa powierzchniowa nie znika nawet dla jąder bardzo lekkich. Przyjmuje, że parametr rozkładu jest a&asymp;0,55fm. Wyznaczmy parametr t i udowodnijmy, że t=4a ln 3, jako różnicy pomiędzy promieniami od środka jądra dla gęstości jadra 0,1&rho;(0) i 0,9&rho;(0), wtedy ze wzoru {{LinkWzór|2.46}} wynika: {{CentrujWzór|<MATH>1+e^{{{r-R_{1/2}}\over{a}}}={{\rho(0)}\over{\rho(r)}}\Rightarrow e^{{{r-R_{1/2}}\over{a}}}={{\rho(0)}\over{\rho(r)}}-1\Rightarrow r-R_{1/2}=a\ln\left({{\rho(0)}\over{\rho(r)}}-1\right) \Rightarrow t=a\ln{{{{\rho(0)}\over{0,1\rho(0)}}-1}\over{{{\rho(0)}\over{0,9\rho(0)}}-1}}=a\ln{{0,9}\over{0,1}}{{0,9}\over{0,1}}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= a\ln 9^2=a\ln 3^4=4a\ln 3\Rightarrow t=4a\ln 3</MATH>|2.47}} W niektórych jądrach silnie neutrononadmiarowych występuje tzw. aureola (hallo), którą jest grupą słabo związanych neutronów oddalonych od innych. * Rozpatrzmy jądro litu {{Formuła|<MATH>{}^{11}_3Li_8\;</MATH>}}, który ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^{11}Li)=5fm\;</MATH>}}, a sam jego rdzeń bez neutronów aureoli ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^9Li)=3fm</MATH>}}, czyli na aureole składają się na dwa neutrony. To jądro wraz neutronami aureoli rozpada się samorzutnie na jądro Be w czasie połowicznego rozpadu 9 ms. {{Formuła|<math>{}^{11}_{3}Li_8\xrightarrow{9ms}{}^{11}_4 Be_7\;</MATH>}}. Energia wiązania dwóch neutronów jest S{{Sub|2n}}=250 keV. * Samo jądro {{Formuła|<MATH>{}^{11}Be\;</MATH>}} z jednym neutronem aureoli ma promień {{Formuła|<MATH>R({}^{11}Be)=7fm\;</MATH>}}, energia wiązania tego neutronu jest S{{Sub|n}}=500 keV. == Poziomy energetyczne jąder atomowych == Jądra atomowe są to układy związane przy pomocy sił jądrowych, taki układ może znajdować się w stanach przyjmujących zarówno wartości dyskretne jak i ciągłe. * Stany dyskretne odpowiadają ruchom, nukleonów w ograniczonej przestrzeni, tj. w studni jądrowego potencjału V(r). * Stany o widmie ciągłym odpowiadają ruchom w nieograniczonej przestrzeni, gdy przynajmniej jeden nukleon opuszcza jądro, co wtedy zachodzi, gdy energia wzbudzenia E{{Sub|wz}} jest większa od energii separacji. Własności każdego stanu opisuje funkcja falowa &psi;{{Sub|E}}(q,t), który spełnia równanie falowe Schrödingera: {{CentrujWzór|<MATH>i\hbar{{\partial\psi}\over{\partial t}}=\hat{H}\psi\;</MATH>|2.48}} Dla stanów dyskretnych energie E{{Sub|n}} odpowiadają równaniu falowemu: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n\;</math>|2.49}} Mając tak przestawione równanie falowe o stanie E{{Sub|n}}, to rozwiązaniem równania falowego zależnego od czasu {{LinkWzór|2.48}} są funkcje falowe: {{CentrujWzór|<math>\psi_n(E_n,q,t)=e^{-{{iE_n t}\over{\hbar}}}\varphi_n(q)\;</MATH>|2.50}} Funkcje &phi;(q) są to funkcje niezależne od czasu "t", ale zależne od zmiennych q opisujących stan nukleonów w danym stanie energetycznym E{{Sub|n}}. Dla takich stanów gęstość prawdopodobieństwa rozkładu nukleonu w jądrze nie zależy od czasu patrząc na {{LinkWzór|2.50}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_n(t,q)|^2=|\varphi_n(q)|^2\;</MATH>|2.51}} Stany spełniające warunek {{LinkWzór|2.51}} nazywamy stanem stacjonarnym, a stany o najniższej energii to są stany podstawowe, a pozostałe stany są stanami wzbudzonymi. Ogólnie można powiedzieć, że nukleon może się znajdować się w stanie dyskretnym z energią E{{Sub|n}}, jak i w stanach ciągłych, co opisuje taki stan nukleonu w jądrze funkcja falowa: {{CentrujWzór|<MATH>\psi=\sum_na_n\psi_n+\int a_E\psi_EdE\;</MATH>|2.52}} * Funkcje &psi;{{Sub|n}} i &psi;{{Sub|E}} są to funkcje falowe stanów stacjonarnych o widmie dyskretnym i ciągłym, których |a{{Sub|n}}|{{Sup|2}} i |a{{Sub|E}}|{{Sup|2}} jest to prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa znalezienia jądra o stanie energii E{{Sub|n}} lub o energii (E,E+dE). Stany jądra atomowego odzwierciadlająca własności jąder obserwowanego w doświadczeniu mówimy, że określa strukturę jądra atomowego. Stany wzbudzone, a także jądra niestabilne, które nie spełniają warunków stacjonarności ulegają spontanicznym przemianom z emisją kwantu &gamma; lub też innych cząstek, przy czym zmienia się stan ruchu poszczególnych nukleonów znajdujących się w jądrze atomowym. Tym stanom formalnie nie można przyporządkować ścisłe określonej energii E{{Sub|n}}, lecz średnią energię {{Formuła|<MATH>\langle E\rangle=E_0\;</MATH>}}, której odpowiada funkcja falowa {{Formuła|<MATH>\psi_{E_{0}}(q,t)=\int_Ea_E\psi_EdE\;</MATH>}}. {{Rysunek|Prawdopodobieństwo stanu quasistacjonarnego.png|rlzdds|Rozkład Lorentza z dokładnością do stałej}} Znając średni czas życia &tau; związanym z nietrwałym poziomem o średniej energii E{{Sub|0}}, a także o szerokości połówkowej poziomu &Gamma;, to nieoznaczoność czasu i energii powiążemy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\Gamma\cdot\tau=\hbar\;</MATH>|2.53}} Stany układów kwantowych o energii E{{Sub|0}}>>&Gamma; nazywamy quasistacjonarnymi. To prawdopodobieństwo znalezienia stanu o energii E określa rozkład Lorentza: {{CentrujWzór|<MATH>|a_E|^2\sim{{{{1}\over{4}}\Gamma^2}\over{(E-E_0)^2+\left({{\Gamma}\over{2}}\right)^2}}\;</MATH>|2.54}} {{Rysunek|Stany ciągłe i dyskretne jąder atomowych.png|scidja|Stany ciągłe i dyskretne jąder atomowych}} Z doświadczenia wiadomo, że stany wzbudzone o energiach E{{Sub|wzb}}&lt;S nukleonu (nukleonów) charakteryzują się czasem życia {{Formuła|<MATH>\tau>>\hbar/E_0</MATH>}}, czyli dla czasu życia &tau;&ge; 10{{Sup|-14}} wynika, że &Gamma;&le;0,1eV. Stany o wyjątkowo dużym czasie życia maja małą szerokość połówkową &Gamma;&le;10{{Sup|-15}}eV, te stany nazywamy stanami meta-stabilnymi. W praktyce stany o bardzo małej szerokości połówkowej traktuje się je jak stany dyskretne. Układ stanów dyskretnych jądra liczone względem stanu podstawowego E'{{Sub|s}}=E{{Sub|s}}-E{{Sub|qs}} nazywamy schematem stanów wzbudzonych jądra atomowego. W widmie ciągłym występują poziomy dla E{{Sub|wzb}}&ge;S{{Sub|N}}, które mogą być traktowane jako poziomy o charakterze dyskretnym. Przy E{{Sub|wzb}}>>S{{Sub|N}} gęstość stanów jest na tyle duża, że widmo dyskretne staje się prawie nierozróżnialne od widma ciągłego, dlatego te stany są traktowane jako stany o charakterze ciągłym, bo te stany pokrywają się się swoimi szerokościami. Nie możemy obliczyć stanów energetycznych jąder atomowych teoretycznie, ponieważ nie znamy potencjału V(r) oddziaływania na siebie nukleonów, ponieważ jest to problem wielu mas, który dla nas jest problem nierozwiązywalnym jak dotychczas. == Spin stanów jąder atomowych == Spin jąder atomowych określa całkowity moment pędu jądra, jest to wielkość fizyczna, która jest na równi z energią. Nukleony są w ciągłym ruchu, którym całkowity moment pędu danego nukleonu jest określony na podstawie {{LinkWzór|2.25}}, co dla i-tego nukleonu mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{j}_i=\vec{l}_i+\hat{s}_i\;</MATH>|2.55}} Całkowity moment pędu jądra atomowego, przy wykorzystaniu definicji całkowitego momentu pędu dla danego nukleonu {{LinkWzór|2.55}}, jest: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}=\sum_{i=1}^A\vec{j}_i\;</MATH>|2.56}} W mechanice kwantowej operator momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\hat{\vec{I}}=(\hat{I}_x,\hat{I}_y,\hat{I}_z)\;</MATH>}} definiujemy przy pomocy współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{I}_x=-i\hbar\left(y{{\partial }\over{\partial z}}-z{{\partial }\over{\partial y}}\right)\;</MATH>|2.57}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{I}_y=-i\hbar\left(z{{\partial }\over{\partial x}}-x{{\partial }\over{\partial z}}\right)\;</MATH>|2.58}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\hat{I}_x=-i\hbar\left(x{{\partial }\over{\partial y}}-y{{\partial }\over{\partial z}}\right)\;</MATH>|2.59}} }} Funkcje {{Formuła|<MATH>\hat{I}^2\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} mają takie same funkcje własne. Wartościami własnymi kwadratu operatora momentu pędu, operatora zetowego momentu pędu są funkcje własne: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|\hat{\vec{I}}|^2=I(I+1)\hbar^2\;</MATH>|2.60}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>I_z=M\hbar;\;</MATH>|2.61}} }} * Dla jądra atomowego liczbę kwantową I=M{{Sup|max}} nazywamy spinem jądra. Operatory hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{I}_z\;</MATH>}} zawsze spełniają warunki komutacji, tzn. jest możliwy jednoczesny pomiar energii układu i wartości własnej całkowitego momentu pędu. Z definicji spinu jądra mamy maksymalny rzut całkowitego momentu pędu na oś zetową i ją określamy przez {{Formuła|<MATH>I_z^{max}=M^{max}\hbar=I\hbar\;</MATH>}}. W mechanice kwantowej często {{Formuła|<MATH>I\hbar\;</MATH>}} nazywamy spinem o długości wektora {{Formuła|<MATH>\vec{I}</MATH>}} dla maksymalnego rzutu wektora momentu pędu na oś zetową określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>I\hbar=\langle I,M=I|\hat{I}_z|I,M=I\rangle\;</MATH>|2.62}} == Określenie spinów stanów podstawowych jąder atomowych == === Jądra parzyste === Dla jąder parzysto-parzystych całkowity moment pędu i o parzystości (definicja w {{LinkWzór|2.67}}) określamy przez {{Formuła|<MATH>I^{\pi}_{gs}=0^+\;</MATH>}}, co oznacza, że całkowity momentu pędu układów nukleonów sparowanych jest{{Formuła|<MATH>|\vec{I}_{pary}|=0\;</MATH>}}. W stanie kolektywnym najczęściej występuje pierwszy poziom wzbudzony o wartości całkowitego momentu pędu i parzystości jądra I{{Sup|&pi;}}=2{{Sup|+}}. === Jądra nieparzyste === Dla jąder nieparzystych całkowity moment pędu jądra jest sumą całkowitego momentu pędu dla ściśle określonego nukleonu, która z kolei jest sumą orbitalnego i spinowego momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}=\sum_{i=1}^A\vec{j}_i=\sum_{i=1}^A\left(\vec{l}_i+\vec{s}_i\right)\;</MATH>|2.63}} Można powiedzieć, że dla jądra nieparzystego jądro składa się z sferycznego rdzenia i jednego elektronu walencyjnego, według teorii modelu jednocząstkowego, którego moment pędu jest {{Formuła|<MATH>\hat{I}_{rdzenia}\;</math>}}, a moment nukleonu walencyjnego jest {{Formuła|<math>\vec{j}_{wal}\;</MATH>}}, zatem całkowity moment jądra atomowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}=\vec{I}_{rdzenia}+\vec{j}_{wal}\;</MATH>|2.64}} W '''modelu jednocząstkowym''' będziemy rozpatrywać jądro jako układ złożony z sferycznego rdzenia p-p i jednego nukleonu walencyjnego, to w stanie podstawowym moment pędu rdzenia {{Formuła|<MATH>\vec{I}_{rdzenia}\;</MATH>}} jest równy zero, wtedy całkowity moment pędu {{LinkWzór|2.64}} określamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}=\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;</MATH>|2.65}} Operując zamiast na wektorach będziemy operować na liczbach kwantowego całkowitego momentu pędu oraz jej orbitalnego i spinowego momentu pędu, mamy: {{CentrujWzór|<MATH>I=j=l\pm s\;</MATH>|2.66}} We wzorze {{LinkWzór|2.66}} mamy orbitalną liczbę kwantową określoną przez l=0,1,2,3,..., które są równoważne poziomom według nazw zamiast liczb, tzn. s,p,d,f,g., a także mamy spinowy moment pędu określanej przez s=1/2. W stanach wzbudzonych kwantowa ogólnie liczba całkowitego momentu pędu może mieć dużą wartość nawet dochodzącej do I=50 i większe. Obserwowany w doświadczeniu całkowity moment pędu stanu podstawowego dla jądra atomowego z nukleonami walencyjnymi jak wykazano w doświadczeniu, że jest on równy w zakresie {{Formuła|<MATH>I_{gs}^{\pi}=1/2\mbox{ do }11/2\;</MATH>}}. Zdefiniujmy teraz parzystość, którą określamy poprzez orbitalną liczbę kwantową: {{CentrujWzór|<MATH>\pi=(-1)^l\;</MATH>|2.67}} Widzimy, że ona jest zależna od orbitalnej liczby kwantowej l. == Momenty elektryczne i magnetyczne == Jądro atomowe jest to układ ładunków elektrycznych będącego w ciągłym ruchu określonych nukleonów, które składnikami są "p" i "n". Rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego można z dobrym przybliżeniem opisać przy pomocy funkcji Fermiego podobnym do wzoru {{LinkWzór|2.46}}: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(r,\theta,\phi)={{\rho_0}\over{1+e^{{{r-R(\theta,\phi)}\over{a}} }}}\;</MATH>|2.68}} Z bardzo dobrym przybliżeniem rozkład gęstości jądra atomowego spełnia dobrze rozkład jednorodny: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(r)=\begin{cases}\rho_0&\mbox{ gdy }r\leq R\\0&\mbox{ gdy }r>R\end{cases}\;</MATH>|2.69}} Z ruchem nukleonów w jądrze należy powiązać pewne prądy elektryczne, które wytwarzają odpowiednio pole elektryczne i magnetyczne. Oddziaływaniem tychże pól z innymi polami np. ładunkami i prądami, np. z elektronami w atomach prowadzi do tzn. struktury nadsubtelnej w widmie optycznym, gdzie tam postępuje się z zasadami elektrodynamiki klasycznej rozkładając te pola w szeregi multipolowe mając kolejno wyrazy {{Formuła|<MATH>\sim 1/R^n\;</MATH>}}, gdzie n = 1, 2, 3,..., które są określone przez momenty elektryczne lub magnetyczne. W praktyce uwzględnia się momenty najniższych rzędów, tzn. dla momentów elektrycznych rzędu &lambda; = 0, 2, 4, (6), a w przypadku oddziaływania magnetycznego momenty rzędu &lambda;=1. Pozostałe momenty magnetyczne szybko maleją ze wzrostem &lambda;, więc ich się nie uwzględnia. Należy pamiętać, że te momenty multipolowe piszemy przy rozkładzie przestrzennym ładunku &rho;(r,&theta;,&phi;) {{LinkWzór|2.68}}. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> gpwbyi1ol7p88cilhsmo9orskqi1yzg 0 21973 559116 558603 2026-10-11T04:39:26Z Persino 2851 559116 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Ogólny schemat rozpadów == Procesy zachodzące spontanicznie z powodów określonych oddziaływań pomiędzy nukleonami, w wyniku której jądro znajduje się w stanie quasistacjonarnym, to jądro przechodzi do stanu niższego energetycznie, ewentualnie emitując cząstkę unoszącą energię rozpadu. W końcowym etapie w wyniku czego jądro przechodzi w stan stacjonarny, które jest jądrem stabilnym w stanie podstawowym. Rozpad: {{CentrujWzór|<MATH>X\rightarrow Y+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.1}} jest dozwolony, jeśli spełnione są warunki opisane poniżej: === Warunek energetyczny === Wynika on z praw zachowania energii, dla jąder X i Y i cząstki a{{Sub|i}} będących w stanach podstawowych, to z tej zasady dla problemu mas wynika wniosek, że suma mas substratów w przemianie jądrowej powinna być większa niż suma mas produktów: {{CentrujWzór|<math>M_j(X)\geq M_j(Y)+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.2}} lub gdy jądra są w stanie wzbudzonym, wtedy dla problemu mas zachodzi suma masy substratów (jądra X) i jej energii wzbudzenia powinna być większa niż suma mas produktów Y, a{{Sub|i}} i energii wzbudzenia jądra Y: {{CentrujWzór|<MATH>M_j(X)+E_{wzb}(X)\geq M_j(Y)+E_{wzb}(Y)+\sum_i m_{a_i}\;</MATH>|3.3}} Powyżej wyraziliśmy masę i energię w tych samych jednostkach, tzn. przy definicji prędkości światła równej jeden c=1. Energią rozpadu nazywamy wyrażenie, które jest różnicą masy jądra X przed rozpadem, i sumą masy jądra Y po rozpadzie i masy cząstek wyemitowanych: {{CentrujWzór|<MATH>M(X)-\left[M(Y)+\sum_im_{a_i}\right]=Q\;</MATH>|3.4}} * gdzie: M(X), M((Y) są masami odpowiednich nuklidów, które unoszą energię w postaci energii kinetycznej, tzn. energia rozpadu jest sumą energii kinetycznej jądra Y i cząstek a{{Sub|i}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q=\sum_i E_{a_i}^{(k)}+E^{(k)}_{odrzutu}(Y)\;</MATH>|3.5}} Jeśli emitowana jest jedna cząstka, to ma określoną energię (widmo energii jest liniowe), a energia odrzutu jest w przybliżeniu zerowa, bo m{{Sub|a}}<<M(Y). === Reguły wyboru === Prawa zachowania momentów pędów przestawiamy jako sumę momentów pędu substratów, która jest równa sumie momentów pędu produktów w rozpadzie jądrowej, tzn. moment pędu jądra X przed rozpadem jest równy sumie momentów pędów cząstek a{{Sub|i}} i jądra Y: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{I}_i(X)=\vec{I}_f(Y)+\sum_i \vec{j}_{a_i}\;</MATH>|3.6}} Zasadę zachowania parzystości w naszym rozpadzie, oraz wartość momentu pędu cząstek a{{Sub|i}} możemy napisać, gdy suma momentów pędu naszych cząstek jest większa niż wartość bezwzględna różnicy momentów pędu jąder X i Y oraz mniejsza niż wartość sumy momentów pędów, a parzystość cząstki X przed rozpadem jest równa iloczynowi parzystości jądra Y i cząstek a{{Sub|i}} dla wszystkich „i”: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq \sum_i j_{a_i}\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.7}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i(X)=\pi_f(Y)\cdot\pi(\sum_ia_i)\;</MATH>|3.8}} }} === Prawo zachowania ładunku elektrycznego, ładunku barionowego i innych liczb kwantowych === Prawo zachowania ładunku elektrycznego i barionowego, taki że ładunek elektryczny lub barionowy przed i po rozpadzie zachowuje swoją wartość licząc względem wszystkich cząstek przed i po reakcji, przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>Z_i=Z_f+\sum_i Z_{a_i}\;</MATH>|3.9}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_i=A_f+\sum_iA_{a_i}\;</MATH>|3·10}} }} == Klasyfikacja rozpadów == === Ze względu na emitowane cząstki === ==== Rozpad &alpha; ==== W tym rozpadzie cząstka {{Formuła|<MATH>{}_Z^AX\;</MATH>}} emituje cząstkę {{Formuła|<MATH>{}^4_2\alpha\;</MATH>}} jednocześnie przechodząc w cząstkę {{Formuła|<MATH>{}^{A-4}_{Z-2}Y\;</MATH>}}: {{Wzór|<MATH>{}_Z^AX\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^4_2\alpha\;</MATH>|3.11}} ==== Rozpady &beta; ==== w tym rozpad &beta;{{Sup|-}} w którym powstaje jądro o liczbie atomowej zwiększonej o jeden, a także elektron (cząstka &beta;{{Sup|-}}) wraz antyneutrinem elektronowym: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow {}^A_{Z+1}Y+{}_{-1}\beta^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.12}} w tym rozpad &beta;{{Sup|+}}, w którym powstaje jądro o liczbie atomowej zmniejszonej o jeden, a także pozyton (cząstka &beta;{{Sup|+}}, elektron o ładunku dodatnim) wraz z neutrinem elektronowym: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+{}_1\beta^++\nu_e\;</MATH>|3.13}} ==== Rozpady nukleonowe p i n ==== * rozszczepienie spontaniczne sf w wyniku czego powstają dwa jądra atomowe wraz z pewną liczbą neutronów: {{Wzór|<MATH>X\rightarrow Y_1+Y_2+kn\;</MATH>|3.14}} ==== Przejścia &gamma; ==== Rozpad, w którym jądro wzbudzone przechodzi do stanu podstawowego ze stanu wzbudzonego z emisją kwantu &gamma;: {{Wzór|<MATH>{}^A_ZX^*\rightarrow {}^A_ZX+\gamma\;</MATH>|3.15}} ==== Konwersja wewnętrzna (KW) ==== === Ze względu na oddziaływania prowadzące do rozpadu === * przejścia elektromagnetyczne (EM): &gamma;, KW, KP (deekscytacja jądra, jest to przejście jądra, ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego, przy czym jest zachowana liczba masowa A i atomowa Z jądra atomowego) * przejścia (rozpady) słabe (beta): &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}}, EC * przejścia (rozpady) z udziałem oddziaływania silnego (jądrowego): &alpha;, p, n, sf. == Prawdopodobieństwo rozpadu (przejścia) ze stanu początkowego |i> == {{Rysunek|Przejścia (rozpady) jądrowe.png|3.1|Przejścia (rozpady) jądrowe}} Wedle przypadku ogólnego stan quasistacjonarny może przejść w wyniku różnych procesów (rozpady jąder na końcowe jądra korzystne energetycznie). Stała rozpadu całego procesu jest sumą poszczególnych rozpadów, dla oddziaływań elektromagnetycznych &lambda;{{Sub|em}}, słabego &lambda;{{Sub|sl}}, i silnego &lambda;{{Sub|s}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_i=\lambda_{em}+\lambda_{sl}+\lambda_s\;</MATH>|3.16}} Poszczególne stałe rozpadu definiujemy wedle schematów poniżej przy pomocy stałej zaniku przejścia elektromagnetycznego, która jest sumą rozpadów &gamma;, konwersji wewnętrznej KW i deekscytacji jądra, ta stała jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}+\lambda_{KP}\;</MATH>|3.17}} Stała zaniku przejścia zachodzących w wyniku oddziaływań słabych jest sumą rozpadów &beta;{{Sup|-}}, &beta;{{Sup|+}} i EC: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{sl}=\lambda_{\beta^-}+\lambda_{\beta^{+}}+\lambda_{EC}+...\;</MATH>|3.18}} Stała zaniku przejścia zachodzących w wyniku oddziaływań silnych jest sumą stałych zaniku rozpadu &alpha;, rozczepienia spontanicznego sf i przejść nukleonowych p i n. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{s}=\lambda_{\alpha}+\lambda_{sf}+\lambda_p+\lambda_n+...\;</MATH>|3.19}} Średni czas życia danego rozpadu lub wszystkich rozpadów {{LinkWzór|3.16}} definiujemy jako odwrotność stałej zaniku danego rozpadu lub wszystkich rozpadów: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\lambda_j}}=\tau_i\;</MATH>|3.20}} Czas życia, danego rozpadu ze względu na dany typ rozpadu, w którym cząstka ze stanu |i> przechodzi w stan |f>, jest określany: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{\lambda_{if}}}=\tau_{if}\;</MATH>|3.21}} Stała rozpadu, nie zależy od warunków zewnętrznych, historii rozpadu, jest to wielkość stała charakteryzująca dany proces. W kwantowej teorii zaburzeń stała rozpadu przejścia ze stanu „i” do „f”, znając gęstość stanów &rho;{{Sub|f}}(E), w której zawarta jest zależność stałej rozpadu od energii emitowanych cząstek E, a także hamiltonian H{{Sub|if}}, który jest odpowiedzialny za przejście od stanu „i” do stanu „f”, które jest traktowane jest jako zaburzenie, jest zapisana: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{if}={{2\pi}\over{\hbar}}\left|\left\langle f|\hat H_{if}|i\right\rangle\right|^2\rho_f(E)\;</MATH>|3.22}} * gdzie: : {{Formuła|<MATH>\rho_f(E)\;</MATH>}} – gęstość stanów końcowych w jednym przedziale dozwolonym energetycznym. : {{Formuła|<MATH>\hat H_{if}\;</MATH>}} – ta część hamiltonianu oddziaływania, który jest odpowiedzialny za dane przejście, traktujemy go jako zaburzenie. To samo prawo stosujemy do cząstek elementarnych, stanów wzbudzonych atomów, itp., tzn. do rozpadów kwazistacjonarnych, które są układami kwantowymi. === Prawo rozpadu === {{Rysunek|Wykres_ilustrujący_prawo_rozpadu.png|3.2|Wykres ilustrujący prawo rozpadu|rozmiar=200px}} Prawdopodobieństwo rozpadu, czyli iloraz liczby cząstek rozpadających się dN i liczby cząstek nierozpadniętych N, jest wprost proporcjonalne do czasu, w którym ten rozpad jest dokonywany, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>{{-dN}\over{N}}=\lambda dt\rightarrow N(t)=N(0)e^{-\lambda t}\;</MATH>|3.23}} Wyznaczmy teraz czas, w którym liczba cząstek zmniejsza się „e” razy względem jej liczby w czasie równym zero (N(0)), czyli: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{e}}N(0)=N(0)e^{-\lambda \tau}\Rightarrow -\ln e=-\lambda\tau\Rightarrow\tau={{1}\over{\lambda}}\;</MATH>|3.24}} Wyznaczmy średni czas rozpadu z definicji wartości średniej względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{t}={{\int_0^{\infty}te^{-\lambda t}dt}\over{\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt}}={{-{{1}\over{\lambda}}te^{-\lambda t }\Bigg|_0^{\infty}+{{1}\over{\lambda}}\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt}\over{-{{1}\over{\lambda}}e^{-\lambda t}\Bigg|_0^{\infty}}}=-\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}dt=-{{1}\over{\lambda}}e^{-\lambda t}\Bigg|_0^{\infty}={{1}\over{\lambda}}=\tau\;</MATH>|3.25}} Udowodniliśmy, że średni czas zaniku jest odwrotnością stałej zaniku &lambda;, czyli jest równy czasowi &tau;, po którym liczba cząstek maleje e razy. Wyznaczmy teraz czas połowicznego zaniku (półokres rozpadu), w którym liczba cząstek zmniejsza się o połowę względem czasu podstawowego N(0), patrząc na wynik {{LinkWzór|3.24}} i {{LinkWzór|3.25}}, otrzymujemy, że czas połowicznego zaniku jest równy czasowi, której liczba cząstek zmniejsza się '''e''' razy względem N(0) pomnożonej przez logarytm naturalny liczby dwa: {{CentrujWzór|<MATH>{{1}\over{2}}N(0)=N(0)e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow -\ln 2=-\lambda T_{1/2}\Rightarrow T_{1/2}={{1}\over{\lambda}}\ln 2\Rightarrow T_{12}=\tau\ln 2\simeq\tau\cdot 0,693\;</MATH>|3.26}} Rozkład sukcesywny nazywamy proces: {{CentrujWzór|<MATH>X\xrightarrow{\lambda_1} Y\xrightarrow{\lambda_2} Z\xrightarrow{\lambda_3} ...\;</MATH>|Y}} == Mechanizm rozpadu (przemiany) &alpha; == {{Rysunek|Alpha Decay.svg|3.3|Rozpad &alpha;|rozmiar=300px}} Wyniku rozpadu jądra X o liczbie masowej A i atomowej Z z jądra wylatuje w wyniku zjawiska tunelowania cząstka {{Formuła|<MATH>{}^4_2\alpha_2\;</MATH>}}, zmniejszając jego liczbę masową o cztery, a liczbę atomową o dwa: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2}+{}^4_2\alpha_2\;</MATH>|3.27}} Energia pomiędzy stanami podstawowymi jąder {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX_N\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{}^{A-4}_{Z-2}Y_{N-2}\;</MATH>}} i cząstką &alpha; przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\alpha}=M(A,Z)-\left[M(A-4,Z-2)+M(\alpha)\right]\;</MATH>|3.28}} Warunkiem koniecznym zaistnienia rozpadu {{LinkWzór|3.27}} jest warunek konieczny Q{{Sub|&alpha;}}>0. Warunek {{LinkWzór|3.28}} jest spełniony dla jąder, dla której stosunek B/A=f(A) leży w opadającej części wykresu, tzn. dla jąder ciężkich o A&ge;150, które znajdują się w stanach podstawowych. Energia rozpadu Q{{Sub|&alpha;}} jest unoszona w postaci energii kinetycznej jądra Y i energii kinetycznej cząstki &alpha;. Widmo energetyczne cząstki &alpha; jest liniowe i jego energia mieści się w zakresie 4MeV&le;E{{Sub|&alpha;}}&le;9MeV. Wartość momentu pędu cząstki &alpha; jest większa od wartości bezwzględnej różnicy jądra X i Y i jest mniejsza niż suma wartości momentów pędu cząstki X i Y: {{CentrujWzór|<MATH>|I_X-I_Y|\leq I_{\alpha}\leq I_X+I_Y\;</MATH>|3.29}} Parzystość cząstki &alpha;, jest iloczynem parzystości jądra X i jądra Y, jest wyrażona: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_X\pi_Y=(-1)^{l_{\alpha}}\;</MATH>|3.30}} {{Rysunek|Przejście tunelowe cząstki alpha.png|3.4|Przejście tunelowe cząstki alpha|rozmiar=300px}} Rozpad &alpha; jest uwarunkowany oddziaływaniem silnym, i cząstka &alpha; by pokonać barierę potencjału, dla którego zachodzi E{{Sub|&alpha;}}<E{{Sub|bariery potencjału}} ulega zjawisku tunelowania, co jest zgodne z mechaniką kwantową, w wyniku czego jądra helu wydostaje się z jądra X z pewną energią E{{Sub|&alpha;}}. Potencjał V(r) jądra atomowego wyrażamy przez sumę energii związanych z energią kulombowską i energią związaną z momentem pędu wynikających z równania własnego operatora energii, jest ona równa pisząc je ogólnie dla {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}} i dla bariery potencjału, którą cząstka &alpha; musi przekroczyć, tzn. dla odległości od środka jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_zX_N\;</MATH>}}, tzn.: {{Formuła|<MATH>r=R_j\;</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH>V(r)=V_C(r)+V_l(r)\underbrace{=}_{r>R_j}{{Z_{\alpha}Z_je^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}+{{l(l+1)\hbar}\over{2m_{\alpha} r^2}}\;</MATH>|3.31}} === Współczynnik przenikalności bariery potencjału jądra X === Współczynnik przenikalności bariery wyrażamy przy pomocy potencjału oddziaływania kulombowskiego V{{Sub|C}} i potencjału związanego z momentem pędu V{{Sub|l}} i piszemy go: {{CentrujWzór|<MATH>D=e^{-{{2}\over{\hbar}}\int_{R_j}^{r_{\alpha}}\sqrt{2m\left(V_C+V_l-E_{\alpha}\right)}dr}\;</MATH>|3.32}} === Prawdopodobieństwo rozpadu &alpha; === Stała rozpadu jest iloczynem prawdopodobieństwa utworzenia cząstki &alpha; w stanie quasistacjonarnym P{{Sub|&alpha;}}, który aby obliczyć należy znać strukturę jądra atomowego, ono nie zmienia się silnie od jądra do jądra, przez częstość &nu;: {{CentrujWzór|<MATH>\nu={{1}\over{t}}={{v_x}\over{2R_j}}\;</MATH>|3.33}} * gdzie „t” czas, w którym cząstka &alpha; przebiega jądro, i przez współczynnik przenikalności bariery D {{LinkWzór|3.32}}, stała rozpadu &alpha;, czyli &lambda;{{Sub|&alpha;}} jest napisana: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\alpha}=P_{\alpha}\cdot\nu\cdot D\;</MATH>|3.34}} Zwykle przyjmuje się k=P{{Sub|&alpha;}}&nu;&asymp;10{{Sup|20}}, to stała rozpadu {{LinkWzór|3.34}} ma wzór &lambda;{{Sub|&alpha;}}=k&sdot;D. === Prawo Geigera-Nutalla === Jest to zależność pomiędzy czasem T{{Sub|1/2}} połowicznego rozpadu jądra X, co wyniku tego ono emituje cząstkę &alpha;, a energią cząstek &alpha; E{{Sub|&alpha;}}, wyrażona przy pomocy stałych C(Z) i D(Z) zależnej od liczby atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{log}_{10}T_{1/2}=C(Z)+{{D(Z)}\over{\sqrt{E_{\alpha}}}}\;</MATH>|3.35}} Zależność stałej C i D od liczby atomowej przedstawia tabela: {{Center|<!-- -->{{Tabelka|opcje=width=50%|klasa=wikitable|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Z}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|C}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|D}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|Z}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|C}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|D}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|84}}<!-- -->{{Komórka|-50,15}}<!-- -->{{Komórka|128,8}}<!-- -->{{Komórka|92}}<!-- -->{{Komórka|-52,55}}<!-- -->{{Komórka|143,1}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|86}}<!-- -->{{Komórka|-50,94}}<!-- -->{{Komórka|132,7}}<!-- -->{{Komórka|94}}<!-- -->{{Komórka|-53,35}}<!-- -->{{Komórka|147,4}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|88}}<!-- -->{{Komórka|-51,51}}<!-- -->{{Komórka|136,2}}<!-- -->{{Komórka|96}}<!-- -->{{Komórka|-53,97}}<!-- -->{{Komórka|151,3}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|90}}<!-- -->{{Komórka|-51,94}}<!-- -->{{Komórka|139,4}}<!-- -->{{Komórka|98}}<!-- -->{{Komórka|-54,40}}<!-- -->{{Komórka|154,7}}<!-- -->}}<!-- -->}}}} Prawidłowość {{LinkWzór|3.35}} ustalili doświadczalnie w latach 1911–1912 uczeni H. Geiger i J. Nutall, a następnie w 1928 uzyskali ją opierając się na kwantowym opisie procesu rozpadu &alpha;. Ten wzór opisuje proces rozpadu &alpha;. Wzór najdokładniej opisuje rozpady jąder dla jąder parzysto-parzystych. Stałe C i D zależą nieznacznie od liczby atomowej, co ilustruje powyższa tabelka. == Rozpady nukleonowe == * Rozpad neutronowy, w którym jądro o liczbie masowej A i atomowej Z wysyła jeden neutron, w ten sposób zmniejsza on liczbę masową o jeden przy takiej samej liczbie atomowej: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-1}_ZY_{N-1}+n\;</MATH>|3.36}} * Rozpad protonowy, w którym jądro o liczbie masowej A i atomowej Z wysyła jeden proton, w ten sposób zmniejsza on liczbę masową A i atomową Z o jeden: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX_N\rightarrow {}^{A-1}_{Z-1}Y_N+p\;</MATH>|3.37}} === Warunek energetyczny (energia rozpadu)(N od n lub p) === {{Rysunek|Rozpad stanu podstawowego w rozpadzie nukleonowych.png|3.5|Rozpad stanu podstawowego w rozpadzie nukleonowych|rozmiar=200px}} * Jeśli oba jądra X i Y w {{LinkWzór|3.36}} i {{LinkWzór|3.37}} są w stanie podstawowym, wtedy energia rozpadu jądra unoszona przez neutrony jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)-[M_j(Y)+m_N]\geq 0\;</MATH>|3.38}} {{Rysunek|Rozpad nukleonowy jądra wzbudzonego.png|3.6|Rozpad nukleonowy jądra wzbudzonego|rozmiar=185px}} * Gdy jądro X rozpada się ze stanu wzbudzonego na jądro Y, to energia rozpadu, która jest zawsze większa niż zero, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)+E_{wzb}-[M_j(Y)+m_N]\;</MATH>|3.39}} * Gdy jądro X ze stanu wzbudzonego rozpada się na jądro w stanie wzbudzonym Y, dla której energia rozpadu jest zawsze większa niż zero, to ciepło rozpadu jest: {{CentrujWzór|<MATH>Q_N=M_j(X)+E_{wzb}(X)-[M_j(Y)+m_N+E_{wzb}(Y)]\;</MATH>|3.40}} Przy rozpadzie ze stanów wysokoenergetycznych składa się on z bardzo wielu linii (wierzchołków), zauważmy jednak, że zachodzi: * rozpadu nukleonowe są wynikiem oddziaływań silnych, * jeśli jest spełniony warunek energetyczny {{LinkWzór|3.40}}, to jądro jest wzbudzone ze względu na jego spin i parzystość, i rozpad jego następuje z czasem połowicznego zaniku równej &tau;&asymp;10{{Sup|-22}}s, * rozpad protonowy może być zahamowany przez barierę kulombowską, * jeśli energią protonu jest mniejsza niż wysokość bariery, to protony z takiego jądra wychodzą na zewnątrz niego poprzez proces tunelowania, tak jak w rozpadzie &alpha;, * rozpady protonowe konkurują z rozpadami &beta;{{Sup|+}}, EC,&alpha;, a rozpady neutronowe zachodzą z konkurencją &beta;{{Sup|-}}. Pierwszy i drugi rozkład konkuruje z rozpadem elektromagnetycznym EM dla jąder X wzbudzonych. Rozpady nukleonowe obserwuje się w jądrach neutrononadmiarowych (rozpad n) i w jądrach neutronodeficydowych (rozpad p). Rozpady nukleonowe obserwuje się jako rozczepienia w ciężkich jądrach wysoko-wzbudzonych neutrononadmiarowych oraz w wyniku rozpadu jąder dalekich od ścieżki jąder stabilnych. Rozpady nukleonowe konkurują z rozpadami elektromagnetycznymi, &gamma;, i KP (deeskcytacją jądra atomowego). == Przemiana (rozpad) &beta; == {{Rysunek|Beta-minus Decay.svg|3.7|Rozpad &beta;{{Sup|-}}|rozmiar=190px}} Neutron w jądrze rozpada się na proton, elektron i antyneutrino elektronowe, a proton w jądrze rozpada się na neutron, pozyton i neutrino elektronowe, te dwie przemiany piszemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<math>{}^1_0n^+\rightarrow {}^1_1p^++{}^0_{-1}e^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.41}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{}^1_1p^+\rightarrow {}^1_0n^0+{}^0_1e^++\nu_e\;</MATH>|3.42}} }} Jeśli w jądrze atomowym zachodzi przemiana {{LinkWzór|3.41}}, to liczba masowa jądra się nie zmienia, a liczba atomowa Z zwiększa się o jeden, tą przemianę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z+1}Y+{}^0_{-1}\beta^-+\tilde{\nu}_e\;</MATH>|3.43}} Jeśli w jądrze atomowym zachodzi przemiana {{LinkWzór|3.42}}, to liczba masowa jądra się nie zmienia, ale za to liczba atomowa zmniejsza się o jeden, tę przemianę piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+{}^0_1\beta^++\nu_e\;</MATH>|3.44}} * '''Warunki energetyczne rozpadu &beta;{{Sup|-}}''' Patrząc na rozpad {{LinkWzór|3.43}} warunek na energię rozpadu, która jest większa lub równa zero, i jest wyrażona jako różnicę masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i sumy mas jadro po rozpadzie {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z+1}Y\;</MATH>}} i masy elektronu ujemnego (cząstki &beta;{{Sup|-}}) i energii antyneutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=M(A,Z)-[M(A,Z+1)+m_e+m_{\tilde{\nu}_e}]\;</MATH>|3.45}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.13|Nukleony a budowa jądra atomowego}} na mass excess dostajemy wzór na ciepło rozpadu &beta;{{Sup|-}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=ME(A,Z)-ME(A,Z+1)\;</MATH>|3.45a}} * '''Warunki energetyczne rozpadu &beta;{{Sup|+}}''' Patrząc na rozpad {{LinkWzór|3.44}} warunek na energię rozpadu, która jest większa lub równa zero, jest wyrażona jako różnica masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i sumy mas jądra po rozpadzie {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z-1}Y\;</MATH>}} i masy pozytonu oraz energii neutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^+}=M(A,Z)-[M(A,Z-1)+m_e+m_{\nu_e}]\;</MATH>|3.46}} Wykorzystując wzór {{LinkWzór|1.13|Nukleony a budowa jądra atomowego}} na mass excess dostajemy wzór na ciepło rozpadu &beta;{{Sup|+}}: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\beta^-}=ME(A,Z)-ME(A,Z-1)\;</MATH>|3.46a}} * '''Przemiana EC''' Te przemiany powstają po wychwycie elektronu lub pozytonu przez jądro i odpowiednio liczba masowa A nie zmienia się, a liczba atomowa Z maleje o jeden po wychwycie elektronu: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX+e^-\rightarrow{}^A_{Z-1}Y+\nu_e\;</MATH>|3.47}} Energia rozpadu jest różnicą sumy masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_ZX\;</MATH>}} i masy elektronu, oraz sumy masy jądra {{Formuła|<MATH>{}^A_{Z-1}Y\;</MATH>}} i energii neutrina elektronowego: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{EC}=M(A,Z)+m_e-[M(A,Z-1)+m_{\nu_e}]\;</MATH>|3.48}} Rozpad &beta;{{Sup|-}} i EC z wychwytem elektronu to są procesy konkurencyjne. Najbardziej prawdopodobny jest wychwyt elektronu z powłoki elektronowej K. Stała zaniku tejże przemiany jest sumą stałej zaniku powstałej z wychwytem elektronu z powłoki elektronowej K, który dominuje i z dalszych powłok elektronowych, nazwijmy je L{{Sub|I}} i L{{Sub|II}}, itd.: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EC}=\lambda_{EC}(K)+\lambda_{EC}(L_{I})+\lambda_{EC}(L_{II})+...\;</MATH>|3.49}} : W Jądrach lekkich stała zaniku przemiany EC &lambda;{{Sub|EC}} z wychwytem elektronu jest mniejsza lub równa stałej rozpadu przemiany &beta;{{Sup|+}} (&lambda;{{Sub|EC}}&le;&lambda;{{Sub|&beta;{{Sup|+}}}}), w jądrach ciężkich stała zaniku &lambda;{{Sub|EC}} jest większa niż stała zaniku przemiany &beta;{{Sup|+}}, (&lambda;{{Sub|EC}}>&lambda;{{Sub|&beta;{{Sup|+}}}}). Iloraz stałej zaniku przemiany EC przez stałą zaniku &beta;{{Sup|+}} jest wyrażony, w zależności od energii przemiany Q{{Sub|EC}} {{LinkWzór|3.54}} i liczby atomowej Z: {{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda_{EC}}\over{\lambda_{\beta^+}}}\sim\left({{Z}\over{Q_{EC}/m_ec^2}}\right)^3\;</MATH>|3.50}} * '''Anihilacja elektronu i pozytonu''' W wyniku zderzenia elektronu i pozytonu obie te cząstki znikają i pojawiają się dwa kwanty &gamma; pędzące w przeciwnych kierunkach, gdzie energia pojedynczego kwantu jest E{{Sub|&gamma;}}=511keV. {{CentrujWzór|<MATH>e^++e^-\rightarrow 2\gamma</MATH>|3.53a}} Rozpadowi &beta;{{Sup|+}} towarzyszy emisja promieniowania anihilacyjnego &gamma;. Procesowi EC z wychwytem elektronu towarzyszy emisja antyneutrinów elektronowych {{Formuła|<MATH>\tilde{\nu}_e\;</MATH>}} oraz promieniowanie &gamma; lub '''elektronów Augera''' (czyli elektronów, które w wyniku przejścia elektromagnetycznego elektron jest wybijany z powłoki elektronowej, najsilniejsze zjawisko to się obserwuje, gdy elektron wybijamy jest najniższych powłok, to zachodzi gdy funkcje falowe elektronów na powłokach elektronowych pokrywają się z funkcjami falowymi nukleonów w jądrze atomowym). {{Rysunek|Widmo energetyczne w rozpadzie beta.png|3.8|Widmo energetyczne w rozpadzie beta|rozmiar=400px}} {{Rysunek|Wizualizacja rozpadu beta minus.png|3.9|Wizualizacja rozpadu &beta;{{Sup|-}}|rozmiar=200px}} Energia wydzielana w rozpadzie &beta; jest to energia wyrażona wzorem {{LinkWzór|3.45}} (rozpad &beta;{{Sup|-}}) lub {{LinkWzór|3.46}} (rozpad &beta;{{Sup|+}}), energia ta może być pomniejszona, gdy powstałe jądro po przemianie przejdzie w stan wzbudzony, wtedy {{Formuła|<MATH>E_{\beta}^{max}\;</MATH>}} jest równe: {{CentrujWzór|<math>E_{\beta}^{max}=Q_{\beta}-E_{wzb}(Y)\;</MATH>|3.52}} Rysunek {{LinkRysunek|3.8}} przedstawia widmo w rozpadzie beta, gdy nie uwzględnimy bariery potencjału. Widmo energetyczne rozpadających cząstek jest ciągłe (powstają dwie cząstki). W rozkładzie &beta;{{Sup|+}} rzeczywiście nie ma pozytonów o zerowej energii, ponieważ w tym rozpadzie powstający elektron musi przebyć barierę energetyczną, w wyniku czego cząstka &beta;{{Sup|+}} zostaje rozpędzona do pewnej prędkości, co jest wynikiem odpychania kulombowskiego, widmo energii {{LinkRysunek|3.8}} jest przesunięte w lewo, a w przepadku rozpadu &beta;{{Sup|-}} widmo jest przesunięte w prawo, a więc w tym ostatnim nie ma cząstek o energii zerowej, ponieważ cząstka zostaje zwolniona przez barierę potencjału. Pomiary energii maksymalnej cząstki beta, czyli {{Formuła|<MATH>E_{\beta}^{max}\;</MATH>}} dają informację o różnicy mas między jądrem przed i po rozpadzie. Badania prowadzone nad rozpadem &beta; wykazały, że cząstki &nu;{{Sub|e}} bardzo słabo oddziaływają z materią, jego przekrój czynny jest &sigma;=11&sdot;10{{Sup|-44}}m, jeśli już ta cząstka oddziałuje z materią to z protonem daje w wyniku tego produkty neutron i pozyton: {{CentrujWzór|<MATH>p+\tilde{\nu}_e\rightarrow n+e^+\;</MATH>|3.53}} * '''Prawdopodobieństwo przejść''' Zgodnie z elektrodynamiką kwantową prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu pomiędzy stanami <nowiki><i|</nowiki> a <nowiki><f|</nowiki> z emisją cząstki o energii (E,E+dE), który tutaj używając E{{Sub|0}}=E{{Sub|e}}+E{{Sub|&nu;}}=Q{{Sub|&beta;}}, czyli &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}) oznacza gęstość stanów końcowych e i &nu;, napiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{2\pi}\over{\hbar}}|\langle f|\hat{H}_{oddz}|i\rangle|^2\rho_f(E_0)dE_e\;</MATH>|3.54}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\hat{H}_{oddz}=\hat{h}_{\beta}\;</MATH>}} jest to hamiltonian opisujący mechanizm oddziaływań słabych. Wygodnie jest liczyć prawdopodobieństwo przemiany &beta; w przedziale (p,p+dp) i mając na uwadze {{LinkWzór|3.54}}, to z niego otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(p)dp={{2\pi}\over{\hbar}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}| i\rangle|^2f_f(E_0)dp\;</MATH>|3.55}} wtedy wzór na gęstość stanów końcowych jest równa {{Formuła|<MATH>\rho_f(E_0)={{dN_f}\over{V^2dE_0}}\;</math>}}, gdzie dN{{Sub|f}}=dN{{Sub|e}}dN{{Sub|&nu;}}. Mając na uwadze dN jako liczba stanów końcowych dostępnym w przedziale pędów (p,p+dp) w objętości przestrzennej V, która jest to objętość pudła w prowadzona do celu normalizacyjnych, zatem wzór na dN jest: {{CentrujWzór|<MATH>dN={{d^3\vec{p}V}\over{h^3}}={{4\pi p^2dpV}\over{(2\pi \hbar)^3}}\;</MATH>|3.56}} Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>dp_{\nu}={{dE_{\nu}}\over{c}}\;</MATH>}}, wtedy gęstość stanów końcowych &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}), wiedząc, że dla m{{Sub|&nu;}}, to wtedy zachodzi {{Formuła|<MATH>E_0=E^{max}\;</MATH>}}, przedstawiamy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\rho_f(E_0)={{4\pi p_e^2dp_e V\cdot 4\pi p_{\nu}^2dp_{\nu}V}\over{V^2(2\pi\hbar)^6dE_0}}={{1}\over{4\pi^4\hbar^7c^3}}p_e^2(E_0-E_e)^2dp_e\;</MATH>|3.57}} Mając wzór na przelicznik pędu cząstki na jej energię całkowitą {{Formuła|<MATH>E_c^2=p_e^2c^2+m_e^2c^4\;</MATH>}}, który zróżniczkujemy obustronnie i podzielimy przez dwa otrzymując {{Formuła|<MATH>E_edE_e=c^2p_edp_e\;</MATH>}}, także mając na uwadze {{LinkWzór|3.55}} jako prawdopodobieństwo zajścia przemiany &beta;, że układ będzie miał energię z przedziału (E{{Sub|e}},E{{Sub|e}}+dE{{Sub|e}}), co do niego podstawiamy wzór {{LinkWzór|3.57}}, który przedstawia gęstość stanów końcowych, to w końcowych perypetiach otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE_e(E_0-E_e)^2dE_e\;</MATH>|3.58}} Jeśli dodatkowo będziemy pamiętać, że masa neutrina może być różna od zera, tzn. m{{Sub|&nu;}}&ne;0, wtedy energia prawdopodobieństwa stanów przejścia, przeliczając znów gęstość prawdopodobieństwa stanów końcowych &rho;{{Sub|f}}(E{{Sub|0}}) dla tego przypadku, przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>P_e(E_e)dE_e={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE_e(E_0-E_e)\sqrt{(E_0-E_e)^2-m_{\nu}^2c^4}dE_e\;</MATH>|3.59}} We wzorze {{LinkWzór|3.59}} zauważmy, że zachodzi {{Formuła|<MATH>E_0=E^{max}+m_{\nu}c^2\;</MATH>}}. * '''Wpływ masy spoczynkowej lub jej brak dla (anty)neutrina na widmo elektronów w rozpadzie &beta;''' {{Rysunek|Widmo wartości pędów elektronów w rozpadzie beta a masa spoczynkowa neutrina.png|3.10|Widmo wartości pędów elektronów w rozpadzie beta a masa spoczynkowa neutrina|rozmiar=400px}} Należy porównać wzory na &lambda;(E)dE z uwzględnieniem masy spoczynkowej neutrina i przy zerowej jego masie. W widmie elektronów istnieją różnice występujące na jego samym końcu, przy masie spoczynkowej neutrina różnej od zera, koniec widma jest prostopadły do osi E{{Sub|e}}, a gdy masa neutrina jest równa zero, to koniec widma dąży stycznie do tej osi. Na podstawie widma można wyznaczyć masę spoczynkową neutrina m{{Sub|&nu;}}. Wynik rozpadu &beta;{{Sup|-}} na jądrze {{Sup|3}}He, którego energia rozpadu jest Q{{Sub|&beta;}}=18,6keV i o czasie połowicznego rozpadu T{{Sub|1/2}}=12,3 lat wykazały, że masa spoczynkowa neutrina jest mniejsza niż 35eV (m{{Sub|&nu;}}&le;35eV). * '''Wpływ pola elektrycznego jądra na stałą zaniku rozpadu &beta; &lambda;{{Sub|&beta;}} i na widmo &beta;''' Pole elektryczne wpływa na wynik stałej zaniku w rozpadzie &beta;, dlatego wprowadza się czynnik korekcyjny Fermiego, który jest ilorazem kwadratów modułów funkcji falowej fali płaskiej pod wpływem pola elektrycznego i cząstki swobodnej: {{CentrujWzór|<MATH>F(E,Z)={{|\psi_e(0)_{culomb}|^2}\over{|\psi_e(0)_{swob}|^2}}\;</MATH>|3.60}} W przybliżeniu nierelatywistycznym czynnik korekcyjny Fermiego ma postać: {{CentrujWzór|<MATH>F(E,Z)={{X}\over{1-e^{-X}}}\mbox{ gdzie:}X=\pm{{Ze^2c}\over{2\epsilon_0\hbar v_er}}\mbox{ dla }r>>R_0\;</MATH>|3.61}} * gdzie we wzorze na X {{LinkWzór|3.61}} wybieramy znak plus dla rozpadu &beta;{{Sup|-}}, a dla rozpadu &beta;{{Sup|+}} znak minus. Jeżeli m{{Sub|&nu;}}=0, to prawdopodobieństwo {{LinkWzór|3.58}} przy uwzględnieniu czynnika korekcyjnego Fermiego: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(E)dE={{1}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2p_eE(E_0-E)^2F(E_0,Z)dE\;</MATH>|3.61a}} Często E{{Sub|e}} wyraża się jednostkach m{{Sub|e}}c{{Sup|2}}, czyli przy podstawieniu {{Formuła|<MATH>\mathcal{E}={{E}\over{m_ec^2}}\;</MATH>}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(\mathcal{E})d\mathcal{E}={{(m_ec^2)^5}\over{2\pi^3\hbar^7c^5}}|\langle f|\hat{H}_{\beta}| i\rangle|^2\mathcal{E}\sqrt{\mathcal{E}^2-1}(\mathcal{E}_0-\mathcal{E})^2F(\mathcal{E},Z)d\mathcal{E}\;</MATH>|3.62}} Ale F(E,Z) można obliczyć jeszcze dokładniej uwzględniając efekty relatywistyczne, a także uwzględniając pole elektryczne powłok elektronowych. F(E,Z) posiada wartości zebrane w tablicach fizycznych. * '''Całkowite prawdopodobieństwo przejścia''' Wzory &lambda;{{Sub|&beta;}}(E) opisywały prawdopodobieństwo przejścia &beta; między stanami {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} z emisją elektronu o energii (E,E+dE). Biorąc całkę po prawdopodobieństwa przejścia od energii zerowej do E{{Sub|0}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\int_0^{E_0}\lambda_{\beta}(E,Z)_{i\rightarrow f}dE=\lambda_{\beta}(E_0,Z)_{i\rightarrow f}\;</MATH>|3.63}} które jest prawdopodobieństwem całkowitego przejścia i→f. Dla przejść dozwolonych zakładając przy tym, że {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle\;</MATH>}} słabo zależy od E{{Sub|e}}, który można napisać dla masy spoczynkowej neutrina równej zero (m{{Sub|&nu;}}=0): {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(E_0,Z)_{i\rightarrow f}\equiv\operatorname{const}|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2\underbrace{\int_0^{E_0}F(E,Z)p_eE(E_0-E)^2dE}_{f(E_0,Z)}\;</MATH>|3.64}} Z drugiej jednak strony według {{LinkWzór|3.25}} stała rozpadu jest odwrotnością średniego czasu rozpadu i odwrotnością czasu połowicznego rozpadu pomnożonej przez logarytm naturalny z dwójki: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\beta}(i\rightarrow f)={{1}\over{\tau_{(if)}}}={{\ln 2}\over{T_{1/2(if)}}}\;</MATH>|3.65}} Wzory {{LinkWzór|3.65}} (na stałą zaniku w zależności od czasu połowicznego rozpadu) możemy połączyć ze wzorem {{LinkWzór|3.64}} (na definicję stałej zaniku z teorii rozpadu &beta;), w ten sposób otrzymując: {{CentrujWzór|<MATH>f(E_0,Z)_{(if)}\cdot T_{1/2(if)}={{\operatorname{const}}\over{|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2}}\equiv ft_{(f)}\;</MATH>|3.66}} Wartości ft są bardzo duże, więc przyjęto się podawać jego logarytm log ft, praktycznie ono mieści się w przedziale 3&le;log ft&le;22, co odpowiada czasom połowicznego zaniku &sim;10{{Sup|-3}}s&le;T{{Sub|1/2}}&le;&sim;10{{Sup|14}}lat {{Tabelka|opcje=width=auto|klasa=wikitable|styl=margin-left:auto;margin-right:auto;|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Numer n'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''przejcia &beta;'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''log ft'''}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|{{Center|'''Uwagi'''}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|0}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|dozwolone}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 3&divide;6}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|Zmiana momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\Delta I=0,1\;</MATH>}}, i parzystości: {{Formuła|<MATH>\Delta\pi=\pm 1\;</MATH>}}.}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|1}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 7&divide;9}}}}<!-- -->{{Komórka|nagłówek=tak|opcje=rowspan=4|styl=max-width:350px;|{{Center|Jeżeli {{Formuła|<MATH>n\;</MATH>}} to stopień wzbronienia, wtedy zmiana parzystości: {{Formuła|<MATH>\Delta\pi=(-1)^n\;</MATH>}}, i momentu pędu: {{Formuła|<MATH>\Delta I=\pm n\;</MATH>}} (nieunikalne) lub {{Formuła|<MATH>\Delta I=\pm(n+1)\;</MATH>}} (unikalne).}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|2}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 9&divide;13}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|3}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 13&divide;18}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|{{Center|4}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|wzbronione}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Center|ok. 18&divide;22}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} === Elementy macierzowe hamiltonianu w rozpadzie &beta; względem stanu krańcowych (elementy teorii rozpadu &beta;) === Teorię rozpadu &beta; opracował E. Fermi w roku 1934 r., według której ten rozpad jest wynikiem oddziaływań słabych nukleonu z polem elektronowo-neutrinowym w jądrze atomowym. W tym modelu wprowadzono, że oddziaływanie słabe jest superpozycją pięciu oddziaływań cząstkowych, w tym: oddziaływania skalarnego (S), wektorowego (V), tensorowego (T), pseudowektorowego (A) i pola pseudoskalarnego (P). Każdej postaci oddziaływania odpowiada określona postać hamiltonianu {{Formuła|<MATH>\hat{H}_k\;</MATH>}}, inna dla oddziaływania zachowującego parzystość ({{Formuła|<MATH>\hat{H}_k^{'}\;</MATH>}}), dla oddziaływania niezachowującego parzystości ({{Formuła|<MATH>\hat{H}_k^{''}\;</MATH>}}). Jeśli wprowadzimy stałe {{Formuła|<MATH>C_k\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>C_k^{'}</MATH>}}, które są w ogólności liczbami zespolonymi, to dla każdego oddziaływania mamy w sumie 20 parametrów, tzn. dla oddziaływań k=S,V,T,A,P, a hamiltonian oddziaływania słabego jest w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}_{\beta}=\sum_k(C_k\hat{H}_k^{'}+C_k^{'}\hat{H}_k^{''})\;</MATH>|3.67}} Funkcje falowe {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} mają w ogólności postać czterowskaźnikową, które są niezbędne do obliczeń elementów macierzowych {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle\rightarrow\hat{H}_{if}\;</MATH>}}. * W uproszonym modelu przyjmuje się, że te funkcje są jednoskładnikowe i dla e i &nu; funkcje falowe opisujące je są funkcjami typu fali płaskiej: {{CentrujWzór|<MATH>\Psi(r)=ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r})}\;</MATH>|3.68}} * parzystość jest zachowywana, gdy {{Formuła|<MATH>C_k^'\;</MATH>}}, jest równe zero, * operator zaburzenia dla wszystkich oddziaływań jest wielkością stałą {{Formuła|<MATH>\hat{H}^'_k=g\hat{\Omega}\;</MATH>}}, gdzie g charakteryzuje natężenie (ładunek) oddziaływania słabego. Na podstawie powyższych uproszczeń mamy kwadrat elementu macierzowego operatora {{LinkWzór|3.67}}: {{CentrujWzór|<MATH>H_{if}^2=g^2|\Psi_e\Psi_{\nu}|^2=|\langle f|\hat{\Omega}|i\rangle|^2=\operatorname{const}\cdot g^2|M_{if}|^2\;</MATH>|3.69}} * Element macierzowy M{{Sub|if}} nazywamy jądrowym elementem macierzowym. Wzór {{LinkWzór|3.69}} określa prawdopodobieństwo kreacji pary (e,&nu;) w jądrze. Funkcja {{LinkWzór|3.68}} słabo zależy od r dla r&le;R{{Sub|j}}, więc możemy przyjąć: {{CentrujWzór|<MATH>|\psi_{e(\nu)}(r)|^2\simeq|\Psi_{e(\nu)}(r=0)|^2=a^2=\operatorname{const}\;</MATH>|3.70}} Wartość M{{Sub|if}} zależy od stopnia pokrycia się fal stanów końcowych {{Formuła|<MATH>i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} stanów przekształcających się nukleonów. Jeśli te stany są bardzo podobne lub identyczne, to zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH>|M_{if}|^2=\Omega^2\;</MATH>|3.71}} Taką sytuację mamy w jądrach lekkich (Z=N) i w jądrach zwierciadłowych. W jądrach tychże prawdopodobieństwo przejścia &beta; zachodzi z dużym prawdopodobieństwem (logft&sim; od 3 do 3,5, co je nazywamy przejściami ponaddozwolonymi) i |H{{Sub|if}}|{{Sup|2}} nie zależy od energii cząstek &beta; E{{Sub|&beta;}}. * Ogólnie |H{{Sub|if}}|{{Sup|2}}, a więc i &lambda;{{Sub|i→f}}, a zarazem log ft zależą od {{Formuła|<MATH>|\sum_kg_k^2|M_k|^2_{if}\;</MATH>}} (plus człony mieszane), a więc od rodzaju oddziaływania (k) i od struktury stanów jądrowych {{Formuła|<MATH>i\rangle\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}}. Z porównania wyników doświadczalnych (wykresów Fermiego-Kurie,lopgft, itp.) z obliczeniami teoretycznymi (wg. Fermiego) wynika, że: * Oddziaływania S i V jest oddziaływaniem kreującym parę leptonów (elektronu i neutrino) w stanie singletowym (o przeciwnych spinach), stąd wynika, że zachowana jest orientacja spinu nukleonu biorącego udział w przemianie &beta;, stąd regułami wyboru są: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|=0\;</MATH>|3.72}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=1\;</MATH>|3.73}} }} : Przejścia opisane wzorami {{LinkWzór|3.72}} i {{LinkWzór|3.73}} nazywamy przejściami Fermiego. * Oddziaływania T (tensorowe) i A (pseudowektorowe), czyli inaczej zwane oddziaływaniem Gamowa-Tellera, kreują parę e i &nu; w stanie tripletowym (spiny e i &nu; są ze sobą zgodne), wtedy zmienia się orientacja spinu nukleonu na przeciwny. Regułami wyboru w tym przypadku są przedstawione poniżej za wyjątkiem przejścia 0&rArr;0, który jest niedozwolony: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|=0\mbox{ lub }1\;</MATH>|3.74}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=1\;</MATH>|3.75}} }} : Przejścia opisane wzorami {{LinkWzór|3.74}} i {{LinkWzór|3.75}} są to przejścia GT. * Za rozpady &beta; są odpowiedzialne oddziaływania typu V i A, tzn. kwadrat elementy macierzowego jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|^2=|H_{\beta}|^2_{if}=g_V^2|M_F|^2_{if}+g_A^2|M_{GT}|^2_{if}+\mbox{wyrazy mieszane}\;</MATH>|3.76}} Stosunek stałej g{{Sub|A}} przez stałą g{{Sub|v}} jest równy: {{Formuła|<MATH>{{g_A}\over{g_V}}\simeq-1,253(7)\;</MATH>}}, a także g{{Sub|V}}&asymp;0,88&sdot;10{{Sup|-4}}MeV&sdot;fm{{Sup|3}}. Jeśli wprowadzimy stałe oddziaływania g{{Sub|k}}, to hamiltonian przejścia rozpadu &beta; jest: {{CentrujWzór|<MATH>\hat{H}_{\beta}=\sum_{k}g_k\hat{H}_k\mbox{ gdzie: }k=S,V,T,A,(P)\;</MATH>|3.77}} Stałą g{{Sub|k}} można wyznaczyć znając wartość log ft ze wzoru {{LinkWzór|3.66}}, a stąd wyznaczamy {{Formuła|<MATH>|\langle f|\hat{H}_{\beta}|i\rangle|\;</MATH>}}. === Niezachowywanie parzystości w rozpadzie &beta; === Funkcję nazywamy parzystą, gdy po zamianie w niej wektora położenia na minus, otrzymamy ten sam wektor, a wartość funkcji nie zmienia się. Funkcję nazywamy nieparzystą, gdy wartość funkcji zmienia się na przeciwną, całą teorię funkcji parzystych i nieparzystych podano w książce: {{lg|Mechanika kwantowa/Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej#Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości|Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości}}. Dotychczas uważano, że zasada zachowania parzystości jest spełniona zawsze i jest na równi z zasadą zachowania energii, ale T.D Lee i L.N. Yang (1956 r.) wykazali, że można zbudować teorię rozpadu &beta;, w której nie jest spełniona zasada zachowania parzystości. Sugerowali, że ewentualne niezachowanie parzystości można wykryć badając jądra spolaryzowane w rozpadzie &beta;, która jest domeną oddziaływań słabych. * '''Doświadczenie C.B. Wu ze współpracownikami''' W tym doświadczeniu badano emisję cząstek &beta; ze spolaryzowanych jąder {{Sup|60}}Co, w celu wyznaczenie wartości średniej pseudoskalara {{Formuła|<MATH>\vec{I}\cdot\vec{p}\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}} jest momentem pędu jądra {{Sup|60}}Co, a {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} jest momentem pędu elektronów &beta;{{Sup|-}}. Aby stwierdzić, czy jest spełniona zasada zachowania parzystości, należy sprawdzić natężenie N{{Sub|&beta;}} dla kątów pomiędzy wektorami momentu pędu i pędu, tzn. dla 0{{Sup|o}} i 180{{Sup|o}}. Aby potwierdzić zachowanie parzystości należy stwierdzić, że w doświadczeniu zajdzie N{{Sub|&beta;}}(0{{Sup|O}})=N{{Sub|&beta;}}(180{{Sup|O}}), a gdy parzystość nie jest zachowana należy stwierdzić {{Sub|&beta;}}(0{{Sup|O}})&ne;N{{Sub|&beta;}}(180{{Sup|O}}). W doświadczeniu pani Wu kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{I}\;</MATH>}} określał kierunek pola magnetycznego polaryzującego jądra {{Sup|60}}Co, co zachodzi w wyniku polaryzacji tego jądra z jego momentem magnetycznym. Kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} określała oś licznika, który rejestrował rozpad {{Sup|60}}Co. Aby uzyskać polaryzację jądra i aby było można pomnąc ruchy termiczne, to musi zachodzić &mu;B>k{{Sub|B}}T, gdzie &mu; to moment magnetyczny jądra {{Sup|60}}Co, co wymaga B&ge;10T i T&le;10{{Sup|-2}}K. {{Rysunek|Ilustracja doświadczenie C. B. Wu.png|3.11|Rozpad &beta;{{Sup|-}} dla {{Sup|60}}Co w doświadczeniu C.B. Wu|rozmiar=200px}} W tym doświadczeniu temperaturę T&asymp;10{{Sup|-3}} uzyskano metodą adiabatycznego rozmagnesowania paramagnetyka, uprzednio ochłodzonego do temperatury 1K, tzn. do temperatury ciekłego He pod zmniejszonym ciśnieniem. Pole B=10T uzyskano dzięki wykorzystaniu wewnętrznych pól magnetycznych paramagnetyków (azotanu cezowo-magnezowego), które polaryzowano małym polem zewnętrznym. Moment magnetyczny {{Sup|60}}Co jest &mu;&asymp;3,8&mu;{{Sub|N}}. W doświadczeniu uzyskano więcej emitowanych elektronów &beta;{{Sup|-}} w kierunku przeciwnym do orientacji spinu {{Sup|60}}Co, stąd wynika, że parzystość nie jest zachowana. Funkcja kątowa rozkładu &beta;{{Sup|-}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>f(\theta)=A(1+a\cos\theta)\;</MATH>|3.78}} Wzór {{LinkWzór|3.78}} wyjaśnia anizotropowy rozkład kątowy cząstek &beta;{{Sup|-}}. === Skrętność leptonów === {{Rysunek|Skrętność dodatnia i ujemna leptonów.png|3.12|Skrętność dodatnia a) i ujemna b) leptonów}} Następna grupa pomiarów dotyczyła pomiaru polaryzacji elektronów i neutrin w celu określenia polaryzacji pędu {{Formuła|<MATH>\vec{p}\;</MATH>}} i jego momentów pędu spinowego {{Formuła|<MATH>\vec{s}\;</MATH>}}. Wykazano, że leptony ze skrętnością dodatnią mają wektor spinu i pędu zwrócone w tą samą stronę (H=+1), a w polaryzacji ujemnej moment pędu spinowy jest zwrócony w stronę przeciwną niż pęd (H=-1). Skrętność leptonów określamy ze wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>H={{\vec{p}\cdot\vec{s}}\over{|\vec{p}||\vec{s}|}}\;</MATH>|3.79}} Elektrony z rozpadu &beta; są spolaryzowane podłużnie. Skrętność &nu;{{Sub|e}} wyznaczono w doświadczeniu Goldhabera, ustalono, że skrętność elektronu jest H{{Sub|e{{Sup|-}}}}=-1, dla pozytonu H{{Sub|e{{Sup|+}}}}=+1, dla neutrina elektronowego H{{Sub|&nu;{{Sub|e}}}}=-1 i antyneutrina elektronowego {{Formuła|<MATH>H_{\tilde{\nu}_e}=+1\;</MATH>}} przy polaryzacji stuprocentowej P{{Sub|&nu;}}=1. To doświadczenie potwierdziło niezachowanie parzystości, wektorowo-pseudowektorowy (V-A) charakter oddziaływań &beta;, znikomą masę &nu;{{Sub|e}}. == Przejścia elektromagnetyczne (emisyjne) == Przejścia elektromagnetyczne dzielimy na: {{Rysunek|Przejścia elektromagnetyczne.png|3.13|Przejścia elektromagnetyczne|rozmiar=200px}} * przejścia &gamma;, emitowany jest kwant &gamma;, jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|&gamma;}}. * przejścia konwersyjne (KW) emitowany jest elektron e{{Sup|-}}, jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|KW}}. * przejścia konwersyjne z zachowaniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} (KP), jego stała zaniku jest &lambda;{{Sub|KP}}. Całkowita stała zaniku przejść elektromagnetycznych jest sumą stałych zaniku wcześniej wymienionych trzech przejść, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}+\lambda_{KP}=\lambda_{\gamma}\left(1+{{\lambda_{KW}}\over{\lambda_{\gamma}}}+{{\lambda_{KP}}\over{\lambda_{\gamma}}}\right)\;</MATH>|3.80}} Wprowadźmy nowe oznaczenia, tzn. * {{Formuła|<MATH>{{\lambda_{KW}}\over{\lambda_{\gamma}}}=\alpha_t\;</MATH>}} jako całkowity współczynnik konwersji wewnętrznego danego przejścia. * {{Formuła|<MATH>{{\lambda_{KP}}\over{\lambda_{\gamma}}}=\alpha_{KP}\;</MATH>}} jako współczynnik konwersji z utworzeniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} Wzór {{LinkWzór|3.86}} na podstawie wcześniejszych oznaczeń przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}(i\rightarrow f)=\lambda_{\gamma}(i\rightarrow f)\left[1+\alpha_t(i\rightarrow f)+\alpha_{KP}(i\rightarrow f)\right]\;</MATH>|3.81}} Promieniowanie towarzyszące poszczególnym przejściom unosi energię E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}, moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec{I}_i-\vec{I}_f\;</MATH>}} i parzystość &pi;{{Sub|i}}&sdot;&pi;{{Sub|f}}. === Przejścia &gamma; === {{Rysunek|Przejścia gamma.png|3.14|Przejścia gamma}} Dzięki energii przejścia emitowany jest kwant &gamma; o energii E{{Sub|&gamma;}} i częstości &nu;, czyli E{{Sub|&gamma;}}=h&nu;=E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}-E{{Sub|od}}, gdzie energia odrzutu {{Formuła|<MATH>E_{od}={{(h\nu)^2}\over{2M_jc^2}}\;</MATH>}}, jest ona mała i liczona jest w elektronowoltach. W doświadczeniu przyjmuje się, że energia przejścia jest opisana wzorem E{{Sub|&gamma;}}=E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}. Widmo promieniowania &gamma; jest dyskretne, ale liniowe. Według elektrodynamiki Maxwella źródłem fal elektromagnetycznych są zmienne pola elektromagnetyczne pochodzące od drgających multipoli elektrycznych i magnetycznych, które są rzędu l=1(dipol), 2(kwadrupol), 3(oktupol), itd. Rozwiązania równań w bazie funkcji własnych operatora momentu pędu, możemy rozłożyć na funkcje falowe, które są rozłożone w bazie funkcji kulistych Y{{Sub|lm}}(&theta;,&phi;). l odpowiada polu promieniowania drgającego pola klasycznego elektrycznego i magnetycznego, a 2{{Sup|l}} jest to rząd pól. Współczynniki rozwinięcia odpowiadają amplitudom rozpatrywanego promieniowania elektromagnetycznego. Możemy dokonać kwantyzacji pola według elektrodynamiki kwantowej i stwierdzamy, że kwant &gamma; o multipolowości rzędu l dla promieniowania elektrycznego lub magnetycznego unosi ze sobą: * moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec{L}\;</MATH>}} o wartości jego kwadratu momentu pędu {{Formuła|<MATH>|\vec{L}|^2=l(l+1)\hbar^2\;</MATH>}}. * parzystość &pi;{{Sub|E}}=(-1){{Sup|l}} w przypadku pola elektrycznego, lub &pi;{{Sub|M}}=(-1){{Sup|l+1}} w przypadku pola magnetycznego. : Rodzaj pola (&sigma;&equiv;E lub M) i rząd polowości (l) promieniowania określa się wspólnym mianem multipolowością (&sigma;l), co bardziej ogólniej można powiedzieć, że multipolowość jest parametrem każdego przejścia EM wynikający z reguł wyboru i własności pola EM jądra. * '''Reguły wyboru przejścia elektromagnetycznego''' Moment pędu promieniowania elektromagnetycznego jest większy od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie), dalej ona jest natomiast mniejsza od sumy krańcowych momentów pędu jąder: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.82}} Parzystość unoszona przez kwant &gamma; jest: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\cdot\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla EL}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla Ml}\end{cases}\;</MATH>|3.83}} Ponieważ nie ma promieniowania monopolowego l=0 przejścia typu I{{Sub|i}}=0→I{{Sub|f}}=0 są wzbronione. * '''Szereg multipolowy''' Szereg multipolowy promieniowania &gamma; jest zawsze szybkobieżny ze względu na l, bo stosunek stałej zaniku dla ściśle określonego promieniowania dla l i l+1 jest równy 10{{Sup|5}}, a także stosunek stałej zaniku promieniowania elektrycznego i stałej zaniku w promieniowaniu magnetycznemu jest równy od 10 do 100, czyli liczbie masowej podniesionej do kwadratu i spierwiastkowanej o stopniu trzy, te dwa wzory przedstawiamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda(\sigma,l)}\over{\lambda(\sigma,l+1)}}=10^5\;</MATH>|3.84}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>{{\lambda(EL)}\over{\lambda(ML)}}=A^{2/3}= \mbox{od 10 do 100}\;</MATH>|3.85}} }} Promieniowanie Ml może być zmieszane z promieniowaniem z El+1 i procentowemu udziałowi wyższej polowości promieniowania elektrycznego lub magnetycznego określa współczynnik określony w procentach: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{\gamma}={{\lambda(\sigma^',l+1)}\over{\lambda(\sigma,l)+\lambda(\sigma^',l+1)}}\cdot 100\%\;</MATH>|3.86}} Na przykład promieniowanie M1 może być zmieszane z 10% promieniowania E2 lub inny przykład E1+0,01%M2, to stopień zmieszania określa się przez współczynnik zmieszania danego przejścia jako: {{CentrujWzór|<MATH>\delta^2_{\gamma}\equiv{{\lambda(\sigma^',l+1)}\over{\lambda(\sigma,l)}}={{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}}\;</MATH>|3.87}} * '''Prawdopodobieństwo przejścia''' Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu końcowego o stałej zaniku &lambda;(&sigma;l,i→f) określamy znając energię przejścia E{{Sub|&gamma;}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda(\sigma l,i\rightarrow f)={{8\pi}\over{\hbar}}{{l+1}\over{l[2l+1]!!]^2}}\left({{E_{\gamma}}\over{\hbar c}}\right)^{2l+1}B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</MATH>|3.88}} * gdzie zredukowane prawdopodobieństwo przejścia {{Formuła|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</MATH>}} dla ściśle określonego danego rodzaju promieniowania elektromagnetycznego jest zapisane: {{CentrujWzór|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)={{1}\over{2I_i+1}}\sum_{l,m}|\langle f|\hat{M}^{\sigma}_{lm}|i\rangle|^2\;</MATH>|3.89}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\langle f|\hat{M}^{\sigma}_{lm}|i \rangle\;</MATH>}} jest to zredukowany element macierzowy multipolowego operatora {{Formuła|<MATH>\hat{M}^{\sigma}_{lm}\;</MATH>}} przejścia o multipolowości &sigma;l. === Konwersja wewnętrzna (KW) === Przejście elektromagnetyczne, w którym energia przejścia E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}} zostaje przekazana elektronowi z powłoki n o energii wwiązania B{{Sub|e}}<E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}, W wyniku czego elektron wylatuje z energią kinetyczną równą: {{CentrujWzór|<MATH>E_{EKW}(n)=(E_i-E_f)-B_e(n)\;</MATH>|3.90}} Konwersja wewnętrzna jest możliwa, gdy funkcje falowe powłoki elektronowej o numerze „n” i funkcje falowe jądra pokrywają się częściowo. Przykrycie to maleje ze wzrostem liczby powłoki „n”, a stąd powinno zachodzić: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}(K)>\lambda_{KW}(L)>\lambda_{KW}(M)>...\;</MATH>|3.91}} Prawdopodobieństwo danej całkowitej konwersji wewnętrznej podczas przejścia i→f przy wybiciu odpowiednich elektronów z powłok elektronowych (K,L,M,...) jest równe: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}^{tot}=\lambda_{KW}(K)+\lambda_{KW}(L)+\lambda_{KW}(M)+....\;</MATH>|3.92}} KW towarzyszy emisja EKW oraz promieniowania X lub elektronów Augera. Widmo energii wybijanych elektronów jest dyskretne. * '''Reguły wybory''' Moment pędu promieniowania elektromagnetycznego jest większa od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie) i jest natomiast mniejsza od sumy momentów pędu jąder krańcowych, dalej przedstawiamy tą zależność jako: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.93}} Cząstki unoszą parzystość równą iloczynowi parzystości poziomów krańcowych „i” i „f” równą: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\cdot\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla przejść El}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla przejść Ml}\\ \end{cases}\;</MATH>|3.94}} Dozwolone są przejścia {{Formuła|<MATH>0^+\xrightarrow{E0}0^+\;</MATH>}} z l=0. Współczynnik WKW przejść EM o multipolowości &sigma;l pomiędzy stanami {{Formuła|<MATH>|i\rangle\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>|f\rangle\;</MATH>}} jest przedstawiany jako: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_n(\sigma l)_{if}={{\lambda_{KW}(n,\sigma l)_{if}}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)_{if}}}\;</MATH>|3.95}} Współczynnik kowersji wewnętrznej jest równy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_{KW}^{tot}(\sigma l)_{if}=\alpha_{KW}(K)+\alpha_{KW}(L)+\alpha_{KW}(M)+...\;</MATH>|3.96}} Wartości poszczególnych konwersji wewnętrznych dla powłoki elektronowej n przedstawiamy ogólnym wzorem &alpha;{{Sub|n}}(&sigma;l){{Sub|if}}=f(n,Z,E{{Sub|&gamma;}},&sigma;l). Dla przypadków przejść mieszanych &sigma;l+&sigma;{{Sup|'}}l+1 dla dowolnej powłoki elektronowej, z której elektron jest wybijany, stałą zaniku określamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{KW}(n\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{KW}(n,\sigma l)+\lambda_{KW}(n,\sigma^'l+1)\;</MATH>|3.97}} Współczynnik konwersji wewnętrznej WKW na podstawie stałej zaniku {{LinkWzór|3.96}} przedstawiamy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)={{\lambda_{KW}(\sigma l)+\lambda_{KW}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)+\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}}={{ {{\lambda_{KW}(\sigma l)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}}+{{\lambda_{KW}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}} }\over{ {{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}}+{{\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda(\sigma l)}} }}={{ \alpha(\sigma l)+\alpha(\sigma'l+1){{\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)}\over{\lambda_{\gamma}(\sigma l)}} }\over{1+\delta_{\gamma}^2}}={{\alpha(\sigma l)+\delta^2_{\gamma}\alpha(\sigma^'l+1)}\over{1+\delta_{\gamma}^2}}\;</MATH>|3.98}} Jeśli wykorzystamy definicję współczynnika zmieszania {{Formuła|<MATH>\delta^2_{\gamma}\;</MATH>}} {{LinkWzór|3.87}}, wtedy jak łatwo pokazać, że {{LinkWzór|3.98}} możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha(\sigma l+\sigma^'l+1)={{\alpha(\sigma l)+{{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}}\alpha(\sigma^'l+1)}\over{1+{{Q_{\gamma}}\over{1-Q_{\gamma}}} }}=(1-Q_{\gamma})\alpha(\sigma l)+Q_{\gamma}\alpha(\sigma^' l+1)\;</MATH>|3.99}} Widać, że współczynniki WKW, że względu na powłokę, której zostaje przekazana energia elektronowi tam się znajdującej spełnia następującą relację: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_K(\sigma l+\sigma^'l+1):\alpha_{L_I}(\sigma l+\sigma^'l+1):\alpha_{L_{II}}(\sigma l+\sigma^'l+1):...=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= [\alpha_K(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_K(\sigma^'+1)]:[\alpha_{L_I}(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_{L_I}(\sigma^'+1)]:[\alpha_{L_{II}}(\sigma l)+\delta_{\gamma}^2\alpha_{L_{II}}(\sigma^'+1)]:...\;</MATH>|3.100}} ==== Ogólne zasady pomiarów parametrów przejść elektromagnetycznych jąder atomowych ==== Energia przejścia E{{Sub|if}}, współczynnik WKW przejść elektromagnetycznych, promieniowanie elektromagnetyczne zmieszane &sigma;l+&sigma;'l', parametr zmieszania przejść &gamma; &delta;{{Sup|2}}, a także zredukowany element macierzowy przejścia B(&sigma;l), wtedy zając te parametry można poznać strukturę jąder atomowych. ===== Energie przejść &gamma; ===== Badania przejść elektromagnetycznych polega na badaniu: * pomiaru widm promieniowania &gamma;, tzn.: E{{Sub|if}}, E{{Sub|&gamma;}}(-E{{Sub|odrzutu}}), * pomiaru widm EKW (konwersji wewnętrznej, tzn.:E=E{{Sub|EKW}}(n)+B{{Sub|e}}(n). Aparaturę widm &gamma; dzielimy na spektrometry &gamma; (licznikowe i krystaliczne), spektrometry EKW (licznikowe i magnetyczne). ===== Multipolowość (&sigma;l+&sigma;'l',&delta;{{Sup|2}}) ===== Multipolowość dla przejść &gamma;(&sigma;l+&sigma;'l',&delta;{{Sup|2}}) określa się na w sposób: * na podstawie reguł wyboru, gdy określone są spiny i parzystość jąder {{Formuła|<MATH>I_i^{\pi},I^{\pi}_f\;</MATH>}}, gdy są określone warunki zmieszania promieniowania elektromagnetycznego &sigma;l+&sigma;l+1. * a także z pomiarów bezwzględnych wartości WKW {{LinkWzór|3.95}} i porównanie jej z doświadczeniem, ten współczynnik jest funkcją multipolowości i parametru zmieszania {{LinkWzór|3.87}}, wartość bezwzględna tego współczynnika jest stosunkiem ilości jąder ulegająca przemianie, tzn. konwersji wewnętrznej przez liczbę kwantów &gamma; wydzielanych na przejściu z danego poziomu w jądrze na niższy: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha^{exp}(n)={{N_{EKW}(n)}\over{N_{\gamma}}}\;</MATH>|3.101}} * z pomiarów stosunków liczby cząstek ulegające konwersji wewnętrznej, które są według definicji przechwycenia przez jądro elektronu z powłoki L{{Sub|I}}, L{{Sub|II}},L{{Sub|III}}, tzn. N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|I}})/N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|II}})/N{{Sub|EKW}}(L{{Sub|III}}), które są silną funkcją &sigma; i &delta;{{Sup|2}} dla przejść elektromagnetycznych. Określmy parametr zmieszania, który określa się przy pomocy współczynników konwersji wewnętrznej dla przejść pomiędzy L{{Sub|I}} i L{{Sub|II}}, czyli dla M1+E2 w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\delta^2={{\alpha_{L_{I}}^{teor}(M1)-{{N(L_{I})}\over{N(L_{III})}}\alpha^{teor}_{L_{III}} (M1)}\over{\alpha_{L_{I}}^{teor}(E2)-{{N(L_{I})}\over{N(L_{III})}}\alpha^{teor}_{L_{III}} (E2)}}\;</MATH>|3.102}} Podobne wzory otrzymujemy dla przejść L{{Sub|II}} i L{{Sub|I}}. Stosunki N(n)/N(n') określa się na podstawie widm EKW. Stosunki &lambda;{{Sub|L{{Sub|I}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|II}}}},&lambda;{{Sub|L{{Sub|I}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|III}}}},&lambda;{{Sub|L{{Sub|II}}}}/&lambda;{{Sub|L{{Sub|III}}}} silnie zależą od multipolowości &sigma;l i energii E przejścia. Pomiary tychże stosunków EKW na podpowłokach L{{Sub|I}}, L{{Sub|II}}, L{{Sub|III}}, itd. pozwala wyznaczyć współczynniki Q{{Sub|&gamma;}} i &delta;{{Sup|2}}. ===== Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia ===== Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia możemy określić przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.88}}. B(&sigma;l) możemy wyznaczyć z pomiarów &lambda;{{Sub|&gamma;}}(&sigma;l). Dla rozważań nad zjawiskiem KP i przejściami &gamma;, to całkowita stała zaniku określamy jako sumą stałej zaniku przejścia &gamma; i przejścia konwersji wewnętrznej, czyli przejścia KP. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}=\lambda_{\gamma}+\lambda_{KW}=\lambda_{\gamma}\left(1+\alpha_{KW}\right)\;</MATH>|3.103}} Wiedząc, że stała zaniku dla przejścia elektromagnetycznego &lambda;'{{Sub|EM}} jest odwrotnością średniego czasu życia rozpadu elektromagnetycznego, to stałą zaniku przejścia &gamma; piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}={{\lambda_{EM}}\over{1+\alpha_{KW}}}={{1}\over{\tau(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.104}} Skorzystajmy ze wzoru {{LinkWzór|3.88}}, który przepiszemy dla przejrzystości wykładu: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma l,i\rightarrow f)=f(E_{\gamma},l)B(\sigma l,i\rightarrow f)\;</math>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<math>f(E_{\gamma},l)={{8\pi}\over{\hbar}}{{l+1}\over{l[2l+1]!!]^2}}\left({{E_{\gamma}}\over{\hbar c}}\right)^{2l+1}\;,</MATH>|3.105}} Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia według wzoru {{LinkWzór|3.105}} określamy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>B(\sigma l,i\rightarrow f)={{1}\over{\tau(1+\alpha_{KW})f(E_{\gamma},l)}}\;</MATH>|3.106}} Ale dla przypadku przejść zmieszanych &sigma;l+&sigma;'l+1 stałą zaniku promieniowania elektromagnetycznego dla multipolowości zmieszanych &sigma;l+&sigma;'l+1 określamy jako sumę stałej zaniku promieniowania &gamma; o tej multipolowości i stałej zaniku konwersji wewnętrznej też o tych samych zmieszanych multipolowościach, tutaj będziemy korzystać ze wzoru {{LinkWzór|3.105}} i definicji stałej konwersji wewnętrznej &alpha;{{Sub|KW}}: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{EM}(\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{\gamma}(\sigma l+\sigma^'l+1)+\lambda_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)=\lambda_{\gamma}(\sigma l+\sigma^'l+1)\left[1+\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \left(\lambda_{\gamma}(\sigma l)+\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)\right)\left[1+\alpha_{KW}(\sigma l+\sigma^'l+1)\right]=\lambda_{\gamma}(\sigma l)[1+\delta^2_{\gamma}][1+\alpha_{KW}]={{1}\over{\tau}}\;</MATH>|3.107}} Jeśli wykorzystamy definicję średniego czasu rozpadu promieniowania elektromagnetycznego jako odwrotność jego stałej rozpadu, wtedy dla multipolowości &sigma;l mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma l)={{1}\over{\tau(1+\delta^2)(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.108}} Stała zaniku dla promieniowania o multipolowości &sigma;l+1 określamy przy pomocy wzoru {{LinkWzór|3.87}} wiedząc, że mamy stałą zaniku dla multipolowości &sigma;l {{LinkWzór|3.108}}. {{CentrujWzór|<MATH>\lambda_{\gamma}(\sigma^'l+1)=\delta^2_{\gamma}\lambda_{\gamma}(\sigma l)={{\delta^2_{\gamma}}\over{\tau(1+\delta^2_{\gamma})(1+\alpha_{KW})}}\;</MATH>|3.109}} Biorąc zredukowane prawdopodobieństwo rozpadu według wzoru {{LinkWzór|3.105}}, to wtedy możemy obliczyć B(&sigma;l) i B(&sigma;l+1) dla składowych o multipolowościach &sigma;l i &sigma;'l+1, które noszą nazwę zredukowanych parcjalnych prawdopodobieństw przejść &gamma; dla składowych &sigma;l i &sigma;'l+1. === Konwersja wewnętrzna par e{{Sup|-}}e{{Sup|+}}(KWP) === {{Rysunek|Współczynnik KWP od energii przejścia.png|3.15|Współczynnik KWP od energii przejścia}} Poznaliśmy już {{sr|#Przejścia &gamma;|przejścia elektromagnetyczne|b=tak}} i {{sr|#Konwersja wewnętrzna (KW)|konwersję wewnętrzną (KW)|b=tak}}, które maleją wraz ze wzrostem energii przejścia i rosną ze wzrostem Z jądra, one zachodzą dla energii przejścia ok. 1MeV, współczynnik WKW jest 10{{Sup|-3}}. Gdy E{{Sub|i}}-E{{Sub|f}}&ge;2m{{Sub|e}}c{{Sup|2}}=1,022MeV przejście dodatkowo może zachodzić z utworzeniem pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}}. Para elektron-pozyton unosi energię równą: {{CentrujWzór|<MATH>(E_i-E_f)-2m_ec^2=E^{(k)}_{e^+}+E^{(k)}_{e^-}+E_{odrzutu j.}\;</MATH>|3.110}} Moment pędu pary e{{Sup|+}}e{{Sup|-}} jest większy od wartości bezwzględnej różnicy wartości momentów pędu poszczególnych jąder krańcowych (jądro przed i po rozpadzie) i jest natomiast mniejsza od sumy jąder momentów pędu jąder krańcowych, tą zależność piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>|I_i-I_f|\leq l_{pary}\leq I_i+I_f\;</MATH>|3.111}} Parzystość unoszoną przez parę jest natomiast równa: {{CentrujWzór|<MATH>\pi_i\pi_f=\begin{cases}(-1)^l\mbox{ dla El}\\(-1)^{l+1}\mbox{ dla Ml}\\\end{cases}\;</MATH>|3.112}} Widmo energii e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}} jest ciągłe, tzn. energia pary jest od E=0 do E{{Sup|max}}=(E_i-E_f)&sim; 1,022MeV. Pozytony utworzone w wyniku tego rozpadu anihilują z elektronami ośrodka najczęściej według przemiany poniżej w wyniku czego powstaje kwant &gamma; o energii E{{Sub|&gamma;}}=511keV: {{CentrujWzór|<MATH>e^++e^-\rightarrow 2\gamma\;</MATH>|3.113}} Proces KWP nie jest powiązany żadną powłoka elektronową, więc prawdopodobieństwo słabo zależy od liczby atomowej jądra Z (maleje ze wzrostem Z). Zdefiniujmy współczynnik KWP, który jest stosunkiem stałej zaniku z utworzeniem pary i stałej zaniku promieniowania &gamma;: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha_p={{\lambda_{KWP}}\over{\lambda_{\gamma}}}\;</MATH>|3.114}} * rośnie ze wzrostem E przejścia dla E równą od 1,5 do 5MeV &alpha;{{Sub|p}} jest od 10{{Sup|-4}} do 10&sdot;10{{Sup|-4}}. * jest funkcją przejścia, tzn. &sigma;{{Sub|P}}(&sigma;l)>&alpha;{{Sub|P}}(&sigma;l+1) i &sigma;{{Sub|P}}(El)>&alpha;{{Sub|P}}(Ml). * prawdopodobieństwo KWP silnie zależy od kąta &theta; między kierunkami wylotu e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}}. Pomiary &alpha;{{Sub|p}} i korelacja kierunków wylotu e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}} wykorzystuje się do określenia &sigma;l o E{{Sub|&gamma;}}&ge;5MeV. Obliczenie teoretyczne &alpha;{{Sub|l}} są trudne do wykonania, ponieważ to wymaga znajomości funkcji falowej jądra i pary e{{Sup|+}} i e{{Sup|-}}. == Rozczepienie spontaniczne (spontanic fission(sf)) == {{Rysunek|Energia wiązania jąder podzielonej przez liczbę masową.png|3.16|Energia wiązania jąder podzielonej przez liczbę masową}} {{Rysunek|Fission product-pl.svg|3.17|Rozczepienie jądra atomowego na dwa jego fragmenty|rozmiar=200px}} W tym rozkładzie ciężkie jądro dzieli się spontanicznie na dwa fragmenty z emisją kilku neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\xrightarrow{sf}{}^{A_1}_{Z_1}F_1+{}^{A_2}_{Z_2}F_2+\nu n\mbox{, }\nu=\mbox{1,5 do 3}\;</MATH>|3.115}} Energia rozszczepienia jest różnica masy jądra przed rozszczepieniem i sumy mas jąder po rozszczepieniu i masy &nu; neutronów: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(A,Z)=[M_j(A,Z)-(M_j(A,Z_1)+M_j(A_2,Z_2)+\nu m_n)]\;</MATH>|3.117}} Aby rozszczepienie nastąpiło, to energia Q{{Sub|sf}} powinna być większe niż zero, co jest spełnione tylko dla jąder ciężkich na opadającej części wykresu B/A. Jeśli dodatkowo założymy, że B{{Sub|j}}=E(A,Z)&sdot;A, to otrzymamy inny ale równoważny do {{LinkWzór|3.115}} używając tylko energii wiązań przypadającej na jeden nukleon. {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(A,Z)=A\left(\overline{E}_{12}-E(A,Z)\right)</MATH>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>\overline{E}_{12}={{E_1A_1+E_2A_2}\over{A_1+A_2}}\;</MATH>|3.118}} Patrząc na wzór {{LinkWzór|3.118}}, aby zachodził warunek Q{{Sub|sf}}(A,Z)>0, to musi być spełniony {{Formuła|<MATH>\overline{E}_{12}\geq E\;</MATH>}}. Energię rozszczepienia Q{{Sub|sf}} unoszą produkty unoszenia, którą możemy rozpisać do: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}=E_k(F_1)+E_k(F_2)+E_{wzb}(F_1)+E_{wzb}(F_2)+E_k(\nu n)\;</MATH>|3.119}} Fragmemty rozszczepienia, czyli jądra wzbudzone z nadmiarem n ulegają * rozpadowi &beta;{{Sup|-}} * deeskcytacji stanów F{{Sup|*}} w wyniku przejść EM(&gamma;) lub emisję neutronów przez jądro. Widmo fragmentów jądra rozszczepiającego się w wyniku rozpadu {{LinkWzór|3.115}} jest dwugarbne, jeśli jądro rozpada się bez emisji neutronów, tzn. spełnione są warunki: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>{{A_1}\over{A_2}}\simeq{{2}\over{3}}\;</MATH>|3.120}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>A_1+A_2=A\;</MATH>|3.121}} }} === Mechanizm sf === {{Rysunek|Energy from the nucleus deformation.png|3.18|Energia jądra w zależności od deformacji}} {{Rysunek|Energia jądra bez bariery energetycznej.png|3.19|Energia jądra bez bariery energetycznej}} {{Rysunek|Przejście_tunelowe_z_barierą_energetyczną_zależnej_od_deformacji.png|3.20|Przejście tunelowe z barierą energetyczną}} {{Rysunek|Radioactive decay by fission.png|3.21|Dwa maksima a rozczepienie jądra}} Rozpatrzmy mechanizm rozszczepienia sf bez emisji neutronów na dwa fragmenty, dla którego zachodzą warunki {{LinkWzór|3.120}} i {{LinkWzór|3.121}}, wtedy rozszczepienie wygląda: {{CentrujWzór|<MATH>{}^A_ZX\rightarrow{}^{A_1}_{Z_1}F_1+{}^{A_2}_{Z_2}F_2\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;gdzie:&nbsp;}}<MATH>A_1={{2}\over{5}}A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>A_2={{3}\over{5}}A\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;oraz&nbsp;}}<MATH>Z_1={{3}\over{5}}Z\;</MATH>{{Tekst|&nbsp;i&nbsp;}}<MATH>Z_2={{2}\over{5}}Z\;</MATH>|3.122}} Energię jądra będziemy określać według modelu kroplowego {{LinkWzór|1.28|Nukleony_a_budowa_jądra_atomowego}}. Załóżmy, że podział jądra zachodzi przez podział jądra na dwa sferyczne fragmenty, wtedy energia wydzielająca się w wyniku rozczepienia jest: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(X)=[E_s(X)+E_C(x)]-[\underbrace{E_s(F_1)+E_s(F_2)}_{1,25E_S(X)}+\underbrace{E_C(F_1(F_1)+F_C(F_2)}_{0,64E_C(X)}]\;</MATH>|3.123}} We wzorze {{LinkWzór|3.112}} energię oznaczoną przez wskaźnik S oznacza efekty powierzchniowe, które pozwalają utrzymać kształt sferyczny jądra, a przez wskaźnik C będziemy oznaczać jako oddziaływanie kulombowskie, które starają się rozerwać jądro. W mechanizmie sf istotną rolę odgrywają energie E{{Sub|C}} i E{{Sub|S}}. stąd energię jądra {{LinkWzór|3.112}} możemy przepisać: {{CentrujWzór|<MATH>Q_{sf}(X)=0,36E_C(X)-0,25E_S(X)\;</MATH>|3.124}} Można pokazać wykorzystując relację na energię wiązania w modelu kroplowym, że dla Q{{Sub|sf}}(X)>0, gdy Z{{Sup|2}}/A>17. Jądra spełniające ten warunek mogą ulec natychmiastowego rozszczepieniu z czasem połowicznego zaniku T{{Sub|1/2}}&asymp;10{{Sup|-22}}s. Dla A=2Z otrzymamy natychmiast Z>34, czyli dla tych jąder następuje rozszczepienie. Doświadczalnie stwierdzono, że sf występuje tylko w jądrach ciężkich dla Z&ge;90 i zachodzi z bardzo małym prawdopodobieństwem, bo np. czas połowicznego rozpadu dla tego jądra uranu 238 jest {{Formuła|<MATH>T_{1/2}({}^{238}_{92}U)=6\cdot 10^{15}lat\;</MATH>}}. Lepszą zgodność z doświadczeniem występuje z założenia, że lepszą drogę do rozszczepienia jest poprzez deformację jądra. Deformację określa się przez parametr deformacji &beta;{{Sub|2}}. Warunek na rozszczepienie również będzie wyglądał poprzez wzajemną relację parametrów E{{Sub|s}}(A,Z,&beta;{{Sub|2}}) i E{{Sub|C}}(A,Z,&beta;{{Sub|2}}). Dla małych jąder E{{Sub|s}} (&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją rosnącą, a E{{Sub|C}}(&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją malejącą. Tak więc całkowita energia jądra zapisujemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>E_{LD}(Z,A,\beta)=E_S(Z,A,\beta_2)+E_C(Z,A,\beta_2)\;</MATH>|3.125}} Funkcja {{LinkWzór|3.118}} rośnie przy wzroście &beta;{{Sub|2}}, więc to pełni rolę bariery energetycznej &Delta;E{{Sub|sf}} przy podziale jądra. Dla małych &beta;{{Sub|2}} przy energii jądra niezdeformowanego E{{Sub|LD}}(Z,A,0) energię jądra zdeformowanego piszemy poprzez: {{CentrujWzór|<MATH>E_{LD}(Z,A,\beta_2)\simeq E_{LD}(Z,A,0)+{{\beta_2^2}\over{5}}\left(2E_S(A,Z,0)-E_C(Z,A,0)\right)\;</MATH>|3.126}} Jeśli (2E{{Sub|s}}-E{{Sub|C}}<0, to E{{Sub|LD}}(&beta;{{Sub|2}}) jest funkcją malejącą, wtedy nie ma bariery na rozczepienie. Warunek ten jest spełniony dla Z{{Sup|2}}/A&ge;49, gdy Z&ge;120, wtedy rozpad sf jądra jest natychmiastowy, wtedy czas połowicznego zaniku jest rzędu 10{{Sup|-22}}s. Jeżeli (2E{{Sub|s}}-E{{Sub|C}})>0 bariera występuje, a jej wysokość maleje w miarę zmniejszania się parametru Z{{Sup|2}}/A&le;49, wtedy sf zachodzi tylko w wyniku przejść tunelowych, i czas połowicznego zaniku silnie zależy od Z{{Sup|2}}/A. Przy większej deformacji prowadzącej do rozszczepienia jądra atomowego poprawki powłokowe zakładające gładką zależność bariery na rozczepienie mogą prowadzić do pojawienia się drugiego minimum. Tłumaczy to zjawisko izometrii rozszczepieniowej. Ze względu na rozczepienie bariery połowiczny czas życia stanu podstawowego jest większy lub równy czasowi stanu izomerycznego, tzn.T{{Sub|1/2}}(sf){{Sub|st. podst.}}&ge;T{{Sub|1/2}}(sf){{Sub|st. izomer.}}, dla jądra {{Sup|238}}U mamy czas zycia poziomu podstawowego T{{Sub|1/2}}&asymp;6&sdot;10{{Sup|15}}lat, a czas życia poziomu izomerycznego jest T{{Sub|1/2}}&asymp;195&sdot;10{{Sup|-9}}s. Uwzględnienie &delta;E{{Sub|shell}}+&delta;E{{Sub|paring}}, czyli energię uwzględniające strukturę powłokową jądra i energię parowania, pozwalają dokładnie opisać wysokość bariery na rozszczepienie w poszczególnych jądrach oraz obserwowaną doświadczalnie silną zależność sf od struktury jądra atomowego, i pozwalają zrozumieć dwugarbny charakterystyczny rozkład mas w wyniku rozczepienia jądra atomowego w rozczepieniu asymetrycznym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> drmvp5hqxbpnp6hjnt70k8j86xc85lf 0 22570 559055 558642 2026-10-11T01:06:43Z Persino 2851 559055 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Poznamy tutaj metody obliczania wektorów i wartości własnych dla macierzy o n wierszach i n kolumnach, czyli kwadratowej, a także poznamy metody obliczania wartości własnych dla tej macierzy znając definicję algebry, który można poznać ze standardowego kursu algebry. == Wstęp do obliczania wartości i wektorów własnych dla macierzy kwadratowej == * Wartości i wektory własne dla macierzy kwadratowej o stopniu n, czyli {{Formuła|<MATH>\mathbf{A}_{n\times n}\;</MATH>}}, oznaczamy kolejno przez {{Strong|x}}, &lambda;, wtedy te wielkości spełniają warunek {{Strong|A}}{{Strong|x}}=&lambda;{{Strong|x}}. * Wartości własne liczymy ze wzoru det({{Strong|A}}-&lambda;{{Strong|I}})=0, który przedstawia wielomian charakterystyczny, który przyrównamy tu do zera. * Gdy rozpatrzymy macierz transponowaną {{Strong|A}}{{Sup|T}}, to jego wektory i wartości własne nazywamy lewostronnymi wartościami i wektorami własnymi. Widmem macierzy {{Formuła|<MATH>A_{n\times n}</MATH>}}, czyli Sp({{Strong|A}}) nazywamy zbiór wartości własnych &lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}. Widma macierzy kwadratowej jego odpowiednika transponowanego są takie same. * Jeśli przez &lambda;{{Sub|L}} oznaczymy wartości własne lewostronne, a przez &lambda;{{Sub|P}} wartości własne macierzy kwadratowej {{Strong|A}}, to wektory własne macierzy {{Strong|A}} i macierz transponowanej {{Strong|A}}{{Sup|T}} są takie, że są do siebie prostopadłe według definicji iloczynu skalarnego, a dowód jego przebiega:<{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|A}}{{Strong|x}}{{Sub|p}}>=&lambda;{{Sub|p}}({{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|x}}{{Sub|P}}), a także zachodzi <{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|A}}{{Strong|x}}{{Sub|p}}>=<{{Strong|A}}{{Sup|T}}{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|x}}{{Sub|P}}=&lambda;{{Sub|L}}<{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|x}}{{Sub|P}}>, stąd odejmując te dwa ostatnie równania otrzymujemy (&lambda;{{Sub|L}}-&lambda;{{Sub|p}})<{{Strong|x}}{{Sub|L}},{{Strong|x}}{{Sub|P}}>=0. * Jeśli wartości własne macierzy {{Strong|A}} są &lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|2}},..,&lambda;{{Sub|n}}, to wartościami własnymi dla wielomianu p(t) przy t={{Strong|A}} są liczby p(&lambda;{{Sub|1}}), p(&lambda;{{Sub|2}}),...,p(&lambda;{{Sub|n}}), to z definicji wspomnianego wielomianu wektory własne macierzy p({{Strong|A}}) są takie same jak wektory własne macierzy {{Strong|A}}. * Gdy &lambda; jest wielomianem charakterystycznym macierzy {{Strong|A}}, który przyrównamy do zera, to {{Strong|A}} musi być macierzą zerową. * Gdy zdefiniujemy macierz {{Strong|P}}, który jest macierzą podobieństwa i zachodzi {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}={{Strong|B}}, to macierze {{Strong|A}} i {{Strong|B}} są do siebie podobne. * Macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{Q}_{m\times n}\;</MATH>}} i m&ge;n jest macierzą ortogonalną, gdy zachodzi warunek {{Formuła|<MATH>\mathbf{Q}^T\mathbf{Q}=I_{n\times n}\;</MATH>}}. * Kolumny i wiersze macierzy ortogonalnej {{Formuła|<MATH>\mathbf{Q}_{n\times n}\;</MATH>}} są wektorami do siebie ortogonalnymi. * Macierz diagonalna {{Strong|D}} jest macierzą podobną do macierzy {{Strong|A}}, gdy istnieje macierz ortogonalna {{Strong|Q}}, która jest macierzą ortogonalnie podobną, taką że zachodzi {{Strong|Q}}{{Sup|T}}{{Strong|A}}{{Strong|Q}}={{Strong|D}}. * Macierze symetryczne {{Strong|A}} mają wektory własne o składowych rzeczywistych i rzeczywiste wartości własne. * Macierz diagonalna {{Strong|D}} jest podobna do macierzy {{Strong|A}} na w sposób {{Strong|D}}={{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}, które są do siebie podobne i mają takie same wartości własne zespolone. * Każda macierz trójkątna, która jest w ogólności macierzą zespoloną, jest macierzą unitarnie podobną do dowolnej macierzy kwadratowej. Zdefiniujmy macierz zwaną macierzą Jordana rzędu k, w której &lambda; jest w ogólności liczbą zespoloną taką, że: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{J}=\begin{bmatrix}\lambda&1&&0\\0&\ddots&\ddots&0\\0&0&\ddots&1\\0&0&&\lambda\end{bmatrix}_{k\times k}\;</MATH>|6.1}} * Jeśli macierze {{Strong|J}}{{Sub|1}},{{Strong|J}}{{Sub|2}},...,{{Strong|J}}{{Sub|r}} będziemy nazywać klatkami Jordana {{LinkWzór|6.1}}, wtedy każdą macierz {{Strong|A}} przy definicji macierzy podobnej {{Strong|P}}, która w ogólności jest macierzą zespoloną, możemy przedstawić w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\begin{bmatrix}\mathbf{J}_1&&&&&&\\&\mathbf{J}_2&&&&0&\\&0&&&&\ddots&\\&&&&&&\mathbf{J}_r\end{bmatrix}\;</MATH>|6.2}} * Kwadrat normy euklidesowej dla normy ||&sdot;||{{Sub|E}} jest większy lub równy sumie kwadratów modułów wartości własnych macierzy {{Strong|A}}. {{CentrujWzór|<MATH>\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2\leq||\mathbf{A}||_E^2\;</MATH>|6.3}} * Widmo macierzy, które jest sumą macierzy {{Strong|A}} i skalaru pomnożonej przez macierz jednostkową jest równa sumie widma wspomnianej macierzy i skalaru c. {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{Sp}(\mathbf{A}+c\mathbf{I})=\operatorname{Sp}(\mathbf{A})+c\;</MATH>|6.4}} : której powyższe wyrażenie jest zbiorem, którego elementy są sumą liczb &lambda;{{Sub|i}} i stałej "c", czyli &lambda;{{Sub|1}}+c,&lambda;{{Sub|2}}+c,...,&lambda;{{Sub|n}}+c. * Koło domknięte o środku a{{Sub|ii}} i promieniu równej sumie elementów na wierszu bez elementów na diagonali spełnia warunek: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{C}_i=\left\{z:|z-a_{ii}|\leq\sum^n_{\overset{j=1}{\underset{j\neq i}{}}}|a_{ij}|\right\}\;</MATH>|6.5}} : to wtedy widmo macierzy A zawiera się sumie zbiorów {{LinkWzór|6.5}} dla wszystkich i od i=1 do n. Jeśli stworzymy zbiór dla k rozłącznych kół określonych według powyższego schematu, to w tak utworzonym zbiorze leży k wartości własnych należącej do macierzy {{Strong|A}}. * Nierówność &rho;({{Strong|A}})&ge;&rho;({{Strong|B}}) zachodzi, gdy moduły elementów macierzy {{Strong|B}} są mniejsze lub równe elementom macierzy {{Strong|A}}. * Jeśli macierz {{Strong|A}} ma wartości własne &lambda;, to macierz {{Strong|B}}={{Strong|A}}-c{{Strong|x}}><{{Strong|x}} ma dokładnie takie same wartości i wektory własne jak macierz {{Strong|A}} dla wektorów własnych różnych od {{Strong|x}}, a dla wektora własnego równego {{Strong|x}} odpowiada jemu wartość własna równa &lambda;-c. == Błędy zaokrągleń dowolnej macierzy wraz z jego wartościami i wektorami własnymi == Będziemy się tutaj zajmować błędami zaokrągleń macierzy {{Strong|A}} i jego wartości własnej, gdy błędy zaokrągleń naszej macierzy dążą do zera, czyli dla <MATH>\overline{\lambda}=\lambda+\delta\lambda\;</MATH> błędy zaokrągleń wartości własnej dążą do zera, czyli dla macierze dokładnej <MATH>\overline{A}=\overline{A}+\delta{A}\;</MATH> przy zanikającym błędach zaokrągleń. Podajmy kilka definicji dotyczącej odległości pomiędzy zbiorami i odległości pomiędzy liczbą a zbiorem. * Odległości pomiędzy widmem macierzy {{Strong|A}} a liczbą "z", czyli zbiorem wartości własnych Sp({{Strong|A}})={&lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}} nazywamy liczbę zdefiniowanej w postaci {{Formuła|<MATH>\min_{i=1,..,n}|z-\lambda_i|\;</MATH>}}, które przedstawimy według oznaczenia dist(z-Sp({{Strong|A}})). * Dla dwóch widm macierzy {{Strong|A}} i macierzy {{Strong|B}}, które są macierzami kwadratowymi, to odległość pomiędzy nimi przy zdefiniowanej wartości własnej dla tychże dwóch wspomnianych macierzy &lambda;{{Sub|i}} i &gamma;{{Sub|i}}{{Sup|p}} jest {{Formuła|<MATH>{\min_p\max_{i=1,...,n}|\lambda_i-\gamma_i^{(p)}|}\;</MATH>}} dla kolejnych wskaźników i=1,2,..,n. *Jeśli błędy zaokrągleń macierzy {{Strong|A}} dążą do zera, to widmo Sp({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}) dąży do widma Sp({{Strong|A}}), wtedy powiemy ||Sp({{Strong|A}})-Sp({{Strong|A}})||{{Sub|&infin;}}→0. * Macierz {{Strong|A}} i macierz diagonalna {{Strong|D}}, jeśli są podobne do siebie, to zachodzi warunek {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}={{Strong|D}}, wtedy odległość wartości własnej macierzy przybliżonej {{Strong|A}} i macierzy dokładnej {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}} jest napisana poprzez oszacowanie dist(&lambda;,Sp({{Strong|A}}))&le;&alpha;, przy której definicję stałej &alpha; jest opisywana poprzez {{Br}}&alpha;=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|P}}||{{Sub|2}}||&delta;{{Strong|A}}||{{Sub|2}}. * Wskaźnik uwarunkowania macierzy {{Strong|A}}, która służy według zadania do wyliczania wartości własnej macierzy {{Strong|A}} podobnej do diagonalnej nazywamy liczbę K{{Sub|2}}=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|P}}||{{Sub|2}}. *Przy macierzy przekształcenia {{Strong|P}} i dowolnej macierzy symetrycznej {{Strong|A}} jest zadaniem dobrze uwarunkowanym, gdy zachodzi K{{Sub|2}}({{Strong|P}})=1. * Przekształcenie jednej macierzy w drugą nazywamy operację matematyczną w postaci formuły {{Strong|B}}={{Strong|R}}{{Strong|A}}{{Strong|R}}{{Sup|-1}}, która to macierz {{Strong|A}} jest macierzą nieosobliwa, co może to pogorszyć lub polepszyć uwarunkowanie wspomnianej macierzy, bo zachodzi K{{Sub|2}}({{Strong|P}})=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|P}}||{{Sub|2}}, a dla macierzy drugiej podobnej do poprzedniej uwarunkowanie macierzy jest równe K{{Sub|2}}=||({{Strong|R}}{{Strong|P}}){{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|R}}{{Strong|P}}||{{Sub|2}}. * Gdy mamy przekształcenie {{Strong|B}}={{Strong|Q}}{{Strong|A}}{{Strong|Q}}{{Sup|T}} przy macierzy ortogonalnej {{Strong|Q}}, to ono nie zmienia uwarunkowana wartości własnych macierzy, tzn. są spełnione warunki ||{{Strong|Q}}{{Strong|P}}||{{Sub|2}}=||{{Strong|P}}{{Sub|2}}|| i ||({{Strong|Q}}{{Strong|P}}){{Sup|-1}}||{{Sub|2}}=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|Q}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}=||{{Strong|P}}{{Sup|-1}}||{{Sub|2}}. * Weźmy sobie dwie macierze {{Strong|A}} i {{Strong|D}}, która ta ostatnia macierz jest macierzą diagonalną, a wektory {{Strong|x}}{{Sub|i}} i {{Strong|y}}{{Sub|i}} dla i=1,...,n są odpowiednio wektorami własnymi i wektorami własnymi lewostronnymi wspomnianej macierzy, i oznaczając wartość własną macierzy {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}} przez &gamma;{{Sub|i}}, wtedy możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\gamma_i=\lambda_i+\delta^1\lambda_i+\delta^2\lambda_i+o(||\delta\mathbf{A}||^2)\;</MATH>|6.6}} wtedy poszczególne składniki w sumie {{LinkWzór|6.6}} przepisujemy według dwóch schematów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta^1\lambda_i={{\langle\mathbf{y}_i,\delta\mathbf{A}\mathbf{x}_i\rangle}\over{\langle\mathbf{y}_i,\mathbf{x}_i\rangle}}\;</MATH>|6.8}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\delta^2\lambda_i={{1}\over{\langle\mathbf{y}_i,\mathbf{x}_i\rangle}}\sum^n_{\overset{j=1}{\underset{i\neq i}{}}}{{\langle\mathbf{y}_j,\delta \mathbf{A}\mathbf{x}_i\rangle}\over{\langle\mathbf{y}_i,\mathbf{x}_i\rangle(\lambda_i-\lambda_j)}}\;</MATH>|6.9}} }} Dla dowolnego zaburzenia dla dowolnej macierzy widmo macierzy {{Strong|A}} &gamma;&isin;Sp({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}) przy przekształceniu {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}={{Strong|J}} jest tak napisane, by było spełnione oszacowanie przy definicji &alpha;=K{{Sub|2}}({{Strong|P}})||&delta;{{Strong|A}}||{{Sub|2}}, a także napiszemy wzór dla dostatecznie małych zaburzeń macierzy {{Strong|A}} poprzez oszacowanie: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dist}(\gamma,Sp(\mathbf{A}))\leq k\max(\alpha,\sqrt[k]{\alpha})\;</MATH>|6.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{dist}(\gamma,Sp(\mathbf{A}))\leq(1+(k-1)\sqrt[k]{\alpha})\sqrt[k]{\alpha}\;</MATH>|6.11}} }} Przejdźmy teraz do dowodu wzoru {{LinkWzór|6.11}}, które przedstawimy przy pomocy macierzy Jordana. Weźmy sobie teraz dowolną macierz {{Strong|A}}, która jest podobna do macierzy Jordana {{Strong|J}} według przekształcenia {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Strong|P}}={{Strong|J}}. Weźmy sobie wartość własną macierzy {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}, czyli &gamma;, którego równanie własne przepisujemy wedle schematu ({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}){{Strong|x}}=&gamma;{{Strong|x}}, wtedy równanie własne macierzy Jordana jest ({{Strong|J}}+{{Strong|P}}{{Sup|-1}}(&delta;{{Strong|A}}{{Strong|P}}){{Strong|y}}=&gamma;{{Strong|y}}, jeśli przyjmować będziemy {{Strong|E}}={{Strong|P}}{{Sup|-1}}(&delta;{{Strong|A}}){{Strong|P}}, wtedy możemy napisać ({{Strong|J}}-&gamma;{{Strong|I}}){{Strong|y}}=-{{Strong|E}}{{Strong|y}}, wtedy lewą stronę ostatnio wspomnianego równania przepisujemy w postaci rozwiniętej: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{J}-\gamma\mathbf{I})=\begin{bmatrix} \mathbf{J}_1-\gamma\mathbf{I}_1&&&\\ &\ddots&\\ &&\mathbf{J}_1-\gamma\mathbf{I}_2&&\\ &&&\ddots&\\ &&&&\mathbf{J}_n-\gamma\mathbf{I}_3&\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.12}} Poszczególne macierze występujące w macierzy {{LinkWzór|6.12}}, czyli {{Strong|J}}{{Sub|m}}-&gamma;{{Strong|I}}{{Sub|m}}, możemy przepisać według schematu: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} \lambda_m-\gamma&1\\ 0&\lambda_m-\gamma&1&&0\\ &&\ddots&\ddots&\\ &0&&&\lambda_m-\gamma\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.13}} Macierz odwrotną do macierzy prostej {{Strong|J}}-&gamma;{{Strong|I}} piszemy wychodząc od wzoru {{LinkWzór|6.13}}, tzn.: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{J}_m-\gamma\mathbf{I}_m)=\begin{bmatrix} {{1}\over{\lambda_m-\gamma}}&{{1}\over{(\lambda_m-\gamma)^2}}&\cdots&{{(-1)^{k_m-1}}\over{(\lambda_m-\gamma)^{k_m-1}}}\\ 0&{{1}\over{(\lambda_m-\gamma)}}&\cdots&{{(-1)^{k_m-2}}\over{(\lambda_m-\gamma)^{k_m-1}}}\\ &&\ddots&\vdots\\ &0&&{{1}\over{(\lambda_m-\gamma)}}\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.14}} Macierz odwrotną do macierzy {{LinkWzór|6.12}} przy definicji poszczególnych jego kratek {{LinkWzór|6.14}} piszemy według: {{CentrujWzór|<MATH> (\mathbf{J}-\gamma\mathbf{I})^{-1}=\begin{bmatrix} (\mathbf{J}_1-\gamma\mathbf{I}_1)^{-1}&\\ 0&\ddots&\\ 0&(\mathbf{J}_2-\gamma\mathbf{I}_2)^{-1}&\\ &0&\ddots\\ &&&(\mathbf{J}_m-\gamma\mathbf{I})^{-1}\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.15}} Ze wzoru powyżej podanego możemy napisać równość {{Strong|y}}=-({{Strong|J}}-&gamma;{{Strong|I}}){{Sup|-1}}{{Strong|E}}{{Strong|y}}, wtedy z definicji normy możemy napisać nierówność, która wynika z ostatniej równości 1&le;||({{Strong|J}}-&gamma;{{Strong|I}}){{Sup|-1}}||{{Sub|2}}||{{Strong|E}}{{Sub|2}}, wtedy na podstawie tego wyrażenie {{LinkWzór|6.15}} i {{Formuła|<MATH>||\mathbf{M}||_2\leq\sqrt{||\mathbf{M}||_1||\mathbf{M}_{\infty}||}\;</MATH>}}, piszemy: {{CentrujWzór|<MATH>||(\mathbf{J}-\gamma\mathbf{I})^{-1}||_2\leq{{1}\over{|\lambda-\gamma|}}+{{1}\over{|\lambda-\gamma|^2}}+...+{{1}\over{|\lambda-\gamma|^k}}\;</MATH>|6.16}} Jeśli oznaczymy &rho;=dist(&gamma;,Sp({{Strong|A}})), wtedy wyrażenie {{LinkWzór|6.15}} przepisujemy wedle: {{CentrujWzór|<MATH>\rho^k\leq(1+\rho+\rho^2+...+\rho^{k-1})||\mathbf{E}||_2\;</MATH>|6.16a}} Jeśli oznaczymy przez &rho;{{Sup|k}}=k||{{Strong|E}}||{{Sub|2}}, wtedy na pewno dla &rho;&lt;1 powiemy {{Formuła|<MATH>\rho\leq\sqrt[k]{k}\sqrt[k]{||\mathbf{E}||}|_2\leq k\sqrt{\alpha}\;</MATH>}}, a jeśli &rho;>1, wtedy możemy napisać 1+&rho;+..+&rho;{{Sup|k}}&le;k&rho;{{Sup|k-1}}, co za tym idzie &rho;<k&alpha;, wtedy na podstawie tego otrzymujemy ostateczny wzór {{LinkWzór|6.10}}. Gdy &rho; jest dostatecznie małe, tzn. zachodzi warunek &rho;<1, powiemy: {{CentrujWzór|<MATH>1+\rho+\rho^2+..+\rho^{k-1}\leq 1+(k-1)\rho\leq\left(1+{{(k-1)\rho}\over{k}}\right)^k\;</MATH>|6.17}} Możemy połączyć wzory {{LinkWzór|6.17}} ze wzorem {{LinkWzór|6.16}} i w ostateczności mamy {{LinkWzór|6.11}}. Weźmy sobie wartości własne &lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|m}} dla macierzy {{Strong|A}}, a także mamy wartości własne &gamma;{{Sub|i}} dla macierzy dokładnej {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}. Gdy zaburzenie dąży do zera, to wartości własne macierzy dokładnej i zaokrąglonej dążą do siebie. * Niech wektor własny odpowiadający macierzy zaokrąglonej oznaczymy przez {{Strong|x}}{{Sub|i}}, a wektor własny macierzy dokładnej oznaczmy przez {{Strong|y}}{{Sub|i}}, wtedy minimalna odległość pomiędzy tymi wektorami oznaczymy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_i)=\min_{x\in X_j}||\mathbf{y}_i-\mathbf{x}_i||\;</MATH>|6.18}} Jeśli oznaczymy zbiór wartości własnych przez dim X{{Sub|j}}=1, wtedy iloczyn skalarny pomiędzy nimi określamy poprzez kąt &theta; pomiędzy tymi wektorami, który możemy wyliczyć ze wzoru <{{Strong|y}}{{Sub|i}},{{Strong|x}}{{Sub|i}}>/||{{Strong|x}}{{Sub|i}}||&sdot;||{{Strong|y}}{{Sub|i}}||=sin&theta;. {{Twierdzenie|tekst= Weźmy sobie macierz symetryczną {{Strong|y}}, a także jej wartości własne &lambda;{{Sub|i}}, wtedy odległość pomiędzy wartościami własnymi określamy jako: {{Formuła|<MATH>d=\min_{\overset{j=1,...,n}{\underset{\lambda_j\neq\lambda_i}{}}}\left|\lambda_i-\lambda_j\right|\;</MATH>}}, wtedy dla zaokrągleń wspomnianej macierzy &delta;{{Strong|A}}, dla którego zachodzi &#124;&#124;&delta;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}} dla której to macierzy dokładnej {{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}} odpowiadają wartości własne &gamma;{{Sub|i}}, wtedy odległość {{LinkWzór|6.11}} pomiędzy wektorami własnymi macierzy zaokrąglonej i dokładnej jest równa: {{CentrujWzór|<MATH>\rho(\mathbf{y}_i,\mathbf{x}_i)\leq{{||\delta\mathbf{A}||}\over{d-||\delta\mathbf{A}||_2}}\;</MATH>|6.19}} }} {{Dowód|tekst= Równanie własne macierzy dokładnej możemy przepisać wedle schematu ({{Strong|A}}+&delta;{{Strong|A}}){{Strong|y}}{{Sub|i}}=&gamma;{{Sub|i}}{{Strong|y}}{{Sub|i}}, co po przekształceniu mamy: ({{Strong|A}}-&gamma;{{Sub|i}}{{Strong|i}}){{Strong|y}}{{Sub|i}}=-&delta;{{Strong|A}}{{Strong|y}}{{Sub|i}}. Możemy napisać dolne oszacowanie pomiędzy wartościami własnymi macierzy dokładnej i zaokrąglonej &#124;&gamma;{{Sub|i}}-&lambda;{{Sub|i}}&#124;&ge;&#124;&#124;&delta;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}}, wtedy na podstawie tego piszemy &#124;&#124;({{Strong|A}}-&gamma;{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Strong|y}}{{Sup|&perp;}}&#124;&#124;{{Sub|2}}&ge;(d-&#124;&#124;&delta;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}})&#124;&#124;&#124;&#124;{{Strong|y}}{{Sub|i}}{{Sub|i}}{{Sup|&perp;}}&#124;&#124;, co na podstawie tego powiemy: &#124;&#124;{{Strong|y}}{{Sub|i}}&#124;&#124;{{Sub|2}}(d-&#124;&#124;&delta;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}})&ge;&#124;&#124;({{Strong|A}}-&gamma;{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Strong|y}}{{Sup|&perp;}}&#124;&#124;{{Sub|2}}&ge;&#124;&#124;{{Strong|y}}{{Sub|i}}&#124;&#124;{{Sub|2}} &ge;&#124;&#124;{{Strong|A}}&#124;&#124;{{Sub|2}}). Jeśli oznaczymy przez &rho;({{Strong|y}}{{Sub|i}},{{Strong|x}}{{Sub|i}}), co na podstawie tego możemy napisać {{LinkWzór|6.19}}. }} * Weźmy sobie macierz symetryczną {{Strong|A}}, która jest symetryczna, a także możemy napisać &#124;&#124;{{Strong|r}}&#124;&#124;=&rho;, to wtedy znajduje się co najmniej jedna wartość własna w przedziale {{Formuła|<MATH>\langle\overline{\lambda}-\rho,\overline{\lambda}+\rho\rangle\;</MATH>}}. Dla wartości własnej macierzy, które znajdują się poza tym przedziałem o odległośc co najmniej d>&rho;, wtedy rysujemy {{Formuła|<MATH>\overline{\rho}(\overline{\mathbf{x}},\mathbf{x})\geq{{\rho}\over{d}}\;</MATH>}}, co jest błędem wektora własnego {{Formuła|<MATH>\overline{\mathbf{x}}\;</MATH>}} obliczonego zgodnie z {{LinkWzór|6.18}}, przy którym {{Strong|X}}{{Sub|j}}={{Strong|X}} jest podprzestrzenią rozpiętą na wektorach własnych macierzy {{Strong|A}}, które odpowiadają wartością własnym z wyżej podanego przedziału. Korzystając z definicji równania własnego, w którym poszczególne obliczenia są dokonane dokładnie, czyli dla wyrażenia {{Strong|A}}{{Strong|x}}-&lambda;{{Strong|x}}=0, wtedy wektor reszt obliczamy, gdy poszczególne obliczenia w ostatnio wspomnianym równaniu są dokonane w przybliżeniem (zaokrągleniem) sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{fl}(\langle \mathbf{a}^{(i)},\overline{\mathbf{x}}\rangle-\lambda\overline{\mathbf{x}})=a_1^{(i)}x_1(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)(1+\epsilon_3)+a_2^{(i)}x_2(1+\epsilon_4)(1+\epsilon_5)(1+\epsilon_6)+...+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+a_n^{(i)}x_{n}(1+\epsilon_{3n+1})(1+\epsilon_{3n+2})(1+\epsilon_{3n+3})-\lambda\overline{\mathbf{x}}(1+\epsilon_{3n+4})(1+\epsilon_{3n+5})\;</MATH>|6.20}} W obliczeniach {{LinkWzór|6.20}} dokonaliśmy przybliżenia {{Formuła|<MATH>\overline{x}_j=x_j(1+\epsilon_j)\;</MATH>}}. Będziemy przyjmować, że długość słowa binarnego jest bardzo duża, tzn. zachodzi (n+2)&sdot;2{{Sup|-t}}<0,1, wtedy na podstawie tego napiszemy: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{r}_i||=\overline{\epsilon}[(n+2)||\mathbf{A}||_{\infty}+3|\lambda|]\leq\overline{\epsilon}(n+5)||\mathbf{A}||_{\infty}\;</MATH>|6.21}} Jeśli będziemy przyjmować {{Formuła|<MATH>\overline{\epsilon}=1,06\epsilon\;</MATH>}}, i jeśli będziemy przyjmować, że {{Formuła|<MATH>||\mathbf{r}||_2\leq\sqrt{n}||\mathbf{r}||_{\infty}\;</MATH>}}, wtedy na podstawie rozważań przedstawionym w tym zdaniu i wzoru {{LinkWzór|6.21}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{r}||_2\leq\overline{\epsilon}\left(n^{{{3}\over{2}}}+5n^{{{1}\over{2}}}\right)||\mathbf{A}||_{\infty}\;</MATH>|6.22}} Gdy posiadamy zaokraglone wartości {{Formuła|<MATH>\overline{\lambda}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\overline{x}\;</MATH>}} i obliczenia dokonujemy z użyciem podwójnej precyzji, wtedy dowiadujemy się przy oszacowaniu błędu przy liczeniu wyrażenia {{Strong|Ax}}-&lambda;{{Strong|x}}, że: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{r}||_2\leq\overline{\epsilon}\left(n^{{{1}\over{2}}}||\mathbf{A}||_{\infty}+2n^{{{1}\over{2}}}|\lambda|\right)\leq 3\overline{\epsilon}n^{{{1}\over{2}}}||\mathbf{A}||_{\infty}\;</MATH>|6.23}} == Znajdowanie miejsc zerowych dowolnej macierzy == W przypadku dowolnej macierzy wartości własne leżą w kole {{Strong|C}}{{Sub|i}} o środku w punkcie a{{Sub|ii}} i mającej promień równy promieniowi spektralnemu &rho;({{Strong|A}}). Dla dowolnej macierzy {{Strong|A}} zachodzi &rho;({{Strong|A}})&le;||{{Strong|A}}||{{Sub|p}} przy którym p=1,2,&infin;,E. Wartości własne zatem należą do zbioru {z:|z|&le;||{{Strong|A}}||{{Sub|p}}}. Gdy p=&infin; to oszacowanie wartości własnych piszemy przez |z|&le;||{{Strong|A}}||{{Sub|&infin;}}, ale ponieważ zachodzi Sp({{Strong|A}})=Sp({{Strong|A}}{{Sup|T}}), to również możemy powiedzieć |&lambda;{{Sub|i}}|&le;||{{Strong|A}}||{{Sub|1}}. == Wykorzystanie metod potęgowych przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych i wektorów własnych dla dowolnej macierzy == Metoda potęgowa polega na wyznaczaniu wartości i wektorów własnych dowolnej macierzy {{Strong|A}}. Ta metoda jest bardzo skuteczna. Algorytm ten polega na obraniu dla i=0 dowolnego wektora początkowego {{Strong|x}}{{Sub|i}}, którego norma dla &infin; jest równa jeden, tzn. ||{{Strong|x}}{{Sub|0}}||{{Sub|&infin;}} i dalej ustalamy dalszy krok iteracji. Następnie obliczamy v{{Sub|i+1}}={{Strong|Ax}}{{Sub|i}}, a także m{{Sub|i+1}}=||v{{Sub|i+1}}||{{Sub|&infin;}}. Jesli m{{Sub|i+1}}=0 przerywamy krok iteracji, jeśli nie, to dalszym krokiem iteracji jest: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{x}_{i+1}={{\mathbf{v}_{i+1}}\over{m_{i+1}}}\;</MATH>|6.24}} Jeśli dalej i+1&ge;ITM, to wtedy algorytm zatrzymujemy, jeśli nie, to przechodzimy do etapu pierwszego liczenia wektora v{{Sub|i+1}}. Okazuje się, że ciąg wektorów {{Strong|x}}{{Sub|0}},{{Strong|x}}{{Sub|2}},...,{{Strong|x}}{{Sub|2j}} jest ciągiem zbieżnym do wektora {{Strong|x}}, który jest wektorem własnym równania własnego macierzy {{Strong|A}}, również ciąg {m{{Sub|i}}} jest zbieżny do pewnej wartości m. Jeśli zachodzi ||{{Strong|x}}{{Sub|j+1}}-{{Strong|x}}{{Sub|j}}||→0, to wtedy mamy {{Strong|Ax}}=m{{Strong|x}}, a jeśli w przeciwnym wypadku ||{{Strong|x}}{{Sub|j+1}}-{{Strong|x}}{{Sub|j}}||{{Sub|&infin;}}→2||{{Strong|x}}||, to wtedy zachodzi {{Strong|Ax}}=-m{{Strong|x}}. Dla tych przypadków &lambda;=m lub &lambda;=-m znajdujemy wektor własny w wyniku powyższych iteracji dla wektora {{Strong|x}}, którego norma jest równa jeden dla p=&infin;. W ogólnym przypadku dla uzyskanego ciągu wektorów własnych {{Strong|x}}{{Sub|2i}} dla macierzy {{Strong|A}}, to może być on rozbieżny. Gdy jednak istnieje przekształcenie {{Strong|P}}, dla której macierz {{Strong|A}} jest podobna do macierzy diagonalnej &lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},..,&lambda;{{Sub|n}}, to wtedy możemy napisać twierdzenie: {{Twierdzenie|tekst= Ogólnie rzecz mówiąc, jeśli mamy wartości własne &lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|2}},..,&lambda;{{Sub|n}}, które są wartościami własnymi macierzy {{Strong|A}}, w których poszczególne elementy są różne, ale mają równe za to moduły, wtedy przy dowolnym wyborze elementu startowego {{Strong|x}}{{Sub|0}} uzyskany ciąg wektorów {{Strong|x}}{{Sub|0}}, {{Strong|x}}{{Sub|2}}, {{Strong|x}}{{Sub|4}},... jest ciągiem zbieżnym do pewnego wektora będącego wektorem własnym macierzy {{Strong|A}}. }} {{Dowód|tekst= Dowód przeprowadźmy dla przypadku macierzy symetrycznej {{Strong|A}}, której wektory własne są wektorami bazy ortogonalnej w przestrzeni {{Strong|R}}{{Sup|n}}, której wektory bazy oznaczymy przez {{Strong|e}}{{Sub|1}}, {{Strong|e}}{{Sub|2}}, {{Strong|e}}{{Sub|3}},...,{{Strong|e}}{{Sub|n}}, której odpowiadają wartości własne &#124;&lambda;{{Sub|1}}&#124;&ge;&#124;&lambda;{{Sub|2}}&#124;&ge;...&ge;&#124;&lambda;{{Sub|n}}&#124;. Oznaczmy wartość początkową wektora iteracji przez {{Strong|x}}{{Sub|0}}=&alpha;{{Sub|1}}{{Strong|e}}{{Sub|1}}+&alpha;{{Sub|2}}{{Strong|e}}{{Sub|2}}+...+&alpha;{{Sub|n}}{{Strong|e}}{{Sub|n}}. Może się zdarzyć, że wszystkie współczynniki liniowości są równe zero oprócz jednej lub wartość własna może być wielokrotna. Weźmy sobie &lambda;=0, wtedy możemy obrać tak {{Strong|x}}{{Sub|0}}, by było można napisać {{Strong|Ax}}{{Sub|0}}=0 dla &#124;&#124;{{Strong|x}}{{Sub|0}}&#124;&#124;=1. Natomiast, gdy &lambda;&ne;0, to wtedy przyjmując oznaczenia {{Strong|a}}=&alpha;{{Sub|i}}{{Strong|e}}{{Sub|i}}+...+&alpha;{{Sub|i+k}}{{Strong|e}}{{Sub|i+k}}, {{Strong|&delta;}}{{Sub|0}}=&alpha;{{Sub|i+k+1}}{{Strong|e}}{{Sub|i+k+1}}+...+&alpha;{{Sub|n}}{{Strong|e}}{{Sub|n}} z powodów oczywistych otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0=\mathbf{A}^L(\alpha_i\mathbf{e}_i+....+\alpha_{n}\mathbf{e}_n)=\mathbf{A}(\mathbf{a}+\alpha_{i+k+1}\mathbf{e}_{i+k+1}+...+\alpha_n\mathbf{e}_{i+k+1})=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \lambda^L\mathbf{a}+\lambda_{i+k+1}^L\alpha_{i+k+1}\mathbf{e}_{i+k+1}+...+\lambda_n^L\alpha_n\mathbf{e}_n=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\lambda^L\left(\mathbf{a}+\underbrace{\left({{\lambda_{i+k+1}}\over{\lambda}}\right)^L\alpha_{i+k+1}\mathbf{e}_{i+k+1}+...+\left({{\lambda_{n}}\over{\lambda}}\right)^L\alpha_{n}\mathbf{e}_{n}}_{\mathbf{\delta}_L}\right)\;</MATH>|6.25}} Przyjmując oznaczenia, co do {{Strong|&delta;}}{{Sub|0}}, wówczas możemy napisać z założenia, że wektor {{Strong|&delta;}}{{Sub|0}} dąży do zera, a także że wartości własne macierzy {{Strong|A}} nie rosną wraz z rosnącym wskaźnikiem: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{\delta}_L||_2=\left[\left({{\lambda_{i+k+1}}\over{\lambda}}\right)^{2L}\alpha^2_{i+k+1}+...+\left({{\lambda_n}\over{\lambda}}\right)^{2L}\alpha_n^2\right]^{{{1}\over{2}}}\leq\;</MATH>{{Br}}<MATH>\leq\left|{{\lambda_{i+k+1}}\over{\lambda}}\right|^{L}\left(\alpha^2_{i+k+1}+...+\alpha_n^2\right)=\left|{{\lambda_{i+k+1}}\over{\lambda}}\right|^{L}||\mathbf{\delta}_0||_2\rightarrow 0\;</MATH>|6.26}} Według obliczeń {{LinkWzór|6.25}} i {{LinkWzór|6.26}} od razu dochodzimy do wniosku, że zachodzą dwie tożsamości, tzn. {{Formuła|<MATH>{{\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0}\over{\lambda^L}}\rightarrow\mathbf{a}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>{{||\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0||_{\infty}}\over{|\lambda|^L}}\rightarrow||\mathbf{a}||_{\infty}\;</MATH>}}, wtedy na podstawie tego powiemy {{Formuła|<MATH>\mathbf{y}_L={{\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0}\over{||\mathbf{A}^L\mathbf{x}_0||_{\infty}}}(\operatorname{sqn}\lambda)^L\;</MATH>}}, że jest zawsze zbieżny do {{Formuła|<MATH>{{\mathbf{a}}\over{||\mathbf{a}||_{\infty}}}\;</MATH>}}, co jest wektorem własnym macierzy {{Strong|A}} dla wartości własnej &lambda;. Oznaczmy wzór na {{Strong|y}}{{Sub|L}} w postaci {{Strong|y}}{{Sub|L}}={{Strong|x}}{{Sub|L}}(sqn &lambda;), i wtedy mamy dla &lambda;>0, że {{Strong|y}}{{Sub|j}}={{Strong|x}}{{Sub|j}}, i dla &lambda;<0 mamy {{Strong|y}}{{Sub|2j+1}}=-{{Strong|x}}{{Sub|2j+1}}. Dla pierwszego przypadku mamy &#124;&#124;{{Strong|x}}{{Sub|i+1}}-{{Strong|x}}{{Sub|i}}&#124;&#124;→0, a dla drugiego przypadku dostajemy &#124;&#124;{{Strong|x}}{{Sub|i+1}}-{{Strong|x}}{{Sub|i}}&#124;&#124;→2&#124;&#124;{{Strong|x}}&#124;&#124;. }} == Wykorzystanie metod Hessenberga przy wyznaczaniu poszczególnych wartości własnych dla dowolnej macierzy == Każdą macierz Hassenberga nazywamy macierz zapisaną w postaci sumy dwóch macierzy, tzn. macierzy trójdiagonalnej {{LinkWzór|5.93|Algebraiczne_sposoby_rozwiązywania_układów_równań_liniowych}} {{Strong|T}} i macierzy trójkątnej górnej {{Strong|U}}, zdefiniowanej według {{Strong|H}}={{Strong|T}}+{{Strong|U}}. Wiadomo jednak h{{Sub|ij}}=0 dla j&lt;i-1. Jeśli jednak potrafimy wyznaczyć wartości własne macierzy {{Strong|H}}, to również potrafimy wyznaczyć wartości własne dowolnej macierzy. Według prostego algorytmy {{Strong|QR}} każdą macierz {{Strong|A}} możemy rozłożyć na iloczyn macierzy ortogonalnej {{Strong|Q}} i macierzy trójkątnej {{Strong|R}}, którą zapisujemy według schematu {{Strong|A}}={{Strong|QR}}. Gdy macierz {{Strong|A}} jest nieosobliwa, to poszczególne kolumnach macierzy {{Strong|Q}} możemy otrzymać dokonując ortogonalizacji macierzy {{Strong|A}} metodą Grama-Schmidta, wtedy kolumny macierzy {{Strong|R}} są zbudowane z współczynników rozwiniecie z ortogonalizowanej macierzy {{Strong|A}}. Zbudujmy teraz iterację, która jest algorytmem {{Strong|QR}}, która opisuje pewien ciąg macierzy {{Strong|H}}={{Strong|H}}{{Sup|(i)}},{{Strong|H}}{{Sup|(i)}},..., która jest zbudowana w postaci dwóch wzorów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i)}=\mathbf{Q}^{(i)}\mathbf{R}^{(i)}\;</MATH>|6.27}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i+1)}=\mathbf{R}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}\;</MATH>|6.28}} }} We wzorach {{LinkWzór|6.27}} i {{LinkWzór|6.28}} wszystkie macierze {{Strong|Q}}{{Sup|(i)}}, a także {{Strong|H}} dla i=1,2,... są na pewno macierzami Hessenerga. Ogólnie rzecz biorąc powyższe dwa wzory możemy połączyć w jedną całość jako: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i+1)}={\mathbf{Q}^{(i)}}^T\mathbf{H}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}\;</MATH>|6.29}} Jeśli mamy wartości własne &lambda;{{Sub|1}},&lambda;{{Sub|2}},...,&lambda;{{Sub|n}}, które są parami sprzężone, tzn. mającej równe moduły, wtedy nie wszystkie elementy pod diagonalą dążą do zera. Macierz Hessenberga można otrzymać z ciągu macierzy {{Strong|H}} dla wskaźnika górnego górnego nieskończonego, wtedy otrzymujemy np. macierz: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(\infty)}=\begin{bmatrix} *&*&\cdot&\cdot&\cdot\\ *&*&\cdot&\cdot&\cdot\\ 0&0&*&\cdot&\cdot\\ 0&0&0&*&*\\ 0&0&0&*&*\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.30}} We wzorze {{LinkWzór|6.30}} gwiazdki (*) oznaczają elementy zbieżne, a kropki (&sdot;) oznaczają wartości dążące do ustalonych wartości. Mówiąc ogólnie macierz {{Strong|H}}{{Sup|i}} nie musi mieć ogólnie postaci {{LinkWzór|6.30}}, ale może mieć za to postać: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}=\begin{bmatrix} 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.31}} Mając macierz {{LinkWzór|6.31}} wykorzystując przy tym wzór {{LinkWzór|6.29}}, to w wyniku końcowych obliczeń otrzymujemy tożsamości {{Strong|H}}{{Sup|(1)}}={{Strong|H}}{{Sup|2}}=...={{Strong|H}}{{Sup|(i)}} przy macierzy {{Strong|H}} ortogonalnej, to w rozkładzie {{Strong|H}}={{Strong|QR}} macierz {{Strong|R}} występująca w tymże ostatnim wzorze jest macierzą jednostkową. Zbieżność elementów występująca na diagonali w macierzy Hessenberga jest często powolna, aby temu zaradzić możemy dokonać przesunięcia wartości własnych, w ten sposób tworzymy ciąg macierzy {{Strong|H}}{{Sup|(1)}},{{Strong|H}}{{Sup|(2)}},{{Strong|H}}{{Sup|(3)}},..., które definiujemy przy pomocy dwóch wzorów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i)}-k_i\mathbf{I}=\mathbf{Q}^{(i)}\mathbf{R}^{(i)}\;</MATH>|6.32}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i+1)}=\mathbf{R}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}+k_i\mathbf{I}\;</MATH>|6.33}} }} Łącząc wzory {{LinkWzór|6.32}} i {{LinkWzór|6.33}} w jedną całość dostajemy końcowy iteracyjny wzór, który generuje elementy zbieżne do macierzy Hessenberga, którego schemat iteracyjny przepisujemy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i+1)}={\mathbf{Q}^{(i)}}^T(\mathbf{H}^{(i)}-k_i\mathbf{I})\mathbf{Q}^{(i)}+k_i\mathbf{I}={\mathbf{Q}^{(i)}}^T(\mathbf{H}^{(i)}-k_i\mathbf{I})\mathbf{Q}^{(i)}+{\mathbf{Q}^{(i)}}^Tk_i\mathbf{I}\mathbf{Q}^{(i)}={\mathbf{Q}^{(i)}}^T\mathbf{H}^{(i)}\mathbf{Q}^{(i)}\;</MATH>|6.34}} Gdy obierzemy odpowiednio k{{Sub|i}} to otrzymujemy szybszą zbieżność do macierzy Hessenberga {{Strong|H}}{{Sup|(i)}}, współczynniki k{{Sub|i}} dobiera je się w takiej postaci, by one były równe wartością własnym kolejnych elementu ciągu macierzy Hessenberga, tzn. {{Formuła|<MATH>k_i=a_{nn}^{(i)}\;</MATH>}}, gdzie elementy k{{Sub|i}} i k{{Sub|i+1}} są równe kolejnym elementom macierzy kwadratowej dwuwymiarowej usytuowanej w {{Strong|H}}{{Sup|(i)}} w prawym dolnym rogu tejże wspomnianej macierzy. Ale te elementy mogą być również zespolone, wieć rachunki prowadzą do rachunku na macierzach zespolonych, wtedy należy wykonać dwie dalsze iteracje, ale ta metoda zawodzi, gdy mamy doczynienia z macierzami np. {{LinkWzór|6.31}}. == Znajdowanie wartości własnych dowolnej macierzy poprzez doprowadzenie jej do postaci Hessenberga == Istnieje wiele metod sprowadzania dowolnej macierzy {{Strong|A}} do macierzy Hessenberga poprzez wykorzystanie wiadomości o podobieństwie dwóch macierzy przy przekształceniu {{Strong|P}}. Istnieją trzy takie metody, tzn. metoda Householdera, metoda Givensa i na samym końcu metoda eliminacji Gaussa. Pierwsze dwie metody potrzebują {{Formuła|<MATH>{{10}\over{3}}n^3+O(n^2)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>{{5}\over{3}}n^3+O(n^2)\;</MATH>}} mnożeń w arytmetyce zmiennoprzecinkowej, dzięki której otrzymujemy macierz Hessenberga {{Strong|H}}, której błąd zaokrąglenia jest ||{{Strong|E}}||{{Sub|E}}&le;k{{Sub|2}}&epsilon;n{{Sup|2}}||{{Strong|A}}||{{Sub|E}} dla pierwszej metody oraz ||{{Strong|E}}||{{Sub|E}}&le;k{{Sub|1}}&epsilon;n{{Sup|1/2}}||{{Strong|A}}||{{Sub|E}} dla drugiej metody. Stałe k{{Sub|1}} i k{{Sub|2}} występujące w dwóch ostatnich wzorach są oczywiście rzędu jedynki, które zależą od sposobu zaokrąglania w komputerze, czyli na maszynie cyfrowej. Natomiast liczba mnożeń w metodzie w eliminacji Gaussa jest {{Formuła|<MATH>{{2}\over{3}}n^3+O(n^2)\;</MATH>}}, którego ilość operacji jest istotnie mniejsza niż w poprzednich metodach, i ta metoda jest powszechnie stosowana w obliczeniach numerycznych przy wyznaczaniu wartości własnych dowolnej macierzy {{Strong|A}}. W tej ostatniej metodzie wykonujemy n-2 przekształceń uzyskując macierze {{Strong|A}}={{Strong|A}}{{Sup|(1)}},{{Strong|A}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|A}}{{Sup|(n-1)}}={{Strong|H}}, gdzie ta ostatnia macierz jest macierzą Hessenberga. Macierz {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} w której i-1 początkowych kolumn są również i-1 kolumnami macierzy Hessenberga {{Strong|H}}. Przekształcenie macierzy {{Strong|A}} ze wskaźnika górnego i do wskaźnika górnego i+1 postępujemy w taki sposób, by wybierać element o największym module z elementów {{Formuła|<MATH>a_{i+1,i}^{(i)},a_{i+2,i}^{(i)},...,a_{n,i}^{(i)}\;</MATH>}}, a gdy tychże elementów jest więcej, to wybieramy element pierwszy z nich, a jeśli mamy do czynienia z zerowymi elementami, to powinno być {{Strong|A}}{{Sup|(i)}}={{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}}, dalej wyznaczamy element {{Strong|A}}{{Sup|(i+2)}}. Jeśli element o największym module znajduje się na k-tym wierszu dla k&ge;i, to należy przedstawić k-ty wiersz i i+1-tą kolumną. Dalej liczymy wielkość {{Formuła|<MATH>m_j^{(i)}={{a_{j,i}^{(i)}}\over{a_{i+1,i}^{(i)}}}\;</MATH>}} dla j=i+2,i+3,..,n, które zgodnie z wyborem elementu maksymalnego zachodzi {{Formuła|<MATH>|m_j^{(i)}|\leq 1\;</MATH>}}, co dzięki temu nasza metoda jest numerycznie stabilna. Następnie i+1-ty wiersz odejmujemy od j-tego wiersza pomnożonej przez <MATH>m_j^{(i)}\;</MATH> i j-tą kolumnę dodajemy od i+1-tej kolumny pomnożonej przez {{Formuła|<MATH>m_j^{(i)}\;</MATH>}} dla j=1+2,i+3,..,n, wtedy przy takim postępowaniu uzyskana macierz {{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}} jest podobna do macierzy {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} przy elementach {{Formuła|<MATH>a_{i+2,i}^{(i+1)},a_{i+3,i}^{(i+1)},..,a_{n,i}^{(i+1)}\;</MATH>}}, które przy naszym postępowaniu są równe zero, co oznacza, że i-ta kolumna {{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}} jest taka sama jak i-ta kolumna macierzy Hessenberga {{Strong|H}}. == Przegląd metod wyznaczania wektorów własnych metodą {{Strong|QR}},{{Strong|LR}} i metodą iteracji odwrotnej == Niech macierz {{Strong|P}} jest macierzą przekształcenia, w którym macierz {{Strong|A}} jest podobna do macierzy {{Strong|B}}, jeśli potrafimy wyznaczyć wektory własne według równania {{Strong|Bx}}=&lambda;{{Strong|x}}, to wtedy wektor {{Strong|y}}={{Strong|Bx}} jest wektorem własnym macierzy {{Strong|A}}. Jeśli założymy, że macierz {{Strong|B}} jest macierzą trójkątną górną, ale posiada różne wartości własne, wtedy wartość własna macierzy {{Strong|B}} odpowiada liczba &lambda;{{Sub|i}}=b{{Sub|ii}}, a wektorowi własnemu wektor {{Strong|x}}{{Sup|(i)}}, które te wielkości wyliczamy z formuł: {{CentrujWzór|<MATH>x_j^{(i)}=0\mbox{ dla }j=n,n-2,...,i+1\mbox{ i } x_i^{(i)}=1\mbox{ i }x_j^{(i)}=-{{\left(\sum^i_{k=j+1}b_{jk}x_k^{(i)}\right)}\over{b_{jj}-b_{ii}}}\mbox{ j=i-1,i-2,...,1}\;</MATH>|6.35}} === Wyznaczanie wektorów własnych metodą {{Strong|QR}} === W tej metodzie należy wyznaczyć macierze {{Strong|Q}}{{Sup|(1)}},{{Strong|Q}}{{Sup|(i)}},..., a następnie znając macierz przekształcenia {{Strong|P}} wyznaczyć macierz Hessenberga {{Strong|H}} z macierzy {{Strong|A}} według {{Strong|P}}{{Sup|-1}}{{Strong|AP}}={{Strong|H}}. Dalej ze wzorów {{LinkWzór|6.27}} i {{LinkWzór|6.28}} lub ze wzorów {{LinkWzór|6.32}} i {{LinkWzór|6.33}} możemy wyznaczyć macierze {{Strong|H}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|Q}}{{Sup|(i)}}{{Sup|T}}{{Strong|H}}{{Sup|(i)}}{{Strong|Q}}{{Sup|(i)}}, a także wyznaczamy kolejne macierze pomocnicze {{Strong|Z}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|Z}}{{Sup|(i)}}{{Strong|Q}}{{Sup|(i)}} z warunkiem początkowym {{Strong|Z}}{{Sup|(1)}}={{Strong|P}}. Dalej musimy stwierdzić, czy macierz {{Strong|H}}{{Sup|(N)}} ma elementy pod diagonalą dostatecznie bliskie zero, jeśli tak, to możemy przystąpić do wyznaczania wektorów własnych macierzy Hessenberga ze wzoru: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{y}^{(k)}=\mathbf{Z}^{(N)}\mathbf{x}^{(k)}\;</MATH>|6.36}} ===Wyznaczanie wektorów własnych metodą {{Strong|LR}}=== Ta metoda jest bardzo podobna do poprzednio opisywanej metody, tutaj należy wyznaczyć ciąg macierzy {{Strong|A}}={{Strong|A}}{{Sup|(1)}},{{Strong|A}}{{Sup|(2)}},.., które liczymy z formuł dla i=1,2,..., które to {{Strong|L}} i {{Strong|U}} są odpowiednio macierzami trójkątnymi dolnymi i górnymi: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(i)}=\mathbf{L}^{(i)}\mathbf{U}^{(i)}\;</MATH>|6.37}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(i+1)}=\mathbf{U}^{(i)}\mathbf{L}^{(i)}\;</MATH>|6.38}} }} Kolejne macierze {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} możemy wyznaczyć ze wzoru {{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}}=({{Strong|L}}{{Sup|(i)}}){{Sup|-1}}{{Strong|A}}{{Sup|(i)}}{{Strong|L}}{{Sup|(i)}}m, które są podobne do macierzy {{Strong|}}, który ten wzór wynika ze wzorów {{LinkWzór|6.37}} i {{LinkWzór|6.38}}, gdzie macierze {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} dążą do macierzy trójkątnej. W celu wyznaczenia wektorów własnych dla macierzy {{Strong|A}} trzeba wyznaczyć obiekty {{Strong|Z}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|Z}}{{Sup|(i)}}{{Strong|L}}{{Sup|(i)}} i {{Strong|Z}}{{Sup|(1)}}={{Strong|I}}. Aby otrzymać rozkład {{Strong|A}}{{Sup|(i)}}={{Strong|L}}{{Sup|(i)}}{{Strong|U}}{{Sup|(i)}} należy wykonać {{Formuła|<MATH>{{1}\over{3}}n^3+O(n^2)\;</MATH>}} mnożeń, czyli trzy razy mniej niż przy rozkładzie {{Strong|A}}{{Sup|(i)}}={{Strong|Q}}{{Strong|R}}{{Sup|(i)}}, co sugeruje przewagę tejże metody nad metoda poprzednią, jednak stosując poprzednią metodę wykonujemy mniejszy błąd zaokrągleń, ale natomiast gdy macierz {{Strong|A}} jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną to ta metoda jest stabilna numeryczna i szybsza od poprzednio opisywanej metody. Podobnie jak w poprzedniej metodzie stosuje się tutaj przesunięcie {{Strong|A}}{{Sup|(i)}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}, mając początkowe macierze {{Strong|A}} sprowadzane się je do macierzy Hessenberga, co zmniejsza liczbę obliczeń przy rozkładzie macierzy Hessenberga {{Strong|H}}={{Strong|LU}} przy nakładzie pracy <MATH>_{{{1}\over{2}}n^3+O(n)}\;</MATH>. === Wyznaczanie wektorów własnych metodą iteracji odwrotnej === Metody {{Strong|QR}}, {{Strong|LR}} są bardzo podobne do metody potęgowej, dlatego że w nim następuje znikanie niektórych kolumn macierzy {{Strong|A}} na podstawie jego różnych wartości własnych, ale zbieżność w metodzie potęgowej jest jednak bardzo powolna, ale za to w tychże metodach przy właściwym wyborze przesunięcia k{{Sub|i}}, która jest bliska wartości własnej &lambda;{{Sub|n}}, która jej dobrym przybliżeniem jest element {{Formuła|<MATH>a_{nn}^i\;</MATH>}} następuje zwiększenie zbieżności przy wyznaczaniu wektorów własnych. Szybkość zbieżności jest zależna od {{Formuła|<MATH>{{|\lambda_n-k_i|}\over{|\lambda_{n-1}-k_i}}\;</MATH>}}, następuje wtedy zwiększenie szybkości zbieżności tejże metody. Wartościami własnymi macierzy {{Strong|A}} są zaś liczby &lambda;{{Sub|1}}, &lambda;{{Sub|n}}, ...,&lambda;{{Sub|n}} takie, że spełniają nierówności słabe |&lambda;{{Sub|1}}|&ge;|&lambda;{{Sub|2}}|&ge;....&ge;|&lambda;{{Sub|n}}|, to stąd wynika, że wartościami własnymi macierzy odwrotnej do {{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}} są liczby {{Formuła|<MATH>{{1}\over{\lambda_1-k_1}},{{1}\over{\lambda_2-k_1}},..,{{1}\over{\lambda_n-k_1}}\;</MATH>}}, wtedy można tak dobrać k{{Sub|i}}, by uzyskać zbieżność wektorów zależnych od wskaźnika górnego "i" do wektora własnego macierzy {{Strong|A}}, czyli {{Strong|x}} z omówionym powyżej współczynnikiem. Omówmy metodę iteracji potęgowej. Weźmy i=0 i obierzmy taki wektor {{Strong|x}}{{Sub|0}} by był spełniony warunek ||{{Strong|x}}{{Sub|0}}||=1 i ustalamy maksymalną wartość iteracji ITM. Dalej wyznaczamy wektor {{Strong|v}}{{Sub|i+1}}=({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Sup|-1}}{{Strong|x}}{{Sub|i}} i skalar m{{Sub|i+1}}=||{{Strong|v}}{{Sub|i+1}}||{{Sub|&infin;}}, a także również wektor {{Strong|x}}{{Sub|i+1}}={{Strong|v}}{{Sub|i+1}}/m{{Sub|i+1}}. Jeśli i+1&ge;ITM zatrzymujemy algorytm, a jeśli nie, to wtedy poprzedni krok wykonujemy dla i:=i+1. Liczby m{{Sub|1}}, m{{Sub|2}},... są stosowane do wyznaczania wartości własnej &lambda;{{Sub|n}}, tak jak w metodzie potęgowej. Wartość k{{Sub|i}} jest przybliżeniem wartości &lambda;{{Sub|n}}, gdy jednak jest ona dostatecznie bliska do niej, wtedy macierz ({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}) jest oczywiście macierzą źle uwarunkowaną, co prowadzi do dużych błędów numerycznych przy wyznaczaniu wektora {{Strong|v}}{{Sub|i+1}}, a jeśli nasz wektor własny jest dobrze uwarunkowany, wtedy zaokrąglenia przy wyznaczaniu układu równań zapisanej w postaci macierzowej ({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|i}}){{Strong|v}}{{Sub|i+1}}={{Strong|x}}{{Sub|i}} nie będą zbyt duże, bo musimy się zabezpieczyć się by wektor {{Strong|v}}{{Sub|i+1}} był taki by jego norma była dostatecznie duża. Weźmy sobie k{{Sub|i}}=&lambda;{{Sub|n}}+e{{Sub|n}}, by potem można było wyznaczyć wektor {{Strong|v}}{{Sub|i+1}}, w której macierz {{Strong|A}} jest zapisana z pewnym zaokrągleniem, który zapisujemy w postaci układu równań zapisanej w postaci macierzowej ({{Strong|A}}+{{Strong|E}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Strong|v}}{{Sub|i+1}}={{Strong|x}}{{Sub|i}} przy założeniu ||{{Strong|E}}||{{Sub|&infin;}}=e. Napiszmy: {{CentrujWzór|<MATH>(\mathbf{A}-\lambda_n\mathbf{I})\mathbf{v}_{i+1}=\left(\mathbf{A}-(k_i-e_n)\mathbf{I}+\mathbf{E}-\mathbf{E}\right)=\left(\mathbf{A}-k_i\mathbf{I}+\mathbf{E}+e_n\mathbf{I}-\mathbf{E}\right)\mathbf{v}_{i+1}=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\mathbf{x}_i+(e_n\mathbf{I}-\mathbf{E})\Rightarrow(\mathbf{A}-\lambda_n\mathbf{I}){{\mathbf{v}_{i+1}}\over{||\mathbf{v}_{i+1}||_{\infty}}}=(e_n\mathbf{I}-\mathbf{E}){{\mathbf{v}_{i+1}}\over{||v_{i+1}||_{\infty}}}+{{\mathbf{x}_i}\over{||\mathbf{v}_{i+1}||_{\infty}}}\Rightarrow\;</MATH>{{Br}}<MATH> \Rightarrow ||(\mathbf{A}-\lambda_n\mathbf{I})\mathbf{x}_{i+1}||_{\infty}\leq(|e_n|+e)+{{1}\over{||\mathbf{v}_{i+1}||_{\infty}}}\;</MATH>|6.39}} Przy opisie {{LinkWzór|6.39}} należy stosować taki układ równań w postaci macierzowej ({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}){{Strong|v}}{{Sub|i+1}}={{Strong|x}}{{Sub|i}}, by norma błędu ||{{Strong|E}}||{{Sub|&infin;}} była mała, ale duży współczynnik uwarunkowania ({{Strong|A}}-k{{Sub|i}}{{Strong|I}}) nie jest wtedy bardzo groźny, stąd wynika, że wektor reszt ({{Strong|A}}-&lambda;{{Sub|n}}){{Strong|x}}{{Sub|i+1}} jest bardzo mały dla dobrze uwarunkowanego wektora {{Strong|x}}, stąd wynika, że dobrym przybliżeniem jest do niego {{Strong|x}}{{Sub|i+1}}. == Ogólne metody rozkładu dowolnej macierzy na iloczyn macierzy {{Strong|QR}} == Podamy tutaj twierdzenia dotyczące rozkładu macierzy {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|QR}}, a później omówimy metodę rozkładu dowolnej macierzy Grama-Schmidta, Householdera i Givensa. {{Twierdzenie|tekst= Dowolną macierz <MATH>\mathbf{A}_{m\times n}\;</MATH> przy założeniu m&ge;n na k&le;n niezależnych w nim liniowo kolumn, wtedy mamy rozkład {{Strong|A}}={{Strong|QR}}, przy czym macierz <MATH>Q_{m\times k}\;</MATH> jest macierzą ortogonalną, a macierz <MATH>\mathbf{R}_{k\times n}\;</MATH> jest macierzą trapezoidalną górną, tzn. posiadająca elementy zerowe pod diagonalą (r{{Sub|ij}}=0 dla i&le;j), a jeśli mamy doczynienia z macierzą kwadratową {{Strong|A}}, to macierz {{Strong|R}} jest macierzą trójkątną górną. Należy pamiętać, że dowolną macierz <MATH>A_{m\times n}\;</MATH> możemy rozłożyć w sposób jednoznaczny na iloczyn {{Strong|A}}={{Strong|QR}}, to wtedy elementy na diagonali są zawsze dodatnie. }} === Metoda rozkładu dowolnej macierzy {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}} metodą Grama-Schmidta === Poznamy tu rozkład dowolnej macierzy {{Strong|A}} na rozkład macierzy {{Strong|QR}} metodą ortogonalizacji Gramma-Schmidta, które zastosujemy dla naszej macierzy dla kolumn {{Strong|a}}{{Sub|1}}, {{Strong|a}}{{Sub|2}},...,{{Sub|n}}. Obierzmy sobie macierze {{Strong|A}}{{Sup|(1)}}, {{Strong|A}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|A}}{{Sup|(n)}}, które posiadają 1,2,...,.n kolumn macierzy {{Strong|A}}. Jeśli dodatkowo założymy, że pierwsza kolumna naszej macierzy jest niezerowa, to wtedy napiszmy wzory na {{Strong|Q}}{{Sup|(1)}} i na {{Strong|R}}{{Sup|(1)}}, które wykorzystamy do liczenia macierzy {{Strong|A}}{{Sup|(1)}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Q}^{(1)}=\left[{{\mathbf{a}_1}\over{||\mathbf{a}_1||_2}}\right]\;</MATH>|6.40}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{R}^{(1)}=\left[||\mathbf{a}_1||_2\right]\;</MATH>|6.41}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(1)}=\mathbf{Q}^{(1)}\mathbf{R}^{(1)}\;</MATH>|6.42}} }} Jeśli mamy już macierze początkowe, tzn. {{LinkWzór|6.40}}, {{LinkWzór|6.41}} i {{LinkWzór|6.42}}, to wtedy możemy policzyć następne elementy tychże macierzy, tzn. {{Strong|Q}}{{Sup|(i+1)}}, {{Strong|R}}{{Sup|i+1}}, a na jej podstawie policzyć macierz {{Strong|A}}{{Sup|(i+1)}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Q}^{(i+1)}=\left[\mathbf{Q}^{(i)}\mathbf{q}_{i+1}\right]\;</MATH>|6.43}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{R}^{(i+1)}=\begin{bmatrix}\mathbf{R}^{(i)}&\mathbf{r}_{i+1}\\0&\mathbf{s}_{i+1}\end{bmatrix}\;</MATH>|6.44}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{A}^{(i+1)}=\mathbf{Q}^{(i+1)}\mathbf{R}^{(i+1)}=\left[\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{a}_{i+1}\right]\;</MATH>|6.45}} }} We wzorach {{LinkWzór|6.43}}, {{LinkWzór|6.44}} i {{LinkWzór|6.45}} występują pewne nieznane wielkości, które to wyznaczymy wedle poniższych formuł dla i=1,2,...,n-1: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{r}_{i+1}=\left(\mathbf{Q}^{(i)}\right)^T\mathbf{a}_{i+1}\;</MATH>|6.46}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{p}_{i+1}=\mathbf{a}_{i+1}-\mathbf{Q}^{(i)}\mathbf{r}_{i+1}\;</MATH>|6.47}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>s_{i+1}=||\mathbf{p}_{i+1}||_2\;</MATH>|6.48}} }} Jeśli s{{Sub|i+1}}=0, to zachodzi równość {{Strong|Q}}{{Sup|(i+1)}}={{Strong|Q}}{{Sup|(i)}}, a jeśli mamy s{{Sub|i+1}}&ne;0, to wtedy możemy napisać {{Strong|q}}{{Sub|i+1}}={{Strong|p}}{{Sub|i+1}}/s{{Sub|i+1}}. Łatwo udowodnić, że macierz {{LinkWzór|6.44}} jest macierzą trapezoidalną, a macierz {{Strong|Q}}{{Sup|(i)}} jest macierzą ortogonalną, a macierz {{Strong|A}}{{Sup|(i)}} spełnia zależność {{LinkWzór|6.45}}. Wyniku użycia metody Grama-Schmidta jest możliwa utrata ortogonalności macierzy {{Strong|Q}}{{Sup|(i)}} dla i=1,2,..,n w wyniku obliczeń numerycznych, które powstają wyniku zaokrąglenia wyników obliczeń. W tym celu należy przeprowadzić reortogonalizację {{Strong|p}}{{Sub|i+1}}, ale to zwiększa nakład obliczeń numerycznych. Przy rozkładzie macierzy {{Strong|A}}={{Strong|QR}}, która z założenia jest macierzą nieososbliwą należy wykonać <MATH>_{D=n^3-{{1}\over{2}}n^2-{{1}\over{2}}n}\;</MATH> dodawań i <MATH>_{M=n^3+n}\;</MATH> i "n" pierwiastkowań, które wykonujemy bez ponownej reorogonalizacji. === Metoda rozkładu dowolnej macierzy {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}} metodą Householdera === Weźmy sobie macierz kwadratową {{Strong|H}} o k wierszach i k kolumnach przy zdefiniowanym wektorze {{Strong|u}}={{Strong|z}}-&alpha;||{{Strong|z}}||{{Sub|2}}{{Strong|e}}{{Sub|1}} i definicji liczby &tau;=||{{Strong|z}}||{{Sub|2}}{{Sup|2}}-&alpha;({{Strong|z}},{{Strong|e}}{{Sub|1}}): {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}=\mathbf{I}-{{1}\over{\tau}}\mathbf{u}\rangle\langle\mathbf{u}\;</MATH>|6.49}} Macierz zdefiniowana w punkcie {{LinkWzór|6.49}} nazywamy macierzą Householdera. Podziałajmy macierzą {{LinkWzór|6.49}} na wektor {{Strong|z}}=[z{{Sub|1}},z{{Sub|2}},...,z{{Sub|k}}]{{Sup|T}} przy wyżej podanych definicjach {{Strong|u}} i &tau;: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}\mathbf{z}=\mathbf{z}-{{1}\over{\tau}}\mathbf{u}(\mathbf{u},\mathbf{z})=\mathbf{z}-\mathbf{u}{{||\mathbf{z}||_2^2-\alpha(\mathbf{z},\mathbf{e}_1)}\over{||\mathbf{z}||_2^2-\alpha(\mathbf{z},\mathbf{e}_1)}}=\mathbf{z}-\mathbf{u}=\mathbf{z}-(\mathbf{z}-\alpha||\mathbf{z}||_2\mathbf{e}_1)=\alpha||\mathbf{z}||_2\mathbf{e}_1\;</MATH>|6.50}} Aby pominąc błędy zaokrągleń spowodowane dzieleniem, która podowują nadmierny wzrost błędów numerycznych należy tak obrać odpowiednią liczbę &tau;, wtedy wprowadza się definicję stałej &alpha; w postaci: &alpha;=-sqn z{{Sub|1}}, co powoduje &alpha;=-1 dla z{{Sub|1}}&ge;0 i &alpha;=1 dla z{{Sub|1}}<0. Macierz przekształcenia {{Strong|P}}{{Sup|(1)}}={{Strong|H}}{{Sup|(1)}} ustala pierwszą kolumnę <MATH>\mathbf{a}_1^{(1)}\;</MATH> macierzy {{Strong|A}} zapisaną w postaci schematu: <MATH>\alpha^{(1)}||\mathbf{a}_1^{(1)}||_2[1,0,...,0]^T_{1\times n}\;</MATH> do macierzy przekształcenia. Zdefiniujmy sobie macierz powstałej z iloczynu lewostronnego macierzy przekształceń o wskaźnikach i=1,...,n-1 i macierzy {{Strong|A}} wedle definicji {{Strong|P}}{{Sup|(n-1)}}{{Strong|P}}{{Sup|(n-2)}}....{{Strong|P}}{{Sup|(2)}}{{Strong|P}}{{Sup|(1)}}{{Strong|A}}={{Strong|R}}. Zdefiniujmy macierz przekształcenia o wskaźniku górnym dwa jako:<MATH>\mathbf{P}^{(2)}=\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf{H}^{(2)}\end{bmatrix}\;</MATH>, wtedy macierz {{Strong|H}}{{Sup|(2)}} stworzona jest na podstawie wierszy i kolumn macierzy {{Strong|P}}{{Sup|(1)}}{{Strong|A}} o numerach i=2,..,n, w której pierwszą kolumną jest <MATH>\mathbf{a}_1^{(2)}\;</MATH>, którą jeśli podziałamy macierzą {{Strong|H}}, to wtedy mamy <MATH>\mathbf{H}^{(2)}\mathbf{a}_1=\alpha^{(n-1)}||\mathbf{a}_1^{(2)}||_2[1,0,...,0]^T_{1\times n-1}\;</MATH>. Mając <MATH>\mathbf{z}=\mathbf{a}_1^{(1)}\;</MATH>, to możemy podstawić za {{Strong|z}} do równania {{LinkWzór|6.49}} i w ten sposób otrzymać <MATH>\hat{H}^{(2)}\;</MATH>. Idąc dalej: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{P}^{(n-1)}=\begin{bmatrix} 1&&&&\\ 0&\ddots\\ &&1&\\ &&&\mathbf{H}^{(n-1)} \end{bmatrix}\;</MATH>|6.51}} wtedy macierz {{Strong|H}}{{Sup|(n-1)}} stworzona jest na podstawie wierszy i kolumn macierzy {{Strong|P}}{{Sup|(n-2)}}...{{Strong|P}}{{Sup|(2)}}{{Strong|A}} o numerach n-1 i n, w której pierwszą kolumną jest <MATH>\mathbf{z}=\mathbf{a}_1^{(n-1)}\;</MATH>, którą podziałamy macierzą {{Strong|H}}, otrzymujemy <MATH>\hat{H}^{n-1}\mathbf{z}=\alpha^{(n-1)}||\mathbf{a}_1^{(n-1)}||_2[1,0]^T\;</MATH>, mając {{Strong|z}} podstawiamy go do {{LinkWzór|6.49}}, w ten sposób otrzymujemy {{Strong|H}}{{Sup|(n-1)}}. Na podstawie powyższych rozważań możemy rozłożyć macierz {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}}, czyli {{Strong|A}}={{Strong|QR}}, wtedy poszczególne czynniki w tym iloczynie piszemy według jego definicji {{Strong|Q}}={{Strong|P}}{{Sup|(1)}}{{Strong|P}}{{Sup|(2)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|P}}{{Sup|(n-1)}} oraz {{Strong|R}}={{Strong|Q}}{{Sup|T}}{{Strong|A}}. === Metoda rozkładu dowolnej macierzy {{Strong|A}} na iloczyn macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}} metodą Givensa === Metoda Givensa jest bardzo podobna do metody Householdera. Weźmy sobie wektor <MATH>\mathbf{z}=[z_1,z_2,..,z_k]^T\;</MATH>, a wynik działania macierzy Givensa na wektor {{Strong|z}} przedstawiamy &alpha;||{{Strong|z}}||{{Sub|2}}&sdot;[1,0,...,0]{{Sup|T}}, tzn. dla &alpha;=&plusmn;1 mamy {{Strong|Gz}}=&alpha;||{{Strong|z}}||{{Sub|2}}{{Strong|e}}{{Sub|1}}. Macierz Givensa definiujemy sposobem: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{G}^{(j)}=\begin{bmatrix} 1&\\ 0&\ddots&&&&0&\\ &&c^{(j)}&s^{(j)}&\\ &&s^{(j)}&-c^{(j)}&\\ &0&&&&\ddots&\\ &&&&&&1\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.52}} W macierzy {{LinkWzór|6.52}} są tak odpowiednio dobrane liczby c{{Sup|(j)}}, s{{Sup|(j)}}, by podczas działania macierzy {{Strong|G}}{{Sup|(j)}} na wektor pionowy <MATH>\mathbf{z}^{(j)}=[z_1^{(j)},...,z_j^{(j)},z_{j+1}^{(j)},...,z_n^{(j)}]^T\;</MATH>, by j+1 współrzędna wyniku działania była równa zero. Opisane tutaj liczby wyznaczamy według schematów: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho_1=\sqrt{\left(z_j^{(j)}\right)^2+\left(z_{j+1}^{(j)}\right)^2}\;</MATH>|6.53}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\rho_2=\alpha\rho_1\mbox{ dla }\alpha=\pm 1\;</MATH>|6.54}} }} {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}c^{(j)}=z_j^{(j)}/\rho_2\\s^{(j)}=z_{j+1}^{(j)}/\rho_2\end{cases}\mbox{ dla }\rho_1\neq 0\;</MATH>|6.55}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\begin{cases}c^{(j)}=1\\s^{(j)}=0\end{cases}\mbox{ dla }\rho_1=0\;</MATH>|6.56}} }} Napiszmy macierz {{Strong|G}} jako iloczyn macierzy Givensa o wskaźnikach górnych i=2,...,n, którego definicja jest {{Strong|G}}={{Strong|G}}{{Sup|(2)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|G}}{{Sup|(n-1)}}{{Strong|G}}{{Sup|(n)}}. Podczas działania macierzy {{Strong|G}}{{Sup|(n)}} na wektor pionowy {{Strong|n}} wyzerowuje jego element z{{Sub|n}}, i tak idąc dalej do końca macierz {{Strong|G}}{{Sup|(2)}}, który podczas działania na wektor {{Strong|z}} wyzerowuje element z{{Sub|2}} do zera. Utwórzmy sobie macierz {{Formuła|<MATH>\mathbf{G}_1=\mathbf{G}_1^{(2)}\mathbf{G}_1^{(3)}\cdot....\cdot\mathbf{G}_1^{(n)}\;</MATH>}}, który podczas działania na wektor <MATH>\mathbf{a}_1^{(1)}\;</MATH> (jest to pierwsza kolumna macierzy {{Strong|A}}) otrzymujemy wynik {{Formuła|<MATH>\alpha^{(1)}||\mathbf{a}_1^{(2)}||_2[1,0,...,0]^t_{1\times n}\;</MATH>}}. Weźmy sobie macierz {{Strong|G}}{{Sub|2}}, który to działamy na wektor pionowy {{Formuła|<MATH>\mathbf{a}_1^{(2)}\;</MATH>}} (jest to pierwsza kolumna utworzonej macierzy o n-1 wierszach i kolumnach położonej w prawym dolnym rogu macierzy {{Strong|G}}{{Sub|1}}{{Strong|A}}) otrzymujemy wynik {{Formuła|<MATH>\alpha^{(2)}||\mathbf{a}_1^{(2)}||\cdot[1,0,....,0]^T_{1\times(n-1)}\;</MATH>}}. Na samym końcu zbudujmy sobie macierz {{Strong|G}}{{Sub|n-1}} podczas działania na wektor <MATH>\mathbf{a}_1^{(n-1)}\;</MATH>, który jest macierzą o wymiarze 2x2 utworzoną z wierszy i kolumn macierzy {{Strong|G}}{{Sub|n-2}}{{Strong|G}}{{Sub|n-1}}...{{Strong|G}}{{Strong|A}} otrzymujemy wektor {{Formuła|<MATH>\alpha^{(n-1)}||\mathbf{a}_1^{(n-1)}||_2\cdot [1,0]^T\;</MATH>}}. Podczas rozkładu macierzy {{Strong|A}} na iloczyn {{Strong|Q}} i {{Strong|R}} otrzymujemy przy dokonanych obliczeniach przy powyższym schemacie otrzymujemy następujące ich definicje {{Formuła|<MATH>\mathbf{Q}=(\mathbf{G}_1^{(n)}\mathbf{G}_1^{(n-1)}\cdot ....\cdot\mathbf{G}^{2}_1)(\mathbf{G}_2^{(n)}\mathbf{G}_2^{(n-1)}\cdot ....\cdot\mathbf{G}_{2}^{(2)})\cdot ...\cdot \mathbf{G}_{n-1}^{(2)}\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>\mathbf{R}=\mathbf{Q}^T\mathbf{A}\;</MATH>}}. Liczba operacji potrzebna do wyznaczenia macierzy Givensa i macierzy {{Strong|R}} jest w postaci {{Formuła|<MATH>M={{4}\over{3}}n^3-{{4}\over{3}}n\;</MATH>}} mnożeń i {{Formuła|<MATH>D={{2}\over{3}}n^3-{{1}\over{2}}n^2-{{1}\over{6}}n\;</MATH>}} dodawań i {{Formuła|<MATH>{{1}\over{2}}n^2-{{1}\over{2}}n\;</MATH>}} pierwiastkowań. == Wyznaczenie wartości własnej dla symetrycznej trójdiagonalnej macierzy == Macierz trójdiagonalna jest definiowana wedle schematu {{LinkWzór|5.93|Algebraiczne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych}}, a dodatkowo jeśli jest symetryczna, to jego definicja jest: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{T}=\begin{bmatrix} b_1&a_1&&0&\\ a_2&b_2&a_2&&\\ 0&a_3&b_3&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ &0&&a_n&b_n \end{bmatrix}\;</MATH>|6.57}} Omówimy tutaj dwie metody, tzn. metodę bisekcji i metodę {{Strong|QR}} jako metody wyznaczania odpowiednich wartości własnych. === Wyznaczanie wartości własnych dla trójdiagonalnej macierzy symetrycznej metodą bisekcji === Weźmy sobie dowolną liczbę &lambda;, wtedy możemy napisać wielomian charakterystyczny &omega;(&lambda;)=det({{Strong|A}}-&lambda;{{Strong|I}}). Ponieważ co do założenia macierzy {{Strong|A}} wielomian &omega;(&lambda;) możemy wyznaczyć ze związków rekurencyjnych zapisanej w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0(\lambda)=1\;</MATH>{{Br}}<MATH>\omega_1(\omega)=b_1-\lambda\;</MATH>{{Br}}<MATH>\omega_i(\lambda)=(b_i-\lambda)\omega_{i-1}-a_i^2\omega_{i-2}(\lambda)\mbox{ dla }i=2,3,...,n\;</MATH>{{Br}}<MATH>\omega(\lambda)=\omega_n(\lambda)\;</MATH>|6.58}} * Jeśli wszystkie elementy a{{Sub|2}}, a{{Sub|3}},...,a{{Sub|n}} są niezerowymi wartościami, to macierz {{LinkWzór|6.57}} ma wszystkie wartości własne różne od siebie, a także na podstawie {{LinkWzór|6.57}} można wygenerować ciąg wartości zależnych od &lambda;, tzn. &omega;{{Sub|0}}(&lambda;), &omega;{{Sub|1}}(&lambda;),...,&omega;{{Sub|n}}(&lambda;), które dla &omega;{{Sub|i}}(&lambda;), gdy i<n, spełniają warunki &omega;{{Sub|i-1}}(&lambda;)&omega;{{Sub|i+1}}(&lambda;)<0, lub gdy spełniony jest warunek &omega;{{Sub|n}}(&lambda;)&ne;0, to liczba zmian znaków opisywanego powyżej ciągu, dla i=1,..,n, jest równa liczbie wartości własnych macierzy {{LinkWzór|6.58}}. A ponadto gdy &omega;{{Sub|n}}(&lambda;)=0, to &lambda; jest wartością własną macierzy {{LinkWzór|6.58}}, i tyle jest wartości własnych oczywiście mniejszych niż &lambda;, ile nastąpiło zmian znaków ciągu dla naszego powyżej opisywanego ciągu dla i=0,..,n-1. Powyższa metod chociaż jest metodą stabilną, ale poszczególne elementy ciągu &omega;{{Sub|0}}(&lambda;), &omega;{{Sub|1}}(&lambda;),...,&omega;{{Sub|n}}(&lambda;) mogą osiągać zbyt duże wartości, nawet dla małych liczb naturalnych "n", co następuje, gdy wartość &lambda; odbiega zbytnio od wartości własnych macierzy {{LinkWzór|6.57}}, z tego względu ciąg generowany przez algorytm {{LinkWzór|6.58}} przekształcamy w ciąg p{{Sub|i}}: {{Formuła|<MATH>p_1(\lambda)={{\omega_1(\lambda)}\over{\omega_0(\lambda)}},...p_n(\lambda)={{\omega_n(\lambda)}\over{\omega_{n-1}(\lambda)}}\;</MATH>}}, wtedy jego poszczególne elementy są generowane przez ciąg wynikającego z przekształconego algorytmu {{LinkWzór|6.58}}, jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>p_1(\lambda)=b_1-\lambda\;</MATH>|6.59}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>p_i(\lambda)=(b_i-\lambda)-a_i^2/p_{i-1}(\lambda)\mbox{ dla }i=2,..,n\;</MATH>|6.60}} }} Gdy ciąg generowany {{LinkWzór|6.60}} ma element p{{Sub|i-1}} równy zerowy, to ten nasz algorytm musi ulec modyfikacji. Wyznaczmy dokładną wartość wyrażenia p{{Sub|i}}(&lambda;), który to przepisujemy znając zaokrągloną wartość b{{Sub|i}}, a{{Sub|i}} i p{{Sub|i-1}}, na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{fl}(p_i(\lambda))=b_i(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_3)-\lambda(1+\epsilon_2)(1+\epsilon_3)-{{a_i^2}\over{p_{i-1}(\lambda)}}(1+\epsilon_4)(1+\epsilon_5)(1+\epsilon_6)\;</MATH>|6.61}} Liczba zmian znaków elementu dokładnego fl(p{{Sub|i}}(&lambda;)) jest równa liczbie zmian znaków {{LinkWzór|6.61}} podzielonej przez (1+&epsilon;{{Sub|2}})(1+&epsilon;{{Sub|3}}), bo podzielenie przez to wyrażenie nie zmienia znaku powyższego wyrażenia, co wtedy tak otrzymane wyrażenie, a właściwie jej prawą stronę piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>b_i{{1+\epsilon_1}\over{1+\epsilon_2}}-\lambda-{{a_i^2}\over{p_{i-1}(\lambda)}}{{(1+\epsilon_4)(1+\epsilon_4)(1+\epsilon_6)}\over{(1+\epsilon_2)(1+\epsilon_3)}}\;</MATH>|6.62}} Oszacowania, co do błędów poszczególnych elementów {{LinkWzór|6.57}}, które powstają podczas zaokrąglania, są napisane jako: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>|\delta b_i|<2,04\epsilon|b_i|\;</MATH>|6.63}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>|\delta a_i|<2,06\epsilon|a_i|\;</MATH>|6.64}} }} Ze wzorów {{LinkWzór|6.63}} i {{LinkWzór|6.64}} wynika ||&delta;{{Strong|T}}||{{Sub|&infin;}}<2,06&epsilon;||{{Strong|T}}||{{Sub|&infin;}}. Weźmy sobie początkowy przedział {{Formuła|<MATH>\langle\alpha^{(0)},\beta^{(0)}\rangle\;</MATH>}}, który dzielimy pokolei na m części i obierzemy przez wartość t jako środek ostatniego przedziału i mając wartość własną &lambda;{{Sub|k}} możemy napisać jego oszacowanie: {{CentrujWzór|<MATH>|t-\lambda_k|<||\delta\mathbf{T}||_{\infty}+(\beta^{(0)}-\alpha^{(0)})\cdot 2^{-m-1}\;</MATH>|6.65}} Jeśli dodatkowo przyjmować będziemy &beta;{{Sup|(0)}}=||{{Strong|T}}||{{Sub|&infin;}} i &alpha;{{Sup|(0)}}=-||{{Strong|T}}||{{Sub|&infin;}}, to wzór {{LinkWzór|6.65}} na podstawie oszacowania &delta;{{Strong|T}} mamy w postaci: {{CentrujWzór|<MATH>|t-\lambda_k|<(2,06\epsilon+2^{-m})||\mathbf{T}||_{\infty}\;</MATH>|6.66}} Jeśli wyznaczymy wartości własne opisane metodą powyżej, to możemy przystąpić do liczenia poszczególnych składowych wektora własnego macierzy {{LinkWzór|6.57}} według sposobu: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>x_1=1\;</MATH>|6.67}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>x_2={{(\lambda-b_1)}\over{a_2}}\;</MATH>|6.68}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>x_{i+1}={{[(\lambda-b_i)x_i-a_ix_{i-1}]}\over{a_{i+1}}}\mbox{ dla } i=2,3...,n-1\;</MATH>|6.69}} }} ===Uzyskiwanie rozkładu macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą {{Strong|QR}}=== Weźmy sobie macierz trójdiagonalną {{Strong|T}} {{LinkWzór|6.57}}, którą będziemy rozkładać na iloczyn dwóch macierzy {{Strong|Q}} i {{Strong|R}}, wtedy możemy napisać iloczyn macierzy trójdiagonalnej {{Strong|P}}{{Sup|(1)}}, {{Strong|P}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|P}}{{Sup|(n-1)}} i macierzy {{Strong|A}}, który jest macierzą {{Strong|R}}, zapisywanej jako {{Strong|P}}{{Sup|(n-1)}}{{Strong|P}}{{Sup|(n-2)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|P}}{{Sup|(2)}}{{Strong|P}}{{Sup|(1)}}{{Strong|T}}={{Strong|R}}. Jeśli podziałamy macierzą {{Strong|P}}{{Sup|(1)}} na macierz trójdiagonalną {{Strong|T}}, to ona ma za zadanie wyeliminować w macierzy {{Strong|T}} element t{{Sub|21}} do zera. Macierzą {{Strong|P}}{{Sup|(1)}} może być zarówno macierzą Householdera {{Strong|H}}{{Sup|(1)}} {{LinkWzór|6.49}}, jak i macierzą Givensa {{Strong|G}}{{Sup|(2)}}. Wektor {{Strong|u}} jest tak zdefiniowany by miał dwie początkowe składowe. Obie te macierze, tzn. macierz Householdera lub Givensa, możemy zapisać znając elementy "a" i "b" w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\begin{bmatrix} a&b&&&\\ b&-a&&0&\\ &&1\\ &0&&\ddots\\ &&&&1 \end{bmatrix}\;</MATH>|6.70}} którym składowe element a i b w obu metodach odpowiednio różnią się znakiem. A więc metody Householdera i Givensa są na pewno równoważne w tym przypadku. Dla metody Givensa macierze {{Strong|R}} i {{Strong|Q}} są zapisywane jako: {{Strong|R}}={{Strong|G}}{{Sup|(n)}}{{Strong|G}}{{Sup|(n-1)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|G}}{{Sup|(3)}}{{Strong|T}}={{Strong|R}} i {{Strong|Q}}={{Strong|G}}{{Sup|(2)}}&sdot;...&sdot;{{Strong|G}}{{Sup|(n)}}, która ta ostatnia macierz jest macierzą Hessenberga. Jeśli wymnożymy wszystkie czynniki przez siebie w macierzy {{Strong|Q}} i w {{Strong|R}}, to w ostateczności otrzymamy macierze w jego pełnych formach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{Q}=\begin{bmatrix} p_1\beta_1&p_2\beta_1&\cdots&\cdots&p_n\beta_1\\ s_2&p_2\beta_2&\cdot&\cdots&p_n\beta_2\\ &s_3&\ddots&\\ &0&\ddots&\ddots\\ &&&s_n&p_n\beta_n\\ \end{bmatrix} \;</MATH>|6.71}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{R}=\begin{bmatrix} r_1&p_1&q_1&0&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&q_{n-2}\\ &0&&\ddots&p_{n-1}\\ &&&&r_n \end{bmatrix}\;</MATH>|6.72}} }} Poszczególne elementy pełnej macierzy {{Strong|Q}}, tzn. p{{Sub|i}}, &beta;{{Sub|i}} i s{{Sub|i}} możemy zdefiniować wedle schematu w formie: {{Tabelka|opcje=width=80%|<!-- -->{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|1)}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>p_1=c_2\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\beta_1=1\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\alpha_1=s_2\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\gamma_1=s_2\;</MATH>}}}}<!-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|2)}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>p_j=c_{j+1}\alpha_{j-1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\gamma_j=s_{j+1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\beta_j=-c_j/\alpha_{j+1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\alpha_j=s_{j+1}\alpha_{j-1}\;</MATH>}}}}<-- -->}}{{Wiersz|<!-- -->{{Komórka|opcje=colspan=3|3)}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>p_n=\alpha_{n-1}\;</MATH>}}}}<!-- -->{{Komórka|{{Formuła|<MATH>\beta_n=-c_n p_n\;</MATH>}}}}<!-- -->}}<!-- -->}} Odwróćmy teraz kolejność mnożenia w przedstawianiu macierzy {{Strong|T}} , wtedy otrzymujemy inną macierz {{Formuła|<MATH>\tilde{\mathbf{T}}=\mathbf{R}\mathbf{Q}\;</MATH>}}, ale ona powinna być podobna ortogonalnie do macierzy {{Strong|T}} {{LinkWzór|6.57}} według schematu {{Strong|RQ}}={{Strong|Q}}{{Sup|T}}{{Strong|TQ}}, wtedy na podstawie tego przedstawienie tej naszej macierzy: {{CentrujWzór|<MATH>\tilde{\mathbf{T}}=\begin{bmatrix} r_1c_2+p_1s_2&*&\\ r_2s_2&\ddots&*&0&\\ &\ddots&\ddots&*\\ 0&\ddots&\ddots&&*\\ &&r_ns_n&-c_{n-1}r_{n-1}&c_n+p_{n-1}s_n\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.73}} Podczas rozkładu macierzy {{Strong|T}} {{LinkWzór|6.57}} na iloczyn {{Strong|QR}} należy wykonać M=9n-9 mnożeń, D=3n-3 dodawań i n-1 pierwiastkowań. Dodatkowo, aby obliczyć macierz <MATH>\tilde{\mathbf{T}}=\mathbf{R}\mathbf{Q}\;</MATH> wedle jego schematu {{LinkWzór|6.72}} należy wykonać M=4n-1 mnożeń i D=n dodawań. Ilość pamięci jakie są zużywane do wyznaczenia macierzy {{Strong|R}} I {{Strong|g}}{{Sup|(2)}},....,{{Strong|G}}{{Sup|(n)}} jest 4n-3 komórek pamięci maszyny cyfrowej. == Sprowadzanie dowolnej macierzy symetrycznych do postaci trójdiagonalnej == Okazuje się, że można sprowadzić dowolną macierz {{Strong|A}} do postaci trójdiagonalnej symetrycznej, tzn. istnieje taka macierz przekształcenia {{Strong|P}}, dzięki któremu jest to możliwe. === Wyznaczanie macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą Householdera === Obierzmy sobie macierze {{Strong|P}}{{Sup|(1)}}, {{Strong|P}}{{Sup|(2)}},...,{{Strong|P}}{{Sup|(n-2)}}. Pierwszą macierz tego ciągu macierzy przekształceń piszemy przez: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{P}^{(1)}=\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf{H}^{(1)}\end{bmatrix}\;</MATH>|6.74}} Właściwości macierzy {{Strong|H}}{{Sup|(i)}} zostały omówione w rozdziale [[#Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Householdera|Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Householdera]]. Zdefiniujmy macierz {{Strong|M}}{{Sup|(2)}}, który wychodzi z macierzy {{Strong|A}}, którą będziemy doprowadzać do postaci diagonalnej: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}^{(2)}=\mathbf{P}^{(1)}\mathbf{A}\mathbf{P}^{(1)}=\begin{bmatrix} b_1&\begin{matrix}a_1&0&\cdots&0\end{matrix}\\ \begin{matrix}b_1\\a_1\\0\\ \vdots\\0\end{matrix}&\mathbf{A}^{(2)}_{(n-1)\times(n-1)}\\ \end{bmatrix}\;</MATH>|6.75}} Obierzmy sobie drugą macierz przekształcenia zapisanej przy pomocy macierzy {{Strong|H}}{{Sup|(2)}} obraną w formie: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{P}^{(2)}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&\mathbf{H}^{(2)}\end{bmatrix}\;</MATH>|6.76}} wtedy możemy obliczyć macierz {{Strong|M}}{{Sup|(3)}} otrzymaną z macierzy {{Strong|M}}{{Sup|(2)}} poprzez macierz przekształcenia {{Strong|P}}{{Sup|(2)}} otrzymywaną na w sposób: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{M}^{(3)}=\mathbf{P}^{(2)}\mathbf{M}^{(2)}\mathbf{P}^{(2)}=\begin{bmatrix} \begin{matrix} b_1&a_1&|\\ a_1&b_2&|\\ 0&a_2&|\\ \vdots&0&|\\ \vdots&\vdots&|\\ 0&0&|\\ \end{matrix}&\begin{matrix}\begin{matrix}0&\cdots&\cdots&0\\ a_2&0&\cdots&0\end{matrix}\\ \\ \mathbf{A}^{(3)}_{(n-2)\times(n-2)}\\ \\ \\ \end{matrix} \end{bmatrix}\;</MATH>|6.77}} Gdy wykonamy n-2 przekształceń macierzy {{Strong|A}} otrzymujemy w końcu {{Strong|M}}{{Sup|(n-1)}}={{Strong|T}}, czyli macierz trójdiagonalną symetryczną. Macierze {{Strong|H}}{{Sup|(i)}} są macierzami Householdera zapisnych w postaci macierzy {{LinkWzór|6.49}}. Aby wyznaczyć macierz {{Strong|H}}{{Sup|(i)}}{{Strong|A}}{{Strong|H}}{{Sup|(i)}} należy policzyć wektor <MATH>\mathbf{w}^{(i)}={{1}\over{\tau^{(i)}}}\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{u}^{(i)}\;</MATH>, a także <MATH>\mathbf{v}^{(i)}=\mathbf{w}^{(i)}-{{1}\over{2\tau^{(i)}}}\langle\mathbf{u}^{(i)},\mathbf{w}\rangle\cdot\mathbf{u}^{(i)}\;</MATH>. Wykorzystując definicję macierzy Householdera {{LinkWzór|6.49}} możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\mathbf{H}^{(i)}\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{H}^{(i)}=\left(\mathbf{I}-{{1}\over{\tau^{(i)}}}\mathbf{u}^{(i)}\rangle\langle\mathbf{u}^{(i)}\right)\mathbf{A}^{(i)}\left(\mathbf{I}-{{1}\over{\tau^{(i)}}}\mathbf{u}^{(i)}\rangle\langle\mathbf{u}^{(i)}\right)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \mathbf{A}^{(i)}-{{1}\over{\tau^{(i)}}}\left(\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{u}^{(i)}\right){\mathbf{u}^{(i)}}^T-{{1}\over{\tau^{(i)}}}({\mathbf{u}^{(i)}})\left({\mathbf{u}^{(i)}}^T\mathbf{A}^{(i)}\right)+{{1}\over{(\tau^{(i)})^2}}\mathbf{u}^{(i)}({\mathbf{u}^{i}}^T\mathbf{A}^{(i)}\mathbf{u}){\mathbf{u}^{(i)}}^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{w}^{(i)}{\mathbf{u}^{(i)}}^T-\mathbf{u}^{(i)}{\mathbf{w}^{(i)}}^T+{{1}\over{\tau^{(i)}}}\mathbf{u}^{(i)}\left({\mathbf{u}^{(i)}}^T\mathbf{w}^{(i)}\right){\mathbf{u}^{(i)}}^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \mathbf{A}^{(i)}-{\mathbf{u}^{(i)}}\left(\mathbf{w}^{(i)}-{{1}\over{2\tau^{(i)}}}\langle\mathbf{u}^{(i)},\mathbf{w}^{(i)}\rangle\mathbf{u}^{(i)}\right)^T-\left(\mathbf{w}^{(i)}-{{1}\over{2\tau^{(i)}}}\mathbf{u}^{(i)}\langle\mathbf{u}^{(i)},\mathbf{w}^{(i)}\rangle\right){\mathbf{u}^{(i)}}^T=\;</MATH>{{Br}}<MATH>= \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{u}^{(i)}\rangle\langle\mathbf{v}^{(i)}-\mathbf{v}^{(i)}\rangle\langle\mathbf{u}^{(i)}</MATH>|6.78}} Obliczenia przeprowadzone w punkcie {{LinkWzór|6.78}} bardzo są potrzebne do obliczania pokolei macierzy {{Strong|M}}{{Sup|(i)}}. Aby wyznaczyć trójdiagonalną symetryczną macierz należy dokonać {{Formuła|<MATH>M={{2}\over{3}}n^3+O_1(n^2)\;</MATH>}} mnożeń i {{Formuła|<MATH>D={{2}\over{3}}n^3n^3+O_2(n^2)\;</MATH>}} dodawań oraz n-2 pierwiastkowań. Błąd w tej metodzie wyznaczania macierzy dokładnej {{Strong|T}} w jego przybliżonej wersji <MATH>\tilde{\mathbf{T}}\;</MATH> jest: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{T}-\tilde{\mathbf{T}}||_E\leq 2k_1n^2\epsilon\left(1+k_1\epsilon n\right)^{2n}||\mathbf{A}||_E\;</MATH>|6.79}} Stała k{{Sub|1}} we wzorze {{LinkWzór|6.79}} zależy od sposobu zaokrąglania na typowej maszynie cyfrowej i dla typowej maszyny cyfrowej jej wartość jest k{{Sub|1}}=20. === Wyznaczanie macierzy trójdiagonalnej symetrycznej metodą Givensa === Przy wyznaczaniu macierzy {{Strong|P}}{{Sup|(i)}}, która jest macierzą przekształcenia, musimy skorzystać z macierzy Givensa opracowanej w punkcie: {{sr|#Metoda rozkładu dowolnej macierzy A na iloczyn macierzy Q i R metodą Givensa|b=tak}}, i na jej podstawie mamy macierze przekształcenia, co w rezultacie mamy ciąg {{Strong|M}}{{Sup|(2)}},{{Strong|M}}{{Sup|(3)}},...,{{Strong|M}}{{Sup|(n-1)}}={{Strong|T}}. W tej metodzie dokonaliśmy {{Formuła|<MATH>M={{4}\over{3}}n^3+O_1(n^2)\;</MATH>}} mnożeń i {{Formuła|<MATH>D={{2}\over{3}}n^3+O_2(n^2)\;</MATH>}} dodawań, a także {{Formuła|<MATH>{{1}\over{2}}n(n-1)\;</MATH>}} pierwiastkowań. Błąd w tej metodzie wyznaczania macierzy dokładnej {{Strong|T}} w jego przybliżonej wersji {{Formuła|<MATH>\tilde{\mathbf{T}}\;</MATH>}} jest: {{CentrujWzór|<MATH>||\mathbf{T}-\tilde{\mathbf{T}}||_E\leq 12n^{{3}\over{2}}\epsilon\left(1+6\epsilon\right)^{4n-7}||\mathbf{A}||_E\;</MATH>|6.80}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dperejhcd5ye2q7g2l9ehauutwwl8iq 10 33615 559046 478220 2026-10-10T23:59:10Z Persino 2851 559046 sanitized-css text/css .template-documentation { background-color:#ECFCF4; border:1px solid #a2a9b1; clear:both; margin:1em 0pt 0pt; padding:5px; } .template-documentation > *:first-child ~ p, .template-documentation > *:first-child ~ * p{ font-size:inherit; line-height:1.4; } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów}}*/ ry0ma9izpvrn163zm20ajmjwcs0l4ub 559047 559046 2026-10-11T00:05:58Z Persino 2851 559047 sanitized-css text/css .template-documentation { background-color:#ECFCF4; border:1px solid #a2a9b1; clear:both; margin:1em 0pt 0pt; padding:5px; } .template-documentation > *:first-child ~ p, .template-documentation > *:first-child ~ * p{ font-size:inherit; line-height:inherit; } /*{{Kategoria|Szablony - arkusze stylów}}*/ jtljg773xedq1u6jk6coadegbyvalyk 828 60192 559027 559017 2026-10-10T13:11:21Z Persino 2851 559027 Scribunto text/plain local p={}; function p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,wzor,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,jak) if(not czy_od_tylu)then if((liczba_od)and(liczba_do)and(liczba_od>liczba_do))then return;end; local a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k=mw.ustring.find(tekst,wzor,liczba_od); if((a)and(b)and(a>b))then return;end; if((not liczba_do)or((b)and(b<=liczba_do)))then return a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k; end; return nil; else if((liczba_od)and(liczba_do)and(liczba_od<liczba_do))then return;end; local liczba_start=liczba_do or 1; local a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k=nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil; while(true)do local a1,b1,c1,d1,e1,f1,g1,h1,i1,j1,k1=mw.ustring.find(tekst,wzor,liczba_start); if((a1)and(b1)and(a1>b1))then return;end; if((not b1)or((b1)and(b1>liczba_od)))then return a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k; elseif((b1)and(b1==liczba_od))then return a1,b1,c1,d1,e1,f1,g1,h1,i1,j1,k1; end; a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k=a1,b1,c1,d1,e1,f1,g1,h1,i1,j1,k1; if(not jak)then if(a1==b1)then liczba_start=b1+1; else liczba_start=b1; end; else liczba_start=b1+1; end; end; end; end; function p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst,wzor_linia,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu) local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=nil,nil,nil; local a1;local a2;local a3;local a4;local a5;local a6;local a7;local a8;local a9; local dlugosc_tekstu_wyszukiwanego=#tekst; if(not czy_od_tylu)then if((not liczba_od)or(liczba_od==1))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"^"..wzor_linia.."[^%S\n]*\n",liczba_od,liczba_do,false); end; if(not liczba_start_rozdzial)then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"\n"..wzor_linia.."[^%S\n]*\n",liczba_od,liczba_do,false); if(not liczba_start_rozdzial)then if((not liczba_do)or(liczba_do==dlugosc_tekstu_wyszukiwanego))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"\n"..wzor_linia.."[^%S\n]*$",liczba_od,liczba_do,false); end; if(not liczba_start_rozdzial)then if(((not liczba_od)or(liczba_od==1))and((not liczba_do)or(liczba_do==dlugosc_tekstu_wyszukiwanego)))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"^"..wzor_linia.."[^%S\n]*$",liczba_od,liczba_do,false); end; end; end; end; else if(liczba_od==dlugosc_tekstu_wyszukiwanego)then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"\n"..wzor_linia.."[^%S\n]*$",liczba_od,liczba_do,true); end; if(not liczba_start_rozdzial)then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"\n"..wzor_linia.."[^%S\n]*\n",liczba_od,liczba_do,true); if(not liczba_start_rozdzial)then if((not liczba_do)or(liczba_do==1))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"^"..wzor_linia.."[^%S\n]*\n",liczba_od,liczba_do,true); end; if(not liczba_start_rozdzial)then if(((not liczba_od)or(liczba_od==dlugosc_tekstu_wyszukiwanego))and((not liczba_do)or(liczba_do==1)))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"^"..wzor_linia.."[^%S\n]*$",liczba_od,liczba_do,true); end; end; end; end; end; return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9; end; function p.CzyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci) local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local tab_2,numer_rodzaju_artykulu,id,parametry,kom=stronicowyparser_potrzebne_modul.AnalizujLinkSzablonyOrazLinki(szablon,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,obiekt,kod,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,stronicowyparser_rozdzialy_modul.__FUNKCJA_KOMPLETOWANIA); if(not kom)then local tab=((tab_2 and tab_2[1]) and tab_2 or nil); if(tab)then if(numer_rodzaju_artykulu==1)then local artykul=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(tab[1],false); local czy_podrecznik=((mw.ustring.match(artykul,"^%u"))and((not mw.ustring.match(artykul,"%l%u"))or(mw.ustring.match(artykul,"%s")))) local function StronyWstepu(artykul) local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tak=true; for _,wzor in ipairs(stronicowyparser_obiekty_modul.artykularne_niespisowe) do tak=tak and (not mw.ustring.match(artykul,wzor)); if(not tak)then return tak;end; end; return tak; end; if((czy_glowny_spis_tresci)and(artykul==""))then return false,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,false; else if((czy_usun_okladka)--[[or(numer_rodzaju_artykulu>1)]]or(--[[(numer_rodzaju_artykulu==1)and]](artykul~="")and(StronyWstepu(artykul))))then return true,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,false; else return true,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,true; end; end; else return true,numer_rodzaju_artykulu,--[[czy_podrecznik]]false,false; end; end; end; return false,nil; end; function p.CzySpecjalnyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci) if(obiekt=="SZABLON")then local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) ---- if(nazwa_szablonu=="SpisTreści")then return true,1; else local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tabela_spisu=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]; if(tabela_spisu)then local parametr_linku; if(tabela_spisu[1]==true)then local numer_link=tabela_spisu["numer_link"]; parametr_linku=tabela_parametrow_szablonu[numer_link]; else local numer_link=tabela_spisu["link"]; parametr_linku=tabela_parametrow_szablonu[numer_link]; end; if(parametr_linku)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(parametr_linku,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci) if(czy_element_spisu)then return czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; end; end; end; end; end; end; end); if(czy_element_spisu)then return czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; end; end; return false; end; function p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci) local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci); if((not czy_element_spisu)and(not numer_rodzaju_artykulu))then czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzySpecjalnyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci); end; return czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; end; function p.CzyTamElementyNieSpisoweArtykularne(linia,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) local tak=false; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do --czy_w_petli=true; if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and(not czy_okladka))then return true; elseif((not czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu))then tak=true; break; elseif(czy_okladka)then tak=true; break; end; end; end; return (not tak); end; function p.SzukajObiektuArtykularnegoWeElemencieTekstowym(tekst,szablon_normy_kodowania_szablonu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych, czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci,czy_wszystkie_linki,z_innymi_stronami) local start=1; while(true)do local start_szablon,koniec_szablon,obiekt_szablon,kod_szablon=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,szablon_normy_kodowania_szablonu,start); local koniec_obiekt;local kod_obiekt;local obiekt=nil; if(start_szablon)then if((obiekt_szablon=="SZABLON")or(obiekt_szablon=="LINKW")or(obiekt_szablon=="LINKZ"))then local kod=kod_szablon; local obiekt=obiekt_szablon; local kod=tonumber(kod) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci); if((czy_element_spisu)and((czy_wszystkie_linki)or(((numer_rodzaju_artykulu==1)and(not czy_okladka))or((z_innymi_stronami)and(numer_rodzaju_artykulu>1)))))then return true; end; end; start=koniec_szablon; else return false; end; end; end; function p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(linia,spacje_na_poczatku) local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tak=false; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); linia=techniczne_modul.UsuwanieZnakoweKontrolneNiewidzialne(linia); for _,p_wzor in ipairs(stronicowyparser_obiekty_modul.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci) do tak=tak or (((not spacje_na_poczatku) or (not mw.ustring.match(linia,"^%s+"))) and (mw.ustring.match(linia,"^"..p_wzor.."$"))); if(tak)then return true;end; end; return nil; end; function p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,jak) local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); while(true)do local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^\n]+)",liczba_od,liczba_do,jak); if(liczba_start_rozdzial)then local czy_zerowy_spis_rzeczy=p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(rozdzial,true); if(czy_zerowy_spis_rzeczy)then return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial; else liczba_od=jak and liczba_start_rozdzial or liczba_koniec_rozdzial; end; else return; end; end; return nil; end; function p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany(szablon,obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) local czy_ce=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]; if(not czy_ce)then return;end; local zawartosc=tabela_parametrow_szablonu[czy_ce]; if(not zawartosc)then return;end; return true; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,tab_atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((nazwa)and(zawartosc))then if(nazwa=="center")then return true; end; end; end; end; function p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor,liczba_od,liczba_do,jak,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); while(true)do local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,linia=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"("..wzor..")",liczba_od,liczba_do,jak); if(liczba_start_rozdzial)then if((not mw.ustring.match(linia,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$"))and(not mw.ustring.match(linia,"^[%*#:;<>]")))then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=iterator(); local wynik=((szablon)and(obiekt)and(kod))and p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany(szablon,obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or nil; if(not wynik)then local rozdzial,czy_standardowe_rozdzialy=stronicowyparser_rozdzialy_modul.CzyZerowyNapisWprowadzeniaTekstu(linia,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if((rozdzial)and(czy_standardowe_rozdzialy))then return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,linia; end; end; end; if(jak)then liczba_od=liczba_start_rozdzial;else liczba_od=liczba_koniec_rozdzial;end; else return; end; end; return nil; end; function p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,czy_spis_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local stronicowyparser_spistresci_modul=require("Module:StronicowyParser/SpisTreści") local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local function RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu(wzor,czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2) local liczba_start;local liczba_koniec; local liczba_wys=liczba_od; local spis_naglowka; local spis_naglowka_stare; local spis_naglowka_poziom; while(true)do local __liczba_start,__liczba_koniec,wartosc_przechwycona; if(czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni)then __liczba_start,__liczba_koniec,wartosc_przechwycona=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor,liczba_wys,liczba_do,czy_od_tylu) else __liczba_start,__liczba_koniec,wartosc_przechwycona=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor,liczba_wys,liczba_do,czy_od_tylu); end; if(__liczba_start)then if(not czy_od_tylu)then liczba_wys=__liczba_koniec;else liczba_wys=__liczba_start;end; local szablon,wartosc_przechwycona=__FUNKCJA1(wartosc_przechwycona); local wynik=__FUNKCJA2(szablon,wartosc_przechwycona,function(naglowek,poziom_naglowka) if(czy_spis_tresci)then spis_naglowka_stare=naglowek; spis_naglowka=stronicowyparser_spistresci_modul.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu(naglowek,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) spis_naglowka=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=spis_naglowka,[2]="tak",}; if(poziom_naglowka)then spis_naglowka_poziom=poziom_naglowka;end; if(czy_spis_tresci(spis_naglowka))then liczba_start,liczba_koniec=__liczba_start,__liczba_koniec; return false; end; else spis_naglowka=naglowek; if(poziom_naglowka)then spis_naglowka_poziom=poziom_naglowka;end; liczba_start,liczba_koniec=__liczba_start,__liczba_koniec; return false; end; return true; end); if(not wynik)then break; end; else break; end; end; if(liczba_start)then return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom; end; end; local obiekt="SZABLON"; local norma_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt); local szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy; local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,spis_naglowka_szablon_stare,spis_naglowka_szablon,spis_naglowka_szablon_poziom=RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu( norma_kodowania_szablonu, false, function(kod) kod=kod and tonumber(kod) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; return szablon,kod; end, function(szablon,kod,__FUNKCJA) local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local liczba_szablon_centrowany=szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]; if(liczba_szablon_centrowany)then local naglowek=tabela_parametrow_szablonu[liczba_szablon_centrowany]; if(naglowek)then if(not mw.ustring.match(naglowek,"^%s*%d+%s*/%s*%d+%s*$"))then return __FUNKCJA(naglowek,nil); end; end; else local liczba_szablon_napisowu_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(liczba_szablon_napisowu_sztucznego_wprowadzenia_tekstu)then local naglowek=tabela_parametrow_szablonu[liczba_szablon_napisowu_sztucznego_wprowadzenia_tekstu]; if(naglowek)then local naglowek,poziom_naglowka=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(naglowek); if((naglowek)and(poziom_naglowka))then return __FUNKCJA(naglowek,poziom_naglowka); end; end; end; end; return true; end); return wynik; end); local obiekt="ZNACZNIK"; local norma_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt); local liczba_start_znacznik,liczba_koniec_znacznik,spis_naglowka_znacznik_stare,spis_naglowka_znacznik,spis_naglowka_znacznik_poziom=RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu( norma_kodowania_szablonu, false, function(kod) kod=kod and tonumber(kod) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; return szablon,kod; end, function(szablon,kod,__FUNKCJA) local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(nazwa=="center")then if(zawartosc)then if(not mw.ustring.match(zawartosc,"^%s*%d+%s*/%s*%d+%s*$"))then return __FUNKCJA(zawartosc,nil); end; end; elseif(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then if(zawartosc)then local numer_rozdzialu=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); if(numer_rozdzialu)then return __FUNKCJA(zawartosc,numer_rozdzialu); end; end; end; return true; end); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local wzor_rozdzialu_dodatniego="(=+[^\n]*[^=\n][^\n]*=+)[^%S\n]*"; local liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom=RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu( wzor_rozdzialu_dodatniego, true, function(naglowek) return naglowek,naglowek; end, function(naglowek,_,__FUNKCJA) local naglowek,poziom_naglowka=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(naglowek); if(naglowek)then return __FUNKCJA(naglowek,poziom_naglowka); end; return true; end); if((liczba_start_szablon)or(liczba_start_znacznik)or(liczba_start_dodatni))then local _max_min; if(czy_od_tylu)then _max_min=math.max(math.max(liczba_start_szablon or 0,liczba_start_znacznik or 0),liczba_start_dodatni or 0); else _max_min=math.min(math.min(liczba_start_szablon or #tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start_znacznik or #tekst_rozwiniety_calego_artykulu),liczba_start_dodatni or #tekst_rozwiniety_calego_artykulu); end; local function ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom) local spis_naglowka_stare=spis_naglowka_stare or spis_naglowka; if((not czy_spis_tresci)and(spis_naglowka))then spis_naglowka=stronicowyparser_spistresci_modul.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu(spis_naglowka,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) spis_naglowka=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=spis_naglowka,[2]="tak",}; end; return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka,spis_naglowka_stare,spis_naglowka_poziom; end; if((liczba_start_szablon)and(_max_min==liczba_start_szablon))then return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,spis_naglowka_szablon_stare,spis_naglowka_szablon,spis_naglowka_szablon_poziom); elseif((liczba_start_znacznik)and(_max_min==liczba_start_znacznik))then return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_znacznik,liczba_koniec_znacznik,spis_naglowka_znacznik_stare,spis_naglowka_znacznik,spis_naglowka_znacznik_poziom); elseif((liczba_start_dodatni)and(_max_min==liczba_start_dodatni))then return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom); end; end; return nil; end; function p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local linki=function(zawartosc) local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(zawartosc,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do if((obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local dalszy_tekst=mw.ustring.match(zawartosc,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod).."(.*)$"); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; elseif(obiekt=="SZABLON")then local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if((stronicowyparser_obiekty_modul.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]) or(stronicowyparser_obiekty_modul.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]) )then local dalszy_tekst=mw.ustring.match(zawartosc,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod).."(.*)$"); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; local tab_szablon_link_intelignetny=stronicowyparser_potrzebne_modul.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny(nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(tab_szablon_link_intelignetny)then local dalszy_tekst=mw.ustring.match(zawartosc,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod).."(.*)$"); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; end); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; return nil; end; end; if(obiekt=="SZABLON")then local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) local czy_numer_parametru_naglowka=szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]; local zawartosc; if(not czy_numer_parametru_naglowka)then czy_numer_parametru_naglowka=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(not czy_numer_parametru_naglowka)then return nil;end; local zawartosc_szablonu=tabela_parametrow_szablonu[czy_numer_parametru_naglowka]; if(not zawartosc_szablonu)then return nil;end; zawartosc_szablonu=mw.text.trim(zawartosc_szablonu); local naglowek,poziom_naglowka=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(zawartosc_szablonu); if((not naglowek)or(not poziom_naglowka))then return nil;end; zawartosc=naglowek; else zawartosc=tabela_parametrow_szablonu[czy_numer_parametru_naglowka]; if(not zawartosc)then return nil;end; end; local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=linki(zawartosc); if((szablon)and(obiekt)and(kod))then return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; return nil; end); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(zawartosc)then if((nazwa=="center")or(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa]))then local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=linki(zawartosc); if((szablon)and(obiekt)and(kod))then return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; return nil; end; end; return nil; end; end; function p.AnalizowanieSekcjowe(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,czy_zeruj,tab_zmienne,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) return function(liczba_koniec_naglowek,liczba_obiekt_start_nowe) if((liczba_koniec_naglowek)and(liczba_obiekt_start_nowe)and(liczba_koniec_naglowek+1<=liczba_obiekt_start_nowe-1))then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek+1,liczba_obiekt_start_nowe-1); if((mw.ustring.match(str,"^%s*'+(.+)'+%s*$")) or(mw.ustring.match(str,"^[%*#:;<>]+.*$") or(mw.ustring.match(str,"^[%s%p%w]*$"))) )then return nil;end; local ile_punktowanych=0; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local _,ile=mw.ustring.gsub(str,"([^\n]+)",function(linia) if((mw.ustring.match(linia,"^[%*#;:<>]"))or(mw.ustring.match(linia,"^%s*$")))then ile_punktowanych=ile_punktowanych+1; else local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu>2))then ile_punktowanych=ile_punktowanych+1; break; end; end; end; end); if(ile_punktowanych>=ile)then return nil; end; str=mw.ustring.gsub(str,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("SZABLON"),""); if(not mw.ustring.match(str,"^%s*$"))then if(czy_zeruj)then tab_zmienne.liczba_nie_okladka_artykul=nil; tab_zmienne.liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul=nil; tab_zmienne.czy_ten_rozdzial=nil; --tab_zmienne={["liczba_nie_okladka_artykul"]=liczba_nie_okladka_artykul,["liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul"]=liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,["czy_ten_rozdzial"]=czy_ten_rozdzial,} end; return true; end; end; return nil; end; end; function p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_spac_par,czy_dodatni,czy_bez_naglowka,AnalizowanieSekcjowe) local odtylu=liczba_obiekt_start_spac_par; local liczba_start_naglowek;local liczba_koniec_naglowek;local naglowek;local poziom_naglowka; local liczba_start_naglowek_dalej;local liczba_koniec_naglowek_dalej;local naglowek_dalej;local poziom_naglowka_dalej; local czy_fun=false; local czy_pierwszy=nil; local liczba_koniec_naglowek_poczt=nil; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); while(true)do local liczba_start_naglowek_nowe;local liczba_koniec_naglowek_nowe;local naglowek_nowe;local poziom_naglowka_nowe; if(czy_dodatni==1)then local _; liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe,_,poziom_naglowka_nowe=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,odtylu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); elseif(czy_dodatni==2)then local str_lista_naglowek; liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,str_lista_naglowek,naglowek_nowe=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([%*#:;<>]+)[^%S\n]*([^\n]-)",odtylu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); poziom_naglowka_nowe=liczba_start_naglowek_nowe and (-#str_lista_naglowek) or nil; else liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^%*#:;<>\n][^%S\n]*[^\n]-:)",odtylu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); poziom_naglowka_nowe=liczba_start_naglowek_nowe and 0 or nil; end; if(not liczba_start_naglowek_nowe)then break; else poziom_naglowka_nowe=(czy_dodatni==1)and (poziom_naglowka_nowe or 2) or poziom_naglowka_nowe; local czy_tak_spisowe=(czy_dodatni==1) and true or p.CzyTamElementyNieSpisoweArtykularne(mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe),nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych); if(czy_tak_spisowe)then if(not czy_pierwszy)then liczba_koniec_naglowek_poczt=liczba_koniec_naglowek_nowe; czy_pierwszy=true; end; if(liczba_start_naglowek)then if(liczba_koniec_naglowek_nowe<liczba_start_naglowek)then if(liczba_koniec_naglowek_nowe+1<=liczba_start_naglowek-1)then local pomiedzy_naglowkami=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_nowe+1,liczba_start_naglowek-1); local czy_pomiedzy_naglowkami=(pomiedzy_naglowkami)and(not mw.ustring.match(pomiedzy_naglowkami,"^%s*$")); if(czy_pomiedzy_naglowkami and(((czy_dodatni==1) and( ((poziom_naglowka_nowe)and(not poziom_naglowka)) or( ((poziom_naglowka_nowe)and(poziom_naglowka)) and(poziom_naglowka_nowe>=poziom_naglowka) ) ) or( ((czy_dodatni==2)and(poziom_naglowka_nowe<=poziom_naglowka)) or((czy_dodatni~=1)and(czy_dodatni~=2)) ) )--[[or( not mw.ustring.match(pomiedzy_naglowkami,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu()) )]]) )then liczba_start_naglowek_dalej,liczba_koniec_naglowek_dalej,naglowek_dalej,poziom_naglowka_dalej=liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe,poziom_naglowka_nowe; break; end; end; elseif(liczba_start_naglowek~=liczba_koniec_naglowek_nowe)then liczba_start_naglowek_dalej,liczba_koniec_naglowek_dalej,naglowek_dalej,poziom_naglowka_dalej=liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe,poziom_naglowka_nowe; break; end; end; if(((czy_dodatni==1)or(czy_dodatni==2))and(AnalizowanieSekcjowe)and(not czy_fun))then local spis_tresci=p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(naglowek_nowe); if(not spis_tresci)then --local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_nowe,liczba_obiekt_start_nowe); local czy_wynik=AnalizowanieSekcjowe(liczba_koniec_naglowek_nowe,liczba_obiekt_start_nowe); if(czy_wynik)then return false;end; end; czy_fun=true; end; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe,poziom_naglowka_nowe; end; end; odtylu=liczba_start_naglowek_nowe; end; return liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek_poczt,naglowek,poziom_naglowka,liczba_start_naglowek_dalej,liczba_koniec_naglowek_dalej,naglowek_dalej,poziom_naglowka_dalej; end function p.SzukanieKolejnychSekcji(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,czy_bez_naglowka,AnalizowanieSekcjowe) local liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka,liczba_start_naglowek_dalej=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,1,czy_bez_naglowka,AnalizowanieSekcjowe); ---- if((AnalizowanieSekcjowe)and(liczba_start_naglowek==false))then return nil;end; ---- local str_spacja_lub_zerowy_naglowek=function(tekst) local ile_znalezione_linie_wedlug_wzoru=0; local _,ile=mw.ustring.gsub(tekst,"([^\n]+)",function(linia) if((mw.ustring.match(linia,"^[^%*#:;<>\n].-:%s*$"))or(mw.ustring.match(linia,"^%s*$")))then ile_znalezione_linie_wedlug_wzoru=ile_znalezione_linie_wedlug_wzoru+1; end; return nil; end); if(ile==ile_znalezione_linie_wedlug_wzoru)then return true;end; return nil; end; if((not liczba_start_naglowek_dalej)and(liczba_start_naglowek))then local liczba_szukaj_odtylu_tekst=liczba_start_naglowek; local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"''+([^\n]+)''+",liczba_szukaj_odtylu_tekst,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); if(not liczba_start_rozdzial)then while(true)do local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_start_naglowek,2,czy_bez_naglowka,nil); if(liczba_start_naglowek_temp)then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_temp,liczba_start_naglowek); if(not str_spacja_lub_zerowy_naglowek(str))then break; end; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; end; local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_start_naglowek,3,czy_bez_naglowka,nil); if(liczba_start_naglowek_temp)then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_temp,liczba_start_naglowek); if(not str_spacja_lub_zerowy_naglowek(str))then break; end; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; end; if(not liczba_start_naglowek_temp)then break;end; end; end; elseif(not liczba_start_naglowek)then local liczba_szukaj_odtylu_tekst=liczba_obiekt_start_kolei_par; local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"''+([^\n]-[^'\n][^\n]-)''+",liczba_szukaj_odtylu_tekst,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); if(liczba_start_naglowek_temp)then local stronicowyparser_spistresci_modul=require("Module:StronicowyParser/SpisTreści") local spis_naglowka_szablon=stronicowyparser_spistresci_modul.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu(naglowek_temp,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not mw.ustring.match(spis_naglowka_szablon,"!%s*$")and(not mw.ustring.match(spis_naglowka_szablon,"%S!")))then ---- local tak=false; local czy_w_petli=false; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(naglowek_temp,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do czy_w_petli=true; if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and(not czy_okladka))then if(numer_rodzaju_artykulu==1)then tak=true; break; end; end; end; end; if((tak)or(not czy_w_petli))then liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,0; end; end; else local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp,liczba_start_naglowek_dalej_temp=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,2,czy_bez_naglowka,nil); if(liczba_start_naglowek_temp)then if(liczba_koniec_naglowek_temp+1<=liczba_obiekt_start_kolei_par-1)then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_temp+1,liczba_obiekt_start_kolei_par-1); if(mw.ustring.match(str,"^%s*$"))then liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; liczba_obiekt_start_kolei_par=liczba_start_naglowek; end; else liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; liczba_obiekt_start_kolei_par=liczba_start_naglowek; end; end; local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp,liczba_start_naglowek_dalej_temp=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,3,czy_bez_naglowka,nil); if(liczba_start_naglowek_temp)then if(liczba_koniec_naglowek_temp+1<=liczba_obiekt_start_kolei_par-1)then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_temp+1,liczba_obiekt_start_kolei_par-1); if(mw.ustring.match(str,"^%s*$"))then liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; end; else liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; end; end; end; end; return liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka; end; function p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_start,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,czy_bez_naglowka,czy_dalej_rozdzial) local liczba_spac=0; if(liczba_start)then local liczba_start_tekst=liczba_start;local liczba_koniec_tekst;local linia; while(true)do local liczba_start_tekst_stare=liczba_start_tekst; linia=nil local liczba_szukaj_odtylu_tekst=liczba_start_tekst; liczba_start_tekst,liczba_koniec_tekst,linia=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^%*#:;<>\n][^\n]*)",liczba_szukaj_odtylu_tekst,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); local rozdzial_dodatki=linia and mw.ustring.match(linia,"^(=+([^\n]*[^=\n][^\n]*)=+)[^%S\n]*$") or nil; if(rozdzial_dodatki)then local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local naglowek=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial_dodatki); if(naglowek)then return (czy_dalej_rozdzial)and liczba_start or liczba_koniec_tekst,liczba_spac; end; end; local spacja=linia and mw.ustring.match(linia,"^%s*$") or nil; if(spacja)then liczba_spac=liczba_spac+liczba_koniec_tekst-liczba_start_tekst+1; elseif((not spacja)and(linia))then local czy_spis=nil; local spis_tresci=p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(linia,true); local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=nil,nil,nil; local czy_rozdzial_dwukropkowy; if(not spis_tresci)then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start_tekst,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); if(liczba_start_rozdzial)then liczba_start=liczba_start_rozdzial; else czy_rozdzial_dwukropkowy=mw.ustring.match(linia,"^[^\n]+:[^%S\n]*$"); liczba_start=czy_rozdzial_dwukropkowy and liczba_start_tekst or liczba_koniec_tekst; end; czy_spis=liczba_start_rozdzial and true or nil; else liczba_start=--[[spis_tresci and]] liczba_start_tekst--[[ or liczba_koniec_tekst]]; czy_spis=true; end; if(not liczba_start_rozdzial)then if(not spis_tresci)then local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); if(mw.ustring.match(linia,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu()))then local tak=false; local czy_okladka=nil; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and(not czy_okladka))then tak=true; break; end; end; end; liczba_start=tak and liczba_start_tekst or liczba_start; czy_spis=((czy_rozdzial_dwukropkowy)and(not tak))and true or nil; else liczba_start=czy_rozdzial_dwukropkowy and liczba_start_tekst or liczba_koniec_tekst; czy_spis=czy_rozdzial_dwukropkowy and true or nil; end; else liczba_start=--[[spis_tresci and ]]liczba_start_tekst--[[ or liczba_koniec_tekst]]; end; end; return liczba_start,liczba_spac,czy_spis; elseif(not liczba_start_tekst)then return (czy_dalej_rozdzial)and liczba_start or math.min(liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul or 1,liczba_start),liczba_spac,nil; end; end; end; return liczba_start,liczba_spac,nil; end; function p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_nieoddzielone,czy_wszystkie_linki,czy_bez_innych_stron,czy_z_okladka,czy_pierwszy_link_dowolny) local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); ---- ---- if((czy_element_spisu) and( (czy_wszystkie_linki) or((numer_rodzaju_artykulu==1)and((czy_z_okladka)or(not czy_okladka))) or(((czy_pierwszy_link_dowolny)or(not czy_bez_innych_stron))and(numer_rodzaju_artykulu>1)) ))then return true,czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; else local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(dalszy_tekst,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); local szablon_obiekt_temp,szablon_kod_temp=obiekt,kod; for szablon,obiekt,kod in iterator do local czy_znajdz=mw.ustring.match(dalszy_tekst,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod)); if(czy_znajdz)then local czy_tekst=czy_nieoddzielone or mw.ustring.match(linia,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(szablon_obiekt_temp,szablon_kod_temp).."[%p%s%d%.]*"..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod)); if(czy_tekst)then if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and((czy_wszystkie_linki)or((numer_rodzaju_artykulu==1)and((czy_z_okladka)or(not czy_okladka)))or((not czy_bez_innych_stron)and(numer_rodzaju_artykulu>1))))then return true,czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; end; end; else return false; end; szablon_obiekt_temp,szablon_kod_temp=obiekt,kod; end; end; return false; end; end; function p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_spisowa,czy_bez_naglowka) local liczba_spisu=liczba_spisowa; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local szablon_normy_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu() while(true)do local liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu,_,linia,przed_tekst,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^%S\n]*([^\n]-)[^%S\n]*"..szablon_normy_kodowania_szablonu.."([^\n]*))",liczba_spisu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); --- if((liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu) and( (przed_tekst=="") or(mw.ustring.match(przed_tekst,"^[%p%s%d%.]*$")) ) )then liczba_spisu=liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu; if((obiekt_szablon=="SZABLON")or(obiekt_szablon=="LINKW")or(obiekt_szablon=="LINKZ"))then local obiekt=obiekt_szablon; local kod=kod_szablon; kod=tonumber(kod) or nil; ---- local czy_znalezione=p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,false); if(czy_znalezione)then return liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu,true;end; return liczba_spisowa,false; end; else return liczba_spisowa,false; end; end; end; function p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,liczba_przed_rozdzialem,liczba_start_naglowek_przed,czy_bez_naglowka,czy_dalej_rozdzial,czy_znajdz) local liczba_start=liczba_przed_rozdzialem; local liczba_start_sugerowane,liczba_spac,czy_spis=p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_start,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,czy_bez_naglowka,czy_dalej_rozdzial); if(czy_spis)then liczba_start=liczba_start_sugerowane; return liczba_start,true; elseif(not czy_znajdz)then liczba_start=liczba_przed_rozdzialem; return liczba_start,true; end; if(liczba_start_sugerowane<liczba_start-liczba_spac)then if((not liczba_start_naglowek_przed)or(liczba_start_sugerowane>liczba_start_naglowek_przed))then liczba_start=liczba_start_sugerowane; local liczba_start_od_tylu=liczba_start; local liczba_start_nowa=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"''+[^\n]*[^'][^\n]*''+",liczba_start_od_tylu,liczba_start_rozdzial,true); if(liczba_start_nowa)then if((not liczba_start_naglowek_przed)or(liczba_start_nowa>liczba_start_naglowek_przed))then liczba_start=liczba_start_nowa; end; else liczba_start=liczba_start_sugerowane; end; end; else liczba_start=liczba_start_sugerowane; end; return liczba_start,false; end; function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec) local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local liczba_koniec; while(true)do local poczatek_nierozdzalowe=liczba_obiekt_koniec; local liczba_start_nieszablon_nielink_nierozdzialowa,liczba_koniec_nieszablon_nielink_nierozdzialowa,linia=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^%*:;#<>'\n]+[^\n]*)",poczatek_nierozdzalowe,nil,false) if(liczba_start_nieszablon_nielink_nierozdzialowa)then local rozdzial_dodatki=mw.ustring.match(linia,"^(=+([^\n]*[^=\n][^\n]*)=+)[^%S\n]*$"); if(rozdzial_dodatki)then local naglowek=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial_dodatki); if(naglowek)then liczba_koniec=liczba_start_nieszablon_nielink_nierozdzialowa; return liczba_koniec; end; end; local czy_spacje=mw.ustring.match(linia,"^%s*$"); if(not czy_spacje)then liczba_koniec=liczba_start_nieszablon_nielink_nierozdzialowa; return liczba_koniec; elseif(czy_spacje)then liczba_obiekt_koniec=liczba_koniec_nieszablon_nielink_nierozdzialowa; end; else liczba_koniec=#tekst_rozwiniety_calego_artykulu; return liczba_koniec; end; end; return liczba_koniec; end; function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local liczba_obiekt_start_od_tylu=#tekst_rozwiniety_calego_artykulu; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local szablon_normy_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("SZABLON"); while(true)do local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,kod_szablon=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,szablon_normy_kodowania_szablonu,liczba_obiekt_start_od_tylu,liczba_start,true); if(liczba_start_szablon)then liczba_obiekt_start_od_tylu=liczba_start_szablon; local obiekt="SZABLON"; local kod=kod_szablon and tonumber(kod_szablon) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; ---- local liczba_koniec_szablon,norma_wzoru=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; end); if(liczba_koniec_szablon)then return liczba_koniec_szablon,norma_wzoru; end; elseif(not liczba_start_szablon)then return nil; end; end; end; function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) local tak=nil; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local liczba_rozdzial_start,liczba_rozdzial_koniec,rozdzial=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst,1,nil,false,function(naglowek) naglowek=techniczne_modul.UsuwanieZnakoweKontrolneNiewidzialne(naglowek); if(mw.ustring.match(naglowek,"^"..tab_wzor[1].."$"))then return true; end; end,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not liczba_rozdzial_start)then liczba_rozdzial_start,liczba_rozdzial_koniec,rozdzial=p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu(tekst,"("..tab_wzor[1]..")",liczba_rozdzial_koniec,nil,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(liczba_rozdzial_start)then tak=true;end; end; if(liczba_rozdzial_start)then local liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2; if(not tak)then liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst,liczba_rozdzial_koniec,nil,false,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); else local liczba_rozdzial_start3,liczba_rozdzial_koniec3=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst,liczba_rozdzial_koniec,nil,false,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); local liczba_rozdzial_start4,liczba_rozdzial_koniec4=p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu(tekst,"[^%*#;:<>\n]+[^\n]+",liczba_rozdzial_koniec,nil,true,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); ---- if((liczba_rozdzial_start3)and(liczba_rozdzial_start4))then if(liczba_rozdzial_start3<liczba_rozdzial_start4)then liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=liczba_rozdzial_start3,liczba_rozdzial_koniec3; else liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=liczba_rozdzial_start4,liczba_rozdzial_koniec4; end; elseif(liczba_rozdzial_start3)then liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=liczba_rozdzial_start3,liczba_rozdzial_koniec3; elseif(liczba_rozdzial_start4)then liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=liczba_rozdzial_start4,liczba_rozdzial_koniec4; else liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=nil,nil; end; end; ----- local str_bibliografia=mw.ustring.sub(tekst,liczba_rozdzial_koniec+1,(liczba_rozdzial_start2 and (liczba_rozdzial_start2-1) or #tekst)); if((not str_bibliografia)or(str_bibliografia==""))then return tekst;end; local tekst1=mw.ustring.sub(tekst,1,liczba_rozdzial_koniec); local tekst2=liczba_rozdzial_start2 and mw.ustring.sub(tekst,liczba_rozdzial_start2,#tekst) or ""; ----- local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); str_bibliografia=mw.ustring.gsub(str_bibliografia,"([^\n]+)",function(linia) local obiekt,kod,dalszy_tekst=mw.ustring.match(linia,"^[%*:;#<>]+%s*'*%s*"..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu().."([^\n]*)$"); if((obiekt)and(kod)and(dalszy_tekst))then kod=tonumber(kod) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((not czy_okladka)and(czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu==1))then return linia; end; end; linia=dalszy_tekst or linia; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do if(((tab_wzor[2])and((obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ")))or(obiekt=="SZABLON"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if(czy_element_spisu)then return linia; elseif(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if((stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_przypisowe[nazwa_szablonu])or(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_licencji[nazwa_szablonu]))then return linia; else return ""; end; end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return ""; end); return wynik; end; end; end; return ""; end); tekst=tekst1..str_bibliografia..tekst2; end; return tekst; end; function p.AnalizaSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local czy_uruchomiony_analizator_spisu_rzeczy_strony=stronicowyparser_rozdzialy_modul.UruchamianieAnalizatoraSpisuRzeczyStrony(); if(not czy_uruchomiony_analizator_spisu_rzeczy_strony)then return nil;end; ---- local liczba_start=nil;local liczba_koniec=nil; ---- local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); ----- local szablon_normy_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(); ---- local liczba_obiekt_koniec=1; local liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul=nil; local liczba_nie_okladka_artykul=nil; local tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych={}; local liczba_start_rozdzial=1; local liczba_obiekt_start_poprz=nil; local liczba_obiekt_koniec_poprz=nil; local liczba_nie_okladka_artykul_koniec=nil; local wzor_szablonu_list="([%*:#;<>]*)([^%S\n]*)([^\n]-)[^%S\n]*[\'\"]*[^%S\n]*"..szablon_normy_kodowania_szablonu.."[^%S\n]*[\'\"]*[^%S\n]*([^\n]-)[^%S\n]*"; while(true)do local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,lista_szablon,odstepy_poczatku_rozdzialu,przerwa_szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor_szablonu_list,liczba_obiekt_koniec,nil,false); if(liczba_start_szablon)then liczba_obiekt_koniec=liczba_koniec_szablon; --local czy_rozdzial_dodatni=((lista_szablon=="")and(odstepy_poczatku_rozdzialu=="")and(mw.ustring.match(przerwa_szablon,"^=+")and(mw.ustring.match(dalszy_tekst,"=+%s*$")))); local czy_rozdzial_dodatni; local czy_dobry_obiekt=((obiekt_szablon=="SZABLON")or(obiekt_szablon=="LINKW")or(obiekt_szablon=="LINKZ")); local czy_listy=((czy_dobry_obiekt)and( ( (lista_szablon~="")and( (przerwa_szablon=="") or((mw.ustring.match(lista_szablon,"^:"))and((przerwa_szablon==">")or(przerwa_szablon=="<"))) or(not mw.ustring.match(lista_szablon,"^:")) ) ) or((lista_szablon=="")and(przerwa_szablon=="")and(not mw.ustring.match(dalszy_tekst,"^>"))) )); czy_listy=czy_listy or ((czy_dobry_obiekt)and(lista_szablon=="")and(odstepy_poczatku_rozdzialu=="")and(mw.ustring.match(przerwa_szablon,"^=+")and(mw.ustring.match(dalszy_tekst,"=+%s*$")))); local szablon; if(not czy_listy)then local obiekt=obiekt_szablon;local kod=tonumber(kod_szablon) or nil; szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(szablon)then czy_listy=true;end; end; if(czy_listy)then local liczba_obiekt_start=liczba_start_szablon; local obiekt=obiekt_szablon; local kod=kod_szablon; kod=tonumber(kod) or nil; local tak,czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,true,false,true,true,true); liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul=(not liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul)and(czy_element_spisu and liczba_obiekt_start or nil) or liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul; liczba_nie_okladka_artykul=((not liczba_nie_okladka_artykul)and((czy_element_spisu)and(((numer_rodzaju_artykulu==1)and(not czy_okladka))or((numer_rodzaju_artykulu>=2)and((lista_szablon)and(lista_szablon~="") and (przerwa_szablon=="") and(dalszy_tekst=="")))))) and liczba_obiekt_start or liczba_nie_okladka_artykul; liczba_nie_okladka_artykul_koniec=((not liczba_nie_okladka_artykul)and((czy_element_spisu)and(((numer_rodzaju_artykulu==1)and(not czy_okladka))or((numer_rodzaju_artykulu>=2)and((lista_szablon)and(lista_szablon~="") and (przerwa_szablon=="") and (dalszy_tekst=="")))))) and liczba_obiekt_koniec or liczba_nie_okladka_artykul_koniec; ---- if((czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu==1)and(czy_podrecznik)and(not czy_okladka))then local czy_bez_naglowka=nil; local liczba_obiekt_start_nowe=liczba_nie_okladka_artykul or liczba_obiekt_start; local liczba_obiekt_koniec_nowe=liczba_nie_okladka_artykul_koniec or liczba_obiekt_koniec; local liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=nil,nil,nil,nil; local czy_ten_rozdzial=true; local liczba_obiekt_start_nowe_temp=liczba_obiekt_start_nowe; local liczba_spis_tresci_start,liczba_spis_tresci_koniec,spis_naglowka_dodatni_start,spis_naglowka_dodatni_stare_start,poziom_naglowka_start=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_start_rozdzial,true,function(naglowek) if(p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(naglowek))then return true;end; end,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); local czy_zeruj=(not liczba_spis_tresci_start)and true or false; liczba_obiekt_start_nowe=liczba_spis_tresci_start or liczba_obiekt_start_nowe; local tab_zmienne={ liczba_nie_okladka_artykul=liczba_nie_okladka_artykul, liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul=liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul, czy_ten_rozdzial=czy_ten_rozdzial, }; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=p.SzukanieKolejnychSekcji(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_nowe,czy_bez_naglowka,p.AnalizowanieSekcjowe(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,czy_zeruj,tab_zmienne,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)); liczba_nie_okladka_artykul,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,czy_ten_rozdzial=tab_zmienne.liczba_nie_okladka_artykul,tab_zmienne.liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,tab_zmienne.czy_ten_rozdzial; if(not czy_ten_rozdzial)then if(liczba_obiekt_start~=liczba_obiekt_start_nowe_temp)then liczba_start_rozdzial=liczba_obiekt_start_nowe_temp; liczba_obiekt_start_nowe=liczba_obiekt_start; czy_ten_rozdzial=true; tab_zmienne.czy_ten_rozdzial=czy_ten_rozdzial; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=p.SzukanieKolejnychSekcji(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start,czy_bez_naglowka,p.AnalizowanieSekcjowe(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,czy_zeruj,tab_zmienne,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)); liczba_nie_okladka_artykul,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,czy_ten_rozdzial=tab_zmienne.liczba_nie_okladka_artykul,tab_zmienne.liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,tab_zmienne.czy_ten_rozdzial; end; end; ---- jest to pozycja nagłówka, która mówi, który nagłówek ma być pierwszy, czy ten od spisu treści, czy ten dalszy; liczba_start_naglowek=( (not liczba_spis_tresci_start) or((liczba_spis_tresci_start)and(not poziom_naglowka_start)) -- nagłówek spisu tresci centrowany; -- nagłówki oba dodatnie niecentrowane, oba ujemne lub ten pierwszy dodatni, a drugi ujemny, a pierwszy dodatni; or((poziom_naglowka_start)and(poziom_naglowka))and( ((poziom_naglowka_start>0)and(poziom_naglowka<=0)) or((poziom_naglowka_start<=0)and(poziom_naglowka<=0)and(poziom_naglowka_start>=poziom_naglowka)) or((poziom_naglowka_start>0)and(poziom_naglowka>0)and(poziom_naglowka_start<=poziom_naglowka)) ) ) and liczba_spis_tresci_start or liczba_start_naglowek; ---- if(((not czy_okladka)or((czy_okladka)and(lista_szablon~=""))or(liczba_start_naglowek))and(czy_ten_rozdzial))then ---- czy_bez_naglowka=((not liczba_start_naglowek)or((liczba_obiekt_koniec_poprz or 1)<=(liczba_start_rozdzial or 1))) and true or false; ---- if(liczba_start_naglowek)then local liczba_przed_rozdzialem;local czy_znajdz; liczba_przed_rozdzialem,czy_znajdz=p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_start_naglowek,czy_bez_naglowka); local odtylu_dalej=--[[liczba_spis_tresci or]] liczba_start_naglowek; local liczba_start_naglowek_przed=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,odtylu_dalej,liczba_start_rozdzial,true,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); local liczba_przed=((liczba_start_naglowek_przed)and((liczba_przed_rozdzialem>=liczba_start_naglowek_przed)and liczba_przed_rozdzialem or liczba_start_naglowek_przed) or liczba_przed_rozdzialem); local czy_break; liczba_start,czy_break=p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,liczba_przed,liczba_start_naglowek_przed,czy_bez_naglowka,true,czy_znajdz); if(czy_break)then break;end; else local liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_nowe,2,czy_bez_naglowka,function(liczba_koniec_naglowek_nowe,liczba_obiekt_start_nowe) if((liczba_koniec_naglowek_nowe)and(liczba_obiekt_start_nowe)and(liczba_koniec_naglowek_nowe+1<=liczba_obiekt_start_nowe-1))then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_nowe+1,liczba_obiekt_start_nowe-1); str=mw.ustring.gsub(str,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("SZABLON"),""); if(not mw.ustring.match(str,"^%s*$"))then return true; end; end; return nil; end); if(liczba_start_naglowek)then liczba_obiekt_start_nowe=liczba_start_naglowek; end; --[[]] local liczba_przed_rozdzialem,czy_znajdz=p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,czy_bez_naglowka); local czy_break; liczba_start,czy_break=p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,liczba_przed_rozdzialem,nil,czy_bez_naglowka,false,czy_znajdz); if(czy_break)then break;end; end; break; else liczba_start_rozdzial=liczba_obiekt_koniec_nowe; liczba_nie_okladka_artykul_koniec=nil; end; liczba_obiekt_koniec_poprz=((czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu<=2)) and liczba_obiekt_koniec or liczba_obiekt_koniec_poprz; else liczba_obiekt_koniec_poprz=((czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu<=2)) and liczba_obiekt_koniec or liczba_obiekt_koniec_poprz; end; end; else break; end; end; if(not liczba_start)then return "";end; local liczba_obiekt_start_od_tylu=#tekst_rozwiniety_calego_artykulu; while(true)do local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,linia,lista_szablon,przerwa_szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"(([%*:#;<>]?)([^\n]-)"..szablon_normy_kodowania_szablonu.."([^\n]*))",liczba_obiekt_start_od_tylu,liczba_start,true); ---- if(liczba_start_szablon)then liczba_obiekt_start_od_tylu=liczba_start_szablon; local czy_dobry_obiekt=((obiekt_szablon=="SZABLON")or(obiekt_szablon=="LINKW")or(obiekt_szablon=="LINKZ")); local czy_listy=(czy_dobry_obiekt)and((lista_szablon~="")or((lista_szablon=="")and(przerwa_szablon==""))); local czy_listy=czy_listy or (czy_dobry_obiekt)and((lista_szablon=="")and(mw.ustring.match(przerwa_szablon,"^=+")and(mw.ustring.match(dalszy_tekst,"=+%s*$")))); local szablon; if(not czy_listy)then local obiekt=obiekt_szablon;local kod=tonumber(kod_szablon) or nil; szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(szablon)then czy_listy=true;end; end; if(czy_listy)then local liczba_obiekt_koniec=liczba_koniec_szablon; local liczba_obiekt_start=liczba_start_szablon; local obiekt=obiekt_szablon; local kod=kod_szablon; kod=tonumber(kod) or nil; local szablon=szablon or tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local czy_znalezione=nil; if(liczba_start<=liczba_obiekt_start)then czy_znalezione=p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,true,true); end; if(czy_znalezione)then liczba_koniec=p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec); break; end; end; else break; end; end; if(liczba_koniec)then local koniec_dodatnie_rozdzialy=#tekst_rozwiniety_calego_artykulu; while(true)do local liczba_rozdzial_start,liczba_rozdzial_koniec,rozdzial_nazwa,rozdzial=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,koniec_dodatnie_rozdzialy,liczba_start,true,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(liczba_rozdzial_start)and(liczba_rozdzial_start>=liczba_koniec)then koniec_dodatnie_rozdzialy=liczba_rozdzial_start; local czy_znalazles_linki=p.SzukajObiektuArtykularnegoWeElemencieTekstowym(rozdzial,szablon_normy_kodowania_szablonu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,true,true,true,true); if(czy_znalazles_linki)then liczba_koniec=liczba_rozdzial_koniec;end; else break; end; end; end; if(not liczba_koniec)then return "";end; if(liczba_start>=liczba_koniec)then return "";end; --- Licencja ---- local licencja_koniec,szablon_licencja=p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if((licencja_koniec)and(licencja_koniec>=liczba_koniec))then liczba_koniec=licencja_koniec; end; ----- local tekst=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,liczba_koniec); ----- for _,tab_wzor in ipairs(stronicowyparser_obiekty_modul.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe)do tekst=p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych); end; --mw.log(tekst) --- Licencja ---- --mw.log(liczba_start,liczba_koniec,"TYTANw",pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa) --mw.log("TYTAN1",tekst,"TYTAN2") --return nil; --local tekst=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,liczba_koniec); --mw.log(tekst,"TYTAN123") return tekst; end; return p; aggyx48euq3uf34r25zrfm2u877vq4z 559035 559027 2026-10-10T13:51:31Z Persino 2851 559035 Scribunto text/plain local p={}; function p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,wzor,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,jak) if(not czy_od_tylu)then if((liczba_od)and(liczba_do)and(liczba_od>liczba_do))then return;end; local a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k=mw.ustring.find(tekst,wzor,liczba_od); if((a)and(b)and(a>b))then return;end; if((not liczba_do)or((b)and(b<=liczba_do)))then return a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k; end; return nil; else if((liczba_od)and(liczba_do)and(liczba_od<liczba_do))then return;end; local liczba_start=liczba_do or 1; local a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k=nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil; while(true)do local a1,b1,c1,d1,e1,f1,g1,h1,i1,j1,k1=mw.ustring.find(tekst,wzor,liczba_start); if((a1)and(b1)and(a1>b1))then return;end; if((not b1)or((b1)and(b1>liczba_od)))then return a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k; elseif((b1)and(b1==liczba_od))then return a1,b1,c1,d1,e1,f1,g1,h1,i1,j1,k1; end; a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k=a1,b1,c1,d1,e1,f1,g1,h1,i1,j1,k1; if(not jak)then if(a1==b1)then liczba_start=b1+1; else liczba_start=b1; end; else liczba_start=b1+1; end; end; end; end; function p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst,wzor_linia,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu) local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=nil,nil,nil; local a1;local a2;local a3;local a4;local a5;local a6;local a7;local a8;local a9; local dlugosc_tekstu_wyszukiwanego=#tekst; if(not czy_od_tylu)then if((not liczba_od)or(liczba_od==1))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"^"..wzor_linia.."[^%S\n]*\n",liczba_od,liczba_do,false); end; if(not liczba_start_rozdzial)then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"\n"..wzor_linia.."[^%S\n]*\n",liczba_od,liczba_do,false); if(not liczba_start_rozdzial)then if((not liczba_do)or(liczba_do==dlugosc_tekstu_wyszukiwanego))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"\n"..wzor_linia.."[^%S\n]*$",liczba_od,liczba_do,false); end; if(not liczba_start_rozdzial)then if(((not liczba_od)or(liczba_od==1))and((not liczba_do)or(liczba_do==dlugosc_tekstu_wyszukiwanego)))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"^"..wzor_linia.."[^%S\n]*$",liczba_od,liczba_do,false); end; end; end; end; else if(liczba_od==dlugosc_tekstu_wyszukiwanego)then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"\n"..wzor_linia.."[^%S\n]*$",liczba_od,liczba_do,true); end; if(not liczba_start_rozdzial)then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"\n"..wzor_linia.."[^%S\n]*\n",liczba_od,liczba_do,true); if(not liczba_start_rozdzial)then if((not liczba_do)or(liczba_do==1))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"^"..wzor_linia.."[^%S\n]*\n",liczba_od,liczba_do,true); end; if(not liczba_start_rozdzial)then if(((not liczba_od)or(liczba_od==dlugosc_tekstu_wyszukiwanego))and((not liczba_do)or(liczba_do==1)))then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,"^"..wzor_linia.."[^%S\n]*$",liczba_od,liczba_do,true); end; end; end; end; end; return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9; end; function p.CzyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci) local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local stronicowyparser_potrzebne_modul=require("Module:StronicowyParser/Potrzebne"); local tab_2,numer_rodzaju_artykulu,id,parametry,kom=stronicowyparser_potrzebne_modul.AnalizujLinkSzablonyOrazLinki(szablon,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,obiekt,kod,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,stronicowyparser_rozdzialy_modul.__FUNKCJA_KOMPLETOWANIA); if(not kom)then local tab=((tab_2 and tab_2[1]) and tab_2 or nil); if(tab)then if(numer_rodzaju_artykulu==1)then local artykul=stronicowyparser_potrzebne_modul.UzyskanieNazwyStronyWoluminuZParametramiOrazIdentyfikatoremZTabeliWoluminu(tab[1],false); local czy_podrecznik=((mw.ustring.match(artykul,"^%u"))and((not mw.ustring.match(artykul,"%l%u"))or(mw.ustring.match(artykul,"%s")))) local function StronyWstepu(artykul) local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tak=true; for _,wzor in ipairs(stronicowyparser_obiekty_modul.artykularne_niespisowe) do tak=tak and (not mw.ustring.match(artykul,wzor)); if(not tak)then return tak;end; end; return tak; end; if((czy_glowny_spis_tresci)and(artykul==""))then return false,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,false; else if((czy_usun_okladka)--[[or(numer_rodzaju_artykulu>1)]]or(--[[(numer_rodzaju_artykulu==1)and]](artykul~="")and(StronyWstepu(artykul))))then return true,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,false; else return true,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,true; end; end; else return true,numer_rodzaju_artykulu,--[[czy_podrecznik]]false,false; end; end; end; return false,nil; end; function p.CzySpecjalnyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci) if(obiekt=="SZABLON")then local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) ---- if(nazwa_szablonu=="SpisTreści")then return true,1; else local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tabela_spisu=stronicowyparser_obiekty_modul.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]; if(tabela_spisu)then local parametr_linku; if(tabela_spisu[1]==true)then local numer_link=tabela_spisu["numer_link"]; parametr_linku=tabela_parametrow_szablonu[numer_link]; else local numer_link=tabela_spisu["link"]; parametr_linku=tabela_parametrow_szablonu[numer_link]; end; if(parametr_linku)then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(parametr_linku,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci) if(czy_element_spisu)then return czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; end; end; end; end; end; end; end); if(czy_element_spisu)then return czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; end; end; return false; end; function p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci) local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci); if((not czy_element_spisu)and(not numer_rodzaju_artykulu))then czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzySpecjalnyElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci); end; return czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; end; function p.CzyTamElementyNieSpisoweArtykularne(linia,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) local tak=false; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do --czy_w_petli=true; if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and(not czy_okladka))then return true; elseif((not czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu))then tak=true; break; elseif(czy_okladka)then tak=true; break; end; end; end; return (not tak); end; function p.SzukajObiektuArtykularnegoWeElemencieTekstowym(tekst,szablon_normy_kodowania_szablonu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych, czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci,czy_wszystkie_linki,z_innymi_stronami) local start=1; while(true)do local start_szablon,koniec_szablon,obiekt_szablon,kod_szablon=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst,szablon_normy_kodowania_szablonu,start); local koniec_obiekt;local kod_obiekt;local obiekt=nil; if(start_szablon)then if((obiekt_szablon=="SZABLON")or(obiekt_szablon=="LINKW")or(obiekt_szablon=="LINKZ"))then local kod=kod_szablon; local obiekt=obiekt_szablon; local kod=tonumber(kod) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_usun_okladka,czy_glowny_spis_tresci); if((czy_element_spisu)and((czy_wszystkie_linki)or(((numer_rodzaju_artykulu==1)and(not czy_okladka))or((z_innymi_stronami)and(numer_rodzaju_artykulu>1)))))then return true; end; end; start=koniec_szablon; else return false; end; end; end; function p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(linia,spacje_na_poczatku) local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local tak=false; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); linia=techniczne_modul.UsuwanieZnakoweKontrolneNiewidzialne(linia); for _,p_wzor in ipairs(stronicowyparser_obiekty_modul.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_spis_tresci) do tak=tak or (((not spacje_na_poczatku) or (not mw.ustring.match(linia,"^%s+"))) and (mw.ustring.match(linia,"^"..p_wzor.."$"))); if(tak)then return true;end; end; return nil; end; function p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,jak) local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); while(true)do local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^\n]+)",liczba_od,liczba_do,jak); if(liczba_start_rozdzial)then local czy_zerowy_spis_rzeczy=p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(rozdzial,true); if(czy_zerowy_spis_rzeczy)then return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial; else liczba_od=jak and liczba_start_rozdzial or liczba_koniec_rozdzial; end; else return; end; end; return nil; end; function p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany(szablon,obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) if(obiekt=="SZABLON")then return szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) local czy_ce=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]; if(not czy_ce)then return;end; local zawartosc=tabela_parametrow_szablonu[czy_ce]; if(not zawartosc)then return;end; return true; end); elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,tab_atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if((nazwa)and(zawartosc))then if(nazwa=="center")then return true; end; end; end; end; function p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor,liczba_od,liczba_do,jak,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); while(true)do local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,linia=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"("..wzor..")",liczba_od,liczba_do,jak); if(liczba_start_rozdzial)then if((not mw.ustring.match(linia,"^(=[^\n]*[^%s=][^\n]*=)[^%S\n]*$"))and(not mw.ustring.match(linia,"^[%*#:;<>]")))then local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); local szablon,obiekt,kod,poziom_iteracji=iterator(); local wynik=((szablon)and(obiekt)and(kod))and p.CzyWprowadzenieNapisuTekstuCentrowany(szablon,obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) or nil; if(not wynik)then local rozdzial,czy_standardowe_rozdzialy=stronicowyparser_rozdzialy_modul.CzyZerowyNapisWprowadzeniaTekstu(linia,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if((rozdzial)and(czy_standardowe_rozdzialy))then return liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,linia; end; end; end; if(jak)then liczba_od=liczba_start_rozdzial;else liczba_od=liczba_koniec_rozdzial;end; else return; end; end; return nil; end; function p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_od,liczba_do,czy_od_tylu,czy_spis_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local stronicowyparser_spistresci_modul=require("Module:StronicowyParser/SpisTreści") local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local function RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu(wzor,czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni,__FUNKCJA1,__FUNKCJA2) local liczba_start;local liczba_koniec; local liczba_wys=liczba_od; local spis_naglowka; local spis_naglowka_stare; local spis_naglowka_poziom; while(true)do local __liczba_start,__liczba_koniec,wartosc_przechwycona; if(czy_rozdzial_rownaniowy_dodatni)then __liczba_start,__liczba_koniec,wartosc_przechwycona=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor,liczba_wys,liczba_do,czy_od_tylu) else __liczba_start,__liczba_koniec,wartosc_przechwycona=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor,liczba_wys,liczba_do,czy_od_tylu); end; if(__liczba_start)then if(not czy_od_tylu)then liczba_wys=__liczba_koniec;else liczba_wys=__liczba_start;end; local szablon,wartosc_przechwycona=__FUNKCJA1(wartosc_przechwycona); local wynik=__FUNKCJA2(szablon,wartosc_przechwycona,function(naglowek,poziom_naglowka) if(czy_spis_tresci)then spis_naglowka_stare=naglowek; spis_naglowka=stronicowyparser_spistresci_modul.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu(naglowek,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) spis_naglowka=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=spis_naglowka,[2]="tak",}; if(poziom_naglowka)then spis_naglowka_poziom=poziom_naglowka;end; if(czy_spis_tresci(spis_naglowka))then liczba_start,liczba_koniec=__liczba_start,__liczba_koniec; return false; end; else spis_naglowka=naglowek; if(poziom_naglowka)then spis_naglowka_poziom=poziom_naglowka;end; liczba_start,liczba_koniec=__liczba_start,__liczba_koniec; return false; end; return true; end); if(not wynik)then break; end; else break; end; end; if(liczba_start)then return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom; end; end; local obiekt="SZABLON"; local norma_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt); local szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy; local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,spis_naglowka_szablon_stare,spis_naglowka_szablon,spis_naglowka_szablon_poziom=RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu( norma_kodowania_szablonu, false, function(kod) kod=kod and tonumber(kod) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; return szablon,kod; end, function(szablon,kod,__FUNKCJA) local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) local liczba_szablon_centrowany=szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]; if(liczba_szablon_centrowany)then local naglowek=tabela_parametrow_szablonu[liczba_szablon_centrowany]; if(naglowek)then if(not mw.ustring.match(naglowek,"^%s*%d+%s*/%s*%d+%s*$"))then return __FUNKCJA(naglowek,nil); end; end; else local liczba_szablon_napisowu_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(liczba_szablon_napisowu_sztucznego_wprowadzenia_tekstu)then local naglowek=tabela_parametrow_szablonu[liczba_szablon_napisowu_sztucznego_wprowadzenia_tekstu]; if(naglowek)then local naglowek,poziom_naglowka=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(naglowek); if((naglowek)and(poziom_naglowka))then return __FUNKCJA(naglowek,poziom_naglowka); end; end; end; end; return true; end); return wynik; end); local obiekt="ZNACZNIK"; local norma_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt); local liczba_start_znacznik,liczba_koniec_znacznik,spis_naglowka_znacznik_stare,spis_naglowka_znacznik,spis_naglowka_znacznik_poziom=RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu( norma_kodowania_szablonu, false, function(kod) kod=kod and tonumber(kod) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; return szablon,kod; end, function(szablon,kod,__FUNKCJA) local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(nazwa=="center")then if(zawartosc)then if(not mw.ustring.match(zawartosc,"^%s*%d+%s*/%s*%d+%s*$"))then return __FUNKCJA(zawartosc,nil); end; end; elseif(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa])then if(zawartosc)then local numer_rozdzialu=stronicowyparser_rozdzialy_modul.HnNumerWprowadzeniaTekstu(nazwa,atrybuty); if(numer_rozdzialu)then return __FUNKCJA(zawartosc,numer_rozdzialu); end; end; end; return true; end); local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local wzor_rozdzialu_dodatniego="(=+[^\n]*[^=\n][^\n]*=+)[^%S\n]*"; local liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom=RozpatrywanieNapisoweWprowadzeniaTekstu( wzor_rozdzialu_dodatniego, true, function(naglowek) return naglowek,naglowek; end, function(naglowek,_,__FUNKCJA) local naglowek,poziom_naglowka=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(naglowek); if(naglowek)then return __FUNKCJA(naglowek,poziom_naglowka); end; return true; end); if((liczba_start_szablon)or(liczba_start_znacznik)or(liczba_start_dodatni))then local _max_min; if(czy_od_tylu)then _max_min=math.max(math.max(liczba_start_szablon or 0,liczba_start_znacznik or 0),liczba_start_dodatni or 0); else _max_min=math.min(math.min(liczba_start_szablon or #tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start_znacznik or #tekst_rozwiniety_calego_artykulu),liczba_start_dodatni or #tekst_rozwiniety_calego_artykulu); end; local function ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka_stare,spis_naglowka,spis_naglowka_poziom) local spis_naglowka_stare=spis_naglowka_stare or spis_naglowka; if((not czy_spis_tresci)and(spis_naglowka))then spis_naglowka=stronicowyparser_spistresci_modul.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu(spis_naglowka,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) spis_naglowka=parametry_modul["Odstępy"]{[1]=spis_naglowka,[2]="tak",}; end; return liczba_start,liczba_koniec,spis_naglowka,spis_naglowka_stare,spis_naglowka_poziom; end; if((liczba_start_szablon)and(_max_min==liczba_start_szablon))then return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,spis_naglowka_szablon_stare,spis_naglowka_szablon,spis_naglowka_szablon_poziom); elseif((liczba_start_znacznik)and(_max_min==liczba_start_znacznik))then return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_znacznik,liczba_koniec_znacznik,spis_naglowka_znacznik_stare,spis_naglowka_znacznik,spis_naglowka_znacznik_poziom); elseif((liczba_start_dodatni)and(_max_min==liczba_start_dodatni))then return ParametryNapisuWprowadzeniaTekstu(liczba_start_dodatni,liczba_koniec_dodatni,spis_naglowka_dodatni_stare,spis_naglowka_dodatni,spis_naglowka_dodatni_poziom); end; end; return nil; end; function p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy; local znaczniki_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.znaczniki_wprowadzenia_tekstu; local szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu=stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local linki=function(zawartosc) local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(zawartosc,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do if((obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local dalszy_tekst=mw.ustring.match(zawartosc,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod).."(.*)$"); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; elseif(obiekt=="SZABLON")then local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if((stronicowyparser_obiekty_modul.linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]) or(stronicowyparser_obiekty_modul.inne_linki_szablony_elementy_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]) )then local dalszy_tekst=mw.ustring.match(zawartosc,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod).."(.*)$"); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; local tab_szablon_link_intelignetny=stronicowyparser_potrzebne_modul.PodzielNaElementyNazwowyWikiLinkInteligentny(nazwa_szablonu,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(tab_szablon_link_intelignetny)then local dalszy_tekst=mw.ustring.match(zawartosc,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod).."(.*)$"); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; end); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; return nil; end; end; if(obiekt=="SZABLON")then local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) local czy_numer_parametru_naglowka=szablony_wprowadzenia_napisu_spisu_rzeczy[nazwa_szablonu]; local zawartosc; if(not czy_numer_parametru_naglowka)then czy_numer_parametru_naglowka=szablony_sztucznego_wprowadzenia_tekstu[nazwa_szablonu]; if(not czy_numer_parametru_naglowka)then return nil;end; local zawartosc_szablonu=tabela_parametrow_szablonu[czy_numer_parametru_naglowka]; if(not zawartosc_szablonu)then return nil;end; zawartosc_szablonu=mw.text.trim(zawartosc_szablonu); local naglowek,poziom_naglowka=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(zawartosc_szablonu); if((not naglowek)or(not poziom_naglowka))then return nil;end; zawartosc=naglowek; else zawartosc=tabela_parametrow_szablonu[czy_numer_parametru_naglowka]; if(not zawartosc)then return nil;end; end; local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=linki(zawartosc); if((szablon)and(obiekt)and(kod))then return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; return nil; end); return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; elseif(obiekt=="ZNACZNIK")then local nazwa,zawartosc,atrybuty=szablonowe_modul.WydzielanieNazwyTekstuOrazOpcjiAtrybutowychZeZnacznika(szablon,pelna_nazwa_spisu_tresci,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod); if(zawartosc)then if((nazwa=="center")or(znaczniki_wprowadzenia_tekstu[nazwa]))then local szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst=linki(zawartosc); if((szablon)and(obiekt)and(kod))then return szablon,obiekt,kod,dalszy_tekst; end; return nil; end; end; return nil; end; end; function p.AnalizowanieSekcjowe(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,czy_zeruj,tab_zmienne,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) return function(liczba_koniec_naglowek,liczba_obiekt_start_nowe) if((liczba_koniec_naglowek)and(liczba_obiekt_start_nowe)and(liczba_koniec_naglowek+1<=liczba_obiekt_start_nowe-1))then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek+1,liczba_obiekt_start_nowe-1); if((mw.ustring.match(str,"^%s*'+(.+)'+%s*$")) or(mw.ustring.match(str,"^[%*#:;<>]+.*$") or(mw.ustring.match(str,"^[%s%p%w]*$"))) )then return nil;end; local ile_punktowanych=0; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local _,ile=mw.ustring.gsub(str,"([^\n]+)",function(linia) if((mw.ustring.match(linia,"^[%*#;:<>]"))or(mw.ustring.match(linia,"^%s*$")))then ile_punktowanych=ile_punktowanych+1; else local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu>2))then ile_punktowanych=ile_punktowanych+1; break; end; end; end; end); if(ile_punktowanych>=ile)then return nil; end; str=mw.ustring.gsub(str,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("SZABLON"),""); if(not mw.ustring.match(str,"^%s*$"))then if(czy_zeruj)then tab_zmienne.liczba_nie_okladka_artykul=nil; tab_zmienne.liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul=nil; tab_zmienne.czy_ten_rozdzial=nil; --tab_zmienne={["liczba_nie_okladka_artykul"]=liczba_nie_okladka_artykul,["liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul"]=liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,["czy_ten_rozdzial"]=czy_ten_rozdzial,} end; return true; end; end; return nil; end; end; function p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_spac_par,czy_dodatni,czy_bez_naglowka,AnalizowanieSekcjowe) local odtylu=liczba_obiekt_start_spac_par; local liczba_start_naglowek;local liczba_koniec_naglowek;local naglowek;local poziom_naglowka; local liczba_start_naglowek_dalej;local liczba_koniec_naglowek_dalej;local naglowek_dalej;local poziom_naglowka_dalej; local czy_fun=false; local czy_pierwszy=nil; local liczba_koniec_naglowek_poczt=nil; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); while(true)do local liczba_start_naglowek_nowe;local liczba_koniec_naglowek_nowe;local naglowek_nowe;local poziom_naglowka_nowe; if(czy_dodatni==1)then local _; liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe,_,poziom_naglowka_nowe=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,odtylu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); elseif(czy_dodatni==2)then local str_lista_naglowek; liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,str_lista_naglowek,naglowek_nowe=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([%*#:;<>]+)[^%S\n]*([^\n]-)",odtylu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); poziom_naglowka_nowe=liczba_start_naglowek_nowe and (-#str_lista_naglowek) or nil; else liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^%*#:;<>\n][^%S\n]*[^\n]-:)",odtylu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); poziom_naglowka_nowe=liczba_start_naglowek_nowe and 0 or nil; end; if(not liczba_start_naglowek_nowe)then break; else poziom_naglowka_nowe=(czy_dodatni==1)and (poziom_naglowka_nowe or 2) or poziom_naglowka_nowe; local czy_tak_spisowe=(czy_dodatni==1) and true or p.CzyTamElementyNieSpisoweArtykularne(mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe),nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych); if(czy_tak_spisowe)then if(not czy_pierwszy)then liczba_koniec_naglowek_poczt=liczba_koniec_naglowek_nowe; czy_pierwszy=true; end; if(liczba_start_naglowek)then if(liczba_koniec_naglowek_nowe<liczba_start_naglowek)then if(liczba_koniec_naglowek_nowe+1<=liczba_start_naglowek-1)then local pomiedzy_naglowkami=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_nowe+1,liczba_start_naglowek-1); local czy_pomiedzy_naglowkami=(pomiedzy_naglowkami)and(not mw.ustring.match(pomiedzy_naglowkami,"^%s*$")); if(czy_pomiedzy_naglowkami and(((czy_dodatni==1) and( ((poziom_naglowka_nowe)and(not poziom_naglowka)) or( ((poziom_naglowka_nowe)and(poziom_naglowka)) and(poziom_naglowka_nowe>=poziom_naglowka) ) ) or( ((czy_dodatni==2)and(poziom_naglowka_nowe<=poziom_naglowka)) or((czy_dodatni~=1)and(czy_dodatni~=2)) ) )--[[or( not mw.ustring.match(pomiedzy_naglowkami,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu()) )]]) )then liczba_start_naglowek_dalej,liczba_koniec_naglowek_dalej,naglowek_dalej,poziom_naglowka_dalej=liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe,poziom_naglowka_nowe; break; end; end; elseif(liczba_start_naglowek~=liczba_koniec_naglowek_nowe)then liczba_start_naglowek_dalej,liczba_koniec_naglowek_dalej,naglowek_dalej,poziom_naglowka_dalej=liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe,poziom_naglowka_nowe; break; end; end; if(((czy_dodatni==1)or(czy_dodatni==2))and(AnalizowanieSekcjowe)and(not czy_fun))then local spis_tresci=p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(naglowek_nowe); if(not spis_tresci)then --local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_nowe,liczba_obiekt_start_nowe); local czy_wynik=AnalizowanieSekcjowe(liczba_koniec_naglowek_nowe,liczba_obiekt_start_nowe); if(czy_wynik)then return false;end; end; czy_fun=true; end; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_nowe,liczba_koniec_naglowek_nowe,naglowek_nowe,poziom_naglowka_nowe; end; end; odtylu=liczba_start_naglowek_nowe; end; return liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek_poczt,naglowek,poziom_naglowka,liczba_start_naglowek_dalej,liczba_koniec_naglowek_dalej,naglowek_dalej,poziom_naglowka_dalej; end function p.SzukanieKolejnychSekcji(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,czy_bez_naglowka,AnalizowanieSekcjowe) local liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka,liczba_start_naglowek_dalej=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,1,czy_bez_naglowka,AnalizowanieSekcjowe); ---- if((AnalizowanieSekcjowe)and(liczba_start_naglowek==false))then return nil;end; ---- local str_spacja_lub_zerowy_naglowek=function(tekst) local ile_znalezione_linie_wedlug_wzoru=0; local _,ile=mw.ustring.gsub(tekst,"([^\n]+)",function(linia) if((mw.ustring.match(linia,"^[^%*#:;<>\n].-:%s*$"))or(mw.ustring.match(linia,"^%s*$")))then ile_znalezione_linie_wedlug_wzoru=ile_znalezione_linie_wedlug_wzoru+1; end; return nil; end); if(ile==ile_znalezione_linie_wedlug_wzoru)then return true;end; return nil; end; if((not liczba_start_naglowek_dalej)and(liczba_start_naglowek))then local liczba_szukaj_odtylu_tekst=liczba_start_naglowek; local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"''+([^\n]+)''+",liczba_szukaj_odtylu_tekst,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); if(not liczba_start_rozdzial)then while(true)do local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_start_naglowek,2,czy_bez_naglowka,nil); if(liczba_start_naglowek_temp)then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_temp,liczba_start_naglowek); if(not str_spacja_lub_zerowy_naglowek(str))then break; end; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; end; local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_start_naglowek,3,czy_bez_naglowka,nil); if(liczba_start_naglowek_temp)then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_temp,liczba_start_naglowek); if(not str_spacja_lub_zerowy_naglowek(str))then break; end; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; end; if(not liczba_start_naglowek_temp)then break;end; end; end; elseif(not liczba_start_naglowek)then local liczba_szukaj_odtylu_tekst=liczba_obiekt_start_kolei_par; local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"''+([^\n]-[^'\n][^\n]-)''+",liczba_szukaj_odtylu_tekst,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); if(liczba_start_naglowek_temp)then local stronicowyparser_spistresci_modul=require("Module:StronicowyParser/SpisTreści") local spis_naglowka_szablon=stronicowyparser_spistresci_modul.AnalizaNapisuWprowadzeniaTekstu(naglowek_temp,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not mw.ustring.match(spis_naglowka_szablon,"!%s*$")and(not mw.ustring.match(spis_naglowka_szablon,"%S!")))then ---- local tak=false; local czy_w_petli=false; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(naglowek_temp,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do czy_w_petli=true; if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and(not czy_okladka))then if(numer_rodzaju_artykulu==1)then tak=true; break; end; end; end; end; if((tak)or(not czy_w_petli))then liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,0; end; end; else local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp,liczba_start_naglowek_dalej_temp=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,2,czy_bez_naglowka,nil); if(liczba_start_naglowek_temp)then if(liczba_koniec_naglowek_temp+1<=liczba_obiekt_start_kolei_par-1)then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_temp+1,liczba_obiekt_start_kolei_par-1); if(mw.ustring.match(str,"^%s*$"))then liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; liczba_obiekt_start_kolei_par=liczba_start_naglowek; end; else liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; liczba_obiekt_start_kolei_par=liczba_start_naglowek; end; end; local liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp,liczba_start_naglowek_dalej_temp=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_kolei_par,3,czy_bez_naglowka,nil); if(liczba_start_naglowek_temp)then if(liczba_koniec_naglowek_temp+1<=liczba_obiekt_start_kolei_par-1)then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_temp+1,liczba_obiekt_start_kolei_par-1); if(mw.ustring.match(str,"^%s*$"))then liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; end; else liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=liczba_start_naglowek_temp,liczba_koniec_naglowek_temp,naglowek_temp,poziom_naglowka_temp; end; end; end; end; return liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka; end; function p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_start,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,czy_bez_naglowka,czy_dalej_rozdzial) local liczba_spac=0; if(liczba_start)then local liczba_start_tekst=liczba_start;local liczba_koniec_tekst;local linia; while(true)do local liczba_start_tekst_stare=liczba_start_tekst; linia=nil local liczba_szukaj_odtylu_tekst=liczba_start_tekst; liczba_start_tekst,liczba_koniec_tekst,linia=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^%*#:;<>\n][^\n]*)",liczba_szukaj_odtylu_tekst,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); local rozdzial_dodatki=linia and mw.ustring.match(linia,"^(=+([^\n]*[^=\n][^\n]*)=+)[^%S\n]*$") or nil; if(rozdzial_dodatki)then local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local naglowek=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial_dodatki); if(naglowek)then return (czy_dalej_rozdzial)and liczba_start or liczba_koniec_tekst,liczba_spac; end; end; local spacja=linia and mw.ustring.match(linia,"^%s*$") or nil; if(spacja)then liczba_spac=liczba_spac+liczba_koniec_tekst-liczba_start_tekst+1; elseif((not spacja)and(linia))then local czy_spis=nil; local spis_tresci=p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(linia,true); local liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=nil,nil,nil; local czy_rozdzial_dwukropkowy; if(not spis_tresci)then liczba_start_rozdzial,liczba_koniec_rozdzial,rozdzial=p.ZnajdowanieZerowegoSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start_tekst,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); if(liczba_start_rozdzial)then liczba_start=liczba_start_rozdzial; else czy_rozdzial_dwukropkowy=mw.ustring.match(linia,"^[^\n]+:[^%S\n]*$"); liczba_start=czy_rozdzial_dwukropkowy and liczba_start_tekst or liczba_koniec_tekst; end; czy_spis=liczba_start_rozdzial and true or nil; else liczba_start=--[[spis_tresci and]] liczba_start_tekst--[[ or liczba_koniec_tekst]]; czy_spis=true; end; if(not liczba_start_rozdzial)then if(not spis_tresci)then local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); if(mw.ustring.match(linia,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu()))then local tak=false; local czy_okladka=nil; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and(not czy_okladka))then tak=true; break; end; end; end; liczba_start=tak and liczba_start_tekst or liczba_start; czy_spis=((czy_rozdzial_dwukropkowy)and(not tak))and true or nil; else liczba_start=czy_rozdzial_dwukropkowy and liczba_start_tekst or liczba_koniec_tekst; czy_spis=czy_rozdzial_dwukropkowy and true or nil; end; else liczba_start=--[[spis_tresci and ]]liczba_start_tekst--[[ or liczba_koniec_tekst]]; end; end; return liczba_start,liczba_spac,czy_spis; elseif(not liczba_start_tekst)then return (czy_dalej_rozdzial)and liczba_start or math.min(liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul or 1,liczba_start),liczba_spac,nil; end; end; end; return liczba_start,liczba_spac,nil; end; function p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,czy_nieoddzielone,czy_wszystkie_linki,czy_bez_innych_stron,czy_z_okladka,czy_pierwszy_link_dowolny) local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); ---- ---- if((czy_element_spisu) and( (czy_wszystkie_linki) or((numer_rodzaju_artykulu==1)and((czy_z_okladka)or(not czy_okladka))) or(((czy_pierwszy_link_dowolny)or(not czy_bez_innych_stron))and(numer_rodzaju_artykulu>1)) ))then return true,czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; else local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(dalszy_tekst,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); local szablon_obiekt_temp,szablon_kod_temp=obiekt,kod; for szablon,obiekt,kod in iterator do local czy_znajdz=mw.ustring.match(dalszy_tekst,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod)); if(czy_znajdz)then local czy_tekst=czy_nieoddzielone or mw.ustring.match(linia,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(szablon_obiekt_temp,szablon_kod_temp).."[%p%s%d%.]*"..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(obiekt,kod)); if(czy_tekst)then if((obiekt=="SZABLON")or(obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((czy_element_spisu)and((czy_wszystkie_linki)or((numer_rodzaju_artykulu==1)and((czy_z_okladka)or(not czy_okladka)))or((not czy_bez_innych_stron)and(numer_rodzaju_artykulu>1))))then return true,czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka; end; end; else return false; end; szablon_obiekt_temp,szablon_kod_temp=obiekt,kod; end; end; return false; end; end; function p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_spisowa,czy_bez_naglowka) local liczba_spisu=liczba_spisowa; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local szablon_normy_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu() while(true)do local liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu,_,linia,przed_tekst,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^%S\n]*([^\n]-)[^%S\n]*"..szablon_normy_kodowania_szablonu.."([^\n]*))",liczba_spisu,(not czy_bez_naglowka) and liczba_start_rozdzial or 1,true); --- if((liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu) and( (przed_tekst=="") or(mw.ustring.match(przed_tekst,"^[%p%s%d%.]*$")) ) )then liczba_spisu=liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu; if((obiekt_szablon=="SZABLON")or(obiekt_szablon=="LINKW")or(obiekt_szablon=="LINKZ"))then local obiekt=obiekt_szablon; local kod=kod_szablon; kod=tonumber(kod) or nil; ---- local czy_znalezione=p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,false); if(czy_znalezione)then return liczba_linki_nierozdzialowe_szablonu,true;end; return liczba_spisowa,false; end; else return liczba_spisowa,false; end; end; end; function p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,liczba_przed_rozdzialem,liczba_start_naglowek_przed,czy_bez_naglowka,czy_dalej_rozdzial,czy_znajdz) local liczba_start=liczba_przed_rozdzialem; local liczba_start_sugerowane,liczba_spac,czy_spis=p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_start,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,czy_bez_naglowka,czy_dalej_rozdzial); if(czy_spis)then liczba_start=liczba_start_sugerowane; return liczba_start,true; elseif(not czy_znajdz)then liczba_start=liczba_przed_rozdzialem; return liczba_start,true; end; if(liczba_start_sugerowane<liczba_start-liczba_spac)then if((not liczba_start_naglowek_przed)or(liczba_start_sugerowane>liczba_start_naglowek_przed))then liczba_start=liczba_start_sugerowane; local liczba_start_od_tylu=liczba_start; local liczba_start_nowa=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"''+[^\n]*[^'][^\n]*''+",liczba_start_od_tylu,liczba_start_rozdzial,true); if(liczba_start_nowa)then if((not liczba_start_naglowek_przed)or(liczba_start_nowa>liczba_start_naglowek_przed))then liczba_start=liczba_start_nowa; end; else liczba_start=liczba_start_sugerowane; end; end; else liczba_start=liczba_start_sugerowane; end; return liczba_start,false; end; function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec) local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local liczba_koniec; while(true)do local poczatek_nierozdzalowe=liczba_obiekt_koniec; local liczba_start_nieszablon_nielink_nierozdzialowa,liczba_koniec_nieszablon_nielink_nierozdzialowa,linia=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"([^%*:;#<>'\n]+[^\n]*)",poczatek_nierozdzalowe,nil,false) if(liczba_start_nieszablon_nielink_nierozdzialowa)then local rozdzial_dodatki=mw.ustring.match(linia,"^(=+([^\n]*[^=\n][^\n]*)=+)[^%S\n]*$"); if(rozdzial_dodatki)then local naglowek=stronicowyparser_rozdzialy_modul.PodajNapisPoziomuWprowadzeniaTekstu(rozdzial_dodatki); if(naglowek)then liczba_koniec=liczba_start_nieszablon_nielink_nierozdzialowa; return liczba_koniec; end; end; local czy_spacje=mw.ustring.match(linia,"^%s*$"); if(not czy_spacje)then liczba_koniec=liczba_start_nieszablon_nielink_nierozdzialowa; return liczba_koniec; elseif(czy_spacje)then liczba_obiekt_koniec=liczba_koniec_nieszablon_nielink_nierozdzialowa; end; else liczba_koniec=#tekst_rozwiniety_calego_artykulu; return liczba_koniec; end; end; return liczba_koniec; end; function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony) local liczba_obiekt_start_od_tylu=#tekst_rozwiniety_calego_artykulu; local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local szablon_normy_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("SZABLON"); while(true)do local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,kod_szablon=p.SzukanieNaPodstawieWzoru(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,szablon_normy_kodowania_szablonu,liczba_obiekt_start_od_tylu,liczba_start,true); if(liczba_start_szablon)then liczba_obiekt_start_od_tylu=liczba_start_szablon; local obiekt="SZABLON"; local kod=kod_szablon and tonumber(kod_szablon) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; ---- local liczba_koniec_szablon,norma_wzoru=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow) if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_licencji[nazwa_szablonu])then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; end); if(liczba_koniec_szablon)then return liczba_koniec_szablon,norma_wzoru; end; elseif(not liczba_start_szablon)then return nil; end; end; end; function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) local tak=nil; local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); local liczba_rozdzial_start,liczba_rozdzial_koniec,rozdzial=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst,1,nil,false,function(naglowek) naglowek=techniczne_modul.UsuwanieZnakoweKontrolneNiewidzialne(naglowek); if(mw.ustring.match(naglowek,"^"..tab_wzor[1].."$"))then return true; end; end,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(not liczba_rozdzial_start)then liczba_rozdzial_start,liczba_rozdzial_koniec,rozdzial=p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu(tekst,"("..tab_wzor[1]..")",liczba_rozdzial_koniec,nil,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(liczba_rozdzial_start)then tak=true;end; end; if(liczba_rozdzial_start)then local liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2; if(not tak)then liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst,liczba_rozdzial_koniec,nil,false,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); else local liczba_rozdzial_start3,liczba_rozdzial_koniec3=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst,liczba_rozdzial_koniec,nil,false,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); local liczba_rozdzial_start4,liczba_rozdzial_koniec4=p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu(tekst,"[^%*#;:<>\n]+[^\n]+",liczba_rozdzial_koniec,nil,true,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); ---- if((liczba_rozdzial_start3)and(liczba_rozdzial_start4))then if(liczba_rozdzial_start3<liczba_rozdzial_start4)then liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=liczba_rozdzial_start3,liczba_rozdzial_koniec3; else liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=liczba_rozdzial_start4,liczba_rozdzial_koniec4; end; elseif(liczba_rozdzial_start3)then liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=liczba_rozdzial_start3,liczba_rozdzial_koniec3; elseif(liczba_rozdzial_start4)then liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=liczba_rozdzial_start4,liczba_rozdzial_koniec4; else liczba_rozdzial_start2,liczba_rozdzial_koniec2=nil,nil; end; end; ----- local str_bibliografia=mw.ustring.sub(tekst,liczba_rozdzial_koniec+1,(liczba_rozdzial_start2 and (liczba_rozdzial_start2-1) or #tekst)); if((not str_bibliografia)or(str_bibliografia==""))then return tekst;end; local tekst1=mw.ustring.sub(tekst,1,liczba_rozdzial_koniec); local tekst2=liczba_rozdzial_start2 and mw.ustring.sub(tekst,liczba_rozdzial_start2,#tekst) or ""; ----- local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local techniczne_modul=require("Module:Techniczne"); str_bibliografia=mw.ustring.gsub(str_bibliografia,"([^\n]+)",function(linia) local obiekt,kod,dalszy_tekst=mw.ustring.match(linia,"^[%*:;#<>]+%s*'*%s*"..szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu().."([^\n]*)$"); if((obiekt)and(kod)and(dalszy_tekst))then kod=tonumber(kod) or nil; local szablon=tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if((not czy_okladka)and(czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu==1))then return linia; end; end; linia=dalszy_tekst or linia; local iterator=szablonowe_modul:IteratorSzablonowyZakodowanegoTekstu(linia,nil,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul); for szablon,obiekt,kod in iterator do if(((tab_wzor[2])and((obiekt=="LINKW")or(obiekt=="LINKZ")))or(obiekt=="SZABLON"))then local czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.CzyGeneralnieElementSpisuRzeczy(szablon,obiekt,kod,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,false,true); if(czy_element_spisu)then return linia; elseif(obiekt=="SZABLON")then local wynik=szablonowe_modul.UzyskanieWynikuZOperacjiSzablonowychNaSzablonachZnacznikachParserachZmiennychOrazModyfikatorachZDanychObiektuSZABLON(szablon,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) if((stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_przypisowe[nazwa_szablonu])or(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_licencji[nazwa_szablonu]))then return linia; else return ""; end; end,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil,nil, function(tabela_parametrow_szablonu,nazwa_szablonu,tabela_modyfikatorow,szablon,obiekt,kod) return ""; end); return wynik; end; end; end; return ""; end); tekst=tekst1..str_bibliografia..tekst2; end; return tekst; end; function p.AnalizaSpisuRzeczy(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych) local stronicowyparser_rozdzialy_modul=require("Module:StronicowyParser/Rozdziały"); local czy_uruchomiony_analizator_spisu_rzeczy_strony=stronicowyparser_rozdzialy_modul.UruchamianieAnalizatoraSpisuRzeczyStrony(); if(not czy_uruchomiony_analizator_spisu_rzeczy_strony)then return nil;end; ---- local liczba_start=nil;local liczba_koniec=nil; ---- local szablonowe_modul=require("Module:Szablonowe"); local parametry_modul=require("Module:Parametry"); local stronicowyparser_obiekty_modul=mw.loadData("Module:StronicowyParser/obiekty"); ----- local szablon_normy_kodowania_szablonu=szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu(); ---- local liczba_obiekt_koniec=1; local liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul=nil; local liczba_nie_okladka_artykul=nil; local tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych={}; local liczba_start_rozdzial=1; local liczba_obiekt_start_poprz=nil; local liczba_obiekt_koniec_poprz=nil; local liczba_nie_okladka_artykul_koniec=nil; local wzor_szablonu_list="([%*:#;<>]*)([^%S\n]*)([^\n]-)[^%S\n]*[\'\"]*[^%S\n]*"..szablon_normy_kodowania_szablonu.."[^%S\n]*[\'\"]*[^%S\n]*([^\n]-)[^%S\n]*"; while(true)do local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,lista_szablon,odstepy_poczatku_rozdzialu,przerwa_szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,wzor_szablonu_list,liczba_obiekt_koniec,nil,false); if(liczba_start_szablon)then liczba_obiekt_koniec=liczba_koniec_szablon; --local czy_rozdzial_dodatni=((lista_szablon=="")and(odstepy_poczatku_rozdzialu=="")and(mw.ustring.match(przerwa_szablon,"^=+")and(mw.ustring.match(dalszy_tekst,"=+%s*$")))); local czy_rozdzial_dodatni; local czy_dobry_obiekt=((obiekt_szablon=="SZABLON")or(obiekt_szablon=="LINKW")or(obiekt_szablon=="LINKZ")); local czy_listy=((czy_dobry_obiekt)and( ( (lista_szablon~="")and( (przerwa_szablon=="") or((mw.ustring.match(lista_szablon,"^:"))and((przerwa_szablon==">")or(przerwa_szablon=="<"))) or(not mw.ustring.match(lista_szablon,"^:")) ) ) or((lista_szablon=="")and(przerwa_szablon=="")and(not mw.ustring.match(dalszy_tekst,"^>"))) )); czy_listy=czy_listy or ((czy_dobry_obiekt)and(lista_szablon=="")and(odstepy_poczatku_rozdzialu=="")and(mw.ustring.match(przerwa_szablon,"^=+")and(mw.ustring.match(dalszy_tekst,"=+%s*$")))); local szablon; if(not czy_listy)then local obiekt=obiekt_szablon;local kod=tonumber(kod_szablon) or nil; szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(szablon)then czy_listy=true;end; end; if(czy_listy)then local liczba_obiekt_start=liczba_start_szablon; local obiekt=obiekt_szablon; local kod=kod_szablon; kod=tonumber(kod) or nil; local tak,czy_element_spisu,numer_rodzaju_artykulu,czy_podrecznik,czy_okladka=p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,true,false,true,true,true); liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul=(not liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul)and(czy_element_spisu and liczba_obiekt_start or nil) or liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul; liczba_nie_okladka_artykul=((not liczba_nie_okladka_artykul)and((czy_element_spisu)and(((numer_rodzaju_artykulu==1)and(not czy_okladka))or((numer_rodzaju_artykulu>=2)and((lista_szablon)and(lista_szablon~="") and (przerwa_szablon=="") and(dalszy_tekst=="")))))) and liczba_obiekt_start or liczba_nie_okladka_artykul; liczba_nie_okladka_artykul_koniec=((not liczba_nie_okladka_artykul)and((czy_element_spisu)and(((numer_rodzaju_artykulu==1)and(not czy_okladka))or((numer_rodzaju_artykulu>=2)and((lista_szablon)and(lista_szablon~="") and (przerwa_szablon=="") and (dalszy_tekst=="")))))) and liczba_obiekt_koniec or liczba_nie_okladka_artykul_koniec; ---- if((czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu==1)and(czy_podrecznik)and(not czy_okladka))then local czy_bez_naglowka=nil; local liczba_obiekt_start_nowe=liczba_nie_okladka_artykul or liczba_obiekt_start; local liczba_obiekt_koniec_nowe=liczba_nie_okladka_artykul_koniec or liczba_obiekt_koniec; local liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=nil,nil,nil,nil; local czy_ten_rozdzial=true; local liczba_obiekt_start_nowe_temp=liczba_obiekt_start_nowe; local liczba_spis_tresci_start,liczba_spis_tresci_koniec,spis_naglowka_dodatni_start,spis_naglowka_dodatni_stare_start,poziom_naglowka_start=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_start_rozdzial,true,function(naglowek) if(p.ParsowanieNapisuWprowadzeniaTekstuSpisuStron(naglowek))then return true;end; end,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); local czy_zeruj=(not liczba_spis_tresci_start)and true or false; liczba_obiekt_start_nowe=liczba_spis_tresci_start or liczba_obiekt_start_nowe; local tab_zmienne={ liczba_nie_okladka_artykul=liczba_nie_okladka_artykul, liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul=liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul, czy_ten_rozdzial=czy_ten_rozdzial, }; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=p.SzukanieKolejnychSekcji(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_nowe,czy_bez_naglowka,p.AnalizowanieSekcjowe(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,czy_zeruj,tab_zmienne,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)); liczba_nie_okladka_artykul,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,czy_ten_rozdzial=tab_zmienne.liczba_nie_okladka_artykul,tab_zmienne.liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,tab_zmienne.czy_ten_rozdzial; if(not czy_ten_rozdzial)then if(liczba_obiekt_start~=liczba_obiekt_start_nowe_temp)then liczba_start_rozdzial=liczba_obiekt_start_nowe_temp; liczba_obiekt_start_nowe=liczba_obiekt_start; czy_ten_rozdzial=true; tab_zmienne.czy_ten_rozdzial=czy_ten_rozdzial; liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=p.SzukanieKolejnychSekcji(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start,czy_bez_naglowka,p.AnalizowanieSekcjowe(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,czy_zeruj,tab_zmienne,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)); liczba_nie_okladka_artykul,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,czy_ten_rozdzial=tab_zmienne.liczba_nie_okladka_artykul,tab_zmienne.liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,tab_zmienne.czy_ten_rozdzial; end; end; ---- jest to pozycja nagłówka, która mówi, który nagłówek ma być pierwszy, czy ten od spisu treści, czy ten dalszy; liczba_start_naglowek=( (not liczba_spis_tresci_start) or((liczba_spis_tresci_start)and(not poziom_naglowka_start)) -- nagłówek spisu tresci centrowany; -- nagłówki oba dodatnie niecentrowane, oba ujemne lub ten pierwszy dodatni, a drugi ujemny, a pierwszy dodatni; or((poziom_naglowka_start)and(poziom_naglowka))and( ((poziom_naglowka_start>0)and(poziom_naglowka<=0)) or((poziom_naglowka_start<=0)and(poziom_naglowka<=0)and(poziom_naglowka_start>=poziom_naglowka)) or((poziom_naglowka_start>0)and(poziom_naglowka>0)and(poziom_naglowka_start<=poziom_naglowka)) ) ) and liczba_spis_tresci_start or liczba_start_naglowek; ---- if(((not czy_okladka)or((czy_okladka)and(lista_szablon~=""))or(liczba_start_naglowek))and(czy_ten_rozdzial))then ---- czy_bez_naglowka=((not liczba_start_naglowek)or((liczba_obiekt_koniec_poprz or 1)<=(liczba_start_rozdzial or 1))) and true or false; ---- if(liczba_start_naglowek)then local liczba_przed_rozdzialem;local czy_znajdz; liczba_przed_rozdzialem,czy_znajdz=p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_start_naglowek,czy_bez_naglowka); local odtylu_dalej=--[[liczba_spis_tresci or]] liczba_start_naglowek; local liczba_start_naglowek_przed=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,odtylu_dalej,liczba_start_rozdzial,true,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); local liczba_przed=((liczba_start_naglowek_przed)and((liczba_przed_rozdzialem>=liczba_start_naglowek_przed)and liczba_przed_rozdzialem or liczba_start_naglowek_przed) or liczba_przed_rozdzialem); local czy_break; liczba_start,czy_break=p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,liczba_przed,liczba_start_naglowek_przed,czy_bez_naglowka,true,czy_znajdz); if(czy_break)then break;end; else local liczba_start_naglowek,liczba_koniec_naglowek,naglowek,poziom_naglowka=p.SzukanieSekcjiOTekstowychPustychElementowychPozycjachLinkowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,liczba_obiekt_start_nowe,2,czy_bez_naglowka,function(liczba_koniec_naglowek_nowe,liczba_obiekt_start_nowe) if((liczba_koniec_naglowek_nowe)and(liczba_obiekt_start_nowe)and(liczba_koniec_naglowek_nowe+1<=liczba_obiekt_start_nowe-1))then local str=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec_naglowek_nowe+1,liczba_obiekt_start_nowe-1); str=mw.ustring.gsub(str,szablonowe_modul.NormaWzoruKodowaniaTekstu("SZABLON"),""); if(not mw.ustring.match(str,"^%s*$"))then return true; end; end; return nil; end); if(liczba_start_naglowek)then liczba_obiekt_start_nowe=liczba_start_naglowek; end; --[[]] local liczba_przed_rozdzialem,czy_znajdz=p.CzyJestZarejestrowanyLinkWeObiektachOddzielonychZnakamiWePozaSekcjowychLiniowychPozycjach(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_obiekt_start_nowe,czy_bez_naglowka); local czy_break; liczba_start,czy_break=p.SzukanieSekcjiLinkowychLiniowychZakresowych(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,liczba_start_rozdzial,liczba_pierwszy_rozdzialowy_artykul,liczba_przed_rozdzialem,nil,czy_bez_naglowka,false,czy_znajdz); if(czy_break)then break;end; end; break; else liczba_start_rozdzial=liczba_obiekt_koniec_nowe; liczba_nie_okladka_artykul_koniec=nil; end; liczba_obiekt_koniec_poprz=((czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu<=2)) and liczba_obiekt_koniec or liczba_obiekt_koniec_poprz; else liczba_obiekt_koniec_poprz=((czy_element_spisu)and(numer_rodzaju_artykulu<=2)) and liczba_obiekt_koniec or liczba_obiekt_koniec_poprz; end; end; else break; end; end; if(not liczba_start)then return "";end; local liczba_obiekt_start_od_tylu=#tekst_rozwiniety_calego_artykulu; while(true)do local liczba_start_szablon,liczba_koniec_szablon,linia,lista_szablon,przerwa_szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukanieNaPodstawieWzoruElementuLinii(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,"(([%*:#;<>]?)([^\n]-)"..szablon_normy_kodowania_szablonu.."([^\n]*))",liczba_obiekt_start_od_tylu,liczba_start,true); ---- if(liczba_start_szablon)then liczba_obiekt_start_od_tylu=liczba_start_szablon; local czy_dobry_obiekt=((obiekt_szablon=="SZABLON")or(obiekt_szablon=="LINKW")or(obiekt_szablon=="LINKZ")); local czy_listy=(czy_dobry_obiekt)and((lista_szablon~="")or((lista_szablon=="")and(przerwa_szablon==""))); local czy_listy=czy_listy or (czy_dobry_obiekt)and((lista_szablon=="")and(mw.ustring.match(przerwa_szablon,"^=+")and(mw.ustring.match(dalszy_tekst,"=+%s*$")))); local szablon; if(not czy_listy)then local obiekt=obiekt_szablon;local kod=tonumber(kod_szablon) or nil; szablon,obiekt_szablon,kod_szablon,dalszy_tekst=p.SzukaniePierwszegoLinkuNapisuNiestandardowegoWprowadzeniaTekstu(obiekt,kod,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(szablon)then czy_listy=true;end; end; if(czy_listy)then local liczba_obiekt_koniec=liczba_koniec_szablon; local liczba_obiekt_start=liczba_start_szablon; local obiekt=obiekt_szablon; local kod=kod_szablon; kod=tonumber(kod) or nil; local szablon=szablon or tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul[obiekt][kod]; local czy_znalezione=nil; if(liczba_start<=liczba_obiekt_start)then czy_znalezione=p.SzukanieLinkuWeSzablonieOrazDalszymNapisie(obiekt,kod,linia,dalszy_tekst,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,true,true); end; if(czy_znalezione)then liczba_koniec=p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec); break; end; end; else break; end; end; if(liczba_koniec)then local koniec_dodatnie_rozdzialy=#tekst_rozwiniety_calego_artykulu; while(true)do local liczba_rozdzial_start,liczba_rozdzial_koniec,rozdzial_nazwa,rozdzial=p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,koniec_dodatnie_rozdzialy,liczba_start,true,false,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if(liczba_rozdzial_start)and(liczba_rozdzial_start>=liczba_koniec)then koniec_dodatnie_rozdzialy=liczba_rozdzial_start; local czy_znalazles_linki=p.SzukajObiektuArtykularnegoWeElemencieTekstowym(rozdzial,szablon_normy_kodowania_szablonu,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych,true,true,true,true); if(czy_znalazles_linki)then liczba_koniec=liczba_rozdzial_koniec;end; else break; end; end; end; if(not liczba_koniec)then return "";end; if(liczba_start>=liczba_koniec)then return "";end; --- Licencja ---- local licencja_koniec,szablon_licencja=p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_koniec,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony); if((licencja_koniec)and(licencja_koniec>=liczba_koniec))then liczba_koniec=licencja_koniec; end; ----- local tekst=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,liczba_koniec); ----- for _,tab_wzor in ipairs(stronicowyparser_obiekty_modul.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe)do tekst=p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych); end; --mw.log(tekst) --- Licencja ---- --mw.log(liczba_start,liczba_koniec,"TYTANw",pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa) --mw.log("TYTAN1",tekst,"TYTAN2") --return nil; --local tekst=mw.ustring.sub(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,liczba_koniec); --mw.log(tekst,"TYTAN123") return tekst; end; return p; 1d2uwmo9y9jgjywnegcacrhu565r2v1 0 61000 559044 542943 2026-10-10T18:26:58Z 559044 wikitext text/x-wiki 559045 559044 2026-10-10T18:29:07Z Persino 2851 542943 wikitext text/x-wiki '''<big>Lakciōni 3</big>''' == Podstawowe słówka == <gallery> Plik:Cima da Conegliano, God the Father.jpg|'''Dēiws''' – Bóg Plik:Sumitra Devi, a Garhwali shepherd near Lansdowne, Uttarakhand 02 - cropped.jpg|'''zmūi''' – człowiek Plik:Woman redhead natural portrait.jpg|'''genā''' – kobieta Plik:Outdoors-man-portrait (cropped).jpg|'''wīrs''' – mężczyzna Plik:Teen with iced coffee in Madison, Wisconsin 2021.jpg|'''mergā''' – dziewczyna Plik:Bishara, Melodifestivalen 2019, Final, Friends Arena, Solna-8.jpg|'''wāiks''' – chłopak Plik:Russia. Young woman with baby.jpg|'''mūti''' – matka Plik:Father and son 27.jpg|'''tāws''' – ojciec Plik:Michael Lucass Dog (2838697366).jpg|'''sunnis''' – pies Plik:Domestic cat sleeping.JPG|'''kattins''' – kot Plik:Ribnisko jezero.jpg|'''azzaran''' – jezioro Plik:Ryssebergen 2012b.jpg|'''meddin''' – las Plik:Blue water ripples (Unsplash).jpg|'''undan''' – woda Plik:Daytime image of the bay of Naples.jpg|'''deinā''' – dzień Plik:Zinnia elegans with Bombus 01.JPG|'''kwēitis''' – kwiat Plik:BrunnHeiligenstadtBauernhaus.jpg|'''buttan''' – dom Plik:Sun flare (26239124234).jpg|'''saūli''' – słońce Plik:Detailed image of Full moon taken near Hyderabad.jpg|'''mīniks''' – księżyc Plik:Eiche bei Graditz.jpg|'''garrin''' – drzewo Plik:Open book on page 180 to 181 - P060543-395075.jpg|'''lāiskas''' – książka </gallery> == Rodzaje rzeczownika == W języku pruskim są trzy rodzaje rzeczownika: męski, żeński i nijaki. Rzeczowniki r. męskiego mają zazwyczaj w mianowniku końcówkę ''-<u>s</u>'' lub ''-<u>is</u>'', rodzaju żeńskiego końcówki ''-<u>a/ā</u>'' lub ''-<u>i</u>'' a nijakiego ''-<u>an</u>'' lub ''-<u>in</u>''. Są także wyjątki, np. słowo ''nakt<u>s</u>'' (noc) jest rodzaju żeńskiego, choć ma końcówkę ''-s'', albo ''brāt<u>i</u>'' (brat), który jest rodzaju męskiego mimo końcówki ''-i''. Inne wyjątki to m.in. ''aks'' (oko), ''geīts'' (chleb), ''tāti'' (tata), ''ārsti'' (lekarz), ''ugnis'' (pożar). == Tworzenie zdrobnień == Rodzaj męski: * wīr<span style="color:red">s</span> ⇒ wīr<span style="color:red">iks</span> * kwēit<span style="color:red">is</span> ⇒ kwēit<span style="color:red">iks</span> Rodzaj żeński: * grīm<span style="color:red">a</span> (pieśń) ⇒ grīm<span style="color:red">ika</span> * merg<span style="color:red">ā</span> ⇒ merg<span style="color:red">īka</span> * stūnd<span style="color:red">i</span> (godzina) ⇒ stūnd<span style="color:red">ika</span> Rodzaj nijaki: * papīr<span style="color:red">an</span> (papier) ⇒ papīr<span style="color:red">ikan</span> Wyjątek: wāiklis (chłopczyk) == Ćwiczenia == 1. Określ rodzaj każdego słowa z dzisiejszego słowniczka obrazkowego. W razie problemów skorzystaj ze słownika http://prusaspira.org/wirdeins (w tym słowniku rodzaj męski ma skrót "m", żeński "f", a nijaki "n"). <br> 2. Przetłumacz i określ rodzaj każdego z poniższych rzeczowników: <br> ''swītan'', ''zēgeris'', ''sestrā'', ''skūli'', ''uppin'', ''appi'', ''anni'', ''dāngs'', ''kāupabutan'', ''ginni'', ''dukti'', ''zwīrs'', ''tējs'', ''tītis'', ''kattistin'', ''stubba'', ''automōbilin'', ''skans'', ''rankā'', ''mamma'', ''kūginis'', ''ārstini'', ''sūns'', ''mīstan'', ''ābli'' qtukmu79kvhivi3hoyktwqippvojrq8 4 63511 559042 554226 2026-10-10T18:05:50Z Persino 2851 /* Spis treści */ 559042 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Funkcje stronicowego parsera służące do analizu uchwytów i ich numerowania, do przydzielenia uchwytom, pewnych rozdziałów, czy nawet pobieranie, za pomocą uchwytów. Też służy do ładowania spisów treści przy pomocy jej funkcji. Też są tam funkcje do numerowania tylko rozdziałów dodatnich albo do numerowania dowolnych rozdziałów i w nich artykułów, w spisach. == Spis treści == {{Kolumny|2|2= === {{lr|Moduły/StronicowyParser/Moduł główny|StronicowyParser}} === Procedury stronicowego parsera do numeracji obiektów i odniesień do nich, także operowanie na tak zebranych danych, uruchamiane w stronicowych szablonach, które są zawarte w podkategoriach: {{lk2|Szablony stronicowe}}. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}{{Nobold|{{r|Spis treści}} {{Patrz|AnalizaSpisuRzeczy}}}} === Funkcje do wydzielania z wikikodu strony rozdziału danego spisu jego głównej części, ktorym jest właściwy spis treści strony, tym spisem treści nie muszą być rozdziały i artykuły w rozdziale: '''Spis treści''', czy: '''SPIS RZECZY''', wraz z tym nim, te rozdziały spisu mogą być różnie znormowane. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/GłównaFunkcjaZbieraniaDanychStron}} === Moduł zawiera funkcje do analizy spisów i całej strony z drugiej strony, by na podstawie tego stworzyć spis identyfikatorów do nagłówków '''id''', jak i do ich nazw po usunięciu z nich linków, jak i tworzenia tablicy uchwytów do nagłówków, z ich identyfikatorami '''id''' do nich. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Kategorie}} === Funkcje zwracające kategorie, tylko raz przetworzone i policzone, zgłaszane przez {{Code|{{m|StronicowyParser|WstawKategorie}}}}, w chwili, gdy nastąpi jakiś problem ze: '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowym parserem}}''', dla danej strony artykułu w przestrzeni książkowej lub strony w przestrzeni nieksiążkowej, według głównej tablicy problemów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/NumerLubNazwaArtykułówKsiążek}} === Funkcje pobierania, na podstawie nazwy nagłówka lub artykułu książki, zależnie od ustawień, jego numeru, lub odwrotnie. Tam jest funkcja do zbierania danych o nazwach rozdziałów i artykułów, i ich numerach, a także o ich parametrach, np. czy to jest podręcznik danej książki, czy link wskazuje z innej ksiązki, na aktualną daną książkę, o przekierowaniu do tego woluminu, a nawet czy link w danym podręczniku wskazuje na inny podręcznik. Tam parametry wskazują informacje o przekierowaniach dla danego artykułu lub informacje o danym przekoierowaniu, który wskazuje na inny artykuł. Jak tak, czy tak, to zależy od danego przekierowaniai na co on wskazuje. Funkcje tam umozliwia kilka trybów i poziomów liczenianumerów do danych artykułów, czy rozdziałów. Są też tam funkcje do pomijania pewnych rozdziałów i w nich artykułów przy liczeniu ich numerów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/NumerLubNazwaNagłówkówKsiążek}} === Funkcje pobierania, na podstawie nazwy nagłówka, jego numeru, lub odwrotnie. Funkcja tam umożliwa kilka poziomów liczenia numeru danego rozdziału. Są też tam funkcje do pomijania pewnych rozdziałów przy liczeniu ich numerów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/NumerObiektu}} === Funkcje numerowania uchwytów, przypisywanie uchwytom linkom do nagłówków lub uchwytom zawartości tekstów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron}} === Funkcja odpowiednio ustawia dane, jaka jest numeracja, jeśli w ogóle istnieje, danego typu obiektu, sprawdza, czy uchwyt obiektu się powtarza, przy numeracji uwzględniany jest numer artykułu. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Potrzebne}} === === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Pomocne}} === === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Problemy}} === Funkcje sprawdzania, czy jest taki, i dodawania, problemów do tablicy. Funkcje tam dodają problemy jedno i wielowymiarowe (najwięcej trzy), w głównej tablicy problemów {{Code|problemy}} {{Patrz|problemy}}, a także problemy jednowymiarowe, dla przestrzeni książkowych, tzn. parametry te one są: {{Code|nazwa przestrzeni nazw}} {{Patrz|nazwa przestrzeni nazw}}, {{Code|nazwa przestrzeni książki}} {{Patrz|nazwa przestrzeni książki}} i {{Code|nazwa książki}} {{Patrz|nazwa książki}}, to się mieści dla nich w głównej tablicy problemów książkowych, a one są w tablicy pod, tzn.: {{Code|problemy książkowe}} {{Patrz|problemy książkowe}}, a one znów skolei są również, jak dla problemów, jedno-, czy wielo-wymiarowych, w tej samej tablicy, co poprzednio, tzn. w: {{Code|problemy}} {{LinkPatrz|problemy}}. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Rozdziały}}{{nobold|{{r|Spis treści}}}} === Funkcje, do przygotowania tekstów spisów treści, do dalszej obróbki przez funkcje z: {{Code|{{ld2|StronicowyParser/SpisTreści}}}}, funkcje stąd korzystają z funkcji modułu: {{LinkPatrz|AnalizaSpisuRzeczy}}, do wydzielenia z całego spisu jego fragmentu, aby dało się go łatwo podzielić na nagłówki, z ich parametrami, i ich teksty rozdziałów, robione są to poprzez funkcję główną, do zbierania danych z strony, z: {{LinkPatrz|ZbieranieDanychStron}}. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/SpisTreści}}{{nobold|{{r|Spis treści}} {{Patrz|SpisTreści}}}} === Funkcje do generowania spisu treści dla jego pewnych podmodułów, która można nazwać spisami, na podstawie pewnych stron konfiguracyjnych, lub nie, przy uwzględnieniu dodania artykułów określonych przez {{s|Układ autonawigacji}} (wykorzystywany przez {{s|Autonawigacja}} - ten szablon wykorzystuje własne skórki, jako szablony nawigacji, tzn. on oferuje linki: artykuł przed, artykuł po i artykuł głównego spisu treści) i w nim innych spisów niż główny spis treści, którym jest strona główna książki. Czasami tam funkcje, jeśli znajdą na stronie głównej artykuł {{Code|Spis treści}}, to go analizuje jako dodatkowy spis, którego nie trzeba dodawać do tego konfiguracyjnego szablonu. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/StronaSubst}} === Strona, a w niej funkcje, do sprawdzania, czy dana podana strona jest stroną zbiorczą, ładuje kod strony zbiorczej dla szablonów {{s|StronaSubst}} i {{s|KsiążkaSubst}}, także przygotowuje wpisy do spisu treści {{s|Spis treści}} ({{s|Spis treści zwinięty}}), czy {{s|TOC}}, a nawet {{s|TOC limit}}. Kod gnerowany przez tam funkcje są ustawiane na stronach zbiorczych, które obsługuje {{lpg|JavaScript}}, jako jeden z gadzetów (jest w fazie roboczej, ale jeszcze oficjalnie nieopublikowany), na stronie w przestrzeni nazw komunikatów {{Np|MediaWiki|link=tak}}. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Tekst}} === Elementy tu opisane są to funkcje do ładowania tekstu stron, nawet jego w sposób rekurencyjny. One służą do też ładowania właściwych stron artykułów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/ZbieranieDanychStron}}{{nobold|{{r|Spis treści}} {{Patrz|ZbieranieDanychStron}}}} === Moduł do zbierania informacji o aktualnej stronie, nie jak dla spisu treści, jak to robi moduł {{LinkPatrz|SpisTreści}}, co do uchwytów pewnych obiektów i dalszych informacji o nich. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/SzablonyTekstu}} === Funkcje aktualizowania informacji specjalne dla szablonów {{s|PobierzŚródtekst}} na podstawie informacji w szablonach {{s|Śródtekst}} w tym samym lub na innej stronie artykułu książki, czy na innej stronie nieartykularnej (nieksiążkowej, ale traktowana jak książkowa, bo parametry: {{Parametr|nazwa artykułu}} i {{Parametr|nazwa książki}}). === {{lru|Moduły/StronicowyParser/informacje}} === Moduł ładujący informacje o danej stronie, dołączony raz na całą nią. Ładowany jest przez funkcję {{LzLua|mw.loadData}}. Gdy funkcje w tym module chcą załadować ponownie ten sam moduł, to zabezpieczenia modułu tego nie pozwalają. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/obiekty}} === Zestaw stałych tablicowych ładowanych raz na całą stronę przez funkcję {{LzLua|mw.loadData}}. Z tych tablic korzystają funkcje '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowego parsera}}''', czyli moduł: {{m|StronicowyParser}}, i jego podmoduły: {{m|StronicowyParser/}}. }} == Przypisy == {{Przypisy |{{o|n=Spis treści|o=Opisy modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}} mechanizmu '''{{NS|k=mw|w=tak|l=tak}}''' posiadające na ich podstronach swój '''{{lpg|spis treści}}'''.}} }} {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> skb9w6sdexzdpclaifr4vgevgq270d0 559043 559042 2026-10-10T18:13:43Z Persino 2851 /* Spis treści */ 559043 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} Funkcje stronicowego parsera służące do analizu uchwytów i ich numerowania, do przydzielenia uchwytom, pewnych rozdziałów, czy nawet pobieranie, za pomocą uchwytów. Też służy do ładowania spisów treści przy pomocy jej funkcji. Też są tam funkcje do numerowania tylko rozdziałów dodatnich albo do numerowania dowolnych rozdziałów i w nich artykułów, w spisach. == Spis treści == {{Kolumny|2|2= === {{lr|Moduły/StronicowyParser/Moduł główny|StronicowyParser}} === Procedury stronicowego parsera do numeracji obiektów i odniesień do nich, także operowanie na tak zebranych danych, uruchamiane w stronicowych szablonach, które są zawarte w podkategoriach: {{lk2|Szablony stronicowe}}. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}{{Nobold|{{r|Spis treści}} {{Patrz|AnalizaSpisuRzeczy}}}} === Funkcje do wydzielania z wikikodu strony rozdziału danego spisu jego głównej części, ktorym jest właściwy spis treści strony, tym spisem treści nie muszą być rozdziały i artykuły w rozdziale: '''Spis treści''', czy: '''SPIS RZECZY''', wraz z tym nim, te rozdziały spisu mogą być różnie znormowane. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/GłównaFunkcjaZbieraniaDanychStron}} === Moduł zawiera funkcje do analizy spisów i całej strony z drugiej strony, by na podstawie tego stworzyć spis identyfikatorów do nagłówków '''id''', jak i do ich nazw po usunięciu z nich linków, jak i tworzenia tablicy uchwytów do nagłówków, z ich identyfikatorami '''id''' do nich. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Kategorie}} === Funkcje zwracające kategorie, tylko raz przetworzone i policzone, zgłaszane przez {{Code|{{m|StronicowyParser|WstawKategorie}}}}, w chwili, gdy nastąpi jakiś problem ze: '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowym parserem}}''', dla danej strony artykułu w przestrzeni książkowej lub strony w przestrzeni nieksiążkowej, według głównej tablicy problemów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/NumerLubNazwaArtykułówKsiążek}} === Funkcje pobierania, na podstawie nazwy nagłówka lub artykułu książki, zależnie od ustawień, jego numeru, lub odwrotnie. Tam jest funkcja do zbierania danych o nazwach rozdziałów i artykułów, i ich numerach, a także o ich parametrach, np. czy to jest podręcznik danej książki, czy link wskazuje z innej ksiązki, na aktualną daną książkę, o przekierowaniu do tego woluminu, a nawet czy link w danym podręczniku wskazuje na inny podręcznik. Tam parametry wskazują informacje o przekierowaniach dla danego artykułu lub informacje o danym przekoierowaniu, który wskazuje na inny artykuł. Jak tak, czy tak, to zależy od danego przekierowaniai na co on wskazuje. Funkcje tam umozliwia kilka trybów i poziomów liczenianumerów do danych artykułów, czy rozdziałów. Są też tam funkcje do pomijania pewnych rozdziałów i w nich artykułów przy liczeniu ich numerów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/NumerLubNazwaNagłówkówKsiążek}} === Funkcje pobierania, na podstawie nazwy nagłówka, jego numeru, lub odwrotnie. Funkcja tam umożliwa kilka poziomów liczenia numeru danego rozdziału. Są też tam funkcje do pomijania pewnych rozdziałów przy liczeniu ich numerów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/NumerObiektu}} === Funkcje numerowania uchwytów, przypisywanie uchwytom linkom do nagłówków lub uchwytom zawartości tekstów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/NumeracjaObiektówStron}} === Funkcja odpowiednio ustawia dane, jaka jest numeracja, jeśli w ogóle istnieje, danego typu obiektu, sprawdza, czy uchwyt obiektu się powtarza, przy numeracji uwzględniany jest numer artykułu. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Potrzebne}} === === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Pomocne}} === === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Problemy}} === Funkcje sprawdzania, czy jest taki, i dodawania, problemów do tablicy. Funkcje tam dodają problemy jedno i wielowymiarowe (najwięcej trzy), w głównej tablicy problemów {{Code|problemy}} {{Patrz|problemy}}, a także problemy jednowymiarowe, dla przestrzeni książkowych, tzn. parametry te one są: {{Code|nazwa przestrzeni nazw}} {{Patrz|nazwa przestrzeni nazw}}, {{Code|nazwa przestrzeni książki}} {{Patrz|nazwa przestrzeni książki}} i {{Code|nazwa książki}} {{Patrz|nazwa książki}}, to się mieści dla nich w głównej tablicy problemów książkowych, a one są w tablicy pod, tzn.: {{Code|problemy książkowe}} {{Patrz|problemy książkowe}}, a one znów skolei są również, jak dla problemów, jedno-, czy wielo-wymiarowych, w tej samej tablicy, co poprzednio, tzn. w: {{Code|problemy}} {{LinkPatrz|problemy}}. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Rozdziały}}{{nobold|{{r|Spis treści}}}} === Funkcje, do przygotowania tekstów spisów treści, do dalszej obróbki przez funkcje z: {{Code|{{ld2|StronicowyParser/SpisTreści}}}}, funkcje stąd korzystają z funkcji modułu: {{LinkPatrz|AnalizaSpisuRzeczy}}, do wydzielenia z całego spisu jego fragmentu, aby dało się go łatwo podzielić na nagłówki, z ich parametrami, i ich teksty rozdziałów, robione są to poprzez funkcję główną, do zbierania danych ze strony, z: {{LinkPatrz|ZbieranieDanychStron}}, poprzez: {{LinkPatrz|SpisTreści}}. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/SpisTreści}}{{nobold|{{r|Spis treści}} {{Patrz|SpisTreści}}}} === Funkcje do generowania spisu treści dla jego pewnych podmodułów, która można nazwać spisami, na podstawie pewnych stron konfiguracyjnych, lub nie, przy uwzględnieniu dodania artykułów określonych przez {{s|Układ autonawigacji}} (wykorzystywany przez {{s|Autonawigacja}} - ten szablon wykorzystuje własne skórki, jako szablony nawigacji, tzn. on oferuje linki: artykuł przed, artykuł po i artykuł głównego spisu treści) i w nim innych spisów niż główny spis treści, którym jest strona główna książki. Czasami tam funkcje, jeśli znajdą na stronie głównej artykuł {{Code|Spis treści}}, to go analizuje jako dodatkowy spis, którego nie trzeba dodawać do tego konfiguracyjnego szablonu. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/StronaSubst}} === Strona, a w niej funkcje, do sprawdzania, czy dana podana strona jest stroną zbiorczą, ładuje kod strony zbiorczej dla szablonów {{s|StronaSubst}} i {{s|KsiążkaSubst}}, także przygotowuje wpisy do spisu treści {{s|Spis treści}} ({{s|Spis treści zwinięty}}), czy {{s|TOC}}, a nawet {{s|TOC limit}}. Kod gnerowany przez tam funkcje są ustawiane na stronach zbiorczych, które obsługuje {{lpg|JavaScript}}, jako jeden z gadzetów (jest w fazie roboczej, ale jeszcze oficjalnie nieopublikowany), na stronie w przestrzeni nazw komunikatów {{Np|MediaWiki|link=tak}}. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/Tekst}} === Elementy tu opisane są to funkcje do ładowania tekstu stron, nawet jego w sposób rekurencyjny. One służą do też ładowania właściwych stron artykułów. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/ZbieranieDanychStron}}{{nobold|{{r|Spis treści}} {{Patrz|ZbieranieDanychStron}}}} === Moduł do zbierania informacji o aktualnej stronie, nie jak dla spisu treści, jak to robi moduł {{LinkPatrz|SpisTreści}}, co do uchwytów pewnych obiektów i dalszych informacji o nich. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/SzablonyTekstu}} === Funkcje aktualizowania informacji specjalne dla szablonów {{s|PobierzŚródtekst}} na podstawie informacji w szablonach {{s|Śródtekst}} w tym samym lub na innej stronie artykułu książki, czy na innej stronie nieartykularnej (nieksiążkowej, ale traktowana jak książkowa, bo parametry: {{Parametr|nazwa artykułu}} i {{Parametr|nazwa książki}}). === {{lru|Moduły/StronicowyParser/informacje}} === Moduł ładujący informacje o danej stronie, dołączony raz na całą nią. Ładowany jest przez funkcję {{LzLua|mw.loadData}}. Gdy funkcje w tym module chcą załadować ponownie ten sam moduł, to zabezpieczenia modułu tego nie pozwalają. === {{lru|Moduły/StronicowyParser/obiekty}} === Zestaw stałych tablicowych ładowanych raz na całą stronę przez funkcję {{LzLua|mw.loadData}}. Z tych tablic korzystają funkcje '''{{ld|StronicowyParser|Stronicowego parsera}}''', czyli moduł: {{m|StronicowyParser}}, i jego podmoduły: {{m|StronicowyParser/}}. }} == Przypisy == {{Przypisy |{{o|n=Spis treści|o=Opisy modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}} mechanizmu '''{{NS|k=mw|w=tak|l=tak}}''' posiadające na ich podstronach swój '''{{lpg|spis treści}}'''.}} }} {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 9dqw0pnhc2fexao0qhg1p1tavs05ayr 4 63921 559020 558986 2026-10-10T12:13:14Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} */ 559020 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu]}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Liencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma wzoru}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> dmh9917hcfwjn2uofj6p2demznx29if 559021 559020 2026-10-10T12:13:45Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} */ 559021 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Liencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma wzoru}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 4x6n6agjt1tet06p7eoy583vmdwmiab 559022 559021 2026-10-10T12:14:17Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} */ 559022 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Liencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> tp2n1tmdnlmfb58bhuzqq19ao85tqid 559023 559022 2026-10-10T12:14:35Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} */ 559023 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> c17gxzrtogtcr31rtgbxr1qmg5bwjwq 559024 559023 2026-10-10T13:08:10Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559024 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, znajduje się się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tej tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisPrametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}. To jest tekst zakodowanego artykułu. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca koniec: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 1de6jb3y66cpxdds2h6muwolep3yna6 559025 559024 2026-10-10T13:08:29Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559025 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, znajduje się się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tej tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}. To jest tekst zakodowanego artykułu. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca koniec: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> fkr38udjmd4b7m681u1j08i42gsncxe 559026 559025 2026-10-10T13:08:58Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559026 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, znajduje się się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tej tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}. To jest tekst zakodowanego artykułu. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> bemcxgc78iodhjcwkqgmpx8f4dqwm0e 559028 559026 2026-10-10T13:15:47Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559028 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, znajduje się się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}. To jest tekst zakodowanego artykułu. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> a8csj91c6c7ti2osa8v3bycpxi3e7z3 559029 559028 2026-10-10T13:16:59Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559029 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, znajduje się się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> s6ml56oh18hqpykiwvulgrg9y5w09ar 559030 559029 2026-10-10T13:17:37Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559030 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, znajduje się się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}} Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> ayyze25clodygvnqoa8cd8dqqapua4o 559031 559030 2026-10-10T13:30:33Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559031 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca wydzielenia z tego. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> qmwzby417sil3bu211hwjd6xr427oao 559032 559031 2026-10-10T13:36:35Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} */ 559032 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwyniarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> sg81l0p8bhrr4vvick7ai6n7dlh015e 559033 559032 2026-10-10T13:37:25Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} */ 559033 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co usuwamy, co zostawiamy, w ich, w ich napisach wprowadzenia tekstu, wraz ich zawartościami, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwymiarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Licencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> edc4lmjv9rw1nehjeve8ixt4jlftcgf 559034 559033 2026-10-10T13:44:28Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} */ 559034 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co na podstawie tego wiemy, co w nich usuwamy, co zostawiamy, w ich, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwymiarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu: {{Code|{{m|Licencja}}}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> hfbq9lvpjz377zephmn2d38utn9eypc 559036 559034 2026-10-10T13:54:41Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} */ 559036 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej w sposób: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(nazwa_szablonu=="Licencja")then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co na podstawie tego wiemy, co w nich usuwamy, co zostawiamy, w ich, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwymiarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}, tzn.: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu: {{Code|{{m|Licencja}}}}, tzn.: {{Code|{{sr|#p.szablony_licencji|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.szablony_licencji}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 5j1nynl4lgouh4b55csub5q116rbbc9 559037 559036 2026-10-10T13:57:24Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} */ 559037 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej, a właściwie są wybierane tylko jednego typu szablony z tablicy, o definicji {{Patrz|p.szablony_licencji}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_licencji[nazwa_szablonu])then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co na podstawie tego wiemy, co w nich usuwamy, co zostawiamy, w ich, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwymiarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}, tzn.: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu: {{Code|{{m|Licencja}}}}, tzn.: {{Code|{{sr|#p.szablony_licencji|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.szablony_licencji}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> d6dgt0d38r52lj87cadzd6kfhxbg8bn 559038 559037 2026-10-10T13:58:33Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} */ 559038 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom VI}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej, a właściwie są wybierane tylko jednego typu szablony z tablicy, o definicji {{Patrz|p.szablony_licencji}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> A kod według czego jest to robione jest: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_licencji[nazwa_szablonu])then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co na podstawie tego wiemy, co w nich usuwamy, co zostawiamy, w ich, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwymiarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}, tzn.: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu: {{Code|{{m|Licencja}}}}, tzn.: {{Code|{{sr|#p.szablony_licencji|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.szablony_licencji}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> 8m0oo2sbafi2wu5thplkfd6eov5wfs6 559039 559038 2026-10-10T13:59:10Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559039 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej, a właściwie są wybierane tylko jednego typu szablony z tablicy, o definicji {{Patrz|p.szablony_licencji}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> A kod według czego jest to robione jest: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_licencji[nazwa_szablonu])then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie: {{Tt|Licencja}}. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co na podstawie tego wiemy, co w nich usuwamy, co zostawiamy, w ich, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwymiarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}, tzn.: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu: {{Code|{{m|Licencja}}}}, tzn.: {{Code|{{sr|#p.szablony_licencji|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.szablony_licencji}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> ga18t75vphckfmrf9634635iruq6kgp 559040 559039 2026-10-10T14:08:40Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} */ 559040 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej, a właściwie są wybierane tylko jednego typu szablony z tablicy, o definicji {{Patrz|p.szablony_licencji}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> A kod według czego jest to robione jest: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_licencji[nazwa_szablonu])then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie dedykowane tabelą: {{LinkPatrz|p.szablony_licencji}}, na podstawie uzyskanej nazwy szablonu. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co na podstawie tego wiemy, co w nich usuwamy, co zostawiamy, w ich, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwymiarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}, tzn.: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu: {{Code|{{m|Licencja}}}}, tzn.: {{Code|{{sr|#p.szablony_licencji|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.szablony_licencji}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> aatf3z3ub1djh3gvo6orsgpzx1xlw9z 559041 559040 2026-10-10T14:52:43Z Persino 2851 /* {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} */ 559041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{ProstaStronaStart | nagłówek = {{Podrozdział|{{ld2|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}|Dokumentacja modułów {{lpg|Lua}} w {{lpr|Lua|Scribunto}}.}}{{Autonawigacja|Pomoc:Spis treści}} | stopka strony = {{StopkaSpisTreści}}{{Podrozdział|Koniec}} }}</noinclude> {{Spis treści}} == {{Śródtytuł|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}}{{Code|p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego}} == Funkcja liczy koniec zakodowanego tekstu artykułu zakodowanego: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, aby z niego wydzielić właściwy spis treści, za pomocą początku i tego końca tutaj policzonego. Funkcja to liczy na podstawie parametru: {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_obiekt_koniec}}, która jest według opisu, pozycją listy, składającej się ze znaków początkowych: {{Code|<nowiki>[%*:#;<>]</nowiki>}}, lub której twór szablonowy, ale nie zawsze szablon, może też to być twór typu: {{Code|LINKW}}, bądź: {{Code|LINKZ}}, takie coś musi znajdować się na początku linii, ale z tych linii są wybierane linie z artykułami, policzonej w pętli przed wywołaniem tej funkcji. Co wtedy w tej funkcji wyszukujemy niepustą linie nielistową pod spodem tego tekstu pod pozycją wskazywaną w tej zmiennej. Co następnie w ogólnym kodzie nadrzędnym wywołanie tej funkcji powoduje przerwanie pętli, bo już taki koniec znaleziono. Tym końcem jest: {{Code|liczba_koniec}} {{LinkPatrz|liczba_koniec}}. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.PoliczKoniecZakodowanegoTekstuArtykularnego(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_obiekt_koniec)...end; </syntaxhighlight> Opis parametrów funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. To jest tekst zakodowanego artykułu spisu treści. | 2 = {{Code|liczba_obiekt_koniec}} {{Patrz|liczba_obiekt_koniec}} | _2 = Koniec linii najbliższa końcowi punktu, w tekście, z linią z linkami artykularnymi książki. }} Funkcja zwraca wynik: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec}} {{Patrz|liczba_koniec}} | _1 = Znaleziony taki koniec tekstu: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, w wydzielaniu z niego właściwego spisu treści. }} == {{Śródtytuł|p.KoniecStronyLicencja}}{{Code|p.KoniecStronyLicencja}} == Funkcja wyszukuje, od tyłu, szablon licencji: {{s|Licencja}}, i zwraca jego koniec dopasowania, jak i jego kod w postaci zakodowanego tekstu. Funkcja wyszukuje od końca tekstu do pewnego momentu. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KoniecStronyLicencja(tekst_rozwiniety_calego_artykulu,liczba_start,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} | _1 = Jak w: {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 2 = {{Code|liczba_start}} | _2 = Jak w: {{LinkPatrz|liczba_start|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom V}}, czyli do jakiego momentu ma wyszukiwać. | 3 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci}} | _3 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 4 = {{Code|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa}} | _4 = Jak w: {{LinkPatrz|pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 5 = {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} | _5 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | 6 = {{Code|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony}} | _6 = Jak w: {{LinkPatrz|tablica_danych_parametrow_szablonu_strony|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. }} Funkcja wykorzystuje wzor zdefiniowany przy pomocy funkcji: {{Code|{{sr|#p.NormaWzoruKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}}, dla obiektu typu: {{Code|SZABLON}}, dla dowolnego numeru, jest to wzor, dzięki któremu wyszukujemy szablon, lub twory szablonowe tym wzorem, których treść: {{Code|szablon}} {{LinkPatrz|szablon|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, wyznaczamy z {{Code|obiekt}}, dla tego typu obiektu, i {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}} z {{Code|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul}} {{LinkPatrz|tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. Wyszukujemy kolejne te twory szablonowe przy pomocy: {{LinkŚródtytuł|p.SzukanieNaPodstawieWzoru|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom I}}, i wybieramy z tego same tylko szablony we specjalnej funkcji, wśród tych znajdujemy ich nazwy przy pomocy niej, jak i inne nieważne parametry, sprawdzając, czy to jest nazwa szablonu licencji. Funkcja wyszukuje, aż do wyczerpania zasobów tekstu, lub po zatrzymaniu tego na pierwszym wykrytym tak takim szablonie. Funkcja nie potrafi przekroczyć zakresu liczenia, i znajduje tą nazwę, a więc tego szablonu. Kod wyszukanego szablonu zakodowany jest tworzony dzięki: {{Code|{{sr|#p.NormaKoduKodowaniaTekstu|p=Szablonowe}}}} {{Patrz|norma kodu}}, z uzyskanego z pętli dla obiektu: {{Code|obiekt}} {{Code|{{=}}}} {{Code|SZABLON}}{{LinkPatrz|obiekt|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, jego numeru: {{Code|kod}} {{LinkPatrz|kod|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, co na podstawie tej wspomnianej funkcji uzyskujemy je, jako szablonowy kod bazy zakodowanego tekstu. Jak funkcja znalazła ten szablon, to zwraca dwie wartości, napisane we wstępie po nagłówku według {{Patrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}: <syntaxhighlight lang="lua"> return liczba_koniec_szablon,norma_kodu; </syntaxhighlight> Opis parametrów zwracanych: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|liczba_koniec_szablon}} | _1 = Numer znaku wyszukanego kodu szablonu licencji: {{s|Licencja}}. | 2 = {{Code|norma_kodu}} | _2 = Norma kodu tego według z: {{LinkPatrz|norma kodu}}, tego wyszukanego szablonu. }} Która jest odpowiednikiem sekwencji: {{LinkPatrz|ogólne zwracane parametry-p.KoniecStronyLicencja}}, tylko dla szablonów w specjalnej funkcji wybierającej typy szablonowe tylko szablonów, napisaną w niej, a właściwie są wybierane tylko jednego typu szablony z tablicy, o definicji {{Patrz|p.szablony_licencji}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_licencji={ ["Licencja"]=true, }; </syntaxhighlight> A kod według czego jest to robione jest: <syntaxhighlight lang="lua"> ---- Funkcja wśród nazw szablonów, wybiera tylko jedną nazwę: Licencja, i na podstawie tego zwraca dane, lub ta specjalna funkcja nic nie zwraca, ale się zatrzymuje, i dlatego pętla nadrzedna wie, ze ma dalej wyszukiwać kolejne takie twory, a więc i szablony; if(stronicowyparser_obiekty_modul.szablony_licencji[nazwa_szablonu])then return liczba_koniec_szablon,szablonowe_modul.NormaKoduKodowaniaTekstu(obiekt,kod); end; </syntaxhighlight> Widzimy, że w niej są tylko wybierane szablony o nazwie dedykowane tabelą: {{LinkPatrz|p.szablony_licencji}}, na podstawie uzyskanej nazwy szablonu. == {{Śródtytuł|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}}{{Code|p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy}} == Funkcja do korygowania tekstu {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}} spisu treści z wydzielonego z: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}}, poza tą funkcją, za pomocą jego początku i końca punktu w tym początkowym tekście. Ten tekst, jest korygowany przez tą funkcję, z elementami bibliografii (a te pierwsze tylko linki z bieżącej książki są zostawiane, a dalsze są też zostawiane) i literatury (a tutaj tak samo jak z pierwszymi, z artykułami bieżącej książki, a dalsze są usuwane). W przypadku bibliografii, tylko szablony licencji i przypisów, czyli te elementy {{ZobaczTeż|specjalne szablony}} są zostawiane, a dalsze są usuwane, w przypadku literatury szablony wszystkie są usuwane. Pozostałe części, które z tych elementów zostają przez tą funkcję usunięte, czyli zastąpione zostają ciągiem pustym, czyli są usunięte inaczej mówiąc. Elementy bibliografii i literatury mieszczą się w pewnych zdefiniowanym osobnych rozdziałach, które znajdują się w spisie książki, i są to pewne napisy wprowadzenia tekstu z tymi osobnymi tekstami rozdziałów, czego one dotyczą, co na podstawie tego wiemy, co w nich usuwamy, co zostawiamy, w ich, a te teksty, to właśnie modyfikujemy. Definicja skrótowa funkcji: <syntaxhighlight lang="lua"> function p.KorygowanieTekstuSpisuRzeczy(tekst,tab_wzor,nazwa_przestrzeni,nazwa_przestrzeni_ksiazki,nazwa_ksiazki,nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci,pelna_nazwa_spisu_tresci_szablonowa,tablica_analizy_obiektow_strony_dany_modul,tablica_danych_parametrow_szablonu_strony,tab_nazwa_spisow_przekierowaniowych)...end; </syntaxhighlight> Parametry funkcji: {{OpisParametrów | 1 = {{Code|tekst}} {{Patrz|tekst}} | _1 = część wydzielonego tekstu z całości: {{Code|tekst_rozwiniety_calego_artykulu}} {{LinkPatrz|tekst_rozwiniety_calego_artykulu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}, | 2 = {{Code|tab_wzor}} {{Patrz|tab_wzor}} | _2 = Tablica dwuwymiarowa, składająca się ze wzoru rozdziału i drugiej wartości logicznej: {{Code|true/false}}, czy ma dalsze linki i szablony (tutaj szablony: {{LinkZobaczTeż|specjalne szablony}}) zostawiać, a które już nie, w wydzielonym tekście: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, | 3 = Parametry z sekcji: {{LinkZobaczTeż|Parametry zakodowanego spisu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy}}. | komórka3 = tak }} Wartość zwracana: {{OpisParametrów | 1 = Jest to zmodyfikowana wartość tekstu: {{Code|tekst}} {{LinkPatrz|tekst}}, wydzielonego poza tą funkcją z tekstu artykułu zakodowanego, z elementami biliografii lub literatury, w którym usuwaliśmy pewne elementy. | komórka1 = tak }} Ten wzor do wydzielania tekstu z drugą wartością logiczną, jest w tablicy, dla: {{Code|{{sr|#p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe|p=StronicowyParser/obiekty}}}}, a przytaczamy tutaj jego definicję {{Patrz|p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe}}: <syntaxhighlight lang="lua"> p.tablica_nazw_wprowadzenia_tekstu_generalnego_spisu_rzeczy_woluminu_dodatkowe={ [1]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Ll][Ii][Tt][Ee][Rr][Aa][Tt][Uu][Rr][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",false,}, [2]={"[ _\t]*'*[ _\t]*[Bb][Ii][Bb][Ll][Ii][Oo][Gg][Rr][Aa][Ff][Ii][Aa][ _\t]*'*[ _\t]*:?[ _\t]*'*[ _\t]*",true,}, }; </syntaxhighlight> Poszczególne elementy tej tablicy, tzn. elementy numerowane, są to pojedyncze tablice o nazwie: {{Code|tab_wzor}} {{LinkPatrz|tab_wzor}}, wsadzane jako drugi parametr naszej funkcji. Przed korygowaniem tekstu spisu treści, szablon korzysta z funkcji do znajdowania odpowiedniego nagłówka dodatniego, niezależnie jakiego, od pierwszej pozycji tego wydzielonego tekstu, zdefiniowanego w: {{LinkŚródtytuł|p.WprowadzenieTekstuCentrowaneZnacznikowoSzablonowoLubDodatnie|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom IV}} {{Patrz|nagłówek_dodatni}}, a jeżeli tam jego nie znalazł, to je szuka w zerowych rozdziałach według: {{LinkŚródtytuł|p.ZnajdowanieZerowegoNapisuWprowadzeniaTekstu|StronicowyParser/AnalizaSpisuRzeczy/Tom III}} {{Patrz|nagłówek_zerowy}}. Jak znalazł dane tych nagłówków, za pomocą tego pierwszego, jak nie znalazł, to według drugiego sposobu, to szuka następnych nagłówków, po końcu wyszukania udanego wcześniejszego, jeżeli znalazł według tego pierwszego, to szuka parametrów według nagłówka podobnego, czyli też dodatniego, ale dowolnego, a jak znalazł to zerowe, zamiast dodatniego, to szuka nagłówka końcowego na dwa możliwe sposoby, sposób pierwszy: {{LinkPatrz|nagłówek_dodatni}} - nagłówek dodatni, i {{LinkPatrz|nagłówek_zerowy}} - nagłówek zerowy, i znajduje ten wcześniejszy, i na podstawie tego mamy treści, z którego możemy wydzielić tekst przed tym napisem wprowadzenia tekstu i po, jak i to pomiędzy. To pomiędzy, czyli tekst, który dotyczy rozdziału: '''Bibliografia''' lub '''Literatura''', modyfikujemy ich tekst rozdziału, a na samym końcu po korekcji łączymy te trzy tekstu w jeden wielki tekst i zwracamy przez tą funkcję. W nagłówku '''Bibliografia''' funkcja uwzględnia szablony: przypisów jak: {{s|Przypisy}}, licencji jak: {{s|Licencja}}, definicje tych tabel są: * Szablonów przypisów, która uwzględnia wiele rodzajów przypisów różnego rodzaju, jak przypisy bibliograficzne (szablon: {{s|Przypisy}} i {{s|Przypisy-lista}}) i rzeczowe (szablon: {{s|Uwagi}}), są one zdefiniowane przy pomocy modułu {{m|Przypisy}}, tzn.: <syntaxhighlight lang="lua"> p.szablony_przypisowe={ ["Przypisy"]=true, ["Uwagi"]=true, ["Przypisy-lista"]=true, }; </syntaxhighlight> * Szablonów licencji, która uwzględnia na razie tylko jeden rodzajów licencji, są one zdefiniowane przy pomocy modułu: {{Code|{{m|Licencja}}}}, tzn.: {{Code|{{sr|#p.szablony_licencji|p=StronicowyParser/obiekty}}}} {{LinkPatrz|p.szablony_licencji}}. {{BrClear}} <noinclude><!-- -->{{ProstaStronaKoniec}}<!-- -->{{Kategoria|Opisy funkcji, w Lua w Scribunto, w modułach}}<!-- --></noinclude> bfkqjrt4ln8gqlgyt829vq19yessbwy 0 64135 559057 554909 2026-10-11T01:11:14Z Persino 2851 559057 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> * '''Układem odniesienia''' to uporządkowany zbiór osi współrzędnych, względem których opisujemy położenie oraz zmiany położenia ciał fizycznych. W jego środku umieszcza się ciało odniesienia, które pełni rolę punktu bazowego. Wszystkie wielkości kinematyczne — takie jak położenie, prędkość czy przyspieszenie — są określane właśnie względem tego układu.to uporządkowany zbiór osi współrzędnych, względem których opisujemy położenie oraz zmiany położenia ciał fizycznych. W jego środku umieszcza się '''ciało odniesienia''', które pełni rolę punktu bazowego. Wszystkie wielkości kinematyczne — takie jak położenie, prędkość czy przyspieszenie — są określane właśnie względem tego układu. * '''Wektorem wodzącym''' to wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych, którego koniec wskazuje aktualne położenie danego ciała. Wektor ten jednoznacznie określa pozycję obiektu w przestrzeni i stanowi podstawową wielkość wykorzystywaną w opisie ruchu. * '''Ruchem nazywamy''' definiujemy jako zmianę wektora wodzącego w czasie względem wybranego układu odniesienia. Oznacza to, że ciało wykonuje ruch, jeśli jego położenie nie pozostaje stałe, lecz ulega ciągłym lub dyskretnym zmianom w kolejnych chwilach czasu. == Kinematyka == Wprowadźmy sobie układ współrzędnych w przestrzeni euklidesowej, w którym wersory bazowe są do siebie ortogonalne i unormowane, tzn. spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego oraz definicji normy wektora. Ortogonalność oznacza, że iloczyn skalarny dowolnych dwóch różnych wersorów jest równy zeru, natomiast unormowanie oznacza, że długość każdego wersora jest równa jedności. Taki układ współrzędnych nazywamy układem ortonormalnym i jest on standardowym narzędziem w mechanice klasycznej, analizie wektorowej oraz w geometrii różniczkowej. Dzięki temu możemy w prosty sposób interpretować współrzędne jako rzuty na wzajemnie prostopadłe kierunki. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x^2=\vec{e}_y^2=\vec{e}_z^2=1\;</MATH>|1.1}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{e}_x\cdot\vec{e}_y=\vec{e}_x\cdot\vec{e}_z=\vec{e}_y\cdot\vec{e}_z=0\;</MATH>|1.2}} }} Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących ruch naszego ciała w układzie współrzędnych. Wektor wodzący {{Formuła|<MATH>\vec{r}(t)</MATH>}} jest funkcją czasu i można go zapisać jako kombinację liniową wersorów bazowych {{Formuła|<MATH>\vec{e}_x</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_y</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec{e}_z</MATH>}}, gdzie współczynniki tej kombinacji są współrzędnymi punktu w danym układzie. W ten sposób opisujemy położenie cząstki w przestrzeni w każdej chwili czasu. {{CentrujWzór|<math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.3}} Krzywa, wzdłuż której porusza się cząstka, jest torem punktu, inaczej zwaną trajektorią. Trajektoria jest zbiorem wszystkich położeń cząstki w kolejnych chwilach czasu i stanowi podstawowy obiekt geometryczny w kinematyce. Aby opisać elementarną długość tej krzywej, rozważamy małą infinitezymalną część toru. Zgodnie z metryką euklidesową, kwadrat długości takiego infinitezymalnego odcinka wyraża się jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian poszczególnych współrzędnych. {{CentrujWzór|<MATH>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\;</MATH>|1.4}} Prędkością punktu nazywamy prędkość określoną jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie {{LinkWzór|1.3}} względem czasu. Wektor prędkości {{Formuła|<MATH>\vec{v}(t)</MATH>}} opisuje szybkość zmiany położenia cząstki oraz kierunek tej zmiany. Jego długość jest wartością prędkości, natomiast kierunek jest styczny do trajektorii w danym punkcie. W zapisie współrzędnym prędkość jest sumą pochodnych współrzędnych pomnożonych przez odpowiednie wersory bazowe. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=\dot{x}(t)\vec{e}_x+\dot{y}(t)\vec{e}_y+\dot{z}(t)\vec{e}_z\;</MATH>|1.5}} Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości {{LinkWzór|1.5}} oraz drugą pochodną wektora wodzącego {{LinkWzór|1.3}} względem czasu. Wektor przyspieszenia {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} opisuje zmiany prędkości — zarówno jej wartości, jak i kierunku. Jest to wielkość fundamentalna w dynamice, ponieważ zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona przyspieszenie jest bezpośrednio związane z działającymi na cząstkę siłami. W zapisie współrzędnym przyspieszenie jest sumą drugich pochodnych współrzędnych pomnożonych przez wersory bazowe. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}=\ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z\;\;</MATH>|1.6}} === Przyspieszenie styczne i dośrodkowe === Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki, używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}</MATH>}} do toru. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}</MATH>}} jest wektorem jednostkowym, tzn. jego długość jest równa jedności, a kierunek jest styczny do trajektorii cząstki w rozważanym punkcie. Dzięki temu opisuje wyłącznie kierunek ruchu, natomiast informacja o szybkości ruchu jest zawarta w skalarnej wartości prędkości {{Formuła|<MATH>v</MATH>}}. Rozdzielenie prędkości na wartość skalarną i kierunek wektorowy pozwala w przejrzysty sposób analizować zarówno zmiany szybkości, jak i zmiany kierunku ruchu. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=v\vec{\tau}\;</MATH>|1.7}} Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.7}} względem czasu. Ponieważ wektor prędkości jest iloczynem skalarnej wartości prędkości {{Formuła|<MATH>v</MATH>}} oraz wektora jednostkowego stycznego {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}</MATH>}}, jego pochodna składa się z dwóch składników: pochodnej wartości prędkości oraz pochodnej wektora {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}</MATH>}}. Pierwszy składnik opisuje zmiany szybkości ruchu (przyspieszenie lub opóźnienie), natomiast drugi składnik opisuje zmiany kierunku ruchu cząstki. W ten sposób przyspieszenie naturalnie dzieli się na część styczną i część normalną. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\dot{v}\vec{\tau}+v\dot{\vec{\tau}}\;</MATH>|1.8}} Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka. Okrąg ten jest lokalnym przybliżeniem trajektorii i pozwala opisać krzywiznę toru. Wykorzystując fakty, że {{Formuła|<MATH>{{d\vec\tau}\over{d\theta}}=-\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec e_{\rho}=\vec n\;</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} jest wersorem stycznym do okręgu, a {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\rho}</MATH>}} (czyli {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}) jest wersorem normalnym, skierowanym do środka okręgu, możemy skorzystać z wyników podanych w punkcie {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i zapisać pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec{\tau}</MATH>}} względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{\tau}}={{d\vec{\tau}}\over{dt}}={{d\vec{e}_{\theta}}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=-\vec{e}_{\rho}{{dl}\over{Rdt}}=-\vec{e}_{\rho}{{v}\over{R}}=-\vec{n}{{v}\over{R}}\;</MATH>|1.9}} Z powyższego wzoru wynika, że zmiana kierunku ruchu cząstki jest zawsze skierowana w stronę wektora normalnego {{Formuła|<MATH>\vec{n}</MATH>}}, a jej wartość jest proporcjonalna do prędkości {{Formuła|<MATH>v</MATH>}} oraz odwrotnie proporcjonalna do promienia krzywizny {{Formuła|<MATH>R</MATH>}}. Im mniejszy jest promień krzywizny toru, tym większa jest zmiana kierunku ruchu, co odpowiada bardziej „ciasnemu” zakrętowi. Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.9}}, możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie {{LinkWzór|1.8}} możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe. Przyspieszenie styczne {{Formuła|<MATH>\dot{v}\vec{\tau}</MATH>}} odpowiada za zmianę wartości prędkości, natomiast przyspieszenie dośrodkowe {{Formuła|<MATH>-{{v^2}\over{R}}\vec{n}</MATH>}} odpowiada za zmianę kierunku ruchu cząstki przy zachowaniu jej prędkości. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\dot{v}\vec{\tau}-{{v^2}\over{R}}\vec{n}\;</MATH>|1.9a}} === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym === Napiszmy teraz, jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.18|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}. Rozważamy cylindryczny układ współrzędnych {{Formuła|<MATH>(\rho,\theta,z)</MATH>}}, w którym położenie punktu opisujemy za pomocą promienia {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}}, kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} oraz współrzędnej {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} wzdłuż osi. W takim układzie wersory bazowe {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec{e}_z</MATH>}} zależą od położenia punktu, a w szczególności od kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}. Oznacza to, że zmiana położenia cząstki w czasie powoduje nie tylko zmianę jej współrzędnych, lecz także zmianę kierunków wersorów bazowych. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r=\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.10}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\dot{\theta}\vec{e}_r\;</MATH>|1.11}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{\vec{e}}_{z}=0\;</MATH>|1.12}} }} Powyższe zależności pokazują, że w cylindrycznym układzie współrzędnych wersory {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} zmieniają się w czasie w sposób związany z ruchem obrotowym wokół osi {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}. Pochodna wersora radialnego {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} jest skierowana w stronę wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}}, natomiast pochodna wersora stycznego {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} jest skierowana przeciwnie do wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}}. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e}_z</MATH>}} pozostaje niezmienny, co odzwierciedla fakt, że kierunek osi {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} jest stały i niezależny od ruchu obrotowego w płaszczyźnie {{Formuła|<MATH>(\rho,\theta)</MATH>}}. Zależności te są kluczowe przy wyznaczaniu prędkości i przyspieszenia w układzie cylindrycznym. === Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym === Weźmy teraz, jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru {{LinkWzór|7.23|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i {{LinkWzór|7.29|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}. Rozważamy kulisty układ współrzędnych, w którym położenie punktu opisujemy za pomocą promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}, kąta biegunowego {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} oraz kąta azymutalnego {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}. W takim układzie wersory bazowe {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\phi}</MATH>}} zależą od położenia punktu, a w szczególności od kątów {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}. {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_r={{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\;</MATH>|1.13}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\phi}={{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_{\phi}}\over{\partial\phi}}{{d\phi}\over{dt}}=\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\;</MATH>|1.14}} }} Dalszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} względem parametru czasowego „t”, co można rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych. Zakładamy, że pochodna ta może być przedstawiona jako kombinacja liniowa wersorów bazowych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=\alpha\vec{e}_r+\beta\vec{e}_{\theta}+\gamma\vec{e}_{\gamma}\;</MATH>|1.15}} Napiszmy, czemu jest równa pochodna zupełna wielkości {{Formuła|<math>\vec{e}_{\theta}\;</MATH>}} według {{LinkWzór|7.26|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej. Pochodna zupełna wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} względem czasu wyraża się jako suma pochodnych cząstkowych względem kątów {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} pomnożonych przez odpowiednie pochodne tych kątów względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{e}_{\theta}={{\partial \vec{e}_{\theta}}\over{\partial\theta}}\dot{\theta}+{{\partial\vec{e}_{\theta}}\over{\partial\phi}}\dot{\phi}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0]\;</MATH>|1.16}} Mając wzór {{LinkWzór|1.15}}, wyznaczmy stałe {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\beta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\gamma</MATH>}}, które wyznaczymy, korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne. Współczynniki te otrzymujemy, rzutując pochodną {{Formuła|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}</MATH>}} na kolejne wersory bazowe: {{CentrujWzór|<MATH>\alpha=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_r)=\dot{\theta}=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\sin\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\phi]=-\dot{\theta}\sin\phi\;</math>|1.17}} {{CentrujWzór|<MATH>\beta=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\theta})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][-\sin\theta,\cos\theta,0]=0\;</MATH>|1.18}} {{CentrujWzór|<MATH>\gamma=(\dot{\vec{e}}_{\theta},\vec{e}_{\phi})=\dot{\theta}[-\cos\theta,-\sin\theta,0][\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,-\sin\phi]=-\dot{\theta}\cos\phi\;</MATH>|1.19}} Biorąc wnioski {{LinkWzór|1.17}}, {{LinkWzór|1.18}}, a także {{LinkWzór|1.19}}, możemy napisać tożsamość {{LinkWzór|1.15}} w postaci jawnej, która pokazuje, jak pochodna wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} rozkłada się na składowe w kierunkach wersorów kulistego układu współrzędnych: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{\vec{e}}_{\theta}=-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\;</MATH>|1.20}} === Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą zależności, która opisuje położenie punktu materialnego jako kombinację wersora radialnego {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} oraz wersora osiowego {{Formuła|<MATH>\vec{e}_z</MATH>}}. Współrzędne {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} określają odpowiednio odległość punktu od osi oraz jego wysokość względem płaszczyzny odniesienia. {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r+z\vec{e}_z\;</MATH>|1.21}} Korzystając przy tym z definicji wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} {{LinkWzór|7.12|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} {{LinkWzór|7.15|Operatory_różniczkowe|Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, prędkość ciała w układzie krzywoliniowym jest pochodną wektora wodzącego względem czasu. Ponieważ wersor {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} zależy od kąta {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, pojawia się dodatkowy składnik związany ze zmianą kierunku tego wersora: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho{{d\vec{e}_r}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}+\dot{z}\vec{e}_z=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.22}} Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy pochodną wielkości {{LinkWzór|1.22}} względem czasu. Pochodna ta uwzględnia zarówno zmiany współrzędnych, jak i zmiany wersorów bazowych. W efekcie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{\rho}\vec{e}_r+\dot{\rho}\dot{\theta}\vec{e}_{\theta}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\vec{e}_{\theta}-\rho\dot{\theta}^2\vec{e}_r+\ddot{z}\vec{e}_r= (\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}+\ddot{z}\vec{e}_z\;</MATH>|1.23}} Układ współrzędnych radialny różni się od układu współrzędnych cylindrycznego tym, że w pierwszym z nich zawsze zachodzi {{Formuła|<MATH>z=0</MATH>}}. Oznacza to, że ruch odbywa się wyłącznie w płaszczyźnie, a współrzędna osiowa nie występuje. W takim przypadku wzory {{LinkWzór|1.21}}, {{LinkWzór|1.22}} i {{LinkWzór|1.23}} dla układu radialnego możemy przepisać w uproszczonej postaci: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\rho\vec{e}_r\;</MATH>|1.24}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{e}_r+\rho\dot{\theta}\vec{e}_{\phi}\;</MATH>|1.25}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{e}_r+(\rho\ddot{\phi}+2\dot{\rho}\dot{\theta})\vec{e}_{\theta}\;</MATH>|1.26}} }} Wzory te opisują ruch w płaszczyźnie polarnej, gdzie wersory {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} zmieniają się wraz z kątem {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, a prędkość oraz przyspieszenie mają naturalny podział na składowe radialne i styczne. === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych === Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu, który odzwierciedla geometryczną strukturę tego układu. W kulistym układzie współrzędnych położenie punktu materialnego opisujemy za pomocą promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}, kąta biegunowego {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} oraz kąta azymutalnego {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}. Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} jest wersorem radialnym, skierowanym od początku układu współrzędnych w stronę punktu. Ponieważ położenie punktu jest zawsze na promieniu wychodzącym z początku, wektor wodzący można zapisać jako iloczyn promienia i wersora radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\vec{e}_r\;</MATH>|1.27}} Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości {{LinkWzór|1.27}} względem czasu. Ponieważ wektor {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} zależy od kątów {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}, jego pochodna względem czasu zawiera dodatkowe składniki związane ze zmianą kierunku wersora radialnego. Korzystając z twierdzenia o różniczce zupełnej oraz z zależności dla pochodnych wersora {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} względem kątów, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\vec{e}_r}=\dot{r}\vec{e}_r+r\left({{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \theta}}{{d\theta}\over{dt}}+{{\partial\vec{e}_r}\over{\partial \phi}}{{d\phi}\over{dt}}\right)=\dot{r}\vec{e}_r+r\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)\;</MATH>|1.28}} Przyspieszeniem w rozważanym tutaj układzie współrzędnych nazywamy pochodną zupełną prędkości ciała {{LinkWzór|1.28}} względem czasu. Pochodna ta musi uwzględniać zarówno zmiany współrzędnych {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\theta</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}, jak i zmiany wersorów bazowych {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\phi}</MATH>}}. Rozpisując pochodną krok po kroku, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\dot{\vec{e}}_r+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+r\left[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\dot{\vec{e}}_{\theta}+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\dot{\phi}\dot{\vec{e}}_{\phi}\right]=\;</MATH>{{Br}}<MATH> =\ddot{r}\vec{e}_r+\dot{r}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\sin\phi+\vec{e}_{\phi}\dot{\phi}\right)+\dot{r}\left(\dot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\phi}e_{\phi}\right)+ r\Big[\ddot{\theta}\sin\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\vec{e}_{\theta}+\dot{\theta}\sin\phi\left(-\vec{e}_r\sin\phi\dot{\theta}-\vec{e}_{\phi}\cos\phi\dot{\theta}\right)+\ddot{\phi}\vec{e}_{\phi}+\;</MATH>{{Br}}<MATH>+\dot{\phi}\left(\vec{e}_{\theta}\dot{\theta}\cos\phi-\vec{e}_{r}\dot{\phi}\right)\Big] </MATH>|1.29}} Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.29}}, możemy powiedzieć, że przyspieszenie w układzie kulistym można zapisać w postaci złożonej z trzech składowych, każdej w kierunku jednego z wersorów bazowych: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{a}=\left(\ddot{r}-r\ddot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin^2\phi\right)\vec{e}_r+\left(r\ddot{\theta}\sin\phi+2\dot{r}\dot{\theta}\sin\phi+2r\dot{\theta}\dot{\phi}\cos\phi\right)\vec{e}_{\theta}+\left(r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}-r\dot{\theta}^2\sin\phi\cos\phi\right)\vec{e}_{\phi}</MATH>|1.30}} Pierwsza składowa, w kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}}, opisuje przyspieszenie radialne, druga — w kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\theta}</MATH>}} — przyspieszenie związane ze zmianą kąta biegunowego, a trzecia — w kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{e}_{\phi}</MATH>}} — przyspieszenie związane ze zmianą kąta azymutalnego. Razem tworzą one pełny opis przyspieszenia w kulistym układzie współrzędnych, uwzględniający zarówno dynamikę ruchu, jak i geometrię przestrzeni. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> qwdku9cellq9v0oatmv73rtz6gj6rru 0 64136 559056 557436 2026-10-11T01:09:19Z Persino 2851 559056 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zasady dynamiki Newtona == Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele '''Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'''. Dzieło to, opublikowane w 1687 roku, stanowi fundament całej mechaniki klasycznej i jest jednym z najważniejszych traktatów naukowych w historii fizyki. Newton zebrał w nim wcześniejsze osiągnięcia Galileusza, Keplera oraz Huygensa, a następnie uogólnił je, tworząc spójny matematyczny opis ruchu ciał w przestrzeni. Jego zasady dynamiki nie tylko wyjaśniają, dlaczego ciała poruszają się w określony sposób, lecz także pozwalają przewidywać ich ruch na podstawie równań różniczkowych wynikających z działania sił. Pierwsza zasada dynamiki Newtona została pierwotnie sformułowana przez Galileo Galilei, który zauważył, że ciało pozbawione oddziaływań zewnętrznych nie zmienia swojego stanu ruchu. Newton powtórzył tę zasadę, nadając jej pełne znaczenie w kontekście układów inercjalnych oraz włączając ją w system trzech fundamentalnych praw opisujących ruch. Zasada ta jest kluczowa, ponieważ definiuje pojęcie układu odniesienia, w którym obowiązują pozostałe prawa dynamiki. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona, które tworzą kompletny i logiczny system opisu ruchu: * '''Pierwsza zasada dynamiki''' — opisuje zachowanie ciała w przypadku braku sił lub równowagi sił; definiuje układ inercjalny. * '''Druga zasada dynamiki''' — wprowadza ilościowy związek między siłą działającą na ciało a jego przyspieszeniem; jest podstawą równań ruchu. * '''Trzecia zasada dynamiki''' — opisuje wzajemność oddziaływań między ciałami; każdej akcji odpowiada reakcja o przeciwnym zwrocie. W kolejnych podrozdziałach rozwiniemy każdą z tych zasad zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego, zachowując pełną spójność z wcześniejszymi definicjami kinematycznymi oraz z matematycznym aparatem opisującym pęd, moment pędu, siłę i moment siły. ==== Pierwsza zasada dynamiki Newtona ==== Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego. Zasada ta, zwana także zasadą bezwładności, opisuje zachowanie ciała w sytuacji, gdy nie działają na nie żadne siły zewnętrzne lub gdy wszystkie siły działające na ciało wzajemnie się równoważą. W takim przypadku ciało zachowuje swój dotychczasowy stan ruchu: jeśli pozostawało w spoczynku, nadal pozostaje w spoczynku, a jeśli poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym, kontynuuje ten ruch bez zmiany prędkości i kierunku. Zasada ta jest fundamentem definicji układu inercjalnego, czyli takiego układu odniesienia, w którym prawa dynamiki przyjmują najprostszą postać i w którym można poprawnie stosować pozostałe zasady Newtona zarówno dla ruchu liniowego, jak i obrotowego. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oznacza to, że jego prędkość liniowa nie ulega zmianie ani pod względem wartości, ani kierunku. Zasada ta opisuje fundamentalną właściwość ruchu w układach inercjalnych: brak niezrównoważonej siły oznacza brak przyspieszenia. W praktyce jest to wyraz bezwładności ciała, czyli jego naturalnej tendencji do zachowania dotychczasowego stanu ruchu. Jeżeli ciało już się porusza, będzie kontynuowało ten ruch bez żadnych zmian, dopóki nie pojawi się siła, która ten ruch zmieni. Jeżeli ciało pozostaje w spoczynku, pozostanie w nim, dopóki nie zadziała siła, która wprawi je w ruch. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa {{LinkWzór|1.31}} ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku. Z równania {{Formuła|<MATH>\vec F=m\vec a</MATH>}} wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec F=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec a=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość {{Formuła|<MATH>\vec v</MATH>}} jest stała w czasie, co prowadzi do ruchu jednostajnego prostoliniowego lub spoczynku jako szczególnego przypadku ruchu jednostajnego. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której siła wypadkowa jest równa zeru. ===== Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym. Zasada ta jest obrotowym odpowiednikiem zasady bezwładności dla ruchu liniowego i opisuje naturalną tendencję ciała do zachowania swojego stanu obrotu. Jeżeli ciało nie jest poddawane żadnemu momentowi siły, nie ma fizycznej przyczyny, aby zmieniać swoją prędkość kątową. W konsekwencji ciało pozostaje w spoczynku obrotowym lub kontynuuje obrót ze stałą prędkością kątową wokół ustalonej osi. Warto zauważyć, że w ruchu obrotowym rolę „masy bezwładnościowej” pełni tensor momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, który opisuje, jak trudno jest zmienić stan obrotu ciała w zależności od jego kształtu i rozkładu masy. Im większy moment bezwładności względem danej osi, tym trudniej zmienić prędkość obrotową ciała. Zasada ta jest więc kluczowa dla zrozumienia dynamiki brył sztywnych, ruchu planet, wirujących układów mechanicznych oraz zjawisk takich jak stabilizacja żyroskopowa. '''Dowód:''' Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa {{LinkWzór|P1ab}} ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się. Z równania ruchu obrotowego: {{Formuła|<MATH>\vec N={{d\vec L}\over{dt}}={{d(I\vec{\omega})}\over{dt}}=\hat I{{d{\vec\omega}}\over{dt}}=\hat I\dot{\vec\omega}=I\vec\varepsilon</MATH>}}, wynika, że jeśli {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec 0</MATH>}}, to {{Formuła|<MATH>\vec{\varepsilon}=\dot{\vec\omega}=\vec 0</MATH>}}. Oznacza to, że prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\vec\omega</MATH>}} jest stała w czasie. W ten sposób pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego jest szczególnym przypadkiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla sytuacji, w której moment siły wypadkowej jest równy zeru. ==== Druga zasada dynamiki Newtona ==== Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego. Druga zasada dynamiki jest podstawowym równaniem ruchu w mechanice klasycznej, ponieważ określa ilościowy związek między działającą na ciało siłą lub momentem siły a zmianą jego ruchu. W ruchu liniowym zasada ta wiąże siłę z przyspieszeniem oraz pędem ciała, natomiast w ruchu obrotowym wiąże moment siły z przyspieszeniem kątowym oraz momentem pędu. Dzięki temu możliwe jest przejście od opisu kinematycznego, który jedynie opisuje ruch, do opisu dynamicznego, który wyjaśnia jego przyczyny. W kolejnych podrozdziałach pokażemy, jak z ogólnych zależności różniczkowych otrzymujemy klasyczne równania ruchu Newtona dla obu typów ruchu. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego ===== Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej: przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, jest wprost proporcjonalne do działającej siły i odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała. Wielkość masy występująca we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową, ponieważ opisuje ona odporność ciała na zmianę ruchu. Im większa masa, tym mniejsze przyspieszenie wywołuje dana siła, co jest bezpośrednim wyrazem bezwładności. Zależność tę formułujemy w postaci równania wektorowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m\vec{a}\Rightarrow \vec F={{d\vec p}\over{dt}}\wedge \vec p=m\vec v\;</MATH>|1.31}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec p</MATH>}} jest pędem ciała i opisuje ilość ruchu, jaką ciało posiada. Zapis {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} oznacza, że siła jest miarą szybkości zmiany pędu w czasie. Dzięki temu druga zasada dynamiki Newtona stanowi pomost między opisem kinematycznym a dynamicznym: pozwala nie tylko opisać ruch, lecz także wyjaśnić jego przyczyny. '''Dowód:''' Udowodnijmy prawo {{LinkWzór|1.31}}. Rozwińmy funkcję {{Formuła|<MATH>f(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej, pisząc jej różniczkę. Zakładamy, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu oraz powinny być takie same dla każdej osi, co jest treścią zasady niezmienniczości drugiej zasady dynamiki Newtona w układach inercjalnych. Wtedy, z definicji różniczki zupełnej, przyjmujemy, że wielkość {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)\;</MATH>}} dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci pewną macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}, stałą w czasie i przestrzeni, która jest niezmiennikiem transformacji i charakteryzuje dane ciało. Jak pokażemy, macierz ta jest równoważna masie pomnożonej przez macierz jednostkową. Ponadto zakładamy, że {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} jest siłą, a postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi. Rozkładając funkcję {{Formuła|<MATH>d\vec f\;</MATH>}} w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły dodatkowe człony mogą odpowiadać siłom takim jak tarcie czy opór ośrodka, możemy na początku pominąć te człony, aby otrzymać najprostszą postać równania ruchu. Pochodną wektora {{Formuła|<MATH>\vec f\;</MATH>}} względem czasu nazywamy siłą: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)d\vec r+\vec f^'_{\vec v}(t,\vec r,\vec v)d\vec v\Rightarrow\vec F={{d\vec f}\over{dt}}=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)+\vec f^'_{\vec r}(t,\vec r,\vec v)\vec v+M\vec a\Rightarrow \vec F=M\vec a\;</MATH>|P1}} W {{LinkWzór|P1}} pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie {{Formuła|<MATH>\vec f^'_{\vec r}(\vec r,\vec v)\neq 0\;</MATH>}}. Ten człon może odpowiadać siłom zależnym od położenia, takim jak siła sprężystości czy grawitacji. Kluczowe jest jednak to, że człon proporcjonalny do przyspieszenia opisany macierzą {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} ma postać niezmienniczą względem transformacji inercjalnych, co prowadzi do wniosku, że {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}, a więc siła jest proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie bezwładnościowej. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F=C_pM\vec a=C_pMC_{p}^{-1}C_p\vec a=C_pMC_{p}^{-1}\vec a^'\Rightarrow M=C_pMC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;</MATH>|P1a}} Powyższa transformacja opisuje, jak wektor siły powinien zmieniać się przy przejściu z jednego układu inercjalnego do drugiego. Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} reprezentuje transformację obrotową układu współrzędnych, a więc jest macierzą ortogonalną, która zachowuje długości i kąty. Wymagamy, aby równanie ruchu miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym — jest to zasada niezmienniczości praw fizyki. * Zaczynamy od transformacji siły: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_p\vec F</MATH>}}, a następnie podstawiamy jej postać z równania ruchu: {{Formuła|<MATH>\vec F=M\vec a</MATH>}}. * Po wykonaniu transformacji otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=C_pM\vec a</MATH>}}. * Jednocześnie przyspieszenie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec a'=C_p\vec a</MATH>}}. * Aby równanie ruchu zachowało swoją formę, musi zachodzić: {{Formuła|<MATH>\vec F^'=M\vec a'</MATH>}}. * Porównując obie postacie, otrzymujemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pM\vec a = M C_p\vec a</MATH>}}. * Ponieważ równanie to musi być prawdziwe dla dowolnego wektora {{Formuła|<MATH>\vec a</MATH>}}, otrzymujemy warunek na macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>M=C_pMC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>M=mI</MATH>}}. Oznacza to, że wielkość {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} jest skalarem — masą bezwładnościową — pomnożoną przez macierz jednostkową. Jest to kluczowy krok w wyprowadzeniu drugiej zasady dynamiki Newtona, ponieważ pokazuje, że masa jest niezmiennikiem transformacji inercjalnych i że siła musi być proporcjonalna do przyspieszenia z współczynnikiem równym masie. Na podstawie: {{LinkWzór|P1}} i {{LinkWzór|P1a}}, mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=mI\vec a\Rightarrow \vec F=m\vec a={{d\vec p}\over{dt}}\;</MATH>|P1b}} Otrzymany wynik pokazuje, że macierz {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} pełniąca rolę współczynnika przy przyspieszeniu musi być równa masie bezwładnościowej pomnożonej przez macierz jednostkową. Oznacza to, że siła działająca na ciało jest proporcjonalna do jego przyspieszenia, a współczynnikiem proporcjonalności jest masa — wielkość opisująca bezwładność ciała. W ten sposób otrzymujemy klasyczną postać drugiej zasady dynamiki Newtona, w której siła jest równa pochodnej pędu po czasie. Zapis ten jest całkowicie zgodny z zasadą niezmienniczości równań ruchu w układach inercjalnych i stanowi podstawę całej mechaniki klasycznej. Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w {{LinkWzór|P1}}, zatem: {{CentrujWzór|<MATH>Tdt=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)dt\Rightarrow T=\vec f^'_t(t,\vec r,\vec v)=-\mu N\vec e_x=-\mu N{{\vec v}\over{v}}\;</MATH>|P3a}} * gdzie w {{LinkWzór|P3a}} {{Formuła|<MATH>\vec e_x\;</MATH>}}, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu. Powyższy zapis opisuje siłę tarcia dynamicznego, która działa na ciało poruszające się po powierzchni. Współczynnik {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}} jest współczynnikiem tarcia kinetycznego, a {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oznacza siłę nacisku, z jaką ciało działa na podłoże. Iloczyn {{Formuła|<MATH>\mu N</MATH>}} określa wartość siły tarcia, natomiast wektor {{Formuła|<MATH>\vec e_x</MATH>}} (lub równoważnie {{Formuła|<MATH>{{\vec v}\over v}</MATH>}}) wyznacza jej kierunek — przeciwny do kierunku ruchu. Tarcie dynamiczne zawsze działa tak, aby zmniejszać prędkość ciała, czyli jest siłą oporową. Włączenie tego członu do równania ruchu pozwala opisać bardziej realistyczne sytuacje, w których ruch nie jest idealnie swobodny, lecz odbywa się w obecności oporów. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=B\vec{v}\Rightarrow \vec{F}^'=C_p\vec{F}=C_pB\vec{v}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{v}=C_pBC_p^{-1}\vec{v}^'\Rightarrow B=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow \vec{F}=-bm\vec{v}=-b\vec p\;</MATH>|P1a1}} Rozważamy tutaj siłę oporu ośrodka, która zależy liniowo od prędkości ciała. Zakładamy, że wektor siły ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=B\vec v</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest pewną macierzą (lub stałą), opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne miało taką samą postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu odniesienia siła transformowała się zgodnie z: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_p\vec F</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierzą transformacji (np. obrotu). * Podstawiając postać siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F'=C_pB\vec v</MATH>}}. * Z drugiej strony, w nowym układzie prędkość ma postać: {{Formuła|<MATH>\vec v'=C_p\vec v</MATH>}}, a więc siła powinna mieć tę samą strukturę: {{Formuła|<MATH>\vec F'=B\vec v'</MATH>}}. * Porównując oba wyrażenia, dostajemy warunek: {{Formuła|<MATH>C_pB\vec v = B C_p\vec v</MATH>}}, co prowadzi do równania: {{Formuła|<MATH>B=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do macierzy jednostkowej: {{Formuła|<MATH>B=-bmI</MATH>}}. Ostatecznie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec F=-bm\vec v=-b\vec p</MATH>}}, co oznacza, że siła oporu ośrodka jest wprost proporcjonalna do pędu ciała i skierowana przeciwnie do jego ruchu. Taki człon opisuje np. lepki opór w ośrodku, gdzie siła hamująca jest proporcjonalna do prędkości i działa przeciwnie do kierunku ruchu. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1}} wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Oznacza to, że im większy pęd ciała, tym większa jest siła oporu działająca przeciwnie do kierunku ruchu. Taki opis jest typowy dla oporu lepkiego, gdzie siła hamująca rośnie liniowo wraz z prędkością (a więc i pędem) i zawsze działa w kierunku przeciwnym do ruchu. Wzory: {{LinkWzór|P3a}} i {{LinkWzór|P1a1}} stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona {{LinkWzór|P1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{p}}\over{dt}}=\vec{F}=-\mu N{{\vec v}\over{v}}-b\vec{p}+\vec{F}_z\;</MATH>|P1a2}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu liniowego z uwzględnieniem siły tarcia dynamicznego oraz oporu ośrodka. Pierwszy człon {{Formuła|<MATH>-\mu N{{\vec v}\over v}</MATH>}} opisuje tarcie kinetyczne zależne od nacisku i kierunku ruchu, drugi człon {{Formuła|<MATH>-b\vec p</MATH>}} opisuje opór lepkiego ośrodka proporcjonalny do pędu, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec F_z</MATH>}} reprezentuje pozostałe siły zewnętrzne działające na ciało (np. grawitację, sprężystość). Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona pozwala opisać rzeczywisty ruch ciała w ośrodku, w którym występują opory i tarcie. Wzór {{LinkWzór|P1b}} jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości {{Formuła|<MATH>v<<c\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|1.31}}. Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego opiera się na analizie składowych ruchu wywołanych przez poszczególne siły. * Ale wiedząc, że {{Formuła|<MATH>v_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością, z jaką ciało by się poruszało, gdyby działała tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem {{Formuła|<MATH>f^'_{\vec v_i}(\vec r_j,\vec v_{j})\;</MATH>}} powinna być taka sama, niezależna od {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}, i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości. Wynika to z faktu, że gdyby pozostałe siły były równe zero (inne niż i-ta siła), to i-ta składowa ruchu spełnia wzór {{LinkWzór|P1b}}. Innymi słowy, każda pojedyncza siła powoduje przyspieszenie zgodne z drugą zasadą dynamiki, z tym samym współczynnikiem bezwładnościowym (masą). Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1}} w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>d\vec f=\sum_i\vec f_{\vec v_i}^'(\vec r_j, \vec v_{j})d\vec v_{i}=\sum_i mI \vec a_idt=\sum_im\vec a_i\Rightarrow {{d\vec f}\over{dt}}=\sum_im\vec a_{i}=\sum_i \vec F_{i}\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\;</MATH>|P1ab1}} Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}} siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił: całkowita siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało, a ruch wywołany przez każdą z nich może być rozpatrywany niezależnie, a następnie złożony zgodnie z zasadami algebry wektorowej. ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ===== Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1ab}} Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31}}. Związek ten jest obrotowym odpowiednikiem równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego: zamiast siły i pędu pojawia się moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} oraz moment pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. Oznacza to, że moment siły jest miarą szybkości zmiany momentu pędu w czasie, tak jak siła jest miarą szybkości zmiany pędu. Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Oznacza to, że całkowity moment siły działający na ciało jest sumą wektorową momentów poszczególnych sił, a jego wartość i kierunek zależą zarówno od wartości sił, jak i od ich ramion względem osi obrotu. Własność addytywności i wektorowego charakteru momentu siły wynika bezpośrednio z definicji {{Formuła|<MATH>\vec N=\vec r\times\vec F</MATH>}} oraz z liniowości działania sił. Wzór {{LinkWzór|P1ab}} jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale {{sr|#Zasada zachowania momentu pędu|p=Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|1.68|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}. Tam pokazano, że dla układu punktów materialnych moment pędu względem wybranej osi zmienia się pod wpływem momentu sił działających na układ, co prowadzi do ogólnej postaci równania ruchu obrotowego dla bryły sztywnej. '''Dowód:''' Wzór {{LinkWzór|P1ab}} i addytywność momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}} wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji {{Formuła|<MATH>\vec f(t,\vec \alpha, \vec\omega,\hat I)\;</MATH>}} względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu. Zakładamy, że pochodna {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\omega}(t,\vec \alpha,\omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci tensorem momentu bezwładności {{LinkWzór|7.21|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec {f^'}_{\hat I}(t,\vec \alpha, \omega, \hat I)\;</MATH>}} jest w najprostszej postaci prędkością obrotową. Wynika to ze wzoru na ruch obrotowy {{LinkWzór|P1ab}} oraz z definicji momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Ponadto {{Formuła|<MATH>{{df}\over{dt}}\;</MATH>}} interpretujemy jako moment siły działającej na ciało, pomijając dodatkowy człon będący momentem siły oporu i tarcia (np. od ośrodka), związany z wektorem kąta w iloczynie momentu siły i różniczki czasu. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt={{\vec f^'}_{t}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}dt+{{\vec f^'}_{\vec \alpha}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}d\vec\alpha+\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega}(t,\vec\alpha, \vec \omega, \hat I)}_{\hat I}d\vec\omega+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I}(t,\vec\alpha, \vec\omega, \hat I)}_{\vec \omega}d\hat I\Rightarrow\vec Ndt=\hat Id\vec\omega+\vec\omega d\hat I=\;</MATH>{{Br}}<MATH>={{d(\hat I\vec \omega)}\over{dt}}dt={{d(\hat I\omega)}\over {dt}}dt={{d\vec K}\over{dt}}dt\Rightarrow\vec N={{d\vec K}\over{dt}}\;</MATH>|P1b1}} Otrzymujemy w ten sposób ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest równy pochodnej momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}} po czasie. Zapis ten jest całkowicie analogiczny do równania {{Formuła|<MATH>\vec F={{d\vec p}\over dt}</MATH>}} dla ruchu liniowego i stanowi podstawę opisu dynamiki brył sztywnych. Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over{dt}}={{d\vec K^'}\over{dt}}\Rightarrow\vec N^'={{d\vec K^'}\over{dt}}\;</MATH>|P1aa}} Macierz {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} opisuje transformację (np. obrót) między dwoma układami inercjalnymi. Wymagamy, aby równanie ruchu obrotowego miało tę samą postać w każdym układzie, czyli aby związek między momentem siły a momentem pędu był niezmienniczy przy takich transformacjach. Ponieważ moment pędu transformuje się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec K^'=C_p\vec K</MATH>}}, to jego pochodna po czasie w nowym układzie ma postać: {{Formuła|<MATH>{{d\vec K^'}\over dt}=C_p{{d\vec K}\over dt}</MATH>}}. * Stąd wynika, że: {{Formuła|<MATH>\vec N^'=C_p\vec N=C_p{{d\vec K}\over dt}={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}, czyli w każdym układzie inercjalnym zachodzi związek: {{Formuła|<MATH>\vec N^'={{d\vec K^'}\over dt}</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|P1aa}} jest spełnione prawo {{LinkWzór|P1b1}}, co potwierdza ogólną postać drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w dowolnym układzie inercjalnym. Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu {{LinkWzór|P1b1}}, na podstawie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N_T=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}</MATH>|Pa4a}} * Wzór ten opisuje moment siły tarcia działający na ciało obracające się lub próbujące się obracać względem punktu podparcia. Siła tarcia statycznego ma wartość proporcjonalną do siły nacisku {{Formuła|<MATH>N</MATH>}} oraz współczynnika tarcia {{Formuła|<MATH>\mu</MATH>}}, a jej kierunek jest przeciwny do kierunku ruchu (lub prób ruchu). Iloczyn wektorowy {{Formuła|<MATH>\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}} wyznacza moment tej siły względem punktu odniesienia, co prowadzi do wektorowego momentu tarcia {{Formuła|<MATH>\vec N_T</MATH>}}. Udowodnijmy {{LinkWzór|P1a1a}} przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły {{LinkWzór|P1a1}} przedstawiający opór (siłę działającą na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego oraz definicję tensora momentu pędu {{LinkWzór|7.19|Teoria ciała sztywnego i giroskopu}}. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH>N=\sum_i \vec r_i\times\vec F_i=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\sum_i m_{i}\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)=-b\hat I\vec\omega\Rightarrow\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a1}} * Korzystamy tutaj z faktu, że dla ruchu liniowego opór ośrodka ma postać {{Formuła|<MATH>\vec F=-b\vec p</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i\vec v_i</MATH>}} jest pędem i-tego punktu materialnego. W ruchu obrotowym prędkość punktu można zapisać jako {{Formuła|<MATH>\vec v_i=\vec \omega\times\vec r_i</MATH>}}, co prowadzi do postaci pędu {{Formuła|<MATH>\vec p_i=m_i(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. Moment siły oporu względem punktu odniesienia jest sumą momentów poszczególnych sił: {{Formuła|<MATH>\vec N=\sum_i\vec r_i\times\vec F_i</MATH>}}. * Podstawiając {{Formuła|<MATH>\vec F_i=-b\vec p_i</MATH>}}, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-\sum_i\vec r_i\times b\vec p_i=-\sum_im_i\vec r_i\times b(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}}. * Zgodnie z definicją tensora momentu bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I</MATH>}}, suma {{Formuła|<MATH>\sum_i m_i\vec r_i\times(\vec \omega\times\vec r_i)</MATH>}} jest równa {{Formuła|<MATH>\hat I\vec \omega</MATH>}}, czyli momentowi pędu {{Formuła|<MATH>\vec K</MATH>}}. W rezultacie otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}. * Oznacza to, że moment siły oporu ośrodka w ruchu obrotowym jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, co opisuje zjawisko tłumienia obrotu przez lepki ośrodek. Zajmijmy się dodatkowym członem w {{LinkWzór|P1b1}} odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy, czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz {{Formuła|<MATH>B\;</MATH>}} jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}^'=C_pN\Rightarrow \vec{N}^'=C_p\vec{N}=C_pB\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}C_p\vec{\omega}=C_pBC_p^{-1}\vec{\omega}^'\Rightarrow B^'=C_pBC_p^{-1}\Rightarrow B=-b\hat I\Rightarrow \vec{N}=-b\hat I\vec{\omega}=-b\vec K\;</MATH>|P1a1a}} * Zakładamy, że moment siły oporu ośrodka ma postać liniową względem prędkości kątowej: {{Formuła|<MATH>\vec N=B\vec \omega</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>B</MATH>}} jest macierzą (tensorem) opisującą własności ośrodka. Wymagamy, aby prawo fizyczne zachowywało swoją postać w każdym układzie inercjalnym, czyli aby przy przejściu do nowego układu moment siły transformował się jak wektor: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_p\vec N</MATH>}}, a prędkość kątowa jak: {{Formuła|<MATH>\vec \omega'=C_p\vec \omega</MATH>}}. * Podstawiając postać momentu siły, otrzymujemy: {{Formuła|<MATH>\vec N'=C_pB\vec \omega</MATH>}}, a z wymogu zachowania struktury równania: {{Formuła|<MATH>\vec N'=B'\vec \omega'</MATH>}}, wynika warunek: {{Formuła|<MATH>B'=C_pBC_p^{-1}</MATH>}}. * Jedyną macierzą spełniającą ten warunek dla wszystkich transformacji obrotowych {{Formuła|<MATH>C_p</MATH>}} jest macierz proporcjonalna do tensora momentu bezwładności:{{Formuła|<MATH>B=-b\hat I</MATH>}}. * Wtedy: {{Formuła|<MATH>\vec N=-b\hat I\vec \omega=-b\vec K</MATH>}}, co oznacza, że moment siły oporu ośrodka jest proporcjonalny do momentu pędu i skierowany przeciwnie do niego, opisując tłumienie ruchu obrotowego przez lepki ośrodek. Na podstawie {{LinkWzór|P1a1a}} moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Oznacza to, że im większy moment pędu ma obracające się ciało, tym większy jest moment siły oporu działający przeciwnie do kierunku obrotu, co prowadzi do stopniowego tłumienia ruchu obrotowego. Wzory: {{LinkWzór|Pa4a}} i {{LinkWzór|P1a1a}} stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego {{LinkWzór|P1b1}}, czyli w takiej formie: {{CentrujWzór|<MATH>{{d\vec{K}}\over{dt}}=\vec{N}=-\mu N\vec r\times {{\vec v}\over{v}}-b\vec K+\vec{N}_z\;</MATH>|P1a2a}} Otrzymujemy w ten sposób pełne równanie ruchu obrotowego z uwzględnieniem: * '''Momentu siły tarcia statycznego:''' - {{Formuła|<MATH>-\mu N\vec r\times{{\vec v}\over v}</MATH>}}, który opisuje opór wynikający z tarcia między ciałem a podłożem, działający przeciwnie do prób obrotu. * '''Momentu siły oporu ośrodka:''' - {{Formuła|<MATH>-b\vec K</MATH>}}, proporcjonalnego do momentu pędu, opisującego tłumienie obrotu przez lepki ośrodek. * '''Pozostałych momentów sił zewnętrznych:''' - {{Formuła|<MATH>\vec N_z</MATH>}}, takich jak moment grawitacyjny, sprężystości czy inne oddziaływania. Tak sformułowana druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego pozwala opisać rzeczywisty ruch bryły sztywnej w obecności tarcia i oporu, zachowując jednocześnie wektorowy i addytywny charakter momentów sił. Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem, jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe. Dowód tego jest następujący: * Wiedząc, że {{Formuła|<MATH>\vec \omega_{i}\;</MATH>}} jest i-tą prędkością obrotową, z jaką ciało by się obracało, gdyby działał tylko i-ty moment sił z wszystkich momentów sił działających na to ciało, rozważamy wkład każdej z tych składowych osobno. Pochodna {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest tensorem bezwładności {{Formuła|<MATH>\hat I_i\;</MATH>}}, a {{Formuła|<MATH>{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)\;</MATH>}} jest prędkością obrotową {{Formuła|<MATH>\vec\omega_i\;</MATH>}}. Zatem te dwie wielkości są takie, jakby działał tylko jeden i-ty moment sił: tylko i-ta prędkość obrotowa i odpowiadający jej tensor bezwładności występują tak, jak we wzorze uwzględniającym wyłącznie i-ty moment sił {{LinkWzór|P1b1}}. Wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego np. z oporem od ośrodka, jak w {{LinkWzór|P1ab}} w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, możemy napisać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec Ndt={{d\vec f}\over{dt}}dt=d\vec f=\sum_i\left(\underbrace{{\vec f^'}_{\vec \omega_i}(t,\vec \alpha_j, \vec \omega_j, \hat I_j)}_{\hat I_i}d\vec\omega_i+\underbrace{{\vec f^'}_{\hat I_i}(t,\vec \alpha_j,\vec\omega_j, \hat I_j)}_{\vec\omega_i}d\hat I_i\right)=\sum_i \left(\hat I_id\vec\omega_i+\vec\omega_i d\hat I_i\right)=\sum_id(\hat I_i\vec \omega_i)=\;</MATH>{{Br}}<MATH>=\sum_i d\vec K_i=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}dt=\sum_i\vec N_idt\Rightarrow \vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P1c}} Otrzymujemy więc, że całkowity moment siły {{Formuła|<MATH>\vec N</MATH>}} jest sumą wektorową momentów sił {{Formuła|<MATH>\vec N_i</MATH>}} pochodzących od poszczególnych oddziaływań. Tym samym moment siły jest wektorem i spełniona jest zasada niezależności działania momentów sił. Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy, jaki jest związek między momentem siły a siłą, a zatem dla punktu materialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec N={{d\vec K}\over{dt}}={{d(mr^2\vec\omega)}\over{dt}}={{d(mr\vec\omega r)}\over{dt}}={{d(m\vec r\times\vec v)}\over{dt}}={{d(\vec r\times\vec p)}\over{dt}}=\vec v\times\vec p+\vec r\times {{d\vec p}\over{dt}}=\vec r\times\vec F\Rightarrow\vec N=\vec r\times\vec F\;</MATH>|P1ca}} A zatem według {{LinkWzór|P1ca}} moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na niego działającej. ==== Trzecia zasada dynamiki Newtona ==== Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą {{Formuła|<MATH>\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>\vec N\;</MATH>}}), to ciało A działa na ciało B z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą {{Formuła|<MATH>-\vec{F}\;</MATH>}} (momentem siły {{Formuła|<MATH>-\vec N\;</MATH>}}). '''Dowód:''' Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mniejszych ciał, otrzymujemy dla ruchu liniowego i obrotowego: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F=m\vec A=\sum_i m_i\vec a_i=\sum_i \vec F_i\Rightarrow\vec F=\sum_i\vec F_i\wedge\vec N={{d\vec K}\over{dt}}=\sum_i{{d\vec K_i}\over{dt}}=\sum_i \vec N_i\Rightarrow\vec N=\sum_i\vec N_i\;</MATH>|P2}} Wyrażenie to pokazuje dwie fundamentalne własności: * '''Addytywność sił:''' ** Całkowita siła działająca na środek masy jest sumą sił działających na wszystkie elementy składowe ciała. ** Wynika to z faktu, że przyspieszenie środka masy jest średnią ważoną przyspieszeń poszczególnych punktów materialnych. * '''Addytywność momentów sił:''' ** Całkowity moment siły działający na ciało jest sumą momentów sił działających na jego części składowe. ** Wynika to bezpośrednio z liniowości definicji momentu pędu i momentu siły. Wynik ten jest zgodny z zasadą superpozycji i z faktem, że zarówno siła, jak i moment siły są wielkościami wektorowymi. Dzięki temu równania ruchu dla środka masy zachowują tę samą postać, co równania ruchu dla układu punktów materialnych, co jest jednym z kluczowych założeń klasycznej mechaniki Newtonowskiej. Na podstawie {{LinkWzór|P1ab1}}, {{LinkWzór|P1c}} i {{LinkWzór|P2}} oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną. Oznacza to, że siła działająca na środek masy ciała (oraz moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodzących od wszystkich mniejszych ciał tworzących układ. Jednak siła działająca na środek masy jest sumą '''sił zewnętrznych''', a moment siły działający na ciało jest sumą '''zewnętrznych momentów sił''', ponieważ siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują. Zerowanie się sił i momentów sił wewnętrznych jest możliwe tylko wtedy, gdy spełniona jest '''trzecia zasada dynamiki Newtona''', która mówi, że siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. Możemy również rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał. Rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziałujących ze sobą. Wtedy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}_{1ij}+\vec F_{2ji}=0\wedge \vec N_{1ij}+\vec N_{2ji}=0\;</MATH>|s2}} Wyrażenia te oznaczają: * {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''j''' działa na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec F_{2ji}</MATH>}} – siła, jaką ciało '''i''' działa na ciało '''j''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''j''' wywiera na ciało '''i''', * {{Formuła|<MATH>\vec N_{2ji}</MATH>}} – moment siły, jaki ciało '''i''' wywiera na ciało '''j'''. Zatem: * '''Siły wewnętrzne''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}</MATH>}} * '''Momenty sił wewnętrznych''' spełniają: {{Formuła|<MATH>\vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}</MATH>}} Co prowadzi do ich całkowitego zaniku w równaniach ruchu środka masy i ruchu obrotowego całego układu. W ten sposób otrzymujemy pełne uzasadnienie, że: * siły zewnętrzne sumują się wektorowo, * momenty sił zewnętrznych sumują się wektorowo, * siły i momenty sił wewnętrznych się znoszą, * a równania ruchu dla całego układu zachowują postać zgodną z zasadami Newtona. Zera w dwóch równaniach w {{LinkWzór|s2}} wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach: {{CentrujWzór|<MATH>\vec F_{1ij}=-\vec F_{2ji}\wedge \vec N_{1ij}=-\vec N_{2ji}\;</MATH>|s3}} Wniosek {{LinkWzór|s3}}: pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią '''trzeciej zasady dynamiki Newtona''' dla ruchu liniowego (obrotowego). Oznacza to: * dla '''ruchu liniowego''': siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot, * dla '''ruchu obrotowego''': momenty sił wzajemnego oddziaływania dwóch ciał są równe co do wartości, mają ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot. W ten sposób trzecia zasada dynamiki Newtona zapewnia, że '''wszystkie siły i momenty sił wewnętrznych w układzie dwóch ciał (lub większego układu) sumują się do zera''', co jest konieczne, aby: * siła całkowita działająca na środek masy była sumą '''sił zewnętrznych''', * moment siły całkowity działający na ciało był sumą '''zewnętrznych momentów sił''', * równania ruchu środka masy i ruchu obrotowego zachowały swoją klasyczną postać. Zatem równania {{LinkWzór|s2}} i ich przekształcenie {{LinkWzór|s3}} stanowią bezpośrednie matematyczne uzasadnienie trzeciej zasady dynamiki Newtona zarówno w ruchu liniowym, jak i obrotowym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> f1vlyjbhcu1mnnklnrt5wz7nznincae 0 64137 559058 555376 2026-10-11T01:13:04Z Persino 2851 559058 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych == === Ruch bez działania siły === W tym podrozdziale analizujemy najbardziej fundamentalny, a jednocześnie najprostszy możliwy przypadek ruchu w mechanice klasycznej: ruch ciała, na które '''nie działa żadna siła'''. Jest to sytuacja, która stanowi bezpośrednie ucieleśnienie pierwszej zasady dynamiki Newtona, zwanej również zasadą bezwładności. Zasada ta mówi, że jeśli na ciało nie działa żadna siła wypadkowa, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Jest to jedno z najbardziej podstawowych praw fizyki, które opisuje naturalną tendencję ciał do zachowania swojego stanu ruchu. Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. {{Formuła|<MATH>\vec{F}=0\;</MATH>}}. Zatem na podstawie {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} możemy napisać równanie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}=v\Rightarrow x=vt+a\;</MATH>|1.32}} Równanie {{LinkWzór|1.32}} przedstawia pełny ciąg wnioskowania, który jest niezwykle ważny dla zrozumienia natury ruchu w mechanice Newtonowskiej: * Jeśli siła wypadkowa jest równa zero, to przyspieszenie jest równe zero: ** {{Formuła|<MATH>\ddot{x}=0</MATH>}}. ** Oznacza to, że prędkość ciała nie zmienia się w czasie — nie rośnie, nie maleje, nie zmienia kierunku. * Jeśli przyspieszenie jest zerowe, prędkość jest stała: ** {{Formuła|<MATH>\dot{x}=v</MATH>}}. ** Prędkość ta może być dowolna: dodatnia, ujemna lub równa zero. Jeśli jest równa zero, ciało pozostaje w spoczynku. Jeśli jest różna od zera, ciało porusza się ruchem jednostajnym. * Jeśli prędkość jest stała, położenie zmienia się liniowo w czasie: ** {{Formuła|<MATH>x(t)=vt+a</MATH>}}, ** gdzie {{Formuła|<MATH>a</MATH>}} jest stałą integracji określającą początkowe położenie. ** Oznacza to, że ciało pokonuje równe odcinki drogi w równych odstępach czasu. W ten sposób otrzymujemy klasyczny wynik pierwszej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego: * ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, * jeśli nie działa na nie żadna siła wypadkowa. Ruch bez działania siły jest jednym z najważniejszych modeli w fizyce, ponieważ stanowi punkt odniesienia dla wszystkich bardziej złożonych przypadków. Każdy ruch, w którym pojawia się przyspieszenie, musi wynikać z działania siły. Jeśli siła znika, ruch natychmiast staje się jednostajny. Jest to fundamentalna cecha mechaniki klasycznej, która odróżnia ją od wielu innych teorii fizycznych. Model ten jest również podstawą pojęcia układu inercjalnego — układu odniesienia, w którym obowiązuje pierwsza zasada Newtona. W takich układach ciała zachowują swój ruch, jeśli nie działają na nie siły. Układy inercjalne są kluczowe dla całej mechaniki klasycznej i stanowią fundament dla dalszych rozdziałów dynamiki. === Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego === W tym podrozdziale analizujemy jeden z najbardziej klasycznych i fundamentalnych ruchów w fizyce: spadek ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym. Jest to sytuacja, która pojawia się w niezliczonych kontekstach — od ruchu kropli deszczu, przez spadanie kamienia, aż po ruch sond kosmicznych w pobliżu powierzchni planet. Jednorodne pole grawitacyjne jest idealizacją, która doskonale opisuje ruch ciał w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyspieszenie grawitacyjne można uznać za stałe. Z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, w której siła jest napisana wzorem {{Formuła|<MATH>F=ma\;</MATH>}}, i na ciało działa siła grawitacji {{Formuła|<MATH>F=-mg\;</MATH>}}, otrzymujemy równanie ruchu dla naszego przypadku: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-mg\;</MATH>|1.33}} Równanie to jest jednym z najprostszych, a jednocześnie najbardziej fundamentalnych równań w fizyce klasycznej. Pokazuje ono, że przyspieszenie ciała jest stałe i równe -g. Jest to kluczowa cecha jednorodnego pola grawitacyjnego: niezależnie od położenia i prędkości, siła grawitacji pozostaje taka sama. Prędkość ciała w zależności od czasu '''t''' opisujemy, wychodząc od równania {{LinkWzór|1.33}}. Całkujemy równanie przyspieszenia: {{CentrujWzór|<MATH>\dot{x}=v=v_0-gt\;</MATH>|1.34}} Wielkość {{Formuła|<MATH>v_0</MATH>}} występująca we wzorze {{LinkWzór|1.34}} jest prędkością początkową ciała, tzn. prędkością w chwili początkowej {{Formuła|<MATH>t=0\;</MATH>}}. Jeśli ciało jest puszczone bez prędkości początkowej, to v₀ = 0, a prędkość rośnie liniowo w czasie. Jeśli ciało jest rzucone w dół lub w górę, prędkość początkowa może być dodatnia lub ujemna. Równanie prędkości możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu, otrzymując równanie położenia: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=x_0+v_0t-{{gt^2}\over{2}}\;</MATH>|1.35}} Wzór {{LinkWzór|1.35}} przedstawia klasyczne równanie ruchu ciała spadającego w jednorodnym polu grawitacyjnym. Jest to jedno z najważniejszych równań w całej mechanice klasycznej — opisuje ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem stałym i równym g. W równaniu tym: * {{Formuła|<MATH>x_0</MATH>}} – początkowe położenie ciała, * {{Formuła|<MATH>v_0</MATH>}} – prędkość początkowa, * {{Formuła|<MATH>g</MATH>}} – przyspieszenie grawitacyjne, * ruch jest jednostajnie przyspieszony, * przyspieszenie jest stałe i równe {{Formuła|<MATH>-g</MATH>}}. Równanie to jest podstawą analizy ruchu w polu grawitacyjnym. Opisuje ono idealny spadek ciała bez oporów, co jest doskonałym przybliżeniem dla wielu sytuacji fizycznych. W rzeczywistości opory powietrza mogą zmieniać ruch, lecz w wielu przypadkach — szczególnie dla małych prędkości lub w próżni — równanie to jest dokładne. Otrzymane równania są bezpośrednią konsekwencją drugiej zasady dynamiki Newtona i opisują idealny spadek ciała w polu grawitacyjnym bez oporów. Są one fundamentem całej kinematyki i dynamiki ruchu w polu sił stałych. === Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości === W tym podrozdziale analizujemy jeden z najbardziej klasycznych modeli ruchu w ośrodku lepkim: ruch ciała pod wpływem siły tarcia, która jest **wprost proporcjonalna do prędkości**. Jest to sytuacja niezwykle często spotykana w fizyce i technice — obejmuje ruch małych cząstek w cieczy, ruch drobnych obiektów w powietrzu przy niewielkich prędkościach, a także ruch elektronów w przewodnikach, gdzie opór jest proporcjonalny do prędkości dryfu. Model ten jest podstawą hydrodynamiki Stokesa, teorii lepkości, a także wielu zagadnień związanych z tłumieniem drgań. Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w którym opory ruchu odbywają się pod wpływem siły tarcia **wprost proporcjonalnego do prędkości**, zapisujemy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-\gamma\dot{x}\;</MATH>|1.36}} W powyższym równaniu współczynnik γ jest miarą intensywności oporu ośrodka. Im większa wartość γ, tym silniej ośrodek przeciwdziała ruchowi ciała. Siła oporu ma postać {{Formuła|<MATH>F_{\text{op}}=-\gamma v</MATH>}}, co oznacza, że jest skierowana przeciwnie do prędkości i rośnie liniowo wraz z jej wartością. Jest to model oporu lepkiego, który obowiązuje dla małych prędkości, gdy przepływ wokół ciała jest laminarny. ---- * ''Rozwiązanie równania różniczkowego'' Równanie {{LinkWzór|1.36}} jest liniowym jednorodnym równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach. Jest to równanie drugiego rzędu, lecz dzięki swojej strukturze można je rozwiązać metodą podstawienia wykładniczego. Szukamy rozwiązania w postaci: {{Formuła|<MATH>x(t)=e^{\lambda t}</MATH>}}. Podstawiamy tę postać do równania: {{CentrujWzór|<MATH>e^{\lambda t}\left(m\lambda^2+\gamma\lambda\right)=0\Rightarrow m\lambda^2+\gamma\lambda=0\Rightarrow\lambda(m\lambda+\gamma)=0\;</MATH>|1.37}} Ponieważ funkcja wykładnicza nigdy nie jest równa zero, otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{Formuła|<MATH>\lambda(m\lambda+\gamma)=0</MATH>}}. Równanie to ma dwa rozwiązania: * {{Formuła|<MATH>\lambda_1=0</MATH>}} — odpowiada rozwiązaniu stałemu, czyli położeniu granicznemu, do którego ciało dąży, * {{Formuła|<MATH>\lambda_2=-\gamma/m</MATH>}} — odpowiada rozwiązaniu wykładniczo malejącemu, które opisuje zanikanie ruchu. Pierwiastek ujemny oznacza, że ruch jest tłumiony: prędkość maleje wykładniczo, a ciało stopniowo zatrzymuje się. ---- * '''Pełne rozwiązanie równania ruchu''' Rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową dwóch rozwiązań: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1+A_2e^{-{{\gamma}\over{m}}t}\;</MATH>|1.38}} W tym równaniu: * {{Formuła|<MATH>A_1</MATH>}} – stała integracji związana z położeniem granicznym, czyli wartością, do której ciało asymptotycznie dąży, * {{Formuła|<MATH>A_2</MATH>}} – stała integracji zależna od warunków początkowych, określająca początkowe wychylenie od położenia granicznego, * człon wykładniczy opisuje '''zanikanie ruchu''' w czasie z charakterystyczną stałą tłumienia ** {{Formuła|<MATH>\tau = m/\gamma</MATH>}}. Stała tłumienia τ określa czas, w którym prędkość maleje e‑krotnie. Im większa lepkość ośrodka (większe γ), tym krótszy czas zanikania ruchu. ---- * '''Interpretacja fizyczna''' Równanie {{LinkWzór|1.38}} opisuje ruch ciała w ośrodku lepkim: * prędkość maleje wykładniczo — jest to charakterystyczna cecha ruchu w ośrodku o oporze liniowym, * ciało asymptotycznie zatrzymuje się — nigdy nie osiąga położenia granicznego w skończonym czasie, lecz zbliża się do niego coraz wolniej, * położenie zbliża się do wartości granicznej {{Formuła|<MATH>A_1</MATH>}} — jest to położenie równowagi w obecności oporu. Model ten jest typowy dla ruchu w ośrodku, w którym opór jest proporcjonalny do prędkości — np. ruch małych obiektów w powietrzu lub w cieczy przy małych prędkościach (reżim Stokesa). W takich warunkach siła oporu nie zależy od kwadratu prędkości, lecz od jej wartości, co prowadzi do wykładniczego zanikania ruchu. Tak otrzymane rozwiązanie jest klasycznym wynikiem mechaniki Newtonowskiej dla ruchu tłumionego liniowo. Jest to jeden z najprostszych, a jednocześnie najbardziej fundamentalnych modeli ruchu w ośrodku lepkim. === Oscylator harmoniczny === Oscylator harmoniczny jest jednym z najbardziej fundamentalnych modeli w całej fizyce klasycznej, kwantowej, statystycznej i technicznej. Jego znaczenie wynika z faktu, że każdy układ fizyczny, który wykonuje niewielkie drgania wokół położenia równowagi, zachowuje się — w pierwszym przybliżeniu — jak oscylator harmoniczny. Dlatego model ten opisuje nie tylko sprężynę z ciężarkiem, lecz także drgania atomów w cząsteczkach, oscylacje planet wokół stabilnych punktów równowagi, drgania pól kwantowych, a nawet fale elektromagnetyczne w rezonatorach. Siłą harmoniczną działającą ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako {{Formuła|<MATH>F=-kx\;</MATH>}}, co oznacza, że siła jest proporcjonalna do wychylenia i skierowana przeciwnie do niego. Jest to klasyczna postać prawa Hooke’a, które obowiązuje dla niewielkich odkształceń sprężyny. Dlatego w takim przypadku druga zasada dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx\;</MATH>|1.39}} Równanie to jest jednym z najprostszych, a jednocześnie najbardziej fundamentalnych równań różniczkowych w fizyce. Opisuje ono ruch ciała pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia. Jest to równanie liniowe o stałych współczynnikach, które prowadzi do sinusoidalnych rozwiązań. ---- * '''Rozwiązanie równania różniczkowego''' Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego {{LinkWzór|1.39}} w postaci funkcji wykładniczej: {{Formuła|<MATH>x(t)=e^{\lambda t}</MATH>}} Jest to standardowa metoda rozwiązywania równań liniowych. Podstawienie funkcji wykładniczej pozwala sprowadzić równanie różniczkowe do równania algebraicznego, co znacznie upraszcza analizę. Podstawiamy tę postać do równania: {{CentrujWzór|<MATH>m\lambda^2+k=0\Rightarrow\lambda=\pm i\sqrt{{k}\over{m}}=\pm i\omega_0\;</MATH>|1.40}} Otrzymujemy dwa pierwiastki zespolone, co oznacza, że rozwiązanie jest sinusoidalne. Wielkość {{Formuła|<MATH>\omega_0=\sqrt{k/m}</MATH>}} jest częstością własną oscylatora harmonicznego — fundamentalną wielkością opisującą szybkość drgań. Częstość własna zależy wyłącznie od masy i stałej sprężystości. Im większa sprężystość, tym szybsze drgania; im większa masa, tym drgania wolniejsze. ---- * '''Pełne rozwiązanie równania ruchu''' Na podstawie końcowego wniosku wynikowego {{LinkWzór|1.40}}, możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=A_1e^{i\omega_0 t}+A_2e^{-i\omega_0 t}=A\sin(\omega_0 t+\phi)\;</MATH>|1.41}} Rozwiązanie to jest klasyczną postacią sinusoidalnego ruchu harmonicznego. Stałe: * {{Formuła|<MATH>A_1, A_2</MATH>}} – stałe integracji wynikające z warunków początkowych, * {{Formuła|<MATH>A</MATH>}} – amplituda drgań, określająca maksymalne wychylenie, * {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} – faza początkowa, określająca przesunięcie czasowe drgań. Rozwiązanie sinusoidalne wynika z faktu, że pierwiastki równania charakterystycznego są czysto urojone. Oznacza to, że układ wykonuje drgania bez tłumienia, a energia kinetyczna i potencjalna wymieniają się cyklicznie. ---- * '''Interpretacja fizyczna''' Równanie {{LinkWzór|1.41}} opisuje klasyczne drgania harmoniczne: * ruch jest '''okresowy''', co oznacza, że powtarza się w regularnych odstępach czasu, * częstość drgań zależy tylko od stosunku {{Formuła|<MATH>k/m</MATH>}}, * rozwiązanie jest sinusoidalne, co wynika z zespolonej postaci funkcji wykładniczej. Oscylator harmoniczny jest jednym z najważniejszych modeli w fizyce — opisuje m.in.: * drgania sprężyn, * wahadła dla małych wychyleń, * oscylacje atomów w cząsteczkach, * drgania pól kwantowych, * fale elektromagnetyczne w rezonatorach, * oscylacje planet wokół stabilnych punktów równowagi. Model ten jest tak uniwersalny, że stanowi fundament niemal każdej dziedziny fizyki. Jego prostota matematyczna i ogromna moc opisowa sprawiają, że jest jednym z najczęściej używanych narzędzi w całej nauce. === Tłumiony oscylator harmoniczny === W tłumionym oscylatorze harmonicznym, oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki, działa również **siła tłumiąca ruch**, która zależy od prędkości ciała. Jest to sytuacja niezwykle często spotykana w fizyce klasycznej i technice: tłumienie występuje w amortyzatorach samochodowych, w układach drgających maszyn, w oscylacjach konstrukcji budowlanych, w drganiach atomów w ośrodkach lepkich, a nawet w układach elektronicznych, gdzie tłumienie odpowiada stratom energii. Siła tłumiąca jest zawsze skierowana przeciwnie do prędkości i powoduje stopniowe zmniejszanie amplitudy drgań. W takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=-kx-2m\beta\dot{x}\;</MATH>|1.42}} W powyższym wzorze oznaczyliśmy {{Formuła|<MATH>\beta=\gamma/(2m)</MATH>}}, czyli tzw. '''zredukowany współczynnik tłumienia'''. Współczynnik ten określa intensywność tłumienia: im większa wartość β, tym szybciej energia układu jest tracona. Tłumienie jest procesem nieodwracalnym — energia mechaniczna zamienia się na ciepło lub inne formy energii, które nie wracają do układu drgającego. ---- * '''Częstotliwość drgań nie tłumionych''' Zanim przejdziemy do analizy tłumienia, przypomnijmy definicję częstości własnej oscylatora harmonicznego. Jest to częstość drgań w przypadku braku tłumienia, czyli gdy β=0. Częstość ta zależy wyłącznie od masy i stałej sprężystości: {{CentrujWzór|<MATH>\omega_0=\sqrt{{k\over m}}\;</MATH>|1.43}} Częstotliwość własna jest fundamentalną wielkością opisującą układ drgający. Określa ona, jak szybko układ drga w idealnych warunkach, bez strat energii. Jest to częstość naturalna układu, wynikająca z jego geometrii i właściwości fizycznych. Równanie {{LinkWzór|1.42}} przy oznaczeniach {{LinkWzór|1.43}} zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH>\ddot{x}+2\beta\dot{x}+\omega_0^2x=0\;</MATH>|1.44}} Równanie to jest podstawowym równaniem tłumionego oscylatora harmonicznego. Zawiera ono trzy składniki: przyspieszenie, tłumienie proporcjonalne do prędkości oraz siłę sprężystości proporcjonalną do wychylenia. Każdy z tych składników odgrywa kluczową rolę w dynamice układu. ---- * '''Rozwiązanie równania różniczkowego''' Aby rozwiązać równanie {{LinkWzór|1.44}}, podstawiamy rozwiązanie w postaci wykładniczej: {{Formuła|<MATH>x(t)=e^{\lambda t}</MATH>}} Jest to standardowa metoda rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach. Podstawienie to pozwala sprowadzić równanie różniczkowe do równania algebraicznego. Otrzymujemy równanie charakterystyczne: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2=0\;</MATH>|1.45}} Równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym, którego pierwiastki określają rodzaj ruchu. W zależności od wartości β względem ω₀ otrzymujemy trzy różne typy ruchu: silnie tłumiony, słabo tłumiony i krytycznie tłumiony. Rozwiązanie równania kwadratowego: {{CentrujWzór|<MATH>\lambda={{-2\beta\pm\sqrt{4\beta^2-4\omega_0^2}}\over 2}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}\;</MATH>|1.46}} Pierwiastki równania charakterystycznego decydują o tym, czy ruch jest oscylacyjny, czy nie. Jeśli pierwiastek jest zespolony, ruch jest sinusoidalny z malejącą amplitudą. Jeśli pierwiastki są rzeczywiste, ruch nie jest oscylacyjny — ciało wraca do równowagi bez drgań. ---- * '''Silne tłumienie''' {{Formuła|<MATH>\beta>\omega_0</MATH>}} W tym przypadku pierwiastki równania charakterystycznego są '''rzeczywiste i ujemne''': {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{\lambda_1 t}+Be^{\lambda_2 t}\;</MATH>|1.47}} Ruch nie jest oscylacyjny — ciało wraca do położenia równowagi bez drgań. Jest to sytuacja, w której tłumienie jest tak silne, że układ nie ma „siły” wykonywać drgań. Zamiast tego wychylenie maleje monotonicznie. Taki ruch występuje np. w amortyzatorach samochodowych, które mają za zadanie tłumić drgania jak najszybciej. ---- * '''Słabe tłumienie''' {{Formuła|<MATH>\beta<\omega_0</MATH>}} W tym przypadku pierwiastki są **zespolone**, a ruch pozostaje oscylacyjny: {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}\sin\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\,t+\phi\right)\;</MATH>|1.48}} Częstotliwość drgań tłumionych wynosi: {{Formuła|<MATH>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}</MATH>}}. Amplituda maleje wykładniczo. Jest to najbardziej klasyczny przypadek tłumionego ruchu: ciało drga, lecz z każdą chwilą amplituda jest mniejsza. Taki ruch występuje np. w wahadłach w powietrzu, w drganiach strun, w oscylacjach atomów w ośrodkach lepkich. ---- * '''Przypadek graniczny''' {{Formuła|<MATH>\beta=\omega_0</MATH>}} W tym przypadku równanie charakterystyczne ma '''podwójny pierwiastek''': {{CentrujWzór|<MATH>x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;</MATH>|1.49}} Ruch nie jest oscylacyjny, ale ciało wraca do równowagi '''najszybciej możliwie bez oscylacji''' — jest to tzw. '''tłumienie krytyczne'''. Jest to przypadek szczególny, w którym układ wraca do równowagi w minimalnym czasie, bez wykonywania drgań. Tłumienie krytyczne jest idealne w układach technicznych, gdzie zależy nam na szybkim wygaszeniu drgań bez oscylacji. ---- Wszystkie trzy przypadki (silne, słabe i krytyczne tłumienie) wynikają bezpośrednio z analizy równania charakterystycznego {{LinkWzór|1.45}} i stanowią pełną klasyfikację ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego. Każdy z tych przypadków ma ogromne znaczenie praktyczne i teoretyczne. Tłumienie jest jednym z najważniejszych zjawisk w fizyce klasycznej — bez tłumienia drgania trwałyby wiecznie, co nie zdarza się w rzeczywistych układach. Dzięki tłumieniu energia układu jest stopniowo tracona, a ruch wygasa. === Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia === W tym podrozdziale zajmiemy się jednym z najbardziej fundamentalnych i jednocześnie najbardziej ogólnych zagadnień mechaniki klasycznej: ruchem ciała pod wpływem siły, która zależy wyłącznie od położenia. Jest to sytuacja niezwykle często spotykana w fizyce — obejmuje ruch w polu grawitacyjnym, w polu sprężystości, w polu elektrostatycznym, a także w dowolnym potencjale jednowymiarowym. Zależność siły od położenia jest kluczowa, ponieważ pozwala wprowadzić pojęcie energii potencjalnej, a tym samym zastosować zasadę zachowania energii, która jest jednym z najpotężniejszych narzędzi w całej mechanice. Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, w której siła niezrównoważona pochodzi od '''sił potencjalnych''' działających na ciało. Mamy zatem równanie: {{CentrujWzór|<MATH>m\ddot{x}=F(x)\;</MATH>}} Równanie to jest punktem wyjścia do całej analizy. Pokazuje ono, że przyspieszenie ciała jest bezpośrednio związane z siłą działającą na ciało, a ta siła zależy od położenia. Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu, które w ogólności może być trudne do rozwiązania, lecz w przypadku sił potencjalnych możemy zastosować metodę znacznie prostszą i bardziej elegancką. Mnożymy obustronnie przez prędkość {{Formuła|<MATH>\dot{x}</MATH>}} i korzystamy z definicji energii potencjalnej: {{Formuła|<MATH>U(x)=-\int F(x)\,dx</MATH>}}. Ten krok jest kluczowy: mnożenie przez prędkość pozwala przekształcić równanie ruchu w równanie energii. Jest to jedna z najważniejszych sztuczek w mechanice analitycznej. Dzięki niej możemy przejść od równania różniczkowego do równania algebraicznego, które jest znacznie łatwiejsze do analizy. Wtedy otrzymujemy tożsamość, którą możemy przecałkować względem czasu: {{CentrujWzór|<MATH>{{d}\over{dt}}\left({{m\dot{x}^2}\over{2}}\right)=-{{d}\over{dt}}U(x)\Rightarrow {{1}\over{2}}m\dot{x}^2=E-U(x)\;</MATH>|1.50}} Równanie {{LinkWzór|1.50}} jest równaniem energii całkowitej. Pokazuje ono, że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała i równa całkowitej energii E. Jest to jedno z najważniejszych równań w całej fizyce klasycznej. Dzięki niemu możemy analizować ruch bez konieczności rozwiązywania równania różniczkowego — wystarczy znać zależność U(x), aby określić prędkość, a tym samym cały ruch. ---- * Rozdzielanie zmiennych: Równanie {{LinkWzór|1.50}} możemy rozwiązać metodą rozdzielania zmiennych. Jest to metoda, która pozwala przekształcić równanie różniczkowe w całkę, którą można obliczyć lub przynajmniej przeanalizować. {{CentrujWzór|<MATH>dt={{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}\Rightarrow t-t_0=\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;</MATH>|1.51}} Wzór {{LinkWzór|1.51}} jest jednym z najważniejszych wzorów w mechanice analitycznej. Pokazuje on, że czas ruchu można wyrazić jako całkę z odwrotności prędkości. Prędkość zależy od różnicy między energią całkowitą a potencjałem, co oznacza, że czas ruchu jest bezpośrednio związany z geometrią potencjału. ---- * Energia potencjalna sprężyny Dla siły sprężystości {{Formuła|<MATH>F=-kx</MATH>}} energia potencjalna wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>U(x)=-\int F\,dx=-\int(-kx)\,dx={{k}\over{2}}x^2\;</MATH>|1.52}} Wzór {{LinkWzór|1.52}} jest klasycznym wynikiem: energia potencjalna sprężyny jest proporcjonalna do kwadratu wychylenia. Jest to potencjał harmoniczny, który prowadzi do ruchu sinusoidalnego. Jest to jeden z najważniejszych potencjałów w fizyce — pojawia się w drganiach atomów, w oscylacjach planet, w falach elektromagnetycznych, w kwantowych oscylatorach harmonicznych i w niezliczonych innych sytuacjach. ---- * Podstawienie do równania ruchu Podstawiamy {{LinkWzór|1.52}} do równania {{LinkWzór|1.51}}: {{CentrujWzór|<MATH> t=t_0+\int_{x_0}^x{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-{{1}\over{2}}kx^2\right)}}} =t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\int_{x_0}^x{{dx\sqrt{{{k}\over{m}}}}\over{\sqrt{{{{2E}\over{m}}}-{{k}\over{m}}x^2}}} =t_0+\sqrt{{{m}\over{k}}}\operatorname{arcsin}\left(\sqrt{{{k}\over{2E}}}\,x\right) \;</MATH>|1.53}} Wzór {{LinkWzór|1.53}} jest niezwykle elegancki: pokazuje, że czas ruchu w potencjale harmonicznym jest funkcją arcsin. Jest to bezpośrednia konsekwencja tego, że potencjał harmoniczny prowadzi do ruchu sinusoidalnego. Cała struktura ruchu jest zakodowana w funkcjach trygonometrycznych. ---- * Odwrócenie zależności: położenie jako funkcja czasu Odwracając równanie {{LinkWzór|1.53}}, otrzymujemy zależność położenia od czasu: {{CentrujWzór|<MATH>x=\sqrt{{{2E}\over{k}}}\sin\left(\sqrt{{k\over m}}\,(t-t_0)\right)\;</MATH>|1.54}} Wzór {{LinkWzór|1.54}} jest pełnym rozwiązaniem ruchu ciała w polu sił sprężystości. Pokazuje on, że ruch jest sinusoidalny, z amplitudą zależną od energii i częstością zależną od stałej sprężystości i masy. Jest to jedno z najbardziej klasycznych rozwiązań w całej fizyce. ---- * Interpretacja fizyczna Wzór {{LinkWzór|1.54}} jest **pełnym rozwiązaniem ruchu ciała w polu sił sprężystości**, wyprowadzonym z zasady zachowania energii. Pokazuje on, że: * ruch jest '''harmoniczny''', * amplituda drgań wynosi {{Formuła|<MATH>A=\sqrt{2E/k}</MATH>}}, * częstość drgań jest równa {{Formuła|<MATH>\omega_0=\sqrt{k/m}</MATH>}}, * rozwiązanie zależy wyłącznie od energii całkowitej, masy i stałej sprężystości. W ten sposób otrzymujemy klasyczne równanie ruchu oscylatora harmonicznego, wyprowadzone **nie z równania różniczkowego**, lecz '''z zasady zachowania energii'''. Jest to przykład tego, jak potężna jest metoda energii w mechanice analitycznej — pozwala ona uzyskać pełne rozwiązanie ruchu bez konieczności rozwiązywania równania różniczkowego drugiego rzędu. === Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań === W tym podrozdziale zajmiemy się jednym z najbardziej eleganckich i głębokich wyników klasycznej teorii drgań: zależnością między okresem drgań T(E) a maksymalnym położeniem ciała x(E) w jednowymiarowym potencjale U(x). Jest to zagadnienie o fundamentalnym znaczeniu, ponieważ pozwala odwrócić typowy sposób myślenia o ruchu drgającym. Zwykle bowiem zakładamy, że znamy potencjał U(x), a następnie wyznaczamy okres drgań T(E). Tutaj natomiast pokażemy, że można wykonać operację odwrotną: znając okres drgań jako funkcję energii, możemy odtworzyć maksymalne położenie x(E), a tym samym strukturę potencjału. Jest to niezwykle potężne narzędzie, wykorzystywane w fizyce klasycznej, kwantowej, w teorii oscylatorów, w analizie ruchu planetarnego, a także w metodach odwrotnych w mechanice analitycznej. Zależność ta pokazuje, że informacja o czasie ruchu zawiera w sobie pełną informację o geometrii potencjału. Innymi słowy — czas jest nośnikiem struktury przestrzennej. Weźmy pod uwagę różniczkę czasu określoną na podstawie jego zależności od różniczki położenia, daną wzorem {{LinkWzór|1.51}}. Różniczka ta jest kluczowa, ponieważ pozwala wyrazić czas jako całkę z odwrotności prędkości. Prędkość natomiast zależy od różnicy między energią całkowitą E a potencjałem U(x). Dzięki temu możemy powiązać czas ruchu z geometrią potencjału. Okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu, w jakim nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego. Jest to naturalne, ponieważ ruch w potencjale jednowymiarowym jest odwracalny: ciało wraca dokładnie tą samą drogą, z tą samą prędkością, lecz w przeciwnym kierunku. Dlatego całka od x₁(E) do x₂(E) opisuje tylko połowę ruchu — drugą połowę otrzymujemy przez symetrię. {{CentrujWzór|<MATH>T(E)=2\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{{{2}\over{m}}\left(E-U(x)\right)} }}=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}{{dx}\over{\sqrt{E-U(x)}}}\;</MATH>|1.55}} Wzór {{LinkWzór|1.55}} jest jednym z najważniejszych wzorów w teorii drgań. Pokazuje on, że okres drgań zależy od całki z odwrotności prędkości, a prędkość zależy od różnicy między energią całkowitą E a potencjałem U(x). Im większa energia, tym dalej ciało dociera, a tym samym okres drgań może się zmieniać. W przypadku potencjałów niesymetrycznych zależność ta może być bardzo złożona, lecz nadal pozostaje w pełni deterministyczna. Patrząc na wzór {{LinkWzór|1.55}}, okres drgań możemy zapisać, całkując po energii od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} i od {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>0</MATH>}}. Po podziale całki na dwa składniki otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> T(E)=\sqrt{2m}\int_0^E{{dx_2(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}} +\sqrt{2m}\int_E^0{{dx_1(U)}\over{dU}}{{dU}\over{\sqrt{E-U}}} =\sqrt{2m}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU}\over{\sqrt{E-U}}} \;</MATH>|1.56}} Wzór {{LinkWzór|1.56}} jest kluczowy: pokazuje, że okres drgań można wyrazić jako całkę po energii, w której pojawia się różnica pochodnych położenia granicznego x₂(U) i x₁(U). Ta różnica jest niczym innym jak szerokością dostępnego obszaru ruchu dla danej energii. Innymi słowy, okres drgań zależy od tego, jak szeroki jest „przedział ruchu” przy danej energii. Dzielimy obie strony równości {{LinkWzór|1.56}} przez wyrażenie zależne od {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}} i energii całkowitej {{Formuła|<MATH>E</MATH>}}: {{Formuła|<MATH>\sqrt{\alpha-E}</MATH>}} i całkujemy względem {{Formuła|<MATH>E</MATH>}} od {{Formuła|<MATH>0</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>\alpha</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \int_0^{\alpha}{{T(E)\,dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}} =\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\int_0^E\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]{{dU\,dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}} \;</MATH>|1.57}} Wzór {{LinkWzór|1.57}} jest przykładem zastosowania całkowania iterowanego. Zmieniamy kolejność całkowania, co jest klasyczną techniką w analizie matematycznej, pozwalającą uprościć złożone wyrażenia. We wzorze {{LinkWzór|1.57}} zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej: {{CentrujWzór|<MATH> \int_0^{\alpha}{{T(E)\,dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}} =\sqrt{2m}\int_0^{\alpha}\left[{{dx_2}\over{dU}}-{{dx_1}\over{dU}}\right]dU \int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}} \;</MATH>|1.58}} Teraz kluczowym krokiem jest wyznaczenie całki wewnętrznej. Jest to całka o bardzo charakterystycznej strukturze: pod pierwiastkiem występuje iloczyn dwóch wyrażeń liniowych w E. Po odpowiednich przekształceniach sprowadzamy ją do postaci znanej z całki arcsin. Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze {{LinkWzór|1.58}}. Korzystając z przekształceń równania kwadratowego i znanej całki: {{Formuła|<MATH>\int{{dx}\over{\sqrt{1-x^2}}}=\operatorname{arcsin}x</MATH>}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_U^{\alpha}{{dE}\over{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}}} =\pi \;</MATH>|1.59}} Wynik ten jest niezwykle elegancki: cała złożona struktura całki sprowadza się do stałej π. Jest to przykład tego, jak geometria ruchu w potencjale jednowymiarowym prowadzi do prostych i pięknych zależności matematycznych. Wzór na całkę {{LinkWzór|1.59}} podstawiamy do {{LinkWzór|1.58}} i całkujemy względem {{Formuła|<MATH>U</MATH>}}. Ostatecznie otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int_0^{\alpha}{{T(E)\,dE}\over{\sqrt{\alpha-E}}} =\pi\sqrt{2m}\,[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)] \;</MATH>|1.60}} Uwzględniając przypadek {{Formuła|<MATH>x_2(0)=x_1(0)=0</MATH>}} dla stanu równowagi, to dla {{Formuła|<MATH>\alpha=U</MATH>}} możemy jednocześnie zapisać: {{Formuła|<MATH>x_1(U)=-x_2(U)=x(U)</MATH>}}. Wtedy maksymalne położenie: {{CentrujWzór|<MATH> x(U)={{1}\over{2\pi\sqrt{2m}}}\int_0^U{{T(E)\,dE}\over{\sqrt{U-E}}} \;</MATH>|1.61}} <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> brdnv7r4a5k2potqj754jtljddesgg0 0 64138 559059 555377 2026-10-11T01:15:16Z Persino 2851 559059 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii == W tym podrozdziale przechodzimy do jednego z najbardziej fundamentalnych i uniwersalnych zagadnień całej mechaniki klasycznej: zasad zachowania wielkości fizycznych. Są to prawa, które nie tylko opisują ruch, lecz także ujawniają głęboką strukturę fizyczną świata. Zasady zachowania pędu, momentu pędu i energii są absolutnymi filarami dynamiki — obowiązują w ruchu liniowym, obrotowym, w układach izolowanych, w zderzeniach, w oddziaływaniach sprężystych i niesprężystych, w ruchu planet, w mechanice kwantowej, a nawet w teorii względności. Każda z tych zasad wynika bezpośrednio z drugiej zasady dynamiki Newtona, lecz ich znaczenie wykracza daleko poza proste równania ruchu. Są one powiązane z symetriami przestrzeni i czasu: zachowanie pędu wynika z jednorodności przestrzeni, zachowanie momentu pędu z izotropii przestrzeni, a zachowanie energii z jednorodności czasu. W ten sposób mechanika klasyczna łączy geometrię świata z dynamiką ruchu. Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} można zapisać przy pomocy definicji '''pędu''', który jest iloczynem masy ciała i jego prędkości: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=m\vec{v}\;</MATH>|1.62}} Definicja ta jest niezwykle ważna: pęd jest wielkością wektorową, która łączy masę i prędkość w jedną całość. Pęd nie jest tylko „masą razy prędkość” — jest to wielkość, która określa zdolność ciała do oddziaływania dynamicznego. Ciało o dużym pędzie trudno zatrzymać, trudno zmienić jego kierunek, trudno zmienić jego stan ruchu. Pęd jest miarą „ilości ruchu”. Zatem druga zasada dynamiki Newtona przy definicji pędu określonej wzorem {{LinkWzór|1.62}} przyjmuje postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}\;</MATH>|1.63}} Wzór {{LinkWzór|1.63}} jest najbardziej ogólną postacią drugiej zasady Newtona. Jest to forma, która obowiązuje: * dla ruchu liniowego, * dla ruchu obrotowego (gdzie pęd zastępuje moment pędu), * dla układów o zmiennej masie (np. rakiety), * w analizach relatywistycznych, gdzie pęd nie jest proporcjonalny do prędkości, * w zderzeniach sprężystych i niesprężystych, * w ruchu planetarnym, * w dynamice układów wielu ciał. W tej postaci druga zasada Newtona ujawnia swoją pełną moc: siła jest niczym innym jak szybkością zmiany pędu. Jeśli pęd się nie zmienia, siła jest równa zero. Jeśli pęd zmienia się szybko, siła jest duża. W ten sposób pęd staje się centralną wielkością opisującą dynamikę. Z równania {{LinkWzór|1.63}} wynika natychmiast zasada zachowania pędu: jeśli siła wypadkowa działająca na układ jest równa zero, to pęd całkowity układu jest stały. Jest to jedna z najważniejszych zasad w fizyce — pozwala analizować zderzenia, ruchy odrzutowe, dynamikę układów izolowanych, a także ruch ciał w przestrzeni kosmicznej. Analogicznie, jeśli zamiast pędu liniowego rozpatrujemy moment pędu, otrzymujemy zasadę zachowania momentu pędu. Jest to zasada, która opisuje ruch obrotowy, rotacje planet, ruch wirujący, dynamikę brył sztywnych, a także zjawiska kwantowe, takie jak spin elektronów. Wreszcie, z równania energii — które wynika z pracy wykonanej przez siły — otrzymujemy zasadę zachowania energii. Energia nie powstaje z niczego i nie znika — może jedynie zmieniać formę. W ruchu mechanicznie izolowanym energia kinetyczna i potencjalna wymieniają się, lecz ich suma pozostaje stała. Wszystkie te zasady — pędu, momentu pędu i energii — są ze sobą głęboko powiązane. Stanowią fundament całej mechaniki klasycznej i są niezbędne do analizy każdego ruchu, od najprostszych po najbardziej złożone. === Zasada zachowania pędu === W tym podrozdziale przechodzimy do jednego z najbardziej fundamentalnych praw mechaniki klasycznej: zasady zachowania pędu. Jest to zasada o ogromnym znaczeniu, ponieważ opisuje zachowanie układów zarówno prostych, jak i niezwykle złożonych — od ruchu pojedynczej cząstki, przez zderzenia atomów, aż po dynamikę planet i galaktyk. Pęd jest wielkością, która nie tylko opisuje ruch, lecz także ujawnia głęboką strukturę oddziaływań między ciałami. Zasada zachowania pędu jest jednym z filarów fizyki, obowiązującym w mechanice klasycznej, kwantowej, relatywistycznej, a także w teorii pól. Równanie {{LinkWzór|1.63}} opisuje ruch pojedynczej cząstki. Jest to równanie, które mówi, że siła działająca na cząstkę jest równa szybkości zmiany jej pędu. Pęd jest wielkością wektorową, dlatego równanie to opisuje zarówno zmianę wartości pędu, jak i jego kierunku. Jest to najbardziej ogólna postać drugiej zasady Newtona. Możemy jednak dodać poszczególne równania ruchu wszystkich cząstek układu stronami. Jest to krok niezwykle ważny, ponieważ pozwala przejść od dynamiki pojedynczej cząstki do dynamiki całego układu. Układ może składać się z dwóch cząstek, dziesięciu cząstek, miliardów cząstek — zasada zachowania pędu obowiązuje zawsze, niezależnie od liczby elementów. Korzystając z '''trzeciej zasady dynamiki Newtona''', otrzymujemy, że: * siły wewnętrzne działające między cząstkami '''wzajemnie się równoważą''', **Oznacza to, że każda siła działająca jednej cząstki na drugą ma swoją dokładną przeciwną odpowiedniczkę. ** Siły te są równe co do wartości i przeciwne co do zwrotu. W efekcie, gdy dodamy wszystkie siły wewnętrzne, ich suma wynosi zero. * zatem nie mają wpływu na zmianę pędu całego układu jako całości, ** Siły wewnętrzne mogą zmieniać pędy poszczególnych cząstek, lecz nie zmieniają pędu całkowitego. ** Oznacza to, że układ może „przekazywać” pęd między swoimi elementami, ale nie może go tworzyć ani niszczyć. * jedynie '''siły zewnętrzne''' mogą zmieniać pęd układu. ** Jeśli na układ działa siła zewnętrzna, pęd całkowity może się zmieniać. ** Jeśli siła zewnętrzna jest równa zero, pęd całkowity pozostaje stały. Jeśli na układ '''nie działa żadna niezrównoważona siła zewnętrzna''', to całkowity pęd układu jest wielkością stałą w czasie — jest zachowany. Jest to kluczowy wniosek: '''pęd całkowity układu izolowanego nie zmienia się'''. Układ izolowany to taki, na który nie działają siły zewnętrzne lub ich suma jest równa zero. Pęd układu złożonego z '''n''' cząstek zapisujemy jako sumę pędów wszystkich cząstek: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{p}=\sum_i \vec{p}_i\;</MATH>|1.64}} Wzór {{LinkWzór|1.64}} jest matematycznym wyrażeniem '''zasady zachowania pędu'''. Pokazuje on, że pęd całkowity jest sumą pędów wszystkich elementów układu. Jeśli suma sił zewnętrznych jest równa zero, ta suma pozostaje niezmienna. Zasada ta obowiązuje zarówno w układach izolowanych, jak i w wielu procesach zderzeń, ruchu orbitalnego, dynamiki układów wielociałowych oraz w fizyce relatywistycznej. W zderzeniach sprężystych pęd jest zachowany. W zderzeniach niesprężystych pęd również jest zachowany, choć energia kinetyczna może się zmieniać. W ruchu planetarnym pęd orbitalny jest zachowany, jeśli nie działają siły zewnętrzne. W fizyce relatywistycznej pęd jest częścią czterowektora pędu-energii, który również podlega zasadzie zachowania. Zasada zachowania pędu jest jednym z najgłębszych praw natury — wynika z jednorodności przestrzeni, czyli z faktu, że prawa fizyki są takie same w każdym miejscu. W ten sposób mechanika klasyczna łączy geometrię świata z dynamiką ruchu. === Zasada zachowania momentu pędu === W tym podrozdziale przechodzimy do jednej z najgłębszych i najbardziej fundamentalnych zasad mechaniki klasycznej: zasady zachowania momentu pędu. Jest to zasada, która opisuje nie tylko ruch obrotowy pojedynczych cząstek, lecz także dynamikę brył sztywnych, ruch planet, gwiazd, galaktyk, a nawet zjawiska kwantowe, takie jak spin elektronów. Moment pędu jest wielkością, która ujawnia geometryczną strukturę przestrzeni — jego zachowanie wynika z izotropii przestrzeni, czyli z faktu, że prawa fizyki są takie same niezależnie od kierunku. Zdefiniujmy moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działającej na dany punkt ciała: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{K}=\vec{r}\times\vec{p}\;</MATH>|1.65}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}\;</MATH>|1.66}} }} Wzór {{LinkWzór|1.65}} definiuje moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora położenia i pędu. Jest to wielkość wektorowa, która opisuje „ilość ruchu obrotowego”. Moment pędu zależy zarówno od tego, jak szybko ciało się porusza, jak i od tego, jak daleko znajduje się od osi obrotu. Wzór {{LinkWzór|1.66}} definiuje moment siły — wielkość, która określa zdolność siły do zmiany momentu pędu. Moment siły jest odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym: tak jak siła zmienia pęd, tak moment siły zmienia moment pędu. Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.65}} i korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> {{d\vec{K}}\over{dt}} ={{d}\over{dt}}\left(\vec{r}\times\vec{p}\right) =\vec{v}\times\vec{p}+\vec{r}\times{{d\vec{p}}\over{dt}} =\vec{r}\times\vec{F} =\vec{N} \;</MATH>|1.67}} Każdy krok tego wyprowadzenia ma głębokie znaczenie: * Pochodna iloczynu wektorowego daje dwa składniki: {{Formuła|<MATH>\vec{v}\times\vec{p}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\vec{r}\times \frac{d\vec{p}}{dt}\;</MATH>}}. ** Pierwszy składnik znika, ponieważ prędkość i pęd są równoległe (pęd jest masą razy prędkość). ** Drugi składnik pozostaje i prowadzi do momentu siły. * Korzystamy z równania {{Formuła|<MATH>\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}\;</MATH>}}, które jest ogólną postacią drugiej zasady Newtona. ** Dzięki temu otrzymujemy zależność między zmianą momentu pędu a momentem siły. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.67}} możemy napisać, że infinitesymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{N}={{d\vec{K}}\over{dt}}\;</MATH>|1.68}} Równanie {{LinkWzór|1.68}} opisuje ruch jednej cząstki, ale można je uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując ten wzór dla każdej z nich. W układzie wielu cząstek moment pędu całkowity jest sumą momentów pędu wszystkich elementów układu. * Wiedząc, że: ** moment siły działający na ciało A ze strony ciała B ** oraz moment siły działający na ciało B ze strony ciała A sumują się do zera (działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają trzecią zasadę dynamiki Newtona), otrzymujemy, że: * '''momenty sił wewnętrznych''' znoszą się w całkowitej sumie, ** Układ może przekazywać moment pędu między swoimi elementami, lecz nie może go tworzyć ani niszczyć. * pozostają tylko '''momenty sił zewnętrznych'''. ** Jeśli moment sił zewnętrznych jest równy zero, moment pędu całkowity nie zmienia się. Jeśli całkowity moment sił zewnętrznych jest równy zero, to całkowity moment pędu układu jest wielkością stałą w czasie — obowiązuje '''zasada zachowania momentu pędu'''. Zasada ta jest jednym z najważniejszych praw fizyki. Wyjaśnia: * dlaczego łyżwiarz obracający się szybciej po zbliżeniu rąk do ciała zwiększa prędkość obrotu, * dlaczego planety poruszają się szybciej, gdy są bliżej Słońca, * dlaczego wir wodny zwęża się i przyspiesza, * dlaczego gwiazdy zapadające się w supernowe obracają się coraz szybciej. Moment pędu jest wielkością, która ujawnia głęboką symetrię przestrzeni — jego zachowanie wynika z faktu, że przestrzeń nie wyróżnia żadnego kierunku. W ten sposób mechanika klasyczna łączy geometrię świata z dynamiką ruchu. === Energia potencjalna === W tym podrozdziale wprowadzamy jedno z najbardziej fundamentalnych pojęć mechaniki klasycznej: energię potencjalną. Jest to wielkość, która opisuje zdolność układu do wykonania pracy wskutek działania sił zależnych od położenia. Energia potencjalna nie jest energią ruchu — jest energią „ukrytą” w konfiguracji układu, wynikającą z oddziaływań, które mogą zmieniać położenie ciała. Aby jednak można było mówić o energii potencjalnej, siła musi spełniać określone warunki matematyczne, które zapewniają, że praca tej siły nie zależy od drogi, lecz wyłącznie od punktów początkowego i końcowego. Wprowadźmy definicję '''siły potencjalnej''' w taki sposób, że praca tej siły nie zależy od konturu, lecz wyłącznie od punktu początkowego i końcowego ruchu ciała. W takim przypadku praca siły po '''dowolnym zamkniętym konturze''' jest równa zero: {{CentrujWzór|<MATH>\oint_L \vec{F}\,d\vec{r}=0\;</MATH>|1.74}} Równanie {{LinkWzór|1.74}} jest jednym z najważniejszych warunków w teorii pól wektorowych. Oznacza ono, że siła nie wykonuje żadnej „cyrkulacji” wokół zamkniętej krzywej. Jeśli praca po zamkniętym konturze jest równa zero, to siła jest polem bezwirowym — jej działanie nie zależy od tego, jaką drogą porusza się ciało, lecz tylko od punktów początkowego i końcowego. Korzystając z twierdzenia Stokesa i definicji '''rotacji''' pola wektorowego, równanie {{LinkWzór|1.74}} możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH> 0=\oint_L \vec{F}\,d\vec{r} =\int_S \operatorname{rot}\vec{F}\,d\vec{S} \;</MATH>|1.75}} Twierdzenie Stokesa jest jednym z najważniejszych twierdzeń analizy wektorowej. Łączy ono całkę po konturze z całką po powierzchni, ujawniając głęboką strukturę pola wektorowego. Jeśli rotacja pola jest równa zero, to całka po dowolnym konturze również jest równa zero. Na podstawie wniosku z {{LinkWzór|1.75}} otrzymujemy warunek konieczny i wystarczający na istnienie potencjału: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0\;</MATH>|1.76}} Warunek ten jest absolutnie fundamentalny: tylko pola o zerowej rotacji mogą być polami potencjalnymi. Oznacza to, że siła musi być „bezwirowa”, aby można było przypisać jej energię potencjalną. ---- * '''Niezależność pracy od drogi''' Udowodnijmy teraz, korzystając z równania {{LinkWzór|1.74}}, że całka pracy siły potencjalnej między punktami A i B jest niezależna od krzywej łączącej te punkty: {{CentrujWzór|<MATH> 0=\oint \vec{F}\,d\vec{r} =\int_{A(1)}^B \vec{F}\,d\vec{r} +\int_{B(2)}^A \vec{F}\,d\vec{r} =\int_{A(1)}^B \vec{F}\,d\vec{r} -\int_{A(2)}^B \vec{F}\,d\vec{r} \Rightarrow \int_{A(1)}^B \vec{F}\,d\vec{r} =\int_{A(2)}^B \vec{F}\,d\vec{r} \;</MATH>|1.77}} Widzimy zatem, że dla sił spełniających warunek {{LinkWzór|1.74}} lub równoważny {{LinkWzór|1.76}}, praca między punktami A i B '''nie zależy od drogi'''. Jest to definicja siły potencjalnej: siła taka „pamięta” tylko punkty początkowy i końcowy, a nie drogę, którą ciało przebyło. ---- * '''Definicja energii potencjalnej''' Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, to energię potencjalną definiujemy jako: {{CentrujWzór|<MATH> U(\vec{r})=-\int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{F}\,d\vec{r} \Rightarrow dU=-\vec{F}\,d\vec{r} \Rightarrow \operatorname{grad}U\,d\vec{r}=-\vec{F}\,d\vec{r} \Rightarrow \vec{F}=-\operatorname{grad}U \;</MATH>|1.78}} Otrzymujemy więc fundamentalną zależność: * '''siła potencjalna jest gradientem energii potencjalnej ze znakiem minus''', * kierunek siły jest przeciwny do kierunku wzrostu energii potencjalnej. Jest to jedno z najważniejszych równań w mechanice klasycznej — łączy ono siłę z energią w sposób całkowicie ogólny. ---- * '''Klasyfikacja sił''' ** '''Siły potencjalne''' — siły posiadające potencjał, spełniające warunek {{Formuła|<MATH>\operatorname{rot}\vec{F}=0</MATH>}}. ** '''Siły konserwatywne''' — siły potencjalne '''niezależne od czasu'''; energia potencjalna jest zachowana. ** '''Siły niepotencjalne''' — siły, które '''nie posiadają potencjału''', np. siły tarcia; ich praca zależy od drogi. W ten sposób otrzymujemy pełną i spójną definicję energii potencjalnej oraz warunki, jakie musi spełniać siła, aby można było przypisać jej potencjał. ==== Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości ==== W tym fragmencie analizujemy jeden z najbardziej klasycznych i fundamentalnych przypadków energii potencjalnej: energię potencjalną ciała znajdującego się w jednorodnym polu sił ciężkości. Jest to sytuacja, która pojawia się w niezliczonych kontekstach fizycznych — od ruchu spadających ciał, przez dynamikę wahadeł, aż po energię potencjalną obiektów w polu grawitacyjnym Ziemi. Jednorodne pole grawitacyjne jest idealizacją, która doskonale opisuje warunki w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyspieszenie grawitacyjne można uznać za stałe. Niech naszym wektorem siły ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego {{Formuła|<MATH>\vec{g}</MATH>}}, lecz o zwrocie przeciwnym do kierunku osi pionowej rosnącej ku górze. Wektor siły ciężkości zapisujemy więc jako: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-m\vec{g}\;</MATH>|1.79}} Wzór {{LinkWzór|1.79}} jest klasyczną definicją siły ciężkości: siła ta jest skierowana pionowo w dół, ma wartość równą iloczynowi masy i przyspieszenia ziemskiego, a jej kierunek jest przeciwny do osi z rosnącej ku górze. Jest to siła potencjalna, ponieważ jej praca zależy wyłącznie od różnicy wysokości, a nie od drogi, którą ciało przebyło. Zatem energia potencjalna według pierwszej równości {{LinkWzór|1.78}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> U=-\int(-m\vec{g})\,d\vec{r} =m\int_0^{\vec{r}} \vec{g}\,d\vec{r} =mgz \;</MATH>|1.80}} Każdy krok tego wyprowadzenia ma głębokie znaczenie: * Całka z siły ciężkości jest całką z wektora stałego — przyspieszenie grawitacyjne nie zależy od położenia. * Całkowanie sprowadza się do obliczenia iloczynu masy, przyspieszenia ziemskiego i wysokości. * Otrzymujemy energię potencjalną proporcjonalną do wysokości — jest to najprostsza możliwa forma energii potencjalnej. Wynik {{LinkWzór|1.80}} oznacza, że: * energia potencjalna w polu grawitacyjnym zależy wyłącznie od wysokości {{Formuła|<MATH>z</MATH>}}, * jest proporcjonalna do masy ciała i przyspieszenia ziemskiego, * przyjmujemy konwencję, że energia potencjalna rośnie wraz z wysokością. Interpretacja fizyczna jest niezwykle intuicyjna: im wyżej znajduje się ciało, tym większą pracę trzeba wykonać, aby je tam umieścić, a więc tym większą energię potencjalną posiada. Energia ta jest „zmagazynowana” w konfiguracji układu i może zostać uwolniona, gdy ciało zacznie spadać. Jest to klasyczna postać energii potencjalnej w jednorodnym polu grawitacyjnym — jedna z najważniejszych zależności w całej mechanice klasycznej. Wynik ten stanowi fundament dla analizy ruchu w polu grawitacyjnym, dynamiki wahadeł, ruchu balistycznego, a także dla wielu zagadnień związanych z energią mechaniczną. ==== Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego ==== W tym podrozdziale analizujemy energetyczny opis jednego z najważniejszych układów w fizyce klasycznej: oscylatora harmonicznego tłumionego. Jest to układ, który pojawia się w niezliczonych zastosowaniach — od drgań mechanicznych, przez układy elektroniczne, aż po modele atomowe i molekularne. Tłumienie jest zjawiskiem nieodłącznym w rzeczywistych układach: żadna sprężyna nie drga wiecznie, żadna konstrukcja nie wykonuje drgań bez strat, żadna fala nie propaguje się bez rozpraszania energii. Dlatego analiza energetyczna oscylatora tłumionego jest kluczowa dla zrozumienia dynamiki układów fizycznych. Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego {{LinkWzór|1.42|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika/Przykłady}} możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej położenia {{Formuła|<MATH>x\;</MATH>}}, czyli przez {{Formuła|<MATH>\dot{x}\;</MATH>}}. Wykonując to działanie, otrzymujemy zależność energetyczną: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d}{dt}\left(\frac{m\dot{x}^2}{2}+\frac{kx^2}{2}\right) =-2m\beta\,\dot{x}^2 \;</MATH>|1.81}} Wyrażenie po lewej stronie równania {{LinkWzór|1.81}}: {{Formuła|<MATH>\frac{d}{dt}\left(\frac{m\dot{x}^2}{2}+\frac{kx^2}{2}\right)</MATH>}} jest '''czasową pochodną energii całkowitej układu'''. Energia ta składa się z dwóch części: * energii kinetycznej: {{Formuła|<MATH>\frac{m\dot{x}^2}{2}</MATH>}}, * energii potencjalnej sprężyny: {{Formuła|<MATH>\frac{kx^2}{2}</MATH>}}. Suma tych dwóch składników jest energią mechaniczną oscylatora. Pochodna tej sumy względem czasu mówi nam, jak szybko energia mechaniczna zmienia się w czasie. Wyrażenie po prawej stronie równania: {{Formuła|<MATH>-2m\beta\,\dot{x}^2</MATH>}} jest '''mocą sił dysypatywnych''', czyli szybkością, z jaką energia mechaniczna jest tracona wskutek tłumienia. Ponieważ: * współczynnik tłumienia {{Formuła|<MATH>\beta</MATH>}} jest dodatni, * kwadrat prędkości {{Formuła|<MATH>\dot{x}^2</MATH>}} jest zawsze dodatni, całe wyrażenie jest '''ujemne'''. Oznacza to, że tłumienie '''zawsze''' zmniejsza energię układu — nigdy jej nie zwiększa. Jest to fundamentalna cecha sił dysypatywnych: działają one jak „opór energetyczny”, który odbiera układowi energię i zamienia ją na ciepło lub inne formy energii nieodwracalnej. ---- * Interpretacja fizyczna ** Energia całkowita oscylatora harmonicznego tłumionego '''nie jest zachowana'''. ** Tłumienie działa jak „opór energetyczny”, który systematycznie redukuje amplitudę drgań. ** Im większa prędkość {{Formuła|<MATH>\dot{x}</MATH>}}, tym większa moc tracona na skutek tłumienia — energia „ucieka” szybciej, gdy układ porusza się szybciej. ** Równanie {{LinkWzór|1.81}} jest energetycznym odpowiednikiem równania ruchu {{LinkWzór|1.42|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika/Przykłady}}. W ten sposób otrzymujemy pełny opis energetyczny oscylatora harmonicznego tłumionego — pokazujący, jak energia kinetyczna i potencjalna zmieniają się w czasie pod wpływem sił dysypatywnych. Jest to jeden z najważniejszych wyników w analizie układów drgających: tłumienie nie tylko zmienia równanie ruchu, lecz także wpływa na przepływ energii w układzie, prowadząc do stopniowego zaniku drgań. ==== Trójwymiarowy oscylator harmoniczny ==== W tym podrozdziale analizujemy pełną, trójwymiarową wersję oscylatora harmonicznego — jednego z najbardziej fundamentalnych układów w całej fizyce klasycznej i kwantowej. Oscylator harmoniczny w trzech wymiarach jest naturalnym uogólnieniem oscylatora jednowymiarowego, lecz jego struktura matematyczna i fizyczna jest znacznie bogatsza. Układ taki pojawia się w niezliczonych zastosowaniach: w drganiach atomów w cząsteczkach, w modelach kryształów, w dynamice pól kwantowych, w analizie ruchu w potencjałach centralnych, a także w wielu zagadnieniach związanych z symetrią przestrzeni. Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości {{Formuła|<MATH>k\;</MATH>}} i wektora przemieszczenia od położenia równowagi {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, wzięty z minusem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-k\vec{r}\;</MATH>|1.82}} Wzór {{LinkWzór|1.82}} jest naturalnym uogólnieniem prawa Hooke’a na trzy wymiary. Siła sprężystości jest zawsze skierowana przeciwnie do wektora przemieszczenia, a jej wartość rośnie proporcjonalnie do odległości od położenia równowagi. Oznacza to, że układ jest '''centralny''' — siła zawsze wskazuje na środek, niezależnie od kierunku wychylenia. Energię potencjalną zgodnie z definicją {{LinkWzór|1.78}} otrzymujemy jako całkę siły względem infinitezymalnego przesunięcia, również z minusem. Ponieważ siła jest proporcjonalna do wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}\;</MATH>}}, całkowanie wykonujemy składowo: {{CentrujWzór|<MATH> U =-\int_{\vec{0}}^{\vec{r}} \vec{F}\,d\vec{r} =k\int_{\vec{0}}^{\vec{r}} \vec{r}\,d\vec{r} =k\left(\int_0^x x\,dx + \int_0^y y\,dy + \int_0^z z\,dz\right) \;</MATH>}} Każdy składnik całki odpowiada energii potencjalnej wzdłuż jednej osi współrzędnych. Ponieważ siła jest liniowa i niezależna w każdej osi, całkowanie sprowadza się do trzech niezależnych całek jednowymiarowych. Po wykonaniu całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> U =k\left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}z^2\right) =\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2) =\frac{1}{2}k\,\vec{r}^{\,2} \;</MATH>|1.83}} Otrzymujemy energię potencjalną zależną wyłącznie od kwadratu odległości od położenia równowagi. Jest to niezwykle ważny wynik: energia potencjalna trójwymiarowego oscylatora harmonicznego jest funkcją radialną, zależną tylko od długości wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, a nie od kierunku. ---- * '''Interpretacja fizyczna''' ** Energia potencjalna trójwymiarowego oscylatora harmonicznego zależy wyłącznie od odległości od położenia równowagi. ** Powierzchnie stałej energii są '''sferami''' o promieniu {{Formuła|<MATH>r=\sqrt{\frac{2U}{k}}\;</MATH>}}. ** Układ zachowuje pełną symetrię izotropową — sprężyna „ciągnie” ciało zawsze w stronę środka, niezależnie od kierunku wychylenia. Interpretacja ta ma ogromne znaczenie fizyczne: * układ jest '''centralny''', * siła zależy tylko od odległości od środka, * energia potencjalna jest funkcją radialną, * ruch w takim potencjale jest naturalnym modelem dla wielu układów fizycznych, w tym dla oscylacji atomów w cząsteczkach i dla potencjałów kwantowych. Wynik {{LinkWzór|1.83}} jest naturalnym trójwymiarowym uogólnieniem energii potencjalnej oscylatora harmonicznego w jednym wymiarze. Pokazuje on, że struktura matematyczna oscylatora harmonicznego jest niezwykle elegancka: w każdym wymiarze energia potencjalna ma tę samą postać kwadratową, a w trzech wymiarach sumuje się do funkcji radialnej. Układ ten jest jednym z najważniejszych modeli w fizyce — jego symetria, prostota i uniwersalność sprawiają, że stanowi fundament dla wielu teorii, od klasycznej dynamiki po mechanikę kwantową. === Zasada zachowania energii === W tym podrozdziale przechodzimy do jednego z najważniejszych i najbardziej uniwersalnych praw fizyki: zasady zachowania energii. Jest to zasada, która przenika całą mechanikę klasyczną, mechanikę kwantową, teorię pól, termodynamikę, a nawet ogólną teorię względności. Energia jest wielkością, która nie powstaje z niczego i nie znika — może jedynie zmieniać formę. Aby jednak zrozumieć, skąd ta zasada wynika w mechanice Newtonowskiej, musimy przeanalizować równanie ruchu dla układu wielu cząstek i rozdzielić siły działające na układ na różne typy. Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona {{LinkWzór|1.31|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika}} dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na: * '''siły potencjalne''' ** działające '''wewnętrznie''': {{Formuła|<MATH>\vec F_{pij}</MATH>}} ** działające '''zewnętrznie''': {{Formuła|<MATH>\vec F_{pik}'</MATH>}} * '''siły dysypatywne''' ** działające '''wewnętrznie''': {{Formuła|<MATH>\vec F_{zij}</MATH>}} ** działające '''zewnętrznie''': {{Formuła|<MATH>\vec F_{zik}'</MATH>}} Podział ten jest kluczowy: siły potencjalne są siłami, które posiadają energię potencjalną, natomiast siły dysypatywne są siłami, które rozpraszają energię (np. tarcie, opór lepki). Siły wewnętrzne działają między cząstkami układu, natomiast siły zewnętrzne pochodzą spoza układu. Równanie ruchu dla cząstki \(i\) ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\dot{\vec{v}}_i =\sum_j\vec{F}_{zij} +\sum_j\vec{F}_{pij} +\sum_k\vec{F}_{zik}' +\sum_k\vec{F}_{pik}' \;</MATH>|1.69}} Równanie to mówi, że przyspieszenie cząstki wynika ze wszystkich sił działających na nią — zarówno potencjalnych, jak i dysypatywnych, wewnętrznych i zewnętrznych. ---- * '''Przejście do opisu energetycznego''' Pomnóżmy równanie {{LinkWzór|1.69}} przez {{Formuła|<MATH>\vec{v}_i\,dt\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> m_i\dot{\vec{v}}_i\,\vec{v}_i\,dt =\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i +\sum_j\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i +\sum_k\vec{F}_{zik}'d\vec{r}_i +\sum_k\vec{F}_{pik}'d\vec{r}_i \Rightarrow </MATH>{{Br}}<MATH> \Rightarrow d\left(\frac{m_iv_i^2}{2}\right) =\sum_j\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i +\sum_j\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i +\sum_k\vec{F}_{zik}'d\vec{r}_i +\sum_k\vec{F}_{pik}'d\vec{r}_i \;</MATH>|1.70}} Wyrażenie po lewej stronie jest różniczką energii kinetycznej cząstki. Wyrażenia po prawej stronie są pracami wykonywanymi przez różne typy sił. Równanie {{LinkWzór|1.70}} dotyczy jednej cząstki. Sumując je po wszystkich cząstkach układu i korzystając z definicji różniczki energii potencjalnej {{LinkWzór|1.78|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> dT =\underbrace{\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{zij}d\vec{r}_i}_{dW_1} +\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i +\underbrace{\sum_{ki}\vec{F}_{zik}'d\vec{r}_i}_{dW_2} +\underbrace{\sum_{ki}\vec{F}_{pik}'d\vec{r}_i}_{-dU_2} =dW_1+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+dW_2-dU_2 </MATH>{{Br}}<MATH> =dW+\sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-dU_2 \;</MATH>|1.71}} W równaniu tym: * {{Formuła|<MATH>dT</MATH>}} — zmiana energii kinetycznej, * {{Formuła|<MATH>dW</MATH>}} — praca sił dysypatywnych, * {{Formuła|<MATH>dU_1</MATH>}} — zmiana energii potencjalnej sił wewnętrznych, * {{Formuła|<MATH>dU_2</MATH>}} — zmiana energii potencjalnej sił zewnętrznych. ---- * '''Siły potencjalne wewnętrzne''' Rozpatrzmy teraz siły potencjalne działające między cząstkami: {{CentrujWzór|<MATH> \sum_{ij,i\neq j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i =\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i+\vec{F}_{pji}d\vec{r}_j\right) =\sum_{i,j,i<j}\left(\vec{F}_{pij}d\vec{r}_i-\vec{F}_{pij}d\vec{r}_j\right) </MATH>{{Br}}<MATH> =\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d(\vec{r}_i-\vec{r}_j) =\sum_{i,j,i<j}\vec{F}_{pij}d\vec{r}_{ij} =-\sum_{i,j,i<j}dU_{ij} =-dU_1 \;</MATH>|1.72}} W powyższym obliczeniu użyliśmy definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Siły wewnętrzne potencjalne nie zmieniają energii całkowitej — jedynie zamieniają energię kinetyczną na potencjalną i odwrotnie. ---- * '''Końcowy wynik: równanie energii''' Podstawiając wynik {{LinkWzór|1.72}} do równania {{LinkWzór|1.71}}, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> dT=dW-dU_1-dU_2 \Rightarrow dT+d(U_1+U_2)=dW \Rightarrow dT+dU=dW \Rightarrow d(T+U)=dW \Rightarrow dE=dW \;</MATH>|1.73}} Otrzymujemy fundamentalne równanie energii: * energia całkowita układu: {{Formuła|<MATH>E=T+U</MATH>}}, * jej zmiana jest równa pracy sił zewnętrznych: {{Formuła|<MATH>dE=dW</MATH>}}. ---- * '''Interpretacja fizyczna''' ** {{Formuła|<MATH>E=T+U\;</MATH>}} — energia całkowita układu. ** {{Formuła|<MATH>dE=dW\;</MATH>}} — zmiana energii układu jest równa pracy sił zewnętrznych. ** Jeśli siły zewnętrzne nie wykonują pracy (układ izolowany), to: {{Formuła|<MATH>dW=0 \Rightarrow dE=0</MATH>}}. co oznacza, że '''energia całkowita układu jest zachowana'''. ---- * '''Wniosek: zasada zachowania energii''' Zasada zachowania energii jest bezpośrednim skutkiem: * drugiej zasady Newtona, * trzeciej zasady Newtona, * definicji sił potencjalnych, * oraz własności sił dysypatywnych. W układzie izolowanym energia całkowita pozostaje stała — jest to jedno z najważniejszych praw fizyki klasycznej. == Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu == W tym podrozdziale pokazujemy, jak zasady zachowania — momentu pędu i energii — pozwalają sprowadzić pełny problem ruchu w polu centralnym do znacznie prostszego zagadnienia ruchu jednowymiarowego. Jest to jedna z najważniejszych technik w mechanice klasycznej: zamiast rozwiązywać pełne równania ruchu w dwóch lub trzech wymiarach, wykorzystujemy symetrie układu, aby zredukować liczbę stopni swobody. Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie. Z zasady zachowania '''momentu pędu''' i '''energii''', oraz z definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych, mamy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>mr^2\dot{\phi}=L=\operatorname{const}\;</MATH>|1.84}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2\right)+U(r)=E=\operatorname{const}\;</MATH>|1.85}} }} Wzór {{LinkWzór|1.84}} jest wyrazem zasady zachowania momentu pędu: jeśli siła działająca na ciało jest centralna (skierowana wzdłuż promienia), to moment pędu jest stały. Wzór {{LinkWzór|1.85}} jest wyrazem zasady zachowania energii: suma energii kinetycznej (radialnej i kątowej) oraz potencjalnej jest stała. Ze wzoru {{LinkWzór|1.84}} wyznaczamy {{Formuła|<MATH>\dot{\phi}\;</MATH>}} i podstawiamy do równania energii {{LinkWzór|1.85}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}+U(r)=E \;</MATH>|1.86}} Otrzymujemy równanie ruchu w kierunku radialnym. Jest to równanie jednowymiarowe, w którym efekty ruchu kątowego zostały „wbudowane” w dodatkowy składnik: {{Formuła|<MATH>\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} zwany '''barierą odśrodkową'''. To równanie można rozwiązać metodą '''rozdzielenia zmiennych''', otrzymując: {{CentrujWzór|<MATH> dt=\pm\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-U(r)-\frac{L^2}{2mr^2}\right)}} \;</MATH>|1.87}} Zatem czas przejścia z {{Formuła|<MATH>r_0\;</MATH>}} do {{Formuła|<MATH>r\;</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> t-t_0=\pm\int_{r_0}^r \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-U(r)-\frac{L^2}{2mr^2}\right)}} \;</MATH>|1.88}} To równanie opisuje pełną dynamikę radialną — bez konieczności rozwiązywania równania dla kąta. ---- * Kąt obrotu jako funkcja położenia radialnego Z równania momentu pędu {{LinkWzór|1.84}}: {{CentrujWzór|<MATH> d\theta=\frac{L}{mr^2}\,dt \;</MATH>|1.89}} Podstawiając {{Formuła|<MATH>dt\;</MATH>}} z {{LinkWzór|1.87}} i całkując: {{CentrujWzór|<MATH> \theta-\theta_0 =\pm\int_{r_0}^r \frac{L\,dr}{r^2\sqrt{2m\left[E-U(r)-\frac{L^2}{2mr^2}\right]}} \;</MATH>|1.90}} Otrzymujemy pełną zależność kąta od promienia. W ten sposób rozwiązujemy ruch w polu centralnym '''bez rozwiązywania równań różniczkowych drugiego rzędu''' — jedynie całkując równania wynikające z zasad zachowania. ---- * Energia efektywna Wzory {{LinkWzór|1.88}} i {{LinkWzór|1.90}} można zapisać z użyciem '''energii efektywnej''': {{CentrujWzór|<MATH> U_{ef}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2mr^2} \;</MATH>|1.91}} Wtedy równanie radialne ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{m\dot{r}^2}{2}+U_{ef}(r)=E \;</MATH>}} co odpowiada ruchowi '''jednowymiarowemu''' w potencjale {{Formuła|<MATH>U_{ef}(r)</MATH>}}. Składnik {{Formuła|<MATH>\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} jest barierą „odśrodkową” wynikającą z zachowania momentu pędu. Im większy moment pędu, tym większa bariera — ciało nie może zbliżyć się do środka poniżej pewnej minimalnej wartości \(r\). Energia efektywna zależy więc: * od energii potencjalnej {{Formuła|<MATH>U(r)</MATH>}} w polu centralnym, * oraz od momentu pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}. Dzięki temu: * minimum {{Formuła|<MATH>U_{ef}(r)\;</MATH>}} wyznacza możliwe promienie orbit kołowych, * kształt {{Formuła|<MATH>U_{ef}(r)\;</MATH>}} decyduje o tym, czy ruch jest związany (oscylacje radialne), czy rozbiegający (ucieczka do {{Formuła|<MATH>r\to\infty\;</MATH>}}, * ruch w polu centralnym sprowadza się do analizy jednego wykresu — wykresu energii efektywnej. To jest główny sens „wykorzystania zasad zachowania” do rozwiązywania równań ruchu: * symetria układu pozwala zredukować pełny problem dwuwymiarowy do jednowymiarowego, a równania ruchu sprowadzają się do prostych całek. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> fad98ohszr3cza63bitknoh5vsqne2t 0 64139 559060 555444 2026-10-11T01:18:29Z Persino 2851 559060 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Prawa Keplera == === Empiryczne Prawa Keplera i ich ogólnikowe przedstawienie === Prawa Keplera opisują ruch planet wokół gwiazdy lub satelitów wokół planety. Są one jednym z najważniejszych rezultatów klasycznej mechaniki nieba i stanowią pomost między obserwacjami astronomicznymi a teorią Newtonowską. Aby prawa Keplera były dokładnie spełnione, zakładamy, że masa ciała krążącego '''m''' jest dużo mniejsza od masy ciała centralnego '''M''': {{CentrujWzór|<MATH>M \gg m</MATH>}} Warunek ten jest kluczowy: jeśli masa ciała centralnego jest ogromna w porównaniu z masą ciała krążącego, to środek masy układu leży praktycznie w centrum ciała o masie '''M'''. Dzięki temu ciało centralne można traktować jako nieruchome, a ruch ciała o masie '''m''' sprowadza się do ruchu w '''centralnym polu grawitacyjnym'''. W takim przypadku równania ruchu upraszczają się do jednowymiarowego równania radialnego z energią efektywną: {{CentrujWzór|<MATH>U_{\text{ef}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} gdzie składnik {{Formuła|<MATH>\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} jest barierą odśrodkową wynikającą z zachowania momentu pędu. ==== Pierwsze prawo Keplera ==== Planeta porusza się po '''elipsie''', a ciało centralne znajduje się w jednym z jej ognisk. Jest to bezpośredni wynik równania orbity w polu grawitacyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}</MATH>}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} – parametr orbity, * {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} – mimośród elipsy. Równanie to jest rozwiązaniem równania ruchu w polu centralnym dla potencjału grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>U(r)=-\frac{GMm}{r}</MATH>}} i wynika z połączenia zasady zachowania energii oraz momentu pędu. Elipsa jest naturalną krzywą stożkową powstającą w polu grawitacyjnym — inne możliwe krzywe to parabole i hiperbole (dla energii dodatniej). ---- ==== Drugie prawo Keplera ==== Promień wodzący zakreśla '''równe pola w równych odstępach czasu'''. Jest to bezpośrednia konsekwencja zachowania momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}=\frac{L}{m}=\operatorname{const}</MATH>}} Interpretacja: * jeśli planeta jest bliżej Słońca, porusza się szybciej, * jeśli jest dalej, porusza się wolniej, * tak aby pole zakreślane w jednostce czasu było stałe. Jest to geometryczny sposób wyrażenia zasady zachowania momentu pędu. ---- ==== Trzecie prawo Keplera ==== Kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3</MATH>}} Stała proporcjonalności zależy wyłącznie od masy ciała centralnego. Oznacza to, że wszystkie planety krążące wokół tego samego ciała centralnego spełniają tę samą zależność między okresem a półosią wielką. Interpretacja: * im dalej planeta znajduje się od Słońca, tym dłuższy jest jej okres obiegu, * zależność ta jest uniwersalna i wynika z samej struktury pola grawitacyjnego. ---- ===== Dlaczego warunek {{Formuła|<MATH>M \gg m</MATH>}} jest ważny? ===== * środek masy układu leży praktycznie w centrum ciała M, * ciało centralne można traktować jako nieruchome, * równania ruchu upraszczają się do ruchu jednej cząstki w polu centralnym, * obowiązuje energia efektywna: {{CentrujWzór|<MATH>U_{\text{ef}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} co pozwala sprowadzić pełny problem orbitalny do jednowymiarowego równania radialnego. W ten sposób ruch planetarny staje się prostym ruchem w potencjale efektywnym, a prawa Keplera wynikają bezpośrednio z zasad zachowania energii i momentu pędu. === Półempiryczne przedstawienie praw Keplera === ==== Pierwsze Prawo Keplera ==== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Pierwsze Prawo Keplera jest jednym z najbardziej fundamentalnych wyników mechaniki nieba. Mówi ono, że tor ruchu planety nie jest okręgiem, spiralą ani żadną krzywą przypadkową — lecz '''elipsą''', czyli krzywą stożkową o dwóch ogniskach. W polu grawitacyjnym Newtona jedno z tych ognisk zajmuje ciało centralne (np. Słońce). Własność elipsy, którą wykorzystujemy, to klasyczna tożsamość geometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Tożsamość ta mówi, że suma odległości od dwóch ognisk jest stała dla każdego punktu elipsy. Jest to definicja elipsy w geometrii klasycznej. ===== Równanie elipsy w układzie biegunowym ===== Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnym od stałej mimośrodu {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} oraz parametrów {{Formuła|<MATH>a</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>b</MATH>}}. Odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=\frac{p}{1+e\cos\psi}</MATH>|1.93}} Wzór ten jest '''dokładnie tym samym równaniem''', które otrzymujemy z równania Newtona dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}</MATH>}} co pokazuje, że '''orbita planetarna jest elipsą z ogniskiem w ciele centralnym'''. ===== Parametry elipsy ===== Stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}} mają postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=\frac{b^2}{a}</MATH>|1.94}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}} |3={{CentrujWzór|<MATH>e=\frac{c}{a}\leq 1</MATH>|1.96}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>a</MATH>}} — półoś wielka elipsy, * {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} — półoś mała, * {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} — odległość ogniska od środka elipsy, * {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} — mimośród, miara „spłaszczenia” elipsy, * {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} — parametr orbity, związany z geometrią elipsy i momentem pędu. Warto zauważyć: * jeśli {{Formuła|<MATH>e=0</MATH>}}, elipsa staje się okręgiem, * jeśli {{Formuła|<MATH>e\to 1</MATH>}}, elipsa staje się bardzo wydłużona, * jeśli {{Formuła|<MATH>e>1</MATH>}}, równanie opisuje hiperbolę — tor ucieczki. W polu grawitacyjnym Newtona: * '''orbity związane''' mają {{Formuła|<MATH>0\le e<1</MATH>}}, * '''orbity paraboliczne''' mają {{Formuła|<MATH>e=1</MATH>}}, * '''orbity hiperboliczne''' mają {{Formuła|<MATH>e>1</MATH>}}. Pierwsze Prawo Keplera jest więc naturalnym wynikiem równania orbity w polu centralnym. ==== Drugie Prawo Keplera ==== {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Drugie Prawo Keplera jest bezpośrednią konsekwencją '''zasady zachowania momentu pędu''' w ruchu w polu centralnym. W polu grawitacyjnym Newtona siła działa zawsze wzdłuż promienia, dlatego nie wywiera momentu względem ciała centralnego. W rezultacie moment pędu planety jest stały: {{CentrujWzór|<MATH>L = mr^2\dot{\phi} = \text{const}</MATH>}} Stałość momentu pędu oznacza, że iloczyn {{Formuła|<MATH>r^2\dot{\phi}</MATH>}} nie zmienia się w czasie. Jeśli planeta zbliża się do Słońca (małe {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}), to prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\phi}</MATH>}} musi wzrosnąć. Jeśli oddala się (duże {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}), prędkość kątowa maleje. To jest dokładnie treść II Prawa Keplera. ===== Interpretacja geometryczna ===== Pole zakreślane przez promień wodzący w czasie {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>dA = \frac{1}{2} r^2\, d\phi</MATH>}} Jest to pole małego trójkąta o bokach: * {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} — promień wodzący, * {{Formuła|<MATH>r\,d\phi</MATH>}} — łuk kołowy w czasie {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}}. Korzystając z zachowania momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>dA = \frac{L}{2m}\, dt</MATH>}} Widzimy, że: * {{Formuła|<MATH>dA</MATH>}} jest '''proporcjonalne''' do {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}}, * czyli w '''równych odstępach czasu''' zakreślane są '''równe pola'''. To jest dokładnie treść II Prawa Keplera — ale teraz wyprowadzona z czystej mechaniki Newtonowskiej. ---- ===== Konsekwencja fizyczna ===== Z tego prawa wynika, że: * w '''peryhelium''' (blisko Słońca, małe {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}) planeta porusza się '''szybciej''', * w '''aphelium''' (daleko od Słońca, duże {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}) planeta porusza się '''wolniej'''. To zachowanie jest naturalnym skutkiem tego, że moment pędu jest stały — gdy {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} maleje, {{Formuła|<MATH>\dot{\phi}</MATH>}} musi rosnąć, aby zachować wartość {{Formuła|<MATH>mr^2\dot{\phi}</MATH>}}. W ten sposób II Prawo Keplera jest geometrycznym i fizycznym wyrazem zasady zachowania momentu pędu. ==== Trzecie Prawo Keplera ==== ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy.'' To fundamentalne prawo ruchu planetarnego zapisujemy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}</MATH>|1.97}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>T_1, T_2</MATH>}} — okresy obiegu dwóch planet, * {{Formuła|<MATH>a_1, a_2</MATH>}} — długości półosi wielkich ich orbit. Trzecie Prawo Keplera jest jednym z najgłębszych związków między geometrią orbity a dynamiką ruchu w polu grawitacyjnym. Pokazuje ono, że '''czas obiegu planety zależy wyłącznie od jej odległości od ciała centralnego''', a nie od jej masy czy kształtu orbity (o ile jest to elipsa). ===== Wyprowadzenie fizyczne — równowaga sił w ruchu orbitalnym ===== Trzecie Prawo Keplera wynika z dynamiki ruchu w polu grawitacyjnym i jest konsekwencją równowagi między: * '''siłą grawitacji''' {{Formuła|<MATH>F_g=\frac{GMm}{r^2}</MATH>}}. * '''siłą odśrodkową''' wynikającą z ruchu po orbicie {{Formuła|<MATH>F_o=\frac{mv^2}{r}</MATH>}}. W ruchu orbitalnym po okręgu (lub w przybliżeniu po elipsie, jeśli użyjemy średniego promienia) zachodzi równowaga: {{CentrujWzór|<MATH>\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}</MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=\frac{GM}{r}</MATH>}} Prędkość orbitalna związana jest z okresem obiegu: {{CentrujWzór|<MATH>v=\frac{2\pi r}{T}</MATH>}} Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2=\frac{GM}{r}</MATH>}} Po przekształceniu: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3</MATH>}} Jeśli zamiast promienia okręgu użyjemy półosi wielkiej elipsy {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}, otrzymujemy pełne trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3</MATH>}} ---- ===== Interpretacja fizyczna ===== * Im dalej planeta znajduje się od Słońca, tym wolniej się porusza. * Zależność jest bardzo silna: jeśli odległość wzrośnie dwukrotnie, okres wzrasta ponad '''dwukrotnie''' — dokładnie jak {{Formuła|<MATH>\sqrt{8}\;</MATH>}}. * Wszystkie planety krążące wokół tego samego ciała centralnego spełniają tę samą zależność. Trzecie Prawo Keplera jest więc '''uniwersalnym prawem ruchu w polu grawitacyjnym''', zależnym wyłącznie od masy ciała centralnego. ---- ===== Znaczenie astronomiczne ===== Prawo to pozwala: * wyznaczać masę Słońca z okresów i półosi orbit planet, * określać masy planet z okresów ich księżyców, * analizować stabilność układów planetarnych, * badać egzoplanety na podstawie krzywych jasności (metoda tranzytowa). Trzecie Prawo Keplera jest jednym z najważniejszych narzędzi astronomii obserwacyjnej i teoretycznej. == Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera == {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} Drugie Prawo Keplera jest jednym z najbardziej eleganckich i geometrycznie intuicyjnych praw mechaniki nieba. Mówi ono, że: ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' W języku mechaniki Newtonowskiej oznacza to, że '''prędkość polowa''' jest stała. A prędkość polowa jest bezpośrednio związana z '''momentem pędu''', który w polu centralnym jest wielkością zachowaną. === Prędkość polowa === Wprowadźmy pojęcie '''prędkości polowej''', która zależy od położenia ciała na elipsie oraz jego prędkości liniowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}=\frac{1}{2}\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Jest to wektor skierowany prostopadle do płaszczyzny ruchu, a jego wartość opisuje szybkość, z jaką promień wodzący zakreśla pole. Długość wektora prędkości polowej wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>u=\frac{1}{2}\,r\,v\,\sin\beta</MATH>|1.99}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} — odległość od ogniska, * {{Formuła|<MATH>v</MATH>}} — prędkość liniowa, * {{Formuła|<MATH>\beta</MATH>}} — kąt między wektorami {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}. === Dowód wzorów {{LinkWzór|1.98}} i {{LinkWzór|1.99}} === Rozważmy pole elipsy zakreślone w czasie {{Formuła|<MATH>\Delta t</MATH>}}. Pole trójkąta o bokach {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>v\Delta t</MATH>}}, zawierających kąt {{Formuła|<MATH>\pi-\beta</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta S=\frac{1}{2}r\,v\,\Delta t\,\sin(\pi-\beta) \Rightarrow \Delta S=\frac{1}{2}r\,v\,\Delta t\,\sin\beta </MATH>|1.100}} Definicja prędkości polowej: {{CentrujWzór|<MATH> u=\frac{\Delta S}{\Delta t} </MATH>|1.101}} Podstawiając równanie {{LinkWzór|1.100}} do {{LinkWzór|1.101}}, otrzymujemy wzór {{LinkWzór|1.99}}. Z kolei korzystając z definicji długości iloczynu wektorowego: {{Formuła|<MATH>\|\vec{r}\times\vec{v}\| = r\,v\,\sin\beta</MATH>}}, otrzymujemy wektorową postać prędkości polowej — wzór {{LinkWzór|1.98}}. === Związek prędkości polowej z momentem pędu === Moment pędu ciała o masie {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} poruszającego się po elipsie wokół jednego z ognisk wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K}=\vec{r}\times m\vec{v} = m(\vec{r}\times\vec{v}) = 2m\vec{u} </MATH>|1.102}} Zatem: * prędkość polowa {{Formuła|<MATH>\vec{u}</MATH>}} jest '''proporcjonalna''' do momentu pędu, * moment pędu jest '''stały''' w ruchu w polu centralnym, * więc prędkość polowa jest również '''stała'''. Stałość prędkości polowej oznacza, że w równych odstępach czasu zakreślane są równe pola. To jest dokładnie treść Drugiego Prawa Keplera. === Wniosek === Drugie Prawo Keplera: * „Promień wodzący zakreśla w równych odstępach czasu równe pola” jest '''innym sformułowaniem zasady zachowania momentu pędu'''. Stałość momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec{K}</MATH>}} oznacza stałość prędkości polowej {{Formuła|<MATH>\vec{u}</MATH>}}, a to dokładnie prowadzi do II Prawa Keplera. W ten sposób geometria orbity i dynamika Newtonowska łączą się w jedno z najpiękniejszych praw mechaniki nieba. == Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera == {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Keplera dla dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsami, z punktami ogniskowymi F1 i F2 dla pierwszej planety oraz F1 i F3 dla drugiej planety. Słońce jest umieszczone w punkcie ogniskowym F1. (2) Oba zacienione sektory A1 i A2 mają taką samą powierzchnię, a czas potrzebny planecie 1 na pokrycie sektora A1 jest równy czasowi na pokrycie sektora A2. (3) Stosunek kwadratów okresów obiegu planet 1 i 2 ma się jak stosunek sześcianów ich półosi wielkich.}} Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona z praw Keplera jest jednym z najpiękniejszych osiągnięć mechaniki klasycznej. Pokazuje ono, że '''z czysto geometrycznych i obserwacyjnych praw Keplera''' można wydedukować '''dokładną postać siły grawitacyjnej'''. Kluczowe fakty: * prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest proporcjonalna do momentu pędu, * moment pędu jest zachowany {{LinkWzór|1.84|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, * orbita jest elipsą, więc odwrotność promienia jest funkcją kąta. ---- === Siła radialna z kinematyki w układzie biegunowym === Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało o masie {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} działa siła skierowana radialnie względem ciała o masie {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}. Siłę radialną wyznaczamy z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = ma_r = m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}\right) </MATH>|1.103}} ---- === Równanie orbity — elipsa === Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} jest zależna od kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r=\frac{k}{1+\epsilon\cos\phi} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{r}=\frac{1}{k}\left(1+\epsilon\cos\phi\right) </MATH>|1.104}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\dot{r}}{r^{2}}=\frac{\epsilon}{k}\dot{\phi}\sin\phi </MATH>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = mr^{2}\dot{\phi} \quad\Rightarrow\quad r^{2}\dot{\phi}=\frac{L}{m} </MATH>|1.106}} Podstawiamy do {{LinkWzór|1.105}}: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{r}=\frac{\epsilon L}{km}\sin\phi </MATH>|1.107}} Różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot{r} =\frac{\epsilon L^{2}}{km^{2}r^{2}}\cos\phi </MATH>|1.108}} Z równania na moment pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\phi}^{2}=\frac{L^{2}}{m^{2}r^{4}} \Rightarrow r\dot{\phi}^{2}=\frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} </MATH>|1.109}} ---- === Siła radialna — wynik po podstawieniu === Korzystając z {{LinkWzór|1.108}} i {{LinkWzór|1.109}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}\right) = \frac{L^{2}}{mr^{2}}\left(\frac{\epsilon}{k}\cos\phi-\frac{1}{r}\right) </MATH>|1.110}} Podstawiamy {{LinkWzór|1.104}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = -\frac{L^{2}}{kmr^{2}} </MATH>|1.111}} To jest kluczowy wynik: **siła radialna jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości**. ---- === Związek z II Prawem Keplera i okresem obiegu === Z drugiego prawa Keplera: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m} </MATH>}} Pole elipsy wynosi {{Formuła|<MATH>\pi ab</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{2\pi ab\,m}{L} \Rightarrow T^{2}=\frac{4\pi^{2}a^{2}b^{2}m^{2}}{L^{2}} </MATH>|1.112}} Stosunek: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}b^{2}m^{2}}{L^{2}a} </MATH>}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\frac{b^{2}}{a}=k</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}k m^{2}}{L^{2}} = \text{const} </MATH>|1.113}} To jest dokładnie '''Trzecie Prawo Keplera'''. ---- === Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona === Wprowadzamy stałą: {{CentrujWzór|<MATH> f=\frac{L^{2}}{km^{2}} </MATH>}} Wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.111}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r=-\frac{fm}{r^{2}} </MATH>|1.114}} Aby siła była symetryczna względem masy ciała centralnego {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} i masy ciała krążącego {{Formuła|<MATH>m</MATH>}}, przyjmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> f=GM </MATH>}} Ostatecznie otrzymujemy '''prawo grawitacji Newtona''': {{CentrujWzór|<MATH> F_r=-\frac{GMm}{r^{2}} </MATH>|1.115}} ---- === Wniosek === Z '''trzech praw Keplera''', czysto geometrycznych i obserwacyjnych, można wyprowadzić: * postać siły grawitacyjnej, * zależność odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości, * pełne prawo Newtona. To jest jedno z najpiękniejszych połączeń geometrii, astronomii i dynamiki w historii nauki. == Uogólnienie trzeciej zasady Keplera == Uogólnienie trzeciego prawa Keplera jest jednym z najważniejszych rezultatów mechaniki nieba. Pozwala ono opisać ruch '''dwóch ciał o dowolnych masach''', a nie tylko przypadek, w którym jedno ciało ma masę znacznie większą od drugiego. W tym ujęciu oba ciała krążą wokół wspólnego środka masy, a ich ruch jest w pełni symetryczny. === Siła dośrodkowa i prawo grawitacji === Siłę dośrodkową definiujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=\frac{mv^2}{r}</MATH>}} Łącząc ją z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, otrzymujemy równania opisujące ruch dwóch ciał krążących po okręgach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>G\frac{Mm}{R^2}=\frac{Mv_1^2}{r_1}</MATH>|1.116}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>G\frac{Mm}{R^2}=\frac{Mv_2^2}{r_2}</MATH>|1.117}} }} gdzie: * {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} — odległość między ciałami, * {{Formuła|<MATH>r_1</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2</MATH>}} — promienie orbit względem środka masy. ---- === Przekształcenie równań — wyznaczenie zależności geometrycznych === Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy przekształcić tak, aby wyznaczyć wartości {{Formuła|<MATH>R^2 r_1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>R^2 r_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_1 = Gm\,\frac{r_1^2}{v_1^2}</MATH>|1.118}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_2 = GM\,\frac{r_2^2}{v_2^2}</MATH>|1.119}} }} Z drugiej strony wiadomo, że: {{CentrujWzór|<MATH> v=\frac{2\pi r}{T} \Rightarrow T=\frac{2\pi r}{v} \Rightarrow \frac{T}{2\pi}=\frac{r}{v} </MATH>}} Podstawiając tę zależność do równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_1 = \frac{T^2}{4\pi^2} Gm</MATH>|1.120}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_2 = \frac{T^2}{4\pi^2} GM</MATH>|1.121}} }} Ponieważ suma promieni: {{CentrujWzór|<MATH>r_1 + r_2 = R</MATH>}} otrzymujemy fundamentalną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> T^2 (m+M) = R^3\,\frac{4\pi^2}{G} </MATH>|1.122}} To jest '''uogólnione trzecie prawo Keplera''' dla dwóch ciał o dowolnych masach. ---- === Uogólnione prawo Keplera dla dwóch układów === Dzieląc obustronnie równania opisujące dwie orbity dwóch ciał krążących wokół dwóch gwiazd, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T_1^2 (M_1 + m_1)}{T_2^2 (M_2 + m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3} </MATH>|1.123}} Jest to najbardziej ogólna forma trzeciego prawa Keplera. === Przejście do klasycznego trzeciego prawa Keplera === Jeśli dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i przyjmiemy: {{CentrujWzór|<MATH> M_1 \gg m_1,\quad M_2 \gg m_2,\quad M_1 = M_2 = M </MATH>}} to otrzymujemy klasyczne trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} </MATH>|1.124}} czyli: ''Kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej.'' === Wniosek === Uogólnione trzecie prawo Keplera: * działa dla '''dowolnych mas''', * opisuje ruch '''dwóch ciał wokół wspólnego środka masy''', * redukuje się do klasycznego prawa Keplera, gdy jedno ciało jest bardzo masywne. Jest to jedno z najważniejszych praw mechaniki nieba, łączące geometrię orbit z dynamiką grawitacyjną. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> ia3p135dw0frwpwlhyh6lx7t7byfiyn 559061 559060 2026-10-11T01:20:47Z Persino 2851 559061 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Prawa Keplera == === Empiryczne Prawa Keplera i ich ogólnikowe przedstawienie === Prawa Keplera opisują ruch planet wokół gwiazdy lub satelitów wokół planety. Są one jednym z najważniejszych rezultatów klasycznej mechaniki nieba i stanowią pomost między obserwacjami astronomicznymi a teorią Newtonowską. Aby prawa Keplera były dokładnie spełnione, zakładamy, że masa ciała krążącego '''m''' jest dużo mniejsza od masy ciała centralnego '''M''': {{CentrujWzór|<MATH>M \gg m</MATH>}} Warunek ten jest kluczowy: jeśli masa ciała centralnego jest ogromna w porównaniu z masą ciała krążącego, to środek masy układu leży praktycznie w centrum ciała o masie '''M'''. Dzięki temu ciało centralne można traktować jako nieruchome, a ruch ciała o masie '''m''' sprowadza się do ruchu w '''centralnym polu grawitacyjnym'''. W takim przypadku równania ruchu upraszczają się do jednowymiarowego równania radialnego z energią efektywną: {{CentrujWzór|<MATH>U_{\text{ef}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} gdzie składnik {{Formuła|<MATH>\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} jest barierą odśrodkową wynikającą z zachowania momentu pędu. ==== Pierwsze prawo Keplera ==== Planeta porusza się po '''elipsie''', a ciało centralne znajduje się w jednym z jej ognisk. Jest to bezpośredni wynik równania orbity w polu grawitacyjnym: {{CentrujWzór|<MATH>r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}</MATH>}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} – parametr orbity, * {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} – mimośród elipsy. Równanie to jest rozwiązaniem równania ruchu w polu centralnym dla potencjału grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>U(r)=-\frac{GMm}{r}</MATH>}} i wynika z połączenia zasady zachowania energii oraz momentu pędu. Elipsa jest naturalną krzywą stożkową powstającą w polu grawitacyjnym — inne możliwe krzywe to parabole i hiperbole (dla energii dodatniej). ==== Drugie prawo Keplera ==== Promień wodzący zakreśla '''równe pola w równych odstępach czasu'''. Jest to bezpośrednia konsekwencja zachowania momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>r^2\dot{\phi}=\frac{L}{m}=\operatorname{const}</MATH>}} Interpretacja: * jeśli planeta jest bliżej Słońca, porusza się szybciej, * jeśli jest dalej, porusza się wolniej, * tak aby pole zakreślane w jednostce czasu było stałe. Jest to geometryczny sposób wyrażenia zasady zachowania momentu pędu. ==== Trzecie prawo Keplera ==== Kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej elipsy: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3</MATH>}} Stała proporcjonalności zależy wyłącznie od masy ciała centralnego. Oznacza to, że wszystkie planety krążące wokół tego samego ciała centralnego spełniają tę samą zależność między okresem a półosią wielką. Interpretacja: * im dalej planeta znajduje się od Słońca, tym dłuższy jest jej okres obiegu, * zależność ta jest uniwersalna i wynika z samej struktury pola grawitacyjnego. ===== Dlaczego warunek {{Formuła|<MATH>M \gg m</MATH>}} jest ważny? ===== * środek masy układu leży praktycznie w centrum ciała M, * ciało centralne można traktować jako nieruchome, * równania ruchu upraszczają się do ruchu jednej cząstki w polu centralnym, * obowiązuje energia efektywna: {{CentrujWzór|<MATH>U_{\text{ef}}(r)=U(r)+\frac{L^2}{2mr^2}</MATH>}} co pozwala sprowadzić pełny problem orbitalny do jednowymiarowego równania radialnego. W ten sposób ruch planetarny staje się prostym ruchem w potencjale efektywnym, a prawa Keplera wynikają bezpośrednio z zasad zachowania energii i momentu pędu. === Półempiryczne przedstawienie praw Keplera === ==== Pierwsze Prawo Keplera ==== {{Rysunek|Kepler_1.jpg|wk1|Graficzna interpretacja I Prawa Keplera}} ''Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.'' Pierwsze Prawo Keplera jest jednym z najbardziej fundamentalnych wyników mechaniki nieba. Mówi ono, że tor ruchu planety nie jest okręgiem, spiralą ani żadną krzywą przypadkową — lecz '''elipsą''', czyli krzywą stożkową o dwóch ogniskach. W polu grawitacyjnym Newtona jedno z tych ognisk zajmuje ciało centralne (np. Słońce). Własność elipsy, którą wykorzystujemy, to klasyczna tożsamość geometryczna: {{CentrujWzór|<MATH>\overline{F_1P_1}+\overline{P_1F_2}=\overline{F_1P_2}+\overline{P_2F_2}</MATH>|1.92}} Tożsamość ta mówi, że suma odległości od dwóch ognisk jest stała dla każdego punktu elipsy. Jest to definicja elipsy w geometrii klasycznej. ===== Równanie elipsy w układzie biegunowym ===== Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnym od stałej mimośrodu {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} oraz parametrów {{Formuła|<MATH>a</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>b</MATH>}}. Odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta {{Formuła|<MATH>\psi</MATH>}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>\rho=\frac{p}{1+e\cos\psi}</MATH>|1.93}} Wzór ten jest '''dokładnie tym samym równaniem''', które otrzymujemy z równania Newtona dla pola grawitacyjnego: {{CentrujWzór|<MATH>r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}</MATH>}} co pokazuje, że '''orbita planetarna jest elipsą z ogniskiem w ciele centralnym'''. ===== Parametry elipsy ===== Stałe występujące we wzorze {{LinkWzór|1.93}} mają postać: {{ElastycznyWiersz |1={{CentrujWzór|<MATH>p=\frac{b^2}{a}</MATH>|1.94}} |2={{CentrujWzór|<MATH>c=\sqrt{a^2-b^2}</MATH>|1.95}} |3={{CentrujWzór|<MATH>e=\frac{c}{a}\leq 1</MATH>|1.96}} }} Interpretacja: * {{Formuła|<MATH>a</MATH>}} — półoś wielka elipsy, * {{Formuła|<MATH>b</MATH>}} — półoś mała, * {{Formuła|<MATH>c</MATH>}} — odległość ogniska od środka elipsy, * {{Formuła|<MATH>e</MATH>}} — mimośród, miara „spłaszczenia” elipsy, * {{Formuła|<MATH>p</MATH>}} — parametr orbity, związany z geometrią elipsy i momentem pędu. Warto zauważyć: * jeśli {{Formuła|<MATH>e=0</MATH>}}, elipsa staje się okręgiem, * jeśli {{Formuła|<MATH>e\to 1</MATH>}}, elipsa staje się bardzo wydłużona, * jeśli {{Formuła|<MATH>e>1</MATH>}}, równanie opisuje hiperbolę — tor ucieczki. W polu grawitacyjnym Newtona: * '''orbity związane''' mają {{Formuła|<MATH>0\le e<1</MATH>}}, * '''orbity paraboliczne''' mają {{Formuła|<MATH>e=1</MATH>}}, * '''orbity hiperboliczne''' mają {{Formuła|<MATH>e>1</MATH>}}. Pierwsze Prawo Keplera jest więc naturalnym wynikiem równania orbity w polu centralnym. ==== Drugie Prawo Keplera ==== {{Rysunek|Comète trajectoire 7.svg|g1|Ilustracja II Prawa Keplera}} ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' Drugie Prawo Keplera jest bezpośrednią konsekwencją '''zasady zachowania momentu pędu''' w ruchu w polu centralnym. W polu grawitacyjnym Newtona siła działa zawsze wzdłuż promienia, dlatego nie wywiera momentu względem ciała centralnego. W rezultacie moment pędu planety jest stały: {{CentrujWzór|<MATH>L = mr^2\dot{\phi} = \text{const}</MATH>}} Stałość momentu pędu oznacza, że iloczyn {{Formuła|<MATH>r^2\dot{\phi}</MATH>}} nie zmienia się w czasie. Jeśli planeta zbliża się do Słońca (małe {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}), to prędkość kątowa {{Formuła|<MATH>\dot{\phi}</MATH>}} musi wzrosnąć. Jeśli oddala się (duże {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}), prędkość kątowa maleje. To jest dokładnie treść II Prawa Keplera. ===== Interpretacja geometryczna ===== Pole zakreślane przez promień wodzący w czasie {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}} wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>dA = \frac{1}{2} r^2\, d\phi</MATH>}} Jest to pole małego trójkąta o bokach: * {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} — promień wodzący, * {{Formuła|<MATH>r\,d\phi</MATH>}} — łuk kołowy w czasie {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}}. Korzystając z zachowania momentu pędu: {{CentrujWzór|<MATH>dA = \frac{L}{2m}\, dt</MATH>}} Widzimy, że: * {{Formuła|<MATH>dA</MATH>}} jest '''proporcjonalne''' do {{Formuła|<MATH>dt</MATH>}}, * czyli w '''równych odstępach czasu''' zakreślane są '''równe pola'''. To jest dokładnie treść II Prawa Keplera — ale teraz wyprowadzona z czystej mechaniki Newtonowskiej. ===== Konsekwencja fizyczna ===== Z tego prawa wynika, że: * w '''peryhelium''' (blisko Słońca, małe {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}) planeta porusza się '''szybciej''', * w '''aphelium''' (daleko od Słońca, duże {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}) planeta porusza się '''wolniej'''. To zachowanie jest naturalnym skutkiem tego, że moment pędu jest stały — gdy {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} maleje, {{Formuła|<MATH>\dot{\phi}</MATH>}} musi rosnąć, aby zachować wartość {{Formuła|<MATH>mr^2\dot{\phi}</MATH>}}. W ten sposób II Prawo Keplera jest geometrycznym i fizycznym wyrazem zasady zachowania momentu pędu. ==== Trzecie Prawo Keplera ==== ''Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy.'' To fundamentalne prawo ruchu planetarnego zapisujemy równaniem: {{CentrujWzór|<MATH>\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}</MATH>|1.97}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>T_1, T_2</MATH>}} — okresy obiegu dwóch planet, * {{Formuła|<MATH>a_1, a_2</MATH>}} — długości półosi wielkich ich orbit. Trzecie Prawo Keplera jest jednym z najgłębszych związków między geometrią orbity a dynamiką ruchu w polu grawitacyjnym. Pokazuje ono, że '''czas obiegu planety zależy wyłącznie od jej odległości od ciała centralnego''', a nie od jej masy czy kształtu orbity (o ile jest to elipsa). ===== Wyprowadzenie fizyczne — równowaga sił w ruchu orbitalnym ===== Trzecie Prawo Keplera wynika z dynamiki ruchu w polu grawitacyjnym i jest konsekwencją równowagi między: * '''siłą grawitacji''' {{Formuła|<MATH>F_g=\frac{GMm}{r^2}</MATH>}}. * '''siłą odśrodkową''' wynikającą z ruchu po orbicie {{Formuła|<MATH>F_o=\frac{mv^2}{r}</MATH>}}. W ruchu orbitalnym po okręgu (lub w przybliżeniu po elipsie, jeśli użyjemy średniego promienia) zachodzi równowaga: {{CentrujWzór|<MATH>\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}</MATH>}} Po uproszczeniu: {{CentrujWzór|<MATH>v^2=\frac{GM}{r}</MATH>}} Prędkość orbitalna związana jest z okresem obiegu: {{CentrujWzór|<MATH>v=\frac{2\pi r}{T}</MATH>}} Podstawiając: {{CentrujWzór|<MATH>\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2=\frac{GM}{r}</MATH>}} Po przekształceniu: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3</MATH>}} Jeśli zamiast promienia okręgu użyjemy półosi wielkiej elipsy {{Formuła|<MATH>a</MATH>}}, otrzymujemy pełne trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3</MATH>}} ===== Interpretacja fizyczna ===== * Im dalej planeta znajduje się od Słońca, tym wolniej się porusza. * Zależność jest bardzo silna: jeśli odległość wzrośnie dwukrotnie, okres wzrasta ponad '''dwukrotnie''' — dokładnie jak {{Formuła|<MATH>\sqrt{8}\;</MATH>}}. * Wszystkie planety krążące wokół tego samego ciała centralnego spełniają tę samą zależność. Trzecie Prawo Keplera jest więc '''uniwersalnym prawem ruchu w polu grawitacyjnym''', zależnym wyłącznie od masy ciała centralnego. ===== Znaczenie astronomiczne ===== Prawo to pozwala: * wyznaczać masę Słońca z okresów i półosi orbit planet, * określać masy planet z okresów ich księżyców, * analizować stabilność układów planetarnych, * badać egzoplanety na podstawie krzywych jasności (metoda tranzytowa). Trzecie Prawo Keplera jest jednym z najważniejszych narzędzi astronomii obserwacyjnej i teoretycznej. == Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera == {{Rysunek|Kepler 2 a.jpg|d1|Graficzna interpretacja II Prawa Keplera}} Drugie Prawo Keplera jest jednym z najbardziej eleganckich i geometrycznie intuicyjnych praw mechaniki nieba. Mówi ono, że: ''Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.'' W języku mechaniki Newtonowskiej oznacza to, że '''prędkość polowa''' jest stała. A prędkość polowa jest bezpośrednio związana z '''momentem pędu''', który w polu centralnym jest wielkością zachowaną. === Prędkość polowa === Wprowadźmy pojęcie '''prędkości polowej''', która zależy od położenia ciała na elipsie oraz jego prędkości liniowej: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{u}=\frac{1}{2}\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)</MATH>|1.98}} Jest to wektor skierowany prostopadle do płaszczyzny ruchu, a jego wartość opisuje szybkość, z jaką promień wodzący zakreśla pole. Długość wektora prędkości polowej wynosi: {{CentrujWzór|<MATH>u=\frac{1}{2}\,r\,v\,\sin\beta</MATH>|1.99}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} — odległość od ogniska, * {{Formuła|<MATH>v</MATH>}} — prędkość liniowa, * {{Formuła|<MATH>\beta</MATH>}} — kąt między wektorami {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{v}</MATH>}}. === Dowód wzorów {{LinkWzór|1.98}} i {{LinkWzór|1.99}} === Rozważmy pole elipsy zakreślone w czasie {{Formuła|<MATH>\Delta t</MATH>}}. Pole trójkąta o bokach {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>v\Delta t</MATH>}}, zawierających kąt {{Formuła|<MATH>\pi-\beta</MATH>}}, wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \Delta S=\frac{1}{2}r\,v\,\Delta t\,\sin(\pi-\beta) \Rightarrow \Delta S=\frac{1}{2}r\,v\,\Delta t\,\sin\beta </MATH>|1.100}} Definicja prędkości polowej: {{CentrujWzór|<MATH> u=\frac{\Delta S}{\Delta t} </MATH>|1.101}} Podstawiając równanie {{LinkWzór|1.100}} do {{LinkWzór|1.101}}, otrzymujemy wzór {{LinkWzór|1.99}}. Z kolei korzystając z definicji długości iloczynu wektorowego: {{Formuła|<MATH>\|\vec{r}\times\vec{v}\| = r\,v\,\sin\beta</MATH>}}, otrzymujemy wektorową postać prędkości polowej — wzór {{LinkWzór|1.98}}. === Związek prędkości polowej z momentem pędu === Moment pędu ciała o masie {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} poruszającego się po elipsie wokół jednego z ognisk wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{K}=\vec{r}\times m\vec{v} = m(\vec{r}\times\vec{v}) = 2m\vec{u} </MATH>|1.102}} Zatem: * prędkość polowa {{Formuła|<MATH>\vec{u}</MATH>}} jest '''proporcjonalna''' do momentu pędu, * moment pędu jest '''stały''' w ruchu w polu centralnym, * więc prędkość polowa jest również '''stała'''. Stałość prędkości polowej oznacza, że w równych odstępach czasu zakreślane są równe pola. To jest dokładnie treść Drugiego Prawa Keplera. === Wniosek === Drugie Prawo Keplera: * „Promień wodzący zakreśla w równych odstępach czasu równe pola” jest '''innym sformułowaniem zasady zachowania momentu pędu'''. Stałość momentu pędu {{Formuła|<MATH>\vec{K}</MATH>}} oznacza stałość prędkości polowej {{Formuła|<MATH>\vec{u}</MATH>}}, a to dokładnie prowadzi do II Prawa Keplera. W ten sposób geometria orbity i dynamika Newtonowska łączą się w jedno z najpiękniejszych praw mechaniki nieba. == Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera == {{Rysunek|Kepler 3.jpg|h1|Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M}} {{Rysunek|Kepler_laws_diagram.svg|b2|Ilustracja trzech praw Keplera dla dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsami, z punktami ogniskowymi F1 i F2 dla pierwszej planety oraz F1 i F3 dla drugiej planety. Słońce jest umieszczone w punkcie ogniskowym F1. (2) Oba zacienione sektory A1 i A2 mają taką samą powierzchnię, a czas potrzebny planecie 1 na pokrycie sektora A1 jest równy czasowi na pokrycie sektora A2. (3) Stosunek kwadratów okresów obiegu planet 1 i 2 ma się jak stosunek sześcianów ich półosi wielkich.}} Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona z praw Keplera jest jednym z najpiękniejszych osiągnięć mechaniki klasycznej. Pokazuje ono, że '''z czysto geometrycznych i obserwacyjnych praw Keplera''' można wydedukować '''dokładną postać siły grawitacyjnej'''. Kluczowe fakty: * prędkość polowa {{LinkWzór|1.98}} jest proporcjonalna do momentu pędu, * moment pędu jest zachowany {{LinkWzór|1.84|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}, * orbita jest elipsą, więc odwrotność promienia jest funkcją kąta. === Siła radialna z kinematyki w układzie biegunowym === Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało o masie {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} działa siła skierowana radialnie względem ciała o masie {{Formuła|<MATH>M</MATH>}}. Siłę radialną wyznaczamy z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych {{LinkWzór|1.26|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = ma_r = m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}\right) </MATH>|1.103}} === Równanie orbity — elipsa === Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}} jest zależna od kąta {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> r=\frac{k}{1+\epsilon\cos\phi} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{r}=\frac{1}{k}\left(1+\epsilon\cos\phi\right) </MATH>|1.104}} Różniczkując: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{\dot{r}}{r^{2}}=\frac{\epsilon}{k}\dot{\phi}\sin\phi </MATH>|1.105}} Z definicji momentu pędu {{LinkWzór|1.84|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}}: {{CentrujWzór|<MATH> L = mr^{2}\dot{\phi} \quad\Rightarrow\quad r^{2}\dot{\phi}=\frac{L}{m} </MATH>|1.106}} Podstawiamy do {{LinkWzór|1.105}}: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{r}=\frac{\epsilon L}{km}\sin\phi </MATH>|1.107}} Różniczkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \ddot{r} =\frac{\epsilon L^{2}}{km^{2}r^{2}}\cos\phi </MATH>|1.108}} Z równania na moment pędu: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\phi}^{2}=\frac{L^{2}}{m^{2}r^{4}} \Rightarrow r\dot{\phi}^{2}=\frac{L^{2}}{m^{2}r^{3}} </MATH>|1.109}} === Siła radialna — wynik po podstawieniu === Korzystając z {{LinkWzór|1.108}} i {{LinkWzór|1.109}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = m\left(\ddot{r}-r\dot{\phi}^{2}\right) = \frac{L^{2}}{mr^{2}}\left(\frac{\epsilon}{k}\cos\phi-\frac{1}{r}\right) </MATH>|1.110}} Podstawiamy {{LinkWzór|1.104}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r = -\frac{L^{2}}{kmr^{2}} </MATH>|1.111}} To jest kluczowy wynik: **siła radialna jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości**. === Związek z II Prawem Keplera i okresem obiegu === Z drugiego prawa Keplera: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m} </MATH>}} Pole elipsy wynosi {{Formuła|<MATH>\pi ab</MATH>}}, więc: {{CentrujWzór|<MATH> T = \frac{2\pi ab\,m}{L} \Rightarrow T^{2}=\frac{4\pi^{2}a^{2}b^{2}m^{2}}{L^{2}} </MATH>|1.112}} Stosunek: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}b^{2}m^{2}}{L^{2}a} </MATH>}} Ponieważ {{Formuła|<MATH>\frac{b^{2}}{a}=k</MATH>}}: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}k m^{2}}{L^{2}} = \text{const} </MATH>|1.113}} To jest dokładnie '''Trzecie Prawo Keplera'''. === Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona === Wprowadzamy stałą: {{CentrujWzór|<MATH> f=\frac{L^{2}}{km^{2}} </MATH>}} Wzór na siłę radialną {{LinkWzór|1.111}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_r=-\frac{fm}{r^{2}} </MATH>|1.114}} Aby siła była symetryczna względem masy ciała centralnego {{Formuła|<MATH>M</MATH>}} i masy ciała krążącego {{Formuła|<MATH>m</MATH>}}, przyjmujemy: {{CentrujWzór|<MATH> f=GM </MATH>}} Ostatecznie otrzymujemy '''prawo grawitacji Newtona''': {{CentrujWzór|<MATH> F_r=-\frac{GMm}{r^{2}} </MATH>|1.115}} === Wniosek === Z '''trzech praw Keplera''', czysto geometrycznych i obserwacyjnych, można wyprowadzić: * postać siły grawitacyjnej, * zależność odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości, * pełne prawo Newtona. To jest jedno z najpiękniejszych połączeń geometrii, astronomii i dynamiki w historii nauki. == Uogólnienie trzeciej zasady Keplera == Uogólnienie trzeciego prawa Keplera jest jednym z najważniejszych rezultatów mechaniki nieba. Pozwala ono opisać ruch '''dwóch ciał o dowolnych masach''', a nie tylko przypadek, w którym jedno ciało ma masę znacznie większą od drugiego. W tym ujęciu oba ciała krążą wokół wspólnego środka masy, a ich ruch jest w pełni symetryczny. === Siła dośrodkowa i prawo grawitacji === Siłę dośrodkową definiujemy wzorem: {{CentrujWzór|<MATH>F=\frac{mv^2}{r}</MATH>}} Łącząc ją z prawem grawitacji Newtona {{LinkWzór|1.115}}, otrzymujemy równania opisujące ruch dwóch ciał krążących po okręgach: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>G\frac{Mm}{R^2}=\frac{Mv_1^2}{r_1}</MATH>|1.116}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>G\frac{Mm}{R^2}=\frac{Mv_2^2}{r_2}</MATH>|1.117}} }} gdzie: * {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} — odległość między ciałami, * {{Formuła|<MATH>r_1</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>r_2</MATH>}} — promienie orbit względem środka masy. === Przekształcenie równań — wyznaczenie zależności geometrycznych === Równania {{LinkWzór|1.116}} i {{LinkWzór|1.117}} możemy przekształcić tak, aby wyznaczyć wartości {{Formuła|<MATH>R^2 r_1</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>R^2 r_2</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_1 = Gm\,\frac{r_1^2}{v_1^2}</MATH>|1.118}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_2 = GM\,\frac{r_2^2}{v_2^2}</MATH>|1.119}} }} Z drugiej strony wiadomo, że: {{CentrujWzór|<MATH> v=\frac{2\pi r}{T} \Rightarrow T=\frac{2\pi r}{v} \Rightarrow \frac{T}{2\pi}=\frac{r}{v} </MATH>}} Podstawiając tę zależność do równań {{LinkWzór|1.118}} i {{LinkWzór|1.119}}, otrzymujemy: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_1 = \frac{T^2}{4\pi^2} Gm</MATH>|1.120}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>R^2 r_2 = \frac{T^2}{4\pi^2} GM</MATH>|1.121}} }} Ponieważ suma promieni: {{CentrujWzór|<MATH>r_1 + r_2 = R</MATH>}} otrzymujemy fundamentalną tożsamość: {{CentrujWzór|<MATH> T^2 (m+M) = R^3\,\frac{4\pi^2}{G} </MATH>|1.122}} To jest '''uogólnione trzecie prawo Keplera''' dla dwóch ciał o dowolnych masach. === Uogólnione prawo Keplera dla dwóch układów === Dzieląc obustronnie równania opisujące dwie orbity dwóch ciał krążących wokół dwóch gwiazd, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T_1^2 (M_1 + m_1)}{T_2^2 (M_2 + m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3} </MATH>|1.123}} Jest to najbardziej ogólna forma trzeciego prawa Keplera. === Przejście do klasycznego trzeciego prawa Keplera === Jeśli dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i przyjmiemy: {{CentrujWzór|<MATH> M_1 \gg m_1,\quad M_2 \gg m_2,\quad M_1 = M_2 = M </MATH>}} to otrzymujemy klasyczne trzecie prawo Keplera: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} </MATH>|1.124}} czyli: ''Kwadrat okresu obiegu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej.'' === Wniosek === Uogólnione trzecie prawo Keplera: * działa dla '''dowolnych mas''', * opisuje ruch '''dwóch ciał wokół wspólnego środka masy''', * redukuje się do klasycznego prawa Keplera, gdy jedno ciało jest bardzo masywne. Jest to jedno z najważniejszych praw mechaniki nieba, łączące geometrię orbit z dynamiką grawitacyjną. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> mf9xag5bv004m0wbm309mujqxzzogzh 0 64140 559062 555099 2026-10-11T01:22:07Z Persino 2851 559062 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Pole sił centralnych == Pole sił centralnych to takie pole, w którym '''wszystkie linie sił zbiegają się do jednego wspólnego punktu''' — punktu, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. W polu takim siła działająca na ciało zależy wyłącznie od '''odległości''' od źródła pola oraz jest skierowana '''dokładnie w stronę tego źródła''' (lub od niego). Jest to zatem pole o pełnej symetrii kulistej: * kierunek siły jest zawsze radialny, * wartość siły zależy tylko od promienia {{Formuła|<MATH>r</MATH>}}, * nie zależy od kąta, orientacji, ani położenia w przestrzeni poza odległością. === Wektor wodzący i definicja siły centralnej === Określmy teraz pole sił centralnych za pomocą wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, który wskazuje położenie ciała drugiego względem pierwszego. Wtedy siłę centralną zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F} = -\,\kappa\,\frac{1}{r^{2}}\,\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|1.125}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\kappa</MATH>}} jest '''dodatnią stałą''' określającą właściwości oddziaływania między ciałami, * {{Formuła|<MATH>\frac{\vec{r}}{r}</MATH>}} jest jednostkowym wektorem radialnym, * minus oznacza, że siła jest skierowana '''do środka''' (siła dośrodkowa). Przykłady: * dla grawitacji: {{Formuła|<MATH>\kappa = GMm</MATH>}}, * dla elektrostatyki: {{Formuła|<MATH>\kappa = k q_1 q_2</MATH>}}. W obu przypadkach mamy do czynienia z prawem odwrotności kwadratu odległości. ==== Interpretacja wzoru ==== Wektor siły ma trzy charakterystyczne cechy: * '''Kierunek:''' zgodny z kierunkiem wektora {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} — siła jest zawsze radialna. * '''Zwrot:''' przeciwny do {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} (minus przed wzorem), czyli siła jest '''dośrodkowa'''. * '''Wartość:''' maleje jak {{Formuła|<MATH>1/r^2</MATH>}}, zgodnie z prawem odwrotności kwadratu odległości. Oznacza to, że: * im dalej od źródła pola, tym słabsza siła, * im bliżej, tym siła rośnie gwałtownie, * pole jest całkowicie izotropowe — wygląda tak samo w każdym kierunku. ==== Znaczenie fizyczne ==== W ten sposób otrzymujemy ogólny zapis pola sił centralnych, który obejmuje: * pole grawitacyjne, * pole elektrostatyczne, * każde inne pole, w którym siła zależy tylko od odległości i jest skierowana w stronę jednego punktu. Pole sił centralnych jest podstawą: * dynamiki planetarnej, * ruchu satelitów, * teorii orbit, * klasycznej elektrodynamiki dla dwóch ładunków, * analizy energii efektywnej w polu centralnym. Jest to jeden z najważniejszych typów pól w fizyce klasycznej. == Energia potencjalna w polu sił centralnych == Energia potencjalna w polu sił centralnych jest jednym z kluczowych elementów opisu ruchu w polu grawitacyjnym lub elektrostatycznym. W polu takim siła jest zawsze skierowana radialnie, a jej wartość zależy wyłącznie od odległości od źródła oddziaływania. Dzięki temu obliczenie energii potencjalnej sprowadza się do analizy pracy wykonanej przez siłę podczas przesuwania ciała z nieskończoności do punktu o odległości r. Właśnie ta symetria sprawia, że wynik końcowy jest wyjątkowo prosty i elegancki. Siła centralna ma postać: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=-\kappa\,\frac{1}{r^{2}}\,\frac{\vec{r}}{r}</MATH>|silcen}}. Co oznacza, że jej kierunek jest przeciwny do wektora wodzącego, a wartość maleje jak odwrotność kwadratu odległości. Z definicji energii potencjalnej: {{CentrujWzór|<MATH>E_p = W = -\int_{\infty}^{r} \vec{F}\cdot d\vec{r}</MATH>|enrcen}}. czyli energia potencjalna jest przeciwna do pracy wykonanej przez siłę podczas przesuwania ciała z nieskończoności do punktu r. W nieskończoności energia potencjalna jest zdefiniowana jako zero, co stanowi wygodny punkt odniesienia. Podstawiamy wzór na siłę do całki: {{CentrujWzór|<MATH> E_p = -\int_{\infty}^{r} \left( -\kappa\,\frac{1}{r^{2}}\,\frac{\vec{r}}{r} \right)d\vec{r} </MATH>}} Dwa minusy znoszą się, dlatego całka staje się dodatnia. Ponieważ iloczyn skalarny jednostkowego wektora radialnego z przesunięciem daje po prostu dr, całka upraszcza się do jednowymiarowej: {{CentrujWzór|<MATH> E_p = \kappa\int_{\infty}^{r}\frac{1}{r^{2}}\,dr </MATH>}} Widzimy teraz, że całkowanie sprowadza się do funkcji elementarnej, ponieważ 1/r² ma prostą antypochodną. Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \int \frac{1}{r^{2}}\,dr = -\frac{1}{r} </MATH>}} Podstawiamy granice całkowania: {{CentrujWzór|<MATH> E_p = \kappa\left(-\frac{1}{r}\right)\Bigg|_{\infty}^{r} </MATH>}} W nieskończoności: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{\infty}=0</MATH>}}, dlatego otrzymujemy ostateczny wynik: {{CentrujWzór|<MATH> E_p = -\,\kappa\,\frac{1}{r} </MATH>|1.127}} Wynik ten ma bardzo przejrzystą interpretację fizyczną: energia potencjalna jest ujemna, co oznacza, że ciało jest związane oddziaływaniem. Im większa odległość r, tym energia staje się mniej ujemna, czyli rośnie. W nieskończoności energia potencjalna wynosi zero, co jest zgodne z intuicją — ciało oddalone nieskończenie daleko nie odczuwa już oddziaływania. Zależność 1/r jest charakterystyczna dla wszystkich pól o prawie odwrotności kwadratu i stanowi fundament analizy ruchu w polu centralnym. Wzór ten jest podstawą opisu ruchu planet, satelitów i cząstek w polu elektrostatycznym, a także kluczowym elementem konstrukcji energii efektywnej i równania orbity. Pokazuje on, że dynamika w polu centralnym jest nie tylko matematycznie elegancka, ale również fizycznie intuicyjna. == Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach == Ruch w polu sił centralnych można opisać w sposób szczególnie przejrzysty, jeśli skorzystamy z energii mechanicznej oraz zachowania momentu pędu. W takim polu siła jest zawsze skierowana radialnie, a jej wartość zależy wyłącznie od odległości od źródła. Dzięki temu ruch można rozłożyć na dwa niezależne składniki: ruch radialny oraz ruch kątowy. Energia całkowita ciała składa się więc z trzech części: energii kinetycznej ruchu radialnego, energii kinetycznej ruchu kątowego oraz energii potencjalnej wynikającej z oddziaływania centralnego. Korzystając z energii potencjalnej {{LinkWzór|1.127}}, zapisujemy: {{CentrujWzór|<MATH> E=\frac{m\dot{r}^{2}}{2}+\frac{mr^{2}\dot{\phi}^{2}}{2}-\frac{\kappa}{r} </MATH>|1.128}} Pierwszy składnik opisuje zmianę odległości od ciała centralnego, drugi — ruch po okręgu o promieniu r, a trzeci — wpływ pola centralnego. Moment pędu jest wielkością zachowaną, ponieważ siła centralna nie ma składowej stycznej. Dlatego możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> L = mr^{2}\dot{\phi} \quad\Rightarrow\quad \dot{\phi}=\frac{L}{mr^{2}} </MATH>|1.129}} Podstawienie tej zależności do energii eliminuje ruch kątowy i sprowadza problem do jednego wymiaru — promienia. W ten sposób pojawia się klasyczna bariera odśrodkowa, która stabilizuje ruch i określa możliwe typy orbit: {{CentrujWzór|<MATH> E=\frac{m\dot{r}^{2}}{2}+\frac{L^{2}}{2mr^{2}}-\frac{\kappa}{r} </MATH>|1.130}} Widzimy teraz wyraźnie, że ruch radialny jest modyfikowany przez zachowanie momentu pędu: im większy L, tym silniejsza bariera odśrodkowa. ---- Aby uprościć równanie, wprowadzamy podstawienie: {{Formuła|<MATH>r=\frac{1}{s}</MATH>}}. Zmienna s jest wygodniejsza, ponieważ równanie orbity przyjmuje w niej prostszą postać. Różniczkując otrzymujemy zależność między zmianą promienia a zmianą s: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{r}=-\frac{L}{m}s' </MATH>|1.131}} Podstawiamy to do energii, co pozwala wyrazić ją całkowicie w funkcji s i jej pochodnej: {{CentrujWzór|<MATH> E=\frac{L^{2}}{2m}(s'^{2}+s^{2})-\kappa s </MATH>|1.132}} W tej postaci równanie energii jest znacznie prostsze, ponieważ nie zawiera już ani r, ani φ bezpośrednio. Różniczkowanie prowadzi do równania różniczkowego opisującego zmianę odległości w funkcji kąta: {{CentrujWzór|<MATH> s''+s=\frac{\kappa m}{L^{2}} </MATH>|1.134}} Jest to równanie harmoniczne z przesunięciem, czyli równanie o bardzo dobrze znanym rozwiązaniu. Ogólna postać rozwiązania jest sumą funkcji sinusoidalnych oraz stałej: {{CentrujWzór|<MATH> s=A\sin\phi + B\cos\phi + \frac{\kappa m}{L^{2}} </MATH>|1.135}} Warunek w peryhelium eliminuje jeden ze współczynników, ponieważ w punkcie najbliższym ciału centralnemu pochodna s musi być równa zero: {{CentrujWzór|<MATH> A=0 </MATH>|1.136}} co prowadzi do równania: {{CentrujWzór|<MATH> s=\frac{1}{r}=\frac{1}{k}(1+\epsilon\cos\phi) </MATH>|1.137}} gdzie stała k zależy od momentu pędu i siły centralnej: {{CentrujWzór|<MATH> k=\frac{L^{2}}{\kappa m} </MATH>|1.138}} ---- Ostatecznie otrzymujemy równanie stożkowe: {{CentrujWzór|<MATH>r(\phi)=\frac{k}{1+\epsilon\cos\phi}</MATH>|promcen}}. które opisuje wszystkie możliwe orbity w polu centralnym: elipsy, parabole i hiperbole — zależnie od wartości mimośrodu {{Formuła|<MATH>\epsilon</MATH>}}. Widzimy więc, że geometria orbit wynika bezpośrednio z zachowania energii i momentu pędu, a równanie Keplera jest naturalnym rezultatem dynamiki Newtonowskiej. Całe wyprowadzenie pokazuje, że ruch w polu centralnym jest nie tylko elegancki matematycznie, ale również głęboko związany z fundamentalnymi zasadami fizyki klasycznej. == Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach == Aby powiązać kształt orbity z energią cząstki, korzystamy z równania orbity {{LinkWzór|1.137}}, które wiąże zmienną s = 1/r z kątem φ. Pochodna tej zależności względem kąta określa, jak szybko zmienia się odległość od ciała centralnego w trakcie ruchu: {{CentrujWzór|<MATH> s'=-\frac{\epsilon}{k}\sin\phi </MATH>|1.139}} Ponieważ zmiana promienia w czasie jest powiązana z pochodną s względem kąta, podstawiamy s′ do równania {{LinkWzór|1.131}} opisującego {{Formuła|<MATH>\dot r\;</MATH>}}. Wynik pokazuje, że prędkość radialna zależy od mimośrodu i kąta: {{CentrujWzór|<MATH> \dot{r}=-\frac{L}{m}s' =\frac{\epsilon\kappa}{L}\sin\phi </MATH>|1.140}} Teraz możemy obliczyć energię całkowitą cząstki, korzystając z równania {{LinkWzór|1.130}}. Podstawiamy zarówno prędkość radialną, jak i równanie orbity {{Formuła|<MATH>r=\frac{k}{1+\epsilon\cos\phi}\;</MATH>}}. Po uproszczeniu wszystkich składników otrzymujemy wyrażenie, w którym zależności od kąta znoszą się, pozostawiając energię zależną wyłącznie od mimośrodu: {{CentrujWzór|<MATH> E=\frac{m\epsilon^{2}\kappa^{2}}{2L^{2}}\sin^{2}\phi +\frac{m\kappa^{2}}{2L^{2}}\left(1+\epsilon^{2}\cos^{2}\phi+2\epsilon\cos\phi\right) -\frac{\kappa^{2}m}{L^{2}}(1+\epsilon\cos\phi) </MATH>{{Br}} <MATH> E=-\frac{\kappa^{2}m}{2L^{2}}\left(1-\epsilon^{2}\right) </MATH>|1.141}} Wynik ten jest kluczowy: energia nie zależy od kąta φ, lecz wyłącznie od mimośrodu ε. Oznacza to, że kształt orbity jest bezpośrednio związany z energią całkowitą cząstki — im większy mimośród, tym większa energia. Zależność ta prowadzi do klasycznego rozróżnienia typów orbit: * gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon<1\Rightarrow E<0</MATH>}} — orbita jest elipsą, a ruch jest związany, * gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon=1\Rightarrow E=0</MATH>}} — orbita jest parabolą, czyli znajduje się na granicy związania, * gdy {{Formuła|<MATH>\epsilon>1\Rightarrow E>0</MATH>}} — orbita jest hiperbolą, a cząstka ma energię dodatnią i opuszcza układ. W ten sposób mimośród staje się bezpośrednim miernikiem energii: określa, czy ruch jest związany, graniczny czy przelotowy. To powiązanie między geometrią toru a energią jest jednym z najważniejszych rezultatów dynamiki w polu centralnym. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> c82npfof1c1a8emv74vztdlt8pu7jak 0 64141 559063 555129 2026-10-11T01:23:58Z Persino 2851 559063 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły {{Formuła|<MATH>\vec{F}</MATH>}} można zapisać w pełnej postaci wektorowej, jeśli uwzględnimy, że siła grawitacji jest zawsze skierowana w stronę ciała centralnego. W polu takim kierunek siły jest ściśle radialny, a jej wartość zależy wyłącznie od odległości między ciałami. Dlatego zamiast samej wartości siły, jak w klasycznym wzorze skalarnym, używamy wektora wodzącego {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, który wskazuje położenie jednego ciała względem drugiego. W słabym polu grawitacyjnym, gdzie zakładamy brak efektów relatywistycznych i pełną symetrię kulistą, siła grawitacji ma wartość: {{CentrujWzór|<MATH>F = G\frac{mM}{r^2}</MATH>|wartsilcen}} Jednak aby zapisać ją jako wektor, musimy uwzględnić kierunek działania siły. Wektor wodzący {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} wskazuje od ciała centralnego do ciała testowego, dlatego siła — jako przyciągająca — musi być skierowana przeciwnie do tego wektora. W tym celu używamy jednostkowego wektora radialnego: {{CentrujWzór|<MATH>\frac{\vec{r}}{r}</MATH>|promcem}} który zachowuje kierunek, ale ma długość równą 1. Połączenie wartości siły z jej kierunkiem daje pełny wektor siły grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{F}=-G\frac{mM}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|1.142}} Minus przed wzorem oznacza, że siła jest skierowana przeciwnie do wektora wodzącego, czyli w stronę ciała o masie M. W ten sposób otrzymujemy pełny, wektorowy zapis prawa grawitacji, który jest zgodny z klasycznym prawem Newtona, ale jednocześnie pozwala analizować ruch w dwóch i trzech wymiarach, gdzie kierunek siły odgrywa kluczową rolę. Wzór ten jest podstawą całej mechaniki nieba: opisuje zarówno ruch planet wokół gwiazdy, jak i ruch satelitów wokół planety, a także stanowi punkt wyjścia do wyprowadzenia równań ruchu w polu centralnym oraz praw Keplera. == Masa grawitacyjna i bezwładna == W fizyce klasycznej pojęcie masy pojawia się w dwóch fundamentalnych kontekstach: w dynamice ruchu oraz w oddziaływaniach grawitacyjnych. Choć intuicyjnie traktujemy masę jako jedną wielkość, w równaniach Newtona występują dwa jej rodzaje, które — jak pokazują doświadczenia — są ze sobą ściśle powiązane. Najpierw rozważmy masę bezwładną. Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występującą w drugim prawie Newtona, czyli w równaniu wiążącym siłę działającą na ciało z jego przyspieszeniem: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=m_b\,\vec{a}</MATH>|silbez}} Wielkość {{Formuła|<MATH>m_b</MATH>}} określa, jak trudno jest zmienić stan ruchu ciała — im większa masa bezwładna, tym mniejsze przyspieszenie wywołuje dana siła. Jest to więc miara „oporu” ciała wobec zmiany ruchu. Drugim rodzajem masy jest masa grawitacyjna. Masą grawitacyjną, oznaczaną jako: {{Formuła|<MATH>m_g</MATH>}}. nazywamy wielkość fizyczną występującą w prawie grawitacji Newtona. To ona określa, jak silnie ciało oddziałuje grawitacyjnie z innymi ciałami oraz jak silnie reaguje na pole grawitacyjne. W równaniu Newtona masa grawitacyjna pojawia się w liczniku siły grawitacji, co oznacza, że im większa jest ta masa, tym silniejsze oddziaływanie. Zaskakującym i fundamentalnym wynikiem doświadczeń — począwszy od Galileusza, przez Eötvösa, aż po współczesne pomiary — jest fakt, że obie te masy są proporcjonalne do siebie: {{CentrujWzór|<MATH>m_g = k\,m_b</MATH>|grafbezmas}} gdzie {{Formuła|<MATH>k</MATH>}} jest stałą proporcjonalności. Doświadczenia pokazują, że wartość tej stałej jest z niezwykłą dokładnością równa 1: {{CentrujWzór|<MATH>k = 1</MATH>|kmiedzgrafbez}} co oznacza, że masa bezwładna i masa grawitacyjna są praktycznie nierozróżnialne. W praktyce fizycznej stałą k można „wchłonąć” do stałej grawitacji G, której wartość wynosi: {{CentrujWzór|<MATH> G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{kg^2}} </MATH>|G-stała}} Dzięki temu równania dynamiki i równania grawitacji stają się spójne, a masa pojawia się w nich jako jedna i ta sama wielkość. W konsekwencji '''nie ma potrzeby rozróżniać między obiema masami'''. Możemy przyjąć: {{CentrujWzór|<MATH>m_b = m_g = m</MATH>|rowgrafbezmas}} i oznaczać je po prostu jako: {{Formuła|<MATH>m</MATH>}}, co jest standardem w całej mechanice klasycznej. To zrównanie mas jest jednym z fundamentów fizyki — prowadzi do zasady równoważności, która w teorii względności staje się podstawą geometrii czasoprzestrzeni. W mechanice Newtonowskiej oznacza natomiast, że wszystkie ciała spadają w polu grawitacyjnym z takim samym przyspieszeniem, niezależnie od swojej masy. == Natężenie pola grawitacyjnego == Natężenie pola grawitacyjnego jest jedną z podstawowych wielkości opisujących działanie pola centralnego. W przeciwieństwie do siły grawitacji, która zależy od masy ciała testowego, natężenie pola jest wielkością charakteryzującą samo pole — niezależnie od tego, jakie ciało w nim umieścimy. Dzięki temu możemy opisywać własności pola grawitacyjnego w sposób ogólny, bez konieczności analizowania konkretnego ruchu. Definicja natężenia pola grawitacyjnego jest bezpośrednio związana z siłą działającą na ciało o masie m. Natężenie pola określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działającej ze strony masy grawitacyjnej przez masę ciała znajdującego się na orbicie: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{E}=\frac{\vec{F}}{m} </MATH>|1.143}} W ten sposób otrzymujemy wielkość, która mówi, jaka siła przypada na jednostkową masę. Jest to analogiczne do pola elektrycznego, gdzie natężenie pola określa siłę działającą na jednostkowy ładunek. Dzięki temu natężenie pola jest wielkością geometryczną i fizyczną opisującą samo pole, a nie właściwości ciała testowego. Korzystając z definicji siły grawitacyjnej {{LinkWzór|1.142}}, możemy natężenie pola zapisać w postaci wektorowej. gdzie wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} wskazuje położenie ciała testowego względem masy centralnej, a minus oznacza, że siła jest skierowana przeciwnie do tego wektora — czyli w stronę ciała o masie M. Podstawiając tę siłę do definicji natężenia pola, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{E} = -\,G\,\frac{M}{r^{2}}\,\frac{\vec{r}}{r} </MATH>|1.144}} Widzimy, że natężenie pola grawitacyjnego ma dokładnie taki sam kierunek jak siła grawitacji, ale nie zależy od masy ciała testowego. Jest to wielkość opisująca „siłę pola” w danym punkcie przestrzeni — im bliżej masy centralnej, tym natężenie pola jest większe, a jego kierunek zawsze wskazuje w stronę źródła pola. Zależność ta jest fundamentalna dla całej mechaniki nieba: pozwala opisywać ruch planet, satelitów i cząstek w polu centralnym, a także stanowi punkt wyjścia do wyprowadzenia równania ruchu, energii potencjalnej oraz praw Keplera. Natężenie pola grawitacyjnego jest więc jednym z najważniejszych pojęć w fizyce klasycznej, łączącym geometrię pola z dynamiką ruchu. == Energia ciała w polu grawitacyjnym == Aby wyznaczyć energię potencjalną ciała w polu grawitacyjnym, rozważamy proces przesunięcia go z nieskończoności do punktu o położeniu {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}}, czyli do odległości r od ciała centralnego. W nieskończoności energia potencjalna jest zdefiniowana jako zero, co stanowi naturalny punkt odniesienia — w bardzo dużych odległościach oddziaływanie grawitacyjne zanika, a ciało nie odczuwa już wpływu masy centralnej. Ponieważ pole grawitacyjne jest polem centralnym, linie pola są radialne: zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i biegną na zewnątrz, aż do nieskończoności. Dzięki temu praca wykonana przez siłę grawitacji zależy wyłącznie od zmiany odległości od źródła pola. Pracę określamy na podstawie jej definicji: {{CentrujWzór|<MATH> W = \int_{\infty}^{r} (-\vec{F}\cdot d\vec{r}) </MATH>|1.145}} Zapis ten oznacza, że obliczamy pracę siły grawitacji podczas przesuwania ciała z nieskończoności do punktu r. Minus przed całką wynika z faktu, że energia potencjalna jest przeciwna do pracy wykonanej przez siłę — gdy siła wykonuje pracę dodatnią, energia potencjalna maleje. Aby uprościć całkę, wprowadzamy układ współrzędnych radialnych. W takim układzie zarówno siła, jak i wektor położenia mają postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{F}=F\,\vec{e}_r</MATH>|1.146}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\vec{r}=r\,\vec{e}_r</MATH>|1.147}} }} gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{e}_r</MATH>}} jest jednostkowym wektorem radialnym. Ponieważ siła grawitacji jest skierowana wzdłuż tego wektora, iloczyn skalarny w całce upraszcza się do zwykłego mnożenia wartości siły przez różniczkę dr. W polu grawitacyjnym siła ma wartość: {{LinkWzór|wartsilcen}}, co odzwierciedla prawo odwrotności kwadratu odległości. Podstawiając tę siłę do całki, otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> E_p = W = -\int_{\infty}^{r} F\,dr = \int_{\infty}^{r} \frac{GMm}{r^{2}}\,dr = GMm \int_{\infty}^{r} r^{-2}\,dr </MATH>}} Widzimy teraz, że całkowanie sprowadza się do funkcji elementarnej, ponieważ r⁻² ma prostą antypochodną. Całkujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \lim_{r_0\to\infty} GMm\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_0}^{r} = \lim_{r_0\to\infty} GMm\left(-\frac{1}{r} + \frac{1}{r_0}\right) </MATH>}} Ponieważ: {{Formuła|<MATH>\frac{1}{r_0}\to 0\quad\text{dla}\quad r_0\to\infty</MATH>}} otrzymujemy ostateczny wynik: {{CentrujWzór|<MATH> E_p = -\frac{GMm}{r} </MATH>|1.148}} Wynik ten ma bardzo przejrzystą interpretację fizyczną: energia potencjalna jest ujemna, co oznacza, że ciało jest związane oddziaływaniem grawitacyjnym. Im większa odległość r, tym energia staje się mniej ujemna, czyli rośnie — ciało „uwalnia się” od oddziaływania. W nieskończoności energia potencjalna wynosi zero, co jest zgodne z intuicją: ciało oddalone nieskończenie daleko nie odczuwa już pola grawitacyjnego. Zależność 1/r jest charakterystyczna dla wszystkich pól o prawie odwrotności kwadratu i stanowi fundament analizy ruchu w polu centralnym. Wzór ten jest podstawą opisu ruchu planet, satelitów i cząstek w polu elektrostatycznym, a także kluczowym elementem konstrukcji energii efektywnej i równania orbity. == Potencjał ciała w polu ciężkości == Potencjał grawitacyjny jest wielkością, która pozwala opisywać pole grawitacyjne w sposób niezależny od masy ciała testowego. W przeciwieństwie do energii potencjalnej, która zależy od masy m poruszającego się ciała, potencjał jest wielkością „na jednostkę masy”. Dzięki temu opisuje samo pole, a nie właściwości konkretnego obiektu znajdującego się w tym polu. Możemy go zdefiniować jako stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie do masy próbnej znajdującej się na tej orbicie. W ten sposób otrzymujemy wielkość, która mówi, jaką energię potencjalną miałoby ciało o masie jednostkowej w danym punkcie przestrzeni. Korzystamy z energii potencjalnej pola centralnego określonej w punkcie {{LinkWzór|1.148}}. Aby otrzymać potencjał, dzielimy tę energię przez masę ciała testowego. W ten sposób eliminujemy zależność od m i otrzymujemy wielkość opisującą wyłącznie pole grawitacyjne generowane przez masę M: {{CentrujWzór|<MATH> \phi = \frac{E_p}{m} </MATH>}} Podstawiamy wyrażenie na energię potencjalną: {{CentrujWzór|<MATH> \phi = \frac{-\,\frac{GMm}{r}}{m} </MATH>}} Widzimy, że masa m skraca się, co jest kluczowe — potencjał nie zależy od masy ciała testowego, lecz wyłącznie od masy źródła pola i odległości od niego. Po uproszczeniu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \phi = -\,\frac{GM}{r} </MATH>|1.149}} Wynik ten ma bardzo przejrzystą interpretację fizyczną: potencjał grawitacyjny jest ujemny, co oznacza, że aby przenieść ciało z punktu o odległości r do nieskończoności, trzeba wykonać dodatnią pracę przeciwko grawitacji. Im większa odległość r, tym potencjał staje się mniej ujemny — ciało znajduje się „wyżej” w polu grawitacyjnym. W nieskończoności potencjał wynosi zero, co jest zgodne z intuicją: tam pole grawitacyjne zanika. Potencjał grawitacyjny jest więc podstawową wielkością opisującą pole centralne. Pozwala w prosty sposób wyrażać energię potencjalną, analizować ruch w polu grawitacyjnym, a także stanowi fundament dla bardziej zaawansowanych konstrukcji, takich jak energia efektywna czy równania ruchu w mechanice nieba. == Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego == Aby powiązać potencjał grawitacyjny z natężeniem pola, musimy przeanalizować, jak zmienia się potencjał w przestrzeni. Potencjał {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} jest wielkością skalarną, która przypisuje każdemu punktowi przestrzeni wartość energetyczną pola grawitacyjnego. Natężenie pola {{Formuła|<MATH>\vec{E}</MATH>}} jest natomiast wielkością wektorową, która określa, jak silnie pole działa na jednostkową masę w danym punkcie. Związek między tymi wielkościami wynika z analizy zmian potencjału — czyli z jego gradientu. Określmy teraz pochodną kierunkową potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|1.149}}. Pochodna kierunkowa funkcji {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} w kierunku wektora {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} opisuje, jak szybko zmienia się potencjał, gdy przesuwamy się wzdłuż kierunku {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}}. Jej definicja jest następująca: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\phi}{d\vec{a}} = \nabla\phi \cdot \vec{a} </MATH>|1.150}} Gradient potencjału {{Formuła|<MATH>\nabla\phi</MATH>}} jest wektorem wskazującym kierunek największego wzrostu potencjału, a jego wartość określa, jak szybko potencjał rośnie w tym kierunku. Iloczyn skalarny z wektorem {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} wybiera składową gradientu wzdłuż tego kierunku. Jeśli wektor {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} jest wektorem jednostkowym skierowanym wzdłuż linii pola centralnego, to pochodna kierunkowa potencjału grawitacyjnego jest liczona dokładnie wzdłuż kierunku działania siły grawitacyjnej. W polu centralnym linie pola są radialne, dlatego kierunek {{Formuła|<MATH>\vec{a}</MATH>}} pokrywa się z kierunkiem wektora wodzącego. Natężenie pola grawitacyjnego zostało określone wzorem {{LinkWzór|1.144}}. Widzimy, że natężenie pola jest skierowane przeciwnie do wektora wodzącego — wskazuje kierunek działania siły grawitacyjnej na jednostkową masę. Porównując definicję pochodnej kierunkowej z definicją natężenia pola, otrzymujemy zależność: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{E}\cdot\vec{a} = -\,\operatorname{grad}\phi \cdot \vec{a} \quad\Rightarrow\quad \vec{E} = -\,\operatorname{grad}\phi </MATH>|1.151}} Wynik ten jest fundamentalny: mówi, że natężenie pola jest gradientem potencjału ze znakiem minus. Oznacza to, że natężenie pola wskazuje kierunek największego spadku potencjału — czyli kierunek, w którym energia potencjalna maleje najszybciej. W polu grawitacyjnym jest to zawsze kierunek do środka masy centralnej. Zależność ta jest całkowicie analogiczna do elektrodynamiki, gdzie: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E} = -\nabla V</MATH>|prawnatpot}}. i stanowi jeden z najważniejszych związków między wielkościami skalarnymi i wektorowymi w fizyce klasycznej. Pokazuje ona, że potencjał jest „energetyczną mapą” pola, a natężenie pola jest jego „siłowym obrazem”. == Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym == Wiemy, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne {{Formuła|<MATH>\vec{g}</MATH>}} poprzez natężenie pola grawitacyjnego {{LinkWzór|1.144}}. W pobliżu powierzchni planety pole grawitacyjne można traktować jako praktycznie jednorodne, ponieważ zmiany odległości od środka planety są niewielkie w porównaniu z jej promieniem. Dzięki temu zależności stają się znacznie prostsze, a potencjał i energia potencjalna przyjmują klasyczne formy znane z mechaniki szkolnej. Rozważmy punkt znajdujący się na wysokości {{Formuła|<MATH>h</MATH>}} nad powierzchnią planety. Promień od środka planety wynosi: {{Formuła|<MATH>R = R_0 + h</MATH>}}, gdzie {{Formuła|<MATH>R_0</MATH>}} jest promieniem planety. Ponieważ h jest zwykle bardzo małe w porównaniu z R₀, możemy zastosować rozwinięcie w pierwszym rzędzie, co prowadzi do uproszczonego wyrażenia na potencjał. Potencjał grawitacyjny w punkcie {{Formuła|<MATH>R</MATH>}} wynosi {{LinkWzór|1.149}}: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi = -\frac{GM}{R} = -\frac{GM}{R_0 + h} = -\frac{GM}{R_0\left(1 + \frac{h}{R_0}\right)} </MATH>}} W ostatnim kroku korzystamy z przybliżenia: {{CentrujWzór|<MATH>\frac{1}{1+x} \simeq 1 - x</MATH>}} dla małych wartości x. Zatem: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi \simeq -\frac{GM}{R_0}\left(1 - \frac{h}{R_0}\right) </MATH>}} co możemy zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi = -\frac{GM}{R_0} + \frac{GM}{R_0^{2}}\,h </MATH>}} Pierwszy składnik jest potencjałem na powierzchni planety: {{Formuła|<MATH>\varphi_0 = -\frac{GM}{R_0}</MATH>}}, a drugi składnik jest liniową poprawką zależną od wysokości. Ponieważ: {{Formuła|<MATH>g = \frac{GM}{R_0^{2}}</MATH>}}, otrzymujemy elegancką zależność: {{CentrujWzór|<MATH> \varphi = \varphi_0 + gh </MATH>|1.152}} co oznacza, że potencjał rośnie liniowo z wysokością w polu jednorodnym. ---- * Energia potencjalna w polu jednorodnym Energia potencjalna ciała o masie {{Formuła|<MATH>m</MATH>}} w polu grawitacyjnym jest iloczynem masy i potencjału: {{CentrujWzór|<MATH> E_p = m\varphi = m\varphi_0 + mgh </MATH>|1.153}} Stała {{Formuła|<MATH>m\varphi_0</MATH>}} zależy tylko od wyboru poziomu odniesienia, dlatego w praktyce pomija się ją, otrzymując klasyczny wzór: {{CentrujWzór|<MATH> E_p = mgh </MATH>|1.154}} Wynik ten jest zgodny z intuicją: energia potencjalna rośnie liniowo z wysokością, a jej zmiana zależy wyłącznie od masy ciała i przyspieszenia grawitacyjnego. To przybliżenie jest niezwykle użyteczne w fizyce klasycznej — pozwala opisywać ruch w pobliżu powierzchni planety bez konieczności stosowania pełnego prawa Newtona. == Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego == Prawo Gaussa jest jednym z najważniejszych twierdzeń w fizyce klasycznej, ponieważ pozwala powiązać lokalne własności pola — opisane przez dywergencję — z globalnym strumieniem pola przez powierzchnię zamkniętą. W przypadku pola grawitacyjnego prawo Gaussa przyjmuje szczególnie elegancką postać, ponieważ pole to jest centralne i maleje jak odwrotność kwadratu odległości. Dzięki temu całkowanie strumienia pola przez powierzchnię kulistą prowadzi do prostego wyniku zależnego wyłącznie od masy znajdującej się wewnątrz tej powierzchni. Zaczynamy od twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \oint_{V} \operatorname{div}\vec{E}\, dV </MATH>|1.155}} Lewą stronę interpretujemy jako całkowity strumień pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą S, a prawą — jako całkę z dywergencji pola w objętości V. Ponieważ prawo Gaussa jest niezależne od wyboru powierzchni, możemy wybrać powierzchnię kulistą, co znacznie upraszcza obliczenia. Wektor powierzchni infinitezymalnej {{Formuła|<MATH>d\vec{S}</MATH>}} jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz. Dla kuli kierunek ten jest radialny, dlatego: {{Formuła|<MATH>\vec{r} \parallel d\vec{S}</MATH>}}, co oznacza, że iloczyn skalarny w całce strumienia sprowadza się do zwykłego mnożenia wartości natężenia pola przez element powierzchni. Natężenie pola grawitacyjnego jest zdefiniowane w punkcie {{LinkWzór|1.144}}. Widzimy, że kierunek pola jest radialny, a jego wartość zależy wyłącznie od odległości od masy centralnej. Dlatego całka strumienia pola przez powierzchnię kuli o promieniu r ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \oint_{S} \left( -\,G\,\frac{M}{r^{2}}\,\frac{\vec{r}}{r} \right)\cdot d\vec{S} = -\oint_{S} G\,\frac{M}{r^{2}}\, dS </MATH>}} Ponieważ na powierzchni kuli r jest stałe, możemy wyciągnąć wszystkie stałe przed całkę: {{CentrujWzór|<MATH> -\,G M \oint_{S} \frac{1}{r^{2}}\, dS = -\,G M \cdot \frac{1}{r^{2}} \cdot 4\pi r^{2} = -\,4\pi G M </MATH>|1.156}} Otrzymujemy więc całkową postać prawa Gaussa dla grawitacji: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} = -\,4\pi G M </MATH>|1.157}} Wynik ten mówi, że strumień pola grawitacyjnego przez dowolną powierzchnię zamkniętą zależy wyłącznie od masy znajdującej się wewnątrz tej powierzchni — niezależnie od jej kształtu. Korzystając z twierdzenia Gaussa {{LinkWzór|1.155}}, możemy zapisać: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{V} \operatorname{div}\vec{E}\, dV = -\,4\pi G M </MATH>|1.158}} Masę wewnątrz objętości V zapisujemy jako całkę gęstości: {{CentrujWzór|<MATH> M = \oint_{V} \rho\, dV </MATH>|1.159}} gdzie {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} jest gęstością masy. Podstawiamy to do równania: {{CentrujWzór|<MATH> -\,4\pi G M = -\,4\pi G \oint_{V} \rho\, dV </MATH>|1.160}} i otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{V} \operatorname{div}\vec{E}\, dV = -\,4\pi G \oint_{V} \rho\, dV </MATH>|1.161}} Ponieważ równanie to jest prawdziwe dla dowolnej objętości V, możemy przejść do postaci różniczkowej: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{E} = -\,4\pi G\,\rho </MATH>|1.162}} Jest to lokalna postać prawa Gaussa dla pola grawitacyjnego — mówi, że dywergencja pola grawitacyjnego jest proporcjonalna do gęstości masy, ze znakiem minus. W ten sposób prawo Gaussa łączy geometrię pola z rozkładem masy w przestrzeni. == Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego == Aby przejść od prawa Gaussa do równania Poissona, musimy powiązać natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym. W poprzednich punktach wykazaliśmy, że natężenie pola można wyrazić jako gradient potencjału ze znakiem minus {{LinkWzór|1.151}}. Zależność ta jest kluczowa, ponieważ pozwala przejść od opisu pola za pomocą wektora {{Formuła|<MATH>\vec{E}</MATH>}} do opisu za pomocą skalarnego potencjału {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}}. Zaczynamy od zapisania dywergencji natężenia pola grawitacyjnego, podstawiając do niej zależność: {{LinkWzór|1.151}}, co prowadzi do: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{div}\vec{E} = -\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi) = -\nabla^{2}\varphi = -\Delta\varphi </MATH>|1.163}} Widzimy, że dywergencja natężenia pola jest równa minus laplasjanowi potencjału. Laplasjan {{Formuła|<MATH>\Delta\varphi</MATH>}} opisuje, jak potencjał „zakrzywia się” w przestrzeni — jest to suma drugich pochodnych po współrzędnych. W polu centralnym zależność ta przyjmuje szczególnie prostą postać, ponieważ potencjał zależy wyłącznie od odległości od źródła pola. Teraz korzystamy z prawa Gaussa w postaci różniczkowej {{LinkWzór|1.162}}: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{div}\vec{E} = -4\pi G\rho</MATH>}} Podstawiamy do niego wynik z punktu {{LinkWzór|1.163}}: {{CentrujWzór|<MATH> -\Delta\varphi = -4\pi G\rho \quad\Rightarrow\quad \Delta\varphi = 4\pi G\rho </MATH>|1.164}} Otrzymujemy w ten sposób równanie Poissona dla pola grawitacyjnego — jedno z najważniejszych równań w teorii pola. Łączy ono potencjał grawitacyjny z rozkładem masy w przestrzeni: laplasjan potencjału jest proporcjonalny do gęstości masy. Równanie: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\varphi = 4\pi G\rho</MATH>|prawpojs}} jest równaniem Poissona dla pola grawitacyjnego. Opisuje ono, jak potencjał grawitacyjny {{Formuła|<MATH>\varphi</MATH>}} zależy od rozkładu masy {{Formuła|<MATH>\rho</MATH>}} w przestrzeni. Gdy w danym obszarze nie ma masy {{Formuła|<MATH>\rho = 0</MATH>}}, równanie Poissona redukuje się do równania Laplace’a: {{CentrujWzór|<MATH>\Delta\varphi = 0</MATH>|prawpojsbezmas}} co oznacza, że potencjał jest funkcją harmoniczną — nie posiada lokalnych ekstremów i jest w pełni określony przez warunki brzegowe. Gdy natomiast {{Formuła|<MATH>\rho \neq 0</MATH>}}, potencjał jest determinowany przez lokalną gęstość masy. W obszarach o większej gęstości masy potencjał „zagłębia się” bardziej, co odzwierciedla silniejsze oddziaływanie grawitacyjne. Równanie Poissona jest podstawą klasycznej teorii pola grawitacyjnego i pojawia się również w elektrodynamice (z odpowiednimi stałymi), co pokazuje głęboką analogię między polami centralnymi. W mechanice nieba pozwala ono wyprowadzać potencjały dla dowolnych rozkładów masy — od punktowych, przez sferyczne, aż po ciągłe rozkłady w gwiazdach i planetach. == Cyrkulacja pola grawitacyjnego == Aby zbadać własności pola grawitacyjnego, rozważmy jego cyrkulację wokół zamkniętego konturu. Cyrkulacja pola jest miarą „wirowości” pola — jeśli pole posiada składową styczną wzdłuż konturu, całka liniowa może być różna od zera. W polu centralnym sytuacja jest jednak szczególna: linie pola są radialne, a więc prostopadłe do każdego okręgu otaczającego źródło pola. Obierzmy okrąg wokół źródła pola. Dla pola centralnego mamy: {{CentrujWzór|<MATH>\vec{E}\perp d\vec{l}</MATH>|polcenprost}} co oznacza, że natężenie pola jest prostopadłe do elementu drogi. W takiej sytuacji iloczyn skalarny w całce liniowej znika, ponieważ wektory są do siebie prostopadłe. Policzmy cyrkulację pola. Ponieważ pole grawitacyjne jest zachowawcze, zachodzi: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{L} \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0 </MATH>|1.165}} Wynik ten jest zgodny z intuicją: pole zachowawcze nie wykonuje pracy po zamkniętej drodze, a więc jego cyrkulacja musi być równa zero. Zastosujmy do {{LinkWzór|1.165}} prawo Stokesa, które pozwala powiązać całkę liniową z rotacją pola: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{L} \vec{E}\cdot d\vec{l} = \oint_{S} \operatorname{rot}\vec{E}\cdot d\vec{S} </MATH>}} Skoro lewa strona jest równa zero, to: {{CentrujWzór|<MATH> \oint_{S} \operatorname{rot}\vec{E}\cdot d\vec{S} = 0 </MATH>|1.166}} Ponieważ powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej powierzchni {{Formuła|<MATH>S</MATH>}} ograniczonej konturem {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}, otrzymujemy postać różniczkową: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{E} = 0 </MATH>|1.167}} Wynik ten mówi, że pole grawitacyjne jest bezwirowe — nie posiada lokalnych „wirów” ani składowych stycznych, które mogłyby generować niezerową rotację. Korzystając z zależności między natężeniem pola a potencjałem {{LinkWzór|1.151}}. podstawiamy do {{LinkWzór|1.167}}: {{CentrujWzór|<MATH> \operatorname{rot}\vec{E} = \operatorname{rot}(-\operatorname{grad}\varphi) = -\,\operatorname{rot}(\operatorname{grad}\varphi) = 0 </MATH>|1.168}} Wynik ten jest naturalny: rotacja gradientu dowolnej funkcji skalarnej jest zawsze równa zero. Można to zapisać również w notacji tensorowej: {{CentrujWzór|<MATH> (\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi)_i = \epsilon_{ijk}\,\nabla_j\nabla_k\varphi = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\left(\nabla_j\nabla_k - \nabla_k\nabla_j\right)\varphi = 0 </MATH>}} ponieważ pochodne mieszane komutują: {{Formuła|<MATH>\nabla_j\nabla_k\varphi = \nabla_k\nabla_j\varphi</MATH>}}. Zatem definicja: {{LinkWzór|1.151}}, automatycznie spełnia prawo: {{CentrujWzór|<MATH>\operatorname{rot}\vec{E} = 0</MATH>|cyrkpolgraf}} co pokazuje, że pole grawitacyjne jest polem bezwirowym (zachowawczym). Wynik ten jest całkowicie analogiczny do elektrostatystycznego, gdzie pole elektrostatyczne również spełnia podobne prawo, tzn. tylko zamiast natężenia pola grawitacyjnego jest elektrostatycznego. co podkreśla głęboką strukturę wspólną dla wszystkich pól centralnych. == Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym == {{Rysunek|Potencjał efektywny.png|lk1|Wykres potencjału efektywnego ciała w polu grawitacyjnym}} Potencjał efektywny jest jednym z najważniejszych narzędzi w analizie ruchu w polu centralnym. Pozwala sprowadzić pełny ruch w dwóch wymiarach — złożony z ruchu radialnego i kątowego — do ruchu jednowymiarowego wzdłuż promienia r. W ten sposób cała złożoność dynamiki zostaje „skompresowana” do jednego wykresu, który pokazuje, jakie wartości energii są dostępne dla ciała poruszającego się w polu grawitacyjnym. Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał {{LinkWzór|1.91|Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania}} dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem {{LinkWzór|1.148}}. Oznacza to, że do klasycznej energii potencjalnej grawitacji dodajemy dodatkowy składnik wynikający z zachowania momentu pędu. Ten składnik jest często nazywany „barierą odśrodkową”, ponieważ przeciwdziała zbliżaniu się ciała do środka pola. Na tej podstawie możemy zapisać potencjał efektywny: {{CentrujWzór|<MATH> U_{\mathrm{ef}}(r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{GMm}{r} </MATH>|1.169}} Pierwszy składnik: {{Formuła|<MATH>\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}</MATH>}}, jest energią „odśrodkową”, wynikającą z zachowania momentu pędu {{Formuła|<MATH>L</MATH>}}. Im mniejszy promień r, tym większa wartość tego składnika — dlatego ciało nie może spaść do środka pola, jeśli posiada niezerowy moment pędu. Drugi składnik: {{Formuła|<MATH>-\frac{GMm}{r}</MATH>}}, jest klasyczną energią potencjalną grawitacji, która maleje wraz ze zmniejszaniem odległości od masy centralnej. Widzimy na wykresie, że potencjał efektywny posiada minimum. To minimum jest kluczowe dla dynamiki ruchu: odpowiada ono orbitom stabilnym. Jeśli całkowita energia ciała znajduje się powyżej minimum, ale poniżej asymptoty, ruch jest związany i eliptyczny — ciało oscyluje między perycentrum a apocentrum. Jeśli energia przekroczy wartość minimalną, ciało może przejść do ruchu hiperbolicznego lub parabolicznego, czyli opuścić układ. Potencjał efektywny pozwala więc w jednym wykresie zobaczyć wszystkie możliwe typy ruchu: * ruch związany (elipsy), * ruch graniczny (parabole), * ruch niezwiązany (hiperbole). Jest to jedno z najbardziej eleganckich narzędzi w mechanice nieba — łączy geometrię orbit, energię całkowitą i moment pędu w jedną przejrzystą konstrukcję matematyczną. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> dmgeo4mp8t3aj0okm1hdo8jrobq5mb0 0 64142 559064 555134 2026-10-11T01:25:45Z Persino 2851 559064 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Transformacje Galileusza stanowią fundament klasycznej kinematyki i opisują, w jaki sposób zmieniają się współrzędne zdarzeń przy przejściu między dwoma inercjalnymi układami odniesienia. Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia: pierwszy, który traktujemy jako układ „laboratoryjny”, oraz drugi, który porusza się względem pierwszego z prędkością {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}. W chwili początkowej {{Formuła|<MATH>t = 0</MATH>}} oba układy zajmują to samo położenie, co oznacza, że ich osie pokrywają się i różnią się jedynie ruchem względnym. Transformacje przejścia między tymi układami, zwane transformacjami Galileusza, mają postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} x' = x - Vt \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = t \end{cases} </MATH>|1.170}} Widzimy, że współrzędne poprzeczne {{Formuła|<MATH>y</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} nie ulegają zmianie — ruch odbywa się wyłącznie wzdłuż osi x. Czas również pozostaje niezmieniony, co jest jedną z kluczowych cech mechaniki klasycznej: czas jest absolutny i identyczny w obu układach. Jedyną różnicą jest przesunięcie współrzędnej x o wartość {{Formuła|<MATH>Vt</MATH>}}, które odzwierciedla ruch drugiego układu względem pierwszego. Transformacje Galileusza opisują przejście między inercjalnymi układami odniesienia — takimi, w których obowiązuje pierwsze prawo Newtona, a siły są jedyną przyczyną zmian ruchu. Prędkości w obu układach odniesienia związane są zależnościami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} v_x' = v_x - V \\ v_y' = v_y \\ v_z' = v_z \end{cases} </MATH>|1.171}} Widzimy, że współrzędne prędkości w kierunkach {{Formuła|<MATH>y</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} transformują się tożsamościowo — nie zmieniają się, ponieważ ruch układu odniesienia odbywa się wyłącznie wzdłuż osi x. Natomiast składowa {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} zmienia się o wartość prędkości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} układu odniesienia. Nowa składowa {{Formuła|<MATH>v_x'</MATH>}} powstaje przez odjęcie od prędkości {{Formuła|<MATH>v_x</MATH>}} (mierzonej w starym układzie) prędkości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} nowego układu odniesienia. Zależność ta jest intuicyjna: jeśli obserwator porusza się z prędkością V, to prędkość obiektu w jego układzie odniesienia jest odpowiednio mniejsza o tę wartość. Transformacje Galileusza są więc matematycznym wyrażeniem zasady względności w mechanice klasycznej — prawa fizyki mają taką samą postać w każdym inercjalnym układzie odniesienia, a różnice w opisach ruchu wynikają jedynie z przesunięcia współrzędnych i prędkości. === Wirująca karuzela === Rozważmy ruch ciała w układzie biegunowym {{Formuła|<MATH>(\rho,\phi)</MATH>}}, który jest naturalnym układem współrzędnych dla ruchu po okręgu lub w pobliżu okręgu. W takim opisie siły rozkładamy na składową radialną, skierowaną wzdłuż promienia, oraz składową kątową, związaną ze zmianą położenia kątowego. Dla ogólnego ruchu w układzie biegunowym siła radialna i kątowa działająca na ciało mają postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> F_{\rho} = m\left(\ddot{\rho} - \rho\,\dot{\phi}^{2}\right) </MATH>|1.172}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> F_{\phi} = m\left(\rho\,\ddot{\phi} + 2\,\dot{\rho}\,\dot{\phi}\right) </MATH>|1.173}} }} Pierwszy człon w {{Formuła|<MATH>F_{\rho}</MATH>}} odpowiada przyspieszeniu radialnemu, natomiast drugi jest związany z „odśrodkowym” efektem ruchu po łuku — im większa prędkość kątowa, tym silniejsza tendencja do oddalania się od środka. W równaniu dla {{Formuła|<MATH>F_{\phi}</MATH>}} pojawia się z kolei człon związany z przyspieszeniem kątowym oraz człon mieszany, który łączy zmiany promienia i kąta. Aby przejść do opisu w układzie wirującym, określmy teraz funkcję położenia kątowego {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} oraz jej pochodne w zależności od prędkości obrotowej układu {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \phi = \omega t + \phi' </MATH>|1.174}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\phi} = \omega + \dot{\phi}' </MATH>|1.175}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> \ddot{\phi} = \ddot{\phi}' </MATH>|1.176}} }} W ten sposób rozdzielamy ruch na część związaną z obrotem układu odniesienia ({{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}) oraz część związaną z ruchem względem tego układu (z primem). Współrzędne z primem opisują ruch widziany z perspektywy obserwatora siedzącego na wirującej karuzeli. ---- * Siła radialna w układzie wirującym Podstawiamy {{LinkWzór|1.174}}–{{LinkWzór|1.176}} do wzoru na siłę radialną {{LinkWzór|1.172}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{\rho} = m\left[\ddot{\rho}' - \rho'(\omega + \dot{\phi}')^{2}\right] </MATH>}} Po rozwinięciu kwadratu i uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> m\left(\ddot{\rho}' - \rho'\,\dot{\phi}'^{2}\right) = F_{\rho}' + 2m\omega\rho'\dot{\phi}' + m\omega^{2}\rho' </MATH>|1.177}} Po lewej stronie mamy „klasyczną” postać równania radialnego w układzie z primem, natomiast po prawej pojawiają się dodatkowe człony zależne od {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}. Są to właśnie składniki sił pozornych, które nie występują w układzie inercjalnym, lecz pojawiają się w układzie wirującym. ---- * Siła kątowa w układzie wirującym Podstawiamy {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}} do wzoru {{LinkWzór|1.173}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{\phi} = m\left[\rho'\ddot{\phi}' + 2\dot{\rho}'(\omega + \dot{\phi}')\right] </MATH>}} Po uporządkowaniu: {{CentrujWzór|<MATH> m\left(\rho'\ddot{\phi}' + 2\dot{\rho}'\dot{\phi}'\right) = F_{\phi}' - 2m\omega\dot{\rho}' </MATH>|1.178}} Znów po lewej stronie mamy „zwykłe” równanie kątowe w układzie z primem, a po prawej dodatkowy człon zależny od {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}, który nie występuje w układzie inercjalnym. ---- * Interpretacja fizyczna W równaniach {{LinkWzór|1.177}} i {{LinkWzór|1.178}} pojawiają się dodatkowe człony: * {{Formuła|<MATH>2m\omega\rho'\dot{\phi}'</MATH>}} — siła Coriolisa, * {{Formuła|<MATH>m\omega^{2}\rho'</MATH>}} — siła dośrodkowa (odśrodkowa w układzie wirującym), * {{Formuła|<MATH>-2m\omega\dot{\rho}'</MATH>}} — drugi składnik siły Coriolisa. Są to siły pozorne, wynikające z faktu, że opisujemy ruch w nieinercjalnym układzie odniesienia — wirującej karuzeli. W rzeczywistości nie istnieją jako oddzielne oddziaływania fizyczne; pojawiają się tylko dlatego, że układ odniesienia obraca się z prędkością {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}. Obserwator stojący na karuzeli „widzi” te siły, ponieważ jego układ odniesienia jest przyspieszony, natomiast obserwator w układzie inercjalnym opisuje ten sam ruch wyłącznie za pomocą sił rzeczywistych. Analiza wirującej karuzeli jest klasycznym przykładem pokazującym różnicę między układami inercjalnymi i nieinercjalnymi oraz naturę sił pozornych — w szczególności siły Coriolisa i siły odśrodkowej. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor położenia zdefiniowany przy pomocy współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x,y,z)</MATH>}} oraz wersorów kartezjańskiego układu współrzędnych. Wektor ten określa położenie ciała względem wybranego układu odniesienia i stanowi podstawę do wyprowadzenia zależności między układami poruszającymi się względem siebie. Jeśli mamy dwa układy odniesienia — nowy i stary — to transformacja przejścia między nimi ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{r}^{*} = \vec{r}_{0} + \vec{r} </MATH>|1.179}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}_{0}</MATH>}} opisuje położenie początku nowego układu względem starego, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} jest położeniem ciała w nowym układzie. Wektor położenia ciała w starym układzie współrzędnych można zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{r} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k} </MATH>|1.180}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</MATH>}} są wersorami osi kartezjańskich. ---- * Prędkość w układzie nieinercjalnym Aby wyznaczyć prędkość w starym układzie, różniczkujemy równanie {{LinkWzór|1.179}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}^{*} = \vec{v}_{0} + \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k} + x\frac{d\vec{i}}{dt} + y\frac{d\vec{j}}{dt} + z\frac{d\vec{k}}{dt} </MATH>}} W układzie obracającym się wersory nie są stałe — zmieniają się w czasie zgodnie z prędkością kątową układu. Korzystamy z zależności: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d\vec{i}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{i}</MATH>|1.182}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d\vec{j}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{j}</MATH>|1.183}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d\vec{k}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{k}</MATH>|1.184}} }} Po podstawieniu otrzymujemy klasyczny wzór na prędkość w układzie nieinercjalnym: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}^{*} = \vec{v}_{0} + \vec{v}_{w} + \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|1.181}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} — prędkość unoszenia układu odniesienia, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{w}</MATH>}} — prędkość względna w nowym układzie, * {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>}} — składnik wynikający z obrotu układu. ---- * Przyspieszenie w układzie nieinercjalnym Różniczkujemy wzór {{LinkWzór|1.181}} i korzystamy z zależności {{LinkWzór|1.182}}–{{LinkWzór|1.184}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{a} = \vec{a}_{0} + \vec{a}_{w} + 2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) + \frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{r} </MATH>|1.185}} W równaniu tym pojawiają się wszystkie klasyczne składniki przyspieszenia w układzie nieinercjalnym: przyspieszenie unoszenia, przyspieszenie Coriolisa, przyspieszenie odśrodkowe oraz składnik wynikający ze zmiany prędkości kątowej układu. ---- * Składowe przyspieszenia nieinercjalnego Wyróżniamy dwie charakterystyczne składowe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \vec{a}_{c} = 2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w} </MATH>|1.186}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \vec{a}_{u} = \vec{a}_{0} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) + \frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{r} </MATH>|1.187}} }} * {{Formuła|<MATH>\vec{a}_{c}</MATH>}} — przyspieszenie Coriolisa, * {{Formuła|<MATH>\vec{a}_{u}</MATH>}} — przyspieszenie unoszenia (obejmuje przyspieszenie układu, siłę odśrodkową oraz składnik wynikający ze zmiany {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}). ---- * Interpretacja Wzór {{LinkWzór|1.185}} pokazuje, że przyspieszenie w starym układzie odniesienia składa się z: * przyspieszenia unoszenia układu {{LinkWzór|1.187}}, * przyspieszenia Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, * przyspieszenia względnego w nowym układzie odniesienia. Są to klasyczne równania ruchu w dowolnym układzie nieinercjalnym, obejmujące wszystkie siły pozorne pojawiające się w układach obracających się i przyspieszających. Wynik ten jest całkowicie zgodny z analizą wirującej karuzeli i stanowi ogólną postać równań ruchu w układach nieinercjalnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przedstawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w którym obowiązują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory. W takim układzie wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} zapisujemy jako kombinację współrzędnych i wersorów: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{A} = A_x\,\vec{i} + A_y\,\vec{j} + A_z\,\vec{k} </MATH>|1.188}} Wektor ten może zmieniać się w czasie zarówno poprzez zmianę współrzędnych {{Formuła|<MATH>A_x,A_y,A_z</MATH>}}, jak i poprzez zmianę wersorów, jeśli układ odniesienia jest obracający się. Dlatego pochodna czasowa wektora musi uwzględniać oba te efekty. Wyznaczmy teraz pochodną czasową wektora {{LinkWzór|1.188}}, korzystając z zależności {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{dA_x}{dt}\vec{i} + \frac{dA_y}{dt}\vec{j} + \frac{dA_z}{dt}\vec{k} + A_x\frac{d\vec{i}}{dt} + A_y\frac{d\vec{j}}{dt} + A_z\frac{d\vec{k}}{dt} </MATH>}} Pierwsze trzy składniki opisują zmianę współrzędnych wektora, natomiast ostatnie trzy — zmianę wersorów układu współrzędnych. W układzie obracającym się wersory zmieniają się zgodnie z zależnością: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{i}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{i},\quad \frac{d\vec{j}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{j},\quad \frac{d\vec{k}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{k} </MATH>|pochwers}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prędkością kątową układu odniesienia. Po podstawieniu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{A}}{dt} = \dot{\vec{A}} + \vec{\omega}\times \left( A_x\vec{i} + A_y\vec{j} + A_z\vec{k} \right) = \dot{\vec{A}} + \vec{\omega}\times\vec{A} </MATH>|1.189}} Wynik ten jest bardzo elegancki: pochodna czasowa wektora w układzie obracającym się składa się z pochodnej względnej (mierzonej w układzie obracającym się) oraz dodatkowego członu wynikającego z obrotu układu. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy zapisać ogólną postać pochodnej czasowej wektora: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{A}}{dt} = \dot{\vec{A}} + \vec{\omega}\times\vec{A} </MATH>|1.190}} ---- * Interpretacja Jeżeli wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} obracającego się układu, to: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\times\vec{A} = 0</MATH>}}, a więc: {{Formuła|<MATH>\frac{d\vec{A}}{dt} = \dot{\vec{A}}</MATH>}}. W takim przypadku pochodna czasowa wektora w układzie obracającym się jest równa pochodnej względnej — brak dodatkowego składnika wynikającego z obrotu układu. Oznacza to, że tylko składowe prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} „odczuwają” obrót układu. 1jik5y5t7gt7ucvcsnherlps1mfytw7 559078 559064 2026-10-11T02:15:11Z Persino 2851 559078 wikitext text/x-wiki <noinclude><!-- -->{{SkomplikowanaStronaStart<!-- -->| stopka strony = {{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}<!-- -->}}</noinclude> == Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej == === Transformacje Galileusza === Transformacje Galileusza stanowią fundament klasycznej kinematyki i opisują, w jaki sposób zmieniają się współrzędne zdarzeń przy przejściu między dwoma inercjalnymi układami odniesienia. Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia: pierwszy, który traktujemy jako układ „laboratoryjny”, oraz drugi, który porusza się względem pierwszego z prędkością {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} wzdłuż osi {{Formuła|<MATH>x</MATH>}}. W chwili początkowej {{Formuła|<MATH>t = 0</MATH>}} oba układy zajmują to samo położenie, co oznacza, że ich osie pokrywają się i różnią się jedynie ruchem względnym. Transformacje przejścia między tymi układami, zwane transformacjami Galileusza, mają postać: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} x' = x - Vt \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = t \end{cases} </MATH>|1.170}} Widzimy, że współrzędne poprzeczne {{Formuła|<MATH>y</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} nie ulegają zmianie — ruch odbywa się wyłącznie wzdłuż osi x. Czas również pozostaje niezmieniony, co jest jedną z kluczowych cech mechaniki klasycznej: czas jest absolutny i identyczny w obu układach. Jedyną różnicą jest przesunięcie współrzędnej x o wartość {{Formuła|<MATH>Vt</MATH>}}, które odzwierciedla ruch drugiego układu względem pierwszego. Transformacje Galileusza opisują przejście między inercjalnymi układami odniesienia — takimi, w których obowiązuje pierwsze prawo Newtona, a siły są jedyną przyczyną zmian ruchu. Prędkości w obu układach odniesienia związane są zależnościami: {{CentrujWzór|<MATH> \begin{cases} v_x' = v_x - V \\ v_y' = v_y \\ v_z' = v_z \end{cases} </MATH>|1.171}} Widzimy, że współrzędne prędkości w kierunkach {{Formuła|<MATH>y</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>z</MATH>}} transformują się tożsamościowo — nie zmieniają się, ponieważ ruch układu odniesienia odbywa się wyłącznie wzdłuż osi x. Natomiast składowa {{Formuła|<MATH>x</MATH>}} zmienia się o wartość prędkości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} układu odniesienia. Nowa składowa {{Formuła|<MATH>v_x'</MATH>}} powstaje przez odjęcie od prędkości {{Formuła|<MATH>v_x</MATH>}} (mierzonej w starym układzie) prędkości {{Formuła|<MATH>V</MATH>}} nowego układu odniesienia. Zależność ta jest intuicyjna: jeśli obserwator porusza się z prędkością V, to prędkość obiektu w jego układzie odniesienia jest odpowiednio mniejsza o tę wartość. Transformacje Galileusza są więc matematycznym wyrażeniem zasady względności w mechanice klasycznej — prawa fizyki mają taką samą postać w każdym inercjalnym układzie odniesienia, a różnice w opisach ruchu wynikają jedynie z przesunięcia współrzędnych i prędkości. === Wirująca karuzela === Rozważmy ruch ciała w układzie biegunowym {{Formuła|<MATH>(\rho,\phi)</MATH>}}, który jest naturalnym układem współrzędnych dla ruchu po okręgu lub w pobliżu okręgu. W takim opisie siły rozkładamy na składową radialną, skierowaną wzdłuż promienia, oraz składową kątową, związaną ze zmianą położenia kątowego. Dla ogólnego ruchu w układzie biegunowym siła radialna i kątowa działająca na ciało mają postać: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> F_{\rho} = m\left(\ddot{\rho} - \rho\,\dot{\phi}^{2}\right) </MATH>|1.172}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> F_{\phi} = m\left(\rho\,\ddot{\phi} + 2\,\dot{\rho}\,\dot{\phi}\right) </MATH>|1.173}} }} Pierwszy człon w {{Formuła|<MATH>F_{\rho}</MATH>}} odpowiada przyspieszeniu radialnemu, natomiast drugi jest związany z „odśrodkowym” efektem ruchu po łuku — im większa prędkość kątowa, tym silniejsza tendencja do oddalania się od środka. W równaniu dla {{Formuła|<MATH>F_{\phi}</MATH>}} pojawia się z kolei człon związany z przyspieszeniem kątowym oraz człon mieszany, który łączy zmiany promienia i kąta. Aby przejść do opisu w układzie wirującym, określmy teraz funkcję położenia kątowego {{Formuła|<MATH>\phi</MATH>}} oraz jej pochodne w zależności od prędkości obrotowej układu {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \phi = \omega t + \phi' </MATH>|1.174}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \dot{\phi} = \omega + \dot{\phi}' </MATH>|1.175}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH> \ddot{\phi} = \ddot{\phi}' </MATH>|1.176}} }} W ten sposób rozdzielamy ruch na część związaną z obrotem układu odniesienia ({{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}) oraz część związaną z ruchem względem tego układu (z primem). Współrzędne z primem opisują ruch widziany z perspektywy obserwatora siedzącego na wirującej karuzeli. ---- * Siła radialna w układzie wirującym Podstawiamy {{LinkWzór|1.174}}–{{LinkWzór|1.176}} do wzoru na siłę radialną {{LinkWzór|1.172}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{\rho} = m\left[\ddot{\rho}' - \rho'(\omega + \dot{\phi}')^{2}\right] </MATH>}} Po rozwinięciu kwadratu i uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> m\left(\ddot{\rho}' - \rho'\,\dot{\phi}'^{2}\right) = F_{\rho}' + 2m\omega\rho'\dot{\phi}' + m\omega^{2}\rho' </MATH>|1.177}} Po lewej stronie mamy „klasyczną” postać równania radialnego w układzie z primem, natomiast po prawej pojawiają się dodatkowe człony zależne od {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}. Są to właśnie składniki sił pozornych, które nie występują w układzie inercjalnym, lecz pojawiają się w układzie wirującym. ---- * Siła kątowa w układzie wirującym Podstawiamy {{LinkWzór|1.175}} i {{LinkWzór|1.176}} do wzoru {{LinkWzór|1.173}}: {{CentrujWzór|<MATH> F_{\phi} = m\left[\rho'\ddot{\phi}' + 2\dot{\rho}'(\omega + \dot{\phi}')\right] </MATH>}} Po uporządkowaniu: {{CentrujWzór|<MATH> m\left(\rho'\ddot{\phi}' + 2\dot{\rho}'\dot{\phi}'\right) = F_{\phi}' - 2m\omega\dot{\rho}' </MATH>|1.178}} Znów po lewej stronie mamy „zwykłe” równanie kątowe w układzie z primem, a po prawej dodatkowy człon zależny od {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}, który nie występuje w układzie inercjalnym. ---- * Interpretacja fizyczna W równaniach {{LinkWzór|1.177}} i {{LinkWzór|1.178}} pojawiają się dodatkowe człony: * {{Formuła|<MATH>2m\omega\rho'\dot{\phi}'</MATH>}} — siła Coriolisa, * {{Formuła|<MATH>m\omega^{2}\rho'</MATH>}} — siła dośrodkowa (odśrodkowa w układzie wirującym), * {{Formuła|<MATH>-2m\omega\dot{\rho}'</MATH>}} — drugi składnik siły Coriolisa. Są to siły pozorne, wynikające z faktu, że opisujemy ruch w nieinercjalnym układzie odniesienia — wirującej karuzeli. W rzeczywistości nie istnieją jako oddzielne oddziaływania fizyczne; pojawiają się tylko dlatego, że układ odniesienia obraca się z prędkością {{Formuła|<MATH>\omega</MATH>}}. Obserwator stojący na karuzeli „widzi” te siły, ponieważ jego układ odniesienia jest przyspieszony, natomiast obserwator w układzie inercjalnym opisuje ten sam ruch wyłącznie za pomocą sił rzeczywistych. Analiza wirującej karuzeli jest klasycznym przykładem pokazującym różnicę między układami inercjalnymi i nieinercjalnymi oraz naturę sił pozornych — w szczególności siły Coriolisa i siły odśrodkowej. === Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego === Wektorem wodzącym nazywamy wektor położenia zdefiniowany przy pomocy współrzędnych {{Formuła|<MATH>(x,y,z)</MATH>}} oraz wersorów kartezjańskiego układu współrzędnych. Wektor ten określa położenie ciała względem wybranego układu odniesienia i stanowi podstawę do wyprowadzenia zależności między układami poruszającymi się względem siebie. Jeśli mamy dwa układy odniesienia — nowy i stary — to transformacja przejścia między nimi ma postać: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{r}^{*} = \vec{r}_{0} + \vec{r} </MATH>|1.179}} Wektor {{Formuła|<MATH>\vec{r}_{0}</MATH>}} opisuje położenie początku nowego układu względem starego, natomiast {{Formuła|<MATH>\vec{r}</MATH>}} jest położeniem ciała w nowym układzie. Wektor położenia ciała w starym układzie współrzędnych można zapisać jako: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{r} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k} </MATH>|1.180}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</MATH>}} są wersorami osi kartezjańskich. ---- * Prędkość w układzie nieinercjalnym Aby wyznaczyć prędkość w starym układzie, różniczkujemy równanie {{LinkWzór|1.179}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}^{*} = \vec{v}_{0} + \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k} + x\frac{d\vec{i}}{dt} + y\frac{d\vec{j}}{dt} + z\frac{d\vec{k}}{dt} </MATH>}} W układzie obracającym się wersory nie są stałe — zmieniają się w czasie zgodnie z prędkością kątową układu. Korzystamy z zależności: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d\vec{i}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{i}</MATH>|1.182}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d\vec{j}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{j}</MATH>|1.183}} | 3 = {{CentrujWzór|<MATH>\frac{d\vec{k}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{k}</MATH>|1.184}} }} Po podstawieniu otrzymujemy klasyczny wzór na prędkość w układzie nieinercjalnym: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{v}^{*} = \vec{v}_{0} + \vec{v}_{w} + \vec{\omega}\times\vec{r} </MATH>|1.181}} gdzie: * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{0}</MATH>}} — prędkość unoszenia układu odniesienia, * {{Formuła|<MATH>\vec{v}_{w}</MATH>}} — prędkość względna w nowym układzie, * {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\times\vec{r}</MATH>}} — składnik wynikający z obrotu układu. ---- * Przyspieszenie w układzie nieinercjalnym Różniczkujemy wzór {{LinkWzór|1.181}} i korzystamy z zależności {{LinkWzór|1.182}}–{{LinkWzór|1.184}}: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{a} = \vec{a}_{0} + \vec{a}_{w} + 2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) + \frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{r} </MATH>|1.185}} W równaniu tym pojawiają się wszystkie klasyczne składniki przyspieszenia w układzie nieinercjalnym: przyspieszenie unoszenia, przyspieszenie Coriolisa, przyspieszenie odśrodkowe oraz składnik wynikający ze zmiany prędkości kątowej układu. ---- * Składowe przyspieszenia nieinercjalnego Wyróżniamy dwie charakterystyczne składowe: {{ElastycznyWiersz | 1 = {{CentrujWzór|<MATH> \vec{a}_{c} = 2\vec{\omega}\times\vec{v}_{w} </MATH>|1.186}} | 2 = {{CentrujWzór|<MATH> \vec{a}_{u} = \vec{a}_{0} + \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) + \frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{r} </MATH>|1.187}} }} * {{Formuła|<MATH>\vec{a}_{c}</MATH>}} — przyspieszenie Coriolisa, * {{Formuła|<MATH>\vec{a}_{u}</MATH>}} — przyspieszenie unoszenia (obejmuje przyspieszenie układu, siłę odśrodkową oraz składnik wynikający ze zmiany {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}}). ---- * Interpretacja Wzór {{LinkWzór|1.185}} pokazuje, że przyspieszenie w starym układzie odniesienia składa się z: * przyspieszenia unoszenia układu {{LinkWzór|1.187}}, * przyspieszenia Coriolisa {{LinkWzór|1.186}}, * przyspieszenia względnego w nowym układzie odniesienia. Są to klasyczne równania ruchu w dowolnym układzie nieinercjalnym, obejmujące wszystkie siły pozorne pojawiające się w układach obracających się i przyspieszających. Wynik ten jest całkowicie zgodny z analizą wirującej karuzeli i stanowi ogólną postać równań ruchu w układach nieinercjalnych. == Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych == Dowolny wektor możemy przedstawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w którym obowiązują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory. W takim układzie wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} zapisujemy jako kombinację współrzędnych i wersorów: {{CentrujWzór|<MATH> \vec{A} = A_x\,\vec{i} + A_y\,\vec{j} + A_z\,\vec{k} </MATH>|1.188}} Wektor ten może zmieniać się w czasie zarówno poprzez zmianę współrzędnych {{Formuła|<MATH>A_x,A_y,A_z</MATH>}}, jak i poprzez zmianę wersorów, jeśli układ odniesienia jest obracający się. Dlatego pochodna czasowa wektora musi uwzględniać oba te efekty. Wyznaczmy teraz pochodną czasową wektora {{LinkWzór|1.188}}, korzystając z zależności {{LinkWzór|1.182}}, {{LinkWzór|1.183}}, {{LinkWzór|1.184}} oraz twierdzenia o pochodnej iloczynu: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{dA_x}{dt}\vec{i} + \frac{dA_y}{dt}\vec{j} + \frac{dA_z}{dt}\vec{k} + A_x\frac{d\vec{i}}{dt} + A_y\frac{d\vec{j}}{dt} + A_z\frac{d\vec{k}}{dt} </MATH>}} Pierwsze trzy składniki opisują zmianę współrzędnych wektora, natomiast ostatnie trzy — zmianę wersorów układu współrzędnych. W układzie obracającym się wersory zmieniają się zgodnie z zależnością: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{i}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{i},\quad \frac{d\vec{j}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{j},\quad \frac{d\vec{k}}{dt} = \vec{\omega}\times\vec{k} </MATH>|pochwers}} * gdzie {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} jest prędkością kątową układu odniesienia. Po podstawieniu otrzymujemy: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{A}}{dt} = \dot{\vec{A}} + \vec{\omega}\times \left( A_x\vec{i} + A_y\vec{j} + A_z\vec{k} \right) = \dot{\vec{A}} + \vec{\omega}\times\vec{A} </MATH>|1.189}} Wynik ten jest bardzo elegancki: pochodna czasowa wektora w układzie obracającym się składa się z pochodnej względnej (mierzonej w układzie obracającym się) oraz dodatkowego członu wynikającego z obrotu układu. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|1.189}}, możemy zapisać ogólną postać pochodnej czasowej wektora: {{CentrujWzór|<MATH> \frac{d\vec{A}}{dt} = \dot{\vec{A}} + \vec{\omega}\times\vec{A} </MATH>|1.190}} ---- * Interpretacja Jeżeli wektor {{Formuła|<MATH>\vec{A}</MATH>}} jest równoległy do prędkości kątowej {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} obracającego się układu, to: {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}\times\vec{A} = 0</MATH>}}, a więc: {{Formuła|<MATH>\frac{d\vec{A}}{dt} = \dot{\vec{A}}</MATH>}}. W takim przypadku pochodna czasowa wektora w układzie obracającym się jest równa pochodnej względnej — brak dodatkowego składnika wynikającego z obrotu układu. Oznacza to, że tylko składowe prostopadłe do {{Formuła|<MATH>\vec{\omega}</MATH>}} „odczuwają” obrót układu. <noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude> 17ib84ohpda1j25pq3yznmzpfp9f4fk