Викиучебник ruwikibooks https://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0 MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Медиа Служебная Обсуждение Участник Обсуждение участника Викиучебник Обсуждение Викиучебника Файл Обсуждение файла MediaWiki Обсуждение MediaWiki Шаблон Обсуждение шаблона Справка Обсуждение справки Категория Обсуждение категории Полка Обсуждение полки Импортировано Обсуждение импортированного Рецепт Обсуждение рецепта Задача Обсуждение задачи TimedText TimedText talk Модуль Обсуждение модуля Event Event talk 0 35501 267059 267026 2026-05-17T03:43:00Z Leksey 3027 англ название 267059 wikitext text/x-wiki {{АОН Страница}} '''{{SUBPAGENAME}}''' (Руководство по производству полетов, Operations Manual (OM) англ.) — внутренний документ компаний [[АОН/Эксплуатант|эксплуатантов]]. Разрабатывается в обязательном порядке. Его объем и наполнение зависит от типа эксплуатанта (АОН, АР, коммерческий). [[АОН/ФАП-128|ФАП-128]] описывает струтуру РПП для эксплуатантов АОН с тяжелыми ВС (раздел IV) и структур для коммерческих эксплуатантов (раздел V.) ==Назначение== В ФАПах по сертификации разных видов эксплуатантов (на текущий момент это [[АОН/ФАП-494|ФАП-494]], ФАП-10, ФАП-147 (одноименный с ФАП-147 документ, но по сертификации эксплуатантов АОН)) упоминается о необходимости разработать такой документ. ==Нормативное определение РПП== {{Цитата|РПП это руководство, содержащее правила, инструкции и рекомендации для использования эксплуатационным персоналом при выполнении своих обязанностей|автор=Цитата из [[АОН/ФАП-128|ФАП-128]]}} ==Структура документа== Структура РПП для АОН (правда для того, что имеет взлетную массу больше 3500, но по факту используется и для ЛВС/СВС) описана в [[АОН/ФАП-128|ФАП-128]] (п. 4.10) 4.10. РПП должно содержать следующие элементы: *оглавление; *страницу учета поправок; *служебные обязанности, функции и субординацию руководящего и эксплуатационного персонала; *систему управления безопасностью полетов эксплуатанта; *систему руководства полетами; *правила в отношении минимального перечня исправного оборудования в случаях применения MEL; *производство полетов в нормальных условиях; *стандартные эксплуатационные процедуры; *метеорологические ограничения; *ограничения полетного и рабочего времени; *чрезвычайные ситуации в полете; *процедуры анализа авиационных происшествий и инцидентов; *квалификацию и подготовку персонала; *ведение учетной документации; *описание системы управления техническим обслуживанием; *процедуры обеспечения авиационной безопасности (где применимо); *эксплуатационные ограничения летно-технических характеристик; *использование и защита записей полетных данных бортового и речевого самописцев, в случаях, когда применяются самописцы; *обработку опасных грузов, в случаях, когда перевозятся опасные грузы. *метод установления абсолютных высот *Карты контрольных проверок *Программа контроля утомляемости *процедуры для обеспечения начала полета ==См. также== *[[АОН/Эксплуатант]] == Литература == * ICAO Doc 9376: Preparation of an Operations Manual * ICAO Annex 6: Operation of Aircraft, Appendix 2 - Contents of an Operations Manual; == Ссылки == ==Примечания== {{Примечания}} {{АОН}} d7bt2an89x5mud31pkx6zaj6j4ketcm 0 35514 267057 266997 2026-05-16T23:09:10Z Leksey 3027 Цитата со структурой ОР 267057 wikitext text/x-wiki {{АОН Страница}} '''{{SUBPAGENAME}}''' — полеты на аэростатах за деньги. Нормативный порядок выполнения таких полетов зависит от страны. == В России== {{Основная статья|АОН/Экскурсионный полет}} == США (FAA) == Для коммерческих полетов (for hire or compensation) в США необходимо наличие свидетельства коммерческого пилота аэростата<ref>{{Cite web|url=https://data.ntsb.gov/Docket/Document/docBLOB?ID=40447203&FileExtension=.PDF&FileName=Exhibit%201T%20FAA%20Presentation%20Malecha-Master.PDF|title=Commercial Balloon Operations}}</ref>. Это свидетельство также включает в себя полномочия пилота-инструктора. Среди документов FAA, касающихся аэростатов имеется порядок проверки кандидатов на коммерческого пилота<ref>{{Cite web|url=https://www.faa.gov/training_testing/testing/acs/commercial_lta_pts_18.pdf|title=Commercial Pilot Practical Test Standards for Lighter-Than-Air Category}}</ref> == Европа (EASA) == Необходима специальная отметка и подготовка по программе<blockquote>AMC1 BFCL.215(d)(2)(ii) Commercial operation rating ED Decision 2020/003/R REFRESHER COURSE (a) THEORETICAL KNOWLEDGE INSTRUCTION The 6 hours of theoretical knowledge instruction should include at least all of the following: ( 1) Evaluation of passengers: (i) assessment of fitness of passengers; (ii) criteria to decline to carry a passenger; and (iii) special factors for disabled or limited mobility passengers; (2) Passenger briefings: (i) use of briefing cards; (ii) pre-inflation briefing; (iii) pre-launch briefing; and (iv) pre-landing briefing; (3) Passenger embarkation: (i) procedures for safe embarkation; (ii) use of ground crew to assist with embarkation; (iii) positioning of passengers in the basket for weight, balance and management; and (iv) factors concerning passengers’ personal property; (4) Passenger care for landing: (i) use of seats where fitted; (ii) stowage of passengers’ personal equipment; and (iii) special factors in case of more than 19 passengers on board, in which case an additional crew member is required in accordance with point BOP.ADD.410 of Annex II (Part-BOP); (5) Emergency procedures: (i) fire in the air; (ii) fire on the ground; (iii) fuel system failures; (iv) deflation system failures; (v) fast landing; (vi) hard landing; and (vii) passenger incapacitation in flight; and (6) Documentation: (i) loading calculation; (ii) fuel calculation; (iii) completion of passenger manifest; and (iv) dealing with last-minute changes.</blockquote> == Operations manual (РПП) == Согласно пункта AMC2 BOP.ADD.200 Operations manual РПП состоит из следующих разделов: {{Цитата| (a) table of contents; (b) amendment control status and list of effective pages or paragraphs, unless the entire manual is reissued and the manual has an effective date on it; (c) duties, responsibilities, and succession of management and operating personnel; (d) description of the management system; (e) flight time limitations; (f) standard operating procedures; (g) weather limitations; (h) emergency procedures; (i) accident and incident considerations; (j) personnel qualifications and training; (k) record-keeping; (l) normal flight operations; (m) performance operating limitations; and (n) handling of dangerous goods, if applicable.}} ==См. также== *[[АОН/Экскурсионный полет]] == Ссылки == ==Примечания== {{Примечания}} {{АОН}} tiycozigx0yd4xqaljim5oc9bv9poof 267058 267057 2026-05-16T23:19:22Z Leksey 3027 267058 wikitext text/x-wiki {{АОН Страница}} '''{{SUBPAGENAME}}''' — полеты на аэростатах за деньги. Нормативный порядок выполнения таких полетов зависит от страны. == В России== {{Основная статья|АОН/Экскурсионный полет}} == США (FAA) == Для коммерческих полетов (for hire or compensation) в США необходимо наличие свидетельства коммерческого пилота аэростата<ref>{{Cite web|url=https://data.ntsb.gov/Docket/Document/docBLOB?ID=40447203&FileExtension=.PDF&FileName=Exhibit%201T%20FAA%20Presentation%20Malecha-Master.PDF|title=Commercial Balloon Operations}}</ref>. Это свидетельство также включает в себя полномочия пилота-инструктора. Среди документов FAA, касающихся аэростатов имеется порядок проверки кандидатов на коммерческого пилота<ref>{{Cite web|url=https://www.faa.gov/training_testing/testing/acs/commercial_lta_pts_18.pdf|title=Commercial Pilot Practical Test Standards for Lighter-Than-Air Category}}</ref> == Европа (EASA) == Необходима специальная отметка и подготовка по программе<blockquote>AMC1 BFCL.215(d)(2)(ii) Commercial operation rating ED Decision 2020/003/R REFRESHER COURSE (a) THEORETICAL KNOWLEDGE INSTRUCTION The 6 hours of theoretical knowledge instruction should include at least all of the following: ( 1) Evaluation of passengers: (i) assessment of fitness of passengers; (ii) criteria to decline to carry a passenger; and (iii) special factors for disabled or limited mobility passengers; (2) Passenger briefings: (i) use of briefing cards; (ii) pre-inflation briefing; (iii) pre-launch briefing; and (iv) pre-landing briefing; (3) Passenger embarkation: (i) procedures for safe embarkation; (ii) use of ground crew to assist with embarkation; (iii) positioning of passengers in the basket for weight, balance and management; and (iv) factors concerning passengers’ personal property; (4) Passenger care for landing: (i) use of seats where fitted; (ii) stowage of passengers’ personal equipment; and (iii) special factors in case of more than 19 passengers on board, in which case an additional crew member is required in accordance with point BOP.ADD.410 of Annex II (Part-BOP); (5) Emergency procedures: (i) fire in the air; (ii) fire on the ground; (iii) fuel system failures; (iv) deflation system failures; (v) fast landing; (vi) hard landing; and (vii) passenger incapacitation in flight; and (6) Documentation: (i) loading calculation; (ii) fuel calculation; (iii) completion of passenger manifest; and (iv) dealing with last-minute changes.</blockquote> == Operations manual (РПП) == Согласно пункта AMC2 BOP.ADD.200 Operations manual РПП состоит из следующих разделов: {{Цитата| (a) table of contents; (b) amendment control status and list of effective pages or paragraphs, unless the entire manual is reissued and the manual has an effective date on it; (c) duties, responsibilities, and succession of management and operating personnel; (d) description of the management system; (e) flight time limitations; (f) standard operating procedures; (g) weather limitations; (h) emergency procedures; (i) accident and incident considerations; (j) personnel qualifications and training; (k) record-keeping; (l) normal flight operations; (m) performance operating limitations; and (n) handling of dangerous goods, if applicable.}} ==См. также== *[[АОН/Экскурсионный полет]] == Ссылки == * [https://www.seguridadaerea.gob.es/en/ambitos/operaciones-aereas/operaciones-de-trabajos-aereos/operaciones-comerciales-con-globos-reg-2018-395 Business operations with Balloons] (ESP) ==Примечания== {{Примечания}} {{АОН}} ojb5bvhqkaawqmca0hlgsyiyn7kvr5u 267060 267058 2026-05-17T04:00:54Z Leksey 3027 Ссылки 267060 wikitext text/x-wiki {{АОН Страница}} '''{{SUBPAGENAME}}''' — полеты на аэростатах за деньги. Нормативный порядок выполнения таких полетов зависит от страны. == В России== {{Основная статья|АОН/Экскурсионный полет}} == США (FAA) == Для коммерческих полетов (for hire or compensation) в США необходимо наличие свидетельства коммерческого пилота аэростата<ref>{{Cite web|url=https://data.ntsb.gov/Docket/Document/docBLOB?ID=40447203&FileExtension=.PDF&FileName=Exhibit%201T%20FAA%20Presentation%20Malecha-Master.PDF|title=Commercial Balloon Operations}}</ref>. Это свидетельство также включает в себя полномочия пилота-инструктора. Среди документов FAA, касающихся аэростатов имеется порядок проверки кандидатов на коммерческого пилота<ref>{{Cite web|url=https://www.faa.gov/training_testing/testing/acs/commercial_lta_pts_18.pdf|title=Commercial Pilot Practical Test Standards for Lighter-Than-Air Category}}</ref> == Европа (EASA) == Необходима специальная отметка и подготовка по программе<blockquote>AMC1 BFCL.215(d)(2)(ii) Commercial operation rating ED Decision 2020/003/R REFRESHER COURSE (a) THEORETICAL KNOWLEDGE INSTRUCTION The 6 hours of theoretical knowledge instruction should include at least all of the following: ( 1) Evaluation of passengers: (i) assessment of fitness of passengers; (ii) criteria to decline to carry a passenger; and (iii) special factors for disabled or limited mobility passengers; (2) Passenger briefings: (i) use of briefing cards; (ii) pre-inflation briefing; (iii) pre-launch briefing; and (iv) pre-landing briefing; (3) Passenger embarkation: (i) procedures for safe embarkation; (ii) use of ground crew to assist with embarkation; (iii) positioning of passengers in the basket for weight, balance and management; and (iv) factors concerning passengers’ personal property; (4) Passenger care for landing: (i) use of seats where fitted; (ii) stowage of passengers’ personal equipment; and (iii) special factors in case of more than 19 passengers on board, in which case an additional crew member is required in accordance with point BOP.ADD.410 of Annex II (Part-BOP); (5) Emergency procedures: (i) fire in the air; (ii) fire on the ground; (iii) fuel system failures; (iv) deflation system failures; (v) fast landing; (vi) hard landing; and (vii) passenger incapacitation in flight; and (6) Documentation: (i) loading calculation; (ii) fuel calculation; (iii) completion of passenger manifest; and (iv) dealing with last-minute changes.</blockquote> == Operations manual (РПП) == Согласно пункта AMC2 BOP.ADD.200 Operations manual РПП состоит из следующих разделов: {{Цитата| (a) table of contents; (b) amendment control status and list of effective pages or paragraphs, unless the entire manual is reissued and the manual has an effective date on it; (c) duties, responsibilities, and succession of management and operating personnel; (d) description of the management system; (e) flight time limitations; (f) standard operating procedures; (g) weather limitations; (h) emergency procedures; (i) accident and incident considerations; (j) personnel qualifications and training; (k) record-keeping; (l) normal flight operations; (m) performance operating limitations; and (n) handling of dangerous goods, if applicable.}} ==См. также== *[[АОН/Экскурсионный полет]] == Ссылки == * [https://www.easa.europa.eu/en/document-library/easy-access-rules/online-publications/easy-access-rules-balloons?page=5 ANNEX II — BALLOON AIR OPERATIONS (Part-BOP)] * [https://www.seguridadaerea.gob.es/en/ambitos/operaciones-aereas/operaciones-de-trabajos-aereos/operaciones-comerciales-con-globos-reg-2018-395 Business operations with Balloons] (ESP) * [https://www.commercialballooning.org.uk/resources/CBA--Operations-Manual.pdf Ops Manual] (ENG) ==Примечания== {{Примечания}} {{АОН}} il5wsilnsfr8q76ktv6nlsi9mda7es2 0 35570 267063 266995 2026-05-17T04:26:32Z Leksey 3027 копивио https://library.by/portalus/modules/medecine/readme.php?subaction=showfull&id=1737305159&archive=1773611142&start_from=&ucat=& 267063 wikitext text/x-wiki {{Нарушение авторских прав|url=https://library.by/portalus/modules/medecine/readme.php?subaction=showfull&id=1737305159&archive=1773611142&start_from=&ucat=&}} По сравнению со всеми [[:w:Ранжирование методов защиты от вредных производственных факторов |другими средствами защиты]], у СИЗ есть важные особенности: # '''Исключительная, уникальная универсальность'''. Например, для защиты от [[:w:шум|шум]]а и [[:w:Пыль |пыли]] одни и те же [[:w:респиратор|респиратор]]ы и [[:w:Защитные наушники |наушники]] могут использоваться и [[:w:Горнорабочий очистного забоя|шахтёром]], добывающим [[:w:уголь|уголь]] на глубине более километра, и медицинским работником при лечении его коллег, больных силико[[:w:туберкулёз|туберкулёзом]]. # '''Низкая стоимость и простота применения''' (по сравнению со [[:w:средства коллективной защиты |средствами коллективной защиты]]). Например, расходы на закупку [[:w:Респираторы ШБ Лепесток#Эффективность респиратора ШБ-1 «Лепесток»|респираторов Лепесток-200]] с высокой декларируемой эффективностью для всех работников цеха могут быть многократно меньше стоимости одной лишь электроэнергии, израсходованной двигателями обеспыливающей [[:w:Вентиляция |вентиляционной системы]] того же цеха за одну смену<ref name="ОТиСС-2016" />. Проектирование, изготовление, установка, пусконаладочные работы, и техническое обслуживание [[:w:Вентиляция |обеспыливающего вентиляционного оборудования]] требует не только затрат средств, но и достаточно высокой [[:w:Компетентность|компетентности]] исполнителей. Закупка и раздача работникам ([[:s:Требования к выбору эффективных респираторов и к организации их применения#1910.134(k)|без их обучения]]) [[:w:Респираторы ШБ Лепесток#Декларируемая эффективность |высокоэффективных респираторов]] может выполняться кем угодно, и без какой-то [[:s:Требования к выбору эффективных респираторов и к организации их применения#1910.134(k)|подготовки]] и опыта в отношении индивидуальной защиты органов дыхания (по каталогу поставщика). В РФ, в отличие от развитых стран, специалистов по охране труда обычно не учат выбору и организации применения СИЗ. # [[File:Уши размер+.jpeg|thumb|right|240px|Стандартные чашки [[:w:Защитные наушники| наушников]] 65×41 мм, и уши разных размеров<ref name="Уши-1968" /> ]]'''Учёт индивидуальных особенностей рабочих'''. [[:w:Спецодежда |Спецодежду]] и [[:w:спецобувь |спецобувь]] подбирают по размеру и форме тела. В отличие от спецодежды для многих СИЗ это не очевидно. Начальники и снабженцы по личному опыту знают про подбор одежды и обуви, но вряд ли они (и даже рабочие) хорошо знают это о СИЗ. Респиратор-полумаска, соответствующая лицу по размеру, может не соответствовать ему по форме; но и при полном соответствии может неплотно прилегать к "гладкому" лицу, например, из-за отсутствия части зубов (прижимающих изнутри щеку к обтюратору маски), и [[Применение респираторов в промышленности#D. Особенности лица |по другим причинам]]. В результате между маской и лицом могут образовываться зазоры, через которые в органы дыхания будет поступать загрязнённый окружающий воздух. На выбор СИЗ органов слуха, вкладышей, влияют размер и форма слуховых каналов (Ø 3÷14 мм, поперечное сечение от эллиптического до щелевидного<ref name=Sataloff-1993>{{Книга|ссылка=https://archive.org/details/occupationalhear0000sata|автор=Joseph Sataloff, Paul L. Michael, Lawrence A. Vassalio|заглавие=Occupational Hearing Loss|год=1993|часть=Protector Types (Ear Canals and Earplugs)|язык=en|издание=2nd., rev. and expanded|место=New York, Basel, Hong Kong|издательство=Marcel Dekker, Inc|pages=418|allpages=839|серия=Occupational Safety and Health|isbn=0-8247-8814-1}}</ref>), у [[:w:Защитные наушники |наушников]] - размер ушей (см. рис.). В развитых странах [[:w:Проверка изолирующих свойств респираторов |закон требует проверять маски]] приборами, у каждого работника, а [[:w:Производственный контроль эффективности СИЗОС |аналогичные проверки противошумов]] пока выполняются ответственными [[:w:ru:Работодатель|работодателями]] добровольно<ref name="AIHA-2018" />. # [[File:Сорокин-2.jpg|thumb|220px|Чиновник [[:w:ru:Министерство труда и социальной защиты Российской Федерации|Минтруда]] и одновременно [https://miningwiki.ru/wiki/Ассоциация_СИЗ#Кадры глава АСИЗ].]] '''Государственная поддержка'''. В РФ всё связанное с регулированием, разработкой, выпуском, импортом, сертификацией, продажей и использованием СИЗ находятся [[:w:ru:Лоббизм в России |под сильным влиянием]] созданной в 2001 году при поддержке [[:w:Министерство труда и социальной защиты Российской Федерации |Минтруда РФ]] "[[:w:Лоббизм_в_России#АСИЗ|Ассоциации разработчиков, изготовителей и поставщиков средств индивидуальной защиты]]". Много лет её возглавлял [https://miningwiki.ru/wiki/Ассоциация_СИЗ#Кадры |Ю.Г. Сорокин]], руководитель Департамента условий и охраны труда ([[:w:ru:Министерство труда и социальной защиты Российской Федерации|Минтруда]]), и сначала он руководил [https://miningwiki.ru/wiki/Ассоциация_СИЗ АСИЗ] и Департаментом одновременно. Потом к нему присоединился начальник отдела политики охраны труда Департамента В. Б. Преображенский. # '''Слишком частое использование.''' Существуют [[:w:Ранжирование методов защиты от вредных производственных факторов |разные способы защиты]] от опасных и [[:w:ru:Вредный производственный фактор |вредных производственных факторов]], но в пост-советский период сформировался сильный "перекос": в условиях крайне низкой ответственности за сбережение жизни и здоровья рабочих<ref name="ОТС-2016" /><ref name="волк" /> (для сравнения см.<ref name="Басов-1974" />) [[:w:ru:Работодатель|работодатели]] предпочитают использовать дешёвые и простые СИЗ<ref name="Беляков-06-2015" />. Например, [[:w:Социальный фонд России |Фонд социального страхования (ФСС), Социальный фонд]] разрешает [[:w:ru:работодатель|работодателям]] использовать часть страховых отчислений в фонд для профилактики страховых случаев (утраты [[:w:трудоспособность|трудоспособности]]). Обычно стоимость СИЗ гораздо меньше, чем [[:w:средства коллективной защиты |средств коллективной защиты]]. В 2021 году работодатели потратили (из средств фонда) на закупку СИЗ примерно в 240 раз больше денег, чем на улучшение условий труда<ref name="ФСС-2022" />. # '''Неопределённость, нестабильность и неизвестность фактической степени защиты рабочих'''. При использовании [[:w:средства коллективной защиты |средств коллективной защиты]] можно определить условия труда на [[:w:ru:Рабочее место|рабочем месте]], измерить воздействие [[:w:ru:Вредный производственный фактор |вредных производственных факторов]] и оценить степень их опасности. А при использовании некоторых СИЗ невозможно сказать, насколько хорошо или плохо защищён '''конкретный работник'''. Например, при проведении трудоёмких и дорогостоящих научных исследований [[:w:Производственные испытания респираторов |для определения коэффициентов защиты СИЗОД]] велика погрешность измерений т. н. "средней" концентрации вредных веществ во вдыхаемом воздухе<ref name="Капцов-2016" />. Но большинство работодателей и эти замеры провести не сможет. При использовании СИЗ органов слуха, вкладышей из пористых сжимаемых материалов, по мнению специалиста Р. Хоуи<ref name="Howie-2" />: "... Следует считать, что работник не защищён <small>''(от шума)''</small> вообще, пока [[:w:Производственный контроль эффективности СИЗОС |замеры на рабочем месте]] не покажут иное"<ref name="Howie-1" />. Большинство разнообразных методов сертификационного тестирования одежды, защищающей от химических веществ, не даёт никакого представления о степени и длительности защиты в производственных условиях на практике<ref name="ХимЗащОдежда-2017" />. Использование реакции работника на [[:w:Обоняние|появление запаха]] ядовитого газа в маске противогаза для [[:w:Способы замены противогазных фильтров респираторов |замены фильтров]] - ненадёжно, и потому запрещено во всех развитых странах. В РФ поставщики СИЗОД никаких других способов потребителям не дают. Неопределённость в отношении того, произойдёт ли десорбция токсичных газов при повторном использовании фильтров побудила ограничивать их использование<ref name="Капцов-2022" />, в РФ наличие проблемы замалчивается. Низкая / высокая температура (интенсивное тепловое излучение), коррозионно-активная атмосфера могут ухудшить защиту и даже разрушить СИЗ<ref name="Сорокин-2007-5" />. СИЗОД могут вызвать воспламенение во [[:w:Взрывозащита|взрывоопасной атмосфере]]. # '''Возможная ложная иллюзия защиты.''' Работодатели выдают работникам сертифицированные СИЗ, показавшие своё соответствовие действующим требованиям при сертификации и испытаниях по разработанным специалистами методам (стандартам) в [[:w:Аккредитация|аккредитованных]] лабораториях. Соответственно, недостаточно компетентные работодатели, рабочие и даже специалисты по гигиене и охране труда могут ошибочно полагать, что использование таких СИЗ обеспечивает защиту рабочих. Но эффективность СИЗ на практике может быть совершенно иной, и недостаточная информированность работающих на производстве (плюс замалчивание поставщиками наличия серьёзных проблем) ''может даже увеличивать опасность''<ref name="Денисов-2013" /><ref name="CCOHS-2025" />. Например, в<ref name="Suruda-2003" /> упомянуты случаи, когда три работника использовали противогазы, а маски [[:w:Способы проверки изолирующих свойств респираторов|неплотно прилегали к лицам]], а ещё двое полагались на фильтрующие СИЗОД при работе в [[:w:Концентрация вредных веществ, мгновенно-опасная для жизни или здоровья|опасной атмосфере с недостатком кислорода]]. При высококачественных подготовке, обучении и тренировке работников, ''а также при отсутствии СИЗ'' они бы остались живы. # '''Негативное влияние на работника и его работоспособность'''. Применение разных СИЗ, а также более чем одного средства защиты, может привести к воздействию на работника разных неблагоприятных факторов: повышение сопротивления дыханию; уменьшение подвижности; давление на голову; ухудшение газообмена при дыхании; уменьшение [[:w:Поле зрения|поля зрения]]; ухудшение восприятия акустической информации; перегрев из-за ухудшения теплоотдачи метаболического тепла в окружающую среду и другие<ref name="Буянов-1974" /><ref name="Полоний-1980" />. СИЗ органов дыхания и слуха могут мешать общению, что снижает [[:w:производительность труда]] и увеличивает количество ошибок<ref name="ГОЧС-7-2006" />. В условиях [[:w:Сдельная система оплаты труда|сдельной оплаты труда]] (и других часто используемых схожих способов стимулирования) это мотивирует рабочих не использовать СИЗ своевременно. В зависимости от температуры окружающего воздуха, применение СИЗ ухудшает работоспособность, для оценки которой могут использоваться разные показатели (мышечная сила, статическая выносливость, способность к динамической работе, способность к тонкой координации движений, биоэлектрическая активность мышц (показатель утомления), потребление кислорода)<ref name="Буянов-2001-" />. На основе изучения негативного влияния СИЗ рекомендовали относить работу, требующую применения респиратора, к более тяжёлой категории<ref name="Буянов-1974" />. Ухудшение физиологического состояния организма могло приводить к тому, что люди срывали с себя противогаз. Даже лёгкие фильтрующие полумаски (10-15 грамм) задерживают у лица непригодный для дыхания воздух при выдохе, заставляя вдыхать его повторно. Из-за этого концентрация вредного вещества, [[:w:Диоксид углерода |углекислого газа]], может превышать 4%<ref name="Sinkule-2013" /> при [[:w:ПДКр.з.|максимально разовой ПДК]] 1,4% (27 г/м³<ref name="ГН-2-2-5-3532-18" />). # '''Низкая профилактическая эффективность'''. Опыт показал, что выдача СИЗ - наихудший и самый неэффективный способ сберечь жизнь и предотвратить ухудшение здоровье рабочих по сравнению с [[:w:Ранжирование методов защиты от вредных производственных факторов |любым другим способом]]. СИЗ должны использоваться лишь когда [[:w:средства коллективной защиты |средства коллективной защиты]] оказались недостаточно эффективны<ref name="ACGIH-28" />. В Конвенции 148<ref name="Конвенция148" /> [[:w:Международная организация труда |Международной организации труда]], ратифицированной РФ, статьи 9 и 10 прямо и однозначно требуют в первую очередь улучшать [[:w:Гигиенические нормирование#Классы (подклассы) труда|условия труда]], и использовать СИЗ лишь при невозможности снизить вредное воздействие до допустимого. Из-за неэффективной политики [[:w:ru:Министерство труда и социальной защиты Российской Федерации|Минтруда]] доля [[:w:ru:Рабочее место|рабочих мест]] с вредными и опасными условиями труда за 1996-2014 гг. выросла с 17 до 39,7% ([[:w:Федеральная служба государственной статистики |Росстат]]<ref name="Росстат-2016" />). Рост доли рабочих мест с опасными для здоровья условиями труда привёл к тому, что, по данным [[:w:Измеров, Николай Федотович |академика Н. Ф. Измерова]]<ref name="Измеров-2008">{{Книга|ссылка=https://library.by/portalus/modules/medecine/readme.php?subaction=showfull&id=1771522810&archive=&start_from=&ucat=& |автор=Измеров Н.Ф.|часть= Перспективные пути реализации охраны здоровья работающего населения в ближайшее десятилетие|заглавие= Материалы III Всероссийского съезда врачей-профпатологов |издание= 24-26 сентября 2008 |ответственный= [[:w:Измеров, Николай Федотович|Измеров Н.Ф.]] и др. отв. ред.|год=2008|место= Новосибирск |издательство= Югус-Принт|isbn=5-87545-113-1 |страницы= 8-21 |страниц=596|тираж=1000}} [https://ohranatruda.ru/fond/fail_obmen/106/617058/ копия]</ref> и [[:w:Медведев, Дмитрий Анатольевич |Д. Медведева]]<ref name="ПЗ-2007" /> уже в 2007 году ежегодно умирало около 190 тыс. человек - хотя продажа СИЗ в 2001-2017 гг. выросла в 7 раз<ref name="Сорокин-2018" />. При использовании СИЗ для защиты от токсичных химических и/или [[:w:Радиоактивный распад|радиоактивных веществ]], в газообразном состоянии и/или в виде аэрозолей, и от опасных микроорганизмов, недостаточное внимание к [[:w:ru:Дегазация (оружие)|дегазации]], обеспыливанию, [[:w:ru:Дезинфекция|дезинфекции]], [[:w:ru:Дезактивация|дезактивации]], может сделать СИЗ переносчиком загрязнений в чистые места, вторичным источником опасного загрязнения воздуха и помещений<ref name="Щербаков-1976" />. == Источники == {{примечания|refs= <ref name="ОТиСС-2016">{{статья|автор=[[:w:ru:Капцов, Валерий Александрович|В. Капцов]], А. Филин|заглавие=СИЗ - не панацея|ссылка= http://www.otiss.ru/links/arhiv_otiss_2016.html|автор издания=Группа изданий «Охрана труда и социальное страхование»|издание=Охрана труда и социальное страхование|место=Москва|год=2016|номер=8|страницы=74—79|issn=0131-2618}}</ref> <ref name="Уши-1968">{{Книга|ссылка= https://archive.org/details/DTIC_AD0670869 |автор=Milton Alexander, Lloyd L. Laubach|заглавие=Anthropometry of the human ear. A photogrammetric study of USAF flight personnel|год=1968|язык=en|место=Wright-Patterson Air Forse Base, Ohio|издательство=Aerospace Medical Research Laboratories|allpages=38|серия=AMRL-TR-67-203}}</ref> <ref name="AIHA-2018">{{Книга|ссылка=https://www.aiha.org/education/marketplace/noise-manual-6th-edition|автор=Elliott H. Berger & Jérémie Voix|часть=Chapter 11. Hearing Protection Devices|заглавие=The Noise Manual|издание=6th ed|ответственный=D.K. Meinke, E.H. Berger, R. Neitzel, D.P. Driscoll & K. Bright eds|год=2020|язык=en|место=Falls Church|издательство=American Industrial Hygiene Association|ссылка часть=https://online-ams.aiha.org/amsssa/ecssashop.show_product_detail?p_mode=detail&p_product_serno=2719|страницы=257|страниц=621}}</ref> <ref name="ОТС-2016">{{Статья|автор=Елена Медынцева|заглавие=За смерть строителя никто не платит и никто не отвечает|ссылка=http://ancb.ru/publication/read/2247|издание=Охрана труда и техника безопасности в строительстве|год=2016|месяц=4|номер=4|страницы=32—34|автор издания=ИД "Панорама"|место=Москва|издательство=Стройиздат|archivedate=2019-08-30|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190830104233/http://ancb.ru/publication/read/2247}} ISSN 2074-8795 (первая публикация в: «Агентство Новостей „Строительный Бизнес“») Цитата: "... иногда инспекторы договариваются со следователями – и несчастный случай просто исчезает ... судьи в принципе не понимают, как нужно разбирать эти дела в условиях изменившегося законодательства ... есть уже 9 случаев, когда пострадавшие отказывались судиться с застройщиком - боялись потерять работу ... истцы очень часто просят выплатить компенсацию, но не просят выплатить ущерб от утраты работоспособности - зачастую просто не знают об этом ..." </ref> <ref name="волк">{{Статья|автор=Рябов А.А.|заглавие=Юлия Волк: "Под контролем женщины порядка больше"|ссылка=https://www.btpnadzor.ru/archive/yuliya-volk-pod-kontrolem-zhenshchiny-poryadka-bolshe|язык=ru|издание=Безопасность труда в промышленности|год=2010|месяц=март|число=1|номер=3|страницы=12-15|автор издания=Федеральная служба по экологическому, технологическому и атомному надзору (РОСТЕХНАДЗОР); Закрытое акционерное общество «Научно-технический центр исследований проблем промышленной безопасности» (ЗАО НТЦ ПБ)|место=Москва|издательство=ЗАО "Алмаз-Пресс"}} ISSN 0409-2961 [https://www.elibrary.ru/item.asp?id=13081135 PDF] Цитата: "... Что это за наказание? На предприятии иной нарушитель смеётся над нашим наказанием. Говорит: дайте мне десять квитанций, а сразу же весь штраф вперёд оплачу, и буду делать по-своему! Тут даже суд бессилен. ... В каком случае возможна дисквалификация? Она отвечает: "Ну, для этого надо похоронить не меньше пяти-семи человек!" ... " </ref> <ref name="Басов-1974">{{статья|автор=|заглавие= Всё зависит от нас самих|автор издания=Государственный Комитет по надзору за безопасным ведением работ в промышленности и горному надзору при Совете Министров СССР|издание=Безопасность труда в промышленности|ссылка=https://library.by/portalus/modules/medecine/readme.php?subaction=showfull&id=1753284441&archive=&start_from=&ucat=& |место=Москва|издательство=|год=1974|номер=9|страницы=7-11}} ISSN 0409-2961</ref> <ref name="Беляков-06-2015">{{статья|автор=Беляков Г.И., Юлкин Е.С.|заглавие=Специальную оценку условий труда пора корректировать|ссылка=https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23636794 |язык=ru|автор издания=Федеральная служба по экологическому, технологическому и атомному надзору (РОСТЕХНАДЗОР); Закрытое акционерное общество «Научно-технический центр исследований проблем промышленной безопасности» (ЗАО НТЦ ПБ)|издание=Безопасность труда в промышленности|место=Москва|издательство=ЗАО "Алмаз-Пресс"|год=2015|номер=6|страницы=55—59}} ISSN 0409-2961</ref> <ref name="ФСС-2022">{{Книга|ссылка=https://sfr.gov.ru/files/id/press_center/godovoi_otchet/fss/FSS_annual_report_2021.pdf|автор=ФСС|заглавие=Отчёт Фонда Социального Страхования Российской Федерации за 2021 год|год=2022|часть=Структура предупредительных мер по сокращению производственного травматизма и профзаболеваний (по статьям расходов) за 2021 год (в млн. руб.)|место=Москва|издательство=ФСС|страницы=13|страниц=31|серия=Социальное страхование: практика и ориентиры развития}}</ref> <ref name="Росстат-2016">''Росстат.'' Социально-экономические показатели Российской Федерации в 1991-2016 гг. (1,2 Мб). ''www.gks.ru'' (2017). Дата обращения: 16 сентября 2018. [https://web.archive.org/web/20180916201927/http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/publications/catalog/doc_1270707126016 копия] , [https://web.archive.org/web/20180916201927/http://www.gks.ru/free_doc/doc_2017/year/pril_year17-rus.xls таблица xls]</ref> <ref name="Капцов-2016">{{Статья|ссылка=https://naukaru.ru/ru/nauka/article/10152/view |автор=Капцов В.А., Чиркин А.В|заглавие= Об оценке эффективности средств индивидуальной защиты органов дыхания |год=2015|место=Москва|издание=Безопасность в техносфере |издательство=ИНФРА-М |том=4 |номер=5 |страницы=7-14|doi=10.12737/16958}} ISSN 1998-071X [https://www.researchgate.net/publication/290476070_On_Evaluation_of_Effectiveness_of_Respiratory_Protective_Devices PDF]</ref> <ref name="Howie-1"> ''Robin Howie.'' Recommendation 1 (слайд № 82). In: [https://www.arbeidshygiene.nl/symposium/vorige-symposia/symposium-2012/ Reality of PPE performance]. Het 21ste NVvA symposium: "Beheersmaatregelen onder de loep" (28 - 29 maart 2012, Zeist) <small>(англ.).</small> ''Nederlandse Vereniging voor Arbeidshygiëne www.arbeidshygiene.nl'' p. 82. Eindhoven, Nederland: Nederlandse Vereniging voor Arbeidshygiëne (2012). Дата обращения: 5 ноября 2024. [https://www.arbeidshygiene.nl/-uploads/files/insite/1-presentation-reality-of-ppe-performance-nvva-march-2012.pdf PDF]</ref> <ref name="Howie-2">{{Статья|ссылка=https://academic.oup.com/annweh/issue/42/2|заглавие=Robin Howie President of the BOHS 1997–1998|год=1998|язык=en|автор издания=British Occupational Hygiene Society|издание=The Annals of Occupational Hygiene|издательство=Oxford University Press|месяц=2|выпуск=2|pages=71-72|volume=42|doi=10.1093/annhyg/42.2.71}} ISSN 2398-7308</ref> <ref name="ХимЗащОдежда-2017">{{Книга |автор=CEN/TC 162/WG 3 - Protective clothing against chemicals, infective agents and radioactive contamination |заглавие=PD CEN/TR 15419:2017 Protective clothing - Guidelines for selection, use, care and maintenance of chemical protective clothing |ответственный=European Committee for Standardization (CEN) |год=2017 |часть=4.6 Garment material selection criteria (definition of CPC material criteria) |язык=en |издание=2nd ed |место=Brussels, Belgium |издательство=British Standards Institution |pages=13-17 |allpages=49 |серия=ICS 13.340.10 Protective clothing |isbn=978 0 580 98705 2}}</ref> <ref name="Капцов-2022">{{Статья|ссылка=https://www.rjhas.ru/jour/article/view/2011/1419|автор=Капцов В.А., Панкова В.Б., Чиркин А.В.|заглавие=Риск многократного применения противогазных фильтров респираторов (обзор литературы)|год=2022|автор издания=Роспотребнадзор|издание=Гигиена и санитария|том=101 |номер=2|страницы=174-179 |doi=10.47470/0016-9900-2022-101-2-174-179|archivedate=2023-05-19 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20230519150148/https://www.rjhas.ru/jour/article/view/2011/1419}} ISSN 0016-9900 https://www.researchgate.net/publication/359302765_The_risk_of_multiple_uses_of_respirator_gas_filters_literature_review копия] </ref> <ref name="Сорокин-2007-5">{{Книга|автор=Карнаух Н.Н., Пашнин Н.П., Сорокина Т.Ю., Шувалов Е.С., Файнбург Г.З.|заглавие=Средства индивидуальной защиты. Учебное пособие|ответственный=Президент АСИЗ [https://miningwiki.ru/wiki/Ассоциация_СИЗ#Кадры Ю.Г. Сорокин], А.Л. Сафонов|год=2007|часть=3. Средства индивидуальной защиты органов дыхания. В: II. Средства индивидуальной защиты; |издание=3 изд|место=Москва|издательство="Золотой телёнок", Минздравсоцразвития РФ|страницы=72-76|страниц=288|серия=Охрана труда|isbn=978-5-88257-099-5|тираж=10 000}}</ref> <ref name="Денисов-2013">{{Статья|ссылка=https://cyberleninka.ru/article/n/problema-realnoy-effektivnosti-individualnoy-zaschity-i-privnosimyy-risk-dlya-zdorovya-rabotnikov-obzor-literatury/viewer|автор=Денисов Э.И., Морозова Т.В., Аденинская Е.Е., Курьеров Н.Н.|заглавие=Проблема реальной эффективности индивидуальной защиты и привносимый риск для здоровья работников (обзор литературы)|год=2013|автор издания=НИИ медицины труда РАН|издание=Медицина труда и промышленная экология|месяц=8|номер=8|страницы=18-25|pmid=24006620}} ISSN 1026-9428</ref> <ref name="CCOHS-2025">''Canadian Centre for Occupational Health and Safety.'' [https://www.ccohs.ca/oshanswers/prevention/ppe/designin.html Personal Protective Equipment]. OSH Answers Fact Sheets -- Prevention and Control of Hazards <small>''(англ.).''</small> ''www.ccohs.ca.'' Hamilton (Ontario, Canada): CCOHS (21 января 2025). Дата обращения: 9 сентября 2025.</ref> <ref name="Suruda-2003">{{статья|автор= Anthony Suruda, William Milliken, Dale Stephenson & Richard Sesek|заглавие=Fatal Injuries in the United States Involving Respirators, 1984-1995|ссылка= https://www.researchgate.net/publication/10856558_Fatal_Injuries_in_the_United_States_Involving_Respirators_1984-1995 |язык=en |издание=Applied Occupational and Environmental Hygiene |издательство=Taylor & Francis |год=2003| volume=18|выпуск=4|pages=289-292|issn=1521-0898 |doi= 10.1080/10473220301405|pmid=12637239}}, CDC [https://stacks.cdc.gov/view/cdc/186373/cdc_186373_DS1.pdf PDF]</ref> <ref name="Буянов-1974">{{Книга|ссылка=https://library.by/portalus/modules/medecine/readme.php?subaction=showfull&id=1731671688&archive=&start_from=&ucat=&|автор=Буянов В.В.|заглавие=Проблемы индивидуальной защиты человека. Часть 1|ответственный=[[:w:ru:Городинский, Семён Михайлович|С.М. Городинский]] (ред.)|год=1974|часть=Исследования физической работоспособности при воздействии на человека неблагоприятных факторов, обусловленных средствами индивидуальной защиты|место=Москва|издательство=ВНИИ медицинской и медико-технической информации|страницы=14-15|страниц=86|серия=научный обзор|тираж=1500}}</ref> <ref name="Полоний-1980">{{Книга|автор=Н.Б. Борисов, [[:w:ru:Ильин, Леонид Андреевич|Л.А. Ильин]], У.Я. Маргулис, Г.М. Пархоменко, В.Т. Хрущ.|заглавие=Радиационная безопасность при работе с полонием-210|ответственный=И.В. Петрянов ред|год=1980|часть=7. Средства индивидуальной защиты, в: Глава 6. Гигиена труда при работе с полонием|место=Москва|издательство=Атомиздат|страницы=172-180|страниц=262|тираж=1300}}</ref> <ref name="ГОЧС-7-2006">{{Книга|ссылка=https://xn--b1ae4ad.xn--p1ai/library/86|автор=Галушкин Б.А., Азаров С.Г., Багаев Н.С., Грачев М.И., Клочков В.Н., Коростин А.С, Кунцевич А.А., Петросян Л.Н., Семенов В.В., Харичев Н.И.|заглавие=Справочник спасателя: Книга 7: Спасательные работы по ликвидации последствий радиоактивных загрязнений|ответственный=ВНИИ ГОЧС|год=2006|часть=Пункт 5.2.5. в|место=Москва|издательство=Рекламно-издательский комплекс “Галерия”|страницы=51|страниц=152|тираж=1500}} "... следует учитывать, что наряду с защитным эффектом некоторые виды СИЗ оказывают нежелательное воздействие на функциональные системы организма человека, затрудняя его теплообмен с окружающей средой или создавая трудности, проявляющиеся в сопротивлении дыханию, давлении лицевых частей СИЗ на мягкие ткани головы, ограничении поля зрения и слуха, либо ухудшении разборчивости речи и т.п." </ref> <ref name="Буянов-2001-">{{Книга|автор=Буянов В.В., Супрун И.П.|заглавие=Средства индивидуальной защиты для работ в микробиологических и вирусологических лабораториях|ответственный=научн. консульт. Т.Н. Калинин|год=2001|часть=Глава 7. Работоспособность человека в средствах индивидуальной защиты|место=Черноголовка|издательство=Институт проблем химической физики|страницы=166-237|страниц=324|серия=Государственный научно-исследовательский институт биологического приборостроения|isbn=5-201-10416-7|isbn2=5-201-10416-9}}</ref> <ref name="Sinkule-2013">{{Статья|ссылка=https://academic.oup.com/annweh/article/57/3/384/230992|автор=E.J. Sinkule, J.B. Powell, F.L. Goss|заглавие=Evaluation of N95 respirator use with a surgical mask cover: effects on breathing resistance and inhaled carbon dioxide|год=2013|язык=en|автор издания=British Occupational Hygiene Society|издание=The Annals of Occupational Hygiene|издательство=Oxford University Press|выпуск=3|pages=384—398|volume=57|doi=10.1093/annhyg/mes068|pmid=23108786}} ISSN 0003-4878</ref> <ref name="ГН-2-2-5-3532-18">{{Книга|автор=''(Роспотребнадзор)''|заглавие=ГН 2.2.5.3532-18 «Предельно допустимые концентрации (ПДК) вредных веществ в воздухе рабочей зоны»|ответственный=утверждены [[:w:ru:Попова, Анна Юрьевна|А. Ю. Поповой]]|место=Москва|год=2018|страниц=170|ссылка=https://www.rospotrebnadzor.ru/documents/details.php?ELEMENT_ID=9967|серия=Санитарные правила}}; новая редакция {{книга|автор=|часть=II. Химические и биологические факторы производственной среды. Таблица 2.1 Предельно допустимые концентрации (ПДК) загрязняющих веществ в воздухе рабочей зоны | ссылка= http://publication.pravo.gov.ru/Document/View/0001202102030022 |ответственный=Попова А.Ю. |заглавие= СанПиН 1.2.3685-21 "Гигиенические нормативы и требования к обеспечению безопасности и (или) безвредности для человека факторов среды обитания"|место=Москва|издательство= Роспотребнадзор |год=2021 |страницы= |страниц= 516|серия=Санитарные правила и нормы}}</ref> <ref name="ACGIH-28">{{книга|автор=[[:w:Американская ассоциация государственных промышленных гигиенистов|ACGIH]] Industrial Ventilation Committee members |заглавие=Industrial Ventilation. A Manual of Recommended Practice for Design|издание=28 ed|место=Cincinnati, Ohio|издательство=[[:w:Американская ассоциация государственных промышленных гигиенистов|American Conference of Governmental Industrial Hygienists]]|год=2013|страницы=Глава 1, стр. 9|allpages=370|isbn=978-1-607260-57-8}}</ref> <ref name="Конвенция148">Конвенция МОТ № 148 {{Cite web |url=http://www.ilo.org/wcmsp5/groups/public/---ed_norm/---normes/documents/normativeinstrument/wcms_c148_ru.htm |title= «О защите трудящихся от профессионального риска, вызываемого загрязнением воздуха, шумом и вибрацией на рабочих местах» (1977) }} (16 октября 2024)</ref> <ref name="Росстат-2016">''Росстат.'' Социально-экономические показатели Российской Федерации в 1991-2016 гг. (1,2 Мб). ''www.gks.ru'' (2017). Дата обращения: 16 сентября 2018. [https://web.archive.org/web/20180916201927/http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/publications/catalog/doc_1270707126016 копия] , [https://web.archive.org/web/20180916201927/http://www.gks.ru/free_doc/doc_2017/year/pril_year17-rus.xls таблица xls]</ref> <ref name="ПЗ-2007">{{Статья|ссылка=https://rg.ru/2007/03/01/medvedev.html|автор=Павел Дульман|заглавие=Компании обещали заняться здоровьем работников (Дмитрий Медведев призвал крупный бизнес активнее заниматься здоровьем работников)|год=2013|автор издания=ФГБУ «Редакция «Российской газеты»|место=Москва|издание=Российская газета|издательство=АО "Издательство "Российская газета"|тип=газета|месяц=3|число=1|номер=42|archive-date=2023-10-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20231028112659/https://rg.ru/2007/03/01/medvedev.html|url-status=live}} ISSN 1606-5484</ref> <ref name="Сорокин-2018">{{Статья|ссылка=https://getsiz.ru/asiz-2018-ne-vse-eshche-skazano.html|автор=[https://miningwiki.ru/wiki/Ассоциация_СИЗ#Кадры Сорокин Ю.Г.]|заглавие=АСИЗ-2018: не все еще сказано!|год=2018|автор издания=Общество с ограниченной ответственностью «Информационно-аналитическое агентство «Полдень»|место=Томск|издание=Гетсиз.ру|тип=сайт|месяц=12|число=10}}</ref> <ref name="Щербаков-1976">{{Книга |ссылка=https://library.by/portalus/modules/medecine/readme.php?subaction=showfull&id=1751551910&archive=&start_from=&ucat=& |автор=Щербаков В.Л., Еськова-Сосковец Л.С., Коростин А.С.|заглавие=Всесоюзная конференция "Пути повышения качества и эффективности средств индивидуальной защиты и совершенствования методов их оценки" |ответственный=Семёнов А.П., Городинский С.М., Романова И.Г., Цуцков М.Е., Гуда В.А., Леоничева В.Д. (редколлегия) |год=1976 |часть= Методика оценки средств индивидуальной защиты как вторичного источника загрязнения окружающей среды радиоактивными веществами |издание=Всесоюзный центральный совет профсоюзов (ВЦСПС) |место=Москва |издательство=Государственный Комитет Совета Министров СССР по науке и технике |страницы=84-86 |страниц=179 |серия=Тезисы докладов, г. Тбилиси, 13-15 октября 1976 г. |тираж=700}}</ref> }} 21nhsl8o17jxtjev011jihq2mb5uhtt 0 35572 267045 267039 2026-05-16T12:41:44Z AllaBuraya 79455 https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Постулат_Бертрана&action=history 267045 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref>. Другие формулировки: * для ''n > 1'', то имеется [[w:Простое_число|простое]] число ''p'', принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n'' - ''n-ое'' [[w:Простое_число|простое]] число<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" /><ref name=":6" />. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. == Доказательство Эрдёша == В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. === Лемма === : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. === Доказательство постулата === Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> ==== Определение R(p, n) и его оценка сверху ==== Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> ==== Оценка p^R(p, n) ==== Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. ==== В каком интервале могут находиться простые делители? ==== А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. ==== Перемножение всех p^R(p, n) ==== Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == 6eaw7dhm03gayyapwntawioovut7i17 267046 267045 2026-05-16T12:51:28Z AllaBuraya 79455 267046 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref>. Другие формулировки: * для ''n > 1'', то имеется [[w:Простое_число|простое]] число ''p'', принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n'' - ''n-ое'' [[w:Простое_число|простое]] число<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" />. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. == Доказательство Эрдёша == В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. === Лемма === : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. === Доказательство постулата === Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> ==== Определение R(p, n) и его оценка сверху ==== Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> ==== Оценка p^R(p, n) ==== Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. ==== В каком интервале могут находиться простые делители? ==== А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. ==== Перемножение всех p^R(p, n) ==== Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == dbm85yb3a3m1b1c5bpzokqrca2kfiji 267047 267046 2026-05-16T12:54:35Z AllaBuraya 79455 267047 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref>. Другие формулировки: * при любом ''n > 1'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число, принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n'' - ''n-ое'' [[w:Простое_число|простое]] число<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" />. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. == Доказательство Эрдёша == В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. === Лемма === : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. === Доказательство постулата === Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> ==== Определение R(p, n) и его оценка сверху ==== Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> ==== Оценка p^R(p, n) ==== Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. ==== В каком интервале могут находиться простые делители? ==== А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. ==== Перемножение всех p^R(p, n) ==== Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == 3e6ppw9g7dvpb74hs3m5bbwnsfhjheq 267048 267047 2026-05-16T12:57:58Z AllaBuraya 79455 /* Примечания */ 267048 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref>. Другие формулировки: * при любом ''n > 1'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число, принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия|Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n'' - ''n-ое'' [[w:Простое_число|простое]] число<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" />. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. == Доказательство Эрдёша == В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. === Лемма === : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. === Доказательство постулата === Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> ==== Определение R(p, n) и его оценка сверху ==== Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> ==== Оценка p^R(p, n) ==== Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. ==== В каком интервале могут находиться простые делители? ==== А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. ==== Перемножение всех p^R(p, n) ==== Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == 1h43pgnzavdmea38wdyencbducev23y 267050 267048 2026-05-16T12:59:22Z AllaBuraya 79455 267050 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref>. Другие формулировки: * при любом ''n > 1'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число, принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия|Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n''<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" />. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. == Доказательство Эрдёша == В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. === Лемма === : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. === Доказательство постулата === Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> ==== Определение R(p, n) и его оценка сверху ==== Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> ==== Оценка p^R(p, n) ==== Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. ==== В каком интервале могут находиться простые делители? ==== А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. ==== Перемножение всех p^R(p, n) ==== Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == 7rlr4y1oscuenv3kg6fcpl0yrqn7kdf 267051 267050 2026-05-16T13:16:01Z AllaBuraya 79455 /* Доказательство Эрдёша */ 267051 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref>. Другие формулировки: * при любом ''n > 1'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число, принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия|Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n''<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" />. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. == Доказательство == === Доказательство Эрдёша{{Нет АИ|nocat=Нет АИ}} === В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. === Лемма === : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. === Доказательство постулата === Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> ==== Определение R(p, n) и его оценка сверху ==== Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> ==== Оценка p^R(p, n) ==== Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. ==== В каком интервале могут находиться простые делители? ==== А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. ==== Перемножение всех p^R(p, n) ==== Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == 3o3a5425kepljijj0snxungq1inh3t2 267052 267051 2026-05-16T13:17:18Z AllaBuraya 79455 /* Доказательство Эрдёша[источник?] */ 267052 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref>. Другие формулировки: * при любом ''n > 1'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число, принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия|Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n''<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" />. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. == Доказательство == === Доказательство Эрдёша{{Нет АИ|nocat=Нет АИ}} === В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. '''Лемма''' : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. '''Доказательство постулата''' Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> '''Определение R(p, n) и его оценка сверху''' Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> '''Оценка p^R(p, n)''' Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. '''В каком интервале могут находиться простые делители?''' А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. '''Перемножение всех p^R(p, n)''' Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == 3jgz9in5ehofxb8e9eld7s1ueyeis1h 267053 267052 2026-05-16T13:35:26Z AllaBuraya 79455 267053 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref><ref name=":7">{{Книга|ссылка=http://optic.cs.nstu.ru/files/Lit/Math/Осипов.pdf|автор=Н. Н. Осипов|заглавие=Теория чисел. Конспект лекций|год=2008|место=Красноярск|издательство=Институт космических и информационных технологий СФУ|страниц=117}}</ref>. Другие формулировки: * при любом ''n > 1'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число, принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия|Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />''<ref name=":6" />''<ref name=":7" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n''<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" /><ref name=":7" />. Упрощённую версию чебышёвского доказательства предложил С. Б. Стечкин''<ref name=":7" />''. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. == Доказательство == === Доказательство Эрдёша{{Нет АИ|nocat=Нет АИ}} === В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. '''Лемма''' : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. '''Доказательство постулата''' Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> '''Определение R(p, n) и его оценка сверху''' Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> '''Оценка p^R(p, n)''' Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. '''В каком интервале могут находиться простые делители?''' А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. '''Перемножение всех p^R(p, n)''' Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == h1ne7qoocw1kqu3fa3o4m0e5v1upl76 267054 267053 2026-05-16T13:39:59Z AllaBuraya 79455 267054 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref><ref name=":7">{{Книга|ссылка=http://optic.cs.nstu.ru/files/Lit/Math/Осипов.pdf|автор=Н. Н. Осипов|заглавие=Теория чисел. Конспект лекций|год=2008|место=Красноярск|издательство=Институт космических и информационных технологий СФУ|страниц=117}}</ref>. Другие формулировки: * при любом ''n > 1'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число, принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия|Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />''<ref name=":6" />''<ref name=":7" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n''<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" /><ref name=":7" />. Упрощённую версию чебышёвского доказательства предложил С. Б. Стечкин''<ref name=":7" />''. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1949_год_в_науке|1949 году]] [[wikipedia:Leo_Moser|Мозер]] также предложил более простое доказательство<ref name=":5" />. == Доказательство == === Доказательство Эрдёша{{Нет АИ|nocat=Нет АИ}} === В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. '''Лемма''' : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. '''Доказательство постулата''' Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> '''Определение R(p, n) и его оценка сверху''' Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> '''Оценка p^R(p, n)''' Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. '''В каком интервале могут находиться простые делители?''' А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. '''Перемножение всех p^R(p, n)''' Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == 330bmtixlecajzt2mutjzeyaqrn2qr0 267055 267054 2026-05-16T13:42:07Z AllaBuraya 79455 267055 wikitext text/x-wiki {{Wikipedia|Постулат Бертрана}} '''Постулат Бертрана''' (''теорема Бертрана — Чебышёва'', ''теорема Чебышёва'') — в [[w:Теория_чисел|теории чисел]] утверждение, что при [[Натуральные числа|натуральном]] ''n > 3'' между числами ''n'' и ''(2n − 2)'' существует по крайней мере одно [[w:Простое_число|простое]] число. Постулат был сформулирован в [[w:1845_год_в_науке|1845 году]] [[w:Бертран,_Жозеф_Луи_Франсуа|Бертраном]], который проверил его до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html|title=Bertrand's Postulate|lang=en|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref name=":0">{{Книга|ссылка=http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf|автор=В. И. Зенкин|заглавие=Распределение простых чисел. Элементарные методы|год=2008|часть=§ 3. Постулат Ж. Бертрана — теорема П. Л. Чебышёва|место=Калининград|страницы=44|всего страниц=158}}</ref><ref name=":4" />''<ref name=":5">{{Книга|автор=Paulo Ribenboim|заглавие=The Little Book of Bigger Primes. Second Edition|год=2004|язык=en|издательство=Springer-Verlag New York, Inc|isbn=0-387-20169-6|всего страниц=356}}</ref><ref name=":6">{{Книга|ссылка=https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/proofs_in_the_book.pdf|автор=Martin Aigner. Günter M. Ziegler|заглавие=Proofs from the book|год=2010|язык=de|место=Berlin, Germany|издательство=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|страниц=274|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6}}</ref><ref name=":7">{{Книга|ссылка=http://optic.cs.nstu.ru/files/Lit/Math/Осипов.pdf|автор=Н. Н. Осипов|заглавие=Теория чисел. Конспект лекций|год=2008|место=Красноярск|издательство=Институт космических и информационных технологий СФУ|страниц=117}}</ref>. Другие формулировки: * при любом ''n > 1'' имеется [[w:Простое_число|простое]] число, принадлежащее интервалу (''n, 2n)<ref name=":1">{{Книга|заглавие=[[w:Математическая энциклопедия|Математическая энциклопедия]]|ответственный=под редакцией академика [[w:Виноградов, Иван Матвеевич|Виноградова И. М.]]|год=1977—1985|часть=Бертрана поступат|издательство=Советская энциклопедия|том=1|страницы=433|всего страниц=5760}}</ref><ref name=":3">{{Книга|автор=Савин А. П.|заглавие=Энциклопедический словарь юного математика|год=1989|часть=Простое число|место=Москва|издательство=Педагогика|страницы=262|isbn=5-7155-0218-7|всего страниц=352}}</ref><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":4">{{Cite web|url=https://bigenc.ru/c/teoremy-chebyshiova-o-prostykh-chislakh-5b2f4d|title=Теоремы Чебышёва о простых числах|author=Лаврик Александр Фёдорович|website=bigenc.ru|date=12 декабря 2024|publisher=БРЭ|url-status=live}}</ref><ref name=":5" />''<ref name=":6" />''<ref name=":7" />'' * для ''n ≥ 1'': ''p_n+1 < 2p_n, p_n''<ref name=":5" /> * для ''n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1''<ref name=":5" /> В [[w:1852_год_в_науке|1852 году]] постулат был доказан [[w:Чебышёв,_Пафнутий_Львович|Чебышёвым]]''<ref name=":1" /><ref name=":3" /><ref name=":0" />''<ref name=":5" />. По другим источникам в 1850 году''<ref name=":2" />''<ref name=":6" /><ref name=":7" />. Упрощённую версию чебышёвского доказательства предложил С. Б. Стечкин''<ref name=":7" />''. В [[w:1919_год_в_науке|1919 году]] [[w:Сриниваса_Рамануджан_Айенгор|Рамануджан]] представил более простое доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1932_год_в_науке|1932 году]] [[w:Эрдёш,_Пол|Эрдёш]] упростил доказательство''<ref name=":2" /><ref name=":5" />''<ref name=":6" />. В [[w:1949_год_в_науке|1949 году]] [[wikipedia:Leo_Moser|Мозер]] также предложил более простое доказательство<ref name=":5" /><ref>{{Cite web|url=https://www.zyymat.com/leo-mosers-proof-of-bertrands-postulate.html|title=Доказательство Лео Мозером постулата Бертрана|lang=en|website=www.zyymat.com}}</ref>. == Доказательство == === Доказательство Эрдёша{{Нет АИ|nocat=Нет АИ}} === В доказательстве мы используем следующие обозначения: * <math>{a \choose b}</math> — [[w:Биномиальный_коэффициент|биномиальный коэффициент]] или [[w:Сочетание|число сочетаний]] из <math>a</math> по <math>b</math>. * <math> \left \lfloor x \right \rfloor </math> — [[w:Целая_часть|целая часть]] <math>x</math>. Обозначим множество простых чисел через <math>\mathbb{P}</math> и определим <math>\theta(n)</math> как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих <math>n</math>: : <math> \theta(n) = \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p). </math> Например, <math> \theta(10)=\ln 2 + \ln 3 + \ln 5 + \ln 7 </math>. Эта функция называется ''<math>\theta</math>-функция Чебышёва''. '''Лемма''' : <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math> для всех <math> n\geqslant 1 </math>. (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».) Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного <math>m</math>, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале <math>[m+2,\;2m+1]</math>. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения :: <math> {2m+1 \choose m} \geqslant \prod_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} p.</math> Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем :: <math> \ln {2m+1 \choose m} \geqslant \sum_{p\in\mathbb{P};\, m+2 \leqslant p \leqslant 2m+1} \ln p = \theta(2m+1)-\theta(m+1). </math> С другой стороны, биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> легко оценить сверху: :: <math> {2m+1 \choose m} = \frac {{2m+1 \choose m}+{2m+1 \choose m+1}}{2} \leqslant \frac {\sum_{k=0}^{2m+1}{2m+1 \choose k}} {2} = </math> :: <math> = \frac {(1+1)^{2m+1}}{2} = 4^m. </math> Объединяя два последних неравенства, получаем :: <math>\theta(2m+1)-\theta(m+1) \leqslant \ln 4^m = m \ln 4 </math> Откуда :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 </math> Теперь легко доказать лемму по индукции: * <math>n = 1</math>: :: <math> \theta(1)= 0 < 1 \cdot \ln(4). </math> * <math>n = 2</math>: :: <math> \theta(2)=\ln(2) < 2 \cdot \ln(4). </math> * <math> n>2 </math> и <math>n</math> нечётно. Пусть <math> n = 2m+1 </math>. :: <math>\theta(2m+1) \leqslant \theta(m+1) + m \ln 4 < (m+1) \ln 4 + m \ln 4 = (2m+1) \ln 4 = n \ln 4</math> * <math>n > 2</math> и <math>n</math> чётно. :: <math> \theta(n) = \theta(n-1) < (n-1) \cdot \ln(4) < n \cdot \ln(4) </math> (поскольку любое чётное число, большее 2 составное, то <math> \ln (n) </math> не входит в сумму <math> \sum_{p\in\mathbb{P};\, p\leqslant n} \ln (p) </math>). Лемма доказана. '''Доказательство постулата''' Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент <math> 2n \choose n </math> на простые множители. Если между <math>n</math> и <math>2n</math> нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется ''слишком маленьким.'' Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого <math>n \geqslant 2</math> не существует простого числа <math>p</math> такого, что <math>n < p < 2n</math>. Если <math>2 \leqslant n < 2048</math>, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его <math>p</math>, удовлетворяет неравенству <math>n < p < 2n</math>. Следовательно, <math>n \geqslant 2048</math>. Оценим <math> 2n \choose n </math>. : <math> 4^n=(1+1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}. </math> Поскольку <math> {2n \choose n} </math> — максимальный член суммы, мы имеем: : <math> \frac {4^n} {2n+1} \leqslant {2n \choose n}. </math> '''Определение R(p, n) и его оценка сверху''' Пусть <math> R(p,\; n) </math> — степень <math>p</math> в разложении <math> {2n \choose n} </math> на простые множители. :: <math>{2n \choose n} = \prod_p{p^{R(p,\;n)}}.</math> Поскольку <math>n!</math> для каждого <math>j</math> имеет ровно <math> \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> сомножителей, делящихся на <math>p^j</math>, в разложении <math>n!</math> на простые множители <math>p</math> входит в степени <math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math>. Поэтому : <math> R(p,\;n)=\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor-2\sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor=\sum_{j=1}^\infty \left( \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor \right). </math> Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество. '''Величина''': каждое слагаемое <math> \left \lfloor \frac {2n} {p^j} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p^j} \right \rfloor </math> может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части <math> \frac {n} {p^j} </math> : если она меньше <math>\frac{1}{2}</math>, слагаемое равно 0, а если <math>\frac{1}{2}</math> или больше, то 1). '''Количество''': все слагаемые с <math> j > \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} </math> равны нулю, потому что для них <math> \frac {2n} {p^j} < 1 </math>. Поэтому только <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми. Итак, <math> R(p,\;n) </math> — сумма <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно, : <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor. </math> '''Оценка p^R(p, n)''' Оценим теперь <math> p^{R(p,n)} </math>. : <math>p^{R(p,\;n)} = \exp \left ( R(p,\;n) \ln p \right ) \leqslant \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \leqslant 2n. </math> Это была оценка для любых <math>p</math>. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \leqslant 2n </math>. Для таких <math>p</math>, количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое: : <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor. </math> Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,\;n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,\;n)} = 1 </math>. '''В каком интервале могут находиться простые делители?''' А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. <math> {2n \choose n} </math> не имеет простых делителей <math>p</math> таких, что: * <math>2n < p</math>, потому что <math> R(p,\;n) \leqslant \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor = 0 </math>. * <math> n<p \leqslant 2n </math>, потому что мы предположили, что в этом интервале нет простых чисел. * <math> \frac {2n} {3} <p \leqslant n </math>, потому что при <math> p > \sqrt{2n} </math> (так как <math> n \geqslant 5 </math>) имеем <math> R(p, \; n) \leq 1</math>, что даёт нам <math> R(p,\;n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor < \left \lfloor \frac {2n} {\frac{2n} {3}} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac{n} {n} \right \rfloor = 3-2 = 1,</math> откуда <math> R(p, \; n) = 0 </math>. Получается, что у <math> {2n \choose n} </math> нет простых делителей, больших чем <math> \frac {2n} {3} </math>. '''Перемножение всех p^R(p, n)''' Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,\;n)}</math> по всем простым делителям <math>p</math> числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p \leqslant 2n/3} p = \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right )</math>. Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,\;n)} </math> по всем простым <math>p</math>, мы получаем: : <math> \frac {4^n}{2n+1} \leqslant {2n \choose n} \leqslant (2n)^\sqrt{2n} \exp \left ( \theta \left ( \frac {2n} {3} \right ) \right ). </math> Используя нашу лемму <math> \theta(n) < n \cdot \ln(4) </math>: : <math> \frac {4^n} {2n+1} < (2n)^\sqrt{2n} 4^{\frac {2n} {3}}. </math> Поскольку <math> (2n+1) < (2n)^2 </math>: : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{2+\sqrt{2n}}. </math> Кроме того, <math> 2 \leqslant \frac {\sqrt{2n}}{3} </math> (поскольку <math> n \geqslant 18 </math>): : <math> 4^{\frac {n}{3}} < (2n)^{\frac {4} {3}\sqrt{2n}}. </math> [[w:Логарифм|Логарифмируя]] обе части, получаем : <math> \sqrt{2n} \ln(2) < 4 \cdot \ln(2n). </math> Делая подстановку <math>2^{2t} = 2n</math>: : <math> \frac {2^t} {t} < 8 </math> Это даёт нам <math>t < 6</math> и противоречие: : <math>n=\frac {2^{2t}} {2}<\frac {2^{2 \cdot 6}} {2}=2048.</math> Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать. == Примечания == 0slvi8dcm92p5g8lzxhv42nmm7qpzej 0 35576 267049 2026-05-16T12:58:42Z Def2010 48479 Стаб по Энчеллу/J1 267049 wikitext text/x-wiki '''Kodak D-67''' — метол-гидрохиноновый проявитель, модификация проявителя [[Фоторецептурный справочник/Kodak D-19|Kodak D-19]] с добавлением [[w:Роданид натрия|роданида натрия]], предназначенная для использования как первый проявитель для обращаемых плёнок. Исходно использовался для обработки плёнки [[Фоторецептурный справочник/Обращаемый процесс для плёнки Kodak 5246|Kodak 5246]], в современных источниках предлагается как универсальный первый проявитель при обращаемой обработке, в том числе для обращения негативных плёнок{{sfn|J-1|1977|с=50}}{{sfn|Anchell|2008|с=140―141}}. == Состав == * Вода (52 °C) — 500,0 мл; * [[w:Метол|Метол]] — 2,0 г; * [[w:Сульфит натрия|Сульфит натрия]] б/в — 90,0 г; * [[w:Гидрохинон|Гидрохинон]] — 8,0 г; * [[w:Карбонат натрия|Карбонат натрия]] 1-водн. — 52,5 г; * [[w:Бромид калия|Бромид калия]] — 5,0 г; * [[w:Роданид натрия|Роданид натрия]] 51 % р-р — 3,0 мл; * Вода — до 1 л. == Замечания == При отсутствии готового жидкого роданида натрия можно использовать 2.0 г порошка{{sfn|Anchell|2008|с=140―141}}. == Обработка == Особенностью обращаемых процессов для чёрно-белых плёнок является то, что нельзя дать универсального общего времени обработки в первом проявителе, его придётся самостоятельно подбирать для конкретных условий и марки плёнки. Как основу см. описание [[Фоторецептурный справочник/Обращаемый процесс для плёнки Kodak 5246|исходного процесса]], либо рекомендации в литературе{{sfn|Anchell|2008|с=140―141}}. == Примечания == {{Примечания}} == Литература == * {{книга|автор = Anchell S.|заглавие=The Darkroom Cookbook|издание=3rd edition|издательство=Focal Press|год=2008|| isbn = 978-0-240-81055-3|ссылка=https://books.google.ru/books?id=gZhUe85LzPIC&pg=PA141#v=onepage|ref=Anchell}} * {{книга | заглавие = Kodak publication J-1: Processing chemicals & formulas for black-and-white photography | издание = Seventh Edition, 1973, updated 1977 | издательство=Eastman Kodak | место = Rochester, N. Y.| год = 1977 | ref = J-1}} * {{книга | заглавие = Kodak publication J-6: KODAK Direct Positive Panchromatic Film 5246 (35mm). Formulas and Processing | издательство=Eastman Kodak | место = Rochester, N. Y.| ref = J-6}} [[Категория:Проявители|Kodak D-67]] 0qgkbw2byq7t3kxiszza0tqtvp2ck65 1 35577 267056 2026-05-16T17:42:13Z AllaBuraya 79455 /* Перенос текста из Википедии */ новая тема 267056 wikitext text/x-wiki == Перенос текста из Википедии == Данная статья была изначально создана переносом текста из статьи Википедии [[w:Постулат_Бертрана|Постулат Бертрана]] ([https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Постулат_Бертрана&action=history ссылка] на историю статьи Википедии). Условия использования текста согласно [[foundation:Policy:Terms_of_Use/ru]]: «Вы можете импортировать текст, найденный вами в другом месте, либо написанный вами в соавторстве, но только в том случае, если вы заявляете и гарантируете, что текст доступен на условиях, совместимых с условиями лицензии CC-BY-SA (или, как сказано выше, другой лицензии, если это требование конкретного раздела одного из наших проектов или функционального модуля). <…> Вы соглашаетесь с тем, что импортируя текст, доступный по лицензии CC, требующей указания авторства (т. н. „атрибуции“), вы должны указать автора(ов) разумным образом. Если такая атрибуция обычно дается в виде ссылки на страницу истории изменений (как, например, при копировании внутри Википедии), то при импорте текста достаточно указать такую ссылку в комментарии к правке, что отразится в истории изменений страницы.» [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:42, 16 мая 2026 (UTC) g3ke7y70j0o5impxlxpux2kdhi4npli 267061 267056 2026-05-17T04:20:12Z Leksey 3027 /* Перенос текста из Википедии */ ответ ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]]) 267061 wikitext text/x-wiki == Перенос текста из Википедии == Данная статья была изначально создана переносом текста из статьи Википедии [[w:Постулат_Бертрана|Постулат Бертрана]] ([https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Постулат_Бертрана&action=history ссылка] на историю статьи Википедии). Условия использования текста согласно [[foundation:Policy:Terms_of_Use/ru]]: «Вы можете импортировать текст, найденный вами в другом месте, либо написанный вами в соавторстве, но только в том случае, если вы заявляете и гарантируете, что текст доступен на условиях, совместимых с условиями лицензии CC-BY-SA (или, как сказано выше, другой лицензии, если это требование конкретного раздела одного из наших проектов или функционального модуля). <…> Вы соглашаетесь с тем, что импортируя текст, доступный по лицензии CC, требующей указания авторства (т. н. „атрибуции“), вы должны указать автора(ов) разумным образом. Если такая атрибуция обычно дается в виде ссылки на страницу истории изменений (как, например, при копировании внутри Википедии), то при импорте текста достаточно указать такую ссылку в комментарии к правке, что отразится в истории изменений страницы.» [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:42, 16 мая 2026 (UTC) : А какой смысл переноса? : Это же не статья для учебника, как мне кажется. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 04:20, 17 мая 2026 (UTC) 1ysgpx25q7cbcvq9y2wranm9h1crxpl 267062 267061 2026-05-17T04:22:42Z Leksey 3027 /* Перенос текста из Википедии */ ответ ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|CD]]) 267062 wikitext text/x-wiki == Перенос текста из Википедии == Данная статья была изначально создана переносом текста из статьи Википедии [[w:Постулат_Бертрана|Постулат Бертрана]] ([https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Постулат_Бертрана&action=history ссылка] на историю статьи Википедии). Условия использования текста согласно [[foundation:Policy:Terms_of_Use/ru]]: «Вы можете импортировать текст, найденный вами в другом месте, либо написанный вами в соавторстве, но только в том случае, если вы заявляете и гарантируете, что текст доступен на условиях, совместимых с условиями лицензии CC-BY-SA (или, как сказано выше, другой лицензии, если это требование конкретного раздела одного из наших проектов или функционального модуля). <…> Вы соглашаетесь с тем, что импортируя текст, доступный по лицензии CC, требующей указания авторства (т. н. „атрибуции“), вы должны указать автора(ов) разумным образом. Если такая атрибуция обычно дается в виде ссылки на страницу истории изменений (как, например, при копировании внутри Википедии), то при импорте текста достаточно указать такую ссылку в комментарии к правке, что отразится в истории изменений страницы.» [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:42, 16 мая 2026 (UTC) : А какой смысл переноса? : Это же не статья для учебника, как мне кажется. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 04:20, 17 мая 2026 (UTC) : Если это часть учебника, то надо назвать [[Теория чисел/Постулат Бертрана]]. Через подстраницы работать. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 04:22, 17 мая 2026 (UTC) q4vrr88s6dhj6f4porw79qdv6kzs80o 267064 267062 2026-05-17T09:10:04Z AllaBuraya 79455 /* Перенос текста из Википедии */ Ответ 267064 wikitext text/x-wiki == Перенос текста из Википедии == Данная статья была изначально создана переносом текста из статьи Википедии [[w:Постулат_Бертрана|Постулат Бертрана]] ([https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Постулат_Бертрана&action=history ссылка] на историю статьи Википедии). Условия использования текста согласно [[foundation:Policy:Terms_of_Use/ru]]: «Вы можете импортировать текст, найденный вами в другом месте, либо написанный вами в соавторстве, но только в том случае, если вы заявляете и гарантируете, что текст доступен на условиях, совместимых с условиями лицензии CC-BY-SA (или, как сказано выше, другой лицензии, если это требование конкретного раздела одного из наших проектов или функционального модуля). <…> Вы соглашаетесь с тем, что импортируя текст, доступный по лицензии CC, требующей указания авторства (т. н. „атрибуции“), вы должны указать автора(ов) разумным образом. Если такая атрибуция обычно дается в виде ссылки на страницу истории изменений (как, например, при копировании внутри Википедии), то при импорте текста достаточно указать такую ссылку в комментарии к правке, что отразится в истории изменений страницы.» [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:42, 16 мая 2026 (UTC) : А какой смысл переноса? : Это же не статья для учебника, как мне кажется. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 04:20, 17 мая 2026 (UTC) : Если это часть учебника, то надо назвать [[Теория чисел/Постулат Бертрана]]. Через подстраницы работать. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 04:22, 17 мая 2026 (UTC) ::# [[w:Википедия:Форум/Вниманию_участников#Bezik_продолжает_войну_правок|здесь]] идет обсуждение и выработка нового консенсуса. админ удалил доказательство из статьи и сказал, что его нужно перенести в викиучебник. ::# в викиучебнике на полке Математика была создана полка Теория чисел, на ней учебник Теория чисел, параграф Постулат Бертрана. сюда перенесено удаленное доказательство. ::[[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:10, 17 мая 2026 (UTC) jh5s2mpfheja4exrv7sm00p7tlzbrax 267065 267064 2026-05-17T09:11:16Z AllaBuraya 79455 /* Перенос текста из Википедии */ Ответ 267065 wikitext text/x-wiki == Перенос текста из Википедии == Данная статья была изначально создана переносом текста из статьи Википедии [[w:Постулат_Бертрана|Постулат Бертрана]] ([https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Постулат_Бертрана&action=history ссылка] на историю статьи Википедии). Условия использования текста согласно [[foundation:Policy:Terms_of_Use/ru]]: «Вы можете импортировать текст, найденный вами в другом месте, либо написанный вами в соавторстве, но только в том случае, если вы заявляете и гарантируете, что текст доступен на условиях, совместимых с условиями лицензии CC-BY-SA (или, как сказано выше, другой лицензии, если это требование конкретного раздела одного из наших проектов или функционального модуля). <…> Вы соглашаетесь с тем, что импортируя текст, доступный по лицензии CC, требующей указания авторства (т. н. „атрибуции“), вы должны указать автора(ов) разумным образом. Если такая атрибуция обычно дается в виде ссылки на страницу истории изменений (как, например, при копировании внутри Википедии), то при импорте текста достаточно указать такую ссылку в комментарии к правке, что отразится в истории изменений страницы.» [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 17:42, 16 мая 2026 (UTC) : А какой смысл переноса? : Это же не статья для учебника, как мне кажется. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 04:20, 17 мая 2026 (UTC) : Если это часть учебника, то надо назвать [[Теория чисел/Постулат Бертрана]]. Через подстраницы работать. [[Участник:Leksey|Leksey]] ([[Обсуждение участника:Leksey|обсуждение]]) 04:22, 17 мая 2026 (UTC) ::# [[w:Википедия:Форум/Вниманию_участников#Bezik_продолжает_войну_правок|здесь]] идет обсуждение и выработка нового консенсуса. админ удалил доказательство из статьи и сказал, что его нужно перенести в викиучебник. ::# в викиучебнике на полке Математика была создана полка Теория чисел, на ней учебник Теория чисел, параграф Постулат Бертрана. сюда перенесено удаленное доказательство. ::[[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:10, 17 мая 2026 (UTC) ::3. у меня нет кнопки Переименовать страницу, чтобы переименовать в [[Теория чисел/Постулат Бертрана]] [[Участник:AllaBuraya|AllaBuraya]] ([[Обсуждение участника:AllaBuraya|обсуждение]]) 09:11, 17 мая 2026 (UTC) qnno41i9bprd633r2u69orlxc4cj1ee