وکیپیڈیا pnbwiki https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%DB%81%D9%84%D8%A7_%D8%B5%D9%81%DB%81 MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter میڈیا خاص گل بات ورتنوالا ورتن گل بات وکیپیڈیا ویونت گل بات فائل فائل گل بات میڈیا وکی میڈیاوکی گل بات سانچہ سانچہ گل بات ہتھونڈائی ہتھونڈائی گل بات گٹھ گٹھ گل بات TimedText TimedText talk ماڈیول ماڈیول گل بات Event Event talk 0 6724 712439 402187 2026-10-09T15:21:22Z Carsten Steger 29278 Aerial image of the Bouquetins inserted. 712439 wikitext text/x-wiki {| class="toccolours" style="float: left; margin-left: 1em; width: 20em; font-size: 90%;" |- | style="background:#C2B280" align="center" width="130px" colspan=2 |'''<font size="1" color=black>باؤقیٹنز<font>''' |- | colspan="2" style="padding: 1em 0; text-align: center;" | [[File:Aerial image of the Bouquetins (view from the west).jpg|300px]] |- style="vertical-align: top;" |- |'''[[پربت دھارا]]'''<hr> |style="padding-right: 1em;" | [[الپس]] <hr> |- |'''[[دیس]]'''<hr> |style="padding-right: 1em;" | [[سویٹزرلینڈ]] [[File:Flag of Switzerland.svg|20px]]<hr> |- style="vertical-align: top;" |'''اچائی''' |style="padding-right: 1em;" | 3,838 [[میٹر]]، 12,592 [[فٹ]] |- style="vertical-align: top;" |- |} '''باؤقیٹنز''' [[سویٹزرلینڈ]] دا اک پعاڑ اے۔ == ہور پرھو == * [[سویٹزرلینڈ دے پعاڑاں دی لسٹ]] == بارلے جوڑ == {{Commons| Bouquetins|position=left}} [[گٹھ:سویٹزرلینڈ دے پعاڑ]] 7yf3beqyvzugi3swxfng2zhv9dhwb98 0 9872 712443 710202 2026-10-10T09:09:35Z PJ Geest 44951 Replace raster graph with SVG reconstruction: Standard conf.svg 712443 wikitext text/x-wiki [[File:C solarcorona2003.gif|thumb|left|200px]] '''سپیشل ریلیٹیوٹی''' (مخصوص نسبیت) [[فزکس]] دا اک نظریا اے جیہنوں [[ایلبرٹ آئینسٹائن]] نے 1905 وچ پیش کیتا ۔ [[File:World line.svg|thumb|دنیا لائن]] فزکس وچ سپیشل ریلیٹیوٹی (SR, جسنوں سپیشل تھیوری آف رلیٹیوٹی یا STR وی کیہا جاندا اے) خلاء (سپیس) اتے ویلے درمیان تعلقاں نوں درساؤندی سبھ ولوں قبول کیتی گئا بھوتکی اصول اے۔ ایہہ دو سوے-سدھ پرماناں اتے امشتمل اے: (1) کہ فزکس دے نیم سارے انرشیئل سسٹماں (ایکسلریٹ نہ ہو رہیاں ریپھرینس فریماں) وچ ستھر (آئڈینٹیکل) ہندے ہن؛ اتے (2) کہ ویکم (خلاء) وچ روشنی دی رفتار سارے ناظرین لئی اکو جہی رہندی اے, بھاویں روشنی دا سوما رفتار شیل ہی کیوں نہ ہووے۔ ایہہ اصول مول روپ وچ پرچے “الیکٹروڈائنیمکس آف موونگ باڈیز” (رفتار شیل چیزاں دے الیکٹروڈائنامکس اتے) وچ سن 1905 وچ البرٹ آئینسٹائین ولوں پیش کیتی گئی سی۔۔ الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویلّ اکئیشناں نال نیوٹونیئن مکینکس دی بیمیلتا اتے کسے روشنی چھڈن والے ایتھر راہیں گزردی دھرتی دی رفتار کھوجن دی نہ-قابلیت نے سپیشل رلیٹیوٹی ول پریرنا دتی, جسنے روشنی دی رفتار دے نیڑے دیاں گتیاں والیاں پرحالات نال نبٹن لئی مکینکس نوں سودھیا۔ جویں اجکل دا, سپیشل رلیٹیوٹی کسے وی سپیڈ اتے رفتار دا سبھ توں زیادہ خالص ماڈل اے۔ تاں وی, نیوٹونیئن مکینکس روشنی دی سپیڈ دے ساپیکھک چھوٹیاں ولوسٹیاں اتے اک لگبھگ سنکھیپیؤ دے طور تے اجے وی معاون اے (اسدی سرلتا اتے اچّ-شدھتا کارن)۔ سپیشل رلیٹیوٹی نتیجیاں دے اک وڈا دائرے نوں متاثر کردی اے, جہناں نوں پریوگک طور تے ثابت کیتا جا چکا اے, جہناں وچ, لینتھ کنٹریکشن (لمبائی سنگھڑنی), ٹائم ڈلیشن (وقت دا کھچاؤ), رلیٹوسٹک ماس (ساپیکھک پنج), ماس-اینرجی اکئیویلینس (پنج-توانائی برابری), اک برہمنڈی سپیڈ حد, اتے سملٹینٹی (اکٹھیاں واقعے) دی رلیٹیوٹی۔ اسنے اک خالص برہمنڈی وقت دی روایتی دھارنا نوں اجیاے ٹائم دی دھارنا نال بدل دتا اے جو ریفرینس فریم اتے سپیشیئل (مقامی) پوزیشن اتے انحصار کردا اے۔ دو واقعے درمیان اک ستھر وقت عرصے دی جگہ, اک ستھر سپیسٹائیم وقفہ ہندا اے۔ فزکس دے ہور اصولاں نال ملاؤندے ہوئے, سپیشل رلیٹیوٹی دے دو سوے-سدھ نشان ماس اتے اینرجی دی برابری دا اندازا لگاؤندے ہن, جویں ماس-اینرجی برابری فارمولے E = mc2 وچ درسایا گیا اے, جتھے c نوں ویکمّ وچ روشنی دی سپیڈ کیہا جاندا اے۔ سپیشل رلیٹیوٹی دا متاثر کرن والا لچھن نیوٹونیئن مکینکس دیاں گیلیلیئن تبدیلیاں نوں لورنٹز تبدیلیاں نال بدلنا اے۔ ٹائم اتے سپیس نوں اک دوجے توں وکھرا متاثر نہیں کیتا جا سکدا اے۔ سگوں سپیس اتے ٹائم, سپیسٹائیم کاے جان والی اک سنگل نرنترتا وچ اندرونی طور تے پروئے ہندے ہن۔ جو واقعے کسے اک درشک لئی اکو وقت تے واپردیاں ہن, اوہی واقعے کسے ہور درشک لئی وکھرے وکھرے وقت وچ واپردیاں نظر آ سکدیاں ہن۔ تھیوری دا خاص ہونا اس گل کارن اے کہ ایہہ صرف اوہناں سپیشلا کیساں وچ ہی لاگوُ کیتی جاندی اے جتھے گریوٹی کارن سپیسٹائیم دا کرویچر ممولی ہندا اے۔ گریوٹی نوں شامل کرن لئی, آئینسٹائین نے 1915 وچ جنرل ریلیٹیوٹی پھارمولابدھّ کیتی۔ (سپیشل رلیٹیوٹی, کجھ پرانے وورناں توں خلاف, ایکسلریٹ کیتیاں گئیاں ریفرینس فریماں نال نبٹنیوگ اے) جویں گیلیلیئن رلیٹیوٹی نوں ہن سپیشل رلیٹیوٹی دی اک سمیپیؤ دے طور تے لیا جاندا اے جو کہ گھٹ سپیڈاں اتے پروانت اے, اوسے طرحاں سپیشل رلیٹیوٹی نوں جنرل رلیٹیوٹی دی اک نیڑے دی سنکھیپیؤ دے طور تے لیا جاندا اے جو کمزور گریویٹیشنل پھیلڈاں لئی پروانت اے, یانِ کہ, ضرورت جنے چھوٹے پیمانے اتے آزاد گراوٹ دیاں شرطاں وچ پروانت اے۔ جتھے جنرل رلیٹیوٹی سپیسٹائیم دے جیؤمیٹرک کرویچر دے روپ وچ گریویٹیشنل پرجذبات نوں پرسعنصر کرن دے لئی, غیر-یوکلڈن جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) نال سہویوگ کردی اے, اتھے سپیشل رلیٹیوٹی منکووسکی سپیس دے نام نال جانی جان والی فلیٹ سپیس تک محدود اے۔ اک مقامی طور تے لورینٹز ستھر فریم جو سپیشل رلیٹیوٹی دی پالنا کردی ہووے, کافی سوخم پیمانے اتے متاثر کیتی جا سکدی اے, اتھوں تک کہ کروڈ سپیسٹائیم وچ وی متاثر کیتی جا سکدی اے۔ گیلیلیؤ گیلیلی نے پہلاں ہی سوے-سدھ کر دتا سی۔ کہ ریسٹ (کوئی خاص حق حاصل ریفرینس فریم نہیں) دی خالص اتے چنگی طرحاں متاثر حالت نہیں ہندی, اس اصول نوں ہن گیلیلیؤ دا ساپیکھتا اصول کہندے ہن۔ آئینسٹائین نے اس اصول نوں اسطراں ودھایا کہ اسنے روشنی دی ستھر سپیڈ لئی منگ کیتی, اک اجیہا عمل جو تازہ سمیاں وچ مائیکلسن مورلے استعمال وچ دیکھیا گیا اے۔ اسنے ایہہ وی سدھ کیتا کہ ایہہ فزکس دے سارے نظریات دی پالنا کردا اے, جہناں وچ مکینکس اتے الیکٹروڈائنامکس دے اصول شامل ہن۔ [[File:Einstein patentoffice.jpg|thumb|260px|البرٹ آئینسٹائین 1905 دے نیڑے تیڑے, ایہہ اوہ سال سی جدوں اسدا Annus Mirabilis papers چھپیا جس وچ ''Zur Elektrodynamik bewegter Krper'' شامل سی, جس وچ سپیشل رلیٹیوٹی دی کھوج چھپی سی]] {{TOC limit}} == سوے-سدھ نشان == {{rquote|right|1900 توں کجھ دیر بعد بہت سماں پہلاں ہی, یانِ کہ پلینک دے مارگدرشک کم توں کجھ دیر بعد ہی, اسطراں دے کجھ وچاراں نے مینوں واضع کر دتا سی, کہ ناں تاں مکینکس اتے نہ ہی الیکٹروڈائنامکس (کجھ محدود معاملیاں نوں چھڈّ کے) خالص پرمانکتا دا دعوہ کر سکدے ہن۔ ہولی ہولی درجاوار طریقے نال میں معلوم تتھاں اتے مشتمل تعمیری یتناں دے طریقے نال سچے اصول کھوجن دی سمبھاوناں توں مایوس ہندا گیا۔ جنی لمبی دیر اتے ہور زیادہ نراشتا نال میں یتن کیتے, انے ہی ہور زیادہ درڑھ تجزیہ میرے اندر گھر کردے گئے کہ صرف کسے برہمنڈی رویلے اصول دی کھوج ہی سانوں یقینی نتجیاں ول لجا سکدی ہے… پھیر, اجیہا کوئی برہمنڈی اصول کھوجیا کویں جا سکدا اے؟ –البرٹ آئینسٹائین : آتمکہانی نوٹس</ref>}} چاہے مکینکس جاں الیکٹروڈائنامکس دے ادوں دے معلوم نظریات دی صحیح پرمانکتا دے ہندے ہوئے وی, آئینسٹائین نے دو مڈھلے پرستاواں وچ فرق نوں پہچانیا جو سبھ توں زیادہ بھروسیمند لگدا سی۔ ایہہ تجویز روشنی دی سپیڈ دی استحکام اتے انرشیئل سسٹم دی چون توں بھوتکی نظریات (خاص کر کے روشنی دی سپیڈ دی استحکام) دی آزادی سن۔ 1905 وچ سپیشل رلیٹیوٹی بابت اپنی شروعاتی پیش کش وچ اسنے ایہناں سوے-سدھ پرماناں نوں اسطراں درسایا: * رلیٹیوٹی دا اصول – جہناں نظریات راہیں بھوتکی سسٹماں وچ حالتاں تبدیل ہندیاں ہن, اوہ اصول بدلدے نہیں ہن, چااے ایہہ حالتاں دیاں تبدیلیاں اک دوجے دے ساپیکھک اکسار بدلدی رفتار ماتحت رفتار شیل دو سسٹماں وچوں اک جاں دوجے ول اشارہ کرن۔ * روشنی دی ستھر سپیڈ دا اصول – “…روشنی ہمیشاں ہی خالی سپیس وچ اک مقررہ ولوسٹی (سپیڈ) c نال سنچارت ہندا اے جو روشنی پیدا کرن والے سومے دی رفتار دی حالت توں آزاد ہندی اے۔” یانِ کہ, روشنی ویکمّ وچ سپیڈ c (اک پھکس ستھرانک, جو سمت توں مکت ہندا اے) نال انرشیئل کو-آرڈینیٹاں (سٹیشنری سسٹم) دے گھٹو گھٹ اک سسٹم وچ سنچارت ہندا اے, جو روشنی دے سومے دی رفتار دی حالت نوں نظر انداز کردا اے۔ سپیشل رلیٹیوٹی دی فارمولا رچنا نہ صرف صرف ایہناں دوویں باہری سوے-سدھ پرماناں تے انحصار کردی اے, سگوں کئی انکہیاں مون دھارناواں (جو فزکس دیاں لگبھگ سبھ تھیوریاں وچ بنیاں سن) تے وی انحصار کردی اے, جہناں وچ سپیس دی آئیسوٹروپی اتے ہوموجینیئٹی اتے ناپن والیاں چھڑیاں اتے اوہناں دے بھوتدور اتہاس توں گھڑیاں شامل ہن۔ سپیشل رلیٹیوٹی بابت 1905 والی آئینسٹائین دی مول پیش کش نوں اپناؤندے ہوئے, سوے-سدھ پرماناں دے کئی وکھرے سیٹ وی بہت ساریاں بدلویاں رچناواں اندر پیش کیتے گئے۔ پھیر وی, آئینسٹائین ولوں اسدے اپنے مول پیپر والا سوے-سدھ نشان سبھ توں زیادہ سانجھا سیٹ رہا اے۔ آئینسٹائین ولوں بعد وچ بیان کیتا گیا سپیشل رلیٹیوٹی متعلق اک ہور گنتک کتھن, جو اپر نہیں لکھی سرلتا دی دھارنا پیش کردا اے اوہ ایہہ اے: رلیٹیوٹی دا سپیشل پرنسپل : جیکر کوآرڈینیٹ K دا کوئی سسٹم اسطراں چنیا جاندا اے کہ, اسدے نال تعلق وچ, بھوتکی اصول اپنی آسان ترین قسم وچ صحیح طرحاں لاگوُ رہندے ہن, تاں اوہی نیم کسے ہور کوآرڈینیٹاں دے سسٹم K’ لئی وی لاگوُ رہنگے, جو K توں اک اکسار تبدیلی ماتحت ساپیکھک رفتار کر رہا ہندا اے۔ ہینری پوآئنکیئر نے ایہہ ثابت کردے ہوئے رلیٹیووٹی تھیوری لئی گنتک ڈھانچہ مہئیا کروایا کہ “لورینٹز تبدیلیاں” اسدے “سمٹری تبدیلیاں والے پوآینکیئر گروپ” دیاں اک سبسیٹّ ہندیاں ہن۔ آئینسٹائین نے بعد وچ ایہناں تبدیلیاں (پرورتناں) نوں اپنے اصولاں توں رچیا۔ آئینسٹائین دے بہت سارے پیپر ایہناں دوویں نظریات اتے مشتمل لورینٹز پرورتن دی ویونتپتی پیش کردے ہن۔ آئینسٹائین نے لورینٹز انویریئنس (سپیشل رلیٹیوٹی دی لازمی کور) دی ویونتپتی نوں استحکام نال صرف دو مڈھلے ساپیکھتا نظریات اتے روشنی دی سپیڈ دی استحکام اتے مشتمل بنایا۔ اسنے لکھیا: سپیشل رلیٹیوٹی دی تھیوری لئی مڈھلی گہری بدھی ایہہ اے: رلیٹیوٹی اتے روشنی دی ستھر سپیڈ دیاں دھارناواں تاں مطابق رہندیاں ہن جیکر واقعے دے “وقتاں” اتے نردیشانکاں دے وٹاندرے (کنورشن) لئی اک نویں قسم دے (لورینٹز ٹرانسپھورمیشن) تعلقاں نوں سدھ کیتا جاندا ہے… رلٹیوٹی دی سپیشل تھیوری دا برہمنڈی اصول اس سوے-سدھ وچ رکھیا اے: فزکس دے اصول لورینٹز ٹرانسپھورمیشناں (کسے اک انرشیئل فریم توں کسے ہور منمرضی نال چنے گئے انرشیئل سسٹم تک دا وٹاندرا) پرتِ ستھر رہندے ہن۔ ایہہ قدرتی قنوناں لئی اک پابندھی لگاؤن والا اصول اے۔ اسطراں سپیشل رلیٹیوٹی دے بہت سارے اجوکے علاج اسدا ادھار برہمنڈی لورینٹز کوویریئنس دے اکو سوے-سدھ نشان, جاں اسدے سامان ہی, منکووسکی سپیسٹائیم دے, اکو سوے-سدھ نشان تے بناؤندے ہن۔ روشنی دی سپیڈ دی استحکام نوں لئے وگویر رلیٹیوٹی دے اصول توں (یانِ کہ, سپیس دی آئیسوٹروپی اتے سپیشل رلیٹیوٹی دے اصول راہیں متاثر سمٹری ورتدے ہوئے) دکھایا جا سکدا اے کہ انرشیئل فریماں درمیان سپیسٹائیم پرورتن یونکلڈن, گیلیلیئن ہندے ہن جاں لورینٹزیئن وچوں کوئی وی ہندے ہن۔ لورینٹزیئن کیس وچ, تلناتمک وقفہ والیاں گلابانتاں حاصل کیتیاں جا سکدیاں ہن اتے اک مقررہ محدود سپیڈ دی حد حاصل کیتی جا سکدی اے۔ استعمال سجھاؤندے ہن کہ ایہہ سپیڈ ویکمّ وچ روشنی دی سپیڈ ہندی اے۔ روشنی دی سپیڈ دی استحکام میکسویلّ دی الیکٹرومیگنٹزم تھیوری توں راغب ہوئی سی۔ اتے چمکدار ایتھر لئی ثبوتاں دی کمی رہی۔ مائیکلسن مورلے استعمال دے نتیجے نہ نکلن ولوں آئینسٹائین کنی کو دیر متاثر رہا, اس گل دے پرسپر ورتکنیک ثبوت ہن۔ پھیر وی, مائیکلسن مورلے ایکسپیریمینٹ دے زیرو نتیجے نے روشنی دی سپیڈ دی استحکام نوں وڈا پدھر تے پھیلاؤن اتے تیزی نال سویکارن وچ مدد کیتی ۔ == سپیسٹائیم دا جیؤمیٹری == === منکووسکی سپیس === گنتک فزکس وچ, منکووسکی سپیس جاں منکووسکی سپیسٹائیم, یوکلڈن سپیس اتے ٹائم دا اک 4-سمتی مینیپھولڈ (بہپرت) وچ میل اے جتھے کسے وی دو واقعے درمیان سپیسٹائیم وقفہ (انٹرول) اوس انرشیئل فریم (ڈھانچے) توں آزاد رہندا اے جس وچ اس نوں ریکارڈ کیتا جاندا اے۔ بے شکّ شروعات وچ منکووسکی سپیسٹائیم دی گنتک بنتر, الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویلّ اکئیشناں لئی گنتشعورت حرمن منکووسکی ولوں ترقی یافتہ کیتی گئی سی, پھیر وی اس نوں سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]])دے سدھ نشان دے ترنت نتیجے دے روپ وچ دکھایا گیا سی۔ منکووسکی سپیس آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دی تھیوری نال نزدیک طور تے جڑی اے, اتے ایہہ اوہ سبھ توں زیادہ سانجھی گنتک بنتر اے جس اتے سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دے فارمولیاں دا سوتریکرن کرن کیتا گیا اے۔ جدونکھ یوکلڈن سپیس اتے ٹائم دے انفرادی کمپونینٹ لمبائی سنگڑن عمل (لینتھ کنٹریکشن) اتے ٹائم وچ دیری (ٹائم ڈلیشن) کارن اکثر فرق رکھنگے, منکووسکی سپیس وچ, ساریاں ریپھرینس فریماں واقعے درمیان سپیسٹائیم وچ کل دوری اتے سہمت ہندیاں ہن۔ کیونکہ ایہہ وقت نوں تن مقامی سمتاں نالوں وکھرے طریقے نال لیندی اے, اسلئی منکووسکی سپیس چار-سمتی یوکلڈن سپیس توں وکھری ہندی اے۔ آئیسومیٹری گروپ, جو کہ نیمت اندرونی گننپھل نال بھرپور اک یوکلڈن سپیس دے یوکلڈن ڈسٹینساں (وتھاں) نوں سرکھات کردا اے, یوکلڈن گروپ کیہا جاندا اے۔ منکووسکی سپیس لئی برابر دا آئسیمیٹری گروپ جو غیر-پوزیٹو مقررہ دو-ریکھک (بائلینیئر) اکار (اتھے اسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا اے) سمیت سپیسٹائیم دے وقفےآں نوں سرکھئت کردا اے, پوآئنکیئر گروپ کیہا جاندا اے۔ منکووسکی اندرونی گننپھل (انر پروڈکٹ) دو واقعے درمیان سپیسٹائیم وقفہ پیدا کرن دے روپ وچ متاثر کیتا جاندا اے جدوں اوہناں واقعے دے نردیشانک انتر ویکٹر ترک دے طور تے دتے گئے ہون۔ ==== منکووسکی سپیس دا اتہاس ==== [[File:De Raum zeit Minkowski Bild.jpg|250px|thumb|ہرمن منکووسکی (1864–1909) اک جرمن ریاصی دان سی۔ اسنے کھوجیا کہ سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دی تھیوری جو اسدے طالب علم [[البرٹ آئینسٹائین]] ولوں پرسعنصر کیتی سی, نوں چار-سمتی سپیس وچ سبھ توں ودھیا طریقے نال سمجھیا جا سکدا اے, جس نوں ادوں توں منکووسکی سپیس دے روپ وچ جانیا جان لگ پیا]] ===== چار-سمتی اقلیدسی سپیسٹائیم ===== 1905 وچ, 1906 والی پبلیکیشن دے نال, ہینری پوآئنکیئر نے دکھایا کہ ٹائم نوں اک خیالی چوتھے سپیسٹائیم نردیشانک (√−1 c t) دے طور تے لے کے, اک لورنٹز ٹرانسپھورمیشن (پرورتن) نوں, تن اصلی نردیشانکاں راہیں پرسعنصر کیتی جا رہی سپیس اتے چوتھے سمت دے طور تے ٹائم نوں پرسعنصر کر رہا اک خیالی نردیشانک, یکت اک چار-سمتی یوکلڈن سپیس وچ نردیشانکاں دی اک روٹیشن (چکر) کیہا جا سکدا اے۔ کیونکہ پھیر سپیس اک سوڈو-یوکلڈن سپیس ہندی اے, اسلئی روٹیشن اک ہائیپربولک روٹیشن دی پرستتی ہندی اے, بے شکّ پوآئنکیئر نے ایہہ وضاحت نہیں دتی سی, اسدا مقصد جانی پچھانی یوکلڈن روٹیشن دے شبداں وچ صرف لورنٹز پرورتن نوں کھل کے سمجھاؤنا ہی سی۔ اس وچار دا حرمن منکووسکی ولوں پھلار کیتا گیا, جسنے چار سمتاں وچ لورنٹز پرورتن ماتحت اوہناں دے انویریئنس سدھے دکھاؤندے ہوئے میکسویلّ دیاں سمیکرناں نوں پنرکتھن کرن لئی اسدی ورتو کیتی۔ اسنے ہور اگے آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دی اس وقت دی تازہ تھیوری نوں چار سمتاں وچ پنر سوتربدھّ کیتا۔ استوں اسنے ایہہ نتیجہ کڈھیا کہ ٹائم اتے سپیس نوں برابر ہی لینا چاہیدا اے, اتے اسطراں اسنے اک ایکیکرت چار-سمتی سپیسٹائیم نرنترتا وچ ہو رہیاں واقعے دے اپنے تجزیہ نوں اچا چکیا۔ ===== منکووسکی سپیس ===== ہور اگے کسے ترقی لئی, اسنے اس وچار دے بدلے ہوئے روپ دے فارمولا سوتریکرن دتے جہناں وچ اک خیالی دی جگہ اصلی وقت والے نردیشانک ورتے گئے سن جو اک چار-سمتی اپھائین (بروبرابر تعلق سرکھات رکھن دی آگیا دین والی) سپیس وچ چار سپیس تے ٹائم دے استھرانکاں (x, y, z, t) نوں پرسعنصر کردے سن۔ اس سپیس وچ نقطہ سپیسٹائیم وچ واقعے نال متعلق ہندے ہن۔ اس سپیس وچ, ہریک نقطہ (اپر چتر دیکھو) نال اک مقررہ لائیٹ-کون جڑی ہندی اے, اتے لائیٹ-کون اتے نہ ہون والیاں واقعے نوں سپیسلائیک جاں ٹائیملائیک دے طور تے دھریاں نال اوہناں دے تعلقاں راہیں شرینیبدھّ کیتا جاندا اے۔ سپیسٹائیم دا مکھ طور تے ایہی نظریہ اجکل چل رہا اے, بھاویں خیالی وقت والے پرانے نظریہ نے وی سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) نوں متاثر کیتا اے۔ منکووسکی, جو اپنے ولوں بنائی گئی تھیوری دی مول پنربیانباجی بارے جاندا سی, نے کیہا, '''سپیس اتے ٹائم دے نظریہ جو میں تہاڈے اگے رکھنا چاہندا ہاں پریوگک فزکس دی دھرتی توں ابھرے ہن, اسلئی ایہناں وچ طاقت اے۔ ایہہ قدرتی طور تے مڈھلے نظریہ ہن۔ اسلئی سپیس اپنے آپ وچ, ٹائم اپنے آپ وچ, صرف پرچھاویاں وچ لپت ہون لئی دوشی پائے گئے ہن, اتے صرف ایہناں دوہاں دا میل ہی اک آزاد واستوکتا نوں سرکھئت کریگا ۔''' '''''---حرمن منکووسکی, 1907''''' ==== گنتک بنتر ==== اک معائنہ تجزیہ لئی, منکووسکی سپیس اک 4-ڈائمینشنل اصلی ویکٹر سپیس ہندی اے جس وچ سپیسٹائیم وچ ہریک نقطہ اتے سمرد سپیس اتے اک سہیسلامت (نونڈجنریٹ), سمروپ دو-ریکھک (سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا اے, اتھے جسنوں صرف (−,+,+,+) جاں (+,−,−,−) ہستاکھر والا منکووسکی اندرونی گننپھل کیہا گیا اے۔ مشق وچ, سمرد سپیساں نال واسطہ رکھن دی ضرورت نہیں پیندی۔ منکووسکی سپیس دی ویکٹر سپیس فطرت, خود منکووسکی سپیس اندر ویکٹراں (نقطےآں, واقعے) والے نقطےآں (واقعے) اتے سمرد سپیساں وچ ویکٹراں دی کانونیکل پچھان کرن دی آگیا دندی اے۔ کجھ مقصداں لئی اک نقطہ p اتے ڈسپلیسمینٹ [[ویکٹر]] نال سمرد ویکٹراں دی پچھان کرن دی اچھا رہندی اے, جو کہ, بے شکّ, اسے کانونیکل پچھان راہیں قبول یوگ ہندا اے۔ سگنیچر اوس چنہ ول اشارہ کردا اے جو منکووسکی اندرونی گننپھل پیدا کردا اے جدوں ترک تے طور تے ادھار ویکٹراں دے روپ وچ [[سپیس]] اتے ٹائم دتے ہوئے ہون۔ عامَ طور تے, گنت شعورت اتے [[جنرل رلیٹیوٹی]] وشیشک (−,+,+,+) سگنیچر نوں ترجیح دندے ہن جدونکھ بھوتک سائنسدان (+,−,−,−) سگنیچر نوں پسند کردے ہن۔ پہلے طریقے دے سگنیچر (خالص سپیس ویکٹر پوزیٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترک غیر-ساپیکھک حد c → ∞ نال متعلق یوکلڈن کیس توں نرنترتا شامل کردے ہن۔ بعد والے سگنیچر (خالص سپیس ویکٹر نیگٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترکاں وچ [[فزکس]] وچ ہور طریقیاں نال سرو-مکمل گھٹاؤ دے چناں دا مکّ جانا شامل اے۔ سپیسٹائیم وچ ہریک نقطہ اتے اس بائلینیئر (دو-ریکھک) اکار نال گنتک طور تے اک (0,2) قسم والا ٹینسر جڑیا ہندا اے, جسنوں منکووسکی میٹرک کہندے ہن۔ منکووسکی میٹرک, بائلینیئر اکار, اتے منکووسکی انر پروڈکٹ اصل وچ اکو چیز ہندے ہن۔ نردیشانکاں وچ, ایہہ 44 [[میٹرکس]] ہندا اے جو بائِ[[لینیئر اکار]] نوں پرسعنصر کردا اے۔ اس گل نوں دھیان وچ رکھدے ہوئے اگے پڑنا سودھاجنک ہو سکدا اے۔ [[جنرل رلیٹیوٹی]] وچ, تلناتمک طور تے, اک لورنٹزیئن مینیپھولڈ L, میٹرک ٹینسر g یکت دی طرحاں ہندا اے, جو L دے ہریک نقطہ p اتے سمرد سپیس {{math|''T''_''p''''L''}} اتے اک صحیح سلامت سمروپ دو-ریکھک (نونڈجنریٹ سمٹرک [[بائلینیئر]]) اکار ہندا اے۔ نردیشانکاں وچ, اسنوں “سپیسٹائیم پوزیشن تے انحصار کردے ہوئے” اک 44 میٹرکس راہیں درسایا جا سکدا اے۔ [[منکووسکی سپیس]] اسطراں لورنٹز مینیپھولڈ دا اک تلناتمک طور تے آسان خاص کیس اے۔ اسدا میٹرک ٹینسر, جسنوں منکووسکی میٹرک کیہا جاندا اے, نردیشانکاں وچ M دے ہریک نقطہ اتے اوہی سمروپ میٹرکس ہندا اے, اتے اسدے ترکاں نوں خود سپیسٹائیم وچ ویکٹراں دے طور تے لیا جا سکدا اے۔ ہور [[ووکیبولری]] نال جان پچھان کرواؤندے ہوئے (پر ہور بنتر نال نہیں), منکووسکی سپیس اسطراں اک سوڈو-یوکلڈن سپیس ہندی اے جسدیاں کل ڈائمینشناں n=4 ہندیاں ہن اتے سگنیچر (3, 1) جاں (1, 3) ہندے ہن۔ [[منکووسکی سپیس]] دے تتاں (ایلیمینٹاں) نوں اوینٹس (واقعے) کیہا جاندا اے۔ [[منکووسکی سپیس]] نوں چنے ہوئے سگنیچر تے زور دندے ہوئے اکثر {{math|'''R'''^3,1}} جاں {{math|'''R'''^1,3}} لکھیا جاندا اے, جاں صرف M لکھیا جاندا اے۔ ایہہ شاید سوڈو-ریمانیئن [[مینیپھولڈ]] دی آسان ترین اداہرن اے۔ ===== سوڈو-یوکلڈن میٹرک سرو عام نیم ===== منکووسکی میٹرک η [[منکووسکی سپیس]] دا میٹرک [[ٹینسر]] اے۔ ایہہ اک سوڈو-یکلڈن میٹرک اے۔ اسطراں ایہہ اک نونڈیجنریٹ سمروپ دو-ریکھک اکار ہندا اے, اتے اک (0,2) قسم دا [[ٹینسر]] ہندا اے۔ ایہہ دو ترک قبول کردا اے؛ {{math|''u''_''p'', ''v''_''p''}} جو {{math|''T''_''p''''M'', ''p'' ∈ ''M''}} وچ [[ویکٹر]] ہن, اتے M وچ نقطہ p اتے سمرد سپیس اے۔ خود M نال {{math|''T''_''p''''M''}} دی اپر دسی کانونیکل پچھان کارن, ایہہ M وچ دواے u, v ترکاں نوں قبول کردا اے۔ سنکلپک پرمپرا دے طور تے, M وچ ویکٹراں v نوں 4-ویکٹر کیہا جاندا اے, جو بغیر نوکاں والے سنس سیرپھ اٹالک اکھراں وچ لکھے جاندے ہن, نہ کہ یوکلڈن سیٹنگ مطابق بولڈپھیس v دی طرحاں۔ بعد والا چنہ عامَ طور تے اک 4-ویکٹر دے 3-ویکٹر حصے لئی راکھواں رکھیا جاندا اے۔ تشریح :<math>u \cdot v =\eta(u, v)</math> M اتے [[اندرونی گننپھل]] وانگ بنتر پیدا کردی اے, جسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا اے جو یوکلڈن انر پروڈکٹ وانگ اے, پر ایہہ وکھرے جیؤمیٹری نوں درساؤندا اے۔ اسدیاں ایہہ خاصیتاں ہن, *<math>\eta(au + v, w) = a\eta(u, w) + \eta(v, w), \quad \forall u, v \in M, \forall a \in \mathbb R \qquad \text{(linearity in first slot)}</math> *<math>\eta( u, v) = \eta( v, u) \qquad \text{(symmetry)}</math> *<math>\eta( u, v) = 0 \quad \forall v \in M \Rightarrow u = 0 \qquad \text{(non-degeneracy)}</math> پہلیاں دو شرطاں بائلینیئرٹی (دو-ریکھکتا) درساؤندیاں ہن۔ اک متھّ-اندرونی گننپھل اتے اک اندرونی گننپھل درمیان متاثر کیتا جا رہا انتر ایہہ اے کہ پہلا گننپھل مقررہ طور تے پوزیٹو ہونا ضروری نہیں اے, یانِ کہ η(u, u) < 0 (زیرو توں گھٹ) ہون دی آگیا ہندی اے۔ دو ویکٹراں v اتے w نوں [[اؤرتھوگنل]] (orthogonal) کیہا جاندا اے جیکر η(v, w) = 0 ہووے۔ اک [[ویکٹر]] e اک یونٹ [[ویکٹر]] کیہا جاندا اے جیکر η(e, e) = 1 ہووے۔ پرسپر [[اؤرتھوگنل]] ([[سمکون]]) [[یونٹ]] ویکٹراں نال بنے M لئی اک بیسس (ادھار) نوں [[اؤرتھونورمل بیسس]] کیہا جاندا اے۔ کسے دتی ہوئی [[انرشیئل فریم]] لئی, سپیس وچ اک [[اؤرتھونورمل بیسس]] نال یونٹ ٹائم [[ویکٹر]] ملا کے [[منکووسکی سپیس]] وچ اک اؤرتھونورمل بیسس بندا اے۔ اجیاے کسے وی بیسس وچ پوزیٹو تے نیگیٹو یونٹ ویکٹراں دی آبادی اک پھکس کیتا ہویا نمبراں دا جوڑا ہندا اے, جو اندرونی گننپھل نال جڑے بائلینیئر اکار دے سگنیچر برابر ہندا اے۔ ایہہ سلویٹر دا انرشیا نیم کیہا جاندا اے۔ ہور ووکیبولری (پر بنتر نہیں): [[منکووسکی میٹرک]] خاص طور تے اک سوڈو-ریمانیئن میٹرک ہندا اے, استوں وی ہور خاص طور تے کہندے ہوئے, ایہہ [[لورنٹز میٹرک]] ہندا اے, جو صرف سگنیچر پرمپرا دی اسپشٹتا نال 4-سمتی فلیٹ سپیسٹائیم لئی راکھواں ہندا اے۔ ===== منکووسکی میٹرک ===== سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دے دو سوے-سدھ پرماناں توں پتہ چلدا اے کہ دو واقعے 1,2 درمیان سپیسٹائیم انٹرول (وقفہ) :<math>\pm\left[c^2(t_1 - t_2)^2 - (x_1 - x_2)^2 - (y_1 - y_2)^2 - (z_1 - z_2)^2\right],</math> چنی گئی انرشیئل فریم توں آزاد ہندا اے۔ پھیکٹر دا سرلمطلب ایہہ اے کہ سگنیچر دی چون کھلی چھڈّ دتی گئی اے۔ η دا سنکھئک ملّ, منکووسکی اندرونی گننپھل نوں پرسعنصر کر راے اک میٹرکس دے طور تے دیکھدے ہوئے, بائِ[[لینیئر اکار]] دی تھیوری توں پتہ چلدا اے۔ کیونکہ ساہت (لٹریچر) وچ میٹرک دے سگنیچر وکھرے وکھرے متاثر کیتے گئے ہن, ایہہ مقدار استحکام نال نامبدھّ نہیں کیتی جاندی۔ وقفہ (جویں اتھے متاثر کیتا گیا اے) کدے کدے انٹرول سکئیرڈ ول اشارہ کردا اے۔ بھاویں موجودہ انٹرول دا [[طبقہ مول]] (سکئیئر روٹ) ملدا اے۔ جدوں سگنیچر اتے انٹرول پھکس کر لئے جاندے ہن, اسپشٹتا اجے وی بنی رہندی اے کہ وقت دا نردیشانک کہڑا اے۔ ایہہ چوتھا ہو سکدا اے, ایہہ پہلا (زیرو والا) ہو سکدا اے۔ ایہہ تجزیہ استھرتاواں دی کوئی پھلار پوروک لسٹ نہیں اے۔ ایہہ زندگی دی اک سچائی اے کہ جدوں رلیٹیوٹی لٹریچر دی صلاحَ لین لگے پربولیاں نوں جانچ لینا پہلی چیز ہندی اے۔ انرشیئل فریماں درمیان کو-آرڈینیٹ ٹرانسپھورمیشناں (نردیشانک پرورتناں) ماتحت انٹرول (وقفہ) دی انویریئنس (استحکام) اس ہیٹھاں لکھی مقدار (کسے وی چنہ لئی رکھواں) دے انویریئنس توں پتہ چلدی اے, بشرطے پرورتن لینیئر (ریکھک) ہووے ؛ :<math>\pm\left[c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2\right]</math> اس کواڈریٹک اکار (ورگاکار) نوں پولرائیزیشن آئڈینٹٹی (دھروی-پہچان) راہیں ہیٹھاں لکھیا بائلینیئر اکار متاثر کرن لئی ورتیا جا سکدا اے؛ :<math> u \cdot v = \pm\left[c^2t_1t_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2\right].</math> اس بائلینیئر اکار نوں بدلے وچ اس طرحاں لکھیا جا سکدا اے؛ :<math> u \cdot v = u^{\mathrm T}[\eta] v,</math> جتھے [η] اک 44 میٹرکس ہندا اے جو η نال جڑیا ہندا اے۔ ممکن طور تے غلط فہمی بھرے انداز وچ, [η] نوں صرف η نال لکھ دینا رواج جیہا ہو گیا اے۔ میٹرکس واضع بائلینیئر اکار توں اس طرحاں پڑیا جاندا اے؛ :<math>\eta = \pm \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},</math> اتے بائلینیئر اکار نوں اسطراں پڑیا جاندا اے جس دے نال ایہہ سیکشن اسدی موجودگی نوں مندے ہوئے شروع کیتا گیا سی۔, جو ہن پچھانیا گیا اے؛ :<math>u \cdot v =\eta(u, v),</math> نشچتتا اتے مختصر پرستتی لئی, سگنیچر (−,+,+,+) نوں ہن اپنا لیا گیا اے۔ چون دا کوئی بھوتکی مطلب نہیں اے۔ دوجی چون والے سگنیچر نال, سگنیچر دی اک چون والا بائلینیئر اکار سرکھات کردا سمٹری گروپ [[آئیسومرپھک]] ہندا اے۔ اسدا مطلب اے کہ دوویں چوناں رلیٹیوٹی دے سوے-سدھ پرماناں نال رضا مندی مطابق ہی رہندیاں ہن ۔ ===== سٹینڈرڈ بیسس ===== [[منکووسکی سپیس]] لئی اک سٹینڈرڈ بیسس چار پرسپر اؤرتھوگنل ویکٹراں {{nowrap|{ ''e''₀, ''e''₁, ''e''₂, ''e''₃ }}} دا اک اجیہا سیٹ ہندا اے کہ؛ :<math>-\eta(e_0, e_0) = \eta(e_1, e_1) = \eta(e_2, e_2) = \eta(e_3, e_3) = 1 .</math> ایہناں شرطاں نوں مختصر روپ وچ انجھ لکھیا جا سکدا اے؛ :<math>\eta(e_\mu, e_\nu) = \eta_{\mu \nu}.</math> سٹینڈرڈ بیسس دے ساپیکھک, کسے ویکٹر v دے کمپونینٹاں نوں {{math|(''v''⁰, ''v''¹, ''v''², ''v''³)}} لکھیا جاندا اے جتھے {{math|''v'' {{=}} ''v''^''μ''''e''_''μ''}} لکھن لئی آئینسٹائین دھارنا ورتی جاندی اے۔ کمپونینٹ{{math|''v''⁰}} نوں v دا ٹائیملائیک کمپونینٹ کیہا جاندا اے جدونکھ باقی تن کمپونینٹاں نوں سپیشیئل کمپونینٹ (مقامی حصے) کیہا جاندا اے۔ کسے 4-ویکٹر دے سپیشیئل کمپونینٹاں نوں اک 3-ویکٹر {{math|'''v''' {{=}} (''v''₁, ''v''₂, ''v''₃)}} دے طور تے پچھانیا جا سکدا اے۔ کمپونینٹاں دے شبداں وچ, دو ویکٹراں v اتے w درمیان منکووسکی انر پروڈکٹ نوں اسطراں حاصل کیتا جاندا اے؛ :<math>\eta(v, w) = \eta_{\mu \nu} v^\mu w^\nu = v^0 w_0 + v^1 w_1 + v^2 w_2 + v^3 w_3 = v^\mu w_\mu = v_\mu w^\mu,</math> اتے :<math>\eta(v, v) = \eta_{\mu \nu} v^\mu v^\nu = v^0v_0 + v^1 v_1 + v^2 v_2 + v^3 v_3 = v^\mu v_\mu.</math> اتھے میٹریک ورتدے ہوئے اک سوچکانک نوں تھلے کیتا گیا اے۔ تکنیکی طور تے, اک نون-ڈیجنریٹ بائِ[[لینیئر اکار]], اک [[ویکٹر]] سپیس اتے اسدی دوہری (ڈیول) سپیس درمیان نقشہ مہئیا کرواؤندا اے, اس حوالہ وچ, میپ (نقشہ) M دیاں ٹینجینٹ (سمرد) سپیساں اتے کوٹینجینٹ سپیساں درمیان ہندا اے۔ M اندر کسے نقطہ اتے, ٹینجینٹ اتے کوٹینجینٹ سپیساں ڈیول ہندیاں ہن۔ جویں اک ترک پھکس کرکے کسے ویکٹر سپیس اتے اک بھروسے یوگ اندرونی گننپھل نوں, ریسز ریپریزینٹیشن تھیورم راہیں, ویکٹر سپیس اتے کسے لینیئر پھنکشنل دے ایکشن دے طور تے لکھیا جا سکدا اے, اویں ہی منکووسکی سپیس دے منکووسکی اندرونی گننپھل لئی وی ایہی کجھ لاگوُ ہندا اے۔ اسطراں جیکر {{math|''v''^''μ''}} کسے ٹینجینٹ (سمرد) سپیس وچ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہون, تاں {{math|''η''_''μν''''v''^''μ'' {{=}} ''v''_''ν''}} سہسمرد (کوٹینجینٹ, اک لینیئر پھنکشنل) سپیس وچ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہونگے۔ M دے اپنے آپ وچ ویکٹراں نال سمرد سپیساں دے ویکٹراں دی پچھان کارن ایہہ زیادہتر اگنور کر دتا جاندا اے, اتے تھلے پیراں وچ لکھے سوچکانکاں (لوئر انڈیسیز) والے ویکٹراں نوں [[کوویریئنٹ]] ویکٹر کیہا جاندا اے۔ بعد والی اس وضاحت وچ, کوویریئنٹ ویکٹراں نوں (لگبھگ ہمیشاں ہی الجھاؤ نال) منکووسکی سپیس دی ڈیول سپیس وچ ویکٹراں (لینیئر پھنکشنلاں) دے طور تے پچھانیا جاندا اے۔ اپر لکھے جان والے سوچکانکاں (اپر انڈیسیز) والے ویکٹر [[کونٹرویریئنٹ]] ویکٹر کاے جاندے ہن۔ اسے انداز وچ, ٹینجینٹ توں [[کوٹینجینٹ سپیساں]] ول میپ دا الٹ, جو میٹرکس پرستتی وچ η دے انورس (1/ η) راہیں حاصل کیتا جاندا اے, کسے سوچکانک (انڈیکس) نوں اپر چکن نوں متاثر کرن لئی ورتیا جا سکدا اے۔ اس انورس (الٹ) دے کمپونینٹاں (حصیاں) نوں {{math|''η''^''μν''}} لکھیا جاندا اے۔ کسے ویکٹر سپیس اتے اسدی ڈیول سپیس درمیان ایہناں نقشیاں نوں سنگیتک برابری راہیں {{math|''η''^♭؛}} (پھلیٹ-ایٹا) and {{math|''η''^♯؛}}(شارپ-ایٹا) لکھیا جا سکدا اے۔ کدے کدے انڈیکس جمناسٹکس (سوچکانک کشمکش) کہی جان والی وقت راہیں مصدقہ مضبوطی اتے فارمولا سوتریکرن اپنے آپ وچ یقینی بنا دندی اے کہ ویکٹراں نوں آلے دوآلے گھماؤنا اتے کونٹراویریئنٹ توں کوویریئنٹ ویکٹراں وچ اتے کوویریئنٹ توں کونٹراویریئنٹ ویکٹراں وچ بدلنا گنتک طور تے سارتھک اے۔ غلط پرگٹاو چنہ اپنے آپ وچ پھٹاپھٹ ظاہر ہون لئی مجبور ہو جاندے ہن ۔ ==== لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں اتے سمٹری ==== [[Image:Standard conf.svg|thumb|250px|لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) لئی کو-آرڈینیٹ (نردیشانک) سسٹماں دی سٹینڈرڈ بنتر]] [[پوآئنکیئر گروپ]] وقفہ نوں سرکھات رکھن والے سارے پرورتناں دا گروپ اے۔ وقفہ (انٹرول) نوں 4-سمتاں وچ [[ٹرانسلیشن گروپ]] راہیں سرکھات ہندا اسانی نال دیکھیا جا سکدا اے۔ ہور پرورتن اوہ ہندے ہن جو وقفہ نوں سرکھات رکھدے ہن اتے ارجن نوں پھکس رکھدے ہن۔ منکووسکی میٹرک نال جڑے بائِ[[لینیئر اکار]] دے دتے ہون تے, کلاسیکل گروپاں دی تھیوری (خاص کرکے تشریح) توں ڈھکویں گروپ دا پتہ چلدا اے۔ لنک کیتے آرٹیکل وچ, میٹرکس Φ دے نال η (اسدی میٹرکس پرستتی وچ) نوں پچھاننا چاہیدا اے۔ اس حوالہ وچ, ڈھکواں گروپ O(3,1) اے, جسنوں لورنٹز گروپ کیہا جاندا اے۔ اسدے ایلیمینٹاں نوں (ہوموجینیئس) لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں کیہا جاندا اے۔ ہور زیادہ بھوتکی موڑ نال ہور طریقے کھوجن لئی دیکھو [[لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں دیاں ڈیریویشناں]]۔ آسان ترین لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں وچوں اک لورنٹز بوسٹ اے۔ اشارے وجوں, x-سمت وچ اک بوسٹ اسطراں حاصل کیتی جاندی اے؛ :<math> \begin{bmatrix} U'_0 \\ U'_1 \\ U'_2 \\ U'_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta \gamma&0&0\\ -\beta \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_0 \\ U_1 \\ U_2 \\ U_3 \end{bmatrix}, </math> جتھے :<math>\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} }</math> نوں اک لورنٹز پھیکٹر کیہا جاندا اے, اتے :<math>\beta = { v \over c} \,.</math> ہندا اے| ہور لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں خالص روٹیشنل ہندیاں ہن, اتے اس کرکے O(3,1) دے سبگرپّ SO(3) دے [[ایلیمینٹ]] وی۔ اک عام [[ہوموجینیئس]] لورنٹز ٹرانسپھورمیشن خالص بوسٹ اتے خالص روٹیشن دا گننپھل ہندی اے۔ اک انہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن سپیس اتے ٹائم وچ اک بدلاؤ راہیں ہوئی ہوموجینیئس ٹرانسپھورمیشن ہندی اے۔ خاص ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) اوہ ہندیاں ہن جو سپیس نردیشانکاں اتے ٹائم نردیشانکاں نوں ترتیب وار الٹا دندے ہن, جاں دوواں نوں (PT)۔ [[منکووسکی سپیس]] وچ سارے دے سارے چارے [[ویکٹر]] لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں ماتحت اسے فارمولے مطابق بدل جاندے ہن۔ منکووسکی ڈائگرام لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں نوں سمجھاؤندا اے۔ ==== کارناتمک بنتر ==== [[File:World line.svg|250px|thumb|چار وکھرے کیتے ہوئے سیٹاں وچ اک گھٹنا دے پرتِ [[منکووسکی سپیس]]ٹائم دی سبڈویزن۔ لائیٹ کون, خالص مستقبل, خالص بھوتدور, اتے ہور ستھان۔ ووکیبولری {{cite book|ref=harv|last=Sard|first=R. D.|title=Relativistic Mechanics – Special Relativity and Classical Particle Dynamics|url=https://archive.org/details/relativisticmech0000sard|year=1970|publisher=W. A. Benjamin|location=New York|isbn=978-0-8053-8491-8}} توں لئی گئی اے۔]] ویکٹراں v = (ct, x, y, z) = (ct, r) نوں {{math|''c''²''t''² – ''r''²}} دے چنہ مطابق شرینیبدھّ کیتا جاندا اے۔ اک [[ویکٹر]] ٹائیملائیک ہندا اے جیکر {{math|''c''²''t''² > ''r''²}} ہووے, سپیسلائیک ہندا اے جیکر {{math|''c''²''t''² < ''r''²}}, اتے نلّ جاں لائیٹلائیک ہندا اے جیکر {{math|''c''²''t''² {{=}} ''r''²}} ہووے۔ اسنوں η(v,v) دے چنہ دے شبداں وچ وی درسایا جا سکدا اے, پر سگنیچر اتے انحصار کردا اے۔ کسے وی ویکٹر دی گٹھ ساریاں ریپھرینس فریماں وچ اوہی رہیگی, کیونکہ وقفہ ستھر رہندا اے۔ [[منکووسکی سپیس]] دی کسے گھٹنا اتے سارے نلّ ویکٹراں دا سیٹ اوس گھٹنا دی لائیٹکون رچدا اے۔ اک ٹائیملائیک [[ویکٹر]] v دتا ہون تے, اس نال جڑی ستھر ولوسٹی دی اک ورلڈلائین ([[دنیا ریکھا]]) ہندی اے, جسنوں منکووسکی ڈائگرام وچ اک سدھی ریکھا نال پرسعنصر کیتا گیا اے۔ اک وار وقت دی سمت چن لئی جان تے, ٹائیملائیک اتے نلّ ویکٹراں نوں ہور اگے کئی شرینیاں وچ وبھاجت کیتا (ونڈیا) جا سکدا اے۔ ٹائیملائیک ویکٹراں لئی ایہہ ہندا اے؛ * بھوکھ-سمت وچ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا اے ([[ویکٹر]] دا اگلا پاسہ تصویر وچ خالص مستقبل دی سمت وچ ہندا اے) اتے * بھوتکال-سمت وچ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا اے (خالص بھوتدور) نلّ [[ویکٹر]] تن شرینیاں وچ فٹ ہندے ہن؛ * زیرو ویکٹر, جسدے کمپونینٹ کسے وی بیسس وچ (0,0,0,0) (ارجن) ہندے ہن * بھوکھ-سمت وچ نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا اے (اپرلی لائیٹکون), اتے * بھوتکال-سمت نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا اے۔ (تھلے والی لائیٹکون)۔ سپیسلائیک [[ویکٹر]] ہور کتے ہندے ہن۔ ووکیبولری اس حقیقت توں اپجدی اے کہ سپیسلائیک وکھریاں ہوئیاں واقعے روشنی توں تیز سفر دی منگ کرن والے ویکٹراں نال جڑیاں ہندیاں ہن, اتے اسلئی اک دوجی نوں متاثر نہیں کر سکدیاں۔ سپیسلائیک اتے ٹائیملائیک دوویں اکٹھے ویکٹر کل 7 شرینیاں رکھدے ہن۔ [[منکووسکی سپیس]] لئی اک اؤرتھونورمل بیسس لازمی طور تے اک ٹائیملائیک اتے تن سپیسلائیک یونٹ ویکٹراں نال بنیا ہندا اے۔ جیکر کوئی غیر-اؤرتھونورمل بیسساں نال کم کرنا چاہندا ہووے تاں ویکٹراں دے ہور میل رکھنے ممکن ہن۔ اداہرن دے طور تے, اک نلّ بیسس کیہا جان والا سارے دے سارے نلّ ویکٹراں نال بنیا اک (نون-اؤرتھونورمل) بیسس اسانی نال رچیا جا سکدا اے۔ واستوکاں اپر, جیکر دو نلّ ویکٹر اؤرتھوگنل ہون (زیرو منکووسکی [[ٹینسر]] ملّ والے), تاں اوہ ضرور ہی انپاتک ہونے چاہیدے ہن۔ پھیر وی, کمپلیکس نمبراں نوں آگیا دین تے, اک [[نلّ ٹیٹراڈ]] حاصل کیتا جا سکدا اے, جو نلّ ویکٹراں نال بنیا بیسس ہندا اے, جہناں وچوں کجھ ویکٹر آپس وچ اؤرتھوگنل ہندے ہن۔ [[ویکٹر پھیلڈاں]] نوں ٹائیملائیک, سپیسلائیک جاں نلّ کیہا جاندا اے جیکر متعلق ہریک اوس نقطہ اتے ویکٹر ٹائیملائیک, سپیسلائیک جاں نلّ ہون جتھے فیلڈ نوں متاثر کیتا جاندا اے۔ ===== کالکرم مطابق اتے کارنتامک تعلق ===== منّ لؤ x, y ∈ M ہون۔ اسیں کہہ سکدے ہاں؛ # x کالکرم مطابق (کرونوجیکلی) y توں اگے ہندا اے جیکر y – x بھوکھ-سمت والی ٹائیملائیک ہووے۔ اس تعلق دی ٹرانزیٹو خاصیت ہندی اے اتے اسلئی اسنوں x < y لکھیا جا سکدا اے۔ # x کارناتمک طور تے (کیزئلی) y توں اگے ہندا اے جیکر y – x مستقبل دی سمت ول نلّ جاں بھوکھ-سمت والی ٹائیملائیک ہووے۔ ایہہ سپیسٹائیم دا انشک کرم (پارشل اؤرڈرنگ) دندا اے اتے اس لئی اسنوں x ≤ y لکھیا جا سکدا اے۔ ===== الٹ تکون ابرابری ===== جیکر v اتے w دوویں بھوکھ-سمت وچ ٹائملائیک 4-ویکٹر ہون تاں نورم لئی (+ - - -) سائین (چنہ) پرمپرا وچ؛ :<math> \left\| v+w \right\| \ge \left\| v \right\| + \left\| w \right\| .</math> ==== ہور فارمولا سوتریکرناں نال تعلق ==== ===== سمتاں دی وکھری گنتی ===== سختی نال کہندے ہوئے, [[منکووسکی سپیس]] چار سمتاں وچ اک گنتک فارمولا سوتریکرن ول اشارہ کردی اے۔ پھیر وی, سمتاں دی کسے وی گنتی والی '''“منکووسکی سپیس”''' دے سامان اک رچنا لئی گنت نوں ودھایا جاں آسان کیتا جا سکدا اے۔ جیکر n ≥ 2 ہووے تاں n-سمتی منکووسکی سپیس n اصل [[سمت]] دی اک [[ویکٹر]] سپیس ہندی اے جس اتے سگنیچر (n − 1, 1) جاں (1, n − 1) دا اک ستھر لورنٹز میٹرک ہندا اے۔ ایہہ سرو عام کرن تھیوریاں وچ ورتے جاندے ہن جتھے سپیسٹائیم نوں 4-سمتاں توں زیادہ جاں گھٹ سمتاں والا سپیسٹائیم ہونا منیا جاندا اے۔ سٹرنگ تھیوری اتے M-تھیوری اجہیاں دو اداہرناں ہن جتھے n > 4 ہندا اے۔ [[سٹرنگ تھیوری]] وچ, کنپھورمل فیلڈ تھیوریاں 1 + 1 سپیسٹائیم سمتاں نال دسدیاں ہن۔ ===== پدھری بنام وکرت سپیس ===== اک فلیٹ سپیس دے طور تے, منکووسکی سپیسٹائیم دے تن سپیشیئل (مقامی) کمپونینٹ (حصے) ہمیشاں [[پائیتھاگورس تھیورم]] دی پالنا کردے ہن۔ منکووسکی سپیس سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) لئی اک مطابق بیسس اے, گریویٹیشن اہمیت بغیر سسٹماں وچ محدود دوری اتے بھوتکی سسٹماں دا اک ونگا تذکرہ اے۔ پھیر وی, گریوٹی نوں دھیان وچ رکھن لئی, بھوتک سائنسدان [[جنرل رلیٹیوٹی]] دی تھیوری ورتدے ہن, جو غیر-یکلڈن جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) دے گنت نال سوتربدھّ کیتی گئی اے۔ جدوں اس جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) نوں بھوتکی سپیس دے ماڈل وجوں ورتیا جاندا اے, تاں اسنوں کروڈ (وکرت) سپیس کیہا جاندا اے۔ کروڈ سپیس وچ وی, [[منکووسکی سپیس]] اجے وی کسے نقطہ (گریویٹیشنل سنگلرٹیاں توں بناں) دوآلے اک اتسوکھم کھیتر (انپھنٹیسیمل رجن) وچ اک چنگا تذکرہ اے۔ ہور مختصر کہندے ہوئے, اسیں کہندے ہاں کہ گریوٹی سپیسٹائیم دی موجودگی اک 4-سمتی وکرت مینیپھولڈ راہیں درسائی جاندی اے جسدے لئی کسے نقطہ پرتِ ٹینجینٹ (سمرد) سپیس اک چار-سمتی منکووسکی سپیس ہندی اے۔ اسطراں, منکووسکی سپیس دی بنتر اجے وی [[جنرل رلیٹیوٹی]] دے تذکرہ وچ ضروری ہو جاندی اے۔ == حوالے == {{حوالے}} [[گٹھ:فزکس]] [[گٹھ:سائنس]] n3rhwfvpt3md6ekbf93hrjj5j8pzhyu 0 53216 712442 710248 2026-10-10T09:09:26Z PJ Geest 44951 Replace raster graph with SVG reconstruction: Standard conf.svg 712442 wikitext text/x-wiki [[File:World line.svg|thumb|سنسار لائن]] [[فزکس]] چ سپیشل رلیٹیوٹی (SR، جسنوں سپیشل تھیوری آف رلیٹیوٹی جاں STR وی کیہا جاندا ہے) خلاء(سپیس) اتے سمیں درمیان سبندھاں نوں درساؤندی سبھ دوارا سویکار کیتی طبعاتی تھیوری ہے۔ ایہہ دو سوے-سدھ پرماناں اتے اادھارت ہے: (1) کہ بھوتک وگیان دے نیم سارے انرشیئل سسٹماں (ایکسلریٹ نہ ہو رہیاں ریپھرینس فریماں) وچّ ستھر (آئڈینٹیکل) ہندے ہن؛ اتے (2) کہ ویکم (پلاڑ) وچّ پرکاش دی گتی سارے درشکاں لئی اکو جہی رہندی ہے، بھاویں پرکاش دا سوما گتی شیل ہی کیوں نہ ہووے۔ ایہہ سدھانت مول روپ وچّ پرچے “الیکٹروڈائنیمکس آف موونگ باڈیز” (گتی شیل چیزاں دے الیکٹروڈائنامکس اتے) وچّ سنّ 1905 وچّ البرٹ آئینسٹائین دوارا پرستاوت کیتی گئی سی۔۔ الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویلّ اکئیشناں نال نیوٹونیئن مکینکس دی بیمیلتا اتے کسے روشنی چھڈن والے ایتھر راہیں گزردی دھرتی دی گتی کھوجن دی نہ-قابلیت نے سپیشل رلیٹیوٹی ولّ پریرنا دتی، جسنے پرکاش دی گتی دے نیڑے دیاں گتیاں والیاں پرستھتیاں نال نبٹن لئی مکینکس نوں سودھیا۔ جویں اجکلّ دا، سپیشل رلیٹیوٹی کسے وی سپیڈ اتے گتی دا سبھ توں زیادہ شدھ ماڈل ہے۔ تاں وی، نیوٹونیئن مکینکس پرکاش دی سپیڈ دے ساپیکھک چھوٹیاں ولوسٹیاں اتے اک لگبھگّ سنکھیپتا دے طور تے اجے وی سہائک ہے (اسدی سرلتا اتے اچّ-شدھتا کارن)۔ سپیشل رلیٹیوٹی نتیجیاں دے اک وشال دائرے نوں پربھاوت کردی ہے، جہناں نوں پریوگک طور تے ثابت کیتا جا چکا ہے، جہناں وچّ، لینتھ کنٹریکشن (لمبائی سنگھڑنی)، ٹائم ڈلیشن (وقت دا کھچاؤ)، رلیٹوسٹک ماس (ساپیکھک پنج)، ماس-اینرجی اکئیویلینس (پنج-اورجا سمانتا)، اک برہمنڈی سپیڈ حد، اتے سملٹینٹی (اکٹھیاں گھٹناواں) دی رلیٹیوٹی۔ اسنے اک شدھ برہمنڈی وقت دی پرمپراگت دھارنا نوں اجیہے ٹائم دی دھارنا نال بدل دتا ہے جو ریفرینس فریم اتے سپیشیئل (ستھانک) پوزیشن اتے نربھر کردا ہے۔ دو گھٹناواں درمیان اک ستھر وقت عرصے دی جگہ، اک ستھر سپیسٹائیم انترال ہندا ہے۔ بھوتک وگیان دے ہور نیماں نال ملاؤندے ہوئے، سپیشل رلیٹیوٹی دے دو سوے-سدھ پرمان ماس اتے اینرجی دی سمانتا دا انومان لگاؤندے ہن، جویں ماس-اینرجی سمانتا فارمولے E = mc2 وچّ درسایا گیا ہے، جتھے c نوں ویکمّ وچّ پرکاش دی سپیڈ کیہا جاندا ہے۔ سپیشل رلیٹیوٹی دا پربھاشت کرن والا لچھن نیوٹونیئن مکینکس دیاں گیلیلیئن تبدیلیاں نوں لورنٹز تبدیلیاں نال بدلنا ہے۔ ٹائم اتے سپیس نوں اک دوجے توں وکھرا پربھاشت نہیں کیتا جا سکدا ہے۔ سگوں سپیس اتے ٹائم، سپیسٹائیم کہے جان والی اک سنگل نرنترتا وچّ اندرونی طور تے پروئے ہندے ہن۔ جو گھٹناواں کسے اک درشک لئی اکو وقت تے واپردیاں ہن، اوہی گھٹناواں کسے ہور درشک لئی وکھرے وکھرے وقت وچّ واپردیاں نظر آ سکدیاں ہن۔ تھیوری دا وشیش ہونا اس گلّ کارن ہے کہ ایہہ صرف اوہناں سپیشلا کیساں وچّ ہی لاگوُ کیتی جاندی ہے جتھے گریوٹی کارن سپیسٹائیم دا کرویچر ممولی ہندا ہے۔ گریوٹی نوں شامل کرن لئی، آئینسٹائین نے 1915 وچّ جنرل ریلیٹیوٹی پھارمولابدھّ کیتی۔ (سپیشل رلیٹیوٹی، کجھ پرانے وورناں توں ورودھ، ایکسلریٹ کیتیاں گئیاں ریفرینس فریماں نال نبٹنیوگ ہے) جویں گیلیلیئن رلیٹیوٹی نوں ہن سپیشل رلیٹیوٹی دی اک سمیپتا دے طور تے لیا جاندا ہے جو کہ گھٹّ سپیڈاں اتے پروانت ہے، اوسے طرحاں سپیشل رلیٹیوٹی نوں جنرل رلیٹیوٹی دی اک نیڑے دی سنکھیپتا دے طور تے لیا جاندا ہے جو کمزور گریویٹیشنل پھیلڈاں لئی پروانت ہے، یانِ کہ، ضرورت جنے چھوٹے پیمانے اتے ستنتر گراوٹ دیاں شرطاں وچّ پروانت ہے۔ جتھے جنرل رلیٹیوٹی سپیسٹائیم دے جیؤمیٹرک کرویچر دے روپ وچّ گریویٹیشنل پربھاواں نوں پرستت کرن دے لئی، غیر-یوکلڈن جیؤمیٹری (ریکھاگنت) نال سہویوگ کردی ہے، اتھے سپیشل رلیٹیوٹی منکووسکی سپیس دے نام نال جانی جان والی فلیٹ سپیس تکّ سیمت ہے۔ اک ستھانک طور تے لورینٹز ستھر فریم جو سپیشل رلیٹیوٹی دی پالنا کردی ہووے، کافی سوخم پیمانے اتے پربھاشت کیتی جا سکدی ہے، اتھوں تکّ کہ کروڈ سپیسٹائیم وچّ وی پربھاشت کیتی جا سکدی ہے۔ گیلیلیؤ گیلیلی نے پہلاں ہی سوے-سدھ کر دتا سی۔ کہ ریسٹ (کوئی وشیش ادھیکار پراپت ریفرینس فریم نہیں) دی شدھ اتے چنگی طرحاں پربھاشت اوستھا نہیں ہندی، اس سدھانت نوں ہن گیلیلیؤ دا ساپیکھتا سدھانت کہندے ہن۔ آئینسٹائین نے اس سدھانت نوں اسطراں ودھایا کہ اسنے پرکاش دی ستھر سپیڈ لئی منگ کیتی، اک اجیہا گھٹناکرم جو تازہ سمیاں وچّ مائیکلسن مورلے پریوگ وچّ دیکھیا گیا ہے۔ اسنے ایہہ وی سدھ کیتا کہ ایہہ بھوتک وگیان دے سارے سدھانتاں دی پالنا کردا ہے، جہناں وچّ مکینکس اتے الیکٹروڈائنامکس دے سدھانت شامل ہن۔ [[File:Einstein patentoffice.jpg|thumb|260px|البرٹ آئینسٹائین 1905 دے نیڑے تیڑے، ایہہ اوہ سال سی جدوں اسدا Annus Mirabilis papers چھپیا جس وچّ ''Zur Elektrodynamik bewegter K�rper'' شامل سی، جس وچّ سپیشل رلیٹیوٹی دی کھوج چھپی سی]] {{TOC limit}} == سوے-سدھ پرمان == {{rquote|right|1900 توں کجھ دیر بعد بہت سماں پہلاں ہی، یانِ کہ پلینک دے مارگدرشک کم توں کجھ دیر بعد ہی، اسطراں دے کجھ وچاراں نے مینوں سپشٹ کر دتا سی، کہ ناں تاں مکینکس اتے نہ ہی الیکٹروڈائنامکس (کجھ سیمت معاملیاں نوں چھڈّ کے) شدھ پرمانکتا دا دعوہ کر سکدے ہن۔ ہولی ہولی درجاوار طریقے نال میں گیات تتھاں اتے ادھارت رچناتمک یتناں دے طریقے نال سچے سدھانت کھوجن دی سمبھاوناں توں نراش ہندا گیا۔ جنی لمبی دیر اتے ہور زیادہ نراشتا نال میں یتن کیتے، انے ہی ہور زیادہ درڑھ سنکلپ میرے اندر گھر کردے گئے کہ صرف کسے برہمنڈی رسمیں سدھانت دی کھوج ہی سانوں یقینی نتجیاں ولّ لجا سکدی ہے… پھیر، اجیہا کوئی برہمنڈی سدھانت کھوجیا کویں جا سکدا ہے؟ –البرٹ آئینسٹائین : آتمکتھا نوٹس</ref>}} چاہے مکینکس جاں الیکٹروڈائنامکس دے ادوں دے گیات سدھانتاں دی صحیح پرمانکتا دے ہندے ہوئے وی، آئینسٹائین نے دو مڈھلے پرستاواں وچّ فرق نوں پہچانیا جو سبھ توں زیادہ بھروسیمند لگدا سی۔ ایہہ پرستاو پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا اتے انرشیئل سسٹم دی چون توں بھوتکی سدھانتاں (خاص کر کے پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا) دی ستنترتا سن۔ 1905 وچّ سپیشل رلیٹیوٹی بابت اپنی شروعاتی پیش کش وچّ اسنے ایہناں سوے-سدھ پرماناں نوں اسطراں درسایا: ٭ رلیٹیوٹی دا سدھانت – جہناں سدھانتاں راہیں بھوتکی سسٹماں وچّ اوستھاواں تبدیل ہندیاں ہن، اوہ سدھانت بدلدے نہیں ہن، چاہے ایہہ اوستھاواں دیاں تبدیلیاں اک دوجے دے ساپیکھک اکسار بدلدی گتی ادھین گتی شیل دو سسٹماں وچوں اک جاں دوجے ولّ اشارہ کرن۔ ٭ پرکاش دی ستھر سپیڈ دا سدھانت – “…پرکاش ہمیشاں ہی خالی سپیس وچّ اک نشچت ولوسٹی (سپیڈ) c نال سنچارت ہندا ہے جو پرکاش پیدا کرن والے سومے دی گتی دی اوستھا توں ستنتر ہندی ہے۔” یانِ کہ، پرکاش ویکمّ وچّ سپیڈ c (اک پھکس ستھرانک، جو دشا توں مکت ہندا ہے) نال انرشیئل کو-آرڈینیٹاں (سٹیشنری سسٹم) دے گھٹو گھٹّ اک سسٹم وچّ سنچارت ہندا ہے، جو پرکاش دے سومے دی گتی دی اوستھا نوں نظر انداز کردا ہے۔ سپیشل رلیٹیوٹی دی فارمولا رچنا نہ کیول صرف ایہناں دوویں باہری سوے-سدھ پرماناں تے نربھر کردی ہے، سگوں کئی انکہیاں مون دھارناواں (جو بھوتک وگیان دیاں لگبھگّ سبھ تھیوریاں وچّ بنیاں سن) تے وی نربھر کردی ہے، جہناں وچّ سپیس دی آئیسوٹروپی اتے ہوموجینیئٹی اتے ناپن والیاں چھڑیاں اتے اوہناں دے بھوتکال اتہاس توں گھڑیاں شامل ہن۔ سپیشل رلیٹیوٹی بابت 1905 والی آئینسٹائین دی مول پیش کش نوں اپناؤندے ہوئے، سوے-سدھ پرماناں دے کئی وکھرے سیٹ وی بہت ساریاں بدلویاں رچناواں اندر پرستاوت کیتے گئے۔ پھیر وی، آئینسٹائین دوارا اسدے اپنے مول پیپر والا سوے-سدھ پرمان سبھ توں زیادہ سانجھا سیٹ رہا ہے۔ آئینسٹائین دوارا بعد وچّ بیان کیتا گیا سپیشل رلیٹیوٹی سبندھی اک ہور گنتک کتھن، جو اپر نہیں لکھی سرلتا دی دھارنا پیش کردا ہے اوہ ایہہ ہے: رلیٹیوٹی دا سپیشل پرنسپل : جیکر کوآرڈینیٹ K دا کوئی سسٹم اسطراں چنیا جاندا ہے کہ، اسدے نال سبندھ وچّ، بھوتکی سدھانت اپنی سرلتم قسم وچّ صحیح طرحاں لاگوُ رہندے ہن، تاں اوہی نیم کسے ہور کوآرڈینیٹاں دے سسٹم K’ لئی وی لاگوُ رہنگے، جو K توں اک اکسار تبدیلی ادھین ساپیکھک گتی کر رہا ہندا ہے۔ ہینری پوآئنکیئر نے ایہہ ثابت کردے ہوئے رلیٹیووٹی تھیوری لئی گنتک ڈھانچہ مہئیا کروایا کہ “لورینٹز تبدیلیاں” اسدے “سمٹری تبدیلیاں والے پوآینکیئر گروپ” دیاں اک سبسیٹّ ہندیاں ہن۔ آئینسٹائین نے بعد وچّ ایہناں تبدیلیاں (پرورتناں) نوں اپنے نیماں توں رچیا۔ آئینسٹائین دے بہت سارے پیپر ایہناں دوویں سدھانتاں اتے ادھارت لورینٹز پرورتن دی ویونتپتی پیش کردے ہن۔ آئینسٹائین نے لورینٹز انویریئنس (سپیشل رلیٹیوٹی دی لازمی کور) دی ویونتپتی نوں ستھرتا نال صرف دو مڈھلے ساپیکھتا سدھانتاں اتے پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا اتے ادھارت بنایا۔ اسنے لکھیا: سپیشل رلیٹیوٹی دی تھیوری لئی مڈھلی گہری بدھی ایہہ ہے: رلیٹیوٹی اتے پرکاش دی ستھر سپیڈ دیاں دھارناواں تاں انوکول رہندیاں ہن جیکر گھٹناواں دے “وقتاں” اتے نردیشانکاں دے وٹاندرے (کنورشن) لئی اک نویں قسم دے (لورینٹز ٹرانسپھورمیشن) سبندھاں نوں سدھ کیتا جاندا ہے… رلٹیوٹی دی سپیشل تھیوری دا برہمنڈی سدھانت اس سوے-سدھ وچّ رکھیا ہے: بھوتک وگیان دے سدھانت لورینٹز ٹرانسپھورمیشناں (کسے اک انرشیئل فریم توں کسے ہور منمرضی نال چنے گئے انرشیئل سسٹم تکّ دا وٹاندرا) پرتِ ستھر رہندے ہن۔ ایہہ قدرتی قنوناں لئی اک پابندھی لگاؤن والا سدھانت ہے۔ اسطراں سپیشل رلیٹیوٹی دے بہت سارے اجوکے علاج اسدا ادھار برہمنڈی لورینٹز کوویریئنس دے اکو سوے-سدھ پرمان، جاں اسدے سامان ہی، منکووسکی سپیسٹائیم دے، اکو سوے-سدھ پرمان تے بناؤندے ہن۔ پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا نوں لئے وگویر رلیٹیوٹی دے سدھانت توں (یانِ کہ، سپیس دی آئیسوٹروپی اتے سپیشل رلیٹیوٹی دے سدھانت راہیں پربھاشت سمٹری ورتدے ہوئے) دکھایا جا سکدا ہے کہ انرشیئل فریماں درمیان سپیسٹائیم پرورتن یونکلڈن، گیلیلیئن ہندے ہن جاں لورینٹزیئن وچوں کوئی وی ہندے ہن۔ لورینٹزیئن کیس وچّ، تلناتمک انترال والیاں گلابانتاں پراپت کیتیاں جا سکدیاں ہن اتے اک نشچت سیمت سپیڈ دی حد پراپت کیتی جا سکدی ہے۔ پریوگ سجھاؤندے ہن کہ ایہہ سپیڈ ویکمّ وچّ پرکاش دی سپیڈ ہندی ہے۔ پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا میکسویلّ دی الیکٹرومیگنٹزم تھیوری توں پریرت ہوئی سی۔ اتے چمکدار ایتھر لئی ثبوتاں دی کمی رہی۔ مائیکلسن مورلے پریوگ دے نتیجے نہ نکلن دوارا آئینسٹائین کنی کو دیر پربھاوت رہا، اس گلّ دے پرسپر ورودھی ثبوت ہن۔ پھیر وی، مائیکلسن مورلے ایکسپیریمینٹ دے زیرو نتیجے نے پرکاش دی سپیڈ دی ستھرتا نوں وشال پدھر تے پھیلاؤن اتے تیزی نال سویکارن وچّ مدد کیتی ۔ == سپیسٹائیم دا ریکھاگنت == === منکووسکی سپیس === گنتک بھوتک وگیان وچّ، منکووسکی سپیس جاں منکووسکی سپیسٹائیم، یوکلڈن سپیس اتے ٹائم دا اک 4-ایامی مینیپھولڈ (بہپرت) وچّ میل ہے جتھے کسے وی دو گھٹناواں درمیان سپیسٹائیم انترال (انٹرول) اوس انرشیئل فریم (ڈھانچے) توں ستنتر رہندا ہے جس وچّ اس نوں ریکارڈ کیتا جاندا ہے۔ بے شکّ شروعات وچّ منکووسکی سپیسٹائیم دی گنتک بنتر، الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویلّ اکئیشناں لئی گنتشاستری حرمن منکووسکی دوارا وکست کیتی گئی سی، پھیر وی اس نوں سپیشل رلیٹیوٹی ([[وشیش ساپیکھتا]])دے سدھ پرمان دے ترنت نتیجے دے روپ وچّ دکھایا گیا سی۔ منکووسکی سپیس آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی ([[وشیش ساپیکھتا]]) دی تھیوری نال نزدیک طور تے جڑی ہے، اتے ایہہ اوہ سبھ توں زیادہ سانجھی گنتک بنتر ہے جس اتے سپیشل رلیٹیوٹی ([[وشیش ساپیکھتا]]) دے فارمولیاں دا سوتریکرن کرن کیتا گیا ہے۔ جدونکھ یوکلڈن سپیس اتے ٹائم دے ویکتی گت کمپونینٹ لمبائی سنگڑن پرکریا (لینتھ کنٹریکشن) اتے ٹائم وچّ دیری (ٹائم ڈلیشن) کارن اکثر فرق رکھنگے، منکووسکی سپیس وچّ، ساریاں ریپھرینس فریماں گھٹناواں درمیان سپیسٹائیم وچّ کلّ دوری اتے سہمت ہندیاں ہن۔ کیونکہ ایہہ وقت نوں تنّ ستھانک ایاماں نالوں وکھرے طریقے نال لیندی ہے، اسلئی منکووسکی سپیس چار-ایامی یوکلڈن سپیس توں وکھری ہندی ہے۔ آئیسومیٹری گروپ، جو کہ نیمت اندرونی گننپھل نال بھرپور اک یوکلڈن سپیس دے یوکلڈن ڈسٹینساں (وتھاں) نوں سرکھات کردا ہے، یوکلڈن گروپ کیہا جاندا ہے۔ منکووسکی سپیس لئی برابر دا آئسیمیٹری گروپ جو غیر-پوزیٹو نشچت دو-ریکھک (بائلینیئر) اکار (اتھے اسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا ہے) سمیت سپیسٹائیم دے انترالاں نوں سرکھئت کردا ہے، پوآئنکیئر گروپ کیہا جاندا ہے۔ منکووسکی اندرونی گننپھل (انر پروڈکٹ) دو گھٹناواں درمیان سپیسٹائیم انترال پیدا کرن دے روپ وچّ پربھاشت کیتا جاندا ہے جدوں اوہناں گھٹناواں دے نردیشانک انتر ویکٹر ترک دے طور تے دتے گئے ہون۔ ==== منکووسکی سپیس دا اتہاس ==== [[File:De Raum zeit Minkowski Bild.jpg|250px|right|thumb|حرمن منکووسکی (1864 – 1909) اک جرمن گنت شاستری سی۔ اسنے کھوجیا کہ سپیشل رلیٹیوٹی ([[وشیش ساپیکھتا]]) دی تھیوری جو اسدے ودیارتھی [[البرٹ آئینسٹائین]] دوارا پرستت کیتی سی، نوں چار-ایامی سپیس وچّ سبھ توں ودھیا طریقے نال سمجھیا جا سکدا ہے، جس نوں ادوں توں منکووسکی سپیس دے روپ وچّ جانیا جان لگّ پیا]] ===== چار-ایامی یوکلڈن سپیسٹائیم ===== 1905 وچّ، 1906 والی پبلیکیشن دے نال، ہینری پوآئنکیئر نے دکھایا کہ ٹائم نوں اک کالپنک چوتھے سپیسٹائیم نردیشانک (√−1 c t) دے طور تے لے کے، اک لورنٹز ٹرانسپھورمیشن (پرورتن) نوں، تنّ واستوک نردیشانکاں راہیں پرستت کیتی جا رہی سپیس اتے چوتھے ایام دے طور تے ٹائم نوں پرستت کر رہا اک کالپنک نردیشانک، یکت اک چار-ایامی یوکلڈن سپیس وچّ نردیشانکاں دی اک روٹیشن (چکر) کیہا جا سکدا ہے۔ کیونکہ پھیر سپیس اک سوڈو-یوکلڈن سپیس ہندی ہے، اسلئی روٹیشن اک ہائیپربولک روٹیشن دی پرستتی ہندی ہے، بے شکّ پوآئنکیئر نے ایہہ ویاکھیا نہیں دتی سی، اسدا مقصد جانی پچھانی یوکلڈن روٹیشن دے شبداں وچّ صرف لورنٹز پرورتن نوں کھل کے سمجھاؤنا ہی سی۔ اس وچار دا حرمن منکووسکی دوارا وستھار کیتا گیا، جسنے چار ایاماں وچّ لورنٹز پرورتن ادھین اوہناں دے انویریئنس سدھے دکھاؤندے ہوئے میکسویلّ دیاں سمیکرناں نوں پنرکتھن کرن لئی اسدی ورتو کیتی۔ اسنے ہور اگے آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی ([[وشیش ساپیکھتا]]) دی اس وقت دی تازہ تھیوری نوں چار ایاماں وچّ پنر سوتربدھّ کیتا۔ استوں اسنے ایہہ نتیجہ کڈھیا کہ ٹائم اتے سپیس نوں برابر ہی لینا چاہیدا ہے، اتے اسطراں اسنے اک ایکیکرت چار-ایامی سپیسٹائیم نرنترتا وچّ ہو رہیاں گھٹناواں دے اپنے سنکلپ نوں اچا چکیا۔ ===== منکووسکی سپیس ===== ہور اگے کسے وکاس لئی، اسنے اس وچار دے بدلے ہوئے روپ دے فارمولا سوتریکرن دتے جہناں وچّ اک کالپنک دی جگہ واستوک وقت والے نردیشانک ورتے گئے سن جو اک چار-ایامی اپھائین (سمانتر سبندھ سرکھات رکھن دی آگیا دین والی) سپیس وچّ چار سپیس تے ٹائم دے استھرانکاں (x، y، z، t) نوں پرستت کردے سن۔ اس سپیس وچّ بندو سپیسٹائیم وچّ گھٹناواں نال سبندھت ہندے ہن۔ اس سپیس وچّ، ہریک بندو (اپر چتر دیکھو) نال اک نشچت لائیٹ-کون جڑی ہندی ہے، اتے لائیٹ-کون اتے نہ ہون والیاں گھٹناواں نوں سپیسلائیک جاں ٹائیملائیک دے طور تے دھریاں نال اوہناں دے سبندھاں راہیں شرینیبدھّ کیتا جاندا ہے۔ سپیسٹائیم دا مکھ طور تے ایہی درشٹیکون اجکلّ چل رہا ہے، بھاویں کالپنک وقت والے پرانے درشٹیکون نے وی سپیشل رلیٹیوٹی ([[وشیش ساپیکھتا]]) نوں پربھاوت کیتا ہے۔ منکووسکی، جو اپنے دوارا بنائی گئی تھیوری دی مول پنربیانباجی بارے جاندا سی، نے کیہا، '''سپیس اتے ٹائم دے درشٹیکون جو میں تہاڈے اگے رکھنا چاہندا ہاں پریوگک بھوتک وگیان دی دھرتی توں ابھرے ہن، اسلئی ایہناں وچّ شکتی ہے۔ ایہہ قدرتی طور تے مڈھلے درشٹیکون ہن۔ اسلئی سپیس اپنے آپ وچّ، ٹائم اپنے آپ وچّ، صرف پرچھاویاں وچّ لپت ہون لئی دوشی پائے گئے ہن، اتے صرف ایہناں دوہاں دا میل ہی اک ستنتر واستوکتا نوں سرکھئت کریگا ۔''' '''''---حرمن منکووسکی، 1907''''' ==== گنتک بنتر ==== اک نریکھن وشلیشن لئی، منکووسکی سپیس اک 4-ڈائمینشنل واستوک ویکٹر سپیس ہندی ہے جس وچّ سپیسٹائیم وچّ ہریک بندو اتے سپرش سپیس اتے اک سہیسلامت (نونڈجنریٹ)، سمروپ دو-ریکھک (سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا ہے، اتھے جسنوں صرف (−،+،+،+) جاں (+،−،−،−) ہستاکھر والا منکووسکی اندرونی گننپھل کیہا گیا ہے۔ ابھیاس وچّ، سپرش سپیساں نال واسطہ رکھن دی ضرورت نہیں پیندی۔ منکووسکی سپیس دی ویکٹر سپیس فطرت، خود منکووسکی سپیس اندر ویکٹراں (بندوآں، گھٹناواں) والے بندوآں (گھٹناواں) اتے سپرش سپیساں وچّ ویکٹراں دی کانونیکل پچھان کرن دی آگیا دندی ہے۔ کجھ مقصداں لئی اک بندو p اتے ڈسپلیسمینٹ [[ویکٹر]] نال سپرش ویکٹراں دی پچھان کرن دی اچھا رہندی ہے، جو کہ، بے شکّ، اسے کانونیکل پچھان راہیں سویکار یوگ ہندا ہے۔ سگنیچر اوس چنہ ولّ اشارہ کردا ہے جو منکووسکی اندرونی گننپھل پیدا کردا ہے جدوں ترک تے طور تے ادھار ویکٹراں دے روپ وچّ [[سپیس]] اتے ٹائم دتے ہوئے ہون۔ عامَ طور تے، گنت شاستری اتے [[جنرل رلیٹیوٹی]] وشیشک (−،+،+،+) سگنیچر نوں ترجیح دندے ہن جدونکھ بھوتک وگیانی (+،−،−،−) سگنیچر نوں پسند کردے ہن۔ پہلے طریقے دے سگنیچر (شدھ سپیس ویکٹر پوزیٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترک غیر-ساپیکھک حد c → ∞ نال سبندھت یوکلڈن کیس توں نرنترتا شامل کردے ہن۔ بعد والے سگنیچر (شدھ سپیس ویکٹر نیگٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترکاں وچّ [[بھوتک وگیان]] وچّ ہور طریقیاں نال سرو-ویاپک گھٹاؤ دے چناں دا مکّ جانا شامل ہے۔ سپیسٹائیم وچّ ہریک بندو اتے اس بائلینیئر (دو-ریکھک) اکار نال گنتک طور تے اک (0،2) قسم والا ٹینسر جڑیا ہندا ہے، جسنوں منکووسکی میٹرک کہندے ہن۔ منکووسکی میٹرک، بائلینیئر اکار، اتے منکووسکی انر پروڈکٹ اصل وچّ اکو چیز ہندے ہن۔ نردیشانکاں وچّ، ایہہ 4�4 [[میٹرکس]] ہندا ہے جو بائِ[[لینیئر اکار]] نوں پرستت کردا ہے۔ اس گلّ نوں دھیان وچّ رکھدے ہوئے اگے پڑنا سودھاجنک ہو سکدا ہے۔ [[جنرل رلیٹیوٹی]] وچّ، تلناتمک طور تے، اک لورنٹزیئن مینیپھولڈ L، میٹرک ٹینسر g یکت دی طرحاں ہندا ہے، جو L دے ہریک بندو p اتے سپرش سپیس {{math|''T''_''p''''L''}} اتے اک صحیح سلامت سمروپ دو-ریکھک (نونڈجنریٹ سمٹرک [[بائلینیئر]]) اکار ہندا ہے۔ نردیشانکاں وچّ، اسنوں “سپیسٹائیم پوزیشن تے نربھر کردے ہوئے” اک 4�4 میٹرکس راہیں درسایا جا سکدا ہے۔ [[منکووسکی سپیس]] اسطراں لورنٹز مینیپھولڈ دا اک تلناتمک طور تے سرل وشیش کیس ہے۔ اسدا میٹرک ٹینسر، جسنوں منکووسکی میٹرک کیہا جاندا ہے، نردیشانکاں وچّ M دے ہریک بندو اتے اوہی سمروپ میٹرکس ہندا ہے، اتے اسدے ترکاں نوں خود سپیسٹائیم وچّ ویکٹراں دے طور تے لیا جا سکدا ہے۔ ہور [[شبداولی]] نال جان پچھان کرواؤندے ہوئے (پر ہور بنتر نال نہیں)، منکووسکی سپیس اسطراں اک سوڈو-یوکلڈن سپیس ہندی ہے جسدیاں کلّ ڈائمینشناں n=4 ہندیاں ہن اتے سگنیچر (3، 1) جاں (1، 3) ہندے ہن۔ [[منکووسکی سپیس]] دے تتاں (ایلیمینٹاں) نوں اوینٹس (گھٹناواں) کیہا جاندا ہے۔ [[منکووسکی سپیس]] نوں چنے ہوئے سگنیچر تے زور دندے ہوئے اکثر {{math|'''R'''^3،1}} جاں {{math|'''R'''^1،3}} لکھیا جاندا ہے، جاں صرف M لکھیا جاندا ہے۔ ایہہ شاید سوڈو-ریمانیئن [[مینیپھولڈ]] دی سرلتم اداہرن ہے۔ ===== سوڈو-یوکلڈن میٹرک سرو سدھارن نیم ===== منکووسکی میٹرک η [[منکووسکی سپیس]] دا میٹرک [[ٹینسر]] ہے۔ ایہہ اک سوڈو-یکلڈن میٹرک ہے۔ اسطراں ایہہ اک نونڈیجنریٹ سمروپ دو-ریکھک اکار ہندا ہے، اتے اک (0،2) قسم دا [[ٹینسر]] ہندا ہے۔ ایہہ دو ترک سویکار کردا ہے؛ {{math|''u''_''p''، ''v''_''p''}} جو {{math|''T''_''p''''M''، ''p'' ∈ ''M''}} وچّ [[ویکٹر]] ہن، اتے M وچّ بندو p اتے سپرش سپیس ہے۔ خود M نال {{math|''T''_''p''''M''}} دی اپر دسی کانونیکل پچھان کارن، ایہہ M وچّ دوہے u، v ترکاں نوں سویکار کردا ہے۔ سنکلپک پرمپرا دے طور تے، M وچّ ویکٹراں v نوں 4-ویکٹر کیہا جاندا ہے، جو بغیر نوکاں والے سنس سیرپھ اٹالک اکھراں وچّ لکھے جاندے ہن، نہ کہ یوکلڈن سیٹنگ مطابق بولڈپھیس v دی طرحاں۔ بعد والا چنہ عامَ طور تے اک 4-ویکٹر دے 3-ویکٹر حصے لئی راکھواں رکھیا جاندا ہے۔ پریبھاشا :<math>u \cdot v =\eta(u، v)</math> M اتے [[اندرونی گننپھل]] وانگ بنتر پیدا کردی ہے، جسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا ہے جو یوکلڈن انر پروڈکٹ وانگ ہے، پر ایہہ وکھرے ریکھاگنت نوں درساؤندا ہے۔ اسدیاں ایہہ وشیشتاواں ہن، ٭<math>\eta(au + v، w) = a\eta(u، w) + \eta(v، w)، \quad \forall u، v \in M، \forall a \in \mathbb R \qquad \text{(linearity in first slot)}</math> ٭<math>\eta( u، v) = \eta( v، u) \qquad \text{(symmetry)}</math> ٭<math>\eta( u، v) = 0 \quad \forall v \in M \Rightarrow u = 0 \qquad \text{(non-degeneracy)}</math> پہلیاں دو شرطاں بائلینیئرٹی (دو-ریکھکتا) درساؤندیاں ہن۔ اک متھّ-اندرونی گننپھل اتے اک اندرونی گننپھل درمیان پربھاشت کیتا جا رہا انتر ایہہ ہے کہ پہلا گننپھل نشچت طور تے پوزیٹو ہونا ضروری نہیں ہے، یانِ کہ η(u، u) < 0 (زیرو توں گھٹّ) ہون دی آگیا ہندی ہے۔ دو ویکٹراں v اتے w نوں [[اؤرتھوگنل]] (orthogonal) کیہا جاندا ہے جیکر η(v، w) = 0 ہووے۔ اک [[ویکٹر]] e اک یونٹ [[ویکٹر]] کیہا جاندا ہے جیکر η(e، e) = �1 ہووے۔ پرسپر [[اؤرتھوگنل]] ([[سمکون]]) [[یونٹ]] ویکٹراں نال بنے M لئی اک بیسس (ادھار) نوں [[اؤرتھونورمل بیسس]] کیہا جاندا ہے۔ کسے دتی ہوئی [[انرشیئل فریم]] لئی، سپیس وچّ اک [[اؤرتھونورمل بیسس]] نال یونٹ ٹائم [[ویکٹر]] ملا کے [[منکووسکی سپیس]] وچّ اک اؤرتھونورمل بیسس بندا ہے۔ اجیہے کسے وی بیسس وچّ پوزیٹو تے نیگیٹو یونٹ ویکٹراں دی سنکھیا اک پھکس کیتا ہویا نمبراں دا جوڑا ہندا ہے، جو اندرونی گننپھل نال جڑے بائلینیئر اکار دے سگنیچر برابر ہندا ہے۔ ایہہ سلویٹر دا انرشیا نیم کیہا جاندا ہے۔ ہور شبداولی (پر بنتر نہیں): [[منکووسکی میٹرک]] وشیش طور تے اک سوڈو-ریمانیئن میٹرک ہندا ہے، استوں وی ہور وشیش طور تے کہندے ہوئے، ایہہ [[لورنٹز میٹرک]] ہندا ہے، جو صرف سگنیچر پرمپرا دی اسپشٹتا نال 4-ایامی فلیٹ سپیسٹائیم لئی راکھواں ہندا ہے۔ ===== منکووسکی میٹرک ===== سپیشل رلیٹیوٹی ([[وشیش ساپیکھتا]]) دے دو سوے-سدھ پرماناں توں پتہ چلدا ہے کہ دو گھٹناواں 1،2 درمیان سپیسٹائیم انٹرول (انترال) :<math>\pm\left[c^2(t_1 - t_2)^2 - (x_1 - x_2)^2 - (y_1 - y_2)^2 - (z_1 - z_2)^2\right]،</math> چنی گئی انرشیئل فریم توں ستنتر ہندا ہے۔ پھیکٹر � دا سرلارتھ ایہہ ہے کہ سگنیچر دی چون کھلی چھڈّ دتی گئی ہے۔ η دا سنکھئک ملّ، منکووسکی اندرونی گننپھل نوں پرستت کر رہے اک میٹرکس دے طور تے دیکھدے ہوئے، بائِ[[لینیئر اکار]] دی تھیوری توں پتہ چلدا ہے۔ کیونکہ ساہت (لٹریچر) وچّ میٹرک دے سگنیچر وکھرے وکھرے پربھاشت کیتے گئے ہن، ایہہ ماترا ستھرتا نال نامبدھّ نہیں کیتی جاندی۔ انترال (جویں اتھے پربھاشت کیتا گیا ہے) کدے کدے انٹرول سکئیرڈ ولّ اشارہ کردا ہے۔ بھاویں موجودہ انٹرول دا [[ورگ مول]] (سکئیئر روٹ) ملدا ہے۔ جدوں سگنیچر اتے انٹرول پھکس کر لئے جاندے ہن، اسپشٹتا اجے وی بنی رہندی ہے کہ وقت دا نردیشانک کہڑا ہے۔ ایہہ چوتھا ہو سکدا ہے، ایہہ پہلا (زیرو والا) ہو سکدا ہے۔ ایہہ سنکلپ استھرتاواں دی کوئی وستھار پوروک سوچی نہیں ہے۔ ایہہ زندگی دی اک سچائی ہے کہ جدوں رلیٹیوٹی لٹریچر دی صلاحَ لین لگے پربھاشاواں نوں جانچ لینا پہلی چیز ہندی ہے۔ انرشیئل فریماں درمیان کو-آرڈینیٹ ٹرانسپھورمیشناں (نردیشانک پرورتناں) ادھین انٹرول (انترال) دی انویریئنس (ستھرتا) اس ہیٹھاں لکھی ماترا (کسے وی چنہ � لئی رکھواں) دے انویریئنس توں پتہ چلدی ہے، بشرطے پرورتن لینیئر (ریکھک) ہووے ؛ :<math>\pm\left[c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2\right]</math> اس کواڈریٹک اکار (ورگاکار) نوں پولرائیزیشن آئڈینٹٹی (دھروی-پہچان) راہیں ہیٹھاں لکھیا بائلینیئر اکار پربھاشت کرن لئی ورتیا جا سکدا ہے؛ :<math> u \cdot v = \pm\left[c^2t_1t_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2\right].</math> اس بائلینیئر اکار نوں بدلے وچّ اس طرحاں لکھیا جا سکدا ہے؛ :<math> u \cdot v = u^{\mathrm T}[\eta] v،</math> جتھے [η] اک 4�4 میٹرکس ہندا ہے جو η نال جڑیا ہندا ہے۔ سنبھوَ طور تے غلط فہمی بھرے انداز وچّ، [η] نوں صرف η نال لکھ دینا رواج جیہا ہو گیا ہے۔ میٹرکس سپشٹ بائلینیئر اکار توں اس طرحاں پڑیا جاندا ہے؛ :<math>\eta = \pm \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}،</math> اتے بائلینیئر اکار نوں اسطراں پڑیا جاندا ہے جس دے نال ایہہ سیکشن اسدی موجودگی نوں مندے ہوئے شروع کیتا گیا سی۔، جو ہن پچھانیا گیا ہے؛ :<math>u \cdot v =\eta(u، v)،</math> نشچتتا اتے سنکھیپ پرستتی لئی، سگنیچر (−،+،+،+) نوں ہن اپنا لیا گیا ہے۔ چون دا کوئی بھوتکی ارتھ نہیں ہے۔ دوجی چون والے سگنیچر نال، سگنیچر دی اک چون والا بائلینیئر اکار سرکھات کردا سمٹری گروپ [[آئیسومرپھک]] ہندا ہے۔ اسدا ارتھ ہے کہ دوویں چوناں رلیٹیوٹی دے سوے-سدھ پرماناں نال سہمتی مطابق ہی رہندیاں ہن ۔ ===== سٹینڈرڈ بیسس ===== [[منکووسکی سپیس]] لئی اک سٹینڈرڈ بیسس چار پرسپر اؤرتھوگنل ویکٹراں {{nowrap|{ ''e''₀، ''e''₁، ''e''₂، ''e''₃ } }} دا اک اجیہا سیٹ ہندا ہے کہ؛ :<math>-\eta(e_0، e_0) = \eta(e_1، e_1) = \eta(e_2، e_2) = \eta(e_3، e_3) = 1 .</math> ایہناں شرطاں نوں سنکھیپ روپ وچّ انجھ لکھیا جا سکدا ہے؛ :<math>\eta(e_\mu، e_\nu) = \eta_{\mu \nu}.</math> سٹینڈرڈ بیسس دے ساپیکھک، کسے ویکٹر v دے کمپونینٹاں نوں {{math|(''v''⁰، ''v''¹، ''v''²، ''v''³)}} لکھیا جاندا ہے جتھے {{math|''v'' {{=}} ''v''^''μ''''e''_''μ''}} لکھن لئی آئینسٹائین دھارنا ورتی جاندی ہے۔ کمپونینٹ{{math|''v''⁰}} نوں v دا ٹائیملائیک کمپونینٹ کیہا جاندا ہے جدونکھ باقی تنّ کمپونینٹاں نوں سپیشیئل کمپونینٹ (ستھانک حصے) کیہا جاندا ہے۔ کسے 4-ویکٹر دے سپیشیئل کمپونینٹاں نوں اک 3-ویکٹر {{math|'''v''' {{=}} (''v''₁، ''v''₂، ''v''₃)}} دے طور تے پچھانیا جا سکدا ہے۔ کمپونینٹاں دے شبداں وچّ، دو ویکٹراں v اتے w درمیان منکووسکی انر پروڈکٹ نوں اسطراں پراپت کیتا جاندا ہے؛ :<math>\eta(v، w) = \eta_{\mu \nu} v^\mu w^\nu = v^0 w_0 + v^1 w_1 + v^2 w_2 + v^3 w_3 = v^\mu w_\mu = v_\mu w^\mu،</math> اتے :<math>\eta(v، v) = \eta_{\mu \nu} v^\mu v^\nu = v^0v_0 + v^1 v_1 + v^2 v_2 + v^3 v_3 = v^\mu v_\mu.</math> اتھے میٹریک ورتدے ہوئے اک سوچکانک نوں تھلے کیتا گیا ہے۔ تکنیکی طور تے، اک نون-ڈیجنریٹ بائِ[[لینیئر اکار]]، اک [[ویکٹر]] سپیس اتے اسدی دوہری (ڈیول) سپیس درمیان نقشہ مہئیا کرواؤندا ہے، اس سندربھ وچّ، میپ (نقشہ) M دیاں ٹینجینٹ (سپرش) سپیساں اتے کوٹینجینٹ سپیساں درمیان ہندا ہے۔ M اندر کسے بندو اتے، ٹینجینٹ اتے کوٹینجینٹ سپیساں ڈیول ہندیاں ہن۔ جویں اک ترک پھکس کرکے کسے ویکٹر سپیس اتے اک بھروسے یوگ اندرونی گننپھل نوں، ریسز ریپریزینٹیشن تھیورم راہیں، ویکٹر سپیس اتے کسے لینیئر پھنکشنل دے ایکشن دے طور تے لکھیا جا سکدا ہے، اویں ہی منکووسکی سپیس دے منکووسکی اندرونی گننپھل لئی وی ایہی کجھ لاگوُ ہندا ہے۔ اسطراں جیکر {{math|''v''^''μ''}} کسے ٹینجینٹ (سپرش) سپیس وچّ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہون، تاں {{math|''η''_''μν''''v''^''μ'' {{=}} ''v''_''ν''}} سہسپرش (کوٹینجینٹ، اک لینیئر پھنکشنل) سپیس وچّ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہونگے۔ M دے اپنے آپ وچّ ویکٹراں نال سپرش سپیساں دے ویکٹراں دی پچھان کارن ایہہ زیادہتر اگنور کر دتا جاندا ہے، اتے تھلے پیراں وچّ لکھے سوچکانکاں (لوئر انڈیسیز) والے ویکٹراں نوں [[کوویریئنٹ]] ویکٹر کیہا جاندا ہے۔ بعد والی اس ویاکھیا وچّ، کوویریئنٹ ویکٹراں نوں (لگبھگّ ہمیشاں ہی الجھاؤ نال) منکووسکی سپیس دی ڈیول سپیس وچّ ویکٹراں (لینیئر پھنکشنلاں) دے طور تے پچھانیا جاندا ہے۔ اپر لکھے جان والے سوچکانکاں (اپر انڈیسیز) والے ویکٹر [[کونٹرویریئنٹ]] ویکٹر کہے جاندے ہن۔ اسے انداز وچّ، ٹینجینٹ توں [[کوٹینجینٹ سپیساں]] ولّ میپ دا الٹ، جو میٹرکس پرستتی وچّ η دے انورس (1/ η) راہیں پراپت کیتا جاندا ہے، کسے سوچکانک (انڈیکس) نوں اپر چکن نوں پربھاشت کرن لئی ورتیا جا سکدا ہے۔ اس انورس (الٹ) دے کمپونینٹاں (حصیاں) نوں {{math|''η''^''μν''}} لکھیا جاندا ہے۔ کسے ویکٹر سپیس اتے اسدی ڈیول سپیس درمیان ایہناں نقشیاں نوں سنگیتک سمانتا راہیں {{math|''η''^&#x266D؛}} (پھلیٹ-ایٹا) and {{math|''η''^&#x266F؛}}(شارپ-ایٹا) لکھیا جا سکدا ہے۔ کدے کدے انڈیکس جمناسٹکس (سوچکانک کشمکش) کہی جان والی وقت راہیں پرمانت مضبوطی اتے فارمولا سوتریکرن اپنے آپ وچّ یقینی بنا دندی ہے کہ ویکٹراں نوں آلے دوآلے گھماؤنا اتے کونٹراویریئنٹ توں کوویریئنٹ ویکٹراں وچّ اتے کوویریئنٹ توں کونٹراویریئنٹ ویکٹراں وچّ بدلنا گنتک طور تے سارتھک ہے۔ غلط پرگٹاو چنہ اپنے آپ وچّ پھٹاپھٹ ظاہر ہون لئی مجبور ہو جاندے ہن ۔ ==== لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں اتے سمٹری ==== [[Image:Standard conf.svg|right|thumb|250px|لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) لئی کو-آرڈینیٹ (نردیشانک) سسٹماں دی سٹینڈرڈ بنتر]] [[پوآئنکیئر گروپ]] انترال نوں سرکھات رکھن والے سارے پرورتناں دا گروپ ہے۔ انترال (انٹرول) نوں 4-ایاماں وچّ [[ٹرانسلیشن گروپ]] راہیں سرکھات ہندا اسانی نال دیکھیا جا سکدا ہے۔ ہور پرورتن اوہ ہندے ہن جو انترال نوں سرکھات رکھدے ہن اتے ارجن نوں پھکس رکھدے ہن۔ منکووسکی میٹرک نال جڑے بائِ[[لینیئر اکار]] دے دتے ہون تے، کلاسیکل گروپاں دی تھیوری (خاص کرکے پریبھاشا) توں ڈھکویں گروپ دا پتہ چلدا ہے۔ لنک کیتے آرٹیکل وچّ، میٹرکس Φ دے نال η (اسدی میٹرکس پرستتی وچّ) نوں پچھاننا چاہیدا ہے۔ اس سندربھ وچّ، ڈھکواں گروپ O(3،1) ہے، جسنوں لورنٹز گروپ کیہا جاندا ہے۔ اسدے ایلیمینٹاں نوں (ہوموجینیئس) لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں کیہا جاندا ہے۔ ہور زیادہ بھوتکی موڑ نال ہور طریقے کھوجن لئی دیکھو [[لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں دیاں ڈیریویشناں]]۔ سرلتم لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں وچوں اک لورنٹز بوسٹ ہے۔ اشارے وجوں، x-دشا وچّ اک بوسٹ اسطراں پراپت کیتی جاندی ہے؛ :<math> \begin{bmatrix} U'_0 \\ U'_1 \\ U'_2 \\ U'_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta \gamma&0&0\\ -\beta \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_0 \\ U_1 \\ U_2 \\ U_3 \end{bmatrix}، </math> جتھے :<math>\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} }</math> نوں اک لورنٹز پھیکٹر کیہا جاندا ہے، اتے :<math>\beta = { v \over c} \،.</math> ہندا ہے| ہور لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں شدھ روٹیشنل ہندیاں ہن، اتے اس کرکے O(3،1) دے سبگرپّ SO(3) دے [[ایلیمینٹ]] وی۔ اک سدھارن [[ہوموجینیئس]] لورنٹز ٹرانسپھورمیشن شدھ بوسٹ اتے شدھ روٹیشن دا گننپھل ہندی ہے۔ اک انہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن سپیس اتے ٹائم وچّ اک بدلاؤ راہیں ہوئی ہوموجینیئس ٹرانسپھورمیشن ہندی ہے۔ وشیش ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) اوہ ہندیاں ہن جو سپیس نردیشانکاں اتے ٹائم نردیشانکاں نوں کرم وار الٹا دندے ہن، جاں دوواں نوں (PT)۔ [[منکووسکی سپیس]] وچّ سارے دے سارے چارے [[ویکٹر]] لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں ادھین اسے فارمولے مطابق بدل جاندے ہن۔ منکووسکی ڈائگرام لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں نوں سمجھاؤندا ہے۔ ==== کارناتمک بنتر ==== [[File:World line.svg|250px|thumb|right|چار وکھرے کیتے ہوئے سیٹاں وچّ اک گھٹنا دے پرتِ [[منکووسکی سپیس]]ٹائم دی سبڈویزن۔ لائیٹ کون، شدھ بھوکھ، شدھ بھوتکال، اتے ہور ستھان۔ شبداولی {{cite book|ref=harv|last=Sard|first=R. D.|title=Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics|url=https://archive.org/details/relativisticmech0000sard|year=1970|publisher=W. A. Benjamin|location=New York|isbn=978-0805384918}} توں لئی گئی ہے.]] ویکٹراں v = (ct، x، y، z) = (ct، r) نوں {{math|''c''²''t''² - ''r''²}} دے چنہ مطابق شرینیبدھّ کیتا جاندا ہے۔ اک [[ویکٹر]] ٹائیملائیک ہندا ہے جیکر {{math|''c''²''t''² > ''r''²}} ہووے، سپیسلائیک ہندا ہے جیکر {{math|''c''²''t''² < ''r''²}}، اتے نلّ جاں لائیٹلائیک ہندا ہے جیکر {{math|''c''²''t''² {{=}} ''r''²}} ہووے۔ اسنوں η(v،v) دے چنہ دے شبداں وچّ وی درسایا جا سکدا ہے، پر سگنیچر اتے نربھر کردا ہے۔ کسے وی ویکٹر دی شرینی ساریاں ریپھرینس فریماں وچّ اوہی رہیگی، کیونکہ انترال ستھر رہندا ہے۔ [[منکووسکی سپیس]] دی کسے گھٹنا اتے سارے نلّ ویکٹراں دا سیٹ اوس گھٹنا دی لائیٹکون رچدا ہے۔ اک ٹائیملائیک [[ویکٹر]] v دتا ہون تے، اس نال جڑی ستھر ولوسٹی دی اک ورلڈلائین ([[سنسار ریکھا]]) ہندی ہے، جسنوں منکووسکی ڈائگرام وچّ اک سدھی ریکھا نال پرستت کیتا گیا ہے۔ اک وار وقت دی دشا چن لئی جان تے، ٹائیملائیک اتے نلّ ویکٹراں نوں ہور اگے کئی شرینیاں وچّ وبھاجت کیتا (ونڈیا) جا سکدا ہے۔ ٹائیملائیک ویکٹراں لئی ایہہ ہندا ہے؛ ٭ بھوکھ-دشا وچّ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا ہے ([[ویکٹر]] دا اگلا پاسہ تصویر وچّ شدھ بھوکھ دی دشا وچّ ہندا ہے) اتے ٭ بھوتکال-دشا وچّ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا ہے (شدھ بھوتکال) نلّ [[ویکٹر]] تنّ شرینیاں وچّ فٹّ ہندے ہن؛ ٭ زیرو ویکٹر، جسدے کمپونینٹ کسے وی بیسس وچّ (0،0،0،0) (ارجن) ہندے ہن ٭ بھوکھ-دشا وچّ نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا ہے (اپرلی لائیٹکون)، اتے ٭ بھوتکال-دشا نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا ہے۔ (تھلے والی لائیٹکون)۔ سپیسلائیک [[ویکٹر]] ہور کتے ہندے ہن۔ شبداولی اس تتھّ توں اپجدی ہے کہ سپیسلائیک وکھریاں ہوئیاں گھٹناواں پرکاش توں تیز یاترا دی منگ کرن والے ویکٹراں نال جڑیاں ہندیاں ہن، اتے اسلئی اک دوجی نوں پربھاوت نہیں کر سکدیاں۔ سپیسلائیک اتے ٹائیملائیک دوویں اکٹھے ویکٹر کلّ 7 شرینیاں رکھدے ہن۔ [[منکووسکی سپیس]] لئی اک اؤرتھونورمل بیسس لازمی طور تے اک ٹائیملائیک اتے تنّ سپیسلائیک یونٹ ویکٹراں نال بنیا ہندا ہے۔ جیکر کوئی غیر-اؤرتھونورمل بیسساں نال کم کرنا چاہندا ہووے تاں ویکٹراں دے ہور میل رکھنے سنبھوَ ہن۔ اداہرن دے طور تے، اک نلّ بیسس کیہا جان والا سارے دے سارے نلّ ویکٹراں نال بنیا اک (نون-اؤرتھونورمل) بیسس اسانی نال رچیا جا سکدا ہے۔ واستوکاں اپر، جیکر دو نلّ ویکٹر اؤرتھوگنل ہون (زیرو منکووسکی [[ٹینسر]] ملّ والے)، تاں اوہ ضرور ہی انپاتک ہونے چاہیدے ہن۔ پھیر وی، کمپلیکس نمبراں نوں آگیا دین تے، اک [[نلّ ٹیٹراڈ]] پراپت کیتا جا سکدا ہے، جو نلّ ویکٹراں نال بنیا بیسس ہندا ہے، جہناں وچوں کجھ ویکٹر آپس وچّ اؤرتھوگنل ہندے ہن۔ [[ویکٹر پھیلڈاں]] نوں ٹائیملائیک، سپیسلائیک جاں نلّ کیہا جاندا ہے جیکر سبندھت ہریک اوس بندو اتے ویکٹر ٹائیملائیک، سپیسلائیک جاں نلّ ہون جتھے پھیلڈ نوں پربھاشت کیتا جاندا ہے۔ ===== کالکرم انوسار اتے کارنتامک سبندھ ===== منّ لؤ x، y ∈ M ہون۔ اسیں کہہ سکدے ہاں؛ # x کالکرم انوسار (کرونوجیکلی) y توں اگے ہندا ہے جیکر y – x بھوکھ-دشا والی ٹائیملائیک ہووے۔ اس سبندھ دی ٹرانزیٹو وشیشتا ہندی ہے اتے اسلئی اسنوں x < y لکھیا جا سکدا ہے۔ # x کارناتمک طور تے (کیزئلی) y توں اگے ہندا ہے جیکر y – x بھوکھ دی دشا ولّ نلّ جاں بھوکھ-دشا والی ٹائیملائیک ہووے۔ ایہہ سپیسٹائیم دا انشک کرم (پارشل اؤرڈرنگ) دندا ہے اتے اس لئی اسنوں x ≤ y لکھیا جا سکدا ہے۔ ===== الٹ تکون اسمانتا ===== جیکر v اتے w دوویں بھوکھ-دشا وچّ ٹائملائیک 4-ویکٹر ہون تاں نورم لئی (+ - - -) سائین (چنہ) پرمپرا وچّ؛ :<math> \left\| v+w \right\| \ge \left\| v \right\| + \left\| w \right\| .</math> ==== ہور فارمولا سوتریکرناں نال سبندھ ==== ===== ایاماں دی وکھری گنتی ===== سختی نال کہندے ہوئے، [[منکووسکی سپیس]] چار ایاماں وچّ اک گنتک فارمولا سوتریکرن ولّ اشارہ کردی ہے۔ پھیر وی، ایاماں دی کسے وی گنتی والی '''“منکووسکی سپیس”''' دے سامان اک رچنا لئی گنت نوں ودھایا جاں سرل کیتا جا سکدا ہے۔ جیکر n ≥ 2 ہووے تاں n-ایامی منکووسکی سپیس n واستو [[ایام]] دی اک [[ویکٹر]] سپیس ہندی ہے جس اتے سگنیچر (n − 1، 1) جاں (1، n − 1) دا اک ستھر لورنٹز میٹرک ہندا ہے۔ ایہہ سرو سدھارن کرن تھیوریاں وچّ ورتے جاندے ہن جتھے سپیسٹائیم نوں 4-ایاماں توں زیادہ جاں گھٹّ ایاماں والا سپیسٹائیم ہونا منیا جاندا ہے۔ سٹرنگ تھیوری اتے M-تھیوری اجہیاں دو اداہرناں ہن جتھے n > 4 ہندا ہے۔ [[سٹرنگ تھیوری]] وچّ، کنپھورمل پھیلڈ تھیوریاں 1 + 1 سپیسٹائیم ایاماں نال دسدیاں ہن۔ =====پدھری بنام وکرت سپیس ===== اک فلیٹ سپیس دے طور تے، منکووسکی سپیسٹائیم دے تنّ سپیشیئل (ستھانک) کمپونینٹ (حصے) ہمیشاں [[پائیتھاگورس تھیورم]] دی پالنا کردے ہن۔ منکووسکی سپیس سپیشل رلیٹیوٹی ([[وشیش ساپیکھتا]]) لئی اک انوکول بیسس ہے، گریویٹیشن مہتتا بغیر سسٹماں وچّ سیمت دوری اتے بھوتکی سسٹماں دا اک ونگا وورن ہے۔ پھیر وی، گریوٹی نوں دھیان وچّ رکھن لئی، بھوتک وگیانی [[جنرل رلیٹیوٹی]] دی تھیوری ورتدے ہن، جو غیر-یکلڈن جیؤمیٹری (ریکھاگنت) دے گنت نال سوتربدھّ کیتی گئی ہے۔ جدوں اس جیؤمیٹری (ریکھاگنت) نوں بھوتکی سپیس دے ماڈل وجوں ورتیا جاندا ہے، تاں اسنوں کروڈ (وکرت) سپیس کیہا جاندا ہے۔ کروڈ سپیس وچّ وی، [[منکووسکی سپیس]] اجے وی کسے بندو (گریویٹیشنل سنگلرٹیاں توں بناں) دوآلے اک اتسوکھم کھیتر (انپھنٹیسیمل رجن) وچّ اک چنگا وورن ہے۔ ہور سنکھیپ کہندے ہوئے، اسیں کہندے ہاں کہ گریوٹی سپیسٹائیم دی موجودگی اک 4-ایامی وکرت مینیپھولڈ راہیں درسائی جاندی ہے جسدے لئی کسے بندو پرتِ ٹینجینٹ (سپرش) سپیس اک چار-ایامی منکووسکی سپیس ہندی ہے۔ اسطراں، منکووسکی سپیس دی بنتر اجے وی [[جنرل رلیٹیوٹی]] دے وورن وچّ ضروری ہو جاندی ہے۔ ==حوالے== {{حوالے}} [[گٹھ:فزکس]] [[گٹھ:سائنس]] n3l7k3cozz2lw96xcycucec2kmezo1l 0 76954 712444 710432 2026-10-10T09:09:46Z PJ Geest 44951 Replace raster graph with SVG reconstruction: Standard conf.svg 712444 wikitext text/x-wiki گنتک فزکس وچ, منکووسکی سپیس جاں منکووسکی سپیسٹائیم, اقلیدسی سپیس اتے ٹائم دا اک 4-سمتی مینیپھولڈ (بہپرت) وچ میل اے جتھے کسے وی دو واقعے درمیان سپیسٹائیم وقفہ (انٹرول) اوس انرشیئل فریم (ڈھانچے) توں آزاد رہندا اے جس وچ اس نوں ریکارڈ کیتا جاندا اے۔ بے شکّ شروعات وچ منکووسکی سپیسٹائیم دی گنتک بنتر, الیکٹرومیگنٹزم دیاں میکسویل مساواتاں لئی ریاضی دان حرمن منکووسکی ولوں ترقی یافتہ کیتی گئی سی, پھیر وی اس نوں سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]<ref>{{harvnb|Landau|Lifshitz|2002|p=5}}</ref>) دے سدھ نشان دے ترنت نتیجے دے روپ وچ دکھایا گیا سی۔ منکووسکی سپیس آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دی تھیوری نال نزدیک طور تے جڑی اے, اتے ایہہ اوہ سبھ توں زیادہ سانجھی گنتک بنتر اے جس اتے سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دے فارمولیاں دا سوتریکرن کرن کیتا گیا اے۔ جدونکھ اقلیدسی سپیس اتے ٹائم دے انفرادی کمپونینٹ لمبائی سنگڑن عمل (لینتھ کنٹریکشن) اتے ٹائم وچ دیری (ٹائم ڈلیشن) کارن اکثر فرق رکھنگے, منکووسکی سپیس وچ, ساریاں ریفرنس فریماں واقعے<ref group=nb>This makes spacetime distance an [[Invariant (physics)|invariant]]۔</ref> درمیان سپیسٹائیم وچ کل دوری اتے سہمت ہندیاں ہن ۔ کیونکہ ایہہ وقت نوں تن مقامی سمتاں نالوں وکھرے طریقے نال لیندی اے, اسلئی منکووسکی سپیس چار-سمتی اقلیدسی سپیس توں وکھری ہندی اے۔ آئیسومیٹری گروپ, جو کہ نیمت اندرونی گننپھل نال بھرپور اک اقلیدسی سپیس دے اقلیدسی ڈسٹینساں (وتھاں) نوں سرکھات کردا اے, اقلیدسی گروپ کیہا جاندا اے۔ منکووسکی سپیس لئی برابر دا آئسیمیٹری گروپ جو غیر-پوزیٹو مقررہ دو-ریکھک (بائلینیئر) اکار (اتھے اسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا اے) سمیت سپیسٹائیم دے وقفےآں نوں سرکھئت کردا اے, پوآئنکیئر گروپ کیہا جاندا اے۔ منکووسکی اندرونی گننپھل (انر پروڈکٹ) دو واقعے درمیان سپیسٹائیم وقفہ پیدا کرن دے روپ وچ متاثر کیتا جاندا اے جدوں اوہناں واقعے دے نردیشانک انتر ویکٹر ترک دے طور تے دتے گئے ہون ۔ == اتہاس == [[File:De Raum zeit Minkowski Bild.jpg|250px|left|thumb|حرمن منکووسکی (1864–1909) اک جرمن گنت شعورت سی۔ اسنے کھوجیا کہ سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دی تھیوری جو اسدے طالب علم [[البرٹ آئینسٹائین]] ولوں پیش کیتی سی, نوں چار-سمتی سپیس وچ سبھ توں ودھیا طریقے نال سمجھیا جا سکدا اے, جس نوں ادوں توں منکووسکی سپیس دے روپ وچ جانیا جان لگ پیا]] === چار-سمتی اقلیدسی سپیسٹائیم === 1905 وچ, 1906 والی پبلیکیشن دے نال, ہینری پوآئنکیئر نے دکھایا کہ ٹائم نوں اک خیالی چوتھے سپیسٹائیم نردیشانک (√−1 c t) دے طور تے لے کے, اک لورنٹز ٹرانسپھورمیشن (پرورتن) نوں, تن اصلی نردیشانکاں راہیں پیش کیتی جا رہی سپیس اتے چوتھے سمت دے طور تے ٹائم نوں پیش کر رہا اک خیالی نردیشانک, یکت اک چار-سمتی اقلیدسی سپیس وچ نردیشانکاں دی اک روٹیشن (چکر) کیہا جا سکدا اے۔ کیونکہ پھیر سپیس اک سوڈو-اقلیدسی سپیس ہندی اے, اسلئی روٹیشن اک ہائیپربولک روٹیشن دی پرستتی ہندی اے, بے شکّ پوآئنکیئر نے ایہہ وضاحت نہیں دتی سی, اسدا مقصد جانی پچھانی اقلیدسی روٹیشن دے شبداں وچ صرف لورنٹز پرورتن نوں کھل کے سمجھاؤنا ہی سی۔ اس وچار دا حرمن منکووسکی<ref>{{harvnb|Minkowski|1907–1908|pp=53–؛111}} *Wikisource translation: [[s:Translation:The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies|The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies]]۔</ref> ولوں پھلار کیتا گیا, جسنے چار سمتاں وچ لورنٹز پرورتن ماتحت اوہناں دے انویریئنس سدھے دکھاؤندے ہوئے میکسویلّ دیاں سمیکرناں نوں پنرکتھن کرن لئی اسدی ورتو کیتی ۔ اسنے ہور اگے آئینسٹائین دی سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دی اس وقت دی تازہ تھیوری نوں چار سمتاں وچ پنر سوتربدھّ کیتا ۔ استوں اسنے ایہہ نتیجہ کڈھیا کہ ٹائم اتے سپیس نوں برابر ہی لینا چاہیدا اے, اتے اسطراں اسنے اک ایکیکرت چار-سمتی سپیسٹائیم نرنترتا وچ ہو رہیاں واقعے دے اپنے تجزیہ نوں اچا چکیا ۔ === منکووسکی سپیس === ہور اگے کسے ترقی لئی, اسنے اس وچار دے بدلے ہوئے روپ دے فارمولا سوتریکرن دتے جہناں وچ اک خیالی دی جگہ اصلی وقت والے نردیشانک ورتے گئے سن جو اک چار-سمتی اپھائین (بروبرابر تعلق سرکھات رکھن دی آگیا دین والی) سپیس وچ چار سپیس تے ٹائم دے استھرانکاں (x, y, z, t) نوں پیش کردے سن۔ اس سپیس وچ نقطہ سپیسٹائیم وچ واقعے نال متعلق ہندے ہن ۔ اس سپیس وچ, ہریک نقطہ (اپر چتر دیکھو) نال اک مقررہ لائیٹ-کون جڑی ہندی اے, اتے لائیٹ-کون اتے نہ ہون والیاں واقعے نوں سپیسلائیک جاں ٹائیملائیک دے طور تے دھریاں نال اوہناں دے تعلقاں راہیں شرینیبدھّ کیتا جاندا اے۔ سپیسٹائیم دا مکھ طور تے ایہی نظریہ اجکل چل رہا اے, بھاویں خیالی وقت والے پرانے نظریہ نے وی سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) نوں متاثر کیتا اے۔ منکووسکی, جو اپنے ولوں بنائی گئی تھیوری دی مول پنربیانباجی بارے جاندا سی, نے کیہا, سپیس اتے ٹائم دے نظریہ جو میں تہاڈے اگے رکھنا چاہندا ہاں پریوگک [[فزکس]] دی دھرتی توں ابھرے ہن, اسلئی ایہناں وچ طاقت اے۔ ایہہ قدرتی طور تے مڈھلے نظریہ ہن ۔ اسلئی سپیس اپنے آپ وچ, ٹائم اپنے آپ وچ, صرف پرچھاویاں وچ لپت ہون لئی دوشی پائے گئے ہن, اتے صرف ایہناں دوہاں دا میل ہی اک آزاد واستوکتا نوں سرکھئت کریگا ۔ ---حرمن منکووسکی, 1907 == گنتک بنتر == اک معائنہ تجزیہ لئی, منکووسکی سپیس اک 4-ڈائمینشنل اصلی ویکٹر سپیس ہندی اے جس وچ سپیسٹائیم وچ ہریک نقطہ اتے سمرد سپیس اتے اک سہیسلامت (نونڈجنریٹ), سمروپ دو-ریکھک (سمٹرک بائلینیئر) اکار ہندا اے, اتھے جسنوں صرف (−,+,+,+) جاں (+,−,−,−) ہستاکھر والا منکووسکی اندرونی گننپھل کیہا گیا اے۔ مشق وچ, سمرد سپیساں نال واسطہ رکھن دی ضرورت نہیں پیندی ۔ منکووسکی سپیس دی ویکٹر سپیس فطرت, خود منکووسکی سپیس اندر ویکٹراں (نقطےآں, واقعے) والے نقطےآں (واقعے) اتے سمرد سپیساں وچ ویکٹراں دی کانونیکل پچھان کرن دی آگیا دندی اے۔ کجھ مقصداں لئی اک نقطہ p اتے ڈسپلیسمینٹ [[ویکٹر]] نال سمرد ویکٹراں دی پچھان کرن دی اچھا رہندی اے, جو کہ, بے شکّ, اسے کانونیکل پچھان راہیں قبول یوگ ہندا اے۔ سگنیچر اوس چنہ ول اشارہ کردا اے جو منکووسکی اندرونی گننپھل پیدا کردا اے جدوں ترک تے طور تے ادھار ویکٹراں دے روپ وچ [[سپیس]] اتے ٹائم دتے ہوئے ہون ۔ عامَ طور تے, گنت شعورت اتے [[جنرل رلیٹیوٹی]] وشیشک (−,+,+,+) سگنیچر نوں ترجیح دندے ہن جدونکھ بھوتک سائنسدان (+,−,−,−) سگنیچر نوں پسند کردے ہن ۔ پہلے طریقے دے سگنیچر (خالص سپیس ویکٹر پوزیٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترک غیر-ساپیکھک حد c → ∞ نال متعلق اقلیدسی کیس توں نرنترتا شامل کردے ہن ۔ بعد والے سگنیچر (خالص سپیس ویکٹر نیگٹو “نورم-سکئیرڈ” سرجدے ہن) لئی ترکاں وچ [[فزکس]] وچ ہور طریقیاں نال سرو-مکمل گھٹاؤ دے چناں دا مکّ جانا شامل اے۔ سپیسٹائیم وچ ہریک نقطہ اتے اس بائلینیئر (دو-ریکھک) اکار نال گنتک طور تے اک (0,2) قسم والا ٹینسر جڑیا ہندا اے, جسنوں منکووسکی میٹرک کہندے ہن ۔ منکووسکی میٹرک, بائلینیئر اکار, اتے منکووسکی انر پروڈکٹ اصل وچ اکو چیز ہندے ہن ۔ نردیشانکاں وچ, ایہہ 44 [[میٹرکس]] ہندا اے جو بائِ[[لینیئر اکار]] نوں پیش کردا اے۔ اس گل نوں دھیان وچ رکھدے ہوئے اگے پڑنا سودھاجنک ہو سکدا اے۔ [[جنرل رلیٹیوٹی]] وچ, تلناتمک طور تے, اک لورنٹزیئن مینیپھولڈ L, میٹرک ٹینسر g یکت دی طرحاں ہندا اے, جو L دے ہریک نقطہ p اتے سمرد سپیس {{math|''T''_''p''''L''}} اتے اک صحیح سلامت سمروپ دو-ریکھک (نونڈجنریٹ سمٹرک [[بائلینیئر]]) اکار ہندا اے۔ نردیشانکاں وچ, اسنوں “سپیسٹائیم پوزیشن تے انحصار کردے ہوئے” اک 44 میٹرکس راہیں درسایا جا سکدا اے۔ منکووسکی سپیس اسطراں لورنٹز مینیپھولڈ دا اک تلناتمک طور تے آسان خاص کیس اے۔ اسدا میٹرک ٹینسر, جسنوں منکووسکی میٹرک کیہا جاندا اے, نردیشانکاں وچ M دے ہریک نقطہ اتے اوہی سمروپ میٹرکس ہندا اے, اتے اسدے ترکاں نوں خود سپیسٹائیم وچ ویکٹراں دے طور تے لیا جا سکدا اے۔ ہور [[ووکیبولری]] نال جان پچھان کرواؤندے ہوئے (پر ہور بنتر نال نہیں), منکووسکی سپیس اسطراں اک سوڈو-اقلیدسی سپیس ہندی اے جسدیاں کل ڈائمینشناں n=4 ہندیاں ہن اتے سگنیچر (3, 1) جاں (1, 3) ہندے ہن ۔ منکووسکی سپیس دے تتاں (ایلیمینٹاں) نوں اوینٹس (واقعے) کیہا جاندا اے۔ منکووسکی سپیس نوں چنے ہوئے سگنیچر تے زور دندے ہوئے اکثر {{math|'''R'''^3,1}} جاں {{math|'''R'''^1,3}} لکھیا جاندا اے, جاں صرف M لکھیا جاندا اے۔ ایہہ شاید سوڈو-ریمانیئن [[مینیپھولڈ]] دی آسان ترین اداہرن اے۔ === سوڈو-اقلیدسی میٹرک سرو عام نیم === منکووسکی میٹرک η منکووسکی سپیس دا میٹرک ٹینسر اے۔ ایہہ اک سوڈو-اقلیدسی میٹرک اے۔ اسطراں ایہہ اک نینڈیجنریٹ سمروپ دو-ریکھک اکار ہندا اے, اتے اک (0,2) قسم دا ٹینسر ہندا اے۔ ایہہ دو ترک قبول کردا اے؛ {{math|''u''_''p'', ''v''_''p''}} جو {{math|''T''_''p''''M'', ''p'' ∈ ''M''}} وچ ویکٹر ہن, اتے M وچ نقطہ p اتے سمرد سپیس اے۔ خود M نال {{math|''T''_''p''''M''}} دی اپر دسی کانونیکل پچھان کارن, ایہہ M وچ دواے u, v ترکاں نوں قبول کردا اے۔ سنکلپک پرمپرا دے طور تے, M وچ ویکٹراں v نوں 4-ویکٹر کیہا جاندا اے, جو بغیر نوکاں والے سنس سیرپھ اٹالک اکھراں وچ لکھے جاندے ہن, نہ کہ اقلیدسی سیٹنگ مطابق بولڈپھیس v دی طرحاں ۔ بعد والا چنہ عامَ طور تے اک 4-ویکٹر دے 3-ویکٹر حصے لئی راکھواں رکھیا جاندا اے۔ تشریح :<math>u \cdot v =\eta(u, v)</math> M اتے اندرونی گننپھل وانگ بنتر پیدا کردی اے, جسنوں منکووسکی انر پروڈکٹ کیہا جاندا اے جو اقلیدسی انر پروڈکٹ وانگ اے, پر ایہہ وکھرے جیؤمیٹری نوں درساؤندا اے۔ اسدیاں ایہہ خاصیتاں ہن, *<math>\eta(au + v, w) = a\eta(u, w) + \eta(v, w), \quad \forall u, v \in M, \forall a \in \mathbb R \qquad \text{(linearity in first slot)}</math> *<math>\eta( u, v) = \eta( v, u) \qquad \text{(symmetry)}</math> *<math>\eta( u, v) = 0 \quad \forall v \in M \leftarrow u = 0 \qquad \text{(non-degeneracy)}</math> پہلیاں دو شرطاں بائلینیئرٹی (دو-ریکھکتا) درساؤندیاں ہن ۔ اک متھّ-اندرونی گننپھل اتے اک اندرونی گننپھل درمیان متاثر کیتا جا رہا انتر ایہہ اے کہ پہلا گننپھل مقررہ طور تے پوزیٹو ہونا ضروری نہیں اے, یانِ کہ η(u, u) < 0 (زیرو توں گھٹ) ہون دی آگیا ہندی اے۔ دو ویکٹراں v اتے w نوں اؤرتھوگنل (orthogonal) کیہا جاندا اے جیکر η(v, w) = 0 ہووے ۔ اک ویکٹر e اک یونٹ [[ویکٹر]] کیہا جاندا اے جیکر η(e, e) = 1 ہووے ۔ پرسپر [[اؤرتھوگنل]] ([[سمکون]]) [[یونٹ]] ویکٹراں نال بنے M لئی اک بیسس (ادھار) نوں [[اؤرتھونورمل بیسس]] کیہا جاندا اے۔ کسے دتی ہوئی انرشیئل فریم لئی, سپیس وچ اک اؤرتھونورمل بیسس نال یونٹ ٹائم ویکٹر ملا کے منکووسکی سپیس وچ اک اؤرتھونورمل بیسس بندا اے۔ اجیاے کسے وی بیسس وچ پوزیٹو تے نیگیٹو یونٹ ویکٹراں دی آبادی اک پھکس کیتا ہویا نمبراں دا جوڑا ہندا اے, جو اندرونی گننپھل نال جڑے بائلینیئر اکار دے سگنیچر برابر ہندا اے۔ ایہہ سلویٹر دا انرشیا نیم کیہا جاندا اے۔ ہور ووکیبولری (پر بنتر نہیں): منکووسکی میٹرک خاص طور تے اک سوڈو-ریمانیئن میٹرک ہندا اے, استوں وی ہور خاص طور تے کہندے ہوئے, ایہہ لورنٹز میٹرک ہندا اے, جو صرف سگنیچر پرمپرا دی اسپشٹتا نال 4-سمتی فلیٹ سپیسٹائیم لئی راکھواں ہندا اے۔ === منکووسکی میٹرک === سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) دے دو سوے-سدھ پرماناں توں پتہ چلدا اے کہ دو واقعے 1,2 درمیان سپیسٹائیم انٹرول (وقفہ) :<math>\pm\left[c^2(t_1 - t_2)^2 - (x_1 - x_2)^2 - (y_1 - y_2)^2 - (z_1 - z_2)^2\right],</math> چنی گئی انرشیئل فریم توں آزاد ہندا اے۔ فیکٹر دا آسان مطلب ایہہ اے کہ سگنیچر دی چون کھلی چھڈّ دتی گئی اے۔ η دا سنکھئک ملّ, منکووسکی اندرونی گننپھل نوں پیش کر راے اک میٹرکس دے طور تے دیکھدے ہوئے, بائِ[[لینیئر اکار]] دی تھیوری توں پتہ چلدا اے۔ کیونکہ ساہت (لٹریچر) وچ میٹرک دے سگنیچر وکھرے وکھرے متاثر کیتے گئے ہن, ایہہ مقدار استحکام نال نامبدھّ نہیں کیتی جاندی ۔ وقفہ (جویں اتھے متاثر کیتا گیا اے) کدے کدے انٹرول سکئیرڈ ول اشارہ کردا اے۔ بھاویں موجودہ انٹرول دا [[مربع مول]] (سکئیئر روٹ) ملدا اے۔ جدوں سگنیچر اتے انٹرول پھکس کر لئے جاندے ہن, اسپشٹتا اجے وی بنی رہندی اے کہ وقت دا نردیشانک کہڑا اے۔ ایہہ چوتھا ہو سکدا اے, ایہہ پہلا (زیرو والا) ہو سکدا اے۔ ایہہ تجزیہ استھرتاواں دی کوئی پھلار پوروک لسٹ نہیں اے۔ ایہہ زندگی دی اک سچائی اے کہ جدوں رلیٹیوٹی لٹریچر دی صلاحَ لین لگے پربولیاں نوں جانچ لینا پہلی چیز ہندی اے۔ انرشیئل فریماں درمیان کو-آرڈینیٹ ٹرانسفورمیشناں (نردیشانک پرورتناں) ماتحت انٹرول (وقفہ) دی انویریئنس (استحکام) اس ہیٹھاں لکھی مقدار (کسے وی چنہ لئی رکھواں) دے انویریئنس توں پتہ چلدی اے, بشرطے پرورتن لینیئر (ریکھک) ہووے ؛ :<math>\pm\left[c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2\right]</math> اس کواڈریٹک اکار (ورگاکار) نوں پولرائیزیشن آئڈینٹٹی (دھروی-پہچان) راہیں ہیٹھاں لکھیا بائلینیئر اکار متاثر کرن لئی ورتیا جا سکدا اے؛ :<math> u \cdot v = \pm\left[c^2t_1t_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2\right].</math> اس بائلینیئر اکار نوں بدلے وچ اس طرحاں لکھیا جا سکدا اے؛ :<math> u \cdot v = u^{\mathrm T}[\eta] v,</math> جتھے [η] اک 44 میٹرکس ہندا اے جو η نال جڑیا ہندا اے۔ ممکن طور تے غلط فہمی بھرے انداز وچ, [η] نوں صرف η نال لکھ دینا رواج جیہا ہو گیا اے۔ میٹرکس واضع بائلینیئر اکار توں اس طرحاں پڑیا جاندا اے؛ :<math>\eta = \pm \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},</math> اتے بائلینیئر اکار نوں اسطراں پڑیا جاندا اے جس دے نال ایہہ سیکشن اسدی موجودگی نوں مندے ہوئے شروع کیتا گیا سی۔, جو ہن پچھانیا گیا اے؛ :<math>u \cdot v =\eta(u, v),</math> نشچتتا اتے مختصر پرستتی لئی, سگنیچر (−,+,+,+) نوں ہن اپنا لیا گیا اے۔ چون دا کوئی طبعیاتی مطلب نہیں اے۔ دوجی چون والے سگنیچر نال, سگنیچر دی اک چون والا بائلینیئر اکار سرکھات کردا سمٹری گروپ [[آئیسومرفک]] ہندا اے۔ اسدا مطلب اے کہ دوویں چوناں رلیٹیوٹی دے سوے-سدھ پرماناں نال رضا مندی مطابق ہی رہندیاں ہن ۔ === سٹینڈرڈ بیسس === منکووسکی سپیس لئی اک سٹینڈرڈ بیسس چار پرسپر اؤرتھوگنل ویکٹراں {{nowrap|{ ''e''₀, ''e''₁, ''e''₂, ''e''₃ }}} دا اک اجیہا سیٹ ہندا اے کہ؛ :<math>-\eta(e_0, e_0) = \eta(e_1, e_1) = \eta(e_2, e_2) = \eta(e_3, e_3) = 1 .</math> ایہناں شرطاں نوں مختصر روپ وچ انجھ لکھیا جا سکدا اے؛ :<math>\eta(e_\mu, e_\nu) = \eta_{\mu \nu}.</math> سٹینڈرڈ بیسس دے ساپیکھک, کسے ویکٹر v دے کمپونینٹاں نوں {{math|(''v''⁰, ''v''¹, ''v''², ''v''³)}} لکھیا جاندا اے جتھے {{math|''v'' {{=}} ''v''^''μ''''e''_''μ''}} لکھن لئی آئینسٹائین دھارنا ورتی جاندی اے۔ کمپونینٹ{{math|''v''⁰}} نوں v دا ٹائیملائیک کمپونینٹ کیہا جاندا اے جدونکھ باقی تن کمپونینٹاں نوں سپیشیئل کمپونینٹ (مقامی حصے) کیہا جاندا اے۔ کسے 4-ویکٹر دے سپیشیئل کمپونینٹاں نوں اک 3-ویکٹر {{math|'''v''' {{=}} (''v''₁, ''v''₂, ''v''₃)}} دے طور تے پچھانیا جا سکدا اے۔ کمپونینٹاں دے شبداں وچ, دو ویکٹراں v اتے w درمیان منکووسکی انر پروڈکٹ نوں اسطراں حاصل کیتا جاندا اے؛ :<math>\eta(v, w) = \eta_{\mu \nu} v^\mu w^\nu = v^0 w_0 + v^1 w_1 + v^2 w_2 + v^3 w_3 = v^\mu w_\mu = v_\mu w^\mu,</math> اتے :<math>\eta(v, v) = \eta_{\mu \nu} v^\mu v^\nu = v^0v_0 + v^1 v_1 + v^2 v_2 + v^3 v_3 = v^\mu v_\mu.</math> اتھے میٹریک ورتدے ہوئے اک سوچکانک نوں تھلے کیتا گیا اے۔ تکنیکی طور تے, اک نون-ڈیجنریٹ بائِ[[لینیئر اکار]], اک [[ویکٹر]] سپیس اتے اسدی دوہری (ڈیول) سپیس درمیان نقشہ مہئیا کرواؤندا اے, اس حوالہ وچ, میپ (نقشہ) M دیاں ٹینجینٹ (سمرد) سپیساں اتے کوٹینجینٹ سپیساں درمیان ہندا اے۔ M اندر کسے نقطہ اتے, ٹینجینٹ اتے کوٹینجینٹ سپیساں ڈیول ہندیاں ہن ۔ جویں اک ترک پھکس کرکے کسے ویکٹر سپیس اتے اک بھروسے یوگ اندرونی گننپھل نوں, ریسز ریپریزینٹیشن تھیورم راہیں, ویکٹر سپیس اتے کسے لینیئر پھنکشنل دے ایکشن دے طور تے لکھیا جا سکدا اے, اویں ہی منکووسکی سپیس دے منکووسکی اندرونی گننپھل لئی وی ایہی کجھ لاگوُ ہندا اے۔ اسطراں جیکر {{math|''v''^''μ''}} کسے ٹینجینٹ (سمرد) سپیس وچ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہون, تاں {{math|''η''_''μν''''v''^''μ'' {{=}} ''v''_''ν''}} سہسمرد (کوٹینجینٹ, اک لینیئر پھنکشنل) سپیس وچ کسے ویکٹر دے کمپونینٹ ہونگے ۔ M دے اپنے آپ وچ ویکٹراں نال سمرد سپیساں دے ویکٹراں دی پچھان کارن ایہہ زیادہتر اگنور کر دتا جاندا اے, اتے تھلے پیراں وچ لکھے سوچکانکاں (لوئر انڈیسیز) والے ویکٹراں نوں [[کوویریئنٹ]] ویکٹر کیہا جاندا اے۔ بعد والی اس وضاحت وچ, کوویریئنٹ ویکٹراں نوں (لگبھگ ہمیشاں ہی الجھاؤ نال) منکووسکی سپیس دی ڈیول سپیس وچ ویکٹراں (لینیئر پھنکشنلاں) دے طور تے پچھانیا جاندا اے۔ اپر لکھے جان والے سوچکانکاں (اپر انڈیسیز) والے ویکٹر [[کونٹرویریئنٹ]] ویکٹر کاے جاندے ہن ۔ اسے انداز وچ, ٹینجینٹ توں [[کوٹینجینٹ سپیساں]] ول میپ دا الٹ, جو میٹرکس پرستتی وچ η دے انورس (1/ η) راہیں حاصل کیتا جاندا اے, کسے سوچکانک (انڈیکس) نوں اپر چکن نوں متاثر کرن لئی ورتیا جا سکدا اے۔ اس انورس (الٹ) دے کمپونینٹاں (حصیاں) نوں {{math|''η''^''μν''}} لکھیا جاندا اے۔ کسے ویکٹر سپیس اتے اسدی ڈیول سپیس درمیان ایہناں نقشیاں نوں سنگیتک برابری راہیں {{math|''η''^♭؛}} (پھلیٹ-ایٹا) and {{math|''η''^♯؛}}(شارپ-ایٹا) لکھیا جا سکدا اے۔ کدے کدے انڈیکس جمناسٹکس (سوچکانک کشمکش) کہی جان والی وقت راہیں مصدقہ مضبوطی اتے فارمولا سوتریکرن اپنے آپ وچ یقینی بنا دندی اے کہ ویکٹراں نوں آلے دوآلے گھماؤنا اتے کونٹراویریئنٹ توں کوویریئنٹ ویکٹراں وچ اتے کوویریئنٹ توں کونٹراویریئنٹ ویکٹراں وچ بدلنا گنتک طور تے سارتھک اے۔ غلط پرگٹاو چنہ اپنے آپ وچ پھٹاپھٹ ظاہر ہون لئی مجبور ہو جاندے ہن ۔ == لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں اتے سمٹری == [[Image:Standard conf.svg|left|thumb|250px|لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) لئی کو-آرڈینیٹ (نردیشانک) سسٹماں دی سٹینڈرڈ ب]] [[پوآئنکیئر گروپ]] وقفہ نوں سرکھات رکھن والے سارے پرورتناں دا گروپ اے۔ وقفہ (انٹرول) نوں 4-سمتاں وچ [[ٹرانسلیشن گروپ]] راہیں سرکھات ہندا اسانی نال دیکھیا جا سکدا اے۔ ہور پرورتن اوہ ہندے ہن جو وقفہ نوں سرکھات رکھدے ہن اتے ارجن نوں پھکس رکھدے ہن ۔ منکووسکی میٹرک نال جڑے بائِ[[لینیئر اکار]] دے دتے ہون تے, کلاسیکل گروپاں دی تھیوری (خاص کرکے تشریح) توں ڈھکویں گروپ دا پتہ چلدا اے۔ لنک کیتے آرٹیکل وچ, میٹرکس Φ دے نال η (اسدی میٹرکس پرستتی وچ) نوں پچھاننا چاہیدا اے۔ اس حوالہ وچ, ڈھکواں گروپ O(3,1) اے, جسنوں لورنٹز گروپ کیہا جاندا اے۔ اسدے ایلیمینٹاں نوں (ہوموجینیئس) لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں کیہا جاندا اے۔ ہور زیادہ بھوتکی موڑ نال ہور طریقے کھوجن لئی دیکھو [[لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں دیاں ڈیریویشناں]] ۔ آسان ترین لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں وچوں اک لورنٹز بوسٹ اے۔ اشارے وجوں, x-سمت وچ اک بوسٹ اسطراں حاصل کیتی جاندی اے؛ :<math> \begin{bmatrix} U'_0 \\ U'_1 \\ U'_2 \\ U'_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta \gamma&0&0\\ -\beta \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_0 \\ U_1 \\ U_2 \\ U_3 \end{bmatrix}, </math> جتھے :<math>\gamma = { 1 \over \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} }</math> نوں اک لورنٹز پھیکٹر کیہا جاندا اے, اتے :<math>\beta = { v \over c} \,.</math> ہندا اے| ہور لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں خالص روٹیشنل ہندیاں ہن, اتے اس کرکے O(3,1) دے سبگرپّ SO(3) دے [[ایلیمینٹ]] وی ۔ اک عام [[ہوموجینیئس]] لورنٹز ٹرانسپھورمیشن خالص بوسٹ اتے خالص روٹیشن دا گننپھل ہندی اے۔ اک انہوموجینیئس لورنٹز ٹرانسپھورمیشن سپیس اتے ٹائم وچ اک بدلاؤ راہیں ہوئی ہوموجینیئس ٹرانسپھورمیشن ہندی اے۔ خاص ٹرانسپھورمیشناں (پرورتن) اوہ ہندیاں ہن جو سپیس نردیشانکاں اتے ٹائم نردیشانکاں نوں ترتیب وار الٹا دندے ہن, جاں دوواں نوں (PT) ۔ منکووسکی سپیس وچ سارے دے سارے چارے [[ویکٹر]] لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں ماتحت اسے فارمولے مطابق بدل جاندے ہن ۔ منکووسکی ڈائگرام لورنٹز ٹرانسپھورمیشناں نوں سمجھاؤندا اے۔ == کارناتمک بنتر == [[File:World line.svg|250px|thumb|left|چار وکھرے کیتے ہوئے سیٹاں وچ اک گھٹنا دے پرتِ منکووسکی سپیسٹائیم دی سبڈویزن ۔ لائیٹ کون, خالص مستقبل, خالص بھوتدور, اتے ہور ستھان ۔ ووکیبولری {{cite book|ref=harv|last=Sard|first=R. D.|title=Relativistic Mechanics – Special Relativity and Classical Particle Dynamics|url=https://archive.org/details/relativisticmech0000sard|year=1970|publisher=W. A. Benjamin|location=New York|isbn=978-0-8053-8491-8}} توں لئی گئی اے۔]] ویکٹراں v = (ct, x, y, z) = (ct, r) نوں {{math|''c''²''t''² – ''r''²}} دے چنہ مطابق شرینیبدھّ کیتا جاندا اے۔ اک ویکٹر ٹائیملائیک ہندا اے جیکر {{math|''c''²''t''² > ''r''²}} ہووے, سپیسلائیک ہندا اے جیکر {{math|''c''²''t''² < ''r''²}}, اتے نلّ جاں لائیٹلائیک ہندا اے جیکر {{math|''c''²''t''² {{=}} ''r''²}} ہووے ۔ اسنوں η(v,v) دے چنہ دے شبداں وچ وی درسایا جا سکدا اے, پر سگنیچر اتے انحصار کردا اے۔ کسے وی ویکٹر دی گٹھ ساریاں ریفرنس فریماں وچ اوہی رہیگی, کیونکہ وقفہ ستھر رہندا اے۔ منکووسکی سپیس دی کسے گھٹنا اتے سارے نلّ ویکٹراں دا سیٹ اوس گھٹنا دی لائیٹکون رچدا اے۔ اک ٹائیملائیک ویکٹر v دتا ہون تے, اس نال جڑی ستھر ولوسٹی دی اک ورلڈلائین ([[دنیا ریکھا]]) ہندی اے, جسنوں منکووسکی ڈائگرام وچ اک سدھی ریکھا نال پیش کیتا گیا اے۔ اک وار وقت دی سمت چن لئی جان تے, ٹائیملائیک اتے نلّ ویکٹراں نوں ہور اگے کئی شرینیاں وچ وبھاجت کیتا (ونڈیا) جا سکدا اے۔ ٹائیملائیک ویکٹراں لئی ایہہ ہندا اے؛ * بھوکھ-سمت وچ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا اے ([[ویکٹر]] دا اگلا پاسہ تصویر وچ خالص مستقبل دی سمت وچ ہندا اے) اتے * بھوتکال-سمت وچ ٹائیملائیک ویکٹر ہندے ہن جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا اے (خالص بھوتدور) نلّ [[ویکٹر]] تن شرینیاں وچ فٹ ہندے ہن؛ * زیرو ویکٹر, جسدے کمپونینٹ کسے وی بیسس وچ (0,0,0,0) (ارجن) ہندے ہن * بھوکھ-سمت وچ نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ پوزیٹو ہندا اے (اپرلی لائیٹکون), اتے * بھوتکال-سمت نلّ ویکٹر جہناں دا پہلا کمپونینٹ نیگیٹو ہندا اے۔ (تھلے والی لائیٹکون) ۔ سپیسلائیک ویکٹر ہور کتے ہندے ہن ۔ ووکیبولری اس حقیقت توں اپجدی اے کہ سپیسلائیک وکھریاں ہوئیاں واقعے پرکاش توں تیز سفر دی منگ کرن والے ویکٹراں نال جڑیاں ہندیاں ہن, اتے اسلئی اک دوجی نوں متاثر نہیں کر سکدیاں ۔ سپیسلائیک اتے ٹائیملائیک دوویں اکٹھے ویکٹر کل 7 شرینیاں رکھدے ہن ۔ منکووسکی سپیس لئی اک اؤرتھونورمل بیسس لازمی طور تے اک ٹائیملائیک اتے تن سپیسلائیک یونٹ ویکٹراں نال بنیا ہندا اے۔ جیکر کوئی غیر-اؤرتھونورمل بیسساں نال کم کرنا چاہندا ہووے تاں ویکٹراں دے ہور میل رکھنے ممکن ہن ۔ اداہرن دے طور تے, اک نلّ بیسس کیہا جان والا سارے دے سارے نلّ ویکٹراں نال بنیا اک (نون-اؤرتھونورمل) بیسس اسانی نال رچیا جا سکدا اے۔ واستوکاں اپر, جیکر دو نلّ ویکٹر اؤرتھوگنل ہون (زیرو منکووسکی ٹینسر ملّ والے), تاں اوہ ضرور ہی انپاتک ہونے چاہیدے ہن ۔ پھیر وی, کمپلیکس نمبراں نوں آگیا دین تے, اک [[نلّ ٹیٹراڈ]] حاصل کیتا جا سکدا اے, جو نلّ ویکٹراں نال بنیا بیسس ہندا اے, جہناں وچوں کجھ ویکٹر آپس وچ اؤرتھوگنل ہندے ہن ۔ [[ویکٹر پھیلڈاں]] نوں ٹائیملائیک, سپیسلائیک جاں نلّ کیہا جاندا اے جیکر متعلق ہریک اوس نقطہ اتے ویکٹر ٹائیملائیک, سپیسلائیک جاں نلّ ہون جتھے فیلڈ نوں متاثر کیتا جاندا اے۔ === کالکرم مطابق اتے کارنتامک تعلق === منّ لؤ x, y ∈ M ہون ۔ اسیں کہہ سکدے ہاں؛ # x کالکرم مطابق (کرونوجیکلی) y توں اگے ہندا اے جیکر y – x بھوکھ-سمت والی ٹائیملائیک ہووے ۔ اس تعلق دی ٹرانزیٹو خاصیت ہندی اے اتے اسلئی اسنوں x < y لکھیا جا سکدا اے۔ # x کارناتمک طور تے (کیزئلی) y توں اگے ہندا اے جیکر y – x مستقبل دی سمت ول نلّ جاں بھوکھ-سمت والی ٹائیملائیک ہووے ۔ ایہہ سپیسٹائیم دا انشک کرم (پارشل اؤرڈرنگ) دندا اے اتے اس لئی اسنوں x ≤ y لکھیا جا سکدا اے۔ === الٹ تکون ابرابری === جیکر v اتے w دوویں بھوکھ-سمت وچ ٹائملائیک 4-ویکٹر ہون تاں نورم لئی (+ - - -) سائین (چنہ) پرمپرا وچ؛ :<math> \left\| v+w \right\| \ge \left\| v \right\| + \left\| w \right\| .</math> == ہور فارمولا سوتریکرناں نال تعلق == === سمتاں دی وکھری گنتی === سختی نال کہندے ہوئے, منکووسکی سپیس چار سمتاں وچ اک گنتک فارمولا سوتریکرن ول اشارہ کردی اے۔ پھیر وی, سمتاں دی کسے وی گنتی والی '''“منکووسکی سپیس”''' دے سامان اک رچنا لئی گنت نوں ودھایا جاں آسان کیتا جا سکدا اے۔ جیکر n ≥ 2 ہووے تاں n-سمتی منکووسکی سپیس n اصل [[سمت]] دی اک [[ویکٹر]] سپیس ہندی اے جس اتے سگنیچر (n − 1, 1) جاں (1, n − 1) دا اک ستھر لورنٹز میٹرک ہندا اے۔ ایہہ سرو عام کرن تھیوریاں وچ ورتے جاندے ہن جتھے سپیسٹائیم نوں 4-سمتاں توں زیادہ جاں گھٹ سمتاں والا سپیسٹائیم ہونا منیا جاندا اے۔ سٹرنگ تھیوری اتے M-تھیوری اجہیاں دو اداہرناں ہن جتھے n > 4 ہندا اے۔ [[سٹرنگ تھیوری]] وچ, کنپھورمل فیلڈ تھیوریاں 1 + 1 سپیسٹائیم سمتاں نال دسدیاں ہن ۔ === پدھری بنام وکرت سپیس === اک فلیٹ سپیس دے طور تے, منکووسکی سپیسٹائیم دے تن سپیشیئل (مقامی) کمپونینٹ (حصے) ہمیشاں [[پائیتھاگورس تھیورم]] دی پالنا کردے ہن ۔ منکووسکی سپیس سپیشل رلیٹیوٹی ([[سپیشل ریلیٹیوٹی]]) لئی اک مطابق بیسس اے, گریویٹیشن اہمیت بغیر سسٹماں وچ محدود دوری اتے بھوتکی سسٹماں دا اک ونگا تذکرہ اے۔ پھیر وی, گریوٹی نوں دھیان وچ رکھن لئی, بھوتک سائنسدان [[جنرل رلیٹیوٹی]] دی تھیوری ورتدے ہن, جو غیر-اقلیدسی جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) دے گنت نال سوتربدھّ کیتی گئی اے۔ جدوں اس جیؤمیٹری (جیؤمیٹری) نوں بھوتکی سپیس دے ماڈل وجوں ورتیا جاندا اے, تاں اسنوں کروڈ (وکرت) سپیس کیہا جاندا اے۔ کروڈ سپیس وچ وی, منکووسکی سپیس اجے وی کسے نقطہ (گریویٹیشنل سنگلرٹیاں توں بناں) دوآلے اک اتسوکھم کھیتر (انپھنٹیسیمل رجن) وچ اک چنگا تذکرہ اے۔ ہور مختصر کہندے ہوئے, اسیں کہندے ہاں کہ گریوٹی سپیسٹائیم دی موجودگی اک 4-سمتی وکرت مینیپھولڈ راہیں درسائی جاندی اے جسدے لئی کسے نقطہ پرتِ ٹینجینٹ (سمرد) سپیس اک چار-سمتی منکووسکی سپیس ہندی اے۔ اسطراں, منکووسکی سپیس دی بنتر اجے وی [[جنرل رلیٹیوٹی]] دے تذکرہ وچ ضروری ہو جاندی اے۔ == ایہہ وی دیکھو == {{div col|colwidth=25em}} * [[جنرل رلیٹیوٹی دے گنت نال جان-پچھان]] * [[منکووسکی پلین]] {{div col end}} == ٹپنیاں == {{حوالے|group=nb|2}} == نوٹس == {{حوالے|2}} == حوالے == *{{cite journal|ref=harv|last=Corry|first=L.|title=Hermann Minkowski and the postulate of relativity|journal=Arch. Hist. Exact Sci.|volume=51|issue=4|year=1997|doi=10.1007/BF00518231|pages=273–؛314|publisher=[[Springer-Verlag]]|issn=0003-9519|url=https://link.springer.com/article/10.1007٪2FBF00518231|subscription=yes}} *{{cite book|ref=harv|last1=Catoni|first1=F.|year=2008|title=Mathematics of Minkowski Space|url=https://archive.org/details/mathematicsofmin0000unse|series=Frontiers in Mathematics|publisher=[[Birkhuser Verlag]]|issn=1660-8046|location=Basel|isbn=978-3-7643-8613-9|doi=10.1007/978-3-7643-8614-6|display-authors=etal}} *{{cite book|ref=harv|last=Galison|first=P. L.|title=Minkowski's Space-Time: from visual thinking to the absolute world|series=Historical Studies in the Physical Sciences|volume=10|doi=10.2307/27757388|editor=R McCormach|publisher=[[Johns Hopkins University Press]]|year=1979|pages=85–؛121|jstor=27757388|subscription=yes|display-editors=etal}} *{{cite book|ref=harv|first1=D.|last1=Kleppner|authorlink1=Daniel Kleppner|first2=R. J.|last2=Kolenkow|authorlink2=Robert J. Kolenkow|title=An Introduction to Mechanics|year=1978|orig-year=1973|isbn=0-07-035048-5|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=London}} *{{cite book|ref=harv|last1=Landau|first1=L.D.|authorlink1=Lev Landau|last2=Lifshitz|first2=E.M.|authorlink2=Evgeny Lifshitz|title=The Classical Theory of Fields|series=Course of Theoretical Physics|volume=2|edition=4th|publisher=[[Butterworth–؛Heinemann]]|isbn=0 7506 2768 9|year=2002|orig-year=1939}} *{{cite book|ref=harv|last=Lee|first= J. M.|title=Introduction to Smooth manifolds|year=2003|publisher=|series=Springer Graduate Texts in Mathematics|isbn=0-387-95448-1|volume=218}} *{{cite book|ref=harv|last=Lee|first= J. M.|title=Riemannian Manifolds –؛ An Introduction to Curvature|year=1997|publisher=Springer Verlag|location=New York Berlin Heidelberg|series=Springer Graduate Texts in Mathematics|volume=176|isbn=978-0-387-98322-6}} *{{Citation|last=Minkowski|first=Hermann|authorlink=Hermann Minkowski|year=1907–1908|title=[[s:de:Die Grundgleichungen fr die elektromagnetischen Vorgnge in bewegten Krpern|Die Grundgleichungen fr die elektromagnetischen Vorgnge in bewegten Krpern]]|trans-title=The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse|pages=53–111}} *Wikisource translation: [[s:Translation:The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies|The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies]] *{{Citation|last=Minkowski|first=Hermann|year=1908–1909|title=[[s:de:Raum und Zeit (Minkowski)|Raum und Zeit]]|trans-title=Space and Time|journal=Physikalische Zeitschrift|volume=10|pages=75–88}} Various English translations on Wikisource: [[s:Translation:Space and Time|Space and Time]] * {{Citation|first=Charles W.|last=Misner|authorlink=Charles W. Misner|first2=Kip. S.|last2=Thorne|author2-link=Kip Thorne|first3=John A.|last3=Wheeler|author3-link=John A. Wheeler|title=[[Gravitation (book)|Gravitation]]|publisher= W. H. Freeman|date=1973|isbn=0-7167-0344-0}} *{{Cite book|ref=harv|last=Naber|first=G. L.|title=The Geometry of Minkowski Spacetime|url=https://archive.org/details/geometryofminkow0000nabe|year=1992|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=New York|isbn=0-387-97848-8}} *{{cite journal|ref=harv|first=J.|last=Nash|authorlink=John Forbes Nash|title=The Imbedding Problem for Riemannian Manifolds|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1956-01_63_1/page/20|journal=[[Annals of Mathematics]]|year=1956|volume=63|issue=1|pages=20–؛63|doi=10.2307/1969989|mr=0075639|jstor=1969989}} *{{cite book|ref=harv|last=Penrose|first=Roger|authorlink=Roger Penrose|year=2005|title=Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe|url=https://archive.org/details/roadtorealitycom0000penr|chapter=18 Minkowskian geometry|publisher=[[Alfred A. Knopf]]|isbn=978-0-679-45443-4}} *{{Citation|last=Poincar|first=Henri|authorlink=Henri Poincar|year=1905–1906|title=[[s:fr:Sur la dynamique de l’lectron (juillet)|Sur la dynamique de l’lectron]]|trans-title=On the Dynamics of the Electron|journal=Rendiconti del Circolo matematico di Palermo|volume=21|pages=129–176|doi=10.1007/BF03013466}} Wikisource translation: [[s:Translation:On the Dynamics of the Electron (جولائی)|On the Dynamics of the Electron]] *{{cite book|ref=harv|last=Sard|first=R. D.|title=Relativistic Mechanics – Special Relativity and Classical Particle Dynamics|url=https://archive.org/details/relativisticmech0000sard|year=1970|publisher=W. A. Benjamin|location=New York|isbn=978-0-8053-8491-8}} *{{cite book|ref=harv|last=Shaw|first=R.|year=1982|title=Linear Algebra and Group Representations|url=https://archive.org/details/linearalgebragro0000shaw|chapter= 6.6 Minkowski space, 6.7,8 Canonical forms pp 221–؛242|publisher=[[Academic Press]]|isbn=0-12-639201-3}} * {{Cite book|last=Walter|first=Scott A.|title=The Expanding Worlds of General Relativity |chapter=Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity |authorlink= |editor=Goenner, Hubert (ed.) |year=1999 |publisher=Birkhuser |location=Boston |isbn=0-8176-4060-6 |pages=45–؛86 |chapterurl=http://scottwalter.free.fr/papers/1999-mmm-walter.html |display-editors=etal}} *{{citation|last=Weinberg|first=S.|year=2002|title=The Quantum Theory of Fields|volume=1|isbn=0-521-55001-7|authorlink=Steven Weinberg|publisher=[[Cambridge University Press]]}} == باہری لنک == {{Commons category-inline|bullet=none|منکووسکی چتر}} *{{YouTube|C2VMO7pcWhg|Animation clip}} visualizing Minkowski space in the context of special relativity. *[https://web.archive.org/web/20150402140655/http://www.relativityscience.com/Minkowski_special_relativity_geometry.shtml The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space – Time Light Cone] {{Relativity}} {{Authority control}} {{DEFAULTSORT:منکووسکی سپیس}} [[گٹھ:فزکس اندر نظریئے]] [[گٹھ:جیؤمیٹری]] [[گٹھ:منکووسکی سپیس سپیسٹائیم| ]] [[گٹھ:لورنٹزیئن مینیفولڈ]] [[گٹھ:سپیشل رلیٹیوٹی]] [[گٹھ:فزکس]] [[گٹھ:ہرمن منکووسکی]] lhx9nxq0e0jq3rt9p6k772oyvsyigje 0 78782 712441 643560 2026-10-10T09:09:15Z PJ Geest 44951 Replace raster graph with SVG reconstruction: Integral Riemann sum.svg 712441 wikitext text/x-wiki [[فائل:Integral example.svg|thumb|A definite integral of a function can be represented as the signed area of the region bounded by its graph.]] {{Calculus|cTopic=Integration}} '''تکامل''' ریاضیات وچ اک اہ‏م تصور اے جو [[مشتق|تفرقی]] دے ہمراہ [[حسابان]] وچ اک اکبر عالج ا‏‏ے۔ حقیقی [[variable|متغیر]] د‏‏ی فنکشن ''f'' تے [[حقیقی عدد|حقیقی]] لکیر اُتے [[(interval (mathematics|وقفہ]] <math>\ [a,b]</math> دتا ہو، تاں '''واضح تکامل''' : <math>\int_a^b f(x)\,dx \, ,</math> غیر رسمی طور اُتے ''xy''-مسطح وچ اوہ مثبت/منفی نشانذدہ باقیماندہ علاقے دا [[area (geometry|رقبہ]] اے جو [[دالہ دا منحنی|دالہ ''f'' دے گراف]] تے عمودی لکایر ''x''&nbsp;= ''a'' تے ''x''&nbsp;= ''b'' دے درمیان ا‏‏ے۔ {{اصطلاح برابر| واضح <br /> غیرواضح <br /> قابلِ تکامل <br /> متکامل <br /> ساحہ<br /> اخرس <br /> صغاریہ<br /> تفریقیے | definite <br /> indefinite <br /> integrable <br /> integrand <br /> domain <br /> dummy <br /> infinitesimal <br /> differentials }} ''تکامل'' د‏‏ی اصطلاح تو‏ں مراد [[مشتق شکن]] ''F'' وی ہو سکدا اے جس دا [[مشتق]] دتی گئی فنکشن ''f'' ا‏‏ے۔ اس صورت وچ اسنو‏ں ''غیرواضح تکامل'' کہندے نيں، جدو‏ں کہ ایتھ‏ے اسيں ''واضح تکامل'' اُتے بحث کرن گے۔ کچھ لکھاری ''غیرواضح تکامل'' تے مشتق‌شکن وچ تمیز کردے نيں۔ تکامل دے اصول 17واں صدی دے آخر وچ [[گوٹفریڈ ویلہم لائبہور|لائبنز]] تے [[آئزک نیوٹن|نیوٹن]] نے علاحدہ اپنے طور اُتے کلیات کیتے سن ۔ [[حسابان دا بنیادی قضیہ|قضیہ بنیادی حسابان]] دے ذریعہ تکامل دا جوڑ [[تفریقی حسابان|تفرقی]] تو‏ں بندا اے: جے ''f'' اک استمری حقیقی-قدری فنکشن ہو جو [[وقفہ (ریاضی)|بند وقفہ]] <code dir="ltr">[''a'',&nbsp;''b'']</code> اُتے تعریف شدہ ہو، تاں جداں ہی ''f'' دا مشتق‌شکن ''F'' معلوم ہوئے گا، فنکشن ''f'' دا اس وقفہ اُتے تکامل ایويں دتا جائے گا: :<math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,</math> تکامل تے مشتق آساسی اوزار بن گئے نيں حسابان دے تے انہاں د‏‏ی سائنس تے [[انجینئری|ہندسہ]] وچ لاتعداد اطلاقیات نيں۔ تکامل د‏‏ی بامشقت ریاضیا‏تی تعریف [[برنہارڈ ریمان|ریمان]] نے دت‏ی۔ ایہ اک حدی طریقہ اے جس وچ [[curvilinear|منحنی لکیری]] علاقہ دا رقبہ تقرب کیتا جاندا اے، علاقے نو‏‏ں پتلی عمودی سِلاں وچ توڑ کر۔ انیہويں صدی وچ تکامل دے زیادہ ثقیف تصورات ظاہر ہونا شروع ہوئے، جتھ‏ے فنکشن د‏‏ی قسم تے جس ساحہ اُتے تکامل انجام دتا جائے نو‏‏ں جامع بنایا گیا۔ اک [[line integral|لکیری تکامل]] دو یا تن متغیراں د‏‏ی فنکشن دے لئی تعریف کیتا جاندا اے تے تکامل دے وقفہ <nowiki>[</nowiki>''a'',&nbsp;''b''<nowiki>]</nowiki> نو‏‏ں مسطح یا فضاء وچ دو نقطاں نو‏‏ں جوڑنے والی کسی خاص منحنی تو‏ں بدل دتا جاندا یے۔ [[surface integral|سطح تکامل]] وچ منحنی د‏‏ی جگہ سہ العباد فضاء وچ [[surface|سطح]] دا ٹکرا بدیل کے دتا جاندا ا‏‏ے۔ [[differential form|تفرقی ہئیتاں]] دے تکامل [[differential geometry|تفرقی ہندسیہ]] وچ بنیادی کردار کھیلتے نيں۔ ایہ جامع شکلاں پہلے فزکس د‏‏ی ضرورتاں پوری کرنے دے لئی اُبھراں تے ایہ کئی طبیعیاندی قوانین د‏‏ی کلیات وچ اہ‏م کردار ادا کردے نيں، نمایاں ً [[برقی حرکیات]] وچ ۔ تکامل دے کئی جدید تصورات نيں۔ انہاں وچ سب تو‏ں عام تکامل دا تصور تجریدی ریاضیا‏تی نظریہ اُتے اساس اے جسنو‏ں [[Lebesgue integration|لابیگ تکامل]] کہندے نيں تے جسنو‏ں [[Henri Lebesgue|ہنری لابیگ]] نے ترقیآیا۔ == تاریخ == === پیش حسابان تکامل === تکامل نو‏‏ں [[قدیم مصر]] تک (قریبا 1800 پہلے مسیح) تلاش کیتا جا سکدا ا‏‏ے۔ [[Moscow Mathematical Papyrus|ماسکو ریاضی البَردی]] تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ انہاں نو‏‏ں اہرام دے [[حجم]] دا کلیہ دا علم سی ۔ سب تو‏ں پہلا نظامیاندی طریقہ رقبہ تے حجم نکالنے دے لئی شکلاں نو‏‏ں لامتناہی تعداد وچ ایداں ٹکراں وچ توڑنا سی جنہاں دا رقبہ یا حجم معلوم ہُندا۔ اس طرح دے طریقے یونانیاں تے چینیاں نو‏‏ں معلوم سن ۔<ref>{{citation | last1=Shea | first1=Marilyn | title=Biography of Zu Chongzhi | date=May 2007 | url=http://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html | publisher=University of Maine | accessdate=9 January 2009 | archive-date=14 June 2010 | archive-url=https://web.archive.org/web/20100614000009/http://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html | dead-url=yes }}<br />{{Citation | last1=Katz | first1=Victor J. | title=A History of Mathematics, Brief Version | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-321-16193-2 | year=2004 | pages=125–126}}</ref> اس دے بعد اکبر قدم [[خلافت عباسیہ|عراق]] وچ [[اسلامی قرون وسطی وچ ریاضی|11 واں صدی کےاسلامی ریاضیدان]] [[ابن الہیثم|ابن الحیثم]] نے اپنی کتاب ''[[Book of Optics|کتابِ بصریات]]'' وچ اٹھایا، جو ہن الحیثم مسئلہ کہلاندا اے، جس وچ [[Quartic equation|درجہ چار د‏‏ی مساوات]] بندی ا‏‏ے۔ اس مسئلہ دے حل دے دوران، اس نے تکامل انجام دتا تاکہ [[paraboloid|مکافی مجسم]] دا حجم کڈ سک‏‏ے۔ [[mathematical induction|ریاضیا‏تی تحریض]] دے استعمال تو‏ں اس نے چوتھے درجہ تک دے [[کثیر الاسمی|کثیر رقمی]] دے تکامل دا کلیہ اخذ کیتا۔<ref name=Katz>Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3): 163–174 [165–9 & 173–4]</ref> چونکہ اوہ بصریات د‏‏ی کتاب لکھ رہیا سی، نہ کہ ریاضی کی، اس لئی اس نے 4 تو‏ں زیادہ درجہ دے [[کثیر رقمی]] دا جامع نتیجہ تحریر نئيں کیتا، جس تو‏ں بعض مورخین نو‏‏ں غلط فہمی ہوئی کہ الحیثم نو‏‏ں ایہ نتیجہ معلوم نہ سی ۔ اگلی اہ‏م پیش رفت 16واں صدی وچ ہوئی۔ [[Bonaventura Cavalieri|کیوالیری]] نے [[Cavalieri's principle|''method of indivisibles''|لاتقیسمً دے طریقہ]] تو‏ں تے [[پیر د فرما|فرمے]] نے جدید حسابان د‏‏ی بنیاد رکھنا شروع کيتی۔ 17واں صدی وچ [[Isaac Barrow|بیرو]] تے [[Evangelista Torricelli|تورسلی]] نے تکامل تے [[تفریقی حسابان|تفرق]] دے درمیان اتصال د‏‏ی طرف اشارے کیتے۔ === لائبنز تے نیوٹن === اگلی اہ‏م پیش رفت 17واں صدی وچ لائبنز تے نیوٹن نے [[حسابان دا بنیادی قضیہ]] دریافت ک‏ر ک‏ے کيتی۔ ایہ قضیہ تکامل تے تفرق دے درمیان اتصال بیان کردا ا‏‏ے۔ ایہ اتصال تے نسبتاً آسان تفرق دے طرائق، دا استحصال ک‏ر ک‏ے تکامل د‏‏ی حسابگری د‏‏ی جا سکدی ا‏‏ے۔ خاصاً ایہ قضیہ سانو‏ں مسائل د‏‏ی بہت وسیع جماعت نو‏‏ں حل کرنے د‏‏ی اجازت دیندا ا‏‏ے۔ اس دے علاوہ انہاں اصحاب نے جامع ڈھانچہ ترقیایا۔ اسنو‏ں صغاریہ حسابان دا ناں دتا گیا، جس تو‏ں فنکشن تے استمری ساحہ دا قطعی تحلیل ممکن ہويا۔ ایہ ڈھانچہ آخرکار جدید [[حسابان]] بن گیا تے تکامل د‏‏ی علامت لائبنز دے کم تو‏ں لی گئی ا‏‏ے۔ == اصطلاحیات تے علامات == جے کسی فنکشن دا تکامل ہو، تاں فنکشن نو‏‏ں ''قابلِ تکامل'' ا‏‏ے۔ جس فنکشن دے لئی تکامل کمپیوٹر کیتا جائے اس فنکشن نو‏‏ں ''متکامل'' کہندے نيں۔ جس علاقہ اُتے فنکشن دا تکامل کیتا جائے اس علاقہ نو‏‏ں ''تکامل دا ساحہ'' کہندے نيں۔ جے تکامل دا ساحہ نہ دتا گیا ہو، تاں اسنو‏ں غیرواضح تکامل کہندے نيں (جس دا ساحہ ہو اسنو‏ں واضح تکامل سمجھو)۔ جامع طور اُتے متکامل اک تو‏ں زیادہ متغیراں دا فنکشن ہو سکدا اے تے تکامل دا ساحہ رقبہ، حجم یا بالا بُعد علاقہ وی ہو سکدا اے تے نو‏‏ں تجریدی فضاء وی جس د‏‏ی عام معناں وچ کوئی ہندسیاندی ساخت نہ ہوئے۔ سادہ ترین صورت، اک حقیقی متغیر ''x'' د‏‏ی حقیقی-قدر فنکشن ''f''، وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> پر، ایويں تعبیر کيتی جاندی اے :<math>\int_a^b f(x)\,dx </math> نشان ∫ نمائندگی کردا اے تکامل کی؛ ''a'' زیراں حد اے تے ''b'' بالائی حد تکامل کی؛ فنکشن ''f'' متکامل اے، جس د‏‏ی تقویم کرنا اے جدو‏ں ''x'' وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> اُتے تبدیل ہُندا اے ؛ تے ''dx'' تکامل دا متغیر ا‏‏ے۔ صحیح ریاضیا‏تی علامت وچ متکامل تے ''dx'' دے درمیان وقفہ ڈالا جاندا اے (جداں کہ دکھایا گیا اے )۔ نظریہ دے مطابق تکامل دے متغیر ''dx'' د‏‏ی تفسیر مختلف ہُندی ا‏‏ے۔ مثلاً، اسنو‏ں سمجھیا جا سکدا اے محض علامت جس تو‏ں مراد اے ''x'' تکامل دا [[bound variable|اخرس متغیر]] اے، ریمان حاصل جمع وچ وزون دا عکس، ناپ (لابیگ تکامل وچ )، صغاریہ (غیر -معیاری تحلیل وچ ) یا آزاد ریاضیا‏تی مقدار: [[differential form|تفرقی ہئیت]]۔ == تعارف == تکامل کئی ممارسی صورت حالاں وچ ظاہر ہُندا ا‏‏ے۔ اک تالاب نو‏‏ں دیکھو۔ جے ایہ مستطیل اے، تاں اوہدی لمبائی، چوڑائی تے گہرائی تو‏ں اسنو‏ں پوار بھرنے دے لئی درکار پانی دا حجم جبر کیتا جا سکدا اے، اوہدی سطح دا رقبہ کڈیا جا سکدا اے (اسنو‏ں ڈھانپنے دے لئی) تے اس دے کناراں د‏‏ی لمبائی (اس دے گرد رسی لگانے دے لئی)۔ مگر جے ایہ بیضوی ہو گولی پیندے دے نال، تاں انہاں تمام مقداراں دے لئی تکامل نو‏‏ں پکارنا پڑے گا۔ ہو سکدا اے کہ ممارسی تقرب کافی ہو، مگر [[precision engineering|قطعی ہندسیہ]] دے لئی انہاں عناصر د‏‏ی صحیح تے بامشقت اقدار چاہیے ہُندیاں نيں۔ [[فائل:Integral approximations.svg|thumb|کبھے|Approximations to integral of &radic;''x'' from 0 to 1, with <span style="color:#fec200">■</span>&nbsp;5 right samples (above) and <span style="color:#009246">■</span>&nbsp;12 left samples (below)]] شروع کرنے دے لئی، اس منحنی <code dir="ltr">''y''&nbsp;=&nbsp;''f''(''x'')</code> نو‏‏ں دیکھو جو <code dir="ltr">''x''&nbsp;=&nbsp;0</code> تے <code dir="ltr">''x''&nbsp;=&nbsp;1</code> دے درمیان اے تے فرض کرو کہ <code dir="ltr">''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;√''x''</code> ا‏‏ے۔ :دالہ ''f'' دے تھلے کتنا رقبہ اے، 0 تو‏ں 1 تک وقفہ وچ ؟ تے اس (حالے نامعلوم) رقبہ نو‏‏ں ''f'' دا ''تکامل'' کہوئے۔ اس تکامل د‏‏ی علامت ایہ ہوئے گی :<math> \int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.</math> پہلے تقرب دے طور اُتے اکائی مربع اُتے نظر ڈالو جس د‏‏ی اطراف <code dir="ltr">''x''&nbsp;=&nbsp;0 </code> تو‏ں <code dir="ltr">''x''&nbsp;=&nbsp;1</code> تک تے <code dir="ltr">''y''&nbsp;=&nbsp;''f''(0)&nbsp;=&nbsp;0 </code> تو‏ں <code dir="ltr">''y''&nbsp;=&nbsp;''f''(1)&nbsp;=&nbsp;1</code> تک نيں۔ اس دا مربع قطعی 1 ا‏‏ے۔ تکامل د‏‏ی سچی قدر اس تو‏ں کچھ کم ہوئے گی۔ تقربی مستطیلاں د‏‏ی چوڑائی کم ک‏ر ک‏ے بہتر نتیجہ دے گا؛ تاں وقفہ نو‏‏ں پنج قدماں وچ طے کرو، تقربی نقطے 0، ¹⁄₅، ²⁄₅ تے اس طرح 1 تک۔ ہر قدم اُتے اک ڈبہ بٹھاؤ جس د‏‏ی اونچائی منحنی دا سجے والا کونا ہو، چنانچہ <code dir="ltr">√²⁄₅</code>، <code dir="ltr">√¹⁄₅</code> تے اس طرح <code dir="ltr">√1&nbsp;=&nbsp;1</code> تک۔ انہاں مستطیلاں دے رقبہ نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے، سانو‏ں تکامل دا بہتر تقرب ملدا اے، ناماً :<math>\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0.7497.\,\!</math> غور کرو کہ اسيں متناہی تعداد وچ ''f'' د‏‏ی اقدار بہ ضرب "اگلے دو تقربی نقطاں دا فرق" دا حاصل جمع لے رہے نيں۔ اسيں دیکھ سکدے نيں کہ تقرب ہن وی کافی زیادہ ا‏‏ے۔ زیادہ قدم استعمال ک‏ر ک‏ے تقرب بہتر ہوئے گی مگر قطعی نئيں ہوئے گی: پنج قدماں نو‏‏ں بارہ تو‏ں بدل کے سانو‏ں رقبہ تقرب 0.6203 ملدا اے جو بہت کم ا‏‏ے۔ کلیدی خیال ایہ اے کہ تقرب دے متناہی فرق ضرب متعلقہ فنکشن اقدار تو‏ں لامتناہی باریک د‏‏ی طرف جایا جائے یا ''[[infinitesimal|صغاریہ]]'' قدم۔ ''تکامل د‏‏ی حقیقی حسابگری'' دے لئی [[حسابان دا بنیادی قضیہ]] استعمال ہُندا اے، جو [[مشتق|تفرقی]] تے تکامل دے درمیان بنیادی ربط ا‏‏ے۔ [[مربع جذر]] فنکشن <code dir="ltr">''f''(''x'') = ''x''^1/2</code> اُتے اطلاق دے لئی ایہ کہندا اے کہ اس دا [[مشتق شکن]] <code dir="ltr">''F''(''x'')&nbsp;= ²⁄₃''x''^3/2</code> لو تے سادہ <code dir="ltr">''F''(1) &minus; ''F''(0)=2/3</code> تکامل دے جواب دے طور اُتے لے لو، جتھ‏ے 0 تے 1 تکامل دے وقفہ <code dir="ltr">[0,1]</code> د‏‏ی سرحداں نيں۔ منحنی دے تھلے قطعی رقبہ ایويں رسمی طور اُتے کمپیوٹر کیتا جاندا اے: :<math> \int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = \int_0^1 d \left( \frac {x^{\frac{3}{2}}} {\frac 3 2}\right) = \int_0^1 d \left({\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}}\right) = \left . {\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}} \right |_0^1 = {\textstyle \frac 2 3}</math> علامت (لمبا ''s'' جس تو‏ں مراد انگریزی 'sum' لفظ اے ) :<math> \int f(x) \, dx \,\! </math> تکامل نو‏‏ں بطور وزونی حاصل جمع بھانپتی اے، فنکشن <code dir="ltr">''f''(''x'')</code> د‏‏ی اقدار، بضرب صغاریہ قدم چوڑائی جسنو‏ں ''تفریقیے'' کہندے نيں تے ''dx'' د‏‏ی علامت تو‏ں لکھدے نيں۔ ضرب د‏‏ی علامت نئيں لکھی جاندت‏ی۔ تکامل د‏‏ی تعریف نو‏‏ں بامشقت بنانے دے لئی ریمان نے اسنو‏ں بطور وزونی حاصل جمع د‏‏ی [[حد (ریاضی)|حد]] تعریف کیتا، اس طرح ''dx'' تو‏ں مراد فرق (قدم د‏‏ی چوڑائی) د‏‏ی حد ا‏‏ے۔ {{اصطلاح برابر| تتمہ<br /> متوالیہ<br /> بٹوارہ| tag <br />sequence <br />partition }} == رسمی تعاریف == تکامل د‏‏ی رسمی تعریف دے کئی طرائق نيں، جو سب مطابقت نئيں۔ کچھ خاص صورتاں اک تعریف دے تحت قابل تکامل ہاں مگر دوسری دے نئيں۔ عام استعمال کیت‏‏ی تعاریف ریمان تکامل تے لابیگ تکامل نيں۔ === ریمان تکامل === ریمان تکامل نو‏‏ں فنکشن دے [[Riemann sum|رحمان حاصل جمع]] بلحاظ وقفہ دے ''تتمہ-ائی بٹوارہ'' دے معناں وچ تعریف کیتا حاندا ا‏‏ے۔ چلو <code dir="ltr">[''a'',''b'']</code> حقیقی لکیر دا [[وقفہ (ریاضی)|بند وقفہ]] ہو؛ فیر اس وقفہ <code dir="ltr">[''a'',''b'']</code> دا ''تتمہ-ائی بٹوارہ'' اک متناہی متوالیہ اے :<math> a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!</math> [[فائل:Integral Riemann sum.svg|thumb|کبھے|Integral approached as Riemann sum based on tagged partition, with irregular sampling positions and widths (max in red). True value is 3.76; estimate is 3.648.]] [[فائل:Riemann sum convergence.png|thumb|250px|کبھے|Riemann sums converging as intervals halve, whether sampled at <span style="color:#0081cd">■</span>&nbsp;right, <span style="color:#bc1e47">■</span>&nbsp;minimum, <span style="color:#009246">■</span>&nbsp;maximum, or <span style="color:#fec200">■</span>&nbsp;left.]] اس وقفہ <code dir="ltr">[''a'',''b'']</code> نو‏‏ں ''n'' ذیلی-وقفاں <code dir="ltr">[''x''_''i''−1, ''x''_''i'']</code> وچ تقسیم کردا اے جنہاں د‏‏ی فہرست ''i'' تو‏ں ظاہر کیت‏‏ی گئی اے تے انہاں وچو‏ں ہر نو‏‏ں اک ممتاز نقطہ <code dir="ltr">''t''_''i'' ∈ [''x''_''i''−1, ''x''_''i'']</code> تو‏ں 'تتمہ' کیتا گیا ا‏‏ے۔ فنکشن ''f'' دا ''ریمان حاصل‌جمع'' بلحاظ تمتہ بٹوارہ ایويں تعریف ہُندا اے: :<math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ; </math> چنانچہ حاصل جمع د‏‏ی ہر اصطلاح رقبہ اے مستطیل دا جس د‏‏ی اُونچائی فنکشن د‏‏ی ممتاز نقطہ اُتے قدر دے برابر اے تے چوڑائی اس ذیلی-وقفہ د‏‏ی چوڑائی ا‏‏ے۔ چلو <code dir="ltr">Δ_''i''&nbsp;= ''x''_''i''−''x''_''i''−1</code> ذیلی-وقفہ ''i'' د‏‏ی چوڑائی ہو؛ اس تتمہ بٹوارہ دا ''شیکہ'' انہاں وچو‏ں سب تو‏ں چوڑے ذیلی-وقفہ د‏‏ی چوڑائی اے، <code dir="ltr">max_{''i''=1…''n''}&nbsp;Δ_''i''</code>۔ فنکشن ''f'' دا وقفہ <code dir="ltr">[''a'',''b'']</code> اُتے ریمان تکامل برابر اے ''S'' دے جے : تمام &epsilon;&nbsp;&gt;&nbsp;0 دے لئی ایسا &delta;&nbsp;&gt;&nbsp;0 وجود رکھدا ہو کہ، وقفہ <code dir="ltr">[''a'',''b'']</code> دے کسی وی تتمہ بٹوارہ جس دا شیکہ &delta; تو‏ں کم ہو، ساڈے پاس ہو ::<math>\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \epsilon.</math> == خواص == === لکیری === * بند وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> اُتے قابلِ ریمان تکامل فنکشن‌ات دا مجموعہ [[سمتیہ فضا]] بناندا اے، عالجہ‌ات نقطہ وار جمع تے عددیہ تو‏ں ضرب دے تحت۔ تکامل دے عالجہ دے تحت ::<math> f \mapsto \int_a^b f \; dx</math> [[linear functional|لکیری دالہرا]] اے اس سمتیہ فضاء پر۔ چنانچہ، اول، قابلِ تکامل فنکشنات دا مجموعہ بند اے [[لکیری تولیف]] دے تحت؛ تے، دوم، لکیری تولیف دا تکامل لکیری تولیف اے تکاملات کا، ::<math> \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,</math> === تکامل دے لئی نامساوات === [[closed set|بند]] تے [[bounded set|محیط]] [[وقفہ (ریاضی)|وقفہ]] <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> اُتے قابلِ ریمان تکامل [[دالہ (ریاضیات)|دالہ‌ات]] دے لئی متعدد نامساوات سی متی نيں۔ * ''بالا تے زیراں حدود''۔ وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> اُتے قابلِ تکامل فنکشن لازماً اس وقفہ اُتے [[bounded function|محدود]] ہوئے گی۔ چنانچہ [[حقیقی عدد|حقیقی اعداد]] ''m'' تے ''M'' ہون گے تانکہ <code dir="ltr">''m'' ≤ ''f''&thinsp;(''x'') ≤ ''M''</code> تمام <math>x \in [a,b]</math> دے لئی۔ چونکہ وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> اُتے ''f'' دے نچلے تے اوپرلے حاصل جمع بالترتیب <code dir="ltr">''m''(''b'' &minus; ''a'')</code> تے <code dir="ltr">''M''(''b'' &minus; ''a'')</code> تو‏ں محدود ہون گے، اس تو‏ں ایہ معلوم ہُندا اے کہ :: <math> m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a). </math> * ''دالہ‌ات دے درمیان نامساوات''۔ جے وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> وچ تمام ''x'' دے لئی <code dir="ltr">''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'')</code> ہو، تاں فنکشن ''f'' دا اوپرلا تے نچلا حاصل جمع کم ہوئے گا بالترتیب ''g'' دے اوپرلے تے نچلے حاصل جمع تو‏ں، چنانچہ :: <math> \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. </math> * ''ذیلی وقفے۔'' جے <code dir="ltr">[''c'', ''d'']</code> ذیلی وقفہ ہو وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> دا تے <code dir="ltr">''f''(''x'')</code> غیر -منفی ہو تمام ''x'' دے لئی، تو :: <math> \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx. </math> * ''حاصل ضرب تے دالہ‌ات د‏‏ی مطلق قدراں۔'' جے ''f'' تے ''g'' دو فنکشنات نيں، تاں اسيں انہاں دے [[pointwise product|نقطہ وار حاصل ضرب]]، طاقتاں تے [[absolute value|مطلق قدراں]] نو‏‏ں ملاحظہ ک‏ر سکدے نيں: :: <math> (fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,</math> جے ''f'' وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> اُتے قابلِ ریمان تکامل ہو تاں ایہ |''f''| دے لئی وی سچ ہوئے گا تے: :: <math>\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx. </math> علاوہ ازاں، جے ''f'' تے ''g'' دونے قابلِ ریمان تکامل ہاں تاں ''g'' ²، ''f'' ² تے ''fg'' وی قابلِ ریمان تکامل ہون گے تے :: <math>\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). </math> :یہ نامساوات، جسنو‏ں [[Cauchy–Schwarz inequality|کاشی شوارز نامساوات]] کہ‏ے نيں، نظریہ [[Hilbert space|ہلبرٹ فضاء]] وچ اہ‏م کردار ادا کردی اے، چہاں کبھے ہتھ طرف د‏‏ی وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> اُتے دو مربع-قابلِ تکامل دالہ‌ات ''f'' تے ''g'' دے [[اندرونی حاصل ضرب فضا|اندرونی حاصل ضرب]] دے طور اُتے تشریح کيتی جاندی ا‏‏ے۔ * ''منکاؤسکی نامساوات۔'' فرض کرو کہ <code dir="ltr">''p'' ≥ 1</code> حقیقی عدد اے تے ''f'' تے ''g'' قابلِ ریمان تکامل فنکشن نيں۔ تاں فیر <code dir="ltr">|''g''|^''p''</code>، <code dir="ltr">|''f''|^''p''</code> تے <code dir="ltr">|''f'' + ''g''|^''p''</code>بھی قابلِ ریمان تکامل ہون گے تے درجِ ذیل منکاوسکی نامساوات ٹھیرے گی: :<math>\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq \left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} + \left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.</math> === رواج === اس قطعہ وچ ''f'' [[حقیقی عدد]]-قدر قابلِ ریمان تکامل [[دالہ (ریاضیات)|دالہ]] ا‏‏ے۔ وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> اُتے تکامل :<math> \int_a^b f(x) \, dx </math> متعرف اے جے <code dir="ltr">''a'' &lt; ''b''</code> ہوئے۔ اس دا مطلب اے کہ ''f'' دے اوپرلے تے نچلے حاصل جمع بٹوارہ <code dir="ltr">''a'' = ''x''₀ ≤ ''x''₁ ≤ . . . ≤ ''x''_''n'' = ''b''</code> جس د‏‏ی اقدار <code dir="ltr">''x''_''i''</code> ودھ رہی نيں، اُتے تقویم کیتے جاندے نيں۔ ہندسا‏تی معنی ایہ کہ تکامل "کبھے تو‏ں سجے" چلدا اے، وقفات <code dir="ltr">[''x''_{&thinsp;''i''}&thinsp;, ''x''_{&thinsp;''i''&thinsp;+1}]</code> اُتے ''f'' د‏‏ی تقویم کيتی جاندی اے جتھ‏ے فہرست وچ وڈا وقفہ فہرست وچ چھوٹے وقفہ دے سجے طرف پيا ہُندا ا‏‏ے۔ وقفہ دے کنارے ''a'' تے ''b'' نو‏‏ں ''f'' د‏‏ی [[تکامل د‏‏ی حداں]] کہیا جاندا ا‏‏ے۔ جے <code dir="ltr">''a'' &gt; ''b</code> ہو فیر وی تکامل تعریف کیتا جا سکدا اے: * تکامل د‏‏ی حداں نو‏‏ں پلٹنا۔ جے <code dir="ltr">''a'' &gt; ''b</code> ہو تاں تعریف کرو :: <math>\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx. </math> جے <code dir="ltr">''a''=''b</code> ہو تاں ایہ متقاضی کردا اے * صفر لمبائی دے وقفہ اُتے تکامل۔ جے ''a'' حقیقی عدد ہو تو :: <math>\int_a^a f(x) \, dx = 0. </math> * ''تکامل دے وقفات د‏‏ی جمعائی۔'' جے وقفہ <code dir="ltr">[''a'', ''b'']</code> دا [[element (mathematics)|عُنصر]] ''c'' ہو، تو :: <math> \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.</math> {{حوالے|2}} {{ریاضی مدد}} {{گٹھ کومنز|Integral functions}} [[گٹھ:ریاضی]] [[گٹھ:سائنس]] lz0cybjgtyv1ek3sui402sj62eoz0bq 0 91861 712440 683696 2026-10-09T21:50:14Z Kent Wang 45372 /* {{پرچم|پرتگال}} */ Nereid's Lake, Palácio Nacional de Queluz 03.jpg 712440 wikitext text/x-wiki '''سرکاری رہائشگاہ''' (Official residence) ایسی رہائشگاہ اے جتھ‏ے ریاست دے سربراہان، حکومت دے سربراہ، گورنر یا ہور اعلیٰ عہدے دار سرکاری طور اُتے رہائش پزیر نيں۔ == بین الاقوامی == === {{پرچم|اقوام متحدہ}} === * سٹن پلیس، مینہٹن (اقوام متحدہ دے سیکرٹری جنرل) == [[افریقا]] == === {{پرچم|بینن}} === * صدارتی محل === {{پرچم|بوٹسوانا}} === * اسٹیٹ ہاؤس (صدر) === {{پرچم|برکینا فاسو}} === [[تصویر:Palais Kossyam 2013.jpg|thumb|کوسیام محل اواگادوگو]] * کوسیام محل === {{پرچم|برونڈی}} === * کیریری صدارتی محل === {{پرچم|کیمرون}} === * یونٹی پیلس<ref name="Van Rawwings">{{cite web|last=Cameroon|first=Unity Palace|title=The Presidential Residence|url=http://www.prc.cm/indexen.php|work=All About the PRC|archiveurl=https://web.archive.org/web/20181225155309/https://www.prc.cm/fr/|archivedate=2018-12-25|access-date=2013-09-10|url-status=live}}</ref> === {{پرچم|کیپ ورڈی}} === * صدارتی محل === {{پرچم|وسطی افریقی جمہوریہ}} === * صدارتی محل === {{پرچم|چاڈ}} === * صدارتی محل === {{پرچم|کوموروس}} === * صدارتی محل === {{پرچم|جمہوری جمہوریہ کانگو}} === * کنشاسا صدارتی محل === {{پرچم|جمہوریہ کانگو}} === * برازاویلے صدارتی محل === {{پرچم|آئیوری کوسٹ}} === * صدارتی محل (صدر) === {{پرچم|جبوتی}} === * صدارتی محل === {{پرچم|استوائی گنی}} === * ملابو حکومت‏ی عمارت === {{پرچم|اریتریا}} === * اسماریا صدر دا دفتر === {{پرچم|ایتھوپیا}} === * قومی محل (صدر) * شاہی محل (وزیر اعظم) === {{پرچم|گیبون}} === * صدارتی محل === {{پرچم|گیمبیا}} === * اسٹیٹ ہاؤس (صدر) === {{پرچم|گھانا}} === * قلعہ اوسو (صدر) * گولڈن جوبلی ہاؤس موجودہ (صدارتی) رہائش گاہ === {{پرچم|جمہوریہ گنی}} === * [[صدارتی محل (جمہوریہ گنی)|صدارتی محل]] === {{پرچم|گنی بساؤ}} === * صدارتی محل === {{پرچم|کینیا}} === * [[اسٹیٹ ہاؤس (کینیا)|اسٹیٹ ہاؤس]] (صدر) === {{پرچم|لیسوتھو}} === * شاہی محل (بادشاہ) === {{پرچم|لائبیریا}} === * ایگزیکٹو مینشن (صدر) === {{پرچم|لیبیا}} === * باب العزیزیہ === {{پرچم|مڈغاسکر}} === * آوولوہا محل === {{پرچم|ملاوی}} === * سنجیکا محل (صدر) * نواں اسٹیٹ ہاؤس (صدر) === {{پرچم|مالی}} === * صدارتی محل === {{پرچم|موریتانیہ}} === * [[صدارتی محل (موریتانیہ)|صدارتی محل]] === {{پرچم|موریشس}} === * اسٹیٹ ہاؤس (صدر) * کلاریس ہاؤس (وزیر اعظم) === {{پرچم|مراکش}} === * شاہی محل، [[رباط (شہر)|رباط]] (مرکزی رہائش گاہ) === {{پرچم|موزمبیق}} === * صدارتی محل (صدر) === {{پرچم|نمیبیا}} === * [[اسٹیٹ ہاؤس نمیبیا|اسٹیٹ ہاؤس]] (صدر) === {{پرچم|نائجر}} === * صدارتی محل === {{پرچم|نائجیریا}} === * نائجیریا صدارتی کمپلیکس === {{پرچم|روانڈا}} === * اروگوریوو === {{پرچم|ساؤ ٹومے و پرنسپے}} === * صدارتی محل === {{پرچم|سینیگال}} === * جمہوریہ محل (صدر) === {{پرچم|سیچیلیس}} === * [[اسٹیٹ ہاؤس (سیچیلیس)|اسٹیٹ ہاؤس]] (صدر) === {{پرچم|سیرالیون}} === * [[اسٹیٹ ہاؤس (سیرالیون)|اسٹیٹ ہاؤس]] ([صدر) === {{پرچم|صومالیہ}} === * ولا صومالیہ (صدر) === {{پرچم|جنوبی افریقہ}} === * مالامبا، [[پریٹوریا]], (صدر) * یونین عمارتاں، [[پریٹوریا]] ([صدر) === {{پرچم|سوڈان}} === * صدارتی محل === {{پرچم|سوازی لینڈ}} === * لوزیتھا محل (بادشاہ) === {{پرچم|تنزانیہ}} === * [[اسٹیٹ ہاؤس (تنزانیہ)|اسٹیٹ ہاؤس]] (صدر) === {{پرچم|ٹوگو}} === * گورنر محل === {{پرچم|تونس}} === * کارتھیج محل === {{پرچم|یوگنڈا}} === * اسٹیٹ ہاؤس (صدر) === {{پرچم|زیمبیا}} === * اسٹیٹ ہاؤس (صدر) === {{پرچم|زمبابوے}} === * اسٹیٹ ہاؤس (صدر) == [[بر اعظم امریکا]] == === کیریبین === ==== {{پرچم|اینٹیگوا و باربوڈا}} ==== * گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) ==== {{پرچم|بہاماس}} ==== * [[گورنمنٹ ہاؤس, بہاماس|گورنمنٹ ہاؤس]] (گورنر جنرل) ==== {{پرچم|بارباڈوس}} ==== * [[گورنمنٹ ہاؤس, بارباڈوس|گورنمنٹ ہاؤس]] (گورنر جنرل) * الارو کورٹ (وزیر اعظم]) ==== {{پرچم|کیوبا}} ==== * کیوبا صدارتی محل ==== {{پرچم|ڈومینیکا}} ==== * [[گورنمنٹ ہاؤس, ڈومینیکا|گورنمنٹ ہاؤس]] (صدر) ==== {{پرچم|جمہوریہ ڈومینیکن}} ==== * قومی محل، جمہوریہ ڈومینیکن (صدر) ==== {{پرچم|گریناڈا}} ==== * گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) ==== {{پرچم|ہیٹی}} ==== * قومی محل (2010 دے زلزلے تو‏ں تباہ) ==== {{پرچم|جمیکا}} ==== * کنگ ہاؤس تے گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) * جمیکا ہاؤس ([وزیر اعظم دا دفتر) * وادی رائل (وزیر اعظم) ==== {{پرچم|سینٹ کیٹز}} ==== * گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) ==== {{پرچم|سینٹ لوسیا}} ==== * [[گورنمنٹ ہاؤس, سینٹ لوسیا|گورنمنٹ ہاؤس]] (گورنر جنرل) ==== {{پرچم|سینٹ وینسینٹ و گریناڈائنز}} ==== * گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) ==== {{پرچم|ٹرینیڈاڈ تے ٹوباگو}} ==== * صدر ہاؤس * سینٹ انس ڈپلومیٹک رہائش (وزیر اعظم) * وائٹ ہال (وزیر اعظم دا دفتر) * سرکاری رہائش گاہ (چیف سیکرٹری]) === شمالی امریکا === ==== {{پرچم|بیلیز}} ==== * بیلیز ہاؤس (گورنر جنرل) ==== {{پرچم|کینیڈا}} ==== متعدد ==== {{پرچم|کوسٹاریکا}} ==== * صدارتی ہاؤس، کوسٹاریکا (صدر) ==== {{پرچم|ایل سیلواڈور}} ==== * صدارتی ہاؤس، (صدر) ==== {{پرچم|گوئٹے مالا}} ==== * صدارتی ہاؤس ==== {{پرچم|ہونڈوراس}} ==== * محل "ہوزے سیسیلیو ڈیل ویلے" (صدر) ==== {{پرچم|میکسیکو}} ==== * لاس پینوس (صدر) ==== {{پرچم|نکاراگوا}} ==== * صدارتی محل ==== {{پرچم|پاناما}} ==== * گارزاس محل (صدر) ==== {{پرچم|ریاستہائے متحدہ امریکہ}} ==== وائٹ ہاؤس، واشنگٹن [[تصویر:WhiteHouseSouthFacade.JPG|thumb|وائٹ ہاؤس، واشنگٹن]] === جنوبی امریکا === ==== {{پرچم|ارجنٹائن}} ==== [[تصویر:Casa Rosada Buenos Aires.JPG|thumb|کاسا روسادا, [[بیونس آئرس]]]] * کاسا روسادا (صدر) * کونٹا دتی اولیووس (صدر د‏‏ی رہائش گاہ) * چپاڈمالال رہائش (موسم گرما ہاؤس) ==== {{پرچم|بولیویا}} ==== * کالاکوٹو محل (صدر) ==== {{پرچم|برازیل}} ==== [[تصویر:Palacio Alvorada commons.jpg|thumb|ایلوراڈا محل, [[براسیلیا]]]] * ایلوراڈا محل (صدر) ==== {{پرچم|چلی}} ==== * کوئی وی نئيں۔ صدر د‏‏ی اپنی ذا‏تی رہائش گاہ دا استعمال کردا ا‏‏ے۔ ==== {{پرچم|کولمبیا}} ==== * نارینو محل (صدر) ==== {{پرچم|ایکواڈور}} ==== * کارنڈیلٹ محل (صدر) ==== {{پرچم|گیانا}} ==== * [[اسٹیٹ ہاؤس, گیانا|اسٹیٹ ہاؤس]] (صدر) ==== {{پرچم|پیراگوئے}} ==== * مبوویروچا روگا (صدر) ==== {{پرچم|پیرو}} ==== * حکومت‏ی محل (پیرو) (صدر) ==== {{پرچم|سرینام}} ==== * صدارتی محل ==== {{پرچم|یوراگوئے}} ==== * سواریز رہائش (صدر) ==== {{پرچم|وینزویلا}} ==== * میرافلورس محل (صدر) == [[ایشیا]] == === وسط ایشیا === ==== {{پرچم|قازقستان}} ==== * اک اردو صدارتی محل (صدر) ==== {{پرچم|کرغیزستان}} ==== * وائٹ ہاؤس تے گورنمنٹ ہاؤس یا صدارتی محل ==== {{پرچم|تاجکستان}} ==== * صدارتی محل ==== {{پرچم|ترکمانستان}} ==== * ترکمنباسی محل (صدر) ==== {{پرچم|ازبکستان}} ==== * اقسارئے (صدر) === [[مشرقی ایشیاء]] === ==== {{پرچم|چین}} ==== [[تصویر:Zhongnanhai06.jpg|thumb|زونگنانہائی, [[بیجنگ]]]] * زونگنانہائی ===== {{پرچم|ہانگ کانگ}} ===== [[تصویر:GH facade.JPG|thumb|گورنمنٹ ہاؤس]] * [[گورنمنٹ ہاؤس, ہانگ کانگ|گورنمنٹ ہاؤس]] (چیف ایگزیکٹو) ==== {{پرچم|جاپان}} ==== [[تصویر:Kantei_PM_Japan_Residence.jpg|thumb|کندے, [[ٹوکیو]]]] * کوکیو، شاہی محل دے طور اُتے جانا اے (شہنشاہ) ==== {{پرچم|شمالی کوریا}} ==== * رئیونگسون رہائش (نیشنل ڈیفنس کمیشن دے چیئرمین) ==== {{پرچم|جنوبی کوریا}} ==== [[تصویر:Seoul Gyeongbokgung Blue House Bukhansan cropped.jpg|thumb|چیونگ وا دے, [[سیول]]]] * چیونگ وا دے (صدر) ==== {{پرچم|مکاؤ}} ==== * [[مکاؤ گورنمنٹ ہاؤس|گورنمنٹ ہاؤس]] (چیف ایگزیکٹو) ==== {{پرچم|منگولیا}} ==== * صدارتی محل ==== {{پرچم|جمہوریۂ چین}} ==== [[تصویر:Presidential-Palace-(Taipei).png|thumb|صدارتی عمارت, [[تائی پے]]]] * صدارتی عمارت (صدر) === [[جنوبی ایشیاء]] === ==== {{پرچم|افغانستان}} ==== * ارگ (صدر) ==== {{پرچم|بنگلہ دیش}} ==== * بنگابہابان (صدر) * گونوبہابان (وزیر اعظم) ==== {{پرچم|بھوٹان}} ==== * ڈچانچولنگ محل (بادشاہ) ==== {{پرچم|بھارت}} ==== [[تصویر:Rashtrapati Bhavan-2.jpg|thumb|راشٹرپتی بھون, [[نويں دہلی]]]] * راشٹرپتی بھون (صدر) ==== {{پرچم|مالدیپ}} ==== * مولیاگے (صدر) ==== {{پرچم|نیپال}} ==== * نارائینہیندی محل ([[بادشاہ]], سابقہ) ==== {{پرچم|پاکستان}} ==== ===== وفاقی ===== * [[ایوان صدر]] ([[صدر پاکستان|صدر]]) * وزیر اعظم ہاؤس ===== صوبائی ===== * '''[[بلوچستان]]''':<br />گورنر ہاؤس * '''[[خیبر پختونخوا]]''':<br />گورنر ہاؤس * '''[[پنجاب، پاکستان|پنجاب]]''':<br />گورنر ہاؤس * '''[[سندھ]]''':<br />فلیگ اسٹاف ہاؤس (گورنر) ==== {{پرچم|سری لنکا}} ==== * صدر ہاؤس (صدر) === [[جنوب مشرقی ایشیا]] === ==== {{پرچم|برونائی}} ==== [[تصویر:Istana-nurul-iman.jpg|thumb|آستانہ نور ایمان]] * آستانہ نور ایمان (سلطان) ==== {{پرچم|کمبوڈیا}} ==== * خمارندا محل (بادشاہ) ==== {{پرچم|مشرقی تیمور}} ==== * صدارتی رہائش (صدر) ==== {{پرچم|انڈونیشیا}} ==== [[تصویر:Merdeka Palace Changing Guard 2.jpg|thumb|آستانہ مردیکا, [[جکارتہ]]]] * آستانہ مردیکا، [[جکارتہ]] (صدر) ==== {{پرچم|لاؤس}} ==== * [[صدارتی محل (لاؤس)|صدارتی محل]] (صدر) ==== {{پرچم|ملائشیا}} ==== [[تصویر:Istana Negara KL 12 2007 019.jpg|thumb|آستانی نگارا]] ===== وفاقی ===== * آستانی نگارا، قومی محل وی کہیا جاندا اے ([[یانگ دی‌پرتوان آگونگ|بادشاہ]]) ==== {{پرچم|فلپائن}} ==== * مالاکانان محل، [[منیلا]] (صدر) ==== {{پرچم|سنگاپور}} ==== [[تصویر:Istana 20, Singapore, Jan 06.JPG|thumb|آستانہ سنگاپور]] * آستانہ سنگاپور (صدر) ==== {{پرچم|تھائی لینڈ}} ==== [[تصویر:Grand Palace in Bangkok – Chakri Mahaprasad Hall.jpg|thumb|گرینڈ پیلس، بینکاک]] * گرینڈ پیلس (بادشاہ، سرکاری طور اُتے لیکن رہائشی نئيں) ==== {{پرچم|ویتنام}} ==== * صدارتی محل === [[مغربی ایشیاء]] === ==== {{پرچم|آرمینیا}} ==== * صدارتی محل * #1 گورنمنٹ ہاؤس (وزیر اعظم) <ref>{{cite book|author=Beth Potter|title=Lonely Planet جارجیا, آرمینیا and آذربائیجان|publisher=Lonely Planet Publications|page=218}}</ref> ==== {{پرچم|آذربائیجان}} ==== * صدارتی محل ==== {{پرچم|بحرین}} ==== * رفاء محل (بادشاہ) ==== {{پرچم|قبرص}} ==== * [[صدارتی محل, (نیکوسیا)|صدارتی محل]] ==== {{پرچم|جارجیا}} ==== * صدارتی محل ==== {{پرچم|ایران}} ==== * بیت رہبری صدارتی محل(سپریم لیڈر ایران) ==== {{پرچم|عراق}} ==== * رضوانیہ محل: (صدر) * ریپبلکن محل: (وزیر اعظم) ==== {{پرچم|اسرائیل}} ==== [[تصویر:Julius Jacobs house.jpg|thumb|بیت اگہون, [[یروشلم]].]] * ''بیت ہاناسی'' (صدر) * ''بیت اگہون'' (وزیر اعظم) ==== {{پرچم|اردن}} ==== * رغدان محل ([بادشاہ) ==== {{پرچم|کویت}} ==== * سیف محل (امیر) ==== {{پرچم|لبنان}} ==== [[تصویر:Beiteddine Palace InnerCourtyard.jpg|thumb|بیت عدن محل]] * باعبدہ محل (صدر) * بیت عدن محل (صدر، موسم گرما) ==== {{پرچم|سلطنت عمان}} ==== * العالم شاہی محل ==== {{پرچم|قطر}} ==== * امیر دا محل (امیر) ==== {{پرچم|سعودی عرب}} ==== * ریاض قصر ملک عبد اللہ بن عبد العزیز (پادشاہ) ==== {{پرچم|شام}} ==== * صدارتی محل ==== {{پرچم|متحدہ عرب امارات}} ==== * صدارتی دیوان (صدر) ==== {{پرچم|يمن}} ==== * [[صدارتی محل (يمن)|صدارتی محل]] == [[یورپ]] == === {{پرچم|البانیہ}} === * صدارتی محل ترانا === {{پرچم|آسٹریا}} === [[تصویر:CIMG2973 bkanzleramt wien.jpg|thumb|بالہاوئسپیلس]] * ہوفبرگ امپیریل محل (صدر) * بالہاوئسپیلس (چانسلر) === {{پرچم|بیلاروس}} === * درازدے (صدر) === {{پرچم|بیلجیم}} === * شاہی محل (بادشاہ) === {{پرچم|بوسنیا تے ہرزیگووینا}} === * ایوان صدر د‏‏ی عمارت === {{پرچم|بلغاریہ}} === [[تصویر:Euxinograd-palace-benkovski.png|thumb|آکسینو گراڈ محل, [[بلغاریہ]]]] * لارگو (وزراء د‏‏ی کونسل) * آکسینو گراڈ محل (صدر) === {{پرچم|کروشیا}} === * ایوان صدر (صدر) === {{پرچم|چیک جمہوریہ}} === * پراگ قلعہ (صدر) === {{پرچم|ڈنمارک}} === [[تصویر:Copenhagen amalienborg seen from opera house.jpg|thumb|امیلنبورگ پیلس]] * گراستن محل (بادشاہ، موسم گرما د‏‏ی رہائش گاہ) * امیلنبورگ پیلس (بادشاہ، موسم سرما د‏‏ی رہائش گاہ) === {{پرچم|استونیا}} === * کاڈریورگ انتظامی عمارت (صدر) === {{پرچم|فنلینڈ}} === * [[صدارتی محل, ہیلسنک‏‏ی|صدارتی محل]] (صدر) === {{پرچم|فرانس}} === [[تصویر:Palais de l'Elysée Entrée.JPG|thumb|ایلیسی محل]] [[تصویر:Matignon gala.jpg|thumb|ہوٹل میٹگنن]] * ایلیسی محل (صدر) * ہوٹل میٹگنن (وزیر اعظم) === {{پرچم|جرمنی}} === [[تصویر:Villa Hammerschmidt Bonn Seite Adenauerallee 20080831.jpg|thumb|ولا ہیمرشمٹ]] ==== موجودہ ==== [[تصویر:Bundeskanzleramt from Reichstag.jpg|thumb|وفاقی چانسلری]] [[تصویر:Bundesarchiv B 145 Bild-001502, Bonn, Palais Schaumburg.jpg|thumb|شوامبرگ محل]] '''وفاقی''' * بیلیوو محل (صدر برلن رہائش گاہ) * ولا ہیمرشمٹ (صدر، بون دوسری رہائش گاہ) * جرمن چانسلری] (چانسلر برلن رہائش گاہ) * شوامبرگ محل (چانسلر، بون وچ دوسری رہائش گاہ) === {{پرچم|یونان}} === * صدارتی مینشن (صدر، سابقہ بادشاہ) * میکیموس مینشن (وزیر اعظم) === {{پرچم|ہنگری}} === [[تصویر:Buda--Castles01.jpg|thumb|بودا کیسل، بڈاپسٹ]] * سینڈور محل (صدر) === {{پرچم|آئس لینڈ}} === * بساستٹاڈیر (صدر) === {{پرچم|جمہوریہ آئرلینڈ}} === * اراس اچتارائین (صدر) === {{پرچم|اطالیہ}} === [[تصویر:Quirinale palazzo e obelisco con dioscuri Roma.jpg|thumb|کوئرینیل محل]] * کوئرینیل محل، [[روم]] (صدر) === {{پرچم|لٹویا}} === * ریگا قلعہ (صدر) === {{پرچم|لیختینستائن}} === * ویڈوز کیسل (پرنس) === {{پرچم|لتھووینیا}} === [[تصویر:Wilno – Pałac prezydencki.jpg|thumb|صدارتی محل]] * صدارتی محل === {{پرچم|لکسمبرگ}} === * گرینڈ ڈوسل محل (بادشاہ) === {{پرچم|مقدونیہ}} === * ولاووڈنو === {{پرچم|مالٹا}} === * سان انتون محل (صدر د‏‏ی سرکاری رہائش گاہ) === {{پرچم|مالدووا}} === * صدارتی محل === {{پرچم|موناکو}} === * پرنس دا محل ([پرنس موناکو) === {{پرچم|مونٹینیگرو}} === * صدارتی محل === {{پرچم|نیدرلینڈز}} === [[تصویر:Koninklijk Paleis Amsterdam.jpg|thumb|شاہی محل, ایمسٹرڈیم]] * شاہی محل (غیر ملدیاں شخصیتاں دے لئی سرکاری استقبالیہ محل) * ہوئس ٹن بوش (بادشاہ د‏‏ی سرکاری رہائش گاہ) === {{پرچم|ناروے}} === [[تصویر:Slottet oslo 2.jpg|thumb|شاہی محل, اوسلو]] * شاہی محل ([[اوسلو]]) === {{پرچم|پولینڈ}} === [[تصویر:Koniecpolski palace warszawa.jpg|thumb|صدارتی محل, وارسا]] * [[صدارتی محل, وارسا|صدارتی محل]] [[وارسا]] (صدر) === {{پرچم|پرتگال}} === [[تصویر:Palacio Ajuda Lisboa 6.JPG|thumb|200px|اجودا قومی محل, [[لزبن]].]] [[تصویر:Nereid's Lake, Palácio Nacional de Queluz 03.jpg|thumb|200px|کیولوز قومی محل]] * بیلیم محل (صدر) * سینٹ بینتو دے محل (وزیر اعظم) === {{پرچم|رومانیہ}} === * کیٹروسینی محل (صدر]) === {{پرچم|روس}} === [[تصویر:Grand Kremlin Palace, Moscow.jpg|thumb|گرینڈ کریملن محل]] * ماسکو کریملن (صدر) === {{پرچم|سربیا}} === [[تصویر:Predsednistvo.jpg|thumb|نوی دیور (نیا کورٹ)]] * نوی دیور (صدر) ==== سابقہ ==== * ستاری دوور (بادشاہ) === {{پرچم|سلوواکیہ}} === [[تصویر:Bratislava-grassalkovičov palác.jpg|thumb|گراسالکووچ محل]] * گراسالکووچ محل (صدر) === {{پرچم|سلووینیا}} === * [[صدارتی محل,]] لیوبلیانا === {{پرچم|ہسپانیہ}} === [[تصویر:Palacio Real de Madrid – 21.jpg|thumb|شاہی محل, میڈرڈ]] * شاہی محل، میڈرڈ (بادشاہ) === {{پرچم|سویڈن}} === ==== شاہی ==== [[تصویر:Royal-Palace-Stockholm.jpg|thumb|شاہی محل [[اسٹاک ہوم]]]] * شاہی محل سٹاکہوم (1754 دے بعد تو‏ں سرکاری رہائش گاہ، لیکن 1981 دے بعد تو‏ں زیادہ استعمال وچ نئيں) ==== وزیر اعظم ==== * سیگر ہاؤس (وزیر اعظم) === {{پرچم|سوئٹزرلینڈ}} === [[تصویر:Bundeshaus Bern 2009, Flooffy.jpg|thumb|وفاقی محل]] * وفاقی محل سوئٹزرلینڈ، برن === {{پرچم|ترکی}} === * باسباکانلک کونوتو (وزیر اعظم) * كانكايا کوسکو (صدر) ==== سابقہ ==== * [[توپ قاپی محل]] ([[سلطنت عثمانیہ]]، سابقہ، عجائب گھر) === {{پرچم|یوکرین}} === [[تصویر:Maryinsky Palace, residence of the Ukrainian President.JPG|thumb|مارینسکائی محل، کیف]] * مارینسکائی محل (صدر) === {{پرچم|برطانیہ}} === [[تصویر:Buckingham Palace, London, England, 24Jan04.jpg|thumb|بکنگھم پیلس، لندن]] * [[بکنگھم پیلس]] (الزبتھ دوم د‏‏ی سرکاری لندن رہائش گاہ) * [[ونڈسر کیسل]] (بادشاہ د‏‏ی سرکاری رہائش گاہ) * [[10 ڈاؤننگ سٹریٹ]] (وزیر اعظم) ==== علاقائی ==== * '''[[اینگویلا]]''':<br />[[گورنمنٹ ہاؤس, اینگویلا|گورنمنٹ ہاؤس]] ([[گورنر اینگویلا|گورنر]]) * '''[[برمودا]]''':<br />[[گورنمنٹ ہاؤس, برمودا|گورنمنٹ ہاؤس]] ([[گورنر برمودا|گورنر]]) * '''[[برطانوی ورجن جزیرے]]''':<br />[[گورنمنٹ ہاؤس, برطانوی ورجن جزیرے|گورنمنٹ ہاؤس]] ([[گورنر برطانوی ورجن جزیرے|گورنر]]) * '''[[کیمین جزیرے]]''':<br />[[گورنمنٹ ہاؤس, کیمین جزیرے|گورنمنٹ ہاؤس]] ([[گورنر کیمین جزیرے|گورنر]]) * '''[[فاک لینڈ جزیرے]]''':<br />[[گورنمنٹ ہاؤس (فاک لینڈ جزیرے)|گورنمنٹ ہاؤس]] ([[گورنر فاک لینڈ جزیرے|گورنر]]) * '''[[جبل الطارق]]''':<br />[[کانونٹ (جبل الطارق)|کانونٹ]] ([[گورنر جبل الطارق|گورنر]])<br />کانونٹ (وزیر اعلیٰ) * '''[[گرنزی]]''':<br />گورنمنٹ ہاؤس (لیفٹیننٹ گورنر) * '''[[جرزی]]''' :<br />[[گورنمنٹ ہاؤس, جرزی|گورنمنٹ ہاؤس]] (لیفٹیننٹ گورنر) * '''[[آئل آف مین]]''' :<br />[[گورنمنٹ ہاؤس, آئل آف مین|گورنمنٹ ہاؤس]] (لیفٹیننٹ گورنر) * '''[[مانٹسریٹ]]''':<br />[[گورنمنٹ ہاؤس, مانٹسریٹ|گورنمنٹ ہاؤس]] ([[گورنر مانٹسریٹ|گورنر]]) * '''[[پٹکیرن جزیرے]]''':<br />گورنمنٹ ہاؤس ([[گورنر پٹکیرن جزیرے|گورنر]]) * '''[[سینٹ ہلینا]]''':<br />پلانٹیشن ہاؤس ([[گورنر سینٹ ہلینا|گورنر]])<br />قلعہ * '''[[جزائر کیکس و ترکیہ]]''':<br />گورنمنٹ ہاؤس ([[گورنر جزیرے کیکس و ترکیہ|گورنر]]) === {{پرچم|ویٹیکن سٹی}} === [[تصویر:Watykan Plac sw Piora kolumnada Berniniego.JPG|thumb|اپوسٹولک محل، ویٹی کن]] * اپوسٹولک محل ([[پوپ]]) == اوقیانوسیہ == === {{پرچم|آسٹریلیا}} === ==== وفاقی ==== * گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) ==== علاقائی ==== * '''[[جزیرہ نارفوک]]''':<br />گورنمنٹ ہاؤس (ایڈمنسٹریٹر]) * '''[[شمالی علاقہ]]''':<br />[[گورنمنٹ ہاؤس, ڈارون|گورنمنٹ ہاؤس]] (ایڈمنسٹریٹر) * '''[[جزیرہ کرسمس]]''':<br />گورنمنٹ ہاؤس (ایڈمنسٹریٹر) * '''[[جزائر کوکوس]]''':<br />گورنمنٹ ہاؤس (ایڈمنسٹریٹر) === {{پرچم|کک جزیرے}} === * گورنمنٹ ہاؤس (ملکہ دا نمائندے) === {{پرچم|فجی}} === * گورنمنٹ ہاؤس (صدر) === {{پرچم|ناورو}} === * [[اسٹیٹ ہاؤس (ناورو)|اسٹیٹ ہاؤس]] (صدر) === {{پرچم|نیوزی لینڈ}} === * [[گورنمنٹ ہاؤس, ویلنگٹن|گورنمنٹ ہاؤس]] (گورنر جنرل) * [[گورنمنٹ ہاؤس, آکلینڈ|گورنمنٹ ہاؤس]] (گورنر جنرل، آکلینڈ رہائش گاہ) * وزیر اعظم ہاؤس (وزیر اعظم) ==== علاقائی ==== * '''[[ٹوکیلاؤ]]''':<br />گورنمنٹ ہاؤس (ایڈمنسٹریٹر) === {{پرچم|پاپوا نیو گنی}} === * گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) === {{پرچم|سامووا}} === * گورنمنٹ ہاؤس (چیف) === {{پرچم|سولومن جزیرے}} === * گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) === {{پرچم|ٹونگا}} === * [[شاہی محل, ٹونگا|شاہی محل]] (بادشاہ) === {{پرچم|تووالو}} === * گورنمنٹ ہاؤس (گورنر جنرل) === {{پرچم|وانواتو}} === * اسٹیٹ ہاؤس (صدر) == حوالے == {{حوالے}} [[گٹھ:سرکاری سکونت گاہاں]] [[گٹھ:عمارتاں و ساخات د‏‏ی فہرستاں]] [[گٹھ:کامنز گٹھ جس دا ربط ویکی ڈیٹا اُتے اے ]] 08zd3k14rjalx66mk3qqstpa4k5v4qd